Лекции по аналитической геометрии

Ÿ1 Âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà Îïðåäåëåíèå 1.1. Ìíîæåñòâî V âìåñòå ñ îïåðàöèÿìè + : V × V → V

(ñëîæåíèå) è · : R × V → V (óìíîæåíèå íà ÷èñëî) íàçûâàåòñÿ (âåùåñòâåííûì) âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå àêñèîìû. 1. v + (u + w) = (v + u) + w ∀v, u, w ∈ V (àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ) 2. v + u = u + v ∀v, u ∈ V (êîììóòàòèâíîñòü) 3. ∃!0 ∈ V : v + 0 = v ∀v ∈ V (íîëü) 4. ∀v ∈ V ∃! − v ∈ V : v + (−v) = 0 (ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîãî) 5. (a + b) · v = a · v + b · v ∀a, b ∈ R, ∀v ∈ V (äèñòðèáóòèâíîñòü I) 6. (ab) · v = a · (b · v) ∀a, b ∈ R, ∀v ∈ V (àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî) 7. a · (v + u) = a · v + a · u ∀a ∈ R, ∀v, u ∈ V (äèñòðèáóòèâíîñòü II) 8. 1 · v = v ∀v ∈ V (óíèòàðíîñòü) Ýëåìåíòû âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà (â.ï.) íàçûâàþòñÿ âåêòîðàìè.

Çàìå÷àíèå. Åäèíñòâåííîñòü íóëÿ è îáðàòíîãî ñëåäóåò èç îñòàëüíûõ àêñèîì.

Ïðèìåðû. V = R  âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ ÿâëÿåòñÿ â.ï.

Ìíîæåñòâî L(X, V ) îòîáðàæåíèé ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà X â â.ï. V ÿâëÿåòñÿ â.ï., åñëè îïðåäåëèòü ñëîæåíèå è óìíîæåíèå íà ÷èñëî åñòåñòâåííûì îáðàçîì. À èìåííî, ∀f, g ∈ L(X, V ), ∀a ∈ R, ∀x ∈ X ñ÷èòàòü, ÷òî [f + g](x) = f (x) + g(x), [a · f ](x) = a · f (x).  ñëó÷àå, êîãäà X = {1, 2, . . . , n}, â.ï. L(X, V ) íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòíûì n-ìåðíûì ïðîñòðàíñòâîì è îáîçíà÷àåòñÿ Rn .

Ïðåäëîæåíèå 1.2. Ïóñòü V  â.ï., òîãäà 1. 0 · v = 0 ∀v ∈ V 2. (−1) · v = −v ∀v ∈ V 3. Ðàâåíñòâî a · v = 0 îçíà÷àåò, ÷òî ëèáî a = 0, ëèáî v = 0 1

4. Äëÿ ëþáîãî íàáîðà ÷èñåë {ai }ni=1 ⊂ R è ëþáîãî íàáîðà âåêòîðîâ {vi }ni=1 ⊂ V îäíîçíà÷íî îïðåäåëåí âåêòîð

v = a1 · v1 + a2 · v2 + . . . + an · vn =

n X

a i · vi ,

i=1

íàçûâàåìûé ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ {vi } ñ êîýôôèöèåíòàìè {ai }. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Èç ïÿòîé è âîñüìîé àêñèîì ñëåäóåò, ÷òî 0·v +v = 0 · v + 1 · v = (0 + 1) · v = 1 · v = v . Ïðèáàâèâ ê îáåèì ÷àñòÿì ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà 0 · v + v = v âåêòîð −v (ñóùåñòâóþùèé ïî ÷åòâåðòîé àêñèîìå) ïîëó÷èì èñêîìîå ðàâåíñòâî. 2.  ñèëó åäèíñòâåííîñòè îáðàòíîãî, óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç âûêëàäêè (−1) · v + v = (−1) · v + 1 · v = (−1 + 1) · v = 0 · v = 0. Äàëåå ìû áóäåì ïèñàòü v − u âìåñòî v + (−1) · u. 3. Ïóñòü a · v = 0. Åñëè a = 0, òî äîêàçûâàòü íå÷åãî. Ïóñòü a 6= 0. Çàìåòèì, ÷òî a · 0 = 01 . Ïîýòîìó v = 1 · v = a−1 · (a · v) = a−1 · 0 = 0. 4. Ïîëîæèì ai · vi = ui ∀i ∈ 1, n. Îïðåäåëèì ñóììó r ∈ N âåêòîðîâ òàê: r X ui = ((. . . ((u1 + u2 ) + u3 ) + . . .) + ur−1 ) + ur . i=1

Ïîêàæåì, ÷òî

k X

ui +

i=1

l X i=k+1

ui =

l X

ui

i=1

äëÿ ëþáîãî íàáîðà âåêòîðîâ {wi } ⊂ V è íàòóðàëüíûõ ÷èñåë k, l ∈ N. Ïðîâåäåì èíäóêöèþ. Äëÿ l = 3 ýòî  ïåðâàÿ àêñèîìà. Èíäóêöèîííûé øàã: k X i=1

ui +

l X i=k+1

ui =

k X i=1

ui +

l−1 X i=k+1

ui + u l =

l−1 X i=1

ui + ul =

l X

ui .

i=1

Äîêàçàííîå ðàâåíñòâî ãîâîðèò î ïðîèçâîëüíîñòè ðàññòàíîâêè ñêîáîê P â ñóììå i ui , à çíà÷èò  î åå îïðåäåëåííîñòè. ¤

Îïðåäåëåíèå 1.3. Ïóñòü V  â.ï. Ïîäìíîæåñòâî U ⊂ V íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì (ëèí. ï/ï.), åñëè ∀v, u ∈ U , ∀a ∈ R èìååì v + a · u ∈ U. 1 äåéñòâèòåëüíî,

a · 0 + a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 ⇒ a · 0 = a · 0 − a · 0 = 0

2

Ïðèìåðû. Ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþ V ∗ = {f ∈ L(V, R) : f (v + a · u) = f (v) + af (u)}. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî V ∗  ëèí. ï/ï. â â.ï. V . Îíî íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâó V . Ïðîñòðàíñòâî C([0, 1]) íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå [0, 1] ÿâëÿåòñÿ ëèí. ï/ï. â L([0, 1], R).

Îïðåäåëåíèå 1.4. Íàáîð âåêòîðîâ {vi }ni=1 ⊂ V íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî

íåçàâèñèìûì, åñëè èç ðàâåíñòâà

n X

ai · vi = 0

i=1

ñëåäóåò, ÷òî âñå ÷èñëà {ai }ni=1 ⊂ R ðàâíû íóëþ (òàêèå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè íàçûâàþòñÿ òðèâèàëüíûìè).

Îïðåäåëåíèå 1.40 . Íàáîð âåêòîðîâ {vi }ni=1 ⊂ V íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî

íåçàâèñèìûì, åñëè íèêàêîé èç âåêòîðîâ íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè îñòàëüíûõ.

Îïðåäåëåíèå 1.5. Ëèíåéíîé îáîëî÷êîé (îáîçíà÷åíèå span{v1 , v2 , . . . , vn }) íàáîðà âåêòîðîâ {vi }ni=1 ⊂ V íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ýòèõ âåêòîðîâ ñî âñåâîçìîæíûìè êîýôôèöèåíòàìè:

span{v1 , v2 , . . . , vn } =

( n X

) ai · vi ∈ V : a1 , a2 , . . . , an ∈ R .

i=1

Îïðåäåëåíèå 1.6. Íàáîð âåêòîðîâ {vi }ni=1 ⊂ V íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëü-

íûì, åñëè span{v1 , v2 , . . . , vn } = V .

Çàìå÷àíèå. Äàëåå ìû ðàññìàòðèâàåì âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðûõ èìååòñÿ êîíå÷íûé ìàêñèìàëüíûé íàáîð âåêòîðîâ.

Îïðåäåëåíèå 1.7. Íàáîð âåêòîðîâ {vi }ni=1 ⊂ V íàçûâàåòñÿ áàçèñîì ïðî-

ñòðàíñòâà V , åñëè îí ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì è ëèíåéíî íåçàâèñèìûì.

Ïðåäëîæåíèå 1.8. 1)  ëþáîì â.ï. èìååòñÿ áàçèñ. 2) Êîëè÷åñòâî âåêòîðîâ â ëþáûõ äâóõ áàçèñàõ îäíîãî â.ï. îäèíàêîâî. 3

Äîêàçàòåëüñòâî.2 1. Ïóñòü M = {vi }N i=1 ⊂ V  ìàêñèìàëüíûé íàáîð âåêòîðîâ (îí íàéäåòñÿ ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ ïåðåä îïðåäåëåíèåì áàçèñà). Ïóñòü e1  íåíóëåâîé âåêòîð èç íàáîðà M è n o M1 = vi ∈ M \ {e1 } : span{e1 , vi } 6= span{e1 } . Ïóñòü e2  êàêîé-ëèáî âåêòîð èç íàáîðà M1 (òàì óæå íåò íóëåâûõ âåêòîðîâ). Âåêòîðà e1 , e2 ∈ V ëèíåéíî íåçàâèñèìû ïî ïîñòðîåíèþ. Ïîëîæèì n o M2 = vi ∈ M1 \ {e2 } : span{e1 , e2 , vi } 6= span{e1 , e2 } . Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ ïîëó÷èì ëèíåéíî íåçàâèñèìûå âåêòîðû {ek } è ìíîæåñòâà n o Mk = vi ∈ Mk−1 \ {ek } : span{e1 , e2 , . . . , ek , vi } 6= span{e1 , e2 , . . . , ek } .  ñèëó òîãî, ÷òî ÷èñëî ýëåìåíòîâ â Mk ñòðîãî ìåíüøå ÷èñëà ýëåìåíòîâ â Mk−1 , èìååì Mn = ∅ äëÿ íåêîòîðîãî n ≤ N . Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷èì ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ E = {e1 , e2 , . . . , en } äëÿ êîòîðîé M ⊂ span{E}. Ñëåäîâàòåëüíî ýòà ñèñòåìà ìàêñèìàëüíà è ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì. 2. Ïóñòü {v1 , . . . , vn } è {u1 , . . . , um }  äâà áàçèñà â â.ï. V è m ≥ n. Íàáîð {v1 , . . . , vn , u1 } ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì è ëèíåéíî çàâèñèìûì. Ìåíÿÿ, åñëè ýòî íåîáõîäèìî, ïîðÿäîê âåêòîðîâ {v1 , . . . , vn } äîáüåìñÿ òîãî, ÷òîáû êîýôôèöèåíò a1 â ëèíåéíîé êîìáèíàöèè

u1 =

n X

ai vi

i=1

íå ðàâåí íóëþ. Òîãäà, î÷åâèäíî, íàáîð {u1 , v2 , . . . , vn } ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì â V , à íàáîð {u1 , v2 , . . . , vn , u2 } ìàêñèìàëüíûì è ëèíåéíî çàâèñèìûì. Ðàçëîæèì âåêòîð u2 ïî ýòîìó íîâîìó áàçèñó:

u2 = b 1 u1 +

n X

bi vi .

i=2

Ñèòóàöèÿ, êîãäà b2 = b3 = . . . = bn = 0 íåâåðîÿòíà, ò.ê. òîãäà u2 âûðàæàëñÿ áû ÷åðåç u1 . Îïÿòü ìåíÿÿ, åñëè ýòî íåîáõîäèìî, ïîðÿäîê âåêòîðîâ {v2 , . . . , vn } äîáüåìñÿ òîãî, ÷òîáû êîýôôèöèåíò b2 â ðàçëîæåíèè âåêòîðà u2 íå áûë ðàâåí íóëþ. Çíà÷èò íàáîð {u1 , u2 , v3 , . . . , vn } îïÿòü ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì. Ïðîäîëæàÿ ïðîöåäóðó ïîëó÷èì, ÷òî íàáîð âåêòîðîâ {u1 , . . . , un } òàêæå ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå n = m. ¤ 2 ïðîùå,

÷åì áûëî íà ëåêöèè

4

Îáîçíà÷åíèå. Òàêèì îáðàçîì êîëè÷åñòâî âåêòîðîâ â áàçèñå â.ï. V ÿâëÿåòñÿ åãî èíâàðèàíòîì (çàâèñèò òîëüêî îò ñàìîãî ïðîñòðàíñòâà). Ýòî êîëè÷åñòâî íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ ïðîñòðàíñòâà è îáîçíà÷àåòñÿ dim V . Ïðåäëîæåíèå 1.9. Íàáîð âåêòîðîâ {v1 , . . . , vn } â.ï. V ÿâëÿåòñÿ áàçè-

ñîì â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ëþáîé âåêòîð v ∈ V åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè

v=

n X

ai vi .

i=1

è

Äîêàçàòåëüñòâî.[⇒] Ïóñòü íàáîð {v1 , . . . , vn } ⊂ V ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì

v=

n X

ai vi =

i=1

n X

b i vi

−

i=1

äâà ïðåäñòàâëåíèÿ âåêòîðà v â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè. Âû÷èòàÿ îäíó ñóììó èç äðóãîé ïîëó÷èì

0=v−v =

n X

ai vi −

i=1

n X i=1

n X b i vi = (ai − bi )vi . i=1

 ñèëó ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè íàáîðà {v1 , . . . , vn } ⊂ V òàêîå âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå ai = bi äëÿ âñåõ i ∈ 1, n. [⇐ ]  ñèëó òîãî, ÷òî ëþáîé âåêòîð ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè, íàáîð {v1 , . . . , vn } ⊂ V ìàêñèìàëåí. Ïðåäñòàâèì íóëü â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè n X 0= ai vi . i=1

 ñèëó åäèíñòâåííîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ ýòî âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå ai = 0 äëÿ âñåõ i ∈ 1, n. Ïîýòîìó íàáîð {v1 , . . . , vn } ⊂ V ëèíåéíî íåçàâèñèì. ¤

Ïðåäëîæåíèå 1.10. Ëþáàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ {v1 , . . . , vk } ⊂ V ìîæåò áûòü äîïîëíåíà äî áàçèñà ïðîñòðàíñòâà V .

Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè span{v1 , . . . , vk } = V , òî äîêàçûâàòü íå÷åãî (èñõîäíàÿ ñèñòåìà ñàìà ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì). Ïóñòü èìååòñÿ íåíóëåâîé âåêòîð u ∈ V \ span{v1 , . . . , vk }. Ïîëîæèì vk+1 = u. Ïðîäîëæàÿ ïðîöåññ, ÷åðåç dim V − k øàãîâ ïîëó÷èì èñêîìûé áàçèñ

span{v1 , . . . , vk , vk+1 , . . . , vn } ïðîñòðàíñòâà V (n = dim V ). ¤ 5

Îïðåäåëåíèå 1.11. Ïóñòü V è W  â.ï. Îòîáðàæåíèå f ∈ L(V, W ) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè

∀v, u ∈ V,

∀λ ∈ R

èìååì

f (v + λu) = f (v) + λf (u).

Ìíîæåñòâà âñåõ ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé èç L(V, W ) îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì l(V, W ). Ýòî  ëèí. ï/ï.

Ïðèìåðû. l(V, R) = V ∗  ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî.

Ìíîæåñòâî l(R, R) ñîñòîèò èç ôóíêöèé âèäà f (x) = kx, k ∈ R.

Îïðåäåëåíèå 1.12. Ïóñòü V è W  â.ï. è f ∈ l(V, W ). Ìíîæåñòâî

ker f = {v ∈ V : f (v) = 0} ⊂ V íàçûâàåòñÿ ÿäðîì îòîáðàæåíèÿ f . Ìíîæåñòâî

im f = {w ∈ W | ∃v ∈ V : f (v) = w} ⊂ W íàçûâàåòñÿ îáðàçîì îòîáðàæåíèÿ f .

Òåîðåìà 1.13. Ïóñòü f ∈ l(V, W ). 1. Ìíîæåñòâà ker f è im f  ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà â âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ V è W ñîîòâåòñòâåííî. 2. dim ker f + dim im f = dim V . Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïóñòü v, u ∈ ker f è a ∈ R. Èìååì f (v + au) = f (v)+af (u) = 0+a0 = 0. Ïîýòîìó v+au ∈ ker f . Òåïåðü ïóñòü w, w0 ∈ im f è a ∈ R. Ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà im f ñóùåñòâóþò âåêòîðà v, v 0 ∈ V , ÷òî f (v) = w, f (v 0 ) = w0 . Òàêèì îáðàçîì

w + aw0 = f (v) + af (v 0 ) = f (v + av 0 ). Òàêèì îáðàçîì w + aw0 ∈ im f . 23 . Ïóñòü {e1 , . . . , em }  áàçèñ â ëèí. ï/ï. ker f (dim im f = m). Äîñòðîèì åãî äî áàçèñà {e1 , . . . , em , em+1 , . . . , en } ïðîñòðàíñòâà V (dim V = n). Òàêèì îáðàçîì

im f = span{f (em+1 ), . . . , f (en )}. 3 íàìíîãî

êîðî÷å, ÷åì íà ëåêöèè

6

Ïîêàæåì, ÷òî âåêòîðà f (em+1 ), . . . , f (en ) ∈ im f ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè Ã n ! n n X X X ai f (ei ) = f (ai ei ) = f ai ei , 0= i=m+1

i=m+1

òî

n X

u=

i=m+1

ai ei ∈ ker f.

i=m+1

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð u ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåêòîðà e1 , . . . , em ∈ ker f ñ íåêîòîðûìè êîýôôèöèåíòàìè {bi }m i=1 : n X

ai ei =

i=m+1

m X

bi ei .

i=1

 ñèëó òîãî, ÷òî âåêòîðà {ei }ni=1 îáðàçóþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V , âñå ÷èñëà ai è bi íóëåâûå. Òàêèì îáðàçîì âåêòîðà f (em+1 ), . . . , f (en ) îáðàçóþò áàçèñ â im f . Ñëåäîâàòåëüíî dim im V = n − m. ¤

Ïðåäëîæåíèå 1.14. Ïóñòü V  â.ï. è {v1 , . . . , vn }  áàçèñ â V . 1. Ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå f ∈ l(V, W ) îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî ñâîèìè çíà÷åíèÿìè {f (v1 ), . . . , f (vn )}. 2. Îáðàòíî, äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ w1 , . . . , wn ∈ W ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå îòîáðàæåíèå f ∈ l(V, W ), äëÿ êîòîðîãî f (vi ) = wi ïðè âñåõ i ∈ 1, n. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïóñòü g ∈ l(V, W )  ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå, äëÿ êîòîðîãî g(vi ) = f (vi ) ïðè âñåõ i ∈ 1, n. Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà v ∈ V èìååì à n ! à n ! n n X X X X g (v) = g ai vi = ai g (vi ) = ai f (vi ) = f ai vi = f (v), i=1

i=1

i=1

ãäå

v=

n X

ai vi

i=1

−

i=1

ïðåäñòàâëåíèå âåêòîðà v â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ áàçèñà. Òàêèì îáðàçîì f ≡ g . 2. Îïðåäåëèì çíà÷åíèå îòîáðàæåíèÿ f : V → W íà âåêòîðå

v=

n X

ai vi

ôîðìóëîé

i=1

f (v) =

n X

ai wi .

i=1

Åãî ëèíåéíîñòü î÷åâèäíà. Åäèíñòâåííîñòü ñëåäóåò èç ï. 1. ¤ 7

Ëåììà 1.15. Åñëè áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå f : V → W ëèíåéíî, òî îáðàòíîå îòîáðàæåíèå f −1 : W → V òàêæå ëèíåéíî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Áèåêòèâíîñòü ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ f ðàâíîñèëüíà òîìó, ÷òî ker f = {0} è im f = W . Ïóñòü w, w0 ∈ W è a ∈ R. Òàê êàê im f = W ñóùåñòâóþò âåêòîðà v, v 0 ∈ V , äëÿ êîòîðûõ f (v) = w, f (v 0 ) = w0 . Èòàê,

f −1 (w + aw0 ) = f −1 (f (v) + af (v 0 )) = f −1 (f (v + av 0 )) = = v + av 0 = f −1 (w) + af −1 (w0 ). ¤

Îïðåäåëåíèå 1.16. Ëèíåéíîå áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå f : V → W íà-

çûâàåòñÿ èçîìîðôèçìîì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ V è W . Âåêòîðûå ïðîñòðàíñòâà, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí èçîìîðôèçì, íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè (îáîçíà÷åíèå V ' W ).

Òåîðåìà 1.17. Âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà V è W èçîìîðôíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ðàçìåðíîñòè ñîâïàäàþò.

Äîêàçàòåëüñòâî.[⇒] Ïóñòü V ' W è f : V → W  íåêîòîðûé èçîìîðôèçì. È {v1 , . . . , vn }  áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V .  ñèëó áèåêòèâíîñòè ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî im f = W , ïîýòîìó span{f (v1 ), . . . , f (vn )} = W (ìàêñèìàëüíîñòü îáðàçà áàçèñà). Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü âåêòîðîâ f (v1 ), . . . , f (vn ) ∈ W òàêæå î÷åâèäíà. Òàêèì îáðàçîì {f (v1 ), . . . , f (vn )}  áàçèñ ïðîñòðàíñòâà W . Ïîýòîìó dim V = dim W . [⇐ ] Òåïåðü ïóñòü {v1 , . . . , vn } è {w1 , . . . , wn }  áàçèñû ïðîñòðàíñòâ V è W ñîîòâåòñòâåííî. Ñîãëàñíî 1.14, îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå f ∈ l(V, W ) ðàâåíñòâàìè f (vi ) = wi . Ïîêàæåì, ÷òî ýòî  èçîìîðôèçì. ßñíî, ÷òî im f = W (ëþáîé âåêòîð èç W ïðåäñòàâèì â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè áàçèñíûõ âåêòîðîâ). Èç ðàâåíñòâà

0=f

à n X i=1

! ai vi

=

n X i=1

ai f (vi ) =

n X

ai wi

i=1

ñëåäóåò, ÷òî ker f = {0}, ïîýòîìó îòîáðàæåíèå f áèåêòèâíî. Ñîãëàñíî ëèíåéíîñòè, ýòî  èçîìîðôèçì. ¤ 8

Ïðèìåð. Àðèôìåòè÷åñêîå n-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî Rn îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîæåñòâî âñåõ ñòîëáöåâ âèäà

       

x1 x2 · · · xn

    ,   

ãäå x1 , x2 , . . . , xn ∈ R. Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå íà ÷èñëî çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè           x1 y1 x1 + y 1 x1 ax1  x2   y2   x2 + y2   x2   ax2             ·   ·     ·   ·  ·      , a     · + · =   ·  =  · . ·            ·   ·     ·   ·  · xn yn xn + y n xn axn  êà÷åñòâå áàçèñà ìîãóò   1  0     ·   ,  ·     ·  0

áûòü  0  1   ·   ·   · 0

âçÿòû ñòîëáöû    0   0        , ... ,  · .   ·       ·  1

 ñèëó ïîñëåäíåé òåîðåìû, ãîâîðÿ îá n-ìåðíîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå, ìû âñåãäà èìååì ââèäó Rn .

9

Ÿ2 Àôôèííûå ïðîñòðàíñòâà Îïðåäåëåíèå 2.1. Àôôèííûì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî A, ñíàáæåííîå îòîáðàæåíèåì − : A × A → V (â âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî V , íàçûâàåìîå àññîöèèðîâàííûì ñ A), êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì àêñèîìàì.

1. (A − B) + (B − C) = A − C ∀A, B, C ∈ A (çäåñü ïëþñ è ìèíóñ â ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâàõ) 2. ∀A ∈ A, ∀v ∈ V ∃! B ∈ A : B − A = v (èíîãäà ìû áóäåì ïèñàòü B = A + v ). Ýëåìåíòû àôôèííîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè. Çàïèñü  (A, V )  àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî â.ï. V àññîöèèðîâàíî ñ A. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå A − A = 0 è A − B = −(B − A).

Ïðèìåðû. A  ïëîñêîñòü (ñîîòâ. ïðîñòðàíñòâî) è V = R2 (ñîîòâ. V = ~ . R3 ). Çäåñü A − B = BA Îáîáùåíèå ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà. Ïóñòü V  â.ï. è A = V . ßñíî, ÷òî (V, V )  àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü îïåðàöèþ − : V × V → V êàê îáû÷íîå âû÷èòàíèå âåêòîðîâ

Îïðåäåëåíèå 2.2. Ïóñòü (A, V ) è (A0 , V 0 )  äâà àôôèííûõ ïðîñòðàí-

ñòâà. Îòîáðàæåíèå f : A → A0 íàçûâàåòñÿ àôôèííûì, åñëè âåêòîð f (A + v) − f (A) ∈ V 0 íå çàâèñèò îò òî÷êè A ∈ A äëÿ ëþáîãî âåêòîðà v ∈ V è îòîáðàæåíèå df : V → V 0 , îïðåäåëåííîå ôîðìóëîé

d f (v) = f (A + v) − f (A), ëèíåéíî. Ìíîæåñòâî àôôèííûõ îòîáðàæåíèé èç A â A0 îáîçíà÷àåòñÿ aff(A, A0 ). Ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå d f íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì, èëè ëèíåéíîé ÷àñòüþ îòîáðàæåíèÿ f .

Ïðèìåðû. Îòîáðàæåíèå f : R → R ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì îòîáðàæå-

íèåì ïðîñòðàíñòâà (R, R) â ñåáÿ, åñëè d f (t) = f (x + t) − f (x)  ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå R → R. Ñîãëàñíî ïðèìåðó ïåðåä îïðåäåëåíèåì 1.12, d f (t) = kt è ïîýòîìó f (x + t) − f (x) = kt, îòêóäà f (t) = kt + f (0). Òàêèì îáðàçîì ëþáîå àôôèííîå îòîáðàæåíèå f ∈ aff(R, R) ïðÿìîé â ñåáÿ èìååò âèä f (t) = kt + b. Îòîáðàæåíèå f : A → A, äëÿ êîòîðîãî d f (v) = v íàçûâàåòñÿ ñäâèãîì. 1

Ïðåäëîæåíèå 2.3. Ïóñòü (A, V ) è (A0 , V 0 )  àôôèííûå ïðîñòðàíñòâà è f ∈ aff(A, A0 ). Ñëåäóþùèå äâà óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû. 1. f  áèåêöèÿ 2. d f  èçîìîðôèçì. Äîêàçàòåëüñòâî. [1 ⇒ 2] Äîïóñòèì v ∈ ker d f è A ∈ A. Òîãäà d f (v) = f (A+v)−f (A) = 0, ïîýòîìó f (A+v) = f (A), îòêóäà v = 0 â ñèëó áèåêòèâíîñòè f . Òàêèì îáðàçîì ëèíåéíàÿ ÷àñòü áèåêòèâíîãî îòîáðàæåíèÿ èìååò íóëåâîå ÿäðî. Òåïåðü ïóñòü v 0 ∈ V 0 , A0 ∈ A0 è B 0 = A0 +v 0 (òî÷êà B 0 ñóùåñòâóåò ïî âòîðîé àêñèîìå). Ïîëîæèì A = f −1 (A0 ), B = f −1 (B 0 ) (îòîáðàæåíèå f áèåêòèâíî). Îïðåäåëèì âåêòîð v ∈ V òàê: v = B − A. ßñíî, ÷òî d f (v) = v 0 , ïîýòîìó v 0 ∈ im f .  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âåêòîðà v 0 èìååì im f = V 0 , ïîýòîìó f : V → V 0  èçîìîðôèçì. [2 ⇒ 1] Ïóñòü A, B ∈ A  ïðîèçâîëüíûå òî÷êè. Åñëè f (B) = f (A), òî d f (B − A) = f (B) − f (A) = 0, îòêóäà A = B â ñèëó èíúåêòèâíîñòè d f . Òàêèì îáðàçîì f ñàìî èíúåêòèâíî. Òåïåðü ôèêñèðóåì òî÷êó A ∈ A è ïóñòü B 0 ∈ A0  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Ïîëîæèì B = A+[d f ]−1 (B 0 −f (A)). ßñíî, ÷òî ³ ´ −1 0 f (B) − f (A) = d f [d f ] (B − f (A)) = B 0 − f (A), ïîýòîìó f (B) = B 0 .  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè òî÷êè B 0 îòîáðàæåíèå f ñþðúåêòèâíî.¤

Ïðåäëîæåíèå 2.4. Åñëè àôôèííîå îòîáðàæåíèå áèåêòèâíî, òî åãî îáðàòíîå òàêæå àôôèííî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f ∈ aff (A, A0 )  àôôèííàÿ áèåêöèÿ è d f  åå ëèíåéíàÿ ÷àñòü. Ñîãëàñíî áèåêòèâíîñòè f è òîìó, ÷òî îòîáðàæåíèå d f  èçîìîðôèçì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ, èìååì òî÷êó A ∈ A è âåêòîð v ∈ V , äëÿ êîòîðûõ f (A) = A0 è d f (v) = v 0 . Òàêèì îáðàçîì ³ ´ f −1 (A0 + v 0 ) − f −1 (A0 ) = f −1 f (A) + d f (v) − A = ³ ´ −1 f (A + v) − A = v = [d f ]−1 (v 0 ). =f

¤

Îïðåäåëåíèå 2.5. Àôôèííîå áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå f ∈ aff(A, A0 )

íàçûâàåòñÿ èçîìîðôèçìîì àôôèííûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïðîñòðàíñòâà, ìåæäó êîòîðûìè èìååòñÿ õîòÿ áû îäèí èçîìîðôèçì, íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè. 2

Òåîðåìà 2.6. Àôôèííûå ïðîñòðàíñòâà (A, V ) è (A0 , V 0 ) èçîìîðôíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà dim V = dim V 0 .

Äîêàçàòåëüñòâî. [⇒] Åñëè f : A → A0  àôôèííàÿ áèåêöèÿ, òî, ïî ïðåäëîæåíèþ 2.3, d f : V → V 0  èçîìîðôèçì. Òîãäà ïî òåîðåìå 1.17 èìååì dim V = dim V 0 . [⇐ ] Ïóñòü dim V = dim V 0 . Âûáåðåì íåêîòîðûé èçîìîðôèçì ψ : V → V 0 , è òî÷êè A ∈ A è A0 ∈ A0 . Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà v ∈ V ïîëîæèì

f (A + v) = ψ(v) + A0 . ßñíî, ÷òî f (A) = A0 è d f = ψ . Òàêèì îáðàçîì îòîáðàæåíèå f  àôôèííàÿ áèåêöèÿ. ¤

Ðàçìåðíîñòüþ àôôèííîãî ïðîñòðàíñòâà A íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòü àññîöèèðîâàííîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ îòîáðàæåíèÿ f â ïîñëåäíåé ÷àñòè äîêàçàòåëüñòâà ìîæåò áûòü îáîáùåí.

Òåîðåìà 2.7. Ïóñòü (A, V ) è (A0 , V 0 )  äâà àôôèííûõ ïðîñòðàíñòâà. Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.

1. Ïóñòü f, g ∈ aff(A, A0 )  äâà àôôèííûõ îòîáðàæåíèÿ. Èõ ëèíåéíûå ÷àñòè ñîâïàäàþò â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ðàçíîñòü f (A) − g (A) ïîñòîÿííà (è ðàâíà íåêîòîðîìó âåêòîðó v 0 ∈ V 0 ). 2. Äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê A ∈ A, A0 ∈ A0 è ëþáîãî ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ ψ ∈ l(V, V 0 ) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå àôôèííîå îòîáðàæåíèå f ∈ aff(A, A0 ), äëÿ êîòîðîãî f (A) = A0 è d f = ψ . Äîêàçàòåëüñòâî. 1. [⇒] Ïóñòü d f = d g . Âîçüìåì òî÷êó A ∈ A. Òîãäà äëÿ ëþáîãî âåêòîðà v ∈ V èìååì

f (A + v) = d f (v) + f (A) = d g(v) + f (A) = g (A + v) − g (A) + f (A), ïîýòîìó f (B) − g (B) = f (A) − g (A) äëÿ ëþáîé òî÷êè B ∈ A (â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè v ∈ V è âòîðîé àêñèîìû àôô.ï.). [⇐ ] Ïóñòü f (A) − g (A) = v 0 äëÿ âñåõ A ∈ A. Òîãäà ´ ´ ³ ³ 0 0 d f (v) = f (A + v) − f (A) = g (A + v) + v − g (A) + v =

= g (A + v) − g (A) = d g(v). 2. Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå f òàê: f (A + v) = ψ(v) + A0 . ßñíî, ÷òî f àôôèííî. Åäèíñòâåííîñòü îòîáðàæåíèÿ ñëåäóåò èç ï. 1. ¤ 3

Ïðèìåð. Îòîáðàæåíèå f ∈ aff(A, A) íàçûâàåòñÿ ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî òî÷êè A ∈ A, åñëè f (A) = A è d f (v) = −v . Ñîãëàñíî ï. 2 òåîðåìû 2.7 ñèììåòðèÿ îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî. Ïîêàæèòå, ÷òî îíà çàäàåòñÿ ôîðìóëîé f (B) = A + (A − B).

Ëåììà 2.8. Ïóñòü äàíî àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî (A, V ) è òî÷êè A0 , A1 , . . . , An ∈ A. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà ÷èñåë x0 , x1 , . . . , xn ∈ R, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà åäèíèöå, òî÷êà n X

xi A i , A +

i=0

n X

xi (Ai − A)

i=0

íå çàâèñèò îò A (ðàâåíñòâî , îïðåäåëÿåò ëåâóþ ÷àñòü). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðÿìàÿ âûêëàäêà: n n ³ ´ ³ ´ X X A+ xi (Ai − A) − B + xi (Ai − B) = (A − B)+ i=0

+

n X

i=0

³

n ´ X xi (Ai − A) − (Ai − B) = (A − B) + xi (B − A) =

i=0

i=0

= (A − B) + (B − A) = 0,

òàê êàê

n X

xi = 1.

i=0

¤

Îïðåäåëåíèå 2.9. Òî÷êà

n X

xi Ai

i=0

íàçûâàåòñÿ áàðèöåíòðè÷åñêîé êîìáèíàöèåé òî÷åê A0 , A1 , . . . , An ∈ A ñ êîýôôèöèåíòàìè x0 , x1 , . . . , xn ∈ R. Ìíîæåñòâî âñåõ áàðèöåíòðè÷åñêèõ êîìáèíàöèé òî÷åê A0 , A1 , . . . , An ∈ A íàçûâàåòñÿ àôôèííîé îáîëî÷êîé äàííîãî íàáîðà òî÷åê è îáîçíà÷àåòñÿ a- span{A0 , A1 , . . . , An }. Îäíîé ôîðìóëîé: ( n ) n X X a- span{A0 , A1 , . . . , An } = xi Ai : xi ∈ R, xi = 1 i=0

i=0

Ïðåäëîæåíèå 2.10. Äîïóñòèì, òî÷êè A0 , A1 , . . . , An ∈ A òàêîâû, ÷òî âåêòîðà A1 − A0 , A2 − A0 , . . . , An − A0 ∈ V îáðàçóþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V . Ëþáàÿ òî÷êà A ∈ A îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâèìà â âèäå áàðèöåíòðè÷åñêîé êîìáèíàöèè òî÷åê A0 , A1 , . . . , An ∈ A (ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî äàííûå òî÷êè çàäàþò áàðèöåíòðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò â A). 4

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâèì âåêòîð A − A0 ∈ V â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ áàçèñà (ýòî äåëàåòñÿ îäíîçíà÷íî  Ïðåäëîæåíèå 1.9): n X A − A0 = xi (Ai − A0 ). i=1

Ïîëîæèì x0 = 1 − x1 − x2 − . . . − xn . Ïåðåíîñÿ A0 â ïðàâóþ ÷àñòü è ïðåäñòàâèâ íóëü-âåêòîð êàê A0 − A0 , ïîëó÷èì

A = A0 + x0 (A0 − A0 ) +

n X

xi (Ai − A0 ) = A0 +

i=1

n X

xi (Ai − A0 ) =

i=0

n X

xi Ai .

i=0

Òàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíòû x0 , x1 , . . . , xn îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî. ¤

Ïðåäëîæåíèå 2.11. Ïóñòü (A, V ) è (A0 , V 0 )  äâà àôôèííûõ ïðîñòðàí-

ñòâà è A0 , A1 , . . . , An ∈ A.

1. Åñëè f ∈ aff(A, A0 ), òî Ã n ! n X X f xi Ai = xi f (Ai ). i=0

i=0

2. Åñëè A0 , A1 , . . . , An ∈ A  áàðèöåíòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò â A, òî äëÿ ëþáûõ òî÷åê A00 , A01 , . . . , A0n ∈ A0 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå îòîáðàæåíèå f ∈ aff(A, A0 ), äëÿ êîòîðîãî f (Ai ) = A0i ïðè âñåõ i ∈ 0, n. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïðÿìàÿ âûêëàäêà: à n ! à n ! n X X X f xi Ai − f (A0 ) = d f xi (Ai − A0 ) = xi d f (Ai − A0 ) = i=0

i=0

=

n X

i=0

xi (f (Ai ) − f (A0 )) =

i=0

n X

xi f (Ai ) − f (A0 ),

i=0

îòêóäà ñëåäóåò èñêîìîå ðàâåíñòâî. 2. Äåéñòâèòåëüíî, îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå f : A → A0 òàê: Ã n ! n X X f xi Ai = xi A0i . i=0

i=0

Åäèíñòâåííîñòü ýòîãî îòîáðàæåíèÿ ïðîâåðÿåòñÿ ýëåìåíòàðíî. ¤

5

Îïðåäåëåíèå 2.12. Ïóñòü A, B ∈ A  äâå òî÷êè, ëåæàùèå â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå A. Ìíîæåñòâî òî÷åê âèäà

tA + (1 − t)B,

t ∈ [0, 1]

íàçûâàåòñÿ îòðåçêîì AB . Ãîâîðÿò, ÷òî òî÷êà C = tA + (1 − t)B äåëèò îòðåçîê AB â îòíîøåíèè λ = t/(1 − t). Ïåðâûé ïóíêò ïðåäûäóùåãî ïðåäëîæåíèÿ îçíà÷àåò, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóþùåå. Åñëè òî÷êà C äåëèò îòðåçîê AB â îòíîøåíèè λ, òî ïðè ëþáîì àôôèííîì îòîáðàæåíèè f : A → A0 äëÿ êîòîðîãî f (A) 6= f (B) òî÷êà f (C) äåëèò îòðåçîê f (A)f (B) â îòíîøåíèè λ.

Îïðåäåëåíèå 2.13. Ïóñòü (A, V )  àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî è U  ëè-

íåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â â.ï. V . Ïîäìíîæåñòâî P ⊂ A íàçûâàåòñÿ àôôèííûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ñ íàïðàâëÿþùèì ïðîñòðàíñòâîì U , åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê P1 , P2 ∈ P èìååì P2 − P1 ∈ U è P1 + u ∈ P äëÿ ëþáîãî âåêòîðà u ∈ U 1 . Ðàçìåðíîñòüþ àôôèííîãî ïîäïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòü åãî íàïðàâëÿþùåãî ïðîñòðàíñòâà. ßñíî, ÷òî ïàðà (P, U ) èç îïðåäåëåíèÿ ñàìà ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì ïðîñòðàíñòâîì (ñ íàïðàâëÿþùèì ïðîñòðàíñòâîì â êà÷åñòâå àññîöèèðîâàííîãî).

Ëåììà 2.14. Ïóñòü (A, V )  àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî. 1. Åñëè P  àôôèííîå ïîäïðîñòðàíñòâî â A ñ íàïðàâëÿþùèì ïðîñòðàíñòâîì U , òî äëÿ ëþáîé òî÷êè P ∈ P èìååì

P = {P + u : u ∈ U }. Îáðàòíî, äëÿ ëþáîé òî÷êè A ∈ A è äëÿ ëþáîãî ëèíåéíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà U ⊂ V ìíîæåñòâî

{A + u : u ∈ U } ÿâëÿåòñÿ àôôèííîå ïîäïðîñòðàíñòâîì â A ñ íàïðàâëÿþùèì ïðîñòðàíñòâîì U . 2. Ëþáîå àôôèííîå ïîäïðîñòðàíñòâî P ⊂ A ðàçìåðíîñòè k ÿâëÿåòñÿ àôôèííîé îáîëî÷êîé íåêîòîðûõ òî÷åê P0 , P1 , . . . , Pk ∈ P . Îáðàòíî, àôôèííàÿ îáîëî÷êà ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà òî÷åê èç A ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì ïîäïðîñòðàíñòâîì. 1 Çàïèñü

(P, U ) ⊂ (A, V ) áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî P  àôôèííîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà A ñ íàïðàâëÿþùèì U ⊂ V

6

Äîêàçàòåëüñòâî. Ýëåìåíòàðíî. ¤

Ïðåäëîæåíèå 2.15. Ïóñòü f : (A, V ) → (A0 , V 0 )  àôôèííîå îòîáðàæåíèå è (P, U ) ⊂ (A, V )  àôôèííîå ïîäïðîñòðàíñòâî â A. Òîãäà ìíîæåñòâî f (P) ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà A0 ñ íàïðàâëÿþùèì d f (U ) ⊂ V 0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ï. 2 ïðåäûäóùåé ëåììû, èìååì

P = a- span{P0 , . . . , Pk } äëÿ íåêîòîðûõ òî÷åê P0 , . . . , Pk ∈ P (k = dim P ). Íî ïî ï. 1 ïðåäëîæåíèÿ 2.11 ýòî çíà÷èò, ÷òî

f (P) = a- span{f (P0 ), f (P1 ), . . . , f (Pk )}. Ñîãëàñíî îáðàòíîìó óòâåðæäåíèþ ï. 2 ïðåäûäóùåé ëåììû f (P)  àôôèííîå ïîäïðîñòðàíñòâî ñ íàïðàâëÿþùèì

U 0 = span{f (P1 ) − f (P0 ), . . . , f (Pk ) − f (P0 )} = = span{d f (P1 − P0 ), . . . , d f (Pk − P0 )} = = d f (span{P1 − P0 , . . . , Pk − P0 }) = d f (U ). ¤

Ïðèìåð. Ëþáàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ íóëüìåðíûì àôôèííûì ïðîñòðàíñòâîì.

Îäíîìåðíîå àôôèííîå ïîäïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé, äâóìåðíîå  ïëîñêîñòüþ. Ïîäðîáíåå  ñëåäóþùèé ïàðàãðàô.

7

Ÿ3

Ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü. Âåêòîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ

Âìåñòî áàðèöåíòðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò1, èíîãäà óäîáíåå èñïîëüçîâàòü àôôèííóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Èìåííî, íàáîð, ñîñòîÿùèé èç òî÷êè O ∈ A (íà÷àëà êîîðäèíàò) è âåêòîðîâ {e1, . . . , en}, îáðàçóþùèõ áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V , ìû áóäåì íàçûâàòü àôôèííûì áàçèñîì â ïðîñòðàíñòâå A. Îïðåäåëåíèå 3.1. Ïóñòü O, e1 , . . . , en  àôôèííûé áàçèñ â A. Êîîðäèíàòàìè òî÷êè A ∈ A â ýòîì áàçèñå íàçûâàþòñÿ (îïðåäåëåííûå åäèíñòâåííûì îáðàçîì) ÷èñëà t1, . . . , tn, äëÿ êîòîðûõ A−O =

n X

ti ei .

i=1

Ïðè ýòîì èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü A(O, t1, . . . , tn), èëè ïðîñòî A(t1, . . . , tn), åñëè íà÷àëî êîîðäèíàò ôèêñèðîâàíî. Åñëè A0, . . . , An ∈ A  áàðèöåíòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, òî ïîëîæèâ O = A0 è ei = Ai − A0 äëÿ i ∈ 1, n ïîëó÷èì àôôèííûé áàçèñ O, e1 , . . . , en . Òàêæå ëåãêî ïîëó÷èòü ôîðìóëû îáðàòíîãî ïåðåõîäà. Ïðÿìàÿ

Îäíîìåðíîå àôôèííîå ïîäïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé. Ñîãëàñíî ëåììå 3.14, ïðÿìàÿ çàäàåòñÿ ñâîåé òî÷êîé A ∈ A è íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì v ∈ V (U = span{v}). Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ òî÷êà ïðÿìîé èìååò âèä A(t) = A + tv, t ∈ R. (1) Ýòî ðàâåíñòâî ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ îáùóþ çàïèñü ïàðàìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïðÿìîé (çäåñü ïàðàìåòð  ýòî ïåðåìåííàÿ t ∈ R, âåêòîð v ∈ V íàçûâàåòñÿ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì). Åñëè òî÷êè A(t) èìåþò âèä Ñëó÷àé A = R2 .

O, e1 , e2

 àôôèííûé áàçèñ, òî êîîðäèíàòû

(2) ãäå A(x0, y0) è v = le1 +me2. Óðàâíåíèÿ (2) íàçûâàþò ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè. x = x0 + tl,

1 ) êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì

y = y0 + tm,

n + 1 òî÷êè A0 , . . . , An

(A, V )

1

àôôèííîãî ïðîñòðàíñòâà

Èñêëþ÷àÿ èç óðàâíåíèé (2) ïàðàìåòð t ïîëó÷èì ðàâåíñòâî x − x0 y − y0 = , l m

êîòîðîå íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè. Èç êàíîíè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè ëåãêî ïîëó÷èòü ðàâíîñèëüíîå óðàâíåíèå âèäà Ax + By + C = 0, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè. Åñëè O, e1, e2, e3  àôôèííûé áàçèñ, òî êîîðäèíàòû òî÷êè A(t) èìåþò âèä x = x0 + tl, y = y0 + tm, z = z0 + tk (3) ãäå A(x0, y0, z0) è v = le1 + me2 + ke3. Óðàâíåíèÿ (3) íàçûâàþò ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå. Èñêëþ÷àÿ èç óðàâíåíèé (3) ïàðàìåòð t ïîëó÷èì ðàâåíñòâà Ñëó÷àé A = R3 .

y − y0 z − z0 x − x0 = = , l m k

êîòîðûå íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé èìåþò ñìûñë è òîãäà, êîãäà êàêîé-ëèáî èç çíàìåíàòåëåé îáðàùàåòñÿ â íîëü (íî íå âñå ñðàçó). Íàïðèìåð (3) çàäàåò ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó A(x0, y0, z0), è èìåþùóþ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì âåêòîð v. Çàìå÷àíèå.

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé èìåþò ñìûñë è òîãäà, êîãäà êàêîé-ëèáî èç çíàìåíàòåëåé îáðàùàåòñÿ â íîëü (íî íå âñå ñðàçó). Íàïðèìåð (3) çàäàåò ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó A(x0, y0, z0), è èìåþùóþ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì âåêòîð v. Çàìå÷àíèå.

Ïëîñêîñòü

Äâóìåðíîå àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ïëîñêîñòüþ. Ñîãëàñíî ëåììå 3.14, ïëîñêîñòü çàäàåòñÿ ñâîåé òî÷êîé A ∈ A è äâóìÿ íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè v, v0 ∈ V (U = span{v, v0}). Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ òî÷êà ïðÿìîé èìååò âèä A(t, p) = A + tv + pv 0 , t, p ∈ R. (4) Ýòî ðàâåíñòâî ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ îáùóþ çàïèñü ïàðàìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè (çäåñü ïàðàìåòðû  ýòî ïåðåìåííûå t, p ∈ R, âåêòîðà v, v0 ∈ V íàçûâàþòñÿ íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè). 2

Åñëè O, e1, e2, e3  àôôèííûé áàçèñ, òî êîîðäèíàòû òî÷êè A(t) èìåþò âèä x = x0 + tl + pl0 , y = y0 + tm + pm0 , z = z0 + tk + pk 0 (5) ãäå A(x0, y0, z0) è v = le1 + me2 + ke3, v0 = l0e1 + m0e2 + k0e3. Óðàâíåíèÿ (4) íàçûâàþò ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå. Èñêëþ÷àÿ èç óðàâíåíèé (4) ïàðàìåòðû t è p ïîëó÷èì ðàâåíñòâî

Ñëó÷àé A = R3 .

(mk 0 − km0 )(x − x0 ) + (kl0 − lk 0 )(y − y0 ) + (lm0 − ml0 )(z − z0 ) = 0.

Óðàâíåíèå ïîëó÷åííîãî âèäà Ax + By + Cz + D = 0 íàçûâàåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå. Âåêòîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íà ïëîñêîñòè

Óðàâíåíèå ïðÿìîé íà àôôèííîé ïëîñêîñòè (ñ ôèêñèðîâàííûì áàçèñîì) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå l(y − y0 ) − m(x − x0 ) = 0. (6) Çäåñü v = le1 + me2  íàïðàâëÿþùèé âåêòîð è A(x0, y0)  íåêîòîðàÿ òî÷êà íà ïðÿìîé. Äðóãèìè ñëîâàìè, òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè (x, y) ëåæèò íà ïðÿìîé â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (6). Ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (6) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé äâóõ âåêòîðîâ  âåêòîðà v ∈ R2 è âåêòîðà A − A0 ∈ R2 . Îïðåäåëåíèå 3.2. Ïóñòü E = {e1 , e2 }  áàçèñ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V ' R2 . Îòîáðàæåíèå ϕE : V × V → R, îïðåäåëåííîå ôîðìóëîé ϕE (v, u) = v1 u2 − v2 u1 , (7) ãäå v = v1e1 +v2e2, u = u1e1 +u2e2, íàçûâàåòñÿ ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ v, u ∈ V â áàçèñå E . Çàìåòèì, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà (ñì. ï. 4 ñëåäóþùåãî ïðåäëîæåíèÿ). Óðàâíåíèå (6) ìîæåò áûòü çàïèñàíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ââåäåííîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ òàê: ϕE (v, A − A0 ) = 0.

Äàëåå äëÿ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ èñïîëüçóåòñÿ áîëåå òðàäèöèîííîå îáîçíà÷åíèå [v, u]E = ϕE (v, u). 3

Ïóñòü V ' R2  äâóìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî. Äëÿ ëþáîãî áàçèñà E = {e1, e2} ïðîñòðàíñòâà V ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè. 1. [u, v]E = −[v, u]E ∀u, v ∈ V 2. [λv + w, u]E = λ[v, u]E + [w, u]E ∀u, v, w ∈ V , ∀λ ∈ R 3. [e1, e2]E = 1 4. Äëÿ ëþáîãî äðóãîãî áàçèñà F = {f1, f2} ïðîñòðàíñòâà V èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî Ïðåäëîæåíèå 3.3.

[v, u]F = [e1 , e2 ]F · [v, u]E .

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ñâîéñòâ 1-3 ýëåìåíòàðíî è ñëåäóåò èç ÿâíîé ôîðìóëû (7). Äîêàçàòåëüñòâî ÷åòâåðòîãî ñâîéñòâà. Âûðàçèì âåêòîðà áàçèñà E ÷åðåç âåêòîðà áàçèñà F : e1 = af1 + bf2 ,

e2 = cf1 + df2 .

Ïóñòü u1 è u2  êîîðäèíàòû âåêòîðà u â áàçèñå E . Âû÷èñëèì åãî êîîðäèíàòû â áàçèñå F : u = u1 e1 +u2 e2 = u1 (af1 +bf2 )+u2 (cf1 +df2 ) = (au1 +cu2 )f1 +(bu1 +du2 )f2 .

Àíàëîãè÷íî äëÿ âåêòîðà v = v1e1 + v2e2: v = (av1 + cv2 )f1 + (bv1 + dv2 )f2 .

Òàêèì îáðàçîì [v, u]F = (av1 + cv2 )(bu1 + du2 ) − (au1 + cu2 )(bv1 + dv2 ) = = abv1 u1 + adv1 du2 + bcv2 u1 + cdv2 u2 − abu1 v1 − adu1 v2 − bcu2 v1 − cdu2 v2 = = adv1 du2 +bcv2 u1 −adu1 v2 −bcu2 v1 = (ad−bc)(v1 u2 −v2 u1 ) = (ad−bc)[v, u]E .

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî [e1, e2]F = ad − bc.  4

Åñëè [v, u]E 6= 0, òî [v, u]F 6= 0 äëÿ ëþáîãî äðóãîãî áàçèñà F . Âåêòîðà v, u ∈ V ëèíåéíî íåçàâèñèìû (=îáðàçóþò áàçèñ) â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà [v, u]E 6= 0. Ïðåäëîæåíèå 3.4. Äëÿ äâóõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè èìååò ìåñòî ðîâíî îäíà èç ñëåäóþùèõ âîçìîæíîñòåé. 1. Ïðÿìûå ñîâïàäàþò. 2. Ïðÿìûå íå èìåþò îáùèõ òî÷åê (ïàðàëëåëüíû). 3. Ïðÿìûå èìåþò ðîâíî îäíó îáùóþ òî÷êó. Äîêàçàòåëüñòâî. Çàäàäèì ïðÿìûå â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå: A0 + vt è B0 + ut (v, u 6= ~0). Îáùèå òî÷êè ýòèõ ïðÿìûõ ñîîòâåòñòâóþò ðåøåíèÿì (îòíîñèòåëüíî t) óðàâíåíèÿ [v, (B0 + tu) − A0]E = 0. Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå [u, v]E .

Î÷åâèäíûå ñëåäñòâèÿ.

a)

Ïóñòü [u, v]E = 0 â íåêîòîðîì áàçèñå E (ýòî óñëîâèå íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà).  ýòîì ñëó÷àå âåêòîðà v è u êîëëèíåàðíû. Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå [A0 − B0, v]E . a0 )

Åñëè [v, B0 − A0]E = 0, òî äëÿ ëþáîãî t ∈ R èìååì [v, (B0 + tu) − A0 ]E = [v, B0 − A0 ]E + t[v, u]E = 0.

b0 )

Ïîýòîìó ëþáàÿ òî÷êà âòîðîé ïðÿìîé ëåæèò íà ïåðâîé ïðÿìîé, ò.å. ïðÿìûå ñîâïàäàþò. Åñëè [v, B0 − A0]E 6= 0, òî äëÿ ëþáîãî t ∈ R èìååì [v, (B0 + tu) − A0 ]E = [v, B0 − A0 ]E + t[v, u]E 6= 0.

Ïîýòîìó ïðÿìûå íå èìåþò îáùèõ òî÷åê (ïàðàëëåëüíû). b)

Åñëè [u, v]E 6= 0, òî óðàâíåíèå [v, (B0 + tu) − A0 ]E = [v, B0 − A0 ]E + t[v, u]E = 0

èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå t = −[v, B0 − A0]E /[v, u]E . 

5

Îïðåäåëåíèå 3.5. Ãîâîðÿò, ÷òî òî÷êè A, B ∈ A ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò ïðÿìîé íà àôôèííîé ïëîñêîñòè A ' R2, åñëè îòðåçîê AB èìååò ñ ïðÿìîé îáùóþ òî÷êó C 6= A, B . Ïðåäëîæåíèå 3.6. Òî÷êè A, B ∈ A ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò ïðÿìîé A0 + vt íà àôôèííîé ïëîñêîñòè A ' R2 â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè [A − A0, v]E · [B − A0, v]E < 0 â íåêîòîðîì áàçèñå E ïëîñêîñòè A. Äîêàçàòåëüñòâî. Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî çíàê ïðîèçâåäåíèÿ

[A − A0 , v]E · [B − A0 , v]E

íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà (ñì. ï. 4 ïðåäëîæåíèÿ 3.3). Îòðåçîê AB èìååò ñ ïðÿìîé îáùóþ òî÷êó C 6= A, B åñëè è òîëüêî åñëè ñóùåñòâóåò ÷èñëî τ ∈ (0, 1) äëÿ êîòîðîãî óðàâíåíèå (1 − τ )B + τ A = A0 + vt

èìååò ðåøåíèå îòíîñèòåëüíî t. Ïîñëåäíåå ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî âåêòîðà B − A0 + τ (A − B) è v êîëëèíåàðíû: [(1 − τ )(B − A0 ) + τ (A − A0 ), v]E = 0.

Ïðåîáðàçóåì ýòî ðàâåíñòâî: (1 − τ )[B − A0 , v]E + τ [A − A0 , v]E = 0.

Ýòî ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî ïðè íåêîòîðîì τ ∈ (0, 1) â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè [A − A0, v]E · [B − A0, v]E < 0.  Ïóñòü A, B, C ∈ A  òðè òî÷êè íà àôôèííîé ïëîñêîñòè A ' R . Ìíîæåñòâî òî÷åê âèäà tA + τ B + (1 − t − τ )C , äëÿ êîòîðûõ t, τ ∈ [0, 1], íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíèêîì 4ABC . ×èñëî Îïðåäåëåíèå 3.7. 2

1 [B − A, C − A]E 2

íàçûâàåòñÿ ïëîùàäüþ òðåóãîëüíèêà 4ABC . Êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ óñòàíàâëèâàåòñÿ ïðîñòîé ïðîâåðêîé: [A − B, C − B]E = [A − B, C − B + (B − A)]E = −[B − A, C − A]E ,

ïîýòîìó

1 1 [A − B, C − B]E = [B − A, C − A]E 2 2

6

Ãîâîðÿò, ÷òî äâà áàçèñà E = {e1, e2}, E 0 = {e01, e02} âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàíû, åñëè [e01, e02]E > 0. Ìíîæåñòâî îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàííûõ áàçèñîâ íàçûâàåòñÿ îðèåíòàöèåé âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V . ßñíî, ÷òî èìååòñÿ âñåãî äâå îðèåíòàöèè (äâà áàçèñà E è E 0 îòíîñÿòñÿ ê ðàçíûì îðèåíòàöèÿì ⇔ [e01, e02]E < 0). Ïëîñêîñòü A íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííîé, åñëè âûáðàíà îðèåíòàöèÿ â àññîöèèðîâàííîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå. Âûáîð îðèåíòàöèè àôôèííîé ïëîñêîñòè ðàâíîñèëåí âûáîðó öèêëè÷åñêîãî ïîðÿäêà íà âåðøèíàõ íåâûðîæäåííîãî òðåóãîëüíèêà2. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü 4ABC  íåâûðîæäåííûé òðåóãîëüíèê íà ïëîñêîñòè, îðèåíòèðîâàííîé êëàññîì áàçèñà E âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Åñëè [B − A, C − B]E > 0, òî ïîðÿäîê îáõîäà âåðøèí òàêîâ: A → B → C . Åñëè [B − A, C − B]E < 0, òî ïîðÿäîê îáõîäà âåðøèí òàêîâ: A → C → B . Îáðàòíî, ïîðÿäîê âåðøèí çàäàåò áàçèñ íà ïëîñêîñòè (åñëè ïîðÿäîê A → B → C , òî îðèåíòàöèÿ çàäàåòñÿ áàçèñîì {B − A, C − B}).

Îðèåíòàöèÿ.

Ñëó÷àé [B − A, C − B]E > 0 A

r   


 

 +  -r
r

C

B

Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå â ïðîñòðàíñòâå

Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â òðåõìåðíîì àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå (ñ ôèêñèðîâàííûì áàçèñîì) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (mk 0 − km0 )(x − x0 ) + (kl0 − lk 0 )(y − y0 ) + (lm0 − ml0 )(z − z0 ) = 0, (8) ãäå A(x0, y0, z0)  íåêîòîðàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè, è v = le1 + me2 + ke3, v 0 = l0 e1 + m0 e2 + k 0 e3  íàïðàâëÿþùèå âåêòîðà ýòîé ïëîñêîñòè. Äðóãèìè ñëîâàìè, òî÷êà A(x, y, z) ëåæèò íà äàííîé ïëîñêîñòè â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (8). Ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (8) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òðåõ âåêòîðîâ  âåêòîðîâ v, v0 ∈ R3 è âåêòîðà A−A0 ∈ R3. Îïðåäåëåíèå 3.8. Ïóñòü E = {e1 , e2 , e3 }  áàçèñ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V ' R3. Îòîáðàæåíèå ϕE : V × V × V → R, îïðåäåëåííîå ôîðìóëîé ϕE (v, u, w) = (v2 u3 − v3 u2 )w1 + (v3 u1 − v1 u3 )w2 + (v1 u2 − v2 u1 )w3 , (9) 2 öèêëè÷åñêèé ïîðÿäîê = íàïðàâëåíèå îáõîäà ñòîðîí òðåóãîëüíèêà

7

ãäå

3 X

v=

vi ei ,

u=

i=1

3 X

ui ei ,

w=

i=1

3 X

wi ei ,

i=1

íàçûâàåòñÿ ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ v, u, w ∈ V â áàçèñå E . Çàìåòèì, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà (ñì. ï. 4 ñëåäóþùåãî ïðåäëîæåíèÿ). Óðàâíåíèå (8) ìîæåò áûòü çàïèñàíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ââåäåííîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ òàê: ϕE (v, v 0 , A − A0 ) = 0.

Äàëåå äëÿ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ èñïîëüçóåòñÿ áîëåå òðàäèöèîííîå îáîçíà÷åíèå [v, u, w]E = ϕE (v, u, w). Ïðåäëîæåíèå 3.9. Ïóñòü V ' R3  òðåõìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî. Äëÿ ëþáîãî áàçèñà E = {e1, e2, e3} ïðîñòðàíñòâà V ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè. 1. [u, v, w]E = −[v, u, w]E = [v, w, u]E ∀u, v, w ∈ V 2. [λv + w, u, z]E = λ[v, u, z]E + [w, u, z]E ∀u, v, w, z ∈ V , ∀λ ∈ R 3. [e1, e2, e3]E = 1 4. Äëÿ ëþáîãî äðóãîãî áàçèñà F = {f1, f2, f3} ïðîñòðàíñòâà V èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî [v, u, w]F = [e1 , e2 , e3 ]F · [v, u, w]E .

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ñâîéñòâ 1-3 ýëåìåíòàðíî è ñëåäóåò èç ÿâíîé ôîðìóëû (9). Äîêàçàòåëüñòâî ÷åòâåðòîãî ñâîéñòâà ìîæåò áûòü íàïðÿìóþ (êàê äîêàçàòåëüñòâî ï. 4 ïðåäëîæåíèÿ 3.3). Çäåñü ïðèâîäèòñÿ äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü v=

3 X

vi ei ,

u=

i=1

3 X

uj ej ,

w=

j=1

=

3 X i=1

vi ei ,

3 X j=1

uj ej ,

3 X k=1

#

" −[e1 , e2 , e3 ]F ·

wk ek

3 X i=1

F

8

wk ek .

k=1

Òîãäà [v, u, w]F − [e1, e2, e3]F · [v, u, w]E = "

3 X

vi ei ,

3 X j=1

uj ej ,

3 X k=1

# wk ek

= E

=

3 X

  vi uj wk [ei , ej , ek ]F − [e1 , e2 , e3 ]F · [ei , ej , ek ]E .

i,j,k=1

Ïîêàæåì, ÷òî [ei, ej , ek ]F = [e1, e2, e3]F ·[ei, ej , ek ]E äëÿ âñåõ i, j, k ∈ {1, 2, 3}. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ñðåäè èíäåêñîâ i, j, k åñòü ïîâòîðû, òî ïðàâàÿ è ëåâàÿ ÷àñòü äàííîãî ðàâåíñòâî  íóëåâûå (ýòî ñëåäóåò èç ï. 1). Åñëè æå âñå èíäåêñû i, j, k ðàçëè÷íû, òî èñêîìîå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç òîæäåñòâà [e1 , e2 , e3 ]F = [e1 , e2 , e3 ]F · [e1 , e2 , e3 ]E .  Î÷åâèäíûå ñëåäñòâèÿ.

Åñëè [v, u, w]E 6= 0, òî [v, u, w]F

6= 0

äëÿ ëþ-

áîãî äðóãîãî áàçèñà F . Âåêòîðà v, u, w ∈ V ëèíåéíî íåçàâèñèìû (=îáðàçóþò áàçèñ) â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà [v, u, w]E 6= 0 äëÿ íåêîòîðîãî (ïðîèçâîëüíîãî) áàçèñà E . Îïðåäåëåíèå 3.10. Ãîâîðÿò, ÷òî òî÷êè A, B ∈ A ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò ïëîñêîñòè â àôôèííîé ïðîñòðàíñòâå A ' R3, åñëè îòðåçîê AB èìååò ñ ïëîñêîñòüþ îáùóþ òî÷êó C 6= A, B . Ïðåäëîæåíèå 3.11. Òî÷êè A, B ∈ A ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò ïëîñêîñòè A0 + vt + up â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå A ' R3 â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè [A − A0, v, u]E · [B − A0, v, u]E < 0 â íåêîòîðîì áàçèñå E ïðîñòðàíñòâà A. Äîêàçàòåëüñòâî. Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ïðåäëîæåíèÿ 3.6.  Ïóñòü A, B, C, D ∈ A  ÷åòûðå òî÷êè â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå A ' R . Ìíîæåñòâî òî÷åê âèäà tA+τ B+pC+(1−t−τ −p)D, äëÿ êîòîðûõ t, τ, p ∈ [0, 1], íàçûâàåòñÿ òåòðàýäðîì 4ABCD. ×èñëî Îïðåäåëåíèå 3.12.

3

1 [B − A, C − A, D − A]E 6

íàçûâàåòñÿ îáúåìîì òåòðàýäðà 4ABCD. Êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ óñòàíàâëèâàåòñÿ ïðîñòîé ïðîâåðêîé: [A − B, C − B, D − B]E = [A − B, C − B + (B − A), D − B + (B − A)]E =

ïîýòîìó

−[B − A, C − A, D − A]E ,

1 1 [A − B, C − B, D − B]E = [B − A, C − A, D − A]E 6 6

9

Ãîâîðÿò, ÷òî äâà áàçèñà E = {e1, e2, e3}, E 0 = {e01, e02, e03} âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàíû, åñëè [e01, e02, e03]E > 0. Ìíîæåñòâî îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàííûõ áàçèñîâ íàçûâàåòñÿ îðèåíòàöèåé âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V . ßñíî, ÷òî èìååòñÿ âñåãî äâå îðèåíòàöèè (äâà áàçèñà E è E 0 îòíîñÿòñÿ ê ðàçíûì îðèåíòàöèÿì ⇔ [e01, e02, e03]E < 0). Ïðîñòðàíñòâî A ' R3 íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííûì, åñëè âûáðàíà îðèåíòàöèÿ â àññîöèèðîâàííîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå. Âûáîð îðèåíòàöèè àôôèííîãî ïðîñòðàíñòâà ðàâíîñèëåí íàïðàâëåíèÿ âèíòîâîãî äâèæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü 4ABCD  íåâûðîæäåííûé òåòðàýäð â ïðîñòðàíñòâå, îðèåíòèðîâàííîì êëàññîì áàçèñà E âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Åñëè [B − A, C − B, D − C]E > 0, òî âèíòîâîå äâèæåíèå òàêîâî: A → B → C → D (æèðíûå ñòðåëêè íà ðèñóíêå íèæå).

Îðèåíòàöèÿ.

D

r    

C

  ) r Q Q

Q Q

B r

Q Qr

A

Äàííîå íàïðàâëåíèå âèíòîâîãî äâèæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì. Îíî ñîîòâåòñòâóåò äâèæåíèþ øòîïîðà, êîòîðûé âõîäèò â ïðîáêó. Ñîîòâåòñòâåííî áàçèñ {B − A, C − A, D − A} çàäàåò ïîëîæèòåëüíóþ îðèåíòàöèþ. Îòñòóïëåíèå. Î âòîðîì ñîïðÿæåííîì ïðîñòðàíñòâå.

Ïóñòü V  âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî è E = {e1, . . . , en}  íåêîòîðûé áàçèñ â V . Íàïîìíþ, ÷òî ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî V ∗ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíûõ ôóíêöèé íà V : V ∗ = {l : V → R | l(λv + w) = λl(v) + l(w) ∀v, w ∈ V, ∀λ ∈ R}. Ïðåäëîæåíèå 3.13.

ëåííûé ïðàâèëîì

Íàáîð âåêòîðîâ E ∗ = {e∗1, . . . , e∗n} ⊂ V ∗, îïðåäåe∗i (ej )

 =

1, i = j , 0, i = 6 j

ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V ∗ (è íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì áàçèñîì). 10

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ëèíåéíîé ôóíêöèè èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

l ∈V∗

l=

n X

l(ei )e∗i .

i=1

ßñíî, ÷òî êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà l îïðåäåëåíû åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Ïî ïðåäëîæåíèþ 1.9 íàáîð {e∗i }ni=1 ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì â V ∗. 

Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò èçîìîðôèçì V ' V ∗. Îäíàêî íå ñóùåñòâóåò êàêîãî-ëèáî èçáðàííîãî, èíâàðèàíòíîãî ñïîñîáà îòîæäåñòâèòü ýòè äâà âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâà. Îäíàêî, ïðè ïåðåõîäå êî âòîðîìó ñîïðÿæåííîìó V ∗∗ = (V ∗)∗ òàêîé ñïîñîá ïîÿâëÿåòñÿ. Ïðåäëîæåíèå 3.14. Ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííûé èçîìîðôèçì ξ : V → V ∗∗ . Îíî çàäàåòñÿ ôîðìóëîé ξ(v)(l) = l(v) ∀v ∈ V , ∀l ∈ V ∗ . Äîêàçàòåëüñòâî. Íàì íàäî ïîêàçàòü, ÷òî ξ  èçîìîðôèçì. Ïóñòü E = {e1 , . . . , en }  áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V , E ∗ = {e∗1 , . . . , e∗n }  ñîïðÿæåííûé áàçèñ â V ∗ è E ∗∗ = {e∗∗1 , . . . , e∗∗n }  ñîïðÿæåííûé áàçèñ â V ∗∗. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ îòîáðàæåíèÿ ξ , èìååì ξ(ei)(e∗j ) = e∗j (ei), ïîýòîìó ξ(ei ) = e∗∗ i . Èòàê, îòîáðàæåíèå ξ ïåðåâîäèò äàííûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V â íåêîòîðûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V ∗∗ , ïîýòîìó îíî  èçîìîðôèçì.  Îïðåäåëåíèå 3.15.

äëÿ êîòîðîãî

Ïóñòü E = {e1, e2, e3}  áàçèñ â.ï. V . Âåêòîð l ∈ V ∗ l(w) = [v, u, w]E ,

∀w ∈ V

íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ v è u â áàçèñå E è îáîçíà÷àåòñÿ l = v ×E u ∈ V ∗. Èç ðàâåíñòâà (9) ëåãêî ïîëó÷èòü ÿâíóþ ôîðìóëó äëÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ: v ×E u = (v2 u3 − v3 u2 )e∗1 + (v3 u1 − v1 u3 )e∗2 + (v1 u2 − v2 u1 )e∗3 , (10) ãäå v = v1e1 + v2e2 + v3e3, è u = u1e1 + u2e2 + u3e3. Ïðåäëîæåíèå 3.16. Ïóñòü V ' R3  òðåõìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî. Äëÿ ëþáîãî áàçèñà E = {e1, e2, e3} ïðîñòðàíñòâà V âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè. 1. u ×E v = −v ×E u ∀u, v ∈ V 11

2. (λv + w) ×E u = λ(v ×E u) + w ×E u ∀u, v, w ∈ V , ∀λ ∈ R 3. e1 ×E e2 = e∗3 4. Äëÿ ëþáîãî äðóãîãî áàçèñà F = {f1, f2, f3} ïðîñòðàíñòâà V èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî v ×F u = [e1 , e2 , e3 ]F · v ×E u.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ï.ï. 1-3 ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ ÿâíîé ôîðìóëû (10). Äîêàçàòåëüñòâî ï. 4: v ×F u(w) = [v, u, w]F = [e1 , e2 , e3 ]F · [v, u, w]E = [e1 , e2 , e3 ]F · v ×E u(w).

 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âåêòîðà w ∈ V èìååò ìåñòî èñêîìîå ðàâåíñòâî. Ðàâåíñòâî v ×E u = ~0 èìååò ìåñòî â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà âåêòîðà u è v êîëëèíåàðíû. Ëåììà 3.17. Ïóñòü E  áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V è E ∗  ñîïðÿæåííûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V ∗. Äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ v, u ∈ V è äëÿ ëþáîãî âåêòîðà l ∈ V ∗ èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

Î÷åâèäíîå ñëåäñòâèå.

h

v, u, (v ×E u) ×E ∗ l

i

=0 E

(çäåñü èñïîëüçîâàí êàíîíè÷åñêèé èçîìîðôèçì V ∗∗ ' V ). Äîêàçàòåëüñòâî. Äîàçàòåëüñòâî ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ïðÿìóþ âûêëàäêó ñ èñïîëüçîâàíèåì êàíîíè÷åñêîãî èçîìîðôèçìà V ∗∗ ' V : h

v, u, (v ×E u) ×

E∗

l

i



E

= v ×E u (v ×E u) ×

E∗

  h i = (v ×E u) ×E ∗ l (v ×E u) = v ×E u, l, v ×E u



l =

E∗

= 0.



Äëÿ äâóõ ïëîñêîñòåé â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå èìååò ìåñòî ðîâíî îäèí èç ñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ. 1. Ïëîñêîñòè ñîâïàäàþò 2. Ïëîñêîñòè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê (ïàðàëëåëüíû) Ïðåäëîæåíèå 3.18.

12

3. Ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ ïî îáùåé ïðÿìîé Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïëîñêîñòè çàäàíû â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå: A0 + vt + up è B0 + wτ + zµ (çäåñü ïàðàìåòðàìè ÿâëÿþòñÿ t, p, τ, µ ∈ R). Ðàññìîòðèì âåêòîð n = (u ×E v) ×E ∗ (w ×E z) ∈ V. 1)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n = ~0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîðà u ×E v è w ×E z êîëëèíåàðíû: u ×E v = λ · w ×E z ïðè íåêîòîðîì λ ∈ R. Ïîýòîìó èìååì ðàâíîñèëüíîñòü ⇔

[u, v, s]E = 0

2)

[w, z, s]E = 0.

Òàêèì îáðàçîì span{u, v} = span{w, z}, òî åñòü íàïðàâëÿþùèå ïðîñòðàíñòâà îáåèõ ïëîñêîñòåé ñîâïàäàþò (ïðîäóìàéòå ýòîò ìîìåíò). Òåïåðü ïîñìîòðèì íà ïðîèçâåäåíèå [v, u, B0 − A0]E . à) Åñëè [v, u, B0 −A0 ]E = 0, òî [v, u, B0 +wτ +zµ−A0 ]E = [v, u, wτ + zµ]E = 0, ïîýòîìó ëþáàÿ òî÷êà âòîðîé ïëîñêîñòè ëåæèò â ïåðâîé ïëîñêîñòè.  ñèëó òîãî, ÷òî òîãäà è [w, z, A0 − B0]E = 0, ïëîñêîñòè ñîâïàäàþò. á) Åñëè [v, u, B0 −A0 ]E 6= 0, òî [v, u, B0 +wτ +zµ−A0 ]E = [v, u, B0 − A0 ]E 6= 0, ïîýòîìó ó ïëîñêîñòåé íåò îáùèõ òî÷åê. Ïóñòü n 6= ~0. Ïî ëåììå 3.17 âåêòîð n ëåæèò â íàïðàâëÿþùåì ïðîñòðàíñòâå êàê îäíîé, òàê è äðóãîé ïëîñêîñòè. Ïðè ýòîì íàïðàâëÿþùèå ïðîñòðàíñòâà ïëîñêîñòåé íå ñîâïàäàþò. Âåêòîð n íå êîëëèíåàðåí îäíîìó èç âåêòîðîâ w, z (èëè îáîèì). Ïóñòü n ×E w 6= 03. Ðàññìîòðèì ïðÿìóþ B0 + wt, ëåæàùóþ âî âòîðîé ïëîñêîñòè. Òî÷êà B1 = B0 + w ·

[u, v, A0 − B0 ]E [u, v, w]E

ëåæèò íà ýòîé ïðÿìîé è â ïåðâîé ïëîñêîñòè: [u, v, B0 +w·

[u, v, A0 − B0 ]E −A0 ]E = [u, v, B0 −A0 ]E +[u, v, A0 −B0 ]E = 0. [u, v, w]E

Òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèå èñêîìîé ïðÿìîé: B1 + nt.  3 ýòî çíà÷èò, ÷òî âåêòîðà

{v, u, w}

îáðàçóþò áàçèñ, ò.å.

13

[u, v, w]E 6= 0

Äëÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå èìååò ìåñòî ðîâíî îäèí èç ñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ. 1. Ïðÿìàÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè 2. Ïëîñêîñòü è ïðÿìàÿ íå èìåþò îáùèõ òî÷åê (ïàðàëëåëüíû) 3. Ïëîñêîñòü è ïðÿìàÿ èìåþò ðîâíî îäíó îáùóþ òî÷êó. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïëîñêîñòü è ïðÿìàÿ çàäàíû â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå: A0 +vt+up è B0 +wτ (çäåñü ïàðàìåòðàìè ÿâëÿþòñÿ t, p, τ ∈ R). Îáùèå òî÷êè ñîîòâåòñòâóþò òåì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà τ ∈ R äëÿ êîòîðûõ Ïðåäëîæåíèå 3.19.

[v, u, B0 + wτ − A0 ]E = 0.

Ðàññìîòðèì ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå [v, u, w]E (E  íåêîòîðûé áàçèñ). 1) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî [v, u, w]E = 0. Òåïåðü ïîñìîòðèì íà ïðîèçâåäåíèå [v, u, B0 − A0]E . à) Åñëè [v, u, B0 − A0 ]E = 0, òî [v, u, B0 + wτ − A0 ]E = 0 äëÿ âñåõ τ ∈ R, ïîýòîìó ëþáàÿ òî÷êà ïðÿìîé ëåæèò â ïëîñêîñòè. á) Åñëè [v, u, B0 − A0 ]E 6= 0, òî [v, u, B0 + wτ − A0 ]E = [v, u, B0 − A0 ]E 6= 0 äëÿ âñåõ τ ∈ R, ïîýòîìó ó ïëîñêîñòè è ïðÿìîé íåò îáùèõ òî÷åê. 2) Òåïåðü ïóñòü [v, u, w]E 6= 0. ßñíî, ÷òî óðàâíåíèå [v, u, B0 + wτ − A0 ]E = 0

èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå τ=

[v, u, A0 − B0 ]E , [v, u, w]E

ñîîòâåòñòâóþùåå åäèíñòâåííîé îáùåé òî÷êå äëÿ ïëîñêîñòè è ïðÿìîé. 

14

Ÿ4 Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå Îïðåäåëåíèå 4.1. Ïóñòü V  â.ï. Ôóíêöèÿ g : V × V → R íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íà V , åñëè

1. g (v, u + w) = g (v, u) + g (v, w) äëÿ âñåõ v, u, w ∈ V 2. λg (v, u) = g (λv, u) = g (v, λu) äëÿ âñåõ v, u ∈ V è âñåõ λ ∈ R 3. g (v, u) = g (u, v) äëÿ âñåõ v, u ∈ V 4. g (v, v) > 0 äëÿ âñåõ v 6= 0 Âåêòîðà v, u ∈ V p , äëÿ êîòîðûõ g (v, u) = 0 íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè. ×èñëî | v|g = g (v, v) íàçûâàåòñÿ äëèíîé âåêòîðà v ∈ V .

Ëåììà 4.2. Äëÿ ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ u, v ∈ V èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî

|g (u, v)| ≤ | v|g · | u|g . Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ï. 4 îïðåäåëåíèÿ, äëÿ ëþáîãî t ∈ R èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî | v + ut|2g ≥ 0. Òàêèì îáðàçîì äëÿ ëþáîãî t ∈ R âåðíî íåðàâåíñòâî 0 ≤ | v + ut|2g = | v|2g + 2tg(v, u) + t2 | u|2g (çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ï.ï. 1-3 îïðåäåëåíèÿ). Ïîëó÷åííûé êâàäðàòè÷íûé òðåõ÷ëåí äîëæåí èìåòü íåïîëîæèòåëüíûé äèñêðèìèíàíò: g 2 (u, v)− | v|2g · | u|2g ≤ 0. ¤

Î÷åâèäíûå ñëåäñòâèÿ. 1. Ïîëüçóÿñü äîêàçàííûì íåðàâåíñòâîì ìîæ-

íî îïðåäåëèòü óãîë (äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ g ) ìåæäó âåêòîðàìè:

cos(c uv g ) =

g (u, v) . | v|g · | u|g

2. Äëèíà óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà: q | v + u|g = | v|2g + 2g(v, u) + | u|2g ≤ q ≤ | v|2g + 2| v|g · | u|g + | u|2g = | v|g + | u|g . 3. Èíîãäà ïîëåçíî ñëåäóþùåå òîæäåñòâî: ´ 1³ g (u, v) = | u + v|2g − | u|2g − | v|2g . 2 1

Îïðåäåëåíèå 4.3. Ïóñòü V, g è U, h  äâà â.ï. ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿìè. Îòîáðàæåíèå ϕ : V → U íàçûâàåòñÿ èçîìåòðèåé, åñëè g (u, v) = h(ϕ(v), ϕ(u)) äëÿ âñåõ v, u ∈ V (ðàâíîñèëüíîå óñëîâèå | v|g = | ϕ(v)|h ). Î÷åâèäíûå ñëåäñòâèÿ. 1. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ëþáàÿ èçîìåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì. Äåéñòâèòåëüíî,

|ϕ(v + λu) − ϕ(v) − λϕ(u)|2h = |ϕ(v + λu)|2h + |ϕ(v)|2h + λ2 |ϕ(u)|2h − − 2h(ϕ(v + λu), ϕ(v)) − 2λh(ϕ(v + λu), ϕ(u)) + 2λh(ϕ(v), ϕ(u)) = = |v + λu|2g + |v|2g + λ2 |u|2g − 2g(v + λu, v) − 2λg(v + λu, u) + 2λg(v, u) = = 2|v+λu|2g −2(g(v+λu, v)+λg(v+λu, u)) = 2|v+λu|2g −2g(v+λu, v+λu) = 0. Íî äëèíà âåêòîðà ðàâíà íóëþ òîëüêî åñëè îí íóëåâîé, ïîýòîìó

ϕ(v + λu) = ϕ(v) + λϕ(u). 2. Ëþáàÿ èçîìåòðèÿ ϕ : V → U èìååò òðèâèàëüíîå ÿäðî: ker ϕ = {0}. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ϕ(v) = 0, òî v = 0, òàê êàê | v|g = | ϕ(v)|h . Òàêèì îáðàçîì dim V = dim ker ϕ + dim im ϕ = dim im ϕ ≤ dim U . Ëþáàÿ èçîìåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì, åñëè dim V = dim U . Ïðîñòðàíñòâà V, g è U, h íàçûâàþò èçîìåòðè÷íûìè, åñëè ñóùåñòâóåò èçîìîðôèçì ϕ : V → U , ÿâëÿþùèéñÿ èçîìåòðèåé.

Ëåììà 4.4. Ëþáîå êîíå÷íîìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî V ñî ñàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì g îáëàäàåò áàçèñîì, ñîñòîÿùèì èç îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ åäèíè÷íîé äëèíû (îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ).

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò â òàê íàçûâàåìîì ïðîöåññå îðòîãîíàëèçàöèè Ãðàìà-Øìèäòà. Èìåííî, ïóñòü E = {e1 , . . . , en }  êàêîé-ëèáî áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå V . Ïîëîæèì

f1 =

e1 , | e 1 |g

f2 =

e2 − g (f1 , e2 )f1 . | e2 − g (f1 , e2 )f1 |g

Óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî ýòè âåêòîðà îðòîãîíàëüíû: ¶ µ g (f1 , e2 ) − g (f1 , e2 )| f1 |2g e2 − g (f1 , e2 )f1 = = 0, g (f1 , f2 ) = g f1 , | e2 − g (f1 , e2 )f1 |g | e2 − g (f1 , e2 )f1 |g òàê êàê | f1 |g = 1. ßñíî, ÷òî è |f2 |g = 1. Äàëåå äëÿ ëþáîãî k ∈ 3, n ïîëîæèì

fk =

ek − g (f1 , ek )f1 − g (f2 , ek )f2 − . . . − g (fk−1 , ek )fk−1 . |ek − g (f1 , ek )f1 − g (f2 , ek )f2 − . . . − g (fk−1 , ek )fk−1 |g 2

Ïðîâåðêà òîãî, ÷òî g (fi , fj ) = 0 ïðè i 6= j , ýëåìåíòàðíà (ïðîäåëàéòå åå). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî | fi |g = 1 äëÿ âñåõ i. Òàêèì îáðàçîì âåêòîðà {f1 , f2 , . . . , fn } îáðàçóþò èñêîìûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ. ¤

Òåîðåìà 4.5. Ëþáîå â.ï. V ðàçìåðíîñòè n ∈ N ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì g èçîìåòðè÷íî ïðîñòðàíñòâó Rn ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì

(u, v) = | u| · | v| · cos u cv (ïîñëåäíåå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {f1 , . . . , fn }  îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â V (îí ñóùåñòâóåò ïî ëåììå 4.4) è {e1 , . . . , en }  ñòàíäàðòíûé áàçèñ â Rn (îí çàäàåò äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò). Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå ϕ : V → Rn ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè v = v1 f1 + . . . + vn fn ∈ V  ðàçëîæåíèå âåêòîðà v ïî áàçèñó, òî

ϕ(v) =

n X

vi ei .

i=1

p ßñíî, ÷òî | v|g = v12 + . . . + vn2 = | ϕ(v)|2 (òåîðåìà Ïèôàãîðà). Òàêèì îáðàçîì ϕ  èçîìåòðèÿ. ¤ Äàëåå, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ìû ñ÷èòàåì, ÷òî â Rn ôèêñèðîâàí îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ (â ñëó÷àå n = 2, 3  ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûé).  òàêîì áàçèñå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ

v=

n X

vi ei ,

è

i=1

u=

n X

ui ei

i=1

çàäàåòñÿ ôîðìóëîé n n ³ ´ 1X ´ X 1³ 2 2 2 2 2 2 (vi + ui ) − vi − ui = vi ui . (v, u) = | v + u| − | v| − | u| = 2 2 i=1 i=1 Ñêàëÿðíîå, êàê äîïîëíèòåëüíàÿ ñòðóêòóðà íà â.ï., ïîçâîëÿåò íàì ïîñòðîèòü âûäåëåííûé èçîìîðôèçì V ∗ → V .

Ëåììà 4.6. Äëÿ ëþáîé ëèíåéíîé ôóíêöèè l ∈ V ∗ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé âåêòîð u ∈ V , äëÿ êîòîðîãî l(v) = (u, v) ïðè âñåõ v ∈ V .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì u = l(e1 )e1 + l(e2 )e2 + . . . + l(en )en . ßñíî, ÷òî ýòî  èñêîìûé âåêòîð. ¤ Äëÿ ïðîñòðàíñòâ ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ìû áóäåì îòîæäåñòâëÿòü V ∗ ñ V îïèñàííûì âûøå ñïîñîáîì. 3

Ïðåäëîæåíèå 4.7. Ïóñòü V  îðèåíòèðîâàííîå â.ï.. Ïðè îïèñàííîì

èçîìîðôèçìå V ∗ → V âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå v ×E u ñîîòâåòñòâóåò âåêòîðó w ∈ V äëÿ êîòîðîãî: 1. (w, u) = (w, v) = 0 (îðòîãîíàëüíîñòü) 2. | w| = | v| · | u| · | sin(c v u)| (=ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, íàòÿíóòîãî íà âåêòîðà v è u) 3. [v, u, w] > 0 (ïðàâèëî áóðàâ÷èêà) Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà äîêàæåì êîððåêòíîñòü ôîðìóëèðîâêè. À èìåííî, ïîêàæåì, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå (êàê â ðàçìåðíîñòè 2, òàê è â ðàçìåðíîñòè 3) îäíî è òî æå â ëþáîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå. Äàëåå, [v, u, z] = v × u(z) = (w, z), îòêóäà ñëåäóþò ï.ï. 1 è 3. Äàëåå, 1 = [e1 , e2 , e3 ] = (e1 × e2 , e3 ) = |e1 × e2 | · |e3 | = |e1 × e2 |, ïîýòîìó ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ èõ äëèí. Äàëåå, | w|2 = [v, u, w] = [w, v, u] = (w × v, u) = | w| · | v| · | u| cos(π/2 − vc u). ¤

Ïðåäëîæåíèå 4.8. [u, v] = (u⊥ , v), ãäå [u⊥ , u] = | u|2 . Çàäà÷è. 1. Äîêàçàòü òîæäåñòâî (v×u)×w = (v, w)u−(u, w)v è ïîëó÷èòü

èç íåãî òîæäåñòâî ßêîáè: (v × u) × w + (w × v) × u + (u × w) × v = 0. 2. Ïóñòü u, v ∈ R3  îðòîãîíàëüíûå âåêòîðà, à w ∈ R3  âåêòîð, íå îðòîãîíàëüíûé âåêòîðó v . Íàéòè âåêòîð x ∈ R3 , óäîâëåòâîðÿþùèé ñèñòåìå óðàâíåíèé ½ (x, w) = m . x×v =u Çäåñü m ∈ R  íåêîòîðîå ÷èñëî. Äî êîíöà ýòîãî ïàðàãðàôà ìû ñ÷èòàåì, ÷òî íà ïëîñêîñòè (â ïðîñòðàíñòâå) ôèêñèðîâàíà äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò Oe1 e2 (Oe1 e2 e3 ). Ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ áîëåå òðàäèöèîííîé äëÿ ó÷åáíèêîâ ãåîìåòðèè ôîðìû çàïèñè. Òàê, âìåñòî òî÷êè A àôôèííîé ïëîñêîñòè (ïðîñòðàíñòâà) ~ ñ íà÷àëîì â òî÷êå O è êîíöîì (A, V ) ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü âåêòîð OA â òî÷êå A. Òàê, ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé èìååò âèä

r(t) = r0 + vt 4

(1)

q

n

r−r

0

r

0

r

O Ðèñ. 1: Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè O + r äî ïðÿìîé ðàâíî | r − r0 | cos q

Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé. Ëþáîé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé íàïðàâëÿþùåìó âåêòîðó v ∈ V ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè, íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì íîðìàëè äàííîé ïðÿìîé. Ïóñòü n ∈ V  òàêîé âåêòîð. Î÷åâèäíî, ÷òî óðàâíåíèå (1) ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ (n, r − r0 ) = 0.

(2)

Ñìûñë ýòîãî óðàâíåíèÿ: òî÷êà O + r ∈ A ëåæèò íà äàííîé ïðÿìîé â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (2). Ïóñòü q  óãîë ìåæäó âåêòîðàìè n è r − r0 , òîãäà

(n, r − r0 ) = | n| · | r − r0 | · cos q. Íî ìîäóëü ÷èñëà | r − r0 | · cos q ðàâåí ðàññòîÿíèþ ìåæäó òî÷êîé O + r è äàííîé ïðÿìîé. Òàêèì îáðàçîì ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êîé O + r è äàííîé ïðÿìîé ðàâíî | (n, r − r0 ) | . | n|

Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé. Åñëè n/| n| = e1 · cos p + e2 · sin p, r = e1 · x + e2 · y , òî óðàâíåíèå (2) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå x cos p + y sin p − d = 0. 5

|d| p O

Ðèñ. 2: Ê íîðìàëüíîìó óðàâíåíèþ ïðÿìîé. Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì ïðÿìîé. Ïðè ýòîì ðàññòîÿíèå îò ïðÿìîé äî íà÷àëà êîîðäèíàò ðàâíî | d|.

Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå. Ëþáîé íåíóëåâîé âåêòîð,

îðòîãîíàëüíûé íàïðàâëÿþùåìó ïîäïðîñòðàíñòâó ïëîñêîñòè, íàçûâàåòñÿ åå íîðìàëüþ. Åñëè ïëîñêîñòü â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì r(t, τ ) = r0 + tv + τ u, òî ëþáàÿ íîðìàëü ê ïëîñêîñòè ïðîïîðöèîíàëüíà âåêòîðó v × u. Òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè [v, u, r − r0 ] = 0 ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

(n, r − r0 ) = 0,

(3)

ãäå n  ëþáîé âåêòîð íîðìàëè ê äàííîé ïëîñêîñòè. Äëÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êîé O+r è äàííîé ïëîñêîñòüþ èìååò ìåñòî ôîðìóëà | (n, r − r0 )| , | n| àíàëîãè÷íàÿ ôîðìóëå äëÿ ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè. 6

B D

A

C

r

0

r

1

O Ðèñ. 3: Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè.

Ðàññòîÿíèå äî ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå. Ïóñòü r(t) = r0 + vt  ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà r ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êîé O + r è ïðÿìîé ðàâíî ìîäóëþ ÷èñëà | r − r0 | sin (v,\ r − r0 ), ò.å. îòíîøåíèþ | v × (r − r0 )|/| v|. Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè. Ïóñòü r0 + vt, r1 + ut  äâå

ïðÿìûå íå ïàðàëëåëüíûå â ïðîñòðàíñòâå, çàäàííûå ïàðàìåòðè÷åñêè. Îíè èìåþò åäèíñòâåííûé îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð AB (ñì. ðèñ. 3). Äåéñòâèòåëüíî, âåêòîðà {v, u, v × u} îáðàçóþò áàçèñ. Ïðåäñòàâèì r0 − r1 â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè: r1 − r0 = av + bu + c(v × u). Ýòî ðàâåíñòâî ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå r0 + av − c(v × u) = r1 + bu. Ïîëîæèì A = O + r1 + bu è B = O + r0 + av . Òî÷êà A ëåæèò íà âòîðîé ïðÿìîé, à òî÷êà B  íà ïåðâîé. Âåêòîð AB = B − A = c(v × u) ïåðïåíäèêóëÿðåí îáåèì ïðÿìûì. Èç ðàâåíñòâà r1 − r0 = av + bu + AB ñëåäóåò, ÷òî

[r1 − r0 , v, u] = [AB, v, u] = (v × u, AB) = ±|v × u| · |AB| (âåêòîðà v × u è AB êîëëèíåàðíû). Òàêèì îáðàçîì ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè ðàâíî ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ [r1 − r0 , v, u]¯ . |AB| = | v × u|

7

Ÿ5 Ñòðóêòóðà ñèììåòðè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ â ðàçìåðíîñòÿõ 2 è 3. Êëàññèôèêàöèÿ êâàäðèê. Îïðåäåëåíèå 5.1. Ïóñòü V  â.ï. Ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå A ∈ l(V, V )

íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì â V . Äëÿ êðàòêîñòè áóäåì ïèñàòü l(V ) âìåñòî l(V, V ). Ïðîèçâåäåíèåì ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ A, B ∈ l(V ) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûé îïåðàòîð C ∈ l(V ), äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó Cv = A(Bv). Òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð I ∈ l(V ) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Iv = v äëÿ âñåõ v ∈ V . Íóëåâîé îïåðàòîð O ∈ l(V ) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Ov = 0 äëÿ âñåõ v ∈ V .

Ïðèìåðû. Ïîâîðîò íà π/2 ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè J ∈ l(R2 ) ÿâëÿ-

åòñÿ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì. Î÷åâèäíî, ÷òî J 2 = −I , J 4 = I . Îòìåòèì ôîðìóëó [v, u] = (Jv, u) = −(v, Ju). (1) Çàäà÷à ñ íîðìàëÿìè. Ïóñòü J12 ∈ R3  ïîâîðîò íà π/2 â ïëîñêîñòè OXY è J23 ∈ R3  ïîâîðîò íà π/2 â ïëîñêîñòè OY Z . Åñëè e3  åäèíè÷íûé âåêòîð ñòàíäàðòíîãî áàçèñà, íàïðàâëåííûé âäîëü îñè OZ , òî J12 e3 = e3 , J23 e3 = −e2 , J12 e2 = −e1 . Ïîýòîìó J12 J23 e3 = e1 , íî J23 J12 e3 = −e2 . Òàêèì îáðàçîì íå âñåãäà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî AB = BA (óìíîæåíèå îïåðàòîðîâ íåêîììóòàòèâíî). Ïóñòü V = C ∞ [0, 1]  ïðîñòðàíñòâî ãëàäêèõ ôóíêöèé íà îòðåçêå [0, 1]. Îïåðàòîð A ∈ l(V ), äåéñòâóþùèé êàê Af (x) = f 0 (x) ÿâëÿåòñÿ, î÷åâèäíî, ëèíåéíûì îïåðàòîðîì (îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ).

Îïðåäåëåíèå 5.2. Ïîäïðîñòðàíñòâî U âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V íà-

çûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì (èëè èíâàðèàíòíûì) ïîäïðîñòðàíñòâîì äëÿ îïåðàòîðà A ∈ l(V ), åñëè A(U ) ⊂ U . Íåíóëåâîé âåêòîð v ∈ V , äëÿ êîòîðîãî Av = λv íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì (ñîáñòâåííûé âåêòîð ïîðîæäàåò îäíîìåðíîå ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî). Ïðè ýòîì ÷èñëî λ ∈ R íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì ÷èñëîì.

Ïðåäëîæåíèå 5.3. Ïóñòü V  â.ï. è A ∈ l(V ). A îáðàòèì ⇔ A íå èìååò íóëåâîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî ïî òåîðåìå 1.13

dim ker A + dim im A = dim V. 1

Òàêèì îáðàçîì áèåêòèâíîñòü (à çíà÷èò è îáðàòèìîñòü) îïåðàòîðà A ðàâíîñèëüíà òîìó, ÷òî ker A = { 0}. A îáðàòèì ⇔ ker A = { 0} ⇔ äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà v ∈ V èìååì Av 6= 0 ⇔ λ = 0 íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì äëÿ A. ¤

Ëåììà 5.4. Ïóñòü v, u ∈ V  ëèíåéíî íåçàâèñèìûå âåêòîðà â ïðî-

ñòðàíñòâå V ' R2 . Åñëè A ∈ l(V ), òî ÷èñëî

[Av, Au]E [v, u]E çàâèñèò òîëüêî îò îïåðàòîðà A. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F  áàçèñ, îòëè÷íûé îò áàçèñà E = {e1 , e2 }. Ñîãëàñíî ï.4 ïðåäëîæåíèÿ 3.3 èìååì

[Av, Au]F [e1 , e2 ]F · [Av, Au]E [Av, Au]E = = . [v, u]F [e1 , e2 ]F · [v, u]E [v, u]E Òàêèì îáðàçîì äàííîå ÷èñëî íå çàâèñèò îò áàçèñà, â êîòîðîì âû÷èñëÿåòñÿ ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå. Âîçüìåì äðóãóþ ïàðó ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ {z, w} ⊂ V . Îäèí èç ýòèõ âåêòîðîâ íå êîëëèíåàðåí âåêòîðó v . Ïóñòü w = av + bu, b 6= 0, òîãäà

[Av, Aw] [Av, A(av + bu)] a · [Av, Av] + b · [Av, Au] [Av, Au] = = = . [v, w] [v, av + bu] a · [v, v] + b · [v, u] [v, u] Íî âåêòîð z ∈ V ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïàðó íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ v, w ∈ V : z = cv + dw, ïðè ýòîì c 6= 0, òàê êàê z è w íå êîëëèíåàðíû. Òàêèì îáðàçîì

[Az, Aw] [A(cv + zw), Aw] c · [Av, Aw] + d · [Aw, Aw] [Av, Aw] = = = . [z, w] [cv + zw, w] c · [v, w] + d · [w, w] [v, w] Èç äâóõ ïîëó÷åííûõ ðàâåíñòâ ñëåäóåò, ÷òî

[Az, Aw] [Av, Au] = . [z, w] [v, u] Òàêèì îáðàçîì ÷èñëî [Av, Au]E /[v, u]E íå çàâèñèò íè îò áàçèñà E , íè îò ïàðû ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ {v, u} ⊂ V .¤ 2

Ëåììà 5.4.1 Ïóñòü v, u, w ∈ V  ëèíåéíî íåçàâèñèìûå âåêòîðà â ïðîñòðàíñòâå V ' R3 . Åñëè A ∈ l(V ), òî ÷èñëî [Av, Au, Aw]E [v, u, w]E íå çàâèñèò íè îò áàçèñà E , íè îò âûáîðà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ v, u, w ∈ V . Äîêàçàòåëüñòâî. Íåçàâèñèìîñòü îò âûáîðà áàçèñà ïðîâåðÿåòñÿ òàêæå, êàê â ïðåäûäóùåì äîêàçàòåëüñòâå (òîëüêî èñïîëüçóåòñÿ ï.4 ïðåäëîæåíèÿ 3.9). Âîçüìåì äðóãóþ òðîéêó v 0 , u0 , w0 ∈ V ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ. Îäèí èç íèõ íå êîìïëàíàðåí âåêòîðàì v, u ∈ V . Ïóñòü w0 = av + bu + cw, c 6= 0, òîãäà

[Av, Au, Aw0 ] [Av, Au, A(av + bu + cw)] = = 0 [v, u, w ] [v, u, av + bu + cw] [Av, Au, Aw] [Av, Au, aAv + bAu] + c[Av, Au, Aw] = . = [v, u, av + bu] + c[v, u, w] [v, u, w] Ëèáî âåêòîð v 0 , ëèáî âåêòîð u0 íå êîìïëàíàðåí ñ ïàðîé âåêòîðîâ {v, w0 }. Ïóñòü u0 = dv + eu + f w0 , e 6= 0. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåé âûêëàäêå ïîëó÷èì [Av, Au0 , Aw0 ] [Av, Au, Aw0 ] = . [v, u0 , w0 ] [v, u, w0 ] Îñòàâøèéñÿ âåêòîð v 0 ∈ V íå êîëëèíåàðåí âåêòîðàì u0 , w0 ∈ V : v 0 = jv + hu0 + kw0 , j 6= 0, ïîýòîìó ïîëó÷èì

[Av 0 , Au0 , Aw0 ] [Av, Au0 , Aw0 ] = . [v 0 , u0 , w0 ] [v, u0 , w0 ] Òàêèì îáðàçîì ÷èñëî [Av, Au, Aw]E /[v, u, w]E íå çàâèñèò íè îò áàçèñà E , íè îò òðîéêè ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ {v, u, w} ⊂ V . ¤

Îïðåäåëåíèå 5.5. ×èñëî, îïðåäåëåííîå â ïðåäûäóùèõ äâóõ ëåììàõ íà-

çûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì îïåðàòîðà A ∈ l(V ) è îáîçíà÷àåòñÿ det A.

Î÷åâèäíûå ñâîéñòâà. det O = 0, det I = 1. Ïðèìåð. Îòðàæåíèå îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé OX . Ëèíåéíûé îïåðàòîð

ROX : R2 → R2 îòðàæåíèÿ îñòàâëÿåò îñü OX íà ìåñòå: ROX e1 = e1 , è îòðàæàåò îðòîãîíàëüíûå âåêòîðà: ROX e2 = −e2 . Íåñëîæíîå âû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî det ROX = −1. 3

Ïðåäëîæåíèå 5.6. Ëèíåéíûé îïåðàòîð A â V ' R2,3 îáðàòèì â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà det A 6= 0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü âåêòîðà v, u, w ∈ V ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Èìååì öåïî÷êó ðàâíîñèëüíûõ óòâåðæäåíèé: [Av, Au, Aw] = 0 ⇔ âåêòîðà Av, Au, Av ∈ V ëèíåéíî çàâèñèìû ⇔ íàéäóòñÿ ÷èñëà a, b, c ∈ R, íå ðàâíûå íóëþ îäíîâðåìåííî, äëÿ êîòîðûõ a · Av + b · Au + c · Aw = 0 ⇔ A(av + bu + cw) = 0 ⇔ av + bu + cw ∈ ker A, ò.å. ker A 6= { 0} ⇔ îïåðàòîð A íå îáðàòèì. Òàêèì îáðàçîì det A = 0 ⇔ îïåðàòîð A íå îáðàòèì. ×òî ðàâíîñèëüíî óòâåðæäåíèþ ïðåäëîæåíèÿ. ¤

Îïðåäåëåíèå 5.7. Ôóíêöèÿ PA (t) = det(A − tI) íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì îïåðàòîðà A.

Ïðåäëîæåíèå 5.8. 1. λ ∈ R  ñ.ç. îïåðàòîðà A ⇔ PA (λ) = 0.

2. λ ∈ R  íå ñ.ç. îïåðàòîðà A ⇔ îïåðàòîð A − λI îáðàòèì.

Äîêàçàòåëüñòâî. 1. ×èñëî λ ∈ R  ñ.ç. îïåðàòîðà A ⇔ (ïî îïðåäåëåíèþ) ñóùåñòâóåò íåíóëåâîé âåêòîð v ∈ V , äëÿ êîòîðîãî Av = λv , ò.å. (A − λI)v = 0 ⇔ v ∈ ker(A − λI), ò.å. îïåðàòîð A − λI èìååò íåíóëåâîå ÿäðî ⇔ (ïî ïðåäëîæåíèþ 5.6) PA (λ) = det(A − λI) = 0. 2. ×èñëî λ ∈ R  íå ñ.ç. îïåðàòîðà A ⇔ (ïî ï. 1) PA (λ) = det(A−λI) 6= 0 ⇔ (ïî ïðåäëîæåíèþ 5.6) îïåðàòîð A − λI îáðàòèì. ¤

Îïðåäåëåíèå 5.9. Ïóñòü V  â.ï. ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , ).

Îïåðàòîð A ∈ l(V ) íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì, åñëè (Av, u) = (Au, v) ïðè âñåõ v, u ∈ V .

Ëåììà 5.10. Åñëè v è u  äâà ñîáñòâåííûõ âåêòîðà ñèììåòðè÷åñêîãî ë.î. A è ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ðàçëè÷íû, òî v⊥u.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Av = λv è Au = µu. Ñîãëàñíî ñèììåòðè÷íîñòè îïåðàòîðà A èìååì (Av, u) = (Au, v), ïîýòîìó

0 = (Av, u) − (Au, v) = λ(v, u) − µ(u, v) = (λ − µ)(v, u). Åñëè λ 6= µ, òî (v, u) = 0. ¤

Òåîðåìà 5.11. Ïóñòü V ' R2 è A ∈ l(V )  ñèìì. ë.î. Ñóùåñòâóåò

ïàðà îðòîãîíàëüíûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ v, u ∈ V äëÿ A: Av = λv , Au = µu. Ïðè÷åì, åñëè λ 6= µ, òî âûáîð ïàðû âåêòîðîâ îäíîçíà÷åí. 4

Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî âåêòîð v ∈ V ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì îïåðàòîðà A åñëè è òîëüêî åñëè [Av, v] = 0. Ïóñòü e1 , e2 ∈ V  îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ íà ïëîñêîñòè. Âîçüìåì âåêòîð vt = e1 cos t + e2 sin t è ïîñìîòðèì íà ôóíêöèþ f (t) = [Avt , vt ]. Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè â òî÷êàõ t = 0 è t = π/2:

f (0) = [Ae1 , e1 ] = −(Ae1 , Je1 ) = −(Ae1 , e2 ), f (π/2) = [Ae2 , e2 ] = −(Ae2 , Je2 ) = (Ae2 , e1 ). Åñëè (Ae1 , e2 ) = 0, òî âåêòîðà v0 = e1 , vπ/2 = e2 ÿâëÿþòñÿ èñêîìûìè ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè. Ïóñòü (Ae1 , e2 ) 6= 0. Ôóíêöèÿ f : [0, π/2] → R íåïðåðûâíà:

f (t) = [Avt , vt ] = cos2 t[Ae1 , e1 ]+cos t·sin t([Ae1 , e2 ]+[Ae2 , e1 ])+sin2 t[Ae2 , e2 ] è ïðèíèìàåò íà êîíöàõ îòðåçêà [0, π/2] ïðîòèâîïîëîæíûå çíà÷åíèÿ. Ïî òåîðåìå Áîëüöàíî-Êîøè íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà t∗ ∈ (0, π/2), äëÿ êîòîðîé f (t∗ ) = 0. Ïóñòü v = vt∗ . Òàê-êàê f (t∗ ) = [Av, v] = 0 âåêòîð v ∈ V , ëåæàùèé â ïåðâîì êâàäðàíòå, ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì äëÿ îïåðàòîðà A: Av = λv . Ðàññìîòðåâ òó æå ôóíêöèþ íà îòðåçêå [π/2, π], îáíàðóæèì âòîðîé ñîáñòâåííûé âåêòîð u ∈ V : Au = µu, ëåæàùèé âî âòîðîì êâàäðàíòå. Åñëè λ 6= µ, òî, ñîãëàñíî ëåììå 5.10, âåêòîðà v è u îðòîãîíàëüíû. Åñëè λ = µ, òî ëþáîé âåêòîð ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì äëÿ A. Îäíîçíà÷íîñòü âûáîðà ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ïðè λ 6= µ.  ýòîì ñëó÷àå ïî ëåììå 5.10 ëþáîé ñîáñòâåííûé âåêòîð îðòîãîíàëåí ëèáî v , ëèáî u. ¤

Ëåììà 5.12. Ïóñòü A ∈ V ' R3  ë.î. (íå îáÿçàòåëüíî ñèìììåòðè÷åñêèé). Òîãäà A èìååò íåòðèâèàëüíîå ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì äâà åäèíè÷íûõ âåêòîðà v, u ∈ V è ðàññìîòðèì âåêòîð vt = cos t · v + sin t · u. Îáðàçóåì ôóíêöèþ

f (t) = [A2 vt , Avt , vt ]. ßñíî, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ f : [0, π] → R íåïðåðûâíà è ÷òî f (0) = −f (π). Ñîãëàñíî òåîðåìå Áîëüöàíî-Êîøè íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî t∗ ∈ [0, π], ÷òî f (t∗ ) = 0. Ïóñòü w = vt∗ , ò.å. [A2 w, Aw, w] = 0. Åñëè Aw = λw, òî âåêòîð w ∈ V ïîðîæäàåò ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî è äàëüøå äîêàçûâàòü íå÷åãî. Ïóñòü âåêòîðà Aw è w ëèíåéíî 5

íåçàâèñèìû è U = span{w, Aw}. Ïîêàæåì, ÷òî U  A-èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Âîçüìåì âåêòîð z ∈ U è ïðåäñòàâèì åãî â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè z = a · w + b · Aw âåêòîðîâ w è Aw.  ýòîì ñëó÷àå

Az = A(a · w + b · Aw) = a · Aw + b · A2 w. Íî â ñèëó òîãî, ÷òî [A2 w, Aw, w] = 0, âåêòîð A2 w ëåæèò â ïîäïðîñòðàíñòâå U , ïîýòîìó Az ∈ U . Òàêèì îáðàçîì A(U ) ⊂ U , ïîýòîìó ïîäïðîñòðàíñòâî U ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì.¤

Òåîðåìà 5.13. Ïóñòü V ' R3 è A ∈ l(V ) ñèìì. ë.î. Ñóùåñòâóåò òðîé-

êà îðòîãîíàëüíûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ v, u, w ∈ V äëÿ A. Ïðè÷åì, åñëè âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ðàçëè÷íû, òî âûáîð òðîéêè âåêòîðîâ îäíîçíà÷åí.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ïðåäûäóùåé ëåììå, îïåðàòîð A èìååò èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî U ⊂ V . 1. Ïîäïðîñòðàíñòâî U îäíîìåðíî. Ïóñòü U = span{v} è Av = λv . Åñëè âåêòîð u ∈ V ïåðïåíäèêóëÿðåí âåêòîðó v ∈ V , òî (Au, v) = (u, Av) = λ(u, v) = 0. Òàêèì îáðàçîì ïîäïðîñòðàíñòâî U 0 ⊂ V , îðòîãîíàëüíîå âåêòîðó v  ñîáñòâåííîå äëÿ A, ò.å. A(U 0 ) ⊂ U 0 . Ïóñòü A0 : U 0 → U 0  îãðàíè÷åíèå îïåðàòîðà A íà èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî U 0 ' R2 . Ñîãëàñíî òåîðåìå 5.11, èìåþòñÿ ñîáñòâåííûå âåêòîðà u, w ∈ U 0 äëÿ îïåðàòîðà A0 . Òàêèì îáðàçîì òðîéêà îðòîãîíàëüíûõ (ïî ëåììå 5.10) âåêòîðîâ {v, u, w} ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé. 2. Ïîäïðîñòðàíñòâî U äâóìåðíî. Ñîãëàñíî òåîðåìå 5.11, èìåþòñÿ ñîáñòâåííûå âåêòîðà u, w ∈ U äëÿ îãðàíè÷åíèÿ îïåðàòîðà A íà ïîäïðîñòðàíñòâî U . Íî ýòè âåêòîðà ñîáñòâåííûå è äëÿ A. Ïîëîæèì v = u × w, òîãäà (Av, u) = (v, Au) = (u, w, Au) = 0 ïîýòîìó Av⊥u. Àíàëîãè÷íî Av⊥w. Òàêèì îáðàçîì âåêòîð Av îðòîãîíàëåí âåêòîðàì u è w, ïîýòîìó Av = λu × w = λv . Òàêèì îáðàçîì òðîéêà îðòîãîíàëüíûõ (ïî ëåììå 5.10) âåêòîðîâ {v, u, w} ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé.  ñëó÷àå ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, ëþáîé äðóãîé ñîáñòâåííûé âåêòîð ïðîïîðöèîíàëåí îäíîìó èç íàéäåííûõ òðåõ âåêòîðîâ.¤ Ïîäèòîæèì ðåçóëüòàòû äàííîãî ïàðàãðàôà. Äëÿ ëþáîãî ñèììåòðè÷åñêîãî îïåðàòîðà A ∈ l(Rn ) (n = 2, 3) íàéäåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ {ei }ni=1 , ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ äëÿ A: Aei = λi ei . Òàêèì îáðàçîì äëÿ ëþáîãî âåêòîðà v ∈ V èìååì à n ! n n X X X Av = A (v, ei )Aei = λi (v, ei )ei . (v, ei )ei = i=1

i=1

6

i=1

Ïóñòü (A, V )  àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî. Íàïîìíþ, ÷òî ôóíêöèÿ f : A → R íàçûâàåòñÿ àôôèííî-ëèíåéíîé, åñëè îíà èìååò âèä f (A + v) = f (A) + df (v). Çäåñü df : V → R  ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå (äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè), íå çàâèñÿùåå îò òî÷êè A ∈ A. Ïóñòü V ' Rn . Ôèêñèðóåì íà V íåêîòîðîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.  ïðîñòðàíñòâå ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ëþáîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå V → R èìååò âèä v 7→ (w, v) (ëåììà 4.6), ïîýòîìó

f (A + v) = (w, v) + f (A), ãäå âåêòîð w ∈ V íå çàâèñèò îò òî÷êè A ∈ A.

Îïðåäåëåíèå 5.14. Ñêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ f : A → R àôôèííî-êâàäðàòè÷íà, åñëè íàéäóòñÿ (íåíóëåâîé) ëèíåéíûé îïåðàòîð F ∈ l(V ), âåêòîð b ∈ V è ÷èñëî c ∈ R, ÷òî

∀A ∈ A , ∀v ∈ V

f (A + v) = (F v, v) + 2(b, v) + f (A),

äëÿ íåêîòîðîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , ) íà V ' Rn .

Çàìå÷àíèÿ. 1. Çàìåòèì, ÷òî äàííîå îïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò âûáîðà

ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ôóíêöèþ a(v, u) = (F v, u). Ýòà ôóíêöèÿ ëèíåéíà ïî êàæäîìó èç àðãóìåíòîâ.  ÷àñòíîñòè, åñëè ( , )1  äðóãîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà V , òî a(v, u) = (F1 (v), u)1 äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè F1 : V → V . Íî (F1 (v + λv 0 ), u)1 = a(v + λv 0 , u) = a(v, u) + λa(v 0 , u) = (F1 (v), u)1 + (λF1 (v 0 ), u)1 = (F1 (v) + λF1 (v 0 ), u)1 äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ v, v 0 , u ∈ V è ëþáîãî ÷èñëà λ ∈ R. Ïîýòîìó F1 ∈ l(V ). Àíàëîãè÷íî èìååì (b, v) = (b1 , v)1 äëÿ íåêîòîðîãî ÷èñëà b1 ∈ R. 2. Îïåðàòîð F ∈ l(V ) ìîæåò áûòü âûáðàí ñèììåòðè÷åñêèì. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ôóíêöèþ a(v, u) = ((F v, u) + (F u, v))/2.  ñèëó ëèíåéíîñòè ôóíêöèè a ïî îáîèì àðãóìåíòàì íàéäåòñÿ ëèíåéíûé îïåðàòîð Fe ∈ l(V ) äëÿ êîòîðîãî a(v, u) = (Fev, u).  ñèëó òîãî, ÷òî a(v, u) = a(u, v) ýòîò îïåðàòîð ñèììåòðè÷åí. Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî (Fev, v) = (F v, v) äëÿ ëþáîãî âåêòîðà v ∈ V .

Îïðåäåëåíèå 5.15. Ïóñòü (A, V )  àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî è f : A →

R àôôèííî-êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ. Ìíîæåñòâî òî÷åê Q(f ) = {B ∈ A | f (B) = 0} íàçûâàåòñÿ êâàäðèêîé â A. 7

Çàìå÷àíèÿ. 1. Ôèêñèðóåì òî÷êó O ∈ A è ïóñòü f (O) = c. Òî÷êà O + v ïðèíàäëåæèò êâàäðèêå Q(f ) â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà

(F v, v) + 2(b, v) + c = 0.

(2)

Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì êâàäðèêè Q(f ). 2. Ìîæåò ñëó÷èòñÿ òàê, ÷òî Q(f ) = ∅. Ïðèìåð: F = I , c = 1. ßñíî, ÷òî íåò òàêîãî âåêòîðà v ∈ V äëÿ êîòîðîãî | v| 2 + 1 = 0. 3. Ïðèìåð íåïóñòîé êâàäðèêè: A ' Rn , F = I , c = −R2 . Ýòî  îêðóæíîñòü ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â O. 4. Ëþáàÿ ïðÿìàÿ (n, r − r0 ) = 0 íà ïëîñêîñòè ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà êàê êâàäðèêà: f (B) = (n, B − B0 )2 (çäåñü B0  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà ïðÿìîé). Ïîñëåäíèé ñëó÷àé çàñëóæèâàåò îñîáîãî îïðåäåëåíèÿ.

Îïðåäåëåíèå 5.16. Êâàäðèêà â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå A íàçûâàåòñÿ ñèëüíî âûðîæäåííîé, åñëè îíà öåëèêîì ëåæèò â íåêîòîðîì àôôèííîì ïîäïðîñòðàíñòâå B ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè (dim B < dim A).

Îïðåäåëåíèå 5.17. Òî÷êà A ∈ A íàçûâàåòñÿ öåíòðîì êâàäðèêè Q(f ), åñëè âìåñòå ñ ëþáîé ñâîåé òî÷êîé B ∈ Q(f ) êâàäðèêà ñîäåðæèò è òî÷êó B + 2(A − B). Êâàäðèêà, èìåþùàÿ õîòÿ áû îäèí öåíòð, íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíîé.

Ëåììà 5.18. Ïóñòü êâàäðèêà Q(f ) çàäàíà óðàâíåíèåì (2). Åñëè âåêòîð b ∈ V ïðèíàäëåæèò îáðàçó îïåðàòîðà F , òî êâàäðèêà Q(f ) ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíîé. Îáðàòíî, åñëè êâàäðèêà Q(f ) íå ñèëüíî âûðîæäåíà è öåíòðàëüíà, òî âåêòîð b ∈ V ïðèíàäëåæèò îáðàçó îïåðàòîðà F . Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà äîêàæåì îáðàòíîå. Ïóñòü O + v ∗  öåíòð êâàäðèêè Q(f ) è òî÷êà O + v ëåæèò íà ïîñëåäíåé: f (O + v) = 0. Òîãäà f (O + v + 2(O + v ∗ − O − v)) = f (O + 2v ∗ − v) = 0, ò.å.

0 = (F (2v ∗ − v), (2v ∗ − v)) + 2(b, 2v ∗ − v) + c = = 4(F v ∗ , v ∗ ) − 4(F v ∗ , v) + (F v, v) + 4(b, v ∗ ) − 2(b, v) + c = ³ ´ ∗ ∗ ∗ ∗ = 4 (F v , v ) − (F v , v) + (b, v ) − (b, v) = 4(F v ∗ + b, v ∗ − v). Çäåñü èñïîëüçîâàíî ðàâåíñòâî (1). Ïóñòü dim V = n. Òðåáîâàíèå íå ñèëüíîé âûðîæäåííîñòè ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî íà êâàäðèêå íàéäóòñÿ òî÷êè O + v0 , . . . , O + vn äëÿ êîòîðûõ âåêòîðà v1 − v0 , . . . , vn − v0 îáðàçóþò áàçèñ â V . 8

Ïî äîêàçàííîìó âûøå èìååò ìåñòî n+1 ðàâåíñòâî (F v ∗ +b, v ∗ −vi ) = 0, i = 0, . . . , n. Âû÷èòàÿ ðàâåíñòâî (F v ∗ + b, v ∗ − v0 ) = 0 èç îñòàëüíûõ, ïîëó÷èì n ðàâåíñòâ

(F v ∗ + b, v1 − v0 ) = 0,

...

, (F v ∗ + b, vn − v0 ) = 0.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðîåêöèè âåêòîðà F v ∗ + b íà âñå âåêòîðà íåêîòîðîãî áàçèñà  íóëåâûå. Çíà÷èò è F v ∗ + b = 0. Ïîñëåäíåå ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî b = F (−v ∗ ). Òåïåðü äîêàæåì ïðÿìîå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü b ∈ im F , òîãäà íàéäåòñÿ òàêîé âåêòîð v ∗ ∈ V , äëÿ êîòîðîãî F (−v ∗ ) = b. Ýëåìåíòàðíàÿ ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò, ÷òî òî÷êà O + v ∗ ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì êâàäðèêè Q(f ). ¤

Ëåììà 5.19. Ïóñòü Q(f )  êâàäðèêà â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå (A, V ). Íàéäóòñÿ òàêàÿ òî÷êà O ∈ A è îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ {ei }ni=1 â V ' Rn (n = 2, 3), ÷òî óðàâíåíèå êâàäðèêè èìååò ñëåäóþùèé âèä. Ïðè n = 2. 1. λ1 (v, e1 )2 + λ2 (v, e2 )2 + c = 0, ãäå | λ1 | + | λ2 | 6= 0 2. λ2 (v, e2 )2 + 2q(v, e1 ) = 0, ãäå | λ2 | 6= 0, q 6= 0 Ïðè n = 3. 1. λ1 (v, e1 )2 + λ2 (v, e2 )2 + λ3 (v, e3 )2 + c = 0, ãäå | λ1 | + | λ2 | + | λ3 | 6= 0 2. λ1 (v, e1 )2 + λ2 (v, e2 )2 + 2q(v, e3 ) = 0, ãäå | λ1 | + | λ2 | 6= 0, q 6= 0 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êâàäðèêà öåíòðàëüíà è ïîìåñòèì òî÷êó O â öåíòð êâàäðèêè. Ïî îïðåäåëåíèþ öåíòðà ðàâåíñòâî

(F v, v) + 2(b, v) + c = 0 èìååò ìåñòî â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà âåðíî ðàâåíñòâî

(F v, v) − 2(b, v) + c = 0.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå êâàäðèêè (2) èìååò âèä

(F v, v) + c = 0. Ïóñòü {ei }ni=1  îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà F ∈ l(V ) (òàêîé ñóùåñòâóåò ïî òåîðåìàì 5.11, 5.13). Â ýòîì áàçèñå óðàâíåíèå êâàäðèêè èìååò âèä n X

λi (v, ei )2 + c = 0,

i=1

9

÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ 1 â îáåèõ ðàçìåðíîñòÿõ. [Âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå. Ëþáîé âåêòîð v ∈ V äîïóñêàåò åäèíñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå â âèäå v = v 0 + v 00 , ãäå v 0 ∈ ker F , v 00 ∈ im F . Äåéñòâèòåëüíî, òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ñóùåñòâóåò, ò.ê. ïî òåîðåìàì 5.11, 5.13 â ïðîñòðàíñòâå V èìååòñÿ áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà F 1 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïóñòü v = u0 + u00  äðóãîå ðàçëîæåíèå.  ñèëó òîãî, ÷òî u0 + u00 = v 0 + v 00 èìååì v 0 − u0 = u00 − v 00 . Íî v 0 − u0 ∈ ker F , à u00 − v 00 ∈ im F , îòêóäà ïî òåîðåìå 1.13 2 èìååì v 0 − u0 = u00 − v 00 = 0. ] Ïðåäïîëîæèì, êâàäðèêà, çàäàííàÿ óðàâíåíèåì (2) íå öåíòðàëüíà. Ïî ëåììå 5.18 èìååì b 6∈ im F (îòðèöàíèå ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ ëåììû). Ïóñòü b = b0 + b00  ðàçëîæåíèå âåêòîðà íà ÿäåðíóþ è îáðàçíóþ ñîñòàâëÿþùèå è v 0 òàêîé âåêòîð, ÷òî F v 0 = −b00 .  ñèëó òîãî, ÷òî b 6∈ im F èìååì b0 6= 0. Çàïèøåì óðàâíåíèå (2) èñïîëüçóÿ òî÷êó Ot = O + v 0 + tb0 â êà÷åñòâå öåíòðà: òî÷êà Ot +v ïðèíàäëåæèò êâàäðèêå Q(f ) â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè

0 = f (Ot + v) = f (O + v 0 + tb0 + v) = = (F (v + tb0 + v 0 ), v + tb0 + v 0 ) + 2(b, v + tb0 + v 0 ) + c = = (F v, v) + 2(F (tb0 + v 0 ) + b, v) + (F (v 0 + tb0 ), v 0 + tb0 ) + 2(b, v 0 + tb0 ) + c = (F v, v) + 2(b0 , v) + f (Ot ). Çäåñü èñïîëüçîâàí òîò ôàêò, ÷òî F (v 0 + tb0 ) = −b00 . Ìíîæåñòâî òî÷åê {Ot : t ∈ R} ÿâëÿåòñÿ àôôèííîé ïðÿìîé. Ïîêàæåì, ÷òî ýòà ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñ êâàäðèêîé Q(f ). Äåéñòâèòåëüíî, èìååì ðàâåíñòâî

f (Ot ) = f (O + v 0 + tb1 ) = (F (v 0 + tb0 ), v 0 + tb0 ) + 2(b, v 0 + tb0 ) + c = = (F v0 , v0 ) + 2(b, v0 ) + c + 2t(b, b0 ) = f (O0 ) + 2t| b0 |2 . Ïóñòü

t∗ = −

f (O0 ) . 2| b0 |2

ßñíî, ÷òî f (Ot∗ ) = 0, ïîýòîìó Ot∗ ∈ Q(f ). Òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèå êâàäðèêè Q(f ) ïðè ïåðåíîñå íà÷àëà êîîðäèíàò â òî÷êó Ot∗ èìååò âèä

f (Ot∗ + v) = (F v, v) + 2(b0 , v) = 0, 1 âåêòîðà

(3)

ñ íåíóëåâûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ïîðîæäàþò im F , òîãäà êàê âåêòîðà ñ íóëåâûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ïîðîæäàþò ker F 2 dim ker F + dim im F = dim V , ïîýòîìó im F ∩ ker F = {0}

10

ãäå b0 ∈ ker F . [n = 2]. Ñîãëàñíî òåîðåìå 5.11 âûáåðåì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ {e1 , e2 }, â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå V , ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, òàê, ÷òî F e1 = 0, F e2 = λ2 e2 è b0 = qe1 (q, λ2 6= 0). Òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèå (3) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå

λ2 (v, e2 )2 + 2q(e1 , v) = 0. [n = 3]. Ïóñòü e3 ∈ V òàêîé åäèíè÷íûé âåêòîð, ÷òî b0 = qe3 . ßñíî, ÷òî e3  åäèíè÷íûé ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà F ñ íóëåâûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì. Ïî òåîðåìàì 5.13 ìîæíî âûáðàòü îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ {ei }3i=1 , â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå V , ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ3 . Òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèå (3) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå

λ1 (v, e1 )2 + λ2 (v, e2 )2 + 2q(e3 , v) = 0. ¤

Òåîðåìà 5.20. Ïîëíûé ñïèñîê êâàäðèê ïðè n = 2. 1. Ýëëèïñ x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 2. Ãèïåðáîëà x2 /a2 − y 2 /b2 = 1 3. Ïàðàáîëà y 2 = 2px 4. Ïàðà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ x2 = a2 5. Ïàðà ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ b2 x2 = a2 y 2 6. Îäíà ïðÿìàÿ x2 = 0 7. Òî÷êà x2 /a2 + y 2 /b2 = 0 8. Ïóñòîå ìíîæåñòâî a2 x2 + b2 y 2 = −d2 , d 6= 0

Òåîðåìà 5.21. Ïîëíûé ñïèñîê êâàäðèê ïðè n = 3. 1. Ýëëèïñîèä x2 /a2 + y 2 /b2 + z 2 /c2 = 1 2. Îäíîïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä x2 /a2 + y 2 /b2 − z 2 /c2 = 1 3. Äâóïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä x2 /a2 − y 2 /b2 − z 2 /c2 = 1 3 Åñëè

dim ker F = 1, òî òåîðåìà 5.13 ïðèìåíÿåòñÿ íàïðÿìóþ. Åñëè dim ker F = 2, òî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â êà÷åñòâå òðåòüåãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà ìîæíî âûáðàòü e3 .

11

4. Ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä x2 /a2 + y 2 /b2 = 2z 5. Ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä x2 /a2 − y 2 /b2 = 2z 6. Êîíóñ x2 /a2 + y 2 /b2 − z 2 /c2 = 0 7. Òî÷êà x2 /a2 + y 2 /b2 + z 2 /c2 = 0 8. Ýëëèïòè÷åñêèé öèëèíäð (ï. 1 òåîðåìû 5.20) 9. Ãèïåðáîëè÷åñêèé öèëèíäð (ï. 2 òåîðåìû 5.20) 10. Ïàðàáîëè÷åñêèé öèëèíäð (ï. 3 òåîðåìû 5.20) 11. Ïàðà ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé (ï. 4 òåîðåìû 5.20) 12. Ïàðà ïåðåñåêàþùèõñÿ ïëîñêîñòåé (ï. 5 òåîðåìû 5.20) 13. Ïëîñêîñòü (ï. 6 òåîðåìû 5.20) 14. Ïðÿìàÿ (ï. 7 òåîðåìû 5.20) 15. Ïóñòîå ìíîæåñòâî a2 x2 + b2 y 2 + c2 z 2 = −d2 , d 6= 0

12

Ÿ6 Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà êâàäðèê â R2 è R3 Ëåììà 6.1. Ïóñòü Q(f )  êâàäðèêà, çàäàííàÿ óðàâíåíèåì f (O + v) = (F v, v) + 2(b, v) + c è A + ut  ïðÿìàÿ â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå A. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ àëüòåðíàòèâà. 1. Ïðÿìàÿ ñîäåðæèòñÿ â êâàäðèêå ((F u, u) = 0, (F u0 + b, u) = 0, f (A) = 0). 2. Ïðÿìàÿ è êâàäðèêà èìåþò äâå îáùèå òî÷êè ((F u, u) 6= 0 è (F u0 + b, u)2 > (F u, u) · f (A)). 3. Ïðÿìàÿ è êâàäðèêà èìåþò îäíó îáùóþ òî÷êó ((F u, u) 6= 0 è (F u0 + b, u)2 = (F u, u) · f (A) èëè (F u, u) = 0, (F u0 + b, u) 6= 0). 4. Ïðÿìàÿ è êâàäðèêà íå èìåþò îáùèõ òî÷åê ((F u0 +b, u)2 < (F u, u)· f (A) èëè (F u, u) = 0, (F u0 + b, u) = 0, f (A) 6= 0). (Çäåñü u0 = A − O). Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì

f (A + vt) = f (O + u0 + tu) = (F (u0 + tu), u0 + tu) + 2t(b, u0 + tu) + c = = t2 (F u, u) + 2t(F u0 + b, u) + f (A). ¤ Åñëè ïðÿìàÿ A + ut ïåðåñåêàåò êâàäðèêó ðîâíî â äâóõ òî÷êàõ B, C ∈ Q(f ), òî îòðåçîê BC íàçûâàåòñÿ õîðäîé íàïðàâëåíèÿ u. ßñíî, ÷òî õîðäû èìåþòñÿ òîëüêî ó íåïóñòûõ êâàäðèê, îòëè÷íûõ îò òî÷êè, ïðÿìîé è ïëîñêîñòè (ò.å. íå ñîâïàäàþùèõ íè ñ êàêèì àôôèííûì ïîäïðîñòðàíñòâîì).

Ëåììà 6.2. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî ñåðåäèí ïàðàëëåëüíûõ õîðä êâàä-

ðèêè â A ' Rn ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì àôôèííîì ïîäïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè n − 1. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ïðåäûäóùåé ëåììå, ïðÿìàÿ A + ut ñîäåðæèò õîðäó â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà (F u0 +b, u)2 > (F u, u)·f (A) è (F u, u) 6= 0. Ïðè ýòîì ñåðåäèíîé õîðäû ÿâëÿåòñÿ òî÷êà

ϕ(A) = A −

(F (A − O) + b, u) ·u (F u, u)

(òåîðåìà Âèåòà). 1

Îòîáðàæåíèå ϕ : A → A ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì:

d ϕ(v) = v −

(F v, u) · u. (F u, u)

Òàêæå íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî (d ϕ(v), F u) = 0 äëÿ ëþáîãî âåêòîðà v ∈ V . Òàêèì îáðàçîì, åñëè ϕ(A1 ), ϕ(A2 )  ñåðåäèíû äâóõ ðàçëè÷íûõ õîðä, òî

(ϕ(A2 ) − ϕ(A1 ), F u) = (d ϕ(A2 − A1 ), F u) = 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî ñåðåäèí ïàðàëëåëüíûõ õîðä ëåæèò âî ìíîæåñòâå

{B ∈ A : (B − ϕ(A1 ), F u) = 0}, ãäå òî÷êà A1 ∈ A óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó

f (A1 ) · (F u, u) < (F (A1 − O) + b, u)2 . ¤

Îïðåäåëåíèå 6.3.  ñëó÷àå n = 2 ïðÿìàÿ, ñîäåðæàùàÿ ñåðåäèíû ïàðàë-

ëåëüíûõ õîðä êâàäðèêè ñ íàïðàâëåíèåì u ∈ V íàçûâàåòñÿ äèàìåòðîì, ñîïðÿæåííûì äàííîìó íàïðàâëåíèþ.  ñëó÷àå n = 3 ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùàÿ ñåðåäèíû ïàðàëëåëüíûõ õîðä êâàäðèêè ñ íàïðàâëåíèåì u ∈ V íàçûâàåòñÿ äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ, ñîïðÿæåííîé äàííîìó íàïðàâëåíèþ. Ïðÿìàÿ, ïî êîòîðîé ïåðåñåêàþòñÿ äâå äèàìåòðàëüíûå ïëîñêîñòè, íàçûâàåòñÿ äèàìåòðîì êâàäðèêè. Çàìåòèì, ÷òî âåêòîð F u 6= 0 ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì íîðìàëè äèàìåòðà (äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòè), ñîïðÿæåííîãî íàïðàâëåíèþ u ∈ V .

Ëåììà 6.4. Àôôèííîå ïîäïðîñòðàíñòâî (r − r0 , F u) = 0 àôôèííîãî

ïðîñòðàíñòâà A ' Rn (n = 2, 3) ÿâëÿåòñÿ äèàìåòðîì (äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ) êâàäðèêè, çàäàííîé óðàâíåíèåì

f (O + v) = (F v, v) + 2(b, v) + c = 0, â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà F r0 + b⊥u. Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ïðÿìîé äîëæíà íàéòèñü òî÷êà, äëÿ êîòîðîé ϕ(r) = r ⇔ (F r + b, u) = 0. Âìåñòå ñ ðàâåíñòâîì (F r − F r0 , u) = 0 ïîëó÷èì íóæíîå óñëîâèå. ¤ 2

Ïðåäëîæåíèå 6.5. 1. Ïóñòü êâàäðèêà íà àôôèííîé ïëîñêîñòè èìååò äâà íå ïàðàëëåëüíûõ äèàìåòðà. Òîãäà òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ äèàìåòðîâ ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì êâàäðèêè. 2. Ïóñòü êâàäðèêà â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå èìååò äâà ïåðåñåêàþùèõñÿ äèàìåòðà. Òîãäà òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ äèàìåòðîâ ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì êâàäðèêè.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êâàäðèêà çàäàíà óðàâíåíèåì (2) ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà (ïðè íåêîòîðîì âûáîðå òî÷êè O). 1. Ïóñòü ïðÿìûå (r − r0 , F u) = 0 è (r − r1 , F u0 ) = 0 ÿâëÿþòñÿ íå ïàðàëëåëüíûìè äèàìåòðàìè êâàäðèêè Q(f ). Ýòî çíà÷èò, ÷òî [F u, F u0 ] 6= 0, òî åñòü det F · [u, u0 ] = [F u, F u0 ] = 6 0, ïîýòîìó îïåðàòîð F îáðàòèì (ïðåäëîæåíèå 5.6). Ïî ïðåäûäóùåé ëåììå èìååì (F r0 + b, u) = 0 è (F r1 + b, u0 ) = 0, ïîýòîìó (r0 + F −1 b, F u) = 0 è (r1 + F −1 b, F u0 ) = 0. Òàêèì îáðàçîì òî÷êà A = O − F −1 b ëåæèò íà îáåèõ äèàìåòðàõ. Äàëåå: F (A − O) + b = 0, ïîýòîìó òî÷êà A ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì êâàäðèêè (ñì. ôîðìóëó â êîíöå äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 5.18). 2. Åñëè ó êâàäðèêè èìååòñÿ äâà ïåðåñåêàþùèõñÿ äèàìåòðà, òî èìåþòñÿ è òðè ïåðåñåêàþùèõñÿ â îäíîé òî÷êå äèàìåòðàëüíûõ ïëîñêîñòè. Ïóñòü èõ óðàâíåíèÿ (r −r0 , F u) = 0, (r −r1 , F u0 ) = 0 è (r −r2 , F u00 ) = 0. Ýòî çíà÷èò, ÷òî [F u, F u0 , F u00 ] 6= 0, òî åñòü det F · [u, u0 , u00 ] = [F u, F u0 , F u00 ] 6= 0, ïîýòîìó îïåðàòîð F îáðàòèì (ïðåäëîæåíèå 5.6). Ïî ïðåäûäóùåé ëåììå èìååì   (F r0 + b, u) = 0, (F r1 + b, u0 ) = 0,  (F r2 + b, u00 ) = 0, ïîýòîìó (îïåðàòîð F ñèììåòðè÷åí è îáðàòèì)

  (r0 + F −1 b, F u) = 0, (r1 + F −1 b, F u0 ) = 0,  (r2 + F −1 b, F u00 ) = 0. Òàêèì îáðàçîì òî÷êà A = O − F −1 b ëåæèò âî âñåõ òðåõ äèàìåòðàëüíûõ ïëîñêîñòÿõ. Äàëåå: F (A − O) + b = 0, ïîýòîìó òî÷êà A ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì êâàäðèêè (ñì. ôîðìóëó â êîíöå äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 5.18). ¤ Êâàäðèêà íàçûâàåòñÿ ëèíåé÷àòîé, åñëè îíà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê íåïóñòîå îáúåäèíåíèå ïðÿìûõ. 3

Ïðåäëîæåíèå 6.6. Èç íåöèëëèíäðè÷åñêèõ êâàäðèê â R3 ëèíåé÷àòûìè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî îäíîïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä (ÎÃ), ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä (ÃÏ) è êîíóñ. ×åðåç êàæäóþ òî÷êó Îà è ÃÏ ïðîõîäÿò ðîâíî äâå ïðÿìûå, ëåæàùèå íà äàííîé êâàäðèêå.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåöèëëèíäðè÷åñêèå êâàäðèêè ýòî êâàäðèêè 1-7 è 15 òåîðåìû 5.21. Íåñëîæíûå ñîîáðàæåíèÿ óáåæäàþò, ÷òî êâàäðèêè 1, 3, 4, 7, 15 íå ìîãóò áûòü ëèíåé÷àòûìè. Ïóñòü êâàäðèêà çàäàíà óðàâíåíèåì f (O + v) = (F v, v) + 2(b, v) + c = 0. Äëÿ òîãî, ÷òîáû â ýòîé êâàäðèêå ñîäåðæàëàñü ïðÿìàÿ A + ut íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî (ï. 1 ëåììû 6.1), ÷òîáû èìåëè ìåñòî ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà   (F u, u) = 0 (F (A − O) + b, u) = 0 .  f (A) = 0 Ïóñòü u0 = A − O, òîãäà   (F u, u) = 0 (F u0 + b, u) = 0 .  (F u0 , u0 ) + 2(b, u0 ) + c = 0

(1)

Ðàññìîòðèì îäíîïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä. Ñîãëàñíî òåîðåìå 5.21 íàéäåòñÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò {O, e1 , e2 , e3 } (áàçèñ îðòîíîðìèðîâàí), â êîòîðîé ÎÃ çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì1

f (O + xe1 + ye2 + ze3 ) =

x2 y 2 z 2 + 2 − 2 − 1 = 0. a2 b c

Ïóñòü A(x0 , y0 , z0 )  òî÷êà íà Îà è u = u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 . Òàêèì îáðàçîì ïåðâîå ðàâåíñòâî èç (1) âûãëÿäèò òàê:

u21 u22 u23 + 2 − 2 = 0. a2 b c  ñèëó òîãî, ÷òî ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ ïëîñêîñòè OXY íå ìîæåò ëåæàòü íà ÎÃ, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî u3 = c.  ýòîì ñëó÷àå âñå ðåøåíèÿ ïðåäûäóùåãî ðàâåíñòâà ìîæíî âûðàçèòü êàê ôóíêöèè ïàðàìåòðà θ:

u1 = a · cos θ,

u2 = b · sin θ,

1 îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

(F v, v) =

y2 z2 x2 + − a2 b2 c2

äëÿ âåêòîðà v = xe1 + ye2 + ze3 , à òàêæå, ÷òî b = 0, c = −1.

4

u3 = c.

Âòîðîå ðàâåíñòâî èç (1) âûãëÿäèò òàê2 :

u1 x 0 u2 y 0 u3 z 0 + 2 − 2 = 0. a2 b c Òàêèì îáðàçîì

x0 cos θ y0 sin θ z0 + − = 0. a b c Òðåòüå ðàâåíñòâî èç (1) ãîâîðèò î òîì, ÷òî òî÷êà A(x0 , y0 , z0 ) ëåæèò íà ÎÃ: x20 y02 z02 + 2 − 2 = 1. a2 b c Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ z0 /c èç ïðåäûäóùåãî ðàâåíñòâà â äàííîå: ¶2 µ x20 y02 x0 cos θ y0 sin θ = 1. + 2 − + a2 b a b Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì êâàäðàòîì. Òàêèì îáðàçîì ïàðàìåòð θ äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé

x0 sin θ y0 cos θ − = ±1 a b x0 cos θ y0 sin θ z0 + = . a b c Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòð θ ìîæåò ïðèíèìàòü äâà çíà÷åíèÿ: µ ¶ ³x z z02 y0 ´ 0 0 / 1+ 2 cos θ± = ∓ ac b c µ ¶ ³y z x0 ´ z02 0 0 sin θ± = ± / 1+ 2 . bc a c Òî åñòü ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó A(x0 , y0 , z0 ) íà Îà ïðîõîäÿò äâå ïðÿìûõ, ëåæàùèõ íà ÎÃ. Íàïðàâëÿþùèå âåêòîðà ýòèõ ïðÿìûõ:

u+ = a cos θ+ · e1 + b sin θ+ · e2 + c · e3 , u− = a cos θ− · e1 + b sin θ− · e2 + c · e3 . 2 Äåéñòâèòåëüíî,

´ 1³ (F u0 , u) = (F (u0 + u), u0 + u) − (F u, u) − F (u0 , u) = 2 µ ¶ u2 u2 u2 x2 y2 z2 1 (x0 + u1 )2 (y0 + u2 )2 (z0 + u3 )2 u1 x0 u2 y0 u3 z0 = + − − 21 − 22 + 23 − 20 − 20 + 02 = + 2 − 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c a2 b c

5

Ðàññìîòðèì ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä. Ñîãëàñíî òåîðåìå 5.21 íàéäåòñÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò {O, e1 , e2 , e3 } (áàçèñ îðòîíîðìèðîâàí), â êîòîðîé ÃÏ çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì3

f (O + xe1 + ye2 + ze3 ) =

x2 y 2 − 2 − 2z = 0. a2 b

Ïóñòü A(x0 , y0 , z0 )  òî÷êà íà ÃÏ è u = u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 . Òàêèì îáðàçîì ïåðâîå ðàâåíñòâî èç (1) âûãëÿäèò òàê:

u21 u22 − 2 = 0. a2 b  ñèëó òîãî, ÷òî ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè OZ íå ìîæåò ëåæàòü íà ÃÏ (ïî÷åìó?), ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî u1 6= 0.  ýòîì ñëó÷àå âñå ðåøåíèÿ ïðåäûäóùåãî ðàâåíñòâà ìîæíî âûðàçèòü êàê ôóíêöèè ïàðàìåòðà λ:

u1 = a,

u2 = ±b,

u3 = λ.

Âòîðîå ðàâåíñòâî èç (1) âûãëÿäèò òàê4 :

u1 x 0 u2 y 0 − 2 − u3 = 0. a2 b Òàêèì îáðàçîì

x0 y 0 − . a b Òî åñòü ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó A(x0 , y0 , z0 ) íà ÃÏ ïðîõîäÿò äâå ïðÿìûõ, ëåæàùèõ íà ÃÏ. Íàïðàâëÿþùèå âåêòîðà ýòèõ ïðÿìûõ: λ=

u+ = a · e1 + b · e2 + λ · e3 , u− = a · e1 − b · e2 + λ · e3 .

Êîíóñ. Ïóñòü A  òî÷êà íà êîíóñå. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ ÷åðåç A è âåð-

øèíó êîíóñà (íà÷àëî êîîðäèíàò, åñëè êîíóñ çàäàí óðàâíåíèåì 6 òåîðåìû 5.21). Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà ïðÿìàÿ ëåæèò íà êîíóñå. ¤ 3 îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

x2 y2 − 2 a2 b äëÿ âåêòîðà v = xe1 + ye2 + ze3 , à òàêæå, ÷òî b = −e3 , c = 0. 4 Äåéñòâèòåëüíî, (F v, v) =

(F u0 + b, u) =

´ 1³ (F (u0 + u), u0 + u) − (F u, u) − F (u0 , u) + (b, u) = 2 µ ¶ u21 u22 x20 y02 1 (x0 + u1 )2 (y0 + u2 )2 u2 y0 u1 x0 = − − + − + − 2 − u3 − u3 = 2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b

6

Ïóñòü êâàäðèêà Q(f ) â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíà óðàâíåíèåì f (A + v) = (F v, v) + 2(b, v) + c è B ∈ Q(f )  òî÷êà íà êâàäðèêå. Âåêòîð nB = F (B − A) + b íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì íîðìàëè ê êâàäðèêå â òî÷êå B .

Óïðàæíåíèå. Âåêòîð íîðìàëè â òî÷êå B ðàâåí íóëþ â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè òî÷êà B ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ñèììåòðèè êâàäðèêè. Îïðåäåëåíèå 6.7. Ïóñòü òî÷êà B ëåæèò íà êâàäðèêå è nB 6= 0  âåêòîð

íîðìàëè â äàííîì òî÷êå. Ïðÿìàÿ B + ut, ãäå u⊥nB , íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé, êàñàòåëüíîé ê êâàäðèêå â äàííîé òî÷êå5 .

Ïðåäëîæåíèå 6.8. Ïðÿìàÿ, êàñàòåëüíàÿ ê êâàäðèêå, ëèáî èìååò ñ êâàäðèêîé îäíó îáùóþ òî÷êó, ëèáî ëåæèò íà êâàäðèêå öåëèêîì.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü B + tu  êàñàòåëüíàÿ ê êâàäðèêå f (A + v) = (F v, v) + 2(b, v) + c = 0 â òî÷êå B . Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

(F (B − A) + b, u)2 = (nB , u)2 = 0 = (F u, u) · f (B). Òàêèì îáðàçîì äëÿ ïðÿìîé B + tu è êâàäðèêè Q(f ) èìåþò ìåñòî ñëó÷àè 1 è 3 ëåììû 6.1. ¤

Êëàññè÷åñêèå ñâîéñòâà êâàäðèê â R2 Ïðåäëîæåíèå 6.9 (Äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî). Óðàâíåíèÿ ýëëèïñà, ïàðàáîëû è ãèïåðáîëû ìîãóò áûòü ïðèâåäåíû ê âèäó

x2 + y 2 = (ex ± p)2

e ≥ 0, p > 0.

×èñëî e íàçûâàåòñÿ ýêñöåíòðèñèòåòîì, à ÷èñëî p  ïàðàìåòðîì. Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì óðàâíåíèå ãèïåðáîëû â êàíîíè÷åñêîé ôîðìå

x2 y 2 − 2 = 1, a2 b

a ≥ b.

Ïóñòü x0 ∈ R  íåêîòîðîå ÷èñëî. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå ãèïåðáîëû â ñëåäóþùåé ôîðìå: b2 y 2 = 2 (x + x0 − x0 )2 − b2 a µ 2 ¶ b b2 b2 2 2 2 2 (x + x0 ) + y = + 1 (x + x ) − 2 x (x + x ) + x0 − b2 . 0 0 0 2 2 2 a a a ñÿ.

5 Òàêèì

îáðàçîì êàñàòåëüíàÿ ê êâàäðèêå â öåíòðå ñèììåòðèè íàìè íå îïðåäåëÿåò-

7

Ïîäáåðåì x0 òàê, ÷òîáû ñïðàâà îêàçàëñÿ ïîëíûé êâàäðàò: µ 2 ¶ µ 2 ¶ b b 2 b4 2 2 x = +1 · x −b a4 0 a2 a2 0 ÷òî ïðåîáðàçîâûâàåòñÿ ê âèäó µ 2 ¶ ¡ ¢ a 2 x0 = + 1 · x20 − a2 2 b

x20 = a2 + b2 .

⇒

Òàêèì îáðàçîì èñõîäíîå óðàâíåíèå ãèïåðáîëû ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó:

³ x±

√

a2 + b2

´2

Ãr + y2 =

´ b2 √ a2 + b2 ³ 2 + b2 ∓ x ± a a2 a

!2 .

√ Ïîëîæèì e√= a2 + b2 /a è p = b2 /a.  ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ öåíòðîì â òî÷êå F1 (− a2 + b2 , 0) óðàâíåíèå êâàäðèêè èìååò âèä µ 2

2

x +y =

b2 ex + a

¶2 .

Òî÷êà F1 íàçûâàåòñÿ (ëåâûì) ôîêóñîì. Ïðÿìàÿ x = −p/e (â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò) íàçûâàåòñÿ äèðåêòðèñîé, ñîîòâåòñòâóþùåé ôîêóñó F1 . √ 2 2  ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ öåíòðîì â òî÷êå F2 ( a + b , 0) óðàâíåíèå êâàäðèêè èìååò âèä µ ¶2 b2 2 2 x + y = ex − . a Òî÷êà F2 íàçûâàåòñÿ (ïðàâûì) ôîêóñîì. Ïðÿìàÿ x = p/e (â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò) íàçûâàåòñÿ äèðåêòðèñîé, ñîîòâåòñòâóþùåé ôîêóñó F2 . ¤

Ïîëó÷åííûå â ïðåäûäóùåì äîêàçàòåëüñòâå óðàâíåíèÿ ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå |AF | = e · dF (A), (2) ãäå F  ôîêóñ, à dF (A)  ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî äèðåêòðèñû, ñîîòâåòñòâóþùåé ýòîìó ôîêóñó (ñì. ðèñ. 1-3). Çàìåòèì, ÷òî ýëëèïñ ðàñïîëîæåí ìåæäó ñâîèìè äèðåêòðèñàìè, à âåòâè ãèïåðáîëû ðàñïîëîæåíû âíå ïîëîñû ìåæäó äèðåêòðèñàìè. Ðàññòîÿíèå îò ôîêóñà äî ñîîòâåòñòâóþùåé äèðåêòðèñû ðàâíî p/e. 8

nA

A

A1

−

u1 v0 F1

A2

v0 u1

−

u2 v0

u2

O

x=−a/e

F2

x=a/e

Ðèñ. 1: Ýëëèïñ. Ôîêóñû: F1 (−ae, 0), F2 (ae, 0).

Ðàññòîÿíèå ìåæäó äèðåêòðèñàìè (è ó ãèïåðáîëû è ó ýëëèïñà) ðàâíî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ÷èñëà 2p/e − |F1 F2 |. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòî â òî÷íîñòè 2a/e. Ïðåäëîæåíèå 6.10 (Ôîêàëüíîå ñâîéñòâî). 1. Ýëëèïñ ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì òî÷åê, äëÿ êîòîðûõ ñóììà ðàññòîÿíèé äî ôîêóñîâ ïîñòîÿííà. 2. Ãèïåðáîëà ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì òî÷åê, äëÿ êîòîðûõ ìîäóëü ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé äî ôîêóñîâ ïîñòîÿíåí. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A  òî÷êà íà êâàäðèêå. Ñîãëàñíî ðàâåíñòâó (2) èìååì |AF1 | ± |AF2 | = e(|AA1 | ± |AA2 |) (ñì. ðèñ. 1, 2). 1.  ñëó÷àå ýëëèïñà òî÷êà A íàõîäèòñÿ ìåæäó äèðåêòðèñàìè, ïîýòîìó |AA1 | + |AA2 | åñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó äèðåêòðèñàìè. Òàêèì îáðàçîì |AF1 | + |AF2 | = 2a. 2.  ñëó÷àå ãèïåðáîëû òî÷êà A íàõîäèòñÿ ïî îäíó ñòîðîíó îò äèðåêòðèñ, ïîýòîìó | |AA1 | − |AA2 | | òàêæå ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäó äèðåêòðèñàìè. Òàêèì îáðàçîì | |AF1 | − |AF2 | | = 2a. ¤

Ïðåäëîæåíèå 6.11 (Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî). 1. Ðàññìîòðèì êàñàòåëüíóþ ê ãèïåðáîëå (ýëëèïñó) â òî÷êå A. Ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç 9

A1

A

F1

A2

F2

O

x=−a/e

x=a/e

Ðèñ. 2: Ãèïåðáîëà. Ôîêóñû: F1 (−ae, 0), F2 (ae, 0).

ôîêóñû è òî÷êó A, ïåðåñåêàþòñÿ ñ äàííîé êàñàòåëüíîé ïîä ðàâíûìè îñòðûìè óãëàìè. 2. Ðàññìîòðèì êàñàòåëüíóþ ê ïàðàáîëå â òî÷êå A. Ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ ôîêóñ ñ òî÷êîé A è äèàìåòð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç ýòó òî÷êó, ïåðåñåêàþòñÿ ñ äàííîé êàñàòåëüíîé ïîä ðàâíûìè îñòðûìè óãëàìè.

Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Åñëè êâàäðèêà çàäàíà óðàâíåíèåì f (O + v) = (F v, v) − 1 = 0 è A = O + v0  òî÷êà íà êâàäðèêå, òî íîðìàëüíûé âåêòîð â ýòîé òî÷êå åñòü nA = F v0 , íàïðàâëÿþùèé âåêòîð êàñàòåëüíîé â ýòîé òî÷êå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå JF v0 . Ïóñòü ui = Fi − O  âåêòîð, íàïðàâëåííûé èç òî÷êè O â i-ûé ôîêóñ (i = 1, 2). Íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùèé ýòîò ôîêóñ ñ òî÷êîé A, ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå ui − v0 . Òàêèì îáðàçîì ñèíóñ óãëà ìåæäó êàñàòåëüíîé è ïðÿìîé, ïðîâåäåííîé ÷åðåç ôîêóñ, ðàâåí

sin ϕi =

(ui − v0 , F v0 ) (ui , F v0 ) − 1 [ui − v0 , JF v0 ] = = . |ui − v0 | · | F v0 | |AFi | · | F v0 | e · |AAi | · | F v0 | 10

Íî (ui , F v0 ) = (F ui , v0 ) = (ui , v0 )/a2 = e|AAi |/a). Òàêèì îáðàçîì

6

sin ϕ1 = ± sin ϕ2 =

= ±ea(a/e − |AAi |)/a2 = ±(1 − 1 . a · |F v0 |

2. Åñëè ïàðàáîëà çàäàíà óðàâíåíèåì f (O + v) = (F v, v) − 2p(e1 , v) = 0 è A = O + v0  òî÷êà íà ïàðàáîëå, òî íîðìàëüíûé âåêòîð â ýòîé òî÷êå åñòü nA = F v0 − pe1 , íàïðàâëÿþùèé âåêòîð êàñàòåëüíîé â ýòîé òî÷êå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå J(F v0 − pe1 ). Ïóñòü u0 = p/2 · e1  âåêòîð, íàïðàâëåííûé èç òî÷êè O â ôîêóñ ïàðàáîëû. Íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùèé ýòîò ôîêóñ ñ òî÷êîé A, ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå u0 − v0 .

sin ϕ =

[u0 − v0 , J(F v0 − pe1 )] (u0 − v0 , F v0 − pe1 ) −p2 /2 − p · (e1 , v0 ) = = . |u0 − v0 | · | F v0 − pe1 | |AA0 | · | F v0 − pe1 | |AA0 | · | F v0 − pe1 |

Íî |AA0 | = p/2 + (e1 , v0 ), ïîýòîìó

sin ϕ =

−p2 /2 − p · (e1 , v0 ) p =− . (p/2 + (e1 , v0 )) · | F v0 − pe1 | | F v0 − pe1 |

Ýòî â òî÷íîñòè ñèíóñ óãëà ìåæäó âåêòîðàìè F v0 − pe1 è e1 . ¤

Òåîðåìà 6.12. Ïóñòü êâàäðèêà Q(f ) â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå A, V

íå ÿâëÿåòñÿ ñèëüíî âûðîæäåííîé (îïðåäåëåíèå 5.16) è Q(f ) = Q(g) äëÿ íåêîòîðîé àôôèííî-êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè g . Òîãäà f = ag äëÿ íåêîòîðîãî ÷èñëà a ∈ R.

Äîêàçàòåëüñòâî. 7 Åñëè êâàäðèêà íå ÿâëÿåòñÿ ñèëüíî âûðîæäåííîé, òî íà íåé íàéäóòñÿ äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè A1 , A2 ∈ Q(f ) äëÿ êîòîðûõ ïðÿìàÿ A1 + t(A2 − A1 ) íå ñîäåðæèòñÿ â äàííîé êâàäðèêå (èìååò ñ êâàäðèêîé ðîâíî äâå îáùèå òî÷êè  ï. 2 ëåììû 6.1). Ïóñòü v0 = A2 − A1 è

f (A1 + v) = (F v, v) + 2(b, v) = 0,

g (A1 + v) = (Gv, v) + 2(d, v) = 0

óðàâíåíèÿ äàííîé êâàäðèêè. Â ñèëó òîãî, ÷òî f (A2 ) = g (A2 ) = 0, èìååì (F v0 , v0 ) + 2(b, v0 ) = 0 è (Gv0 , v0 ) + 2(d, v0 ) = 0. 6 Ïðîäóìàéòå

ýòî ðàâåíñòâî ïðèäóìàòü ñâîå äîêàçàòåëüñòâî

7 ïîñòàðàéòåñü

11

nA

A’ A v0

O

u0

−

u0 v0 F

0

x=−p/2

Ðèñ. 3: Ïàðàáîëà. Ôîêóñ F0 (p/2, 0). Ðàññìîòðèì àôôèííî-êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ

ϕ(A) = g (A∗ )f (A) − f (A∗ )g (A), ãäå A∗ = A1 + 12 v0  ñåðåäèíà îòðåçêà A1 A2 . Åñëè ϕ ≡ 0, òî äàëåå äîêàçûâàòü íå÷åãî. Ïðåäïîëîæèì ϕ 6≡ 0. Òîãäà Q(f )  êâàäðèêà è Q(f ) ⊂ Q(ϕ). Ïîêàæåì, ÷òî ϕ(A) = 0 äëÿ ëþáîé òî÷êè ïðÿìîé A1 + tv0 : µ ¶ µ ¶ 1 1 ϕ(A1 + tv0 ) = g A1 + v0 f (A1 + tv0 ) − f A1 + v0 g (A1 + tv0 ) = 0. 2 2 Òàêèì îáðàçîì êâàäðèêà Q(ϕ) ñîäåðæèò íå ñèëüíî âûðîæäåííóþ êâàäðèêó Q(f ) è íå ïðèíàäëåæàùóþ åé ïðÿìóþ. ×åãî íå ìîæåò áûòü (ñì. êëàññèôèêàöèþ êâàäðèê). ¤

12

1. Àêñèîìàòèêà âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïîäïðîñòðàíñòâà. 1.1-1.3 2. Áàçèñû â âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Ðàçìåðíîñòü. 1.4-1.10 3. Ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ. Èçîìîðôèçì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ. 1.111.17 4. Àôèííûå ïðîñòðàíñòâà. Èõ èçîìîðôèçìû. 2.1-2.6 5. Áàðèöåíòðè÷åñèå êîîðäèíàòû. 2.7-2.11 6. Àôèííûå ïîäïðîñòðàíñòâà. 2.12-2.15 7. Ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü. 3.1, ôîðìóëû (1)-(5) 8. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íà ïëîñêîñòè. Îðèåíòàöèÿ. 3.2-3.7 9. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå â ïðîñòðàíñòâå. Îðèåíòàöèÿ. 3.8-3.12 10. Âòîðîå ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå I. 3.133.17 11. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé â R3 . 3.18-3.19 12. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Èçîìåòðèè. 4.1-4.5 13. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå II. Ðàññòîÿíèå äî ïðÿìîé. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè. 4.6-4.7+ ôîðìóëû 14. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé. Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå. 15. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû. Èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà, ñîáñòâåííûå âåêòîðà è ÷èñëà. 5.1-5.3 16. Îïðåäåëèòåëü ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí. 5.4-5.8 17. Ñèììåòðè÷åñêèå ëèíåéíûå îïåðàòîðû â R2 . 5.9-5.11 18. Ñèììåòðè÷åñêèå ëèíåéíûå îïåðàòîðû â R3 . 5.12-5.13 19. Êâàäðèêè è èõ öåíòðû. 5.14-5.18 20. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ êâàäðèê. 5.19 21. Êëàññèôèêàöèîííûå òåîðåìû. 5.20-5.21 22. Ïðÿìûå è êâàäðèêè. Äèàìåòðû. 6.1-6.4 23. Äèàìåòðû è öåíòðû. Íîðìàëè è êàñàòåëüíûå 6.5, 6.7-6.8 24. Ëèíåé÷àòûå ïîâåðõíîñòè. 6.6 25. Ôîêàëüíîå è îïòè÷åñêîå ñâîéñòâà. 6.10-6.11 26. Äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî 6.9, Òåîðåìà 6.12 27. Èíâàðèàíòû êâàäðèê íà ïëîñêîñòè.