Коммутативная алгебра

О. Зарисский, П. Самюэль КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА. Т. 2 За последние десятилетия под влиянием ряда разделов современной математики, таких, как алгебраическая геометрия и другие, интенсивно развивалась теория коммутативных колец и полей. Данным разделам алгебры и посвящена эта обстоятельная монография. Во втором томе подробно исследуются кольца специальных типов: кольца нормировании, кольца полиномов и степенных рядов и локальные кольца. Книга может служить учебным пособием и основой для специальных курсов по важным разделам современной алгебры. Содержание От редактора перевода 5 Предисловие 7 Указания читателю 10 Глава VI. Теория нормирований 11 § 1. Вводные замечания 11 § 2. Точки поля 13 § 3. Специализация точек 18 § 4. Существование точек поля 22 § 5. Центр точки поля в подкольце 28 § 5'. Понятие центра точки в алгебраической геометрии 35 § 6. Точки и расширения полей 39 § 7. Случай алгебраического расширения полей 41 § 8. Нормирования 47 § 9. Точки и нормирования 50 § 10. Ранг нормирования 56 § 11. Нормирования и расширения полей 68 § 12. Теория ветвления общих нормировании 87 § 13. Классическая теория идеалов и нормировании 104 § 14. Простые дивизоры в полях алгебраических функций 111 § 15. Примеры нормировании 123 § 16. Одна теорема существования для составных центрированных 130 нормировании § 17. Абстрактная риманова поверхность поля 135 § 18. Производные нормальные модели 150 Глава VII. Кольца полиномов и степенных рядов 157 § 1. Формальные степенные ряды 157 § 2. Градуированные кольца и однородные идеалы 179 § 3. Алгебраические многообразия в аффинном пространстве 191 § 4. Алгебраические многообразия в проективном пространстве 199 § 4'. Дальнейшие свойства проективных многообразий 205 § 5. Связь между неоднородными и однородными идеалами 211 § 6. Связь между аффинными и проективными многообразиями 220 § 7. Теория размерности в конечной области целостности 225

§ 8. Специальные свойства полиномиальных колец в теории размерности 237 § 9. Теоремы нормализации 244 § 10. Теория размерности в кольцах степенных рядов 253 § 11. Расширение основного поля 257 § 12. Характеристические функции градуированных модулей и однородных 267 идеалов § 13. Цепи сизигий 275 Глава VIII. Локальная алгебра 287 § 1. Метод присоединенных градуированных колец 287 § 2. Некоторые топологические понятия. Пополнения 290 § 3. Элементарные свойства полных модулей 299 § 4. Кольца Зарисского 302 § 5. Сравнение топологий в нётеровом кольце 313 § 6. Конечные расширения 320 § 7. Лемма Гензеля и ее приложения 322 § 8. Характеристические функции 329 § 9. Теория размерности. Системы параметров 334 § 10. Теория кратностей 340 § 11. Регулярные локальные кольца 348 § 12. Строение полных локальных колец и приложения теоремы об их 352 строении § 13. Аналитическая неприводимость и аналитическая нормальность 363 нормальных многообразий Добавление 1. Соотношения между простыми идеалами р нётеровой 372 области о и ее простом расширении o[t] Добавление 2. Нормирования в нётеровых областях 381 Добавление 3. Идеалы нормировании 392 Добавление 4. Полные модули и идеалы 400 Добавление 5. Кольца Мэколея 416 Добавление 6. Единственность разложения на множители в регулярных 428 локальных кольцах Предметный указатель 432 Предметный указатель Числа после каждого термина указывают соответственно на главу, параграф и страницу. Таким образом, запись «Составное нормирование VI, 10, 60» означает, что определение составного нормирования может быть найдено в гл. VI, § 10, стр. 60. Все вновь определяемые термины в тексте обычно вводятся либо в формальном определении, либо выделяются курсивом. многообразия) VII, 4, 204 Абсолютно простой идеал VII, 11, Алгебраическое аффинное 262 многообразие VI, о, 350 — неразветвленный идеал VII, 11, — (проективное) многообразие VII, 262 4, 201 Алгебраическая точка VI- 2, 15 Алгебро-геометрическое локальное — точка (проективного

кольцо VIII, 13, 368 Аналитически независимые элементы VIII, 2, 299 — неприводимая локальная область VIII, 13, 364 — неразветвленное локальное кольцо VIII, 13, 363 — нормальное локальное кольцо VIII, 13, 364 Аппроксимационная теорема для нормировании VI, 10, 63 Аппроксимационная теорема для точек VI, 7, 45 Арифметический род (полиномиального идеала или многообразия) VII, 12, 275 Арифметически нормальное (проективное многообразие) VII, 4', 208 Архимедовская (линейно упорядоченная) группа VI, 10, 62 Аффинная модель VI, 17, 142 Аффинное ограничение (проективного многообразия) VII, 6, 221 — пространство VI, 5', 35 (Un)-топология VIII, 5, 313 Базис окрестностей нуля VIII, 2, 291 Бесконечно удаленная гиперплоскость VII, 6, 220 Бирациональное соответствие VI, 5', 38 Большая группа ветвления VI, 12, 96 Ведущий идеал (или подмодуль) VIII, 1, 289 Вполне целозамкнутое кольцо VIII, 1, 289 Второго рода (простой дивизор) VI, 14, 118 —— рода (точка) VI, 5, 32 Высшие группы ветвления VI, 12, 100

Вычет элемента относительно нормирования VI, 8, 50 Главный класс (идеал из главного класса) VII, 13, 284 Гомологическая коразмерность (локального кольца) доб. 6, 419 Градуированное кольцо VII, 2, 179 подкольцо VII, 2, 179 Градуированный модуль VII, 12, 268 Группа значений нормирования VI, 8, 48 инерции (нормирования) VI, 12. 88 — разложения (нормирования) VI, 12, 88 Группы ветвления VI, 12, 100 Действительное нормирование VI, 10, 62 Дефект (ветвления) VI, 11, 77 Дивизор VI, 14, 21 — (проективный случай) VII, 4', 207, доб. 4, 410 — нулей функции VI, 14, 121 — полюсов функции VI, 14, 121 — (простой локальной области) доб. 2, 391 Дивизор (простой поля алгебраических функций) VI, 14, 111 — функции VII, 4, 207 Дискретная (упорядоченная группа или нормирование) VI, 10, 58 Доминировать (некоторое квазилокальное кольцо доминирует над другим квазилокальным кольцом) VI, 17, 141 — (— нормирование доминирует над локальным кольцом) доб. 2, 382 Значение элемента в точке VI, 2, 15 Идеал (алгебраического аффинного многообразия) VI, 5', 35 — ветвления VI, 12, 103 — (главного класса), VII, 13, 284 — который не теряется в надкольце

доб. 1, 376 — нормирования доб. 3, 392 Изолированная подгруппа (упорядоченной абелевой группы) VI, 10, 56 Изоморфные точки VI, 2, 17 Индекс ветвления нормирования VI, 11, 71 Каноническое нормирование VI, 9, 52 — продолжение нормирования поля K над K(X) VI, 13, 109. Квазиабсолютно простой идеал VII, 11, 262 Квазикомпактное топологическое пространство VI, 17, 138 Квазилокальное кольцо VI, 17, 141 Когомологическая размерность (модуля) VII, 13, 281 Кольцо Зарисского, VIII, 4, 305 — Коэна Мэколея доб. 5, 419 — Крулля VI, 13, 104 — Мэколея доб. 5, 419 — нормирования VI, 8, 49 — точки VI, 2, 15 — специализации VI, 1, 13 Композит (полей) VI, 12, 90 Композиционный ряд точки VI, 3, 22 Конечная (точка, конечная на кольце) VI, 5, 28 Конечное однородное кольцо VII, 2, 180 Коническое представление многообразия VII, 4, 203 Координатное кольцо (аффинного многообразия) VI, 5', 36 Координатная область VII, 3, 191 Коразмерность (гомологическая коразмерность локального кольца) доб. 5, 419 Корень идеала (аффинный случай) VII, 3, 191 — — (проективный случай) VII, 4, 201 Кратность (идеала, полулокального

кольца) VIII, 10, 340 k-изоморфные точки (геометрические) VI, 5', 36 Лексикографическая упорядоченность (прямого произведения упорядоченных групп) VI, 10, 66 Лемма Гензеля VIII, 7, 323 — Чжоу VI, 17, 148 Линейная система доб. 4, 412 —- эквивалентность (дивизоров) доб. 4, 410 Локальное кольцо точки (геометрической) (аффинный случай) VI, 5', 37 ..„ — „._ подмногообразия (проективный случай) VII, 4', 205 Локально нормальное многообразие (аффинный случай) VI, 14, 117 — — (проективный случай) VII, 4', 206 Мажоранта VII, 1, 171 Максимально алгебраическое подполе VII, 11, 264 Многообразие (алгебраическое аффинное) VI, 5', 35 (алгебраическое проективное) VII. 4, 201 Модель поля VI, 17, 142 Модуль (градуированный) VII, 12, 268 — сизигий VII, 13, 275 — соотношений VII, 13, 275 m -адическое пополнение VIII, 2, 296 m -топология VIII, 2, 292 Начальная компонента (элемента градуированного кольца) VII, 2, 179 — форма VIII, 1, 288 — — (степенного ряда) VII, 1, 158 Независимость нормирований VI, 10, 64 — точек VI, 7, 44

Неприводимое многообразие VI, 5', 36 и VII, 3, 192 — множество локальных колец IV, 17, 141 Неприводимые компоненты (многообразия) VII, 3, 194 Неразветвленный простой идеал (при расширении основного поля) VII, 11, 262 Несмешанный идеал VII, 7, 230 Несущественный идеал VII, 2, 184 Неявные функции (теорема о н. ф.) VIII, 7, 325 Нормализационная теорема VII, 7, 234 Нормальная модель VI, 18, 151 система целостности VII, 9, 248 Нормальное многообразие (аффинный случай) VI, 14, 117 — — (проективный случай) VII, 4', 206 Нормирование VI, 8, 47 Нулевая последовательность VIII, 2, 293 Обобщенные разложения в степенные ряды VI, 15, 125 Общая точка (аффинный случай) VI, 5', 36 — (проективный случай) VII, 4, 202 Объединение (двух моделей) VI, 17, 148 Однородная компонента (случай градуированных колец) VII, 2, 179 — — (случай градуированных модулей) VII, 12, 268 — система целостности (случай кольца степенных рядов) VII, 9, 245 — — — (— конечного однородного кольца) VII, 7, 232 Однородное кольцо (конечное) VII, 2, 180 — координатное кольцо VII, 4, 202

Однородные координаты VII, 4, 199 Однородный гомоморфизм (случай градуированных колец) VII, 2, 180 — — (— градуированных модулей) VII, 12/268 —идеал VII, 2, 179 —модуль доб. 4, 405 —подмодуль VII, 12. 268 — полином (соответствующий данному полиному) VII, 5, 211 — элемент (случай .градуированных колец) VII, 2, 179 — — (— — модулей) VII, 12, 268 Определяющее кольцо (аффинной модели ) VI, 17, 142 Основное поле VII, 3, 191 — — точки VI, 2, 13 Отмеченный псевдополином VII, 1, 175 Относительная размерность точки VI, 6, 39 — степень нормирования VI, 11, 71 Относительная степень точки VI, 6, 40 Отношение доминирования VI, 17, 141 Отображение доминирования VI, 17, 141 Поверхностный элемент VIII, 8, 331 Подготовительная теорема Вейерштрасса VII, 1, 168 Подстановка (степенного ряда) VII, 1, 164 Поле вычетов нормирования VI, 8, 50 — — точки VI, 2, 15 — инерции (нормирования) VI, 12, 90 — представителей VIII, 7, 326 и VIII, 12, 352 разложения (нормирования) VI, 12, 90 — функций (аффинного многообразия) VI, 5', 36 — (проективного многообразия) VII,

4, 203 Полная линейная система доб. 4, 410 — модель (над другой моделью) VI, 18, 155 Полное кольцо (или модуль) (в топологическом смысле) VIII, 2, 294 —— множество квазилокальных колец VI, 17, 141 Полный модуль (или идеал) доб. 4, 400 — модуль (в широком смысле или строго) доб. 4, 412 Полулокальное кольцо VIII, 4, 305 Пополнение кольца (или модуля) (в топологическом смысле) VIII, 2, 296 — модуля доб. 4, 400 Порядковая функция VIII, 1, 288 Порядок проективного многообразия VII, 12, 275 — степенного ряда VII, 1, 158 — функции в простом дивизоре VI, 14, 121 Последовательность Коши VIII, 2, 293 Предел последовательности Коши VIII, 2, 293 Приводимое аффинное многообразие VII, 3, 192 Присоединенное градуированное кольцо или модуль VIII, 1, 285 Продолжение нормирования VI, II, 68 Проективная модель VI, 17, 147 размерность однородного идеала VII, 4, 203; VII, 7, 230 Проективное многообразие VII, 4, 201 — пространство VII, 4, 199 — расширение аффинного многообразия VII, 6, 221 Проективный предел (обратной системы) VI, 17, 149

Производная нормальная модель VI, 18, 154, 155 Простая последовательность (в кольце) доб. 5, 416 Простой дивизор (локальной области) доб. 2, 391 — — (первого или второго рода) VI, 14, 118 — (поля алгебраических функций) VI, 14, 111 —идеал нормирования VI, 8, 49 — —точки VI, 2, 16 — — на многообразии VI, 5', 36 p-адическая точка (в дедекиндовом кольце) VI, 2, 14 p-адическая точка (в области с однозначным разложением) VI, 2, 14 p-адические целые числа VIII, 7, 322 p-адическое нормирование (в дедекиндовом кольце) VI, 9, 55 p-адическое нормирование (в области с однозначным разложением) VI, 9, 54 Разноразмерный идеал VII, 7, 230 Равно характеристическое локальное кольцо VIII, 12, 352 Разветвленный простой идеал (при расширении основного поля) VII, 11, 262 Размерность афинного многообразия VI, 5', 36 — идеала (в конечной области целостности) VII, 7, 320 — линейной системы доб. 4, 411 — нормирования VI, 8, 50 — полулокального кольца VIII, 9, 334 — проективного многообразия VII, 4, 203 — простого идеала (в конечной области целостности) VI, 14, 113 — точки VI, 2, 15

— — (геометрической) VI, 5', 36 Ранг нормирования VI, 10, 56 Ранг точки VI, 3, 21 — упорядоченной абелевой группы VI, 10, 57 Расширение нормирования VI, 11, 68 —- точки VI, 6, 39 Рациональная точка VI, 2, 15 Рациональное нормирование VI, 10, 68 Рациональный ранг нормирования VI, 10, 67 Регулярная система параметров VIII, 11, 348 Регулярное локальное кольцо VIII, 11, 348 Регулярное расширение VII, 11, 267 Регулярный степенной ряд VII, 1, 174 Редуцированный индекс ветвления нормирования VI, 11, 71 Риманова поверхность (поля над подкольцом) VI, 17, 135 Ряд специализаций точки VI, 3, 22 Сегмент (упорядоченное множество) VI, 10, 56 Сизигии (модуль сизигий) VII, 13, 275 Сизигии (цепь сизигий) VII, 13, 276 Система целостности (нормальная) VII, 9, 248 — — (однородная) VII, 9, 245 — — (случай степенных рядов) VII, 9, 251 — параметров VIII, 9, 338 — — (регулярная) VIII, 11,348 Собственная специализация точки VI, 3, 18 Соответствие (бирациональное соответствие) VI, 5', 38 Сопряженные (алгебраические) точки VI, 2, 17 — точки (в нормальном расширении поля) VI, 7, 42 Составное нормирование VI, 10, 60

Специализация VI, 1, 11 точки VI, 3, 18 — — (геометрической) (аффинный случай) VI, 5', 37 — — — (проективный случай) VII, 4, 201 Степенной ряд (формальный или сходящийся) VII, 1, 157, 171 Степень (полиномиального идеала) VII, 12, 275 — (элемента в градуированном кольце) VII, 2, 179 — (— — модуле) VII, 12, 268 Строго однородные координаты VII, 4, 200 —— полная линейная система доб. 4, 412 Структурная теорема Коэна VIII, 12, 352 Существенные нормирования (кольца Крулля) VI, 13, 104 Сходящийся степенной ряд VII, 1, 162 Теорема Гильберта о корнях VII, 3 195 — —о сизигиях VII, 13, 279 — Гильберта — Серра о характеристических функциях VII, 12, 269 — Мэколея VII, 8, 237 о продолжении специализации VI, 4, 25 Топологический модуль, кольцо VIII, 2, 290, 291 Топология в AnK VII, 3, 192 Точка VI, 2, 13 — (геометрическая) на конечном расстоянии, бесконечно удаленная VII, 6, 220, 221 — первого или второго рода VI, 5, 32 Точное спаривание VI, 12, 96 Тривиальная точка VI, 2, 15 Тривиальное нормирование VI, 8, 48

Универсальная область VI, 5', 36 Формальный степенной ряд VII, 1, 157 Формула размерности (в нётеровой области) доб. 1, 377 Функция порядка VIII, 1, 288 Характеристическая функция (идеала в полулокальном кольце) VIII, 8, 329 — — (однородного идеала или модуля) VII, 12, 272 Характеристический полином (идеала в полулокальном кольце) VIII, 8, 330 — — (однородного идеала или модуля) VII, 12, 273 Целая зависимость в модуле доб. 4,

402 — прямая сумма доб. 2, 385 Целое замыкание модуля доб. 4, 403 Центр нормирования VI, 9, 53 — точки на кольце VI, 5, 29 — — — многообразии (аффинный случай) VI, 5', 36 — — — (проективный случай) VII, 4', 206 Цепное условие для простых идеалов доб. 1, 377 Цепь сизигий VII, 13, 276 Эквивалентные модули VII, 13, 276 ----- нормирования VI, 8, 49 Элементарные базисные условия доб, 4, 413 Эффективный дивизор доб. 4, 410