Математические основы теории симметрии

П.И.Голод, А.У.Климык МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИММЕТРИИ В книге рассмотрены методы теории групп и алгебр Ли, конечных и дискретных групп, а также других алгебраических структур, составляющих современный математический аппарат теории симметрии в физике, и широко используемый в квантовой теории поля, теории элементарных частиц и ядра, теории твердого тела, квантовой химии. Излагаются основы теории аффинных алгебр и их представлений, теория представлений квантовых групп и алгебр. Для научных работников в области теоретической и математической физики, аспирантов и студентов физических и математических факультетов университетов. Содержание Предисловие 5 Глава 1. Основные сведения 9 § 1. Элементарные понятия теории групп 9 § 2. Расширения групп 25 § 3. Симметрическая и знакопеременная группы 36 § 4. Топологические группы 50 § 5. Группы пространственных симметрии 63 § 6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли 90 Глава 2. Группы Ли 113 § 1. Элементы анализа на многообразиях 113 § 2. Группы Ли. Матричные группы 139 § 3. Локальное исследование групп Ли 149 § 4. Переход от алгебры Ли к группе Ли 170 § 5. Дифференциальная геометрия на группах Ли 183 Глава 3. Представления групп и алгебр 198 § 1. Основные понятия теории представлений 198 § 2. Представления групп Ли. Общие свойства 222 § 3. Представления компактных групп 233 § 4. Представления конечных групп 247 § 5. Представления группы SU(2) 271 § 6. Индуцированные представления 299 § 7. Разрешимые и нильпотентные группы 338 Глава 4. Полупростые и аффинные алгебры Ли 346 § 1. Полу простые группы и алгебры Ли 346 § 2. Классификация полупростых алгебр Ли 366 § 3. Вещественные формы 376 § 4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро 392 § 5. Представления полупростых алгебр Ли 415 § 6. Представления аффинных алгебр Ли 425 Глава 5. Квантовые группы и алгебры 435 §1. Алгебры Хопфа 435

§2. Квантовая алгебра Uq(sl2) §3. q-осцилляторная алгебра и алгебра Uq(sl2) §4. Алгебра функций на квантовой группе SLq(2) §5. Представления квантовой группы SL q(2) §6. Анализ на квантовой группе SUq(2) §7. Переход от SLq(2) к Uq(sl2) §8. Квантовые сферы и копредставления на них Библиография Предметный указатель Предметный указатель — нильпотентная 343 q-многочлены Якоби большие 514 — петель 393 — малые 491 — полупростая 353 автоморфизм алгебры Ли 99 — простая 353 — группы 18 — разрешимая 341 алгебра 90 — редуктивная 352 — q-осциляторная 465 аналитическая структура 115 — Вирасоро 401 антикоммутатор 94 — Грассмана 106 антипод 443 — Клиффорда 97 ассоциативность 9 — Паули 98 атлас максимальный 115 — Хопфа 443 база накрытия 59 — ассоциативная 90, 440 — расслоения 61 — вещественная 90 базис Гельфанда - Цетлина 423 — внешняя 105, 482 — Картана - Вейля 358 — градуированная 102 — Пуанкаре-Биркгофа-Витта 107 — групповая 245 — симплектический 144 — квантовая 451 биалгебра 442 — кватернионов 92 биидеал 442 — коммутативная 90 вектор аналитический 227 — комплексная 90 — весовой 418, 463 — полупростая 349 — касательный 119, 121 — простая 91, 350 — направляющий 161 — с делением 92 — параллельный 185 — с единицей 90 — старшего веса 418 — тензорная 104 — циклический 210 — универсальная обертывающая 106 вес 426 — функций 481 — доминантный 419 алгебра Ли 99 — представления 418 — аффинная 394 — старший 418 — вещественная 396 — целочисленный 419 — группы Ли 157, 166 внешнее умножение 126 — коммутативная 99 внешняя p-форма 105 — линейная 100

449 465 478 485 494 504 508 515 523

генератор 131 геодезическая 186 гладкая структура 115 гомеоморфизм 52 гомоморфизм алгебр 91 — алгебр Хопфа 443 — биалгебраический 442 — групп 18 — коалгебр 441 градуирование 103 границы дискретных серий 330 группа 9 — Вейля 360, 361, 414 — Мебиуса 78 — Пуанкаре 57, 86, 337 — абелева 10 — аффинная 11 — гладких преобразований 130 — движений 12 — диэдра 14 — знакопеременная 41 — изометрий 11 — когомологий 32 — коммутативная 10 — конформная 86 — локальная 180 — непрерывная 52 — нильпотентная 35 — односвязная 58 — параболическая 332 — первая гомотопическая 56, 57 — полупростая 35 — преобразований 10 — — подобия 12, 86 — простая 35 — псевдоевклидова 72 — разрешимая 35 — с мультипликаторами 10 — свободная 17 — — коммутативная 17 — симметрии 10 — симметрическая 37 — симплектическая 144 — — вещественная линейная 144

— спинорная 375 — токов 403 — топологическая 52 — унимодулярная 197 — унитарная 146 — фундаментальная 56, 57 — циклическая 13 — экспоненциальная 226 группа Вейля 384 группа Ли 139 — локальная 180 — нильпотентная 343 — полупростая 354 — простая 354 — экспоненциальная 171 диаграмма Юнга 267 — — стандартная 267 — весовая 420 диффеоморфизм 118 дифференцирование алгебры 351 — внутреннее 351 единица алгебры 90 — группы 9 — кватернионная 92 замыкание 51 звездное множество 138 идеал 91 — Хопфа 443 — двусторонний 91 — левый 91 — правый 91 идемпотент 265 — примитивный 265 изоморфизм алгебр Ли 99 — групп 18 — топологических групп 54 инвариантность левая 507 — правая 507 индекс группы 21 — сплетения 210 интеграл инвариантный 494, 511 — на алгебре Хопфа 494 камера Вейля 362 квадрика Клейна 88

класс когомологический 137 — смежный левый 20 — — правый 20 — сопряженных элементов 24 коалгебра 440 — коммутативная 440 коассоциативность 440 когерентное состояние 475 коединица 440 коидеал 441 кольцо когомологий де Рама 137 коммутатор 99, 124 комодуль левый 447 — правый 447 конус Титса 433 копредставление алгебры Хопфа левое 447 — — правое 446 — матричное 448 — унитарное 499 — эквивалентное 448, 493 корень алгебры Ли 356 — мнимый 396 — ограниченный 383 — отрицательный 359, 396 — положительный 359, 396 — простой 362, 384 коумножение 440 коцикл 32 коэффициенты Клебша - Гордана 287 — Рака 294 — — квантовой алгебры 460 — аффинной связности 184 — пересвязывания 294 кратность веса 420, 426 — накрытия 59 — органиченного корня 383 — представления 242 кривая гладкая 119 — интегральная 129 лемма Пуанкаре 138 — Шура 212 локальная карта 114 — векторного расслоения 63

— гладко согласованная 114 массивная подгруппа 243 матрица Картана 365, 398, 409 — Якоби 118 — унитарная 68 мера Хаара 196 метрика псевдориманова 189 — риманова 189 метрический тензор 160 многообразие диффеоморфное 118 — ориентированное 116 — псевдориманово 189 — риманово 189 — с границей 116 — топологическое 114 модуль Верма 428 накрытие 58 — универсальное 60 неприводимость операторная 205 — пространственная 205 норма 199 нормализатор 23 нормальный делитель 15 нормальный ряд 35 область Гординга 224 образ гомоморфизма 18 окрестность 50 оператор Казимира 231 — Лапласа 233, 284 — изометрический 212 — инвариантный 210 — инфинитезимальный 131, 225 — порождающий 131 — представления 223 — свертки 128 — сплетающий 210 орбита 22 ориентация 116 орисфера 77 открытое множество 50 отображение аналитическое 117, 118 — голоморфное 116 — дифференцируемое 117, 118 — координатное 114

— кососимметричное 105 — накрывающее 58 — экспоненциальное 170, 187 параллельный перенос 185 перестановка 36 — циклическая 37 подалгебра 90 — Картана 354 подгруппа 9 — борелевская 82 — инвариантная 15 — однопараметрическая 164 подкоалгебра 441 подкомодуль 447 подкопредставление 447 подпредставление 204 подпространство весовое 426 — корневое 356, 383 подстановка 36 поле векторное 123 — — Ф-связное 132 — — левоинвариантное 160, 161 — — правоинвариеантное 161 — тензорное кривизны 187 — — кручения 187 порядок группы 10 поток глобальный 131 — локальный 130 — максимальный 130 представление 200 — Фока 471, 473 — алгебры 203, 467 — алгебры Хопфа 446 — антиголоморфное 222 — бесконечномерное 201 — векторное 201 — весовое 426 — вещественно-аналитическое 416 — вполне приводимое 205 — голоморфное 222 — квазирегулярное 301 — квантовой группы 488 — комплексное 415 — конечномерное 201

— контраградиентное 208 — линейное 198, 200 — матричное 204 — неприводимое 204 — неразложимое 205 — полущиклическое 463, 471 — приводидмое 204 — присоединенное алгебры Ли 159 — — группы Ли 156 — со старшим весом 427 — точное 201 — унитарное 206 — фундаментальное 419 — циклическое 471 — эквивалентное 212 преобразование аффинное 185 — конформное 12 — несобственное 65 — нильпотентное 340 — ортогональное 11 — полупростое 338 — симплектическое 144 преобразование Фурье алгебры Хопфа 503 — на квантовой группе 503 произведение косое 63 — полупрямое 28 — скалярное 199 — тензорное 219-221 производная алгебры 341 — ковариантная 184 производная Ли в пространстве kформ 134 — в пространстве векторных полей 133 пространство Гординга 224 — банахово 199 — вполне несвязное 55 — гильбертово 199 — дискретное 51 — дуальное 441 — евклидово 11 — касательное 119, 122 — линейно связное 55

— линейное симплектическое 143 — локально евклидово 114 — накрывающее 58 — проективное 24 — псевдоевклидово 72 — с аффинной связностью 183 — связное 54 — топологическое 50 — унитарное 146 — хаусдорфово 51 — эрмитово 146 псевдориманова структура 189 путь гомотопный 56 — непрерывный 55 — эквивалентный 56 радикал группы 36 разложение Ивасавы 390 — Картана 378 ранг алгебры Ли 355 — — вещественный 382 расслоение 61 — Стинрода 63 — векторное 62 — главное 310 — касательное 123 — кокасательное 123 — линейное 62 — локально-тривиальное 61 — со структурой группы 63 — тривиальное 62 расширение группы 25 — разложимое 32 — центральное 32 ряд Кемпбела-Хаусдорфа 176 самопредставление 201 связная компонента 55 связность аффинная 183 — — инвариантная 185 — — симметричная 189 — линейная 55 — псевдориманова 191 — риманова 191 серия представления дискретная 300, 326, 330

— дополнительная 325, 329 — основная неунитарная 316 — — унитарная 321, 328 сечение расслоения 124 симметризатор Юнга 268 симметрии Редже 291, 296 сингулярный k-куб 136 слой над точкой 61 — расслоения 62 согласованность аналитическая 115 — класса Сω 115 спиральность 338 стабилизатор 23 структурные константы алгебры 93 — алгебры Ли 99 — группы Ли 151 супералгебра Ли 109 схема Дынкина 367 — Юнга 267 таблица характеров 259 теорема Бернсайда 215 — Кэли 39 — Лагранжа 21 — Ли 341 — Петера-Вейля 237 — Шура 29 — Эйлера 66 — Энгеля 344 — взаимности Фробениуса 306 теорема Эйлера 44 тождество Рака 297 — Якоби 151 траектория 129 транзитивное действие 22 транстпозиция 38 углы Эйлера 65 универсальная R-матрица 453 унитаризация представления 207 уравнение Янга-Бакстера 454 фактор нормального ряда 35 фактор-алгебра 91 фактор-группа 21, 53 форма Киллинга 159 — вещественная алгебры 452

— — комплексной алгебры Ли 102 — внешняя 105 — дифференциальная замкнутая 137 — — линейная 125 — — точная 137 — жорданова 339 — линейная доминантная 429 — — целочисленная 429 формула Кемпбелла - Хаусдорфа 173 — знаменателя 432 функция Вигнера 281 — разбиения Костанта 413 — сферическая 282 — — зональная 244 — — на квантовой сфере 513 — — присоединенная 244 — центральная 241

характер представления 218, 431 характеристика Эйлера 44 центр 23 централизатор подгруппы 23 — элемента 24 цикл 37 элемент Казимира 451 — алгебры нечетный 95 — — нильпотентный 95 — — четный 95 — группово-подобный 442 — обратный 9 — порождающий 15 — примитивный 442 — сопряженный 19 ядро гомоморфизма 18 якобиан 118