Небесная механика. Общий курс

Глава 2. Методы интегрирования 2.1. Теорема Якоби Рассмотрим один случай, который показывает, что введение функции преобразования S1 (Q , q ) может оказаться практически полезным. Предположим, что гамильтониан F уравнений в новых переменных dQ ∂ F = , dt ∂P

∂F dP =− dt ∂Q

(2.1.1)

зависит только от n-мерного вектора Q : F ( P , Q ) = K (Q ) .

(2.1.2)

В этом случае уравнение (2.1.1) сразу интегрируется Q = Q (0),

P=−

dK dQ

⋅ t + P (0).

(2.1.3)

Q ( 0)

Здесь через Q(0) и P(0) обозначены начальные условия. Будем полагать далее, что условие

⎛ ∂ 2 S1 (Q , q ) ⎞ ⎟⎟ ≠ 0 det⎜⎜ ⎝ ∂ qi ∂ Qi ⎠

(2.1.4)

выполняется для всей рассматриваемой области изменения переменных p и q . Тогда из уравнения (см.(1.5.6.)) ∂ S1 (Q , q ) P =− (2.1.5) ∂Q можно найти q = q ( P , Q ) = q ( P (0), Q (0), t ) , (2.1.6) а соотношением ∂ S1 (Q , q ) (2.1.7) p=− ∂q определяются старые обобщенные импульсы p = p ( P (0), Q (0), t ) .

(2.1.8)

Таким образом, если найдена функция S1 (Q , q ) такая, что для новых переменных выполняется условие (2.1.2), то проблема интегрирования исходной канонической системы будет решена. Сформулируем теперь условия, позволяющие определить S1 (Q , q ) . Поскольку функция F (по исходному предположению) явно от времени не зависит, то она является интегралом уравнений Гамильтона (1.1.1) и (2.1.1), и можно записать F ( p, q ) = F ( P , Q ) (2.1.9)

Глава 2. Методы интегрирования

41

или, с учетом (2.1.2), F ( p, q ) = K (Q ).

(2.1.10)

Подставляя в (2.1.10) соотношение (2.1.7), окончательно получим

⎛ ∂ S (Q , q ) ⎞ F ⎜⎜ 1 , q ⎟⎟ = K (Q ). ∂q ⎠ ⎝

(2.1.11)

Но в этом уравнении вектор Q = Q (0) является параметром, так что данное уравнение, определяющее функцию S1 , можно записать в виде

⎛∂ S ⎞ F ⎜⎜ 1 , q ⎟⎟ = c, ⎝ ∂q ⎠

(2.1.12)

где c — постоянная величина. Данное уравнение является частным случаем известного уравнения ГамильтонаЯкоби, так что все рассуждения можно сформулировать в виде теоремы Якоби. Если найдено решение уравнения Гамильтона-Якоби

⎛∂ S ⎞ F ⎜⎜ 1 , q ⎟⎟ = const, ⎝ ∂q ⎠

(2.1.13)

зависящее от n параметров Qi(0) таковых, что справедливо соотношение (2.1.4), то полное решение (общий интеграл) системы канонических уравнений dq ∂ F = , dt ∂ p

∂F dp =− dt ∂q

(2.1.14)

определится соотношениями p=

∂ S1 (Q , q ) ∂ S (Q , q ) , P =− 1 . ∂q ∂Q

(2.1.15)

Заметим, что решение уравнения (2.1.13)

S1 = S1 (q1 ,K, qn , Q1 ,K, Qn ), обладающее указанным свойством (то есть независимостью всех параметров Qi), носит название полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. И задача интегрирования канонической системы (2.1.14) сводится к проблеме нахождения полного интеграла уравнения (2.1.13). Замечание. В случае функций преобразований, введенных в разделе 1.6, формулировка теоремы Якоби несколько меняется. Так, для функций S3 и S4 уравнение Гамильтона-Якоби (2.1.13) имеет вид

⎛ ∂S ⎞ F ⎜⎜ − , p ⎟⎟ = const, ⎝ ∂p ⎠

(2.1.16)

и полное решение системы канонических уравнений (2.1.14) дается либо соотношениями

42

Часть I. Методы небесной механики

q =−

∂ S3 ∂S , P =− 3, ∂p ∂Q

(2.1.17)

∂ S4 ∂ S4 , Q= . ∂p ∂P

(2.1.18)

либо q =−

В первом случае независимыми постоянными являются величины Qi, а во втором — Pi (i = 1, n) . В случае функции S2 уравнение Гамильтона-Якоби сохраняет вид (2.1.13), но полное решение определяется уравнениями p=

∂ S2 ∂ S2 , Q= . ∂q ∂P

(2.1.19)

Здесь все Pi — независимые постоянные, i = 1, n. Рассмотрим теперь случай неавтономных систем. Полагая

∂S ∂S = p, =v ∂q ∂u

(2.1.20)

и приравнивая функцию F′ (см. раздел 1.8) к постоянной, находим

⎛ ∂ S, ⎞ ∂S F ⎜⎜ , q , u ⎟⎟ + = const. ⎝∂q ⎠ ∂u

(2.1.21)

Заменяя u на t, окончательно получим

⎛ ∂ S, ⎞ ∂S F ⎜⎜ , q , t ⎟⎟ + = const. ⎝∂q ⎠ ∂t

(2.1.22)

2.2. Случай разделения переменных В некоторых особых случаях нахождение полного интеграла можно свести к квадратурам путем так называемого метода разделения переменных. Его сущность заключается в следующем. Пусть какая-либо координата, скажем, q1 и соответствующая ей производная ∂ S ∂ q1 входят в уравнение Гамильтона-Якоби в виде некоторой комбинации ϕ (q1 , ∂ S ∂ q1 ), не содержащей никаких других координат и производных, то есть уравнение (2.1.13) имеет вид: ⎛ ∂S ⎛ ∂S ∂ S ⎞ ⎞⎟ ⎟⎟ = c. F ⎜⎜ ,K, , q 2 , K , q n , ϕ ⎜⎜ q1 , ⎟ q q ∂ ∂ q ∂ 2 1 n ⎠⎠ ⎝ ⎝ Положим в этом случае (1) S = S (q1 ) + S ′ (q 2 , q3 ,K, q n ).

Подстановка этого выражения в (2.2.1) дает

(2.2.1)

(2.2.2)

Глава 2. Методы интегрирования

43

⎛ ∂ S′ ∂ S′ ⎛ ∂ S (1) ⎞ ⎞ ∂ S′ ⎟ ⎟ = c. (2.2.3) F ⎜⎜ , ,K, , q 2 , K , q n , ϕ ⎜⎜ q1 , ∂ qn ∂ q1 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ ∂ q 2 ∂ q3 Предположим, что функция S найдена, тогда уравнение (2.2.3) должно выполняться тождественно при любом q1. Но при произвольном изменении q1 может измениться лишь функция ϕ. Поэтому тождественность равенства (2.2.3) требует, чтобы функция ϕ была постоянной. Следовательно, уравнение (2.2.3) распадается на два: ⎛ dS (1) ⎞ ϕ ⎜ q1 , (2.2.4) ⎟ = Q1 , dq1 ⎠ ⎝

⎛ ∂ S′ ⎞ ∂ S′ F ⎜⎜ , K, , q 2 ,K, q n , Q1 ⎟⎟ = c, (2.2.5) ∂ qn ⎝ ∂ q2 ⎠ где Q1 — произвольная постоянная. Уравнение (2.2.4) есть так называемое обыкновенное дифференциальное уравнение, из которого функция S(1) может быть определена квадратурой S (1) = ∫ ψ (1) ( q1 , Q1 ) dq1 ,

(2.2.6)

после чего мы приходим к уравнению в частных производных (2.2.5), но с уже меньшим по сравнению с исходным уравнением (2.2.1) числом переменных. Положим, что таким способом можно отделить все переменные, то есть решение уравнения (2.2.1) имеет вид n

S = ∑ S ( k ) (q k , Q1 ,K, Qn ),

(2.2.7)

S ( k ) = ∫ψ ( k ) (q k , Q1 , K , Qn )dq k ,

(2.2.8)

k =1

где а Q1 ,K, Qn — постоянные. В этом случае согласно теореме Якоби решение исходной канонической системы, отвечающей уравнениям (2.1.14), определяется формулами dS ( k ) (q k , Q1 , K , Qn ) ∂S , Pk = − (k = 1, n). (2.2.9) ∂ Qk dq k Отметим, что случай циклической переменной, то есть переменной, не входящей явно в функцию F, следует из рассмотренного случая как частный. Действительно, пусть F не зависит явно от q1 и S представима в виде (2.2.2). Тогда из (2.2.4) заключаем, что dS (1) = Q1 (2.2.10) dq1 и, следовательно, S = Q1q1 + S ′(q2 , q3 ,K, qn ). (2.2.11) Из выражения (2.2.9) получаем известный результат dS (1) p1 = = Q1 = const . (2.2.12) dq1 pk =

44

Часть I. Методы небесной механики

2.3. Интегрирование уравнений задачи одного неподвижного центра Рассмотрим уравнения движения точки P с массой m относительно точки P0 массы M. Начало сферической системы координат совместим с P0. Тогда уравнения движения точки P, как следует из раздела 1.6, имеют вид dq ∂ F = , dt ∂ p

∂F dp =− , dt ∂q

(2.3.1)

где q и p — трехмерные векторы, F = T − U, T=

[

]

1 2 −2 p1 + r −2 p22 + (r cosϕ ) p32 , 2m U=

χ r

(2.3.2) (2.3.3)

,

χ = fmM, q1 = r, q2 = ϕ, q3 = λ, f — гравитационная постоянная. Для решения этих уравнений обратимся к методу Гамильтона-Якоби. Воспользуемся производящей функцией S2 ( P , q ) , которую в дальнейшем будем обозначать просто S. Согласно разделу 2.1, уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид (2.1.13)

⎛ ∂S⎞ ⎟⎟ = K , F ⎜⎜ q , ⎝ ∂q⎠

(2.3.4)

где K — постоянная, и если будет найдено его решение, то решение исходной системы определится выражениями ∂S ∂S (2.3.5) p= , Q = . ∂q ∂P В дальнейшем, следуя астрономической традиции, будем употреблять обозначения P1 = L, P2 = G, P3 = H , (2.3.6) Q1 = l , Q2 = g , Q3 = h, при этом, согласно (2.1.19), L, G, H являются независимыми постоянными. Уравнение Гамильтона-Якоби (2.3.4) можно представить в виде

⎛ ∂S ⎞ ⎛ ∂S ⎞ 1 ⎡⎛ ∂ S ⎞ ⎟ ⎟⎟ + (q1 cos(q 2 ))− 2 ⎜⎜ ⎟⎟ + q1− 2 ⎜⎜ ⎢⎜⎜ 2m ⎢⎝ ∂ q1 ⎠ ∂ q2 ⎠ ∂ q3 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎣ 2

2

2

⎤ χ ⎥ − = K. ⎥⎦ q1

(2.3.7)

Ограничимся рассмотрением случая K < 0. Тогда из (2.3.6) сразу следует, что r = q1 < ∞. Вводя постоянную L, положим mχ 2 2L2 и будем пытаться решить уравнение (2.3.7) методом разделения переменных. Для этого, учитывая, что переменная λ явно в уравнение не входит, введем постоянную H и представим S в виде суммы K =−

Глава 2. Методы интегрирования

45

S = S1 ( r ) + S2 (ϕ ) + λH + const .

(2.3.8)

Подставляя S в (2.3.7), получим 2 ⎡ 1 ⎧⎪⎛ ∂ S1 ⎞ −2 ⎛ ∂ S 2 ⎟ ⎜ r + ⎢⎜⎜ ⎨⎜ 2m ⎪⎝ ∂ r ⎟⎠ ⎢⎣⎝ ∂ϕ ⎩

2 ⎤⎫ χ ⎞ mχ 2 −2 ⎪ 2 ⎟⎟ + H (cos ϕ ) ⎥ ⎬ − = − 2 . 2L ⎥⎦ ⎪⎭ r ⎠

(2.3.9)

Но выражение в квадратных скобках зависит только от ϕ, поэтому мы вправе положить ⎛ ∂ S2 ⎜⎜ ⎝ ∂ϕ

2

⎞ ⎟⎟ + H 2 (cos ϕ )− 2 = G 2 , ⎠

(2.3.10)

где G — постоянная. Тогда для S1 получается уравнение 2 ⎤ χ mχ 2 1 ⎡⎛ ∂ S1 ⎞ ⎟⎟ + r − 2 G 2 ⎥ − + ⎢⎜⎜ = 0. 2m ⎢⎝ ∂ r ⎠ r 2 L2 ⎥ ⎣ ⎦

(2.3.11)

Уравнения (2.3.10) и (2.3.11) легко интегрируются, и в результате находим

(

S = ± ∫ 2mχr −1 − G 2 r −2 − m 2 χ 2 L−2

(

± ∫ G 2 − H 2 (cosϕ ) −2

)

12

)

12

dr ±

dϕ + λH + Ψ ( L, G , H ),

(2.3.12)

где Ψ — произвольная функция указанных аргументов. Подставляя S в первую группу формул (2.3.5), получим ⎛ 2 mχ G 2 m 2 χ 2 ⎞ − 2 − p1 = ± ⎜ ⎟ r L2 ⎠ ⎝ r

12

12

⎛ 2 H2 ⎞ p2 = ± ⎜ G − ⎟ , cos2 ϕ ⎠ ⎝

,

p3 = H ,

(2.3.13)

откуда следует, что действительным значениям p1 соответствуют значения r из интервала r1 ≤ r ≤ r2 , где

r1 =

(

)

(

)

L2 L2 1 − 1 − G 2 L−2 , r2 = 1 + 1 − G 2 L−2 . mχ mχ

(2.3.14)

По астрономической традиции величины r1 и r2 обычно представляют в виде где a > 0, 0 ≤ e ≤ 1, так что

r1 = a(1 − e),

r2 = a(1 + e),

(2.3.15)

L = mχa, G = mχa(1 − e ).

(2.3.16)

2

2

2

Поскольку, согласно (2.3.5), (2.3.11), dp1 G 2 − mχr = , dr r 3 p1

(2.3.17)

то несложно установить, что движение изображающей точки на фазовой плоскости (p1,q1) происходит по замкнутой кривой, симметричной относительно оси q1 = r и пересекающей ее под прямым углом (рис. 2).

46

Часть I. Методы небесной механики

p

1

0

r1

r

r2

q1

Рис. 2. Кроме того, из первого уравнения (2.3.1) следует, что dq1 / dt = p1 / m, поэтому в верхней полуплоскости точка на фазовой плоскости движется от r1 к r2, а в нижней — наоборот. В точке r = a (1 − e 2 ) величина p1 достигает своего максимального значения. Рассмотрим теперь выражение для p2 (2.3.10). Действительным движениям отвечают значения ϕ, для которых H2 cos2 ϕ ≥ 2 . (2.3.18) G В астрономии принято использовать угловую постоянную i (0 ≤ i ≤ π), связанную с H и G соотношением H 2 = G 2 cos2 i. (2.3.19) Рассмотрим теперь первое уравнение из второй группы преобразований (2.3.5). Согласно выражению для S (2.3.12), имеем

l=

∂ S1 + Ψ1 , ∂L

(2.3.20)

где Ψ1 = ∂Ψ/∂L, или, полагая

R=−

m2 χ 2 2 r + 2mχr − G 2 , 2 L

(2.3.21)

получим

m2 χ 2 r ⋅ dr + Ψ1 . (2.3.22) L3 R1/ 2 Для вычисления интеграла введем угол E, называемый эксцентрической аномалией и определяемый выражением l = ±∫

r = a(1 − e⋅cosE).

(2.3.23)

Нетрудно видеть, что R является полиномом второй степени относительно cosE и, кроме того, обращается в нуль (имеет нуль 2-го порядка) при E, кратных π, то есть он пропорционален sin2E, а именно: R = Q⋅sin2E. Подставляя выражения (2.3.23) и (2.3.22) в (2.3.21), получим выражение для коэффициента пропорциональности Q: Q=

(

)

1 − m 2 χ 2 a 2 (1 − e ⋅ cos E ) 2 + 2mχL2 a (1 − e ⋅ cos E ) − L2 G 2 . 2 L sin E 2

(2.3.24)

Глава 2. Методы интегрирования

47

Теперь полагая, что E может принимать и мнимые значения, перейдем к пределу E→∞ . Тогда, учитывая, что cos2 E lim = −1, E →∞ sin 2 E находим m2 χ 2 a 2 e 2 Q= . L2 Таким образом, согласно (2.3.13), (2.3.19), −i ≤ ϕ ≤ i, и на фазовой плоскости (p2,q2) движение происходит по симметричной относительно обеих осей кривой, изображенной на рис. 3, где p2 = G sin i.

p2 p2 -i

i

q2

Рис. 3. Наконец, движение на плоскости (p3,q3) происходит по прямой, параллельной оси q3 (см. (2.3.13)). Представим теперь элементы L, G, H через постоянные a, e, i. Из (2.3.16) и (2.3.19) находим

(

L = ( mχ ) 1/ 2 a 1/ 2 , G = L 1 − e 2

)

1/ 2

,

H = G cosi.

(2.3.25)

Здесь для удобства дальнейших выкладок выбран знак плюс, хотя возможен выбор и другой комбинации знаков. Сопряженные переменные определяются, согласно (2.3.5), (2.3.6), выражениями ∂S ∂S ∂S (2.3.26) l= , g= , h= . ∂L ∂G ∂H Для нахождения первой сопряженной переменной воспользуемся соотношением (2.3.22). В силу (2.3.21)-(2.3.25) 2

⎛ mχae ⎞ 2 2 2 2 R=⎜ ⎟ sin E = e L sin E ⎝ L ⎠

(2.3.27)

и

l = ±∫

m2 χ 2 r ⋅ dr + Ψ1 . L4 e sin E

Учитывая, что dr = aesinE⋅dE , имеем

l = ± ∫ (1 − e cos E ) dE + Ψ1 = ± ( E − e sin E ) + Ψ1 .

(2.3.28)

48

Часть I. Методы небесной механики

Выбирая по традиции знак плюс и считая l = 0 при E = 0, получаем уравнение Кеплера

l = E − esinE,

(2.3.29)

позволяющее находить E, а следовательно, и r (при известных величинах a, e) по известному значению l. Обратимся теперь к третьему уравнению из группы (2.3.26). Представляя его подробно, с учетом (2.3.12) будем иметь h = ±∫

где Ψ2 =

H ⋅ dϕ

(

cos2 ϕ G 2 − H 2 cos −2 ϕ

)

1/ 2

+ λ + Ψ2 ,

(2.3.30)

∂Ψ , или, с учетом (2.3.19), ∂H h = ± cos i ∫

(

dϕ

cos ϕ 1 − cos i cos ϕ 2

2

−2

)

1/ 2

+ λ + Ψ2 .

(2.3.31)

Вычисляя интеграл при помощи подстановки x = tgϕ, находим

±tgi ⋅ sin (λ − h + Ψ2 ) = tgϕ.

(2.3.32)

Выбирая знак плюс и полагая Ψ2 = 0, получим

± tgi ⋅ sin (λ − h) = tgϕ.

(2.3.33)

Если перейти к прямоугольным координатам, то на основании уравнения (2.3.33) можно записать (см. (1.6.28))

sin(h) sin i ⋅ x1 − cos(h) sin i ⋅ x2 + cosi ⋅ x3 = 0.

(2.3.34)

Это уравнение плоскости, которая проходит через начало координат (то есть движение точки P происходит в плоскости, перпендикулярной вектору, образующему угол i с осью Ox3) и пересекает плоскость Ox1x2 по прямой, образующей угол h с осью Ox1. При условии отсчета h от той части прямой, в которой находится точка P, при переходе к положительным значениям угла ϕ угол h обозначается через Ω и носит название долготы восходящего узла. Угол i называется наклонением орбиты. Рассмотрим теперь второе из уравнений (2.3.26). Подставляя в него выражение (2.3.12), находим g = ±G ∫

(G

dϕ 2

− H 2 cos−2 ϕ

∂Ψ . ∂G Вводя по формуле

)

1/ 2

± G∫

(

dr

r 2 2mχr −1 − G 2 r −2 − m 2 χ 2 L−2

)

1/ 2

+ Ψ3 , (2.3.35)

где Ψ3 =

sinϕ = sini⋅sinu

переменную u, называемую аргументом широты, будем иметь

(2.3.36)

Глава 2. Методы интегрирования g ± u = ±G ∫

49 dr

(

r 2 2mχr −1 − G 2 r −2 − m2 χ 2 L−2

)

1/ 2

+ Ψ3 .

(2.3.37)

Несобственный интеграл, стоящий в правой части (2.3.37), как нетрудно видеть, является сходящимся, и после интегрирования находим

r=

a (1 − e 2 ) . 1 + e cos( ± u + g − Ψ3 )

(2.3.38)

Признано удобным принимать Ψ3 = 0 и выбирать знаки таким образом, чтобы r = r1 (см. (2.3.15)) при u = g, то есть

r=

a (1 − e 2 ) , 1 + e cos v

(2.3.39)

где v = u − g. Это уравнение эллипса в полярных координатах. Его большая полуось есть a, эксцентриситет — e, величина g носит название аргумента перицентра и обычно обозначается как ω. Введенный угол v называется истинной аномалией и связан с ранее введенной эксцентрической аномалией E формулой 1/ 2

v ⎛1+ e ⎞ tg = ⎜ ⎟ 2 ⎝1− e ⎠

tg

E , 2

(2.3.40)

следующей из известных свойств эллипса и легко получаемой из (2.3.23) и (2.3.39). Теперь, согласно теореме Якоби, осталось показать, что для введенных переменных P и Q выполняется условие ⎛ ∂ 2S Δ = det ⎜ ⎜∂q ∂P ⎝ i j

⎞ ⎟ ≠ 0. ⎟ ⎠

(2.3.41)

С учетом (2.3.12) имеем

∂ 2S ∂ r∂ L Δ=

0 0

∂ 2S ∂ r∂ G ∂ 2S ∂ϕ∂ G 0

0

∂ 2S ∂ 2S ∂ 2S = ⋅ . ∂ϕ∂ H ∂ r∂ L ∂ϕ∂ G

(2.3.42)

1

Учитывая выражение для импульсов (2.3.13), находим Δ=±

Gm2 χ 2 . L3 p1 p2

(2.3.43)

Поскольку p1 является функцией ограниченной, L < ∞, G/p2 ≠ 0, то, следовательно, Δ ≠ 0. Исходные уравнения (2.3.1) в новых переменных примут вид

50

Часть I. Методы небесной механики

∂K ∂K ∂K dL dG dH =− , =− , =− , dt dt dt dh ∂l ∂g dl ∂ K dg ∂ K dh ∂ K = , = , = . dt ∂ L dt ∂ G dt ∂ H

(2.3.44)

Поскольку K = − mχ 2 / (2 L2 ), то все элементы, за исключением l, являются постоянными, а l = n(t − t 0 ). (2.3.45) Здесь t0 — момент времени, отвечающий прохождению точки P через перицентр (см. (2.3.23), (2.3.29)), n = m χ 2 L3 носит название среднего движения. Таким образом, движение точки P происходит по эллипсу, размеры и форма которого характеризуются параметрами a и e, а ориентация в пространстве задается углами i, Ω и ω. Положение точки P на эллипсе определяется углом v (или E), связанным со средней аномалией l, являющейся линейной функцией времени, уравнением Кеплера (2.3.29). Введенные канонические переменные (2.3.44) связаны с указанными элементами, как мы установили, следующим образом: L = mχ a , G = L 1 − e 2 , l = n( t − t 0 ),

g = ω,

H = G cosi , h = Ω.

(2.3.46)

Впервые введенные знаменитым французским небесным механиком Ш. Делоне при разработке теории движения Луны, они называются элементами Делоне. Заметим, что, как уже указывалось в разделе 1.1, канонические уравнения не изменяются при замене P на λ 0 P и F на λ 0 F , где λ 0 — некоторый скалярный множитель. Во введенных элементах (2.3.46) фигурирует множитель (mχ )1/ 2 = m( fM )1/ 2 , поэтому, выбирая λ 0 = 1/ m, можно перейти к элементам L = χ 1a , l = n(t − t 0 ),

G = L 1 − e2 , g = ω,

H = G cos i, h = Ω,

(2.3.47)

в которых χ 1 = fM, а n = ∂ K ∂ L , причем гамильтониан

K=−

χ 12 2 L2

.

(2.3.48)

Покажем теперь, что введенные элементы позволяют определить и прямоугольные координаты (x,y,z) точки P. Для этого продифференцируем по t равенство (2.3.33) (согласно (2.3.44), h и i — постоянные величины): λ& ⋅ tgi cos( λ − h) = ϕ& ⋅ cos −2 ϕ . (2.3.49) Исключая из этого равенства λ& и ϕ& при помощи соотношений (1.6.33), (2.3.13), (2.3.19) и имея в виду подстановку (2.3.36), находим

cos u = cosϕ cos(λ − h).

(2.3.50)

Глава 2. Методы интегрирования Таким образом,

51

cosu = cosϕ⋅sinλ⋅sinh + cosϕ⋅cosλ⋅cosh.

(2.3.51)

Представляя формулу (2.3.33), с учетом преобразования (2.3.36), в виде cosϕ⋅sinλ⋅cosh − cosϕ⋅cosλ⋅sinh = cosi⋅sinu,

(2.3.52)

из последних двух соотношений находим cos ϕ sin λ = cos usin h + cos i sin ucosh, cosϕ cos λ = cos ucosh − cos i sin usin h.

(2.3.53)

В результате из формул (1.6.28) получим

x = rcosϕ⋅cosλ = r[cosu⋅cosh − cosi⋅sinu⋅sinh], y = rcosϕ⋅sinλ = r[cosu⋅sinh + cosi⋅sinu⋅cosh],

(2.3.54)

z = rsinϕ = r sinu⋅sini, или

H ⎡ ⎤ x = r ⎢cos( v + g ) cos(h) − sin( v + g ) sin( h)⎥, G ⎣ ⎦ H ⎡ ⎤ y = r ⎢cos( v + g ) sin( h) + sin( v + g ) cos(h)⎥, G ⎣ ⎦ ⎡ H2⎤ z = r ⎢1 − 2 ⎥ ⎣ G ⎦

(2.3.55)

1/ 2

sin( v + g ),

где

r=

G 2 χ1 1 + 1 − (G L) 2 ⋅ cos v

.

2.4. Интерпретация постоянных L, G, H Обратимся к трактовке постоянных L, G, H. Во-первых, из самого способа введения L следует, что постоянство L есть следствие закона сохранения энергии. Из последних равенств (2.3.13) и (1.6.33) можно сделать заключение о том, что постоянство H выражает закон сохранения момента количества движения относительно оси z. Если перейти к плоским полярным координатам, отсчитываемым в плоскости орбиты точки P, то гамильтониан задачи будет иметь вид H=

1 χ p12 + p 2 r −2 − . 2m r

(

)

(2.4.1)

Здесь p — величина полного момента количества движения. Сравнение этого выражения с формулой (2.3.2) показывает, что

p 2 = p22 + p32 cos2 ϕ . Следовательно, на основании уравнений (2.3.13) получим

(2.4.2)

52

Часть I. Методы небесной механики

G = p,

(2.4.3)

то есть G представляет собой модуль вектора момента количества движения точки P. Пусть его компоненты будут G1, G2, G3, тогда

G1q1 + G2q2 + G3q3 = 0,

(2.4.4)

и, сравнивая это уравнение с соотношением (2.3.34), находим, с учетом (2.3.46),

G1 = Gsini⋅sinΩ, G2 = −Gsini⋅cosΩ, G3 = Gcosi.

(2.4.5)

Вспомнив выражение для интеграла площадей в покомпонентной записи, найдем окончательно (см.(1.2.5)):

q2 p3 − p2 q3 = Gsini⋅sinΩ, q3 p1 − q1 p3 = −Gsini⋅cosΩ,

(2.4.6)

q1 p2 − q2 p1 = Gcosi. 2.5. Канонические элементы Пуанкаре Пуанкаре ввел в небесную механику две системы канонических элементов. Первая из них связана с элементами Делоне следующим образом: Λ = L,

λ = l + g + h,

Γ = L − G,

γ = −g − h,

Z = G − H,

z = − h.

(2.5.1)

Для доказательства каноничности новых элементов достаточно воспользоваться леммой Пуанкаре (раздел 1.3) и рассмотреть выражение

dS = ldL + gdG + hdH − λdΛ − γdΓ − zdZ,

(2.5.2)

для которого, в силу (2.5.1),

dS = ldL + gdG + hdH − (l + g + h)dL + (g + h)(dL − dG) + h(dG − dH) ≡ 0, то есть (2.5.2) является полным дифференциалом, что и доказывает каноничность новых элементов. Нетрудно, воспользовавшись соотношениями (2.3.47), выразить новые переменные через элементы кеплеровского движения: Λ = χ 11/2 a 1/2 ,

[

]

λ = n( t − t 0 ) + π ,

Γ = χ 11/2 a 1/2 1 − (1 − e 2 ) 1/2 ,

γ = −π = −ω − Ω,

Z = χ 11/2 a 1/2 (1 − e 2 ) 1/2 [1 − cosi ],

z = − Ω,

(2.5.3)

откуда следует, что при малых e 1 Γ = 1 − (1 − e 2 ) 1/ 2 = e 2 + K , 2 Λ

(2.5.4)

то есть Γ/Λ — величина порядка квадрата эксцентриситета. Если и величина i мала, то

Глава 2. Методы интегрирования

53

1 Z = 1 − cos i = i 2 + K , 2 1/ 2 2 Λ(1 − e )

(2.5.5)

то есть величина Z будет порядка квадрата наклонения орбиты. Вторую систему элементов Пуанкаре принято обозначать Λ, λ, ξ, η, p, q,

(2.5.6)

где Λ, λ — элементы первой системы, а

ξ = (2Γ ) 1/2 cosγ ,

η = (2Γ ) 1/2 sin γ ,

p = (2 Z ) 1/ 2 cos z,

q = ( 2 Z ) 1/ 2 sin z

(2.5.7)

образуют каноническую систему, что следует из примера раздела 1.4. Выразим эти элементы через кеплеровские, воспользовавшись соотношениями (2.5.3) и (2.5.7): Λ = χ 11/2 a 1/2 , λ = l + Ω +ω,

(

[

ξ = 2 χ 11/2 a 1/2 1 − (1 − e 2 ) 1/2

(

])

[

η = − 2 χ 11/2 a 1/2 1 − (1 − e 2 ) 1/2

1/ 2

])

(

cosπ ,

1/ 2

sin π ,

)

p = 2 χ 11/2 a 1/2 (1 − e 2 ) 1/2 [1 − cosi ]

(

1/ 2

)

q = − 2 χ 11/2 a 1/2 (1 − e 2 ) 1/2 [1 − cosi ]

(2.5.8)

cos Ω,

1/ 2

sin Ω.

Из этих формул следует, что величины ξΛ−1/ 2 , ηΛ−1/ 2 имеют порядок эксцентриситета, а pΛ−1/ 2 , qΛ−1/ 2 — порядок наклонения орбит. Пуанкаре назвал ξ, η — эксцентрическими, а p, q — облическими переменными. 2.6. Интегрирование уравнений задачи двух тел Рассмотрим движение двух материальных точек P0 и P с массами m0 и m, взаимодействующих по закону тяготения Ньютона. Уравнения движения точки P относительно P0 в этом случае имеют вид:

m

d 2 xi ∂ U = , ∂ xi dt 2

(2.6.1)

где i = 1,3 , xi — прямоугольные координаты P,

(

r = x12 + x22 + x32

)

1/ 2

, U=

χ r

,

χ = fm( m + m0 ),

f — гравитационная постоянная. Если перейти к сферическим координатам x1 = rcosϕcosλ, x2 = rcosϕsinλ, x3 = rsinϕ и ввести импульсы (см. (1.6.33))

(2.6.2)

54

Часть I. Методы небесной механики

p1 = m

dr , dt

p2 = mr 2

dϕ , dt

p3 = mr 2 cos2 ϕ

dλ , dt

(2.6.3)

то уравнения (2.6.1) приобретут каноническую форму dq ∂ F = , dt ∂ p

∂F dp =− , ∂q dt

(2.6.4)

где q = (q1 , q2 , q3 ), p = ( p1 , p2 , p3 ) — компоненты трехмерных векторов обобщенных координат и импульсов, F = T − U,

(

)

1 p12 + r − 2 p 22 + r −2 p32 cos − 2 ϕ , 2m q1 = r ,q 2 = ϕ , q3 = λ.

T=

(2.6.5)

Таким образом, получаются уравнения задачи одного неподвижного центра и, следовательно, решение задачи представляется выражениями раздела 2.3, в которых следует положить χ = fm(m + m0) вместо fmM. 2.7. Метод вариации произвольных постоянных Предположим, что в уравнениях q& =

∂F , ∂p

p& = −

∂F ∂q

(2.7.1)

гамильтониан F в общем случае неавтономной системы представим в виде

F = F0 + F1 ,

(2.7.2)

причем решение системы с F = F0 известно, то есть удается найти решение уравнения Якоби вида ⎛ ∂S ⎞ ∂S + F0 ⎜⎜ q , ,t ⎟⎟ = const. (2.7.3) ∂t ⎝ ∂q ⎠ Пусть S = S(q1, ... ,qn; α1, ..., αn, t) — полный интеграл этого уравнения. Тогда, принимая S за производящую функцию, то есть считая (см. (1.5.12))

∂S ∂S = p, =β ∂q ∂α

(2.7.4)

( α , β — фиксированные n-мерные вектора для F = F0), приходим, согласно разделу 1.8, к новым переменным α , β и новому гамильтониану ∂S (2.7.5) Φ = F0 + F1 + . ∂t С учетом (2.7.5) уравнения для α , β будут иметь вид:

β& =

∂F ∂Φ , α& = − 1 , ∂α ∂β

(2.7.6)

Глава 2. Методы интегрирования

55

где F1 = F1( α , β , t). Следовательно, для решения системы (2.7.1) нужно из уравнений (2.7.4) найти функции q = q (α , β , t ), p = p (α , β , t ) и подставить в них α , β , являющиеся решениями системы (2.7.6). 2.8. Адиабатические инварианты

(

)

Предположим, что гамильтониан F q , p, θ * канонической системы dq ∂ F = , dt ∂ p

∂F dp =− dt ∂q

(2.8.1)

помимо переменных q = ( q1 , K, q n ), p = ( p1 , K, p n ) зависит от некоторого параметра θ* (или, в общем случае, параметров θ 1* , K , θ *m ), который под влиянием каких-либо внешних причин медленно (как говорят, адиабатически) изменяется со временем, так что за характерное время периода T движения системы выполняется условие

θ* dθ * << . (2.8.2) dt T При переменном параметре θ * система (2.8.1) уже не является замкнутой, и ее энергия E = F не сохраняется. Согласно (2.8.1), для скорости изменения энергии системы (2.8.1) имеем выражение n n dE ∂F dqi ∂F dpi ∂F dθ * ∂F (q , p,θ * ) dθ * =∑ +∑ + * = . dt dt ∂θ dt ∂θ * i =1 ∂ q i dt i =1 ∂ p i dt

(2.8.3)

Усредняя (2.8.3) по периоду T (сглаживая "быстрые колебания" E по переменным q , p ) и учитывая (2.8.2), для скорости систематически медленного изменения энергии рассматриваемой системы получим: dE dθ * ∂F (2.8.4) . = dt dt ∂θ * При этом усреднение T ∂F 1 ⎛ ∂F q , p , θ * ⎞ ⎜ ⎟⎟ = dt ∂θ * T ∫0 ⎜⎝ ∂θ * ⎠ θ * = const

(

)

ввиду малости изменения параметра θ * следует производить лишь по q и p , но не по θ *. С учетом (2.8.1) и очевидного равенства T dqi 1 n dq = ∫∑ , T = ∫ dt = ∫ (2.8.5) ∂ F ∂ p n ∂ F ∂ p i = 1 i 0 в котором интеграл берется по замкнутой траектории системы за время периода T (интегрирование по времени заменяется на интегрирование по координатам q ), выражение (2.8.4) представимо в виде

56

Часть I. Методы небесной механики

⎤ ⎡ n dqi ⎤ dE dθ * ⎡ n ∂F ∂θ * dq = i ⎥ : ⎢∫ ∑ ⎥. ⎢∫ ∑ dt dt ⎣ i =1 ∂F ∂ pi ⎦ ⎣ i =1 ∂F ∂ pi ⎦

(2.8.6)

Интегрирование в правой части (2.8.6) производится по некоторой замкнутой траектории движения при фиксированном значении параметра θ *, так что вдоль этой траектории гамильтониан сохраняет постоянное значение энергии E = F q , p , θ * , а

(

(

)

)

pi = pi E , q ,θ * . В этом случае, когда переменная pi явно зависит от параметра θ *, а все

остальные переменные q , p1 , K, pi −1 , pi +1 , K, pn не зависят от θ *, дифференцируя ра-

(

)

венство F q , p (θ * ), θ * = E по параметру θ*, очевидно, будем иметь

∂F ∂F ∂ p i + = 0, ∂θ * ∂pi ∂θ * то есть

∂p ∂F ∂θ * = − *i ∂F ∂ p i ∂θ

i = 1, n.

Следовательно, из (2.8.6), учитывая равенства

∂F ∂F ∂ p i = =1 ∂ E ∂ p i ∂E (которые устанавливаются непосредственным дифференцированием по E выражения F q , p1 ,K, pi ( E, θ * ),K, p n ,θ * = E; θ *— независимый параметр), получим

(

)

⎡ ∂p i dθ * ∂ p i dE ⎤ + ⎥dq i = 0. ⎢ * ∫∑ ∂E dt ⎦ dt i =1 ⎣ ∂θ Обозначая через I j = I j ( E ,θ * ) интеграл n

Ij =

1 2π

n

∫ ∑ p ( E , q ,θ i

*

(2.8.7)

)dqi ,

(2.8.8)

C j i =1

взятый по некоторой замкнутой траектории движения C j ( j = 1, n) при фиксированных величинах E и θ * и, учитывая, что *) dI j ∂ I j dE ∂ I j dθ * dE 1 = + = ⋅ ∂E dt ∂θ * dt dt dt 2π

∂ pi dθ * 1 dq + ⋅ i ∫C ∑ dt 2π i =1 ∂E n

j

n

∂ pi

∫ ∑ ∂θ

C j i =1

*

dq i

и dE / dt не зависит от q (см. (2.8.6.)), в силу (2.8.2) равенство (2.8.7) представим в окончательном виде

*)

Базисные контуры C j ( j = 1, n ; число этих контуров соответствует числу степеней свободы рассматриваемой канонической системы) не могут быть стянуты в точку или непрерывным способом переведены друг в друга. Всего существует n независимых интегралов Ij; эти интегралы не зависят от переменных q1, ..., qn .

Глава 2. Методы интегрирования

dI j dt

57

=0

j = 1, n,

(2.8.9)

cчитая dθ */dt при усреднении постоянной величиной. Таким образом, величины Ij, являющиеся определенными (2.8.8) комбинациями E, * θ , при изменении параметра θ * остаются в рассматриваемом приближении (2.8.2) постоянными. Такие величины, остающиеся постоянными при движении системы с медленно меняющимися параметрами, называют адиабатическими инвариантами. Как следует из (2.8.5), частная производная от инварианта Ij по энергии E = F q , p , θ * определяет период движения

(

)

T=

1 n ∂ pi 2π ∂ I j dqi = ∑ ∫ n i =1 ∂E n ∂E

j = 1, n,

а следовательно, учитывая, что

∂ I j ∂E = 1 ( I j = I j ( E ,θ * ), θ * — независимый параметр), ∂E ∂ I j для частоты ω =2π ⁄T колебаний системы получим

ω =n

∂E . ∂Ij

(2.8.10)

2.9. Переменные действие-угол Рассмотрим систему канонических уравнений dx j dt

=

∂F , ∂ yj

dy j dt

=−

∂F ∂ xj

j = 1, n,

(2.9.1)

гамильтониан которой не зависит от времени t, то есть F = F ( x , y ). Пусть функция преобразования S определяет при помощи соотношений y=

∂S ∂S , β = ∂α ∂x

(2.9.2)

переход к таким новым переменным, что новый гамильтониан K зависит только от α и, с учетом (2.9.2), ⎛ ∂S ⎞ ⎟⎟ = K (α ). F ⎜⎜ x , (2.9.3) ⎝ ∂x⎠ Предположим, что это уравнение удалось проинтегрировать методом разделения переменных, то есть найдена функция n

(

)

S = ∑ S j x j , α 1 ,K, α n . j =1

(2.9.4)

58

Часть I. Методы небесной механики

Тогда, согласно (2.9.2), dS j

yj =

j = 1, n .

dx j

(2.9.5)

Обратимся к случаю, когда решениям системы (2.9.1) отвечает семейство замкнутых кривых Сj ∈ M на фазовых плоскостях (xj,yj). При этом можно образовать величины, называемые переменными действия (см.2.8.8)): n 1 Ij = ∑ y i ( x1 ,K, x n )dx i j = 1, n. 2π C∫ i =1 j

Но поскольку в рассматриваемом случае, согласно (2.9.4), (2.9.5), переменные xi , yi (i = 1, n) разделяются, то переменные действия целесообразно определить следующим образом: Ij =

1 2π

∫ y dx j

j = 1, n.

j

(2.9.6)

Cj

Предположим, что все Ij независимы (всегда можно выбрать Сj в качестве базисных контуров), тогда из этих уравнений можно однозначно определить α j = α j ( I1 , I 2 ,K, I n ) j = 1, n и, подставляя эти выражения в (2.9.4), найти n

(

)

S = ∑ S j x j , I 1 , I 2 , K, I n . j =1

(2.9.7)

В таком случае, выбирая в качестве производящей функцию (2.9.7), соотношения

θj =

∂S ∂Ij

j = 1, n

(2.9.8)

определяют канонические переменные, сопряженные Ij. Эти переменные носят название угловых переменных. Введенные переменные действие-угол обладают рядом полезных свойств, которые мы и рассмотрим. Уравнения (2.9.1) в новых переменных имеют вид

dθ ∂K = , dt ∂I

dI = 0, dt

(2.9.9)

то есть

Ij = const1j, θj =ω jt + const2j где

ωj =

∂K . ∂I

j = 1, n ,

(2.9.10) (2.9.11)

Имеется некоторый произвол в выборе базисных контуров Сj ∈ M. Поэтому определение (2.9.6) не является однозначным. Однако набор I = (I1,...,In) однозначен, если все n частот ωj будут независимы, то есть исходная система не вырождена. Покажем,

Глава 2. Методы интегрирования

59

что ωj является частотой изменения переменной yj. Для этого найдем приращение Δθl за полный период изменения функции yj при условии постоянства всех xl, кроме xj: Δθ l =

∂θ l ∂ 2S ∂ ∂S ∂ = dx ∫M ∂x j j M∫ ∂x j∂I l dx j = ∂I l M∫ ∂x j dx j = ∂I l

∫ y dx j

M

j

=

∂I j ⋅ 2π , ∂I l

(2.9.12)

то есть Δθl = 2π, если j = l, и обращается в нуль в остальных случаях. С другой стороны, если Tj — период изменения yj, то из (2.9.12) следует, что Δθl = ωjTj. Сравнение последних двух равенств и дает требуемое соотношение

ωj =

2π Tj

j = 1, n.

(2.9.13)

exp(ikθ j ) i 2 = −1.

(2.9.14)

Таким образом,

yj =

∞

∑a

k

k =−∞

Заметим, что для вычисления частот или периодов изменений соответствующих координат нет необходимости определять K ( I ), поскольку

ωj =

n ∂α ∂K ∂K =∑ l , ∂ I j l =1 ∂ I j ∂α l

(2.9.15)

то есть после нахождения функции S достаточно образовать, согласно (2.9.5)-(2.9.7), элементы Ij и вычислить матрицу (∂ I j ∂α l ), обращение которой и дает возможность определить ωj или Tj. Задача чрезвычайно упрощается в случае K = K(α1). Тогда, согласно (2.9.15),

ωj =

∂K (α 1 ) ∂K ∂α 1 = ∂Ij ∂α 1 ∂ I j

( j = 1, n).

(2.9.16)

Следует также отметить, что при обходе по любой замкнутой кривой в фазовом пространстве ( x , y ) каждая функция θj может измениться на величину 2πn, где n — целое число, либо не изменится совсем. Следовательно, все однозначные функции величин x и y являются периодическими по каждой из переменных типа угол, а потому допускают представление в виде ряда ∞

∑P

k1k 2 Kk n k1 ,K, k n =−∞

[ ( )]

( I ) exp i k , θ , i 2 = −1,

где k = ( k1 , k 2 ,K, k n ) — n-мерный вектор, а знаком (...) обозначено скалярное произведение двух векторов. С учетом (2.9.10) последнее выражение можно записать в виде ∞ ~ ∑ Pk1k2 Kkn ( I ) exp i k , ω t , k1 ,K, k n =−∞

[( )]

~ где i 2 = −1, а Pk1k2 Kkn ( I ) и Pk1k2 Kkn ( I ) — некоторые коэффициенты, зависящие от

I 1 , I 2 , K, I n .

60

Часть I. Методы небесной механики

Вычислим теперь переменные действие-угол в задаче двух тел. Поскольку, согласно (2.3.13), в данном случае переменные pi являются функциями лишь от qi, то в качестве независимых инвариантов I i выберем следующие:

Ii =

∫ p dq i

i

i = 1, 3,

(2.9.17)

−2

(2.9.18)

M

1 2π

M

1 2π

∫

G − H cos ϕ dϕ,

M

1 2π

∫

2mχr −1 − G 2 r −2 − m2 χ 2 L−2 dr.

I3 = I2 = I1 =

1 2π

∫ Hdλ, 2

2

M

Для I3 сразу находим I3 = H,

(2.9.19)

а для вычисления I2 перейдем к плоским полярным координатам r, ψ. Тогда p1r& + p 2ϕ& + p3 λ& = p1r& + pψ& ,

(2.9.20)

где ψ — полярный угол точки P в плоскости ее траектории. Поэтому

p2 dϕ = pdψ − p3dλ , так что I2 =

1 2π

1

1

∫ p dϕ = 2π ∫ pdψ − 2π ∫ p dλ = G − H 2

(2.9.21)

3

в силу (2.4.3). После этих вычислений I1 можно записать так: I1 =

1 2π

∫

2mχr −1 − ( I 3 + I 2 ) 2 r −2 − m2 χ 2 L−2 dr .

(2.9.22)

Будем рассматривать этот интеграл как интеграл в комплексной плоскости. Пределы изменения r определяются корнями выражения, стоящего под знаком радикала, r1 ≤ r ≤ r2 (см. (2.3.15)). Изменение r состоит из двух фаз: сначала r будет увеличиваться от r1 до r2 (p1 > 0), а затем уменьшаться до первоначального значения r1 (p1 < 0) (рис. 4). Подынтегральная функция, таким образом, двузначна, и поэтому необходимо ввести в r-плоскости разрез между двумя точками ветвления r1 и r2. Контур C1 охватывает разрез, деформируя его в два контура C2 + C3, при этом получим два интеграла, которые вычислим, пользуясь теоремой о вычетах:

I1 =

1 2π

1

1

∫ p dr = 2π ∫ p dr + 2π ∫ p dr = i[res( p ,0) + res( p , ∞)] = 1

C1

1

C2

= −( I 2 + I 3 ) + L

1

1

C3

(i 2 = −1).

1

(2.9.23)

Глава 2. Методы интегрирования

61

Второй вычет вычисляется введением новой переменной z = r −1 и разложением радикала в ряд около точки z = 0.

∞

Разрез

0 r C2

r

1

2

C1

C3

Рис. 4. Последнее равенство позволяет записать гамильтониан в переменных действиеугол в виде mχ 2 mχ 2 . K=− 2 =− (2.9.24) 2L 2( I 1 + I 2 + I 3 ) 2 Частоты движения по всем координатам равны ω:

ω=

∂K ∂K ∂K mχ 2 = = = , ∂ I1 ∂ I 2 ∂ I 3 ( I1 + I 2 + I 3 ) 3

(2.9.25)

и, следовательно, кеплеровское движение является полностью вырожденным. Вырождающиеся частоты можно исключить, перейдя к новым переменным I ′ , θ ′ при помощи преобразований I1′ = I 3 , I 2′ = I 3 + I 2 ,

(2.9.26)

I 3′ = I 3 + I 2 + I1 . Гамильтониан в новых переменных имеет вид mχ 2 , K=− 2 2 I 3′

(2.9.27)

причем в него входит лишь переменная I 3′ , для которой соответствующая частота отлична от нуля. Угловые переменные θ ′j можно найти с помощью уравнений

θ′ =

∂S , ∂ I 3′

а переменные действия

I1′ = H , I 2′ = G, I 3′ = L являются элементами Делоне. 2.10. Понижение порядка Обратимся опять к системе канонических уравнений

(2.9.28)

62

Часть I. Методы небесной механики q& =

∂F , ∂p

p& = −

∂F , ∂q

(2.10.1)

где F = F ( q , p ). Интегрирование этой системы может быть сведено, как было установлено ранее, к интегрированию уравнения ⎛ ∂S ⎞ ⎟⎟ = const. F ⎜⎜ q , (2.10.2) ⎝ ∂q ⎠ Предположим, что известен еще один интеграл системы (2.10.1)

F1 (q , p ) = const ,

(2.10.3)

(F,F1) = 0.

(2.10.4)

то есть (см. раздел 1.7) Знание этого интеграла позволяет понизить порядок системы (2.10.1) на единицу. Действительно, уравнение (2.10.4) означает, что существует функция S, удовлетворяющая уравнению (2.10.2) и уравнению

⎛ ∂S ⎞ ⎟⎟ = const. F1 ⎜⎜ q , ⎝ ∂q ⎠

(2.10.5)

Исключив из уравнений (2.10.2) и (2.10.5), например, ∂ S /∂ q1, получим соотношение ⎛ ∂S ∂S ∂S ⎞ ⎟ = 0. Φ⎜⎜ q1 , K , q n , , ,K, (2.10.6) ∂ q 2 ∂ q3 ∂ q n ⎟⎠ ⎝ Производная ∂ S /∂ q1 уже не входит в уравнение (2.10.6), и можно рассматривать q1 как параметр. Значит, уравнение (2.10.6) становится уравнением в частных производных с n − 1 независимой переменной, и задача сводится к интегрированию системы с n − 1 степенью свободы вида q& i =

∂Φ , ∂ pi

p& i = −

∂Φ ∂ qi

i = 2, n.

(2.10.7)

Что же можно сказать, если известны k независимых интегралов системы (2.10.1)? Пусть эти интегралы есть F1, F2, ..., Fk, (2.10.8) так что (см. (1.7.3)) (F,F1) = (F,F2) = ... = (F,Fk) = 0. (2.10.9) Можно ли понизить порядок системы (2.10.1) на k единиц? В общем случае это сделать не удается, так как для этого нужно, чтобы k + 1 уравнение в частных производных F = const, F1 = const, ..., Fk = const были совместимыми, что требует выполнения условий

(2.10.10)

Глава 2. Методы интегрирования

63

(Fm,Fl) = 0 m, l = 1, k .

(2.10.11)

В этом случае каждый из интегралов (2.10.10) может быть выбран в качестве гамильтониана системы (2.10.1). Если эти условия выполнены, то из уравнений (2.10.10) можно исключить производные

∂S ∂S ∂S , , K, , ∂ q1 ∂ q 2 ∂ qk в результате чего остается уравнение ⎛ ∂S ∂S ,K , Φ⎜⎜ q1 , q 2 , K , q n , ∂ q k +1 ∂ qn ⎝

(2.10.12)

⎞ ⎟⎟ = 0, ⎠

(2.10.13)

не содержащее этих k производных. Поэтому qk +1 , qk + 2 ,K, qn будут независимыми переменными, а q1, q2, ..., qk — параметрами, и исходные уравнения станут описывать систему с n − k степенями свободы. На основании этих результатов можно сформулировать теорему Лиувилля: если канонические уравнения (2.10.1) обладают n независимыми интегралами, которые находятся в инволюции (выполняется условие (2.10.11)), то система (2.10.1) интегрируема в квадратурах. 2.11. Дополнения Приведем кратко историю нахождения интегрируемых случаев уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных. В 1843 г. К. Якоби [2] нашел методом разделения переменных полный интеграл уравнения вида ⎛ ∂S ⎜⎜ ∑ i =1 ⎝ ∂ q i k

2

⎞ ⎟⎟ = h. ⎠

(2.11.1)

Несколько позднее, в 1846 году, Р. Лиувилль [3] показал, что интегрируемо более общее, чем (2.11.1), уравнение, а именно:

⎡ 1 ⎛ ∂S ⎜⎜ ⎢ ∑ i =1 ⎢ a i ( q i ) ⎝ ∂ q i ⎣ k

2 k ⎤ ⎞ ⎟⎟ − 2U i (qi )⎥ = 2h∑ bi (qi ). ⎥⎦ i =1 ⎠

(2.11.2)

В 1880 г. Дж. Морера [4] нашел методом разделения переменных все случаи интегрируемости уравнения 2

⎛ ∂S ⎞ ⎛ ∂S ∂S ∂S ⎟⎟ + 2a12 ( q1 , q 2 ) a11 ( q1 , q 2 )⎜⎜ + a 22 (q1 , q 2 )⎜⎜ ∂ q1 ∂ q 2 ⎝ ∂ q1 ⎠ ⎝ ∂ q2

2

⎞ ⎟⎟ − U ( q1 , q 2 ) = h. (2.11.3) ⎠

П. Штекель [5] в 1891 г. исследовал проблему интегрируемости уравнения ⎛ ∂S a i ( q1 , q 2 , K , q k )⎜⎜ ∑ i =1 ⎝ ∂ qi k

2

⎞ ⎟⎟ − 2U ( q1 , q 2 , K , q k ) = 2h ⎠

(2.11.4)

64

Часть I. Методы небесной механики

и доказал теорему о том, что если уравнение (2.11.4) допускает разделение переменных, то должны существовать система k2 функций ϕij(qi) ( i , j = 1, k ) и система k функций ψ i(qi) ( i = 1,k ), обладающих тем же свойством, что и коэффициенты ai. Силовая функция U представляется соотношениями ai =

k 1 ∂Δ , U = ∑ψ i ai , Δ = det{ϕ ij }. Δ ∂ϕ i1 i =1

(2.11.5)

Эти условия являются и достаточными [6]. После работы Штекеля представляло интерес рассмотрение уравнения вида ⎞⎛ ∂ S ⎞ ⎟+ ⎟⎟⎜ ⎜∂q ⎟ ⎠⎝ j ⎠ k ∂S + ∑ bi (q1 , q 2 , K, q k ) − U (q1 , q 2 ,K, q k ) = h. ∂ qi i =1

⎛ ∂S ∂S 1 k + ∑ aij (q1 , q 2 , K, q k )⎜⎜ ∂ t 2 i , j =1 ⎝ ∂ qi

(2.11.4)

Очевидно, что возможность его интегрирования целиком определяется структурой коэффициентов aij и bi. Это побудило Т. Леви-Чивита в 1903 г. вывести необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять указанные коэффициенты, чтобы уравнение было интегрируемым методом разделения переменных [7]. Следует также упомянуть об исследованиях П. Бургатти. Предположим, что уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид n

∑A

r ,s

r , s =1

⎛ ∂S ⎜⎜ ⎝ ∂ qr

⎞⎛ ∂ S ⎟⎟⎜⎜ ⎠⎝ ∂ q s

⎞ ⎟⎟ = 2[U (q1 , q 2 , K, q n ) + h], ⎠

(2.11.7)

где Ar , s = Ar , s (q1 , q 2 ,K, q n ).

Спрашивается, какой вид должны иметь коэффициенты Ar,s и силовая функция U, чтобы уравнение (2.11.7) интегрировалось методом разделения переменных? Бургатти [8] подходит к решению этой задачи с противоположной стороны. Он предполагает, что интеграл уравнения (2.11.7) найден и имеет вид n

S = ∑ ϕ i (qi , h, α 2 ,K, α n ).

(2.11.8)

i =1

Путем исключения постоянных α2, α3, ..., αn Бургатти находит уравнение, для которого (2.11.8) является полным интегралом. Это уравнение получается, если исключить постоянные из уравнений

∂S = ϕ i′ ( q i , h, α 2 , K , α n ) i = 1, n. ∂ qi

(2.11.9)

Бургатти ищет наиболее общий вид функций ϕ i′ , при котором это исключение приведет к уравнениям вида (2.11.7), и решает эту задачу, однако доказать, что найденный им вид действительно самый общий, ему не удалось. Мы не будем приводить выражений для ϕ i′ , они достаточно сложны и для нашей цели непосредственного интереса не представляют.

Глава 2. Методы интегрирования

65

Н. Д. Моисеев указал на возможность обобщения теоремы Штекеля. В 1934 г. им была доказана следующая теорема [9]. Пусть кинетическая энергия определяется выражением

[

]

1 n T = Φ∑ Ai q& i2 + 2 Bi q& i + Ci , 2 i =1

(2.11.10)

в котором каждый из коэффициентов Ai ≠ 0 является функцией только одной переменной qi, а Bi и Ci представимы в виде B

Bi =

n bi (qi ) c (q ) , Ci = i 2i , Φ = ∑ ϕ i (qi ) i = 1, n, Φ Φ i =1

и пусть силовая функция U имеет вид

U=

1 n ∑ U i (qi ). Φ i =1

Тогда уравнение Гамильтона-Якоби интегрируется в квадратурах. Доказательство. Для гамильтониана F в рассматриваемом случае, когда кинетическая энергия T замкнутой системы не является чисто квадратичной функцией от q& i , будем иметь n ∂T q& − T , F = K −U, K = ∑ &i i i =1 ∂ q то есть 1 n 1 n F = Φ∑ Ai q& i2 − Ci − ∑ U i . (2.11.11) Φ i =1 2 i =1

[

]

Введем далее канонические переменные pi =

∂T ∂ q& i

(i = 1, n).

Следовательно, имея в виду (2.11.10), получим

pi = Φ( Ai q& i + Bi ) i = 1, n. Определяя из последнего выражения q& i и подставляя в (2.11.11), найдем 2 ⎤ 1 n 1 n ⎡ 1 ⎛ pi ⎞ F = Φ ∑ ⎢ ⎜ − Bi ⎟ − Ci ⎥ − ∑ U i , ⎠ 2 i =1 ⎢⎣ Ai ⎝ Φ ⎥⎦ Φ i =1

⎤ 1 n ⎡1 2 F= pi − bi ) − ci − 2U i ⎥, ( ∑ ⎢ 2Φ i =1 ⎣ Ai ⎦

(2.11.12)

и уравнение Гамильтона-Якоби автономной канонической системы с гамильтонианом (2.1.12) для производящей функции вида (2.1.22) S0(q) = S + ht запишется в виде

66

Часть I. Методы небесной механики

⎡1 ⎢ ∑ i =1 ⎢ Ai ⎣ n

2 n ⎤ ⎞ ⎛ ∂ S0 ⎟ ⎜⎜ − bi ⎟ − ci − 2U i ⎥ = 2hΦ ∑ ϕ i , ⎥⎦ i =1 ⎠ ⎝ ∂ qi

то есть

⎡1 ⎢ ∑ i =1 ⎢ Ai ⎣ n

2 ⎤ ⎞ ⎛ ∂ S0 ⎜⎜ − bi ⎟⎟ − ci − 2U i − 2hϕ i ⎥ = 0. ⎥⎦ ⎠ ⎝ ∂ qi

(2.11.13)

Это условие удовлетворяется, если положить 1 Ai

2

⎛ ∂ S0 ⎞ ⎜⎜ − bi ⎟⎟ − ci − 2U i − 2hϕ i = γ i ⎝ ∂ qi ⎠

(i = 1, n) ,

(2.11.14)

и при этом n

∑γ

i

= 0.

i =1

Каждое уравнение (2.11.14) интегрируется отдельно разделением переменных, а искомый интеграл уравнения (2.11.13) можно определить, взяв сумму решений всех уравнений (2.11.14). Этот интеграл в итоге представляется в виде: n

{

[

]

S0 = ∑ ∫ bi + Ai (ci + γ i + 2(U i + hϕ i ) i =1

1/ 2

}dq , i

(2.11.15)

так что S = S0 − ht, и теорема Моисеева доказана. Полагая в (2.11.15) bi = ci ≡ 0 (Bi = Ci ≡ 0), мы получим решение Лиувилля. B