Комбинаторные методы в теории случайных процессов

Л.Такач КОМБИНАТОРНЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В книге излагаются комбинаторные методы решения обширного класса задач теории случайных процессов. Методы эти отличаются изяществом и простотой, а решаемые задачи имеют многочисленные приложения в теории очередей, теории запасов, в процессах страхования и в непараметрической статистике. Автор начинает с рассмотрения классических задач и постепенно переходит к постановке более сложных современных проблем. Книга предназначена в первую очередь для специалистов по теории вероятностей и ее применениям, но она, несомненно, заинтересует и читателей других специальностей, так как комбинаторные методы в настоящее время широко используются не только в теории вероятностей, но и в ряде прикладных инженерных и биологических дисциплин. Она доступна аспирантам и студентам старших курсов университетов и пединститутов. ОГЛАВЛЕНИЕ От редактора перевода 5 Предисловие 6 Глава 1. Теорема о баллотировке 7 § 1. Введение (7). § 2. Обобщение классической теоремы о баллотировке (8). § 3. Задачи (13). Глава 2. Флуктуации сумм случайных величин 16 § 4. Циклически переставляемые случайные величины (16). § 5. Переставляемые случайные величины и независимые одинаково распределенные случайные величины (17). § 6. Распределение максимума последовательности {Nr-r} (20). § 7. Дискретное обобщение классической теоремы о разорении (25). § 8. Распределение максимума последовательности {r- Nr}(31). § 9, Распределение максимума для двойственных последовательностей (34). § 10. Примеры (35). § 11. Другие методы (38). § 12. Задачи (42). Глава 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов 45 § 13. Случайные процессы с циклически переставляемыми приращениями (45). § 14. Случайные процессы с переставляемыми приращениями и случайные процессы со стационарными независимыми приращениями (46). § 15. Распределение верхней Грани значений процесса {χ(u)-u} (52). § 16. Континуальное обобщение классической теоремы о разорении (58). § 17. Распределение верхней грани значений процесса {u-χ(u } (64).

§ 18. Распределения верхних граней значений двойственных процессов (67). § 19. Примеры (68). § 20. Задачи (78). Глава 4. Случайные блуждания § 21. Случайные процессы с переставляемыми приращениями и случайные процессы со стационарными независимыми приращениями, принимающие целые значения (81). § 22. Процесс случайного блуждания (88). § 23. Броуновское движение (90). § 24. Случайные процессы со стационарными независимыми приращениями, не имеющие отрицательных скачков (93). § 25. Случайные процессы со стационарными независимыми приращениями (99). § 26. Задачи (101). Глава 5. Теория очередей § 27. Очереди к одному обслуживающему прибору (103). § 28. флуктуации длины очереди (108). § 29. Флуктуации времени ожидания (121). § 30. Задачи (136). Глава 6. Процессы хранения и создания запасов § 31. Процессы хранения и создания запасов (141). § 32. флуктуации содержимого водохранилища бесконечной емкости" (141). § 33. Флуктуации содержимого водохранилища конечной емкости (147). § 34. Задачи (155). Глава 7. Процессы разорения § 35. Процессы разорения в страховом деле (158). § 36. Задачи (170). Глава 8. Порядковые статистики § 37. Другое обобщение теоремы о баллотировке (173). § 38. Порядковые статистики (180). § 39 Дискретные распределения (182). § 40. Непрерывные распределения (185). § 41, Задачи (194). Дополнение Решения Предметный указатель

81

103

141

158 173

199 221 261

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абелевы теоремы для Стильтьеса 215 преобразований Лапласа — — — — производящих функций 213

— — применения 24, 29, 30, 33, 40, 57, 62, 63, 66 Абеля теорема 213 — тождество 79 Адамара—Лиувилля теорема 218 Асимптотические распределения 113, 117, 118, 126, 131, 162, 164, 169, 203, 204, 208 Баллотировка, задачи о 13, 14, 42, 194 — теоремы о 7 — — классические 8, 9 — — обобщенные 7, 10, 11, 176, 180 Бездействия время 106 — период 104, 106 Бернулли последовательность 35 Бесселя функция 72, 88, 163 Броуновского движения процесс 90, 207 — — — верхняя грань значений 92, 93 — — — время первого возвращения 92 — — — задачи 102 Бюрмана теорема 219 — — применения 242 Вероятностная мера 199 — функция распределения 199 Вероятностное пространство 199 Верхняя грань значений случайных величин, математическое ожидание 28 — — — — — распределение 18, 21, 24, 25, 32, 82, 87 — — — — процессов, математическое ожидание 53, 63, 65, 67, 68, 83, 96 — — — — — распределение 45, 46, 49, 52, 54, 56, 58, 61, 64, 65, 82, 83, 84, 85, 95, 96, 97, 98, 99, 100 Винера процесс 207 Винера—Хопфа интегральное уравнение 42, 219

— — метод 219 Виртуальное время ожидания 105 Время возвращения 30, 63 — ожидания 105, 121 — — максимум 128 — — распределение 123, 124, 129 — первого прохождения 10, 25, 32, 33, 58, 65, 66, 84. 90, 91, 96, 160 — — — задачи 42, 101, 102 — — — распределение 9, 33, 66, 85, 92, 97. 160, 162, 164 — — — среднее 33, 34, 66, 67, 86, 97, 98, 164 Выборка 180 — случайного объема 191 Выборочное пространство 199 Выборочные функции 45 . Гамма-процесс 75 Двойственные последовательности 34, 107, 116, 144 — процессы 67, 107, 131, 145 Ди Бруно формула 219 — — — применения 241, 242 Законы больших чисел сильные 203, 208, 211, 212 — — — слабые 203, 208 Занятости время 106 — — асимптотическое распределение 113, 117, 126, 133 — — распределение 112, 116, 125, 133 — период 104, 106, 114, 117 — — начальный 113, 114, 118, 119, 122, 127, 133, 134 Игры азартные 9, 25, 42 — — задачи 13, 42 Инвариантности принцип Эрдёша — Каца 260 Каца функция распределения L(x) 194, 263 Колмогорова теорема о согласовании

203 — — — — применения 207 — функция распределения K(х) 181, 259 Комбинаторные теоремы 7, 10, 173, 177 Лагранжа разложение 219 — — применения 20, 69, 229, 246 Лапласа —Стильтьеса преобразование 200, 215 — — — применения 38, 39, 48, 50, 54, 57, 60, 61, 65, 67, 82, 86, 93, 98, 99, 125, 153, 232 — — — теоремы непрерывности 217, 244 Максимум случайных величин, математическое ожидание 21, 30 — — — распределение 16, 20, 31, 38, 39 Марковские процессы 76, 125, 150, 162, 164 — цепи 112, 149 Математическое ожидание 200 — — условное 201 Миттаг-Леффлера функция 74 Начальный период занятости 113, 114, 118, 119, 127, 133, 134 Независимые приращения 35, 100, 206 — случайные величины 18, 202 — — — теоремы о 18, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 203, 204 Непрерывности теоремы для вероятностей 200 — — — преобразований Лапласа — Стильтьеса 217 — — — производящих функций 217 — — — функций распределения 217 — — — характеристических функций 218 — — применения 21, 47, 55, 111, 124

Нерешетчатые случайные величины 203 Нормальное распределение 90, 113, 117, 126, 132, 162, 164, 168, 203, 208 Обобщенный устойчивый процесс 74 Обратные процессы 108, 119, 134 Обслуживания время 108, 115, 119, 128, 134 — — полное 106 Оператор А 38, 41 — — применения 38, 100, 237, 238, 253 Отражения принцип 89, 222 Очереди длина 105, 108 — — распределение 110, 111, 120, 121 — — максимум 114 — образования, процессы: Q, Q*, Q' 105, 107, 108, 110, 116, 119 — — — W, W*, W' 106, 107, 108, 122, 131 — с единственным обслуживающим прибором 104 Паскаля последовательность 35 Переставляемые приращения 46, 212 — случайные величины 17, 46, 210 — — — теоремы о 18, 20, 21, 31, 174, 178,210,211 Пойа последовательность 36 — процесс 76 — урновая модель 36, 44 Полная вероятность 201 Полное математическое ожидание 201 Полячека—Хинчина формула 119, 169 Порядковые статистики 180, 195 — — дискретные 182 — — непрерывные 185 Предельные распределения 21, 24, 32, 55, 56, 64, 84, 203, 204

— теоремы 18, 29, 47, 62 Примеры на верхнюю грань значений случайных процессов 68, 72, 74, 76 — — максимум случайных величин 35, 36 Примеры на процессы образования очереди 115, 119, 128, 131, 134 — — — разорения 162, 163, 164, 165 Продолжительность игры 9, 35, 36, 42 Производящая функция 200 — -—применения 17, 24, 26, 27, 28, 32, 39, 82, 86, 111, 112, 114 — — теорема непрерывности 217 Протокол избирательный 8 Процессы разорения в страховом деле 158 Пуассоновская последовательность 36 Пуассоновский процесс 207 — — верхняя грань значений 71, 78, 79, 195 — — обобщенный 68 — — применения 68, 78, 79, 126, 129, 135, 152, 159, 165 Разорение, классическая теорема о 25 — — — — обобщение дискретное 25, 27 — — — — — непрерывное 58, 97 Разорения вероятность 9, 25, 42, 160 Рандомизация 24, 37, 76, 211 Рекуррентные свойства 29, 63, 153, 204 Решетчатые случайные величины 203 Руше теорема 219 — — применения 20, 228, 241 Сепарабельность 206 Сильный закон больших чисел для случайных величин 203, 211 — — — — — — процессов 208, 212 — — — — применения 25, 57, 181,

233 Слабый закон больших чисел для случайных величин 18, 203 — — — — — — процессов 47, 208 — — — — применения 18, 22, 47, 54, 111, 124, 126, 181 Случайные блуждания 87, 222, 234, 259 — — процессы 81 — — — верхняя грань значений 82, 83, 84, 88, 89, 90 — — — первое прохождение 84, 85, 86, 91 — величины 199 — — математическое ожидание 200 — — независимые 202 — — переставляемые 210 — — спектр 199 — — функция плотности 199 — — — распределения 199 — — циклически переставляемые 10 — испытания 199 — процессы, не имеющие неотрицательных скачков 93 — — с переставляемыми приращениями 46, 212 — — — циклически переставляемыми приращениями 45 — — со стационарными независимыми приращениями 46, 206 — — целочисленные 81 Содержимое хранилищ 141, 146 — — распределение 148, 149, 151, 152, 153 Создание запасов, процессы 140, 143, 149 Статистики, свободные от распределения 181, 182, 184, 186, 187, 191, 194 — — — — дискретные 182, 183, 184,

185 — — — — непрерывные 185, 186, 188, 189, 190, 192, 193, 194 Стационарные независимые приращения 46, 93, 100, 206 Страхование 158 Страховая премия 158 Страховой резервный фонд 158 Страховые суммы отрицательные 163 — — положительные 161 — — произвольные 166 Ступенчатая функция 7 Таубера теорема 214 Тауберовы теоремы для преобразований Лапласа— Стильтьеса 215 — — — производящих функций 213 — — применения 29, 30, 63 Теоретическая функция распределения 182, 185 Тождества 25, 28, 34, 44, 58, 62, 67, 78, 79, 102, 165, 169, 254 Уиттекера функция 74 Урновые модели 9, 10, 36, 44 Условная вероятность 200 Условное математическое ожидание 201 Устойчивая предельная теорема 203 Устойчивое распределение 108, 113, 127, 133, 203 Устойчивый процесс 72 — — обобщенный 74 Факторизации метод 42, 101, 228, 237 Флуктуации времени ожидания 121 — — выборочных функций 45, 81 — — длины очереди 108 — — содержимого хранилищ 141 — — сумм случайных величин 15 Функция распределения 199 — — конечномерная 202 — — эмпирическая 180, 181, 182, 184, 185

Характеристическая функция 200 — — теорема непрерывности 218 Хелли—Брея теорема 217 Хранения процессы 140 — — дискретные 142, 147 — — общие 144, 150 Хранилища задачи 154, 155 — содержимое 141, 146 Хранилище бесконечной емкости 140 — конечной емкости 146 Центральная предельная теорема для случайных величин 203 — — — — — процессов 208 — — — применения 103, 116, 162, 164, 168 Циклически переставляемые приращения 45 — — случайные величины 16, 45 Циклические перестановки 7, 10, 16, 45, 173, 256