Теория риска

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ ИННОВАЦИОННЫЙ ПРОЕКТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ Программа «Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в вузах»

Государственный Университет Высшая Школа Экономики

Программа дисциплины

Теория риска

Москва 2003

Программа дисциплины «Теория риска» составлена в соответствии с требованиями (федеральный компонент) к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста (бакалавра, магистра) по циклу «Общие гуманитарные и социально-экономические дисциплины» государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования второго поколения, а также требованиями, предъявляемыми НФПК к новым и модернизированным программам учебных курсов, разработанным в рамках программы «Совершенствование преподавания социальноэкономических дисциплин в вузах» Инновационного проекта развития образования. Программа подготовлена при содействии НФПК – Национального Фонда подготовки кадров в рамках программы «Совершенствование преподавания социальноэкономических дисциплин в вузах» Инновационного проекта развития образования. Автор программы – к.ф.-м.н. Шоломицкий Алексей Геннадьевич.

1. Пояснительная записка Требования к студентам. Курс "Теория риска" рассчитан на студентов, прослушавших курс математического анализа, включающий дифференциальное и интегральное исчисление, а также курс теории вероятностей и математической статистики, эконометрики, микроэкономики, желательно – актуарной математики, эконометрики финансовых рынков, финансовой математики. Аннотация. Курс "Теория риска" рассчитан на студентов первого курса (второй семестр) магистерских программ "Математические методы анализа экономики", «Экономическая теория», «Финансы и кредит» направления Экономика. Целью изучения курса является ознакомление слушателей с основными принципами и методами оценивания риска, принятия решений при неопределенности, моделирования экономических систем в условиях риска и неопределенности. Знания и навыки, полученные при изучении курса, могут быть использованы в курсах и спецкурсах по микроэкономике, теории равновесий, теории финансов, статистическому прогнозированию, корпоративному планированию и управлению. В преподавании курса широко используются обзорные лекции с акцентом на самостоятельную работу студентов. Студентам предоставляется возможность выполнения самостоятельных работ (эссе) с докладом на занятиях и обсуждением. Формы контроля. От студентов требуется систематическое посещение лекций и семинарских занятий. По курсу проводится одна письменная контрольная работа и одно домашнее задание. Итоговая оценка выставляется по результатам контрольной работы, письменной зачетной работы, решения домашних заданий и работы на занятиях. Итоговая оценка выставляется по балльной системе. Суммируются баллы, полученные за контрольную работу (20 максимум), домашнее задание (15 максимум), за экзаменационную работу (25 максимум), а также за сделанные сообщения (эссе) за работу на занятиях (эти баллы рассматриваются как дополнительные; активный студент может получить до 3-х баллов за одно занятие). Критерии итоговой оценки: «отлично» - 85% (из 60), «хорошо» - 60%, «удовлетворительно» - 40%. При этом, если процент баллов, набранных на экзамене (из 30), окажется выше, то он и используется для определения итоговой оценки.

2. Содержание курса. Тема 1. Введение. Примеры оценивания риска. Оценивание риска в некоторых финансовых моделях: Risk Metrics, CAPM. Оценивание риска через математические ожидания и дисперсии. Случай нормальных распределений. Иллюстрации простейшего принципа оценки риска: характерный результат (среднее) учитывается вкупе с разбросом (дисперсией). Определение Value at Risk (VaR) – «суммы под риском» – как верхней оценки капитала, который может быть потерян в результате неблагоприятного стечения обстоятельств, или, другими словами, капитала, который теряется в «наихудшем» случае. Выбор «наихудшего случая» с доверительным уровнем вероятности. Оценивание на основе VaR, если распределение оцениваемой характеристики нормально: получение критерия оптимизации, являющегося линейной комбинацией среднего и дисперсии. Примеры: (1) использование VaR в прикладной методике оценки финансовых рисков банка J.P.Morgan Risk Metrics;

(2) оптимизация инвестиционного портфеля при многомерном нормальном совместнои распределении доходностей на основе VaR. Общий принцип сравнения по среднему и дисперсии (mean – variance principle). Правило предпочтительности альтернатив с большими значениями («чем больше, тем лучше») и меньшим разбросом (неприятие риска, нелюбовь к риску). Пример: задача оптимизации портфеля ценных бумаг, приводящая к построению теории эффективных портфелей и CAPM (capital asset pricing model). Получение в этой модели правила оптимизации портфеля на основе другой функции среднего и дисперсии доходности, нежели VaR. Диверсификация как метод уменьшения риска путем его перераспределения. Другие меры риска, основанные на среднем и дисперсии. Мера риска Полячека – Тверского. Аддитивность критерия как желаемое условие. Объяснение требования аддитивности на примере: оценивание инвестиционных проектов в корпорации с многоуровневым принятием решений. Тема 2. Предпочтения, выбор в условиях риска и стохастическое доминирование. Формализация задачи выбора из альтернатив, представленных вероятностными распределениями – задачи выбора в условиях риска. Описание правил выбора при помощи отношений предпочтения. Формализация условий «чем больше, тем лучше» и «неприятия риска». Проверка соответствия этим правилам принципа «среднее – дисперсия» при отходе от нормальных распределений. Множество альтернатив выбора. Вообще говоря, альтернативы выбора могут быть произвольной природы; однако предполагается, что с каждой альтернативой можно связать некоторую «репрезентативную» случайную характеристику и функцию распределения этой характеристики. Отношение предпочтения на множестве альтернатив. Определение слабого порядка как отношения предпочтения, удовлетворяющего условиям полноты и транзитивности. Определение критерия сравнения, или согласованной с предпочтением функции. Условие существования согласованной с отношением предпочтения функции (исчислимости предпочтений) – сепарабельность отношения предпочтения (теорема Дебре). Пример: неисчислимость лексикографических предпочтений. Понятия первого и второго стохастического доминирования. Аксиомы монотонности предпочтений относительно первого и второго стохастического доминирования. Требование монотонности относительно первого стохастического доминирования как формализация правила «чем больше, тем лучше», а монотонности относительно второго стохастического доминирования – одновременно правила «чем больше, тем лучше» и «неприятия риска». Понятие рассеивания распределения с сохранением среднего (mean-preserving spread) и его соотношение с отношением второго стохастического доминирования. Постановка вопроса о том, удовлетворяют ли сформулированным условиям монотонности предпочтения, определяемые правилом сравнения по среднему и дисперсии. Примеры: (1) существование гамма-распределений, соответствующих двум выбранным точкам кривой безразличия на плоскости «среднее – дисперсия», таких, что одно из них (имеющее большие среднее и дисперсию) доминирует другое в смысле первого стохастического доминирования; (2) аналогичный пример с двухточечными распределениями. Установление того факта, что при отходе от нормальных распределений любой критерий, определяемый средними и дисперсиями, в принципе может давать явно

абсурдные результаты, т.е. порождать выбор очевидно худших альтернатив. Исключение: вырожденный критерий, зависящий только от среднего. Никакое отношение предпочтения, порожденное согласованной с предпочтением функцией, зависящей только от математического ожидания и дисперсии оцениваемого распределения, возрастающей по первому аргументу и убывающей по второму, не удовлетворяет свойству монотонности относительно первого стохастического доминирования. Тема 3. Ожидаемая полезность. История возникновения теории. Аксиоматический подход к построению критериев выбора в условиях риска. Теорема об ожидаемой полезности. Свойства функции полезности денег и отношение к риску. Примеры использования теории ожидаемой полезности. Задача сравнения денежных потоков и дисконтирование. Теория Д.Бернулли (1738), возникшая из решения так называемого «Петербургского парадокса». Функция полезности денег Бернулли и правило сравнения по ожидаемой полезности случайных доходов. Логарифмический вид функции полезности денег и его соответствие приросту полезности, равному относительному приращению богатства. Аксиоматическая теория фон Неймана и Моргенштерна (1945) как первый вывод вида критерия из условий на предпочтения (аксиом). Основная аксиома – аксиома независимости. Ее пояснение при помощи правила комбинирования лотерей: если лотерея A предпочтительнее лотереи B, то из двух комбинированных (compound) лотерей, в которых можно выиграть с одинаковой вероятностью право участия в лотереях A и B, соответственно, а с остаточной вероятностью – право участия в произвольной лотерее C, предпочтительнее первая. Теорема об ожидаемой полезности. Аксиома непрерывности предпочтений. Ожидаемая полезность как линейная функция вероятностей и аффинная относительно операции смешивания. Примеры: (1) кривые безразличия ожидаемой полезности на множестве трехточечных распределений, изображенные на плоскости вероятностей, представляют собой семейство параллельных прямых; (2) модель Фридмана и Сэвиджа (1949): объяснение при помощи модели ожидаемой полезности поведения индивидуума, покупающего как лотерейные билеты, так и страхование; (3) критерий Массе – единственный критерий, имеющий вид ожидаемой полезности и при этом аддитивный в смысле суммирования независимых величин. Монотонность функции ожидаемой полезности относительно первого и второго стохастического доминирования и ее связь, соответственно, с возрастанием и вогнутостью функции полезности денег. Примеры применения модели ожидаемой полезности к выбору в условиях риска. (1) Страхование как экономический механизм перераспределения риска. Модель определения максимальной допустимой страховой премии страхователя и минимальной допустимой страховой премии страховщика (модель Барруа). (2) Формы перераспределения риска путем страхования. Понятие о перестраховании и виды перестрахования (стоп-лосс, эксцедентное, квотное, более сложные виды). Теорема Эрроу об оптимальности стоп-лосс формы страхового контракта. Применение к перестрахованию. (3) Модель выбора оптимального портфеля ценных бумаг на основе принципа максимизации ожидаемой полезности. Индексы неприятия риска Эрроу – Пратта. Теорема о страховых премиях и соотношении инвестиций в рисковый и безрисковый активы.

Задача сравнения последовательностей денежных платежей и ее связь с задачами выбора в условиях риска. Дисконтирование. Сравнение по дисконтированной стоимости: аксиоматическое построение. Пример: оценка эффективности инвестиционных проектов. NPV (net present value) проекта и включение премии за риск в дисконтную ставку. Дисконтированная полезность. Модель Самуэльсона (1937). Дисконтирование как выражение предпочтений по времени. Аксиоматическое построение дисконтированной полезности. Аксиома стационарности. Тема 4. «Парадоксы» теории ожидаемой полезности и ее развитие. Критика теории ожидаемой полезности. Примеры поведения в условиях риска, противоречащие теории ожидаемой полезности, имеющие устойчивый характер («парадоксы» теории ожидаемой полезности). Экспериментальные исследования подтверждают, что большинство людей считают рациональными примеры предпочтений, которые нельзя описать моделью ожидаемой полезности. «Парадоксы» теории сравнения последовательностей платежей. Нелинейные модели полезности, развивающие теорию ожидаемой полезности Нормативный и дескриптивный подходы к моделям выбора в условиях риска и неопределенности. Парадокс Аллэ. Кривые безразличия, изображенные в треугольнике вероятностей для трехточечных распределений, расходятся. Эффект одинакового отношения (common ratio effect): нарушение аксиомы независимости при переходе от сравнения лотерей к лотереям, распределение выигрыша в которых представляет взвесь распределения выигрыша в исходной лотерее и вырожденного в нуле распределения. Явление «переворота предпочтений» (preference reversal) – нарушение свойства транзитивности. Оказывается, что существуют лотереи, право участия в которых оценивается испытуемыми в экспериментах по-разному в зависимости от того, предлагается ли им обмен этого права на право участия в другой лотерее или на деньги. Эффекты представления (framing effects). Во многих экспериментах было отмечено влияние на индивидуальный выбор способа представления альтернатив. В частности, выбор может сильно зависеть от того, представлены ли денежные лотереи в форме приобретений или потерь. Критерии выбора в условиях риска, удовлетворяющие аксиоме промежуточности. Смысл аксиомы промежуточности как ослабления аксиомы независимости. Линейность кривых безразличия. Взвешенная ожидаемая полезность. Сравнительная полезность и модели «сравнительного огорчения» (regret/rejoice models). Сравнительная полезность без аксиомы транзитивности. Доказательство того, что сравнительная полезность – обобщение моделей ожидаемой и взвешенной полезности. Вид кривых безразличия. Аксиомы замещения: слабая аксиома замещения и очень слабая аксиома замещения. Теорема: непрерывный слабый порядок описывается моделью взвешенной полезности тогда и только тогда, когда выполнена слабая аксиома замещения; моделью сравнительной полезности – тогда и только тогда, когда выполнена очень слабая аксиома замещения. Пример: объяснение парадокса Аллэ при помощи модели взвешенной полезности. Ранговая полезность. Разновидности модели ранговой полезности (rank-dependent utility) отражают тот психологический факт, что на представления о вероятности, возможности или, шире, «психологическом весе» исходов лотерей может оказывать влияние положение, или ранг исхода среди других возможных исходов. Характеристика ранга в данной модели при помощи значения функции распределения в соответствующей точке. Вывод ранговой полезности из общей модели взвешивания при условии, что вес

каждого исхода зависит только от его вероятности и ранга. «Дуальная полезность» Яари как подвид ранговой полезности. Обобщение ранговой полезности. Аксиома ординальной независимости. Использование локальной линейной полезности для характеризации таких свойств критериев, обобщающих ожидаемую полезность, как монотонность относительно первого и второго стохастического доминирования, а также неприятие риска. Локальная функция полезности денег в случае дискретных распределений. Аналогия между свойствами «обычной» функции полезности денег и локальной функции: возрастание и вогнутость/выпуклость необходимы и достаточны для монотонности, соответственно, относительно первого и второго стохастического доминирования. Локальная функция полезности для произвольных распределений: использование операции взятия дифференциала Гато для ее получения. Примеры: (1) вывод локальной функции полезности денег для взвешенной полезности (дискретные распределения); (2) ) вывод локальной функции полезности денег для ранговой полезности (произвольные распределения). Некоторые другие подходы к выбору в условиях риска. Меры риска. Обобщение меры риска Полячека – Тверского. Меры риска Льюса и приводящие к ним предположения. Когерентные меры риска. «Парадоксы» сравнения денежных последовательностей. Несимметричность отношения к приобретениям и потерям, а также к отсрочкам и приближениям момента платежа. Снижение оценочной ставки дисконтирования: экспериментальные данные. Следствия этого факта для принятия решений. Тема 5. Выбор и решения при неопределенности. Теория выбора при отсутствии объективно известных вероятностей событий. Разница с теорией принятия решений в условиях риска. Вероятности изначально не определены; эти вероятности вводятся как субъективные. Понятие субъективной вероятности. Субъективная вероятность представляет собой некоторую оценку шансов, получаемую нестатистическим путем. Состояния природы и их множества (события). Отношение сравнительной вероятности. Теорема Сэвиджа о существовании субъективной вероятности. Схема принятия решений при неопределенности. Решения как функции, отображающие состояния природы в некоторое множество результатов. Отношение предпочтения на решениях. Аксиомы Сэвиджа. Основная аксиома – sure thing principle. Теорема Сэвиджа о представлении предпочтений ожидаемой полезностью. Упрощение аксиоматического построения. Подход Энскомба и Ауманна: использование сложных альтернатив, составленных из двух типов лотерей: лотерей с известными и лотерей с неизвестными вероятностями. Аксиомы Энскомба и Ауманна. Смысл субъективных вероятностей в их теории. Соображения в пользу предположения о том, что оценка того или иного результата может быть разной в зависимости от состояния природы, приведшего к этому результату. Модель полезности с зависимостью от состояний (state-dependent utility). Критика аксиом Сэвиджа и его модели линейной полезности. Парадоксы Эллсберга. Первый парадокс: ситуация, когда невозможно определить субъективные вероятности событий, приводящие к наблюдаемым экспериментально предпочтениям. Второй парадокс: нарушение основной аксиомы Сэвиджа (sure thing principle). Некоторые обобщения линейной модели. «Теория проспектов» Канемана и Тверского. Разрешение парадоксов в ее рамках. Вид функции полезности денег: специфика индивидуального поведения в отношении потерь и в отношении приобретений.

Эксперименты Канемана и Тверского: различные примеры индивидуального экономического поведения в условиях риска и неопределенности. Модель Льюса и Фишберна, объединяющая черты ранговой полезности и теории проспектов. Бинарная операция «совместного принятия» участия в двух лотереях. Представление критерия. Тема 6. Введение в практически-ориентированное моделирование рисков. Введение в стохастическое моделирование и обзор его возможностей для оценивания рисков и принятия решений. Принципы динамического финансового анализа. Тестирование денежных потоков, анализ чувствительности и «что – если» анализ. Практически-ориентированные модели и методы, связанные с общим понятием динамического финансового анализа ( dynamic financial analysis, DFA). Отличие от традиционного финансового анализа. Необходимость рассматривать не только современное финансовое состояние экономической системы, но и возможные будущие его изменения. Построение и компьютерная реализация математических моделей денежных потоков. Анализ рисков путем «проигрывания» различных сценариев, как детерминированных, так и генерируемых стохастически. Метод анализа с помощью задания на входе различных импульсов (возмущений) и получения на выходе реакций моделируемой экономической системы. Уровни моделирования: детерминистическое (бюджетирование) – сценарное – стохастическое – управляемые модели с наличием «самонастройки» или «обратных связей». Особенности методов динамического финансового анализа по сравнению с традиционными методами математического моделирования экономических систем. Анализ чувствительности к возмущениям (stress testing) и «что – если» анализ. Примеры: (1) модель денежных потоков страховой компании рискового страхования; (2) модель денежных потоков накопительной пенсионной системы с определенными выплатами: сравнение значимости инвестиционного и демографического рисков, анализ чувствительности к изменению метода актуарной оценки будущей инвестиционной доходности. Практическое занятие. Овладение методами анализа чувствительности на примере стохастической управляемой модели условной накопительной пенсионной системы. Используется учебная программа «Моделирование денежных потоков и рисков». На занятиях в компьютерном классе студентам предлагаются упражнения, демонстрирующие принципы анализа чувствительности и знакомящие с учебной компьютерной программой. Затем предлагается выполнить самостоятельное миниисследование – case study (в качестве домашнего задания). На занятиях разбираются примеры выполнения такого рода заданий и обсуждаются лучшие задания, выполненные студентами. Основное внимание обращается на правильное применение методов и грамотность анализа результатов. Для анализа результатов (в форме смоделированных выборок) применяются методы, освоенные ранее в данном курсе. Анализ результатов включает: (а) визуальное сравнение пучков траекторий с описанием и интерпретацией различий; (б) сравнение сечений пучков (модельных выборок для отдельных лет): визуальное сопоставление гистограмм выборок, сравнение моментных характеристик (средних, дисперсий, возможно – коэффициентов асимметрии), сравнение по тем или иным критериям; (в) экономически содержательный вывод. Тема 7. Обзор принципов построения математических моделей рисков.

Нормальные модели. Теория индивидуального риска в страховании. Введение в принципы построения динамических стохастических моделей. Винеровский процесс и случайное блуждание. Авторегрессионные модели. Применения в страховании и финансах. Нормальные модели: теоретические основания. Модель флуктуаций денежного потока, порожденных большим числом независимых факторов. Эффект центральной предельной теоремы и нормальность. Нормальные модели в экономике. Иллюстрации принципа нормальности в задачах из области страхования и финансов. Терминология и классификация видов страхования. Краткосрочное (рисковое) и долгосрочное страхование. Структура премий в страховании. Роль вероятностных методов в рисковом страховании. Теория индивидуального риска. Задача об определении страхового резерва для группы однородных независимых рисков (застрахованных объектов). Организация статистики страховых компаний. Распределения страхового убытка для отдельных полисов. Распределения убытка при условии страхового случая. Вероятность страхового случая. Формула, связывающая математические ожидания и дисперсии. Применение нормальной аппроксимации. Задача определения минимально допустимой относительной рисковой (гарантийной) надбавки. Эффект убывания надбавки с ростом числа рисков – аналогия с эффектом уменьшения риска за счет диверсификации в теории портфелей ценных бумаг. Расчет нетто-премий. Использование модели индивидуального риска в Методике (I) Росстрахнадзора (случай пропорционального страхования). Примеры: различные задачи определения резервов и нетто-премий в модели индивидуального риска с использованием нормального приближения. Динамические стохастические модели. Случайное блуждание. Пример. Модель де Финетти динамики резерва страховой компании. Понятие вероятности разорения. Уравнение для вероятности разорения. Парадокс теории риска. Винеровский процесс (броуновское движение) как предельный в схеме случайного блуждания. Определение и свойства винеровского процесса. Обобщенный винеровский процесс. Понятие о стохастических дифференциалах и дифференциальных уравнениях (на эвристическом уровне). Процесс Ито. Лемма Ито. Примеры. (1) Модель динамики цен финансовых активов. Доходность с непрерывным начислением. Стохастическое дифференциальное уравнение для цены актива. Его решение – геометрическое броуновское движение. (2) Модель динамики резерва страховой компании при наличии страхового и инвестиционного риска. Моделирование страхового риска обобщенным винеровским процессом. Включение инвестиционного риска в стохастическое дифференциальное уравнение. Вероятность разорения при различных соотношениях параметров двух типов риска. Зависимость в моделях. Автокорреляции. Простейшие модели с автокорреляцией: AR, MA, ARMA модели, их свойства и применение для анализа рисков. Пример: модель взаимосвязанных финансовых временных рядов Уилки и ее использование для актуарного моделирования. Тема 8. Модель коллективного риска. Классическая теория риска Лундберга. Сложно-пуассоновская модель. Смешивание. Практические задачи. Модель Ф. Лундберга. Процесс "появления" страховых убытков, или предъявления страховщику требований (claims) на выплату страховых возмещений по происходящим страховым случаям: моделирование пуассоновским процессом с постоянной интенсивностью. Вероятность разорения за бесконечное время. Рекуррентное

уравнение для вероятности разорения. Подстроечный коэффициент. Существование подстроечного коэффициента в случае положительности рисковой надбавки. Теорема о вероятности разорения. Неравенство Лундберга. Точность приближения Лундберга при больших значениях начального резерва. Пример: вычисление подстроечного коэффициента и вероятности разорения в случае экспоненциально распределенных страховых убытков. Суммарный убыток за фиксированный интервал времени: сложно-пуассоновская модель. Преимущества модели коллективного риска по сравнению с моделью индивидуального риска. Понятие «коллектива» рисков. Приближение суммарного убытка сложным пуассоновским распределением. Свойства сложного пуассоновского распределения. Математическое ожидание, дисперсия, высшие моменты и производящая функция моментов сложного пуассоновского распределения. Рекуррентные и приближенные формулы для сложно-пуассоновских вероятностей. Сравнение с нормальной аппроксимацией. Приближения для распределений отдельных убытков: логнормальное, гаммараспределение и др. Смешивание. Причины возникновения неоднородностей в коллективах рисков на практике. Модель смешивания. Сложная смешанно-пуассоновская модель для распределения суммарного страхового убытка. Свойства сложного смешаннопуассоновского распределения. Изменение смешивающей величины при суммировании. Использование гамма-распределения в качестве смешивающего. Отрицательное биномиальное распределение числа страховых убытков. Сложное отрицательное биномиальное распределение суммарного страхового убытка: математическое ожидание, дисперсия, высшие моменты и производящая функция моментов. Приближенные формулы для вероятностей. Практический пример. Моделирование выплат в добровольном медицинском страховании (ДМС). Схема денежных потоков в ДМС. Структура базы статистических данных. Моделирование числа страховых убытков на один полис: неудовлетворительность пуассоновского приближения. Отрицательное биномиальное приближение. Подгонка по реальным данным. Моделирование отдельного страхового убытка. Использование гамма-приближения. Проблема «тяжелых хвостов» – стандартная проблема теории риска. Использование дополнительных данных о продолжительности пребывания в лечебном учреждении для ее решения. Общий обзор модели и ее подгонки по статистическим данным. Тема 9. Динамическое управление в экономических системах. Проблема динамического управления экономической системой при наличии случайных флуктуаций. Понятие стратегии управления. Математическая постановка задачи оптимального динамического управления. Понятие о методе динамического программирования. Пример. Оптимальная стратегия выплаты дивидендов страховой компанией в модели де Финетти. Понятия функции Беллмана и уравнения Беллмана на этом примере. Оптимальность пороговой стратегии выплат. Практически-ориентированные модели динамического управления. Примеры: (1) актуарные методы пенсионного финансирования как практические методы динамического управления: (2) модель динамического управления инвестиционным портфелем в зависимости от опыта отдачи от каждого типа активов. 3. Литература. (а) Основная.

1. Учебник по курсу (планируется подготовить в 2003 г.). (б) Дополнительная. 2. A. Mas-Colell, M.D.Whinston, J.R.Green Microeconomic Theory. – New York : Oxford University Press , 1995. 3. C. D. Daykin, T.Pentikainen, M.Pesonen Practical Risk Theory for Actuaries. - Chapman and Hall, 1994. 4. Newton L. Bowers et al. Actuarial Mathematics. - American Society of Actuaries, 1986, 1997 (2nd ed.), Shaumburg, Illinois. 5. P.Fishburn Nonlinear Preference and Utility Theory. - Johns Hopkins Univ. Press, 1988. 6. M. Machina The Economic Theory of Individual Choice Under Uncertainty. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993. 7. J.Grandell Aspects of Risk Theory. - Springer-Verlag, 1990. 8. K.Borch The Mathematical Theory of Insurance. - Lexington Books, 1974. 9. Harry H. Panjer (Ed.) (1998) Financial Economics. – The Actuarial Foundation, Shaumburg, Illinois. 10. П.Фишберн Теория полезности для принятия решений. - М., "Наука", 1972. (Wiley, 1970). 11. J.C. Hull Options, Futures, and Other Derivatives, 4th ed.. – Prentice Hall, 2001. 12. DFA Research Handbook. – Dynamic Financial Analysis Committee of the Casualty Actuarial Society, www.casact.org/research/dfa, 1999. 13. В.И.Ротарь, В.Е.Бенинг Введение в математическую теорию страхования. – Обозрение прикладной и промышленной математики, 1994, т.1, вып. 5. 14. В.И.Ротарь, А.Г.Шоломицкий Об оценивании риска в страховой деятельности. – Экономика и математические методы, 1996, вып.1.