Методы оптимизации


  
 
  
 
 




  

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 x       

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  : fx j ha xi = g ) a 2 Rn  2 RA 

  
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) : fx j ha xi  gA 
  
  : Rn+ = fx j xj  0 j = 1 : : : ngA  
 


 

: fx j Ax  bg, ) A { (m  n) ! , b 2 Rm ,    
 ,  
      


 
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x ; y 2 Rn+ . 
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  x1 : : : xk    7   '  
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1 x1 + 2x2 + : : : + k xk ) 1 + : : : + k = 1 i  0 i = 1 : : : k: 
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 coX       
 
   
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  X .

 
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0 i = 1 : : : k 1 + : : : + k = 1,  k > n + 1: 
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 y 
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i=1 i xi = 0  i=1 i = 0. G


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0 i = 1 : : : n + 1g. / 
   


 ,  J : I  X n+1 ! Rn ,   
  
 J( x1 : : : xn+1) = 1x1 + : : : + n+1 xn+1 : 
    

 J(I  X n+1) = coX . B 
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, 
coX 
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,  X    
 x 2 X , 

   
,  (       : x = 1=2(x1 + x2) ) x1 x2 2 X  x1 6= x2. 1!  : Rn ! R1    
,   7* * 
  x1 x2 2 Rn   2 >0 1] (x1 + (1 ; )x2)  (x1) + (1 ; )(x2): 5

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f (x) ! min x 2 QA minff (x) j x 2 Qg:

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 +! f    
  , 
 i (x)  0   7
)     . #
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 x, 
 
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,  Q = fx j i(x)  0 i = 1 : : : mg. %   $     ( !)   7 

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* ai x ; bi  0 i 2 I1 ai x ; bi = 0 i 2 I2 xj  0 j 2 J1 ) I1 I2 = f1 : : : mg I1\I2 =  J1  f1 : : : ng x = (x1 : : : xn )T c = (c1 : : : cn) ai = (ai1 : : : ain) i = 1 : : : m. K (      
  ( c  ai  
-
 , x  b = (b1 : : : bm)T |  
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w = cx ! min

(2.1)

Ax = b x  0:

(2.2) (2.3)

K   0    
' +
 :

w = cx ! min 8

Ax  b x  0:



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 m  n, i- 
 


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(m)  m  '
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(1) : : : A
(m)], 
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, (m  m)- ! B    
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' 
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  ! A 
,
    A = >B N ], ) N { 
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!
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(     x = xxBN , ) xB = (x
(1) : : : x
(m))T , xN 9


 
  

   xj j 2 S 0 .     xj , 79  

    
 xB (

  
xN )   7   (

  
 ). C  (   (2.2) 
,  (       BxB + NxN = b: 
(  
, 
(  ! B , 
,
  '   

xB + B;1 NxN = B;1 b

(2:20) 

  .   *

'   (2.2). O


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x B xN = 0, 

  -    x = xN = B0 ;1b 
 
  


  -    7    -   (

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 -  
,  (
   
   -  ,
  79  79 *     
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, 

 
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 , 
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  (
, 
, 
fAj j j 2 S (x)g  '
  
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,  
, 
fAj j j 2 S (x)g  '
  
, 



   
 (  jS (x)j = m), 

,  ( 

 
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!   ! A 
 


)
  B , 


   

 
 (  
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(
 
, 

 

    
 -  x, 
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 *  - '   
    
,  
*
(   *  
,   
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m, . . Cnm . 10

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,  Q = fx j Ax = b x  0g, 79'    -     (2.2).
  '  
 ... 
 

 


2.1 *
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 t 2 R  
 z = x + ty    -     (2.2),  
 

 * t   z 2 Q.    
)
  , 
9   " > 0,  


 x1 = x + "y 2 Q  x2 = x ; "y 2 Q, . . x = 1=2(x1 + x2) x1 6= x2 ,  
  (
, x     ' ' 

' 
,  Q.  

,   (, 
x = 1=2(x1 + x2 ) x1 6= x2  x1 x2 2 Q, . . x   , 
,  Q     )
 ' ' 

'. C
)  Ax1 = Ax2 (= b)    A(x1 ; x2 ) = 0, 
  ( 
 '
'  
 
,  
!
 fAj j x1j 6= x2j g. H7       '   
( 
,  fAj j x1j + x2j > 0g, 

(


 ,  9 
, 
( 
)
, 
   
x1j 6= x2j  
 x1j x2j  0    x1j + x2j > 0). C 
 
,  
    '   
(
  , 
x       -  . " ,  
  
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  -     0,  ,
 
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   . 

 
, 
   -
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'    11

    
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 ,    7
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, 

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    0 .

*


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 2.1    w = cx
      
  Q = fx j Ax = b x  0g,
 

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, 
cx  cx0.

 
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 x,  79'  (

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!
  ! A  '
 
, . . 9    
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', 
Ay = 0  yj = 0   xj = 0. P 
)  
9
 
,
 (, 
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)    ( y  ;y . / 


    
  '
 

 x(t) = x + ty .  
 

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,   . 1) yj  0   * j . C
)  7
 t  0   x(t) 2 Q ,  
  (
, w(x(t)) = w(x) + td  const. "     
d  0,
7   , 
d = 0  w(x(t)) = w(x)  7
 t. ( t0 = ; minfxj =yj j yj > 0g. C
) x(t0)   , Q0     (-   * 

 ,   x, 


  
 x. 2) yj < 0   


 j .  .
   
 x(t0)  t0 = minf;xj =yj j yj < 0g   , Q0     (-   * 

 ,   x, . . 
 
  

  . 0  
   . 12


 
 Q 6= ,
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C 
 ,   
  
    
  
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  Q.

 
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...  
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   , . . w(x)  w(x)  7
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... x. 
 , , 
x  
 (  -     .   
   ,  

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w(x0) < w(x ). C
) , 
0  1,   9 
 ( ... x,  
, 
w(x)  w(x0 ) ,  
  (
, w(x) < w(x). 
 
   


  
 x . C
  
   .  
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   ,

 


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 ...    7   *  - )
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...  
 

  
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    !     
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(-   

 
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,  ...,  , 

  
)
 
  
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  -     0, 
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   -
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2.3 !
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  - !, 

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(1) : : : A
(m) ],    
(   *

     ' (2.2)  .  
'   xB + B ;1 NxN = B ;1 b (2:20) , 
( .         *    *       , 7(         ,  !  
' +! w.   (   !  
' +!   
 
    w = cB B ;1 b + (cN ; cB B;1 N )xN (2:10) ) B = (c
(1) : : : c
(m)) cN
 
  

   cj j 2 S 0 . . 
.++!      *    *  *

     !  
' +! w.



. 1!,        
 (2:10),
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' +!,     ( * 
  
  Rn , 

 
  7  
,   - '   (2.2),   
, .

      
 
,  Q. B
 
 
  


- ' (2:10)  (2:20) 
   79 '    '*   ' ;w + X z0j xj = z00 (2:100) j 2S 0

14

x
(i) + )

X j 2S 0

zij xj = zi0 i = 1 : : : m

(2:200)

9 > > > > > T ; 1 (z10 : : : zm0) = B b = > z0j = cj ; cB B;1Aj j = 1 : : : n > > > > T ; 1 (z1j : : : zmj ) = B Aj j = 1 : : : n:  z00 = ;cB B;1 b

(2.4)


.++!  zij  
'  , 7   ,       ',  
 7  - ! (  

 

 ( .      
!  
  !  
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x
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x
(i) .

x
(m)

z00 z10 ::: zi0 ::: zm0

x1 z01 z11 ::: z i1 ::: zm1

::: ::: ::: ::: ::: ::: :::

xj z0j z1j ::: zij ::: zmj

::: ::: ::: ::: ::: ::: :::

xn z0n z1n ::: zin ::: zmn

(2.5)

Q   
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'  !    79 
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:  7
 i = 1 : : : m 
 !  
 
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x1 : : : xi : : : xm xm+1 : : : xn 0 : : : 0 : : : 0 z0m+1 : : : z0n 1 : : : 0 : : : 0 z1m+1 : : : z1n

xi

zi0

zim+1 : : : zin

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: :

xm zm0

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zmm+1 : : : zmn

 
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  -       w(x) = ;z00 .

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(1) : : : A
(r;1) As A
(r+1) : : : A
(m)],  
(
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(1) : : : A
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' 

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 -  ). 2)  (  9' 
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     zr0  0  zrs > 0. F 
   (     zi00  0 (i 6= r i  1)  
   : )  zis  0, 
zi00 = zi0 ; zzrsis zr0  zi0  0, )  zis > 0, 
    
  9 ' 
   zzisi0  zzr0rs ,  
  (
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  - )
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 , 
 
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0i = i ; ( zzrsis )r  r  0A )  zis > 0, 

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  (
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  (2.1)-(2.3)   
 
' +
  
 +!7 0 ) , w0 = cx + u(b ; Ax), 

   +
 
  
 -
 u = (u1 : : : um ) 
    
,  
*  - ' Q  !  
' +! ' w = cx. B 
  (
,  x 2 Q  c ; uA  0   w = cx + u(b ; Ax) = ub +(c ; uA)x  ub, . .   ub    .
 
! 
'  
 (
)
   !  
' +!    (2.1)-(2.3). 
  - ' , '
!  
     z = ub ;! max ( ) u

uA  c 28



      

'    0

 (
u 2 Rm . 
    
 
    ( )   
 
  *

'    (2.1){(2.3), 

   
7
  (     
. O *
  ( )    0   
9 ' +
 , 

'     
     79
 
:    n X min cj xj j =1

aix  bi aix = bi xj  0

xj ; 
.

F
'    m X max biui i=1

i 2 I1 i 2 I2 j 2 J1 j 2 J2

ui  0 ui ; 
. uAj  cj uAj = cj

) ai = (ai1 : : : ain ) | i- 
  ! A, Aj = (a1j : : : amj )T | j -' 
 !  ! A, I1 I2 = f1 : : : mg I1 \ I2 = A J1 J2 = f1 : : : ng J1 \ J2 = :  ,
'  
'

-  
' 
    ,  , 79   
, 
   , 
'    
' 
'    0, 
    
'    ' 0.   
   ,  -  
' 7      min

m X i=1

(;bi)ui

(;ATj )uT

 ;cj j 2 J (;ATj )uT = ;cj j 2 J ui  0 i 2 I ui ; 
. i 2 I

1

2

1

2

29

,       7, 

(     -     +
  
' 7   '   : max

n X

j =1

(;cj )xj

xj  0 j 2 J1 xj ; 
. j 2 J2 xT (;aTi )  ;bi i 2 I1 xT (;aTi ) = ;bi i 2 I2 :


 (, 

      
    *

' 
'    '. C 
 
, 
,
 (, 
    0   7     

' *   .  
*, 

 

 ,* 
'  

' *   
   79 .

  2.1  x  u {
  $  

  
 
 
 
  ,
w(x)  z(u).

  
  , 
)          
 
' +
 ,   
-    

(
 
( +   
    
' 
'   . 
9  

 ,  )

  :

w(x) = cx 

n X

j =1

(uAj )xj =

m X i=1

ui(ai x)  ub = z(u):

  2.2  x  u |
  $  

  
 
 
 
    w(x) = z(u),
x  u {
   $  

  &'  .  
 . ( x { 

(


 -  
'   . C
) ,   B
'
2.1,   w(x) 30



z (u) = w(x), 

  
 (
( x.  
)
 
    
 (
( u. 1   (' *     7      , 
  
' 
.



 2.2 (-  

 
 .) -  


       



$, 



$. - 2
 
 
       '   2 '   
  , 




 , 
  ,
    $

 

  
  .

 
 . P 
)  
9
 
,
 (,


           
 
' +
 (2.1){(2.3), 
'     '    (F). (    (2.1){(2.3)   -  B { 
 
' 

'  , 9 
  


)
)    " ,   5. B
) 

   7 
'  
' 
' 

  7  
    B ;1 b  0  cN ; cB B ;1 N  0.  
 .*    ,    
,   ( 

, 
 
 -  x  

   xB = B ;1 b xN = 0   
  -      (2.1){(2.3).  

)
      , 
 
 u = cB B ;1   
  -   
' 
'    (F), 

( uB = cB cN ; uN  0 ,  
  (
, uA  c. F   * 
*  - ' x  u 

  

'  
' 
'     7  
  

w(x) = cB xB = cB B;1 b = ub = z(u) 

) 
B
' 2.2
  
 (
( .*  - '. C 
 
,  

,   -
( 
'   ,  
     -
( 
' 
'   '     
  
 (*   ' !  * +!' .*   .    
  !    -
 
' 
'   31

  
)
 
      -
( 
'     
  
 (*   ' !  * +!'. F   -  
   ( 
 
  -( 
  (, 
     -,  *
)   
 . 
   )
    B
' 2.1      -
    0.   
   , ( u |  




 -  
' 
'    (F). C
) 
B
' 2.1  7
)


)
 -  x    (2.1){(2.3)    
   
w(x)  z (u), . . !    +! 
'   
)     ( 
) 
,  
*  - ', 

) 
C
  2.1      -
(    (2.1){(2.3).  .
)
       -
(  
' 
'   . C
  
   .  +

  79 ' 
    
 ) , 
   
'         
9 ' +
 .



 2.3 (*
 

 
   





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 ). #
  $  x  u 

  
 
 
 
  
  
  


 , 
  ui(aix ; bi) = 0  ' i (2.9) (cj ; uAj )xj = 0  ' j: (2.10)

 
 .   

   i = ui(aix ; bi) j =

(cj ; uAj )xj    , 
 

  - ' x  u       
i  0   * i  j  0   * j . H7  
7
  (   , 
  


X i

i +

X j

j = 0

   
,   
(
 
7    (2.9)  (2.10). B )
' 

, cx ; ub = 0  
  
(
 
  , 32

 x  u {
 (  -    . 
 !, 
   -( 
   (
,    
 
 


 (, 
  
  
X X i + j = cx ; ub i

j


  
 
  
. C
  
   . 
  ( 

 )    
  ' 
   ,   ,  79  ,  . O  

  
!  (       
' (

  
, 
' 
')      

, (
     
(
 (
  -   
'   , 


 79
)   -   

' 
' (

  
, 
')    
        7
)

 (
)
 -  .
'   . 
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' 
  
' 
  
   (,  , 
,  -     (2.1){(2.3)  - 

, 

  

 (  -   
   , 
 (
 -  
' 
'    (F)         -
(
 *   . G


 
  ( )
'  
  -     0,  
,
    - 
.    . *
'  - 
 
  (  .

2.11  
 !
 -
    
 ,
  )
 .
)
 
  
 ) , 

(   ,    +
  - !  
,  
.   

 
  . 
 (i) i = 1 : : : m     , , 
   
 
 
  * 
!
 (   *). 0)  (  
' 


'  - !. 1) O  - ! 

 , . . zi0  0 i = 1 : : : m, 
H O2 (
 

 (
 -  ). 33

2)  (  97 
 r : zr0 < 0 r  1. 3) O fj j zrj < 0 j  1g 6=  
 (  9' 
 ! s:

z0s = min jzrsj

(

z0j j z < 0 j  1 jzrj j rj

)

  H O2 (      - ). 4) 
 
 (  - !, 

,( (r) := s    '  - ) 1.


.

1. F
   (

)
, 

'   

(  - !   (  
 
   - ) 4 
*  , 
,  ( 
 
 
)

,   


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   (

*   
' 

   
)
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 . C 
 
,   
  - 
   !     '   
 

*  
, 
 
' 
  - 
 | 
' 

*  
. 2 ( 

*  *
   , |  ' 
 
' 

'  . 2. O  - ) 3   zrj  0 j = 1 : : : n 
.

  , 
      -   
 

)  '.   
   , r-' 
  - ! 

        (2:200) n X zrj xj = zr0 j =1

 


)
 x  0    zr0  0. B )
' 

, 
) 
  
  9 ' 
 zr0 < 0: G  

  9* )       (7

    (2:200) 
!  (*  - ', . .
 
 

)  '    (2.1){(2.3). 3. 


 
  - ) 0     
(
9*  ! 
,
)         , 
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,  
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)
   -  
 



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    -(    0 minfcx j Ax  b x  0g  
!  (  

 c. B 

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,  ( 
 
    
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 minfcx j Ax + y = b x  0 y  0g: H 
,  ,
 
 ' 
  m 
!   ! >A I ]  
)  ' 

'   ,   
' 

    ! 
' 
)
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  (   - ! " # 0 c 0 :

b A I

) 
,  
,(     !, 
) 
 
 
 (
)
 -     (2.1){(2.3)  

 79 )

 
' 


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  B  *
   
(
 (
 -             b0  
)  ' (2.2). 
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'      B    , 
' 

  
,  ( 
(
        (
)
  -     
'   - 

. )  , 
(
 '   )  
  
' 


'  - !, 
,  (  
     !, 
) 
)      0,  


'    

  
' 

   - ! , 
 7 

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,
( 
(    -     ! 
 
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)

) 
   
 
   (
  
 


 (    
, ). 4. 


 
 
 
' 
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 - )
 
) (, +  , 

      
      ,      




 
 
)
 - 
 .   
,  
'      (F)  
,  , 
)
 
    7
 
  35

  
  9 )
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, 
   
, 
'    (F)   ,
' 
' 


'  - ! .   z0j  
 
 j   *    * 
, ( 

, (, . . jfj j z0j > 0 j  1gj = n ; m.   
, 
'    
 
( 
' 
)
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,  (
       
(
   * , 


, 
   
)
 - 
 ,   
,     


)
 
)   P.      
) + 
' 
! .

36

  3.       !

  
       7    
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(
' +!  
,  
 , 
 
79*  
)  ',    (  

*   7   ' +!. P 
  
*
 
 
 (
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.  , 

 7   
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. F    
)

) 
   
   
*
  
 
 
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.  . C
 
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  ,        
 .   +!
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  *. 
)  
 
     . "
 .      
)    
   

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  F
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   ( 


' 
 
 .        
 * 
, .  

,  .
' 
  
  *   ) + *  
9 )
   .

3.1 

  
   
 .  (*    +   (7 
( ) 7 
 
 
. H


 ,  .* 
  
  
, 
 * * 
,  X  Y  ,  9 
  ) 

,  
', 

, 
X  *
 

  

 ,
   * .
' ) 

(7, 
, 
Y |  )
.  .
  )

, 
   ) 

(
   . 
,  )
 ).



 3.1 -  X { 
 

, x0 62 X: 4
  &  
 > 0   
 
 a 2 Rn , 


ha xi  ha x i ;  0

 ' x  X:

37

(3.1)

 
 . 
(  

(7 
 x0 2 X   
 
, 


X 0 = X \ fx 2 Rn j kx ; x0k  kx0 ; x0 kg:

G

, 
 
(   


 , x0),  

)  
. 
.
     +! f (x) = kx ; x0 k 
)     
)
 . F) 
 , 9   
 z 2 X 0  X   , 
 
 x 2 X 0   

kx ; x k  kz ; x k: 0

0



, 
.
   
  
  
  x  
,  X n X 0,      * 


7 
,  X 0  

kx ; x k > kx0 ; x k  kz ; x k: 0

0

0

( x {  

  
  
,  X . C
)  7
  2 >0 1] 
 y = x + (1 ; )z   , X ,     
 - ,

ky ; x k  kz ; x k : 0

2

0

2

G
   

,
   (  :

kz ; x k  k(x ; z) + z ; x k = =  kx ; z k + 2hx ; z z ; x i + kz ; x k : C
)  7
)
 2 >0 1]   



-   kx ; z k + 2hx ; z z ; x i  0: G


,
-(,  hx ; z z ; x i  0: 

, a = x ; z (. 1)   = kak : 

7 x 62 X 
.
 a = 6 0: C    ha x ; zi  0 
ha xi + ha x ; zi;ha x i  0  ha xi  ha x i; : 0

2

2

0

2

2

0

2

0

2

0

0

2

C
  
   .

2

0

0

0

0

38

0

/. 1. C
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,  X " 
 ' +    7 (
'
 
(7 
)

,  X
    , 9 ' )
  7 
 x0 : C 
 
(
 ,  )
  7 (     (3.1), 



  , 

,
  
  ) 

(, 

 x0  
, 
X
 ,  , 9 
  


  .  ( 
 
(
  , 
 
  , 
  
,  X  

' x0 
(-  


)


, (
)
 . O 
 x0  *
  ) ! 
)

,  X 
 ( (

 (
 X:  .
  
,


( ) 

(, 
*
97    x0  , 
 
, 
X
 ,  

 


   
' ) 

. G
 , 

   
, 
 
)

,  X   
  
intX = intX .   .
)
,  
 x0 | )    
,  X , 
x0  
,  (   ' 

'  
,  X .



 3.2 -  X { 
 

, x0 62 X: 4
 

&   
 
 a 2 Rn 
, 
ha xi  ha x0i

 ' x 2 X:

 
 . 
 ,     , 
 7
)

-

)

,  X  
7  : intX  X . ( z 2 intX . C
) 9    ,  


)
 *
 
 z 39

 -   a1 : : : an+1   ,  
,  intX .    
  
'
 
 z 
)  '   ,   +!' 

  )
 -,  '  " > 0  
, 
   

,   -     *
 
 ' B (ak ")  
  "*
"
 z     " 9 
)
"  .   ,
'    *
 
 ' 
,  (   
 bk   , 9  
,  X 

( ak 2 X:   
, 
, 
X 
 ,  (     -   
 * bk ,  
  (
, 
 z: C 
 
  
  , 
intX  X . 

7 x0 62 X: B 
  (
, x0 62 intX   , 
 
( 
 x0 
 , 
,    , 9 
,  X . 
.
  '  
 
  (
( 
  fxk g   , 
xk ! x0  xk 62 X:  
  1   , 
  ,
)
k  '    
'  
 ak  
', 
hak xi < hak xk i  7
)
x 2 X: P 
)  
9
 
,
 (, 
  * k   
kak k = 1:  
   ' -    , 
9   

 
  (
( fakl g, *
9    


  
 a kak = 1: C    hakl xi < hakl xkl i   * x 2 X 
 l ! 1     
 ha xi  ha x0i   * x 2 X: C
  
   .



 3.3 -  X  Y {  
 ,  &
&'
. 4
  &   
 
 a 2 Rn 
, 
ha xi  ha yi  ' x 2 X  y 2 Y:

 
 . / 
 
, 
Z = X ; Y 
  

z = x ; y ) x 2 X  y 2 Y: 0 )

  (, 



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7 
   
,  X  Y  
9* 
 . G
 , 

, 
Z  
 , 
 0. 
.
   
  3.2 
 0 
,

 (
 
,  Z , 
(  '    
'  
 a  
', 


ha zi  ha 0i = 0   * z 2 Z: 40


    
,  Z 
  ha xi  ha yi   * x 2 X  y 2 Y: C
  
   .



 3.4 -  X Y {     
 ,

  

' 
, 

X
 
. 4
  &  
 > 0   
 
 a 2 Rn , 
ha xi  ha yi ;   ' x 2 X  y 2 Y:

 
 .      9 ' 
  ,  




, 
Z = X ; Y: 
 , , 


 
. F ' (
, ( z k = xk ; y k ! z0  k ! 1 ) xk 2 X y k 2 Y: " , 
z0 2 Z: C    
, 
X { 
 , 

,
 (, 
xk ! x0  k ! 1 ,  
  (
, y k ! y0 = x0 ; z0  k ! 1: H7 , 

( 
,  X  Y    
 x0   ,  
, y0 { 

  *,   , 
z0   , Z: C 
 
, 
, 
Z 
 , 
   ( 
, 
(    . 

( 
,  X  Y   7
9* 
 , 

 

, 
Z  
 , . C
) 

  3.1

/. 2. 
,  X  Y (

   )
 ) 41

 '   
'  
 a  
 > 0   , 


ha zi  ha 0i ;  = ;  7
)
z 2 Z  ha xi  ha y i ;    * x 2 X  y 2 Y (. 2). C
  
   .

B 79'   (. 3) 
  , 
 
,  X  Y 
)  , 
(

 79 ' ) 

 
,   9 
 (, 
, 
Z = X ; Y 
, 
  (
. ( X = fx 2 R2 j x2  1=x1 x1 > 0g Y = fx 2 R2 j x2 = 0g.  .
  Z = fx 2 R2 j x2 > 0g      ) 

(
 .

/. 3. 
 

3.2 /!3
3  H
7 
(  
 .  (*      
)  ' ) 7  
,   ! (
)
 |  
. , 

    

 
' * 

. 42

%!



3.1 "

    

K 
-

&    
 


 x 
 x   > 0: O  

, 

, )
  7  

,   
{   

.      

   

.  
 
Rn ,    7


 
,   

. H 
, 

  7 
,  fx 2 Rn j Ax  0g  fy 2 Rn j y = Ax x  0g:  . 
 7     
,  .

%!



3.2 5

K  = fa 2 Rn j ha xi  0 8x 2

K g 
 
    
  K .

/. 4. B
,  
 0 )

 (, 

, 
K    

  7
)

,  K . 
.
   ( '-  K      ( 
,  

. H 
, 

 K       

 
)
,
   . 
'
 *
 
, 
   (. 4). 43


 3.1 -  K 

  
. 4
  K  {  -

 
.

 
 . / 
 *
97 
 
  (
(

fak g ak 2 K : (  
 a     
 .
' 
 
 k  (
. C
)      ha xi  0  7* k  x 2 K    
  
)

         
ha xi  0  x 2 K: 0  
   .


 3.2 -  K 

  
. 4
  K  = (K):  
 . 7  (K )  K   
  
 -

  
    
, 
)

 . H 
7  K   (K )       3.1,       
  
)

  . 0  
   .


 3.3 -  K 

  
.   

x 2 K 
     
ha xi  const
a 2 K :

 
 .  

,, 
a 62 K : C
)   
-



)
x0 2 K 
,

(    
ha x0i < 0. 
    
 
 , 
ha x0i < 0  7
)
 > 0  ha x0i ! ;1   ! +1: 

( 

7   ha xi  const   * x 2 K 

  

  . 0  
   .


 3.4 -  K 

   
. 4
  K  =

K:

 
 .

0 )

 (, 
7  
  K   , K . F ' (
, 
(  

(7 
 x  K . 

   7 
, 
)

 (K )  7
' 
 a 2 (K )   
ha xi  0.
.

  , 
x 
 ,  
 K : H7    3.2   , 
x 44

  , K : 
 ,    (, 
 * * 
 , 
   , 9* K , 
 K  
 , (  
, . F
, 
9   x0 2 K  n K: 

( 
, 
K 
  
, 


  3.1  '  
 a 6= 0  
 > 0   , 
ha xi  ha x0i ;   7* x 2 K: C
)   
 a = ;a 
 ha xi  const  x 2 K: H7 ,     3.3,    a 2 K = K : B 
  (
,  x0   
 
 K  
,

    
ha x0i  0. C    
 K   ,  , 7  
 0, 
, 
 )  x = 0 
 ha x0i  ; < 0: 

  . 0  
   .


 3.5  K1  K2 {  
,
K1 + K2 {

 
  (K1 + K2) = K1 \ K2:

 
 . 
( 
 K1 + K2  )
  


   '. 
 , , 

  7  (K1 + K2 )  K1 \ K2 : ( a 2 (K1 + K2 ). G
 , 


ha x

1

+ x2i  0  7* x1 2 K1 x2 2 K2:

/ 
   
  (x1 x2)  (x1 x2): C
)   ! 0   9 )
    


ha x i  0 ha x i  0   * x 2 K x 2 K . . a 2 K  \ K : 
 , 
 
7  . ( a 2 K  \ K : C
)  7* x 2 K x 2 K 
      ha x i  0 ha x i  0: B   *, 
 ha x + x i  0: B 
  (
, a  1

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

2

1

2

  , 
 (K1 + K2) . 0  
   . 45

2


 3.6  K1  K2 {     
,


(K1 \ K2 ) = K1 + K2:

 
 . / 
 
 (K1 \ K2):    

3.4   
 K1  K2
 
    

 (K1 \ K2) : 
  3.5 .
 
      ((K1 + K2 )) : 
 !,     3.4, 
   
  
. 0  
   . B 79  
     
  
    
     ( '-   
   ( 
*
* 
' .  . H 
 
 
      * 

  9 
 7   (
)
 -   


)
 '
)
     

  
, * 

.



 3.5 (F
!
)
{ 7 ) -  K1 : : : Km {  T  
. 1.  mi=1 Ki = ,
&  
 ai 2 Ki       

 &     a1 + ::: + am = 0:

(3.2)

2.  &  
 ai 2 Ki       

 &     (3.2),
K1 \ intK2 \ ::: \ intKm = :

 
 . F
 ,   7  ( 
 . / 
 
 
(Rn )m .    


)
7  
  (x1 : : : xm ), ) xi 2 Rn : 

   7  
)

    

  

h(a

1

(

::: am) (x1 ::: xm)i = ha1 x1i + ::: + ham xmi:

m z }| { K = K1  :::  Km P = f(x ::: x)jx 2 Rn g: 



46




, 
P    )
 (7 
  (Rn )m : H     
, 

,  K P |  
  (Rn )m  K \ P = :   
  3.3 9 7  
 a1 : : : am 2 Rn ,     7,   , 


ha xi + ::: + ham xi  ha x i + ::: + ham xmi   * x 2 Rn  xi 2 Ki i = 1 : : : m: 1 x : : : xi; xi : : : xm 
 hai xii  const  xi 2 Ki:     3.3 .

  , 
ai 2 Ki : B )
' 

,
 
, 
ha + ::: + am xi  const  x 2 Rn: 1

1

1

1

1

+1

1

G
   


,
-(  
  , 
)

a1 + ::: + am = 0 
  
 
( 
  (. F
 ,  
7  ( 
 .  

,, 
9    
 x2 K1 \ intK2 \ ::: \ intKm : C
) ha1 + ::: +am x i = 0   
    ai 
      hai xi  0  i = 1 : : : m: H7   , 
hai xi = 0  i = 1 : : : m: 

7   ai   7,  
  (
, 
 ' '     *    . B 
  (
, *
 
  *  , 

  
, * 

 K2 : : : Km . P 
)  
9
 
,
 (, 
.
 
 a2: C
) ha2 xi  0   * x 2 K2  ha2 xi = 0: C    x2 intK2, 
  '
' +! ha2 i,   
' 
,  
7, 
)  
  ' 
 K2: 
 

  . C
  
   .

3.3 4
#5
3  6 
3  .
   ) + 
 
*


  +! f (x)   


 
,  
*  - ' 47

Q 


        
 
)
 
 

,  
  Rn :  * )* 

 (*
)  '  +!7 f (x)  
, 
Q     . 
.
 
*


 ,



    (,     '

9' *   . H 
,    

 (*  

, ',  )


   

( 
 
 ,  (    
*
* 
'   
)*  
       '
)            . ( G  Rn x x0 2 Rn x 6= 0:

%!



3.3 *
 x {        
-

  G 
 x0,  & 
 

  Vx 
 x  
 > 0 , 
 ' x0 2 Vx  0 2 (0 )
 x0 + 0x0    G: *
 
    
 
    3.3,  )

  (  79 
' .

  3.1  
 x |       


  G 
 x0  Vx |
 

  
 x 
   3.3,
1) # 

 > 0 
 x           
  G 
 x0: 2) ,
 
 x0 

  Vx           
  G 
 x0: 3) 5

intG  
.

  3.2  Vx |

 
 

,


K 0 = fx0 j  > 0 x0 2 Vxg |
   
.  x0 2 K 0

 x0 |        
  G 
 x0:

  3.3  
 x |        
  G 
 x0
& 
  48

 
 K 
& x 

   B(0 ) , 
x0 + K \ B(0 )  G:

  3.4 -  K |
   
, 
-

& 
 x,  B(0 ) |

   .  x0 + K \ B(0 )  G

 x |        
  G 
 x0:

/. 5.  
 x |        G  
 x0 C 
 
, x |        
,  G  
 x0 
)  
(

) , 
) 9  
' ' 
 K , 
 , 9'  
 x, 
 
(  V   , 
x0 + K \ V  G (. 5).

%!



3.4 *
 x {  
     
  G 
 x0,   


  Vx
 x    > 0    x0 2 Vx  0     (0 ) , 
x0 + 0x0 2 G:

  3.5  
 x |  
     
  G 
 x0,
1)  

 > 0 
 x   
     
  G 
 x0: 49

2)  





 K 
&

 x  


   V  
 
  x0 + K \ V  
  
  G:

  3.6   





 K 
-

&

 x  


   V  
 
  x0 + K \ V  
  
  G

 x |  
     
  G 
 x0:

  3.7  
 x |        
  G 
 x0
x             
  G 
 x0:

/. 6.  
 x |   (
     G  
 x0 .  
' 3.5  3.6   , 
 
 x |   (
     
,  G  
 x0 
)  
(

) , 
)  7
)


)

 K 
 , 9 )

 x  7
'
 
  V   
  
,  x0 + K \ V ( 
  
,  G (. 6). ( Gi i = 1 : : : m + 1   

,  
  Rn : / 
   : min f (x) Q = x2Q

m\ +1

50

i=1

Gi:

(3.3)

K    
, 

*  - ' Q 


 
,  
 
*


      (3.3)  +
 , 

'          
)            . ( G0 = fx j f (x) < f (x0 )g ;i { 
, 
 *    '  Gi  
 x0 , i = 0 1 : : : m: H 
, 
       Gi  
 x0 
) 9 
 ( (

  (
9 7) 
(
 
  , 
)  

, 
intGi : O 
, 
;i  
, 
 B
' 3.1   , 


 
 

. P
 
)
, 
) x0 2 intGi 
 ;i 
    
 
 Rn : H
     ;m+1 { 
, 
  (*    '  Gm+1  
 x0 :       
' 3.5, 
, 
;m+1  ,   

.



 3.6 (
*


 .  )  x0 |


 
 $    (3:3),


m\ +1 i=0

;i = :

 
 .  

,, 

     , 
( m+1

9   .   e,   , 9' 
,  \i=0 ;i : C
) 

   7   )
     
,  Gi i = 0 : : : m 9 7
 
 Ki,  ,'  

* 
 ,  
 e, 
 
  Vi   , 
x0 + Ki \ Vi  Gi   ,
)
i = 0 : : : m: 
.
 x0 + (\mi=0 Ki ) \ (\mi=0 Vi )  (\mi=0Gi): C 
 
, 9 7
' 
 K = \mi=0 Ki, 
 , 9'  
 e, 
 
(  V = \mi=0 Vi   , 
x0 + K \ V  (\mi=0 Gi ): C    e  , .    
 ;m+1 , 
(x0 +K \V )\Gm+1 6= :    x0 2 (x0 + K \ V ) \ Gm+1 : C
) x0 2 Gi i = 0 : : : m + 1 ,   
, x0 2 G0 
( f (x0 ) < f (x0 ):
.
 

,
,     x0 |
 (
 -     (3:3): 51

3.4 %##7

! 

 * P
 
 ,  ( 
*
 
  
) ( 
 , 
) x0 | 
 (' .     (3:3)  


)

 ;i i = 0 1 : : : m + 1    . C
) 

  F
!
)
-7 9 7    7

  
 
 ci 2 ;i i = 0 1 : : : m +1   , 
c0 + : : : + cm+1 = 0: G

 


9 
 .      
)   
    
   ) + . / 
  797   : min f (x) (3.4) 'i(x)  0 i = 1 ::: s (3.5) 'i(x) = 0 i = s + 1 : : : k (3.6) n x2GR : (3.7) B , 
+! f 'i {   
++  ! , G { 
,  

, 
, intG 6= :    
, 
, 
G   
7 .  , G = fx j xi  0 i = 1 : : : ng: 
 , , 
 .*  

, * 
,


(
 ( 
*
 
  .   
  3.6  
 
' F
!
)
-7 . F .
)
      (3.4)-(3.7)      (3:3)    79 
,  G0 = fx j f (x) < f (x0)g, Gi = fx j 'i (x)  0g i = 1 : : : s Gm = G Gm+1 = fx j 'i (x) = 0 i = s +1 : : : kg, ) m = s +1  x0 | 

 -     (3.4)-(3.7). F
   (
 
  
 

 ;i i = 0 : : : m + 1

    79*  , *.


 3.7 -  f (x) | 
-    -

  f 0(x0) 6= 0: 4
  
 ;0   
   

  ;0 = fe 2 Rn j hf 0(x0 ) ei < 0g: 52


 3.8 -  'i(x) | 
-     ,  


   

'i(x0) < 0 
'0i(x0) 6= 0: 4
  
 ;i   
   

  ( n 'i(x0) < 0 ;i = fe 2 Rn j h'0 (x ) ei
x0 2 G: 4
  
 ;m   
   
-


 

;m = fe 2 Rn j e =  (x ; x0 )  > 0 x 2 intGg:

K  , 
 x0 2 intG 
;m = Rn :


 3.10 -  'i(x) i = s + 1 : : : k | 
-    . 4
  
 ;m+1      

 

  ;m+1 = fe 2 Rn j h'0i (x0) ei = 0 i = s + 1 : : : kg:

F
   (
  3.7-3.10 
,
 '  >1].



 3.7 (H
9 
 

,  ' 0 ) , ) -  x0 |
 
 $    (3.4)-(3.7). 4
  &    0i i = 0 : : : k     , , 
0i  0 i = 0 : : : s 0i 'i(x0) = 0 i = 1 : : : s

h f 0(x ) + X i '0i(x ) x ; x i  0 0 0

k

0

0

i=1

0

0

 

x  G: (*  0i 
   
   , .) 53

 
 . "     , 
 
)  
9-


 
,
 
 ) ( 
   79 
: 1) f 0 (x0) 6= 0, 2)  7
)
i = 1 : : : s 
'i (x0) < 0 
'0i (x0) 6= 0: F ' (
, ( f 0(x0 ) = 0: C
) 
     00 = 1 0i = 0 i  1:  

,   (, 
'i (x0) = 0  '0i (x0) = 0   


 i = 1 : : : s: C
) 
     0i = 1 0j = 0 j 6= i:    3.7-3.10   , 

  *    (*    '  
 x0 )  79
 
: ;0 = fe 2 Rn j hf 0(x0 ) ei < 0g

 7
)
i=1,. . . ,s ;i =

(

Rn  'i (x0) < 0 ei < 0g  'i (x0) = 0

fe 2 j h i ;m = fe 2 Rn j e =  (x ; x )  > 0 x 2 intGg ;m = fe 2 Rn j h'0i (x ) ei = 0 i = s + 1 : : : k g: Rn

'0 (x0)

0

+1

0

 . 
    . C    x0 |
 (
 -     (3.4)-(3.7), 
\mi=0+1 ;i = : C
)  
  F
!
)
-7   , 
9 7    7

  
 
 ci 2 ;i i = 0 : : : m + 1   , 
c0 + c1 + ::: + cm+1 = 0: 

, 
  7 

'     
  
,  
.  ,  )

 , , 
;0 = fc0 j c0 = ;0 f 0 (x0) 0  0g:


    
, 
)

   , 
c0   , ;0 
)  
(

) , 
)  7
)
e 2 ;0  
hc0 ei  0. H7 
0 , 

 ;0 
 ,  

,  
  ;0f (x0) ) 0  0: 54


 , , 


;0  fc0 j c0 = ;0 f 0 (x0) 0  0g:

(  
 c    , 
  
 
,  fc0 j c0 = ;0 f 0 (x0) 0  0g: C
) 
 
' 
 
 
 9     
'  
 e  
', 
h;0f 0 (x0) ei > hc ei  7
 0  0: 
 )  0 = 0 
 hc ei < 0. P 
    0 > 0  0 ! 1    
  hf 0(x0) ei  0: K , c    , 
 ;0: C

  , ;i = fci j ci = ;i '0i (x0) i  0g   * i  s,  

* 'i(x0 ) = 0. O , 'i(x0 ) < 0, 
;i = f0g. B 
  (
,   * i  s   ;i = fci j ci = ;i '0i (x0) i  0 i 'i (x0) = 0g:

0 )

 (, 
;m+1 = fcm+1 j cm+1 = ;

k X i=s+1

i'0i (x0)g:

C 
 
,   
      
, * 

    
c0 + c1 + ::: + cm+1 = 0 
 :

cm = 00f 0(x0) +

k X i=1

0i '0i (x0) 2 ;m

0i  0 i = 0 : : : s 0i 'i(x0) = 0 i = 1 : : : s

) 0i i = 0 : : : k {  

 
, , 

  
, (   7

  
(
   (
  
  

 ci 0  i  m + 1). 55



   7 
 ;m 

   

 c, 
 
79*     hc  (x ; x0 )i  0   *  > 0  7* x 2 intG. C    7  
 
)

,  G     (
' 

' 
,  intG 
 c 2 ;m   * x 2 G 
  hc x ; x0 i  0 ,  
  (
,

h

0 0

f 0(x

0

)+

k X i=1

0i '0i (x0) x ; x0i  0

 7
)
x  G: C
  
   .
*
 

 (
 
  3.7   7

9   
 
,  ' 0 ) , ,   0i i = 0 : : : k | 
,  0 ) , .  
  3.7  ( 7(  ', 
) 
, ( 00  )   !  
' +! f 0 (x0)    7,  
) 
*
 
 .    

 
' +!. C      
  
,   
 x0: H  


, 

79*  (    
, *   ,   
  F
!
)
7 . O 00 = 0, 
c0 = 0  c1 + ::: + cm+1 = 0.    3.7-3.10   , 

 ;1 ;2 : : : ;m |
 
,  . B 
  (
, 

  F
!
)
-7   ;1 \ ;2 \ ::: \ ;m+1 = : K ,        
)

,  

  
, 
  
00 = 0 7 . 
 


, )  79
 00
  

9 
   
,  ' 0 ) , , 
 7   *    (3.4)-(3.7),  

* G = Rn .



 3.8. (
*
 
  -C   ) -  x0 {
 
 $    (3.4)-(3.7), G = Rn  

f'0i(x0) j 'i(x00) = 0g {  
 
. 4
  &  
  i i = 1 : : : k , 
: 0i  0 i = 1 : : : s 56

(3.8)

0i 'i (x0) = 0 i = 1 : : : s f 0(x0) +

k X i=1

0i '0i (x0) = 0:

(3.9) (3.10)

 
 .  
 G = Rn   , 
   


hc x ; x i  0 
,  ( 
 
  * x 2 G 
(
 0

c = 0. B 
  (
, 

  3.7   00f 0 (x0) +

P

k X i=1

0i '0i(x0 ) = 0:

(3.11)

P

O 00 = 0, 
ki=1 0i '0i (x0 ) = f0i '0i(x0 ) j 'i (x0 ) = 0g = 0 


  
7 
 
 '
'   
 
,  f'0i(x0) j 'i (x0) = 0g. 
.

      (3.11) 
,
  (  00 > 0: 

, 

,  0i =00 i = 1 : : : s 
 
7 
*
 
 (3.8)-(3.10). C
  
   . / 
    (3.9), (3.10) 
)   'i(x0 ) = 0 i = s +1 : : : k: H
 7    k + n   '  k + n    0i i = 1 : : : kA xj j = 1 : : : n: 
(  
'(  '  
  -  

*  , 
,
 '  -  (0 x0): H 
,   
)
, 

 (3.8)-(3.10)  7 
 
 

 (
, 
 x0 
,   ,  ( 
 ( . 
    (3.4)-(3.7).
*
  
 
 

 (
   
(  
 *  
   '*   .  ,     
)

) 
 , 

    7 , .

3.5 4
#5
   
3  6 
3 / 
    
)

) 
   min f (x)

(3.12) 57

'i(x)  0 x 2 G  Rn

i = 1 ::: m

(3.13) (3.14) ) G { 
 

, 
,  79   
, f 'i {  +!.  

,, 
x0 2 G    ,
'  +!' f (x) ; f (x0) 'i (x) i = 1 ::: m 9 7   

,  
  Rn ,  

*
  7
!  (   . 
  *    '  
 x0  
,  G0 = fx 2 Rn j f (x) < f (x0)g Gi = fx 2 Rn j 'i (x)  0g i = 1 : : : m  G   
  )  79
 
: ;0 = fe j e =  (x ; x0 )  > 0 f (x) < f (x0 )g ;i =

(

Rn  'i (x0) < 0 fe j e =  (x ; x0)  > 0 'i(x) < 0g  'i(x0) = 0 ; = fe j e =  (x ; x0 )  > 0 x 2 intGg:


   (*    ' 

)  ' {    (  
 
Rn .

%!



3.5 *
 h 2 Rn     


  f
 x0,   

x 2 Rn   
  
f (x) ; f (x0)  hh x ; x0i: 
, 
 * )  
 +! f  
 x0  

  ( @f (x0)    ( ++  ! 
 f  
 x0 .


 3.11 "
 ;0 ;i i = 1 : : : m       -



;0 = fc0 j c0 = ;0h h 2 @f (x0) 0  0g ;i = fci j ci = ;i h h 2 @'i(x0) i  0 i'i (x0) = 0g i = 1 : : : m:  
 . 7  "  "  )
   
    
, 
)

  )   . 
 , 
 
58

7  . ( c0 2 ;0 : C
) 

   7 
, 
)

   * x, 
 
79*     f (x) < f (x0 ),   *  > 0   


 hc0 x ; x0 i  0:

2 ;      hc x ; x i  0:

B 
  (
,  7
)
c0 f (x0)    0

0

f (x) <

0

/ 
  
  R2 
, 


Y = f(y 1 y2) j 9x 2 Rn : y1 = hc0 x ; x0i y2  f (x) ; f (x0)g:

 
 +! f    
( 
,  Y: C    c0 2 ;0 

, 
Y       
!  (
 
 R2; = f 2 R2 j 1 < 0 2 < 0g: 

  3.2 9     
'  
 2 R2  
', 
  *  2 R2;   * y 2 Y (. 7)   


1 1 + 22  1 y1 + 2 y 2:

/. 7. 
,  Y , R2; 
 79  ) 

( 59



, y 1 = hc0 x ; x0 i y 2 = f (x) ; f (x0): C
)  7* x 2 Rn 1 < 0 2 < 0  


1 1 + 2 2  1 hc0 x ; x0i + 2 (f (x) ; f (x0)):

G


,
-(  
  , 
) 1  0 2  0    *

x 2 Rn

1 hc0 x ; x0 i + 2(f (x) ; f (x0 ))  0:

O c0 6= 0 
.
   

,  
(   * x 2 Rn 
(
 2 > 0: B 
  (
,

f (x) ; f (x0)  h; 1 = 2 c0 x ; x0 i

  * x 2 Rn : G

  , 
 
 h = ; 1 = 2 c0   , @f (x0): C    9 7 
 x,  

* f (x) < f (x0), 
1 > 0: 
.


c0 = ;0h

) 0 = 2 = 1 > 0:  
)
   , 


;i = fci j ci = ;i h h 2 @'i(x0 ) i  0g

 
  ,  'i (x0) = 0  i  m. " , 
 
 'i (x0 ) < 0      
;i = f0g 
  ;i = fci j ci = ;i h h 2 @'i (x0) i  0 i'i(x0 ) = 0g

 7
)
i = 1 ::: m: 0  
   .

%!



3.6 9  L(x ) = f (x) + h '(x)i = f (x) + 60

m X i=1

i'i (x)

(3.15)



L(x 0 ) = 0f (x) + h '(x)i = 0f (x) +

m X i=1

i 'i(x)

(3.16)

   

  
  ,  

&
   ,     (3.12)-(3.14).

%!



3.7 - (x0 0)   x0 2 G 0 = (01 : : : 0m) 

0 
  



   , ,   ' x 2 G   0   
  
L(x 0)  L(x0 0)  L(x0 ):      
    3.7,  
  
 (x0 0) 
    +! 0 ) , 
    x  +
 
     = 0    
      +
 
    x = x0 (. 8).

/. 8. B 
  
 +! 0 ) ,

 


. :

 , 
   (3.12)-(3.14) 
 

 0 ,  &  x0 2 G 
, 
'i (x0) < 0  ' i = 1 : : : m: 61

O 
 B '  
 , 

, 

*  - ' 
 ,  77 
. H 
, 

9 )

,   
(. 9).



 3.9 ( -C   ) -  
 

 0  x0 2 G. 4
  x0 | $    (3.12)-(3.14)
 


 , 
  &  
   
  0i  0 i = 1 ::: m , 
 (x0 0)    

   ,  L.

/. 9. 
 

 
 .
*

(. ( x0 |
 (
 -

-     (3.12)-(3.14). C
) \mi=0 ;i \ ; =   

  F
!
)
-7 9 7     7  
 ci 2 ;i i = 0 : : : mPc 2 ;   , 
c0 + c1 + ::: + cm + c = 0. B 
  (
, c = ; mi=0 ci . C  (,      

 ;0 ;i i = 1 : : : m ,  ' 
)
   3.11,   , 
9 7     7 
,  0i  0 i = 0 : : : m      7  
 hi i = 0 : : : m   , 


0i  0 i = 0 : : : m 0i 'i(x0) = 0 i = 1 ::: m h0 2 @f (x0) hi 2 @'i(x0 ) i = 1 ::: m 62

h h

0 0 0

+

m X i=1

0i hi x ; x0i  0

P  7
)
x  G:  
 00h0 + mi=1 0i hi   )  
 +! L(x 0 0)  
 x0    
  9*      : L(x 00 0) ; L(x0 00 0)  h00h0 +

m X i=1

0i hi x ; x0 i  0

  * x 2 G:  
  )
      , 
  * x 2 G   
L(x 00 0)  L(x0 00 0): C    x0 |
 (
 -     (3.12)-(3.14), 
 P   0i 'i (x0) = 0 i = 1 : : : m    00f (x0 )  00f (x0 ) + m  ' (x )  7
)
  0. B 
  (
, i=1 i i 0 L(x 00 0)  L(x0 00 0)  L(x0 00 )  7* x 2 G   0: O 00 6= 0 
, 
  .      00, 
    
. F
 , , 
00 6= 0.   
 B '   '  x0 2 G  
, 
'i (x0) < 0  i = 1 ::: m: 
 
 x = x0     
L(x 00 0)  L(x0 00 0)  

 f (x0 )   0 0

0 0

X f (x0) + 0 ' (x0) m

i=1

i i


  00 = 0       0i  0 'i(x0) < 0 i = 1 : : : m  
 
, 

,  0i i = 1 : : : m 
,   7. G
 

,
,         0i i = 0 : : : m 
, ( 

, ( . F
 

(. 
 , , 
9 
   

' 
 (x0 0) +! 0 ) , L(x ) 
 


 (
 x0     (3.12)-(3.14). 

   7  

' 
  

L(x0 ) = f (x0 ) + 63

m X i=1

i'i(x0) 

 f (x ) + X i 'i(x ) = L(x m

0

  *   0: C
)

m X i=1

0

0

i=1

i 'i(x0) 

m X i=1

0

0)

0i 'i(x0):

(3.17)

K  , P 
'i(x0)  0   * i = 1 : : : m:  

  mi=1 i 'i (x0) 
)    *  
,  
!  (* , 


      (3.17). B 
  (
, m X i=1

0i 'i(x0)  0

(3.18)

 x0 | 

P -    . 

,      (3.17)  = 0: C
) mi=1 0i 'i (x0)  0: "  (3.18), 
  m X i=1

0i 'i(x0) = 0:

(3.19)

     L(x 0)  L(x0 0)  (3.19)   , 


L(x0 0) = f (x0)  f (x) +

m X i=1

0i 'i (x)

  * x 2 G: O 
 x   
  -      (3.12)-(3.14), 


f (x0 )  f (x) +

m X i=1

C
  
   .

64

0i 'i (x)  f (x):

  4. #$% &%    ! / 
    
  -     
  

)
 +! f (x),   
'    
  Rn : /   !
   7  
,  

* 
 
 
  (
(  

 x0 x1 : : : xk : : : 
 
79  
7

f (x0)  f (x1)  :::  f (xk )  : : ::  .*  
 *  
 xk 7 
+
 xk+1 = xk + k pk ) pk |      , k |  - ) 
( .
)
 -

  .  , '- ' *   
'  *  

   * 

( *

. 
!      
 )


 '
' 

 *

,   k = 0 1 : : :

kxk ; xk  q kxk ; xk +1


*

 


(7 )
  
' 
) 

kxk ; xk  qk kx ; xk 0

) x |  +! f (x), q |  

  
  , 0 < q < 1. B

( *

  * ' , 

kxk ; xk  qk kxk ; xk ) qk ! 0  k ! 1     ,  kxk ; xk  C kxk ; xk C  0: +1

+1

2

65

)
  

'  ! 
 (   ,   

   (
)

  * 

*  
' +!.  
, 
(79 
(
    
' !  
' +!,

   
   
)

 . O       * 

*, 
    
  
   
)

      .

4.1 8
 

  
 ;f 0 (xk )         
 '- )
  +! f (x)     )  
.            pk )   +! f (x)  
 xk , *
    !

 
!  

xk+1 = xk ; k f 0 (xk ) k  0:

   !
 
! ,  

*     ,    ,
 - ) 
    )  
 ()  
) +!,   7 )    
  
 7 )
 ) 

  
  - ) k : B9   
)
 * 


 
  - ) k 
 
  
     *.  '     

  

 - )
: k = : 

' |  
  
   - ) . H    
 
'   ,
 - )    

f (xk ; k f 0(xk )) ; f (xk )  ; k kf 0(xk )k2

)  |  

  
      (0 1).   (   
    *
  
 xk  
 xk+1   
 +! f (xk ;  f 0 (xk )) :

f (xk ;  f 0(xk )): k = arg min 0

G
 
  
 '- )
 . B 79  
  
 , 
 
 
 *

  
  

 - )
. 66



 4.1 (   
  *

) -    f

  Rn,
     f (x)  f  > ;1 
   
 ,$     f 0(x) :

kf 0(x) ; f 0(y)k  L kx ; yk

   $  

  
 0 <  < 2=L: 4
  f 0(xk ) ! 0  k ! 1  f (xk+1 )  f (xk )  
 
 

  x0:

 
 . 

(  +

' 
 *  9 '

f (x + y ) = f (x) +

Z1 0

hf 0(x + y) yi d



7   -    79   :

f (x + y) = f (x) + hf 0(x) y i +

Z1 0

hf 0(x + y) ; f 0(x) yi d:

B   
 
 x = xk y = ;f 0 (xk ): C
)      
- - P

)
jha bij  kak kbk  
 0-! 
 f (xk+1 )  f (xk ) + hf 0 (xk ) ;f 0(xk )i+ +

Z1 0

jhf 0(xk ; f 0(xk )) ; f 0(xk ) ;f 0(xk )ijd   f (xk ) ;  kf 0(xk )k + 2

+

Z1 0

kf 0(xk ; f 0(xk )) ; f 0(xk )kkf 0(xk )kd  67



f 0(xk )

; k

k

f 0 (xk )

= f (xk )

2

; k

Z1

+ Lkf 0 (xk )k kf 0(xk )kd = 0

k

f 0(xk )

2

+ L

2

k

k

f 0(xk )

2

Z1

d =

0

= f (xk ) ; (1 ; L=2)kf 0(xk )k2 = f (xk ) ;  kf 0(xk )k2 )  = (1 ; L=2):  
' 
    , 
 > 0 ,  
  (
, f (xk+1 )  f (xk ): 
 
)
,  7
)
s 
     
:

f (xs+1 )  f (x0 ) ; 

s X

k=0

kf 0(xk )k : 2


.
,  
)  
( +! f  
,  Rn , 
 
!   *   * : s X

k=0

kf 0(xk )k  (f (x ) ; f (xs 2

0

+1

))=  (f (x0) ; f )=:

H     *

(  7 )   f 0(xk )  k ! 1: C
  
   .  
* 
  4.1 )  '  

    *

( 
 
  (
 ff (xk )g 
 

' , ' )  inf x f (x) (  +! f (x)     ), 
   7 f (x) ) x = limk!1 xk  f 0 (x) = 0 (   
'    9  ). B9 7  , 
)  
 x     
,  . C     ,     
 )  
)



*
  
 
   *
 
 (  !  
' +!. F
!  

 *

  
  

, ' 
  4.1  
 

. B   .
  , 
) f (x) | (
  +!. 68

%!



4.1 #    f    

 ( 
 
 l > 0),   ' x  y  Rn   
f (x + y )  f (x) + hf 0(x) y i + lky k2=2:

(4.1)


 4.1    f    

 ( 
-

 
 l > 0),

  
     Rn .

 
 .  
 (4.1)      
- - P

)
  

f (x + y)  f (x) ; kf 0(x)kky k + lky k2=2: ( r = 2kf 0(x)k=l: O ky k > r, 


f (x + y )  f (x) + kyk(lkyk=2 ; kf 0(x)k) > f (x):

(4.2)

/ 
 -  B (x r)  ! 
  
 x    r: 

   ' -      +! f 
)  
)
  -  B (x r)   


' 
 x .      (4.2)   , 
x |     Rn : 0  
   .


 4.2    f    

 ( 
 
 l > 0)  x |  
   ,
 

x 2 Rn 
     


kf 0(x)k  2l(f (x) ; f (x)): 2

(4.3)

 
 . C    +! f (
 , 

 
 y = x ; x  (4.1)    79    
f (x) ; f (x) + hf 0(x) x ; xi + lkx ; xk2=2  0:

C  

h

p2l + ql=2(x ; x) f 0(x)=p2l + ql=2(x ; x)i =

f 0(x)=

69

p




q

= kf 0(x)= 2l + l=2(x ; x)k2  0

kf 0(x)k =2l + hf 0(x) x ; xi + lkx ; x)k =2  0   f (x) ; f (x) + hf 0(x) x ; xi + lkx ; xk =2: 2

2

2


    

*  
 
   
   
. 0  
   .



 4.2 (
  
  *

) -    f

  Rn,    

, 
   
 ,$     f 0(x) : kf 0(x) ; f 0(y)k  L kx ; yk    $  

  
 0 <  < 2=L: 4
  xk ! x  k ! 1  kxk ; xk  Cq k 0  q < 1:

 
 . 

(     
, 
 

 
   ( 
  4.1:

f (xk+1 )  f (xk ) ; (1 ; L=2)kf 0(xk )k2:


  4.1 9   )
 ('  x +! f: 
( (4.3), 


f (xk+1 )  f (xk ) ; l(2 ; L)(f (xk ) ; f (x)):

  
 *   '       f (x ), 


f (xk+1 ) ; f (x)  (1 ; l(2 ; L))(f (xk ) ; f (x)):

(4.4)

H
     q1 
.++!    ,  (f (xk ) ; f (x)): 

, 


f (xk+1 ) ; f (x)  q1k+1 (f (x0) ; f (x )):

(4.5)


 , 
q1  0: 1! f   (

'. K ,
  
,  ( 
 
'    

,
( 70

 (   (7 
 x0  , 
 f (x0) > f (x) .      (4.4)  k = 0   0  f (x1 ) ; f (x )  q1 (f (x0) ; f (x ))


       
   
. C    q1 < 1 
f (xk ) ! f (x): " , 
f 0 (x ) = 0  (4.1)  
 
 * y = xk ; x  x = x 
 (f (xk ) ; f (x ))  lkxk ; xk2 =2:

B 
  (
,

kxk ; xk  2qk (f (x ) ; f (x))=l: 2

1

0


     
    '7
!  

 *

  


kxk ; xk  Cqk p ) C = 2(f (x ) ; f (x ))=l q = pq  , *

( 
 
  (
 fxk g   
' 
  x : C
  0

1


   .

4.2 2
 4 9    '   
, 7  
 

)

 , 
(79 )

   

  
' +! f (x): G
  
   

9    
 (7
 
   -      ' '(x) = 0 ) ' : Rn ! Rn. 
(   '7 
 !7 +! '(x) 
 
 
 xk    -      79   :

'(x) = '(xk ) + '0(xk )(x ; xk ) + o(kx ; xk k) = 0:

H   
 '    .
  
, , 
  '7     '

 (


)
,  xk+1 . 71

C 
 
,  
 (7

   -      '
   79 ' +

':

xk+1 = xk ; ('0(xk ));1 '(xk ):

/ 
   (  ', 
) +! '(x)   )  
  


' +! f (x): 1
  
 (7
   -     f 0 (x) = 0 )  :

xk+1 = xk ; (f 00(xk ));1 f 0 (xk ):

 .
   
 (7
 
,
  
 (   
 
    
' 
 ! +! f (x) 
 
 
 xk :


 4.4 -  f |   
 

  .  f | 
    
 
 l,

    &   
:

k>f 00(x)]; k  l; : 1

1

 
 . 
(( 
 
'
  , 
  79 +
  
 *  9 ' +! f : f (x + y ) ; f (x) =

Z1

hf 0(x + ty) yidt = hf 0(x +  y) yi = 1

0

= hf 0 (x) y i + hf 00(x + 2y )y y i=2 ) 0  1 2  1: 

(  
  (
' 


hf 00(x +  y)y yi=2 = f (x + y) ; f (x) ; hf 0(x) yi  lkyk =2: 2

2

K   y  ty , 
:

hf 00(x +  ty)ty tyi  lktyk : 2

2

72

B 
  (
,

t2 hf 00(x + 2ty )y y i  t2 lkyk2:


   t2    t  7,    (

hf 00(x)y yi  lkyk : 2



, y = (f 00(x));1z , 
(    

--P

)
, 
 lk(f 00(x));1z k  kz k  7
)
z: G

  , 


k>f 00(x)]; k  l; : 1

1

0  
   . ( 
 
  (
( fxk g 
   

9(7  
 (7
  
 x | )
 ('  +! f . ,  79  
      
   
' 

 *

  
 .



 4.3 -    
   -

 f 
 ( 
 
 l > 0),
 

 

  
 ,$ kf 00(x) ; f 00(y)k  L kx ; yk  ' x y 2 Rn  q = Lkf 0(x0)k=2l2 < 1: 4
  xk ! x  k ! 1  
;
       

  '

 

kxk ; xk  (2l=L)q

2k

:

 
 . 

(   79 ' +

' 
 -

*  9 ':

g(x + y) = g(x) + h

g 0(x)

Z1

y i + (g0(x + y ) ; g 0(x))d: 0

73


   
g 

7 +! f ,      

--P

)
, 


kf 0(x + y) ; f 0(x) ; hf 00(x) yik  Lkyk =2:  x = xk  y = ;>f 00 (xk )]; f 0 (xk )   kf 0(xk )k  (L=2)k>f 00(xk )]; k kf 0(xk )k : 2

C
)

1

+1

1 2

2

    4.4, 


kf 0(xk )k  (L=2l )kf 0(xk )k : +1

2

2

  .
   

k, *
     

kf 0(xk )k  (2l =L) (L| kf 0(x{z)k=2l}) +1

2

0

k+1 2 2

q

:

H  
  (, 


kf 0(xk )k  lkxk ; xk: +1

+1


    4.1 (
'-
  

hf 0(x) ; f 0(y) x ; yi  lkx ; yk : 2

C
)  
 
 y = x x = xk+1     
f 0(x) = 0 


lkxk+1 ; xk2  hf 0 (xk+1 ) x ; xk+1 i 

 kf 0(xk )k kx ; xk k +1

+1


       
   
. C
  
   . 74

4.3 2
  5 !
    ' , )
       
 .    
)  ' 
(
    . / 
    min f (x) (4.6) 'i (x)  0 i = 1 ::: m (4.7) n x2R (4.8) ) f (x) 'i(x) { )   +!. 
 

 (    7 
)   , 
,
  ( +!
      ': min y (4.9) f (x)  y (4.10) 'i(x)  0 i = 1 ::: m (4.11) n x2R (4.12) 
.
  
)  
9
    (, 
f (x) = hc xi: (,     , , Q = fx j 'i(x)  0 i = 1 : : : mg | 
, 

*  - '    (4.6)-(4.8), J (x) = fi j 'i(x) = 0g  
  
 B '  .  
'  
 p  
  

,       
,  Q  
 x   '  0 > 0  
, 
  *  2 (0 0) 
 x + p   , Q:  
'  
 p           
,  Q  
 x  p 

,
     .
' 
  hc pi < 0: F +
 
' 
 x 2 Q  
 

)  (7     '
)

) 
   = min  (4.13) hc pi   (4.14) 0 h'i(x) pi     * i 2 J (x) (4.15) j pl j 1   * l = 1 : : : n: (4.16) 75

"
 (4.16)   7 
 

.  
' (4.16)  (4.14)   , 
!    +! (4.13)
)     
,  
*  - '. C
)      -
      '
)

) 
    , 
 '  *
 


 (
 -  (p  )    (4.13)-(4.16).  
 -  p = 0  = 0   
  -   

)  (
'    ,  ,    0:  

,, 
  < 0: C
) hc pi    < 0  h'i0 (x) pi    < 0 i 2 J (x): B 
  (
, p 6= 0   7
)

  i 2 J (x)  

'i(x + p) = 'i (x + p) ; 'i(x) = h'0i(x) pi+

+o()  (  + o()=) < 0   * 
 

 *  > 0: O i 62 J (x), 
( 'i (x) < 0, 
    
 +! 'i    
'i(x + p ) < 0   
(   * 
 

 *  > 0: 
.
  '  0 > 0  
, 
x + p 2 Q   *  2 (0 0) ,  
  (
,  
 p   

,       
,  Q  
 x:      (4.14) 
, 
p    ,        . B 
  (
,

f (x + p ) ; f (x) = hc pi    < 0:

O   = 0, 
 (  , (, 
p   

,              
 x:  , 
, 
  (, 
hc pi = 0  '0i (x) = 0   


)

  i 2 J (x):  
9 '      '
)

) 
    

 (* 
'  
   
  = 0   -( 
*
 
   . F    
)

) 
  (4.6)-(4.8)  
  
 B '  
    
   ,  
 
 
 
 (
. 76



 4.4 ( '
 (
) -  (p )
 -


 $  

 
    x 2 Q: 4
   = 0
 


 , 
  x |
 
 $    (4.6)-(4.8).

 
 . 
 ,  
 

(. ( x |
-

 (
 -     (4.6)-(4.8)   

,, 
  < 0: C
) p 6= 0: / 
  
 x + p         =   79
 
. O i 2 J (x ), 
h'0i (x) pi < 0: B 
  (
, 'i(x + p ) < 0   *  2 (0 i)  
 

 
)
i > 0: O i 62 J (x ), 
( 'i (x) < 0, 
    
 +! 'i (x)    
'i (x + p ) < 0 
*    *  2 (0 i)  
 

 
)
i > 0: 

,  = mini=1:::mfi g: C
)  7
)
 2 (0 )  
 x + p   
  -      (4.6)-(4.8).  
 hc pi   < 0 
 f (x + p) < f (x),   2 (0 ) 


 
 (
 x : F
 ,  
*

(. ( x   
 (  -      (4.6)-(4.8). C
) 9   x 2 Q,  


)
f (x) ; f (x) = hc x ; xi < 0: ( p = x ; x : C
) hc pi < 0. O 'i (x) = 0 
( i 2 J (x) 
  79 )
     ) * * +!' 'i (x)  'i (x) + h'0i (x) x ; xi 
 h'0i(x) pi  0: (4.17)  x  
 
 B '     9 
   
     p 

)
'i(x) < 0 i = 1 : : : m: ( =x ;x : O i 2 J (x ) 
 
)
(4.17)  

h'0i(x) pi < 0: 77



   p = p +  p : C
)  
 

 
    
hc pi < 0  h'0i (x) pi < 0  i 2 J (x ): H7  
  
  , 
  < 0: C
  
   . O   -  (p  )    (4.13)-(4.16)     < 0   

7
'   , 
.

,        7 

 *

  
 

,*    '. D
  , ( .* 
 ',     ( 
, 

 
 J (x) 
)   (4.15). H- 
   * 
*

,  


 
(   79 
, 

 
 fi j ; < 'i(x)  0g ) |

, (

. F) 
 , .

, 

 

)  '    (4.6)-(4.8), 

  
 x 
7       

(7 
 > 0: ( 0 > 0  x0 2 Q {  


  (
,  . F
, 
 
k; ,  xk 2 Q  k > 0:    
,  
 


J k = J (xk k ) = fi j ;k < 'i(xk )  0g J0k = fi j 'i (xk ) = 0g: / 
  797     '
)

) 
 :

k = min  hc pi   0 k h'j (x ) pi     * j 2 J k j plkmid  1   * l = 1 : : : n:

(4.18) (4.19) (4.20) (4.21)

H
  .    P (xk J k ):   
 

'   !  
 

,*    '. ( (pk k ) |
 (
 -     P (xk J k ): / 
   : 1) O k  ;k , 

 )  k+1 = k : 2) O ;k < k < 0, 

 )  k+1 = k =2: 3) O k = 0 
 '   -  (pk k )    P (xk J0k ).   k = 0  
 xk 
) 
 7
 (
   78


 (  -      (4.6)-(4.8). O ,  k < 0 

 )  k+1 = k =2 pk = pk :   , 
 
( - ,   k = 0  (  , (, 
 
 pk         . 
.
,  -    P (xk J0k ) 

  
  4.4 
,

! (
 (
    9 ,  xk : O  k < 0 
            
 pk : F - ) k
    
 79 ' *  . ( ki {   (-' 

, (' 
 (    'i (xk +  pk ) = 0: C
) 
 )  k = mini ki 

xk+1 = xk + k pk J k+1 = J (xk+1 k+1):



 4.5 -  'i(x) {     , 
-



 0   

Q
 
. 4
  1) 

 
  ff (xk )g '
     f  = minx2Q f (x)
  f (xk ) = hc xki ! f   k ! 1A 2)    
 x 

 
  fxk g  
     f (x)  
 
 ' $  Q:

 
 . 


7 
 
  (
( ff (xk )g  
  79  ,  
)  
 
,  Q 9      f^ = limk f (xk ) 

f (xk ) ; f (xk+1 )

! 0  k ! 1:

(4.22)

  k   ,
 - ) 
  

 , 

      '. 
 , , 
 = limk!1 k = 0:  

, 

, 
(  > 0: C
)  '  K0  
, 
k =   k  ;   * k > K0. F) 
 ,     
  K0  )
  )     '  ' k = :     

7 *
97 

 
  (
( fxki pki g ! (x p). C   

 
  (
( 9    79


)  
 
,  Q  
 

 (4.21). ( J  = J (x ) = fj j ; < 'j (x)  0g: C
)   


 K1 > K0   * ki > K1   
; = ;ki < 'j (xki )  0  j 2 J : G

  , 
J   J ki  
 


(-* ki: B 
  (
,

hc pk i  k  ; h'0j (xk ) pk i  k  ;  j 2 J : C
)    
 +!' '0j (x)    h'0j (x) pi  ;  j 2 J  : B )
' 

, 'j (x)  ;  j 62 J  : H7     i

i

i

i

i

  , 
9    > 0  
, 
'j (x +  p ) < 0   * j: B  
   
 +!' 'j .

  , 
'j (xki +  pki ) < 0  
 


(-* ki   * j: C 
 
,
7   , 
ki >  : C
) f (xki ) ; f (xki +1 ) = ;ki hc pki i >  > 0 


  (4.22). B 
  (
,  = 0: 
 , , 
f^ = f  : ( t1 < t2 < ::: < ti < ::: { 
   *   !', 
) 
*
 
    k :      ;ti < ti  0   , 
limti !1 ti = 0: 
,
 (, 
xti ! x : ( f^ = f (x) > f  : C
)   
 (
   , 
9 7 p   < 0   , 


hc pi   h'0j (x) pi    j 2 J  = fi j 'i(x) = 0g: B )
' 

,  '  > 0 : 'j (x ) < ;   * j 62  0

J0 :    
' ++  ! 
 +!' 'j (x)   , 
 '  
  K  
', 
  * ti > K

hc pi < =2 h'0j (xt ) pi < =2   * j 2 J  i

0

80

(4.23) (4.24)

'j (xti ) < ;   * j 62 J0 :

(4.25) 
 
)
,  *

  0 
 
  (
 fk g       
;  ;ti  
 


(-* ti :  
  )
         (4.25)   J ti  J0   * ti 
(-*  


)
K1 > K: H7 ,   
     (4.23), (4.24)  
 p 
 

hc pi < =2

h'0j (xt ) pi < =2   * j 2 J t kpl k  1   * l = 1 : : : n: i

C 
 
,

i

ti < =2 < 0

 7
)
ti > K1 


  *

 
 
  (
 fti g  7. B 
  (
, f^ = f (x) = f  = min f (x): x2Q



( f (xk ) > f (xk+1 ), 
 7
'   (
' 
 x 
 
  (
 fxk g    
  


f (x) = f (x ): C
  
   .

4.4 2
  -5 -3$ 

 
 

,*    ' 9 7   
 
 

)
.  . H  *    
 - +* +!'. H
     
  7      *

'    81

f (x) ! min x2Q

Q = fx 2 Rn j 'i(x)  0 i = 1 ::: mg

(4.26) (4.27)

 
 
  (
     !

Fk (x) ! xmin k = 1 2 ::: 2Rn

(4.28)

) Fk (x) |  

  

)  (  +!, 

  
   , 
  

 
  k
  

  (
 *

' +! f (x)  
,  Q  

    
,  Rn n Q. P' 
 +! Fk (x)  Q 
  
, 
 
(-* k , ) ( .
' +!  Rn   
) (  
 *, *  
,  Q,   -     (4.28)   , ( 
   * 
*   - 7 *

'    (4.26)-(4.27).  .
   
 


(-
' 

  
 +!' Fk (x). G


  

 (  
 
'   
' +! Fk (x)   ( 
 
  
  

'
 !.

%!



4.2 9  Pk (x)    $ 
  -

 0  ' k = 1 2 : : : 0  x 2 Q +1  x 2= Q:

 
  Q,  Pk (x) x 2 Rn  ( lim P (x) = k!1 k

 .
)

    
, 
 
(-* 
  * k   -  
 x 2 Q *
    
(-
' - +,  
     x 2 Q .
 - +    7  

 k (. 10). 82

/. 10. U + +! F 7
)

,  Q 
,
  ( 
( )


)
- +* +!'. ( >a]+ = max(0 a) 

g(x) =

m X i=1

>'i (x)]+:

C  ( 
, 

*  - '   
 

Q = fx 2 Rn j g (x)  0g

 - + +! 7,   ,  79 :

kg(x) kg (x)2 ekg(x)=k (1 + g (x))k ; 1: ( - +  +! Pk (x) ,   . 

, Fk (x) = f (x) + Pk (x) k = 1 2 : : :     (, 
inf F (x) > x2Rn k

;1

  * k = 1 2 : : :

(4.29)

C
)   ,
)
k 
,

  (  '  -     (4.28)  
( 
 
  (
(
 (*  - '. 83

 
,  7, , ) (  (4.29) 
,  
) (    * k. 
.
    
 
  (
(7 (k)  
', 
(k) > 0 k = 1 2 : : :  (k) ! 0  k ! 1   

9(7  
)

 
  

'
 !  '  
 xk k = 1 2 : : : , 
 
79 
7

Fk = xinf F (x)  Fk (xk )  Fk + (k): 2Rn k

(4.30)

F) 
 ,  


)
 -  x    ( , 
 -  xk  
) -
(7,   
*
9 ' (k). H , 
, 

9 )

, xk 
,      , ( Q. F ( '- 
,  ,   
 
)
,    
 

    '  
 xk . 
.
 
)   

,  
9 
   
)
 
    '    
 7 *

  
 - +* +!'. ( - + +! Pk (x)   7  

9(7 

)  (* +!' Vk (g )     Pk (x) = Vk (g (x))  +! Vk (g )  
, 
a) Vk (g )
          * k = 1 2 : : : A b) Vk (g ) 

, (, 




  7 
g  lim V (g ) = +1  g > 0A k!1 k c) Vk (g ) *
  0  
 
 k ! 1 
  g  0: C
)  79  
    
 
 
 *

  
 - +* +!'.



 4.6 -    f g
      

;1, $     

  
  a) b) c)  

 
  fxk g
    


$   (4.30). 4
  1) klim f (xk )  f  = xinf f (x)  klim g (xk )  0A !1 2Q !1 2)  x    
  Limfxkg   '
 

 
  fxk g,
x 2 Q  f (x) = f A 3)  

Q0 = fx 2 Rn j g(x)  0g
 
 Rn inf x2Rn f (x) >

84





0 > 0 ,
klim f (xk ) = f   !1

(xk Q) = xinf kxk ; xk ! 0  k ! 1: 2Q

 
 . 1) 

   7 f  9   
 
  (
( fy m g y m 2 Q  


' f (y m ) ! f   m ! C
)  7
)
 > 0  ' 
  m0 k0   , 


 m  m0 k  (, 




1:

f (ym )  f  +  (k) <  k0: "  g (ym)  0  
 c), 
,
Pk (ym) = Vk (g (y m))  

 m  m0 k  k0:  .*      
' 
   

f (xk )  Fk (xk )  Fk + (k)   Fk (ym) +  = f (ym) + Pk (ym) +   f  + 3: f (xk )  f  : B 
  (
, klim !1 K  , 
 k  k0   
   
Vk (g (xk )) = Fk (xk ) ; f (xk )  f  + 3 ; xinf f (x) < 1: 2Rn

g (xk )  0:  
 , , 

7       
klim !1 

,, 
 

 
   
. C
) 9   
 
  (
( fxks g,  


' g (xks )   > 0   * s, 
(-*  


)
s0 :  
 b)   0 < Vks ()  Vks (g (xks )) ! +1  s ! 1: 

  .

2) ( x 2 Limfxk g: C
) 9   

 
  (
( fxks g *
9  k x: 1! g(x)    ,   
  ks ) = g (x)  0: B g ( x )  0. 
.
 lim g ( x 
  , klim s!1 !1 
  (
, x 2 Q:  
' 
    f   f (x ) = 85

ks )

f (x slim !1


     * )
     
 
   
slim f (xks )  klim f (xk )  f : 
.
 f (x ) = f  : !1 !1

3) F
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, j = 1 : : : n: (5.4) 
 ,--    (5.1){(5.4)   
 (    0 (5.1){(5.3), 
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, 

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)  7
)
x, 79 )
 
  -      (5.1){(5.4),  7  
 79 


- :

h + Pj hdj xj = hd0

X 
 !, 

j

bhc + Xbhdj cxj  hd j X bhc + bhdj cxj  bhd c j




0

(5.6)

0

(5.7)

(bhdj c ; bhcdj )xj  bhd0 c ; bhcd0 :

u = (bhd0c ; bhcd0 ) ;

X j

u0

(bhdj c ; bhcdj )xj

u | ! 
. 90

(5:50)

(5.8) (5.9) (5.10) (5.11)

    

 
   -   
.    *

 (5:50)  (5:6) 
(  
!  (
( xj   .  .
   bhc = h         ,        )   (5:50)  (5:6) 
  7.   
(5.8) 
 
 (5.7)   7    
(
   (5.5).   
(5.10) .  
(5.8). 


 (5.11) 
 

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'  
( * ! *  ,  
,  
'   
'       (5.7). C 
 
, 
   
' (5.9){(5.11) 
)      (5.1){(5.4) 

,     20 
)
,   .  7 *

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'    20,  
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  (, 
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5.3
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(
 - '   91

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, 

 
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, 

 
  *    * | S = f1 : : : ng n S 0 .     !  
' +! (

  
' 
 
 x0 )   *    *       (
9 ,  (  
  (2:100) (2:200)     2)     (  79
 
:

xi = zi0 +

Xl

j =1

zij (;x (j)) i 2 S f0g:

(5.12)

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   , 
,   


-   xi = xi    *    *

xi = (;1)(;xi) i 2 S 0:

(5.13)

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'  ! 
.++! 
 zij  *   '   '   (5.12){(5.13).  .
'  ! 
 

  
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   ,
'    
', 7   !  7 +!7 x0 . D

!
  
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     ',
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         ,   
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        x (j ) (
 
 ).  ,    (j ) = m + j j = 1 : : : l  - !   

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1

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xi

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zi1

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xm+1 .

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.

. 0 . 0

+1

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;1 . 0

92

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 j

  j -' 
 !  - !, . . j = (z0j z1j : : : znj )T j = 0 1 : : : l: C
)     ' (5.12),(5.13) 
,  (    
  
     (x0 x1 : : : xn )T = 0 +

Xl

j =1

j (;x (j )):

(5.14)

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,  ( 
 
.   

 
    ,  


         xr           x (s) 
 7 
.  .
     (    (5.14) 
, ( 
 
    ,     
'  
   *    *. F .
)
     7 x (s)  r-)
     X x = 1 (z + z (;x ) ; x )  (s)

zrs

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j 6=s

rj

 (j )

r

 7   
'    (5.14). 
 
 
     

* 
  (x0 x1 : : : xn )T = (0 ; zzro s )+ rs

1  )(;x ): (j ; zzrj s )(;x (j )) + ( ; z s r

X j 6=s

rs

rs

C 
 
, .   

 
    , 


 

        
'    
' x (s)  xr , . .  (s) := r, (, 

,  
,     
'    
' xr  x (s))    
 
   - !,
 
* 
': 8 > < j ; j ; zzrsrj s j 6= s (5.15) > :  ; ( ;1 ) : s

zrs

93

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,   ,' 
 ! j j = 1 : : : l  
) +  
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 , . . zi0  0 i = 1 : : : n, 
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 (
 -  ). 2)  (  97 
 r : zr0 < 0 r  1. 3) O fj j zrj < 0 j  1g 6= , 
 (  9' 
 ! s: 1  = lexminf 1  j z < 0 j  1g

jzrsj

s

jzrj j

j

rj

  H O2 (      - ). 4) 
 
 (  - !, 

,(  (s) := r    '  - ) 1.


.

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  (5.15) 
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, 
    
) + 
)
   
)
 - 
 . 2)  
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 !  - !   ,
 
 
   
) +   (- :

0 ; zzr0 s  0 rs

    zr0 < 0 zrs < 0  s  0. G

'
    

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( 

   
, 

    
 
(    !'. 3) F
 


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 (
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   79 . (  
 
'   94

  


  - ! 
 ! s = lexminfj j j  1g  
) + 
!     P   * 
*  - '    
     
j 2S 0 xj  M . C
) P 
  
)   xn+1 = M + j 2S 0 (;xj )  0     
,  
*  - '. F

 (  
)   ! 

' (n + 1)-' 

' (M 1 : : : 1), 

 79 '    
' xn+1 ,  
  
 
    9 
!
 s   9 ' 

' r = n + 1,  
 
 (7  - !. 
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  7 
 
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 (
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,(  := 0: 1) O  - ! 

   .   zi0 i = 1 : : : n !  , 
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 (
 -     (5.1){(5.4)). 2) O  - ! 

 , 
 (  (
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, 
zp0 |  ! 
, 

,(  :=  + 1. B
  
 
 p  ( 

&. G
' 
 

     

xp = zp0 ;

Xl

j =1

zpj x (j )





 
 

 (

)   
) 

 
 - 

  h = 1 (
(  )  xp ):

xn+ = ;fp0 ;

Xl

(;fpj )x (j )  0

j =1

) fpj | 
   (  zpj (zpj = bzpj c + fpj 0  fpj < 1). 95

  - ! 
   (n + 1)- 
 , 

 79  

 (

)  7 ( 
'    
' xn+ ). 3)  (  97 
 r : zr0 < 0 r  1: 4) O fj j zpj < 0 j  1g 6=  
 (  9' 
 ! s : 1  = lexminf 1  jz j s jz j j rs

rj

j

zrj < 0 j  1g

  H O2 ( 9     0,  
  (
,  *
     20,    -   
 

)  '). 5) 
 
 (  - !A 

,(  (s) := n +  

( (n + 1)-7 
,   
    (,    (s) := rA   '  - ) 1.


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1) P 
 -  x0 = (z10 : : : zn0 )T 

 79  9 '  - !  
     

 (
)

)  ,   
  -      (5.1){(5.3) (
 (  -   

 79 ' 0-   !).  
)
, 
zp0 |  ! 
,   fp0 > 0 xn+ (x0 ) = ;fp0 < 0 ,  
  (
, x0 

 (

)  7  
 
 , . .
  . 2) O  - ) 2 
  


 (

)   , 
 - ) 3      9 '      


,  (n + 1)- 
   
 
 
'  - ! .    

9 ' 
   
)

!      zp0 = zp0 ; (;zfpsps ) (;fp0 ):   zps > 0   zps =fps  1  zp0  zp0 ; fp0 = bzp0c . . zp0  bzp0c  zp0: 

( zps 6= 0  s  0, 

  
 zps > 0   
 
,  zis = 0  i < p. 96

3)   (  
    !,  2- - ) 


' 

( 

 (

)   , 
(          xn+  
   
', 

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   - !   . G
+  
  , 
 
 79*   !*     *
    
' xn+     *, 

 79 .
'    
' 

 (

)   xn+  0      (, . .


  . C 
 
,   (

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 (*
)  '   
*
    *    * l.

5.6 
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, *: 1)    

  (
 ) , ) ! M 
 (
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 (
( 


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 ). G
  

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(   9 (  ,    
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 , , 
z00 < M . 2) 2    +! x0   ! 
      
,  
*  - '    (5.1){(5.4).  .
     
     ) 
   - ! 
,  (  ) 
(
 (     

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( - ,

 

 
  (

  - )
 1){5)     (   ! '. 2  

 
  (   ! * 
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     !,  

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)   . G

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  LD- .  
    !' 

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)   . C    !     (

     :

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!   -       )

 
   
   
 
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!  - !, 
 
'   (  
   * t   !',  

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(zij0 { .     (
'  - !).  
    ! 7
)
  
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) +   (-  (.     2  LD 
), . .

00  01  02  : : :  0t  0t+1  : : : :

(5.16)

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'  
 
' 
 
  (
   !' 

 



*   !', 
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'   
 
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 ,      .
       


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   ,    0. 
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,
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*   !'   - ' 
 
  (
  
 

)
. ( t + 1  = 1 2 : : : | 

 
  .*   !'.  (5.16)    0 z00  z001  z002  : : :  z00t  z00t+1  : : : :

(5.17)


 
)
, 
  
   
9 7

 (

) t  M.  

 (
)
   x0 z00 / 
 

 
  (
( t1 z t2 : : : z t : : : z00 (5.18) 00 00
 
 7 .    z00  - !, 79* *
t |  ! 
, 

) 
 

*   !'. O z00    )
    
    ! t + 1    t +1  bz t c < z t (.     

9 '     ( z00 t00+1  z00t +1 ,
7  2 
 7 )
 ). 

( z00 00  , 
  ,


     (z z + 1), ) z |

! 

, 
,   
 ) (  


)
  
 
  (
 (5.18). "  



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)  
( .
' 
 
  (
,    
)
  , 
     


)
     
 
  (
 ' (5.18)  (5.17) 98

  

  
 , ! 
  z 00 , . . 
 
  (
( (5.17)   . H7 ,   
,   , 
    .
)

    * 
 79*   !* .   z0s   9 )

!   
' 
    ( 7. (
  
'

     
( 
 - )
 -     2  
'  !, 
)    

   

9 '). H
     T0 
    !,     


'  t = z 00 .  * 
 79*   !' t    
  
z00 C
) ,   (5.16),    ( T0  z T0 +1  : : :  z t  z t+1  : : : : z10 10 10 10

(5.19)


     , ,  
) -   ,     


, 
 '  
  T1  T0 ,     t = z 10 , 


)
, . .  t  T1,   
(   
z10 ) z 10 |  



!  (
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( 
 
  (
 (5.19)  
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( z 10    t  0  
' 

  - !  
)
, 
z10  
   t ). 

,   , ,   
 
   
 ,  9 
   
)

  Tn , 
  * i = 1 : : : n  t  Tn   (  
   zit0 = z i0 , ) z i0 | 
!  ( !   . 

' 
 

    
   
9 7
 
 
    !'. C    
   
 
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'   ! )
 
* ,   9' .   zrs .
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,  
  (   
  
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! 9 $
 
* *  0)

 (  
 (
' ! 
 
'  - !. 

,(  := 0: 1) O  - ! 

 , 
H O2 (
 

 (
 -    ). 2)  (  (
p  1  
, 
zp0 < 0. O fj j zpj < 0 j  1g =  
H O2 (      -   
 

)  '). B
  
 
 p  ( 

&A  :=  + 1. 
  7

xp = zp0 ;

Xl j =1

zpj x (j)



 79  .
' 
 , 
 

 (

)   
) 

 
 - 

   ! (
 
 h 0 < h  1 ( 

 h +
 
 (
):

xn+ = bhzp0c ;

l X j =1

bhzpj cx j  0: ( )

( h = 1 

 (

)   
    

9, 

( zpj | !  ).   - ! 
   (n + 1)- 
 , 

 79    

)  7 ( 
'    
' xn+ ). 100

3)  ( (n + 1)-7 
      9 ', r := n + 1: 4)  (  9' 
 ! s : 1 1 jz j s = lexminf jz j j j zpj < 0 j  1g: rs

rj

5) 
 
 (  - !A 

,(  (s) := n +  

( (n + 1)-7 
A   '  - ) 1.

 

 h 
,
(  !  

       zrs = ;1, . . bhzps c = ;1. ( Jp = fj j zpj < 0 j  1g: C
) ,
  h 
,

 
(   


 s 2 Jp  79  
 : ) bhzps c = ;1, ) s  jbhz1pj cj j j 2 Jp n fsg: C    jbhzpj cj  1  h > 0  j 2 Jp , 

 ) 
,  
( 
(
  s = lexminfj j j 2 Jp g: G

  , 
 9' 
 !,
   '  - ) 4, 
,  (    


 

 (
)

)   (

 h)   
 
)
,        

9  
 . O
  (   (  j j 2 Jp , 

, s = 1  j = maxf j s  j | ! 
g  j 2 Jp n fsg 
+

  -  
   .    79:

bhzpj c  ; j j 2 Jp:



  ! 
 
 j 
      .  -

hzpj  ; j j 2 Jp ,  
!  (
( zpj , h  ; j =zpj j 2 Jp :

O  


,( h = minf; j =zpj j j 2 Jpg 101

    * 
*   '   (
. C 
' 
   
 




 , 

( W
(-    h,    
 (, 

   
 (
 
) + 
 (-   
)

!   (  
 
   - !. C 
 
,  

 h 
,  ( +

 
 79
 
: 1) H  ( 
  s:

s = lexminfj j j 2 Jp g:

2) H  (   (  j j 2 Jp :

s = 1

j = maxf j s  j | ! 
g j 2 Jp n fsg:

3) 

,(

h = minf; j =zpj j j 2 Jpg:

F
   (

 
 )
 

      * ,  

, *, 

        
)
)


,  
' -(  ! ', 
  
  ! 
 
(   ' !  
' +!      
 (
)

9 
! 
 
   (
'  - !. H (   
) + 7 



( 
 
  (
 f0t g     , , *
  

  ! t , . . z t = z 00  t  T0.   ' z00 00 F 
   (   ! 
 79* 

   
 0t 
 

  (, 
  (  
    ! .   zp0 
   ( ( p | 
  

9 ' 
). H7 ,   
,   , 
  zit0+1 = zit0  i = 0 1 : : : k ; 1 k- 
  (t + 1)-'   !  
) ( 

9 ',      

      102

0t+1  0t : K , zkt 0  0   *   !* 
   ! 

   
 0t  
  ,  (- k. "     
) + 7 



( 
 
  (
 f0t g  ! 
 
(   zkt 0  

 ! 
k 
     !  * 

   
 0t . G
   -  
   (

 
 

(7 ! 
 
)
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  -  .  (*   . .:  , 1980. >2] "
*.:.     

) 
  . .:  , 1986. >3] "
 @.@., 9 $  A.A. F 

) 
  . .:  , 1969. >4] 5  5.     

) 
  . C
  )
. .:  , 1990. >5] 5
 ;.;., B  
A.-., 0
 
 .5.  

 !. .:  , 1978. >6]0' @.:., 4
'
@.*., 9

*.*.   


 !. .:  , 1986. >7] C 4. 2 
 

) 
   

   *. .: , 1974.

103

)
, -
  1.  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3   2.     : : : : : : : : : : : : : : : 8 2.1 P   -  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2.2  '   -
    : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 2.3 B - ! : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 2.4 G   

 
      - ! : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17 2.5 )
  - 
 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19 2.6 H 
 
  - 
 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21 2.7 0 
) + '  - 
 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 2.8 
  0-)
- ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 2.9 
+!
 '  - 
 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26 2.10 F
' 
(   '
 
) 
  : : : : : : 28 2.11 F
' '  - 
 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33

  3.       !

37

3.1 C
 
 
 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37 3.2  
 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 3.3
*
 
 .  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 3.4 H
9 
 

,  ' 0 ) , : : : : : : : : : : : 52 3.5
*
  
 
 
 .  : : : : : : 57

  4. #$% &%    ! : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65 4.1     
 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 66 4.2  
 (7
 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71 4.3  
 

,*    ' : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 75

4.4  
 - +* +!' : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81

  5.  $     : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 88

5.1 H9  *     


   : : : : : : : : : : : : : 89 5.2 B

 


  ' : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 90 5.3 0 
) + ' 
' '  - 
 (LD- 
) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91 5.4 H  LD- 
 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94 5.5 H   
)
)


 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95 5.6 
 
(  
)
)


 : : : : : : : : : : : : : : : : 97 5.7 

(7 ! 
 ' )


 : : : : : : : : : 99 5.8 H  

(7 ! 
 
)
)
 : : : : : : 100

)$* & &+% : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 103