Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными. Методические указания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Выпуск 6: Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными

Составитель: Ширапов Д.Ш.

Улан-Удэ, 2002 г.

Введение Дифференциальные уравнения с частными производными встречаются в самых различных областях естествознания, причем решение их в аналитическом виде (в виде конечной формулы) удается только в самых простых случаях. Поэтому становятся особенно важными численные (приближенные) методы решения этих уравнений. В методических указаниях будут кратко описаны численные методы решения некоторых задач для дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными. При этом будут рассмотрены только методы решения линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Наиболее широко распространенным и простым методом численного решения дифференциальных уравнений с частными производными является метод сеток или метод конечных разностей, поэтому основной упор, в методических указаниях, сделан на пояснение и описание этого метода. 1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными В общем случае дифференциальное уравнение с частными производными имеет вид F ( x, y, u , u x , u y , u xx , u xy , u yy ) = 0 (1.1) где x, у - независимые переменные, u - искомая функция, ux , uy , uxx , uxy , uyy – её первые и вторые частные производные по аргументам x и y. Решением уравнения (1.1) называется функция и= u(х, у), обращающая это уравнение в тождество. График решения представляет собой поверхность в пространстве Охуu (интегральная поверхность) (рис. 1).

Рис. 1. Уравнение (1.1) называется вполне линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и всех ее производных и не содержит их произведений, т. е. если это уравнение может быть записано в виде A

∂ 2u ∂x 2

+ 2B

∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u +C 2 +a +b + cu = F ( x, y ) , ∂x∂y ∂x ∂y ∂y

(1.2)

причем коэффициенты А, В, С, а, Ь, с могут зависеть лишь от х и у. В частном случае, если эти коэффициенты не зависят от х и у, то уравнение (1.2) будет линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Подробнее рассмотрим линейное дифференциальное уравнения (1.2). Пусть D=АС-В2 - дискриминант уравнения. В зависимости от знака функции D линейное дифференциальное уравнение (1.2) относится в заданной области к одному из следующих типов: D > 0 — эллиптический тип;

D = 0 — параболический тип; D < 0— гиперболический тип; D не сохраняет постоянного знака—смешанный тип. Тип линейного уравнения (1.2) является его важной особенностью и сохраняется при любом невырожденном преобразовании ξ=φ(х, у), η=ψ(х, у), (1.3) т. е. в таком, что якобиан ∂ (ϕ , ψ) ≠ 0. ∂ ( x, y )

Пример 1.1. Температура и=и(х, у) точки (х, у) пластинки при стационарном распределении (т. е. при распределении, не зависящем от времени) и отсутствии источников тепла удовлетворяет уравнению Лапласа [1, 2] ∂ 2u ∂ 2u + = 0. (1.4) ∂x 2 ∂y 2

Здесь А=1, В=0, С=1 и D=AС—В2 > 0, т. е. уравнение (1.4) эллиптического типа. Пример 1.2. Температура и=и(х, t) точки однородного тонкого стержня с абсциссой х для каждого момента времени t удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности [2] ∂u ∂ 2u (1.5) − a 2 2 = F ( x, t ) , ∂t ∂x где а - постоянная, зависящая от физических свойств стержня, и F(х, y) - функция, связанная с плотностью источников распределения тепла. Если в стержне отсутствуют источники тепла, то уравнение теплопроводности имеет вид ∂u ∂ 2u (1.6) = a2 2 . ∂t ∂x Очевидно, что уравнения теплопроводности (1.5) и (1.6) - параболического типа. Пример 1.3. Поперечное смещение и=и (х, у) точки однородной струны с абсциссой х (рис. 2) в случае наличия внешней силы для каждого момента t удовлетворяет неоднородному одномерному волновому уравнению [1, 2]

Рис. 2. ∂ 2u

− a2

∂ 2u

= F ( x, t ) , (1.7) ∂t 2 ∂x 2 где а - постоянная и F(х, t) - функция, зависящая от внешней силы.. Уравнение (1.7) носит название уравнения колебаний струны. Если внешняя сила отсутствует (свободные колебания), то уравнение колебаний струны имеет вид 2 ∂ 2u 2 ∂ u = a . (1.8) ∂t 2 ∂x 2 Уравнения колебаний струны (1.7) и (1.8) относятся к гиперболическому типу.

2. Начальные и краевые условия. Задача Коши. Дифференциальное уравнение с частными производными имеет в общем случае бесчисленное множество решений. Поэтому, если физический процесс описывается с помощью уравнения с частными производными, то для однозначной характеристики этого процесса

нужно к уравнению присоединить какие-то дополнительные условия. Эти дополнительные данные в простейшем случае состоят из начальных и краевых (граничных) условий. В сущности, различить эти условия можно лишь в том случае, если одна из независимых переменных дифференциального уравнения играет роль времени, а другая — пространственной координаты (для случая двух независимых переменных). При этом условия, относящиеся к начальному моменту времени, называются начальными, а условия, относящиеся к фиксированным значениям координат (обычно это координаты граничных точек рассматриваемого линейного континуума) — краевыми. Пример 2.1. Пусть имеется теплоизолированный (кроме, может быть, концов) однородный нагретый стержень 0 ≤ x ≤ l , где I - длина стержня (рис. 3). Температура стержня u=u(х,t) в точке х (0<х< /) для любого момента времени t удовлетворяет уравнению теплопроводности ∂ 2u ∂u = a2 2 , (2.1) ∂t ∂x где а - постоянная.

Рис. 3. В начальный момент t=to внутренних точек стержня обычно задается начальное распределение температуры. Это приводит к начальному условию u(x, to )=f(x) (2.2) при 0 < х < I, где f(x) - известная функция. Условие (1.2) не обеспечивает однозначности решения дифференциального уравнения (2.1), так как физически ясно, что распределение температуры u(х,t) в стержне для последующих моментов времени t>to существенно зависит от того, в каком состоянии находятся концы стержня x=0 и х=1 (есть ли там утечка тепла, каков тепловой режим и т. п.). В зависимости от состояния конца x=0 имеем следующие, основные краевые условия. 1. Конец стержня х=0 поддерживается при заданной' температуре u(0, t )=ϕ(t) (2.3) где ϕ(t) - известная функция. В частности, если эта температура равна нулю, то краевое условие будет u(0, t )=0. (2.4) 2. Конец стержня х=0 теплоизолирован, т. е. утечка тепла в окружающую среду отсутствует: uх(0, t )=0. (2.5) 3. На конце стержня х=0 происходит лучеиспускание тепла в окружающую среду, температура которой меняется по заданному закону u(0, t )+α uх(0, t )=ϕ(t) (2.6) где α - постоянная и ϕ(t) - известная функция. В частности, если температура внешней среды равна нулю, то получим u(0, t )+α uх(0, t )=0. (2.7) Смешанное краевое условие (2.6) в некотором смысле можно считать общим, а именно, полагая α =0, получим краевое условие (2.3), а при α =∞ будем иметь краевое условие (2.5). Возможны и другие типы краевых условии. Аналогичные краевые условия могут быть также для конца х=1. Комбинируя краевые условия для концов х=0 и х=1, буцем иметь краевые задачи для стержня, которые при наличии начального условия (2.2), вообще говоря, имеют единственные решения. Пример 2.2. Рассмотрим свободные колебания однородной ограниченной струны длины I (0<х< /). Поперечное смещение u=u(х,t) при 0<х
∂ 2u ∂t 2

= a2

∂ 2u ∂x 2

,

(2.8)

где а - постоянная. В начальный момент t=to обычно задаются форма струны и распределение скоростей ее точек. Это дает начальные условия u(x, to )=ϕ(x),

u(x, to )=ϕ1(x),

(2.9)

где ϕ(x) и ϕ1(x) - известные функции, определенные в интервале 0<х<1. В зависимости от способов заделки концов струны х=0 и х=1 будем иметь следующие основные краевые условия. 1. Конец жестко закреплен: u(0, t )=0 (или u(l, t )=0 ). 2. Конец упруго закреплен: uх(0, t ) – k1 u(0, t )=0 (или uх(0, t ) – k2 u(0, t )=0 ), где k1 и k2 - положительные постоянные.

(2.10’) (2.10’’)

3. Конец свободен: uх(0, t )=0 (или uх(l, t )=0 ).

(2.10’’’)

При достаточной гладкости функций ϕ(x) и ϕ1(x) задача (2.9) - (2.10) имеет единственное решение.

Теперь рассмотрим общую постановку задачи с начальными условиями. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение L[u]=F(x, y), (2.11) где L[u]= A( x, y ) + a ( x, y )

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + B x y + C x y 2 ( , ) ( , ) + ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2

∂u ∂u + b( x, y ) + c( x, y )u . ∂x ∂y

(2.12)

Отыскание решения и=и(х, у) уравнения (2.11), удовлетворяющего начальным условиям и(х, у0)= ϕ(x) , иу(х, у0)= ϕ1(x) , (2.13) называется задачей Коши, а сами условия носят название начальных данных Коши. Задача Коши имеет простую геометрическую интерпретацию (рис. 4): требуется найти интегральную поверхность и=и(х, у) уравнения (2.11), проходящую через данную пространственную кривую у= у0 , и=ϕ(x)

Рис. 4. и касающуюся в точках М(х, у0 , и) этой кривой заданной системы векторов а, расположенных в плоскостях x=сопst и составляющих с осью Оу угол β, определяемый равенством tgβ=ϕ1(x). Если рассматривать у как время, то задача Коши имеет следующую механическую трактовку: в начальный момент времени y=у0 заданы форма плоской линии и=ϕ(х, у0) и распределение скоростей ее точек ∂u/∂y=ϕ1(х, у0). Предполагая, что каждая точка М(х, и) линии движется параллельно оси Оu, причем дифференциальный закон движения дается уравнением (2.11), требуется определить форму линии для последующих моментов времени у>y0 (рис. 5).

Рис. 5. Условия (2.13) задают начальные данные Коши на прямой у=y0 . Однако это не является обязательным: можно задавать начальные данные на любой гладкой кривой Ф(х, у)=0. (γ) Таким образом, приходим к общей задаче Коши — найти решение и=и(х, у)

(2.14)

дифферециального уравнения (2.11), удовлетворяющее начальным условиям uγ=ϕ(x, y) ,

∂u γ=ϕ1(x, y). ∂x

(2.15)

Вместо производной

∂u ∂u можно задавать производную , так как на кривой γ имеем ∂x ∂у

∂u ∂u dx+ dy=dϕ(x, y) , ∂x ∂у

∂Ф ∂Ф dx+ dy= 0 . ∂x ∂у

(2.16)

Можно также задавать нормальную производную ∂u ∂u ∂u = cos(n, x)+ cos(n, y). ∂n ∂x ∂у

Задача Коши обычно ставится для линейного уравнения (2.11) гиперболического и параболического типов.

Рис. 6.

Рис. 7.

Если уравнение (2.11) гиперболического типа, то для единственности решения задачи Коши необходимо, чтобы начальная кривая γ не являлась характеристикой [1]. Если это последнее условие выполнено и начальные данные заданы на конечной дуге РQ кривой γ , то решение задачи Коши, вообще говоря, определено и однозначно в криволинейном треугольнике РQR (область распространения}, образованном дугой РQ и дугами характеристик РR. и QR различных семейств, проходящих через концы Р и Q (рис. 6). Предполагается, что коэффициенты дифференциального уравнения определены и непрерывны в соответствующей области. Пусть начальные данные Коши для уравнения (2.11) заданы на отрезке а≤ х≤ Ь , а решение и=и(х, у) этого уравнения надо определить в полуполосе К{ а≤ х≤ Ь; 0≤ у<∞ } (рис. 7). Тогда для однозначности этого решения дополнительно нужно задать условия на прямых х=а и х=Ь, что приводит к смешанной задаче. Достаточно общей задачей этого типа является нахождение в полуполосе К решения и=и(х,у) дифференциального уравнения (2.11), удовлетворяющего начальным и граничным условиям: u(x, 0)= ϕ(x), иу(х, 0)= ϕ1(x) ( а≤ х≤ Ь, y=0 ) (2.17) и

αоu(a, y)+α1ux(a, y)=ψ(y), βоu(b, y)+β1ux(b, y)=ψ1(y),

(2.18)

где αо + α1 ≠0, βо + β1 ≠0, 0
3. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа Исследования стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность и др.) часто приводят к уравнениям эллиптического типа L[u]≡

∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + 2 + a ( x, y ) + b ( x, y ) + c( x, y )u =F(x, y), (3.1) 2 ∂x ∂y ∂x ∂y

где а(х, у), Ь(х, у), с(х, у) и F(х, у) — непрерывные функции. Для этих уравнений обычно ставятся лишь краевые задачи, так как задача Коши, как было cказано в предыдущем параграфе, для уравнений эллиптического типа может быть некорректной. Наиболее часто встречаются следующие краевые задачи. Первая краевая задача. На контуре Г, ограничивающем область G (рис. 8), задана непрерывная функция ϕ(Р) = ϕ(х, у). Требуется найти функцию и(Р)=и(х, у) , удовлетворяющую внутри G уравнению (3.1) и принимающую на границе заданные значения ϕ(Р) , т. е. должны быть выполнены условия: L[и(Р)]=F[P] при P∈ G; и(Р)=ϕ(Р) при P∈ Г.

Рис. 8. Вторая краевая задача. На контуре Г, ограничивающем область G, задана непрерывная функция ϕ1(Р). Требуется найти функцию и(Р)=и(х, у) , удовлетворяющую внутри G уравнению (3.1), нормальная производная которой на Г принимает заданные значения ϕ1(Р) , т.е. требуется, чтобы L[и(Р)]=F[P] при P∈ G; ∂u ( P) =ϕ1(Р) ∂n

при P∈ Г.

Третья краевая задача. На контуре Г, ограничивающем область G (рис. 8), задана непрерывная функция ψ(P)=ψ(x, y). Требуется найти функцию и(Р)=и(х, у) такую, чтобы L[и(Р)]=F[P] при P∈ G;

αo и(Р)+ α1

∂u ( P) =ψ(P) при P∈ Г, ∂n

где αо + α1 ≠0. Третью краевую задачу можно рассматривать как общую. Действительно, при αo =1 и α1= 0 получаем первую краевую задачу, а при αo = 0 и α1=1 — вторую краевую задачу. За-

метим, что если область G ограниченная, то соответствующая краевая задача называется внутренней, в противном случае — внешней. Для уравнения Лапласа ∆u=0 первая краевая

задача называется задачей Дирихле, вторая — задачей Неймана и третья — смешанной краевой задачей. 4. Уравнение Лапласа в конечных разностях Для получения конечно-разностного уравнения, соответствующего уравнению Лапласа ∂ 2u ∂x 2

+

∂ 2u ∂y 2

=0,

(4.1)

достаточно, выбрав шаг h>0, заменить производные

∂ 2u ∂x 2

и

∂ 2u ∂y 2

отношениями конечных

разностей по формулам ∂ 2u ∂x

2

≈

u ( x + h) − 2u ( x, y ) + u ( x − h, y ) h

2

∂ 2u

,

∂y

2

≈

u ( x, y + h) − 2u ( x, y ) + u ( x, y − h) h2

.

Тогда будем иметь u ( x + h) − 2u ( x, y ) + u ( x − h, y ) h

2

+

u ( x, y + h) − 2u ( x, y ) + u ( x, y − h) =0 h2

и, отсюда u(x,y)=1/4[u(x+h,y)+u(x-h,y)+u(x,y+h)+u(x,y-h)]

(4.2)

Однако, для того, чтобы оценить точность такой замены используем формулу Тейлора 2

 ∂ 1  ∂ ∂  ∂  h+ k  f(x,y)+  h + k  × 2!  ∂x ∂y  ∂y   ∂x

f(x+h,y+k)=f(x,y)+ 

n

× f(x,y)+…+

∂  1  ∂  h + k  f(x+Θh,y+Θk), ∂y  n!  ∂x

(4.3)

где 0 < Θ < 1. При этом используются различные схемы. Рассмотрим две основные схемы. Первая основная схема. Рассмотрим точки А(х, у), В(х-h, у), С(х+h, у), D(х, у+h), Е(х, уh), лежащие в центре квадрата и на серединах его сторон (рис. 9), и выразим значения функции и в точках В, С, D, Е через значения этой функции и ее производных в центральной точке квадрата А(х, у). Согласно формуле (4.3), полагая в ней n=4, имеем:

Рис. 9.

u(x-h,y)= u(x,y) - hux+

1 2 1 1 h uxx - h 3 uxxx+ h 4 u xxxx , 2! 3! 4!

u(x+h,y)=u(x,y)+hux+

1 2 1 1 h uxx + h 3 uxxx+ h 4 u xxxx , 2! 3! 4!

u(x,y-h)= u(x,y) – huy+

1 2 1 1 h uyy - h 3 uyyy+ h 4 u yyyy 2! 3! 4!

u(x,y+h)= u(x,y)+ huy+

(4.4) ,

1 2 1 1 h uyy + h 3 uyyy+ h 4 u , yyyy 2! 3! 4!

где ux , uy , uxx , uyy , uxxx , uyyy - значения производных в точке А(х, у), а u xxxx , u xxxx , u yyyy , u yyyy производные в некоторых промежуточных точках. Складывая равенства (4.4), получим u(x-h,y)+u(x+h,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)= =4u(x,y)+ h 2 (uxx+ uyy)+Rh(x,y) ,

(4.5)

где остаточный член Rh(x,y)=

h4 [ u xxxx + u xxxx + u yyyy + u yyyy ] при u∈ C(4) имеет порядок О(h4). Отсюда будем иметь 4!

u(x-h,y)+u(x+h,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)=4u(x,y)+ h 2 ∆u+О(h4), и, следовательно,

∆u=

1 h

2

[ u(x-h,y)+u(x+h,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)- 4u(x,y)]+О(h2)

(4.6)

Формула (4.6) выражает оператор Лапласа ∆u через конечные разности и называется первой основной конечно-разностной формой оператора Лапласа. Отбрасывая в уравнении (4.6) член О(h2), получим, что уравнению Лапласа ∆u=0 приближенно соответствует следующее уравнение в конечных разностях: 1 4

u(x,y)= [u(x+h,y)+u(x-h,y)+u(x,y+h)+u(x,y-h)] , что совпадает с уравнением (4.2).

Рис. 10.

(4.7)

Вторая основная схема. Рассмотрим точки А(х, у), В(х-h, у+h), С(х+h, у+h), D(х+h, уh), Е(х-h, у-h), лежащие в центре и вершинах квадрата (рис. 10). Как и в первой схеме, выразим значения функции и в точках В, С, D, Е через значения этой функции и ее производных в точке А. Полагая n=4 в формуле (4.3), получим: u(x+h,y-h)= u(x,y)+h(ux – uy)+ +

1 3 h (uxxx -3uxxy +3uxyy - uyyy)+ 3!

u(x-h,y-h)= u(x,y)+h(-ux – uy)+ +

1 2 h (uxx -2uxy + uyy)+ 2!

1 1 3 ∂ ∂ h (-uxxx -3uxxy -3uxyy - uyyy)+ + h 4 (− − ) 4 u (ξ 2 , η 2 ) , 4! 3! ∂x ∂y

(4.8)

1 2 h (uxx -2uxy + uyy)+ 2!

1 1 3 ∂ ∂ h (-uxxx +3uxxy -3uxyy+uyyy)+ + h 4 (− + ) 4 u (ξ 3 , η 3 ) , ∂x ∂y 4! 3!

u(x+h,y+h)= u(x,y)+h(ux + uy)+ +

1 4 ∂ ∂ 4 h ( − ) u (ξ 1 ,η 1 ) , 4! ∂x ∂y

1 2 h (uxx +2uxy + uyy)+ 2!

u(x-h,y+h)= u(x,y)+h(-ux + uy)+ +

+

1 2 h (uxx +2uxy + uyy)+ 2!

1 1 3 ∂ ∂ h (uxxx +3uxxy +3uxyy+uyyy)+ h 4 ( + ) 4 u (ξ 4 , η 4 ) . ∂x ∂y 4! 3!

Складывая равенства (4.8), будем иметь u(x+h,y-h)+u(x-h,y-h)+u(x-h,y+h)+ +u(x+h,y+h)=4u(x,y)+2 h 2 ∆u+О(h4), откуда

∆u=

1 2h

2

[ u(x+h,y-h)+u(x-h,y-h)+u(x+h,y+h)+u(x-h,y+h)-4u(x,y)]+О(h2) .

Отбрасывая остаточный член О(h2), получаем, что уравнение Лапласа ∆u=0 приближенно можно заменить конечно-разностным уравнением u(x,y)=

1 [ u(x+h,y-h)+u(x-h,y-h)+u(x+h,y+h)+u(x-h,y+h)]. 4

5. Решение задачи Дирихле методом сеток

Идея метода сеток (или, метода конечных разностей) для численного решения краевых задач для двумерных дифференциальных уравнений заключается:

Рис. 11.

1) в плоской области G, в которой разыскивается решение, строится сеточная область Gh, состоящая из одинаковых ячеек (рис. 11) и приближающая данную область G; 2) заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах построенной сетки соответствующим конечно-разностным уравнением; 3) на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области Gh. Решив полученную систему конечно-разностных уравнений, для чего решается система линейных алгебраическую уравнений с большим числом неизвестных, мы найдем значения искомой функции в узлах сетки, т. е. будем иметь численное решение нашей задачи. Выбор сеточной области производится в зависимости от конкретной задачи, но во всех случаях контур Гh сеточной области Gh следует выбирать так, чтобы он как можно лучше аппроксимировал контур Г заданной области G. Сеточная область может состоять из квадратных, прямоугольных, треугольных и других клеток. От выбора основного размера клетки h зависит величина остаточного члена Rh при замене дифференциального уравнения конечно-разностным. Следовательно, размер h теоретически должен определяться требованием, чтобы этот оста-точный член был меньше погрешности, допустимой при решении. Однако такой путь не всегда целесообразен, так как получаемый при этом размер h настолько мал и, следовательно, число клеток настолько велико, что решение оказывается практически невыполнимым. Обычно задача решается сначала при большом значении h, т. е. при малом числе клеток, и лишь после того, как задача грубо приближенно решена для этой крупной сетки, переходят к более мелкой сетке или во всей рассматриваемой области, или в какой-нибудь ее части. Покажем применение метода сеток для построения решения задачи Дирихле ∂ 2u ∂x 2

+

∂ 2u ∂y 2

=0 при (x,y)∈ G и и(Р)=ϕ(Р) при P∈ Г,

(5.1)

где ϕ(Р)= ϕ(x,y) - заданная непрерывная функция, причем для простоты рассмотрим лишь случай квадратной сетки. Будем предполагать, что область G ограничена простым замкнутым кусочно-гладким контуром Г.

Рис. 12.

Выбрав шаг h, построим квадратную сетку xi=xo+ih, yj=yo+jh (i, j=0, ±1, ±2, ...) с таким расчетом, чтобы узлы (xi , yj) сетки Sh или принадлежали области G, или отстояли от ее границы Г на расстоянии меньшем, чем h. Узлы сетки Sh называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси Ох или оси Оу на расстояние, равное шагу сетки h. Узел Ah сетки Sh называется внутренним, если он принадлежит области G, а все четыре соседних с ним узла - множеству Sh , в противном случае он называется граничным (например, узлы Вh и Сh сетки Sh ) (на рис. 12 внутренние узлы обозначены светлыми кружками, а граничные -темными кружками и темными треугольниками). Граничный узел сетки Sh , называется узлом первого рода, если он имеет соседний внутренний узел этой сетки (например, узел Bh на рис. 12); в противном случае граничный узел называется узлом второго рода (узел Сh на рис. 12). Внутренние узлы и граничные узлы первого рода сетки Sh называются расчетными точками. Граничные узлы второго рода не входят в вычисление и могут быть изъяты из сетки Sh (на рис. 12 граничные узлы второго рода обозначены темными треугольниками). Относительно сетки Sh предположим, что множество ее расчетных точек «связное», т. е. любые две расчетные точки можно соединить цепочкой узлов, каждые два смежных элемента которой являются соседними узлами. Кроме того, будем считать многоугольную сеточную область Gh выбранной так, чтобы ее геометрическая граница Гh, возможно ближе примыкала к границе Г области G. Заметим, что узловые точки контура Гh могут лежать как внутри, так и вне области G. Значение искомой функции и=и(х,у) в точках (хi ,уj) обозначим через uij=u(хi ,уj). Следуя общей схеме, для каждой внутренней точки (хi ,уj) сетки Sh, заменяем дифференциальное уравнение (5.1) конечно-разностным уравнением 1 4

uij= (ui-1,j+ui+1,j+ui,j-1+ui,j+1) ,

(5.2)

где (xi±1, уj±1) - расчетные точки. В граничных узлах первого рода Вh сетки Sh полагаем u(Вh)=и(В)=ϕ(В),

(5.3)

где В - ближайшая к Вh точка границы Г. Система (5.2) является неоднородной линейной системой, причем число неизвестных (т. е. число внутренних узлов сетки) равно числу уравнений. Система (5.2) всегда совместна и имеет единственное решение. Чтобы доказать это, достаточно убедиться в том, что соответствующая однородная система имеет лишь нулевое решение. Однородная система, очевидно, формально может быть записана в виде системы (5.2), с той лишь разницей, что значение функции ϕ (Р) на границе Г следует положить тождественно равным нулю: ϕ (Р)=0. Однородная система (5.2) всегда совместна, так как эта система имеет тривиальное решение uij≡0. Решив систему (5.2), получим приближенные значения искомой функции и=и(х,y) в узлах сеточной области Gh . Тем самым будет найдено приближенное численное решение задачи Дирихле для области Gh .

6. Метод Либмана

Если число узлов сетки Sh велико, то непосредственное решение системы (5.2) становится затруднительным. Кроме того, для криволинейной области G значения функции и в граничных узлах сетки Sh выбраны слишком грубо. Эти обстоятельства заставляют для решения указанной системы прибегать к итерационным методам с одновременным исправлением граничных значений. Согласно процессу усреднения Либмана, выбрав начальные приближения u ij( 0) , последовательные приближения u ij(k ) для внутренних узлов (xi,yi) сетки Sh определяем по формуле u ij( k ) =

[

1 ( k −1) u i −1, j + u i(+k1−,1j) + u i(,kj−−11) + u i(,kj−+11) 4

]

(k=1,2, ...).

(6.1)

Рис. 13. Что касается граничных узлов Аh сетки Sh , то значения функции и(Аh) в этих узлах последовательно исправляем по формулам линейной интерполяции: u(o)(Ah)=u(A)=ϕ(A) , u(k)(Ah)=u(A)+

u ( k −1) ( B ) − u ( A) δ , (k=1,2, …), u +δ

(6.2)

где А - ближайшая к Ah точка границы Г (u(А)==ϕ(A)), В - ближайший к Ah внутренний узел сетки Sh (рис. 13) и δ - удаление узла Ah , от точки А, причем δ>0, если Ah - внутренняя точка области G, и δ<0, если Ah - внешняя точка области G. В частном случае, если узел Ah лежит на границе Г (Ah ≡A, δ=0), то имеем точно u(k)(Ah)=u(A)=ϕ(A). На практике после некоторого шага h можно считать u(k)(Ah) неизменными (например, если эти значения установятся с заданной точностью). За начальные значения u ij(o ) теоретически можно взять любую систему чисел. Однако следует иметь в виду, что в силу принципа максимума для значений искомой функции и(х, у) должны быть выполнены неравенства m≤ uij ≤M ,

где границе Г: m=minϕ(P) и M=maxϕ(P). Поэтому разумно полагать m≤ u ij(o ) ≤M .

В [1] и [3] доказаны, что для любого шага сетки h метод Либмана независимо от выбора начальных значений сходится, т. е. существует lim u ij( k ) = u ij , причем погрешность приближенного решения имеет порядок O(h2).

k →∞

Для оценки точности решения, полученного по методу сеток, существуют теоретические оценки. Как правило, эти оценки весьма сложны и применение их затруднительно. Поэтому на практике используют двойной пересчет решения с шагами h и 2h. Если соответствующие результаты совпадают с заданной точностью, то считают, что искомое решение задачи найдено правильно. В противном случае применяют пересчет с шагом h/2 и сравнивают полученный результат с прежним результатом, соответствующим шаг h, и т. д. Отдельно следует проанализировать влияние ошибок округления. Схема вычислений должна быть устойчивой, т. е. ошибки решения, связанные с округлением, не должны возрастать неограниченно. 7. Метод сеток для уравнения параболического типа

В качестве примера уравнения параболического типа рассмотрим уравнение теплопроводности для однородного стержня 0≤x≤l ∂u ∂ 2u = a2 2 , ∂t ∂x

(7.1)

где и=u(х,t) - температура и t - время. В дальнейшем для простоты будем полагать а=1 (к такому случаю всегда можно прийти путем введения нового времени τ=a2t ). Итак, рассмотрим уравнение ∂u ∂ 2u = . ∂t ∂x 2

(7.2)

Пусть в начальный момент времени t=0 задано распределение температуры u(x,0)=f(x) и законы изменения температуры в зависимости от времени (тепловые режимы) на концах стержня х=0 и x=l: u(0,t)=ϕ(t) , u(l,t)=ψ(t) . Требуется найти распределение температуры и=и(х,t) вдоль стержня в любой момент времени t. Решим эту смешанную задачу методом сеток [4, 5]. Для этого рассмотрим пространственно-временную систему координат (х ,t) (рис. 14). В полуполосе t≥0 , 0≤x≤l построим прямоугольную сетку x=ih (i=0, 1,…, n), t=jk (j=0, 1, 2,…), где h=l/n (п - целое) - шаг вдоль оси Ох и k2=σh2 (σ -постоянная) - шаг вдоль оси Ot, вообще говоря, различны.

Рис. 14. Величина σ будет выбрана ниже. Введя обозначения xi =ih , tj =jk , uij=u(xi , tj ) и заменяя уравнение (7.2) конечно-разностным уравнением, будем иметь ui , j +1 − uij

Отсюда

=

ui +1, j − 2uij + ui −1, j

.

(7.3)

ui,j+1=σui-1,j+(1-2σ)uij+σui+1,j .

(7.4)

σh

2

h2

Рис. 15. Из рассмотрения формулы (7.4) ясно, что, зная значения функции и(х,t) в точках j-го слоя t=jk , с помощью этой формулы можно вычислить значения и(х,t) в точках следующего (j'+1)-го слоя t=(j+1)k (риc. 15). При вычислении пользуются четырьмя соседними узлами явная схема вида (рис. 15). Таким образом, исходя из начального слоя t=0, значения и(х,t) для которого определяются из начального условия u(xi ,0)=f(xi) , (i=0, 1,…, n), и используя значения функции u(х,t) в крайних узлах (0, tj), (l, tj) (j=0, 1, 2,…), определяемые граничными условиями u(0,tj )=ϕ(tj ) , u(l,tj )=ψ(tj ) , по формуле (7.4) последовательно вычисляем: u(xi ,t1) , u(xi ,t2) , u(xi ,t3) ,… (i=0, 1,…, n), т. е. находим значения искомой функции и(х,t) во всех узлах полуполосы. Остается разумно выбрать величину σ. При этом будем исходить из требования, чтобы ошибка при замене дифференциального уравнения (7.2) конечно-разностным уравнением (7.3) была наименьшей. Введем обозначения: L[u]=

∂ 2u ∂u , − ∂x 2 ∂t

Lh[u]=1/h2[(ui+1,j –2uij+ui-1,j )-1/σ(ui,j+1 –uij )] , где Lh[u] - конечно-разностный оператор, соответствующий дифференциальному оператору L[и]. Разность Rh[u]= Lh[u] - L[и] , называемая ошибкой аппроксимации, есть погрешность, которая получается при замене оператора L[и] оператором Lh[u]. Вычислим эту погрешность в узлах (xi ,tj) сетки для функции и(х, у), являющейся решением уравнения (7.2). При этом L[и]=0 и Rh[u]= Lh[u] . (7.5) Учитывая, что ui+1, j =u(xi+h,tj ) , ui-1, j =u(xi-h,tj ), ui, j+1=u(xi, tj+σh2) , и разлагая Lh[u] по формуле Тейлора в окрестности точки (xi , tj) ограничиваясь членами порядка h6, находим Lh[u]=

∂uij h 2 ∂ 2uij h 3 ∂ 3uij h 4 ∂ 4uij 1 + + + + + [( u h ij ∂x 2! ∂x 2 3! ∂x 3 4! ∂x 4 h2

5 6 ∂uij h 2 ∂ 2uij h 5 ∂ uij h 6 ∂ uij + − + − + − 2 u u h ij ij ∂x 5! ∂x 5 6! ∂x 6 2! ∂x 2 3 4 5 6 h3 ∂ uij h 4 ∂ uij h5 ∂ uij h 6 ∂ uij − + − + )− 3! ∂x 3 4! ∂x 4 5! ∂x 5 6! ∂x 6 ∂uij 2 (σh 2 ) 2 ∂ 2uij (σh 2 )3 ∂ 3uij 1 σh + − (uij + + − uij )] + O( h 6 ) . 2 3 ∂t 2! ∂t 3! σ ∂t

+

Отсюда после приведения подобных членов имеем Lh[u]= ( + h4 (

∂ 2uij ∂x 2

−

∂uij ∂t

) + h2 (

4 2 1 ∂ uij σ ∂ uij − )+ 12 ∂x 4 2 ∂t 2

6 3 1 ∂ uij σ 2 ∂ uij − ) + O(h 6 ) . 6 3 360 ∂x 6 ∂t

(7.6)

Так как u(x,t) есть решение уравнения (7.2), то ∂ 2uij ∂x 2

=

∂uij ∂t

,

∂ 4uij ∂x 4

=

∂ 2uij ∂t 2

,

∂ 6uij ∂x 6

=

∂ 3uij ∂t 3

.

Заменяя в (7.6) частные производные по t равными им частными производными по х , получим 4 6 1 σ ∂ uij 1 σ 2 ∂ uij 4 Lh[u]= h ( − ) 4 + h ( − ) 6 + O(h 6 ) . 12 2 ∂x 360 6 ∂x 2

(7.7)

Выберем число σ так, чтобы первая скобка формулы (7.7) обратилась в нуль, т. е. положим σ/2=1/12 и, следовательно, σ=1/6. При этом значении σ будем иметь 6 6 1 1 ∂ uij h 4 ∂ uij 6 − ) + O( h ) = − + O(h 6 ) . Lh[u]= h ( 360 216 ∂x 6 540 ∂x 6 4

В силу (7.5) выполнено равенство Rh[u]= Lh[u] . Поэтому при таком выборе σ для погрешности Rh[u] получаем оценку Rh[u]=О(h4), тогда как при другом выборе числа σ имеем Rh[u]=О(h2). В этом смысле значение σ=1/6 является для расчетной схемы 1 наилучшим. Соответствующая расчетная формула (7.4) при таком выборе σ окончательно принимает вид: ui, j+1=1/6(ui-1, j+4uij+ui+1, j ) . (7.8) Отметим, что оценка ошибки аппроксимации Rh[u] в общем случае для граничных узлов (xi, tj) не годится. 8. Метод прогонки для уравнения теплопроводности

Отметим, что для устойчивости конечно-разностной схемы для уравнения теплопроводности шаги h=∆xi и k=∆tj должны быть неодинаковы, причем выбор шага h для пространственной координаты х накладывает определенные ограничения на величину шага k для временной координаты t. Важность этого обстоятельства была отмечена Курантом, Фридрихсом и Леви. Так как при устойчивой схеме шаг k имеет порядок O(h2), причем отношение σ=k/h2 ограничено сверху, то при малом h продвижение решения и(х ,t) по t весьма незначительно и объем работы чрезвычайно велик. Например, приняв /г=0,1 и полагая k=σh2=1/600, получим, что для описания процесса распространения тепла за единичный промежуток времени 0≤t≤1 требуется таблица, содержащая 600 строк! Рассмотрим другую устойчивую вычислительную схему, для которой отношение k/h2 не является ограниченным сверху и поэтому шаг k=∆tj , временной координаты может быть выбран сравнительно крупным.

Рассмотрим по-прежнему в области G{0≤х≤l , 0≤t<∞} приведенное уравнение теплопроводности ∂u ∂ 2u = ∂t ∂x 2

(8.1)

с граничными и начальными условиями и(0, t)=ϕ(0) , и(l, t)=ψ(t), и (х, 0)=f(х).

(8.2)

Построим в области G прямоугольную сетку xi=ih (i=0, 1,…, n), tj=jk (j=0, 1, 2,…), где h=l/п (п - целое) и k - некоторая положительная величина. Пусть иij=u(xi ,tj). Используя приближенную симметричную формулу для второй производной по x и применяя формулу численного дифференцирования по t «назад», для (j+1)-го слоя сетки вместо дифференциального уравнения (8.1) будем иметь следующее конечно-разностное уравнение: ui −1, j +1 − 2ui , j +1 + ui +1, j +1 h

2

ui , j +1 − uij

=

k

, (i = 1, n − 1; j = 0,1,2,...) ,

или ui-1, j+1 –(2+s)ui,j+1+ui+1,j+1=-suij

(8.3)

2

где s=h /k. Таким образом, здесь использована схема 2 (неявная схема) (рис. 16). Из граничных условий (8.2) получаем uo ,j+1=ϕ(tj+1) , un ,j+1=ψ (tj+1).

(8.4)

Рис. 16. Систему (8.3)-(8.4) будем решать методом прогонки. Пусть ui , j +1 = ai , j +1 (bi , j +1 + ui +1, j +1 )

(8.5)

и, следовательно, u i −1, j +1 = a i −1, j +1 (bi −1, j +1 + u i , j +1 )

(8.6)

Подставляя выражение (8.6) в формулу (8.3), будем иметь a i −1, j +1 (bi −1, j +1 + u i , j +1 ) − (2 + s )u i , j +1 + u i +1, j +1 = − su ij ,

отсюда u i , j +1 =

ai −1, j +1bi −1, j +1 + suij + ui +1, j +1 2 + s − ai −1, j +1

.

Сравнивая это выражение с формулой (8.5), получим ai , j +1 =

1 , bi , j +1 = ai −1, j +1bi −1, j +1 + suij 2 + s − ai −1, j +1

(8.7)

( i=2, 3,…, n ). При i=1 из формул (8.3) и (8.5) имеем u0, j +1 − ( 2 + s )u1, j +1 + u2, j +1 = − su1 j

и u1, j +1 = a1, j +1 (b1, j +1 + u2, j +1 ) .

(8.8)

Отсюда, используя граничные условия, получаем u1, j +1 =

ϕ (t j +1 ) + su1 j + u2, j +1 2+s

.

(8.9)

Так как формулы (8.8) и (8.9) должны быть тождественны, то, сравнивая их, выводим: a1, j +1 =

1 , 2+s

b1, j +1 = ϕ (t j +1 ) + su1 j .

(8.10)

Пользуясь формулами (7) и (10), производя «прогонку» в прямом направлении {прямой ход), определяем две последовательности чисел: a1, j +1 , a2, j +1 ,..., an −1, j +1 и b1, j +1 , b2, j +1 ,..., bn −1, j +1 . Отсюда, применяя формулы (8.4) и (8.5), с помощью «обратного хода» находим значения искомой функции: un , j +1 = ψ (t j +1 ) , un −1, j +1 = (un, j +1 + bn −1, j +1 )an −1, j +1 , un − 2, j +1 = (un −1, j +1 + bn − 2, j +1 )an − 2, j +1 ,

…………………………. u1, j +1 = (u2, j +1 + b1, j +1 )a1, j +1 .

Таким образом, указан способ перехода от j-го слоя к (j+1)-му слою. Следовательно, отправляясь от известного начального (нулевого) слоя, можно шаг за шагом построить искомое решение u(х,t) во всех точках сетки (хi ,tj). 9. Метод сеток для уравнении гиперболического типа

Рассмотрим простейшее уравнение гиперболического типа, а именно уравнении свободных колебаний однородной ограниченной струны: ∂ 2u ∂t 2

= a2

∂ 2u ∂x 2

(9.1)

,

и будем искать решение уравнения (9.1) при заданных начальных и краевых условиях и(х, 0)=f(х), иt(х,0)=F(х)

(0≤х≤l)

(9.2)

u(0,t)=ϕ(t) , u(l,t)=ψ(t)

(0≤t<∞) .

(9.3)

и

Рис. 17. Решим эту смешанную задачу методом сеток [5-7]. Как и в случае параболического уравнения, покроем полуполосу (0≤х≤l), (0≤t<∞) прямоугольной сеткой xi=ih (i=0, 1,…, n), tj=jk (j=0, 1, 2,…), где ∆xi=xi+1-xi=h=l/n (n – целое) и ∆tj=tj+1-tj=k . На сетке xi , tj приближенно заменим дифференциальное уравнение (9.1) соответствующим конечно-разностным уравнением. Пользуясь симметричными формулами для производных, будем иметь ui , j +1 − 2uij + ui , j −1 k

2

ui +1, j − 2uij + ui −1, j

= a2

h2

,

(9.4)

При k=h/а уравнение (9.4) упрощается и принимает вид ui,j+1+ui,j-1=ui+1,j+ui-1,j ,

откуда ui,j+1=ui+1,j+ui-1,j-ui,j-1 .

(9.5)

Из уравнения (9.5) видно, что для получения значений и(х,t) в (j+1)-м слое используются значения и(х,t) в двух предыдущих слоях: j-м и (j-1)-м (рис. 17). Для начала вычисления по формуле (9.5) также необходимо знать значения и(х,t) на двух слоях, в то время как начальные условия (9.2) задают нам значения и(х,t) лишь на нулевом слое j=0. Однако, используя начальные условия, можно определить значения и(х,t) на фиктивном слое с номером j=-1. Для этого заменим производную во втором начальном уcловии конечно-разностным отношением. Тогда будем иметь u i , −1 − u io −k

= Fi ,

где Fi=F(Xi). Отсюда ui,-1=uio –kFi . (9.6) Теперь, зная значения и(х,t) на слое j=-1, определяемые с помощью формулы (9.6), можно начать вычисления. Краевые условия (9.3) используются для получения значений uoj и unj. Вместо определения значений и(х,t) на слое j=-1 можно вычислить значения и(х,t) на слое j=1. Это достигается, например, с помощью формулы Тейлора u i1 ≈ u io + k

∂u io k 2 ∂ 2 u io + . ∂t 2 ∂t 2

(9.7)

Учитывая, что согласно уравнению (9.1) имеем ∂ 2 u io ∂t 2

= a2

∂ 2 u io ∂x 2

перепишем формулу (9.7) в другом виде, а именно:

,

u i1 ≈ u io + k

∂u io a 2 k 2 ∂ 2 u io + . ∂t 2 ∂x 2

(9.8)

Из начальных условий (9.2), предполагая, что f(х)∈С(2)[0,l], получаем: uio=fi ,

∂ 2 u io

∂u io = Fi , ∂t

∂x 2

= f i" .

(9.9)

Подставляя эти значения в формулу (9.8), окончательно находим u i1 ≈ f i + kFi +

a2k 2 " fi . 2

(9.10)

Очевидно, формулу (9.10) целесообразно применять в том случае, когда функция f(х) задана аналитическим выражением.

Задание 1 Здесь даны задачи для освоения численных методов решения дифференциальных уравнений эллиптического типа. Задача 1.1. Найти приближенное решение уравнения ∂ 2u ∂x 2

+

∂ 2u ∂y 2

=0 ,

удовлетворяющее на окружности x2+y2=16 условию u(x,y)Г=x2y2 . Точным решением является функция 1 u = x 2 y 2 + [256 − ( x 2 + y 2 ) 2 ] . 8

Задача 1.2. Найти приближенное решение уравнения Лапласа в квадрате с вершинами А(0, 0), В(0, 1), С(1, 1), D(1, 0). Краевые условия приведены в таблице 1. Вычисления проводить с точностью 0,0001. № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

uAB 30y 30y 50y(1-y2) 20y 0 30sinπy 30(1-y) 50sinπy 40y2 50y

uBC 30(1-x2) 30cos(πx/2) 0 20 50x(1-x) 20x 20 x 30 x 40 50(1-x)

uCD 0 30cos(πy/2) 0 20y2 50y(1-y2) 20y 20y 30y2 40 0

Таблица 1 uAD 0 0 50sinπx 50x(1-x) 50x(1-x) 30x(1-x) 30(1-x) 50sinπx 40sin((πx/2) 60x, 0≤x<1/2 60(1-x), 1/2≤x≤1

Задача 3.3. Найти приближенное решение уравнения Лапласа для единичного квадрата. Краевые условия на левой стороне квадрата принять равными 2,5; 5,0; 7,5; 10,0; 7,5; 5,0; 2,5; остальные краевые значения равны нулю. Вычислить с точностью 0,00001.

Задание 2 Задачи для освоения численных методов решения дифференциальных уравнений параболического типа. Задача 2.1. Найти решение уравнения теплопроводности ∂u ∂ 2u = ∂t ∂x 2

при следующих начальных и краевых условиях u(x,0)=4x(1-x)

(0≤x≤1);

u(0,t)=0 , u(1,t)=0

(0≤t<∞) . Таблица решения при h=1/10 j=0 i=0 0 i=1 0.360 i=2 0.040 i=3 0.840 i=4 0.960 i=5 1.000 j=0 i=6 0.960 i=7 0.840 i=8 0.640 i=9 0.360 i=10 0

j=1 0 0.347 0.627 0.827 0.947 0.987 j=1 0.947 0.827 0.627 0.347 0

j=2 0 0.336 0.613 0.813 0.933 0.973 j=2 0.933 0.813 0.613 0.336 0

j=3 0 0.326 0.600 0.800 0.920 0.960 j=3 0.920 0.800 0.600 0.326 0

j=4 0 0.317 0.588 0.787 0.907 0.947 j=4 0.907 0.787 0.588 0.317 0

j=5 0 0.309 0.576 0.774 0.894 0.934 j=5 0.894 0.774 0.576 0.309 0

j=6 0 0.302 0.564 0.761 0.881 0.921 j=6 0.881 0.761 0.564 0.302 0

Начальный столбец таблицы (j=0) заполняется на основании заданных начальных условий u(xi ,0)=4xi (1-xi )=0.4i(1-0.1i) (i=0, 1, 2, …,10) . В первую (i=0) и последнюю (i=10) строки вписываются данные граничных условий u(0, tj )=u(1, tj )=0 (j=0, 1, 2,… ). Остальные столбцы j=0, 1, 2,… таблицы последовательно заполняются с помощью применения расчетной формулы (7.8). При этом можно учитывать симметрию искомой функции u. Задача 2.2. Найти приближенное решение уравнения ∂u ∂ 2u , = ∂t ∂x 2

удовлетворяющее условиям u(x ,0)=sinπx (0≤x≤1) , u(0, t)=u(1,t)=0 2 Точным решением является функция u(x,t)= e −π t sin πx . Задача 2.3. Найти приближенное решение уравнения

(0≤t≤0.025).

∂u ∂ 2u = + 2x + t , ∂t ∂x 2

удовлетворяющее начальным и краевым условиям u(x,0)=(1.1x2+1.5)sinπx , u(0,t)=0, u(1,t)=0 ,

0≤t≤0.02.

Задача 2.4. Найти приближенное решение уравнения ∂u ∂ 2u = + 3t sin x , ∂t ∂x 2

удовлетворяющее начальным и краевым условиям u(x,0)= e −0.5 x sin(πx/4) , u(0,t)=0, u(1,t)= e −0.5 sin(π/4) ,

0≤t≤0.02.

Задание 3 Задачи для освоения численных методов решения дифференциальных уравнений гиперболического типа. Задача 3.1. Найти приближенное решение уравнения ∂ 2u ∂ 2u = , ∂t 2 ∂x 2

удовлетворяющее граничным и начальным условиям u(0,t)=u(π,t)=0 , (0≤t<∞); u(x,0)=x(π-x) , ut(x,0)=0 (0≤x≤π) . Таблица приближенных решений t=0 t=h x=0 0 0 x=h 0.518 0.487 x=2h 0.975 0.944 x=3h 1.371 1.340 x=4h 1.706 1.675 x=5h 1.980 1.950 x=6h 2.193 2.163 x=7h 2.346 2.315 x=8h 2.437 2.406 x=9h 2.467 2.437 Задача 3.2. Найти решение задачи

t=2h 0 0.426 0.853 1.249 1.584 1.858 2.071 2.224 2.315 2.346

t=3h 0 0.366 0.731 1.097 1.432 1.706 1.919 2.071 2.163 2.193

t=4h 0 0.305 0.609 0.914 1.218 1.493 1.706 1.858 1.950 1.980

∂ 2u ∂ 2u , = ∂t 2 ∂x 2

удовлетворяющее граничным и начальным условиям u(x,0)=0.2x(1-x)sinπx , ut (x,0)=0 , u(0,t)=u(1,t)=0 . Задача 3.3. Найти решение задачи ∂ 2u ∂ 2u , = ∂t 2 ∂x 2

удовлетворяющее граничным и начальным условиям u(x,0)=x(π-x) , ut (x,0)=0 , u(0,t)=u(π,t)=0 .

t=5h 0 0.244 0.487 0.731 0.975 1.218 1.432 1.584 1.675 1.706

Библиография

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1964 - гл. 1, 4. 2. Смирнов В.И. Курс высшей математики. -М.: Физматгиз, 1962. -т. 2. -гл. 7. 3. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. -М.: Физматгиз, 1961. 4. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. -ИЛ, 1953. 5. Милн В.Э. Численное решение дифференциальных уравнений. -ИЛ, 1955. 6. Рябенький В.С., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. -М.: Гостехиздат, 1956. 7. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. -М.: Наука, 1967.

Составитель: Ширапов Дашадондок Шагдарович

ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Выпуск 6: Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными

Подписано в печать 16.04.2002 г. Формат 60×84 1/16. Усл.п.л. 2,56, уч.-изд.л. 2,2. Тираж 100 экз. Заказ №64. Издательство ВСГТУ. г.Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40, а. ВСГТУ, 2002 г.