Начала тензорного исчисле-ния: методические рекомендации

Е.Б. Сандаков, С.Г. Селиванова

НАЧАЛА ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Методические рекомендации

Москва 2009 0

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Е.Б. Сандаков, С.Г. Селиванова

НАЧАЛА ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Методические рекомендации

Москва 2009 1

УДК 514.743(07) ББК 22.151.5я7 С 18 Сандаков Е.Б., Селиванова С.Г. Начала тензорного исчисления: методические рекомендации. – М.: МИФИ, 2009. – 40 с. Предназначены для студентов МИФИ второго курса всех специальностей, изучающих курс векторного анализа и тензорного исчисления. Даны начальные сведения о тензорах с тем, чтобы студент мог, используя эти начальные сведения, приступить в случае необходимости к изучению более углубленной литературы о тензорах. Приведено большое число примеров, которые способствуют лучшему усвоению студентами данного материала. Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. С.Г. Артышев Рекомендовано к изданию редсоветом МИФИ

ISBN 978-5-7262-1136-7

© Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2009

2

Оглавление Вводная часть ................................................................................... 4 Глава I. Примеры тензоров............................................................. 5 § 1. Линейная функция ................................................................. 5 § 2. Вектор .................................................................................... 6 § 3. Билинейная форма ................................................................. 8 § 4. Линейное преобразование ..................................................... 8 Глава II. Определение и простейшие свойства тензора .............. 9 § 5. Аффинный ортогональный тензор ...................................... 10 § 6. Тензор как линейный оператор ........................................... 11 § 7. Действия над тензорами ...................................................... 11 § 8. Разложение тензора 2-го ранга на симметричный и антисимметричный ........................................................... 16 § 9. Дифференцирование тензора по скалярному аргументу ............................................................................. 22 § 10. Дифференцирование тензора по координатам ................... 25 § 11. Приведение симметричного тензора 2-го ранга к главным осям .................................................................... 26 Глава III. Поле тензора .................................................................. 28 § 12. Дивергенция тензора ........................................................... 28 § 13. Формула Гаусса – Остроградского для поля тензора ......... 29 § 14. Правила применение тензорной символики в векторных операциях ........................................................ 32 Рекомендуемая литература ........................................................... 38

3

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ В естествознании и технике приходится иметь дело с физическими величинами различной математической природы. Это различие проявляется, например, в характере их аналитического выражения и в законах преобразования их аналитического выражения при переходе от одной системы координат к другой. Простейшими с точки зрения математической природы физическими величинами являются скалярные величины, например масса тела, объем тела, длина вектора и т.д., инвариантные относительно преобразования координат. Каждая скалярная величина в любой системе координат выражается одним числом, которое не зависит от выбора системы координат. Следующим по сложности математической природы являются векторные величины, например скорость, ускорение, сила и т.п. Векторная величина в 3-мерном пространстве в каждом базисе определяется тройкой чисел – тройкой проекций вектора на оси координат, т.е. тройкой координат вектора в данном базисе, причем эти координаты при переходе от одного базиса к другому преобразуются по определенному закону. Следующими после векторов по сложности математической природы являются физические величины, называемые тензорами. Они играют роль линейных операторов над векторами. Такими величинами описывается, например, проводимость в анизотропном теле. В изотропном теле вектор плотности тока j и вектор напряженности электрического поля E коллинеарны, т.е.

j

E,

(1)

где – скалярный множитель ( > 0) – проводимость. В анизотропном теле j и E , вообще говоря, не коллинеарны, и множитель является линейным оператором, преобразующим вектор E в вектор j . Этот оператор называется тензором проводимости. Если выбрать в пространстве какой-нибудь базис e1 , e2 , e3 и разложить по этому базису векторы j и E : 4

j

j1e1

j 2 e2

j 3e3

j k ek ,

E

E1e1

E 2 e2

E 3e3

E k ek ,

(номера координат вектора условимся писать сверху), то равенство (1) можно заменить эквивалентной системой трех скалярных равенств jk

k i

Ei ,

k 1, 2, 3.

Таким образом, тензор проводимости в каждом базисе определяется девятью числами i k (i, k 1, 2, 3), которые называются координатами тензора в данном базисе. n

Замечание. В тензорной алгебре вместо j k

k i

E i принято

i 1

k

k

i

писать j i E , при этом подразумевается, что по повторяющемуся индексу происходит суммирование в соответствии с размерностью пространства. Такой индекс называют немым, он может быть обозначен любой буквой: k i

Ei

l m

Em.

Глава I. ПРИМЕРЫ ТЕНЗОРОВ § 1. Линейная функция Пример 1. Пусть f x – линейная форма в n-мерном евклидовом пространстве L. Выберем в L ортонормированный базис e . Пусть x тогда

x1e1

f x

x 2e2

a1 x1

x n en an x n

x i ei – произвольный вектор из L, ai x i , где ai

f ei . Перейдем к но-

вому ортонормированному базису e . Пусть ei

ci1e1

cin en

n k 1

5

cik ek

cik ek .

В матрице перехода C

c11

c12

c1n

c12

c22

cn2

c1n c2n cnn (условимся верхним индексом обозначать номер строки, нижним – номер столбца). При переходе к новой системе координат

 ei заметим, что ei

  e1 en e1 e2

c11

c12

c1n

c12

c22

cn2

c1n

c2n

cnn

,

en . n

Пусть в новом базисе x

' xi ei

' xi ei , тогда f x

ai x i , где

i 1

ai

f ei

f cik ek

cik ak .

(2)

Таким образом, линейная функция в каждом базисе определяется строчкой из n чисел a1 , a2 , ..., an , зависящих от одного (нижнего) индекса, причем при переходе к новому базису эти числа преобразуются по формулам (2), т.е. так же, как базисные векторы (ковариантно). § 2. Вектор Пример 2. В заданном базисе каждый вектор определяется строкой из n чисел – его координат: ( x1, x 2 ,..., x n ) . В новом ОНБ e тот же вектор представляется другой строкой ( x1 , x 2 , ..., x n ), причем если C – матрица перехода от e к e , то x k C kj ' x j . С kj ek (как нетрудно заметить, С kj

Действительно, e j Так как x k ek x k ek ' x j C kj ek

' x je

j

(e j , ek )) .

, то, используя выражение для e j , получим

. Из этого равенства в силу единственности разло-

жения по базису имеем 6

xk

' x j C kj ,

(3)

что и требовалось доказать. Так выражаются старые координаты через новые. Теперь выразим новые координаты через старые x i . Пусть обратная матрица C 1 bki . Так как C C 1 C 1 C E , то Cki b kj bki C kj 1, i 0, i

j j

i . j

Таким образом, Cki b kj Умножив (3) на x k bki

' x j C kj bki

i x j, j

bki C kj bki

i j

.

и просуммировав по k, получим

откуда следует ' xi

bki x k .

Вывод. Новые координаты x i вектора x получаются из старых его координат x i с помощью матрицы С 1, обратной к С, коэффициенты разложения x i по x i образуют строки матрицы С 1. В двух рассмотренных примерах есть нечто общее, позволяющее заключить их в рамки общего определения. И линейная функция, и вектор в каждом базисе определяются n числами, соответственно, a1 , a2 , ..., an и x1, x2 , ..., xn , причем при переходе к новому базису эти числа преобразуются линейно с помощью матрицы C, т.е. так же, как базисные векторы в случае линейной функции и с матрицей C 1 в случае вектора. Коэффициенты линейной функции (так же, как координаты вектора) представляют собой пример тензора, если назвать тензором заданную в каждом базисе упорядоченную систему чисел, линейно преобразующихся при переходе от одного базиса к другому по определенному закону. Оба рассмотренных тензора называются одновалентными, так как определяются системами чисел a1 , a2 , ..., an или x1, x2 , ..., xn , зависящих от одного индекса. Коэффициенты линейной функции при переходе к новому базису преобразуются так же, как базисные векторы, в этом случае говорят, что они образуют ковариантный, т.е. “сопреобразующийся” тензор, преобразующийся одинаково с базисными векторами. 7

Координаты вектора – пример контравариантного тензора, т.е. противопреобразующегося. § 3. Билинейная форма Пусть в n-мерном вещественном евклидовом пространстве R задана инвариантная билинейная форма A x, y . Тогда, если x

R , то A x , y

y k ek

xi e i , y

aik xi y k , где aik

функция A x, y

A xi ei , y k ek

xi y k A ei , ek

A ei , ek . В заданном базисе e

билинейная

представляется билинейной формой aik xi y k от

координат векторов x и y с коэффициентами aik . Перейдем к новому базису е с матрицей перехода C. Если

x

xi ei ,

y

y k ek , то

A ' xi ei ,' y k ek

A x, y

' xi ' y k A ei , ek

aik ' xi ' y k , где aik

A ei , ek

A cij e j , ckh eh

cij ckh A e j , eh

cij ckh a jh .

(4)

Таким образом, билинейная форма A x, y в каждом базисе определяется системой из n 2 чисел aih , зависящих от двух индексов, причем при переходе к новому базису эти числа преобразуются по закону (4), т.е. по каждому индексу так же, как базисные векторы. Это пример двухвалентного тензора, зависящего от двух индексов, ковариантного по обоим индексам (дважды ковариантного). § 4. Линейное преобразование Каждое линейное преобразование A в n-мерном линейном вещественном пространстве R в заданном базисе e представляется матрицей A

a ki . При переходе к новому базису e с матрицей

перехода C матрица A преобразуется в C 1 AC . Как выражаются элементы aki матрицы C 1 AC через элементы aki матрицы A? В матрице AC элемент p-го столбца и k-й строки равен a jp ckj ; в матрице C 1 AC элемент i-й строки и k-го столбца равен bip a jp ckj , т.е. 8

' a ki

b ip a jp c kj

c kj b ip a jp .

(5)

Таким образом, линейное преобразование А в каждом базисе определяется системой из n 2 чисел aki , занумерованных двумя индексами, нижним и верхним, причем при переходе к новому базису эти числа преобразуются по закону (5) – по нижнему индексу так же, как базисные векторы, а по верхнему – с обратной матрицей, контравариантно базисным векторам. Это – пример тензора валентности, равной двум (зависящего от двух индексов, один раз ковариантного и один раз контравариантного). Это – смешанный двухвалентный тензор. Рассмотрим смешанный двухвалентный тензор, координаты которого в некотором фиксированном базисе e определяются равенством i j

1, i 0, i

j; j.

В новом базисе e

'

i j

c jp bqi

c jp bip

q p

Таким образом, координаты тензора

i j. i j

одинаковы во всех сис-

темах координат. Это объясняется тем, что в первоначальном базисе e элементы ij составляют единичную матрицу, следовательно, соответствующий тензор определяет тождественное преобразование, матрица которого одна и та же во всех базисах.

Глава II. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ТЕНЗОРА Пусть в каждом базисе в n-мерном линейном вещественном пространстве L задана система из n p

q

i ...i

чисел ak1 ...kq 1

p

(индексы

i1 , …, iq , k1 , …, k p независимо друг от друга пробегают значения 1, 2, …, n). Если при переходе к новому базису с матрицей перехода C эти числа преобразуются по закону i ...i

' ak1 ...kq 1

p

ckj1 ckj2 1

2

j

ck p bhi1 p

9

1

i

h ...h

bhq a j1... jq , q

1

p

(6)

то говорят, что задан аффинный p + q-валентный тензор, p раз коi ...i

вариантный и q раз контравариантный. Числа ak1 ...kq 1

p

называются

координатами тензора. Число r p q называется рангом тензора. Скаляр, т.е. величину, имеющую во всех системах координат одно и то же значение (одну координату), считают тензором нулевого ранга, вектор – тензор первого ранга (контравариантный). Если координаты двух тензоров одинакового строения совпадают в одном базисе, то они совпадают и во всех остальных базисах (значит, эти тензоры равны), так как при переходе к новому базису координаты обоих тензоров преобразуются одинаково. Поэтому для того, чтобы задать тензор данного строения, достаточно задать его координаты в какой-нибудь одной системе координат. § 5. Аффинный ортогональный тензор Рассмотрим евклидово пространство E n . В нем определено скалярное произведение x , y . Это – симметричная билинейная форма. Рассмотрим ортонормированный базис (ОНБ), в нем i ei , ek ik . Если x x ei , то x , ek

Если С



xi ei , ek

xi ei , ek

xi

ik

xk .

сki – матрица перехода от одного ОНБ e к другому

ОНБ e , то ei

cij e j . Умножая это равенство скалярно на e j , по-

лучим: ei , e j

С другой стороны, если ei , e j

ej

cij .

bij ei , то аналогично получаем

bij , где B C 1. Следовательно, bij

cij , т.е. элемент об-

ратной матрицы получается из элемента прямой транспонированием матрицы. Такие матрицы называются ортогональными. Транспонированная матрица здесь совпадает с обратной, т.е. CT C 1. При переходе к новому базису в случае ОНБ теряется различие между верхними и нижними индексами: 10

j j ... jq

' ti i1 ...2 i 12

e e ...e

j j ... j m ...m

ci 1i 2...i p bm1 ...2 m q te e1 ...eq

p

12

p

1

q

1 2

p

e e ...e

m ...mq m1...mq t . 1 2 ... jq e1e2 ...e p

ci 1i 2...i p c j 1j 12

p

Определение тензора в евклидовом пространстве. Говорят, что в евклидовом пространстве E n задан аффинный ортогональный тензор (евклидов тензор), если при любом выборе ОНБ e имеем n r чисел ti1i2 ...ir , которые при переходе к любому другому ОНБ e матрицей перехода C

с

cki преобразуются по закону cil1il2......ilr tl1l2 ...lr ,

ti1i2 ...ir

12

r

где li – индексы суммирования. § 6. Тензор как линейный оператор Аффинный ортогональный тензор второго ранга можно рассматривать как линейный оператор над векторами евклидова пространства. Пусть задан аффинный ортогональный тензор второго tki . Матрицу тензора удобно трактовать как матрицу ранга tik некоторого оператора A ~ tki . Пусть, кроме того, B ~ ski . Тогда ski

tki ~ B

A,

tki ~ A, т.е. так определенный оператор явля-

ется линейным. § 7. Действия над тензорами I. Сложение и вычитание тензоров. Тензоры одинакового ранга можно суммировать и вычитать. Например, имеем два тензора одинакового ранга: S : si1i2 ...ir и T : ti1i2 ...ir . По определению тензор S T имеет координаты si1i2 ...ir

ti1i2 ...ir .

В новом базисе e si1i2 ...ir ti1i2 ...ir

cie1 1

cier se1...er r

cie1 1

cier te1...er r

cie1 1

cier se1...er te1...er . r

Таким образом, координаты тензора S T преобразуются по тензорному закону. 11

II. Умножение тензора на число. Имеем тензор T : ti1i2 ...ir произвольного ранга r. По определению тензор ti1i2 ...ir .

T имеет координаты

III. Умножение тензоров. Перемножать можно тензоры любых рангов. Имеем тензор S : si1i2 ...ir ранга r1 и тензор T : t j1 j2 ... jr ран1

2

га r2 . По определению S T – это тензор ранга r1 r2 с координатами si1i2 ...ir1 t j1 j2 ... jr . Число таких произведений nr1 r2 . Проверим, 2

что так определенная величина S T является тензором. Для этого достаточно показать, что при переходе к новому базису координаты S T преобразуются по базисному закону:

si1i2 ...ir t j1 j2 ... jr 1

2

e ...er1 m1m2 ...mr2 c se1...er tm1...mr . 1 2 ...ir1 j1 j2 ... jr2 1 2

ci 1i

Это тензор ранга r1 r2 . IV. Свертка (свертывание индексов). Операцией, специфической для тензоров, является свертка по какой-либо паре индексов. Например, берем тензор T ранга r 2. Пусть в заданном базисе его координаты ti1i2 ...ir . Фиксируем любые два индекса, например im и is : ti1i2 ...im ...is ...ir

1 m s

r . Сверткой тензора T по паре индексов

im и is называется тензор ранга r 2, имеющий координаты ti1i2 ... j( m ) ... j( s ) ...ir . По индексу j происходит суммирование.

Докажем, что в результате получается тензор r – 2-го ранга. Пусть для определенности r 4 : имеем тензор t i1i2i3i4 . Произведем свертку по индексам i2 , i4 , получим тензор ti1 ji3 j , второй и четвертый индексы – свободные. Свернутый тензор в новом базисе ti1 ji3 j Cil1 C lj2 Cil3 C lj4 tl1l2l3l4 C lj2 C lj4 Cil1 Cil3 tl1l2l3l4 Cil1 Cil3 tl1ll3l , l2 l4 l , – 1

3

1`

3

1

3

l2l4

тензор второго ранга. Например, если произведение двух тензоров первого ранга ai b j подвергнуть свертке, получится скалярное произведение векторов 3

a, b

ai bi

ai bi – скаляр-тензор нулевого ранга.

i 1

12

V. Скалярное умножение тензора на вектор. Рассмотрим тензор T : tki и вектор u u j . Скалярным произведением тензора T на



вектор u (справа) является вектор: T u (свертка по индексам k и j):

v

t11 t12 t13

t12 t22 t23

t31 t32 t33

u1 u2 u3

tki u j . T u

t11u1 t12u 2 t31u 3 t12u1 t22u 2 t32u 3 t13u1 t23u 2 t33u 3

v : vi

tki u k

t1k u k tk2u k . tk3u k

Таким образом, vi tki u k . VI. Скалярное умножение тензоров. Имеем два тензора в заданном базисе: S : s ij и T : tkl . Скалярным произведением тензоров называется свертка этих тензоров по двум индексам:

s ij tkj .

S T

Так как тензоры S и T определяют линейные операторы A и B соответственно, то свертка их по индексам j и l – смешанный тензор второго ранга d ki s ij tkj , который определяет линейное преобразование AB. Свертка s ij tkj по i и k clj

sij til соответствует произ-

ведению BA. Все примеры рассматриваем в E 3 . Пример 3. Имеем векторное поле r u r

u1 x1 u2 x1 u3 x1

u1 , u 2 , u 3

u1 x2 u2 x2 u3 x2

C1 . Производные

u1 x3 u2 . x3 u3 x3 13

x1 , x 2 , x3

ui xk

и функцию

составляют матрицу

Убедимся в том, что это – тензор, обозначим его дим к новому базису e . В новом базисе e

r

du . Перехоdr ' x1 , ' x 2 , ' x3 ,

'ui выражаются ' xk через старые производные по тензорному закону. Точка, где рассматриваем производные, фиксирована: ' u1 , 'u2 , 'u3 . Докажем, что производные

u

' ui ' ui ' xk

bij

uj ' xk

bij

uj xl

bij u j , x k

xl ' xk

bij

clk ' xl ;

l p u j cp ' x xl ' xk

p k

bij ckl

uj xl

cij ckl

uj , xl

что и требовалось доказать.

du образует тензор, dr du так как при переходе к новому базису координаты преобразуdr ются по тензорному закону j j ' ui i cl u i bk u ; b b j k j l ' xk xl xl Таким образом, показали, что производная

dr

dx1 , dx 2 , dx3 .

du dr dr

du – дифференциал вектор-функции du

ui k dx xk

du i ,

du dr . dr

ui ui , получим . div( u ) xk xi Таким образом, дивергенция векторного поля – это свертка тенdu ui зора . dr xk Пример 4 (тензор деформаций). Рассмотрим некоторое деформируемое тело, любую точку которого в системе координат Ox1x2 x3 будем определять ее радиусом-вектором r xi ei : r OM (рис. 1). Если свернуть

14

Рис. 1

Пусть тело подверглось деформации. Точка M r лась на вектор u , заняла положение M ' r описывается полем смещений u

u . Эта деформация

u1e1 u 2e2

точке M приращение и рассмотрим точку M1 r мировании она перейдет в точку M1 r тела в окрестности данной точки M r

перемести-

u 3e3

u i ei . Дадим

dr . При дефор-

u du . Деформацию

dr

можно охарактеризовать

изменением длин всевозможных отрезков MM 1 , MM 2 , …, выходящих из точки M r

в достаточно малой ее окрестности. Рас-

смотрим изменение длины отрезка MM 1 при деформации тела. Длина MM 1 равна dr . Отрезок MM 1 переходит в M M 1 , его длина равна dr ется величина 2 1 A M M1 2

du

i

du ei

du . За меру изменения длины отрезка принимаMM1

2

du1 , du 2 , du 3

Таким образом, A

2 1 dr du 2 dr dxi ei ,

dr

2

2 1 2dudr du ; 2

u1 k u 2 k u 3 k dx , k dx , k dx xk x x

1 ui 2 k dx k dxi 2 x 15

ui k dx ei . xk

ui k ui m dx dx . xk xm

ui ui xk xm можно пренебречь и тогда получаем квадратичную форму относительно переменных dx1, dx2 , dx3 , коэффициенты которой образуют тензор второго ранга, называемый тензором деформаций: Так как рассматриваем малые деформации, то членами

A

u1 1 1 dx dx x1

1 2 2

u1 2 1 dx dx x2

2

u2 1 2 dx dx x1

u2 2 2 dx dx x2

2

u3 1 3 dx dx x1

u3 2 3 dx dx x2

Y11dx12 Y22 dx 22 Y33dx32 2Y31dx1dx3

u1 3 1 dx dx x3 u2 3 2 dx dx x3 u3 3 3 dx dx x3

2Y21dx1dx 2

2Y32 dx 2 dx3 ,

1 ui uk ui i Yk Y ; . i k 2 xk xi xi Матрица тензора деформаций имеет вид

где Yii

u1 x1

1 2

1 2

u1 x2

u2 x1

1 2

u1 x3

u3 x1

u1 x2

u2 x1

u2 x2 1 2

u3 x2

u2 x3

1 2

u1 x3

u3 x1

1 2

u2 x3

u3 x2

.

u3 x3

§ 8. Разложение тензора 2-го ранга на симметричный и антисимметричный Все рассмотрения проводим в пространстве E 3 . Имеем тензор с координатами tik (или t ki ) в заданном базисе. Сопряженным ему называется тензор tik*

tki . 16

Тензор T : tik называется симметричным, если T * T , т.е. tik tki . Тензор T называется антисимметричным, если T * T , т.е. tik tki . Из определения следует, что по главной диагонали антисимметричного тензора стоят нули: 0 a12 a13 a12 0 a23 . a13 a23 0 Таким образом, симметричный тензор второго ранга определяется шестью своими координатами, а антисимметричный – тремя недиагональными координатами. Примером симметричного тензора является тензор деформаций. Простейшим примером антисимметричного тензора второго ранга является векторное произведение двух векторов. Действительно, пусть в базисе e даны два вектора: a ai ei , b bi ei . a, b

e1 e2 e3 a1 a 2 a3 b1 b 2 b3

a 2b3 a3b 2 e1

a3b1 a1b3 e2

a1b 2 a 2b1 e3 .

Векторы a и b являются тензорами первого ранга, система девяти величин Lij ai b j a j bi образует тензор второго ранга. Этот тензор – антисимметричный, так как Lij Lji и определяется, следовательно, тремя своими координатами. Пусть T – произвольный тензор, тогда 1 1 T T T* T T* , 2 2 это равносильно для координат тензора равенству 1 1 tik tik tki tik tki . 2 2 Первые слагаемые в правой части образуют симметричный тензор, вторые – антисимметричный. 17

Таким образом, любой тензор второго ранга представляется в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. du Пример 5. Является ли симметричным тензор ? Иначе: в каdr du ком поле u тензор симметричен? dr Его матрица u1 u1 u1 1 2 x x x3 du u2 u2 u2 . x1 x2 x3 dr u3 u3 u3 x1 x2 x3 Сопряженный тензор

du * имеет матрицу dr

u1 x1 u1 x2 u1 x3

du * dr

Когда Так как

u2 x1 u2 x2 u2 x3

u3 x1 u3 . x2 u3 x3

du du *? = dr dr

ui xk

uk , то это означает, что rot u xi e1 e2 e3 rot u

x1 u1

Так как rot u 0 , то U C 2 : u grad U , т.е.

x2 u2

поле 18

x3 u3

u

0. Действительно,

0

потенциально,

значит

ui

ui xk

U , xi

2U

uk xi x k xi 2U ui , т.е. x k xi xk

2U

; x k xi 2U uk так как U C 2 , то i k , следовательно, x x xi du du матрица тензора симметрична. Отсюда следует, что тензор dr dr симметричен в потенциальном поле. Пример 6. Диаду ab разложить на симметричный и антисимметричный тензоры. a1b1 a1b 2 a1b3 1 1 ab a 2b1 a 2b 2 a 2b3 ab ba ab ba ; 2 2 3 1 3 2 3 3 ab ab ab

ba

a1b1 a1b 2 a1b3

a1b1 1 ab ba 2

1 1 2 ab 2 1 1 3 ab 2

a 3b1 a 3b 2 ; a 3b 3

1 1 2 ab 2

a 2b1

a 2b 2 1 2 3 a b 2

1 1 2 ab 2

0 1 ab ba 2

a 2b1 a 2b 2 a 2 b3

a 2b1 a3b1

;

1 2 1 1 2 a b ab 2 1 3 1 1 3 a b ab 2 1 2

a3b 2

0

3

3 2

19

a3b 2

a3b3

1 1 3 a b a3b1 2 1 2 3 a b a3b 2 2

a 2 b3

0

2

0 1

a3b1

a 2b1

0 1 3 2 ab 2

1 1 3 ab 2 1 2 3 a b 2

1

0

;

;

e1 1 2 3 b3 b a a 2b3 ; a1b3 a3b1 ; a 2b1 a1b 2 . 2 1 2 3 a3 1 1 Таким образом, ab ab ba b, a . 2 2 Пример 7 (тензор относительных смещений). Рассмотрим деформированное состояние тела. Пусть a – вектор смещения точки da r : a a r . Приращение вектора a : da dr – тензор относиdr da тельных смещений – скалярное произведение тензора на векdr da ai тор dr , , его матрица: xj dr a1 a1 a1 x1 x2 x3 da a2 a2 a2 : . x1 x2 x3 dr a3 a3 a3 x1 x2 x3 1 b, a 2

e1 e1 1 1 b b2 2 1 a a2

Тензор, сопряженный с

da dr

a1 a2 a3 x1 x1 x1 da a1 a2 a3 *: x2 x2 x2 dr a1 a2 a3 x3 x3 x3 Таким образом, grad a – это тензор.

grad a

a.

da на симметричный и антисимметричный. dr Симметричный тензор

Разложим тензор

20

a1 x1 1 da 2 dr

a

1 2

a1 x2

a2 x1 1 2

a3 x2

a2 x3

1 2

a1 x2

a2 x1

0 a

1 2

a1 x2

a2 x1

1 2

a1 x3

a3 x1

1 2 3

где

a2 x3

a1 x3

a3 x1

1 2

a2 x3

a3 x2

–

a3 x3

1 2

a1 x3

a3 x1

1 2

a2 x3

a3 x2

a3 x2

0

2

0

2

1 2

0

0 3

a2 x1

a2 x2

1 a1 a3 2 x3 x1 тензор деформации. Антисимметричный тензор

1 da 2 dr

a1 x2

1 2

,

1

0

1

1 rot a , т.е. 2

1 2

a3 x2

e1

e2

e3

1 2 x1 a1

x2 a2

x3 a3

a2 1 ; 3 2 x

a1 x3

a3 1 ; 1 2 x

a2 x1

a1 x2

.

Если вектор a есть вектор смещения частиц упругого тела, то da тензор , где D – тензор деформации; – тензор относиD dr тельного поворота. 21

В потенциальном поле rot a 0 , следовательно, относительные смещения происходят за счет чистой деформации. Если тело не деформируемо, то относительные смещения происходят за счет чистого поворота. Таким образом, тензор относительных смещений da 1 da dr Ddr dr Ddr rot a , dr , 2 dr e1 e2 e3 dr. так как , dr 1 2 3 1 2 3 dx dx dx § 9. Дифференцирование тензора по скалярному аргументу Рассмотрим случай, когда независимой переменной является скалярный аргумент, например время t. Задание тензора T (t ) осуществляется или с помощью задания его матрицы 1 1 1 t1 t2 t3 T (t ) t12 t22 t32 , или в диадной форме T (t ) Ti ei . Убедимся в t13 t23 t33 том, что всякий тензор T трех диад t11 Ti ei : t12 1 0 0 t13

t12 t22 t23

tki

0 1 0

можно представить в виде суммы t31 t32 t33

0 0 1

t11 t12 t13

0 0 0 0 0 0

...

tki .

Заметим, что понятия непрерывности тензора, предела и т.п. могут быть введены так же, как непрерывность и предел функции. Определение. Производной тензора T (t ) по аргументу t называT (t t ) T (t ) dT ется lim , если этот предел существует. Таким t 0 t dt образом,

dT dt

tki или

dT dt

Ti ei . Мы всегда будем предполагать,

что этот предел существует и непрерывен. Все основные свойства 22

производных функций сохраняются и для производных от тензора, d T1 T2 dT1 dT2 d mT dm dT например , , если m – T m dt dt dt dt dt dt скалярная функция от t. Если T – тензор, a – вектор, зависящие от d Ta dT1 dT dT da d T1T2 t, то ; T2 T1 2 . Выведем форa T dt dt dt dt dt dt мулу для дифференцирования обратного тензора. Если существует такой тензор A, что AT I ( I – единичный тензор), то тензор A называется обратным для тензора T и обозначается T 1. Не для всякого тензора существует обратный тензор. Действительно, если D A – определитель матрицы тензора A, D T – определитель матрицы тензора T, то D( A) D(T ) D( I ) , а D( I ) 1 , следовательно, D(T ) должен быть отличным от нуля, т.е. тензор должен быть полным. Полнота тензора является необходимым и достаточным условием существования обратного тензора T 1. Пусть T t – полный переменный тензор, так что определитель этого тензора D T 0 . Пусть T 1 – обратный тензор, так что TT 1 I .

dT 1 dT 1 T T 0 , так как I – постоянный тензор, отсюда dt dt dT 1 dT 1 T T . Умножая обе части этого равенства слева на dt dt dT 1 dT 1 T 1, получим T 1 T . Иногда приходится решать дифdt dt ференциальные уравнения, где неизвестными являются тензоры. Пример 6. dX (7) UX , dt где X (t ) – искомый тензор; U – заданный постоянный тензор. Если бы мы имели обыкновенное дифференциальное уравнение dx x ( – постоянное), то решением была бы функция dt 2t 2 3t 3 x e t 1 t ... Проверим, не будет ли сумма ряда 2! 3! 23

U 2t 2 U 3t 3 ... решением тензорного 2! 3! уравнения (7). Обозначим X1 (t ) eUt , дифференцируем X1 (t ) по t: тензоров

dX1 dt

U

X1 (t ) I Ut

U 2t 1!

U 3t 2 2!

... U I

Ut 1!

U 2t 2 2!

...

UX1 (t ) ,

напом-

1 0 0 ним, что I – тензор с матрицей 0 1 0 . Мы показали, что функ0 0 1

ция X1 (t ) eUt удовлетворяет уравнению

dX dt

UX . Предполага-

Ut U 2t 2 ... сходится и его можно почленно 1! 2! дифференцировать. Это легко доказывается. Ищем теперь общее решение уравнения (7). Пусть X (t ) X1 (t )Y (t ) , где Y (t ) – новая dX1 dX dX1 dY неизвестная функция: , но Y X1 UX1 , dt dt dt dt dY dX dY X1 0 , X1 (t ) eUt UX UX1Y UX1Y X1 UX1Y dt dt dt Ut имеет обратный тензор e , т.е. является полным, тогда dY 0 Y C – постоянный тензор. Таким образом, общим реdt шением уравнения (7) является X (t ) eUt C , где С – постоянный лось, что ряд I

U 2t 2 U 3t 3 ... . 2! 3! Положим в формуле X (t ) eUt C t 0 и так как X1 (0) eU 0 I , получаем, что X (0) C. Таким образом, С – начальное значение тензора X (t ) . Замечание. Обратим внимание на подчеркнутое равенство dY X1 0 . Из равенства нулю произведения двух тензоров не dt следует, что хотя бы один из них является нулевым. тензор, eUt определяется рядом X1 (t )

24

I Ut

Действительно, 1 0 0 0 1 0 0 0 0

AA

рассмотрим

0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0

тензор

0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0

e2 ,

0 0 0 0 0 0 0 0 0

A e1e2 A

–

с

матрицей:

ненулевой

тензор,

– нулевой тензор. Если же в

равенстве AB 0 один из тензоров является полным det A 0 , то другой тензор равен нулю. Получим X1 зор,

X1 (t ) I Ut

U 2t 2 2!

U 3t 3 3!

dY dt

0 , X 1 – полный тен-

... , I – тензор с матрицей

1 0 0 0 1 0 . 0 0 1

§ 10. Дифференцирование тензора по координатам Рассмотрим тензор T

tki

и вектор r

x1 , x 2 , x3 . Производ-

ной тензора T называется совокупность величин ном пространстве их будет 27).

dT dr

tki xj

(в трехмер-

tki . При дифференцироxj

вании ранг тензора увеличивается на единицу. Для этого достаточно доказать, что при переходе к новому базису координаты тензора tki преобразуются по базисному закону. xj

25

Действительно, в новом базисе h h tki (csm x s ) xm l bi tl l bi tl c c k h k h xj xm x j xm xj h t h ( xs ) l c h c m tl ckl cih csm lm c k i j x xj xm sj

1, s j

ранг тензора увеличился на единицу. § 11. Приведение симметричного тензора 2-го ранга к главным осям Будем интерпретировать аффинный ортогональный тензор как линейный оператор Ta b tki a k bi . Если вектор b коллинеа-



рен вектору a , т.е. если вектор a после преобразования с помощью линейного оператора T изменяет только свою величину, не  изменяя направления, то направление вектора a называется главным направлением тензора T. Если b a , то величина называется главным значением тензора T. Оно показывает, во сколько раз тензор T увеличивает векторы, направленные по главным осям тензора, направление главных осей тензор не меняет. Найдем главные значения и главные оси тензора. Уравнение Ta a равносильно трем уравнениям: t11a1 t12 a 2 t31a 3 a1 ti1a i a1 ; t12 a1 t22 a 2 t32 a 3 a 2 ti2 a i a2 ; t13 a1 t23 a 2 t33a3 a3 ti3a i a3 , или tik ai ak , k 1, 2, 3. Имеем три линейных однородных уравнения относительно a1 , a 2 , a3 : t11 t12 a1

a1 t12 a 2

t31a3

0;

t22

t32 a3

0;

a3

0,

t13a1 t23a 2

a2 t33 26

(8)

Эта система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю. t11 t12 t31 t12 t22 t32 0. 3 3 3 t1 t2 t3 Это уравнение называется характеристическим(вековым). Из него определяем – главное значение тензора. При данном из системы (8) находим отношение a1 : a2 : a3 , т.е. главное направление тензора, отвечающее главному значению . Если тензор симметричен, т.е. если его матрица в каждом базисе e симметрична, то все корни характеристического уравнения вещественны. Можно так выбрать нормированные собственные векторы e1 , e2 , e3 , отвечающие собственным значениям 1 , 2 , 3 , чтобы они представляли ортогональный нормированный базис (ОНБ) и в этом ОНБ матрица тензора T будет иметь диагональную форму, так как известно, что линейный оператор задается в базисе e диагональной матрицей тогда и только тогда, когда векторы этого базиса являются собственными векторами линейного оператора. Таким образом, в этом ОНБ все элементы тензора, кроме диагональных, обращаются в нуль и сам тензор принимает простейший 0 0 1 0 0 . Преобразование вектора b Ta имеет провид T 2 0 0 3 1 2 2 3 3 стой вид b1 1a , b 2a , b 3a . Для симметричного тензора направления осей e1 , e2 , e3 , являются главными направлениями, а величины 1 , 2 , 3 – главными значениями. Таким образом, в случае симметричного тензора существуют три главных направления и три главных значения. Выбор базиса e , в котором матрица тензора имеет диагональную форму, называется приведением тензора к главным осям.

27

Глава III. ПОЛЕ ТЕНЗОРА § 12. Дивергенция тензора Если каждой точке M некоторой области D пространства ставится в соответствие тензор T ~ tik , то говорят, что в области D задано поле тензора T. Обобщим определение вектора и дадим определение аффинного ортогонального тензора в пространстве E 3 в такой же форме. Определение. Если в каждом ОНБ дана упорядоченная совокупность трех чисел x1 , x 2 , x3 , которые при переходе к новому базису преобразуются по закону x i евклидовом пространстве bki

bki x k или xi

cik x k (так как в

cik ), то совокупность этих чисел

( x1, x2 , x3 ) называют аффинным ортогональным вектором x . Введем понятие тензора, обобщив это определение. Если в каждом ОНБ дана совокупность векторов T1 , T2 , T3 , которые при пе-

реходе к новому базису преобразуются по закону Ti

Cik Tk , то со-

вокупность этих трех векторов T1 , T2 , T3 называется ортогональным тензором второго ранга. Векторы T1 , T2 , T3 можно называть составляющими тензора T по осям e1 , e2 , e3 . Иногда аффинные ортогональные тензоры 2-го ранга называют аффинорами. Разложим векторы T1 , T2 , T3 по базису e . T1

t11e1 t12 e2

t13e3

T2

t2i ei ;

T3

t3i ei .

t1i ei ;

Определим дивергенцию тензора T с составляющими T1 , T2 , T3 . Предположим, что T

C1 ( D) , т.е. tki

C1 ( D) (координаты тензора

являются функциями координат точки M ( x1, x2 , x3 ) ). Дивергенцией тензора T называется вектор 28

div T

t11 e1 x1

t12 e2 x1

t31 e1 x3 1

div T e1

T3 T1 T2 dx1 dx 2 dx3 t13 t12 e e1 3 x1 x2

t33 e3 x3

t32 e2 x3 div T

2

e2

ti1 e1 xi

div T

Таким образом, div T – вектор

3

e3

Ti dxi t22 e2 x2

t23 e3 x2

ti2 e2 xi

ti3 e3 xi i

div T ei

tik ek . xi

tik ek . xi

§ 13. Формула Гаусса – Остроградского для поля тензора Пусть tik – координаты тензора T, которые принадлежат классу C1 D . По аналогии с вектором тензор можно представить в виде

суммы T T1e1 T2e2 T3e3 , ствительно, t11 t12 t31 t11 T t12 t22 t32 t12 t13 t23 t33 t13 t11 t12 1 0 0 t13

t12 t22 t23

т.е. в виде суммы трех диад: Ti ei . Дей0 0 0 0 0 0

0 1 0

0 t12 0 t22 0 t23 t31 t32 t33

0 0 0

0 0 t31 0 0 t32 0 0 t33

0 0 1

tki .

Определим в каждой точке поля для каждого направления n вектор Tn Tn T1 cos n , x1 T2 cos n , x 2 T3 cos n , x3 . Рассмотрим интеграл

Tn dS и применим к нему формулу Гаусса – ОстроS

градского: 29

T1 cos n, x1

nTdS S

T2 cos n, x 2

T3 cos n, x3 dS

S

V

T1 x1

T3 dV x3

T2 x2

V

Ti dV . xi

Напишем эту формулу в более развернутом виде:

Tn dS

T1 cos n, x1

TndS

S

S

T2 cos n, x 2

T3 cos n, x3 dS

S

t1k ek

cos n, x1

t2k ek cos n, x2

t3k ek cos n, x3 dS

S

t1k cos n, x1

t2k cos n, x 2

t3k cos n, x3 dSek

S

V

Таким образом,

tik ek dV xi

V

div TdV , т.е. поток тензора через замк-

nTdS S

div TdV .

V

нутую поверхность (так называется левая часть равенства) равен тройному интегралу от дивергенции тензора T по объему, ограниченному этой поверхностью. Применим эту формулу к выводу уравнения движения сплошной среды (рис. 2). Выделим элементарную область в движущейся сплошной среде. По второму закону Ньютона, если рассматривать область , заполненную массой, как материальную точку, то Рис. 2 d dt

f

pn d ,

(9)

где – объемная плотность массы; – объем области; f – объемная сила, приходящаяся на единицу массы; pn – напряжение на 30

элементарной площадке d с единичным нормальным вектором n ; pn dS Tnd , где T – тензор напряжений. По формуле Гаусса – Остроградского: Tnd 1

e1

div T d

e2

div Td div T

По теореме о среднем e3

div T

3 . *

Tnd

2

d

e3

e1

div T

div T

1 *

3

d .

e2

Подставляем правую часть в (9), деля на

ходя к пределу при

div T

2 *

и пере-

стягивается в точку M), получаем dv уравнение движения сплошной среды f div T . Это выраdt жение – уравнение в векторной форме. В проекциях на оси координат получаем три скалярных уравнения: M (

Расшифруем, например,

dv1 dt dv2 dt dv3 dt

f2

ti1 xi

t11 x1

f1

f3

31

ti1 ; xi ti2 ; xi ti3 . xi

t12 x2

t31 . x3

§ 14. Правила применения тензорной символики в векторных операциях В

ортонормированном

e

ei , ek

ik

;

если

ik . Рассмотрим числа ei , e j , ek xk где i 1, 2, 3 , j 1, 2, 3, k 1, 2, 3. 1, если (i, j, k ) имеет четное число транспозиций; 1, если (i, j, k ) имеет нечетное число транспозиций; ijk 0, если среди индексов (i, j, k ) имеются равные;

x

x1 , x 2 , x3 , то

базисе

xi

1 , 132 Покажем, что 123

ijk

,

1 , 213 1, 231 1 , 312 1 , 321 1. ijk представляют тензор 3-го ранга. Для этого

достаточно доказать, что при переходе к новому базису они ei , e j , ek преобразуются по тензорному закону: ijk

cil el , chj eh , ckq eq

cil chj ckq

lhq .

Таким образом, величины

ijk

представляют тензор 3-го ранга, который меняет знак при отражении, т.е. равен 1 в правой системе координат и равен –1 в левой системе координат. Понятие аксиального тензора в E3. Выберем ОНБ e в E3 . Рассмотрим величину 1, если базис правый; 1, если базис левый. Величина называется псевдоскаляром. Таким образом, если скаляр инвариантен при преобразовании координат, то псевдоскаляр – величина, которая меняет знак при переходе от правой системы координат к левой. Например, смешанное произведение векторов – псевдоскаляр. Аксиальным тензором ранга r в E3 будем называть произведение T , где – псевдоскаляр; T – тензор ранга r . В частности, если T – вектор T a , то a будем называть псевдовектором (аксиальным вектором). Векторы типа векторного произведения – акси32

альные, так как они меняют знак при переходе от правой системы координат к левой. Как пользоваться аксиальным тензором ijk в векторном исчислении? Тензор

ijk

обладает свойством

il

im

jl

jm

,

ijk lmk

ij

–

символ Кронекера. Доказательство. Можно доказать, что il

im

is

jl

jm

js

kl

km

ks

ijk lms

.

1. Если в i, j, k или l , m, s есть совпадающие индексы, то это очевидно. 2. Все индексы различны: i, j, k – четная перестановка;

l , m, s – четная, тогда

ijk lms

11

12

13

21

22

23

31

32

33

ijk lmk

1 и т.д.;

E

il

im

ik

jl

jm

jk

kl

km

.

1

Пусть i k . Если бы i k , то имели бы 0 очевидное равенство. Пусть j

k , если j

k: 0

il

im

ij

jl

jm

1

jl

jm

1

33

0.

il

im

1

jl

jm

jl

il

im

1

0 –

Таким образом, i

k и

k, j

ijk lmk

il

im

jl

jm

kl

0 0 1

km

il

im

jl

jm

.

Векторное исчисление можем рассматривать как частный случай тензорного: i k a , b a i bi ik a b ;

ai xi

div a

ik

i

a, b

ai ; xk

ijk a

j bk

.

Действительно,

a, b

i

ei , a j e j , b k ek

a, b , ei

rot a Докажем это. Пусть rot a

i

rot a , ei

i ijk

ei ,

j ak

a j bk ei , e j , ek

grad

i

ei ,

ei ,

je

je

ei ,

ei , e j , ek

ijk

i

xi

Доказательство:

j,a

.

j

ij

Рассмотрим основные векторные операции. rot u , v u , rot v . 1. div u , v Доказательство: div u , v uj ijk

xi

vk

xi

u,v

i

vk j u ijk xi v , rot u

xi

kij u

34

xj

jvk

uj uj kij xi u , rot v .

vk

ke k

ak ; xj

ei , e j

j

j bk ;

ak . xj

,a

grad

ijk a

jik

vk xi

xi

.

2. rot rot u grad div u Доказательство:

rot u

i

rot rot u

ijk

ijk lmk

il jm

im jl

l i ,m j

k ijk

xj

um xl

xj

um xl

xj

u.

il

im

jl

jm

xj xj

um xl

xj

uj xi

um xl

xj

klm

um xl

xj

ui xj

m i ,l j

uj xj

xi

2u i

(grad div u )i

x j2

(

2 u )i .

3. Чему равен rot u , v ? Доказательство: rot u , v

u, v

i ijk

il

im

jl

jm

im jl m il j

ijk

xj

xj

m ul m l v v u xj xj

ul m v xj v,

k

u

ul i

Таким образом, rot u , v

vm xj u div v

klm u

ijk lmk

ul m v xj

il jm l im j

ui j v xj i

l vm

ui

v div u

u div v v div u

vj xj

xj

i

u,

v,

u

uj

vi xj

i

v .

u,

4. Доказать, что u , rot v v , rot u u , v v , u grad u , v . Доказательство. Пусть i -я координата левой части

35

vm xj

ul

uj i v xj

ul vm

v.

j k ijk u (rot v ) j

ijk lmk v

j k ijk v (rot u )

um xl

vi xj

uj

vi

uj

xj

ui xj

vj vj

vi xj

uj

ui xj

il

ijk

im

jl

uj

ui xj

vj

vm xl

uj

jm

vj

vj

vm xl um xl

uj xi

vj

xi

j lmk u

l i ,m j

uj

vi xj

vj

ui xj

uj

vi xj

vj

ui xj

vj xi

uj

uj xi

vj

xi

u,v ,

m i ,l j

что и требовалось доказать. 5. Чему равен rot c , f (r )r , если c – постоянный вектор. rot c , f (r )r

c , f (r )r

i ijk

ijk lmk

ci

il

im

jl

jm

f (r ) j j x x r

xj f (r ) m x xj

cl cl

ci f (r )

k

cl f (r )

f (r ) j m x x r xj xj

cj

f (r ) j i x x r

f (r ) 2 r 3cl f (r ) r 1, j i; xi 3, j 0, i j. x

Таким образом, rot c , f (r )r 6. Вычислить

n, u

xm xj c j f (r )

xi xj

m i ,l j

f (r ) c , r xi r

ci

xj xj

xm xj

cl f (r )

l i ,m j

так как

cl f (r ) x m xj

ijk lmk

cf (r )r

n, rot u r ds.

s

36

f ( r )c i ,

f (r ) c, r r r

2cf (r ) .

n, u

i

n , rot u r

i

ds

s

ijk n

ju k

xi n j

jlm

s

um ds, xl

применяем формулу Гаусса – Остроградского: ijk v

ijk v

uk xj

ijk

xj

jlm

jlm

um

xj

xi u m x j xl

ilm

i jlm x

xl

xi v

так как

um xl

xi

jlm x

dv

2u m

i

x j xl

dv

j i

uk v

uk xj

2u m

x j xl l

xl

xi

dv

rot u dv

v

xl

ljm

um dv xj

0,

l

, ,u 0. rot u div rot u 0 и xl Таким образом, n, u n, rot u r ds 0 . s

Изложенный метод применения тензорной символики в векторных операциях широко используется в физических курсах, читаемых в МИФИ.

37

Рекомендуемая литература 1. Кочин И.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. – М.: Изд-во АНСССР, 1951. 2. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. – М.: Наука, 1965.

38

Евгений Борисович Сандаков Светлана Григорьевна Селиванова

НАЧАЛА ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Методические рекомендации

Редактор М.В. Макарова Оригинал-макет изготовлен С.В. Тялиной

Подписано в печать 18.06.2009. Формат 60 84 1/16. Уч.-изд. л. 2,5. Печ. л. 2,5. Тираж 350 экз. Изд. № 057-1 Заказ № 000

Московский инженерно-физический институт (государственный университет). Типография МИФИ. 115409, Москва, Каширское ш., 31. 39

ДЛЯ ЗАМЕТОК

40