Антиаддитивные примитивно связные теории

Алгебра и логика, 42, N 4 (2003), 473—496

УДК 510.67:512.57

АНТИАДДИТИВНЫЕ ПРИМИТИВНО СВЯЗНЫЕ ТЕОРИИ∗) Е. А. ПАЛЮТИН Введение Главной целью данной работы является доказательство того, что в любой примитивно связной несуперстабильной теории интерпретируется бесконечная группа. Понятие примитивно связной теории впервые появилось в работе [1], где была доказана теорема об элиминиции кванторов для этих теорий, которая обобщает аналогичную элиминацию, доказанную Бауром, Гараваглия и Монком для модулей (см. [2]). Здесь рассматриваются примитивно связные теории, в которых не интерпретируется бесконечная группа, т. е. принципиально отличающиеся от теорий модулей. Такие теории называются антиаддитивными. Заметим, что стабильность примитивно связных теорий вытекает из упомянутой теоремы об элиминации кванторов. Отметим также, что примитивно связные теории, очень близкие к теориям модулей, называются аддитивными и рассматривались в [3]. В отличие от антиаддитивных примитивно связных теорий аддитивные теории (как и теории модулей) могут быть несуперстабильными. Будем использовать результаты и понятия, содержащиеся в [1]. Основные из них приводятся в § 1; одной из причин для этого, кроме удобства для читателя, является утверждение (см. предл. 1) о возможности ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проекты N 99-01-00600 и N 02-01-00540, а также Совета по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проект НШ2069.2003.1. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2003

474

Е. А. Палютин

ослабления требования связности в определении примитивно связных теорий из [1]. В § 2 доказываются факты, относящиеся к свойствам групповой операции, определимой примитивными формулами в примитивно нормальных структурах. Характеризации суперстабильных примитивно связных теорий посвящен § 3. Основной результат статьи о суперстабильности антиаддитивных примитивно связных теорий доказывается в § 4. Буквой C обозначается, как обычно, достаточно насыщенная модель (монстр-модель) полной теории T , содержащая все рассматриваемые модели теории T как элементарные подмодели. Буквами начала латинского алфавита a, b, . . . обозначаются элементы структуры C, а буквами конца латинского алфавита . . . , x, y, z — предметные переменные. Полужирными буквами a, b, . . . обозначаются наборы (кортежи) элементов, а буквами . . . , x, y, z — кортежи переменных. При этом предполагается, что кортежи переменных, обозначенные разными буквами, не содержат одинаковых переменных. Вместо записи a ∈ An часто используется более простая запись a ∈ A, однако для включения X ⊆ An такое соглашение не применяется.

§ 1. Примитивно связные теории ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Формула вида ∃x(Φ0 ∧ · · · ∧ Φk ), где Φi , i ∈ {0, . . . , k}, — атомарные формулы, называется примитивной. Пусть N — структура, Φ(x, y) — формула языка структуры N , a ∈ N . Множество {b | N |= Φ(b, a)} обозначаем через Φ(N, a). Результат подстановки в формулу Φ(x, y) вместо кортежа переменных y кортежа элементов a обозначается через Φ(x, a) и будет также называться формулой. Условие C |= Φ(a) будем кратко записывать как Φ(a). Если Φ(x, y) — примитивная формула, то множество вида Φ(N, a), a ∈ N , называем примитивным (в N ). Если Φ(x, y) — примитивная формула, то непустые множества вида Φ(N, a), Φ(N, b), где a, b ∈ N , называются примитивными копиями (в N ).

Антиаддитивные примитивно связные теории

475

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Структура N называется примитивно нормальной, если (X ∩ Y ) = ∅ или X = Y для любых примитивных копий X, Y в N . Теория T (класс структур K) называется примитивно нормальной (примитивно нормальным), если каждая T -модель (K-структура) примитивно нормальна. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Нетрудно проверить (см. [4]), что для любой структуры N теория Th(N ) примитивно нормальна, если теория декартовой степени Th(N ω ) является стабильной. Таким образом, классы структур со стабильной теорией, замкнутые относительно декартовых степеней (например, многообразия, квазимногообразия и др.), являются примитивно нормальными. Если примитивные формулы Φ(x1 , x2 , c) и Ψ(x1 , x2 , d) определяют в структуре N на N k бинарные отношения, то их композицию определяет примитивная формула ∃z(Φ(x1 , z, c) ∧ Ψ(z, x2 , d)). Примитивную формулу α(x1 , x2 ), определяющую в некоторой структуре N эквивалентность на некотором подмножестве X ⊆ N n , будем называть примитивной эквивалентностью в N . Обычно мы не будем различать саму эквивалентность и формулу, ее определяющую. Обратим внимание, что эквивалентности, определенные с помощью примитивных формул с параметрами, не подпадают под определение примитивных эквивалентностей. Если α — эквивалентность, то через dom α обозначается множество {a | ha, ai ∈ α}. Если α, β — примитивные эквивалентности, то их композицию обозначим через α ◦ β. Пусть структура N примитивно нормальна, а α, β — примитивные эквивалентности в N . Композицию α ◦ β ◦ α обозначим через β α . Поскольку N примитивно нормальна, то β α является эквивалентностью. Классы этой эквивалентности являются объединениями α-классов, содержащих β-эквивалентные элементы. Из примитивной нормальности N следует также, что если выполняется равенство dom α = dom β, то композиция α ◦ β яв-

476

Е. А. Палютин

ляется эквивалентностью и справедливо равенство α◦β = β ◦α = β α = αβ . Эту композицию обозначим через α∨β, так как она является минимальной эквивалентностью, содержашей эквивалентности α и β. Пусть α — эквивалентность, X — некоторое множество. Будем говорить, что X является α-замкнутым, если для любого a ∈ (X ∩ dom α) выполняется условие αa ⊆ X. Эквивалентность (α ∩ X 2 ) обозначим через (α ↾ X). Через X/α обозначается множество всех (α ↾ X)-классов. Говорим, что α делит X, если |X/α| > 1. Для формулы Φ(x, y) через xΦ обозначается формула ∃y(Φ(x1 , y) ∧ Φ(x2 , y)). Заметим, что если структура M примитивно нормальна, то для примитивной формулы Φ(x, y) формула (xΦ)(x1 , x2 ) также примитивна и определяет в M эквивалентность, классами которой являются непустые множества вида Φ(M, a), a ∈ M . Поэтому любое непустое примитивное множество X является классом некоторой примитивной эквивалентности α, назовем ее носителем множества X. Таким образом, непустые примитивные множества X, Y являются примитивными копиями тогда и только тогда, когда они имеют общий носитель α, назовем его свидетелем копий X, Y . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что множества X, Y связаны с помощью отношения P (x, y), если выполняются следующие условия: (a) ∀c ∈ X ∃d ∈ Y P (c, d); (b) ∀d ∈ Y ∃c ∈ X P (c, d); (c) ∃c ∈ X ∃d ∈ Y ¬P (c, d). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Формула Φ(x, y, z), l(x) = l(y), называется (x, y)рефлексивной (в N ), если имеет место условие N |= ∀x∀y∀z(Φ(x, y, z) → (∃uΦ(x, x, u) ∧ ∃wΦ(y, y, w))). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пересечение некоторого семейства примитивных множеств называется ∆-примитивным множеством. Если для каждого i ∈ I множества Xi , Yi являются примитивными копиями, то множества T T {Xi | i ∈ I} и {Yi | i ∈ I} называются ∆-примитивными копиями

Антиаддитивные примитивно связные теории

477

при условии, что оба они непусты. Если для ∆-примитивных копий X, Y выполняется 1 = |X| = |Y |, то говорим, что X, Y — тривиальная пара множеств. Обратим внимание, что пара X, Y не является тривиальной в случае, когда только одно из этих множеств одноэлементно. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ∆-примитивные копии X, Y называются примитивно связанными (в N ), если существуют (x, x′ )-рефлексивная примитивная формула Φ(x, x′ , y) и кортеж a ∈ N такие, что отношение, определенное в структуре N формулой Φ(x, x′ , a), связывает X и Y . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Структура N называется примитивно связной, если N примитивно нормальна и любая нетривиальная пара ∆-примитивных копий X ⊆ N, Y ⊆ N является примитивно связанной в N . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Теория T называется примитивно связной, если каждая T -модель является примитивно связной. ЗАМЕЧАНИЕ 2. В [1] при определении примитивно связной теории рассматривались примитивно связные множества кортежей элементов. Однако переходя к проекциям, легко видеть: если все нетривиальные пары ∆-примитивных копий множеств элементов примитивно связаны, то это же верно и для всех нетривиальных пар ∆-примитивных копий множеств кортежей элементов. Таким образом, достаточно рассматривать (как в данной статье) примитивную связность только множеств элементов. Непустое множество X называется обобщенно примитивным (о.п. множеством), если существуют такие ∆-примитивное множество X ∗ и примитивная эквивалентность α, что X ∗ ⊆ dom α и X = X ∗ /α. При этом множество X ∗ называется основой, а эквивалентность α — образующей эквивалентностью множества X. Заметим, что у о.п. множества X основа одна, а образующих эквивалентностей может быть много. Отождествляя одноэлементное множество {a} с элементом a, будем считать, что ∆-примитивные множества являются обобщенно примитивными. О.п. множества X и Y назовем обобщенно примитивными копиями (о.п. копиями), если у них имеется общая образующая эквивалентность, а основы X ∗ и Y ∗ являются ∆-примитивными копиями. Если X, Y — о.п.

478

Е. А. Палютин

множества и X ⊆ Y , то говорим, что X — о.п. подмножество о.п. множества Y . Ясно, что в этом случае справедливо условие X ∗ ⊆ Y ∗ и любая образующая эквивалентность α о.п. множества Y будет образующей эквивалентностью для X, в частности, X ∗ является (α ↾ Y ∗ )-замкнутым множеством. Так как ∆-примитивные копии являются непустыми множествами, то и о.п. копии также непусты. Если X, Y — о.п. копии и оба эти множества одноэлементны, то говорим, что X, Y — тривиальная пара о.п. копий. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X, Y — о.п. копии, α — их образующая эквивалентность, Φ(x, y, z) — формула, c ∈ C, l(c) = l(z). 1) Будем говорить, что X связано с Y с помощью формулы Φ(x, y, c), если выполняются следующие условия: (a) для любых a1 ∈ X ∗ и b1 ∈ Y ∗ существуют a2 ∈ X ∗ и b2 ∈ Y ∗ такие, что в C истинны Φ(a1 , b2 , c) и Φ(a2 , b1 , c); (b) для любого a ∈ X ∗ множество Φ(a, C, c) является (α ↾ Y ∗ )замкнутым и не содержит Y ∗ ; (c) для любого b ∈ Y ∗ множество Φ(C, b, c) является (α ↾ X ∗ )замкнутым и не содержит X ∗ . 2) Будем говорить, что X примитивно связано с Y , если существуют такие (x, y)-рефлексивная примитивная формула Φ(x, y, z) и кортеж c ∈ ∈ C, что X связано с Y с помощью формулы Φ(x, y, c). ЗАМЕЧАНИЕ 3. Следующее предложение показывает, что определение примитивно связной теории в данной статье равносильно соответствующему определению, данному в [1], где кроме связанности ∆-примитивных копий требовалась также связанность обобщенно примитивных копий. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Если в примитивно нормальной структуре N примитивно связана любая нетривиальная пара ∆-примитивных копий, то в структуре N примитивно связана любая нетривиальная пара обобщенно примитивных копий. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть X, Y — о.п. копии, |X| > 1, и α — их образующая эквивалентность. Пусть X0 , Y0 — минимальная по включению пара ∆-примитивных копий, удовлетворяющая условиям: X0 ⊆ X ∗ ,

Антиаддитивные примитивно связные теории

479

Y0 ⊆ Y ∗ , X ∗ ⊆ αX0 и Y ∗ ⊆ αY0 . Из |X| > 1 и X ∗ ⊆ αX0 вытекает, что |X0 | > 1. По условию предложения и замечанию 2 множества X0 и Y0 примитивно связаны. Из [1, леммы 1.4, 1.5] получаем, что они связаны такой примитивной формулой Φ(x, y, z), что формулы xΦ и yΦ определяют в структуре N одну и ту же эквивалентность β. Возьмем кортежи a ∈ X0 , b ∈ Y0 и c ∈ N такие, что N |= Φ(a, b, c). Так как N примитивно нормальна, эквивалентность β делит X0 и Y0 , а пара X0 , Y0 минимальна, то имеем X ∗ * α(X0 ∩ βa) и Y ∗ * α(Y0 ∩ βb). Поскольку X0 , Y0 — ∆-примитивные копии, по теореме компактности найдется такая примитивная эквивалентность γ, что X0 и Y0 целиком содержатся в некоторых γ-классах, а включения X ∗ ⊆ α((β ∩ γ)a) и Y ∗ ⊆ α((β ∩ γ)b) также не имеют места. Рассмотрим примитивную эквивалентность δ = = (β ∧ γ)α . Из предыдущих свойств следует, что (X ∗ ∪ Y ∗ ) ⊆ dom δ и для любых a ∈ X ∗ , b ∈ Y ∗ включения X ∗ ⊆ δa, Y ∗ ⊆ δb не имеют места. Тогда формула Ψ(x, y, c) = ∃u∃v(Φ(u, v, c) ∧ δ(x, u) ∧ δ(y, v)) связывает о.п. множества X и Y . 2 Теория T называется примитивно базируемой, если она допускает элиминацию кванторов до примитивных формул, т. е. для любой формулы Φ(x) языка теории T существует булева комбинация Ψ(x) примитивных формул и выполняется T ⊢ (Φ(x) ↔ Ψ(x)). ТЕОРЕМА 1 [1]. Примитивно связная теория T является примитивно базируемой. Этот результат будем называть теоремой об элиминации кванторов для примитивно связных теорий. Если X — множество, α — эквивалентность, то через [X : α] обозначается индекс α в X, т. е. число |X/α|, если оно конечно, и символ ∞, если бесконечно. Часто будем использовать следующее предложение (оно вытекает из [1, лемма 2.1]), утверждение из которого будем называть однозначностью примитивного индекса. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть T — полная примитивно связная теория, X, Y — примитивные копии, α — примитивная эквивалентность,

480

Е. А. Палютин

[X : α] 6= 0 и [Y : α] 6= 0. Тогда [X : α] = [Y : α]. Следующее предложение содержится в [1, лемма 1.1], будем его называть однозначностью примитивного покрытия. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть T — полная примитивно связная теория, X, Y — примитивные копии, Z — примитивное множество, X ⊆ Z и (Y ∩ Z) 6= ∅. Тогда Y ⊆ Z.

§ 2. Аддитивные множества в примитивно нормальных теориях В этом параграфе предполагается, что T — полная примитивно нормальная теория. Используя свойство примитивной нормальности, легко доказать ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть Φ(x, y, c) — примитивная формула. (1) Если Φ(x, y, c) рефлексивна в T , т. е. выполняется C |= ∀x∀y(Φ(x, y, c) → (Φ(x, x, c) ∧ Φ(y, y, c))), то формула Φ(x, y, c) определяет симметричное и транзитивное отношение, т. е. эквивалентность. (2) Если Φ(x, y, c) определяет эквивалентность, то примитивная эквивалентность xΦ удовлетворяет следующему условию: любой Φ(x, y, c)-класс является xΦ-классом. Из примитивной нормальности теории T сразу вытекает ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Пусть Φ(x1 , . . . , xn , c) — примитивная формула, X — ∆-примитивное множество и hi1 , . . . , in i — последовательность чисел (не обязательно различных) из множества {1, . . . , n}. Пусть для любых a1 , . . . , an ∈ X истинна Φ(ai1 , . . . , ain , c). Тогда примитивная формула Ψ(x1 , . . . , xn ) = ∃y(Φ(x1 , . . . , xn , y) ∧ Φ(xi1 , . . . , xin , y)) без параметров определяет на множестве X то же самое отношение, что и формула Φ(x1 , . . . , xn , c).

Антиаддитивные примитивно связные теории

481

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X — ∆-примитивное множество. Формула Φ(x, y, z, w, c) определяет на X обобщенный терм Мальцева, если для любых a, b ∈ X истинна формула (Φ(b, b, a, a, c) ∧ Φ(a, b, b, a, c)).

(1)

Будем говорить: Φ(x, y, z, w, c) — обобщенный терм Мальцева на X, подразумевая под этим, что Φ(x, y, z, w, c) — примитивная формула, определяющая на X обобщенный терм Мальцева. ЗАМЕЧАНИЕ 4. Если формула Φ(x, y, z, w, c) является обобщенным термом Мальцева на X, то она удовлетворяет условию предложения 5. По заключению этого предложения существует формула Φ′ (x, y, z, w) без параметров, эквивалентная на X формуле Φ(x, y, z, w, c). Поэтому в дальнейшем будем считать, что обобщенные термы Мальцева не содержат параметров. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. Пусть X — ∆-примитивное множество и примитивная формула Φ(x, y, z, w) определяет на X обобщенный терм Мальцева. Тогда для любых t, s ∈ {x, y, z, w} выполняется равенство tΦ ↾ X = sΦ ↾ X. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть α = wΦ. Покажем, что для любого t ∈ {x, y, z} выполняется равенство tΦ ↾ X = α ↾ X. Возьмем произвольные a, a′ ∈ X. Из определения обобщенного терма Мальцева получаем Φ(a, a′ , a′ , a). Из определения эквивалентности α вытекает aαa′ ⇔ Φ(a, a′ , a′ , a′ ).

(2)

Отсюда и в силу истинности Φ(a′ , a′ , a′ , a′ ) получаем aαa′ ⇔ a(xΦ)a′ . Аналогично рассматривается случай t = z. Рассмотрим последний случай t = y. Из определения обобщенного терма Мальцева имеем Φ(a, a, a′ , a′ ). Отсюда и в силу (2) получаем aαa′ ⇔ a(yΦ)a′ . 2

482

Е. А. Палютин ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X — о.п. множество. Будем говорить, что

примитивная формула Φ(x, y, z, w) определяет на X терм Мальцева, если она определяет на X ∗ обобщенный терм Мальцева и примитивная эквивалентность wΦ является образующей эквивалентностью для X. Будем также говорить, что Φ(x, y, z, w) — терм Мальцева на X, подразумевая под этим, что Φ(x, y, z, w) — примитивная формула, определяющая терм Мальцева на X. ЗАМЕЧАНИЕ 5. Если теория T примитивно нормальна, а Φ(x, y, z, w) — терм Мальцева на о.п. множестве X, то в силу предложения 6 для любого t ∈ {x, y, z, w} примитивная эквивалентность tΦ является образующей эквивалентностью для X. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7. Пусть X — о.п. множество, примитивная формула Φ(x, y, z, w) определяет на X терм Мальцева, α — образующая эквивалентность для X, и β — примитивная эквивалентность с условием (α ↾ X ∗ ) ⊆ β. Тогда существует примитивная формула Φ′ , определяющая терм Мальцева на о.п. множестве X ∗ /β. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как (wΦ ↾ X ∗ ) = α ↾ X ∗ ⊆ β, по компактности найдется примитивная формула Ψ(x, d) такая, что X ∗ ⊆ ⊆ Ψ(C, d) и (wΦ ↾ Ψ(C, d)) ⊆ β. В качестве искомого терма Мальцева можно взять примитивную формулу Φ′ (x, y, z, w, d) = ∃w′ (Φ(x, y, z, w′ ) ∧ Ψ(w′ , d) ∧ β(w′ , w)). В самом деле, эта формула определяет обобщеный терм Мальцева на X ∗ , так как имеет место включение X ∗ ⊆ Ψ(C, d) и истинно β(a, a) для любого a ∈ X ∗ . Равенство wΦ′ ↾ X ∗ = β ↾ X ∗ вытекает из включений (wΦ ↾ Ψ(C, d)) ⊆ β и X ∗ ⊆ Ψ(C, d). 2 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8 (см. [1, лемма 1.3]). Пусть X — о.п. множество, α — его образующая эквивалентность. Если примитивная формула Φ(x, y, z, w) определяет на X терм Мальцева, то она определяет на X

Антиаддитивные примитивно связные теории

483

аффинное сложение, т. е. для любого a ∈ X ∗ формула Φ(x, a, y, z) определяет на X структуру абелевой группы со сложением (X ∗ ∩ αx) + (X ∗ ∩ ∩αy) = (X ∗ ∩ αz), нулем которой является класс (X ∗ ∩ αa). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9. Пусть X — ∆-примитивное множество, а примитивная формула Φ(x, y, z, w) определяет на X обобщенный терм Мальцева. Тогда существует примитивное множество Y такое, что X ⊆ Y и Φ(x, y, z, w) определяет обобщенный терм Мальцева на Y . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем произвольный a ∈ X и покажем, что в качестве Y можно взять множество Ψ(C, a), где Ψ(x, a) = (Φ(a, a, x, x) ∧ Φ(x, x, a, a) ∧ Φ(x, a, a, x) ∧ Φ(a, x, x, a)). Пусть b, d ∈ Y . Тогда выполняются условия (1) Φ(b, b, a, a), (2) Φ(a, a, d, d), (3) Φ(d, a, a, d) и (4) Φ(a, b, b, a). Из определения обобщенного терма Мальцева справедливо также (5) Φ(a, a, a, a). В силу условий (1), (2), (5) и поскольку T примитивно нормальна, получаем Φ(b, b, d, d). В силу (3)— (5) и поскольку T примитивно нормальна, получаем Φ(d, b, b, d). 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. (1) О.п. множество X называется аддитивным, если существует примитивная формула Φ(x, y, z, w), определяющая на X терм Мальцева. (2) Будем говорить, что примитивная эквивалентность α имеет аддитивный индекс в ∆-примитивном множестве X, если X ⊆ domα и о.п. множество X/α является аддитивным. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X, Y — о.п. множества, Y ⊆ X, и α — образующая эквивалентность X. (1) Будем говорить, что Y является глобальным подмножеством о.п. множества X, если существует примитивная эквивалентность β такая, что (α ↾ X ∗ ) ⊆ β и Y ∗ является (β ↾ X ∗ )-классом. Эта эквивалентность называется глобальным носителем подмножества Y в X. Примитивное множество Z называется глобальным в ∆-примитивном множестве Y , если (Z ∩ Y ) глобально в Y .

484

Е. А. Палютин (2) Будем говорить, что о.п. подмножество Y аддитивно в X, если

подмножество Y глобально в X и существует его глобальный носитель β такой, что о.п. множество X ∗ /β аддитивно. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10. Пусть X — о.п. множество, а Y — его о.п. подмножество. (a) Если X аддитивно, то Y тоже аддитивно. (b) Если X аддитивно и существует примитивное множество Z с условием (X ∗ ∩ Z) = Y ∗ , то Y аддитивно в X, в частности, Y глобально в X. (c) Если Y аддитивно в X, W ⊆ X и (W ∩ Y ) 6= ∅, то о.п. множество (W ∩ Y ) является аддитивным в W . (d) Если X аддитивно, α — образующая эквивалентность для X, β — некоторая примитивная эквивалентность, и (α ↾ X ∗ ) ⊆ β, то о.п. множество X ∗ /β аддитивно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (a) Следует из того, что любой терм Мальцева на X является термом Мальцева на Y . (b) Пусть Φ(x, y, z, w) — примитивная формула, определяющая терм Мальцева на X. По определению терма Мальцева, α = wΦ — образующая эквивалентность о.п. множества X. Из определения о.п. подмножества получаем, что для любого a ∈ Y ∗ выполняется ((X ∗ \ Y ∗ ) ∩ αa) = ∅. Так как (X ∗ ∩ Z) = Y ∗ , по компактности найдется примитивное множество Z ′ такое, что (X ∗ ∩ Z ′ ) = Y ∗ и ((X ∗ \ Y ∗ ) ∩ αa) = ∅ для любого a ∈ Z ′ . Таким образом, заменив Z на αZ ′ , можно считать, что αZ = Z. Пусть Ψ(x, d) — примитивная формула с условием Z = Ψ(C, d). Возьмем некоторый a0 ∈ Y ∗ и рассмотрим примитивную формулу γ(x, y, d, a0 ) = ∃w(Ψ(w, d) ∧ Φ(x, y, a0 , w)). Поскольку Φ(x, y, z, w) — терм Мальцева на X, в силу предложения 6 примитивная формула γ(x, y, d, a0 ) определяет рефлексивное отношение на X ∗ , которое содержит эквивалентность α ↾ X ∗ . Это же отношение на X ∗ будет определено рефлексивной формулой γ ′ (x, y, d, a0 ) = (γ(x, y, d, a0 ) ∧ γ(x, x, d, a0 ) ∧ γ(y, y, d, a0 )).

Антиаддитивные примитивно связные теории

485

По п. (1) предложения 4, γ ′ (x, y, d, a0 ) является примитивной эквивалентностью. Пусть A = γ ′ (C, a0 , d, a0 ). Из того, что Φ(x, y, z, w) — терм Мальцева на X и αZ = Z, следует (X ∗ ∩ A) = Y ∗ . В силу п. (2) предложения 4 примитивная эквивалентность β = xγ ′ удовлетворяет условиям: βa0 = A и (α ↾ X ∗ ) ⊆ β. По предложению 7 эквивалентность β имеет аддитивный индекс в X ∗ . Следовательно, Y аддитивно в X. (c) Пусть α — образующая эквивалентность о.п. множества X. По аддитивности Y в X существует примитивная эквивалентность β такая, что (α ↾ X ∗ ) ⊆ β, Y ∗ является (β ↾ X ∗ )-классом и о.п. множество X ∗ /β аддитивно. Пусть примитивная формула Φ(x, y, z, w) определяет терм Мальцева на X ∗ /β. Ясно, что эта формула будет определять терм Мальцева на о.п. множестве W ∗ /β и (W ∗ ∩ Y ∗ ) будет (β ↾ W ∗ )-классом. Таким образом, о.п. множество (W ∩ Y ) аддитивно в W . (d) Следует из предложения 7. 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X, Y — о.п. множества, X ⊆ Y . Будем говорить, что X является подмножеством мультиаддитивного индекса в Y (или X мультиаддитивно в Y ), если существует конечная цепь о.п. множеств X0 ⊆ · · · ⊆ Xn такая, что X0 = X, Xn = Y и для любого i < n множество Xi аддитивно в Xi+1 . Такую цепь назовем мультиаддитивной для X в Y . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 11. Пусть X, Y , Z — о.п. множества, X ⊆ Z и Y ⊆ Z. (a) Если X, Y мультиаддитивны в Z и (X ∩ Y ) 6= ∅, то о.п. множество (X ∩ Y ) мультиаддитивно в Z. (b) Пусть X мультиаддитивно в Z, X ⊆ Y и Y глобально в Z. Тогда Y мультиаддитивно в Z. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть X0 ⊆ · · · ⊆ Xn — мультиаддитивная цепь для о.п. множества X в Z. Предложение будем доказывать индукцией по n. Если n = 0, то X = Z и сразу получаем требуемое. Пусть n > 0. (a) По индукционному предположению (Y ∩ X1 ) мультиаддитивно в Z. Так как X аддитивно в X1 и по п. (c) предложения 10, о.п. множество (X ∩ Y ) аддитивно в (Y ∩ X1 ). Таким образом, (X ∩ Y ) мультиаддитивно

486

Е. А. Палютин

в Z. (b) Пусть α — образующая эквивалентность для Z. Так как Y глобально в Z, существует примитивная эквивалентность β такая, что (α ↾ Z) ⊆ β и Y ∗ является (β ↾ Z ∗ )-классом. По индукционному предположению о.п. множество (Y ∩ Xn−1 ) мультиаддитивно в Xn−1 . Пусть Y0 ⊆ · · · ⊆ Yk — мультиаддитивная цепь для о.п. множества (Y ∩ Xn−1 ) в Xn−1 . Рассмотрим о.п. множества Wi = (βYi∗ ∩ Z ∗ )/α, i 6 k. Из п. (c) предложения 10 вытекает, что W0 ⊆ · · · ⊆ Wk будет мультиаддитивной цепью для Y в Wk . Так как по п. (b) предложения 10 о.п. множество Wk аддитивно в Z, то Y мультиаддитивно в Z. 2 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 12. Пусть X — ∆-примитивное множество, a ∈ X. Тогда существует ∆-примитивное множество Y ⊆ X со следующими свойствами: (1) a ∈ Y ; (2) Y не имеет собственных подмножеств, являющихся аддитивными в Y ; (3) для любого примитивного множества V , удовлетворяющего условию Y ⊆ V , существует ∆-примитивное множество Y ′ такое, что Y ⊆ Y ′ ⊆ (X ∩ V ) и Y ′ мультиаддитивно в X. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Y =

\

{Z | a ∈ Z ⊆ X, Z мультиаддитивно в X}.

Покажем, что множество Y обладает свойствами (1)—(3). (1) Следует из определения Y . (2) Предположим противное. По предложению 9 найдутся примитивная эквивалентность β и примитивное множество W , для которых Y ⊆ W , W ⊆ domβ, [Y : β] > 1 и W/β аддитивно. По компактности, п. (a) предложения 11 и определению множества Y найдется примитивное множество Z такое, что Y ⊆ Z ⊆ W и (X ∩ Z) мультиаддитивно в X. По п. (a) предложения 10 множество (Y ∩ βa) аддитивно в (X ∩ Z). Так как отношение мультиаддитивности транзитивно, множество (Y ∩ βa) мультиаддитивно в X. Это противоречит определению множества Y и условию [Y : β] > 1.

Антиаддитивные примитивно связные теории

487

(3) Пусть примитивное множество V удовлетворяет условию Y ⊆ V . В силу определения Y , теоремы компактности и п. (a) предложения 11 существует примитивное множество Z такое, что Y ⊆ (Z ∩ X) ⊆ V и (Z ∩ X) мультиаддитивно в X. Таким образом, в качестве Y ′ можно взять множество (Z ∩ X).

§ 3. Суперстабильность для примитивно связных теорий Для примитивного множества X через Deg(X) будем обозначать степень Deg[Φ(x, a)] (определение см. в [5]), где Φ(x, y) — примитивная формула, для которой X = Φ(C, a). ЛЕММА 1. Пусть T — полная примитивно нормальная и примитивно базируемая теория, X — примитивное множество, Deg(X) = ∞. Тогда существует бесконечное неразличимое над {X} семейство F примитивных попарно непересекающихся множеств, являющихся примитивными копиями, и для любого Y ∈ F выполняются условия Y ⊆ X и Deg(Y ) = ∞. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из [5, теор. 6.5], теоремы компактности и примитивной базируемости теории T вытекает существование бесконечного неразличимого над {X} семейства G попарно непересекающихся формульных множеств такого, что для каждого Z ∈ G выполняются условия: (a) Z ⊆ X; (b) Deg(Z) = ∞; (c) Z является булевой комбинацией примитивных множеств. Из определения Deg вытекает, что для любых форS мульных множеств Z0 , . . . , Zn имеет место равенство Deg( {Zi | i 6 n}) =

= max{DegZi | i 6 n}. Поэтому можно считать, что семейство G состоит из

множеств вида Z = (Y0 (Z) ∩ ¬Y1 (Z) ∩ · · · ∩ ¬Yn (Z)), где Y0 (Z), . . . , Yn (Z) — примитивные множества (здесь используется также то, что пересечение примитивных множеств примитивно). При этом множество Y0 (Z) будем называть положительной, а Y1 (Z), . . . , Yn (Z) — отрицательными частями множества Z ∈ G. Так как семейство G неразличимо над {X}, можно считать, что положительные и отрицательные части с одинаковыми индексами образуют неразличимые над {X} семейства примитивных копий.

488

Е. А. Палютин

Так как семейство G неразличимо над {X}, можно также считать, что выполняются включения Yi (Z) ⊆ X для любых i 6 n и Z ∈ G. Если положительные части у различных членов семейства G различны, то по примитивной нормальности теории T они попарно не пересекаются, и в качестве искомого семейства F можно взять положительные части всех множеств из G. Поэтому будем считать, что все положительные части множеств из G совпадают (используем примитивную нормальность теории T ) и равны Y . Будем считать также, что семейство G счетно. Таким образом, пусть G = {Zi | Zi = (Y ∩ ¬Y1i ∩ · · · ∩ ¬Ymi ), i ∈ ω}, где Yji , 1 6 i 6 m, — примитивные множества. Поскольку G неразличимо и T примитивно нормальна, для любого j ∈ {1, . . . , m} множества Yji , i ∈ I, либо совпадают, либо попарно не пересекаются. Пусть для j ∈ {1, . . . , l} выполняется первый случай, а для j ∈ {l + 1, . . . , m} — второй. Так как элементы семейства G попарно не пересекаются, то l < m и множество Z0 1 , . . . , Y 1 . В силу Deg(Z ) = покрывается примитивными множествами Yl+1 0 m

= ∞ найдется k ∗ ∈ {(l + 1), . . . , m} такой, что Deg(Yk1∗ ) = ∞. Семейство {Yki∗ | i ∈ ω} неразличимо, следовательно, Deg(Yki∗ ) = ∞ для любого i ∈ ω. Ясно, что в качестве искомого семейства F можно взять {Yki∗ | i ∈ ω}. 2 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 13. Пусть T — полная примитивно связная теория. Тогда эквивалентны следующие условия: (a) теория T не является суперстабильной; (b) существуют такие цепь примитивных эквивалентностей α0 ⊃ · · · ⊃ αn ⊃ . . . , n ∈ ω, и непустое ∆-примитивное множество X ⊆ C, что X ⊆ ∈ ω} и [(X ∩ αn a) : αn+1 ] = ∞ для каждого a ∈ X.

T

{domαn | n ∈

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (b)⇒(a) Cправедливо для любой полной теории T в силу [5, теор. 6.4, 6.5]. (a)⇒(b) Предположим, что теория T не является суперстабильной. По [1, следствие 2] теория T стабильна. По [5, следствие 6.10] выполняется

Антиаддитивные примитивно связные теории

489

Deg[x = x] = ∞. Индукцией по n будем строить примитивные множества Xn , n ∈ ω, такие, чтобы выполнялись следующие условия: (1) X0 = C; (2) Xn+1 ⊆ Xn , n ∈ ω; (3) Deg(Xn+1 ) = ∞, n ∈ ω; (4) для любого n ∈ ω существуют примитивные множества Ykn ⊆ Xn , являющиеся примитивными копиями множества Xn+1 , при этом множество {Xn+1 } ∪ {Ykn | k < ω} бесконечно и неразличимо над {Xn }. Предположим, что Xi , удовлетворяющие условиям (2)—(4), построены для i 6 n. Применяя лемму 1, находим Yk ⊆ Xn , k ∈ ω, такие, что множество {Yk | k ∈ ω} бесконечно и неразличимо над {Xn }. В качестве Xn+1 берем множество Y0 . Итак, семейство {Xn | n ∈ ω} со свойствами (1)—(4) построено. Пусть Xn = Φn (C, an ), n ∈ ω, где Φn (x, y), n ∈ ω, — примитивные формулы и для любых i < j < ω выполняется ⊢ (Φj (x, yj ) → Φi (x, yi )). Полагаем αn = xΦn , n ∈ ω. Условие αn+1 ⊆ αn следует из условия T ⊢ (Φn+1 (x, yn+1 ) → Φn (x, yn )). Пусть X = {domαn | n ∈ ω}. ПокаT Xi . жем, что выполняется условие (b). Возьмем некоторый элемент a ∈ i<ω

Tак как множество X определяется множеством формул без параметров

и (X ∩ αn+1 a) 6= ∅, из неразличимости получаем (X ∩ Ykn ) 6= ∅ для любого k ∈ ω. Из однозначности примитивного индекса и покрытия (предложения 2, 3), а также неразличимости семейства Ykn , k ∈ ω, вытекает, что Ykn , k ∈ ω, являются αn+1 -классами. Учитывая Ykn ⊆ Xn = αn a, k ∈ ω, получаем [(X ∩ αn a) : αn+1 ] = ∞. В силу однозначности примитивного индекса это условие выполняется для любого a ∈ X. 2 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 14. Пусть T — полная примитивно связная теория. Пусть ∆-примитивное множество X удовлетворяет условию S (b) предложения 13 и X ⊆ Xi , где Xi , i 6 n, — некоторые ∆-примиi6n

тивные множества. Тогда найдется k 6 n такой, что (X ∩ Xk ) также удовлетворяет условию (b) предложения 13.

490

Е. А. Палютин ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится индукцией по n. Заметим снача-

ла, что по однозначности примитивного индекса для любых примитивных эквивалентностей α ⊆ β, любого ∆-примитивного множества Y ⊆ domα и любых a, b ∈ Y выполняется равенство [(Y ∩ βa) : α] = [(Y ∩ βb) : α]. Поэтому вместо [(Y ∩ βa) : α] будем писать [Y β : α]. Если для любых i 6 n и j ∈ ω выполняется [(X ∩ Xi )αj : αj+1 ] = ∞, то требуемое очевидно. Пусть j ∈ ω — минимальное число, для которого найдется i 6 n такой, что [(X ∩ Xi )αj : αj+1 ] < ∞. Пусть w — множество всех таких i 6 n, что [(X ∩ Xi )αj : αj+1 ] = ∞. Возьмем произвольный a ∈ X. Так как [Xαj : αj+1 ] = ∞, найдется b ∈ (X ∩ αj a) такой, что S Xi . По индукционному предположению существует k ∈ w (X ∩αj+1 b) ⊆ i∈w

такой, что [(X ∩ Xk ∩ αj+1 b)αm : αm+1 ] = ∞ для каждого m > j. По однозначности примитивного индекса мы получаем [(X ∩ Xk )αm : αm+1 ] = ∞

для всех m > j. Для m = j это условие выполняется, так как k ∈ w. Для m < j оно выполненяется в силу минимальности j. 2 Напомним (см. [1]), что множество X называется приводимым, если существуют ∅-определимые примитивные множества Xi , i 6 n, такие, что S X⊆ Xi и X * Xi для каждого i 6 n. i6n

ЗАМЕЧАНИЕ 6. Если ∆-примитивное множество X неприводимо, то по компактности существует свободный в X элемент a∗ , т. е. такой a∗ ∈ X, что X ⊆ Φ(C) для любой примитивной формулы Φ(x), удовлетворяющей условию a∗ ∈ Φ(C). Ясно также, что если элемент a∗ свободен в множестве X и a∗ ∈ Y ⊆ X, то Y — неприводимое множество. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 15. Утверждение предложения 13 имеет место при замене слов ”∆-примитивное множество X“ на ”∆-примитивное неприводимое множество X“. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть выполняется условие (a) предложения 13. Поскольку теория T примитивно нормальна, мощность любой цепи (линейно упорядоченного по включению семейства) ∆-примитивных

Антиаддитивные примитивно связные теории

491

множеств не превосходит мощности множества примитивных эквивалентностей. Поэтому можно рассмотреть некоторую максимальную цепь F ∆-примитивных множеств X, удовлетворяющих условию (b) предложения 13. По предложению 13 цепь F непуста. По компактности пересечение T X0 = F также удовлетворяет условию (b) предложения 13. Из макси-

мальности цепи F и предложения 14 вытекает, что ∆-примитивное множество X0 неприводимо. 2

§ 4. Антиаддитивные теории В этом параграфе предполагается, что T — полная примитивно нормальная теория. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть N , M — некоторые структуры. Будем говорить, что M примитивно интерпретируется в N , если существуют примитивное множество X ⊆ N n , примитивная эквивалентность α с условием X ⊆ domα и для каждого символа s языка L структуры M примитивные формулы Φs (x, a), a ∈ N , которые определяют в N на множестве X/α структуру, изоморфную M . Будем говорить, что структура M примитивно интерпретируется в теории T , если M примитивно интерпретируется в некоторой модели N теории T . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Теория T называется антиаддитивной, если она примитивно нормальна и в ней нет бесконечных аддитивных о.п. множеств. Другими словами, теория T антиаддитивна, если она примитивно нормальна и в T нельзя примитивно проинтерпретировать бесконечную группу. ЗАМЕЧАНИЕ 7. Выбор термина антиаддитивная теория для предыдущего понятия объясняется тем, что если группа G примитивно интерпретируется в примитивно нормальной структуре N , то G коммутативна. Это легко проверить, рассмотрев соответствующие примитивные формулы для групповых равенств [x, e] = e и [x, a] = e, где e — единица группы G, a — произвольный элемент группы G.

492

Е. А. Палютин ЛЕММА 2. Пусть T — антиаддитивная примитивно связная те-

ория, X и Y — ∆-примитивные множества, причем X ⊆ Y . Если X мультиаддитивно в Y и |X| < ω, то |Y | < ω. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится индукцией по длине n мультиаддитивной цепи X0 ⊆ · · · ⊆ Xn для X в Y . Если n = 0, то X = Y и требуемое очевидно. Индукционный шаг следует из того, что в антиаддитивных теориях аддитивные о.п. множества конечны и в примитивно связных теориях имеет место однозначность примитивного индекса. 2 Напомним (см. [1]), что множества X и Y называются e-связанными, если они связаны с помощью примитивной эквивалентности α(x, y). ЛЕММА 3. Пусть T — антиаддитивная примитивно связная теория, X и W — ∆-примитивные копии, множество X бесконечно, а элемент a∗ ∈ X свободен в (X ∪ W ). Тогда X и W являются e-связанными. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем произвольный b ∈ W и ∆-примитивное множество Y , удовлетворяющее условию a∗ ∈ Y и свойствам (2), (3) из предложения 12. Ясно, что любое ∆-примитивное подмножество множества X, содержащее a∗ , будет неприводимо. В частности, множество Y неприводимо. Из того, что элемент a∗ свободен в (X ∪ W ), вытекает: если a∗ ∈ Z для некоторого примитивного множества Z с носителем α, то b ∈ domα и αb является примитивной копией множества Z, содержащей элемент b. Таким образом, существует ∆-примитивное множество W ′ , содержащее элемент b и являющееся ∆-примитивной копией множества Y . С л у ч а й 1: |Y | = 1. По компактности найдется примитивное множество V такое, что Y ⊆ V и |(V ∩ X)| = 1, т. е. (V ∩ X) = Y . По свойству (3) предложения 12, Y мультиаддитивно в X. В силу леммы 2 множество X конечно, что противоречит условию. С л у ч а й 2: |Y | > 1. Так как теория T примитивно связна, ∆-примитивные копии Y и W ′ примитивно связаны. Из свойства (2) предложения 12 и [1, леммы 1.3, 1.4] получаем, что эта связь не может быть аддитивной. По [1, лемма 1.5], Y и W ′ связаны с помощью примитивной эквивалентности α. Так как теория T примитивно нормальна и a∗ свободен в (X ∪ W ), то α связывает X и W . 2

Антиаддитивные примитивно связные теории

493

Напомним, что взаимно однозначная примитивная связь между ∆-примитивными копиями называется инъективной. Для нас будет важно следующее обобщение этого понятия. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что примитивная формула Φ(x, y, a) почти инъективно связывает множества X и Y , если она их связывает и для любого b ∈ Y множество (X ∩ Φ(C, b, a)) конечно. Заметим, что если X — ∆-примитивное множество в примитивно связной теории T , то, в силу однозначности примитивного индекса, в предыдущем определении достаточно потребовать конечности соответствующего множества для некоторого b ∈ Y . ЛЕММА 4. Пусть T — антиаддитивная примитивно связная теория, X и Y — ∆-примитивные копии, X бесконечно, а элемент a∗ ∈ X свободен в X ∪ Y . Тогда множества X и Y почти инъективно связаны с помощью некоторой примитивной эквивалентности. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как множество X бесконечно, то по лемме 3 существует некоторая примитивная эквивалентность, связывающая T X и Y . Эквивалентность вида A, где A — семейство примитивных эк-

вивалентностей, называется ∆-примитивной. Из теоремы компактности следует, что пересечение убывающей цепи ∆-примитивных эквивалентно-

стей, связывающих X и Y , также связывает X и Y . Поэтому существует некоторое максимальное семейство A примитивных эквивалентностей таT кое, что эквивалентность α∗ = A связывает X и Y .

Предположим, что α∗ не почти инъективно связывает X и Y . В силу

однозначности примитивного индекса имеем |(X ∩ α∗ a∗ )| > ω. По лемме 3 существует примитивная эквивалентность α0 , связывающая (X ∩ α∗ a∗ ) и (Y ∩ α∗ a∗ ). Так как a∗ свободно в (X ∪ Y ), выполняется X ⊆ domα0 . Поскольку (Y ∩ α∗ a∗ ∩ α0 a∗ ) 6= ∅ и теория T примитивно нормальна, для любого b ∈ X выполняется (Y ∩ α∗ b ∩ α0 b) 6= ∅. Из однозначности примитивного покрытия следует, что эквивалентность α0 связывает (X ∩ α∗ b) и (Y ∩ α∗ b) для любого b ∈ X. Ясно, ∆-примитивная эквивалентность α1 = (α0 ∩ α∗ ) будет связывать (X ∩ α∗ a) и (Y ∩ α∗ a) для любого a ∈ X. Отсюда, α1 связывает X и Y , а кроме того, α1 6= α∗ . Это противоречит

494

Е. А. Палютин

тому, что семейство A максимально. Таким образом, ∆-примитивная эквивалентность α∗ почти инъективно связывает X и Y . По компактности найдется конечное подсемейство A′ ⊆ A такое, что примитивная эквиваT лентность A′ почти инъективно связывает X и Y . 2

ТЕОРЕМА 2. Пусть T — полная примитивно связная антиадди-

тивная теория. Тогда теория T суперстабильна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что теория T не суперстабильна, и пусть ∆-примитивное множество X и примитивные эквивалентности αn , n ∈ ω, удовлетворяют условию (b) предложения 13. Будем считать, что множество X неприводимо (предл. 15), по замечанию 6 существует свободный в X элемент a∗ . Ясно, что любое ∆-примитивное подмножество множества X, содержащее a∗ , будет неприводимо. В частности, непривоT димым будет ∆-примитивное множество Y = {(X ∩ αn a∗ ) | n ∈ ω}. Из условия (b) предложения 13 получаем, что Y бесконечно.

Индукцией по n ∈ ω будем строить такие убывающие по включению T αn -классы Xn , чтобы ∆-примитивные копии Y и {(X ∩ Xn ) | n ∈ ω}

не оказались связанными почти инъективно никакой примитивной эквивалентностью. Это будет противоречить лемме 4. Из доказательства предложения 13 получаем, что α0 — единичная (тождественно истинная) эквивалентность, поэтому в качестве X0 берем универсум C. Пусть αn -класс Xn уже построен. Рассмотрим следующее множество примитивных эквивалентностей: En = {γ | γ — примитивная эквивалентность, почти инъективно связывающая множества (X ∩ αn a∗ ) и (X ∩ Xn )}. Так как множества (X ∩ αn a∗ ) и (X ∩ Xn ) являются ∆-примитивными копиями, то в силу однозначности примитивного индекса имеет место |(X ∩ ∩Xn ∩ γa∗ )| < ω для любого γ ∈ En . Mощность множества En не превосходит мощности |L|+ω, где L — язык теории T . Так как [(X ∩Xn ) : α(n+1) ] = = ∞ и структура C достаточно насыщенна, существует α(n+1) -класс X(n+1) , удовлетворяющий условиям: (1) (X ∩ X(n+1) ) 6= ∅;

Антиаддитивные примитивно связные теории

495

(2) X(n+1) ⊆ Xn ; (3) (X ∩ X(n+1) ∩ γa∗ ) = ∅ для любого γ ∈ En . T Рассмотрим множество Y ′ = {(X ∩ Xn ) | n ∈ ω}. Из свойств (1),

(2) вытекает Y ′ 6= ∅. По лемме 4, ∆-примитивные копии Y и Y ′ почти инъективно связаны примитивной эквиваленгтностью γ0 . По компактности и примитивной нормальности теории T существует натуральное число n ∈ ω такое, что γ0 почти инъективно связывает ∆-примитивные копии (X ∩ αn a∗ ) и (X ∩ Xn ). Так как γ0 связывает Y и Y ′ , то (γ0 a∗ ∩ Y ′ ) 6= ∅. Из Y ′ ⊆ (X(n+1) ∩ X) получаем (X ∩ X(n+1) ∩ γ0 a∗ ) 6= ∅. Так как γ0 ∈ En , приходим к противоречию с условием (3). 2 В заключение определим некоторые операции на примитивно связных теориях, позволяющие строить для любого ординала α антиаддитивную примитивно связную теорию T α , для которой Deg(T α ) = α. Пусть для каждого i ∈ I имеются полные теории Ti языка Li , причем для i 6= j языки Li и Lj не имеют общих символов. Возьмем новые одноместные преF дикатные символы Pi , i ∈ I, и определим полную теорию Ti с помощью i∈I

следующих аксиом:

1) ¬∃x(Pi (x) ∧ Pj (x)), i, j ∈ I, i 6= j; 2) ΦPi , Φ ∈ Ti , i ∈ I, где предложение ΦPi получается из предложения Φ ограничением (релятивизацией) всех кванторов на предикат Pi . Легко понять, что если все теории Ti , i ∈ I являются примитивно F связными (и антиаддитивными), то теория Ti также примитивно связна i∈I  F Ti = sup{Deg(Ti ) | i ∈ I}. (и антиаддитивна). Ясно также, что Deg i∈I

Пусть T — полная теория языка L и язык L∗ получается добавле-

нием к языку L двух символов η и θ двухместных отношений. Определим полную теорию T ∗ с помощью следующих аксиом: 1) η и θ определяют эквивалентности на всем универсуме, их объединение (η ∨ θ) является единичной эквивалентностью (тождественно истинной), а пересечение (η ∧ θ) — нулевой (совпадает с равенством); 2) на каждом η-классе истинны аксиомы теории T ; 3) если X, Y — η-классы, то инъективное отображение множества X

496

Е. А. Палютин

на множество Y , определенное эквивалентностью θ, является изоморфизмом T -моделей, определенных на классах X и Y . Легко понять, что если теория T является примитивно связной (и антиаддитивной), то теория T ∗ также примитивно связна (и антиаддитивна). Ясно также, что Deg(T ∗ ) = (Deg(T ) + 1).

ЛИТЕРАТУРА 1. Е. А. Палютин, Примитивно связные теории, Алгебра и логика, 39, N 2 (2000), 145—169. 2. M. Ziegler, Model theory of modules, Ann. Pure Appl. Logic, 26, N 2 (1984), 149—213. 3. E. A. Palyutin, Additive theories, in: Proceedings of Logic Colloquium 98 (Lect. Notes Log., 13), ASL, Massachusetts, 2000, 352—356. 4. Е. А. Палютин, Категоричные хорновы классы. 1, Алгебра и логика, 19, N 5 (1980), 582—614. 5. S. Shelah, Stability, f.c.p., and superstability; model theoretic properties of formulas in first order theory, Ann. Math. Logic, 3, N 3 (1971), 271—362.

Адрес автора: ПАЛЮТИН Евгений Андреевич, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail: [email protected]

Поступило 11 декабря 2001 г.