Многообразия ассоциативных алгебр, удовлетворяющие тождествам Энгеля

Алгебра и логика, 43, N 4 (2004), 482—505

УДК 512.552.4

МНОГООБРАЗИЯ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБР, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ ТОЖДЕСТВАМ ЭНГЕЛЯ О. Б. ФИНОГЕНОВА Введение

Все кольца и алгебры предполагаются ассоциативными, слово ”алгебра“ при отсутствии дополнительных уточнений означает ”алгебра над полем“ или ”Z-алгебра“ (т. е. кольцо). Напомним, что кольцо или многообразие называют энгелевым, если оно удовлетворяет тождеству вида [x, y, . . . , y] = 0. Энгелевы тождества играют важную роль в теории PI-алгебр и, прежде всего, в локальном случае. Например, любая конечнопорожденная алгебра, удовлетворяющая подобному тождеству, конечноопределена, лиево нильпотентна, финитно аппроксимируема, право и лево нетерова, представима эндоморфизмами и т. д. (см. [1, 2]). К сожалению, вытекающий из определения ”эквациональный“ метод установления энгелевости, т. е. явный вывод тождества требуемого вида из других тождеств, как правило, нетривиален и сопряжен с немалыми вычислительными трудностями. В данной ситуации ощутимую пользу могло бы принести знание списка так называемых почти энгелевых (”пограничных“) многообразий, т. е. минимальных по включению элементов в множестве всех неэнгелевых многообразий. Из леммы Цорна следует, что каждое неэнгелево многообразие содержит в качестве подмногообразия хотя бы одного такого ”пограничника“. Поэтому ”тест на энгелевость“ заключался бы в проверке, лежат ли в нашем многообразии ”пограничники“ из списка.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

Многообразия ассоциативных алгебр

483

Описание почти энгелевых многообразий алгебр над полем характеристики 0 получено в [3]. Стоит отметить, что благодаря элементарному устройству найденных многообразий проверка энгелевости в этой ситуации чрезвычайно проста. Почти энгелевы многообразия в других случаях были изучены гораздо хуже. Над полем положительной характеристики такие многообразия, по-видимому, не исследовались вообще. Случай колец рассматривался в [4], где доказано, что локально конечные почти энгелевы многообразия колец — это в точности ненильпотентные почти коммутативные многообразия. Вопрос о существовании других почти энгелевых многообразий, а тем более о полном их описании, оставался открытым (см. [5, проблема 3.53]). Целью данной работы является описание почти энгелевых многообразий как в случае колец, так и в случае алгебр над полем положительной характеристики. В статье используются следующие обозначения. Как обычно, GF (q) — поле из q элементов, [x, y] — коммутатор xy − yx элементов x и y, [A, A] — коммутаторный идеал алгебры A, J(A) — радикал Джекобсона алгебры A. Далее, var A — многообразие, порожденное алгеброй A, var Σ — многообразие, задаваемое системой тождеств Σ, T (V) — идеал тождеств многообразия V, T (A) — идеал тождеств алгебры A, и {f }T — T -идеал свободной счетно порожденной алгебры, порожденный многочленом f . Запись u ≡ v (mod I) означает, что u − v ∈ I. Кроме того, через k¯ обозначается набор символов k1 , k2 , . . . , будь то переменные или индексы. Из контекста при этом всегда будет ясно, каким мы его считаем — упорядоченным или нет. Для упорядоченных наборов одной длины запись k¯ < s¯ означает, что (k1 , k2 , . . .) меньше (s1 , s2 , . . .) относительно естественного лексикографического порядка (т. е. существует такое i, что k1 = s1 , . . . , ki−1 = si−1 , а ki < si ). Через V⋆ обозначается многообразие, двойственное к V; в случае алгебр через A⋆ — алгебра, антиизоморфная A. Теперь введем необходимые обозначения для алгебр. Пусть F — про-

484

О. Б. Финогенова

извольное поле. Тогда положим 

A(F ) ∼ =

F

F

0

0

Если F — конечное поле, то



.

   b  c ∼   B(F, G, σ) = ,  0 σ(b) 

где b, c пробегают конечное расширение G поля F , а σ — такой F автоморфизм поля G, что поле инвариантов Gσ — единственное максимальное подполе в G, содержащее F . Напомним, что многообразие называется почти энгелевым, если само оно не является энгелевым, а каждое его собственное подмногообразие энгелево. В § 1 доказываются следующие три теоремы. ТЕОРЕМА 1. Многообразие алгебр над бесконечным полем F положительной характеристики является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождается одной из алгебр A(F ) или A(F )⋆ . Таким образом, для произвольного бесконечного поля описание почти энгелевых многообразий по форме оказывается в точности таким, как и найденное в [3] описание для случая поля нулевой характеристики. ТЕОРЕМА 2. Многообразие алгебр над конечным полем F является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождается одной из алгебр A(F ), A(F )⋆ или B(F, G, σ). Из [3] и теоремы 2 вытекает следующая ТЕОРЕМА 3. Многообразие колец является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождается одним из колец A(GF (p)), A(GF (p))⋆ или B(GF (p), G, σ), где p — простое число. Она дает решение проблемы 3.53 [5]. В § 2 обсуждаются некоторые следствия основных результатов, в частности, приводятся характеризации энгелевых многообразий на языке ”запрещенных алгебр“.

Многообразия ассоциативных алгебр

485

§ 1. Почти энгелевы многообразия 1.1. Элементарные свойства почти энгелевых многообразий. До конца этого пункта через V обозначается произвольное почти энгелево многообразие алгебр. ЛЕММА 1. Пусть f (¯ x) ∈ / T (V). Тогда [x, y, . . . , y] ≡ 0 (mod {f }T + + T (V)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вполне инвариантный идеал {f }T + T (V) задает собственное, а значит, энгелево подмногообразие в V. Следовательно, для некоторого n получаем требуемое включение [x, y, . . . , y ] ∈ {f }T + T (V). 2 | {z } n

Следующее свойство позволит нам упрощать тождества определенного вида. Будем говорить, что многообразие M обладает свойством Z, если M удовлетворяет следующему условию: для любых многочленов f и g из включений f (h(t¯), x ¯) ∈ T (M), выполняющихся при всех h ∈ {g}T , вытекает либо g ∈ T (M), либо f ([y, z], x ¯) ∈ T (M). ЛЕММА 2. Многообразие V обладает свойством Z. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть f, g — многочлены из формулировки свойства Z, а g ∈ / T (V). По лемме 1 в V для некоторого m выполняется [x, y, . . . , y ] ∈ {g}T + T (V). | {z } m

Следовательно, благодаря условию на f и g верно включение f ({[x, y, . . . , y ]}T , z¯) ⊆ T (V). | {z } m

Предположим, что f ([x, y], z¯) ∈ / T (V). По лемме 1, V удовлетворяет тождеству вида [u, v, . . . , v] = b(u, v),

(1)

486

О. Б. Финогенова

где b(u, v) ∈ {f ([x, y], z¯)}T . Подставляя в b(u, v) коммутатор [x, y, . . . , y ] | {z } m вместо u, получим b([x, y, . . . , y ], v) ∈ {f ({[x, y, . . . , y ]}T , z¯)}T . | {z } | {z } m

m

Следовательно, подстановка u 7→ [x, y, . . . , y ], v 7→ y в (1) обратит правую | {z } m

часть в тождество V, левая же примет вид [[x, y, . . . , y ], y, . . . , y]. Получаем | {z } m

противоречие с тем, что V не является энгелевым. 2

В п. 1.2 подробнее рассматриваются многообразия с этим свойством,

а здесь воспользуемся им при проверке того, что справедлива следующая ЛЕММА 3. Многообразие V удовлетворяет тождеству [x, y] · ·[z, t] = 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Любое почти энгелево многообразие порождается произвольной своей неэнгелевой алгеброй. В частности, такой алгеброй является двупорожденная приведенно свободная алгебра A ∈ V. Согласно теореме Брауна–Кемера (см., напр., [6]) радикал J(A) нильпотентен. Поэтому нильпотентным будет и коммутаторный идеал [A, A]. Действительно, ни одна полная матричная алгебра порядка > 2 не может лежать в V, т. к. подалгебра верхнетреугольных матриц порождает собственное неэнгелево подмногообразие. Известно, что в этом случае коммутаторный идеал любой алгебры из V лежит в радикале, в частности, [A, A] ⊆ J(A). Таким образом, [A, A]n+1 = 0 для некоторого n > 1 и [A, A]n 6= 0. Пусть f (x, y, z) = x[y, z], а g(t¯) = [t1 , t2 ] · · · [t2n−1 , t2n ] ∈ / T (V). Очевидно, f и g удовлетворяют всем требованиям из условия свойства Z. Поэтому и по лемме 2, f ([u, v], y, z) = [u, v][y, z] = 0 — тождество многообразия V. 2 Итак, согласно леммам 2 и 3 почти энгелевы многообразия — это многообразия, которые обладают свойством Z и удовлетворяют тождеству [x, y][z, t] = 0. В п. 1.2 рассматриваются тождества именно таких многообразий. 1.2. Многообразия, удовлетворяющие свойству Z. До конца этого пункта будем считать, если не сказано иное, что F — произвольное

Многообразия ассоциативных алгебр

487

коммутативное кольцо с единицей. Пусть H — свободная счетно порожденная F -алгебра многообразия var {[x, y][z, t] = 0}. Обозначим через Λ множество свободных порождающих алгебры H. Для удобства элементы H будем называть многочленами. Для произвольного одночлена f (x1 , x2 , . . .) положим Sxi (f ) = {m}, где m — число вхождений буквы xi в f (другими словами, степень f по xi ). Поскольку идеал тождеств H порожден однородным многочленом [x, y][z, t], степень f по xi для любого одночлена f ∈ H определяется однозначно. Если f (¯ x, t¯) = f1 (¯ x, t¯) + . . . + fn (¯ x, t¯) — сумма одночленов fi , положим Sx¯ (f ) =

n [ [

Su (fi ).

x i=1 u∈¯

Похожим образом для каждого многочлена f из [H, H] определим D(f ) — множество двусторонних степеней. Пусть сначала f (x, t¯) — коммутаторный одночлен вида a(x, t¯)[ti , tj ]b(x, t¯), причем Sx (a) = {k} и Sx (b) = {l}. Тогда положим Dx (f ) = {(k, l)}. Если f (x, t¯) = a(x, t¯) · · [x, ti ]b(x, t¯) и элементы a, b — такие же, как и раньше, то положим Dx (f ) = {(k + 1, s), (k, s + 1)}. Наконец, если f (¯ x, t¯) = f1 (¯ x, t¯) + . . . + fn (¯ x, t¯) — сумма коммутаторных одночленов fi , то определим множество Dx¯ (f ) двусторонних степеней многочлена f по переменным x1 , x2 , . . . следующим образом: Dx¯ (f ) =

n [ [

Du (fi ).

x i=1 u∈¯

Пусть, например, f (x, y, z) = x[x, y]x2 + y 5 [y, z], тогда S{x,y} (f ) = = {4, 1, 0, 6}, а D{x,y} (f ) = {(2, 2), (1, 3), (1, 0), (0, 1), (0, 0), (6, 0), (5, 1)}. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Вообще говоря, множества Sx¯ (f ) и Dx¯ (f ) определяются для f неоднозначно и зависят от конкретного его представления в виде суммы одночленов или коммутаторных одночленов. В дальнейшем запись Sx¯ (f ) = M (Dx¯ (f ) = M ) будет означать, что f обладает таким представлением, при котором Sx¯ (f ) (соответственно, Dx¯ (f )) совпадает с

488

О. Б. Финогенова

множеством M . Поэтому можно не усложнять обозначения и не ссылаться на представление, по которому строились Sx¯ (f ) или Dx¯ (f ). При этом будем полагать, что Dx¯ (f ) и Sx¯ (f ) для многочлена f ∈ [H, H] выписываются по одному и тому же представлению, т. е. Sx¯ (f ) = {i1 + j1 , . . . , im + jm }, если Dx¯ (f ) = {(i1 , j1 ), . . . , (im , jm )}. Цель данного раздела — научиться упрощать тождества в многообразиях, обладающих свойством Z и удовлетворяющих тождеству [x, y][z, t] = = 0. Предположим, M — такое многообразие. Прежде чем перейти к общему случаю (предлож. 1), рассмотрим свойство Z на более простых примерах. ПРИМЕР 1. Предположим, в многообразии M выполняется тождество a(x, z¯) = 0, причем a(x, z¯) ∈ [H, H] и |Dx (a)| = 1. Другими словами, a(x, z¯) = xk g(¯ z )xs = 0. Свойство Z позволяет усилить это тождество. Действительно, положим f (y, x) = xk yxs . Благодаря тождеству [x, y][z, t] = 0 имеем f (ug(¯ z )v, x) = uf (g(¯ z ), x)v. Поэтому для любого h(t¯) ∈ {g}T верно включение f (h(t¯), x) ∈ T (M). Таким образом, f и g удовлетворяют условию свойства Z, а значит, f ([y, z], x) = xk [y, z]xs ∈ T (M), если g ∈ / T (M). ПРИМЕР 2. Предположим теперь, что в предыдущем примере |Dx (a)| = 2. Рассмотрим случай, когда буква x не попадает в коммутаторы. Имеем a(x, z¯) = g(x, z¯) + c(x, z¯), причем g, c ∈ [H, H], Dx (g) = {(k, s)} и Dx (c) = {(i, j)}. Благодаря тождеству [x, y][z, t] = 0 можно собирать вместе буквы, стоящие по одну сторону от коммутатора. Следовательно, g(ux, z¯) = = uk g(x, z¯)us и c(ux, z¯) = ui c(x, z¯)uj . Осуществим над a(x, z¯) следующее преобразование, не выводящее за пределы T (M): Φ(a(x, z¯)) = a(ux, z¯) − ui a(x, z¯)uj = g(ux, z¯) + c(ux, z¯) − ui (g(x, z¯) + c(x, z¯))uj = uk gus + ui cuj − ui (g + c)uj = uk g(x, z¯)us − ui g(x, z¯)uj . С помощью преобразования Φ получилось более однородное тождество. Воспользуемся теперь свойством Z. Итак, uk gus − ui guj ∈ T (M). Положим

Многообразия ассоциативных алгебр

489

f (x, u) = uk xus − ui xuj . Как и в предыдущем примере, f (h(t¯), u) ∈ T (M) для любого h(t¯) ∈ {g}T . Следовательно, согласно свойству Z, f ([x, y], u) = = uk [x, y]us − ui [x, y]uj ∈ T (M), если g ∈ / T (M). Оказывается, выделять такие коммутаторные двучлены, как в примере 2, можно и из более сложных тождеств. Для этого будут использоваться отображения типа Φ (см. пример 2). Определим их более строго. Обозначим через P семейство отображений из H в себя P = {Φij (x, u), Ψij (x, u) | i, j ∈ N ∪ {0}, x 6= u ∈ Λ}, определенных следующим образом. Пусть x 6= u — некоторые буквы из Λ, g — многочлен из H. Представим его в виде g = g1 (x, . . .) + h, где каждый одночлен из g1 содержит букву x и не содержит u, а h состоит из одночленов, в записи которых либо отсутствует x, либо присутствует u. Нетрудно убедиться, что такое представление единственно в H. Положим Φij (x, u)(g) = g1 (ux, . . .) − ui g1 (x, . . .)uj , Ψij (x, u)(g) = g1 (xu, . . .) − ui g1 (x, . . .)uj . Очевидно, все эти отображения линейны. Кроме того, как легко видеть, любой вербальный идеал из H является инвариантным F подмодулем относительно любого отображения из P. СВОЙСТВО 1. Любые два отображения Φij (x, u) и Ψst (y, v) перестановочны на [H, H], если v 6= x и u 6= y. Если при этом x 6= y, то перестановочными на [H, H] будут и отображения Φij (x, u), Φst (y, v). Проверка не представляет никакой сложности, поэтому здесь она не осуществляется. СВОЙСТВО 2. Для любого g ∈ [H, H] справедливо Dx (Φij (x, u)(g)) ⊆ Dx (g). Аналогичное верно и для отображений Ψ. Напомним, что многочлен называется существенным по x, если буква x присутствует в каждом его одночлене.

490

О. Б. Финогенова СВОЙСТВО 3. Пусть g(x, t¯) — существенный по x многочлен из

[H, H]. Если (k, s) — наименьшая относительно лексикографического порядка пара из Dx (g), то Dx (Ψks (x, v)(g)) ⊆ Dx (g)\{(k, s)}. Если же (k, s) — наибольшая пара, то Dx (Φks (x, v)(g)) ⊆ Dx (g) \ {(k, s)}. Проверим это свойство для случая, когда (k, s) — наименьшая пара. Второй случай рассматривается аналогично. Многочлен g(x, t¯) представим в виде g(x, t¯) = xk a(t¯)xs + xk b(x, t¯)xs−1 + h(x, t¯), a, b, h ∈ [H, H], причем x содержится в каждом коммутаторном одночлене из b, но лишь внутри коммутатора, а (k, s) ∈ / Dx (h). Тогда Ψks (x, v)(g) = g(xv, t¯) − v k g(x, t¯)v s = xk v k a(t¯)xs v s + xk v k b(x, t¯)xs−1 v s + xk+1 v k b(v, t¯)xs−1 v s−1 +h(xv, t¯) − v k (xk a(t¯)xs + xk b(x, t¯)xs−1 + h(x, t¯))v s = xk+1 v k b(v, t¯)xs−1 v s−1 + h(xv, t¯) − v k h(x, t¯)v s . Легко видеть, что Ψks (x, v)(g) = xk+1 v k b(v, t¯)xs−1 v s−1 + Ψks (x, v)(h). По свойству 2, Dx (Ψks (x, v)(g)) содержится в {(k + 1, s)} ∪ Dx (h), если b(x, t¯) 6= 0, или в Dx (h), если b(x, t¯) = 0. Так или иначе, Dx (Ψks (x, v)(g)) ⊆ ⊆ Dx (g) \ {(k, s)}. СВОЙСТВО 4. Пусть в многообразии M выполняются свойство Z и тождество [x, y][z, t] = 0. Предположим, что g(x, t¯) ∈ [H, H] — существенный по x многочлен, не содержащий букву u, а Ω совпадает с Φij (x, u) или Ψij (x, u). Если Ω(g) ∈ T (M) и g ∈ / T (M), то xk [y, z]xs − xi [y, z]xj ∈ T (M) для некоторой пары (k, s) ∈ Dx (g). Проверим это индукцией по количеству пар в Dx (g). (До конца проверки зафиксируем некоторое представление g, а значит, множество Dx (g).) Предположим сначала, что Dx (g) = {(k, s)}. Тогда g = xk b(t¯)xs , b(t¯) ∈ [H, H] и Ω(g) = uk gus − ui guj ∈ T (M). Остается воспользоваться свойством Z (см. пример 2) и получить требуемое тождество.

Многообразия ассоциативных алгебр

491

Предположим теперь, что |Dx (g)| = n > 2 и Ω = Φij (x, u). Случай Ω = Ψij (x, u) рассматривается аналогично, поэтому исследовать его подробно не будем. Пусть (k, s) — наименьшая относительно естественного лексикографического порядка пара из Dx (g). (При Ω = Ψij (x, u) следует рассматривать наибольшую пару.) Поскольку отображения Φ и Ψ перестановочны на [H, H], имеем Ψks (x, v)(Φij (x, u)(g)) = Φij (x, u)(Ψks (x, v)(g)) ∈ ∈ T (M). По свойству 3, |Dx (Ψks (x, v)(g)| < n. По предположению индукции можно считать, что имеются два случая: Ψks (x, v)(g) ∈ T (M); xl [y, z]xm − xi [y, z]xj

∈

T (M) для некоторой пары (l, m)

∈

∈ Dx (Ψks (x, v)(g)) ⊆ Dx (g). Во втором случае требуемое тождество найдено, поэтому осталось рассмотреть первый. Итак, в силу включений Φij (x, u)(g) ∈ T (M) и Ψks (x, v)(g) ∈ T (M) имеем g(ux, t¯) ≡ ui g(x, t¯)uj (mod T (M)) и g(xv, t¯) ≡ v k g(x, t¯)v s (mod T (M)). Заменяя u на z в первом сравнении, а x на z и v на x во втором, получаем z i g(x, t¯)z j ≡ xk g(z, t¯)xs (mod T (M)).

(2)

Поскольку Φij (x, u)(g(x, t¯)) ∈ T (M), то и Φij (x, u)(z i g(x, t¯)z j ) ∈ T (M). Поэтому и по (2), Φij (x, u)(xk g(z, t¯)xs ) ∈ T (M). Так как Dx (xk g(z, t¯)xs ) = = {(k, s)}, к многочлену xk g(z, t¯)xs применимо индукционное предположение. Таким образом, получается либо искомое тождество xk [y, z]xs − xi [y, z]xj = 0, либо xk g(z, t¯)xs ∈ T (M). Благодаря (2) последнее включение равносильно z i g(x, t¯)z j ∈ T (M). Остается сослаться на пример 1, где рассматривалась аналогичная ситуация, и вывести два тождества xk [y, z]xs = 0 и xi [y, z]xj = 0, очевидным следствием которых является искомое тождество. Проверка завершена. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть M — многообразие F -алгебр, обладающее свойством Z и удовлетворяющее тождеству [x, y][z, t] = 0, а существенный по всем xi многочлен f (¯ x, t¯) ∈ H имеет вид f (¯ x, t¯) = w(¯ x, t¯) +

X i

gi (¯ x, t¯) +

X i

hi (¯ x, t¯),

492

О. Б. Финогенова

где hi (¯ x, t¯) — одночлены, gi (¯ x, t¯) — коммутаторные одночлены, а w(¯ x, t¯) ∈ ∈ [H, H]. Предположим, что при этом существуют конечные множества A ⊆ (N ∪ {0}) × (N ∪ {0}) и B ⊆ N ∪ {0}, для которых выполняются условия 1) A ∩ Dx¯ (w(¯ x, t¯)) = ∅ и B ∩ Sx¯ (w(¯ x, t¯)) = ∅; 2) для любого i существуют такие j и k, что Dxj (gi ) ⊆ A и Sxk (hi ) ⊆ B. Если f ∈ T (M) и w(¯ x, t¯) ∈ / T (M), в M выполняется тождество вида xl [y, z]xm = xr [y, z]xs , где (l, m) ∈ Dx¯ (w(¯ x, t¯)), а (r, s) ∈ A или r + s ∈ B. (Множество A, как и B, может быть пустым. Тогда все gi (соответственно, hi ) будут нулевые.) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что найдутся такие отображения Ω1 , . . . , Ωq из P вида Φrs (xi , uj ) (xi ∈ x ¯, uj ∈ Λ, а (r, s) ∈ A или r + s ∈ B), что Ωq ◦ . . . ◦ Ω1 (w) ∈ T (M).

(3)

Воспользуемся свойством 4. Пусть q — минимальное число, для которого выполняется (3), а Ωq = Φrs (xi , uj ). Тогда w ˜ = (Ωq−1 ◦ . . . ◦ Ω1 )(w) ∈ / T (M). В этом случае по свойству 4 в M выполняется тождество xl [y, z]xm = = xr [y, z]xs , где (l, m) ∈ Dxi (w). ˜ Остается заметить, что, по свойству 2, Dxi (w) ˜ ⊆ Dxi (w), т. е. найденное тождество имеет требуемый вид. Итак, достаточно показать существование таких Ω1 , . . . , Ωq . Предположим сначала, что f ∈ [H, H], т. е. все одночлены hi отсутствуют. Пусть (a1 , b1 ) < (a2 , b2 ) < . . . < (am , bm ) — все пары из A (здесь через < обозначается естественный лексикографический порядок). Предположим, x ¯ = {x1 , . . . , xn }. Для каждой буквы xi рассмотрим отображение Υi = Φa1 b1 (xi , ui1 ) ◦ Φa2 b2 (xi , ui2 ) ◦ . . . ◦ Φam bm (xi , uim ). В силу свойства 1 отображения Υi попарно перестановочны на [H, H]. Кроме того, по условию для любого i существует j такой, что Dxj (gi ) ⊆ A.

Многообразия ассоциативных алгебр

493

Нетрудно убедиться, что в этом случае Υj (gi ) = 0. В самом деле, пусть (as , bs ) — наибольшая пара из Dxj (gi ). Тогда Υj можно представить в виде Υj = Θ2 ◦ Φas bs (xj , ujs ) ◦ Θ1 , причем остальные пары из Dxj (gi ), если они есть, индексируют некоторые сомножители в Θ2 . Положим g˜i = Θ1 (gi ). gi )) ⊆ По свойству 2, Dxj (˜ gi ) ⊆ Dxj (gi ), а тогда, по свойству 3, Dxj (Φas bs (˜ ⊆ Dxj (˜ gi ) \ {(as , bs )}. Повторяя этот процесс и отщепляя сомножители, проиндексированные парами из Dxj (gi ), а затем выбрасывая соответствующие пары, в конце получим пустое множество двусторонних степеней. Таким образом, Dxj (Υj (gi )) =!∅, т. е. Υj (gi ) = 0.   n Q P Следовательно, Υj gi = 0. Значит, j=1

 

n Y

j=1

i





Υj  (f ) = 

n Y

j=1



Υj  (w) ∈ T (M).

Требуемые отображения Ω1 , . . . существуют, и предложение 1 в этом случае доказано. Общий случай сведем теперь к рассмотренному. Положим Υs =

Y

Φj0 (xs , usj ).

j∈B

Отображения Υs перестановочны на [H, H]. По условию для любого i найдется k, для которого Sxk (hi ) = {m} ⊆ B. Представим Υk в виде Υj = ˜ i = Θ1 (hi ). Очевидно, Sx (h ˜ i ) = {m}. = Θ2 ◦ Φm0 (xk , ukm ) ◦ Θ1 и положим h k Поэтому ˜ i) = h ˜ i (x1 , . . . , ukm xk , . . . , t¯) Φm0 (xk , ukm )(h ˜ i (x1 , . . . , xk , . . . , t¯) ≡ 0 (mod [H, H]). − um h km

При этом идеал [H, H] инвариантен относительно отображений из P, а значит, и относительно Θ2 . Следовательно, Υk (hi ) ∈ [H, !H]. n n Q Q Υj (Υk (hi )) ∈ [H, H] Υj . Тогда Γ(hi ) = Обозначим Γ = j=1

j=1,j6=k

и Γ(f ) ∈ [H, H]. Поскольку Sxk (Υk (hi )) = {m}, имеем

Dxk (Γ(hi )) ⊆ Dxk (Υk (hi )) ⊆ {(j, m − j) | j = 0, . . . , m}.

(4)

494

О. Б. Финогенова

Пусть A˜ = A ∪ {(j, m − j) | j = 0, . . . , m, m ∈ B}. Поскольку B ∩ Sx¯ (w) = ∅ и A ∩ Dx¯ (w) = ∅, то и A˜ ∩ Dx¯ (w) = ∅. В ˜ По свойству 2 качестве f , w и A рассмотрим соответственно Γ(f ), Γ(w) и A. ˜ справедливо Dx¯ (Γ(w)) ⊆ Dx¯ (w), а следовательно, A∩D x ¯ (Γ(w)) = ∅. Кроме того, для любого i найдутся j и k, при которых ˜ Dxj (Γ(gi )) ⊆ Dxj (gi ) ⊆ A ⊆ A, и согласно (4) ˜ Dxk (Γ(hi )) ⊆ A. Если Γ(w) ∈ / T (M), то предложение доказано (см. предыдущие рассуждения для частного случая f ∈ [H, H]). Если же Γ(w) ∈ T (M), то и тогда доказательство завершено, поскольку найдены требуемые отображения Ω1 , Ω2 , . . . . 2 ЛЕММА 4. Пусть в условиях предложения 1 многообразие M порождается нильалгебрами и удовлетворяет тождеству X z )[x, y] = 0, где gk¯ = αk¯ z1k1 · · · znkn . gk¯ (¯ f (x, y, z¯) = ¯ k

Тогда при любом наборе k¯ многообразие M удовлетворяет тождеству gk¯ [x, y] = 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем индукцией по количеству ненулевых gk¯ [x, y]. База индукции очевидна. Предположим, слагаемых больше одного, т. е. существует по крайней мере два набора s¯ 6= t¯. Считаем, что s¯ — наименьший относительно естественного лексикографического порядка набор со свойством gs¯[x, y] 6= 0, а t¯ — наибольший. Понятно, что тогда найдется такой номер i, для которого si < ti и si 6 ki при любом наборе k¯ с условием gk¯ [x, y] 6= 0. (В качестве такого i можно взять первый по порядку индекс, ¯ при котором si отличается от ki хотя бы для одного k). В этом случае Dzi (f ) ⊆ {(m, 0) | m > si } ∪ {(si , 0)}. Положим w=

X

¯ i =si k,k

z )[x, y], A = Dzi (f ) \ {(si , 0)}, B = ∅. gk¯ (¯

495

Многообразия ассоциативных алгебр

Очевидно, A ∩ Dzi (w) = A ∩ {(si , 0)} = ∅. Поэтому w и A удовлетворяют всем требованиям предложения 1. Если w ∈ T (M), то и f − w ∈ (M). И в том, и в другом многочлене слагаемых gk¯ [x, y] меньше, чем в f (gt¯[x, y] не входит в w, а gs¯[x, y] — в f − w). По индукции требуемое установлено. Если же w ∈ / T (M), в M выполняется тождество z si [x, y] = z m [x, y] для некоторого m > si . В любой нильалгебре из последнего следует z si [x, y] = 0. В силу выбора si все gk¯ [x, y] лежат в T (M). 2 ЛЕММА 5. Пусть, в условиях предложения 1, F — поле характеристики p > 0. а) Если z n [x, y] = z s [x, y]z t — тождество M, где n, t > 1, то либо z n [x, y] ∈ T (M), либо при некоторых m, k (1 6 pm 6 max{s, n}, 1 6 pk 6 t) k

m

в M выполняется тождество z p [x, y] = [x, y]z p . m

б) Если z n [x, y] = 0 — тождество M, то z p [x, y] ∈ T (M) при некотором m, 1 6 pm 6 n. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. а) Положим f (x, y, z) = z s [x, y]z t − z n [x, y]. Среди тождеств этого вида выберем такое, в котором t, s и n (t, n > 1, s > 0) минимальны. Пусть t = α0 pk + α1 pk+1 + . . . (0 < α0 < p). Предположим, что (s, t) 6= (0, pk ). Тогда f˜(x, y, v, z) = f (x, y, z + v) − f (x, y, z) − f (x, y, v) k

k

≡ α0 v s [x, y]v t−p z p + g(x, y, z, v) (mod {[x, y][u, v]}T ), где X

g(x, y, z, v) =

γijm z i v m [x, y]v j +

i, j, m, i>0, i
X

δij z i v s−i [x, y]z j v t−j .

(j,i)>(pk ,0) k

k

Положим w(x, y, v, z) = α0 v s [x, y]v t−p z p , A = Dz (g). Очевидно, Dz (w) ∩ A = {(0, pk )} ∩ A = ∅. Поэтому и по предложению 1, M удовлетворяет одному из тождеств w(x, y, k

v, z) = 0, [x, y]z p = z i [x, y], где i < n или i 6 s, либо тождеству вида

496

О. Б. Финогенова k

[x, y]z p = z i [x, y]z j , (j, i) > (pk , 0) и i 6 s, j 6 t. Нетрудно заметить, что в наших предположениях из тождества w(x, y, v, z) = 0 следует z n [x, y] = 0. k

Наличие тождества [x, y]z p = z i [x, y]z j , (j, i) > (pk , 0) и i 6 s, j 6 t, k

противоречит выбору f (x, y, z), поскольку, заменяя z i [x, y]z j на [x, y]z p , k

получаем тождество z s−i [x, y]z t−j+p − z n [x, y] = 0. Итак, вне зависимости от того, совпадает пара (s, t) с (0, pk ) или нет, многообразие M удовлетвоk

ряет тождеству вида [x, y]z p = z i [x, y], где i не превосходит максимума из n, s. Закончим доказательство п. ”а“ и параллельно докажем п. ”б“. Пусть k

h(x, y, z) = z i [x, y] − [x, y]z p в случае ”a“ и h(x, y, z) = z i [x, y] в случае ”б“. При этом многочлен h(x, y, z) выбран так, чтобы i было минимальным из возможных. Ясно, что i 6 n в случае ”б“, и согласно установленному ранее i 6 max{s, n} в ”а“. Пусть i = β0 pm + β1 pm+1 + . . . , причем 0 < β0 < p. Достаточно показать, что i = pm . Предположим противное. Линеаризуя многочлен h, получаем h(x, y, z + v) − h(x, y, z) − h(x, y, v) ≡ m

m

≡ β0 z p v i−p [x, y] +

X

µj z j v i−j [x, y] (mod {[x, y][u, v]}T ).

j, i>j>pm m

m

Положим w(x, y, v, z) = β0 z p v i−p [x, y], A = {(j, 0) | i > j > pm }. Заметим, что w(x, y, v, z) = 0 не является тождеством M. Действительно, в противном случае, поскольку многообразие M обладает свойством Z, в нем m

m

выполняется либо тождество v i−p [x, y] = 0, либо тождество z p [x, y] = 0, что в любом случае противоречит минимальности i. Итак, w(x, y, v, z) ∈ / ∈ / T (M). Кроме того, легко понять, что Dz (w) ∩ A = {(0, pm )} ∩ A = ∅. Следовательно, согласно предложению 1 многообразие M удовлетворяет m

тождеству вида z p [x, y] = z j [x, y], где j > pm . И в случае ”а“, и в случае ”б“ это противоречит выбору многочлена h(x, y, z), поскольку в качестве i можно взять меньшее число i − j + pm . 2 ЗАМЕЧАНИЕ 2. Нетрудно убедиться, соответствующим образом видоизменив доказательства, что верны двойственные аналоги лемм 4 и 5.

497

Многообразия ассоциативных алгебр

1.3. Доказательство теорем 1 и 2. До конца пункта считаем, что F — поле положительной характеристики p, V — почти энгелево многообразие F -алгебр. По леммам 2 и 3, V обладает свойством Z и удовлетворяет тождеству [x, y][z, t] = 0. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Наличие положительной характеристики позволяет записывать некоторые энгелевы тождества в более простой форме. А именно, нетрудно проверить, что [x, y, y, . . . , y ] = | {z } n

n X

Cnk (−1)k y k xy n−k .

k=0

Если n = pt , то для любой алгебры над полем характеристики p [x, y, y, . . . , y ] = [x, y n ]. 2 | {z } n

Введем многообразия

m

A = var {[x, y]z = 0}, Bq,m = var {[x, y]z = z q [x, y]}. ЛЕММА 6. Если F — бесконечное поле, то V лежит в одном из многообразий A или A⋆ . Если F — конечное поле из q элементов, то V лежит в одном из многообразий A, A⋆ , Bq,m или B⋆q,m . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Многообразие V удовлетворяет условию предложения 1. Предположим, V 6⊆ A, т. е. [x, y]z ∈ / T (V). По леммам 1 и 3, V удовлетворяет тождеству вида f (x, y, z) = y n [x, z] +

X

βij y i [x, z]y j = 0.

j>1, i i

i

Мы хотим получить одно из тождеств вида y p [x, z] = 0 или y p [x, z] = j

= [x, z]y p , i 6= j. Воспользуемся предложением 1. Положим w(x, y, z) = y n [x, z], A = Dy (f ) ∩ {(i, j) | j > 1}, B = ∅. Очевидно, Dy (w) ∩ A = {(n, 0)} ∩ A = ∅. Согласно предложению 1 возможно одно из двух: либо w = y n [x, z] ∈ T (V), либо для некоторых s > 0 и t > 1 равенство y n [x, z] = y s [x, z]y t будет тождеством в V. В любом

498

О. Б. Финогенова

случае, воспользовавшись леммой 5, получаем: если [x, y]z ∈ / T (V), то V i

i

j

удовлетворяет одному из тождеств y p [x, z] = 0 или y p [x, z] = [x, z]y p . Отметим следующее. Если для полилинейного по модулю T (V) мноk

гочлена f (y, [x, z]) верно включение f (y p , [x, z]) ∈ T (V), то f (y, [x, z]) ∈ ∈ T (V). В противном случае по лемме 1 и замечанию 3 в V выполняется тождество вида t

[x, y p ] =

X

ai f (bi , [x, y])ci ,

где ai , bi , ci — одночлены. Понятно, что подстановка x 7→ [x, z] обратит в тождества, а точнее, в следствия многочлена [u, v][z, t] все слагаемые, где x встречается в одночлене bi . После этой подстановки справа появится сумма слагаемых вида ai f (y si , [[x, z], y])ci ≡ ai f (y si , [x, z])yci − ai yf (y si , [x, z])ci . Подстановка y 7→ y p

k

обратит правую часть в следствие многочлена

pk

f (y , [x, z]), левая примет вид [[x, z], y p

t+k

]. Итак, [[x, z], y p

t+k

] ∈ T (V), что

согласно замечанию 3 противоречит неэнгелевости V. i

Используя этот факт, нетрудно показать, что из тождества y p [x, z] = j

i

= 0 следует x[y, z] = 0, а из y p [x, z] = [x, z]y p — тождество x[y, z] = = [y, z]xp

j−i

при i < j или [y, z]x = xp

i−j

[y, z] при i > j. (Равенство i = j в

силу замечания 3 противоречит неэнгелевости V, поэтому невозможно.) В случае бесконечного поля каждое из двух последних тождеств приводит к энгелеву тождеству и выполняться в V не может. В случае конечного поля легко убедиться, что pi−j = q m (соответственно, pj−i = q m ), где q — порядок этого поля. 2 Согласно лемме 6 поиск ”пограничников“ нужно вести среди подмногообразий в многообразиях A, A⋆ , Bq,m или B⋆q,m . Покажем, что те собственные подмногообразия, которые порождаются своими нильпотентными алгебрами, для этого не подходят. ЛЕММА 7. Пусть M — одно из многообразий A, A⋆ , Bq,m или B⋆q,m , а N — собственное подмногообразие M, порождаемое нильпотентными алгебрами. Если многообразие N удовлетворяет свойству Z, то оно энгелево.

499

Многообразия ассоциативных алгебр

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть M = A или M = Bq,m . Оставшиеся случаи рассматриваются двойственным образом. Наша цель — найти в N s

s

тождество вида xs [y, z] = 0. Тогда [y, z]xp − xp [y, z] ∈ {xs [y, z]} + T (M) ⊆ ⊆ T (N), по замечанию 3 это эквивалентно энгелевости N. Отметим, что в M выполняется тождество [x, y][z, t] = 0. Значит, N удовлетворяет условию предложения 1 и леммы 4. Пусть f (¯ x) ∈ T (N) \ P \T (M), тогда f (¯ x) ≡ αk¯ xk11 · · · xknn (mod {[x, y]}T ). Если αk¯ 6= 0 при неко¯ то умножение справа на коммутатор [y, z] и лемма 4 приведут тором k, к искомому тождеству αk¯ xk11 · · · xknn [y, z] = 0. В этом случае цель будет x) ≡ 0 (mod {[x, y]}T ). достигнута. Считаем, что все αk¯ равны 0, т. е. f (¯ Пусть M = A. Так как x[y, z] ≡ −z[x, y] − y[z, x] (mod {[x, y]z}T ), можно считать, что x1 присутствует во всех коммутаторах, т. е. f (¯ x) =

X

βi,¯l xl11 xl22 · · · xlnn [x1 , xi ].

i,¯ l

Тогда f˜i (¯ x, y, z) = f (x1 , . . . , xi + [y, z], . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) P ≡ ¯l βi,¯l xl11 +1 xl22 · · · xlnn [y, z] (mod T (A)).

В f наборы степеней (l1 , . . . , ln ) у x1 , . . . , xn , стоящих перед коммутатором [x1 , xi ], различны. Поэтому в f˜i все наборы (l1 + 1, . . . , ln ) попарно различны. Воспользовавшись леммой 4, получим семейство тождеств β ¯xl1 +1 xl2 · · · xln [y, z] = 0, справедливых для любых i, ¯l. По крайней мере 2

i,l 1

n

один коэффициент βi,¯l отличен от нуля, и цель достигнута. Пусть теперь M = Bq,m . Перепишем многочлен f (¯ x) по модулю T (M) так, чтобы в коммутаторах встречалось наименьшее число переменных. Можно считать без ограничения общности, что среди них есть x1 . Поскольку m

m

m

m

xq1 [y, z] ≡ x1 [y, z]+(y−y q )[z, x1 ]+(z−z q )[x1 , y](mod{xq [y, z]−[y, z]x}T ), имеем f (¯ x) =

X i,¯ l

βi,¯l xl11 · · · xlnn [x1 , xi ] +

X

s¯(s1
γi,j,¯s xs11 · · · xsnn [xi , xj ].

500

О. Б. Финогенова

В силу предположения βi,¯l 6= 0 при некоторых i, ¯l. Рассмотрим, как и в предыдущем случае, многочлен f˜i (¯ x, y, z): P m f˜i (¯ x, y, z) = βi,¯l (xl11 +1 − xl11 +q )xlii xl22 · · · xlnn [y, z] ¯ l

P

+

j(j
−

P

j(j>i), s¯(s1


s +q m

) · · · xsnn [y, z]

s +q m

) · · · xsnn [y, z].

s +1

− xj j

s +1

− xj j

γj,i,¯s xs11 · · · (xj j

γi,j,¯s xs11 · · · (xj j

Среди ¯l, при которых βi,¯l 6= 0, выберем наборы с наибольшим l1 , равным c. Понятно, что все они различны между собой. Следовательно, наборы (c + q m , l2 , . . .) отличаются не только друг от друга, но и от наборов вида (s1 , . . .), поскольку s1 < q m . Осталось воспользоваться леммой 4, чтобы получить тождество m

xl22 · · · xlnn [y, z] = 0. 2 βi,¯l xc+q 1 Сами многообразия из условия леммы 6, тем не менее, неэнгелевы. Сформулируем этот несложный факт без доказательства. ЛЕММА 8. Многообразие A содержит неэнгелеву алгебру A(F ), A⋆ — неэнгелеву алгебру A(F )⋆ , а многообразия Bq,m и B⋆q,m (если F — конечное поле из q элементов) — неэнгелеву алгебру B(GF (q m ), GF (q 2m ), σ) m

(σ(x) = xq ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 1. Согласно лемме 6 все почти энгелевы многообразия содержатся в многообразиях A или A⋆ , неэнгелевых по лемме 8. Следовательно, в силу леммы Цорна каждое их них должно содержать почти энгелево многообразие. С другой стороны, известно, что в случае алгебр над бесконечным полем каждое многообразие порождается нильпотентными алгебрами. Поэтому согласно леммам 7 и 2 ни одно собственное подмногообразие в A или A⋆ почти энгелевым быть не может. Значит, почти энгелевыми являются сами многообразия A и A⋆ . Отсюда и из леммы 8 вытекает A = var A(F ) и A⋆ = var A(F )⋆ . 2 Рассмотрим теперь алгебры над конечным полем. До конца этого пункта считаем, что F — поле из q элементов, charF = = p.

Многообразия ассоциативных алгебр

501

По сути, главное препятствие, не позволяющее дословно повторить здесь доказательство теоремы 1, заключается в том, что в случае конечного поля не все многообразия порождаются нильалгебрами, поэтому и лемма 7 охватывает не все случаи. Но, оказывается, нетрудно свести неизученный случай к известному описанию почти коммутативных многообразий. Напомним, что почти коммутативным называется некоммутативное многообразие, все собственные подмногообразия которого коммутативны. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2 [7]. Многообразие F -алгебр M является почти коммутативным ненильпотентным многообразием тогда и только тогда, когда оно порождается одной из алгебр A(F ), A(F )⋆ , B(F, G, σ). ЛЕММА 9. Многообразие V либо порождается нильпотентными алгебрами, либо является почти коммутативным ненильпотентным многообразием. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Благодаря тождеству [x, y][z, t] = 0 многообразие V локально финитно аппроксимируемо (см. [1]). В частности, оно порождается своими конечными алгебрами. Пусть A — такая алгебра. Учи˙ тывая, что в V нет полных матричных алгебр, имеем A = B(A)+J(A), где B(A) — прямая сумма конечного числа конечных расширений поля F . Возможны два случая. С л у ч а й 1. Существуют такие алгебра A ∈ V и элементы a ∈ B(A), c, d ∈ A, что [[c, d], a] 6= 0. Тогда алгебра C, порожденная элементами a и [c, d], некоммутативна, а следовательно, var C содержит почти коммутативное подмногообразие алгебр. При этом нетрудно проверить, что алгебра C удовлетворяет тождеству (x − xs )(y − y s ) = 0 (x − xs = 0 — тождество B(A)), т. е. все нильпотентные алгебры из var C — с нулевым умножением, поэтому var C содержит некоторое ненильпотентное почти коммутативное многообразие. Остается заметить, что согласно предложению 2 все такие многообразия не являются энгелевыми, поэтому ни одно из них не может быть собственным подмногообразием в V. Значит, V — ненильпотентное почти коммутативное многообразие.

502

О. Б. Финогенова С л у ч а й 2. Пусть для любых конечной алгебры A и элемента b ∈

∈ B(A) выполняется [[A, A], b] = 0. Тогда для любого a = b + j ∈ A, где b ∈ B(A) и j ∈ J(A), выполняется [A, a, a, . . . , a] = [[A, a], j, . . . , j ] ⊆ [J(A), j, . . . , j ]. | {z } | {z } | {z } n

n+1

n

Следовательно, если при некотором n все алгебры J(A) одновременно удовлетворяют тождеству [x, y, . . . , y ] = 0, то все конечные алгебры A удовле| {z } n

творяют тождеству [x, y, . . . , y ] = 0. Таким образом, нильпотентные алгеб| {z } n+1

ры из V не могут порождать собственное (т. е. энгелево) подмногообразие, а значит, порождают все V. 2

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 2. Нетрудно заметить, что каждое ненильпотентное почти коммутативное многообразие (см. предлож. 2) является почти энгелевым. Остается убедиться, что других таких многообразий нет. В самом деле, пусть V — почти энгелево многообразие, не являющееся почти коммутативным. По лемме 9 оно порождается нильпотентными алгебрами, а по лемме 6 лежит в одном из многообразий A, A⋆ , Bq,m или B⋆q,m . Перечисленные многообразия сами являться почти энгелевыми не могут, так как содержат собственные неэнгелевы подмногообразия (см. лемму 8): var A(F ) ⊆ A, var A(F )⋆ ⊆ A⋆ , var B(GF (q m ), GF (q 2m ), σ) ⊆ m

⊆ Bq,m ∩ B⋆q,m (σ(x) = xq ). Следовательно, V должно быть собственным подмногообразием в A, A⋆ , Bq,m или B⋆q,m , что невозможно в силу леммы 7. 2 1.4. Доказательство теоремы 3. В случае колец лемма 2 позволяет утверждать, что любого почти энгелева многообразия V либо оно удовлетворяет тождеству px = 0 при некотором простом p, либо для любого m > 0 и многочлена f (¯ x) из включения mf (¯ x) ∈ T (V) следует f (¯ x) ∈ T (V). (В последнем случае естественно называть V многообразием без аддитивного кручения.) Действительно, если mf = 0 и f ∈ / T (V), то, по свойству Z, p[x, y] ∈ ∈ T (V), где p — некоторый простой делитель m. Заметим, что p[x, y] = = [px, y]. Если px ∈ / T (V), применяя свойство Z, получаем, что тождество

Многообразия ассоциативных алгебр

503

[[x, y], z] = 0 выполняется в V, приходим к противоречию. Почти энгелево многообразие с тождеством px = 0 можно считать многообразием алгебр над полем из p элементов. Список таких многообразий найден в теореме 2. Осталось показать отсутствие почти энгелевых многообразий колец без аддитивного кручения. Предположим противное, пусть V — такое многообразие. Рассмотрим многообразие Q-алгебр VQ (Q — поле рациональных чисел), задаваемое тождествами из T (V). Докажем, что VQ неэнгелево. Действительно, пусть оно удовлетворяет тождеству [x, y, . . . , y] = 0. Тогда [x, y, . . . , y] =

X 1 gi (bi1 (x, y), . . . , bili (x, y)), mi

где gi ∈ T (V), а bij — многочлены с рациональными коэффициентами. Поскольку V — без аддитивного кручения, все многочлены gi можно считать однородными. Следовательно, n[x, y, . . . , y] =

X

gi (˜bi1 (x, y), . . . , ˜bili (x, y)),

а ˜bij — многочлены с целыми коэффициентами. Значит, V удовлетворяет тождеству n[x, y, . . . , y] = 0, приходим к противоречию. Итак, VQ неэнгелево, значит, оно содержит некоторое почти энгелево многообразие Q-алгебр KQ . Пусть ΣZ — множество всех многочленов с целыми коэффициентами, лежащих в T (KQ ). Очевидно, T (V) ⊆ ΣZ . Следовательно, V ⊇ var ΣZ . Из описания почти энгелевых многообразий над полем характеристики 0 (см. [3]) вытекает, что var ΣZ совпадает с одним из многообразий var {x[y, z] = 0} или var {[y, z]x = 0}. Они оба содержат собственные неэнгелевы подмногообразия (напр., var {px = 0, x[y, z] = 0} или var {px = 0, [y, z]x = 0}, соответственно). Полученное противоречие показывает отсутствие почти энгелевых многообразий колец без аддитивного кручения. 2

§ 2. Некоторые следствия Из теоремы 1 и описания почти энгелевых многообразий над полем характеристики нуль (см. [3]), немедленно вытекает

504

О. Б. Финогенова СЛЕДСТВИЕ 1. Многообразие алгебр над бесконечным полем F

является энгелевым тогда и только тогда, когда оно не содержит алгебр A(F ) и A(F )⋆ . Из теорем 1–3 легко вытекают СЛЕДСТВИЕ 2. Многообразие алгебр над конечным полем F является энгелевым тогда и только тогда, когда оно не содержит ни одной из алгебр A(F ), A(F )⋆ или B(F, G, σ). СЛЕДСТВИЕ 3. Многообразие колец является энгелевым тогда и только тогда, когда оно не содержит ни одного из колец A(GF (p)), A(GF (p))⋆ или B(GF (p), G, σ), где p — простое число. СЛЕДСТВИЕ 4. Если все конечные кольца (конечномерные алгебры) многообразия энгелевы, то и само многообразие энгелево. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Каждое неэнгелево многообразие содержит почти энгелево многообразие. В силу теорем 2 и 3 любое такое многообразие порождается неэнгелевым конечным кольцом (неэнгелевой конечномерной алгеброй). 2 В случае колец или алгебр над конечным полем из теорем 2, 3 и предложения 2 вытекает СЛЕДСТВИЕ 5. Пусть все конечные нильпотентные кольца (конечномерные нильпотентные алгебры) многообразия M коммутативны. Если M энгелево, то оно коммутативно. Напомним, что алгебра является лиево нильпотентной, если удовлетворяет тождеству вида [x1 , x2 , . . . , xn ] = 0. СЛЕДСТВИЕ 6. Все конечнопорожденные алгебры над полем F из многообразия M лиево нильпотентны тогда и только тогда, когда M не содержит ни одной из алгебр A(F ), A(F )⋆ (а в случае конечного поля F еще и ни одной из алгебр B(F, G, σ)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Требуется установить только достаточность, поскольку необходимость этого утверждения легко проверяется. Пусть R — конечнопорожденная алгебра из M. Согласно следствиям 1 или 2 (в

Многообразия ассоциативных алгебр

505

зависимости от поля) var R энгелево. Остается отметить, что любая конечнопорожденная энгелева алгебра лиево нильпотентна ([1, следствие 1]). 2 Аналогичное утверждение с соответствующими изменениями верно и для колец. Автор выражает свою искреннюю благодарность М. В. Волкову за постоянное внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. С. И. Кублановский, О многообразиях ассоциативных алгебр с локальными условиями конечности, Алгебра и анализ, 9, N 4 (1997), 119—174. 2. В. Т. Марков, О системах порождающих T -идеалов конечнопорожденных свободных алгебр, Алгебра и логика, 18, N 5 (1979), 587—598. 3. Ю. Н. Мальцев, О многообразиях ассоциативных алгебр, Алгебра и логика, 15, N 5 (1976), 579—584. 4. Ю. Н. Мальцев, Почти энгелевы локально конечные многообразия ассоциативных колец, Изв. вузов. Матем., N 11, 1982, 41—42. 5. Днестровская тетрадь, 4-е изд., Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН, 1993. 6. И. В. Львов, Теорема Брауна о радикале конечнопорожденной PI-алгебры, препринт N 63, Новосибирск, Ин-т матем. СО АН СССР, 1984. 7. Yu. N. Mal’cev, Just non commutative varieties of operator algebras and rings with some conditions on nilpotent elements, Tamkang J. Math., 27, N 1 (1996), 59—65.

Поступило 22 апреля 2003 г. Адрес автора: ФИНОГЕНОВА Ольга Борисовна, кафедра алгебры и дискретной математики, Уральский госуниверситет, пр. Ленина, 51, г. Екатеринбург, 620083, РОССИЯ. Тел.: (3432) 50-75-79. e-mail: [email protected]