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sage, orange, variete, chance, torche, rager, image, courage, reverence ¨ ¨µ ¯¥°¥¢®¤» ¢ ¯¥°¥¯³² ®¬ ¯®°¿¤ª¥: ´ ª¥«, ±¬¥«®±²¼, ¯°®µ®¤, «¨¶®, ¯®·²¥¨¥, ¯°¨¢¿§»¢ ²¼, ¯®¥§¤ª , ®¡° §, ° §®®¡° §¨¥, «¥¦ ²¼, ³¤®¡»© ±«³· ©, ¯¥«¼±¨, ¥¨±²®¢±²¢®¢ ²¼. ±² ®¢¨²¥, ª ª®¥ ´° ¶³§-
±ª®¥ ±«®¢® ª ª®¬³ °³±±ª®¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¥². 290. ®² ®¡®§ ·¥¨¿ ¥ª®²®°»µ ¤ ² ¿§»ª¥ ±³ µ¨«¨: tarehe tatu
Disemba jumamosi; tarehe pili Aprili jumanne; tarehe nne Aprili jumanne; tarehe tano Octoba jumapili; tarehe tano Octoba jumatatu; tarehe tano Octoba jumatano. ¢®² ¨µ ¯¥°¥¢®¤» °³±±ª¨© ¿§»ª (¢ ¯¥°¥¯³² ®¬ ¯®°¿¤ª¥): 5 ®ª²¿¡°¿, ¯®¥¤¥«¼¨ª; 2 ¯°¥«¿, ¢²®°¨ª; 5 ®ª²¿¡°¿, ±°¥¤ ; 5 ®ª²¿¡°¿, ¢®±ª°¥±¥¼¥; 3 ¤¥ª ¡°¿, ±³¡¡®² ; 4 ¯°¥«¿, ¢²®°¨ª. ª ¯¨± ²¼ ¿§»ª¥ ±³ µ¨«¨ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¤ ²»:
3 ¯°¥«¿, ±°¥¤ ; ¡) 2 ¤¥ª ¡°¿, ¢®±ª°¥±¥¼¥; ¢) 1 ®¿¡°¿, ¯®¥¤¥«¼¨ª? 291. ®² ¥±ª®«¼ª® ©±ª¨µ ·¨±«¨²¥«¼»µ (¢ « ²¨±ª®© ²° ±ª°¨¯¶¨¨): )
3 | re; 11 | shine ikashma wan; 22 | tu ikashma hotne; 37 | arwan ikashma wan e tu hotne; 47 | arwan ikashma tu hotne; 93 | re ikashma wan e ashikne hotne; 135 | ashikne ikashma wan e arwan hotne. ¯°¥¤¥«¨²¥, ª ª®¥ ·¨±«® § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¯®- ©±ª¨ ª ª wan e re hotne. ¯¨¸¨²¥ ¯®- ©±ª¨ ·¨±« : 1, 5, 12, 53, 100, 200. 52
§¢¥¸¨¢ ¨¿
²®¡» ¯° ¢¨«¼® § ¤ ²¼ ¢®¯°®±, ³¦® § ²¼ ¡ ®«¼¸³¾ · ±²¼ ®²¢¥² . . ¥ª«¨ À¥°»© ¢®¯°®±Á
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±«¨ ²³° «¼»¥ ·¨±« a ¨ m ¢§ ¨¬® ¯°®±²», ²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ²³° «¼®¥ n , ·²® an , 1 ¤¥«¨²±¿ m . ®ª ¦¨²¥ ½²®. 417
.
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999
424
. ª¨¥ ¯°®±²»¥ ·¨±« ¥«¼§¿ § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ±³¬¬» ¤¢³µ ±®±² ¢»µ ·¨±¥«? 75
° ©®±²¨
±¥£¤ ¨§¡¥£ ²¼ ª° ©®±²¥© | ²®¦¥ ª° ©®±²¼.
. ¢¥°¸¨ µ 100-³£®«¼¨ª ° ±±² ¢«¥» ·¨±« ² ª, ·²® ª ¦¤®¥ ° ¢® ±°¥¤¥¬³ °¨´¬¥²¨·¥±ª®¬³ ¤¢³µ ±®±¥¤¨µ. ®ª ¦¨²¥, ·²® ·²® ¢±¥ ®¨ ° ¢». 426. ª ¦¤®£® ¯ °« ¬¥² °¨¿ ¥ ¡®«¥¥ ²°¥µ ¢° £®¢. ®ª ¦¨²¥, ·²® ¯ °« ¬¥² ¬®¦® ° §¡¨²¼ ¤¢¥ ¯ « ²» ² ª, ·²® ³ ª ¦¤®£® ¢ ®¤®© ± ¨¬ ¯ « ²¥ ¡³¤¥² ¥ ¡®«¥¥ ®¤®£® ¢° £ . (§¢¥±²®, ·²® ¥±«¨ B | ¢° £ ¯ °« ¬¥² °¨¿ A , ²® A | ¢° £ ¯ °« ¬¥² °¨¿ B .) 427. ¤ ® ¥±ª®«¼ª® ª° ±»µ ¨ ¥±ª®«¼ª® ±¨¨µ ²®·¥ª. ¥ª®²®°»¥ ¨§ ¨µ ±®¥¤¨¥» ®²°¥§ª ¬¨. §®¢¥¬ ²®·ª³ À®±®¡®©Á, ¥±«¨ ¡®«¥¥ ¯®«®¢¨» ¨§ ±®¥¤¨¥»µ ± ¥© ²®·¥ª ¨¬¥¾² ¶¢¥², ®²«¨·»© ®² ¥¥ ¶¢¥² . ±®¡»¥ ²®·ª¨ ° §°¥¸ ¥²±¿ ¯¥°¥ª° ¸¨¢ ²¼: ª ¦¤®¬ ¸ £³ ¢»¡¨° ¥²±¿ «¾¡ ¿ ®±®¡ ¿ ²®·ª ¨ ¯¥°¥ª° ¸¨¢ ¥²±¿ ¢ ¤°³£®© ¶¢¥². ®ª ¦¨²¥, ·²® ·¥°¥§ ¥±ª®«¼ª® ¸ £®¢ ¥ ®±² ¥²±¿ ¨ ®¤®© ®±®¡®© ²®·ª¨. 428. ª«¥²ª¨ ¯°¿¬®³£®«¼®© ² ¡«¨¶» ¢¯¨± » ¥ª®²®°»¥ ·¨±« . §°¥¸¥® ®¤®¢°¥¬¥® ¬¥¿²¼ § ª ³ ¢±¥µ ·¨±¥« ¥ª®²®°®£® ±²®«¡¶ ¨«¨ ¥ª®²®°®© ±²°®ª¨. ®ª ¦¨²¥, ·²® ½²¨¬¨ ®¯¥° ¶¨¿¬¨ ¬®¦® ¯°¥¢° ²¨²¼ ¤ ³¾ ² ¡«¨¶³ ¢ ² ª³¾, ³ ª®²®°®© ±³¬¬» ·¨±¥«, ±²®¿¹¨µ ¢ «¾¡®¬ ±²®«¡¶¥ ¨«¨ ¢ «¾¡®© ±²°®ª¥, ¥®²°¨¶ ²¥«¼». 429. ¤®±ª¥ ¯¨± ® ¥±ª®«¼ª® ²³° «¼»µ ·¨±¥«. §°¥¸¥® ±²¨° ²¼ ± ¤®±ª¨ «¾¡»¥ ¤¢ ° §«¨·»µ ·¨±« ¨ ¯¨± ²¼ ¢¬¥±²® ¨µ ¨µ ¨¡®«¼¸¨© ®¡¹¨© ¤¥«¨²¥«¼ ¨ ¨¬¥¼¸¥¥ ®¡¹¥¥ ª° ²®¥. ®ª ¦¨²¥, ·²® ª®£¤ -¨¡³¤¼ ·¨±« ¯¥°¥±² ³² ¬¥¿²¼±¿, ²® ¥±²¼ ¨§ «¾¡»µ ¤¢³µ ·¨±¥« ®¤® ¡³¤¥² ¤¥«¨²¼±¿ ¤°³£®¥. 430. ª°³£¥ ¯°®¢¥«¨ ¥±ª®«¼ª® (ª®¥·®¥ ·¨±«®) ° §«¨·»µ µ®°¤ ² ª, ·²® ª ¦¤ ¿ ¨§ ¨µ ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ ±¥°¥¤¨³ ª ª®©-«¨¡® ¤°³£®© ¨§ ¯°®¢¥¤¥»µ µ®°¤. ®ª ¦¨²¥, ·²® ¢±¥ ½²¨ µ®°¤» ¿¢«¿¾²±¿ ¤¨ ¬¥²° ¬¨ ª°³£ . 425
76
®¬¡¨ ²®°¨ª
²¥¶ ¤ ¥² ¤¢³µ«¥²¥© ¤®·¥°¨ «®¦ª³ ¨ ±¯° ¸¨¢ ¥²: | ª®«¼ª® ³ ²¥¡¿ «®¦¥ª? | ¤ . ¥² ¤°³£³¾: | ¥¯¥°¼ ±ª®«¼ª®? | ¢¥. ¥² ²°¥²¼¾. | ¥¯¥°¼ ±ª®«¼ª®? | ®£®. | ¥², ²» ±ª ¦¨. ¥¢®·ª ± ¯°¥³¢¥«¨·¥»¬ ¢»° ¦¥¨¥¬ ¡°¥§£«¨¢®±²¨ ®²®¤¢¨£ ¥² ®² ±¥¡¿ ²°¥²¼¾ «®¦ª³: | ®§¼¬¨, ® £°¿§ ¿! . ³ª®¢±ª¨©, À² ¤¢³µ ¤® ¯¿²¨Á ®¬¡¨ ²®°¨ª | ½²® ° §¤¥« ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, ¢ ª®²®°®¬ ¨§³· ¾², ±ª®«¼ª® ª®¬¡¨ ¶¨©, ¯®¤·¨ ¥»µ ²¥¬ ¨«¨ ¨»¬ ³±«®¢¨¿¬, ¬®¦® ±®±² ¢¨²¼ ¨§ ¤ »µ ®¡º¥ª²®¢.
°¥¦¤¥ ·¥¬ ¯¥°¥µ®¤¨²¼ ª ®¡¹¨¬
¯°¨¶¨¯ ¬, ° ±±¬®²°¨¬ ¥±ª®«¼ª® ¯°¨¬¥°®¢.
1) ª®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥² ²°¥µ§ ·»µ ·¨±¥«?
¬®¥ ¡®«¼¸®¥ ²°¥µ§ ·®¥ ·¨±«® | ½²® 999. ¬®¥ ¡®«¼¸®¥ ¤¢³§ ·®¥ | 99. ®½²®¬³ ±³¹¥±²¢³¥² 999 , 99 = 900 ²°¥µ§ ·»µ ·¨±¥«. ®² ¦¥ ®²¢¥² ¬®¦® ¯®«³·¨²¼ ¨ ¤°³£¨¬ ±¯®±®¡®¬. ®®¡° §¨²¥, ·²® ¬» ¯¨¸¥¬, ¶¨´° § ¶¨´°®©, ²°¥µ§ ·®¥ ·¨±«®. · « ¯¨¸¥¬ «¾¡³¾ ¨§ ¤¥¢¿²¨ ¶¨´° 1, 2, : : : , 9 ¢ ° §°¿¤ ±®²¥. ²¥¬ «¾¡³¾ ¨§ ¤¥±¿²¨ ¶¨´° | ¢ ° §°¿¤ ¤¥±¿²ª®¢; ª®¥¶, ª ª³¾-¨¡³¤¼ («¾¡³¾) ¶¨´°³ | ¢ ° §°¿¤ ¥¤¨¨¶. ²¢¥²: 9 10 10 = 900 .
2) ª®«¼ª® ±¯®±®¡®¢ ¯°®¥µ ²¼ ¨§ A ¢ C , ¥±«¨ ±¨±²¥¬ ¤®°®£ ² ª®¢ , ª ª ¯®ª § ® °¨±³ª¥?
A
°¥¦¤¥ ·¥¬ ¯®¯ ±²¼ ¨§ A ¢ C , ¤® «¾¡»¬ ¨§ ²°¥µ ¢®§¬®¦»µ ±¯®±®¡®¢ ¯®¯ ±²¼ ¨§ A ¢ B , § ²¥¬ | «¾¡»¬ ¨§ ¯¿²¨ ±¯®±®¡®¢ ¨§ B ¢ C . ¡¹¥¥ ª®«¨·¥±²¢® ±¯®±®¡®¢ ° ¢® 3 5 = 15 .
B
C
3) ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦® ° ±¯®«®¦¨²¼ ¸ µ¬ ²®© ¤®±ª¥ ¡¥«³¾ ¨ ·¥°³¾ « ¤¼¨, ·²®¡» ®¨ ¥ ¡¨«¨ ®¤ ¤°³£³¾?
77
· « ¯®±² ¢¨¬ «¾¡³¾ ¨§ 64 ª«¥²®ª ¤®±ª¨ ¡¥«³¾ « ¤¼¾. «¿ ·¥°®© « ¤¼¨ ®±² ¥²±¿ 49 ¯®«¥©. ²¢¥²: 64 49 = 3136 . ¬¥²¼²¥: ¬» ¯¥°¥¬®¦ ¥¬ ·¨±« 64 ¨ 49, ¥ ±ª« ¤»¢ ¥¬ ¨µ. ¤ ¨§ ±² ¤ °²»µ ®¸¨¡®ª, ª®²®°³¾ ¤¥« ¥² ·¨ ¾¹¨¥, ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ®¨ ¯³² ¾², ª®£¤ ¤® ±ª« ¤»¢ ²¼, ª®£¤ ³¬®¦ ²¼. ¥¦¤³ ²¥¬ ¢±¥ ¯°®±²®: ±³¬¬ m + n ¥±²¼ ª®«¨·¥±²¢® ½«¥¬¥²®¢ ®¡º¥¤¨¥¨¿ ¤¢³µ ¥¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¬®¦¥±²¢, ®¤® ¨§ ª®²®°»µ ±®±²®¨² ¨§ m , ¤°³£®¥ ¨§ n ½«¥¬¥²®¢. ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ mn | ½²® ª®«¨·¥±²¢® ¯ ° ¢¨¤ (x; y) , £¤¥ x ¬®¦¥² ¡»²¼ «¾¡»¬ ¨§ m ½«¥¬¥²®¢ ¥ª®²®°®£® ¬®¦¥±²¢ ( ¯°¨¬¥°, ½²® ¬®¦¥² ¡»²¼ ¬®¦¥±²¢® 64 ¢®§¬®¦»µ ¯®«¥© ¤«¿ ¡¥«®© « ¤¼¨), y , ¯°¨ ª ¦¤®¬ ´¨ª±¨°®¢ ®¬ x , ¬®¦¥² ¡»²¼ «¾¡»¬ ¨§ ¥ª®²®°»µ n ½«¥¬¥²®¢ ( ¯°¨¬¥°, y | ®¤® ¨§ 49 ¢®§¬®¦»µ ¯®«¥© ¤«¿ ·¥°®© « ¤¼¨). ®£¤ ¥®¡µ®¤¨¬® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¨ ±³¬¬³, ¨ D C ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥: ¯°¨¬¥°, ª®«¨·¥±²¢® ¯³²¥©, ¢¥¤³¹¨µ °¨±³ª¥ ¨§ ²®·ª¨ K ¢ ²®·ª³ M , ° ¢® 2 2 + 3 3 = 13 .
4) ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦® ¢»«®¦¨²¼ ¢ °¿¤ ª° ±»©, ¦¥«²»© ¨ §¥«¥»© ¸ °¨ª¨? ®² ¢±¥ 6 ±¯®±®¡®¢:
ª¦§ ª§¦
¦ª§ ¦§ª
§ª¦ §¦ª
A
B
5) ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ ¬®¦® ¯°®©²¨ ¨§ «¥¢®© ¨¦¥© ª«¥²ª¨ ¨§®¡° ¦¥®£® °¨±³ª¥ ª¢ ¤° ² 9 9 ¢ ¯° ¢³¾ ¢¥°µ¾¾, ¨ ° §³ ¥ ¯®¡»¢ ¢ ¨ ®¤®© § ª° ¸¥®© ª«¥²ª¥ ¨ ¤¢¨£ ¿±¼ ²®«¼ª® ¢¢¥°µ ¨«¨ ¢¯° ¢®? 1 1 1 2 7 1 1 5 17 1 4 12 1 2 4 8 12 17 D 1 1 2 4 4 5 7 A C 1 2 1 2 1 B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ¥² ¨ ±¨«, ¨ ¦¥« ¨¿ °¨±®¢ ²¼ ¢±¥ ¢ °¨ ²»: ½²® ¯°¨¬¥° ¥ ² ª ¯°®±², ª ª ¯°¥¤»¤³¹¨©! ²® ¦¥ ¤¥« ²¼? ¢ ©²¥ ¯®±² ¢¨¬ ¯¥°¥¤ ±®¡®©
78
¡®«¥¥ ±ª°®¬³¾ ¶¥«¼: ©¤¥¬ ª®«¨·¥±²¢® ¯³²¥© ¨§ «¥¢®© ¨¦¥© ª«¥²ª¨ ¥ ¢ ¯° ¢³¾ ¢¥°µ¾¾, , ¯°¨¬¥°, ¢ ª«¥²ª³ A . ·¥¢¨¤®, ² ª¨µ ¯³²¥© ¤¢ . ²®«¼ª® ¦¥ ¯³²¥© ¢¥¤³² ¢ ²®·ª³ B . ¥¯¥°¼ «¥£ª® ¯®¿²¼, ·²® ¢ ª«¥²ª³ C ¬®¦® ¯°®©²¨ ·¥²»°¼¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨ (¤¢ ¨§ ¨µ ¢¥¤³² ·¥°¥§ A , ¤¢ | ·¥°¥§ B ). ª¨¬ ®¡° §®¬, ª«¥²ª³ § ª«¥²ª®©, ¬» ¬®¦¥¬ § ¯®«¿²¼ ¤®±ª³, ¨±¯®«¼§³¿ ¯° ¢¨«® ±³¬¬»: ¥±«¨ ¢ ¥ª®²®°³¾ ª«¥²ª³ Z ¬®¦® ¯®¯ ±²¼ ±¯° ¢ ¨§ ª«¥²ª¨ X ¨ ±¨§³ | ¨§ Y , ²® ª®«¨·¥±²¢® ±¯®±®¡®¢ ¯®¯ ±²¼ ¢ ª«¥²ª³ Z ¥±²¼ ±³¬¬ ª®«¨·¥±²¢ ±¯®±®¡®¢ ¯®¯ ±²¼ ¢ X ¨ Y . ¯°¨¬¥°, ¢ ª«¥²ª³ D ¬®¦® ¯®¯ ±²¼ 17 + 7 = 24 ±¯®±®¡ ¬¨. ª ¯®²¨µ®¥·ª³ ¨ § ¯®«¨¬ ¢±¾ ¤®±ª³. ²¢¥²: 678.
6) ª®«¼ª® ±«®¢ (¥ ®¡¿§ ²¥«¼® ®±¬»±«¥»µ) ¬®¦® ¯®«³·¨²¼, ¯¥°¥±² ¢«¿¿ ¡³ª¢» ±«®¢ ? ,
,
,
,
¨ | ¢±¥£® 6 ±¯®±®¡®¢.
7) ª®«¼ª® ±°¥¤¨ ¯¥°¢»µ 1000 ²³° «¼»µ ·¨±¥« ² ª¨µ, ª®²®°»¥ ¥ ª° ²» ¨ 2, ¨ 5?
ª ¨§¢¥±²®, ·¨±«® ¥ ª° ²® ¨ 2, ¨ 5, ¥±«¨ ¥£® ¯®±«¥¤¿¿ ¶¨´° | ½²® ®¤ ¨§ ·¥²»°¥µ ¶¨´° 1, 3, 7, 9. ·¨², ¢ ª ¦¤®¬ ¤¥±¿²ª¥ °®¢® ·¥²»°¥ ¨²¥°¥±³¾¹¨µ ± ·¨±« , ¢±¥£® ² ª¨µ ·¨±¥« 400.
±²¼ ¨ ¤°³£®© ±¯®±®¡. ±±¬®²°¨¬ ¬®¦¥±²¢® U = f1; 2; 3; : : : ; 1000g ¨ ¤¢ ¥£® ¯®¤¬®¦¥±²¢ : A = f2; 4; 6; : : : ; 1000g ¨ B = f5; 10; 15; : : : ; 1000g . ± ¨²¥°¥±³¥² ·¨±«® ½«¥¬¥²®¢ ¬®¦¥±²¢ U , ¥ ¯°¨ ¤«¥¦ ¹¨µ ¨ A , ¨ B . ¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ®²¢¥² jU j , jAj , jB j (£¤¥ jU j , jAj ¨ jB j | ª®«¨·¥±²¢ ½«¥¬¥²®¢ ¬®¦¥±²¢ U , A ¨ B ±®®²¢¥²±²¢¥®) ¥¯° ¢¨«¼»©. ¥«® ¢ ²®¬, ·²® ½«¥¬¥²», ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ ®¡ ¬®¦¥±²¢ A ¨ B (²® ¥±²¼ ·¨±« , ®ª ·¨¢ ¾¹¨¥±¿ ¶¨´°®© 0), ¡»«¨ ¢»¡°®¸¥» ¤¢ ¦¤», µ®²¿ ±«¥¤®¢ «® ¨µ ¢»¡°®±¨²¼ ²®«¼ª® ®¤¨ ° §. ¢®² ¯° ¢¨«¼»© ®²¢¥²: jU j , jAj , jB j + jA \ B j; £¤¥ A \ B | ¯¥°¥±¥·¥¨¥ ¬®¦¥±²¢ A ¨ B . ¢ ©²¥ ¯°®¢¥°¨¬ ½²³ ´®°¬³«³: 1000 , 500 , 200 + 100 = 400:
8) ª®«¼ª® ±²®°® ¨ ¤¨ £® «¥© ¢ ¢»¯³ª«®¬ ¯¿² ¤¶ ²¨³£®«¼¨ª¥?
®¦®, ª®¥·®, °¨±®¢ ²¼ 15-³£®«¼¨ª ¡®«¼¸®¬ «¨±²¥ ¡³¬ £¨, ¯®±·¨² ²¼ ¤¨ £® «¨ ¨ ¯°¨¡ ¢¨²¼ ª ®²¢¥²³ 15 | ·¨±«® ±²®°®. ® «³·¸¥ ©²¨ ®¡¹³¾ ´®°¬³«³ ¤«¿ ·¨±« ±²®°® ¨ ¤¨ £® «¥© n -³£®«¼¨ª . ·¥¢¨¤®, ¢ ²°¥³£®«¼¨ª¥ 3 ±²®°®» ¨ ¨ ®¤®© ¤¨ £® «¨; ¢ ·¥²»°¥µ³£®«¼¨ª¥ 4 ±²®°®» ¨ 2 ¤¨ £® «¨; ¢ ¯¿²¨³£®«¼¨ª¥ 5 ±²®°® ¨ 5 ¤¨ £® «¥©. ³²¼ ±«®¦¥¥ ³¢¨¤¥²¼, ·²® ³ ¸¥±²¨³£®«¼¨ª 6 ±²®°® ¨ 9 ¤¨ £® «¥©.
79
®®¡¹¥, ¨§ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨» n -³£®«¼¨ª ¢»µ®¤¿² n , 1 ®²°¥§ª®¢ (¤¢¥ ±²®°®» ¨ n , 3 ¤¨ £® «¨). ¬®¦¨¢ n (n , 1) ¨ ¥ § ¡»¢ ° §¤¥«¨²¼ 2 (¨¡® ³ ª ¦¤®£® ®²°¥§ª ¤¢ ª®¶ ), ¯®«³·¨¬ ®²¢¥²: ·¨±«® ±²®°® ¨ ¤¨ £® «¥© n -³£®«¼¨ª ° ¢® n(n , 1)=2: () · ±²®±²¨, ³ 15-³£®«¼¨ª ¢±¥£® 15 14=2 = 105 ±²®°® ¨ ¤¨ £® «¥©. ¾¡¨²¥«¼ ¨¤³ª¶¨¨ ¬®¦¥² ¤®ª § ²¼ ´®°¬³«³ () ¨ ¤°³£¨¬ ±¯®±®¡®¬. °¨ n = 3 ´®°¬³« () ¢¥° . ·¥¢¨¤®, (n + 1) -³£®«¼¨ª ¬®¦® ¯®«³·¨²¼ ¨§ n -³£®«¼¨ª ¤®¡ ¢«¥¨¥¬ ®¤®© ®¢®© ¢¥°¸¨». § ½²®© ¢¥°¸¨» ¢»µ®¤¿² ®²°¥§ª¨ | ±²®°®» ¨ ¤¨ £® «¨ | ¢® ¢±¥ ®±² «¼»¥ n ¢¥°¸¨. ·¨², (n + 1) -³£®«¼¨ª ¨¬¥¥² °®¢® n ¡®«¼¸¥ ±²®°® ¨ ¤¨ £® «¥©, ·¥¬ n -³£®«¼¨ª. ®±ª®«¼ª³ n(n , 1) + n = n2 , n + 2n = (n + 1)n ; 2 2 2 ¬» ¢¨¤¨¬, ª ª ¯°¥®¡° §³¥²±¿ ´®°¬³« ¯°¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ®² n ª n +1 . ®·¥¥ £®¢®°¿, ¥±«¨ ´®°¬³« () ¤ ¢ « ¢¥°®¥ § ·¥¨¥ ¤«¿ n -³£®«¼¨ª , ²® ¨ ¤«¿ (n + 1) -³£®«¼¨ª ¢±¥ ¡³¤¥² ¯° ¢¨«¼®. » ¯®¬¨¬, ·²® ¯°¨ n = 3 ´®°¬³« ¢¥° . ·¨², ¯® ¨¤³ª¶¨¨, ® ¢¥° ¯°¨ «¾¡®¬ n . » ° §®¡° «¨ ³¦¥ ¢®±¥¬¼ ° §»µ ª®¬¡¨ ²®°»µ § ¤ ·.
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¯¥°¥©²¨ ª ¡®«¥¥ ®¡¹¨¬ ¯®¿²¨¿¬.
¥°¥±² ®¢ª¨. ª²®°¨ «
¢ ½«¥¬¥² a ¨ b ¬®£³² ¡»²¼ ¢»¯¨± » ¢ ±²°®·ª³ ¢±¥£® ¤¢³¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨: ab ¨ ba . «¿ ²°¥µ ½«¥¬¥²®¢, ª ª ¬» § ¥¬ ¨§ ·¥²¢¥°²®£® ¯°¨¬¥° , ±³¹¥±²¢³¥² 6 ¢ °¨ ²®¢. ¥²°³¤® ¯®±·¨² ²¼ ¨ ·¨±«® ¯¥°¥±² ®¢®ª ¬®¦¥±²¢ ¨§ 4 ½«¥¬¥²®¢:
1234 1243 1324 1342 1423 1432
3124 3142 3214 3241 3412 3421
2134 2143 2314 2341 2413 2431
4123 4132 4213 4231 4312 4321
±¥£® 24 ¯¥°¥±² ®¢ª¨, ° ±¯®«®¦¥»¥ ¢ 4 ±²®«¡¶ ¯® 6 ¯¥°¥±² ®¢®ª ¢ ª ¦¤®¬. ·¥¢¨¤®, ¯¥°¥±² ®¢ª¨ 5 ½«¥¬¥² µ ¬®¦® ° ±¯®«®¦¨²¼ ¢ 5 ±²®«¡¶®¢, ¯® 24 ¢ ª ¦¤®¬. ·¨², ¢±¥£® ±³¹¥±²¢³¥² 5 24 = 120 ² ª¨µ ¯¥°¥±² ®¢®ª. «¿ ·¨±« ¯¥°¥±² ®¢®ª n ½«¥¬¥²®¢ ¥±²¼ ®¡®§ ·¥¨¥: n! (·¨² ¥¬: À½ ´ ª²®°¨ «Á). ª²®°¨ « ° ¢¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¾ ¢±¥µ ²³° «¼»µ ·¨±¥«
80
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81
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84
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85
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§ ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À½²®©Á, ¤¢ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À´° §¥Á, ·¥²»° ¤¶ ²¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¢±²°¥· ¥²±¿Á, ·¥²»° ¤¶ ²¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À±«®¢®Á, ¸¥±²¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À° §Á, ¤¥¢¿²¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À° § Á, ±¥¬¼ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¤¢ Á, ²°¨ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À·¥²»° ¤¶ ²¼Á, ²°¨ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À²°¨Á, ¤¢ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¤¥¢¿²¼Á, ¤¢ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À±¥¬¼Á, ¤¢ ° § ¢±²°¥· ¥²±¿ ±«®¢® À¸¥±²¼Á. Only the fool would take trouble to verify that his sentence was composed of ten a's, three b's, four d's, forty-six e's, sixteen f's, four g's, thirteen h's, fteen i's, two k's, nine l's, four m's, twenty- ve n's, twenty-four o's, ve p's, sixteen r's, forty-one s's, thirty-seven t's, ten u's, eight v's, eight w's, four x's, eleven y's, twenty-seven commas, twenty-three apostrophes, seven hyphens, and, last but not least, a single ! In this sentence, the word and occurs twice, the word eight occurs twice, the word four occurs twice, the word fourteen occurs four times, the word in occurs twice, the word occurs occurs fourteen times, the word sentence occurs twice, the word seven occurs twice, the word the occurs fourteen times, the word this occurs twice, the word times occurs seven times, the word twice occurs eight times and the word word occurs fourteen times. ²® ¯°¥¤«®¦¥¨¥ ±®¤¥°¦¨² ¤¢¥ ¤¶ ²¼ ±«®¢, ¤¢ ¤¶ ²¼ ¸¥±²¼ ±«®£®¢ ¨ ±¥¬¼¤¥±¿² ²°¨ ¡³ª¢». ®£¤ § ½²¨¬ ¯°¥¤«®¦¥¨¥¬ ¥ ¡«¾¤ ¾², ®® ¯¨± ® ¯®-¥¬¥¶ª¨. .¨ª±¡ ° -®¯ ²¾ ²¨·, ®¢¥« ¢ °¯±, ª ² ®¥¬ ¥¢¿²¼ ±«®¢ § ¤ ½²® ¯°¥¤«®¦¥¨¥ ¥¹¥ ¥ · «®±¼. 86
²® ¯°¥¤«®¦¥¨¥ ±®±²®¿«® ¡» ¨§ ¤¥±¿²¨ ±«®¢, ¥±«¨ ¡» ®®
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³¸¥¢®¡®«¼»¬ §»¢ ¥²±¿ ¤³¸¥¢®¡®«¼®©, ¢±²³¯¨¢¸¨© ¢ ª®´«¨ª² ± ®¡¹¥±²¢®¬. (§ ³·¥¡¨ª ¯±¨µ¨ ²°¨¨.) ª ¢»£«¿¤¥«® ¡» ½²® ¯°¥¤«®¦¥¨¥, ¥±«¨ ¡» ° ¢¿«®±¼ 3?) ¤¥ ¡» » ¨ ¢±²°¥²¨«¨ ½²® ¯°¥¤«®¦¥¨¥, ³¨·²®¦¼²¥ ¥£®. ²®² ¯°¨¶¨¯ ±²®«¼ª® ¢±¥®¡º¥¬«¾¹, ·²® ¨ª ª®¥ · ±²®¥ ¥£® ¯°¨¬¥¥¨¥ ¥¢®§¬®¦®. ®, ·²® ¿ ¬ ±¥©· ± ¯°¥¤±ª §»¢ ¾, ±¡³¤¥²±¿. » ¬¥¿ ¯®¬¨²¥? | ²®² ± ¬»© ·¥«®¢¥ª, ª®²®°»© ¥ ¯°®¨§¢¥« ± ¨ª ª®£® ¢¯¥· ²«¥¨¿. ®·¥¬³ ¢±¥ ¥¯°¨¿²®±²¨ ¯°®¨±µ®¤¿² ¢ ± ¬®¥ ¥¯®¤µ®¤¿¹¥¥ ¢°¥¬¿? ¥ ¯®¬¨ ¥² «¨ ½²® ¯°¥¤«®¦¥¨¥ ® ³¸ª¨¥? °¥¤±² ¢¼²¥, ·²® ¯®±«¥¤¥©, 500-© ±²° ¨¶¥ ª¨£¨ ¯¥· ² ®: ¯ ° ¥ ¤ ¥ « ¥ ¨ ¥.
) ¬¥²¼²¥, ¢ ¬¨°¥, £¤¥ ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ° ¢® 3, » ±ª § «¨ ¡» ¥ À¥±«¨ ¡» = 3 Á, À¥±«¨ ¡» = 2 Á ¨«¨ À¥±«¨ ¡» 6= 3 Á. ¯°®·¥¬, ¨§¬¥¨²¼ | § ·¨² £«³¡®· ©¸¨¬ ®¡° §®¬ ¨§¬¥¨²¼ ¨ ¢±¾ ¬ ²¥¬ ²¨ª³, ¨ ¢¥±¼ ¬¨°. ®¦ «³©, ¨ ¯®¿²¨¥ À¯°¥¤«®¦¥¨¥Á, ¨ À3Á ¥ ¢»¤¥°¦ «¨ ¡» ² ª®£® ¯®²°¿±¥¨¿.
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102
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±«¨ ¢ ±¥¬¼¥ ¥±²¼ ±² °¸¨© ±», ¢ °¨ ² 1 6 6 ®²¯ ¤ ¥². 11. 15. ¨¬¥®, 14 ¤¥¢®·¥ª ¨ ¨¸ . 13. °³¸ (¯«®¤, ª®²®°»© ¢¨±¨² ¤¥°¥¢¥) ¨ £°³¸ (¤¥°¥¢®, ª®²®°®¬ ° ±²³² ¯®µ®¦¨¥ ½«¥ª²°¨·¥±ª³¾ « ¬¯®·ª³ ¯«®¤», ª®²®°»¥ ¬®¦® ±ª³¸ ²¼) ®¤¨ ª®¢® §¢³· ² ¯®-°³±±ª¨, ® ¥ ¯®-¢¥£¥°±ª¨. ª®· ¨¥ k ®§ · ¥² ¬®¦¥±²¢¥®¥ ·¨±«®, ¤®¡ ¢«¥¨¥ ¡³ª¢ fa ¯°¥¢° ¹ ¥² ¿¡«®ª® ¢ ¿¡«®¾, ¡¥°¥§®¢³¾ ±¥°¥¦ª³ | ¢ ¡¥°¥§³, ¨ ¢®®¡¹¥, ¯«®¤ | ¢ ¤¥°¥¢®, ª®²®°®¬ ½²®² ¯«®¤ ° ±²¥². 15. ¤¨¬ ¸¥ ¥¹ ¥ 2 ¸ °¨ª . ®£¤ ³ ¥¥ ±² ¥² ±²®«¼ª® ¦¥ ¸ °¨ª®¢, ±ª®«¼ª® ³ ¸¨. ³ ¸¨ 1 ¸ °¨ª § ¡¥°¥¬ | ²®£¤ ³ ¥£® ±² ¥² ¸ °¨ª®¢ ±²®«¼ª® ¦¥, ±ª®«¼ª® ³ ¤°³£¨µ. ±² «®±¼ ° §¤¥«¨²¼ ¯®°®¢³ ²°®¨µ 11 + 2 , 1 = 12 ¸ °¨ª®¢. 17. 3 ±¥±²°» ¨ 4 ¡° ² . 18. 14 ®¢¥¶.
±«¨ ¢±¥ 36 ¦¨¢®²»µ | ª³°», ²® ®£ 2 36 = 72 . ¥¬ ®²«¨· ¥²±¿ ®¢¶ ®² ª³°¨¶»? ®¢¶» 2 ®£¨ ¡®«¼¸¥! ·¨², § ¬¥¿¿ ª³°¨¶³ ®¢¶³, ¬» ³¢¥«¨·¨¢ ¥¬ ·¨±«® ®£ ¤¢¥, ¨ ² ª¨µ § ¬¥ ¤® ¯°®¨§¢¥±²¨ (100 , 72) : 2 = 14 . 19.
±«¨ ¡» ¢ ª®°®¡ª¥ ¡»«¨ ²®«¼ª® ¦³ª¨, ²® ®£ ¡»«® ¡» 6 8 = 48 , ²® ¥±²¼ 6 ¬¥¼¸¥, ·¥¬ ³ª § ® ¢ § ¤ ·¥. ¥±²¼ À«¨¸¨µÁ ®£ ®±² «®±¼ ¨§-§ ²®£®, ·²® ³ ¯ ³ª 2 ®£¨ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ³ ¦³ª . ·¨², ½²¨ 6 ®£ ¯°¨ ¤«¥¦ ² ¯ ³ª ¬, ²® ¥±²¼ ¯ ³ª®¢ 6 : 2 = 3 . ³ª®¢ ²®£¤ 8 , 3 = 5 . ² ª, ¢ ª®°®¡ª¥ 5 ¦³ª®¢ ¨ 3 ¯ ³ª . °®¢¥°¨¬: ³ 5 ¦³ª®¢ 30 ®£, ³ 3 ¯ ³ª®¢ 24 ®£¨, ¢±¥£® 30 + 24 = 54 ®£¨, ª ª ¨ ²°¥¡³¥² ³±«®¢¨¥ § ¤ ·¨. 2. 5.
109
41312432. «¼·¨ª¨ «®¤ª¥ ¯«»¢³² ª ¤°³£®¬³ ¡¥°¥£³. ¤¨ ¨§ ¨µ ®±² ¥²±¿ ² ¬, ¤°³£®© ¢®§¢° ¹ ¥²±¿. ¤¨ ±®«¤ ² ¯¥°¥¯° ¢«¿¥²±¿, ¢»«¥§ ¥², ¬ «¼·¨ª ¢®§¢° ¹ ¥² «®¤ª³. ª¨¬ ®¡° §®¬, ·²®¡» ¯¥°¥¯° ¢¨²¼ ®¤®£® ±®«¤ ² , «®¤ª 4 ° § ¯«»¢¥² ®² ¡¥°¥£ ¤® ¡¥°¥£ . ¥°¥µ®¤¿² ¯ ¯ ¨ ¬ ¬ 2 ¬¨³²» 26. ¯ ± ´® °¨ª®¬ ¢®§¢° ¹ ¥²±¿ 1 ¬¨³² ¥°¥µ®¤¿² ¡ ¡³¸ª ¨ ¬ «»¸ 10 ¬¨³² ¬ ± ´® °¨ª®¬ ¢®§¢° ¹ ¥²±¿ 2 ¬¨³²» ¥°¥µ®¤¿² ¯ ¯ ¨ ¬ ¬ 2 ¬¨³²» ²®£® 17 ¬¨³² 27. ¨ ¯®¤®¸«¨ ± ° §»µ ±²®°®. 32.
±«¨ ¢ ¯¥°¢®© ¯ ·ª¥ ¢¤¢®¥ ¬¥¼¸¥ ²¥²° ¤¥©, ·¥¬ ¢® ¢²®°®©, ²® ¢ ¯¥°¢®© ¯ ·ª¥ 30 : 3 = 10 ²¥²° ¤¥©, ¢® ¢²®°®© | 20. ·¨², ¢ ¯¥°¢®© ¯ ·ª¥ ¡»«® 12 ²¥²° ¤¥©, ¢® ¢²®°®© | 18. 39. ±®¡° « 10 2 2 2 2 = 160 ¿¡«®ª. ²° ¦¨ª¨ ¯®«³·¨«¨ 160 , 10 = 150 ¿¡«®ª. 40. ¨²¿ ±º¥« 4 ±«¨¢». ·¨², ³¢¨¤¥« ® 4 3 = 12 ±«¨¢. ®±² ¢¨¬ ² ¡«¨¶³: ¬ ¿ ®°¿ ¨²¿ ¢¨¤¥«( ) , 12 º¥«( ) , 4 ±² ¢¨«( ) ? 8 ¯®«¨¬ ¥¥. ®°¿ ®±² ¢¨« ²¥ ± ¬»¥ 12 ±«¨¢, ª®²®°»¥ ³¢¨¤¥« ¨²¿. ®°¿ ±º¥« ²°¥²¼ ³¢¨¤¥»µ ¨¬ ±«¨¢. ·¨², ®°¿ ±º¥« 6 ±«¨¢, ³¢¨¤¥« 18 ±«¨¢. ¬¥® ±²®«¼ª® ±«¨¢ ®±² ¢¨« ¿ (¬¥¦¤³ ¯°®·¨¬, 12 : (2=3) = 18 ). ¬ ®±² ¢¨« 18 : (2=3) = 27 ±«¨¢: ¬ ¿ ®°¿ ¨²¿ ¢¨¤¥«( ) , 27 18 12 º¥«( ) , 9 6 4 ±² ¢¨«( ) 27 18 12 8 41. §®±²¼ ¬¥¦¤³ ·¨±«®¬ ¨ ±³¬¬®© ¥£® ¶¨´° ¢±¥£¤ ¤¥«¨²±¿ 9. ®½²®¬³ ¢±¥ ·¨±« , ª°®¬¥, ¢®§¬®¦®, ¨±µ®¤®£®, ¤¥«¿²±¿ 9. «¥¤®¢ ²¥«¼®, 0 ¯®«³·¨«±¿ ¨§ 9, ·¨±«® 9 ¯®«³·¨«®±¼ ¨§ 18, ¨ ¢®®¡¹¥, ¨¬¥¥¬ ¶¥¯®·ª³: 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 ¤¥±¼ ³¦® ¡»²¼ ¢¨¬ ²¥«¼»¬: 81 ¬®¦® ¯®«³·¨²¼ ª ª ¨§ 90, ² ª ¨ ¨§ 99. ® 90 ¨ ¨§ ª ª®£® ·¨±« ¥ ¯®«³·¨¸¼! ·¨±«® 99 ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ 100, ¨§ 101, : : : , ¨§ 109. 22. 23.
110
43. ¥) 5 5 + 5 : 5 = 26 ; ¦) (5 : 5 + 5) 5 = 30 ; §) 5 5 + 5 5 = 50 ; 55+5 , 5 = 55 ; ©) 5 5 5 , 5 = 120 ; ª) 5 5 5+5 = 130 ; «) 5 5 5 5 = 625 ; ¬) 555 : 5 = 111 . 44. 3 : 3+(3 , 3) 3 = 1 ; (3+3) : 3+3 , 3 = 2 ; 3+(3 , 3) 33 = 3 ; 3 : 3+ +3 , 3+3 = 4 ; 3 : 3+3 : 3+3 = 5 ; 3+3+(3 , 3) 3 = 6 ; 3 3 , (3+3) : 3 = 7 ; 3 + 3 + (3 + 3) : 3 = 8 ; 3 3 , (3 , 3) : 3 = 9 ; 3 : 3 + 3 + 3 + 3 = 10 . 45. 5 : 5 + (5 , 5) 5 = 1 ; (5 + 5) : 5 + 5 , 5 = 2 ; (5 5 , 5 , 5) : 5 = 3 ; 5 , 5 : 5 + 5 , 5 = 4 ; 5 + (5 , 5) (5 + 5) = 5 ; 5 + 5 : 5 + 5 , 5 = 6 ; 5 + 5 : 5 + 5 : 5 = 7 ; 5 + (5 + 5 + 5) : 5 = 8 ; (5 5 , 5) : 5 + 5 = 9 . 46. 4+4 , 4 , 4 = 0 ; 4 : 4+4 , 4 = 1 ; 4 : 4+4 : 4 = 2 ; (4+4+4) : 4 = 3 ; (4 , 4) 4 + 4 = 4 ; (4 + 4 4) : 4 = 5 ; 4 + (4 + 4) : 4 = 6 ; 4 + 4 , 4 : 4 = 7 ; 4 + 4 + 4 , 4 = 8 ; 4 + 4 + 4 : 4 = 9 ; (44 , 4) : 4 = 10 . 47. 7 : 7 + 7 , 7 = 1 ; 7 : 7 + 7 : 7 = 2 ; (7 + 7 + 7) : 7 = 3 ; 77 : 7 , 7 = 4 ; 7 , (7 + 7) : 7 = 5 ; (7 7 , 7) : 7 = 6 ; 7 + (7 , 7) 7 = 7 ; (7 7 + 7) : 7 = 8 ; 7 + (7 + 7) : 7 = 9 . 50. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 9 = 100 . 51. ¤® ¿¡«®ª® ®²¤ ©²¥ ¢¬¥±²¥ ± ª®°§¨®©. 53. ¢²° ª «¨ ¤¥¤, ¥£® ±» ¨ ¢³ª. 54. ¤¨ ª®¸¥« ¥ª ¢³²°¨ ¤°³£®£®. 55. ¥². 56. ¥°¥«¥©²¥ ¢®¤³ ¨§ ¢²®°®£® ±² ª ¢ ¯¿²»©. 58. ¢®¥²®·¨¥ ¯®±«¥ ±«®¢ À¤¢ ¤¶ ²¼Á. 59. ¥±²¨¶ ¯®¤¨¬ ¥²±¿ ¢¬¥±²¥ ± ª®° ¡« ¥¬. 60. ®«¼¸®© §¥« ¥»© ¯®¤§¥¬»© ª ¬¥¥¤. 62. §¤¥«¨²¥ ¯® ¢¥°²¨ª «¨ ´¨£³°ª¨ ¯®¯®« ¬ ¨ ¢±¯®¬¨²¥, ª ª ¯¨¸³² ¨¤¥ª± ¯®·²®¢®¬ ª®¢¥°²¥. 63. ¨¨±²° ¬®¦¥² ¢»² ¹¨²¼ «¨±²®ª ¡³¬ £¨ ¨, ¥ £«¿¤¿, ±¦¥·¼ ¥£®. ®±ª®«¼ª³ ®±² ¢¸¥¬±¿ «¨±²ª¥ ¯¨± ® Àµ®¤¨²¥Á, ª®°®«¾ ¯°¨¤¥²±¿ ¯°¨§ ²¼, ·²® ³¨·²®¦¥®¬ «¨±²ª¥ ¡»«® ±«®¢® À±² ¼²¥±¼Á. 65. 8 (±¬. °¨±.). 66. ®¦¥². ²¥¶ ±» | ½²® ¬³¦; ¯°®´¥±±®° | ¦¥¹¨ . 68. 1 + 1999 = 2000 . 69. °) °®¨§¢¥¤¥¨¥ 6 ¬®¦¥² ¡»²¼ ¤¢³µ§ ·»¬ ·¨±«®¬ ²®«¼ª® ¢ ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤ ¢²®°®© ±®¬®¦¨²¥«¼ ° ¢¥ 1. ·¨², ¢® ¢²®°®© ±²°®ª¥ °¥¡³± ±²®¨² ·¨±«® 111. ®±«¥¤¿¿ ¶¨´° ¯°®¨§¢¥¤¥¨¿ ¬®¦¥² ¡»²¼ ° ¢ 6 ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¢ ° §°¿¤¥ ¥¤¨¨¶ ¯¥°¢®£® ±®¬®¦¨²¥«¿ ±²®¨² 6. 70. ®±ª®«¼ª³ ¯°¨ ³¬®¦¥¨¨ ¯¿²¨§ ·®£® ·¨±« 9 ¯®«³·¥® ·¨±«® ¯¿²¨§ ·®¥, ²® ¢ ¨±µ®¤®¬ ·¨±«¥ ª° ©¿¿ ±«¥¢ ¶¨´° 1. ¨±«®, ¯®«³·¥®¥ ¯®±«¥ ³¬®¦¥¨¿ ¤ ®£® ·¨±« 9, ®ª ·¨¢ ¥²±¿
¨)
111
¶¨´°®© 1. ·¨², ¨±µ®¤®¥ ·¨±«® ®ª ·¨¢ ¥²±¿ ¶¨´°®© 9 ( 9 9 = 81 ):
1***99 9***1
±«¨ ¡» ¢ ° §°¿¤¥ ²»±¿· ¨±µ®¤®£® ·¨±« ±²®¿« ¶¨´° 2 (¨«¨ «¾¡ ¿ ¡®«¼¸ ¿ ¶¨´° ), ²® ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ¡»«® ¡» ±«¨¸ª®¬ ¡®«¼¸¨¬: 12 001 9 > > 100 000 . ·¨², ¢ ° §°¿¤¥ ²»±¿· | ¶¨´° 0 ¨«¨ 1. ±±¬®²°¨¬ ¤¢ ±«³· ¿: 1)
11**99 .
2)
9**11
®±ª®«¼ª³ 11 9 = 99 , ¢²®° ¿ ¶¨´° ¯°®¨§¢¥¤¥¨¿ (® ¦¥ | ° §°¿¤ ¤¥±¿²ª®¢ ¨±µ®¤®£® ·¨±« ) ¥±²¼ 9. ¬¥¥¬:
10**99 . 9**01
®±ª®«¼ª³ 9 9 = 81 , ¢ ° §°¿¤ ¤¥±¿²ª®¢ ¨§ ° §°¿¤ ¥¤¨¨¶ ¯¥°¥®±¨²±¿ 8. ²®¡» ¢ ° §°¿¤¥ ¤¥±¿²ª®¢ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¿ ®ª § « ±¼ ¶¨´° 0, ¯°¥¤¯®±«¥¤¿¿ ¶¨´° ¨±µ®¤®£® ·¨±« ¤®«¦ ¡»²¼ 8:
11*999 99*11
10*899
ª ¥ ¡»¢ ¥², ¯¥°¢»© ±«³· © ¥ ¯®¤µ®¤¨². (® ¥ ° §®¡° ²¼ ¥£® ¡»«® ¡» ®¸¨¡ª®©. ¥¸¨²¼ °¥¡³± | § ·¨² ¥ ²®«¼ª® ¯®¤®¡° ²¼ ª ª®©¨¡³¤¼ ¯®¤µ®¤¿¹¨© ¢ °¨ ², ® ¨ ¤®ª § ²¼, ·²® ¥² ¨ª ª¨µ ¤°³£¨µ.)
98*01
®«³· ¥¬ ®²¢¥²:
109899 . 98901
80.
81. 7, ¯®±ª®«¼ª³ ¯®±«¥¤¨© ª³±®ª ®²°¥§ ²¼ ¥ ¤®. 82. 5 ° §. ®¦® ¶¥«¨ª®¬ ° ±ª®¢ ²¼ ®¤³ ¶¥¯¼ (3 §¢¥ ). 85. ¢® ¢²®°¨ª ±«¥¤³¾¹¥© ¥¤¥«¨ ¢ 6 · ±®¢ ¢¥·¥° . ± ¬®¬ ¤¥«¥, § ±³²ª¨ £³±¥¨¶ ¯®¤¨¬ ¥²±¿ ¢¢¥°µ 1 ¬¥²°. ·¨², § 8 ±³²®ª (²® ¥±²¼ ª 6 · ± ¬ ³²° ¢²®°¨ª ±«¥¤³¾¹¥© ¥¤¥«¨) ® ¯®¤¨¬¥²±¿ ¢»±®²³ 8 ¬. ª 18 · ± ¬ ¢²®°¨ª | ¯®ª®°¨² ¢¥°¸¨³! 90. ª § ¨¥. °¨±³©²¥ ¸¥±²¨³£®«¼¨ª. 92. 5 °³¡«¥©. ±¯°®±²° ¥»© ¥¯° ¢¨«¼»© ®²¢¥² | 10 °³¡«¥©. ®¯³±²¨¬, ®¤ ª®, ·²® ³ ¨µ, ±ª ¦¥¬, ¯® 50 °³¡«¥©.
±«¨ ª³«¨ ¤ ±² 84.
²¢¥²:
112
10 °³¡«¥©, ²® ³ ´¨±» ®ª ¦¥²±¿ 60 °³¡«¥©, ³ ª³«¨» 40. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ° §¨¶ ±®±² ¢¨² ¥ 10, 20 °³¡«¥©. 94. 20 °³¡«¥©. ³¯¨²¼ 5 ¡®«¼¸¨µ ¯²¨¶ | ²® ¦¥, ·²® ª³¯¨²¼ 10 ¬ «¥¼ª¨µ, ² ª ·²® ¯®ª³¯ª 5 ¡®«¼¸¨µ ¨ 3 ¬ «¥¼ª¨µ ¯²¨¶ ° ¢®¶¥ ¯®ª³¯ª¥ 13 ¬ «¥¼ª¨µ. «®£¨·®, ¶¥ 3 ¡®«¼¸¨µ ¨ 5 ¬ «¥¼ª¨µ ° ¢ ¶¥¥ 11 ¬ «¥¼ª¨µ ¯²¨¶. ·¨², 13 , 11 = 2 ¬ «¥¼ª¨¥ ¯²¨¶» ±²®¿² 20 °³¡«¥©. 95. ¥¤³¸ª¥ 84 £®¤ , ¢³·ª¥ 7 «¥². 96. ¥¤³ 100 , 45 = 55 «¥², ±»³ (45 , 25) : 2 = 10 «¥², ®²¶³ 10 + + 25 = 35 «¥². 100.
±«¨ ±®¡ ª ±²®¨² x °³¡«¥©, ²® ª®°®¢ ±²®¨² 4 x , 2 ª®°®¢» | 8 x , «®¸ ¤¼ | 16 x . ²®¡» ©²¨ x , ° §¤¥«¨¬ 200 °³¡«¥© 1 + 8 + + 16 = 25 · ±²¥©. ² ª, ±®¡ ª ±²®¨² 8 °³¡«¥©, ª®°®¢ | 32. 103. °¨ ª³°¨¶» ±¥±«¨ § 3 ¤¿ 3 ¿©¶ . «¥¤®¢ ²¥«¼®, 3 ª³°¨¶» ±¥±³² § 12 ¤¥© ¢ 4 ° § ¡®«¼¸¥ ¿¨¶ ( 3 4 = 12 ), 12 ª³° § 12 ¤¥© ¥¹¥ ¢ 4 ° § ¡®«¼¸¥, ²® ¥±²¼ 12 4 = 48 ¿¨¶. ¥¸¥¨¥ § ¤ ·¨ ³¤®¡® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ² ¡«¨¶»: ³° ¥© ¨¶ 3 3 3 3 12 3 4 = 12 12 12 12 4 = 48 1 105. 2 · ± 6 §¥¬«¥ª®¯®¢ ¢»°®¾² 6 ¿¬, § 5 · ±®¢ | ¢ 2 ° § 2 ¡®«¼¸¥, ²® ¥±²¼ 15 ¿¬. 106. 12 ª®±¶®¢. ®±¥¶ § · ± ¢»¯¨¢ ¥² 1=48 ¡®·®ª . 3 · ± ®¤¨ ª®±¥¶ ¢»¯¨¢ ¥² 1=12 ¡®·®ª . 108. ®£¤ ¥° ¥¦ ±² ¥² ¢²°®¥ ±² °¸¥ ®¢», ° §®±²¼ ¨µ ¢®§° ±²®¢ ¡³¤¥² ° ¢ ³¤¢®¥®¬³ ¢®§° ±²³ ®¢». ®±ª®«¼ª³ ° §®±²¼ ¢®§° ±²®¢ ¥ ¬¥¿¥²±¿ ±® ¢°¥¬¥¥¬, ® ¢±¥£¤ ° ¢ 11 , 1 = 10 £®¤ ¬. ·¨², ®¢¥ ¡³¤¥² 5 «¥², ¥°¥¦¥ | 15. 109. 13 + 7 = 20 «¥² § ¤ ¿ ¡»« ¢¤¢®¥ ¬®«®¦¥, ·¥¬ ±¥©· ±. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¬¥ 40 «¥². 110. ) §¨¶ ¢ ¢®§° ±²¥ ¬¥¦¤³ ®²¶®¬ ¨ ±»®¬ ° ¢ 27 , 3 = = 24 £®¤ ¬. ¥©· ± ®²¶³ ¢²°®¥ ¡®«¼¸¥ «¥², ·¥¬ ±»³. ®½²®¬³ 24 £®¤ | ½²® ³¤¢®¥»© ¢®§° ±² ±» . 25 1 + 31 + 14 = 12 ¨ 100 : 25 = 48 . 113. 1 + 2 12 117. ¨ °®¢¥±¨ª¨, ¨¬ ¯® 6 «¥². 119. 1 £®¤. ²®¡» ¥ § ¯³² ²¼±¿, ®¡®§ ·¨¬ ¢®§° ±²» ®«¨, «¨ ¨ ®«¨ ¡³ª¢ ¬¨ , ¨ ±®®²¢¥²±²¢¥®. ®±ª®«¼ª³ ®«¿ ¡»« ¬®«®¤, ª ª «¿, , «¥² § ¤, ²¥²³¸ª ®«¿ ¡»« ¢ ¢®§° ±²¥ ®«¨ , «¥² § ¤, ³±«®¢¨¥ § ¤ ·¨ ¬®¦® ¯¥°¥´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: , «¥² § ¤ ®«¥ ¡»«® 1 £®¤ ¬¥¼¸¥, ·¥¬ + «¥². ª®«¼ª® «¥² ¡»«® ®«¥ , «¥² § ¤?
113
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±«¨ ¢»² ¹¨¬ 8 ¡ ®ª, ²® ½²® ¬®£³² ®ª § ²¼±¿ 3 ¡ ª¨ ¬ «¨®¢®£® ¨ 5 ¡ ®ª ¢¨¸¥¢®£® ¢ °¥¼¿. 134. 60 ª¬/· | ½²® 1 ª¨«®¬¥²° ¢ ¬¨³²³. ¥±ª®¥·® ¡»±²°® ¤¢¨£ ²¼±¿ ¥«¼§¿, ¢»¨£° ²¼ ª ¦¤®¬ ª¨«®¬¥²°¥ 1 ¬¨³²³ ¥ ³¤ ±²±¿. 159. ¨ª®« © ¥²°®¢¨· ¯®©¬ « 5 °»¡. 166. ·¨ ¾¹¨© ¬®¦¥² ¯®¡¥¤¨²¼ ¯°¨ «¾¡®¬ · «¼®¬ ¯®«®¦¥¨¨ ª®°®«¿. ³²¼ ±²° ²¥£¨¨ ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. ®¤±·¨² ¥¬ ·¨±«® ¢¥°²¨ª «¼»µ µ®¤®¢, ª®²®°»¬¨ ª®°®«¼ ¬®¦¥² ± ¨±µ®¤®£® ¯®«¿ ¤®©²¨ ¤® ¨¦¥© (¯¥°¢®©) £®°¨§®² «¨, ² ª¦¥ ª®«¨·¥±²¢® À¯°¿¬»µÁ µ®¤®¢, ª®²®°»¬¨ ª®°®«¼ ¬®¦¥² ¤®©²¨ ¤® ¢¥°µ¥© (¢®±¼¬®©) £®°¨§®² «¨. ®±ª®«¼ª³ ±³¬¬ ½²¨µ ·¨±¥« ° ¢ 8 , 1 = 7 , ²® ®¤® ¨§ ¨µ ¥·¥²®. ³±²¼, ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥®±²¨, ¤® ±¤¥« ²¼ ¥·¥²®¥ ·¨±«® µ®¤®¢, ·²®¡» ¤®©²¨ ¤® ¨¦¥© £®°¨§®² «¨. ®£¤ ¯¥°¢»© ¨£°®ª ¬®¦¥² ¯®©²¨ ¯°¿¬® ¢¨§; ®¬¥° £®°¨§®² «¨ ³¬¥¼¸¨²±¿ 1 ¨ ¨§ ·¥²®£® ±² ¥² ¥·¥²»¬. ²® ¤¥« ²¼ ¢²®°®¬³?
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114
177. ¢²®¬®¡¨«¨±² ¸ ¥« ¯¥¸ª®¬ ±²®«¼ª® ¦¥ ¢°¥¬¥¨, ±ª®«¼ª® ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² § ²° ²¨« ¢¥±¼ ¯³²¼. 180. ®±ª®«¼ª³ ¢¥«®±¨¯¥¤¨±² ¯°®¥µ « ²°¥²¼ ¯³²¨ ¡»±²°¥¥, ·¥¬ ¬®²®¶¨ª«¨±² ¯°®¥µ « ¤¢¥ ²°¥²¨, ¥£® ±ª®°®±²¼ ¡®«¼¸¥ ¯®«®¢¨» ±ª®°®±²¨ ¬®²®¶¨ª«¨±² . 181. ®±² ²®·® ¯¥°¥¤¢¨³²¼ ª³¤ -¨¡³¤¼ ª° ©¾¾ ±¯¨·ª³ ( ¯°¨¬¥°, ¯®«®¦¨²¼ ¥¥ °¿¤®¬ ± ¤°³£®© ª° ©¥©). 182. , ¬®¦® ¡°®±¨²¼ ¬¿· ¢¥°²¨ª «¼®. 183.
±«¨ ¯®±² ° ²¼±¿, ¨§ °¡³§ ¬®¦® ¢»°¥§ ²¼ ª³±®ª ¢ ¢¨¤¥ À±²®«¡¨ª Á, ¨¤³¹¥£® ±ª¢®§¼ ¢¥±¼ °¡³§. ½²®£® ª³±ª ¡³¤³² ¤¢¥ ª®°ª¨, ±®¥¤¨¥»¥ °¡³§®© ¬¿ª®²¼¾. 185. ) ®«®¦¨²¥ ±¯¨·ª³ ¢ ³£«³ ±²®« , À®²°¥§ ¢Á ¥¾ ²°¥³£®«¼¨ª. ¡) ¢¥ ±¯¨·ª¨ ¯®«®¦¨²¥ ¢ ³£«³ ±²®« , ·²®¡» ª° ¿ ¥£® ¤ «¨ ¤¢¥ ¤°³£¨¥ ±²®°®» ª¢ ¤° ² . 187. °¨ ±¥ª³¤». ½²® ¢°¥¬¿ ®¨, ª®¥·®, ¯®©¬³², ·²® ¨¬ ¨ª®£¤ ¥ ¢»°»²¼ ² ª®© ¿¬», ¤ ¨ °»²¼ ¥¥ ¥§ ·¥¬. (®¤°®¡®±²¨ | ¢ ±ª §ª¥ ¬¥«» °¥¢¥°± À½°¨ ®¯¯¨±Á.) 7 10 13 22 26 30 188. 4 9 14 189. 31121314. ¦¤®¥ ±«¥¤³¾¹¥¥ ·¨±«® ®¯¨±»¢ ¥² ¯°¥¤»¤³¹¥¥: À¢ ·¨±«¥ ¡»« ®¤ ¥¤¨¨¶ Á | 11; À¤¢¥ ¥¤¨¨¶»Á | 21; À®¤ ¥¤¨¨¶ , ®¤ ¤¢®©ª Á | 1112 ¨ ² ª ¤ «¥¥. 190. ª®¢¡®¿ ¢ £®°«¥ § ±²°¿« ª®±²¼ ¨ ®² ¨±¯³£ ¢»±ª®·¨« ! 191. £ ¤ «: À«¾¡¨² | ¥ «¾¡¨², : : : Á. 192. ±¥£¤ ¯®«³·¨²±¿ ·¨±«® 6174, ª®²®°®¥ ¯¥°¥µ®¤¨² ± ¬® ¢ ±¥¡¿. 198. 15 = (11 , 7) + 11 . ¯³±²¨¬ · ±» ®¤®¢°¥¬¥®, ·¥°¥§ 7 ¬¨³² ·¥¬ ¢ °¨²¼ ª ¸³. 11 11
11 + 11 , 7 = 15
7
«¿ ©ª¨. ²® ¯°¨¸«®±¼ ¡» ¤¥« ²¼, ¥±«¨ ¡» ¡»«¨ · ±» 47 ¬¨³² ¨ 31 ¬¨³²³ ( ª ¸³ ¯®-¯°¥¦¥¬³ ¤® ¢ °¨²¼ °®¢® 15 ¬¨³²)? 214. 25%, ¨¡® 1 : (1 , 0;2) = 1;25 . 225. ¥²¢¥°²¼ ª°³£ ¢¥±¨² 1 ª£, ª°³£ | 4 ª£. 229. ) 1111; ¡) 147. 237. §°¥¦¼²¥ ¤®±ª³ 4 ¤®±ª¨ 4 4 ¨ ª ¦¤®© ¨§ ¨µ ¢ ³£«³ ° §¬¥±²¨²¥ 8 ª®¥© ¢ ¢¨¤¥ ª¢ ¤° ² 3 3 . 238. ®®¡° §¨²¥, ·²® ¯°®¤ ¢¥¶ ¥ ³¸ ¥« ¤®¬®©, ®±² «±¿ § ±¢®¨¬ ¯°¨« ¢ª®¬. ³±²¼ ¯®ª³¯ ²¥«¨ ²° ²¿² ¯® 2 °³¡«¿, ¯®ª³¯ ¿ ³ ª ¦¤®£® ¯°®¤ ¢¶ °³¡«¼. ®£¤ ¯¥°¢»¥ 10 ¯®ª³¯ ²¥«¥© ª³¯¿² 20 ¤®°®£¨µ ¨ 30 ¤¥¸¥¢»µ
115
¿¡«®ª, ² ª ·²® ¤¥¸¥¢»¥ ¿¡«®ª¨ ª®· ²±¿ ° ¼¸¥, ·¥¬ ¤®°®£¨¥. ³¡«¼ ¨±·¥§ ¯®²®¬³, ·²® ®±² ¢¸¨¥±¿ 10 ¤®°®£¨µ ¿¡«®ª ¯°®¤ «¨ ¥ ¯® ¤¢ ¿¡«®ª § °³¡«¼, ª ª ±¬¥±¼, ¯® 5 ¿¡«®ª § 2 °³¡«¿. °³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¯®±ª®«¼ª³ ¡®«¥¥ ¤®°®£®¥ ¿¡«®ª® ±²®¨«® 12 °³¡«¿ § ¸²³ª³, ¡®«¥¥ ¤¥¸¥¢®¥ | 31 °³¡«¿, ±«¥¤®¢ «® ¯°®¤ ¢ ²¼ ¨µ ¯® ,1 + 31 : 2 = 125 °³¡«¿. ² ¶¥ ¢»¸¥, ·¥¬ ³±² ®¢«¥ ¿ ¯°®¤ ¢¶ ¬¨ 2 ¶¥ ¢ 52 °³¡«¿ § ¸²³ª³. ( ¢»¸¥ °®¢® 125 , 25 = 601 .) 242. ±¥£® ¤¥¥£ ³ ª³¯¶®¢ (90+85+80+75) : 3 = 110 °³¡«¥©. ®½²®¬³ ³ ¯¥°¢®£® 110 , 90 = 20 , ³ ¢²®°®£® 110 , 85 = 25 , ³ ²°¥²¼¥£® 110 , 80 = 30 , ³ ·¥²¢¥°²®£® 110 , 75 = 35 °³¡«¥©. 0 249 . ±±¬®²°¨²¥ ±³¬¬³ ¢±¥µ ·¨±¥« ² ¡«¨¶». 261. ) ®¤±² ¢¨¢ T = 0 , ¯®«³·¨¬ b = 32 . °¨ T = 100 ¯®«³· ¥¬ 212 = 100a + b , ®²ª³¤ a = 1;8 . ¡) T = ,40 . 267. §¡¥©²¥ ¢± ¥ ¬®¦¥±²¢® ¶¥«»µ ·¨±¥« 5 ª« ±±®¢: ¢ ®¤¨ ª« ±± ¯®¬¥±²¨²¥ ·¨±« : : : , 14; ,9; ,4; 1; 6; 11; 16; 21; 26; : : : ; ¤ ¾¹¨¥ ®±² ²®ª 1 ¯°¨ ¤¥«¥¨¨ 5, ¢ ¤°³£®© | ·¨±« : : : , 13; ,8; ,3; 2 7; 12; 17; 22; 27; : : : ; ¤ ¾¹¨¥ ®±² ²®ª 2, ¢ ²°¥²¨© | ·¨±« , ¤ ¾¹¨¥ ®±² ²®ª 3 ¯°¨ ¤¥«¥¨¨ 5, ¢ ·¥²¢¥°²»© | ®±² ²®ª 4, ¢ ¯¿²»© | ¤ ¾¹¨¥ ®±² ²®ª 0. 268. ª § ¨¥. §¡¥©²¥ ¢±¥ ¶¥«»¥ ·¨±« n ª« ±±®¢ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ²¥¬, ª ª®© ®±² ²®ª ¯®«³· ¥²±¿ ¯°¨ ¤¥«¥¨¨ n . 271. ) , ¯°¨¬¥°, ·¨±« ®² 50 ¤® 99. 272. ¡) ±±¬®²°¨¬ 51 ¿¹¨ª ± ² ¡«¨·ª ¬¨: 0 , 1{99 , 2{98 , 3{97 , : : : , 49{51 , 50 . ¨±«® ¯®¬¥¹ ¥¬ ¢ ¿¹¨ª, ² ¡«¨·ª¥ ª®²®°®£® ¯°¨±³²±²¢³¥² ®±² ²®ª ¤¥«¥¨¿ ·¨±« 100.
±«¨ ·¨±¥« 52, ª ª¨¥-²® ¤¢ ¯®¯ ¤³² ¢ ®¤¨ ¿¹¨ª. 281. §®¡¼ ¥¬ ¤®±ª³ 16 ª¢ ¤° ²¨ª®¢ 2 2 ¨ ¯®ª° ±¨¬ ¨µ ¢ ° §»¥ ¶¢¥² . ®ª ¦¥¬, ·²® ¡®«¼¸¥ 16 ¶¢¥²®¢ ¯®«³·¨²¼ ¥«¼§¿. ±±¬®²°¨¬ ª«¥²ª³ «¾¡®£® ¶¢¥² . ¿¤®¬ ± ¥© ¥±²¼ ¥¹¥ ¤¢¥ ª«¥²ª¨ ²®£® ¦¥ ¶¢¥² . ²¨ ¤¢¥ ª«¥²ª¨ ¨¬¥¾² ²®«¼ª® ®¤³ ±®±¥¤¾¾ ª«¥²ª³ ²®£® ¦¥ ¶¢¥² (±°¥¤¨ ° ±±¬®²°¥»µ), ¯®½²®¬³ ¥±²¼ ¥¹¥ ®¤ ª«¥²ª ² ª®£® ¦¥ ¶¢¥² . ² ª, ª ¦¤®£® ¶¢¥² ¥ ¬¥¼¸¥ ·¥²»°¥µ ª«¥²®ª; ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, ¶¢¥²®¢ ¥ ¡®«¼¸¥ 16. 293. ° ¢®¢¥±¨¬ ¢¥± µ £°³§ ¡®«¥¥ ²¿¦ ¥«»©, ·¥¬ ²¥«®, ª®²®°®¥ ³¦® ¢§¢¥±¨²¼. ²¥¬ · ¸ª³ ± £¨°¿¬¨ ¯®«®¦¨¬ ¢§¢¥¸¨¢ ¥¬®¥ ²¥«® ¨ ±¨¬¥¬ ¥±ª®«¼ª® £¨°¼, ·²®¡» ¢®±±² ®¢¨²¼ ° ¢®¢¥±¨¥. ¥± ±¿²»µ £¨°¼ ° ¢¥ ¢¥±³ ²¥« . 294. ®«®¦¨¬ · ¸ª¨ ¯® ®¤®© ¤¥² «¨.
±«¨ ¢¥±» ®±² ³²±¿ ¢ ° ¢®¢¥±¨¨, ²® · ¸ª µ «¥¦ «¨ µ®°®¸¨¥ ¤¥² «¨. (
±«¨ ¢¥±» ¥ ¢ ° ¢®¢¥±¨¨, ²® µ®°®¸¨¥ | ¤¢¥ ®±² ¢¸¨¥±¿; °¥¸¥¨¥ ¯°¨ ½²®¬ «®£¨·®.)
116
¬¥¨¬ ®¤³ ¨§ ¨µ ®¤®© ¨§ ®±² ¢¸¨µ±¿.
±«¨ ¢¥±» ®±² ³²±¿ ¢ ° ¢®¢¥±¨¨, ²® ´ «¼¸¨¢ ¿ ¤¥² «¼ | ·¥²¢¥°² ¿ (®±² ¢¸ ¿±¿; ²®«¼ª® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¬» ¥ ¡³¤¥¬ § ²¼,) «¥£·¥ ® ®±² «¼»µ ¨«¨ ²¿¦¥«¥¥).
±«¨ ¦¥ ®¤ ¨§ · ¸¥ª ®¯³±²¨²±¿, ²® ´ «¼¸¨¢ ¿ | ² ¤¥² «¼, ª®²®°³¾ ²®«¼ª® ·²® ¯®«®¦¨«¨ · ¸ª³. 296. ®¯°®± ¬®¦¥² §¢³· ²¼ ² ª: À¥°® «¨, ·²® ¨ « ¥¸¥ ®¯®¢¨·³, ¨ ®¡°»¥ ¨ª¨²¨·³ ¤®±² «®±¼ µ®²¿ ¡» ¯® ®¤®© ±¥°¥¡°¿®© ¬®¥²¥?Á
±«¨ ®²¢¥² ³²¢¥°¤¨²¥«¼»©, ²® ®¡¥ ¬®¥²» «¼¨ ³°®¬¶ | §®«®²»¥.
±«¨ ®²°¨¶ ²¥«¼»©, ²® «¼¥ ¤®±² «¨±¼ ¤¢¥ ±¥°¥¡°¿»¥ ¬®¥²». ¥±«¨ «¼¿ ¥ ±¬®¦¥² ®²¢¥²¨²¼ ¨ À¤ Á, ¨ À¥²Á, ²® ® ¯®«³·¨« § ±«³¦¡³ §®«®²³¾ ¨ ±¥°¥¡°¿³¾ ¬®¥²». ®¦® ¡»«® § ¤ ²¼ ¨ ¤°³£¨¥ ¢®¯°®±», ¯°¨¬¥°: | ¥°® «¨, ·²® µ®²¿ ¡» ®¤®¬³ ¨§ ¤¢³µ ¤°³£¨µ ¡®£ ²»°¥© ¤®±² «¨±¼ ¤¢¥ ±¥°¥¡°¿»¥ ¬®¥²»? | ²¥¡¿ ¡®«¼¸¥ §®«®²»µ ¬®¥², ·¥¬ ³ «¥¸¨ ®¯®¢¨· ? |
±«¨ ¿ § ¡¥°³ ®¤³ ¨§ ²¢®¨µ ¬®¥² ¨ ¤ ¬ ¢¬¥±²® ¥¥ §®«®²³¾, ²® ±² ¥² «¨ ³ ²¥¡¿ ¡®«¼¸¥ §®«®²»µ? ( ¬¥²¼²¥, ·²® ¢ ½²®¬ ¢®¯°®±¥ ¥ ³¯®¬¿³²» ¬®¥²», ¤®±² ¢¸¨¥±¿ ¤¢³¬ ¤°³£¨¬ ¡®£ ²»°¿¬!) 298. ²³ § ¤ ·³ ³¤®¡® °¥¸ ²¼, ¯°¨¬¥¿¿ ¤¢®¨·³¾ ±¨±²¥¬³ ±·¨±«¥¨¿. ¯°¨¢»·®©, ¤¥±¿²¨·®© ±¨±²¥¬¥ ±·¨±«¥¨¿ «¾¡®¥ ²³° «¼®¥ ·¨±«® ¯°¥¤±² ¢¨¬® ¥¤¨±²¢¥»¬ ®¡° §®¬ ¢ ¢¨¤¥ ak 10k + ak,1 10k,1 + : : : + a1 101 + a0 100 ; £¤¥ ª®½´´¨¶¨¥²» a0 , a1 , : : : , ak ¬®£³² ¯°¨¨¬ ²¼ «¾¡»¥ ¶¥«»¥ § ·¥¨¿ ®² 0 ¤® 9. ¯°¨¬¥°, 3467 = 3000 + 400 + 60 + 7 = 3 103 + 4 102 + 6 101 + 7 100 : «®£¨·®, ¢ ¤¢®¨·®© ±¨±²¥¬¥ «¾¡®¥ ²³° «¼®¥ ·¨±«® ¯°¥¤±² ¢¨¬® (¥¤¨±²¢¥»¬ ±¯®±®¡®¬) ¢ ¢¨¤¥ bm 2m + bm,1 2m,1 + : : : + b1 21 + b0 20 ; £¤¥ ª®½´´¨¶¨¥²» b0 , b1 , : : : , bm ¬®£³² ¯°¨¨¬ ²¼ § ·¥¨¿ 0 ¨«¨ 1. ª, 467 = 256+211 = 256+128+83 = 256+128+64+19 = 256+128+ +64+16+2+1 = 1 28 +1 27 +1 26 +0 25 +1 24 +0 23 +0 22 +1 21 +1 20 , ¨«¨, ±®ª° ¹¥®, 467 = 1110100112 , £¤¥ ¤¢®©ª ®¡®§ · ¥² ®±®¢ ¨¥ ±¨±²¥¬» ±·¨±«¥¨¿. ¾¡®¥ ·¨±«® ®² 1 ¤® 1023 ¬®¦® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¤¢®¨·®© ±¨±²¥¬¥ ±·¨±«¥¨¿ ª ª ¤¥±¿²¨§ ·®¥ ·¨±«® (¢®§¬®¦®, ·¨ ¾¹¥¥±¿ ³«¼). ) ®ª ¦¨²¥, ·²® ¢»¿±¨²¼ ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ¥¢®§¬®¦®.
117
¯°¨¬¥°,
1023 = 1111111111 ; 1000 = 1111101000 ; 513 = 1000000001 ; 32 = 0000100000 «¿ ¢»¿±¥¨¿ «¾¡®© ¶¨´°» (À¡¨² Á) ¤¢®¨·®© § ¯¨±¨ ¤®±² ²®·® § ¤ ²¼ ®¤¨ ¢®¯°®±. ¯°¨¬¥°, ¤«¿ ¢»¿±¥¨¿ ¯¥°¢®© ¶¨´°» ¤®±² ²®·® ±¯°®±¨²¼: À¨±«® ¬¥¼¸¥, ·¥¬ 512?Á ª § 10 ¢®¯°®±®¢ ¬®¦® ³§ ²¼ ¢±¥ ¶¨´°» ¤¢®¨·®© § ¯¨±¨ ·¨±« , ²® ¥±²¼ ± ¬® ·¨±«®. ¥¼¸¥£® ª®«¨·¥±²¢ ¢®¯°®±®¢ ¥¤®±² ²®·®, ¨¡® ¤«¿ ¤¥¢¿²¨ ¢®¯°®±®¢ ª®¬¡¨ ¶¨© ®²¢¥²®¢ (²¨¯ À¤ { ¥²Á) ¨¬¥¥²±¿ 29 = 512 , ·²® ¥ ¯®§¢®«¿¥² ° ±¯®§ ²¼ 1000 ·¨±¥«. 299. ¤¥±¼ ¤¥«¥¨¥ ¥ ¯®¯®« ¬, ²°¨, ¯® ¢®§¬®¦®±²¨, ° ¢»¥ · ±²¨. ¢) ¥°¢®¥ ¢§¢¥¸¨¢ ¨¥: ª« ¤ ¥¬ · ¸¨ ¯® 27 ¬®¥². ±«³· ¥ ° ¢®¢¥±¨¿ ´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®¥² | ±°¥¤¨ ®±² ¢¸¨µ±¿ 26.
±«¨ ¦¥ ®¤ · ¸ «¥£·¥, ²® ´ «¼¸¨¢ ¿ ±°¥¤¨ «¥¦ ¹¨µ ¥©. ²®°®¥ ¢§¢¥¸¨¢ ¨¥: ª« ¤¥¬ ®¡¥ · ¸¨ ¯® 9 ¬®¥² ¨§ ·¨±« À¯®¤®§°¥¢ ¥¬»µÁ, ¨ ² ª ¤ «¥¥. ®¡¹¥¬ ±«³· ¥, ¤«¿ n ¬®¥², ¨±ª®¬®¥ ·¨±«® ¢§¢¥¸¨¢ ¨© k ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¨§ ¥° ¢¥±²¢ 3k,1 < n 6 3k : ¦¥²±¿ ®·¥¢¨¤»¬, ·²® k ¥±²¼ ¬¨¨¬ «¼®¥ ·¨±«® ¢§¢¥¸¨¢ ¨©, ²® ¥±²¼ ·²® ¯°¨ «¾¡®¬ ±¯®±®¡¥ ¢§¢¥¸¨¢ ¨© ±¨²³ ¶¨¿ ¬®¦¥² ±«®¦¨²¼±¿ ² ª, ·²® ¯®±«¥ k , 1 ¢§¢¥¸¨¢ ¨© ´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®¥² ¥ ¡³¤¥² ¢»¤¥«¥ . ®ª § ²¥«¼±²¢® ¬®¦® ¯°®¢¥±²¨ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. °¨ ª ¦¤®¬ ¢§¢¥¸¨¢ ¨¨ ¬®¥²» ° ±¯ ¤ ¾²±¿ ²°¨ £°³¯¯»: ¬®¥²», ¯®¯ ¢¸¨¥ «¥¢³¾ · ¸³, ¬®¥²», ¯®¯ ¢¸¨¥ ¯° ¢³¾ · ¸³, ¨, ª®¥¶, ¬®¥²», ¥ ¯®¯ ¢¸¨¥ ¨ ª ª³¾ · ¸³.
±«¨ · ¸¨ ¢¥±®¢ ¡»«® ¯®«®¦¥® ° §®¥ ·¨±«® ¬®¥², ²® ¢ ±«³· ¥, ª®£¤ ¯¥°¥²¿³« · ¸ª , £¤¥ ¬®¥² ¡®«¼¸¥, ´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®¥² ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ¢ «¾¡®© ¨§ ½²¨µ ²°¥µ £°³¯¯ ¨ ² ª®¥ ¢§¢¥¸¨¢ ¨¥ ¢®®¡¹¥ ¥ ¤ ±² ¬ ¨ª ª¨µ ±¢¥¤¥¨©.
±«¨ ¦¥ · ¸ µ ¡»«® ¯®°®¢³ ¬®¥², ²® «¨¡® ¢¥±» ³° ¢®¢¥±¿²±¿ (½²® § ·¨², ·²® ´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®¥² ¥ ¯®¯ « ¢¥±»), «¨¡® ®¤ ¨§ · ¸ ¯¥°¥²¿¥² (´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®¥² | ¡®«¥¥ «¥£ª®© · ¸¥). ³±²¼ ¯®±«¥ ª ¦¤®£® ¢§¢¥¸¨¢ ¨¿ ´ «¼¸¨¢ ¿ ¬®¥² ª ¦¤»© ° § ®ª §»¢ ¥²±¿ ¢ ²®© £°³¯¯¥, ª®²®° ¿ ±®¤¥°¦¨² ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ¬®¥². ®£¤ ¯°¨ ª ¦¤®¬ ¢§¢¥¸¨¢ ¨¨ ·¨±«® ¬®¥² À¯®¤®§°¥¢ ¥¬»µÁ ¬®¥² ³¡»¢ ¥² ¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ¢ ²°¨ ° § , ² ª ·²® ¯®±«¥ (k , 1) ¢§¢¥¸¨¢ ¨© ®±² ¥²±¿ ¥ ¬¥¥¥ ·¥¬ 3kn,1 > 1 À¯®¤®§°¥¢ ¥¬»µÁ ¬®¥². 300. ¡®§ ·¨¬ ª° ±»¥ £¨°¨ ·¥°¥§ 1 ¨ 2 , ¦ ¥«²»¥ | 1 ¨ 2 , §¥«¥»¥ | 1 ¨ 2 . · « ¯®«®¦¨¬ «¥¢³¾ · ¸³ ¢¥±®¢ £¨°¨ 1 ¨ 1 , ¯° ¢³¾ | 2 ¨ 1 . ±±¬®²°¨¬ ¤¢ ±«³· ¿:
118
®±ª®«¼ª³ ¨§ £¨°¼ 1 ¨ 2 ®¤ «¥£ª ¿, ¤°³£ ¿ ²¿¦¥« ¿, ²® ¥±²¼ ¤¢¥ ¢®§¬®¦®±²¨: «¨¡® £¨°¨ 1 ¨ 1 «¥£ª¨¥, £¨°¨ 1 ¨ 2 ²¿¦¥«»¥; «¨¡® £¨°¨ 1 ¨ 1 ²¿¦¥«»¥, £¨°¨ 1 ¨ 2 «¥£ª¨¥. ²®°»¬ ¢§¢¥¸¨¢ ¨¥¬ ±° ¢¨¢ ¥¬ ª° ±»¥ £¨°¨. ¥±» ¥ ¢ ° ¢®¢¥±¨¨. ³±²¼, ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥®±²¨, ¯¥°¥¢¥±¨« «¥¢ ¿ · ¸ . ®£¤ ®¡¿§ ²¥«¼® 1 ²¿¦¥« ¿, 2 «¥£ª ¿.
±«¨ ¡» £¨°¿ 1 ¡»« «¥£ª ¿, 1 ²¿¦¥« ¿, ²® ¢¥±» ¡»«¨ ¡» ¢ ° ¢®¢¥±¨¨. ·¨², ¥±²¼ ²°¨ ¢®§¬®¦®±²¨: 1 ¨ 1 ®¡¥ «¥£ª¨¥; 1 ²¿¦¥« ¿, 1 «¥£ª ¿; ª®¥¶, ®¡¥ £¨°¨ 1 ¨ 1 | ²¿¦¥«»¥. §«¨·¨²¼ ½²¨ ²°¨ ±«³· ¿ ®·¥¼ ¯°®±²®: ¤®±² ²®·® «¥¢³¾ · ¸³ ¢¥±®¢ ¯®«®¦¨²¼ 1 ¨ 2 , ¯° ¢³¾ | 1 ¨ 1 . 302. )
±«¨ ° ±¯¨«¨²¼ ²°¥²¼¥ §¢¥®, ²® ¶¥¯®·ª ° ±¯ ¤ ¥²±¿ ²°¨ · ±²¨: 1, 2 ¨ 4 §¢¥ . ¨µ ¯®¬®¹¼¾ ³¤ ±²±¿ ° ±¯« ²¨²¼±¿: 1 = 1 , 2 = 2 , 3 = 2 + 1, 4 = 4, 5 = 4 + 1, 6 = 4 + 2, 7 = 1 + 2 + 4. ¡) ¥¸¨¬ § ¤ ·³ ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ( n ¤¥© ¨ n §¢¥¼¥¢). ¬¥²¨¬ ± · « , ·²® ¥±«¨ ³ ¯³²¥¸¥±²¢¥¨ª ¨¬¥¥²±¿ ¶¥¯®·ª ¨§ n = (k +1)2k+1 ,1 §¢¥¼¥¢, ²® ® ¬®¦¥² ° ±¯¨«¨²¼ k §¢¥¼¥¢ ² ª, ·²®¡» ¯®«³·¨«¨±¼ ª³±ª¨, ±®±²®¿¹¨¥ ±®®²¢¥²±²¢¥® ¨§ (k + 1) , 2(k + 1) , 22 (k + 1); : : : ; 2k (k + 1) §¢¥¼¥¢. ±¯®« £ ¿ ½²¨¬¨ ª³±ª ¬¨ ¨ k ° ±¯¨«¥»¬¨ §¢¥¼¿¬¨, ¯³²¥¸¥±²¢¥¨ª ¬®¦¥² ° ±¯« ·¨¢ ²¼±¿ ± µ®§¿¨®¬ ¢ ²¥·¥¨¥ n ¤¥©.
±«¨ ·¨±«® n §¢¥¼¥¢ ¶¥¯®·ª¨ ¥ ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ n = (k + 1)2k+1 , 1 , ²® ¤® ° ±±¬®²°¥²¼ ¨¬¥¼¸¥¥ ¶¥«®¥ ·¨±«® k ² ª®¥, ·²® n < (k + 1)2k+1 , 1 . · ±²®±²¨, ¥±«¨ n = 100 , ²® ¤®±² ²®·® ° ±¯¨«¨²¼ k = 4 §¢¥ . ( ª¨¥?) 303. ³¬¥°³¥¬ ¬¥¸ª¨ ·¨±« ¬¨ ®² 0 ¤® 9. ®§¼¬ ¥¬ ¨§ ª ¦¤®£® ¬¥¸ª ±²®«¼ª® ¬®¥², ª ª®¢ ¥£® ®¬¥°.
±«¨ ¡» ¢±¥ ¬®¥²» ¡»«¨ ±²®¿¹¨¥, ®¨ ¢¥±¨«¨ ¡» 10+20+ : : : +90 = 450 £. §¡»²®ª ¢¥± ±®¢¯ ¤ ¥² ± ®¬¥°®¬ ¬¥¸ª , £¤¥ «¥¦ ² ´ «¼¸¨¢»¥ ¬®¥²». «¿ ©ª¨. ®¦® «¨ ®¡®©²¨±¼ ®¤¨¬ ¢§¢¥¸¨¢ ¨¥¬, ¥±«¨ ª®«¨·¥±²¢® ¬¥¸ª®¢ ± ´ «¼¸¨¢»¬¨ ¬®¥² ¬¨ § ° ¥¥ ¥¨§¢¥±²® ¨ ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ «¾¡»¬, ®² 0 ¤® 10?) 304. ¯®¬®¹¼¾ ²° ¥µ ¢§¢¥¸¨¢ ¨© ° ±¯®«®¦¨¬ ¯® ¢¥±³ ²°¨ ¯ ª¥² (¢§¢¥¸¨¢ ¿ ª ¦¤³¾ ¯ °³), ¯®²®¬ ¯®«®¦¨¬ ®¤³ · ¸ª³ ¢¥±®¢ ®±² ¢¸¨©±¿ (·¥²¢¥°²»©) ¯ ª¥², ¤°³£³¾ ²®² ¨§ ²p¥µ, ª®²®°»© ¨¬¥¥² ±°¥¤¨© ¢¥±. ¿²»¬ ¢§¢¥¸¨¢ ¨¥¬ ±° ¢¨¬ ¢¥± ·¥²¢¥°²®£® ¯ ª¥² «¨¡® ± ± ¬»¬ ²¿¦¥«»¬, «¨¡® ± ± ¬»¬ «¥£ª¨¬ ¨§ ²°¥µ. ¥±» ¢ ° ¢®¢¥±¨¨.
) «¿ ®²¢¥² ½²®² ¢®¯°®± ¯®«¥§® § ²¼ ¤¢®¨·³¾ ±¨±²¥¬³ ±·¨±«¥¨¿ ¨«¨ µ®²¿ ¡» ¨¬¥²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥¨¥ ® ²®¬, ·²® ±¢¥²¥ ¥±²¼ ·¨±« 1, 2, 4, 8, : : : §³¬¥¥²±¿, ·¨±«® ¬®¥² ¢ ¬¥¸ª¥ ¬®¦® ±·¨² ²¼ ² ª¨¬ ¡®«¼¸¨¬, ª ª ²®£® ¯®²°¥¡³¥² °¥¸¥¨¥.
119
305. ³¬¥°³¥¬ ¸¨ ¬®¥²» ·¨±« ¬¨ ®² 1 ¤® 12. · « ¯®«®¦¨¬ «¥¢³¾ · ¸³ ¢¥±®¢ ¬®¥²» 1, 2, 3, 4, ¯° ¢³¾ | 5, 6, 7 ¨ 8. ±±¬®²°¨¬ ¤¢ ±«³· ¿: ¥±» ¢ ° ¢®¢¥±¨¨. ·¨², ´ «¼¸¨¢ ¿ ±°¥¤¨ ®±² ¢¸¨µ±¿ (c 9 ¯® 12) ¬®¥². ²®² ±«³· © ¤®¢®«¼® ¯°®±². ° ¢¨¢ ¥¬ ¬®¥²» 9 ¨ 10 ± 1 ¨ 2. {
{
²® ´ «¼¸¨¢ ¿ 11 ¨«¨ 12. ®¤® ¢§¢¥¸¨¢ ¨¥ ® µ®¤¨²±¿.
±«¨ ° ¢®¢¥±¨¿ ¥², ²® ¥¹ ¥ ¯°®¹¥. «¼¸¨¢ ¿ | 9 ¨«¨ 10, ¯°¨·¥¬ ¨§¢¥±²® ¤ ¦¥, «¥£·¥ ® ¨«¨ ²¿¦¥«¥¥ ±²®¿¹¥©.
±«¨ ° ¢®¢¥±¨¥,
«¼¸¨¢ ¿ ±°¥¤¨ ¢§¢¥¸¨¢ ¥¬»µ. ®«®¦¨¬ «¥¢³¾ · ¸³ ¬®¥²» 9, 10, 11 ¨ 4, ¯° ¢³¾ | 1, 2, 3 ¨ 8. §¡¥°¥¬ ¢±¥ ²°¨ ±«³· ¿:
¥¢ ¿ · ¸ «¥£·¥.
{
{
{
®£¤ ´ «¼¸¨¢ ¿ ®¤ ¨§ ¤¢³µ ¬®¥²: 4 ¨«¨ 8 (¨µ ¯®«®¦¥¨¥ ¥ ¬¥¿«®±¼). «¿ ¥¥ ®¡ °³¦¥¨¿ ¤®±² ²®·® ®¤®£® ¢§¢¥¸¨¢ ¨¿. ¥±» ³° ¢®¢¥±¨«¨±¼. «¼¸¨¢ ¿ ®¤ ¨§ ¬®¥² 5, 6, 7, ¯°¨·¥¬ ® ²¿¦¥«¥¥ ±²®¿¹¥©. ±² «¼®¥ ¯®¿²®. ¥£·¥ ±² « ¯° ¢ ¿ · ¸ . «¼¸¨¢ ¿ ®¤ ¨§ ¬®¥² 1, 2, 3, ¨ ® «¥£·¥.
¥¢ ¿ · ¸ ¯®-¯°¥¦¥¬³ «¥£·¥.
°¥²¨© ±«³· © (ª®£¤ ¯°¨ ¯¥°¢®¬ ¢§¢¥¸¨¢ ¨¨ ¯¥°¥¢¥±¨« «¥¢ ¿ · -
¸ ) ¯® ±³²¨ ¨·¥¬ ¥ ®²«¨· ¥²±¿ ®² ¢²®°®£®. 306. ª±¯¥°² ¬®¦¥² 1) ¯®«®¦¨²¼ «¥¢³¾ · ¸ª³ 1-¾ ¬®¥²³, ¯° ¢³¾ | 8-¾. ° ¢ ¿ · ¸ª ¯¥°¥¢¥±¨², ±³¤ ³¢¨¤¨², ·²® 1-¿ ¬®¥² ´ «¼¸¨¢ ¿, 8-¿ | ±²®¿¹ ¿. 2) ¯®«®¦¨²¼ ¯° ¢³¾ · ¸ª³ 2-¾, 3-¾ ¨ 8-¾ ¬®¥²», «¥¢³¾ | 9-¾, 10-¾ ¨ 1-¾. ¥¢ ¿ · ¸ª ¯¥°¥¢¥±¨². ³¤ ³¡¥¤¨²±¿, ·²® 2-¿ ¨ 3-¿ ¬®¥²» ´ «¼¸¨¢»¥, 9-¿ ¨ 10-¿ | ±²®¿¹¨¥. 3) ¯®«®¦¨²¼ «¥¢³¾ · ¸ª³ 4-¾, 5-¾, 6-¾, 7-¾, 8-¾, 9-¾ ¨ 10-¾ ¬®¥²», ¯° ¢³¾ | ®±² «¼»¥. ° ¢ ¿ · ¸ª ¯¥°¥¢¥±¨². ·¨², «¥¢®© · ¸ª¥ ´ «¼¸¨¢»µ ¬®¥² ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¯° ¢®©, ². ¥. 4-¿, 5-¿, 6-¿ ¨ 7-¿ ¬®¥²» ´ «¼¸¨¢»¥, 11-¿, 12-¿, 13-¿ ¨ 14-¿ | ±²®¿¹¨¥. 5 ®·® ² ª ¦¥ ¯°®¢¥°ª 2k , 1 ´ «¼¸¨¢»µ ¨ 2k , 1 ±²®¿¹¨µ ¬®¥² ¬®¦¥² ¡»²¼ ®±³¹¥±²¢«¥ § k ¢§¢¥¸¨¢ ¨© ¯°¨ «¾¡®¬ k > 1 .
120
®±² ²®·® ¯°®¢¥°¨²¼ ¤¢ ±®®²®¸¥¨¿ x1 + x2 + x3 = x6 ; x1 + x6 < x3 + x5 ; ª ¦¤®¥ ¨§ ª®²®°»µ ¥®¡µ®¤¨¬® ¤«¿ ¯° ¢¨«¼®±²¨ ¤¯¨±¥©, £¤¥ ·¥°¥§ xk ®¡®§ ·¥ ¬ ±± £¨°¼ª¨ ± ¤¯¨±¼¾ À k £° ¬¬®¢Á. 308. ) §®¡¼ ¥¬ ®²°¥§®ª 12 ° ¢»µ · ±²¥©. ¢¥°µ³ °¨±³¥¬ ¤³£¨, ° §¡¨¢ ¾¹¨¥ ¥£® 3 ° ¢»¥ ¤®«¨, ±¨§³ | 4. °¥§³«¼² ²¥ ®²°¥§®ª ° §¤¥«¨«±¿ ª³±®·ª¨ ¤«¨» 3, 1, 2, 2, 1 ¨ 3. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¯¨°®£ ¤®±² ²®·® ° §°¥§ ²¼ ¸¥±²¼ · ±²¥©: 14 , 121 , 1 1 , 6 , 121 ¨ 14 . 6
±«¨ ¦¥ ¯¨°®£ ° §¤¥«¥ 5 · ±²¥©, ²® ¯°¨ ° §¤¥«¥ À ²°®¨µÁ ª®¬³²® ¤®±² ¥²±¿ «¨¸¼ ®¤ · ±²¼. ¡³¤¥² ±®±² ¢«¿²¼ 13 ¯¨°®£ , ·²® ¥ ¯®§¢®«¨² ° §¤¥«¨²¼ ¥£® ·¥²¢¥°»µ. ¡) ³±²¼ ¯«®¹ ¤¼ ª¢ °²¨°» ° ¢ 12. ±®, ·²® ¸¥±²¼ ª®¬ ², ¯«®¹ ¤¨ ª®²®°»µ ° ¢» 3, 3, 2, 2, 1 ¨ 1, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ³±«®¢¨¿¬ § ¤ ·¨. ¿²¨ ª®¬ ² ¥¤®±² ²®·®. ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¯°¨ ° ±±¥«¥¨¨ ²°¥µ ±¥¬¥© ¢ ¯¿²¨ ª®¬ ² µ µ®²¿ ¡» ®¤ ±¥¬¼¿ ¯®«³·¨² ²®«¼ª® ®¤³ ª®¬ ²³, ¨ ¯«®¹ ¤¼ ¥¥ ¤®«¦ ¡»²¼ 4. °¨ ° §¬¥¹¥¨¨ ·¥²»°¥µ ±¥¬¥© ² , ª®²®°®© ¤®±² ¥²±¿ ½² ª®¬ ² , ¯®«³·¨² ±«¨¸ª®¬ ¡®«¼¸³¾ ¯«®¹ ¤¼. 309. · «¥ ¯°¨±³²±²¢³¾¹¨µ ¡»«® ¢ 6 ° § ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ®²±³²±²¢³¾¹¨µ, ². ¥. ®²±³²±²¢³¾¹¨¥ ±®±² ¢«¿«¨ 1=7 · ±²¼ ·¨±« ¢±¥µ ³· ¹¨µ±¿. ®±«¥ ¢»µ®¤ ®¤®£® ³·¥¨ª ¨§ ª« ±± ®²±³²±²¢³¾¹¨¥ ±®±² ¢¨«¨ 1=6 · ±²¼ ®² ®¡¹¥£® ·¨±« ³· ¹¨µ±¿. 315. 10 · ±®¢. 320. 3 · ± 45 ¬¨³². 324. 2,5 ° § .
±«¨ ¡» ¢±¥ ¢°¥¬¿ ª®¯ «¨ ¢±¥ ²°®¥, ²® ®¨ ¢»ª®¯ «¨ ¡» 1+3 0; 5 = 2; 5 ª ¢». 340. ±¯®¬¨²¥ ¯°¨§ ª ¤¥«¨¬®±²¨ 9 ¨ § ¬¥²¼²¥, ·²® 100! ¤¥«¨²±¿ 9. 363. ®¯³±²¨¬, ·¨±«® 1 ¥ ¯®ª° ¸¥®.
±«¨ ¨¬¥¼¸¥¥ ¨§ ¯®ª° ¸¥»µ ·¨±¥« ¤¢³§ ·®¥, ²® ¯¥°¢»© ¨§ ¥¯®ª° ¸¥»µ ¯°®¬¥¦³²ª®¢ ±®±²®¨² ¨§ ¥·¥²®£® ·¨±« ¶¨´°, ¯®±«¥¤¨© | ¨§ ·¥²®£® ·¨±« ¶¨´°.
±«¨ ¦¥ ¨¬¥¼¸¥¥ ¨§ ¯®ª° ¸¥»µ ·¨±¥« ®¤®§ ·®¥, ²® ¯¥°¢»© ¨§ ¥¯®ª° ¸¥»µ ¯°®¬¥¦³²ª®¢ ±®±²®¨² ¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ¨§ 8 ¶¨´°. ® ½²® ±«¨¸ª®¬ ¬ «®: ¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ 7 ¯®ª° ¸¥»µ ¶¨´° ¢¬¥±²¥ ± ¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ 8 4 = 32 ¥¯®ª° ¸¥»¬¨ ¤ ¾² ¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ 39 ¶¨´°, ¤ ¦¥ ± ¬»© ª®°®²ª¨© ¬¥±¿¶ (´¥¢° «¼) ¤ ¥² 47 ¶¨´°. ®¡®¨µ ±«³· ¿µ ¯®«³·¨«¨ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥. ·¨², ·¨±«® 1 ¤®«¦® ¡»²¼ ¯®ª° ¸¥®. 369. 15317.
±«¨ ®²¡°®±¨²¼ ¤¢¥ ¯®±«¥¤¨¥ ¶¨´°», ²® ®±² ¢¸¨¥±¿ ¶¨´°» ¢ ±³¬¬¥ ¤ ¾² 9, ·¨±«®, ¨§ ¨µ ±®±² ¢«¥®¥, ¤¥«¨²±¿ 17. »¯¨¸¥¬ ¥±ª®«¼ª® ª° ²»µ 17, ¯®ª ¥ ¯®«³·¨¬ ³¦³¾ ±³¬¬³ ¶¨´°: 17, 34, 51, 68, 85, 102, 119, 136, 153. 371. ) ¯°¨¬¥°, 2 899 999 ¨ 2 900 000. 307.
121
372. ¥². ¯°¨¬¥°, ±°¥¤¨ ®¬¥°®¢ ®² 000 001 ¤® 001 000 (¨«¨ ®² 998 999 ¤® 999 998) ¥² ±· ±²«¨¢»µ. 375. ¦¤ ¿ ®¯¥° ¶¨¿ ³¢¥«¨·¨¢ ¥² 1 ¶¥²° «¼®¥ ·¨±«®. ®¢® 1 ¢®§° ±² ¥² ¨ ±³¬¬ ·¨±¥« ³£«®¢»µ ª«¥²®ª.) ® 18 6= 4 + 5 + 7 + 6 . 378. ®¦®. 381. ¥ ¢±¥£¤ .
±«¨ ¢»¯¨«¨²¼ 1, 5, 6 ¨ 8 §³¡¼¿, ²® ¯°¨ «¾¡®¬ ¯®¢®°®²¥ ª ª¨¥-¨¡³¤¼ ¤¢¥ ¤»°ª¨ ±®¢¬¥±²¿²±¿. 384. 1, 3, 9 ¨ 27. 388. · « ¢¥§¤¥ ¯®±² ¢¼²¥ § ª + . ®«³·¨²¥ ±³¬¬³ 1 + 2 + 3 + + : : : + 19 + 20 = 210 . ²¥¬ ±®®¡° §¨²¥, ·²® ¯®±² ¢¨²¼ § ª À , Á ¯¥°¥¤ ª ª¨¬-«¨¡® ·¨±«®¬ a | ²® ¦¥ ± ¬®¥, ·²® ¢»·¥±²¼ ³¤¢®¥®¥ ·¨±«® a . «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¤®±² ²®·® °¥¸¨²¼ ³° ¢¥¨¥ 210 , 2x = 20 ¨ § ²¥¬ ¨§ ¨¬¥¾¹¨µ±¿ ·¨±¥« 2, 3, : : : , 19, 20 ±®±² ¢¨²¼ ·¨±«® x . 393. ²¢¥² ¤«¿ n ¤®¬®¢: ¬®¦® ¯®±²°®¨²¼ 2n , 1 § ¡®°®¢. ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¥±«¨ ¤®¬ ®¤¨, ²® ¬®¦® ¯®±²°®¨²¼ ²®«¼ª® ®¤¨ § ¡®°, ·²® ±®®²¢¥²±²¢³¥² ´®°¬³«¥ 2 1 , 1 = 1 . «¼¸¥ ¯°¨¬¥¨¬ ¨¤³ª¶¨¾.
±«¨ ¤«¿ k = 1 , 2, : : : , n , 1 ¤®¬®¢ ´®°¬³« 2k , 1 ³¦¥ ¯°®¢¥°¥ , ²® ° ±±¬®²°¨¬ n ¤®¬®¢, ¢®ª°³£ ª®²®°»µ ¯®±²°®¥® ¬ ª±¨¬ «¼® ¢®§¬®¦®¥ ª®«¨·¥±²¢® § ¡®°®¢. ª®©-²® ®¤¨ § ¡®° ®£®° ¦¨¢ ¥² ¢±¥ ¤®¬ .
±«¨ ½²®² ¢¥¸¨© § ¡®° ±¥±²¨, ²® ± ¬»¬¨ ¢¥¸¨¬¨ ±² ³² ¥ª®²®°»¥ ¤¢ § ¡®° . ³±²¼ ¢³²°¨ ®¤®£® ¨§ ¨µ ¡³¤¥² k ¤®¬®¢, ¢³²°¨ ¤°³£®£® | ®±² «¼»¥ n , , k ¤®¬®¢. ±¨«³ ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¿ ¨¤³ª¶¨¨ ¢®ª°³£ k ¤®¬®¢ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯®±²°®¥® ¥ ¡®«¼¸¥ 2k , 1 § ¡®°®¢, ¢®ª°³£ ®±² «¼»µ n , k ¤®¬®¢ | ¥ ¡®«¼¸¥, 2(n , k) , 1 § ¡®°®¢. ·¨², ¢±¥£® § ¡®°®¢ ¥ ¡®«¥¥ (2k , 1) + + (2(n , k) , 1) + 1 = 2n , 1 , ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 396. ¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ f (n) ¨¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® · ±²¥©, ª®²®°»¥ n ¯°¿¬»µ ¬®£³² ° §¡¨²¼ ¯«®±ª®±²¼. ®°¨±®¢ ¢, ¬®¦® § ¯®«¨²¼ ² ¡«¨¶³
n 1 2 3 4 5 6 7 8 f (n) 2 4 7 11 16 22 29 37 ¨ ®¡ °³¦¨²¼ § ª®®¬¥°®±²¼ f (n +1) = f (n)+ n . ¬ ®±² «®±¼ ¤®ª § ²¼ ½²³ § ª®®¬¥°®±²¼ ¨ ¢»¢¥±²¨ ¨§ ¥¥ ¿¢³¾ ´®°¬³«³ f (n) = n(n2+ 1) + 1: 403. §®¢ ¥¬ ®¤³ ¨§ ²®·¥ª ª®°¥¬. ®¯®±² ¢¨¬ ª ¦¤®© ¨§ ®±² «¼»µ ¢¥°¸¨ ¯®±«¥¤¨© ®²°¥§®ª (¥¤¨±²¢¥®£® ¯® ³±«®¢¨¾) ¯³²¨, ¢¥¤³¹¥£® ¢ ½²³ ²®·ª³ ¨§ ª®°¿. ²® ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ N , 1 ¢¥°¸¨ ¬¨ ) »¬¨ ±«®¢ ¬¨, ±²®¿¹¥¥ ¢ ³£«®¢®© ª«¥²ª¥ ·¨±«® ¯®ª §»¢ ¥², ±ª®«¼ª® ° § ¡»« ¯°®¨§¢¥¤¥ ®¯¥° ¶¨¿ ± ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ª¢ ¤° ²®¬ 2 2 .
122
¨ ®²°¥§ª ¬¨ ¢§ ¨¬®-®¤®§ ·®¥. ²®¡» ±¤¥« ²¼ ½²® ®·¥¢¨¤»¬, ³¤®¡® ° ±±² ¢¨²¼ ®²°¥§ª µ ±²°¥«ª¨, ¢¥¤³¹¨¥ ®² ª®°¿: ¢ ª ¦¤³¾ ²®·ª³, ª°®¬¥ ¢¥°¸¨», ¢¥¤¥² ®¤ ±²°¥«ª . ¤ ·³ ¬®¦® °¥¸¨²¼ ² ª¦¥ ¯® ¨¤³ª¶¨¨: ³¤ «¿¿ «¾¡®© «¨±²y) ¤¥°¥¢ z) , ¬» ®¤®¢°¥¬¥® ³¤ «¿¥¬ ®¤® °¥¡°®. (²°®£® £®¢®°¿, ¤® ¥¹¥ ¤®ª § ²¼, ·²® ¤¥°¥¢¼¥¢ ¡¥§ «¨±²¼¥¢ ¥ ¡»¢ ¥². «¿ ½²®£® ° ±±¬®²°¨¬ £° ´, ¢ ª®²®°®¬ ¨§ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨» ¨±µ®¤¨² ¥ ¬¥¥¥ 2 °¥¡¥°. § ¥£® ¢¥°¸¨» A1 ¯°®©¤¥¬ ¯® °¥¡°³ ¢ A2 . § A2 ¢»µ®¤¨² ¡®«¥¥ ®¤®£® °¥¡° , ¯®½²®¬³ ¬®¦® ¯°®©²¨ ¢ ¢¥°¸¨³ A3 6= A1 , ¨§ ¥¥ | ¢ A4 , : : : ®±ª®«¼ª³ ·¨±«® ¢¥°¸¨ £° ´ ª®¥·®, ° ® ¨«¨ ¯®§¤® ®¡° §³¥²±¿ ¶¨ª«.) 405. 63 ±¯¨·ª¨. 409. «¼¶» ¡³¤³² ¯®¢²®°¿²¼±¿ ± ¯¥°¨®¤®¬ 8, ¯®½²®¬³ ¤®±² ²®·® ° ±±¬®²°¥²¼ ®±² ²®ª ®² ¤¥«¥¨¿ 2001 8. ¥°¢»¬ ¨¤¥² ³ª § ²¥«¼»© ¯ «¥¶. 2 m 423. ±±¬®²°¨²¥ ·¨±« 1, a , a , : : : , a . ®±ª®«¼ª³ ®±² ²ª®¢ ®² ¤¥«¥¨¿ m ¢±¥£® «¨¸¼ m , ²® ª ª¨¥-²® ¤¢ ¨§ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»µ ·¨±¥« ¤ ¾² ®¤¨ ª®¢»¥ ®±² ²ª¨ ¯°¨ ¤¥«¥¨¨ m . §®±²¼ ½²¨µ ·¨±¥« ¤¥«¨²±¿ m . 426. °®¨§¢¥¤ ¥¬ ± · « ° §¡¨¥¨¥ ¯°®¨§¢®«¼»¬ ®¡° §®¬.
±«¨ ¢ ª ª®©-¨¡³¤¼ ¯ « ²¥ ³ ¯ °« ¬¥² °¨¿ A ¥ ¬¥¼¸¥ ¤¢³µ ¢° £®¢, ²® ·¨±«® ¥£® ¢° £®¢ ¢ ¤°³£®© ¯ « ²¥ ¥ ¡®«¼¸¥ 1. ®½²®¬³ ¯®±«¥ ¯¥°¥¬¥¹¥¨¿ A ¢ ¤°³£³¾ ¯ « ²³ ±³¬¬ °®¥ ·¨±«® ¯ ° ¢° £®¢ ¢³²°¨ ¯ « ² ³¬¥¼¸¨²±¿. ª¨¥ ¯¥°¥¬¥¹¥¨¿ ¯°®¤®«¦¨¬ ¤® ²¥µ ¯®°, ¯®ª ²°¥¡³¥¬®¥ ³±«®¢¨¥ ¥ ¢»¯®«¨²±¿. 427. °¨ ¯¥°¥ª° ¸¨¢ ¨¨ «¾¡®© ®±®¡®© ²®·ª¨ ·¨±«® ®²°¥§ª®¢ ± ° §®¶¢¥²»¬¨ ª®¶ ¬¨ ³¬¥¼¸ ¥²±¿ ¯® ª° ©¥© ¬¥°¥ 1. 429. °¨ ¢»¯®«¥¨¨ ®¯¥° ¶¨© ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢±¥µ ¯¨± »µ ¤®±ª¥ ·¨±¥« ®±² ¥²±¿ ¥¨§¬¥»¬, ±³¬¬ ¬®¦¥² ²®«¼ª® ³¢¥«¨·¨¢ ²¼±¿. 430. ®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ ± ¬ ¿ ª®°®²ª ¿ ¨§ ½²¨µ µ®°¤ | ¥ ¤¨ ¬¥²°, ²® ® ¥ ¬®¦¥² ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ±¥°¥¤¨³ ¨ª ª®© ¤°³£®© ¨§ ½²¨µ µ®°¤. 433. 2 5 = 10 . 434. ¥«³¾ « ¤¼¾ ¬®¦® ¯®±² ¢¨²¼ «¾¡³¾ ¨§ 64 ª«¥²®ª. ¥§ ¢¨±¨¬® ®² ±¢®¥£® ° ±¯®«®¦¥¨¿ ® ¡¼¥² 15 ¯®«¥© (¢ª«¾· ¿ ¯®«¥, ª®²®°®¬ ® ±²®¨²). ®½²®¬³ ®±² ¥²±¿ 49 ¯®«¥©, ª®²®°»¥ ¬®¦® ¯®±² ¢¨²¼ ·¥°³¾ « ¤¼¾. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¥£® ¥±²¼ 64 49 = 3136 ° §»µ ±¯®±®¡®¢. 435. ¥«®£® ª®°®«¿ ¬®¦® ¯®±² ¢¨²¼ «¾¡®¥ ¨§ 64 ¯®«¥©. ¤ ª® ª®«¨·¥±²¢® ¯®«¥©, ª®²®°»¥ ® ¯°¨ ½²®¬ ¡³¤¥² ¡¨²¼, § ¢¨±¨² ®² ¥£® ° ±¯®«®¦¥¨¿. ®½²®¬³ ° §¡¥°¥¬ ²°¨ ±«³· ¿: y)¨±² | ½²® ¢¥°¸¨ , ¨§ ª®²®°®© ¨±µ®¤¨² ¥¤¨±²¢¥®¥ °¥¡°®. z)¥°¥¢® | ½²® ±¢¿§»© £° ´ ¡¥§ ¶¨ª«®¢, ²® ¥±²¼ £° ´, ¢ ª®²®°®¬ ®² «¾-
¡®© ¢¥°¸¨» ¬®¦® ¤®©²¨, ¤¢¨£ ¿±¼ ¯® °¥¡° ¬, ¤® «¾¡®© ¤°³£®© ¢¥°¸¨», ¯°¨·¥¬ ¥¤¨±²¢¥»¬ ±¯®±®¡®¬, ¥±«¨ ¨ ° §³ ¥ ¢®§¢° ¹ ²¼±¿ § ¤.
123
¥±«¨ ¡¥«»© ª®°®«¼ ±²®¨² ¢ ³£«³ (³£«®¢ ¢±¥£® 4), ²® ® ¡¼¥² 4 ¯®«¿
(¢ª«¾· ¿ ²®, ª®²®°®¬ ±²®¨²) ¨ ®±² ¥²±¿ 60 ¯®«¥©, ª®²®°»¥ ¬®¦® ¯®±² ¢¨²¼ ·¥°®£® ª®°®«¿; ¥±«¨ ¡¥«»© ª®°®«¼ ±²®¨² ª° ¾ ¤®±ª¨, ® ¥ ¢ ³£«³ (² ª¨µ ¯®«¥© | 24), ²® ® ¡¼¥² 6 ¯®«¥©, ¨ ¤«¿ ·¥°®£® ª®°®«¿ ®±² ¥²±¿ 58 ¢®§¬®¦»µ ¯®«¥©; ¥±«¨ ¦¥ ¡¥«»© ª®°®«¼ ±²®¨² ¥ ª° ¾ ¤®±ª¨ (² ª¨µ ¯®«¥© | 36), ²® ® ¡¼¥² 9 ¯®«¥©, ¨ ¤«¿ ·¥°®£® ª®°®«¿ ®±² ¥²±¿ 55 ¢®§¬®¦»µ ¯®«¥©. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¥£® ¥±²¼ 4 60 + 24 58 + 36 55 = 3612 ±¯®±®¡®¢. 441. ¥°¥©¤ ¥¬ ª ¤®¯®«¨²¥«¼»¬ ±®¡»²¨¿¬: ±¢¥² ¡»« ¢ª«¾·¥ 20% ¢°¥¬¥¨, ¬³§»ª ¬®«· « 10%, ¤®¦¤¼ ¥ ¸¥« 50% ¢°¥¬¥¨, ² ª ·²® ¤®¯®«¨²¥«¼»¥ ±®¡»²¨¿ ¥ ¬®£«¨ § ¿²¼ ¡®«¥¥ 20 + 10 + 50 = 80 % ¢°¥¬¥¨. «¥¤®¢ ²¥«¼®, ¬³§»ª ¯®¤ ¤®¦¤¥¬ ¢ ²¥¬®²¥ §¢³· « ¥ ¬¥¼¸¥ 100 , , 80 = 20 % ¢°¥¬¥¨. 443. ®¡ ¢¼²¥ ª ²¥¬ ¨ ¤°³£¨¬ ·¨±« , ª° ²»¥ ¨ 8, ¨ 9. ±² ¥², ±¿ ±° ¢¨²¼ ª®«¨·¥±²¢® ·¨±¥«, ª° ²»µ 8 1993 = 249 , ± ª®«¨·¥±²¢®¬ 8 , 1993 ·¨±¥«, ª° ²»µ 9 9 = 221 . 445. ®«¨·¥±²¢® ¸¥±²¨§ ·»µ ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ ¢±²°¥· ¾²±¿ ²®«¼ª® ¥·¥²»¥ ¶¨´°», ° ¢® 56 = 15 625 . ±¥£® ¸¥±²¨§ ·»µ ·¨±¥« 900 000. ®½²®¬³ ª®«¨·¥±²¢® ¸¥±²¨§ ·»µ ·¨±¥«, ¢ § ¯¨±¨ ª®²®°»µ ¥±²¼ µ®²¿ ¡» ®¤ ·¥² ¿ ¶¨´° , ° ¢® 900 000 , 15 625 = 884 375 . 449. 10. »¯¨¸¥¬ ¢±¥ ¶¨´°» ¢ ¯®°¿¤ª¥ ³¡»¢ ¨¿: 9876543210. ²®¡» ¯®«³·¨²¼ ¤¥¢¿²¨§ ·®¥ ·¨±«®, ³¦® ³¡° ²¼ ®¤³ ¶¨´°³. ²® ¬®¦® ±¤¥« ²¼ 10 ±¯®±®¡ ¬¨. 453. 50%. 454. ®±² ²®·® ¨§¢«¥·¼ ¸ ° ¨§ ³°» .
±«¨ ® ¡¥«»©, ²® ¢ ¥© ¡¥«»¥ ¸ °», ·¥°»¥ ¸ °» | ¢ ³°¥ .
±«¨ ® ·¥°»©, ²® ¢ ³°¥ ·¥°»¥, ¢ ³°¥ ¡¥«»¥ ¸ °». 456. ®£³². ¯°¨¬¥°, 9-¿ ¬¥²ª ®¤®£® ¨ 13-¿ ¤°³£®£® µ®¤¿²±¿ ¤°³£ ®² ¤°³£ ° ±±²®¿¨¨ 1 ±¬, ¨¡® 13 25 , 9 36 = 1 . 457. ®«¬¨³²» ¯®¥§¤ ¤¢¨¦¥²±¿ ¬¨¬® ±²®«¡ , § ·¨², ¯®«¬¨³²» ¯®¥§¤ À±º¥§¦ ¥²Á ± ¬®±² , ². ¥. ± ¬®¬¥² , ª®£¤ ¯®¥§¤ · « ¢º¥§¦ ²¼ ¬®±² ¤® ¬®¬¥² , ª®£¤ ® · « ±º¥§¦ ²¼ ± ¥£®, ¯°®¸«® ¯®«¬¨³²». ² ª, § 1=2 ¬¨³²» ¯®¥§¤ ¯°®¸¥« 450 ¬, ®²ª³¤ ±ª®°®±²¼ ° ¢ 450 : (1=2) = 900 ¬/¬¨ = 54 ª¬/· . ¬®¦ ¿ ±ª®°®±²¼ 1/2 ¬¨³²», µ®¤¨¬ ¤«¨³ ¯®¥§¤ . ²¢¥²: 54 ª¬/·; 500 ¬. 460. «¨¬¯¨ ¤ °¯®¢ ¢»¯¨« 11 · ¸¥ª, ®±¨¯ ²° ¨²®¢ | 9, ®«¨ª±¥ ¢ °®¢ | 7. 482. 203 = 7 29 1 : : : 1 (¢±¥£® 203 , 7 , 29 = 167 ¥¤¨¨¶).
124
®±¬®²°¨²¥ °¨±³®ª. 1 20 13 ±±¬®²°¨²¥ ®²°¥§ª¨ ¤«¨ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 ¨ 512 (¨«¨ 1, 2 21 12 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ¨ 55). 3 22 11 493. ±±¬®²°¨²¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼14 15 16 4 17 18 19 27 ®±²¼ 10 23 5 a; b; c; a; b; c; a; b; c; a; b; c; a; b; c; a; b; c; a; b 9 24 6 ¨ § ¯¨¸¨²¥ ¥° ¢¥±²¢ a + b + c > 0 , 8 25 7 7a + 7b + 6c < 0 . °¨¬¥°: a + b = ,7 , c = 8. 26 28 495. 49, ¨¡® ª ¦¤»© ¡®© ³¬¥¼¸ ¥² ª®«¨·¥±²¢® ³· ±²¨ª®¢ 1. 0 495 . · «¥ ¡»« ®¤¨ ª³±®ª, ¢ ª®¶¥ ±² «® 5 8 = 40 . ¦¤»© ° §«®¬ ³¢¥«¨·¨¢ ¥² ª®«¨·¥±²¢® ª³±ª®¢ 1. ²¢¥²: 40 , 1 = 39 . 496.
±«¨ ° §¡®©¨ª¨ ¤¥«¨«¨ x °³¡«¥©, ²® ¯¥°¢®¬³ ¤®±² «®±¼ 100 + + x,10100 , ¢²®°®¬³ 487. 492.
x , 200 , (100 + x,10100 ) : 10 °¨° ¢¿¢ ½²¨ ¤®«¨, ©¤¥¬ x = 8100 , ®²ª³¤ 100 + (x , 100)=10 = 900 . ° ³ £ ® © ± ¯ ® ± ® ¡ ¬¥¥¥ ±² ¤ °²¥, ® ¡»±²°¥¥ ¯°¨¢®¤¨² ª ¶¥«¨ ¨ ®·¥¼ ª° ±¨¢. (¥ §°¿ ½²³ § ¤ ·³ ¯°¨¯¨±»¢ ¾² ¥® °¤³ ©«¥°³!) ·¥¬ ± ª®¶ : n -© ° §¡®©¨ª ¯®«³·¨« 100n °³¡«¥©. °¥¤¯®±«¥¤¨© ¯®«³·¨« 100(n , 1) ¨ ¤¥±¿²³¾ · ±²¼ ®±² ²ª , ² ª ·²® À®±² ²®ªÁ | 1000 °³¡«¥©. ·¨², ¯®±«¥¤¨© ¯®«³·¨« 900 °³¡«¥©, n = 9 . 2 498. §¡¨¢ ª¢ ¤° ² n ª¢ ¤° ²¨ª®¢, ¢¨¤¨¬, ·²® ¢ ¥£® ¬®¦® 2 ¢¯¨± ²¼ n ¥ «¥£ ¾¹¨µ ¤°³£ ¤°³£ ª°³£®¢ ° ¤¨³± 21n . ¥° ¢¥±²¢® n2 21n = n2 > 1101 ¢»¯®«¥®, ¯°¨¬¥°, ¯°¨ n > 2202 . 500. ® ®§¥°³ ¡»±²°¥¥. ³±²¼ ±ª®°®±²¼ ¯ °®µ®¤ ° ¢ v , ±ª®°®±²¼ ²¥·¥¨¿ u .
±«¨ v 6 u , ¯ °®µ®¤ ¢®®¡¹¥ ¥ ¢»¯«»¢¥² ¯°®²¨¢ ²¥·¥¨¿; ¥±«¨ ¦¥ v > u > 0 , ²® ¢±¥ ¤¥«® ¢ ¥° ¢¥±²¢¥ s s 2s u+v + v,u > v : 501. 35 ±³²®ª. ¡®§ ·¨¬ ¡³ª¢®© s ° ±±²®¿¨¥ ¬¥¦¤³ ¨¦¨¬ ®¢£®°®¤®¬ ¨ ±²° µ ¼¾, ¡³ª¢ ¬¨ v ¨ u | ±ª®°®±²¼ ²¥·¥¨¿ °¥ª¨ ¨ ±®¡±²¢¥³¾ ±ª®°®±²¼ ¯ °®µ®¤ (²® ¥±²¼ ±ª®°®±²¼, ± ª ª®© ¤¢¨£ «±¿ ¡» ® ¢ ®§¥°¥). ®£¤ s = 5(v + u); s = 7(v , u): 200 +
125
¬®¦¨¢ ¯¥°¢®¥ ³° ¢¥¨¥ 7, ¢²®°®¥ 5 ¨ ¢»·²¿ ¨§ ¯¥°¢®£® ¢²®°®¥, ¯®«³·¨¬ 7s , 5s = 35(v + u) , 35(v , u); ®²ª³¤ 2s = 70u , ²® ¥±²¼ s = 35u . 502.
±«¨ 7 ¹³ª ±»²¿²±¿ (±º¥¢ ª ¦¤ ¿ ¯® 3 £®«®¤»¥ ¹³ª¨), ²® ®±² ³²±¿ ¥¹¥ 2 £®«®¤»¥, ª®²®°»¥ ±¬®£³² ±»²¨²¼±¿ (±º¥¢ ª ¦¤ ¿ ¯® 3 ¹³ª¨, ª®²®°»¥ ²®«¼ª® ·²® ±»²¨«¨±¼). ª¨¬ ®¡° §®¬ 7 + 2 = 9 ¹³ª ¬®£³² ±»²¨²¼±¿.
±«¨ ¦¥ ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²® ±»²¨«¨±¼ 10 ¹³ª, ²® ¢±¥£® ®ª ¦¥²±¿ ±º¥¤¥® ¥ ¬¥¥¥ 30 ¹³ª, ·²® ¥¢®§¬®¦®. 506.
±«¨ ¡» ª ¬¨ ³¢¥§«¨, ²® ª ª³¾-²® ²° ¥µ²®ª³ ¯®«®¦¨«¨ ¡» 8 ª ¬¥©. ® ¤ ¦¥ 8 ± ¬»µ «¥£ª¨µ ª ¬¥© ¢¥±¿² ¡®«¼¸¥ 3 ²®. 506. 5 ²° ¥µ²®®ª. ®ª ¦¥¬ ± · « , ·²® 4 ²°¥µ²®®ª ¬®¦¥² ¥ µ¢ ²¨²¼. ®§¼¬¥¬ 13 ®¤¨ ª®¢»µ ¿¹¨ª®¢ ¢¥±®¬ ¯® 10=13 ²®». ®£¤ ¢ ®¤³ ²°¥µ²®ª³ ¬» ¥ ±¬®¦¥¬ ¯®¬¥±²¨²¼ ¡®«¼¸¥ ²°¥µ ¿¹¨ª®¢, ¢ ·¥²»°¥ | ¡®«¼¸¥ 12 ¿¹¨ª®¢. ®ª ¦¥¬ ²¥¯¥°¼, ·²® 5 ²°¥µ²®®ª ¢±¥£¤ µ¢ ² ¥². ¥©±²¢¨²¥«¼®, ¢ ª ¦¤³¾ ²°¥µ²®ª³ ¬» ¬®¦¥¬ ¯®£°³§¨²¼ ¥ ¬¥¼¸¥ ¤¢³µ ²® £°³§ (¥±«¨ ¯®£°³¦¥® ¬¥¼¸¥ ¤¢³µ ²®, ¬®¦® ¤®¡ ¢¨²¼ ¥¹¥ ¿¹¨ª). ®£¤ ¢ 5 ²°¥µ²®®ª ¬®¦® ¯®£°³§¨²¼ ¥ ¬¥¼¸¥ 10 ²®. 508. ¢¥ ®±² «¼»¥ ±³¬¬» ° ¢» 12 ¨ 16, ± ¬¨ ·¨±« ° ¢» «¨¡® (,1) , 2, 6 ¨ 10, «¨¡® (,3=2) , 5=2 , 13=2 ¨ 19=2 . 509. ±±¬®²°¨²¥ ±²®¿¹¥£® ¢ ®¤®© ¸¥°¥£¥ ± ± ¬»¬ ¨§ª¨¬ ¨§ ¢»±®ª¨µ ¨ ¢ ®¤®¬ °¿¤³ ± ± ¬»¬ ¢»±®ª¨¬ ¨§ ¨§ª¨µ. 0 511 . ½²®© ¨£°¥ ¬®¦¥² ¢»¨£° ²¼ ¯¥°¢»©, ¥§ ¢¨±¨¬® ®² ° §¬¥°®¢ ±²®« ! ¥¤¼ ® ¬®¦¥² ¯¥°¢»¬ µ®¤®¬ ¯®«®¦¨²¼ ¯¿² ª ² ª, ·²®¡» ¶¥²°» ¯¿² ª ¨ ±²®« ±®¢¯ «¨. ®±«¥ ½²®£® ª ¦¤»© µ®¤ ¢²®°®£® ¨£°®ª ® ¬®¦¥² ®²¢¥· ²¼ ±¨¬¬¥²°¨·® ®²®±¨²¥«¼® ¶¥²° ±²®« . °¨ ² ª®© ±²° ²¥£¨¨ ¯®±«¥ ª ¦¤®£® µ®¤ ¯¥°¢®£® ¨£°®ª ¯®§¨¶¨¿ ±² ®¢¨²±¿ ±¨¬¬¥²°¨·®©, ¢²®°®© ¢±¥ ¢°¥¬¿ °³¸ ¥² ½²³ ±¨¬¬¥²°¨¾. ®½²®¬³ ¥±«¨ ¢®§¬®¦¥ ®·¥°¥¤®© µ®¤ ¢²®°®£® ¨£°®ª , ²® ¢®§¬®¦¥ ¨ ±¨¬¬¥²°¨·»© ¥¬³ ®²¢¥²»© µ®¤ ¯¥°¢®£®. 514. 2100010006. 515.
¨´° 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ¢±²°¥· ¥²±¿ 1 7 3 2 1 1 1 2 1 1 ° §. ¨«¨ ¨´° 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ¢±²°¥· ¥²±¿ 1 11 2 1 1 1 1 1 1 1 ° §.
®¤¥°¦ ¨¥
°¥¤¨±«®¢¨¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 ª °¥¸ ²¼ § ¤ ·¨? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 ¡®§ ·¥¨¿ ¨ ±®¢¥²» ·¨² ²¥«¾ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 ª®¬±²¢® : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 ¥¬ ®²«¨· ¥²±¿ ®¢¶ ®² ª³°¨¶»? : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 ¥°¥¯° ¢» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 ¥°¥ª« ¤»¢ ¨¿ ±¯¨·¥ª : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 ¡° ²»© µ®¤ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 ±±² ®¢ª¨ ±ª®¡®ª ¨ § ª®¢ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 ³²ª¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 ¡¥¦ «¨ ¶¨´°» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17 §°¥§ ¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 ±¿ª ¿ ¯ «ª ® ¤¢³µ ª®¶ µ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 ¢¥ ¤¶ ²¼ ±²³«¼¥¢ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21 ±²»© ±·¥² : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 ®§° ±²» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 ª®«¼ª® ¤® ¢§¿²¼? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26 ®ª¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28 ¥²®±²¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 ®£¨ª : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 ®«¯³²¨ ¢¤¢®¥ ¬¥¤«¥¥¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 ³° ¶ª¨¥ ¢®¯°®±» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 35 ¥°¥«¨¢ ¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 °®¶¥²» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39 ¨£ ±²®¨² °³¡«¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 ®±±² ®¢¨²¥ ¯³²¼ ª®¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42
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³¬¬ ¨ ±°¥¤¥¥ °¨´¬¥²¨·¥±ª®¥ : : : : : : : : : : : : : : : : 44 ®±² ¢«¥¨¥ ³° ¢¥¨© : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 °¨¶¨¯ ¨°¨µ«¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48 ¡µ®¤» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 ¨£¢¨±²¨·¥±ª¨¥ § ¤ ·¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52 §¢¥¸¨¢ ¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 ®¢¬¥±² ¿ ²° ¯¥§ , ±®¢¬¥±² ¿ ° ¡®² : : : : : : : : : 56 ¥«¨¬®±²¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 59 £°» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61 ¥¡³±» : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64 °¨¬¥°» ¨ ª®±²°³ª¶¨¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68 ¤³ª¶¨¿ :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70 ¥°¥¢¼¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72 ¥°¨®¤¨·®±²¼ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74 ° ©®±²¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76 ®¬¡¨ ²®°¨ª : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77 ° ¤®ª±» ¨ ±®´¨§¬» ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85 ¥±² ¯® °¨´¬¥²¨ª¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93 À» | ¬¥, ¿ | ²¥¡¥Á ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 105 ²¢¥²», ³ª § ¨¿, °¥¸¥¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109
) ²¨ ¤¢¥ £« ¢ª¨ ¯¨± » ®±®¢¥ ±² ²¥© .. ¡ ·¨ª®¢ ¢ ¦³°-
«¥ À¢ ²Á (®¬¥° 6 § 1989 £®¤ ¨ ®¬¥° 6 § 1990 £®¤).
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