Что такое математика

Р.Курант, Г.Роббинс ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА Книга написана крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Г. Роббинсом. Она призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана очень доступно и является классикой популярного жанра в математике. Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой. Содержание Предисловие ко второму русскому изданию 5 Предисловие к первому изданию 15 Предисловие ко второму, третьему и четвертому изданиям 17 Как пользоваться книгой 18 Что такое математика? 20 Глава I. Натуральные числа 25 Введение 25 § 1. Операции над целыми числами 26 1. Законы арифметики. 2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация). 3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления. § 2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая 35 индукция 1. Принцип математической индукции. 2. Арифметическая прогрессия. 3. Геометрическая прогрессия. 4. Сумма п первых квадратов. *5. Одно важное неравенство. *6. Биномиальная теорема. 7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции. Дополнение к главе I. Теория чисел 47 Введение 47 §1. Простые числа 48 1. Основные факты. 2. Распределение простых чисел. §2. Сравнения 60 1. Общие понятия. 2. Теорема Ферма. 3. Квадратические вычеты. § 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма 69 §4. Алгоритм Евклида 72 1. Общая теория. 2. Применение к основной теореме арифметики. 3. Функция Эйлера ϕ(п). Еще раз о теореме Ферма. 4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения. Глава II. Математическая числовая система 82 Введение 82 § 1. Рациональные числа 82 1. Рациональные числа как средство измерения. 2. Возникновение

надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения. 3. Геометрическое представление рациональных чисел. § 2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы 1. Введение. 2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные. 3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии. 4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби. 5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков. *6. Иные методы определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения. § 3. Замечания из области аналитической геометрии 1. Основной принцип. 2. Уравнения прямых и кривых линий. §4. Математический анализ бесконечного 1. Основные понятия. 2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума. 3. «Кардинальные числа» Кантора. 4. Косвенный метод доказательства. 5. Парадоксы бесконечного. 6. Основания математики. § 5. Комплексные числа 1. Возникновение комплексных чисел. 2. Геометрическое представление комплексных чисел. 3. Формула Муавра и корни из единицы. *4. Основная теорема алгебры. § 6. Алгебраические и трансцендентные числа 1. Определение и вопросы существования. *2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел. Дополнение к главе II. Алгебра множеств 1. Общая теория. 2. Применение к математической логике. 3. Одно из применений к теории вероятностей. Глава III. Геометрические построения. Алгебра числовых полей Введение Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра § 1. Основные геометрические построения 1. Построение полей и извлечение квадратных корней. 2. Правильные многоугольники. 3. Проблема Аполлония. § 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля 1. Общая теория. 2. Все числа, допускающие построение, — алгебраические. § 3. Неразрешимость трех классических проблем 1. Удвоение куба. 2. Одна теорема о кубических уравнениях. 3. Трисекция угла. 4. Правильный семиугольник. 5. Замечания по поводу квадратуры круга. Часть 2. Различные методы выполнения построений § 4. Геометрические преобразования. Инверсия 1. Общие замечания. 2. Свойства инверсии. 3. Геометрическое построение обратных точек. 4. Как разделить отрезок пополам и как

88

105 110

124

139 144 154 154 157 157 165 173

180 180

найти центр данного круга с помощью одного циркуля. § 5. Построения с помощью иных инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля 1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба. 2. Построения с помощью одного циркуля. 3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды. *4. Шарнирные механизмы. Инверсоры По-селье и Гарта. §6. Еще об одной инверсии и ее применениях 1. Инвариантность углов. Семейства окружностей. 2. Применение к проблеме Аполлония. 3. Повторные отражения. Глава IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии § 1. Введение 1. Классификация геометрических свойств. Инвариантность при преобразованиях. 2. Проективные преобразования. § 2. Основные понятия 1. Группа проективных преобразований. 2. Теорема Дезарга. §3. Двойное отношение 1. Определение и доказательство инвариантности. 2. Применение к полному четырехстороннику. §4. Параллельность и бесконечность 1. «Идеальные» бесконечно удаленные точки. 2. Идеальные элементы и проектирование. 3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами. § 5. Применения 1. Предварительные замечания. 2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга. 3. Теорема Паскаля. 4. Теорема Брианшона. 5. Замечание по поводу двойственности. § 6. Аналитическое представление 1. Вводные замечания. *2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности. § 7. Задачи на построения с помощью одной линейки § 8. Конические сечения и квадрики 1. Элементарная метрическая геометрия конических сечений. 2. Проективные свойства конических сечений. 3. Конические сечения как «линейчатые кривые». 4. Теоремы Паскаля и Бри-аншона для общего случая произвольных конических сечений. 5. Гиперболоид. § 9. Аксиоматика и неевклидова геометрия 1. Аксиоматический метод. 2. Гиперболическая неевклидова геометрия. 3. Геометрия и реальность. 4. Модель Пуанкаре. 5. Эллиптическая, или риманова, геометрия. Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений 1. Введение. 2. Аналитический подход. *3. Геометрический, или комбинаторный, подход. Глава V. Топология

187

198 205 205 208 212 220

226

232 238 240

256

270 278

Введение §1. Формула Эйлера для многогранников § 2. Топологические свойства фигур 1. Топологические свойства. 2. Свойства связности. § 3. Другие примеры топологических теорем 1. Теорема Жордана о замкнутой кривой. 2. Проблема четырех красок. *3. Понятие размерности. *4. Теорема о неподвижной точке. 5. Узлы. §4. Топологическая классификация поверхностей 1. Род поверхности. *2. Эйлерова характеристика поверхности. 3. Односторонние поверхности. Приложение *1. Проблема пяти красок. 2. Теорема Жордана для случая многоугольников. *3. Основная теорема алгебры. Глава VI. Функции и пределы Введение §1. Независимое переменное и функция 1. Определения и примеры. 2. Радианная мера углов. 3. График функции. Обратные функции. 4. Сложные функции. 5. Непрерывность. *6. Функции нескольких переменных. *7. Функции и преобразования. § 2. Пределы 1. Предел последовательности а„. 2. Монотонные последовательности. 3. Число Эйлера e. 4. Число π. *5. Непрерывные дроби. § 3. Пределы при непрерывном приближении 1. Введение. Общие определения. 2. Замечания по поводу понятия предела. 3. Предел sin(x)/x 4. Пределы при x → ∞ . §4. Точное определение непрерывности § 5. Две основные теоремы о непрерывных функциях 1. Теорема Больцано. *2. Доказательство теоремы Больцано. 3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях. *4. Теорема о последовательностях. Компактные множества. § 6. Некоторые применения теоремы Больцано 1. Геометрические применения. *2. Применение к одной механической проблеме. Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность §1. Примеры пределов 1. Общие замечания. 2. Предел qn. 3. Предел n p . 4. Разрывные функции как предел непрерывных. *5. Пределы при итерации. § 2. Пример, относящийся к непрерывности Глава VII. Максимумы и минимумы

278 279 284 287

300 308 316 316 317

335

351 358 361

366 371 371

378 379

Введение §1. Задачи из области элементарной геометрии 1. Треугольник наибольшей площади при двух заданных сторонах. 2. Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей. 3. Применения к задачам о треугольниках. 4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства. *5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой. §2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи 1. Принцип. 2. Примеры. § 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление 1. Экстремальные и стационарные точки. 2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. 3. Точки минимакса и топология. 4. Расстояние точки от поверхности. §4. Треугольник Шварца 1. Доказательство, предложенное Шварцем. 2. Другое доказательство. 3. Тупоугольные треугольники. 4. Треугольники, образованные световыми лучами. *5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение. § 5. Проблема Штейнера 1. Проблема и ее решение. 2. Анализ возникающих альтернатив. 3. Дополнительная проблема. 4. Замечания и упражнения. 5. Обобщение: проблема уличной сети. § 6. Экстремумы и неравенства 1. Средние арифметическое и геометрическое двух положительных величин. 2. Обобщение на случай n переменных. 3. Метод наименьших квадратов. § 7. Существование экстремума. Принцип Дирихле 1. Общие замечания. 2. Примеры. 3. Экстремальные проблемы элементарного содержания. 4. Трудности, возникающие в более сложных случаях. §8. Изопериметрическая проблема § 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой § 10. Вариационное исчисление 1. Введение. 2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике. 3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли. 4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы. § 11. Экспериментальные решения минимальных проблем. Опыты с мыльными пленками 1. Введение. 2. Опыты с мыльными пленками. 3. Новые опыты, относящиеся к проблеме Плато. 4. Экспериментальные решения других математических проблем. Глава VIII. Математический анализ Введение

379 380

389 392

397

405

412

417

425 428 432

438

451 451

§ 1. Интеграл 1. Площадь как предел. 2. Интеграл. 3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение. 4. Примеры интегрирования. Интегрирование хr. Правила «интегрального исчисления». § 2. Производная 1. Производная как наклон. 2. Производная как предел. 3. Примеры. 4. Производные от тригонометрических функций. *5. Дифференцируемость и непрерывность. 6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение. 7. Геометрический смысл второй производной. 8. Максимумы и минимумы. §3. Техника дифференцирования § 4. Обозначения Лейбница и «бесконечно малые» § 5. Основная теорема анализа 1. Основная теорема. 2. Первые применения. Интегрирование функций xr , cos x, sin x. Функция arctg x. 3. Формула Лейбница для π. §6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм 1. Определение и свойства логарифма. Эйлерово число е. 2. Показательная (экспоненциальная) функция. 3. Формулы дифференцирования функций ex, ax , xa 4. Явные выражения числа e и функций ex и ln x в виде пределов. 5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов. § 7. Дифференциальные уравнения 1. Определения. 2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты. 3. Другие примеры. Простейшие колебания. 4. Закон движения Ньютона. Дополнение к главе VIII. §1. Вопросы принципиального порядка 1. Дифференцируемость. 2. Интеграл. 3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой. § 2. Порядки возрастания 1. Показательная функция и степени переменного х. 2. Порядок возрастания ln(n!). §3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения 1. Бесконечные ряды функций. 2. Формула Эйлера cos x + i sin x = eix. 3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения. § 4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода Приложение. Дополнительные замечания, задачи и упражнения Арифметика и алгебра Аналитическая геометрия Геометрические построения Проективная и неевклидова геометрия

452

469

484 490 494 502

515

524 524 532 536

548 553 553 555 562 563

Топология 564 Функции, пределы, непрерывность 567 Максимумы и минимумы 568 Дифференциальное и интегральное исчисления 571 Техника интегрирования 573 Рекомендуемая литература 580 Предметный указатель 584 Предметный указатель Бесконечные десятичные дроби 94 Абсолютное значение 88 — непрерывные дроби 348 Аксиоматика 256 — произведения 546 Аксиомы 256 — ряды 536 Алгебра булева 151 Биномиальная теорема 42 — множеств 144 Биномиальный ряд 539 — основная теорема 136, 313 Больцано теорема 361 — числовых полей 154 — — применения 365 Алгебраические уравнения 136 Брахистохрона 433, 435 — числа 139 Брианшона теорема 231 Алгоритм Евклида 72 Вариационное исчисление 432 Анализ математический 451 Вейерштрасса теорема об — — основная теорема 494 экстремальных значениях 362 Аналитическая геометрия 105 Вектор 131 — — n-мерная 270 Вероятность 151 Аполлония проблема 163 Взаимная непрерывность Аргумент комплексного числа 130 (соответствия, отображения) Арифметика законы 26 285 — основная теорема 50 — однозначность (соответствия, Арифметические прогрессии 38 отображения) 111 — — простые числа в а. п. 54 Возрастания порядок 533 Арифметическое значение корня 325 Вторая производная 481 Архимеда метод трисекции угла 178 Вычеты квадратические 67 Асимптота гиперболы 108 Гармонически сопряженные пары Асимптотически равно 57, 534 216 Ассоциативные законы для множеств Гармонический ряд 544 148 Гарта инверсор 197 — — для натуральных чисел 26 Геодезическая 379 — — для рациональных чисел 84 Геодезические на сфере 437 Бесконечно удаленная плоскость 225 Геометрическая прогрессия 39 — — прямая 222 Геометрические построения — удаленные точки 221 Маскерони 188 — — элементы (в проективной — — квадратичных корней 160 геометрии) 221 — — правильных многоугольников «Бесконечно малые» 490 160 Бесконечность 35, 110 — — рациональных чисел 158 — ряда простых чисел 49

— — с помощью одного циркуля 188 — — с помощью одной линейки 192 — — с помощью различных инструментов 193 — — теория 154 — — числовых полей 159 Геометрические преобразования 180 Геометрия n-мерная 270 — Римана 268 — аксиомы 259 — аналитическая 105 — гиперболическая 260 — комбинаторная 273 — метрическая 209 — неевклидова 260 — проективная 209 — синтетическая 232 — теория построения 157 — элементарная, экстремальные задачи 379 Герона теорема 380 Гипербола свойство касательных 385 — уравнение 108 Гиперболические функции 572 Гиперболический параболид 332 Гиперболоид 254 Гипоциклоида 194 Гольдбаха проблема 58 Граничные условия в задачах на экстремумы 428 График функции 323 Группа 208 Двенадцатеричная система 31 Движение эргодическое 403 Движения (преобразования) 181 Двоичная система 34 Двойное отношение 212 Двойственности принцип в алгебре множеств 149 — — в геометрии 232 Дедекиндово сечение 104 Дезарга теорема 210 Действительные числа 94, 103 Декартовы координаты 106

Деление на нуль 86 Деление окружности, уравнение 135 Десятиугольник правильный, построение 160 Десятичные дроби 92 Деформация 285 Дзета-функция 545 Динамика Ньютона 522 Диофантовы уравнения 80 Дирихле принцип 417 Дистрибутивные законы для множеств 148 — — для натуральных чисел 26 — — для рациональных чисел 84 Дифференциалы 492 Дифференциальные уравнения 515 Дифференциальный символ 493 Дифференцирование 477 Дифференцируемость 524 Длина кривой 530 Доказательство: конструктивное, косвенное, д. существования 120 Дополнение множества 149 Дроби десятичные 92 — непрерывные 79 e выражение 510 — иррациональность 346 — как основание натуральных логарифмов 505 — как предел 345 — эйлерово число 344, 502 Евклида алгоритм 73 Единица (корень из е.) 133 Единичная окружность 129 Жордана теорема 287, 311 Зависимое переменное 319 Затухающие колебания 521 Идеальные элементы в проективной геометрии 221 Извлечение квадратного корня (в геометрии) 160 Измерение 82 Изопериметрические проблемы 425

Инвариантность 198 — двойного отношения 214 — углов при инверсии 198 Инверсия 181 — окружность 181 — полюс (центр) 182 Инверсоры 196 Индексы 297 Индукция математическая 35 — эмпирическая 35 Интеграл 452, 527 Интервал 88 Интуиционизм 257 Инцидентность (принадлежность) 210 Иррациональные числа как бесконечные десятичные дроби 94 — — определяемые последовательностями 105 — — определяемые сечениями 103 — — определяемые стягивающимися отрезками 102 Исключенного третьего закон 121 Исчерпания метод 453 Исчисление вариационное 432 Итерации (пределы при и.) 376 Канторова теория (бесконечных) множеств 110 Канторово множество 291 Кардинальное число (мощность) 117 Карта регулярная 308 Касательная 469 Касательные к эллипсу и гиперболе, свойство 383 Квадранты (координатные четверти) 106 Квадратные уравнения 124 Квадратный корень, геометрическое построение 160 Квадратура круга 180 Квадрики 254 Классификация (топологическая) поверхностей 300

Клейна бутылка 306 — модель 263 Коаксиальные плоскости 217 Колебания 520 Коллинеарные точки 210 Комбинаторная геометрия 273 Коммутативные законы для множеств 148 — — для натуральных чисел 26 — — для рациональных чисел 84 Компланарные прямые 216 Комплексного переменного теория функций 543 Комплексные числа 124 — — (операции с к.ч.) 125 — — аргумент 130 — — модуль 128 — — тригонометрическое представление 130 Конгруэнтность 206 Конические сечения 240 — — как множества прямых 249 — — как множества точек 249 — — метрическое определение 240 — — проективное определение 245 — — уравнения 108 Конкурентные прямые 211 Константа (постоянная) 320 Конструктивные доказательства 121 Континуум действительных чисел 94 Континуум-гипотеза 123 Координаты обобщенные 233 — однородные 234 — прямоугольные (декартовы) 106 Корни из единицы 134 Косвенное доказательство 120 Кратность корней алгебраического уравнения 138 Кривая длина 530 — уравнение 107 Кривизна 482 Кросс-кэп 305 Лейбница формула для π 500 Линии уровня 332

Лиувилля теорема 140 Логарифм натуральный 502 Логика математическая 150 Логическая сумма 147 Логическое произведение 147 Максимумы и минимумы 379, 483 Маскерони построения 188 Математическая индукция 35 — логика 150 Математический анализ 451 — — основная теорема 494 Мебиуса лента (лист) 304 Метрическая геометрия 209 Механические инструменты, построения с их помощью 193 Минимакса точки 395 Мнимые числа (см. комплексные числа) 125 Многогранники n-мерные 275 — правильные 280 — простые 280 — род 303 — эйлерова характеритика 303 Множеств алгебра 144 — эквивалентность 117 Множество 110, 144 — дополнение 149 — компактное 366 — пустое 145 Множители простые 50 Модуль комплексного числа 128 Монотонная последовательность 341 — функция 326 Морза соотношения 396 Муавра формула 132 Наименьших квадратов метод 415 Наклон 469 Направление угла 200 Натуральные числа 25 Нахождение середины отрезка с помощью одного циркуля 186 Неевклидова геометрия 260 Независимое переменное 319 Неподвижная точка 295

Непрерывное переменное 318 Непрерывность функции многих переменных 333 — — одного переменного 328 Непрерывные дроби 79 Неравенства 412 Неразрешимость классических проблем 173 Несоизмеримые отрезки 89 Несчетность континуума 114 n-мерная геометрия 270 Нуль 85 Ньютоновская динамика 522 Область изменения переменной 317 Обобщения принцип 86 Образ 181 Обратные операции 84 — функции 323 Объединение множеств 147 Ограниченная последовательность 342 Однозначность разложения на множители 50 Однородные координаты 234 Односвязность 286 Односторонние поверхности 303 Окружность, уравнение 107 Опыты с мыльными пленками 439 Оси конических сечений 108 — координат 106 Основания математики 123 Основная теорема алгебры 136, 313 — — анализа 494 — — арифметики 50 Отображение (преобразование) 181 Отражение в общих экстремальных задачах 381 — относительно одной или нескольких прямых 181 — — окружностей 181 — — системы окружностей 204 — — треугольника 381 Отражение повторное 203 Отрезки вложенные 101

— стягивающиеся 101 Отрицательные числа 85 Паппа теорема 229 Парабола 241 Парадоксы Зенона 353 — бесконечного 121 Параллельность и бесконечность 220 Паскаля теорема 229, 252 — треугольник 43 Первообразные (примитивные) функции 496 Переменное 317 — действительное 318 — зависимое 319 — комплексное 543 — независимое 319 Пересечение множеств 147 Пересчет 112 Перспектива 207 π 346 Пифагоровы числа 69 Плато проблема 438 Плотность множества рациональных чисел 88 Площадь 452 Поверхности односторонние 303 Подмножество 146 Подполе 167 Позиционная система 29 Показательная (экспоненциальная) функция 505 — — дифференциальное уравнение 516 — — порядок возрастания 533 Поле 86 Полный четырехсторонник 219 Поля числовые алгебра 166 — — геометрическое построение 166 Порядок возрастания 533 — точки 314 Поселье инверсор 196 Последовательность 101, 114, 335 — монотонная 341 — ограниченная 342

— сходящаяся, расходящяяся, колеблющаяся 342 Построения геометрические 157 — с помощью одного циркуля 188 Постулат о параллельных 260 Постулаты 256 Правильные многогранники 280 — — n-мерные 275 — многоугольники, построение 160 Правильный десятиугольник, построение 160 Пределы 95, 335 — бесконечных десятичных дробей 99 — геометрических прогрессий 97 — последовательностей 337 — при итерации 376 — — непрерывном приближении 351 — примеры 371 Преобразования геометрические 180 — проективные 207 — топологические 285 — уравнения 333 Принцип наименьшего числа 50 Присоединение иррациональных чисел 94 Проблема ракраски карт 289 Прогрессии арифметические 38 — геометрические 39 Проективная геометрия 209 Проективное преобразование 207 — соответствие 219 Произведение бесконечное 546 — логическое 147 Производная 469 — вторая 481 Прообраз (при отображении) 181 Простая замкнутая кривая 288 Простой многогранник 280 Простые числа 48 — — распределение 55, 548 Прямой линий уравнение 107 Прямые компланарные 216 — конкуррентные 210

Пустое множество 145 Пучок прямых 245 Пятиугольник правильный, построение 190 Работа 528 Радианная мера 322 Радиоактивный распад 518 Разложение на простые множители, единственность 50 Размерность 291 Разрешимость проблем 155 Разрыв со скачком 329 Разрывность функции 329 Разрывные функции как пределы непрерывных 375 Распада закон 518 Расстояние 106 Расходимость последовательностей 340 — рядов 536 Расширение поля 167 Рациональные числа 82 — — операции 84 — — плотность 88 — — счетность 112 Рациональные операции, геометрическое построение 157 Решето Эратосфена 52 Риманова геометрия 268 Род поверхности 300 Ряды бесконечные 536 Световые лучи 380 Связность 286 Сегмент (отрезок) 88 Семиричная система 33 Семиугольник правильный, невозвоможность построения 178 Сечение (множества действительных чисел) 104 Символ 125 Синтетическая геометрия 232 Скорость 478 Сложение действительных чисел 105

— комплексных чисел 125 — множеств 147 — натуральных чисел 26 — рациональных чисел 84 Сложные проценты 519 — функции 327 Соответствие (отображение) между множествами 111 Сопряженные комплексные числа 128 Составные числа 48 Сравнения 60 Среднее арифметическое 412 — геометрическое 413 Стационарные точки 392 Сумма логическая 147 — первых квадратов 40 — — кубов 41 Существование в математике 123 — доказательство 121 Сходимость последовательностей 340 — рядов 536 Счетность множества рациональных чисел 112 Тейлора ряд 540 Теорема о неподвижной точке 295 — — пяти красках 308 — — четырех красках 289 Теоремы существования 48 Теория чисел 48 Топологическая классификация поверхностей 300 Топологическое преобразование 284 Топология 278 Тор 300 — трехмерный 308 Точечный ряд 249 Точки коллинеарные 210 Трансцендентность числа π 180 Трансцендентные числа 139 Треугольники образованные световыми лучами 402 — экстремальные свойства 380

Тригонометрические функции 322 Трисекция угла 176 Удвоение куба 173 Узлы 299 Уличной сети проблема 410 Уоллиса формула 348, 579 Уравнение гиперболы 108 — деления окружности 135 — диофантово 80 — квадратное 124 — корни 137 — кратность корней 138 — кривой 107 — прямой 107 — эллипса 108 Уравнения движения 521 Уровня линии 332 Ускорение 481 Факториал 44 Ферма великая теорема 71 — принцип 433 — теорема 65 — числа 156 Фокус конического сечения 108 Формализм 124, 257 Функция 316 — (кривая) вогнутая, выпуклая 482, 568 — график 323 — комплексного переменного 541 — многих переменных 331 — монотонная 326 — непрерывная 329 — обратная 323 — определение 318 — первообразная 496 — сложная 327 Целые числа отрицательные 85 — — положительные 85 Центр окружности, построение с помощью одного циркуля 186 Циклоиды 193

Четырехсторонник полный 219 Числа Ферма 156 — алгебраические 139 — действительные 88-91 — допускающие построение 165 — кардинальные 117 — комплексные 124 — натуральные 25 — отрицательные 85 — пифагоровы 69 — простые 48 — рациональные 82 — составные 48 — трансцендентные 139 Числовая система 82 Числовые поля 166 Шарнирные механизмы 195 Шварца проблема 397 Штейнера построения 192 — проблема 405 Эйлера функция 77 Эйлерова характеристика поверхности 302 Эквивалентность множеств 111 Экстремальное решение задач на минимум 428 Экстремальные задачи 379 — — в элементарной геометрии 379 — — общий принцип 389 — — с граничными условиями 428 — расстояния от данной кривой 386 Экстремумы и неравенства 412 Эксцентриситет (конического сечения) 108 Эллипс свойство касательных 383 — уравнение 108 Эллиптическая геометрия 268 Эллиптические точки 269 Эпициклоида 195 Эратосфена решето 52 Эрлангенская программа 207