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3) °¨¬¥¥¨¥ «£®°¨²¬ ª ¨±µ®¤®¬³ ¤ ®¬³ ¨ª®£¤ ¥ § ª®·¨²±¿, ². ¥. «£®°¨²¬ ±®¢¥°¸ ¥² ¡¥±ª®¥·®¥ ·¨±«® ¸ £®¢. ±«³· ¿µ 2) ¨ 3) £®¢®°¿², ·²® «£®°¨²¬ ¥ ¯°¨¬¥¨¬ ª ¨±µ®¤®¬³ ¤ ®¬³. ®¦¥±²¢® ¢®§¬®¦»µ ¨±µ®¤»µ ¤ »µ, ª ª®²®°»¬ «£®°¨²¬ ¯°¨¬¥¨¬, §»¢ ¥²±¿ ®¡« ±²¼¾ ¯°¨¬¥¨¬®±²¨ ½²®£® «£®°¨²¬ . ³±²¼ X | ¬®¦¥±²¢® ¢®§¬®¦»µ ¨±µ®¤»µ ¤ »µ «£®°¨²¬ A, ¥£® °¥§³«¼² ²» ¯°¨ ¤«¥¦ ² ± ¬¡«¾ ª®±²°³ª²¨¢»µ ®¡º¥ª²®¢ Y . ³±²¼ D X | ®¡« ±²¼ ¯°¨¬¥¨¬®±²¨ «£®°¨²¬ A. ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® «£®°¨²¬ A ¢»·¨±«¿¥² ´³ª¶¨¾ f : D ! Y , ª®²®° ¿ ª ¦¤®¬³ x 2 D ±®¯®±² ¢«¿¥² °¥§³«¼² ² ¯°¨¬¥¥¨¿ «£®°¨²¬ A ª x. ±²¨·®© ´³ª¶¨¥© ¨§ X ¢ Y ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼ «¾¡³¾ ´³ª¶¨¾ f : D ! Y , £¤¥ D X. ª¨¬ ®¡° §®¬, ª ¦¤»© «£®°¨²¬ ± ¬®¦¥±²¢®¬ ¢®§¬®¦»µ ¨±µ®¤»µ ¤ »µ X, °¥§³«¼² ²» ª®²®°®£® ¯°¨ ¤«¥¦ ² ± ¬¡«¾ ª®±²°³ª²¨¢»µ ®¡º¥ª²®¢ Y , ¢»·¨±«¿¥² ¥ª®²®°³¾ · ±²¨·³¾ ´³ª¶¨¾ ¨§ X ¢ Y. ¤ «¼¥©¸¥¬ ¬» ¡³¤¥¬ ¨¬¥²¼ ¤¥«® ± ¢»° ¦¥¨¿¬¨ (· ±²¨·»¬¨ ¨¬¥»¬¨ ´®°¬ ¬¨), ¢ ª®²®°»µ ¢±²°¥· ¾²±¿ ®¡®§ ·¥¨¿ ¤«¿ · ±²¨·»µ ´³ª¶¨©, ¨ ª®²®°»¥, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ®¯°¥¤¥«¥» ¥ ¯°¨ ¢±¥µ § ·¥¨¿µ ±¢®¡®¤»µ ¯¥°¥¬¥»µ. ±¢¿§¨ ± ½²¨ ¬» ¡³¤¥¬ ³¯®²°¥¡«¿²¼ ±¨¬¢®« ³±«®¢®£® ° ¢¥±²¢ ' ¨ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¯°¥¤«®¦¥¨¥ s ' t ¨±²¨® ¯°¨ ²¥µ § ·¥¨¿µ ±¢®¡®¤»µ ¯¥°¥¬¥»µ, ¯°¨ ª®²®°»µ ®¡ ¢»° ¦¥¨¿ s ¨ t ®¯°¥¤¥«¥» ¨ ¨¬¥¾² ®¤¨ ª®¢»¥ § ·¥¨¿ ¨«¨ ¦¥ ®¡ ¥ ®¯°¥¤¥«¥». ²³¨²¨¢®¥ ¯®¿²¨¥ «£®°¨²¬ ³¤®¢«¥²¢®°¿«® ¬ ²¥¬ ²¨ª®¢ ¤® ²¥µ ¯®°, ¯®ª ¢®§¨ª ¾¹¨¥ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ ¯°®¡«¥¬», ²°¥¡³¾¹¨¥ µ®¦¤¥¨¿ «£®°¨²¬ ¤«¿ °¥¸¥¨¿ ¥ª®²®°®© ±®¢®ª³¯®±²¨ °®¤±²¢¥»µ § ¤ · (¨«¨ «£®°¨²¬¨·¥±ª¨¥ ¯°®¡«¥¬»), ³¤ ¢ «®±¼ °¥¸¨²¼ ¯³²¥¬ ³ª § ¨¿ ª®ª°¥²»µ «£®°¨²¬®¢. ®«®¦¥¨¥ ¨§¬¥¨«®±¼ ¢ XX ¢., ª®£¤ ¯¥°¢»© ¯« ¢»¤¢¨³«¨±¼ «£®°¨²¬¨·¥±ª¨¥ ¯°®¡«¥¬», ¯®«®¦¨²¥«¼®¥ °¥¸¥¨¥ ª®²®°»µ ¡»«® ±®¬¨²¥«¼»¬. °¥¤¨ ¨µ | ² ª §»¢ ¥¬ ¿ 10-¿ ¯°®¡«¥¬ ¨«¼¡¥°² ® ° §°¥¸¨¬®±²¨ «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ³° ¢¥¨© ¢ ¶¥«»µ ·¨±« µ. ²®¡» ¤®ª § ²¼ ¥±³¹¥±²¢®¢ ¨¥ «£®°¨²¬ , ¤® ¨¬¥²¼ ²®·®¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ¯®¿²¨¿ «£®°¨²¬ . ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ³²®·¥¨¿ ¯®¿²¨¿ «£®°¨²¬ ¡»«¨ ¯®«³·¥» ¢ ±¥°¥¤¨¥ ²°¨¤¶ ²»µ £®¤®¢ ¢ ° ¡®² µ ¨«¼¡¥°² , ¥¤¥«¿, ¥°· , «¨¨ ¨ ®±² . 2. ¸¨ ¼¾°¨£
®±² (1936) ¨ ¼¾°¨£ (1937) ¥§ ¢¨±¨¬® ¤°³£ ®² ¤°³£ ¯°¥¤«®¦¨«¨ ³²®·¥¨¥ ¯®¿²¨¿ «£®°¨²¬ ª ª ¯°®¶¥±± , ª®²®°»© ¬®¦¥² ±®¢¥°¸ ²¼±¿ ¯®¤µ®¤¿¹¥ ³±²°®¥®© "¬ ¸¨®©". ¸¨», ¢¢¥¤¥»¥ ®±²®¬ ¨ ¼¾°¨£®¬, ®²«¨· «¨±¼ ¥ ®·¥¼ ±³¹¥±²¢¥® ¨ ¢ ¤ «¼¥©¸¥¬ ±² «¨ §»¢ ²¼±¿ ¬ ¸¨ ¬¨ ¼¾°¨£ . » ° ±±¬®²°¨¬ ¢ °¨ ² ¬ ¸¨ ¼¾°¨£ , ¡«¨§ª¨© ª ²®¬³, ª®²®°»© ¡»« ¯°¥¤«®¦¥ ®±²®¬. ¸¨ ¼¾°¨£ ±®¤¥°¦¨² ±«¥¤³¾¹¨¥ · ±²¨: 1. ®¥· ¿ «¥² , ° §¡¨² ¿ ª®¥·®¥ ·¨±«® ª«¥²®ª (¨«¨ ¿·¥¥ª). ¯°®¶¥±±¥ ° ¡®²» ¬ ¸¨» ª «¥²¥ ¬®£³² ¯°¨±²° ¨¢ ²¼±¿ ®¢»¥ ¿·¥©ª¨, ² ª ·²® «¥² ¬®¦¥² ±·¨² ²¼±¿ ¯®²¥¶¨ «¼® ¡¥±ª®¥·®©. ª ¦¤®© ¿·¥©ª¥ «¥²» § ¯¨± (¨«¨ ±®¤¥°¦¨²±¿) ®¤¨ ¨§ ª®¥·®£® ·¨±« ±¨¬¢®«®¢, ±®±² ¢«¿¾¹¨µ ¢¥¸¨© «´ ¢¨² A = fa0; a1; : : :; am g. «¥²ª¨, ¢ ª®²®°»µ § ¯¨± ±¨¬¢®« a0, ®¡»·® ®¡®§ · ¥¬»© 0, §»¢ ¾²±¿ ¯³±²»¬¨. ±¥ ¢®¢¼ ¯°¨±²° ¨¢ ¥¬»¥ ¿·¥©ª¨ ¿¢«¿¾²±¿ ¯³±²»¬¨. 2. ³²°¥¿¿ ¯ ¬¿²¼ | ¥ª®²®°¥ ³±²°®©±²¢®, ª®²®°®¥ ¢ ª ¦¤»© ¬®¬¥² µ®¤¨²±¿ ¢ ®¤®¬ ¨§ ª®¥·®£® ·¨±« "±®±²®¿¨©", ±®±² ¢«¿¾¹¨µ ¢³²°¥¨© «´ ¢¨² Q = fq0; q1; : : :; qng. ®±²®¿¨¥ q0 §»¢ ¥²±¿ § ª«¾·¨²¥«¼»¬. 3. ¯° ¢«¿¾¹ ¿ £®«®¢ª | ¥ª®²®°®¥ ³±²°®©±²¢®, ª®²®°®¥ ¬®¦¥² ¯¥°¥¬¥¹ ²¼±¿ ¢¤®«¼ «¥²» ² ª, ·²® ¢ ª ¦¤»© ¬®¬¥² µ®¤¨²±¿ ¢ ®¯°¥¤¥«¥®© ¿·¥©ª¥, ¨«¨ "®¡®§°¥¢ ¥²" ½²³ ¿·¥©ª³. 4. ¥µ ¨·¥±ª®¥ ³±²°®©±²¢®, ª®²®°®¥ ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ±®¤¥°¦¨¬®£® ®¡®§°¥¢ ¥¬®© ¿·¥©ª¨ ¨ ±®±²®¿¨¿ ¢³²°¥¥© ¯ ¬¿²¨ ¬®¦¥² ¨§¬¥¨²¼ ±®±²®¿¨¥ ¢³²°¥¥© ¯ ¬¿²¨ ¨ ¯°¨ ½²®¬ «¨¡® ¨§¬¥¨²¼ ±®¤¥°¦¨¬®¥ ®¡®§°¥¢ ¥¬®© ¿·¥©ª¨, «¨¡® ±¤¢¨³²¼ ³¯° ¢«¿¾¹³¾ £®«®¢ª³ ¢ ±®±¥¤¾¾ ¿·¥©ª³ ±«¥¢» ¨«¨ ¢ ±®±¥¤¾¾ ¿·¥©ª³ ±¯° ¢ .
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¤¥©±²¢¨¥ ¢»° ¦ ¥²±¿ ª®¬ ¤®©
qiaj ! qs ar : 2. ¬¥¿ ¢³²°¥¥¥ ±®±²®¿¨¥ qi ¨ ®¡®§°¥¢ ¿ ¿·¥©ª³, ¢ ª®²®°®© § ¯¨± ±¨¬¢®« aj , ¬ ¸¨ ¯¥°¥¢®¤¨² ¢³²°¥¾¾ ¯ ¬¿²¼ ¢ ±®±²®¿¨¥ qs ¨ ®¤®¢°¥¬¥® ¯¥°¥¤¢¨£ ¥² ³¯° ¢«¿¾¹³¾ £®«®¢ª³ ¢ ±®±¥¤¾¾ ¿·¥©ª³ ±¯° ¢ . ²® ¤¥©±²¢¨¥ ¢»° ¦ ¥²±¿ ª®¬ ¤®© qi aj ! qsR: 3. ¬¥¿ ¢³²°¥¥¥ ±®±²®¿¨¥ qi ¨ ®¡®§°¥¢ ¿ ¿·¥©ª³, ¢ ª®²®°®© § ¯¨± ±¨¬¢®« aj , ¬ ¸¨ ¯¥°¥¢®¤¨² ¢³²°¥¾¾ ¯ ¬¿²¼ ¢ ±®±²®¿¨¥ qs ¨ ®¤®¢°¥¬¥® ¯¥°¥¤¢¨£ ¥² ³¯° ¢«¿¾¹³¾ £®«®¢ª³ ¢ ±®±¥¤¾¾ ¿·¥©ª³ ±«¥¢ . ²® ¤¥©±²¢¨¥ ¢»° ¦ ¥²±¿ ª®¬ ¤®© qiaj ! qs L: ®¢®ª³¯®±²¼ ¢±¥µ ª®¬ ¤, ª®²®°»¥ ¬®¦¥² ¢»¯®«¿²¼ ¬ ¸¨ , §»¢ ¥²±¿ ¥¥ ¯°®£° ¬¬®©. «¿ ª ¦¤®£® ¥§ ª«¾·¨²¥«¼®£® ¢³²°¥¥£® ±®±²®¿¨¿ qi ¨ ª ¦¤®£® ±¨¬¢®« aj ¨§ ¢¥¸¥£® «´ ¢¨² ¯°®£° ¬¬ ¤®«¦ ±®¤¥°¦ ²¼ °®¢® ®¤³ ª®¬ ¤³, ·¨ ¾¹³¾±¿ ± qi aj . »¯®«¥¨¥ ª ¦¤®© ¨§ ª®¬ ¤ ¬®¦¥² ¡»²¼ ®¯¨± ® ª ª ¯°®¶¥±± ¯®±²°®¥¨¿ ª®´¨£³° ¶¨¨ m0 ¯® § ¤ ®© ª®´¨£³° ¶¨¨ m. ³±²¼ ; | ¥ª®²®°»¥ «´ ¢¨²», ¥ ±®¤¥°¦ ¹¨¥ ±¨¬¢®« a0 , F | · ±²¨· ¿ n-¬¥±² ¿ ´³ª¶¨¿, ®¯°¥¤¥«¥ ¿ ¥ª®²®°®¬ ¯®¤¬®¦¥±²¢¥ ¬®¦¥±²¢ ¢±¥µ ±«®¢ ¢ «´ ¢¨²¥ ¨ ±® § ·¥¨¿¬¨ ¢ ¬®¦¥±²¢¥ . ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ¤ ¿ ¬ ¸¨ ¼¾°¨£ ¢»·¨±«¿¥² ´³ª¶¨¾ F , ¥±«¨ ¥¥ ¢¥¸¨© «´ ¢¨² ¢ª«¾· ¥² «´ ¢¨²» ; ¨, ª ª®¢» ¡» ¨ ¡»«¨ ±«®¢ r1 ; : : :; rn ¢ «´ ¢¨²¥ , ¥±«¨ § ·¥¨¥ F (r1 ; : : :; rn ) ®¯°¥¤¥«¥®, ²® ½² ¬ ¸¨ ¯¥°¥° ¡ ²»¢ ¥² ª®´¨£³° ¶¨¾ q10r1 0 : : :0rn ¢ ª®´¨£³° ¶¨¾ 0 : : :0q00a0 : : :0, ¯°¨·¥¬ F (r1; : : :; rn) = a; ¥±«¨ § ·¥¨¥ F(r1; : : :; rn) ¥ ®¯°¥¤¥«¥®, ²® ¢ ¯°®¶¥±±¥ ¯¥°¥° ¡®²ª¨ ª®´¨£³° ¶¨¨ q10r10 : : :0rn ¬ ¸¨ ¨ª®£¤ ¥ ¯°¨¤¥² ¢ § ª«¾·¨²¥«¼®¥ ±®±²®¿¨¥. ³ª¶¨¿ F §»¢ ¥²±¿ ¢»·¨±«¨¬®© ¯® ¼¾°¨£³, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¬ ¸¨ ¼¾°¨£ , ª®²®° ¿ ¢»·¨±«¿¥² ´³ª¶¨¾ F . ²³° «¼»¥ ·¨±« ¨§®¡° ¦ ¾²±¿ ª ª ±«®¢ ¢ ®¤®¡³ª¢¥®¬ «´ ¢¨²¥ fjg, ² ª ·²® ¬®¦® ±·¨² ²¼ ®¯°¤¥«¥»¬ ¯®¿²¨¥ ¢»·¨±«¨¬®© ¯® ¼¾°¨£³ · ±²¨·®© ·¨±«®¢®© ´³ª¶¨¨. ¤ ·¨
®±²°®¨²¼ ¬ ¸¨» ¼¾°¨£ , ¢»·¨±«¿¾¹¨¥ ±«¥¤³¾¹¨¥ ´³ª¶¨¨: 1) s(x) = x+ 1; 2) o(x) = 0; 3) Imn (x1 ; : : :; xn) = xm (1 m n); 4) x +y; x 1; ¥±«¨ x > 0; ¥±«¨ x > 0; 7) sg(x) = 0; ¥±«¨ x > 0; 5) p(x) = 0; ¥±«¨ x = 0; 6) sg(x) = 1; 1; ¥±«¨ x = 0; 0; ¥±«¨ x = 0; x y; ¥±«¨ x y; 8) d(x) = 0; ¥±«¨ x < y; 9) x y; 10) x2 ; 11) x2 . 3. ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢»¥ ´³ª¶¨¨
¯®¬®¹¼¾ ¬ ¸¨ ¼¾°¨£ ¬» ¯®«³·¨«¨ ¥ª®²®°®¥ ³²®·¥¨¥ ¯®¿²¨¿ ¢»·¨±«¨¬®© · ±²¨·®© ´³ª¶¨¨ ¨§ ¬®¦¥±²¢ ¢ ¬®¦¥±²¢® ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼»µ «´ ¢¨²®¢ ¨ . · ±²®±²¨, ¬» ¨¬¥¥¬ ¯®¿²¨¥ ¢»·¨±«¨¬®© ¯® ¼¾°¨£³ ·¨±«®¢®© ´³ª¶¨¨, ². ¥. · ±²¨·®© ¬®£®¬¥±²®© ´³ª¶¨¨ ¨§ N ¢ N. ®±°¥¤±²¢®¬ C (n) ¡³¤¥¬ ®¡®§ · ²¼ ª« ±± ¢±¥µ ¢»·¨±«¨¬»µ ¯® ¼¾°¨£³ · ±²¨·»µ ´³ª¶¨© ¨§ Nn ¢ N. ¬¥±²® C (1) ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ ¯°®±²® C . ±ª®«¼ª® µ®°®¸® ¯®¿²¨¥ ´³ª¶¨¨, ¢»·¨±«¨¬®© ¯® ¼¾°¨£³, ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¨²³¨²¨¢®¬³ ¯®¿²¨¾ ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨? ±²®¿¹¥¥ ¢°¥¬¿ ¨§¢¥±²® ¬®£® ¤°³£¨µ ´®°¬ «¼»µ ®¯¨± ¨© ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨©. ª § «®±¼, ·²® ¢±¥ ®¨ § ¤ ¾² ®¤¨ ¨ ²®² ¦¥ ª« ±± n-¬¥±²»µ ¢»·¨±«¨¬»µ · ±²¨·»µ ·¨±«®¢»µ ´³ª¶¨©, ±®¢¯ ¤ ¾¹¨© ± C (n) . °®¬¥ ²®£®, ¤® ±¨µ ¯®° ¨ª®¬³ ¥ ³¤ «®±¼ ¯°¨¢¥±²¨ ¯°¨¬¥° ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨, ª®²®° ¿ ¥ ¡»« ¡» ¢»·¨±«¨¬ ¯® ¼¾°¨£³. ²®, ² ª¦¥ ¬®£¨¥ ¤°³£¨¥ ¡«¾¤¥¨¿, ¯®§¢®«¨«¨ ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ±«¥¤³¾¹¨© ²¥§¨±, ®¡»·® §»¢ ¥¬»© ²¥§¨±®¬ ¥°· : ¤«¿ «¾¡®© ¢»·¨±«¨¬®© · ±²¨·®© ´³ª¶¨¨ ¨§ ¢ ±³¹¥±²¢³¥² ¬ ¸¨ ¼¾°¨£ , ª®²®° ¿ ¢»·¨±«¿¥² ½²³ ´³ª¶¨¾. · ±²®±²¨, ¨²³¨²¨¢® ¯®¨¬ ¥¬»© ª« ±± n-¬¥±²»µ ¢»·¨±«¨¬»µ · ±²¨·»µ ·¨±«®¢»µ ´³ª¶¨© ±®¢¯ ¤ ¥² ± C (n) . ¬¥²¨¬, ·²® ²¥§¨± ¥°· ¥¢®§¬®¦® ¨ ¤®ª § ²¼, ¨ ®¯°®¢¥°£³²¼, ² ª ª ª ¯®¿²¨¥ ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ ¥ ¨¬¥¥² ±²°®£®£® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ®¯°¥¤¥«¥¨¿. ª¨¬ ®¡° §®¬, ²¥§¨± ¥°· | ½²® ±¢®¥£® °®¤ ¥±²¥±²¢¥®- ³· ¿ £¨¯®²¥§ , ¯®¤²¢¥°¦¤ ¥¬ ¿ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¬ ®¯»²®¬. « ±±» C (n) (n = 1; 2; : : :) ¤®¯³±ª ¾² ¨ ¤°³£®¥, ¢³²°¥¥¥ ®¯¨± ¨¥, ª®²®°®¥ ¯®«¥§® § ²¼ ¢±¿ª®¬³, ª²® ¨§³· ¥² ²¥®°¨¾ «£®°¨²¬®¢. 3
«¥¤³¾¹¨¥ ²®² «¼»¥ (². ¥. ¢±¾¤³ ®¯°¥¤¥«¥»¥) ·¨±«®¢»¥ ´³ª¶¨¨ ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼ ¯°®±²¥©¸¨¬¨ ¨«¨
¡ §¨±»¬¨: s(x) = x + 1; o(x) = 0; Imn (x1 ; : : :; xn) = xm (1 m n). ·¥¢¨¤®, ·²® ¢±¥ ¡ §¨±»¥ ´³ª¶¨¨
¢»·¨±«¨¬». ®«¥¥ ²®£®, °¥¸¨¢ § ¤ ·¨ 1) -3) ¨§ ° §¤¥« 2, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® ¢±¥ ®¨ ¢»·¨±«¨¬» ¯® ¼¾°¨£³. ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® n-¬¥±² ¿ (n 1) · ±²¨· ¿ ´³ª¶¨¿ h ¯®«³· ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ®¯¥° ¶¨¨ ¯®¤±² ®¢ª¨ ¨§ k-¬¥±²®© ´³ª¶¨¨ f ¨ n-¬¥±²»µ ´³ª¶¨© g1; : : :; gk, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡»µ x1 ; : : :; xn 2 N ¨¬¥¥² ¬¥±²® ³±«®¢®¥ ° ¢¥±²¢® h(x1 ; : : :; xn) ' f(g1 (x1; : : :; xn); : : :; gk (x1; : : :; xn)): ¯°¨¬¥°, ´³ª¶¨¿ f(x) = 1 ¯®«³· ¥²±¿ ®¯¥° ¶¨¥© ¯®¤±² ®¢ª¨ ¨§ ´³ª¶¨© s(x) ¨ o(x). ³ª¶¨¿ f(x; y; z) = z + 1 ¯®«³· ¥²±¿ ¯®¤±² ®¢ª®© ¨§ ´³ª¶¨© s(x) ¨ I33 (x; y; z). ·¥¢¨¤®, ·²® ¥±«¨ ´³ª¶¨¨ f; g1 ; : : :; gk ¢±¾¤³ ®¯°¥¤¥«¥», ²® h | ²®² «¼ ¿ ´³ª¶¨¿. °®¬¥ ²®£®, ¥±«¨ ´³ª¶¨¨ f; g1; : : :; gk ¢»·¨±«¨¬», ²® ¨ ´³ª¶¨¿ h ¢»·¨±«¨¬ . ª ¦¥¬, ·²® (n + 1)-¬¥±² ¿ (n 1) · ±²¨· ¿ ´³ª¶¨¿ h ¯®«³· ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ®¯¥° ¶¨¨ °¥ª³°±¨¨ ¨§ n-¬¥±²®© ´³ª¶¨¨ f ¨ (n+2)-¬¥±²®© ´³ª¶¨¨ g, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡»µ x1; : : :; xn; y 2 N ¢»¯®«¿¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¥ ³±«®¢»¥ ° ¢¥±²¢ : h(x1; : : :; xn; 0) ' f(x1 ; : : :; xn); h(x1; : : :; xn; y + 1) ' g(x1 ; : : :; xn; y; h(x1; : : :; xn; y)): «¿ n = 0 ®¯¥° ¶¨¿ °¥ª³°±¨¨ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ¤®¬¥±² ¿ · ±²¨· ¿ ´³ª¶¨¿ h ¯®«³· ¥²±¿ ®¯¥° ¶¨¥© °¥ª³°±¨¨ ¨§ ¤¢³¬¥±²®© · ±²¨·®© ´³ª¶¨¨ g ¨ ²³° «¼®£® ·¨±« a, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ²³° «¼®£® y ¢»¯®«¿¾²±¿ ³±«®¢»¥ ° ¢¥±²¢ h(0) = a; h(y + 1) ' g(y; h(y)): ¯°¨¬¥°, ´³ª¶¨¿ h(x; y) = x+y ¯®«³· ¥²±¿ °¥ª³°±¨¥© ¨§ ´³ª¶¨© I11 (x) ¨ g(x; y; z) = z+1. ·¥¢¨¤®, ·²® ¥±«¨ ´³ª¶¨¿ h ¯®«³· ¥²±¿ °¥ª³°±¨¥© ¨§ ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨¨ f ¨ g, ²® ¨ ´³ª¶¨¿ h ¢»·¨±«¨¬ . °®¬¥ ²®£®, ¥±«¨ ´³ª¶¨¨ f ¨ g ¢±¾¤³ ®¯°¥¤¥«¥», ²® h | ²®² «¼ ¿ ´³ª¶¨¿. ³ª¶¨¿ §»¢ ¥²±¿ ¯°¨¬¨²¨¢® °¥¯³°±¨¢®©, ¥±«¨ ® ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯®«³·¥ ¨§ ¡ §¨±»µ ´³ª¶¨© ± ¯®¬®¹¼¾ ª®¥·®£® ·¨±« ¯°¨¬¥¥¨© ®¯¥° ¶¨© ¯®¤±² ®¢ª¨ ¨ °¥ª³°±¨¨. »¬¨ ±«®¢ ¬¨, ´³ª¶¨¿ f ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¨¬¨²¨¢® °¥ª³°±¨¢®©, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ª®¥· ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ´³ª¶¨© f0 ; : : :; fn, ¢ ª®²®°®© ª ¦¤ ¿ ´³ª¶¨¿ fi (i n) «¨¡® ¿¢«¿¥²±¿ ¡ §¨±®©, «¨¡® ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ª ª¨µ-¨¡³¤¼ ¯°¥¤¸¥±²¢³¾¹¨µ ´³ª¶¨© ± ¯®¬®¹¼¾ ¯®¤±² ®¢ª¨ ¨«¨ °¥ª³°±¨¨, ¨ ¯°¨ ½²®¬ fn ¥±²¼ ´³ª¶¨¿ f. ª ¯®ª §»¢ ¾² ¯°¨¢¥¤¥»¥ ¢»¸¥ ¯°¨¬¥°», ´³ª¶¨¨ f(x) = 1, g(x; y) = x + y ¿¢«¿¾²±¿ ¯°¨¬¨²¨¢® °¥ª³°±¨¢»¬¨. § ®²¬¥·¥»µ ¢»¸¥ ±¢®©±²¢ ®¯¥° ¶¨© ¯®¤±² ®¢ª¨ ¨ °¥ª³°±¨¨ ¥¬¥¤«¥® ±«¥¤³¥², ·²® ¢±¿ª ¿ ¯°¨¬¨²¨¢® °¥ª³°±¨¢ ¿ ´³ª¶¨¿ ¢»·¨±«¨¬ ¨ ¿¢«¿¥²±¿ ²®² «¼®©. ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® n-¬¥±² ¿ (n 1) · ±²¨· ¿ ´³ª¶¨¿ g ¯®«³· ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ®¯¥° ¶¨¨ ¬¨¨¬¨§ ¶¨¨ (¨«¨ -®¯¥° ²®° ) ¨§ (n + 1)-¬¥±²®© · ±²¨·®© ´³ª¶¨¨ f, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡»µ x1; : : :; xn; y 2 N § ·¥¨¥ g(x1 ; : : :; xn) ®¯°¥¤¥«¥® ¨ ° ¢® y ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¤«¿ «¾¡®£® z < y § ·¥¨¥ f(x1 ; : : :; xn; z) ®¯°¥¤¥«¥® ¨ ¥ ° ¢® 0, f(x1 ; : : :; xn; y) = 0. ½²®¬ ±«³· ¥ ¯¨¸³² g(x1 ; : : :; xn) ' y[f(x1 ; : : :; xn; y) = 0]: ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ ´³ª¶¨¿ g ¯®«³· ¥²±¿ ®¯¥° ¶¨¥© ¬¨¨¬¨§ ¶¨¨ ¨§ ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ f, ²® g ² ª¦¥ ¢»·¨±«¨¬ , ®¤ ª® ® ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ¥ ²®² «¼®©, ¤ ¦¥ ¥±«¨ ´³ª¶¨¿ f ¢±¾¤³ ®¯°¥¤¥«¥ . ³ª¶¨¿ §»¢ ¥²±¿ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢®©, ¥±«¨ ® ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯®«³·¥ ¨§ ¡ §¨±»µ ´³ª¶¨© ± ¯®¬®¹¼¾ ª®¥·®£® ·¨±« ¯°¨¬¥¥¨© ®¯¥° ¶¨© ¯®¤±² ®¢ª¨, °¥ª³°±¨¨ ¨ ¬¨¨¬¨§ ¶¨¨. »¬¨ ±«®¢ ¬¨, ´³ª¶¨¿ f ¿¢«¿¥²±¿ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢®©, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ª®¥· ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ´³ª¶¨©, § ª ·¨¢ ¾¹ ¿±¿ ´³ª¶¨¥© f, ¢ ª®²®°®© ª ¦¤ ¿ ´³ª¶¨¿ «¨¡® ¿¢«¿¥²±¿ ¡ §¨±®©, «¨¡® ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¨µ ´³ª¶¨© ± ¯®¬®¹¼¾ ®¯¥° ¶¨© ¯®¤±² ®¢ª¨, °¥ª³°±¨¨ ¨«¨ ¬¨¨¬¨§ ¶¨¨. ®² «¼»¥ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢»¥ ´³ª¶¨¨ §»¢ ¾²±¿ ®¡¹¥°¥ª³°±¨¢»¬¨. ¥®°¥¬ 3.1.
« ±± ¢±¥µ n-¬¥±²»µ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢»µ ´³ª¶¨© ±®¢¯ ¤ ¥² ± ª« ±±®¬ C (n).
² ²¥®°¥¬ ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ¤®¢®«¼® °³²¨»¬ ±¯®±®¡®¬. » ½²®£® ¤¥« ²¼ ¥ ¡³¤¥¬. ¬¥²¨¬ «¨¸¼, ·²® ¢ ±¨«³ ²¥§¨± ¥°· ¯®¿²¨¥ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢®© ´³ª¶¨¨ ¬®¦¥² ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼±¿ ª ª ¥¹¥ ®¤® ³²®·¥¨¥ ¯®¿²¨¿ ¢»·¨±«¨¬®© ·¨±«®¢®© ´³ª¶¨¨. 4
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1) ®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ´³ª¶¨¿ f(x1 ; : : :; xn) ¯°¨¬¨²¨¢® °¥ª³°±¨¢ , ²® ¯°¨¬¨²¨¢® °¥ª³°±¨¢ ² ª¦¥ ´³ª¶¨¿ g(x1; : : :; xn) = f(x(1) ; : : :; x(n)); £¤¥ | ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ²®² «¼ ¿ ´³ª¶¨¿ ¨§ f1; : : :; ng ¢ f1; : : :; ng. 2) ®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ´³ª¶¨¿ f(x1 ; : : :; xn) ¯°¨¬¨²¨¢® °¥ª³°±¨¢ , ²® ¯°¨¬¨²¨¢® °¥ª³°±¨¢ ² ª¦¥ ´³ª¶¨¿ h(x1 ; : : :; xn; xn+1) = f(x1 ; : : :; xn): 3) ®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´³ª¶¨¨ ¯°¨¬¨²¨¢® °¥ª³°±¨¢»: ) f(x; y) = x y; ¡) f(x; y) = xy (§¤¥±¼ 00 = 1); ¢) f(x) = x! (§¤¥±¼ 0! = 1); 1; ¥±«¨ x > 0; 0; ¥±«¨ x > 0; 1; ¥±«¨ x > 0; £) sg(x) = 0; ¥±«¨ x = 0; ¤) sg(x) = 1; ¥±«¨ x = 0; ¥) p(x) = x0; ¥±«¨ x = 0; y; ¥±«¨ x y; §) jx yj; ¨) max(x; y); ª) min(x; y). ¦) d(x) = x0; ¥±«¨ x < y; 4) ®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´³ª¶¨¨ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢»: p ) x y; ¡) xy ; ¢) y x; £) x2 ; ¤) x2 . 4. ¸¨ ± ¥®£° ¨·¥»¬¨ °¥£¨±²° ¬¨
±±¬®²°¨¬ ¥¹¥ ®¤® ³²®·¥¨¥ ¨²³¨²¨¢®£® ¯®¿²¨¿ «£®°¨²¬ , ° ¡®² ¾¹¥£® ± ²³° «¼»¬¨ ·¨±« ¬¨. ¸¨ ± ¥®£° ¨·¥»¬¨ °¥£¨±²° ¬¨ () | ½²® ±¢®¥£® °®¤ ¨¤¥ «¨§¨°®¢ »© ª®¬¯¼¾²¥°. ¨¬¥¥² ¡¥±ª®¥·® ¬®£® °¥£¨±²°®¢ R1 ; R2; R3; : : :, ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ª®²®°»µ ¢ «¾¡®© ¬®¬¥² ¢°¥¬¥¨ § ¯¨± ® ¥ª®²®°®¥ ²³° «¼®¥ ·¨±«®. ¨±«® ±®¤¥°¦ ¹¥¥±¿ ¢ °¥£¨±²°¥ Rn, ¬» ¡³¤¥¬ ®¡®§ · ²¼ rn. ®¤¥°¦¨¬®¥ °¥£¨±²°®¢ ¬®¦¥² ¬¥¿²¼±¿ ¯°¨ ¢»¯®«¥¨¨ ¥ª®²®°®© ª®¬ ¤». ®¥·»© ±¯¨±®ª ª®¬ ¤ ®¡° §³¥² ¯°®£° ¬¬³. ®¬ ¤» ¡»¢ ¾² ±«¥¤³¾¹¨µ ·¥²»°¥µ ²¨¯®¢: 1) ®¬ ¤ ®¡³«¥¨¿ ¨¬¥¥² ¢¨¤ Z(n) (n 2 f1; 2; 3; : : :g). »¯®«¥¨¥ ² ª®© ª®¬ ¤» § ¬¥¿¥² ±®¤¥°¦¨¬®¥ °¥£¨±²° Rn 0, ¥ § ²° £¨¢ ¿ ¤°³£¨¥ °¥£¨±²°». 2) ®¬ ¤ ¯°¨¡ ¢«¥¨¿ ¥¤¨¨¶» ¨¬¥¥² ¢¨¤ S(n), £¤¥ n 2 f1; 2; 3; : ::g. »¯®«¥¨¥ ² ª®© ª®¬ ¤» ³¢¥«¨·¨¢ ¥² ±®¤¥°¦¨¬®¥ °¥£¨±²° Rn 1, ¥ § ²° £¨¢ ¿ ¤°³£¨¥ °¥£¨±²°». 3) ®¬ ¤ ¯¥°¥ ¤°¥± ¶¨¨ ¨¬¥¥² ¢¨¤ T (m; n) (§¤¥±¼ m; n 2 f1; 2; 3; : : :g). »¯®«¥¨¥ ² ª®© ª®¬ ¤» § ¬¥¿¥² ±®¤¥°¦¨¬®¥ °¥£¨±²° Rn ·¨±«®¬ rm , ±®¤¥°¦ ¹¨¬±¿ ¢ °¥£¨±²°¥ Rm , ¥ § ²° £¨¢ ¿ ¤°³£¨¥ °¥£¨±²°» (¢ª«¾· ¿ Rm ). 4) ®¬ ¤ ³±«®¢®£® ¯¥°¥µ®¤ ¨¬¥¥² ¢¨¤ J(m; n; q) (m; n; q 2 f1; 2; 3; : ::g). »¯®«¥¨¥ ² ª®© ª®¬ ¤» ±®±²®¨² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. ° ¢¨¢ ¥²±¿ ±®¤¥°¦¨¬®¥ °¥£¨±²°®¢ Rm ¨ Rn.
±«¨ rm = rn, ²® ¬ ¸¨ ¯¥°¥µ®¤¨² ª ¢»¯®«¥¨¾ q-© ª®¬ ¤» ¢»¯®«¿¥¬®© ¯°®£° ¬¬»; ¥±«¨ rm 6= rn, ²® ¬ ¸¨ ¯¥°¥µ®¤¨² ª ¢»¯®«¥¨¾ ±«¥¤³¾¹¥© ª®¬ ¤».
±«¨ ²°¥¡³¥²±¿ ¢»¯®«¥¨¥ ª®¬ ¤» ± ®¬¥°®¬, ¯°¥¢®±µ®¤¿¹¨¬ ·¨±«® ª®¬ ¤ ¢ ¯°®£° ¬¬¥, ¬ ¸¨ ¯°¥ª° ¹ ¥² ° ¡®²³. ®¬ ¤» ®¡³«¥¨¿, ¯°¨¡ ¢«¥¨¿ ¥¤¨¨¶» ¨ ¯¥°¥ ¤°¥± ¶¨¨ §»¢ ¾²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬¨. ³±²¼ n 2 f1; 2; 3; : ::g. ¦¤³¾ ¯°®£° ¬¬³ ¬®¦® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª «£®°¨²¬ ± ¬®¦¥±²¢®¬ ¢®§¬®¦»µ ¨±µ®¤»µ ¤ »µ Nn . °¨¬¥¥¨¥ ² ª®£® «£®°¨²¬ ª ¨±µ®¤®¬³ ¤ ®¬³ hx1; : : :; xni ±®±²®¨² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. · «¼»© ¬®¬¥² ·¨±« x1; : : :; xn ¯®¬¥¹ ¾²±¿ ±®®²¢¥²±²¢¥® ¢ °¥£¨±²°» R1; : : :; Rn, ¯°¨ ½²®¬ ¢® ¢±¥µ ®±² «¼»µ °¥£¨±²° µ ±®¤¥°¦¨²±¿ 0. ²¥¬ ¢»¯®«¿¾²±¿ ª®¬ ¤» ¤ ®© ¯°®£° ¬¬», ·¨ ¿ ± ¯¥°¢®©. ¤¨ ¸ £ ° ¡®²» «£®°¨²¬ ±®±²®¨² ¢ ¢»¯®«¥¨¨ ®¤®© ª®¬ ¤». ®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ¸ £®¢ ° ¡®²» «£®°¨²¬ §»¢ ¥²±¿ ¢»·¨±«¥¨¥¬. »·¨±«¥¨¥ § ¢¥°¸ ¥²±¿, ª®£¤ ¢ ¯°®£° ¬¬¥ ¥² ª®¬ ¤», ª®²®°³¾ ¬®¦® ¡»«® ¡» ¢»¯®«¨²¼. ²® ¬®¦¥² ¯°®¨§®©²¨, ¥±«¨ 1) ¢»¯®«¥ ¯®±«¥¤¿¿ ª®¬ ¤ ¯°®£° ¬¬», ¨ ½² ª®¬ ¤ ¡»« °¨´¬¥²¨·¥±ª®©; 2) ¯°¨ ¢»¯®«¥¨¨ ª®¬ ¤» J(m; n; q) ®ª § «®±¼, ·²® rm = rn, ® q ¯°¥¢®±µ®¤¨² ·¨±«® ª®¬ ¤ ¢ ¯°®£° ¬¬¥; 3) ¯°¨ ¢»¯®«¥¨¨ ª®¬ ¤» J(m; n; q) ®ª § «®±¼, ·²® rm 6= rn, ® ½²® ¡»« ¯®±«¥¤¿¿ ª®¬ ¤ ¯°®£° ¬¬». ¢¥°¸¥¨¥ ° ¡®²» «£®°¨²¬ ¢±¥£¤ ±·¨² ¥²±¿ °¥§³«¼² ²¨¢»¬. ¥§³«¼² ²®¬ ° ¡®²» «£®°¨²¬ ¿¢«¿¥²±¿ ²³° «¼®¥ ·¨±«®, § ¯¨± ®¥ ¢ °¥£¨±²°¥ R1 ¢ ¬®¬¥² § ¢¥°¸¥¨¿ ¢»·¨±«¥¨¿. ª¨¬ ®¡° §®¬, ª ª®¢® ¡» ¨ ¡»«® n 2 f1; 2; 3; : : :g, ª ¦¤ ¿ ¯°®£° ¬¬ ¢»·¨±«¿¥² · ±²¨·³¾ n-¬¥±²³¾ ·¨±«®¢³¾ ´³ª¶¨¾. ±²¨· ¿ ´³ª¶¨¿ ¨§ Nn ¢ N §»¢ ¥²±¿ -¢»·¨±«¨¬®©, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¯°®£° ¬¬ ¤«¿ , ª®²®° ¿ ¢»·¨±«¿¥² ½²³ ´³ª¶¨¾. 5
°¨¬¥°».
1. ³ª¶¨¿ f(x; y) = x + y ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥© ¯°®£° ¬¬®©: 1) 2) 3) 4)
J(3; 2; 5); S(1); S(3); J(1; 1; 1).
2. ª®¢® ¡» ¨ ¡»«® n 2 f1; 2; 3; : : :g, ¨£¤¥ ¥ ®¯°¥¤¥«¥ ¿ ´³ª¶¨¿ ¨§ Nn ¢ N ¢»·¨±«¿¥²±¿, ¯°¨¬¥°, ±«¥¤³¾¹¥© ¯°®£° ¬¬®©: 1) J(1; 1; 1). ¤ ·¨.
1) ®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´³ª¶¨¨ -¢»·¨±«¨¬»: ¥±«¨ x = y; £) f(x; y) = 0; ¥±«¨ x y; ) sg(x); ¡) f(x) = 5; ¢) f(x; y) = 0; 1; ¥±«¨ x 6= y; 1; ¥±«¨ x > y; 2x x ¤) f(x) = 3 ; ¥) f(x) = 3 ([z] ®¡®§ · ¥² ¶¥«³¾ · ±²¼ ·¨±« z). 2) ®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ´³ª¶¨¿ f ¢»·¨±«¿¥²±¿ ¯°®£° ¬¬®© ¡¥§ ª®¬ ¤ ³±«®¢®£® ¯¥°¥µ®¤ , ²® ©¤¥²±¿ ² ª®¥ ·¨±«® m, ·²® «¨¡® (8x)f(x) = m, «¨¡® (8x)f(x) = x + m. 3) ®ª § ²¼, ·²® ¤«¿ «¾¡®© -¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¯°®£° ¬¬ ¡¥§ ª®¬ ¤ ¯¥°¥ ¤°¥± ¶¨¨, ¢»·¨±«¿¾¹ ¿ ½²³ ´³ª¶¨¾. 5. -¢»·¨±«¨¬®±²¼ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢»µ ´³ª¶¨©
» ¤®ª ¦¥¬, ·²® ¢±¿ª ¿ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢ ¿ ´³ª¶¨¿ ¢»·¨±«¨¬ ¬ ¸¨¥ ± ¥®£° ¨·¥»¬¨ °¥£¨±²° ¬¨. 5.1. ®¥¤¨¥¨¥ ¯°®£° ¬¬
¤ «¼¥©¸¥¬ ¬ ¯°¨¤¥²±¿ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¯°®£° ¬¬», ª®²®°»¥ ±®¤¥°¦ ² ¤°³£¨¥ ¯°®£° ¬¬» ¢ ª ·¥±²¢¥ ¯®¤¯°®£° ¬¬. ±±¬®²°¨¬ ¥ª®²®°»¥ ²¥µ¨·¥±ª¨¥ ±°¥¤±²¢ , ¯®§¢®«¿¾¹¨¥ ±²°®¨²¼ ±«®¦»¥ ¯°®£° ¬¬» ¨§ ¡®«¥¥ ¯°®±²»µ. «¿ ½²®£® ¬ ¯® ¤®¡¨²±¿ ¥ª®²®° ¿ ±² ¤ °²¨§ ¶¨¿ ¯°®£° ¬¬. ³±²¼ ¯°®£° ¬¬ P ±®±²®¨² ¨§ ª®¬ ¤ I1 ; : : :; Is. ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ¯°®£° ¬¬ P ¨¬¥¥² ±² ¤ °²»© ¢¨¤, ¥±«¨ ¢® ¢±¿ª®© ª®¬ ¤¥ ³±«®¢®£® ¯¥°¥µ®¤ J(m; n; q) ¨§ P ¢»¯®«¿¥²±¿ ¥° ¢¥±²¢® q s + 1. ·¥¢¨¤®, ·²® ª ¦¤ ¿ ¯°®£° ¬¬ P ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯°¨¢¥¤¥ ª ±² ¤ °²®¬³ ¢¨¤³ ¯³²¥¬ § ¬¥» ¢ ¥© ¢±¿ª®© ª®¬ ¤» ¢¨¤ J(m; n; q), £¤¥ q > s + 1 J(m; n; s + 1), ¢»¯®«¿¾¹³¾ ²®·® ² ª®¥ ¦¥ ¤¥©±²¢¨¥, ¨¬¥®, ®±² ®¢ª³ ¢»¯®«¥¨¿ ¯°®£° ¬¬» P. ³±²¼ ²¥¯¥°¼ P = I1 ; : : :; Is ¨ Q = I10 ; : : :; It0 | ¯°®£° ¬¬» ±² ¤ °²®£® ¢¨¤ . ®¥¤¨¥¨¥¬ ¯°®£° ¬¬ P ¨ Q §»¢ ¥²±¿ ¯°®£° ¬¬ PQ = I1 ; : : :; Is; Is+1; : : :; Is+t ; £¤¥ Is+1 ; : : :; Is+t | ª®¬ ¤» ¯®«³·¥»¥ ¨§ ª®¬ ¤ ¯°®£° ¬¬» Q § ¬¥®© ª ¦¤®© ª®¬ ¤» ³±«®¢®£® ¯¥°¥µ®¤ J(m; n; q) J(m; n; s + q). ·¥¢¨¤®, ·²® °¥§³«¼² ² ¢»¯®«¥¨¿ ¯°®£° ¬¬» P Q ² ª®© ¦¥, ª ª ¨ °¥§³«¼² ² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®£® ¢»¯®«¥¨¿ ¯°®£° ¬¬ P ¨ Q. ®¦® £®¢®°¨²¼ ² ª¦¥ ® ±®¥¤¨¥¨¨ ²°¥µ ¨ ¡®«¥¥ ¯°®£° ¬¬, ¯®¨¬ ¿, ¯°¨¬¥°, ¯°®£° ¬¬³ PQR ª ª (P Q)R. ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤ ®¤ ¯°®£° ¬¬ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ª ª ¯®¤¯°®£° ¬¬ ¢ ¤°³£®© ¯°®£° ¬¬¥, ¢ ¦® ¯®§ ¡®²¨²¼±¿ ® ²®¬, ·²®¡» ¢ µ®¤¥ ¢»¯®«¥¨¿ ¯®¤¯°®£° ¬¬» ¥ ¨§¬¥¨«®±¼ ±®¤¥°¦¨¬®¥ °¥£¨±²°®¢, ¨±¯®«¼§³¥¬»µ ®±®¢®© ¯°®£° ¬¬®©. ²®£® ¥²°³¤® ¤®¡¨²¼±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ³±²¼ ¬» ±®¡¨° ¥¬±¿ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¯°®£° ¬¬³ P ª ª ¯®¤¯°®£° ¬¬³ ¯°¨ ±®±² ¢«¥¨¨ ®¢®© ¯°®£° ¬¬» Q. ®±ª®«¼ª³ ¯°®£° ¬¬ P ª®¥· , ¢ ¥© ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ª®¥·®¥ ·¨±«® °¥£¨±²°®¢, ² ª ·²® ©¤¥²±¿ ² ª®¥ ¨¬¥¼¸¥¥ ·¨±«® u (®¡®§ ·¨¬ ¥£® (P)), ·²® °¥£¨±²°» Rv ¯°¨ v > u ¥ ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ¢ ½²®© ¯°®£° ¬¬¥. ®£¤ ¯°¨ ±®±² ¢«¥¨¨ ¯°®£° ¬¬» Q, ¨±¯®«¼§³¾¹¥© P ¢ ª ·¥±²¢¥ ±¢®¥© · ±²¨, ². ¥. ¯®¤¯°®£° ¬¬», ³¦® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¢ ª ·¥±²¢¥ ° ¡®·¨µ ²®«¼ª® °¥£¨±²°» Rv ¯°¨ v > u. 6
±«¨ ¯°®£° ¬¬ P ¯°¥¤ § ·¥ ¤«¿ ¢»·¨±«¥¨¿ ¥ª®²®°®© ´³ª¶¨¨ f(x1 ; : : :; xn), ²®, ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ®¡¹¨¬¨ ±®£« ¸¥¨¿¬¨, ¨±µ®¤»¥ ¤ »¥ § ¯¨±»¢ ¾²±¿ ¢ °¥£¨±²°» R1; : : :; Rn, °¥§³«¼² ² | ¢ °¥£¨±²° R1. ²®¦¥ ¢°¥¬¿, ¯°¨ ¨±¯®«¼§®¢ ¨¨ ¯°®£° ¬¬» P ¢ ª ·¥±²¢¥ ¯®¤¯°®£° ¬¬» ¢ ¤°³£®© ¯°®£° ¬¬¥, ¨±µ®¤»¥ ¤ »¥ ¤«¿ P ¬®£³² ¡»²¼ § ¯¨± » ¢ ª ª¨µ-²® ¤°³£¨µ °¥£¨±²° µ Rl1 ; : : :; Rln , °¥§³«¼² ² ²°¥¡³¥²±¿ ¯®¬¥±²¨²¼ ¢ °¥£¨±²° Rl . ²®¡» ®¡¥±¯¥·¨²¼ ¢®§¬®¦®±²¼ ² ª®£® ¨±¯®«¼§®¢ ¨¿ ¯°®£° ¬¬» P , ¬» ¬®¦¥¬ ¯°¥®¡° §®¢ ²¼ ¥¥ ¢ ±«¥¤³¾¹³¾ ¯°®£° ¬¬³, ¿¢«¿¾¹³¾±¿ ±®¥¤¨¥¨¥¬ ²°¥µ ¯°®£° ¬¬: 8 T(l > 1 ; 1); > > > ::: > > < T(ln ; n); Z(n + 1); > > > > ::: > > : Z((P )); P fT(1; l). ®¤¨´¨¶¨°®¢ ³¾ ² ª¨¬ ®¡° §®¬ ¯°®£° ¬¬³ P ¡³¤¥¬ ®¡®§ · ²¼ P[l1; : : :; ln ! l]: 5.2. ¥ «¨§ ¶¨¿ ¯®¤±² ®¢ª¨
¥©· ± ¬» ¤®ª ¦¥¬, ·²® ª« ±± ¢±¥µ -¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨© § ¬ª³² ®²®±¨²¥«¼® ®¯¥° ¶¨¨ ¯®¤±² ®¢ª¨. ¥®°¥¬ 5.1. ³±²¼ ´³ª¶¨¿ h(x), £¤¥ x = (x1 ; : : :; xn), ¯®«³·¥ ¯®¤±² ®¢ª®© ¨§ -¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨© f(y1 ; : : :; yk ) ¨ g1(x); : : :; gk (x). ®£¤ ¨ ´³ª¶¨¿ h(x) -¢»·¨±«¨¬ . ®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¯°®£° ¬¬» F; G1; : : :; Gk , ¨¬¥¾¹¨¥ ±² ¤ °²»© ¢¨¤, ¢»·¨±«¿¾² ±®®²¢¥²±²¢¥® ´³ª¶¨¨ f; g1 ; : : :; gk . ¯¨¸¥¬ ¯°®£° ¬¬³ H ¤«¿ ¢»·¨±«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ h. ³±²¼
m = max(n; k; (F ); (G1); : : :; (Gk )): ®£¤ 8 ¯°®£° ¬¬ H ¡³¤¥² ¢»£«¿¤¥²¼ ª ª ±«¥¤³¾¹¥¥ ±®¥¤¨¥¨¥ ¥±ª®«¼ª¨µ ¯°®£° ¬¬: < T(1; m + 1); ::: : T(n; m + n); G1[m + 1; m + 2; : : :; m + n ! m + n + 1] ::: Gk [m + 1; m + 2; : : :; m + n ! m + n + k] F[m + n + 1; : : :; m + n + k ! 1] ±¯®¬¨¢ ²®«¼ª® ·²® ¢¢¥¤¥»¥ ®¡®§ ·¥¨¿ ¤«¿ ¬®¤¨´¨¶¨°®¢ »µ ¯°®£° ¬¬, ·¨² ²¥«¼ ¡¥§ ²°³¤ ³¡¥¤¨²±¿, ·²® ¯°®£° ¬¬ H ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ¢»·¨±«¿¥² ´³ª¶¨¾ h. ¥®°¥¬ 5.1 ¤®ª § . 5.3. ¥ «¨§ ¶¨¿ °¥ª³°±¨¨
¥©· ± ¬» ¤®ª ¦¥¬, ·²® ª« ±± ¢±¥µ -¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨© § ¬ª³² ®²®±¨²¥«¼® ®¯¥° ¶¨¨ °¥ª³°±¨¨. ¥®°¥¬ 5.2. ³±²¼ ´³ª¶¨¿ h(x; y), £¤¥ x = (x1 ; : : :; xn), ¯®«³·¥ °¥ª³°±¨¥© ¨§ -¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨© f(x) ¨ g(x; y; z). ®£¤ ¨ ´³ª¶¨¿ h(x; y) -¢»·¨±«¨¬ . ®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¯°®£° ¬¬» F ¨ G, ¨¬¥¾¹¨¥ ±² ¤ °²»© ¢¨¤, ¢»·¨±«¿¾² ±®®²¢¥²±²¢¥® ´³ª¶¨¨ f(x) ¨ g(x; y; z). ¯¨¸¥¬ ¯°®£° ¬¬³ H ¤«¿ ¢»·¨±«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ h(x; y). ³±²¼ m = max(n + 2; (F ); (G)): ¡®§ ·¨¬ ±³¬¬³ m+n ·¥°¥§ t. ®£¤ ¯°®£° ¬¬ H ¡³¤¥² ¢»£«¿¤¥²¼ ª ª ±«¥¤³¾¹¥¥ ±®¥¤¨¥¨¥ ¥±ª®«¼ª¨µ ¯°®£° ¬¬: 8 < T(1; m + 1); ::: : T(n + 1; m + n + 1); F[1; 2; : ::; n ! t + 3] 7
fIq : J(t + 2; t + 1; p) G[m + 1; m + 2; : : :; m + n; t + 2; t + 3 ! t + 3] 8 < S(t + 2); J(1; 1; q); : Ip : T(t + 3; 1) ±¯®¬¨¢ ¢¢¥¤¥»¥ ¢»¸¥ ®¡®§ ·¥¨¿ ¤«¿ ¬®¤¨´¨¶¨°®¢ »µ ¯°®£° ¬¬, ·¨² ²¥«¼ ¡¥§ ²°³¤ ³¡¥¤¨²±¿, ·²® ¯°®£° ¬¬ H ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ¢»·¨±«¿¥² ´³ª¶¨¾ h. ¥®°¥¬ 5.2 ¤®ª § . 5.4. ¥ «¨§ ¶¨¿ ¬¨¨¬¨§ ¶¨¨
¥©· ± ¬» ¤®ª ¦¥¬, ·²® ª« ±± ¢±¥µ -¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨© § ¬ª³² ®²®±¨²¥«¼® ®¯¥° ¶¨¨ ¬¨¨¬¨§ ¶¨¨. ¥®°¥¬ 5.3. ³±²¼ g(x) = y[f(x; y) = 0], £¤¥ x = (x1 ; : : :; xn), f(x; y) ¥±²¼ -¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿. ®£¤ ´³ª¶¨¿ g(x) ² ª¦¥ -¢»·¨±«¨¬ . ®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¯°®£° ¬¬ F, ¨¬¥¾¹ ¿ ±² ¤ °²»© ¢¨¤, ¢»·¨±«¿¥² ´³ª¶¨¾ f(x; y). ¯¨¸¥¬ ¯°®£° ¬¬³ G ¤«¿ ¢»·¨±«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ g(x). ³±²¼ m = max(n + 1; (F )): ®£¤ ¯°®£° ¬¬ G ¡³¤¥² ¢»£«¿¤¥²¼ ª ª ±«¥¤³¾¹¥¥ ±®¥¤¨¥¨¥ ¥±ª®«¼ª¨µ ¯°®£° ¬¬: 8 < T(1; m + 1); ::: : T(n; m + n); Jp : F[m + 1; m + 2; : : :; m + n + 1 ! 1] (². 8 ¥. Jp ¿¢«¿¥²±¿ ®¬¥°®¬ ¯¥°¢®© ª®¬ ¤») J(1; m + n + 2; q); > > < S(m + n + 1); J(1; 1; p); > > : Iq : T (m + n + 1; 1) ±¯®¬¨¢ ¢¢¥¤¥»¥ ¢»¸¥ ®¡®§ ·¥¨¿ ¤«¿ ¬®¤¨´¨¶¨°®¢ »µ ¯°®£° ¬¬, ·¨² ²¥«¼ ¡¥§ ²°³¤ ³¡¥¤¨²±¿, ·²® ¯°®£° ¬¬ G ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ¢»·¨±«¿¥² ´³ª¶¨¾ g. ¥®°¥¬ 5.3 ¤®ª § . 5.5. ±®¢®© °¥§³«¼² ²
¥®°¥¬ 5.4.
±¿ª ¿ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢ ¿ ´³ª¶¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ -¢»·¨±«¨¬®©.
®ª § ²¥«¼±²¢®.
¡ §¨±»µ ´³ª¶¨©
® ®¯°¥¤¥«¥¨¾, «¾¡ ¿ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢ ¿ ´³ª¶¨¿ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯®«³·¥ ¨§
o(x); s(x); Imn (x1 ; : : :; xn)(n = 1; 2; : : :; 1 m n) ± ¯®¬®¹¼¾ ®¯¥° ¶¨© ¯®¤±² ®¢ª¨, °¥ª³°±¨¨ ¨ ¬¨¨¬¨§ ¶¨¨. §¨±»¥ ´³ª¶¨¨, ®·¥¢¨¤®, -¢»·¨±«¨¬». ª, ´³ª¶¨¿ o(x) ¢»·¨±«¿¥²±¿ ¯°®£° ¬¬¬®©, ±®±²®¿¹¥© ¨§ ®¤®© ª®¬ ¤» Z(1); ´³ª¶¨¿ s(x) ¢»·¨±«¿¥²±¿ ¯°®£° ¬¬¬®©, ±®±²®¿¹¥© ¨§ ®¤®© ª®¬ ¤» S(1); ´³ª¶¨¿ Imn (x1; : : :; xn) ¢»·¨±«¿¥²±¿ ¯°®£° ¬¬¬®©, ±®±²®¿¹¥© ¨§ ®¤®© ª®¬ ¤» T(m; 1): ²±¾¤ ¨ ¨§ ²¥®°¥¬ 5.1{5.3 ¥¬¥¤«¥® ±«¥¤³¥², ·²® ¢±¿ª ¿ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢ ¿ ´³ª¶¨¿ -¢»·¨±«¨¬ . ¥®°¥¬ 5.4 ¤®ª § . ¥®°¥¬ 5.5.
±¿ª ¿ -¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢®©.
² ²¥®°¥¬ ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ¡®«¥¥ ±«®¦® ± ¯®¬®¹¼¾ ² ª®£® ° ±±³¦¤¥¨¿. ³±²¼ ´³ª¶¨¿ f(x), £¤¥ = (x1 ; : : :; xn), ¢»·¨±«¿¥²±¿ ¯°®£° ¬¬®© P . ¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ c(x; t) ±®¤¥°¦¨¬®¥ °¥£¨±²° R1 ¯®±«¥ t ¸ £®¢ ° ¡®²» ¯°®£° ¬¬» P ¨±µ®¤»µ ¤ »µ x, ¥±«¨ ® ¥ § ¢¥°¸¨« ±¼ ° ¼¸¥, ¨ § ª«¾·¨²¥«¼®¥ ±®¤¥°¦¨¬®¥ °¥£¨±²° R1, ¥±«¨ ° ¡®² ¯°®£° ¬¬» § ¢¥°¸¨« ±¼ § < t ¸ £®¢. ¥°¥§ j(x; t) ®¡®§ ·¨¬ ®¬¥° x
8
±«¥¤³¾¹¥© ª®¬ ¤» ¯®±«¥ ²®£® ª ª ±¤¥« ® °®¢® t ¸ £®¢ ° ¡®²» ¯°®£° ¬¬» P ¨±µ®¤»µ ¤ »µ x, ¥±«¨ ® ¥ § ¢¥°¸¨«®±¼ ° ¼¸¥, ¨ 0, ¥±«¨ ° ¡®² ¯°®£° ¬¬» § ¢¥°¸¨« ±¼ § t ¸ £®¢. ®£¤ , ®·¥¢¨¤®, f(x) ' c(x; t[j(x; t) = 0]): ²¥¬ ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ´³ª¶¨¨ c ¨ j · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢». ²® ¤ ¥² · ±²¨·³¾ °¥ª³°±¨¢®±²¼ ´³ª¶¨¨ f. ª¨¬ ®¡° §®¬, ª« ±±» ·¨±«®¢»µ ´³ª¶¨© ¢»·¨±«¨¬»µ ¬ ¸¨ µ ¼¾°¨£ ¨ ¬ ¸¨ µ ± ¥®£° ¨·¥»¬¨ °¥£¨±²° ¬¨, ±®¢¯ ¤ ¾² ± ª« ±±®¬ ¢±¥µ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢»µ ´³ª¶¨©. ²®² ´ ª² ¬®¦¥² ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼±¿ ª ª ¥¹¥ ®¤¨ ¤®¢®¤ ¢ ¯®«¼§³ ²¥§¨± ¥°· , ¢ ±¨«³ ª®²®°®£® ¬» ²¥¯¥°¼ ¨¬¥¥¬, ·²® ·¨±«®¢»¥ ´³ª¶¨¨, ¢»·¨±«¨¬»¥ ¢ ¨²³¨²¨¢®¬ ±¬»±«¥, | ½²® ¢ ²®·®±²¨ -¢»·¨±«¨¬»¥ ´³ª¶¨¨. ¤ ·¨
®±² ¢¨²¼ ¯°®£° ¬¬» ¤«¿ , ¢»·¨±«¿¾¹¨¥ ±«¥¤³¾¹¨¥ ·¨±«®¢»¥ ´³ª¶¨¨: 1) f(x; y; z) = x + y + z; 2) f(x) = x! (´ ª²®°¨ «); 3) f(x; y) = x y; 4) f(x; y) = xy ; 5) f(x; y) = jx yj; 6) f(x; y) = max(x; y); 7) f(x; y) = min(x; y); 8) f(x; y) = yx . 6. ³¬¥° ¶¨¿ ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨©
¯®¬¨¬, ·²® N = f0; 1; 2; :: :g. ³±²¼ N+ = f1; 2; : : :g. ¥²°³¤® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ´³ª¶¨¿ (m; n) = 2m (2n + 1) 1 § ¤ ¥² ¢»·¨±«¨¬®¥ ¢§¨¬®-®¤®§ ·®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ ¬®¦¥±²¢ ¬¨ N N ¨ N. «®£¨·®, ´³ª¶¨¿ (m; n; q) = ((m 1; n 1); q 1) § ¤ ¥² ¢»·¨±«¨¬®¥ ¢§¨¬®-®¤®§ ·®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ ¬®¦¥±²¢ ¬¨ N+ N+ N+ ¨ N. ª®¥¶, ° ±±¬®²°¨¬ ´³ª¶¨¾ (ha1 ; : : :; ak i) = 2a1 + 2a1 +a2 +1 + 2a1 +a2 +a3 +2 + : : : + 2a1 +a2 +:::+ak +k
1
1
(¢ ¤ «¼¥©¸¥¬ ¢¬¥±²® (ha1 ; : : :; aki) ¬» ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ ¯°®±²® (a1 ; : : :; ak )). ³ª¶¨¿ § ¤ ¥² ¢»·¨±«¨¬®¥ ¢§ ¨¬®-®¤®§ ·®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ ¬®¦¥±²¢®¬ ¢±¥µ ª®°²¥¦¥© ²³° «¼»µ ·¨±¥« ¨ ¬®¦¥±²¢®¬ N. ¥ «¼® ½²® ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ³±² ¢«¨¢ ¥²±¿ ² ª. «¿ ¤ ®£® ª®°²¥¦ ha1 ; : : :; ak i ¡³¤¥¬ ±²°®¨²¼ ª®¥·³¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ³«¥© ¨ ¥¤¨¨¶ ±¯° ¢ «¥¢® ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ¥°¢³¾ ¥¤¨¨¶³ ¯®±² ¢¨¬ (a1 +1)¬ ¬¥±²¥ ±¯° ¢ , ². ¥ ¯¨¸¥¬ a1 ³«¥©, § ¨¬¨ | ®¤³ ¥¤¨¨¶³. ²®°³¾ ¥¤¨¨¶³ ¯®±² ¢¨¬ (a2 +1)-¬ ¬¥±²¥ ¢«¥¢® ®² ¯¥°¢®© ¥¤¨¨¶», ¨ ² ª ¤ «¥¥. ª®¥¶, ¯®±«¥¤¾¾, k-¾ ¥¤¨¨¶³ ¯®±² ¢¨¬ (ak + 1)-¬ ¬¥±²¥ ±«¥¢ ®² (k 1)-© ¥¤¨¨¶». ®«³·¥ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ³«¥© ¨ ¥¤¨¨¶ ¿¢«¿¥²±¿ ¤¢®¨·®© § ¯¨±¼¾ ¥ª®²®°®£® ¯®«®¦¨²¥«¼®£® ²³° «¼®£® ·¨±« a. ®£¤ a 1 ª ª ° § ¨ ¥±²¼ (a1; : : :; ak ). ³±²¼, ¯°¨¬¥°, ¤ ª®°²¥¦ h3; 7; 1i. ®£¤ , ¯® ®¯°¥¤¥«¥¨¾, (3; 7; 1) = 23 + 211 + 213 1. ®±²°®¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ³«¥© ¨ ¥¤¨¨¶, ª ª ±ª § ® ¢»¸¥. ®«³·¨¬ ¤¢®¨·®¥ ·¨±«® 10100000001000, ®·¥¢¨¤®, ° ¢®¥ ·¨±«³ 23 + 211 + 213. »·¨² ¿ ¨§ ¥£® 1, ª ª ° § ¨ ¯®«³· ¥¬ (3; 7; 1). ±¯®«¼§³¿ ´³ª¶¨¨ ¨ , ª ¦¤®© ª®¬ ¤¥ I ¤«¿ ¯®±² ¢¨¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ·¨±«® (I) ¯® ±«¥¤³¾¹¥¬³ ¯° ¢¨«³: (Z(n)) = 4(n 1); (S(n)) = 4(n 1) + 1; (T(m; n)) = 4(m 1; n 1) + 2; (J(m; n; q)) = 4(m; n; q) + 3. ·¥¢¨¤®, ´³ª¶¨¿ § ¤ ¥² ¢»·¨±«¨¬®¥ ¢§¢¨¬®-®¤®§ ·®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ ª®¬ ¤ ¬¨ ¤«¿ ¨ ²³° «¼»¬¨ ·¨±« ¬¨. ¨±«® (I) ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼ £¥¤¥«¥¢»¬ ®¬¥°®¬ ª®¬ ¤» I. ª®¥¶, ¤«¿ «¾¡®© ¯°®£° ¬¬» P = I1 ; I2 ; : : :; Is ¯®«®¦¨¬
(P) = ( (I1 ); : : :; (Is )): ·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ § ¤ ¥² ¢»·¨±«¨¬®¥ ¢§ ¨¬®-®¤®§ ·®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ ¯°®£° ¬¬ ¬¨ ¤«¿ ¨ ²³° «¼»¬¨ ·¨±« ¬¨. ¨±«® (P) ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼ £¥¤¥«¥¢»¬ ®¬¥°®¬ ¯°®£° ¬¬» P ¨«¨ ¯°®±²® ¥¥ ®¬¥°®¬. °®£° ¬¬³ ± ®¬¥°®¬ n ¡³¤¥¬ ®¡®§ · ²¼ Pn. 9
ª ¨§¢¥±²®, ¯°¨ «¾¡®¬ n 1 ¢±¿ª ¿ ¯°®£° ¬¬ ¤«¿ ¢»·¨±«¿¥² ¥ª®²®°³¾ · ±²¨·³¾ n-¬¥±²³¾ ·¨±«®¢³¾ ´³ª¶¨¾. n-¬¥±²³¾ ´³ª¶¨¾, ¢»·¨±«¿¥¬³¾ ¯°®£° ¬¬®© Pa , ¡³¤¥¬ ®¡®§ · ²¼ '(an) . ¤®¬¥±²³¾ ´³ª¶¨¾, ¢»·¨±«¿¥¬³¾ ¯°®£° ¬¬®© Pa , ¡³¤¥¬ ®¡®§ · ²¼ ¯°®±²® 'a . ·¥¢¨¤®, ·²® ¢»·¨±«¨¬»¥ ·¨±«®¢»¥ ´³ª¶¨¨ ®¡° §³¾² ±·¥²®¥ ¬®¦¥±²¢®. ®±ª®«¼ª³ ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ·¨±«®¢»µ ´³ª¶¨© ¨¬¥¥² ¬®¹®±²¼ ª®²¨³³¬ , ®·¥¢¨¤® ±³¹¥±²¢®¢ ¨¥ ¥¢»·¨±«¨¬»µ ·¨±«®¢»µ ´³ª¶¨©. ¥¯¥°¼ ¬» ¬®¦¥¬ ¯°¨¢¥±²¨ ª®ª°¥²»© ¯°¨¬¥° ² ª®© ´³ª¶¨¨. ³±²¼ 'n (n) + 1; ¥±«¨ § ·¥¨¥ 'n (n) ®¯°¥¤¥«¥®; f(n) = 0; ¥±«¨ § ·¥¨¥ 'n(n) ¥ ®¯°¥¤¥«¥®: ®¯³±²¨¬, ·²® ½² ´³ª¶¨¿ ¢»·¨±«¨¬ . ®£¤ ® -¢»·¨±«¨¬ . ³±²¼ f ¢»·¨±«¿¥²±¿ ¯°®£° ¬¬®© Pm , ². ¥. f ¥±²¼ 'm . ·¥¢¨¤®, ·²® § ·¥¨¥ 'm (m) ®¯°¥¤¥«¥®, ² ª ·²® ¨¬¥¥¬: f(m) = 'm (m) + 1 = f(m) + 1: ²® ¿¢»© ¡±³°¤. ®«³·¥®¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¤®ª §»¢ ¥², ·²® ± ¬®¬ ¤¥«¥ ´³ª¶¨¿ f ¥¢»·¨±«¨¬ . ¤ ·¨.
1) ©²¨ £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ª®¬ ¤» J(3; 4; 2). 2) ©²¨ ª®¬ ¤³ ± ®¬¥°®¬ 503. 3) ©²¨ ®¬¥° ±«¥¤³¾¹¥© ¯°®£° ¬¬»: 1. T(3; 4); 2. S(3); 3. Z(1). 4) ©²¨ ¯°®£° ¬¬³ P100.
'n (n) + 27n; ¥±«¨ 'n (n) ®¯°¥¤¥«¥® . n2 ; ¥±«¨ 'n (n) ¥ ®¯°¥¤¥«¥® 6) ³±²¼ f(x; y) | ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿. «¿ ª ¦¤®£® m ®¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ gm ² ª³¾ ´³ª¶¨¾, ·²® (8y)gm (y) = f(m; y): ®±²°®¨²¼ ² ª³¾ ²®² «¼³¾ ¢»·¨±«¨¬³¾ ´³ª¶¨¾ h, ·²® (8m)h 6= gm : 5) ®ª § ²¼, ·²® ¥¢»·¨±«¨¬ ´³ª¶¨¿ f(n) =
7. ¥®°¥¬ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨
±«®¢¨¬±¿ ® ¥ª®²®°»µ ²¥°¬¨ µ ¨ ®¡®§ ·¥¨¿µ, ±¢¿§ »µ ± ´³ª¶¨¿¬¨. ½²®© ¨ ±«¥¤³¾¹¨µ «¥¶¨¿µ ¬» ¡³¤¥¬ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ²®«¼ª® ·¨±«®¢»¥ ´³ª¶¨¨, ². ¥. ¬®£®¬¥±²»¥ · ±²¨·»¥ ´³ª¶¨¨ ¨§ N ¢ N. ±¾¤³ ®¯°¥¤¥«¥»¥ ´³ª¶¨¨ ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼ ²®² «¼»¬¨ ´³ª¶¨¿¬¨. ®£¤ ´³ª¶¨¿ § ¤ ¥²±¿ ¯³²¥¬ ¢»° ¦¥¨¿ ¥¥ § ·¥¨© ·¥°¥§ § ·¥¨¿ °£³¬¥²®¢ ¢ ¢¨¤¥ ·¨±«®¢®© ´®°¬». ¯°¨¬¥°, £®¢®°¿² ® ´³ª¶¨¨ x2. ²®¡» ¢»° ¦ ²¼±¿ ¡®«¥¥ ªª³° ²® ¨ ° §«¨· ²¼ ·¨±«®¢»¥ (¨ ¢®®¡¹¥, ¨¬¥»¥) ´®°¬» ¨ § ¤ ¢ ¥¬»¥ ¨¬¨ ´³ª¶¨¨, ®¡»·® ¨±¯®«¼§³¾² ² ª §»¢ ¥¬»¥ -®¡®§ ·¥¨¿. ¯°¨¬¥°, ³¯®¬¿³²³¾ ´³ª¶¨¾ x2 ¬®¦® ®¡®§ ·¨²¼ ² ª: x:x2. ®®¡¹¥, ¥±«¨ ¤ ¨¬¥ ¿ ´®°¬ f(x) ± ¥¤¨±²¢¥»¬ ¯ ° ¬¥²°®¬ x, ²® ¢»° ¦¥¨¥ x:f(x) ±·¨² ¥²±¿ ¨¬¥¥¬ (². ¥. ®¡®§ ·¥¨¥¬) ´³ª¶¨¨, ª®²®° ¿ ª ¦¤®¬³ § ·¥¨¾ a ¯¥°¥¬¥®© x ±®¯®±² ¢«¿¥² § ·¥¨¥ f(a) ´®°¬» f(x) ¯°¨ ½²®¬ § ·¥¨¨ ¯¥°¥¬¥®© x. ¢»° ¦¥¨¨ x:f(x) ¯¥°¥¬¥ ¿ x ®ª §»¢ ¥²±¿ ±¢¿§ ®©.
±«¨ ¨¬¥ ¿ ´®°¬ f(x; y) °¿¤³ ± x ±®¤¥°¦¨² ¤°³£¨¥ ¯ ° ¬¥²°» ¨§ ±¯¨±ª y, ²® ¢»° ¦¥¨¥ x:f(x; y) ¿¢«¿¥²±¿ ´³ª¶¨® «¼®© ´®°¬®© ± ¯ ° ¬¥²° ¬¨ y, § ·¥¨¥¬ ª®²®°®© ¯°¨ ¤ »µ § ·¥¨¿µ a ¯ ° ¬¥²°®¢ y ¿¢«¿¥²±¿ ´³ª¶¨¿ x:f(x; a). «®£¨·® ¢¢®¤¿²±¿ ®¡®§ ·¥¨¿ ¤«¿ ¬®£®¬¥±²»µ ´³ª¶¨©. ³±²¼ ¤ ¨¬¥ ¿ ´®°¬ f(x1 ; : : :; xn) ± ¯ ° ¬¥²° ¬¨ x1 ; : : :; xn. ®£¤ ¢»° ¦¥¨¥ x1 : : :xn :f(x1; : : :; xn) ±·¨² ¥²±¿ ®¡®§ ·¥¨¥¬ n¬¥±²®© ´³ª¶¨¨, ª®²®° ¿ ª ¦¤®¬³ ¡®°³ a1 ; : : :; an § ·¥¨© ¯¥°¥¬¥»µ x1; : : :; xn ±®¯®±² ¢«¿¥² ®¡º¥ª², ¨¬¥¥¬ ª®²®°®£® ¿¢«¿¥²±¿ ¢»° ¦¥¨¥ f(a1 ; : : :; an).
±«¨ ¨¬¥ ¿ ´®°¬ f(x1 ; : : :; xn; y) °¿¤³ ± x1; : : :; xn ±®¤¥°¦¨² ¤°³£¨¥ ¯ ° ¬¥²°» ¨§ ±¯¨±ª y, ²® ¢»° ¦¥¨¥ x1 : : :xn :f(x1 ; : : :; xn; y) ¿¢«¿¥²±¿ ´³ª¶¨® «¼®© ´®°¬®© ± ¯ ° ¬¥²° ¬¨ y, § ·¥¨¥¬ ª®²®°®© ¯°¨ ¤ »µ § ·¥¨¿µ a ¯ ° ¬¥²°®¢ y ¿¢«¿¥²±¿ ´³ª¶¨¿ x1 : : :xn:f(x1 ; : : :; xn; a): ¥®°¥¬ 7.1 (²¥®°¥¬ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨). ³±²¼ f | ¤¢³¬¥±² ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿. ³¹¥±²¢³¥² ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ k ² ª ¿, ·²® f(x; y) ' 'k(x)(y). 10
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¯°®£° ¬¬ F ¢»·¨±«¿¥² ´³ª¶¨¾ f. «¿ ª ¦¤®£® x ¯®±²°®¨¬ ¯°®£° ¬¬³ Qx , ¿¢«¿¾¹³¾±¿ ±®¥¤¨¥¨¥¬ ¤¢³µ ¯°®£° ¬¬: 8 T(1; 2); > > > > < Z(1); S(1); > > ::: > > : S(1) F, £¤¥ ª®¬ ¤ S(1) ¯¨± x ° §. ³±²¼ k(x) | £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ¯°®£° ¬¬» Qx. ·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ k ¢»·¨±«¨¬ . ¥²°³¤® ¢¨¤¥²¼, ·²® ¯°®£° ¬¬ Qx ¢»·¨±«¿¥² ´³ª¶¨¾ y:f(x; y), ². ¥. ¨¬¥¥² ¬¥±²® f(x; y) ' 'k(x) (y); ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ¥®°¥¬ 7.1 ¤®ª § . ®«¼ª® ·²® ¤®ª § ¿ ²¥®°¥¬ ¨¬¥¥² ±«¥¤³¾¹¥¥ ¥±²¥±²¢¥®¥ ®¡®¡¹¥¨¥. ¥®°¥¬ 7.2 (s-m-n-²¥®°¥¬ ). «¿ «¾¡»µ m; n 1 ±³¹¥±²¢³¥² ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ (m+1)-¬¥±² ¿ ´³ª¶¨¿ sm n ² ª ¿, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ ²³° «¼»µ ·¨±¥« e; x1; : : :; xm; y1 ; : : :; yn ¨¬¥¥² ¬¥±²®
'(em+n) (x1 ; : : :; xm ; y1 ; : : :; yn ) ' '(snmn)(e;x1;:::;xm ) (y1 ; : : :; yn): ² ²¥®°¥¬ ¨¬¥¥² ¯°®§° ·»© ±¬»±«: ¯® ¯°®£° ¬¬¥ ± £¥¤¥«¥¢»¬ ®¬¥°®¬ e, ¢»·¨±«¿¾¹¥© (m + n)¬¥±²³¾ ´³ª¶¨¾ '(em+n) , ¨ ¯°®¨§¢®«¼®¬³ ¡®°³ ²³° «¼»µ ·¨±¥« x1 ; : : :; xm ¬®¦® ©²¨ (± ¯®¬®¹¼¾ ´³ª¶¨¨ smn ) £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ¯°®£° ¬¬», ¢»·¨±«¿¾¹¥© ´³ª¶¨¾ y1 : : :yn :'(em+n) (x1 ; : : :; xm; y1 ; : : :; yn): ¥®°¥¬ ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ²®£® ¦¥ ¯°®£° ¬¬¨±²±ª®£® ¯°¨¥¬ , ·²® ¨ ²¥®°¥¬ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨. 8. ¨¢¥°± «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿
³±²¼ K | ¥ª®²®°»© ª« ±± n-¬¥±²»µ (n 1) ´³ª¶¨©. ®£¤ (n + 1)-¬¥±² ¿ ´³ª¶¨¿ U §»¢ ¥²±¿
³¨¢¥°± «¼®© ¤«¿ ª« ±± K, ¥±«¨ ¢»¯®«¥» ±«¥¤³¾¹¨¥ ³±«®¢¨¿:
¤«¿ ª ¦¤®£® ²³° «¼®£® e ´³ª¶¨¿ x : : :xn :U(e; x ; : : :; xn) ¯°¨ ¤«¥¦¨² ª« ±±³ K; ¤«¿ «¾¡®© ´³ª¶¨¨ f ¨§ ª« ±± K ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ²³° «¼®¥ ·¨±«® e, ·²® 1
1
f = x1 : : :xn:U(e; x1; : : :; xn): ·¥¢¨¤®, ·²® ³¨¢¥°± «¼ ¿ ´³ª¶¨¿ ¤«¿ ª« ±± K ±³¹¥±²¢³¥² ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ¢ ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤ ª« ±± K ¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²¥. ®«¥¥ ¨²¥°¥±¥ ¢®¯°®± ® ±³¹¥±²¢®¢ ¨¨ ¢»·¨±«¨¬»µ ³¨¢¥°± «¼»µ ´³ª¶¨© ¤«¿ ª« ±±®¢, ±®±²®¿¹¨µ ²®«¼ª® ¨§ ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨©. «¿ «¾¡®£® ²³° «¼®£® ·¨±« n 1 ±³¹¥±²¢³¥² (n +1)-¬¥±² ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿, ³¨¢¥°± «¼ ¿ ¤«¿ ª« ±± C (n) ¢±¥µ n-¬¥±²»µ ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨©. ¥®°¥¬ 8.1 (±³¹¥±²¢®¢ ¨¥ ¢»·¨±«¨¬®© ³¨¢¥°± «¼®© ´³ª¶¨¨).
(n + 1)-¬¥±²³¾ ´³ª¶¨¾ (n) ®¯°¥¤¥«¨¬ ª ª ex1 : : :xn :'(en)(x1; : : :; xn): ³ª¶¨¿ ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ¥´®°¬ «¼»¬ «£®°¨²¬®¬: "³±²¼ ¤ » ²³° «¼»¥ ·¨±« e; x1; : : :; xn. ©¤¨²¥ ¯°®£° ¬¬³ Pe ± ®¬¥°®¬ e. ²¥¬ ¯®¬¥±²¨²¥ ¢ °¥£¨±²°» R1; : : :; Rn ±®®²¢¥²±²¢¥® ·¨±« x1 ; : : :; xn ¨ § ¯³±²¨²¥ ¢»¯®«¥¨¥ ¯°®£° ¬¬» Pe .
±«¨ ¢»·¨±«¥¨¥ § ª ·¨¢ ¥²±¿, ²°¥¡³¥¬®¥ § ·¥¨¥ (n)(e; x1; : : :; xn) ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ °¥£¨±²°¥ R1." ª¨¬ ®¡° §®¬, ´³ª¶¨¿ (n) ¢»·¨±«¨¬ . ®ª ¦¥¬, ·²® (n) | ³¨¢¥°± «¼ ¿ ´³ª¶¨¿ ¤«¿ ª« ±± C (n) . ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¤«¿ «¾¡®£® ²³° «¼®£® e ´³ª¶¨¿ x1 : : :xn :(n)(e; x1; : : :; xn) ±®¢¯ ¤ ¥² ± ´³ª¶¨¥© 'e ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¯°¨ ¤«¥¦¨² ª« ±±³ C (n) . ¤°³£®© ±²®°®», «¾¡ ¿ ´³ª¶¨¿ f ¨§ ª« ±± C (n) ¢»·¨±«¿¥²±¿ ¥ª®²®°®© ¯°®£° ¬¬®© Pe ¨ ¯®²®¬³ ¨¬¥¥² ¢¨¤ 'e ¤«¿ ¥ª®²®°®£® e. ® ²®£¤ , ®·¥¢¨¤®, f = x1 : : :xn :(n)(e; x1; : : :; xn). ¥®°¥¬ ¤®ª § . ®ª § ²¥«¼±²¢®.
n
( )
11
¤ ·¨.
1) ®ª § ²¼, ·²® ¥ ±³¹¥±²¢³¥² ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨, ³¨¢¥°± «¼®© ¤«¿ ª« ±± ¢±¥µ ®¤®¬¥±²»µ ²®² «¼»µ ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨©. 2) ®ª § ²¼, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿, ³¨¢¥°± «¼ ¿ ¤«¿ ª« ±± ¢±¥µ ®¤®¬¥±²»µ ¯°¨¬¨²¨¢®-°¥ª³°±¨¢»µ ´³ª¶¨©. 3) ®ª § ²¼, ·²® ¥ ±³¹¥±²¢³¥² ¯°¨¬¨²¨¢®-°¥ª³°±¨¢®© ´³ª¶¨¨, ³¨¢¥°± «¼®© ¤«¿ ª« ±± ¢±¥µ ®¤®¬¥±²»µ ¯°¨¬¨²¨¢®-°¥ª³°±¨¢»µ ´³ª¶¨©. 4) ®ª § ²¼, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ®¡¹¥°¥ª³°±¨¢ ¿ ´³ª¶¨¿, ¥ ¿¢«¿¾¹ ¿±¿ ¯°¨¬¨²¨¢® °¥ª³°±¨¢®©. 9. §°¥¸¨¬»¥ ¨ ¯¥°¥·¨±«¨¬»¥ ¬®¦¥±²¢
³±²¼ X | ¥ª®²®°»© ± ¬¡«¼ ª®±²°³ª²¨¢»µ ®¡º¥ª²®¢, A | ¥£® ¯®¤¬®¦¥±²¢®. ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³ª¶¨¥© ¬®¦¥±²¢ A §»¢ ¥²±¿ ´³ª¶¨¿ A : X ! f0; 1g, ®¯°¥¤¥«¿¥¬ ¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: A (x) =
n
1; ¥±«¨ x 2 A; 0; ¥±«¨ x 62 A:
¯°¥¤¥«¥¨¥. ®¦¥±²¢® A X §»¢ ¥²±¿ ° §°¥¸¨¬»¬ (¨«¨ °¥ª³°±¨¢»¬), ¥±«¨ ¥£® µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ A ¢»·¨±«¨¬ . »¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¬®¦¥±²¢® A ° §°¥¸¨¬®, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² «£®°¨²¬, ª®²®°»© ¤«¿ ª ¦¤®£® x 2 X ¢»·¨±«¿¥² ¨±²¨®±²®¥ § ·¥¨¥ ¢»±ª §»¢ ¨¿ x 2 A. ·¥¢¨¤®, ·²® ¬®¦¥±²¢ X ¨ ; ° §°¥¸¨¬». ¥®°¥¬ 9.1.
±«¨ ¬®¦¥±²¢ A; B X ° §°¥¸¨¬», ²® ¬®¦¥±²¢ A [ B , A \ B , A n B ° §°¥¸¨¬». ®ª § ²¥«¼±²¢®. ®ª §»¢ ¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ±®¢¥°¸¥® ®·¥¢¨¤®. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ² ª ª ª ¬®¦¥±²¢ A; B X ° §°¥¸¨¬», ²® ¨µ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨¥ ´³ª¶¨¨ A ¨ B ¢»·¨±«¨¬». ®£¤ ´³ª¶¨¿ A[B ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ «£®°¨²¬®¬: "¥±«¨ A (x) = 1 ¨ B (x) = 1, ²® A[B (x) = 1; ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥ A[B (x) = 0". «®£¨·® µ®¤¿²±¿ § ·¥¨¿ A\B (x) ¨ AnB (x), ¥±«¨ ©¤¥» § ·¥¨¿ A (x) ¨ B (x). ¥®°¥¬ ¤®ª § . § ²¥®°¥¬» 9.1, ¢ · ±²®±²¨, ¯®«³· ¥²±¿, ·²® ¤®¯®«¥¨¥ X n A ° §°¥¸¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ A ° §°¥¸¨¬®. ®«³µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³ª¶¨¥© ¬®¦¥±²¢ A §»¢ ¥²±¿ · ±²¨· ¿ ´³ª¶¨¿ A ¨§ X ¢ f1g, ®¯°¥¤¥«¿¥¬ ¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: n 1; ¥±«¨ x 2 A; A (x) = ¥ ®¯°¥¤¥«¥®, ¥±«¨ x 62 A: ¯°¥¤¥«¥¨¥.
¶¨¿ A ¢»·¨±«¨¬ . ¥®°¥¬ 9.2.
®¦¥±²¢® A X §»¢ ¥²±¿ ¯®«³° §°¥¸¨¬»¬, ¥±«¨ ¥£® ¯®«³µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª-
±¿ª®¥ ° §°¥¸¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® ¯®«³° §°¥¸¨¬®.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¬®¦¥±²¢® A X ° §°¥¸¨¬®. ®£¤ ¥£® µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ A ¢»·¨±«¨¬ . ®«³µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ A ¬®¦¥±²¢ A ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ¥´®°¬ «¼»¬ «£®°¨²¬®¬: "³±²¼ ¤ ½«¥¬¥² x 2 X. »·¨±«¨²¼ A (x).
±«¨ A (x) = 1, ²® ¯®«®¦¨²¼ A (x) = 1; ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥ § ·¥¨¥ A (x) ¥ ®¯°¥¤¥«¥®." ¥®°¥¬ ¤®ª § . ¥®°¥¬ 9.3 (²¥®°¥¬ ®±² ). ®¦¥±²¢® A X ° §°¥¸¨¬® ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®¡ ¬®¦¥±²¢ A ¨ X n A ¯®«³° §°¥¸¨¬». ®ª § ²¥«¼±²¢®.
±«¨ ¬®¦¥±²¢® A ° §°¥¸¨¬®, ²® ¬®¦¥±²¢® X n A ² ª¦¥ ° §°¥¸¨¬®, ¨ ¯® ²¥®°¥¬¥ 9.2 ®¡ ®¨ ¯®«³° §°¥¸¨¬». ¡° ²®, ¯³±²¼ ®¡ ¬®¦¥±²¢ A ¨ X n A ¯®«³° §°¥¸¨¬». ®£¤ ¨µ ¯®«³µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨¥ ´³ª¶¨¨ A ¨ X nA ¢»·¨±«¨¬». ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ A ¬®¦¥±²¢ A ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ¥´®°¬ «¼»¬ «£®°¨²¬®¬: "³±²¼ ¤ ½«¥¬¥² x 2 X. ¯³±²¨²¼ ¯ ° ««¥«¼®¥ ¢»¯®«¥¨¥ ¯°®£° ¬¬ ¤«¿ ¢»·¨±«¥¨¿ § ·¥¨© A (x) ¨ X nA (x).
±«¨ ¯¥°¢ ¿ ¯°®£° ¬¬ ¢»¤ « °¥§³«¼² ², ²® A (x) = 1.
±«¨ ¢²®° ¿ ¯°®£° ¬¬ ¢»¤ « °¥§³«¼² ², ²® A (x) = 0. ¥®°¥¬ ¤®ª § . ®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼¾ §»¢ ¥²±¿ «¾¡ ¿ ´³ª¶¨¿, ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ª®²®°®© | ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ²³° «¼»µ ·¨±¥« N. «¥¤³¾¹¥¥ ¯®¿²¨¥ ¢ ¥ª®²®°®¬ ±¬»±«¥ ¿¢«¿¥²±¿ «£®°¨²¬¨·¥±ª¨¬ «®£®¬ ¯®¿²¨¿ ¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²®£® ¬®¦¥±²¢ .
12
³±²¼ X | ¥ª®²®°»© ± ¬¡«¼ ª®±²°³ª²¨¢»µ ®¡º¥ª²®¢. ®¦¥±²¢® A X §»¢ ¥²±¿ ¯¥°¥·¨±«¨¬»¬ (¨«¨ °¥ª³°±¨¢® ¯¥°¥·¨±«¨¬»¬), ¥±«¨ A = ; ¨«¨ A ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨. ¥®°¥¬ 9.4.
±¿ª®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® ¯®«³° §°¥¸¨¬®.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¬®¦¥±²¢® A X ¯¥°¥·¨±«¨¬®.
±«¨ A = ;, ²® A ° §°¥¸¨¬® ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¯®«³° §°¥¸¨¬®. ³±²¼ A 6= ;. ®£¤ A ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ f : N ! X. ®«³µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ A ¬®¦¥±²¢ A ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ¥´®°¬ «¼»¬ «£®°¨²¬®¬: "³±²¼ ¤ ½«¥¬¥² x 2 X. «¿ ª ¦¤®£® ²³° «¼®£® n, ·¨ ¿ ± 0, ¢»·¨±«¿²¼ f(n) ¨ ¯°®¢¥°¿²¼ ³±«®¢¨¥ f(n) = x.
±«¨ ¸«®±¼ ² ª®¥ n, ·²® f(n) = x, ²® A (x) = 1." ¥®°¥¬ ¤®ª § . ³±²¼ X ¨ Y | ¥ª®²®°»¥ ± ¬¡«¨ ª®±²°³ª²¨¢»µ ®¡º¥ª²®¢, f | · ±²¨· ¿ ´³ª¶¨¿ ¨§ X ¢ Y . ° ´¨ª®¬ ´³ª¶¨¨ f §»¢ ¥²±¿ ¬®¦¥±²¢® f X Y , ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¥ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: f = fhx; yijy = f(x)g: ¥®°¥¬ 9.5 (²¥®°¥¬ ® £° ´¨ª¥). ±²¨· ¿ ´³ª¶¨¿ f ¨§ X ¢ Y ¢»·¨±«¨¬ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ ,
ª®£¤ ¥¥ £° ´¨ª f ¯¥°¥·¨±«¨¬.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ f | · ±²¨· ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ ¨§ X ¢ Y .
±«¨ ´³ª¶¨¿ f ¨£¤¥ ¥ ®¯°¥¤¥«¥ , ²® ¥¥ £° ´¨ª ¯³±² ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¯¥°¥·¨±«¨¬ ¯® ®¯°¥¤¥«¥¨¾. ±±¬®²°¨¬ ±«³· ©, ª®£¤ f ®¯°¥¤¥«¥ µ®²¿ ¡» ¢ ®¤®© ²®·ª¥. ³±²¼ f ®¯°¥¤¥«¥ ¢ ²®·ª¥ a 2 X. ®£¤ ¯ ° ha; f(a)i ¯°¨ ¤«¥¦¨² £° ´¨ª³ f . ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ´¨ª±¨°®¢ ® ¥ª®²®°®¥ ª®¤¨°®¢ ¨¥ ± ¬¡«¿ ª®±²°³ª²¨¢»µ ®¡º¥ª²®¢ X ²³° «¼»¬¨ ·¨±« ¬¨, ². ¥. ´¨ª±¨°®¢ ¥ª®²®° ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ¡¨¥ª¶¨¿ : X ! N. «¿ ª ¦¤®£® ²³° «¼®£® ·¨±« i ¯®«®¦¨¬ xi = 1(i). ®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ g : N ! X Y ®¯°¥¤¥«¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ³±²¼ ¤ ® ²³° «¼®¥ ·¨±«® n. ® ¿¢«¿¥²±¿ ®¬¥°®¬ ¥ª®²®°®© ¯ °» ²³° «¼»µ ·¨±¥« hl; ri ¯°¨ ° ±±¬®²°¥®© ¬¨ ³¬¥° ¶¨¨ ¢±¥µ ¯ ° ²³° «¼»µ ·¨±¥« , ². ¥. (l; r) = n, ¯°¨·¥¬ ·¨±« l ¨ r ¬®¦® ½´´¥ª²¨¢® ¢»·¨±«¨²¼ ¯® n. ¯³±²¨¬ «£®°¨²¬ ¢»·¨±«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ f ¨±µ®¤®¬ ¤ ®¬ xl ¨ ¤®¦¤¥¬±¿ ¢»¯®«¥¨¿ r + 1 ¸ £®¢ ° ¡®²» ½²®£® «£®°¨²¬ .
±«¨ § r + 1 ¸ £®¢ ¨«¨ ° ¼¸¥ ¯®«³·¥ °¥§³«¼² ² f(xl ), ¯®« £ ¥¬ g(n) = hxl ; f(xl )i.
±«¨ ¦¥ § r + 1 ¸ £®¢ ° ¡®² «£®°¨²¬ ¥¹¥ ¥ § ¢¥°¸¨« ±¼ ¨«¨ ¦¥ ¯°®¨§®¸« ¡¥§°¥§³«¼² ² ¿ ®±² ®¢ª , ¯®« £ ¥¬ g(n) = ha; f(a)i. ·¥¢¨¤®, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ g ¢»·¨±«¨¬ . ·¥¢¨¤® ² ª¦¥, ·²® ¬®¦¥±²¢® ¥¥ § ·¥¨© Ran(g) ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤¬®¦¥±²¢®¬ £° ´¨ª f . ®ª ¦¥¬, ·²® f Ran(g). ³±²¼ ¯ ° hx; yi ¯°¨ ¤«¥¦¨² £° ´¨ª³ ´³ª¶¨¨ f. ²® ®§ · ¥², ·²® «£®°¨²¬ ¢»·¨±«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ f ¨±µ®¤®¬ ¤ ®¬ x § ª ·¨¢ ¥² ° ¡®²³, ±ª ¦¥¬, § r > 0 ¸ £®¢ ¨ ¢»¤ ¥² °¥§³«¼² ² y. ³±²¼ (x) = l. ®«®¦¨¬ n = (l; r 1). § ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ g ¢¨¤®, ·²® g(n) = hx; yi, ². ¥. hx; yi 2 Ran(f): ª¨¬ ®¡° §®¬, £° ´¨ª ´³ª¶¨¨ f ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¢»·¨±«¨¬®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ g, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ® ¯¥°¥·¨±«¨¬ ¯® ®¯°¥¤¥«¥¨¾. ³±²¼ £° ´¨ª f ´³ª¶¨¨ f ¯¥°¥·¨±«¨¬.
±«¨ ® ¯³±², ²® ´³ª¶¨¿ f ¨£¤¥ ¥ ®¯°¥¤¥«¥ ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¢»·¨±«¨¬ .
±«¨ ¦¥ £° ´¨ª ¥ ¯³±² ¨ ¯¥°¥·¨±«¨¬, ²® ® ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ g : N ! X Y . ³ª¶¨¿ f ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ «£®°¨²¬®¬. ³±²¼ ¤ ® ²³° «¼®¥ ·¨±«® n. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼® ¤«¿ ª ¦¤®£® ²³° «¼®£® i, ·¨ ¿ ± 0, ¢»·¨±«¿¥¬ § ·¥¨¥ g(i) = ha; f(a)i ¨ ¯°®¢¥°¿¥¬ ³±«®¢¨¥ a = n.
±«¨ ½²® ³±«®¢¨¥ ¢»¯®«¥®, ²® f(n) = f(a), ¨ ¢»·¨±«¥¨¥ § ª®·¥®. ¥®°¥¬ ¤®ª § . ¥®°¥¬ 9.6. ³±²¼ f | · ±²¨· ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ ¨§ X ¢ Y . ®£¤ ¥¥ ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ Dom(f) X ¨ ¬®¦¥±²¢® § ·¥¨© Ran(f) Y ±³²¼ ¯¥°¥·¨±«¨¬»¥ ¬®¦¥±²¢ . ®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ´³ª¶¨¿ f ¢»·¨±«¨¬ . ® ²¥®°¥¬¥ 9.5 ¥¥ £° ´¨ª ¯¥°¥·¨±«¨¬.
±«¨ f ¨£¤¥ ¥ ®¯°¥¤¥«¥ , ²® Dom(f) ¨ Ran(f) ¯³±²» ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¯¥°¥·¨±«¨¬». ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥ f ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ g : N ! X Y . ®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ d : N ! X ¨ r : N ! Y ®¯°¥¤¥«¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ³±²¼ ¤ ® ²³° «¼®¥ ·¨±«® n. »·¨±«¿¥¬ g(n) = ha; bi ¨ ¯®« £ ¥¬ d(n) = a, r(n) = b. ·¥¢¨¤®, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ d ¨ r ®¡¥ ¢»·¨±«¨¬», ¯°¨·¥¬ Ran(d) ¥±²¼ ¢ ²®·®±²¨ ¬®¦¥±²¢® ¯¥°¢»µ ª®¬¯®¥² ¯ ° ¨§ f , ². ¥. ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³¶¨¨ f, Ran(r) | ½²® ¢ ²®·®±²¨ ¬®¦¥±²¢® ¢²®°»µ ª®¬¯®¥² ¯ ° ¨§ f , ². ¥. ¬®¦¥±²¢® § ·¥¨© ´³ª¶¨¨ f. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬®¦¥±²¢® Dom(f) ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¢»·¨±«¨¬®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ d ¨ ¯¥°¥·¨±«¨¬® ¯® ®¯°¥¤¥«¥¨¾. ®¦¥±²¢® Ran(f) ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¢»·¨±«¨¬®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ r ¨ ¯®²®¬³ ² ª¦¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ¥®°¥¬ ¤®ª § .
13
®¦¥±²¢® A X ¯¥°¥·¨±«¨¬® ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®® ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨.
¥®°¥¬ 9.7.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¬®¦¥±²¢® A ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ®ª ¦¥¬, ·²® A ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨.
±«¨ ®® ¯³±²®, ²® ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¨£¤¥ ¥ ®¯°¥¤¥«¥®© ´³ª¶¨¨.
±«¨ ¦¥ A ¥ ¯³±²®, ²®, ¯® ®¯°¥¤¥«¥¨¾, ®® ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¢»·¨±«¨¬®© ¯®±¤¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨, ¨ ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ¤®ª § ®. ¡° ²®, ¥±«¨ A ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨, ²® ¯® ²¥®°¥¬¥ 9.6 ®® ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ¥®°¥¬ ¤®ª § . ¥®°¥¬ 9.8. ®¦¥±²¢® A X ¯¥°¥·¨±«¨¬® ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®® ¿¢«¿¥²±¿ ®¡« ±²¼¾
®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¬®¦¥±²¢® A ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ®£¤ , ¯® ²¥®°¥¬¥ 9.4, ®® ¯®«³° §°¥¸¨¬®. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¥£® ¯®«³µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ A ¢»·¨±«¨¬ . ® ¢±¿ª®¥ ¬®¦¥±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ±¢®¥© ¯®«³µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³ª¶¨¨. ª¨¬ ®¡° §®¬, A ¿¢«¿¥²±¿ ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ A . ¡° ²®, ¥±«¨ ¬®¦¥±²¢® A ¿¢«¿¥²±¿ ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨, ²® ¯® ²¥®°¥¬¥ 9.6 ®® ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ¥®°¥¬ ¤®ª § . ¥®°¥¬ 9.9.
±¿ª®¥ ¯®«³° §°¥¸¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® ¯¥°¥·¨±«¨¬®.
®«³° §°¥¸¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® A ¿¢«¿¥²±¿ ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ ¨ ¯® ²¥®°¥¬¥ 9.6 ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ¥®°¥¬ ¤®ª § . ¥®°¥¬ 9.10. ³±²¼ X | ¯°®¨§¢®«¼»© ± ¬¡«¼ ª®±²°³ª²¨¢»µ ®¡º¥ª²®¢, A | ¯°®¨§¢®«¼®¥ ¥£® A
®ª § ²¥«¼±²¢®.
¯®¤¬®¦¥±²¢®. ®£¤ ±«¥¤³¾¹¨¥ ³±«®¢¨¿ ½ª¢¨¢ «¥²»: 1) ¬®¦¥±²¢® A ¯¥°¥·¨±«¨¬®; 2) ¬®¦¥±²¢® A ¯®«³° §°¥¸¨¬®; 3) ¬®¦¥±²¢® A ¿¢«¿¥²±¿ ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨; 4) ¬®¦¥±²¢® A ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ª¢¨¢ «¥²®±²¼ ³±«®¢¨© 1) ¨ 2) ¢»²¥ª ¥² ¨§ ²¥®°¥¬ 9.4 ¨ 9.9. ±¨«³ ²¥®°¥¬ 9.8 ¨ 9.7 ª ¦¤®¥ ¨§ ³±«®¢¨© 3), 4) ½ª¢¨¢ «¥²® ³±«®¢¨¾ 1). ¥®°¥¬ ¤®ª § . ¥®°¥¬ 9.11. ³±²¼ X | ¯°®¨§¢®«¼»© ± ¬¡«¼ ª®±²°³ª²¨¢»µ ®¡º¥ª²®¢, A; B X | ¯¥°¥·¨±«¨¬»¥ ¬®¦¥±²¢ . ®£¤ ¬®¦¥±²¢ A \ B ¨ A [ B ¯¥°¥·¨±«¨¬». ®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ A; B X | ¯¥°¥·¨±«¨¬»¥ ¬®¦¥±²¢ . ®ª ¦¥¬ ¯¥°¥·¨±«¨¬®±²¼ ¬®¦¥±²¢ A [ B.
±«¨ µ®²¿ ¡» ®¤® ¨§ ¬®¦¥±²¢ A; B ¯³±²®, ²® A [ B ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¤°³£¨¬ ¬®¦¥±²¢®¬ ¨ ¯®²®¬³ ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ±±¬®²°¨¬ ±«³· ©, ª®£¤ ®¡ ¬®¦¥±²¢ A; B ¥¯³±²». ®£¤ A ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ f, B | ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ g. ¯°¥¤¥«¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ h ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¤«¿ «¾¡®£® ²³° «¼®£® ·¨±« n ¯®«®¦¨¬ n f( n2 ); ¥±«¨ n ·¥²®; h(n) = g( n 1 ); ¥±«¨ n ¥·¥²®: 2 ·¥¢¨¤®, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ h ¢»·¨±«¨¬ , ¬®¦¥±²¢® ¥¥ § ·¥¨© ¥±²¼ ¢ ²®·®±²¨ ¬®¦¥±²¢® A [ B. ®ª ¦¥¬, ·²® ¬®¦¥±²¢® A \ B ¯¥°¥·¨±«¨¬®. «¿ ½²®£® ¤®±² ²®·® ¤®ª § ²¼, ·²® ®® ¯®«³° §°¥¸¨¬®. ®¦¥±²¢ A; B ¯®«³° §°¥¸¨¬», ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¨µ ¯®«³µ ° ª²¥°¨±²¨·¥ª¨¥ ´³ª¶¨¨ A ¨ B ¢»·¨±«¨¬». ®«³µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ A\B ¬®¦¥±²¢ A \ B ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ «£®°¨²¬®¬. ³±²¼ ¤ ½«¥¬¥² x 2 X. »·¨±«¿²¼ A (x).
±«¨ ¢»·¨±«¥¨¥ § ¢¥°¸¨«®±¼ °¥§³«¼² ²¨¢®, ¢»·¨±«¿²¼ B (x).
±«¨ ¨ ½²® ¢»·¨±«¥¨¥ § ¢¥°¸¨«®±¼ °¥§³«¼² ²¨¢®, ²® A\B (x) = 1. ¥®°¥¬ ¤®ª § . ¤ ·¨.
1) ®ª § ²¼, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ¬®¦¥±²¢® ²³° «¼»µ ·¨±¥«, ¥ ¿¢«¿¾¹¥¥±¿ ¯¥°¥·¨±«¨¬»¬. 2) ®ª § ²¼, ·²® ¡¥±ª®¥·®¥ ¬®¦¥±²¢® A N ° §°¥¸¨¬® ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ A ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ±²°®£® ¢®§° ±² ¾¹¥© ²®² «¼®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨. 3) ®ª § ²¼, ·²® ¥¯³±²®¥ ¬®¦¥±²¢® A N ° §°¥¸¨¬® ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ A ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¬®®²®® (¥ ®¡¿§ ²¥«¼® ±²°®£®) ¢®§° ±² ¾¹¥© ²®² «¼®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨. 14
10. ¥®°¥¬» ® ° §°¥¸¨¬»µ ¨ ¯¥°¥·¨±«¨¬»µ ¬®¦¥±²¢ µ
³ª¶¨¿ f : N ! N §»¢ ¥²±¿ ¥³¡»¢ ¾¹¥©, ¥±«¨ (8x; y)[x < y ) f(x) f(y)]: ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ¬®¦¥±²¢® A N ¯¥°¥·¨±«¨¬® ¢ ¯®°¿¤ª¥ ¥³¡»¢ ¨¿, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¥³¡»¢ ¾¹ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f : N ! N, ·²® A = Ran(f). ³±²¼ A N. ®¦¥±²¢® A ° §°¥¸¨¬® ¨ ¥¯³±²® ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®® ¯¥°¥·¨±«¨¬® ¢ ¯®°¿¤ª¥ ¥³¡»¢ ¨¿. ¥®°¥¬ 10.1.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¬®¦¥±²¢® A N ° §°¥¸¨¬® ¨ ¥¯³±²®. ®«¼§³¿±¼ ° §°¥¸¨¬®±²¼¾ ¬®¦¥±²¢ A, ©¤¥¬ ¥£® ¨¬¥¼¸¨© ½«¥¬¥² n0 . ¥¯¥°¼ ®¯°¥¤¥«¨¬ ´³ª¶¨¾ f : N ! N ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:
f(0) = n0 ;
x + 1; ¥±«¨ x + 1 2 A; f(x); ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥: ¥²°³¤® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® f | ¥³¡»¢ ¾¹ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿, ¨ f(x + 1) =
A = Ran(f): ¡° ²®, ¯³±²¼ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¥³¡»¢ ¾¹ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f : N ! N, ·²® A = Ran(f). ·¥¢¨¤®, ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ A ¥¯³±²®.
±«¨ ¬®¦¥±²¢® A ª®¥·®, ²® ®®, ®·¥¢¨¤®, ° §°¥¸¨¬®.
±«¨ ¦¥ A ¡¥±ª®¥·®, ²® ¤«¿ ¢»¿±¥¨¿ ¢®¯°®± , ¯°¨ ¤«¥¦¨² «¨ ¯°®¨§¢®«¼®¥ ¤ ®¥ ·¨±«® x ¬®¦¥±²¢³ A, ¡³¤¥¬ ¢»·¨±«¿²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼»¥ § ·¥¨¿ f(0); f(1); f(2); : : : ´³ª¶¨¨ f, ¯®ª ±°¥¤¨ ¨µ ¥ ¯®¿¢¨²±¿ ·¨±«®, ¡®«¼¸¥¥, ·¥¬ x.
±«¨ ª ½²®¬³ ¬®¬¥²³ ·¨±«® x ³¦¥ ¯®¿¢¨«®±¼ ±°¥¤¨ § ·¥¨© ´³ª¶¨¨ f, ²® x 2 A; ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥ x 62 A. ² ª, ¬» ° ±¯®« £ ¥¬ «£®°¨²¬®¬ ¤«¿ ° ±¯®§ ¢ ¨¿ ¯°¨ ¤«¥¦®±²¨ ¯°®¨§¢®«¼®£® ·¨±« ¬®¦¥±²¢³ A, ². ¥. A ° §°¥¸¨¬®. ¥®°¥¬ 10.1 ¤®ª § . ³ª¶¨¿ f : N ! N §»¢ ¥²±¿ ¢®§° ±² ¾¹¥©, ¥±«¨ (8x; y)[x < y ) f(x) < f(y)]: ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ¬®¦¥±²¢® A N ¯¥°¥·¨±«¨¬® ¢ ¯®°¿¤ª¥ ¢®§° ±² ¨¿, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¢®§° ±² ¾¹ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f : N ! N, ·²® A = Ran(f). ³±²¼ A N. ®¦¥±²¢® A ° §°¥¸¨¬® ¨ ¡¥±ª®¥·® ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®® ¯¥°¥·¨±«¨¬® ¢ ¯®°¿¤ª¥ ¢®§° ±² ¨¿.
¥®°¥¬ 10.2.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¬®¦¥±²¢® A N ° §°¥¸¨¬® ¨ ¡¥±ª®¥·®. ®«¼§³¿±¼ ° §°¥¸¨¬®±²¼¾ ¬®¦¥±²¢ A, ©¤¥¬ ¥£® ¨¬¥¼¸¨© ½«¥¬¥² n0 . ¥¯¥°¼ ®¯°¥¤¥«¨¬ ´³ª¶¨¾ f : N ! N ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:
f(0) = n0 ; f(x + 1) = y[y 2 A & f(x) < y]: ¥²°³¤® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® f | ²®² «¼ ¿ ¢®§° ±² ¾¹ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿, ¨ A = Ran(f). ¡° ²®, ¯³±²¼ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¢®§° ±² ¾¹ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f : N ! N, ·²® A = Ran(f). ·¥¢¨¤®. ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¬®¦¥±²¢® A ¡¥±ª®¥·®. «¿ ¢»¿±¥¨¿ ¢®¯°®± , ¯°¨ ¤«¥¦¨² «¨ ¯°®¨§¢®«¼®¥ ¤ ®¥ ·¨±«® x ¬®¦¥±²¢³ A, ¡³¤¥¬ ¢»·¨±«¿²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼»¥ § ·¥¨¿ f(0); f(1); f(2); : : : ´³ª¶¨¨ f, ¯®ª ±°¥¤¨ ¨µ ¥ ¯®¿¢¨²±¿ ·¨±«®, ¡®«¼¸¥¥, ·¥¬ x.
±«¨ ª ½²®¬³ ¬®¬¥²³ ·¨±«® x ³¦¥ ¯®¿¢¨«®±¼ ±°¥¤¨ § ·¥¨© ´³ª¶¨¨ f, ²® x 2 A; ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥ x 62 A. ² ª, ¬» ° ±¯®« £ ¥¬ «£®°¨²¬®¬ ¤«¿ ° ±¯®§ ¢ ¨¿ ¯°¨ ¤«¥¦®±²¨ ¯°®¨§¢®«¼®£® ·¨±« ¬®¦¥±²¢³ A, ². ¥. A ° §°¥¸¨¬®. ¥®°¥¬ 10.2 ¤®ª § . ¥®°¥¬ 10.3.
¬®¦¥±²¢®.
±¿ª®¥ ¡¥±ª®¥·®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® ±®¤¥°¦¨² ¡¥±ª®¥·®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¯®¤-
15
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¬®¦¥±²¢® A N ¯¥°¥·¨±«¨¬® ¨ ¡¥±ª®¥·®. ®£¤ , ¯® ®¯°¥¤¥«¥¨¾, A ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ f. ¯°¥¤¥«¨¬ ´³ª¶¨¾ g ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:
g(0) = f(0); g(x + 1) = f(y[f(y) > g(x)]): ¥²°³¤® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® g | ²®² «¼ ¿ ¢®§° ±² ¾¹ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿. ®«®¦¨¬ B = Ran(g). ® ²¥®°¥¬¥ 10.2 ¬®¦¥±²¢® B ° §°¥¸¨¬®. ª ª ª ¯°¨ ½²®¬, ®·¥¢¨¤®, B A, ²® ²¥®°¥¬ 10.3 ¤®ª § . 11. ³¬¥° ¶¨¿ ¯¥°¥·¨±«¨¬»µ ¬®¦¥±²¢
ª ¡»«® ¤®ª § ® ¢ ° §¤¥«¥ 9, ª ¦¤®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨. ²® ¯®§¢®«¿¥² § ¤ ²¼ ±«¥¤³¾¹³¾ ³¬¥° ¶¨¾ ¢±¥µ ¯¥°¥·¨±«¨¬»µ ¯®¤¬®¦¥±²¢ N. ³±²¼ Wx = Dom('x ). ¨±«® x ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼ £ ¥¤¥«¥¢»¬ ®¬¥°®¬ ¬®¦¥±²¢ Wx . ·¥¢¨¤®, ·²® ¢±¿ª®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® ¨¬¥¥² ¡¥±ª®¥·® ¬®£® £¥¤¥«¥¢»µ ®¬¥°®¢. ° §¤¥«¥ 9 ¡»«® ² ª¦¥ ³±² ®¢«¥®, ·²® ª ¦¤®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨. ±¯®«¼§³¿ ³¬¥° ¶¨¾ ¯¥°¥·¨±«¨¬»µ ¬®¦¥±²¢, ½²®² ´ ª² ¬®¦® ¢»° §¨²¼ ¢ ±«¥¤³¾¹¥© ¡®«¥¥ ±¨«¼®© ´®°¬¥. ¥®°¥¬ 11.1.
³¹¥±²¢³¥² ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f ² ª ¿, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® x
Dom('x ) = Ran('f (x) ): ®ª § ²¥«¼±²¢®.
³±²¼ ¤¢³¬¥±² ¿ ´³ª¶¨¿ h ®¯°¥¤¥«¥ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¥±«¨ !'x(y); h(x; y) = y; ¥ ®¯°¥¤¥«¥® ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥.
·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ h ¢»·¨±«¨¬ . ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ (° §¤¥« 7) ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f, ·²® h(x; y) ' 'f (x) (y) ¤«¿ «¾¡»µ x; y. § ½²®£® ³±«®¢®£® ° ¢¥±²¢ ¨ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ h ±«¥¤³¥², ·²® y 2 Ran('f (x) ) ,!'x(y) , y 2 Dom('x ): ²® ª ª ° § ¨ ®§ · ¥², ·²® f | ¨±ª®¬ ¿ ´³ª¶¨¿. ¥®°¥¬ 11.1 ¤®ª § . 12. ¥° §°¥¸¨¬»¥ «£®°¨²¬¨·¥±ª¨¥ ¯°®¡«¥¬»
³±²¼ f | · ±²¨· ¿ ´³ª¶¨¿. ³ª¶¨¿ g §»¢ ¥²±¿ ¯°®¤®«¦¥¨¥¬ ´³ª¶¨¨ f, ¥±«¨ Dom(f) Dom(g) ¨ g(x) = f(x) ¤«¿ «¾¡®£® x 2 Dom(f). ¥®°¥¬ 12.1.
¤®«¦¥¨¿.
³¹¥±²¢³¥² · ±²¨· ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿, ¥ ¨¬¥¾¹ ¿ ²®² «¼®£® ¢»·¨±«¨¬®£® ¯°®-
±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ · ±²¨·³¾ ´³ª¶¨¾ f ¨§ N ¢ N: n + 1; ¥±«¨ § ·¥¨¥ 'n (n) ®¯°¥¤¥«¥®; f(n) = '¥n(n) ®¯°¥¤¥«¥®, ¥±«¨ § ·¥¨¥ 'n(n) ¥ ®¯°¥¤¥«¥®: ·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ f ¢»·¨±«¨¬ . ®ª ¦¥¬, ·²® ¨ª ª ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¤®«¦¥¨¥¬ ´³ª¶¨¨ f. ³±²¼ ¤ ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ g : N ! N, ¨ ¯³±²¼ m | £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ¯°®£° ¬¬», ¢»·¨±«¿¾¹¥© ´³ª¶¨¾ g. ®£¤ g = 'm , ¨ ®ª § ²¥«¼±²¢®.
ª ª ª § ·¥¨¥ 'm (m) ®¯°¥¤¥«¥®, ²®
g(m) = 'm (m):
f(m) = 'm (m) + 1: ¢¥±²¢ (1) ¨ (2) ¯®ª §»¢ ¾², ·²® ´³ª¶¨¿ g ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¤®«¦¥¨¥¬ ´³ª¶¨¨ f. 2 ¥®°¥¬ 12.2.
³¹¥±²¢³¥² ¥° §°¥¸¨¬®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢®.
16
(1) (2)
®ª § ²¥«¼±²¢®. ±¨«³ ²¥®°¥¬» 12.1 ±³¹¥±²¢³¥² · ±²¨· ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f, ¥ ¨¬¥¾¹ ¿ ²®² «¼®£® ¢»·¨±«¨¬®£® ¯°®¤®«¦¥¨¿. ¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ½²®© ´³ª¶¨¨ Dom(f) | ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢®. ®ª ¦¥¬, ·²® ®® ¥° §°¥¸¨¬®. ²® ¢»²¥ª ¥² ¨§ ±«¥¤³¾¹¥£® ¤®¢®«¼® ®·¥¢¨¤®£® ®¡¹¥£® ´ ª² : ¥±«¨ ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ · ±²¨·®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ ° §°¥¸¨¬ , ²® ½² ´³ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ²®² «¼®¥ ¢»·¨±«¨¬®¥ ¯°®¤®«¦¥¨¥. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¯³±²¼ g | ¢»·¨±«¨¬ ¿ · ±²¨· ¿ ´³ª¶¨¿ ¨§ X ¢ Y , ¯°¨·¥¬ ¬®¦¥±²¢® Dom(g) X ° §°¥¸¨¬®. ±±¬®²°¨¬ ²®² «¼³¾ ´³ª¶¨¾ h : X ! Y , ®¯°¥¤¥«¥³¾ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¤«¿ «¾¡®£® x 2 X n g(x); ¥±«¨ x 2 Dom(g); h(x) = 0; ¥±«¨ x 62 Dom(g): ·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ h ¢»·¨±«¨¬ ¨ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¤®«¦¥¨¥¬ ´³ª¶¨¨ g. 2 ¥®°¥¬ 12.3.
®¦¥±²¢® K = fnj'n(n) ®¯°¥¤¥«¥® g ¯¥°¥·¨±«¨¬®, ® ¥ ° §°¥¸¨¬®.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ®¦¥±²¢® K ¿¢«¿¥²±¿ ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ f, ¯®±²°®¥®© ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ²¥®°¥¬» 12.1.
£® ¥° §°¥¸¨¬®±²¼ ¡»« ³±² ®¢«¥ ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ²¥®°¥¬» 12.2. 2 ¥®°¥¬ 12.3 ®§ · ¥² «£®°¨²¬¨·¥±ª³¾ ¥° §°¥¸¨¬®±²¼ ² ª §»¢ ¥¬®© ¯°®¡«¥¬» ± ¬®¯°¨¬¥¨¬®±²¨ ¯°®£° ¬¬: ¥ ±³¹¥±²¢³¥² «£®°¨²¬ , ª®²®°»© ¯® «¾¡®© ¯°®£° ¬¬¥ ¤«¿ ¤ ¢ « ¡» ¯° ¢¨«¼»© ®²¢¥² ¢®¯°®±, § ¢¥°¸ ¥²±¿ «¨ ° ¡®² ½²®© ¯°®£° ¬¬», ª®£¤ ¨±µ®¤»¬ ¤ »¬ ¿¢«¿¥²±¿ £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ½²®© ¯°®£° ¬¬». ·¥¢¨¤®, ·²® ½²® ¿¢«¥¨¥ µ ° ª²¥°® ¥ ²®«¼ª® ¤«¿ , ® ¨ ¤«¿ «¾¡®£® ¤°³£®£® ±¯®±®¡ ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ¨¿.
¥ ±³¹¥±²¢³¥² «£®°¨²¬ , ª®²®°»© ¯® «¾¡®© ¯°®£° ¬¬¥ P ¤«¿ ¨ «¾¡®¬³ ¨±µ®¤®¬³ ¤ ®¬³ x ¤ ¢ « ¡» ¯° ¢¨«¼»© ®²¢¥² ¢®¯°®±, § ¢¥°¸ ¥²±¿ «¨ ° ¡®² ¯°®£° ¬¬» P ¨±µ®¤®¬ ¤ ®¬ x. ¥®°¥¬ 12.4 (¥° §°¥¸¨¬®±²¼ ¯°®¡«¥¬» ®±² ®¢ª¨).
®ª § ²¥«¼±²¢®.
±«¨ ¡» ±³¹¥±²¢®¢ « «£®°¨²¬, ® ª®²®°®¬ ¨¤¥² °¥·¼ ¢ ´®°¬³«¨°®¢ª¥ ²¥®°¥¬», ²®, ®·¥¢¨¤®, ¡»« ¡» ° §°¥¸¨¬ ¯°®¡«¥¬ ± ¬®¯°¨¬¥¨¬®±²¨ ¯°®£° ¬¬, ·²®, ª ª ¬» ¢¨¤¥«¨, ¥¢®§¬®¦®. 2
13. ¥®°¥¬ ©±
°®¡«¥¬ ± ¬®¯°¨¬¥¨¬®±²¨ ¨ ¯°®¡«¥¬ ®±² ®¢ª¨ | ½²® «¨¸¼ ¤¢ ¯°¨¬¥° ¥° §°¥¸¨¬»µ «£®°¨²¬¨·¥±ª¨µ ¯°®¡«¥¬ ¢ ²¥®°¨¨ «£®°¨²¬®¢. ± ¬®¬ ¤¥«¥ ®ª §»¢ ¥²±¿ ¥° §°¥¸¨¬®© «¾¡ ¿ ¥²°¨¢¨ «¼ ¿ «£®°¨¬¨·¥±ª ¿ ¯°®¡«¥¬ , ±¢¿§ ¿ ± ° ±¯®§ ¢ ¨¬¥¬ ±¢®©±²¢ ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨© ¯® ¯°®£° ¬¬ ¬, ¢»·¨±«¿¾¹¨¬ ½²¨ ´³ª¶¨¨. ³±²¼ F | ¯°®¨§¢®«¼®¥ ±¥¬¥©±²¢® ®¤®¬¥±²»µ · ±²¨·»µ ·¨±«®¢»µ ´³ª¶¨©, ². ¥. F C . ¤¥ª±»¬ ¬®¦¥±²¢®¬ ±¥¬¥©±²¢ F §»¢ ¥²±¿ ¬®¦¥±²¢® IF = fnj'n 2 Fg. »¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¨¤¥ª±®¥ ¬®¦¥±²¢® ±¥¬¥©±²¢ F ±®±²®¨² ¢ ²®·®±²¨ ¨§ ¢±¥µ ®¬¥°®¢ ¯°®£° ¬¬, ¢»·¨±«¿¾¹¨µ ´³ª¶¨¨ ¨§ ±¥¬¥©±²¢ F . ¥¬¥©±²¢® F C §»¢ ¥²±¿ ¥²°¨¢¨ «¼»¬, ¥±«¨ F = 6 ; ¨ F 6= C . ¥®°¥¬ 13.1 (²¥®°¥¬ ©± ).
F C ¥° §°¥¸¨¬®.
¤¥ª±®¥ ¬®¦¥±²¢® IF ¢±¿ª®£® ¥²°¨¢¨ «¼®£® ±¥¬¥©±²¢ ´³ª¶¨©
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ | ¨£¤¥ ¥ ®¯°¥¤¥«¥ ¿ ´³ª¶¨¿. ®¯³±²¨¬, ·²® 2 F . ª ª ª ±¥¬¥©±²¢® F ¥²°¨¢¨ «¼®¥, ±³¹¥±²¢³¥² ´³ª¶¨¿ g 2 C n F . ¢³¬¥±²³¾ · ±²¨·³¾ ´³ª¶¨¾ f ®¯°¥¤¥«¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¬
®¡° §®¬: ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼»µ ²³° «¼»µ ·¨±¥« n ¨ x ¯®«®¦¨¬ n g(x); ¥±«¨ 'n (n) ®¯°¥¤¥«¥®; f(n; x) ' ¥ ®¯°¥¤¥«¥®, ¥±«¨ 'n (n) ¥ ®¯°¥¤¥«¥®:
³ª¶¨¿ f ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ¥´®°¬ «¼»¬ «£®°¨²¬®¬: "»·¨±«¿²¼ 'n(n).
±«¨ ¡³¤¥² ¯®«³·¥ °¥§³«¼² ², ¯¥°¥©²¨ ª ¢»·¨±«¥¨¾ g(x).
±«¨ ¢»·¨±«¥¨¥ § ¢¥°¸¨²±¿ °¥§³«¼² ²¨¢®, ¯®«®¦¨²¼ f(n; x) = g(x)." ±¨«³ ²¥®°¥¬» ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ k ² ª ¿, ·²® f(n; x) ' 'k(n)(x). ·¥¢¨¤®, ·²® ¥±«¨ n 2 K, ². ¥. § ·¥¨¥ 'n (n) ®¯°¥¤¥«¥®, ²® 'k(n) = g, ¨ k(n) 62 IF .
±«¨ ¦¥ n 62 K, ². ¥. § ·¥¨¥ 'n (n) ¥ ®¯°¥¤¥«¥®, ²® 'k(n) = , ¨ k(n) 2 IF . ª¨¬ ®¡° §®¬, n 2 K , k(n) 62 IF : 17
(3)
§ ³±«®¢¨¿ (3) ¥¯®±°¥¤±²¢¥® ¢»²¥ª ¥², ·²® ¥±«¨ ¡» ¬®¦¥±²¢® IF ¡»«® ° §°¥¸¨¬»¬, ²® ° §°¥¸¨¬® ¡»«® ¡» ¨ ¬®¦¥±²¢® K, ·²® ¥¢®§¬®¦® ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 12.3. » ¤®ª § «¨ ¥° §°¥¸¨¬®±²¼ ¬®¦¥±²¢ IF ¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® 2 F .
±«¨ ¦¥ 62 F , ²® ¨§ ¤®ª § ®£® ¢»²¥ª ¥² ¥° §°¥¸¨¬®±²¼ ¬®¦¥±²¢ ICnF = N n IF , ®²ª³¤ ³¦¥ ±«¥¤³¥² ¥° §°¥¸¨¬®±²¼ ¬®¦¥±²¢ IF , ² ª ª ª ¤®¯®«¥¨¥ ¥° §°¥¸¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ ¥° §°¥¸¨¬®. 2 14. ¥±¿² ¿ ¯°®¡«¥¬ ¨«¼¡¥°²
» ¢¨¤¨¬, ·²® ¢ ²¥®°¨¨ «£®°¨²¬®¢ ¨¬¥¥²±¿ ®·¥¼ ¬®£® ¥° §°¥¸¨¬»µ «£®°¨²¬¨·¥±ª¨µ ¯°®¡«¥¬. ±¯®«¼§³¿ °¥§³«¼² ²» ® ¥° §°¥¸¨¬®±²¨ ¥ª®²®°»µ ¯°®¡«¥¬ ¢ ²¥®°¨¨ «£®°¨²¬®¢, ³¤ «®±¼ ¤®ª § ²¼ «£®°¨²¬¨·¥±ª³¾ ¥° §°¥¸¨¬®±²¼ ¥ª®²®°»µ ¯°®¡«¥¬, ¨¬¥¾¹¨µ ®¡¹¥¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¥ § ·¥¨¥. 1900 £®¤³ ¥¦¤³ °®¤®¬ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬ ª®£°¥±±¥ ¢ °¨¦¥ § ¬¥¨²»© ¥¬¥¶ª¨© ¬ ²¥¬ ²¨ª . ¨«¼¡¥°² ±´®°¬³«¨°®¢ « °¿¤ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ¯°®¡«¥¬, °¥¸¥¨¥ ª®²®°»µ, ¯® ¥£® ¬¥¨¾, ¨¡®«¥¥ ª²³ «¼® ¤«¿ ¬ ²¥¬ ²¨ª¨ 20-£® ¢¥ª . ¤ ¨§ ¨µ, ¯®¤ ®¬¥°®¬ 10, ª ± « ±¼ ² ª §»¢ ¥¬»µ ¤¨®´ ²®¢»µ ³° ¢¥¨©, ². ¥. ³° ¢¥¨© ¢¨¤ p(x1; x2; : : :; xn) = 0; £¤¥ p(x1; x2; : : :; xn) | ¤¨®´ ²®¢ ¬®£®·«¥, ². ¥. ¬®£®·«¥ ®² ¯¥°¥¬¥»µ x1 ; x2; : : :; xn ± ¶¥«»¬¨ ª®½´´¨¶¨¥² ¬¨, ¯°¨·¥¬ ¨¹³²±¿ ²®«¼ª® ¶¥«»¥ °¥¸¥¨¿ ² ª®£® ³° ¢¥¨¿. ¥±¿² ¿ ¯°®¡«¥¬ ¨«¼¡¥°² ±®±²®¿« ¢ ²®¬, ·²®¡» ³±² ®¢¨²¼, ±³¹¥±²¢³¥² «¨ «£®°¨²¬, ± ¯®¬®¹¼¾ ª®²®°®£® ¬®¦® ®¯°¥¤¥«¨²¼, ¨¬¥¥² «¨ °¥¸¥¨¥ ¯°®¨§¢®«¼®¥ ¯¥°¥¤ § ¤ ®¥ ¤¨®´ ²®¢® ³° ¢¥¨¥. 1970 £®¤³ ±®¢¥²±ª¨© ¬ ²¥¬ ²¨ª . . ²¨¿±¥¢¨· ¤®ª § «, ·²® ² ª®£® «£®°¨²¬ ¥ ±³¹¥±²¢³¥². ³²¼ ¥£® ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® ¯¥°¥·¨±«¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ A N ¬®¦® ¯¨± ²¼ ² ª®© ¤¨®´ ²®¢ ¬®£®·«¥ p(a; x1; x2; : : :; xn) ®² ¯¥°¥¬¥»µ a; x1; x2; : : :; xn, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® ²³° «¼®£® a ³° ¢¥¨¥ p(a; x1; x2; : : :; xn) = 0 ª ª ³° ¢¥¨¥ ®²®±¨²¥«¼® ¥¨§¢¥±²»µ x1; x2; : : :; xn ¨¬¥¥² ¶¥«»¥ °¥¸¥¨¿ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ a 2 A. ¥¯¥°¼ °¥¸¥¨¥ ¤¥±¿²®© ¯°®¡«¥¬» ¨«¼¡¥°² ¥¯®±°¥¤±²¢¥® ¢»²¥ª ¥² ¨§ ±³¹¥±²¢®¢ ¨¿ ¥° §°¥¸¨¬®£® ¯¥°¥·¨±«¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ . ¤ ·¨.
1) ³±²¼ ²®² «¼ ¿ ®¤®¬¥±² ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f : N ! N ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾ (8x)f(x) x. ®ª § ²¼, ·²® ¬®¦¥±²¢® § ·¥¨© Ran(f) ´³ª¶¨¨ f ° §° ¸¨¬®. 2) ®ª § ²¼, ·²® ª ¦¤®¥ ¡¥±ª®¥·®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® A N ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¥ª®²®°®© ¢§ ¨¬®-®¤®§ ·®© ²®² «¼®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ f : N ! N. 3) ®ª § ²¼, ·²® £° ´¨ª ²®² «¼®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ ° §°¥¸¨¬. 4) ®ª § ²¼, ·²® ¯®«»© ¯°®®¡° § f 1 (A) ° §°¥¸¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ A ®²®±¨²¥«¼® ²®² «¼®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ f ° §°¥¸¨¬. 5) ³±²¼ A N | ° §°¥¸¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢®, f : N ! N | ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿, ¯°¨·¥¬ Ran(f) = N, f(A) \ f(N n A) = ;. ®ª § ²¼, ·²® ¬®¦¥±²¢® f(A) ° §°¥¸¨¬®. 6) ³±²¼ A; B | ¯¥°¥·¨±«¨¬»¥ ¬®¦¥±²¢ , C | ° §°¥¸¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢®, ¯°¨·¥¬ A \ B = ;, A C A [ B. ®ª § ²¼, ·²® ¬®¦¥±²¢® A ° §°¥¸¨¬®. 7) ³±²¼ A | ¯°®¨§¢®«¼®¥ ±¥¬¥©±²¢® ¯¥°¥·¨±«¨¬»µ ¬®¦¥±²¢ ²³° «¼»µ ·¨±¥«. ¤¥ª±»¬ ¬®¦¥±²¢®¬ ±¥¬¥©±²¢ A §»¢ ¥²±¿ ¬®¦¥±²¢® IA = fnjWn 2 Ag. ¥¬¥©±²¢® A §»¢ ¥²±¿ ¥²°¨¢¨ «¼»¬, ¥±«¨ ®® ¥ ¯³±²® ¨ ±®¤¥°¦¨² ¥ ¢±¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬»¥ ¬®¦¥±²¢ ²³° «¼»µ ·¨±¥«. ®ª § ²¼ ±«¥¤³¾¹¨© ¢ °¨ ² ²¥®°¥¬» ©± ¤«¿ ¯¥°¥·¨±«¨¬»µ ¬®¦¥±²¢: ¨¤¥ª±®¥ ¬®¦¥±²¢® IA ¢±¿ª®£® ¥²°¨¢¨ «¼®£® ±¥¬¥©±²¢ ¯¥°¥·¨±«¨¬»µ ¬®¦¥±²¢ A ¥° §°¥¸¨¬®. 15. ¤¥ª±» ° §°¥¸¨¬»µ ¨ ª®¥·»µ ¬®¦¥±²¢
¦¤®¥ ° §°¥¸¨¬®¥, ¢ · ±²®±²¨, ª ¦¤®¥ ª®¥·®¥ ¬®¦¥±²¢® ¯¥°¥·¨±«¨¬®, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¨¬¥¥² ¢¨¤ Wx ¤«¿ ¥ª®²®°®£® x. ®¯®«¥¨¥ ° §°¥¸¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ ² ª¦¥ ° §°¥¸¨¬®, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ¤ ª®, ª ª ¬» ±¥©· ± ³¢¨¤¨¬, £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ¤®¯®«¥¨¿ ° §°¥¸¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ Wx ¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ©¤¥ ¯® ·¨±«³ x ± ¯®¬®¹¼¾ ª ª®£®-«¨¡® «£®°¨²¬ . 18
¥®°¥¬ 15.1.
¥ ±³¹¥±²¢³¥² · ±²¨·®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨
² ª®©, ·²®
(8x)[Wx ° §°¥¸¨¬® ) (! (x) & W (x) = Wx )]: ®ª § ²¥«¼±²¢®. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ² ª ¿ ´³ª¶¨¿ ±³¹¥±²¢³¥². ±±¬®²°¨¬ ¤¢³¬¥±²³¾ ´³ª¶¨¾ f(x; y) ' 'x (x): ·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ f ¢»·¨±«¨¬ . ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ g ² ª ¿, ·²® f(x; y) ' 'g(x) (y) ¤«¿ «¾¡»µ x; y. § ½²®£® ³±«®¢®£® ° ¢¥±²¢ ¨ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ f ±«¥¤³¥², ·²® ; ¥±«¨ x 2 K; Wg(x) = N ;; ¥±«¨ x 62 K: ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ «¾¡®£® x ¬®¦¥±²¢® Wg(x) ° §°¥¸¨¬®. ®£¤ ¯°¨ «¾¡®¬ x ®¯°¥¤¥«¥® § ·¥¨¥ (g(x)), ¯°¨·¥¬ x 2 K; W (g(x)) = ;N; ; ¥±«¨ ¥±«¨ x 62 K:
·¨², K = fxjW (g(x) 6= ;g. ª ª ª ¬®¦¥±²¢® K ¯¥°¥·¨±«¨¬®, ® ¥ ° §°¥¸¨¬®, ²® ¯® ²¥®°¥¬¥ ®±² ¥£® ¤®¯®«¥¨¥ ¥¯¥°¥·¨±«¨¬®. ¤°³£®© ±²®°®», ¬®¦¥±²¢® fxjW (g(x)) 6= ;g ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ®® ¯®«³° §°¥¸¨¬®, ² ª ª ª ¥£® ¯®«³µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ¥´®°¬ «¼»¬ «£®°¨²¬®¬: "³±²¼ ¤ ® ·¨±«® x. »·¨±«¨²¼ (g(x)). ©²¨ ¯°®£° ¬¬³ ± ®¬¥°®¬ (g(x)) ¨ § ¯³±²¨²¼ ¯ ° ««¥«¼»¥ ¢»·¨±«¥¨¿ ½²®© ¯°®£° ¬¬» ¨±µ®¤»µ ¤ »µ 0; 1; 2; : : :.
±«¨ ª ª®¥-²® ¨§ ½²¨µ ¢»·¨±«¥¨© § ¢¥°¸¨«®±¼ °¥§³«¼² ²¨¢®, ¢»¤ ²¼ 1." ®«³·¥®¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ± ¬®¬ ¤¥«¥ ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ ¥ ±³¹¥±²¢³¥². ¥®°¥¬ 15.1 ¤®ª § . ® ®¯°¥¤¥«¥¨¾, ¬®¦¥±²¢® ° §°¥¸¨¬® ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¢»·¨±«¨¬ ¥£® µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿. ¥¤¥«¥¢ ®¬¥° µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³ª¶¨¨ A ° §°¥¸¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ A N ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨¬ ¨¤¥ª±®¬ ¬®¦¥±²¢ A. ³¹¥±²¢³¥² ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ h : N ! N ² ª ¿, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® x, ¥±«¨ 'x | µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ ¥ª®²®°®£® ¬®¦¥±²¢ A, ²® 'h(x) | µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ ¥£® ¤®¯®«¥¨¿ N n A. ¥®°¥¬ 15.2.
®ª § ²¥«¼±²¢®.
¢³¬¥±²³¾ · ±²¨·³¾ ´³ª¶¨¾ f ®¯°¥¤¥«¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: f(x; y) ' sg('x (y)):
·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ f ¢»·¨±«¨¬ . ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ h, ·²® f(x; y) ' 'h(x) (y) ¤«¿ «¾¡»µ x; y. § ½²®£® ³±«®¢®£® ° ¢¥±²¢ ¨ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ f ±«¥¤³¥², ·²® 'h(x) (y) ' sg('x (y)). · ±²®±²¨, ¥±«¨ 'x | µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ ¥ª®²®°®£® ¬®¦¥±²¢ A, ²® 'h(x) | µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ ¥£® ¤®¯®«¥¨¿ N n A, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ¥®°¥¬ 15.2 ¤®ª § . «¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ±³¹¥±²¢³¥² «£®°¨²¬, ª®²®°»© ¯® µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®¬³ ¨¤¥ª±³ ° §°¥¸¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ A µ®¤¨² ¥£® £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ª ª ¯¥°¥·¨±«¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ . ¥®°¥¬ 15.3. ³¹¥±²¢³¥² ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ g : N ! N ² ª ¿, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® x, ¥±«¨ 'x | µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ ¥ª®²®°®£® ¬®¦¥±²¢ A, ²® Wg(x) = A.
¢³¬¥±²³¾ · ±²¨·³¾ ´³ª¶¨¾ f ®¯°¥¤¥«¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¥±«¨ 'x (y) = 1; f(x; y) = 1; ¥ ®¯°¥¤¥«¥® ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥: ·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ f ¢»·¨±«¨¬ . ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ g, ·²® f(x; y) ' 'g(x) (y) ¤«¿ «¾¡»µ x; y. § ½²®£® ³±«®¢®£® ° ¢¥±²¢ ¨ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ f ±«¥¤³¥², ·²® Wg(x) = fyj'x (y) = 1g. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¥±«¨ 'x | ½²® µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ ¥ª®²®°®£® ¬®¦¥±²¢ A, ²® Wg(x) = A, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ¥®°¥¬ 15.3 ¤®ª § . ª §»¢ ¥²±¿, ®¤ ª®, ·²® ®¡° ²»© ¯¥°¥µ®¤ | ®² £¥¤¥«¥¢»µ ®¬¥°®¢ ° §°¥¸¨¬»µ ¬®¦¥±²¢ ª ¨µ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨¬ ¨¤¥ª± ¬ | ¥¢®§¬®¦® ®±³¹¥±²¢¨²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ª ª®£®-«¨¡® «£®°¨²¬ . ®ª § ²¥«¼±²¢®.
19
¥®°¥¬ 15.4.
¥ ±³¹¥±²¢³¥² ®¤®¬¥±²®© · ±²¨·®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ ² ª®©, ·²®
(8x)[Wx ° §°¥¸¨¬® ) (! (x) & ' (x) = Wx ]: ®ª § ²¥«¼±²¢®. ®¯³±²¨¬, ·²® ² ª ¿ ´³ª¶¨¿ ±³¹¥±²¢³¥². «¿ ª ¦¤®£® x ¯®«®¦¨¬ (x) ' g(h( (x))); £¤¥ g ¨ h | ´³ª¶¨¨, ±³¹¥±²¢®¢ ¨¥ ª®²®°»µ ³²¢¥°¦¤ ¥²±¿ ±®®²¢¥²±²¢¥® ¢ ²¥®°¥¬ µ 15.3 ¨ 15.2. ·¥¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ ¢»·¨±«¨¬ . ®£¤ , ¥±«¨ x | £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ° §°¥¸¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ A, ²® (x) | µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¨¤¥ª± ¬®¦¥±²¢ A, h( (x)) | µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¨¤¥ª± ¥£® ¤®¯®«¥¨¿ N n A. ª®¥¶, (x) ¥±²¼ £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ¬®¦¥±²¢ N n A. ª¨¬ ®¡° §®¬, ± ¯®¬®¹¼¾ ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ ¬» ¬®¦¥¬ ¯® £¥¤¥«¥¢³ ®¬¥°³ ¯°®¨§¢®«¼®£® ° §°¥¸¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ A ©²¨ £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ¥£® ¤®¯®«¥¨¿, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ²¥®°¥¬¥ 15.1. ²® ¤®ª §»¢ ¥², ·²® ± ¬®¬ ¤¥«¥ ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ ¥ ±³¹¥±²¢³¥². ¥®°¥¬ 15.4 ¤®ª § . ·¥¢¨¤®, ·²® ¥±«¨ ¬» § ¥¬ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¨¤¥ª± ° §°¥¸¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ , ²® ¬» ¢« ¤¥¥¬ ¨ ° §°¥¸ ¾¹¨¬ «£®°¨²¬®¬ ¤«¿ ½²®£® ¬®¦¥±²¢ . ¥®°¥¬ 15.4 ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¯® £¥¤¥«¥¢³ ®¬¥°³ ° §°¥¸¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ ¢ ¯°¨¶¨¯¥ ¥¢®§¬®¦® ©²¨ ° §°¥¸ ¾¹¨© «£®°¨²¬ ¤«¿ ½²®£® ¬®¦¥±²¢ , ² ª ·²® ¢ ¥ª®²®°®¬ ±¬»±«¥ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨¥ ¨¤¥ª±» ° §°¥¸¨¬»µ ¬®¦¥±²¢ ®¡« ¤ ¾² ¡®«¼¸¥© "¨´®°¬ ²¨¢®±²¼¾" ¯® ±° ¢¥¨¾ ± ¨µ £¥¤¥«¥¢»¬¨ ®¬¥° ¬¨. ¦¤®¥ ª®¥·®¥ ¬®¦¥±²¢®, ¿¢«¿¿±¼ ° §°¥¸¨¬»¬, ¨¬¥¥² £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¨¤¥ª±. ¤ ª® ª®¥·»¥ ¬®¦¥±²¢ ²³° «¼»µ ·¨±¥« ¤®¯³±ª ¾² ¥¹¥ ¨ ³¬¥° ¶¨¾ ²°¥²¼¥£® ¢¨¤ . ¨¬¥®, ¥±«¨ A = fx1 ; x2; : : :; xng, £¤¥ x1 < x2 < : : : < xn , ²® ·¨±«® 2x1 + 2x2 + : : : + 2xn §»¢ ¥²±¿ ª ®¨·¥±ª¨¬ ¨¤¥ª±®¬ ¬®¦¥±²¢ A. ®¨·¥±ª¨¬ ¨¤¥ª±®¬ ¯³±²®£® ¬®¦¥±²¢ ±·¨² ¥²±¿ ·¨±«® 0. ¥°¥§ Dx ¡³¤¥¬ ®¡®§ · ²¼ ª®¥·®¥ ¬®¦¥±²¢®, ª ®¨·¥±ª¨¬ ¨¤¥ª±®¬ ª®²®°®£® ¿¢«¿¥²±¿ ·¨±«® x. ·¥¢¨¤®, ·²® ¢±¿ª®¥ ª®¥·®¥ ¬®¦¥±²¢® ¨¬¥¥² ¥¤¨±²¢¥»© ª ®¨·¥±ª¨© ¨¤¥ª±, ¨ ª ¦¤®¥ ²³° «¼®¥ ·¨±«® ¥±²¼ ª ®¨·¥±ª¨© ¨¤¥ª± ¥ª®²®°®£® ª®¥·®£® ¬®¦¥±²¢ . ²®¡» ¢ ¿¢®¬ ¢¨¤¥ ©²¨ ¢±¥ ½«¥¬¥²» ¬®¦¥±²¢ Dx , ³¦® ° ±±¬®²°¥²¼ ¤¢®¨·³¾ § ¯¨±¼ ·¨±« x ¨, ¥±«¨ ¢ ½²®© § ¯¨±¨ ¶¨´° 1 ±²®¨² (i + 1)-¬ ¬¥±²¥ ±¯° ¢ , ²® i 2 Dx . ¯°¨¬¥°, ·¨±«® 13 ¨¬¥¥² ¤¢®¨·³¾ § ¯¨±¼ 1101. «¥¤®¢ ²¥«¼®, D13 = f0; 2; 3g. ·¥¢¨¤®, ·²® ¯® ª ®¨·¥±ª®¬³ ¨¤¥ª±³ ª®¥·®£® ¬®¦¥±²¢ ¬®¦¥² ¡»²¼ «£®°¨²¬¨·¥±ª¨ ©¤¥ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¨¤¥ª± ½²®£® ¬®¦¥±²¢ . ¥©· ± ¬» ³¢¨¤¨¬, ·²® «£®°¨²¬¨·¥±ª¨© ¯¥°¥µ®¤ ®² µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨µ ¨¤¥ª±®¢ ª®¥·»µ ¬®¦¥±²¢ ª ¨µ ª ®¨·¥±ª¨¬ ¨¤¥ª± ¬ ¥¢®§¬®¦¥. · « ®²¬¥²¨¬ ±«¥¤³¾¹¨© ®·¥¢¨¤»© ´ ª²: ±³¹¥±²¢³¥² ²®² «¼ ¿ ®¤®¬¥±² ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f : N ! N ² ª ¿, ·²® f(x) ¥±²¼ ·¨±«® ½«¥¬¥²®¢ ¢ ¬®¦¥±²¢¥ Dx , ª ª®¢® ¡» ¨ ¡»«® x. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¯® ·¨±«³ x ¬» ¬®¦¥¬ ¢®±±² ®¢¨²¼ ¬®¦¥±²¢® Dx , § ²¥¬ ¯®¤±·¨² ²¼ ·¨±«® ½«¥¬¥²®¢ ¢ ¥¬. ¤°³£®© ±²®°®», ¨¬¥¥² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ . ¥®°¥¬ 15.5. ¥ ±³¹¥±²¢³¥² ®¤®¬¥±²®© · ±²¨·®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ ² ª®©, ·²® ¤«¿ ¢±¿ª®£® x, ¥±«¨ 'x | µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ ¥ª®²®°®£® ª®¥·®£® ¬®¦¥±²¢ A, ²® § ·¥¨¥ (x) ®¯°¥¤¥«¥® ¨ ° ¢® ·¨±«³ ½«¥¬¥²®¢ ¢ ¬®¦¥±²¢¥ A. ®ª § ²¥«¼±²¢®. ®¯³±²¨¬, ·²® ² ª ¿ ´³ª¶¨¿ ±³¹¥±²¢³¥². ¢³¬¥±²³¾ ´³ª¶¨¾ f § ¤ ¤¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 8 ¥±«¨ ° ¡®² ¯°®£° ¬¬» Px ¨±µ®¤®¬ < 1; ¤ ®¬ x § ¢¥°¸ ¥²±¿ °®¢® § y ¸ £®¢; f(x; y) = : 0 ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥: ·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ f ¢»·¨±«¨¬ . ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ g, ·²® f(x; y) ' 'g(x) (y) ¤«¿ «¾¡»µ x; y. § ½²®£® ³±«®¢®£® ° ¢¥±²¢ ¨ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ f ±«¥¤³¥², ·²® 'g(x) ¿¢«¿¥²±¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥ª®© ´³ª¶¨¥© ®¤®½«¥¬¥²®£® ¬®¦¥±²¢ , ¥±«¨ x 2 K, ¨ ¯³±²®£® ¬®¦¥±²¢ , ¥±«¨ x 62 K. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ «¾¡®£® x ¥±«¨ x 2 K; (g(x)) = 1; 0; ¥±«¨ x 62 K: ²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¥° §°¥¸¨¬®±²¨ ¬®¦¥±²¢ K. ·¨², ± ¬®¬ ¤¥«¥ ´³ª¶¨¿ ¥ ±³¹¥±²¢³¥². ¥®°¥¬ 15.5 ¤®ª § . ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯® ª ®¨·¥±ª®¬³ ¨¤¥ª±³ ª®¥·®£® ¬®¦¥±²¢ A ¬» ¬®¦¥¬ ©²¨ ¬®¹®±²¼ ¬®¦¥±²¢ A, ¯® ¥£® µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®¬³ ¨¤¥ª±³ | ¥². ·¨², «£®°¨²¬¨·¥±ª¨© ¯¥°¥µ®¤ ®² µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨µ ¨¤¥ª±®¢ ª®¥·»µ ¬®¦¥±²¢ ª ¨µ ª ®¨·¥±ª¨¬ ¨¤¥ª± ¬ ¥¢®§¬®¦¥, ¨ ª ®¨·¥±ª¨¥ ¨¤¥ª±» ª®¥·»µ ¬®¦¥±²¢ ®¡« ¤ ¾² ¡®«¼¸¥© "¨´®°¬ ²¨¢®±²¼¾" ¯® ±° ¢¥¨¾ ± ¨µ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨¬¨ ¨¤¥ª± ¬¨. 20
16. ¥ª³°±¨¢® ¥®²¤¥«¨¬»¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬»¥ ¬®¦¥±²¢
³±²¼ X | ¥ª®²®°»© ± ¬¡«¼ ª®±²°³ª²¨¢»µ ®¡º¥ª²®¢. ®¢®°¿², ·²® ¬®¦¥±²¢ A; B X °¥ª³°-
±¨¢® ®²¤¥«¨¬», ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ° §°¥¸¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® C X, ·²® A C, B (X n C). ¥®°¥¬ 16.1. A; B N.
³¹¥±²¢³¥² ¯ ° °¥ª³°±¨¢® ¥®²¤¥«¨¬»µ ¥¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯¥°¥·¨±«¨¬»µ ¬®¦¥±²¢
®ª § ²¥«¼±²¢®.
³±²¼
A = fxj'x(x) = 0g; B = fxj'x(x) = 1g: ·¥¢¨¤®, ·²® ¬®¦¥±²¢ A ¨ B ®¡ ¯¥°¥·¨±«¨¬» ¨ ¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿. ®¯³±²¨¬, ·²® ®¨ °¥ª³°±¨¢® ®²¤¥«¨¬». ³±²¼ C N | ² ª®¥ ° §°¥¸¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢®, ·²® A C, B (N n C). ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³ª¶¨¿ ¬®¦¥±²¢ C ¢»·¨±«¿¥²±¿ ¥ª®²®°®© ¯°®£° ¬¬®© Pm . ®¯³±²¨¬, ·²® m 2 C. ®£¤ 'm (m) = 1, ¨ m 2 B, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¢ª«¾·¥¨¾ B (N n C). ·¨², m 62 C. ®£¤ 'm (m) = 0, ¨ m 2 A, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¢ª«¾·¥¨¾ A C. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬®¦¥±²¢® C ± ³ª § »¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨ ±³¹¥±²¢®¢ ²¼ ¥ ¬®¦¥². ¥®°¥¬ 16.1 ¤®ª § . ¤ ·¨.
1) ®ª § ²¼, ·²® ®¡° § f(A) ¯¥°¥·¨±«¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ A ®²®±¨²¥«¼® · ±²¨·®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ f ¯¥°¥·¨±«¨¬. 2) ®ª § ²¼, ·²® ¯®«»© ¯°®®¡° § f 1 (A) ¯¥°¥·¨±«¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ A ®²®±¨²¥«¼® · ±²¨·®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ f ¯¥°¥·¨±«¨¬. 3) ³±²¼ A; B | ¯¥°¥·¨±«¨¬»¥ ¬®¦¥±²¢ . ®ª § ²¼, ·²® ±³¹¥±²¢³¾² ¯¥°¥·¨±«¨¬»¥ ¬®¦¥±²¢ A1 ; B1 ² ª¨¥, ·²® A1 A; B1 B; A1 \ B1 = ;; A1 [ B1 = A [ B: 4) ®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ¬®¦¥±²¢ ¥° §°¥¸¨¬»: ) ¡) ¢) £) ¤)
A1 = fxj'x | ª®±² ² g; A2 = fxj'x(a) = bg, £¤¥ a; b | ´¨ª±¨°®¢ »¥ ·¨±« ; A3 = fhx; yijy 2 Dom('x )g; A4 = fhx; yijy 2 Ran('x )g; A5 = fxj'x = 'y g:
17. ¥®°¥¬ ©± { ¯¨°®
¥¬¥©±²¢® ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨© F C §»¢ ¥²±¿ ¢¯®«¥ ° §°¥¸¨¬»¬, ¥±«¨ ¥£® ¨¤¥ª±®¥ ¬®¦¥±²¢® ° §°¥¸¨¬®. ®ª § ¿ ¢ ° §¤¥«¥ 13 ²¥®°¥¬ ©± ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® ¨ª ª®¥ ¥²°¨¢¨ «¼®¥ ±¥¬¥©±²¢® F ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¢¯®«¥ ° §°¥¸¨¬»¬. ¥¬¥©±²¢® ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨© F C §»¢ ¥²±¿ ¢¯®«¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬»¬, ¥±«¨ ¥£® ¨¤¥ª±®¥ ¬®¦¥±²¢® ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ³¹¥±²¢³¾² ¥²°¨¢¨ «¼»¥ ¢¯®«¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬»¥ ±¥¬¥©±²¢ ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨©. ª®¢®, ¯°¨¬¥°, ±¥¬¥©±²¢® ¢±¥µ ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨©, ¯°¨¨¬ ¾¹¨µ § ·¥¨¥ 0 ¢ ²®·ª¥ 0. ¥®¡µ®¤¨¬®¥ ³±«®¢¨¥ ¢¯®«¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®±²¨ ±¥¬¥©±²¢ ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨© ¤ ¥² ²¥®°¥¬ ©± { ¯¨°®. ®¥·®© ´³ª¶¨¥© §»¢ ¥²±¿ ´³ª¶¨¿ ± ª®¥·®© ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥¨¿. ¯¨±¼ f ¡³¤¥² ®§ · ²¼, ·²® ´³ª¶¨¿ f ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¤®«¦¥¨¥¬ ´³ª¶¨¨ . ¥®°¥¬ 17.1 (²¥®°¥¬ ©± { ¯¨°®).
¢»·¨±«¨¬»µ ·¨±«®¢»µ ´³ª¶¨©. ®£¤
³±²¼ F | ¢¯®«¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ±¥¬¥©±²¢® ®¤®¬¥±²»µ
F = ff 2 Cj ±³¹¥±²¢³¥² ª®¥· ¿ ´³ª¶¨¿ 2 F ² ª ¿, ·²® f g: ®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ F | ¢¯®«¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ±¥¬¥©±²¢®, ². ¥. ¨¤¥ª±®¥ ¬®¦¥±²¢® IF ±¥¬¥©±²¢
F ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ¥¬¥©±²¢® ff 2 Cj ±³¹¥±²¢³¥² ª®¥· ¿ ´³ª¶¨¿ 2 F ² ª ¿, ·²® f g; 21
³· ±²¢³¾¹¥¥ ¢ ´®°¬³«¨°®¢ª¥ ²¥®°¥¬», ®¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ A. ¥®°¥¬³ ¤®ª §»¢ ¥¬ ®² ¯°®²¨¢®£®. ®¯³±²¨¬ ± · « , ·²® ¥¢¥°® ¢ª«¾·¥¨¥ F A. ®£¤ ±³¹¥±²¢³¥² ´³ª¶¨¿ f 2 F ² ª ¿, ·²® f ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¤®«¦¥¨¥¬ ¨ª ª®© ª®¥·®© ´³ª¶¨¨ ¨§ F . ³±²¼ P | ¯°®£° ¬¬ ¤«¿ , ¢»·¨±«¿¾¹ ¿ ¯®«³µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª³¾ ´³ª¶¨¾ ¬®¦¥±²¢ K. ¢³¬¥±²³¾ ´³ª¶¨¾ g ®¯°¥¤¥«¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 8 < f(t); ¥±«¨ ¢»·¨±«¥¨¥ P (z) ¥ § ¢¥°¸ ¥²±¿ § t ¸ £®¢; g(z; t) ' : ¥ ®¯°¥¤¥«¥®, ¥±«¨ ¢»·¨±«¥¨¥ P (z) § ¢¥°¸ ¥²±¿ § t ¸ £®¢: ·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ g ¢»·¨±«¨¬ . ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ s : N ! N, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ z; t ¨¬¥¥² ¬¥±²® ³±«®¢®¥ ° ¢¥±²¢® g(z; t) ' 's(z) (t): ²±¾¤ ¨ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ g ±«¥¤³¥², ·²® 's(z) f. ¬¥²¨¬ ² ª¦¥, ·²® ¥±«¨ z 2 K, ²® ¢»·¨±«¥¨¥ P (z) § ¢¥°¸ ¥²±¿ § ª®¥·®¥ ·¨±«® ¸ £®¢, ±ª ¦¥¬, t0 . ®£¤ , ª ª ¢¨¤® ¨§ § ¤ ¨¿ ´³ª¶¨¨ g, § ·¥¨¿ g(z; t) ¤«¿ t > t0 ¥ ®¯°¥¤¥«¥», ¨ ´³ª¶¨¿ 's(z) ª®¥· . «¥¤®¢ ²¥«¼®, 's(z) 62 F ¨ s(z) 62 IF .
±«¨ ¦¥ z 62 K, ²® g(z; t) ' f(t) ¯°¨ «¾¡®¬ t, ¨ 's(z) = f. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ 's(z) 2 F ¨ s(z) 2 IF . ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¢¨¤¨¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® z z 62 K , s(z) 2 IF ; ®²ª³¤ ¢»²¥ª ¥², ·²® ¤®¯®«¥¨¥ ¬®¦¥±²¢ K ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ®«³·¥®¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¤®¯³¹¥¨¥ ¥¢¥°®, ¨ ± ¬®¬ ¤¥«¥ F A. ®¯³±²¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ¥¢¥°® ¢ª«¾·¥¨¥ A F . ®£¤ ±³¹¥±²¢³¥² ª®¥· ¿ ´³ª¶¨¿ 2 F ² ª ¿, ·²® f ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¤®«¦¥¨¥¬ ´³ª¶¨¨ , ® f 62 F . ¢³¬¥±²³¾ ´³ª¶¨¾ g ®¯°¥¤¥«¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¥±«¨ t 2 Dom() ¨«¨ z 2 K; g(z; t) ' f(t); ¥ ®¯°¥¤¥«¥® ¢ ®±² «¼»µ ±«³· ¿µ: ·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ g ¢»·¨±«¨¬ . ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ s : N ! N, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ z; t ¨¬¥¥² ¬¥±²® ³±«®¢®¥ ° ¢¥±²¢® g(z; t) ' 's(z) (t): ²±¾¤ ¨ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ g ±«¥¤³¥², ·²® ¥±«¨ z 2 K, ²® 's(z) = f, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, 's(z) 62 F ¨ s(z) 62 IF .
±«¨ ¦¥ z 62 K, ²® ¨§ ²®£® ´ ª² , ·²® f ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¤®«¦¥¨¥¬ ´³ª¶¨¨ , ±«¥¤³¥², ·²® 's(z) = , ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, 's(z) 2 F ¨ s(z) 2 IF . ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¢¨¤¨¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® z z 62 K , s(z) 2 IF ; ®²ª³¤ ¢»²¥ª ¥², ·²® ¤®¯®«¥¨¥ ¬®¦¥±²¢ K ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ®«³·¥®¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¤®¯³¹¥¨¥ ¥¢¥°®, ¨ ± ¬®¬ ¤¥«¥ A F . ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨ ®¡ ¢ª«¾·¥¨¿ F A ¨ A F . «¥¤®¢ ²¥«¼®, F = A, ¨ ²¥®°¥¬ 17.1 ¤®ª § . ¥®°¥¬ ©± { ¯¨°® ¯®§¢®«¿¥² «¥£ª® ¤®ª §»¢ ²¼ ¥¯¥°¥·¨±«¨¬®±²¼ ¥ª®²®°»µ ¬®¦¥±²¢. ª, ° ¥¥ ¬» ¤®ª § «¨, ·²® ¬®¦¥±²¢® £¥¤¥«¥¢»µ ®¬¥°®¢ ®¤®¬¥±²»µ ²®² «¼»µ ¢»·¨±«¨¬»µ ·¨±«®¢»µ ´³ª¶¨© ¥¯¥°¥·¨±«¨¬®. ¥¯¥°¼ ½²®² ¦¥ °¥§³«¼² ² ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯®«³·¥ ± ¯®¬®¹¼¾ ²¥®°¥¬» ©± { ¯¨°®. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®¥ ¬®¦¥±²¢® | ½²® ¨¤¥ª±®¥ ¬®¦¥±²¢® ±¥¬¥©±²¢ F ¢±¥µ ®¤®¬¥±²»µ ²®² «¼»µ ¢»·¨±«¨¬»µ ·¨±«®¢»µ ´³ª¶¨©. ²® ±¥¬¥©±²¢® ¥ ±®¤¥°¦¨² ¨ ®¤®© ª®¥·®© ´³ª¶¨¨, ² ª ·²® ¨ª ª ¿ ´³ª¶¨¿ ¨§ F ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¤®«¦¥¨¥¬ ª®¥·®© ´³ª¶¨¨ ¨§ F , ¨ ¯® ²¥®°¥¬¥ ©± { ¯¨°® F ¥ ¡³¤¥² ¢¯®«¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬»¬. ¥®°¥¬ ©± { ¯¨°® ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯¥°¥´®°¬³«¨°®¢ ¨ ¤®ª § ¨ ¤«¿ ±¥¬¥©±²¢ ¯¥°¥·¨±«¨¬»µ ¬®¦¥±²¢. ¥¬¥©±²¢® K ¯¥°¥·¨±«¨¬»µ ¯®¤¬®¦¥±²¢ ²³° «¼®£® °¿¤ ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼ ¢¯®«¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬»¬, ¥±«¨ ¯¥°¥·¨±«¨¬® ¥£® ¨¤¥ª±®¥ ¬®¦¥±²¢®. « ±± ª®¥·»µ ¬®¦¥±²¢ D §»¢ ¥²±¿ ª ®¨·¥±ª¨ ¯¥°¥·¨±«¨¬»¬, ¥±«¨ ¯¥°¥·¨±«¨¬® ¬®¦¥±²¢® ª ®¨·¥±ª¨µ ¨¤¥ª±®¢ ¢±¥µ ¬®¦¥±²¢ ¨§ D. ¥¬¥©±²¢® K ¯¥°¥·¨±«¨¬»µ ¯®¤¬®¦¥±²¢ N ¢¯®«¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬® ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ±³¹¥±²¢³¥² ª ®¨·¥±ª¨ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ±¥¬¥©±²¢® ª®¥·»µ ¬®¦¥±²¢ D ² ª®¥, ·²®
¥®°¥¬ 17.2.
(8A)[A 2 K , (A ¯¥°¥·¨±«¨¬® ¨ (9D)(D 2 D & D A))]:
(4)
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ K | ¢¯®«¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ±¥¬¥©±²¢® ¯¥°¥·¨±«¨¬»µ ¬®¦¥±²¢. ³±²¼ D | ±¥¬¥©±²¢® ¢±¥µ ª®¥·»µ ¬®¦¥±²¢ ¨§ K. ®ª ¦¥¬, ·²® ¬®¦¥±²¢® ª ®¨·¥±ª¨µ ¨¤¥ª±®¢ fxjDx 2 Dg ¢±¥µ ¬®¦¥±²¢ ¨§ D ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ¨¬¥®, ³¡¥¤¨¬±¿, ·²® ®® ¯®«³° §°¥¸¨¬®. ³±²¼ ¤ ® ²³° «¼®¥ ·¨±«® x. ª ¡»«® ®²¬¥·¥® ¢ ° §¤¥«¥ 15, ¯® ·¨±«³ x ¬®¦® ½´´¥ª²¨¢®, ². ¥. ± ¯®¬®¹¼¾ «£®°¨²¬ , ©²¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¨¤¥ª± ¬®¦¥±²¢ Dx , § ²¥¬ | ± ¯®¬®¹¼¾ ²¥®°¥¬, ¤®ª § »µ ¢ ° §¤¥«¥ 15, | £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ½²®£® ¬®¦¥±²¢ , ². ¥. ² ª®¥ ·¨±«® (x), ·²® Dx = W (x) . °¨¬¥¨¬ ª ½²®¬³ ·¨±«³ «£®°¨²¬, ¢»·¨±«¿¾¹¨© ¯®«³µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª³¾ ´³ª¶¨¾ ¨¤¥ª±®£® ¬®¦¥±²¢ ±¥¬¥©±²¢ K. ·¥¢¨¤®, ·²® °¥§³«¼² ²
22
¡³¤¥² ¯®«³·¥ ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ¢ ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤ ¬®¦¥±²¢® W (x) ¯°¨ ¤«¥¦¨² ±¥¬¥©±²¢³ K, ². ¥. ¬®¦¥±²¢® Dx , ¯°¨ ¤«¥¦¨² ±¥¬¥©±²¢³ D. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬®¦¥±²¢® ª ®¨·¥±ª¨µ ¨¤¥ª±®¢ ¢±¥µ ¬®¦¥±²¢ ¨§ D ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ² ª, D | ª ®¨·¥±ª¨ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ±¥¬¥©±²¢®. ±c¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ±¥¬¥©±²¢® ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨©
ff 2 CjDom(f) 2 Kg: ·¥¢¨¤®, ·²® ¨¤¥ª±»¥ ¬®¦¥±²¢ ±¥¬¥©±²¢ K ¨ F ±®¢¯ ¤ ¾². ª ª ª ±¥¬¥©±²¢® K ¢¯®«¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®, ²® ² ª®¢® ¦¥ ¨ ±¥¬¥©±²¢® F . ® ²¥®°¥¬¥ 17.1 ´³ª¶¨¿ f ¯°¨ ¤«¥¦¨² ±¥¬¥©±²¢³ F ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ® ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¤®«¦¥¨¥¬ ¥ª®²®°®© ª®¥·®© ´³ª¶¨¨ ¨§ F . ±¨«³ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ±¥¬¥©±²¢ F ½²® ®§ · ¥², ·²® ¯°®¨§¢®«¼®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® ¯°¨ ¤«¥¦¨² ±¥¬¥©±²¢³ K ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®® ¨¬¥¥² ª®¥·®¥ ¯®¤¬®¦¥±²¢® ¨§ K, § ·¨², ¨ ¨§ D. ª¨¬ ®¡° §®¬, ±¥¬¥©±²¢® D ¿¢«¿¥²±¿ ª ®¨·¥±ª¨
¯¥°¥·¨±«¨¬»¬ ¨ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾ (4). ®ª ¦¥¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ¥±«¨ ¤«¿ ¤ ®£® ±¥¬¥©±²¢ ¯¥°¥·¨±«¨¬»µ ¬®¦¥±²¢ K ±³¹¥±²¢³¥² ª ®¨·¥±ª¨ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ±¥¬¥©±²¢® ª®¥·»µ ¬®¦¥±²¢ D ² ª®¥, ·²® ¢»¯®«¿¥²±¿ ³±«®¢¨¥ (4), ²® ±¥¬¥©±²¢® K ¢¯®«¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®.
±«¨ ±¥¬¥©±²¢® D ¯³±²®, ²®, ®·¥¢¨¤®, ±¥¬¥©±²¢® K ² ª¦¥ ¯³±²®, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¢¯®«¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®.
±«¨ ¦¥ ±¥¬¥©±²¢® D ¥ ¯³±²®, ²® ¬®¦¥±²¢® ª ®¨·¥±ª¨µ ¨¤¥ª±®¢ ¢±¥µ ¬®¦¥±²¢ ¨§ D ¯¥°¥·¨±«¿¥²±¿ ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¥©. ¯¨¸¥¬ «£®°¨²¬, ¢»·¨±«¿¾¹¨© ¯®«³µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª³¾ ´³ª¶¨¾ ¨¤¥ª±®£® ¬®¦¥±²¢ ±¥¬¥©±²¢ K. ³±²¼ ¤ ® ²³° «¼®¥ ·¨±«® x. ³¤¥¬ ¯¥°¥·¨±«¿²¼ ½«¥¬¥² § ½«¥¬¥²®¬ ¬®¦¥±²¢® ª ®¨·¥±ª¨µ ¨¤¥ª±®¢ ¢±¥µ ¬®¦¥±²¢ ¨§ D. ®«³· ¿ ®·¥°¥¤®© ½«¥¬¥² y ½²®£® ¬®¦¥±²¢ , ¢»¯¨±»¢ ¥¬ ½«¥¬¥²» ¬®¦¥±²¢ Dy ¨ § ¯³±ª ¥¬ «£®°¨²¬ ¯°®¢¥°ª¨ ½²¨µ ½«¥¬¥²®¢ ¯°¨ ¤«¥¦®±²¼ ¨µ ¬®¦¥±²¢³ Wx , ². ¥. ª ¦¤®¬ ¨§ ¨µ ·¨ ¥¬ ¢»·¨±«¿²¼ § ·¥¨¥ ´³ª¶¨¨ 'x . ®ª ¯°®¶¥±± ¢»·¨±«¥¨¿ ¨¤¥², ¬» µ®¤¨¬ ±«¥¤³¾¹¨© ½«¥¬¥² y ¨§ ¬®¦¥±²¢ ª ®¨·¥±ª¨µ ¨¤¥ª±®¢ ¢±¥µ ¬®¦¥±²¢ ¨§ D ¨ § ¯³±ª ¥¬ «£®°¨²¬ ¯°®¢¥°ª¨ ¥£® ½«¥¬¥²®¢ ¯°¨ ¤«¥¦®±²¼ ¨µ ¬®¦¥±²¢³ Wx , ¨ ². ¤.
±«¨ ®ª ¦¥²±¿, ·²® ¢±¥ ½«¥¬¥²» ª ª®£®-²® ¨§ ½²¨µ ¬®¦¥±²¢ Dy ¯°¨ ¤«¥¦ ² ¬®¦¥±²¢³ Wx , ¤¥« ¥¬ ¢»¢®¤, ·²® Wx ¯°¨ ¤«¥¦¨² ±¥¬¥©±²¢³ K, x ¯°¨ ¤«¥¦¨² ¨¤¥ª±®¬³ ¬®¦¥±²¢³ ±¥¬¥©±²¢ K. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¨¤¥ª±®¥ ¬®¦¥±²¢® ±¥¬¥©±²¢ K ¯¥°¥·¨±«¨¬®, ± ¬® ½²® ±¥¬¥©±²¢® ¢¯®«¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ¥®°¥¬ 17.2 ¤®ª § . ¤ ·¨.
1) 2) 3) 4)
»¢¥±²¨ ²¥®°¥¬³ ©± ¨§ ²¥®°¥¬» ©± { ¯¨°®. ®ª § ²¼, ·²® ¬®¦¥±²¢® £¥¤¥«¥¢»µ ®¬¥°®¢ ¢±¥µ ¥²®² «¼»µ ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨© ¥¯¥°¥·¨±«¨¬®. ®ª § ²¼, ·²® ¬®¦¥±²¢® £¥¤¥«¥¢»µ ®¬¥°®¢ ¢±¥µ ¢»·¨±«¨¬»µ ¥¨º¥ª²¨¢»µ ´³ª¶¨© ¯¥°¥·¨±«¨¬®. »¿±¨²¼, ª ª¨¥ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¬®¦¥±²¢ ° §°¥¸¨¬», ª ª¨¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬», ª ª¨¥ ¨¬¥¾² ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¤®¯®«¥¨¥:
fxjx 2 Wx g; fxjx ¥±²¼ ¯®«»© ª¢ ¤° ²g; fxj'x ¥±²¼ ¨º¥ª²¨¢ ¿ ´³ª¶¨¿g; fxj ¢ ¤¥±¿²¨·®¬ ° §«®¦¥¨¨ ·¨±« ±³¹¥±²¢³¾² x ¨¤³¹¨µ ¤°³£ § ¤°³£®¬ ±¥¬¥°®ªg; ¤) fxj'm (x)¥ ®¯°¥¤¥«¥®g (m ´¨ª±¨°®¢ ®). ) ¡) ¢) £)
18. ®£®§ · ¿ ±¢®¤¨¬®±²¼
®ª §»¢ ¿ ¥° §°¥¸¨¬®±²¼ ¥ª®²®°»µ ¬®¦¥±²¢, ¬» · ±²® ¯®«¼§®¢ «¨±¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ¯°¨¥¬®¬: ¬» ¯®ª §»¢ «¨, ·²® ¥±«¨ ¡» ±³¹¥±²¢®¢ « ° §°¥¸ ¾¹¨© «£®°¨²¬ ¤«¿ ¤ ®£® ¬®¦¥±²¢ , ²® ¬» ¨¬¥«¨ ¡» ° §°¥¸ ¾¹¨© «£®°¨²¬ ¨ ¤«¿ ¥ª®²®°®£® § ¢¥¤®¬® ¥° §°¥¸¨¬®£® ¬®¦¥±²¢ , ¯°¨¬¥°, K. ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ½²®² ¯°¨¥¬ §»¢ ¥²±¿ ±¢¥¤¥¨¥¬ ®¤®© «£®°¨²¬¨·¥±ª®© ¯°®¡«¥¬» ª ¤°³£®©. ®¿²¨¾ ±¢¥¤¥¨¿ ¬®¦® ¯°¨¤ ²¼ ²®·»© ±¬»±« ¬®£¨¬¨ ° §«¨·»¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨. » ° ±±¬®²°¨¬ ®¤¨ ¨§ ¨µ | ¬®£®§ ·³¾ ±¢®¤¨¬®±²¼. ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ¬®¦¥±²¢® A N ¬®£®§ ·® ±¢®¤¨²±¿ (¨«¨ m-±¢®¤¨²±¿) ª ¬®¦¥±²¢³ B N (A m B), ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f : N ! N ² ª ¿, ·²® (8x)[x 2 A , f(x) 2 B]: 23
½²®¬ ±«³· ¥ ¡³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® A ±¢®¤¨¬® ª B ¯®±°¥¤±²¢®¬ ´³ª¶¨¨ f, ´³ª¶¨¾ f ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼ ±¢®¤¿¹¥© A ª B. °¨¬¥°».
1) ³±²¼ B ¥±²¼ ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ £¥¤¥«¥¢»µ ®¬¥°®¢ ´³ª¶¨¨, ²®¦¤¥±²¢¥® ° ¢®© 0. ®£¤ K m B. ²®¡» ¤®ª § ²¼ ½²®, ° ±±¬®²°¨¬ ¤¢³¬¥±²³¾ ´³ª¶¨¾ g, ®¯°¥¤¥«¿¥¬³¾ ² ª: ¥±«¨ x 2 K; g(x; y) = 0; ¥ ®¯°¥¤¥«¥®, ¥±«¨ x 62 K: ·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ g ¢»·¨±«¨¬ . ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f ² ª ¿, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ x; y ¢»¯®«¿¥²±¿ ³±«®¢®¥ ° ¢¥±²¢® g(x; y) ' 'f (x) (y). ²±¾¤ ¨ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ g ¥¬¥¤«¥® ±«¥¤³¥², ·²® ¥±«¨ x 2 K, ²® ´³ª¶¨¿ 'f (x) ²®¦¤¥±²¢¥® ° ¢ 0, ². ¥. f(x) 2 B, ¥±«¨ x 62 K, ²® ´³ª¶¨¿ 'f (x) ¨£¤¥ ¥ ®¯°¥¤¥«¥ , ¨ f(x) 62 B. ª¨¬ ®¡° §®¬, (8x)[x 2 K , f(x) 2 B], ². ¥. K m B. 2) «¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ²¥®°¥¬» ©± ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¬®¦¥±²¢® K m-±¢®¤¨²±¿ ª ¨¤¥ª±®¬³ ¬®¦¥±²¢³ «¾¡®£® ¥²°¨¢¨ «¼®£® ±¥¬¥©±²¢ ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨©, ¥ ±®¤¥°¦ ¹¥£® ¨£¤¥ ¥ ®¯°¥¤¥«¥³¾ ´³ª¶¨¾. 3) ³±²¼ A | ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ £¥¤¥«¥¢»µ ®¬¥°®¢ ²®² «¼»µ ®¤®¬¥±²»µ ¢»·¨±«¨¬»µ ·¨±«®¢»µ ´³ª¶¨©, B | ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ £¥¤¥«¥¢»µ ®¬¥°®¢ ´³ª¶¨¨, ²®¦¤¥±²¢¥® ° ¢®© 0. ®£¤ A m B. «¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ° ±±¬®²°¨¬ ¤¢³¬¥±²³¾ ´³ª¶¨¾ g(x; y) ' 0 'x (y). ·¥¢¨¤®, ·²® ½² ´³ª¶¨¿ ¢»·¨±«¨¬ . ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f ² ª ¿, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ x; y ¢»¯®«¿¥²±¿ ³±«®¢®¥ ° ¢¥±²¢® g(x; y) ' 'f (x) (y). ²±¾¤ ¨ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ g ¥¬¥¤«¥® ±«¥¤³¥², ·²® ¥±«¨ x 2 A, ²® ´³ª¶¨¿ 'f (x) ²®¦¤¥±²¢¥® ° ¢ 0, ². ¥. f(x) 2 B, ¥±«¨ x 62 A, ²® ´³ª¶¨¿ 'f (x) ¥ ¢±¾¤³ ®¯°¥¤¥«¥ , ¨ f(x) 62 B. ª¨¬ ®¡° §®¬, (8x)[x 2 A , f(x) 2 B], ². ¥. A m B. ¥®°¥¬ 18.1.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
1. ²®¸¥¨¥ m °¥´«¥ª±¨¢® ¨ ²° §¨²¨¢®.
A m B ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ A m B .
±«¨ ¬®¦¥±²¢® B ° §°¥¸¨¬®, ¨ A m B , ²® ¬®¦¥±²¢® A ° §°¥¸¨¬®.
±«¨ ¬®¦¥±²¢® A ° §°¥¸¨¬®, B 6= ;, B 6= N, ²® A m B .
±«¨ ¬®¦¥±²¢® B ¯¥°¥·¨±«¨¬®, ¨ A m B , ²® ¬®¦¥±²¢® A ¯¥°¥·¨±«¨¬®. A m N , A = N; A m ; , A = ;; N m A , A 6= ;; ; m A , A 6= N.
®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. ·¥¢¨¤®, ·²® A ±¢®¤¨²±¿ ª A ¯®±°¥¤±²¢®¬ ²®¦¤¥±²¢¥®© ´³ª¶¨¨, ² ª ·²® A m A, ¨ ®²®¸¥¨¥ m °¥´«¥ª±¨¢®. ·¥¢¨¤® ² ª¦¥, ·²® ¥±«¨ A ±¢®¤¨²±¿ ª B ¯®±°¥¤±²¢®¬ ´³ª¶¨¨ f, B ±¢®¤¨²±¿ ª C ¯®±°¥¤±²¢®¬ ´³ª¶¨¨ g, ²® A ±¢®¤¨²±¿ ª ¯®±°¥¤±²¢®¬ ª®¬¯®§¨¶¨¨ ½²¨µ ´³ª¶¨©, ². ¥. ² ª®© ´³ª¶¨¨ h, ·²® (8x)h(x) = g(f(x)). 2. ·¥¢¨¤®, ·²® ¥±«¨ A ±¢®¤¨²±¿ ª B ¯®±°¥¤±²¢®¬ ´³ª¶¨¨ f, ²® A ±¢®¤¨²±¿ ª B ¯®±°¥¤±²¢®¬ ²®© ¦¥ ´³ª¶¨¨. 3. ·¥¢¨¤®, ·²® ¥±«¨ A ±¢®¤¨²±¿ ª B ¯®±°¥¤±²¢®¬ ´³ª¶¨¨ f, ²® (8x) A (x) = B (f(x)), ² ª ·²® ¥±«¨ ¬®¦¥±²¢® B ° §°¥¸¨¬®, ². ¥. ´³ª¶¨¿ B ¢»·¨±«¨¬ , ²® ´³ª¶¨¿ A ² ª¦¥ ¢»·¨±«¨¬ , ². ¥. ¬®¦¥±²¢® A ° §°¥¸¨¬®. 4.
±«¨ B 6= ;, B 6= N, ¢®§¼¬¥¬ b 2 B, c 62 B.
±«¨ A ° §°¥¸¨¬®, ²® ¢»·¨±«¨¬ ´³ª¶¨¿ ¥±«¨ x 2 A; f(x) = b; c; ¥±«¨ x 62 A: ·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ f ¢»·¨±«¨¬ , ¨ A ±¢®¤¨²±¿ ª B ¯®±°¥¤±²¢®¬ f. 5. ·¥¢¨¤®, ·²® ¥±«¨ A ±¢®¤¨²±¿ ª B ¯®±°¥¤±²¢®¬ ´³ª¶¨¨ f, ²® (8x) A (x) = B (f(x)), ² ª ·²® ¥±«¨ ¬®¦¥±²¢® B ¯¥°¥·¨±«¨¬®, ². ¥. ´³ª¶¨¿ B ¢»·¨±«¨¬ , ²® ´³ª¶¨¿ A ² ª¦¥ ¢»·¨±«¨¬ , ². ¥. ¬®¦¥±²¢® A ¯¥°¥·¨±«¨¬®. 6. ®£« ±® ¯³ª²³ 1, N m N. ¤°³£®© ±²®°®», ¥±«¨ A ±¢®¤¨²±¿ ª N ¯®±°¥¤±²¢®¬ ´³ª¶¨¨ f, ²® x 2 A , f(x) 2 N. ° ¢ ¿ · ±²¼ ½²®© ½ª¢¨¢ «¥²®±²¨ ¢»¯®«¿¥²±¿ ¤«¿ «¾¡®£® x, § ·¨², «¥¢ ¿ ²®¦¥, ¨ A = N. 7. A m ; , A m N , A = N , A = ;: 8. ³±²¼ N ±¢®¤¨²±¿ ª A ¯®±°¥¤±²¢®¬ ´³ª¶¨¨ f. ®£¤ A = Ran(f), ² ª ·²® A 6= ;. C ¤°³£®© ±²®°®», ¥±«¨ A 6= ;, ¢®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼®¥ c 2 A. ®£¤ N ±¢®¤¨²±¿ ª A ¯®±°¥¤±²¢®¬ ´³ª¶¨¨, ²®¦¤¥±²¢¥® ° ¢®© c.
24
9. ; m A , N m A , A 6= ; , A 6= N: ¥®°¥¬ 18.1 ¤®ª § . «¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¬®¦¥±²¢® K ¢ ¥ª®²®°®¬ ±¬»±«¥ ¨£° ¥² ª«¾·¥¢³¾ °®«¼ ±°¥¤¨ ¯¥°¥·¨±«¨¬»µ ¬®¦¥±²¢. ¥®°¥¬ 18.2.
®¦¥±²¢® A N ¯¥°¥·¨±«¨¬® ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ A m K .
®ª § ²¥«¼±²¢®. ®² ´ ª², ·²® ¥±«¨ A m K, ²® A ¯¥°¥·¨±«¨¬®, ¢»²¥ª ¥² ¨§ ¯³ª² 5 ²¥®°¥¬» 18.1 ¨ ²®£® ´ ª² , ·²® ¬®¦¥±²¢® K ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ¡° ²®, ¯³±²¼ A N | ¯°®¨§¢®«¼®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢®. ¢³¬¥±²³¾ ·¨±«®¢³¾ ´³ª¶¨¾ g ®¯°¥¤¥«¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¥±«¨ x 2 A; g(x; y) = 1; ¥ ®¯°¥¤¥«¥®, ¥±«¨ x 62 A: ·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ g ¢»·¨±«¨¬ . ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f ² ª ¿, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ x; y ¢»¯®«¿¥²±¿ ³±«®¢®¥ ° ¢¥±²¢® g(x; y) ' 'f (x) (y). ²±¾¤ ¨ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ g ¥¬¥¤«¥® ±«¥¤³¥², ·²® ¥±«¨ x 2 A, ²® ´³ª¶¨¿ 'f (x) ¢±¾¤³ ®¯°¥¤¥«¥ , ¢ · ±²®±²¨, ®¯°¥¤¥«¥® § ·¥¨¥ 'f (x) (f(x)), ². ¥. f(x) 2 K, ¥±«¨ x 62 A, ²® ´³ª¶¨¿ 'f (x) ¨£¤¥ ¥ ®¯°¥¤¥«¥ , ¨ f(x) 62 K. ª¨¬ ®¡° §®¬, (8x)[x 2 A , f(x) 2 K], ². ¥. A m K. ¥®°¥¬ 18.2 ¤®ª § . ¤ ·¨.
1) ³±²¼ c | ´¨ª±¨°®¢ ®¥ ·¨±«®, B = fxjc 2 Wx g. ®ª § ²¼, ·²® K m B. 2) ³±²¼ A | ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ £¥¤¥«¥¢»µ ®¬¥°®¢ ²®² «¼»µ ®¤®¬¥±²»µ ¢»·¨±«¨¬»µ ·¨±«®¢»µ ´³ª¶¨©. ®ª § ²¼, ·²® A ¥ m-±¢®¤¨²±¿ ª K. 3) ®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ A | ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢®, ¥ ¿¢«¿¾¹¥¥±¿ ° §°¥¸¨¬»¬, ²® A ¥ m-±¢®¤¨²±¿ ª A, ¨ A ¥ m-±¢®¤¨²±¿ ª A. 19. °®¤³ª²¨¢»¥ ¬®¦¥±²¢
ª ¬» § ¥¬, ¤®¯®«¥¨¥ K ¬®¦¥±²¢ K ¥¯¥°¥·¨±«¨¬®. ²®² ´ ª² ¬®¦¥² ¡»²¼ ¢»° ¦¥ ¢ ¡®«¥¥ ±¨«¼®© ´®°¬¥: ±³¹¥±²¢³¥² «£®°¨²¬, ª®²®°»© ¯®§¢®«¿¥² ¯® £¥¤¥«¥¢³ ®¬¥°³ x «¾¡®£® ¯¥°¥·¨±«¨¬®£® ¯®¤¬®¦¥±²¢ Wx ¬®¦¥±²¢ K ©²¨ ²³° «¼®¥ ·¨±«® ¨§ K, ¥ ¯°¨ ¤«¥¦ ¹¥¥ Wx . ¨¬¥®, ¢ ª ·¥±²¢¥ ² ª®£® ·¨±« ¬®¦® ¢§¿²¼ x. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¯³±²¼ Wx K. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® x 2 Wx . ®£¤ x 2 K, ·²® ¥¢®§¬®¦®. ·¨², x 62 Wx , ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, x 2 K ¨ x 2 (K n Wx ). ²® ±¢®©±²¢® ¬®¦¥±²¢ K ¯°¨¢®¤¨² ª ±«¥¤³¾¹¥¬³ ®¡¹¥¬³ ®¯°¥¤¥«¥¨¾: ¬®¦¥±²¢® A N §»¢ ¥²±¿ ¯°®¤³ª²¨¢»¬, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ®¤®¬¥±² ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ·¨±«®¢ ¿ ´³ª¶¨¿ ² ª ¿, ·²® (8x)[Wx A ) (! (x) & (x) 2 A n Wx )]: ½²®¬ ±«³· ¥ ´³ª¶¨¿ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¤³ª²¨¢®© ´³ª¶¨¥© ¤«¿ ¬®¦¥±²¢ A. ¥¯®±°¥¤±²¢¥® ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¢»²¥ª ¥², ·²® ¯°®¤³ª²¨¢®¥ ¬®¦¥±²¢® ¥¯¥°¥·¨±«¨¬®. ª ¯®ª § ® ¢»¸¥, ¬®¦¥±²¢® K ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¤³ª²¨¢»¬, ¯°¨·¥¬ ²®¦¤¥±²¢¥ ¿ ´³ª¶¨¿ (x) = x ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¤³ª²¨¢®© ´³ª¶¨¥© ¤«¿ K. ®£® ¤°³£¨µ ¯°¨¬¥°®¢ ¯°®¤³ª²¨¢»µ ¬®¦¥±²¢ ¬®¦® ¯®«³·¨²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ±«¥¤³¾¹¥© ²¥®°¥¬». ¥®°¥¬ 19.1.
³±²¼ ¬®¦¥±²¢® A ¯°®¤³ª²¨¢®, ¨ A m B . ®£¤ ¬®¦¥±²¢® B ¯°®¤³ª²¨¢®.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ A ±¢®¤¨¬® ª B ¯®±°¥¤±²¢®¬ ´³ª¶¨¨ f. ±±¬®²°¨¬ ¤¢³¬¥±²³¾ ´³ª¶¨¾ h(x; y) ' 'x (f(y)). ·¥¢¨¤®, ·²® ½² ´³ª¶¨¿ ¢»·¨±«¨¬ . ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ k ² ª ¿, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ x; y ¢»¯®«¿¥²±¿ ³±«®¢®¥ ° ¢¥±²¢® h(x; y) ' 'k(x)(y). ²±¾¤ ¨ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ h ±«¥¤³¥², ·²® § ·¥¨¥ 'k(x)(y) ®¯°¥¤¥«¥® ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®¯°¥¤¥«¥® § ·¥¨¥ 'x (f(y)). ²® ®§ · ¥², ·²® y 2 Wk(x) , f(y) 2 Wx , ². ¥. Wk(x) = f 1 (Wx ). ®¯³±²¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® Wx B. ®£¤ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ m-±¢®¤¨¬®±²¨ ±«¥¤³¥², ·²®
Wk(x) = f 1 (Wx ) A: ³±²¼ g | ¯°®¤³ª²¨¢ ¿ ´³ª¶¨¿ ¤«¿ A. ®£¤ g(k(x)) 2 (A n Wk(x) ), ®²ª³¤ ±«¥¤³¥², ·²® f(g(k(x))) 2 (B n Wx ): 25
«¥¤®¢ ²¥«¼®, ´³ª¶¨¿ (x) = f(g(k(x))) ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¤³ª²¨¢®© ¤«¿ ¬®¦¥±²¢ B. ¥®°¥¬ 19.1 ¤®ª § . ±±¬®²°¨¬ ¥ª®²®°»¥ ¯°¨¬¥¥¨¿ ²¥®°¥¬» 19.1. °¨¬¥° 1. ° §¤¥«¥ 18 ¡»«® ¤®ª § ®, ·²® ¬®¦¥±²¢® K m-±¢®¤¨¬® ª ¬®¦¥±²¢³ £ ¥¤¥«¥¢»µ ®¬¥°®¢ ´³ª¶¨¨ 0, ²®¦¤¥±²¢¥® ° ¢®© ³«¾. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¬®¦¥±²¢® K m-±¢®¤¨¬® ª ¬®¦¥±²¢³ fxj'x 6= 0g, ª®²®°®¥, ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ®ª §»¢ ¥²±¿ ¯°®¤³ª²¨¢»¬. °¨¬¥° 2. ª ¡»«® § ¬¥·¥® ¢ ° §¤¥«¥ 18, ¬®¦¥±²¢® K m-±¢®¤¨¬® ª ¨¤¥ª±®¬³ ¬®¦¥±²¢³ IF «¾¡®£® ¥²°¨¢¨ «¼®£® ±¥¬¥©±²¢ ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨© F , ¥ ±®¤¥°¦ ¹¥£® ¨£¤¥ ¥ ®¯°¥¤¥«¥³¾ ´³ª¶¨¾. ²±¾¤ ±«¥¤³¥², ·²® ¥±«¨ ¥²°¨¢¨ «¼®¥ ±¥¬¥©±²¢® ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨© F ±®¤¥°¦¨² ¨£¤¥ ¥ ®¯°¥¤¥«¥³¾ ´³ª¶¨¾, ²® K m IF , ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¬®¦¥±²¢® IF ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¤³ª²¨¢»¬. ¥®°¥¬ 19.2.
¾¡®¥ ¯°®¤³ª²¨¢®¥ ¬®¦¥±²¢® ±®¤¥°¦¨² ¡¥±ª®¥·®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¯®¤¬®¦¥±²¢®.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ A | ¯°®¤³ª²¨¢®¥ ¬®¦¥±²¢®, g | ¥£® ¯°®¤³ª²¨¢ ¿ ´³ª¶¨¿. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ f : N ! N ®¯°¥¤¥«¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ³±²¼ e0 | £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ¯°®£° ¬¬» ¤«¿ , ±®±²®¿¹¥© ¨§ ¥¤¨±²¢¥®© ª®¬ ¤» J(1; 1; 1): ·¥¢¨¤®, ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ We0 = ;, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, We0 A, ¨ § ·¥¨¥ y0 = g(e0 ) ®¯°¥¤¥«¥®. ª ·¥±²¢¥ f(0) ¢®§¼¬¥¬ y0 . °¨ ½²®¬, ®·¥¢¨¤®, y0 2 A. ®¯³±²¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ¬» ³¦¥ ¢»·¨±«¨«¨ § ·¥¨¿ f(i) = yi ¤«¿ i = 0; : : :; n, ¯°¨·¥¬ fy0 ; : : :; yn g A: ³±²¼ en+1 | £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ¯°®£° ¬¬» ¤«¿ , § ¢¥°¸ ¾¹¥© ° ¡®²³ ²®«¼ª® ¨±µ®¤»µ ¤ »µ y0 ; : : :; yn . ·¥¢¨¤®, ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ Wen+1 = fy0 ; : : :; yn g, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, Wen+1 A, ¨ § ·¥¨¥ yn+1 = g(en+1 ) ®¯°¥¤¥«¥®. ª ·¥±²¢¥ f(n + 1) ¢®§¼¬¥¬ yn+1 . °¨ ½²®¬, ®·¥¢¨¤®, yn+1 2 A ¨ yn+1 62 fy0; : : :; yng. ª¨¬ ®¡° §®¬, f | ¢»·¨±«¨¬ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼, ¬®¦¥±²¢® ¥¥ § ·¥¨© Ran(f) ¡¥±ª®¥·®, ¯¥°¥·¨±«¨¬® ¨ ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ A. ¥®°¥¬ 19.2 ¤®ª § . ¤ ·¨.
1) ®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ¬®¦¥±²¢ ¯°®¤³ª²¨¢»: ) fxjc 62 Wx g (c | ´¨ª±¨°®¢ ®¥ ·¨±«®); ¡) fxjc 62 Ran('x )g (c | ´¨ª±¨°®¢ ®¥ ·¨±«®); ¢) fxjWx ª®¥·®g; £) fxj'x ¥ ±¾°º¥ª²¨¢ g; ¤) fxj'x ¨º¥ª²¨¢ g; ¥) fxj'x ²®² «¼ g; ¦) fxj'x ¿¢«¿¥²±¿ ¬®£®·«¥®¬g; §) fxj'x ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¬®£®·«¥®¬g. 2) ®ª § ²¼, ¥±«¨ A ¯¥°¥·¨±«¨¬®, ¬®¦¥±²¢® A \ B ¯°®¤³ª²¨¢®, ²® B ² ª¦¥ ¯°®¤³ª²¨¢®. 3) ®ª § ²¼, ·²® «¾¡®¥ ¯°®¤³ª²¨¢®¥ ¬®¦¥±²¢® ±®¤¥°¦¨² ¡¥±ª®¥·®¥ ° §°¥¸¨¬®¥ ¯®¤¬®¦¥±²¢®. 20. °¥ ²¨¢»¥ ¬®¦¥±²¢
®¦¥±²¢® A N §»¢ ¥²±¿ ª°¥ ²¨¢»¬ (¨«¨ ²¢®°·¥±ª¨¬), ¥±«¨ ®® ¯¥°¥·¨±«¨¬®, ¥£® ¤®¯®«¥¨¥ A ¯°®¤³ª²¨¢®. ¬»¬ ¯°®±²»¬ ¯°¨¬¥°®¬ ª°¥ ²¨¢®£® ¬®¦¥±²¢ ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢® K. °³£¨¬ ¯°¨¬¥°®¬ ¬®¦¥² ±«³¦¨²¼ ¬®¦¥±²¢® A = fxj'x(x) = 0g: ·¥¢¨¤®, ·²® ½²® ¬®¦¥±²¢® ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ®±²°®¨¬ ¯°®¤³ª²¨¢³¾ ´³ª¶¨¾ ¤«¿ ¥£® ¤®¯®«¥¨¿. «¿ ½²®£® ° ±±¬®²°¨¬ ¤¢³¬¥±²³¾ ´³ª¶¨¾ f, ®¯°¥¤¥«¿¥¬³¾ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¥±«¨ § ·¥¨¥ 'x (y) ®¯°¥¤¥«¥®; f(x; y) = 0; ¥ ®¯°¥¤¥«¥® ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥: ·¥¢¨¤®, ·²® ½² ´³ª¶¨¿ ¢»·¨±«¨¬ . ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ g ² ª ¿, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ x; y ¢»¯®«¿¥²±¿ ³±«®¢®¥ ° ¢¥±²¢® f(x; y) ' 'g(x) (y). ²±¾¤ ¨ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ f ±«¥¤³¥², ·²® § ·¥¨¥ 'g(x) (g(x)) ®¯°¥¤¥«¥® (¨ ° ¢® 0) ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®¯°¥¤¥«¥® § ·¥¨¥ 'x (g(x)). ª¨¬ ®¡° §®¬, g(x) 2 A , g(x) 2 Wx , ² ª ·²® ¥±«¨ Wx A, ²® ¤®«¦® ¢»¯®«¿²¼±¿ ³±«®¢¨¥ g(x) 2 (A n Wx ), ². ¥. g | ¯°®¤³ª²¨¢ ¿ ´³ª¶¨¿ ¤«¿ A. ®£® ¤°³£¨µ ¯°¨¬¥°®¢ ª°¥ ²¨¢»µ ¬®¦¥±²¢ ¬®¦® ¯®«³·¨²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ±«¥¤³¾¹¥© ²¥®°¥¬». 26
³±²¼ F | ¥²°¨¢¨ «¼®¥ ±¥¬¥©±²¢® ®¤®¬¥±²»µ ·¨±«®¢»µ ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨©, A | ¥£® ¨¤¥ª±®¥ ¬®¦¥±²¢®.
±«¨ ¬®¦¥±²¢® A ¯¥°¥·¨±«¨¬®, ²® ®® ª°¥ ²¨¢®.
¥®°¥¬ 20.1.
®ª § ²¥«¼±²¢®.
±«¨ ¨£¤¥ ¥ ®¯°¥¤¥«¥ ¿ ´³ª¶¨¿ ¥ ¯°¨ ¤«¥¦¨² ±¥¬¥©±²¢³ F , ²®, ª ª ®²¬¥· «®±¼ ¢»¸¥, ¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ²¥®°¥¬» ©± ±«¥¤³¥², ·²® ¬®¦¥±²¢® A ¯°®¤³ª²¨¢®, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯¥°¥·¨±«¨¬»¬. ·¨², ¨£¤¥ ¥ ®¯°¥¤¥«¥ ¿ ´³ª¶¨¿ ¯°¨ ¤«¥¦¨² ¤®¯®«¥¨¾ ±¥¬¥©±²¢ F , ²®£¤ ¤®¯®«¥¨¥ ¬®¦¥±²¢ A ¯°®¤³ª²¨¢®. «¥¤®¢ ²¥«¼®, A ª°¥ ²¨¢®. ¥®°¥¬ 20.1 ¤®ª § . ¥¯®±°¥¤±²¢¥»¬ ¯°¨¬¥¥¨¥¬ ½²®© ²¥®°¥¬» ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ¯°¨¬¥°, ·²® ¬®¦¥±²¢® fxjc 62 Wx g ¨ fxjc 62 Ran('x)g (c | ´¨ª±¨°®¢ ®¥ ·¨±«®) ¿¢«¿¥²±¿ ª°¥ ²¨¢»¬. ¤ ·¨.
1) ®ª § ²¼, ·²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ¬®¦¥±²¢ ª°¥ ²¨¢»: ) ¡) ¢) £)
fxjWx 6= ;g; fxjx 2 Ran('x )g; fxj'x ¥ ¨º¥ª²¨¢ g; fxj'x(x) = f(x)g, £¤¥ f | ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿.
2) ®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ¬®¦¥±²¢® A ª°¥ ²¨¢®, ¬®¦¥±²¢® B ¯¥°¥·¨±«¨¬®, ¯°¨·¥¬ A \ B = ;, ²® ¬®¦¥±²¢® A [ B ª°¥ ²¨¢®. 21. °®±²»¥ ¬®¦¥±²¢
®¦¥±²¢® A N §»¢ ¥²±¿ ¯°®±²»¬, ¥±«¨ ¢»¯®«¥» ±«¥¤³¾¹¨¥ ³±«®¢¨¿:
A ¯¥°¥·¨±«¨¬®; A ¡¥±ª®¥·®; A ¥ ±®¤¥°¦¨² ¡¥±ª®¥·®£® ¯¥°¥·¨±«¨¬®£® ¯®¤¬®¦¥±²¢ . ¥®°¥¬ 21.1.
°®±²®¥ ¬®¦¥±²¢® ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¨ ° §°¥¸¨¬»¬, ¨ ª°¥ ²¨¢»¬.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ A | ¯°®±²®¥ ¬®¦¥±²¢®. ±¨«³ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¯°®±²®£® ¬®¦¥±²¢ , ¥£® ¤®¯®«¥¨¥ ¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ²±¾¤ ¯® ²¥®°¥¬¥ ®±² ¯®«³· ¥¬, ·²® A ¥ ° §°¥¸¨¬®. § ²¥®°¥¬» 19.2 ¨ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¯°®±²®£® ¬®¦¥±²¢ ±«¥¤³¥², ·²® ¬®¦¥±²¢® A ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®±²»¬, ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, A ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ª°¥ ²¨¢»¬. ¥®°¥¬ 21.1 ¤®ª § . ¥®°¥¬ 21.2.
³¹¥±²¢³¥² ¯°®±²®¥ ¬®¦¥±²¢®.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ¤®¬¥±²³¾ ·¨±«®¢³¾ ´³ª¶¨¾ f ®¯°¥¤¥«¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¬ «£®°¨²¬®¬ ¥¥ ¢»·¨±«¥¨¿. ³±²¼ ¤ ® ²³° «¼®¥ ·¨±«® x. ²®¡» ©²¨ f(x), ¡³¤¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼® ¢»·¨±«¿²¼ § ·¥¨¿
'x (0); 'x(1); : : : (¯°¨ ½²®¬ ¢»·¨±«¥¨¥ 'x (n+1) ·¨ ¥²±¿ ²®«¼ª® ¯®±«¥ ²®£®, ª ª ¢»·¨±«¥¨¥ 'x (n) § ¢¥°¸¨«®±¼); ¢»·¨±«¥¨¿ ¯°¥ª° ¹ ¾²±¿, ¥±«¨ ©¤¥® ² ª®¥ ·¨±«® n, ·²® 'x (n) > 2n; ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¯®« £ ¥¬ f(x) = 'x (n). ª¨¬ ®¡° §®¬, f | ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿. ®£¤ ¬®¦¥±²¢® ¥¥ § ·¥¨© ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ®ª ¦¥¬, ·²® ¬®¦¥±²¢® A = Ran(f) ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®±²»¬. ³±²¼ B | ¯°®¨§¢®«¼®¥ ¡¥±ª®¥·®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢®. ®£¤ B ¿¢«¿¥²±¿ ¬®¦¥±²¢®¬ § ·¥¨© ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ 'b . § ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ f ¢¨¤®, ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ § ·¥¨¥ f(b) ®¯°¥¤¥«¥® ¨ f(b) 2 B. ·¨², B ¥ ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ¤®¯®«¥¨¨ ¬®¦¥±²¢ A. ²®¡» ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ¬®¦¥±²¢® A ¡¥±ª®¥·®, § ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ § ·¥¨¥ f(x) ®¯°¥¤¥«¥®, ²® f(x) > 2x. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ «¾¡®£® n ¢ ¬®¦¥±²¢¥ f0; 1; 2; : ::; 2ng ±®¤¥°¦ ²±¿ ¥ ¬¥¥¥ n ½«¥¬¥²®¢ ¨§ A. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¬®¦¥±²¢® A ¡¥±ª®¥·®. ¥®°¥¬ 21.2 ¤®ª § .
27
22.
m-¯®«»¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬»¥ ¬®¦¥±²¢
®¦¥±²¢® A N §»¢ ¥²±¿ m-¯®«»¬, ¥±«¨ ®® ¯¥°¥·¨±«¨¬®, ¨ «¾¡®¥ ¤°³£®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® m-±¢®¤¨¬® ª A. ° §¤¥«¥ 18 ¡»«® ¯®ª § ®, ·²® ¬®¦¥±²¢® K ¿¢«¿¥²±¿ m-¯®«»¬. ²±¾¤ ¨ ¨§ ²° §¨²¨¢®±²¨ ®²®¸¥¨¿ m ±«¥¤³¥², ·²® ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® A ¿¢«¿¥²±¿ m-¯®«»¬ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ K m A. ®¦¥±²¢® K ¯¥°¥·¨±«¨¬®, ® ¥ ° §°¥¸¨¬®. ®§¨ª ¥² ¥±²¥±²¢¥»© ¢®¯°®±: ¢±¿ª®¥ «¨ ¥° §°¥¸¨¬®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ m-¯®«»¬? ¥©· ± ¬» ¯®«³·¨¬ ®²¢¥² ½²®² ¢®¯°®±. ¾¡®¥ m-¯®«®¥ ¬®¦¥±²¢® ª°¥ ²¨¢®.
¥®°¥¬ 22.1.
®ª § ²¥«¼±²¢®.
±«¨ ¬®¦¥±²¢® A m-¯®«®, ²® K m A. «¥¤®¢ ²¥«¼®, K m A. ª ª ª K ¯°®¤³ª²¨¢®, ²® ¯® ²¥®°¥¬¥ 19.1 ¬®¦¥±²¢® A ² ª¦¥ ¯°®¤³ª²¨¢®, ²®£¤ A ª°¥ ²¨¢®. ¥®°¥¬ 22.1 ¤®ª § . ¬¥¥² ¬¥±²® ¨ ®¡° ²®¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥: ¢±¿ª®¥ ª°¥ ²¨¢®¥ ¬®¦¥±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ m-¯®«»¬. ¤ ª® ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ½²®£® ³²¢¥°¦¤¥¨¿ ²°¥¡³¥² ¡®«¥¥ £«³¡®ª®£® ¨§³·¥¨¿ ²¥®°¨¨ «£®°¨²¬®¢ ¨ ¥ ¢µ®¤¨² ¢ ¸¨ ¯« ».
°®±²»¥ ¬®¦¥±²¢ ¥ ¿¢«¿¾²±¿ m-¯®«»¬¨.
¥®°¥¬ 22.2.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ²¥®°¥¬¥ 22.1 «¾¡®¥ m-¯®«®¥ ¬®¦¥±²¢® ª°¥ ²¨¢®, ¢ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ²¥®°¥¬ 21.1 ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® ¯°®±²»¥ ¬®¦¥±²¢ ¥ ¿¢«¿¾²±¿ ª°¥ ²¨¢»¬¨. ¥®°¥¬ 22.2 ¤®ª § . ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°®±²»¥ ¬®¦¥±²¢ ¯¥°¥·¨±«¨¬», ¥ ° §°¥¸¨¬», ® ¥ ¿¢«¿¾²±¿ m-¯®«»¬¨.
23. §»ª ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨
¥©· ± ¬» ° ±±¬®²°¨¬ ¥ª®²®°»¥ ¯°¨¬¥¥¨¿ ²¥®°¨¨ «£®°¨²¬®¢ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¥. ª ¨§¢¥±²®, ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ «®£¨ª ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¬¨ ¬¥²®¤ ¬¨ ¨§³· ¥² ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ° ±±³¦¤¥¨¿. ±¿ª®¥ ° ±±³¦¤¥¨¥ ¥±²¼ ¢ ¥ª®²®°®¬ ±¬»±«¥ «®£¨·¥±ª¨ ¯° ¢¨«¼ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¼ ³²¢¥°¦¤¥¨©. ²®¡» ±¤¥« ²¼ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¿ ²®·»¬¨ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¬¨ ®¡º¥ª² ¬¨, ¤«¿ ¨µ § ¯¨±¨ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¥ ° §° ¡®² » ¨±ª³±±²¢¥»¥, ´®°¬ «¨§®¢ »¥ ¿§»ª¨. » ° ±±¬®²°¨¬ ®¤¨ ¨§ ² ª¨µ ¿§»ª®¢ | ¿§»ª ´®°¬ «¼®© ¯°¨´¬¥²¨ª¨, ¯°¥¤ § ·¥»© ¤«¿ § ¯¨±¨ ³²¢¥°¦¤¥¨© ® ²³° «¼»µ ·¨±« µ. ª ¨ ¢±¿ª¨© ´®°¬ «¨§®¢ »© ¿§»ª, ¿§»ª ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨ ¨±¯®«¼§³¥² ´¨ª±¨°®¢ »© «´ ¢¨². «´ ¢¨² ¿§»ª ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨ ±®¤¥°¦¨² ±«¥¤³¾¹¨¥ ±¨¬¢®«»: ª®±² ²» 0 ¨ 1, ±¨¬¢®«» ¤«¿ ®¯¥° ¶¨© ±«®¦¥¨¿ + ¨ ³¬®¦¥¨¿ , ±¨¬¢®« ¤«¿ ®²®¸¥¨¿ ° ¢¥±²¢ =, ² ª¦¥ ±¨¬¢®«» ¤«¿ «®£¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© : (®²°¨¶ ¨¥), & (ª®º¾ª¶¨¿), _ (¤¨§º¾ª¶¨¿), (¨¬¯«¨ª ¶¨¿) ¨ ª¢ ²®°®¢ ¢±¥®¡¹®±²¨ 8 ¨ ±³¹¥±²¢®¢ ¨¿ 9. °®¬¥ ²®£®, ¢ ¿§»ª¥ ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨ ¨¬¥¾²±¿ ±·¥²®¥ ¬®¦¥±²¢® ¯¥°¥¬¥»µ V = fv0; v1; v2; : : :g ¨ ±ª®¡ª¨ (, ). °¥¤¨ ¢±¥µ ±«®¢ ¢ ®¯¨± ®¬ «´ ¢¨²¥ ° §«¨· ¾²±¿ ¤¢ ²¨¯ ®±¬»±«¥»µ ¢»° ¦¥¨© | ²¥°¬» ¨ ´®°¬³«». ¥°¬ | ½²® ´®°¬ «¼»© «®£ ·¨±«®¢®© ´®°¬». ¥°¬» ±²°®¿²±¿ ¯® ±«¥¤³¾¹¨¬ ¯° ¢¨« ¬:
ª®±² ²» 0 ¨ 1 ¿¢«¿¾²±¿ ²¥°¬ ¬¨; ¢±¿ª ¿ ¯¥°¥¬¥ ¿ ¿¢«¿¥²±¿ ²¥°¬®¬; ¥±«¨ t ¨ t | ²¥°¬», ²® ¢»° ¦¥¨¿ (t + t ) ¨ (t t ) ¿¢«¿¾²±¿ ²¥°¬ ¬¨. 1
2
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¯°¨¬¥°, ²¥°¬ ¬¨ ¿¢«¿¾²±¿ ¢»° ¦¥¨¿ 0, 1, (1+1), ((1+1)+1) ¨ ². ¤. ·¥¢¨¤®, ·²® ½²¨ ²¥°¬» ¿¢«¿¾²±¿ § ¯¨±¿¬¨ ·¨±¥« 0, 1, 2, 3 ¨ ². ¤. ¤ «¼¥©¸¥¬ ¬» ¡³¤¥¬ ·¥°¥§ n ®¡®§ · ²¼ ²¥°¬, ¿¢«¿¾¹¨©±¿ § ¯¨±¼¾ ²³° «¼®£® ·¨±« n. ¯°¨¬¥°, 7 ¥±²¼ ((((((1+1)+1)+1)+1)+1)+1). ®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ ´®°¬ «¼»¬ «®£®¬ ¢»±ª §»¢ ¨¿ ¨«¨ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼®© ´®°¬». ®°¬³«» ±²°®¿²±¿ ¯® ±«¥¤³¾¹¨¬ ¯° ¢¨« ¬:
¥±«¨ t1 ¨ t2 | ²¥°¬», ²® ¢»° ¦¥¨¥ t1 = t2 ¿¢«¿¥²±¿ ´®°¬³«®©; ¥±«¨ | ´®°¬³« , ²® ¢»° ¦¥¨¥ : ¿¢«¿¥²±¿ ´®°¬³«®©; ¥±«¨ ¨ | ´®°¬³«», ²® ¢»° ¦¥¨¿ ( & ), ( _ ), ( ) ¿¢«¿¾²±¿ ´®°¬³« ¬¨; ¥±«¨ | ´®°¬³« , x | ¯¥°¥¬¥ ¿, ²® ¢»° ¦¥¨¿ 8x ¨ 9x ¿¢«¿¾²±¿ ´®°¬³« ¬¨. 28
¯°¨¬¥°, ´®°¬³«®© ¿¢«¿¥²±¿ ¢»° ¦¥¨¥ 9v1 (v1 (1+1)) = v0 . ·¥¢¨¤®, ·²® ½² ´®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ § ¯¨±¼¾ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼®© ´®°¬» "v0 | ·¥²®¥ ·¨±«®". ®°¬³« 9v1 (v1 2) = 5 ¢»° ¦ ¥² «®¦®¥ ¢»±ª §»¢ ¨¥, ´®°¬³« 9v1 (v1 2) = 4 ¢»° ¦ ¥² ¨±²¨®¥ ¢»±ª §»¢ ¨¥. »° ¦ ¥² «¨ ¤ ¿ ´®°¬³« ¢»±ª §»¢ ¨¥ ¨«¨ ¢»±ª §»¢ ²¥«¼³¾ ´®°¬³, § ¢¨±¨² ®² ¯°¨±³²±²¢¨¿ ¢ ¥© ±¢®¡®¤»µ ¢µ®¦¤¥¨© ¯¥°¥¬¥»µ. ¢®¡®¤»¥ ¨ ±¢¿§ »¥ ¢µ®¦¤¥¨¿ ¯¥°¥¬¥»µ ¢ ´®°¬³«³ ° §«¨· ¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ´®°¬³«¥ ¢¨¤ 8x ¨«¨ 9x ¥¥ · ±²¼ 8x ¨«¨ 9x §»¢ ¥²±¿ ª¢ ²®°®© ¯°¨±² ¢ª®©, | ¥¥ ®¡« ±²¼¾ ¤¥©±²¢¨¿. µ®¦¤¥¨¥ ¯¥°¥¬¥®© x §»¢ ¥²±¿ ±¢¿§ »¬, ¥±«¨ ®® µ®¤¨²±¿ ¢ ª¢ ²®°®© ¯°¨±² ¢ª¥ 8x ¨«¨ 9x ¨«¨ ¢ ¥¥ ®¡« ±²¨ ¤¥©±²¢¨¿. µ®¦¤¥¨¥ ¯¥°¥¬¥®© §»¢ ¥²±¿ ±¢®¡®¤»¬, ¥±«¨ ®® ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ±¢¿§ »¬. ®°¬³« , ¥ ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ±¢®¡®¤»µ ¢µ®¦¤¥¨© ¯¥°¥¬¥»µ, §»¢ ¥²±¿ § ¬ª³²®© ´®°¬³«®© ¨«¨ ¢»±ª §»¢ ¨¥¬. ·¥¢¨¤®, ·²® ¢±¿ª®¥ ¢»±ª §»¢ ¨¥ ®ª §»¢ ¥²±¿ ¨±²¨»¬ ¨«¨ «®¦»¬ ¯°¨ ¥±²¥±²¢¥®¬ ¯®¨¬ ¨¨ ¢±¥µ ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ ¥£® ±¨¬¢®«®¢. ¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ T ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¨±²¨»µ ¢»±ª §»¢ ¨©, ·¥°¥§ F | ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ «®¦»µ ¢»±ª §»¢ ¨©.
±«¨ ´®°¬³« (x1; : : :; xn) ¥ ±®¤¥°¦¨² ±¢®¡®¤»µ ¢µ®¦¤¥¨© ¯¥°¥¬¥»µ, ®²«¨·»µ ®² x1 ; : : :; xn, ²® ® ¯°¥¢° ¹ ¥²±¿ ¢ ¢»±ª §»¢ ¨¥ (k1; : : :; kn), ¥±«¨ ¢¬¥±²® ½²¨µ ±¢®¡®¤»µ ¢µ®¦¤¥¨© ¯®¤±² ¢¨²¼ ±®®²¢¥²±²¢¥® ²¥°¬» k1 ; : : :; kn, ¨§®¡° ¦ ¾¹¨¥ ²³° «¼»¥ ·¨±« k1; : : :; kn. ®½²®¬³ ² ª ¿ ´®°¬³« ¬®¦¥² ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼±¿ ª ª ¢»±ª §»¢ ²¥«¼ ¿ ´®°¬ . ¯°¨¬¥°, ®²®¸¥¨¥ x < y ¢»° ¦ ¥²±¿ ´®°¬³«®©
9v (:v = 0 & (x + v ) = y): 0
0
0
®½²®¬³ ¢ ¤ «¼¥©¸¥¬ ¢¬¥±²® ² ª®© ´®°¬³«» ¬» ¨®£¤ ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ ¯°®±²® x < y. 24. °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ¬®¦¥±²¢ ¨ ´³ª¶¨¨
³±²¼ n 1 | ²³° «¼®¥ ·¨±«®. ®¦¥±²¢® A Nn §»¢ ¥²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² °¨´¬¥²¨·¥±ª ¿ ´®°¬³« A (v1 ; : : :; vn) ±® ±¢®¡®¤»¬¨ ¯¥°¥¬¥»¬¨ ²®«¼ª® ¨§ ±¯¨±ª v1 ; : : :; vn ² ª ¿, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ ²³° «¼»µ ·¨±¥« k1; : : :; kn ¢»¯®«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥¥ ³±«®¢¨¥:
hk ; : : :; kni 2 A , (k ; : : :; kn) 2 T : 1
1
½²®¬ ±«³· ¥ ¡³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ´®°¬³« A (v1 ; : : :; vn) ®¯°¥¤¥«¿¥² ¬®¦¥±²¢® A.
±«¨ ¬®¦¥±²¢ A; B Nn ¿¢«¿¾²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬¨, ²® ¬®¦¥±²¢ Nn n A, A [ B , A \ B ² ª¦¥ ¿¢«¿¾²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬¨. ¥®°¥¬ 24.1.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¬®¦¥±²¢ A ¨ B ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ±®®²¢¥²±²¢¥® ´®°¬³« ¬¨ A (v1 ; : : :; vn ) ¨ B (v1 ; : : :; vn). ®£¤ , ®·¥¢¨¤®, ¬®¦¥±²¢® Nn n A ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ´®°¬³«®© :A(v1 ; : : :; vn), ¬®¦¥±²¢® A [ B ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ´®°¬³«®© A (v1 ; : : :; vn ) _ B (v1 ; : : :; vn ), ¬®¦¥±²¢® A \ B ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ´®°¬³«®© A (v1 ; : : :; vn) & B (v1 ; : : :; vn). ¥®°¥¬ 24.1 ¤®ª § . ±²¨· ¿ ´³ª¶¨¿ f ¨§ ¬®¦¥±²¢ Nn ¢ ¬®¦¥±²¢® N §»¢ ¥²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª®©, ¥±«¨ ¥¥ £° ´¨ª f ¿¢«¿¥²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬ ¬®¦¥±²¢®¬. ®°¬³«³, ®¯°¥¤¥«¿¾¹³¾ £° ´¨ª °¨´¬¥²¨·¥±ª®© ´³ª¶¨¨ f, ¡³¤¥¬ ®¡®§ · ²¼ f (v1 ; : : :; vn; vn+1). ¥®°¥¬ 24.2.
±¿ª ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ·¨±«®¢ ¿ ´³ª¶¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª®©.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ±¨«³ ²¥§¨± ¥°· ¢±¿ª ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ·¨±«®¢ ¿ ´³ª¶¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢®©. ®½²®¬³ ¤®±² ²®·® ¤®ª § ²¼, ·²® ¢±¿ª ¿ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢ ¿ ´³ª¶¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª®©. · « ¤®ª ¦¥¬ °¨´¬¥²¨·®±²¼ ¡ §¨±»µ ´³ª¶¨©. ·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ s(x) = x + 1 ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ´®°¬³«®© v2 = (v1 + 1); ´³ª¶¨¿ o(x) = 0 ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ´®°¬³«®© v2 = 0; ´³ª¶¨¿ Imn (x1 ; : : :; xn) = xm ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ´®°¬³«®© vn+1 = vm . ®ª ¦¥¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ¥±«¨ °¨´¬¥²¨·» k-¬¥±² ¿ ´³ª¶¨¿ f ¨ n-¬¥±²»¥ ´³ª¶¨¥ g1 ; : : :; gk , ²® n¬¥±² ¿ ´³ª¶¨¿ h, ¯®«³· ¾¹ ¿±¿ ¨§ ¨µ ¯®¤±² ®¢ª®©, ² ª¦¥ °¨´¬¥²¨· . ³±²¼
f (v1 ; : : :; vk ; vk+1); gi (v1 ; : : :; vn; vn+1)(i = 1; : : :; k) ±³²¼ ´®°¬³«», ®¯°¥¤¥«¿¾¹¨¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ´³ª¶¨¨. ®£¤ , ®·¥¢¨¤®, ´³ª¶¨¿ h ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥© ´®°¬³«®©:
9u : : : 9uk (g1 (v ; : : :; vn; u ) & : : : & gk (v ; : : :; vn ; uk) & f (u ; : : :; uk ; vn )): 1
1
1
1
29
1
+1
®ª ¦¥¬, ·²® ¥±«¨ n-¬¥±² ¿ (n 1) · ±²¨· ¿ ´³ª¶¨¿ g ¯®«³· ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ¬¨¨¬¨§ ¶¨¨ ¨§ (n + 1)-¬¥±²®© · ±²¨·®© °¨´¬¥²¨·¥±ª®© ´³ª¶¨¨ f, ²® ´³ª¶¨¿ g ² ª¦¥ °¨´¬¥²¨· . ³±²¼ ´®°¬³« g (v1 ; : : :; vn; vn+1; vn+2) ®¯°¥¤¥«¿¥² ´³ª¶¨¾ g. ®£¤ , ®·¥¢¨¤®, ´³ª¶¨¿ f ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥© ´®°¬³«®©: 8v(v < vn+1 9w(g (v1 ; : : :; vn; v; w) & :w = 0)) & g (v1 ; : : :; vn ; vn+1; 0): «³· ©, ª®£¤ (n + 1)-¬¥±² ¿ (n 1) · ±²¨· ¿ ´³ª¶¨¿ h ¯®«³· ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ®¯¥° ¶¨¨ °¥ª³°±¨¨ ¨§ n-¬¥±²®© °¨´¬¥²¨·¥±ª®© ´³ª¶¨¨ f ¨ (n + 2)-¬¥±²®© °¨´¬¥²¨·¥±ª®© ´³ª¶¨¨ g, ²°¥¡³¥² ¥ª®²®°®© ¨§®¡°¥² ²¥«¼®±²¨. ³±²¼ x; y; z | ²³° «¼»¥ ·¨±« . ®¢®°¿², ·²® ·¨±«® z ±° ¢¨¬® ± ·¨±«®¬ y ¯® ¬®¤³«¾ x ¨ ¯¨¸³² z y(mod x), ¥±«¨ ·¨±« z ¨ y ¤ ¾² ®¤¨ ª®¢»¥ ®±² ²ª¨ ¯°¨ ¤¥«¥¨¨ x ¨«¨, ·²® ²® ¦¥ ± ¬®¥, ¥±«¨ ¨µ ° §®±²¼ z y ¤¥«¨²±¿ x. ²¬¥²¨¬ ±«¥¤³¾¹¨© ¨§¢¥±²»© ´ ª² ¨§ «£¥¡°»: ¥±«¨ ·¨±« w ¨ x ¢§ ¨¬® ¯°®±²», ²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® z, ·²® wz 1(modx). ¥¬¬ 24.1 (ª¨² ©±ª ¿ ²¥®°¥¬ ®¡ ®±² ²ª µ). ª®¢» ¡» ¨ ¡»«¨ ²³° «¼»¥ ·¨±« y1 ; : : :; yk ¨ ²³° «¼»¥ ¯®¯ °® ¢§ ¨¬® ¯°®±²»¥ ·¨±« x1; : : :; xk , ±³¹¥±²¢³¥² ²³° «¼®¥ ·¨±«® z ² ª®¥, ·²® z y1 (modx1); : : :; z yk (modxk ): ®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ x = x1 : : :xk . ®£¤ x = w1x1 = : : :wk xk ¤«¿ ¯®¤µ®¤¿¹¨µ ·¨±¥« w1 ; : : :; wk. «¿ «¾¡®£® i = 1; : : :; k ·¨±« wi ¨ xi ¢§ ¨¬® ¯°®±²», ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® zi , ·²® wizi 1(mod xi). ®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼ z = w1z1 y1 + : : : + wk zk yk . ®£¤ z y1 (mod xi) ¤«¿ «¾¡®£® i = 1; : : :; k. ¥¬¬ 24.1 ¤®ª § . ³±²¼ rm(x; y) ®¡®§ · ¥² ®±² ²®ª ®² ¤¥«¥¨¿ ·¨±« y ·¨±«® x. ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ´³ª¶¨¾: (x; y; z) = rm(1 + (z + 1) y; x) (®¡»·® ¥¥ §»¢ ¾² -´³ª¶¨¥© ¥¤¥«¿). ¥¬¬ 24.2. «¿ «¾¡®© ª®¥·®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ ²³° «¼»µ ·¨±¥« k0; k1; : : :; kn ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ ²³° «¼»¥ ·¨±« b ¨ c, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® i = 0; 1; : : :; n ¨¬¥¥² ¬¥±²® ° ¢¥±²¢® (b; c; i) = ki. ®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ j = max(n; k0; k1; : : :; kn) ¨ c = j!. ±±¬®²°¨¬ ·¨±« ui = 1 + (i + 1) c (i = 0; 1; : : :; n). ¨ ¯®¯ °® ¢§ ¨¬® ¯°®±²». ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¥±«¨ ¡» ·¨±« ul ¨ um , £¤¥ 1 l < m n, ¨¬¥«¨ ¯°®±²®© ®¡¹¨© ¤¥«¨²¥«¼ p, ²® p ¡»«® ¡» ¤¥«¨²¥«¥¬ ¨µ ° §®±²¨ um ul = (m l) c, § ·¨², ¨ ¤¥«¨²¥«¥¬ µ®²¿ ¡» ®¤®£® ¨§ ·¨±¥« m l ¨ c. ® ² ª ª ª m l j, ²® ¢ «¾¡®¬ ±«³· ¥ c ¤¥«¨²±¿ p. ¤ ª® ®·¥¢¨¤®, ·²® ²®£¤ ¨ ul , ¨ um ¥ ¬®£³² ¤¥«¨²±¿ p. ®«³·¥®¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ± ¬®¬ ¤¥«¥ ·¨±« ul ¨ um ¢§ ¨¬® ¯°®±²». ®£« ±® ª¨² ©±ª®© ²¥®°¥¬¥ ®¡ ®±² ²ª µ («¥¬¬ 24.1), ±³¹¥±²¢³¥² ·¨±«® b ² ª®¥, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® i = 0; 1; : : :; n ¨¬¥¥² ¬¥±²® ° ¢¥±²¢® b ki (modui ), ². ¥. ·¨±«® b ¤ ¥² ² ª®© ¦¥ ®±² ²®ª ¯°¨ ¤¥«¥¨¨ ui , ª ª ¨ ·¨±«® ki . ¬¥²¨¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® i = 0; 1; : : :; n ¢»¯®«¿¾²±¿ ³±«®¢¨¿ ki j j! = c < 1 + (i + 1) c = ui , ². ¥. ki < ui. ²® ®§ · ¥², ·²® rm(ui; ki) = ki. ¥¯¥°¼ ¨¬¥¥¬: (b; c; i) = rm(1 + (i + 1) c; b) = rm(ui ; b) = rm(ui ; ki) = ki ; ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ¥¬¬ 24.2 ¤®ª § . ¬¥²¨¬, ·²® ´³ª¶¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª®©: ® ®¯°¥¤¥«¨¬ ´®°¬³«®© 9v5v1 = (((1 + ((v3 + 1) v2 )) v5 ) + v4) & v4 < ((1 + ((v3 + 1) v2 ))); ª®²®° ¿, ¥±²¥±²¢¥®, ®¡®§ · ¥²±¿ (v1 ; v2; v3; v4 ). ¥°¥¬±¿ ª ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ ²¥®°¥¬» 24.2. ³±²¼ (n+1)-¬¥±² ¿ (n 1) · ±²¨· ¿ ´³ª¶¨¿ h ¯®«³· ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ °¥ª³°±¨¨ ¨§ n-¬¥±²®© °¨´¬¥²¨·¥±ª®© ´³ª¶¨¨ f ¨ (n + 2)-¬¥±²®© °¨´¬¥²¨·¥±ª®© ´³ª¶¨¨ g. ³±²¼ f (v1 ; : : :; vn ; vn+1; vn+2), g (v1 ; : : :; vn+2; vn+3) | ´®°¬³«», ®¯°¥¤¥«¿¾¹¨¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ´³ª¶¨¨. ®£¤ , ®·¥¢¨¤®, ´³ª¶¨¿ h ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥© ´®°¬³«®©: 9u9v((9w( (u; v; 0; w) & f (v1; : : :; vn; w))) & (u; v; vn+1; vn+2) & & 8w(w < vn+1 9y9z( (u; v; w; y) & & (u; v; (w + 1); z) & g (v1; : : :; vn; w; y; z)))): ²¤¥«¼® ° ±±¬®²°¨¬ ±«³· ©, ª®£¤ ®¤®¬¥±² ¿ ´³ª¶¨¿ h ¯®«³· ¥²±¿ °¥ª³°±¨¥© ¨§ ·¨±« a ¨ ¤¢³¬¥±²®© ´³ª¶¨¨ g. ³±²¼ g (v1 ; v2; v3) | ´®°¬³« , ®¯°¥¤¥«¿¾¹ ¿ ´³ª¶¨¾ g. ®£¤ ´³ª¶¨¿ h ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥© ´®°¬³«®©: 9u9v( (u; v; 0; a) & (u; v; v1; v2) & 8w(w < v1 9y9z( (u; v; w; y) & & (u; v; (w + 1); z) & g (w; y; z)))): ² ª, ¬» ¤®ª § «¨, ·²® ¢±¥ ¡ §¨±»¥ ´³ª¶¨¨ ¿¢«¿¾²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬¨, ± ¯®¬®¹¼¾ ®¯¥° ¶¨© ¯®¤±² ®¢ª¨, °¥ª³°±¨¨ ¨ ¬¨¨¬¨§ ¶¨¨ ¨§ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ´³ª¶¨© ¯®«³· ¾²±¿ ²®«¼ª® °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ´³ª¶¨¨. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¢±¿ª ¿ · ±²¨·®-°¥ª³°±¨¢ ¿ ´³ª¶¨¿ °¨´¬¥²¨· . ¥®°¥¬ 24.2 ¤®ª § . 30
¥®°¥¬ 24.3.
±¿ª®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® A N ¿¢«¿¥²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¬®¦¥±²¢® A N ¯¥°¥·¨±«¨¬®. ®£¤ ®® ¿¢«¿¥²±¿ ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¥ª®²®°®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ f. ® ²¥®°¥¬¥ 24.2, ´³ª¶¨¿ f °¨´¬¥²¨· . ³±²¼ f (v1 ; v2) | ´®°¬³« , ®¯°¥¤¥«¿¾¹ ¿ ´³ª¶¨¾ f. ª ª ª A ¿¢«¿¥²±¿ ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ f, ²®, ®·¥¢¨¤®, ´®°¬³« 9v2 f (v1 ; v2) ®¯°¥¤¥«¿¥² ¬®¦¥±²¢® A. ¥®°¥¬ 24.3 ¤®ª § . ¥®°¥¬ 24.4.
³¹¥±²¢³¥² ¥¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ °¨´¬¥²¨·¥±ª®¥ ¬®¦¥±²¢®.
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ A | ª ª®¥-¨¡³¤¼ ¥° §°¥¸¨¬®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢®. ® ²¥®°¥¬¥ 24.3 ®® ¿¢«¿¥²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬. ® ²¥®°¥¬¥ 24.1 ¥£® ¤®¯®«¥¨¥ ² ª¦¥ °¨´¬¥²¨·®, ® ®®, ®·¥¢¨¤®, ¥¯¥°¥·¨±«¨¬®. ¥®°¥¬ 24.4 ¤®ª § .
¤ ·¨.
1) ®ª § ²¼, ·²® ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°®±²»µ ·¨±¥« ¿¢«¿¥²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬. 2) ®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ¬®¦¥±²¢ A; B N °¨´¬¥²¨·», ²® ¨µ ° §®±²¼ A n B ² ª¦¥ °¨´¬¥²¨· . 3) «¿ ±«¥¤³¾¹¨µ ´³ª¶¨© ¯¨± ²¼ ®¯°¥¤¥«¿¾¹¨¥ ¨µ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ´®°¬³«»: 2 x ·¥²®; y 0 ) f1 (x) = xx +; ¥±«¨ 1; ¥±«¨ x ¥·¥²®; ¡) f(x; y) = x (§¤¥±¼ 0 = 1); ¢) f(x) = x! (§¤¥±¼ 0! = 1);
0; ¥±«¨ x > 0; x 1; ¥±«¨ x > 0; ¥±«¨ x > 0; £) sg(x) = 1; 0; ¥±«¨ x = 0; ¤) sg(x) = 1; ¥±«¨ x = 0; ¥) p(x) = 0; ¥±«¨ x = 0; y; ¥±«¨ x y; §) jx yj; ¨) max(x; y); ª) min(x; y); «) x y; ¬) x ; ) py x; ¦) d(x) = x0; ¥±«¨ y x < y; x x ®) 2 ; ¯) 2 .
25. ¥¤¥«¥¢ ³¬¥° ¶¨¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ´®°¬³«
¦¤®¬³ ±¨¬¢®«³ ¨§ «´ ¢¨² ¿§»ª ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨ ±®¯®±² ¢¨¬ ²³° «¼®¥ ·¨±«® g( ), §»¢ ¥¬®¥ £¥¤¥«¥¢»¬ ®¬¥°®¬ ±¨¬¢®« : g(0) = 3, g(1) = 5, g(+) = 7, g() = 9, g(=) = 11, g(:) = 13, g(&) = 15, g(_) = 17, g() = 19, g(8) = 21, g(9) = 23, g(() = 25, g()) = 27, g(vi ) = 29 + 2i (i = 0; 1; 2; : : :). ª¨¬ ®¡° §®¬, ° §«¨·»¬ ±¨¬¢®« ¬ ¯®±² ¢«¥» ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ° §«¨·»¥ ¥·¥²»¥ ²³° «¼»¥ ·¨±« . ¦¤®¬³ ±«®¢³ w = 0 1 : : : n ¢ «´ ¢¨²¥ ¿§»ª ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨ ±®¯®±² ¢¨¬ ²³° «¼®¥ ·¨±«® g(w) = 2 0 3 1 : : : p nn ; £¤¥ pn ¥±²¼ n-¥ ¯°®±²®¥ ·¨±«®, ¥±«¨ ±·¨² ²¼ p0 = 2. ¨±«® g(w) ¡³¤¥¬ §»¢ ²¼ £¥¤¥«¥¢»¬ ®¬¥°®¬ ±«®¢ w. · ±²®±²¨, ª ¦¤»© ²¥°¬ t ¨¬¥¥² ¥ª®²®°»© £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° g(t), ¨ ª ¦¤ ¿ ´®°¬³« ¨¬¥¥² ¥ª®²®°»© £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° g(). ¯°¨¬¥°, g(v0 = v1) = 229 311 531. ¬¥²¨¬, ·²® ¢ ±¨«³ ¥¤¨±²¢¥®±²¨ ° §«®¦¥¨¿ ²³° «¼»µ ·¨±¥« ¢ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¿ ±²¥¯¥¥© ¯°®±²»µ ·¨±¥« ° §«¨·»¥ ¢»° ¦¥¨¿ ¯®«³· ¾² ° §«¨·»¥ £¥¤¥«¥¢» ®¬¥° . °®¬¥ ²®£®, £¥¤¥«¥¢» ®¬¥° ¢»° ¦¥¨© ·¥²» ¨ ¯®²®¬³ ®²«¨·» ®² £¥¤¥«¥¢»µ ®¬¥°®¢ ±¨¬¢®«®¢. ª ¿ ³¬¥° ¶¨¿ ±¨¬¢®«®¢ ¨ ¢»° ¦¥¨© ¿§»ª ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨ ¡»« ¢¯¥°¢»¥ ¢¢¥¤¥ ¥¤¥«¥¬ ± ¶¥«¼¾ § ¬¥» ¢»±ª §»¢ ¨© ® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ³²¢¥°¦¤¥¨¿µ ¢»±ª §»¢ ¨¿ ® ²³° «¼»µ ·¨±« µ. ±±¬®²°¥»© §¤¥±¼ ±¯®±®¡ ¯®±²°®¥¨¿ £¥¤¥«¥¢»µ ®¬¥°®¢ ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨±²¢¥® ¢®§¬®¦»¬. « ¢®© ®²«¨·¨²¥«¼®© ®±®¡¥®±²¼¾ ½²®© ¨ ¤°³£¨µ £¥¤¥«¥¢»µ ³¬¥° ¶¨© ¿¢«¿¥²±¿ ±³¹¥±²¢®¢ ¨¥ «£®°¨²¬ , ¯®§¢®«¿¾¹¥£® ¯® «¾¡®¬³ ¢»° ¦¥¨¾ ©²¨ ¥£® £¥¤¥«¥¢ ®¬¥°, ¨ «£®°¨²¬ , ª®²®°»© ¤«¿ «¾¡®£® ²³° «¼®£® ·¨±« n ¯®§¢®«¿¥² ®¯°¥¤¥«¨²¼, ¿¢«¿¥²±¿ «¨ n £¥¤¥«¥¢»¬ ®¬¥°®¬ ª ª®£®-¨¡³¤¼ ¢»° ¦¥¨¿ ¨, ¥±«¨ ¿¢«¿¥²±¿, ©²¨ ½²® ¢»° ¦¥¨¥.
±«¨ X | ¥ª®²®°®¥ ¬®¦¥±²¢® ¢»° ¦¥¨© ¿§»ª ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨, ¥¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¬®¦¥±²¢® IX N, ±®±²®¿¹¥¥ ¢ ²®·®±²¨ ¨§ £¥¤¥«¥¢»µ ®¬¥°®¢ ¢»° ¦¥¨©, ¢µ®¤¿¹¨µ ¢ X . ³¤¥¬ §»¢ ²¼ IX ¨¤¥ª±»¬ ¬®¦¥±²¢®¬ ¬®¦¥±²¢ ¢»° ¦¥¨© X . ¥¯¥°¼ ¢±¥ ½¯¨²¥²», ª®²®°»¬¨ £° ¦¤ ¾²±¿ ·¨±«®¢»¥ ¬®¦¥±²¢ , ¬®£³² ¡»²¼ ¯°¨¬¥¥» ª ¬®¦¥±²¢ ¬ ¢»° ¦¥¨© ¿§»ª ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨, ² ª ·²® ¬®¦¥±²¢® ¢»° ¦¥¨© X ¡³¤¥² §»¢ ²¼±¿ ° §°¥¸¨¬»¬, ¯¥°¥·¨±«¨¬»¬, ¯°®¤³ª²¨¢»¬, ª°¥ ²¨¢»¬, °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬ ¨ ². ¤., ¥±«¨ ¥£® ¨¤¥ª±®¥ ¬®¦¥±²¢® IX ¿¢«¿¥²±¿ ±®®²¢¥²±²¢¥® ° §°¥¸¨¬»¬, ¯¥°¥·¨±«¨¬»¬, ¯°®¤³ª²¨¢»¬, ª°¥ ²¨¢»¬, °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬ ¨ ². ¤. 31
26. ¥®°¥¬ °±ª®£®
·¨±²® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ²®·ª¨ §°¥¨¿ ¨¡®«¥¥ ¨²¥°¥±¥ ¢®¯°®± ® ±¢®©±²¢ µ ¬®¦¥±²¢ T ¢±¥µ ¨±²¨»µ ¢»±ª §»¢ ¨©. ¥ª®²®°®¬ ±¬»±«¥ ®ª®· ²¥«¼»© ®²¢¥² ½²®² ¢®¯°®± ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ . ¥®°¥¬ 26.1 (²¥®°¥¬ °±ª®£®).
¬¥²¨ª¨ ¥ ¿¢«¿¥²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬.
®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¨±²¨»µ ¢»±ª §»¢ ¨© ¿§»ª ´®°¬ «¼®© °¨´-
®ª § ²¥«¼±²¢®. ®¯³±²¨¬, ·²® ¬®¦¥±²¢® T ¢±¥µ ¨±²¨»µ ¢»±ª §»¢ ¨© ¿§»ª ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨ °¨´¬¥²¨·®, ¨ T (v1 ) | ´®°¬³« , ®¯°¥¤¥«¿¾¹ ¿ ¬®¦¥±²¢® IT , ². ¥. ¬®¦¥±²¢® £¥¤¥«¥¢»µ ®¬¥°®¢ ¢±¥µ ¨±²¨»µ ´®°¬³«. ®±«¥¤¥¥ ®§ · ¥², ·²® ª ª®¢® ¡» ¨ ¡»«® ²³° «¼®¥ ·¨±«® n, ´®°¬³« T (n) ¨±²¨ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ n ¿¢«¿¥²±¿ £¥¤¥«¥¢»¬ ®¬¥°®¬ ¨±²¨®© § ¬ª³²®© ´®°¬³«». ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¤¢³¬¥±²³¾ · ±²¨·³¾ ·¨±«®¢³¾ ´³ª¶¨¾: ¥±«¨ x = g((v1 )) ¤«¿ ¥ª®²®°®© ´®°¬³«» ; sub(x; y) = g((y)); ¥ ®¯°¥¤¥«¥® ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥. ·¥¢¨¤®, ·²® ½² ´³ª¶¨¿ ¢»·¨±«¨¬ . ¢»·¨±«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ «£®°¨²¬®¬: "³±²¼ ¤ » ²³° «¼»¥ ·¨±« x ¨ y. ¯°¥¤¥«¨²¥, ¿¢«¿¥²±¿ «¨ x £¥¤¥«¥¢»¬ ®¬¥°®¬ ª ª®©-«¨¡® ´®°¬³«» (v1).
±«¨ ½²® ² ª, ²® ¢¬¥±²® ¢±¥µ ±¢®¡®¤»µ ¢µ®¦¤¥¨© ¯¥°¥¬¥®© v1 ¢ ´®°¬³«³ (v1 ) ¯®¤±² ¢¼²¥ ²¥°¬, ¨§®¡° ¦ ¾¹¨© ·¨±«® y. »·¨±«¨²¥ £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ¯®«³·¥®© ´®°¬³«». ²® ¨ ¥±²¼ § ·¥¨¥ sub(x; y)." ®±ª®«¼ª³ ´³ª¶¨¿ sub ¢»·¨±«¨¬ , ²® ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 24.2 ® °¨´¬¥²¨· . ³±²¼ sub(v1 ; v2; v3 ) | ´®°¬³« , ®¯°¥¤¥«¿¾¹ ¿ ´³ª¶¨¾ sub. ±±¬®²°¨¬ ´®°¬³«³ 9v0 (sub(v1 ; v1; v0 ) & :T (v0 )), ª®²®°³¾ ®¡®§ ·¨¬ (v1 ). ² ´®°¬³« ¨¬¥¥² ±¢®¡®¤»¥ ¢µ®¦¤¥¨¿ ²®«¼ª® ¯¥°¥¬¥®© v1 ¨, ®·¥¢¨¤®, ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® § ¬ª³² ¿ ´®°¬³« , ¯®«³·¥ ¿ ¯®¤±² ®¢ª®© ²¥°¬ v1 ¢¬¥±²® ±¢®¡®¤»µ ¢µ®¦¤¥¨© ¯¥°¥¬¥®© "v1 " ¢ ´®°¬³«³ ± £¥¤¥«¥¢»¬ ®¬¥°®¬ v1 , «®¦ . ³±²¼ m = g( (v1 )). ®£¤ sub(m; m) = g( (m)). ®¯³±²¨¬, ·²® ¢»±ª §»¢ ¨¥ (m) ¨±²¨®. ²® ¢»±ª §»¢ ¨¥ ¨¬¥¥² ¢¨¤ 9v0 (sub(m; m; v0) & :T (v0 )), ¨ ¥£® ¨±²¨®±²¼ ®§ · ¥², ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® a, ¤«¿ ª®²®°®£® ¨±²¨® ¢»±ª §»¢ ¨¥ sub(m; m; a) & :T (a). «¥¤®¢ ²¥«¼®, a = sub(m; m), ¨ ¨±²¨® ¢»±ª §»¢ ¨¥ :T (sub(m; m)). ® ½²® ®§ · ¥², ·²® ¢»±ª §»¢ ¨¥ ± ®¬¥°®¬ sub(m; m), ². ¥. (m), «®¦®. ®«³·¥®¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¢»±ª §»¢ ¨¥ (m) ¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¨±²¨»¬. ·¨², ®® «®¦®. ®¦®±²¼ ¢»±ª §»¢ ¨¿ 9v0 (sub(m; m; v0) & :T (v0)) ®§ · ¥², ·²® ª ª®¢® ¡» ¨ ¡»«® ²³° «¼®¥ ·¨±«® a, ¥±«¨ ¨±²¨® ¢»±ª §»¢ ¨¥ sub(m; m; a), ²® ¢»±ª §»¢ ¨¥ :T (a) «®¦®. · ±²®±²¨, ª®£¤ a = sub(m; m), ¯®«³· ¥¬, ·²® «®¦® ¢»±ª §»¢ ¨¥ :T (sub(m; m)). ® ½²® ®§ · ¥², ·²® ¨±²¨® ¢»±ª §»¢ ¨¥ T (sub(m; m)), ²®£¤ ¨±²¨® ¨ ¢»±ª §»¢ ¨¥ ± £¥¤¥«¥¢»¬ ®¬¥°®¬ sub(m; m), ². ¥. (m). ¯¿²¼ ¯®«³·¨«¨ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥. ·¨², ¢»±ª §»¢ ¨¥ (m) ¥ ¨±²¨® ¨ ¥ «®¦®, ·¥£® ¥ ¬®¦¥² ¡»²¼. ² ª, ¸¥ ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¥ ®¡ °¨´¬¥²¨·®±²¨ ¬®¦¥±²¢ T ¨ ±³¹¥±²¢®¢ ¨¨ ´®°¬³«» T (v1 ) ¥¢¥°®, ¨ ± ¬®¬ ¤¥«¥ ¬®¦¥±²¢® T ¥ °¨´¬¥²¨·®. ¥®°¥¬ 26.1 ¤®ª § . ¥®°¥¬ 26.2.
¯¥°¥·¨±«¨¬»¬.
®¦¥±²¢® T ¢±¥µ ¨±²¨»µ ¢»±ª §»¢ ¨© ¿§»ª ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨ ¥ ¿¢«¿¥²±¿
®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ²¥®°¥¬¥ 24.3, ¢±¿ª®¥ ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¬®¦¥±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬. ±¨«³ ²¥®°¥¬» °±ª®£® ¬®¦¥±²¢® T ¥ °¨´¬¥²¨·®, § ·¨², ®® ¨ ¥¯¥°¥·¨±«¨¬®. ¥®°¥¬ 26.2 ¤®ª § .
27. ¥°¢ ¿ ²¥®°¥¬ ¥¤¥«¿ ® ¥¯®«®²¥
¥®°¥¬ 26.2 ¨¬¥¥² ± ¬®¥ ¥¯®±°¥¤±²¢¥®¥ ®²®¸¥¨¥ ª ¯°®¡«¥¬¥ § ¤ ¨¿ ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨ ¢ ¢¨¤¥ ª±¨®¬ ²¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬». ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨© ¬¥²®¤ ¯®±²°®¥¨¿ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ²¥®°¨¨ ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ¥ª®²®°»¥ ¨±µ®¤»¥ ´ ª²» ½²®© ²¥®°¨¨, §»¢ ¥¬»¥ ª±¨®¬ ¬¨ ¨«¨ ¯®±²³« ² ¬¨, ¯°¨¨¬ ¾²±¿ "¡¥§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ", ¢±¥ ¤°³£¨¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¿ ½²®© ²¥®°¨¨ ¢»¢®¤¿²±¿ ¨§ ¨µ ¯³²¥¬ ° ±±³¦¤¥¨©. 1891 £. ¨² «¼¿±ª¨© ¬ ²¥¬ ²¨ª ¥ ® ¯°¥¤«®¦¨« ª±¨®¬ ²¨ª³ ¤«¿ ²³° «¼®£® °¿¤ . ¿§»ª¥ ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨ ª±¨®¬» ¥ ® § ¯¨±»¢ ¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 1) 8x8y((x + 1) = (y + 1) x = y); 2) 8x:(x + 1) = 0; 3) 8x(x + 0) = x; 4) 8x8y(x + (y + 1)) = ((x + y) + 1); 32
5) 8x(x 0) = 0; 6) 8x8y(x (y + 1)) = ((x y) + x); 7) (0) & 8x((x) (x + 1)) 8x(x): °¨ ½²®¬ 7) ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ¥ ®²¤¥«¼³¾ ª±¨®¬³, ±µ¥¬³ ª±¨®¬: ª ª®¢ ¡» ¨ ´®°¬³« (x), ¢»° ¦¥¨¥ 7) ¿¢«¿¥²±¿ ª±¨®¬®©. ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¥ ° §° ¡®² » ±°¥¤±²¢ ´®°¬ «¼®£® «®£¨·¥±ª®£® ¢»¢®¤ , ¯®§¢®«¿¾¹¨¥ ¨§ ¤ »µ ª±¨®¬ ¯® ®¯°¥¤¥«¥»¬ ¯° ¢¨« ¬ ¯®«³· ²¼ ®¢»¥ ¢»±ª §»¢ ¨¿, «®£¨·¥±ª¨ ¢»²¥ª ¾¹¨¥ ¨§ ª±¨®¬ ¨ §»¢ ¥¬»¥ ²¥®°¥¬ ¬¨. ¤¨¬ ¨§ ² ª¨µ ±°¥¤±²¢ ¿¢«¿¥²±¿ ¨±·¨±«¥¨¥ ¯°¥¤¨ª ²®¢, ¨§³· ¥¬®¥ ¢ ª³°±¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¨. ° ¬ª µ ½²®£® ¨±·¨±«¥¨¿ ¢¢®¤¨²±¿ ¯®¿²¨¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ª ª ª®¥·®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼®±²¨ ´®°¬³«, ±²°®¿¹¥©±¿ ¯® ®¯°¥¤¥«¥»¬ ¯° ¢¨« ¬. °¨ ½²®¬, ¥±«¨ ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ª±¨®¬ ° §°¥¸¨¬® (ª ª, ¯°¨¬¥°, ¢ ±«³· ¥ ª±¨®¬ ¥ ®), ²® ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ² ª¦¥ ®ª §»¢ ¥²±¿ ° §°¥¸¨¬»¬. ®°¬³« ±·¨² ¥²±¿ ¤®ª §³¥¬®©, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¤®ª § ²¥«¼±²¢®, ®ª ·¨¢ ¾¹¥¥±¿ ½²®© ´®°¬³«®©. ° ¢¨« ¢»¢®¤ ¨±·¨±«¥¨¿ ¯°¥¤¨ª ²®¢ ¯®§¢®«¿¾² ®±®¢¥ ¨±²¨»µ ª±¨®¬ ¤®ª §»¢ ²¼ ²®«¼ª® ¨±²¨»¥ ¢»±ª §»¢ ¨¿. ¥²°³¤® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¤®ª §³¥¬»µ ¢»±ª §»¢ ¨© ¿¢«¿¥²±¿ ¯¥°¥·¨±«¨¬»¬. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 26.2, ®® ¥ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¬®¦¥±²¢®¬ ¢±¥µ ¨±²¨»µ ¢»±ª §»¢ ¨©. °¨¢¥¤¥®¥ ° ±±³¦¤¥¨¥ ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¯¥°¢®© ²¥®°¥¬» ¥¤¥«¿ ® ¥¯®«®²¥, ª®²®° ¿ ¢ ³¯°®¹¥®¬ ¢¨¤¥ ´®°¬³«¨°³¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ³±²¼ § ¤ ª±¨®¬ ²¨·¥±ª ¿ ²¥®°¨¿ ¢ ¿§»ª¥ ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨ ± ° §°¥¸¨¬»¬ ¬®¦¥±²¢®¬ ª±¨®¬, ¢ ª®²®°®© ¢±¥ ¤®ª §³¥¬»¥ ¢»±ª §»¢ ¨¿ ¨±²¨». ®£¤ ±³¹¥±²¢³¥² ¢»±ª §»¢ ¨¥ , ª®²®°®¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¨±²¨»¬, ® ¥ ¤®ª §³¥¬»¬. ¥®°¥¬ 27.1.
ª ¯®±²°®¨²¼ ª®ª°¥²®¥ ¨±²¨®¥ ¢»±ª §»¢ ¨¥, ª®²®°®¥ ¥ ¤®ª §³¥¬® ¢ ¤ ®© ª±¨®¬ ²¨·¥±ª®© ²¥®°¨¨ ± ° §°¥¸¨¬»¬ ¬®¦¥±²¢®¬ ª±¨®¬? ²¢¥² ½²®² ¢®¯°®± ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ±«¥¤³¾¹¥© ²¥®°¥¬». ¥®°¥¬ 27.2.
¤³ª²¨¢»¬.
®¦¥±²¢® T ¢±¥µ ¨±²¨»µ ¢»±ª §»¢ ¨© ¿§»ª ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®-
®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¤ ® ¯¥°¥·¨±«¨¬®¥ ¯®¤¬®¦¥±²¢® X ¬®¦¥±²¢ T . ª ª ª ¨¤¥ª±®¥ ¬®¦¥±²¢® IX ¬®¦¥±²¢ X ¯¥°¥·¨±«¨¬®, ²® ®® °¨´¬¥²¨·®, ¯°¨·¥¬ ¯® ¥£® £¥¤¥«¥¢³ ®¬¥°³ ¬®¦® ¯®±²°®¨²¼ ´®°¬³«³ X (v1 ), ®¯°¥¤¥«¿¾¹³¾ ¬®¦¥±²¢® IX . ±±¬®²°¨¬ ´®°¬³«³ 9v0 (sub(v1 ; v1 ; v0) & :X (v0 )), ª®²®°³¾ ®¡®§ ·¨¬ (v1 ). ³±²¼ m = g( (v1 )). ®£¤ , ®·¥¢¨¤®, sub(m; m) = g( (m)). ®¯³±²¨¬, ·²® ¢»±ª §»¢ ¨¥ (m) «®¦®. ® ¨¬¥¥² ¢¨¤ 9v0(sub(m; m; v0) & :X (v0 )).
£® «®¦®±²¼ ®§ · ¥², ·²® ª ª®¢® ¡» ¨ ¡»«® ²³° «¼®¥ ·¨±«® a, ¥±«¨ ¨±²¨® ¢»±ª §»¢ ¨¥ sub(m; m; a), ²® ¢»±ª §»¢ ¨¥ :X (a) «®¦®. · ±²®±²¨, ª®£¤ a = sub(m; m), ¯®«³· ¥¬, ·²® «®¦® ¢»±ª §»¢ ¨¥ :X (sub(m; m)). ® ½²® ®§ · ¥², ·²® ¨±²¨® ¢»±ª §»¢ ¨¥ X (sub(m; m)), ²®£¤ ®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¢»±ª §»¢ ¨¥ ± £¥¤¥«¥¢»¬ ®¬¥°®¬ sub(m; m), ². ¥. (m), ¯°¨ ¤«¥¦¨² ¬®¦¥±²¢³ X , ±®±²®¿¹¥¬³ ²®«¼ª® ¨§ ¨±²¨»µ ¢»±ª §»¢ ¨©. ·¨², ¢»±ª §»¢ ¨¥ (m) ¨±²¨® ¨ ¯°¨ ¤«¥¦¨² ¬®¦¥±²¢³ T . ¤°³£®© ±²®°®», ½²® ¢»±ª §»¢ ¨¥ ®§ · ¥², ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® a, ¤«¿ ª®²®°®£® ¨±²¨® ¢»±ª §»¢ ¨¥ sub(m; m; a) & :X (a). ²±¾¤ ±«¥¤³¥², ·²® a = sub(m; m), ¨ ²®£¤ ¨±²¨® ¢»±ª §»¢ ¨¥ :X (sub(m; m)). ® ½²® ®§ · ¥², ·²® ¢»±ª §»¢ ¨¥ ± ®¬¥°®¬ sub(m; m), ². ¥. (m), ¥ ¯°¨ ¤«¥¦¨² ¬®¦¥±²¢³ X . ² ª, ¯® £¥¤¥«¥¢³ ®¬¥°³ ¯¥°¥·¨±«¨¬®£® ¯®¤¬®¦¥±²¢ IX ¬®¦¥±²¢ IT ¬» ¬®¦¥¬ ½´´¥ª²¨¢®, ². ¥. ± ¯®¬®¹¼¾ «£®°¨²¬ , ¯®±²°®¨²¼ ·¨±«® ¨§ T n X , ¨¬¥®, ¢ ª ·¥±²¢¥ ² ª®£® ·¨±« ³¦® ¢§¿²¼ £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ¯®±²°®¥®© ¬¨ ´®°¬³«» (m). ¥®°¥¬ 27.2 ¤®ª § . ¥®°¥¬ 27.2 ¨¬¥¥² ¨ ¤°³£®¥, ¡®«¥¥ ¯°®±²®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢®. ±¨«³ ²¥®°¥¬» 19.1 ¤®±² ²®·® ¤®ª § ²¼, ·²® ¯°®¤³ª²¨¢®¥ ¬®¦¥±²¢® K m-±¢®¤¨¬® ª ¬®¦¥±²¢³ IT . ®¦¥±²¢® K ¿¢«¿¥²±¿ °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬. ³±²¼ K (v1 ) | ®¯°¥¤¥«¿¾¹ ¿ ¥£® ´®°¬³« . «¿ ª ¦¤®£® ²³° «¼®£® n ¯®«®¦¨¬ f(n) = g(K (n)). ®¦¥±²¢® K m-±¢®¤¨²±¿ ª ¬®¦¥±²¢³ IT ¯®±°¥¤±²¢®¬ ´³ª¶¨¨ f. ¥©±²¢¨²¥«¼®, n 2 K ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ´®°¬³« K (n) ¨±²¨ , ². ¥. ¥¥ £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° g(K (n)) ¯°¨ ¤«¥¦¨² ¬®¦¥±²¢³ IT . °¨¢¥¤¥®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢®, ®¤ ª®, ¥ ¤ ¥² ¿¢®£® ¯®±²°®¥¨¿ ¯°®¤³ª²¨¢®© ´³ª¶¨¨ ¤«¿ ¬®¦¥±²¢ IT ¨ ¢ ½²®¬ ±¬»±«¥ ³±²³¯ ¥² ¯°¥¤»¤³¹¥¬³ ¤®ª § ²¥«¼±²¢³. ¤ ·¨.
1) ©²¨ £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ²¥°¬ 2. 2) ©²¨ £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ´®°¬³«» (2 2) = 4. 33
3) ³±²¼ F | ¬®¦¥±²¢® ¢±¥µ «®¦»µ ¢»±ª §»¢ ¨© ¿§»ª ´®°¬ «¼®© °¨´¬¥²¨ª¨. ®ª § ²¼, ·²® ¬®¦¥±²¢® F ¥ °¨´¬¥²¨·®. 4) ®ª § ²¼, ·²® ¬®¦¥±²¢® F ¯°®¤³ª²¨¢®. 28. ¥°» ±«®¦®±²¨ ¢»·¨±«¥¨©
°¥ «¼»µ ¢»·¨±«¥¨¿µ ¤ ¦¥ ¤«¿ ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ f ¢¥±¼¬ ª²³ «¼»¬ ¿¢«¿¥²±¿ ¢®¯°®±: "»·¨±«¨¬ «¨ f ¯° ª²¨·¥±ª¨?" »¬¨ ±«®¢ ¬¨, ±³¹¥±²¢³¥² «¨ ¯°®£° ¬¬¬ , ¢»·¨±«¿¾¹ ¿ ´³ª¶¨¾ f § ¢°¥¬¿, ª®²®°»¬ ¬» ° ±¯®« £ ¥¬? ®¥·®, ¬®£®¥ § ¢¨±¨² ®² ¬ ±²¥°±²¢ ¯°®£° ¬¬¨±² : ¥³¤ ·® ±®±² ¢«¥ ¿ ¯°®£° ¬¬ ¬®¦¥² ° ¡®² ²¼ ®·¥¼ ¤®«£®. ¤ ª® ¥±²¼ ¨ ®¡º¥ª²¨¢»¥ ´ ª²®°», ¢«¨¿¾¹¨¥ ±ª®°®±²¼ ¢»·¨±«¥¨¿ ´³ª¶¨©. ¨ ¨§³· ¾²±¿ ¢ ²¥®°¨¨ ±«®¦®±²¨ ¢»·¨±«¥¨©. ª ¨§¢¥±²®, ª ¦¤»© «£®°¨²¬ ° ¡®² ¥² ¯® ¸ £ ¬. ° ±±¬®²°¥»µ ¬¨ ¬ ¸¨ µ ¼¾°¨£ ¨ ¬ ¸¨ µ ± ¥®£° ¨·¥»¬¨ °¥£¨±²° ¬¨ ¸ £®¬ ° ¡®²» ¬®¦¥² ±·¨² ²¼±¿ ¢»¯®«¥¨¥ ®¤®© ª®¬ ¤». ·¨² ¿, ·²® ª ¦¤»© ¸ £ ¢»¯®«¿¥²±¿ § ¥¤¨¨¶³ ¢°¥¬¥¨, ¬» ¬®¦¥¬ ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¢°¥¬¿ ¢»·¨±«¥¨¿ ª ª ·¨±«® ¸ £®¢ «£®°¨²¬ , ±®¢¥°¸ ¥¬»µ ¢ ¯°®¶¥±±¥ ½²®£® ¢»·¨±«¥¨¿. ®§¬®¦» ¨ ¤°³£¨¥ ¬¥°» ±«®¦®±²¨ ¢»·¨±«¥¨¿. ®±«¥ ²®£® ª ª ¢»¡° ¬¥° ±«®¦®±²¨ ¢»·¨±«¥¨¿, ¢®§¨ª ¥² ¢®¯°®± ® ±«®¦®±²¨ ¢»·¨±«¥¨¿ ª®ª°¥²»µ ´³ª¶¨©. · ±²®±²¨, ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¥±²¥±²¢¥®© ¯°®¡«¥¬ ¯®±²°®¥¨¿ " ¨«³·¸¥£®" «£®°¨²¬ ¤«¿ ¢»·¨±«¥¨¿ ¤ ®© ´³ª¶¨¨. ±¨«³ ±ª § ®£® ¢»¸¥, ¤«¿ ª ¦¤®£® ²³° «¼®£® ·¨±« e ¨ n 1 ®¯°¥¤¥«¨¬ ´³ª¶¨¾ t(en) (x1; : : :; xn) ª ª ·¨±«® ¸ £®¢, ±¤¥« ®¥ ¯°¨ ¢»·¨±«¥¨¨ § ·¥¨¿ '(en)(x1 ; : : :; xn) ± ¯®¬®¹¼¾ ¯°®£° ¬¬» ± ®¬¥°®¬ e. (
±«¨ § ·¥¨¥ '(en) (x1; : : :; xn) ¥ ®¯°¥¤¥«¥®, ²® § ·¥¨¥ t(en)(x1 ; : : :; xn) ² ª¦¥ ±·¨² ¥²±¿ ¥®¯°¥¤¥«¥»¬.) ª ®¯°¥¤¥«¥ ¿ ´³ª¶¨¿ t(en) §»¢ ¥²±¿ ±¨£ «¨§¨°³¾¹¥© ´³ª¶¨¥©. ²¬¥²¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¯°®±²»¥, ® ¢ ¦»¥ ±¢®©±²¢ ±¨£ «¨§¨°³¾¹¥© ´³ª¶¨¨ t(en) : Dom(te(n) ) = Dom('(en) ); ¤«¿ ª ¦¤®£® n ¬®¦¥±²¢® fhe; x1; : : :; xn; yijt(en)(x1 ; : : :; xn) ' yg ° §°¥¸¨¬®. ²®°®¥ ¨§ ½²¨µ ±¢®©±²¢ ¿¢® ª®²° ±²¨°³¥² ± ²¥¬ ´ ª²®¬, ·²® ¬®¦¥±²¢®
fhe; x ; : : :; xn; yij'en (x ; : : :; xn) ' yg 1
( )
1
¥° §°¥¸¨¬®. °¨ n = 1 ¢¬¥±²® t(en) ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ ¯°®±²® te . «¥¤³¾¹¥¥ ¯®¿²¨¥ ¡³¤¥² · ±²® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¢ ´®°¬³«¨°®¢ª µ ²¥®°¥¬. ³±²¼ § ¤ ® ¥ª®²®°®¥ ±¢®©±²¢® M(n), ª®²®°»¬ ¬®¦¥² ®¡« ¤ ²¼ ¨«¨ ¥ ®¡« ¤ ²¼ ª ¦¤®¥ ²³° «¼®¥ ·¨±«®. ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ±¢®©±²¢® M(n) ¢»¯®«¿¥²±¿ ¤«¿ ¯®·²¨ ¢±¥µ n ¨«¨ ¯®·²¨ ¢±¾¤³, ¥±«¨ (9n0 )(8n n0)M(n) (¨»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¥±«¨ ½²® ±¢®©±²¢® ¢»¯®«¿¥²±¿ ¤«¿ ¢±¥µ ²³° «¼»µ ·¨±¥«, ª°®¬¥ ª®¥·®£® ¨µ ¬®¦¥±²¢ ). «¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ±³¹¥±²¢³¾² ±ª®«¼ ³£®¤® ±«®¦® ¢»·¨±«¨¬»¥ ´³ª¶¨¨. ³±²¼ b | ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿. ³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f , ¯°¨¨¬ ¾¹ ¿ ²®«¼ª® § ·¥¨¿ 0 ¨ 1, ·²®
¥®°¥¬ 28.1.
(8e)(f = 'e ) te (n) > b(n) ¯®·²¨ ¢±¾¤³): ®ª § ²¥«¼±²¢®.
²³° «¼®£® n
¯°¥¤¥«¨¬ · ±²¨·³¾ ®¤®¬¥±²³¾ ´³ª¶¨¾ i ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¤«¿ «¾¡®£® 8 <
¨¬¥¼¸¥¥ i n ² ª®¥, ·²® i ®²«¨· ¥²±¿ ®² ¢±¥µ i(n) = : ®¯°¥¤¥«¥»µ § ·¥¨© i(m) ¯°¨ m < n; ¨ ti (n) b(n); ¥ ®¯°¥¤¥«¥® ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥: ³ª¶¨¿ i ¢»·¨±«¨¬ . ¥©±²¢¨²¥«¼®, ·²®¡» ¯°®¢¥°¨²¼, ¢»¯®«¿¥²±¿ «¨ ³±«®¢¨¥ ti(n) b(n), ³¦® ¢»·¨±«¨²¼ b(n) ¨ ±¤¥« ²¼ ¥ ¡®«¥¥ b(n) ¸ £®¢ ¢ ¢»·¨±«¥¨¨ 'i (n).
±«¨ § ½²® ¢°¥¬¿ ¢»·¨±«¥¨¥ § ª®·¨«®±¼, ²® ³±«®¢¨¥ ti(n) b(n) ¢»¯®«¥®, ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥ | ¥². »·¨±«¨¬, ¯°¨¬¥°, i(0). «¿ ½²®£® ¢»·¨±«¨¬ 34
b(0) ¨ ±¤¥« ¥¬ ¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ b(0) ¸ £®¢ ¢ ¢»·¨±«¥¨¨ '0(0) (². ¥. ¢ ° ¡®²¥ ¯°®£° ¬¬» ± ®¬¥°®¬ 0 ¨±µ®¤®¬ ¤ ®¬ 0).
±«¨ § ½²® ¢°¥¬¿ ¢»·¨±«¥¨¥ § ª®·¨«®±¼, ¯®« £ ¥¬ i(0) = 0; ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥ § ·¥¨¥ i(0) ±·¨² ¥¬ ¥®¯°¥¤¥«¥»¬. ¬¥²¨¬, ·²® ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ i ° §°¥¸¨¬ , ¨ ¥±«¨ § ·¥¨¥ i(k) ®¯°¥¤¥«¥®, ²® i(k) k. ®ª ¦¥¬, ·²® ¥±«¨ ·¨±«® i ² ª®¢®, ·²® ti (m) b(m) ¤«¿ ¡¥±ª®¥·® ¬®£¨µ m, ²® i = i(n) ¤«¿ ¥ª®²®°®£® n. ³±²¼ p = 1 + maxfkji(k) ®¯°¥¤¥«¥® ¨ i < i(k)g (¯®«®¦¨¬ p = 0, ¥±«¨ ¥² ¨ ®¤®£® § ·¥¨¿ i(k) < i). ®§¼¬¥¬ ² ª®¥ n i, ·²® n p ¨ ti (n) b(n).
±«¨ i = i(k) ¤«¿ ¥ª®²®°®£® k < n, ²® ¢±¥ ¤®ª § ®. ³±²¼ i 6= i(k) ¤«¿ ¢±¥µ k < n. ®£¤ ¯®«³· ¥¬, ·²® i n, i ®²«¨· ¥²±¿ ®² ¢±¥µ ®¯°¥¤¥«¥»µ § ·¥¨© i(m) ¯°¨ m < n ¨ ti (n) b(n). ·¨², i(n) ®¯°¥¤¥«¥®, ¯°¨·¥¬ i(n) i. ® ¯®±ª®«¼ª³ n p, ²® ¤®«¦® ¡»²¼ i(n) i. «¥¤®¢ ²¥«¼®, i(n) = i, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼. ¥¯¥°¼ ¯®«®¦¨¬ ¤«¿ «¾¡®£® ²³° «¼®£® n ¥±«¨ i(n) ®¯°¥¤¥«¥® ¨ 'i(n)(n) = 0; f(n) = 1; 0 ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥: ³ª¶¨¿ f ¢»·¨±«¨¬ . ¥©±²¢¨²¥«¼®, ª ª ¬» ³¦¥ ®²¬¥²¨«¨ ¢»¸¥, ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ i ° §°¥¸¨¬ , ² ª ·²® ± ¯®¬®¹¼¾ «£®°¨²¬ ¬®¦® ³§ ²¼, ®¯°¥¤¥«¥® «¨ § ·¥¨¥ i(n). «¥¥, ¥±«¨ ½²® § ·¥¨¥ ®¯°¥¤¥«¥®, ²® ®¡¿§ ²¥«¼® ®¯°¥¤¥«¥® ¨ § ·¥¨¥ 'i(n)(n). »·¨±«¨¢ ¥£®, ¬» ¬®¦¥¬ ³§ ²¼, ° ¢® «¨ ®® ³«¾. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ «¾¡®£® n ¬» ¬®¦¥¬ ©²¨ § ·¥¨¥ f(n). ®ª ¦¥¬, ·²® f | ¨±ª®¬ ¿ ´³ª¶¨¿. ³±²¼ f = 'e , ². ¥. ¯°®£° ¬¬ ± ®¬¥°®¬ e ¢»·¨±«¿¥² ´³ª¶¨¾ f. «¿ «¾¡®£® n, ¥±«¨ § ·¥¨¥ i(n) ®¯°¥¤¥«¥®, ²®, ª ª ¢¨¤® ¨§ § ¤ ¨¿ ´³ª¶¨¨ f, e 6= i(n). ¤°³£®© ±²®°®», ¥±«¨ ¡» ¥° ¢¥±²¢® te (m) b(m) ¢»¯®«¿«®±¼ ¤«¿ ¡¥±ª®¥·® ¬®£¨µ m, ²®, ª ª ¬» ¯®ª § «¨ ° ¥¥, ¤®«¦® ¡»²¼ e = i(n) ¤«¿ ¥ª®²®°®£® n. ·¨², ¤«¿ ¯®·²¨ ¢±¥µ m ¢»¯®«¿¥²±¿ ¥° ¢¥±²¢® te (m) > b(m); ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼. ¥®°¥¬ 28.1 ¤®ª § . ®¦® «¨ ¨§ ´®°¬³«¨°®¢ª¨ ²¥®°¥¬» ¨±ª«¾·¨²¼ ±«®¢ "¯®·²¨ ¢±¾¤³" ¨ § ¬¥¨²¼ ¨µ "¤«¿ ¢±¥µ n"? ·¥¢¨¤®, ¥². ¥«® ¢ ²®¬, ·²® ¤«¿ ª ¦¤®© ´³ª¶¨¨ f ¬®¦® ¯¨± ²¼ ¯°®£° ¬¬³, ª®²®° ¿ ®·¥¼ ¡»±²°® ¢»·¨±«¿¥² § ·¥¨¥ f ¢ ®¤®© ª®ª°¥²®© ²®·ª¥ a. ³±²¼, ¯°¨¬¥°, f(a) = 1, ¨ ¯³±²¼ ¯°®£° ¬¬ P ¢»·¨±«¿¥² ´³ª¶¨¾ f. ®±² ¢¨¬ ®¢³¾ ¯°®£° ¬¬³ P 0, ¢»·¨±«¿¾¹³¾ ´³ª¶¨¾ f: 1) S(2) ::: a) S(2) a + 1) Z(1) a + 2) S(1) a + 3) J(1; 2; stop) a + 4) Z(2) P (§¤¥±¼ stop | ¥ª®²®°®¥ ·¨±«®, ¡®«¼¸¥¥ ·¨±« ª®¬ ¤ ¢ ¯°®£° ¬¬¥ P 0). ·¥¢¨¤®, ·²® ¥±«¨ e | ®¬¥° ¯°®£° ¬¬» P 0 , ²® te (a) = a + 3. ®½²®¬³, ¥±«¨, ¯°¨¬¥°, b(n) = n + 4, ²® § ª«¾·¥¨¥ ²¥®°¥¬» 28.1 ¡³¤¥² ¥¢¥°»¬ ¤«¿ ² ª¨µ ´³ª¶¨© f ¨ b ¯°¨ § ¬¥¥ ±«®¢ "¯®·²¨ ¢±¾¤³" "¤«¿ ¢±¥µ n". °¥¬¿ ¢»·¨±«¥¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ «¨¸¼ ®¤®© ¨§ ¢®§¬®¦»µ ¬¥° ±«®¦®±²¨ ¢»·¨±«¥¨©. °¨ ¡±²° ª²®¬ ¯®¤µ®¤¥ ª ±«®¦®±²¨ ¢»·¨±«¥¨© ¬¥°®© ¢»·¨±«¨²¥«¼®© ±«®¦®±²¨ (®¤®¬¥±²»µ ´³ª¶¨©) §»¢ ¥²±¿ ±¥¬¥©±²¢® ®¤®¬¥±²»µ ´³ª¶¨© e (e 2 N) ±® ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨: Dom(e ) = Dom('e ); ¬®¦¥±²¢® fhe; x; yije(x) ' yg ° §°¥¸¨¬®. ·¥¢¨¤®, ·²® ° ±±¬®²°¥®¥ ¢»¸¥ ±¥¬¥©±²¢® ´³ª¶¨© te ¿¢«¿¥²±¿ ¬¥°®© ¢»·¨±«¨²¥«¼®© ±«®¦®±²¨ ¢ ½²®¬ ±¬»±«¥. ®² ¤°³£¨¥ ¯°¨¬¥°» ¬¥° ¢»·¨±«¨²¥«¼®© ±«®¦®±²¨: 1) e(x) | ª®«¨·¥±²¢® ¢»¯®«¥¨© ª®¬ ¤ ³±«®¢®£® ¯¥°¥µ®¤ ¯°¨ ¢»·¨±«¥¨¨ 'e (x), ¥±«¨ ½²® ¢»·¨±«¥¨¥ § ¢¥°¸ ¥²±¿; 2) e(x) | ¬ ª±¨¬ «¼®¥ ·¨±«®, ±®¤¥°¦ ¹¥¥±¿ ¢ ª ª®¬-«¨¡® °¥£¨±²°¥ § ¢±¥ ¢°¥¬¿ ¢»·¨±«¥¨¿ 'e (x), ¥±«¨ ½²® ¢»·¨±«¥¨¥ § ¢¥°¸ ¥²±¿. 35
°¨ ¢»·¨±«¥¨¿µ ¬ ¸¨ µ ¼¾°¨£ ®¡»·® ° ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ ¢°¥¬¥ ¿ ±«®¦®±²¼, ®¯°¥¤¥«¿¥¬ ¿ ª ª ·¨±«® ¸ £®¢ ¢ ¢»·¨±«¥¨¨, ¨ ¯°®±²° ±²¢¥ ¿ ±«®¦®±²¼, ®¯°¥¤¥«¿¥¬ ¿ ª ª ¤«¨ «¥²», ¨±¯®«¼§®¢ ®© ¢ ¢»·¨±«¥¨¨. ¬¥²¨¬, ·²® ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ²¥®°¥¬» 28.1 ¬» ¨±¯®«¼§®¢ «¨ ²®«¼ª® ²¥ ±¢®©±²¢ ´³ª¶¨¨ te , ª®²®°»¥ ±´®°¬³«¨°®¢ » ¢ ®¯°¥¤¥«¥¨¨ ¬¥°» ¢»·¨±«¨²¥«¼®© ±«®¦®±²¨. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ½² ²¥®°¥¬ ®±² ¥²±¿ ¢¥°®© ¯°¨ § ¬¥¥ te (n) e (n) ¤«¿ «¾¡®© ¬¥°» ¢»·¨±«¨²¥«¼®© ±«®¦®±²¨ e . 29. ¥®°¥¬ ® ¥¯®¤¢¨¦®© ²®·ª¥
¤ «¼¥©¸¥¬ ¬ ¯® ¤®¡¨²±¿ ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ , ¯°¥¤±² ¢«¿¾¹ ¿ ¨ ± ¬®±²®¿²¥«¼»© ¨²¥°¥±. ¥®°¥¬ 29.1 (²¥®°¥¬ ® ¥¯®¤¢¨¦®© ²®·ª¥). ª®¢» ¡» ¨ ¡»«¨ ²³° «¼®¥ ·¨±«® m 1 ¨ ²®² «¼ ¿ ®¤®¬¥±² ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f , ±³¹¥±²¢³¥² ·¨±«® n ² ª®¥, ·²® '(fm(n)) = '(nm) . ®ª § ²¥«¼±²¢®. ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ (m + 1)-¬¥±²³¾ ´³ª¶¨¾: (u; x1; : : :; xm ) ' '('mu )(u) (x1; : : :; xm ): ³±²¼ e -£¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ´³ª¶¨¨ , ². ¥. = '(em) . ±¨«³ s-m-n-²¥®°¥¬» (²¥®°¥¬ 7.2) ±³¹¥±²¢³¥² ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ¤¢³¬¥±² ¿ ´³ª¶¨¿ s (´³ª¶¨¿ s1m ¢ ®¡®§ ·¥¨¿µ ³¯®¬¿³²®© ²¥®°¥¬») ² ª ¿, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ ¥; u; x1; : : :; xm ¨¬¥¥² ¬¥±²® ³±«®¢®¥ ° ¢¥±²¢® '(em+1) (u; x1; : : :; xm) ' 'ms(e;u)(x1; : : :; xm ). ¸¥¬ ±«³· ¥, ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ®¬ e, ¯®«®¦¨¬ g(u) = s(e; u). ®£¤ 'mg(u) (x1; : : :; xm ) ' '('mu )(u)(x1 ; : : :; xm): ³±²¼ v | £¥¤¥«¥¢ ®¬¥° ª®¬¯®§¨¶¨¨ ´³ª¶¨© f ¨ g, ². ¥. 'v (x) = f(g(x)) ¤«¿ «¾¡®£® x. ®£¤ ¤«¿ «¾¡»µ x1; : : :; xm ¨¬¥¥¬: 'mg(v) (x1 ; : : :; xm ) ' '('mv ()v) (x1; : : :; xm ) ' '(fm(g)(v)) (x1; : : :; xm ); ¨ ²¥®°¥¬ ¤®ª § , ¥±«¨ ¢§¿²¼ n = g(v). 2 °¨ m = 1 ¯®«³· ¥¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®© ²®² «¼®© ®¤®¬¥±²®© ¢»·¨±«¨¬®© ´³ª¶¨¨ f ±³¹¥±²¢³¥² "¥¯®¤¢¨¦ ¿ ²®·ª ", ². ¥. ² ª®¥ ·¨±«® n, ·²® 'f (n) = 'n. ² ²¥®°¥¬ ¨¬¥¥² ¬®£®·¨±«¥»¥ ¯°¨¬¥¥¨¿ ¢ ²¥®°¨¨ «£®°¨²¬®¢. °¨¬¥°». 1. ®² ª ª, ¯°¨¬¥°, ± ¯®¬®¹¼¾ ²¥®°¥¬» ® ¥¯®¤¢¨¦®© ²®·ª¥ ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ²¥®°¥¬ ©± . ®¯³±²¨¬, ·²® ¨¤¥ª±®¥ ¬®¦¥±²¢® IF ¥²°¨¢¨ «¼®£® ±¥¬¥©±²¢ ®¤®¬¥±²»µ ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨© F ° §°¥¸¨¬®. ³±²¼ 'a 2 F , 'b 62 F .
±«¨ ¬®¦¥±²¢® IF ° §°¥¸¨¬®, ²® ¢»·¨±«¨¬ ´³ª¶¨¿ b; ¥±«¨ x 2 IF ; f(x) = a; ¥±«¨ x 62 IF : ® ²¥®°¥¬¥ ® ¥¯®¤¢¨¦®© ²®·ª¥ ±³¹¥±²¢³¥² ·¨±«® n ² ª®¥, ·²® 'f (n) = 'n. ³±²¼ n 2 IF , ². ¥. 'n 2 F . ®£¤ f(n) = b, ·²® ¥¢®§¬®¦®, ² ª ª ª ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ 'n = 'f (n) = 'b 62 F . «®£¨·®, ¥±«¨ n 62 IF , ². ¥. 'n 62 F , ²® f(n) = a, ·²® ² ª¦¥ ¥¢®§¬®¦®, ¨¡® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ 'n = 'f (n) = 'a 2 F . ·¨², ¥¢¥°® ¨ ®¤® ¨§ ³²¢¥°¦¤¥¨© n 2 IF ¨ n 62 IF . ®«³·¥®¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¤®ª §»¢ ¥², ·²® ± ¬®¬ ¤¥«¥ ¬®¦¥±²¢® IF ¥° §°¥¸¨¬®. 2)
±«¨ f | ²®² «¼ ¿ ®¤®¬¥±² ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿, ²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® n, ·²® Wf (n) = Wn . ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ¥¯®¤¢¨¦®© ²®·ª¥ ±³¹¥±²¢³¥² ·¨±«® n ² ª®¥, ·²® 'f (n) = 'n . ®£¤ Wf (n) = Dom('f (n) ) = Dom('n ) = Wn : 3) ³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® n, ·²® (8x)'n(x) = xn. «¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ½²®£® ´ ª² ° ±±¬®²°¨¬ ¤¢³¬¥±²³¾ ¢»·¨±«¨¬³¾ ´³ª¶¨¾ f(m; x) = xm . ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ²®² «¼ ¿ ®¤®¬¥±² ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ k ² ª ¿, ·²® f(m; x) = 'k(m) (x) ¤«¿ «¾¡»µ m; x. ® ²¥®°¥¬¥ ® ¥¯®¤¢¨¦®© ²®·ª¥ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® n, ·²® 'k(n) = 'n . ®£¤ ¤«¿ «¾¡®£® x ¨¬¥¥¬: 'n (x) = 'k(n)(x) = f(n; x) = xn, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼. ¤ ·¨.
1) ®ª § ²¼, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® n, ·²® ) 'n (0) = n; ¡) 'n (n) = n; ¢) 'n = fng ; £) 'n = fng. 2) ®ª § ²¼, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® n, ·²® ) Wn = fng; ¡) Wn = fn2g; ¢) Wn = N n fng. 36
30. ¥®°¥¬ ®¡ ³±ª®°¥¨¨
³±²¼ Pa ¨ Pb | ¤¢¥ ¯°®£° ¬¬» ¤«¿ ¢»·¨±«¥¨¿ ²®² «¼®© ´³ª¶¨¨ f, ¯°¨·¥¬ 2tb (x) < ta (x) ¤«¿ «¾¡®£® x. ½²®¬ ±«³· ¥ ¬®¦® ±ª § ²¼, ·²® ¯°®£° ¬¬ Pb ° ¡®² ¥² ¢ ¤¢ ± «¨¸¨¬ ° § ¡»±²°¥¥ ¯°®£° ¬¬» Pa . ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ²®² «¼ ¿ ´³ª¶¨¿ f, ®¡« ¤ ¾¹ ¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ±¢®©±²¢®¬: ª ª®¢ ¡» ¨ ¡»« ¯°®£° ¬¬ P ¤«¿ ¢»·¨±«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ f, ±³¹¥±²¢³¥² ¤°³£ ¿ ¯°®£° ¬¬ , ª®²®° ¿ ° ¡®² ¥² ¢ ¤¢ ± «¨¸¨¬ ° § ¡»±²°¥¥ ¯®·²¨ ¢±¥µ ¨±µ®¤»µ ¤ »µ. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ ½²®© ´³ª¶¨¨ ¥ ±³¹¥±²¢³¥² " ¨«³·¸¥©" ¯°®£° ¬¬». ²®² ´ ª² | · ±²»© ±«³· © ±«¥¤³¾¹¥© ²¥®°¥¬», ¤®ª § ®© «¾¬®¬: ³±²¼ r | ²®² «¼ ¿ ®¤®¬¥±² ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿. ³¹¥±²¢³¥² ²®² «¼ ¿ ®¤®¬¥±² ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ f ² ª ¿, ·²® ¯® «¾¡®© ¯°®£° ¬¬¥ Pi, ¢»·¨±«¿¾¹¥© ´³ª¶¨¾ f , ¬®¦® ¯®±²°®¨²¼ ¤°³£³¾ ¯°®£° ¬¬³ Pj ¤«¿ ¢»·¨±«¥¨¿ f ² ª³¾, ·²® r(tj (x)) < ti (x) ¤«¿ ¯®·²¨ ¢±¥µ x. ¥®°¥¬ 30.1 (²¥®°¥¬ ®¡ ³±ª®°¥¨¨).
®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥®°¥¬³ ¤®±² ²®·® ¤®ª § ²¼ ¢ ±«³· ¥, ª®£¤ r | ¢®§° ±² ¾¹ ¿ ´³ª¶¨¿. ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¥±«¨ r | ¯°®¨§¢®«¼ ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿, ° ±±¬®²°¨¬ ´³ª¶¨¾ r0 , § ¤ ³¾ ² ª: r0(0) = r(0) ¨ + 1); ¥±«¨ r(n + 1) r0 (n); 0 r (n + 1) = r(n 0 r (n) ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥:
·¥¢¨¤®, ·²® ´³ª¶¨¿ r0 ¿¢«¿¥²±¿ ¢®§° ±² ¾¹¥©, ¢»·¨±«¨¬ ¨ ¬ ¦®°¨°³¥² ´³ª¶¨¾ r ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® r(n) r0(n) ¤«¿ «¾¡®£® n. ¥¯¥°¼, ¥±«¨ r0 (tj (x)) < ti(x) ¤«¿ ¯®·²¨ ¢±¥µ x, ²® ¨ r(tj (x)) < ti (x) ¤«¿ ¯®·²¨ ¢±¥µ x. ³±²¼ ´¨ª±¨°®¢ ® ²³° «¼®¥ ·¨±«® e. ¯°¥¤¥«¨¬ ¤¢³¬¥±²³¾ ¢»·¨±«¨¬³¾ ´³ª¶¨¾ g(u; x) °¥ª³°±¨¥© ¯® x ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ®¬ u. °¨ ½²®¬ ®¤®¢°¥¬¥® ± ¢»·¨±«¥¨¥¬ g(u; x) ¡³¤³² ±²°®¨²¼±¿ ¢±¯®¬®£ ²¥«¼»¥ ª®¥·»¥ ¬®¦¥±²¢ Cu;x. ² ª, ¯³±²¼ § ·¥¨¿ g(u; 0); : : :; g(u; x 1) ¨ ¬®¦¥±²¢ Cu;0; : : :; Cu;x 1 ³¦¥ ®¯°¥¤¥«¥». ±¨«³ s-m-n-²¥°¥¬» ±³¹¥±²¢³¥² ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ¤¢³¬¥±² ¿ ´³ª¶¨¿ s (´³ª¶¨¿ s11 ¢ ®¡®§ ·¥¨¿µ ³¯®¬¿³²®© ²¥®°¥¬») ² ª ¿, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ ¥; x; y ¨¬¥¥² ¬¥±²® ³±«®¢®¥ ° ¢¥±²¢® '(2) (x; y) ' 's(e;x) (y): ´¨ª±¨°³¥¬ ² ª³¾ ´³ª¶¨¾ s. ®«®¦¨¬ Cu;x = fiju i < x & i 62 [y<xCu;y & ti (x) r(ts(e;i+1) (x) + x)g; ¥±«¨ § ·¥¨¥ ts(e;i+1)(x) ®¯°¥¤¥«¥® ¤«¿ ¢±¥µ i = u; : : :; x 1; ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥ ¬®¦¥±²¢® Cu;x ¥ ®¯°¥¤¥«¥®. ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ x u, ²® Cu;x ®¯°¥¤¥«¥® ¨ ° ¢® ;. °®¬¥ ²®£®, ¥±«¨ ts(e;i+1)(x) ®¯°¥¤¥«¥®, ²® ¬®¦® °¥¸¨²¼, ¢»¯®«¿¥²±¿ «¨ ¥° ¢¥±²¢® ti (x) r(ts(e;i+1) (x) + x). ¥¯¥°¼ ®¯°¥¤¥«¨¬ g(u; x) ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 1 + maxf'i(x)ji 2 Cu;xg; ¥±«¨ Cu;x ®¯°¥¤¥«¥®; g(u; x) = ¥ ®¯°¥¤¥«¥® ¢ ¯°®²¨¢®¬ ±«³· ¥:
¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ ¬®¦¥±²¢® Cu;x ®¯°¥¤¥«¥®, ²® ¤«¿ ª ¦¤®£® i 2 Cu;x § ·¥¨¥ 'i (x) ®¯°¥¤¥«¥®, ² ª ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ § ·¥¨¥ g(u; x) ®¯°¥¤¥«¥®. ² ª, g | ¤¢³¬¥±² ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿. ®®¡¹¥-²® ¥¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ § ¢¨±¨² ®² ´¨ª±¨°®¢ ®£® ¢ ± ¬®¬ · «¥ ¸¨µ ° ±±³¦¤¥¨© ·¨±« e. ·¥¢¨¤®, ·²® ®¬¥° ¯°®£° ¬¬», ¢»·¨±«¿¾¹¥© ´³ª¶¨¾ g, ¬®¦¥² ¡»²¼ ¢»·¨±«¥ ¯® ·¨±«³ e, ². ¥. ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®¤®¬¥±² ¿ ²®² «¼ ¿ ¢»·¨±«¨¬ ¿ ´³ª¶¨¿ k, ·²® g(u; x) ' '(2) k(e) (u; x). ±¨«³ ²¥®°¥¬» ® ¥¯®¤¢¨¦®© ²®·ª¥ (²¥®°¥¬ 29.1) ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® e, ·²® g(u; x) ' '(2) e (u; x);
(5)
². ¥. ² ª ¯®±²°®¥ ¿ ´³ª¶¨¿ ¯°¨ ½²®¬ ´¨ª±¨°®¢ ®¬ e ± ¬ ¢»·¨±«¿¥²±¿ ¯°®£° ¬¬®© ± ®¬¥°®¬ e. ®ª ¦¥¬, ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ´³ª¶¨¿ g ²®² «¼ . ¨ª±¨°³¥¬ x. ª ¬» ³¦¥ ®²¬¥· «¨, ¤«¿ u x ¬®¦¥±²¢® Cu;x ®¯°¥¤¥«¥® ¨ ¯³±²®, ² ª ·²® g(u; x) = 1. °¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ¢±¥ § ·¥¨¿ g(x; x); g(x 1; x); : : :; g(u + 1; x) ®¯°¥¤¥«¥». ±¨«³ (5) ¨ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ s ¯®«³· ¥¬, ·²® § ·¥¨¿ 's(e;x) (x); 's(e;x 1)(x); : : :; 's(e;u+1)(x) 37
®¯°¥¤¥«¥». «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¤«¿ i = u; : : :; x 1 ®¯°¥¤¥«¥» § ·¥¨¿ ts(e;i+1)(x). ²® ®§ · ¥², ·²® ¬®¦¥±²¢® Cu;x ®¯°¥¤¥«¥®; ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ®¯°¥¤¥«¥® ¨ § ·¥¨¥ g(u; x). ª¨¬ ®¡° §®¬, g(u; x) | ²®² «¼ ¿ ´³ª¶¨¿. ®«®¦¨¬ gu (x) = g(u; x). ®£¤ gu (x) = g(u; x) = '(2) e (u; x) = 's(e;x)(x). ®«®¦¨¬ f = g0. ®ª ¦¥¬, ·²® f ¿¢«¿¥²±¿ ¨±ª®¬®© ´³ª¶¨¥©. ´¨ª±¨°³¥¬ ·¨±«® u ¨ ³¡¥¤¨¬±¿, ·²® ´³ª¶¨¨ g0 ¨ gu ®²«¨· ¾²±¿ ²®«¼ª® ¢ ª®¥·®¬ ·¨±«¥ ²®·¥ª, ². ¥. g(0; x) = g(u; x) ¤«¿ ¯®·²¨ ¢±¥µ x. § ¯®±²°®¥¨¿ ¬®¦¥±²¢ Cu;x ¢¨¤®, ·²® ¤«¿ ¢±¿ª®£® x Cu;x = C0;x \ fu; u + 1; : : :; x 1g: ª ª ª ¯® ¯®±²°®¥¨¾ ¢±¥ ¬®¦¥±²¢ C0;x ¯°¨ ° §«¨·»µ x ¯®¯ °® ¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿, ²® ¬®¦® ©²¨ ·¨±«® v = maxfxj(9i < u)i 2 C0;xg. ®£¤ ¤«¿ x > v ¨¬¥¥¬ C0;x fu; u + 1; : : :; x 1g; ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, C0;x = Cu;x, ² ª ·²® g(0; x) = g(u; x) ¤«¿ ¢±¥µ x > v. ³±²¼ ²¥¯¥°¼ f = 'i . ®£¤ , ¥±«¨ j = s(e; i+ 1), ²® 'j = 's(e;i+1) = gi+1. ®ª ¦¥¬, ·²® r(tj (x) + x) < ti (x) ¤«¿ ¯®·²¨ ¢±¥µ x.
±«¨ ¡» ½²® ¡»«® ¥ ² ª, ². ¥. ¢»¯®«¿«®±¼ ¡» ¥° ¢¥±²¢® ti (x) r(ts(e;i+1)(x) + x) ¤«¿ ¡¥±ª®¥·® ¬®£¨µ x, ²® ¸«®±¼ ¡» x, ¤«¿ ª®²®°®£® 0 u < x & i 62 [y<xCu;y & ti (x) r(ts(e;i+1)(x) + x)g; ². ¥. i 2 C0;x. ® ²®£¤ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ g ±«¥¤³¥² g(0; x) 6= 'i (x), ·²® ¥¢®§¬®¦®. ®«³·¥®¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¤®ª §»¢ ¥², ·²® ¥° ¢¥±²¢® r(tj (x) + x) < ti (x) ¢»¯®«¿¥²±¿ ¤«¿ ¯®·²¨ ¢±¥µ x. ² ª, ¯® ¤ ®¬³ i, ¤«¿ ª®²®°®£® f = 'i , ¬» ¯®±²°®¨«¨ ² ª®¥ ·¨±«® j, ·²® ´³ª¶¨¿ 'j ±®¢¯ ¤ ¥² ± f ¯®·²¨ ¢±¾¤³ ¨ r(tj (x) + x) < ti (x) ¤«¿ ¯®·²¨ ¢±¥µ x. ±² «®±¼ ²®«¼ª® ¯°®£° ¬¬³ ± ®¬¥°®¬ j ¯¥°¥¤¥« ²¼ ¢ ¯°®£° ¬¬³ ¤«¿ ¢»·¨±«¥¨¿ ´³ª¶¨¨ f. ³±²¼ (8x > v)'j (x) = f(x) ¨ f(m) = bm ¤«¿ m v. ®£¤ ¯°®£° ¬¬³ Pj ¥±ª®«¼ª® ¬®¤¨´¨¶¨°³¥¬ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 1) J(1; 2; l0) 2) S(2) 3) J(1; 2; l1) ::: 2v) S(2) 2v + 1) J(1; 2; lv ) 2v + 2) Pj ::: J(1; 1; stop) l0 ) Qb0 J(1; 1; stop) ::: lv ) Qbv J(1; 1; stop) (¤¥±¼ ·¥°¥§ Qb ®¡®§ ·¥ ¯°®£° ¬¬ , ¯®¬¥¹ ¾¹ ¿ ·¨±«® b ¢ ¯¥°¢»© °¥£¨±²°.) ³±²¼ j | ®¬¥° ²®«¼ª® ·²® ¯®±²°®¥®© ¯°®£° ¬¬». ² ¯°®£° ¬¬ ¢»·¨±«¿¥² ´³ª¶¨¾ f. ®¯®«¨²¥«¼»¥ ª®¬ ¤» ³¢¥«¨·¨¢ ¾² ¢°¥¬¿ ¢»·¨±«¥¨¿ ¯® ±° ¢¥¨¾ ± ¯°®£° ¬¬®© Pj ¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ c ¸ £®¢, £¤¥ c | ª®±² ² , ¥ § ¢¨±¿¹ ¿ ®² ¨±µ®¤®£® ¤ ®£® x. ª¨¬ ®¡° §®¬, (8x)tj (x) tj (x) + c. ®±ª®«¼ª³ r | ¢®§° ±² ¾¹ ¿ ´³ª¶¨¿, r(tj (x)) r(tj (x) + c) r(tj (x) + x) ¤«¿ x c. ·¨²»¢ ¿ ² ª¦¥, ·²® r(tj (x) + x) < ti (x) ¤«¿ ¯®·²¨ ¢±¥µ x, ¯®«³· ¥¬, ·²® r(tj (x)) < ti (x) ¤«¿ ¯®·²¨ ¢±¥µ x, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. ¥®°¥¬ 30.1 ¤®ª § . ¨²¥° ²³°
[1] ²«¥¤ . »·¨±«¨¬®±²¼. ¢¥¤¥¨¥ ¢ ²¥®°¨¾ °¥ª³°±¨¢»µ ´³ª¶¨©. ., ¨°, 1983. [2] ¢°®¢ . ., ª±¨¬®¢ . . ¤ ·¨ ¯® ²¥®°¨¨ ¬®¦¥±²¢, ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¥ ¨ ²¥®°¨¨ «£®°¨²¬®¢. ., ¨§¬ ²«¨², 1995. [3] ®¤¦¥°± . ¥®°¨¿ °¥ª³°±¨¢»µ ´³ª¶¨© ¨ ½´´¥ª²¨¢ ¿ ¢»·¨±«¨¬®±²¼. ., ¨°, 1972. [4] ¥¤¥«¼±® . ¢¥¤¥¨¥ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª³¾ «®£¨ª³. ., ³ª , 1984. [5] ±¯¥±ª¨© . . ¥ª¶¨¨ ® ¢»·¨±«¨¬»µ ´³ª¶¨¿µ. ., ¨§¬ ²«¨², 1960. [6] ±¯¥±ª¨© . ., ¥°¥¹ £¨ . ., «¨±ª® .
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