量子物理学入門―物質工学を学ぶ人のために (理工学講座)

TDU 

理工学講座 改訂

量子物理学入門 物質 工学を学ぶ人のために

青野朋義 尾林見郎 木 下 彬 共 著

東京電機大学出版局

本 書 の 全 部 ま た は一 部 を無 断 で 複 写複 製(コ ピー)す る こ とは,著 作 権 法 上で の例 外 を除 き,禁 じ られ て い ます 。 小局 は,著 者 か ら複 写 に係 る 権 利 の 管 理 に つ き委 託 を 受 けて い ます ので,本 書 か らの複 写 を希 望 され る場 合 は,必 ず小 局(03-5280-3422)宛 ご連 絡 くだ さ い。

は し が き

  こ の本 は,先 に 出版 され た"物 理 学"の 後 を 引 き継 いで,理 工 系 大 学 の 二 年 次 の物 理 の教 科 書 と して編 集 され た もの で あ る.量 子 力 学 の 初 歩 的 な 概 念 と, 応 用 と して,固 体 物性 の概 略 とを 中心 に ま とめ られ て い る.   固 体 物 性 を 理 解 す るに は,量 子 力学 的知 識 の ほ か に,統 計 力学 の 知 識 が 要 求 さ れ る.固 体 の 格 子比 熱 に は フ ォ ノ ンの考 え方 が必 要 で あ るが,こ れ は 格 子 振 動 の量 子 化 で,フ

ォ ノ ンの集 団 的取 扱 い に はBose‐Einstein統

ま た,結 晶 中 の電 子集 団 の取 扱 い に はFermi‐Dirac統

計 が使 わ れ る.

計 が 心 要 で あ る.こ

れ

らの量 子 統 計 の 話 は1つ の章 に ま とめ られ て い る.一 方,こ れ らの量 子統 計 で 古 典 近 似 をす る場 合 が よ く あ るが,古

典 的 なMaxwell‐Boltzmann統

歴 史 的 に は19世 紀後 半 の物 理 的産 物 で,20世

計 は,

紀 に な ってか ら展 開 され る量 子

論 の前 段 階 の もの と考 え,こ の本 で は最 初 の気 体 運 動 論 の 中 で述 べ られ る.ま た,真 空 中 の 電 子 の取 扱 い,例 え ばCompton効

果 の式 で は,Einsteinの

相対

論 的 な式 が で て くるが,こ れ らの理 解 を深 め る意 味 か ら も,相 対 論 の 話 を1つ の章 に ま とめ て,前 に 置 い た.量 子 力 学 と相 対 論 とは現 代 物 理学 の根 底 で も あ る.   量 子 物 理 学 で は,古 典 物 理 と違 って,数 式 的表 現 が 複 雑 とな り,こ れ が 学 生 諸 君 に と って,現 代物 理 学 を理 解 す る うえ で の難 点 に な って い る.し か し,こ の本 に盛 られ て い る程 度 の物 理 表 現 は,エ レ ク トロニ クスや 新 素 材 開 発 の 技 術 者 を 目指 す 学 生 諸 君 に と って,是 非 と も理 解 して欲 しい事 柄 で あ る.著 者 等 の 貧 しい記 述 を,意 欲 的 な学 習 で補 って,量 子 物 理 学 へ の理 解 を 願 う者 で あ る.

平成元年4月

青 野 朋 義

改訂 に あ た って

  この本 が上 梓 され て か ら6年 が た った.こ の 間,使

って み て,小 さな誤 謬,

表 現 上 の不 備 が 目につ くよ うにな った の で,こ の 際思 い切 って,改 訂 版 を だ す こと に踏 み切 った.   改 訂 に あ た って,文 章 的 な不 備 を 多少 修 正 した以 外 に,教 科 書 と して使 い や す くす る た め,物 理 定 数,数 学 的補 遺 を付 録 と して つ け加 え た.校 正 も含 め て, これ らの作 業 は青 野 が 行 ったの で,文 章 的 なニ ュ ア ンス が原 著 者 の 意 に そ ぐわ ぬ もの に な った こ とを懼 れ る.   理 工 系 の学 生 に,量 子 力 学 の 基礎 概 念 を如 何 に 平易 に教 え るか は,物 理 教 育 に携 わ る担 当者 の誰 し も悩 む と ころ で あ ろ う.物 語 的 な本 は多 数 存 在 す る が, 教 科 書 と な る と,数 学 的 問 題 が 入 って む ず か しい もの とな って しま う.そ の点, 数 年 間 こ の本 を使 ってみ て,あ

る程 度 成 功 して い るよ うに思 わ れ る.

平成7年1月 青 野  朋 義

目

次

第1章  気 体 の分 子 運 動 論  1・1 

理 想 気 体 の 圧 力 

1

 1・2 

理 想 気 体 比 熱 

5

 1・3 

Maxwellの

6

 1・4 

平 均 自 由 行 程,平

速 度 分 布 則  均 寿 命 

14

 1・5 拡散 

16

 1・6 

固 体 に お け る分 子 運動 

20

 1・7 

液 体 の 分 子 運 動 

23

 1・8 

エ ン ト ロ ピ ー の 分 子 運 動 論 か ら の 解釈 

24

 練習

問 題

〔1〕 

27

第2章  特殊相対性理論   2・1 

Galileiの

相 対 性 

  2・2 

電 磁 気学 とMichelson‐Morleyの

29 実 験 

31

 2・3 Lorentz変

換 

34

 2・4 Lorentz変

換 の 意 味 

37

 2・5 

相 対 論 的 力 学 

39

 2・6 

質 量 と エ ネルギ ー の 等 価 性 

47

 練

習

問 題

〔2〕 

48

第3章  電子の粒子性と波動性   3・1 

波 の 表 現 と 波 の 強 さ 

49

  3・2 

古 典 的 な 粒 子 と波 

52

  3・3 

ダ ブ ル ス リ ッ トを 通 過 す る 電 子(そ

の1) 

56

 3・4   練

習

ダ ブ ル ス リ ッ トを 通 過 す る 電 子(そ

第4章 

問 題

〔3〕 

62 69

量 子 効 果 の 現 れ る実 験 例

  4・1 

熱 放 射 とPlanckの

  4・2 

光電 効 果 

 4・3 

Compton効

 4・4 

電 子 対 生成 

 練

の2) 

習

問 題

仮 説 

71 72

果 

73 75

〔4〕 

76

第5章  不確定性原理  5・1 

波 の 回析 と不確 定性 原 理 

77

 5・2 

原 子 の 安 定 性 と不確 定 性 原 理 

81

 練 習 問 題 〔5〕 

第6章 

Schrodinger方

86

程式

 6・1 

基 礎 と な る 事 項 

 6・2 

自 由 電 子 のSchrodinger方

 6・3 

拘 束 さ れ た 電 子 のSchrodinger方

 6・4 

定常 状 態 のSchrodinger方程

 練

習

問 題

87 程 式 

88 程 式 

式 

〔6〕 

89 89 92

第7章  波 動 関 数 ψの 形  7・1 

存 在 確 率 と の 関 連 で 決 ま る波 動 関 数 の 特 徴 

93

 7・2 

Schrodinger方

94

 7・3 

単 純 な ψ の 関 数 形 

 7・4 

波動 関 数 の 接続 

 練 習

問 題

〔7〕 

程 式 の 形 か ら わ か る 波 動 関 数 の 特 徴 

98 101 105

第8章  物 理 量 を求 め る方 法  8・1 

平 均 値 の 求 め 方 

107

  8・2 

あ ん こ 式(プ

109

 8・3 

物 理 量 と演算 子 

 練

習

問 題

第9章 

サ イ ・サンド) 

112

〔8〕 

115

Schrodinger方

程 式 の簡 単 な モ デ ル へ の応 用

  9・1 

階 段 形 ポ テン シャル 

117

 9・2 

井 戸 形 ポ テン シャル 

123

調 和 振動 子 

128

  9・3   練

習

第10章 

問 題

〔9〕 

Schrodinger方

136

程 式 の三 次 元 化

 10・1 

箱 の 中 の 自 由 粒 子 

137

 10・2 

三 次 元 調 和 振 動 子 

143

第11章  水 素 原 子  11・1 

Bohrの

 11・2 

水 素 原 子 のSchrodinger方

 11・3 

Schrodinger方

 11・4 

水 素 原 子 モ デ ル  程 式 

程 式 の 変 数 分離 

角 度 方 程 式 の 解 

 11・5 動径

147

方程 式 の 解 

151 153 155 159

 11・6 

軌 道 角 運動 量 

161

 11・7 

電 子 の ス ピ ン 

163

 11・8 

水 素 原 子 に つ い て の 要 約 

166

 練

第12章 

習

問 題

〔11〕 

Pauliの

原理

 12・1 

Pauliの

排 他 律 

170

171

  12・2   練 習

第13章

原 子 の電 子 配 置 と元 素 の周 期律 問 題

  173

〔12〕

  176

  原 子 や 電 子 集 団 の 取 扱 い

  13・1 

電 子 の 集 団 と エ ル ゴ ー ド性

  13・2 

正準分布

  179

  13・3 

量子統計

  186

  13・4 

Bose‐Einstein統

  13・5 

Fermi‐Dirac統

 練 習

第14章

問 題

 

計 計

〔13〕

177

 

187

 

191

 

194

 量 子 論 の 応 用 例

  14・1 

Planckの

熱 放射 式

  14・2 

誘導放射

  14・3 

固 体 の比 熱

  14・4 

結 晶中の電子

  14・5 

周 期 ポテ ンシ ャル 中 の電 子

 219

  14.6 

金属 の電 気伝 導

 230

  14・7 

半導 体

  237

  14・8 

誘電 体

  247

  14・9 

誘 電 体Ⅱ:強

  14・10 

磁性 体

  200  205   212

誘電 体

性 体Ⅱ:原

  14・12磁

性 体Ⅲ:Langevinの

 練

習

 258  263

  14・11磁

  14・13 

  195

子磁 気 モ ー メ ン ト 常 磁 性,Weissの

 

265

強 磁 性 理 論 

272

自 由 電 子 模 型 に よ る分 子 の 吸 収 波 長 の 計 算

問 題

練 習 問 題 の解 答

〔14〕

 275  

280   283

付

録

  296

索

引

 

305

第1章   気 体 の分 子運 動論

  19世 紀 初 頭,Dalton等

に よ る物 質 の原 子 論 が確 立 し,熱 的現 象 を分 子 の

力 学 的 性 質 か ら説 明 しよ う とす る動 きが活 発 とな った.19世 Clausius,

Maxwell,

Boltzmann等

紀 半 ばか ら は

に よ って気 体 分 子 運 動 論 の 基 礎 が つ

くられ,温 度,熱 平 衡,内 部 エ ネ ル ギ ー等 の概 念 が 分 子 論 的 に 表 現 さ れ る よ う に な っ た.

1・1  理 想 気 体 の 圧 力

  容 器 に入 れ られ た 理 想気 体 が,容 器 壁 に及 ぼす 圧 力 を気 体 分 子 の運 動 か ら考 え よ う.容 器 内 の 空 間 か ら気 体 を な く してみ る と,そ こ は真 空 と い う状 態 に な る.真 空 状 態 を表 現 す るに は,気 体 の圧 力 単 位 を 使 い,気 体 が 存 在 しな い場 合 の圧 力 は ゼ ロで あ る.容 器 に気 体 が 入 る と,気 体 は,そ れ が どん な にわ ず か な 量 で も,そ の容 器 を満 た した形 で存 在 し,一 定 の 圧 力pを 容 器 壁 に与 え る.容 器 体 積 をV〔m3〕,気

体 の量 をν 〔mol〕で 表示 す る と,気

体 密 度 はν/Vに

例 し,圧 力 は こ の気 体 密 度 に比 例 す る.ま た,容 器 内 の 温 度 をT〔K〕 と,圧 力 は こ の気 体 温 度Tに

比

とす る

比 例 す る.容 器 内 の気 体 の状 態方 程 式 は, (1・1)

で,Rは

気 体 定 数 で あ る.

 気 体 の分 子 運 動 につ いて,次 の よ うな仮 定 をす る.  ①  気 体 分 子 は い ろ い ろな速 度 を各 自 が も って お り,こ の状 態 で容 器 内 の ど こで も一 様 に分 布 して い る.こ れ らの分 子 が 容 器 壁 に衝 突 し,反 発 す る形 で容 器 壁 に 力 を 及 ぼ す.こ れ が容 器 壁 に圧 力 と な って 現 れ る.  ②  気 体 分 子 は 小 さ いの で,形 は球 と して よ い.分 子 ど う しの衝 突 は運 動 量

を交 換 し合 う形 で完 全弾 性 的 に行 われ るの で,圧 力 を考 え る と き に は除 外 して よ い.壁 との衝 突 も また完 全 弾 性 的 で あ り,壁 面 と の間 に摩 擦 が な い 滑 らか な衝 突 を す る もの とす る.   容 器 内 に直 角座 標x,y,zを

と り,x方

向 に垂 直 な 容器 内 の壁 で の圧 力 を 計

算 しよ う.圧 力 は この壁 に垂 直 で あ る.気 体 分 子 速 度 の大 き さ,方 向 は ラ ンダ ムで あ るが,x軸

の 負 の 方 向 に対 して θ と θ+dθ

υ +dυ の間 の 分 子 が 壁 の 単位 面 積S=1に

図1・1  気 体 分 子 の 容 器 壁 へ の衝 突

 半 径1の

の 間 に あ り,速

さ がυ と

時 間dtの 間 衝突 す る と す る.単

球 の 斜 線 部 分 の 表 面 積 は2πsinθdθ

この部 分 を見 込 む 立 体 角 は〓

位

で,

とな る.

図1・2  立 体 角 の 計 算

体 積 当 た り,速 さがυ とυ+dυ の 間 にあ る分 子 数 を

と す る.θ

と θ+dθ

の 方 向 は 立 体 角 を と り,そ

で あ る.分

子 密 度 は 空 間 的 に 一 様 で あ る の で,単

の 間 に あ っ て,θ

と θ+dθ

で あ る.次

間dtの

に,時

の 立 体 角 は,

位 体 積 当 た り,υ

の 間 を 向 く分 子 数 は,

間 にSに

衝 突 す る 分 子 は,

とυ+dυ

図1・3 υSdtcosθ

図1・4 

の空 間

1個 の分 子 の衝 突 に よ る

運 動 量変 化

の空間 に い な けれ ば な らな い.ま た,1個

で あ る.す る と,単 位 時 間(dt=1)の

の分 子 の 衝 突 に よ る運 動 量 変化 は,

間 に単位 面 積 に衝 突 す る分 子 の全 運 動

量 変 化 は,

で あ る.θ

の 範 囲 は0∼

π/2で,υ

の 範 囲 は0∼

∞ で あ る.積

分 した 形 で符

号 を 変 え た も の は 壁 に 対 す る 圧 力 と な っ て,

(1・2)

 υ 2の 平 均 を 考 え る と

,

(1・3)

で,[n]は

単 位 体 積 で の 分 子 数 で あ る.こ

れ を 使 う と,

(1・4)

と な る.容

器 内 の 分 子 総 数 をN,体

積 をVで

表 す と,[n]=N/Vで

あ る か ら,

(1・5)

と な る.こ

の 式 を 状 態 方 程 式 と 比 較 す る と,1molを

考 え てN=N0と

し,

(1・6)

 kは 気 体 の 性 質 に 依 存 し な い 普 遍 定 数 で,Boltzmann定

数 と 呼 ぶ.

と す る と,

で あ る.式(1・6)は

また

(1・7)

の よ うに書 け る.気 体 分 子 速 度 の 等 方 性 を 考 慮 す る と, (1・8) で,

(1・9)

 こ の 式 は,分

子 運 動 の エ ネ ル ギーが,1つ

ら れ る こ と を 意 味 して お り,こ   式(1・6)で,mN0は1molの

の自 由

度 に 対 して〓

で与 え

れ を エ ネ ル ギ ー 等 配 則 と い う. 分 子 量 に な る.こ

れ をMで

表 す と,

(1・10)

で,気 体 の 速 度 の 自乗 平 均 は分 子 量Mに 2〉 を 自乗 平 均根 速 度 とい う .

反比 例 し,温 度Tに

比 例 して い る.√〈υ

1・2  理 想 気 体 比 熱

  理 想 気体 で は分子 ど う しの 衝突 は,そ の運動 量 を交 換 す るだ けで,分 子 は個 々 の 形 を 区別 で きな い か ら,分 子 ど う しの衝 突 が 完 全 弾 性 的 に行 わ れ る と,相 互 作 用 に よ る エネ ル ギ ーの 損失 は考 え な くて もよ い.ま た,相 互 の 引 力 も考 え な くて よ いか ら,理 想 気体 の 内部 エ ネ ル ギ ー の うち,温 度依 存性 を もつ 成 分 は各 分 子 の も って い る運 動 エ ネル ギ ー の総 和 に な る.U0を

温 度 に無 関 係 な 内 部 エ

ネ ルギ ー と して, (1・11)

 分 子 が球 で あ る と考 え る と,そ の 自由度 は3で,

(1・12)

と な り,N=N0の

場 合 は,N0k=Rで

あ る か ら,1molに

つ い て,

(1・13)

で あ る.U0'は

温 度 に 無 関 係 な 内 部 エ ネ ル ギ ー で あ る.定 容 モ ル 比 熱 は これ か ら,

(1・14)

と な る.定

圧 モ ル 比 熱 は,

(1・15)

 した が っ て,

(1・16)

と な る.Heの   O2の

γ の 値 は,ほ

ぼ こ の 値 に 一 致 す る.

よ う な 二 原 子 分 子 で は,気

た 形 と 考 え て,そ

体 分 子 は 球 と 考 え ら れ な い.ア

の 二 原 子 を 結 ぶ 方 向 をx方

転 が 自 由 度 と し て 付 け 加 わ る.す か ら,1個

向 と す る と,y,z軸

る と 自 由 度 は5と

な っ て,エ

レ イ形 を し に対 す る回

ネル ギ ー等 配 則

の 分 子 の もつ 平 均 運 動 エ ネ ル ギ ー は,

(1・17)

と な る.1molの

内 部 エ ネ ル ギ ー で,温

度 に 依 存 す る 成 分 は,

(1・18)

 した が っ て,定

容 モ ル 比 熱Cυ,定

圧 モ ル 比 熱Cpは,そ

れぞ れ

(1・19)

(1・20)

  酸 素 や 窒 素 気 体 は この 二 原 子 分子 モ デル で 表 され,そ のγ は1.4に 近 い値 で あ る.

1・3 

Maxwellの

速 度 分 布 則

  気 体 の 圧 力 の と こ ろ で 述 べ た 速 さ の 平 均 と い う 概 念 を,こ 返 っ て み よ う.気

体 粒 子 の 総 数 をNと

して,

 υ1の 速 さ を も っ た 気 体 粒 子 の 数 をn1(υ1),υ2の をn2(υ2),…

こ で も う一 度 振 り

速 さを も った 気 体 粒 子 の 数

… と す る と,υ の 平 均 は,

(1・21)

 積 分 の 形 で 考 え る と,υ の速 さを も った粒 子 の 数 がdnで

(1・22)

  式(1・22)の

分 子 の 積 分 を 行 う に は,nがυ

の 関 数 で な け れ ば な ら な い の で, (1・23)

と 置 く と,

(1・24)

  式(1・22)と

式(1・24)を比

けれ ば な ら な い.こ zed)さ

較 す る と,式(1・24)の∫g(υ)dυ=1で

の よ う にg(υ)の

な

形 を き め た と き,g(υ)は

規 格 化(normali

れ た と い う.

(1・25)

で,g(υ)dυ

は 粒 子 がυ とυ+dυ

式(1・23)は

全 体 の 粒 子 数Nの

と の 間 に あ る 確 率 を 表 す こ と に な る.ま う ち 速 さ がυ とυ+dυ

た,

の 間 に あ る粒 子 数 を 表

す こ と に な る の で あ る.   圧 力 の 所 で 述 べ た よ う に,〈υ2〉

は 温 度Tに

比 例 し て い る.温

る 気 体 粒 子 の 速 さ の 分 布 は ど の よ う な も の で あ ろ う か?  規 格 化 さ れ たg(υ)の

方 向 で-∞

器 の 体 積V)の

の 方 向 は ラ ン ダ ム で あ る.気 か ら+∞

お け

これ は 式(1・24)の

形 を 求 め る こ と で あ る.

  気 体 粒 子 が 存 在 す る 空 間(容 ま た,そ

度Tに

な か で,粒

体 粒 子 の 速 度 を 考 え る と き に は,1つ

ま で の 速 度 を 考 え な け れ ば な ら な い.速

を こ こ で 取 り入 れ る.(υx,υy,υz)で

子 の 速 度 の 大 き さ, の

度 空 間 と い う概 念

表 さ れ る 空 間 で あ る.も

ち ろ ん,

で,空 間 は無 限 に拡 が って い る が,こ の 空 間 に あ る気 体 粒 子 の 数 は容 器 の 中 に あ る気 体 粒 子 の数 でN個

で あ る.こ の速 度 空間 の(υx,υy,υz)の

と ころに あ

図1・5  速 度 空 間

るdυxdυydυzと

い う微 小 空 間 に あ る粒 子 数 をdNと

し,こ

れを

(1・26)

と お い て み る.f1, f2, f3は

規 格 化 さ れ た 分 布 関 数 で あ る.た

dυxは 気 体 粒 子 が 速 度 空 間 でυxとυx+dυxの

間 に い る 確 率 で あ る.

  (仮 定1) f1=f2=f3=f 

(1・27) υx

, υy, υz方 向 は 我 々 が 任 意 に 定 め た も の で あ る か ら,fの ら な い.こ

れ をfと

 υx方 向 で 考 え る と,そ

る と,fの

形 は方 向 に は よ

す る.

  (仮 定2) f(υx)=f(-υx)=f(υx2) 

気 体 粒 子 が+υxの

と え ば,f1(υx)

の+,-方

(1・28) 向 は我 々 が 任 意 に定 め た も の で あ る か ら,

と こ ろ に い る 確 率 と-υxの

と こ ろ に い る 確 率 は 等 し い.す

形 はυx2の 関 数 と 考 え て よ い.υy, υz方

向 に つ い て も 同 様 で あ る.

   (仮 定3) υ2=υx2+υy2+υz2    速 度 空 間 は 等 方 的 で あ る.こ

(1・29) こで ま た (1・30)

と す る.υx, υy, υzの (1・29)で

方 向 は 我 々 が 任 意 に 定 め た も の で,本

表 さ れ るυ で あ る.し

あ る.式(1・26)∼

式(1・30)か

た が っ て,式(1・30)の ら,

質 的 な もの は式

よ う に 置 け る はず で

(1・31)

が で る.式(1・31)の

形 を 満 足 す るfの

形 は,f(υx2)で

い え ば, (1・32)

で あ る.   (仮 定4)  b＜0,そ

速 さ の 大 き な 気 体 粒 子 ほ ど,そ れ で,b=−a,a＞0と

の 数 は 少 な い.す

お く.す

な わ ち,

る と, (1・33)

  f(υy2),f(υz2)に

つ い て も 同 様 に 書 け る の で,式(1・29)を

使 って (1・34)

  この 速 度 分 布 は,粒 子 の種 類 と温 度 に よ り一 義 的 に き ま る と考 え る.ま ず規 格 化 して み よ う.

(1・35) (1・36)

 こ の よ う に す る と,

は,1個

の 粒 子 が(υx,υy,υz)と(υx+dυx,υy+dυy,υz+dυz)の

確 率 を 表 して い る こ と に な る.積

分 し た も の が1で

す る と,

で,

  f(υy2),f(υz2)に

つ い て も 同 様 で あ る.

 こ の 確 率 を 頻 度 と考 え る と,υx2の 平 均 は,

間 に い る

あ る か ら,υx=υy=υzと

(1・37)

 す る と,

で,

(1・38)

 ゆ え に,

(1・39)

と な り,こ れ は1個 の気 体 粒 子 がυxとυx+dυxの 間 に あ る確 率 を表 して い る. υy方 向,υz方 向 で も同様 な分 布 関 数 と な り,全 体 で は,

(1・40)

  式(1・26)の

形 に も ど す と,

(1・41)

で あ る.こ

れ をMaxwellの

  図1・6の

よ う に,速

速 度 分 布 則 と い う. 度 空 間 で,原

さ が す べ てυ で あ っ て,こ   した が っ て,速

点 か らυ とυ+dυ

の 間 に あ る空 間 は,速

の 空 間 の 体 積 は,dυxdυydυzの4πυ2倍

さ の 分 布 関 数 を 考 え る 場 合 に は,

で あ る.

とす れ ば よ い.速 さがυ とυ+dυ の 間 に あ る粒 子 数 は,

図1・6  等 方 的 速 度 空 間

(1・42)

と書 け る.こ て,頻

の 式 は 規 格 化 さ れ て い る た め,(m/2πkT)3/2が

度 的 に 言 え ば,υ

とυ+dυ

で て き た のであ っ

の 間 に あ る粒 子 数 は,

に 比 例 して い る.

(1・43)

で あ る.υ2の

平 均 値 は,同

様 に,

(1・44)

と な る.式(1・44)は〓

を 意 味 して い る.

(1・45)

  式(1・39)で が,こ

は,粒

子 がυxとυx+dυxの

間 に あ る 頻 度 は,e−mυx2/2kTで

あ る

れを (1・46)

と す る と,運

動 量 空 間 に お け る 頻 度 と な る.こ

の 場 合 は,

(1・47)

で,規 格 化 され た運 動 量 空 間 で の 分 布 関 数 は,

(1・48)

の 形 を と る.px2の

平 均 を 考 え る と,

(1・49) で,こ

の 式 は,

(1・50)

を 意 味 す る.さ

ら に,

(1・51)

と す る と,エ

ネ ル ギ ー 空 間 で の 頻 度 と な る.

(1・52)

で,規

格 化 す る と,

(1・53)

の 形 を と る.Exの

平 均 を 考 え る と,

(1・54)

  さて,容 器 中 に理 想 気 体 が温 度Tで Maxwellの

存 在 す る と き,気 体 分 子 の 速 度 分 布 は

速 度 分 布 則 に従 って 式(1・41)の

よ う に表 せ る の で あ る が,こ

れ

を逆 に言 う と,次 の よ う に も いえ る.   気 体 が 存 在 しな い場 合,す な わ ち真 空 で の温 度 とい う もの は考 え られ な い. 気 体 が若 干 で も存 在 し,そ の速 度 分 布 がMaxwellの

分 布 則 に な った と き,そ

の 気 体 で は じめて 平 衡 温 度 と い う概 念 が成 立 す るの で あ る.す な わ ち,温 度 と い う概 念 は,そ こ に物 質 が あ って,そ の エ ネ ル ギ ーが存 在 す る段 階 で 生 じて く る もの で あ る.

  1・4  平 均 自 由 行 程,平

均寿命

  1つ の容 器 中 で 気 体 密 度 の異 な る場 所 が あ っ た と しよ う.こ の 場 合 に は,密 度 の大 きい場 所 で の圧 力 は大 き く,小 さな場 所 で の 圧 力 は小 さい.す

る と,こ

の圧 力 差 に よ って気 体 は動 き,容 器 内 が均 一 な密 度 にな り,し た が って 均 一 な 圧 力 に な って気 体 の動 きは止 ま る.地 上 で風 が 吹 く場 合 が これ に相 当 して い る. ま た,1つ

の容 器 中 で 気 体 の温 度 の異 な る場 所 が あ った場 合 で も同 じで あ る.

温 度 の 高 い と ころ に い る分 子 の平 均 速 度 は大 き く,そ の ため に,気 体 は全 体 が 均 一 な 温度 に な るま で移 動 が起 こ り,や が て平 衡 状 態 に達 す る.こ の よ う に, 密 度 差 に よ る気 体 分 子 の動 き,あ るい は温 度 差 に よ る気 体 分 子 の 動 き の場 合 に は,ミ

ク ロ的 に み て,気 体 分 子 の衝 突 が微 妙 に関 係 す る こ と にな る.

  気 体 分 子 が衝 突 か ら,次 の衝 突 ま で動 く距 離 を 自 由行 程 と い い,あ る温 度T の と き,存 在 す る気 体 分 子 の 自由 行程 の平 均 を平 均 自由 行 程 と い う.ま た,平 均 自由 行程 だ け気 体 分 子 の走 る時 間 を,分 子 の平 均 寿 命 と い う.   まず,平 均 自由行 程 を次 の よ うに計 算 して み る.分 子 を直 径 σの球 と仮定 し, 1つ の 分子Mが 他 の分 子M1,M2,… る と,図1・7の   Mが 距離Lだ

… と次 々 に 衝 突 して い く有 様 を 図 示 す

よ う にな る. け進 ん だ と き,Mの

中 心 を 中 心 と して 半 径 σ,長

を 考 え る と,こ の 円筒 内 に他 の分 子M1,M2… に衝 突 す る.た だ し,こ の場 合,M1,M2… 体 積 は πσ2Lで,分

子 密 度 をnで 表 す と,Mが

さLの

円筒

の 中心 が あ る と,MはM1,M2… は 停 止 し て い る とす る.円

筒の

この 円筒 内 で 衝 突 す る回 数 は,

この 内 で の分 子 数 で あ るか ら, (1・55) とな る.し た が って,1回

目 の衝 突 まで の距 離,す

な わ ち平 均 自 由行 程 は,

図1・7  分 子 ど う しの 衝 突

(1・56)

の よ う に 表 さ れ る.こ て い る と し た が,実

の 式 を 導 い た 仮 定 で は,Mだ

際 に は そ う で は な い.式(1・55)で

け が 動 き,他 の 分 子 が と ま っ の 距 離Lを,

(1・57)

と して み よ う.こ の 式 の 中 のmは,相

対 運 動 の場 合 は換 算 質 量m*と

な る. (1・58)

 した が っ て,Lは,

(1・59)

と しな け れ ば な ら な い.す

る と,式(1・56)は,

(1・60)

の よ う に補 正 され る.  理 想 気 体 の特 性 方 程 式 か ら, (1・61)

と し,こ

れ を 式(1・60)に

代 入 す る と,

(1・62)

が 得 られ る.平 均 自由行 程 は温 度 に比 例 し,圧 力 に反 比 例 して い る こ とが わ か る.   酸 素 あ る い は 窒 素 分 子 で は,σ

を 代 入 す る と,l∼6.8×10-8〔m〕 10-3〔Pa〕

∼3.7×10-10〔m〕

と な る.こ

く ら い の 真 空 に な る と,l∼6.8〔m〕

で,

の 値 は 非 常 に 小 さ い が,p∼ に な っ て,通

常 の容 器中 で

は 分 子 間 の 衝 突 は ほ と ん ど 起 こ ら な い こ と が わ か る.   分 子 が 平 均 自 由 行 程lだ

け 走 る 時 間 を 平 均 寿 命 τで 表 す と, (1・63)

の よ う な 関 係 が 得 られ る .

1・5 

拡

散

ミク ロ的 分 子 また は微 粒 子 の運 動 か ら,種 々 の物 理 量 の輸 送 現 象 を 説 明 す る こ とが で き る.例 え ば,イ

ン クを水 に滴 した と き,イ ンクを 構 成 して い る ミク ロ

的粒 子 は水 の 中 を拡 散 して 拡 が って い く.こ れ は イ ンクの 微 粒子 の熱 運 動 の結 果 で,粒 子 自身 の輸 送 と考 え る こ とが で きる.   x方 向 に垂 直 な単 位 面 積Sを 考 え て,こ

の面 の 両 側 で 濃度nが 異 な っ て い る

図1・8 

と き に は,Sを

拡 散

通 して 濃 度 の 大 き い ほ うか ら小 さい ほ うへ と拡 散 が起 こ る.単

位 時 間 に,こ の 単 位 面 積 当 た りを 通 る粒子 の数,す

な わ ち拡 散 量 をdN/dt(=

nυ)で 表 す と,こ れ はSの あ る位 置 で の濃 度 勾 配 に比 例 す る.nは

単 位体 積 中

の粒 子 の数,す な わ ち 濃度 で,υ は粒 子 の温 度 に よ っ て き ま るx方 向 に 向 か う 速 度 で あ る. (1・64)

 この比 例 定 数Dを

拡 散 係 数 とい い,温 度 的 に は, (1・65)

と 表 せ る.Eaは

拡 散 の 活 性 化 エ ネ ル ギ ー と い わ れ る.式(1・64)は

あ る い はFickの

第 一 法 則 と 呼 ば れ る.こ

拡 散 の 式,

の式 に連 続 の式

(1・66) 

を 適 用 す る と,

(1・67)

が 得 られ る.こ れ を拡 散 方 程 式,あ

る い はFickの 第二 法 則 と い う.

  この拡 散 現 象 を 粒 子 の輸 送 と して 考 えて み よ う.x方 に あ る単 位 面 積Sを 考 え,単 位 時 間 にSを

向 に 直 角 でx0の

位置

θ方 向 か ら横 切 る粒 子 の 数 を 計 算 し

図1・9 

よ う.こ

粒 子 の い る体 積 の 計 算

図1・10 

立 体 角 の計 算

の 粒 子 は, (1・68)

内 に あ っ て,速

度 が θ と θ+dθ

の 方 向 に 向 く粒 子 で あ る.こ

の角 度 を 立 体 的

に 考 え る と,

(1・69)

 粒子 密度 分布を (1・70)

と す る.こ れ は密 度 がυ とυ+dυ の間 に あ る粒 子 密 度 を表 して い る.   粒 子 の もつ物 理量 は場 所 に よ って異 な る.し か し,平 均 自 由行 程 を 走 る間 は 他 の粒 子 と衝突 を しな い ので あ るか ら,そ の間 の物 理 量 は一 定 で あ る.Sを か ら右 へ横 切 る1個 の粒 子 の物 理 量 は,図1・11で(x0-lcosθ)の

場所で の

粒 子 の物 理 量 と考 え るか ら,こ れ を (1・71)

と し,逆 向 きに右 か ら左 へ と横 切 る粒 子 の物 理 量 を

左

図1・11 

場 所 の 関数 と して の物 理 量

(1・72)

と す る と,1個

の 粒 子 に つ い て,左

と 式(1・72)と

の 差 に な り,

側 か ら右 側 へ 流 れ る 物 理 量 は,式(1・70)

(1・73)

と 書 け る.単 73)の

位 時 間 に 通 過 す る 物 理 量 は,式(1・68),(1・69),(1・70),(1・

積 で 与 え ら れ,

(1・74)

 た だ し,

(1・75)

で あ る.式(1・74)を   さ て,前

輸 送 の 式 と い う.

に 述 べ た 拡 散 の 場 合 は,粒

子 自 身 の 輸 送 で あ る か ら,式(1・74)で,

で,

(1・76)

 こ の 式 とFickの

第 一 法 則 と を 比 較 す る と,

(1・77)

と な る.物

質 に よ っ て,移

Boltzmannの

式 か ら わ か り,Dが

節 の 式(1・56)か

1・6 

動 す る 粒 子 の くの は,温

度 が き ま る とMaxwel1-

測 定 さ れ る と1が 求 ま る .1が

わ か る と,前

ら σが 計 算 で き る こ と に な る.

固 体 にお ける 分子 運 動

  我 々 が 日常 用 い る銅 や鉄 の針 金,ブ 合 で あ る.一 方,ガ

ロ ッ クな ど は,み ん な微 少 な結 晶体 の集

ラス や プ ラス チ ック ス の よ うな結 晶 質 で な い固 体 もあ るが,

こ こで は,ま ず 金 属 の よ うな結 晶 質 の 固 体 で,し か も全 体 が1っ の大 きな結晶, す な わ ち単 結 晶 に な って い る場 合 か ら考 え よ う.こ の 考 え 方 が 固体 を考 え る場 合 の 基 本 と な るか らで あ る.   単 結 晶 で は,原 子 あ る いは分 子 は空 間 的 に規 則 正 し く並 ん で い る.こ れ を 空 間 格 子 また は結 晶 格 子 と呼 ん で い る.原 子 あ る い は分 子 は結 晶 格 子 点 に 存在 し て,隣 接 す る原 子 群 と引 力 あ るい は斥 力 を及 ぼ しあ い,そ

の合 成 さ れ た 力 の ポ

テ ンシ ャル を極 小 に す る よ うに集 合 して い る.原 子 あ る い は分 子 が結 晶 を形 成 す る力 は電 気 的 な ク ー ロ ン引 力 で あ った り,共 有 結 合 力 で あ った り して,そ の 集 合 した結 晶 の性 格 を特 徴 づ け る.   結 晶 中 で1つ

の格 子 点 に存在 す る1原 子 の挙 動 を考 え よ う.こ の原 子 は力 の

平 衡 点 に い る ため,外 部 か らの エ ネ ル ギ ー の供 給 が な け れ ば,定 常 的 に 安定 で あ る.外 部 か らの エネ ル ギ ー が熱 で あ る とす れ ば,安 定 な位 置 に い る状 態 は, い わ ば温 度 的 にOKで 上 昇 して,こ

あ ると い え る.熱 エ ネル ギ ー が 供 給 さ れ る と,温

度が

の原 子 は平 衡 点 を中 心 に振 動 を は じめ る.平 衡点 に じっと して い

る 状 態 を 力 学 的 に 位 置 エ ネ ル ギ ー が 零 で,運 振 動 し て い る 状 態 で は,位

動 エ ネ ル ギ ー も零 の 状 態 と す る と,

置 エ ネ ル ギ ー と運 動 エ ネ ル ギ ー を 得 た こ と に な る.

  原 子 の 平 衡 の 位 置 か ら の ず れ,す

な わ ち 変 位 をrで

に も ど そ う と す る 力Fは,こ

比 例 す る.い

のrに

表 す と,も

わ ゆ るHookeの

との平 衡 位 置 法 則 で あ る. (1・78)

  す る と,rと

い う変 位 状 態 で の 位 置 エ ネ ル ギ ー は,

(1・79)

の よ う に 表 さ れ る.原

子1個

の 得 た 力 学 的 エ ネ ル ギ ー は,運

の 質 量 をm,そ

の 速 度 をυ で 表 す と,こ

の原子

動 エ ネ ル ギ ー と 位 置 エ ネ ル ギ ー の 和 で,

(1・80)

 結 晶 内 に 直角 座 標 系 を設 定 し,Eを

成 分 で 表 す と,

(1・81)

で,こ

の6個

子 の 数 をN個

の 項 は す べ て 独 立 な 項 と 考 え る こ と が で き る.結 と す る.こ

れ らの 原 子 が す べ て 式(1・81)で

ネ ル ギ ー 状 態 に あ る わ け で は な い.気 ギ ー がMaxwell‐Boltzmann分

して,こ

の構 成 分 子 の運 動 エ ネ ル

体 の 場 合 と は異 な る が,あ

の 原 子 の 振 動 状 態 の 分 布 が,そ

と に な る わ け で あ る.し

表 され る同一 の エ

布 を と っ た よ う に,固 体 の 場 合 で も,そ れ を 構

成 す る 原 子 の エ ネ ル ギ ー 分 布 は,気 る.そ

体 の 場 合 に,そ

晶 を形 成 す る原

か し,こ

度 以 上 で は,Maxwell-Boltzmann分

の 分 布 は,物

の 固 体 の 温 度 を 決 定 して い る こ 質 に よ っ て き ま る あ る一 定 の 温

布 と し て,そ

す る と,そ の平 均 は1つ の 自由度 に対 して,1/2kTだ 付 与 さ れ る こ と に な っ て,N個

の 原 子 で は,熱

る 分 布 を して い

ん な に 大 き な 違 い は な い.

け の 平 均エ ネ ル ギ ー が

に よ る全 エ ネ ル ギ ー は

(1・82)

と表 さ れ る.結

晶 の 内 部 エ ネ ル ギ ー は,こ

の 振 動 の エ ネ ル ギ ー を 使 っ て,温

度

Tで (1・83)

の よ う に 表 さ れ る.Nを

ア ボ ガ ド ロ数N0に

と る と,3N0kT=3RTと

な っ て,

定 容 モ ル 比 熱 は,

(1・84)

表1・1 

  表1・1に

定 容 モ ル比 熱

示 す よ うな 金 属 また は単 原 子 成 分 か らな る固 体,ま

う に2種 の原 子 か ら成 り立 って は い るが,1個 占 め る よ うな結 晶 で の モ ル比 熱 は,式(1・84)の

た は岩 塩 の よ

の原 子 が 結 晶 の1個 の格 子 点 を 値 に近 い.こ れ をDulong‐Pe

titの 法 則 と い う.   結 晶 の格 子 点 に原 子 群 や分 子 が 存 在 す る場 合 は多 少 複 雑 に な る.分 子 の回転, 分 子 内 で の振 動 の エ ネ ル ギ ー が,そ の 結 晶 の温 度 依 存 性 に現 れ るた め で あ る. 式(1・83)で

は0Kに

な って も内 部 エ ネル ギ ー はU0だ

け残 り,こ れ が 固 体 で

の す べ て の 格 子 点 が静 止 して い る と きの位 置 エ ネ ル ギ ー と考 え られ る.   実 際 に は,完 全 な結 晶 とい う もの は存在 しな い.結 晶欠 陥 や不 純 物 が存 在 し て,こ れ らの存 在 に よ る 内部 エ ネ ルギ ーが つ け加 わ る.多 結 晶,す な わ ち微 結 晶 の集 合 体 の形 に な る と,い わ ゆ る結 晶粒 界 が無 数 に存 在 す る こ とに な り,そ の 影響 が でて くる.こ れ も内 部 エ ネル ギ ー に加 算 さ れ るた め,比 熱 は式(1・84)

で示 され る理 想 的 な値 よ り も大 き くな る.

1・7 

液 体 の 分 子運 動

  液 体 は,一 般 に,固 体 と気 体 の 中 間 的温 度 で存 在 す る.液 体 の密 度 は気 体 よ り も固 体 に近 い値 で,液 体 中 の分 子 あ る い は原 子 は固体 と同程 度 の 距 離 を 保 っ て い ると 考 え られ る.こ れ は,固 体 か ら液体 に相 変 化 す る と きの融 解 熱 が,液 体 か ら気 体 に相 変 化 す る と きの 気化 熱 に比 べ て小 さい こ とか ら も うなず け る. しか し,液 体 状 態 で は固 体 結 晶 の よ うな 規則 性 はな い.各 分子,原 子 は流 動 的 で 全 体 の形 は器 に よ って,い か よ うに で も変 わ る.   化 合 物 で の安 定 性 を考 えて み よ う.水 や アル コ ール の よ うに,固 相,液 相, ま た気 相 の い ず れ で も,そ の分 子 状 態 を 保 持 で き る もの も あ るが,GaAsの

よ

うに 液相 で,す で に そ の分 子 性 を失 って しま う化 合 物 も多 い.こ の よ うな化 合 物 で は,そ の解 離 温 度 は化 合 物 の融 点 よ り低 い と ころ に あ る.解 離 温 度 が融 点 よ り高 け れ ば,そ の物 質 は化 合 物 の 形 で,液 体 状 態 に な り得 るわ け で,そ の と きに は分 子 状 態 で の規 則 性 は少 な くと も保 たれ て い る と考 え られ る.   液 体,あ

る い は硝子 状 態 の固 体(非 晶 質)を 論 じる場 合 に は,こ の規 則,不

規 則 性 が 問 題 とな る.1つ

の原 子 あ る い は分 子 を 中心 と して,固 体 と同様 な規

則 性 が 空 間 的 に どの 程度 の範 囲 ま で及 ん で い るか が液 体 物 質 で の 規則 性 とい え る.液 晶 と いわ れ る液体 で は,巨 大 分 子 が,液 体 の状 態 で も,分 子 性 を失 わ ず に存 在 して お り,そ れ が外 部 か らの力 で配 向す る性 質 を も って い る.   物 質 の 内 部 エ ネ ルギ ーを

と 書 き,U'(T)が こ のU'(T)を

ば,Cυ

6N0の

温 度 に 対 し て 増 加 関 数 で 表 さ れ る と す れ ば,定 使 っ て ∂U'/∂Tの

形 に な る.U'(T)が

は そ の 温 度 範 囲 で 一 定 の 値 を もつ.固

体 で は,こ

容 比 熱 は,

温度 の一価 関数 で あれ

れがU'(T)=1/2kT・

形 で 表 現 で きた わ け で あ る.液 体 で は固 体 よ り膨 張 が 大 き の で,実

験

的 に 求 め られ る の はCpで 水 を 例 に と っ て,固

体 で のCpは

由度 が,液

体 に お い て も安 定 な 分 子 状 態 を 維 持 す る

体 の 場 合 と 比 較 す る と,

固 体  で,液

あ る が,液

Cp≒35〔J/mol・K〕, 

液体  

固 体 に 比 較 し て 大 き い.こ

Cp≒76〔J/mol・K〕

れ は 固 体 で の6N0に

体 で は大 き く な っ て い る こ と を 意 味 す る.こ

自 由 エ ネ ル ギ ー か ら考 え て み る と,1つ

はΔ(pV)に

相当す る自

の 増 加 分 は,Gibbsの 使 わ れ る 熱 量 で あ り,

他 は エ ン ト ロ ピ ー の 増 加 に 使 わ れ る 熱 量 と考 え ら れ る.

1・8 

エ ン トロ ピ ー の 分 子 運 動 論 か ら の 解 釈

  理 想 気 体 の エ ン ト ロ ピー は,ν

〔mol〕,温 度Tの

気 体 で,

(1・85)

と書 け る.S0は

標 準 態 度(V0,T0)で

体 定 数 で あ る.こ

の 値 で あ り,Cυ

は定 容 熱 容 量, Rは

気

の 力 学 的 状 態 を 微 視 的 状 態 と 呼 ぶ.こ

れ

の 式 を 分 子 の 運 動 か ら導 い て み よ う.

  分 子 の 運 動 に 関 して,分

子1個1個

に 対 して,圧

積 等 で 表 現 され る気 体 の状 態 を 巨視 的 状 態 と呼 ぶ.

力,温

あ る 時 刻 で1個

度,体

の 分 子 が 位 置(x,y,z)に

も っ て い た と す る と,こ

の6個

子 が と り得 る微 視 的 状 態 の1つ り に,運

あ り,ま

た 速 度(υx,υy,υz)を

の 変 数 で 表 さ れ る1つ

の 力 学 的 状 態 は,そ

の分

で あ る.こ

度(υx,υy,υz)の

か わ

こ で は,速

動 量(mυx,mυy,mυz)⇒(px,py,pz)を

  ま ず,位

置 に つ い て の 微 視 的 状 態 を 考 え よ う.温

と る こ と に す る.

V0の 空 間 に あ る 場 合,こ

度Tで1個

の分 子 が 体 積

の 分 子 の と り 得 る位 置(x,y,z)はV0の

中の どこ

で も よ く,そ の 微 視 的 状 態 の 数 は 空 間 的 に 考 え れ ばV0で の ど こ に あ っ て も,巨 `微 視 的 状 態 の 数 はV0と

視 的 な 状 態 は変 化 し な い.1つ

の 巨視 的 状 態 に対 応 す る

い え る.

  2個 の 分 子 が 存 在 す る場 合 は ど う で あ ろ うか.1個 対 して,2個

あ る.こ の 分 子 がV0

目 の 分 子 の 存 在 し得 る位 置 は や は りV0の

目の 分 子 の 任 意 の位 置 に 空 間 内 の ど こ で も よ く,

そ の 微 視 的 状 態 の 数 はV0と

し て よ い.す

る と,2個

い る と き の 微 視 的 状 態 の 数 はV0×V0=V02と の 分 子 が 空 間V0を て,等

占 め る と き に は,そ

温 の ま ま 体 積 がV0か

VNと な り,そ

らVに

の 分 子 が 空 間V0の

な る.こ

の よ う に し て,N個

の 微 視 的 状 態 の 数 はV0Nと

変 わ っ た と す る と,そ

中 に

な る.そ

し

の微 視 的 状 態 の数 は

の 比 は,

で あ る.こ の式 の対 数 値 にkを 乗 じた式 を 考 え る と, (1・86)

と な っ て,こ

れ は 式(1・85)の

  こ こ ま で 考 え る と,1つ る と,klogwが   次 に,運

で あ る.

の 巨 視 的 状 態 に 対 応 す る 微 視 的 状 態 の 数 をwと

す

エ ン ト ロ ピ ー に 対 応 す る も の で あ る こ と が わ か る だ ろ う. 動 量(px,py,pz)で

温 度 が 問 題 と な る.温 48)の

右 辺 第2項

度 がT0の

表 さ れ る微 視 的 状 態 を 考 え よ う.こ

の場合 は

と き,一

の 式(1・

次 元pxの

分 布 は,1・3節

よ う に, (1・87)

で 表 さ れ る.一

次 元 でPxの

数 は,図1・12か

図1・12 

ら わ か る よ う に,こ の 分 布 関 数 の

f(px)=Ae−px2/2mkT

下 の 面 積 で あ っ て,

で あ る.す

る と,3次

元 運 動 量 空 間 で の(px,py,pz)の

体 積 は,

とな り,こ れ が1個 の分 子 に対 す る運 動 量 空 間 で の微 視 的 状 態 数 とな る.N個 の分 子 が あ る と きに は,位 置 的 空 間 の場 合 と 同 じよ う に考 え れ ば, (1・89)

が1つ の 巨視 的状 態 に対 応 す る微 視 的状 態 の数 に な る.温

度 がT0⇒Tへ

の

変 化 した と きの,微 視 的状 態 数 の比 は,

で あ り,こ の式 の対 数 値 にkを 乗 じた式 を考 え る と,

(1・90)

と な っ て,こ

れ は 式(1・85)の

  ま と め る と,次   位 置(x,y,z)と

で あ る.

の よ う に な る. 運 動 量(px,py,pz)の6個

微 視 的 状 態 数 は,こ に比 例 し,N個

右 辺 第1項

の6個

の 変 数 で 表 さ れ る1分

子 の

の 変 数 が す べ て 独 立 で あ る と い う 考 え か らV・T3/2

の 分 子 で は,そ

の数 は (1・91)

で あ る.こ

れ に 対 し て,エ

ン トロ ピー変 化 は

(1・92)

と 書 け る.w0はV0,T0で

の 値 で あ る.

練 習 問 題 〔1〕

1. 体 積1m3の

容 器 にN2ガ

ス が入 って い る.内

部 圧 力 は10−2Pa,温

度 は300K

で 熱平 衡 状 態 に あ る.   (1) 容 器 中 のN2分

子 数 は い く らか.

  (2) こ の気 体 に つ い て,Maxwellの

速 度 分布 則 を グ ラ フに描 け.

  (3) 分 子 の 自乗 平 均 根 速 度 はい く らか.   (4) 速 さが200m/sと201m/sの

間 に あ る分 子 数 は全 体 に対 して い くらの割合 か.

 (5)  分 子 直 径 を3.5Å とす る と,平 均 自由 行程 は い く らか.

2. 〓

3.  1molの

を 求 め よ.

単 原 子 理 想 気 体 が断 熱 自由膨 張 して,体 積 が2倍 にな った.エ ン トロ ピー

変 化 を求 め よ.

第2章  特殊相対性理論

  Einsteinの

相 対 性 理 論 は,そ れ まで 信 じ られ て い たNewton力

て 大 き な変 革 を 与 え る もの で あ っ た."動

学 に対 し

く"と い う概 念 は 基 本 的 に は,

"動 か な い絶 対 静 止 系"の 上 に 成立 す る とい うの が

,そ れ ま で の 考 え で あ っ

た.相 対 性 理 論 で は,こ の 絶対 静 止 系 の存 在 を 否 定 す る."動

く"の

的 に い え る こ とで あ って,静 止 系 の 概 念 を 放 棄 した 場 合 に は,こ Newton力

2・1 

は相対

れ まで の

学 は,こ の 新 しい考 え の うえか ら書 き換 え られ ね ば な ら な い.

Galileiの

相 対 性

 力学 に お け る運 動 方 程 式 の第 二 法 則 は, (2・1)

で,こ

の 式 は 慣 性 系K0に

対 して 成 立 す る.た

だ し,K0に

対 して 加 速 度 運 動

を し て い る 系 に 対 して は,右

辺 の 力 の 項 に 慣 性 力 と い う も の が 現 れ,こ

式 は 成 立 しな い.し

れ を 逆 に い え ば,1つ

ば,こ

か し,こ

の 慣 性 系K0が

れ に 対 して 加 速 度 運 動 して い る系 に 対 し て も,運

入 し た 形 で 書 け る と い う こ と に な る.こ の 存 在 が 証 明 で き れ ば,Newtonの

の方 程

定 義 で きれ

動 方 程 式 が 慣 性 力 を導

の 第 二 法 則 を 完 全 に 満 た す 慣 性 系K0

運 動 方 程 式 の 正 し さ は,は

っ き り す る はず

で あ る.   と こ ろ が,慣

性 系K0は

に 対 して,x方

向 に 等 速 度uで

測 る原 点 で,2つ 標 系の間には

一 義 的 に は き ま ら な い.い

ま,座

動 い て い る 系K(x',y',z')を

の 系 の 原 点 は 一 致 して い た と し よ う.す

標 系K0(x,y,z) と り,時 る と,こ

の2つ

間を の座

図2・1  慣 性 系K0に

対 しx方 向 にuの 速 度 で進 む系K

(2・2)

が 成 立 す る.uは

一 定 で あ る か ら,式(2・2)を

時 間tで2階

微 分 し た 式 は,

(2・3)

と な っ て,K系 Kで

で も第 二 法 則 は成 立 す る.た

だ し,こ

れ に は条 件 が つ く.K0,

同 じ よ う に 時 間 が 経 過 す る と い う 条 件 で あ る.Kで

の時間を (2・4)

と お く と,

(2・5)

で,式(2・3)が

成 立 す る た め に は,

(2・6)

の 条 件 が 必 要 で あ る.こ

の 第1式

はdt'/dt=1で

あ る か ら, (2・7)

が で て,時

間 を 測 る 原 点 は 適 当 に と れ る か ら,const.=0に

と れ ば, (2・8)

が 条 件 と な る.   一 般 的 に い う と,慣 こ の2つ

性 系K0に

対 し て 一 定 速 度uで

の 系 の 間 で,r(x,y,z),tお

運 動 して い る 系Kを

よ びr'(x',y',z'),t'を

考 え,

と る と き, (2・9)

な る変 換 を し た 場 合 に は,Kに る.こ

同様 に運 動 の第 二 法 則 が 成 立 す

の 変 換 に 対 して 第 二 法 則 は 形 を 変 え な い.式(2・9)をGalilei変

び,系Kも

2・2 

 

お い て もK0と

換 と呼

ま た 慣 性 系 と い う こ と が で き る.

電 磁 気 学 とMichelson‐Morleyの

Maxwellは,1864年 と を 予 言 した.電

実 験

に 電 磁 場 理 論 を 完 成 し,そ

の 中 で光 が 電 磁 波 で あ る こ

荷 の 振 動 に よ っ て 生 じ た 電 磁 場 の 変 化 は,真

空 中で

(2・10)

の 速 さ で 伝 わ る.ε0,μ0は

真 空 中 の 誘 電 率,透

磁 率 を そ れ ぞ れ 表 す.こ

う に電 磁 波 の 速 さ が 理 論 的 に 正 確 な も の で あ れ ば,任 さ を 正 確 に 測 る こ と に よ っ て,我 系K0)が

意 の座 標 系 で 電 磁 波 の速

々 の 住 む 空 間 の ど こ か に,絶

対 静 止 系(慣

性

存 在 す る こ と が 証 明 で き る は ず で あ る.

  我 々 の 住 ん で い る 場 所 をGalileiの Kの 静 止 系K0に

対 す る 速 度 をuと

な る は ず で あ る.uを K0が

のよ

確 認 で き る.uの

知 数 を き め る に は,次

相 対 性 に 現 れ た 慣 性 系Kで す る と,K上

測 定 で き れ ば,光 大 き さ,方

で 測 っ た 光 の 速 度 はc−uと

速 度 がcで

向,向

あ る と しよ う.

あ る 空 間 の 存 在,す

き は わ か ら な い の で,こ

なわ ち

の3個

の未

の よ う に す れ ば よ い.

  地 球 上 に 任 意 の 直 角 座 標x,y,zを

と り,±x,±y,±z方

向で光速 度 を測

る.

(2・11) が 測 定 で き れ ば,(ux,uy,uz)が 渉 効 果 を 利 用 して,こ

のuを

わ か る.MichelsonとMorleyは,光 測 定 す る 実 験 を 行 っ た.

の干

図2・2 

Michelson-Morleyの

図2・3  M2で

  図2・2の

光 源Qか

か れ る.①,② さ れ,Pに り,干

ら出 た光 は,半

は 同 じ距 離lだ

も ど る.①

渉 を 起 こ す.こ

の 光 の 行 路 差 は0で

はPで

干 渉 計

反 射 して も ど る光 の 経 路

透 明 板Pで,透

け 進 ん だ 後,反

反 射 さ れ,②

射 鏡M1,M2で

はPを

それぞ れ反射

透 過 し た 形 で 望 遠 鏡Tに

の 測 定 器 が 静 止 空 間 に 置 か れ て い る な らば,① あ る か ら,Tの

中 で の 干 渉 は 明 る い.実

の 反 射 面 が 光 に 対 して わ ず か の 傾 きが あ り,Tに 射 の 場 所 に よ っ て 光 路 差 が 少 しず れ,全 厚 の 干 渉 縞,Fizeau

過 光 ① と反 射 光 ② に 分

fringe).こ

入

と ② と

際 に はM1,M2

入 る 光 はM1,M2上

で,反

体 と し て は 明 暗 の 干 渉 縞 が 見 え る(等

のMichelson-Morleyの

干 渉 計 が 観 測 系Kに

あ っ て,Kの

速 さ がPM1方

向 にυ で あ る と し よ う.す

る と,光

① がPM1を

往 復 す る 時 間t1は,

(2・12)

 ま た,光

② がPM  2を 往 復 す る時 間t2は,

(2・13)

 こ の 時 間 差 を 考 え る と,(υ/c)の

三 次 以 上 を 無 視 して,

(2・14)

 この 時 間差 に対 応 す る光 路 差 は,

(2・15)

と な り,こ

れ に よ る位 相 差 は,

(2・16)

と な る.λ0は

測 定 に 用 い た 光 の 波 長 で あ る.次

した 状 態 で 同 様 な 実 験 を す れ ば,両

に,こ

の 装 置 全 体 を90°

者 で の 位 相 差 は こ の2倍,す

回転

な わ ち,

(2・17)

だ け 変 化 す る は ず で あ る.そ 転 の 間 に,干

し て,望

渉 縞 の 移 動 す る距 離 は,干

遠 鏡Tを

の ぞ い た と き,こ

の90°

の 回

渉 縞 に して,

(2・18)

個 で あ る.

と し,υ

と し て,地

球 の 公 転 速 度3×104〔m/s〕

を と る と,

(2・19)

と な る.こ

れ は 干 渉 縞 が,縞

とMorleyの

間 隔 の0.37だ

実 験 装 置 は,こ

の 値 の1/100程

ほ ど の 精 度 を も っ て い た け れ ど も,実 終 わ っ た.こ

の 実 験 を 行 っ た 時,ち

の 移 動 は 見 え る は ず で あ る.し

験 で は,こ

度 の移 動 で も測 定 で き る の 移 動 は 観 測 さ れ ず,失

ょ う ど 地 球 が 静 止 空 間K0に

こ の 結 果 は 当 た り ま え で あ る が,こ の 反 対 側 で 同 じ実 験 を 行 え ば,今

け 移 動 す る こ と を 意 味 す る .Michelson

の 実 験 の 半 年 後,す

敗 に

い た と す れ ば,

な わ ち 地球 の公 転 軌 道

度 はυ の 向 き は反 対 側 に な る わ け で,干

か し,こ

に か か らな か っ た.MichelsonとMorleyの

渉縞

の場 合 で も同様 に干 渉 縞 の移 動 は観 測 実 験 以 外 に も,K0を

と す る光 学 的 実 験 が い くつ か 季 節 を 変 え て 行 わ れ た が,い

検 出 しよ う

ず れ もK0の

検 出 は

否 定 的 な 結 果 に 終 わ っ た.

2・3 

Lorentz変

  Michelson‐Morleyの 速 さ が 一 定cで

換

実 験 は,ど

ん な 座 標 系 で 光 の 速 度 を 測 定 し て も,そ

あ る こ と を 示 して い る.い

各 座 標 で の 時 間 はt,t'で 座 標 系 の 原 点OとO'と

あ る と す る.た

ま,2つ だ し,時

は 一 致 して お り,K'はKに

度υ で 運 動 し て い る と す る.時

間 原 点 でO(O'で

の 座 標 系K,K'を

考 え,

間 を 測 る 原 点 で は,2つ 対 し てx方 も あ る)か

の

の

向 に一 定 の速

ら 出 た 光 のt時

間

後 の 波 面 は, (2・20)

で あ る.こ

の 光 をK'で

観 測 した と す る.Galilei変

な わ ち,x'方

向 で の 光 の 速 さ はc−υ

換 に 従 う と す れ ば,波

面

の形 は (2・21) で あ る.す

と して観 測 され る はず で あ る

図2・4 

が,Michelson-Morleyの い て も,光

2つ の 慣性 系K,K'で

実 験 は,こ

の 光 の 波面

の よ う な こ と は 否 定 し て お り, K'に

お

の 波 面 の 式 は, (2・22)

で な け れ ば な ら な い.こ   そ こ で,Galiley変 を 式(2・20)と

れ が 光 速 度 不 変 の 原 理 で あ る.

換 と は 異 な る(x,y,z,t)と(x',y',z',t')と

式(2・22)が

の変 換

満 足 さ れ る よ う な 形 で 考 え な け れ ば な ら な い.こ

の 場 合 に は,

で あ る か ら,(x,t)と(x',t')と

の 変 換 を 考 え れ ば よ い.変

換 の 条 件 は, (2・23)

で あ る.さ

て,こ

形 で あ る と,い 空 間 は,こ   Kに

の(x,t)と(x',t')と

の 関 係 は線 形 で あ る と し よ う.非

ず れ か の 座 標 系 で 空 間 と 時 間 の 一 様 性 が な くな り,そ

線

の よ うな

こ で は 考 え な い こ と と す る.

お け るx軸

の 正 方 向 で,光

の 先 端 の 事 象 は(x,ct)で,こ

れ はK'に

お

け る(x',ct')に

対 応 す る. (2・24)

 こ の 事 象 間 の 変 換 は,Aを0で

な い 定 数 と し て, (2・25)

と す れ ば,式(2・24)を Bを

満 足 す る.同

様 に,x軸

の 負 方 向 に 進 む 光 に 対 し て は,

定 数 と し て, (2・26)

と す れ ば よ い.

(2・27)

と お け ば, (2・28) (2・29)

と な る.式(2・28)でK'に み る と,Ect/Dと

お け る原 点O'の

な っ て お り,こ

座 標 はx'=0で,こ

れ はO'のOに

対 す るt秒

れ はKか

ら

後 の距 離 で ある

か ら,

(2・30)

  次 に,t=0の

瞬 間 にKか

ら み たK'上

の 単 位 長(x'=1)は,式(2・28)か

ら

(2・31)

に 見 え る.こ

の 逆 に,式(2・28),式(2・29)でtを

消 去 した式

(2・32)

で,t'=0の

瞬 間 に,K'か

ら み たK上

の 単 位 長(x=1)は,

(2・33)

に 見 え る.KとK'と な い.故

の 運 動 は相 対 的 で あ る か ら,Δx=Δx'で

な けれ ば な ら

に,

(2・34)

 こ れ を 式(2・30)に

代 入 す る と,

(2・35)

が 得 ら れ る.式(2・34),式(2・35)を

式(2・28),式(2・29)に

代 入

した形

は,

(2・36)

と な り,こ (2・36)の

の 変 換 は 式(2・23)を

満 足 す る.こ

れ をLorentz変

換 と い う.式

逆 変 換 は,

(2・37)

と な る.式(2・36),式(2・37)でυ/c≪1の と な っ て,Galillei変

2・4 

場 合 に は,x'=x−υt,t'=t

換 と 一 致 す る.

Lorentz変

  前 節 の 式(2・31)に

換 の 意 味

式(2・34)を

代 入 す る と, (2・38)

が 得 ら れ る.こ

のΔxは

の 単 位 長 で あ る か ら,そ

自 分 に 対 して 速 度υ で 動 い て い る も の を 見 た と き れ が 長 さl(自

〓に 見 え る.こ   次 に,時

分 と 同 じ系 で 測 っ て)の

れ がLorentz短

も の で あ れ ば,

縮 で あ る.

間 の 経 過 が 運 動 系 で ど の よ う に な っ て い る か を み よ う.K'で

計 はx'=0の す る と,x=υt,こ

と こ ろ に あ る と し て よ い か ら,式(2・36)の れ を 第2式

に 代 入 す る と,

第1式

でx'=0と

の時

(2・39)

  t'=1と Kに

す る と,〓

で,こ

お い て〓

の1秒

は,そ

秒 で あ る こ と を 意 味 す る.す れ に 対 し て 静 止 し て い る 系 か ら 測 る と ,1秒 に な っ て い る.地

命

れ はK'に

τ0を 地 上 で 測 る と,そ

お け る1秒 な わ ち,運

が, 動 系

よ り大 き く〓

上 に 対 し て 速 度υ で 降 っ て く る 宇 宙 線 の 寿

の 測 定 値 は,

(2・40)

に な っ て い る.こ   次 に,質

の 関 係 は,実

点 の 運 動 を 静 止 系Kと

験 的 に 確 認 さ れ て い る. 運 動 系K'と

で 考 え よ う.Kで

の 速 度 成 分 は,

(2・41) で 表 さ れ る.こ

の 質 点 の 運 動 をK'で

み た 場 合 に は,

(2・42)

と な る.前

節 の 式(2・36)の

微 分 を 考 え る と(y,z方

向 の 分 も加 え て),

(2・43)

(2・44)

で あ る か ら,

(2・45a)

(2・45b)

(2・45c)

  こ れ は 相 対 論 的 な 速 度 合 成 則 で あ る.質 0の 場 合 は,式(2・45b),式(2・45c)か

点 の 速 度 がux=u,uy=0,uz= ら,uy'=0,uz'=0と

な っ て,

式(2・45a)は,

(2・46)

の よ う に 表 さ れ る.こ

の 後 の 式 は,次

度 を も っ て い るK'上

でu'の

速 度 を もつ 質 点 をKか

の 式 で 表 さ れ る の で あ る.υ,u'≪cの 則 と 同 じ に な る.し

の よ う に 考 え ら れ る.Kに

対 してυ の 速

ら み る と,そ

場 合 に は,Newton力

の速度 が こ

学 で の速 度 合 成

か し,

の場 合 で も,こ の合 成 則 で は,合 成 速 度uは 光 速度cを 超 え な い.光 速 度cは 限 界速 度 で,u'=cの

場 合 に はu=cと

な る.

2・5  相 対 論 的 力学

  Lorentz変

換 に 対 して 不 変 な 力 学 の 法 則 を 考 え よ う.相

の 慣 性 系 は,す

べ て

べ て の 物 理 法 則 の 記 述 に 関 して 同 等 の 資 格 を も っ て お り,し

が っ て そ の 物 理 法 則 の 形 はLorentz変 た だ し,速

対 論 で は,す

換 に 関 して,不

変 で な け れ ば な ら な い.

度 が 光 速 度 に 比 較 し て 十 分 に 小 さ い 場 合 は,Lorentz変

llei変 換 に 移 行 す る の で,相

対 論 力 学 はc⇒∞

た

でNewton力

換 はGali 学 と一 致 す る

も の で な け れ ば な ら な い の は 当 然 で あ る.

〔1〕

運 動 量 と質 量

 慣 性 系Kで

速 度uで 運 動 して い る質 点 の運 動 量pは, (2・47)

で表 現 され る.Newton力

学 で は,質 量 と速 度 と は無 関 係 な 量 と して 取 り扱

う が,こ

こ で はmはuの

関 数 で あ る と す る. (2・48)

  そ し て,Kに

対 し て 速 度 を も つ 他 の 慣 性 系K'に

お い て も,式(2・47)と

同

様 な 関 係, (2・49) で,運

動 量 は 表 現 さ れ な け れ ば な ら な い.こ

よ う に 求 め て み よ う.K空

間 で 全 く 同 じ2個

に 速 度υ を も っ て い る 質 点m(υ)が して,衝 てx方

速 度 に な っ た と す る.こ 観 測 す る と,図2・5の

度υ を も っ て い た 質 点m(υ)はm(o)で (o)は 逆 にm(υ)で

表 さ れ,Kで

表 さ れ る こ と に な る.K'で

(a)

(d) 図2・5

向

衝 突 す る .そ の 現 象 をKに

よ う に な る .Kで

対 し 速

止 ま っ て い た 質 点m

見 た衝 突後 の速度 はそれ ぞ

(b)

(c)

関係 を 次 の

の 質 点 の 直 衝 突 を 考 え る .x方

止 ま っ て い る 質 点m(o)に

突 後 は そ れ ぞ れu1,u2の 向 に 速 度υ を も つ 系K'で

こ で は,式(2・48)の

れu1',u2'と

な って い る と し よ う.m(u1')はK'でu1'の

K'はKに

対 してυ の 速 度 を も っ て い る.す

る と,そ

速 度 を も っ て お り, のKか

らみ た 速 度u1は,

速 度 合 成 則 に よ っ て,

(2・50)

で あ り,同

様 にm(u2')に

つ い て は,

(2・51)

で 表 さ れ る.し KとK'と

か し,衝

突 の 瞬 間 を 考 え る と,u1=u2,u1'=u2'で

あ り,ま

た,

は 相 対 速 度υ で 運 動 し て い る か ら, (2・52)

で あ る.式(2・52)を

式(2・50),式(2・51)に

代 入 す る と,

(2・53)

 こ の う ち,複

号 は− を と ら ね ば な ら な い*).式(2・52),式(2・53)か

ら, (2・54)

が で る.さ

て,Kに

お け る 運 動 量 保 存 則 を 考 え る と, (2・55)

 次 に,Kに

お け る質 量 保 存 則 を考 え る と, (2・56)

(2・57)

*)  +を か がcよ

と った場 合 は,u1υ

あ る い はu2υ がc2よ

り大 き く な って しま うか らで あ る.

り大 き くな って,u1,u2あ

る い はυ の い ず れ

す る と,

(2・58)

 こ の 式 に,式(2・53)の

関 係 を 入 れ る と,

(2・59)

が で る.m(o)を

静 止 質 量,あ

るい は固 有 質 量 と呼 ぶ.速 度υ で動 い て い る と

きの相 対 論 的質 量 は,式(2・59)で

表 現 され る.す る と,速 度uで 運動 して い

る質 点 の相 対 論 的運 動 量 は, (2・60)

と 書 け る.u≪cの 動 量 と 一 致 す る.今   一 般 に,u1,u2の

場 合 に は,p=m(o)uと 後m(o)をm0の

な り,こ

れ はNewton力

形 で 表 現 す る こ と に す る.

速 度 で 同 方 向 に 動 い て い る 静 止 質 量m0の2個

心 衝 突 を し,速 度 がu1',u2'に

学 の運

の質 点 が 向

な っ た と す れ ば,相 対 論 に お け る 質 量 保 存 則 は,

(2・61)

の よ うに書 け る.速 度uが 光速cに 比 べ て小 さい場 合 は, (2・62)

の よ う に 展 開 で き る の で,こ

の 第1項

の み を 比 較 す る と, (2・63)

で,こ

れ は 静 止 質 量 の 保 存 を 意 味 し て い る.ま

た,第2項

を 比 較 す る と,

(2・64)

が で るが,こ れ は運動 エ ネ ル ギ ー保 存 則 で あ る. 〔2〕 運 動 方 程 式 と運 動 エ ネ ル ギ ー   相 対 論 的 力 学 で の運 動方 程 式 は,力 をFと

して, (2・65)

で 表 す.相 る.こ

対 論 に お い て も,力

のpは

式(2・60)で

のpで

が 働 か な い 場 合 は,運

動 量pは

保存 され る とす

あ る か ら,

(2・66)

とな って,加 速度du/dtとFと  力Fが

は必 ず しも平 行 で は な い.

単位 時 間 に な す仕 事Wは,F・uで

あ るか ら,こ れ が 質 点 の 運 動 エ ネ

ル ギ ーTの 時 間 変 化 とな り, (2・67)

の よ う に 表 現 さ れ る.こ

こ で も,力

が 働 か な い 場 合 は 運 動 エ ネ ル ギ ーTは,

保 存 さ れ る よ う に き め た わ け で あ る.こ と,

の 式 のFに

式(2・66)の

関係を入れ る

 す な わ ち,

(2・68)  u

=0の

と き ,T=0で

あ る か ら,こ

の 一 定 値 は −m0c2で

あ る.す

る と,

(2・69)

の よ う に 運 動 エ ネ ル ギ ー が 表 さ れ る.m0は 量 で あ る か ら,m0c2を 度uを

静 止 エ ネ ル ギ ー と 呼 び,運

も っ た と き の エ ネ ル ギ ーmc2と,こ

れ る こ と に な る.mc2を

質 点 が 静 止 の状 態 に あ る と き の 質 動 エ ネ ル ギ ーTは

質点が速

の静止 エ ネル ギー との差 で表現 さ

自 由 質 点 エ ネ ル ギ ー と 呼 ぶ.

〔3〕 運 動 量 とエ ネ ル ギ ー の 関 係 慣 性 系Kと,こ

れ に 対 してx方

自 由 質 点 の 運 動 量,エ

向 にυ の 速 度 で 運 動 し て い る慣 性 系K'と

ネ ル ギ ー の 関 連 を 調 べ よ う.Kで

は,

(2・70)

 

K'で

は,

(2・71)

と 表 現 す る.uとu'と

の 関 係 は,前

節 の 式(2・45a)で,こ

れ を 書 く と,

(2・72)

で あ る.こ

れ か ら,

(2・73)

が で る.式(2・71)を

式(2・72),式(2・73)を

使 っ て 書 き か え る と,

で,

(2・74)

 ま た,式(2・73)を

使 う と,

(2・75)

  式(2・74),式(2・75)の

変 換 は,2・3節

で 述 べ た(x,t)と(x',t')と

変 換 と 全 く 同 じ形 を し て い る.(x,y,z,t)と(x',y',z',t')の (ct)2−(x2+y2+z2)が

不 変 量 で,こ

と(px',py',pz',E'/c2)と

の 値 は0で

の 変 換 で は

あ っ た.(px,py,pz,E/c2)

の 変 換 で の 不 変 量 を 求 め る と,

(2・76)

と な る.自

由 質 点 の エ ネ ル ギ ー は,こ

れ か ら, (2・77)

の よ う に 書 け る.ま

た,式(2・70)の

関 係 と式(2・77)か

ら,

(2・78)

が で る.式(2・77)を

微 分 す る と,

(2・79)

と な っ て,uの

成 分(ux,uy,uz)は,(∂E/∂px,∂E/∂py,∂E/∂pz)で

あ

る こ とが わ か る. 〔4〕 運 動 す る質 点 の 固有 時   質 点 が 力 を うけ て運 動 す る と きに は,そ の速 度uは 時 々 刻 々変 化 す る.1つ の 慣 性 系Kで

の時 間tを も って,こ の速 度 を測 り,そ れ がu(t)で

次 の瞬 間 に は,そ の速 度 は別 な慣 性 系 でu'(t')と

あ っ て も,

しな け れ ば な らな い.す

る

と,加 速 度 を も って い る質 点 の運 動 を理 解 す る た め に は,無 限 個 の慣 性 系 を用 意 しな けれ ば な らな い.こ の よ うな不 便 さ を解 消 す るた め に は,そ の質 点 と全 く同 じ運 動 をす る慣 性 系Iを 用 意 す れ ば よ い.こ 2・4節 の式(2・39)の

の慣 性 系Iの 時 間 経 過dτ は

よ うに は 表現 で きず,等 速 慣 性 系Kの

時 間経 過dtに 対

応 して, (2・80)

の よ う に 表 さ な け れ ば な ら な い.u(t)はKで こ の τを 質 点 の 固 有 時 と い う.τ Lorentz変

〔5〕

の 時 刻tに

は も と の 慣 性 系Kの

お け る 速 度 を 表 す.

選 び 方 に は 無 関 係 で,

換 に 対 し て 不 変 量 で あ る.

力の変換則

  自 由 質 点 の エ ネ ル ギ ーEは,運

動 エ ネ ル ギ ーTと

静 止 エ ネ ル ギ ー 分m0c2

だ け 違 う が,こ

れ は 時 間 に 対 し て 無 関 係 な 量 で あ る の で,エ

(2・67)をEの

形で

ネル ギー方程 式

(2・81)

と書 く.fは

力 を 表 す.こ れ と運 動 方 程 式 (2・82)

とが,相 対 論 的 力 学 の基 本 的 方 程 式 に な る が,こ 導 入 す る と,

のdtに 対 して 固 有 時dτ を

(2・83)

  こ の 後 の 式 で,左

辺 を(E/c2)と

した 意 味 は,既

c2)は,Lorentz変

換 に 対 して(r,t)と

同 じ変 換(共

は 固 有時 で ある の で,〓 す る と,式(2・83)の

に 述 べ た よ う に,(p,E/ 変 性)を

もLorentz変

受 け,ま

たdτ

換 で 共 変 性 をもつ.

右 辺 も 同 じ共 変 性 を 受 け な け れ ば な ら な い.こ

の共変 性

を 受 け る成 分 を 書 く と,

で あ る.す

な わ ち,式(2・83)は

をMinkowski力

す べ て の 慣 性 系 で,全

と い い,Newton力

く平 等 な 表 現 を と る.

学 に お け る よ う に,絶

対 的 な意 味 を もた

な い.

2・6 

質 量 と エ ネ ル ギ ー の等 価 性

 自 由質 点 エ ネ ルギ ーを (2・84)

の よ う に 表 現 し た 意 味 は,質 れ をEinsteinの

関 係 式 と い う.エ

は 〔kg〕で あ る が,そ 節 の 式(2・69)に

量 と エ ネ ル ギ ー の 等 価 性 を い っ て い る わ け で,こ ネ ル ギ ー の 単 位 は 〔J〕で あ り,質

の 変 換 定 数 がc2に

よ れ ば,

量 の単位

相 当 す る こ と を 意 味 し て い る.2・5

(2・85)

で,第2項

以 下 は 運 動 エ ネ ル ギ ー を 表 す.

練 習 問 題 〔2〕

1. 光速 をcと

して,0.8cの

速 さで 動 いて い る運 動 系K'の

中 で,長

さ1mの

棒を

運 動 方 向 に対 して30° 傾 け た.こ の棒 を静 止 系 か らみ た と き,   (1) 棒 の長 さ は い くらに 見 え るか.   (2) 棒 の角 度 は い くら に見 え るか.

2.  静 止 系K(x,y)と

こ れ に 対 してx方

向 にυ で 動 く運 動 系K'(x',y')を

考 え

る.  

(1)  静 止 質 量m0の

質 点 の 速 度 をKでu,K'で

はu'と

す る と,uとu'と

の関 係

は ど の よ う に 表 さ れ る か.  (2) 

Kで

の 運 動 量 を〓,K'で

の 運 動 量 を〓 と 表 す と,pとp'と

 

(3)  Kで

の 関 係 は ど うか.

の 運 動 エ ネ ル ギ ー を〓,K'で

エ ネ ル ギ ー を〓と表

の運動 す と,EとE'と

の関係 はど

う か.  

(4) p2-(E/c)2は

変 換 に 対 して 不 変 量 と な る が,そ

る か.  (5) 

Eをp,m0,cで

表 す と,ど

の よ う な 形 に な る か.

の 値 は ど の よ うに 表 さ れ

第3章 

電 子 の粒 子 性 と波動 性

  この章 で は,電 子 の もつ二 面 性,粒 子 性 と波 動 性 に つ いて,ダ

ブル ス リッ

トを用 い た思 考 実験 を通 して考 え て み る.電 子 の通 過 す る経 路 を 計測 によ っ て識 別 す るか,し な い か が,そ の後 の電 子 の 性 格 に大 き な 差 異 を も た らす こ とが わ か る で あ ろ う.

  3・1 

波 の表 現 と波 の強 さ

  こ れ ま で 古 典 物 理 で 勉 強 し て き た 波 の 数 学 的 表 現 を ま ず お さ ら い を し よ う. 一般 に

,あ

る任 意 点 で の 正 弦 波 的 な 振 動 を 次 の よ う に 表 す. (3・1)

  こ こ に,yは

振 動 の 中 心 か ら 測 っ た 振 動 の 変 位,Aは

表 し,振 動 の 周 期Tと

の 間 に は ωT=2π

の と き の 初 期 位 相 で あ る.こ

振 幅,ω

の 関 係 が あ る.tは

の 振 動 が 速 度(位

相 速 度)υ

は角 振 動 数 を

時 間,δ

でx軸

はt=0

方向 に伝播 す

る と き の 波 動 の 変 位y(x,t)は, (3・2)   こ こ に,kは

波 数 で,波

υ kな る 関 係 に あ る.こ   式(3・2)で

長 λ と の 間 に はkλ=2π

のυ=ω/kを

の 関 係 が あ る.ま

た,ω=

位 相 速 度 と い う.

表 さ れ る波 は正 弦 波 で あ る の で, (n:整

で 波 動 変 位y=0と

な る.す

数) 

(3・3)

る と, (3・4)

で あ る の で,時 の で,+x方

間 経 過(tを

増 加 さ せ る)と

向 に 進 む 進 行 波 で あ る.同

と も にy=0の

様 に,

位 置xが

増 加 す る

(3・5)

は,−x方

向 に 進 む 進 行 波 と 見 る こ と が で き る.

  式(3・3),式(3・5)で

表 さ れ る 正 弦 波 は,次

の よ うに複 素 関 数 を 用 い て 表

現 す る こ と も で き る. (3・6)   Eulerの

公 式 よ り,式(3・6)は, (3・7)

と な り,式(3・5)を こ れ をRe[Ψ]と

含 ん で い る.第1項

は 実 数 部(real

part)と

呼 ば れ,

書 く と, (3・8)

で あ る.第2項

は 虚 数 部(imaginary

part)と

呼 ば れ,Im[Ψ]と

書 く と, (3・9)

で あ る.式(3・2),式(3・5)の

よ う に正 弦 関 数 で 波 を 表 す と,こ

で 微 分 を す る ご と にsinとcosを お く と,係

書 いて

数 が 異 な る だ け で 何 回 微 分 を し て も同 じ関 数 形 に な る の で 扱 い や す

い 利 点 が あ る.式(3・6)か 所xに

繰 り返 す こ と に な る が,式(3・6)で

れ をxやt

よ る変 化 ∂y/∂xを

ら波 の 変 位yや

そ の 時 間 変 化 ∂y/∂t,お

よび場

知 り た け れ ば, (3・10)

(3・11)

(3・12)

とす れ ば よ い.つ ま り,必 要 に応 じてΨ の 実 数 部 ま た は虚 数 部 を 取 り出 せ ば よ く,数 学 的 に演 算 を す る と きはΨ の形 の ま ま 扱 え ば よ い わ け で あ る.複 関数 Ψ は左 右 の しりに ポ ケ ッ トの つ い た ジ ー ン ズ と思 え ば よ い.ジ *  「共 役 」と い う言 葉 は昔 は 「共軛 」と書 い た.車 す ラテ ン語 か らき た言 葉(con-jugum→conjugate)で 概 念 を形 容 す る の に用 い られ るよ うにな った.例

の 左 右 両 輪 が軛(軸)を

素

ー ンズ を

共 に して い る様 子 を 表

あ る.こ れ か ら互 に相 関 連 す る数 学 上 の え ば,a+ibとa−ibは

互 に共 役 で あ る とい う.

は い て歩 い て(演 算 して),必 要 に 応 じて,左 右 の ポ ケ ッ トか ら取 り 出 す 要 領 で あ る.  Ψ の共 役 複 素 関 数 をΨ*と 書 く と, (3・13) (3・14) で あ る.す

る と, (3・15)

で あ る.   波 の強 度 とは,単 位 時 間 に 単 位 面 積 を通 過 す る波 の エ ネ ルギ ーで 定 義 され る が,こ

こで は簡 単 に次 の よ うに考 え て,波

の 強 度 を 求 め て み る.波

の強度 を

単 位 体 積 あ た りの エ ネ ル ギ ー と波 の速 度 の 積 と考 え て み る.単 位 体 積 あ た り の エ ネル ギ ー は運 動 エ ネ ル ギ ー と位 置 エ ネ ル ギ ー の 和 で あ る が,運

動 エネ ル

ギ ー が最 大 の とき は位 置 エ ネ ル ギ ー は0と な って い る ので,単 位 体 積 あ た りの 最 大 運 動 エ ネ ル ギ ー を式(3・11)を

使 って 求 め て み る と,媒

質 の密 度 を ρ と

して,

(3・16)

 波 の速 度 をcと す る と,波 の強 さIは (3・17)

と な る.   こ れ よ り,波

の 強 度Iは

振 幅Aの2乗

に比 例 す る こ と が わ か る.す

な わ ち, (3・18)

3・2  古 典 的 な粒 子 と波

  古典 的 な粒 子 と い う の は,量 子 力学 で扱 う電 子 に 比 べ た らは るか に大 き く, 物 質 の 粒 の意 味 で あ る.ピ

ンポ ン球,バ

レー ボ ー ル は もち ろん,じ ん たん の粒

もさ らに 小 さ な油 滴 も この範 疇 に 入 るだ ろ う.古 典 的 な 波 と は,音 波 とか 水 面 の 波 が よ い例 で あ る.   こ こで は,こ れ らの 粒 子 と波 を,ダ

ブル ス リッ ト(接 近 して並 ん で い る2つ

の ス リッ ト)と い う障 害 を通 して そ の反 対 側 へ移 動 させ た と き,そ れ らが どの よ うな 分 布 を と るか につ いて 調 べ る.こ こで得 られ る結 果 を 諸君 はす で に知 っ て い る こ と と思 うが,次 節以 降 で学 ぶ電 子 に つ い て の 同様 な思 考 実 験 の結 果 を 評 価 す る と きの 基 準 とな る.   ま ず,粒 子 の 例 か ら述 べ よ う.図3・1に

示 す よ う な実 験 装 置 を 用 い よ う.

この実 験 で は,エ ア ー ゾル で 噴 き出 す ラ ッカ ー の小 さな粒 子 を用 い る.こ の粒 子 の飛 び 出 す前 方 に ダ ブル ス リ ッ トを も ったつ い た て を お き,そ の背 後 に 白紙 を立 て て お く.

図3・1 

ダ ブ ル ス リ ッ トを 通 し た ラ ッ カ ー ス プ レ ー 実 験

  ス リ ッ トを 通 し て 白 紙 に 噴 き 付 け られ る ラ ッカ ー の 量 のx軸 た と す る.図3・2は,そ の み を 開 きS2を 状 態,S1を

方 向 の 分 布 を測 っ

の 結 果 を 模 式 的 に 表 し て い る.図(a)は,ス

閉 じ た 状 態 で 作 っ た 分 布 で あ る.図(b)は,逆

リ ッ トS1 にS2を

開 い た

閉 じた 状 態 と し て 得 た ラ ッ カ ー 粒 子 の 分 布 で あ る.図(c)は,両

ス

リ ッ トを 共 に 開 い た 状 態 で ラ ッ カ ー を 噴 き付 け た と き の 分 布 で あ る.特

徴的 な

結 果 は,図(a)の で あ る.い ち,ど

分 布 と 図(b)の

ま,図3・2の

分 布 の 和 と 図(c)の

分 布 が 確 率Pで

分 布 が 同 じ形 とな る こ と

表 さ れ て い る も の と し よ う.す

の 分 布 も 分 布 曲 線 と基 準 線 の 間 の 面 積 が1で

な わ

あ る よ う に描 か れ て い る も

の と す る.

(b)

(a) 図3・2 

  図3・2に

(c)

白紙 上 に ス プ レ ー され た ラ ッ カ ーの 量 の 分 布

示 し た よ う に,S1の

み 開 い て い る と き の 確 率 をP1(x),S2の

い て い る と き の 確 率 をP2(x),S1,S2共

み 開

に 開 い て い る と き の 確 率 をP12(x)と

す る と,

(3・19)

  1/2の 係 数 は,P12の 総 和 を1に す る た め につ いて い る.こ して い る こと は,ダ

の実験 結果 が示

ブル ス リ ッ トを 通 して 得 られ る古 典 的 粒子 の付 着 す る確 率

の分 布 曲 線 は,片 一 方 ず つ の ス リ ッ トで 得 た分 布 曲線 を加 え あ わ せ た もの に比 例 す る と い う こと で あ る.   次 に,古 典 的 な波 と して水 面 波 を 取 り上 げ て み よ う.一 定 な 水深 を もつ水 の 表面 で一 定 の周 期Tで

棒 を上 下 に振 動 させ る と,そ

の 振 動 点 を 波 源 と して 同

心 円 状 に水 面 を伝 播 す る水 面 波 が 得 られ る.図3・3の

よ うに,ダ

ブルス リッ

トを もっ た板 を立 て る と,ス リ ッ トを通 過 した 波 は,両 ス リ ッ トのS1,S2を 改 め て波 源 とす るよ うな半 円状 に伝 播 す る波 とな って い る(Huygensの

原理).

両 ス リ ッ トを 出 た これ らの波 は互 に干 渉 しな が ら伝 播 す るが,こ の板 か ら一 定 距離 の と こ ろ に板 に平 行 にx軸 を と り,x軸 上 の各 点 で の水 面 波 の波 動 変 位 の 時 間 変 化 を測 定 す る.

図3・3 

  ま ず,は

じ め に,ス

ダ ブル ス リッ トを通 った 水 面 の 波 の 実験

リ ッ トS1を 開 きS2を

に お け る 水 面 の 変 位y1は,場

所xに

閉 じ て お く.x軸

上 の任 意 の 位 置

よ る変 化 を 初 期 位 相 の 中 に 含 め た 形 で

 

(3・20)

  こ こ に,ω=2π/Tで と,同

あ る.同

じ位 置 に お け る 変 位y2は,同

様 の こ と を 逆 にS2を

開 き,S1を

閉 じて 行 う

様 に (3・21)

と 書 け る で あ ろ う.両

ス リ ッ ト共 に 開 け た 場 合 の 変 位y12は,y1とy2の

和 と

な り, (3・22)

 す な わ ち,水 面 の波 動 変 位 は加 算 的 で あ る(重 ね合 わ せ の原 理).  次 に,波 の 強 度Iを 振 幅 の 自乗 に比 例 す る もの と して調 べ よ う.  S1開,S2閉

の場 合, (3・23)

と書 け る の で,強 度 は (3・24)   S2開,S1閉

の 場 合, (3・25) (3・26)

  S1,S2共

に開 の場 合

(3・27)

 こ こ で,δ1−

δ2=Δ

と お き,cosΔ=(eiΔ+e−iΔ)/2を

用 い る と,

(3・28)   こ の こ と よ り,I12≠I1+I2で

あ る こ と が わ か る.そ

第3項

に 等 しい.位

相 差Δ(=δ1−

δ2)は

はx軸

上 で 振 動 的 に な る(δ1,δ2の

場 所xの

場所で 極 大 値 (3・29)

 Δ

=π(cosΔ=−1)の

場所で

関 数 で あ る の で,第3項

中 に場 所 に よ る変 化 を 含 め て 計 算 した の

で).  した が っ て,Δ=0(cos Δ=1)の

の 差 は,式(3・28)の

I12∝(A1−A2)2 

極 小 値 

  こ の 様 子 は,図3・4(c)に I3は,ス

(3・30)

模 式 的 に 示 さ れ て い る.図3・4の

リ ッ トか ら遠 く な る ほ ど 弱 くな っ て い る .こ

の 関 数 で あ り,ス

波 の 強 度I1,I2,

の 理 由 は,A1,A2がx

リ ッ トか ら の 距 離 が 長 く な る ほ ど,こ

れ らは小 さ くな るか ら

で あ る.   こ こ で,強

調 した い こ と は,波

と い う こ と で,こ に 述 べ た(ラ

の 点 が,我

ッ カ ー の)粒

わ ゆ る干 渉 と い う効 果 を 生 ず る

々 が 波 と し て 認 識 して い る も の の 特 徴 で あ り,先

子 の 性 質 と異 な る 点 で あ る .

(a)

(b) 図3・4 

(c)

ダ ブ ル ス リ ッ ト を通 っ た 水 面 の 波 の 強 度 分 布 S1,S2の

3・3 

の 合 成 は,い

ス リ ッ ト幅 は 波 の 波 長 と 比 して 小 さい。

ダ ブ ル ス リ ッ トを 通 過 す る 電 子(そ

の1)

  さ て,次 に代 表 的 な ミク ロ粒 子 で あ る電子 の干 渉 に つ い て見 よ う.こ の 実験 で は,電 子 が 量 子 力 学 の法 則 に した が う と した と き何 が起 き るの か を 知 る こ と が重 要 で あ って,な ぜ それ が 起 こ るか と い う こ とよ り,そ れ が 先 に見 た 古典 的

な 現 象 と ど う違 うか を知 る こ とが大 切 で あ る.   まず,こ の 実 験 の構 成 を 図3・5を 用 い て説 明 しよ う.左 ネル ギ ー(速 度)を S2)を

の 電 子 銃 は一 定 エ

も った電 子 を放 出 す る.そ の前 面 に は2つ の ス リッ ト(S1,

も った 板 が お いて あ り,板 に あ た った 電 子 は 板 に 吸 収 さ れ て しま い,

ス リ ッ トを 通 り抜 け た電 子 の み が,そ の右 側 の領 域 へ 進 む こと がで き る.右 端 に は電 子 が あ た る と黒 化 す る フ ィル ム が お い て あ り,フ ィル ム を現 像 す る こ と に よ り,ど の 位 置 に どの く らい の量 の電 子 が 到 達 したか を知 る ことが で き る. フ ィル ム の か わ り に微 小 な 電子 の検 出素 子 を一 面 に は りつ け た板 を用 いて,そ の信 号 強度 の 分布 か ら各位 置 に お け る電 子 の数 を知 る ので もよ い.

図3・5 

  図3・6は,ダ

ダ ブル ス リ ッ トに電 子 を通 す 実 験

ブ ル ス リ ッ トを 通 過 した 電 子 の 強 度 分 布 を3通

験 し た 結 果 で あ る.図3・6(a)は,ス た と き の 電 子 の 強 度 分 布,図(b)は 強 度 分 布 で あ る.図(c)は,S1,S2と で あ る.図(a)の

強 度 分 布 と 図(b)の

ら か に 異 な っ て い る.こ

りの 条 件 で 実

リ ッ トS2を 閉 じ ス リ ッ トS1の そ の 逆 にS1を

閉 じS2の

みを通 し

みを開 い た ときの

も開 い た 状 態 で 実 験 し た 強 度 分 布 の 結 果 強 度 分 布 の 和 と 図(c)の

の 実 験 結 果 は,電

強 度 分 布 は,明

子 ビ ー ム は一 種 の 波 で あ り,両 ス リ ッ

トを 通 っ た 波 が 互 い に 干 渉 した 結 果 生 じ た も の と考 え ら れ る.   次 に,同

様 の 実 験 を 少 し異 な っ た 実 験 条 件 で 行 お う.電

出 能 力 を 弱 く し,一 は じ め に,両

度 に た っ た1個

子 銃 か らの電 子 の放

の 電 子 の み が 放 出 さ れ る よ う に セ ッ トす る.

ス リ ッ トを 開 い た 状 態 で こ の 電 子 を う ち 出 す と,電

子 は ど ち らの

(b)

(a) 図3・6 

ダ ブル ス リ ッ トを 通 った電 子 の強 度 分 布

ス リ ッ トを 通 過 した か わ か らな い が,フ す(図3・7(a)).こ と考 え ら れ る.フ

(c)

ィル ム 面 上 に1つ

こ ま で の 実 験 結 果 で は,電

の 痕 跡(黒

点)を

残

子 は粒 子 的 に ふ る ま っ て い る

ィル ム を 新 し い も の に と り か え 再 度 こ の 実 験 を 行 う と,フ

ィ

ル ム面 上 の 別 の 位 置 に 黒 点 が 得 られ る.   こ の 実 験 を 例 え ば1万 が1万

枚 得 ら れ る.こ

回 繰 り返 そ う.そ

れ ぞ れ1つ

れ ら の フ ィ ル ム を 重 ね,各

の 黒 点 を も っ た フ ィル ム

回 の 実 験 で 電 子 の 当 た った 痕

跡 の 黒 点 が ど の よ う に 分 布 し た か を 調 べ た も の が 図3・7(b)で   黒 点 は縞 状 に 分 布 し て お り,こ 描 く と,図3・7(b)の

の縞 に垂 直 な線 に そ って の電 子 の数 の 分 布 を

右 側 の よ う に な る.こ

出 し な が ら行 っ た 実 験 結 果(図3・6(c))と

の 図 は先 の 多 数 の 電 子 を 一 度 に 放 同 じ で あ る.多

両 ス リ ッ トを 通 過 す る条 件 で 行 っ た 実 験 で は,そ らが 互 い に 干 渉 す る こ と に よ り,こ 一 度 に1個

数 の電 子 が 同 時 に

れ ら の 電 子 を 波 と 考 え,そ

の よ う な 縞 を 生 じ た と考 え られ た.し

の 電子 の み を用 い る実験 で は

る こ と は で き な い.

あ る.

,少

れ

か し,

な く と も干 渉 と い う現 象 を 想 像 す

(a)

(b)

(c)

(d)

図3・7 

電 子 を1個

ず つ ダ ブル ス リ ッ トを通 過 さ せ る実 験

  次 に,先

の 実 験 と 同 じ く片 方 の ス リ ッ トを 閉 じ,常 に1つ

トの み を 通 し て,一 3・7(c),(d)に

度 に1個

ず つ の 電 子 を 出 して 実 験 し て み よ う.結

示 す よ う に,多

(図3・6の(a),(b))と

電 子 が2つ

果 は,図

数 の 電 子 を 一 度 に 放 出 し な が ら行 っ た 実 験 結 果

同 様 の 分 布 が 得 ら れ る.そ

(c)の 分 布 と 図(d)の 分 布 の 和 は,図(b)の   こ れ ら の2つ

の き め られ た ス リ ッ

れ ゆ え,こ

の 場 合 も再 び 図

分 布 に 等 し く は な らな い.

の 条 件 で 行 っ た 実 験 の 結 果 か ら得 ら れ た 事 実 は,一

度 に 多数 の

の ス リ ッ トを 同 時 に 通 過 す る こ と に よ っ て 生 ず る 干 渉 縞 状 の 電 子 の

個 数 の 分 布 は,そ

れ ら の 電 子 が 同 時 に 両 ス リ ッ トを 通 過 す る と い う こ と が 決 め

手 に な っ て い る と は い い に く い.と

い う の は,時

間 差 を つ け て1つ

ずつの電子

で 行 っ て も 同 じ結 果 が 得 ら れ る か ら で あ る.   む し ろ 次 の よ う に 考 え ら れ る.2つ

の ス リ ッ トの う ち,電 子 が ど ち らの ス リッ

トを 通 っ て フ ィ ル ム面 に 達 した か と い う こ と が 明 確 に な っ て い る と き と,そ が 不 明 な と き と で は電 子 の ふ る ま い は 大 変 異 な り,後

者 の場 合 に は干 渉 的 に な

る の で あ る.電

子 銃 か ら 出 る 電 子 数 が 多 い か 少 な い か は,こ

関 係 が な く,極

端 な 場 合,1個

不 明 な と き に は,干

渉 的 な(波

の 電 子 で も,そ 動 的 な)ふ

れ

の干 渉 効 果 に直 接

れ が ど の ス リ ッ トを 通 っ た か が

る ま い を 示 す と 考 え ら れ る.こ

の こ

と を よ り明 確 に す る た め に 次 の よ う な 実 験 を して み る.   さ て,次

に,S1,S2の2つ

の ス リ ッ トの う ち ど ち ら側 の ス リ ッ ト を 電 子 が

通 っ て い る か を 実 験 的 に 確 か め る た め に,装 子 を そ れ ぞ れ ス リ ッ トの 後 方 に 図3・8に

置 に微 小 な光 源 とそ の 光 の検 出素

示 す よ う に セ ッ ト し よ う.

  両 ス リ ッ トの 中 間 に お か れ た 小 さ な 光 源Lか れ て い る.各 PDBは,ス

ス リ ッ トの 脇 に そ れ ぞ れ1個

ら は,常

ず つ お か れ た 光 検 出 素 子PDAと

リ ッ トを 通 過 す る 電 子 が な い と き は,光

な い よ う に 角 度 を つ け て お か れ て い る が,ス

に光 が 四 方 に 放 出 さ

源 か らの 光 は 直 接 に入 ら

リ ッ トの 位 置 に電 子 が 通 過 す る と,

こ の 電 子 に よ り 散 乱 さ れ た 光 が ど ち ら か の 検 出 素 子 に 入 り,そ

こを電 子 が 通 っ

た こ と が わ か る よ う に な っ て い る.   図3・8  の 装 置 を 用 い て 行 っ た 実 験 結 果 を 図3・9に   S1,S2と

示 し た.

も に 開 い た 状 態 で 行 っ た 実 験 結 果(図3・9(a))は,先

の実験 結果

図3・8 

ダ ブ ル ス リ ッ トを通 過 す る電 子 を光 で確 か め る実 験

(a)

(b)

(c)

図3・9  光 を 用 い て 電 子 が どち らの ス リッ トを 通 過 した か を確 か め な が ら 実 験 した 結 果

と大 変 異 な って い る.今 度 の実 験 で はS1,S2共

に 開 い て い て も,光

に よ る電

子 位 置 確 認 装 置 の た め,個 々 の電 子 は,ど ち らの ス リッ トを通 過 して電 子 検 出

ア レ イ に 達 し た か が 明 確 に わ か っ て い る.   こ の と き は 先 の 実 験 と 違 い,干 る.今

回 の 実 験 で は,ス

渉 縞 状 の電 子 の個 数 分 布 は得 られ な いの で あ

リ ッ トS1とS2を

開 い た 状 態 の 計 測 で,ス

み を 通 過 し た 電 子 の 分 布(図3・9(b))と 布(図3・9(c))を

ス リ ッ トS2の

知 る こ と が で き,こ

の2つ

布 に 等 し く な る の で あ る.図3・9(b),(c)に

の 図3・9に

み を通 過 した電 子 の 分

の 分 布 の 和 が,図3・9(a)の 示 し た 分 布 は,先

トを 閉 じ て 行 っ た 実 験 結 果(図3・6(a),(b)お を し て い る.こ

リ ッ トS1の

に片方 の ス リッ

よ び 図3・7(c),(d))と

示 し た 実 験 結 果 で は,電

分

同 じ形

子 は粒 子 的 で あ る.

  今 ま で の 実 験 結 果 を 総 合 す る と,「 電 子 は ど ち ら の ス リ ッ トを 通 っ た か を あ い ま い に して お く と 波 動 的 に ふ る ま う が,電

子 の 通 る ス リ ッ トを 決 め つ け て し

ま う と粒 子 的 に 見 え る 」 と な る.つ

子 と い う ミク ロな粒 子 は大 変 シ ャ

イ(shy)な

の で あ る.し

か し,こ

ま り,電

ん な こ と は本 当 な の だ ろ う か,上

験 で は 何 か を ま ち が え た の で は な い か.次

節 で は,も

の思 考実

う 少 し詳 し く こ の こ と を

考 え よ う.

3・4 

ダ ブ ル ス リ ッ ト を 通 過 す る 電 子(そ

  我 々 は,前

節 の ダ ブ ル ス リ ッ トを 用 い た 実 験 で,電

通 過 し た か を 知 る た め に 光 を 用 い た.光 (photon)と

呼ばれ,エ

も っ て い る の で(第4章 と,電

の2)

子 が ど ち ら の ス リ ッ トを

の 最 小 単 位 は 光 子 ま た は フ ォ トン

ネ ル ギ ー(E=hν=hc/λ)と運動 参 照),光

量(p=h/λ)を

を電 子 に ぶ つ けて そ の 位 置 を 知 ろ う と す る

子 の エ ネ ル ギ ー と運 動 量 は こ の 光 に よ って 乱 さ れ る こ と に な る.

  一 般 に,光

を 用 い て 見 え る 物 体 の サ イ ズ の 限 界 は,そ

程 度 で あ る こ と が 知 ら れ て い る.し

の光 の波 長 の大 き さの

た が って,ど

ち ら の 電 子 が ス リ ッ トを 通 過

した か を 判 別 す る た め に 用 い る 光 の 波 長 λ は,ス

リ ッ ト間 隔 よ り短 い こ と が 必

要 で あ る.と

こ ろ が,波

長 λが 短 い と光 の 運 動 量 と エ ネ ル ギ ー が 大 き く な り,

電 子 は光 に よ り 大 き く乱 さ れ る.逆 を 用 い れ ば よ い が,長

に,乱

れ を 小 さ く した け れ ば,長

波 長 の光

くな り す ぎ る と電 子 は ど ち らの ス リ ッ トを 通 っ た か 判 断

で き な くな る.本

節 で は,こ

の 様 子 を 定 期 的 に 扱 っ て ダ ブ ル ス リ ッ トの 思 考 実

験 を 進 め る.   ま ず,こ

の た め の 準 備 と して1つ

間 領 域(箱)を

考 え,こ

の 中 を1つ

tに 箱 の 中 の あ る 場 所(位 をP(r,t)drと density)と

の 概 念 を 導 入 す る.図3・10で

の 電 子 が 運 動 して い る も の と し よ う.時

置 ベ ク トルrとr+drの

間)に

書 く こ と に す る.こ のP(r,t)を い う.こ

電 子 が存 在 す る確 率

の 電 子 が 存 在 す る の だ か ら,

確 率 密 度 を 箱 の 中 の 全 域 に 渡 っ て 加 え 合 わ せ た も の は1に

箱 の 中 の1つ

刻

電 子 の 確 率 密 度(probability

の 箱 の 中 の ど こ か に 必 ず1個

図3・10 

示 され る空

等 し い は ず で あ る.

の電子

  す な わ ち, (3・31)

  あ る場 所rに お け る電 子 の確 率 密 度P(r,t)が

大 きい と い うこ と は,い い か

え る と,電 子 を 波 動 と考 え た と きそ の場 所 で の波 の強 度 が 大 き い と い う こ とで あ る.す で に3・1節 で学 ん だ よ うに,電 子 波 の強 度 は複 素 関 数 Ψ の 絶 対 値 の 2乗 で示 され る.し た が って, (3・32) と 書 く こ と が で き る.こ )と

の 関 係 か ら我 々 はΨ を 確 率 振 幅(probability

amplitude

呼 ぶ.

  式(3・32)を

式(3・31)に

代 入 す る と, (3・33)

が 得 られ る.式(3・33)は

波 動 と し て の 電 子 と,空

間 に お け る存 在 とい う概

念 を 結 び つ け る 物 理 的 に 重 要 な 関 係 式 で あ る.   一 般 に Ψ は 式(3・32)を り,式(3・32)を

満 足 し な い が,Ψ

満 足 さ せ る こ と が で き る.こ

と い う.式(3・32)の

Ψ は,す

が 規 格 化 の 条 件 で あ る.も (3・32)の

に適 当 な定 数 を か け る こ と に よ

Ψ を√5で

の 定 数 を か け る操 作 を規 格 化

で に 規 格 化 さ れ て い る と 考 え よ う.式(3・33)

し,式(3・33)の

積 分 が1で

な く5と

割 れ ば 規 格 さ れ た こ と に な る.

  前 節 で 用 い た ダ ブ ル ス リ ッ トの 実 験 装 置(図3・8)を 11に 示 す 光 検 出 素 子PDAは,本

図3・11 

再 び 用 い よ う.図3・

来 ス リ ッ トS1を 通 過 す る電 子 に よ る 散 乱 光 が

電 子 お よび フ ォ トン(光 子)の

確率 振幅の説明図

入 りや す い 向 き にお いて あ る.し か し,光 源Lか

ら放 出 さ れ る光 の 波 長 が2

つ の ス リッ ト間 隔 よ り長 い と,回 折 効 果 が 重 要 に な る.す な わ ち,ス を 通 る電 子 で散 乱 され た光 も光 検 出素 子PDAに 子PDBは,主

な れ ば,式

リ ッ トS2

入 り う る.ま た,逆 に光 検 出素

と してS2を 通 る電子 で散 乱 され た光 が 入 りや す い向 き に セ ッ ト

して あ るが,長 波 長 光 の場 合 に は,S1を  電 子 検 出 素 子Dに

通 る電 子 の 散 乱 光 も入 り うる.

入 る電 子 の確 率 振 幅 を,次

の よ う に記 す こと にす る.

 Ψ1： ス リ ッ トS1を 通 りDに 入 る電 子 の確 率振 幅

  Ψ2： ス リ ッ トS2を 通 りDに   ま た,2つ

入 る電 子 の確 率 振 幅

の 光 検 出 素 子PDA,PDBに

入 る フ ォ ト ン の 確 率 振 幅 を,先

子 に つ い て 定 義 し た と 同 様 に,φ を 用 い て 表 そ う*).す   φ1A：S1を

通 る電 子 で 散 乱 さ れ た フ ォ ト ン がPDAに

  φ2A：S2 "    φ1B：S1を

入 る確 率 振 幅

通 る 電 子 で 散 乱 さ れ た フ ォ ト ンがPDBに " 

で 電 子 が 検 出 さ れ る確 率 をP12と

入 る確 率 振 幅

の 検 出 素 子Dの

し よ う.こ

の 場 合 が 生 ず る 確 率 の 和 で あ る.す

  ①  電 子 がDに

"

PDB 

  電 子 検 出 素 子 ア レ イ 上 の あ る1つ

き る2つ

な わ ち,

PDA 

  φ2B：S2 

に電

" み に 着 目 し て,こ

の 確 率P12は,次

の素子

の 明 確 に識 別 で

な わ ち,

入 り,そ

し て フ ォ ト ンがPDAに

入 る 場 合.こ

の 確 率 をP1と

入 り,そ

し て フ ォ ト ン がPDBに

入 る 場 合.こ

の 確 率 をP2と

し よ う.   ②  電 子 がDに し よ う. (3・34)   ① の 場 合 を ま ず 考 え て み る.こ

れ が 起 こ る道 す じに は 次 の2つ

  i)  電 子 は ス リ ッ トS1を 通 っ て,検

出 素 子Dに

子 に よ り散 乱 さ れ た フ ォ ト ン がPDAに  ⅱ)  電 子 は ス リ ッ トS2を 通 っ てDに た フ ォ ト ン がPDAに

入 り,そ

あ る.

して,S1を

通 る電

入 る.

入 り,そ

してS2を

通 る電 子 で 散 乱 さ れ

入 る.

  前 者 の 確 率 振 幅 は Ψ1φ1A,後

者 の そ れ はΨ2φ2A,ゆ

え に,①

の場合 が起 こ

る 確 率P1は, P1=￨Ψ1φ1A+Ψ2φ2A￨2    次 に,②

の 場 合 に つ い て,こ

 ⅰ ) 電 子 はS1を てPDBに

通 りDに

(3・35)

の と き も2つ

入 り,そ

入 る.

*)  φはギ リシ ャ小文字 で,フ ァイと読む.

の 道 す じ が あ り,そ

し て フ ォ ト ン はS1を

れ ぞ れ は,

通 る電 子 で 散 乱 さ れ

 ⅱ)  電 子 はS2を てPDBに そ れ ゆ え,②

通 りDに

入 り,そ

して フ ォ ト ン はS2を

通 る電 子 で 散 乱 さ れ

入 る. の 場 合 が お こ る 確率p2は, (3・36)

  し た が っ て,こ はPDBで

れ ら を ま とめ る と,電

子 がDで

検 出 さ れ,同

時 にPDAま

た

フ ォ ト ンが 検 出 さ れ る 確 率P12は,

(3・37)

  式(3・37)の1/2の の を1に

因 子 は,P12を

す べ て の 電 子 検 出素 子 に つ き加 え た も

す る た め の 規 格 化 因 子 で あ る.

  式(3・37)を 場 合 のP12を

用 い て,光

源 の 光 の 波 長 が ス リ ッ ト間 隔 よ り短 い 場 合 と 長 い

評 価 しよ う.

  (1) 短 波 長 の 光 源 を 用 い た 場 合 離 よ り十 分 に 短 い と す る.こ

  用 い る光 の 波 長 が2つ

の と き はS1とS2と

S1を 通 っ た と き の み フ ォ ト ン はPDAに ン トはPDBに

入 り,S2を

の ス リ ッ ト間 の 距

の 見 分 け が つ く の で,電

子 が

通 っ た電 子 に 対 して は フ ォ

入 ら な い 形 に な り,

(3・38)

  ま た,電

子 がS2を

通 っ た と き の み,フ

子 に 対 し て は フ ォ ン トはPDAに

ォ ト ン はPDBに

入 り,S1を

通 った電

入 ら な い.

(3・39)

  式(3・38),式(3・39)よ

り,式(3・37)は,次

の よ う に な る.

(3・40)

  式(3・40)の

意 味 は,ス

に 電 子 が 入 る 確 率P12は,個

リ ッ トS1,S2を

通 っ て 電 子 検 出 素 子D(図3・11)

々 の ス リ ッ トを 通 っ てDに

入 る確 率 の和 で 示 さ れ

る と い う こ と で,干

渉 効 果 は生 じ な い.す

な わ ち,こ

の 場 合 に は,電

子 は粒 子

的 に ふ る ま っ て い る.   (2) 長 波 長 の 光 源 を 用 い た 場 合  十 分 長 い 場 合 に は,S1とS2と

2つ の ス リ ッ ト間 の 距 離 よ り光 の 波 長 が

を 見 分 け る こ と は で き な く な り,S1を

に よ り散 乱 さ れ た フ ォ ト ンがPDAに り散 乱 さ れ た フ ォ ト ンがPDAに

入 る 確 率 振 幅 φ1Aと,S2を

通 る電 子

通 る電 子 に よ

入 る 確 率 振 幅 φ2Aは 同 じ に な る.す

な わ ち, (3・41)

  同 様 の 考 え は,PDBに

つ い て も成 り立 ち, (3・42)

  ま た,S1を

通 過 す る電 子 数 とS2を

同 じで あ る の で,式(3・41)と 幅 は み な 等 し い.こ

通 過 す る電 子 数 は十 分 長 い時 間 を と れ ば

式(3・42)の

フ ォ ト ン に 対 す る4種

の確率 振

れ を φ と書 く と,式(3・37)は,

(3・43)

  P12の 規 格 化 を 考 え る と,￨φ￨2=1/2と

な る の で,

(3・44)

  式(3・44)を

展 開 す る と,Ψ1Ψ2に

比 例 す る項 を生 ず るが,こ

節 の 図3・6で 示 した よ うな干 渉 縞 を 表 して い る.そ れ ゆ え,電

の 項 が3・3 子 は波 動 的 に

ふ る ま って い る こ とが わ か る.   前記 の2つ の 場 合(1),(2)か ら得 られ た 電子 検 出素 子Dで 確 率P12に,電   場 所xに

電子 が検 出 され る

子 の確 率 振 幅 を代 入 して み よ う.

あ る検 出素 子 に時 刻tに 入 射 す る電 子 の 確 率 振 幅 を, Ψ１=A1ei(ωt+δ1) 

(S1通

過) 

(3・45)

Ψ2=A2ei(ωt+δ2) 

(S2通

過) 

(3・46)

  こ こ に,δ1,δ2は

そ れ ぞ れ ス リ ッ トS1,S2か

らDま

で の 距 離 で 定 ま る波

の 位 相 を 表 す. (3・47)

(3・48)

 ゆ え に,ど

ち ら の ス リ ッ トを 通 っ た か を 識 別 で き る(1)の 場 合 は

(3・49)

  (2)の 場 合 は,式(3・45),式(3・46)を

式(3・44)に

代 入 す る と,

(3・50)

(3・51)

  これ が電 子 が ど ち らの ス リッ トを通 った か識 別 で きな い と き の確 率 密 度 で, (  )内 の第3項 が いわ ゆ る干 渉 項 で,こ の 項 の た め に 式(3・51)は 49)と 異 な る.式(3・51)で

式(3・

電 子 の 確 率 密度 が表 され る状 態 か ら,光

の波長

を順 次 短 く して い くと,だ ん だ ん電 子 の経 路 が は っき り して く る.し か し,同 時 に,フ

ォ トンの運 動 量 とエ ネ ル ギ ー が大 き くな り,電 子 の 進 行 状 況 を 乱 し,

電 子 の運 動 量 お よ び エ ネ ル ギ ー は は じめ の状 態 か ら異 な って くる.こ の ことが, 電 子 が干 渉 す る こ とを妨 げ る原 因 と な る と理 解 され る.   式(3・40)と

式(3・44)で

示 した事 柄 を一 般 化 す る.電 子 源 か ら電 子 検 出

素 子 ま で電 子 が通 れ る経 路 がn個 あ る場 合,ど

の経 路 を 通 って きた か の 識 別 が

可 能 な場 合 に は, (3・52)

 識 別 が で きな い場 合 に は,

(3・53)

の よ う に書 け る.す な わ ち,個 々の 過 程 が 識 別 で き る(計 測 に よ り,確 率 を知 る こ とが で き る)と き は,全 過 程 の確 率 は個 々 の 過 程 の確 率 の和 で表 す こ とが で き,個 々の 過 程 を識 別 で きな い と き に は全 過 程 の 起 こ る確 率 は,個 々 の 過程 の確 率 振 幅 の和 の絶 対 値 の2乗

とな るの で あ る.

  これ まで の説 明 で,電 子 の経 路 が識 別 で き る と き とで きな い と きで 結 果 は大 違 い で あ った.識 別 が 「で き る」 とか 「で き な い」 と い う こ と は一 体 ど うい う こ とで あ ろ うか.こ の識 別 の た め に これ ま で光 を用 い た.つ ま り,光 を用 いて 電 子 の位 置 の計 測 を行 った わ けで あ る.す な わ ち,識 別 す る と い う こと は計 測 す る とい う こ と と分 けて 議 論 で き な い の で あ る.同 様 の こ と は,図3・11の 電 子 検 出 素子 に よ る電 子 検 出 につ いて も いえ る.こ の素 子 で検 出 して は じめ て 電 子 が こ こ に来 た と い うこ とが 識 別 で き るわ けで あ る.こ の こ とを観 測 に よ る 状 態 の収 縮 また は波 束 の収 縮 と い う.し たが って,ス

リッ トと検 出素 子 の 間 の

空 間 で は,計 測 して い な い わ け で あ るか ら,電 子 の 運 動 の 軌跡 を線 で 描 くと い う こ とは原 理 的 にで きな い の で あ る.こ の点 が量 子 力 学 と古典 力 学 が 本 質 的 に 異 な る点 で あ る.す な わ ち,古 典 力 学 に お け る粒 子 の 軌 道 な る概 念 は導 入 す る こ とが で きず,こ

れ に か わ る もの が確 率 振 幅(こ

れ までΨ,φ

で表 して きた)

で あ る.   これ ま で の説 明 は,ミ ク ロ粒 子 の 例 と して電 子 を と りあ げ て きた が,も ち ろ ん 上 記 の議 論 は電 子 の み で な く,光 子 や 中性 子,お よ び原 子 に つ い て も適 用 し う る もの で あ る.

練 習 問 題 〔3〕

 1. 図3・7(b)に

示 した干 渉 縞 状 のパ ター ンは なぜ 得 られ るの だ ろ う か.こ

の実験 で

は,電 子 は1個 ず つ 電 子 銃 か ら放 出 さ れ て お り,放 出 の 時 間 間 隔 は十 分 長 くて もよ い.n番

目 に放 出 さ れ た電 子 は,そ れ以 前 に放 出 され た(n−1)個

の電 子が すで

に あ る形 の パ ター ン形 成 して い る こ と を何 らか の方 法 で 知 って い るの だ ろ うか. 

2. ①  観 測 に よ る状 態 は収 縮 は なぜ 起 こ る の だ ろ うか,②

また,観 測 ま た は計 測

す る とい う こと は,大 変 人 為 的 な人 間 くさ い こ とで あ るが,こ れ が な ぜ 電 子 の 性 質 と関 係 す る の だ ろ うか.③ 瞬 間 的 に起 こる のか,あ

状 態 収 縮 に は時 間 が か か るの だ ろ うか,ま

るい は観 測 方 法 に よ るの だ ろ うか.

た時 間零 で

第4章 

量 子 効 果 の現 れ る実験 例

  この 章 で は,従 来 波 動 と して取 り扱 って き た光 やX線

が示す 粒子 性 につ

いて述 べ る.こ れ は エ ネル ギ ー を量 子 化 す る もの で あ って,そ も とに な る新 しい物 理 定 数hが

4・1 

  1900年

熱 放 射 とPlanckの

代 の 初 め に は,原

数 と呼 ぶ.

仮説

子 物 理 学 の 実 験 が 進 歩 し,古

釈 の で き な い 現 象 が 現 れ て き た.熱 熱 放 射 は,入

導 入 さ れ る.こ れ をPlanck定

の量子 化 の

典物 理学 の理 論 で解

放 射 の 現 象 も そ の1つ

射 電 磁 波 に よ っ て 固 体 内 の 原 子,分

で あ る.固

子 が 励 起 さ れ,そ

体 か らの

の後複雑 な

遷 移 を 繰 り返 え す と き に 外 部 に 放 射 さ れ る光 で あ る.   Planckは,黒 は,0か

体 内 の 光 エ ネ ル ギ ー 分 布 を 説 明 す る た め に,「 光 エ ネ ル ギ ー

ら無 限 大 ま で の 連 続 値 を と る の で は な く,あ

数 倍 の 値 しか と ら な い と す る.そ に 比 例 し,ε=hν

ネ ル ギ ー 要 素 ε は 放 射 線 の 振 動 数ν

で あ る.」 と い う仮 説 を 置 い た.こ

を 量 子 化 す る も の で あ っ て,そ 「Planck定数h」

し て,エ

る エ ネル ギ ー要 素 εの整

の 仮 説 は,エ

の量 子 化 の も と に な る新 しい物 理 定 数 と して

が 導 入 さ れ た の で あ る.

  あ る 物 理 量 が あ る単 位 の 整 数 倍 と し て 表 さ れ る と き,そ い う.エ

ネ ル ギ ーE=nhν

に 関 して は,hν

る も と の 物 理 定 数 と な っ て い る.エ こ と に よ り,温

ネ ルギ ー

度Tの

黒 体 で,単

る 光 エ ネ ル ギ ー ε(ν)dν

は,光

の単 位 素 量 を 量 子 と

が 量 子 に 相 当 し,hが

ネ ル ギ ー に 対 し て,量

素量 を与 え

子 の 概 念 を導 入 す る

位 体 積 当 た り,振

動 数ν とν+dν

速 をc,Boltzmann定

数 をkと

の間 に あ

す る と,

(4・1)

と な り,実

験 結 果 と一 致 す る(第14章

で 改 め て 取 り扱 う) .

4・2  光 電 効 果(光 電 子 放 出)

  金 属 ま た は金 属 酸 化 物 な ど の固 体 表面 に 光 を あ て る と,そ の 表 面 か ら電 子 が 飛 び出 す こと は よ く知 られ て い る.こ れ を光 電 効 果 とい う.こ の電 子(光 電 子 と い う)が 光 電 面 か ら飛 び出 す と きの速 さ(最 大 運 動 エ ネ ル ギ ー)と 照 射 光 の 振 動数 と どん な関 係 にあ るか を調 べ る実 験 が行 わ れ た.図4・1(a)は

その実験

装 置 で あ る.電 子 の 最大 運 動 エ ネ ル ギ ー を測 る た め に は,光 電 面 に正 電 圧 を か け て光 電 流 を 測 定 す る.そ の結 果 は,図4・1(b)の

よ うに,あ

る電 圧 で 光 電 流

が0に な る.そ の電 圧 をVmaxと す る と,

(4・2) で あ る か ら,電

子 の 最 大 運 動 エ ネ ル ギ ー が 求 ま る.

(a)

(b)

(c)(1)(2)(3)は

異 な る

光 電 面

電 子 は カ ソー ドを出 て,グ リ ッ ド電 圧V0で 加 速 され るが ,グ リ ッ ドとア ノー ドとの 電 圧 は−(V0+V)で,ア ノー ドは カ ソー ドに 対 し てV0−(V0+V)=−Vの 電圧 をもつ。−Vを 減 速 電 圧 とい う。

図4・1 

光電効果の実験

 照 射光 の 振 動 数ν を 変 え て この よ うな 測定 を繰 り返 え す と,図4・1(c)の うに,1つ

よ

の 光 電 面 につ い て は振 動 数 と最 大 運 動 エ ネ ル ギ ー とが比 例 す るが,

あ る振 動 数ν0以 下 の光 で は全 然 光電 子 を 放 射 しな い.こ の 振 動 数ν0を 限 界 振

動 数 と い い,光 電 面 の物 質 に よ って変 わ る.限 界 振 動 数ν0以 上 で の 照 射 光 の 振 動 数ν と光電 子 の 最大 運 動 エ ネ ル ギ ー の比 例 係 数 は,光 電 面 の物 質 に関 係 し な い の で,こ れ をhと お け ば, (4・3)

と 書 く こ と が で き る.こ

こで,hν0=Wと

お け ば,

(4・4)

と な る.   Einsteinは,1905年

に こ の 現 象 を つ ぎ の よ う に 説 明 し た.Planckの

ギ ー 量 子 化 の 概 念 を 一 般 化 し,光

エ ネル

は (4・5)

の エ ネ ル ギ ー を も つ 粒 子(こ が 光 電 面 に 入 射 す る と,金 追 い 出 す.し

か し,電

れ を 光 量 子 ま た は 光 子 と い う)と

考 え られ,こ

れ

属 内 に あ る 自 由電 子 に エ ネ ル ギ ー を与 えて 真 空 中 に

子 が 金 属 の 表 面 か ら真 空 に で る に は,表

ネ ル ギ ー 障 壁 を 越 え な け れ ば な ら な い.こ

面 に存 在 す る エ

の エ ネ ル ギ ーWを

その物質 の仕 事

関 数 と い う.   こ のEinsteinの れ る の は,ち 動)が

ょ ぅ ど電 荷 量 が 電 子 電 荷eの

の エ ネ ル ギ ー がhν

の和 で与 え ら

和 で 与 え ら れ る の と同 じ く,光(波

粒 子 の 性 質 を も つ と い う概 念 を 導 入 す る も の で あ る.

4・3 

  光(電

提 唱 し た 光 量 子 説 は,光

Compton効

磁 波)が

る で あ ろ う か.相

果

粒 子 性 を も つ な ら ば,普 対 論 に よ る と,エ

通 の粒 子 の よ うに運 動 量 を も って い

ネ ル ギ ーEと

運 動 量pの

関 係 は, (4・6)

で 与 え ら れ る(第2章

式(2・77)参

光 子 の 静 止 質 量 を0と

お け ば,光

照).こ

こ で,m0は

子 の 運 動 量pは,

光 子 の 静 止 質 量 で,

(4・7)

で あ る と考 え ら れ る.こ

の こ と を み ご と に 実 証 し た の が,1923年Comptonに

よ っ て 行 わ れ たX線(波

長 の 短 か い 電 磁 波)の

こ の 実 験 をCompton効

果 と い う.

図4・2 

  図4・2の

電 子 に よ る 散 乱 実 験 で あ る.

Compton散

乱

よ うに,入 射 光 子 はx軸 方 向 に進 み,原 点 で 静 止 して い る電 子 に

衝 突 す る とす る.光 子 は,適 当 な エ ネル ギ ー を電 子 に与 え て,運 動 量 とエ ネ ル ギ ーの保 存 則 を 同 時 に満 たす よ うな 方 向 に散 乱 さ れ る.入 射光 子 の振 動数 をν, 散乱 光 子 の 振 動 数 をν',散 乱 電子 の運 動 量 をpと

し,図

の よ う な散 乱 方 向 を

仮定 す れ ば,衝 突 前 後 の運 動 量 保存 則 よ り, (4・8)

(4・9)

が 成 り立 つ.散

乱 電 子 の 全 エ ネ ル ギ ー は,式(4・6)の

と き と同 様 に (4・10)

で あ る か ら,エ

ネ ル ギ ー 保 存 則 よ り, (4・11)

が 成 り立 つ.た

だ し,m0は

  式(4・8),式(4・9)か

電 子 の 静 止 質 量 で あ る. ら θを 消 去 す る と,

(4・12)   式(4・12)を

式(4・11)に

代 入 して 整 理 す る と, (4・13)

  c=ν

λ の 関 係 を 用 い て,波

長 λ を 用 い て 表 す と,

(4・14)

が 得 ら れ る.す

な わ ち,散

乱 前 後 の 波 長 の 変 化Δ λ=λ'−

の 右 辺 で 与 られ る こ と に な る.λcはCompton波

λ は,式(4・14)

長 と い わ れ,そ

の値 は (4・15)

で あ る.式(4・14)は た が,ほ ton効

広 い入 射 光 の 波長 範 囲 に わ た っ て 実 験 的 に 調 らべ られ

と ん ど の 光 に 対 して λcの 値 は一 致 して い た.こ

果 は 光 の 粒 子 性 を 実 証 した だ け で な く,そ

の こ と か ら,Comp

の 光 子が〓

動 量 を も つ こ と も実 証 し た も の と い う こ と が で き る.ま

た,光

の 大 き さ の運 子 の 静止 質 量 は

0と 考 え ら れ る.

4・4  電 子 対 生 成

  光 が原 子 核 に衝 突 した と き,電 子 と陽 電 子(ポ

ジ トロ ン)の 対 が生 れ る.こ

れ を 電 子 対 生 成 と い う.陽 電 子 は電 子 と 同 じ質 量 を も ち,電 荷 が+eで

あ る.

光 子 の エ ネ ル ギ ー をhν とす る と,エ ネ ル ギ ー保 存 則 よ り, (4・16)

 こ こ に,

me： 電 子 の相 対 論 的 質 量,mp： M：

陽電子の相対論的質量

原 子 核 の質 量V ：反 跳 原 子 核 の速 度

  電 子 と陽 電 子 の対 を生 成 す る ため の 最 小 エ ネ ル ギ ー(こ の と き,発 生 した電 子 と陽電 子 は運 動 エ ネ ル ギ ー を持 た ず 静 止 して お り,原 子 核 の反 跳 速 度 も0で

あ る)は,me=mp=m0と

し て2m0c2=1.6×10-13〔J〕

子 対 生 成 過 程 が 成 り立 つ 臨 界 振 動 数νminは,実 〔Hz〕 で あ る.し

た が っ て,プ

で あ る.こ

の電

験 に よ る とνmiｎ ≒2.5×1020

ラ ン ク 定 数 は,

(4・17)

と な る.こ

のhの

値 は,コ

ン プ ト ン効 果 よ り測 定 さ れ る 値 と 一 致 す る.現

プ ラ ン ク定 数 の 確 値 と して6.6261×10-34〔J・s〕

在 は

が 使 わ れ て い る.

練 習 問 題 〔4〕

  1.  1eVに

相 当 す る光 の波 長 は何

 2.  カ リウ ム(K)か 光 で は2.1eV,波

〔nm〕 か.

ら放 出 さ れ る光 電 子 の最 大 エ ネ ル ギ ー は,波 長5×10-7mの

光 で は0.5eVで

長3×10-7mの

あ る.こ の結 果 か ら,プ ラ ン

ク定 数 の値 と カ リ ウム の仕 事 関 係 を求 め よ.

 3. 波 長1.0×10-11mの

γ線 の1つ の光 子 が 静 止 して い る1つ の電 子 に 衝 突 し,入

射 方 向 と直 角 の方 向 に散 乱 され た と き,散 乱 光 子 の 波 長 は い く らか.ま た,電 子 は   どの 方 向 に は ね と ば さ れ る か.

第5章  不確定性原理

  この章 で は,電 子 の よ うな ミク ロな粒 子 の運 動 量 を 正 確 に定 め る と,そ の粒 子 の位 置 は ど こ にあ るか が 不 正 確 に な り,逆 に 粒 子 の 位 置 を 正 確 に決 め た(測 定 した)と

きに は,そ の 運 動量 は不 正 確 に な り,両

定 す る こと は本 質 的 に で きな い こ とを 示 す.こ 示 さ れ,不 確 定 性 原 理(uncertainty 理 は,は

れ は,Heisenbergに

principle)と

じめ は ミク ロ な粒 子 の運 動 量,あ

者 を 同 時 に決 より

呼 ばれ て い る.こ の原

る い は位 置 の観 測(測

定)に

伴

う測 定 誤 差 の問 題 と して調 べ られ た が,本 質 的 に は ミク ロ 粒 子 の もつ1つ の本 質,す な わ ち粒 子 性 と同 時 に波 動 性 を もつ こ と が 原 因 で あ る と 理 解 さ れ る よ う にな っ た.

5・1  波 の 回折 と不確 定 性 原 理

  よ く知 ら れ て い る よ う に,平 が 起 こ り,ス

 こ の 光 は 単 色 で,そ 1つ の 光 子 はh/λ

面 波)を

の 波 長 を λ と し よ う.し

な る運動 量 を も ち,こ

の 光 子 の 運 動 量 のx方 x＜∞

行 光 線(平

向 成 分 は0で

か し,ス

リ ッ トに 至 る 前 の

向 を 向 い て い る .ま

た,こ

リ ッ トの 手 前 の 平 行 光 線 の 幅 を−∞＜

の 光 子 の 位 置 は,こ

の範 囲 の中 で どの場

リ ッ トを 通 過 し た 直 後 の 光 は,ス

Δ xの 中 の ど こ か に あ る よ う に 限 定 さ れ る.そ

れ と 同 時 に,光

リ ッ ト幅

は回折 さ れ 広 が

向 の 運 動 量 成 分 を も つ こ と に な る.

  回 折 さ れ た 光 の 強 度 分 布 は,図5・1に に な り,そ

そ の様 子 を示 す .

た が っ て,ス

れはy方

あ る .ス

の 範 囲 と す る と,1つ

所 と も 特 定 で き な い.し

る の で,x方

細 い ス リ ッ トを 通 す と 回 折

リ ッ トか ら離 れ る ほ ど 光 は 広 が る.図5・1に

の 山 形 の 強 度 分 布 がx方

示 し た よ う にx方

向 で0に

向 に広 が った山 形

な る 角 度 は 光 の 回 折 理 論 か ら求 め

図5・1   平 行 光 線 の シ ング ル ス リ ッ トに よ る 回析

る こ と が で き る.図5・2で

こ の こ と を 説 明 し よ う.

  い ま,y方

向 か ら θ0だ け 回 折 さ れ た 光 の ス ク リー ン 上 で 強 度 が0に

と し よ う.そ

の と き ス リ ッ トの 左 端 と 右 端 を 通 過 し た2つ

の光 の光 路 差 は ス ク

リ ー ン上 の そ の 位 置 で ち ょ う ど波 長 λ に 等 し い は ず で あ る.な き ス リ ッ トの 左 端 か ら右 端 ま で の す べ て の 場 所 を 通 り,θ0方 光 は,ち と0に

ょ う ど一 波 長 の 中 の す べ て の 位 相 を も つ の で,そ な る か ら で あ る.ス

リ ッ ト幅 をΔxと

な った

ぜ な ら,そ

のと

向 に回 折 さ れ る

れ らを加 え合 わ せ る

す ると

(5・1)

と な る.一

方,回

折 光 の 平 均 強 度 に 対 す る 回 折 角 度 を θ1と す る と,θ1は

り小 さ く,し た が っ て,sinθ1の

値 は 式(5・1)の

θ0よ

値 よ り小 さ く,sinθ0＞sinθ1

図5・2 

シ ン グル ス リッ トに よ り回 析 され た

光 の 強 度 が 零 に な る回 析 角 度 θ0の 説 明 図

で あ る か ら,sinθ1=nsinθ0と

す る と,0＜n＜1で

(5・2)

(5・3)

  次 に,回 折 に よ り光 子 の運 動 量 のx方 向成 分 が どれ ほ ど生 じたか を見積 ろ う. 図5・3に 示 した よ うに,平 均 強度 を与 え る θ1だけx方 向 に 回折 した 光 子 を考 え よ う.こ の 光 子 のx方 向 の運 動 量 をΔpxと す る と,

(5・4)

  ス リ ッ トの 左 右 に 回折 さ れ る の で,回 (不 確 定 さ)2Δpxは,−x方

折 光 の 運 動 量 のx方

向成分 の広 が り

向 に 回折 され る光 子 の分 も考 慮 して, (5・5)

式(5・3),(5・5)の

積 を 作 る と,

図5・3 

シ ングル ス リッ トに よ る光 の 回 析 で,x方

向 の運 動 量 成 分 の発 生

(5・6)

  Planck定 い*).す

な わ ち,光

差)Δpxの  Δxを

数 は 約6.6×10-34〔J・s〕

で あ る.こ

子 の 位 置 の 不 確 定 さ(誤

積 はPlanck定 小 さ く し,光

差)Δxと

つ い て も大 差 は な

運 動 量 の 不 確 定 さ(誤

数 程 度 の 大 き さ を もつ.

子 の 位 置 を 正 確 に 決 め よ う と す る と,Δpxが

逆 に 運 動 量 を 正 確 に決 め よ う とす る(Δpxを や けΔxが

れ にnが

小 さ くす る)と,光

大 き くな り, 子 の位 置 の ぼ

大 き く な る と い う こ と で あ る.

  よ り こ ま か な こ と ま で 考 え に 入 れ る と,式(5・6)は,

(5・7)**)

と な る.こ

の 関 係 を 不 確 定 性 原 理 と い う.

  こ の 例 で は,光

子 に つ い て 考 え た が,光

な 粒 子 に も式(5・7)は

適 用 で き る.先

子 に 限 らず 電 子 を 始 め と す る ミク ロ

に も示 し た よ う に,式(5・7)は

と 見 な さ れ て い た も の に も波 動 性 が あ る こ と に 由 来 す る の で あ る.式(5・7) を グ ラ フ 化 し た も の を 図5・4に

*)  **) 〓

正 確 な 計 算 に よ る と,nは0.1程 をDirac定

示 す.

度 の 値 を も つ.

数 と い う.約1.055×10-34J・sの

値 を も つ.

粒 子

図5・4  不 確 定 性 原 理 に よ り決 定 で きな い 領 域(斜 線 部 分)

5・2  原 子 の安 定 性 と不 確 定性 原 理

  原 子 は正 電 荷 を もつ 原 子 核 と負 電 荷 を もつ 電子 に よ り構 成 され て い る.し た が って,こ

れ らの電 荷 に働 くク ー ロ ン力 に よ って,原 子 核 と電 子 は一 瞬 の 間 に

引 き合 って合 体 して も当然 で あ る よ うに思 え る.し か し,現 実 はそ う はな らな い.こ の理 由 を不 確 定 の考 え方 を取 り入 れ る こ とで 説 明 しよ う.   核 の ま わ りを半 径rの 円運 動 を して い る電 子(粒 子)と

い う古 典 力 学 的 な 見

方 は,量 子 力学 的 に は,電 子 は距 離r程 度 の ぼや け(不 確 定 さ)を

もつ こ と に

相 当 す る.こ の と きの 運動 量 の ぼ や け は,不 確 定 性 の 関係 を簡 単 にΔx・Δp= hとす る と, (5・8)

  この運 動 量 の不 確 定 さΔpは,半

径rが 確 定 した 状 態 で は電子 の運 動 量 そ の

もの で も あ る ので,電 子 の 全 エ ネル ギ ーEは,運 ギ ー の和 と して,

動 エ ネ ル ギ ー と位 置 エ ネ ル

(5・9)

  こ れ は,核

の 電 荷 を+eと

  式(5・9)を き くな り,エ

し て い る の で,水

図 示 す る と,図5・5の

素 原 子 を 考 え て い る こ と に な る.

よ う に,rを

ネ ル ギ ー 的 に 損 を す る の で,電

零 に 近 づ け る とEは+に

子 が 核 に お ち こ み,原

大

子がつぶれ

て し ま う よ う な こ と は な い こ と が わ か る.

図5・5 

原 子 核 の 周 囲 の電 子 の 全 エ ネル ギ ーE

  さ ら に 特 徴 的 な こ と は,Eに

最 小 値Emiｎ が 生 じ る こ と で,こ

r0を 保 っ た 形 で 電 子 は 安 定 に 存 在 で き る わ け で あ る.す り 内 側 に ず れ て も,外

側 に ず れ て もr0へ

の ときの半径

な わ ち,電

お し も ど さ れ る.r0の

子 はr0よ

値 はEをrで

微 分 す る こ と に よ り得 られ る.

(5・10)

 r=r0で,dE/dr=0で

あ る の で,

(5・11)

  r0の

値 を 見 積 っ て み よ う.

を代 入 す る と, (5・12)

  式(5・12)で

示 した半 径 は,Bohr半

径 と呼 ば れて い る.

  こ の原 子 の大 き さを半 径r0の 球 と し,固 体 状 態 で こ の 球 を入 れ た 一 辺2r0 の箱 が つ み 重 な っ て い る状 態 を考 え る と,固 体 水 素 の 密度 σ は,水 素原 子 の質 量 を1個 の 陽 子 の質 量mpに

等 しい と して, (5・13)

と な る.こ

の σ の 値 を 求 め よ う.

 お よ び,式(5・12)を

代 入 し て, (5・14)

  こ の 値 は す べ て の 固 体 の 密 度 が 数g/cm3程

度 で あ る と い う事 実 に 定 性 的 に

一 致 して い る*)

.

 

こ の よ う に 不 確 定 性 原 理 を 適 用 す る こ と で,原

を 見 積 る こ と が で き た.ま

た,こ

の 見 積 り は,我

み 立 っ て い た の で は 不 可 能 で あ る.こ が1つ

の こ と は,こ

子 の 半 径,  し た が っ て 密 度 々が 古 典 力学 の枠 組 の 中 に の れ か ら我 々 が 学 ぶ 量 子 力 学

の 正 し い方 向 を 向 い て い る こ と を 示 す も の で あ る.

  式(5・12)に

示 し たBohr半

径 を 式(5・9)に

代 入 して,最

小 の エ ネルギ ー

Eminを 求め よ う. (5・15)

*) 

固 体 水 素 の 密 度 は,0.763g/cm3(−260℃)で

あ る.

  1つ の 電 子 を1Vの

電 位 差 で 加 速 し た と き電 子 の 得 る エ ネ ル ギ ー は, (5・16)

  こ れ を エ ネ ル ギ ー の 単 位 と し,〔eV〕(エ

レ ク ト ロ ン ボ ル ト と 呼 ぶ)と

書 く

と,式(5・15)は,

(5・17)

  電 子 の エ ネ ル ギ ーを ろ な 大 き さ と な り,便   式(5・17)は,水 比 べ13.6eVだ

〔J〕単 位 で な く 〔eV〕 単 位 で 書 く と,こ

の よ う に手 ご

利 で あ る の で よ く使 わ れ る. 素 の 原 子 核 に つ か ま っ て い る 電 子 は,全

け 低 い エ ネ ル ギ ー を も つ こ と を 示 し て い る.し

原 子 を イ オ ン化 す る に は,こ

く自 由 な 電 子 に た が っ て,水

れ だ け の エ ネ ル ギ ー が 必 要 と い う こ と で,こ

素 の値

は 実 測 値 と一 致 す る.   さ て,こ

こ で こ れ ま で の こ と を ふ り か え っ て み る と,我

々 は古 典 的 な粒 子 と

し て の 核 と 電 子 の絵 の 中 に不 確 定 性 原 理 を 持 ち 込 む こ と に よ り,原 子 の サ イ ズ, イ オ ン化 エ ネ ル ギ ー を 定 め る こ と が で き た.こ

の不 確 定 性 を用 いて電 子 の 量 子

力 学 的 イ メ ー ジ を も う少 し お し進 め る こ と が で き る.   図5・6(a)は,古 (b)は,不

典 的 に 原 子 核 と 電 子 を 粒 子 と し て み た も の で あ る.図

確 定 性 の イ メ ー ジ に よ り,半

こ の ほ うが 図(a)よ で あ る.こ

り運 動 量(つ

径 方 向 に ぼ や け を 加 え た も の で あ る.

ま り エ ネ ル ギ ー も)が

の 考 え を さ ら に 発 展 さ せ る と,図(c)の

大 き くな り,エ

は ず で あ る.も が,図5・5に

ら にΔx(電

ネ ル ギ ー 的 に 得 に な る し,図(d)の

殻 に 肉 付 を した 形 で 三 次 元 的 に ぼ や か せ ば,エ ち ろ ん,球

子 の位置 の ぼや よ う に 半 径r0の

球

ネ ル ギ ー的 に は一 番安 定 にな る

殻 の 肉 を 厚 くす る と,電

示 し た よ う に,逆

定)

よ うに円周上 の すべ てに

わ た っ て 電 子 を ち ら ば ら せ て し ま っ た ほ う が,さ け)が

小 さ く て 得(安

子 の 位 置 の 不 確 定 さ は増 す

に 全 エ ネ ル ギ ー は 増 し て し ま う の で,ほ

ど ほ

ど に し な い と い け な い.   こ の よ う に,電 粒 子 か ら,量

子 の イ メ ー ジ は,古

典 的 な明 確 な位 置 を定 め る こ とが で き る

子 力学 的 な ぼ や っ と した雲 の よ うに イ メ ー ジチ ェ ンジ され るの で

(a)

(b)

(c)

(d)

図5・6 

原 子 核 の 周 囲 の 電子 の ィ メ ー ジ

あ る.し た が って,こ の 立 場 か らみ る と,電 子 の位 置 の不 確 定 さ は,本 来 正 確 な 電 子 の 位 置 が 定 ま って い る の に,何

らか の事 情 で そ れ が正 確 に表 現 で きな い

と い うわ けで はな く,電 子 と い う ミク ロ な粒 子 は本来 雲 の よ うに 明確 に あ る一

定 な位 置 を指 定 で きる もので はな い と い う こ と にな る.こ の電 子 の雲 を定 量 的 に扱 うのが,量 子 力 学 の 方 法 で あ る.   な お,図5・6(d)の

よ うに,核 の 周 囲 に一 様 に分 布 す る電 子 をs電 子 と呼

ぶ.

練 習 問 題 〔5〕

  1. 不 確 定性 原 理 は,電 子 や光 子 の よ うな ミク ロな 粒 子 につ いて成 り立 つ が,粒   サ イ ズ が大 き くな る と,こ の 原 理 は成 り立 つ で あ ろ うか.マ Newton力

子の

クロな物体 の運 動 は

学 で記 述 で き るが,不 確 定 性 原 理 の 話 な ど一 度 もNewton力

学 に は出

て こ な い の は なぜ だ ろ う.

 2. 粒 子 の運 動 量 と位 置 の 不 確定 さ にΔp・Δx=hの

関 係 が あ る よ う に,粒

ネル ギ ー と それ を 観 測 す る時 間 の不 確 定 さ の間 にΔE・Δt=hな

子 のエ

る関 係 が あ る.

  これ を求 め な さい.

 3. pな る運 動 量 を もつ物 体 は,h/pの

大 きさ の波 長 を もつ物 質 波(De

を伴 う.こ の こと と不 確 定 性 原 理 の 関 連 はあ るの だ ろ うか.

Broglie波)

第6章 

Schrodinger方

程 式

  量 子 力 学 で は,電 子 の 運 動 は波 動 関 数 Ψ(x,t)で 幅 と も呼 ばれ,￨Ψ￨2が

表 さ れ,Ψ

は確 率 振

存 在 確 率 に比 例 す る量 で あ った.こ の章 で は,Ψ を

決 め る た めのSchrodinger(シ

ュ レデ ィ ン ガ ー)方 程 式 と呼 ば れ る基 礎 方

程 式 を導 入 す る.こ の 方 程 式 は,古 典 力 学 にお け るNewtonの

方 程 式(運

動 方 程 式)に 相 当 す る と考 え て よ い.

6・1 

基 礎 とな る事 項

  我 々 は,す

で に 次 の こ と を 知 っ て い る.電

長 λ と運 動 量pの

間 に は,De

Broglie(ド

子 は 波 に 似 た 性 質 を も ち,そ ・ブ ロ ー イ)の

の波

式 が 成 り立 つ. (6・1)

  こ の 式 は,波

数k(=2π/λ)を

用 い る と, (6・2)

  電 子 の 全 エ ネ ル ギ ーEと

波 の 振 動 数ν

の 間 に は,Planckの

関 係 式 が 成 り立

つ.

(6・3)   角 振 動 数 ω(=2πν)を

用 い る と, (6・4)

  電 子 の 全 エ ネ ル ギ ーEは,運 表 さ れ る(古

動 エ ネ ル ギ ー と 位 置 エ ネ ル ギ ーV(x)の

典 力 学 の と き と 同 様)の

和 で

で,

(6・5)

 た だ し,mは

電 子 の 質 量 で あ る.

  式(6・5)に,式(6・2),(6・4)を

代 入 す る と,

(6・6)

  Schrodinger方

程 式 は,式(6・6)を

満 足 し て い な く て は い け な い.式(6・6)

を 分 散 関 係 と い う.

6・2 

自 由 電 子 のSchrodinger方

  我 々 は,す の で,ま

程 式

で に 自 由 電 子 の 波 動 関 数 が 下 式 の よ う に 書 け る こ と を知 っ て い る

ず は じめ に 自 由 電 子 に 対 してSchrodinger方

程 式 を 調 べ よ う. (6・7)

  自 由 電 子 に は 力 は 作 用 し な い の で,位 ∂V/∂x=0 

置 エ ネ ル ギ ー は 定 数 と な る(F=−

∴  V=V0=const.).

  式(6・7)をxで2回

偏 微 分 す る と,

(6・8)

(6・9)

  式(6・7)をtで1回

偏 微 分 す る と,

(6・10)

  式(6・9),式(6・10)よ

り,

(6・11)

(6・12)

  式(6・11),式(6・12)を

式(6・6)に

代 入 す る と,

(6・13)

 こ れ を 整 理 して,

(6・14)

 こ れ が 自 由 電 子 に 対 す るSchrodinger方

6・3 

拘 束 さ れ た 電 子 のSchrodinger方

  電 子 が 拘 束 さ れ て い る と い う こ と は,電 あ る.こ

程 式 と 呼 ば れ る も の で あ る.

の 力(保

存 力)は,位

は も は や 定 数 で は な い.し に はVは だ ろ う.し

子 に 力 が 作 用 して い る と い う こ と で

置 エ ネ ル ギ ー の 傾 き に よ り 生 ず る の で,V(x)

か し,V(x)の

傾 き が ゆ る や か で あ れ ば,局

一 定 と み な せ る の で,式(6・7)で た が っ て,式(6・14)が

  ま た,V(x)の

所 的

示 した 平 面 波 の Ψ で 近 似 で き る

使 え る は ず で あ る.

傾 き が 急 な 場 合 に も,同

が 正 し い か ど う か を,何

程式

様 で あ る と 仮 定 し よ う.こ

の仮定

か 別 の 方 法 で 演 繹 的 に 導 く こ と は で き な い.こ

ら得 ら れ る結 果 を 実 験 結 果 と比 較 し て,両

の式か

者 が 非 常 に よ く一 致 す る こ と か ら,

帰 納 的 に そ の 正 しさ が 確 か め ら れ て い る の で あ る.

(6・15)

  こ の 式 を 時 間 に 依 存 す るSchrodinger方

6・4 

定 常 状 態 のSchrodinger方

程 式 と い う.

程 式

  今 ま で 取 り 扱 っ て き た 波 動 関 数 Ψ(x,t)は,位 あ っ た.こ ger方

の2変

程 式 は,偏

置 座 標xと

数 の 関 数 Ψ を 取 り扱 う た め,式(6・15)で 微 分 方 程 式 の 形 と な っ て い る.い

ま,Ψ(x,t）

時 間tの

関数 で

示 し たSchrodin をxの

み の

関 数 ψ(x)と

時 間 の み の 関 数 φ(t)の

積 で 表 さ れ る と し よ う*). (6・16)

  式(6・16)を

式(6・15)に

代 入 す る と,

(6・17)

  両 辺 を ψ ・φ で 割 る と,

(6・18)

  式(6・18)の る.こ

左 辺 はxの

み の 関 数 で あ り,右

の 両 辺 が 等 し い と い う こ と は,各

て は い け な い こ と を 示 して い る.そ (6・18)は

下 に 示 す2つ

辺 はxに

れ ゆ え,こ

辺 はtの

み の関数 とな ってい

もtに

も無 関 係 な 定 数 で な く

の 分 離 定 数 をcと

す る と,式

の 式 に 分 離 さ れ る.

(6・19)

(6・20)

  こ の 変 数 分 離 に よ り,1つ

の 偏 微 分 方 程 式(式(6・18))が2つ

程 式 に す る こ と が で き た(式(6・19),(6・20)で

は,そ

の常微 分方

れ ま で の ∂ がdに

わ っ た こ と に 注 意).   式(6・19)は,下

式 の よ う に 書 き な お せ る.

(6・21)

 両 辺 を積 分 して, (6・22)

(6・23)

*)  ψは ギ リシ ャ小 文 字 で,プ

サ イ と読 む.φ

は ギ リ シ ャ小 文 字 で,フ

ァイ と読 む.

変

(6・24)

  こ の φ(t)は,角

周 波 数 ω(=c/h)を

エ ネ ル ギ ーEは,Planckの ギ ーEに

も つ 平 面 波 を 表 し て い る.平

関 係 式 よ りhω

等 しい こ と が わ か る.よ

に 等 し い の で,定

数cは

面波 の

全 エ ネル

っ て,式(6・24)は, (6・25)

 こ れ を 導 い た 元 の 式(6・19)は,

(6・26)

  式(6・16)で 関 数 φ(t)の

示 し た よ う に,Ψ(x,t)がxの 積 で 書 け る と い う こ と は,Ψ

関 数 的 に 振 動),こ

み の 関 数 ψ(x)とtの

みの

の 時 間 的 な 変 化 は 平 面 波 と な り(sin

の と きΨ は定 常 状 態 を 表 し て い る こ と が わ か る.し

て,式(6・20)は,定

たが っ

常 状 態 に お け る波 動 関 数 の 空 間 分 布 を 表 す も の で あ る

こ と が わ か る.こ

れ にc=Eを

代 入 す る と,

(6・27)

  式(6・27)は,時

間 に 依 存 しな いSchrodinger方

と呼 ば れ て い る.量

子 力 学 に お け る 多 く の 作 業 は,こ

程式 また は固有値方 程式 の 方 程 式 を 解 い て ψ とE

を 求 め る こ と に あ る. 式(6・16)に

式(6・25)を

代 入 す る と, (6・28)

  φ(0)はt=0で 定 数 φ(0)を1と

の 値 で あ り,時 お くか,ま

間 の経 過 に 関 す る も の で は な い の で,こ

た は ψ(x)の

の

中 に 含 め て し ま う と, (6・29)

  式(6・28)を

式(6・29)の

よ う に 書 い て も,Ψ(x,t)の

本 質 を そ こな う

も の で は な い.   電 子 が 位 置xで 29)を

代 入 して,

時時刻tに 見 い だ さ れ る 確 率 密 度 は,式(3・32)に

式(6・

(6・30)

式(6・30)はP(x,t)が

時 間 に 関 係 な く定 め ら れ る こ と を 示 して い る.

練 習 問 題 〔6〕

 1.  式(6・15)を (こ こ に,a,bは

満 足 す る2つ 定 数)も

 2. 〓がV(x)=0と こ と を 確 か め な さ い.

の 波 動 関 数 Ψ1と 式(6・15)を

Ψ2が

あ る と き,Ψ=aΨ1+bΨ2

満 足 す る こ と を 確 か め て み よ.

し た と き の 式(6・27)を

満足 す る

第7章 

 第6章

波動 関数 ψの形

で 述 べ た よ うに,波 動 関 数 の正 確 な形 はSchrodinger方

程 式 を解

い て求 め るわ け で あ るが,本 章 で は波 動 関 数 ψの 形 を 定 性 的 に 取 り扱 う. これ を 通 して,ψ の 形 に はど の よ うな制 約 が あ る か,ま に分 離 で き るか,さ

らに 位 置 エ ネ ル ギ ーV,全

た どの よ うな種類

エ ネ ル ギ ーEと

の関係 な ど

に つ い て 定 性 的 な 理 解 を 深 め る.

7・1  存在 確 率 との 関 連 で 決 まる 波 動 関 数 の特 徴

  す で に 式(6・30)で

示 し た よ う に,ψ

の 絶 対 値￨ψ￨の2乗

お け る電 子 の 存 在 確 率 に 比 例 す る 量 で あ る.し て 積 分 した も の は,ど 一次元では

は,そ

た が って,￨ψ￨2を

こ か に 必 ず 電 子 は 存 在 す る の で,1で

の場 所 に

全 空 間 に渡 っ

な く て は い け な い.

,

(7・1)

(a)

(b) 図7・1  物 理 的 に無 意 味 な ψの 形

(c)

  そ れ ゆ え,図7・1(a)の

よ う な ψ は あ り え な い.ま

価 関 数 で あ る と,同

対 して ψ の 値 が 一 義 的 で な い の で 意 味 が な い.同

に,図(c)の

じxに

よ う に,ψ

た,同

が 不 連 続 で あ っ て も い け な い.す

図(b)の

よ うな 多

な わ ち,ψ

様

は有 限 で

1価 の 連 続 関 数 で な くて は い け な い.

7・2 

Schrodinger方

 も う一 度Schrodinger方

程 式 の形 か らわ か る波 動 関 数 の特 徴

程 式 を 見 よ う.式(6・27)を

書 き な お す と,

(7・2)

 ψ は,xに

つ い て 連 続 関 数 で な くて は い け な い の で,も

あ れ ば,式(7・2)に

よ り〓

な くて は い け な い(図7・2).V(x)が

しV(x)が

は連 続 で あ る.し たがって,〓 不 連 続 な 場 合 は,〓は

に よ り不 連 続 で あ るが,こ の場 合 も〓は連続

も連 続 で 式(7・2)

と な らねばな らな い こ と は

証 明 さ れ て い る.

図7・2 ψは 連続であるが,〓が

連 続で

不連続 とな るため,

このよ うな形 は物 理的に無 意味

 

以 上 ま と め る と,表7・1の

よ う に な る. 表7・1

式(7・2)を

書 き な お す と,

(7・3)

 ψ の 形 は,VとEの   (1) E＞Vの

大 小 関 係 で 全 く異 な る.こ

の こ と を 次 に 調 べ よ う.

場合

(7・4)

 こ れ は,次

の2つ

の 場 合 に 分 か れ る.

(イ) ψ ＞0で

あ り,〓

で あ る.

 (ロ)  ψ ＜0で

あ り,〓

で あ る.

図7・3 〓

の と きのψの 特 徴

 (イ  

  ψ の 特 徴 を(イ),(ロ)の 場 合 に つ き 模 式 的 に 図 示 す る と,図7・3の

よ うにな

る.  さ ら に,ψ=0の い け な い.す

と き,式(7・2)に

な わ ち,ψ=0で

帰 っ て 考 え る と〓

は 変 曲 点 と な る.こ

の（イ）,（ロ） の 波 形 を む す び,こ

で な くて は

の こ と を 利 用 し て 図7・3

れ を 繰 り 返 え す と,図7・4の

よ う に,波

形 の波

動 関 数 が 得 ら れ る.

図7・4  図7・3の

  以 上 ま と め る と,全 ＞V)に  (2) 

は,波 E＜Vの

ψの 形 を 組 合 せ て 作 る こ とが で き る波 動 関 数 ψ

エ ネ ル ギ ーEが

位 置 エ ネ ル ギ ーVよ

動 関 数 ψ は 波 形 と な る.次 場 合 

式(7・3)よ

に,他

の1つ

り 大 き い 場 合(E の 場 合 を 調 べ よ う.

り,

(7・5)

 こ れ は,下

の（イ）,(ロ)の場 合 に 分 け ら れ る.

)  ψ ＞0で

あ り,〓

で あ る.

 (ロ) ψ ＜0で

あ り,〓

で あ る.

(イ),(ロ)を 満 足 す る ψ を 模 式 的 に 示 し た も の が,図7・5で

あ る.

 こ の場合

に も,式(7・2)に

帰 っ て 考 え る と ψ=0で〓

と な る が,

(イ)の形 と(ロ)の 形 を 繰 り返 しつ な い で 波 形 を 作 る こ と は で き な い こ と は,図

よ

り 明 ら か で あ る.

図7・5 〓の

ときのψの特徴.こ れ らの波動関数 ψ

は,単独で は物理的に意味を もたな い.

  さ ら に,図7・5の￨ψ￨の 積 分 し た 値(確

率)を

大 き な 領 域 は ± ∞ ま で 広 が る た あ,￨ψ￨2をxで 有 限 値 に は で き な い.そ

れ ゆ え,図7・5に

い ず れ も物 理 的 な 意 味 を も た な い よ う に 思 え る.事 の 条 件 の 場 合 に は,物

図7・6 

実,xの

理 的 意 味 を もつ ψ は 存 在 し な い.し

図7・4に

示 した ψと,図7・5に

示 した ψ は,

全 空 間 で,E＜V か し,E＜Vの

領域

示 した ψ(イ−1,イ−3)

を組 合 せ て 作 られ る物 理 的 に意 味 を もつ ψの 形 の例

が(1)で 調 べ たE＞Vの

領 域 に接 して い る と きに は,￨ψ￨2の 空 間積 分 値 を 有 限

値 に と ど あ る こ とが で き るの で,意 味 の あ る ψを得 る こ とが で き る.こ の例 を 図7・6に 図 示 す る.   以上 ま と め る と,E＞Vの

と き ψは波 形 に な り,一 方,E＜Vの

と きψは

減 衰 形 とな り,こ の形 の波 動 関数 の み単 独 に存 在 で き な い が,波 形 の ψに接 続 す る形 で物 理 的 な意 味 を もつ こ とが で き る.

7・3  単 純 な ψの 関 数 形

  さ て,次

に,上

記 のE＞VとE＜Vの2つ

の 場 合 につ き,Schrodinger方

程 式 を 満 足 す る ψ の 簡 単 な 関 数 形 を 調 べ よ う.ま がxに

よ らず 一 定 値 を と る と し よ う.す

右 辺 ψ の 係 数 はxに

ず,始

め に 位 置 エ ネ ル ギ ーV

る と,Schrodinger方

程 式(7・2)の

よ ら な い 一 定 値 と な る.

(7・2)

  E＞Vの

と き,

と お く と,

(7・6)

  式(7・6)は,xを ゆ え,次

時 間tと

お く と,単

の よ う な 関 数 は み な 式(7・6)の

振 動 の 方 程 式 と 同 じ形 で あ る.そ 解 と な る.

れ

(7・7)

  E＜Vの

と き,〓

とお く と,式(7・2)は, (7・8)

  式(7・8)を

満 足 す る ψ の 関 数 形 の 例 と して は,

(7・9)

  以 上 よ り,Sin関 のSchrodinger方

数 的 な 振 動,お

と き を 調 べ た が,次

調 べ よ う.図7・7(a)に,xに

にVがxに

よ り変 化 す るVと

れ でx＜x0で

は,E＞Vで

で,Vはxと

よ り変 化 す る 場 合 を

全 エ ネ ル ギ ーEの

の と き 対 応 す る 波 動 関 数 ψ の 特 徴 を 図7・7(b）

こ の ψ の 特 徴 に つ い て 説 明 す る.図 る.そ

一 定 の とき

程 式 の 解 と な り う る こ と が わ か る.

  こ れ ま でV=constの

を 示 し,そ

よ び 指 数 関 数 的 な 増 減 は,Vが

関係の一例

に 示 し た.以

下 に,

と も に ゆ っ く り と増 加 し て い

あ る の で ψ は振 動 的,x＞x0で

は,E＜V

で あ る の で ψ は 減 衰 的 と な る.   さ て,x＜x0の

領 域 で,ψ

の 振 動 の 特 徴 は,次

の よ う に書 け る.

  ①  xが 増 す に つ れ て 波 長 が 長 く な る.   ②  xが 増 す に つ れ て 振 幅 が 大 き くな る.   ψ が こ の2つ

の 特 徴 を もつ 理 由 に つ き,以

  こ の 領 域 中 の 任 意 のxの ネ ル ギ ーVは

下 に 説 明 し よ う.

値 の ご くせ ま い 部 分 を 考 え よ う.こ

ほ ぼ 定 数 と思 え る.し

た が っ て,波

の部 分 で位 置 エ

動 関 数 ψ は,式(7・7)で

(a)

(b)

図7・7 

位 置 エ ネ ル ギ ーVがxに

示 し た 形 で 書 く こ と が で き る.例

  一 方,波 数kは2π/λ

よ り変 化 す る場 合 の波 動 関 数 ψ の例

え ば,

で あ る.し たが って,E−Vが

小 さ くな る とkも 小 さ

くな り,逆 に波 長 λは長 くな る.こ の領 域 で は,xが 増 す とE−Vが

小 さ くな

る ので,波 長 が長 くな る(① の理 由).   次 に,E−Vは

運 動 エ ネ ル ギ ー を表 して お り,こ れ が小 さ くな る こ と は電

子 の速 度 が 小 さ くな る こ とで あ る.速 度 が 小 さ くな る ほ ど,そ の 領 域 に電 子 が 滞 在 す る時 間 が 長 くな る ので,そ

の場 所 に お け る電 子 の存 在 確 率 も大 き く な

る.   存 在 確 率 は,す で に学 ん だ よ うに,そ の 場 所 の 波 動 関 数 ψを 用 いて￨ψ￨2の よ うに表 され るの で,ψ

の値 自身 も大 き くな くて は いけ な い.こ の よ うな わ け

でxが 増 す と ψ の値 も大 き くな る(② の理 由).

  さ て,x＞x0の 側)に

領 域,す

な わ ち ψが 減 衰 関 数 に な る 領 域(図7・7(b)の

つ い て 考 え よ う.も

式(7・9)で

し,Vが

場 所 に よ らな け れ ば,V−Eは

右

定 数 と な り,

示 した よ う に,

の 形 と な る.図7・7(b)で 大 き く な る.そ

は,xが

れ ゆ え,xが

増 す に し た が いV−Eは

増 す ほ ど,そ

の 前 のxの

的 減 衰 よ り急 に ψ の 値 は小 さ く な る 傾 向 に あ り,全 (こ の 様 子 は,明

増 大 す る た め,aは

値 の所 で決 ま る指 数 関 数 体 で は 急 激 に ψ は減 少 す る

確 に は 図 示 さ れ て い な い が).

7・4  波 動 関数 の接 続

  前 節 の 図7・7に

お い て,x＜x0に

お け る 振 動 す る ψ とx＞x0に

的 な ψ と は な め ら か に 接 続 さ れ て い な くてほ い け な い(こ

お け る減 衰

の場合,ψ,〓

と もに連 続 で な くて は い け ない こ と は7・2節 で学 ん だ).本 節 で は,こ の よ う な 境 界 で の な め ら か な ψ の 接 続 と 電 子 の もつ 全 エ ネ ル ギ ーEと

の関係 に

つ い て 調 べ よ う.   図7・8(a)に

示 す よ う な 位 置 エ ネ ル ギ ー の 場 で,全

を もつ 電 子 の 波 動 関 数 を 考 え よ う.各 示 し た よ う に,そ き た.波

エ ネ ル ギ ーE1ま

た はE2

領 域 に お け る ψ は,図7・8(b),(c)に

れ ぞ れ 振 動 的 ま た は 減 衰 的 な 形 と な る こ と は,す

動 関 数 の 連 続 性 か ら こ れ ら の ψ は,境

界x1お

よ びx2で

で に学 ん で

な め らか に つ

な が って い な くて は い け な い.   ま ず,電

子 の 全 エ ネ ル ギ ー がE1の

け る 振 動 的 な ψ3は,x=x1で

場 合 を 考 え る.x1＜x＜x2の

左 側 に 示 し た 減 衰 的 な ψ1ま た は ψ2に な め

ら か に 接 続 し な い と い け な い し,x=x2で し な くて は い け な い.式(7・7)で

よ う に 書 け る.

ψ4ま た は ψ5に な め ら か に 接 続

示 し た よ う に,ψ3は,A3sink3x,

〓の よ うに書 け るが,さ て 式(7・10)の

領域 にお

らに一般 的 に は,位

相 項 δを 加 え

図7・8 ψ

の な め らか接 続 の 条 件 に よ り,全 エ ネ ル ギ ー が

離 散 的 に な る場 合(E1)と

連 続 に な る場 合(E2)

(7・10)

  こ の 式 で,k3す

な わ ち 波 数 の 値 はE1とV1が

ぶ わ け に は い か な い.ま

た,振

幅A3は,電

勝 手 に 選 ぶ わ け に は い か な い.し

か し,δ

用 い て 波 を 横 ず ら しす る こ と で,x=x1で う.し 度 は,こ

か し,こ

の 接 続 を 保 っ た ま ま,x=x2で

決 ま っ て い る の で,自

由 に選

子 の 存 在 確 率 に 影 響 を 与 え る か ら, は 自 由 に 選 ぶ こ とが で き る.こ

れを

の な め らか な 接 続 を作 った と しよ の な め らか な 接 続 を 作 る 自 由

の ま ま で は 残 さ れ て い な い.

  し か し,電

子 の 全 エ ネ ル ギ ーE1を

波 動 関 数 ψ3の 波 数,す

上 下 に 変 え る こ と を 想 像 す る と,こ

な わ ち 波 長 を 変 え る こ と に相 当 す る の で,な

れ は

め らか な

接 続 の た め の も う1つ に よ り,あ

の 自 由 度 と な る.し

る 特 定 のE1と

δでx1とx2で

た が っ て,δ

示 した3つ

る の は,あ

値 の 所 の み で あ っ て,E1の

間 の 任 意 のE1で で あ る.ま

た,大

変化 す る こと

な め らか な 接 続 を 作 る こ と が で き る.

  す な わ ち,図7・8(b)に る 特 定 のE1の

とE1を

の 領 域 の 波 動 関 数 を な め らか に 接 続 で き 値 をV1か

らV2ま

での

な め らか な 接 続 を 作 る こ と は で き な い と い う こ と が 重 要 な 点 切 な こ と は,な

め ら か な 接 続 が 作 れ な いE1で

域 で な め ら か な ψ は 存 在 で き な い と い う こ と で あ る.中 残 る と い う こ と は な い の で あ る.こ

は,3つ

の領

央 の 振 動 的 な ψ3の み

の こ と は,「 そ の よ う な エ ネ ル ギ ー を も っ

た 電 子 は 存 在 し な い 」 と い っ て も よ い し,「 電 子 は そ の よ う な エ ネ ル ギ ー を も つこ と が で き な い 」 と い っ て も よ い.次

の 第8章

で さ ら に詳 し く学 ぶ が,電

は あ る 特 定 の と び と び の エ ネ ル ギ ー しか 取 る こ と が で き な い の で あ る.こ う な エ ネ ル ギ ーE1に の2つ

子 のよ

対 す る 制 限 は,ポ テ ン シ ャル の 壁 が 存 在 す るx=x1とx2

の 境 界 条 件 か ら 生 じ た も の で あ る こ と に 注 意 す べ き で あ る.

  上 記 の な め らか な 接 続 が 作 れ る エ ネ ル ギ ー を エ ネ ル ギ ー 固 有 値 と い い,な ら か に つ な が っ た 波 動 関 数 を 固 有 関 数 と い う.固 る に は,Schrodinger方   さ て,話

め

有 値 と固有 関数 を正 確 に求 め

程 式 を 解 か な くて は い け な い.

を 元 に も ど して,図7・8で

電 子 の 全 エ ネ ル ギ ー がV2＜E2＜V3

の 場 合 を 考 え よ う.   こ の と き の 各 領 域 で の 波 動 関 数 ψ6∼ ψ9は,図7・8(c)に ろ ん,こ

の 場 合 に もx=x1とx2で,こ

示 して あ る.も

ち

れ らはな め らか に接 続 しな くて は い け

な い.   各 領 域 の 波 動 関 数 を 式 で 書 く と,

(7・11)

(7・12)

(7・13)

の よ う に 書 け る.   こ れ ま で の 議 論 で 明 ら か な よ う に,x=x2に δ7を 調 整 し て 行 う こ と が で き る.ま

た,今

の δ6を 調 節 して 行 う こ と が で き る.し

お け る接 続 は,式(7・12)の 度 はx=x1で

た が っ て,こ

の 接 続 は,式(7・11)

の 場 合 に は,特

に特定 の

エ ネ ル ギ ー を選 ぶ こ とな しに全 領 域 の波 動 関 数 を な め らか に接 続 す る こ とが で き る.す

な わ ち,V2＜E2＜V3の

と る こ と が で き る.同 ど の よ う なEの

と き,電

様 の 考 察 か ら,電

子 は連 続 に ど ん な エ ネ ル ギ ー で も

子 の 全 エ ネ ル ギ ー がV3以

上 の と き も,

値 に対 し て も な め らか に 接 続 し た 波 動 関 数 が 存 在 す る こ と が

わ か る.

  ま と め と して,な

め ら か に 接 続 し た 波 動 関 数 の 模 式 図 を 図7・8の(b),(c)

に 対 応 さ せ て 図7・9に

図7・9 

示 し た.

図7・8(b),(c)の

条 件 に お け る波 動 関 数 の な め らか 接 続

練 習 問 題 〔7〕

 1.  図7・8(a)で

示 し た ポ テ ン シ ャ ル は,x=x1とx2で

れ ら の ポ テ ン シ ャ ル が 図7・10の 同 じか,あ

不 連 続 に 変 化 し て い る.こ

よ う に 傾 き を もつ 場 合,7・4節

で の議 論 の本 質 は

る い は 何 か 変 わ る だ ろ う か 考 え て み な さ い.

図7・10

  2.  図7・11の

ポ テ ン シ ャ ル 場 で,x1,x2間

が 十 分 に せ ま い と き,全

を も つ 電 子 の 波 動 関 数 の 形 を 定 性 的 に 調 べ な さ い.

図7・11

エ ネ ル ギ ーE

第8章 

  こ れ ま で,我

物 理 量 を求 あ る方 法

々 は 波 動 関 数 Ψ(x,t)や,特

に ψ(x)の

性 質 につ い て 学 ん

で き た 。 Ψ や ψ を 知 る こ と に ど ん な 意 味 が あ っ た か を 復 習 す る と,時刻t に お い て,場

所xとx+dxの

間 に 電 子 を 見 い 出 す 確 率P(x,t)dxは,P

(x,t)dx=￨Ψ(x,t)￨2dxで

あ り,定

P(x)dx=￨ψ(x)￨2dxで 運 動 量,…)を

あ っ た.そ

常 状 態 で は,確 れ で は,他

率 は 時 間 に よ ら ず,

の 物 理 量(エ

求 め る に は ど う す れ ば よ い だ ろ う か.こ

と に つ い て 学 ぶ が,ま

ネ ル ギ ー,

の 章 で は,こ

の こ

ず 直 感 的 に わ か る 簡 単 な 例 か ら 入 ろ う.

8・1  平 均 値 の 求 め方

  あ る量 が分 布 して い る(ば

らつ いて い る)と き,そ れ らの 平 均 値 を 求 め る こ

とか ら考 え よ う.   例 と して,あ ば1mmき

る学 校 の 学 生 の 平均 身長 を求 め よ う.こ の た め に身 長 を,例 え

ざ み に分 けた ク ラ スを作 り,各 ク ラ ス に何 人 の 学 生 が 属 す るか を

調 べ る. ク ラ ス番 号

各 ク ラ スの代 表 身 長

 1  2

…

 l1

 n1

 l 2…lN

 n 2…nN

N

  全 学 生 の 身 長 の総 和 は,〓 身 長 をlと

各 ク ラス に属 す る学 生 数

す る と,

で あ り,全 学 生 数 は〓

で あ るの で,平

均

(8・1)

 式(8・1)の

形 に は見 お ぼ え が あ る だ ろ う.古 典 力学 で学 ん だ 質 点 系 の 質 量

中心 を求め た と き に用 い た式 と よ く似 て い る(図8・1参

照).

図8・1  質 点 系 の質 量 中心 の 位 置 ベ ク トル

  も う1つ の 例 を 出 そ う.x軸

上 を 不規 則 に動 い て い る小 粒 子 の平 均 的 な位 置

(動 きの 中心 座 標)を 求 め よ う.こ の座 標 軸 を 等 間 隔 な 小 さ な領 域 に分 け,各 領 域 に粒 子 が 滞在 す る時 間 を 測 り,そ の 滞在 時間 に比 例 した形 で 各 領 域 に粒 子 が 存 在 す る確 率Pを 求 め た とす る.前 と同様 の 考 え か ら,粒 子 の平 均 位 置x は, (8・2)

  こ こ に,Piは

粒 子 がi番

こ か に い る わ け で,ΣPi=1で

目 の 領 域xiに あ る.し

い る 確 率 で あ る.粒

子 はx軸

上 の ど

た が って, (8・3)

  こ の 例 で,領

域 の 間 隔 を こ ま か く し て い き,つ

と 考 え る と,Σ

を 積 分 に お き か え た ほ う が よ い.粒

る 確 率 をP(x)dxと

い に連 続 的 に分 布 を計 測 した 子 がxとx+dxの

間 にい

して

(8・4)

 こ の 例 で,粒

子 を 電 子 と 考 え る と,す

で に 学 ん だ よ う に, (8・5)

  式(8・5)を

式(8・4)に

代 入 す る と,電

子 の 平 均 位 置xは, (8・6)

 ￨ Ψ￨2は,Ψ*Ψ

の 意 味 で あ る か ら, (8・7)

の よ うに書 け る が,量 子 力学 で は,こ れ を次 節 の よ うに計 算 す る.

8・2 

あ ん こ式(プ

  式(8・7)のxの

サ イ ・サ ン ド)

位 置 を2つ

の 波 動 関 数 の 間 に は さ ん で,次

式 の よ うに 書 こ

う. (8・8)

  こ の 式 を あ ん こ 式(餡 こ に す る の か,こ

濾 器)ま

た は プ サ イ ・サ ン ドと 呼 ぼ う.な

ぜxを

あん

れ か ら ど の よ う に計 算 す る の か は や が て わ か る.

  こ の 方 法 に な ら う と,例

え ば 位 置 エ ネ ル ギ ーV(x)の

平 均 を知 りたい とき

に は, (8・9)

 こ の 場 合,V(x)は

時 間 に 依 存 し な い の で, (8・10)

  量 子 力 学 で は,こ tion

value)と

の よ う に し て 求 め た 物 理 量 の 平 均 値 を 期 待 値(expecta

呼 ん で い る.我

々 が 計 測 で 求 め る 電 子 に 関 す る 量 は,こ

の よ う

な 期 待 値 で あ る.   そ れ で は,次

に 電 子 の 運 動 量 の 期 待 値 を 求 め て み よ う.上

の 例 に な ら う と, (8・11)

  この 積 分 を 実 行 す るに は,運 動 量pがxの け な い.量 子 論 的 に は,こ れ までp(x)の

関 数 と して与 え られ て い な い とい 形 は で て き て い な い.古

典 的 には

−ih

(8・12)

な る 関 係 式 が 得 ら れ る.し

か し,式(8・12)は,xが

義 的 に 得 ら れ る の で,第5章

き ま る と 運 動 量pが

一

で 学 ん だ 不 確 定 性 原 理 に 反 す る こ と に な る.し

た

が っ て,式(8・12)のpを

式(8・11)に

か り で な く,式(8・12)以

外 の ど ん な 関 数p(x)も

で あ る.こ

の よ う に,期

代 入 す る こ と は 意 味 が な い.そ

れ ば

入 れ る ことはで きな いの

待 値 を 求 め る あ ん こ 式 の あ ん こ と して 関 数 を 入 れ る こ

と が で き な い の で あ れ ば,一

体 何 を 入 れ る べ き だ ろ う か?

  こ の こ と を 調 べ る た め に,力

が 作 用 して い な い,す

なわ ち 自由 な状 態 にあ る

電 子 を 考 え よ う.   す で に 学 ん だ よ う に,こ

の 電 子 の 波 動 関 数 は 平 面 波 的 で,次

そ の 運 動 量 は 場 所 に よ らず 一 定 で あ っ た.p=hkを

式 の よ う に書 け,

考 慮 に入 れ て (8・13) (8・14)

  式(8・14)をxで

微 分 す る と, (8・15)

  上 式 の 両辺 に−ihΨ*を

か け て,電 子 の存 在 す る− ∞か ら∞ のxの 全 領 域 で

積 分 す る と,

(8・16) と な る.

  こ の 運 動 量pは,場 pに

等 し い.一

所 に よ らず 一 定 で あ る の で,運

方,式(8・16)の

動 量 の 期 待 値(平

均 値)

左 辺 を 書 き な お す と, (8・17)

  式(8・17)は,運

動 量 の 期 待 値 を 求 め る あ ん こ式 で あ り,あ

ん こ と して

d/ dxが 入 って い る.こ れ は,運動 量 の(微 分)演 算 子 と呼 ば れ る もの であ る.

  以 上 期 待 値 を 求 め る と き の あ ん こ と し て 直 接xの い 物 理 量 は,そ

関 数 を入 れ る こ とが で きな

の物 理 量 に対 応 す る演 算 子 の型 を入 れ れ ば よ い と い う こ とが わ

か る.   次 に,電

子 の 全 エ ネ ル ギ ー の 期 待 値 を 求 め て み よ う.

  あ る一 定 の 全 エ ネ ル ギ ーEを

も っ た 定 常 状 態 を 考 え よ う.し

の 系 の 全 エ ネ ル ギ ー の 期 待 値EはEに

等 しい.Schrodinger方

た が っ て,こ 程 式 は,

(8・18)

  式(8・18)の

両 辺 に 左 側 か ら ψ*を か け る と,

(8・19)

  左 辺 の ψ を[]の

右 側 へ く く り 出 し,両

辺 をxの

全 域 に わ た って 積 分 す る

と,

(8・20)

(8・21)

  上 式 は,Eを

求 め る あ ん こ 式 で あ り,[]の

求 め る た め の 演 算 子 で あ る.こ operator)と

呼 ば れ,こ

れ をHで

中 は全 エ ネ ル ギ ー の期 待 値 を

の 演 算 子 は,Hamilton演

算 子(Hamiltonian

表 す と,

(8・22)

 こ れ を 用 い る と,式(8・21)は, (8・23)

  上 式 は,あ

る一 定 の エ ネ ル ギ ーEを

も つ 系 に つ い て 求 め た わ け で あ る が,

一 般 に 上 式 が 成 り 立つ こ と は 証 明 さ れ て い る   式(8・22)に

示 し たHamilton演

で も あ る の で,第1項

.

算 子 の 第2項

は,位

置 エネ ル ギ ー そ の もの

は運 動 エ ネ ル ギ ー に 対 応 す る演 算 子 で あ る こ と が わ か る.

運 動 エ ネル ギ ー を〓(pは

運 動 量)と

して 第1項

を書 きな お す と, (8・24)

  式(8・24)の()の あ ん こ)そ

中 は,す

で に 求 め た 運 動 量 演 算 子(式(8・17)中

の

の も の で あ る.

  期 待 値 を 求 め る あ ん こ式 の あ ん こ と し て,位 こ に して よ か っ た(式(8・8)参

照).そ

置 座 標xは,xそ

れ はx自

の もの を あ ん

体 が 演 算 子 で もあ る か らで

あ る.

8・3  物 理 量 と演 算 子

  量 子 力 学 で は,電 子 の状 態 は波 動 関 数 に よ り記 述 され,そ の状 態 で の エ ネ ル ギ ーや い ろ い ろ の物 理 量 は波 動 関数 か ら求 め られ る.一 般 に,量 子 力 学 で は, 観 測 可 能 な物 理 量 は演 算 子(operator)に

対応 させ,そ の 物 理 量 の 測 定 値 は固

有値 と呼 ばれ る.あ る物 理 量 に対 応 す る演 算 子Fに

対 して, (8・25)

の 関係 式 を 満 たす よ うな関 数 ψお よ び あ る値fが 存 在 す れ ば,fの 固有 値,ψ

こ と をFの

の こ と を固 有 関 数 と い う.こ の方 程 式 を固 有 値 方 程 式 と い う.物 理

的 な い い 方 を す れ ば,式(8・25)を

満 足 す る関 数 ψで 表 され る よ う な運 動 を し

て い る粒 子 が あ っ た と した と き,そ の粒 子 に対 して 物 理 量Fを

測 定 す れ ば,

いつ で もfと い う測 定 値 が 得 られ る とい う こ とで あ る.   Fψ は,ψ に演 算 子Fを

作 用 した もので あ る の で,元 の ψ と は異 な る 関 数 に

な る が,こ れ が 元 の 関 数 ψの定 数倍fψ と等 しくな る よ う な,あ る特 別 の 関 数 ψを求 め るの が 固有値 方程 式 で あ る.例 (fx)はFψ=fψ   こ こで,次 数C倍

え ば,〓

とす る と,ψ=exp

を満 足 す る ので,固 有 関 数 で あ る. の こ とを確 認 して お く こと は重 要 で あ る.す なわ ち,ψ を あ る定

した関 数 ψ'を考 え る と,ψ'も 同 じ固 有 値 方 程 式 を満 足 す る 固 有 関 数 に

な って い る こ とで あ る.

  今 ま で に す で に 学 ん だ 固 有 値 方 程 式 の1つ な わ ち,式(8・18)はHamilton演

はSchrodinger方

算 子 式(8・22)を

程 式 で あ る.す

用 い て 書 く と, (8・26)

  古 典 物 理 学 で は,物 理 量 の 積 は も ち ろ ん 因 子 の順 序 に は よ らな い.xpxも pxxも 同 じで あ る.し か し,演 算 子 の 積 は因 子 の 順 序 に よ る こ とが あ る の で, 量 子 力 学 で は物 理 量 の積 は交 換可 能 で な い こ とが あ る.一 例 と して,位 置 座 標 xと運動 量pxに つ いて み る と,〓

を考 慮 して (8・27)

(8・28)

 した が って, (8・29)

と な る.yとpy,zとpzの

間 の 関 係 も同 じで,

(8・30)

の 関 係 が 成 り 立 っ て い る.一 と す る と,pi,qjの

般 に,pi,qj(i,j=x,y,z)を

運動 量 と座標

間 に は, (8・31)

の 関 係 が 成 り 立 つ.δijは,i=jの 表 す.piqj−qjpiをpiとqjの く.式(8・31)の

と き に0と

交 換 子(commutator)と

関 係 を 演 算 子pi,qjの

  2つ の 演 算 子A,Bが とBの

と き1で,i≠jの

で 表 す.い

呼 び,〔pi,qj〕

と書

間 の 交 換 関 係 と 呼 ぶ.

あ る と き,AB−BAは

交 換 子 と よ び,〔A,B〕

な る関 数 を

一 般 に0で

は な い.こ

れ をA

ま, (8・32)

で あ る と き,A,Bは

互 い に 交 換 可 能 で あ る,ま

よ う な 演 算 子A,Bを

可 換 な 演 算 子 と呼 ぶ.座

た は 可 換 で あ る と い い,こ

標 の 各 成 分x,y,zは,互

の い

に可 換 で あ り,運 動 量 の各 成 分px,py,pzも

互 い に可 換 で あ る.

  電 子 の あ る1つ の状 態 を想 像 しよ う.こ の 状 態 を 表 現 す る固 有 関 数 を ψ とす る.こ の状 態 に あ る電 子 の もつ あ る1つ の物 理量(エ 動 量etcの 中 の どれ か1つ)に され る量)をaと

対 応 す る演 算 子 をA,そ

ネル ギ ー,運 動 量,角 運 の 固有 値(実 際 に測 定

す る.固 有 値 方 程 式 は, (8・33)

と書 け る.次 に,こ れ と同 じ固 有 関 数 ψで表 され る この電 子 の他 の物 理 量 に対 応 す る演 算 子Bを

考 え よ う.式(8・33)の

表8・1 

両 辺 に左 側 か らBを 作 用 させ る と,

種々の物理量の演算子

  演 算 子AとBが け る.ま (8・33)は

可 換 で あ れ ばAB−BA=0.す

た,右

辺 で は,aは

る と,左

固 有 値 で 定 数 で あ る の で,こ

辺 はABψ

れ はaBψ

と書

と な る.式

次 の よ う に な る. (8・34)

  見 や す く す る た め に,Bψ Bψ の 固 有 値 もaと 較 す る と,Bψ

を()で

ま と め が,こ

い う こ と で あ る.さ

は ψ を あ る定 数(bと

の 式 の 意 味 は,固

ら に,式(8・33)と

す る)倍

有 関数

式(8・34)を

比

した も の に な って い な くて は い

け な い の で, (8・35)

  こ の 式 は,固 の 固 有 値bも

有 関 数 ψ で 表 さ れ る電 子 状 態 の あ る 物 理 量(演

対 応)

定 ま る こ と を 意 味 し て い る.

  式(8・33)と

式(8・35)の

が 可 換 で あ れ ば,同 bは,同

算 子Bに

意 味 す る こ と を ま と め る と,も

じ固 有 関 数 ψ で 表 さ れ る 電 子 の2つ

時 に 定 め う る(測

定 可 能)と

  上 の こ と は 演 算 子AとBが で な い と,[A,B]≠0で

し演 算 子AとB

の 層 性(固

有 値)aと

い う こ と で あ る.

可 換 と い う こ と が 条 件 で あ っ た.AとBが あ り,aとbは

  式(8・31)で,i=j=xと

可 換

同 時 に 定 め る こ と は で き な く な る.

す る と,δij=1で

(8・36)

とな る.Pxとxは

可 換 で はな い.我 々 はす で に第5章

で 不 確 定 性 に 関 して 学

び,運 動 量 と位 置 座 標 を同 時 に確 定 した値 と して得 るこ とが で きな い ことを知 っ て い るが,そ

れ は式(8・36)に

示 さ れ る よ う に,運 動 量 演 算 子pxと 位 置 座 標

の 演 算 子xが 可 換 で な い こと に原 因 す るの で あ る.   表8・1に 種 々 の物 理 量 の演 算 子 を ま とめ て お く.

練 習 問 題 〔8〕

 1. 位 置 お よ び運 動 量 の期 待 値＜x＞

お よ び＜px＞

それ ぞ れ の時 間 変 化 を 求め よ.

 2. 期 待 値 が 実 数 で あ る演 算 子 を エ ル ミー ト(Hermitian)演  

算 子 とい う.

こ の と き,演 算 子Aは,

を み たす.(ψ,Aψ)は

ψ とＡ ψの 内 積 と呼 び,

で あ る.τ は積 分 範 囲 で あ る.  一 次 元 的取 扱い で の運 動 量演 算 子〓 証 明 せ よ.

が エ ル ミー トで あ る こ と を

第9章 

Schrodinger方

程式 の

簡 単 な モデ ルへ の応 用

  こ の章 で は,階 段 形(〓)や 電 子,お

井 戸 形(〓)の

ポ テ ン シ ャル場 に お け る

よ び調 和 振 動 子(古 典 的 なつ る ま きば ね に重 り を つ け た と き の振

動 に相 当)に つ い て検 討 す る.

9・1 

階段 形 ポ テ ン シ ャル

  図9・1に 示 す よ うな,階 段 形 の ポテ ン シ ャル場 に あ る電 子 を 考 え よ う.こ の ポテ ン シ ャル は,真 空 中 にお か れ た物 質 の真 空 との界 面 の モ デ ル と考 え る こ とが で き る.す な わ ち,図9・1で,x＞0が

物 質 内,x＜0が

両 者 の界 面 を 表 す.真 空 の ポ テ ンシ ャル(こ の場 合0に 表 面 の ポ テ ンシ ャ ル−V0と

真 空,x=0が

と って あ る)と,物

質

の差 は,一 般 的 にそ の物 質 の仕 事 関数 と 呼 ば れ,

その 物質 を特 徴 づ け る物 理 量 の1つ で あ る.こ の よ うな場 に お か れ た1つ の電 子 の 全 エ ネル ギ ーEが,0＞E＞−V0の

図9・1 

場 合,電 子 は物 質 に属 して お り,自

階段 ポ テ ンシ ャ ル

由 に 真 空 へ 出 る こ と は で き な い.ま

た,E＞0の

し て 動 く こ と が で き る.以

下 に,こ

れ ら の2つ

  (1) 

場合 

真 空 中(x＜0),お

0＞E＞−V0の

に お け る 波 動 関 数 を そ れ ぞ れ ψ1,ψ2と

場 合 に は,電

子 の 界面 を通 過

の 場 合 に 分 け て 考 察 し よ う. よ び 物 質 中(x＞0)

す る と,Schrodinger方

程 式 は,そ

れ

ぞ れ 次 の よ う に な る.

(9・1)

(物 質 中)(9・2)   こ こ で,Eは

負 で あ る の で ψ1は 減 衰 的 に な り,ま

たE+V0は

正 で あ るの

で ψ2は 振 動 的 に な る.   式(9・1)の

一 般 解 は,

(9・3) と な る が,x=−∞

で は ψ1=0で

な く て は な ら な い の で,B=0で

あ り,式

(9・3)は, (9・4)

と な る.ま

た,式(9・2)の

一 般 解 は,

(9・5)

と 表 す こ と が で き る.   波 動 関 数 ψ1,ψ2はx=0で,な

め ら か 接 続(ψ

れ て い な くて は い け な い の で,ψ1(x=0)=ψ2(x=0)か

お よ びdψ/dxが

連 続)さ

ら (9・6)

 ま た, (9・7)   式(9・6),(9・7)よ

り,

(9・8)

  式(9・8)が,波 が,0＞E＞−V0の す れ ば,な

動 関 数 ψの 形 に 対 す る 条 件 で あ り,電 範 囲 で 変 化 し た と き,式(9・8)に

め ら か な 接 続 が で き る.こ

の と き,Eは

子 の 全 エ ネ ル ギ ーE した が って δが 変 化

上 記 の 範 囲 で あ れ ば,ど

(a)  階 段 ポ テ ン シ ャ ル に お け る電 子(0＞E＞−V0)の 波 動 関 数 ψ と 存 在 確 率p

( b)  GaS結

晶 の 表 面 の トン ネ ル顕 微鏡 に よ る図

(S原 子 の規 則 配 列 が み られ る.)(コ ン ピ ュ ー タに よ る補 正) 図9・2

ん

な 値 で も 取 れ る.   波 動 関 数 ψ と存 在 確 率Pを で は,図9・2(a)の

模 式 的 に 図9・2(a)に

真 空 の 領 域(x=0)へ

電 極 を 近 づ け,こ

示 す.ト

しみ 出 して い る ψの 部 分 ま で細 い

の 電 極 で 物 質 の 表 面 上 を 二 次 元 的 に 走 査 して,物

原 子 に 固 有 な ψ の 分 布 を 調 べ る.こ

の 方 法 に よ り,表

E＞0の

場合

  こ の 場 合 に は,電

面 を 通 過 す る こ と が で き る.真 odinger方

空 中(x＜0)と

程 式 は,式(9・1),(9・2)で

質 の表 面 の

面 原 子 の 配列 お よ び原 子

の 種 類 の ち が い を 知 る こ と が で き る.図9・2(b)は,こ   (2) 

ン ネ ル走 査 顕 微 鏡

の 一 例 で あ る.

子 は 波 動 の 形 で 自 由 にx=0の 物 質 中(x＞0)に

表 さ れ,そ

界

お け るSchr

の 一 般 解 は,

(真 空 中) 

(9・9)

(物 質 中) 

(9・10)

 こ こ に,

  式(9・9),(9・10)の ψ1(x=0)=ψ2(x=0)か

波 動 関 数 ψが,x=0で

な め らか に 接 合 す るた め に は,

ら (9・11)

(9・12)   式(9・11),(9・12)の

辺 々 を2乗

し,和

を と る と,

(9・13)  ki/k0は1よ そ れ ゆ え,真

り 大 き い の で,式(9・13)右 空 中 に お け る ψ1の 振 幅Aは,物

辺 の{}内

は1よ

り も大 き い.

質 中 に お け る ψ2の 振 幅Bよ

り

大 き い こ と が わ か る.   式(9・9),(9・10)の す.物

ψ お よ び そ れ ら の 存 在 確 率Pを

模 式 的 に 図9・3に

質 中 よ り も真 空 中 の ほ うが 電 子 の 存 在 確 率 が 高 い と い う こ と は,次

う に 理 解 し て も よ い.す

な わ ち,古

典 論 的 な 考 え 方 を す る と,真

示 のよ

空 中 で の電 子

図9・3  階 段 ポ テ ンシ ャ ルに お け る電 子(E＞0)の A＞B,ki＞k0に

の 速 度υ0は,式(9・14)と

波 動 関数 ψ と存 在 確 率P.

注意

な り,物

質 中 で の 速 度υiは,式(9・15)と

な る.

(9・14)

(9・15)

 上 の2式 よ り明 らか に,υ0＜υi,す

な わ ち真 空 中 の電 子 の速 度 は 物 質 中 の

そ れ よ り遅 い.し た が って,真 空 中 に お け る電 子 の滞 在 時 間 の ほ うが,物 質 中 の そ れ に比 べ長 い の で,真 空 中 の存 在 確 率 の ほ うが 物 質 中 の そ れ に比 べ大 き く な る.   ま た,図9・3の

存 在 確 率 は場 所 に よ り異 な り,周 期 的 に な って い る.こ

れ

は,波 動 関数 が定 在 波 を形 成 して い る こ と に原 因 す る*).物 質 の内 外 で 定 在 波 が形 成 さ れ て い る とい う こと は,物 質 中 の電 子 が 光 ま た は熱 に よ り十 分 に励 起 さ れ て真 空 中 へ放 射 さ れ,同 時 に外 部 か ら物 質 へ 向 か って 電子 が飛 来 し,こ れ らが定 在 波 を形 成 して平 衡 状 態 と な って い る こと を意 味 して い る.す な わ ち,

*)  ψ=Asin(kx+δ)で,δ

が 虚 数 の と き,ψ

は 定 在 波 と な る.

高 温 に加 熱 され た真 空 炉 の 中 にお か れ た物 質 を想 像 す れ ば よ い.  外 部 光 電 効 果 で は,物 質 中 の電 子 は エ ネ ル ギ ー を獲 得 し,物 質 か ら真 空 中 へ 脱 出 す る.し か し,逆 に真 空 中 か ら物 質 へ 入 射 す る電 子 は存 在 しな い.上 記 の よ うな場 合 につ いて,次

に考 え よ う.

 式(9・1),(9・2)のSchrodinger方

程 式 の解 と して は,複 素 関 数 形 を 用 い

た ほ うが 便 利 で あ る.真 空 中 で は,物 質 か ら遠 ざ か る 向 き(x軸 き)の 波 の み 存 在 す るの で,−x方

上− ∞ の 向

向 に 向 う平 面 波 は, (9・16)

  一 方,物 質 内 で はx=0の

界面 へ 向 う波 と,界 面 で 反 射 して元 へ もど る波 が

考 え られ るの で, (9・17)

  式(9・16)と(9・17)の

波 動 関 数 がx=0で

件 は,ψ1(x=0)=ψ2(x=0)か

な め らか に 接 続 す る た め の 条

ら (9・18)

 ま た〓か

ら, (9・19)

 こ こ で,〓と

お く と,式(9・19)は, (9・20)

  式(9・18),(9・20)を

連 立 さ せ,B,CをAに

つ い て 解 く と,

(9・21)

(9・22)

  式(9・16),(9・17)の

波 動 関 数 で 表 さ れ る 電 子 の 存 在 確 率Pは, (真 空 中) 

(9・23)

(物 質 中)    式(9・24)の

最 大,最

小 値 は,

(9・24)

(9・25) (9・26)

 こ れ ら を 式(9・21),(9・22)を

用 いて 書 きか え る と, (9・27)

(9・28)

  図9・4は,電

子 の存 在 確 率Pを

模 式 的 に示 した もので あ る.こ

の 場 合,真

空 中 で は,波 動 関 数 は進 行 波 と な って い るの で,存 在 確 率 は場 所 に よ らず 一 定 とな る.ま た,特 徴 的 な こ と は,こ の一 定 確 率 は,物 質 的 の 確 率 の 最 大値 に 等 しい.

図9・4 

階 段 ポ テ ン シ ャル に お け る電 子(E＞0)の

存 在 確 率P.

真 空 中 の ψが進 行 波 の形 を と る場 合

9・2 

井 戸 形 ポ テ ン シ ャル

  図9・5に

示 す よ う な ポ テ ン シ ャ ル を 井 戸 形 ポ テ ン シ ャ ル(well

と い う.こ

の ポ テ ン シ ャ ル は,単

純 な モ デ ル で は あ る が,井

る 膜 厚 を もつ 物 質 の 薄 膜 の モ デ ル と して,実 電 子 の 全 エ ネ ル ギ ーEが0＜E＜V0に

potential)

戸 の 幅aに

際 に 用 い ら れ て い る .す

あ る と き は,膜

相 当す な わ ち,

中 に存 在 す る電 子 の モ

デ ル と し て,ま

たE＞V0の

と き は,外部(x=0ま

た はx＞a)か

射 し た 電 子(ま

た は 光 子)の

反 射 や 透 過 の モ デ ル と し て 用 い ら れ る.

ら膜 に 入

図9・5 

  (1) 

0＜E＜V0の

場合 

子 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 は,と 左 右 の 領 域 で は,井 れ る.具

井 戸 形 ポ テ ン シ ャル

す で に第7章

で 学 ん だ よ う に,井

び と び な 値 しか と れ ず,ψ

戸 か ら離 れ る に つ れ て,ψ

体 的 な ψ の 形 は,第7章7・4節

戸 の 中 の電

は 振 動 的 に な る.ま た,

は 減 衰 し0に

な る こ とが 予 想 さ

よ り, (9・29) (9・30) (9・31)

 こ こ で,

(9・32)

(9・33)

  式(9・32)の な り,井

α の 値 は,V0,す

な わ ち井 戸 の 深 さ が 大 き くな る ほ ど大 き く

戸 の 左 右 の 領 域 で の 波 動 関 数 ψ の 減 衰 は 顕 著 に な る.極

戸 が 無 限 に 深 い と き に は,ψ

端 な 場 合,井

は井 戸 の 左 右 の領 域 に は全 く しみ 出 す こ とが で き

な い.   (2) 

井 戸 の 深 さ が 有 限 の 場 合 

井 戸 の 両 端(x=0とx=a)で,波

動

関 数 は な め ら か に 接 続 して い な くて は い け な い.   式(9・29)∼(9・31)のxに

よ る1回

微 分 は, (9・34)

(9・35)

(9・36)

 な め ら か な 接 続 の 条 件 は,x=0で,ψ1(x=0)=ψ2(x=0)か

ら (9・37)

か ら, (9・38) x=aで,ψ2(x=a)=ψ3(x=a)か

ら (9・39)

(9・40)

  式(9・37)∼(9・40)か Eの

関 数 で あ る)が

ら δ お よ びE(式(9・32),(9・33)よ 求 ま る.δ

り α とkは

は 直 接 必 要 と し な い の で,こ

れ を 消 去 す る と,

次 の 式 が 得 られ る.

(9・41)

 こ こに,n=1,2,3,……

  式(9・41)は,残

念 な が ら解 析 的 に 解 く こ と は で き な い が,そ

の 値 に対 応 して,と

び と び のEの

わ か る.こ

のnを

値(エ

ネ ル ギ ー 固 有 値)が

れ ぞ れ のn

存 在す る ことが

量 子 数 と い う.

  そ れ ぞ れ の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 に 属 す る 固 有 関 数 ψ は,式(9・29),(9・30), (9・31)に

固 有 値 を 代 入 す る こ と に よ り得 ら れ る が,そ

徴 を 図9・6に

の うち の い くつ か の特

示 す.

  井 戸 が 無 限 に 深 い 場 合 に は,式(9・41)にV0=∞

を 代 入 し て,エ

ネルギー

固 有 値 は,

(9・42)

図9・6 

有 限 な 深 さの 井 戸 形 ポテ ン シ ャル 中 の

電子の固有関数

と な り,n=1,2,… らか に,井

に 対 応 し た 無 数 の 離 散 的 な 状 態 を 得 る.こ

戸 の 幅aを

せ ま くす る と,エ

ネ ル ギ ー 固 有 値Enは

の 式 か ら明

大 き く な る.式

(9・42)は,次

の よ う に 考 え て 得 る こ と もで き る.す

い 場 合 に は,井

戸 の 外 側 へ の 波 動 関 数 の し み 出 し は 零 で あ る の で,1/2波

整 数 倍 が 井 戸 の 幅aに と 直 接 式(9・42)に

等 し くな る 条 件,ka=nπ

を,式(9・33)に

戸 が無 限 に深 長 の

代入 す る

な る.

  無 限 に 深 い 井 戸 の 場 合,固 よ び δ=0を

な わ ち,井

有 関 数ψnは,式(9・30)にk=nπ/aの

関係 お

代 入 す る こ と に よ り 得 られ る.

(9・43)

 図9・7に,い

く つ か の 固 有 関 数 の 特 徴 を 示 す.

図9・7  無 限 に 深 い 井 戸 形 ポ テ ン シ ャル 中 の電 子 の 固 有 関 数

 次 に,式(9・43)の

固 有 関数 の規 格 化 を行 い,係 数Anを

決 め よ う. (9・44)

  式(9・44)に

式(9・43)を

代 入 し,積 分 範 囲 を0≦x≦aに

お き か え る と,

(9・45)

(9・46)

(9・47)

とな り,振 幅Anはnに

は依 存 せ ず,井 戸 の幅aが 大 き くな る と,逆

に小 さ く

な る.固 有 関数 の形 は (9・48)

と な る.ま た,井 戸 の 中 に電 子 を見 い 出す 確 率Pnは, (9・49)

  式(9・49)で

示 さ れ る確 率 の 数 例 を 図9・8に

図9・8 

示 す.

無 限 に深 い井 戸 形 ポ テ ン シ ャル 中 の電 子 の存 在確 率

9・3  調 和 振 動 子

  直線 上 で 振 動 す る質 量mの

粒 子 に加 わ る力 が,そ

比 例 し,平 衡 位 置 へ 引 き も どす 向 き(F=−kx)で 和 振 動,よ

り正 確 に は,単 調 調 和 振 動(simple

  古 典 力 学 の考 え方 をす る と,振 動 子mの

の平 衡 位 置 か らの 変 位 に あ る と き,こ

の振 動 を調

harmonic  oscillation)と い う.

運 動 方 程 式 は, (9・50)

で,こ

の 解 は ω2=k/mと

お く と, (9・51)

の よ うに単 振 動 とな る.  振 動 子 に 力−kxが

加 わ る と い う こ と は,振 動 子 が 次 の よ う な 位 置 エ ネ ル

ギ ーVを

もつ 場 に お か れ て い る の と 等 価 で あ る.F=−kx=−mω2xで, 〓 で あ る こ と を 考 慮 す る と,

(9・52)

  調 和 振 動 子 を 量 子 力 学 的 に 考 え る に は,式(9・52)の Schrodinger方

程 式 に 代 入 し,こ

位 置 エ ネルギ ー を

れ を 解 け ば よ い.

(9・53)

をか け る と,

 両 辺 に〓

(9・54)

 こ こ で,

(9・55),(9・56)

な る次 元 が1の 変 数 を導 入 す る と,

〓ま た,

〓と な り,式(9・ 54)は,

(9・57)

(9・58)

  式(9・58)の()内

は,固

有 値 ε に 対 応 す る演 算 子 で あ る.こ

れ をHと

く と,

(9・59)

(9・60)

と な る.以

下,式(9・60)を

演 算 子 法 を 用 い て 解 い て み よ う.

お

 次 の よ うな2つ

の(一 次 微 分)演 算子 を定 義 す る.

(9・61)

  す る と,UDψ

な る 演 算 は 次 の よ う に な る.

(9・62)

 同 様 に,DUφ

な る 演 算 は, (9・63)

  式(9・62),(9・63)を

演 算 子 の み の 恒 等 式 で 書 く と, (9・64) (9・65)

  式(9・64)の

両 辺 に,左

側 か らDを

作 用 さ せ る と, (9・66)

 こ の 左 辺 の 一 部DUを

式(9・65)で

お き か え る と,

(9・67)   Schrodinger方 式(9・60)の

程 式(9・60)を 両 辺 に 左 か らDを

  左 辺 のDHに,式(9・67)の

式(9・67)を

用 い て 書 き か え よ う.す な わ ち,

作 用 さ せ る と,

関 係 を 代 入 す る と,

(9・68) わ か りや す くす る た め に,Dψ

を カ ッ コ で く く る と, (9・69)

  式(9・69)は,固

有 値(ε−2)の

  式(9・69)に

再 びDを

固 有 関 数 は,Dψ

で あ る こ と を 示 して い る.

作 用 さ せ る と, (9・70)*)

 左 辺 のDHに

再 び式(9・67)の

関 係 を代 入 して整 理 す る と, (9・71)

  式(9・71)は,固

有 値(ε−4)の

  こ の よ う に,演 て,よ

固 有 関 数 はD2ψ

算 子DをSchrodinger方

で あ る こ と を 示 して い る.

程 式 に次 々 に作 用 させ る こ とによ っ

り低 い 固 有 値 に 対 応 す る固 有 関 数 を 求 め る こ と が で き る.一

般 に,次

の

よ う に 書 く こ と が で き る. (9・72)

  同 様 に,式(9・65)の

両 辺 に 左 側 か らUを

作 用 さ せ る と, (9・73)

 こ の〓

の 部 分 に 式(9・64)を

代 入 し,整

理 す る と, (9・74)

  Schrodinger方

程 式(9・60)の

両 辺 にUを

作 用 す る と, (9・75)

 こ の〓

の 部 分 に 式(9・74)を

代 入 し て,整

理 す る と, (9・76)

  式(9・76)は,固

有 値(ε+2)の

こ れ を 繰 り返 す こ と に よ り,次 る.一

般 に,次

*)DD≡D2と

固 有 関 数 はUφ

々 と高 い 値 の 固 有 値 に 対 応 す る 固 有 関 数 が 求 ま

の よ う に 書 く こ と が で き る.

し た.

で あ る こ と を 示 して い る.

(9・77)

  こ の よ うに 演 算 子Dは,1だ る.Downの

け小 さい固 有 値 の 固 有 関 数 を 求 め る演 算 子 で あ

頭 文 字 を と ってDと

した.同 様 に,式(9・61)のUはUpの

頭文

字 で あ り,逆 に1だ け大 き い固 有 値 の 固 有 関数 を求 め る演 算 子 で あ る.U,D をそ れ ぞ れ上リ 演 算 子,下リ

演 算 子 を 呼 ぶ こ とに しよ う.

 さて,調和振動子 の 位 置 エ ネル ギ ー〓

よ り小 さ な 固

有 値 を もっ こ と はで きな い ので,こ の 固 有 値 に は最 小 値 が 存 在 す る.こ ε0と し,そ の と きの 固 有 関 数 を φ0と す る と,式(9・60)よ

れを

り,

(9.78)  こ の 式 に 下 り演 算 子Dを

作 用 さ せ る と(い

い か え る と,式(9・69)に

ε0,

φ0を 代 入), (9・79)

  ε0は 最 も エ ネ ル ギ ー の 低 い 固 有 値 と し た の で,(ε0−2)に 関 数Dφ0は

存 在 し な い.そ

対 応 す る固 有

れ ゆ え, (9・80)

  式(9・62)に

φ0を 代 入 す る と, (9・81)

 こ の 式 でDψ0=0で

あ る の で,UDφ0=0, (9・82)

  式(9・78),(9・82)を 77)でn=0の 一般 に

比 較 す る と,明

と き の ε=ε0=1で

ら か に ε0=1で

あ り,ま

あ る.す

た 固 有 値 は2つ

る と,式(9・

ず つ 増 す の で,

, (9・83)

と書 く こ と が で き る.式(9・56)よ

り,〓

で あ る の で,調

和振動

の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 は,

(9・84)

子

で 表 さ れ る.最

低 値(n=0),す

な わ ち 零 点 エ ネ ル ギ ー は, (9・85)

と な る.こ

の と き の 固 有 関 数 ψ0を 求 め よ う.固

こ れ に 式(9・61)の

有 値 方 程 式 は 式(9・80)で,

関 係 を 入 れ る と,

(9・86)

 変 数分 離 す る と, (9・87)

(9・88)

 た だ し,lnA0は

積 分 定 数 で あ る. (9・89)

  これ は一 番 低 い 固 有 値 に対 す る固 有 関数 ψ0であ る.他 の す べ て の 固 有 関 数 は,ψ0に 順 次 上 り演 算 子Uを

作 用 させ る こ とに よ り,求 め る こ とが で き る.

例 え ば,

(9・90)

  式(9・89),(9・90)の で き る.す

係 数 は,波

な わ ち,式(9・89)の

動 関 数 の 規 格 化 の 条 件 か ら求 め る こ とが

場 合 は,

(9・91)

 こ こで,式(9・55)を

用 い てxをyに

変 換 して,

(9・92)*)

*)

 を 用 い た.

(9・93)

(9・94)

  式(9・90)の

場 合 に は,〓

の 係 数 をA1と

お き,

(9・95)

(9・96)*)

(9・97)

  式(9・94),(9・97)に

対 応 す る 確 率 密 度P0,P1は,

(9・98)

(9・99)

 こ れ ら の 結 果 を 図9・9に

*)〓

示 す.

を 用 い た.

図9・9  調和振動子の波動関数 ψと確率密度P

練

習

問

題

〔9〕

1. 両 側 が 無 限 大 の 高 さ の壁 で仕 切 られ た一 次 元 の箱 の 中 に閉 じ込 め られ て い る粒 子 の,2つ

の 異 な るエ ネ ル ギ ー状 態 に対 応 す る固 有 関 数 をψm,ψnと

す る と,n≠m

で あ れ ば,

で あ る こ と を 示 せ.

2. 質 量mの

粒 子 が,次 の一 次 元 ポ テ ン シ ャルV(x)の

 この と き,こ の 粒 子 の束 縛 状 態(E＜V0の

を満 た す と きの み存 在 す る こ とを 示 せ.

状 態)は,

影 響 下 に あ る もの とす る.

第10章 

 

Schrodinger方

程式 の三 次 元 化

この章 で は,前 章 ま で の一 次 元 の取 り扱 い を一 般 の 三 次 元 の 問 題 に拡 張 し,変 数 分 離 法 に よ って一 次 元 の問 題 に帰 着 で き る こ とを 示 す.

10・1 

箱 の 中 の 自由 粒 子

  式(6・15)に

示 した 一 次 元 のSchrodinger方

程式

(10・1)

を 三 次 元 に拡 張 す る に は,

(10・2)

と 置 け ば よ い.つ

ま り,Hamilton演

算 子Hを

三 次 元 化 して,

(10・3) と な る か ら,こ

れ よ りHΨ(r,t)=EΨ(r,t)を

つ く る と,

(10・4)

と な る.∇2はnabla2と

読 み,ま

た∇2=Δ

はLaplace演

算 子(Laplacian)と

よ ば れ る.こ

れ が 三 次 元 のSchrodinger方

  エ ネ ル ギ ーEが

程 式 で あ る.

与 え ら れ る と,波 動 関 数 は,空 間 部 分 と 時 間 部 分 の 積 と して, (10・5)

と 表 さ れ る.し

た が っ て,式(10・4)のSchrodinger方

程 式 は,

と な り,時 間 項 を 消 した形 は (10・6) と な る.

  さ て,こ

こ で,箱

え て み よ う.箱 は カ〓

の3辺

の 中 に と じ こ め ら れ て い る 質 量mの の 長 さ をa,b,cと

は 作 用 し な い.し

す る.自

た が っ て,V=一定

自 由 粒 子 につ い て 考

由 粒 子 で あ る か ら,粒 で あ る が,こ

子 に

こ で はV=

0と す る.   す る と,ポ

テ ン シ ャル は

(10・7)

の よ う に 書 け る.こ れ は 第9章9・2節 を 三 次 元 化 し た も の に 相 当 す る.こ

で 学 ん だ無 限 に深 い井 戸 形 ポ テ ンシ ャル の と き箱 の 中 の 粒 子 に 対 す るSchrodinger

方 程 式 はV=0で

(10・8)

で 与 え ら れ る.境

界 条 件 は,式(10・7)よ

り,箱

の 外 で ψ(x,y,z)=0で

あ る

の で,

(10・9)

と な る.次

に,波

動 関 数 ψ(x,y,z)が1つ

の 変 数 だ け を もつ3つ

の独 立 した 波

動 関 数 の稽 (10・10)

で 与 え られ る も の と仮 定 す る.す

る と,

〓同 様 に,

〓と な り,こ

れ を 式(10・8)に

代 入 し て,

(10・11)

が 得 ら れ る.両

辺 をXYZで

割 る と,

(10・12)

と な る.こ

の 式 の 右 辺 は 定 数 で あ り,x,y,zは

左 辺 の 各 項 は 定 数 で な け れ ば な ら な い.し

互 に 独 立 な 変 数 で あ る か ら, た が っ て,

(10・13) と お く こ と が で き る.こ

こ に,kxは

定 数 で あ る.y,zに

対 す る項 に つ い て も

同 様 に,

(10・14)

(10・15)

で,ky,kzは

定 数 で あ る.式(10・12)ま

が,式(10・13)∼

式(10・15)で

な く て は な ら な い.こ

で は偏 微 分 記 号 ∂が用 い られ て い た

は 常 微 分 記 号dに

の よ う に式(10・12)を

を 変 数 分 離 と い う.式(10・13)∼

式(10・15)を

な って い る こ と に注 意 し

そ の 下 の3つ

の式 に分 け る こ と

用 い て 式(10・12)は

,

(10・16)

と な る.式(10・13)∼

式(10・15)の

定 数 を 負 と し た 理 由 は,全

エ ネル ギー

が 正 の 状 態 を 考 察 す る た め で あ る.   式(10・13)は,

(10・17)

と 書 き換 え ら れ,こ

の 解 は, (10・18)

で,Ax,δxは

積 分 定 数 で あ る.同

様 に し て,式(10・14)と

式(10・15)よ

り,

(10・19)

(10・20) が 得 られ る.こ

れ ら の 解 か ら変 数 分 離 の と き に 導 入 さ れ た 定 数kx,ky,kzは

波 数 で あ る こ と が わ か る.波 境 界 条 件 式(10・9)よ X(0)=0よ

数kx,ky,kzお

よ び 初 期 位 相 δx,δy,δzは,

り決 定 さ れ る. り δx=0,Y(0)=0よ

り δy=0,Z(0)=0よ

り δz=0 (10・21)

(10・22)

 こ こ に,nx,ny,nz=1,2,3,…

… は 独 立 な 正 の 整 数 で あ る.

  こ の よ う に し て,X(x),Y(y),Z(z)が

求 め ら れ た の で,式(10・10)よ

り

求 め る 固 有 関 数 は,

(10・23)

と な る.こ   式(10・16)と

こ で,A=AxAyAzは

規 格 化 定 数 で あ る.

式(10・22)よ

り,エ

ネ ル ギ ー 固 有 値 は,

(10・24)

と な る.式(10・23)と

式(10・24)は,そ

を 三 次 元 化 し た も の で あ る.

れ ぞ れ 式(9・42)と

式(9・43)

 

Aを

求 め る た め の 式(10・23)の

規 格 化 は,

〓と し て (10・25) に よ っ て な さ れ る.式(9・45)と

同 様 の 方 法 を 用 い る と,規

格 化 定 数Aは,

(10・26)

の よ うに決 め られ る.し た が って,規 格化 さ れ た波 動 関 数 は,

(10・27)

と求 め ら れ る.   基 底 状 態 は,nx=ny=nz=1の 値 は,式(10・4)か

状 態 で あ る か ら,そ

の と き エ ネル ギ ー 固 有

ら

(10・28)*) と な る.こ

れ が 三 次 元 で の 零 点 エ ネ ル ギ ー で あ る.こ

に つ い て 考 え て み よ う.こ

*) 式(10・28)は

で 制 限 され る の で,不

と な る.こ

こ で,a=b=cの

場合

有 関 数 お よ び エ ネ ル ギ ー 固 有 値 は,

粒 子 の 運 動 が制 限 され た空 間 内 で 行 わ れ て い る こ と に よ る不 確 定 性 原 理 に起 因

  して い る と して 理 解 で き る.つ

  したが って,最

の 場 合 に は,固

ま り,三 次 元 にお いて 粒 子 は,

確 定 性 原 理 に よ る運 動 量 の 大 き さの 幅 は,

低ェ ネ ル ギ ー は,

れ は 係 数 の一 部 を の ぞ いて 式(10・28)と

同 じで あ る.

(10・29)

(10・30)

と な る.こ の よ う な と き に は,(nx2+ny2+nz2)の nz)の

値 が 同 じ な ら ば,(nx,ny,

異 な る組 合 せ に 対 して 同 じEnx,ny,nzの

値 が 得 られ る.す

な わ ち,物

的 に 異 な る 波 動 関 数 が 全 く等 し い エ ネ ル ギ ー 値 に 対 応 す る こ と に な る.こ う な 場 合,こ

に 縮 退 し て い る.縮

を も つ.つ 退 は,考

の エ ネ ル ギー準

の 例 で あ る).

ネ ル ギ ー 固 有 値Enx,ny,nzがnx,ny,nzの

値 に 対 して

と び と び の 値 を と る こ と を 示 し て い る が,nx2+ny2+nz2の の エ ネ ル ギ ー 幅 は〓

調 べ よ う.そ

で あ って,こ

間 隔 が1の

の 値 は 非 常 に 小 さ い.そ

対 して 連 続 的 に 変 化 す る と して も よ い だ ろ う.こ

ネ ル ギ ー 固 有 値Eを

位 は三重

方 向 は 等 価 で あ る の で 多 く の 対 称 性 が あ る(面

心 立 方 格 子 を もつ 金 属 結 晶 は,こ   式(10・30)は,エ

ま り,こ

え て い る 系 が 何 ら か の 対 称 性 を もつ と き に 存 在 す

方 体 内 の 粒 子 の 場 合,全

はnに

のよ

の エ ネ ル ギ ー は 縮 退 し て い る と い う.例 え ば,ψ211,ψ121,ψ112は

同 一 の エ ネ ル ギ ー〓

る.立

理

考 え,E以

とき

れ で,Enx,ny,nz

の と き,1つ

の エ

下 に い くつ の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 が 存 在 す る か を

れ に は,式(10・30)でE以

下 の 値 と な るnx,ny,nzの

全 部 で い くつ あ る か を 調 べ れ ば よ い.式(10・30)を

組 みが

書 き な お し て, (10・31)

と す る と,

(10・32)

と な る.nx,ny,nzは,そ 間 隔 が1の と,n0も

れ ぞ れ 最 小 値 が1か

ら始 ま る 正 の 整 数,す

と び と び の 値 を と る け れ ど も エ ネ ル ギ ー 固 有 値Eが 十 分 に 大 き な 数 と な る の で,nx,ny,nzを

が で き る.そ

う す る と,式(10・31)は

な わち

十 分 に 大 きい

連 続 変 数 と見 立 て る こ と

直 交 座 標nx,ny,nzの

原 点 に中心 を

もつ 半 径n0の

球 の 方 程 式 と み な す こ と が で き る.し

エ ネ ル ギ ー 固 有 値 がE以 い(nx,ny,nzは

下 の 固 有 値 の 数 は,半

た が っ て,い

径n0の

球 の 体 積 の1/8に

そ れ ぞ れ 正 の 値 の み 取 り得 る の で1/8の

  ゆ え に,固

有 値 の 数N(E)は,次

ま求 め たい 等 し

係 数 が つ く).

の よ う に 書 け る.

(10・33)

  式(10・32)を

代 入 して,

(10・34)

  上 記 のN(E)は,エ

ネ ル ギ ーE以

に エ ネ ル ギ ー がEとE+ΔEの

下 に 存 在 す る 固 有 値 の 総 数 で あ る が,次

幅ΔEの

部 分 に 着 目 し て,こ

ネ ル ギ ー 幅 当 た り の 固 有 値 の 数 を 調 べ よ う.こ をD(E)と れ る.す

す る と,D(E)はN(E)を

の部 分 の 単 位 エ

れ を 固 有 値 密 度 と し,そ

の記 号

エ ネ ルギ ーで微 分 す る こ と に よ り得 ら

な わ ち,

(10・35)

  式(10・35)は,固

体 中 の電 子 を 自由電 子 で近 似 を して 電 子 の エ ネ ル ギ ー を

求 め る(第14章14・4節)際

に用 い る重 要 な 概念 の1つ

は エ ネ ル ギ ーE1/2に 比 例 し,Eが

10・2 

で あ り,固 有 値 密 度

大 き く な る に従 っ て 大 き く な る.

三 次 元 調 和 振 動 子

  式(10・36)で

示 さ れ る ポ テ ン シ ャ ル 場 に お け る 電 子 を 考 え よ う.

(10・36)

 こ こ に,kは 表 さ れ る の で,

定 数 で あ る.電

子 に 作 用 す る 力 は,ポ

テ ンシ ャル の 負 の 句 配 で

(10・37)

  こ れ ら の 式 に 式(10・36)を

適 用 す る と,x,y,z方

向 の力 は そ れ ぞ れ 次 の

よ う に 表 さ れ る. (10・38)

  し た が っ て,式(10・36)は

第9章9・3節

で 示 した 一 次 元 の 調 和 振 動 子 を

三 次 元 化 し た も の に 相 当 す る こ と が わ か る.   Schrodinger方

程 式 は,表8・1に

る 演 算 子 を 用 い て,式(10・39)の

示 した三 次 元 の 場 合 の全 エ ネル ギ ー に対 す よ う に 書 け る.

(10・39)

  こ こ で,変 ,y,zの

数 分 離 を す る た め に,電

子 の 波 動 関 数 ψ を 式(10・40)の

各 座 標 の み の 関 数X(x),Y(y),Z(z)の

よ う にx

積 の 形 で 書 こ う. (10・40)

す る と,

〓 同 様 に,〓 と な り,こ

れ を 式(10・39)に

代 入 す る と,

(10・41)

 両 辺 をXYZで

割 る と,

(10・42)

 順 番 を 変 え て書 き な おす と,

(10・43)

  上 式 は,xの

み の 関 数 とyの

と を 示 して い る.こ て い る.こ

み の 関 数 とzの

の こ と は,3つ

み の 関 数 の 和 が 定 数Eと

な る こ

の関 数 それ ぞ れ が 定数 で あ る こ と を 意 味 し

れ らの 定 数 を そ れ ぞ れEx,Ey,Ezと

す る と, (10・44)

で,式(10・43)は,次

の よ う に 変 数x,y,zが

分 離 さ れ た3つ

の 式 と な る.

(10・45)

  式(10・45)の3つ

の 式 は,力

で 学 ん だ 式(9・53)と る.し

た が っ て,固

の 定 数kをmω2と

同 じ で あ り,三 有 関 数X,Y,Zは

お く こ と に よ り,第9章

次 元 の 問 題 は3つ 第9章

の 一 次 元 の 問 題 とな

の 方 法 で 求 め る こ と が で き る.

そ の 規 格 化 は,

(10・46)

を 用 い て 行 う こ と が で き る.エ

ネ ル ギ ー 固 有 値 は,式(9・84)と

式(10・44)

から (10・47) と な る.こ

こ に,nx,ny,nzは

量 子 数 で,0,1,2,…

な る整 数 を そ れ ぞ れ

独 立 に 取 り得 る.零

点 エ ネ ル ギ ー は,nx=ny=nz=0よ

こ れ は 一 次 元 の 場 合(式(9・84))の3倍

り,3/2hω

の 大 き さ を もつ こ と に な る.

と な る.

第11章 

水 素 原 子

  水 素 原 子 は,陽 子 とそ の ま わ りを 運 動 す る1つ の電 子 か らで き て お り, 陽 子 質 量 は電 子 質 量 の約1800倍

も あ る こ と か ら,近 似 的 に 原 子 核 は 静 止

して い て,そ の まわ りを 電子 がCoulomb引 て い る と み な す こ と が で き る.こ をSchrodinger方

を受 けて運 動 し

力〓

のCoulomb引

力 に よ る ポ テ ン シ ャ ル〓

程 式 の ポ テ ン シ ャ ル 項V(r)に

入 れ て,水

素 原 子 の定 常 状 態 につ いて 調 べ て み よ う.

11・1 

Bohrの

水 素 原子 モ デ ル

  水 素 ガ ス を気 体 放 電 管 に入 れ て放 電 さ せ,そ の光 を分 光 器 で調 べ る と,多 数 の ス ペ ク トル線 が観 測 され る.図10・1に,可

視 部 に お け る ス ペ ク トル 線 の1

例 を 示 す.

図11・1

 水 素 原 子 の可 視 領 域 の ス ペ ク トル 線(Balmer系

列)

(下 の 数 値 はA単 位 で 表 した波 長 で あ る.)

  こ の 図 か ら は,Hα,Hβ,Hγ,Hδ,… ら れ る が,こ

れ をBalmer系

  Balmer(1885年)は,こ

と 呼 ば れ る ス ペ ク トル 線 の 系 列 が 見

列 と い う. の 系 列 に 属 す る ス ペ ク トル 線 の 波 長 λが (11・1)

と表 さ れ る こ と を 発 見 した.RはRydberg定

数 と呼 ば れ,そ

の 値 は, (11・2)

で,n'=3,4,5,…

と お い た 項 が そ れ ぞ れHα,Hβ,Hγ

… … に 対 応 す る.Balmer

系 列 と 同 じよ う な ス ペ ク トル 系 列 は 紫 外 部 で も 発 見 さ れ,そ 系 列 と い う.同

様 に,赤

が 観 測 さ れ て い る.こ さ れ る2つ

外 部 に はPaschen系

れ ら の 系 列 は,す

の 項(term)の

列,Brackett系

れ をLyman

列,Pfund系

べ て 統 一 的 にn,n'の2乗

列

の逆 数 で表

差 か ら

(11・3)

と い う形 に 表 さ れ る.こ 3,…

こ で,nは

正 の 整 数,ま

たn'=n+1,n+2,n+

… で あ る.式(11・3)で,n=1,2,3,4,5と

ぞ れLyman系

列,Balmer系

列,Paschen系

お い た 系 列 が,そ 列,Brackett系

れ

列,Pfund系

列

を 表 す.   水 素 原 子 に 限 らず,一 の 数 列T1,T2,T3,…

般 の 原 子 の 場 合 で も,そ

う ち の 適 当 な2項

… が あ り,原

の 原 子 に 固 有 な ス ペ ク トル 項

子 の 出 す ス ペ ク トル 線 の 波 長 λ は,こ

の

の 差 と して,

(11・4)

とい う形 に表 さ れ る こ とが経 験 的 に知 られ て いて,こ

の 経 験 則 をRitzの

結合

則 と呼 ん で い る.   Bohr(1913年)は,水 を提 唱 した.Bohrの

素 原 子 の ス ペ ク トル系 列 を 説 明 す るた め の1つ

の理論

理 論 は,次 の3つ の仮 定 に 立 脚 して い る.す な わ ち,

  ①  水 素 原 子 の原 子 核 の ま わ りを運 動 して い る電 子 は,特 定 の エ ネル ギ ーを もつ定 常 状 態 に のみ 存 在 す る こ とが で き,こ の定 常 状 態 は 「量 子 条 件 」 に よ って 定 ま る もの とす る.半 径r,速

度υ の 円 運 動 を す る質 量m0の

電子

に対 して は,量 子 条 件 は, 円運 動 の角 運 動 量=

(11・5)

で,nは

正 の整 数 値 を表 し,hはPlanck定

 ②  電 子 が エ ネ ル ギ ーEmの

数 で あ る.

定 常 状 態 か らエ ネ ル ギ ーEnの

定常 状 態へ 移 る

と きの み 光 の放 出 や吸 収 が あ り,放 出 ま た は吸 収 され た 光 の 振動数νmnは, (11・6) の 関 係 で 定 ま る.こ

の 関 係 をBohrの

振 動 数 条 件 と い う.

 ③  定 常 状 態 に あ る電 子 は,Newton力

学 に お け る運 動 の 法 則 に した が っ

て 運 動 す る.   Bohrの

量 子 条 件 式(11・5)を

値 を 求 め て み る.質

量m0,電

用 いて 水 素原 子 の電 子 の と り う る エ ネ ル ギ ー 荷−e(e＞0)の

rの 円 運 動 を し て い る と す る.Newton力

電 子 が 原 子 核 の まわ りを 半 径

学 に よ れ ば,遠

心 力 とCoulomb引

力

はつ り合 わ な け れ ば な ら な い か ら,電 子 の 速 度 をυ と して,

また で な け れ ば な ら な い.こ

れ ら の 式 よ り,半

〓(量子 条 件) 径rを

 (11・7)

求 め る と, (11・8)

と な る.

 最 小 の 軌 道 半 径 は,こ の式 でn=1と

おき (11・9)

で 与 え ら れ る.こ

れ をBohr半

径 と呼 ぶ.r0は

基 底 状 態 で の 水素 原 子 の半 径 を

表 す 長 さ で, (11・10)

と計 算 さ れ る.   式(11・8)で

与 え ら れ る半 径 の 軌 道 を 運 動 して い る電 子 の 全 エ ネ ル ギ ー は,

運 動 エ ネ ル ギーm0υ2/2と 式(11・7),(11・8)よ

位 置 エ ネ ル ギ ー−e2/(4π り,

ε0r)の

和 に 等 し く,

(11・11)

が 得 られ る.こ

れ が 水 素 原 子 の エ ネ ル ギ ー 準 位 を 表 す.n=1の

ネ ル ギ ー の 状 態 で,こ

の 状 態 を 基 底 状 態 と 呼 ぶ.n=2,3,…

は,い

ず れ も基 底 状 態 よ り 高 い エ ネ ル ギ ー を も ち,こ

る.整

数 値nを

主 量 子 数 と い い,エ

  こ の よ う に して,定

状 態 は最 低 エ に 相 当 す る状 態

れ らは励 起 状 態 と呼 ば れ

ネ ル ギ ー の 量 子 化 で の 量 子 数 で あ る.

常 状 態 の エ ネ ル ギ ー が 求 ま っ た か ら,n'→nと

移 に 伴 っ て 放 出 さ れ る光 の 振 動 数ν は,Bohrの

い う遷

振 動 数 条 件 式(11・6)に

よ り,

(11・12)

と表 さ れ る.c=λν 定 数Rに

の 関 係 を 用 い て,式(11・3)が

対 す る 理 論 式 は,Bohr半

導 か れ る.そ の 結 果,Rydberg

径 の 式(11・9)を

考 慮 に 入 れ る と,

(11・13)

で あ る こ とが わ か る.上

式 に 既 知 の 物 理 定 数 を 代 入 す る と,R=1

〔m-1〕 と な り,式(11・2)で る.以

述 べ たRの

上 述 べ た よ う に,Bohrの

.10×107

実 験 値 と よ く一 致 す る 結 果 が 得 ら れ

理 論 は,水

素 原 子 の ス ペ ク トル を 非 常 に う ま

く説 明 す る こ と が で き た.   原 子 核 に 対 して ク ー ロ ン 引 力 の も と で 運 動 す る電 子 は,一 と る.こ

般 に は楕 円軌 道 を

の よ う な 場 合,Wilson(1915年)とSommerfeld(1916年)は,Bohr

の 量 子 条 件 を 一 般 の 周 期 運 動 を 行 う も の に 適 用 で き る よ う に 拡 張 し,次 な 量 子 条 件 を 導 入 した.す

のよ う

な わ ち, (11・14)

 qは 粒 子 の座 標 を,pはqに

共 役 な運 動 量 を表 し,積 分 は運 動 の 一 周 期 につ

い て行 う。 周 期運 動 が 円運 動 の場 合 に は,qと 共 役 な運 動 量pφ

を と れ ば,式(11・14)の

して回 転 角φ を,pと 量 子 条 件 は,Bohrの

してφ に 量子 条件 式

(11・5)と

同 じ で あ る こ と が 容 易 に 示 さ れ る.

11・2 

  Bohrの

水 素 原 子 のSchrodinger方

理 論 は,水

確 に 計 算 で き た.ま

素 原 子 の エ ネル ギ ー準位 お よ び ス ペ ク トル線 の 波 長 を正 た,こ

子 体 系 に も 拡 張 で き た.し

の 理 論 は,He+,Li++の か し,Bohrの

算 す る こ と が で き な か っ た.ま に 対 し て は,定

程 式

た,水

よ う な 電 子1個

理 論 で は,ス 素 以 外 の2つ

性 的 な 議 論 し か で き な か っ た.特

を もつ 原

ペ ク トル 線 の 強 度 を計

以上 の電 子 を含 む 一 般 原 子 に,多

く の 原 子 に しば し ば 見

出 さ れ て い た ス ペ ク トル の 二 重 線 ま た は 三 重 線 の 説 明 は 不 可 能 で あ っ た.こ

れ

ら の 諸 問 題 は 量 子 力 学 に よ っ て 解 決 さ れ る.   水 素 原 子 に お け る電 子 の 位 置 エ ネ ル ギ ー は, (11・15)

で あ る が,ひ

と ま ず こ れ をV(r)と

お い て,定

常 状 態 のSchrodinger方

程 式 を

書 く と, (11・16)

と な る.m0は

電 子 の 質 量 で あ り,∇2は, (11・17)

で 定 義 さ れ るLaplaceの

演 算 子(ラ

プ ラ シ ア ン,Δ

位 置 エ ネ ル ギ ーVがrの

み の 関 数 で あ る か ら,こ

と も書 く)の 記 号 で あ る. の微分 方程 式 は極座 標 で解

くの が 便 利 で あ る.   図11・2の

よ う に 定 義 さ れ た 極 座 標(r,θ,φ)は,直

交 座 標 と次 の 変 換 式

で 結 び つ け ら れ る.

(11・18)

図11.2 

 ま た,r2=x2+y2+z2で

極 座 標 と直 交 座 標 の 関 係

あ る か ら,∇2を

次 の よ う に 書 き か え て み る.

(11・19)  ま た,r2=x2+y2+z2の

関 係 と,式(11・18)よ

り,

(11・20)

の 関 係 が 得 ら れ る.こ

れ よ り,

(11・21)

と な る.式(11・20)の

第1式

よ り,

(11・22)

と い う 関 係 が 成 り 立つ.式(11・21),(11・22)よ

り,

(11・23)

と な る.し

た が っ て,Schrodinger方

程 式 は,

(11・24)

と 書 け る.ψ(r,θ,ψ)は,波

動 関 数 ψ が 極 座 標r,θ,ψ

の関数 で あ る こ

と を 表 して い る.

11・3 

Schrodinger方

  式(11・24)を ギ ーVがrの

程 式 の 変 数 分 離

解 くた め に,変

数 分 離 の 方 法 を と る.す

み の 関 数 で あ る こ と に 着 目 して,波

み の 関 数R(r)と(θ,φ)と る と 考 え て み る.す

な わ ち,位

置 エ ネル

動 関 数 ψ(r,θ,φ)をrの

い う角 度 部 分 の み の 関 数Y(θ,φ)と

の積 に な

な わ ち, (11・25)

 これ を 式(11・24)に

代 入 す れ ば,

 書 き直 す と,

  両 辺 にr2/(RY)を

か け て,rの

み の 関 数 と(θ,φ)の

みの関数 に分離 す る

と,

(11・26)

  式(11・26)に

お い て,左

関 数 で あ る か ら,両 な け れ ば な ら な い.そ

辺 はrの

み の 関 数 で あ り,右

辺 は お の お の がr,θ,φ

辺 は(θ,φ)の

み の

の い ず れ に も関 係 し な い 定 数 で

の 定 数 を λ と お け ば,λ は 無 次 元 の 数 で

(11・27)

(11・28)

と い う2つ

の 微 分 方 程 式 に 分 離 で き る.さ

の み の 関 数Θ(θ)とφ

の み の 関 数Φ(φ)と

ら に,式(11・28)のY(θ,φ)を の 積 に分 離 して 考 え て み る .

θ

(11・29)

と お い て,こ

れ を 式(11・28)に

  両 辺 にsin2θ/(Θ

代 入 す る と,

Φ)を 掛 け て,θ

の み の 関 数 とφ の み の 関 数 に 分 離 す る と,

(11・30)

と な る.左

辺 は θの み の 関 数,右

辺 はφ の み の 関 数 に な っ て い る か ら,両

は そ れ ぞ れ あ る定 数 に 等 し い と お け る.そ

の 定 数 をm2と

辺

お く と,

(11・31)

(11・32)

とい う2つ の 微 分 方 程 式 に分 離 で き る.

11・4  角 度 方 程 式 の 解

  式(11・32)は,簡

単 に (11・33)

の よ うに解 か れ る.波 動 関数 は1価 連 続 で な けれ ば な らな い と い う物 理 的 要求 が あ る.空 間 的 に角 度φ と(φ+2π)と

は 同 じ角 度 で,こ

の2つ

の 角 でΦ が

異 な る値 を と る こ とは不 合 理 で あ る.し た が って, (11・34)

が 要 求 さ れ る.す

な わ ち,

 こ れ が 成 り立つ た め に は,e±i2πm=1で

な け れ ば な ら な い .し

た が っ て, (11・35)

で な け れ ば な らな い.ま た,積 分 定 数Aは

規格化 条件

か ら求 め ら れ る.す

な わ ち,

 ゆ え に,波 動 関数Φ(φ)は, (11・36)

と 求 め られ る.   次 に,Θ(θ)を

求 め よ う.式(11・31)の

両 辺 にΘ/sin2θ

を 掛 け る と,

(11・37)

と い う 微 分 方 程 式 を 得 る.こ

こで,cosθ=ζ

と お け ば,

(11・38)

と な る.   最 初 に,m=0の

場 合 に つ い て 考 え て み よ う.こ

の と き 上 の 式 は,

(11・39)

と な る.こ

求 め よ う.

こ で,

〓の よ うに ベ キ級 数 に展 開 し,上 式 の級 数 解 を

と な って,こ る.そ

れ ら を 用 い る と,式(11・39)の

こ で,ζν≠0で

と な る.こ

あ る の で,そ

左 辺 は ζ の べ キ級 数 の 形 に 書 け

の 係 数 の ほ う を0と

お く こ と が で き,

れ か ら,

(11・40)

を 得 る.こ

の 式 は,Θ(ζ)の

0,2,4,… 5,…

ζ に 関 す る 展 開 係 数aν

と お け ば,a2,a4,a6,… と お け ば,a3,a5,a7,…

 a0≠0,a1=0と

がa0に がa1に

す れ ば,偶

を 決 め る 漸 化 式 で,ν=

よ っ て 表 さ れ,ν=1,3,

よ っ て 表 さ れ る.

関数 の解 (11・41)

が 得 られ,a0=0,a1≠0と

す れ ば,奇

関数の解 (11・42)

が 得 ら れ る.   も しΘ が ζ に つ い て 無 限 級 数 で あ る と す る と,式(11・40)よ aν+2/aν=1と 42)か

な り,ζ →1(cosθ

ら わ か る よ う に,Θ(ζ)は

め に は,Θ

→1∴

θ→0)の

∞ に な る.し

りν → ∞ で

極 限 で 式(11・41),(11・

た が っ て,Θ

が有 限 で あ るた

が ζ に 関 す る 有 限 項 の 級 数 で な け れ ば な ら な い.lを0,1,2,…

の 整 数 と し て,ν=lの

と こ ろ で 級 数 が き れ る(す

な る)た め に は,式(11・40)の

分 子=0か

な わ ち,ν＞lでaν=0と

ら (11・43)

で な け れ ば な ら な い.   次 に,式(11・38)のm≠0の λ=l(l+1)と

場 合 に つ い て 考 え る.式(11・43)で

お い た 微 分 方 程 式 は,Legendreの

も の で あ る.式(11・39)の

各 項 を ζ に 関 してm回

得 られ た

陪微 分方 程式 と呼ば れ る 微 分 し て(1 −

ζ2)m/2を

か

け る と,

を 得 る.た

だ し,こ

の 式 のmは,mが

負 の 場 合 に は￨m￨を

表 す も の と す る.

 こ こ で,

(11・44)

と お く と,上

式 は,

と な り,こ

れ は 式(11・38)のΘ

をPmに

式(11・45)は

式(11・38)の

解 が 式(11・44)で

を 示 して い る.λ=l(l+1)と

お き か え た も の で あ る.す 定 義 さ れ たPm(ζ)で

お け ば,式(11・38)のm≠0の

な わ ち, あ る こと

場 合 の 解 は,

(11・46)

で 表 さ れ る.た

だ し,￨m￨≦lで

 Pl￨m￨(ζ)はLegendreの

あ る. 陪 関 数 と呼 ば れ て い る.

  規 格 化 さ れ た 波 動 関 数Θ(θ)は,

(11・47) と な る.

11・5  動 径 方 程 式 の 解

  最 後 に,R(r)に

関 す る 微 分 方 程 式(11・27)が

か ら λ=l(l+1)と

求 ま っ て い る の で,こ

こ ろ に式(11・15)を

残 っ た.λ

は 既 に 式(11・43)

れ を 代 入 し て 整 理 し,V(r)の

と

代 入 す る と,

(11・48)

と な る.こ

の 式 を 解 く た め に,新

た に,

(11・49)

の α,λ'と 変 数 ρ を 導 入 す る と,式(11・48)は,

(11・50) と な る.こ

こ で, (11・51)

の 形 を 仮 定 し て,式(11・50)に

代 入 す る と,

(11・52)

の 微 分 方 程 式 を 得 る.そ

こ で,さ

ら に,

(11・53)

の置 き換 え をす る と,ま ず

(11・54)

と な る.式(11・54)が れ ば な らな い.し

ρ=0で た が っ て,

も 満 足 す る た め に は,第3項

か らs=lで

な け

(11・55)

を満 足 す るベ キ級 数 の 係数aν の漸 化 式 は,角 度 方 程 式 の 場 合 と 同 じよ う に 求 め る こ とが で き, (11・56)

とな る.こ の べ キ 級 数 がν=n'で

切 れ て有 限 とな る ため に は右辺 で (11・57)

で な け れ ば な ら な い.こ

のnを

び の 値 を も ち,式(11・49)よ

用 い る と き,nはn=1,2,3,… り エ ネ ル ギ ーEnの

の とび と

値 は, (11・58)

  式(11・57)よ

り, (11・59)

の関 係 が あ る.nを

主 量 子 数 と呼 ぶ.

  微 分 方 程 式 はお のお ののlにつ い て 解 いた に もか か わ らず,エ 値 に はlが 含 まれ て い な い.こ の 事実 は,V(r)が1/rに 特 有 な 現 象 で,水

完 全 に 一 致 し て い る.

形 の 微 分 方 程 式 は,Laguerreの

て い る.す な わ ち,2l+1=kと λ'+lと

陪 微 分 方 程 式 の標 準 形 に な っ

お け ば,2(l+1)=k+1と

お く と,λ'−l−1=λ"−kと

Laguerreの

比 例 す るCoulomb力

素 原 子 お よ び 水 素 形 イ オ ン の 特 性 で あ る.式(11・58)は,Bohr

の 理 論 で 求 め た 式(11・11)と   式(11・55)の

ネルギ ー固有

な り,ま た,λ"=

な っ て,式(11・55)は

次 の よ うな

陪 微 分 方 程 式 の 標 準 形 に な る. (11・60)

  た だ し,kは

正 の 整 数1,2,…

で あ る.式(11・60)の

正 則 な 解 は,Laguerre関

数Lλ"k(ρ)で

(11・55)と

比 較 す る こ と に よ り,式(11・55)の

式(11・60)を

ρ=0で

発 散 しな い

あ る こ と が 知 ら れ て い る.そ 解 は,

こ で,式

(11・61)

と な る.こ

れ ら の 計 算 式 を 代 入 し て,規

格 化 さ れ たR(r)と

して,

(11・62)

が 求 あ ら れ る.r0は,式(11・9)で

え ら れ たBohr半

径 で あ る.

11・6  軌 道 角 運 動 量

 古 典 力 学 で は,粒 子 の 軌 道 角 運 動 量 ベ ク トルLは,位 トル積r×pで

置rと 運 動 量pの

ベク

表 さ れ る.量 子 力 学 で は,運 動 量 ベ ク トルPが,

(11・63)

の よ うに微 分 演 算 子 に置 き換 え られ る か ら,軌 道 角 運 動 量 ベ ク トル のx,y,z 成 分 は,そ れ ぞ れ次 の よ う な演 算 子 に対 応 す る.

(11・64)

 こ れ ら の 式 を 式(11・21)を

用 い て 極 座 標 に 変 換 す れ ば,

(11・65)

と 書 け る.し

た が っ て,角

運 動 量 の2乗L2=Lx2+Ly2+Lz2の

演 算 子 は,

(11・66)

と な る.こ

の 式 の{

}内

は 式(11・28)の

う 演 算 子 を 使 っ て 式(11・28)を

左 辺 の{}内

に 等 し い.L2と

書 き 直 せ ば,λ=l(l+1)を

い

用 い て, (11・67)

と書 か れ る.こ の式 は,演 算 子L2の

固 有 値 はl(l+1)h2,固

有 関 数 はYで

あ る よ うな 固 有 値 方 程 式 で あ る.し た が って,角 運 動 量 の絶 対 値￨L￨の

固有

値 は, (11・68)

と な る.す

な わ ち,角

運 動 量 の 絶 対 値 を 測 定 す れ ば,√l(l+1).hを

得 るは

ず で あ る.  φ に 関 す る 波 動 関 数Φ(φ)は,式(11・36)の

よ う に 求 ま って い る が,こ

れ

をφ で 微 分 す る と,

(11・69)

 両 辺 に−ih読を か け て式(11・65)の

最 後 の式 と比 較 す れ ば, (11・70)

と な る.こ

れ は,角

有 関 数 がΦ(φ)で

運 動 量 のz成

分 に 対 応 す る 演 算 子Lzの

あ る こ と を 示 す 固 有 値 方 程 式 で あ る.

  角 運 動 量 に 関 す る性 質 を ま と め る と,L2の そ のz成

分Lzの

固 有 値 はmhで

あ る.し

√l(l+1)・h で 表 す こ と が で き る.た m≦lで

あ る.こ

  Lx,Ly,Lzお

固 有 値 が 椛mhで 固

のlを

た が っ て,角

間 に は,次

あ り,

運 動 量 の 絶 対 値￨L￨は

だ し,l=0,1,2,…

方 位 量 子 数 と い い,mを

よ びL2の

固 有 値 はl(l+1)h2で

で,−l≦

磁 気 量 子 数 と 呼 ぶ.

の 交 換 関 係 が 成 り立つ.

(11・71)

  こ の よ うに,L2とLの 分 の1っ,た

各 成 分 の演 算 子 は交 換 可 能 で あ るか ら,L2とLの

とえ ばLzが 同 時 に確 定値 を と る状 態 が存 在 し,し

たが って これ

ら両 者 を 同時 に正 確 に測 定 す る ことが 可 能 で あ る.し か し,Lx,Ly,Lzは い に交 換 しな い の で,Lの3つ

成

互

の成 分 が同 時 に確 定 値 を もつ状 態 は存 在 しな い.

角 運 動 量 の2つ 以 上 の成 分 が確 定 値 を と る状 態 は角 運 動 量 のす べ て の成 分 が0 で あ る状 態 に 限 られ る.  LとLzの

関 係 を 図 示 す る と,図11・3の

の 大 き さ￨L￨=√l(l+1)・hを

よ うに な る.す

半 径 とす る 球 を書 く.球 の 中心 を通 り空

間 に固 定 したz軸 を と る.角 運 動 量 のz成 分Lzの −l +1)h,…,0…,lhの

固 有 値 はmhで,−lh,(

よ うに,不 連 続 的 な(2l+1)個

とが で き な い.し た が って,角 運 動 量 ベ ク トルLは(2l+1)の

図11・3

あ るが,そ

な わ ち,角 運 動 量

の 値 しか と る こ 円錐 の上 に

 角運 動 量の 幾何 学 的表示 (l=2の 場 合)

の上 で の方 向 は不 定 で あ る.こ の よ うに,角 運 動 量 の成 分 の値 が 量

子 化 さ れ る こ とを 方 向量 子 化 とい う.

11・7  電 子 の ス ピ ン

  Na原 子 の発 光 ス ペ ク トル の 中 にD線

と呼 ば れ る二 重 線 が見 られ る.こ

のよ

う な 二 重 線 は 水 素 原 子 ス ペ ク トル に も現 れ る.た と え ば,Balmer系 は1.4〔A〕

だ け 隔 た っ た 二 重 線 で あ る.こ

とGoudsmitは,1925年

に,電

列 のHa線

れ を 説 明 す る た め に,Uhlenbeck

子 は 単 な る 点 電 荷 で は な く て,そ

れ 自身 が 固

有 の 角 運 動 量 と 磁 気 モ ー メ ン トを も っ て い る と い う仮 説 を た て た.電 に よ っ て 生 ず る 角 運 動 量 を ス ピ ン(spin)と

呼 び,sで

表 す.ス

に 対 して も 軌 道 角 運 動 量 に 対 す る 交 換 関 係 式(11・71)と 満 た さ れ て い る もの と す る.す

な わ ち,次

子 の 自転

ピ ン角 運 動 量

同 じ形 の 交 換 関 係 が

の 式(11・72),(11・73)が

成 り立

つ.

(11・72)

(11・73)

ス ピ ンs(ベ

ク トル)の 大 き さ は,Lの

大 き さ が√l(l+l)・hで

こ と か ら推 察 し て√s(s+1)・hと  sの 値 は1/2で,こ szの 固 有 値 はmshと ちよ う どLzの

れ を ス ピ ン量子

値 を と り,ス

が っ て,szの

数 と呼 ぶ.sの

書 け て,msは1/2とλ"1/2と

え れ ば よ い.msを

を と る と す る.こ

用 い てmhと

固 有 値（1/2)hと(−1/2)hに

た

対 応 して ス ピ ンの 独 立 な 状 態 は

子 の 状 態 を 表 す 波 動 関 数 は,空

の 値 だ け を と る.Szの

を 表 す ス ピ ン 固 有関数

と き1と

値 を と る.し

場 が な け れ ば こ れ らの 状 態 は縮 退 して い る.

と,σは1/2と−1/2の2つ

σ が−1/2の

の こ とは,

した場 合 に 対 応 し て い る と 考

ピ ン状 態 を 表 す 変 数 σ の 関 数 で あ る.ス

が−1/2と

と えば

書 け て,mは−l,−l+1,…

ピ ン の場合はlを1/2に

  ス ピ ン の 導 入 に よ り,電

と き1で,σ

成 分 の1つ,た

ス ピ ンの 磁 気量子 数 と呼び,＋1/2と−1/2の

2つ 存 在 して い る.磁

か に,ス

な る は ず で あ る.

固 有 値 が 磁 気 量 子 数mを

,0 ,…,lの

与 え られ た

を α,β き0と

で鍬

間 座 標x,y,zの

ほ

ピ ン変 数 σ と し てmsを

とる

固 有 値がh/2,−h/2の

す.す な わ ち,αはス

な る 関 数,β

な る関数 と定義 す る.す

ピ ン 変 数σが1/2の

は ス ピ ン 変 数 σが1/2の な わ ち,

状 態

と き0で,

(11・74)

  演 算 の 便 宜 上,ス

ピ ン の 固 有 関 数 α,β を ベ ク トル 的 に,次

の よ う に 書 く.

(11・75)

 ス ピ ン角 運 動 量 演 算 子sのz成

分 は α,β を基 底 関 数 とす る行 列 表 現 で は,

次 の よ う に 表 さ れ る.

(11・76)

  式(11・75)で

定 義 したSzが

α,β

に 作 用 す る と,

(11・77)

と な り,式(11・76)のSzは

状 態 α,β で 固有値h/2,−h/2を

.  こ の よ う に ス ピ ン の 導 入 に よ り,水

もつ こ とが わ かる

素 原 子 の 波 動 関 数 ψ は,

(11・78)

と な る.

11・8  水 素 原 子 に つ い て の 要 約

 水 素 原 子 の全 波 動 関 数 ψ(r,θ,φ,σ)は, (11・79)

と求 め ら れ た.4つ

の 量 子 数n,l,m,msは,次

の よ う に 定 義 さ れ た.

(11・80)

 エ ネ ル ギ ー 準 位 は,nの

み に依 存 し,

(11・81)

で あ る.式(11・80)よ

り,主

〓 個 の 異 な る状 態 が あ り,こ で あ る.こ

量 子数nの

状 態 に は,

れ ら は す べ て 等 し い エ ネ ル ギ ーEnを

の こ と を エ ネ ル ギ ー 準 位 が2n2重

  こ こ で,波

に 縮 退 し て い る と い う.

動 関 数 に つ い て 少 し調 べ て み よ う.角

の 固 有 関 数Yは,式(11・36),(11・47)よ

もって い るの

運 動 量 の2乗

の 演 算 子L2

り,

(11・82)

と な る.こ す.

れ は 球 面 調 和 関 数 と 呼 ば れ る も の で あ る.Ylmを

二,三

具 体 的 に示

(11・83)

  次 に,Rnl(r)がrの

関 数 と して ど の よ う に ふ る ま う か,n,lの

小 さい場合

に つ い て 具 体 的 に 示 す.

(11・84)

 した が っ て,水

素 原 子 の 波 動 関 数 ψ(r,θ,φ)をn=1,2の

て 求 あ る と,表11・1に

示 す よ う に な る.

表11・1 

水 素 原 子 の 波 動 関数

場 合 につ い

  方 位 量 子 数lが0で θ,φ

あ る 状 態 の 波 動 関数ψn00は,Y00(θ,φ)=1/√4πが,

に 関 係 し な い 関 数 で あ る か ら,角

あ る.こ

のl=0の

ぞ れp,d,f,…

状 態 をs状

度 依 存 性 の な い空 間 的 に ま る い関 数 で

態 と 呼 ぶ.ま

状 態 と 呼 ぶ.s状

た,l=1,2,3…

態 と ちが って これ らの状 態 の 波動 関数 は空 間

的 に 角 度 依 存 性 を も っ た 関 数 で あ る.2p状 mは1,0,−1の

態 を 例 に と れ ば,l=1で

値 を と る こ と が で き て,三

実 関 数 の 形 に な っ て い る が,ψ211と 数 な の で,ψ211と

あ る か ら,

重 に 縮 退 し て い る.ψ210(r)は

ψ21-1は そ れ ぞ れ θiφとe-iφ を 含 む 複 素 関

ψ21-1を 独 立 な 波 動 関 数 と し て 扱 う 代 わ り に,こ

形 結 合 で 作 っ た(ψ211+ψ21−1)/√2と(ψ211− て 選 ぶ こ と が で き る.こ sinθsinφ

の状態 を それ

ψ21−1)/√2iを

れ ら は 実 関 数 に な っ て い て,そ

に比 例 し て い る.し

た が っ て,p状

態 の3つ

れ ら の線

独立 な関数 と し

れ ぞ れsinθcosφ

と

の 波 動 関数 を次 の 形 に

書 く こ と が で き る.

 (11・85) こ こ に,

  ψpx,ψpy,ψpzは,そ

れ ぞ れx,y,z方

向 に の び た 波 動 関 数 で,こ

れ らは

互 い に 直 交 して い る.   動 径 方 向 の 波 動 関 数Rnlに で あ る.s状 ψ px,ψpyお を 図11・5に

態 お よ びp状

つ い てR10∼R32を

グ ラ フ に し た も の が 図11・4

態 に つ い て の 実 数 形 の 確 率 分 布 関 数 は 球 対 称 で あ り,

よ び ψpzは 方 向 を の ぞ け ば 同 等 で あ る.そ 示 し て あ る.

の 角 度 に よ る か わ り方

図11・4 

水素 原 子 の 動 径 方 向 の 波 動 関数Rnl(r)

図11・5  s状 態,p状

態 の 波動 関 数 の 角 度部 分 の 絶 対 値 の方 向依 存 性

練 習 問 題 〔11〕

1.  水 素 原 子 の 基 底 状 態 につ い て,電 子 が原 子 核 か ら距 離rとr+drと 確 率 をP(r)drと

2. 〓

お くと き,P(r)の

の間 にあ る

式 を求 め,そ れ を 図示 せ よ.

が微 分 方 程 式(11・28)の

を 確 か め,規 格 化 条 件 も満 足 して い る こ とを証 明 せ よ.

3.  角 運 動 量 の 成 分 の 間 の 交 換 関 係式(11・71)を

導 び け.

解 で あるこ と

第12章 

  Pauliの

Pauliの

原 理

原 理 は,原 子 の構 造 に つ い てPauliが

提 唱 した も の で,こ

よ って元 素 の 周 期 律 表 を 説 明 す る こ と が で き た.電 Pauliの

12・1 

原 理 に従 が う粒 子 をFermi粒

Pauliの

れに

子 だ け で な く,こ の

子 と呼 ぶ.

排 他 律

  2個 の 電 子 か らな る 原 子(He原

子)に

対 す るHamiltonianは,

(12・1)

  r1,r2は,核 r2￨)を

を 原 点 に と っ た と き の 電 子 の 座 標 で,r12は

表 す.最

後 の 項 は2個

電 子 間 距 離(￨r1−

の電 子 の相 互 的 な ポ テ ン シ ャル エネ ル ギ ー で あ

る.   こ のHamiltonianは,2個

の 電 子 の 座 標r1(x1,y1,z1)とr2(x2,y2,z2)

の 入 れ か え に 対 して 不 変 で あ る.こ の で あ る た め で,電 Hamiltonianの

子 の 空 間 座 標rの

の 電 子 が 全 く区 別 で き な い も

み で な く,ス

ピ ン座 標 σ を 含 め て も

不 変 性 は成 り立 っ.

  rと σ を 一 緒 に し,一 ψ(q1,q2)は,q1とq2を と ψ(q2,q1)は

の こ と は2個

般 的 座 標 と し てqを

用 い る と,2電

交 換 す る と ψ(q2,q1)と

子原 子 の波動 関数

表 さ れ る が,ψ(q1,q2)

同 一 の 状 態 を 表 す と い う こ と が 量 子 力 学 の 基 本 原 理 で あ る.

  古 典 力 学 で は,全 観 測 しつ づ け て,いつ

く等 しい2つ

の 粒 子 が あ っ て も,そ

ま で も そ の2つ

れ ら の 位 置,運

動量 を

の 区 別 をつ け る こ と が で き る と い う立 場

を と るの で,2つ

の粒 子 を 交換 した状 態 は元 の 状 態 と は異 な る もの と考 え る.

しか し,量 子 力学 で は,不 確 定 性 原 理 の ため に,2つ

の粒 子 の 区 別 を しつづ け

るよ うな観 測 は不 可能 で,粒 子 を交 換 した状 態 と元 の 状 態 とを 同 一 の もの とせ ざ るを え な い.  n個 の粒 子 か らな る量 子 力 学 的 系 を波 動 関 数 ψ(1,2,…,n)で 簡単 の た め に2つ

の電 子 の よ う に同一 粒 子 が2個 あ り,1つ

他 の 粒子 が β状 態 に あ る とす る.こ れ を ψ(1,2)と 第2の 粒 子 が α状 態 に,第1の

表 す.い

ま,

の粒 子 が α状 態,

す る.粒 子 の 交 換 を して

粒子 が β状 態 に あ る と して,こ れ を ψ(2,1)と

書 くと き,こ の 両状 態 は全 く区別 で きな いか ら,確 率 振 幅 は等 し く (12・2) が 成 り 立つ.し

た が っ て, (12・3a)

 あ る い は, (12・3b)

で あ る.す な わ ち,同 一 粒 子 の交 換 に対 して は波 動 関 数 の符 号 を変 え な い対 称 の場 合 と,符 号 を変 え る反 対 称 の場 合 が あ る.  変 数 分 離 の考 え方 を使 って,波 動 関 数 ψ(1,2)が さ れ る とす る.い ま,第1の

粒 子 が α状 態,第2の

ψ(1)と

ψ(2)の

積で表

粒 子 が β状 態 にあ る と して, (12・4)

と な る.粒

子 を 交 換 す る と, (12・5)

 一 般 に

,2粒

子 系 は ψIと ψⅡの 一 次 結 合 も ま た 解 と な る か ら,こ

2粒 子 系 の波 動 関 数 と して,つ

の よ うな

ぎの4つ の形 が考 え られ る.

(対 称)

 (12・6)

(反対 称)  〓は 規 格 化 の た め の 係 数 で あ る.こ

の う ち,初

め の3つ

粒 子2を 交 換 して も符 号 を変 え な い対 称 な波 動 関 数 で,残 交 換 す る と符 号 が変 わ る反 対 称 な波 動 関数 で あ る.も

 (12・7)

は,粒

子1と

りの1つ は,粒 子 を

し,α と βが 同一 状 態 で

あ る とす る と,反 対 称 の 波動 関数 は0と な り,こ の よ うな状 態 は存 在 しな い こ と に な る.反 対 称 の 波 動 関数 が0で な く,存 在 す るた め に は α と β とは異 な る 状 態 で あ れ ば よ い.   Pauliの 提 唱 した要 請 に よれ ば,「Fermi粒

子 系 の 波 動 関 数 は,粒

子 の座標

の 入 れ か え に対 して 反対 称 で な けれ ば な らな い」.こ の よ うな 要 請 をPau1iの 原 理 と呼 ん で い る.こ の 原理 に よ り,同 じ1つ の状 態 を2つ の粒 子 が 占め る こ と は許 され な い こ と にな る.別 の表 現 を す れ ば,「 量 子 数(n,l,m,ms)で 指 定 され る1つ の状 態 に は,た だ1つ の粒 子 しか入 れ な い」 とい うことにな る. これ をPauliの

排 他 律 と い う.

  Pauliの 原 理 は,位 置 座 標 だ けで な く ス ピ ン座 標 も含 め て考 え た全 波 動 関 数 が 反 対 称 で あ る こ とを 要 求 して い る.ス ピ ン部 分 の 波 動 関 数 を ψs,空 間 部 分 の 波 動 関 数 をψnlmと す る と,全 波 動 関 数 ψは, (12・8) と 表 さ れ る.   た と え ば,2つ 子 が 上 向 き,他

の 電 子 か ら な る原 子 の1重

項(S=0)状

の 電 子 が 下 向 き で あ る か ら,ψsは

ψnlmは 対 称 で な け れ ば な らな い.逆

に3重

の ス ピ ン は 同 じ方 向 を 向 い て い る か ら,粒 し た が っ て,ψnlmは

態 で は,1つ

反 対 称 で あ る.し

項(S=1)状

の電

た が って,

態 で は両方 の電 子

子 交 換 に 対 し て ψsは 対 称 で あ る.

反 対 称 と な る.

12・2  原 子 の 電 子 配 置 と元 素 の 周 期律

 2個 以 上 の電 子 を もつ 原子 で は,各 電 子 は原 子 核 か らの 引 力 の ほか に,他 の

電 子 か らの 斥 力 を 受 け る の で 事 情 は 複 雑 で あ る.量

子 力 学 で も2個

を もつ 原 子 の 問 題 を 完 全 に 解 く こ と は 極 め て 困 難 で あ る.こ 状 態 は 中 心 力 場 の 近 似 で 求 め ら れ る.こ

の 場 合,各

の 電 子 の 受 け る 力 の う ち,残

い て は,そ

り の(N−1)個

ま り,原

子 内

の 電 子 か ら受 け る 力 に つ

れ ら の 電 子 の 運 動 に つ い て 平 均 した も の で 置 き か え て よ い と考 え る.

そ う す れ ば,(N−1)個

の 電 子 か ら及 ぼ さ れ る 力 も 中 心 力 と考 え ら れ,核

ら の 引 力 も 加 え て 電 子 は結 局1つ 原 子 番 号Zの

中 性 原 子 で は,注

目 す る電 子 が 核 か ら遠 い 距 離 に あ れ ば,こ

程 式 は 水 素 原 子 の 場 合 と 同 じ も の と な る.原

離 に あ る 電 子 に つ い て 考 え る と き に は,平 荷 が 残 っ て い る と 近 似 し,こ 〓と お く.σ

の電

電荷が残 るこ とにな るか

の 電 子 の 受 け る ク ー ロ ン ・ポ テ ン シ ャ ル はV(r)=−e2/(4π

り,Schrodinger方

か

の 中 心 力 の 場 の 中 で 運 動 す る こ と に な る.

子 を 除 い て 原 子 核 に は,+Ze−(Z−1)e=+eの ら,こ

電子 の

の 近 似 で は 他 の 電 子 か ら受 け る ク ー ロ

ン ・ポ テ ン シ ャ ル を 球 対 称 の ポ テ ン シ ャ ル に 置 き か え て 扱 う.つ の1つ

以 上 の電 子

ε0r)と

な

子 核 に近 い 距

均 と し て 原 子 核 に+eの

何倍 か の電

の と き の ク ー ロ ン ・ポ テ ン シ ャ ル を

は 遮 へ い 定 数と 呼ば

れ,こ は 実 験 で 得 られ る エ ネ

ル ギ ー 準 位 の 間 隔 か ら 定 め る こ と が で き る.   一 般 の ポ テ ン シ ャ ルV(r)中 に,そ

の 電 子 に つ い て も,水

の 電 子 の エ ネ ル ギ ー 固 有 状 態 は(n,l,m,ms)で

の ク ー ロ ン ・ポ テ ン シ ャ ル 場 を 仮 定 す る と,最 こ の と きl=0で

あ る か ら1s状

二 重 に 縮 退 し て お り,Pauliの り う る.次 2s状

素 原 子 の場 合 と同 じ よ う

に,n=2の

う る.同

じnを

  ns,np,nd,…

状 態 が あ り,六

も つ 状 態 で は,lの

が 大 き い の で,強 が っ て,2p状

の 電 子 が 入 り,2p状

の 状 態 はms=±1/2に

状 態 に は,そ

対 応 して

態 に は2個

態 とl=1の2p状 態 はm=−1,0,+1の

重に 縮 退 し て お り,6個

の電 子 が 入 態 が あ り, 各々

の電 子 が入 り

小 さい状 態 ほ ど電 子 が核 の近 くに く る確 率

い 核 の 引 力 を 受 け る こ と に な り,エ

態 の ほ うが2s状

定

低 エ ネ ル ギ ー 状 態 はn=1で,

原 理 に した が っ て,1s状

状 態 に はl=0の2s状

態 は 二 重 縮 退 で2個

に 対 してms=±1/2の

態 で あ る.こ

指 定 さ れ る.一

ネ ル ギ ー が 下 が る.し

た

態 よ り エ ネ ル ギ ー が 高 い. れ ぞ れ2個,6個,10個,…

の独 立 な状 態

が あ り,エ

ネ ル ギ ー の 低 い状 態 か ら,Pauliの

つめ て ゆ く と,多 のCuの

原 理 に したが っ て順 番 に電 子 を

電 子 原 子 の 基 底 状 態 の 電 子 配 置 が 求 め ら れ る.原

場 合,29個

の 電 子 を も っ て い る が,基

れ ぞ れ2個,2p,3pに

そ れ ぞ れ6個,3dに10個

に 入 れ る こ と に な る.こ

子 番 号29

底 状 態 で は1s,2s,3sに つ め て,最

そ

後 の1個

を4s

れを (12・9)

と 書 く.n,lに (nd)10の は,合

よ っ て 指 定 さ れ た 状 態 を 殻(shell)と

よ う に,1つ

の(nl)状

態 に 最 大 数2(2l+1)個

成 した 軌 道 角 運 動 量 も ス ピ ン角 運 動 量 も0で

ま わ り に 球 対 称 で あ る.こ

呼 び,(ns)2,(np)6, の 電 子 を 入 れ た系

あ り,そ

の よ う な 系 を 閉 殻(closed

の電 荷 分 布 も核 の

shel1)と

い う.

  最 も エ ネ ル ギ ー の 高 い 殻 に 含 ま れ て い て,束

縛 さ れ 方 の 最 も少 な い 電 子 を 価

電 子 と い う.元

殻 は 直 接 の 影 響 を 及 ぼ さ ず,そ

素 の 光 学 的,化

学 的 性 質 は,閉

の 外 に あ る 価 電 子 だ け に よ っ て き ま る.こ つH,Li,Na,K,Cs,Frな

ど は,閉

の よ う に 考 え れ ば,(ns)1電

殻 の 外 に1個

の 電 子 を も ち,ア

原 子 と し て 類 似 の 化 学 的 性 質 を もつ こ と が わ か る.ま Xe,Rnな

ど は,閉

殻 を も ち,安

を もつF,Cl,Br,I,Atな る た め に,ハ

ル カ リ

た,He,Ne,Ar,Kr,

定 な 不 活 性 な 稀 ガ ス 原 子 で あ る.(np)5電

ど は,も

う1つ

子

の電 子 を と って 安 定 にな ろ う とす

ロ ゲ ン元 素 と し て 化 学 的 に 活 性 を 示 す.

  主 量 子 数nの

値 の 小 さ い 状 態 か ら順 番 に 電 子 がつ ま っ て ゆ く と い う こ と は,

nの 小 さ い 状 態 に 対 し て は よ く成 り立 って い る が,nの 必 ず し も成 り立 た な い 場 合 が あ る.た 非 常 に 接 近 し て い る の で,電 が 空 い た ま ま で,さ

と え ば,3d殻

子 が3d殻

き に4s殻

大 き な 状 態 に 対 して は と4s殻

の一部

に入 った ほ うが エ ネ ル ギ ーが 低 くな る こ と が あ

の よ う な 不 完 全 殻 を も っ て い る元 素 の グ ル ー プ に は,鉄

族,希

土 類 族,白

金 族,ア

のエ ネル ギ ーは

を 完 全 に 満 た す よ り も,3d殻

る.こ

(6d,5ｆ)殻

子 を も

ク チ ニ ウ ム 族 が あ り,こ

が 不 完 全 殻 と な っ て い る.

族,パ

れ ら は3d,4d,4f,5d,

ラ ジウ ム

練 習

問 題

〔12〕

1.  次 の イ オ ン の 基 底 状 態 の 電 子 配 置 を 記 せ.  

(i) 

2.  Scか

O2−, 

らCuに

(ⅱ) 

Ca2+, 

至 る 間 で,3d殻

  (i) 

Fe3+, 

か し,正

の こ と を 考 慮 し て,次 (ⅱ) 

Br−

に 電 子 が 入 っ て い くが,中

と が ほ ぼ 同 じ エ ネ ル ギ ー を も っ.し ル ギ ー が 低 い.こ

(ⅲ) 

Zn2+

イ オ ン で は3dの

性 の 原 子 で は4sと3d ほ う が4sよ

りエネ

の イ オ ンの 基 底 状 態 の 電 子 配 置 を 記 せ.

第13章 

原 子 や 電 子 集 団 の取 扱 い

  原 子,分 子 お よび 固 体 の 性 質 を も っ とよ く知 る た め に は,多

く の基 礎 的

な 粒 子 の 集 合 の しか た― 統 計― につ いて,量 子力 学 の結 果 か ら再 検 討 しな けれ ば な らな い.粒 子 の 量 子 状 態 を 波 動 関 数 に よ って記 述 す る と き,2つ 粒 子 の 入 れ 換 え に対 して,対 称 関 数 か 反 対 称 関数 か の2通

の

りの場 合 が あ る.

した が って,波 動 関 数 を基 礎 に して,可 能 な状 態 を数 え ると き,2つ

の違 っ

た 統計 が 存在 す る こ と にな る.

13・1  電 子 の 集 団 と エ ル ゴ ー ド性

  1個 の原 子 の 全 体 と して の エ ネ ルギ ー状 態 は,原 子 に属 す る各電 子 を そ れ ぞ れ き ま った エ ネル ギ ー準 位 に配 置 す る こ と に よ って 定 ま る.1つ

の 準 位 は,電

子 の空 間 的 運 動 状 態 を表 す 波 動 関 数 ψ(x,y,z)とspinの

向 きが上 か下 か の指

定 に よ って与 え られ る.原 子 に属 す る電 子 の総 数 をNと

す れ ば,こ

のN個

の準 位 に詰 め た状 態 が原 子 の基 底 状 態 で,そ

れを最 低

の 他 の 配 置 は励 起 状 態 に

相 当す る.   金 属 内 の 電 子 の 場 合 も同 様 に取 り扱 うこ とが で き る.金 属 の 中 で は 原 子 が 規 則 正 し く列 ん で 結 晶 格 子 を 作 って お り,格 子 点 に あ る原 子 核 はそ れ に 強 く束 縛 され て い る電 子 に囲 まれ て 陽 イ オ ンを 作 って い るが,原 子 の最 外殻 の 電 子 は束 縛 を離 れ て 金 属 中 を 動 き まわ る 自由 電 子 と な って い る.こ こで は,こ の よ うな 自 由電 子 だ けを 考 え る こ と にす る.   これ らの 自由電 子 に対 す る エ ネ ルギ ー準 位 は,金 属 内 で の 陽 イ オ ンの 規 則 的 な配 置 に よ って 生 じる周 期 的 な位 置 エ ネ ル ギ ーVを 式 を解 いて き ま るの で あ るが,Vを

用 い たSchrodinger方

程

金属 中 で 空 間 的 に な ら した定 数 と考 え るな

らば,エ

ネル ギ ー準 位 は,ポ テ ン シ ャル一 定 の箱 の 中 に閉 じこめ られ た 自由粒

子 の定 常 状 態 と して求 め る こ とが で き る.   熱平 衡 状 態 にお いて,こ れ らの電 子 が 種 々 の エ ネル ギ ー 準 位 に どの よ うに分 布 す るか考 えて み よ う.実 際 に は1cm3の

金 属 片 の 中 に1022個 程 度 の 多 数 の 自

由電 子 が あ り,そ の集 団 を取 り扱 うこ と に な るが,い

ま 仮 り に電 子 数N=12

と して い ろ い ろ の準 位 へ の電 子 の 配 置 を示 した の が 図13・1で,図(a)は 状 態 に,図(b)は1つ

基底

の 励 起 状 態 に相 当 す る.

(b)

(a) 図13・1 

電 子 系 の エ ネ ル ギ ー準 位 へ の 配 置 例

  あ る時 刻 に電 子 の配 置 が,た と え ば図(b)で あ った と して も,電 子 系 は いつ ま で も この 配 置 に止 ま って い るわ けで は な い.電 子 相 互 の 間 に はCoulombの 斥 力 が働 い て お り,た ま た ま2個 の電 子 が十 分 接 近 す る と衝 突 が起 こ り,そ れ らの電 子 は異 な る準位 に移 動 し,配 置 は別 の配 置 に移 る.こ の場 合,電 子 系 全 体 と して の エ ネ ル ギ ー は一 定 で あ る.電 子 系 外 との 間 に相 互作 用 が あ る場 合 で も,熱 平 衡 状 態 に お いて は,電 子 系 を電 子 ガ ス の よ う に考 え,そ

の 温 度Tに

相 当 す る一 定 の エ ネル ギ ーを保つ と考 え て よ い.   熱 平 衡 状 態 に お いて も電 子系 の配 置(準 位 へ の 分 布)は 時 間 につ れ て 変 化 す る.次 に,そ の変 化 の あ りさ まを 考 え て み よ う.い

ま,全

エ ネ ル ギ ー がEで

あ るよ うな電 子 系 の 各 電 子 の準 位 へ の配 置 が い ろい ろあ る もの と して,そ れ ら をA,B,C,…

で 区 別 す る.す な わ ち,A,B,C,…

は無 数 に存 在 す る エ ネ

ル ギ ー 準 位 の 中 か らN個

の 準 位 を 選 ん で,そ

な る よ う な も の で あ る.電

子 間 の 衝 突 や 外 界 と の 相 互 作 用 で 電 子 系 は1つ

置 か ら他 の 配 置 へ と 移 っ て い く が,系 に 配 置Bに

移 る 確 率 をtPABと

遷 移 確 率 と 呼 ば れ る.逆 が,一

 ま た,非

置Bか

置A,B…

あ る と き,短

の配

い 時 間tの

間

時 間 の 逆 数 の 次 元 を もつ 量 で,

ら配 置Aに

関 係 が 成 り立つ.こ

常 に 長 い 時 間tの 間,系

し た と し,配

が 配 置Aに

し よ う.PABは

に,配

般 に,PAB=PBAの

の 準 位 の エ ネ ル ギ ー の 和 がEに

移 る 確 率 はtPBAと

表 され る

れ を 微 視 的 可 逆 性 と い う.

が い ろ い ろ の 配 置 の 上 を 渉 り歩 く の を 観 測

を と る 時 間 を そ れ ぞ れtA,tB,…

と す る.す

な わ ち, (13・1)

で,tが

十 分 長 く,A,B,C,…

対 し て も0で

の 各 配 置 に 対 し,ど

の2つ

の配置間の遷移 に

な い 遷 移 確 率 を もつ よ う に 結 ば れ て い る と す る と, (13・2)

で あ る こ とが 要 求 され る.す な わ ち,ど の 配 置 の 出 現 確 率 も同 じ と考 え る の で あ る.式(13・2)で

示 され る性質 を エ ル ゴー ド性 と い う.こ

の よ うに エ ル ゴ ー

ド性 が 成 り立つ こ とか ら,熱 平 衡 状 態 にお け る系 につ いて の あ る物 理量 の 値 を 求 め るの に は,各 配 置 につ いて の 値 の 単 純 な算 術 平 均 を とれ ば よ い.

13・2  正 準 分 布

  図13・2の

よ う に,外

界 か ら孤 立 し て い て,体

エ ネ ル ギ ー(内 部 エ ネ ル ギ ー)Eが 的 状 態(た

と え ば,圧

的 状 態 は 多 数 あ る.こ て も よ い し,一 え る と,微

力 がpで,温

積V,中

に あ る 粒 子 数N,全

一 定 の 系 を 考 え る.こ 度 がTと

の 系 で,一

い う よ う な 状 態)が

れ が 気 体 分 子 で あ れ ば,1個

つ の巨視

出現 す る微視

の 分 子 は体 積Vの

ど こに あ っ

つ の エ ネ ル ギ ー状 態 に ど の分 子 が入 って もよ い とい うよ うに考

視 的 状 態 の 数 は お そ ら く天 文 学 的 な 数 に な る だ ろ う.こ

的 状 態 の 出 現 確 率 は エ ル ゴ ー ド性 の た め,す

べ て 等 しい と考 え る と き,こ

の 微 視 的 状 態 の 集 合 を 小 正 準 集 合(micro-canonical を 小 正 準 分 布(micro‐canonical

れ らの微 視

distribution)と

ensemble)と い う.微

い い,分

れ ら 布

視 的 状 態 の総 数 を

図13・2

W(N,V,E)と

す る と,一

つ の 微 視 的 状 態rの

出 現 確 率 ρ(r)は

(13.3) で あ る か ら,こ

の 確 率 は 次 の よ う に規 格 化 さ れ る.

(13.4)  ま た,こ

の 系 に 対 し て,熱

力 学 的 に 定 義 され る ェ ン ト ロ ピーSは,Wを

使 って

(13.5) の よ う に計 算 さ れ る.こ 数 で あ る.さ

ら に,こ

の 式 をBoltzmannの

関 係 式 と い い,κ はBoltzmann定

の 系 は 断 熱 系 で あ る か ら,熱

力 学 の 第 二 法 則 が 成 立 す る.

(13.6) 等 号 は こ の 系 が 温 度Tの

熱 平 衡 に あ る 場 合 で あ る.さ

れ た 粒 子 の 集 合 系 で,次

の よ う に 微 視 的 状 態 数 を 計 算 し て み よ う.体

温 度T,粒

子 数N,ま

た,内

 こ の 系 を 形 成 す るN個 で あ ろ う か,エ

部 エ ネ ル ギ ー はE,エ

の 粒 子 は,ど

ネ ル ギ ー を 細 か くdε ご と に 分 け,

れ らの エ ネ ル ギ ー に あ る状 態 数 を それ ぞ れ g1,g2,g3,g4,…

と し,こ

れ らの 状 態 に あ る 粒 子 数 を そ れ ぞ れ n1,n2,n3,n4,…

の断熱壁 に囲 ま

ン トロ ピ ー はSで

積V, あ る,

の よ うな エ ネ ル ギ ー分 布 を して い るの

ε1,ε2,ε3,ε4,…

と し,こ

て,こ

と し,こ

の (13・7)

と い う集 合 で 微 視 的 状 態 を 表 して み る.giの るni個

の 配 分 の 仕 方 は い ろ い ろ あ り,粒

る と,giに だ し,孤

付 属 す るniの

数 は εiの 関 数 で あ り,そ

こに入

子 の 種 類 に よ っ て も 違 っ て く る.す

数 の 違 い に よ っ て,集

合{ni}の

数 は 違 って く る.た

立 系 で あ るか ら (13・8)

で,

(13・9)

は 粒 子 が エ ネ ル ギ ー εiにい る確 率 で あ る,   こ こ で は,一

つ の 状 態 に 何 個 で も入 れ る 古 典 的 粒 子 につ い て,{ni}の

的 状 態 数 を 計 算 して み る,一 つ の 微 視 的 状 態giに の 粒 子 の 入 り方 はgi通 の 入 り方 もgi通 な る が,こ て,粒

り,2個

り で,状 態giに

の 粒 子 が い て,1個

目 の 粒 子 の 入 り方 は や は りgi通

目

り,…,ni個

目

場 個 の 粒 子 を 配 置 す る 総 数 はgi・gi・…=giniに

の 一 つ の 配 置 の 中 でni個

の 粒 子 は 同 じ εiの エ ネ ル ギ ー を も っ て い

子 ど う し の 間 で 区 別 が つ か な い の で,こ

同 じ微 視 的 状 態 を と る.し

はni個

微視

た が っ て,一

の 中 でni!の

つ の 状 態 数giの

入 れ 替 え を し て も,

中での微視的配置数 は

gini/ni!と な る,す る と,す べ て のgiを 考 え た 場 合 は,全 微 視 的 状 態 数 は 積 の 形 で (13・10)

  Boltzmannは

こ の 微 視 的 状 態 数 に 対 して エ ン トロ ピーSを

対 応 さ せ た, (13・5)

  こ の 孤 立 断 熱 系 で,熱

平 衡 の 状 態 を 考 え て み る.こ

て お り,熱

最 大 で あ る,エ

あ り,熱

平 衡 で はSは

な っ

ン トロ ピ ー の 概 念 は 乱 雑 さの 尺 度 で

平 衡 は 乱 雑 の 極 致 と考 え て よ い か ら,こ

に な っ て い る の で あ る.し

の と き,dS=0と

た が っ て,dS=0の

の と き系 の微 視 的状 態 は最 大 代 わ り に,

を 計 算 す る と,

(13・11)

こ の 計 算 中Sterlingの   こ の 場 合,孤

式logn!=nlogn−nを

立 系 で あ る か ら,全 粒 子 数N,内

使 って い る, 部 エ ネ ル ギ ーEは

一 定 で あ っ て,

(13・12) の よ う なLagrangeの

末 定 系 数 α,β を 導 入 し て み よ う ,式(13・11),(13・12)

か ら

(13・13)  α,β を 求 め て み る,式(13・11)か

ら エ ン ト ロ ピ ー を だ す と, (13・14)

  熱 力 学 恒 等 式dE=TdS−pdVでdV=0の

と き はdS/dE=1/Tで

と な っ て,

(13・15)

 ∂F

  Helmholzの 粒 子 数Nが

エ ネ ル ギ ー は,F=E−TSで,孤 一 定 の と き,外

/∂Nを

立 系 で は,体

積V,温

部 か ら の 仕 事 は な い の で,dF=0で

度T,

あ る.

つ く る と,

(13・16)

 断 熱 孤 立 系 で は,dF=0で

あ る か ら,α=0で

合 の エ ネ ル ギ ー 分 布 関 数f(ε)は

式(13・13)か

あ る.し

た が っ て,こ

の場

ら

(13・17)

  こ の 式 で は,傍 の で,こ

字 の"i"は

消 え て い る が,エ

の 形 は よ り 一 般 的 で あ る,こ

ネル ギ ー の み の 関 数 の 形 で あ る

の分布 関数 を使 う と

(13・18)

ρ(εi)は エ ネ ル ギ ー εiを も つ 微 視 的 状 態 の 出 現 確 率 で あ り, (13・19) と な り,平

均 エ ネル ギ ー は

(13・20) の よ う に 表 さ れ る.こ と い う こ と が あ る.

の 式 の 分 母 を(エ

ネ ル ギ ー)分

配 関 数(partition

function)

図13・3

  次 に,こ の粒 子 系 が 透 熱 壁 を 通 して,外 系 と エ ネル ギ ー の や り と りを す る場 合 を 考 え よ う.外 系 は大 きな エ ネル ギ ーを も って い るが,そ の周 囲 は 断熱 壁 で で きて お り,こ の 断 熱壁 の 内部 で は (13・21)

の 変 化 の み が 許 され る.   い ま,外 系 の 熱 容 量 は大 き く,温 度 は系 の 温 度Tと

同 じ く一 定 で,そ

の変

化 は等 温可 逆 で あ る とす る と, (13・22)

式(13・21)に

式(13・22)を

代 入 す る と,

(13・23)

の よ う に,我 以 後,系

々 の 目 的 と す る系 の み の 変 数 で,そ

の 変 化 が 表 さ れ る こ と に な る.

の み の 変 化 で 論 じ る こ と が で き る の で,傍

字 の"系"を

省 略 す る と, (13・24)

この式 に熱 力学 の第 一 法 則 (13・25)

を 代 入 す る.E系

の 内 部 エ ネ ル ギ ー,μ は 系 に 入 る 粒 子1個

の エ ネ ル ギ ー を 表 す, (13・26)

こ こで も,簡

単 に す る た め,等

積 でdV=0と

し,温

度Tは

一 定 とす る と, (13・27)

  こ の 式 が 我 々 の 必 要 な,こ 由 エ ネ ル ギ ー で あ る,こ 計 的 に 考 え る と き,こ

の 系 の 変 化 の 状 態 で あ っ て,FはHelmholzの

の よ う な 系 の 内 部 で の 粒 子 の 集 合,分

自

布 を 微 視 的,統

の 集 合 を 正 準 集 合(canonical‐ensemble),分

分 布(canonical‐distribution)と

布 を正 準

い う.

  μdNは

こ の 系 に 入 っ て く る 粒 子 に よ る 仕 事 で あ り,自

dFは,可

逆 変 化 の と き に の み μdNに

等 し く,一

由 エ ネ ル ギー の 増 加

般 的 に は μdNよ

り 小 さ い,

系 か ら外 系 に 粒 子 が 出 て い く場 合 は (13・28)

で あ る か ら,系

の 自 由 エ ネ ル ギ ー の 減 少 分 は,そ

に は な らず,仕

事 量 は,自

の ま ま 外 系 に 加 え られ る仕 事

由 エ ネ ル ギ ー の 減 少 分 よ り小 さ い,

  こ の 正 準 分 布 の 分 布 関 数 を,小

正 準 分 布 と同 じよ うに (13・29)

と し て み よ う,そ

し て 式(13・15)の

よ うに (13・30)

に と っ て み る と,式(13・16)で

計 算 した よ うに (13・31)

と な る が,こ

の 場 合 は0で

は な く,式(13・27)で

可 逆 過 程 を 想 定 して (13・32)

と した式 と比 較 す る と (13.33) が 得 られ る.す

る と,分

布関数 は (13・34)

の 形 に な る.   し か し,こ こ と に あ る.こ

の 導 出 の 仮 定 は,正 の β=1/kTはdS=0か

準 集 合 の 場 合 で も β=1/kTと

して し ま っ た

ら導 か れ た も の で,dF=μdNか

ら

導 か れ た も の で は な い,dS=0とdF=μdNと は 熱 平 衡 に あ っ て,dT=0で

を 比 較 して み よ う.系

と外 系

あ るか ら (13・35)

  こ の 式 でTdSは μdNはdEの あ る,す

系 と外 系 と の 可 逆 過 程 を 許 し た の で,TdS=dQで

み に 使 わ れ て い る と 考 え れ ば,残 な わ ち,正

り のdS=0に

あ り,

な って い るの で

準 分 布 に お け る系 は 熱 平 衡 に な っ て お り,こ

エ ン ト ロ ピ ー は最 大 で,dS=0と

の系 の 中 で は

考 え て よ い.

13・3  量 子 統 計

  これ ま で は古 典 的 な 粒 子 を 考 え て き た が,粒 生 じ て く る と,そ

子 ど う しが 接 近 して 相 互 作 用 が

の 確 率 分 布 はMaxwell‐Boltzmann分

の 理 由 は,「 粒 子 間 距 離 が 十 分 離 れ て い る た め,同 粒 子 で も1つ1つ

布 に従 わ な く な る.そ じエ ネ ル ギ ー を も っ て い る

区 別 で き る.」 と し たMaxwell‐Boltzmann統

り 立 た な く な る か ら で あ る,さ

言 の仮定 が成

らに同 種 の粒 子 が 同 じエ ネル ギ ー準 位 に入 って

く る と お 互 い の 区 別 が で き な く な る こ とが 量 子 統 計 の 仮 定 で あ る.   識 別 不 可 能 な 同 種 の 粒 子 か ら な る 系 の 状 態 を 表 す 波 動 関 数 は,粒

子 の座 標 の

入 れ か え に た い して 対 称 な 関 数 か 反 対 称 な 関 数 か の い ず れ か で あ る.し て,識

別 不 可 能 な 同 種 の 粒 子 の 配 置 の 仕 方 に は,次

の2つ

たが っ

の 場 合 が あ る.

  ①   全 系 の 波 動 関 数 が 粒 子 の 入 れ か え に 対 し て 対 称 で あ る場 合   ②  全 系 の 波 動 関 数 が 粒 子 の 入 れ か え に 対 し て 反 対 称 で あ る場 合   ① の 場 合 に は,同

じ量 子 状 態 に い く ら で も多 く の 粒 子 が 入 り得 る,こ

う な 配 り方 に よ る分 布 をBose‐Einstein分 計 をBose‐Einstein統 (boson)と

電 子,陽

計 と い う.Bose‐Einstein統

呼 ぶ.光

分 子 の よ う に,複 子,中

布 と い い,こ

子(photon)はBose粒

数 の 電 子,陽

子,中

た,原

子 核,原

子 子,

性 子 か ら成 り立 っ て い る複 合 粒 子 で は,

性 子 の 総 数 が 偶 数 個 の と き に はBose粒

  ② の 場 合 に は,1つ

の よ う な 条 件下 で の 統

計 に 従 う 粒 子 をBose粒

子 で あ る.ま

の よ

の 量 子 状 態 を2個

子 で あ る.

以 上 の 粒 子 が 占 め る こ と は で き な い.

な ぜ な ら,同

一 量 子 状 態 を 反 対 称 の2個

等 的 に 零 に な る か らで あ る.こ 布 と い い,こ ‐ Dirac統

の よ う な 条 件 下 で の 統 計 をFermi-Dirac統 子(fermion)と

子 で あ る.Bose‐Einstein統

子 統 計 と呼 ん で い る.例

と し て,同

量 子 状 態 に く ば る く ば り 方 の 数,つ

図13・4 

13・4 

Bose‐Einstein統

ε2,…

呼 ぶ .電

子,陽

子,中

性子

計 を あわせ て量

じ エ ネ ル ギ ー を もっ 同 種 粒 子2個 ま り微 視 状 態 の 数 を 図13・4に

を3個

の

示す.

各 種 統 計 法 の 比較

計

退 状 態)を

た ば ね て1つ

の

を 考 え る.各 細 胞 内 の 量 子 状 態 の エ ネ ル ギ ー を ε1,

と し,各 細 胞 内 に 含 ま れ る量 子 状 態 の 数 をg1 ,g2,…

の 細 胞1,2,…

計 と い う .Fermi

計 とFermi‐Dirac統

  エ ネ ル ギ ー の あ ま り違 わ な い 多 く の 量 子 状 態(縮 細 胞 で 表 し,細 胞1,2,…

の 波 動 関 数 は恒

の よ う な 配 り方 に よ る 分 布 をFermi-Dirac分

計 に 従 う粒 子 をFermi粒

はFermi粒

の 粒 子 が 占 め れ ば ,系

に 粒 子 がn1,n2,…

と す る.こ

個 ず つ 分 布 して い る と し,全

全 エ ネ ル ギ ー も一 定 の 条 件 の も と で 考 え る.

れ ら

粒 子 数 一 定,

(13・36) (13・37)

  エ ネ ル ギー が εiであ る 細 胞iに 含 ま れ るgi個 複 を 許 して くば る 場 合 の,く の 粒 子 を 一 列 に な らべ,そ で,ま

ず,粒

の 量 子 状 態 にni個

ば り方 の 数 を 求 め る.図13・5(b)の の 間 に(gi−1)個

り あ る.そ

よ う に,ni個

の 仕 切 り を 入 れ て み る,こ

子 も仕 切 り も同 じ よ う に 考 え て,(ni+gi−1)の

え る と,(ni+gi−1)!通

の 粒 子 を重

の う ち,粒

の状態

配 列 の 仕 方 を考

子 ど う し の 区 別 を 考 え な い か ら,

ni! 通 り は 意 味 が な い し,仕 切 り ど う し の 区 別 も 考 え ら れ な い か ら,(gi−1)! 通 り も意 味 が な い.し

た が って,ni個

の 粒 子 をgi個

の 量 子 状 態 に くば る仕 方

の 数 は,

と な る,全 数Wは,各

体 でN個

の 粒 子 を ε1にn1,ε2にn2,…,εiにniと

々 の 積 で あ る か ら,

(a)

( b)  Bose‐Einstein統 図13・5

計 の 数 え方

くば る 仕 方 の

(13・38) と な り,ni+gi≫1と

す れ ば,こ

れ は

(13・39) で 近 似 さ れ る,Wは て お り,こ

粒 子 の エ ネル ギ ー分 布 に お け る微 視 的 状 態 の 数 を 意 味 し

の 微 視 的 状 態 の 数 が 最 大 に な っ た と き が 熱 平 衡 で あ り,そ

布 の 実 現 さ れ る 確 率 は エ ル ゴ ー ド性 に よ り,Wに 36),(13・37)の

条 件 の 下 でWmaxと

  式(13・39)の

自 然 対 数 を と る と,

比 例 す る.よ

の と き分

っ て,式(13・

な る 平 衡 分 布 を 求 め る,

(13・40)

を 得 る が,ni,giが

そ れ ぞ れ1に

比 べ て は る か に 大 き な 数 で あ る と して,Stirling

の公式 (13・41)

を 用 い る と, (13・42)

と な る.Wmaxの に 対 して は,小

条 件 は(lnW)maxの

条 件 と 同 じ で あ る か ら,そ

さ い δniの 変 化 に 対 して δlnW=0で

た が っ て,式(13・42)よ

の よ うな 分 布

な け れ ば な ら な い.し

り, (13・43)

  式(13・36),式(13・37)の

条 件 よ り,

(13・44) (13・45)   こ れ ら の3つ い る.す

の 式 を 同 時 に 満 足 さ せ る た め に,Lagrangeの

な わ ち,式(13・44)に−

α,式(13・45)に−

未定 定数 法 を用

β を か け て 式(13・43)に

加 え る と, (13・46)

 し た が っ て,

で な けれ ば な らな い. (13・47)

  Lagrangeの

未 定 定 数 α,β

は,次

エ ン ト ロ ピ ーSは,lnWのBoltzmann定

の よ う に し て 定 め ら れ る.力

学 に よ る と,

数κ 倍 で あ る か ら,式(13・42)か

(13.45)

(13.49)  熱 力学 的 に はEは

内 部 エ ネ ル ギ ー で あ り,熱

力 学 恒 等 式dE=Tds−pdV

よ り,

(13・50)

と な る か ら,式(13・49)と

式(13・50)と

の 比 較 で,

(13・51)

が 得 ら れ る,次

に,エ

ン ト ロ ピ ーSは,式(13・48)よ

り,

ら,

(13・52) で 与 え られ るか ら,Helmholzの

自 由 エ ネ ル ギ ーF=E−TSは, (13・53)

と な る,

(13・54)

 こ れ は,熱

力 学 に お い て 化 学 ポ テ ン シ ャ ル μ を 表 して お り,

(13・55)

で あ る の で,式(13・54)と

式(13・55)の

比 較 か ら,

(13・56)

が 得 ら れ る,   εiを ε と 置 き,式(13・51),(13・56)を

式(13・47)に

代 入

して 得

られ る 関 数

(13・57)

をBose‐Einstein分

布 関 数 と 呼 ぶ.f(ε)は

粒 子 が エ ネ ル ギー ε の 状 態 を 占 め

る 確 率 で あ る.

13・5 

  Fermi粒

Fermi‐Dirac統

計

子 に 適 用 さ れ るFermi‐Dirac統

る こ と が で き る.エ

計 の式 も同 じよ う な 計 算 法 で求 め

ネ ル ギー εiを も っ たni個

の 粒 子 がgi個

の量 子 状 態 に ど の

よ う に分 布 す る か を 考 え る,   Fermi粒

子 はPauliの

原 理 に従 うか ら,1つ

の 量 子 状 態 に は1個

以 下 の粒 子

しか 入 れ な い.し

た が っ て,ni＜giで

子 状 態 の う ち,niは

あ る.こ

つ ま っ て い て,(gi−ni)個

配 列 す る 仕 方 の 数 はgi!と お り あ る が,粒 態 も 区 別 で き な い.し

の よ う な 場 合 に は,gi個

た が っ て,区

は 空 い て い る.gi個

の量

の状 態 を

子 ど う し は 区 別 で き な い し,空

別 の っ か な いni個

の 粒 子 をgi個

孔状

の量 子状

態 に く ば る 仕 方 の 数 は,

と な る.各

エ ネ ル ギ ー を 含 め た 全 体 に つ い て の くば り 方 の 数,す

なわち微視的

状 態 の 数Wは,

(13・58) で 与 え ら れ,熱   Wの

平 衡 状 態 で は,こ

自 然 対 数 を と り,ni,giは

る と し て,Stirlingの

のWは

最 大 値 を と る こ と に な る.

そ れ ぞ れ1に

比 べ て は る か に大 き な 数 で あ

公 式 を 用 い る と, (13・59)

と な る,niの も の を0と

変 化 に 対 す るlnWの

極 大 値 を 探 す た め,右

辺 を δni変 化 さ せ た

お く. (13・60)

 この式 と,粒 子 保 存 お よ び エ ネ ル ギ ー保 存 の条 件 (13・61) (13・62)

を 考 慮 し て,Lagrangeの

未 定 定 数 法 を 用 い る と, (13・63)

が 得 られ る.し

と な り,こ

た が っ て,

れ よ り,

(13・64)

〓を用 いて

を 得 る.

(13.65) と な る,こ

のf(ε)をFermi‐Dirac分

  Bose‐Einstein分 て み る.こ

布 関 数 と 呼 ぶ.

布 お よ びFermi‐Dirac分

布 に お い て,T→

の と き β は 小 さ な 値 と な る か ら,基

と る と,こ の 場 合 の分 配 関 数〓 和 で あ っ て,こ

の 和 は β →0で

数 お よ びF‐D分

底 状 態 の エ ネ ル ギ ー ε0を 零 に

はεi の 値 が1/β の程 度 ま で のgiの は∞

に な る,し

略 し た 形 か ら,〓 と な り,〓

∞ の極 限 を考 え

た が っ て,式(13・48)で1を

省

とし た と き,〓 が成 り立 つ.こ

の こ と よ り,T→

布 関 数 は,Boltzmann分

図13・6 

∞ に お い て, B‐E分

布 関 数 と 同 じ形 に な る.

Fermi‐Dirac分

布

布 関

練 習 問 題

 1.  Fermi分

布 関 数 をf(E),理

で あ る こ と を 証 明 せ よ,た

を 意 味 し,低 温ｋT≪

想 気 体 の 状 態 密 度 をZ(E)と

す る と,

だ し,〓

μ を仮 定 せ よ.

 2. 前 問 の 結 果 を 利 用 して,理 想Fermi気 Eに つ いて,次

〔13〕

体 の 化 学 ポ テ ンシ ャル μ,内 部 エ ネル ギ ー

の展 開 式 が 成 り立 つ こ と を証 明せ よ,

第14章 

  M.Planckが

熱 輻 射 の 理 論 的 研 究 に,量

で あ っ た.20世 Planckが

量 子 論 の応 用 例

紀 の 物 理 学 は,こ

の 量 子 仮 説 か ら は じ ま っ た と い え る.

ノ ー ベ ル 賞 を 受 け た の は1918年

の 動 き を 追 っ て み る と 興 味 深 い.1921年 年 に はN.Bohrの 果 が,量

原 子 構 造,1927年

で あ る が,そ

の後 の ノーベ ル賞

はA.Einsteinの に はA.H.Comptonの

光 電 効 果,1922 コ ンプ トン効

子 効 果 の も と で 説 明 さ れ た,

  量 子 力 学 の 完 成 は,1929年 のW.Heisenbergの .M.Diracの

子 仮 説 を 導 入 し た の は1900年

のL.V.de

Broglieの

マ ト リ ッ ク ス 力 学,1933年

量 子 力 学 へ と 急 で あ る.量

電 子 の 波 動 性,1932年 のE.Schrbdinger,P.A

子 力 学 的 考 え は,こ

物 理 的 現 象 に 適 用 さ れ る よ う に な り,1956年W.Shockley等 タ の 研 究 に つ な がっ て い く.固

体 物 理 学 は20世

の 後,あ

らゆる

の トラ ン ジ ス

紀 の 量 子 力 学 を基 礎 と した

物 性 論 で あ る.

14・1 

Planckの

熱 放 射 式

  固 体 か らの 熱 放 射 は,入 射 電 磁 波 に よ って 固体 内 の原 子,分 子 が 励 起 され, そ の 後 複 雑 な遷 移 を 繰 り返 す と き に外部 に 放 射 され る光 で あ る ので,あ

らゆ る

振 動 数 を含 ん で い る と考 え る こ とが で き る.固 体 内 で は原 子,分 子 ど う しの相 互 作 用 が あ る た め,事 実 上,連 続 的 な エ ネル ギ ー 準 位 が あ る と考 え る こ と が で き る か らで あ る,こ の よ うな 場 合 の 放 射 スペ ク トル を統 計 的 に取 り扱 って み よ う.す べ て の波 長 の光 を 完 全 に吸 収 す る物 体 を 黒 体 と呼 ぶ が,熱 平 衡 状 態 で は 吸 収 した光 は必 ず 放 射 す るか ら,黒 体 と は あ らゆ る波 長 の光 を最 も効 率 よ く放 射 す る物 体 と もい え る,現 実 に は理 想 的 な黒 体 は存 在 しな い が,十 分 厚 い壁 に

か こま れ た高 温 炉 の 一 部 に小 さ な孔 を あ けて そ こか ら漏 れ る光 を観 察 す れ ば, 黒 体 か らの熱 放 射 と考 え る ことが で き る.こ の よ う な炉 を空 洞 と呼 ぶ.空 洞 の 内 で は い ろ い ろ の振 動 数 を もっ た光 子 が 気 体 の よ う に充 満 して お り,壁 の物 質 と衝 突 して平 衡 状 態 に な って い る とす る.   位 相 空 間(位 置 と運 動 量 か らな る六 次 元 の 空 間)に お いて,運 動 量 がpとp +dpの

間 に あ る光 子 の状 態 数 をg(P)dpと

す る と, (14・1)

  式(14・1)に

お け る 因 子h3は,位

相 空 間 に お い て,dx,dy,dz,dpx,dpy,dpz

が 囲 む 体 積dτ=dxdydzdpxdpydpz≧h3と を 意 味 す る.こ ま た,因

な り,位

れ は 量 子 論 か ら の 要 請 で あ り,不

子2は,同

相空 間の体積 の最 小単位

確 定 性 原 理 に 基 づ い て い る.

じ運 動 量 を も つ 光 子 に は 右 円 偏 光 と 左 円 偏 光 の2つ

状態が

あ る か らで あ る.   空 洞 の 体 積 をVと

す れ ば,

(14・2)

で あ る.運 動 量 がpとp+dpの

間 にあ る体 積 は,pを

半 径 とす る球 と(ｐ+dp)

を 半 径 とす る球 と に は さ ま れ た球 殻 の 体積 で あ るか ら, (14・3)

で あ る.し

た が っ て,

(14・4)

と な る.光

子の運動

量pはp=〓

で あ る か ら,dp=h/cdν

と な り,こ

の 関 係 を 上 の 式 に 代 入 す る と,

れ ら

(14・5)

が 得 られ る.こ れ が 振 動 数 で 表 した 光子 の状 態数 で あ る.

  光 子 は,Bose粒

子 で あ る か ら,Bose‐Einstein統

意 す べ き こ と は,Bose‐Einstein統

計 の 式 に お い て,定

定 で あ る こ と か ら 出 て き た Σδni=0の る が,こ

の 場 合,光

で あ り,し

な り,ε=hν

こで 注

数 α は粒 子 の 総 数 が 一

式 に か け たLagrangeの

子 の 総 数 は 保 存 さ れ な い.光

た が っ て μ=0と

計 に し た が う.こ

未定 定数 で あ

子 の 場 合 に は α=0と

す べき

を 考 慮 し て,

(14・6)

  こ の 式 は,式(14・5)で

表 さ れ る 各ν の 状 態 に 光 子 が 存 在 す る 確 率 を 表 し

て お り,式(14・5),(14・6)か 光 子 の 数,す

ら,単

位 体 積 あ た りν とν+dν

の間 にあ る

な わ ち 光 子 密 度 は,

(14・7)

と 表 さ れ る.振 る の で,空

動 数 がν とν+dν

の 間 の 光 子 は,す

洞 内 で の 単 位 体 積 あ た り の 光(電

磁 波)の

べ て エ ネ ル ギ ー がhν で あ エ ネ ル ギ ー は,

(14・8)

と な る.こ

の 式 はPlanckの

式 と して 有 名 で あ る,空

も っ 光 子 を 加 算 した 電 磁 波 の エ ネ ル ギ ー は,単

洞内で すべ ての振 動数 を

位体積 あた り

(14・9)

とな る.次 に,こ の よ うな電 磁 波 エ ネル ギ ーが 空 洞 の 外 に放 射 され る場 合 を考 え て み よ う.単 位 体 積 あ た り式(14・9)で

表 さ れ る エ ネ ル ギ ー を もっ 光 子 群

が 黒 体 の単 位 表 面 積 か ら単 位 時 間 あ た り出 る放 射 量 は,簡 単 な計 算 か ら

(14・10)

と な る.こ

れ はStefan‐Boltzmannの

に 発 見 し,後

にBoltzmannが

法 則 と 呼 ば れ て お り,Stefanが

熱 力 学 的 に証 明 した も の で あ る,

  式(14・8)を,c=ν

λ(λ は 波 長 を 表 す)の

す る式 に し,そ

を と る と,波

のc/4倍

実 験 的

関 係 を 用 い て,波

長 を変 数 と

長 で 表 した 放 射 強 度 の 式 が 出 る.

(14・11)

  波 長 の単 位 を 長 で,波

〔μm〕 で 表 す と,Rλ

長 幅1μmあ

の単 位 は

〔W/m2・

μm〕

と な り,各

波

た り に 含 ま れ る放 射 エ ネ ル ギ ー を 表 し て い る こ と に な る.

Rλ を λ に 対 し て プ ロッ ト し た 曲 線(温

度Tを

パ ラ メ ー タ と して)は

例 え ば 太 陽 の 光 放 射 の 実 測 値 と よ く合 う.こ 波 長 λmaxと そ の と き の 温 度Tの

の 関 係 が 成 立 す る が,こ

黒 体 放 射,

の曲線上で放射強度が最大にな る

間 で,

れ はWienの

体 の 電 磁 波 放 射 に 関 し て,Planckよ

変 位 則 と し て 知 ら れ て い る,Wienは り さ き に,黒

黒

体 の エ ネ ル ギ ー密 度 を

(14・12)

の よ う に,実 式 はPlanckの

験 的 に 求 め た が,こ 式(14・8)の

分 母 の−1を

ら放 射 強 度 を 計 算 し た 式 は,黒 で は,Planckの

が あ り,こ

単 な る 実 験 係 数 で あ っ た.こ

省 略 す る こ と か ら で る,こ

体 放 射 の 短 波 長 側 で よ う 合 う.別

式 でehν/kT≒1+hν/kTと

論 的 に 式(14・8)を

数 と 呼 ば れ る の は,hν 導 い たPlanckの

に,長

近 似 し たRaylei‐Jeansの

の 式 か ら計 算 し た 放 射 式 で は 黒 体 放 射 の 高 温,長

と よ く合 う.ん がPlanck定 与 え,理

の 式 で のhは

の

の式 か 波長 側 式

波 長領 域 で 実 験値

にエネルギー量子 の概 念 を

功 績 を 記 念 して で あ る.

  式(14・8)は,単

位 体 積 あ た りの 電 磁 波 エ ネ ル ギ ー を 表 し て い る が,古

理 論 で の 式 を 対 比 の た め に 示 し て み よ う,電 り の 電 磁 波 エ ネ ル ギ ー は,振

の よ う に計 算 で き る.Tは

場E,磁

場H中

典

の単位体 積 あ た

動 数ν の 光 に つ い て,

周 期,ε=ε0εrは

ｃ/υ は 媒 質 の 屈 折 率 を 表 す,ポ

誘 電 率,μ=μ0μrは

イ ン チ ン グ ・ベ ク トル は,こ

ギ ー に 光 速 度υ を 掛 け た も の で あ る か ら,

図14・1 

Planckの

幅 射 式

透 磁 率,n=

の単 位 体 積 エ ネ ル

と な り,物

質 に 対 し て 光 の 入 射 強 度 がI(ν

〔J/m2・s〕 が 測 定 で き る と,I(ν)

を 上 の 式 で 割 っ た 値 は,単 位 面 積 あ た り 物 質 に 入 射 す る フ ォ ン ト数 に な る.

図14・2 

太 陽 光 の ス ベ ク トル 分 布

14・2  誘 導 放 射

  い ま 空 洞 の 壁 あ る い は 内 部 に 同 一 種 類 の 原 子 が 多 数 あ る も の と し,そ 1つ の 原 子 が 励 起 状 態iに 状 態jに

遷 移 し て,そ

が で き る,こ

あ る と す る.こ

の エ ネ ル ギ ー 差(εi−

の 原 子 は,自

れ を 自 然 放 射 と い い,単

く.Ai→jをEinsteinの

εj)を

発 的 にiよ

の中の

り低 い定 常

光 子 と して 放 出 す る こ と

位 時 間 当 た り の 遷 移 の 確 率 をAi→jと

自然 放 射 係 数 と呼 ぶ.状

態iに

あ る 原 子 の 数 をniと

書 す

る と,

(14・13)

と 書 く こ と が で き る.Σ い て の 和 を 表 す.こ

は,状

態iよ

こ で,ΣAi→jの

り 低 い エ ネ ル ギ ー を もつ 状 態 す べ て に つ 逆 数 を τiと お く と,式(14・13)の

解 は,

図14・3

(14・14)

と な る.n0は

積 分 定 数 でt=0で

のniの

値 で あ る,τiはniが1/eに

な るまで

の 時 間 を 表 し,励 起 状 態 の 平 均 寿 命 と 呼 ば れ る,   さ て,原 態iに

子 の 状 態 の 変 化 は,そ

こ に存 在 す る輻 射 場 の 影 響 を 受 け る.定

常状

あ る 原 子 は,

図14・4 (14・15)

を 満 足 す る振 動 数νikの光 子 を 吸収 して,よ き る.さ

り高 い励 起 状 態kに

らに,振 動 数νikを もつ光 子 は,状 態kに

な る ことがで

あ る原 子 に作 用 して 状態

iに 遷 移 させ る,前 者 を(誘 導)吸 収 とい い,後 者 を誘 導 放 射 と い う.振 動 数 νikの輻 射場 の光 子 密 度 を ρ(νik)dνとす る と,単 位 時 間 に 吸収 の起 こ る回 数はni お よ び ρ(νik)dνに比 例 す る,し た が って,単 位 時 間 で の 光 子 の 吸 収 量ΔPi→k は, (14・16)

と な る.Bi→kは

吸 収 過 程 の 比 例 係 数 で あ る.誘 導 放 射 過 程 に つ い て も,同

う に 考 え て,誘

導 放 射 量 をBk→inkρ(νik)dν

と お い て,εk＞

じよ

εiの と き のBk→i

を 定 義 す る.Bi→k,Bk→iを,そ

れ ぞ れEinsteinの

吸 収 係 数,誘

導放 射 係数 と呼

意 の 状 態(i,k)の

組 に つ い て 遷 移i→kと

ぶ,   熱 平 衡 状 態 に お い て は,任

k→iの 量 は 等 し く な け れ ば な ら な い ,し

遷移

た が っ て, (14・17)

と な る.一

方,熱

平 衡 状 態 に お い て は,

(14・18)

で あ る か ら,式(14・17)(14・18)よ

り,

(14・19)

と な る.式(14・19)が

式(14・7)と

同 一 で あ る た め に は,3つ

のEinstein

係 数 の間 の関 係 式 が

(14・20)

と な る,

 熱 平 衡 状 態 で,自 然 放 射 と誘 導 放 射 の 割 合 を 比 べ て み る と,

(14・21)

で あ る.し

た が っ て,室

hν≫kTで あ る か ら,誘

温 で 可 視 部 や 近 赤 外 部 の 光 の 放 射 を 考 え る と き は, 導 放 射 は ほ と ん ど 無 視 で き る.し

放 射 を 問 題 に す る 場 合 に は,hν≪kTで で き て,誘

あ る か ら,自

か し,マ

イ ク ロ波 の

然 放 射 が ほ と ん ど無 視

導 放 射 と 吸 収 と で ほ ぼ 均 衡 が 保 た れ る.

  遷 移 の 確 率 を 与 え る 式 は,素

過 程 の 確 率 を 表 す も の で あ る か ら,nと

ν）に つ い て 熱 平 衡 が 成 り立 っ て い な い 場 合 で も 広 く成 り 立 つ.Einsteinの に 成 り 立 っ 関 係 式 に つ い て も 同 様 で あ る.い

ま,εk−

ρ( 係数間

εi=hν の 関 係 を み た す

強 い電 磁 波 を原 子 にあ て る と,吸 収 に よ ってniが 減 りnkが 増 え る,し か し, nkが 増 す と 自然放 射 だ け で な く誘 導放 射 が増 加 す る.電

磁 波 が 十 分 強 くな れ

ば,自 然 放 射Ak→iは 誘 導 放 射Bk→iρ(ν)dν に比 べ て無 視 で き るよ うに な り, (14・22) と な る.式(14・20)よ

り,Bi→k=Bk→iで

あ る か ら,式(14・22)は, (14・23)

とな り,電 磁 波 を い く ら強 く して も吸 収 に よ って 上 の準 位 の原 子 数 を下 の 準 位 の原 子 数 よ り多 くす る こ と はで きな い.す なわ ち,吸 収 に飽 和現 象 が み られ る.   誘 導 放 射 で は発 生 す る光 子 は誘 起 す る光 子 と同 じ周 波 数,伝 搬 方 向,位 相 を 持 って い る,そ こで,こ の 誘 導 放 射 を 利 用 して単 色 の電 磁 波 を増 幅 あ る い は発 振 させ る装 置 が 作 られ て い る.マ イ ク ロ波 領 域 で使 う場 合 に はメ ー ザ ー(MASER) ,光 の領 域 で使 う場 合 に は レー ザ ー(LASER)と

呼 ば れ て い る.

  一 様 な 厚 さlの 物 質 に 振 動 数ν の 単 色 光 が 入 射 す る場 合,入 (ν)と す れ ば,透 過 光 の 強度Ⅰ(ν)は,Lambertの

射 光 の 強 度 をI0

法 則 よ り, (14・24)

で 与 え られ る,α(ν)は,振

動 数ν の 光 に対 す る 吸 収 係 数 で あ る.い

質 を 構 成 す る原 子 に つ い て,そ 問 題 と す る,E1＜E2と 用 を 考 え る.こ 起 こ す.こ

の と り う る エ ネ ル ギ ー 準 位El,E2間

し,(E2−E1)/hに

の 光 に よ り,原

ま,物 の遷 移 を

等 し い 振 動 数ν の 光 と の 相 互 作

子 はE1→E2の

吸 収 とE2→E1の

の 両 者 の 差 し引 き の 遷 移 数N(1→2)は,単

誘 導 放射 を

位 体 積,単

位 時間 あ

た り

(14・25)

と な る.一 り,こ

方 ・ 光子密 度 ρ(ν)を入射

れ をhν で 割 る と単 位 面 積,単

光 の 強 さに直 す とc/4hνρ(ν)dν

とな

位 時 間 あ た り の 入 射 光 子 数 が 得 ら れ る.

こ れ に α(ν）を 掛 け た も の が 単 位 時 間,単

位 体 積 あ た り の 遷 移 数N(1→2)で

あ

る.し

た が っ て,

(14・26)

と な る.通 常 の 熱 平 衡 状 態 で は,E1＜E2で (ν)は

あ れ ば 必 ずNl＞N2と

な り,α

正 と な る.

(b)

(a) 図14・5 

  しか し,も

熱 平 衡 状 態(a)と 負 温 度 状 態(b)

し何 らか の 方 法 で,(図14・5)の(b)の

が 作 られ た と す る と,式(14・26)に 負 と な る.負

お い て,{}内

の 吸 収 係 数 と い う こ と は,光

幅 が 起 こ っ て い る こ と に な る.こ

よ う に,N1＜N2の が 負 と な り,α(ν)は

子 の 数 が 増 加 す る こ と を 意 味 し,増

の よ う に,E1＜E2に

る よ う な 系 を 反 転 分 布 の 系 と呼 び,も

状態

対 し てN1＜N2で

あ

し熱 平 衡 状 態 に あ る 系 と 同 じ よ う に,

(14・27)

の式 で 有効 温 度Teが 定 義 で き る とす れ ば,Teは

負 の 値 を と る.こ の こ とか ら

反 転 分 布 の 状 態 を 負 温 度 状 態 と も呼 ぶ.   い ま 物 質 中 を 光 が 進 む と き,E1〓E2遷 とす る と,x方

移 に 関 係 の な い損 失 の 係 数 を α0

向 に進 む光 の強 さの 増 加 は, (14・28)

で あ るか ら,入 射 光 の 強 さをI0と し,距 離xだ

け進 ん だ光 の強 さ をIと す れ ば, (14・29)

と な る. (14・30)

の 条 件 が溝 た さ れ れ ば,Iはx方

向 に進 む につ れ て増 大 し,光 の増 幅 が 起 こる.

α0+α ＜0の 条 件 を満 た す長 さLの 物 質 を,光 を よ く反 射 す る互 い に 平 行 な 2枚 の反 射 鏡 の間 に入 れ た 場 合,鏡 の 強 さ はR倍

の反 射 率 をRと

に な り,物 質 中 を 進 む 距 離Lの

す る と,1回

の反 射 で光

間 で 光 の 強 度 はe−(α0+α)L倍 にな

るの で, (14・31)

で あ れ ば,光

が 鏡 の 間 を 往 復 す る う ち に ど ん ど ん 強 さ が 増 す.こ

振 器 と 考 え る こ と が で き る.こ (14 .・25),(14・26)か

れ は,光

の 発 振 器 を レ ー ザ ー 発 振 器 と 呼 ぶ.α

ら分 か る よ う に,(N1−N2)に

14・3 

は,式

比 例 す る か ら,N2を

増 大 す る こ と に よ っ て 発 振 条 件 を 満 た す こ と が 可 能 に な る.こ ポ ン ピ ン グ(pumping)と

の発

の よ う な操 作 を

呼 ぶ.

固体 の比 熱

  比 熱 に関 与 す る固 体 内部 エ ネル ギ ーの 変 化 と して は,次 の よ うな ものが あ る.  ①  格 子 点 に存 在 す る原 子,あ

るい は分 子 の 振 動 エ ネル ギ ー

  ②  伝 導 電 子 の 熱速 度 に よ る運 動 エ ネル ギ ー   ③  価 電子,あ

るい は殻 電 子 の励 起 エ ネル ギ ー

  ④  常 磁 性 結 晶 の ス ピ ン配 向,強 磁 性 結 晶 にみ られ る ス ピ ン配 向 消 滅 に伴 う エネルギー   ⑤  結 晶 の相 変 化 に伴 うエ ネ ル ギ ー   こ こで は,①

の格 子 振 動 エ ネ ル ギ ー の 温度 変 化 に対 す る比 熱 を考 え る.

  固 体 の モ ル比 熱 の温 度 変 化 を測 定 す る と図14・6の 上 で,定 容 モ ル比 熱 は ほ ぼ一 定 の値 ∼25J/mol・Kを

よ うにな る,あ る温 度 以 示 す.こ

れ はDulong‐

Petit(デ ュ ロ ン‐ プ テ ィ ー)の 典 理 論 で 説 明 で き た.し

法 則 で,Maxwell‐Boltzmann統

か し,図

で み る よ う に,Cυ

激 に 小 さ く な る 領 域 が あ り,数Kの る,ま

た,0K付

計 を使 っ た 古

は 温 度 の低 下 と と もに 急

温 度 領 域 で はCυ は 温 度Tの3乗

近 で は 温 度Tに

比 例 し,0Kで

に比 例 す

はCυ は 零 に な っ て し ま う.

こ の よ う な 低 温 で の 比 熱 変 化 は古 典 理 論 で は 説 明 で き な い.

図14・6 

  結 晶 固 体 の 格 子 比 熱 は,構

モ ル 比 熱 の 温度 依 存性

成 原 子 の 振 動 エ ネ ル ギ ー の 増 加 に よ る.N個

子 か ら構 成 さ れ て い る結 晶 の 振 動 エ ネ ル ギ ー は,三 次 元 を 考 え て,3/N個 振 動 子 か らな る 系 の エ ネ ル ギ ー と同 じで あ る と す る.1個 エ ネ ル ギ ー は,古

典 理 論 で は,運

k Tで 表 さ れ た.kはBoltzmann定

の原 の調 和

の調 和 振 動 子 の 平 均

動 エ ネル ギ ー と位 置 エ ネ ル ギ ーを 加 え た 形 で 数 で あ る.す

る と,そ の 内 部 エ ネ ル ギ ーUは, (14・32)

と な る.N0はAvogadro数,ν

は モ ル 数,Rは

気 体 定 数 を 表 す.こ

の 式 か ら,

定 容 モ ル 比 熱 は, (14・33)

と な る.U0は1モ

ル で の 内 部 エ ネ ル ギ ー を 表 す.こ

れ が 古 典 理 論 で あ る.

〔1〕Einsteinの

理論

  比 熱 曲 線 の 統 一 的 説 明 を す る た め に,Einsteinは,調 ギ ー を 求 め る 方 法 と して,Bose‐Einstein(ボ

和振動子の平均エネル

ー ズ‐ ア イ ン シ ュ タ イ ン)統

計 を

用 い た,   固 体 を 伝 わ る 音 速υ は,Young率Eと

密 度 ρ と で 定 ま る.

(14・34)

ここに ν： 振 動 数,λ:波

長

  λ は 固 体 形 状 で 定 ま る 原 振 動,倍 一定 であ ると と,倍

振 動 で は3ν,…

固 体 が 熱 的 励 起 を 受 け て,格

… の よ う に 振 動 数 が 変 わ る.結

数 で あ る.hν

… と な る.こ

晶

の 振 動 を 量 子 化 す る と, れ を フ ォ ノ ン(音 子)と

が 熱 的 に 励 起 さ れ る 確 率 はe-hν/kTで あ り,

nhνが 熱 的 に 励 起 さ れ る 確 率 はe-nhν/KTで nhν ,n=1,2,…

が

振 動 で の 振 動 数 をν と す る

… の 振 動 が 生 じて い る と し て よ い だ ろ う.こ

はPlanck定

… で 変 わ る の で,υ

子 原 子 が 振 動 す る 場 合 も こ れ と 同 じ で,ν,2ν,

そ の エ ネ ル ギ ー はhν,2hν,3hν,… い い,ん

振 動,…

,ν は λ の 変 化 に 反 比 例 して 変 る.原

振 動 で は2ν,3倍

3ν,…

振 動,3倍

あ る.フ

ォ ノ ン ・エ ネ ル ギ ーE=

… の 分 布 が あ る 場 合 の 平 均 の エ ネ ル ギ ー<E>は,

(14・35)

と な る.<E>は,1個 る.N個

の格 子 原 子 の一 方 向 の振 動 エ ネルギ ーの平 均 を表 して い

の 原 子 か ら な る結 晶 固 体 で は,内

部 エ ネ ル ギ ー は こ の3N倍

に な って,

(14・36)

  1モ ル で はN→N0(Avogadro数),N0k(k:Boltzmann定 定 数)で,定

容 モ ル 比 熱 は,

数)=R(気

体

(14・37)

  この 式 を み る と,温 と な って い る.熱

度 が 一 定 の 場 合,Cυ

的 な 原 振 動 数ν は,や

数 とな る こ と か ら,物

は 物 質 に 生 じ る 原 振 動 数ν の 関 数

は り そ の 物 質 のYoung率

や密度 の関

質 に よ ってCυ が 異 な る 値 を と る こ と が 理 解 で き る. (14・38)

と し た 温 度ΘEをEinstein温

度 と い う.こ

れ を 使 う と,式(14・37)は

(14・39)

で,fE(ΘE/T)をEinstein関 E/T≪1と と,Cυ

数

な り,分 ≒3Rと

と い う こ と が あ る.高

母 でeΘE/T≒1+ΘE/7,分

子 でeΘ

な っ て 古 典 理 論 と 一 致 す る.低

温 で は,T＞ΘEでΘ ε/T≒1と

温 で は,eΘE/T≫1と

近 似 す る し て,

(14・40)

と な り,T→0に

従 っ てCυ は 指 数 関 数 的 に0に

て こ のEinsteinの

理 論 は,大

近 づ く.比

き な 前 進 と 考 え ら れ る が,ま

熱 曲線 の説 明 と し だ 多 少 の 実 験 との

不 一 致 は残 っ た.

〔2〕Debyeの

  Einsteinの

理論

理 論 の 欠 点 は,結

をν,2ν,3ν,… に 生 じ る 波 は,縦 義 的 に 式(14・34)の

晶 固 体 を 連 続 固 体 と 考 え て,マ

… の よ う に き め て し ま っ た こ と に あ る.実 波 も横 波 も 分 散 性 の 波 で あ っ て,こ よ う に は き ま ら な い.分

う し の 相 互 作 用 で あ る.2個

に な っ て 定 常 化 す る.こ

のN個

の 場 合 の 波 の 速 度 は,一 子 原子 ど

互 に振動 エネルギ ーが往

の 単振 子 の振 動 数 は わ ず か に違 った値

れ と 同 じ よ う に,N個

は す べ てν で あ っ た と して も,こ う 場 に い た 場 合 に は,N個

の2個

際の結 晶 固体

散 が 生 じ る原 因 は,格

の 全 く同 じ単 振 子 を,相

き 来 で き る よ う に 結 合 す る と,こ

ク ロ的 に振 動 数

の格 子 原 子 の 固有 振 動 数 が最 初

の原 子 す べ て が 相 互 作 用 を 及 ぼ し合

の 異 な る 振 動 数,す

な わ ち各 原 子 が少 しず つ 違 った

 nx /υ

振 動 数 を も った状 態 で定 常 に な る.こ の よ うな形 で の波 の速 度 は群 速度(エ ル ギ ー の 伝 播 速 度)と

ネ

な っ て,

(14・41)

こ こ に, ω:角

周 波 数,k:波

数

で 表 さ れ る.   こ の よ う に 固 体 結 晶 が 熱 励 起 さ れ た と き,生 の 形 で は な く,わ

ず か ず つ 違 っ た 振 動 数 を も っ た 振 動 の 集 合 で あ る.す

振 動 数 の う え か ら は,連   さ て,三

じ る振 動 数 はν,2ν,3ν,… る と,

続 し た 振 動 集 合 体 と み て い い だ ろ う.

次 元 媒 質 で の 波 動 の 方 程 式 は,波

動 変 位 をuと

す る と,

(14・42)

と書 け る.媒

質 を 一 辺 がLの

立 方 体 と し て,式(14・42)の

定常波解 を

(14・43)

  こ こ に,nx,ny,nz=1,2,3,… と す る.式(14・43)が を 式(14・42)に

式(14・42)の 代 入

… 解 と な る た め の 条 件 は,式(14・43)

し て,

(14・44)

,ny,nzは

正 の 整 数 で,(nx,ny,nz)で

表 さ れ るn空

間 を 考 え る と,

波 が 存 在 す る空 間 は,

(14・45)

の 空 間 で あ って,原 2L

点nx=ny=nz=0か

ら,式(14・45)で

νに あ る点 の 振 動 数 は す べ てν で あ る,こ

表 さ れ る距 離

の 波 が 存 在 す るn空

間 は,nx,

図14・7 n空

ny,nz が す べ て 正 で,全

空 間 の1/8,すな

間 の表 現

わ ち1/8・4/3πn3で

あ る か ら,振

動 数 に す る と, (14・46)

で あ る.こ の 式 で は,n→ す る こ と に な る が,実 す る と し,式(14・46)の

∞ で あ る か ら,ν → ∞ と な っ て,無

際 に は そ う な ら な い.ν 微 分 を 考 え る と,ν

限 の振 動 数 が 存 在

の 変 化 は 微 少 で,連 とν+dν

続 的 に変 化

の 間 の 振 動 様 式 の 数 は, (14・47)

と な る.こ

の 式 か ら,Z(ν)がν2に

  さ て,三

次 元 固 体 で は,任

が あ っ て,そ

比 例 し て 増 加 し て い る こ と が わ か る.

意 の方 向 に伝 播 す る波 は1個

れ ぞ れ の 速 さ をυl,υtと

す る と,こ

の3個

の 縦 波 と2個

の横 波

の波 につ いて振 動様

式 の 数 は,

(14.48) と しな け れ ば な らな い.結 晶 固 体 が熱 励 起 さ れ る と き,生 じる振 動 様 式 の 総 数 は,こ のZ(ν)dν

の積 分 で与 え られ るが,そ の上 限 は無 限 大 で は な い.Debye

は,こ

れを

(14・49)

の 形 に 限 定 し た,Nは (14・48)を

原 子 総 数 で,νDはDebye振

代 入 す る と,νDの

動 数 と 呼 ば れ る,こ

れ に式

値 が 計 算 で き る.

(14・50)

  こ れ か ら結 晶 の 内 部 エ ネ ル ギ ー は,次 +dν

の 間 の 振 動 子 の 数 がZ(ν)dν

35)で

の よ う に 求 め ら れ る.振

で あ り,こ

動 数 がν とν

の 間 の 平 均 エ ネ ル ギ ー が式(14・

与 え ら れ る の で,

(14・51) こ こ で, (14・52)

の よ う にDebye温

度ΘDを

定 義 す る と,

(14・53)

  定 容 モ ル 比 熱 は,こ

の 式 で,N=N0(Avogadro数),N0k=Rと

し て,

(14・54)

FD(T/ΘD)はDebye関 の 積 分 の 上 限ΘD/Tは は古 典 理 論 で の 値3Rと

数 と 呼 ば れ る.高 小 さ く,ex≒1+xと 一 致 す る,低

温 でT≫ΘDの お く と,FD≒1と

場 合 は,式(14・54)

温 で はΘD/T→

な り,Cυ

の値

∞ に近 似 す る と,積

分 の

値 は4π4/15と

な り,

(14・55)

が 得 ら れ る.こ

の 式 で は,Cυ

の 値 が 低 温 でT3に

と 一 致 す る.つ

け 加 え る と,極

比 例 し た 形 を と り,実

低 温 でCυ がTに

比 例 す る 原 因 は,自

験結 果

由電 子 比

熱 と 考 え ら れ て い る.   こ の よ う に,Debyeの

理 論 は 固 体 比 熱 曲 線 を ほ ぼ 完 全 に 説 明 し得 た.こ

固 体 物 性 研 究 で の 最 初 の 大 き な 成 果 と な り,こ

れは

の 後 固 体 物 性 の研 究 が大 い に進

展 し た嚆 矢 と な っ た の で あ る.   Debyeの 式(14・54)で

式(14・54)を

み る と,ど

表 さ れ る1つ

実 測 値 か らDebye温 き め れ ば よ い.一

き め る に は,そ

か らΘDが

動 数νDは

計 算 で き る の で,νDが

わ か る こ と に な る.比

高 く,従

単 位 体 積 の 原 子 数,す

こ の 原 子 密 度 に 比 例 し て い る.さ

率 を 測 定 す れ ば,υt,υl,が

き め て や る と, 熱 の

の 実 測 値 が この 曲 線 に乗 るよ うに

い 物 質 ほ どDebye振

温 度 も高 い,式(14・50)で,N/Vは を 表 し て お り,νDは

のΘDを

の 曲 線 の 上 に 比 熱 変 化 が の る こ と に な る.比

度ΘDを 般 に,硬

ん な 物 質 で も,そ

熱 実 験 か ら得 たΘDと,弾

なわ ち原 子密度

ら に,こ

わ か る.す

っ てDebye

の物 質 の 弾 性

る と,式(14・52)

性 率 か ら得 たΘDと

は よ く一 致 す る.

14・4  結 晶 中 の 電 子

  金 属 結 晶 を考 え よ う.我 々 の身 の ま わ りに 存 在 す る銅 線 や,鉄 棒 あ るい はア ル ミ容 器 な ど は,す べ て金 属 で,微 細 な金 属 結 晶 の 集 合 体 で あ る.電 磁 気 学 で 使 う金 属 とい う概 念 は,電 気 の導 体 とい う こ とで あ って,抵 抗 率 が零 の 場 合 に は,金 属 の 中 に は電 場 は な く,す べ て の点 で 等 電 位 で あ る.一 般 に は,小 さな 抵 抗 率 が存 在 し,Ohmの

法則 が成 立 す る.金 属 が こ の よ う に 電 気 の 良 導 体 で

あ る原 因 は,そ の 中 に電 気 を運 ぶ キ ャ リアが 多数存 在 す るか らで あ り,そ の キ ャ リア は金 属 の場 合 自由電 子 で あ る.

  自 由電 子 が金 属 中 に多 数 存 在 す る理 由 は,金 属 結 晶 の性 質 か ら理 解 で き る. 1個1個

の金 属 原 子 がバ ラバ ラに,相 互 干 渉 の全 くな い気 体 原 子 の よ うに 自由

空 間 に あ る場 合 に は,各 原 子 は価 電 子 を含 め た形 で 中性 で あ る.原 子 が凝 縮 し て結 晶 を形 成 して い く過 程 で,価 電 子 は1個 よ りは2個,2個

よ りは3個

とい

うよ うに多 くの原 子 に共 有 さ れ た形 に な り,原 子 集 団 の中 で価 電 子 の位 置 エ ネ ル ギ ー は小 さ くな って い く.原 子 集 団 の全 位 置 エ ネ ル ギ ーが最 小 に な った と こ ろ で,金 属 結 晶 が形 成 さ れ,そ の と きの価 電 子 は結 晶 全体 の原 子 に共 有 され た 形 で 自由電 子 とな る,価 電 子 を失 った殻 イ オ ンは,整 然 と結 晶格 子 を形 成 して い るが,自 由電 子 の集 団 は,こ の格 子 を平 等 に包 ん だ形 で,電 気 的 中性 条 件 を 維 持 し,こ れ が金 属 結 晶 を安 定 させ る因 とな っ て い る, 〔1〕Sommerfeldの

自由 電 子 模 型

  こ の よ う な 金 属 結 晶 を,そ う.電

の 中 に 存 在 す る1個

の 自 由 電 子 の 立 場 か ら眺 め よ

子 は 結 晶 中 の す べ て の 原 子 に 共 有 さ れ て い る か ら,結

自 由 に 行 け る.す し か し,結

な わ ち,金

属 の 中 で は ど こ で も ポ テ ン シ ャ ル は 一 定 で あ る.

晶 の 表 面 か ら外 界(真

空)に

出 よ う と す る 場 合 に は,大

シ ャ ル の 山 を 越 え な け れ ば な ら な い.こ → ∞ に と っ て み る と,こ

晶 中 の ど こに で も

れ が 仕 事 関 数 で あ る.仕

の 自 由 電 子 の 考 え 方 は,10・1節

自 由 粒 子 」 の 場 合 と一 致 す る.長

さ がaの

きな ポ テ ン

事 関 数 の値 を

で学 ん だ

「箱 の 中 の

一 次 元 金 属結 晶 中 の 自由電 子 の波 動

関 数 お よ び エ ネ ル ギ ー 個 有 値 は,式(9・48),式(9・42)の

よ う に, (14・56)

(14・57)

とな る,nは1,2,3,…

crete value)を な い,一

片 がaの

の 量 子 数 で,波 2π/λnは 数kn=

と り,し

た が っ て,エ

と び と び の 値(dis

ネ ル ギ ー個 有 値 も と び とび の値 しか とれ

三 次 元 結 晶 の 場 合 は,式(10・34),式(10・35)の

よ う に, (14・58)

〓は 格 子 点 に い る イ オ ン 殻 を, 影部 分 は自由電 子 を表す 。 図14・8 

金 属結 晶 の概 念 図

(14・59)

(14・60)

と な る.こ

の2つ

れ た 場 合,す シ ャ ルV=0と   こ こ で,金

の 場 合 の 定 常 解 は,い

ず れ も 無 限 に 深 い 井 戸 に1電

な わ ち 金 属 で の 表 面 仕 事 関 数 を → ∞ と し,ま

た,金

子がおか

属 中 の ポテ ン

し た 場 合 の 解 で あ る. 属 中 で の 電 子 の 時 間 に 依 存 しな いSchrodinger方

程 式(振

幅方程

式)

(一次 元) をψ(0)=ψ(a)の う.解

条 件 か ら解 く こ と も で き る.こ

 (14・61)

れを周 期的境 界条 件 とい

は,

(14・62)

(14・63)

で あ る.式(14・56)と 0,aの い.波

比 較 し て み る.式(14・62)で

値 が 有 限 で あ る が,式(14・56)で 数kの

式(14・56)の1/2倍

今 後 は 式(14・62)の

は,x= 存 在 しな

に な っ て い る,波

でa/nの

晶 は 周 期 的 な 構 造 を も ち,aを

張 す る.ま

は,x=0,aで,ψ0,aは

値 は 式(14・62)で,式(14・56)の2倍

は 式(14・62)で に,結

式(14・62)を

値 を と る.後

長 λ

節 で述 べ る よ う

そ の 周 期 因 子 と す る と 都 合 が よ い の で,

形 で 波 数 を 書 く こ と に す る,式(14・62)を

三 次 元 に拡

ず 冬 件 は, (14・64)

 

こ こに,n=0,±1,±2…

で,定

常 解 は,

(14・65)

(14・66)

(14・67)

と な る.nと 正,負

して ± を 考 え,kと

し て ± を と る意 味 は,定

在波 の進行 方 向を

の 両 方 を と っ た と い う こ と で あ る.

(14・68)

と す る と,式(14・65)は,

(14・69)

の よ う に 書 け る.

〔2〕

状 態 密 度 とFermiエ

  さ て,第10章

ネルギー

で は さ ら に,1つ

の エ ネ ル ギ ー 個 有 値 に は 多 く の 固 有 関 数,

す な わ ち電 子 の 存 在 で き る定 常 状 態 が対 応 して お り(縮 退),エ で み た状 態 の数,す

な わ ち 単 位 体積 当 た りEとE+dEの

密度 と呼 ぶ こ とを 学 ん だ,こ るの で,ス

ネル ギー尺度

間 の状 態 の数 を 状 態

こで は,結 晶 中で 電 子 の居 られ る状 態 を考 え て い

ピ ンまで考 慮 して,式(10・35)の2倍

を状 態 密 度 と しよ う･

(14・70)

  N(E)は お り,Vは

エ ネ ル ギ ー が0か

で の 間 に存 在 す る固 有 関 数 の 数 を 表 して

こ の 場 合 結 晶 の 体 積 で あ る.式(14・68)のn2=nx2+ny2+nz2

で 表 さ れ るn空 ny,nz)と

らEま

間 を 考 え た と き,こ

い う量 子 数 状 態 で,同

の 式 の 意 味 す る 球 上 の 点 は,す

べ てn(nx,

一 エ ネ ル ギ ー値 を と る,

(14・71)

(14・72)

で,状 態 密 度 は

(14・73)

で あ る.こ

れ を 式(14・67)のk2=kx2+ky2+kz2の

波 数 空 間 に な お す と,

(14・74)

(14・75)

(14・76)

  こ れ か ら,k空

間 で の1つ

あ る こ と が わ か る.運

の 量 子 的 状 態 の 体 積 は,単

位 体 積 あ た り(2π)3で

動 量 空 間 で 考 え る と, (14・77)

で あ るか ら,1個

の 量 子 的 状 態 はk空 間 の そ れ よ り もh3倍 大 きい.

(14・78) で, (14・79)

と な る.p空

間 で の1つ

最 後 に,エ

の量 子 的 状 態 の 体 積 は,単

ネ ル ギ ー 的 空 間 な る も の を 考 え る.Eは

位 体 積 あ た りh3で

あ る.

ス カ ラ ー 量 で あ る が,前

と

同 じ よ う に 考 え る と,

(14・80) と な り, (14・81)

 こ のZ(E)を

状 態 密 度 関 数 と い う.つ

い で に,式(14・57)で

表 さ れ る一 次

元結晶で は (14・82)

と な る.三

次 元 結 晶 で は エ ネ ル ギ ー増 加 と と も に 状 態 の 数 は 増 え て い く が,一

次 元 結 晶 で は 逆 に 減 っ て い く.一 く い が,近

似 的 に は1つ

次 元,あ

る い は二 次 元 結 晶 と い う の は考 え に

の 大 き な 結 晶 の 中 で,導

電 に 寄 与 す る 部 分 を 一 次 元,

あ る い は 二 次 元 に す る と い う こ と は 可 能 で あ っ て,そ 密 度 は式(14・82)で

のn個

の 原 子 を も っ 一 価 金 属 結 晶 で は,nは

の 自 由 電 子 は エ ネ ル ギ ー の 低 い 状 態 か ら1つ

ま っ て い く.0Kで,最 ミ 準 位 と い う.金 き な 値 で あ る.

次 元 で の状 態

表 さ れ る の で あ る.

  単 位 体 積 当 た りn個 る.こ

の 場 合,一

自由 電 子 密 度 と な の 状 態 に1個

後 の 電 子 が 収 ま る状 態 の エ ネ ル ギ ー を0Kで

属 で は,こ

の フ ェ ル ミ準 位EF0の

値 は ∼5eVで,相

ず つ収

の フ ェル 当に大

図14・9 n空

間 の表 現

図14・10 

等 方 的k空

間

図14・11 

等 方 的p空

間

14・5  周 期 ポ テ ン シ ャ ル 中 の 電 子

  前 節 で は,金 実 際 に は,価

属 結 晶 中 の 自 由 電 子 の ポ テ ン シ ャ ル は一 定 で,こ

れ を 零 と し た.

電 子 を 自 由 電 子 と して 放 出 した 残 り の 殻 イ オ ン が,結

に あ って 整 然 と 並 ん で お り,こ シ ャ ル を 形 成 し,そ

晶 の格 子 点

れ が 格 子 定 数 を 空 間 的 な 周 期 とす る周 期 ポ テ ン

の 中 を 自由 電 子 が 動 いて い くとい う ほ うが正 確 な考 え で あ

ろ う.

〔1〕

結晶格子

  三 次 元 的 な 結 晶 格 子 を 考 え,結 a1 ,a2,a3を

と る と,結

い る形 に な る,結

晶 軸 方 向 に 格 子 定 数 に 相 当 す る単 位 ベ ク トル

晶 はa1×a2×a3の

晶 の 性 質 は,こ

の 電 子 の 波 動 関 数 も,こ

単 位 格 子 の積 み重 ね か らで き て

の 単 位 格 子 の 対 称 性 に よ っ て き ま る.結

晶中

の 対 称 性 か ら, (14・83)

 こ こ に,a1,a2,a3は0,1,2,……

の よ うな整 数 値

の 並 進 操 作 で 変 わ らな い も の と す る.a1,a2,a3を ,a2,a3の もあ る,例

取 り方 は,格 え ば,金

子 定 数aを

基 本 並 進 ベ ク トル と い う.a1

規 定 す る結 晶軸 方 向 に は と らな い場 合

属 結 晶 の ほ と ん ど は 面 心 立 方 格 子 を 形 成 す る が,こ

に は,

図14・12 

面心 立 方 格子 に お け る並 進 ベ ク トル の取 り方

の場 合

と す る.   結 晶 中 の1電

子 を 考 え る と,こ

の 電 子 は す べ て の 殻 イ オ ン,他

る 平 均 的 な 静 電 ポ テ ン シ ャ ル(有

効 ポ テ ン シ ャル)の

ポ テ ン シ ャ ル は(a1,a2,a3)の

周 期 性 を も っ て い る が,そ

性 に よ っ て ま ち ま ち に な る.適 方 程 式 を 解 き,得

の電子のつ く

中 を 運 動 して い る.有

の 形 は結 晶 の 対 称

当 な 有 効 ポ テ ン シ ャル を 仮 定 し,1電

ら れ た ψ(r)か

ら,ポ

子 の波 動

テ ン シ ャ ル を 逆 に 求 め,こ

た ポ テ ン シ ャ ル と の 平 均 ポ テ ン シ ャル を つ く り,再

効

れ と仮 定 し

び 波 動 方 程 式 を 解 く.こ

の

操 作 を 繰 り 返 え し,自

己 無 憧 着(self‐consistent)に

な る ま で 続 け る,こ

のよ

う に す る と,一

子 に 対 す る 合 理 的 な 有 効 ポ テ ン シ ャル が 得 られ,こ

のポ

応1電

テ ン シ ャ ル は,そ だ ろ う.こ

の 結 晶 中 を 運 動 す る電 子 の 周 期 的 ポ テ ン シ ャル と考 え て よ い

の 方 法 を1電

(ハ ー ト リー)近

子 近 似(one

electron

approximation)ま

た はHartree

似 と い う.

〔2〕Bloch関

数

  こ こ で は,簡

単 に 一 次 元 周 期 ポ テ ン シ ャ ル 中 を 運 動 す る電 子 の 波 動 関 数 が ど

の よ う な も の で あ る か を 述 べ る.一

次 元Schrodinger振

幅 方 程 式 は, (14・84)

で,V(x)は

周 期 ポ テ ン シ ャ ル で あ る.R(α1a1,α2a2,α3a3)の

Vは 変 わ ら な い か ら,V(r)=V(r+R)で,一

並 進 操 作 で

次 元 で は, (14・85)

で あ る.こ

の 条 件 を 式(14・84)に

る な ら ば,ψ(x+a)も dxと

な る か ら で あ る.す

適 用 す る と,ψ(x)が

式(14・84)の

式(14・84)の

解 で あ る.X=x+aと

解 で あ

お け ば,dX=

る と, (14・86)

と お い た と き,C(a)は

ど の よ う な 形 に な る で あ ろ う か,結

とす る と,周 期 的境 界 条 件 か ら,

晶 の 長 さ をL=Na

(14・87)

(14・88)  こ こ に,n=0, 

が で る.Cを

1,  2,……(N−1)

虚 数 と す る理 由 は,ψ(x)を

周 期 関 数 と考 え るか ら で あ る.ψ の 形 を

(14・89)

と す る.あ

と の 式 はV(x)=V(x−a)に

考 え て い る.C1,C2はaの

対 応 す る 式 で,−a方

向 に進 む 波 を

関 数 で,

(14・90)

(14・91)

と す る と, (14・92)

と な る.波

動 関 数 は 式(14・92)の

よ う な 性 質 を も っ て い る の で,こ

れを (14・93)

と して も よ い. と な っ て,式(14・93)の   式(14・93)の

形 は 式(14・92)を

み た す こ と が 証 明 で き る.

一 般 形 は, (14・94)

で あ る.周

期 ポ テ ン シ ャ ル 中 で の 電 子 の 波 動 関 数 は,式(14・94)の

を と る.こ

れ をBloch(プ

ロ ッ ホ)関 数 と 呼 ん で い る,e± ｉkrは平 面 波 を 表 し,

そ れ が 結 晶 格 子 と 同 じ周 期 を もつuk(r)で

〔3〕

よ うな形

変 調 さ れ た 形 と な っ て い る.

エネルギー帯の形成

 e±ikrを 平 面 波 と し た と き,kは

結 晶 中 を 伝 わ る 波 の 波 数 で あ っ て,逆

格 子

〓の各 軸 方 向で,

空間

(14・95)

 こ こ に, n1,

n2,n3=0,1,2,…

…,N1−1ま

た はN2−1ま

た はN3−1 (14.96)

と 表 さ れ,逆

格 子 ベ ク ト ル の 単 位 を もつ,波

長 λ と す る と,

(14・97)

と な り,λ はaの

整 数 倍 の 値 しか と れ な い こ と が わ か る.n1=N1が

最 短 波 長 で, (14・98)

で あ る.   さ て,kが

こ の よ う に 逆 格 子 定 数2π/aの

周 期 で 変 わ る と す る と,前

明 し た エ ネ ル ギ ー 固 有 値 は ど うな る で あ ろ う か.

図14・13 

Eの

周 期 性

節 で説

(14・99)

の 関 係 はE−k空 式(14・99)の

間 で 放 物 線 と な る.そ

して,kの

〓… …

関 係 は 原 点 をk=0,

す べ て 同 じに な らな け れ ば な ら な い.こ 数 で あ れ ば,Eも

の 様 子 を 図14・13に

周 期 関 数 と な ら な け れ ば な ら な い.こ

ル ギ ー は 滑 か に 連 続 で な け れ ば な ら な い.す

る と,そ

と変 え た と き,

示 す.kが

周期 関

れ ら の 多 くの 放 物 線 は,

〓… … の と こ ろ で 交 差 す る が,交

kが

な る.こ

〓の周 期 で変 わ るので,

値 は

差 点で運 動 エ ネ

こで は 図 の破 線 の よ うに

れ は 結 晶 中 で の 周 期 ポ テ ン シ ャ ル が 連 続 と な る こ と に 起 因 す る.エ

ル ギーEが

こ の よ う にkの

周 期 関 数 と な っ た 後 は,Eに

ネ

は エ ネ ル ギ ー許 容 帯 と,

禁 制 帯 が 生 じ る こ と に な る,

〔4〕

エ ネ ル ギ ー 帯 のBragg反

射 か ら の 考 え,Brillouin領

  禁 制 帯 が 生 じ る 理 由 をBragg(ブ

ラ ッ グ)反

図14・14 

Bragg反

域

射 か ら 考 え て み る.Braggの

回

射

折 条 件 は, (14・100) こ

で あ る.dは

こ に,n=1,2,…

格 子 の 面 間 隔,λ

…

はX線

の波 長 を表 す.dを

格 子 定数aと す る と,

変 形 し て, (14・101)

 こ こ で,2π/λ→￨k￨,2π/an→￨G￨と

ク トル を 表 す.す

す る.κは波数

べル,Gは

逆格 子 ベ

る と,式(14・101)は (14・102)

 こ の 関 係 を 図14・15に示

す.〓

図14・15 

と な り,−2kcosφ=Gの る か ら,ベ

を 導 入す る と,sinθ=−cosφ

2￨k￨sinθ=￨G￨の

両 辺 にGを

関係

掛 け た 形 は,−2kGcosφ=G2で

あ

ク トル 的 に 表 す と, (14・103)

と な る.こ

れ がBragg反

射 の ベ ク トル 的 表 現 で あ る が,こ

数kの 波 は 反 射 し て し ま い,結

の式 を満足 す る波

晶 中 に は存 在 し な い こ と が わ か る.

(14・104)

で あ る か ら,一

次 元a1方

向 をa方

向 と す る と,G=2π/anで,式(14・103)は

(14・105)

 

と な り,こ

こ こ に,n=1,2,…

こ でBragg反

射 が 起 き る こ と に な る. k空 間 で,−π/a∼π/aを

第1

Brillouin領

呼 ぶ.こ

域

の 領 域 の 境 界 面 で は 電 子 波 は反 射 し,禁

(14・99)で ず,運

〓の 間 を 第2Brillouin領

表 さ れ る エ ネ ル ギ ーEは,kの

域)の

繰 り返 しで あ る の で,通

…

と

制 帯 が 現 れ る の で あ る.式

増 大 と と も に無 限 に大 き く は な ら

動 量 が 保 存 さ れ る 形 で 反 射 し,結

  Eの 周 期 性 を 示 した 図14・9で,エ

域,…

晶 中 で 定 在 波 と な っ て い る,

ネ ル ギ ー は 第1Brillouin領

常 は第1Brillouin領

域(還

元 領

域 の み で 論 じ る.

〔5〕 外 力 に よ る結 晶 中 の 電子 の運 動,有 効 質 量   結 晶 中 に で き る電 子 波 は ψn(x)がBloch関 角 周 波 数 も変 わ り,一

数 で 表 さ れ る の で,knに

応 じて

次 元 で は, (14・106)

と表 さ れ る.す

な わ ち,多

の 波 と な って い る.す

くのkn,ωnの

る と,波

異 な る 波 が 存 在 し,い

動 エ ネ ル ギ ー,す

わ ゆ る分 散 性

な わ ち 電 子 の 速 度 は群 速 度 で

与 え られ る.

(14・107)

 

E(k)=hν=hω

で あ る か ら,

が で て,こ

の 式 は,

(14・108)

と な る.こ

の 式 は 電 子 の 速 度 がE-k空

間 の 形 に依 存 す る こ と を 表 し て い る.

自由電 子 で は 〓で 古 典 力 学 と一 致 す る.外 変化 は

力Fが

加 わ っ た と き に は,単

位 時 間 で の エ ネ ルギ ー

(

(P=hkと で あ る か ら,式(14・108)を

お け ば よ い)

 (14・109)

時 間 で 微 分 し た 式 に 式(14・109)の

関 係 を代 入

す る と,

(14・110)

a) 自由電子 の場合 図14・16kに

(b) 結 晶 内電 子 の 場合 依 存 す るE,υ,m*

(14・111)

と な る.式(14・111)はE-k空 (effective

mass)と

間 で 表 し た 質 量 で あ っ て,m*を

呼 ぶ.三

有効 質量

次 元 的 に は, (14・112)

こ こ に,i,j,k=x,y,z

と表 せ よ う,   E-k空 υ ,有

間 の 形 か ら導 か れ た 自 由 電 子 と 周 期 ポ テ ン シ ャ ル 中 の 電 子 と の 速 度

効 質 量m*の

は,E-k曲

形 は 図14・16の

よ う に な る.周

線 の 曲 率 が 変 わ る と こ ろ で,質

受 け て も 加 速 度 を 生 ぜ ず,そ 質 量 は 負 の 値 と な る.こ k =±π/aの

量m*は

無 限 大 に な る.こ

れ は力 を

の 点 で 等 速 度 運 動 を す る こ と を 意 味 す る.次

に は,

れ は 力 と逆 向 き の 加 速 度 を 生 じて い る こ と を意 味 す る.

と こ ろ で 速 度 は0に

電 子 は−π/aの

期 ポ テ ン シ ャル 中 の 電 子 で

な り ,Bragg反

と こ ろ に 現 れ る.速

射 を 受 け,π/aの

とこうにいた

度 は 質 量 が 負 の 間 は 減 り続 け,E-k空

間

の 曲 率 が 変 わ る と ころ か ら は,質 量 が 正 とな り,力 に対 して正 の加 速 度 を再 び 受 け,速 度 は増 す. 〔6〕 正 孔 の 概念   E-k空

間 で,曲

率 が 変 わ り,有

の 実 生 活 の 感 覚 で は,な 考 え る.図14・17で 曲 率 が 正,す

効 質 量m*な が 正 か ら負 の値 に な る こ と は,我

か な か 理 解 し難 い こ と で あ る の で,こ

① の 空 間 で は,電

子 は 力Fを

は 高 く な り,E-k論

曲 線 を 上 方 に 向 か っ て 進 む.加

囲 で はmをm*に

し た 自 由 電 子 近 似 が 成 立 す る.電

m* ＜0と

な る.す

落 ち る.E-k曲

れを次のよ うに

電 場 の 向 き を 左 方 に と る と,力F=−qEは

な わ ちm*＞0の

る と,力Fに

線 上 に は,多

右 向 き と な る. 受 け,エ

ネル ギ ー

速 度 は 当 然 正 で あ る,こ

の範

子 が ② の 空 間 に 入 る と,

対 し て 加 速 度 は 逆 向 き に な り,速 く の 準 位 が あ り,こ

々

さは次 第 に

の準位 が電 子 で満 た され て

(a)

(b) 図14・17 

い る 場 合 に は 電 子 の 動 き は な い が,そ あ る と,そ

の 準 位 に,下

正孔の概念

の 準 位 中,電

か らm*＜0の

電 子 が 入 り,下

さ ら に 下 の エ ネ ル ギ ー 準 位 に い たm*＜0の い な い 準 位 の 動 き を 考 え る と,電 さ ら に,こ

場 所 で は,多

れ を 正 孔(positive

  こ の よ う に,周

電 子 が 入 る.そ

い う,E-k曲

こ に,

の電子 の して よ い.

の電 荷 を もつ と し 線 が 図(b)の

よ うな

ネ ル ギ ー の 上 端 付 近 に 集 ま る.後

で述

の 正 孔 が 電 気 伝 導 に 寄 与 す る こ と に な る.

期 ポ テ ン シ ャ ル の 影 響 をE-k空

有 効 質 量 を き め て しま う と,結

こ で,こ

向 き と 同 方 向 で,正

hole)と

くの 電 子 の 中 の 正 孔 は,エ

べ る 半 導 体 の 価 電 子 帯 で は,こ

の 準 位 が あ き,そ

子 の 動 き と 逆 で あ る か らm*＞0と

の 準 位 の 動 く向 き は電 場Eの

て よ い だ ろ う.こ

子 の満 た され て な い準 位 が

局 は,有

間 の 中 に 取 り 入 れ,そ

こで

効 質 量 の 中 に 周 期 ポテ ンシ ャル を入 れ

て し ま っ た こ と に な る か ら,式(14・84)で

表 さ れ るSchrodinger方

程 式 は,

(14・113)

と 表 さ れ る.こ る に す ぎ な い.こ

の 式 は,前

節 の 式(14・61)と

れ を 有 効 質 量 近 似 と い う.エ

同 じ で,m→m*と

変 わ って い

ネ ル ギ ー は,

(14・114)

で 表 さ れ る.

  図14・18に

二 次 元 で のBrillouin領

域 を 示 す.図14・19は

領 域 中 の 等 エ ネ ル ギ ー線 を 示 す.波 的 なkを

考 え る こ と が で き,等

に 近 づ くに つ れ て,等 ky =π/a)の

数kの

二 次 元 の第1Brillouin

小 さ い 中 心 部 付 近 で は,等

エ ネ ル ギ ー 面 は 球 と し て よ い が,kの

方

値 が π/a

エ ネ ル ギ ー 面 は 球 の 形 か ら くず れ て く る.(kx=π/a,

隅 の と こ ろ で は 複 雑 な 形 を と る だ ろ う.エ

図14・18 

図14・19 

二 次 元Brillouin領

第1Brillouin領

ネ ル ギ ー の 増 加 も1

域

域 で の等 エ ネ ル ギ ー線

つ の 方 向 で π/aま

で はk2に

比 例 す る と して よ い が ,隅

の と こ ろ で はk2則

か

らず れ て く る.

 [問]  有 効 質 量 を 実験 的 に 測定 す る方 法 と して サ イ ク ロ トロ ン共 鳴 が あ る,調 よ,そ の場 合,正

べ てみ

孔質 量 も調 べ られ る理 由 も考 え て み よ.

14・6  金 属 の 電 気 伝 導

 前 節 で 述 べ たN個

の 原 子 か らな る一 次 元 結 晶 の,第1Brillouin領

域 で許 さ

れ る波 動 関 数 の 数 を計 算 す る と,式(14・91)で

(14・115)

と な る.第2,第3,…

…Brillouin領

域 も 同 様 にNと

な るNを

エネ ルギ ー

準 位 の 数 と し て も よ い,   三 次 元 結 晶 で も 同 様 にN個

の 原 子 か ら で き て い る と し た 場 合 に は,そ

ネ ル ギ ー 準 位 の 数 はNで,電

子 が 存 在 で き る状 態 は2/Nと

電 子 と い う の は 最 外 殻 に い るs,p軌 は6重

に 縮 退 して い る.凝

成 す る.こ

集 して 結 晶 に な る と,縮

の 様 子 を 図14・20に

く る 帯 の 中 ば ま で つ ま り,上 子 が,正

の 有 効 質 量m*を

道 の 電 子 で あ る.s軌

示 す.1価

道 は2重

て,価

に,p軌

道

退 が とけ エ ネル ギ ー帯 を形

金 属 で はN個

の ほ う に 空 席 が で き る.こ

も っ て い る と き に は,自

な ろ う ,さ

のエ

の 電 子 がs1軌

道 のつ

の 中 に い る す べ て の電

由電 子 近 似 が で き る.

(14・116)

で,こ の よ う な帯 を伝 導 帯 と い う, 〔1〕k空

間での電気伝導の考え方

 電 場 が−a方

向 にあ る と,電 子 に対 す る 力 は+a方

向 に 加 え られ た こ と に

図14・20 

な り,k＞0の

範 囲 で は,電

価 電 子軌 道 の っ くる帯 の概 念 図

子 は 電 場 よ り力 を 受 け て,よ

りkの

す な わ ち 準 位 で は上 の エ ネ ル ギ ー 準 位 へ と励 起 さ れ る.k＜0の

範 囲 で は逆 で,

す で に 持 っ て い る運 動 エ ネ ル ギ ー は 電 場 に よ り弱 め られ,下 へ 落 ち 込 む .k空

  2価 金 属 で の 導 電 はs1の のp1帯

と の 間 に 禁 制 帯 を も っ.s1帯

電 子 と は な れ な い.0Kで の 場 合 に はs2帯

ば な ら な い.こ の 特 徴 で,s,p軌

の 電 子 はs1帯

の 頂 上 か らp1帯 子 はp1帯

れ が 上 のp1帯

の下 端 まで 電 子

縁 体 と な って

と重 な って い る と しな け れ

の エ ネ ル ギ ー 的 に 重 な っ た複 合 帯 が,2価,あ 道 の 複 合 帯 の 状 態 数 は 全 部 で8Nと

を充

にあが れ なけれ ば 自由

は 充 満 帯 の 電 子 は 身 動 き が で き ず,絶 を 考 え,こ

向 に

向 に 電 流 が 生 じ る,

み で は 説 明 が つ か な い.2N個

が 励 起 さ れ る 確 率 はexp(−Eg/kT)で,電

い る.こ

の エ ネル ギ ー 準 位

間 で の 電 子 の エ ネ ル ギ ー 状 態 は 非 対 称 に な っ て,+a方

向 う電 子 数 の ほ う が 多 くな り,−a方

た し,上

大 き い ほ う,

る い は3価

な り,2N個,3N個

金属 の

価 電 子 は,こ

の 複 合 帯 を 半 ば 充 し た 形 で 自 由 電 子 と な っ て い る の で あ る.

  実 際 例 と し てCuを 3d,4s,4pの て い る.こ

調 べ て み よ う.Cuは1価

金 属 で あ るが,3d10

っ く る 帯 は 重 な っ て 状 態 密 度 の 大 き な1つ の 帯 の 中 に3dの10N個

か らつ ま り,上

の 電 子 と,4sのN個

4s1 4p0で

の複合 帯 を形成 し の価 電 子 が 下 の ほ う

の ほ う の 準 位 が 空 い た 伝 導 帯 と な っ て い る.し

か し,こ

体 の 下 の ほ う に い る 電 子 は 相 当 大 き な エ ネ ル ギ ー を 得 な け れ ば,上 れ ず,電

気 伝 導 に は 寄 与 で き な い.

  s,p軌

道 に そ れ ぞ れ2個

相 互 作 用 が 強 く,合

計8N個

下 の エ ネ ル ギ ー 帯 は4N個 帯 と な る.こ 席 で,価

の 価 電 子 を もっ4価 の 状 態 が2つ

る.価

に 分 裂 し,上

の 状 態 を も ち,こ

の 帯 を 価 電 子 帯 と も い う.上

電 子 帯 上 部 に は 空 孔,す

下2つ

の 帯 を 形 成 す る.

こに す べ て の価 電 子 が入 って充 満

禁 制 帯 を も っ.価

はす べ て 空

電 子 帯 か ら この の 帯 は伝 導 帯 とな

な わ ち 自 由 正 孔 が で き て,こ

れ も電 気 伝 導 に寄

由 電 子,自

  さ て,力

を 加 え られ た 電 子 のkが

由 正 孔 を 導 電 キ ャ リ ア と い う. 変 わ り,運

動 エ ネ ルギ ーが カ の方 向 で 増 す

と い う こ と だ け で は 電 気 抵 抗 の 生 じ る原 因 を 説 明 で き な い.kが

で あ っ て,波

道 の

こ で は 自 由 電 子 近 似 が で き,こ

与 す る.自

動 の 形 が 変 わ り,そ

部 には出 ら

道 とp軌

の エ ネ ル ギ ー 帯 は0Kで

電 子 帯 と の 間 に エ ネ ル ギ ー 幅Egの

帯 に 電 子 が 励 起 さ れ る と,そ

半 導 体 で は,s軌

の伝 導

変 わ る と,波

れ に つ れ て 速 度 も 変 わ る と い う の が 式(14・116)の

を 散 乱 さ せ,電

意味

流 を 制 限 す る抵 抗 の原 因 は別 な と ころ に求 め な け

れ ば な らな い.

〔2〕  キ ャ リ ア 密 度,キ

ャ リアの 運 動 エ ネ ル ギ ー

  結 晶 中 の 自 由 電 子 の エ ネ ル ギ ー 分 布,い Fermi‐Diracの Fermi分

分 布 則 に 従 っ て い る.金

い か え る と,そ

の運 動 の速 度 分 布 は

属 中 の 自 由 電 子 密 度 は 状 態 密 度 と,

布 関 数 の 積 と し て,

(14・117)

で 与 え ら れ る.温

度T=0〔K〕

で は,E≦EF0ま

でf(E)=1で

あ る の で,

を 代 入 す る と,

(14・118)

と な る.nと

し て1価

金 属 の 価 電 子 密 度 ∼5×1028〔1/m3〕

5〔eV〕

に な る.常

温 の 場 合 のEFは,こ

のEF0に

と る.電

子 の 平 均 運 動 エ ネ ル ギ ー は,kT(∼0.026eV)≪EFの

と す る と,EF0∼

対 して わ ず か に小 さ な値 を 常 温 で, (14・119)

と 表 さ れ る.

3/5EF0 は0Kで

ら わ か る よ う に,常 つこ と に な る.し 布 は な く,フ

の 電 子 の 平 均 運 動 エ ネ ル ギ ー で,式(14・119)か

温 で は,こ た が っ て,金

れ よ りわ ず か に大 きな平 均 運 動 エ ネ ル ギ ー を も 属 中 の 電 子 は,気

体 分 子 の よ うな 大 きな速 度 分

ェ ル ミ ・エ ネ ル ギ ー 付 近 の ま と ま っ た エ ネ ル ギ ー 分 布 を も ち,こ

の エ ネ ル ギ ー に 対 応 す る ほ ぼ 一 定 の 速 度 を も っ て い る と し て 差 支 え な い.フ ル ミ・エ ネ ル ギ ー よ り,ず

っ と下 の エ ネ ル ギ ー を も っ 電 子 は,ほ

ェ

と ん ど動 き の

と れ な い 状 態 に あ る.

〔3〕Drudeの

  さ て,金

自由 電 子 に よる 電 気 伝導 論

属 が 一 定 温 度Tに

あ っ て,自

由電 子 も この温 度 に よ る一 定 速 度

υthを も っ て い る と し よ う.υthを 熱 速 度(thermal

velocity)と

い う.υthの

方 向,

向 きは ラ ン ダ ムで (14・120)

で あ る.抵 抗 が 存 在 す る原 因 と して,電 子 の衝 突 中心 を 考 え る.仮 に,こ れ を 格 子(位

置 に い る イ オ ン)と す る.電 子 が 格子 と衝 突 す る と,い った ん は格 子

の 中 に取 り込 まれ,格 子 と熱 平 衡 の 状 態 にな った後,再

び は き出 され,格 子 間

をυthの 速 度 で走 る.こ の よ うな形 で は,格 子 温 度TLと 電 子 温 度 はTeは 等 し く,温 度Tの

状 態 に あ る と考 え て よ い.衝

突 か ら衝 突 ま で の 時 間 を2τ と す

る.多 くの 電 子 の こ の衝 突 時 間 の平 均 は τで あ る.τ を 衝 突 に関 す る平 均 寿 命

(mean る と,電

life time)と

い う.こ

子 に は−qE/mの

の よ う な 状 態 で 結 晶 が 電 場Eの 外 力 に よ る加 速 度 が 加 わ る.Eの

と す る と,電

子 は−x方

突 直 後 のx方

向 の 速 度 は(υth)xで

中 に置 か れ た とす 向 き を+x方

向

向 に外 力 に よ っ て 次 第 に流 さ れ て い く こ と に な る.衝

(υth)x+(-qE/m･2τ)で

あ り,次

あ る か ら,平

に 衝 突 す る 直 前 のx方

向の速 度 は

均 と して の ド リ フ ト速度υxは (14・121)

と な る.電

流密 度 は (14・122)

で,式(14・120)の

関 係 を 入 れ る と, (14・123)

が で る.こ

れ はOhmの

  式(14・121)か

法 則 で あ る.

ら,ド

リ フ ト速 度 の 平 均 は,

(14・124) と な り,

(14・125)

と し た と き の μ を 移 動 度 と い う.±

はつ け な い.ま

た, (14・126)

を 電 子 の 平 均 自 由 行 程(mean ら定 義 さ れ る こ と は 重 要 で,よ

free path)と

い う.こ

く覚 え て お こ う.導

れ が 熱 速 度 と平 均 寿 命 か 電 率 は, (14・127)

の よ う に書 け る.   格子 位 置 に い る殻 イ オ ンの質 量 は,電 子 の質 量 に比 べ て は るか に大 きいか ら, 衝 突 か ら衝 突 ま で の 間 に電 子 が電 場 か ら受 け た エ ネ ル ギ ー増 加 分 は,衝 よ って す べ て格 子 に吸 収 さ れ て しま う,Ohmの

突に

法 則 が 成 立 す る電 場 の 強 さ の

範 囲 で は,電

子 温 度 と格 子 温 度 と は 等 し く熱 平 衡 に あ る と 考 え て よ い.し か し,

電 場 が 強 く な る と,電 れ な く な り,電

場 か ら与 え ら れ た エ ネ ル ギ ー を す べ て 格 子 に は き 出 し き

子 温 度 は あ が り,熱

平 衡 が 破 れ る.そ

の と き に はOhmの

法 則

は 成 立 し な い.   式(14・121)は,平

均 の 考 え 方 を 使 う と,

(14・128)

〓で,こ の加 速 度 を打 ち消

の形 に書 け る.電 子 が 電 場 か ら受 け る加 速度 は

〓の,速 度〈υx〉に比例 した逆 向 きの加 速 度 が で き,電

す よ うに

に 対 し て 一 定 の 速 度υxで

電 子 が ド リ フ トす る こ と を こ の 式 は 意 味 し て い る.

こ の 形 で の τ を 緩 和 時 間(relaxation

〔4〕

場E

time)と

電 子 の 散 乱,Boltzmannの

い う.

輸送 方程 式

  格 子 位 置 に い る 殻 イ オ ン の 存 在 そ の も の は抵 抗 の 原 因 に は な り得 な い.電 の 運 動 を 周 期 的 ポ テ ン シ ャ ル の 場 の 中 に お い て,こ れ て し ま っ た か ら で あ る.し

か し,常

衡 位 置 に 対 して ぼ や け て く る.こ

物 や,多

結 晶 の 場 合 の 結 晶 粒 界,結

抗 の 原 因 と な る.平 原 因 に よ っ て,そ は,例

均 寿 命,あ

れ を 有 効 質 量 の 中 に 取 り入

温 で は格 子 原 子 は 振 動 し,そ

の位 置 は平

の 熱 的 な ぼ や け は 電 子 に 対 す る 衝 突,別

葉 で い う と 散 乱 の 中 心 に な り得 る.ま

た,完

子

な言

全 な 結 晶 と い う も の は な く,不

純

晶 の ひ ず み 等 は す べ て 散 乱 中 心 に な り,抵

る い は 緩 和 時 間 と 呼 ん だ τ は,こ

れ ぞ れ 多 少 異 っ た 性 質 を もつ こ と に な る.τ

え ば 移 動 度 μ の 温 度 依 存 性 に 現 れ る.μ

の様 々 な 抵抗 の 性格 の 区 分 け

の 温 度 依 存 性 を 調 べ る と,逆

に,

ど の よ う な 散 乱 機 構 が 抵 抗 の 原 因 と な っ て い る か が わ か っ て く る の で あ る.   緩 和 時 間 の 考 え 方 を 次 の よ う に 拡 張 す る.結 fに 従 っ て 分 布 す る.fは 温 度 が 異 な る 場 合 に は,温 ,υz,x,y,z)を

エ ネ ル ギ ーEと

晶 中 の 電 子 は フ ェ ミル 分 布 関 数

温 度7の

関 数 で あ る.場

所 に よ って

度 を 介 して 場 所 の 関 数 と も な り う る,位 相 空 間(υx,υy

考 え て,xとx+dx,yとy+dy,zとz+dz,ま

たυx

とυx+dυx,υyとυy+dυy,υzとυz+dυzの

範 囲 に い る電 子 数 を  (14・129)

f(υx,υy,υz,x,y,z,t)dυxdυydυzdxdydz と す る.fは

ろ う.外

フ ェ ル ミの 分 布 関 数 で あ る が,外

力 をx方

向 の み に 加 え,Xで

υx →υx+X/mdt,x→x+υxdtと な っ て,一

力 が 働 く と,そ

表 す と,dt秒

の形 を変 え るだ

後 には

次 元 を 考 え た 分 布 関 数 の 形 は,

(14・130)

と な る.最

初 ｆ(υx,x,t)dυxdxに

あ った 電 子 はdt秒

〓dυxdx の 範 囲 に く る.電 両 者 を 等 し い と お け ば,ド

後には

子 数 は こ の 間 で 同 じ で あ る か ら,こ

リ フ トに よ るfの

の

変 化 が で る.

(14・131)

 同 じ よ う に,衝

突 に よ るfの

変化 を

〓とお けば,全

体 と して 分 布 関

数 の変 化 は, (14・132)

の 形 に 書 け る.こ

れ をBoltzmannの

輪 送 方 程 式 と い う.緩

和 時 間 は,こ

の衝

突 に 関 して (14・133)

と置 い た と きの τを意 味 す る,f0は

外 力 が働 か な い と きの熱 平 衡 分 布 関 数 で あ

る.式(14・133)を (14・134)

と 置 く と, (14・135)

と な っ て,外

力 が 取 り除 か れ た と き,fがf0に

も ど る 時 定 数 が τで あ る こ と が

わ か る.

 [問]  平 均 自由 行 程 を 実 験 的 に測 定 す る に は,ど の よ うな 実験 が考 え られ る か,例

え

ば,電 子 に よ る熱 伝 導 率 の 測 定 で は ど うか.

14・7  半   導   体

  半 導 体 結 晶(誘 電 体 も)と 金 属 結 晶 との 違 い は,そ の凝 集 機 構 に あ る.半 導 体 原 子 の 結 合 は電 子 共 有 結 合 で あ って,価 電 子 は 隣接 原 子 と だ け の共 有 結 合 に 使 わ れ,各 原子 の す ぐ傍 に局 在 して い る.す る と,金 属 結 晶 に お け る よ うな 自 由電 子 は な い が,局 在 価 電 子 は,各 原 子 に と って は や は り最 外殻 の電 子 で あ る か ら,結 晶 を形 成 した後 は,価 電 子 ど う しの相 互 作 用 が あ り,わ ず か ずつ エ ネ ル ギ ー が異 な り,エ ネ ル ギ ー帯 を形 成 す る.共 有 結 合 の特 徴 は,隣 り合 う原 子 ど う しが互 に1個 ず つ の価 電 子 を 出 し合 い,こ れが 同 じエ ネル ギ ー準 位 の 中 に あ る こと で あ っ て,帯 を形 成 す る各 準 位 はす べ て2個 の電 子 で 占め られ て い る. す る と,価 電 子 の形成 す る価 電 子 帯 の 状 態 は電 子 で満 席 で あ る.す べ て の状 態 が こ の よ うに電子 で満 た され て い る価 電 子帯 で は電 子 は動 く こ とは で きず,価 電 子 帯 で の電 気 伝 導 は な い. 〔1〕 禁制 帯 の形 成   1つ の帯 で の電 子 の状 態 を考 え よ う.状 態 密 度 は有 効 質 量 近 似 で はm→ｍ* とな り,

(14・136)

で 表 さ れ,電

子 密 度 は,f(E)を

フ ェ ル ミ分 布 関 数 と す る と,

(14・137)

で 表 さ れ る.14・5節

で 述 べ た よ う に,Brillouin領

ル ギ ー 面 は 複 雑 な 形 と な り,図14・21の

領 域 のk=π/an付

近 でE1/2則

領 域 を と る と考 え る と,こ

よ う に,Z(E)の

か ら ず れ た 形 と な る,価

形 は,Brillouin

電 子 帯 が 第1Brillouin

の 領 域 は 電 子 で 満 た さ れ て い る,第2Brillouin領

域 は 価 電 子 の 励 起 帯 と な る が,そ

こ で は 電 子 は 全 く存 在 し な い.第1Brillouin

領 域 と の 間 に は禁 制 帯 が 存 在 し,後 に 存 在 す る.こ

域 の隅 の と ころで は等 エ ネ

れ に 対 し て,金

に わ か る よ う に,フ

ェ ル ミ準 位 は 禁 制 帯 中

属 中 の 電 子 は 第1Brillouin領

図14・21 

Brillouin領

図14・22 

域 の形

金属 の帯 構造

域 の状 態密度

図14・23

を 半 分 し か 満 た さ な い.さ 第2Brillouin領

ら に ま た,kの

域 と は 重 な る.す

して 励 起 さ れ る こ と が 可 能 で,こ

あ る 方 向 で,第1Brillouin領

る と,電

域 と

子 は エ ネ ル ギ ー の 高 い準 位 へ 連 続

れ は 運 動 エ ネ ル ギ ー の 増 加 で あ る か ら,電

気

伝 導 が 起 こ る と 考 え られ る.

〔2〕Si,Geの

帯 構 造

  IV族 元 素 半 導 体Siあ 3s23p2の4個

る い はGeを

例 に と っ て,帯

構 造 を 説 明 し よ う.Siで

が 価 電 子 で あ る.原 子 が 凝 集 し て 結 晶 を つ く る と,こ

子 の 軌 道 は 全 く 同 じ性 質 を も っ た も の に な る の で あ る.原 相 互 作 用 に よ る摂 動 を 受 け,s,p軌 原 子 間 距 離 がAに 交 差 す る.6重

な る と,sか

縮 退 のp準

道 の 皿 に あ っ た1個 Ⅳ,pのⅡ

道 は 縮 退 が と け,分

ら生 じた 摂 動 準 位 とpか

位 の う ち3個

皿 軌 道 は 空 状 態 で,こ

の 励 起 状 態 と考 え られ,こ の 中 心 か ら み る と,空 を 出 して お り,各

れ を 伝 導 帯 と い う.価

間 的 に も全 く 同 等 で,テ

腕(bond)の

ら生 じた 摂 動 準 位 と が 裂 し たs軌

れ をsp3と

のsp3軌

い い,価

電子

道 は下 の 価 電 子 帯

電 子 帯 のsp3軌

道 は殻 イ オ ン

ト ラ ・ポ ッ ト状 に4個

の結合腕

方 向 で 隣 接 原 子 と電 子 共 有 結 合 を し て い る .こ

の 結 合 に よ る結 晶 構 造 は,ダ

形 を 図14・25に

裂 す る.図14・24で,

子 定 数 ま で 近 づ い た 場 合 は,sの

の 軌 道 は 電 子 で 完 全 に埋 ま っ た 状 態 で,こ

帯 を 形 成 す る.pのⅠ,sの

の電

子 ど う しが 近 づ く と,

はⅡ の 軌 道 に 従 う の で,分

の 電 子 はⅡ に 落 ち る.格

の4個

は

示 す.(0,0,0)と

イ ヤ モ ン ド構 造 と呼 ば れ る.こ

(1/4,1/4,1/4)を

の構 造 の単 位 胞 の

それぞ れ 原 点 とす

図14・24 Ⅳ

族元素半導体の帯構造

A，B原 子 は それ ぞれ面心 立方 格子 を形 成 す る。 この 図で はA原 子 の形成 す る単 位 胞 中のB原 子 を 黑丸で示 して ある。Bの 位 置は(〓) 図14・25 

ダイ ヤ モ ン ド構 造 の単 位胞

る2つ の 面 心 立 方 格 子 か ら形 成 さ れ,単 位 格 子 は8個 の 原 子 か らな っ て い る. 図14・25で

黒 丸 で 描 い た原 子 位 置 は,単 位 胞 の 中 に あ って,こ

の4個

の原子

図14・26 

(a) Siの(100)面

面 心 立 方 格 子 の 第1Brillouin帯

の ラ ウエ写 真

域

(b) Siの(111)面

(正 方 形 の パ タ ー ンが 見 え る)

の ラ ウ エ写 真

(三 角 形 の パ タ ー ンが 見 え る) 図14・27

か ら の び るbondを A,黒

図 の 中 に 描 き 入 れ て あ る.図

丸 原 子 位 置 をBと

い る こ と に な る.A位

す る と,B位

置 原 子 は や は り面 心 立 方 格 子 を 形 成 し て

置 に 入 る 原 子 とB位

体,例

え ばGaAs,ZnSに

い,こ

れ も半 導 体 に な る.こ

置 に 入 る原 子 が 異 な る よ う な 半 導

み ら れ る 結 晶 構 造 を 閃 亜 鉛 鉱(ZnS)形 の 場 合 に は,A,Bい

る ダ イ ヤ モ ン ド形 構 造 と 比 較 して,空   図14・26に

面 に つ い て い るΓ,X等

結 晶構 造 と い

ず れ も同種 原 子 で 形 成 さ れ

間 対 称 性 は 減 少 し て い る.

面 心 立 方 格 子 の 第1Brillouin領

称 性 を 示 す 点 で,波

の座 標 原 点 に あ る原 子 位 置 を

の 記 号 は,結

域 を 示 す が,こ

晶 の 対 称 性,従

の 領 域 内 ま た表

っ てBrillouin領

域 の対

動 関 数 は こ れ ら の 点 群 に対 して 対 称 と な り,ま た エ ネ ル ギ ー

も こ れ ら の 点 群 に 対 して 対 称 で あ る.   k空 間 で のGe,Siの 等 の 点 は,上

エ ネ ル ギ ー 帯 構 造 を 図14・28に

のBrillouin領

電 子 帯 の 頂 点 は,最 (〈111〉

も 対 称 度 が 高 いΓ 点 に あ る.伝

方 向),Siで

の よ う に,Geお

域 に 示 した 点 で あ る.エ

はΓ 点 か らX点

よ びSiで

導 体 と い う.GaAsの

体 を 直 接 遷 移 形(direct

導 帯 の 下 端 はGeで

へ の 途 中(〈100〉

方 向)に

transition)半

はL点 あ る.こ

電子 帯 の エ

の 種 の 半 導 体 を 間 接 遷 移 形(indirect

よ う な 半 導 体 で は,こ

値 は い ず れ もΓ 点 に あ っ て,k=(000)で

の 中 のΓ,X

ネ ル ギ ー 的 に み る と,価

は 伝 導 帯 の エ ネ ル ギ ー最 低 の 位 置 と,価

ネ ル ギ ー 最 高 の 位 置 と が 一 致 し な い.こ transition)半

示 す.図

の2つ

の エ ネ ルギ ー

遷 移 が 起 こ る． こ の よ う な 半 導 導 体 と い う.

  〔3〕 半 導 体 に お け る両 極 性 伝 導   図14・29で,価

電 子 帯 の電 子 が伝 導 帯 へ励 起 さ れ る と,価 電 子 帯 に は電 子

の い な い準 位(正 孔)が で き,正 孔 は価 電子 帯 の 中 で電 気 伝導 に寄 与 す る.伝 導 帯 へ あが った 電 子 は伝 導 帯 の中 で 電 気 伝 導 に寄 与 す る.不 純 物 を 含 ま な い純 粋 な 半導 体 結 晶 で,電 気 伝 導 が 起 こる理 由 は,こ の価 電子 帯 か ら伝 導 帯 へ の電 子 の 励起 に よ る.こ の と きで き る伝 導 電 子,正 孔 の 濃 度 を それ ぞ れn,pと る と,n=p=niで

あ って導 電 率 は, (14・138)

す

(a)  Ge

(b)  Si

図14・28 

と 表 さ れ る.μn,μpは,そ 孔 対 の 発 生 は,最

Geお

よ びSiの ェネ ル ギ ー 帯 構 造

れ ぞ れ 電 子,正

低 で も禁 制 帯 幅Egの

古 典 統 計 で い う と,e-Eg/kTに

エ ネ ル ギ ー が 必 要 で,そ

比 例 す る.こ

に 小 さ く な る(300KでkT≒0.026eVで

孔 の 移 動 度 で あ る.こ

の 確 率 はEgが あ る).す

絶 縁 体 と い え る． ダ イ ヤ モ ン ドで はEg∼6〔eV〕 孔(こ

れ を 自 由 キ ャ リ ア ま た は 伝 導 キ ャ リ ア と い う)は

はEg∼0.6〔eV〕

で あ る か ら,確

率 は ∼10-11と

の発生確 率 は

大 き い と き は,非

る と,Egの

で,伝

の 電 子 ・正

常

大 き な物 質 は

導 に 寄 与 す る 電 子,正 ほ と ん ど な い.Geで

な り,価

電 子 密 度 を ∼1025

図14・29 

励 起 に ょ る電 子 正 孔 対 の 生 成

図14・30 

〔1/m3〕

と す る と,∼1014〔1/m3〕

帯 図

の キ ャ リ ア が 存 在 す る こ と に な り,∼10-6

〔Ω ・m〕 の 導 電 率 を 示 す よ う に な る．

〔4〕

キ ャ リア 統 計

  半 導 体 に お け る導 電 キ ャ リア は,こ

の よ う に電 子 と正 孔 と が あ る が,フ

ミ統 計 を 用 い て,キ

ャ リア 濃 度n,pを

は,式(14･136)の

状 態 密 度 を 伝 導 帯 の 下 端Ecよ

ェル

出 して み よ う． 電 子 濃 度 を 出 す 場 合 に り上 に と り

(14･139)

とす る.mn*は

電 子 有 効質 量 を 表 す.フ

ェル ミ分 布 関 数 は,古 典 近 似 と して, (14・140)

の よ う に し,nをEcか

ら上 で 計 算 す る．

(14・141)

  この結 果 を み る と,指 数 項 は電 子 が エ ネル ギ ーEcに 表 して お り,そ こで の 状 態 密 度 がNcで の 電 子 は,す べ て エ ネル ギ ーEcに 率 がexp{-(Ec-EF)/kT}で 式 に現 れ て い るmn*を

い る古 典 近 似 の 確 率 を

あ る と考 え て よ い.す な わ ち,伝

あ る状 態 密 度 の 中 に あ って,そ

表 され る.Ncを

導帯

こ に上 る確

電 子 の 有 効 状 態 密 度,こ

の

電 子 の 有 効 状 態 密 度 質 量 と呼 ぶ.

  正 孔 で は,状 態 密 度 は価 電 子 帯 上 端Evよ

り下 に あ って, (14・142)

で 表 され る.mp*は

正 孔 の 有 効 質 量 で あ る.フ ェル ミ分 布 関数 は電 子 の い な い

確 率 で あ るか ら,こ れ も古 典 近 似 をす る と, (14・143)

と な り,Ev以

下 で 積 分 す る と,次 の よ う に な る.

(14・144)

  Nvを

正 孔 の 有 効 状 態 密 度 と い う.式(14・141),(14・144)で

形 で,(2πm*kT)3/2は 述 べ た よ う に,単 子 的 な1つ

古 典 分 布 関 数(Maxwell-Boltzmann分

現 れ たNc,Nvの 布 関 数)の

位 体 積 あ た り の 三 次 元 運 動 量 空 間 の 体 積 で あ る.こ

の 準 位 は 運 動 量 空間 の 体 積 でh3で

ところで の と き量

表 さ れ る の で,(2πm*kT/h2)3/2

は 運 動 量 空 間 で 表 した 準 位 密 度 と な っ て い る の で あ る.係 に 入 れ る 電 子 の 数 が2個   式(14・141)と

あ る と い うPauliの

式(14・144)か

数 の2は1つ

の準 位

排 他 率 か ら で た 値 で あ る.

ら, (14・145)

が 得 られ る.Egは

禁 制 帯 幅 で あ る.Egは

種 の 半 導 体 で は,不

純 物 の 如 何 に か か わ ら ず,ni2=npは

ま る 定 数 と な っ て い る.こ  n=pの

半 導 体 の 種 類 に よ っ て 異 な る が,同

れ をnp積

温度 の み に よ って き

一 定 の 法 則 と い う.

真 性 半 導 体 で は， (14・146)

と な る.ま

た,式(14・141)と

式(14・144)を

等 し く と る と フ ェ ル ミ準 位 が

で る.

(14・147)

 mp*=mn*で

あ れ ば,EFはEcとEvの

禁 制 帯 幅 が1eV程

度 の 半 導 体 で は,電

に 比 較 して は る か に 大 き い(kTは300Kの (14・140)で,1を   SiやGeのⅣ

子 が 伝 導 帯 中 に あ れ ば,e(E-EF)/kTは1 常 温 で,ほ

のP,Sbを

を ドー プ す る と,正 孔 濃 度 が 大 き なp形

も,n,pの

値 は 式(14・141),(14・144)で

ェ ル ミ準 位EFはn形

表 さ れ る.た

だ し,こ

の場 合 に

では禁制帯 の中央

れ を 縮 退 と い い,こ

 [問]  半 導 体 の キ ャ リア濃度 が 分 って い る と,Seebeck効 果 を調 べ よ.

族

半 導 体 と な る.こ の 場 合 に

る い は 価 電 子 帯 の 様 子 は 金 属 的 に な っ て,古

算 で き る.Seebeck効

半 導 体 と な る.Ⅲ

量 の 不 純 物 ドー ピ ン グ を す る と,EFは

る い は 価 電 子 帯 の 中 に 入 っ て し ま う.こ

伝 導 帯,あ

あ る)． 式

わ ず か に 入 れ る(ド ー ピ ン

で は 禁 制 帯 の 中 央 よ り上,p形

よ り下 に 位 置 す る よ う に な る.多 帯,あ

ぼ0.026eVで

子 濃 度 が 正 孔 濃 度 よ り 大 き く な り,n形

のB,Ga等

は,フ

な わ ち 禁 制 帯 の 真 中 に く る．

省 略 し て 古 典 近 似 と して よ か っ た 意 味 は こ こ に あ る． 族 半 導 体 に 対 して,V族

グ と い う)と,電

中 央,す

伝導

の 場 合 に は,

典 近 似 は 使 え な い.

果 の 実験 か ら有 効 質 量 が 計

14・8 

誘

電

体

  平 行 平 板 コ ンデ ンサ に比 誘 電 率 εrの誘 電 体 を入 れ た場 合 を考 え よ う.コ デ ンサの 極 板 に は単 位 面 積 当 た り σの電 荷 が存 在 し,Gaussの の σに対 応 す る電 場 をE0と

す る と,σ=ε0E0で,E0は

ン

式 か ら考 え た こ

誘 電 体 が 存 在 しな い

と した と きの コ ンデ ンサ 内部 の電 場 の 強 さで あ る.誘 電 体 が入 る と,誘 電 体 の 表 面 に単 位 面 積 当 た りσpの電 荷 が 現 れ る.こ れ を誘 電 分 極 とい う.等 方 性 の

(a)

(b) 図14・31 

誘電分極

誘 電 体 で は σpの現 れ る方 向 は誘電 体 の 内部 の電 極Eの に平 行 で あ る.誘 電体 内 部 に電 場 方 向 の長 さL,そ

方 向 で あ って,EはE0

れ と直 角方 向 に面 積Sの

小

さな 体積 を想 定 す る と,こ の体 積 で の電 気 双 極 子 モ ー メ ン トはσpSLと な る. SLは 体 積 で あ るか ら,σｐは 単位 体 積 で の 双極 子 モ ー メ ン トと理 解 で き る.誘 電 分 極pは

ベ ク トル で,電 磁 気 学 的 に は, (14・148)

と 書 け る が,そ

の 大 き さ は￨p￨=σpで

応 して い る が,式(14・148)で よ う に,Gaussの

あ る.σ ｐ=χeEの

表 さ れ る 電 場EはE0で

形 は σ=ε0E0に は な く,図

対

か らわ か る

式 か ら考 え て σ-σpに よ る 電 場 で あ る.σ-σp=ε0Eで,こ

れ に 上 の 関 係 を 代 入 す る と, (14・149)

が で る.巨 視 的 に誘 電 体 が感 じて い る電場 はEで

あ っ て,Xeを

比 電気 感受 率

と い う.微 視 的 に み た場 合 に は また少 し異 な る.   誘 電 分 極 が生 じ る原 因 は,分 子 また は原 子 の双 極 子 モ ー メ ン トで あ ろ う.分 極 の単 位 を分 子,原 子 の桁 ま で小 さ く して い った と きの,誘 導 双 極 子 モ ー メ ン トを μ で表 す と, (14・150)

の よ うに書 け る.Nは

単 位 体 積 当 た りの双 極 子 モ ー メ ン トの数 で あ って,分 極

濃 度 とい う こ とが あ る.誘 電 体 中 の1原 子 に働 く内 部電 場 はEで は な く,そ れ よ り も強 い と考 え られ る.Lorentzは,こ 図14・32の

よ う に,誘 電 体 内部 に球 状 の小 さな 空 洞 を 考 え る と,空 洞 の 左 壁

図14・32 

に は+の

の 内部 電 場 を 次 の よ う に計 算 した.

空洞電場

電 荷,右 壁 に は − の電 荷 が現 れ る.こ の電 荷 に よ る空 洞 中心 で の 電

場 を計 算 す る と, (14・151)

とな る.こ れ をLorentzの

空 洞 電 場 とい う.さ

分 極 へ 寄 与 をElと す る.Elは,原

らに,空 洞 内 の 原 子配 列 によ る

子 の 配 列 が 立 方 対 称 を も つ 場 合 は零 に な る

が,そ れ 以 外 の場 合 は複 雑 で あ る． 内 部 電 場 は,こ の3つ の和 で (14・152)

と表 され る．

〔1〕 誘 導 双 極 子 モ ー メ ン ト   この 内部 電 場 に よ って 引 き起 こさ れ る誘 導 双 極 子 モ ー メ ン トの種 類 は,大 き く分 け る と,   (a) 電 子 分 極   (b) イ オ ン分 極   (c) 配 向分 極 の3つ で あ る.   (a) 電 子 分 極  外 部 電 場 の な い状 態 で,誘 電 体 結 晶 を形 成 して い る個 々 の 原 子 の電 気 的状 態 を考 え る と,正 電 荷 を もつ 核 の中 心 と,負 の電 荷 を もつ外 殻 電 子 の電 子 雲 の 中心 とは一 致 して い る.   電 場Eが

か か る と,こ の2つ の中 心 は電 場 方 向 に相 対 的 にxだ

図14・33 

け変 位 す る.

電 子 分極

1個 の 原 子 で の 誘 導 双 極 子 モ ー メ ン トは,μe=Qxで

あ っ て,変

位xは

電 場E

に 比 例 す る. (14・153)

と お い た と き αeを 電 子 分 極 率 と い う． 分 極 濃 度 がNの (electronic

と き,電

子 分 極

polarizatien)は, (14・154)

と な る.電

子 分 極 は 元 素 に よ り 異 な り,原

た 温 度 依 存 性 は な い.式(14・154)のEに

子 半 径 が 大 き な も の ほ ど 大 き く,ま 式(14・152)でElを

省 略 し たEi

を 入 れ,式(14・148)を

使 う と,

(14・155)

が で る.こ

の 式 をClausius‐Mosottiの

極 率 αeで き ま る.Nと

式 と い う.比

し てAvogadro数N0を

誘 電 率 は 分 極 濃 度Nと

と り,分

子 量 をM,密

分

度 を ρ

で 表 す と,

(14・156)

を モ ル 分 極 と い う こ と が あ る.大 で,気

体 で は こ れ が10-3∼10-4程

い る.光

周 波 数 範 囲 で は,屈

部 分 の 固 体 元 素 で は,ε ｒは1∼10の 度 で あ る.こ

折 率n=√εrで

程 度

の理 由 は濃 度 の違 いか ら きて

あ る の で,

(14・157)

  こ の 式 をLorentz-Lorenzの

式 と い い,Rmを

モ ル 屈 折(molecular

reflaction)

と い う こ と が あ る．

 [問] Siは

原 子 量28.1,比

重2.42,比

誘 電率11.6で

あ る． 原 子 濃 度 お よ び 電 子 分 極

率 は い く ら に な る か.

  (b)  イ オ ン 分 極   イ オ ン分 極(ionizational 生 じ る.電

場Eが

向 き に変 位 し,そ

か か る と,正 の 結 果,電

polarization)は,イ

イ オ ン は 電 場 の 向 き に,負

場 方 向 に 分 極 が 生 じ る.

図14・34 

イ オ ン分 極

オ ン結 晶 で

イ オ ンは 電 場 と逆

(14・158)

と した と き,αiは イ オ ン分 極 率,Nは

イ オ ン分 極 濃度 を表 す.

  (c) 配 向 分 極  多 原 子 分 子 で は,そ の構 造 か ら電 場 が か か らな い場 合 で も, 永 久 的 な 双 極 子 モ ー メ ン トを も って い る分 子 が あ る.最

も簡 単 な 例 がH2O分

子 で あ る． 電 場 が な い場 合 の 液体 状 態 で は,こ の永 久 双 極 子 モ ー メ ン トは ラ ン ダ ム に分 布 して マ ク ロに は分極 は現 れ な い.電 場 が か か る と,永 久 双 極 子 モ ー

図14・35 

メ ン ト は,電

場 方 向 に 配 向 し,分

polarization)と

永久双極子 モーメ ント

極 を 示 す.こ

れ を 配 向 分 極(orientational

い う． 双 極 子 モ ー メ ン ト μ0が 電 場Eの

中 に あ る と き の位 置

エ ネ ル ギ ー は, (14・159)

で 与 え ら れ る． θ は μ0とEと θ と θ+dθ

の な す 角 で あ る.し

の 間 を 向 く確 率 は,θ

た が っ て,μ0がEに

対 して

と して 立 体 的 な 角 を と っ て, (14・160)

で あ る.電

場 方 向 の 成 分 μ0cosθ

の 平 均 は,

(14・161)

図14・36 

と な る.配

向 分 極p0は,こ

立 体 角 と して の θ の計 算

れ か ら,分 極 濃 度 をNと

し て, (14・162)

と 表 さ れ る.L(a)はLangevin関

数 と 呼 ば れ,E→

に 収歛 す る． 実 用 上 は ，a≪1で,こ

大,a→

の と きL(a)=1/3aと

大 で,L(a)→1

な る.す

る と,

(14・163)

とな り,配 向 分 極 は永 久 双 極 子 モ ー メ ン トの2乗

に比 例 し,温 度 に反 比 例 す

る.

  こ こで,3個

の分 極 を ま と め る意 味 で,イ

オ ン性 もあ る よ うな 多 原 子 気 体 の

全 分 極 を 考 え て み る と,

(14・164)

と な り,式(14・148)と

と な る.ε0(εr-1)を1/Tで N(αe+αi)を

比 較 す る と,

プ ロ ッ トす る実 験 で は,1/T→0で

与 え る． μ0の 実 測 値 は,デ

バ イ(debye)単

の外 挿 値 が

位=3.33×10-30

図14・37 

ε0(εr-1)の

温 度 依 存

〔C・m〕 で 測 られ,H2Oで1.84,CH3Clで1.15,NO2で 固 体 で は 永 久 双 極 子 は凍 結 さ れ て い る た め,P0=0と 体 へ の 相 転 位 の と き,永 可 能 に な る た め,εrが

は0.4程

度 で あ る.

し て よ い.固

久 双 極 子 モ ー メ ン トを も つ 物 質 で は,双

体 か ら液

極 子 の回 転 が

急 激 に 増 す.

〔2〕 誘 電 率 の 分 散   電 子 分極 や イ オ ン分 極 を示 す物 質 が 電 場 中 にお か れ た場 合 は,電 荷 を も った 粒 子,す

なわ ち電 子 雲,核,あ

る い は イ オ ンの 平 衡 位 置 か らのず れ が起 こ り,

これ が 巨視 的 に は分 極 を形 成 す る とい う こ とは既 に述 べ た.誘 電 体 で この ず れ が 生 じた と き,逆 に そ の大 き さに比 例 して,核,あ

るい は イ オ ンを平 衡 位 置 に

も どそ う とす る復 元 力 は必 ず生 じ る.す る と,ミ ク ロ的 な1個 の分 極 は調 和 振 動 子 的 に な って,復 元 力 の 強 さ と振 動 子 質 量mと

に 関 連 した固 有 角 振 動 数 ω0

を もっ こ と に な る.   一 次 元 で,こ

の調 和 振 動 子 の運 動 を表 す と, (14・165)

で あ る.電 と な っ て,制

磁 波 の よ う な 振 動 電 場E*=E0eiωt中 動 項 ま で 含 め て,一

般 に,

にお か れ た場 合 に は 強 制 振 動

(14・166)

と書 け る.電 子 分 極 の場 合 で は,電 子 雲 の速 度 が 変 化 し,放 射 を生 じ,こ れ が 制 動 の役 目 を果 す.qは

電 荷,mは

振 動 子 質 量 を示 す.定 常 解 は, (14・167)

と な る が,x(t)は qx(t)で

平 衡 位 置 か ら の ず れ で あ る か ら,誘

表 さ れ,分 極 はNqx(t)で

導 双 極 子 モ ー メ ン トは

あ る.複 素 比 誘 電 率 εr*を 次 の 式 で 定 義 す る. (14・168)

 す る と,

(14・169)

 い ま, (14・170)

と お く と,ε’,ε"と

も角 周 波 数 ω の 関 数 と な っ て,

(14・171)

(14・172)

  静 電 場 で は ω=0で,式(14・171),(14・172)か

ら,逆

に静 誘 電 率 が で て

(14・173)

  こ の 場 合,分 (14・169)か

極 率 を α と す る と,P=NαE=e0(ε'-1)Eで

あ る か ら,式

ら,

(14・174)

と な る ． 電 子分極

c/ν0∼300〔nm〕

で は αe∼10-40〔F・m2〕

と な り,固

で ，〓

有 振 動 数 は 光 の 領 域 で 紫 外 部 に な る .イ

で は 質 量 が 大 き い た め,ν0∼1013〔Hz〕,λ0∼30〔 る.ε'-1は,図14・38の 異 常 分 散(anormalous

， λ0=

よ う に,ω dispersion)と

∼ ω0の

と な っ て 赤 外 部 に く

近 傍 で 大 き く 変 化 す る .こ

い う.ε"は

は 電 磁 波 の 吸 収 で 共 鳴 吸 収(resonance

図14・38 

μm〕

オ ン分 極

absorption)と

ω ∼ ω0で

れ を

極 大 を 示 す.こ

れ

呼 ば れ る.

誘電率の分散

 比 較 的 動 き や す い永 久双 極 子 を も った 物質 で は,配 向分 極 の 時 間 的 変 化 を次 の よ うに考 え る.ま ず,電 場 が な くな る と と もに配 向分 極 は指 数 関 数 的 に減 少 す る と して, (14・175)  こ こで,τ

は,分極

が 定 常 値P0(∞)の〓

に 減 小 す る 時 間 で,緩

和 時 間(rel-

図14・39 

axation

time)と

い う.逆

に,零

配 向 分 極 の時 間 依 存

の 状 態 か ら電 場 が 加 わ っ て 定 常 値P0(∞)に

な る ま で の 変 化 は, (14・176)

と 表 さ れ る.こ

の 式 を 微 分 し た 形 は,

(14・177)

 こ の 式 に,

(14・178)

の よ う に,εd,εd*を

き め て,代

入 す る と,

(14・179)  こ こ で, (14・180) と お く と,

(14・181)

  式(14・181)を

図 に 表 す と,図14・40の

図14・40 

よ う に な る.εd'は,ω≪1/τ

誘 電 緩 和 と共 鳴 吸 収

，一 定 の値εdで 外部 電 場 に追 従 す るが ,ω=1/τ で は1に

な り,分

に近 づ くに つ れ減 小 し,ω≫1/τ

極 を 示 さ な くな る.εd〝はω＝1/τ

れ は エ ネル ギ ー吸 収 で あ る.多

で は

の 近 傍 で 極 大 値 を 示 し,こ

くの永 久 双 極 子 を も った 物 質 で の,こ

の分 散 は

マ イ ク ロ波 の 領域 とな る.   電 子 分 極,イ オ ン分 極,配 向 分 極 の す べ を も った 物 質 の 全 分 極 は, (14・182)

の よ う に書 け るが,pの

電 磁 波 に対 す る分 散 は,図14・41の

  以 上 の 振 動 電場 中 で の 比 誘 電 率 εrの分 散 の議 論 は,正

よ う に な ろ う.

確 に は誘 電 体 内 部 電

図14・41 

分極の周波数 依存

場 で 記 述 し な け れ ば な ら な い． しか し,内

部 電 場 に し た 場 合 に は,固

ω0が 多 少 ず れ た と い う形 で 還 元 で き る の で,基   さ ら に,ε",εd"の は,電

変 化 が,電

有 振 動数

本 的 に は 同 じで あ る.

磁 波 エ ネ ル ギ ー の 吸 収 に 対応 す ると い う理 由

磁 気 学 の 誘 電 損 の と こ ろ を 参 照 して 理 解 す る ほ う が よ い が,こ

こ で は割

愛 す る． 結 果 の み を 述 べ る と,1/2ω ε0ε"E02は 誘 電 体 の 単 位 体 積 が 単 位時 間 に 吸 収 す る エ ネ ル ギ ー で あ っ て,こ

14・9  誘 電 体Ⅱ:強

れ は ε"に 比 例 す る.

誘 電体

 前 節 で は,誘 電分 極pは 電 場 の強 さEに 比 例 す る と した. (14・183)

で あ る.と はEに

こ ろ が,あ

る種 の 誘 電 体 で は,こ

対 し て ヒ ス テ リ シ ス現 象 を 示 す も の が あ る.図14・42で,p=0の

女 試 料 に 電 場 を 加 え て い く と,ま ろ で,は

の 比 例 関 係 が 成 立 せ ず,さ

じ め てp∝Eの

な らず,Eが

零 で もprの

零 に す る に は,逆

ず0→bの

関 係 が 成 立 す る.電 残 留 分 極(permanent

向 にEcの

抗 電 場(coercive

よ う に 変 化 し,a点

処 を越 え た と こ

場 の 強 さ を 減 ら す と,p→0と polarization)が field)を

ら にp

残 る.こ

は れを

か け な け れ ば な ら な い.

図14・42 

結 局,ｐ

とEの

変 化 は,図

強誘 電 体 の ヒス テ リ シス

の よ う に,ヒ

ス テ リ シ ス 曲 線 を 描 く こ と に な り,過

去 に ど の よ う な 電 場 に 置 か れ た か で,現

在 の 誘 電 分 極 が き ま る こ と に な る.強

誘 電 体 の 誘 電 率 は,式(14・183)の

形 で は 定 義 で き ず,

(14・184)

の形 で 微分 的 に 定義 しな け れ ば な らな い.  〔1 〕 自 発分 極   強 誘 電 体 の こ の よ う な ヒ ス テ リ シ ス 現 象 は,そ ま ず 分 域 構 造(domain

structure)と

い う,あ

る こ と か ら説 明 さ れ る.図14・42で,pとEが す る と,Psは

値 をpsと

と 呼 ば れ る.強

誘 電 体 結 晶 の 内 部 に は,様

自 発 分 極(spontaneous 々 な 方 向 に,こ

女 試 料 で は,各

を 向 い て 分 布 して い る た め,全

る程 度 ミ ク ロ 的 な 領 域 が 存 在 す 比 例 す るb→a部

に 外 挿 したpの

多 数 の 細 か い 分 域 が あ り,処

の 結 晶 構 造 に基 因 す る もの で,

分 をE=0 polarization)

の 自発 分 極 を も っ た

分 域 で 自発 分 極 が ラ ン ダ ム な 方 向

体 と し て は分 極 は な い.電

場 を か け て い く と,

各 分 域 で の 自発 分 極 の向 きが 揃 い,遂 Psが 現 れ る.こ れ が 図14・42のa点

に は1つ の 大 きな 分域 とな って 自発 分 極 で あ る.分 域 境 界(domain

boundary)は,

この よ うに外 部 電 場 の下 で 移 動 す る.こ の 移動 の エ ネル ギ ー が0→aの

間 の電

場 に よ って与 え られ たの で あ る.電 場 を零 に した と き,残 留 分 極 が残 るの は, 結 晶 内部 に分 域 境 界 の移 動 エ ネル ギ ー の蓄 積 分 が あ る程 度残 るた め で あ る.   内部 電 場 を (14・185)

と し よ う.γ は 減 分 極 因 子(depolarization は1/3で

あ っ た.分

極 はp=NαEiで,こ

factor)でLorentz空 の 式 に 式(14・185)を

洞 電 場 の場 合 代 入 す る と,

(14・186)

が で る.E→0で の 可 能 性 は,α

も,Nα

γ/ε0→1の

が 大 き い 場 合,ま

  p=ε0(εr-1)Eで

場 合 に は,Pの

解 は 存 在 す る.自

発 分極

た は γが 大 き い こ と が 条 件 と な る.

あ る か ら,こ

の 式 と 上 の 式 か ら は,

(14・187)

が で る.こ

の 式 をNに

つ い て 解 き,εrを

温 度 の 関 数 と考 え る と,

(14・188)

 左 辺 の〓

と お く と,λ

は 体 膨 張 係 数 で あ る.εｒ≫1で

近似 す

る と,

(14・189)

(14・190)

  こ の 式 は,T→Tcで

εｒ →∞ で あ る こ と を 示 し て い る.式(14・190)は

体 に お け るCurie-Weiss(キ と い う.強

ュ リ ー ・ワ イ ス)の

誘 電 体 の 温 度 を あ げ て い く と,Tc付

方 則 と い い,Tｃ

誘 電

をCurie温

度

近 で 自 発 分 極 は 消 え る.自

発

分 極 の 消 え る 温 度 を 熱 力 学 転 位 温 度 と い う こ と が あ る．   自 発 分 極 の 原 因 は,結 BaTiO3の

晶 構 造 に あ る と 先 に 述 べ た が,代

例 を あ げ て 説 明 しよ う.図14・43にBaTiO3の

図14・43 

位 胞 の 中 で6個 酸 素8面

に 存 在 す るTi4+イ

1.32A,Ti4+の

の8面

酸 素8面

な わ ち 分 域 が 多 くあ り,こ

値 を と っ て い る の で あ る.

力 学 的 に み て,こ

の単

体 の 内 部 で 同 方 向 に変

の 分 域 が ラ ンダ ムに分 布 した

部 エ ネ ル ギ ー が 小 さ くな る の で あ る.こ 以 下 で は,結

半 径 は

の 空 間 の 中 で あ る程 度 自 由 に動

れ が 自 発 分 極 の 原 因 と な っ て い る.熱

位 した 小 さ な 集 合,す

れを

体 で 囲 まれ る内部

オ ンの 直 径 よ り も ず っ と 大 き い(O2-の

位 胞 の 多 数 の 集 合 か ら な る 結 晶 で は,Ti4+が

由 で,Curie点

結 晶 構 造

オ ン の 半 径 は 大 き く,こ

半 径 は0.64A).Ti4+は,こ

く こ と が で き,こ

ほ う が,内

結 晶 構 造 を 示 す.単

の 面 心 位 置 に い る 酸 素 イ オ ン は 八 面 体 を 形 成 して い る.こ

体 と い うが,O2-イ

空 間 は,中

BaTiO3の

表 的 な強誘 電 体

れ が 分 域 構 造 を 形 成 す る理

晶 全 体 の 位 置 エ ネ ル ギ ー が,こ

の よ うな 形 で 極 小

〔2〕

電 わ い,圧

電

  結 晶 に 誘 電 分 極 が 生 じ る と,当 (electro striction)と

い う.逆

限 ら な い.図14・44(a)の

然 機 械 的 な ひ ず み を 生 じ る.こ

に,機 械 的 な ひ ず み は 誘 電 分 極 を 生 じさ せ る と は

よ う な 二 次 元 正 方 格 子 で,xま

を 生 じた と して も分 極 は起 こ らな い.こ の〓

れ は 中 心 の〓

た はy方

(a)

よ うな イオ ン配

対称性

向 に は 対 称 性 が な く,x,y方

向 の ひず み で分 極 が

起 こ る.構

械 的 な ひ ず み か ら分 極 が 生 じ る 効 果 を 圧 電 効 果(piezo

と い う.強

誘 電 体 で は,電

が あ る.こ

electricity)

場 を 一 度 か け た 後 に は 残 留 分 極 が で き て お り,こ

は 結 晶 の 対 称 性 が 失 わ れ た 形 で,圧 る係 数 と し て,電

近 接

(b) 図14・44 

た はy方

向 にひず み

イ オ ン に 対 し て,最

イ オ ンが 対 称 性 を も って い る か らで あ る.図14・44(b)の

置 が あ る と,x,ま

れを電 わ い

電 効 果 が 大 き い.圧

気 ・機 械 結 合 係 数(electro-mechanical

れ

電 材 料 の良 否 を決 定 す coupling

coefficient)

れ は,

  k=

√機 械 的 な形 で結 晶 中 に保 存 され る エ ネ ルギ ー/

電気的 な総入力  (14・191)

で 表 さ れ る.右

1/

2Yem2で

辺 の 平 方 根 中 の 分 子 は ひ ず み をem,ヤ

あ り， 分 母 は 加 え た電場

の 強 さ をEと

ン グ 率 をYと

す る と,1/2ε0εrE2で

す る と,

あ る．

14・10 

磁

性

体

  磁 性 体 に お い て,誘 Mで

あ る.磁

電 体 の 誘 電 分 極 に 相 当 す る も の は 磁 化(magnetization)

気 双 極 子 モ ー メ ン トをμmで

表 す と,磁

化 は単 位 体 積 当 た りの 磁

気 モ ー メ ン トに な る． (14・192)

  μmの 単 位 は 〔A・m2〕 で あ る か ら,Mの 磁 場 の 強 さHの

単 位 と 同 じ に な り,磁

単 位 は 〔A/m〕

と な る.こ

の 単 位 は,

性 体 中 の 磁 束 密 度B〔Wb/m2≡T〕

は,

(14・193)

と 表 せ る.こ

の 式 を 磁 化Mの

定 義 と して も よ い. (14・194)

と お い た 場 合,χmを 〔1〕

で あ る.こ

磁 化 率(magnetic

れ を 式(14・193)に

susceptibility)と

い う.こ

の 単 位 は

代 入 す る と, (14・195)

 た だ し,μrは

比 透 磁 率 で あ る.

  磁 性 体 と し て,物

質 の 分 類 をχmを 使 っ て,次

の よ う に す る.

  反 磁 性(diamagnetism)χm＜0,￨xm￨:10-5

  常 磁 性(paramagnetism)   準 強 磁 性(metamagnetism)

}

  強 磁 性(ferromagnetism):ヒ

ス テ リ シ ス 現 象 を 示 し,χmは

  強 磁 性 体 の 磁 化 曲 線 を 図14・45に μ0Msに (coercive

等 し い．Mｓ force)と

χm:10-3∼10-5

示 す.Bsを

大

飽 和 磁 束 密 度 と い い,こ

は 飽 和 磁 化 で あ る．Bｒ を 残 留 磁 束 密 度,Hcを

い う.こ

れ は

保 磁 力

の よ う な ヒ ス テ リ シ ス現 象 を 示 す 強 磁 性 体 で は,

比 透 磁 率μrは,

(14・196)

か ら きめ られ な けれ ば な らな い の は,強 誘 電 体 の場 合 と同 じで あ る.こ の磁 化

図14・45 

曲 線 で,原

点(消

磁 状 態)か

強 磁 性 体 の ヒス テ リシ ス

らBs=μ0Msま

で 磁 化 す る仕 事 は,

(14・197)

と な り,こ

れ は 磁 性 体 の 単 位 体 積 当 た り の 磁 化 エ ネ ル ギ ー で あ る.ヒ

ス 曲 線 で 囲 ま れ面

積 は,∮HdBで

表 さ れるが，

ネ ル ギ ー と し て 失 わ れ て し ま う量 に な る.こ loss)と

軟(soft)に

が 大 き く,ヒ

ー マ ロ イ,フ

い られ る.硬 る.KS鋼,MnBi等   B-H曲

こ れは 磁 化 エ ネ ル ギーが 熱 エ

れ を ヒ ス テ リ シ ス 損(Hysteresis

い う.

  磁 性 体 を 硬(hard)と

鋼,パ

ス テ リシ

わ け る.軟

と は 最 大 透 磁 率〓

ス テ リ シ ス 損 が 小 さ い 材 料 で あ り,純

ェ ラ イ ト等 が こ れ に 該 当 し,変 圧 器,モ

は残 留 磁 束 密 度,保

磁 力 が 大 き く,永

鉄,け

い素

ー タの コア等 に 用

久磁 石 材 料 と して 用 い られ

が あ る.

線 の 飽 和 磁 化 は,誘 magnetization)と

電 体 の 場 合 と 同 じ よ う に,自

考 え る こ と が で き る.自

発 磁 化Ms(spon-taneous

発 磁 化 の 本 質 は,磁

性 体

を構 成 す る原 子 の 磁 気 モ ー メ ン トの 結 晶 構造 に よ る配 列 に起 因 す る.自 発 磁 化 を もっ強 磁 性 体 は完 全 な る消 磁 の 状 態 で も,そ の 自発 磁 化 を も った 小 さな範 囲 の小 磁石(分 域)の ラ ンダ ム な集 合 体 と考 え られ る.こ の小 磁 石 を磁 区(magn-etic domain)と

呼 ぶ.ま

た,そ の境 界 を磁 壁(domain

wall)と

い う.強 磁 性

体 の 表面 を十 分 に鏡 面 研 摩 し,そ の上 に コ ロイ ド状 の酸 化 鉄 粉 を ふ りか け,顕 微 鏡 で観 察 す る と,こ の 磁 区 が 観 察 で き る.同 一 磁 区 内 で の 自発磁 化 の方 向 は 同 じで あ るが,そ の 磁 区 構 造 は結 晶 の 性 質 によ って異 な る．体 心 立 方 の α鉄 を 例 に と る.α-Feは910℃

まで 安 定 なbcc構 造 を もっ が,磁 場 を 〈100〉

に か けた 場 合 に は容 易 に磁 化 し,〈111〉 も って い る.こ れ を 磁 気 異 方 性(magnetic

方 向 で は磁 化 は起 こ りに くい 性質 を anisotropy)と

向 に磁 化 す る場 合 に は磁 壁 の並 行 な移 動 が 起 こ り,Mの 全 体 が1つ の 磁 区 に な る.〈111〉

方向

い う.〈100〉

方

増大 と ともにや がて

方 向 で 磁 化 す る場 合 に は,磁

区 内の磁 極

の 回 転 が つ け加 わ り,余 分 の エ ネ ル ギ ーが 必 要 とな る.こ れ はFeの

結 晶異 方

性 の た め で あ る.   磁 性 体 を 磁 化 す る と き に 現 れ る機 械 的 な 変 形 を 磁 気 ひ ず み(magneto-striction )と い う.磁 化方 向 に 長 さが伸 び る.こ の こ とか ら磁 区 は 互 に 弾 性 的 な力 を 及 ぼ し合 って い る と考 え られ る.こ の 弾 性 エ ネル ギ ー も磁 区 の 形 を 左 右 す る一 因 で あ る.

14・11  磁 性 体Ⅱ:原

子磁気 モーメン ト

  磁 性 体 にお け る反 磁 性,常 磁 性,強 磁 性 の区 別 は何 に起 因 す るの であ ろ うか. 前 節 で は,同 一 磁 区 の 中 で の原 子 の磁 気 モ ー メ ン トは同 一 方 向 に平 行 に並 ん で い る と した が,こ

の原 子 磁 気 モ ー メ ン トを分 析 して み る と,次 の よ うな要 因 が

考 え られ る.   ①  原 子 核 の まわ りの電 子 の軌 道 運 動 に よ る磁 気 モ ー メ ン ト   ②  電 子 の ス ピ ン(自 転)に

よ る磁 気 モ ー メ ン ト

  ③  陽 子,中 性 子 の核 磁 気 モ ー メ ン ト 等

で あ る ． 金 属 内 自 由 電 子 に よ る反 磁 性,常   (a) 軌 道 磁 気 モ ー メ ン ト(orbital 模 型 で は,正

磁 性 の 問 題 は別 に 論 じ る.

magnetic

dipole

moment) 

Bohrの

電 荷 を も っ た 核 の ま わ り を 負 電 荷 の 電 子 が 回 転 し て い る.電

原子

図14・46 

子 の

軌 道 磁 気 モ ー メ ン ト

角 速 度 を ω とす る と，1秒 間 に電 子 はω/2π 回 転 して い る． 電 流 は単 位 時 間 に, そ の断 面 を通 過 す る電 気量 で 表 され るの で,こ の-qの

電 荷 を も った電 子 の 回

転 を電 流 で表 現 す る と，-q・ω/2πであ る．電 子 軌 道 を 円 と し，そ の 半 径Rで 表 す と,こ の電 流 に よ る磁 気 モ ー メ ン トは,

(14･198) で あ る.一 方,電 子 質 量 をmと

す る と,そ の 角 運 動 量Lcは,式(11・68)の

よ う に,

(14・199)

 υ は 電 子 の 速 度 を 表 して お り,lはLcを 主 量 子 数 で あ る.式(14・199)を

量 子 化 し た と き の 方 位 量 子 数,nは

式(14・198)に

入 れ る と,

(14･200) が で る.μBをBohr磁   さ て,原

子 と い う.

子 内 の 電 子 軌 道 の 状 態 は,次

  主 量 子 数n:1,2,3,…

… ，n

の3個

の 量 子 数 で 表 さ れ る.

  方 位 量 子 数  l：0,1,2,…

… ，n−1

  磁 気 量 子 数   ml：l,l−1,…

…0,−1,−2,…

 nは

主 エ ネ ル ギ ー 準 位 を き め,lは

… ， −l

軌 道 角 運 動 量 の 大 き さ,mlは

外 部 磁 界 に 対 す る 方 向 成 分 を き め る量 子 数 で あ る.水 l =0,ml=0で,こ

素 は 基 底 状 態 でn=1,

の 電 子 は 角 運 動 量 を も た ず ,軌

道 磁 気 モ ー メ ン トも な い.

図14・47 

の 場 合 は,l=1に

対 し て,角

す る こ と が で き,そ

の3個

で あ る.こ

運 動 量 の 方 向 成 分 がh,0,−hの3つ

の3個

道 磁 気 モ ー メ ン トが 存 在 す る の は,mlの 素 の 核 外 電 子 配 置 表 を み る と,最

道 の 価 電 子 を 除 い た 内 殻 で,mlが

欠 け た 状 態 に あ る の は,ま

か ら は じ ま る 鉄 グ ル ー プ で あ る.n=3,l=2の3d軌 0,+1,+2の5個

の 角 運 動 量 成 分 が あ っ て,10個 で は6個,ニ

の 不 足 が あ る.し

あ っ て,固

ッ ケ ル で は8個

か し,こ

とん ど 零 で あ る.こ

に配 向

の 状 態 が す べ て 電 子 で 満 た さ れ て い る 状 態 で は,合

の 一 部 が 欠 け て い る場 合 の み に な る.元

は1個,鉄

磁気量子数

こ で の 軌 道 磁 気 モ ー メ ン トの 成 分 は,

磁 気 モ ー メ ン トは 零 に な る.軌

のs,p軌

角運動量 の

成

状態 外殻 ずSc

道 に はml=−2,−1, の 電 子 が 入 れ る が,Scで

の 電 子 しか な く,そ

れ ぞ れ9,4,2個

れ ら の 元 素 で 軌 道 磁 気 モ ー メ ン トを 測 定 す る と,ほ

の 原 因 は,3d軌

体 結 晶 と な っ た と き に,隣

道 が 価 電 子 軌 道(4s,4p)の

す ぐ内 側 に

接 原 子 と の 相 互 作 用 を 受 け や す く,磁

モ ー メ ン トが 外 部 磁 場 方 向 に 配 向 し難 い か らで あ る.こ

気

れ は誘 電 体 に お け る 永

久 電 気 双 極 子 が 固 体 で は 凍 結 さ れ て し ま う性 質 に 似 て い る.Ce58∼Tm69で

の

4f軌

道(n=4,l=3)で

て い る の で,軌

の 電 子 不 足 は 価 電 子 軌 道6ｓ よ り大 分 内 側 に 位 置 し

道 磁 気 モ ー メ ン トが 観 測 さ れ る.

  (b)  電 子 の ス ピ ン 磁 気 モ ー メ ン ト(spin

magnetic

で 核 を 中 心 と して 回 転 して い る と と も に,電 ス ピ ン 角 運 動 量 を も っ て い る.こ

moment)電

子 は原 子 内

子 自身 の 回 転 が あ り,こ

れ による

の ス ピ ン角 運 動 量 は 量 子 論 か ら,

または

 ス ピ ン量 子 数

 (14・201)

で 表 さ れ る.Zeeman効

果 か ら ス ピ ン磁 気 モ ー メ ン トを 計 算 す る と,

また は と な り,こ

の μｓは 式(14・200)の2倍

図14・48 

の 形 に な っ て い る が,外

子 の 数 は2の

例 え ば,Na原

あ る .こ

倍 数 で あ る た め,合

子 は1個

部 磁 場 の方 向

ス ピ ン磁 気 モ ー メ ン ト

の 磁 気 モ ー メ ン トの 成 分 は-μBか+μBで は,電

 (14･202)

の場 合 も閉 じ ら れ た 殻 で

成 ス ピ ン磁 気 モ ー メ ン トは 零 に な る.

の 価 電 子 に よ る ス ピ ン 磁 気 モ ー メ ン ト を も つ が,Na+

イ オ ンで は 合 成 ス ピ ン磁 気 モ ー メ ン トは 零 で あ る.鉄 れ て い な い3d殻(n=3,l=2)の

グ ル ー プ は完 全 に 満 た さ

電 子 ス ピ ン配 置 に よ り,合

成磁 気 モー メ

ン トを も つ こ と に な る.   し か し,こ 用 で き な い.鉄

れ らの 元 素 が 固 相 の 金 属 結 晶 状 態 に な っ た 場 合 は,表14・1は で は1原

と は 違 っ て い る.こ

子 当 た りのBohr磁

子 の 平 均 値 は2.2μBで,表

の 原 因 は 結 晶 構 造 に あ り,遷

適 の4μB

移 金 属 の 帯 構 造 か ら説 明 さ れ

表14・1 

鉄 グル ー プの3d状 (Ca,Cuは

態 と合 成 ス ピ ン

比 較 の た め)

る。   磁 場 中 で の 角 運 動 量 ベ ク トル の 回 転 を 考 え よ う.図14・49で

(a)

(b)

図14・49 

磁 場Bに

よ っ て 角 運 動 量Lに

直 で あ る.こ

の た あLは

紙 面 に垂直 な

角 運 動 量 ベ ク トル の 回 転

働 く トル ク は μ ×Bで,こ

回 転 し,そ

れ は,磁

の 角 速 度 を ω と す る と,t秒

場 とLに

垂

間 で の角運 動

量変化 は

(14･203)   電 子 の 軌 道 運 動 の 場 合 に は,μ 入 す る と,

→ μc,L→Lcで

式(14・200)の

関 係 を代

(14・204)

  電 子 の ス ピ ン角 運 動 量 の 場 合 で は,μ → μs,L→Lsで,式(14・201),(14・ 202)の

関 係 を 代 入 す る と,

(14・205)

が で る.ωc,ωsは

それ ぞれ 軌道 角運 動 量,ス

ピ ン角運 動 量 の 回 転 の 固 有 角 周

波 数 で あ る と考 え られ,外 部 か ら加 え られ た電 磁波 に対 して,こ の角 周 波 数 で 共 鳴吸 収 が 起 き る． そ の共 鳴角周 波 数がqB/2mの1倍

で あ るか2倍

で あ るか に

よ って,磁 気 モ ー メ ン トの原 因 が軌 道 角 運 動 量 に よ る もの か， また は ス ピ ン角 運 動 量 に よ る もの か が 判 別 で き る こ とに な る．  ス ピ ン量 子 数 をs=±1/2で

表 す と， 式(14・200)と

式(14・202)は，

(14・206)

の よ う に な る.gをGyro磁 (g-factor)と

気 係 数(Gyro

い う.Ni,Co,パ

magnetic

ー マ ロ イ 等 はgの

ratio),ま

た はg因

値 が2∼2.2で,強

子

磁性 の

原 因 が ス ピ ン磁 気 モ ー メ ン トで あ る こ とが わ か る.   (c) 陽 子,中

性 子 の 磁 気 モ ー メ ン ト  陽 子,中

倍 程 度 で あ る.Bohr磁 大 き さ はBohr磁

子 と 同 じ よ う に,こ

子 の10-3以

下 に な っ て,磁

性 子 の 質 量 は 電 子 質 量 の1840

れ ら の 核 磁 子 を 計 算 す る と,そ

の

性 に 入 って く る要 因 と して は あ

ま り に 小 さ い.   (d)  自 由 電 子 に よ る 磁 性   金 属,半 殻 で は 永 久 磁 気 モ ー メ ン トは な い が,自 磁 性 は,次

導 体 等 で 価 電 子(自

由 電 子)を

由 電 子 あ る い は 伝 導 電 子(正

除 い た閉 孔)で

の

の よ う に 考 え られ る.

  ①  個 々 の 自 由 電 子 が ス ピ ン磁 気 モ ー メ ン トを も ち,そ で 配 向 す る こ と に よ って で き る ス ピ ン常 磁 性(Pauliの

れ らが外 部 磁 場 の下 常 磁 性)

  ②  自 由電 子 が軌 道 運 動 をす る こ とに よ って で きる反 磁 性(Landau反

磁性)

  ③  さ らに,閉 殻 中で 核 の まわ りの軌 道 運 動 の変 動 が 起 こる こと に よ る反 磁 性(Larmorの が あ る.③

反 磁 性)

は軌 道 角 運 動 量 ベ ク トル の歳 差 運 動 に よ る もので,こ れ か ら計 算 し

た 反 磁 性 の 磁 化 率 は10-5程 度 とな り,実 測 値 と ほぼ一 致 す る.例 え ば,Cuの χmは-0.9×10-5で

あ る.物 質 の 電 子 構 造 が 温 度 に よ って 変 わ らな い とす れ

ば,こ のχmも 温 度 依 存 性 が な い.χm=μｒ-1で μr≒1と

あ るか ら,反 磁 性 物 質 で は

して 差 支 え な い.

  以 上 述 べ た原 子 磁 気 モ ー メ ン トの理 論 か ら磁 性体 の分 類 を して み よ う.原 子 が 永 久 磁 気 モ ー メ ン トを も って い な い と きに は 反 磁 性 体 に な る(Pauliの

常磁

性 か らの寄 与 は僅 か に あ る)． 永 久磁 気 モ ー メ ン トを もって い る物 質 で は,原 子 ど う しの相 互 作 用 が な い場 合 は常 磁 性 と な るが,相 互 作 用 が強 く働 いて モ ー

図14・50 

各 種 磁 性 の 磁 気 モ ー メ ン トの配 向

メ ン トの向 きが 揃 い,磁 区 を 形 成 す る場 合 は強 磁 性 に な る と考 え られ る.強 磁 性 の 場 合 に は大 き な残 留 磁 化 が 生 じる.磁 性 体 に は ま た,反 romagnetism),あ

る い は フ ェ リ磁性(ferrimagnetism)と

強 磁 性(antifer‐

呼 ばれ る ものが あ る.

反 強 磁性 体 で は隣 接 す る永 久磁 気 モ ー メ ン トが 相 互 作 用 に よ り互 に反 平 行 に整 列 した場 合 で,フ

ェ リ磁性 で は この反 強 磁性 の2つ の 副 格 子 の 大 き さが 違 って

い る.フ

ェ リ磁 性 で は そ の た め か な り の 大 き さ の 磁 化 が 生 じ る こ と に な る.

14・12 

磁 性 体Ⅲ

：Langevinの

常 磁 性,Weissの

強 磁 性 理 論

  ス ピ ン磁 気 モ ー メ ン ト μBを もつ 原 子 の 集 合 体 を 考 え る.原 /m3〕

と す る.外

部 磁 場 が か か ら な い と き に は,磁

場 の 向 きに ス ピ ンを もっ 原

子 と 磁 場 と逆 向 き に ス ピ ンを も つ 原 子 の 数 は 等 し く,磁 束 密 度Bの

磁 場 が あ る と き の 磁 化 をMで

を もつ 原 子 数 をNp〔1/m3〕,反

表 す.こ

子 密 度 をN〔1

化 は な い.温

度Tで

磁

の と き磁 場 と 平 行 な ス ピ ン

平 行 な ス ピ ン を も つ 原 子 数 をNa〔1/m3〕

とす

る と, (14・207)

 外 部 磁 場 に平 行,反 平 行 の ス ピ ン磁 気 モ ー メ ン トの エ ネ ル ギ ー を そ れ ぞ れ

図14・51 

Wp,Waと

ス ピ ン磁 気 モ ー メ ン トの配 向 に よ る エ ネ ル ギ ー状 態

す る と,Wa＞Wpで

そ の 差 は, (14・208)

 した が っ て,こ

の 原 子 の 集 合 がBoltzmann統

計 に 従 う と す る と,

(14・209)

  式(14・209)の 207)に

関 係 とNa+NP=Nの

関 係 か らNa,Npを

出 し て,式(14・

代 入 す る と,

(14・210)

が 得 ら れ る.こ

の 式 は,ス

ピ ン磁 気 モ ー メ ン トの み が 磁 化 に 寄 与 す る と し た と

図14・52 

き のLangevinの

常 磁 性 を 表 す.低

Langevin関

温,強

数

磁 場 で はtanh( 

)→1で,す

の 磁 気 モ ー メ ン トが 磁 場 に 平 行 に 整 列 す る こ と に な る.磁 tanh( 

)≒( 

べて

場 が 弱 い と き に は,

)で

(14・211)

と な る.実

際 の 常 磁 性 体 で は,こ

き μBB∼10-23〔J〕

で,一

ら,μBB/kTは10-2の

方,室

の 式(14・211)が

適 用 で き る.Bが1Tの

温(300K)でkT∼4×10-21〔J〕

と であ るか

桁 に な っ て い る.

  磁 化 率χmは

(14・212)

と 表 せ る.こ

の 式 は,常

る.N∼5×1028〔1/m3〕

磁 性 体 のCurieの

法 則,CはCurie定

に と っ てχmを

計 算 す る と,室

数 といわれ て い 温 で10-3と

な り,通

常 の 常 磁 性 体 で の 測 定 値 と一 致 す る(反 磁 性 のχm∼10-5も

含 ま れ る が,).こ

こ で も,比

磁 性体 は断熱 消磁

に よ っ て,極   Langevinの

透 磁 率 は 近 似 的 に μr∼1と 低 温(＜1K)を

得 る の に 用 い ら れ る.

常 磁 性 で の 理 論 で は,各

が な い と し た.強

し て 差 支 え な い.常

原 子 の 磁 気 モ ー メ ン トは 全 く相 互 作 用

磁 性 体 で 飽 和 磁 化 が106A/m程

度 にな るパ ー マ ロ イで の 磁

束 密度 を 常温 で 計 算 して み る と,

と い う大 きな 値 に な って しま う．実 際 に は,こ の10-6程

度 の 磁 場 で十 分 で あ

る.強 磁 性 体 が 容 易 に磁 化 す る の は磁 区 が 向 きを 揃 え るか らで あ り,こ れが 自 発 磁 化 で あ る.Weissは,こ

の 自発 磁 化 の原 因 を 各 原 子 の 磁 気 モ ー メ ン トの 相

互 作 用 で あ る と考 え,任 意 の原 子 に働 く内 部 磁 場 は外 部磁 場 に加 え て,そ の原 子 の磁 気 モ ー メ ン トを 平 行 に しよ うとす る隣 接 原 子 の 磁 気 モ ー メ ン トか らの寄 与 が あ る と した. (14・213)

  γを 内 部 磁 場 定 数 あ る い はWeiss定 子 で あ る.こ

の 式 を 式(14・210)に

数 と い い,相

互 作 用 の 強 さ を き め る因

代 入 す る と,

(14・214)

と な る.高

温 領 域 で はtanh{}≒{}と

な り, Mに

つ い て 解 く と,

(14・215)

と な り,磁

化 率χmはM/Hで

あ る か ら,

(14・216)

と な る.こ

の 式 をCurie-Weissの

と い う.θ(実

式 と い い,θ

は 強 磁 性 体 に お け るCurie温

際 に は こ れ よ り若 干 小 さ い 温 度)以

上 で,強

磁性 体 は常 磁 性 体 に

転 位 す る． 上 の 式 を 常 温 で の 強 磁 性 体 に 適 用 す る と,γ の 値 は103以 強 磁 性 体 内 の 相 互 作 用 は 極 め て 大 き い こ と が わ か る.強 tz空 洞 電 場 で は γ は1/3に 論 で は 到 底 説 明 で き な い.強

す ぎ な か っ た.こ

度

上 に な り,

誘 電 体 に お け るLoren-

の 強 い相 互 作 用 の 原 因 は 古 典 理

磁 性 体 内 部 に 生 じ る こ の 強 いWeiss磁

力 学 的 に は 隣 接 し た 電 子 ス ピ ン 間 の 交 換 相 互 作 用(exchange

場 は,量

interaction)と

子 し

て 説 明 さ れ た.ス

ピ ンSiを

もつ 原 子 と ス ピ ンSjを

もつ 原 子 と の 間 の ポ テ ン シ ャ

ル ・エ ネ ル ギ ー は, (14・217)

の 形 で 表 現 さ れ,   Jが

＋ の 場 合,Si〃Sjで,Wijは

  Jが−

場 合,SiとSjは

と す る.Jは

極 小 に な り,安

反 平 行 で,Wijは

交 換 積 分(exchange

integral)と

定

極 小 に な り,安

電 的 な 相 互 作 用 に 基 い て 生 じ る エ ネ ル ギ ー で あ る.Pauliの 異 種 ス ピ ン ど う し は 近 づ け る が,同 力 的 に い え ば,ス あ り,ス

ピ ンを 平 行,あ

は,J＞0で,そ

る い は 反 平 行 に した 形 で,こ

の 交 換 力 ポ テ ン シ ャル を

か し,量 子 論 的 にJの

符 号 お よ び大 き さを 任 意 素 で はJ＜0で

あ り,Fe

の 値 は 大 き い．

自由 電 子 模 型 に よ る分 子 の 吸収 波 長 の計 算

  エ チ レ ン(H2C=CH2)の れ ぞ れ の 炭 素 原 子 に1つ 素 原 子 に2つ

禁 制 率 に よ れ ば,

種 ス ピ ン ど う し は 近 づ け な い．Coulomb

の 物 質 で 計 算 し得 る と い う ま で に は 至 っ て い な い.水

14・13 

子 間 の静

ピ ン 間 に 働 く力 は 同 種 ス ピ ン間 と 異 種 ス ピ ン間 で 異 な る の で

極 小 に して い る わ け で あ る.し

やNiで

定

呼 ば れ る 積 分 量 で,電

共 鳴 構 造 式(14・218)に

よ れ ば,π

電子 が そ

ず つ 属 し て い る よ う な 構 造 式 も 書 け る が,片

と も属 す る よ う な 構 造 式 も ま た 可 能 で あ る.こ

ン の 原 子 軌 道 模 型 に お い て,重

な り を も つ ２ つ の2pz軌

電 子 を 配 置 で き る こ と か ら も 明 ら か で あ る.

図14・53 

エ チ レンの 原 子 軌 道 模 型

方 の炭

の こ と は,エ

道 の1つ

に2個

チ レ の π

(14・218)

  一 般 に,図14・54の

よ う な 鎖 状 共 役 ポ リエ ン系 で は,π 電 子 が2N個

の2pz

軌 道 の 重 な り の 間 を 自 由 に 行 き 来 し て い る モ デ ル を 考 え る こ と が で き る.こ よ う な 自 由 電 子 模 型 に つ い て,こ

れ を 数 学 的 に 取 り扱 う際 に,次

の3つ

の

の

を お く．

図14・54 

鎖 状 共 役 ポ リエ ン系 の構 造 式

  ①  σ電 子 と π電 子 は 相 互 作 用 し な い．   ②  共 役 ポ リエ ン系 の π電 子 は 完 全 に 自 由 で は な く,鎖

をつ くって い る炭 素

原 子 の 引 力 に 基 づ く ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー 場 の 中 を 運 動 し て い る が, こ れ を 箱 型 の 一 定 ポ テ ン シ ャ ル で 近 似 す る.   ③  と り あ え ず π 電 子 が1つ を 計 算 す る． す る と,水 ま る か ら,複

しか な い と仮 定 し て,い 素 原 子 の 場 合 の よ う に,い

数 個 の 電 子 は,Pauliの

わ ゆ る1電

子波動関数

くつ か の 波 動 関 数 が 求

原 理 に 従 って,こ

れ ら の 軌 道 に順 次

配 置 で き る も の と す る.   以 上 の 仮 定 の も と に,こ

の モ デ ル で は 分 子 の 炭 素 鎖 に そ っ た 一 次 元 のSchro-dinger

方 程 式 を 解 け ば よ い.ま

た,求

め た い の は エ ネ ル ギ ー 差 で あ る か ら,

② の 仮 定 か ら ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー は 零 と 考 え て よ い.し

た が っ て,Schr-odinger

方 程 式 は,

(14・219)

と な る． 境 界 条 件 と して,実 解 は,

効 炭 素 鎖 の 長 さ をLと

お け ば,式(14・219)の

(14・220)

と な る.   こ の よ う に し て 得 られ た エ ネ ル ギ ー 準 位 に2pz道 エ ネ ル ギ ー の 低 い ほ うか らPauliの

の 数 に 相 当 す る 電 子 を,

原 理 に 従 っ て,1つ

の 原 子 軌 道 に2個

ず つ

入 れ て 行 く.   π電 子 数 が2N個(n=2N)の ブ タ ジ エ ン で はN=2で

場 合 の 軌 道 エ ネ ル ギ ー を 図14・55に あ る か ら,こ

の 分 子 の 基 底 状 態 は,図(a）

示 す.

に 相 当 す る.

電 子 の 入 って い る軌 道 の な か で最 もエ ネ ル ギ ー の 高 い もの を 最 高 被 占 軌 道 (HOMO:highest

occupied

図14・55 

molecular

orbital）， 電 子 が 入 っ て い な い 軌 道 の

分 子 軌 道(ψ1∼ψn)へ

の2N個

の電 子 配 置

な か で 最 も エ ネ ル ギ ー の 低 い も の を 最 低 空 軌 道(LUMO:lowest molecular

orbita1)と

道 に あ る電 子 の1つ

呼 ぶ.共 がψN+1以

役 ポ リ エ ンが 光 を 吸 収 す る と,ψ1∼φNの 上 の い ず れ か の 軌 道 に 遷 移 す る.こ

最 も エ ネ ル ギ ー 差 の 小 さ な も の は,HOMOか の と き の エ ネ ル ギ ー 差 をΔEと

unoccupied

らLUMOへ

す れ ば,式(14・220)よ

の な か で,

の 遷 移 で あ る.こ り,

軌

(14・221)

  Eと

λ と の 間 に〓の

関 係 が あ る か ら,

(14・222)

  h,cお

よ びmに

既 知 の 値 を 代 入 して,

(14・223)

と な る.   以 上 の こ とか ら,吸

収 極 大 波 長 λmaxを 計 算 す る に は,実

か れ ば よ い.通

常Lは,図14・56の

部 分 の 長 さpに

分 け て 考 え る.共

0.14nmで

あ る.r=0.14cos30°

図14・56 

よ う に,共

効 共 役 鎖 長Lが

役 鎖 の 平 均 長rと,分

子 末端

役 ポ リ エ ンの 炭 素 −炭 素 結 合 の 長 さ は,平 と し,pはrに

ブ タ ジ エ ンに お け るLの

わ

等 しい と仮 定 す る と,ブ

均 タジ

長 さ,N=2

エ ン のLは, (14・224)

と な る.こ 値 は207nmで

れ を 式(14・223)に あ る.

代 入 す れ ば,λmax=242〔nm〕

と な る． 実 測

  こ の 方 法 で は,Lの

大 き さ を 変 え れ ば λ も変 わ る.共

共 役 系 の 一 端 か ら他 端 ま で 動 き ま わ る こ と が で き る.し 属 中 の 電 子 の よ う に 自 由 で は な い.ブ の 炭 素 間 の 結 合(r1)と,2番 ほ う がr2よ

alternation)と

呼 ぶ.つ

合r1に

電 子 を 見 出 す 確 率 よ り も大 き い.こ 自 由 に 動 き う る と い う仮 定 は,共

の 動 き は,金

目 の 炭 素 と2番

目 の 炭 素 間 の 結 合(r2)は

り も二 重 結 合 性 が 大 き い.こ

ま り,結

か し,こ

タ ジ エ ン の 場 合,1番

目 の 炭 素 と3番

で は な く,r1の

役 ポ リ エ ンの π電 子 は,

れ を 結 合 交 替(bond

π電 子 を 見 出 す 確 率 は,結

の こ と よ り,電

目

同等

子 がLの

合r2に

π

長 さ にわ た って

役 ポ リエ ン系 で は 極 端 す ぎ る 仮 定 で あ る こ と

が わ か る.   1,3-ペ

ン タ ジ エ ン の メ チ ル 基 か らH-1を

除 去 し た 構 造 を 考 え て み る.ブ

タ ジ エ ン と類 似 の 共 鳴 構 造 式 が 書 け る が,こ

ん ど の場 合 は両 者 と もエ ネ ル ギ ー

的 に 等 価 で あ る か ら,r1,r2,r3,r4は,い

ず れ も単 結 合 と 二 重 結 合 の 中 間

の 性 質 を 示 す と予 想 さ れ る.し

の よ う な 構 造 の 分 子 で は,結

た が っ て,こ

替 は ほ と ん ど な い と 考 え て よ い か ら,ブ

合交

タ ジ エ ン と比 べ る と,π

電 子 がず っ と

  こ の よ う な性 質 を も っ 一 連 の ポ リ エ ニ ル カ チ オ ン(図14・57)の

吸 収 スペ

自 由 に 動 き ま わ れ る 系 で あ る.

ク トル の 実 測 値 か ら 最 小 二 乗 法 に よ っ て,r,pを

求 め る と,こ

の 系 列 に対 し

て 最 も適 当 な値 を 定 め る こ と が で き る.   計 算 で 求 め た 値 は,r=0.113〔nm〕,p=0.158〔nm〕 妥 当 な 値 で あ る.こ 表14・2に

示 す.mの

の よ う に,結 る.

の 値 を 式(14・224)に

と な り,物

理的 に も

代 入 して 求 め た 計 算 値 と実 測 値 を

広 い 範 囲 に わ た っ て 実 測 値 と か な り良 い 一 致 を 示 す.こ

合 交 替 の 少 な い 系 で は,自

由 電 子 模 型 に よ る 取 り扱 い が 可 能 で あ

図14・57 

表14・2 

ポ リエ ニ ル カ チ オ ンの 構 造 式

ポ リ エ ニ ル カ チ オ ン(図14・52)の (T.S.Sorensenに

よ る)と

吸 収 ス ペ ク トル の 実 測 値

計 算 値

練 習 問 題

 1.  空 洞 放 射 に 関 す るPlanckの

式,ま

たDebyeの

〔14〕

比熱 の 式 に 現 れ る

を 自分 で や って み よ.

 2. 長 さaの 一 次元 金 属 中 の電 子 に,時 間 に 依 存 し な いSchrddingerの 用 して,定 常 解 を得 ると き,内 部 で の ポ テ ンシ ャル を0と

方 程式 を適

し,波 動 関数 に ψ(0)=

ψ(a)の 周 期 的境 界 を適 用 す る と,ど の よ うな解 が得 られ る か.

  3. 半 導 体 で の電 子 濃度 は,

 とな るが,こ の 積 分 を 自分 で や って み よ.

 4. 誘 電 体 の内 部 電 場 と して,Lorentzの

空 洞 電 場 の計 算 が あ る.

 で あ る． この計 算 方 法 を調 べ よ.

 5.  誘 電 体 に お け るClausius-Mosottiの

式

 を 導 け.

  6.  Langevin関

 を,縦

係

軸 にL(a),横

軸 にaを

勾 配[L(a)/a]a=0は1/3に

と っ て グ ラ フ に 描 け.こ な っ ているこ

の グ ラ フ で,原

点 にお け る

とを確 か め よ．

  7.  強誘 電 性 を示 す物 質 を調 べ,そ れ らの物 質 で の 強 誘電 性 が,ど の よ う な結 晶 構 造 か ら生 じて い るか を考 え よ.

  8.  Larmorの て み よ.

軌 道電 子 運動 の 歳 差 運 動 に よ る反 磁 性 理 論 を調べ,そ の大 きさ を見 積 っ

練習問題 の解答

第1章  気体の分子運動論

1. 

(1)  pV=νRTで,p=10-2〔Pa〕,V=1〔m3〕,R=8.3144〔J/mol・K〕,

T=300〔K〕

で,1molの

分 子 数 は6.023×10231/molで

あ る か

ら,

〔個 〕

 (2)  一 次 元 で は,

で あ る が,N2分

子 の 質 量mは,モ

  T=300〔K〕

で は,

 ゆ え に,

(3)

ル 分 子 量28×10-3kgか

ら,

 (4) 速 さ がυ とυ+dυ

の 間 に い る分 子 数 の割 合 は,

で あ る か ら,

  (5)

で あ る か ら,

2.

の積 分 は

(n=2rの

と き)

(n=2r+1の

3.  断 熱 自 由 膨 張 で は,内 等 温 の ま ま 体 積 がVか

部 エ ネ ル ギ ー の 変 化 は な く,等 ら2Vに

変 わ っ た の で,1molの

と き)

温 と 考 え る こ と が で き る. エ ン ト ロ ピ ー 変 化ΔSは,

第2章  特殊相対性理論 1.  Lorentz短

縮 の 式〓

を 使 う.

解 図1

(1)

(2)

2. 

K(x,y,t),K'(x',y',t)で

のLorentz変

  で あ る か ら,   (1) u(ux,uy),u’(ux',uy')と

の 変 換 は,

換 は,

  (2)  式(2・74)か

ら,p(px,py),p'(px’,py')で,

で あ る.

 こ こ で,〓   (3)  式(2・75)か

ら,

  (4)  式(2・76)か

ら,

  (5) 式(2・77)か

ら,

第4章   量 子 効 果 の現 れ る実 験 例

1. 

1239.81(nm)

2. h=6.4×10-34〔J･s〕,hν0=W=1.9〔eV〕

3.  1.24×10-11(m),tanθ=0.806

第8章   物 理 量 を求 め る方 法

1.

 にSchrodinger方

程式

を 適 用 して 計算 す る と,

を 得 る.ゆ

え に,

2.

第9章 

1.  箱 の 幅 をaと

Schrodinger方

す る と,式(9・43)よ

程 式 の簡 単 な モ デ ルへ の応 用

り,

2. た だ し,〓

x=aで,ψ

お よび

〓が 連 続 で あ るか ら,

た だ し,〓

ゆ え に,  kcotha=−K

第11章  水 素 原 子

1.  基底 状 態 の 波動 関数

核 か らの距 離 がrとr+drと

〓よ りcを

2.  省 略 3.  省 略

の 間 に 見 出 され る確 率 は,

き め て,

第12章  原 子 の電 子 配 置 と元 素 の周 期 律

1. 

(ⅰ) 

(1s)2(2s)2(2p)6 

(ⅱ) 

(1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)6

  (ⅲ) 

2.  (ⅰ)    (ⅱ) 

(1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)6(3d)10(4s)2(4p)6

(1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)6(3d)5 (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)6(3d)10

第13章  原 子 や 電 子 集 団 の取 扱 い

1. 〓

はE=μ

G(E)=∫EZ(E)dEでG(E)を

で 鋭 い ピ ー ク を も ち,両

側 で は 急 速 に0と

定 義 す る ．G(0)=0と

な る.

す る．

(1)

(2)  ま た,

(3)

(4) (5)

た だ し,式(4)の

ζ(2n)は

リー マ ンの ζ関数

(6)

2. (1)

た だ し,〓

0〔K〕 の 場 合 (2)

(3) 前 問 を用 い て,

(4)

を代 入 して,第2近

 式(4)に，〓

似 まで 求 め る と,

(5)

 内 部 エ ネ ル ギ ーEに

つ い て は,

(6)

 式(6)に

式(5)を

代 入 して,

第14章   量 子 論 の 応 用例

1.

2. 〓

  一 般 解 の形 を〓

の周 期 的 境 界 条 件 か ら解 く. とす る.

ゆ え に,〓で〓 ゆ え に,

と な る.

係 数Cは,〓から，

3.

で,〓

積 分 範囲 は 同 じで,

4.  解 図2に 示 す空 洞 で,dS上

  dSを2πr2sinθdBに

に あ る電 荷 は,

す る と,

  こ のdσ に よ って 生 じる θ方 向 の電 場 は,こ の 表 面 電 荷 が 中 心 に お い た単 位 電 荷 に及 ぼ す 力 で,

解図2

 この電 場 の外 部 電 場 方 向 の成 分 は,こ のcosθ 倍 で,球 面 全 体 で 積 分 す る と,

5.

で,p=ε0(εr-1)Eで

あ る か ら,

6.

cosh〓sinh〓で，aが小さ

の で,

い

 こ れ ら の 第2項

 ゆ え に，aが

7.  Rochelle塩

8.  磁 場Hが

ま で と る と,

小 さい

ろ で は,〓

と な り ，〓

グ ル ー プ,KDP(KH2PO4)グ

と な る．

ル ー プ な ど が あ る.

変 動 して,電 子 の軌 道 面 を横 ぎ る磁 束 が 変 わ る と,軌 道 電 子 はLenzの

法 則 に よ り,自 己 の磁 界 が外 部 磁 界 変 化 を 打 ち消 す よ う に変 化 す る.こ の た め 運 動 が 変 わ る.解 図3で,ト

ルク

解図3 は,角 運 動 量 ベ ク トルpの 先 端 を磁 界Hの

解図4

方 向 を 中心 軸 と して 回転 させ る.こ れ が

Larmorの

歳 差 運 動 で,

 軌 道 運 動 で は,〓

で,

 こ の ωL乙に よ る 磁 気 モ ー メ ン トは,電

 磁 化 は,原 子 濃 度 をn,Zを1原

 

M=χH=μ0χHで

流 を〓

と す る と,

子 当 た りの 電 子 数 とす る と,

あ る か ら,

 反 磁 性 体 の 比 磁 化 率 は,い

ず れ も こ の 程 度 で あ る.物

グ ラ フ ァ イ ト,Cu,Au,Ge,Si,Se,A1203等

質 と し て は ダ イ ヤ モ ン ド,

が あ る.

付

録

■ 付 録1  元 素 の 記 号 と原 子 量

z  元

素 

英

語 

記 号  原 子 量 H  1.00794

z 元

素 

英

語 

38  ス ト ロ ン チ ウ ム Strontium 

記 号 原 子 量

1  水 素 

Hydrogen 

2  ヘ リ ウ ム 

Helium 

He  4.00260

39  イ ッ ト リ ウ ム

  Yttrium 

Sr  87.62 Y  88.9059

3  リ チ ウ ム 

Lithium 

Li  6.941

40  ジ ル コ ニ ウ ム

 Zirconium 

Zr  91.224

4  ベ リ リ ウ ム 

Beryllium 

Be  9.01218

41  ニ オ ブ 

Niobium 

Nb  92.9064

5  ホ ウ 素 

Boron 

B  10.811

42  モ リ ブ デ ン 

Morybdenum 

Mo  95.94

6  炭 素 

Carbon 

C  12.011

43  テ ク ネ チ ウ ム 

Technetium 

Tc  (98)

7  窒 素 

Nitrogen 

N  14.007

44  ル テ ニ ウ ム 

Ruthenium 

Ru 

101.07

8  酸 素 

Oxygen 

O  15.9994

45  ロ ジ ウ ム 

Rodium 

Rh 

102.906

9  フ ッ素 

F1uorine 

F  18.9984

46  パ ラ ジ ウ ム 

Palladium 

Pd  106.42

10  ネ オ ン 

Neon 

Ne  20.179

47  銀 

Silver 

Ag 

107.868

11  ナ ト リ ウ ム 

Sodium 

Na  22.9898

48  カ ド ミ ウ ム 

Cadmium 

Cd 

112.411

12  マ グ ネ シ ウ ム  

Magnesium 

49  イ ン ジ ウ ム 

Indium 

In  114.82

  Mg 

24.3050

13  ア ル ミ ニ ウ ム 

Aluminium 

AI26.9815

50  ス ズ 

Tin 

Sn  118.710

14  ケ イ 素 

Silicon 

Si  28.0855

51  ア ン チ モ ン 

Antimony 

Sb  121.75

15  リ ン 

Phosphorus 

P  30.9737

52  テ ル ル 

Tellurium 

Te  127.60

16 硫 黄 

Sulfur 

S  32.066

53  ヨ ウ 素 

Iodine I 

17  塩 素 

Chlorine 

CI  35.4527

54  キ セ ノ ン 

Xenon 

Xe  131.29

18  ア ル ゴ ン 

Argon 

Ar  39.948

55  セ シ ウ ム 

Cesium 

Cs  132.905

19  カ リ ウ ム 

Potassium 

56  バ リ ウ ム 

Barium 

Ba  137.327

20  カ ル シ ウ ム 

Calcium 

Ca  40.078

57  ラ ン タ ン 

Lanthanum 

La  138.906

21  ス カ ン ジ ウ ム 

Scandium 

Sc  44.9559

58  セ リ ウ ム 

Cerium 

Ce  140.115

22  チ タ ン 

Titanium 

Ti  47.88

59  プ ラ セ オ ジ ム  

Praseodymium 

Pr  140.908

23  バ ナ ジ ウ ム 

Vanadium 

V 

60  ネ オ ジ ム 

Neodymium 

Nd 

144.24

24  ク ロ ム 

Chromium 

Cr  51.9961

61  プ ロ メ チ ウ ム  

Promethium 

Pm 

(145)

25  マ ン ガ ン 

Manganese 

Mn  54.9381

62  サ マ リ ウ ム 

Samarium 

Sm 

150.36

26  鉄 

Iron 

Fe  55.847

63  ユ ウ ロ ピ ウ ム 

Europium 

Eu  151.965

27  コバル

ト 

K  39.0983

50.9415

126.904

Cobalt 

Co  589332

64  ガ ド リ ニ ウ ム   Gadolinium 

Gd 

157.25

28  ニ ッ ケ ル 

Nickel 

Ni  58.69

65  テ ル ビ ウ ム 

Tb 

158.925

29  銅 

CoPPer 

Cu  63.546

66  ジ ス プ ロ シ ウ ム  Dysprosium 

Dy 

162.50

30  亜 鉛 

Zinc 

Zn  65.39

67  ホ ル ミ ウ ム 

Holmium 

Ho 

164.930

31  ガ リ ウ ム 

Gallium 

Ga  69.723

68  エ ル ビ ウ ム 

Erbium 

Er  167.26

32  ゲ ル マ ニ ウ ム  

Germanium 

Ge  72．61

69  ツ リ ウ ム 

Thu1ium 

33  ヒ 素 

Arsenic 

As  72.9216

70  イ ッ テ ル ビ ウ ム Ytterbium 

34  セ レ ン 

Selenium 

Se  78.96

71  ル テ チ ウ ム 

Lutetium 

Lu  174.967

35  臭 素 

Bromine 

Br  79.904

72  ハ フ ニ ウ ム 

Hafnium 

Hf  178.49

36  ク リ プ ト ン 

Krypton 

Kr  83．80

73  タ ン タ ル 

Tantalum 

Ta  180.948

37  ル ビ ジ ウ ム 

Rubidium 

Rb  85.4678

74  タ ン グ ス テ ン 

Tungsten 

W 

Terbium 

Tm 

168.934

Yb  173.04

183.85

z  元

素

 

英

語

  記 号  原 子 量

z  元

素 

英

語 

Rhenium 

Re  186.207

90  ト リ ウ ム 

76  オ ス ミ ウ ム 

Osmium 

Os  190.2

91  プ ロ トア クチニ ウム Protactinium 

77  イ リ ジ ウ ム 

Iridium 

Ir  192.22

92  ウ ラ ン 

Uranium 

78  白 金 

Platinum 

Pt  195.08

93  ネ プ ツ ニ ウ ム  

Neptunium 

79  金 

Gold 

Au  196.967

94  プ ル ト ニ ウ ム 

Plutonium 

Pu  (244)

80  水 銀 

Mercury 

Hg  200.59

95  ア メ リ シ ウ ム 

Americium 

Am 

(243)

81  タ リ ウ ム 

Thallium 

TI  204.383

96  キ ュ リ ウ ム 

Curium 

Cm 

(247)

82  鉛 

Lead 

Pb  207.2

97  バ ー ク リ ウ ム 

Berkelium 

Bk  (247)

83  ビ ス マ ス 

Bismuth 

Bi  208.980

98  カ リ ホ ル ニ ウ ム Californium 

Cf 

84  ポ ロ ニ ウ ム 

Polonium 

Po  (209)

99  アイ ン スタイ ニウム Einsteinium 

Es  (252)

85  ア ス タ チ ン 

Astatine 

At 

(210)

100 フ ェ ル ミ ウ ム 

Fm 

(257)

86  ラ ド ン 

Radon 

Rn 

(222)

101 メ ン デ レ ビ ウ ム Mendelevium 

Md 

(258)

87  フ ラ ン シ ウ ム 

Francium 

Fr  (223)

102 ノ ー ベ リ ウ ム  

No 

(259)

88  ラ ジ ウ ム 

Radium 

Ra 

103 ロ ー レ ン シ ウ ム Lawrencium 

Lr  (260)

89  ア ク チ ニ ウ ム 

Actinium 

Ac  (227)

104 クル チ ャ コ ビ ウ ム Kurtschakovium 

Ku 

(226)

Thorium 

記 号 原 子 量

75  レ ニ ウ ム 

Fermium 

Nobelium 

Th  232.038 Pa  231.036 U  238.029 Np  (237)

(251)

(261)

■ 付 録2 

原 子 の 核 外 電 子 配 置 表   z：元素番号[]：

希ガス構造

n:主

量 子 数,s:l=0,p:l=1,d:l=2,f:l=3

〓k

■ 付 録3  よ く使 う数 学 公式

(a)  Stirlingの

公 式

(b)  ベ ク トル 解 折

grad

, 

div

φ ：ス カ ラ ー 量

〓 V (a,b,c):ベ

ク

トル 量

div・grad〓

rot〓

 Greenの ク トル をnと

定 理 ：閉 曲 面Sで

囲 まれ た 立体 領 域 をV,Sの

す る とdS=ndSで,Vを

外 側 に 向 か う単 位 法線 ベ

含 む領 域 で定 義 さ れ た ス カ ラー量divF,

ま た φ につ い て,

  Stokesの

定 理 ：有 向 曲 面 をS,そ

nと す る とdS=ndSで,Sを

の 境界 の 閉 曲線 をC,Sの

含 む領 域 で定 義 さ れ た ベ ク トル量F,ま

いて,(dr=idx+jdy+kdz)

(c)  級 数 展 開 Taylor展

Maclaurin展

開 ：f(x)に

単 位 法 線 ベ ク トル を

対 しx=aを

開 ：Taylor展

中 心 と す る展 開

開 でx=0と

す る級 数

た∇ φ に つ

(d) 定 積 分 (n:正

の 整数)

(n:正

の整 数)

(n:正

の整 数)

(n:整

数)

 ((a-b)

(n:正

の 整 数)

：奇 数)，=0((a-b)：

(e)  Hermiteの

偶 数)

多項式

 〓のn次 式 を い う.nが

偶 数 の と き はk=n/2,nが

の多項

奇 数 の と き はk=(n-1)/2と

す る.

微分方程式

を満足 し，〓

は(-∞,∞)の

数 に対 す る完 全 正 規 直 交 系 を つ くる.フ

範 囲 で2乗

ー リエ 変 換 に 対 して 不 変 で あ り,演

〓の固有関数 に な って いる． 固 有 値 は2n+1で (f)  Legendreの   Legendre関

 を い う.sに

あ る．

多項式 数 の 一 種Pnで,nが

つ い て の 和 は,nが

ま で と る.Legendreの

  Legendreの

が 積 分 可能旨な 関

陪(同

陪微 分 方程 式 は

正 の整 数 の と き

偶 数 の と き はn/2ま 伴)多

項 式 は,こ

のPnを

で,奇

数 の と き は(n-1)/2

使 って

算子

で,m=0と

お け ばLegendreの

微 分 方 程 式 に な る.Pnm(x)は,区

間[-1,1]

で 正 規 直 交 系 を つ く る.

(g)  Laguerreの

多項式

を い う.Laguerreの

Laguerreの

陪 多 項 式 は,こ

陪 微 分 方 程 式 は,

で,m=0と

お け ばLaguerreの

[0,∞]で

れ を 使 って

微 分 方 程 式 が 得 ら れ る.e-x/2・Ln(x)は,区

間

自 乗 が 積 分 可 能 な 完 全 正 規 直 交 関 数 系 を つ く る.

(h) 球面 調 和 関 数 Laplaceの zのn次

方 程 式∇2φ(x,y,z)=0を

み た す 調和 関 数 で,直 交 座 標 系x,y,

同 次 関 数 を 体 球 関 数 と い い,角 度 部 分 をn次

の 球面 調 和 関 数 と い う.微 分

方程 式

は,す

べ て の 中 心 力 場 に 共 通.0≦

θ ≦ π,0≦

φ ≦2π

の 空 間 で,一

価 関数 と

し て の 解 は λ=l(l+1),l=0,1,2,…

の と き だ け 存 在 し,各lに

対 し

て,

で 定 義 さ れ る2l+1個 で あ る.

の 球 面 調 和 関 数 が 解 に な る.Pe￨m￨はLegerldreの

陪多 項式

索 あ行

―の 関 係 式 

外 部 光 電効 果 

121

化 学 ポ テ ン シ ャ ル 

191

拡 散 

16

208

拡 散 係 数 

17

47

拡 散 の 式 

17

Einstein ―関 数 

引

―の 吸 収 係 数 

202

拡 散 方 程 式 

17

―の 自 然 放 射 係 数 

200

確 率 振 幅 

63

29

確 率 密 度 

―の 相 対 性 理 論 

1電 子 近 似  異 常 分 散  位 相 空 間 

55

22020

活 性 化 エ ネ ル ギ ー 

17

255

価 電 子 帯 

232

換 算 質 量 

15

49

慣 性 系 

29

234

慣 性 力 

29

196,235

位 相 速 度  移 動 度 

63,91

重 ね 合 わ せ の 原 理 

間接 遷 移 形(indirect 運 動 量 空 間 

transition) 半 導 体 

12,26

緩 和 時 間  np積

一 定 の 法 則 

n形 半 導 体 

エ ネ ル ギ ー 等 配 則  エ ル ゴ ー ド性 

103,125 4,6

Curie-Weiss ―の式 

274

―の法 則 

261

Curie温 度 

177,179

エ ン ト ロ ピ ー 

24

規格 化 

液 晶 

23

気 体 分 子運 動 論 

演 算 子 

235,255

246 246

エ ネ ル ギ ー 固 有 値 

240

110,112

274 7,64,127,133 1

基 底 状 態 

150

軌 道 角 運動 量 

161

軌 道 磁 気 モ ー メ ン ト 

266

基 本 並 進 ベ ク トル 

219

か 行

Galilei変

換 

31,34

逆 格 子 空 間 

220

固 有 時 

46

吸 収 極 大 波 長 

278

固 荷 質 量 

42

球 面 調 和 関 数 

166

固 有 値 112

共 鳴 吸 収 

255

固 有 値 方 程 式 

巨視 的 状 態 

24

禁制 帯幅 

Clausius-Mosottiの 空 間 格 子 

さ行 244

式 

250 20

空 洞 196

結 合 交 替 

279

結 晶格 子 

20

限界 振 動 数 

91,112

72

最 高 被 占軌 道 

277

最 低 空軌 道 

277

残 留 磁束 密 度 

263

残 留 分極 

258

Dulong-Petit(デ

ュ ロ ンープ テ ィー) の法 則 

Schrodinger方

程 式 

87,89,91

原 子 磁 気 モ ー メ ン ト 

265

Gyro磁

減 分 極 因子 

260

g因 子 

270

σ電 子 

276

Compton

気 係 数 

22,205

270

磁化 

263

―効 果 

73

磁 化 率 

263

―波 長 

75

磁 気 異 方 性 

265

交 換 関 係 

113

磁 気 量 子 数 

162,164

交 換 子 

113

仕 事 関 数 

交 換 積 分 

275

自乗 平 均 根 速 度 

交 換 相 互 作 用 

274

自然 放 射 

200

62,73

自発 分 極 

259

光 子 

73,117 4

光 速 度 不 変 の 原 理 

35

磁 壁 

265

光 電 効 果 

72

周 期 的 境 界 条 件 

214

自由 キ ャ リア 

243

抗 電 場 

258

光 量 子 

73

黒 体  固 有 関 数 

71,195 103,112

自由 行 程 

14

自由 質 点 エ ネル ギ ー 

44

自由 電 子 

143,213

縮 退 

166,244

主 量 子 数 

150,160

断 熱 消磁 

小 正 準 集 合 

179

力 の変 換 則 

小 正 準 分 布 

179

調 和振 動 子 

状 態 の 収 縮 

69

状 態 密 度 

273

46 128

直接 遷 移 形(direct

transition) 半 導 体 

216,232

状 態 密 度 関 数 

217

真 性 半 導 体 

246

242

Debye ―温 度 

211

182

―関 数 

211

198

―振 動 数 

211

ス ピ ン 

164

定 圧 モ ル比 熱 

5

ス ピ ン磁 気 モ ー メ ン ト 

268

定 常 状 態 

ス ピ ン常 磁 性 

270

定 容 モ ル比 熱 

ス ピ ン量 子 数 

164

定 容 比 熱 

Stirlingの

公 式 

Stefan-Boltzmannの

法 則 

29 5 23

電 気 ・機 械 結 合 係 数  正 孔 

228

電 子 対 生 成 

262 75

静 止 エ ネ ル ギ ー 

44

電 子 配 置 

173

静 止 質 量 

42

電 子 分 極 率 

249

正 準 集 合 

183

電 子 有 効 質 量 

245

正 準 分 布 

183

伝 導 キ ャ りア 

零 点 エ ネ ル ギ ー 

145

伝 導 帯 

閃 亜 鉛 鉱(ZnS)形

結 晶 構 造 

242

de Broglie(ド 速 度 合 成 則 

39

速 度 空間 

243 230,239

7

・ブ ロー イ) 

87

ドー ピ ング 

246

ドリフ ト速度 

234

導 電 キ ャ リア 

232

た行

特 殊 相 対 性 理 論  ダ イ ヤ モ ン ド構 造 

239

第1Brillouin領

域 

224

第2Brillouin領

域 

225

29 な行

内 部 磁 場 定 数 

274

Fermi

熱 速 度 

233

熱 放 射 

71

熱 力 学 転 位 温度 

261

―分 布 関 数 

232

―粒 子  Bragg(ブ

171,187

ラ ッ グ)反

射 

223

Planck

は行 ― 定 数 

Pauliの

原 理 

―の排 他 律  Hartree(ハ

ー ト リー)近

Hamilton演

算 子 

173 171,173 似 

220

111,137

71

―の 熱 放 射 式  Bloch(ブ

195,197

ロ ッ ホ)関

数 

221

フ ェ ル ミ準 位 

217,238

フ ェ ル ミ分 布 関 数 

236,237,245

π電 子 

275

フ ォ ト ン 

62

配 向分 極 

251

フ ォ ノ ン 

207

波 束 の収 縮 

69

負 温 度 状 態 

波 動 性 

49

不 確 定 性 原 理 

半 導 体 

237

p形 半 導 体 

246

ヒ ス テ リシ ス損 

204 77,80

分 域 境 界 

260

分 域 構 造 

259

分 散 関 係 

88

264

分 配 関 数 

183

微 視 的 状 態 

24

分 布 関 数 

非 晶質 

23

比 電 気 感 受 率 

246

閉 殻 

微 分 演 算 子 

161

平 均 寿 命 

8,12

175 14,16,201,233

平 均 自 由 行 程 

Fick ―の 第 一 法 則 

17

―の第 二 法 則 

17

Fermi-Dirac ―統 計 

187,191

―の 分 布 則 

232

―分 布 

187

― 分 布 関数 193

14,16,234

変 数 分 離 

139

Bohr 

147 ―磁 子 

266

―の 振 動 数 条 件 

149

―半 径  Bose-Einstein(ボ タ イ ン)

83,149 ー ズ-ア

インシュ

― 統計 

187,197,207

―分 布 

186

―分 布 関 数 191 Bose粒

子 

誘 電 分 極 

247

輸 送 現 象 

16

輸 送 の 式 

19

186,197 ら行

Boltzmann ―定 数 

4,180

―の 諭 送 方 程 式 

Lagrange

236

―の 未 定 定 数 法 

189

ポ ン ピ ン グ 

205

―関 数 

160

方 位 量 子 数 

162

―の 陪 微 分 方 程 式 

160

方 向 量 子 化 

163

Larmorの

飽 和 磁 束 密 度 

263

Langevin関

保 磁 力 

263

Landau反

反 磁 性 

271

数 

252

磁 性 

271

ま行 Ritzの Michelson-Morleyの

実 験 

Maxwell-Boltzmann統 Maxwellの

計 

速 度 分 布 則 

31

Rydberg定

148

数 

148

186,206

粒 子 性 

49

6,10,13

量 子 

71

量 子 効 果 

71

Minkowski力 

47

メ ー ザ ー 

結 合 則 

量 子 数 

125

量 子 統 計 

184

203 Legendre

モ ル 屈 折 

250

―の 陪 関 数 

158

―の 陪 微 分 方 程 式 

157

や 行

有 効 質 量 

227

Rayleigh-Jeansの

有 効 質 量 近 似 

228

レ ー ザ ー 

有 効 状 態 密 度 

245

励 起 状 態 

245

Lorentz-Lorenzの

有 効 状 態 密 度 質 量  誘 導 放 射  誘 導 放 射 係 数 

200,201 202

放 射 式 

198 203 150

式 

250

Lorentz ―の 空 洞 電 場 

248

―変換

  34,37,47

わ行 Weiss ―定 数 

274

改訂 量子物理 学入 門 物質工学 を学ぶ人のために 1990年4月10日   第1版1刷 1994年3月20日  第1版4刷 1995年3月20日   第2版1刷 2007年3月20日   第2版6刷

発行 発行 発行 発行

著 者 青 野 朋 義  尾 林 見 郎  木 下 彬

学校法人 東京電機 大学

発行所  東 京電 機大 学出版 局 代表者  加藤康太郎 〒101-8457

東 京 都 千代 田 区神 田錦 町2-2 振 替 口座   00160-5-71715

印刷 三美印刷㈱ 製本 渡辺製本㈱ 装丁 高橋壮一

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電 話   (03)5280-3433(営

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(03)5280-3422(編

集)

Tomoyoshi

Obayashi Tikao Kinoshita Akira Printed in Japan *無 断 で転 載 す る こ とを禁 じ ます。 *落 丁 ・乱 丁 本 はお取 替 えい た します 。 ISBN978-4-501-61400-3

C3042

1990,1995

理工学講座 電磁気学

基礎 電 気 ・電子 工 学 宮 入 庄 太／ 磯 部 直 吉 監 修 2色 刷

東 京 電 機 大 学 編 A5判  266頁

電 気の基礎／電気 回路／ 半導体デバ イス／電 子 回路／エネル ギー変換機 器 とその応用／電 子機 器 とその応用

電磁気 学のベク トル解析／真空 中の静電界／ 誘電体 中の電界／電 流／真空 中の磁気現象／ 磁性体 中の磁気現象／電磁誘導／電磁界

照 明工学講義 新訂版

制御工学

A5判 

312頁 

関 重 広 著 A5判  200 頁

深 海 登 世 司／ 藤 巻 忠 雄 監 修

総 論／電球／螢光灯／放電灯／照明計算／昼 光 照明／照明の生理 と心 理／色彩 と照 明／照 明 器具／屋 内照 明／屋外照 明／測光／放射

序論／制御 系の構成 とブロ ック線図／制御系 の特性／ フィー ドバ ック制御系の安定判別／

シ ステム工 学入門

BASICシ

A5判 

186頁 

ス テ ム工 学 松 永 省 吾 著 A5判 

2色 刷

本 書 を学 ぶ に あ た っ て／ シス テ ム工 学 概 論／ プ ロゼ ク トの た め の 最 適 化 計 画 法／ プ ロゼ ク トにお け る諸 問題 の 考察

2色 刷

設計／ サンプル値制御／ シーケ ンス制御

松 永 省吾  著 A5判 

270頁 

250頁

「システム工学入門」の姉妹編 線形計 画法／動 的計画法／PERT計 画法／最 適配 置問題／待 ち行列

電気通信概論

電子工学概論 倉 石 源 三 郎／ 丹 野 頼 元 監 修 A5判  260頁 電子 回路 の基礎／構成部品／ダイオー ドと ト ラ ンジスタ／集積回路／基本電子回路／電子 計算機／ 電気通信／電子計測器／応用分野

荒 谷 孝 夫 著 A5判 154頁  2色 刷 通信 システムの概要／伝送媒体／信号の処 理 ／信 号の伝送／信号の交換／環境別各種伝送 方式／情報別各種通 信方式

半導体工学

例 題演習

マ イ ク ロ波 回 路

基 礎 か らデ バ イス まで 倉 石 源 三 郎 著 A5判 

310頁

伝 送 線 路／ 電 磁波／ 導 波 管／ 共 振 回 路 とフ ィ ル タ／MICと ス ト リ ップ 線 路／ フ ェ ライ トと マイ ク ロ波／ マ イ ク ロ波 電 子 回 路

＊  定 価,図

青 野 朋 義／ 本 間 和 明 他 著 A5判  352頁  2色 刷 基礎的性 質／ダイオー ドとバ イポーラ トラ ン ジスタ／電 界効果 トラ ンジス タ／集積 回路／ 光電 素子／他の半導体デバイス／製造技術

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