Численное решение методами взвешенных невязок линейных задач математической физики: Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

П.А.Велъмисов, А.С.Семенов ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДАМИ ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Учебное пособие

Ульяновск 2001

УДК 519.6(075) ББК22.311я73 В 28 Рецензенты: кафедра математической кибернетики и информатики УлГУ; д-р физгмат. наук, профессор Андреев А.С. Утверждено редакционно-издательским советом УлГТУ в качестве учебного пособия

Белымисов П.А., Семенов А.С. В 28 Численное решение методами взвешенных невязок линейных задач математической физики: Учебное пособие.-Ульяновск: УлГТУ, 2001. - 99 с. ISBN 5-89146-240-0 Содержит изложение алгоритмов численного решения некоторых линейных краевых или начально-краевых задач математической физики, реализующих методы взвешенных невязок. Приведены постановки лабораторных работ, выполняемых в диалоге с ЭВМ при помощи специально разработанных программ. Даны примеры. Пособие предназначено для студентов, изучающих специальные курсы современных численных методов, для аспирантов и инженеров, применяющих численные методы к решению прикладных задач.

УДК 519.6(075) ББК22.311я73

ISBN 5-89146-240-0

© П.А. Вельмисов, А.С. Семенов, 2001 © Оформление. УлГТУ, 2001

ПРЕДИСЛОВИЕ

Целый ряд современных методов, предназначенных для решения самых разнообразных задач математической физики, базируется на идеях ученых Б.В.Галеркина и В.Ритца. К этим методам относятся, например, методы взвешенных невязок и вариационные методы [1.,2]. В настоящем пособии представлены возможные алгоритмы применения метода Галеркина и интегрального метода наименьших квадратов, относящихся к группе методов взвешенных невязок, и вариационного метода Ритца при численном решении краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, метода Галеркина при численном решении линейной начально-краевой задачи для одномерного параболического и одномерного гиперболического уравнений. В новом методе можно быстрее разобраться, если решить конкретную задачу. В качестве источников таких задач в пособии описаны задачи одномерной теплопроводности и задачи о колебаниях струн и стержней. Для проведения вычислительного эксперимента согласно алгоритму метода, выбранного для решения конкретной задачи, в пособии приведены постановки лабораторных работ, выполняемых в диалоге с ПЭВМ при помощи специальных программ. Пособие предназначено для студентов вузов, изучающих специальные курсы современных численных методов. Оно будет полезным для аспирантов и инженеров, применяющих численные методы к решению прикладных задач.

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ОДНОМЕРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ЗАДАЧ О КОЛЕБАНИЯХ СТРУН И СТЕРЖНЕЙ

1.1. Вывод уравнений теплопроводности Пусть дано материальное тело, расположенное между точками х=а и х=Ь оси х, продольный размер которого значительно превосходит размеры поперечного сечения, например, тонкий стержень, длинный трубопровод и т.д. В дальнейшем будем называть это тело стержнем. Будем считать площадь S(x) поперечного сечения ( перпендикулярного оси Ох) настолько малой , что всем точкам одного сечения в момент времени t можно приписать одну и ту же температуру u(x,t). Будем считать , что стержень теплоизолирован вдоль боковой поверхности, а внутри стержня нет источников или стоков (поглотителей) тепла. Рассмотрим элемент стержня между его сечениями с абсциссами х и x-fdx . Найдем количество тепла, которое накапливается в элементе за время dt. Согласно закону Фурье интенсивность q(x,t) теплового потока в сечении х определяется выражением

где К(х) - коэффициент теплопроводности (К(х) > 0 ). Тогда разность dQ' между количеством тепла , вошедшим в элемент через сечение х и вышедшим через сечение x+dx за время dt, будет равна

Используя формулу Тейлора первого порядка с остаточным членом в форме Пеано для функций

К(x+dx), S(x+dx), u'(x+dx,t), имеем

Напомним, что символом о(х) обозначается величина бесконечно малая более высокого порядка, чем х . С другой стороны, за счет притока тепла температура в элементе изменяется, и количество тепла dQ , поглощаемое элементом за время dt, равно

где С(х)- теплоемкость; р(х)- объемная плотность вещества стержня (С(х) > 0, р(х) > 0). Откуда, на основании теоремы о среднем для определенного интеграла, получаем равенство

которое при помощи теоремы Лагранжа о конечных приращениях преобразуется к виду

Приравнивая, на основании закона сохранения энергии, выражения (1.1),(1.2) и осуществляя предельный переход при dt -> 0, получаем одномерное уравнение теплопроводности в виде (1-3) Предположим теперь , что внутри стержня происходит выделе ние или поглощение тепла ( это имеет место, например , при про хождении по телу электрического тока или вследствие происходящих в нем химических реакций). Тогда количество тепла , накопленное в элементе стержня за время dt за счет внутренних источников,

будет равно тепловых источников внутри

-

плотность

стержня, «уравнение теплопроводности с учетом внутренних источников тепла принимает вид dQ = dQ1 + dQ° или

Предположим далее, что на боковой поверхности стержня происходит теплообмен с окружающей средой. Тогда тепловой поток, проходящий за время dt через боковую поверхность элемента, согласно закону Ньютона пропорционален разности температур поверхности тела и окружающей среды и определяется выражением

где T(x,t) -температура внешней среды; )3#(х)- коэффициент теплообмена, зависящий от свойств материала стержня и внешней среды, режима взаимодействия (условий контакта) стержня с внешней средой, а также от геометрических характеристик поперечного сечения. Уравнение теплопроводности с учетом внутренних источников тепла и теплообмена на боковой поверхности имеет вид

или

Заметим, что если тепло распространяется в жидкости, которая движется со скоростью V(x,t) параллельно оси х ,то уравнение теплопроводности запишется следующим образом :

1.2. Постановка краевой задачи одномерной стационарной теплопроводности Согласно (1.4) стационарное (установившееся во времени) распределение теплового поля в стержне постоянного поперечного сечения (S(x) = const) описывается уравнением

В (1.5) введены обозначения

Перечислим основные типы граничных краевых условий (на примере левого конца стержня при х=а). а) Известна температура при х=а : у(а) = Т . Э

- б) Задана интенсивность теплового потока через торцевое сечение

- 6 -

В частности, если стержень теплоизолирован при х=а, то у_(а)=0. в) На конце х=а имеет место теплообмен с окружающей сре дой известной темпе ратуры Т^ : ' Здесь а коэффициент теплообмена на конце х=а. Последнее уеловне (условие Ньютона) означает, что тепловой поток, передаваемый в единицу времени с единицы площади поверхности в окружающую среду, пропорционален разности температур поверхности тела и окружающей среды. Аналогичные краевые условия могут быть заданы и на правом конце стержня при х=Ь. Например, условие теплообмена при х=Ь имеет вид 3

В

таблице

1.1 приведены возможные варианты краевых условий для определения стационарного распределения температуры в стержне согласно уравнению (1.5). Напомним еще раз используемые в таблице 1.1 обозначения : К = К(а), К = К(Ь) коэффициенты теплопроводности; з

о

а , а - коэффициенты теплообмена на левом и правом концах стержня соответственно; Т , Т -температуры, которые поддерживаются на концах стержня при х=а и при х=Ь ; 3

D

q , q - интенсивности тепловых потоков при х=а и при х=Ь. Очевидно, что все приведенные в таблице 1.1 варианты краевых условий можно записать в виде 3

D

(1-6) при соответствующем выборе значений коэффициентов а^, Ь^. Например , для первого варианта условий из таблицы 1.1 имеем

а для девятого -

- 7 -

Таким образом, математическая задача одномерной стационарной теплопроводности формулируется следующим образом : требуется найти функцию у(х), удовлетворяющую на отрезке [а,Ь] обыкновенному линейному дифференциальному уравнению (1.5 ), а на концах отрезка - граничным условиям (1.6). Таблица 1.1 Варианты краевых условий для уравнения (1.5.)

1.3. Вывод уравнений поперечных колебаний струны Рассмотрим тонкую гибкую упругую нить (струну), которая в положении равновесия занимает отрезок [а,Ь] оси Ох и концы которой закреплены. Полагая струну тонкой, пренебрегаем весом струны по сравнению с внутренними силами натяжения и внешней нагрузкой. Полагая струну гибкой, считаем что внутренние усилия, возникающие в струне, направлены по касательной к мгновенному профилю в каждой его точке, т.е. струна не сопротивляется изгибу. Предполагаем также, что внешние силы лежат в вертикальной плоскости, в которой совершают колебания точки струны. Рассмотрим элемент струны между точками х

и x+rtx (рис.1.1) и обозначим смещение точек

струны через u(x,t), а длину элемента струны через ds. Тогда откуда, предполагая смещение струны u(x,t) малыми настолько, что (1-7) получаем ds » dx, т.е. в пределах принятой точности удлинения участков струны в процессе колебаний не происходит. Следовательно, согласно закону Гука величина натяжения в каждой точке струны не меняется со временем и является функцией только х, т.е. Т = Т(х).

Запишем

условия

динамического

равновесия элемента струны, на который действуют в плоскости Охи силы натяжения Т = Т(х), Т = T(x+dx), внешняя распределенная по длине дуги с линейной плотностью P(x,t) поперечная сила и сила инерции, направленная вдоль оси Ои. Проектируя силы на ось Ох, получаем £л

Так как тригонометрии производной ,

, и

(1.8) согласно тождествам геометрического смысла

г

то, учитывая условие (1.7), из (1.8) получим T(x+dx) = Т(х). Откуда, в силу произвольности выбора точек х и x+dx, следует,

что величина натяжения не зависит и от х, т.е.является постоянной, T(x)=TQ=const . Проектируя теперь все силы на ось Ои, получаем

где р(х) - линейная плотность струны. Аналогично формулам (1.9) устанавливаем

откуда , согласно условию (1.7) , имеем

Теперь, применяя для входящих в формулу (1.10) интегралов теорему о среднем, а для u^(x+dx,t) формулу Тейлора первого порядка с остатком в форме Пеано, получаем

где i и £ принадлежат отрезку [x,x+dx]. Почленно деля послед1

^£

нее равенство на dx и осуществляя предельный переход при dx ->0, получаем уравнение колебания струны следующего вида :

Если струна дополнительно по всей длине связана с вязкоуп-ругим основанием, то для описания ее колебаний можно получить уравнение

где j3'(x,t),y(x,t) - коэффициенты жесткости и демпфирования основания; Q(x,t,T) ядро релаксации, учитывающее изменение с течением времени физико-механических свойств материала основания (т.е. его старение). Заметим, что при выводе уравнений (1.12) предполагалось, что реакция основания пропорциональна его деформации (модель Винклера). В статических задачах профиль струны и = и(х) определяется , согласно (1.12), решением уравнения

1.4. Вывод уравнений продольных и крутильных колебании стержня Для вязкоупругого тела при одномерном растяжении (сжатии) связь между деформацией ( относительным удлинением ) c(x,t) и напряжением a(x,t) представляется формулой

где Е - модуль упругости; R - ядро релаксации, учитывающее старение материала тела; « коэффициент внутреннего трения. Заметим, если R 5= о и а = О, то получаем закон Гука для упругого тела. Рассмотрим элемент стержня (рис 1.2), заключенный между его поперечными сечениями с координатами х и x+dx . _____ -t у л. , ь ;________

N(x,t) <-- =j . -> N(x-Klx,t) ТЗ а х хШх Б i Рис 1.2. Иллюстрация к выводу уравнения продольных колебаний стержня В сечении "х" на элемент действует сила N(x,t) =a(x,t)S(x), где S(x) - площадь сечения, в сечении "x+dx"- сила N(X4-dx,t) ( N(X4-dx,t) = a(x+dx,t) S(x+dx)). Предполагая, что на стержень действует внешняя нагрузка, распределенная по длине стержня с объемной плотностью ?(х,t), аналогично выводу уравнения (1.11). получаем уравнение продольных колебаний стержня следующего вида:

где

р(х) - объемная плотность материала стержня; u(x,t) - продольное смещение сечения стержня с координатой х в момент времени t от положения, которое занимало это сечение, когда стержень находился в ненапряженном состоянии. Учитывая, что

и подставляя (1.14) в (1.15), имеем

Если боковая поверхность стержня скреплена с вязкоупругим основанием (модель Винклера), то приходим к следующему уравнению:

где 0(x,t),y(x,t) - коэффициенты жесткости и демпфирования основания; Q(x,t,r) - ядро релаксации основания. Заметим, что форма записи уравнения (1.16) не изменится, если считать S и р зависящими и от времени t. Статические продольные смещения и(х) сечений стержня определяются, согласно (1.16), решением уравнения

Для вязкоупругого стержня, находящегося в состоянии кручения (рис.1.3), связь между напряжением т, вызванным сдвигом . образующей на угол <р, и этим углом р может быть представлена формулой

W

где G - модуль сдвига; R - ядро релаксации стержня; а. - коэффициент внутреннего трения. Заметим, если R s о, а = 0, то получаем известный закон сдвига для упругого тела. Если обозначить через u(x,t) угол поворота сечения с координатой х, то (см. рис.1.3) из равенства г du= p dx,имеем (1.19) _____________________________————————————————

Крутящий момент M(x,t), действующий в сечении S стержня, соответствующем координате х, определяется формулой

Отсюда, используя выражения (1.18),(1.19), получаем

i где сечения.

-полярный момент инерции

Рассмотрим элемент стержня, заключенный между поперечными сечениями с координатами х и x+dx (рис.1.3). В сечении "х" действует крутящий момент M(x,t), в сечении "x+dx"- M(x+dx,t). Предполагая, что на стержень действует крутящий момент внешних сил, распределенный по длине стержня с линейной плотностью F(x,t), из уравнения динамического равновесия получаем

где р - плотность стержня; ? принадлежат [x,x+dx3. j.

и ?

-

fit

Откуда аналогично уравнению (1.11) получаем уравнение крутильных колебаний стержня

которое с учетом (1.20) принимает вид

Если боковая поверхность стержня скреплена с вязкоупругим основанием (модель Винклера), то для описания крутильных колебаний приходим к уравнению

где p,y,Q коэффициенты жесткости, демпфирования и ядро релаксации основания. Заметим, что форма записи уравнения (1.21) не изменится, если считать р и J0 функциями двух переменных х и t. Статические углы поворота и(х) сечений стержня при кручении определяются , согласно (1.21) .решением уравнения

(1.22)

1.5. Постановка статических краевых задач для струны и стержня

В статическом варианте профиль струны, продольные и угловые перемещения сечений стержня, согласно (1.13), (1.17) и (1.22), определяются решением уравнения LCy] = (К(х)у')' - р(х)у = g(x), (1.23 ) где у(х) = и(х); а < х < Ь; К(х) = T0, g(x) = - F(х), если

рассматривается задача (1.13); К(х) = S(x)E(x), g(x) = -S(x)F(x), есж - задача (1.17);' К(х) = J0(x)G(x), g(x) = - Р(х), есж - задача (1.22). Перечислим основные типы граничных условий при х=а для уравнений (1.13), (1.17), (1.22) в обозначениях уравнения (1.23). а). у(а) = 0; это условие соответствует жесткому закреплению левого конца струны и стержня. б). К(а)у(а) = q ; это условие соответствует заданию на э

левом конце стержня продольной силы N(a)=qa для задачи (1.17) и заданию крутящего момента М(а) = q в случае задачи (1.22). В &

- 15 -

частности, если левый конец свободен, то qa =0. в). К(а)у(а) = а у(а); это условие соответствует упругому закреплению левого конца стержня, когда qa= aаУ(а) ( qa или равно N(a), иж М(а)), где а соответствующий задаче (1.17) или (1.22) коэффициент жесткости закрепления. Аналогичные краевые условия могут быть заданы и на правом конце струны или стержня при х=Ь . Очевидно, что все возможные варианты краевых условий для уравнения (1.23) можно получить из условий (1.6) при соответствующем выборе значений коэффициентов аi , Ьi . Таким образом, рассматриваемые статические краевые задачи для струны и

стержня математически формулируются так же, как и задача стационарной теплопроводности из раздела 1.2 . 1.6. Краевые задачи в теории колебаний струн и стержней

Предположим, что геометрические и прочностные характеристики упругих тел (струны, стержня) и оснований, на которые они опираются, зависят только от х, и запишем уравнения движения без учета демпфирования и старения. Ушвдетше пошшчных колебаний птпттты

(1.24) Уравнение продольных колебаний

стержня

(1.25) Уравнение крутильных колебаний стержня

(1.26) Рассмотрим гармонические колебания упругих тел. В этом

- 16 -

случае решение уравнении (1.24) - (1.2ъ) и приложенную внешнюю нагрузку F(x,t) представим в виде: (127) где и (частота колебаний) и tp постоянные. Тогда для u*(х)=у(х) получим уравнение (1.23), в котором Р(х) следует заменить на F*(x), а 0(х) - на b*(х), где b*(х) = MX) - р(х)w2 соответствует уравнению (1.24), b*(х) = 0(х) p(x)S(x)w2 - уравнению (1.25), b*(x) = р(х) - p(x)Jo(x)w2 - уравнению (1.26). Приведем основные типы граничных условий при х=а. а) u(x,t) = £ (t); это условие соответствует движению левого конца струны или стержня по закону Ea (t). б) К(а)aU(a,t)/aX = qa (t); это условие соответствует заданию на левом конце стержня продольной силы N(a,t)=q (t) для задаи

чи (1.25) и заданию крутящего момента M(a,t)=q (t) в случае за3t

дачи (1.26). В частности, если левый конец свободен, то q =0.

в) условие ветствует упругому закреплению сечения стержня, щегося (вращающегося) по закону Предполагая функции ? (t), п (t) периодическими во 3t

2t

Э

это

з

соот левого движу г/ (t). (t), q

3t

времени, аналогично (1.27) положим

где 5°. п°> q° - постоянные. у(х) будем иметь следующего вида : а) у(а) = «° ;

Тогда для граничные

и#(х) = условия

fit

б) К(а)у(а) = q°; dt

в) К(а)у(а) = оа[у(а) - п° 3. Условия на правом конце х=Ь задаются аналогично. Замечание. Аналогичные краевые задачи получим в случае, когда

где -постоянные; u (x) решение стационарных краевых задач, описанных в (1.5);аи(х)решение краевых задач, рассмотренных выше в этом параграфе. Следует иметь в виду, что частоты колебаний и являются в п

общем случае неизвестными величинами, определяемыми в процессе решения задачи.

2. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА МЕТОДОМ ГАЛЕРКИНА

2.1. Постановка задачи и алгоритм метода

Рассмотрим следующую краевую задачу: требуется на отрезке [а,Ь] найти решение Y(x) дифференциального уравнения (2.1) удовлетворяющее условиям (2.2) где р(х), q(x), Г(хГ- заданные функции, непрерывные на [а,ЬЗ; а , а , а , b , b , b -заданные действительные числа,' причем CJ

1

A

U

I

<^

aj + aj > 0, tf + bj >0. Напомним, что в отличие от имеющей всегда единственное решение задачи Коши для уравнения (2.1), краевая задача (2.1), (2.2) может иметь или одно решение, или бесконечно много решений, или, наконец, может совсем не иметь решений. Везде далее будем предполагать существование единственного решения Y(x) поставленной краевой задачи, что часто вытекает из физического смысла того явления или процесса, математическое моделирование которого привело к задаче (2.1), (2.2). В методе Галеркина для нахождения приближенного решения рассматриваемой задачи строится функциональная последовательность (уп(х)}^ из пробных решений Уп(х) следующим образом. Задаемся на отрезке [а,Ь] некоторой системой дважды непрерывно

дифференцируемых функций u (x), ui(x),...,un(x) таких, что и (х) удовлетворяет краевым условиям (2.2), а функции и4(х), u (x),...,u (x) , называемые пробными функциями, линейно независимы на Са,Ь] и удовлетворяют однородным краевым условиям 4f£

Г1

(2.3)

- 19 -

Составляем функцию

(2.4) с неизвестными пока постоянными коэффициентами С , С2,..., Сп. Подчеркнем, что в силу линейности условий (2.2), функция (2.4) при любых значениях С1,...,Сп удовлетворяет этим условиям Подставляя функцию Уп(х; из (2.4) вместо yfxj в уравнение (2.1), ПОЛУЧИМ гТкшктштп

(2.5)

которая называется невязкой. Как видно из (2.5), невязка линейно зависит от параметров С15...,Сп и является характеристикой уклонения функции (2.4) от. точного решения У(х) задачи (2.1), (2.2). Во всяком случае, если при некоторых значениях параметров С ,..,С невязка на- [а,Ы тождественно равна нулю, то Y(x)sy (x) в силу единственности Y(x). п

Однако в общем случае невязка оказывается отличной от нуля. Поэтому подбираем значения параметров С1,..,Сп так, чтобы невязка в каком-то смысле была бы наименьшей. В обобщенном методе Галеркина значения параметров С ,..,С определяются из системы уравнений (2.6)

где

ь (2.7) а

a Wjd),...,W (x) - заданные непрерывные и линейно независимые на [а,ЬЗ функции, часто называемые поверочными функциями. Заметим, что если в качестве поверочных функций взять пробные, то получится метод Галеркина в авторском варианте [1]. Заметим также, что если W (x),...,W (x) входят в полную систему функций, то при п -> со равенства (2.6) свидетельствуют об ортогональности невязки всем элементам полной системы [33. Значит, невязка сходится при п -> со к нулю в среднем, и можно ожидать сходиоп

мости последовательности (2.4) к точному решению Y(x) в среднем, т.е.-

Записав условие (2.6) в развернутом виде, для определения значений параметров С ,..,С получаем неоднородную систему линейных алгебраических уравнений n-го порядка (2.8) где

r?_Q^

Решив систему (2.8) и подставив определяемые этим решением значения параметров Clf...,Cn в (2.4), заканчиваем построение пробного решения у (х). Опишем теперь возможный алгоритм приближенного решения задачи (2.1), (2.2) методом Галеркина, предполагая, что Уп(х) СХОДИТСЯ К Y(X) При П-> со .

1.Подготовительный шаг алгоритма. На этом шаге выбираем функцию и (х), пробные функции и (х),...,и (х) и поверочные функции Wifx;,...,Wnfxj. Находим функцию RO(X) = LCuo3 - f(x) , т.е. невязку от подстановки и (х) в уравнение (2.1). Если v х е [а,Ъ]: RO(X) = 0, то и (х) = 1(х),и вычисления заканчиваем. Если же R (х) ^ 0, то переходим к следующему шагу алгоритма .

2. Первый шаг алгоритма. Строим функцию у (х) = и (х) + + CjUjU), определив значение С из решения системы (2.8) при п=1. Находим невязку R(Ci,x) = L[UQ] - Г(х) + CjLti^] = =Ro(x) + CjLtu^. Есж vx e [a,bl: R(Clfx) = 0, то Y(x) = У4(х), и задача решена, если же R(C ,х) ^ 0, то находим

- 21 -'

или

•

Если

A sе

иж As £ .

111

где е и £

1«32

1

заданные меры

2

точности прибжженного решения, то полагаем Y(x) « у (х) и вычисления заканчиваем, если же А > £ или д > Е , то переходим к 11

1

1 &

^

вычислениям на следующем шаге и т.д. Таким образом, на т- .м (т г 1) шаге алгоритма строим функцию определив значения С ,...,С из решения системы (2.8) при n=m, и определяем невязку

Ест vx e [a,b]: R(C ,...,С ,х) = 0, то Y(x) = у (х), и 1

m

m

вычисления заканчиваем.

Если R(C ,...,G ,х) »* 0, то находим 1

гп

2.2. Построение систем пробных и поверочных функций

Известно, что степенные функции 2 п 1,х,х ,...,х ,... линейно независимы на

всей числовой прямой R и, следовательно, на любом ее отрезке [а,ЪЗ с R. Покажем, что на любом отрезке [а,ЬЗ линейно независима любая система многочленов последовательных степеней. Рассмотрим произвольную систему многочленов :

- 22 -

и решим относительно неизвестных а ,а ,...,« определенное на R тождество ' .о 1 п (2.10) Мв условий тождественного равенства нулю многочлена п-.'й степени (равенство нулю коэффициентов при всех степенях х) последовательно получаем

• Таким образом, условие (2.10) выполняется тогда и только тогда, когда « = «=...=« = 0, т.е. система многочленов 01

п

Р fx),...,P (х) и любая подсистема из них линейно независима на О

п

R и, следовательно, на любом [а,Ы с R . Для построения и (х) и линейно независимой на [а,Ь] системы пробных функций ui(х),...,un(x), являющихся многочленами, можно применить метод неопределенных коэффициентов. Например, положив UQ= А = Р (х), из условий (2.2) получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно А

В том случае, когда эта система совместна, коэффициент А определяется. Если система не совместна, то ищем аналогичным образом и

(х)- в виде и (х) = А + Вх = Р (х) и т.д., до тех пор, пока не будет найдена UQ(X) = Рр(х) , удовлетворяющая условиям (2.2). о

Далее, используя условия (2.3), методом неопределенных коэффициентов определяем последовательно так же, как и ио(х),

Пример 1 Построить и (х) и систему из пяти пробных функций для - 23 -

задачи с краевыми условиями (2.11) Решение. Пусть и (х) = А, тогда ir = 0 и условия (2.11) дают несовместную систему из уравнений А = 1 и А = -4. Пусть ип= А + Вх, тогда ид = В и условия (2.11) дают Итак, UQ = 6 - 5х. Определяем и^х). Если ut= А или ut = A + Вх, то однородные условия, соответствующие условиям (2.11), выполняются, если из 0, что невозможно изза требования линейной независимости пробных функций. Ищем и (х) = А + Вх + Сх2 (С * 0), тогда и^= В + 2Сх , и из однородных условий, соответствующих (2.11), получаем систему

Решая ее методом Гаусса, имеем Видим, что система имеет множество решений

Выбираем одно решение из G при а = 1/3,

тогда

Аналогично, используя формулу uk = AQ+ А^ + ...+ Ak+ixk+J находим

Пример 2. Построить и (х) и систему пробных функций для задачи с условиями

из трех краевыми

(2.12) - 24

-

Решение. Если u (x)= А, то условия (2.12) системе приводят к несовместной Г А = 1, ^ А•= 2.

Предположим, что и условия (2.12) дают f А + В = <=> 1, А + тоже несовместную систему. Полагаем UQ= А + Вх + Сх* (2.12) дают систему

I

А+Вх, тогда ir= В

UQ=

| А + В = 1, <=> | А + В = 1, I А + В = 2. v

2В - В = 2,

0=1.

тогда и^= В + 2Сх и условия

f А + В = 1,

1

1

( А + В = 1,

<=>

А. + 2В + 4С- В40 = 2, которая несовместна. 2 Ищем и (х) в UQ = А + Вх + Сх + Dx , тогда виде ir= В + 2Сх + 3Dx2, и из (2.12) имеем ( А + В = 1, • <=>(А + В= 1'

1 А + 2В 4- 40 + 8D - В - 40 -

v А + В - 4D

12D = 2,

Решаем полученную систему методом Гаусса в матричной форме, чтобы найти все решения системы. Прямой ход метода: ABCD ABCD ADCB f 1 1 0- 0 | 1 1 f 1 1 0 0

| 1 1

I 1 1 0 -4

| 1 J. ~ t 0 -4 0 0 | 1 J

\ 2)

~ I 0 0 0 -4

f1

001 | 11

Видим, что система совместна, ибо ранг матрицы системы (rg) равен рангу расширенной матрицы и равен 2. Так как число неизвестных системы 4 больше rg=2, то система неопределена , и все множество

решений GQ системы получаем обратным ходом метода Гаусса, придавая двум неизвестным С и В произвольные значения. Получаем G ={(A,B,C,D):A=1-a ,B=a .C=a ,D=4;Va .a с Ю. О

i

л

U

Н"

1

л

Выбираем одно решение из G при о = a = 0. Тогда uo(x) = 1-J х3. W

1

- 25 -

&

Определяем теперь и (х). Есж и4(х)= А * О, то однородные условия, соответствующие условиям (2.12), выполняются при А = О, что недопустимо. Пусть ц^х) = А + Вх, uj = В, и из однородных условий, соответствующих условиям (2.12), имеем

Эта система неопределена, ее множество решений Выбираем одно ненулевое решение при «= -1, тогда ui(x)= 1 - х. Ищем и (х). Пусть и (х) = А + Вх + Сх2, (0*0), тогда £

td

и'= В + 2Сх и однородные условия дают систему
Решая ее методом Гаусса, находим множество решений Выбирая одно ненулевое решение (С*0) при а = а = -1, получаем 1

л

£j

Находим и (х). Есж и (х) = А + Вх + Сх2 + Dx3, (D*0), то и'(х)= В + 2Сх + 3Dx2. и из однородных условий имеем систему

<=> которая противоречит условию D*Q. Пусть теперь и (х) = А + Вх + Сх2 + Dx3+

Ex4, E^O, тогда »л

и'(х)= В + 2Сх + 3Dx2 + 4Ex3, и из однородных условий получаем *л

систему

Решая ее методом Гаусса, получаем множество решений Выбирая одно ненулевое решение (Е*б) при а = -1, «2= 1, аз= 1, имеем из(х) = 1 - х + х2- 4х3 + х4 . Применяя метод неопределенных коэффициентов, можно строить системы пробных функций, используя другие системы линейно неза- 26 -

висимых на R функций, такие как

Важным источником для построения ортогональных на [а,Ы пробных функций является множество решений задачи, называемой задачей на собственные значения для дифференциального оператора L[y] = у" . Рассмотрим конкретный пример такой задачи. Пример 3. Требуется найти действительные значения параметра X, при которых существуют нетривиальные решения дифференциального уравнения (2.13) удовлетворяющие однородным условиям (2.14) Решение. Пусть Х=0, тогда общее решение уравнения (2.13) будет иметь вид у = С х + С . Пытаясь удовлетворить условиям (2.14), получаем J.

£j

<=>

<=>

Таким образом, Х=0 не является собственным значением, так как ему соответствует единственное тривиальное (у=0) решение задачи (2.13), (2.14). Пусть X < .0, тогда и условия

(2.14) приводят к системе уравнении

<=> <=>

<=> Следовательно, среди отрицательных действительных чисел собственных значений задачи (2.13), (2.14) нет. Пусть теперь X > 0. Тогда у = С cos(ух) + С sin(yx), j.

^

у=/ X , и краевые условия (2.14) дают <=> <=> <=>

£4

Видим, что существуют нетривиальные решения задачи (2.13), (2.14), если siny= 0, т.е. у = пп, п = 1,2,... Таким образом, множество собственных значений определяется формулой X = (пп)2, п = 1,2,..., а множество собственных функций, соответствующих собственному значению X , имеет базисную функцию

Для того чтобы убедиться в ортогональности на [0,1] функций у (х), у (х) (п * т), достаточно проверить, что

n

m

При выборе систем поверочных функций полезно вспомнить и о других системах функций, ортогональных на некотором отрезке . •Например, известно [33, что многочлены Лежандра, определяемые

- 28 -

формулой (2.15)

ортогональны на [-1,1]. Так что, если в качестве поверочных функций W (х) решено взять, например, первые пять многочленов Лежандра, ортогональных на Ca,t>], то в первые пять выражений из (2.15);

•

следует подставить

2.3. Задание к лабораторной работе Методом Галеркина найти наиболее точное приближенное решение краевой задачи

(2.16)

построенное при помощи системы из п пробных функций - многочленов и двух систем поверочных функций, одна из которых составлена из пробных функций, а вторая из многочленов Лежандра. За меру точности выбрать (по указанию преподавателя ) или

или

_ 29 -

Варианты заданий, определяемые различными наборами значений параметров d .d .u ,а .a .a ,b ,b. ,b_,a ,b задачи (2.16), ОЗ.

2

О

1

2

О

i

л

приведены в табжце 2.1 . Лабораторная работа выполняется с использованием в диалоге с ПЭВМ специальной программы (GALERC), которая реализует алгоритм построения пробных решений у (х) методом Галеркина. В этой m

программе определенные интегралы (2.9) вычисляются приближенно с точностью е методом Симпсона, а система линейных алгебраических уравнений (2.8) решается методом Гаусса Жордана с выбором ведущего элемента. Программа включает подпрограмму, являющуюся интерпретатором выражений, аналитически задающих функции одного аргумента. Перед обращением к программе необходимо подготовить числовые и строчные данные , вводимые в процессе диалога с клавиатуры дисплея. Числовые данные : а,Ь - концы отрезка интегрирования; е - точность вычисления интегралов; п максимальное число параметров С в пробном решении. Значение параметров е и п задает преподаватель. Строчные данные: аналитические выражения для функций и (х) ,..., и (х) и для функций W4(x) ,..., Wn(x);' аналитические выражения для функций Аналитические выражения набираются клавишами дисплея по определенным правилам, которые программа при необходимости может напомнить. В результате расчета программа выводит

на экран дисплея значения коэффициентов С{, таблицы всех пробных решений и их невязок. Анализируя данные этих таблиц, необходимо найти обоснованный ответ на поставленную в лабораторной работе задачу.

- 30 -

Таблица 2.1 Варианты заданий лабораторной работы а 2 N а b о ^ вар 1 0 0 8 1 0 -0 5 2 0 0 8 1 0 0 3 0 0.8 0 1 0.5 а

4 5 6 Т 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

и и и 0 0 0 0 0 0

и и и 0 0 0 0 0

и и и 0 0

0 8 0 8 0.8 0 8 0.8 0 8 0.8 0 6 0 6 0 6 0.6 0.6 0 6 0 6 0.4 0 4 0.4 0 4 0 5 0 5 0.5 0.5

Nabaaa . orir

PCI p.

0

1 1 1 0 0

1 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0

b

ь, 0 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0

1

b

0 1 0.2 0 1 -0 2 0.5 0 1 0.2 0 1 -0.2 0 8 0 2 0 4 -0.8 -1.0 1 0 2 0.9 -0 13 -1.1 -0 35 -1 1 0.6 0.4

1 0

1 0 1 0 0 0 0

1

1 0 0

b

d

d

IT TO

1 D~ ~T"~0О G f~ О Г~ 1 D~ 1 0~ D~" 0 О Г"

-0.5 1 0.5 О ' -0.4 -0.5" 1 0.5 '

D Т~ 0 '

ИЗ ТГ"07Б 1 (Г -0.4' Tf"СГ'РТб'1 0~ 0.2 1 12ТГ"Т1ТБG Т~ 0.15 О 13 IT"075 D Г" -0.1 Т? IT"gj6 I D~ -0.2 15ТЗ~ШБ 1 Г" 0.5 ' 151Г~ШБ 1 Г" 0.4' Т7 TT"G75 1 D~ 0.4 15 13~та 1 Р~ 0 19"СТ?^^~"~°~ 1 ) °~ "2DТТ~1П11 Р~ 0 1 7Т "0~ТО ! Р~ 0 ^2 T3~"g75 G Г" 1 ' "23 Т^ШБ Т~^Т" 0.2

1 0 1 1 0 1 СГ 1

О

0 Р~ Г" 1 1 О 1 1 1 -0-13 0~ 1 О D

D~ 0.1 D~ 0~ f~ 0~ 0.1 D~

0

0.5 ' 2 0.2 ' 0.1 -0.2 0.5 0 0.2

Т~ 0.1

_1~ -0.2 0.8 2 0.2 2 П~ 0.4 D~ -0.8 Г" -1.U 0~ 1 _Г" 0.2 СГ 0.9 ' 0 2 -1.1 'О Р~ -0.35 Г" -1 1 1

d

d

2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2

0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0

o

\ 0 5

012 О 1 2 __ _____ ____ ___ ______ ______ _____ _____________ ______

~1~ТГ"РТБ "2 0 0.8 "3 ТГШ5 "j ТГ"075 "5 TT"U78 "Б IFШБ 7 ТГ"ОТВ1 Б ТГ"СТ78

Т

Ь о 1 1 1 0 1 1 0 -0 4 0 0 1 1 0 0 0.5 1 1 0 0 1 0 -0.4 0 0 0 2 1 1 0-0151 0 1 1 0 -0 2 1 00 54 0 1 0 4 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 2 00 1 0 0.4 1 1 2 1

d

,

*а 6

12 6 8 20 6 12 6 8 20 10 15 18 14 12 4 6 15 24 35 9 1 4 6 8

1

2

2 D6~~ 0 ' 12 2 0 2 0 2 T3 0 2 "2T2~ 0 2

0

0 О О 2 2 0 0 0 0 24 235 0 2 2

2

2 ТР~ Т5~ D 0 2 2 2 2 2 0 0 "

5 8~~ 2D~ 6 5

8~~ 20

18 14 Т2~ 3 Б~~ Т5~ 9 1 4

2? ТГ"Ш5~"^1 "25 ТГШБ 0

0~ 0.4' 1~" 2

1 1

0~ 0.6 G 0.4

2 2

0 0

б 8

2.4. Порядок выполнения лабораторной работы

Рекомендуется следующий порядок выполнения лабораторной работы. 1. Изучить разделы 1.1-1.3, 2.1-2.3 и подготовить ответы на контрольные вопросы из раздела 2.6. 2. Пройти собеседование с преподавателем, получить допуск к выполнению работы в диалоге с ПЭВМ, номер варианта задания и значения параметров п и е. 3. В соответствии с вариантом задания выполнить подготовительный шаг алгоритма метода Галеркина и подготовить, если и (х) не является точным решением задачи, все числовые и строчные исход-

ные данные для расчетов на ПЭВМ. 4. Выполнить основную расчетную часть лабораторной работы в диалоге с ПЭВМ. В процессе диалога следует переписать с экрана дисплея значения коэффициентов С, пробных решений , а в конце диалога итоговые таблицы пробных решений и их невязок. 5. Оформить и защитить отчет по лабораторной работе, который должен содержать титульный лист, математическую постановку задачи, результаты выполнения подготовительных расчетов, основные результаты расчетов на ПЭВМ и итоговый ответ. 2.5. Тестирующий пример Методом Галеркина найти на ta,t>] приближенное решение краевой задачи

(2.17)

Заметим, что поставленная задача имеет единственное точное решение вида

(2.18) которое получено аналитическим методом, известным из теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Приведем на [0,13 таблицу

функции (2.18), чтобы в дальнейшем оценить действительную точность пробных решений. Таблица 2.2 Таблица точного решения задачи. X

0 у 0.847 х 0.6 У 0.864

0.1 0.865 0.7 0.780

0.2 0.887 0.8 0.633

0.3 0.906 0.9 0.403

0.4 0.5 х 0.914 0.903 1.0 0 0.063

0 .1 0.2 0.3 0.4 0.5 у 0.847 0.865 Q.887 0.906 0.914 0.903 х 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 у 0.864 0.780 0.633 0.403 0.063 - Ъ9 -

В качестве функций и (х), и (х),..., ив(х) используем функции, построенные в примере 1 раздела 2.2,

Тогда

Воспользовавшись указаниями из раздела 2.2, в качестве поверочных функций возьмем многочлены Лежандра

Основные результаты расчета по программе (GALERC) при п<5 и е = 0.0001 представлены в таблицах 2.3 и 2.4 Анализируя их, видим, что наилучшее приближение к точному решению дает пробное решение у (х), для которого «j

- 33 -

Таблица 2.3 Таблица значений пробных решений X

0 00 0.10 0 20 0 30 0 40 0.50 0 60 0.70 0 80 0.90 1.00

П=0 6 006+ 5.506+ 5 006+ 4 506+ 4 006+ 3.506+ 3 2.506+ 2 006+ 1.506+ 1.006+

П=1 2 5763.1263 2963 0862 4861.5061 376-1.616-3 746-6.256-9.146-

Д=0~7 _ Д=Ч.. .

X ~

П=2 9 0369.2869 7561 036+ 1 076+ 1.086+ 1 056+ 9.6368 0165.4761.876П=2

П=3 8 4568.6268 8068 9769 0668.9868 6067.7866 3264.0065.866Д=3

П=4 8 4768.6568 8769 0669 1469.0468 6467.7966 3364.0366.246' П=4

П=5 8 4768.6568 8769 0569 1469.0468 6467.7966 3364.0366.236"

П=5 ~

0.000 6. ООе-ЮСГ 2.57е-ТГГ 9. ОЗе-и 1 БТШПТГ Б747е-0 1 1?747е-д1 g.igg 5.50е+оо' з.12е-01 9.28e-oT8.62e-oi 8.65eJT8.65e-OT 0.200 5.gOe+Og ^5.296-01 "9.756-01 8.806-01 8.87e-gi 8.876-01' g. 300 4. 506+00 з. ose-TJT 1. озе+ОО" ЮТёЧГГ 9. Обе-о i UTUse-g i g.400 4.ooe+oo' 2.48e-o1 1.оте+сХГ 9.aee-o1 9.14e-OT 9.14e-OT g.sgg з.506+00' 1.soe-gi 1.ose+oCT 8.98e-o1 9.04e-o1 9.g4e-OT g.вод з.ooe+oo 1.3?e-02 1.05е+оО" 8.60e-o1 8.64e-o1 8.64e-DT д.тод 2.5ge+gg i.6ie-gi 9.63e-oT Y.'rse-gT т.тее-ОТ т.Т9е-СГГ

0.800 2.ООе-Ю(Т-3.74е-"Ш" 8.016-01 БТ^ёЧГГ'^ЛЗв-ОТ Б7336-01 0.900 1.509+00 -6.25e-Qf 5.4Т6-ОТ 4.UOe-OT 4.03е-01 4.03е-ОТ 1.000' 1 .аое+0(Г -9. Ue-TJT 1.8Ye:=UT'F^5e:ID2"g7?4e-02 Б723е-02

Таблица невязок пробных решений X

0

0

0.

0

и 0. U 0 0. 1.

п=о 2.506+ 2 466+ 2.416+ 2.366+ 2 316+ 2 256+ 2.196+ 2 126+ 2 056+ 1.986+ 1.906+

П=1

v\ _ Q

-8 8764 8661.746+0 2 886+0 3 906+0 4.816+0 5.606+0

3.216+0 1 376+0 2.136-8.826-6 4762 1461.336+0 2.686+0

П=3 -5.806-3 4962.1062.4361 446-1 346-1.606-2 346-1 8065.1565.046-

Табжца 2.4

П=4 8.306-2 006-3.346-8.8661 8562 9161.766-8 506-2 996-1.7066.916-

П=5 -6.9662 6562.806-2.916-2 2768 7963.3762 546-1 426-3.4068.566-

х п=о „ ^п=1„ " п=2~ п=з ~~ п=4 п=ь ~~ U~g "2T50eTOT "=77549+00 3.21 е+ОО ^5. 8Ue-01 8. ЗОе-О^ -6.966-05" U7T 2.466+01 "^57706+00 "Т.37е+00 -3.49G-02 -2.006-02" 2.656-05" ТГ? ТТЯГТё+Ш" -3.986+00 2.13е-02 2.1 Ue-01 -3.34е-02" 2.806-05" :: U75" "g^eTUT ' 2Т58е+до ^8~. 82е-01 ~2.43е-01 -8. 8бе-05" -2.91 е-05" "07Т 2.316+01 ^gf. 8T6-01 ~ 1. ЗТе+00" 1.446-DT 1. Sbe^OZ "^ZTgTe-QS ШБ" 2.256+01 4.866-U1 -1.4T6+QO"-1.346-02" 2.91 ё^Ш""~g7f9e-04 TTFTTT^eTOT T7746+OQ -1.226+00 -1.606-01 ' 1.766-02" 3.376-05" ТТ7Г7ТтаТдТ"ТТБ8е+00 -6.476-01 -2.346-01 -8.506-03" 2.546-03

И75" 2.056+01 ~5^Юб+00 2.146-01 ~1.806-01 -2.996-02" -1.426-03 '0~9"Т795ё+Ш 4Т81б+00 1.336+00 ~5.156-02 -1.706-02 -3.406-05" ITUT^Oe+gi 5TtaOe+00 ~Z".686+00 ~5.046-0Г 6.916-02" 8.566-05"

2.6. Вопросы для самоконтроля 1. Найдите решение краевой задачи (2.17) аналитическим методом. 2. Каковы отличия краевой задачи от задачи Коши ? 3. Каким условиям должны удовлетворять пробные функции в методе Галеркина ? 4. Как находится функция, названная в методе Галеркина невязкой пробного решения ? 5. Какими свойствами должны обладать поверочные функции в методе Галеркина ? 6. Как в методе Галеркина строится система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов пробного решения? - 34 -

Проверьте истинность формул (2.8), (2.9). 7. В каком случае невязка пробного решения сходится к нулю в среднем при п—* » ? 8. Опишите алгоритм приближенного решения краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом Галеркина. 9. Приведите пример построения пробных функций методом неопределенных коэффициентов. 10. Напишите два многочлена Лежандра, ортогональные на С2.43, и проверьте их ортогональность. 11. Напишите уравнение и краевые условия задачи на собственные значения. 12. Напишите две собственные функции задачи (2.13Ы2.Н) и проверьте их ортогональность. 13. Опишите алгоритм метода Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла с заданной точностью. 14. Опишите алгоритм метода Гаусса Жордана с выбором ведущего элемента для решения линейной системы алгебраических уравнений. 15. Приведите физические интерпретации изучаемой краевой задачи.

3. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЫКНОВЕННОГО даФФЕРЕНЩШЪНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ РМТЦА

3.1. Постановка задачи и алгоритм метода Рассмотрим краевую задачу в следующей постановке. Требуется на отрезке [а,ЬЗ найти решение У(х) дифференциального уравнения (3. 1) удовлетворяющее двум краевым (или граничным) условиям (3.2)

W Л

i

где K(x),K'(x)fp(x)sg(x) заданные непрерывные на [а,ЬЗ функции ( К(х) > 0 ) ; а , а , а , b , Ь , b - заданные действительные числа, причем (3.3) Заметим, что краевая задача (2.1), (2.2) может быть сведена к задаче (3.1), (3.2) после умножения уравнения (2.1) на положительный множитель (3.4) и тогда 0(х) = - K(x)q(x), g(x) = K(x)i(x). Идея вариационного метода состоит в замене краевой задачи (3.1),(3.2) равносильной задачей об отыскании дважды непрерывно дифференцируемой на [а,Ь] функции У(х), доставляющей экстремум следующему функционалу

(3-5)

причем значения параметров a,a,q,q,T,T в этом функSt

D

3

D

3

G

ционале определяются в зависимости от значений а , ajf аа, Ь0, b , b по таблице 3.1. 1

i£

- 36 -

N ао

а

!

\

а /а

Ь /Ь

1* 0 ^ 0 2 О 2 0 * . 0 0 * аз/ао 0 0 0 а /а 3* 0 * ^ 2 о 0 0 0 40 * ^ 0 0 0 0 50 ^ 0 ^ 0 0 0 60 ^ ^ * 0 0 0 0 7^ * * 0 2 О 0 0 0 8* ^ 0 ^ 2 о 0 0 0 9^ # ^ ^ 2 О 0 0 0 0

2 0

0

0

^ 0

\ 0

0

0

0

Ь ъК(Ь)

0

- ЬК(Ь) 0

2 о0

Ь /Ь

2 о0

0

-

0

- \1 К(а) - ^ К(а)

- БК(Ь) 0

0

0

0

0

^ К(Ь)

0

^К(Ь) 0

0

0

0

Vbo

0

ъ-

Ь /Ь

2 0

а /а

N ал a, b b

0

Ь /Ъ

а /а

- g2 K(a) - ^ К(а) - % К(а)

0

а /а

Ь /Ъ

Т

Т

2 0

К(Ь) 0

а

__0__i__0__la

Ь

____a____

1 *0 0 *0 0 a /a b /b _ __ __ __ __

Таблица

3.1. Значения параметров функционала b Т а. 1 ь \ т a

а

q

b____

О

n

^a______

О

о b

О

О

2020 __________ ________ __________ ___^_______

2 *0 . 0 0 *0 a /a2

0

и

0

0

0

__ ___ ___ ___ ___ _____________ ___________ ________________________1_____

3 *Q 0 *0 *0 a /a b /b &

_ 4 0 *0 *0 0

и

0

ct

0 О

^ K(b)

О

- R-K(b) LJ О

L/

b /b 2O

0

0

_^ - 52d K(a)

_ ___ __ __ __ _____ ______ __________ ________ ___1______ ___^______

_

0 j_

5 0 *0 0 *0 0 0 0 0 - §- K(a) - ^-K(b) _ __ _ _ ___ ___ ______ ____ _____i___ _____i___ "6~ а„ 6 0 *0 *0 *0 0 bg/bo 0 0 ъ- K(b) - §- K(a) _^ 7 *0 *0 *0 0 a /a b /b - ^ K(a) 000 2

0

20

а

a

F

8 ^0 ^0 0 *0 a /a2

___ __ __ __ ____________

0

0

- ^ K(a) d

0

0

1______ _____________________1_____

a "Б 9 ^0 #0 *G ^0 a /a b /b ^ K(a) ^ K(b) О n 2 О 2 О d U

_____ ___ ______ ____________

1______

- R-K(b) U О

1___________________________

В методе Ритца для нахождения приближенного решения краевой задачи (3.1), (3.2) строится функциональная последовательность (Уп(х)>^ из пробных решений У (х) следующим образом . Как и в методе Галеркина,задаемся на [а,Ь] функцией и (х) и пробными функциями Uj(х),...,и (х),такими, что UQ(х) удовлетворяет условиям (3.2), а и (х), и (х),..., и (х) удовлетворяют однородным условиям (2.3), и составляем функцию (3. 6) J.

а

j

Г5

"™ •*

где С. (1 =Т7п ) - некоторые постоянные. Значения постоянных С. (1 =Т7п ) подберем так, чтобы функция (3.6) доставляла экстремум функционалу (3.5). Подставляя у(х) = у (х) в (3.5), получаем квадратичную функцию переменных С ,...,С

- 37 -

Необходимые условия экстремума функции (3.7), как известно из математического анализа, имеют вид:

Записав условия (3.8) в развернутом виде, для определения значений переменных С ,С ,...,С получаем неоднородную систему ±

£

п

линейных алгебраических уравнений п -го порядка

Решив систему (3.10) и подставив определяемые этим решением значения постоянных С,...,С в (3.6), завершаем построение пробного решения у (х) • Опишем теперь возможный алгоритм приближенного решения задачи (3.1), (3.2) методом Ритца, предполагая,что (уп(х)}^ - 38 -

СХОДИТСЯ К Y(X)

При П -> со .

1. Подготовительный шаг алгоритма. На этом шаге определяем значения параметров функционала (3.5) в соответствии с таблицей 3.1. Выбираем функции UQ(X), u.(х),..., un(x) и находим функцию Ro(x) = L(uo)-g(x) = K(x)uj + K'(x)uj(x) - j3(x)uo(x) -g(x), т.е. невязку от подстановки UQ(X) в уравнение (3.1). Если vx ^ [a,bl: RO(X) = 0, то UQ(X) = У (х) - искомое решение и вычисления заканчиваем. Если же R (х) * 0 , то переходим к следующему шагу алгоритма. 2. Первый шаг алгоритма. Строим функцию у (х) = и (х) -ь с и (х), опредежв значение С из решения системы (3.9) при п = 1. Находим невязку

.Есж vx е [а,ЬЗ : ЩС,,х) = 0 ,то Y(x) = у^х), и задача решена. Есж находим j.

иж

Есж А < е иж А < £

, где е и е -заданные меры точноеJ.J.JL

J. £&

Ct

J.

^

ти приближенного решения, то полагаем У(х) « у (х) и вычисления заканчиваем. Есж же А > е или А12> ед , то переходим к вычислениям на следующем шаге. Таким образом, на m - м шаге (т > 1) алгоритма сначала строим функцию определив значения С4,...,С из решения

системы (3.9) при п = m , а затем находим невязку

- 39 -

3.2. Построение систем пробных функций Некоторые методы подбора пробных функций были приведены в разделе 2.2. Подчеркнем здесь, что если пробные функции выбираются на множестве многочленов, то их всегда можно найти методом неопределенных коэффициентов, причем неоднозначно. Одним из возможных наборов пробных функций и (х) (1*1) будут многочлены (3.-11) ИЛИ

(3.12) где

Напомним также, что пробные функции и4(х), 1*1 можно выбрать из собственных функций соответствующей задачи на собственные значения, представляемых в виде

(3.13) Приведем теперь еще несколько примеров построения пробных функций для некоторых вариантов граничных условий (3.2). Пример 1. Построить ио(х) и систему пробных функций для задачи (3.1) с краевыми условиями у(0) =2, у(1) =3. Решение. Пусть UQ= Bx +Сх2. Тогда из граничных условий - 40 -

находим

.

Итак, Функции ub(x), k > 1 будем искать в виде (3.13)

Удовлетворяя однородным граничным условиям, получим В =0, / ' ч

/" "ч

sin (Л х) = 0. Отсюда имеем (kn) , k =1,2,.... k

k

К

/X = kn , X = k

Тогда, обозначая С = В , находим и (х) = С cos(knx) . Таким k

k

k

k

образом, пробное решение можно искать в виде

Если же функции ub(x) (k >1) взять в виде (3.11), то

7

если же

в виде (3.12), то К

= i

Пример 2. Построить ио(х) и систему пробных функций для краевой задачи с условиями у(0) = 2, у(1) - 4. Решение. Положим и (х) = А 4- Вх . Удовлетворяя граничным условиям, находим В = 2, А+В=4 , т.е. А = 2, В = 2, следовательно, ио(х) =

2 + 2х. Зададим Согласно однородным граничным условиям имеем

Вводя обозначение С,_= А,_ , получаем Тогда К=

Используя же пробные функции вида. (3.11), (3.12), получаем

или

1

Пример 3. Построить u (x) и систему пробных функций для для задачи с граничными условиями 2у(0) = у(0) - 1, у(1) =3. Решение. Ищем искомые функции в виде и (х) = А + Вх,

Потребуем, чтобы функция и (х) удовлетворяла неоднородным граничным условиям. Тогда 2В = А - 1. А + В = 3, т.е. А =- д-, В = д, следовательно, Мз соответствующих однородных условий находим

(3.14) для определения собственных значений. Последнее уравнение имеет счетное множество действительных корней X Д ,... , что подтверждает рисунок (3.1). l

^

Корни уравнения (3.14) определяются приближенными численными методами, например, методом хорд, методом Ньютона, методом итерации или методом половинного деления. Таким образом, обозначая С = А , имеем А

k

k

то:

Если использовать пробные функции вида (3.11), (3.12), то получаем

или .

3.3. Задание к лабораторной работе Методом Ритца найти наиболее точное приближенное решение краевой задачи (2.16), построенное при помощи системы из п пробных функций - многочленов и системы из п пробных функций вида (3.13). За меру точности выбрать ( по указанию преподавателя ) или 1.5) или

(3.

Варианты заданий приведены в таблице 2.1. Лабораторная работа выполняется с использованием в диалоге с ПЭВМ специальной программы (RITZ), которая реализует алгоритм построения пробных решений у (х) методом Ритца. В этой программе все определенные интегралы из (3.10) вычисляются приближенно с точностью е

методом Симпсона, а система линейных алгебраических уравнений (3.9) решается методом Гаусса - Жордана с выбором ведущего элемента. Программа включает подпрограмму, являющуюся интерпретатором выражений, аналитически задающих функции одного аргумента. Перед обращением к программе необходимо подготовить вводимые в процессе диалога с клавиатуры дисплея исходные данные числовые и строчные. Числовые данные : - 43 -

a,b - концы отрезка интегрирования [a,bl; Т , Т , « , а , q , q - значения параметров функционала (3.5), a

b

a

D

а

о

найденные в соответствии с таблицей 3.1; е - точность вычисления определенных интегралов; п - максимальное число параметров С1§...,Сп в пробном решении. Значения параметров е и п задает преподаватель. Строчные данные : аналитические выражения для функций К(х), К'(х), р(х) и g(x), входящих в уравнение (3.1); аналитические выражения для пробных функций uo(x),...fum(x) и их производных первого и второго порядка. Заметим, что при необходимости программа может напомнить пользователю правила ввода клавишами дисплея аналитических выражений. В результате расчета программа выводит на экран дисплея значения коэфициентов С,...,С и таблицы всех пробных решений у (х),...,у (х) и их невязок. Анализируя данные этих таблиц, надо найти обоснованный ответ на поставленную задачу лабораторной работы. 3.4. Порядок выполнения лабораторной работы Рекомендуется следующий порядок выполнения лабораторной работы. 1. Изучить разделы 3.1-3.3 настоящей главы и подготовить ответы на контрольные вопросы из раздела 3.5. 2. Пройти собеседование с преподавателем, получить допуск к выполнению работы на

ПЭВМ, номер варианта задания лабораторной работы и значения параметров п и е. 3. В соответствии с полученным заданием выполнить подготовительный шаг алгоритма метода Ритца и подготовить, если и (х) не является точным решением задачи, числовые и строчные исходные данные для расчетов на ПЭВМ. 4. Выполнить основную расчетную часть лабораторной работы в диалоге с ПЭВМ. В процессе диалога следует переписать с экрана - 44 -

дисплея значения коэффициентов С пробных решений, а в конце диалога - итоговые таблицы пробных решений и их невязок. 5. Оформить и защитить отчет по лабораторной работе, который должен содержать титульный лист, математическую постановку задачи, результаты выполнения подготовительных расчетов, основные результаты расчета на ПЭВМ и обоснованный итоговый ответ. 3.5. Тестирующий пример Методом Ритца найти на [0,1] приближенное решение краевой задачи (2.17). Сводим задачу (2.17) к задаче (3.1),(3.2), определяя, согласно (3.4), Получаем задачу (3.16) где К'(х) =-Зе~3х; /з(х) = -2е~3х; g(x) = (2х 2 6х + 2)е~3х. Напомним, что задача (3.16) имеет точное решение (2.18), значения которого представлены в таблице 2.2. В качестве пробных функций используем те же функции, что и в разделе 2.5:

причем R(u ) * 0. Определяем параметры функционала (3.5). Так как ао= а = Ьо= Ъ = 1 , то в соответствии с таблицей 3.1 - 45 -

имеем

Основные результаты расчета по программе RITZ при п=5, е=0.0001 представлены в таблицах 3.2 и 3.3. Таблица 3.2. Таблица пробных решений X

0. 0. 0. 0. 0. О. 0. 0. 0. 0. 1.

П = 0 6. 5.50е+0 5.006+0 4.506+0 4.006+0 3.506+0 3. 2.506+0 2.006+0 1.506+0 1.006+0

П = 1 1.046+0 1.026+0 9.6Т68.806Т.6066.0764.2162.026-4.966-3.356-6.536-

П = 2 8.3668.6168.9469.2369.3669.2068.636Т.5265.Т563.186-2.896-

П = 3 8.4868.6568.8669.0469.1469.0668.6Т6Т.8266.3263.9865.486-

П = 4 8.4768.6568.8Т69.0569.1469.0468.6467.8066.3364.0366.176-

П = 5 8.4768.6568.8769.0569.1469.0468.6467.7966.3364.0366.226-

х~п = U ' п = 1 п=2 п = 3 "1П= 4 ~~п = 5 ТТЛ!~6~. ООе+00 ~1.04e+OQ 8.366-0f 8.486-0Т 8.476-01 8.476-01 ТТЛ 5f.50e+OQ 1.026+00' 8.6le-0f 8.65e-OT8.65e-OT 8.656-TJT TJ7Z 5.006+00 ' 9.6Te-OT 8.94e-01 З.Вбё^ОТБТВТе-Ш ~g78Te-01 1)7Т~^. 506+00 8.806-OT 9.239-01 9.04ёЧТТ'9"7Ше-01 ~9~.056-01 U74~ "Т. ooe+00 ~7.60e-g1 ' 9.Збе-Q f 9.146-01 9.14e-OT 9.146-ТГГ 0.5 3.506+Og ~6.0Т6-01 ' 9.206-0f 9.066-01 9.046-OT 9.046-ТГГ 0.6 3.006+00 4.216-01 ' 8.63e-0f 8.676-01 8.646-OT 8.64e-Ur

U7T ~^. 5ge+og ~2.026-0 1 т.52e-o f т.82е-о Г т. 80e-oT т. T9e-UT

0.8 2.Ше-ЮО -4.966-ОТ Ь.'Г5е^Ш~ 6.326-01 Б7БЗе-01 ~5ТЗЗв-01 И/д" 1.506+00 ^3.356-01 ' 3.189-Of 3.986-01 4.036-01 4.03е-ТГГ:: TTU"~T700e+00 ^Б.ЬЗе-01 ~-2.89е-О^Г 5.48e-OZ 6.1Те-132" 6.22ё П?'

таолица невязок пробных решении П = 4 п = 2 П = 3 х П = 0 П = 1 1 286+0 -2.896- 3.5760 2.506+ 0. 1.826+ 0. 1.326+ -7 9460. 9.606+ 4.7760 6.956+ 7.196О 5.026+ 7.7960. 3.626+ 7.426O 2.606+ 6.5960. 1.866+ 5.6060. 1.336+ 4.6161. 9.466- 3.706-

1 616- 2.846-2.696-3.556-2.876-1.696-5.1664.4261.1261.5461.746-

8.1664.7161.896-2.626-3.286-2.276-3.0262.0164.216-

-1.006-5.9362.9265.4062.626-1.506-3.886-3. 1.1267.826-

П = 5 -1.0561.8661.7365.1869.076-1.216-2.146-4.716-4.5361.9961.716-

Табжца 3.3. Таблица невязок пробных решений х ~п"= о п = 1 п = 2 п = :Г~ п_= 4 ~~п = 5 0.02. sge+gr ":1571 ое+оо 1.28е+оо -2.89е-о 1 з. 5Te-oZ -1. Обе-Ш" 0.1 1.82ёТСТТ-1.16е+00 1.616-01 ~2.84е-02 -1.0Qe-02 LSee-W ТГГ 1.326+01 ^7.946-02 -2.696-01 г S.jbe-'UZ -5.93ё^ПТ73е-03 ТЗТТ^7бРё+ЦР'^7 ГТе-01 -3.559-01 ~4.71е02 2.926-05" 5.18е-"04~ 0.4 6.95ёТШ'~ТГ199-01 -2.876-01 ~ 1.899-02 5.409-03" 9.0Те-'Р5' "Ц7Б" 5.02е+00 Т. 796-01 ~1.69е-01 -2.62е-02" 2.62ё^ ':=Т721 е-05 ТЗТБ' ^Б2е4-00 7.426-01 ^5". 1 бе-02 -3.289-02 -1. 5Qe-OJ -2.149-04 U7T?75ge4-gg'~~g.596-01 ~4.42е-02 -2.2'Ге-Ш'3.88ё::РЗ':=1Т71е-д4

0.8 i.86e+gg~5'.6ge-gi " 1.129-01 -з.02е-Ш"-з.озё:Ш'^:4Т53е-04

0.9 1.33ё1Ш~4~516-01 1.546-01 ~2.016-02 1.126-05" 1.99e-U4~ ТЛГ 9.466-01 ~57ГОе-01 ~Т.'Г49-01 4.216-02 7.826-03 1.Tie-US'

Анализируя их, устанавливаем, что наилучшее приближение к точному решению Y(x) дает решение у (х), для которого W

3.6. Вопросы для самоконтроля 1. Опишите алгоритм решения краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка аналитическим методом. - 2. Каким образом уравнение (2.1) свести к равносильному уравнению типа (3.1) ? 3. В чем основная идея вариационного подхода к решению краевой задачи (3.1), (3.2) ? 4. Проверьте правильность данных, представленных в таблице 3.1. , 5. Какими свойствами должны обладать пробные функции в методе Ритца? 6. Как в методе Ритца находится невязка пробного решения ? 7. Докажите, что ортогональная на [а,ЬЗ система функций, среди которых нет тождественно равной нулю, линейно независима. 8. Как в методе Ритца строится система алгебраических уравнений для определения коэффициентов пробного решения? Проверьте справедливость соотношений (3.9),(3.10). 9. Опишите алгоритм приближенного решения краевой задачи (3.1),(3.2) методом Ритца.

10. Приведите пример пробных функций для решения задачи методом Ритца. 11. Проверьте, что функции (3.13) являются собственными функциями задачи (2.13). 12. Опишите алгоритм метода хордкасательных для приближенного вычисления корней уравнения Г(х) = 0. 13. Опишите алгоритм метода половинного деления для приближенного вычисления корней уравнения 1(х) = 0. 14. Опишите алгоритм метода итераций для приближенного вычисления корней уравнения f(x) = 0.

РЕЖИМЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЫКНОВЕННОГО ' ДТШЕРЕНГЩЛЪНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ИНТЕГРАЛЬНЫМ МЕТОДОМ

4.

НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

4.1. Постановка задачи и алгоритм метода Снова рассмотрим краевую задачу: найти на отрезке [а,ЬЗ решение Y(x) дифференциального уравнения (4.1) удовлетворяющее условиям

(4.2) где p(x),q(x),f(x) - заданные функции, непрерывные на отрезке [а,ЬЗ;у ao,ai,a2,bo,bi,ba - заданные числа, причем а^ + а2 > О, Ь2 + tf > 0. О

1

Заметим здесь, что краевая задача (3.1),(3.2) может быть сведена к задаче (4.1),(4.2). Для этого достаточно разделить обе части уравнения (3.1) на К(х) и ввести обозначение Для нахождения приближенного решения задачи (4.1),(4.2) интегральным методом наименьших квадратов строится функциональная последовательность (yjx))® из пробных решений вида

(4.3)

где uQ (.х),Uj (х),...,и (х) - функции,

удовлетворяющие таким же условиям и требованиям, что и аналогичные функции в методах Галеркина и Ритца. Подставляя пробное решение (4.3) вместо у(х) в уравнение (4.1), получим невязку (4.4) Напомним, что функция (4.4), линейно зависящая от парамет- 48 -

.

ров С ,...,С .является характеристикой уклонения пробного решения (4.3) от точного решения задачи Y(x). Поэтому подберем значения С ,...,С так, чтобы они доставляли глобальный минимум сле1

п

дующей функции переменных С ,... ,С

(4.5)

Заметим, что так как $>(С ,...,Сп) из (4.5) неотрицательная квадратичная функция п переменных, то глобальный минимум ее существует и совпадает с локальным. Необходимые условия локального минимума функции (4.5) дают

(4.6) Записав условия (4.6) в развернутом виде, для определения значений переменных С ,...,С получаем неоднородную систему 1

п

линейных алгебраических уравнений n-го порядка

(4.7) где

b

(4.8)

Решив систему (4.7) и подставив определяемые этим решением значения параметров С ,...,С в (4.4), завершаем построение пробного решения у (х). Этапы возможного алгоритма приближенного решения задачи (4.1),(4.2) интегральным методом наименьших квадратов качест- 49 -

венно полностью совпадают с этапами алгоритма решения задачи методом Галеркина. Имеется только одно количественное различие, связанное с тем, что параметры С ,...,С пробного решения на первом и последующих этапах определяются решением системы (4.7), а не системы (2.8), как было в методе Галеркина. Подчеркнем, что пробные функции можно подбирать так же, как и в методах Галеркина и Ритца. " 4.2. Задание к лабораторной работе Интегральным методом наименьших квадратов найти наиболее точное решение краевой задачи (2.16), построенное при помощи системы из п пробных функций многочленов. За меру точности выбрать (по указанию преподавателя) или е . или е из (3.15). Ва1

&

рианты заданий приведены в таблице 2.1. Лабораторная работа выполняется с использованием в диалоге с ПЭВМ специальной программы (INMSQ), которая реализует алгоритм построения пробных решений интегральным методом наименьших квадратов. Конструктивно программа IMSQ повторяет программу GALERC. Перед обращением к этой программе необходимо подготовить следующие числовые и строчные данные. Числовые данные: а,Ь - концы отрезка интегрирования; е - точность вычисления определенных интегралов; п - максимальное число параметров С, в пробном решении.

Значения параметров е и п дает преподаватель. Строчные данные: аналитические выражения для функций и (х),...,un(х); аналитические выражения для функций i(x) - L[UQ], Ltu ],..,L[u ]. 1

n

- 50 -

4.3. порядок выполнения лабораторной раооты Рекомендуется такой порядок выполнения лабораторной работы. 1. Изучить разделы 4.1,4.2 настоящей главы, повторить разделы 2.2, 3.2 и подготовить ответы на контрольные вопросы из раздела 4.5. 2. Пройти собеседование с преподавателем; получить допуск к выполнению работы в диалоге с ПЭВМ, номер варианта задания и значения параметров п и е. 3. Выполнить подготовительный шаг алгоритма метода наименьших квадратов и подготовить, если и (х) не является точным решением задачи, все числовые и строчные исходные данные для расчетов на ПЭВМ. 4. Выполнить расчетную часть работы на ПЭВМ, переписав с экрана дисплея значения коэффициентов С. пробных решений и итоговые таблицы пробных решений и их невязок. 5. Оформить и защитить отчет по лабораторной работе такого же содержания, что и отчеты по работам предыдущих глав. 4.4. Тестирующий припер Интегральным методом наименьших квадратов найти приближенное решение краевой задачи (2.17), используя пробные функции из раздела (2.5). Основные результаты расчета по программе INMSQ при п = 5, е = 0.0001 представлены в таблицах 4.1 и 4.2. Наилучшее приближение к точному решению дает пробное решение у_(х), для о

которого

- 51 -

4.1 Таблица пробных решений П = 0 6.006+0 5 506+0 U 5 006+0 0 4.506+0 0 4 006+0 0 3.506+0 3 и O 2 506+0 0 2.006+0 0 1 506+0 1. 1.006+0

П = 1 4.866+0 5 196+0 3 1564.7563 9762.8361 336-5 496-2.796-5 406-

~Y~ п = 0

п_= 1

X

0 0

ЮТ 1 0-1 TJ72" TJ73" 0.4 "OTF ThF U7T ТСТ "079"

-

п 8 8 686- 8 9 086- 8 П = 2 8.416-

= 3 466636826-

Таблица

п = 4 П = 5 8 476- 8 4768 656- 8 656-

8 8669.0569 1469 026- 9.0368 646- 8 6367 816- 7 7966 346- 6.3364 016- 4 0364 346- 5 936- 6.2069.4769 7169.6869 2268 2066.4963 956-

' п=2

9.0069 096-

п =~3~"

п=4

8 8769.0569 1469.0468 6467 7966.3364 0366.216-

~"п = 5

6.006+00 4.866+03" 8.416-01 8~ 466-01 ~8.4Ye-01 8.476-01 5 50е+ш 5.199+00 8.689-01 8.636-01 8.656-01 8.656-01 5.006+00" 3.1ЬёЧЛ9TD86-01 "Б".826-01 8.869-01 8.876-01 4.506+00 4.756-01 9.476-01 9.00е-01 ~9.056-01 9.056-01 4.QOe+"DO" 3.976-01 ~9"Л1б-01 ~^Г.09е-01 ~9.146-01 9.146-01 3.506+00 2.836-01 ""Р7Б86-01 ~9~. 026-01 ~9.036-01 9.046-01 3.00eTDG"~T733e-01 9.226-01 8.646-0Г 8.бЗе-ЭТ 8.646-Q1 2.506+00" -5.49ё=ОТ 8.206-01 ~Т. 816-01 ~7. 796-01 7. 796-01 2.00е+"ОТГ-2.79§::ОТ5ТД96-01 ~5". 346-01 6.336-016.336-01 1.50e+W^57106-01 ~3.956-01 '::4.01е-0Г 4.ОЗе-^РТ 4.ОЗе"11^ ::

ТПГ 1.006+00"-8.386-137 4.34е' д2"~5795ё 02'~БТ20е-02 6.216-02

Таблица 4.2 Таблица невязок пробных решений П = 0

П = 1 2 506+ 2.466+ 2 416+ -2 8662.366+ -1 3460 2 316+ 6 8060 2.256+ 1.366+0 0 2 196+ 2 546+0 0 2.126+ 3.616+0 0 2 056+ 4 576+0 0. 1.986+ 5.416+0 1 1.906+ 6. X 0 0. 0 0.

П = 2 1 876+0 5.386-3 976-

П = 3 -4 686-4.1561 906-

П= 4 3 246-2.146-1 526-

-9 626- 1 956- 9 896-7 086-6.6368 0961.896+0 3.156+0

8 816-6.066-1 876-2.336-1 4661.2066.076-

2 7662.5664 146-2.526-4 036-1.0161.056-

П = 5 3 096-5.056-3 6062.0167 4868.8364 036-5.386-1 306-6.2263.456-

4.5. Вопросы для самоконтроля 1. Как в методе наименьших квадратов строится система линейных уравнений для определения параметров пробного решения ? 2. Получите самостоятельно развернутый вид

условий (4.6), проверив тем самым справедливость формул (4.7),(4.8). 3. Опишите алгоритм приближенного решения краевой задачи (4.1),(4.2) интегральным методом наименьших квадратов. 4. Приведите примеры пробных функций для решения задачи (4.1),(4.2) интегральным методом наименьших квадратов.

- 52 -

5. РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ГАЛЕРКМНА

5.1. Постановка задачи и алгоритм метода Рассмотрим следующую начально-краевую задачу. Требуется в плоской области D = ((x,t)e R2: a<x0> найти решение U(x,t) дифференциального уравнения (5.1) удовлетворяющее двум краевым или граничным условиям

(5.2)

и начальному условию (5.3) где K(x,t), Kx(x,t), |3(x,t), g(x,t), aa(t), b2(t) -заданные, непрерывные на D функции (K(x,t) > 0); aQ, aiS bQ, bj заданные действительные числа, причем а2 + а2 > 0, b2 + b2 > 0; х

01

О

1

Г(х)- заданная функция, непрерывная на [а,Ь] вместе с Г'(х) и такая, что

(5.4)

Напомним, что в такой форме может быть поставлена задача одномерной нестационарной теплопроводности [1]. Например, типичная задача о нестационарной теплопередаче путем теплопроводности в однородном стержне единичной длины, концы которого поддерживаются при темературах Т и Т , при начальном распределении температуры вдоль стержня по закону II

«5

- 53 -

получается как частный случай сформулированной задачи при

(5.5) В методе Галеркина для нахождения приближенного решения задачи (5.1)+(5.4) строится функциональная последовательность (un(x,t)}* из пробных решений un(x,t) следующим образом. Задаемся в области D некоторой системой дважды дифференцируемых функций u (x,t), и4(х),..., ип(х) таких, что uo(x,t) удовлетворяет краевым условиям (5.2), а пробные функции u (х) (1*1) являются линейно независимыми на [а,Ы и удовлетворяют однородным краевым условиям

(5.6) Составляем функцию (5.Т ) II •-.

U л

л

k= 1

с неизвестными пока функциями v (t),...,v (t), зависящими только от аргумента t. Подчеркнем, что в силу линейности условий (5.2) и (5.6), функция (5.7) удовлетворяет условиям (5.2) при любых функциях vi(t)s...,vn(t). Значит, следует так определить v (t) (1*1) и количество (п) этих функций, чтобы u (x,t) из (5.7) удовлетвоп

ряла уравнению (5.1) и начальному условию

(5.3) с заданной точ-,ностью.

или

- 54 -

_q

Подставляя u (x,0), полученную из (5.7) при t=0f в (5.3). n

находим

невязку Невязки R и R2 являются характеристиками уклонения функции (5.7) от точного решения U(x,t) задачи (5.1)+(5.4). Во всяком случае, если при некотором наборе функций vi(t),...,vn(t) R4= О и R = о , то функция u (x,t) из (5.7) - точное решение U(x,t). 2

n

В общем случае эти невязки оказываются отличными от нуля. Поэтому накладываем дополнительные условия на функции vfc(t) и их начальные значения v (0) так, чтобы невязки в каком-то смысле k

были бы наименьшими. В обобщенном методе Галеркина эти условия определяются системами уравнений :

где w (x),...,w (х) - заданные линейно независимые на Са,Ь] 1

n

поверочные функции;

Напомним здесь, что если поверочные функции wa(x),...wn(x) входят в полную на [а,Ь1 систему функций, то можно ожидать сходимости последовательности (u (x.t))00 в среднем к точному n

О

решению U(x,t) [13. Запишем условия (5.10) в развернутом виде - 55 -

или

или (5.12) где (5.13) h

(5.14 )

(5.15)

Если ввести в рассмотрение матрицы то система (5.12) в матричном виде запишется так (5.16) Покажем, что матрица А всегда невырожденная, т.е. detA*0. Рассмотрим однородную линейную алгебраическую систему уравнений относительно неизвестных X,, Х„,... Д Если detA=0 , то система (5.17) имеет множество ненулевых - 56 -

решений. Пусть одним из таких решений является совокупность X Д ,...Д , где, например, X * 0. Подставляя это решение в уравнения системы (5.17), суммируя все получившиеся при этом равенства и используя свойства скалярного произведения, получаем Так как функции w (х) линейно независимы, то w + ...+ w * 0 . Значит, должно выполнятся тождество Xu+...+ Xu = 0, Х*0. Но 11

n n

m

это невозможно из-за линейной независимости функций ulf...,un. Значит,ненулевых решений у системы (5.17) нет, а для этого необходимо и достаточно, чтобы detA*0. Таким образом, матрица А невырожденная и, следовательно, имеет обратную матрицу А'1. Теперь из (5.16) получаем (5.18) Таким образом, функции v.(t) должны удовлетворять нормальной системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений пго порядка. Заметим, что если функции K(x,t), 0(x,t) зависят только от х, то система (5.18) - система с постоянными коэффициентами. Заметим так же, что если в качестве поверочных функций выбраны пробные, которые ортогональны, то матрицы А и А'1 являются диагональными матрицами. Запишем теперь в развернутом виде условия (5.11). Получаем

или

или

(5.19)

- 57 -

где au, определяются формулами (5.13), а

Если ввести матрицу D = (d ) (5.19) получаем •"-

"

, то из

k n , 1

(5.20)

Таким образом, для нахождения функций k(t) Д = 1,п, определяющих пробное решение (5.7), получаем задачу Коши для нормальной системы (5.18) линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с начальными условиями (5.20). Решив указанную задачу Коши и подставив определяемые этим решением функции v (t) в (5.7), заканчиваем построение пробного решения un(z,t). Опишем возможный алгоритм построения проиближенного решения задачи (5.1) + (5.3) методом Галеркина, предполагая, что последовательность {u (x,t)>* сходится равномерно к точному решению U(x,t). 1. Подготовительный шаг алгоритма. На этом шаге выбираем функцию u (x,t) и находим невязку R (x,t) = Ltu ] - g(x,t) от подстановки функции u (x,t) в уравнение (5.1). Находим невязку R (х) = u (х,0) i(x) для условия (5.3). Определяем v

л w

LJ

max|Rio(x,t)| = AIO и ^ах,iR2o(x)i = Д20 . Если A se и Д20 ££2, где е и е2 заданные меры точности приближенного решения, то полагаем U(x,t) * u (x,t). В противном случае переходим к следующему шагу алгоритма, предварительно выбрав пробные u (х) и поверочные w (х) функции.

2. Первый шаг алгоритма. Определив функцию v (t) из решения задачи Коши (5.18), (5.20) при п=1, строим функцию uu(x,t) = UQ+ +vi(t)ui(x). Находим по формулам (5.8), (5.9) невязки Rii(vi(t),x,t), R2j(vi(0),x) и определяем mgx|Rii(vi,x,t)| = АМ и lR (v (0) x)l = A Есж А £ £ И A £ £ [5?5i 2i i » 2iи 1 2i 2' то пола -гаем U(x,t) « u (x,t),H вычисления заканчиваем. В противном случае переходим к вычислениям на втором шаге алгоритма и т.д. - 58 -

Таким образом, на т->м (т>1') шаге алгоритма строим функцию

определив предварительно функции v (t),...,v (t) из решения задачи Коши (5.18),(5.20) при п = т. Находим по формулам (5.8), (5.9) невязки R (v (t),...,v (t),x,t), R (v (0),...,v (0),x), 1 т

1

т

' .

"

2m

т

1

а затем вычисляем max |R (v (t),...,v (t),x,t)| = А и D

max |R [а,Ь]

2m

1

1m

1

m

(v (0),...,v (0),x)| = A o . Есж А m

2m

1m

<е и А 1m

1

<с, 2m

2

то полагаем U(x,t) a u (x,t), в противном случае переходим к (пн-1) - му шагу алгоритма. У

5.2. О построении функции uo(x,t)

Пробные и поверочные функции можно выбирать так же или такими же методами, как описано в предыдущих главах! Поэтому обсудим здесь только возможность построения функции un(x,t) в виде многочлена относительно х с коэффициентами, зависящими от t, и рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих эту возможность. Например, положив uo(x,t) = A(t), из условий (5.2) получаем систему функциональных уравнений

и если a b = b а , то система совместна и

Есж же

. L/

id

LJ

л

•a b g* b a , то система несовместна,и ищем u^(x,t) в виде О л

02

Для определения A(t) и B(t) из условий (5.2) получаем систему функциональных уравнений

которую можно исследовать, используя теорему Кронекера-Капелли, - 59 -

как линейную неоднородную алгебраическую систему относительно неизвестных функций A(t) и B(t). Если 54= ao(bQb + bj) - bo(aQa + at) * О, то система совместна и определена при этом

и функция u (x,t) = Р (x,t) определяется однозначно. Если s = О, то система несовместна, и ищем u_(x,t) в виде

Для определения A(t) и B(t) из условий (5.2) получаем систему

если §2= ао(Ъ Ь2+2Ъ b)-b (а а2+2а а) * 0, то система совместна и неопределена, причем B(t) можно придавать произвольные значения. Если 8^= 0, то система несовместна и ищем u (x,t) в виде Условия (5.2) приводят к системе

Покажем, что эта система всегда совместна и, следовательно, неопределена. Для этого надо доказать, что для любых значений параметров a,b,a ,b ,a ,b не могут выполняться все условия несовместности, отмеченные выше, одновременно

Введем обозначения х =а b , xg= a b , x3=-boaj и заметим, - 60 -

что, в силу ограничений на параметры (а^чаЪо, b^+bj>0) и последнего из выписанных условий несовместности, переменные х , х и х одновременно в ноль обратиться не могут. Тогда первые три условия несовместности можно записать в виде линейной однородной системы относительно х^,хо и хп л,

&

W

которая должна иметь ненулевое решение. Для этого необходимо и достаточно, чтобы определитель третьего порядка

Последнее невозможно, так как §=(Ьа)4иа*Ь. о

Таким образом, при любых значениях параметров а, Ь, ао, а , Ь , b всегда найдется хотя бы одна функция вида uo(x,t) = = Р (х, t), удовлетворяющая условиям (5.2). Пример 1. Построить ujx,t) для задачи с краевыми условиями (5.21) Решение. Пусть u (x,t) = A(t), тогда

условия (5.21) дают

т.е. - несовместную систему. Если теперь u (x,t) = A(t)+ B(t)x, то условия (5.21) приводят к системе

Следовательно, в качестве функции u (x,t) можно взять функцию u (x,t) = (6 - 5x)t. - 61 -

Пример 2. Построить функцию u (x,t) для задачи с краеыми условиями

Решение. Пусть un(x,t) = A(t), тогда условия (5.22) дают

т.е. - несовместную систему. Если теперь u (x,t) = A(t)+ B(t)x, то условия (5.22) приводят также к несовместной системе

Полагая uo(x,t) = A(t) + B(t)x + C(t)x2 , снова получаем не-соместную систему (5.23). Ищем поэтому u (x,t) в виде uo(x,t) = A(t) + B(t)x + C(t)x2 + D(t)x3? Мз условий (5.22) имеем _

_t

Получиж совместную систему. Одним из решений

ее будет, например, следующая совокупность функций A(t) = е, B(t) = О, C(t) = 0, D(t) = - 0.5e'2t + 0.25e"t. Таким образом, uo(x,t) = e"1" + (Q.25e~^ - 0.5e"at)x3. Пример З. Построить u (x,t) и систему из пяти пробных функций для задачи с краевыми условиями

- 62 -

Решение. Если un(x) = А, то получаем из (5.24) несовместную систему t_j

Если UQ(X) Вх, то условия (5.24) дают

=А+

Таким образом, R

качестве ттобннтс (fwrmraft можно ЯР,ЯТТ-,

5.3. Задание к лабораторной работе Рассматривается начально-краевая задача. Требуется в плос-ской области найти решение u(x,t) дифференциального уравнения (5.25) удовлетворяющее условиям

где с , с , с , с - некоторые заданные постоянные величины. 1

*&

о

4t

Заметим, что эта задача получается как частный случай задачи (5.1)+(5.3) при а=0, Ь=г, K(x,t)Eci, p(x,t)sO, g(x,t)sO, V1' VC2' V1' bi=°' VC3Требуется: 1. Методом Фурье (методом разделения переменных) найти точное аналитически заданное решение U(xft) задачи (5.25.)+ (5.27) и построить с шагом O.U трехзначную табжцу точного решения при t=T, т.е. функции v(x)= U(x,T). - 63 -

2. Методом Галеркина найти первые пять функций из последовательности пробных решений (un(x,T))^, используя нормированные системы пробных и поверочных функций, тип которых задает преподаватель . 3. Исследовать поведение построенных пробных решений, сравнивая их таблицы с таблицей Щх,Т) и анализируя табличные значения их невязок НиН. Сформулировать аргументированные выводы о возмощностях метода Галеркина. Варианты заданий, определяемые различными наборами значений постоянных с±, с2, сз, С4 задачи (5.25)+(5.27) и параметра Т, приведены в табжце 5.1. Таблица 5.1 Варианты задания к лабораторной работе JL

*£j

№

1

1

К

2. 3.

4. 5. 6. 7. 8.

9. 10.

о:я

0.25Я 31 0.53Г 0.25Я Я 0.53Т 0.25Я 31

С 1 0.1 0.2 0.4

0.1 0.2 0.4 0.3 О.Ь 0.6 0.7

°2

°3

С

1 2 3

3 4 b 1 2

1

3 4 Ь 1

3 2 3 5

2 4 1

4

4 -1 1 -1 1 -1 1 _j 1 -1

Т

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Лабораторная работа выполняется с использованием в диалоге с ПЭВМ специальной программы (GXT1), которая реализует алгоритм построения пробных решений u (x,t) задачи (5.25)+(5.27) методом ш

Галеркина. В этой программе определенные интегралы вычисляются приближенно с точностью е. методом Симпсона; обращение матрицы осуществляется методом ГауссаЖордана; нормальная система обыкновенных

линейных дифференциальных уравнений интегрируется методом Рунге-Кутта 4-го порядка с автоматическим выбором шага для достижения заданной относительной точности е . Программа включает подпрограмму, являющуюся интерпретатором выражений, аналитически задающих функции одной или двух переменных. Перед обращением к программе необходимо подготовить - 64 -

числовые и строчные данные, вводимые в процессе диалога с ЭВМ с клавиатуры дисплея. Числовые данные: l - правый конец отрезка изменения переменной х; с - числовой параметр уравнения (5.25); Т - значение параметра Т задачи; е,- абсолютная точность вычисления определенных интегралов; е относительная точность интегрирования системы дифференциальных уравнений. Значения е , ец задает преподаватель. Строчные данные: аналитические выражения для функций и (х), и (х),...,и (х) О

1

ti

и их вторых производных; аналитические выражения поверочных функций w (x),.,w (х); 1

tj

аналитические выражения для функций f(x) и f(x)-u (х). В результате расчета программа выводит на экран дисплея значения v (Т),...,vp(Т), таблицы значений пробных решений, таблицы невязок R (х,Т) и R (х). J.

£j

5.4. Порядок выполнения лабораторной работы

1. Повторить раздел 1. Изучить разделы 5.1+5.5 данной работы и подготовить ответы на контрольные вопросы из раздела 1.6. 2. Пройти собеседование с преподавателем; получить номер варианта работы, значения параметров е и еи и указания по выбору пробных и поверочных функций. 3. Выполнить первый пункт задания, связанный с построением ряда Фурье для точного решения задачи; построить

трехзначную таблицу Щх,Т). 4. Выполнить подготовительный шаг алгоритма метода Галеркина и, если ио(х) не является точным решением задачи, подготовить все числовые и строчные данные для расчетов в - 65 -

диалоге с ЭВМ. Для построения функции и (х) можно использовать результаты решения примера 3 из раздела 5.2. 5. Выполнить в диалоге с ЭВМ по программе GXT1 построение пяти пробных решений задачи. В процессе диалога следует переписать с экрана дисплея значения v (Т) и итоговые таблицы пробных решений и невязок. Используя эти таблицы, выполнить третий пункт задания лабораторной работы. 6. Оформить и защитить отчет по лабораторной работе, который должен содержать титульный лист, математическую постановку задачи и ее физическую интерпретацию, основные результаты выполнения работы и итоговый ответ. 5.5. Тестирующий пример Найти функцию u(x.t). уловлетвошкшую в области уравнению (5.28)

и условиям (5.29)

Задача (5.28)+(5.30) является частным случаем задачи (5.25)+(5.27) при с4= 0.1, с^= 1, сз= 2, С4= 1 . Ее можно интерпретировать как задачу одномерной нестационарной теплопроводности, когда концы стержня поддерживаются при постоянных температурах и известна

начальная температура стержня. Найдем точное решение этой задачи методом разделения переменных U , 5]. Ищем U(x.t) в виде (5.31)

Тогда из (5.28)+(5.30) для определения функции V(x,t) получаем следующую задачу с однородными граничными условиями

- 66 -

диалоге с ЭВМ. Для построения функции UQ(X) можно использовать результаты решения примера 3 из раздела 5.2. 5. Выполнить в диалоге с ЭВМ по программе GXT1 построение пяти пробных решений задачи. В процессе диалога следует переписать с экрана дисплея значения v (Т) и итоговые таблицы пробных решений и невязок. Используя эти таблицы, выполнить третий пункт задания лабораторной работы. 6. Оформить и защитить отчет по лабораторной работе, который должен содержать титульный лист, математическую постановку задачи и ее физическую интерпретацию, основные результаты выполнения работы и итоговый ответ. 5.5. Тестирующий пример Найти функцию u(x.t). уловлетвопяшую в области уравнению (5.28)

и условиям (5.29)

Задача (5.28)+(5.30) является частным случаем задачи (5.25)+(5.27) при с = 0.1, с^= 1, сз= 2, сд= 1 . Ее можно интерпретировать как задачу одномерной нестационарной теплопроводности, когда концы стержня поддерживаются при постоянных температурах и известна начальная температура стержня.

Найдем точное решение этой задачи методом разделения переменных U , 53. Ищем U(x,t) в виде (5.31)

Тогда из (5.28)-г-(5.30) для определения функции V(x,t) получаем следующую задачу с однородными граничными условиями

- 66 -

(5.32) (5.33)

(5.34)

Разделяя переменные, получаем сначала решение уравнения (5.32), удовлетворяющее условиям (5.33) в виде где А - произвольные

постоянные. Далее определяем значения постоянных А так, чтобы выполнялось условие (5.34). Получаем п

т.е. постоянные А являются коэффициентами Фурье функции (р(х) = х(х я) по ортогональной системе функций sin(kx),k=1,.. Следовательно, Интегрируя два раза по частям, получаем

Таким образом, точное решение решение задачи (5.28Ж5.30) аналитически задается выражением

(5.35) Найдем такое значение т=М, при котором функция

(5.36) приближенно с абсолютной точностью е = 0.001 определяет функцию (5.35) на множестве

(5.37) -

Оценим сверху величину А.

Значит.условие (5.37) будет заведомо выполнено, если

(5.38)

Найдем подбором наименьшее значение М, при котором выполняется условие (5.38). Получаем

Следовательно, М = 3.

Мтяк..

йшнтшия

по меньшей мере с точностью е=0.001 определяет значения функции Щх,1) на отрезке [0,я]. В таблице 5.2 представлены трехзначные значения функции Щх.,1). Таблица 5.2 Таблица точного решения задачи X 0.000

0.314 0.355 2.82Т 1.155

0.628 -0.191 3.142 2.000

0.942 -0.574

1.25Т -О.Т69

1.571 -0.768

1.885 -0.569

2.199 -0.174

У х У Т" 0.000 ОТЗТ4Г~ОТ628 0.942" 1.257 1.571~1.885 2.W у" 1.QOO~CT755g'^ari91 -0.574 -0.769 -0.768 43.569 -О.ТГ4~ X 2.513 ~2.827 З.ШГ у 0.409 1.155~2ТЮТ 1.000 2.513 0.409

Построим теперь приближенное решение методом Галеркина, , выбрав и (х) = 1"+ -~ , тогда т(х) - и (х) = х-(х - 3.U16), и используя разные варианты пробных и поверочных функций. 1 вариант. В качестве пробных и поверочных функций выбираем нормированные функции L/

jL

U

(5.39) k

где

____

t

_ _

Тогда - 69 -

Основные результаты расчета по программе GXT1 при п^5, е = 0.001 и си= 0.001 представлены в таблицах 5.3 * 5.5. Во всех таблицах символ "е" заменяет число 10. Анализ данных в таблицах 5.3 - 5.5 позволяет предположить, что имеет место равномерная сходимость последовательности пробных решений к точному решению. Наилучшее приближение дает и (х,1), для которого ti

Таблица 5.3 Таблица значений пробных решений X

0 00 0.31 0 62 0.94 1 25 1 57 1 88 2 19

п = 1

1 0006+0 2.9736-2 2706-5 7296-7 4056-

-

-5 4056-1 72962 51 3 73062 82 1 0976+0 3.14 2.0006+0

- П = 2 1 0006+0 2.9736-2 2706-5 7296-7 4056-7 2976-5 4056-1 72963 73061 0976+0 2.0006+0

П = 3 1 0006+0 3.5226-1 8486-5 6936-

-

-5 7196-1 69364 14361 1526+0 2.0006+0

- 70 -

П = 4 1 0006+0 3.5226-1 8486-5.6946-7 7206-7 7486-5 7206-1 69464 15261 1526+0 2.0006+0

П = 5 1 0006+0 3.5226-1 9066-5.7356-7 6756-7 6506-5 6516-1 69664 13561 1586+0 2.0006+0

Т.е. пробное решение + 1.731U (х) - Q.655up(x) определяет точное решение как минимум с двумя верными значащими цифрами при достаточно малых значениях невязок. Таблица 5.4

Таблица значений невязок R^xJ) пробных решений X

П- 1

0.314 0.628 0.942 1.257 1.571 1.885 2.199 2.513 2.827 3.142

-9.9406-02 -3.6156-02 9.0366-03 3.6156-02 4.5186-02 3.6156-02 9.0356-03 -3.6156-02 -9.9406-02 -1.8076-01

П=3 п-2 0.000 -1 8076-01 -1 8076-01 -5.9326-02 -9.9406-02 -3.6156-02 9.0366-03 3.6156-02 4.5186-02 3.6156-02 9.0366-03 -3.6156-02 -9.9406-02 -1.8076-01

-4.7676-03 9.7696-03 5.2086-03 -3.5076-03 -7.4096-03 -3.5086-03 5.2066-03 9.7686-03 -4.7676-03 -5.9326-02

П=4 -5.9336-02 -4.7646-03 9.7716-03 5.2046-03 -3.5196-03 -7.4266-03 -3.5286-03 5.1886-03 9.7Ы6-03 -4.7916-03 -5.9376-02

П=5 2.2336-02 -3.0136-03 -2.5836-04 1.8206-04 -3.1986-04 -1.9986-03 -5.1436-04 1.4606-03 -6.9976-04 -3.3436-03 2.2496-02

Таблица 5.5 Таблица значений невязок R2(x) пробных решений X 0.00 0.31 0.62 0.94

1 25 1 57 1 88 2.19

П = 1

0. -3.2786-5.1266-5.7226-5.2456-3.09960. 4.5306-

2 51 1 03762 82 1 77663.14 2.5466-

П = 2 0. 3.39763.57661.6696-1.4316-4.0536-5.4846-4.05364.76861.05562.5466-

П = 3 0. -1.1926-5.9606-4.76862.38462.62366.4376-

П = 5 0. 0. - 1 . -3.0106-1.8366- -5.2456-1.6936- 3.0456-1 7176- 1.1116-

п = 4

-2 456У- 2 4886-4.0536- 4.2676-

1 1446- -6.0806- 5.96761 6816- -7 3556- 6.73362.22962.5466-

-5.5796- 5.30962.5466- 2.5266-

2 вариант. В качестве пробных возьмем функции (5.39), а в качестве поверочных нормированные многочлены Лежандра, которые ортогональны на.отрезке [0,я], т.е. функции

где

- 71 -

*л

Таким

образом,

Основные результаты расчета по программе GXT1 при п<5, •е = 0.001 и £ц= 0.001 представлены в таблицах 5.6 - 5.8. Таблица 5.6 Таблица значений пробных решений

X

0 00 0.31 0 62 0 94

1 2

1 57 1 88 2.19 2.51 2 82 3.14

П = 1 1 0006+0 3 1346-1 9846-5 3536-6.9756-6 8496-4 9756-1 35364 01761 1136+0 2.0006+0

П = 2 1 0006+0 3 1346-1 9846— D .

-6.9756-6 8496-4 9756-1 35364 01661 1136+0 2.0006+0

П = 3

1 0006+0 3 6696-1 7356-5 6856-7 8056-7 8706-5 8056-1 68564 26561 1676+0 2.0006+0

П = 4 1 0006+0 3.6696-1 7356-5 6856-7 8056-7 8706-5 8056-1 68564 26561 1676+0 2.0006+0

П = 5 1 0006+0 3 5406-1 9106-5 7396-7.6896-7 6776-5 6886-1.73864.09161 1546+0 2.0006+0

Наилучшее прибжжение к точному решению дает пробное решение и (х,1), для которого

t>

- 72 -

Таким образом, пробное решение и (х,1) = 1 -f 0.318X + 2.47U (х) + 1.43U (х) 2.04U (х) + о

3,

<&

J

+1.59U (х)-0.603и£х) определяет точное решение с тремя верными

значащими цифрами. Q

vJ

Таблица 5.7

Таблица значений невязок R^xJ) пробных решений X

П= 1 -1.7719-01 -8.1479-02 -7.0839-02 4.6059-02 7.7939-02 8.8559-02 7.7939-02 4.6059-02 -7.0859-03 -8.1479-02 -1.7719-01

0.000 0.314 0.628 0.942 1.25Т 1.571 1.885 2.199 2.513 2.827 3.142

П=2 -1.7719-01 -8.1479-02 -7.0869-02 4.6049-02 7.7929-02 8.8559-02 7.7939-02 4.6059-02 -7.0829-03 -8.1479-02 -1.7719-01

П=3 -2.6729-02 6.2299-03 1.0909-02 3.0189-03 -6.2039-03 -1.0029-02 -6.2029-03 3.0209-03 1.0919-02 6.2299-03 -2.6739-02

П=4 -2.6739-02 6.2299-03 1.0919-02 3.0209-03 -6.2029-03 -1.0029-02 -6.2029-03 3.0209-03 1.0919-02 6.2299-03 -2.6739-02

П=5 1.3209-02 -5.3159-03 1.3949-03 3.4529-03 -4.0989-04 -2.9349-03 -3.6869-04 3.5159-03 1 . 4399-03 -5.3319-03 1.3089-02

Таблица 5.8 Таблица значений невязок R (х) пробных решений

_________

X 0.00 0.31 0.62 0.94 1.25 1.57

1

2.19 2.51 2.82

3.14

____

£j

___

_____________________

П = 2 П = Ь п = 1 п - 4 п = 3 0 0009+0 0.0009+0 0.0009+0 0.0009+0 0.0009+0 -4.2929-6.9149-8. -7.8689-5.9609-2.62392.38498.58391.68192.5469-

5.00795.36492.6239-2.1469-6.1999-9.0609-8.8219-4. 7.33192.5469-

-3.7559- 2.50392.3849- -2.6239Ь 4849- -4.29298 1069- 0.0009+0 6 6769- 6.19961.1929- 8.3459-5.4849- 3.3389-8.7029- -6.5579-1.0139- -7.62992.Ь469- 2.5469-

-3.57693.6959-1.1929-8.8219-1.2169-1.0499-1.1689-2.2059-2.84992.5269-

3 вариант. В качестве пробных и поверочных функций выбираем нормированные функции

где

- 73 -

Основные результаты расчета по программе GXT1 при ns5, е =0.001 и еи=0.001 представлены в таблицах 5.9 •*• 5.11. Таблица 5.9 Табжца значений пробных решений X П = 2 П = 3 П = 4 п = 5 п = 1 0.00 1 0006+0 0 31 3.88060.62 -1 54460.94 -5 64161.25 -7.91461.57 -8.0426-5.9146-

1.0006+0 3.5696-1.9086-5.7606-7.6896-7.6586-5.6886-

2 19 -1 6416- -1 76062.51 4 4576- 4.09261 1576+0 2 82 1 . 3.14 2.0006+0 2.0006+0

1.0006+0 1 0006+0 1 0006+0 3.5536- 3.5526- 3.5526-1 9086- -1 9086- -1.9086-5.7436- -5 7436- -5.7436-7.6896- -7.6896- -7.6896-7.6756- -7.6746- -7.6746-5.6886- -5 6896- -5.6896-

-1 74364 09261 1556+0 2.0006+0

-1 74364 09261 1556+0 2.0006+0

-1 74364.09261.1556+0

2.0006+0

Таблица 5.10 г

1

г

П = 2 0. 1.8786- 4.51763.5736- 6.08264.9176- 6.44465 7816- 3.85666 0786- 2.7106-

П = 5 П = 4 0 0006+0 0.0006+0

5 4 3 1

4 1726-

п = 1

X

0 00 0 0.31 0.62 0.94

1 1 1 2 2 2

25 57 88 19 51 82

7816917657368780-

П = 3 0. 3.43865.79967.19164.03062.16864 1456- 4.31965.6596- 6.40666.6566- 6.37365.6626- 4.5826-1.1736- -

3.24166.0346-

7 11163 88662 42466.32666.62464.3816-6.4406-

3.23765.85867.45663.58062.65963.86566.67166.44964.3776-8.0506-

3 14 -4.2566Табжца значений невязок R (x, 1) пробных решений

Результаты расчета свидетельствуют о равномерной сходимости последовательности пробных решений. Полное совпадение с Щх,1) дает и_(х,1), для которого

и

которое определяется формулой

- 74,-

Таблица 5.11 Таблица значений невязок R (х) пробных решений

______________________________________ 2

_______________________________

П = 2 П = 3 П = 1 П = 4 0 00 0 0009+ 0 0009+0 0 0009+0 0 0009+ 0 31 1 0149- 2 ЬОЬ9- 4 6639- -1 5859-1.32390 62 8 2359- X

0 94 1 24791 25 1 Ь7 -7 9089-5 31491 2.19 1.24892 51 8.23692 82 1 01493 14 1.8589-

3 70292 2959- 2 29591 5249- 2 3009- 2 3009-1.6679- 3 7119-7.3449- 2 5079- 4 68292.0569- 2 1279-

1.3159-03

-2.24492 5806-2 23991.32491.1929-1 56692.1659-

П = 5 0 0009+0 -2 83192.3589-1 94891.5929-1 45391 5979-1.93992.3719-2 81392.1919-

5.6. Вопросы для самоконтроля 1. Приведите физические интерпретации задачи (5.1) + (5.3). 2. Найдите решение задачи (5.1) * (5.3) с условиями (5.5) методом разделения переменных. 3. Найдите решение задачи (5.1) -*- (5.3) с условиями (5.5) операционным методом, используя преобразование Лапласа. 4. Каким условиям должны удовлетворять пробные функции? 5. Какими свойствами должны обладать поверочные функции? 6. Как находятся, согласно алгоритма метода Галеркина для реше-- ния задачи (5.1) 4(5.3), функции R и R , названные невязками? j.

<&

7. Как строится система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для определения коэффициентов v (t) пробного решения? Постройте 'эту систему для задачи (5.1) + (5.3). 8. Как определяются начальные условия в задаче Коши относительно функций vh(t)? Найдите,уравнения, определяющие эти условия

для задачи (5.1) 4- (5.3).. 9. Какие условия обеспечивают сходимость в среднем последовательности пробных решений к точному решению задачи (5.1)+(5.3)? 10. Приведите/ конкретный пример пробных функций для задачи (5.1) 4- (5.3). ' _ - 75 -

11. Как нормировать пробную или поверочную функцию на отрезке [а,ЬЗ? 12. Как проверить ортогональность функций на [а,Ь]? 13. Как проверить ортонормированность функций на [а,ЬЗ? 14. Опишите алгоритм метода Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла. 15. Как найти матрицу, обратную для данной невырожденной матрицы? 16. Опишите алгоритм аналитического метода решения задач Коши для нормальной ситемы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. 17. Опишите алгоритм метода Рунге-Кутта для приближенного решения задачи Коши для нормальной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

6. РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ГАЛЕРКЗША

6.1. Постановка задачи и алгоритм метода Рассмотрим следующую начально-краевую задачу. Требуется в плоской области найти решение U(x,t) дифференциального уравнения

(6.1) удовлетворяющее двум краевым (граничным) условиям

(6.2) и начальным условиям (6.3) (6.4) где y(x,t), Kl(x,t)(KlaO), K2(x,t), |3(x,t), g(x,t)- заданные, непрерывные на D функции ; a (t), b (t) дифференцируемые на [О,со) функции; а , а , b , b - заданные действительные числа, причем а^н- aj > 0, Ь^ч b^ > 0; f(x)заданная функция, непрерывная на ta,bl вместе с 1'(х) и такая, что

tp(x) - заданная функция, непрерывная на [а,Ь] вместе со своей производной и такая, что - 77 -

5

Напомним, что в такой форме может быть поставлена задача о поперечных колебаниях струны или задача о продольных или крутильных колебаниях стержня, рассмотренная в разделе 1. В методе Галеркина для нахождения приближенного решения задачи (.б'.1)+(6.4) строится функциональная последовательность (un(x,t)}~ из пробных решений un(x,t) следующим образом. Задаемся в области D некоторой системой дважды дифференцируемых функций UQ (х,t), u х ui(х),..., таких, что u (x,t) n( ) удовлетворяет краевым условиям (6.2), а пробные функциии и (х) (1а1) являются линейно независимыми на [а,Ы и удовлетворяют однородным краевым условиям

(6.5) Составляем функцию (6.6) с неизвестными пока функциями v (t),...,v (t), зависящими только 1

от аргумента t.

n

Подчеркнем, что в силу линейности условий (6.2) и (6.5), функция (6.6) удовлетворяет условиям (6.2) при любых функциях vi(t),...,vn(t). Значит, следует так определить v.(t) (1*1) и количество (п) этих функций, чтобы u (x,t) из (6.6) удовлетвоn

ряла уравнению (6.1) и начальным условиям (6.3), (6.4) с заданной точностью. Подставляя u (x,t) вместо u(x,t) в уравнение (6.1), получаем невязку

- 78 -

j2_.

j_

Подставляя и (х,0) в (6.3), находим невязку n

k = l

su (x,0) Подставляя -^——— , находим невязку

Невязки R , R и R являются характеристиками уклонения функции (6.6) от точного -решения U(x,t) задачи (6.1)+(6.4). Во всяком случае, если при некотором наборе функций v.(t) R = О, R,s 0 и R = 0, то функция u .(x,t) из (6.6) точное решение. В общем случае эти невязки оказываются отличными от нуля. Поэтому накладываем дополнительные условия на функции v (t) и их начальные значения v (0), v (0) так, чтобы невязки в каком-то л

о

П

k

k

смысле были бы наименьшими. В обобщенном методе Галеркина эти условия определяются системами уравнений :

- 79 -

где w1(x),...,wn(x) - заданные линейно независимые на [а,Ы поверочные функции; а V\

Напомним здесь, что если поверочные функции w4(x),...wn(x) входят в полную на [а,Ы систему функций, то можно ожидать сходимости последовательности (u (x,t))°° в среднем к точному п

О

х

решению U(x,t) [1]. Запишем условия (6.10) в развернутом виде

- 80 -

(6.17)

Если ввести в рассмотрение матрицы

то система (6.13) в матричном виде запишется так Так как матрица А невырожденная, то отсюда получаем

(6.18) Таким образом, функции v,(t) должны удовлетворять нормальной системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений пго порядка. Заметим, что если функции

7(x,t), К (x,t), К (x,t), 1

*s

0(x,t) зависят только от х, то система (6.18) система с постоянными коэффициентами. Заметим так же, что если в качестве поверочных функций выбраны пробные, которые ортогональны, то матрицы А и А'1 являются диагональными матрицами. Запишем теперь в развернутом виде условия (6.11). Получаем

- 81 -

Заметим, что если tp(x)= 0 и u (x,t) зависит только от х, то таким ооразом, v для нахождения функций k(~t) Д = 1,п, определяющих пробное решение (6.6), получаем задачу Коши для канонической системы (6.18) линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2п с начальными условиями (6.21) и (6.24). Решив указанную задачу Коши и подставив определяемые этим решением функции vfc(t) в (6.6), заканчиваем построение пробного решения u (x,t). п

Опишем возможный алгоритм построения проиближенного решения задачи (6.1) * (6.4) методом Галеркина, предполагая, что последовательность (и (х,Ш°° сходится равномерно к точному решению U(x,t). 1. Подготовительный шаг алгоритма. На этом шаге выбираем функцию u (x,t) и находим невязку R (x,t) = L[U0] ~ g(x,t) от подстановки функции un(x,t) в уравнение (6.1). Находим невязку

max|Rio(x,t)i = AIO, [maj]iR2Q(x)I <е , А [ma5]Шзо(х)| = АЭО.. Есж А

= АЗО и <е и А

<е , где е , е и е -заданные меры 1U

1

с* U

tzi

owo

j.

^i

j

точности приближенного решения, то полагаем U(x,t) * u (x,t). В противном случае переходим к следующему шагу алгоритма, предварительно выбрав пробные и.(х) и поверочные w (х) функции. Как выбирать пробные и поверочные функции, показано в разделе 5.2 данной работы. 2. Первый шаг алгоритма. Определив функцию v (t) из решения задачи Коши (6.18), (6.21) и (6.24) при п=1, строим функцию

- 83 -

то полагаем U(x,t) « u (x,t) и вычисления заканчиваем. В противном случае переходим к вычислениям на втором шаге алгоритма и т.д. Таким образом, на га- м (т>1) шаге алгоритма строим функцию

определив предварительно функции v (t),...,v (t) из решения задачи Коши (6.18),(6.21),(6.24) при п = т. Находим по формулам (6.-7) + (6.9) невязки R (v (t),...,v (t),x,t), 1 т

вычисляем mp IR.J = А_, A3m. Если u (x,t),

т

1

а затем rmax,|R_l

= A2m, ^ax^j =

полагаем U(x,t) a

rn

в противном случае переходим к (m-И) - му шагу алгоритма. 6.2. Задание к лабораторной работе

Рассматривается начально-краевая задача. Требуется в плос-•ской области найти решение u(x,t) дифференциального уравнения (6.25) удовлетворяющее условиям

(6.26) . (6.27)

(6.28)

где с , С2, с , С4 - некоторые заданные постоянные величины. Заметим, что эта задача получается как частный случай задачи (6.1)+(6.4) при а=0, Ь=г, y(x,t)=0, К (x,t)=c ,K (x,t)=0, 1

1

&

• -•

требуется: 1. Методом Фурье (методом разделения переменных) найти точное аналитически заданное решение U(x,t) задачи (6.25)+(6.28) и построить с шагом O.U трехзначную таблицу точного решения" при t=T, т.е. функции Щх,Т). 2. Методом Галеркина найти первые пять функций из последовательности пробных решений (и (х,Т)}°°, используя нормированные системы пробных и поверочных функций, тип которых задает преподаватель. 3. Исследовать поведение построенных пробных решений, сравнивая их таблицы с таблицей Щх,Т) и анализируя табличные значения их невязок R , Ra и R . Сформулировать аргументированные выводы о возможностях метода Галеркина. Варианты заданий, определяемые различными наборами значений постоянных с , с , с , С4 задачи (6.25)+(6.27) и параметра Т, приведены в таблице 6.1. Таблица 6.1 Варианты задания к лабораторной работе № 1 2. 3. 4. 5.

57 1 8. 9. 10.

1 3 2 1 3 2 1 2 3 1 3

С,

9 4 1 4/9 9 4 9 1/4 4/9 4

°2

с

0.1 -0.1 0.1 0.2 -0.1 0.1 -0.1 -0.1 0.2 0.1

-0 1

°4

Т

1 -1 1 -1 1 -j 1 •( 1 -1

1 1

3

0.1 0.2 0.1 0.1 -0.1 -0.2 0.1 0.1 0.2

1

1 1 1 1 1 1 1

Лабораторная работа выполняется с использованием,в диалоге с ПЭВМ специальной программы (GXT2), которая

реализует, алгоритм построения пробных решений u (x,t) задачи (6.25)+(6.28) методом Галеркина. В этой программе определенные интегралы вычисляются приближенно с точностью е методом Симпсона; обращение матрицы - 85 -

осуществляется методом Гаусса-Жордана; система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений интегрируется методом Рунге-Кутта 4-го порядка с автоматическим выбором шага для достижения заданной относительной точности е . Программа включает подпрограмму, являющуюся интерпретатором выражений, аналитически задающих функции одной или двух переменных. Перед обращением к программе необходимо подготовить числовые и строчные данные, вводимые в процессе диалога с ЭВМ с клавиатуры дисплея. Числовые данные: t - правый конец отрезка изменения переменной х; с - числовой параметр уравнения (6.25); Т значение параметра Т задачи; е - абсолютная точность вычисления определенных интегралов; е относительная точность интегрирования системы дифференциальных уравнений. Значения е , е задает преподаватель. Строчные данные: аналитические выражения для функций и (х), и (х),...,и (х) . и их вторых производных; аналитические выражения поверочных функций w (x),.,w (x); W

о

-L

1

'

о

аналитическое выражение для функции f(x)-uQ(x). В результате расчета программа выводит на экран дисплея значения v (Т),...,vp(Т), таблицы значений пробных решений, таблицы невязок Н(х,Т)и R(x).Заметим, что для расматриваемой задачи R (х)=0. о

6.3. Порядок выполнения лабораторной работы 1. Повторить разделы 1.2, 5.2 и изучить разделы 6.1+6.4 данной работы и подготовить ответы на контрольные вопросы из раздела 6.5. 2. Пройти собеседование с преподавателем; получить номер - 86 -

варианта работы, значения параметров е и ец и указания по выбору пробных и поверочных функций. 3. Выполнить первый пункт задания, связанный с построением ряда Фурье для точного решения задачи; построить трехзначную таблицу Щх,Т). 4. Выполнить подготовительный шаг алгоритма метода Галеркина и, если и (х) не является точным решением задачи, подготовить все числовые и строчные данные для расчетов в диалоге с ЭВМ. Для построения функции ио(х) можно использовать результаты решения примера 3 раздела 5.2 . 5. Выполнить в диалоге с ЭВМ по программе GXT2 построение пяти пробных решений задачи. В процессе диалога следует переписать с экрана дисплея значения v (Т) и итоговые таблицы пробных решений и невязок. Используя эти таблицы, выполнить третий пункт задания лабораторной работы. 6. Оформить и защитить отчет по лабораторной работе, который должен содержать титульный лист, математическую постановку задачи и ее физическую интерпретацию, основные результаты выполнения работы и итоговый ответ. 6.4. Тестирующий пример

Найти функцию u(x,t), удовлетворяющую в области уравнению (6.29) и условиям

'" "

•

'

'' (6.3 0)

(6.31)

Задача (6.29)+(6.31) является частным случаем задачи. (6.25)+(6.28) при с = 15еа= 1, сз= 2, С4= 1. Ее можно интерпретировать как задачу о поперечных колебаниях струны с закреплен- 87 -

ними концами и с начальным профилем, определяемым равенством (6.31). Найдем точное решение этой задачи методом разделения переменных [4 , 5]. Ищем U(x,t) в виде U(x,t) = V(x,t) + 1 + -1-. (6.32) Тогда из (6.29)-!-(6.31) для определения функции V(x,t) получаем следующую задачу с однородными граничными условиями (6.3 3) (6.3 4)

(6.35)

Разделяя переменные, получаем сначала решение уравнения (6.33), удовлетворяющее условиям (6.34) в виде Л

— 0.

где А , В - произвольные постоянные. Далее определяем значения постоянных А , В так, чтобы выполнялись условия (6.35). п

Получаем

п

т.е. постоянные А являются коэффициентами Фурье функции <р(х) = х(х - я) по ортогональной системе функций sln'(kx),k=1,.; а постоянные В являются коэффициентами Фурье функции, тождественно равной нулю. Следовательно,

Интегрируя два раза по частям, получаем

• Таким образом, точное решение решение задачи (6.29)+(6.31)' '

- ЯР, Ol_)

Таблица 6.3 Таблица значений пробных решений X

0 00 0 31 0 62 0 94 1 25 1 67 1 88 2 19 2 51 2 82 3.14

X 0 00 0 31 0 62 0.94 1 25 1 57 1 88 2 19 2 51 2 82 3.14

п = 1 1 0006+0 6 25063 55561 91761.33361 80563. 33365 91769 55661 4256+0 2.0006+0

П = 2 1.0006+0 6 25063 55561 91661 33361 80563 33365 91769 55661 2.0006+0

П = 3 1.0006+0 Y Y6594 Y0291 97164.00764 88662.40165 97161.0706+0 1 5776+0 2.0006+0

П = 4 П = 5 1.0006+0 1 0006+0 7 7659- 7 32864 7026- 4 89161 9716- 2 24263.9996- 3.27164 8766- 2 18662.4006- 2.35565 9706- 6 29061.0706+0 1.0946+0 1 5776+0 1 5366+0 2.0006+0 2.

Табжца 6.4 Таблица значений невязок R^x, 1) пробных решений П = 1 П = 3 П = 4 П = 5 п = 2 -5.8826-2 13965.34862 13962 67462 13965 3476-2 1396-5.8826-

-5.8826-2 13965.34862 13962 67462 13965 3466-2 1396-5.8826-

2 3236+0 1 8676-3 8266-2.03961 37462 90261 3746-2 0406-3 82661.86762.3246+0

2 3246+0 1 B6Y9-3 B2Y6-2 03961 37562 90361 3756-2 0406-3 82761 86862.3256+0

4.66263 7136-2.98569 49762 4416-7 9336-3.3116-3 46664.3436-

Анализ данных в таблицах 6.3 * 6.5 позволяет предположить, что имеет место равномерная сходимость последовательности

X.

I

X

Л

Т.е. пробное решение и (х,1) = 1 + 0.318х + LSOu^x) -2.14ио(х) + 9.24и (х) - 11.2и (х) + 4.2611 (х) определяет точл

3

4-

5

ное решение как минимум с одной верной значащей цифрой. Таблица 6.5 Таблица значений невязок R (х) пробных решений <5

п = 2

П = 3 0.00 0.00064- 0. 0. 0.31 -3.2786- 3.3976- -1.19260.62 -5.1266- 3.5766- -5.96060.94 -5.7226- 1.6696- -4.76861 26 -5.2456- -1.4316- 2.38461 5Y -3.0996- -4.0536- 2.6236-5.4846- 6.43761 88 0. 2.19 4 5306- -4.0536- 1 14462.51 1.0376- 4.7686- 1.68162.82 1.7766- 1.0556- 2.22963.14 2.5466- 2.5466- 2.5466X

П = 1

П = 4 0. -1.4906-1.8366-1.6936-

-1 7176-2 456У-4.0536-6.0806-7.3556-5.57962.5466-

П = 5 0. -9.16163.3506-1.9076-3.1546-9.4346-1.8886-3.0476-4.0016-3.69462.5626-

2 вариант. В качестве пробных возьмем функции (6.40), а в качестве поверочных нормированные многочлены Лежандра, которые ортогональны на отрезке [0,я], т.е. функции

где

Таблица значений пробных решений X П = 1 П = 2 П = 3 П = 4 П = 5 0.000 1.0006+00 1.0006+00 1.0006+00 1.0006+00 1.0006+00 0.314 6.9926-01 6.9926-01 7.244e-01 Y.244e-01 Y.Y01e-01 0.628 4.8746-01 4.8746-01 4.2876-01 4.2876-01 4.7566-01 0.942 3.6486-01 3.6486-01 1.9076-01 1.9076-01 2.0296-01 1.257 3.312e-01 3.3126-01 6.567e-02 6.567e-02 3.81 Ye02 1.571 3.8666-01 3.8666-01 8.6986-02 8.6986-02 4.2616-02 1.885 5.3126-01 5.3126-01 2.6576-01 2.6576-01 2.3836-01 2.199 7.6486-01 7.6486-01 5.9076-01 5.9076-01 6.0316-01 2.513 1.0876+00 1.0876+00 1.0296+00 1.0296+00 1.0766+00 2.827 1 4996 00 1 4996 00 1 5246 00 1 5246 00 1 5706 00

Таблица 6.7 Таблица значений невязок R (х,1) пробных решений X П = 1 П = 2 П = 3 П = 4 П = 5 0.000 -9.0256-01 -9.0256-01 1.1956+00 1.1966+00 1.2586+00 0.314 -4.1Ы6-01 -4.1516-01 2.7866-01 -2.789e-01 -5.293e-01 0.628 -3.6096-02 -3.6076-02 -4.8776-01 -4.8786-01 1.9306-01 0.942 2.3466-01 2.3476-01 -1.3506-01 -1.3486-01 3.758601 1.257 3.9716-01 3.971e-01 2.774e-01 2.Y766-01 -6.619e-02 1.571 4.5126-01 4.5126-01 4.4836-01 4.4836-01 -3.4716-01 1.885 3.9716-01 3.9716-01 2.7736-01 2.7736-01 -6.5866-02 2.199 2.3466-01 2.4366-01 -1.3516-01 -1.3526-01 3.7586-01 2.513 3.6106-02 -3.6136-02 -4.8776-01 -4.8766-01 1 9206-01 2 827 -4 1516-01 -4 1516-01 -2 7866-01

Наилучшее приближение к точному решению дает пробное решение ив(х,1), для которого max |up(x,1) - U(x,1)i s 0.03 , max I R (x,1)i < 1.27 , max | R (x)I ^ 3e-5 . x

1

x

2

- 93 - '

Таблица 6.8 Табжца значений невязок R (х) пробных решений X П = 1 П = 2 П = 3 П = 4 П = 5 0.000 0.00064-00 0. 0006+00 0. 0006+00 0. 0006+00 0. 0006+00 0.314-4.2926-06 5.0076-063.7556-06 2.5036-06-4.1726-07 0.628 -6.9146-06 5.3646-06 2.3846-07 -2.6236-06 3.8156-06 0.942 8.1066-06 2.6236-06 5.4846-06 -4.2926-06 7.1536-06 1.257 -7.8686-06 -2.1466-06 8.1066-06 0.0006+00 4.5306-06 1.571 -5.9606-06 -6.1996-06 6.6766-06 6. 199е-06 -3.0996-06 1.885 -2.6236-06 -9.0606-06 1.1926-06 8.3456-06 3.3386-06 2.199 2.3846-06 8.8216-06 -5.4846-06 3.3386-06 6.1996-06 2.513 8.5836-06 -4. -536-06 -8.7026-06 -6.5576-06 2.7426-06 2.827 1.6816-05 7.3316-06 -1.0136-06 -

3 вариант. В качестве пробных и поверочных функций выбираем ноимивованные ФУНКЦИИ

Табжца

6.9 Табжца значений пробных решений X П = 1 11 = 2 П = 3 П = 4 П = 5 0.000 1.0006+00 1.0006+00 1.0006+00 1.0006+00 1.0006+00 0.314 6.7486-01 7.5046-01 7.4466-01 7.3996-01 7.4106-01 0.628 3.9136-01 4.8016-01 4.8016-01 4.8566-01 4.8356-01 0.942 1.8696-01 2.1576-01 2.2156-01 2.1976-01 2.2276-01 1.257 9.1466-02 3.6586-02 3.6586-02 3.3156-02 2.9666-02 1.571 1.2416-01 3.0756-01 2.4966-01 3.0786-02 3.4456-02 1.885 2.9156-01 2.3666-01 2.3666-01 2.3326-01 2.2976-01 2.199 5.8696-01 6.1586-01 6.2156-01 6.1976-01 6.2276-01 2.827 1.4756+00 1 5506+00 1 5456+00 1 5406+00 1 5416+00 3 142 - 94 -

Таблица 6.10 X П = 1 П = 2 П = 3 П = 4 П = 5 0.000 0. 0006+00 0. 0006+00 0. 0006+00 0. 0006+00 0. 0006+00 0.314 0. 0006+00 4.4576-08 1.1756-07 1.0176-07 8.1576-08 0.628 0.0006+00 4.5906-08 7.4176-08 9.2116-08 9.9226-08 0.942 0. 0006+00 6.1086-09 -3.3556-08 -4.4296-08 -2.9936-08 1.257 0.0006+00 -2.4026-09 -1.9876-08 -3.6506-08 4.8616-08 1.571 0. 0006+00 -4.8866-08 -2.9746-08 3.7346-09 -4.2896-09 1.885 0.0006+00 -9.1736-09 2.6656-08 -4.9586-08 -5.3726-08 2.199 0. 0006+00 2.3676-09 -4.2026-08 -4.6966-08 -3.0146-08 2.513 0.0006+00 3.2036-08 6.0306-08 9.5546-08 9.7596-08 2.827 0.0006+00 1.6536-08 8.9416-08 6.946е-08 Ь. 5856-08 3 142 0 0006+00 -4 4046-13 -2 8266-12 -

Таблица значений невязок R (х,1) пробных решений х ~~ п Таблица 6.11 Таблица значений невязок R (х) пробных решений

X П = 1 П = 2 П = 3 П = 4 П = 5 0.000 0. 0006+00 0.0006+00 0.0006+00 0. 0006+00 0.0006+00 0.314 1.0146-01 2.5056-02 4.6636-03 1.5856-03 -2.8316-03 0.628 8.2356-02 -7.3586-03 7.3586-03 -1.3236-05 2.3586-03 0.942 1.2476-02 1.6686-02 3.7026-03 1.3156-03 -1.9486-03 1.257 Ь. 31 be-02 2.29fae-03 2.29be-03 -2.244е-03 1.592е-03 1.571 -7.9086-02 1.5246-02 -5.1436-03 2.5806-03 -1.4536-03 1.885 -5.3146-02 2.3006-03 2.3006-03 -2.2396-03 1.5976-03 2.199 1.2486-02 1.6676-02 3.7116-03 1.3246-03 -1.9396-03 2.513 8.2366-02 -7.3446-03 -7.3456-03 1.1926-07 2.371603 2 827 1 0146 01 2 5076 02 4 6826 03 1 5666

Наилучшее приближение к точному решению дает пробное решение и (х,1), для которого max lu (x,1) - U(x,1)i ^ 0.001, х

5

S

max I R (х,1)| * 1е-7, max I R (х)| ^ 0.003. А

-1

Э4

^

Таким образом, пробное решение

6.5. Вопросы для самоконтроля 1. Приведите физические интерпретации задачи (6.1) + (6.4). 2. Каким условиям должны удовлетворять пробные функции? 3. Какими свойствами должны обладать поверочные функции? 4. Как находятся, согласно алгоритму метода Галеркина для названные невязрешеR И К ния задачи (6.1) •*• з 2 (6.4), функции R, ками? 5. Как строится система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для определения коэффициентов v (t) пробного решения? Постройте эту систему для задачи (6.1) - (6.4). 6. Как определяются начальные условия в задаче Коши относительно функций v (t)? Найдите уравнения, определяющие эти условия для задачи (6.1) * (6.4). 7 Приведите конкретный пример пробных функций для задачи (6.1) * (6.4). 8. Как нормировать пробную или поверочную функцию на отрезке [а,Ы? 9. Как проверить ортогональность функций на [а,Ь1? 10. Как проверить ортонормированность функций на [а,Ь]? 11. Опишите алгоритм метода Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла. 12. Как найти матрицу, обратную для данной невырожденной матрицы? 13. Опишите алгоритм метода Гаусса для нахождения обратной матрицы для заданной невырожденной матрицы. 14. Опишите алгоритм аналитического метода решения задач Коши для нормальной ситемы линейных обыкновенных дифференциальных

уравнений. 15. Опишите алгоритм сведения канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений к равносильной нормальной ситеме. 16. Опишите алгоритм метода Рунге-Кутта приближенного решения задачи Коши для нормальной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - 96 -

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном пособии выполнено достаточно полное изложение алгоритмов методов взвешенных невязок [1] численного решения линейной краевой задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка, линейных начальнокраевых задач для одномерных уравнений параболического и гиперболического типа. Результаты решения этих задач математической физики подтверждают общие выводы о возможностях таких методов, представленные в монографии [1]. Именно то, что эти методы, во-первых, приводят к сравнительной точности получаемых решений и, вовторых, позволяют достигать приемлемой точности при небольшом (не более пяти) числе пробных и поверочных функций, взятых из младших элементов полной системы функций. В пособии не обсуждаются вопросы, связанные с проблемой сходимости последовательности пробных решений к искомому точному решению задачи. Не обсуждаются также трудности и пути их преодоления, которые возникают, например, когда получение решения методом Галеркина с необходимой точностью требует сохранения большого числа пробных функций в пробном решении. С обсуждением этих проблем можно ознакомиться в монографии [1]. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина.-М.: Мир, 1988. - 352 с. 2. Калиткин Н.И. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.М.: Наука, 1970.-720 с. 4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1972. - 735 с. 5. Вельмисов П.А., Распутько Т.Е. Уравнения

математической физики: Учебное пособие.Ульяновск: УлГТУ, 1994.- 76 с.

- 97 -

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.................................. . 3 1. Математическое моделирование задач одномерной теплопроводности и задач о колебаниях струн и стержней.......... 4 1.1. Вывод уравнений теплопроводности.................. 4 1.2. Постановка краевой задачи одномерной стационарной теплопроводности.......................... .. 6 1.3. Вывод уравнений поперечных колебаний струны..........8 1.4. Вывод уравнений продольных и крутильных колебаний стержня................................. 11 1.5- Постановка статических краевых задач для струны и стержня................................... 15 1.6. Краевые задачи в теории колебаний струн и стержней.... 16 2. Решение краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка методом Галеркина.................................... 19 2.1. Постановка задачи и алгоритм метода................. 19 2.2. Построение систем пробных и поверочных функций........ 22 2.3. Задание к лабораторной работе.......................29 2.4. Порядок выполнения лабораторной работы...............31 2.5. Тестирующий пример............................. 32 2.6. Вопросы для

самоконтроля........................... 34 3. Решение краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка вариационным методом Ритца..................…….............. 36 3.1. Постановка задачи и алгоритм метода............... 36 3.2. Построение систем пробных функций.................. 40 3.3- Задание к лабораторной работе................... 43 3.4- Порядок выполнения лабораторной работы............ 44 3-5- Тестирующий пример.................................... 45 3.6. Вопросы для самоконтроля........................... 47 4. Решение краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка интегральным методом наименьших квадратов......................... 48

-.98 -

4.1. Постановка задачи и алгоритм метода................. 4 8 4- 2. Задание к лабораторной работе....................... 5 0 4-3- Порядок выполнения лабораторной работы............... 5 1 4-4. Тестирующий пример................................. 5 1 4.5. Вопросы для самоконтроля............................ 5 2 5. Решение начально-краевой задачи для одномерного параболичес кого уравнения методом Галеркина........................ 5 3 5.1. Постановка задачи и алгоритм метода................. 5 3 5.2. О построении функции u (x,t)...................... 5 9 5.3. Задание к лабораторной работе...................... 6 3 5.4- Порядок выполнения лабораторной работы..............

6 5 5.5- Тестирующий пример............................. 6 6 5.6. Вопросы для самоконтроля.......................... 7 5 6. Решение начально-краевой задачи для одномерного гиперболи ческого уравнения методом Галеркина...................... 7 7 6.1. Постановка задачи и алгоритм метода................. 7 7 6.2. Задание к лабораторной работе...................... 8 4 6.3- Порядок выполнения лабораторной работы.............. 8 6 6.4. Тестирующий пример............................. 6.5- Вопросы для самоконтроля............................

87

9 6 Заключение................................. 9 7 Список литературы................................... ..

9 7

Учебное издание ВЕЛЬМИСОВ ПЕТР АЛЕКСАНДРОВИЧ СЕМЕНОВ АЛЕКСЕЙ СТЕПАНОВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДАМИ ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебное пособие Редактор Н.А. Евдокимова Изд. лиц. 020640_от 22.10.97. Подписано в печать26.0101. Формат 60x84/16. Печать трафаретная. Бумага офсетная. Усл.п.л. 5,82. Уч.-изд.л. 5,50. Тираж 120 экз. Заказ 48Й . Ульяновский государственный технический университет 432027, г.Ульяновск, Сев. Венец, 32. Типография УлГТУ. 432027, Ульяновск, ул. Сев. Венец, 32.