Лекции по квантовой механике

Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ.Ì. Êèðîâà

Ã.À. Ðîçìàí

ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÅ

Ïñêîâ 2003 1

ÁÁÊ 22.314 Ð649

Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ êàôåäðû ôèçèêè è ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì. Êèðîâà

Ðîçìàí Ã.À. Ð649 Ëåêöèè ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå. - Ïñêîâ: ÏÃÏÈ, 2003. - 156 ñ. Ð649

Àâòîð ïðèçíàòåëåí Ãåíåðàëüíîìó äèðåêòîðó ÎÎÎ «ÏÎ N-P-N», äåïóòàòó Îáëàñòíîãî Ñîáðàíèÿ äåïóòàòîâ Ïñêîâñêîé îáëàñòè Èãîðþ Íèêîëàåâè÷ó Ñàâèöêîìó çà áëàãîòâîðèòåëüíóþ ïîìîùü â èçäàíèè äàííîé êíèãè.

© Ðîçìàí Ã.À., 2003

ISBN 5-87854-214-5

© Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ.Ì. Êèðîâà (ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà), 2003 2

Ïðåäèñëîâèå Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ÿâëÿåòñÿ òðåòüåé ÷àñòüþ êóðñà òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, èçó÷àåìîé ñòóäåíòàìè ôèçè÷åñêîé ñïåöèàëüíîñòè. Êàê èçâåñòíî, êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ñîâìåñòíî ñî ñïåöèàëüíîé òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè è ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêîé îáðàçóþò ôóíäàìåíò ñîâðåìåííîãî åñòåñòâîçíàíèÿ. Èìåííî ïîýòîìó áóäóùèé ó÷èòåëü ôèçèêè îáÿçàí îñíîâàòåëüíî èçó÷èòü ýòó èíòåðåñíóþ è âàæíóþ íàóêó, èìåþùóþ íå òîëüêî ó÷åáíîå, íî è ìèðîâîççðåí÷åñêîå çíà÷åíèå.  äàííîì ó÷åáíîì ïîñîáèè êîíñïåêòèâíî ïðåäñòàâëåíà îñíîâíàÿ ÷àñòü ïðîãðàììíîãî ìàòåðèàëà, îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëåíî ðàñêðûòèþ åãî ôèçè÷åñêîãî ñîäåðæàíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò êâàíòîâîé ìåõàíèêè èçëîæåí â ðàíåå èçäàííîì ïîñîáèè, ïîýòîìó îí íå âêëþ÷åí â äàííîå èçäàíèå. Èñêëþ÷åíû òàêæå íåêîòîðûå âîïðîñû, êîòîðûå ïî íàøåìó ìíåíèþ, ïåðåãðóæåíû ìàòåìàòè÷åñêèìè ðàñ÷åòàìè è èçëîæåíèå êîòîðûõ ìîæíî íàéòè â ëþáîì ó÷åáíèêå ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Íå âêëþ÷åíû â ïîñîáèå è çàäà÷è, òàê êàê íàìè âûïóùåí ñïåöèàëüíûé “Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå”. Ïðîô. Ã.À. Ðîçìàí

3

....

4

Ââåäåíèå Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà-ýòî ðàçäåë òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, â êîòîðîì ðàññìàòðèâàþòñÿ ñâîéñòâà è ñòðîåíèå àòîìîâ è ìîëåêóë, ñâîéñòâà àíñàìáëåé (ñèñòåì) ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ñîâðåìåííîé ôèçèêè òâåðäîãî òåëà (çîííîé òåîðèè), íà åå ïîëîæåíèÿõ ïîñòðîåíà êâàíòîâàÿ õèìèÿ è êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà è äðóãèå ðàçäåëû òåîðåòè÷åñêîé è ýêñïåðèìåíòàëüíîé ôèçèêè. Íåîáõîäèìî ðàçëè÷àòü ïîíÿòèÿ “êâàíòîâàÿ ôèçèêà” è “êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà”. Ïåðâîå ïîíÿòèå - áîëåå îáùåå è íàðÿäó ñ êâàíòîâîé ìåõàíèêîé âêëþ÷àåò â ñåáÿ êàê óïîìÿíóòûå âûøå ðàçäåëû, òàê è òàêèå íàóêè, êàê êâàíòîâàÿ ýëåêòðîíèêà, òåîðèÿ êâàíòîâàííûõ ïîëåé è ò.ä.  îñíîâå êâàíòîâîé ôèçèêè ëåæèò ôóíäàìåíòàëüíîå ïîëîæåíèå î äèñêðåòíîñòè ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö â àòîìàõ è àíñàìáëÿõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö.  îñíîâó æå êâàíòîâîé ìåõàíèêè ïîëîæåíà èäåÿ î êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîì äóàëèçìå â ïðîÿâëåíèè ñâîéñòâ ÷àñòèö ìèêðîìèðà, à äèñêðåòíîñòü èçìåíåíèÿ ôèçè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ñëåäóåò êàê ñëåäñòâèå îñíîâíîãî ïîëîæåíèÿ. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ñôîðìèðîâàëàñü â ïåðèîä 1925-1927 ã.ã. â ðàáîòàõ âåëèêèõ ôèçèêîâ ÕÕ â. Ý.Øðåäèíãåðà, Â.Ãåéçåíáåðãà, Í.Áîðà, Ì.Áîðíà, Ï.Äèðàêà è äð. Êàê è ëþáàÿ ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ, êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà îïèðàåòñÿ íà ýêñïåðèìåíòàëüíûå ôàêòû. Îíà íå òîëüêî îáúÿñíÿåò òå ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, êîòîðûå âûçâàëè íåïðåîäîëèìûå çàòðóäíåíèÿ â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå, íî è ïðåäñêàçàëà ðÿä íîâûõ ÿâëåíèé, âïîñëåäñòâèè îáíàðóæåííûõ ýêñïåðèìåíòàëüíî. Áóäó÷è áîëåå îáùåé ôèçè÷åñêîé òåîðèåé, êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ïîä÷èíÿåòñÿ ïðèíöèïó ñîîòâåòñòâèÿ, âêëþ÷àÿ â ñåáÿ, êàê ïðåäåëüíûé ñëó÷àé, êëàññè÷åñêóþ ìåõàíèêó.

5

Ãëàâà 1 1. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå îñíîâàíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè 1.1. Ðàçðåøåíèå “óëüòðàôèîëåòîâîé êàòàñòðîôû”  êîíöå Õ1Õ â. ýêñïåðèìåíòàëüíî áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî èçëó÷åíèå àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíàì Âèíà, Ñòåôàíà-Áîëüöìàíà, Êèðõãîôà. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïëîòíîñòè èçëó÷åíèÿ u îò ÷àñòîòû n, îñíîâàííûé íà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, èçîáðàæåí íà ðèñ.1. Òåîðèÿ ÿâëåíèÿ, îñíîâàííàÿ íà êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèÿõ - òåîðèÿ Ðåëåÿ-Äæèíñà - äàâàëà èíóþ çàâèñèìîñòü, êîòîðàÿ íà ãðàôèêå èçîáðàæåíà ïóíêòèðíîé ëèíèåé: ÷åì áîëüøå ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ n, òåì áîëüøå ïëîòíîñòü ýíåðãèè èçëó÷åíèÿ u. Ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû, ïëîòíîñòü ýíåðãèè èçëó÷åíèÿ òàêæå ðàñòåò íåîãðàíè÷åííî. Ýòîò âûâîä êëàññè÷åñêîé òåîðèè è ïîëó÷èë íàçâàíèå “óëüòðàôèîëåòîâàÿ êàòàñòðîôà”. Âûõîä èç êðèçèñíîé ñèòóàöèè, â êîòîðîì îêàçàëàñü êëàññè÷åñêàÿ ôèçèêà, áûë íàéäåí íåìåöêèì ôèçèêîì Ìàêñîì Ïëàíêîì. Íà çàñåäàíèè íåìåöêîãî ôèçè÷åñêîãî îáùåñòâà îí äîëîæèë (ýòî áûëî â ñàìîì êîíöå XIX â., 14 äåêàáðÿ 1900ã), ÷òî íàøåë âûõîä èç “óëüòðàôèîëåòîâîé êàòàñòðîôû”. Îí ñäåëàë ðåâîëþöèÐèñ. 1. îííîå ïðåäïîëîæåíèå: àòîìû íàãðåòîãî òåëà èçëó÷àþò ýíåðãèþ íå íåïðåðûâíî, êàê âñåãäà ñ÷èòàëîñü â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå, à ïîðöèÿìè, äèñêðåòíî. Ïðè÷åì, íàèìåíüøàÿ ïîðöèÿ èçëó÷åíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ÷àñòîòå èçëó÷åíèÿ: E = hν , ãäå âåëè÷èíà h ÿâëÿëàñü ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, âïîñëåäñòâèè îíà ñòàëà íàçûâàòüñÿ ïîñòîÿííîé Ïëàíêà è âîøëà â ÷èñëî ìèðîâûõ êîíñòàíò, îïðåäåëÿþùèõ ñóùåñòâîâàíèå íàøåé Âñåëåííîé. 14 äåêàáðÿ 1900 ã. âîøëî â èñòîðèþ ÷åëîâå÷åñòâà êàê äàòà ðîæäåíèÿ êâàíòîâîé ôèçèêè. 6

 1905 ã. À. Ýéíøòåéí îáîáùèë èäåþ Ïëàíêà, èñïîëüçîâàâ (ïðèìåíèâ) åå äëÿ îáúÿñíåíèÿ ÿâëåíèÿ ôîòîýôôåêòà. Îí ïðåäïîëîæèë, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ íå òîëüêî èçëó÷àåòñÿ è ïîãëîùàåòñÿ ïîðöèÿìè, êâàíòàìè, íî è ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âíå àòîìîâ ëîêàëüíûìè îáðàçîâàíèÿìè, êâàíòàìè.  1927 ãîäó àìåðèêàíñêèé ôèçèê Ëüþèñ äàë èìÿ êâàíòó ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè, íàçâàâ åãî ôîòîíîì.

1.2. Ìîäåëè ñòðîåíèÿ àòîìà è êâàíòîâàÿ òåîðèÿ Í.Áîðà Ïîñëå îòêðûòèÿ ïåðâîé ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû-ýëåêòðîíà â 1897 ã., áûëè ïðåäëîæåíû ìîäåëè ñòðîåíèÿ àòîìîâ.  1901 ã. Òîìñîí ïðåäëîæèë òàêóþ ìîäåëü: àòîì ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîå îáëàêî, âíóòðè êîòîðîãî âêðàïëåíû ýëåêòðîíû. Òàê êàê àòîì â íîðìàëüíîì ñîñòîÿíèè íåéòðàëåí, òî ñóììàðíûé çàðÿä ýëåêòðîíîâ äîëæåí ðàâíÿòüñÿ çàðÿäó ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîãî îáëàêà. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî òàêàÿ ìîäåëü ìîãëà îáúÿñíèòü íåêîòîðûå ÿâëåíèÿ, îíà áûëà ôèçè÷åñêè íåñîñòîÿòåëüíîé.  êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå Ìàêñâåëëà äîêàçûâàåòñÿ (òåîðåìà Èðíøîó), ÷òî ñòàòè÷åñêàÿ ñèñòåìà çàðÿäîâ íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ â óñòîé÷èâîì ðàâíîâåñèè. À àòîìû ñóùåñòâóþò ìèëëèàðäû ëåò.  ñëåäóþùåì ãîäó äðóãîé ôèçèê ëîðä Êåëüâèí “óñîâåðøåíñòâîâàë” ýòó ìîäåëü: â ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîì îáëàêå ýëåêòðîíû ðàñïîëàãàþòñÿ ïî îáîëî÷êàì è íàõîäÿòñÿ â äâèæåíèè. Îäíàêî, è ýòà ìîäåëü îêàçàëàñü ôèçè÷åñêè íåñîñòîÿòåëüíîé: óñêîðåííî äâèæóùåéñÿ çàðÿä, óòâåðæäàåò êëàññè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà, äîëæåí èçëó÷àòü ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû è, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, ïîòåðÿâ ýíåðãèþ, îñòàíîâèòñÿ. Íåñêîëüêî ëåò àíãëèéñêèé ôèçèê Ý. Ðåçåðôîðä èçó÷àë ðàññåÿíèå ðàäèîàêòèâíûõ èçëó÷åíèé ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç òîíêóþ ìåòàëëè÷åñêóþ ôîëüãó. Íàðÿäó ñ ÷àñòèöàìè, ðàññåÿííûìè â íàïðàâëåíèè ïåðâîíà÷àëüíîãî äâèæåíèÿ, áûëè îáíàðóæåíû ÷àñòèöû, ðàññåÿííûå â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè.  1911 ã. Ðåçåðôîðä ïðåäëîæèë íîâóþ ìîäåëü âíóòðåííåãî ñòðîåíèÿ àòîìà, ïîçâîëèâøàÿ åìó îáúÿñíèòü ïàðàäîêñàëüíûå ðåçóëüòàòû åãî îïûòîâ. Ñâîþ ìîäåëü îí íàçâàë “ïëàíåòàðíîé “, òàê êàê îíà íàïîìèíàëà åìó ñîëíå÷íóþ ñèñòåìó ïëàíåò: â öåíòðå àòîìà íàõîäèòñÿ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîå ÿäðî, â êîòîðîì ïðàêòè÷åñêè ñîñðåäîòî÷åíà âñÿ ìàññà àòîìà, âîêðóã ÿäðà âðàùàþòñÿ (êàê ïëàíåòû âîêðóã Ñîëíöà) ýëåêòðîíû (ñåãîäíÿ ìû íàçâàëè áû ýòó ìîäåëü ÿäåðíîé, à íå ïëàíåòàðíîé, òàê êàê ìîäåëü Ðåçåðôîðäà òîëüêî âíåøíå ïîõîæà íà ñîëíå÷íóþ ñèñòåìó). È ýòà ìîäåëü, ïî òîé æå ïðè÷èíå, ÷òî è ìîäåëü Êåëüâèíà, ôèçè÷åñêè íåñîñòîÿòåëüíà. 7

Ìîäåëü Ðåçåðôîðäà áûëà “ñïàñåíà” â 1913 ã. äàòñêèì ôèçèêîì Íèëüñîì Áîðîì áëàãîäàðÿ ââåäåíèþ â êëàññè÷åñêóþ ôèçèêó ïàðàäîêñàëüíûõ äëÿ íåå óòâåðæäåíèé-ïîñòóëàòîâ. Èõ äâà: 1.  àòîìå ñóùåñòâóþò ñòàöèîíàðíûå ýëåêòðîííûå îðáèòû, íàõîäÿñü íà êîòîðûõ ýëåêòðîí íå èçëó÷àåò ýíåðãèþ. 2.Òîëüêî ïðè ïåðåõîäå ñ îäíîé îðáèòû íà äðóãóþ ýëåêòðîí ïîãëîùàåò èëè èçëó÷àåò ýíåðãèþ. Ïåðâîíà÷àëüíî â òåîðèè Áîðà áûëî åùå îäíî óòâåðæäåíèå: ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà ïðè ïåðåõîäå ñ îäíîé îðáèòû íà äðóãóþ èçìåíÿåòñÿ äèñêðåòíî. Íåìåöêèé ôèçèê Çîììåðôåëüä óñëîæíèë ìîäåëü Áîðà, ââåäÿ íàðÿäó ñ êðóãîâûìè îðáèòàìè è ýëëèïòè÷åñêèå îðáèòû. Áëàãîäàðÿ ýòîìó ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà â àòîìå ñòàëî îïðåäåëÿòñÿ äâóìÿ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè: ãëàâíûì (ââåäåííûì åùå Áîðîì) è îðáèòàëüíûì.  òîì æå 1913 ã. íåìåöêèå ôèçèêè Ôðàíê è Ãåðö ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâèëè ñóùåñòâîâàíèå â àòîìàõ äèñêðåòíûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé, òåì ñàìûì ãèïîòåçà Í. Áîðà ïåðåøëà â ðàíã òåîðèè (õîòÿ è íå ïîíÿòíîé ñ ïîçèöèé êëàññè÷åñêîé ôèçèêè).  1921 ã. òåîðèÿ Áîðà ïîëó÷èëà åùå îäíî ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå: â îïûòàõ Øòåðíà è Ãåðëàõà áûëî îáíàðóæåíî íîâîå êâàíòîâàíèå ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíîâ â àòîìå (ìû íå ðàññìàòðèâàåì ýòè ôàêòû ïîäðîáíî, òàê êàê ýòî äåëàåòñÿ â êóðñå îáùåé ôèçèêè, íàøà çàäà÷à - íàìåòèòü ýòàïû ðàçâèòèÿ ôèçèêè, ïðèâåäøèå åå ê ñîçäàíèþ êâàíòîâîé ìåõàíèêè - îñíîâíîìó îáúåêòó äàííîãî êóðñà).

1.3. Âîëíîâûå è êîðïóñêóëÿðíûå ñâîéñòâà ñâåòà Ê íà÷àëó Õ1Õ â ñîïåðíè÷åñòâå äâóõ òåîðèé ñâåòà (êîðïóñêóëÿðíîé è âîëíîâîé) ââåðõ îäåðæàëà âîëíîâàÿ òåîðèÿ. Ó ñâåòà áûëè îáíàðóæåíû òàêèå ÿâëåíèÿ, êàê èíòåðôåðåíöèÿ, äèôðàêöèÿ è ïîëÿðèçàöèÿ, êîòîðûå ìîãëè áûòü îáúÿñíåíû íåïðîòèâîðå÷èâî ñ îäíèõ ïîçèöèé òîëüêî èñõîäÿ èç òåîðèè, ÷òî ñâåò-ýòî âîëíîâîé ïðîöåññ, ñâåò èìååò âîëíîâóþ ïðèðîäó. Äæ. Ìàêñâåëë â ñâîåé ýëåêòðîäèíàìèêå ïîêàçàë, ÷òî ñâåò ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûìè âîëíàìè.  1887 ã. Ã. Ãåðö ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæèë ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû. Íî â òîì æå ãîäó òîò æå Ã. Ãåðö îáíàðóæèë íîâîå ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå, íàçâàííîå ôîòîýôôåêòîì: ïîä âîçäåéñòâèåì ñâåòà ìåòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíêà ïðèîáðåòàåò ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä. Ðîññèéñêèé ôèçèê À.Ñòîëåòîâ óñòàíîâèë äâà çàêîíà ýòîãî ÿâëåíèÿ: 8

1. Âåëè÷èíà ôîòîòîêà çàâèñèò îò èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåãî ñâåòîâîãî ïîòîêà; 2. Ýíåðãèÿ âûëåòàþùèõ çàðÿäîâ îò èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåãî ñâåòà íå çàâèñèò. Âòîðîé çàêîí íå ìîã áûòü îáúÿñíåí ñ òî÷êè çðåíèÿ âîëíîâîé òåîðèè. È òîëüêî â 1905 ã. À.Ýéíøòåéí, èñõîäÿ èç êîðïóñêóëÿðíûõ ïðåäñòàâëåíèé î ñâåòå, ñìîã îáúÿñíèòü âñå îñîáåííîñòè îáíàðóæåííîãî Ãåðöåì ÿâëåíèÿ. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â âèäå êîðïóñêóë - êâàíòîâ, Ýéíøòåéí íàïèñàë ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:

mv 2 hν = A + , 2

(1)

êîòîðîå âûðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè ïðè ôîòîýôôåêòå. Ñëåâà ñòîèò âåëè÷èíà ýíåðãèè êâàíòà ñâåòà (ïî ãèïîòåçå Ïëàíêà),ñïðàâà-ïåðâûé ÷ëåí îïðåäåëÿåò ðàáîòó ïî âûðûâàíèþ çàðÿäà(â äàííîì ñëó÷àå ýëåêòðîíà) èç ìåòàëëè÷åñêîé ïëàñòèíêè,âòîðîé ÷ëåí îïðåäåëÿåò êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà.  1923 ã àìåðèêàíñêèé ôèçèê À. Êîìïòîí ýêñïåðèìåíòàëüíî èçó÷èë ðàññåÿíèå ñâåòà íà íåïîäâèæíûõ ýëåêòðîíàõ.  ðåçóëüòàòå ðàññåÿíèÿ óìåíüøàëàñü ÷àñòîòà ñâåòà. Âîëíîâàÿ òåîðèÿ íå ìîãëà îáúÿñíèòü ýòîò ýôôåêò. Ñîãëàñíî êëàññè÷åñêîé òåîðèè ÷àñòîòà ðàññåÿííîãî ñâåòà äîëæíà îñòàòüñÿ ïðåæíåé. Òîëüêî ðàññìàòðèâàÿ ñâåò êàê ïîòîê êîðïóñêóë, êâàíòîâ, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëû ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè è ðåøàÿ çàäà÷ó íà ñòîëêíîâåíèå, ìîæíî áûëî îáúÿñíèòü âñå îñîáåííîñòè ýôôåêòà Êîìïòîíà. Èòàê, ñóùåñòâóþò ÿâëåíèÿ (èíòåðôåðåíöèÿ, äèôðàêöèÿ, ïîëÿðèçàöèÿ), â êîòîðûõ ñâåò ïðîÿâëÿåò âîëíîâûå ñâîéñòâà, â äðóãèõ (ôîòîýôôåêò, êîìïòîí-ýôôåêò) – êîðïóñêóëÿðíûå. Íî î÷åíü âàæíî îòìåòèòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ýêñïåðèìåíòà, â êîòîðîì âîëíîâûå è êîðïóñêóëÿðíûå ñâîéñòâà ó ñâåòà ïðîÿâëÿëèñü áû îäíîâðåìåííî.

1.4. Êîðïóñêóëÿðíûå è âîëíîâûå ñâîéñòâà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö Ê íà÷àëó 20-õ ãîäîâ ÕÕâ. áûëè èçâåñòíû òðè ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû: ýëåêòðîí, ïðîòîí è ôîòîí.  ÿâëåíèè Êîìïòîíà, â ôîòîýôôåêòå, â îïûòàõ ïî ðàññåÿíèþ àòîìîâ (îïûòû Ðåçåðôîðäà) ïðè íàáëþäåíèè îòêëîíåíèÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â ýëåêòðè÷åñêîì è ìàãíèòíîì ïîëÿõ ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû ïðîÿâëÿëè êîðïóñêóëÿðíûå ñâîéñòâà. 9

Íî â 1921 ã. äâóìÿ ôèçèêàìè Ðàìçàóýðîì è Òàóíñåíäîì áûë ïîñòâëåí îïûò ïî ðàññåÿíèþ ýëåêòðîíîâ íà àòîìàõ èíåðòíûõ ãàçîâ. Ðåçóëüòàò îïûòà îêàçàëñÿ íåîæèäàííûì è ïðåäñòàâëåí íà ãðàôèêå (ðèñ.2.), ïî îñÿì êîîðäèíàò îòëîæåíû v-cêîðîñòü ýëåêòðîíîâ, s-ýôôåêòèâíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ. Ïðè áîëüøèõ ñêîðîñòÿõ äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ ìàëî èõ âðåìÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ öåíòðàìè ðàññåÿíèÿ, ïîýòîìó áîëüøèíñòâî ýëåêòðîíîâ íå èçìåíèò íàïðàâëåíèå ñâîåãî äâèæåíèÿ, ýôôåêòèâíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ áóäåò ìàëûì. Ïðè óìåíüøåíèè ñêîðîñòè ýëåêòðîíîâ ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ äîëæíî âîçðàñòàòü, ýòî ñîîòâåòñòâóåò êëàññè÷åñêèì çàêîíàì ñîóäàðåÐèñ. 2. íèé. Îäíàêî, âîïðåêè îæèäàíèÿì, ïðè îïðåäåëåííîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ ïðîèñõîäèëî ðåçêîå ïàäåíèå ýôôåêòèâíîãî ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ, è òîëüêî çàòåì îíî ñíîâà ñòàëî íàðàñòàòü. Èñõîäÿ èç ïðåäñòàâëåíèé, ÷òî ýëåêòðîíû ÿâëÿþòñÿ êîðïóñêóëàìè, îïûò Ðàìçàóýðà-Òàóíñåíäà îáúÿñíèòü áûëî íåëüçÿ. ×òîáû îáúÿñíèòü òî íîâîå, ÷òî ôèçèêè óâèäåëè â îïûòàõ ÐàìçàóýðàÒàóíñåíäà, çàáåæèì íåìíîãî âïåðåä.  1923ã. ôðàíöóçñêèé ôèçèê Ëóè äåÁðîéëü, çàíèìàÿñü èñòîðèåé ôèçèêè, îáðàòèë âíèìàíèå íà äâîéñòâåííîñòü ïðîÿâëåíèÿ ñâîéñòâ ñâåòà: â îäíèõ îïûòàõ ñâåò ïðîÿâëÿåò âîëíîâûå ñâîéñòâà, â äðóãèõ - êîðïóñêóëÿðíûå (ìû îáñóæäàëè ýòî âûøå). Äå–Áðîéëþ ïðèøëà íà óì “áåçóìíàÿ” èäåÿ: à íå îáëàäàþò ëè è ÷àñòèöû âåùåñòâà (ýëåêòðîíû è ïðîòîíû) íå òîëüêî êîðïóñêóëÿðíûìè, íî è âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè? Âîëíîâûå ñâîéñòâà ñâåòà õàðàêòåðèçóþòñÿ äëèíîé âîëíû λ . Ïîýòîìó, ðåøèë äå-Áðîéëü, íóæíî ââåñòè äëèíó âîëíû äëÿ ÷àñòèö, ÷òîáû õàðàêòåðèçîâàòü èõ âîëíîâûå ñâîéñòâà. È îí ïîñòóëèðóåò ñëåäóþùóþ ôîðìóëó:

λ=

h , mv

(2)

ãäå h-ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà, m-ìàññà ÷àñòèöû, λ - õàðàêòåðèñòèêà âîëíîâûõ ñâîéñòâ ÷àñòèöû, v-ñêîðîñòü åå äâèæåíèÿ. Îáúÿñíèì îïûò ïî ðàññåÿíèþ ýëåêòðîíîâ íà àòîìàõ èíåðòíûõ ãàçîâ, îïèðàÿñü íà ãèïîòåçó äå-Áðîéëÿ. Åñëè ýëåêòðîíû îáëàäàþò âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè, òî, âñòðå÷àÿ ïðå10

ïÿòñòâèå, ýëåêòðîíû äîëæíû èñïûòûâàòü ÿâëåíèå äèôðàêöèè. Íî ïðè ýòîì î÷åíü âàæíî, ÷òîáû ðàçìåðû ïðåïÿòñòâèÿ áûëè ñðàâíèìû ñ äëèíîé âîëíû. Èç ôîðìóëû âèäíî, ÷òî ýòî ìîæåò îñóùåñòâèòüñÿ ïðè îïðåäåëåííîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ.  ýòîì ñëó÷àå âîëíà îãèáàåò ïðåïÿòñòâèå è çàõîäèò â îáëàñòü “ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè”. Ïðè ýòîì äîëæíî ðåçêî óìåíüøèòñÿ ðàññåÿíèå ýëåêòðîíîâ, ÷òî è íàáëþäàëîñü â îïûòå Ðàìçàóýðà-Òàóíñåíäà, à íà ãðàôèêå – ñîîòâåòñòâóåò ðåçêîìó ïàäåíèþ êðèâîé ðàññåÿíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îáúÿñíèòü ðàññìàòðèâàåìûé îïûò, íóæíî áûëî âûéòè çà ïðåäåëû êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé è ïðèçíàòü, ÷òî ýëåêòðîíû îáëàäàþò íå òîëüêî êîðïóñêóëÿðíûìè, íî è âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè. Îäíàêî, óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ýëåêòðîíû îáëàäàþò âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè íå ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà-ýòî âîëíà. Íèæå ìû íåîäíîêðàòíî áóäåì îñòàíàâëèâàòüñÿ íà âàæíîì ðàçëè÷èè ýòèõ ïîíÿòèé.

2. Ãèïîòåçà äå-Áðîéëÿ Ñôîðìóëèðóåì åùå ðàç ñóòü ãèïîòåçû äå-Áðîéëÿ è ïðîàíàëèçèðóåì ñëåäñòâèÿ èç íåå. Ïîìèìî ñîîòíîøåíèÿ äëÿ äëèíû âîëíû λ =

h , äå-Áðîéëü ïîñòóëèmv

ðóåò äëÿ ÷àñòèö eùå äâà ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå ÿâëÿåòñÿ íå ÷åì èíûì, êàê ôîðìóëàìè À. Ýéíøòåéíà, èñïîëüçîâàííûõ èì äëÿ îáúÿñíåíèÿ ÿâëåíèÿ ôîòîýôôåêòà: (3) E = hν = hω è P=

hν = hk , c

2π h - âîëíîâîå ÷èñëî, h = . 2π λ Ïåðâîíà÷àëüíî äå-Áðîéëü âêëàäûâàë â ñâîþ ãèïîòåçó ïðÿìîé ñìûñë÷àñòèöà ÿâëÿåòñÿ âîëíîé. Ïîòðåáîâàëîñü çíà÷èòåëüíîå âðåìÿ, ãëóáîêîå îñìûñëåíèå ýòîé ãèïîòåçû êðóïíåéøèìè ôèçèêàìè ÕÕ â. (Áîð, Øðåäèíãåð, Ãåéçåíáåðã, Áîðí, Äèðàê è äð.), ÷òîáû ïðèéòè ê ñîâðåìåííîìó òîëêîâàíèþ ãèïîòåçû äå Áðîéëÿ. Äëÿ îïèñàíèÿ âîëíîâûõ ñâîéñòâ ÷àñòèö äå-Áðîéëü èñïîëüçóåò ôîðìóëó âîëíîâîé ôóíêöèè ïëîñêîé âîëíû: ãäå ω = 2πν - öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà, k =

11

Ψ = Ae − i (ωt −kx ) .

(4) Òàê êàê âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé âåëè÷èíîé, òî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà îíà èìåòü íå ìîæåò. Íèæå ìû ïîêàæåì, ÷òî ïîçíàâàòåëüíîå çíà÷åíèå èìååò íå ñàìà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äå-Áðîéëÿ, à êâàäðàò åå ìîäóëÿ. Ïðèìåíèòåëüíî ê îïèñàíèþ äóàëèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ýòè ôîðìóëû (2), (3) íàçûâàþò ôîðìóëàìè äå-Áðîéëÿ.  ýòèõ ôîðìóëàõ ñâÿçûâàþòñÿ êîðïóñêóëÿðíûå è âîëíîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Äåéñòâèòåëüíî, â ëåâûõ ÷àñòÿõ ôîðìóë ñòîÿò ÷èñòî ìåõàíè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè, ñïðàâà æå - õàðàêòåðèñòèêà âîëíîâîãî ïðîöåññà - ÷àñòîòà. Çäåñü ïðîñëåæèâàåòñÿ äèàëåêòè÷åñêîå åäèíñòâî êîðïóñêóëÿðíî - âîëíîâûõ ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèìè óðàâíåíèÿìè è ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå äëÿ âîëíû äå-Áðîéëÿ (4):

ω=

E p è k= . h h

Òîãäà âîëíîâóþ ôóíêöèþ ìîæíî çàïèñàòü òàê:

Ψ = Ae

−

i (Et − px ) h

.

Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ñêîáêàõ â ýêñïîíåíòå - ( Et − px) , íàçûâàåòñÿ ôàçîé âîëíû äå-Áðîéëÿ. Îïðåäåëèì, ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ïåðåìåùàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê (ÃÌÒ), èìåþùèõ îäíó è òó æå ôàçó. Ïîñêîëüêó ó ýòèõ ÃÌÒ ôàçà îäíà è òà æå, ìîæåì íàïèñàòü ðàâåíñòâî:

ωt − kx = const

Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíóþ ïî t: ω − k (dx / dt ) = 0 Îáîçíà÷èì: dx / dt = U ô ãäå: U ô - ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëíû äå-Áðîéëÿ (ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ ïîñòîÿííîé ôàçû). Îòêóäà: ω / k = U ô . Ïîêàæåì, ÷òî ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ìîæåò áûòü áîëüøå ñêîðîñòè ñâåòà. Ñëåäîâàòåëüíî, ôàçîâàÿ ñêîðîñòü - ýòî ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå. Ïîñêîëüêó ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû ìîãóò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòÿìè, áëèçêèìè ê ñêîðîñòè ñâåòà, òî íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè ÑÒÎ. Ïðîâåäåì ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ôîðìóëû äëÿ Uô: Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè (3): 12

mc 2

ν2 2 2 ω h E c 2 = mc = c > c Uô = ⋅ = = mν k h p ν mν . 2 ν 1− 2 c 1−

Ýòîò ðåçóëüòàò óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ñ ôàçîâîé ñêîðîñòüþ âîëíû äåÁðîéëÿ íå ñâÿçàí ìàòåðèàëüíûé ïðîöåññ, êîòîðûé, ñîãëàñíî ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, íå ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ â ïðîñòðàíñòâå ñî ñêîðîñòüþ, áîëüøåé ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå. Óñòàíîâèì òàê íàçûâàåìûé çàêîí äèñïåðñèè.  ôèçèêå ïîä ýòèì çàêîíîì ïîíèìàþò çàâèñèìîñòü êàêîé-ëèáî âåëè÷èíû îò λ èëè k. Ìû óñòàíîâèì çàêîí äèñïåðñèè äëÿ ôàçîâîé ñêîðîñòè. Âîñïîëüçóåìñÿ ïîëó÷åííûì âûøå âûðàæåíèåì. Çàìåíèì E â ÷èñëèòåëå ñ ïîìîùüþ âòîðîé ôîðìóëû Ýéíøòåéíà: Uô =

m2c 4 + p 2c 2 E m 2c 4 = = c2 + 2 2 . hk h k p

Èç ïðèâåäåííûõ ðàñ÷åòîâ ñëåäóåò, ÷òî U ô - ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ âîëíîâîãî ÷èñëà. Ýòî âûðàæåíèå ïîëó÷èëî íàçâàíèå çàêîíà äèñïåðñèè äëÿ ôàçîâîé ñêîðîñòè. Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðàçíûõ k è

Uô -

ðàçíàÿ. Ïðîâåäåííûé âûøå àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äå-Áðîéëÿ íå èìååò íåïîñðåäñòâåííîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà. Êðîìå òîãî, ê òîìó, ÷òî áûëî ñêàçàíî âûøå, ìîæíî ñäåëàòü äîïîëíåíèå: ôîðìóëà äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè äå-Áðîéëÿ èìååò âèä ïëîñêîé âîëíû, à ïëîñêàÿ âîëíà áåçãðàíè÷íà ïî ñâîåìó îïðåäåëåíèþ. Ýëåìåíòàðíàÿ æå ÷àñòèöà âñåãäà ëîêàëèçîâàíà â ïðîñòðàíñòâå. Ïîñëåäíåå åùå ðàç óêàçûâàåò íà òî, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äåÁðîéëÿ íå îïèñûâàåò ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà. Âîñïîëüçóåìñÿ âòîðûì óðàâíåíèåì äå-Áðîéëÿ è ïîëó÷èì òó ôîðìóëó, êîòîðóþ äå-Áðîéëü ïåðâîíà÷àëüíî íàïèñàë êàê ñàìîñòîÿòåëüíóþ, íåçàâèñèìóþ, ïîñòóëèðóåìóþ:

p=

hν hω = . c c 13

Ïåðåõîäÿ îò ÷àñòîòû ê äëèíå âîëíû, ìîæíî çàïèñàòü èìïóëüñ ð è â òàêîé ôîðìå:

p = hk = À òàê êàê

h 2π h ⋅ = . 2π λ λ

p = mν , òî ìû òîò÷àñ æå ïîëó÷àåì ôîðìóëó äå-Áðîéëÿ (2): λ=

h . mv

(2)

Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, óðàâíåíèÿ äå-Áðîéëÿ ñîäåðæàò ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè, êîòîðûå ñ êëàññè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ íå ìîãóò áûòü ñîâìåñòèìûìè. Äåéñòâèòåëüíî, â ôîðìóëàõ:

E = hω ; p = hk ñëåâà ñòîÿò õàðàêòåðèñòèêè, îïðåäåëÿþùèå ñâîéñòâà êîðïóñêóë (÷àñòèö), ñïðàâà - õàðàêòåðèñòèêè âîëíîâîãî ïðîöåññà, êîòîðûé íåëüçÿ ñåáå ïðåäñòàâèòü ëîêàëèçîâàííûì â îäíîé òî÷êå, â êîòîðîé ìîæåò íàõîäèòñÿ ÷àñòèöà. Äóàëüíîñòü ïîäõîäà ê ñâîéñòâàì ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö - ýòî ïðèíöèïèàëüíîå ïîëîæåíèå êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Íèæå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ýòî îáóñëîâëåíî íåàäåêâàòíîñòüþ (íåñîîòâåòñòâèåì) èñïîëüçóåìîãî êëàññè÷åñêîãî ôèçè÷åñêîãî ñëîâàðÿ äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ ÷àñòèö ìèêðîìèðà. Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî óïîòðåáëÿòü, ñîïîñòàâëÿòü, ìèêðî÷àñòèöå ïëîñêóþ âîëíó äå-Áðîéëÿ íåëüçÿ (âîëíà äå-Áðîéëÿ - ýòî ïëîñêàÿ áåãóùàÿ âîëíà, íå èìåþùàÿ ëîêàëèçàöèè, ãðàíèö; ÷àñòèöà æå - ýòî ëîêàëèçîâàííûé ôèçè÷åñêèé îáúåêò). Èç òåîðèè âîëíîâûõ ïðîöåññîâ èçâåñòíî, ÷òî, îáðàçóÿ ñóïåðïîçèöèþ ïëîñêèõ âîëí âñåâîçìîæíûõ ÷àñòîò, ìîæíî ñîçäàòü ëîêàëèçîâàííîå âîëíîâîå îáðàçîâàíèå. Ýòî îáðàçîâàíèå ïîëó÷èëî íàçâàíèå âîëíîâîãî ïàêåòà. Âîçíèêàåò âîïðîñ: à íåëüçÿ ëè ýëåìåíòàðíóþ ÷àñòèöó ðàññìàòðèâàòü êàê âîëíîâîé ïàêåò?

3. Âîëíîâîé ïàêåò Âûðàçèì ñôîðìóëèðîâàííîå âûøå ïðåäñòàâëåíèå î âîëíîâîì ïàêåòå ìàòåìàòè÷åñêèì ÿçûêîì. Ïîñòðîèì âîëíîâîé ïàêåò ââèäå ñóïåðïîçèöèè ïëîñêèõ âîëí äå-Áðîéëÿ. Âîçüìåì èíòåðâàë èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû â ïðåäåëàõ îò ω + ∆ω äî ω − ∆ω ,èëè â èíòåðâàëå âîëíîâîãî ÷èñëà îò k 0 + α äî

k 0 − α , ãäå α << k0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì ïëîñêèå âîëíû, äëèíû âîëí êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ â óçêîì èíòåðâàëå ∆ω << ω : 14

Ψ=

k0 +α

∫αA(k )e

−i (ωt − kr )

dk .

k0 −

Èíòåãðàë îçíà÷àåò, ÷òî áåðåòñÿ ñóììà áåñêîíå÷íî áëèçêèõ ïî âîëíîâîìó ÷èñëó âîëí äå-Áðîéëÿ. Ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå - îáùàÿ çàïèñü âîëíû äå-Áðîéëÿ. Äëÿ îáùíîñòè ïðåäïîëàãàåì, ÷òî À - àìïëèòóäà âîëíû òàêæå çàâèñèò îò âîëíîâîãî ÷èñëà. Òàê êàê ìû ñîñòàâëÿåì ñóïåðïîçèöèþ ðàçëè÷íûõ âîëí, òî èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âîëíîâîìó ÷èñëó. Äëÿ âçÿòèÿ ýòîãî èíòåãðàëà ïðîâåäåì ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè ó ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè:

ωt − kr = (ω − ω 0 )t − (k − k 0 ) r + ω 0 t − k 0 x = [(ω − ω 0 )t − ( k − k 0 )r ] + ω 0 t − k 0 r. íèå:

Ïîäñòàâèì ýòîò ïîêàçàòåëü ñòåïåíè â ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæå-

Ψ=

k0 +α

∫ A(k )e

−i [(ω −ω 0 )]t − (k − k0 )x

⋅ e −i (ω0t −k0 x ) dk = B (k )e −i (ωt −k0 x ) ,

k0 −α

ãäå âåëè÷èíà ïû âîëí):

B(k ) íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäîé âîëíîâîãî ïàêåòà (ò. å. ãðóïB (k ) =

k0 +α

∫ A(k )e

−i [(ω −ω 0 )t −(k − k0 )x ]

dk .

k0 −α

Îïðåäåëèì, ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ïåðåìåùàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè àìïëèòóäà âîëíîâîãî ïàêåòà. Äëÿ ýòîãî ñîñòàâèì óñëîâèå, àíàëîãè÷íîå òîìó, êîòîðîå ìû ñîñòàâëÿëè äëÿ íàõîæäåíèÿ ôàçîâîé ñêîðîñòè âîëíû äå-Áðîéëÿ. Âûðàæåíèå (ω − ω 0 )t − (k − k0 ) x = const îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå âîëíîâîãî ïàêåòà. Ó âñåõ òî÷åê, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòîìó óñëîâèþ, ôàçà âîëíîâîãî ïàêåòà îäíà è òà æå. Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò ýòîãî âûðàæåíèÿ: (ω − ω 0 ) dx = U ãð = dt (k − k 0 )

Ïî ïðàâèëó ñîñòàâëåíèÿ âîëíîâîãî ïàêåòà âåëè÷èíû, ñòîÿùèå â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà, ÿâëÿþòñÿ âåëè÷èíàìè áåñêîíå÷íî ìàëûìè. Çàìåíèì êîíå÷íûå ðàçíîñòè áåñêîíå÷íî ìàëûìè âåëè÷èíàìè: 15

( ω − ω 0 ) dω = ( k − k 0 ) dk

Ïîëó÷èëè âûðàæåíèå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ àìïëèòóäû ãðóïïû âîëí, òî åñòü ñàìîãî âîëíîâîãî ïàêåòà: dω dk Ïðîâåäåì ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëó÷åííîé ôîðìóëû: U ãð =

U ãð =

dω h d (hω) dE ⋅ = = . dk h d (hk ) dp

Âîñïîëüçóåìñÿ âòîðîé ôîðìóëîé Ýéíøòåéíà:

E = m 2c 4 + p 2c 2 , òîãäà, ïðîâåäÿ ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è ó÷èòûâàÿ, ÷òî P=

mv 1− v2 / c 2

,

ïîëó÷èì íåîæèäàííûé ðåçóëüòàò, ÷òî ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü U ãð ñîâïàäàåò ñî ñêîðîñòüþ ïåðåìåùåíèÿ ÷àñòèöû í . Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî âíåøíå ìû ïîëó÷èëè õîðîøèé ðåçóëüòàò (ñêîðîñòü ãðóïïîâîãî ïàêåòà ñîâïàäàåò ñî ñêîðîñòüþ ÷àñòèöû), íà ñàìîì äåëå ýòîãî íàáëþäàòü íåëüçÿ, ò. ê. êàæäàÿ âîëíà, ñîñòàâëÿþùàÿ âîëíîâîé ïàêåò, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ñâîåãî âîëíîâîãî ÷èñëà. À ðàíåå ìû äîêàçàëè, ÷òî èìååòñÿ äèñïåðñèÿ ìåæäó ôàçîâîé ñêîðîñòüþ è âîëíîâûì ÷èñëîì. Âîëíîâîé ïàêåò, èìåþùèé ëîêàëèçàöèþ â èíòåðâàëå 2α , ñ òå÷åíèåì âðåìåíè áóäåò ðàñïîëçàòüñÿ, ò. ê. êàæäàÿ ïëîñêàÿ âîëíà, ñîñòàâëÿþùàÿ âîëíîâîé ïàêåò, áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñâîåé ôàçîâîé ñêîðîñòüþ. È âñå æå çà íåáîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü «ðàñïîëçàíèåì» âîëíîâîãî ïàêåòà, ïîíÿòèåì âîëíîâîãî ïàêåòà ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ â íåêîòîðûõ çàäà÷àõ (âðåìÿ íàáëþäåíèÿ << âðåìåíè ðàñïîëçàíèÿ). Èñïîëüçîâàíèå âîëíîâîãî ïàêåòà ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ îïðàâäàíî.

4.Ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå ãèïîòåçû äå-Áðîéëÿ Ïîìèìî ðàññìîòðåííîãî âûøå îïûòà Ðàìçàóýðà - Òàóíäñåíà, â 1927 ãîäó ïîÿâèëàñü öåëàÿ ñåðèÿ îïûòîâ, â êîòîðûõ îáíàðóæèâàëèñü âîëíîâûå ñâîéñòâà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. 16

Àìåðèêàíñêèå ôèçèêè Äæåðìåð è Äåâèññîí íàáëþäàëè äèôðàêöèþ ýëåêòðîíîâ íà ìîíîêðèñòàëëàõ. Íà ôëóîðåñöèðóþùåì ýêðàíå âîçíèêàëà äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà, ïîäîáíàÿ òîé, ÷òî âîçíèêàåò ïðè íàáëþäåíèè äèôðàêöèè ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé. Ïðè ýòîì âûïîëíÿëîñü óñëîâèå Â. Áðåããà.  òîì æå ãîäó àìåðèêàíñêèé ôèçèê Òîìñîí è ñîâåòñêèé ôèçèê Òàðòàêîâñêèé íàáëþäàëè äèôðàêöèþ ïîòîêà ýëåêòðîíîâ íà ïîëèêðèñòàëëàõ.  1949 ãîäó òðè ñîâåòñêèõ ôèçèêà: Ñóøêèí, Áèáåðìàí, Ôàáðèêàíò íàáëþäàëè äèôðàêöèþ ýëåêòðîíîâ, íî ïðè ýòîì íà ýêðàí íàïðàâëÿëñÿ íå ïîòîê ýëåêòðîíîâ, êàê â ïðåäûäóùèõ îïûòàõ, à ïðè ïîìîùè ñïåöèàëüíîãî óñòðîéñòâà íà ýêðàí ïîïàäàëè îòäåëüíûå ýëåêòðîíû. Êîíå÷íî, êàæäûé ýëåêòðîí ôèêñèðîâàëñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå ýêðàíà, íî ïîñëå ïðîïóñêàíèÿ áîëüøîãî êîëè÷åñòâà îäèíî÷íûõ ýëåêòðîíîâ íà ýêðàíå âîçíèêàëà òà æå êàðòèíà, ÷òî è ó èññëåäîâàòåëåé, èñïîëüçîâàâøèõ ìîùíûå ïîòîêè ýëåêòðîíîâ. Îïûòû òðåõ ñîâåòñêèõ ôèçèêîâ ïîêàçàëè, ÷òî âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò êàæäàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà.  30 - 40 ãîäà áûëè îòêðûòû íîâûå ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû, â òîì ÷èñëå íåéòðîíû, π −, µ − ìåçîíû è ò. ä. Ñ ýòèìè ýëåìåíòàðíûìè ÷àñòèöàìè òàê æå ñòàâèëèñü îïûòû ïî äèôðàêöèè, è âñåãäà íàáëþäàëàñü îæèäàåìàÿ âîëíîâàÿ êàðòèíà. Âîëíîâûå ñâîéñòâà ïðîÿâëÿþò è ëåãêèå àòîìû. Èç ôîðìóëû (2) äå-Áðîéëÿ ñëåäóåò: ÷åì áîëüøå ìàññà ÷àñòèöû ïðè äàííîé ñêîðîñòè, òåì ìåíüøå äëèíà âîëíû äå-Áðîéëÿ. Ò. å. ó ìàññèâíûõ àòîìîâ ïðàêòè÷åñêè íå äîëæíû ïðîÿâëÿþòñÿ âîëíîâûå ñâîéñòâà. Âîëíîâûå ñâîéñòâà ýëåêòðîííîãî ïó÷êà è äðóãèõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö íûíå èñïîëüçóþòñÿ ïðè óñòðîéñòâå ýëåêòðîííûõ è èîííûõ ìèêðîñêîïîâ, â ýëåêòðîíî- è íåéòðîíî-ãðàôèè.

5. Ãèïîòåçà Ìàêñà Áîðíà  1926 ãîäó íåìåöêèé ôèçèê Ìàêñ Áîðí äàë ñëåäóþùåå òîëêîâàíèå âîëíîâîé ôóíêöèè äå-Áðîéëÿ: âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà èìåòü íå ìîæåò, ò. ê. ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé âåëè÷èíîé, íî êâàäðàò å¸ ìîäóëÿ ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííîé âåëè÷èíîé è ïîýòîìó Ì. Áîðí ïðèïèñàë èìåííî ýòîé âåùåñòâåííîé âåëè÷èíå ñìûñë ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè: Ψ (x,t ) îïðåäåëÿåò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû â îêðåñ2

òíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè. Îïûòû Ñóøêèíà, Áèáåðìàíà, Ôàáðèêàíòà åùå ðàç ïîäòâåðäèëè ðàçóìíîñòü ãèïîòåçû Ì. Áîðíà. Êàæäûé ýëåêòðîí â èõ îïûòå äèôðàãèðîâàë ñàìîñòîÿòåëüíî. Îí îáÿçàòåëüíî äîëæåí áûë ïîïàñòü íà ýêðàí, íî ìåñòî ïîïàäàíèÿ íà ýêðàí 17

çàðàíåå ïðåäñêàçàòü íåâîçìîæíî. Ýòîò àêò íîñèò âåðîÿòíîñòíûé õàðàêòåð è êâàäðàò ìîäóëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü ýòîãî ïðîöåññà. Âûäåëèì áåñêîíå÷íî ìàëûé îáúåì dV è óìíîæèì íà Ψ

2

, ìû

ïîëó÷èì âåëè÷èíó, îïðåäåëÿþùóþ âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû â ýëåìåíòàðíîì îáúåìå dV :

dW = Ψ dV . 2

Îòêóäà: Ψ = 2

dW , dV

2

÷òî è îïðàâäûâàåò òîëêîâàíèå Ψ , êàê ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè. Êàê áûëî óêàçàíî âûøå, îñíîâíîé çàäà÷åé â êâàíòîâîé ìåõàíèêè ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè äëÿ ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû â êîíêðåòíîé çàäà÷å, ò. ê. ýòî çíàíèå (ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé çàäà÷è) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñâîéñòâà ñàìîé ÷àñòèöû è îæèäàåìûé õàðàêòåð åå ïîâåäåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè. Íèæå ìû ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è íåîáõîäèìî êàæäûé ðàç ðåøàòü ñïåöèôè÷åñêîå, êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå óðàâíåíèå, êîòîðîå ïîëó÷èëî íàçâàíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Çíàíèå âîëíîâîé ôóíêöèè ïîçâîëÿåò ñîñòàâèòü êâàäðàò åå ìîäóëÿ â ëþáîé ïîñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè äëÿ ëþáîé òî÷êè ïðîñòðàíñòâà ïðè çàäàíèè íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìîæíî ãîâîðèòü î âûïîëíèìîñòè è â êâàíòîâîé ìåõàíèêå çàêîíà ïðè÷èííîñòè. Îäíàêî â ñèëó ñïåöèôè÷íîñòè ñìûñëà êâàäðàòà ìîäóëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ýòîò çàêîí â êâàíòîâîé ìåõàíèêå íîñèò íå äåòåðìèíèñòè÷åñêèé, íå îäíîçíà÷íûé, êàê â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå, à âåðîÿòíîñòíûé õàðàêòåð. Ïîêàæåì, êàê, çíàÿ âîëíîâóþ ôóíêöèþ, ðàññ÷èòàòü îæèäàåìîå ñðåäíåå çíà÷åíèå ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû. Èçâåñòíî, ÷òî åñëè ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåò ðÿä äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé, òî å¸ ñðåäíåå çíà÷åíèå ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå:

x=

∑x n ∑n i

i

i

,

ãäå ∑ ni = N − ïîëíîå ÷èñëî èçìåðåíèé, à

xi − ðåçóëüòàòû îòäåëüíûõ

èçìåðåíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ ïîÿâëÿëîñü

ni -ðàç.

18

Ïðîâåäåì ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîñëåäíåé ôîðìóëû.

x = W1 x1 + W2 x2 + ....... = ∑ Wi xi , ãäå Wi -âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ õ i èçìåðåíèÿ. Åñëè ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà èçìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî, òî ôîðìóëà äëÿ íàõîæäåíèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ çàïèøåòñÿ òàê:

x = ∫ xdW = ∫ x Ψ dV . 2

Îáû÷íî ýòó ôîðìóëó çàïèñûâàþò òàê:

x = ∫ Ψ * xΨdV , 2

ãäå ó÷òåíî, ÷òî Ψ = Ψ * Ψ ïî îïðåäåëåíèþ êâàäðàòà ìîäóëÿ êîìïëåêñíîé âåëè÷èíû ( Ψ * - ýòî âåëè÷èíà, êîìëåêñíî ñîïðÿæåííàÿ Ïîä ñèìâîëîì

Ψ ).

x â ïîñëåäíèõ ðàññóæäåíèÿõ íóæíî ïîíèìàòü ëþáóþ

ôèçè÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöè èëè ñèñòåìû òàêèõ ÷àñòèö. Òàêèì îáðàçîì, çíàíèå âîëíîâîé ôóíêöèè Ψ äëÿ ÷àñòèöû èëè àíñàìáëÿ ÷àñòèö ïîçâîëÿåò ïóòåì ðàñ÷åòà îïðåäåëèòü ñðåäíèå (íàáëþäàåìûå, èçìåðÿåìûå íà îïûòå) çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ÷àñòèö ìèêðîìèðà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îñíîâíîé çàäà÷åé â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè ÷àñòèö â êîíêðåòíûõ çàäà÷àõ. Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà äëÿ ðàñ÷åòà ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêè ÷àñòèö ìèêðîìèðà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ãèïîòåçû Ì. Áîðíà î âåðîÿòíîñòíîì òîëêîâàíèè ñìûñëà âîëíîâîé ôóíêöèè Ψ . Ïîýòîìó òîëüêî îïûò ìîã ïîäòâåðäèòü èëè îòâåðãíóòü òàêîå ïîíèìàíèå ñìûñëà âîëíîâîé ôóíêöèè. Äàëåå ìû óâèäèì, ÷òî ãèïîòåçà Ì. Áîðíà áëåñòÿùå ïîäòâåðäèëàñü â ýêñïåðèìåíòå. Ïðîàíàëèçèðóåì ôîðìóëó äëÿ äëèíû âîëíû äå-Áðîéëÿ: h . mv Ñëåâà - õàðàêòåðèñòèêà âîëíû. Ïî ñâîåìó ñìûñëó, îíà íå ìîæåò áûòü ôóíêöèåé êîîðäèíàòû (áåññìûñëåííî ñïðàøèâàòü, êàêîâà äëèíà âîëíû â íåêîòîðîé òî÷êå). Íî åñëè ó íàñ èìååòñÿ ðàâåíñòâî è ëåâàÿ ñòîðîíà íå çàâèñèò îò êîîðäèíàòû, òî è ïðàâàÿ ÷àñòü íå äîëæíà çàâèñåòü îò λ=

19

êîîðäèíàòû. Ïîýòîìó ñêîðîñòü ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû òàê æå íå ìîæåò áûòü ôóíêöèåé êîîðäèíàòû.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ òåëà íåîáõîäèìî íàéòè ñêîðîñòü, êàê ôóíêöèþ êîîðäèíàò è âðåìåíè.  êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñêîðîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäèíàò, à çíà÷èò íåëüçÿ ââîäèòü ïîíÿòèå òðàåêòîðèè ÷àñòèöû. Ïîýòîìó ìîäåëü àòîìà Ðåçåðôîðäà - Áîðà ñ òî÷êè çðåíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè íå âåðíà. Ïî ýòîé ìîäåëè ýëåêòðîí äâèæåòñÿ ïî òðàåêòîðèè âîêðóã ÿäðà.  êâàíòîâîé ìåõàíèêå ìû äîëæíû îáõîäèòüñÿ áåç ýòîãî ïîíÿòèÿ. Ìû ìîæåì ãîâîðèòü ëèøü î âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ýëåêòðîíà â òîé èëè èíîé òî÷êå îáúåìà àòîìà.

6. Ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà Âûøå ìû ïîêàçàëè, ÷òî ñîñòîÿíèå ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû íåëüçÿ îïèñûâàòü âîëíîâûì ïàêåòîì (òåì áîëåå îäíîé ïëîñêîé âîëíîé), ò. ê. èç-çà äèñïåðñèè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè âîëíîâîé ïàêåò áóäåò ðàñïîëçàòüñÿ, â òî âðåìÿ, êàê ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà âåäåò ñåáÿ ëîêàëèçîâàíî. Ìû ïîêàçàëè, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëèíû âîëíû äå-Áðîéëÿ, ÷òî ó ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû (â òîì ÷èñëå è ó ýëåêòðîíà â àòîìå) íåò òàêîé õàðàêòåðèñòèêè äâèæåíèÿ, êàê òðàåêòîðèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû íå ìîæåì îäíîâðåìåííî, êàê ýòî äåëàëîñü â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå, óêàçàòü äëÿ ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû åå êîîðäèíàòó è ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ïðîåêöèþ ñêîðîñòè (èìïóëüñà). Ýòîò ðåçóëüòàò åñòü âûðàæåíèå êîðïóñêóëÿðíî - âîëíîâîãî äóàëèçìà, êîòîðûé ïðîÿâëÿþò ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû. È åñëè ìû ïðîäîëæàåì ïîëüçîâàòüñÿ ñëîâàðåì êëàññè÷åñêîé ôèçèêè-òî ìîæíî ëèøü ãîâîðèòü î íàõîæäåíèè ÷àñòèöû â íåêîòîðîì èíòåðâàëå çíà÷åíèé êîîðäèíàòû. Ñîîòâåòñòâåííî, è ñêîðîñòü ÷àñòèöû èëè åå èìïóëüñ ìîãóò èìåòü çíà÷åíèÿ òîæå ëèøü â íåêîòîðîì èíòåðâàëå çíà÷åíèé. Ýòè èíòåðâàëû çíà÷åíèé ñêîðîñòè èëè èìïóëüñà è êîîðäèíàòû ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé òàê íàçûâàåìûì ñîîòíîøåíèåì íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà, êîòîðûå,êàê ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãî àíàëèçà, ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèåì êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîãî äóàëèçìà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé äëÿ àìïëèòóäû âîëíîâîãî ïàêåòà:

B=

ko +α

∫ Ae

−i [(ω −ω o )t −(k − ko )x ]

dk =

ko −α

20

=e

−i (ω −ω o )t

k o +α

∫ Ae

i (k − k o )x

dk =

ko −α

Âûáåðåì íàñòîëüêî óçêèé èíòåðâàë èçìåíåíèÿ âîëíîâîãî ÷èñëà, ÷òîáû ñ÷èòàòü àìïëèòóäó À ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé è âûíåñåì å¸ èç ïîä çíàêà èíòåãðàëà: ko +α

B = Ae − i (ω − ωo )t ∫ exp[i (k − ko )x ]dk ko −α

Êàê áûëî ïîêàçàíî ðàíåå, âîëíîâîé ïàêåò ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê àíàëîã ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû òîëüêî â ïðîäîëæåíèè áåñêîíå÷íî ìàëîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, òàê êàê â ðåçóëüòàòå äèñïåðñèè âîëíîâîé ïàêåò ðàçìûâàåòñÿ. ×åì óæå âîëíîâîé ïàêåò, ÷åì áîëüøå åãî àìïëèòóäà, òåì ëó÷øå âîëíîâîé ïàêåò ìîæåò áûòü ñîïîñòàâëåí ÷àñòèöå. Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïîêàçûâàåò, ÷òî àìïëèòóäà áóäåò òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå ñòîÿùèé â ôîðìóëå èíòåãðàë: ko +α

∫ [i(k − k )x]dk = J o

k o −α

íûì:

Ïîäñ÷èòàåì çíà÷åíèå ýòîãî èíòåãðàëà, ïåðåéäåì ê äðóãèì ïåðåìåí-

p x = hk x , p0 = hk o , k x =

px p dp , k o = o , dk x = x , h h h

òîãäà çíà÷åíèå àìïëèòóäû âîëíîâîãî ïàêåòà îïðåäåëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî èíòåãðàëîì po / h +

J=

∫

∆p h

po ∆p − h h

Ñäåëàåì íîâóþ çàìåíó x ⇒

p p i  x − o h h  e

  x 

dp x h

∆x , âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà äëÿ 2

êîìïëåêñíîé âåëè÷èíû e iα = cos α + i sin α , òîãäà çíà÷åíèå èíòåãðàëà J ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

21

sin J=

∆p x ∆x 2h exp − i p x ∆x   ∆x 2h   2

∆x . Ïîýòîìó äëÿ âåëè÷è2 íû àìïëèòóäû îïðåäåëÿþùåå çíà÷åíèå èìååò ïåðâûé (äðîáíûé) ìíîæèòåëü. Èçâåñòíî, ÷òî ýòîò ìíîæèòåëü áóäåò èìåòü ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå

Âòîðîé ìíîæèòåëü îñöèëèðóåò îêîëî çíà÷åíèÿ

ïðè sin

∆x → 0: 2 ∆p x ∆x 2h → 1. ∆x 2

Ýòî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîæèòåëÿ. Îïðåäåëèì ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå, ñëåäîâàòåëüíî, è àìïëèòóäû ãðóïïû âîëí. Òåì ñàìûì ìû îïðåäåëèì òó îáëàñòü çíà÷åíèé ∆x / 2, â èíòåðâàëå êîòîðîãî àìïëèòóäó ìîæíî ñ÷èòàòü îòëè÷íîé îò íóëÿ è ðàññìàòðèâàòü ãðóïïó âîëí êàê àíàëîã ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû. Ýòî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ìíîæèòåëü ïðèíèìàåò, åñëè àðãóìåíò ñèíóñà áóäåò ðàâåí π : ∆p x ∆x h = π ⇒ ∆p x∆x = 2π = h, 2h 2π

îòêóäà ïîëó÷àåì çíàìåíèòîå ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà: ∆p x ∆x = h. (6.1) Òàêèì îáðàçîì, åñëè èíòåðâàëû çíà÷åíèé êîîðäèíàòû è èìïóëüñà ÷à-

ñòèöû íàõîäÿòñÿ â ïðåäåëàõ

∆x è ∆p x , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ïîëó-

÷åííîìó ñîîòíîøåíèþ, òî ìîæíî ãîâîðèòü, ÷òî çà ïðåäåëàìè óêàçàííûõ çíà÷åíèé âîëíîâîé ïàêåò óæå íåëüçÿ ñîïîñòàâëÿòü ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöå. Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå âîëíîâîãî ïàêåòà, ñîïîñòàâëÿåìîãî ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöå, â íàïðàâëåíèÿõ îñåé OY è OZ, òî ìû àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì äâà íîâûõ ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà:

∆y∆p y = h , ∆z∆p z = h . 22

(6.2)

Âûøå ìû ãîâîðèëè, ÷òî äëÿ ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû ñ òî÷êè çðåíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè òàêîãî ïîíÿòèÿ, êàê òðàåêòîðèÿ íåò. Ïîýòîìó íåò òàêèõ îäíîìîìåíòíî èçìåðÿåìûõ õàðàêòåðèñòèê, êàê êîîðäèíàòà è ïðîåêöèÿ èìïóëüñà. Îá ýòîì è ãîâîðÿò ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà: ðàç íåò òðàåêòîðèè - íåò òî÷íûõ çíà÷åíèé êîîðäèíàòû è èìïóëüñà. È ýòè õàðàêòåðèñòèêè ìîæíî èñïîëüçîâàòü òîëüêî ñ íåêîòîðîé íåîïðåäåëåííîñòüþ çíà÷åíèé. Çíàÿ êîîðäèíàòó àáñîëþòíî òî÷íî (ò. å. ∆x = 0 ), ìû íè÷åãî íå ìîæåì ñêàçàòü î ïðîåêöèè èìïóëüñà, ò. ê.:

∆p =

h = ∞. ∆x

Âåðíî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè ∆p x = 0 , òî:

∆x =

h = ∞. ∆p x

Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ìûñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ïîäòâåðæäàþùèõ ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà. 1. Ïóñòü íà ïóòè ïó÷êà ýëåêòðîíîâ ïåðïåíäèêóëÿðíî åìó ðàñïîëàãàåòñÿ ýêðàí ñ âåðòèêàëüíîé ùåëüþ øèðèíû d. Òàêèì îáðàçîì, íåîïðåäåëåííîñòü êîîðäèíàòû ∆ó = d . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç-çà äèôðàêöèè âîçíèêàåò íåîïðåäåëåííîñòü è èìïóëüñà. Äåéñòâèòåëüíî, ïåðâûé äèôðàêöèîííûé ìèíèìóì áóäåò ðàñïîëàãàòüñÿ ïîä óãëîì Θ , êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì d sin Θ = 1 ,

1 . d Ðàçáðîñ èìïóëüñà â íàïðàâëåíèè îñè Îó áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ òàê:

îòêóäà sin Θ =

∆p y = p sin Θ = hk sin Θ . Ñïðàâåäëèâî, ∆p y = hk sin Θ =

h 2π h 2π λ h h ⋅ ⋅ sin Θ = ⋅ ⋅ = = , 2π λ 2π λ d d ∆y

èëè ∆y ⋅ ∆p ó = h . 2. Ïóñòü ýëåêòðîí ñòàëêèâàåòñÿ ñ ýëåêòðîíîì àòîìà â ôîòîýìóëüñèè. Íåîïðåäåëåííîñòü ïîëîæåíèÿ ýëåêòðîíà ðàâíà ðàçìåðó àòîìà ≈ à . Ñ 23

äðóãîé ñòîðîíû, ýëåêòðîíû àòîìà èìåþò íåîïðåäåëåííîñòü èìïóëüñà

h . a Òî÷íî òàêóþ æå íåîïåðåäåëåííîñòü èìïóëüñà ïðèîáðåòàåò ïàäàþùèé ýëåêòðîí: ∆p õ ≅

∆p x ≈

h . a

Ñëåäîâàòåëüíî, h =h. a Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìîòðåòü òðåêè ÷àñòèö â êàìåðå Âèëüñîíà. Íî çäåñü ÿâëåíèå îñëîæíÿåòñÿ äèôôóçèåé êàïåëåê ïàðîâ. 3. Ïóñòü ÷àñòèöà ðàññìàòðèâàåòñÿ â ìèêðîñêîï. Òîãäà ìèíèìàëüíûå ðàçìåðû, êîòîðûå âîçìîæíî óâèäåòü â ìèêðîñêîï îïðåäåëÿþòñÿ ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ ïðèáîðà. Îïðåäåëÿåìîé ïî ôîðìóëå: ∆x ⋅ ∆p x ≅ a ⋅

λ , sin α

∆x =

ãäå 2α - óãîë, ïîä êîòîðûì èç ïðåäìåòà (÷àñòèöû) âèäåí îáúåêòèâ. Ôîòîí, ðàññåÿííûé â íàïðàâëåíèè îñè Îõ áóäåò èìåòü ñîñòàâëÿþùóþ èìïóëüñà ∆p x = h ⋅ k ⋅ sin α =

îòêóäà

h 2π λ h ⋅ ⋅ = , 2π λ ∆x ∆x

∆x ⋅ ∆p x ≈ h .

Ïîëó÷èì åùå îäíî ñîîòíîøåíèå, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà äëÿ ýíåðãèè è âðåìåíè. Èç ðàññìîòðåíèÿ ñâîéñòâ âîëíîâîãî ðàêåòà ìû âûâåëè ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà. Âîñïîëüçóåìñÿ îäíèì èç íèõ:

∆x ⋅ ∆p x = h , ãäå ∆x − øèðèíà âîëíîâîãî ïàêåòà (îò 1-ãî ìèíèìóìà ñëåâà äî 1-ãî ìèíèìóìà ñïðàâà îò ñåðèäèíû âîëíîâîãî ïàêåòà). Òàì æå ìû ïîëó÷èëè, ÷òî, ðàññìàòðèâàÿ âîëíîâîé ïàêåò êàê àíàëîã ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû, ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü âîëíîâîãî ïàêåòà ñîâïàäàåò ñî ñêîðîñòüþ ÷àñòèöû. Ðàçäåëèì ïðèâåäåííîå âûøå ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà íà ñêîðîñòü

v x ãðóïïîâîãî ïàêåòà: 24

h ∆x h ∆t ⋅ ∆p x = . ⋅ ∆p x = , èëè vx vx vx Ðàññìîòðèì îòäåëüíî âåëè÷èíó

mv x p ∆p ∆p p2x ⋅ ∆p x = x⋅ x = x = ∆ = ∆E , m m 2m 2m ãäå ïîä ýíåðãèåé E ïîíèìàåòñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû, êîòîðîé ñîïîñòàâëÿåòñÿ âîëíîâîé ïàêåò. Ìû ïîëó÷èëè î÷åíü âàæíîå ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà, êîòîðîå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ èñòîëêîâàíèÿ ïðîöåññîâ â ìèêðîìèðå, íà÷èíàÿ äëÿ îáúÿñíåíèÿ åñòåñòâåííîé øèðèíû ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé è êîí÷àÿ ãèãàíòñêèìè ôëþêòóàöèÿìè ýíåðãèè â ôèçè÷åñêîì âàêóóìå. Ýòî ñîîòíîøåíèå çàïèñûâàåòñÿ òàê: (6.3) ∆E ⋅ ∆t = h. Ýòî ñîîòíîøåíèå (6.3) òîëêóåòñÿ èíà÷å, ÷åì ñîîòíîøåíèÿ (6.1) è (6.2). Äåëî â òîì, ÷òî íå èìååò ñìûñëà ãîâîðèòü î íåîïðåäåëåííîñòè ìîìåíòà âðåìåíè. Ïîä ∆t íóæíî ïîíèìàòü íå íåîïðåäåëåííîñòü, à ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ êâàíòîâîé ñèñòåìû â ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé, çíà÷åíèå êîòîðîé íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå E ÷ E + ∆E . Ïîêàæåì, êàê ñîîòíîøåíèå (6.3) ïîçâîëÿåò ïîíÿòü ïðîèñõîæäåíèå åñòåñòâåííîé øèðèíû ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé. Äåëî â òîì, ÷òî â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè àòîì ìîæåò íàõîäèòüñÿ â òå÷åíèå âðåìåíè ∆t .Ñëåäîâàòåëüíî, ýòî ñîñòîÿíèå èìååò íåîïðå2

v x ⋅ ∆p x =

äåëåííîñòü ýíåðãèè ∆E è ïðè âîçâðàùåíèè â íîðìàëüíîå ñîñòîÿíèå ñïåêòðàëüíàÿ ëèíèÿ èìååò “ðàçìûòîñòü” ïîðÿäêà ∆E . (6.4) h Ôîðìóëà (6.3) ïîçâîëÿåò ïîíÿòü âîçìîæíîñòü íàðóøåíèÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè çà íè÷òîæíî ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, íåäîñòóïíûé ïðàêòè÷åñêîìó èçìåðåíèþ. Ãîâîðÿò î íàðóøåíèè ÇÑÏÝ äëÿ âèðòóàëüíûõ ïðîöåññîâ. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ÷àñòî ïîä ïðîìåæóòêîì âðåìåíè ∆t â ôîðìóëå (6.3) ïîíèìàþò âðåìÿ ïåðåõîäÿ ýëåêòðîíà èç âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ â îñíîâíîå. Ýòî ñîâåðøåííî íåâåðíî. Äåëî â òîì, ÷òî èçó÷àåìàÿ íàìè êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ÿâëÿåòñÿ ÍÅÐÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÎÉ è â íåé, êàê è â íåðåëÿòèâèñòñêîé êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå, âîçìîæíû áåñêîíå÷íî áûñòðûå ïðîöåññû, ïåðåõîä ýëåêòðîíà èç âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ â îñíîâíîå ïðîèñõîäèò ÌÃÍÎÂÅÍÍÎ. È âåëè÷èíà ∆t èç ôîðìóëû (6.3) ê ýòîìó ïðîöåññó ïåðåõîäà íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ÍÅ ÈÌÅÅÒ. ∆ω =

25

Ïåðâîíà÷àëüíî ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà ïûòàëèñü èñòîëêîâàòü, êàê óñëîâèÿ, êîòîðûå îãðàíè÷èâàþò íàøè çíàíèÿ, íàøè âîçìîæíîñòè â ïîçíàíèè ìèêðîìèðà.  äåéñòâèòåëüíîñòè æå â ýòèõ ñîîòíîøåíèÿõ íåò òàêîãî ôèëîñîôñêîãî óòâåðæäåíèÿ. Äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ìû èñïîëüçîâàëè ÿçûê êëàññè÷åñêîé ôèçèêè. Ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà ãîâîðÿò î òîì, ÷òî ÿçûê êëàññè÷åñêîé ôèçèêè íå ìîæåò òî÷íî îïèñûâàòü ñâîéñòâà ÷àñòèö ìèêðîìèðà. Äåéñòâèòåëüíî, â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè èìåò òî÷íî îïðåäåëåííóþ êîîðäèíàòó ñâîåãî ìåñòîïîëîæåíèÿ è òî÷íî îïðåäåëåííóþ ñêîðîñòü â ýòîì ìåñòå.  íàõîæäåíèè ýòèõ âåëè÷èí è ñîñòîèò îñíîâíàÿ çàäà÷à êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Åñëè æå â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñîîòâåòñòâóþùèå õàðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû íåëüçÿ îïðåäåëèòü îäíîâðåìåííî òî÷íî (îá ýòîì è ãîâîðÿò ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà), òî, ñëåäîâàòåëüíî, ýòè ïîíÿòèÿ êîîðäèíàòà è ïðîåêöèÿ èìïóëüñà íà ñîîòâåòñòâóþùóþ îñü, íå ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê õàðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû, çàäàâàåìûå â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè. Èòàê, ìû äîëæíû ñîãëàñèòüñÿ, ÷òî â êâàíòîâîé ìåõàíèêå íåò òàêîãî ïîíÿòèÿ êàê òðàåêòîðèÿ, ïîòîìó ÷òî ïðèçíàíèå ðåàëüíîñòè òðàåêòîðèè òîò ÷àñ æå ïîòðåáóåò ââåäåíèÿ êîîðäèíàòû ÷àñòèöû è ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîåêöèè ñêîðîñòè (èìïóëüñà) â ýòîé òî÷êå. Îòðèöàíèå òðàåêòîðèè áóäåò åñòåñòâåííûì, åñëè ìû ïðèçíàåì êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîé äóàëèçì ïðîÿâëåíèÿ ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöåé, ïðèçíàåì, ÷òî ñîñòîÿíèå ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû ìîæíî îïèñàòü, çàäàâàÿ åå ñîñòîÿíèå ïðè ïîìîùè âîëíîâîé ôóíêöèè. Ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà (ÑÍÃ) íå îãðàíè÷èâàþò ïîçíàíèå ìèðà, à íàîáîðîò, óêàçûâàþò íà íåîáõîäèìîñòü íîâîãî, íå êëàññè÷åñêîãî, ïîäõîäà ê îïèñàíèþ ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Íîâûé ïîäõîä òðåáóåò è íîâîãî ÿçûêà, íîâûõ ôèçè÷åñêèõ îáðàçîâ, îòêàçà îò íåêîòîðûõ ñòàðûõ ïîíÿòèé è îáðàçîâ, êàê-òî òðàåêòîðèÿ, êîîðäèíàòà, ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè íà ñîîòâåòñòâóþùåå íàïðàâëåíèå, êîòîðóþ îäíîâðåìåííî ñ êîîðäèíàòîé òî÷íî îïðåäåëèòü íåëüçÿ. Åñëè ïðîàíàëèçèðîâàòü îïûòû, ëåæàùèå â îñíîâàíèè êâàíòîâîé ìåõàíèêè, òî îáíàðóæèòñÿ âàæíàÿ çàêîíîìåðíîñòü: â îäíèõ îïûòàõ ìû ìîæåì îïðåäåëèòü òîëüêî ìåñòîïîëîæåíèå ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû, åå êîîðäèíàòó. Íî ïðè ýòîì íè÷åãî íå ìîæåì ñêàçàòü î åå èìïóëüñå.  äðóãèõ æå îïûòàõ ìîæíî ÷åòêî îïðåäåëèòü èìïóëüñ ÷àñòèöû, íî íè÷åãî äîñòîâåðíîãî íåëüçÿ ñêàçàòü î åå ìåñòîíàõîæäåíèè.  îäíèõ îïûòàõ ïðîÿâëÿþòñÿ êîðïóñêóëÿðíûå ñâîéñòâà, â äðóãèõ - òîëüêî âîëíîâûå. Íàïðèìåð, òðåêè â êàìåðå Âèëüñîíà ñ îïðåäåëåííîé òî÷íîñòüþ óêàçûâàþò ìåñòîíàõîæäå26

íèå ÷àñòèöû, íî èõ íàáëþäåíèå íè÷åãî íå ñêàæåò îá èìïóëüñå ýòîé ÷àñòèöû â ëþáîé òî÷êå òðåêà, òàê êàê ìû íå çíàåì, ñî ñêîëüêèìè ñòðóêòóðíûìè ÷àñòèöàìè ñðåäû âñòðåòèëàñü ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà è êàêîå êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ îíà èì ïåðåäàëà.  ýôôåêòå Êîìïòîíà ïðîÿâëÿþòñÿ êîðïóñêóëÿðíûå ñâîéñòâà ôîòîíà è ýëåêòðîíà. Îäíàêî, â ýòîì ýôôåêòå ìû íè÷åãî íå ìîæåì ñêàçàòü î ìåñòîïîëîæåíèè ôîòîíà. Ïðè ðàññìîòðåíè äèôðàêöèè ÷àñòèö íà êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå îáíàðóæèâàþòñÿ èõ âîëíîâûå ñâîéñòâà, íî ìû íå ìîæåì ïîëó÷èòü êàêèå – íèáóäü ñâåäåíèÿ î èõ êîðïóñêóëÿðíûõ ñâîéñòâàõ. Ðàññìîòðåííîå âûøå ñîäåðæàíèå ÑÍà íàøëî ñâîå ðàçâèòèå â òàê íàçûâàåìîì ïðèíöèïå äîïîëíèòåëüíîñòè, âûñêàçàííîãî Í.Áîðîì â òîì æå 1927ã. Ñóùåñòâóþò äâå ãðóïïû ôèçè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, óòâåðæäàåò Íèëüñ Áîð, íàïðèìåð êîîðäèíàòà è ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ïðîåêöèÿ èìïóëüñà, êîòîðûå îäíîâðåìåííî â îäíîì îïûòå îïðåäåëèòü íåëüçÿ. Äðóãèìè ñëîâàìè, ñóùåñòâóþò äâà êëàññà ôèçè÷åñêèõ ïðèáîðîâ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî îïðåäåëèòü ëèáî êîðïóñêóëÿðíóþ, ëèáî âîëíîâóþ õàðàêòåðèñòèêó ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû. Ñâîé ïðèíöèï äîïîëíèòåëüíîñòè Í.Áîð ñôîðìóëèðîâàë òàê: äâå ãðóïïû ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèå ëèáî êîðïóñêóëÿðíûå, ëèáî âîëíîâûå õàðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, äîïîëíÿþò äðóã äðóãà è äàþò ïîëíîå îïèñàíèå ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû íà ÿçûêå êëàññè÷åñêîé ôèçèêè. Èç ñîïîñòàâëåíèÿ ñîäåðæàíèÿ ÑÍà è ïðèíöèïà äîïîëíèòåëüíîñòè Í.Áîðà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä îá èäåíòè÷íîñòè èõ ôèçè÷åñêîãî ñîäåðæàíèÿ, ÑÍà ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì ïðèíöèïà äîïîëíèòåëüíîñòè Í.Áîðà.

27

Ãëàâà 2 7. Ïîñòóëàòû êâàíòîâîé ìåõàíèêè Êàê è â ëþáîì ðàçäåëå òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, â êâàíòîâîé ìåõàíèêå èìåþòñÿ èñõîäíûå óòâåðæäåíèÿ, îáîáùàþùèå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ôàêòû-ïîñòóëàòû. Èõ èñòèííîñòü ïîäòâåðæäàåòñÿ ñëåäñòâèÿìè, êîòîðûå âûòåêàþò èç ïîñòóëàòîâ è ïðîâåðÿþòñÿ íà îïûòå. Ñôîðìóëèðóåì ïîñòóëàòû êâàíòîâîé ìåõàíèêè. 1-é ïîñòóëàò. Êàæäîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíå ìîæíî ñîïîñòàâèòü ýðìèòîâûé, ñàìîñîïðÿæåííûé ëèíåéíûé îïåðàòîð. (Íàïîìíèì, ÷òî îïåðàòîðîì íàçûâàåòñÿ ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü äåéñòâèé, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ íåêîòîðóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïåðåâåñòè â äðóãóþ ôóíêöèþ, íî ïðèíàäëåæàùóþ òîìó æå êëàññó ôóíêöèé). Îïåðàòîð èìååò ñëåäóþùåå ñèìâîëè÷åñêîå îáîçíà÷åíèå: Lˆ , ãäå ïîä ñèìâîëîì Lˆ íóæíî ïîíèìàòü ëþáîé ýðìèòîâ îïåðàòîð. Îïåðàöèþ äåéñòâèÿ îïåðàòîðà íà íåêîòîðóþ ôóíêöèþ è ïîëó÷åíèå ïðè ýòîì ôóíêöèè èç òîãî æå êëàññà ôóíêöèé çàïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ: ∧

L Ψ = λψ

ãäå

(7.1)

λ íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà Lˆ , à ôóíêöèè

Ψ è ψ − ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè òîãî æå îïåðàòîðà. 2-îé ïîñòóëàò. Îñîáåííîñòüþ ýðìèòîâîãî îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âñåãäà ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè âåëè÷èíàìè. À ýòî âàæíî, òàê êàê ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ìîæåò áûòü òîëüêî âåùåñòâåííîé âåëè÷èíîé. Èìåííî ïîýòîìó â êâàíòîâîé ìåõàíèêå èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî ýðìèòîâûå îïåðàòîðû. 3-èé ïîñòóëàò. Ïóñòü ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû èëè ñèñòåìû ÷àñòèö îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé Ψ . Ïóñòü íåêîòîðîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíå, îïðåäåëÿþùåé ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû èëè ñèñòåìû ÷àñòèö, ñîîòâåòñòâóåò ýðìèòîâ îïå-

ðàòîð Lˆ . Âûøå ìû ãîâîðèëè, ÷òî ó îïåðàòîðà èìååòñÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ. Íî ëþáàÿ ôóíêöèÿ òîãî æå ìíîæåñòâà òîæå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé ýòîãî îïåðàòîðà. Ïîýòîìó ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ó îïåðàòîðà 28

Lˆ èìååòñÿ ïîëíûé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé (ñèñòåìà ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè â íåå âõîäÿò âñå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè äàííîãî îïåðàòîðà). Òðåòèé ïîñòóëàò óòâåðæäàåò, ÷òî ôóíêöèþ Ψ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðà

Lˆ â ñëåäóþùåì âèäå:

Ψ = ∑ Cn u n .

(7.2)

Êîýôôèöèåíò ðàçëîæåíèÿ èìååò ñëåäóþùèé ñìûñë: êâàäðàò ìîäóëÿ êîýôôèöèåíòà Cn

2

îïðåäåëÿåò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ñèñ-

òåìû (÷àñòèöû) â n-ñîñòîÿíèè. Äàäèì “ðåöåïò” íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ

Cn . Äîìíîæèì ôîðìóëó (7.2) íà ôóíêöèþ u ∗ m , êîìïëåêñíî ñîïðÿ-

æåííóþ ôóíêöèè

um : u ∗ m Ψ = u ∗ m ∑ Cn u n = ∑ C n u ∗ m u n .

Ïðîèíòåãðèðóåì ýòî ðàâåíñòâî ïî âñåé îáëàñòè çàäàíèÿ ïåðåìåííûõ, îò êîòîðûõ çàâèñèò ôóíêöèè

∫u

* m

un :

Ψdτ = ∫ ∑ C n u ∗ m u n dτ .

 ñèëó íåçàâèñèìîñòè äåéñòâèé ñóììèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ, ïîìåíÿåì ïîðÿäîê ýòèõ äåéñòâèé ñïðàâà, è ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò

Cn

âûíåñåì çà çíàê èíòåãðàëà:

∫u Íî ôóíêöèè

* m

Ψ dτ = ∑ C n ∫ u ∗ u n dτ . m

u n ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè îïåðàòîðà, êîòî-

ðûé ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîé õàðàêòåðèñòèêå ðàññìàòðèâàåìîé ÷àñòèöû èëè ñèñòåìû, îáëàäàþò ñâîéñòâîì îðòîíîðìèðîâàííîñòè, åãî ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàïèñü òàêîâà:

∫u

∗

m

 O, u n dτ =  åñëè  1,

m≠n . m=n

Òàêèì îáðàçîì, ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî çàïèøåòñÿ òàê:

C m = ∫ u ∗ m Ψ dτ . 29

(7.3)

Çàìåíà èíäåêñà m íà n ó êîýôôèöèåíòà Ñ çàêîííà, òàê êàê òîëüêî ïðè ðàâåíñòâå ýòèõ èíäåêñîâ óñëîâèå îðòîíîðìèðîâàííîñòè äàåò îòëè÷íûé îò íóëÿ âêëàä.

8. Ëèíåéíîñòü ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ Ëèíåéíîñòü ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ âûòåêàåò èç ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè, êîòîðûé äåéñòâóåò ïðè ðàññìîòðåíèè ñëîæíûõ êâàíòîâî - ìåõàíè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû. Ýòîò ïðèíöèï óòâåðæäàåò: åñëè ñèñòåìà ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ñîñòîÿíèè, îïèñûâàåìîì ôóíêöèåé φ è â ñîñòîÿíèè, îïèñûâàåìîì ôóíêöèåé ϕ , òî ýòà ñèñòåìà ìîæåò íàõîäèòüñÿ è â ñîñòîÿíèè, îïèñûâàåìîì ôóíêöèåé:

Ψ = C1φ + C2ϕ , ãäå: Ñ 1

è Ñ 2 – ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû.

Îïåðàòîð

Lˆ ñ÷èòàåòñÿ ëèíåéíûì,åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå

Lˆ (C1φ + C2ϕ ) = C1 Lˆ φ + C 2 Lˆ ϕ . Ñàìîñîïðÿæåííûå, ýðìèòîâûå îïåðàòîðû óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåìó óñëîâèþ:

∫ψ ãäå

∗ 1

∗ Aˆ ψ 2 dτ = ∫ψ 2 Aˆ ∗ψ 1 dτ ,

Aˆ * - îïåðàòîð, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîðó Aˆ . 9. Îïåðàòîðû îñíîâíûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí

×àñòü îïåðàòîðîâ, ñîïîñòàâëÿåìûõ ôèçè÷åñêèì âåëè÷èíàì, íàõîäÿòñÿ ìåòîäîì ïîäáîðà. Äîñòîâåðíîñòü íàéäåííûõ îïåðàòîðîâ ïîäòâåðæäàåòñÿ ñëåäñòâèÿìè, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ ïðè ïðèìåíåíèè ýòèõ îïåðàòîðîâ.  äðóãèõ ñëó÷àÿõ èñïîëüçóåòñÿ ïðîñòàÿ çàìåíà ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû åå îïåðàòîðîì. 1. Îïåðàòîð êîîðäèíàòû. Îïåðàòîð êîîðäèíàòû ïîëó÷àåòñÿ, êîãäà ìû íàä íåé ïîñòàâèì ñèìâîë îïåðàòîðà-çíà÷îê ^, òî åñòü ñèìâîëè÷åñêè îïåðàòîð êîîðäèíàòû çàïèøåòñÿ òàê: xˆ . Ïðèìåì, ÷òî äåéñòâèå îïåðàòîðà xˆ ñîñòîèò â óìíîæåíèè íà âåëè÷èíó õ òîãî, ÷òî ñòîèò çà ýòèì îïåðàòîðîì. Äîãîâîðèëèñü, ÷òî íàä êîîðäèíàòîé â ýòîì ñëó÷àå çíà÷îê îïåðàòîðà íå ñòàâèòü. 30

2. Îïåðàòîð ïðîåêöèè èìïóëüñà. Äëÿ íàõîæäåíèÿ èñêîìîãî îïåðàòîðà ñîñòàâèì îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå:

Pˆxψ = Pxψ .

(*)

ïðè ýòîì ìû èñïîëüçîâàëè îñíîâíîå ñâîéñòâî ýðìèòîâîãî îïåðàòîðà - ïåðåâîäèòü ñîáñòâåííóþ ôóíêöèþ â íåå æå ñàìó ïðè óìíîæåíèè íà íåêîòîðûé ìíîæèòåëü, íàçûâàåìûé ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà. Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ïóñòü ôóíêöèÿ ψ ÿâëÿåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé äå-Áðîéëÿ, êîòîðàÿ îïèñûâàåò äâèæåíèå ñâîáîäíîé ÷àñòèöû:

ψ = Ae −i (ωt −kx ) . Ïðåîáðàçóåì ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ äå-Áðîéëÿ:

E = hν = hω è p x = hk , òîãäà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ

ψ ïðèìåò âèä: −

i

(Et − p x )

x . ψ = Ae h Îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå áóäåò âûïîëíÿòüñÿ, åñëè äëÿ îïåðàòîðà

∂ Pˆx âçÿòü âûðàæåíèå Pˆx = −ih ∂x . Óáåäèìñÿ â ýòîì. Ñîñòàâèì ëåâóþ ñòîðî-

íó îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ (*):

ψ = −ih

∂ ∂   i  ψ = −ih  A exp− (Et − p x x ) = ∂x ∂x  h   .  i i = −ihA exp − (Et − p x x ) p x = Pxψ  h h

Íî ýòî è åñòü ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (*). Ìû ïîëó÷èëè òîæäåñòâåííîå âûðàæåíèå, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî îïåðàòîð

Pˆx èìååò âûðàæåíèå

∂ Pˆx = −ih . Îáîáùèì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòîò ∂x îïåðàòîð èìååò âñåãäà òàêîé âèä, à íå òîëüêî äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû. Àíàëîãè÷íî ïîñòðîèì ïðîåêöèè îïåðàòîðà èìïóëüñà íà îñè Îó è Îz:

) ∂ Py = −ih è ∂y

∂ Pˆx = −ih . ∂z 31

Ñëåäîâàòåëüíî, ñàì îïåðàòîð èìïóëüñà çàïèøåòñÿ òàê: )r v ) v ) v ) P = i Px + j Py + k Pz = −ih∇ , ãäå ñèìâîë ∇ − åñòü âåêòîðíûé îïåðàòîð íàáëà, ïðèíÿòî íàä íèì çíàê îïåðàòîðà íå ñòàâèòü. Î÷åâèäíî, ÷òî îïåðàòîð íàáëà èìååò ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå: v ∂ v ∂ v ∂ ∇=i + j +k . ∂x ∂y ∂z 3. Îïåðàòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ Îáîáùèì “îïûò” ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðîâ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí: åñëè ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ, òî, äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðà ýòîé âåëè÷èíû, íóæíî â ôóíêöèè ýòîé âåëè÷èíû çàìåíèòü êîîðäèíàòû è èìïóëüñû (èëè èõ ïðîåêöèè) íà èõ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèå îïåðàòîðû (íà òå, ÷òî áûëè “ïîñòðîåíû” âûøå).  âèäå ïðèìåðà ïîñòðîåíèÿ òàêîãî ñëîæíîãî îïåðàòîðà ðàññìîòðèì îïåðàòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå äëÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ââîäèòñÿ ñëåäóþùåå âûðàæåíèå: v v v i j k v vv L = [r P] = x y z . Px Py Pz Ñëåäóÿ ñôîðìóëèðîâàííîìó âûøå ïðàâèëó, ”ïîñòðîèì” îïåðàòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ (îïåðàòîð èìïóëüñà): )v L=

v i

r j

r k

x

y

z

∂ − ih ∂x

∂ − ih ∂y

∂ − ih ∂z

.

Cîñòàâèì êîììóòàòîð îïåðàòîðîâ êîîðäèíàòû è ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîåêöèè èìïóëüñà.Ñèìâîëè÷åñêè êîìóòàòîð çàïèñûâàåòñÿ òàê: ) ) xP = xP − Pˆ x.

[ ] x

x

x

Òàê êàê îïåðàòîð äîëæåí äåéñòâîâàòü íà íåêîòîðóþ ôóíêöèþ, òî ïðèäàäèì ïðåäûäóùåìó ðàâåíñòâó âèä îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ, óìíî32

æèâ îáå åãî ñòîðîíû íà íåêîòîðóþ ôóíêöèþ Ψ ñïðàâà: ) ) ) xPx Ψ = xPx − Px x Ψ. Äàëåå ñîñòàâèì êàæäûé ÷ëåí ñïðàâà, èñïîëüçóÿ ÿâíûé âèä îïåðàòîðà ïðîåêöèè èìïóëüñà: -

[ ] (

)

∂ ∂ ∂x   ∂   ∂ ih  x Ψ − (xΨ ) = −ih x Ψ − x Ψ − Ψ  = ihΨ . ∂x  ∂x ∂x  ∂x  ∂x  Ñðàâíèâàÿ ñ ëåâîé ñòîðîíîé èñõîäíîãî îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî êîììóòàòîð îïåðàòîðîâ êîîðäèíàòû è ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîåêöèè èìïóëüñà íå ðàâåí íóëþ. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì îïåðàòîðàì ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû íå ìîãóò èìåòü îäíîâðåìåííî òî÷íûõ çíà÷åíèé. Ìû ïîëó÷èëè íîâóþ ôîðìóëèðîâêó äëÿ ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà: åñëè êîììóòàòîð îïåðàòîðîâ äâóõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí íå ðàâåí íóëþ (îïåðàòîðû íå êîììóòèðóþò), òî ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì îïåðàòîðàì ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû íå ìîãóò áûòü èçìåðåíû â îäíîì îïûòå îäíîâðåìåííî òî÷íî, äëÿ ýòèõ âåëè÷èí ìîæíî ñîñòàâèòü ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà. Ëåãêî ïîêàçàòü, ïðîèçâîäÿ äåéñòâèÿ, ïîäîáíûå òîëüêî-÷òî ïðîèçâå-

[ )]

äåííûì âûøå, ÷òî êîììóòàòîð xPy ðàâåí íóëþ. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîðû

) x è Py êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ôèçè÷åñ-

êèå âåëè÷èíû, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ýòè îïåðàòîðû, ìîãóò áûòü èçìåðåíû òî÷íî â îäíîì îïûòå. 4. Îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå âàæíóþ ðîëü âûïîëíÿåò ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà, êîòîðàÿ â ñëó÷àå êîíñåðâàòèâíûõ âíåøíèõ ïîëåé ñîâïàäàåò ñ ïîëíîé ýíåðãèåé ñèñòåìû èëè ÷àñòèöû: H = Ek + E p =

p2 + U (x, y, z). 2m

Âîñïîëüçóåìñÿ ñôîðìóëèðîâàííûì âûøå “ðåöåïòîì” äëÿ ñîñòàâëåíèÿ îïåðàòîðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà, îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî â âûðàæåíèè ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà çàìåíèòü äèíàìè÷åñêèå ïåðåìåííûå-êîîðäèíàòû è èìïóëüñû- èõ îïåðàòîðàìè:

33

) (− ih∇)2 h2 + U (x, y, z) = − ∆ + U (x, y, z), H= 2m 2m

ãäå ∆ = ∇ 2 è

(− ih )(− ih ) = −h 2 .

Äëÿ ïðèìåðà ñîñòàâèì îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå äëÿ îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà:

) HΨ = EΨ,

èëè, ïîäñòàâëÿÿ ÿâíûé âèä îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà, ïîëó÷àåì:

−

h2 ∆Ψ + UΨ = EΨ. 2m

Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà. Êîîðäèíàòíûì îíî íàçûâàåòñÿ ïîòîìó,÷òî â íåãî íå âõîäèò çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè â îïåðàòîðíûõ äåéñòâèÿõ. Òàê êàê â óðàâíåíèå âõîäèò ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ U (x, y, z ) , èìåþùàÿ êîíêðåòíûé âèä â êàæäîé çàäà÷å, òî êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà íåîáõîäèìî ðåøàòü êàæäûé ðàç ñàìîñòîÿòåëüíî, åñëè èçìåíÿåòñÿ âèä ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè. Ïîñêîëüêó ðåøåíèå óðàâíåíèÿ íå çàâèñèò îò âðåìåíè, ýòî êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèìåíÿåòñÿ ïðè ðåøåíèè ñòàöèîíàðíûõ çàäà÷. Ñîîòâåòñòâåííî è óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà. 5. Îïåðàòîð ïîëíîé ýíåðãèè Ïðè ðàññìîòðåíèè íåñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ íåîáõîäèìî ðåøàòü îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå ÿâíóþ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè â ñàìîì îïåðàòîðå, âõîäÿùåì â ýòî óðàâíåíèå. Îáîçíà÷èì îáùåå âûðàæåíèå ) äëÿ ýòîãî îïåðàòîðà òàê: E . Òàê êàê áóêâîé E ìû îáîçíà÷àåì ýíåðãèþ ) ñèñòåìû èëè ÷àñòèöû, òî îïåðàòîð E áóäåì íàçûâàòü îïåðàòîðîì ýíåðãèè, òî÷íåå îïåðàòîðîì ïîëíîé ýíåðãèè. Ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ ñ îïåðàòîðîì ïîëíîé ýíåðãèè òàêîâà: ) EΨ = EΨ. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ÿâíîãî âèäà îïåðàòîðà ïîëíîé ýíåðãèè ïðèìåíèì òîò æå ìåòîä, ÷òî è ïðè íàõîæäåíèè ÿâíîãî âèäà îïåðàòîðà ïðîåêöèè èìïóëüñà (ñì. ï.2).  êà÷åñòâå ïðîáíîé ôóíêöèè Ψ âîçüìåì âîëíîâóþ ôóíêöèþ äå-Áðîéëÿ: 34

Ψ (x, t ) = Ae − (ωt − kx ). Äëÿ óïðîùåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ìû ðàññìàòðèâàåì îäíîìåðíûé ñëó÷àé (ò.å. ÿâíî âõîäèò ëèøü îäíà êîîðäèíàòà õ). Ëåãêî óáåäèòñÿ ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé, ÷òî îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå ïðåâðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî, åñëè â êà÷åñòâå îïåðàòîðà ïîëíîé ýíåðãèè âçÿòü îïåðàòîð âèäà

) ∂ E = ih . ∂t Ñðàâíèì óðàâíåíèÿ äëÿ îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà è äëÿ îïåðàòîðà ïîëíîé ýíåðãèè:

−

∂ h2 ∆Ψ + UΨ = EΨ è ih Ψ = EΨ. ∂t 2m

(9.5.1)

Ñïðàâà ñòîÿò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðîâ Ãàìèëüòîíà è ïîëíîé ýíåðãèè (óìíîæåííûå íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ). Íî â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû (èëè ÷àñòèöû). Ïîñêîëüêó ïðàâûå ñòîðîíû ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé ñîâïàäàþò, òî ðàâíû è ëåâûå ñòîðîíû ýòèõ óðàâíåíèé. È ìîæíî íàïèñàòü ñëåäóþùåå îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå:

ih

h2 ∂ Ψ=− ∆Ψ + UΨ. 2m ∂t

(9.5.2)

Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ ïîëíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà, òàê êàê â íåì ðàññìàòðèàâàþòñÿ äåéñòâèÿ îïåðàòîðîâ, îäèí èç êîòîðûõ äåéñòâóåò íà âðåìåííóþ, äðóãîé íà êîîðäèíàòíóþ çàâèñèìîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ìû íå âûâåëè, à “ïîñòðîèëè” óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, ïîäîáíî òîìó êàê íå âûâîäÿòñÿ, à “ñòðîÿòñÿ” óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â òåîðèè ýëåêòðîìàãíåòèçìà, èëè ôîðìóëà 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà â ìåõàíèêå. Èòàê, ìû ïîëó÷èëè òðè óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì íàçûâàòü ïåðâîå èç óðàâíåíèé êîîðäèíàòíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà, âòîðîå èç óðàâíåíèé (9.5.1) - âðåìåííûì, à óðàâíåíèå (9.5.2) ïîëíûì óðàâíåàíèåì Øðåäèíãåðà. 35

10. Ðåøåíèå ïîëíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà Áóäåì íàõîäèòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (9.5.2), ó÷èòûâàÿ, ÷òî îáå ñòîðîíû åãî ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê äåéñòâèÿ ïî ðàçíûì ïåðåìåííûì. À ïîýòîìó âîçüìåì âîëíîâóþ ôóíêöèþ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè

ϕ ( x, y, z) è ôóíêöèè f(t), çàâèñÿùåé îò âðåìåíè: (10.1) Ψ ( x, y, z, t) = f (t)ϕ ( x, y, z). Èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ (10.1), ñîñòàâèì ïî îòäåëüíîñòè ëåâóþ è ïðàâóþ ñòîðîíû óðàâíåíèÿ (9.5.2): ih

∂ ∂ ∂ Ψ (x, y, z, t) = ih f (t)ϕ (x, y, z) = ihϕ (x, y, z) f (t ); ∂t ∂t ∂t è

−

(10.2)

h2 ∆[ f (t )ϕ(x, y, z )]+ U (x, y, z ) f (t )ϕ(x, y, z ) = 2m

h2 f (t )∆ϕ (x, y, z ) + U (x, y, z) f (t)ϕ (x, y, z) (10.3). 2m Ïðèðàâíÿåì âûðàæåíèÿ (10.2) è (10.3), è, ðàçäåëèâ îáå ñòîðîíû óðàâ−

íåíèÿ íà Ψ = f (t)ϕ (x, y, z), ïîëó÷èì:

ih

∂f (t ) 2 ∂t = − h ∆ϕ (x, y, z) + U (x, y, z). 2m ϕ (x, y, z) f (t )

(10.4)

 ðàâåíñòâå (10.4) ëåâàÿ ñòîðîíà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé âðåìåíè, ïðàâàÿ æå - ôóíêöèåé êîîðäèíàò. Ýòî ðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ â ëþáîé òî÷êå è â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Íî ýòî âîçìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè îáå ñòîðîíû ðàâíû ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå. Îáîçíà÷èì å¸ áóêâîé Å è âûÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîé âåëè÷èíû. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ðàçìåðíîñòåé. Îäíèì èç ïðàâèë ýòîãî ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ óòâåðæäåíèå, ÷òî ñêëàäûâàòü (âû÷èòàòü) è ïðèðàâíèâàòü ìîæíî òîëüêî îäíîðîäíûå âåëè÷èíû. Íî ñïðàâà â ôîðìóëå (10.4) îäíî èç ñëàãàåìûõ - ýòî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, è âñå îñòàëüíûå ÷ëåíû â ôîðìóëå (10.4) èìåþò ñìûñë ýíåðãèè. À ïîòîìó è âåëè÷èíà Å ÿâëÿåòñÿ ýíåðãèåé. È ïîñêîëüêî îíà ñîñòàâëÿåòñÿ èç äâóõ ÷àñòåé, îäíà èç êîòîðûõ ñâÿçàíà ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé, à âòîðàÿ-ñ ïîòåíöèàëüíîé, òî âåëè÷èíà Å ÿâëÿåòñÿ 36

ïîëíîé (ìåõàíè÷åñêîé) ýíåðãèåé êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû (èëè ÷àñòèöû), ñîñòîÿíèå êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé

Ψ (x, y, z, t). Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (10.4) ðàñïàäàåòñÿ íà äâà äèôôå-

ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ: ih

∂f (t) ∂t = E f (t)

(10.5)

è −

h 2 ∆ϕ (x, y, z) + U (x, y, z) = E . 2m ϕ (x, y, z)

(10.6)

Óðàâíåíèå (10.5) ðåøàåòñÿ ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ: ∂f (t ) i = − E∂t. f (t ) h

(10.7)

Òàê êàê â ýòîì óðàâíåíèè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ëèøü îäíîé ïåðåìåííîé, òî ñèìâîë äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ∂ ìîæíî çàìåíèòü íà ñèìâîë d. Èíòåãðèðîâàíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ äàåò ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ: i

− Et (10.8) f (t ) = Ce h . . Îñîáåííîñòüþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (10.5) - ôóíêöèÿ (10.8)- ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíî ñîõðàíÿåò ñâîé ñìûñë äëÿ ëþáîé êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé çàäà÷è, òàê êàê íå çàâèñèò îò âèäà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (10.6), ïðåîáðàçóåì åãî, óìíîæèâ îáå ñòîðîíû íà ôóíêöèþ

ϕ (x, y, z):

h2 − ∆ϕ ( x, y, z ) + Uϕ (x, y, z) = Eϕ (x, y, z). 2m Íî ýòî óðàâíåíèå íàì óæå âñòðå÷àëîñü, êîãäà ìû ñîñòàâëÿëè îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå äëÿ îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà. Ýòî óðàâíåíèå ìû íàçâàëè êîîðäèíàòíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà è îòìå÷àëè, ÷òî åãî íåîáõîäèìî ðåøàòü êàæäûé ðàç, åñëè çàäàåòñÿ íîâàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ

U (x, y, z). Íèæå ìû ðåøèì íåñêîëüêî êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ çàäà÷, çà-

äàâàÿ êàæäûé ðàç ÿâíûé âèä ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè. 37

11. Çàêîí ïðè÷èííîñòè â êâàíòîâîé ìåõàíèêå Óñòàíàâëèâàÿ ñìûñë âîëíîâîé ôóíêöèè, ìû ñôîðìóëèðîâàëè è îñíîâíóþ çàäà÷ó êâàíòîâîé ìåõàíèêè: ñîñòîÿíèå êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû áóäåò îïðåäåëåíî, åñëè áóäåò èçâåñòíà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîìó ñîñòîÿíèþ ñèñòåìû. Òåïåðü ìû çíàåì, êàê íàõîäèòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ: íåîáõîäèìî ðåøèòü óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà. Òàê êàê âðåìåííàÿ ôóíêöèÿ

f (t ) èìååò îäèí è òîò æå âèä âî âñåõ çàäà÷àõ, òî

ðåøàòü íóæíî ëèøü êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà. À çàòåì ïîëíóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ çàäà÷è ñîñòàâëÿåì â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ âðåìåííîé è êîîðäèíàòíîé âîëíîâûõ ôóíêöèé. Îñíîâàíèåì òàêîé îïåðàöèè ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, êîòîðàÿ ñïðàâåäëèâà äëÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé.  ñèëó îäíîðîäíîñòè õîäà âðåìåíè ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî ïðèíÿòü çà íà÷àëüíûé, íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè, è òåì ñàìûì îïðåäåëèòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè. Ýòî è áóäåò íà÷àëüíûì óñëîâèåì çàäà÷è, êîòîðîå íåîáõîäèìî ïðè ðåøåíèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Çíàíèå âîëíîâîé ôóíêöèè â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü äàííîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû. Ñîñòàâëÿÿ êâàäðàò ìîäóëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè, ìû îïðåäåëÿåì ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ñèñòåìû â èñõîäíîì ñîñòîÿíèè:

Ψ = f (t) ϕ 2

2

2

2

=ϕ .

(11.1)

 îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, â êâàíòîâîé ìåõàíèêå íåëüçÿ ãîâîðèòü îá àáñîëþòíîì, äîñòîâåðíîì, îäíîçíà÷íîì çíàíèè ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Èç-çà êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîãî äóàëèçìà ñâîéñòâ ÷àñòèö ñèñòåìû ìîæíî ãîâîðèòü ëèøü î âåðîÿòíîñòíîì ñîñòîÿíèè ñèñòåìû. Íî âåðîÿòíîñòíîå òîëêîâàíèå âûâîäîâ êâàíòîâîé ìåõàíèêè íå óñòðàíÿåò îáúåêòèâíîñòè ýòèõ âûâîäîâ, íå óñòðàíÿåò äåéñòâèÿ çàêîíà ïðè÷èííîñòè. Îí ëèøü ïðèîáðåòàåò íîâûé, âåðîÿòíîñòíûé õàðàêòåð. Çíàíèå âîëíîâîé ôóíêöèè â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü åå â ëþáîé ïîñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè. Òåì ñàìûì ìû èìååì âîçìîæíîñòü óñòàíîâèòü âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ñèñòåìû â íîâîì ñîñòîÿíèè. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïîçâîëÿåò ñâÿçàòü èñõîäíîå ñîñòîÿíèå êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè ñ ñîñòîÿíèåì ñèñòåìû â ìîìåíò âðåìåíè t. È òî, ÷òî ýòè ñîñòîÿíèÿ ñâÿçàíû âåðîÿòíîñòíûìè çàêîíàìè, íå óìåíüøàåò èõ ðåàëüíîñòè, äîñòîâåðíîñòè. 38

È â êâàíòîâîé ìåõàíèêå çàêîí ïðè÷èííîñòè íå îòìåíÿåòñÿ, à â ñèëó êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ ÷àñòèö è ñèñòåì ÷àñòèö èìååò íîâîå, âåðîÿòíîñòíîå ïðîÿâëåíèå.

12. Äèôôåðåíöèðîâàíèå îïåðàòîðîâ ïî âðåìåíè Âîñïîëüçóåìñÿ ðàíåå ïîëó÷åííîé ôîðìóëîé äëÿ ðàñ÷åòà ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ëþáîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, îïðåäåëÿþùåé ñîñòîÿíèå êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû: ) L = ∫ Ψ * L Ψd τ . (12.1)

ãäå èíòåãðèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî êîîðäèíàòàì. Òàê êàê âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò âðåìåíè, òî ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî è ñðåäíåå çíà÷åíèå ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû áóäåò èçìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè. À òàê êàê ñðåäíåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû îïðåäåëÿåòñÿ å¸ îïåðàòîðîì, òî è îïåðàòîð ìîæåò èçìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè. Ïåðåä íàìè âîçíèêàåò çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ äåéñòâèé, äàþùèõ íàì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò îïåðàòîðà. Ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âîçüìåì îò âûðàæåíèÿ (12.1) ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè:

) ) ) ∂Ψ  ∂Ψ * ) ∂L  dL d = ∫ Ψ * LΨdτ = ∫  + Ψ* Ψ dτ . (12.2) LΨ + Ψ * L ∂t ∂t  dt dt  ∂t

Ïðè ñîñòàâëåíèè ýòîãî âûðàæåíèÿ î÷åíü âàæíî ñîáëþäàòü ïîðÿäîê ìíîæèòåëåé, ïîìíÿ, ÷òî îïåðàòîð äåéñòâóåò íà ôóíêöèþ, êîòîðàÿ ñòîèò ïîñëå íåãî. Òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ñîñòîèò èç òðåõ ìíîæèòåëåé, òî ìû ïîëó÷èëè â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ òðè ñëàãàåìûõ. Ïðîèçâîäÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå, ìû ïîìåíÿëè ïîðÿäîê äåéñòâèé, âíåñÿ âçÿòèå ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè ïîä çíàê èíòåãðàëà, òàê êàê èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî êîîðäèíàòàì. Äëÿ äàëüíåéøåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèÿ (12.2) âîñïîëüçóåìñÿ ïîëíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà, îäíàêî íå ðàñêðûâàÿ ÿâíûé âèä îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà:

) ∂Ψ ) ∂Ψ * = HΨ è − ih = HΨ * . (12.3) ∂t ∂t Âòîðîå óðàâíåíèå â (12.3) - ýòî óðàâíåíèå, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîå èñõîäíîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà âõîäèò áåç ñèìâîëà êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ. Â äàëüíåéøåì íàì íå ðàç ïðèäåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî â ñèëó âåùåñòâåííîñòè îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà

ih

39

) ) (12.4) H = H *. ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, äîñòàòî÷íî âîññòàíîâèòü âèä îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà: h2 Hˆ = − ∆ +U. (12.5) 2m Âñå ÷ëåíû â îïåðàòîðå Ãàìèëüòîíà – âåùåñòâåííûå âåëè÷èíû. Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè (12.3) è âûðàçèì èç íèõ íóæíûå íàì ïðîèçâîäíûå:

i ) ∂Ψ ∂Ψ * i ) * = − HΨ è = HΨ . h ∂t ∂t h Ïðîäîëæèì ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ (12.2):

(12.6)

) ) i )  i ) ) ∂L  dL Ψ d τ = = ∫  HΨ * LΨ + Ψ * L − HΨ  + Ψ * ∂t  dt   h h ) )) i ) *)  * * ∂L Ψ d τ = ∫  HΨ LΨ − Ψ LHΨ + Ψ ∂t  h

(

)

)

)

Ïðåîáðàçóåì ïåðâîå ñëàãàåìîå â êðóãëûõ ñêîáêàõ: HΨ * LΨ. Ðàññìîòðèì âíèìàòåëüíî ýòî âûðàæåíèå. Ïî ñóòè äåëà îíî ñîñòîèò èç äâóõ ìíîæèòåëåé, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ äâóõ îïåðàòîðîâ íà ôóíêöèè, êîòîðûå ñòîÿò íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå íèõ. Ýòè äâà ìíîæèòåëÿ íåçàâèñèìû äðóã îò äðóãà, ïîýòîìó èõ ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè: ) ) LΨHΨ * . Ñîñòàâèì èíòåãðàë ñ ýòèì ïîäûíòåãðàëüíûì âûðàæåíèåì: )

)

))

∫ LΨHΨ dτ = ∫ Ψ HLΨdτ . *

*

Ïðè ýòîì ìû âîñïîëüçîâàëèñü óñëîâèåì ñàìîñîïðÿæåííîñòè ýðìèòîâîãî îïåðàòîðà

) H:

∫u

* 1

) ) * Hu 2 dτ = ∫ u 2 Hu1 dτ ,

ïðè÷åì â êà÷åñòâå ôóíêöèè

(12.7)

* u1 âûñòóïàëà ôóíêöèÿ Ψ * , à ôóíêöèè

)

)

) u 2 = LΨ è ó÷ëè âåùåñòâåííîñòü îïåðàòîðà H = H * .

40

Ïðîäîëæèì ñîñòàâëåíèå

dL : dt

) ))  i * )) dL * * ∂L = ∫  Ψ HLΨ − Ψ LHΨ + Ψ Ψ  dτ = ∂t  dt h )  i ) ) ) ) ∂L  = ∫ Ψ *  HL − LH + Ψdτ . ∂t  h

(

)

(

)

Ñðàâíèì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ñ ôîðìóëîé äëÿ ðàñ÷åòà ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ëþáîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû: ) L = ∫ Ψ * L Ψ dτ . (12.8)

Ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ðîëü ïîëíîé ïðîèçâîäíîé îò îïåðàòîðà ïî âðåìåíè âûïîëíÿåò âåëè÷èíà, ñòîÿùàÿ â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ: ) ) dL ∂L i ) ) ) ) = + HL − LH . (12.9) dt ∂t h Âòîðîé ÷ëåí â ýòîì âûðàæåíèè íîñèò íàçâàíèå êâàíòîâîé ñêîáêè Ïóàññîíà. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî êâàíòîâóþ ñêîáêó Ïóàññîíà ìîæíî )) ) ) )) ðàññìàòðèâàòü ââèäå ïðîèçâåäåíèÿ êîììóòàòîðà HL − LH = HL íà ìíî-

(

)

[ ]

æèòåëü

i . h

13. Èíòåãðàëû äâèæåíèÿ Êàê â êëàññè÷åñêîé, òàê è â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñóùåñòâóþò èíòåãðàëû äâèæåíèÿ, ò.å. âåëè÷èíû, êîòîðûå íå èçìåíÿþò ñâîåãî çíà÷åíèÿ âî âðåìåíè. Ïîëó÷èì êðèòåðèè, êîòîðûì äîëæíû ïîä÷èíÿòüñÿ êâàíòîâûå èíòåãðàëû äâèæåíèÿ. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (12.9). Ïóñòü

)

îïåðàòîð íåêîòîðîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû L íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè. ) ∂L = 0 è ôîðìóëà (12.9) ïðèíèìàåò âèä: Òîãäà ∂t ) dL i ) ) ) ) = HL − LH . dt h

(

)

Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà îïåðàòîð 41

(13.1)

) L êîììóòèðó-

åò ñ îïåðàòîðîì Ãàìèëüòîíà

) H . Òîãäà âûðàæåíèå (13.1) ïðèíèìàåò âèä:

) dL = 0. (13.2) dt Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé äëÿ ðàñ÷åòà ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ëþáîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû: v ) dL * dL = Ψ Ψ dτ (13.3) dt ∫ dt è ïîäñòàâèòü (13.2), òî òîò÷àñ æå ïîëó÷àåì, ÷òî

dL = 0. Îòêóäà ñëåäóåò, dt

÷òî âåëè÷èíà L = Const è ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ. Òåïåðü ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèÿ, óäîâëåòâîðÿÿ êîòîðûì ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ: 1. ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò îïåðàòîðà ýòîé âåëè÷èíû ðàâíà íóëþ, ò.å. îïåðàòîð ÿâíî îò âðåìåíè íå çàâèñèò; 2. îïåðàòîð èñêîìîé âåëè÷èíû äîëæåí êîììóòèðîâàòü ñ îïåðàòîðîì Ãàìèëüòîíà. Ïðîùå âñåãî ïðîèëëþñòðèðîâàòü óñòàíîâëåííûå êðèòåðèè íà îïåðàòîðå ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû, íàõîäÿùåé-

)

ñÿ â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè.  ýòîì ñëó÷àå, äåéñòâèòåëüíî, îïåðàòîð H )) ÿâíî íå çàâèñèò îò âðåìåíè è êîììóòàòîð HH = 0. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ.

[ ]

14. Óðàâíåíèÿ Ýðíôåñòà Îáëàäàÿ êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè, óäîâëåòâîðÿÿ ñîîòíîøåíèÿì íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà, ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû íå ìîãóò èçìåíÿòü ñâîå ñîñòîÿíèå ñîãëàñíî óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè. Äåéñòâèòåëüíî, ýòè óðàâíåíèÿ âûðàæàþò àíàëèòè÷åñêóþ ñâÿçü ìåæäó êîîðäèíàòàìè è èìïóëüñàìè, çàäàííûìè â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè. Âìåñòå ñ òåì, çíàíèå âîëíîâîé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé ôèçè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêè ýòîé ÷àñòèöû. Âîçíèêàåò âîïðîñ: íå ïîä÷èíÿþòñÿ ëè óñðåäíåííûå âåëè÷èíû êàêèì - ëèáî óðàâíåíèÿì, ÿâëÿþùèìèñÿ àíàëîãàìè êëàññè÷åñêèõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ? Ýòó çàäà÷ó ðåøèë ãîëëàíäñêèé ôèçèê Ïàóëü Ýðíôåñò, æèâøèé, êñòàòè, íåêîòîðîå âðåìÿ â Ðîññèè è èìåâøèé òåñíóþ ñâÿçü ñ ðîññèéñêèìè ôèçèêàìè. 42

Ñîñòàâèì óðàâíåíèå (12.9) äëÿ îïåðàòîðà êîîðäèíàòû õ è çàòåì äëÿ îïåðàòîðà ïðîåêöèè èìïóëüñà íà òó æå îñü, ïðè÷åì, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòè îïåðàòîðû ÿâíî îò âðåìåíè íå çàâèñÿò:

) dx i ) ) ) ) = Hx − xH dt h

(

è

)

) dp x i ) ) ) ) = Hp x − p x H . dt h

(

)

(14.1)

Ôîðìóëû (14.1) íîñÿò íàçâàíèå êâàíòîâûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Çàéìåìñÿ ðàñêðûòèåì êîììóòàòîðîâ.

(H)x − xH) ) =  − 2hm ∆ + U  x − x − 2hm ∆ + U , 2

2









ãäå îïåðàòîð Ëàïëàñà èìååò îáû÷íûé âèä ∆=

∂2 ∂2 ∂2 + 2 + 2 , 2 ∂x ∂y ∂z

êðîìå òîãî, îïóùåí çíàê îïåðàòîðà íàä êîîðäèíàòîé. Åñëè ïðîèçâåñòè âñå äåéñòâèÿ, óêàçàííûå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ, òî ïîñëå ñîêðàùåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì, ÷òî

(H)x − xH) ) = − hm ∂∂x . 2

Ñîñòàâèì ïåðâîå óðàâíåíèå Ýðíôåñòà: ) ∂  1 ) dx i h2 ∂ ih ∂ 1 =− =− =  − ih  = p. (14.2) h m ∂x ∂x  m dt m ∂x m  Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé îò êîîðäèíàòû:

43

) dx dx 1 ) 1 = ∫ Ψ * Ψdτ = ∫ Ψ * p x Ψdτ = p x = v x . (14.3) dt dt m m dx = v x â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå âûïîëíÿåòñÿ ñòðîãî â dt ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè.  êâàíòîâîé æå ìåõàíèêå ñîîòíîøåíèå (14.3) âûïîëíÿåòñÿ ëèøü äëÿ ñðåäíèõ âåëè÷èí. Ýòî åñòü ïðîÿâëåíèå êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîãî äóàëèçìà, íåâîçìîæíîñòü îäíîâðåìåííî çàäàòü òî÷íîå ïîëîæåíèå (êîîðäèíàòó õ) ÷àñòèöû è ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðîåêöèþ åå èìïóëüñà, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåí-

Âûðàæåíèå

áåðãà ∆x∆p x = h. Ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä: êëàññè÷åñêîå óðàâdx = v x , êîòîðîå â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå âûïîëíÿåòñÿ ñòðîãî â dt ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè, â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ óñðåäíåííûõ âåëè÷èí:

íåíèå

dx p x = . (14.4) dt m Ïîñëåäíèé âûâîä óêàçûâàåò íà îäíó èç ôîðì ñâÿçè êëàññè÷åñêîé è êâàíòîâîé ìåõàíèê. Ïîçæå ìû âåðíåìñÿ ê ýòîé ïðîáëåìå è ñôîðìóëèðóåì òàê íàçûâàåìûé ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó âñÿêàÿ áîëåå îáùàÿ ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ ñîäåðæèò â ñåáå ïðåäøåñòâóþùóþ òåîðèþ. Ñ ïîëíûì ïðàâîì ìû ìîæåì ñ÷èòàòü êâàíòîâóþ ìåõàíèêó áîëåå îáùåé òåîðèåé. Ïîýòîìó ñîîòíîøåíèå êëàññè÷åñêèõ è êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ-ýòî îäíî èç âûðàæåíèé ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ. Ðàññìîòðèì âòîðîå êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ: ) dp x i ) ) ) ) = (Hp x − p x H ) = dt h    ∂   ∂  h 2 i  h2 =  − ∆ + U  − ih  −  − ih  − ∆ + U . ∂x   ∂x  2m h  2m   Âñå ñëàãàåìûå â îïåðàòîðå Ëàïëàñà êîììóòèðóþò ñ îïåðàòîðîì

∂ , ∂x

ïîýòîìó, ïîñëå ñîêðàùåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä: 44

) dp x i   ∂   ∂  = U  ih  − − ih (U )  = ∂x h   ∂x   dt  =

Èòàê,

∂U ∂ ∂  i  ∂U + i h + U  = − . − ihU ∂x ∂x  h ∂x  ∂x

) dp x ∂U ) = Fx , =− dt ∂x

(14.5)

ãäå èñïîëüçîâàíà óñòàíîâëåííàÿ â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ñâÿçü ìåæäó ∂U è Fõ , à çàòåì ïðèìåíåíî ïðàâèëî ñîïîñòàâëåíèÿ êëàññè÷åñêîé ∂x ôóíêöèè ýðìèòîâîãî îïåðàòîðà. Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêîé

âåëè÷èíû, â êà÷åñòâå êîòîðîé âîçüìåì

dp x : dt

) ) dp x dp = ∫ Ψ * x Ψdτ = ∫ Ψ * Fx Ψdτ = Fx . dt dt èëè dp x = Fx . dt

(14.6)

Ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå (14.6), êîòîðîå â êâàíòîâîé ìåõàíèêå íàçûâàþò 2-ì óðàâíåíèåì Ýðíôåñòà.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì è âûðàæàåò 2-îé çàêîí Íüþòîíà â èìïóëüñíîé ôîðìå.  êâàíòîâîé æå ìåõàíèêå ýòî óðàâíåíèå ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ óñðåäíåííûõ âåëè÷èí. È âñå, ÷òî ñêàçàíî ïðè àíàëèçå 1-ãî óðàâíåíèÿ Ýðíôåñòà î ñâÿçè ñ ïðèíöèïîì ñîîòâåòñòâèÿ, îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì è â îòíîøåíèè óðàâíåíèÿ (14.6).

15. Ñâÿçü çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ñ ñèììåòðèåé ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè 1. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè Îïûòíûì ïóòåì óñòàíîâëåíî, ÷òî âðåìÿ òå÷åò ðàâíîìåðíî â îòñóòñòâèè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè 45

ìîæíî ïðèíÿòü çà íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìåíè. Òàêîå ñâîéñòâî âðåìåíè íàçûâàþò åãî îäíîðîäíîñòüþ. Ðàññìîòðèì çàìêíóòóþ ñèñòåìó. Ÿ ïîëíàÿ ýíåðãèÿ íå èçìåíÿåòññÿ âî âðåìåíè. Ïîýòîìó ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî

ãäå

) H - îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà.

) ∂H = 0, ∂t

Ñîñòàâèì ôîðìóëó (12.9) äëÿ ïîëíîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà: ) ) dH ∂H i ) ) ) ) = + ( HH − HH ). ∂t h dt Íî òàê êàê âñå ñëàãàåìûå ñïðàâà ðàâíû íóëþ, òî ìû òîò ÷àñ æå ) dH = 0 . À òîãäà äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè çàìêíóïîëó÷àåì dt òîé ñèñòåìû ìîæíî ñîñòàâèòü ñëåäóþùåå âûðàæåíèå: ) ) dE dE dH = ∫ Ψ* Ψ dτ = ∫ Ψ * Ψ dτ = 0 , dt dt dt

) dH dE = 0 , è îçíà÷àåò ñîõðà= 0 . Íî ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò, ÷òî òàê êàê dt dt íåíèå ýíåðãèè â çàìêíóòîé ñèñòåìå. Òàêèì îáðçîì, â êâàíòîâîé ìåõàíèêå äëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ïîëíîé ýíåðíèè, â òî âðåìÿ êàê â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ýòîò çàêîí âûïîëíÿåòñÿ òî÷íî â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Âìåñòå ñ òåì, ìû óñòàíîâèëè ñâÿçü çàêîíà ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè ñ îäíîðîäíîñòüþ õîäà âðåìåíè. 2. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ Ïîêàæåì, ÷òî çàêîí ñîõðàíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñëåäóåò èç îäíîðîäíîñòè ïðîñòðàíñòâà. Ïóñòü ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû (ñèñòåìû) çàäàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé Ψ (r ), çà íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ÷àñòèöà ïå-

ðåìåñòèòñÿ íà íåêîòîðîå ðàññòîÿíèå δr è å¸ ñîñòîÿíèå îïðåäåëèòñÿ íîâîé ôóíêöèåé Ψ (r + δr ) . Ñ÷èòàÿ ïåðåìåùåíèå δr ìàëîé âåëè÷èíîé ïî 46

ñðàâíåíèþ ñ r , ïðîèçâåäåì ðàçëîæåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà, ó÷òåì ëèøü ïåðâûå äâà ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ:

Ψ (r + δr ) = Ψ (r ) + δr

∂Ψ (r ) +… ∂r

Ïðîäîëæèì ïðåîáðàçîâàíèå è âûíåñåì âîëíîâóþ ôóíêöèþ âî:

Ψ âïðà-

∂  Ψ (r + δr ) = 1 + δr  Ψ (r ). . ∂ r  Ðàññìàòðèâàÿ ýòî ðàâåíñòâî êàê îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå, ìîæíî âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ñêîáêàõ, ñ÷èòàòü îïåðàòîðîì, êîòîðûé, äåéñòâóÿ íà ôóíêöèþ Ψ (r ) ïðåîáðàçóåò åå â ôóíêöèþ Ψ (r + δr ) .  

Íàçîâåì îïåðàòîð 1 + δr

∂  îïåðàòîðîì ïåðåíîñà èëè òðàíñëÿöèè ∂r 

è îáîçíà÷èì åãî ñèìâîëîì )  ∂ T =  1 + δr  . (15.1) r ∂  Ñîñòàâèì êîììóòàòîð äâóõ îïåðàòîðîâ, îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà è îïåðàòîðà òðàíñëÿöèè: )) )) )) HT = HT − T H =

[ ]

 h2   ∂  ∂  h 2 =  − ∆ + U 1 + δr  − 1 + δr  − ∆ + U . ∂r   ∂r  2m  2m  

Óïðîñòèì çàäà÷ó. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âíåøíåå ïîëå îòñóòñòâóåò, ò.å. U = 0. À òîãäà â êîììóòàòîðå îñòàþòñÿ ëèøü äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû, êîòîðûå ïåðåñòàâèìû è êîììóòàòîð îêàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííî ðàâ) ) íûì íóëþ. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîðû H è T êîììóòèðóþò. ×òîáû âûÿñíèòü ñìûñë ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà, ïðåîáðàçóåì îïåðàòîð òðàíñ) ) ) ëÿöèè T , âûðàçèâ åãî ÷åðåç îïåðàòîð èìïóëüñà p. Îïåðàòîð T ñîäåðæèò äâà ÷ëåíà, íî ïåðâîå-ïðîñòî ÷èñëî, ñëåäîâàòåëüíî, äåéñòâèå îïåðàòîðà òðàíñëÿöèè ñâÿçàíî ñ äåéñòâèåì âòîðîãî ÷ëåíà δr 47

∂ . Ìíîæèòåëü δr ∂r

ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, ïîýòîìó àêòèâíîé ÷àñòüþ îïåðàòîðà òðàíñëÿöèè ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ

∂ , êîòîðûé ëåãêî ∂r

∂ i ) ∂ ) = p . Òàêèì îáðàñâÿçàòü ñ îïåðàòîðîì èìïóëüñà p = −ih , îòêóäà ∂r ∂r h çîì, ñ òî÷êè çðåíèÿ îïåðàòîðíîãî äåéñòâèÿ îïåðàòîðû èìïóëüñà è òðàíñëÿöèè ñ òî÷íî÷òüþ äî ïîñòîÿííûõ ìíîæèòåëåé ýêâèâàëåíòíû äðóã äðóãó. Ïîýòîìó, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: ) ) dp dT = = 0, dt dt ÷òî ñëåäóåò èç êîììóòàöèè îïåðàòîðà òðàíñëÿöèè ñ îïåðàòîðîì Ãàìèëüòîíà è íåçàâèñèìîñòè ýòîãî îïåðàòîðà îò âðåìåíè.

dp = 0 , òî ìû òîò÷àñ æå ïîëó÷àåì dt çàêîí ñîõðàíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ äëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû, íå ïîäâåðæåííîé äåéñòâèþ âíåøíèõ ñèë (ïîëåé): Åñëè ñîñòàâèòü âûðàæåíèå äëÿ

p = Const. Âñå, ÷òî áûëî ñêàçàíî âûøå îá óñëîâèÿõ âûïîëíèìîñòè çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå, èìååò ïðÿìîå îòíîøåíèå è ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå: çàêîí ñîõðàíåíèÿ âûïîëíÿåòñÿ â çàìêíóòîé ñèñòåìå ëèøü äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ èìïóëüñà. Íàïîìíèì åùå ðàç, ÷òî ýòî åñòü ðåçóëüòàò ïðîÿâëåíèÿ êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîãî äóàëèçìà êâàíòîâûõ ñèñòåì. Òàêèì îáðàçîì, ìû óñòàíîâèëè ñâÿçü çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñ îäíîðîäíîñòüþ ïðîñòðàíñòâà. 3. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ Óñòàíîâèì ñâÿçü çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñ èçîòðîïèåé ïðîñòðàíñòâà. Èçîòðîïèÿ ïðîñòðàíñòâà (ðàâíîïðàâèå âñåõ íàïðàâëåíèé) ïðîÿâëÿåòñÿ â èíâàðèàíòíîñòè ñâîéñòâ çàìêíóòûõ ñèñòåì îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíûõ ïîâîðîòîâ. Òàêàÿ èíâàðèàíòíîñòü èìååò ìåñòî äëÿ ñèñòåì, íàõîäÿùèõñÿ â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå, åñëè ïîâîðîò îñóùåñòâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ïîëÿ. Îïðåäåëèì îïåðàòîð áåñêîíå÷íî ìàëîãî ïîâîðîòà. Áóäåì îáîçíà÷àòü áåñêîíå÷íî ìàëûé ïîâîðîò íà óãîë 48

δϕ

r

âåêòîðîì δϕ , íàïðàâëåí-

íûì âäîëü îñè âðàùåíèÿ è ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ðàâíûì óãëó ïîâîðîr òà. Èçìåíåíèå ðàäèóñà – âåêòîðà r ïðè òàêîì ïîâîðîòå îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì:

r r r r r → r + [δϕ ⋅ r ].

Âû÷èñëèì ñîîòâåòñòâóþùåå èçìåíåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè, ó÷èòûâàÿ ëèøü ïåðâûå äâà ÷ëåíà â ðàçëîæåíèè âîëíîâîé ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà:

r r rr r r Ψ{r − [δϕ ⋅ r ]}= {1 − δϕ [r ⋅ ∇]}Ψ (r ),

Êàê è â ñëó÷àå óñòàíîâëåíèÿ âèäà îïåðàòîðà òðàíñëÿöèè âèäèì, ÷òî â êà÷åñòâå îïåðàòîðà ïîâîðîòà íà áåñêîíå÷íî ìàëûé óãîë âçÿòü îïåðàòîð ) rr Rδϕr = 1 − δϕ [r ⋅ ∇] .

δϕ ìîæíî (15.2)

Ñðàâíèì (15.2) ñ îïåðàòîðîì ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ:

) r M = −ih[r ∇].

(15.3)

v

Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð áåñêîíå÷íî ìàëîãî ïîâîðîòà íà óãîë δϕ ñâÿçàí ñ îïåðàòîðîì ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

) i r )  Rδϕr = 1 − δϕ ⋅ M . (15.4) h   Èíâàðèàíòíîñòü îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíûõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîâîðîòîâ îïðåäåëÿåòñÿ åãî êîììóòàöèåé ñ îïåðàòîðîì

) Rδϕr èëè ñ ïðîåêöèåé îïåðàòîðà óãëîâîãî ìîìåíòà íà ïðîèçâîëüíîå

íàïðàâëåíèå îñè âðàùåíèÿ

r

r ) ) )r ) nMH = HnM ,

ãäå n - åäèíè÷íûé âåêòîð îñè âðàùåíèÿ. Èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå, à òàê æå â ëþáîì öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèÿ ìîìåíòà íà ïðîèçâîëüíîå íàïðàâëåíèå. Åñëè âíåøíåå ïîëå èìååò àêñèàëüíóþ ñèììåòðèþ, òî îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà èíâàðèàíòåí ëèøü ïî îòíîøåíèþ ê âðàùåíèþ âîêðóã àêñèàëüíîé îñè ñèììåòðèè è ñîõðàíÿåòñÿ òîëüêî ïðîåêöèÿ óãëîâîãî ìîìåíòà íà ýòî íàïðàâëåíèå. Èç îïåðàòîðîâ áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîâîðîòîâ âîêðóã íåêîòîðîé îñè, r îïðåäåëÿåìîé åäèíè÷íûì âåêòîðîì n , ìîæíî ñîñòàâèòü îïåðàòîð ïîâîðîòà âîêðóã òîé æå îñè íà ëþáîé êîíå÷íûé óãîë. 49

Ðàññìîòðåííûå âûøå ïðåîáðàçîâàíèÿ òðàíñëÿöèè è ïîâîðîòà îòíîñÿòñÿ ê êëàññó íåïðåðûâíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Èíâàðèàíòíîñòü îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà ïî îòíîøåíèþ ê ýòèì ïðåîáðàçîâàíèÿì ïðèâîäèò ê çàêîíàì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, èìïóëüñà è ìîìåíòà èìïóëüñà, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò çàêîíàì ñîõðàíåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Íàðÿäó ñ íåïðåðûâíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè óñëîâèÿ ñèììåòðèè ìîãóò ïðèâîäèòü ê äèñêðåòíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì, íå ñâîäÿùèìñÿ ê áåñêîíå÷íî ìàëûì. Îäíàêî, â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå èíâàðèàíòíîñòü ê òàêèì ïðåîáðàçîâàíèÿì íå ïðèâîäèò ê çàêîíàì ñîõðàíåíèÿ.  êâàíòîâîé ìåõàíèêå îòñóòñòâóåò ïðèíöèïèàëüíîå ðàçëè÷èå ìåæäó íåïðåðûâíûìè è äèñêðåòíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè, ïîýòîìó çàêîíû ñîõðàíåíèÿ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñëåäóþò è èç èíâàðèàíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ê äèñêðåòíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì. 4. Ïðåîáðàçîâàíèå èíâåðñèè Ðàññìîòðèì îäíî èç äèñêðåòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà îñòàåòñÿ èíâàðèàíòíûì. Ýòî òàê íàçûâàåìîå ïðåîáðàçîâàíèå èíâåðñèè. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ èíâåðñèÿ ñîñòîèò â îäíîâðåìåííîé çàìåíå çíàêà ó âñåõ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò ÷àñòèö: x → ( − x); y → ( − y); z → ( − z).

(15.5)

Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâàíèè ïðàâàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ïåðåõîäèò â ëåâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà ëþáîé çàìêíóòîé ñèñòåìû, â êîòîðîé äåéñòâóþò ÿäåðíûå èëè ýëåêòðîìàãíèòíûå ñèëû, èíâàðèàíòåí ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèþ èíâåðñèè. Ýòà èíâàðèàíòíîñòü ñîõðàíÿåòñÿ è äëÿ ñèñòåì, íàõîäÿùèõñÿ â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì âíåøíåì ïîëå ïðè óñëîâèè, ÷òî öåíòð èíâåðñèè ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ïîëÿ.

) P , òîãäà ñèììåòðèÿ ìåæäó ëåâûì ) ) è ïðàâûì ìàòåìàòè÷åñêè âûðàæàåòñÿ êîììóòàöèåé îïåðàòîðîâ P è H : Îáîçíà÷èì îïåðàòîð èíâåðñèè ÷åðåç

)) ) ) HP = PH . Ïî îïðåäåëåíèþ îïåðàòîðà èíâåðñèè ) r r PΨ (r ) = Ψ (− r ) . Îïðåäåëèì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà èíâåðñèè, ðåøàÿ îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå: 50

) r r PΨ(r ) = PΨ (− r ) . Ïðèìåíèì ê îáåèì ñòîðîíàì ýòîãî óðàâíåíèÿ îïåðàöèþ èíâåðñèè. Ó÷òåì ïðè ýòîì, ÷òî äâóõêðàòíîå ïðèìåíåíèå îïåðàöèè èíâåðñèè ñâîäèòñÿ ê òîæäåñòâåííîìó ïðåîáðàçîâàíèþ. Òîãäà ìû ïîëó÷èì ñëåâà èñõîär r íóþ ôóíêöèþ Ψ (r ), à ñïðàâà - P 2 Ψ (r ) . Ïðèðàâíèâàÿ ýòè âûðàæåíèÿ, ïîëó÷àåì r r Ψ (r ) = P 2 Ψ (r ) , îòêóäà è, ñëåäîâàòåëüíî,

Çíà÷åíèå Ôóíêöèÿ

P2 = 1

P = ±1 .

(15.6)

)

P = 1 ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîðíîìó ðàâåíñòâó PΨ+ = Ψ+ .

Ψ+ îïðåäåëÿåò òàê íàçûâàåìîå ÷åòíîå ñîñòîÿíèå êâàíòîâîé ÷àñòè-

öû (ñèñòåìû), à çíà÷åíèå Ð= 1 ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîðíîìó ðàâåíñòâó PΨ− = − Ψ− è ôóíêöèÿ Ψ− îïðåäåëÿåò íå÷åòíîå ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû (ñèñòåìû).

Áëàãîäàðÿ êîììóòàöèè îïåðàòîðà èíâåðñèè ñ îïåðàòîðîì Ãàìèëüòîíà ìû óñòàíàâëèâàåì íîâûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ - çàêîí ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè. ×åòíîñòü ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ. Îäíàêî â 1956 ãîäó òðè ôèçèêà Ëè, ßíã è Âó óñòàíîâèëè, ÷òî ïðè ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ (îíè íàáëþäàëè ðàñïàä Ê-ìåçîíîâ) çàêîí ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè íå âûïîëíÿåòñÿ. Àêàäåìèê Ë. Ëàíäàó ââåë êîìáèíèðîâàííûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ÷åòíîñòè: ê ïðîñòðàíñòâåííîé èíâåðñèè íåîáõîäèìî äîáàâèòü èçìåíåíèå çíàêà çàðÿäà (ò.å. ÷àñòèöó çàìåíèòü àíòè÷àñòèöåé).  70-õ ãã. ÕÕ â. áûë ïîñòóëèðîâàí óñëîæíåííûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ, òàê íàçûâàåìûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ÐÑÒ. Äëÿ âûïîëíåíèÿ ýòîãî çàêîíà íåîáõîäèìî íå òîëüêî èçìåíèòü çíàê ó êîîðäèíàò, çàìåíèòü ÷àñòèöó íà àíòè÷àñòèöó, íî è çàìåíèòü Ò íà (-Ò), ãäå Ò-ýòî âðåìåííàÿ êîîðäèíàòà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà íå îáëàäàåò ñèììåòðèåé (â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè – ïåðâîãî ïîðÿäêà è ñîîòâåòñòâóþùèé ÷ëåí èçìåíÿåò ñâîé çíàê ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèè õîäà âðåìåíè).

51

5. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà ÷àñòèö, çàðÿäà è ìàññû â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, ïîäîáíî óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà â ýëåêòðîäèíàìèêå, ïðàêòè÷åñêè ñîäåðæèò âñå îñíîâíîå ñîäåðæàíèå íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ïîêàæåì, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê. Óñòàíîâèì óïîìÿíóòûå â çàãîëîâêå ïàðàãðàôà çàêîíû, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà. Íàì ïîòðåáóåòñÿ ïîëíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà: ∂Ψ ) ih = HΨ . (15.7) ∂t Ñîñòàâèì óðàâíåíèå, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîå óðàâíåíèþ (15.7): ∂Ψ * ) * * ) * = H Ψ = HΨ , ∂t ãäå ó÷òåíà âåùåñòâåííîñòü îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà.

- ih

(15.8)

Ψ * , à óðâíåíèå (15.8) - íà Ψ è âû÷-

Óìíîæèì óðàâíåíèå (15.7) íà òåì èç ïåðâîãî ðåçóëüòàòà âòîðîé:

) ) ∂Ψ ∂Ψ * + ihΨ = Ψ * HΨ − ΨHΨ * . (15.9) ∂t ∂t Î÷åâèäíî, ÷òî ëåâóþ ñòîðîíó óðàâíåíèÿ (15.9) ìîæíî çàïèñàòü òàê: i hΨ *

ihΨ *

∂Ψ ∂t

+ ihΨ

∂Ψ * ∂ ∂ 2 = ih Ψ * Ψ = ih Ψ . ∂t ∂t ∂t

(

)

Çàïèøåì ïðàâóþ ñòîðîíó óðàâíåíèÿ (15.9) ïîäðîáíî, ïîäñòàâèâ îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà â ÿâíîì âèäå:

) )  h2   h2  Ψ * HΨ − ΨHΨ * = Ψ * − ∆Ψ + UΨ  − Ψ − ∆Ψ * + UΨ *  =  2m   2m  2 h =− Ψ * ∆Ψ − Ψ∆Ψ * 2m

[

]

ãäå ïðîèçâåäåíî ñîêðàùåíèå ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ ñ ðàçíûìè çíàêàìè. Îáúåäèíèì îáå ñòîðîíû ïðåîáðàçóåìîãî ðàâåíñòâà, ðàçäåëèâ èõ ïðåäâàðèòåëüíî íà ìíîæèòåëü

(ih ):

[

]

[

]

∂ ih ih 2 Ψ = Ψ * ∆Ψ − Ψ ∆Ψ = − div Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ , ∂t 2m 2m ãäå èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà âåêòîðíîãî àíàëèçà è èçìåíåí ïîðÿäîê ñëàãàå-

52

ìûõ â ñêîáêàõ. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå: r ih Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ . j= 2m Òîãäà ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî çàïèøåòñÿ òàê:

[

]

(15.10)

r ∂ 2 Ψ = − div j . ∂t

(15.11)

Ðàíåå áûëî óñòàíîâëåíî , ÷òî âåëè÷èíà Ψ

2

èìååò ñìûñë ïëîòíîñòè

âåðîÿòíîñòè. Îáîçíà÷èì ýòó âåëè÷èíó áóêâîé ρ , òîãäà ôîðìóëà (15.11) çàïèøåòñÿ òàê: r ∂ ρ = − div j . (15.12) ∂t Óðàâíåíèå (15.12) òîæäåñòâåííî ñîâïàäàåò ñ ìàòåìàòè÷åñêîé çàïèñüþ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, óñòàíîâëåííîãî â êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Ïîýòîìó ëîãè÷íî è ýòó ôîðìóëó òîëêîâàòü êàê ìàòåìàòè÷åñêîå âûðàæåíèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà ÷àñòèö â íåðåëÿòè2

âèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Äåéñòâèòåëüíî, âåëè÷èíà Ψ îïðåäåëÿåò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèö â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè, òîãäà âåêòîð

r j ñëåäóåò òîëêîâàòü êàê âåê-

òîð ïîòîêà ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè. È óðàâíåíèå (15.12) äåéñòâèòåëüíî ïðèíèìàåò ñìûñë çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà ÷àñòèö. Îäíàêî, â îòëè÷èå îò àáñîëþòíîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà â ýëåêòðîäèíàìèêå, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà ÷àñòèö â êâàíòîâîé ìåõàíèêå èìååò âåðîÿòíîñòíûé õàðàêòåð, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâûõ ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. 2

Åñëè âåëè÷èíû Ψ è

ρ óìíîæèòü íà âåëè÷èíó ýëåêòðè÷åñêîãî

çàðÿäà å ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû è ïîäñòàâèòü ñîîòâåòñòâóþùèå âåëè÷èíû â ôîðìóëó (15.12), òî ìû ïîëó÷èì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Òåïåðü ýòîò çàêîí áóäåò èìåòü âåðîÿòíîñòíûé õàðàêòåð. Óìíîæàÿ æå óðàâíåíèå (15.12) íà ìàññó ÷àñòèöû m , òî òîò÷àñ æå ïîëó÷àåì âåðîÿòíîñòíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. 6. Ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå 53

 1926 ãîäó Í.Áîð ñôîðìóëèðîâàë íîâûé ôèçè÷åñêèé ïðèíöèï – ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ: êàæäàÿ áîëåå îáùàÿ ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ äîëæíà âêëþ÷àòü â ñåáÿ êàê ïðåäåëüíûé ñëó÷àé ïðåäøåñòâóþùóþ òåîðèþ. Áëàãîäàðÿ ïðèíöèïó ñîîòâåòñòâèÿ óñòàíàâëèâàþòñÿ ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè ïðåäøåñòâóþùåé òåîðèè. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ïðèíöèï áûë ñôîðìóëèðîâàí ëèøü â 1926 ãîäó, íî îêàçàëîñü, ÷òî ñîçäàííûå ðàíåå ôèçè÷åñêèå òåîðèè óäîâëåòâîðÿþò åìó. Íàïðèìåð, ýëåêòðîäèíàìèêà Ìàêñâåëëà äëÿ ñòàòè÷åñêèõ è ñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ äàâàëà òå æå ðåçóëüòàòû, ÷òî è ýëåêòðîäèíàìèêà Êóëîíà-Àìïåðà-Âåáåðà, îñíîâàííàÿ íà èäåå äàëüíîäåéñòâèÿ. Àíàëîãè÷íî, ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè (ÑÒÎ) âêëþ÷àåò â ñåáÿ â êà÷åñòâå ïðåäåëüíîãî ñëó÷àÿ êëàñè÷åñêóþ ìåõàíèêó. Êðèòåðèåì ïðèìåíèìîñòè êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé ÿâëÿåòñÿ âûïîëíèìîñòü ñîîòíîøå-

v << 1. Îäíàêî, íóæíî èìåòü ââèäó, ÷òî è ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ñïðàâåäc ëèâà ÑÒÎ, òîëüêî å¸ ïîïðàâêàìè ê êëàññè÷åñêèì ðåçóëüòàòàì â îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Íàïðèìåð, äëÿ ïîêîÿùåãîñÿ òåëà, êîãäà, êàçàëîñü áû, ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêîé, ÑÒÎ äàåò ïðèííèÿ

öèïèàëüíî íîâûé ðåçóëüòàò Eo = mc 2 , êîòîðîãî ïðîñòî íåò â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ñîäåðæèò â ñåáå èäåþ Ì. Ïëàíêà, ñîãëàñíî êîòîðîé ïðîèñõîäèò ñêà÷êîîáðàçíîå, äèñêðåòíîå èçìåíåíèå ôèçè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Ïðàêòè÷åñêè âî âñå êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèå ôîðìóëû âõîäèò ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà. Íàïðèìåð, ýíåðãèÿ ôîòîíà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé E = hω , ñîîòâåòñòâåííî èìïóëüñ åãî ðàâåí

p = hk . Åñëè ñîñòàâèòü âûðàæåíèå äëÿ èçìåíåíèÿ ýíåðãèè ïðè êâàíòîâîì ïåðåõîäå ∆E = h(ω 2 − ω 1 ) , òî, óñòðåìëÿÿ ïîñòîÿííóþ Ïëàíêà ê íóëþ, ìû òîò÷àñ-æå ïîëó÷èì íåïðåðûâíîñòü èçìåíåíèÿ ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ, ò.ê. èçìåíåíèå ýíåðãèè ñòàíîâèòüñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûì. Èòàê, ìû ïîëó÷àåì ïåðâûé ñïîñîá ïåðåõîäà îò êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ âûðàæåíèé ê âûðàæåíèÿì êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè: íåîáõîäèìî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà ðàâíà íóëþ. Îäíàêî, íå âñåãäà òàêîé ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðèâîäèò ê ôèçè÷åñêè ðàçóìíûì ðåçóëüòàòàì. Äåéñòâèòåëüíî, òàêîé “ïðîñòîé” ïðèåì ïåðåõîäà îò ôîðìóë êâàíòîâîé ìåõàíèêè ê ôîðìóëàì êëàññè÷åñêîé ôèçèêè íåâîçìîæíî îñóùåñòâèòü ïðèìåíèòåëüíî ê îñíîâíîìó óðàâíåíèþ êâàíòîâîé ìåõàíèêè - ê óðàâíå54

íèþ Øðåäèíãåðà: ∂ h2 Ψ=− ∆Ψ + UΨ 2m ∂t Åñëè ñëåäîâàòü óñòàíîâëåííîìó ðåöåïòó äëÿ âûïîëíåíèÿ ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ, òî èñ÷åçàþò äâà ÷ëåíà â ýòîì óðàâíåíèè è îñòàâøååñÿ ðàâåíñòâî íå èìååò ðàçóìíîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà: UΨ = 0 . Ê òàêîìó æå ðåçóëüòàòó ìû ïðèäåì, åñëè ðàññìîòðèì ëèøü ÷àñòíûé âèä óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà: ih

∂ Ψ = EΨ . ∂t  òàêèõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ïðÿìîé ïðåäåëüíûé ïåðåõîä íåâîçìîæåí (îí ïðèâîäèò ê àáñóðäó), íåîáõîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî ïðîâåñòè íåêîòîðûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ðàññìàòðèâàåìûì âûðàæåíèåì. Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå ïîëíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà: ih

∂ h2 Ψ=− ∆Ψ + UΨ . ∂t 2m Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì ïðåäñòàâëåíèåì âîëíîâîé ôóíêöèè: ih

i Ψ = A exp S , h

ãäå ôóíêöèÿ S èìååò ðàçìåðíîñòü Äæ- ñ (êàê è ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà) è íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé äåéñòâèÿ, îíà çàâèñèò îò òåõ æå ïåðåìåííûõ, ÷òî è ñàìà ôóíêöèÿ Ψ . Äëÿ óïðîùåíèÿ çàäà÷è áóäåì ðàññìàòðèàòü îäíîìåðíûé ñëó÷àé. Ñîñòàâèì âñå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà: S (x , t ) S i ∂ ∂ ∂ S; Ψ = Ae h = Ae h ⋅ h ∂t ∂t ∂t i

i

S S i ∂ ∂ ∂ S; Ψ = Ae h = Ae h ⋅ ∂x ∂x h ∂x Äàëåå ñîñòàâèì âòîðóþ ïðîèçâîäíþ ïî êîîðäèíàòå: i

i

55

i i i 2 S ∂ S i  h S i ∂S ∂S ∂ 2 Ψ ∂ ∂Ψ ∂  h S i ∂S  h   = ⋅ ⋅ + ⋅ Ae A e e = = ⋅  = 2  h ∂x  h h ∂x ∂x ∂x 2  ∂x ∂x ∂x ∂x 

1 S  ∂S  i S ∂2S = − A 2 eh ⋅  + A eh ⋅ 2 . h ∂x h  ∂x  Ñîñòàâèì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, ïðèâåäåì ïîäîáíûå ÷ëåíû è ñîêðàòèì íà îáùèé ìíîæèòåëü, ïîëó÷àåì: 2

i

i

∂S 1  ∂S  ih ∂ 2 S + U. =   − ∂t 2m  ∂x  2m ∂x 2 2

−

(15.13)

Ñåé÷àñ ìû èìååì âîçìîæíîñòü ñîâåðøèòü ïðåäåëüíûé ïåðåõîä, óñòðåìèâ h → o : 2

1  ∂S  ∂S + U = 0.   + ∂t 2m  ∂x 

(15.14)

Ìû ïîëó÷èëè ÷èñòî êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå, â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå îíî ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ è íîñèò èìÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè.  îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ îíî óïðîùàåòñÿ. Íàïðèìåð, åñëè çàäà÷à ñòàöèîíàðíà, òî âòîðîãî ñëàãàåìîãî íå áóäåò.  ñëó÷àå, êîãäà ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ãðàäèåíòà ôóíêöèè äåéñòâèÿ íû

∂S çíà÷èòåëüíî ìåíüøå âåëè÷è∂x

∂S , ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïåðâûì ñëàãàåìûì â (15.14). ∂t Ïðîàíàëèçèðóåì, â êàêèõ ñëó÷àÿõ ìû èìåëè ïðàâî îòáðîñèòü â (15.13)

ih ∂ 2 S . Ôîðìàëüíî ýòîò ÷ëåí ïîëó÷àåòñÿ èç òîãî ñëàãàåìîãî â 2 m ∂x 2 óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Íî ïðè ýòîì ìû îñòàâëÿåì â óðàâíåíèè (15.14)

÷ëåí

1 ∂S 2 1 ( ) = ( grad x S ) 2 , 2 m ∂x 2m êîòîðûé òàêæå ñâÿçàí ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé. Ñëåäîâàòåëüíî, íàøè äåéñòâèÿ áóäóò îïðàâäàíû, åñëè â îäíîìåðíîì ñëó÷àå

∂2S  ∂S  <<   . ∂x 2  ∂x  2

h

56

Íî

∂p ∂S << p 2 . = p x , ïîýòîìó h ∂ x ∂x Ó÷òåì, ÷òî

p = 2m (E − U ), òîãäà ∂p m ∂U = . ∂x p ∂x Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå êâàçèêëàññè÷íîñòè (êîãäà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü êâàíòîâûìè ýôôåêòàìè) ïðèíèìàåò âèä: ∂U << p 3 , ∂x ò.å. íàøè äåéñòâèÿ îïðàâäàíû äëÿ áûñòðûõ ÷àñòèö ñ ìàëûì ãðàäèåíòîì ïîëÿ. Èòàê, äëÿ ïåðåõîäà îò ôîðìóë êâàíòîâîé ìåõàíèêè ê ôîðìóëàì êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè íåîáõîäèìî èëè íåïîñðåäñòâåííî, èëè ïîñëå íåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèé óñòðåìèòü ïîñòîÿííóþ Ïëàíêà ê íóëþ. Ôèçè÷åñêèì ñìûñëîì ýòîãî äåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðåíåáðåæåíèå äèñêðåòíûì èçìåíåíèåì ôèçè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. Ðàíåå, âûâîäÿ óðàâíåíèÿ Ýðíôåñòà, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ôîðìóëû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè â êâàíòîâîé ìåõàíèêå âûïîëíÿþòñÿ òîëüêî äëÿ ñðåäíèõ âåëè÷èí. Ïðè÷åì, óñðåäíåíèå ôèçè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê äîëæíî áûòü ïðîèçâåäåíî ïî ôîðìóëàì êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ýòè æå ôîðìóëû ó÷èòûâàþò êîðïóñêóëÿðíîâîëíîâîé äóàëèçì ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Ïîýòîìó ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü åùå îäèí êðèòåðèé ïåðåõîäà îò êâàíòîâîé ìåõàíèêè ê êëàññè÷åñêîé: êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà ñïðàâåäëèâà òîãäà, êîãäà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâûì äóàëèçìîì ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. hm

57

Ãëàâà 3 16. ×àñòíûå ñëó÷àè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèå ïîëíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ðàñïàäàåòñÿ íà ðåøåíèå âðåìåííîãî è êîîðäèíàòíîãî óðàâíåíèé. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ âðåìåííîìó óðàâíåíèþ, èíâàðèàíòíà äëÿ âñåõ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ çàäà÷. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âðåìåííîå óðàâíåíèå äîñòàòî÷íî ðåøèòü îäèí ðàç Êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå íåîáõîäèìî ðåøàòü êàæäûé ðàç, åñëè èçìåíÿåòñÿ âèä ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè. Èòàê, â íèæå ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷àõ ìû áóäåì ðåøàòü ëèøü êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà: h2 ∆Ψ + UΨ = EΨ. (16.1) 2m 16.1. Äâèæåíèå ñâîáîäíîé ÷àñòèöû ×àñòèöà íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé, åñëè íà íåå íå äåéñòâóþò âíåøíèå −

ñèëû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî å¸ ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ U = 0 è òîãäà óðàâíåíèå (16.1) ïðèíèìàåò âèä: h2 ∆Ψ = EΨ. (16.2) 2m Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îäíîìåðíîå äâèæåíèå âäîëü îñè Îõ. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå òàê: −

∂ 2 Ψ 2mE + 2 Ψ =0. ∂x 2 h Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:

(16.3)

2mE = k 2 , òîãäà óðàâíåíèå (16.3) ïðèìåò âèä: h2

∂ 2Ψ + k 2 Ψ = 0. 2 ∂x

(16.4)

Âåëè÷èíà k íàçûâàåòñÿ âîëíîâûì ÷èñëîì. Ýòî íàçâàíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî êîýôôèöèåíò k íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàí ñ äëèíîé âîëíû äå-Áðîéëÿ:

58

2mE p 2 = 2 , èëè p = hk . h2 h À ýòî åñòü îäíî èç óðàâíåíèé äå-Áðîéëÿ, êîòîðîå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç äëèíó âîëíû äå-Áðîéëÿ è âîëíîâîå ÷èñëî: k2 =

h h 2π 2π 2π k→ = →λ = →k = . λ 2π p k k Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (16.4) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ âèäà: p=

Ψ (x ) = A1 ⋅ e ikx + A2 ⋅ e − ikx .

(16.5)

Ýòî ëåãêî ïðîâåðèòü ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé (16.5) â óðàâíåíèå (16.4). Ïåðâîå ñëàãàåìîå îïðåäåëÿåò äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè Îõ, âòîðîå ñëàãàåìîå - äâèæåíèå â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. Îáúåäèíÿÿ (16.5) ñ ðåøåíèåì âðåìåííîãî óðàâíåíèÿ, ïîëíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû ïîëó÷àåì â âèäå: i − ( Et − px x )

Ψ ( x, t ) = Ae −i (ωt − kx ) = Ae h Ìû âçÿëè ëèøü ðåøåíèå äëÿ óäàëÿþùåéñÿ âîëíû â íàïðàâëåíèè îñè Îõ, êðîìå òîãî, ìû èñïîëüçîâàëè ôîðìóëû äå-Áðîéëÿ p x = hk è E = hk . Åñëè ñîñòàâèòü (ðàâåíñòâî)

Ψ (x, t ) = C 2 , 2

òî ïîëó÷àåì îäèíàêîâóþ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü ñâîáîäíóþ ÷àñòèöó â ëþáîì ìåñòå áåñêîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ îïðåäåëåíèåì ïëîñêîé âîëíû. Ýòîò ðåçóëüòàò íå ïðîòèâîðå÷èò è ñîîòíîøåíèþ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà

∆x ⋅ ∆p x = h , òàê êàê äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû òî÷íî èçâåñòíà å¸ ýíåðãèÿ, à, ñëåäîâàòåëüíî, è èìïóëüñ: ∆p x = 0 , à ïîòîìó èìååòñÿ ïîëíàÿ íåîïðåäåëåííîñòü ìåñòîïîëîæåíèÿ. Äàííûé ïðèìåð åùå ðàç ñâèäåòåëüñòâóåò î ïðèíöèïèàëüíîì ðàçëè÷èè â ïîäõîäå ê îïðåäåëåíèþ ïîíÿòèÿ “ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà” â êëàññè÷åñêîé è êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò åñòü ïðÿìîå ñëåäñòâèå êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîãî äóàëèçìà â ñâîéñòâàõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö.

59

16.2. ×àñòèöà â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå Ïîòåíöèàëüíîé ÿìîé íàçûâàåòñÿ îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ÷àñòèöà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêèíóòü ýòó îáëàñòü, ÷àñòèöå äîëæíà áûòü ñîîáùåíà äîáàâî÷íàÿ ýíåðãèÿ. Åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà áåñêîíå÷íî ãëóáîêàÿ (èëè å¸ ñòåíêè áåñêîíå÷íî âûñîêèå), òî ÷àñòèöà íèêîãäà íå ñìîæåò ïîêèíóòü ýòó ÿìó. Âíóòðè ïîòåíöèàëüíîé ÿìû ÷àñòèöà äâèæåòñÿ êàê ñâîáîäíàÿ ÷àñòèöà, òàê êàê òàì îíà îáëàäàåò òîëüêî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé.  ôèçè÷åñêèõ çàäà÷àõ ñòåíêè ïîòåíöèàëüíîé ÿìû “ñîçäàþòñÿ” òåìè ñèëàìè, êîòîðûå óäåðæèâàþò ÷àñòèöó â ÿìå. Íàïðèìåð, ýëåêòðîíû â àòîìå óäåðæèâàþòñÿ êóëîíîâñêèì ïîëåì ÿäðà, ýëåêòðîíû àòîìà íàõîäÿòñÿ â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå, êîòîðóþ ñ äîñòàòî÷íûì ïðèáëèæåíèåì ìîæíî ñ÷èòàòü áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé. Ïîäîáíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà âîçíèêàåò âíóòðè ìåòàëëîâ áëàãîäàðÿ êóëîíîâñêîìó ïîëþ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ èîíîâ. È òîëüêî îòäåëüíûì ýëåêòðîíàì, â ñèëó ôëóêòóàöèîííûõ ïðîöåññîâ ïîëó÷èâøèõ äîáàâî÷íóþ ýíåðãèþ, óäàåòñÿ ïîêèíóòü îáëàñòü ìåòàëëà (õîëîäíàÿ èëè òåðìîýìèññèÿ). Ïîíÿòèå ïîòåíöèàëüíîé ÿìû ðàáîòàåò è â äðóãèõ ôèçè÷åñêèõ çàäà÷àõ: ïðè ðàññìîòðåíèè êîíòàêòíîé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ, ïîñòðîåíèè òåîðèè α -ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà è ò.ä. Áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó â ñèñòåìå îòñ÷åòà “Ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà”. Ñäåëàåì ðèñóíîê Äëÿ àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ êîîðäèíàòíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà: h2 ∆Ψ + UΨ = EΨ. (16.6) 2m Óïðîñòèì äàëåå çàäà÷ó è áóäåì ðàññìàòðèâàòü îäíîìåðíûé ñëó÷àé. Åùå ðàç îòìåòèì, ÷òî âíóòðè ÿìû ÷àñòèöà äâèæåòñÿ êàê ñâîáîäíàÿ, òàê êàê íà íå¸ âíóòðè ÿìû íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ðàâíà íóëþ U = 0. Óðàâíåíèå (16.6) ïðèíèìàåò âèä: −

∂ 2 Ψ 2m + 2 EΨ = 0. ∂x 2 h Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:

(16.7)

2m E = k 2, h2 ãäå êîýôôèöèåíò k èìååò òîò æå ñìûñë, ÷òî è ïðè ðàññìîòðåíèè äâèæåíèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû - âîëíîâîå ÷èñëî. Óðàâíåíèå (16.7) ïðèíèìàåò âèä:

60

∂ 2Ψ + k 2Ψ = 0 . ∂x 2

(16.8)

Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (16.8), ñ êîòîðûì ìû èìåëè äåëî â ïðåäûäóùåé çàäà÷å î äâèæåíèè ñâîáîäíîé ÷àñòèöû, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ âèäà: (16.9) Ψ = A sin kx + B cos kx, ÷òî ëåãêî ïðîâåðèòü ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé. Ñäåëàåì ýòî äëÿ îäíîé ÷àñòè ðåøåíèÿ. Ñîñòàâèì ÷ëåíû óðàâíåíèÿ (16.8):

∂Ψ = − Bk sin kx; ∂x Ñîñòàâèì óðàâíåíèå (16.8):

∂ 2Ψ = − Bk 2 cos kx. ∂x 2

− Bk 2 cos kx + k 2 B cos kx = 0 èëè 0=0.

Ìû ïîëó÷èëè òîæäåñòâî, ñëåäîâàòåëüíî, íàéäåííîå íàìè ðåøåíèå (16.9) äåéñòâèòåëüíî óäîâëåòâîðÿåò èñõîäíîìó óðàâíåíèþ (16.8). Òàê êàê óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà, òî åãî ðåøåíèå (16.9) äîëæíî ñîäåðæàòü äâå ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. Ðåøåíèå â ôîðìå (16.9) çàïèñàíî ñ ó÷åòîì ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè. Îíî ñîñòàâëåíî èç äâóõ ðåøåíèé èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Îòìåòèì åùå ðàç: ÷àñòèöà äâèæåòñÿ êàê ñâîáîäíàÿ ÷àñòèöà ëèøü â ïðåäåëàõ ïîòåíöèàëüíîé ÿìû, îò ñòåíêè äî ñòåíêè. Òåïåðü ó÷òåì íàëè÷èå ñòåíîê ïîòåíöèàëüíîé ÿìû. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è ñòåíêè áåñêîíå÷íî âûñîêèå (èëè ÿìà áåñêîíå÷íî ãëóáîêàÿ), ïîýòîìó çà ïðåäåëàìè ÿìû ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ íå ìîæåò, âåðîÿòíîñòü åå îáíàðóæåíèÿ âíå ÿìû ðàâíà íóëþ. Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî ìîæíî çàïèñàòü òàê: (16.10) Ψ( x ) = 0 ïðè x ≤ 0, x ≤ a. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, ÷òîáû îïðåäåëèòü ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ À è  â ðåøåíèè (16.9). Ïóñòü õ=0, òîãäà

Ψ (0) = 0 = A sin (k ⋅ 0) + B cos(k ⋅ 0).

(16.11) Òàê êàê ïåðâîå ñëàãàåìîå àâòîìàòè÷åñêè ðàâíî íóëþ, òî äëÿ âûïîëíåíèÿ ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ Ψ (0) = 0 íåîáõîäèìî, ÷òîáû âòîðîå ñëàãàåìîå â (16.11) ðàâíÿëîñü íóëþ. À òàê êàê cos(k ⋅ 0 ) = 1 , òî êîýôôèöèåíò  äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ: Â=0. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå çàäà÷è ïðèíèìàåò âèä: Ψ ( x ) = A sin kx. Âîñïîëüçóåìñÿ âòîðûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì: Ψ ( a ) = 0 , èëè

Ψ (a ) = A sin ka = 0. Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî, òàê êàê À ≠ 0 , sin ka = 0. Èç 61

êóðñà ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè ñëåäóåò, ÷òî ýòî âîçìîæíî, åñëè àðãóìåíò ñèíóñà ïðèíèìàåò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: (16.12) ka = nπ , ãäå ÷èñëî n = 1,2,3... (î çíà÷åíèè n = 0 ïîãîâîðèì îòäåëüíî). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êîýôôèöèåíò k ñâÿçàí ñ ýíåðãèåé ÷àñòèöû ñîîòíîøå2mE , ïîëó÷àåì âàæíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ ýíåðãèè ÷àñòèöû, äâèh2 æóùåéñÿ â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå: 2 íèåì k =

n 2π 2 h 2 . (16.13) 2ma 2 Ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è èìååò ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Åñëè â òåîðèè Í. Áîðà êâàíòîâàíèå ýíåðãèè â ñîñòîÿíèè ýëåêòðîíà â àòîìå ïðèíèìàëîñü êàê ïîñòóëàò, òî ïîëó÷åííîå ðåøåíèå óòâåðæäàåò êâàíòîâàíèå ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå êàê åñòåñòâåííîå ñëåäñòâèå ñàìîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè, åå ôóíäàìåíòàëüíîãî ïîëîæåíèÿ î êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâûõ ñâîéñòâàõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Âîçâðàòèìñÿ ê êâàíòîâîìó ÷èñëó ï è îáñóäèì, ïî÷åìó îíî íå ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèå, ðàâíîå íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ï=0 è ýíåðãèÿ ÷àñòèöû Å=0. Íî âíóòðè ïîòåíöèàëüíîé ÿìû ÷àñòèöà ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîé è îáëàäàåò òîëüêî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé. Çíàíèå òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ýíåðãèè îïðåäåëÿåò òî÷íîå çíà÷åíèå è èìïóëüñà, îí òîæå ðàâåí íóëþ. Íî òîãäà En =

íà îñíîâàíèè ñîîòíîøåíèÿ Ãåéçåíáåðãà ∆x∆p x = h äëÿ âåëè÷èíû ∆x ìû ïîëó÷àåì áåñêîíå÷íî áîëüøîå çíà÷åíèå. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ çàäà÷è: øèðèíà ïîòåíöèàëüíîé ÿìû, â ïðåäåëàõ êîòîðîé ìîæåò äâèãàòüñÿ ÷àñòèöà, êîíå÷íà. Âñå ýòî çàïðåùàåò êâàíòîâîìó ÷èñëó ï ïðèíèìàòü çíà÷åíèå, ðàâíîå íóëþ. Âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì íîðìèðîâêè, êîòîðîå óòâåðæäàåò, ÷òî ÷àñòèöà ñ äîñòîâåðíîñòüþ, ðàâíîé åäèíèöå, îáÿçàòåëüíî íàõîäèòñÿ ãäå-òî â îáëàñòè èçìåíåíèÿ åå êîîðäèíàò:

∫Ψ

2

dx = 1 .

 íàøåé çàäà÷å ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â ïðåäåëàõ ïîòåíöèàëüíîé ÿìû, îò ñòåíêè ñ êîîðäèíàòîé õ=0 äî ñòåíêè ñ êîîðäèíàòîé õ=à, ïîýòîìó óñëîâèå íîðìèðîâêè çàïèøåòñÿ òàê:

62

a

∫ 0

a

a

0

0

Ψ dx = ∫ A2 sin 2 kx ⋅ dx = A2 ∫ sin 2 kx ⋅ dx = A2 ⋅ 2

a = 1, 2

îòêóäà

2 . (16.14) a Òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè ÷àñòèöû â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå èìååò âèä: A=

Ψ (x ) =

Ðèñ. 3

2 ⋅ sin kx = a

2 nπ ⋅ x. sin a a

(16.15)

Ïðè ï=1 ôóíêöèÿ (16.15) îïðåäåëÿåò íàèíèçøåå ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå. Ïðè ýòîì íà ñòåíêàõ ïîòåíöèàëüíîé ÿìû âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ. Ãîâîðÿò, ÷òî íà ñòåíêàõ ïîòåíöèàëüíîé ÿìû îáðàçóþòñÿ óçëû âîëíîâîé ôóíêöèè, âíóòðè æå ÿìû ïðè ï=1 ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ (16.15) óçëîâ íå èìååò. Ýòî ÿâëÿåòñÿ îáùèì õàðàêòåðíûì ñâîéñòâîì îñíîâíûõ ñîñòîÿíèé âñåõ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ çàäà÷.

17. Êâàíòîâûé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð Âñïîìíèì îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ ôèçè÷åñêèì îáúåêòîì – ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿòîðîì (ÃÎ). ÃÎ íàçûâàåòñÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, ñîâåðøàþùàÿ ìàëûå êîëåáàíèÿ îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïîä äåéñòâèåì ãàðìîíè÷åñêîé ñèëû. Êîëåáàíèÿ ñ÷èòàþòñÿ ìàëûìè, åñëè èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðè íàèáîëüøåì îòêëîíåíèè ñîñòàâëÿþò ìàëóþ ÷àñòü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ÃÎ â èñõîäíîì ñîñòîÿíèè. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ÃÎ, íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé, åñëè îíà èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó ñèíóñà èëè êîñèíóñà. Åñëè äâèæåíèå ÃÎ ïîä÷èíÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì çàêîíàì, òî òàêîé ÃÎ íàçûâàåòñÿ êëàññè÷åñêèì; åñëè æå çàêîíû äâèæåíèÿ èìåþò êâàíòîâûé õàðàêòåð – òî ìû èìååì äåëî ñ êâàíòîâûì ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿòîðîì (ÊÃÎ). Åñëè äâèæåíèå ÊÃÎ îäíîìåðíîå, òî ÊÃÎ íàçûâàþò 63

åùå äîïîëíèòåëüíî ëèíåéíûì. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îäíîìåðíîå äâèæåíèå, ïîýòîìó ýïèòåò “ëèíåéíûé” áóäåì îïóñêàòü. Ïîñêîëüêó ÊÃÎ áóäåò ïîäâåðæåí äåéñòâèþ âíåøíåé ñèëû, òî îí áóäåò îáëàäàòü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé. Ïîýòîìó â äàííîé çàäà÷å íàì íåîáõîäèìî ðåøèòü ïîëíîå êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà. Ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùèìè çàäà÷àìè, ìû äîëæíû âêëþ÷èòü â óðàâíåíèå è îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Òàêèì îáðàçîì, íàì íåîáõîäèìî ðåøèòü óðàâíåíèå âèäà: −

h2 ∆Ψ + UΨ = EΨ, 2m

(17.1)

èëè ∂ 2 Ψ 2m + 2 (E − U )Ψ = 0 . ∂x 2 h Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:

2m (E − U ) = k 2 , h2 òîãäà óðàâíåíèå (17.2) çàïèøåòñÿ òàê:

(17.2).

(17.3)

∂2Ψ + k 2 Ψ = 0. (17.4) ∂x 2 Íåñìîòðÿ íà âíåøíåå ïîäîáèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ñ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû è äâèæåíèÿ ÷àñòèöû âíóòðè áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìû, ó íåãî åñòü ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå: â òåõ çàäà÷àõ êîýôôèöèåíò k áûë ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, èç ñîîòíîøåíèÿ (17.3) âèäíî, ÷òî â äàííîé çàäà÷å ýòîò êîýôôèöèåíò ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäèíàòû ÷àñòèöû (îò ýòîé âåëè÷èíû çàâèñèò çíà÷åíèå ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè U (x) ). Òàê êàê ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ çàâèñèò òîëüêî îò êîîðäèíàòû ÷àñòèöû, òî, ñîãëàñíî ñôîðìóëèðîâàííîìó ðàíåå ïðàâèëó íàõîæäåíèÿ îïåðàòîðà ôóíêöèè îò êîîðäèíàò è ïðîåêöèé èìïóëüñà, â äàííîì ñëó÷àå îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè Uˆ ( x ) ñîâïàäàåò ñ ñàìîé ôóíêöèåé U (x) . Âîñïîëüçóåìñÿ çíà÷åíèåì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè êëàññè÷åñêîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà:

U ( x) =

mω 2 x 2 . 2

(17.5)

64

Íàïîìíèì âûâîä ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ: dU kx 2 ⇒ U ( x ) = − ∫ Fdx = − ∫ ( −kx )dx = . dx 2 Êîýôôèöèåíò k îïðåäåëèì èç óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êëàññè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà: F =−

ma = F = − kx ⇒

k d 2x k + x = 0 ⇒ = ω 2 ⇒ k = mω 2 . m dt 2 m

Èòàê, óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè íèìàåò âèä: d 2 Ψ 2m  mω 2 x 2    Ψ = 0. + E − dx 2 h 2  2 

Ψ (x ) ïðè(17.6)

Ââåäåì íîâóþ áåçðàçìåðíóþ ïåðåìåííóþ, ýòî ïîçâîëèò íàì ñâåñòè çàäà÷ó ê ðåøåíèþ èçâåñòíîãî èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ:

χ=

mω ⋅ x. h

(17.8)

Òîãäà óðàâíåíèå (17.6) çàïèøåòñÿ òàê:

Ψ ' '+(λ − χ 2 )Ψ = 0,

(17.9)

ãäå

λ=

2E ⋅ hω

(17.10)

Áóäåì ðåøàòü óðàâíåíèå (17.9) ìåòîäîì íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé. Î÷åâèäíî, ÷òî, êîãäà

x → ∞ , χ 2 >> λ è òîãäà â óðàâíåíèè

(17.9) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âåëè÷èíîé

λ , è ýòî óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä:

(17.11) Ψ ' 'àñ − χ 2 Ψàñ ≈ 0. Ëåãêî óáåäèòñÿ ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé, ÷òî ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåχ2

íèÿ áóäåò ôóíêöèÿ Ψ ≈ e ± 2 . àñ Èç äâóõ ðåøåíèé ( ± ) íóæíî îñòàâèòü òîëüêî ðåøåíèå ñî çíàêîì (-), òàê êàê òîëüêî îíî óäîâëåòâîðèò êîíå÷íîñòè ðåøåíèÿ íà áåñêîíå÷65

íîñòè. Ñàìó æå ôóíêöèþ áóäåì èñêàòü â âèäå

Ψ , óäîâëåòâîðÿþùóþ ïîñòàâëåííîé çàäà÷å,

Ψ = u ⋅ Ψàñ = u ⋅ e

−

χ2 2

(17.12)

,

ãäå ôóíêöèÿ u íå äîëæíà ðàñòè áûñòðåå âòîðîãî ìíîæèòåëÿ â (17.12), òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ Ψ áóäåò êîíå÷íîé íà áåñêîíå÷íîñòè. Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèþ (17.12) â óðàâíåíèå (17.9), ïîëó÷àåì äëÿ ôóíêöèè u ñëåäóþùåå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå: u ' '−2χ ⋅ u '+ (λ − 1)u = 0.

Âîçüìåì ôóíêöèþ

(17.13)

u â âèäå ðÿäà ïî ñòåïåíÿì âåëè÷èíû χ :

u ( x ) = ao + a1 χ + a2 χ 2 + ..... + a k χ k + ...

(17.14)

Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (17.14) â (17.13) è ýëåìåíòàðíûõ óïðîùåíèé, ïîëó÷èì äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà (17.14) ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: ∞

∞

∞

k =2

k =1

k =0

∑ k (k − 1)ak χ k −2 − 2 χ ∑ kak χ k −1 + (λ − 1)∑ ak χ k = 0.

(17.15)

Èçâåñòíî: ñóììà áåñêîíå÷íîãî ñòåïåííîãî ðÿäà òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà êîýôôèöèåíòû ïðè âñåõ ñòåïåíÿõ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ðàâíû íóëþ. Ïðèðàâíèâàÿ íóëþ ñóììó êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ak:

a k +2 ( k + 2)(k + 1) − 2ka k + ( λ − 1)a k = 0, îòêóäà ak +2 = ak

2k − λ + 1

(k + 2 )(k + 1)

(17.16)

.

È ïðè

k → ∞ ïîëó÷àåì :

ak +2 2 ≈ . ak k

(17.17)

Ïîêàæåì, ÷òî òàêîå æå ñîîòíîøåíèå èìååòñÿ ó êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà, êîòîðûì ìîæíî ïðåäñòàâèòü ôóíêöèþ

66

eχ : 2

χ4 χ6 χk χ k +2 + + ... + + + ... = 2! 3! k k  + ! 1 !     2 2  = 1 + χ 2 + ... + bk χ k + bk + 2 χ k + 2 + ...

åχ = 1+ χ 2 + 2

Ñîñòàâèì îòíîøåíèå äâóõ ñîñåäíèõ êîýôôèöèåíòîâ ýòîãî áåñêîíå÷íîãî ðÿäà: k  ! bk + 2 k 2 2 =   ≈ ( ) −1 = . k bk 2 k    + 1! 2 

(17.18)

Íî òî÷íî òàêîå æå ñîîòíîøåíèå ìû ïîëó÷èëè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà (17.14). Ñîïîñòàâëÿÿ åìó ôóíêöèþ

e χ , ìû äîëæíû ïîòðåáîâàòü, 2

÷òîáû ýòîò ðÿä îáðûâàëñÿ íà êàêîì-òî ÷ëåíå (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ (17.14) áóäåò ðàñõîäÿùåéñÿ). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëåäíèì ÷ëåíîì â ýòîì ðÿäå áóäåò ÷ëåí ñ íîìåðîì n: a n ≠ 0 , ÷òî

a n+ 2 = 0, òîãäà èç (17.16)ñëåäóåò,

λ = λn = 2n + 1. (17.19). Ôîðìóëà (17.10) ïðè ó÷åòå (17.19) äàåò äëÿ ýíåðãèè êâàíòîâîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ÷ðåçâû÷àéíî âàæíóþ ôîðìóëó:

1  Å = hω  n + . 2 

(17.20).

Ïðè ñîñòàâëåíèè ðÿäà (17.14) ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ ïðîáåãàåò âñåâîçìîæíûå çíà÷åíèÿ îò 0 äî áåñêîíå÷íîñòè. Îáðûâàÿ ðÿä íà ÷ëåíå ñ èíäåêñîì n, ìû ïî-ïðåæíåìó ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòîò èíäåêñ ïðèíèìàåò âñå çíà÷åíèÿ, íà÷èíàÿ îò íóëÿ. Ðàññìîòðèì, ÷òî ïîëó÷èòñÿ, åñëè n=0. Ïðè ýòîì, êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (17.20), ýíåðãèÿ îñöèëëÿòîðà îêàçûâàåòñÿ íå ðàâíîé íóëþ:

E=

1 hω . 2

Ýòó ýíåðãèþ íàçûâàþò íóëåâîé ýíåðãèåé îñöèëëÿòîðà. Îíà èìååò áîëüøîå íå òîëüêî ôèçè÷åñêîå, íî è ôèëîñîôñêîå ñîäåðæàíèå. Îáñóäèì ýòîò ìîìåíò. 67

Ïî êëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì ïðè àáñîëþòíîì íóëå òåìïåðàòóðû ñèñòåìà ÷àñòèö îáëàäàåò íàèìåíüøåé ýíåðãèåé, ðàâíîé íóëþ. Ïðåêðàùàåòñÿ âñÿêîå ìåõàíè÷åñêîå äâèæåíèå. È êëàññè÷åñêèé îñöèëëÿòîð äîëæåí ïðåêðàòèòü âñÿêîå äâèæåíèå. Ôîðìóëà (17.20) óòâåðæäàåò, ÷òî êâàíòîâûé îñöèëëÿòîð äàæå ïðè àáñîëþòíîì íóëå òåìïåðàòóðû (ãèïîòåòè÷åñêè) íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ïîêîå, òàê êàê îí áóäåò îáëàäàòü íóëåâîé ýíåðãèåé

1 hω . 2 Ñëåäîâàòåëüíî, è âñå òâåðäîå òåëî, êîòîðîå ìû ðàññìàòðèâàåì êàê ñîâîêóïíîñòü îñöèëëÿòîðîâ, áóäåò îáëàäàòü îòëè÷íîé îò íóëÿ ýíåðãèåé. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî äâèæåíèå íåóíè÷òîæèìî. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò íàõîäèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ îñíîâíûìè ïîëîæåíèÿìè êâàíòîâîé ìåõàíèêè, êîòîðûå ñôîðìóëèðîâàíû ñæàòî â ñîîòíîøåíèÿõ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà. Îïûò ïîäòâåðæäàåò äàííûé âûâîä êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ïðè íàáëþäåíèè ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêîé ïðè ïîíèæåíèè òåìïåðàòóðû íàáëþäàåòñÿ ïîíèæåíèå èíòåíñèâíîñòè ðàññåÿíèÿ. Íî ïðè îïðåäåëåííîé òåìïåðàòóðå âáëèçè àáñîëþòíîãî íóëÿ ïðåêðàùàåòñÿ óìåíüøåíèå ðàññåÿíèÿ - ýòî òàê íàçûâàåìîå îñòàòî÷íîå ðàññåÿíèå, êîòîðîå îáóñëîâëåíî íóëåâûìè êîëåáàíèÿìè ñòðóêòóðíûõ ÷àñòèö òâåðäîãî òåëà. E=

18. Òóííåëüíûé ýôôåêò  êîíöå Õ1Õ âåêà áûëî îòêðûòî ÿâëåíèå ðàäèîàêòèâíîãî àëüôàðàñïàäà. Òîëüêî ïî÷òè ÷åðåç 30 ëåò â êâàíòîâîé ìåõàíèêå áûëà îáúÿñíåíà ôèçèêà ýòîãî ÿâëåíèÿ.  îñíîâå àëüôà-ðàñïàäà ëåæèò ïðèíöèïèàëüíî íîâîå ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå, íåèçâåñòíîå è íåâîçìîæíîå â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå, – òóííåëüíûé ýôôåêò. Íà îñíîâå ýòîãî ÿâëåíèÿ óäàëîñü ïîíÿòü ôèçèêó è ðÿäà èçâåñòíûõ è âíîâü îòêðûâàåìûõ ÿâëåíèé, êàê-òî êîíòàêòíóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, õîëîäíóþ ýëåêòðîííóþ ýìèññèþ, ýôôåêò Äæîçåôñîíà, ïðèíöèï äåéñòâèÿ òóííåëüíîãî äèîäà è ðÿä äðóãèõ ÿâëåíèé. Âûÿñíèì ñóòü òóííåëüíîãî ýôôåêòà, ðàññìîòðåâ ñëåäóþùóþ èäåàëèçèðîâàííóþ çàäà÷ó: íà ïóòè ñâîáîäíîé ÷àñòèöû âîçíèêëî ïðåïÿòñòâèå ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð, âûñîòà êîòîðîãî â ýíåðãåòè÷åñêèõ åäèíèöàõ áîëüøå ýíåðãèè ÷àñòèöû. Ñòàâèòñÿ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèé âîïðîñ: ñïîñîáíà ëè ÷àñòèöà ïðåîäîëåòü ýòîò áàðüåð è, åñëè äà, òî êàêîâà âåðîÿòíîñòü ýòîãî ïðîöåññà? 68

Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âûáåðåì ñèñòåìó îòñ÷åòà “Ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð” è ñäåëàåì â íåé ÷åðòåæ (ñì. ðèñ.4). Óòî÷íèì ñîäåðæàíèå ïîíÿòèÿ “ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð”. Ïîä ýòèì ïîíÿòèåì ìû áóäåì ïîíèìàòü îáëàñòü äåéñòâèÿ íåêîòîðîãî ïîëÿ ñèë. Âûáåðåì ïðÿìîóãîëüíóþ ôîðìó ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà, ýòà èäåàëèçàöèÿ ñóùåñòâåííî óïðîñòèò ìàòåìàòè÷åñêîå ðàññìîòðåíèå çàäà-

Ðèñ. 4.

÷è. Êàê âèäíî èç ðèñ.4 ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð âçÿò êîíå÷íîé âûñîòû U o è êîíå÷íîé øèðèíû à. Ïóñòü ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ñëåâà íàïðàâî èç îáëàñòè, ðàñïîëîæåííîé ëåâåå ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà (ÏÁ), è ïðè ýòîì îáëàäàåò êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé (ñâîáîäíàÿ ÷àñòèöà!), ìåíüøåé âûñîòû ÏÁ: E < U o . Ïî êëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì ÷àñòèöà äîëæíà áûëà áû îòðàçèòüñÿ îò ñòåíêè ÏÁ è îñòàòüñÿ ñëåâà îò íåãî. Êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå ðàññìîòðåíèå ýòîé æå çàäà÷è ïðèâîäèò ê ïðèíöèïèàëüíî äðóãîìó ðåçóëüòàòó áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî ÷àñòèöà îáëàäàåò êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâûì äóàëèçìîì: ÷àñòèöà èìååò îïðåäåëåííóþ âåðîÿòíîñòü íå òîëüêî îòðàçèòüñÿ îò ñòåíêè ÏÁ, íî è ïðîíèêíóòü âíóòðü åãî. À ïðè îïðåäåëåííîé øèðèíå ÏÁ èìååòñÿ îïðåäåëåííàÿ âåðîÿòíîñòü îêàçàòüñÿ ÷àñòèöå è ïðàâåå ÏÁ. Èìåííî ýòîò ýôôåêò è íàçûâàåòñÿ ýôôåêòîì òóííåëèðîâàíèÿ. Äëÿ ðàññìîòðåíèÿ äàííîé çàäà÷è íåîáõîäèìî ðåøèòü êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà (âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè âî âñåõ çàäà÷àõ îäèíàêîâà è áûëà íàéäåíà ðàíåå). Òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì îäíîìåðíóþ çàäà÷ó, òî óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà çàïèøåì â âèäå:

−

h 2 ∂ 2Ψ + U 0 Ψ = EΨ , 2m ∂x 2

èëè ∂ 2 Ψ 2m + 2 ( E − U 0 ) Ψ = 0. ∂x 2 h

(18.1)

 1-îé è 3-åé îáëàñòÿõ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ñâîáîäíî, ïîýòîìó äëÿ ýòèõ îáëàñòåé óðàâíåíèå (18.1) çàïèøåòñÿ òàê:

69

ãäå

∂ 2 Ψ1 2m ∂ 2 Ψ1 2 E 0 , + Ψ = + k1 Ψ1 = 0, èëè 1 h2 ∂x 2 ∂x 2 2mE . (18.2) h2 Óðàâíåíèå äëÿ 3-åé îáëàñòè áóäåò îòëè÷àòüñÿ òîëüêî èíäåêñîì: k1 = 2

2mE ∂ 2 Ψ3 2 2 + k 3 Ψ3 = 0, ãäå k 3 = 2 . 2 h ∂x

(18.3)

Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî è â 1-îé è â 3-åé îáëàñòÿõ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû îäíà è òà æå, òàê êàê ïðîöåññ òóííåëèðîâàíèÿ íå ñâÿçàí ñ ñîâåðøåíèåì ðàáîòû, à îáóñëîâëåí êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè òóííåëèðóþùåé ÷àñòèöû, äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ êîòîðîé ìû è èñïîëüçóåì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà. Òàê êàê â 1-îé è 3-åé îáëàñòÿõ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ñâîáîäíî, òî ìû ìîæåì òîò÷àñ æå íàïèñàòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (18.2) è (18.3):

Ψ1 = A1e ik1 x + B1e −ik1x

(18.4)

Ψ3 = A3eik3 ( x − a ) + B3e −ik3 ( x − a ) .

(18.5)

è Ïåðâûå ñëàãàåìûå â ðåøåíèÿõ (18.4) è (18.5) îïðåäåëÿþò ïëîñêèå âîëíû, êîòîðûå äâèæóòñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè íà îñè Îõ. Âòîðûå - îïðåäåëÿþò ïëîñêèå âîëíû, äâèæóùèåñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. È åñëè â 1-îé îáëàñòè âîëíà, äîéäÿ äî áàðüåðà, ìîæåò îòðàçèòüñÿ, òî â 3-åé îáëàñòè ïðàâåå áàðüåðà áîëüøå ïðåïÿòñòâèÿ íåò, ïîýòîìó â 3-åé îáëàñòè íå áóäåò âîëíû, èäóùåé â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè Îõ. Ýòî äàåò íàì ïðàâî ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíò B3 = 0. È òîãäà ðåøåíèåì â 3-åé îáëàñòè áóäåò ôóíêöèÿ:

Ψ3 = A3e ik3 ( x − a ) .

(18.6)

Äâèæåíèå ÷àñòèöû âî 2-îé îáëàñòè îïèñûâàåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (18.1). Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:

k2 = 2

2m (E − U 0 ) h2

(18.7)

Òàê êàê E < U 0 , òî k 2 2 < 0. Ïîýòîìó äëÿ äàëüíåéøåãî öåëåñîîáðàçíî ââåñòè äîïîëíèòåëüíîå âîëíîâîå ÷èñëî k ' ñëåäóþùèì îáðàçîì: 70

k 2 = ik ' , ãäå

2m (U o − E ) . h2

k'=

Óðàâíåíèå (18.1) äëÿ 2-îé îáëàñòè çàïèøåòñÿ òàê:

∂ 2 Ψ2 2 + k 2 Ψ2 = 0 . ∂x 2

(18.8)

È óðàâí åíèå äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè è â îáëàñòè 2 ïðèíÿëî òîò æå âèä, ÷òî è äëÿ îáëàñòåé 1-îé è 3-åé, ñ òåì, îäíàêî, ïðèíöèïèàëüíûì îòëè÷èåì, ÷òî âîëíîâîå ÷èñëî

k 2 ÿâëÿåòñÿ ìíèìûì ÷èñëîì. Çàïèøåì ðåøåíèå

óðàâíåíèÿ (18.8) â òîé æå ôîðìå êàê äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû:

Ψ2 = A2 e ik 2 x + B2 e (−ik 2 x ) , èëè, ïåðåõîäÿ ê âîëíîâîìó ÷èñëó k ' , èìååì:

Ψ2 = A2 e (i⋅ik '⋅ x ) + B2 e (−i⋅ik '⋅ x ) = A2 e (− k ' x ) + B2 e (k ' x ) .

(18.9)

Ââåäåì íîâûå âåëè÷èíû: êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R è êîýôôèöèåíò òóííåëèðîâàíèÿ D . Îïðåäåëèì èõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

R=

jîòð jïàä

D=

è

jïðîø jïàä

,

(18.10)

ãäå ïëîòíîñòè ïîòîêîâ îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå, êîòîðàÿ äëÿ îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ ïðèíèìàåò âèä: j=

∂Ψ  ih  ∂Ψ * − Ψ* Ψ . ∂x ∂x  2m 

Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå âûøå âûðàæåíèÿ äëÿ âîëíîâûõ ôóíêöèé

Ψ1 , Ψ2 è Ψ3 , (18.4), (18.6), (18.9), ïîëó÷èì äëÿ êîýôôèöèåíòîâ (18.10) ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: R=

B1 A1

2 2

è

D=

A3 A1

2 2

.

(18.11)

Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû A1 , A3 , B1 , èñïîëüçóÿ íåïðåðûâíîñòü ñàìèõ âîëíîâûõ ôóíêöèé ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé îáëàñòè â äðóãóþ, à òàêæå íåïðåðûâíîñòü èõ ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ: A1 + B1 = A2 + B2 ,

A2 e ( − k2 'a ) + B2 e ( k2 'a ) = A3 , 71

(18.12)

ik1 ( A1 − B1 ) = k 2 ' ( B2 − A2 ) ,

k 2 ' ( B2 e k2 'a − A2 e − k2 'a ) = ik 3 A3 , ïðè÷åì, ÷òî áûëî îòìå÷åíî âûøå, êîýôôèöèåíòû k1 = k 3 (ñì. èõ îïðåäåëåíèÿ). Èç ýòîé ñèñòåìû ðàâåíñòâ ìîæíî ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âñåõ ïÿòè êîýôôèöèåíòîâ A1 , A2 , B1 , B2 , A3 . Òàê êàê ÷èñëî ðàâåíñòâ, ñâÿçûâàþùèõ ïÿòü êîýôôèöèåíòîâ, íà îäíî ìåíüøå, òî èìååòñÿ âîçìîæíîñòü îäíîé èç ïåðåìåííûõ çàäàòü ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå, íå ïðîòèâîðå÷àùåå óñëîâèþ çàäà÷è. Ìû âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì íèæå. Ñîñòàâèì ïëîòíîñòè ïîòîêîâ

jïàä , jîòð , jïðîø , èñïîëüçóÿ èñõîäíóþ

ôîðìóëó äëÿ ïëîòíîñòè ïîòîêà: j=

∂Ψ  ih  ∂Ψ * Ψ  − Ψ* ∂x ∂x  . 2m 

Ïîêàæåì ðàñ÷åò ýòèõ âåëè÷èí íà ïðèìåðå îäíîé èç íèõ.

∂Ψïàä ih  ∂Ψ * ïàä  Ψïàä − Ψ * ïàä ∂x ∂x 2m 

j ïàä = =

  = 

{

}

ih A1 e (ik 1 x ) ⋅ (− ik 1 )A *1 e (− ik 1 x ) − A *1 e (− ik 1 x ) A1 e (ik1 x ) ⋅ (ik 1 ) = 2m =

ih A1 2m

2

(− ik 1 − ik 1 ) =

h k1 2 A1 . m

(18.13)

Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññ÷èòàòü è ïëîòíîñòè ïîòîêîâ

jîòð

è

jïðîø : j îòð = −

ïðè÷åì

h k1 B1 m

2

è

j ïðîø =

hk 3 2 A3 , m

(18.14)

k1 = k 3 .

Ðåøàÿ ñèñòåìó ðàâåíñòâ (18.12), ïîëó÷èì çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ

A1, A2, B1 è B2 :

A2 =

1 − in 1 + in A3 e (k '2 a ) è B 2 = A3 e (− k '2 a ) , 2 2

72

ãäå n =

k3 E = . k2 U0 − E

Òàê êàê 1 − in = 1 + in , òî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü êîýôôèöèåíòîì B2 , òàê êàê A2 >> B2 . À çíàÿ ýòè êîýôôèöèåíòû, èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà (18.12) íàéäåì êîýôôèöèåíòû

A1 è B1 : A1 =

1 − in i + n A3 e (k '2 à ) , è ⋅ 2 2n

B1 =

1 − in n − i A3 e (k '2 à ) . ⋅ 2 2n

Îòñþäà äëÿ êîýôôèöèåíòà òóííåëèðîâàíèÿ ïîëó÷àåì:

D=

A3 A1

2 2

=

16n 2

(1 + n )

2 2

e

(− 2 k ' 2 a )

=

16n 2

(1 + n )

2 2

e

 2 2   − 2 m (U o − E )⋅a   h 

.

(18.15)

Êîýôôèöèåíò R = 1 − D, ÷òî ñëåäóåò èç íåóíè÷òîæèìîñòè ÷àñòèö è äîñòîâåðíîñòè, ðàâíîé åäèíèöå, ÷òî ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ ëèáî ïåðåä, ëèáî ïîñëå áàðüåðà. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò åñòü ïðîÿâëåíèå êîðïóñêóëÿðíîâîëíîâîãî äóàëèçìà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, ýôôåêò òóííåëèðîâàíèÿ íåâîçìîæåí â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. Êàê âèäíî èç (18.15) êîýôôèöèåíò òóííåëèðîâàíèÿ îòëè÷åí îò íóëÿ êàê ïðè E > U 0 , òàê è ïðè E < U 0 . Èíòåðåñíî, ÷òî ïðè E > U 0 ÷àñòèöà ìîæåò íå òîëüêî òóííåëèðîâàòü, íî è èñïûòàòü îòðàæåíèå îò áàðüåðà ( R ≠ 0). Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñ êëàññè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïàðàäîêñàëüíû, îäíàêî îíè ïîäòâåðæäàþòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî, íàïðèìåð â ðàäèîàêòèâíîì àëüôà-ðàñïàäå, èëè â õîëîäíîé ýëåêòðîííîé ýìèññèè, èëè â ðàáîòå òóííåëüíîãî äèîäà è ò.ä. Èç ôîðìóëû (18.15) ñëåäóåò, ÷òî ïðîöåññ òóííåëèðîâàíèÿ òåì âåðîÿòíåå, ÷åì ìåíüøå ðàçíîñòü U 0 − E è ÷åì óæå øèðèíà ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà à. Êîýôôèöèåíò ïðîçðà÷íîñòè ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ìàññû ÷àñòèöû.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè âûñêàçàííûõ óòâåðæäåíèé ïðèâåäåì êîëè÷åñòâåííûé ïðèìåð:

êàêîâ êîýôôèöèåíò ïðîçðà÷íîñòè D áàðüåðà ïðÿìîó-

ãîëüíîé ôîðìû ïðè U 0 = 20 ýÂ, a = 10 −10 ì äëÿ ýëåêòðîíà è ïðîòîíà ñ ýíåðãèÿìè 10 ýÂ. Ðàñ÷åò ïî ôîðìóëå (18.15) äàåò ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû: äëÿ 73

ýëåêòðîíà Dýë = 0,157; äëÿ ïðîòîíà (ìàññà êîòîðîãî ïî÷òè â 2000 ðàç áîëüøå ìàññû ýëåêòðîíà) Dïð ≈ 10 −60. Ðåàëüíûå ïîòåíöèàëüíûå áàðüåðû èìåþò ñëîæíóþ êîíôèãóðàöèþ. Íà ðèñ. 5 ïðåäñòàâëåí ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð, êîòîðûé ïðèáëèæåííî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîòåíöèàëüíûõ áàðüåðîâ ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû. Äëÿ Ðèñ. 5 êàæäîãî ïîñëåäóþùåãî ïðÿìîóãîëüíîãî ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà íà÷àëüíûì ÷èñëîì ÷àñòèö áóäåò òî èõ ÷èñëî, êîòîðîå ïðîøëî ÷åðåç ïðåäûäóùèé ïðÿìîóãîëüíûé áàðüåð. Ïîýòîìó ðåçóëüòèðóþùèé êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç áàðüåð ïðîèçâîëüíîé ôîðìû ïðèáëèæåííî áóäåò ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ êîýôôèöèåíòîâ ïðîçðà÷íîñòè ÷åðåç îòäåëüíûå ïðÿìîóãîëüíûå ïîòåíöèàëüíûå áàðüåðû. Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà ïðîèçâîëüíîé ôîðìû U (x ) êîýôôèöèåíò ïðîçðà÷íîñòè

D ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

D = Do e

 2 x 2 − ∫  h x1

 2 m[U ( x )− E ]dx  

.

74

(18.16)

Ãëàâà 4 19. Äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè Ïîëå íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íûì, åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â ýòîì ïîëå U ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî ðàññòîÿíèÿ r

÷àñòèöû îò íåêîòîðîé òî÷êè ïîëÿ, íàçûâàåìîé öåíòðîì ïîëÿ, ò.å. U (r ) è íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ óäàëåíèÿ îò öåíòðà ïîëÿ. Êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà â äàííîé çàäà÷å èìååò âèä:

2m (E − U )Ψ = o. (19.1) h2 Äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè åñòåñòâåííî ââåñòè ñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â öåíòðå ïîëÿ. Çàïèøåì îïåðàòîð Ëàïëàñà â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ: ∆Ψ +

1 ∂  2 ∂  ∆θ ,ϕ , r + r 2 ∂r  ∂r  r 2

(19.2)

∂2 1 ∂  1 ∂  . +  sin θ 2 sin θ ∂θ  ∂θ  sin θ ∂ϕ 2

(19.3)

∆= ãäå

∆ θ ,ϕ =

Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (19.1), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (19.2) è (19.3) è îäíîâðåìåííî ñäåëàåì ïåðåñòàíîâêó ñëàãàåìûõ, à òàêæå óìíîæèì âñå ÷ëåíû íà

r2 : ∂ 2 ∂Ψ 2mr 2 + 2 ( E − U ) Ψ = − ∆θ ,ϕ Ψ. r ∂r ∂r h

(19.4)

 ëåâîé ñòîðîíå óðàâíåíèÿ (19.4) ïðîèçâîäÿòñÿ äåéñòâèÿ ïî ïåðåìåí-

r , à â ïðàâîé- òîëüêî ïî óãëîâûì ïåðåìåííûì θ èϕ . Ýòî ïîçâîëÿåò íàì ïðåäñòàâèòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ Ψ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêíîé

öèé:

75

(19.5) Ψ (r , θ , ϕ ) = R (r )Y (θ , ϕ ). Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (19.5) â óðàâíåíèå (19.4) è ñîâåðøåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ äåéñòâèé, ïîëó÷àåì :

1 ∂  2 ∂R  2 m 2 1  + 2 r (E − U ) = − ∆θ ,ϕ Y . r R ∂r  ∂r  h Y

(19.6)

Òàê êàê ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè ðàâåíñòâà (19.6) çàâèñÿò îò ðàçíûõ ïåðåìåííûõ, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýòè ÷àñòè ïî îòäåëüíîñòè äîëæíû ðàâíÿòüñÿ îäíîé è òîé æå ïîñòîÿííîé, êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç λ . Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî îäíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (19.1) ìû ïîëó÷èëè äâà óðàâíåíèÿ .Ëåâàÿ ñòîðîíà ðàâåíñòâà (19.6) äàñò íàì òàê íàçûâàåìîå ðàäèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ðàäèàëüíîé ôóíêöèè R (r ): 1 d  2 dR   2m (E − U ) − λ2  R = 0 + r r 2 dr  dr   h r 

(19.7)

Ôóíêöèÿ Y (θ , ϕ ) íàçûâàåòñÿ ñôåðè÷åñêîé è äëÿ íåå ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå èç ïðàâîé ÷àñòè (19.6), êîòîðîå ìû òàêæå ïðèðàâíÿåì ê êîíñòàíòå λ , è ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:

1 ∂  1 ∂ 2Y ∂Y  + λY = 0 .  sin θ + ∂θ  sin 2 θ ∂ϕ 2 sin θ ∂θ 

(19.8)

Óðàâíåíèå (19.7) çàâèñèò îò âèäà ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè U (r ), ïîýòîìó ýòî óðàâíåíèå íåîáõîäèìî ðåøàòü êàæäûé ðàç çàíîâî, åñëè èçìåíÿåòñÿ âèä ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè. Èíà÷å îáñòîèò äåëî ñ óðàâíåíèåì (19.8). Åãî ðåøåíèå íå çàâèñèò îò âèäà ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè U (r ), ïîýòîìó åãî ðåøåíèå áóäåò ñïðàâåäëèâûì äëÿ âñåõ çàäà÷ ñ ïîëåì öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè. Âìåñòå ñ òåì, óðàâíåíèå (19.8) ïîçâîëÿåò ïðîèçâåñòè äàëüíåéøåå ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäñòàâèì ñôåðè÷åñêóþ ôóíêöèþ Y (θ , ϕ ) â ñëåäóþùåì âèäå:

Y (θ , ϕ ) = P (θ ) ⋅ Φ (ϕ ).

Îáîçíà÷àÿ ïîñòîÿííóþ ðàçäåëåíèÿ ÷åðåç

P (θ ) èΦ (ϕ ) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå äâà óðàâíåíèÿ :

76

(19.9)

m 2 , äëÿ ôóíêöèé

d 2Φ + m 2Φ = 0 dϕ 2

(19.10)

è dP   m2 1 d   sin θ  +  λ − dθ   sin θ dθ  sin 2 θ

  P = 0 . (19.11)  Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (19.10). Óáåäèìñÿ, ÷òî åãî ðåøåíèå èìååò âèä

Φ (ϕ ) = C ⋅ exp(imϕ ) . Äëÿ ýòîãî ïîäñòàâèì åãî â óðàâíåíèå (19.10):

d 2Φ d  dΦ  d d imϕ  = = Cime imϕ = C ⋅ im e = 2 dϕ  dϕ  dϕ dϕ dϕ = C ⋅ im ⋅ im ⋅ e imϕ = −Cm 2 ⋅ e imϕ = −m 2 Φ. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå âûðîæäàåòñÿ â òîæäåñòâî: 0=0 .Ëåãêî

(

óáåäèòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ

)

Φ (ϕ ) îáëàäàåò ïåðèîäè÷íîñòüþ ñ ïåðèîäîì

2π : Φ (ϕ ) = Φ (ϕ + 2π ). Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìó-

ëîé Ýéëåðà exp(im ⋅ 2π ) = cos(2πm ) + i sin (2πm ). Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü

m îáÿçàí áûòü öåëûì ÷èñëîì. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî óðàâíåíèå (19.10) ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà, ìû ïîëó÷èì ïîëíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, åñëè ïîòðåáóåì, ÷òîáû ïîñòîÿííàÿ m ïðèíèìàëà çíà÷åíèÿ 0, ± 1,±2.... Ïîñòîÿííóþ Ñ ìîæíî îïðåäåëèòü èç óñëîâèÿ íîðìè2π

∫Φ

2

dϕ = 1 èëè

o

ðîâêè:

2π

2π

2π

0

0

0

2 2 • − imϕ imϕ ∫ Φ ⋅ Φ dϕ = ∫ Ce ⋅ Ce dϕ = C ∫ dϕ = C ⋅ 2π = 1

îòêóäà C=

1 . 2π

(19.12)

Èòàê, ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (19.11) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ

Φ (ϕ ) = 2π exp(imϕ ). 1

77

(19.13)

Ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå (19.11). Ñäåëàåì çàìåíó cos θ = α , è ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ äåéñòâèé ïðèäàäèì óðàâíåíèþ (19.11) ñëåäóþùèé âèä: d dα

Ôóíêöèÿ

2  ( 1 − α 2 ) ddPα  + λ − 1 −mα 2  P = 0.    

(19.14)

P (α ) , íàçûâàåìàÿ ïðèñîåäèíåííûì ïîëèíîìîì Ëåæàíä-

ðà, äîëæíà áûòü íåïðåðûâíîé è êîíå÷íîé ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ óãëà θ . Êàê ïîêàçûâàåòñÿ â òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ýòî âîçìîæíî ëèøü ïðè óñëîâèè, ÷òî (19.15) λ = l (l + 1) . ãäå l ≥ 0 è öåëîå ÷èñëî Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (19.14) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ

Pl (α ) = m

l +m m l 1 2 2 d 1 ( ) ( − α α 2 − 1) , l l +m 2 l! dα

(19.16)

ïðè ýòîì ïðè çàäàííîì l ÷èñëî m ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü (2l + 1) çíà÷åíèÿ: m = -l, -l +1, ...... 0, 1, 2, ..... l-1, l. Óñëîâèå íîðìèðîâêè èñõîäíîé ôóíêöèè

∫Ψ

(19.17) 2

d τ = 1 çàìåíÿåòñÿ äâóìÿ

óñëîâèÿìè íîðìèðîâêè: ∞

π

2π

0

0

0

2 • ∫ R Rr dr = 1 è

• ∫ sin θdθ ∫ Y Ydϕ = 1 .

(19.18)

20. Èíòåãðàëû äâèæåíèÿ â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè Êëàññè÷åñêîé âåëè÷èíå-ìîìåíòó êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñîïîñòàâëÿåòñÿ îïåðàòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ

ˆ →

M.

Íàéäåì ïðàâèëà êîììóòàöèè äëÿ êîìïîíåíò ýòîãî îïåðàòîðà. Ðàññìîòðèì êîììóòàòîð Mˆ Mˆ − Mˆ Mˆ : x

y

y

x

78

Mˆ x Mˆ y − Mˆ y Mˆ x = ∂  ∂ ∂  ∂ ∂ ∂  ∂ ∂  2 2 = (− ih )  y − z  z − x  − (− ih )  z − x  y − z  = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z y x z x z z y      

∂ 

∂

2 = (− ih )  y ∂ − x ∂  = ihMˆ z . y  x

(20.1)

Ñîâåðøàÿ öèêëè÷åñêóþ ïåðåñòàíîâêó èíäåêñîâ, ìîæíî ïîëó÷èòü åùå äâà ñîîòíîøåíèÿ:

Mˆ y Mˆ z − Mˆ z Mˆ y = ihMˆ x

,

Mˆ z Mˆ x - Mˆ x Mˆ z = ihMˆ y .

(20.2)

Ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ (20.1) è (20.2) óòâåðæäàþò, ÷òî â îäíîì îïûòå âñå òðè ïðîåêöèè ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ îïðåäåëèòü íåëüçÿ. Ââåäåì îïåðàòîð êâàäðàòà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ :

Mˆ 2 = Mˆ 2 x + Mˆ 2 y + Mˆ 2 z .

(20.3)

Ïîñêîëüêó ìû ðàññìàòðèâàåì öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîå ïîëå, òî öåëåñîîáðàçíî ïåðåéòè ê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì, ÷òî ìîæíî ñäåëàòü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ïåðåõîäà: x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ,

(20.4)

z = r cos θ.

Ñîîòâåòñòâåííî, â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ îïåðàòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è åãî êîìïîíåíòû çàïèøóòñÿ òàê:

 ∂  ∂ Mˆ x = −ih sin ϕ + ctgθ cos ϕ , ∂ϕ  ∂θ   ∂ ∂  Mˆ y = −ih cos ϕ − ctgθ sin ϕ , θ ϕ  ∂ ∂  ∂ . Mˆ z = −ih ∂ϕ Mˆ 2 = −h 2 ∆ . θ ,ϕ

79

(20.5)

Ëàïëàñèàí

∆θ ,ϕ áûë ââåäåí íàìè ðàíåå ÷èñòî ôîðìàëüíî òàê:

∆θ ,ϕ =

∂ ∂2 1 ∂ 1 + sin θ . ∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2 sin θ ∂θ

(19.3)

Íî òåïåðü ìû âèäèì, ÷òî îí ñâÿçàí ñ êâàäðàòîì îïåðàòîðà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñ îïåðàòîðîì

Mˆ 2 êîììóòè-

ˆ . À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â îäíîì îïûòå ðóåò êàæäàÿ ïðîåêöèÿ îïåðàòîðà M ìîæíî îäíîâðåìåííî îïðåäåëèòü äâå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû

M 2 è , íàïðèìåð , M z , òàê êàê îïåðàòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì âåëè÷èíàì, êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì: Mˆ 2 Mˆ z − Mˆ z Mˆ 2 = 0. Äëÿ êàæäîãî îïåðàòîðà ìîæíî ñîñòàâèòü îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå. Ñîñòàâèì òàêèå óðàâíåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ Mˆ z è Mˆ 2 : ∂ Mˆ z Φ = M z Φ èëè − ih Φ = M zΦ , ∂ϕ åãî ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ

Φ (ϕ ) = ãäå m =

1 exp(imϕ ), 2π

(20.6)

(20.7)

Mz - öåëîå ÷èñëî, ïðèíèìàþùåå çíà÷åíèÿ 0, ± 1, ± 2... , îòêóäà h

(20.8) M z = mh. Ðàâåíñòâî (20.8) óêàçûâàåò, ÷òî ïðîåêöèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ íà ïðîèçâîëüíîå íàïðàâëåíèå (íàïðàâëåíèå îñè Oz –ïðîèçâîëüíîå) ïðèíèìàåò äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ. Ïðè ýòîì ïðîåêöèè íà äâå äðóãèå îñè îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèé èìåòü íå ìîãóò. Âìåñòå ñ òåì, ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò (20.8) íå ñâÿçàí íåïîñðåäñòâåííî ñ õàðàêòåðîì ïîëÿ, åãî ñèììåòðèåé. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî óðàâíåíèå (19.8) íå çàâèñèò îò ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè U, îïðåäåëÿþùåé õàðàêòåð ïîëÿ, åãî ñèììåòðèþ. Òåïåðü çàéìåìñÿ óðàâíåíèåì äëÿ êâàäðàòà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.  îïåðàòîðíîì âèäå óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ ñòàíäàðòíî:

Mˆ 2Y (θ , ϕ ) = M 2Y (θ , ϕ ) , èëè − h 2 ∆ θ ,ϕ Y (θ , ϕ ) = M 2Y (θ , ϕ ). (20.9) 80

ãäå îïåðàòîð

∆θ ,ϕ äàåòñÿ ôîðìóëîé (19.3).

Åñëè îáå ñòîðîíû óðàâíåíèÿ (20.9) ðàçäåëèòü íà - h 2 , òî óðàâíåíèå (20.9) ïðèíèìàåò âèä óðàâíåíèÿ (19.8), êîòîðîå èìååò ðåøåíèå ïðè

λ = l (l + 1). Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì äëÿ êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëü-

ñà ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:

M 2 = h 2 l (l + 1).

(20.10)

Âñå, ÷òî áûëî ñêàçàíî âûøå îòíîñèòåëüíî ïðîåêöèè ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, ñïðàâåäëèâî è îòíîñèòåëüíî êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëüñà: èõ êâàíòîâàíèå çàâèñèò íå îò ñèììåòðèè ïîëÿ, à îáóñëîâëåíî êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâûì äóàëèçìîì ÷àñòèö ìèêðîìèðà. Óñòàíîâèâ ñâîéñòâà ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí-êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëüñà è åãî ïðîåêöèè íà íåêîòîðîå íàïðàâëåíèå - çàéìåìñÿ íàõîæäåíèåì èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè. Âñïîìíèì, êàêàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ, åñëè ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò åå îïåðàòîðà ïî âðåìåíè ðàâíà íóëþ è ñàì îïåðàòîð ýòîé âåëè÷èíû êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì Ãàìèëüòîíà. Ïðîâåðèì âûïîëíèìîñòü âñåõ ýòèõ òðåáîâàíèé, äëÿ ÷åãî ïðåäñòàâèì îïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè â ñëåäóþùåì âèäå:

pˆ 2 h2 h 1 ∂  2 ∂  h2 1 Tˆ = ∆θ ,ϕ . (20.11) =− ∆=− − r 2m 2m 2m r 2 ∂r  ∂r  2m r 2 Ó÷èòûâàÿ âèä îïåðàòîðà êâàäðàòà ìîìåíòà èìïóëüñà (20.5), ìîæíî îïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè çàïèñàòü òàê: Mˆ 2 Tˆ = Tˆr + , 2mr

ãäå

(20.12)

Tˆr ñëåäóåò íàçâàòü îïåðàòîðîì êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàäèàëüíîãî

äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ãàìèëüòîíèàí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè âèäà U (r ) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí òàê: Mˆ 2 + U (r.) Hˆ = Tˆr + 2mr 2

81

(20.13)

Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî îïåðàòîðû

Mˆ x , Mˆ y , Mˆ z , Mˆ 2 çàâèñÿò

òîëüêî îò óãëîâûõ ïåðåìåííûõ è, ñëåäîâàòåëüíî, êîììóòèðóþò ñ îïåðàòîðàìè, çàâèñÿùèìè òîëüêî îò

r , à òàêæå, ÷òî îïåðàòîðû Mˆ x , Mˆ y , Mˆ z êîì-

ìóòèðóþò ñ îïåðàòîðîì Mˆ 2 , ìû ïîëó÷àåì, ÷òî âñå ýòè îïåðàòîðû êîììóòèðóþò ñ ãàìèëüòîíèàíîì Hˆ . È ïîñêîëüêó ýòè îïåðàòîðû íå çàâèñÿò îò âðåìåíè, òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ äëÿ óñòàíîâëåíèÿ èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ. Ó÷èòûâàÿ íåêîììóòàòèâíîñòü ìåæäó ñîáîé ïðîåêöèé ìîìåíòà èìïóëüñà, óñòàíàâëèâàåì, ÷òî îäíîâðåìåííî èçìåðèìûìè èíòåãðàëàìè äâèæåíèÿ áóäóò ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû (îïðåäåëÿåìàÿ îïåðàòîðîì Ãàìèëüòîíà

Hˆ ), êâàäðàò ìîìåíòà èìïóëüñà (îïðåäåëÿåìûé îïåðàòîðîì Mˆ 2 ) è îäíà èç ïðîåêöèé ìîìåíòà èìïóëüñà, íàïðèìåð M z (âûáîð ýòîé ïðîåêöèè îáóñëîâëåí “ïðîñòûì” âèäîì îïåðàòîðà

Mˆ z ïî ñðàâíåíèþ ñ âèäîì äâóõ äðó-

ãèõ ïðîåêöèé Mˆ x èMˆ y , ñì.(20.5)). Ðàññìîòðèì âîïðîñ î ÷åòíîñòè âîëíîâûõ ôóíêöèé, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå ÷àñòèöû â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå. Ðàíåå ìû ðåøàëè âîïðîñ î ÷åòíîñòè èëè íå ÷åòíîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè â çàâèñèìîñòè îò òîãî, îñòàåòñÿ îíà íåèçìåííîé èëè ìåíÿåò çíàê ïðè ñîâåðøåíèè îïåðàöèè èíâåðñèè, ò.å. çàìåíû êîîðäèíàò x → (− x ), y → (− y ), z → (− z ). Ïðè ïåðåõîäå ê ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ýòà îïåðàöèÿ ñâî-

äèòñÿ ê ñëåäóþùèì çàìåíàì: θ → (π − θ ), ϕ → (ϕ + π ) ïðè íåèçìåííîì

r.

Òàêèì îáðàçîì, ÷åòíîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè Ψ (r, θ , ϕ ) ñîâïàäàåò ñ ÷åòíîñòüþ øàðîâîé ôóíêöèè

Y (θ ,ϕ ) = P(θ )Φ(ϕ ) .

×åòíîñòü æå ôóíêöèè Φ (ϕ ) =

1 exp(imϕ ) 2π

îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòíîñòüþ ìíîæèòåëÿ íîñòè ÷èñëà

exp(imϕ ) , êîòîðàÿ çàâèñèò îò ÷åò-

m: exp[im(ϕ + π)] = (− 1)m exp(imϕ) .

82

Óñòàíîâèì, ÷òî îïðåäåëÿåò ÷åòíîñòü ïîëèíîìà Ëåæàíäðà

m Pl . Èç ôîðìó-

ëû(19.16) ñëåäóåò, ÷òî ÷åòíîñòü ïîëèíîìà îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì (l − m ). Ýòî

(

âèäíî íåïîñðåäñòâåííî, åñëè ó÷åñòü, ÷òî ìíîæèòåëü 1 − α 2

)

m 2

ÿâëÿåòñÿ

÷åòíîé ôóíêöèåé îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ çíàêà ó α = cos θ , à ÷åòíîñòü ïðîèçâîäíîé îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì [2l − (l + m )] = l − m . ×åòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòíîñòüþ ñîìíîæèòåëåé. Ïîñêîëüêó ÷åòíîñòü îäíîãî çàâèñèò îò ÷èñëà m , à äðóãîãî -îò ÷èñ-

(l − m ),

òî ÷åòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ÷åòíîñòüþ ÷èñëà

m + (l − m ) = l.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷åòíîñòü ñôåðè÷åñêîé ôóíêöèè Yl m (θ , ϕ )

ëà

îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòíîñòüþ êâàíòîâîãî ÷èñëà l .×åòíîñòü ïîëíîé âîëíîâîé ôóíêöèè ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå, ñîâïàäàåò ñ ÷åòíîñòüþ êâàíòîâîãî ÷èñëà l . Íî ýòî êâàíòîâîå ÷èñëî ñâÿçàíî ñî çíà÷åíèåì èìïóëüñà ÷àñòèöû è íàçûâàåòñÿ îðáèòàëüíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì (êâàíòîâîå ÷èñëî m íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì), ïîýòîìó ìîæíî ãîâîðèòü î ñîâïàäåíèè ÷åòíîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè ñ ÷åòíîñòüþ ìîìåíòà èìïóëüñà ÷àñòèöû. Ïðîñòåéøèì ñëó÷àåì äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå íà íåèçìåííîì ðàññòîÿíèè îò öåíòðà. Òàêàÿ ñèñòåìà ïîëó÷èëà íàçâàíèå ðîòàòîðà. Ïîñêîëüêó r = const , òî ìîæíî ïîëîæèòü U (r ) = 0 è óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ðîòàòîðà ïðèíèìàåò âèä:

∆θ ,ϕ Yl (θ , ϕ ) + m

ãäå

2ma0 m EYl (θ , ϕ ) = 0. 2 h

(20.14)

a0 − ðàäèóñ ðîòàòîðà.

Äëÿ çíà÷åíèé ýíåðãèè ðîòàòîðà ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:

El =

h2 h2 ( ) + = 1 l l l (l + 1), 2ma 2 o 2J

(20.15)

ãäå 2 J = ma 0 -ìîìåíò èíåðöèè ðîòàòîðà. Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèåì äëÿ íîðìèðîâàííîé øàðîâîé ôóíêöèè

83

Yl (θ , ϕ ) = m

(2l + 1) (l − m )! exp(imϕ )P m (cos θ ) , l 4π (l + m )!

(20.16)

òî ìîæíî ðàññ÷èòàòü âîëíîâûå ôóíêöèè ðîòàòîðà ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ êâàíòîâûõ ÷èñåë. Ìîäåëü æåñòêîãî ðîòàòîðà èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè ñîñòîÿíèé ìîëåêóë . Íàïðèìåð, åñëè l = 0, òîãäà è m = 0 è Yo = o

1 ; 4π

ïðè l = 1, m = −1, 0, + 1 è ò.ä. Ïîñêîëüêó Yl

m 2

íå çàâèñèò îò óãëà ϕ , òî ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè

âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ÷àñòèöû ÿâëÿåòñÿ àêñèàëüíî-ñèììåòðè÷íûì (ïëîñêîå ïðåäñòàâëåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ïîêàçàíî íà ðèñ. 6. Ïðè ïîäñ÷åòå ñðåäíèõ çíà÷åíèé âñòðå÷àþòñÿ èíòåãðàëû âèäà

l = 0, m = 0

l = 1, m = 0

l = 1, m = ±1

Ðèñ. 6

∫e

− im 'ϕ + imϕ

dϕ ,

êîòîðûå îòëè÷íû îò íóëÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî m = m' èëè ∆m = ±1, îòñþäà ïîëó÷àåì ïðàâèëà îòáîðà äëÿ êâàíòîâîãî ÷èñëà m: ∆m = 0,±1. Åñëè êâàíòîâîå ÷èñëî l = 0 , òî ãîâîðÿò, ÷òî ýëåêòðîí íàõîäèòñÿ â s − ñîñòîÿíèè, ïðè l = 1 -â p - ñîñòîÿíèè è ò.ä., ñîîòâåòñòâåííî ãîâîðÿò î s, p è ò.ä. – ýëåêòðîíàõ. 84

21. Àòîì âîäîðîäà è âîäîðîäîïîäîáíûå àòîìû Àòîì âîäîðîäà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøåé êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìîé, ïîëó÷èâøåé òî÷íîå ðåøåíèå . Àòîì âîäîðîäà ñîñòîèò èç ÿäðà-ïðîòîíà è îäíîãî ýëåêòðîíà, ìåæäó êîòîðûìè äåéñòâóåò êóëîíîâñêàÿ ñèëà ïðèòÿæåíèÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ðàâíà

U (r) = −

e2 . 4πε o r

Ìàññà ïðîòîíà â 1836 ðàç áîëüøå ìàññû ýëåêòðîíà, ïîýòîìó ïðèáëèæåííî åãî ìîæíî ñ÷èòàòü ïîêîÿùèìñÿ (ÑÎ “Ïðîòîí”). Ýíåðãèÿ òàêîé ñèñòåìû èç 2-õ ÷àñòèö îïðåäåëÿåòñÿ ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ äëÿ ðàäèàëüíîé ÷àñòè âîëíîâîé ôóíêöèè:

1 d  2 dR   2m  Ze 2  l (l + 1) − + + r E    R = 0 , 4πε o r  r 2 dr  dr   h 2  r2 

(19.7)

ãäå äëÿ îáùíîñòè çàðÿä ÿäðà âçÿò ðàâíûì Ze (êàê áóäåò ó âîäîðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ). Óðàâíåíèå (19.7) íàçûâàåòñÿ ðàäèàëüíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà. Ôîðìó åãî çàïèñè ìîæíî èçìåíèòü, åñëè ñäåëàòü ïîäñòàíîâêó:

χ (r ) . r  ðåçóëüòàòå ïåðåõîäà ê íîâîé ïåðåìåííîé, ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå, êîòîðîå ïî ôîðìå ñîâïàäàåò ñ îäíîìåðíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà äëÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå ñ ýôôåêòèâíûì ïîòåíöèàëîì R (r ) =

U ýô = U (r ) +

h 2 l (l + 1) . 2mr 2

Íåîòðèöàòåëüíûé ÷ëåí

h 2 l (l + 1) 2mr 2 íàçûâàåòñÿ öåíòðîáåæíîé ýíåðãèåé.  ñîñòîÿíèè l = 0 (s − ñîñòîÿíèå) öåíòðîáåæíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà íóëþ è ýôôåêòèâíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñîâïàäàåò â íàøåé çàäà÷å ñ êóëîíîâñêîé ýíåðãèåé ýëåêòðîíà â ïîëå ÿäðà.

85

Åñëè ó÷åñòü è äâèæåíèå ÿäðà âîêðóã îáùåãî öåíòðà ìàññ ÿäðà è ýëåêòðîíà, òî â ïðåäûäóùèõ ôîðìóëàõ íåîáõîäèìî çàìåíèòü ìàññó ýëåêòðîíà íà ïðèâåäåííóþ ìàññó ñèñòåìû äâóõ ÷àñòèö :

µ=

mM ÿ . m+ Mÿ

Ïðè r → 0 U ýô èçìåíÿåòñÿ êàê ôóíêöèÿ ÿõ ôóíêöèÿ U ýô èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó

1 , íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèr2

1 , íàõîäÿñü â îáëàñòè îòðèöàr

òåëüíûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè.  îáëàñòè ïîòåíöèàëüíîé ÿìû äâèæåíèå ÷àñòèöû ïðîèñõîäèò â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà è ïîýòîìó âîçìîæíû ñâÿçàííûå (ñòàöèîíàðíûå) ñîñòîÿíèÿ ñ äèñêðåòíûìè çíà÷åíèÿìè ýíåðãèè. Âðåìåííàÿ è óãëîâàÿ ÷àñòü ðåøåíèÿ íàìè óæå îïðåäåëåíà (âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü ó âñåõ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ çàäà÷ îäèíàêîâà, óãëîâàÿ çàâèñèìîñòü äëÿ äâèæåíèÿ â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè óñòàíîâëåíà íàìè âûøå), ïîýòîìó íàì íåîáõîäèìî ëèøü ðåøèòü ðàäèàëüíîå óðàâíåíèå (19.7). Ýòà î÷åíü ñëîæíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à, îíà ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðèìåíåíèÿ ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Ïîýòîìó ìû ïðèâåäåì ëèøü ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ( à ëþáîçíàòåëüíûõ ÷èòàòåëåé îòñûëàåì ê êíèãàì Ë. Ä. Ëàíäàó è Å. Ì. Ëèôøèö Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà, Â. Â. Ìóëòàíîâñêèé è À. Ñ. Âàñèëåâñêèé Êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè ( êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà) è äð.). Äëÿ óðîâíåé ýíåðãèè àòîìà âîäîðîäà è âîäîðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:

1 mZ 2 e 4 ⋅ . 32π 2ε 2 o h 2 n 2 ãäå n = 1,2,3... - ãëàâíîå êâàíòîâîå ÷èñëî. En = −

(21.1)

Âîëíîâûå ôóíêöèè àòîìà âîäîðîäà è âîäîðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ èìåþò âèä:

86

Yl (θ , ϕ ) = m

2l + 1 (l − m )! m ⋅ ⋅ exp(imϕ )Pl (cos θ ), 4π (l + m )! 3

 Z 2 4  ρ 2 l +1  ⋅ exp −  ρ l Qn −l −1 (ρ ), Rn ,l =  ( ) ( ) − − + na n l 1 ! n l ! 2    o 2 2Z r 4πε o h ρ= , ao = , n ao me 2 Qn −l −1

2 l +1

= exp (ρ )ρ

− 2 l −1

d k − ρ 2 l +1+k (e ρ ) dρ k

(21.2)

ãäå n = 1,2,3..., l = 0,1,2,....n − 1; m = −l ,−l + 1,....l − 1, l ; k = n − l − 1; 2l Qk - íàçûâàåòñÿ ïîëèíîìîì Ëàãåððà.

Óðîâíè ýíåðãèè

E n âûðîæäåíû. Óðîâíþ ýíåðãèè ñ íîìåðîì n ïðè-

íàäëåæèò ÷èñëî ñîñòîÿíèé, ðàâíîå n −1

l

l =0

m=− l

∑ ∑m = n ò.å. èìååò ìåñòî

2

(21.3)

,

n 2 -êðàòíîå âûðîæäåíèå.

∫

Òàê êàê Rn ,l rRn` ,l ` dτ ≠ 0 ïðè ëþáûõ ñîîòíîøåíèÿõ ìåæäó ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà èìååò âèä: ∆n = ëþáîå ÷èñëî.

n , n' òî

n ïðàâèëî îòáîðà (21.4)

22. Ðàäèàëüíàÿ è óãëîâàÿ ïëîòíîñòè ýëåêòðîííîãî îáëàêà â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ÷àñòèöû ãäå- ëèáî â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè ìîæíî îïðåäåëèòü, ñîñòàâèâ êâàäðàò ìîäóëÿ ïîëíîé êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè ÷àñòèöû:

W = Ψ (r ,θ ,ϕ ) . 2

(22.1) 87

Âåðîÿòíîñòü æå íàõîæäåíèÿ òîé æå ÷àñòèöû â ýëåìåíòå îáúåìà

dV = r 2 dr sin θdθdϕ

(22.2)

ðàâíà:

WdV = r 2 R(r ) dr ⋅ Yl ,m (θ , ϕ ) sin θdθdϕ . 2

2

(22.3)

Åñëè âûðàæåíèå (22.3) ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî óãëàì, òî ìû ïîëó÷èì âûðàæåíèå, êîòîðîå ìîæíî èñòîëêîâàòü êàê âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ÷àñòèöû â ñëîå ìåæäó äâóìÿ ñôåðàìè ñ ðàäèóñàìè âåðîÿòíîñòü òàê:

Ddr = r 2 R (r ) ãäå

2

∫ Y (θ , ϕ ) l ,m

2

r , r + dr. Îáîçíà÷èì ýòó

dΩ ,

(22.4)

dΩ = sin θdθdϕ − ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà. Âûøå (21.2) ìû çàïèñàëè îáùèé âèä ðàäèàëüíîé ôóíêöèè

R (r ). Ýòà n , òàê

ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê çíà÷åíèåì ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà

è îðáèòàëüíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì l. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (21.2), ìîæíî íàéòè çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ýëåêòðîííîãî îáëàêà îò ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà àòîìà äëÿ ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Ìû âèäèì, ÷òî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü ÷àñòèöó êàê âáëèçè ÿäðà, òàê è íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò íåãî ìàëà. Íà êîíå÷íûõ ðàññòîÿíèÿõ ôóíêöèÿ

Wn,l (r ) îáðàùàåòñÿ â íóëü n − l − 1 ðàç è ýëåêòðîííîå

îáëàêî âåðîÿòíîñòè ðàçáèâàåòñÿ íà ñëîè. Âû÷èñëåíèå ñðåäíèõ ðàññòîÿíèé ïîëîæåíèÿ ÷àñòèöû ïðèâîäèò ê ôîðìóëå:

[

]

a0 3n 2 − l (l + 1) , (22.5) 2 èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî ýòî ñðåäíåå ðàññòîÿíèå áûñòðî ðàñòåò ïðè óâåëè÷åíèè ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà, à ïðè çàäàííîì n óáûâàåò ñ ðîñòîì îðáèòàëüíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà. Ðåçêîé ãðàíèöû ó àòîìà íåò.  ñîñòîÿíèÿõ ñ l = n − 1 âåðîÿòíîñòü rn ,l =

 2r  , W (r ) ~ r 2 n exp −  na0 

88

è ìàêñèìóì ôóíêöèè W (r ) äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå ñ rn = a0 n 2 . Ýòè ðàññòîÿíèÿ ñîâïàäàþò ñ ðàäèóñàìè áîðîâñêèõ êðóãîâûõ îðáèò äëÿ àòîìà âîäîðîäà. Äëÿ âîäîðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ íóæíî â ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåñòàõ ôîðìóë ââåñòè ìíîæèòåëü Z , íàïðèìåð, ðàäèóñû áîðîâñêèõ îðáèò äëÿ âîäîðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå:

ao 2 n . (22.6) Z Ðàññìîòðèì äàëåå óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðîÿòíîñòè. Âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû â ïðåäåëàõ ýëåìåíòàðíîãî rn =

óãëà dΩ , çàäàííîãî óãëàìè θ , ϕ , îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé: dΩ(θ, ϕ) = Yl , m * (θ, ϕ)Yl , m (θ, ϕ)sin θdθdϕ

Ïîñêîëüêó çàâèñèìîñòü ôóíêöèè

Yl ,m îò óãëà ϕ èìååò âèä

exp(imϕ ), òî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè óãëîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íå çàâèñèò îò óãëà ϕ , ÷òî ãîâîðèò îá îñåâîé ñèììåòðèè ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðîÿòíîñòè, îäèíàêîâîé âî âñåõ öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íûõ ïîëÿõ.

23. Óðîâíè ýíåðãèè â àòîìå âîäîðîäà Ëåãêî îáíàðóæèòü, ÷òî êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèå ôîðìóëû ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà ñîâïàäàþò ñ òàêîâûìè, ïîëó÷åííûìè â ïîëó êëàññè÷åñêîé (ïîëó êâàíòîâîé) òåîðèè Í.Áîðà. Îäíàêî, èíòåðïðåòàöèÿ ýòèõ ôîðìóë ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷íà, òàê êàê ýòè äâå òåîðèè èñõîäÿò èç ðàçíûõ ïðåäïîñûëîê.  òåîðèè Áîðà ñ÷èòàëîñü, ÷òî ýëåêòðîí äâèæåòñÿ ïî îïðåäåëåííîé îðáèòå, êîòîðàÿ èìååò òèïè÷íî êëàññè÷åñêèé õàðàêòåð. Ñïåöèàëüíûì ïîñòóëàòîì Áîð “ñïàñàåò” ñâîþ ìîäåëü àòîìà, äåëàÿ “áåçóìíîå” äëÿ òîãî âðåìåíè ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî, íàõîäÿñü íà îðáèòå, ýëåêòðîí íå èçëó÷àåò ýíåðãèþ, õîòÿ è äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì. Èçëó÷åíèå ïðîèñõîäèò ïðè ïåðåõîäå ýëåêòðîíà ñ îäíîé îðáèòû íà äðóãóþ. Ïðè êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîì ðàññìîòðåíèè äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå íåëüçÿ ãîâîðèòü î äâèæåíèè ïî êàêîé-ëèáî îðáèòå, ýòî ñëåäóåò èç êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîãî äóàëèçìà ñâîéñòâ ýëåêòðîíà, èç ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà äëÿ êîîðäèíàòû è ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîåêöèè èìïóëüñà ∆x ⋅ ∆p x ≈ h. Âìåñòî ïðåäñòàâëåíèÿ î äâèæåíèè ýëåêòðîíà ïî îïðåäåëåííîé îðáèòå ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå, îïèñûâàåìîå âîë89

íîâîé ôóíêöèåé, ïðè ýòîì ãîâîðÿò î òîì, ÷òî ýëåêòðîí íàõîäèòñÿ â îïðåäåëåííîì ýíåðãåòè÷åñêîì ñîñòîÿíèè.  òåîðèè Áîðà ïåðåõîä ñ îäíîé îðáèòû íà äðóãóþ ñâÿçàí ñ ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåùåíèåì ýëåêòðîíà, ïðè êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîì ðàññìîòðåíèè ïîãëîùåíèå è èçëó÷åíèå ýíåðãèè íå ñâÿçàíî ñ ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåùåíèåì, à îáóñëîâëåíî èçìåíåíèåì ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà. Äî ñèõ ïîð ìû ðåøàëè çàäà÷ó äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà â ÑÎ “ßäðî”, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ìàññà ÿäðà íàñòîëüêî ïðåâûøàåò ìàññó ýëåêòðîíà (â1836 ðàç), ÷òî äâèæåíèåì ÿäðà â äàííîé çàäà÷å ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ýêñïåðèìåíò æå óêàçûâàåò, ÷òî áîëåå òî÷íîå ñîîòâåòñòâèå îïûòó ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ðåøàòü çàäà÷ó â ÑÎ “Öåíòð ìàññ”. Òîãäà, ââîäÿ ïðèâåäåííóþ ìàññó ñèñòåìû

µ=

m⋅M , m+M

ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò óðàâíåíèÿ (19.7) ëèøü çàìåíîé m → µ . Ñîîòâåòñòâåííî è âî âñåõ ôîðìóëàõ íåîáõîäèìî ñäåëàòü ïîäîáíóþ çàìåíó.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ýíåðãèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ïîëó÷èì:

mZ 2 e 4 m 1  µZ 2 ⋅ e 4 1 ⋅ 2 =− ⋅ 1 − . 2 2 M 32π ε o h n 32π 2ε o h 2 n 2  Èç ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî ÷àñòîòû èçëó÷åíèÿ ñäâèãàþòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ òåì ðàññìîòðåíèåì, êîãäà ìû ñ÷èòàåì ìàññó ÿäðà áåñêîíå÷íîé. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ëèíèè èçëó÷åíèÿ ðàçëè÷íûõ èçîòîïîâ íå ñîâïàäàþò. Ýòîò ñäâèã ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé íàçûâàåòñÿ èçîòîïè÷åñêèì ñäâèãîì. En = −

24. Âîäîðîäîïîäîáíûå àòîìû Âîäîðîäîïîäîáíûìè àòîìàìè ÿâëÿþòñÿ àòîìû ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ, íà âíåøíåé îáîëî÷êå êîòîðûõ íàõîäèòñÿ îäèí ýëåêòðîí (ïðèìå÷àíèå: ìû íå áóäåì ñïåöèàëüíî ðàññìàòðèâàòü âîäîðîäîïîäîáíûå èîíû, âîçíèêàþùèå ïðè çàõâàòå íåéòðàëüíûìè àòîìàìè äîïîëíèòåëüíîãî ýëåêòðîíà, òåîðèÿ äëÿ íèõ åùå áîëåå ñëîæíà, ÷åì äëÿ àòîìîâ ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ). Åñëè â ýëåêòðîííîé îáîëî÷êå ùåëî÷íîãî ìåòàëëà ñîäåðæèòñÿ Z ýëåêòðîíîâ, òî Z − 1 ýëåêòðîí îáðàçóåò çàìêíóòóþ îáîëî÷êó èíåðòíîãî ãàçà. Ïîñëåäíèé âàëåíòíûé ýëåêòðîí ëåãêî èîíèçèðóåòñÿ, åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü àíàëîãîì åäèíñòâåííîãî ýëåêòðîíà àòîìà âîäîðîäà. 90

Îäíàêî, ýòîò âíåøíèé “âîäîðîäîïîäîáíûé” ýëåêòðîí îêàçûâàåò ïîëÿðèçóþùåå äåéñòâèå íà ýëåêòðîíû âíóòðåííèõ îáîëî÷åê.  ñèëó ýòîãî âî âñå ðàññóæäåíèÿ è ôîðìóëû, ïðîâåäåííûå äëÿ àòîìà âîäîðîäà, íåîáõîäèìî ââåñòè ïîïðàâêè. Òàê ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âíåøíåãî ýëåêòðîíà äîëæíà áóäåò ðàññ÷èòûâàòüñÿ ïî ñëåäóþùåé áîëåå ñëîæíîé ôîðìóëå, ó÷èòûâàþùåé îòëè÷èå ïîëÿ àòîìîâ ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ îò ïîëÿ àòîìà âîäîðîäà: U (r ) = −

e 2  1 C1 C2  + ....  + + 4πε 0  r r 2 r 3 

(24.1)

Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî ïåðâîé ïîïðàâêîé ñ êîýôôèöèåíòîì

C1 ,

òî ïîñëå îòíîñèòåëüíî íåñëîæíûõ ðàñ÷åòîâ, ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò: âñå ôîðìóëû, ïîëó÷åííûå äëÿ àòîìà âîäîðîäà ñîõðàíÿþòñÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî êâàíòîâîå ÷èñëî l äîëæíî áûòü çàìåíåíî íà íîâîå êâàíòîâîå ÷èñëî l', êîòîðîå ñâÿçàíî ñ ÷èñëîì l ñëåäóþùèì ðàâåíñòâîì:

l ' = l − C1

me 2 .  1 2  l −  ⋅ 4πε o h  2

(24.2)

Ñîîòâåòñòâåííî èçìåíèòñÿ è ãëàâíîå êâàíòîâîå ÷èñëî

n íà

n' = n + σ(l ), ãäå ïîïðàâêà ðàâíà âòîðîìó ÷ëåíó â ôîðìóëå (24.2). Òàêèì îáðàçîì ýíåðãåòè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ àòîìîâ ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ôîðìóëîé: E n ,l = −

1 me 2 ⋅ . 32π 2ε 0 h 2 [n + σ (l )]2

(24.3)

Èçëó÷åíèå ïðîèñõîäèò â ðåçóëüòàòå ïåðåõîäà îïòè÷åñêîãî ýëåêòðîíà ñ îäíîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî óðîâíÿ íà äðóãîé ïðè ñîáëþäåíèè ïðàâèë îòáîðà : ∆n = ëþáîå öåëîå ÷èñëî, ∆l = ±1 (ìåæäó s ↔ p, p ↔ d è ò.ä.). Ñàìîé èíòåíñèâíîé ëèíèåé ÿâëÿåòñÿ ëèíèÿ èçëó÷åíèÿ çà ñ÷åò ïåðåõîäà ìåæäó îñíîâíûì è ïåðâûì âîçáóæäåííûì ñîñòîÿíèÿìè. Ýòà ëèíèÿ íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñíîé (äëÿ ëèòèÿ - 2 s → 2 p ). Ïîñêîëüêó ∆n = ëþáîå öåëîå ÷èñëî, òî âîçìîæíû ïåðåõîäû(äëÿ ëèòèÿ) èç 2 s âî âñåâîçìîæíûå mp ñîñòîÿíèÿ. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñåðèÿ ëèíèé íàçûâàåòñÿ ãëàâíîé, åñëè m = 2,3,4... ; ïðè ïåðåõîäàõ 2 p → md , m = 3,4,5... ñåðèÿ ëèíèé íàçûâàåò91

ñÿ äèôôóçíîé; åñëè ñîâåðøàþòñÿ ïåðåõîäû 2 p → ms m = 3,4,5..., òî ñåðèÿ ëèíèé íàçûâàåòñÿ âòîðîé ïîáî÷íîé èëè ðåçêîé è ò.ä. Ñïåêòðû îñòàëüíûõ ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ èìåþò àíàëîãè÷íóþ ñòðóêòóðó. Çàâåðøèì ðàññìîòðåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè “ïðîâåðêîé” âûïîëíèìîñòè ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ, êîòîðûé óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ (ýòî è óñòàíàâëèâàåò ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ) ðåçóëüòàòû êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîãî ðàññìîòðåíèÿ çàäà÷è ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòàìè êëàññè÷åñêîãî ðàññìîòðåíèÿ. Ñîñòàâèì îòíîøåíèå ∆E n ,n +1 = E n − E n +1

ê

E n , ó÷èòûâàÿ, ÷òî

êâàíòîâàííîå çíà÷åíèå ýíåðãèè ýëåêòðîíà â àòîìå îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà n :

∆E n ,n +1 En

1 1 − 2 n (n + 1)2 = 2n + 1 ≈ 2 = 1 (n + 1)2 n . 2 n

Ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ êâàíòîâîãî ÷èñëà n (ýòî ìû èñïîëüçîâàëè â ïðåäûäóùèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ) ðàññìàòðèâàåìàÿ äðîáü ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ. À òàê êàê âåëè÷èíà

E n êîíå÷íàÿ âåëè÷èíà, òî ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò âîç-

ìîæåí, åñëè ðàçíîñòü

E n ,n +1 ñòàíîâèòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé, ÷òî âîçìîæíî

ïðè ïðàêòè÷åñêè íåïðåðûâíîì èçìåíåíèè ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà. Íî ýòî è åñòü îñíîâíîé ïðèçíàê êëàññè÷íîñòè ñèñòåìû.

25. Ìàãíèòíûé ìîìåíò îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå  ïîëóêëàññè÷åñêîé òåîðèè Í. Áîðà äâèæåíèå ýëåêòðîíà â àòîìå ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññè÷åñêè, ò.å. ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýëåêòðîí äâèæåòñÿ ïî îðáèòå, îáëàäàÿ îïðåäåëåííîé ñêîðîñòüþ Èñõîäÿ èç êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé î ñâÿçè êðóãîâîãî òîêà (à äâèæåíèå ýëåêòðîíà âîêðóã ÿäðà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êðóãîâîé ýëåêòðè÷åñêèé òîê) ñ åãî ñîáñòâåííûì ìàãíèòíûì ïîëåì, ìîæíî ââåñòè ôèçè÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó ìàãíèòíûõ ñâîéñòâ ýëåêòðîííîãî òîêà - îðáèòàëüíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò, îïðåäåëèâ åãî ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:

92

M ìàã = µ o IS , ãäå

(25.1)

µ o − ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ âàêóóìà, I – âåëè÷èíà êðóãîâîãî òîêà, S

– ïëîùàäü, îõâà÷åííàÿ êîíòóðîì êðóãîâîãî òîêà, íàïðàâëåíèå âåêòîðà ìàãíèòíîãî ìîìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ ïî “ïðàâèëó áóðàâ÷èêà”( ñ ó÷åòîì çíàêà íîñèòåëÿ çàðÿäà).  êâàíòîâîé ìåõàíèêå íå ñóùåñòâóåò ïîíÿòèÿ “îðáèòà”, âìåñòî òî÷å÷íîãî ýëåêòðîííîãî çàðÿäà ââîäèòñÿ ýëåêòðîííîå îáëàêî âåðîÿòíîñòè, ïëîòíîñòü ïîòîêà êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:

(

)

r ieh Ψ ∇Ψ • − Ψ • ∇Ψ , je = − 2m å

(25.2)

ãäå çíàê (-) îáóñëîâëåí çàðÿäîì ýëåêòðîíà. Ìû ââåëè èíäåêñ ó ìàññû, ÷òîáû îòëè÷èòü åå îò ìàãíèòíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà. Âûáåðåì ñèñòåìó îòñ÷åòà “ßäðî”, â ýòîé ÑÎ ýëåêòðîííîå îáëàêî âåðîÿòíîñòè ñîâåðøàåò âðàùåíèå â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå ÿäðà. Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî âûáðàòü ñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ïðîåêöèè îïåðàòîðà “íàáëà” íà îñè ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò èìåþò âèä:

∇r = òàê:

∂ ∂r

, ∇θ =

1 ∂ r ∂θ

, ∇ϕ =

1 ∂ r sin θ ∂ϕ

(25.3)

Ôîðìóëà (25.2) ñ ó÷åòîì (25.3) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â ïðîåêöèÿõ •  ∂Ψnlm  Ψnlm ∂Ψ nlm − Ψ • nlm  ∂r ∂r 

 ,  

j e, r = −

ieh 2m å

j e, θ = −

∂Ψnlm ∂Ψ • nlm ieh  Ψnlm − Ψ • nlm  ∂θ ∂θ 2m å r 

j e, ϕ

 ,  

•  ∂Ψnlm ieh  Ψnlm ∂Ψ nlm − Ψ • nlm =− ∂ϕ ∂ϕ 2m å r sin θ 

 .  

(25.4)

Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè èìååò âèä:

Ψ (r , θ , ϕ ) = R (r )P (θ )Φ (ϕ ), 93

ïðè÷åì, ôóíêöèè R (r ) è P (θ ) ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè ôóíêöèÿìè, à Φ=

1 imϕ e . Ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî je ,r = je ,θ = 0. Ïîýòîìó çàéìåìñÿ 2π

àíàëèçîì ïðîåêöèè

je ,ϕ . Îòëè÷èå å¸ îò íóëÿ îçíà÷àåò, ÷òî â êàæäîé òî÷êå îáúåìà âîêðóã ÿäðà ïîòîê ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðîÿòíîñòè ïðîèñ-

r

õîäèò âäîëü îðòà e ϕ , ò.å. ïî øè-

Ðèñ. 7.

ðîòíîìó êðóãó â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê îñè Îz (ñì. ðèñ. 7). Âûøå ìû îïðåäåëèëè èíòåãðàëüíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò êðóãîâîãî òîêà (25.1).×åðåç âûäåëåííóþ íàìè ïëîùàäêó dσ áóäåò òå÷ü ýëåìåíòàðíûé ïîòîê ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðîÿòíîñòè. Ïîýòîìó ïîäñ÷èòàåì ýëåìåíò ìàãíèòíîãî ìîìåíòà

dM ìàã z = µ o dJS . Ðàññìîòðèì ýëåìåíò ïîòîêà ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðîÿòíîñòè ÷åðåç ýëåìåíòàðíóþ ïëîùàäêó dσ , ðàñïîëîæåííóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî íàïðàâëåíèþ

je,ϕ : dJ = je,ϕ ⋅ dσ ,

(25.5)

ãäå j e,ϕ = −

1 1 −imϕ  1 1 imϕ  ∂  ∂ ieh   RP  − Ψ • e RP e = Ψ 2m e  r sin θ ∂ϕ  r sin θ ∂ϕ 2π 2π  

 1 1 (− im )e −imϕ − Ψ • 1 Ψ r sin θ RP r sin θ π 2  ehm 2 =− Ψ . me r sin θ

=−

ieh 2 me

1 2π

 RP (im )e imϕ  = 

Èñïîëüçóÿ ðèñóíîê, îïðåäåëÿåì âåëè÷èíó ïëîùàäè, îáìåòàåìîé ïîòîêîì ýëåêòðîííîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè : S = π (r sin θ )2 . Òîãäà 94

M Z = ∫ dM z = ∫ µ 0 ( j e ) ϕ dσ ⋅ S = = −µ 0 ∫ =−

2emh 2 Ψ dσ ⋅ π( r sin θ) 2 = 2m e r sin Θ

µ 0 emh 2m e

∫Ψ

2

dV = −

µ 0 emh , 2m e

ãäå èñïîëüçîâàíî óñëîâèå íîðìèðîâêè. Òàêèì îáðàçîì, äâèæåíèå ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðîÿòíîñòè âîêðóã ÿäðà ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà.  êîíå÷íóþ ôîðìóëó âõîäèò ìàãíèòíîå êâàíòîâîå ÷èñëî m , ÷òî è îïðåäåëÿåò åãî íàçâàíèå. Ðàíåå ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå äëÿ ìåõàíè÷åñêîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà â àòîìå:

Mz

ìåõ

= mh.

Ñîñòàâèì îòíîøåíèå ìàãíèòíîãî è ìåõàíè÷åñêîãî ìîìåíòîâ: ìàã

Mz µe = − 0 = Ã. ìåõ 2me Mz

(25.6)

Ýòî îòíîøåíèå íîñèò íàçâàíèå ãèðîìàãíèòíîãî îòíîøåíèÿ. Êàê âèäèì, îíî íå ñîäåðæèò ïîñòîÿííîé Ïëàíêà. Íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ óòâåðæäàåì, ÷òî îíî ñïðàâåäëèâî êàê â êâàíòîâîé, òàê è â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. Çíàê “-“ â ôîðìóëå (25.6) îçíà÷àåò, ÷òî â îðáèòàëüíîì äâèæåíèè ïðîåêöèè íà îñü Oz ìåõàíè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ìîìåíòîâ ýëåêòðîíà íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû. Íàëè÷èåì îðáèòàëüíîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðîÿòíîñòè îáúÿñíÿþòñÿ äèàìàãíèòíûå è ïàðàìàãíèòíûå ñâîéñòâà àòîìîâ. Äèàìàãíèòíûé ýôôåêò ñâÿçàí ñ ïðîÿâëåíèåì ÿâëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûé èíäóêöèè ïðè ïîìåùåíèè àòîìà âî âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå. Îí ïðèâîäèò ê îñëàáëåíèþ âíåøíåãî ïîëÿ è èñ÷åçàåò ïðè âûêëþ÷åíèè âíåøíåãî ïîëÿ. Ýòîò ýôôåêò ïðèñóù âñåì âåùåñòâàì. Íî â ðÿäå âåùåñòâ (ïàðàìàãíåòèêè è ôåððîìàãíåòèêè) îí íå ÿâëÿåòñÿ ïðåîáëàäàþùèì. Ïðè ýòîì â àòîìå îáÿçàòåëüíî äîëæíî áûòü ÷åòíîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ, íàõîäÿùèõñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè.  ñëó÷àå æå íàëè÷èÿ íåñïàðåííûõ ýëåêòðîíîâ ìàãíèòíûå ìîìåíòû èõ íå ñêîìïåíñèðîâàíû è âåùåñòâî ïðîÿâëÿåò ïàðàìàãíèòíûé ýôôåêò.  îòñóòñòâèå âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìàãíèòíûå ìîìåíòû àòîìîâ îðèåíòèðîâàíû õàîòè÷íî, ïàðàìàãíåòèê íå íàìàãíè÷åí, ïðè âêëþ÷åíèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðîèñõîäèò óïîðÿäî÷èâàíèå íàïðàâëåíèé ìàãíèòíûõ ìîìåíòîâ, êîòîðîìó ïðåïÿòñòâóåò âíóòðåííåå (òåïëîâîå) äâèæåíèå ñòðóêòóðíûõ ÷àñòèö âåùåñòâà. 95

Ãëàâà 5 26. Êâàçèêëàññè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå (ìåòîä ÂÊÁ - Âåíòöåëÿ-Êðàìåðñà-Áðèëëþýíà) Íå âñå çàäà÷è êâàíòîâîé ìåõàíèêè ðåøàþòñÿ òî÷íî. Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ðàçíûõ ìåòîäîâ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷. Îäíèì èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ÂÊÁ. Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ýòîãî ìåòîäà íà ïðèìåðå ðåøåíèÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ ÷àñòèöû, íàõîäÿùåéñÿ â ïîëå ïðîèçâîëüíîé ôîðìû:

d 2 Ψ 2m + 2 (E − U )Ψ = 0. dx 2 h  êà÷åñòâå ïðîáíîé ôóíêöèè âîçüìåì ôóíêöèþ âèäà:

(26.1)

S Ψ = exp(i ), h ãäå S –ôóíêöèÿ äåéñòâèÿ, èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü ïîñòîÿííîé Ïëàíêà – Äæ.ñ è ÿâëÿþùàÿñÿ ôóíêöèåé ìàëîé âåëè÷èíû h - ÷òî ïîçâîëèò íàì â ïîñëåäóþùåì ðàçëîæèòü ýòó ôóíêöèþ äåéñòâèÿ â ðÿä ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó h. Ñîñòàâèì ÷ëåíû óðàâíåíèÿ (26.1): S S d 2 Ψ d  d i h  d  i i h dS  e e = = =  dx  h dx  dx 2 dx  dx    S S S S 2 i  d 2 S i  1  dS  i h  dS  i i h d 2 S 1 i h  dS   = − =  2 e h  − 2  e e e   .    2 2  h  dx  h  dx dx  h dx  h dx      

Ïîñëå óìíîæåíèÿ âñåõ ÷ëåíîâ óðàâíåíèÿ íà ýêñïîíåíòó, ïîëó÷àåì:

h 2 è ñîêðàùåíèÿ íà

ih S ' '− S ' 2 +2m(E − U ) = 0

Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå ðÿäà ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó ÷èìñÿ ïåðâûìè äâóìÿ ÷ëåíàìè ðàçëîæåíèÿ: 96

(26.2)

h . Îãðàíè-

S ≈ S o + hS1 .

(26.3)

Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå ïî êîîðäèíàòå S ' è

S ' ':

S ′ = S 0′ + hS1′ ; S ′′ = S 0′′ + hS1′′. Óðàâíåíèå (26.2) ïðèíèìàåò âèä: ihS 0 ' ' + ih 2 S1 ' '− S '2 0 −2hS '0 S '1 −h 2 S1 '2 +2m(E − U ) = 0.

Îáúåäèíèì ÷ëåíû îäíîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè:

(

)

2m(E − U ) + h(iS ' '0 −2 S '0 S '1 ) + h 2 iS1 ' '− S ' 21 − S ' 2 0 = 0.

Ïðåíåáðåæåì ïðåäïîñëåäíèì ÷ëåíîì, òàê êàê îí èìååò âòîðîé ïîðÿäîê ìàëîñòè. Îñòàâøååñÿ âûðàæåíèå âîçìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè ðàâíû íóëþ êîýôôèöèåíòû ïðè ïàðàìåòðå â ëþáîé ñòåïåíè: 2m(E − U ) − S '2 0 = 0, iS ' '0 −2S '0 S '1 = 0.

Èç ïåðâîãî óñëîâèÿ ïîëó÷àåì: S '0 = ± 2m(E − U ).

Íî

2m (E − U ) åñòü êëàññè÷åñêèé èìïóëüñ p. Òîãäà 2 ∂S 0 ' = ± p, ⇒ S 0 = ± ∫ pdx. ∂x x

x

1

Âòîðîå óñëîâèå ìîæíî çàïèñàòü òàê: S '1 =

i i i S0 '' i d ln S '0 , ⇒ S1 ' = ln S '0 = ln p. ⋅ = 2 S 0 ' 2 dx 2 2

Èòàê, x2

S = ± ∫ pdx + ih ln p . x1

Ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè äåéñòâèÿ, êîòîðîå ñòîèò â ïîêàçàòåëå ñòåïåíè âîëíîâîé ôóíêöèè. Çàïèøåì âîëíîâóþ ôóíêöèþ, ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå ôóíêöèè äåéñòâèÿ:

97

 i i  Ψ = åxp S  = exp ±  h h   =

 i exp ±  h p 

1

x2



x1



i

∫ pdx  ⋅ exp h ih ln

 p= 

   x2   = C 1 exp i pdx  + C 1 exp − i pdx ∫  1 p h ∫  2 p  h x1    x1 

x2

x2

 (26.4)

x1



∫ pdx .

Ýòî è åñòü ïðèáëèæåíèå ÂÊÁ.

27. Ïîíÿòèå î ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû Âûÿñíÿÿ âîïðîñ î ïîëíîòå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé íåêîòîðîãî îïåðàòîðà Lˆ , áûëî óêàçàíî, ÷òî ôóíêöèþ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû æèòü ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì ýòîãî îïåðàòîðà:

Ψ ìîæíî ðàçëî-

Ψ = ∑ Ñn un ,

ãäå

C n = ∫ u n* Ψdτ .

(27.1)

Ñîâîêóïíîñòü êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ Ñ n ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ Ψ. Ïîýòîìó âìåñòî òîãî, ÷òîáû ïîëüçîâàòüñÿ ôóíêöèåé ìîæíî ðàáîòàòü ñ ñîâîêóïíîñòüþ êîýôôèöèåíòîâ êóïíîñòü êîýôôèöèåíòîâ

Ψ,

Cn . Ãîâîðÿò, ÷òî ñîâî-

Ñn ïîëíîñòüþ îïèñûâàåò ôóíêöèþ Ψ , íî â

ïðåäñòàâëåíèè îïåðàòîðà

Lˆ ïî ïîëíîìó íàáîðó åãî ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé. Ïîëíûé íàáîð êîýôôèöèåíòîâ Ñ n - ýòî è åñòü ôóíêöèÿ Ψ â Lˆ - ïðåäñòàâëåíèè.  ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ ìîæíî çàäàâàòü è îïåðàòîð. Ïóñòü èìååòñÿ îïåðàòîð

Mˆ , êîòîðûé, äåéñòâóÿ íà ôóíêöèþ v ïåðåâîäèò å¸ â

ôóíêöèþ u :

u = Mˆ v

(27.2)

Çàäàäèì ôóíêöèè u è v â ïðåäñòàâëåíèè îïåðàòîðà Lˆ , ò.å. çàäàäèì 98

èõ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ â ðÿäû ïî ïîëíîé ñèñòåìå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé

un îïåðàòîðà Lˆ : u = ∑ anun

è

v = ∑ bn u n .

Ïîäñòàâèì ýòè ðàçëîæåíèÿ â (27.2):

∑a u

n n

= Mˆ ∑ bn un

Óìíîæèì îáå ñòîðîíû íà

èëè

∑a u

n n

= ∑ bn Mˆ un .

u k* è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåé îáëàñòè

èçìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ. Ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå: * a k = ∑ bn ∫ u k Mˆ u n d τ . n

* Ââåäåì îáîçíà÷åíèå: M kn = ∫ u k Mˆ u n dτ , òîãäà äëÿ êîýôôèöèåíòà

ak

ïîëó÷èì:

ak = ∑ bn M kn .

(27.3)

n

Ôîðìóëà

(27.3)

îïðåäåëÿåò

τ ïåðåõîä îò ôóíêöèè

v, äàííîé â L − ïðåäñòàâëåíèè ê ôóíêöèè u, òàêæå äàííîé â L - ïðåäñòàâëåíèè. Ýòîò ïåðåõîä îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòîâ Ñîâîêóïíîñòü êîýôôèöèåíòîâ

M kn .

M kn çàäàåò îïåðàòîð Mˆ â L − ïðåäñòàâ-

ëåíèè. Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ îáû÷íî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå òàáëèöû, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé, à êîýôôèöèåíòû

M kn - ýëåìåí-

òàìè ìàòðèöû. Î÷åíü âàæåí ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà ñîñòàâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå

Lˆ â åãî ñîáñòâåííîì L − ïðåäñòàâëåíèè, êîãäà â êà÷åñòâå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé áåðóòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà Lˆ. îïåðàòîðà

Ñîñòàâèì ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà

Lˆ â L − ïðåäñòàâëåíèè:

* * Lkn = ∫ u k Lˆ u n dτ = Ln ∫ u k u n dτ = Lnδ kn ,

ò.å. îòëè÷íûìè îò íóëÿ áóäóò ëèøü ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ñ k 99

(27.4)

= n, êîòîðûå

ðàñïîëîæåíû íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ìàòðèöû Lkn . Èòàê, ìàòðèöà îïåðàòîðà â åãî ñîáñòâåííîì ïðåäñòàâëåíèè (ò.å. êîãäà â êà÷åñòâå ïîëíîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû ôóíêöèé áåðóòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ýòîãî îïåðàòîðà) èìååò äèàãîíàëüíûé âèä, îòëè÷íûìè îò íóëÿ ÿâëÿþòñÿ ëèøü ýëåìåíòû, ñòîÿùèå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ïðè ýòîì íà äèàãîíàëè ñòîÿò åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå. Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå, êîãäà â êà÷åñòâå ïîëíîé ñèñòåìû ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé âûáèðàþòñÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Åñëè âûáèðàåòñÿ èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèå, òî â êà÷åñòâå ïîëíîé ñèñòåìû ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé âûáèðàþòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà èìïóëüñà, ò.å. ïëîñêèå âîëíû.

28. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà â ìàòðè÷íîé ôîðìå Ïóñòü ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè îïåðàòîðà

Lˆ , ñîîòâåòñòâóþùåãî

L , áóäóò ôóíêöèè un (x ). Ðàçëîæèì ôóíêöèþ Ψ ( x, t ) â ðÿä ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðà Lˆ : íåêîòîðîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíå

Ψ ( x, t ) = ∑ C n (t )un ( x ).

(28.1)

n

Ïîäñòàâèì ýòî ðàçëîæåíèå â ïîëíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà

ih

∂Ψ ∂ = Hˆ Ψ : ih ∑ C n (t )un ( x ) = Hˆ ∑ C n (t )u ( x ) . ∂t ∂t n n

(28.2)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà íå ñîäåðæèò ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè, ìîæíî ñïðàâà ïîñòàâèòü ôóíêöèþ

C n (t ) ïåðåä îïåðàòîðîì Ãà-

ìèëüòîíà. Ïðîèçâîäÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè ñëåâà â (28.2), ïîëó÷àåì:

ih ∑ u n ( x ) n

dC n (t ) = ∑ C n (t ) Hˆ un ( x ). dt n

100

(28.3)

*

Óìíîæèì (28.3) íà u m ( x ) è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåì çíà÷åíèÿì ïåðåìåííîé õ.  ñèëó îðòîíîðìèðîâàííîñòè ôóíêöèé

un (x ) ñëåâà îñòàíåòñÿ

ëèøü îäèí ÷ëåí ñ íîìåðîì n=m. Èòàê, âìåñòî (28.3) ïîëó÷àåì:

ih ãäå

dC n (t ) = ∑ H mn Cn (t ), dt

H mn = ∫ u m ( x) Hˆ u n ( x) dτ *

(28.4)

, m = 1,2....

Óðàâíåíèå (28.4) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà â ìàòðè÷íîì ïðåäñòàâëåíèè. Ïðèìåíèì óðàâíåíèå Q (28.4) äëÿ ðåøåíèÿ ïðîñòåéøåé çàäà÷è, êîãäà âíåøíèå ïîëÿ, äåéñòâóþùèå íà ÷àñòèöó, íå çàâèñÿò îò âðåìåíè - ñëó÷àé ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû. Âîñïîëüçóåìñÿ ýíåðãåòè÷åñêèì, èëè Ŗïðåäñòàâëåíèåì, áàçèñîì êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà, íå çàâèñÿùåãî îò âðåìåíè. Òîãäà

H mn = ∫ u * m Hˆ u n dτ = En ∫ u * m u n dτ = Enδ mn

è óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèíèìàåò âèä:

ih Ïîñêîëüêó

dC n (t ) = E n C n (t ). dt

(28.5)

E n = Const , òî óðàâíåíèå (28.5) ðåøàåòñÿ ýëåìåíòàðíî: Ñ n (t ) = C n (0)e

i ( − E nt ) h

è âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàê:

Ψ ( x, t ) = ∑ C n u n = ∑ C n (0)u n ( x ) e

i ( − Et ) h

,

(28.6)

÷òî óæå áûëî íàìè ïîëó÷åíî ðàíåå.

29. Òåîðèÿ âîçìóùåíèé Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì, ñëîæíîñòü ðåøåíèÿ êîòîðîãî çàâèñèò îò âèäà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè è îò ÷èñëà èçìåðåíèé ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì ðåøàåòñÿ çàäà÷à. 101

Ïîýòîìó ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü ïðèáëèæåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷, ò.å. íàõîäèòü ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè íå òî÷íî, à ïðèáëèæåííî. Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûì ìåòîäîì ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé ÿâëÿåòñÿ ìåòîä òåîðèè âîçìóùåíèé. Ðàññìîòðèì ñóòü ýòîãî ìåòîäà. Ïóñòü îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà H ˆ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ îïåðàòîðîâ:

Hˆ = Hˆ 0 + Vˆ ,

(29.1)

ïðè÷åì èçâåñòíî òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è äëÿ Ãàìèëüòîíèàíà

Hˆ 0 , ò.å. èç-

âåñòíû ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ óðàâíåíèÿ:

Hˆ 0 Ψ 0 = E 0 Ψ 0 . Òàê êàê îïåðàòîð

(29.2)

Vˆ íå ðàâåí íóëþ, òî íàì íåîáõîäèìî ðåøèòü

óðàâíåíèå:

( Hˆ 0 + Vˆ )Ψ = EΨ.

(29.3)

Òåîðèÿ âîçìóùåíèé ïðèìåíÿåòñÿ òîãäà, êîãäà “âîçìóùåíèå”

Vˆ

ñ÷èòàåòñÿ ìàëûì. Êðèòåðèé “ìàëîñòè” óñòàíîâèì íèæå. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà

Hˆ ÿâ-

ëÿþòñÿ íåâûðîæäåííûìè è ãàìèëüòîíèàí H ˆ íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Áóäåì èñêàòü òàêèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðè Vˆ = 0 ïåðåõîäÿò â ñîáñòâåííûå ôóíêöèè íèÿ íåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà

Ψ0

è ñîáñòâåííûå çíà÷å-

E0 .

Îáîçíà÷èì ýòè èñêîìûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ÷åðåç Ψm è E m . Ðàçëîæèì èñêîìóþ ñîáñòâåííóþ ôóíêöèþ ñòâåííûì ôóíêöèÿì

Ψm ïî ñîá-

0 Ψn íåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà Hˆ 0 :

Ψm = ∑ Cn Ψn . 0

(29.4)

n

Ïîäñòàâèì ýòî ðàçëîæåíèå â óðàâíåíèå (29.3):

∑ (E

m

0 0 − Hˆ 0 )C n Ψn = ∑VˆCn Ψn .

Óìíîæèì îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà Ψk 0• è ïðîèíòåãðèðóåì ïî 102

âñåìó ïðîñòðàíñòâó èçìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ, ó÷òåì ïðè ýòîì îðòîíîðìèðîâàííîñòü íåâîçìóùåííûõ ôóíêöèé. Òîãäà ïîëó÷èì :

C k ( Em − E k ) = ∑Vkn C n , 0

(29.5)

n

ãäå 0• 0 Vkn = ∫ Ψk VˆΨn dτ

(29.6)

ÿâëÿþòñÿ ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè îïåðàòîðà âîçìóùåíèÿ, âû÷èñëåííûìè ñ ïîìîùüþ íåâîçìóùåííûõ ôóíêöèé. Ïðåäñòàâèì èñêîìûå âåëè÷èíû

E m è Cn â âèäå ðàçëîæåíèé â ðÿä:

E m = E m + E m + E m + ... , 0

1

2

C n = Cn + C n + Cn ..., 0

1

2

ñ÷èòàÿ êîýôôèöèåíòû E m è C n âåëè÷èíàìè òîãî æå ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷òî 1

è ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû âîçìóùåíèÿ. Ïîäñòàâèì ýòè ðàçëîæåíèÿ â ðàâåíñòâî (29.5): (C k 0 + C k 1 + C k 2 + ...)( E m 0 + E m1 + ... − E k 0 ) = = ∑ Vkn (C n 0 + C n1 + ...). n

Ðàñêðîèì ñêîáêè è ïðèðàâíÿåì ÷ëåíû îäíîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè (ñ ó÷åòîì ñäåëàííîãî âûøå çàìå÷àíèÿ î ìàëîñòè âåëè÷èí E m è C n1 ) :

C k ( E m − E k ) = 0, 0

0

0

C k ( E m − E k ) + Ck E m = ∑Vkn C n , 1

0

0

0

1

0

n

C k ( E m − E k ) + Ck E m + C k E m = ∑Vkn Cn , 2

0

0

0

2

1

1

1

n

.......................................................................... Èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò (ò.ê. Ñk 0 ≠ 0) ,÷òî âîçìîæíî ëèøü îñíîâíîå ñîñòîÿíèå: E m 0 = E k 0 , ÷òî ñèìâîëè÷åñêè ìîæíî çàïèñàòü òàê:  1, k = m 0 . C k = δ km =   0, k ≠ m

103

Ïîäñòàâèì ýòîò ðåçóëüòàò âî âòîðîå ðàâåíñòâî:

δ km E m + Ck ( E m − E k ) = Vkm . 1

1

0

0

Çäåñü ñïðàâà ó÷òåíî, ÷òî òîëüêî îäèí êîýôôèöèåíò Ñ n 0 = δ km = 1. Ïðè k = m íàõîäèì âåëè÷èíó ïåðâîé ïîïðàâêè ê ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ýíåðãèè: E m = Vmm , 1

à ïðè

k ≠ m (δ km = 0) êîýôôèöèåíòû áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ðàâåíñòâîì: Ck = 1

Vkm . 0 0 Em − E k

1 C m ýòîé ôîðìóëîé íå îïðåäåëÿåòñÿ. Îí ìîæåò áûòü

Êîýôôèöèåíò

íàéäåí èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè, èìåþùåé ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ñëåäóþùèé âèä:

∫Ψ

m

0

+ Ψm

1 2

1•

1•

dτ = 1 + C m + C m = 1 ⇒ C m + C m = 0. 1

1

Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì Ñ m = 0. 1

Ïîÿñíèì, êàê áûëî ïîëó÷åíî óñëîâèå íîðìèðîâêè:

∫ Ψm

0

(

)

2 * + Ψm1 dτ = ∫ Ψm 0 + Ψm1  Ψm 0• + Ψm1 dτ =  

= ∫ Ψm 0 Ψm 0• dτ + ∫ Ψm1Ψm 0• dτ + ∫ Ψm 0 Ψm1• dτ =

=1+ ∫ Ψm1Ψm 0 •dτ + ∫ Ψm 0 Ψm1•dτ . Ïîêàæåì, ÷åìó ðàâíû ïîñëåäíèå äâà èíòåãðàëà. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ðàçëîæåíèåì ôóíêöèè Ψm1 â ðÿä:

Ψm = ∑ Cm Ψm . 1

1

0

Óìíîæèì îáå ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà íà

0• Ψm è ïðîèíòåãðèðóåì

ïî âñåìó îáúåìó èçìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ:

∫Ψ

m

0•

Ψm dτ = ∑ ∫ Cm Ψm Ψm dτ = C m . 1

1

104

0

0•

1

Àíàëîãè÷íî îáúÿñíÿåòñÿ ïîÿâëåíèå êîýôôèöèåíòà

Ñm . 1•

Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå: Ψm1 = ∑ ' n

Vnm E m0

− E n0

Ψn 0 ,

ãäå øòðèõ ó çíàêà ñóììèðîâàíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî â ñóììå íåò ÷ëåíà n=m. Îòñþäà âèäíî, ÷òî òðåáîâàíèå “ìàëîñòè” âîçìóùåíèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå: Vnm << E m − E n , 0

0

÷òî îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ýíåðãèè âîçìóùåíèÿ äîëæíû áûòü ìàëûìè ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçíîñòÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ íåâîçìóùåííûõ óðîâíåé ýíåðãèè. Äàëåå àíàëîãè÷íî ìîæíî íàéòè âòîðîå è ïîñëåäóþùèå ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è.

30. Ñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé â ñëó÷àå âûðîæäåííûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé Âûðîæäåííûå ñîñòîÿíèÿ âñòðå÷àþòñÿ äîâîëüíî ÷àñòî â àòîìíûõ è ìîëåêóëÿðíûõ ñèñòåìàõ. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü âûðîæäåíèå ïî

M2

è

M z . ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé âîäîðîäíîãî àòîìà, ýíåðãèÿ êîòî-

ðîãî çàâèñèò òîëüêî îò ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà n. Îäíàêî, â âîäîðîäîïîäîáíîì àòîìå âûðîæäåíèå ïî M 2 ñíèìàåòñÿ (ýíåðãèÿ çàâèñèò îò äâóõ êâàíòîâûõ ÷èñåë n è l), ÷òî îáóñëîâëåíî âëèÿíèåì âíóòðåííèõ ýëåêòðîíîâ, êîòîðîå ïðèáëèæåííî ìîæíî ó÷èòûâàòü ìåòîäîì òåîðèè âîçìóùåíèé. Îñíîâíîé çàäà÷åé â ýòîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâëåíèå ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé èç âûðîæäåííûõ ôóíêöèé äëÿ ïîëó÷åíèÿ îðòîíîðìèðîâàííûõ êîìáèíàöèé. Âûáîð ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé îïðåäåëÿåòñÿ âèäîì ïîòåíöèàëà âîçìóùåíèÿ. Äàëåå ñõåìà ðåøåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ïðèâåäåííîé âûøå. Ðåøàÿ çàäà÷ó, ìû ïîëó÷èì, âîîáùå ãîâîðÿ, ñòîëüêî ðàçíûõ êîðíåé, êàêîâà ñòåïåíü âûðîæäåíèÿ. Ïîä äåéñòâèåì âîçìóùåíèÿ f-êðàòíî âûðîæäåííûé óðîâåíü ðàñùåïëÿåòñÿ íà íåñêîëüêî (ñàìîå áîëüøåå íà f ) áëèçêèõ óðîâíåé. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîä äåéñòâèåì âîçìóùåíèÿ âûðîæäåíèå ñíèìàåòñÿ ïîëíîñòüþ èëè ÷àñòè÷íî.

31. Ýëåìåíòû òåîðèè èçëó÷åíèÿ 105

(òåîðèÿ âûíóæäåííûõ êâàíòîâûõ ïåðåõîäîâ) Ïóñòü äî ìîìåíòà âðåìåíè t0 = 0 ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ïîñòîÿííîì ïîëå, îïèñûâàåìîì ãàìèëüòîíèàíîì Hˆ 0 è áûëà â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè Ψk 0 . Â ìîìåíò âðåìåíè

t0 = 0 íà íåå ñòàëî äåéñòâîâàòü âîçìóùåíèå

V ( x , t ) è ïðîäîëæàëî äåéñòâîâàòü äî ìîìåíòà âðåìåíè T. Çàòåì âîçìóùåíèå âûêëþ÷àåòñÿ. Ñòàâèòñÿ çàäà÷à îïðåäåëèòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â ìîìåíòû âðåìåíè t>T. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû, íàõîäÿùåéñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì âîçìóùåíèÿ V (t ), óäîâëåòâîðÿåò ïîëíîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà :

∂Ψ = ( Hˆ 0 + V (t )) Ψ. (31.1) ∂t Äëÿ íàõîæäåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ (31.1), ïðåäñòàâèì å¸ â âèäå ðÿäà: ih

Ψ = ∑ Ñ k (t )uk exp( −

i E k t ), h

(31.2)

E n è un − ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè íåâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà

Hˆ 0

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äî âêëþ÷åíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé

En . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè t ≤ 0 â

ñóììå (31.2) îòëè÷íî îò íóëÿ òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå:

Ψíà÷ = un exp( −

i E n t ), h

÷òî ýêâèâàëåíòíî ñèìâîëè÷åñêîé çàïèñè Ñ k (t ) = δ kn ïðè t ≤ 0. Ïî èñòå÷åíèè äåéñòâèÿ âîçìóùåíèÿ, ò.å. ïðè t ≥ T , êîýôôèöèåíòû

Ck ñíîâà ïðèíèìàþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ Cmn (t ), èõ âåëè÷èíà çàâèñèò îò âèäà îïåðàòîðà âîçìóùåíèÿ V (t ) è íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ, êîòîðîå îòìå÷àåòñÿ âòîðûì èíäåêñîì. Èòàê, ïðè t > T ñèñòåìà áóäåò íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ñ âîëíîâîé 106

ôóíêöèåé:

Ψêîí = ∑ C mn (t )um exp( − m

iE m t ). h

Ïðè ýòîì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â íåêîòîðîì ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé äóëÿ êîýôôèöèåíòà

Em , áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ êâàäðàòîì ìî-

Cmn (t ) : Pmn = C mn (t ) . 2

Pmn îäíîâðåìåííî îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà ñèñòåìû çà âðåìÿ T èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ n êîíå÷íîå m. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ñ mn âûðàæåíèå (31.2) ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (31.1). Çàòåì óìíîæèì îáå ñòîðîíû ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ íà

i • um exp( E m t ) è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåì çíà÷åíèÿì ïåðåìåííûõ, îò h

êîòîðûõ çàâèñÿò ýòè ôóíêöèè. Ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:

ih

∂C m (t ) • = ∑ ∫ um Vu k dτ ⋅ exp(iω mn t )C k (t ). ∂t m

(31.3)

hω mn = Em − E n , à òàêæå ïðèíÿòî âî âíèìàíèå ÷òî

ãäå

Hˆ 0 Ψk = E k Ψk .  äàëüíåéøåì èìååò ñìûñë ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àè, êîãäà m íå ðàâíî n, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà âîçìóùåíèÿ

∫u

• n

Vun dτ = 0.  ýòèõ ñëó÷àÿõ â ñóììå (31.3) áóäåò îòñóòñòâîâàòü ÷ëåí ñ

m=n, è çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé (31.3) ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ:

Ñk (0) = δ kn , Ck (0) = 1 ïðè k = n,

C k (0) = 0 ïðè k ≠ n.

Âîçüìåì â êà÷åñòâå íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ Ñ k (t ) èõ íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ: Ck (t ) = δ nk . Ïîäñòàâèì â ïðàâóþ ÷àñòü (31.3), òîãäà ìû ïîëó0

÷èì óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ Ñ m 107

(1)

(t ) :

∂C (t ) 0 = ∑Vmk (t ) exp(iω mk t )C k = Vmn (t ) exp(iω mn t ), ih m ∂t k (1)

ãäå ó÷òåíî, ÷òî C k 0 = 1, k = n. Îòñþäà T

C m (t ) = − (1)

i Vmn (t ) exp(iω mn t )dt . h ∫0

(31.4)

Ïîäñòàâëÿÿ (31.4) â (31.3), ìîæíî íàéòè âòîðîå ïðèáëèæåíèå è ò.ä. Åñëè V ( x, t ) ìàëî, òî äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ 1-ì èëè 2-ì ïðèáëèæåíèÿìè.

32. Âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ ïîä âëèÿíèåì âîçìóùåíèÿ, çàâèñÿùåãî îò âðåìåíè Ïóñòü âîçìóùåíèå çàâèñèò îò âðåìåíè òàê, ÷òî ïðè t ≤ 0 V ( x,0) = 0.

Îíî ðàâíî íóëþ è äëÿ t ≥ T . Òîãäà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó

(31.4) è îãðàíè÷èâàÿñü 1-ì ïðèáëèæåíèåì, èìååì: ∞

T

Ñ m (t ) = − (1)

i i Vmn (t ) exp(iω mn t )dt = − ∫ Vmn (t ) exp(iω mn t )dt. (32.1) ∫ h0 h −∞

Îïðåäåëèì çíà÷åíèå ýòîãî êîýôôèöèåíòà, èñïîëüçóÿ èíòåãðàë Ôóðüå: åñëè ∞

V ( x, t ) = ∫V ( x, ω) exp(−iωt )dω, −∞

òî V ( x, ω) =

1 ∞ V ( x, t ) exp(iωt )dt . 2π −∫∞

Ïðåäñòàâèì ìàòðè÷íûé ýëåìåíò âîçìóùåíèÿ Vmn (t ) òàê:

108

Vmn (t ) = ∫ um • ( x )V ( x , t )un ( x )dτ =

∞

∫

−∞

∞

exp(iωt ) ∫ um ( x )V ( x , ω)un dτdω = −∞

∞

= ãäå

∫ exp( −iωt )V

mn

(ω )dω ,

−∞

Vmn (ω ) − ìàòðè÷íûé ýëåìåíò êîìïîíåíòû Ôóðüå. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ôóðüå, èìååì:

Vmn (ω ) =

1 Vmn (t ) exp(iωt )dt. 2π ∫

Ñðàâíèâàÿ ñ ôîðìóëîé (32.1), ïîëó÷àåì:

Ñ m (t ) = (1)

2π Vmn (ω mn ). ih

Òîãäà âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ n â ñîñòîÿíèå m ,áóäåò ðàâíà:

Pmn =

4π 2 2 Vmn (ω mn ) . 2 h

(32.2)

Ýòà ôîðìóëà ñîäåðæèò âàæíûé ðåçóëüòàò. Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî òîãäà, êîãäà Vmn (ω mn )

≠ 0 , ò.å. ïåðåõîä ñ óðîâíÿ

E n íà óðîâåíü Em âîçìîæåí ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà â ñïåêòðå âîçìóE m − En , ïåðåõîä íîñèò ðåçîíàíñíûé h õàðàêòåð, âûïîëíÿåòñÿ ïðàâèëî ÷àñòîò Áîðà. Çàìåòèì, ÷òî â ðàìêàõ íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñïîíòàííîå èçëó÷åíèå íåâîçìîæíî, òàê êàê â îòñóòñòâèå âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ àòîì ñêîëü óãîäíî äîëãî äîëæåí íàõîäèòñÿ â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè, â ñîñòîÿíèè ñ îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì ýíåðãèè. Îäíàêî îïûò ãîâîðèò î äðóãîì. Äåëî â òîì, ÷òî ìû ñóùåñòâåííî óïðîñòèëè çàäà÷ó î äâèæåíèè ýëåêòðîíà â ïîëå ÿäðà è íå ó÷ëè ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå äâèæóùèìñÿ ýëåêòðîíîì è äåéñòâóþùèì íà íåãî ñàìîãî. Îáúÿñíåíèå ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ îòíîñèòñÿ ê îáëàñòè êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, à â ðàìêàõ íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàí-

ùåíèÿ ñîäåðæèòñÿ ÷àñòîòà ω mn =

109

òîâîé ìåõàíèêè ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïîñòóëàò.  êà÷åñòâå êîíêðåòíîé çàäà÷è ðàññìîòðèì êâàíòîâûå ïåðåõîäû ïîä âëèÿíèåì ñâåòîâîé âîëíû. Îíî îêàçûâàåò ìåíüøåå âëèÿíèå (îáû÷íî), ÷åì êóëîíîâñêîå ïîëå ÿäðà è äðóãèõ ýëåêòðîíîâ, ïîýòîìó åãî äåéñòâèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âîçìóùåíèå. Êðîìå òîãî, ÷àñòî áûâàåò äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ âëèÿíèåì ýëåêòðè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé ïîëÿ, òàê êàê ìàãíèòíîå ïîëå äåéñòâóåò íà ýëåêòðîí çíà÷èòåëüíî ñëàáåå. Ïóñòü ïàäàþùèé ñâåò ìîíîõðîìàòè÷åí è ïîëÿðèçîâàí. Òîãäà íàïðÿæåííîñòü åãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ çàïèøåòñÿ òàê: r r E ( x, t ) = E0Cos(ωt − kx ), ãäå k =

2π 2πc , ω= . λ λ

Íàèáîëüøèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ðàññìîòðåíèå âçàèìîäåéñòâèÿ àòîìà ñ âèäèìûì è óëüòðàôèîëåòîâûì ñâåòîì, äëèíà âîëíû êîòîðîãî

λ ≥ 10 −8 ñì. Òàê êàê ðàçìåð àòîìà ≈ 10 −8 ñì , òî â ïðåäåëàõ ñèñòåìû ôàçà ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû

2πx λ

ñóùåñòâåííî íå ìåíÿåòñÿ. Åñëè âûáðàòü

2πx ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. λ Òîãäà âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñâåòîâîé âîëíû çàïèøåòñÿ òàê:

íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòðå ñèñòåìû, âåëè÷èíîé

r r E (t ) = E 0Cosωt.

Çàïèøåì ïîòåíöèàëüíóþ ôóíêöèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñ ýëåêòðîíîì:

r r V ( r , t ) = −eϕ ( r , t ),

rr

r

r

ãäå ϕ (r , t ) = − Er - ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë, r - ðàäèóñ-âåêòîð ýëåêòðîíà. Ðàññ÷èòàåì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîä âëèÿíèåì âîçìóùåíèÿ V ýëåêòðîí â ñèñòåìå ïåðåøåë èç ñîñòîÿíèÿ ýíåðãèåé

Ψn c ýíåðãèåé E n â ñîñòîÿíèå Ψm ñ

Em . Äëÿ ýòîãî ñîñòàâèì ìàòðè÷íûé ýëåìåíò Vmn (ω mn ) :

Vmn (ω mn ) =

1 2π

∞

∫ exp(iω

−∞

mn

rr • t ) Ψm ( − eEr ) Ψn dxdydz dt =

{

110

}

r 1 = ∫ Ψm ( − er ) Ψn 2π •

r ω exp( i t ) E (t )dt. mn ∫ ∞

−∞

r

Ïîñëåäíèé èíòåãðàë åñòü ðàçëîæåíèå ôóíêöèè E (ω mn ) â èíòåãðàë Ôóðüå. Ïîýòîìó:

r r Vmn (ω mn ) = ( − er ) mn E (ω mn ).

Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà îïðåäåëèòñÿ ïî ôîðìóëå (32.2):

Pmn =

r 2 r 4π 2 ( −er ) mn E (ω mn ) . 2 h

(32.3)

Îïèñàííîå âçàèìîäåéñòâèå ñâåòîâîé âîëíû ñ àòîìîì íàçûâàåòñÿ r äèïîëüíûì. Ðîëü äèïîëüíîãî ìîìåíòà âûïîëíÿåò âåëè÷èíà (− er )mn c êîìïîíåíòàìè:

d mn = −e ∫ Ψ • m xΨn dτ . x

Ñîîòâåòñòâåííî ñîñòàâëÿþòñÿ è äâå äðóãèå êîìïîíåíòû äèïîëüíîãî r 2 ìîìåíòà. Êâàäðàò êîìïîíåíòû Ôóðüå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E (ω mn ) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ïðîøåäøåé çà âðåìÿ T ÷åðåç îáúåì àòîìà. Äåéñòâèòåëüíî, ïëîòíîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè ðàâíà

ε 0 E 2 / 4 (èìååòñÿ åùå ðàâíàÿ ìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ). Ïîòîê ýíåðãèè ðàâåí ñ

ε0E 2 (ñ -ñêîðîñòü ñâåòà). Îòñþäà âñÿ ïðîòåêøàÿ ÷åðåç 1 ñì2 ýíåðãèÿ W 4

îïðåäåëèòñÿ ïî ôîðìóëå: ε 0ñ ∞ 2 ε0c W= 4 ∫ E (t )dt = 4 −∞

∞

∫

∞

dt

−∞

∫

−∞

∞

E (ω) exp(iωt )dω ∫ E • (ω` ) exp(−iω`t )dω` . −∞

Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ∞

∫ exp[i (ω − ω )]dt = 2πδ (ω − ω ), `

`

−∞

òîãäà, èíòåãðèðóÿ ïî t , íàéäåì : 111

( )(

)

W = ε 0 πc / 2 ⋅ ∫∫ E (ω)E • ω` δ ω − ω` dωdω` = −∞

∞

ε 0 πc ∞ 2 ∫ E (ω) dω = 2 −∞

(32.4)

= ε 0 πc ∫ E (ω) dω. 2

0

Ïðè ýòîì íàäî èìåòü ââèäó, ÷òî E (ω ) = E • ( −ω ) , òàê êàê E(t) äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà. Åñëè ÷åðåç W (ω ) îáîçíà÷èòü ïðîøåäøóþ ýíåðãèþ íà èíòåðâàë ÷àñòîòû dω , òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî: ∞

W = ∫ W (ω )dω .

(32.5)

0

Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ

(32.4) è (32.5), ïîëó÷àåì:

W (ω ) = ε 0π c E (ω ) . 2

Âûðàçèì îòñþäà

(32.6)

E (ω ) è ïîäñòàâèì â (32.3):

Pmn =

4π (− errmn ) 2 W (ω mn ) . 2 ε 0h c

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, W (ω ) = ρ cT , ãäå ρ - ïëîòíîñòü ëó÷èñòîé ýíåðãèè . È âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â åäèíèöó âðåìåíè áóäåò ðàâíà: Ð mn =

4π ε0h

2

(− errmn ) 2 ρ(ω).

(32.7)

33. Ïðàâèëà îòáîðà äëÿ äèïîëüíîãî èçëó÷åíèÿ Âîçìîæíû ñëó÷àè, êîãäà ïåðåõîäû ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû íå ïðîèñõîäÿò (íî ìîãóò ïðîèçîéòè ïîä äåéñòâèåì ñòîëêíîâåíèé). Óñòàíîâèì ïðàâèëà îòáîðà äëÿ ïîãëîùåíèÿ è èçëó÷åíèÿ ñâåòà. Ïðàâèëà îòáîðà äëÿ îñöèëëÿòîðà. Êâàíòîâûå óðîâíè îñöèëëÿòîðà âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå : 112

1  E n = h ω  n + , n = 0,1,2 ... 2  Ýëåìåíòû ìàòðèöû ýëåêòðè÷åñêîãî ìîìåíòà ðàâíû :

d mn = ex mn exp(iω mn t ) = ex mn exp(iω 0 ( m − n )), ãäå ω 0 - ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà îñöèëëÿòîðà,

xmn - ýëåìåíòû ìàòðèöû êîîð-

äèíàòû:

x mn = ∫ Ψm• xΨn dx. Ýëåìåíòû ìàòðèöû êîîðäèíàòû îòëè÷íû îò íóëÿ ïðè m = n ± 1. Ïîýòîìó ïðàâèëî îòáîðà èìååò âèä:

d mn ≠ 0 ïðè

m = n ± 1,

à ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòîòû ðàâíû:

ω mn = ω 0 (m − n ) = ω 0 ,

÷òî îçíà÷àåò, ÷òî îñöèëëÿòîð ìîæåò ïîãëîùàòü è èçëó÷àòü òîëüêî ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó (òàê áûëî è â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå). Ïðàâèëî îòáîðà äëÿ ïåðåõîäîâ îïòè÷åñêîãî ýëåêòðîíà â àòîìå. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó ýëåêòðè÷åñêîãî ìîìåíòà äëÿ ýëåêòðîíà, äâèæóùåãîñÿ â ïîëå öåíòðàëüíûõ ñèë. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé èìååò âèä:

Ψnlm ( r, θ , ϕ ) = Rnl ( r ) Pl m (Cosθ ) exp(imϕ ). Ìàòðèöû êîìïîíåíò ýëåêòðè÷åñêîãî âåêòîðà îòëè÷àþòñÿ îò ìàòðèöû êîîðäèíàò ýëåêòðîíà òîëüêî ìíîæèòåëåì (-å ). Ðàñ÷åòû äàþò, ÷òî ìàãíèòíîå êâàíòîâîå ÷èñëî èçìåíÿåòñÿ ïî ïðàâèëó íîå ÷èñëî

m'−m = ±1, 0. Îðáèòàëü-

l ' = l ± 1, ò.å. ïåðåõîäû ïðîèñõîäÿò ìåæäó ñîñåäíèìè ïî M 2

ñîñòîÿíèÿìè. Ïðàâèëî îòáîðà äëÿ ðàäèàëüíîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò. Èç ñïåêòðîñêîïèè èçâåñòíî, ÷òî ïåðåõîäû âîçìîæíû ìåæäó l ↔ p, p ↔ d è ò.ä. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà äàåò îáúÿñíåíèå ýòîìó ôàêòó òîëüêî äëÿ òàêèõ ïåðåõîäîâ, äëÿ êîòîðûõ îòëè÷íû îò íóëÿ ýëåêòðè÷åñêèå ìîìåíòû.

Èíòåíñèâíîñòü ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé

Ïðè êàæäîì ïåðåõîäå ýëåêòðîíà â àòîìå ñ îäíîãî óðîâíÿ íà äðóãîé ïðîèñõîäèò èçëó÷åíèå ýíåðãèè (åñëè m>n). Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ, èçëó÷åííàÿ çà 1 ñ â òåëåñíûé óãîë dΩ, ðàâíà: 113

d(

ω4 r 2 dW ) = mn 3 d mn Sin 2θ dΩ. 2π c dt

À ïîëíîå èçëó÷åíèå àòîìà çà 1ñ ïîëó÷èì, èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïî óãëàì: 4 r 2 dW 4ω mn d = mn . dt 3c 3 ×òîáû ïîëó÷èòü ïîëíóþ íàáëþäàåìóþ èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ, ñëåäóåò óìíîæèòü ýòó âåëè÷èíó íà ÷èñëî àòîìîâ, íàõîäÿùèõñÿ â âîçáóæ-

äåííîì ñîñòîÿíèè. Òàêèì îáðàçîì, èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ ÷àñòîòû ω mn , âûçâàííîãî ïåðåõîäîì àòîìà èç ñîñòîÿíèÿ m â ñîñòîÿíèå n , ðàâíà:

I mn = N m ⋅

4 r 2 4ω mn d mn . 3 3c

34. Êîýôôèöèåíòû Ýéíøòåéíà äëÿ èíäóöèðîâàííûõ è ñïîíòàííûõ ïåðåõîäîâ Ñîãëàñíî òåîðèè Ýéíøòåéíà âåðîÿòíîñòü ïîãëîùåíèÿ êâàíòà hω mn , èìåþùåãî ïîëÿðèçàöèþ α è ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ â òåëåñíîì óãëå dΩ â 1ñ ðàâíà:

dWα = bnmα ρα (ω , Ω )dΩ,

(34.1)

ãäå bnmα − êîýôôèöèåíò Ýéíøòåéíà äëÿ èíäóöèðîâàííîãî ïðîöåññà, ïðè÷åì èìååòñÿ òàêîå ñîîòíîøåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè ρ : ρ α (ω ) = ∫ ρα (ω , Ω )dΩ.

 íàøåé çàäà÷å èçëó÷åíèå ïîëÿðèçîâàíî, ïîýòîìó ôóíêöèÿ ρα (ω , Ω ) äîëæíà â îòíîøåíèè óãëà Ω íîñèòü õàðàêòåð δ -ôóíêöèè:

ρα (ω, Ω) = ρα (ω)δ(Ω).

(34.2)

Èíòåãðèðóÿ (34.2) ïî óãëó è èñïîëüçóÿ (34.1), íàõîäèì âåðîÿòíîñòü ïîãëîùåíèÿ â 1 ñ äëÿ âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â îïðåäåëåííîì íàïðàâëåíèè: 114

(34.3) Wα = bnmα ρ α (ω ). Íà îñíîâàíèè ÇÑÏÝ âåðîÿòíîñòü ïîãëîùåíèÿ êâàíòà ñâåòà äîëæíà áûòü ðàâíà âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà àòîìà èç ñîñòîÿíèÿ E n â E m , ò.å. Wα = Pmn . Çíàÿ âûðàæåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè

Pmn , íàõîäèì çíà÷åíèå êîýô-

ôèöèåíòà Ýéíøòåéíà bnmα äëÿ âåðîÿòíîñòè ïîãëîùåíèÿ ñâåòà: 4π 2

2

d mn Cos 2θ mn . (34.4) h2 Èíäåêñ α õàðàêòåðèçóåò ïîëÿðèçàöèþ. Âûáåðåì α = 1 , îïðåäåëÿþùåå íàïðàâëåíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ê ëó÷ó è ëåæàùåå â ïëîñêîñòè ëó÷à è bnmα =

r âåêòîðà d mn , ñîîòâåòñòâóþùåãî íàïðàâëåíèþ α = 2. Òîãäà

θ mn =

π − ϑmn , 2

r ãäå θ mn − óãîë ìåæäó l è d mn , ϑmn − óãîë ìåæäó âåêòîðîì ïîëÿðèçàöèè r d mn è íàïðàâëåíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïîãëîùàåìîãî èçëó÷åíèÿ. Òîãäà:

bnm1 =

4π 2 r 2 d mn Sin 2ϑmn , bnm2 = 0. h2

(34.5)

Ïî Ýéíøòåéíó êîýôôèöèåíò ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ amn α ñâÿçàí ñ êîýôôèöèåíòîì èíäóöèðîâàííîãî èçëó÷åíèÿ. Ê òîìó æå, ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè èíäóöèðîâàííîãî èçëó÷åíèÿ è ïîãëîùåíèÿ äîëæíî áûòü ïðîñòîå ñîîòíîøåíèå : bmn α = bnmα . Òîãäà âåðîÿòíîñòü ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ ïîëÿðèçàöèè α â òåëåñíîì óãëå dΩ ðàâíà: dWr` = a mn α dΩ =

ãäå ω =

hω 3 8π c

3 3

bmn α dΩ =

hω 3 8π 3c 3

bnmα dΩ,

Em − En = ω mn . h

Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ bnmα ïðè α = 1, ïîëó÷àåì: 115

dWr`1 =

ω3mn

r 2 d mn Sin 2 ϑ mn dΩ , dWr`2 = 0.

2πc h Ïîëíàÿ âåðîÿòíîñòü ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ ðàâíà: Wr`1 =

3

3 4ω mn

3hc 3

2

(34.:6)

(34.7)

d mn .

35. Ïîíÿòèå î êâàíòîâîé òåîðèè äèñïåðñèè  êëàññè÷åñêîé òåîðèè äèñïåðñèè ýëåêòðîí ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ÷àñòèöà, äâèæóùàÿñÿ ïîä âëèÿíèåì êâàçèóïðóãîé ñèëû. Äëÿ êîýôôèöèåíòà ïîëÿðèçóåìîñòè β ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå :

β=

1 e2 , mε 0 ω 02 − ω 2

(35.1)

ãäå e-çàðÿä ýëåêòðîíà, m - åãî ìàññà, ω 0 è ω − ñîîòâåòñòâåííî ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà îïòè÷åñêîãî ýëåêòðîíà è ÷àñòîòà âíåøíåãî ïîëÿ. Åñëè â àòîìå èìåþòñÿ ýëåêòðîíû, îáëàäàþùèå ðàçëè÷íûìè ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè ω 0 , ω1 , ω 2 ...ω ê è ÷èñëî ýëåêòðîíîâ ñ ÷àñòîòîé ω ê åñòü f k , òî âìåñòî ïðåäûäóùåé ôîðìóëû íóæíî ñîñòàâèòü áîëåå ñëîæíîå âûðàæåíèå:

β=

e2 mε 0

∑ ω 2 −k ω 2 . f

(35.2)

k

×èñëî f k ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷èñëî îñöèëëÿòîðîâ â àòîìå, îáëàäàþùèõ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé ω ê . Ôîðìóëà (35.2) äàåò ïðàâèëüíóþ çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû β îò ÷àñòîòû ïàäàþùåãî ñâåòà. Îäíàêî, îïûò äàåò äëÿ ÷èñåë f k çíà÷åíèÿ, ìåíüøèå åäèíèöû, ÷òî ôèçè÷åñêè áåññìûñëåííî.  êâàíòîâîé òåîðèè äèñïåðñèè ïîëó÷àåòñÿ òà æå ôîðìóëà, íî ïðè ýòîì âåëè÷èíû f k óæå íå ÿâëÿþòñÿ ÷èñëàìè ýëåêòðîíîâ ê- ñîðòà, à èìåþò ñîâñåì äðóãîé ñìûñë. Ïîýòîìó è íàçâàíèÿ ýòèõ âåëè÷èí äðóãîå - ñèëû îñöèëëÿòîðîâ. Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ñèëû îñöèëëÿòîðîâ â ïîëíîì ñîãëàñèè ñ îïûòíûìè äàííûìè. Ñ÷èòàÿ ïàäàþùèé ñâåò ìîíîõðîìàòè÷åñêèì, à äëèíó åãî âîëíû ìíîãî áîëüøå ðàçìåðîâ àòîìà èëè ìîëåêóëû, ìîæíî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñâåòîâîé âîëíû âíóòðè êâàíòîâîé ñèñòåìû ïðåäñòàâèòü â âèäå: 116

r r E = E 0 Cosωt. Ýòî ïîëå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âîçìóùåíèå. Ýíåðãèÿ âîçìóùåíèÿ åñòü: r r V = −e( E 0 r )Cosω t. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà çàïèøåòñÿ òàê: ih

∂Ψ = ( Hˆ 0 + Vˆ )Ψ, ∂t

ãäå Hˆ 0 - íåâîçìóùåííûé ãàìèëüòîíèàí, ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè Ψn0 , à E n0 − ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà Hˆ 0 .

Ïóñòü äî ìîìåíòà t=0, êîãäà íà àòîì ñòàëà äåéñòâîâàòü ñâåòîâàÿ âîëíà, îí íàõîäèëñÿ â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè øåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà â âèäå:

( )

()

()

()

Ψn0 r . Áóäåì èñêàòü ðå-

()

Ψn r , t = Ψn0 r e −iωnt + f n r e −i (ωn −ω)t + ϕ n r e −i (ωn +ω)t ,

ãäå ω n =

E n0 . h

Ôóíêöèè f n è ϕ n c÷èòàþòñÿ âåëè÷èíàìè òîãî æå ïîðÿäêà ìàëîñòè,

( )

÷òî è âîçìóùåíèå. Ïîäñòàâèì Ψ r, t â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà è îãðàíè÷èìñÿ ÷ëåíàìè ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè. Ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:

[

]

[

]

e iωt h (ω n − ω ) − Hˆ 0 f n + e −iωt h (ω n + ω ) − Hˆ 0 ϕ n =

()

r r e i ωt + e − i ω t 0 Ψn r . = − e E0 r 2 Ïðèðàâíèâàÿ ìåæäó ñîáîé ÷ëåíû ïðè îäèíàêîâûõ ýêñïîíåíòàõ, ïî-

( )

ëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé f n è ϕ n :

[h(ω

]

( ) ()

]

( ) ()

1 r r − ω) − Hˆ 0 f n = − e E0 r Ψn0 r , 2 1 r r h (ωn + ω) − Hˆ 0 ϕ n = − e E0 r Ψn0 r . 2

[

n

117

Ïðåäñòàâèì èñêîìûå ôóíêöèè â âèäå ðÿäîâ: fn =

∑ Anm Ψm0 ,

ϕ n = ∑ Bnm Ψm0

m

m

è, ïîäñòàâëÿÿ â ïðåäûäóùèå óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì: e r r h ∑ (ωn − ωm − ω)Anm Ψm0 = − E0 r Ψn0 r , 2

( ) ()

è h ∑ (ω n − ωm + ω)Bnm Ψm0 = −

( ) ()

e r r 0 E0 r Ψn . r . 2

Óìíîæàÿ íà Ψê0• è èíòåãðèðóÿ ïî âñåìó ïðîñòðàíñòâó ñ ó÷åòîì îðòîíîðìèðîâàííîñòè ôóíêöèé, íàõîäèì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Ànk è Bnk : r

h (ω n − ω k − ω )Ank = −

(E rr ),

h (ω n − ω k + ω )Bnk

(Er rr ),

rkn

r = Ψk0• r Ψn0 dτ .

e 2 e =− 2

0 kn

0 kn

∫

Ðåøàÿ äàííóþ ñèñòåìó, ïîëó÷èì äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: r r r r E 0 d kn E 0 d kn , Bnk = − , Ank = − 2h (ω nk − ω ) 2h (ω nk + ω ) r r ãäå ω nk = ω n − ω k − ýòî ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû àòîìà, à d nk = ernk − ìàò-

(

)

(

)

ðè÷íûé ýëåìåíò âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ìîìåíòà. r Òåïåðü ìîæíî ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ψn (r ,t ) :  r r r r 1 E 0 d mn Ψn (r , t ) = Ψn0 (r ) − ∑ 2h 

(

) ω e − ω + ω e iωt



nm

 0 r  −iωt  Ψm (r )e . + ω  

−iωt

nm

Ýëåêòðè÷åñêèé ìîìåíò ñèñòåìû áóäåò ðàññ÷èòûâàòüñÿ ïî ôîðìóëå: r r r ð nn = e ∫ Ψn• (r , t )r Ψn (r , t )dτ. Òîãäà âåêòîð ïîëÿðèçàöèè ðàâåí: 118

( )

P = N p nn

  2 Ne 2 =  3h 

2 ωmn r mn  ∑ ω2 − ω2 E (t ). mn  

Òåïåðü ìîæíî ñîñòàâèòü ôîðìóëó äèñïåðñèè: P= χε 0 E , îòêóäà n2 −1 =

ãäå f mn =

2 Ne 2 3hε 0

ω

r

2

mn ∑ ωmn 2 − ω2 m

=

mn

Ne 2 mε 0

∑ ω2

f mn

mn

− ω2

,

2m 2 ω mn rmn , ïðè÷åì ∑ f mn = 1. 3h

Ýòî ðàâåíñòâî äîêàçûâàåòñÿ íà îñíîâå ïîëíîòû ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ âû÷èñëÿþòñÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû.  êâàíòîâîé òåîðèè f mn ìîæåò áûòü è ìåíüøå íóëÿ, êîãäà àòîì íàõîäèòñÿ â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè è ω mn
(

Ðèñ. 8.

)

Ðèñ. 9. 119

Ãëàâà 6 36. Ñïèí ýëåêòðîíà Ýêñïåðèìåíòàëüíûå îñíîâàíèÿ ââåäåíèÿ ïîíÿòèÿ ÑÏÈÍ 36.1. Îïûòû Øòåðíà è Ãåðëàõà Ðàññìàòðèâàåìûå îïûòû áûëè ïîñòàâëåíû â 1921 ãîäó. Ïîëóêëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ Í.Áîðà íå ìîãëà îáúÿñíèòü íàáëþäàåìîå ÿâëåíèå. Ðàññìîòðèì ñõåìàòè÷åñêè ôèçèêó òîãî, ÷òî îáíàðóæèëè Øòåðí è Ãåðëàõ. Èç äëèííîé òðóáêè òùàòåëüíî îòêà÷èâàëñÿ âîçäóõ è çàòåì âíóòðåííÿÿ ïîëîñòü çàïîëíÿëàñü àòîìàðíûì ãàçîì, íàïðèìåð âîäîðîäîì. ×åðåç ðÿä ïàðàëëåëüíûõ óçêèõ äèàôðàãì àòîìû ãàçà â âèäå òîíêîãî ïó÷êà ïîïàäàëè â ñèëüíîå, ðåçêî íåîäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå îñîáîé ôîðìû íàêîíå÷íèêàìè ìàãíèòà (ñì.ðèñ.10). Ïðîéäÿ ýòî ïîëå, àòîìû îñåäàëè íà ïëàñòèíêó è ôèêñèðîâàëèñü íà íåé. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ íåîäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïó÷îê àòîìàðíîãî âîäîðîäà ðàçäåëÿëñÿ íà äâå ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííûå ñîñòàâëÿþùèå: îäíà èç íèõ ñìåùàëàñü ââåðõ (ñì.ðèñ.10), äðóãàÿ – âíèç îòíîñèòåëüíî íåîòêëîíåííîãî ñëåäà ïó÷êà. Ðèñ. 10. Ñîãëàñíî òåîðèè Í.Áîðà ýëåêòðîí â àòîìå âîäîðîäà íàõîäèòñÿ â íîðìàëüíîì 1s ñîñòîÿíèè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îðáèòàëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî l=0, íî òîãäà è ìàãíèòíîå êâàíòîâîå ÷èñëî m=0. Ñëåäîâàòåëüíî àòîì âîäîðîäà íå äîëæåí áûë ðåàãèðîâàòü íà âíåøíåå íåîäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå. Íàáëþäàåìîå ðàñùåïëåíèå àòîìàðíîãî ïó÷êà íå ñâÿçàíî ñ îðáèòàëüíûì äâèæåíèåì ýëåêòðîíà àòîìà âîäîðîäà. Äëÿ îáúÿñíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ îïûòîâ Øòåðíà è Ãåðëàõà ïðèøëîñü ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñàì ýëåêòðîí îáëàäàåò ìàãíèòíûì ìîìåíòîì , êîòîðûé íå ñâÿçàí ñ îðáèòàëüíûì äâèæåíèåì.  ýòîì ñëó÷àå íà ñîáñòâåííûé ìàãíèòíûé ìîìåíò ýëåêòðîíà â íåîäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà, íàïðàâëåííàÿ âäîëü ãðàäèåíòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ : Fz = µ z

∂H , ∂z

ãäå ïåðâûé ìíîæèòåëü – ýòî ïðîåêöèÿ ñîáñòâåííîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà 120

ýëåêòðîíà íà íàïðàâëåíèå ãðàäèåíòà âíåøíåãî íåîäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ (íà ðèñ.10 ãðàäèåíò íàïðàâëåí âäîëü îñè Îz). Òî, ÷òî èñõîäíûé ïó÷îê âîäîðîäíûõ àòîìîâ ðàñùåïèëñÿ íà äâå ÷àñòè, ñâèäåòåëüñòâîâàëî î òîì, ÷òî ñîáñòâåííûé ìàãíèòíûé ìîìåíò ýëåêòðîíà ìîæåò èìåòü ëèøü äâå ïðîåêöèè ± µ z . Èçìåðèâ ãðàäèåíò âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ è îòêëîíåíèå ïó÷êà îò ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ, ìîæíî áûëî îïðåäåëèòü âåëè÷èíó ñîáñòâåííîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà. Îí îêàçàëñÿ ðàâeh

íûì îäíîìó ìàãíåòîíó Áîðà 2m . Ðàíåå, ðàññìàòðèâàÿ îðáèòàëüíîå äâèe æåíèå ýëåêòðîíà â àòîìå, áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ìåæäó ìåõàíè÷åñêèì è ìàãíèòíûì îðáèòàëüíûìè ìîìåíòàìè ñóùåñòâóåò ñâÿçü, îïðåäåëÿåìàÿ ãèðîìàãíèòíûì ÷èñëîì. Îáíàðóæèâ ó ýëåêòðîíà ñîáñòâåííûé ìàãíèòíûé ìîìåíò, ó÷åíûå ïîñòóïèëè ëîãè÷íî, ñîïîñòàâèâ åìó ñîáñòâåííûé ìåõàíè÷åñêèé ìîìåíò, êîòîðûé êðàòêî íàçâàëè ÑÏÈÍÎÌ. Áóäóùåå ðàçâèòèå ôèçèêè ïîêàçàëî, ÷òî ó ëþáîé ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû åñòü ñîáñòâåííûé ìåõàíè÷åñêèé ìîìåíò - ñïèí, è ñâÿçàííûé ñ íèì ñîáñòâåííûé ìàãíèòíûé ìîìåíò. Î÷åíü ÷àñòî, ðàññìàòðèâàÿ ïîâåäåíèå ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå, ãîâîðÿò îá îðèåíòàöèè åå ñïèíà. Ýòî âåðíî, åñëè èìåòü ââèäó, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå íåïîñðåäñòâåííî äåéñòâóåò íà ñîáñòâåííûé (áóäåì åãî íàçûâàòü ñïèíîâûì) ìàãíèòíûé ìîìåíò ÷àñòèöû, à ñïèí (ñîáñòâåííûé ìåõàíè÷åñêèé ìîìåíò) íåïîñðåäñòâåííî äåéñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ íå èñïûòûâàåò. Ìû îòìå÷àåì íå ñòîëüêî òåðìèíîëîãè÷åñêèé ìîìåíò, ñêîëüêî ïðàâèëüíîå ôèçè÷åñêîå ñëîâîóïîòðåáëåíèå (ãðàìîòíîñòü ðå÷è îòðàæàåò ïîíèìàíèå ôèçèêè).

36.2. Äóáëåòíàÿ ñòðóêòóðà ñïåêòðîâ ïàðîâ ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ Ñïåêòðàëüíûå ëèíèè ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ, èìåþùèõ âñåãî îäèí îïòè÷åñêèé ýëåêòðîí, îêàçûâàþòñÿ áîëåå ñëîæíûìè, ÷åì ýòî îïðåäåëÿåòñÿ ïîëóêëàññè÷åñêîé òåîðèåé Í.Áîðà ïðè ðàññìîòðåíèè äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè. Íàïðèìåð, ó àòîìîâ íàòðèÿ âìåñòî îäíîé ñïåêòðàëüíîé ëèíèè, ñîîòâåòñòâóþùåé ïåðåõîäó 2p-1s, íàáëþäàåòñÿ ðàñùåïëåíèå åå íà äâå áëèçêî ðàñïîëîæåííûå ëèíèè, íàáëþäàåòñÿ òàê íàçûâàåìûé äó áëåò. Ýòî ìîæíî áûëî áû îáúÿñíèòü, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ð- òåðì àòîìà íàòðèÿ ñîñòîèò èç äâóõ áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ ïîäóðîâíåé. Ïîäîáíàÿ ñòðóêòóðà îáíàðóæèâàåòñÿ â ñïåêòðàõ äðóãèõ àòîìîâ è ïîëó÷èëà íàçâàíèå ìóëüòèïëåòíîé ñòðóêòóðû ñïåêòðîâ. 121

Íàïîìíèì, ÷òî ïî òåîðèè Í. Áîðà, áëèæàéøåå ê îñíîâíîìó ñîñòîÿíèþ àòîìà , íàïðèìåð, íàòðèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿíèå, ñèìâîëè÷åñêîå îáîçíà÷åíèå êîòîðîãî áóäåò 2ð. Ïðè ýòîì îðáèòàëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî l=1, ñîîòâåòñòâåííî ìàãíèòíîå êâàíòîâîå ÷èñëî (ðå÷ü èäåò îá îðáèòàëüíîì äâèæåíèè ýëåêòðîíà è åãî êâàíòîâûõ õàðàêòåðèñòèê) m=-1,0,+1. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñîñòîÿíèå 2ð òðèæäû âûðîæäåíî ïî ìàãíèòíîìó êâàíòîâîìó ÷èñëó. Âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå âûðîæäåíèå ñíèìàåòñÿ (ýôôåêò Çååìàíà) è â ñïåêòðå äîëæíà ïîÿâèòüñÿ òðîéíàÿ ñïêòðàëüíàÿ ëèíèÿ. Îäíàêî äóáëåòíàÿ ñòðóêòóðà ëèíèé ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ íàáëþäàåòñÿ è â îòñóòñòâèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Äëÿ îáúÿñíåíèÿ äóáëåòíîé ñòðóêòóðû ñïåêòðîâ ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ åñòåñòâåííî ïðèâëå÷ü ââåäåííûé âûøå ñïèíîâûé (ñîáñòâåííûé) ìàãíèòíûé ìîìåíò, êîòîðûé ìîæåò èìåòü ëèøü äâå îðèåíòàöèè îòíîñèòåëüíî êàêîãî-ëèáî âûäåëåííîãî íàïðàâëåíèÿ, ÷òî ïðèâîäèò ê äâóì ñîñòîÿíèÿì ñ íåñêîëüêî ðàçëè÷íîé ýíåðãèåé. Ïîýòîìó ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà, âîçáóæäåííîãî â 2ð ñîñòîÿíèå óæå äâàæäû âûðîæäåíî èç-çà íàëè÷èÿ ñïèíîâîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà. Ïåðåõîä àòîìà èç âîçáóæäåííîãî 2ð ñîñòîÿíèÿ â îñíîâíîå 1s ñîñòîÿíèå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ äâóõ áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé – ê âîçíèêíîâåíèþ ìóëüòèïëåòíîé ñòðóêòóðû. Èçâåñòíî, ÷òî âñÿêîå èçìåíåíèå ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ñâÿçàíî ñ âçàèìîäåéñòâèåì.  äàííîì ñëó÷àå ðå÷ü èäåò î òàê íàçûâàåìîì ñïèí-îðáèòàëüíîì âçàèìîäåéñòâèè – î âçàèìîäåéñòâèè ñïèíîâîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ñ îðáèòàëüíûì ìàãíèòíûì ìîìåíòîì ýëåêòðîíà, ÷òî è âûçûâàåò äóáëåòíîå ðàñùåïëåíèå.

36. 3. Îïûòû Ýéíøòåéíà è äå-Ãààçà  îïûòàõ äàííûõ ó÷åíûõ ôåððîìàãíèòíûé ñòåðæåíü ïîäâåøèâàëñÿ íà óïðóãîé íèòè. Ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ âäîëü îñè öèëèíäðà, èçìåíÿëîñü è íàïðàâëåíèå íàìàãíè÷åíèÿ ñòåðæíÿ, òî åñòü èçìåíÿëñÿ ìàãíèòíûé ìîìåíò ñòåðæíÿ. Íî ìàãíèòíûé ìîìåíò ïðîïîðöèîíàëåí ìåõàíè÷åñêîìó ìîìåíòó. È ñòåðæåíü ïðèõîäèë âî âðàùåíèå, çàêðó÷èâàÿ íèòü ïîäâåñà. Ïðè óñòàíîâëåíèè ðàâíîâåñèÿ èç ðàâåíñòâà êðóòÿùåãî ìîìåíòà è ìîìåíòà çàêðó÷åííîé íèòè, ìîæíî áûëî óñòàíîâèòü ãèðîìàãíèòíîå ÷èñëî. Êàê è äîëæíî áûòü, ãèðîìàãíèòíîå ÷èñëî îêàçàëîñü îòðèöàòåëüíûì (èç-çà çíàêà çàðÿäà ýëåêòðîíà), íî â äâà ðàçà áîëüøå ÷åì îðáèòàëüíîå ãèðîìàãíèòíîå ÷èñëî. Èç îïûòà ñëåäîâàëî, ÷òî íàìàãíè÷åíèå ôåððîìàãíåòèêà îáóñëîâëåíî ýëåêòðîíàìè, íî, î÷åâèäíî, íå ñâÿçàíî ñ èõ îðáèòàëüíûì äâèæåíèåì. Ââåäåíèå ñïèíîâîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà äàëî îáúÿñíåíèå è ýòèì èñòîðè÷åñêèì îïûòàì. 122

Èòàê, äëÿ ýëåêòðîíà è äðóãèõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ñëåäóåò ââåñòè íîâûå ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè – èõ ñîáñòâåííûå ìåõàíè÷åñêèé (ñïèí) è ìàãíèòíûé ìîìåíòû, õàðàêòåðèçóþùèå èõ êàê ôèçè÷åñêèå îáúåêòû, íåçàâèñèìî îò òîãî, âõîäÿò îíè â áîëåå ñëîæíûå îáðàçîâàíèÿ èëè ñâîáîäíû.  ðàññìàòðèâàåìîé íàìè íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå ÑÏÈÍ (è ñâÿçàííûé ñ íèì ñïèíîâûé ìàãíèòíûé ìîìåíò ) ââîäèòñÿ êàê ïîñòóëàò. È òîëüêî â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå, ñîåäèíÿþùåé êâàíòîâóþ ìåõàíèêó è ñïåöèàëüíóþ òåîðèþ îòíîñèòåëüíîñòè, ñïèí ïîÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííî. Ä ëÿ èëëþñòðàöèè ìîæíî ïðèâåñòè òàêîé ïðèìåð: â òåîðèè Í.Áîðà êâàíòîâàíèå ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà â àòîìå ââîäèòñÿ êàê ïîñòóëàò, â ðàññìàòðèâàåìîé íàìè êâàíòîâîé ìåõàíèêå (ýòî áûëî ïîêàçàíî ïðè ðåøåíèè çàäà÷è î äâèæåíèè ÷àñòèöû â áåñêîíå÷ñíî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå) êâàíòîâàíèå ïîÿâëÿåòñÿ êàê ñëåäñòâèå êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîãî äóàëèçìà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Àâòîðàìè èäåè î òîì, ÷òî ó ýëåêòðîíà åñòü ñîáñòâåííûé ìåõàíè÷åñêèé ìîìåíò-ñïèí, áûëè àìåðèêàíñêèå ôèçèêè Óëåíáåê è Ãàóäñìèò (1925ã.), òîëüêî ïîñëå ýòîãî âñå ðàññìîòðåííûå íàìè îïûòû ïîëó÷èëè îáúÿñíåíèå ñ åäèíûõ ïîçèöèé. Îñòàíîâèìñÿ íà ÷ðåçâû÷àéíî âàæíîì ìîìåíòå.Êàê ïðåäñòàâèòü ñåáå òî, ÷òî ýëåêòðîí îáëàäàåò ñîáñòâåííûì ìåõàíè÷åñêèì ìîìåíòîì? Îðáèòàëüíûé ìåõàíè÷åñêèé ìîìåíò ìû ïðåäñòàâëÿåì êàê õàðàêòåðèñòèêó äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå âîêðóã ÿäðà. Âîçíèêàåò æåëàíèå è ñïèí ðàññìàòðèâàòü êàê õàðàêòåðèñòèêó ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ ýëåêòðîíà. Íî òîãäà ýëåêòðîí íóæíî ðàññìàòðèâàòü êàê øàðèê. Íî ïî÷åìó ýòîò “øàðèê” íå âçðûâàåòñÿ, âåäü îí çàðÿæåí îäíîèìåííûì ýëåêòðè÷åñòâîì? Ïðîñòûå ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî òàêàÿ “íàãëÿäíàÿ” ìîäåëü ôèçè÷åñêè íåñîñòîÿòåëüíà. Äåéñòâèòåëüíî, âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Í.Áîðà äëÿ êâàíòîâàíèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ : mVr = nh , ãäå r- ðàäèóñ ýëåêòðîíà-øàðèêà, V- ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü ýëåêòðîíà íà åãî ïîâåðõíîñòè. Ïóñòü êâàíòîâîå ÷èñëî n = 1, òîãäà èç ïðèâåäåííîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòü V = 1,46.10 12 ì/ñ , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âòîðîìó ïîñòóëàòó ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ðàññìàòðèâàåò ýëåêòðîí êàê ôèçè÷åñêèé îáúåêò, êîòîðûé îáëàäàåò êîðïóñêóëÿðíîâîëíîâûì äóàëèçìîì. Íèêàêîé íàãëÿäíîé ìîäåëè äëÿ ýëåêòðîíà ( è äðóãèõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö) êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà íå ïðåäëàãàåò. Ïîýòîìó ôèçè÷åñêè áåçãðàìîòíî òîëêîâàòü ýëåêòðîí êàê øàðèê. Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî ñïèí – ýòî ÷èñòî êâàíòîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà, îïðåäåëÿþùàÿ âíóòðåííåå ñîñòîÿíèå ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû. 123

37. Îïåðàòîð ñïèíà è åãî âîëíîâûå ôóíêöèè  ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèìè ïðèíöèïàìè êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñîáñòâåííîìó ìåõàíè÷åñêîìó ìîìåíòó ýëåêòðîíà – ñïèíó – äîëæåí ñîïîñòàâëÿòüñÿ ëèíåéíûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, íå ÿâëÿþùèéñÿ ôóíêöèåé íè êîîðäèíàò, íè ïðîåêöèé èìïóëüñà. Ïî Ãàóäñìèòó è Þëåíáåêó ïðîåêöèÿ ñïèíà (à îí ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì) íà êàêîå ëèáî íàïðàâëåíèå êâàíòóåòñÿ è ðàâíà 1 ± h. Ðàññìîòðåííûå ðàíåå ýêñïåðèìåíòû ýòî ïîäòâåðæäàþò. 2 Îïåðàòîð ñïèíà îáîçíà÷àåòñÿ òàê : srˆ , ñîîòâåòñòâåííî åãî ïðîåêöèè

: sˆ x , sˆ y , sˆ z . Ýòè îïåðàòîðû óäîâëåòâîðÿþò òåì æå ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì, ÷òî è ïðîåêöèè îïåðàòîðà ìîìåíòà èìïóëüñà, ò.å. sˆ x sˆ y − sˆ y sˆ x = ihsˆ z . Àíàëîãè÷íî ñîñòàâëÿþòñÿ è äâà äðóãèõ ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèÿ.Òàê êàê ïðîåêöèè îïåðàòîðà ñïèíà íå êîììóòèðóþò, òî íåçàâèñèìîé âåëè÷èíîé ìîæåò ñëóæèòü ëèøü îäíà èç íèõ, îáû÷íî âûáèðàþò ïðîåêöèþ íà îñü Îz . Ñîãëàñíî ãèïîòåçå î ñïèíå, ïðîåêöèè ñïèíà íà îñü Îz ñîîòâåòñòâóåò ïðîåêöèÿ ñïèíîâîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà. Èñïîëüçóÿ ãèðîìàãíèòíîå ñîîòíîøåíèå, ìîæåì íàïèñàòü : mz = −

µo e sz . me

Ïîýòîìó íàðÿäó ñ îïåðàòîðîì ñïèíà ââîäèòñÿ îïåðàòîð ñïèíîâîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà:

µ er r mˆ s = − o sˆ . me Îáëàäàÿ ìàãíèòíûì ìîìåíòîì, ýëåêòðîí âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå r èíäóêöèè B , ïðèîáðåòàåò ýíåðãèþ: r r u s = − ms B .

( )

Ïîýòîìó ãàìèëüòîíèàí ýëåêòðîíà ñ ó÷åòîì ñïèíà èìååò âèä : µ e rr 1 Hˆ = pˆ 2 + U − o ( sˆ B). 2 me me

124

 ýòîé ôîðìóëå ó÷òåíî ëèøü âçàèìîäåéñòâèå ñïèíà (ñïèíîâîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà) ñ âíåøíèì ïîëåì. Ìû ïðåíåáðåãàåì ïðè ýòîì òàê íàçûâàåìûìè ñïèí-îðáèòàëüíûì è ñïèí-ñïèíîâûì âçàèìîäåéñòâèÿìè. Îïåðàòîð ñïèíà, êîòîðûé íå èìååò êëàññè÷åñêîãî àíàëîãà, íåëüçÿ ïîñòðîèòü, èñïîëüçóÿ ñîîòâåòñòâóþùèå êëàññè÷åñêèå âûðàæåíèÿ.Îäíàêî, ìû çíàåì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðîåêöèè ñïèíà íà êàêîå-ëèáî íàïðàâëåíèå, íàïðèìåð, íà îñü Oz. Èõ âñåãî äâà: 1 1 h , s z 2 = − h. 2 2 Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñâîåì ñîáñòâåííîì ïðåäñòàâëåíèè ìàòðèöà îïåðàòîðà äèàãîíàëüíà è íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ðàñïîëîæåíû ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà. Ïîýòîìó ìàòðèöà îïåðàòîðà sˆ z â åãî ñîáñòâåííîì s z1 =

ïðåäñòàâëåíèè áóäåò èìåòü ñëåäóþùèé âèä:

1   h 0  2 . sˆ z =   1  0 − h 2   Âûøå îòìå÷àëîñü, ÷òî îïåðàòîðû sˆ x

è sˆ y íå êîììóòèðóþò êàê

ìåæäó ñîáîé, òàê è ñ îïåðàòîðîì sˆ z , ïîýòîìó îíè íå ìîãóò èìåòü äèàãîíàëüíûé âèä â îäíîì è òîì æå ïðåäñòàâëåíèè. Íî èñïîëüçóÿ çàïèñàííûå âûøå ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ýòèõ êîìïîíåíò îïåðàòîðà ñïèíà, ìîæíî ïîëó÷èòü èõ ïðåäñòàâëåíèÿ â ïðåäñòàâëåíèè îïåðàòîðà sˆ z : 0 − i  h  0 1 h  .  , sˆ x =  sˆ y =  0 i 2   1 0  2

Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî óìíîæåíèÿ ìàòðèö, ìîæíî ñîñòàâèòü êâàäðàòû ýòèõ ïðîåêöèé îïåðàòîðà ñïèíà. È ñîñòàâëÿÿ ñóììó ýòèõ êâàäðàòîâ, òî åñòü ñîñòàâëÿÿ êâàäðàò îïåðàòîðà ñïèíà â s z - ïðåäñòàâëåíèè, ïîëó÷àåì:

2 2 2 sˆ 2 = sˆ x + sˆ y + sˆz =

h2 4

1 0  1 0  1 0  3 2 1 0   +   +   = h  .   0 1  0 1  0 1 4  0 1

Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîð sˆ 2 - â s z -ïðåäñòàâëåíèè è ñàì îïåðàòîð sˆ z â ñâîåì ïðåäñòàâëåíèè – äèàãîíàëüíû, à ïîòîìó 125

êîììóòèðóþò ìåæäó ñîáîé, ñëåäîâàòåëüíî, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýòèõ îïåðàòîðîâ ìîãóò èìåòü îäíîâðåìåííî òî÷íûå çíà÷åíèÿ. Îïåðàòîð sˆ z èìåò äâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ, èì ñîîòâåòñòâóþò äâå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè. Îáîçíà÷èì ñîáñòâåííóþ ôóíêöèþ ýòîãî îïåðàòî1 S ðà, ñîîòâåòñòâóþùóþ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ s z = h ÷åðåç 1 , ñîîòâåò2

ñòâåííî âòîðàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ áóäåò

S

−

1 2

2

. Èíäåêñû áóäåì íàçû-

âàòü ñïèíîâûìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè, ò.å. ñïèíîâîå êâàíòîâîå ÷èñëî ïðè1 2

íèìàåò äâà äèñêðåòíûõ çíà÷åíèÿ ± . Òàêîé âûáîð ñïèíîâûõ êâàíòîâûõ ôóíêöèé óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèþ: åñëè ýëåêòðîí èìååò ïðîåêöèþ ñïè1 2

íà s z = h , òî âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ ïðè èçìåðåíèè äðóãîãî çíà÷åíèÿ 1 ïðîåêöèè ñïèíà ( ò.å. s z = − h ) ðàâíà íóëþ. 2 Ïîñêîëüêó ñïèíîâûå ôóíêöèè ïîçâîëÿþò îïðåäåëÿòü âåðîÿòíîñòü âåëè÷èíû ïðîåêöèè ñïèíà, òî â êà÷åñòâå èõ àðãóìåíòîâ ìîæíî âçÿòü ýòè âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ. Èñõîäÿ èç ñîäåðæàíèÿ ïðåäûäóùåãî àáçàöà, ìîæíî çàïèñàòü: 1 1 S 1 ( − h) = 0 , S 1 ( h ) = 0. − 2 2 2 2

Î÷åâèäíî, ÷òî 1 1 S 1 ( h ) = 1 , S 1 ( − h ) = 1. − 2 2 2 2

Óáåäèìñÿ, ÷òî ïîñòðîåííûå ñïèíîâûå ôóíêöèè îðòîíîðìèðîâàíû. Óñëîâèå íîðìèðîâêè çàïèøåòñÿ òàê: 2

2

1 1 S 1 ( h) + S 1 ( − h) = 1, 2 2 2 2

à óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè: 1 1 1 • 1 • S 1 ( h) S 1 ( h) + S 1 ( − h) S 1 ( − h) = 0. − − 2 2 2 2 2 2 2 2

Ïðè ñîñòàâëåíèè ýòèõ âûðàæåíèé ó÷èòûâàëèñü êàê äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ ïðîåêöèé ñïèíà, òàê è äèñêðåòíîå ÷èñëî ñïèíîâûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé. 126

38. Ïîëíûé ìîìåíò èìïóëüñà Ïî îïðåäåëåíèþ, ñïèí ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé âíóòðåííåãî ñîñòîÿíèÿ ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû, ïî ðàçìåðíîñòè ñîâïàäàþùèì ñ ìåõàíè÷åñêèì ìîìåíòîì. Åñëè, íàïðèìåð ýëåêòðîí, âõîäèò â ñîñòàâ àòîìà, òî ïîìèìî ñïèíà, åãî ñîñòîÿíèå â àòîìå îïðåäåëÿåòñÿ îðáèòàëüíûì ìåõàíè÷åñêèì ìîìåíòîì, ïîýòîìó äëÿ îïèñàíèÿ ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå ìîæíî ââåñòè ïîëíûé ìîìåíò, îïåðàòîð êîòîðîãî, ñ ó÷åòîì âåêòîðíîãî õàðàêòåðà åãî ñîñòàâëÿþùèõ, çàïèøåòñÿ òàê:

rˆ rˆ r I = L + sˆ .

r r Îïåðàòîðû Lˆ è sˆ êîììóòèðóþò, òàê êàê îíè äåéñòâóþò íà ðàçíûå ïåðåìåííûå, ïîýòîìó ìîæíî îäíîâðåìåííî çíàòü òî÷íûå çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî îïåðàr òîð Iˆ , êàê è åãî ñîñòàâëÿþùèå, èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé: I 2 = h 2 j ( j + 1), ãäå

j=

1 3 5 , , ...... 2 2 2

Àíàëîãè÷íî, ïðîåêöèÿ ïîëíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà â àòîìå íà îäíó èç îñåé, íàïðèìåð îñü Oz, ðàâíà: I z = hm j , 1 2

3 2

ãäå m j = ± ,± ......... ± j. Ïðè ýòîì êâàíòîâîå ÷èñëî j ñîñòàâëÿåòñÿ â èíòåðâàëå îò j = l + s z

äî

j = l − s z , ãäå l - îðáèòàëüíîå, à s z - ñïèíîâîå

êâàíòîâûå ÷èñëà.

39. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå ñ ó÷åòîì ñïèíà Ïîñëå ââåäåíèÿ ñïèíà, ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà â àòîìå äîëæíî îïðåäåëÿòüñÿ ÷åòûðìÿ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè: ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì - n, îðáèòàëüíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì – l, ìàãíèòíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì – m, ñïèíîâûì êâàíòîâûì ÷èñëîì - s z Îäíàêî, ýòà ÷åòâåðêà êâàíòîâûõ ÷èñåë ïðàâèëüíî îòðàæàåò ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà â àòîìå ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà ôèçè÷åñêèå âåëè127

÷èíû, ñîïîñòàâëÿåìûå ýòèì ÷èñëàì, íå èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè.  ñëó÷àå, êîãäà îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà Hˆ íå ñîäåðæèò îïåðàòîðà ñïèíà, âîëíîâóþ ôóíêöèþ ÷àñòèöû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé:

Ψ (xyzts z ) = ψ (xyzt )S sz (s z h ).

Ïîäñòàâëÿÿ ýòó âîëíîâóþ ôóíêöèþ â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, ìû ïîëó÷èì è äëÿ ôóíêöèè ψ òî÷íî òàêîå æå óðàâíåíèå, ñîêðàòèâ îáå ñòîðîíû óðàâíåíèÿ íà ñïèíîâóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ. Íî â ñëîæíûõ àòîìàõ ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ óñëîâèÿõ ðàçíûì çíà÷åíèÿì ñïèíà ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå ýíåðãåòè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ. Ìîæåò áûòü, ÷òî ïåðåõîä ïî êâàíòîâûì ÷èñëàì n, l , m ðàçðåøåí, íî çàïðåùåí ïî ñïèíîâîìó êâàíòîâîìó ÷èñëó s z - ýòî òàê íàçûâàåìûé èíòåðêîìáèíàöèîííûé çàïðåò, îáóñëîâëåííûé îðòîíîðìèðîâàííîñòüþ ñïèíîâûõ ôóíêöèé. Åñëè æå âîëíîâóþ ôóíêöèþ íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ êîîðäèíàòíîé è ñïèíîâîé âîëíîâûõ ôóíêöèé, òî èíòåðêîìáèíàöèîííûé çàïðåò íàðóøàåòñÿ.Ýòî ïðîèñõîäèò ïðè ñèëüíûõ ñïèíîâûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ â ìíîãîýëåêòðîííûõ àòîìàõ è ìîëåêóëàõ.

40. Âåêòîðíàÿ ìîäåëü àòîìà Ìåæäó îðáèòàëüíûì è ñïèíîâûì ìàãíèòíûìè ìîìåíòàìè âîçíèêàåò òàê íàçûâàåìîå ñïèí-îðáèòàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå. Ðàññìîòðèì ýòî âçàèìîäåéñòâèå êà÷åñòâåííî, èñïîëüçóÿ íàãëÿäíóþ âåêòîðíóþ ìîäåëü àòîìà (ñì. ðèñ.11). Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, ïîëíûé ìåõàíè÷åñêèé ìîìåíò ýëåêòðîíà â àòîìå ðàâåí: r r r I = L + s.

r I

r L

Ðèñ. 11.

r r Âåêòîðû L è s ñâÿçàíû ÷åðåç ïîñðåäñòâî èõ ìàãíèòíûõ ìîìåíòîâ, ïîýòîìó îíè áóäóò ïðåöåññèðîâàòü îòíîñèr òåëüíî ðåçóëüòèðóþùåãî ìåõàíè÷åñêîãî ìîìåíòà I ïîäîáíî äâóì ñâÿçàííûì ìåõàíè÷åñêèì ãèðîñêîïàì, ïðåöåññèðóþùèõ âîêðóã èõ ïîëíîãî ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Ó÷òåì, îäíàêî, êâàíòîâîé õàðàêòåð ýëåêòðîííûõ ìîìåíòîâ, ÷òî ïðîÿâëÿåòñÿ, âî-ïåðâûõ, â òîì, ÷òî ìåæäó âåêòîðàìè r r L è s ìîãóò áûòü òîëüêî îïðåäåëåííûå óãëû, îïðåäåëÿåìûå ïðîñòðàíñòâåííûì êâàíòîâàíèåì ýòèõ âåêòîðîâ. Íà128

r ïðèìåð, âåêòîð L äîëæåí òàê ðàñïîëàãàòüñÿ îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî íàïðàâëåíèÿ, ÷òîáû ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà ýòî íàïðàâëåíèå êâàíòîâàëîñü mh .Ñîîòâåòñòâåííî ñêàçàííîå îòíîñèòñÿ è ê ïðîåêöèÿì âåêòîðà ñïèíà íà r r òî æå íàïðàâëåíèå. Òåì ñàìûì óãîë ìåæäó âåêòîðàìè L è s ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü ðÿä èçáðàííûõ çíà÷åíèé. Âî-âòîðûõ, ïîëíûé ìîìåíò èìïóëüñà òàêæå èìååò äèñêðåòíûé íàáîð çíà÷åíèé: j ( j + 1) h, r ãäå j = l ± s z . Ïðîåêöèÿ âåêòîðà I íà èçáðàííîå íàïðàâëåíèå (íàïðèìåð, íà îñü Oz) òàêæå ïðèíèìàåò ëèøü ðÿä äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé: I =

I z = m j h,

ãäå êâàíòîâîå ÷èñëî m j ìîæåò ïðèíèìàòü 2 j + 1 çíà÷åíèé îò + j äî -j. Íåñìîòðÿ íà êàæóùóþñÿ ïðîñòîòó ìîäåëè, âåêòîðíàÿ ìîäåëü ïîçâîëÿåò îáúÿñíèòü ìíîãèå äåòàëè ñëîæíûõ ñëó÷àåâ ðàñùåïëåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, îñîáåííî â ìàãíèòíîì ïîëå (ñëîæíûé ýôôåêò Çååìàíà), ïðè÷åì, ïîëó÷àåòñÿ õîðîøåå ñîâïàäåíèå ñ ýêñïåðèìåíòîì.

41. Ýôôåêòû Çååìàíà Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ àòîìà, ïîìåùåííîãî âî âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå, ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé : èç âíóòðåííåé ýíåðãèè àòîìà, è èç ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà àòîìà ñ âíåøíèì ìàãíèòíûì ïîëåì .Âåëè÷èíà ïîñëåäíåé , åñòåñòâåííî, çàâèñèò êàê îò âåëè÷èíû âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ, òàê è îò îðèåíòàöèè è âåëè÷èíû ìàãíèòíîãî ìîìåíòà àòîìà. Âîçìîæíû äâà âàðèàíòà .Ëèáî ïðåîáëàäàåò ñïèí-îðáèòàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå, ñâÿçü ìåæäó îðáèòàëüíûì è ñïèíîâûì ìàãíèòíûìè ìîìåíòàìè íå ðàçðûâàåòñÿ, ò.å. îñóùåñòâëÿåòñÿ Ðàññåë-Ñàóíäåðîâñêàÿ ñâÿçü, ñ âíåøíèì ìàãíèòíûì ïîëåì âçàèìîäåéñòâóåò ïîëíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò àòîìà, êîòîðûé ïðåöåññèðóåò âîêðóã íàïðàâëåíèÿ âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Åñëè æå ñâÿçü ìåæäó îðáèòàëüíûì è ñïèíîâûì ìàãíèòíûìè ìîìåíòàìè ðàçðûâàåòñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ, òî îíè ïî îòäåëüíîñòè âçàèìîäåéñòâóþò ñ âíåøíèì ìàãíèòíûì ïîëåì. Ýòîò ñëó÷àé ïîëó÷èë íàçâàíèå ýôôåêòà Ïàøåíà-Áàêà. Ðàññìîòðèì ðàñùåïëåíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé àòîìà, ïîìåùåííîãî âî âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå, â ñëó÷àå îñóùåñòâëåíèÿ Ðàññåë-Ñàóíäåðîâñêîé ñâÿçè. Ïðè äàííîì êâàíòîâîì ÷èñëå j ïîëíîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà àòîìà âîçìîæíî 2j+1 îðèåíòàöèé åãî ïî îòíîøåíèþ ê íàïðàâëåíèþ âíåø129

íåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ.Êàæäîé îðèåíòàöèè ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ïîëíîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà àòîìà ñ âíåøíèì ìàãíèòíûì ïîëåì. Ñëåäîâàòåëüíî, ýíåðãåòè÷åñêèé óðîâåíü àòîìà, ïîìåùåííîãî âî âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå, äîëæåí ðàñùåïèòüñÿ íà 2j+1 ïîäóðîâíåé. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé Ðàññåë-Ñàóíäåðîâñêîé ñâÿçè, êîãäà ñâÿçü ìåæäó îðáèòàëüíûì è ñïèíîâûìè ìàãíèòíûìè ìîìåíòàìè íå ðàçðûâàåòñÿ ïîä âëèÿíèåì âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïîýòîìó ðàñùåïëåíèå íà 2j+1 ïîäóðîâíåé îêàçûâàåòñÿ ìåíåå ñóùåñòâåííûì, ÷åì åñòåñòâåííîå (áåç âëèÿíèÿ âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ) ìóëüòèïëåòíîå ðàñùåïëåíèå óðîâíåé, îïðåäåëÿåìîå ñïèí-îðáèòàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì (ñì.ðèñ.12).  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ðàñùåïëåíèå óðîâíåé àòîìà íàòðèÿ, ïðèâîäÿùåå ê âîçíèêíîâåíèþ ãëàâíîé ñå2

ðèè. Ýíåðãåòè÷åñêèé óðîâåíü

P3 ðàñùå2

ïèòñÿ íà ÷åòûðå ïîäóðîâíÿ, ñîîòâåòñòâåííî ÷åòûðåì âîçìîæíûì îðèåíòàöèÿì ïîëíîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà îòíîñèòåëüíî îðèåíòàöèè âíåøíåãî ìàãíèòíîÐèñ. 12

3 2

1 1 3 2 2 2

ãî ïîëÿ: m j = − ,− , , . Ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè

2

P1 2

è

2

S1 2

ñ êâàíòîâûì ÷èñ-

1 ðàñùåïëÿþòñÿ íà äâà ïîäóðîâíÿ 2 êàæäûé, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò äâóì âîçìîæíûì îðèåíòàöèÿì ïîëíîãî

ëîì ïîëíîãî ìàãíèòíîãî ìîìåíòà j =

1 1 2 2

ìàãíèòíîãî ìîìåíòà îòíîñèòåëüíî âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ : m j = − , . ×òîáû íàéòè ëèíèè èçëó÷åíèÿ, íåîáõîäèìî ñ ïîìîùüþ ïðàâèë îòáîðà íàéòè âîçìîæíûå ïåðåõîäû: 1. ∆l = ±1, 2. ∆j = 0, ±1. 3. ∆m j = 0, ±1. 4. ∆s = 0. Íà ðèñ.12 âèäíî, ÷òî âñåãî âîçìîæíî 10 ðàçëè÷íûõ ïåðåõîäîâ, ïîýòîìó âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå êàæäûé äóáëåò ãëàâíîé ñåðèè èçëó÷åíèÿ àòîìà íàòðèÿ ðàñùåïèòñÿ íà 10 ëèíèé. Èñòîðè÷åñêè òàêîå ðàñùåïëåíèå ïîëó÷èëî íàçâàíèå àíîìàëüíîãî ýôôåêòà Çååìàíà. 130

Äàëåå êðàòêî ðàññìîòðèì òàêîé ýôôåêò Çååìàíà, êîòîðûé ïîëó÷èë íàçâàíèå íîðìàëüíîãî ýôôåêòà. Óïðîñòèì çàäà÷ó è ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîëíûé ñïèíîâûé ìîìåíò àòîìà ðàâåí íóëþ.  ýòîì ñëó÷àå ñóììàðíûé ìåõàíè÷åñêèé ìîìåíò àòîìà ñîâïàäàåò ñ åãî ñóììàðíûì îðáèòàëüíûì ìîìåíòîì: J=L.  ýòîì ñëó÷àå êàæäàÿ ëèíèÿ èçëó÷åíèÿ ðàñùåïëÿåòñÿ íà òðè ëèíèè. Î÷åâèäíî, ÷òî íîð ìàëüíûé ýôôåêò Çååìàíà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì àíîìàëüíîãî ýôôåêòà.  ñèëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå ïðîèñõîäèò ðàçðûâ ñïèí-îðáèòàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. È îðáèòàëüíûé è ñïèíîâûé ìàãíèòíûå ìîìåíòû íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà âçàèìîäåéñòâóþò ñ âíåøíèì ìàãíèòíûì ïîëåì.  ðåçóëüòàòå ëèíèè èçëó÷åíèÿ ðàñùåïëÿþòñÿ íà òðè ëèíèè ñ âåëè÷èíîé ðàñùåïëåíèÿ ϖ L , ðàâíîé íîðìàëüíîìó çååìàíîâñêîìó ðàñùåïëåíèþ. Ò.å. íàáëþäàåòñÿ íîðìàëüíûé ýôôåêò Çååìàíà, íî â ëèòåðàòóðå îí ïîëó÷èë íàçâàíèå ýôôåêòà Ïàøåíà-Áàêà: â ñèëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå àíîìàëüíûé ýôôåêò ïðåâðàùàåòñÿ â íîðìàëüíûé.

131

Ãëàâà 7 Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö 42. Ïðèíöèï òîæäåñòâåííîñòè ìèêðî÷àñòèö Îäèíàêîâûìè, íåðàçëè÷èìûìè, òîæäåñòâåííûìè áóäåì íàçûâàòü ÷àñòèöû, èìåþùèå îäèíàêîâóþ ìàññó, çàðÿä, ñïèí è ò.ä.  îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ òîæäåñòâåííûå ÷àñòèöû âåäóò ñåáÿ îäèíàêîâî, ëþáîå âíåøíåå ïîëå äåéñòâóåò íà òàêèå ÷àñòèöû îäèíàêîâî. Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö : N  N  h2 Hˆ n1 , n2 , n3 .......nk ....n j ....n N , t = ∑ − ∆ k + U (nk t ) + ∑W nk n j  k ≠ j =1 k =1   2m

(

)

(

)

íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåñòàíîâêå òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö , ò.å. îí èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ïåðåñòàíîâêè òàêèõ ÷àñòèö:

(

)

(

)

Hˆ n1n2 n3 ......nk .....n j .....n N t = Hˆ n1n2 n3 .....n j .....nk ......n N t ,

(41.1)

ãäå ni - ýòî ñîâîêóïíîñòü õàðàêòåðèñòèê, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå êàæäîé ÷àñòèöû (ïîëíûé íàáîð îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è âðåìåíè èëè ïîëíûé íàáîð êâàíòîâûõ ÷èñåë), ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåì ÷àñòèöàì ñèñòåìû, â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ïåðâûé ÷ëåí-ýòî îïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ê – îé ÷àñòèöû, âòîðîé ÷ëåí – ýòî îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ýòîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì ïîëå, ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â ãàìèëüòîíèàíå – ýòî ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö ìåæäó ñîáîé. Èíâàðèàíòíîñòü ãàìèëüòîíèàíà ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ïåðåñòàíîâêè ÷àñòèö, óòâåðæäàåò, ÷òî îí êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì ïåðåñòàíîâêè ÷àñòèö Pˆkj , êîòîðûé, åñòåñòâåííî, óäîâëåòâîðÿåò âñåì òðåáîâàíèÿì, ïðåäúÿâëÿåìûì ê îïåðàòîðàì, ïðèìåíÿåìûõ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Äåéñòâèòåëüíî, äâà âûðàæåíèÿ Pˆkj Hˆ Ψ è Hˆ Pˆkj Ψ ýêâèâàëåíòíû äðóã äðóãó â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ (41.1). Ïðèíöèï òîæäåñòâåííîñòè ÷àñòèö óòâåðæäàåò, òàêèì îáðàçîì, ÷òî â ñèñòåìå îäèíàêîâûõ, íåðàçëè÷èìûõ, òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö ðåàëèçóþòñÿ ëèøü òàêèå ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå íå èçìåíÿþòñÿ ïðè îáìåíå ìåñòàìè (ñîñòîÿíèÿìè) äâóõ 132

÷àñòèö. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèè Ψ è Ψ′ = Pˆkj Ψ îïèñûâàþò îäíî è òî æå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö.

43. Ñèììåòðè÷íûå è àíòèñèììåòðè÷íûå ñîñòîÿíèÿ

(

 êîíöå ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà ìû ïîêàçàëè, ÷òî ôóíêöèè

)

(

)

Ψ n1 .....n k ....n j .....n N , t èΨ′ n1 ....n j ....n k ....n N , t îïèñûâàþò îäíî è òî æå ñîñòîÿíèå. Ïîýòîìó îíè ìîãóò îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà ëèøü ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì: Pˆkj Ψ = λΨ

(42.1)

Íî âûðàæåíèå (42.1) åñòü íè ÷òî èíîå êàê îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå äëÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà ïåðåñòàíîâêè Pˆkj . Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ýòîãî îïåðàòîðà, ïðèìåíèì äåéñòâèå ýòîãî îïåðàòîðà íåçàâèñèìî ê îáåèì ñòîðîíàì ðàâåíñòâà (42.1). Âûðàæåíèå Pˆ jk Pˆkj Ψ ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî ñ ñèñòåìîé íè÷åãî íå ïðîèñõîäèëî. Òî÷íåå, ïîñëå äâóõ êðàòíîãî ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè ïåðåñòàíîâêè îäíèõ è òåõ æå ÷àñòèö, ñèñòåìà âåðíóëàñü â ñâîå ïåðâîíà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå: Pˆ jk Pˆkj Ψ = Ψ .

(42.2)

Äàëåå ðàññìîòðèì äåéñòâèå îïåðàòîðà Pˆ jk íà ïðàâóþ ñòîðîíó ñîîòíîøåíèÿ (42.1): Pˆ jk λΨ = λPˆ jk Ψ = λ ⋅ λΨ = λ2 Ψ.

(42.3)

Ñðàâíèâàÿ ïðàâûå ñòîðîíû ðàâåíñòâ (42.2) è (42.3), ïîëó÷àåì:

λ2 = 1, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð ïåðåñòàíîâêè Pˆkj èìååò äâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ:

λ = ±1 .

(42.4)

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äåéñòâèå îïåðàòîðà ïåðåñòàíîâêè ÷àñòèö Pˆkj , äåéñòâóÿ íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ Ψ , ïðèâîäèò ê äâóì ñëåäñòâèÿì:

133

Pˆkj Ψ = + Ψ

, Pˆkj Ψ = − Ψ

(42.5)

Ôóíêöèè, êîòîðûå íå èçìåíÿþò âïåðåäè ñòîÿùåãî çíàêà ïðè äåéñòâèè îïåðàòîðà ïåðåñòàíîâêè äâóõ ÷àñòèö, íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè. À òå ôóíêöèè, ó êîòîðûõ çíàê ìåíÿåòñÿ íà îáðàòíûé, ïîëó÷èëè íàçâàíèå àíòèñèììåòðè÷íûõ ôóíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíû òîëüêî äâà êëàññà ñîñòîÿíèé äëÿ êâàíòîâûõ, òîæäåñòâåííûõ, íåðàçëè÷èìûõ ÷àñòèö . Áóäåì îáîçíà÷àòü ýòè ôóíêöèè, ðàññòàâëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùèå èíäåêñû: Pˆkj Ψ = Ψs Pˆkj Ψ = −Ψa

(42.6)

Ïîêàæåì, ÷òî ñèììåòðè÷íûå ñîñòîÿíèÿ íå ìîãóò ïåðåéòè â êëàññ àíòèñèììåòðè÷íûõ ñîñòîÿíèé è íàîáîðîò, ò.å. ñèììåòðèÿ êëàññà – ýòî èíâàðèàíò ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ, êâàíòîâûõ, íåðàçëè÷èìûõ ÷àñòèö. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ ïîëíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà: ih

∂Ψ = Hˆ Ψ ∂t

èëè ∂Ψ 1 dt = Hˆ Ψdt. ∂t ih Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè èñõîäíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé âîëíîâîé ôóíêöèåé Ψs . Ò.ê. ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû Hˆ íå ˆ áóäåò ñèììåòðè÷íîé èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåñòàíîâêè äâóõ ÷àñòèö, òî è HΨ s ôóíêöèåé. Ñëåäîâàòåëüíî, è dΨ = dΨs , à ðàç ïðèðàùåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè çà âðåìÿ dt íå èçìåíèëî ñâîåãî êëàññà, òî è ñàìà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ çà ýòî âðåìÿ íå èçìåíèëà ñâîåé ñèììåòðèè. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî ïðîäîëæèòü äî ëþáîãî êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè ∆t . Âûâîä: ñèììåòðèÿ ñèñòåìû íå èçìåíÿåòñÿ íè âî âðåìåíè, íè ïîä âîçäåéñòâèåì âíåøíèõ ïîëåé, îíà íîñèò àáñîëþòíûé õàðàêòåð, ñèììåòðè÷íîñòü ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû - èíâàðèàíò ýòîé ñèñòåìû, åå íåëüçÿ èçìåíèòü è äåéñòâèåì âíåøíèõ ïîëåé, òàê êàê ëþáîå âíåøíåå ïîëå äåéñòâóåò îäèíàêîâî íà òîæäåñòâåííûå ÷àñòèöû. Âîçíèêàåò âîïðîñ: ïî êàêîìó êðèòåðèþ ñèñòåìà ÷àñòèö äîëæíà áûòü îòíåñåíà ê îäíîìó èç êëàññîâ ñîñòîÿíèÿ? Ýòîò êðèòåðèé ìû óñòàíîâèì â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå. dΨ =

134

44. Ôåðìèîííûå è áîçîííûå ñèñòåìû. Ïðèíöèï Ïàóëè Èç ïðåäûäóùåãî ñ î÷åâèäíîñòüþ ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå, ê êàêîìó êëàññó ñîñòîÿíèé ïðèíàäëåæèò ñîñòîÿíèå ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö, îïðåäåëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî ïðèðîäîé ýòèõ ÷àñòèö. Îïûòíûì ïóòåì óñòàíîâëåíî, ÷òî ÷àñòèöû, îáëàäàþùèå ñïèíîì, ðàâíûì öåëîìó ÷èñëó ïîñòîÿííûõ Ïëàíêà: s = ms h,

ms = 0,1,2...

(43.1)

îïèñûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè ôóíêöèÿìè Ψs . Áóäåì íàçûâàòü òàêèå ÷àñòèöû áîçîíàìè (â ÷åñòü èíäèéñêîãî ôèçèêà Áîçå, èçó÷àâøåãî ñâîéñòâà òàêèõ ÷àñòèö), à ñèñòåìó (àíñàìáëü) òàêèõ ÷àñòèö ñèñòåìîé Áîçå-Ýéíøòåéíà (Ýéíøòåéí îáîáùèë âûâîäû Áîçå íà âñåâîçìîæíûå àíñàìáëè áîçîíîâ). ×àñòèöû, èìåþùèå ñïèí, ðàâíûé ïîëó öåëîìó ÷èñëó ïîñòîÿííûõ Ïëàíêà: s = m s h, m s =

1 3 , ... 2 2

(43.2)

îïèñûâàþòñÿ àíòèñèììåòðè÷íûìè ôóíêöèÿìè Ψa , ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòèöû íàçûâàþòñÿ ôåðìèîíàìè (â ÷åñòü èòàëüÿíñêîãî ôèçèêà Ôåðìè), à àíñàìáëü òàêèõ ÷àñòèö -àíñàìáëåì Ôåðìè-Äèðàêà (Äèðàê ïîñòðîèë êâàíòîâóþ ýëåêòðîäèíàìèêó äëÿ ýëåêòðîíîâ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ôåðìèîíàìè). Ïðèíàäëåæíîñòü ñëîæíîé ñèñòåìû ê òîìó èëè èíîìó àíñàìáëþ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ÷èñëîì è êëàññîì ñîñòàâëÿþùèõ ñëîæíóþ ñèñòåìó ÷àñòèö. Íàïðèìåð, àòîì âîäîðîäà ñîäåðæèò äâà ôåðìèîíà (ïðîòîí è ýëåêòðîí), èõ ñóììàðíûé ñïèí (â ïðîåêöèè íà êàêîå-ëèáî íàïðàâëåíèå) áóäåò öåëî÷èñëåííûì (0 èëè 1 â åäèíèöàõ ïîñòîÿííîé Ïëàíêà), àòîì âîäîðîäà îêàçûâàåòñÿ áîçîíîì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òÿæåëûé âîäîðîä ñîäåðæèò â ÿäðå ïðîòîí è íåéòðîí, à â îáîëî÷êå - îäèí ýëåêòðîí, âñåãî òðè ôåðìèîíà. Ïðîåêöèÿ èõ ñóììàðíîãî ñïèíà íà íåêîòîðîå íàïðàâëåíèå áóäåò ïîëó öåëûì ÷èñëîì â åäèíèöàõ ïîñòîÿííîé Ïëàíêà. Ñëåäîâàòåëüíî, òÿæåëûé âîäîðîä - ôåðìèîí. Åùå çàäîëãî äî ñîçäàíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè øâåéöàðñêèé ôèçèê Ïàóëè, àíàëèçèðóÿ ñïåêòðîñêîïè÷åñêèå äàííûå, ââåë íîâûé ôèçè÷åñêèé ïðèíöèï, êîòîðîìó äîëæíû ïîä÷èíÿòüñÿ ÷àñòèöû ñ ïîëó öåëûì ñïèíîì (â åäèíèöàõ ïîñòîÿííîé Ïëàíêà), ò.å. â íàøåé êëàññèôèêàöèè ôåðìèîíû. Ýòîò ïðèíöèï (ïðèíöèï Ïàóëè ) óòâåðæäàåò, ÷òî â îäíîì êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè íå ìîæåò íàõîäèòñÿ áîëåå îäíîãî ýëåêòðîíà (ôåðìèîíà). Âûøå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà â àòîìå çàäàåòñÿ ÷åòâåðêîé êâàíòîâûõ ÷èñåë, ñëåäîâàòåëüíî, ïðèíöèï Ïàóëè óòâåðæäàåò, ÷òî â àòîìå íå 135

ìîæåò áûòü äâóõ ýëåêòðîíîâ ñ îäèíàêîâûì íàáîðîì âñåõ ÷åòûðåõ êâàíòîâûõ ÷èñåë. Ïîëó÷èì åùå îäíó ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëèðîâêó ïðèíöèïà Ïàóëè, èñõîäÿ èç àíòèñèììåòðè÷íîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè ôåðìèîíîâ. Ïóñòü â ñèñòåìå ñîäåðæèòñÿ äâà ýëåêòðîíà. Ýòîò àíñàìáëü îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé

ôóíêöèåé Ψ (n1 , n 2 ) , ãäå ÷èñëà n i - ýòî ïîëíûé íàáîð êâàíòîâûõ ÷èñåë, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíîâ â àíñàìáëå.  ñèëó àíòèñèììåòðè÷íîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè ôåðìèîíîâ ìîæíî ñîñòàâèòü òàêîå ðàâåíñòâî : Ψ (n1 , n 2 ) = − Ψ (n 2 , n1 ). Ñäåëàåì äîïóùåíèå, ÷òî îáà ýëåêòðîíà íàõîäÿòñÿ â îäíîì è òîì æå

êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè, ò.å. n1 = n 2 .Òîãäà Ψ (n1 , n1 ) = − Ψ (n1 , n1 ), ÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî

Ψ (n1 , n1 ) ≡ 0. Òàêèì îáðàçîì, àíòèñèììåòðè÷íîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè – ýòî èíîå âûðàæåíèå ïðèíöèïà Ïàóëè.

45. Ïîñòðîåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè äâóõ ôåðìèîíîâ  íóëåâîì ïðèáëèæåíèè, êîãäà ïðåíåáðåãàåì ñïèí-îðáèòàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì, ïîëíóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ ñîñòîÿíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäå ïðîèçâåäåíèÿ êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè íà ñïèíîâóþ. Ïðè ýòîì ìû ó÷èòûâàåì, ÷òî ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèáëèæåíèè íå çàâèñèò îò êîîðäèíàòíîãî è íà îñíîâàíèè òåîðåìû óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé ïîëó÷àåì: Ψ =ψ ⋅ S (44.1) Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà èç ôåðìèîíîâ, òî ôóíêöèÿ (44.1) äîëæíà áûòü àíòèñèììåòðè÷íîé. Åå àíòèñèììåòðè÷íîñòü ìîæíî ïîñòðîèòü ñëåäóþùèìè êîìáèíàöèÿìè: Ψa = ψ s S a ,

(44.2)

ëèáî Ψa = ψ a S s . (44.3) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìåþùèåñÿ äâà ôåðìèîíà (äëÿ îïðåäåëåííîñòè äâà ýëåêòðîíà) íå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé (íóëåâîå ïðèáëèæåíèå).

136

Ðåøàÿ óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ êàæäîãî ýëåêòðîíà, ïîëó÷èì äâå êîîðäèíàòíûå âîëíîâûå ôóíêöèè ϕ n1

è ϕ n2 , ãäå ïîä n1 è n 2 ïîíèìàåò-

ñÿ ïîëíûé íàáîð õàðàêòåðèñòèê, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíîâ. Èç ýòèõ îäíîýëåêòðîííûõ êîîðäèíàòíûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé ìîæíî ñîñòàâèòü äâå êîìáèíàöèè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îáëàäàåò îïðåäåëåííîé ñèììåòðèåé. Äåéñòâèòåëüíî, êîìáèíàöèÿ

ψ s = ϕ n1 (1)ϕ n2 (2) + ϕ n1 ( 2)ϕ n2 (1)

(44.4)

ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé êîîðäèíàòíîé ôóíêöèåé äâóõ ýëåêòðîíîâ.  ýòîì ëåãêî óáåäèòñÿ, åñëè ïåðåñòàâèòü ìåñòàìè öèôðû, ñèìâîëèçèðóþùèå ýëåêòðîíû, ìû ïîëó÷èì òó æå êîìáèíàöèþ îäíîýëåêòðîííûõ êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé. Èç òåõ æå îäíîýëåêòðîííûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé ïîñòðîèì âîëíîâóþ ôóíêöèþ äâóõ ýëåêòðîíîâ, êîòîðàÿ áóäåò àíòèñèììåòðè÷íîé :

ψ a = ϕ n1 (1)ϕ n2 (2) − ϕ n1 ( 2)ϕ n2 (1) .

(44.5)

Ïðîâåðèì, ÷òî ôóíêöèÿ (44.5) ÿâëÿåòñÿ àíòèñèììåòðè÷íîé, äëÿ ÷åãî ïðîèçâåäåì ïåðåñòàíîâêó ÷àñòèö â ñîñòîÿíèÿõ:

ψ a ( 2,1) = ϕ n1 ( 2)ϕ n2 (1) − ϕ n1 (1)ϕ n2 (2) = −ψ a (1,2) . ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ñîñòàâèì îáùóþ ñïèíîâóþ ôóíêöèþ äâóõ ýëåêòðîíîâ, èñïîëüçóÿ èõ îäíîýëåêòðîííûå ñïèíîâûå ôóíêöèè (â òîì æå íóëåâîì ïðèáëèæåíèè). Âîçìîæíû ñëåäóþùèå êîìáèíàöèè: S 1 (1) S 1 (2), 2

S

−

2 1 (1) S 2

−

(44.6)

1 ( 2). 2

Ñèììåòðè÷íîñòü êîìáèíàöèé (44.6) î÷åâèäíà. Ñîñòàâèì åùå îäíó êîìáèíàöèþ îäíîýëåêòðîííûõ ñïèíîâûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé: S

−

1 (1) S 1 2 2

(2) + S 1 (1) S 2

−

1 2

(2).

(44.7)

Ëåãêî ïðîâåðèòü, êàê ìû ñäåëàëè ýòî ñ êîîðäèíàòíîé ôóíêöèåé, ÷òî òàêàÿ êîìáèíàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ôóíêöèåé äâóõ ýëåêòðîíîâ. Èòàê, èç îäíîýëåêòðîííûõ ñïèíîâûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé ìû ïîñòðîèëè òðè ñèììåòðè÷íûå êîìáèíàöèè. Íî àíòèñèììåòðè÷íóþ êîìáèíàöèþ óäàñòñÿ ïîñòðîèòü òîëüêî îäíó:

137

S

−

1 (1) S 1 2 2

(2) − S 1 (1) S 2

−

1 ( 2). 2

(44.8)

Ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ñèììåòðè÷íîå ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå òðèæäû âûðîæäåíî, ãîâîðÿò î òðèïëåòíîì âûðîæäåíèè ïî ñïèíó. Àíòèñèììåòðè÷íîå ñîñòîÿíèå – îäíîêðàòíîå, ñèíãëåòíîå, ñïèíû ÷àñòèö â ýòîì ñîñòîÿíèè íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû è ïåðïåíäèêóëÿðíû èçáðàííîìó íàïðàâëåíèþ (â òðèïëåòíîì ñîñòîÿíèè ñïèíû îäíîíàïðàâëåíû è íà èçáðàííîå íàïðàâëåíèå äàþò öåëî÷èñëåííóþ ïðîåêöèþ â åäèíèöàõ h :+1, -1, 0). Òàê êàê äâà ýëåêòðîíà ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû îáðàçóþò àíñàìáëü ôåðìèîíîâ, òî èõ ïîëíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü àíòèñèììåòðè÷íîé. Íî äëÿ ïîëó÷åíèÿ àíòèñèììåòðè÷íîñòè ïîëíîé âîëíîâîé ôóíêöèè ìîæíî ñîñòàâèòü ñëåäóþùèå êîìáèíàöèè êîîðäèíàòíîé è ñïèíîâîé âîëíîâûõ ôóíêöèé ýòèõ äâóõ ÷àñòèö (44.2) è (44.3): Ψa = ψ s S a ,

( 44.2)

Ψa = ψ a S s .

(44.3)

Ïîëíîé âîëíîâîé ôóíêöèè (44.2) ñîîòâåòñòâóåò îäíî íåâûðîæäåííîå ñîñòîÿíèå àíñàìáëÿ äâóõ ýëåêòðîíî⠖ ñèíãëåòíîå ñîñòîÿíèå, à ïîëíîé âîëíîâîé ôóíêöèè (44.3) – òðèæäû âûðîæäåííîå ýëåêòðîííîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû – òðèïëåòíîå.

46. Ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ àòîìà ãåëèÿ Òîëüêî îäíà ðåàëüíàÿ ôèçè÷åñêàÿ çàäà÷à èìååò â êâàíòîâîé ìåõàíèêå òî÷íîå ðåøåíèå. Ýòî çàäà÷à î ñîñòîÿíèÿõ àòîìà âîäîðîäà. Íà÷èíàÿ ñ àòîìà ãåëèÿ íå ñóùåñòâóåò òî÷íûõ ðåøåíèé ñëîæíûõ àòîìíûõ ñèñòåì. Äëÿ ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ çàäà÷ èñïîëüçóþòñÿ ïðèáëèæåííûå ìåòîäû êàê-òî ìåòîä òåîðèè âîçìóùåíèé, ñòàòèñòè÷åñêèé ìåòîä, âàðèàöèîííûé ìåòîä è èõ âàðèàíòû. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î ñîñòîÿíèÿõ àòîìà ãåëèÿ ïðèìåíèì ìåòîä òåîðèè âîçìóùåíèé. Ñîñòàâèì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ äàííîé çàäà÷è. Ïðè÷åì, ïîñêîëüêó ñïèíîâàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ íå çàâèñèò îò êîîðäèíàò, òî óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ äàííîé çàäà÷è áóäåò ñîñòàâëåíî òîëüêî äëÿ êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè.  îáùåì âèäå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà èìååò âèä: (45.1) Hˆ Ψ = EΨ Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, òàê êàê íàñ èíòåðåñóåò îñíîâíîå ñîñòîÿíèå àòîìà ãåëèÿ. Ñîñòàâèì îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà äëÿ äàííîé çàäà÷è: 138

h2 h2 e2 2e 2 2e 2 Hˆ = − ∆1 − ∆2 − − + , 2m 2m 4πε 0 r1 4πε 0 r2 4πε 0 r12

(45.2)

ãäå ïåðâûå äâà ÷ëåíà – ýòî îïåðàòîðû êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ â àòîìå ãåëèÿ, ñëåäóþùèå äâà ÷ëåíà – ýòî îïåðàòîðû ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ ñ ÿäðîì àòîìà, çàðÿä êîòîðîãî ðàâåí 2å, ïîñëåäíèé ÷ëåí ñèìâîëèçèðóåò âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñîáîé. Áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Èñêëþ÷èì â íóëåâîì ïðèáëèæåíèé ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ýëåêòðîíàìè. Òîãäà ãàìèëüòîíèàí ïðèíèìàåò âèä: h2 h2 2e 2 2e 2 ∆1 − ∆2 − − , Hˆ 0 = − 2m 2m 4πε 0 r1 4πε 0 r2

(45.3)

Îòáðàñûâàÿ ïîñëåäíèé ÷ëåí â ãàìèëüòîíèàíå (45.2), ìû ñâîäèì çàäà÷ó ê äâóì íåâçàèìîäåéñòâóþùèì ýëåêòðîíàì, à ïîòîìó âîëíîâóþ ôóíêöèþ ýòîé ñèñòåìû ìîæíî ñîñòàâèòü íà îñíîâàíèè òåîðåìû óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé â âèäå:

Ψ0 = ϕ n1 (1) ⋅ ϕ n2 ( 2) .

(45.4)

Åñëè ôóíêöèþ (45.4) ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ñ îïåðàòîðîì Ãàìèëüòîíà â âèäå (45.3), òî ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü ïðîèçâåñòè ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ:

-

−

h2 h2 2e 2 ∆ 1ϕ n1 (1)ϕ n2 ( 2) − ϕ n1 (1)ϕ n2 ( 2) − ∆ 2ϕ n1 (1)ϕ n2 (2) − 2m 4πε 0 r1 2m

−

2e 2 ϕ n (1)ϕ n2 (2) = Eϕ n1 (1)ϕ n2 ( 2). 4πε 0 r2 1

Ðàçäåëèì îáå ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà íà Ψ0 = ϕ n1 (1)ϕ n2 ( 2) : h2 h2 ϕ n2 ( 2 ) ϕ n1 (1) 2 2e 2e 2 2m ∆ 1ϕ n1 (1) − − 2m ∆ 2ϕ n2 ( 2) − =E 4πε 0 r1 ϕ n1 (1)ϕ n2 ( 2) 4πε 0 r2 ϕ n1 (1)ϕ n2 ( 2) −

Òàê êàê ýëåêòðîíû íå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé, òî ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû äâóõ ýëåêòðîíîâ ðàâíà: E = E10 + E 20 .

Ïîäñòàâèì ýòó ñóììó â ïðàâóþ ñòîðîíó ïðåäûäóùåãî ðàâåíñòâà è ïåðåãðóïïèðóåì ÷ëåíû: 139

h2 − h2 2 2 2 e 2m ∆ ϕ (1) − 2 m ∆ ϕ ( 2) + 2 e + E . E − = − 1 n1 10 2 n2 20 4πε 0 r1 4πε 0 r2 ϕ n1 ϕ n2

−

Ñëåâà â ýòîì ðàâåíñòâå ñòîÿò âåëè÷èíû, îòíîñÿùèåñÿ ê ïåðâîìó ýëåêòðîíó, ñïðàâà – êî âòîðîìó. Ýòî ðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ âñåãäà è âåçäå, à ýòî âîçìîæíî, åñëè êàæäàÿ ñòîðîíà ðàâåíñòâà – ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, â ÷àñòíîñòè, îíà ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Òîãäà ìû ïîëó÷àåì äâà îäíîòèïíûõ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, êàæäîå èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå îäíîãî èç ýëåêòðîíîâ: −

−

h2 2m

∆ 1ϕ n 1 (1) −

2e 2 4πε 0 r1

ϕ n 1 (1) = E 10ϕ n 1 (1),

h2 2e 2 ∆ 2ϕ n2 ( 2) − ϕ n2 (2) = E 20ϕ n2 ( 2) . 2m 4πε 0 r

Êàæäîå èç ýòèõ óðàâíåíèé ïîäîáíî óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà äëÿ àòîìà âîäîðîäà òîëüêî ñ òåì îòëè÷èåì, ÷òî çàðÿä ÿäðà â äâà ðàçà áîëüøå, ÷åì â àòîìå âîäîðîäà. Çàäà÷à äëÿ àòîìà âîäîðîäà ðåøàåòñÿ ñòðîãî è, òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì íàéòè âîëíîâûå ôóíêöèè ϕ n1 (1), ϕ n2 ( 2) , à òàêæå èõ ýíåðãèè E10 , E 20 . Ñëåäóþùèé ýòàï ðåøåíèÿ çàäà÷è – ó÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñîáîé. Íî â ýòîì ñëó÷àå ìû äîëæíû ñîñòàâèòü îáùóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ äëÿ ñèñòåìû äâóõ ýëåêòðîíîâ, èñïîëüçóÿ èõ îäíîýëåêòðîííûå âûðàæåíèÿ, íàéäåííûå íàìè â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè. Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, èç îäíîýëåêòðîííûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé â ñëó÷àå äâóõ ýëåêòðîíîâ ìîæíî ñîñòàâèòü äâå êîìáèíàöèè, îáëàäàþùèå îïðåäåëåííîé ñèììåòðèåé: ñèììåòðè÷íóþ è àíòèñèììåòðè÷íóþ êîìáèíàöèè: Ψs ,a = ϕ n1 (1)ϕ n2 ( 2) ± ϕ n1 ( 2)ϕ n2 (1).

Ýòè âîëíîâûå ôóíêöèè íåîáõîäèìî ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ñ ïîëíûì ãàìèëüòîíèàíîì. Ïðè ýòîì ÷ëåí, ñâÿçàííûé ñ âçàèìîäåéñòâèåì ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñîáîé: e2 4πε 0 r12

âûñòóïàåò â êà÷åñòâå “âîçìóùåíèÿ” ïî îòíîøåíèþ ê äâóì íåâçàèìîäåé140

ñòâóþùèì ýëåêòðîíàì. Åñëè ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà âîëíîâóþ ôóíêöèþ Ψs,a , çàòåì óìíîæèòü ñëåâà íà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííóþ ôóíêöèþ Ψs ,a ∗ , îò ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ âçÿòü èíòåãðàë ïî îáëàñòè íàõîæäåíèÿ îáîèõ ýëåêòðîíîâ, òî ñðåäè ÷ëåíîâ èíòåãðèðîâàíèÿ ìû ïîëó÷èì ñëåäóþùèé èíòåãðàë:

∫

Ψs ,a ∗

e2 Ψs ,a dτ 1dτ 2 ., 4πε 0 r12

êîòîðûé íåîáõîäèìî ðàññ÷èòàòü, ïîäñòàâëÿÿ ñèììåòðè÷íóþ è àíòèñèììåòðè÷íóþ âîëíîâûå ôóíêöèè Ψs,a è Ψs,a ∗ . Ýíåðãèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû äâóõ ýëåêòðîíîâ ïðè ó÷åòå èõ âçàèìîäåéñòâèÿ áóäåò ðàâíà: E = E 1, 0 + E 2,0 + K ± A,

(45.5)

ãäå ïîä ñèìâîëàìè À è Ê ïîíèìàþòñÿ ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ : A=

∗ e 2. 1 ϕ n1 (1)ϕ n 2 ∗ ( 2) ϕ n1 ( 2)ϕ n 2 (1)dτ 1dτ 2 , 4πε 0 r12

K=

∗ e2 1 ϕ n1 (1)ϕ n1 (1) ϕ n 2 ∗ ( 2)ϕ n 2 (2)dτ 1dτ 2 . 4πε 0 r12

∫

∫

(45.6)

 ôîðìóëå (45.5) ó ïîñëåäíåãî ÷ëåíà ñòîÿò äâà çíàêà, âåðõíèé (+) áåðåòñÿ òîãäà, êîãäà èñïîëüçóåòñÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äâóõ ýëåêòðîíîâ. Ñîîòâåòñòâåííî, çíàê (-) ñòàâèòñÿ òîãäà, êîãäà áûëà èñïîëüçîâàíà àíòèñèììåòðè÷íàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýòèõ ýëåêòðîíîâ. Âåëè÷èíà Ê â ôîðìóëå (45.6) ïîëó÷èëà íàçâàíèå êóëîíîâñêîãî èíòåãðàëà è îïðåäåëÿåò êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèé àíàëîã êóëîíîâñêîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ýëåêòðîíîâ. Ìû ãîâîðèì îá àíàëîãå, òàê êàê â çàêîíå Êóëîíà ôèãóðèðóþò òî÷å÷íûå çàðÿäû.  íàøåé æå çàäà÷å ðàññìàòðèâàþòñÿ îáëàêà âåðîÿòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ýëåêòðîíîâ. Âåëè÷èíà À â ôîðìóëå (45.6) íàçûâàåòñÿ îáìåííûì èíòåãðàëîì, îíà èìååò ÷èñòî êâàíòîâîå ïðîèñõîæäåíèå, îáóñëîâëåííîå îáìåíîì ýëåêòðîíîâ â ñîñòîÿíèÿõ (1) è (2). 141

Äî ñèõ ïîð ìû íå ó÷èòûâàëè íàëè÷èå ó ýëåêòðîíîâ ñïèíîâ. Ýòî ìîæíî áûëî ñäåëàòü ïîòîìó, ÷òî îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà íå ñîäåðæèò äåéñòâèé íà ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå. Íî ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå îïðåäåëÿåò ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû. Èç ñïèíîâûõ ôóíêöèé ìû ñîñòàâèëè ñèììåòðè÷íóþ è àíòèñèììåòðè÷íóþ êîìáèíàöèè ñïèíîâûõ ôóíêöèé äâóõ ýëåêòðîíîâ, ïðè÷åì ñèììåòðè÷íóþ êîìáèíàöèþ ìû ñîñòàâèëè â òðåõ âàðèàíòàõ. Ïîëíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû ýëåêòðîíîâ äîëæíà áûòü àíòèñèììåòðè÷íîé ïî îòíîøåíèþ îáìåíà ýëåêòðîíîâ èõ ñîñòîÿíèÿìè, òàê êàê ýëåêòðîíû – ôåðìèîíû. Åñëè ìû âîçüìåì ñèììåòðè÷íóþ êîîðäèíàòíóþ ôóíêöèþ, òî ñïèíîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü âçÿòà àíòèñèììåòðè÷íîé. Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, òàêàÿ ïîëíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äâóõ ýëåêòðîíîâ îïðåäåëÿåò ñèíãëåòíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû. Åñëè æå âçÿòà àíòèñèììåòðè÷íàÿ êîîðäèíàòíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, òî ñïèíîâàÿ äîëæíà áûòü ñèììåòðè÷íîé, â ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà èç äâóõ ýëåêòðîíîâ áóäåò íàõîäèòñÿ â òðèïëåòíîì ñîñòîÿíèè. Âñå, ÷òî ñêàçàíî âûøå, èìååò ïðÿìîå îòíîøåíèå ê ýëåêòðîíàì, îáðàçóþùèõ ýëåêòðîííóþ îáîëî÷êó àòîìà ãåëèÿ.  ñëó÷àå ñèíãëåòíîãî ñîñòîÿíèÿ àòîìû ãåëèÿ íàçûâàþòñÿ ïàðàãåëèé, â òðèïëåòíîì ñîñòîÿíèè àòîìû ãåëèÿ íàçûâàþòñÿ îðòîãåëèé. Ó ïàðàãåëèÿ ñïèíû ýëåêòðîíîâ íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû, ñëåäîâàòåëüíî, ñóììàðíûé ñïèíîâûé ìîìåíò ýëåêòðîííîé îáîëî÷êè àòîìà ãåëèÿ ðàâåí íóëþ. Íà îñíîâàíèé ãèðîìàãíèòíîãî ñîîòíîøåíèÿ ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî è ñóììàðíûé ñïèíîâûé ìàãíèòíûé ìîìåíò ýëåêòðîííîé îáîëî÷êè àòîìà ïàðàãåëèÿ ðàâåí íóëþ. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â íîðìàëüíîì ñîñòîÿíèè àòîìû ïàðàãåëèÿ íå ìàãíèòíû, òî åñòü ïàðàãåëèé – äèàìàãíåòèê. Ñîîòâåòñòâåííî, îðòîãåëèé, â àòîìàõ êîòîðîãî ñïèíîâûå ìàãíèòíûå ìîìåíòû îáîèõ ýëåêòðîíîâ îäíîíàïðàâëåíû, ÿâëÿåòñÿ ïàðàìàãíòèêîì.  îòñóòñòâèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ èç-çà òåïëîâîãî äâèæåíèÿ àòîìîâ, èõ ìàãíèòíûå ìîìåíòû ðàçîðèåíòèðîâàíû è â ñðåäíåì ðåçóëüòèðóþùèé ìîìåíò îðòîãåëèÿ ðàâåí íóëþ. Ïðè âêëþ÷åíèè æå âíåøíåãî ïîëÿ è åãî óâåëè÷åíèè íàìàãíè÷èâàíèå îðòîãåëèÿ íà÷èíàåò íàðàñòàòü âïëîòü äî íàñûùåíèÿ Ïðè ýòîì íóæíî èìåòü ââèäó, ÷òî îäíîâðåìåííî âîçíèêàåò íàìàãíè÷èâàíèå, îáóñëîâëåííîå ÿâëåíèåì ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè ñ 142

ó÷åòîì ïðàâèëà Ëåíöà – ýòî òàê íàçûâàåìûé äèàìàãíèòíûé ýôôåêò. Íàìàãíè÷èâàíèå ïðîèñõîäèò ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ âíåøíåãî ïîëÿ, Ïîýòîìó äèàìàãíèòíûé ýôôåêò îñëàáëÿåò âíåøíåå ïîëå. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî äèàìàãíèòíûé ýôôåêò ïðèñóù âñåì âåùåñòâàì, ïîìåùåííûì âî âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå, íî â ïàðàìàãíåòèêàõ ïàðàìàãíèòíûé ýôôåêò îêàçûâàåòñÿ ïðåîáëàäàþùèì. Òî æå ÿâëåíèå ìû íàáëþäàåì è â ôåððîìàãíåòèêàõ, íî ïðèðîäà ôåððîìàãíåòèçìà ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷íà îò ïðèðîäû äèàìàãíåòèçìà è ïàðàìàãíåòèçìà, îáóñëîâëåííûõ îðáèòàëüíûì äâèæåíèåì ýëåêòðîíîâ â àòîìàõ.

47. Êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå ðàññìîòðåíèå çàïîëíåíèÿ òàáëèöû õèìè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ Ä.È. Ìåíäåëååâà Ðàñïîëîæåíèå õèìè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ â òàáëèöå Ä.È. Ìåíäåëååâà íàøëî ñâîå òåîðåòè÷åñêîå îáúÿñíåíèå â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ââåäÿ âûøå êâàíòîâûå ÷èñëà, îïðåäåëÿþùèå ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà â àòîìíîé îáîëî÷êå, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå îïðåäåëÿåòñÿ ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì n, êîòîðîå ìîæåò ïðèíèìàòü ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ öåëûõ ÷èñåë: 1, 2… Îðáèòàëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî l , îïðåäåëÿþùåå ðàçìåð è ôîðìó ýëåêòðîííîãî îáëàêà âåðîÿòíîñòè, ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ îò íóëÿ äî (n-1). Äàëåå, îò ìàãíèòíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà m çàâèñèò ïðîåêöèÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà íà âûäåëåííîå íàïðàâëåíèå, îíî ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îò –l äî +l. Ïðè äàííîì n, áëàãîäàðÿ âîçìîæíûì çíà÷åíèÿì êâàíòîâûõ ÷èñåë l è m, ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà â àòîìå îêàçûâàåòñÿ âûðîæäåííûì n 2 ðàç. Åñëè ó÷åñòü åùå è ñïèíîâîå êâàíòîâîå ÷èñëî s, òî ñòåïåíü âûðîæäåíèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ â äâà ðàçà: N=2 n 2 . Èìåííî ýòî ÷èñëî îïðåäåëÿåò ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ ñ äàííûì ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì. Âñå ýòè ýëåêòðîíû çàïîëíÿþò îäíó è òó æå îáîëî÷êó, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ãëàâíîå êâàíòîâîå ÷èñëî n. Äàëåå ìû âîñïîëüçóåìñÿ ñïåêòðîñêîïè÷åñêîé ñèìâîëèêîé: îáîëî÷êà ñ n=1 íàçûâàåòñÿ Ê îáîëî÷êà, åñëè n=2, òî îáîëî÷êà íàçûâàåòñÿ L – îáîëî÷êîé è ò.ä.  êàæäîé îáîëî÷êå ýëåêòðîíû çàïîëíÿþò îïðåäåëåííûå ñëîè, äëÿ ýòèõ ýëåêòðîíîâ îáùèì ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèå îðáèòàëüíîãî êâàíòîâîî ÷èñëà. Ñëîé, îïðåäåëÿåìûé çíà÷åíèåì l=0, ñîäåðæèò ýëåêòðîíû â s – ñîñòîÿíèè, åñëè l =1, òî ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ð – ñîñòîÿíèå, äàëåå – d – ñî143

ñòîÿíèå è ò.ä. Ëåãêî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî â Ê – îáîëî÷êå ìàêñèìàëüíî ìîæåò íàõîäèòñÿ äâà ýëåêòðîíà, â L – îáîëî÷êå - 8 ýëåêòðîíîâ è ò.ä. Çàïîëíåíèå ñîñòîÿíèé ïîä÷èíÿåòñÿ äâóì çàêîíàì: 1. Ýýíåðãåòè÷åñêîé âûãîäíîñòè äàííîãî ñîñòîÿíèÿ; 2. Ïðèíöèïó Ïàóëè. Çàïèøåì ñèìâîëè÷åñêè ýëåêòðîííîå ñîñòîÿíèå åäèíñòâåííîãî ýëåê1 òðîíà â àòîìå âîäîðîäà : 1s . Ó ïàðàãåëèÿ îáà ýëåêòðîíà ðàñïîëàãàþòñÿ â Ê – îáîëî÷êå : 1s 2 , ó îðòîãåëèÿ ñïèíû ýëåêòðîíîâ îäíîíàïðàâëåíû, ïîýòîìó ó ýòèõ ýëåêòðîíîâ âñå 4 êâàíòîâûõ ÷èñëà îêàçûâàþòñÿ îäèíàêîâûìè, ÷òî íåäîïóñòèìî ïî ïðèíöèïó Ïàóëè. Ïîýòîìó îäèí èç ýëåêòðîíîâ â àòîìå ãåëèÿ çàíèìàåò ñîñòîÿíèå â ñëåäóþùåé îáîëî÷êå, ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíîâ â îðòîãåëèè òàêîâà: 1s 1 2 s 1 . Òàê êàê ýëåêòðîííàÿ Ê – îáîëî÷êà ó ãåëèÿ îêàçûâàåòñÿ ïîëíîñòüþ çàïîëíåííîé, òî ó ñëåäóþùåãî ýëåìåíòà â òàáëèöå Ä.È.Ìåíäåëååâà íà÷èíàåòñÿ çàïîëíåíèå ñëåäóþùåé L – îáîëî÷êè. Òàê ó ëèòèÿ ñèìâîëèêà ýëåêòðîííîé îáîëî÷êè 2 1 òàêîâà 1s 2 s .  2s – ñîñòîÿíèè ìîæåò íàõîäèòñÿ òîëüêî äâà ýëåêòðîíà, 2 2 ïîýòîìó ó áåðèëèÿ ýòî ñîñòîÿíèå îêàçûâàåòñÿ çàïîëíåííûì: 1s 2 s . Ó ýëåìåíòà áîðà ïÿòûé ýëåêòðîí íà÷èíàåò çàïîëíåíèå ð -ñîñòîÿíèé, íàõîäÿùèõñÿ â L – îáîëî÷êå (íàïîìíèì, ÷òî ïðè l = 1, ìàãíèòíîå êâàíòîâîå ÷èñëî ìîæåò èìåòü çíà÷åíèÿ -1, 0, +1. Ó÷èòûâàÿ äâà çíà÷åíèÿ ñïèíîâîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà, ïîëó÷àåì, ÷òî â ð – ñîñòîÿíèÿõ ìîæåò íàõîäèòñÿ 6 ýëåêòðîíîâ. Ó àòîìà íåîíà L – îáîëî÷êà îêàçûâàåòñÿ ïîëíîñòüþ çàïîëíåííîé è åãî 10 ýëåêòðîíîâ çàíèìàþò ñëåäóþùèå ñîñòîÿíèÿ : 1s 2 2 s 2 2 p 6 . Ïåðâîå îòñòóïëåíèå îò òàêîé “ïðîñòîé” ñõåìû çàïîëíåíèÿ îáíàðóæèâàåòñÿ ó ýëåìåíòà êàëèÿ. Åãî ïîñëåäíèé – 19 –é ýëåêòðîí çàïîëíÿåò íå 3d – ñîñòîÿíèå â Ì - îáîëî÷êå, â êîòîðîì åñòü âàêàíòíûå ìåñòà, à â ñëåäóþùåé ýëåêòðîííîé N- îáîëî÷êå è åãî ýëåêòðîííîå ñîñòîÿíèå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé: 1s 2 2 s 2 2 p 6 3s 2 3 p 6 4 s1 . Êîíå÷íî, íèêàêîãî íàðóøåíèÿ çàêîíîâ ïðèðîäû çäåñü íåò. Äî ñèõ ïîð ìû èñïîëüçîâàëè ÿâíî ïðèíöèï Ïàóëè, íî ïðèíöèï ýíåðãåòè÷åñêîé âûãîäíîñòè çàïîëíåíèÿ ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé âûïîëíÿëñÿ àâòîìàòè÷åñêè. Âñëó÷àå æå êàëèÿ ýòîò ïðèíöèï (ïðèíöèï ýíåðãåòè÷åñêîé âûãîäíîñòè) òðåáóåò, ÷òîáû 19-é ýëåêòðîí êàëèÿ çàíÿë ñîñòîÿíèå 4s, êîòîðîå îêàçûâàåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêè áîëåå âûãîäíûì (ò.å. ðàñïîëîæåííûì “íèæå”), ÷åì ñîñòîÿíèå 3d. Ó ñëåäóþùåãî äàëåå ýëåìåíòà – êàëüöèÿ (¹20) òîæå çàïîëíÿåòñÿ 4s – ñîñòîÿíèå, îäíàêî ó 21 ýëåìåíòà – ñêàí144

äèÿ- ñíîâà ïðîäîëæàåòñÿ çàïîëíåíèå 3d – ñîñòîÿíèÿ â Ì – îáîëî÷êå. Òàêàÿ æå ñèòóàöèÿ ïîâòîðÿåòñÿ ó íèêåëÿ ñ åãî 28 ýëåêòðîíàìè: KL3s 2 3 p 6 3d 8 4 s 2 , ãäå äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè ïîëíîñòüþ çàïîëíåííûå îáîëî÷êè îòîáðàæåíû èõ ñèìâîëàìè. Ñëîé 3d îêàçàëñÿ çàïîëíåííûì íå ïîëíîñòüþ, íî â ñèëó ýíåðãåòè÷åñêîé âûãîäíîñòè íà÷àëîñü çàïîëíåíèå ñîñòîÿíèÿ 4s. Îäíàêî, óæå ó ñëåäóþùåãî ýëåìåíòà ìåäè (ñ 29 ýëåêòðîíàìè) ïðîèñõîäèò åùå áîëüøåå “íàðóøåíèå” ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: KL3s 2 3 p 6 3d 10 4 s1 . Ïîäîáíûå ñèòóàöèè ìû âñòðå÷àåì è äàëåå ó ýëåìåíòîâ ðóáèäèÿ è ñòðîíöèÿ, ó êîòîðûõ îáîëî÷êà N îêàçûâàåòñÿ íåçàïîëíåííîé, à óæå íà÷èíàåòñÿ çàïîëíåíèå îáîëî÷êè Î. Åùå îäíî êðóïíîå îòêëîíåíèå îò “èäåàëüíîñòè” çàïîëíåíèÿ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíîâ íà÷èíàåòñÿ â òàê íàçûâàåìîé ãðóïïå ðåäêîçåìåëüíûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðàÿ íà÷èíàåòñÿ ñ ýëåìåíòà ëàíòàíà, ïîýòîìó âñÿ ãðóïïà ýëåìåíòîâ íàçûâàåòñÿ ëàíòàíîèäàìè (57-71). Ñóùåñòâóåò åùå îäíà ãðóïïà ýëåìåíòîâ ñ îäèíàêîâûìè õèìè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè. Ïåðâûì ýëåìåíòîì òàêîé ãðóïïû ýëåìåíòîâ ÿâëÿåòñÿ àêòèíèé (89), âñÿ ãðóïïà ïîëó÷èëà íàçâàíèå àêòèíîèäû. È ó ëàíòàíîèäîâ è ó àêòèíîèäîâ ñîîòâåòñòâåííî ïîñòîÿííîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ íà âíåøíåì ñëîå, èìåííî ïîýòîìó îíè ïðîÿâëÿþò îäèíàêîâûå õèìè÷åñêèå ñâîéñòâà. Îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî õèìè÷åñêèå ñâîéñòâ (â òîì ÷èñëå âàëåíòíîñòü) îïðåäåëÿåòñÿ ýëåêòðîíàìè âî âíåøíåì ñëîå(íèæå ìû óòî÷íèì ïðèðîäó õèìè÷åñêèõ ñâÿçåé). Ê àêòèíîèäàì îòíîñÿòñÿ íå òîëüêî èìåþùèåñÿ íà Çåìëå ýëåìåíòû, íî òàêæå è òðàíñóðàíîâûå ýëåìåíòû, ïîëó÷åííûå ó÷åíûìè â ýêñïåðèìåíòàõ ñ ýëåìåíòàðíûìè ÷àñòèöàìè. Ïîñòðîåííàÿ íàìè êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ â òàáëèöå Ä.È. Ìåíäåëååâà, êîíå÷íî, ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííîé. Íàïðèìåð, ìû íå ó÷èòûâàëè âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñîáîé, íå òîëüêî ýëåêòðè÷åñêîå, íî è ìàãíèòíîå. Êîíå÷íî, ýòî îïðåäåëèò áîëåå òîíêèå ýôôåêòû â ñâîéñòâàõ ýëåìåíòîâ, íî íå íàðóøèò ïðèíöèïèàëüíî ïîñòðîåííóþ íàìè êàðòèíó.

145

48. Ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ ìîëåêóëû âîäîðîäà. Ïðèðîäà õèìè÷åñêîé ñâÿçè Ñëåäóþùåé çàäà÷åé, êîòîðóþ ìû áóäåì ðåøàòü ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à îá ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèÿõ ìîëåêóëû âîäîðîäà. Âîñïîëüçóåìñÿ èäååé, íà êîòîðîé áûëî ïîñòðîåíî ðåøåíèå îá ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèÿõ àòîìà ãåëèÿ: ñâåñòè çàäà÷ó ê çàäà÷å îá àòîìå âîäîðîäà. Ñõåìà ìîëåêóëû âîäîðîäà èçîáðàæåíà íà ðèñ.13.

Ðèñ. 13. Ñîñòàâèì ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû : e2 e2 e2 e2 h2 h2 ∆1 − ∆2 − − − − + Hˆ = − 2m 2m 4πε 0 ra1 4πε 0 rb 2 4πε 0 ra 2 4πε 0 rb1 +

(47.1)

e2 e2 + . 4πε 0 R0 4πε 0 r12

 êà÷åñòâå íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ âîçüìåì ãàìèëüòîíèàí äâóõ èçîëèðîâàííûõ àòîìîâ âîäîðîäà (ýòî ïåðâûå 4 ñëàãàåìûõ â ôîðìóëå (47.1). Òîãäà îñòàëüíûå 4 ÷ëåíà ñîñòàâëÿþò ýíåðãèþ âîçìóùåíèÿ. Çíàÿ òî÷íûå ðåøåíèÿ äëÿ àòîìîâ âîäîðîäà, ìû ñîñòàâèì èç íèõ ñèììåòðè÷íóþ è àíòèñèììåòðè÷íóþ êîìáèíàöèè .Ýòî ïîçâîëèò íàì ïåðåéòè ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ñ ïîëíûì ãàìèëüòîíèàíîì (47.1). Ïîñëåäóþùåå óìíîæåíèå ÷ëåíîâ ýòîãî óðàâíåíèÿ íà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííóþ ôóíêöèþ è èíòåãðèðîâàíèå âñåõ ÷ëåíîâ ïî ïðîñòðàíñòâó “ðàçìàçàííîñòè “ ýëåêòðîííûõ îáëàêîâ âåðîÿòíîñòè, ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé ôîðìóëå äëÿ ýíåðãèè ìîëåêóëû âîäîðîäà â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè: 146

E = E10 + E 20 +

K±A

(47.2)

1± S2

∫ A = ∫ ϕ n1 (1)ϕ n1 ( 2)Vϕ n 2 (1)ϕ n 2 ( 2)dτ 1dτ 2 , S = ∫ ϕ n1 (1)ϕ n 2 (1)ϕ n 2 (1)ϕ n 2 ( 2)dτ 1dτ 2 , 2

2

K = ϕ n1 (1) V ϕ n 2 ( 2) dτ 1dτ 2 ,

e2 V =− 4πε 0

 1 1 1 1  + − −  râ1 rà 2 R0 r12

(47.3)

 . 

Âûÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòèõ èíòåãðàëîâ (ïîä V, î÷åâèäíî, ïîíèìàåòñÿ ýíåðãèÿ âîçìóùåíèÿ, îáóñëîâëåííàÿ ïåðåñòàíîâêîé ýëåêòðîíîâ ïî ñîñòîÿíèÿì, âçàèìîäåéñòâèåì ÿäåð àòîìîâ ìîëåêóëû âîäîðîäà è âçàèìîäåéñòâèåì ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñîáîé). Âåëè÷èíà Ê , êàê è â òåîðèè àòîìà ãåëèÿ, íîñèò íàçâàíèå êóëîíîâñêîãî èíòåãðàëà è èìååò òî æå òîëêîâàíèå. Èíòåãðàë À ñâÿçàí ñ îáìåíîì ýëåêòðîíîâ â àòîìàõ âîäîðîäà, ïîýòîìó, êàê è â òåîðèè àòîìà ãåëèÿ, ïîëó÷èë íàçâàíèå îáìåííîãî èíòåãðàëà. Åãî òîëêîâàíèå åñòåñòâåííî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ýëåêòðîííûå îáëàêà âåðîÿòíîñòè â äåéñòâèòåëüíîñòè ïåðåêðûâàþò ìåñòà íàõîæäåíèÿ ÿäðà äðóãîãî àòîìà, à ïîòîìó ÷àñòü âðåìåíè, ìîæíî ñêàçàòü, ýëåêòðîí ïðîâîäèò âáëèçè “÷óæîãî” ÿäðà. Èìåííî áëàãîäàðÿ ýòîìó “îáìåííîìó” õàðàêòåðó ïîâåäåíèÿ ýëåêòðîíîâ â ìîëåêóëå âîäîðîäà îñóùåñòâëÿåòñÿ õèìè÷åñêàÿ ñâÿçü ìåæäó àòîìàìè â ðàññìàòðèâàåìîé ìîëåêóëå. Èíòåãðàë À íîñèò íàçâàíèå îáìåííîãî èíòåãðàëà. Èíòåãðàë S ó÷èòûâàåò íàëîæåíèå ýëåêòðîííûõ îáëàêîâ äðóã íà äðóãà è ïîòîìó íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì ïåðåêðûòèÿ. Ðàññìîòðèì, â êàêîì èíòåðâàëå çíà÷åíèé ìîæåò èçìåíÿòüñÿ âåëè÷èíà S . Åñëè áû àòîìà ìîëåêóëû âîäîðîäà íàõîäèëèñü äàëåêî äðóã îò äðóãà, ò.å. íå áûëî áû ìîëåêóëû êàê òàêîâîé, òî íè î êàêîì ïåðåêðûòèè ýëåêòðîííûõ îáëàêîâ ãîâîðèòü áûëî áû íåëüçÿ. Òîãäà â ýòîì ñëó÷àå èíòåãðàë S ïðèíèìàåò âèä:

∫

2

2

∫

2

∫

2

S = ϕ n1 (1) ϕ n 2 ( 2) dτ 1dτ 2 = ϕ n1 (1) dτ 1 ϕ n 2 ( 2) dτ 2 = 1 ,

÷òî ñëåäóåò èç óñëîâèé íîðìèðîâêè êàæäîé âîëíîâîé ôóíêöèè àòîìà âîäîðîäà. Åñëè ðàññìàòðèâàòü äðóãîé ïðåäåëüíûé ñëó÷àé – ñîâïàäåíèÿ ÿäåð àòîìîâ ìîëåêóëû, òî âîîáùå î äâóõ ýëåêòðîííûõ îáëàêàõ íå èìååò ñìûñ147

ëà ãîâîðèòü. Òàêîå ñîñòîÿíèå àòîìîâ äàñò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå èíòåãðàëà ïåðåêðûòèÿ. Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë ïåðåêðûòèÿ âñåãäà ìåíüøå åäèíèöû.  ôîðìóëå (47.2) çíàìåíàòåëü âñåãäà ïîëîæèòåëüíàÿ âåëè÷èíà. Ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî êóëîíîâñêèé èíòåãðàë òîæå âñåãäà ïîëîæèòåëåí, òàê êàê íàèáîëüøèé âêëàä â åãî çíà÷åíèå äàþò ÷ëåíû, îáóñëîâëåííûå âçàèìîäåéñòâèåì ÿäåð àòîìîâ ìîëåêóëû è ýëåêòðîííûõ îáëàêîâ ìåæäó ñîáîé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âîçíèêíîâåíèå ìîëåêóëû âîäîðîäà îáóñëîâëåíî îáìåííûì èíòåãðàëîì, ïîýòîìó îí äîëæåí áûòü îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé è ïî ìîäóëþ ïðåâîñõîäèòü çíà÷åíèå êóëîíîâñêîãî èíòåãðàëà. Ïîýòîìó óñòîé÷èâîå ñîñòîÿíèå ìîëåêóëû âîäîðîäà âîçíèêàåò, êîãäà â ôîðìóëå ýíåðãèè (47.2) ìû âîçüìåì òîëüêî çíàê (+). Áîëåå ñòðîãèå ðàñ÷åòû ïîçâîëÿþò ïîñòðîèòü ãðàôèê ýíåðãèè ìîëåêóëû âîäîðîäà â çàâèñèìîñòè îò ðàññòîÿíèÿ ÿäåð ìåæäó ñîáîé (ðèñ.14). Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà êîîðäèíàòíàÿ ôóíêöèÿ ñèììåòðè÷íà (à, ñëåäîâàòåëüíî, ñïèíîâàÿ-àíòèñèììåòðè÷íà) , âîçìîæíî îáðàçîâàíèå ìîëåêóëû âîäîðîäà: íà ãðàôèêå èìååòñÿ ìèíèìóì, ñâèäåòåëüñòâóþùèé î âîçìîæíîñòè óñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ Ðèñ. 14. àòîìîâ â ìîëåêóëå âîäîðîäà. Ïîâòîðèì: åñëè êîîðäèíàòíàÿ ôóíêöèÿ ñèììåòðè÷íà, òî ñïèíîâàÿàíòèñèììåòðè÷íà. Ñëåäîâàòåëüíî, â ìîëåêóëå âîäîðîäà ñïèíû ýëåêòðîíîâ íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû, ñîîòâåòñòâåííî è ìàãíèòíûå ñïèíîâûå ìîìåíòû ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû. È ðåçóëüòèðóþùèé ñïèíîâûé ìàãíèòíûé ìîìåíò ìîëåêóëû âîäîðîäà ðàâåí íóëþ (îðáèòàëüíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò àòîìîâ âîäîðîäà â îñíîâíîì ñîñòîÿíèé òàêæå ðàâåí íóëþ). Îòñþäà ìû ñäåëàåì äâà âûâîäà: 1.  ìîëåêóëå âîäîðîäà íå ìîæåò áûòü òðåõ àòîìîâ, èáî ó òðåòüåãî ïðîåêöèÿ ñïèíà ýëåêòðîíà íà íåêîòîðîå íàïðàâëåíèå áûëà áû ïàðàëëåëüíà ïðîåêöèè ñïèíà ýëåêòðîíà îäíîãî èç ïåðâûõ äâóõ àòîìîâ; 2. Ìîëåêóëà âîäîðîäà äîëæíà áûòü íåìàãíèòíîé. Ïåðâûé âûâîä ñâÿçàí ñî ñâîéñòâàìè õèìè÷åñêîé ñâÿçè, îñíîâàííîé íà îáìåííîì õàðàêòåðå: îáìåííàÿ ñâÿçü îáëàäàåò ñâîéñòâîì íàñûùåíèÿ. Âòîðîé âûâîä, îäíàêî, ïðîòèâîðå÷èò ýêñïåðèìåíòó: ñóùåñòâóþò ìàãíèòíûå ìîëåêóëû âîäîðîäà. Òùàòåëüíîå îáñóæäåíèå ïðîáëåìû ïðèâåëî ê âûâîäó, ÷òî ÿäðà àòîìîâ â ìîëåêóëå âîäîðîäà (ïðîñòîãî âîäîðîäà H 11 ) îêàçûâàþò âëèÿíèå íà 148

ìàãíèòíûå ñâîéñòâà ìîëåêóëû. Êàæäîå ÿäðî âîäîðîäà ñîäåðæèò òîëüêî îäèí ïðîòîí, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ôåðìèîíîì è îáëàäàåò ñïèíîì, ðàâíûì h . Åñëè ñïèíû ïðîòîíîâ â àòîìàõ ïàðàëëåëüíû, òî èõ ðåçóëüòèðóþùèé 2 ñïèíîâûé ìîìåíò â ìîëåêóëå ðàâåí h. Íà îñíîâàíèè ãèðîìàãíèòíîãî ñîîòíîøåíèÿ ïîëó÷àåì, ÷òî è ñïèíîâûé ìàãíèòíûé ìîìåíò ïðîòîíîâ â ìîëåêóëå âîäîðîäà îòëè÷åí îò íóëÿ, ìîëåêóëà òàêîãî âîäîðîäà (íàçûâàåìîãî îðòîâîäîðîäîì) ìàãíèòíà. Åñëè æå ñïèíîâûå ìàãíèòíûå ìîìåíòû ïðîòîíîâ â àòîìàõ âîäîðîäà àíòèïàðàëëåëüíû, òî òàêàÿ ìîëåêóëà âîäîðîäà (íàçûâàåìàÿ ïàðàâîäîðîäîì) íå ìàãíèòíà. Ïðè ñîñòàâëåíèè ñïèíîâûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé äâóõ ôåðìèîíîâ (ìû òîãäà äëÿ îïðåäåëåííîñòè ãîâîðèëè îá ýëåêòðîíàõ, à òåïåðü ìû ðàññìàòðèâàåì äðóãóþ ïàðó ôåðìèîíîâïðîòîíû â ÿäðàõ àòîìîâ âîäîðîäà, âõîäÿùèõ â ìîëåêóëó âîäîðîäà) ìû óñòàíîâèëè, ÷òî â ñëó÷àå ðåçóëüòèðóþùåãî ñïèíà, ðàâíîãî h , âîçìîæíû òðè ïðîåêöèè ýòîãî ñóììàðíîãî ñïèíà íà íåêîòîðîå íàïðàâëåíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, âîçìîæíû òðè ðàçëè÷àþùèåñÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ôåðìèîíîâ. Îòñþäà î÷åðåäíîé âûâîä : ìîëåêóë îðòîâîäîðîäà äîëæíî áûòü â òðè ðàçà áîëüøå, ÷åì ìîëåêóë ïàðàâîäîðîäà. Íàø âûâîä ñîîòâåòñòâóåò ýêñïåðèìåíòó.

49. Êâàíòîâî-ïîëåâàÿ êàðòèíà ìèðà (âìåñòî çàêëþ÷åíèÿ) Ìû çàâåðøèëè ïîñòðîåíèå êâàíòîâîé ìåõàíèêè äå Áðîéëÿ, Øðåäèíãåðà, Ãåéçåíáåðãà, Áîðà, Áîðíà è äð. êëàññèêîâ ôèçèêè XX âåêà. Êðèòåðèé ïåðåõîäà ê êëàññè÷åñêîé ôèçèêå (ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ íàìè óñòàíîâëåí), îãðîìíîå âëèÿíèå êâàíòîâîé ìåõàíèêè íà äðóãèå ðàçäåëû ôèçèêè íàìè íåîäíîêðàòíî óïîìèíàëèñü. Íåîñïîðèìî çíà÷åíèå êâàíòîâîé ìåõàíèêè íà ôèëîñîôèþ, ìèðîâîççðåíèå. Îäíàêî, ðàçâèòèå ôèçèêè íå îñòàíîâèëîñü íà êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Îíà íå ó÷èòûâàëà ñîçäàííóþ çà äâà äåñÿòèëåòèÿ äî ýòîãî ñïåöèàëüíóþ òåîðèþ îòíîñèòåëüíîñòè, òî åñòü ïîñòðîåííàÿ íàìè êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ÿâëÿåòñÿ íåðåëÿòèâèñòñêîé. Îáíàðóæåíèå íîâûõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, èõ âçàèìíàÿ ïðåâðàùàåìîñòü ñ âîçìîæíîñòüþ ðîæäåíèÿ íîâûõ ÷àñòèö òðåáîâàëî ñîçäàíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, îáúåäèíÿþùåé êâàíòîâóþ ìåõàíèêó ñî ñïåöèàëüíîé òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè. È òàêàÿ òåîðèÿ áûëà ñîçäàíà â êîíöå 20-õ ã.ã. ÕÕ âåêà. Íî ýòî, êàê ãîâîðèòñÿ “äðóãàÿ èñòîðèÿ” , îíà âíå òåìàòèêè äàííîãî ïîñîáèÿ ,ëþáîçíàòåëüíûå ÷èòàòåëè íàéäóò ñîîòâåòñòâóþùóþ ëèòåðàòóðó â ïðèëàãàåìîì ñïèñêå. À ñåé÷àñ ìû ïîäâåäåì èòîãè, ïîñòðîèâ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêóþ êàðòèíó ìèðà, êîòîðàÿ ïðèøëà íà ñìåíó ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé êàðòèíå ìèðà, 149

îñíîâàííîé íà êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå è ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Íàïîìíèì, ÷òî ïîíèìàåòñÿ ïîä ôèçè÷åñêîé êàðòèíîé ìèðà.  ïðîöåññå ïîçíàíèÿ ñâîéñòâ îêðóæàþùåãî ìèðà â íàóêå âûäåëÿþòñÿ íàèáîëåå îáùèå ïîíÿòèÿ è èäåè, ïðèíöèïû è òåîðèè, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ íà äàííîì ýòàïå ðàçâèòèÿ ôèçèêè ñîçäàåòñÿ îáùàÿ ìîäåëü ïðèðîäû. Ýòîò èäåàëèçèðîâàííûé â ðàìêàõ ñóùåñòâóþùèõ ïðåäñòàâëåíèé îáðàç ïðèðîäû è íîñèò íàçâàíèå ôèçè÷åñêîé êàðòèíû ìèðà (ÔÊÌ). Ïåðâîé ôèçè÷åñêîé êàðòèíîé ìèðà áûëà ìåõàíè÷åñêàÿ êàðòèíà ìèðà ,îñíîâàííàÿ íà íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêå ñ åå ïðèíöèïîì äàëüíîäåéñòâèÿ, ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ, àáñîëþòíîé ïðè÷èííî – ñëåäñòâåííîé ñâÿçüþ, ñ óáåæäåííîñòüþ, ÷òî ìèð, â îñíîâíîì, ïîçíàí íà îñíîâå çàêîíîâ ìåõàíèêè. Òîëüêî äâå “ìàëåíüêèå òó÷êè” (Æîëëè) îìðà÷àëè “ãîðèçîíò” ôèçèêè: 1. Ïðîáëåìà “óëüòðà ôèîëåòîâîé êàòàñòðîôû” â òåîðèè èçëó÷åíèÿ íàãðåòûõ òåë; 2. Ïðîáëåìà ýôèðà. Èç ïåðâîé ìàëåíüêîé “òó÷êè” âûðîñëà êâàíòîâàÿ ôèçèêà, èç âòîðîé – ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè. Ýòè äâå òåîðèè ëåãëè â îñíîâû ïîñòðîåíèÿ íîâûõ ÔÊÌ: íà áàçå êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè è ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè âîçíèêëà ýëåêòðîäèíàìè÷åñêàÿ êàðòèíà ìèðà ñ åå ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà, ïðèíöèïîì áëèçêîäåéñòâèÿ, ââåäåíèåì ïðîñòðàíñòâåííî-è âðåìåííî-ïîäîáíûõ àáñîëþòíûõ èíòåðâàëîâ, èçìåíåíèåì ïîíèìàíèÿ çàêîíîâ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè è ðàñêðûòèÿ íîâûõ òàéí ïðèðîäû. Êàê ýëåêòðîäèíàìè÷åñêàÿ êàðòèíà ìèðà âîçíèêëà â íåäðàõ ìåõàíè÷åñêîé ôèçèêè, òàê è êâàíòîâî-ïîëåâàÿ êàðòèíà ìèðà çàðîæäàëàñü â ñâÿçè ñ íåâîçìîæíîñòüþ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèìè ïðåäñòàâëåíèÿìè îáúÿñíèòü âíîâü îáíàðóæåííûå ñâîéñòâà ìàòåðèè.  äåêàáðå 1900 ã. íåìåöêèé ôèçèê Ìàêñ Ïëàíê äëÿ ïðåîäîëåíèÿ òðóäíîñòåé â îáúÿñíåíèè çàêîíîâ èçëó÷åíèÿ íàãðåòûõ òåë âûäâèãàåò ãèïîòåçó î òîì, ÷òî àòîìû èçëó÷àþò è ïîãëîùàþò ýíåðãèþ íå íåïðåðûâíî, à ïîðöèÿìè, êâàíòàìè. Ýòà èäåÿ, îáîáùåííàÿ çàòåì À. Ýéíøòåéíîì (â 1905 ã. îí îáúÿñíÿåò çàêîíû ôîòîýôôåêòà, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî êâàíòû è ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â ïðîñòðàíñòâå â âèäå êîðïóñêóë, íàçâàííûõ âïîñëåäñòâèè àìåðèêàíñêèì ôèçèêîì Ëüþèñîì – “ôîòîíàìè” è ïðè÷èñëèâøèé èõ ê ýëåìåíòàðíûì ÷àñòèöàì) ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðíûì ïðèçíàêîì êâàíòîâîé ôèçèêè : ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ( ýíåðãèÿ, èìïóëüñ, ìîìåíò èìïóëüñà, ÷åòíîñòü è ò.ä.) èçìåíÿþòñÿ äèñêðåòíî, ñêà÷êàìè íà îïðåäåëåííóþ âåëè÷èíó. Ôðàíöóçñêèé ôèçèê Ëóè äå Áðîéëü, çàíèìàÿñü èñòîðèåé ôèçèêè, çàìåòèë, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå (è ñâåò) â îäíèõ ÿâëåíèÿõ ïðîÿâëÿåò âîëíîâûå ñâîéñòâà (èíòåðôåðåíöèÿ, äèôðàêöèÿ, ïîëÿðèçàöèÿ), â äðóãèõ (ôîòîýôôåêò, ýôôåêò Êîìïòîíà) – êîðïóñêóëÿðíûå. Èñõîäÿ èç èäåè î äèà150

ëåêòè÷åñêîì åäèíñòâå ñâîéñòâ ïðèðîäû, äå Áðîéëü âûäâèãàåò “áåçóìíóþ” äëÿ òîãî ñîñòîÿíèÿ íàóêè èäåþ: ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû (à èõ áûëî èçâåñòíî åìó ëèøü äâå: ýëåêòðîí è ïðîòîí !) òàêæå äîëæíû ïðîÿâëÿòü íå òîëüêî êîðïóñêóëÿðíûå, íî è âîëíîâûå ñâîéñòâà. Òàê ðîäèëàñü èäåÿ î êîðïóñêóëÿðíî - âîëíîâîì äóàëèçìå ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Ïåðâîå ïîäòâåðæäåíèå ýòîé ãèïîòåçû (âèäèìî, íå áûëî èçâåñòíî äå Áðîéëþ) áûëî äàíî åùå â 1921 ã. â îïûòàõ Òàóíñåíäà è Ðàìçàóýðà : ïîòîê ýëåêòðîíîâ ïðè îïðåäåëåííîé ñêîðîñòè ïðè âñòðå÷å ñ öåíòðàìè ðàññåèâàíèÿ (àòîìàìè èíåðòíûõ ãàçîâ) äèôðàãèðîâàëè, êàê åñëè áû ýëåêòðîíû îáëàäàëè âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè.  1925 – 1927 ã.ã. âîëíîâûå ñâîéñòâà ýëåêòðîíîâ áûëè òâåðäî óñòàíîâëåíû ïðè íàáëþäåíèè èõ ðàññåèâàíèÿ íà ìîíîêðèñòàëëàõ (Äæåðìåð è Äåâèññîí) è ïîëèêðèñòàëëàõ (Òîìñîí è Òàðòàêîâñêèé).  1949 ã. íàøè ñîîòå÷åñòâåííèêè Ñóøêèí, Ôàáðèêàíò è Áèáåðìàí ïîêàçàëè, ÷òî âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò êàæäûé ýëåêòðîí(à íå åñòü ñâîéñòâî òîëüêî êîëëåêòèâà-ïîòîêà ýëåêòðîíîâ). Èäåÿ äå Áðîéëÿ áûëà ïîëîæåíà Ý.Øðåäèíãåðîì â îñíîâó ïîñòðîåíèÿ íîâîé ôèçè÷åñêîé òåîðèè – òåîðèè ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö è èõ ñèñòåì – êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Èòàê, ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû îáëàäàþò è êîðïóñêóëÿðíûìè è âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè. Îäíàêî, èç ýòîé èäåè íå ñëåäóåò, ÷òî ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû – ýòî è êîðïóñêóëû è âîëíû îäíîâðåìåííî. Îáëàäàòü âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè – ýòî åùå íå îçíà÷àåò áûòü âîëíîé. Ìîæíî ñêàçàòü íàîáîðîò, ÷òî ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû – ýòî íè êîðïóñêóëû è íå âîëíû, îíè îáëàäàþò êîðïóñêóëÿðíî – âîëíîâûì äóàëèçìîì. Íà âîïðîñ: òàê ÷òî æå òàêîå ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà? – è ñåãîäíÿ ìû íå ìîæåì äàòü îäíîçíà÷íûé îòâåò. Åùå íå ïîñòðîåíà òåîðèÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, õîòÿ ìû è çíàåì ìíîãî ñâîéñòâ ýòèõ ÷àñòèö. Ìû íå ìîæåì îòâåòèòü, íàïðèìåð, íà òàêèå âîïðîñû: ïî÷åìó ó ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö òàêàÿ, à íå äðóãàÿ ìàññà; ïî÷åìó ýëåêòðîí íå “âçðûâàåòñÿ”, õîòÿ îí ñîäåðæèò ëèøü ýëåêòðè÷åñòâî îäíîãî çíàêà è ò.ä. Íå íàäî ïðåäñòàâëÿòü ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû íåêèìè êåíòàâðàìè. Äåëî â òîì, ÷òî â îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ (îïûòàõ) îíè ïðîÿâëÿþò ëèáî êîðïóñêóëÿðíûå, ëèáî âîëíîâûå ñâîéñòâà. È íèêîãäà – è òå è äðóãèå ñâîéñòâà îäíîâðåìåííî â îäíîì îïûòå. Îá ýòîì ãîâîðèò îñíîâîïîëàãàþùèé ïðèíöèï ñîâðåìåííîé ôèçèêè – ïðèíöèï äîïîëíèòåëüíîñòè, ñôîðìóëèðîâàííûé Íèëüñîì Áîðîì â 1926 ãîäó: êîðïóñêóëÿðíûå è âîëíîâûå ñâîéñòâà ÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè, ôèçè÷åñêèå ïðèáîðû äåëÿòñÿ íà äâà êëàññà. Ñ ïîìîùüþ îäíèõ ïðèáîðîâ ìîæíî èçó÷àòü âîëíîâûå, ñ ïîìîùüþ äðóãèõ – êîðïóñêóëÿðíûå ñâîéñòâà ÷àñòèö. Òó æå ìûñëü, íà ÿçûêå ìàòåìàòèêè, âûðàæàþò ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà. Ïðè ýòîì íåîïðåäåëåíîñòè íå ÿâëÿþòñÿ íåòî÷151

íîñòÿìè, à åñòü âíóòðåííå ïðèñóùåå ñâîéñòâî ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, ñëåäóþùåå èç êîðïóñêóëÿðíî – âîëíîâîãî äóàëèçìà, èç íåîáõîäèìîñòè èñïîëüçîâàòü ñëîâàðü êëàññè÷åñêîé ôèçèêè äëÿ îïèñàíèÿ îáúåêòîâ, ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷íûõ îò êëàññè÷åñêèõ ÷àñòèö.  1926 ãîäó àâñòðèéñêèì ôèçèêîì Ý.Øðåäèíãåðîì, íà îñíîâå ãèïîòåçû äå Áðîéëÿ, áûëî ïîñòðîåíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ðåøåíèåì

êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ Ψ (x, y , z , t ) . Â òîì æå ãîäó íåìåöêèé ôèçèê Ìàêñ Áîðí äàë âåðîÿòíîñòíîå òîëêîâàíèå âîëíîâîé ôóíêöèè: íå 2

îíà ñàìà, à êâàäðàò åå ìîäóëÿ Ψ îïðåäåëÿåò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ÷àñòèöû â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè â äàííûé ìîìåíò âðå-

ìåíè. Çíàÿ íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû (ñèñòåìû) Ψ (x, y, z,0 ) , ìîæíî íàéòè âîëíîâóþ ôóíêöèþ â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Ó÷èòûâàÿ âåðîÿòíîñòíîå òîëêîâàíèå åå, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî è çàêîí ïðè÷èííîñòè â êâàíòîâîé ìåõàíèêå èìååò âåðîÿòíîñòíîå ñîäåðæàíèå. Åñëè â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ãîñïîäñòâóåò àáñîëþòíûé äåòåðìèíèçì, òî â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ÷àñòèöà (ñèñòåìà) ìîæåò çàíèìàòü ñâîè ñîñòîÿíèÿ òîëüêî ñ îïðåäåëåííîé âåðîÿòíîñòüþ. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ÿâëÿåòñÿ íåðåëÿòèâèñòñêîé ôèçèêîé, êâàíòîâûå ïåðåõîäû â íåé ñîâåðøàþòñÿ ìãíîâåííî. Îáîáùåíèå êâàíòîâîé ìåõàíèêè è ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ïðèâåëî ê ñîçäàíèþ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè ýëåêòðîíà.  30 – 50 ã.ã. ÕÕ âåêà áûëî îòêðûòî ìíîãî íîâûõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö: ïîçèòðîíû, íåéòðîíû, ìåçîíû, èõ àíòè÷àñòèöû è ò.ä. Õàðàêòåðíûì ñâîéñòâîì âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ÿâëÿåòñÿ èõ âçàèìîïðåâðàùàåìîñòü èëè â ñèëó îïðåäåëåííîãî âðåìåíè æèçíè, ëèáî ïðè âçàèìîäåéñòâèè äðóã ñ äðóãîì, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î ìàòåðèàëüíîì åäèíñòâå ìèðà íà óðîâíå ýëåìåíòàðíûõ ïðîöåññîâ. Ïðè ýòîì ïðîÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå âèäû âçàèìîäåéñòâèé: 1. Ñèëüíîå (ÿäåðíîå); 2. Ýëåêòðîìàãíèòíîå; 3. Ñëàáîå; 4. Ãðàâèòàöèîííîå. Åñëè ÿäåðíîå âçàèìîäåéñòâèå îöåíèòü (â óñëîâíûõ åäèíèöàõ) åäèíèöåé, òî â óêàçàííîé âûøå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè “ñèëû” ýòèõ âçàèìîäåéñòâèé îòíîñÿòñÿ êàê 1 : 1/137 : 10 −16 : 10 −41 .  70-õ ã.ã. ÕÕ âåêà ôèçèêàì óäàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå è ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèÿ ÿâëÿþòñÿ ïðîÿâëåíèÿìè åäèíîãî ýëåêòðîñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Îñóùåñòâëÿåòñÿ ìå÷òà À.Ýéíøòåéíà, ïûòàâøåãîñÿ îáúåäèíèòü âñå èçâåñòíûå â åãî âðåìÿ âçàèìîäåéñòâèÿ.  íàñòîÿùåå âðåìÿ óñïåøíî ðàçðàáàòûâàåòñÿ òåîðèÿ “âåëèêîãî îáúåäèíåíèÿ”, âêëþ÷àþùåãî ïåðâûõ òðè âçàèìîäåéñòâèÿ. Åñëè íåðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ 152

ìåõàíèêà ÿâëÿåòñÿ ôèçèêîé äàëüíîäåéñòâèÿ (êâàíòîâûå ïåðåõîäû ñîâåðøàþòñÿ ìãíîâåííî, íåñèëîâîå âçàèìîäåéñòâèå, îïðåäåëÿåìîå ïðèíöèïîì Ïàóëè, òàêæå òðåáóåò ìãíîâåííîñòè ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè è ò.ä.), êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà è õðîìîäèíàìèêà (òåîðèÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, îñíîâàííàÿ íà èäåå î ñóùåñòâîâàíèè êâàðêîâ) ïî ñóòè äåëà, ó÷èòûâàÿ ïîëîæåíèÿ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, ÿâëÿþòñÿ òåîðèÿìè, îñíîâàííûìè íà ïðèíöèïå áëèçêîäåéñòâèÿ. Íà òîì æå ïðèíöèïå îñíîâàíà è îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè À.Ýéíøòåéíà, ÿâëÿþùàÿñÿ ñîâðåìåííîé òåîðèåé ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è òÿãîòåíèÿ. Íîâûì ìîìåíòîì â êâàíòîâî- ïîëåâîé êàðòèíå ìèðà ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâëåíèå âçàèìîñâÿçè ìèêðî- è ìåãà-ìèðîâ. Ñòîëåòèÿìè ñ÷èòàëîñü, ÷òî â êîñìîñå îñíîâíûì âçàèìîäåéñòâèåì ÿâëÿåòñÿ ãðàâèòàöèîííîå. Óñòàíîâëåíèå íåðàçðûâíîñòè óêàçàííûõ îáúåêòîâ ïðîèçîøëî èç – çà áóðíîãî ðàçâèòèÿ êîñìîëîãèè, âûäâèíóâøåé íà áàçå îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ìîäåëü “Áîëüøîãî âçðûâà”, â ñöåíàðèè êîòîðîãî ñóùåñòâóåò ýòàï “ðîæäåíèÿ” ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, àòîìîâ, ìîëåêóë è óæå çàòåì ìàêðîñêîïè÷åñêèõ íåáåñíûõ òåë, îáðàçóþùèõ ãàëàêòèêà, ñîäåðæàùèõ ìèëëèàðäû çâåçä. Åùå ìíîãî çàãàäîê Ïðèðîäû íå îòãàäàíû ó÷åíûìè, ïîýòîìó êâàíòîâî-ïîëåâóþ êàðòèíó ìèðà íåëüçÿ ñ÷èòàòü çàâåðøåííîé. Ïðîöåññ ïîçíàíèÿ ìèðà áåñêîíå÷åí, ïðîöåññ ïîçíàíèÿ ìèðà ïðîäîëæàåòñÿ.

153

Ëèòåðàòóðà äëÿ äîïîëíèòåëüíîãî ÷òåíèÿ 1. Áëîõèíöåâ Ä.È. Îñíîâû êâàíòîâîé ìåõàíèêè.-Ì.: Íàóêà,1976. 2. Áàòèãèí Â.Â. Çàêîíû ìèêðîìèðà.-Ì.: Ïðîñâåùåíèå,1981. 3. Äàíèí Ä.Ñ. Íèëüñ Áîð.-Ì.: Ìîëîäàÿ ãâàðäèÿ,1978. 4. Çåëüäîâè÷ ß.Á. è äð. Äðàìà èäåé â ïîçíàíèè ïðèðîäû.Ì.: Íàóêà,1988. 5. Êîìïàíååö À.Ñ. ×òî òàêîå êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà?Ì.: Íàóêà,1977. 6. Ëàíäàó Ë.Ä.,Ëèôøèö Å.Ì. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà.Ì.: ÃÈÔÌË,1963. 7. Ìàòâååâ À.Í.Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà.-Ì.: Âûñøàÿ øêîëà,1965. 8. Ìÿêèøåâ Ã.ß. Äèíàìè÷åñêèå è ñòàòèñòè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè â ôèçèêå.-Ì.: Íàóêà,1973. 9. Îêóíü Ë.Á. α , β , γ ..... z -Ì.: Íàóêà,1985 10. Ïîíîìàðåâ Ë.È. Ïîä çíàêîì êâàíòà.-Ì.: 1984. 11. Ðîçìàí Ã.À. Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå.-Ïñêîâ, èçä.ÏÃÏÈ,1998. 12. Ôåéíìàí Ð. è äð. Ôåéíìàíîâñêèå ëåêöèè ïî ôèçèêå.-Ì.: Ìèð,1967. 13. Ôåéíìàí Ð. ÊÝÄ-ñòðàííàÿ òåîðèÿ ñâåòà è âåùåñòâà.-Ì.: Íàóêà,1988. 14. Ôèçè÷åñêèé ýíöèêëîïåäè÷åñêèé ñëîâàðü.-Ì.; èçä.2,1990. 15. Õàçåí À.Ì. Ïîëå, âîëíû, ÷àñòèöû è èõ ìîäåëè.-Ì.: Ïðîñâåùåíèå 16. Øïîëüñêèé Ý.Â. Àòîìíàÿ ôèçèêà.-Ì.: Íàóêà,1974.ò.1è2. Ïðèìå÷àíèå: ×èòàòåëü äîëæåí áûòü âíèìàòåëüíûì ïðè ÷òåíèè äîïîëíèòåëüíîé ëèòåðàòóðû, òàê êàê ïîíèìàíèå è òîëêîâàíèå ïîëîæåíèé êâàíòîâîé ìåõàíèêè ìåíÿëîñü è ìíåíèå îòäåëüíûõ àâòîðîâ â îòäåëüíûõ âîïðîñàõ ìîæåò áûòü óñòàðåâøèì.

154

ÂÎÏÐÎÑÛ ÄËß ÊÀ×ÅÑÒÂÅÍÍÎÉ ÏÐÎÂÅÐÊÈ 1-ÎÉ ×ÀÑÒÈ ÊÓÐÑÀ 1. ×òî òàêîå êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà?  ÷åì îòëè÷èå êâàíòîâîé ìåõàíèêè îò êâàíòîâîé ôèçèêè? 2.  ÷åì ñîñòîèò ñóòü ãèïîòåçû Ïëàíêà? Êàê Ýéíøòåéí ðàçâèë ãèïîòåçó Ïëàíêà? 3. ×òî òàêîå “óëüòðàôèîëåòîâàÿ êàòàñòðîôà”? 4. Ïî÷åìó ìîäåëü àòîìà Ðåçåðôîðäà íàçûâàåòñÿ “ïëàíåòàðíîé”? 5. Ñôîðìóëèðîâàòü ïîñòóëàòû Áîðà.Ïî÷åìó òåîðèÿ Áîðà íàçûâàåòñÿ “ïîëóêëàññè÷åñêîé” èëè “ïîëóêâàíòîâîé”? 6. ×òî ïîäòâåðæäàåò ýôôåêò Êîìïòîíà? 7. Ñôîðìóëèðîâàòü çàêîíû ôîòîýôôåêòà? Êàê Ýéíøòåéí îáúÿñíèë ýòè çàêîíû? 8. ×òî ïîäòâåðæäàþò îïûòû Ôðàíêà è Ãåðöà? 9.  ÷åì ñîñòîèò ñóòü ãèïîòåçû äå Áðîéëÿ? 10. ×òî è êàê ïîäòâåðäèëè îïûòû Ðàìçàóýðà è Òàóíñåíäà? 11. ×òî è êàê ïîäòâåðäèëè îïûòû Äæåðìåðà è Äåâèññîíà, Òîìñîíà è Òàðòàêîâñêîãî? 12.  ÷åì îñîáåííîñòü îïûòîâ Áèáåðìàíà, Ñóøêèíà è Ôàáðèêàíòà? 13. Êàêîé ñìûñë èìåþò óðàâíåíèÿ äå Áðîéëÿ? 14. ×òî òàêîå ïëîñêàÿ âîëíà? 15. Ïî÷åìó íåëüçÿ îòæäåñòâëÿòü îäèíî÷íóþ ïëîñêóþ âîëíó ñ ÷àñòèöåé? 16. ×òî òàêîå ôàçîâàÿ ñêîðîñòü?Ïî÷åìó åå âåëè÷èíà íå îãðàíè÷èâàåòñÿ 2ì ïîñòóëàòîì ÑÒÎ? 17. ×òî òàêîå “ãðóïïà âîëí” èëè “âîëíîâîé ïàêåò”? 18. Ïî÷åìó âîëíîâîé ïàêåò íåëüçÿ îòæäåñòâëÿòü ñ ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöåé? 19. Êàê ïîíèìàòü ñîâïàäåíèå ãðóïïîâîé ñêîðîñòè ñî ñêîðîñòüþ ÷àñòèöû? 20. Êàê èñòîëêîâàòü äèôðàêöèþ ýëåêòðîíîâ íà 2-õ îòâåðñòèÿõ â äèàôðàãìå? 21. Êàê èñòîëêîâàòü ñ âåðîÿòíîñòíûõ ïðåäñòàâëåíèé îïûòû Áèáåðìàíà, Ñóøêèíà è Ôàáðèêàíòà? 22. Êòî âûñêàçàë âåðîÿòíîñòíîå òîëêîâàíèå âîëíîâîé ôóíêöèè?  ÷åì ñìûñë ýòîé ãèïîòåçû? 2 23. Êàêîé ñìûñë èìååò âåëè÷èíà Ψ ? 24. ×òî òàêîå îïåðàòîð?Êàêîé îïåðàòîð íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, ýðìèòîâûì (ñàìîñîïðÿæåííûì)? 25. Êàê ÷èòàþòñÿ ïîñòóëàòû êâàíòâîé ìåõàíèêè? 26. Ïîêàçàòü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äå Áðîéëÿ λ = h , ÷òî â êâàíòîâîé ìåõàð 155

íèêå íå ñóùåñòâóåò ïîíÿòèÿ “òðàåêòîðèÿ”, è íåëüçÿ îäíîâðåìåííî çàäàòü êîîðäèíàòó ÷àñòèöû è åå ñêîðîñòü. 27. Ïî÷åìó íàñ èíòåðåñóåò ïåðâûé ìèíèìóì íà ãðàôèêå âîëíîâîãî ïàêåòà? 28. Êàê ÷èòàåòñÿ ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà ∆õ∆ð õ = h ? 29. Ïî÷åìó â ñîîòíîøåíèè íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà íåîáõîäèìî áðàòü ñîïðÿæåííûå âåëè÷èíû? 30. ×åì îòëè÷àåòñÿ òîëêîâàíèå ñîîòíîøåíèÿ ∆Å∆t = h îò òîëêîâàíèÿ ñîîòíîøåíèÿ ∆x∆p x = h ? 31. ×òî îçíà÷àåò ñëîâî “äåòåðìåíèçì”? 32. Êàêîé õàðàêòåð èìååò çàêîí ïðè÷èííîñòè â êâàíòîâîé ìåõàíèêå? 33. ×òî óòâåðæäàåò ïðèíöèï äîïîëíèòåëüíîñòè Áîðà? 34. Êàê ñîñòàâëÿþòñÿ îïåðàòîðû îñíîâíûõ äèíàìè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ?Ïðèâåñòè ïðèìåðû îïåðàòîðîâ. 35. ×òî ìû óçíàåì, ñîñòàâèâ êîììóòàòîð äâóõ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ? 36. Êàê çàïèñûâàåòñÿ ïîëíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà? 37. Êàê çàïèñûâàåòñÿ êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà? 38. Ïî÷åìó êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì? 39. Êàê ïðîÿâëÿåòñÿ çàêîí ïðè÷èííîñòè â ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà? 40. Ïî÷åìó íåëüçÿ ìåíÿòü ïîðÿäîê ìíîæèòåëåé â âûðàæåíèè, ñîäåðæàùåì îïåðàòîð? 41. ×òî íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ? 42. Óêàçàòü óñëîâèÿ, êîãäà êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ. 43. Êàêîâî ñîäåðæàíèå óðàâíåíèé Ýðíôåñòà? 44. Êàê ïðîÿâëÿåòñÿ ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå? 45. Êàê òîëêîâàòü ôîðìóëó êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ, åñëè îíà íå ñîäåðæèò ïîñòîÿííóþ Ïëàíêà? 46. Ñ êàêèì ñâîéñòâîì âðåìåíè ñâÿçàí çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè? 47. Ñ êàêèì ñâîéñòâîì ïðîñòðàíñòâà ñâÿçàí çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà? 48. Ñ êàêèì ñâîéñòâîì ïðîñòðàíñòâà ñâÿçàí çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà? 49. Êàêèì óñëîâèÿì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ôèçè÷åñêèå ñèñòåìû, ÷òîáû â íèõ âûïîëíÿëèñü çàêîíû ñîõðàíåíèÿ? 50. Êàêîâà ðîëü êâàíòîâîé ìåõàíèêè â ïðîöåññå ïîçíàíèÿ ñâîéñòâ ìèêðîìèðà? 156

Ñîäåðæàíèå Ïðåäèñëîâèå ................................................................................. 3 Ââåäåíèå ....................................................................................... 5 Ãëàâà 1 .................................................................................. 6 1. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå îñíîâàíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè ..... 6 1.1. Ðàçðåøåíèå “óëüòðàôèîëåòîâîé êàòàñòðîôû” ......... 6 1.2. Ìîäåëè ñòðîåíèÿ àòîìà è êâàíòîâàÿ òåîðèÿ Í.Áîðà ... 7 1.3. Âîëíîâûå è êîðïóñêóëÿðíûå ñâîéñòâà ñâåòà ........... 8 1.4. Êîðïóñêóëÿðíûå è âîëíîâûå ñâîéñòâà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ............................................................................. 9 2. Ãèïîòåçà äå-Áðîéëÿ .......................................................... 11 3. Âîëíîâîé ïàêåò ................................................................. 14 4.Ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå ãèïîòåçû äå-Áðîéëÿ 16 5. Ãèïîòåçà Ìàêñà Áîðíà ..................................................... 17 6. Ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà .............. 20 Ãëàâà 2 ................................................................................ 28 7. Ïîñòóëàòû êâàíòîâîé ìåõàíèêè .................................... 28 8. Ëèíåéíîñòü ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ ................................ 30 9. Îïåðàòîðû îñíîâíûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí .................... 30 10. Ðåøåíèå ïîëíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà .................... 36 11. Çàêîí ïðè÷èííîñòè â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ................... 38 12. Äèôôåðåíöèðîâàíèå îïåðàòîðîâ ïî âðåìåíè ............... 39 13. Èíòåãðàëû äâèæåíèÿ ...................................................... 41 14. Óðàâíåíèÿ Ýðíôåñòà ....................................................... 42 15. Ñâÿçü çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ñ ñèììåòðèåé ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè ......................................................................... 45 Ãëàâà 3 ................................................................................ 58 16. ×àñòíûå ñëó÷àè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ...... 58 16.1. Äâèæåíèå ñâîáîäíîé ÷àñòèöû.................................58 16.2. ×àñòèöà â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå...60 157

17. Êâàíòîâûé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð ........................ 63 18. Òóííåëüíûé ýôôåêò ........................................................ 68 Ãëàâà 4 ................................................................................ 75 19. Äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè .... 75 20. Èíòåãðàëû äâèæåíèÿ â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè 78 21. Àòîì âîäîðîäà è âîäîðîäîïîäîáíûå àòîìû ............... 85 22. Ðàäèàëüíàÿ è óãëîâàÿ ïëîòíîñòè ýëåêòðîííîãî îáëàêà â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè ..................................... 87 23. Óðîâíè ýíåðãèè â àòîìå âîäîðîäà ................................ 89 24. Âîäîðîäîïîäîáíûå àòîìû ............................................. 90 25. Ìàãíèòíûé ìîìåíò îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå ........................................................... 92 Ãëàâà 5 ................................................................................ 96 26. Êâàçèêëàññè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå (ìåòîä ÂÊÁ - Âåíòöåëÿ-Êðàìåðñà-Áðèëëþýíà) ............ 96 27. Ïîíÿòèå î ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ................................... 98 28. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà â ìàòðè÷íîé ôîðìå ............ 100 29. Òåîðèÿ âîçìóùåíèé ....................................................... 101 30. Ñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé â ñëó÷àå âûðîæäåííûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé .......................... 105 31. Ýëåìåíòû òåîðèè èçëó÷åíèÿ (òåîðèÿ âûíóæäåííûõ êâàíòîâûõ ïåðåõîäîâ) ........... 106 32. Âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ ïîä âëèÿíèåì âîçìóùåíèÿ, çàâèñÿùåãî îò âðåìåíè .................................................. 108 33. Ïðàâèëà îòáîðà äëÿ äèïîëüíîãî èçëó÷åíèÿ Èíòåíñèâíîñòü ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé ........................... 113 34. Êîýôôèöèåíòû Ýéíøòåéíà äëÿ èíäóöèðîâàííûõ è ñïîíòàííûõ ïåðåõîäîâ .............................................. 114 35. Ïîíÿòèå î êâàíòîâîé òåîðèè äèñïåðñèè ..................... 116 Ãëàâà 6 ............................................................................. 120 36. Ñïèí ýëåêòðîíà ............................................................. 120 36.1. Îïûòû Øòåðíà è Ãåðëàõà .................................... 120 158

36.2. Äóáëåòíàÿ ñòðóêòóðà ñïåêòðîâ ïàðîâ ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ .................................................................. 121 36.3. Îïûòû Ýéíøòåéíà è äå-Ãààçà .............................. 122 37. Îïåðàòîð ñïèíà è åãî âîëíîâûå ôóíêöèè .................. 124 38. Ïîëíûé ìîìåíò èìïóëüñà ............................................ 127 39. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå ñ ó÷åòîì ñïèíà ... 127 40. Âåêòîðíàÿ ìîäåëü àòîìà ............................................. 128 41. Ýôôåêòû Çååìàíà ......................................................... 129 Ãëàâà7. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö ........................................................................... 132 42. Ïðèíöèï òîæäåñòâåííîñòè ìèêðî÷àñòèö ................... 132 43. Ñèììåòðè÷íûå è àíòèñèììåòðè÷íûå ñîñòîÿíèÿ ....... 133 44. Ôåðìèîííûå è áîçîííûå ñèñòåìû. Ïðèíöèï Ïàóëè 135 45. Ïîñòðîåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè äâóõ ôåðìèîíîâ ...... 136 46. Ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ àòîìà ãåëèÿ .............................. 138 47. Êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå ðàññìîòðåíèå çàïîëíåíèÿ òàáëèöû õèìè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ Ä.È. Ìåíäåëååâà .... 143 48. Ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ ìîëåêóëû âîäîðîäà Ïðèðîäà õèìè÷åñêîé ñâÿçè ........................................ 146 49. Êâàíòîâî-ïîëåâàÿ êàðòèíà ìèðà (âìåñòî çàêëþ÷åíèÿ) 149 Ëèòåðàòóðà äëÿ äîïîëíèòåëüíîãî ÷òåíèÿ..............................154 Âîïðîñû äëÿ êà÷åñòâåííîé ïðîâåðêè 1-îé ÷àñòè êóðñà........155

159

Ð649 à å ð ì à í À ð î í î â è ÷ Ð î ç ì à í ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÅ Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Òåõíè÷åñêèé ðåäàêòîð À.À. Êèðñàíîâ

Èçäàòåëüñêàÿ ëèöåíçèÿ ÈÄ ¹ 06024 îò 09.10.2001 ãîäà. Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 21.06.2002 ã. Ôîðìàò 60õ90/16. Îáúåì èçäàíèÿ: 10 ó.ï.ë. Òèðàæ 100 ýêç. Çàêàç ¹ 135 Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì.Ñ.Ì.Êèðîâà, 180760, ã.Ïñêîâ, ïë.Ëåíèíà, 2. Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë ÏÃÏÈ èì.Ñ.Ì.Êèðîâà, 180760, ã.Ïñêîâ, óë.Ñîâåòñêàÿ, 21, òåëåôîí 2-86-18. 160