Об автоморфизмах графа Ашбахера

Алгебра и логика, 40, N 2 (2001), 125-134

УДК 519.14+512.542

ОБ А В Т О М О Р Ф И З М А Х ГРАФА АШБАХЕРА*)

А. А. МАХНЕВ, Д . В. П А Д У Ч И Х

В настоящей статье рассматриваются неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для вершины а графа Г через [а] обозначается окрестность вершины а, т. е. подграф, индуцированный Г на множестве всех смежных с а вершин. Положим ах — {a} U [а]. Граф называется сильным с параметрами (А,/х), если любое его реб­ ро лежит в Л треугольниках, и любая пара несмежных вершин имеет \х общих соседей. Граф Г называется сильно регулярным с параметрами (u,fc, А,/х), если он имеет v вершин, регулярен валентности к и являет­ ся сильным с соответствующими параметрами. Звездой называется граф, содержащий такую вершину а, что любая отличная от а вершина графа смежна только с а. Если звезда имеет не менее трех вершин, то а назовем централь звезды. Если регулярный граф валентности к диаметра d имеет v вершин, то выполняется неравенство, доказанное Муром (см. [1]):

v <$ 1 + к + к{к - 1) + • • • + к(к - l)d~\ Графы, для которых это нестрогое неравенство превращается в равен­ ство, называют графами Afypa. Они имеют нечетный обхват, равный 2d+l. Синглтон [2] установил, что связный граф диаметра d и обхвата 2d+ 1 яв­ ляется графом Мура. Интересно, что графы Мура будут экстремальными и относительно нижней оценки для числа вершин. А именно, число вершин *> Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 99-01-00462* ©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2001

126

А. А. Махнев, Д. В. Падучих

v регулярного графа валентности к и нечетного обхвата g удовлетворяет неравенству v J> 1 + к + к{к - 1) + • • • + к{к - 1)(з~ 3 )/ 2 . Графы, для которых достигается равенство, являются графами Мура. Простейший пример графа Мура доставляет (2d+ 1)-угольник. Дамерелл [3] доказал, что граф Мура валентности к ^ 3 имеет диаметр 2. В этом случае v = к2 + 1, граф сильно регулярен сА = 0 и / х = 1,а валентность к равна 3 (граф Петерсена), 7 (граф Хоффмана—Синглтона) или 57. Пер­ вые два графа являются графами ранга 3 с группами автоморфизмов S$ и Us(5)(x) соответственно, где х индуцирует полевой автоморфизм на U$(b). Существование графа Мура валентности к = 57 неизвестно. Ашбахер [4] доказал, что граф Мура с к — 57 не является графом ранга 3. Мы будем называть граф Мура с к = 57 графом Ашбахера. Камерон [5] доказал, что граф Ашбахера не может быть вершинно транзитивным. Цель данной работы — получение информации о строении группы автоморфизмов гипотетического графа Ашбахера. Если X — некоторое множество автоморфизмов графа Г, то через Fix(X) обозначим множество всех вершин из Г, неподвижных относительно любого автоморфизма из X. Т Е О Р Е М А . Пусть Г — граф Ашбахера, G = Aut(F). Предполоэюим, что G содержит инволюцию t. Тогда выполняю7пся

следующие

утверждения: (1) Fix(£) является звездой, содержащей 56 вершищ (2) G — Y(t) х X для некоторых подгрупп Х) Y нечетного порядка, Y инвертируется t и либо \Y\ делит 5 или 57, либо \Y\ делит 21 (в случае \Y\ = 21 имеем |Fix(y)| = 37 для элемента у порядка 7 из У); (3) если X ф I, то Fix(X) — либо звезда, Y — 1, \Х\ = 7; либо пятиугольник,

\Y\ делит 5, \Х\ делит 55; либо граф Петерсена, \Y\ делит

3, \Х\ делит 27; либо граф Хоффмана—Синглтона, \Y\ делит 5 или 7, \Х\ делит 25. Доказательство теоремы разобьем на ряд лемм. В леммах 1—3 при­ ведем общие результаты об автоморфизмах графов Мура. В лемме 4 пока-

Об автоморфизмах графа Ашбахера

127

жем, что множество неподвижных точек любого инволютивного автомор­ физма графа Ашбахера является звездой с 56 вершинами. Это утвержде­ ние принадлежит Хигмену (не опубликовано, доказательство приведено в [5]). Строение группы G, содержащей инволюцию, опишем в леммах 5—9. Некоторые используемые результаты получены Ашбахером [4], тем не менее приведем их доказательства для полноты изложения. Л Е М М А 1. Пусть Г — сильный граф с А = 0, // = 1. Тогда (1) граф Г является графом Мура или звездой; (2) если X С Aut(r) и X имеет неподвижные точки, то Fix(X) таксисе является сильным графом с А = 0, /i = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вез ограничения общности Г содержит путь abc. Пусть [а] = {6, а,-}, [с] = {&, Cj}. Тогда для любой вершины аг найдется единственная смежная с ней вершина Cj. Поэтому валентности вершин а и с совпадают. Если валентности а а с больше 1, то можно найти пути aa,-ci и c\cb. Как показано выше, валентности а и Ъ совпадают. В этом случае Г является графом Мура. Если же валентности а и с равны 1, то Г будет звездой с центром Ъ. Утверждение (1) доказано. Пусть а, Ъ - несмежные вершины из Fix(A'). Тогда [а] П [Ь] состоит из единственной вершины, очевидно, лежащей в Fix(-X"). Поэтому Fix(X) является сильным графом с А = 0, /л = 1. Л Е М М А 2. Пусть Г — граф Мура валентности k ^ 3 ; t — инво­ люция из Aut(r). Тогда (1) если ааг — ребро для некоторой вершины а (Е Г, то Fix(t) явля­ ется звездой, имеющей к — 1 вершину; (2) если Fix(t) — звезда, то |Fix(£)| = к ± 1; (3) если Fix(t) — граф Мура, то Г - граф Хоффмана—Синглтона и Fix(t) — граф Петерсена. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если ааь — ребро для некоторой вершины а Е € Г, то t переводит Д = [а] - {а1} в [а1] - {а}, причем указанные подграфы не пересекаются, так как в Г нет треугольников. Далее, для a,- e Д инво­ люция t переводит Гг = [аг] - {а} в [а\] - {а1}. При этом вершины аг, а\

128

А. А. Махяев, Д. В. Падучих

не являются смежными (иначе Г содержал бы четырехугольник), поэто­ му Г,- П Г* имеет единственную вершину Ъ{. С другой стороны, множества {а, а*}, А, Л* и Г,', Ц

i ^ fc - 1, образуют расщепление Г, следовательно,

Fix(£) = {b{} состоит из к — 1 вершины. Поскольку графов Мура на к — 1 вершине нет. Fix(£) является звездой. Утверждение (1) доказано. Пусть Fix(£) — звезда с центром а. Если t фиксирует каждую вер­ шину из а х , то |Fix(£)| = fc + 1. Если же b Е [а] - Fix(t), то для с Е [Ь] - {а} вершины с и с1 смежные. В противном случае для х 6 [с] П [с1] мы получим четырехугольник abcx. Теперь (2) следует из (1). Если Fix(i) — граф Мура, то F'ix(t) имеет нечетную валентность, так как t действует без неподвижных точек на [а] — Fix(£) для а £ Fix(t). Заметим, что каждая вершина из Г — Fix(t) будет смежной с неко­ торой вершиной из Fix(t). Действительно, если а £ Г — Fix(t), то в силу (1) можно считать, что ааь не является ребром, и единственная вершина из [а] П [а1] принадлежит Fix(£). Если Г — граф Хоффмана—Синглтона, то (3) выполняется. Если же Г — граф Ашбахера, то число вершин из Г - Fix(t), смежных с вершина­ ми из Fix(t), не больше 50(57 - 7). С другой стороны, |Г - Fix(t)| = 3200, получили противоречие с утверждением предыдущего абзаца. Лемма до­ казана. Инволюцию t из группы автоморфизмов графа Мура валентности к назовем хорошей, если |Fix(£)| = к - 1. ЗАМЕЧАНИЕ. Если Г — граф Петерсена, то стабилизатор верши­ ны а — это группа Н = Z2 X 5з, причем инволюция из Z(H)

фиксирует

а1-, а нецентральные инволюции из Н фиксируют по ребру из а1- {и яв­ ляются хорошими). Если же Г — граф Хоффмана—Синглтона, то ста­ билизатор вершины а — это группа Н ~ S7? причем транспозиции из Н являются хорошими, произведение двух независимых транспозиций фик­ сирует граф Петерсена, а произведение трех независимых L

фиксирует ребро из a . Пусть далее Г — граф Ашбахера, G — Aut(r).

транспозиций

Об автоморфизмах графа Ашбахера

129

Л Е М М А 3. Пусть X — подгруппа нечетного простого порядка из G> Тогда выполняется одно из утверждений: (1) Fix(X) пусто и \Х\ делит 5 • 13; (2) |Fix(X)| = 1 и \Х\ делит 3 • 19; (3) Fix(X) - звезда, |Fix(X)| ^2 и\Х\

делит 7;

(4) Fix(X) — пятиугольник и \Х\ делит 5*11; (5) Fix(X) — граф Петерсена и \Х\ делит 3; (6) Fix(X) — граф Хоффмана—Синглтона и \Х\ делит 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что 3250 = 2 - 5 3 • 13. Если X дей­ ствует без неподвижных точек на Г, то \Х\ делит 5 • 13 и выполняется утверждение (1). Если |Fix(X)| = 1, то X действует без неподвижных то­ чек на окрестности вершины из Fix(X) и выполняется утверждение (2). Допустим теперь, что |Fix(X)| ^ 2. По лемме 1, Fix(X) являет­ ся звездой, пятиугольником, графом Петерсена или графом Хоффмана— Синглтона. Если Fix(X) — звезда, лежащая в а 1 , Ь Е [а] П Fix(Jf), то I0J - Fix(X)| = 56 и \Х\ делит 7. Если Fix(X) — граф Мура валентности fc, то для a G Fix(X) группа X действует без неподвижных точек на множестве [а] — Fix(X), состоящем из 57 - к вершин. Подставляя к = 2,3 и 7, получаем соответствующие утверждения леммы. Л Е М М А 4. Каждая инволюция из G является хорошей (в частности, любая инволюция из G является нечетной подстановкой на Г). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Это утверждение получено на шаге 4 доказа­ тельства теоремы 3.13 [5]. Из леммы 3 следует, что n(G) С {2,3,5,7,11,13,19}. В леммах 5—9 предполагается, что t — инволюция, причем Fix(t) С а х . В силу леммы 4, G = 0(G)(t). Л Е М М А 5. Пусть t переставляет вершины Ь,с £ [а]. Тогда (1) ddl — ребро для любой вершины d из [Ь] — {а}; (2) действие t однозначно определяется заданием пары переставля­ емых вершин из [а].

130

А. А, Мгьхнев, Д. В. Падучих ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что d e [Ь] и вершины d, d* не яв­

ляются смежными. Тогда вершина е из [d] П [d'j принадлежит а х , причем либо е — а и bad — треугольник, либо {a, 6,d, е} — четырехугольник. В любом случае получаем противоречие. Зафиксируем переставляемые инволюцией t вершины 6, с из [а]. Пусть х £ Г — [а]. Если х £ [Ь] U [с], то #* — единственная, смежная с х вершина из [b] U [с]. Пусть # будет смежной с некоторой вершиной d из Fix(£). Тогда х окажется смежной с единственной вершиной у 6 [Ь], и ж* это единственная вершина из [d], смежная с у1 из [с]. Л Е М М А 6. Группа G не содержит отличных от t инволюций s, для которых Fix(s) С а1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зафиксируем переставляемые инволюцией t вершины Ь, с из [а]. Пусть s — отличная от t инволюция, причем Fix(s) С С а1-. Без ограничения общности можно считать, что s переставляет вер­ шины c,d из [а]. В этом случае Fix(sf) = а1 — {b,c,d} и можно считать, что st является 3-элементом. Далее, st действует без неподвижных точек на [е] — {а} для е 6 Fix(s£) П [а]. Это противоречит тому, что 3 не делит 56. Л Е М М А 7, Пусть g — неединичный элемент нечетного порядка из C{t). Тогда выполняется одно из утверждений: (1) Fix(g) — пятиугольник и \д\ делит 55; (2) Fix(g) — граф Петерсена и \д\ делит 27; (3) Fix(g) — звезда из а1-, \д\ делит 7 и Nodg)) содержится в С<з(£); (4) Flx(g) — граф Хоффмана—Синглтона и \д\ делит 25. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что переставляемые инволюцией t вершины Ь,с из [а] неподвижны относительно элемента д. По лемме 1, Fix(g) является графом Мура или звездой с центром а. Осталось оценить порядок элемента д. Если Fix(g) — пятиугольник, то |[Ь] —Fix(
содержит-

Об автоморфизмах графа Ашбахера

131

ся в Co(t). Пусть, наконец, Fix(
пятиугольни­

ком, \st\ ~ о и st действует без неподвижных точек на Г; (2) [а] П [Ь] содержит вершину с} лежащую в Fix(t) PiFix(s), причем либо Fix(st) пересекает [с] и \st\ равен 7 или 21, либо Fix(st) = {с} и \st\ делит 57, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что а е [Ь]. Если а € Fix(s), то 6

с ' ^ с*, иначе st действует как инволюция на [а], что невозможно. Теперь {с, с5, с*, с**} является орбитой для (st), снова приходим к противоречию. Значит, а ф а5, Ь ф Ьь и bast — ребро. По лемме 3, a3tasts — ребро, поэтому ast = bt8, и мы получаем пятиугольник {а, 6, b\ bt8, а*}, допустимый от­ носительно (st), Далее, (st) 5 оставляет неподвижной каждую вершину из a 1 U i 1 , и в силу леммы 1, (st) 5 = 1. Если st имеет неподвижные точ­ ки на Г, то по лемме 3, Fix(st) является пятиугольником или графом Хоффмана—Синглтона. Тогда Fix(st) П Fix(t) содержит центр звезды а из Fix(t), получили противоречие. Пусть теперь вершины a, b не являются смежными. Тогда [а] П [Ь] содержит вершину с. Предположим сначала, что с ф с1. По лемме 5, bbl является ребром. Повторив рассуждения из предыдущего абзаца для ин­ волюций s и s£, получим «^-допустимый пятиугольник {Ь, Ь*, Ье*, tfstst ._ ™ btsts,btst},

причем вершина btsts является неподвижным относительно

t центром звезды Fix(stst8).

Поэтому а — buts, и выполняется утвержде­

ние (1). Предположим, что с G Fix(s)flFix(t). Тогда Fix(t)П[с] — {a}, Fix(s)fl П[с] = {Ь}, поэтому t оставляет инвариантной единственную орбиту под действием st на [с] — Fix(st) (содержащую а) и переставляет остальные. Если Fix(y) пересекает [с] для некоторого неединичного элемента у £ (st),, то \у\ = 7 и |Fix(y)| = 58-7-2тг + 1 для некоторого п ^ 3. В этом случае \st\

132

А. А. Махнев, Д. В.

Падучих

равен 7 или 21. Если же Fix(y) не пересекает [с] для любого неединичного элемента у £ (st), то \st\ делит 57. Л Е М М А 9. Выполняются (1) если t инвертирует G, то X — циклическая (2) если силовская

следующие

абелеву подгруппу

X нечетного

порядка

из

группа; р~подгруппа

Р из G является

некоторого р £ ft(G), то [P,t] не пересекает (3) инволюция

условия:

t инвертирует

t-допустимой

для

Cp{t)\

[£, О ((?)].

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Допустим, что (1) не выполняется. По лемме 9 можно считать, что X -~ элементарная группа порядка р 2 , где р = 3, 5,7 или 19. Если р — 3 или 19, то F i x ( A ) = {с}, и некоторый элемент поряд­ ка р из X фиксирует каждую вершину из с1-. Получаем противоречие с леммой 3. Если р = 7, х — неединичный элемент из X , то Fix(#) С е х , и Fix (А") фиксирует некоторое ребро из с-1. Это снова дает противоречие с леммой 3. Пусть теперь р ~ 5, группа X порождается элементами ж, у, a t пе­ реставляет вершины 6, с из [а]. В силу леммы 9 можно считать, что х и у действуют на пятиугольниках, содержащих {а^Ь^с}, переводя к а ж д у ю вершину в смежную с ней вершину пятиугольника. Без ограничения общ­ ности, Ьх = а , а х = с,су

— а,ау

= Ь. Тогда Fix(xy)

содержит ребро аЬ.

Получили противоречие с леммой 8, тем самым (1) доказано. Пусть [Р, t] пересекает Ср(£), z -~ неединичный элемент из центра Р. Если t инвертирует .г, то в силу (1), [Р, t] — циклическая группа, не пересекающая Cp{t).

Значит, t централизует Z(P),

{a}b^c}

С Fix(z), и по

лемме 1, Fix(^) является звездой или графом Мура, причем силовская рподгруппа из A\it(Fix(z))

не является циклической.

Если Fix (г) -— звезда с центром а, то Р фиксирует а, и по лемме 6, Р централизует £, приходим к противоречию. Таким образом, Fix(z) является графом Хоффмана—Синглтона и р — 5. Пусть Ро состоит из элементов группы [Р,£], оставляющих непо­ д в и ж н о й каждую вершину из Fix(z). Тогда |Ро| делит 25, и [P,t]/Po —

Об автоморфизмах

графа

133

Ашбахера

элементарная группа порядка 25, инвертируемая t. Пусть х, у — элементы из Р , инвертируемые t и леж:ащие в разных смежных классах по Ро- Тогда [Po(x),t] = (ж), [Р 0 (г/),£] = (у), поэтому [P,t] — экстраспециальная группа порядка 5 3 . Повторив рассуждения из второго абзаца доказательства этой лем­ мы, получим, что х и у действуют на пятиугольниках из Fix(2r), содержа­ щих {a, ft, с}, переводя каждую вершину в смежную с ней вершину пяти­ угольника. Без ограничения общности, Ьх = а, а00 = с, су — а,ау = Ъ. Тогда Fix(xy)

содержит ребро ab. Получили противоречие с леммой 8, тем самым

(2) доказано. Очевидно, что (3) следует из (2). Лемма доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО = Co(G){t)-

теоремы. Положим Y

=

[0(G),t],

X

=

По лемме 9, У — циклическая группа, инвертируемая t. Ес­

ли к а ж д ы й неединичный элемент из Y действует без неподвижных точек на Г, то \Y\ делит 5. Если Y содержит неединичный элемент у, имеющий неподвижные точки на Г, то |Fix(y)| = 1 или Fix(y) — звезда, имеющая 58 —7-(2п+1) вершин. Теперь либо \Y\ делит 57, либо |у| = 7, Fix(y) — звез­ д а с центром с и \Y\ делит 21 (в случае \Y\ = 21 имеем |Fix(y)| = 37, так как подгруппа порядка 3 из Y действует без неподвижных точек на [с]). Допустим, что 1 ^ 1 . Если Fix(A") —- звезда, то по лемме 7, \Х\ = 7 и Y — 1. Если ж е F i x ( A ) — г р а ф Мура, то Fix(-Sf) — либо пятиугольник, \Y\ делит 5, \Х\ делит 55; либо г р а ф Петерсена, \Y\ делит 3, \Х\ делит 27; либо г р а ф Хоффмана—Синглтона, \Y\ делит 5 или 7, \Х\ делит 25. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА 1. A. J. Hoffman, R. R. Singleton, On Moore graphs with diameters 2 and 3, IBM J. Res. Dev., 4 (1960), 497-504. 2. R. R. Singleton, There is no irregular Moore graph, Am. Math. Mon., 75 (1968), 42-43. 3. R.M.Damerell, 227-236.

On Moore graphs, Math. Proc. Camb. Philos, Soc, 74 (1973),

134

А. А. Махяев, Д . В.

Падучих

4. Af. Aschbacher, The nonexistence of rank three permutation groups of degree 3250 and subdegree 57, J. Algebra, 19, N 3 (1971), 538-540. 5. P. Cameron,

Permutation Groups (bond. Math. Soc. Stud. Texts, 45),

Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1999.

Адреса авторов: М А Х Н Е В Александр Алексеевич, П А Д У Ч И Х Дмитрий Викторович, РОССИЯ, 620219, г. Екатеринбург, ул. С о ф ь и Ковалевской, 16, Институт математики и механики УрО РАН. e-mail: [email protected], [email protected]

Поступило 25 июня 1999 г. Окончательный вариант 15 марта 2000 г.