Квантовые свойства света: Методические указания к решению задач по атомной физике для студентов физического факультета

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по атомной физике для студентов физического факультета

Ростов-на-Дону 2006

Методические указания разработаны кандидатом физико-математических наук, ассистентом кафедры нанотехнологии И.Н. Леонтьевым и кандидатом физико-математических наук, зав. кафедрой нанотехнологии Ю.И. Юзюком.

Ответственный редактор

канд. физ.-мат. наук И.Н. Леонтьев

Компьютерный набор и верстка

инженер Г.А. Колесников

Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета РГУ, протокол № 21 от 25 апреля 2006 г.

2

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ • Закон Стефана - Больцмана

Re = σT 4 , где Rе – энергетическая светимость черного тела; Т – термодинамическая температура; σ - постоянная Стефана – Больцмана.

• Энергетическая светимость серого тела в классическом приближении Re = εσT 4 , где ε – коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого тела.

• Закон смещения Вина

λm = b T , где λm – длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения; b -постоянная закона смещения Вина.

• Энергия фотона

ε = hν =

hc

λ

или ε = hω ,

где h – постоянная Планка; h = h /(2π ) ; ν – частота излучения; ω – циклическая

частота; λ – длина волны. • Формула Планка для спектральной плотности энергии

hω 3 1 , f (ω , T ) = 2 3 π c exp(hω / кT ) − 1 где f (ω , T ) – спектральная плотность энергетической светимости черного тела; ω – круговая частота; с – скорость света в вакууме; к – постоянная Больцмана; h – постоянная Планка. • Формула Эйнштейна для фотоэффекта

ε = A + Emax , 3

где ε – энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона из металла; Еmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона. • Коротковолновая граница λmin сплошного рентгеновского спектра

λmin = где h – постоянная Планка;

2πhc , eU

с – скорость света в вакууме; е – заряд электрона;

U – разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке. • Давление производимое светом при нормальном падении, p=

Ee (1 + ρ ) или p = w(1 + ρ ) , c

где Ee – облученность поверхности; с – скорость электромагнитного излучения в вакууме; w – объемная плотность энергии излучения; ρ – коэффициент отражения. • Изменение длины волны ∆λ фотона при рассеянии его на свободном электроне

на угол θ ∆λ = λ ′ − λ =

2πh (1 − cosθ ) , mc

где m – масса покоя электрона отдачи; с – скорость света в вакууме; 2πh / mc = λC – комптоновская длина волны.

4

Задача №1 Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны λ = 500 нм. Принимая Солнце за черное тело, определить: 1) энергетическую светимость Солнца; 2) поток энергии Фе, излучаемый Солнцем; 3) массу m электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с.

Энергетическая светимость R черного тела выражается формулой Стефана – Больцмана Re = σT 4 . Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина

λm = b T . Выразив отсюда температуру Т и подставив ее в закон Стефана – Больцмана, получим 4

⎛ b ⎞ Re = σ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ λm ⎠ Произведя вычисления по этой формуле, получим Re = 64 МВт/м2. Поток энергии Фе, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости R на площадь поверхности солнца S Фе = Re S = 4πR C2 σT 4 , где RC = радиус Солнца. Подставляя в последнюю формулу численные значения, получим Фе = 3,9⋅1026 Вт. Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за время ∆t, оп5

ределим, применив закон пропорциональности массы и энергии E = mc 2 . С другой стороны, энергия электромагнитных волн, излучаемых за время ∆t, равна произведению потока энергии Фе (мощности излучения) на время E = Фе ∆t . Отсюда m=

Фе ∆t . c2

Произведя вычисления, получим m = 4,3⋅109 кг. Задача №2 Вин предложил следующую формулу для распределения энергии в спектре теплового излучения:

f (ω , T ) = Aω 3e − aω / T , где а = 7,64⋅10-12 К⋅с. Найти с помощью этой формулы при Т = 2000 К: а) наиболее вероятную частоту ωвер длину λвер излучения; б) средние значения частоты <ω>.

Наиболее вероятную частоту излучения ω найдем из условия ∂f (ω , T ) = 0. ∂ω Отсюда aω ⎞ ∂f (ω , T ) ⎛ a⎞ ⎛ = 3 Aω 2 e −aω / T + Aω 3 e −aω / T ⎜ − ⎟ = Aω 2 e −aω / T ⎜ 3 − ⎟ = 0. T ⎠ ∂ω ⎝ T⎠ ⎝ Удовлетворяющие этому уравнению значения ω = 0 , ω = ∞ соответствуют минимумам функции f (ω , T ) . Значение ω, обращающее в нуль выражение, стоящее в 6

скобках, представляет собой наиболее вероятную частоту излучения ωвер aω вер ⎞ ⎛ ⎜⎜ 3 − ⎟ = 0. T ⎟⎠ ⎝ Откуда ω вер =

3T =7,8⋅1014 с-1. a

2. Поскольку связь функций f (ω , T ) и ϕ (λ , T ) имеет следующий вид:

ϕ (λ , T ) =

2π c ⎛ 2πc ⎞ f⎜ ,T ⎟ , λ2 ⎝ λ ⎠

то в нашем случае 2πc ⎛ 2πc ⎞ ϕ (λ , T ) = A 2 ⎜ ⎟ λ ⎝ λ ⎠

3

е −2πса / λT = (2πc) 4 A

1

λ

5

е −2πса / λT .

Наиболее вероятную длину волны излучения найдем из условия ∂ϕ (λ , T ) = 0. ∂λ Тогда

⎛ 1 ⎞⎛ 2πса ⎞ −2πса / λT 5 λ − 5λ4 е −2πса / λT ⎟е ⎜ − 2 ⎟⎜ − ∂ϕ (λ , T ) λ ⎠⎝ T ⎠ = (2πc) 4 A ⎝ = λ10 ∂λ (2πc) 4 Aе −2πса / λT ⎛ 2πca ⎞ = − 5λ ⎟ = 0 . ⎜ 10 λ ⎝ T ⎠

Удовлетворяющие этому уравнению значения λ = 0 , λ = ∞ соответствуют минимумам функции ∂ϕ (λ , T ) . Значение λ, обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой наиболее вероятную частоту излучения λ вер. 2πса − 5λ = 0 Т

=>

λвер =

2πса =2,40 мкм. 5Т

Среднее значение частоты излучения определяется следующим выражением

7

∞

ω =

∞

∫ω f (ω ,T )dω ∫ω Aω e

dω

∫

dω

0 ∞

=

3 − aω / T

0 ∞

=

∫ Aω e

f (ω , T )dω

0

∞

3 − aω / T

∫ω

0 ∞

4 − aω / T

e

.

∫ω e

0

dω

3 − aω / T

dω

0

Интегралы, стоящие как в числителе последней дроби, так и в знаменателе сводятся к следующему табличному интегралу: ∞

n − ax ∫ x e dx = 0

n! . a n+1

Тогда ⎛

4!

⎞ ⎛

⎞

3!

4T

14 -1 ⎟ /⎜ ⎟= ω = ⎜⎜ =1,05⋅10 с . 5 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ (a / T ) ⎠ ⎝ (a / T ) ⎠ a

Задача №3 Преобразовать формулу Планка к виду, соответствующему распределению: а) по линейным частотам; б) по длинам волн.

Энергетическая светимость абсолютно черного тела определяется следующим выражением: ∞

R = ∫ f (ω , T )dω ,

(1)

0

где f (ω , T ) – функция спектрального распределения энергии излучения, определяемая формулой Планка

hω 3 f (ω , T ) = 2 3 π c

1

е hω / kT − 1

.

(2)

Чтобы получить распределение по линейным частотам произведем в (1) замену переменных с учетом того, что 8

ω = 2πν . Тогда dω = 2π dν , h (2πν ) 3 R=∫ π 2c3 0 ∞

1

е

h 2πν / kT

−1

2π dν ,

отсюда f (ν , T ) =

16π 2 hν 3 c3

1

е 2π hν / kT − 1

.

Аналогичным образом поступим, чтобы найти распределение по длинам волн. Поскольку

ω=

2πс

λ

,

то dω = −

2πс

λ2

dλ ,

h (2πс / λ ) 3 1 2πс dλ , 2 3 2 h 2πc / λkT π λ c 1 е − ∞ 0

R=∫ отсюда

ϕ (λ , T ) =

16π 2 сh

λ5 (е 2π hc/ λkT − 1)

.

Задача №4 Получить приближенные выражения формулы Планка при hω << kT и

hω >> kT .

Рассмотрим первый случай, когда hω << kT . Отсюда

9

hω << 1. kT

Тогда мы можем воспользоваться следующим тождеством ex ≅ 1 + x , откуда

е hω / kT ≅ 1 +

hω . kT

Подставляя полученное выражение в формулу Планка, получим

ω2 hω 3 hω 3 kT 1 f (ω , T ) = 2 3 = = kT . π c 1 + hω − 1 π 2 c 3 hω π 2 c 3 kT Полученное выражение представляет собой закон Рэлея – Джинса. Рассмотрим теперь случай, когда hω >> kT . В этом случае единицей в знаменателе формулы Планка можно пренебречь т.к.

е hω / kT >> 1. Отсюда f (ω , T ) =

hω 3 −hω / kT е . π 2c3

Полученное выражение совпадает с законом Вина (см. задачу №2). Здесь А=

h , π 2c3

а=

h . k

Задача №5 Определить максимальную скорость фотоэлектронов vmax, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ1 = 0,155 мкм; 2) γ – излучением с длиной волны λ2 = 2,47 пм.

10

Максимальную скорость фотоэлектронов определим из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта

ε = A + Emax .

(3)

Энергия фотона вычисляется по формуле

ε=

hc

λ

.

Работа выхода электрона для серебра равна А = 4,7 эВ. Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, какая скорость ему сообщается, может быть выражена по классической формуле

Emax

m0 v 2 = 2

(4)

или по релятивистской Emax = (m − m0 )c 2 .

(5)

Если энергия фотона ε много меньше энергии покоя электрона Е0, то может быть применена формула (4); если же ε сравнима по размеру с Е0, то вычисление по формуле (4) приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо вычислять по формуле (5). Для ультрафиолетового излучения с длиной волны λ1 = 0,155 мкм энергия фотона равна ε1 = 8 эВ, что много меньше энергии покоя электрона (0,511 МэВ). Следовательно, в данном случае формула (4) справедлива, откуда vmax =

2(ε 1 − A) = 1,08⋅106 м/c. m0

В случае γ – излучения с длиной волны λ2 = 2,47 пм энергия фотона равна

ε1 = 0,502 МэВ, тогда работой выхода электрона (А = 4,7 эВ) можно пренебречь и можно принять, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона равна энергии фотона Emax = ε 2 . Т.к. в данном случае энергия покоя электрона сопоставима с энергией фотона, то для вычисления скорости фотоэлектрона необходимо 11

воспользоваться релятивистской формулой для кинетической энергии ⎞ ⎛ 1 ⎟, Emax = Е0 ⎜ − 1 ⎟ ⎜ 1− β 2 ⎠ ⎝

где Е0 = m0 c 2 . Произведя математические преобразования, получим Emax (2 E0 + Emax ) . Emax + E0

β=

Тогда максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых γ – излучением равна vmax = cβ =

Emax (2 E0 + Emax ) с = 226⋅106 м/c. Emax + E0

Задача №6 До какого потенциала можно зарядить удаленный от других тел цинковый шарик, облучая его ультрафиолетовым излучением с длиной волны

λ = 200 нм. При облучении шарика ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ, из него будут выбиваться электроны с максимальной кинетической энергией Еmax, причём электроны будут покидать шарик до тех пор, пока энергия электростатического взаимодействия (притяжения) W не станет равной максимальной кинетической энергии фотоэлектронов Еmax,т. е. W = Еmax. Максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов найдем из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта h

c

λ

= AZn + Emax ,

где AZn – работа выхода электрона для цинка. Отсюда

12

Emax = h

c

− AZn .

λ

Поскольку W = eϕ ,

где е – заряд электрона, ϕ – потенциал шарика, то eϕ = h

c

λ

− AZn .

Отсюда 1⎛ c ⎞ − AZn ⎟ =2,74 В. e⎝ λ ⎠

ϕ = ⎜h

Задача №7 Определить красную границу λкр фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом с длиной волны λ = 400 нм максимальная скорость vmax фотоэлектронов равна 0,65 Мм/с..

При облучении светом, длина волны которого λкр соответствует красной границе фотоэффекта, скорость, а следовательно, и кинетическая энергия фотоэлектронов равны нулю. Поэтому уравнение Эйнштейна в этом случае будет иметь вид

ε = АCs или

hc

λкр

= АCs ,

где АCs – работа выхода электрона из цезия. Отсюда

λкр =

hc . АCs

(6)

Чтобы получить работу выхода электрона из цезия воспользуемся уравнением Эйнштейна в виде

13

A = ε − Emax

me v 2 = − . λ 2 hc

(7)

Подставляя (7) в (6), получим

λкр =

1 hc = .= 651 нм. 2 1 me v 2 hc me v − − λ 2 λ 2hc

Задача №8 После увеличения напряжения на рентгеновской трубке в η = 2,0 раза первоначальная длина волны λ0 коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на ∆λ = 50пм. Найти λ0.

Коротковолновая граница тормозного излучения сплошного рентгеновского спектра определяется выражением:

λ мин =

а , V

где V – напряжение на рентгеновской трубке; а – некоторая постоянная, то при увеличении напряжения на рентгеновской трубке длина волны рентгеновского излучения будет уменьшаться. Тогда

λ0 =

а V1

λ0′ = λ0 − ∆λ =

и

Разделив второе равенство на первое, получим

λ0 − ∆λ V1 1 = = . λ0 V2 η Отсюда находим

λ0 =

η η −1

∆λ = 0,1нм .

14

а . V2

Задача №9 Определить напряжение на рентгеновской трубке, если известно, что зеркальное отражение узкого пучка ее излучения от естественной грани монокристалла NaCl наблюдается при уменьшении угла скольжения вплоть до α = 4,1°. Соответствующее межплоскостное расстояние d = 281 пм.

Согласно закону Вульфа – Брэгга 2d sin α = nλ ,

(8)

где d – межплоскостное расстояние, α – угол дифракции (брэгговский угол или угол, под которым наблюдается максимум отраженного от кристалла рентгеновского пучка), λ – длина волны падающего рентгеновского излучения, n – порядок дифракции (в данном случае n = 1). Коротковолновая граница тормозного излучения сплошного рентгеновского спектра определяется следующим выражением:

λ мин =

2πhc , eV

где V – напряжение на рентгеновской трубке. Подставляя последнее выражение в (8), получим 2d sin α =

2πhc . eV

Отсюда V=

πhc

ed sin α

.

Подставляя в последнее выражение численные значения, получим V = 31 кВ.

15

Задача №10 Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны λ падает на рассеивающее вещество. Найти λ, если длины волн смещенных составляющих излучения, рассеянного под углами θ1 = 60° и θ2 = 120°, отличаются друг от друга в η = 2,0 раза.

Изменение длины волны фотона при его рассеивании на свободном электроне равно ∆λ = λ ′ − λ =

где

2πh (1 − cosθ ) , mc

(9)

2πh / mc = λC – комптоновская длина волны электрона. Тогда формула (9)

для случаев рассеяния на углы θ1 и θ2 примет соответственно следующий вид:

λ1 − λ = λС (1 − cosθ1 ) , λ2 − λ = λС (1 − cosθ 2 ) . По условию задачи

η=

λ2 = 2, λ1

отсюда

η=

λ2 λ + λС (1 − cosθ 2 ) = . λ1 λ + λС (1 − cosθ1 )

Используя тригонометрическое тождество cos 2α = 1 − 2 sin 2 α , получим

λ + λС sin 2 θ 2 2 . η= 2 θ1 λ + λ sin С

2

Отсюда

ηλ + ηλС sin 2 θ1 2 = λ + λС sin 2 θ 2 2 16

λ=

2λС ⎛ 2 θ 2 θ − sin 2 1 ⎞⎟ . ⎜ sin 2 2⎠ η − 1⎝

Подставляя в последнее выражение численные значения получим λ = 1,2 пм. Задача №11 Фотон с энергией Е = 0,75 Мэв рассеялся на свободном электроне под углом θ = 60°. Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить : а) энергию Е′ рассеянного фотона; б) кинетическую энергию электрона отдачи; в) направление его движения.

Энергию рассеянного фотона найдем, воспользовавшись формулой Комптона:

λ′ − λ =

2πh (1 − cosθ ) . mc

Выразив длины волн λ′ и λ через энергии Е′ и Е соответствующих фотонов, получим 2πhс 2πhс 2πh − = (1 − cosθ ) . Е′ E mc Разделив обе части полученного равенства на 2πhс , получим 1 1 1 − = (1 − cosθ ) . Е ′ E mc 2

(10)

Отсюда Е′ =

E . ( E / mc 2 )(1 − cosθ ) + 1

Подставив численные значения величин, получим Е′ = 0,43 МэВ. Кинетическая энергия электрона отдачи Ек, как это следует из закона сохранения энергии, равна разности между энергией падающего фотона Е и энергией рассе17

янного фотона Е′: Ек = E − E ′ = 0,32 МэВ.

Направление движения электрона отдачи можно определить воспользовавшись r законом сохранения импульса, согласно которому импульс падающего фотона p r r равен векторной сумме импульсов рассеянного фотона p′ и электрона отдачи mv : r r r p = p′ + mv . Векторная диаграмма импульсов показана на рис.1. Все векторы проведены из точки О, где находился электрон в момент соударения с фотоном. Угол ϕ определяет направление движения электрона отдачи. Из треугольника OCD находим tgϕ =

Рис.1

CD CA sin θ = OD OA − CA cosθ

Или tgϕ =

sin θ p ′ sin θ = p − p ′ cosθ p − cosθ p′

Так как p = E / c и p′ = E ′ / c , то tgϕ =

sin θ E

E

′ − cosθ

.

(11)

Из (10) следует, что E E = (1 − cosθ ) + 1 . Е ′ mc 2 Заменяя в (11) отношение Е/E′ по формуле (12), получим tgϕ =

sin θ . (1 + Е / mc 2 )(1 − cosθ ) 18

(12)

Учитывая, что sin θ = 2 sin(θ / 2) cos(θ / 2) и 1 − cosθ = 2 sin 2 (θ / 2) , получим tgϕ =

ctg (θ / 2) . 1 + Е / mc 2

Подставив численные значения, получаем tgϕ = 0,701, откуда ϕ = 35°

Задача №12 Пучок монохроматического света с длиной волны λ = 663 нм падает нормально

на

плоскую зеркальную поверхность.

Поток

энергии

Фе = 0,6 Вт. Определите силу F давления, испытываемую этой поверхностью, а также число фотонов N, падающих на нее за время ∆t =5с.

Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления p на площадь S поверхности: F = pS . Световое давление может быть найдено по формуле Ee (1 + ρ ) . c

p= Тогда

F=

Ee S (1 + ρ ) . c

(13)

Поскольку произведение облученности поверхности Ее на площадь поверхности S равно потоку Фе энергии излучения, падающего на поверхность, то (13) можно переписать в виде F=

Фe (1 + ρ ) . c 19

После подстановки численных значений и с учетом того, что ρ = 1 (поверхность зеркальная), получим F = 4 нН. Число фотонов, падающих за время ∆t на поверхность, определяется по формуле N=

∆W

ε

=

Фе ∆t

ε

,

где ∆W – энергия получаемая поверхностью за время ∆t, ε = hc / λ – энергия одного фотона. Отсюда N=

Фе ∆tλ =1019 фотонов. hc

Задача №13 Параллельный пучок света с длиной волны λ = 500 нм падает нормально на зачерненную плоскую поверхность, производя давление p = 10 мкПа. Определить: 1) концентрацию n фотонов в пучке; 2) число n1 фотонов, падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1с.

Концентрация фотонов в пучке n может быть найдена, как частное от деления объемной плотности энергии w на энергию одного фотона ε n=

w

ε

.

Из формулы, определяющей давления света p = w(1 + ρ ) , выразим w и, подставив в (14), получим n=

p ε (1 + ρ )

Поскольку энергия одного фотона определяется выражением 20

(14)

ε=

hc

λ

,

то n=

pλ hc(1 + ρ )

Коэффициент отражения ρ для зачерненной поверхности равен нулю. Тогда подставляя численные значения, получаем n = 2,52⋅1013 м-3. Число фотонов n1, падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1с найдем из соотношения n1 =

N , S∆t

где N – число фотонов, падающих за время ∆t на поверхность площадью S. Но так как N = ncS∆t , следовательно n1 =

ncS∆t = nc . S∆t

После подстановки численных значений, получаем n1 = 7,56⋅1021 м-2⋅с-1. Задача №14 Лазер излучает в импульсе длительностью τ = 0,13 мс узкий пучок света с энергией Е = 10 Дж. Найти среднее за время τ давление такого пучка света, если его сфокусировать в пятнышко диаметром d = 10мкм на поверхности, перпендикулярной пучку, с коэффициентом отражения ρ = 0,5.

Так как давление света определяется выражением 21

p=

Ee (1 + ρ ) , c

а произведение облученности поверхности Ее на площадь поверхности S равно потоку Фе энергии излучения, падающего на поверхность, то p=

Фe (1 + ρ ) . Sc

Поток Фе энергии излучения, падающего на поверхность равен Е

Фе =

τ

,

тогда с учетом того, что

S=

πd 2 4

,

получим p=

4E (1 + ρ ) . πd 2 cτ

Подставляя численные значения, получим р = 5 МПа ∼ 50 атм.

22

ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ

Постоянная Планка

⎧⎪1,0546 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с h=⎨ ⎪⎩0,6582 ⋅ 10 −15 эВ ⋅ с

Скорость света в вакууме

с = 2,998⋅108 м/c

Масса электрона

⎧0,911 ⋅ 10 −30 Кг ⎪ m e = ⎨5,486 ⋅ 10 −4 а.е. м. ⎪0,511МэВ ⎩

Заряд электрона

⎧⎪1,602 ⋅ 10 −19 Кл e=⎨ ⎪⎩4,807 ⋅ 10 −10 СГСЭ

Электрическая постоянная

εo = 8,85⋅10-12 Ф/м 1/4πεo=9⋅109 м / Ф

Постоянная Стефана - Больцмана

σ = 5,67⋅10-8 Вт/(м2 ⋅К4)

Постоянная закона смещения Вина

b = 2,90⋅10-3 м⋅К

Постоянная Больцмана

⎧1,3807 ⋅ 10 −23 Дж / K k=⎨ −4 ⎩0,8617 ⋅ 10 эВ / K

23

ЛИТЕРАТУРА

1. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике: Учебное пособие для физ. спец. вузов. – М.: Высшая шк., 1991. – 175с. 2. Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы: Учебное пособие для вузов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 271с. 3. Трофимова Т.И., Павлова З.Г.: Сборник задач по курсу физики с решениями: Учебное пособие для вузов. Изд. седьмое, стереотипное– М.: Высшая шк., 2006. – 591с. 4. Чертов А.Г, Воробьев А.А. Задачник по физике. Изд. пятое, переработанное и дополненное – М.: Высшая шк., 1988. – 527с. 5. Борн М. Атомная физика. – М.: «Мир», 1970. – 483с. 6. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.3 - М.: Наука., 1982. – 304с. 7. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физики. - М.: Наука, 1982. – 271с.

24