Анализ режимов нелинейных электрических цепей при постоянных токах: Методические указания и консультации

Министерство образования Российской Федерации ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра теоретической и общей электротехники

Ж.Г.Пискунова Ю.А.Дормидонов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНСУЛЬТАЦИИ По теме: «Анализ режимов нелинейных электрических цепей при постоянных токах»

Оренбург 2000 4

ББК 31.21 П 34 УДК 621.318 (075)

Введение Параметры электрической цепи почти всегда в какой-то мере зависят от тока и напряжения. Сопротивление R меняется с изменением тока хотя бы потому, что с изменением тока в проводниках изменяется их температура. Емкость конденсатора может зависеть от напряжения, если диэлектрическая проницаемость вещества диэлектрика в конденсаторе зависит от напряженности электрического поля. Индуктивность катушки зависит от тока, если магнитная проницаемость вещества сердечника катушки зависит от напряженности магнитного поля. В общем случае зависимости параметров R, L, C от значений токов, напряжений или их направлений приводят к тому, что характеристики элементов электрической цепи оказываются нелинейными (криволинейны). Зависимость напряжения на элементах электрической цепи от тока в нем называют вольт-амперной характеристикой. Зависимость заряда конденсатора от приложенного к нему напряжения называют кулон-вольтной характеристикой. Зависимость потокосцепления элемента или участка электрической цепи от тока в ней называют вебер-амперной характеристикой. Во многих случаях эти зависимости выражены весьма слабо, ими можно пренебречь и полагать параметры цепи не зависящими ни от тока, ни от напряжения. В этих случаях, как известно, характеристики элементов электрической цепи определяются на диаграммах прямыми линиями, элементы называют линейными, а цепи содержащие линейные элементы – линейными электрическими цепями. Когда параметры элементов электрической цепи существенно зависят от тока или напряжения и соответственно характеристики этих элементов имеют на диаграммах криволинейный характер, такие элементы называют нелинейными. Если электрическая цепь содержит хотя бы один нелинейный элемент, то она является нелинейной электрической цепью. Изучение нелинейных электрических цепей (и нелинейных магнитных) имеет большое практическое значение в связи с широким использованием особых свойств таких цепей в современных электротехнических устройствах, особенно

5

в устройствах автоматического управления и регулирования, в электроизмерительной технике, в радиотехнике и так далее. Явления в нелинейных цепях более сложны, чем в линейных, а поэтому более сложны и методы анализа явлений в нелинейных цепях.

1 Основные теоретические сведения 1.1 Основные определения Нелинейные электрические и магнитные цепи – это цепи, содержащие хотя бы один нелинейный элемент, то есть элемент, параметры которого - сопротивление R , индуктивность L , взаимная индуктивность M , емкость C , магнитное сопротивление Rµ зависят от значений или направлений тока, напряжения, потока, заряда на этом элементе цепи. du di В условиях постоянных токов и напряжений, iC = C = 0 ; u L = L = 0 ; dt dt di di U M12 = M 12 2 = U M 21 = M 12 1 = 0 , а потому в расчетную схему вводят лишь dt dt резистивные элементы. Нелинейные резистивные элементы в отличие от линейных обладают нелинейными вольтамперными характеристиками. Напомним, что вольтамперная характеристика – это зависимость тока, протекающего через резистор, от напряжения на нем. Нелинейные резистивные элементы, в отличие от линейных могут быть подразделены на две большие группы: неуправляемые и управляемые. В неуправляемых нелинейных элементах вольтамперная характеристика изображается одной кривой, а в управляемых – семейством кривых. В группу неуправляемых нелинейных резистивных элементов входят лампы накаливания, электрическая дуга, бареттер, газотрон, стабиловольт, тиритовые сопротивления, полупроводниковые выпрямители (диоды) и некоторые другие. На рисунке 1 изображены вольтамперные характеристики наиболее часто встречающихся неуправляемых резисторов. Вольтамперную характеристику показанную на рисунке 1,а имеют, например, лампы накаливания с металлической нитью. Чем больше протекающий ток через нить, тем сильнее нагревается нить и тем больше становиться ее сопротивление. Вольтамперной характеристикой (рисунок 1,б) обладают варисторы, некоторые типы терморизисторов и лампы накаливания с угольной нитью. Для данной группы характерно, что с увеличением протекающего тока сопротивление их уменьшается. Вольтамперной характеристикой (рисунок 1,в) обладает, например, ба6

реттер. Бареттер выполняют в виде спирали из стальной проволоки, помещенной в стеклянный сосуд, заполненный водородом при давлении порядка 80 мм рт. ст. В определенном диапазоне изменения тока вольтамперная характеристика бареттера расположена почти горизонтально. Вольтамперной характеристикой (рисунок 1,г) обладают полупроводниковые диоды (кремниевые, германиевые), широко применяемые для преобразоI I I

U

U

а)

U

б)

I

в)

I

U

I

U

U

г) д) е) вания переменного тока в постоянный. Они способны пропускать ток практически только в одном, проводящем направлении. Широко используют их также в различных датчиках и преобразователях устройств автоматики.

Рисунок 1 – Вольтамперные характеристики неуправляемых резисторов Вольтамперные характеристики (рисунок 1,д) имеют электрическая дуга с разнородными электродами, газотрон и некоторые типы терморезисторов. Если напряжение повышать, начиная с нуля, то сначала ток растет, но остается весьма малым, после достижения напряжения U 1 (напряжения зажигания) происходит резкое увеличение тока в цепи и снижение напряжения на электрической дуге или газотроне. Для верхнего участка вольтамперной характеристики приращению тока соответствует убыль напряжения на нелинейном сопротивлении. Участок вольтамперной характеристики типа верхнего участка кривой рисунок 1,д называется падающим1) участком вольтамперной характеристики. Электрическую дугу широко применяют при сварке металлов, в электро1)

Падающий участок вольтамперной характеристики представляет такой ее участок, на котором положительному приращению тока через нелинейный элемент соответствует отрицательное приращение напряжения на нем

7

термии (в дуговых электропечах), а так же в качестве мощного источника электрического освещения, например в прожекторах. Газотрон представляет собой лампу с двумя электродами, заполненную благородным газом (неоном, аргоном и другими) или парами ртути. Электрическая дуга между электродами, выполненными из одного и того же материала и находящимися в одинаковых условиях, имеет вольт-амперную характеристику изображенную на рисунке 1,е. В группу управляемых нелинейных элементов входят трехэлектродные (и более) лампы, транзисторы, тиристоры, терморезисторы, фоторезисторы, фотодиоды, магниторезисторы, магнитодиоды, магнитотранзисторы и другие элементы.

1.2 Общая характеристика методов расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока Электрическое и магнитное состояние нелинейной цепи постоянного тока (потока) описывается системой нелинейных алгебраических уравнений, не имеющих общих аналитических методов решений. К частным методам анализа режимов нелинейных цепей относятся: графический метод, метод аналитической аппроксимации. Могут применяться и ЭВМ. При расчете сложной разветвленной цепи, содержащей нелинейные элементы, следует обратить внимание, на то, что с линейной частью цепи, можно осуществлять любые эквивалентные преобразования, если они облегчают расчет всей сложной схемы, например, преобразование «треугольник сопротивлений» в « звезду» и обратно и так далее. Из методов расчета применяемых для линейных цепей, к нелинейным цепям применимы следующие методы: метод двух узлов, замена нескольких параллельно включенных ветвей одной эквивалентной, метод эквивалентного генератора.

1.3 Графический метод В основе графического метода расчета нелинейных электрических цепей лежит решение нелинейных уравнений, описывающих электрическое состояние цепи, путем графических построений. Исходными данными для такого решения являются параметры ( E , J , R ) линейных элементов и вольт-амперные характеристики нелинейных элементов, заданные в виде графиков и (или) таблиц. Важное место в графическом методе расчета занимает построение вольтамперных характеристик пассивных и активных двухполюсников, содержащих линейные и нелинейные элементы. 1.3.1 Вольт-амперная характеристика двухполюсника Рассмотрим алгоритм построения вольт-амперной характеристики двух8

полюсника: а) проставить (выбрать) условно-положительные направления токов и напряжений на элементах двухполюсника; б) составить уравнения по законам Кирхгофа; в) построить вольт-амперную характеристику двухполюсника в соответствии с уравнениями путем последовательного графического сложения. Вольтамперная характеристика линейных и нелинейных элементов, входящих в двухполюсник, строят с учетом способа их соединения; a Примечание – Обычно построение начинают с параллельно соедиI ненных элементов (если они имеются UНЭ1(I) НЭ1 в схеме). Uab Задача 1.1 Построить вольт-амперную хаU I ( ) рактеристику двухполюсника показанR1 R1 ного на рисунке 2. Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента 1 b задана в виде таблицы 1. Активное сопротивление R1 = 50 Ом. Рисунок 2 – К задаче 1.1 Таблица 1 – Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента I A UR1(I) U,В 0 10 20 30 40 0,4 I,А 0 0,33 0,1 0,25 0,5 UНЭ1(I) 0,3

Р е ш е н и е.

Uab(I)

UR1

Поскольку активное сопротивление и нелинейный элемент соедине0,1 ны последовательно, сложение осуществляем при одном и том же токе. Согласно второму закону Кирхгофа: 0 10 20 30 50 B U ab (I ) = U НЭ1 (I ) + U R1 (I ) . U На рисунке 3 показано построение одной из точек вольт-амперной Рисунок 3 характеристики U ab (I ) . При токе I = 0,2 А, напряжения: U R1 (0,2) = 10 В, U НЭ1 (0,2 ) = 27 В, U ab (0,2 ) = 37 В. 0,2

UНЭ1 Uab

a

Uab

Задача 1.2. I

НЭ2

R1

c

I2

I1 НЭ1

b

Рисунок 4 – К задаче 1.2

Построить вольт-амперную характеристику двухполюсника показанного на рисунке 4. Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента 1 и вольт-амперная характеристика нелинейного элемента 2 заданы в виде

9

таблиц 1 (данные задачи 1) и таблицы 2 соответственно. Активное сопротивление R1 = 50 Ом.

Таблица 2 – Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента 2 U,В I,А

0 0

10 0,28

20 0,30

30 0,30

40 0,30

50 0,30

Р е ш е н и е.

Поскольку нелинейный элемент 2 и активное сопротивление R1 соединены параллельно, то сложение производим при одном и том значении напряжения, согласно первому закону Кирхгофа: I (U ac ) = I1 (U ac ) + I 2 (U ac ) . I Для всего двухполюсника Uab A производим сложение при одном UНЭ1 0,4 U и том же значении тока, согласно ac U (I) ac второму закону Кирхгофа: UR(I2) 1 0,3 U ab (I ) = U ac (I ) + U НЭ1 (I ) . UНЭ(I) Uab(I) Построение вольт-амперной 0,2 UНЭ характеристики двухполюсника I показано на рисунке 5. 0,1 I1 Задача 1.3. I2 2

1

0

10

20

B

30

U

50

Рисунок 5 – Вольтамперная характеристика двухполюсника a I НЭ1 Uab E b

Рисунок 6 – К задаче 1.3

Построить вольтамперную характеристику активного двухполюсника изображенного на рисунке 6. Вольтамперная характеристика нелинейного элемента задана в виде таблицы 1 (задача 1), величина источника напряжения E = 40 В. Р е ш е н и е.

Согласно второму закону Кирхгофа: U ab (I ) + U НЭ1 (I ) = E (I ) ⇒ U ab (I ) = −U НЭ1 (I ) − E (I ) .

Построение вольтамперной характеристики активного двухполюсника показано на рисунке 7. Обратите внимание! 10

При изменении направления ЭДС графически решать надо уравнение: U ab (I ) = −U НЭ1 (I ) − E (I ) . При изменении направления тока: U AB ( I ) = −U НЭ1 ( I ) + E ( I ) . I A Uab(I)

UНЭ1(I)

0,4

E(I)

Задача 1.4.

0,3 0,2

UНЭ1

Uab

E 0,1

0

Постройте самостоятельно вольт-амперную характеристику двухполюсника для указанных случаев.

10

20

B

30

U

50

Построить вольт-амперную характеристику активного двухполюсника показанного на рисунке 8. Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента 1 задана в таблице 1 (задача 1), ток источника тока J = 0,1 А. Р е ш е н и е.

Рисунок 7

Согласно первому закону Кирхгофа: I (U ab ) + I1 (U ab ) + J (U ab ) = 0 ⇒ I (U ab ) = − I1 (U ab ) − J (U ab ) . Построение показано на рисунке 9. Постройте самостоятельно вольтамперную характеристику U ab (I ) , если направление тока источника тока J ( J ab ) изменить на противоположное.

a

I1

I НЭ1 Uab

J

b

Рисунок 8 – К задаче 1.4 I A

I1(Uab )

0,3 0,2 0,1 0 -0,1

10 I 20 1

U

30

-J

В

50

-J(Uab )

I

-0,2 -0,3 -0,4

I(Uab)

-I1(Uab)

11

Рисунок 9

1.3.2 Графическое решение уравнения Графический метод основан на графическом решении уравнения состояния цепи как точки пересечения кривых вольтамперных характеристик, построенных по выражениям, находящимся в левой и правой частях уравнения (метод пересечения). Графический метод применяется для расчета электрических цепей, схемы которых можно путем эквивалентных преобразований свести к одноконтурной схеме или к схеме с двумя узлами (метод двух узлов). Рассмотрим алгоритм решения. 1 Проставить условно-положительные направления токов в ветвях и напряжений на элементах схемы. 2 Построить вольт-амперные характеристики каждой ветви по алгоритму построения вольт-амперной характеристики двухполюсника (смотреть подпункт 1.3.1). 3 Произвести эквивалентное преобразование исходной схемы в одноконтурную или схему с двумя узлами путем графического сложения вольтамперный характеристик ветвей (смотреть задачи 1 – 4). Примечание: - линейную часть схемы преобразовать аналитически. 4 Записать уравнение для определения режима цепи на основании законов Кирхгофа (для одноконтурной цепи по второму закону, для схемы с двумя узлами – по первому закону). Решение уравнения - точка пересечения эквивалентных вольт-амперных характеристик, соответствующих выражениям левой и правой частей уравнения. 5 Рассчитать режимы во всех ветвях цепи, используя найденные значения напряжения и тока. 6 Проверить правильность полученного решения с помощью баланса мощности цепи. Задача 1.5. Найти токи и напряжения на элементах цепи рисунка 10 при U = 30 В; a R = 50 Ом. При решении использовать I1 I2 I вольт-амперную характеристику нелинейНЭ1 ного элемента 1 и вольт-амперную харакU теристику нелинейного элемента 2 задача НЭ2 1 и задача 2. R Решение Согласно пунктам приведенного b выше алгоритма имеем: Рисунок 10 – К задаче 1.5 12

Строим вольт-амперную характеристику первой ветви согласно уравнению: U ab (I1 ) = U НЭ1 ⋅ (I1 ) + U R ⋅ (I1 ) Преобразуем исходную схему в одноконтурную (рисунок 11), в соответствии с I - ым законом Кирхгофа: a I I (U ab ) = I1 (U ab ) + I 2 U НЭ2 . Uab(I) U Точка пересечения вольтамперной характеристики цепи b U ab (I ) и вольтамперной характеРисунок 11 ристики источника U (I ) (точка А) дает решение: I = 0,42 А. I С помощью вольтамперной A характеристики ветвей и элеменUab(I) 0,4 тов на рисунке 12 находим: U ( I ) R 1 I1 = 0,12 А; I 2 = 0,3 А; I2 0,3 U НЭ2 = 30 В; U R = 6 В; UНЭ (I2)

(

)

2

0,2

U НЭ1 = 24 В. Уравнение баланса мощно-

Uab(I1)

UНЭ1

0,1

30 B U Рисунок 12 – Вольтамперные характеристики 0

10

20

50

Задача 1.6.

Дано: E1 = 40 B; E 2 = 28 B; E3 = 30 B; R = 50 Ом. Вольт-амперные характеристики нелинейного элемента 1 и нелинейного элемента 2 заданы в задаче 1 и в задаче 2 соответственно. Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента 3 задана в виде таблицы 3. Найти токи ветвей (рисунок 13) методом двух узлов.

a НЭ 1 I1 E1

НЭ 2

НЭ 3

I2

R

I3 E3

E2

сти: U НЭ1 ⋅ I1 + I12 ⋅ R + U НЭ2 ⋅ I 2 = U ⋅ I ⇒ 12,6 В = 12,6 В.

b

Рисунок 13 – К задаче 1.6 Таблица 3 – Вольтамперная характеристика нелинейного элемента 3 U B I A

0 0

10 0,18

20 0,20

30 0,20

40 0,22

50 0,40 13

Р е ш е н и е.

U ab ( I1 ) + U НЭ1 ( I1 ) = E1 ⇒ U ab ( I1 ) = −U НЭ1 ( I ) + E1

Uab (I 2 ) − R2 I 2 −U НЭ2 (I 2 ) = −E2 ⇒ U ab ( I 2 ) = R2 I 2 + U НЭ2 ( I 2 ) − E 2 ,

U ab ( I 3 ) + U НЭ3 ( I 3 ) = E3 ⇒ U ab ( I 3 ) = −U НЭ3 ( I 3 ) + E3 .

Эквивалентную ВАХ цепи (рисунок 14) строим как зависимость алгебраической суммы токов ветвей в узле в зависимости от U ab . U ab = 18 – решение уравнения:

I A U (I ) ab 1

0,4 0,3 0,2

0,1 -30

-20

-10

Uab(I2)

I2 I3 I1

0

Uab(I3)

10

20

Uab

B

30 U

I1(Uab) + I3 (Uab) − I 2 (Uab) = 0.

50

I1(Uab )+I2(Uab)-I3(Uab )

I1 = 0,1 А; I 2 = 0,3 А;

Рисунок 14 – Эквивалентная вольтамперная характеристика цепи

I 3 = 0,19 А.

Баланс мощностей: U НЭ1 ⋅ I1 + U НЭ2 ⋅ I 2 + U НЭ3 ⋅ I 3 + I 22 R = E1 I1 + E 2 I 2 + E3 I 3 ; 18,47 Вт ≈ 18,5 Вт. Ответ: I1 = 0,11 ; I 2 = 0,3 А; I = 0,19 А. Задача 1.7.

Дано: R4 = R1 = 15 Ом; R2 = R3 = 30 Ом; U = 30 В. Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента 5 представлена в таблице 4. Таблица 4 – Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента 5 U B I A I U

-10 -0,4

-10 -0,2

I1

-10 -0,05 I3

R1

R3 I5

I2

1

R2

НЭ 5

I4

Рисунок 15 – К задаче 1.7 14

2

R4

-9 0

-5 0

0 0

1 0,03

2 0,01

Найти токи ветвей схемы показанной на рисунке 15. Р е ш е н и е.

Используя теорему об активном двухполюснике, заменим линейную часть цепи эквивалентным генератором рисунок 16. Для которого определим E экв = U 12 хх (напряжение на зажимах 1-2 разомкнутой ветви с нелинейным элементом) и

R'экв = Rвх (входное сопротивление относительно зажимов 1-2). I6

I5

R экв

НЭ 5 U

R1 1

I7

U12хх

R2

R3 2

R экв R4

R3

R1 2

1

R2

R4

Eэкв

Рисунок 16 – Замена цепи по теореме об активном двухполюснике (эквивалентном генераторе) U ; R1 + R2 U I7 = ; R3 + R4 I6 =

R3U R1U 15 ⋅ 30 30 ⋅ 30 + + =− = 10 В. R1 + R2 R3 + R4 15 + 30 30 + 15 R R RR 15 ⋅ 30 30 ⋅ 15 Rвх = 1 2 + 3 4 = + = 20 Ом. R1 + R2 R3 + R4 15 + 30 30 + 15 E экв = 10 В; Rэкв = 20 Ом. U 12 (I 5 ) + Rэкв ⋅ I 5 = E экв , U 12 (I 5 ) = − Rэкв ⋅ I 5 + E экв . (1)  R1 ⋅ I1 + U 12 − R3 ⋅ I 3 = 0 − R ⋅ I + R ⋅ I = 0  2 2 4 4  − I 1 + I 2 + I 5 = 0 − I 3 + I 4 − I 5 = 0 Подставив в систему уравнений числовые значения и решив ее, получаем: I1 = 0,91 А; I 2 = 0,54 А; I 3 = 0,54 А; I 4 = 0,91 А; тогда I = I1 + I 3 = 1,45 А. Баланс мощностей: I12 ⋅ R1 + I 22 ⋅ R2 + I 32 ⋅ R3 + I 42 ⋅ R4 + U 12 ⋅ I 5 = U ⋅ I ; Решая уравнение (1) получаем: I U 12 = 2,5 В; I 5 = 0,37 А. A 0,6 U12(I3) Баланс мощностей: 43,3 ≈ 43,3 Вт. 0,4 -R I5+E I5 Вольт-амперная характеристика 0,2 приведена на рисунке 17 U -10 -5 0 12 5 B 15 -0,2 U U 12 хх = − R1 I 6 + R3 I 7 = −

15

Рисунок17 – Вольтамперная характеристика

1.4 Метод аналитической аппроксимации (метод линеаризации) В основе метода лежит представление вольт-амперной характеристики нелинейного элемента аналитической функцией, приближенно описывающей эту характеристику. Анализ режимов проводят аналитически с применением известных методов из теории линейных электрических цепей. В частности, замена вольт-амперной характеристики нелинейного элемента уравнением прямой линии с последующим аналитическим расчетов режимов носит название метода линеаризации. Алгоритм решения. 1 Представить вольт-амперную характеристику нелинейного элемента в виде аналитической функции. 2 Составить схему уравнений по расчету заданной электрической цепи. 3 Решить полученную систему уравнений, подставив численное значение параметров и заменив неизвестные токи (напряжения) на нелинейном элементе аппроксимирующей функцией. 4 Проверить правильность решения с помощью уравнения баланса мощностей цепи. Задача 1.8. R

I

E

НЭ

Рисунок 18 – К задаче 1.8

Дано: E = 50 В; R = 50 Ом. Вольтамперная характеристика нелинейного элемента задана аппроксимирующей аналитической функцией: U НЭ = 100 ⋅ I 2 . Найти токи цепи и напряжения на ее участках. Р е ш е н и е.

Согласно второму закону Кирхгофа:

R ⋅ I + U НЭ (I ) = E . Подставляя численное значение параметров, получаем квадратное уравнение: 100 ⋅ I 2 + 50 ⋅ I − 50 = 0 . Решая полученное квадратное уравнение, получаем два корня: I1 = −1 А; I 2 = 0,5 А. Так как в рассчитываемой цепи ток не может течь против направления, указанного на схеме, то значение I1 = −1 А не удовлетворяет условию задачи. При токе I = 0,5 А напряжения U R = 25 В, U НЭ = 100 ⋅ 0,5 2 = 25 В. 16

Баланс мощностей: U R ⋅ I + U НЭ ⋅ I = E ⋅ I ⇒ 25 ⋅ 0,5 + 25 ⋅ 0,5 = 50 ⋅ 0,5 ⇒ 25Вт = 25 Вт.

2 Задачи для самостоятельного решения Задача 2.1.

Дано: E = 30 В; R = 200 Ом; U = 20 В. Диод идеальный. Найти ток в цепи рисунка 19.

R U E

Задача 2.2.

В транзисторном усилителе с общим эмиттером изменяется ток базы 0,2 ≤ I б ≤ 0,6 . Определить значения коллекторного тока и напряжения I к , U к. з. (рисунок 20) соответствующие приведенным значениям тока базы, если E к = 15 В, Rк = 2 Ом. Семейство вольт-амперных характеристик задано на рисунке 21. Рисунок 19

Iк мА

Iб=0,8 мА

8

Rк к

Iб

Iк

6

Eк

4

Uкэ

б

Iб=0,6 мА Iб=0,4 мА Iб=0,2 мА

2

Iб=0 мА

э 5

0

10

U Рисунок 21

Рисунок 20

В 15

Задача 2.3.

Дано: E = 40 В, J = 0,2 А. Вольт-амперные характеристики нелинейного элемента 1 и нелинейного элемента 2 даны в таблице 1 и таблице 2 соответственно. Найти токи ветвей и напряжение между узлами в схеме изображенной на рисунке 22. Задача 2.4.

Дано: E = 18 В; R1 = 6 Ом; R2 = 3 Ом; R3 = 3 Ом; R4 = 6 Ом. a НЭ1

НЭ2

E

J

R2

R1

E R3

R4 НЭ

Рисунок b22

Рисунок 23

17

Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента аппроксимирована функцией I = 0,25 ⋅ U 2 . Найти ток протекающей через нелинейный элемент на рисунке 23 и мощность, выделяющуюся на нем.

3 Ответы к задачам Задача 2.1 I = 0,05 А. Задача 2.2 I б = 0,2 мА ⇒ I к = 2,3 мА, U к. з. = 10 В; I б = 0,4 мА ⇒ I к = 4,2 мА, U к. з. = 6 В; I б = 0,6 мА ⇒ I к = 5,8 мА, U к. з. = 4,5 В. Задача 2.3 I1 = 0,38 А; I 2 = 0,18 А; U ab = 4,5 В. Задача 2.4 I НЭ = 1,0 А; PНЭ = 2 Вт.

4 Вопросы для подготовки к экзаменам 4.1 Изложите суть графических методов расчета нелинейных цепей. 4.2 Можно ли применять графический метод для построения вольтамперной характеристики цепи при соединении нелинейных элементов звездой или треугольником? 4.3 Изложите суть итерационного метода расчета нелинейных цепей. 4.4 В чем состоят основные недостатки метода последовательных приближений?

5 Ответы на вопросы 5.1 Графические методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока используют нелинейные вольт-амперные характеристики. Каждой точке этих характеристик соответствуют значения сопротивлений – статическоdU U и динамического Rд = . го Rст = dI I Метод приведения нелинейных цепей к линейным применим, когда нелинейные элементы работают в диапазоне напряжений и токов, в котором участки их вольтамперных характеристик близки к прямым. Он заключается в замене нелинейных элементов линейной эквивалентной схемой, состоящей из последовательного соединения сопротивления Rд на прямолинейном участке вольт-амперной характеристики и источника напряжения с ЭДС E . Эта ЭДС численно равна отрезку оси ординат, отсекаемого продолжением линейного участка вольт-амперной характеристики нелинейного элемента. Если этот отрезок положителен, ЭДС включается навстречу приложенному напряжению, если отрицателен – совпадает с его направлением. Полученная линейная цепи рассчитывается обычными методами. Графический метод расчета цепей с последовательно – параллельным соединением нелинейных элементов состоит в графическом суммировании ординат вольт-амперных характеристик последовательно соединенных элементов 18

и в суммировании абсцисс при их амперной характеристики всей цепи по заданному ее напряжению обратным построением определяются напряжения и токи всех ветвей цепи. 5.2 Графический метод применим только для цепей сводящихся к последовательно – параллельному соединению нелинейных элементов; для цепей, в которых нелинейные элементы соединены звездой или треугольником графический метод неприменим. 5.3 Итерационный метод расчета нелинейных электрических цепей основан на использовании заданных графически или аналитически характеристик нелинейных элементов этих цепей. Составив уравнение искомой величины, например тока I для цепи с последовательным соединением нелинейных сопротивлений, задаются произвольно его нулевым приближением I 0 , по вольт-амперным характеристикам участков цепи определяют соответствующие им напряжения, а по закону Ома – сопротивления этих участков. Подставив их в выражение искомого тока, находят его значение I , являющееся первым приближением тока I1 . Затем на основе I1 расчет повторяют для определения второго приближения I 2 и так до тех пор, пока из-за сходимости итерационного процесса разница между последующими решениями становится допустимо малой. При расчете сложной цепи с одним нелинейным элементом цепь следует упростить с помощью метода генератора, эквивалентного линейной части цепи и нагруженного нелинейным элементом. 5.4 Основными недостатками метода последовательных приближений являются – длительность вычислений, особенно, когда нулевое приближение искомого тока далеко от его истинного значения, и возможность получения расходящегося процесса итерации.

6 Литература, рекомендуемая для изучения дисциплины 1 Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники. - М.: Энергия, 1965.- 360 с. 2 Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высшая школа, 1996. - 638 с. 3 Нейман Л.Д., Демирчан К.С. Теоретические основы электротехники. Т.1. - Л.:Энергоиздат,1981 - 536 с. 4 Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Стахов С.В. Основы теории цепей. -М.: Энергоатомиздат, 1989. - 528 с. 5 Новгородцев А.Б. 30 лекций по теории электрических цепей. СПб.: Политехника, 1995. - 519 с. 6 Шебес М.Р., Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб. пособие. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1982. - 488 с. 7 Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники/ Под ред. Бессонова Л.А.-М.: Высшая школа, 1988. - 543 с. 8 Зайчик М.Ю. Сборник задач и упражнений по теоретической элек19

тротехнике: Учебн. пособ. - М.:Энергоатомиздат, 1988. - 496 с. 9 Репьев Ю.Г., Семенко Л.П., Поддубный Г.В. Теоретические основы электротехники. Теория цепей: Учеб. пособие для самостоятельного для самостоятельного изучения. - Краснодар: КПИ, 1990. - 290 с. 10 Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей/ Под ред. Ионкина П.А. - М.: Высшая школа, 1976. - 544 с. 11 Электротехника и электроника. Кн.1. Электрические и магнитные цепи: Учеб. для вузов: В 3-х кн. /В.Г. Герасимов, Э.В. Кузнецов, О.В.Николаева и др.; Под ред. В.Г. Герасимова.-М.: Энергоатомиздат, 1996. - 288 с.

20