Дифференциальные уравнения первого порядка

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

А. А. Зингер, В. А. Зингер, Ю. Н. Сирота

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург 2005

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

А. А. Зингер, В. А. Зингер, Ю. Н. Сирота

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург 2005

УДК 517.5 ББК 22.161.8 З 63 А. А. Зингер, В. А. Зингер, Ю. Н. Сирота З 63 Высшая математика. Дифференциальные уравнения первого порядка: Учеб.-метод. пособие / СПбГУАП. СПб., 2005. 33 с.: ил. Излагается один из наиболее важных разделов курса высшей математики, тесно связанный с понятиями производной, дифференциала и интеграла. Теоретический материал проиллюстрирован большим числом примеров. Предназначено для студентов, обучающихся по техническим специальностям. Может быть использовано студентами экономических специальностям. Резензенты: кафедра математического анализа РГПУ; доктор физико-математических наук профессор В. П. Одинец Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия

c 

c 

ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения», 2005 А. А. Зингер, В. А. Зингер, Ю. Н. Сирота 2005

1.

Понятие дифференциального уравнения

Зависимость между величинами в анализе и приложениях выражается уравнениями y = f (x) или F (x, y) = 0. Но во многих случаях для выражения зависимости требуются еще и производные y  , . . . , y (n) . Пример 1 Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорционально численности населения с коэффициентами пропорциональности k1 и k2 соответственно. Найти закон изменения численности населения с течением времени. Решение Обозначим через y = y(x) число жителей на момент времени x. Прирост населения Δy за время (x, x + Δx) равен приближенно Δy ≈ k1 yΔx − k2 yΔx = (k1 − k2 )yΔx = kyΔx, Δy ≈ ky. Δx Если здесь перейдем к пределу (в предположении его существования) при Δx → 0, то получим dy = kydx.  Получим зависимость между x, y и y  y = y(x) . Зависимость, включающая в себя независимую переменную x, y = y(x) и ее производные до определенного порядка, назовем дифференциальным уравнением. Решением дифференциального уравнения будем называть функцию y = ϕ(x), которая где k = k1 − k2 . Отсюда

3

при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, назовем порядком дифференциального уравнения. Итак, дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид F (x, y, y  , . . . , y (n) ) = 0. Замечание 1 Такие уравнения называют обыкновенными дифференциальными уравнениями. Замечание 2 В определении решения подразумевается, что функция y = ϕ(x) непрерывна и имеет непрерывные производные до n-го порядка включительно на некотором промежутке (a, b).

2.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 1 Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее x, y и y  . Оно может быть задано в одной из форм: F (x, y, y  ) = 0, y  = f (x, y), M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0. Очевидно, что все эти формы равносильны. Пример 2 Рассмотрим уравнение y  = f (x). Его решением является любая первообразная F (x) для функции f (x); F (x) + C 4

при любом значении постоянной C также является решением данного уравнения. Пример 3 Проверить, что y = x2 + Cx при любом значении C является решением уравнения xy  − x2 − y = 0. Решение Подставим y и y  = 2x + C в уравнение. Получим x (2x + C) − x2 − x2 − Cx ≡ 0. Замечание 3 Итак, оба уравнения имеют бесчисленное множество решений. Замечание 4 Задача интегрирования функции f (x) есть решение простейшего дифференциального уравнения y  = f (x). Любое решение уравнения называется его частным решением. Под общим решением понимается формула, объединяющая все его частные решения. Более точно: Определение 2 Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y = ϕ(x, C) (или Φ(x, y, C) = 0), которая а) является решением уравнения при любом допустимом C; б) любое решение может быть получено из нее при некотором значении постоянной C. Замечание 5 Решение уравнения, полученное в виде Φ(x, y, C) = 0, называют общим интегралом дифференциального уравнения. 5

Рассмотрим задачу нахождения частного решения уравнения, удовлетворяющего условиям: при заданных x0 и y0 y(x0 ) = y0 . Эти условия называются начальными, а задача нахождения такого решения – задачей Коши. Пусть в некоторой области D плоскости xOy задано уравнение (1) y  = f (x, y). Имеет место теорема: Теорема 1 (существования и единственности) Если f (x, y) в открытой области D непрерывна и имеет непрерывную частную производную fy , то для любой точки (x0 , y0 ) из области D найдется решение y = ϕ(x) уравнения (1), для которого (x0 , y0 ) является начальными условиями, и такое решение единственно. Геометрически это означает, что через каждую точку (x0 , y0 ) области D проходит кривая, описываемая уравнением y = ϕ(x), и эта кривая единственная. Теорему примем без доказательства.

3.

Восстановление дифференциального уравнения по его общему решению

Пусть задано семейство кривых Φ(x, y, C) = 0.

(2)

Будем считать, что при каждом фиксированном C y = ϕ(x, C).

(3)

В предположении, что Φ(x, y, C) дифференцируема по x и y, продифференцируем (2) по x. 6

Φx (x, y, C) + Φy (x, y, C)y  = 0.

(4)

Исключая из (3) и (4) постоянную C, найдем уравнение y  = f (x, y). Его общее решение должно совпадать с (2). Пример 4 Общее решение уравнения y = Cx2 . Восстановить уравнение. Решение y 2 2  = или xy  − 2y = y = Cx , y = 2Cx, откуда получаем y x 0.

4.

Некоторые виды дифференциальных уравнений первого порядка

4.1.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение 3 Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение, приводящееся к виду y  = f (x)g(y). Преобразуем (5) 

dy = g(y)



(5)

dy = f (x)dx, g(y)

f (x)dx + C– общий интеграл уравнения (5).

7

Замечание 6 Интегралы в левой и правой части означают какую-либо первообразную (см. пример 5) . Очевидно, что уравнение M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y)dy = 0

(6)

приводится к виду (5), но его можно решить непосредственно, разделив почленно на M2 (x)N1 (y): M1 (x) N2 (y) M1 (x) N2 (y) dx + dy = 0 или dx = − dy. M2 (x) N1 (y) M2 (x) N1 (y) 

M1 (x) dx = − M2 (x)



N2 (y) dy+C – общий интеграл уравнения (6). N1 (y)

Замечание 7 Уравнение вида P (x)dx + Q(y)dy = 0 называют уравнением с разделенными переменными. Пример 5  Решить уравнение y 2 − 1dx = xydy. Решение Преобразуем уравнение к виду   dx dx ydy ydy  , + C; = = 2 2 x x y −1 y −1  ln |x| = y 2 − 1 + C – общий интеграл. 8

Замечание 8 Произвольную постоянную можно записать, например, в виде ± ln |C|. Тогда√общий интеграл√примет вид ln |Cx| =  2 2 y 2 − 1 или Cx = e y −1 или x = Ce y −1 . Пример 6 Найти кривую, у которой отрезок касательной в любой ее точке, заключенный между осями координат, делится в этой точке пополам (рис.1). Решение Уравнение касательной к кривой имеет вид Y − y = y  (X − x), где X, Y – координаты точки на касательной; x, y – координаты точки на кривой. Находим координаты концов отрезка   y AB: A x −  , 0 , B (0, y − xy  ). Так как точка M – середиy на отрезка AB, то y − xy  = y. 2 y 6

B

@ @

@ @ s M (x, y) @ @ @ @ @

0

@

A Рис.1 9

-

x

Тогда xy  + y = 0 – уравнение с разделяющимися переменными: dx dy =− , y x

ln |y| = ln |C| − ln |x|.

c y = – общее решение уравнения. x Пример 7

dy = kx. Его y общее решение ln |y| = kx + ln |C| или y = Cekx . Ранее было введено уравнение y  = ky или

4.2.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 4 Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, приводящееся к виду y  y =g . (7) x y , x  (7) примет вид z x+ откуда y = zx, y  = z  x + z. Уравнение   z = g(z); z  x = g(z) − z, xdz = g(z) − z dx. Разделив переменные, получим  dz dx dz = ; = ln |Cx| g(z) − z x g(z) − z

Для его решения введем вспомогательную функцию z =

y – общий интеграл. В первообразной z следует заменить на . x Пример 8 x+y Решить уравнение y  = . x−y 10

Решение Разделив числитель и знаменатель правой части на x и y заменив на z, получим x 1 + z2 1−z 1+z  1 + z2 dx , zx= , xdx = dx, , dz = z x+z = 1−z 1−z 1−z 1 + z2 x y  1 2 arctg z − ln(1 + z ) = ln |Cx|, arctg = ln |C| x2 + y 2 2 x – общий интеграл. Пример 9 Найти кривую, проходящую через точку A(0, 1), для которой треугольник, образованный осью Oy, касательной в произвольной точке и радиус-вектором этой точки – равнобедренный с основанием, совпадающим с отрезком касательной. Решение y N 

A(0, 1)

M (x, y)

x

(0, 0)

Рис. 2 Обозначим через x, y координаты точки на кривой; X, Y – координаты точки на касательной (рис.2). Уравнение касательной Y − y = y  (X − x). По условию OM = ON , N (0, y − 11

  2 + y 2 . Разx2 + y 2 ; ON = y − xy  , y − xy  = x

 y 2 y  делив обе части уравнения на x, получим y = − 1 + x x   – однородное уравнение. Положим y = ux; y = u x + u, xy  ); OM =

u x + u = u −

√ 1 + u2 ;

du dx √ =− ; x 1 + u2

√ √ C 2 ln |u + 1 + u | = ln |C| − ln |x|; u + 1 + u2 = ; x

 y 2 C  y + 1+ = ; y + x2 + y 2 = C; x x x x2 + y 2 = (C − y)2 ; x2 = C(C − 2y).   Определим C из условия y  = 1. Из значения C = 0 и x=0 C = 2 удовлетворяет второе, так как при C = 0 получаем x = 0 – уравнение оси ординат. Искомое частное решение имеет вид x2 = 4(1 − y) – парабола с вершиной в точке A(0, 1), y  1. Однородные уравнения первого порядка связаны с понятием однородной функции. Определение 5 Функция f (x, y) называется однородной функцией степени k по переменным x и y, если для произвольного α выполняется условие f (αx, αy) = αk f (x, y). Покажем, что уравнение вида P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (8) где P (x, y) и Q(x, y) – однородные функции одной степени, является однородным. Положим α=

12

1 x

и воспользуемся однородностью одинаковой степени функций P и Q:  y  y 1 1 P 1, = k P (x, y), Q 1, = k Q(x, y), x x x x  y  y k k , Q(x, y) = x Q 1, . (9) P (x, y) = x P 1, x x  y y k + xk Q(x, ) = 0, или Подставив (9) в (8), получим x P 1, x x y , где обозначено y = g x   y P 1, xy g = −  y . x Q 1, x y – однородная функция нулевой степени. Очевидно, что g x

4.3.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Определение 6 Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, приводящееся к виду y  + p(x)y = q(x), где p(x) и q(x) – непрерывные в некотором промежутке функции. Если q(x) ≡ 0, то уравнение называется линейным однородным, в противном случае – линейным неоднородным. Линейное однородное уравнение y  +p(x)y = 0 является уравнением с разделяющимися переменными. Решение  dy = −p(x)dx, ln |y| = − p(x) dx + ln |C| y 13

или

 p(x) dx

−

y = Ce

 где

,

(10)

p(x) dx – какая-либо первообразная. Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение y  + p(x)y = q(x).

(11)

Чаще всего используется один их трех способов: 4.3.1.

Метод Бернулли

Его решение будем искать в виде произведения двух неизвестных функций u(x) и v(x), т.е. y(x) = u(x)v(x). Одну из этих функций выберем произвольно, а вторая определяется из уравнения (11). Подставим y = uv и ее производную в (11). Получим u v + uv  + p(x)uv = q(x), или u v + u[v  + p(x)v] = q(x). В качестве v(x) выберем решение уравнения v  + p(x)v = 0.  p(x) dx Согласно (10), заменив y на v, v = e . Здесь значение (10) соответствует C = 1. Подставив v в (11), получим   p(x) dx p(x) dx −  = q(x), du = q(x)e ue и

 u=

 p(x) dx q(x)e

14

dx + C.

Окончательно  ⎡ ⎤   p(x) dx ⎢ ⎥ − p(x) dx . y = ⎣ q(x)e dx + C ⎦ e

(12)

Все входящие в эту формулу интегралы – какие-либо любые первообразные. Пример 10 Решить линейное уравнение y  − y cos(x) = sin 2x. Решение Находим решение в виде y = uv, y  = u v + uv  , u v+uv  −uv cos x = sin 2x, u v+u(v  −v cos x) = sin 2x. Найдем dv = cos x dx; ln |v| = sin x; v из уравнения v  − v cos x = 0; v v = esin x ; 

u esin x = sin 2x, du = sin 2xe− sin x dx, u = sin 2xe− sin x dx =   = 2 sin xe− sin x d sin x = −2 sin xe− sin x +2 e− sin x cos x dx = = −2 sin xe− sin x − 2e− sin x + C = −2e− sin x (sin x + 1) + C. y = Cesin x − 2(sin x + 1). 4.3.2.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)

Будем искать решение уравнения (11) в виде (10), заменив произвольную постоянную C на неизвестную пока дифференцируемую функцию C(x); y = C(x)  p(x) dx − . (13) y = C(x)e 15

Подставим (13) в (11) и получим  

−

C (x)e

 p(x) dx

−

+ C(x)e

p(x) dx

(−p(x))+  p(x) dx − + C(x)e p(x) = q(x),  p(x) dx  C (x) = q(x)e ;  Ê C(x) = q(x)e p(x) dx dx + C. (14)

Подставим (14) в (13) и получим (12). Этот метод носит название метода вариации произвольной постоянной. 4.3.3.

Метод интегрирующего множителя

Умножим обе части уравнения (11) на некоторую дифференцируемую и отличную от нуля функцию λ(x). λ(x)y  + λ(x)p(x)y = λ(x)q(x)

(15)

и выберем λ(x) так, чтобы λ(x)y  + λ(x)p(x)y являлось производнойпроизведения λ(x)y, т.е. λ(x)p(x) = λ(x) . Отсюда λ(x) = e

p(x) dx

(здесь берется одно  из решений уравне  p(x) dx  p(x) dx ния), и уравнение (15) примет вид e y = q(x)e .  p(x) dx e



 y=

p(x) dx q(x)e

16

+C

или

⎡ ⎢ y=⎣







⎤ p(x) dx

q(x)e

p(x) dx

⎥ − dx + C ⎦ e

.

Решим задачу Коши для линейного уравнения. Требуется найти решение y = ϕ(x) уравнения y  + p(x)y = q(x), удовле творяющее начальным условиям y  = y0 . Запишем решеx=x0

ние (12). ⎡  ⎢ y=⎣



p(t) dt

x

q(t)e x0

x0



⎤

x

x

p(t) dt

−

⎥ dt + C ⎦ e

x0

.

Здесь в качестве первообразных берутся интегралы с переменным верхним пределом. При x = x0 получим y0 = C, и искомое решение задачи Коши:  x ⎤  x ⎡  x p(t) dt − p(t) dt ⎥ ⎢ dt + y0 ⎦ e x0 . q(t)e x0 y=⎣ x0

К линейным уравнениям сводится уравнение y  + p(x)y = q(x)y n , n = 0, n = 1, называемое уравнением Бернулли, с помощью введения неизвестной функции z = y 1−n . Уравнение Бернулли можно решать и непосредственно, применяя тот же метод, что и для решения линейных уравнений. Пример 11 Решить уравнение y  + 2xy = 2xy 2 .

17

Решение y −1  Положим z = y ; z = − 2 . Разделим обе части уравнеy  y 2x ния на y 2 : 2 + = 2x, −z  + 2xz = 2x, z  − 2xz = −2x. Поy y ложим z = uv, u v+uv  −2xuv = −2x, u v+u(v  −2xv) = −2x, dv 2 2 = 2xdx, ln |v| = x2 , v = ex , u ex = −2x, v  −2xv = 0, v 2 −x2 du = −2xe dx, u = e−x + C, 2

2

2

z = (e−x + C)ex = 1 + Cex ; y =

4.4.

1 . 1 + Cex2

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Определение 7 Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (16) если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. уравнение в полных дифференциалах может быть записано du(x, y) = 0. Если можно найти такую функцию u(x, y), дифференциал которой равен нулю, то u(x, y) = C при произвольном допустимом C является общим интегралом уравнения (16). Для обоснования можно взять функцию z = u(x, y), непрерывную в некоторой области D и имеющую в этой области ∂u ∂u = . Из равенства непрерывные частные производные ∂x ∂y ∂u нулю полного дифференциала в D следует, что = 0 и ∂x ∂u = 0 в D. ∂y 18

y

(x0 , y0 )

l

D x

(0, 0) Рис. 3

Возьмем в области D произвольную точку (x0 , y0 ) и произвольное направление l (рис. 3). Производная по направлению ∂u ∂u ∂u = cos α + cos β ≡ 0, ∂l ∂x ∂y откуда следует, что на выбранной прямой u(x, y) = u(x0 , y0 ) ≡ C. Так как направление выбрано произвольно, то u(x, y) = u(x0 , y0 ) во всех точках области D. Теорема 2 Пусть задано P (x, y)dx + Q(x, y)dy

(17)

в некоторой области D, P (x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные. Тогда (17) является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y) в том и только в том случае, когда ∂Q ∂P = . (18) ∂y ∂x 19

Доказательство Если (17) – полный дифференциал, то ∂u ∂u , Q(x, y) = , ∂x ∂y следовательно, согласно теореме о смешанной производной, ∂P ∂Q = . Покажем, что (18) является и достаточным усло∂y ∂x ∂u вием полного дифференциала. Из условия P (x, y) = на∂x  x ходим u(x, y), считая y фиксированным; u = P (t, y) dt + P (x, y) =

x0

∂u = Q(x, y). Исполь∂y зуя теорему о дифференцировании определенного интеграла по параметру, получим ([1], с. 210)  x ∂u ∂P (t, y) = dt + ϕ (y). ∂y ∂y x0  x ∂Q ∂Q ∂u ∂P = , то = dt + ϕ (y) = Q(x, y); Так как ∂x ∂y x0 ∂t x ∂y  Q(t, y) +ϕ (y) = Q(x, y), откуда x0 x   ϕ (y) = Q(x, y) − Q(t, y) = Q(x, y) − Q(x, y) + Q(x0 , y), x0  y Q(x0 , s) ds + C1 . Здесь (x0 , y0 ) – ϕ (y) = Q(x0 , y); ϕ(y) = ϕ(y). Подберем ϕ(y) так, чтобы было

y0

точка из области задания  x уравнения. P (t, y) dt+ Окончательно: u = x0

y y0

Q(x0 , s) ds+C1 . Воз-

вращаясь к уравнению (16), получим его решение  x  y P (t, y) dt + Q(x0 , s) ds = C. x0

y0

20

Замечание 9 Условие (18) называется признаком полного дифференциала. Для уравнения (16) необходимо проверить выполнимость (18). В случае его выполнения решение проводится по указанной выше схеме. Пример 12 Решить уравнение (3x2 + 6xy 2 )dx + (6x2 y + 4y 3 )dy = 0. Решение Проверим выполнимость признака (18):  u=

∂Q ∂P ∂Q ∂P = 12xy, = 12xy, = , ∂y ∂x ∂y ∂x (3x2 + 6xy 2 ) dx + ϕ(y) = x3 + 3x2 y 2 + ϕ(y),

∂u = 6x2 y + ϕ (y) = 6x2 y + 4y 3 , ∂y ϕ (y) = 4y 3 , ϕ(y) = y 4 + C1 , u = x3 + 3x2 y 2 + y 4 + C1 . Решение уравнения: x3 + 3x2 y 2 + y 4 = C. Если левая часть (16) не является полным дифференциалом, то в некоторых случаях удается подобрать такую функцию μ(x, y), после умножения на которую левая часть уравнения становится полным дифференциалом. Общее решение полученного уравнения совпадает с общим решением искомого. Функция μ(x, y) называется интегрирующим множителем. Умножим обе части уравнения (16) на μ(x, y): μ(x, y)P (x, y)dx + μ(x, y)Q(x, y)dy = 0. Для того чтобы левая часть этого уравнения была полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось ∂(Qμ) ∂P ∂μ ∂Q ∂μ ∂(P μ) = , μ +P =μ +Q ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x 21

∂μ ∂μ −Q =μ P ∂y ∂x



∂Q ∂P − ∂x ∂y



(предполагается дифференцируемость функций P, Q и μ). Разделив обе части на μ, получим P

∂ ln μ ∂Q ∂P ∂ ln μ −Q = − . ∂y ∂x ∂x ∂y

Найти μ из этого уравнения можно только в некоторых частных случаях. Рассмотрим  случай, когда μ = μ(y). Тогда ∂ ln μ ∂ ln μ 1 ∂Q ∂P = 0, и = − . Интегрируя, находим ∂x ∂y P ∂x ∂y ln μ при условии, что правая часть не зависит от x. Аналогично рассматривается случай μ = μ(x). Пример 13 Решить уравнение (y + xy 2 )dx − xdy = 0. Решение ∂P ∂Q ∂P ∂Q = 1 + 2xy, = −1, = . Будем искать μ = ∂y ∂x ∂y ∂x μ(y) : ∂ ln μ −2(1 + xy) −1 − 1 − 2xy 2 = = = − , ln μ = −2 ln |y|, ∂y y + xy 2 y(1 + xy) y μ=

x 1 1 + xy dx − , dy = 0 y2 y y2

– уравнение в полных дифференциалах. Его общий интеграл: x x2 + = C. y 2

22

5.

Геометрический смысл дифференциального уравнения и его решения

Пусть y = ϕ(x) – решение уравнения (1), удовлетворя ющее начальным условиям y  = y0 . Геометрически оно x=x0

представляет собой кривую, проходящую через точку (x0 , y0 ) ∈ D. Эта кривая называется интегральной кривой. Через каждую точку области D проходит интегральная кривая, причем единственная (теорема 1). Возьмем какую-либо точку (x1 , y1 ) ∈ D. Из уравнения (1) определим y  (x1 ) = f (x1 , y1 ).

(19)

Эта величина является угловым коэффициентом касательной к кривой y = ϕ(x) в точке x = x1 . Таким образом, (19) позволяет определить направление касательной к решению уравнения (1) в каждой его точке. Говорят также, что (1) задает поле направлений в открытой области D. Геометрически задача решения дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках.

6.

Понятие особых решений. Огибающая семейства кривых

Определение 8 Решение

y = ϕ(x)

(20)

уравнения (1) называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т.е. через каждую его 23

точку (x0 , y0 ), кроме этого решения, проходит и другое решение, имеющее в точке (x0 , y0 ) ту же касательную, что и решение (20), но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности точки (x0 , y0 ). Пусть дано уравнение семейства кривых (2), зависящее от параметра C, принимающего различные значения. При каждом значении параметра уравнение (2) определяет некоторую кривую на плоскости. Придавая C всевозможные значения, получим семейство кривых, зависящих от одного параметра. Определение 9 Линия L называется огибающей однопараметрического семейства кривых, если она в каждой своей точке касается кривой семейства, причем в различных точках касается различных кривых семейства. Найдем уравнение огибающей. Предположим, что семейство кривых (2) имеет огибающую, уравнение которой y = ψ(x), где ψ(x) – дифференцируемая функция. Пусть точка M (x, y) лежит на огибающей. Значит, она лежит на некоторой кривой семейства (2). Этой кривой соответствует определенное значение параметра C, которое для данных (x, y) определяется из уравнения (2): C = C(x, y). Следовательно, для всех точек огибающей   Φ x, y, C(x, y) = 0. (21) Предположим, что C(x, y) дифференцируема и не постоянна ни на одном множестве, содержащемся в D. Из (21) найдем угловой коэффициент касательной к огибающей в точке M (x, y). Продифференцируем (21) по x, считая что y – функция от x: Φx +Φc Cx +(Φy +Φc Cy )y  = 0 или Φx +Φy y  +Φc (Cx + Cy y  ) = 0. Так как C на каждой кривой постоянна, остается для определения углового коэффициента касательной Φx +Φy y  = 0. Предположим, что Φy = 0 (в противном случае аргумент и функцию поменяем местами). Так как огибающая 24

в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства, то и угловые коэффициенты касательных у них равны, и поэтому Φc (Cx + Cy y  ) = 0. Но на огибающей C(x, y) = const, поэтому Cx + Cy y  = 0, следовательно Φc (x, y, C) = 0. Итак, огибающая определяется двумя уравнениями:  Φ(x, y, C) = 0, Φc (x, y, C) = 0. Пример 14 Найти огибающую семейства окружностей (x − C)2 + y 2 = R2 . Решение Φ(x, y, C) = (x − C)2 + y 2 − R2 , Φc (x, y, C) = −2(x − C). Из системы уравнений  (x − C)2 + y 2 − R2 = 0, 2(x − C) = 0, исключаем C и получим y 2 − R2 = 0 или y ± R. Огибающей данного семейства окружностей является пара параллельных прямых (рис.4). y6 R

'$ '$ '$ '$ '$

x

&% &% &% &% &%

R Рис. 4 Пусть уравнение (1) имеет общий интеграл (2). Если семейство (2) имеет огибающую, то можно доказать, что огибающая также является решением уравнения (1). Но она не 25

может быть получена из (2) ни при каком значении постоянной C. Такое решение называется особым решением дифференциального уравнения. Пример 15 Найти особое решение уравнения y 2 (1 + y 2 ) = R2 . Решение Запишем уравнение в виде   R2 − y 2 ydy   = dx, ± R2 − y 2 = x − C; , y =± 2 2 y ± R −y (x − C)2 + y 2 = R2 – общий интеграл данного уравнения. Ранее нашли огибающую этого семейства y = ±R, которая также является решением этого уравнения. Но это особое решение, так как через каждую его точку проходит еще кривая семейства.

7.

7.1.

Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка Метод итераций

Как правило, точное решение дифференциального уравнения бывает найти очень сложно, или даже невозможно. Однако во многих случаях при практическом использовании дифференциальных уравнений этого и не требуется. Можно ограничиться приближенным решением на данном интервале или точными, либо приближенными значениями решения для некоторых дискретных значений переменной. Обратимся снова к уравнению (1), заданному в области D, с начальными условиями (x0 , y0 ) ∈ D. Допустим, что решение 26

   задачи Коши y = ϕ(x) y 



= y0 . Подставим его в (1) и  x  x    проинтегрируем на интервале (x0 , x), y dx = f x, ϕ(x) dx, x0  xx0    x  f x, ϕ(x) dx. Первый y − y0 = x0 f x, ϕ(x) dx, y = y0 +  xx0   f x, y0 dx, второй шаг: шаг: положим y = y0 , y1 (x) = y0 + x0  x   f x, y1 (x) dx. Этот процесс можно y = y1 , y2 (x) = y0 + x=x0

x0

продолжать неограниченно. При достаточно общих условиях он оказывается сходящимся, и в пределе получается y = ϕ(x). Если остановиться на k-м шаге, то yk можно принять за приближенное решение уравнения (1), причем точность тем выше, чем больше k.

7.2.

Метод Эйлера

Рассмотрим уравнение (1) на отрезке [x0 , b] ∈ D с начальными условиями (x0 , y0 ). Разделим отрезок [x0 , b] точками x0 , x1 , . . . , xn = b на n равных частей (x0 < x1 < . . . < b) и обозначим x1 − x0 = x2 − x1 = . . . = xn − xn−1 = h. Иначе b − x0 h= . Пусть y = ϕ(x) – решение уравнения (1), (ϕ(x) – n непрерывная функция). Тогда y0 = ϕ(x0 ), y1 = ϕ(x1 ),. . . ,yn = ϕ(xn ). Выберем h настолько малым, чтобы значение y в промежутке (x0 , x1 ) мало отличалось от y0 . Тогда в этом интервале можно участок кривой заменить отрезком касательной в точке (x0 , y0 ) y ≈ y0 +(x−x0 )y0 или y ≈ y0 +(x−x0 )f (x0 , y0 ). Для точки x1 имеем y1 = y0 + hy0 , где y0 = f (x0 , y0 ). Аналогично y2 = y1 + hy1 , где y1 = f (x0 , y0 ). Продолжая процесс, получим yk+1 = yk + hyk , где yk = f (xk , yk ). Схему Эйлера

27

можно представить формулами  Δyk = hyk , yk+1 = yk + Δyk .

(22)

Геометрически она означает, что интегрируемая кривая заменяется ломаной, звенья которой имеют постоянную проекцию h на ось абсцисс. Первое звено касается истинной интегральной кривой в точке (x0 , y0 ). Полученные из геометрических соображений формулы могут быть обоснованы аналитически. Из уравнения (1) получим  xk+1   f x, ϕ(x) dx. (23) yk+1 = yk + xk

  Если здесь принять функцию f x, ϕ(x) постоянной, равной ее значению в точке xk , то интеграл будет равен hf (xk , yk ), и (23) превращается в (22).

7.3.

Уточненный метод Эйлера

Рассмотрим уравнение (1) с начальными условиями (x0 , y0 ). Аналогично (23), взяв двойной промежуток, получим  xk+1   f x, ϕ(x) dx ≈ yk 2h. yk+1 = yk−1 + xk−1

Так как из этой формулы невозможно получить y1 , воспользуемся для его вычисления методом Эйлера: y1 = y0 + hy0 . Итак, получили схему, которая называется уточненным методом Эйлера: y1 = y0 + hy0 ; yk+1 = yk−1 + 2hyk ; (k ≥ 1), где yk = f (xk , yk ).

28

7.4.

Метод прогноза и коррекции

Если в уравнении (1) в качестве значения f (x, y) взять полусумму значений на концах промежутка и проинтегрировать (1) в (xk , xk+1 ), получим  xk+1 h f (x, y) dx ≈ [f (xk , yk ) + f (xk+1 , yk+1 )]. yk+1 = yk + 2 xk [y = ϕ(x) – решение уравнения (1)], h = xk+1 − xk или yk+1 = yk +

h [f (xk , yk ) + f (xk+1 , yk+1 )] , 2

(24)

В (24) неизвестное значение yk+1 содержится в обеих частях равенства, поэтому нахождение его разбиваем на два этапа. Сначала возьмем приближенное значение yk+1 , полученное по методу Эйлера предв yk+1 = yk + hf (xk , yk )

(25)

(предварительное значение означает прогноз). Подставляя (25) в правую часть (24), найдем уточненное значение yk+1 уточн yk+1 = yk +

h [f (xk , yk ) + f (xk+1 , yk+1 )] . 2

Процесс последовательных итераций можно продолжить.

7.5.

Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Если решение дифференциального уравнения не сводится к интегралам, то в качестве решения задачи Коши с начальными условиями (x0 , y0 ) можно использовать представление 29

этого решение в виде ряда Тейлора. Сумма конечного числа первых членов этого ряда будет приближенно равняться искомому решению задачи Коши. Требуется найти решение  уравнения (1), удовлетворяю = y0 . Допустим, что решение щее начальным условиям y  x=x0

y = ϕ(x) существует и представимо в виде ряда Тейлора (x − x0 ) (x − x0 )2  +ϕ (x0 ) +. . . . (26) y = ϕ(x) = ϕ(x0 )+ϕ (x0 ) 1! 2! 

Требуется найти коэффициенты этого ряда. Из (26) опре  деляем ϕ(x0 ) = y  = y0 . Из уравнения (1) определяем x=x 0    = f (x0 , y0 ). Дифференцируя обе части уравнеϕ (x0 ) = y  x=x0

ния (1) по x, получим в предположении существования требуемых производных (27) y  = fx (x, y) + fy (x, y)y  ,     . Продолжив дифференциоткуда найдем ϕ (x0 ) = y  x=x0

рование (27), будем находить последующие коэффициенты ϕ (x0 ), ϕ(4) (x0 ) и т.д. Пример 16 Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд (ряд Тейлора) решения y = ϕ(x) уравнения   y  = 2ey + xy, y  = 0. x=0 Решение x x2 x3   y = ϕ(x) = ϕ(0) + ϕ (0) + ϕ (0) + ϕ (0) + . . . , 1! 2! 3!      ϕ(0) = y  = 0, ϕ (0) = y  = 2, 

x=0 

x=0

y = 2ey y  + y + xy  , 30

 ϕ (0) = y   



x=0

= 2 · 2 = 4,

2

y  = 2ey y  + 2ey y  + 2y  + xy  ,     ϕ (0) = y  = 2 · 22 + 2 · 4 + 2 · 2 = 20, x=0

y = ϕ(x) ≈ 2x + 2x2 +

10 3 x. 3

Библиографический список 1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1975. Т.2. 2. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 3. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1970. 4. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Т. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М.: Высш. шк., 1978. 5. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М.: Наука, 1970.

Оглавление 1. Понятие дифференциального уравнения

3

2. Дифференциальные уравнения первого порядка 4 31

3. Восстановление дифференциального уравнения по его общему решению 6 4. Некоторые виды дифференциальных уравнений первого порядка 7 4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли . . . . . . . 13 4.3.1. Метод Бернулли . . . . . . . . . . . . . . 14 4.3.2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) . . . . . . . . . . . 15 4.3.3. Метод интегрирующего множителя . . . 16 4.4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель . . . . . . . . . . . . . . 18 5. Геометрический смысл дифференциального уравнения и его решения 23 6. Понятие особых решений. Огибающая семейства кривых 23 7. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка 26 7.1. Метод итераций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7.2. Метод Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.3. Уточненный метод Эйлера . . . . . . . . . . . . 28 7.4. Метод прогноза и коррекции . . . . . . . . . . . 29 7.5. Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов . . . . . . . 29 Библиографический список 32

31

Учебное издание Зингер Абрам Аронович Зингер Виктор Абрамович Сирота Юрий Наумович

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Учебно-методическое пособие

Редактор А. В. Семенчук Подписано к печати 1.07.04. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,16. Уч.-изд. л. 1,25. Усл.кр-отт. 1,11. Тираж 300 экз. Заказ № Редакционно-издательский отдел Отпечатано с авторского оригинал-макета СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б.Морская, 67