Удержание плазмы в магнитных ловушках

ФИЗИКА УДЕРЖАНИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ В. А. РОЖАНСКИЙ Санкт-Петербургский государственный технический университет

ИДЕЯ МАГНИТНОЙ ТЕРМОИЗОЛЯЦИИ

PLASMA CONFINEMENT IN MAGNETIC TRAPS V. A. ROZHANSKY

Particle and energy transport phenomena in a magnetic field caused both by the classical pair collisions and by the development of plasma turbulence are considered. Self-organization processes in magnetic traps which result in the formation of “improved confinement regimes” are analyzed. Prospects of nuclear fusion in modern installations of the “Tokamak” type are considered.

© Рожанский В.А., 2000

Рассмотрены механизмы переноса частиц и энергии плазмы в магнитном поле, как обусловленные классическими парными столкновениями частиц, так и вызванные развитием плазменной турбулентности. Проанализированы явления самоорганизации плазмы в магнитных ловушках, приводящие к формированию режимов улучшенного удержания. Обсуждена возможность реализации управляемого синтеза на базе современных установок типа токамак.

80

www.issep.rssi.ru

Термоядерные реакции синтеза ядер водорода происходят в недрах звезд при огромных температурах порядка сотен миллионов градусов и сопровождаются выделением огромного количества энергии, которая и поддерживает горение звезды. Вещество звезды при таких температурах находится в плазменном состоянии, когда электроны оторваны от ионов, а заряженные частицы, электроны и ионы, образуют в среднем электронейтральный газ – плазму. Говорят, что плазма находится в квазинейтральном состоянии, то есть небольшое разделение зарядов приводит к возникновению сильных самосогласованных электрических полей, которые и поддерживают примерное равенство электрических зарядов в среднем по пространству. Чтобы осуществить в лаборатории управляемый термоядерный синтез (УТС), необходимо выполнение двух условий. Во-первых, плазма должна быть нагрета до температуры порядка ста миллионов градусов, чтобы положительно заряженные ядра водорода могли преодолеть кулоновское отталкивание и сблизиться на расстояние, необходимое для начала реакции синтеза. В результате синтеза изотопы водорода превращаются в гелий и появляются свободные нейтроны, а сама реакция идет с выделением энергии. Во-вторых, концентрация плазмы должна быть достаточно большой и удерживаться в установке она должна достаточно долго, чтобы реакция была управляемой (в отличие от термоядерной бомбы), а энергия, выделяемая в результате реакции, превосходила бы энергетические затраты на нагрев плазмы до термоядерных температур. Наиболее естественный способ удержания плазмы основан на идее удержания заряженных частиц сильным магнитным полем. Идея магнитного удержания или магнитной термоизоляции очень проста. В однородном магнитном поле заряженная частица движется по винтовой траектории (рис. 1) с радиусом, равным ларморовскому радиусу (по имени Дж. Лармора, открывшего вращение заряженных частиц в магнитном поле), υ mυ ρ c = -----⊥- = ---------⊥-, ωc eB

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 1 0 , 2 0 0 0

(1)

ФИЗИКА B

v|| ρc

v

Рис. 1. Траектория заряженной частицы в однородном магнитном поле представляет собой винтовую линию

где m – масса, е – заряд, υ⊥ – перпендикулярная магнитному полю скорость частицы, ωс = eB / m – циклотронная частота вращения. Таким образом, при отсутствии столкновений заряженная частица оказывается приклеенной к силовой линии магнитного поля и не уходит на стенку камеры. Если магнитное поле создавать с помощью соленоида, намотанного на цилиндрическую трубку, а затем трубку свернуть в тор, чтобы предотвратить уход частиц вдоль магнитного поля, получится ловушка токамак, предложенная в Советском Союзе в 50-х годах XX века. Ее существенным элементом является трансформатор, надетый на тор, который создает вихревое электрическое поле, вызывающее в плазме ток, который и нагревает плазму. Аналогичные установки “стелларатор” начали в то же время строить в США. Общий вид самого большого токамака JET (Joint European Torus), построенного в Англии, приведен на рис. 2. На этой установке получены следующие рекордные параметры плазмы: температура 320 млн кельвинов, концентрация 4 ⋅ 1020 м− 3, время удержания энергии (см. ниже) 1,8 с. Магнитное поле в этой установке почти 4 Тл, так что при температуре 100 млн К ларморовский радиус ионов ρci составляет 3,5 мм. Ларморовский же радиус электронов ρce в соответствии с (1) значительно меньше, при одинаковых температурах отношение электронного к ионному ларморовскому радиусу порядка корня из отношения масс частиц. Тем не менее большие (порядка нескольких метров) размеры плазменной камеры все еще недостаточны для осуществления самоподдерживающейся термоядерной реакции, то есть реакции, которая могла бы поддерживаться при отключении внешних источников нагрева. Причина состоит в сложном характере переноса частиц и энергии, приводящего к уходу плазмы на стенки камеры.

Рис. 2. Внешний вид крупнейшего токамака JET (Joint European Torus) (B.E. Keen, J.E. Maple, JET Publication Group 1994). Тороидальное магнитное поле величиной 3,45 Тл создается 32 D-образными катушками, равномерно расположенными вдоль тора. D-образное сечение имеет размеры: вертикальный 4,2 м, горизонтальный 2,5 м. Большой радиус тора 5,88 м. Трансформатор используется для генерации вдоль тора тока величиной до 4,8 МА

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕХАНИЗМ ПЕРЕНОСА ЧАСТИЦ Наиболее простой механизм потерь заряженных частиц из ловушки и ухода на стенку камеры связан со столкновениями электронов и ионов между собой. Так, при столкновении электрона с ионом сильно изменяется импульс электрона, так же как при столкновении с тяжелой стенкой. После столкновения электрон будет продолжать вращаться вокруг нового центра, смещенного относительно первоначального на величину порядка электронного ларморовского радиуса. Так как столкновения представляют собой случайный процесс, то электрон испытывает случайные блуждания в пространстве с характерным шагом ρce . Блуждания электрона напоминают блуждания пьяного человека, который смещается в произвольном направлении и, пройдя расстояние λ, с частотой ν меняет это направление. В результате, несмотря на то что среднее смещение равно нулю, средний квадрат смещения растет линейно со временем, так что с течением времени пьяный оказывается далеко от места старта. Средний квадрат смещения при случайных блужданиях в двух измерениях дается выражением 〈r 2〉 = 4Dt,

Р О Ж А Н С К И Й В . А . УД Е Р Ж А Н И Е П Л А З М Ы В М А Г Н И Т Н Ы Х Л О В У Ш К А Х

(2)

81

ФИЗИКА где коэффициент диффузии 1 2 D = --- λ ν. 3

(3)

Если в (3) в качестве шага случайных блужданий подставить ларморовский радиус электронов ρce , а в качестве частоты – частоту кулоновских электрон-ионных столкновений νei , то с точностью до численного множителя получится классический коэффициент диффузии D

( cl )

1 2 ∼ --- ρ ce ν ei . 3

(4)

Ионы в плазме диффундируют вместе с электронами, что является следствием сохранения суммарного импульса при столкновениях. Время жизни частиц плазмы τp – это время, за которое частица при случайных блужданиях проходит путь, равный радиусу камеры а, то есть уходит на стенку. Согласно (2), имеем 2

a τ p = -------. 4D

(5)

Процесс же остывания плазмы характеризуется энергетическим временем жизни 2

a τ E = ------, 4χ

(6)

где χ – коэффициент температуропроводности для электронов или ионов. При кулоновских столкновениях ионный коэффициент температуропроводности оказывается примерно в m i ⁄ m e раз больше коэффициента диффузии, так как скорость переноса энергии обусловлена ион-ионными столкновениями, при которых шагом случайных блужданий является большой ларморовский радиус ионов. В первых расчетах термоядерного реактора, выполненных А.Д. Сахаровым и И.Е. Таммом, использовались классические значения коэффициентов переноса – диффузии и температуропроводности. Предсказания поэтому были весьма оптимистическими: казалось, особых трудностей на пути удержания плазмы не предвидится. НЕОКЛАССИЧЕСКИЙ ПЕРЕНОС ЧАСТИЦ Уже в первых экспериментах на токамаках выяснилось, что уход плазмы на стенки происходит намного быстрее классического. Одна из причин связана с развитием в плазме многочисленных неустойчивостей и переходом плазмы в турбулентное состояние. В то же время уже в конце 60-х годов XX века стало понятно, что особенности траекторий заряженных частиц в магнитных ловушках должны приводить прежде всего к увеличе-

82

нию классических коэффициентов переноса, то есть коэффициентов переноса, вызванных парными столкновениями и не связанных с развитием турбулентности. Соответствующая теория была разработана А.А. Галеевым и Р.З. Сагдеевым, а новый механизм переноса назван неоклассическим. Чтобы понять механизм неоклассического переноса, рассмотрим траектории частиц в токамаке. Магнитное поле в токамаке состоит из основного тороидального магнитного поля, которое создается намотанными на тор катушками, и полоидального поля, создаваемого током, текущим по тору. Вместе они дают магнитное поле, которое, как нитка, намотано на вложенные друг в друга тороидальные поверхности (рис. 3). Эти поверхности, которым принадлежит магнитная силовая линия, называются магнитными поверхностями. Основное тороидальное магнитное поле есть просто поле тороида (соленоида, свернутого в тор) и поэтому спадает с расстоянием от магнитной оси. На частицу, вращающуюся по ларморовскому кружку, так же как на виток с током, действует при этом сила F, стремящаяся вытолкнуть ее в направлении внешнего обвода. В этом же направлении действует центробежная сила, связанная с движением частицы вдоль силовой линии. Если на частицу в магнитном поле действует постоянная сила, то центр ларморовской окружности испытывает дрейф в направлении, перпендикулярном силе и магнитному полю, со скоростью υg = F / eB. Этот дрейф, называемый тороидальным, зависит от знака заряда – для ионов он направлен вниз, а для электронов – вверх. Попробуем теперь представить себе траекторию иона, скорость которого в точке O направлена на нас. Проекция траектории на сечение тора приведена на рис. 3, а. При этом изображена только траектория центра ларморовского кружка, на это движение еще накладывается вращение по ларморовской окружности радиусом ρci . Движению иона вдоль магнитного поля соответствует в проекции вращение против часовой стрелки, а тороидальный дрейф отклоняет траекторию внутрь магнитной поверхности в верхней ее половине и возвращает траекторию назад к магнитной поверхности в нижней части. В результате ион отклоняется от магнитной поверхности на величину ∆r ∼ υgτ, где τ – время оборота иона, τ ∼ r /(Θυ||), а Θ – отношение полоидального к тороидальному магнитному полю. Для тепловых ионов со скоростями порядка T i ⁄ m i (Ti – температура ионов) отклонение от магнитной поверхности составляет величину ∆r ∼ (ε / Θ)ρci = qρci , где ε = r / R – отношение малого и большого радиусов тора. Таким образом, отклонение от магнитной поверхности в несколько раз больше ларморовского радиуса

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 1 0 , 2 0 0 0

ФИЗИКА а →

B

r

→

R

F O

успевает вызвать их сильное отклонение от магнитной поверхности. Особенность движения таких частиц связана и с тем, что при переходе с внешней стороны тора на внутреннюю их продольная скорость падает из-за действия силы, выталкивающей частицы в область слабого магнитного поля. Если продольная скорость в точке O достаточно мала, то частица отразится от области сильного магнитного поля на внутренней поверхности тора (магнитной пробки) и будет совершать колебания между областями сильного и слабого магнитных полей. Траектория такой запертой частицы с учетом вертикального тороидального дрейфа будет напоминать банан (рис. 3, б ). Типичная скорость бананового иона составляет

∆r

ной поверхности ∆r ∼ qρ ci ⁄ ε. Поэтому шаг случайных блужданий для банановых ионов больше, чем для пролетных. Более того, достаточно лишь небольшого

vg

(порядка εT i ⁄ m i ) изменения их продольной скорости, чтобы характер и даже топология траектории изменились существенно. Поэтому частота случайных блужданий, которую надо подставлять в формулу (3) для банановых частиц, в ε−1 раз больше, чем для пролет-

б →

B

r

R

εT i ⁄ m i , а его отклонение от магнит-

∆r

→

F

ных. В результате, несмотря на малую ( ∼ ε ) долю банановых частиц, их вклад в коэффициенты переноса в режиме редких столкновений является основным. Неоклассический коэффициент диффузии, например, дается выражением

O

D

vg Рис. 3. а – проекция траектории центра ларморовской окружности пролетного иона на плоскость малого сечения токамака. В точке O скорость направлена на читателя; б – проекция траектории центра ларморовской окружности запертого иона на плоскость малого сечения токамака. В точке O скорость направлена на читателя

(в токамаке величина q порядка нескольких единиц) и эта величина входит в выражение (3) в качестве шага случайных блужданий при столкновениях. Коэффициенты диффузии и температуропроводности возрастают при этом в q2 раз, то есть на порядок. Однако еще больший вклад в коэффициенты переноса дают частицы с малыми скоростями вдоль магнитного поля. Действительно, такие частицы долго совершают оборот вокруг тора и тороидальный дрейф

( NEO )

( cl )

D -, ∼ --------3⁄2 ε

(7)

то есть более чем на порядок превосходит классический коэффициент диффузии. В такое же число раз возрастают и остальные коэффициенты переноса. В середине 70-х годов XX века казалось, что неоклассическая теория хорошо описывает по крайней мере теплопроводность ионов. Сформулированная на ее основе формула для расчета ионной температуры, так называемая формула Арцимовича, давала хорошее согласие с измерениями ионной температуры на многих токамаках. Аномальными же, то есть обусловленными плазменной турбулентностью, оставались диффузия и теплопроводность электронов. К сожалению, по мере увеличения параметров установок и роста температуры оказалось, что и ионная теплопроводность является аномальной. Неоклассическая же теория дает лишь минимально возможные коэффициенты переноса. АНОМАЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС В плазме обычно присутствуют различные колебания. Самые крупномасштабные из них, такие, как, например,

Р О Ж А Н С К И Й В . А . УД Е Р Ж А Н И Е П Л А З М Ы В М А Г Н И Т Н Ы Х Л О В У Ш К А Х

83

ФИЗИКА приводящие к вытеканию воды из опрокинутого стакана, удается подавить за счет неоднородного профиля магнитного поля в магнитных ловушках. Однако многочисленные мелкомасштабные неустойчивости, как правило, переводят плазму в турбулентное состояние. Плазменная турбулентность характеризуется случайными колебаниями плотности и связанными с ними колебаниями электрических полей, которые возникают, чтобы поддержать квазинейтральность плазмы. Электроны и ионы под действием хаотического электрического поля E и основного невозмущенного магнитного поля B дрейфуют со скоростью E/B, то есть испытывают случайные блуждания, приводящие к диффузии. Амплитуда блужданий определяется уровнем плазменной турбулентности, а частота смены направлений движения зависит от характерных частот плазменных колебаний. Так как типов колебаний в плазме может быть много, то и соответствующих коэффициентов переноса может быть также несколько. Величину аномального коэффициента диффузии можно оценить из следующих соображений. Каждый тип колебаний в плазме характеризуется инкрементом γ – величиной, обратной характерному времени раскачки неустойчивости. В состоянии развитой стационарной турбулентности рост неустойчивости уравновешен диффузионным затуханием. Характерное время затухания соответствует времени смещения частицы на так называемую длину корреляции (среднюю длину волны), где фаза колебаний, которая является случайной величиной, уже совсем другая. Время диффузионного смещения в соответствии с (2) пропорционально квадрату длины волны (обратно пропорционально волновому вектору k⊥) и обратно пропорционально коэф2 ( AN ) фициенту диффузии: τ ∼ 1 ⁄ ( k ⊥ D ). Приравнивая время затухания ко времени раскачки колебаний (обратному инкременту), получаем оценку аномального 2 ( AN ) коэффициента диффузии D ∼ γ ⁄ k ⊥ . Перебирая различные типы неустойчивостей, можно получить различные коэффициенты диффузии. По современным представлениям самый большой коэффициент аномальной диффузии соответствует коэффициенту диффузии Бома: D

(B)

1 T = ----- ------. 16 eB

(8)

К счастью, в токамаках диффузия оказывается существенно меньше бомовской, в противном случае реализация управляемого термоядерного синтеза оказалась бы проблематичной. Однако и те значения коэффициентов переноса порядка 1 м2/с, которые наблюдаются в современных токамаках, приводят к необходимости строить установки с размером камеры порядка несколь-

84

ких метров, чтобы в соответствии с (5), (6) получить время удержания плазмы порядка нескольких секунд. Такие времена являются уже приемлемыми с точки зрения строительства термоядерного реактора с положительным выходом, хотя сам реактор получается большим и дорогим. В последнее десятилетие, однако, появилось новое обстоятельство, приводящее к уменьшению коэффициентов переноса и улучшению термоизоляции плазмы. ТРАНСПОРТНЫЕ БАРЬЕРЫ И РЕЖИМЫ УЛУЧШЕННОГО УДЕРЖАНИЯ Режим улучшенного удержания был обнаружен случайно на немецком токамаке ASDEX в 1982 году. Оказалось, что при небольшом увеличении мощности дополнительного нагрева плазма может скачком перейти в новое состояние с новыми, более крутыми профилями концентрации и температуры в пристеночной области и пониженными коэффициентами переноса. Режим улучшенного удержания был назван Н-режимом (от англ. high – высокий), а обычный режим – L-режимом (low – низкий). Позднее режимы улучшенного удержания были обнаружены на многих токамаках и были поняты основные механизмы, приводящие к формированию таких режимов. Центральным пунктом здесь является формирование самосогласованного радиального электрического поля. Дело в том, что неоклассический перенос ионов в токамаке происходит немного быстрее электронного. В то же время электроны и ионы должны диффундировать совместно, в противном случае произойдет разделение зарядов и нарушится квазинейтральность плазмы. Такое самосогласованное поле, выравнивающее скорости диффузии электронов и ионов, грубо говоря, соответствует распределению Больцмана для ионов и имеет порядок T/er. Радиальное электрическое поле в магнитном поле тора вызывает вращение плазмы в полоидальном (вдоль окружности малого радиуса) направлении со скоростью υ0 = E/B (рис. 4). Скорость вращения при этом может достигать десятков километров в секунду. Так как радиальное поле есть функция малого радиуса, то вращение плазмы является дифференциальным – на каждом радиусе плазма вращается со своей скоростью. Возникает так называемый шир скоростей (от англ. shear – ножницы). Случайные блуждания при наличии шира скоростей происходят более сложным образом. Явление напоминает растекание краски в реке, у которой наиболее быстрое течение наблюдается в середине и затем спадает до нуля у берегов. В стоячей воде краска расплывается диффузионно по закону (2). При наличии же шира скоростей происходит дополнительное растяжение пятна в направлении течения. Дело в том, что, испытывая случайные

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 1 0 , 2 0 0 0

ФИЗИКА n, 1019 м−3 4

v0 а

46 мс 41

v0 3 →

36 33

E

2

30 28 мс

→

E

б

Рис. 4. Различный характер расплывания облака частиц плазмы: а – при отсутствии шира полоидального вращения, б – с учетом шира полоидального вращения

блуждания поперек потока, частицы совершают дополнительно различные перемещения вместе с потоком в зависимости от своего положения. При этом на больших временах размеры пятна вдоль направления течения растут как t 3/2, а скорость его растяжения зависит от пространственной производной скорости течения. Аналогично и шир вращения плазмы, приводящий к увеличению пути частиц при случайных блужданиях, существенно увеличивает смещение частиц в полоидальном направлении, что приводит к дополнительному затуханию колебаний в турбулентной плазме. Таким образом, при наличии достаточного шира электрического поля коэффициенты аномального переноса уменьшаются. При этом происходит увеличение градиентов концентрации и температуры в той области, где уменьшились коэффициенты переноса, чтобы пропустить те же потоки частиц и тепла. Кроме того, величина электрического поля линейно зависит от градиента концентрации и ионной температуры. Поэтому при увеличении градиентов концентрации и температуры происходят рост электрического поля и его шира, дальнейшее подавление турбулентности и падение коэффициентов переноса. В плазме, таким образом, может возникнуть зона пониженных коэффициентов переноса и резких градиентов концентрации и температуры – транспортный барьер. В первую очередь такой барьер возникает вблизи границы плазмы, где электрическое поле самое сильное. Пример формирования транспортного барьера и перехода из L- в H-режим на токамаке “Туман-3” Физико-технического института им. А.Ф. Иоффе приведен на рис. 5. Процесс перехода осуществляется лавинообразно при превышении широм порогового значения. В Н-режиме коэффициенты переноса на порядок ниже, чем в L-режиме, и

1

0

0,1 Радиус r, м

0,2

Рис. 5. Профили концентрации плазмы n при переходе в режим улучшенного удержания (L–H-переход) в эксперименте на токамаке “Туман-3”. Переход происходит спонтанно на 28-й миллисекунде с момента начала разряда. Вблизи последней замкнутой магнитной поверхности образуется область резкого градиента концентрации плазмы – транспортный барьер, а концентрация плазмы в центральной части возрастает почти вдвое

могут достигать минимально возможного неоклассического значения. Спонтанный переход в режим улучшенного удержания представляет собой пример самоорганизации плазмы. Профиль плазмы и турбулентность, его определяющая, самоподстраиваются, причем одним и тем же глобальным параметрам могут соответствовать различные профили плазмы, так что возможна бифуркация состояний. В последние два-три года получены новые режимы улучшенного удержания, когда транспортные барьеры формируются во внутренней области токамаков, а на токамаке JET получен даже режим с двумя транспортными барьерами: внутренним и краевым. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Обнаружение и исследование режимов улучшенного удержания в токамаках делают возможным реализацию управляемого термоядерного синтеза уже в недалеком будущем. В настоящее время заканчивается проектирование токамака-реактора ITER (интернациональный токамак-реактор) с большим радиусом 6,6 м, на котором будет осуществлена управляемая термоядерная реакция. Вместе с тем процессы аномального переноса в плазме и механизмы его подавления поняты еще далеко не до конца. Связано это как с большим разнообразием плазменных неустойчивостей, так и с отсутствием полной теории плазменной турбулентности. Величина

Р О Ж А Н С К И Й В . А . УД Е Р Ж А Н И Е П Л А З М Ы В М А Г Н И Т Н Ы Х Л О В У Ш К А Х

85

ФИЗИКА самосогласованного электрического поля, которая играет здесь ключевую роль, определяется тонкими эффектами, в частности зависит от очень небольшого различия в скоростях переноса электронов и ионов. Поэтому построение теории процессов переноса в плазме с учетом процессов самоорганизации в ней, возможности формирования областей с различным удержанием, а также узких транспортных барьеров остается одной из наиболее актуальных задач физики плазмы. Применение уже разработанных подходов к другим областям физики плазмы, и в первую очередь к астрофизическим проблемам, несомненно, будет весьма продуктивным. Более подробно с вопросами переноса плазмы и ее удержания в магнитных ловушках можно познакомиться по [1–3]. ЛИТЕРАТУРА 1. Воронов Г.С. Штурм термоядерной крепости. М.: Наука, 1985. 191 с. (Б-чка “Квант”; Вып. 37).

86

2. Чен Ф. Введение в физику плазмы. М.: Мир, 1987. 299 с. 3. Каррерас Б.А., Ньюман Д., Линч В.Е., Даймонд П.Х. Самоорганизованная критичность как парадигма для процессов переноса в плазме, удерживаемой магнитным полем // Физика плазмы. 1996. Т. 22, № 9. С. 819–833.

Рецензент статьи Э.А. Маныкин *** Владимир Александрович Рожанский, доктор физикоматематических наук, профессор кафедры физики плазмы Санкт-Петербургского государственного технического университета. Область научных интересов – процессы переноса в полностью и частично ионизованной плазме. Автор более 120 научных работ и двух монографий.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 1 0 , 2 0 0 0