Изучение распределения Бозе-Эйнштейна для фотонов. Методическое указание к лабораторной работе

Изучение распределения Бозе-Эйнштейна для фотонов Методическое указание к лабораторной работе для студентов дневного и заочного обучения

Министерство образования и науки Российской Федерации Восточно-Сибирский государственный технологический университет

Составители: Шелкунова З.В., Шагдаров В.Б. Методическое указание к лабораторной работе для студентов дневного и заочного обучения инженерно-технических и технологических специальностей по «Статистической физике»

ФИЗИКА Методическое указание к лабораторной работе Изучение распределения Бозе-Эйнштейна для фотонов

Ключевые слова: Кванты, бозоны, энергия квантового осциллятора, статистика Бозе-Эйнштейна, формула Планка, абсолютно черное тело. Составители: Шелкунов Н.Г. Шагдаров В.Б.

Редактор Т.А. Стороженко Подписано в печать 1.06. 2004 г. Формат 60×80 1/16 Усл.п.л. 0,7, уч.- изд.л. 0,6: Печать операт., бум. писч. Тираж ____ экз. Заказ № 89. ___________________________________________________ Издательство ВСГТУ, Улан-Удэ, Ключевская, 40, в  ВСГТУ, 2004 г.

Издательство ВСГТУ Улан-Удэ, 2004

Цель работы: ознакомиться с бозе-частицами, изучить распределение фотонов при тепловом измерении для различных длин волн и температур. Приборы и принадлежности: установка УКЛО – 4. Краткая теория Для квантовых частиц должны выполняться условия: - дискретность состояний, абсолютная тождественность или неразличимость частиц в данном состоянии; - наличие собственного момента импульса или спина, который может принимать целое или полуцелое значение от постоянной Планка. Все фундаментальные частицы (кварки, липтоны) имеют полуцелый спин, а частицы-переносчики взаимодействия целых спин. Значение спина влияет на расположение частиц по квантовым состояниям. Если спин – целое число, то в квантовом состоянии может находиться произвольное число частиц, а так как частицы неотличимы друг от друга, микросостояния с любым числом частиц в них считаются одними и теми же. Частицы с такими свойствами называются бозонами (бозе-частицами). К числу бозонов относятся фотоны, фононы, дейтроны, атомы гелия и т.д. Статистику бозонов называют статистикой БозеЭйнштейна. Статически среднее значение числа заполнения N при температуре Т определяется: −1

E−µ   < N ( E ) >=  exp − 1 (1) кг   Среднюю энергию квантового осциллятора можно определить по формуле: − hυ Е= (2) E−µ exp −1 кТ

Рассмотрим применение статистики Бозе-Эйнштейна к фотонному газу (электромагнитное излучение, находящееся в тепловом равновесии). Фотоны не взаимодействуют друг с другом, поэтому фотонный газ можно принять за идеальный. Для равновесного фотонного газа µ=0, а Е = hυ , тогда −1

hυ   (3) < N ( E ) >=  exp − 1 кТ   Это выражение представляет собой функцию распределения Бозе-Эйнштейна для фотонов. Статический метод для описания равновесного состояния идеального газа можно применить при изучении излучения абсолютно черного тела. Излучение абсолютно черного тела – это равновесное излучение, характеризующееся тем, что энергия излучения ω (υ , Т )dυ в интервале частот υ , υ + dυ , заключенного в единице объема, определяется равенством излученной и поглощенной стенками полости энергии в указанном интервале частот. Вероятность того, что при температуре Т осциллятор будет находится в возбужденном состоянии с N фотонами или с энергией ЕN = N ⋅ hυ , определяется по формуле:  hυ   nhυ   PN = exp −   1 − exp −  kT   kT   Среднее число фотонов в осцилляторе < N ( E ) >= ∑ N ⋅ Pn или −1

  hυ   (4) < N ( E ) >=  exp  − 1 ;  kT    число осцилляторов, описывающих поле излучения в единичном объеме и в единичном интервале частот, 8πυ 2 N (υ ) = 3 . Тогда спектральная плотность энергии c

ω (υ , T ) в большой полости объемом V при температуре Т

может быть представлена для переменных υ и Т: dN 8πν 2 hν ; (5) ω (υ , Т )dυ = ε = 3 ⋅ dν c  hν  exp  −1  kT  - для переменных λ и Т 8πhc 1 . (6) ω (λ , T ) = 5 ⋅ λ  hc  exp  −1  λkT  Формулы (5) и (6) - формулы Планка для спектральной плотности энергии равновесного излучения.

Следствия формулы Планка Для больших и малых длин волн из закона излучения Планка получаются следующие приближения:  hν  1) для высоких частот  >> 1 , т.е. для малых длин волн  kT   hc  λ, ω (λ , Т )dλ ≈ 2hc 2 λ− 5 ⋅ exp − dλ , это выражение опи kTλ  сывает излучения абсолютно черного тела в ультрафиолетовой области спектра;   hν 2) для низких частот  << 1 , т.е. для больших длин волн  kT  λ распределение энергии по длинам волн дается выражени8πkT 8πkT ем ω (λ )dλ = 4 dλ или ω (λ ) = 5 , т.е. получаем фор-

λ

λ

мулу Рэлец-Джинса, описывающую тепловое излучение по классической физике. На рис. 1 показаны экспериментальные кривые распределения энергии в спектре абсолютно черного тела для различных температур. Еλ – плотность энергии, приходя-

щаяся на одну длину волны Еλ =

ω (λ ) . Эти кривые имеют λ

резко выраженный максимум, который смещается в сторону меньших длин волн с повышением температуры Т.

Рис. 1 Описание установки УКЛО – 4 (рис.2) На передней панели расположены: - мультиметр (1); - переключатель режимов накала вольфрамовой нити (п.о. – лампа выключения) (2); - тумблер переключения лампы «лампа» с индикацией включения установки (3); - тумблер «сеть» с индикацией (4); - в прорезь выведена регулирующая диафрагма со светофильтрами (5).

исследуемый интервал. Измерения проводятся для пяти различных температур вольфрама. Ход работы: 1. Включить установку в сеть. 2. Включить вольтметр. 3. Тумблером «лампа» включить вольфрамовую лам-

пу.

Рис.2. Электрическая схема

В установке источником фотонов является вольфрамовая лампа. Измерение числа фотонов проводится на пяти длинах волн, выбранных так, что максимум измерения попадает в

4. Поставить переключатель режима накала в п.6 (позиция 6). 5. Наблюдать оптический сигнал, принимаемый РТН на вольтметре для различных светофильтров (позиция 1-6). Длины волн, соответствующие интерференционным светофильтрам, приведены в таблице 1. Таблица 1 № λ, (НМ) ∆λ (н.м.) 1 700 6 2 900 8 3 1100 14 4 1500 16 5 2000 18 6 нейтральный светофильтр 6. Измерения провести для пяти различных температур вольфрама. Результаты измерения занести в таблицу 2. Таблица 2 Свето- λ Нейтральный 700 900 1100 1500 2000 с/ф фильтр Т1 U1 Т2 U2 Т3 U3 Т4 U4 Т5 U5 7. Построить графики зависимости U = f (λ ) для различных Т.

8. Определить температуру начала по λmax; Emax; ω(λ) используя законы Стефана-Больцмана и Вина. b λmax = ; Emax = σ 'T 5 ; ω (λ ) = σT 4 , b = 2,9 ⋅ 10−3 м к , T ' σ = 1,3 ⋅ 10−5 Вт к 5 , σ = 5,67 ⋅ 10−8 Вт к 4 . Данные занести в таблицу 3. Таблица 3 № λmax Т Emax ω(λ) 1 2 3 4 5 9. Построить график зависимостей Emax, λmax Контрольные вопросы 1. Корпускулярные свойства измерения. Фотоны. 2. Как определяется энергия, импульс, масса фотона? 3. Какие частицы подчиняются статистике БозеЭйнштейна? 4. Как определяется среднее значение энергии квантового осциллятора в квантовой теории Эйнштейна? 5. Запишите формулу Планка для спектральной плотности энергии равновесного излучения. 6. Каковы следствия формулы Планка?