Некоммутативные алгебры в математике и ее приложениях

МАТЕМАТИКА НЕКОММУТАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ В МАТЕМАТИКЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯХ В. А. АРТАМОНОВ Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

ВВЕДЕНИЕ

NONCOMMUTATIVE ALGEBRAS IN MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS V. A. ARTAMONOV

Some classes of noncommutative algebras arising in different branches of mathematics and its applications are surveyed. Дан краткий обзор классов некоммутативных алгебр, возникающих в различных областях математики и ее приложениях.

В предлагаемой статье читатели знакомятся с некоторыми классами некоммутативных алгебр, возникающих в различных разделах математики и ее приложений. Понятие алгебры является одним из важнейших в современной математике. Под алгеброй понимается векторное пространство A, в котором задано умножение, то есть каждой паре элементов x, y ∈ A сопоставлен элемент xy ∈ A, называемый их произведением, причем выполнены обычные законы дистрибутивности, с которыми ученики знакомятся при изучении чисел. Если в качестве скаляров для векторного пространства берутся вещественные (комплексные) числа, то мы говорим о вещественной (комплексной) алгебре. Алгебра A называется коммутативной, если xy = yx для всех x, y ∈ ∈ A. Алгебра A называется ассоциативной, если (xy)z = = x(yz) для всех x, y, z ∈ A. Другие классы алгебр и естественные примеры мы приведем ниже.

© Артамонов В.А., 2001

В произвольной алгебре A выполнены свойства, к которым мы привыкли, производя преобразования с числами. Например, если 0 – нулевой элемент алгебры, то 0x = x0 = 0 для любого элемента x произвольной алгебры.

88

Отметим некоторые замечательные элементы алгебры A. Элемент 1 ∈ A называется единицей, если 1x = = x1 = x для любого элемента x ∈ A. Нетрудно проверяется, что единица, если она существует, единственна. Элемент x−1 алгебры A с единицей называется обратным к элементу x ∈ A, если xx−1 = x−1x = 1. Множество A* всех обратимых элементов ассоциативной алгебры A замкнуто относительно произведений, перехода к обратному элементу и содержит единицу, то есть A* является группой. Напомним следующее важное, часто используемое

www.issep.rssi.ru

Обозначение. В произвольной алгебре A для любых элементов x, y полагаем [x, y] = xy − yx. Таким образом, алгебра A коммутативна в том и только том случае, если [x, y] = 0.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 6 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА АЛГЕБРЫ МАТРИЦ Приведем один из основных примеров алгебр. Через Мат(n) обозначим множество всех квадратных матриц (таблиц) размера n. Если мы подчеркиваем, что рассматриваем вещественные (комплексные) матрицы, то пишем Мат(n, R) (соответственно Мат(n, C)). Сложение матриц из Мат(n) сводится к сложению коэффициентов, стоящих на одинаковых местах; умножение на число сводится к умножению всех коэффициентов на это число. Произведение матриц C, D ∈ Мат(n) вводится по следующему правилу: если сij , dij – коэффициенты матриц C, D, стоящие на месте (i, j ), то в матрице F = CD на произвольном месте (i, j ) стоит число fij = ci1d1j + ci2d2j + … + cindnj . Это определение мотивируется следующей ситуацией. Если V – векторное пространство всех столбцов X высоты n, то каждая матрица B = (bij) ∈ Мат(n) задает преобразование V по правилу: BX – это столбец, в котором i-й коэффициент равен bi1x1 + bi2x2 + … + binxn . Несложная проверка показывает, что если F = CD, то FX = (CD)X = C(DX), то есть преобразование, соответствующее произведению матриц, является произведением (композицией) преобразований, соответствующих сомножителям. Те ор е ма 1 . Алгебра Мат(n) является ассоциативной алгеброй с единицей. Если n $ 2, то алгебра Мат(n) не является коммутативной. Матрица из Мат(n) имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Единицей в Мат(n) является единичная матрица E, в которой на месте (i, j) стоит число 1, если i = j, и 0 в противном случае. Алгебра Мат(n) играет существенную роль при изучении систем линейных уравнений, линейных операторов. Укажем некоторые приложения алгебры вещественных матриц Мат(n, R), например, к изучению проблем демографии. Пусть в некотором регионе имеются города Γ1, Γ2 , … …, Γn , причем каждый год bij-я часть населения города Γj переезжает в город Γi . Предполагаем, что bij > 0 для всех i, j. Кроме того, суммарная общая численность населения во всех рассматриваемых городах в изучаемый период не меняется. Распределение населения по городам Γ1, Γ2 , …, Γn в начальный год задано в виде столбца X высоты n, в котором i-я координата равна численности населения в городе Γi в начальный год. Ставится вопрос о том, какое будет распределение населения по выделенным городам через N лет. Введем матрицу B = = (bij) ∈ Мат(n, R). Заметим, что условие сохранения численности населения записывается в виде уравнений

b1j + b2j + … + bnj = 1 для любого j = 1, 2, …, n. Несложные рассуждения показывают, что столбец, характеризующий распределение населения по городам через M лет, будет равен B MX. Теорема 2 (Перрон). Существуют столбец U с координатами u1, u2 , …, un и строка V = (υ1 , υ2 , …, υn), обладающие следующими свойствами: 1) u1υ1 + u2υ2 + … + unυn = 1; 2) (A − E)U = V(A − E) = 0; 3) lim A

N

является матрицей, у которой на месте

N

(i, j) стоит uiυj . Таким образом, в пределе распределение по городам Γ1, Γ2 , …, Γn стабилизируется. Численность населения в городе Γi будет ui(υ1x1 + υ2x2 + … + unxn). Другое приложение алгебр матриц возникло в 20-е годы XX века в связи с построением математического аппарата квантовой механики. При этом подходе физические величины представляются эрмитовыми комплексными матрицами B = (bij) ∈ Мат(n, C) с условиями b ij = b ji , черта означает взятие комплексно-сопряженного числа. Следует сразу оговориться, что при этом физики рассматривают матрицы бесконечных размеров. Но мы для простоты изложения будем рассматривать только матрицы конечного размера. Физическая величина, представляемая эрмитовой матрицей B, принимает лишь те значения λ, для которых матрица B − λE не имеет обратной. В линейной алгебре такие числа λ называются собственными значениями матрицы B. Доказывается, что собственные значения эрмитовой матрицы B вещественны и они и только они являются корнями многочлена det(B − tE) от неизвестной t. Более того, существует такая унитарная матрица U, что U −1BU – диагональная матрица, причем по главной диагонали стоят все собственные значения матрицы B. В квантовой механике определенную роль играет принцип неопределенности: две физические величины не могут быть одновременно вычислены. Этот принцип естественно интерпретируется на языке матриц. Если величины, соответствующие эрмитовым матрицам B и D, могут быть вычислены одновременно, то существует такая унитарная матрица U, что матрицы U −1BU, U −1DU диагональны. Несложная проверка показывает, что в этом случае BD = DB. Следовательно, принцип неопределенности соответствует наличию таких эрмитовых матриц B, D, что BD ­ DB. Обозначим через H множество всех эрмитовых матриц из Мат(n, C). Несложная проверка показывает, что H является алгеброй относительно умножения B • D = = BD + DB. Заметим, что умножение B • D коммутативно и удовлетворяет тождеству ((B • B) • D)B = (B • B) •

А Р ТА М О Н О В В . А . Н Е К О М М У ТА Т И В Н Ы Е А Л Г Е Б Р Ы В М А Т Е М А Т И К Е И Е Е П Р И Л О Ж Е Н И Я Х

89

МАТЕМАТИКА • (B • D), но не является, вообще говоря, ассоциативным. Алгебры с указанными тождествами называются йордановыми. Отметим, что в 80-х годах XX столетия выдающемуся новосибирскому математику Е.И. Зельманову удалось, применив полученные им результаты в теории йордановых и лиевых (см. ниже) алгебр, полностью решить ослабленную проблему английского математика начала XX века Бернсайда (W. Burnside). Именно, удалось показать, что существует конечное число конечных групп с заданным числом порождающих элементов, в которых xn = 1 для всех элементов группы при некотором натуральном числе n. За цикл этих работ Е.И. Зельманову вручена филдсовская медаль – высшая награда международного математического сообщества, присуждаемая один раз в четыре года на международных математических конгрессах. Работы Е.И. Зельманова существенно опирались на работы А.И. Кострикина, решившего эту проблему в случае, когда число n является простым. В связи с этим необходимо отметить работы академиков РАН П.С. Новикова, С.И. Адяна 50–60-х годов XX века, показавших, что для достаточно большого нечетного простого числа n существует бесконечная группа, порожденная двумя элементами, в которых xn = 1 для всех элементов группы. В последние годы С.В. Иванов и И.Г. Лысенок распространили этот результат на произвольное достаточно большое натуральное число n. Их методы существенно отличаются от методов А.И. Кострикина и Е.И. Зельманова. Подробнее со свойствами алгебр матриц читатель может познакомиться в [1]. АЛГЕБРЫ ФУНКЦИЙ Другим важным примером ассоциативных алгебр являются алгебры функций – алгебры всех непрерывных функций на топологических пространствах. В этих алгебрах линейная комбинация αf + βg и произведение fg функций f, g определяются поточечно, то есть (α f + βg)(x) = αf(x) + βg(x), (fg)(x) = f(x)g(x). Все эти алгебры коммутативны и ассоциативны. Известно, что при некоторых разумных ограничениях топологическое пространство однозначно восстанавливается по своей алгебре функций. Таким образом, изучение соответствующих пространств сводится к изучению алгебр функций на них. Например, алгебрами функций на прямой, плоскости и в пространстве являются соответственно алгебры многочленов k[X1], k[X1 , X2], k[X1 , X2 , X3] от переменных X1 , X2 , X3. Линейной группой называется множество невырожденных матриц, задаваемое фиксированной системой уравнений относительно коэффициентов матриц,

90

содержащее единичную матрицу и замкнутое относительно произведений и перехода к обратной матрице. Алгебра функций на линейной группе обладает дополнительными алгебраическими структурами, которые носят название алгебры Хопфа. В качестве примеров линейных групп можно рассматривать все матрицы заданного порядка с определителем 1, все ортогональные матрицы, все комплексные унитарные матрицы фиксированного порядка. Изучение этих групп связано с изучением симметрий нашего пространства. В последние два десятилетия обнаружились тесные связи между алгебрами Хопфа, квантовыми группами и некоммутативной геометрией, то есть изучением виртуальных топологических пространств, алгебры функций которых некоммутативны. АЛГЕБРЫ ВЕЙЛЯ Принцип неопределенности, о котором речь шла выше, выражается и виде уравнения [p, q] = pq − qp = c, где p, q – физические величины, с – ненулевое число, связанное с постоянной Планка. Деля q на c получаем уравнение [p, qc−1] = 1. Таким образом, если рассматривать линейные комбинации произведений p, q в произвольном порядке, то есть рассматривая функции (многочлены) от физических величин, то получаем некоммутативную ассоциативную алгебру. Эта алгебра давно известна в математике. Она называется алгеброй Вейля. Укажем ее естественную реализацию. На алгебре комплексных многочленов С[X1 , X2 , …, Xn] рассматриваются преобразования q1 , q2 , …, qn , p1 , p2 , …, pn , где qi ( f ) = X i f ,

∂f p i ( f ) = -------∂X i

для любого многочлена f ∈ С[X1 , X2 , …, Xn]. Непосредственная проверка показывает, что [pi , qj ] равно 1, если j = i, и 0 в противном случае. Кроме того, [pi , pj ] = [qi , qj ] = 0 для всех i, j. Линейные комбинации произведений элементов q1 , q2 , …, qn , p1, p2 , …, pn в произвольном порядке составляют элементы алгебры Вейля An . Из указанных выше правил перестановки произведений элементов q1 , q2 , …, qn , p1 , p2 , …, pn вытекает, что каждый элемент из An является линейной комбинацией m(1) m(2) 2

произведений одночленов q 1 t(n)

q

m(n)

…q n

t(1)

t(2)

p1 p2 …

… p n , где m(1), m(2), …, m(n), t(1), t(2), …, t(n) – целые неотрицательные числа. Можно показать, что все такие одночлены независимы и потому они образуют базис алгебры Вейля An . Таким образом, алгебра Вейля бесконечномерна. Отметим, что для многочлена f ∈ ∈ С[X1 , X2 , …, Xn]

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 6 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА m(1) m(2) 2

q1

q

m(1)

= X1

m(n)

…q n

m(2)

X2

m(n)

… Xn

t(1)

t(2)

t(n)

p1 p2 … pn ( f ) = t(1) + t(2) + … + t(n)

∂ f ---------------------------------------------. t(1) t(2) t(n) ∂X i ∂X i …∂X i

Другими словами, алгебра Вейля An является алгеброй дифференциальных операторов на С[X1 , X2 , …, Xn]. Те ор е ма 3 . Алгебра Вейля An проста, то есть если задан ненулевой элемент h ∈ An , то, умножая h слева и справа на произвольные элементы алгебры Вейля и беря их линейные комбинации, мы получим единичный элемент 1. Отметим, что теорема 3 справедлива и для алгебры матриц Мат(n). Известно, что алгебра многочленов k[X1 , X2 , …, Xn] вложима в алгебру рациональных функций k(X1 , X2 , … …, Xn) от переменных X1 , X2 , …, Xn . В этой коммутативной алгебре каждый ненулевой элемент обратим. Аналогичный результат справедлив и для алгебры Вейля. Те ор е ма 4. Алгебра Вейля An вложима в ассоциативную алгебру Dn , в которой каждый ненулевой элемент имеет обратный. Произвольный элемент из Dn представим в виде f −1g, а также в виде υu−1, где f, u – ненулевые элементы из An и g, υ ∈ An . Отметим, что в An и Dn умножение некоммутативно. Подробнее со свойствами алгебр Вейля можно познакомиться по книге [3]. В конце этого раздела отметим открытую проблему французского математика Ж. Диксмье. Проблема. Пусть q 1, q 2, …, q n, p 1, p 2, …, p n – элементы алгебры Вейля An , причем [ p i, q j ] = [ p i, q j ], [ p i, p j ] = [ p i, p j ], [ q i, q j ] = [ q i, q j ] для всех i, j. Доказать, что каждый элемент из An является линейной комбинацией произведений элементов q 1, q 2, …, q n, p 1 , p 2, …, p n .

бая алгебра Ли вложима в некоторую ассоциативную алгебру с указанным умножением. Алгебры Ли играют важную роль в математике. Выше уже отмечалось их применение для решения ослабленной проблемы Бернсайда. Кроме того, если для линейной группы матриц размера n рассмотреть касательное пространство в единичной матрице, то получается подпространство T матриц размера n, причем если A, B ∈ T, то [A, B ] = AB − − BA ∈ T. Таким образом, T является алгеброй Ли. Изучение линейных групп в значительной мере производится с помощью теории алгебр Ли. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В последние годы в связи с развитием теории квантовых групп, некоммутативной геометрии и т.д. возникла необходимость найти некоммутативные аналоги многочленов. Одним из таких аналогов является мультипараметрическая деформация СQ[X1 , X2 , …, Xn] многочленов. Пусть Q = (qij) – квадратная матрица размера n с комплексными коэффициентами qij , причем qii = qijqji = 1 для всех i, j = 1, 2, …, n. Рассматриваются многочлены от n переменных X1 , X2 , …, Xn , причем сложение многочленов стандартное, а умножение индуцировано правилом коммутирования неизвестных Xi Xj = qij Xj Xi . Более подробно с некоммутативными аналогами многочленов можно познакомиться в обзоре [4]. В этой статье мы коснулись ассоциативных алгебр и лишь вскользь упомянули об йордановых алгебрах и алгебрах Ли. Эти классы алгебр заслуживают отдельного рассмотрения. Отметим, что другим важным с точки зрения приложений классом неассоциативных конечномерных алгебр являются генетические алгебры [5], описание строения которых позволяет адекватно отражать генетическое развития популяций. ЛИТЕРАТУРА

Из положительного решения этой проблемы вытекает положительное решение открытой проблемы якобиана: если f1 , f2 , …, fn ∈ С[X1 , X2 , …, Xn], причем определитель матрицы, в которой на месте i, j стоит частная ∂fi производная --------, равен 1, то каждая переменная Xj яв∂X j ляется линейной комбинацией произведений элементов f1 , f2 , …, fn . АЛГЕБРЫ ЛИ Следующий важный класс алгебр образуют алгебры Ли. Это алгебры, в которых умножение, обычно обозначаемое через [x, y], удовлетворяет тождествам [x, y] + [y, x] = [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0. Если в произвольной ассоциативной алгебре положить [x, y] = xy − yx, то получается алгебра Ли. Обратно, лю-

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру: Основы алгебры. М.: Физматлит, 2000. 2. Кострикин А.И. Введение в алгебру: Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000. 3. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1978. 4. Артамонов В.А. Квантовая гипотеза Серра // Успехи мат. наук. 1998. Т. 53, № 4. C. 3–77. 5. Woerz A. Algebras in Genetics: Lectures Notes in Biomathematics 35. B.; Heidelberg; N.Y.: Springer, 1980.

Рецензент статьи Ю.П. Соловьев *** Вячеслав Александрович Артамонов, доктор физикоматематических наук, профессор кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ. Область научных интересов – кольца, универсальная алгебра и их приложения. Автор более 90 научных работ, в том числе двух книг.

А Р ТА М О Н О В В . А . Н Е К О М М У ТА Т И В Н Ы Е А Л Г Е Б Р Ы В М А Т Е М А Т И К Е И Е Е П Р И Л О Ж Е Н И Я Х

91