МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ И АВАРИЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЯДЕРНЫХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВКАХ. Лабораторный практикум

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

В.И. Наумов, В.Е. Смирнов

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ И АВАРИЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЯДЕРНЫХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВКАХ Лабораторный практикум

Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2007

УДК 621.039.598(076.5) ББК 31.46я7 Н34 Наумов В.И., Смирнов В.Е. Моделирование нестационарных и аварийных процессов в ядерных энергетических установках: Лабораторный практикум. М.: МИФИ, 2007. – 104 с.

Пособие содержит методические материалы для лабораторного практикума, сопровождающего курсы «Динамика и безопасность ядерных реакторов», «Экспериментальная реакторная физика» и «Основы экспериментальной реакторной физики» читаемые в МИФИ. Эти курсы – в числе базовых в цикле подготовки инженеров-физиков по специальности Ядерные реакторы и энергетические установки. Цель лабораторного практикума – демонстрация и изучение физических механизмов протекания нестационарных процессов в ядерных реакторах. Генератором нестационарных процессов является математическая модель нульмерного ядерного реактора с обратными связями в реактивности и без них. Пособие предназначено для студентов, специализирующихся в области физики реакторов и энергетических установок. Может быть полезным для аспирантов соответствующих специальностей и специалистов, повышающих свою квалификацию.

Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы. Рецензент канд. техн. наук В.П. Алферов

ISBN 978- 5-7262-0858-9 © Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2007

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ...........................................................................................5 Теоретические основы практикума ......................................................7 1. Кинетика реактора в точечном приближении ............................7 2. Динамика реактора в точечном приближении ........................ 23 3. Использование частных решений уравнений кинетики в точечном приближении для обоснования эксплуатационных экспериментов, выполняемых на ядерном реакторе .............. 37 4. Краткое описание моделирующей программы ........................ 52 Работа 1 Исследование поведения ядерного реактора при скачкообразном изменении реактивности .................................................................... 54 Работа 2 Источник нейтронов в подкритическом реакторе ........................... 60 Работа 3 Линейный ввод (вывод) реактивности .............................................. 64 Работа 4 Исследование влияния обратных связей и механизма саморегулирования ядерного реактора ..................................................... 69 Работа 5 Исследование влияния возмущений входных параметров на поведение реактора с обратными связями по температуре топлива и теплоносителя.................................................................... 73 Работа 6 Динамика реакторов при больших скачках реактивности (нейтронные вспышки)....................................................................... 77

3

Работа 7 Моделирование пространственных переходных процессов в ядерном реакторе ............................................................................. 81 Работа 8 Моделирование процедуры подхода к критическому состоянию и построения зависимости обратного умножения нейтронов в подкритической системе .................................................................... 85 Работа 9 Моделирование процедуры определения реактивности, вводимой стержнями регулирования, посредством измерения установившегося периода изменения мощности реактора ........... 90 Работа 10 Моделирование процедуры определения реактивности, вводимой стержнями регулирования. Дифференциальный метод сброса стержня ....................................................................... 94 Работа 11 Моделирование процедуры определения реактивности, вводимой стержнями регулирования. Интегральный метод сброса стержня .................................................................................. 97 Работа 12 Моделирование процедуры определения реактивности, подкритической системы (интегральный импульсный метод)..... 100 Список литературы ........................................................................... 103

4

ПРЕДИСЛОВИЕ Курсы «Динамика и безопасность ядерных реакторов», «Экспериментальная реакторная физика», «Основы экспериментальной реакторной физики», читаемые в МИФИ на кафедре теоретической и экспериментальной физики ядерных реакторов, являются базовыми в цикле подготовки специалистов по специальности «Ядерные реакторы и энергетические установки» направления «Ядерные физика и технологии». Первый из перечисленных курсов в полном объеме, другие – частично связаны с анализом нестационарных процессов, возникающих при пуске, эксплуатации, обеспечении безопасности ядерных реакторов различных типов. Нестационарные процессы могут инициироваться как внешним воздействием органов управления, так и возмущением физических свойств размножающих сред, связанным с изменением мощности реактора, температуры топлива, температуры и плотности теплоносителя и замедлителя. Сложная картина динамических процессов, включающая взаимосвязь различных факторов, влияющих на баланс нейтронов в реакторе, ограничивает возможности построения простых аналитических моделей для их описания и анализа. Аналитические решения нестационарных уравнений реактора, возможные лишь в простейших случаях, не могут охватить все особенности и дать достаточно полную физическую картину динамических процессов, протекающих в ядерных реакторах. В большинстве практически важных случаев достаточно надежные результаты можно получить только на основе численного моделирования. С целью демонстрации и изучения физических особенностей нестационарных процессов в ядерных реакторах разработан пакет программ, составляющий основу практикума под названием «Моделирование нестационарных и аварийных процессов в ЯЭУ». Разработанный пакет программ оказался также удобным инструментом для моделирования экспериментов, связанных с определением реактивности различными методами, с процедурами выхода в критическое состояние. 5

В практикум входят 12 лабораторных работ, охватывающих основные аспекты нестационарных процессов: • нейтронную кинетику (без обратных связей) при различных способах изменения реактивности, при наличии и отсутствии внешнего источника нейтронов; • динамику при внешнем изменении реактивности и наличии обратных связей по температуре топлива и замедлителя; • динамику при изменении входных параметров теплоносителя (расход, температура); • динамику при больших скачках реактивности (аварийные процессы); • математические модели экспериментов для определения введенной реактивности. Программы практикума базируются на классическом «точечном» приближении, что вполне достаточно для понимания основных закономерностей протекания нестационарных процессов. В рамках практикума студенту предоставляется возможность промоделировать различные характерные ситуации, которые могут возникнуть в процессе работы реактора, вплоть до аварийных, при этом получить как достаточно точную картину переходных процессов с корректным описанием нейтронной кинетики с шестью или пятнадцатью группами эмиттеров запаздывающих нейтронов, так и приближенную, с одной-двумя группами эмиттеров. Компьютерное моделирование дает возможность наблюдать развитие динамических процессов в их совокупности и взаимосвязях, увидеть и проанализировать взаимную зависимость и роль параметров, влияющих на протекание процесса, дать качественное и количественное обоснование по использованию тех или иных приближений. Первое издание методического пособия по моделированию нестационарных процессов в ядерных реакторах было выпущено в 1990 году. В настоящем, третьем издании учтен многолетний опыт использования практикума для обучения студентов на кафедре теоретической и экспериментальной физики ядерных реакторов.

6

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРАКТИКУМА 1. Кинетика реактора в точечном приближении В проблеме изучения нестационарных процессов в ядерных реакторах различают два аспекта: кинетику и динамику. Под кинетикой подразумевается изменение плотности потока нейтронов (мощности реактора) как реакция на внешнее воздействие, приводящее к изменению баланса нейтронов (например, перемещение регулирующих органов), при условии, что внутренние физические свойства активной зоны реактора, потенциально способные повлиять на баланс нейтронов, и спектр нейтронов в реакторе остаются неизменными. Под динамикой подразумеваются нестационарные процессы, обусловленные как внешними воздействиями, так и изменением физических свойств активной зоны, с учетом их взаимного и совокупного влияния на спектр и баланс нейтронов. Модель кинетики в чистом виде может быть применима, в частности, к системам, работающим на малом уровне мощности, например, к экспериментальным критическим стендам, в которых изменение плотности нейтронов не оказывает заметного влияния на физические свойства компонентов активной зоны (температура топлива, температура и плотность замедлителя и пр.) Если задача о пространственно-временном поведении плотности нейтронов в реакторе допускает разделение пространственных и временной переменных, то для описания временной зависимости плотности нейтронов может быть использована «точечная» модель. В «точечной» модели предполагается, что во всех точках активной зоны изменение плотности нейтронов во времени происходит по одному и тому же закону. Уравнения кинетики в «точечном» приближении Система линейных дифференциальных уравнений, описывающая временное поведение плотности нейтронов в «точечном» при7

ближении при изменении реактивности в реакторе с учетом запаздывающих нейтронов и при наличии внешнего источника имеют вид:

ρ−β dn n + ∑ λ iC i + S ; = Λ dt i βi dC i n − λ iC i . = dt Λ

(1.1)

где n – плотность нейтронов; Λ – время генерации мгновенных нейтронов; Λ = Λ′/kэф (Λ′ – время жизни мгновенных нейтронов в реакторе, kэф – эффективный коэффициент размножения); Сi, λi – концентрация и постоянная распада ядер-эмиттеров i-й группы; βi – доля запаздывающих нейтронов i-й группы при делении (отношение числа эмиттированных запаздывающих нейтронов i-й группы к полному числу эмиттированных нейтронов деления); β – полная k эф − 1 доля запаздывающих нейтронов, β = Σ βi; ρ = – реактивk эф ность; S – мощность источника нейтронов. Под S может подразумеваться как внешний источник нейтронов, так и источник, обусловленный вторичными ядерными реакциями с испусканием нейтронов: (γ,n), (α,n), спонтанное деление и др. При прецизионном анализе нестационарных процессов обычно различают шесть групп запаздывающих нейтронов, отличающихся величиной доли βi и постоянной распада ядер – эмиттеров λi . В табл. 1 приведены относительные доли и постоянные распада ядерэмиттеров при делении урана-235 тепловыми нейтронами. Данные для других делящихся нуклидов (уран-233, плутоний-239) отличаются незначительно. Выход и состав ядер-эмиттеров запаздывающих нейтронов для каждого из делящихся нуклидов слабо зависит и от спектра нейтронов, вызвавших деление.

8

Таблица 1 Номер группы 1 2 3 4 5 6

Период полураспада, с 55,72 22,72 6,22 2,30 0,61 0,23

Постоянная распада λ, 1/с 0,0124 0,0305 0,111 0,301 1,14 3,01

Относительная доля, βi/β 0,033 0,219 0,196 0,395 0,115 0,042

В табл. 2 приведены полные выходы (на один акт деления) и полные доли (на один нейтрон деления) запаздывающих нейтронов при делении урана-233, урана-235 и плутония-239 тепловыми нейтронами. Таблица 2 Делящийся нуклид

Уран-233 Уран-235 Плутоний-239

Выход запаздывающих Полный выход нейтронов нейтронов на одно деление на одно деление 0,0066 0,0158 0,0061

2,48 2,43 2,87

Доля запаздывающих нейтронов, β 0,00266 0,00650 0,00212

Энергетическое распределение и средняя энергия запаздывающих нейтронов существенно отличаются от энергетического распределения и средней энергии мгновенных нейтронов, в связи с чем их ценность и относительный вклад в коэффициент размножения kэф могут отличаться от ценности и относительного вклада мгновенных нейтронов и быть различными для реакторов разных типов. Для учета всех эффектов, влияющих на относительную ценность запаздывающих нейтронов, обычно вводят «эффективную долю» запаздывающих нейтронов, в принципе отличающуюся от ядерно-физической доли для заданной топливной композиции, учитывающую различную вероятность утечки и способность вызвать деление изотопов, имеющих пороговый характер сечения деления (уран-238, торий-232). В дальнейшем будем полагать, что в 9

уравнениях кинетики и динамики под параметром β подразумевается «эффективная доля» запаздывающих нейтронов. Для качественного или приближенного анализа нестационарных процессов часто используют упрощенные модели кинетики с двумя или одной группой запаздывающих нейтронов. Модель с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов формулируется следующим образом:

dn ρ−β = n + λC + S ; dt Λ dC β = n − λC , dt Λ

(1.2)

где β, λ, С соответственно, полная эффективная доля запаздывающих нейтронов, средняя эффективная постоянная распада и полная концентрация ядер-эмиттеров. Модель с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов удобна тем, что в ряде случаев позволяет получить аналитическое решение задачи. Количественные результаты, полученные при использовании упрощенной модели, зависят от того, насколько принятые допущения соответствуют объективным условиям задачи и насколько удачно подобраны параметры модели. В нестационарных процессах, связанных с управлением реактора, допустимые значения вводимой положительной реактивности всегда существенно меньше эффективной доли запаздывающих нейтронов β. Если введенная реактивность ρ превышает β, будет иметь место разгон на мгновенных нейтронах, что может создать аварийную ситуацию. На вводимую отрицательную реактивность это ограничение не распространяется. Кинетика при скачкообразном изменении реактивности

Если внешний источник отсутствует или пренебрежимо мал, а введенная реактивность постоянна, система уравнений (1.1) превращается в систему однородных линейных уравнений: 10

dn ρ − β n + ∑ λi C i , = dt Λ i dCi βi = n − λiC , Λ dt

(1.3)

общее решение которой может быть представлено в виде суммы экспонент: 6

n(t ) = ∑ А j e

t Tj

,

(1.4а)

j =0

6

Ci (t ) = ∑ Bij e

t Tj

,

(1.4б)

j =0

где Аj, Bij – коэффициенты, определяемые из начальных условий; Тj – периоды, которые могут быть найдены из характеристического уравнения системы (1.3) (уравнения «обратных часов»): ρ=

βi Λ +∑ . T i 1 + λ iT

(1.5)

В суммах (1.4а), (1.4в), содержащих число слагаемых, равное числу исходных уравнений, всегда имеется шесть слагаемых с отрицательными периодами и одно слагаемое, содержащее экспоненциальный множитель с периодом, знак которого совпадает со знаком введенной реактивности. Именно это слагаемое определяет асимптотическое развитие нестационарного процесса, а соответствующий период называется асимптотическим. По истечении времени, за которое слагаемые с малыми отрицательными периодами полностью исчезают, плотность нейтронов и концентрации эмиттеров всех групп изменяются по одинаковому экспоненциальному закону с общим асимптотическим периодом. Уравнения кинетики с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов в применении к кинетике реактора без внешних источников нейтронов имеют вид: 11

dn ρ−β n + λC , = dt Λ dC β n − λC . = dt Λ

(1.6)

Соответствующее характеристическое уравнение “обратных часов” сводится к формуле: ρ=

Λ β + . T 1 + λT

(1.7)

Уравнение (1.7) имеет два корня, соответствующие асимптотическому Т0 и переходному Т1 периодам. Если ρ значительно меньше β, выражения для Т0 и Т1 имеют вид:

T0 =

β−ρ , λρ

(1.8а)

T1 = −

Λ , β−ρ

(1.8б)

а общее решение системы (1.6) можно представить в виде: t

t

n(t ) β T0 ρ T1 e − e , = n ( 0) β − ρ β−ρ

(1.9)

где n(0) – значение плотности нейтронов в критическом реакторе до введения реактивности ρ. Второе слагаемое в выражении (1.9) – быстро затухающая функция. Ее вклад в общее решение тем меньше, чем меньше величина введенной реактивности. Если рассматривается переходный процесс в течение достаточно длительного интервала времени, существенно большего по сравнению с переходным периодом Т1, этим слагаемым можно пренебречь. Для анализа переходных про12

цессов на протяжении больших интервалов времени может быть использована еще более простая модель, носящая название «приближение мгновенного скачка», или «приближение нулевого времени жизни мгновенных нейтронов». Эта модель может быть получена, если в первом уравнении системы (1.6) производную в леdn вой части приравнять нулю. Соответствующее приближенное dt решение при постоянной реактивности имеет вид: t

n(t ) β T0 e , = n ( 0) β − ρ что формально соответствует отбрасыванию второго слагаемого в выражении (1.9). «Приближение мгновенного скачка» может быть использовано и в более общем случае, в модели с шестью группами запаздывающих нейтронов: ρ−β n + ∑ λ iCi ; Λ i dCi βi = n − λ i Ci . Λ dt

0=

(1.10)

Первое уравнение системы (1.10) позволяет установить простую связь между плотностью нейтронов и концентрацией ядер-эмиттеров:

n =

Λ ∑ λ iC i i

β − ρ

.

(1.11а)

В модели с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов связь между плотностью нейтронов и концентрацией ядерэмиттеров имеет вид:

13

n =

ΛλC . β−ρ

(1.11б)

Соотношения (1.11а) и (1.11б) идентичны, если выполняется условие:

λ C = ∑ λ i C i , или λ = i

∑ λ i Ci i

∑ Ci

(1.12)

i

Выражение (1.12) определяет способ усреднения постоянной распада ядер-эмиттеров для модели с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов, дающий возможность получить точное значение асимптотического периода Т0 с помощью приближенной формулы (1.8а). Поскольку относительные концентрации ядерэмиттеров различных групп зависят от величины введенной реактивности, средняя постоянная распада λ тоже есть функция реактивности. Если введенная реактивность ρ << β, то средняя постоянная распада λ слабо зависит от ρ и может быть принята равной средней величине λ при нулевой реактивности. В этом случае λ≅0,08068. Обычно модель с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов используется на практике и может обеспечить достаточно точное описание нестационарных процессов именно в случаях, когда ρ << β. Подкритический и критический реактор с внешним источником

Для контролируемого пуска реактора необходим внешний источник. Для качественного анализа переходных процессов при выходе реактора в критическое состояние может быть использовано «приближение мгновенного скачка» с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов. 14

Пусть в исходном состоянии подкритического реактора мощность внешнего источника равна S, а подкритичность (отрицательная реактивность) равна –ρ0. Тогда плотность нейтронов в реакторе равна n0 =

ΛS . − ρ0

(1.13)

Если в момент времени t = 0 в реактор введена дополнительная реактивность ∆ρ так, что ρ1 = –ρ0 + ∆ρ < 0, то по истечении определенного времени в реакторе установится новая асимптотическая плотность нейтронов: n1 =

ΛS , − ρ1

(1.13a)

при этом установлению асимптотической плотности n1 будет предшествовать переходный процесс

n(t ) = n1 − ( n1 − n'1

t T )e

,

(1.14)

где T – асимптотический период переходного процесса в соответствии с формулой (1.8а): T=

β + ρ1 , − ρ1λ

при отрицательной реактивности имеющий отрицательный знак. Величина n'1 представляет собой мгновенное (в рамках принятой модели) увеличение плотности нейтронов, связанное с мгновенным изменением реактивности:

15

n'1 = n0

β + ρ0 . β + ρ1

(1.15)

Последовательно вводя в реактор небольшими порциями положительную реактивность, можно сколь угодно близко подойти к критическому состоянию. При этом, как видно из приведенных формул, на каждом шаге увеличения реактивности (уменьшения реактивности по модулю) будет наблюдаться увеличение асимптотической плотности нейтронов, но при этом будет увеличиваться и период переходного процесса. Соответственно будет возрастать и время установления асимптотической плотности нейтронов. Предположим, что на последнем этапе перед выходом в критическое состояние реактор характеризуется отрицательной реактивностью –ρk , соответствующей плотностью нейтронов nk =

ΛS − ρk

и концентрацией ядер-эмиттеров Ck =

β nk . Λλ

Последняя порция положительной реактивности ∆ρk = ρk, в результате реактор стал критическим (ρ = 0). В связи со скачкообразным вводом реактивности плотность нейтронов мгновенно увеличивается до значения n ' = nk

β + ρk . β

(1.16)

Период реактора при нулевой реактивности обращается в бесконечность, и реактор без источника был бы стационарным. Однако наличие источника приводит к ежесекундному увеличению ко16

личества нейтронов в реакторе, в результате чего плотность эмиттеров и плотность нейтронов увеличиваются по линейному закону: C (t ) = Ck + St ,

(1.17а)

n(t ) = n' (1 + λt ).

(1.17б)

Удаление источника в момент t1 приведет к некоторому скачкообразному уменьшению плотности нейтронов и дальнейшему сохранению ее на постоянном асимптотическом уровне, соответствующем достигнутой к этому моменту концентрации эмиттеров: n∞ = n(t1 )

λC (t1 ) . λC (t1 ) + S

(1.18)

Линейное по времени нарастание плотности нейтронов в реакторе с источником является признаком выхода в критическое состояние. После удаления источника дальнейшее увеличение (или уменьшение) плотности нейтронов можно осуществить с помощью соответствующего изменения реактивности. Линейное изменение реактивности

Случай, когда вводимая реактивность зависит от времени, представляет интерес для практических задач управления реактором. Более того, существующие правила ядерной безопасности строго ограничивают скорость ввода положительной реактивности и в принципе не допускают ее скачкообразного изменения. В аварийных ситуациях правила безопасности предписывают ввод отрицательной реактивности с максимальной скоростью, но даже в этом экстремальном случае скорость ввода реактивности ограничена скоростью перемещения стержней аварийной защиты. Простейший случай зависимости вводимой реактивности от времени – линейное

17

изменение реактивности: ρ(t) = αt, где α – постоянная скорость изменения реактивности. Аналитическое решение задачи об изменении плотности нейтронов при линейном изменении реактивности может быть получено в модели с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов в приближении «мгновенного скачка». В этом случае система уравнений (1.6) имеет вид:

αt − β n + λC , Λ dC β = n − λC. dt Λ

0=

(1.19)

Если до начала ввода реактивности реактор был стационарен и плотность нейтронов в нем равнялась n0, то при линейном изменении реактивности плотность нейтронов будет изменяться по следующему закону:

n (t ) = n (0)

e −λt α ( t) (1 − β

λβ +1) α

.

(1.20)

Если рассматривать процесс с нарастанием реактивности, то, как следует из (1.20), при достижении реактивности αt = β, плотность нейтронов обращается в бесконечность. Качественно это свидетельствует о достижении критичности на мгновенных нейтронах. Количественным оценкам по формуле (1.20) можно доверять только при αt << β, что является условием использования модели с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов. В этом случае с помощью разложения в ряд Тейлора выражение (1.20) можно привести к виду: n (t ) = e ω (t )t , n0 18

(1.21)

где ω (t ) =

α β

α t ⎤ ⎡ ⎢1 + ( λ + β ) 2 ⎥ . ⎣ ⎦

(1.21а)

Видно, что при линейном изменении реактивности плотность нейтронов изменяется по квазиэкспоненциальному закону с переменной частотой ω(t). Если ввести понятие «текущего периода» 1 dn , то Т(t) в соответствии с традиционным определением: T −1 = n dt можно установить связь между T(t) и ω(t): d ω (t ) t. dt

[T ( t ) ]−1 = ω ( t ) +

(1.22)

Если в момент t1 ввод реактивности прекращен, в реакторе устанавливается постоянный период T = 1/ω(t1) . Качественное представление о поведении плотности нейтронов при плавном изменении реактивности можно получить из выражения (1.11а), полагая ρ функцией времени:

n(t ) =

Λ∑ λi Ci (t ) i

β − ρ(t )

≅

Λ∑ λi Ci (t ) i

β

⎡ ρ(t ) ⎤ ⎢1 + β ⎥ . ⎣ ⎦

(1.23)

Из анализа выражения (1.23) следует, что: • стационарная плотность нейтронов при нулевой реактивности полностью определяется концентрацией эмиттеров запаздывающих нейтронов; • если реактивность изменяется во времени, то отсутствует пропорциональность между концентрацией эмиттеров и плотностью нейтронов, то есть концентрация эмиттеров и плотность нейтронов изменяются по различным законам; • если реактивность изменяется по линейному закону, то, по крайней мере в первый момент после начала ввода реактивности, 19

пока концентрация эмиттеров существенно не изменилась, плотность нейтронов также изменяется по линейному закону; • если реактивность введена и выведена за столь короткое время, что концентрация эмиттеров существенно не изменилась, плотность нейтронов претерпит временное изменение и вернется к исходному состоянию. Относительный вклад различных групп эмиттеров в полную эмиссию запаздывающих нейтронов в нестационарном режиме зависит от соотношения между скоростью изменения реактивности и скоростью распада эмиттеров той или иной группы. Обоснование условий применимости точечной модели кинетики

Точечная модель кинетики реактора базируется на предположении о разделении временной и пространственных переменных при описании нестационарных процессов. Иными словами, предполагается, что во всех точках активной зоны изменение плотности нейтронов во времени происходит по одному и тому же закону, при этом пространственное распределение плотности нейтронов остается неизменным. Именно для точечной модели кинетики введено классическое понятие реактивности и установлена связь между реактивностью и асимптотическим периодом реактора. Вместе с тем, в больших реакторах, характерный размер которых много больше длины миграции нейтронов, при наличии распределенной системы управления, могут возникать переходные процессы, связанные с изменением пространственного распределения плотности нейтронов. В рамках модели кинетики, при отсутствии обратных связей, пространственные переходные процессы рано или поздно приводят к формированию асимптотического пространственного распределения, при котором возможно разделение переменных и использование точечного приближения. Характерные свойства пространственно-временных переходных процессов могут быть продемонстрированы на одномерной модели однородного реактора с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов. 20

Если начало координат поместить в центр активной зоны размером H, то собственное пространственное распределение плотности нейтронов и концентрации эмиттеров запаздывающих нейтронов можно представить в виде:

n( x) = n0 cos

π π x , C ( x) = C0 cos x . H H

(1.24)

Если реактор имеет запас реактивности и распределенную систему регуляторов, то он может быть скомпенсирован различными способами, и в зависимости от способа компенсации в реакторе сформируется распределение плотности нейтронов и концентрации эмиттеров, отличающееся от (1.24). Представим эти стационарные распределения в виде ряда Фурье по собственным функциям однородного реактора: ∞

n0 ( x) = ∑ nk0 cos k =0

∞ (k + 1)π (k + 1) π x , C 0 ( x) = ∑ Ck0 cos x. H H k =0

(1.25)

Пусть в момент t = 0 произошло перемещение однородно распределенных по реактору регуляторов, и реактор стал нестационарным. Нестационарное пространственно-временное распределение плотности нейтронов и концентрации эмиттеров можно представить в виде рядов Фурье с коэффициентами, зависящими от времени: ∞

n( x, t ) = ∑ nk (t ) cos k =0

(k + 1) π x; H (1.26)

∞

C ( x, t ) = ∑ Ck (t ) cos k =0

(k + 1)π x. H

Выражения (1.25) можно считать начальными условиями для (1.26). Или: 21

nk (0) = nk0 , Ck (0) = Ck0 .

(1.26а)

Можно показать, что уравнения, описывающие изменение амплитуд nk (t ) , Ck (t ) , формально совпадают с уравнениями точечной кинетики (1.6): dnk (t ) ρ k − β = nk (t ) + Ck (t ) ; dt Λ (1.27)

dCk (t ) β = nk (t ) − λCk (t ) . dt Λ Отличие состоит в том, что вместо реактивности ρ в первом уравнении системы (1.27) стоит параметр ρk, который можно условно назвать реактивностью для k-й гармонической составляющей плотности нейтронов. Параметр ρk связан с ρ соотношением:

ρk = ρ −

[(k + 1)

]

2

πМ ⎞ − 1 ⎛⎜ ⎟ ⎝ Н ⎠ (1 − ρ) , ⎡ ⎛ πМ ⎞ 2 ⎤ ⎟ ⎥ ⎢1 + ⎜ ⎣ ⎝ Н ⎠ ⎦ 2

(1.28)

где М – длина миграции нейтронов. Из выражения (1.28) следует, что параметр ρ0, соответствующий основной, нулевой гармонической составляющей плотности нейтронов, в точности совпадает с классическим определением реактивности ρ. Для всех гармонических составляющих с номером k > 0 соответствующие значения параметра ρk < ρ. При решении системы уравнений (1.27) для каждого номера k можно воспользоваться известными решениями (1.9) с учетом введенного определения ρk . Если далее ограничиться приближением «мгновенного скачка», то общее решение задачи о пространственно-временном изменении плотности нейтронов в плоском одномерном реакторе можно привести к виду: 22

(k +1)π ⎤ t ⎡ t cos x⎥ β T0 π ⎢ ∞ nk (0) β − ρ0 Tk• H e n(x,t ) = n0 (0) e cos x⎢1 + ∑ ⎥ . (1.29) π β − ρ0 H ⎢ k =1n0 (0) β − ρk cos x ⎥ ⎣ ⎦ H где Tk• = ( 1 − 1 ) −1 – всегда отрицательная величина. Таким обраTk

T0

зом, второе слагаемое в квадратных скобках – затухающая функция, и пространственное распределение плотности нейтронов стремится к собственному распределению, представляемому основной гармонической составляющей, в данном конкретном случае π – cos x . Время переходного процесса определяется временем H формирования нового пространственного распределения концентрации эмиттеров запаздывающих нейтронов. Учитывая, что для перестройки поля концентрации эмиттеров требуется 3–4 средних времени жизни эмиттеров, а среднее время жизни составляет около 13 с, переходный процесс в больших реакторах, связанный с формированием собственного распределения, может занимать несколько десятков секунд. 2. Динамика реактора в точечном приближении

В реакторе, работающем на достаточно высоком уровне мощности, возникающие при нестационарных процессах изменения физических параметров его компонентов могут, в свою очередь, привести к изменению баланса нейтронов в реакторе и, как следствие, к изменению реактивности. Явление воздействия изменяющихся физических параметров реактора на баланс нейтронов называют обратными связями, а изменения реактивности, вызванные изменением тех или иных физических параметров реактора (температура топлива, температура и плотность теплоносителя, температура и плотность замедлителя, температура и плотность отражателя и пр.), принято называть эффектами реактивности. Исходными причина23

ми нестационарных процессов в реакторе могут быть как внешние изменения реактивности, вызванные, например, задачами управления, так и возмущения физических свойств реактора при нарушениях в системе теплоотвода (изменение расхода и входной температуры теплоносителя, изменение давления в контуре циркуляции, нарушения в работе теплообменного оборудования и т.д.). Нестационарное поведение реактора при наличии обратных связей в реактивности может существенно отличаться от поведения, предписываемого моделями кинетики (без учета обратных связей). Эффекты и коэффициенты реактивности

Обратные связи и эффекты реактивности в общем случае проявляются через изменение нейтронных сечений, обусловленные изменением спектра нейтронов и плотности поглощающих и замедляющих нейтроны материалов. Если возмущения реактивности не слишком велики, так, что при установлении связи между реактивностью и изменением какого-либо параметра xi можно ограничиться линейной моделью, эффект реактивности может быть представлен в виде: ∆ρi =

∂ρ ∆xi = α i ∆xi . ∂xi

(2.1)

∂ρ носит название коэффициента реактив∂xi ности по параметру xi (температуре топлива, плотности теплоносителя и т.д.). Если в переходном процессе происходит изменение нескольких параметров xi, то полное изменение реактивности можно представить в виде суммы: Коэффициент α i =

∆ρ = ∑ α i ∆xi . i

24

(2.2)

При анализе медленных переходных процессов, в частности, в задачах управления, часто ограничиваются одной комплексной обратной связью по мощности реактора: ∆ρ =

dρ ∆W = αW ∆W . dW

(2.3)

Под W можно понимать полную мощность реактора, удельную мощность (на единицу объема активной зоны), относительную мощность W/W0 по отношению к исходному состоянию. В соответствии с принятым определением W определяется и размерность αW. Поскольку мощность есть первопричина изменения физических параметров реактора, коэффициент реактивности αW может быть выражен через коэффициенты реактивности по всем параметрам, претерпевшим изменение: αW = ∑ α i i

dxi . dW

(2.4)

Производные под знаком суммы отражают асимптотическое изменение параметров xi при изменении мощности. Если переходный процесс сопровождается изменением физических параметров компонентов реактора с постоянными времени, превышающими постоянную времени изменения мощности, то динамическая модель с обратной связью по мощности может оказаться некорректной. Такая ситуация может возникнуть, в частности, при моделировании быстрых аварийных процессов. Уравнения кинетики в приложении к задачам динамики можно преобразовать таким образом, чтобы в них входила не плотность нейтронов, а мощность, непосредственно влияющая на изменение физических параметров реактора: dW ρ − β = W + ∑ λ i Ci∗ ; dt Λ i (2.5) 25

dCi∗ βi = W − λ i Ci∗ . dt Λ Система уравнений (2.5) получается из системы уравнений для кинетики реактора (1.3) простым умножением на постоянный множитель, зависящий от способа определения мощности W. Если W – полная мощность реактора, то она связана с плотностью нейтронов соотношением: W = nv Σ f EV А.З. , где v – скорость нейтронов, Σf – макросечение деления, Е – энергия на один акт деления, VА.З. – объем активной зоны. В этом случае функцию Ci∗, характеризующую вклад запаздывающих нейтронов i-й группы в мощность реактора, следует определить, как Ci∗ = Ci vΣ f EVА.З.

(2.6)

Если мощность и концентрации эмиттеров измеряются в относительных единицах, комплекс vΣfEVА.З. может быть положен равным единице. Уравнения (2.5) не содержат внешнего источника нейтронов. Если в переходном процессе внешний источник нейтронов является существенным фактором, он может быть введен в уравнения с соблюдением размерности. Основное отличие уравнений динамики от уравнений кинетики состоит в том, что реактивность ρ есть функция как внешнего воздействия, так и изменяющихся в переходном процессе физических параметров компонентов реактора. Поскольку физические параметры сами зависят от мощности, уравнения динамики нелинейны. Корректно построенная модель динамического процесса должна включать, помимо системы (2.5), уравнения связи физических параметров с мощностью реактора. Ниже приведены примеры построения динамических моделей в точечном приближении для различных случаев, представляющих интерес с точки зрения безопасности реактора.

26

Модель с обратной связью по мощности реактора

Если известен коэффициент реактивности по мощности реактора αW, уравнения динамики с обратной связью по мощности можно сформулировать следующим образом: dW (t ) ρ − β = W (t ) + λC ∗ (t ); dt Λ

dC ∗ (t ) β = W (t ) − λC ∗ (t ); dt Λ ρ = ρ 0 + αW (W − W0 ),

(2.7)

где W0 – исходное значение мощности. Если αW < 0, то любое малое отклонение мощности от исходного значения W0 будет приводить к появлению реактивности со знаком, обратным знаку отклонения мощности, стремящейся вернуть систему к ее исходному стационарному состоянию. Внешнее воздействие, например, скачкообразный ввод реактивности ρ0 > 0, при наличии отрицательной обратной связи по мощности, рано или поздно переведет систему в новое стационарное состояние с мощностью W1, соответствующей условию: ρ (2.8) W1 = W0 + 0 . αW При наличии положительной обратной связи система будет неустойчива, и при любом малом исходном возмущении будет удаляться от исходного стационарного состояния. При вводе малой положительной реактивности мощность реактора будет неограниченно возрастать. Сочетание малой отрицательной реактивности с положительной обратной связью по мощности приведет к снижению мощности вплоть до остановки реактора. Серьезный недостаток модели с обратной связью по мощности состоит в том, что в ней отсутствует запаздывание между изменением мощности и изменением реактивности. Вследствие этого мо27

дель с такой обратной связью может быть использована для анализа достаточно медленных процессов, когда временное поведение системы можно представить в виде последовательности квазистационарных состояний. Фактически изменение реактивности, обусловленное той или иной обратной связью, происходит не прямо из-за изменения мощности, а в связи с последующими за изменением мощности изменениями температуры топлива, температуры и плотности замедлителя и теплоносителя и т.д. Эти изменения физических параметров реактора происходят не мгновенно и могут быть описаны соответствующими уравнениями, формирующими в сочетании с базовыми уравнениями кинетики (2.5) модели динамики в тех или иных приближениях. Обратная связь по мощности может использоваться как один из компонентов обратных связей, имитирующий «быструю» обратную связь, в более сложных моделях динамики. Модель с обратной связью по температуре топлива

Простейшая модель с обратной связью по температуре топлива, зависящей от мощности реактора, может быть сформирована следующим образом: dW (t ) ρ − β = W (t ) + λC ∗ (t ); dt Λ dC ∗ (t ) β = W (t ) − λC ∗ (t ); dt Λ dT (t ) mT cT T = W (t ) − W0 ; dt ρ = ρ 0 + α T (TT − TT0 ),

(2.9)

где W(t) и T(t) – текущие значения мощности реактора и средней температуры топлива; W0 и TT0 , соответственно, мощность и средняя температура топлива в исходном стационарном состоянии с 28

ρ = 0; αT – коэффициент реактивности по температуре топлива; mT и cT соответственно, масса и теплоемкость топлива. Если коэффициент реактивности по температуре топлива отрицателен, то при введении положительной реактивности ρ0 < β реактор перейдет в новое стационарное состояние, характеризуемое новыми значениями мощности и температуры топлива. Положительная обратная связь по температуре топлива будет дестабилизирующим фактором, приводящим к неустойчивости реактора. Допустимо применение этой модели при очень малых временах после внесения возмущения, когда условия теплоотвода не очень сильно отразились на температуре топлива. Более корректные модели, учитывающие энергетический баланс и изменение температур компонентов реактора при наличии теплоносителя, сформулированы ниже. Модель динамики при наличии обратных связей по температурам топлива и замедлителя и неизменной температуре теплоносителя

Наличие нескольких обратных связей, с разными знаками коэффициентов реактивности, возможно, приводит к более сложным динамическим процессам, в которых заранее трудно предсказать результат. Ниже приведена модель динамики с двумя обратными связями по температурам топлива и замедлителя. Предполагается, что топливо и замедлитель, в котором имеет место энерговыделение за счет энергии замедляющихся нейтронов и поглощенных гамма-квантов, охлаждаются одним и тем же теплоносителем. Прототипами такого рода систем могут быть, например, канальные реакторы с твердым замедлителем–графитом, охлаждаемые кипящей водой. Долю энергии, выделяющейся в замедлителе, обозначим буквой ε. В типичных ситуациях эта доля составляет 5–7 %. Будем полагать, что обратная связь по плотности кипящего теплоносителя отсутствует. Модель динамики в этих предположениях имеет вид:

29

dW (t ) ρ − β = W (t ) + λC ∗ (t ); dt Λ dC ∗ (t ) β = W (t ) − λC ∗ (t ); dt Λ dT (t ) mT cT T = (1 − ε)W (t ) − k T (TT − TT / н ); dt dTз (t ) mз cз = εW (t ) − k з (Tз − TT/н ); dt ρ = ρ0 + α T (TT − TT0 ) + α з (Tз − Tз0 ),

(2.10)

где ТТ и Тз – средние температуры топлива и замедлителя; mT, mз, cТ, сз – соответственно, их массы и теплоемкости; TT/н – средняя температура теплоносителя; kT и kз – коэффициенты теплопередачи от топлива и замедлителя к теплоносителю. В данной и последующих моделях коэффициенты теплопередачи определены по отношению к полной мощности, передаваемой топливом или замедлителем теплоносителю. Например, для топлива: kT =

(1 − ε)W . TT − TT/н

(2.11)

Если известен коэффициент теплопередачи через единичную поверхность теплосъема k0, то коэффициент теплопередачи по отношению к полной мощности может быть получен умножением k0 на полную поверхность теплосъема. Динамическое поведение реактора с двумя обратными связями зависит от величин коэффициентов реактивности, долей выделяемой энергии в компонентах реактора, массы и теплоемкости компонентов. В реакторах канального типа присутствует положительная обратная связь по температуре замедлителя. Модель (2.10) может быть использована для выяснения условий, при которых эта обратная связь окажет дестабилизирующее влияние на динамическое поведение реактора. 30

Модель динамики при наличии обратных связей по температурам топлива и теплоносителя

Наличие обратных связей по физическим параметрам (температуре, плотности) теплоносителя может быть причиной сложных динамических процессов при нарушении условий нормального теплоотвода от реактора. Модель динамики с двумя обратными связями, по температурам топлива и теплоносителя, может служить инструментом для анализа такого рода переходных процессов. В качестве прототипа реактора, где могут протекать динамические процессы, связанные с нарушениями условий теплоотвода, могут служить, например, реакторы с водой под давлением, в которых теплоноситель одновременно является и замедлителем нейтронов. Пренебрегая малой долей энерговыделения в замедлителе, модель динамики можно сформулировать следующим образом: dW (t ) ρ − β = W (t ) + λC ∗ (t ); dt Λ

dC ∗ (t ) β = W (t ) − λC ∗ (t ); dt Λ dT (t ) mT cT T = W (t ) − k T (TT − TT/н ); dt GT/н cT/н ∆TT/н = k T (TT − TT/н );

(2.12)

ρ = ρ 0 + α T (TT − TT0 ) + α T/н (TT/н − TT/н0 ) .

где TT/н – средняя температура теплоносителя в динамическом процессе; соответственно, TT н0 – средняя исходная температрура теплоносителя при исходной мощности W0; αT/н – коэффициент реактивности по температуре теплоносителя; GT/н и cT/н – расход и теплоемкость теплоносителя; ∆TT/н = Tвых – Tвх – подогрев теплоносителя в активной зоне. Если принять, что TT/н = Tвх+∆TT/н/2, то среднюю температуру теплоносителя можно выразить через входную температуру и расход следующим образом: 31

TT/н =

GT/н cT/нTвх + 0,5kTTT . GT/н cT/н + 0,5kT

(2.13)

В модели (2.12) предполагается, что время прохождения теплоносителя через активную зону существенно меньше характерного времени изменения мощности реактора и температуры топлива, так что переходным процессом изменения температуры теплоносителя можно пренебречь и считать, что она изменяется мгновенно при возмущениях расхода или входной температуры. Важно отметить, что при отрицательной обратной связи по температуре теплоносителя и снижении средней температуры теплоносителя по отношению к исходному состоянию в реактор вводится положительная реактивность, способная вызвать увеличение мощности. Причиной снижения средней температуры теплоносителя может быть увеличение расхода или снижение входной температуры. Динамические процессы при вводе большой положительной реактивности

Одна из экстремальных ситуаций в ядерных реакторах связана с вводом большой положительной реактивности, превышающей долю запаздывающих нейтронов. Причиной таких инцидентов могут быть отказы в системе управления, либо иные нарушения нормального функционирования реактора, приводящие к увеличению реактивности. С точки зрения кинетики без обратных связей такая ситуация приводит к экспоненциальному росту мощности реактора со всеми вытекающими последствиями. Наличие отрицательных обратных связей ограничивает рост мощности и энерговыделения в реакторе, выполняя таким образом функцию самозащиты. Положительная обратная связь может усугубить аварийную ситуацию вплоть до катастрофических последствий. Примером реактивностной аварии, завершившейся разрушением реактора, может служить авария на Чернобыльской АЭС в 1986 году. Вместе с тем, существуют устройства, нормальным режимом работы которых является 32

быстрый ввод большой реактивности с последующим самогашением импульса мощности за счет отрицательных обратных связей, так называемые импульсные реакторы самогасящего действия (ИРСД). В энергетических реакторах ситуации с неуправляемым ростом мощности, угрожающим целостности активной зоны, должны быть исключены за счет выбора соответствующих проектных решений и регламента эксплуатации. Представление о динамических процессах при больших скачках положительной реактивности, значительно превышающих β, и при наличии обратной связи по температуре топлива может быть получено на базе приведенных выше моделей (2.9), (2.10), (2.12). Общая особенность динамических процессов такого рода – ослабление роли запаздывающих нейтронов. Наличие отрицательной обратной связи по температуре топлива приводит к снижению реактивности по мере роста мощности. Мощность достигает максимального значения при ρ = β и далее снижается по мере падения реактивности. Вторая важная особенность быстро протекающего процесса состоит в том, что энергия, накопленная в топливе, не успевает передаваться теплоносителю и практически полностью аккумулируется в топливе. Если пренебречь запаздывающими нейтронами, передачей энергии теплоносителю и исходной мощностью реактора, можно построить упрощенную модель динамического процесса, носящую название модели Нордгейма–Фукса: dW (t ) ρ − β = W (t ); dt Λ dT (t ) mT cT T = W (t ); dt ρ = ρ0 + α T (TT − TT0 ).

(2.14)

Модель Нордгейма–Фукса описывает только быстро протекающую стадию динамического процесса и не может претендовать на описание стадии с участием запаздывающих нейтронов, в отличие от более полных моделей (2.9), (2.10), (2.12). Ценность модели Нордгейма–Фукса состоит в возможности получения аналитических оценок основных параметров, характери33

зующих импульс мощности: максимальную мощность, выделившуюся в процессе импульса энергию, максимальную температуру топлива, длительность импульса. Формулы для оценки перечисленных параметров приведены ниже: 1) максимальная мощность в импульсе: Wмакс =

mT cT (ρ 0 − β ) 2 ; 2 αT Λ

(2.15)

2) энерговыделение в импульсе: Q=

2 (ρ 0 − β) mT cT ; αT

(2.16)

3) максимальная температура топлива: Tмакс = T0 +

2(ρ0 − β) ; αT

(2.17)

4) характерная длительность импульса: t эф =

Λ Q =4 . Wмакс ρ0 − β

(2.18)

Сравнение результатов, полученных на базе более полных моделей, с приведенными аналитическими оценками дает возможность оценить область применимости модели Нордгейма–Фукса. Следует обратить внимание на следующие три обстоятельства, связанные с моделированием динамических процессов и анализом безопасности на основе представленных моделей. Во-первых, во всех моделях фигурирует не максимальная температура топлива, предопределяющая условия его работоспособности и неразрушения, а средняя температура, реализующая обратные связи в реакторе. Во-вторых, в описанные выше модели не заложены механизмы 34

плавления, разрушения топлива. Поэтому в расчетных оценках могут возникать ситуации, когда температура топлива превышает температуру плавления. Естественно, в таких случаях следует принимать расчетные данные как чисто качественные, а область использования моделей ограничивать, исходя из реальных физических свойств материалов. В-третьих, определенную погрешность в расчетные оценки может вносить использование неизменных коэффициентов реактивности в широком диапазоне изменения физических параметров, в данном конкретном случае – температуры топлива. На самом деле коэффициенты реактивности могут быть сами функцией температуры топлива. В частности, разрушение топлива в экстремальных условиях может играть роль механизма обратной связи, ограничивающей рост мощности и энерговыделения в реакторе. При необходимости более детального анализа условий безопасности представленные модели могут быть дополнены соответствующими уравнениями и ограничениями. Тем не менее эти динамические модели дают достаточно адекватную качественную картину динамических процессов при наличии обратных связей. О выборе базовых физических параметров и коэффициентов обратных связей для демонстрационных задач

Выбор в данном лабораторном практикуме температурных эффектов реактивности для демонстрации влияния обратных связей в нестационарных процессах обусловлен, с одной стороны, их определяющей ролью в ряде важных прикладных задач динамики реакторов, а с другой стороны – относительной простотой описания, физической наглядностью и наличием количественных данных по температурным коэффициентам реактивности для реакторов различных типов. Следует учесть, что температурные коэффициенты могут отражать достаточно сложные процессы изменения физических свойств системы и их влияния на реактивность, включая изменение плотности компонентов активной зоны, изменение ее размеров и т.д.

35

В табл. 3 в качестве примера приведены характерные данные по температурным коэффициентам реактивности для энергетических реакторов различных типов. Обозначения αΤ, αЗ, αТ/н , соответственно, коэффициенты реактивности по температуре топлива, замедлителя, теплоносителя. Таблица 3 Коэффициент реактивности, 1/К

αТ αЗ αТ/н

ВВЭР

РБМК

БН

–(2,0 – 3,0)∗10-5 − –(1,0 – 3,0)∗10-4

–(1,0 – 1,5)∗10-5 6,0∗10-5 −

–(0,5 – 0,8)∗10-5 − −

Коэффициенты теплопередачи для каждого конкретного случая могут быть определены исходя из стационарных значений мощности и средних температур компонентов активной зоны. Например, коэффициент теплопередачи от топлива к теплоносителю может быть найден из соотношения (сравни с (2.11)): kT =

W0 . TT0 − TТн

(2.19)

Так, коэффициент теплопередачи от топлива к теплоносителю kT для реактора ВВЭР-1000 при тепловой мощности W0, равной 3200 МВт, средней температуре топлива ТТ0, равной 1200 К, и средней температуре теплоносителя ТТн, равной 600 К, равен 5 МВт/К = = 5∗103 кДж/(К∗с). Теплоемкость воды в диапазоне рабочих температур, характерных для энергетических реакторов (∼600 К), может быть принята равной 5,5 кДж/(кг∗К). В табл. 4 приведены значения теплоемкости сР кДж/(кг∗К) для некоторых топливных композиций и графита в зависимости от температуры. 36

Таблица 4 Температура Т, К 673 873 1073 1273

U – металл 0,140 0,153 0,173 0,200

Теплоемкость сp, кДж/(кг*К) UC UO2 0,264 0,146 0,292 0,156 0,310 0,165 0,326 0,174

Графит 1,00 1,39 1,63 1,79

3. Использование частных решений уравнений кинетики в точечном приближении для обоснования эксплуатационных экспериментов, выполняемых на ядерном реакторе [2], [5]

Частные решения уравнений кинетики положены в основу математических моделей экспериментов, выполняемых в процессе физического пуска ядерного реактора (ЯР) и его нормальной эксплуатации: • безопасного подхода к критическому состоянию при загрузке топлива в активную зону ЯР; • определения реактивности (подкритичности) подкритического ЯР; • определения реактивности, вносимой стержнями регулирования ЯР: – посредством определения асимптотического периода разгона ЯР; – посредством дифференциальной обработки переходного процесса после сброса поглощающего стержня; – посредством интегральной обработки переходного процесса после сброса поглощающего стержня. Построение зависимости обратного умножения нейтронов в процессе загрузки топлива в активную зону ядерного реактора и подхода к критическому состоянию

В подкритической системе с источником нейтронов S, после внесения в нее реактивности ρ (не переводящей ее в критическое 37

или закритическое состояние) и завершения переходного процесса, устанавливается стационарная плотность нейтронов nст , описываемая системой уравнений (1.1) в форме: dn ρ − β = nст + ∑ λ i Ci + S = 0; dt Λ i (3.1) dCi βi = nст − λ i Ci = 0 , i = 1…6. Λ dt

Решение этой системы: nст = − S

Λ . ρ

(3.2)

В точечном приближении стационарная плотность потока нейтронов в подкритической системе пропорциональна мощности источника нейтронов и обратно пропорциональна реактивности подкритической системы: nст Æ ∞ при ρ Æ 0. Знак минус в (3.2) отражает то обстоятельство, что в подкритической системе ρ < 0. Величина, обратная стационарной плотности нейтронного поля 1 ρ . =− nст SΛ

(3.3)

имеет своим пределом 0 при ρ Æ0. Если в подкритической системе имеется детектор нейтронов, который, главным образом, чувствителен к нейтронам, возникшим в системе в результате деления ядер топлива, и слабо чувствителен к нейтронам источника, то скорость регистрации нейтронов таким детектором Nст пропорциональна плотности нейтронов nст. Соотношение (3.3) приобретает вид 1 ρ , = −K N ст SΛ 38

(3.4)

где K – коэффициент пропорциональности. Зависимость (3.4) является основой экспериментального метода, используемого для экстраполированной (из области подкритичности) оценки критической величины параметра изменяемого в процессе подхода к критическому состоянию (массы топлива, толщины или высоты отражателя). Безопасная процедура подхода к критическому состоянию состоит в измерении скорости регистрации нейтронов N стi после каждого изменения параметра и завершения переходного процесса, с последующим построением зависимости RM – обратного умножения плотности нейтронов в системе от величины изменяемого параметра: RM =

N ст0 ρi = 0, N стi ρ

(3.5)

где N ст0 – скорость регистрации нейтронов при первоначальном значении изменяемого параметра; RM – обратное умножение. На каждом этапе увеличения реактивности производится экстраполяция этой зависимости к нулю и определение критического значения изменяемого параметра (см. рис. 3.1). Этапы увеличения реактивности планируются так, чтобы никоим образом не перейти через критическое состояние. Например, изменение параметра на каждом шаге не должно превышать 1/3 его изменения до определенного на предыдущем этапе критического значения. Критический параметр может считаться определенным, если его величина не изменяется на нескольких последовательных этапах (шагах) увеличения реактивности. На рис. 3.1 приведены типичные формы зависимостей обратного умножения нейтронов при изменении массы топлива в системе. В условиях точечного приближения всегда имеет место линейная зависимость 1. Взаимное положение детектора и источника нейтронов влияет на форму кривой обратного умножения. Приближение детектора к источнику нейтронов (или повышение чув39

ствительности детектора к нейтронам источника) придает кривой обратного умножения форму 2. Такая зависимость чрезвычайно опасна. Ее необходимо исключить выбором местоположения источника и детекторов нейтронов. Если этого не сделать, то возможна экстраполяция в область закритичности (см. рис. 3.1) с последующим возникновением аварийной ситуации. Если к моменту начала эксперимента в реакторе еще не установилось собственное пространственное распределение нейтронов, то реализуется зависимость 3.

Мi

Mi+1

Мкр Mкр э3 Мкр э2

Рис. 3.1. Зависимости обратного умножения нейтронов источника от массы загруженного в подкритическую систему топлива: Мi и Mi+1 – массы топлива, загруженные на i и i+1 этапах; Мкр э2 и Мкр э3 – критические массы, полученные в результате экстраполяции по зависимостям 2 и 3

После изменения увеличивающего реактивность параметра стационарная плотность нейтронов в системе устанавливается лишь 40

по завершении переходного процесса. Продолжительность переходного процесса увеличивается по мере приближения системы к критическому состоянию вследствие увеличения периода Т0 (см. (1.8а)). Скорость регистрации нейтронов следует измерять после завершения переходного процесса и достижения стационарной плотности нейтронов в системе.

Определение реактивности, вносимой стержнями регулирования ЯР, посредством измерения асимптотического периода увеличения мощности реактора

Общее решение уравнений кинетики ЯР (1.3), в который введена реактивность ρ, может быть представлено в виде суммы экспонент (1.4а) 6

n (t ) = ∑ А j e

t

Tj

,

(3.6)

j =0

где Tj – периоды решения уравнения «обратных часов» (1.5): ρ=

βi Λ +∑ . T i 1 + λ iT

(3.7)

Если в критический реактор введена реактивность 0<ρ<β, то знак периода Т0 совпадает со знаком введенной реактивности, а периоды Т1…Т6 – отрицательны. Через некоторое время после введения реактивности экспоненты с отрицательными показателями затухнут, и решение примет асимптотическую форму n (t ) = A0 e t / T0 .

(3.8)

Измерив экспериментально асимптотический период разгона реактора Т0 и подставив его в (3.7), получим величину введенной реактивности ρ. 41

Реализация изложенного выше алгоритма определения введенной реактивности обусловлена следующими ограничениями: от момента введения реактивности и до завершения измерения асимптотического периода Т0 не должно изменяться положение стержней автоматического регулирования мощности реактора; рост мощности за время, необходимое для затухания экспонент с отрицательными показателями и измерения асимптотического периода, не должен приводить к проявлению обратных связей в реактивности или создавать угрозу безопасности реактора. Для затухания переходного процесса и достижения асимптотического периода в реакторе требуется (3–4)τ, где τ – среднее время жизни эмиттеров запаздывающих нейтронов. Для осколков деления U235 тепловыми нейтронами τ ≈ 13 с. Ограничивая величину вводимой положительной реактивности предельным значением (например, ρ < 0,3β), тем самым ограничивают минимальную величину асимптотического периода (Т0 > 30 с). Поскольку определение реактивности начинается на минимальном – «нулевом» уровне мощности, то увеличение мощности в 3–5 раз не изменяет существенно температуру активной зоны и не создает угрозы возникновения аварийной ситуации. Метод неприменим в реакторах с бериллиевым или тяжеловодным (D2O) замедлителем. Дело в том, что некоторые осколки деления в процессе распада испускают жесткие γ-кванты. Эти γ-кванты, взаимодействуя с ядрами дейтерия и бериллия, имеющими низкую энергию связи нейтрона, рождают запаздывающие фотонейтроны. Среднее время жизни эмиттеров запаздывающих γ-квантов в урантяжеловодном реакторе 24 мин, в уран-бериллиевом реакторе 3,3 ч. Хотя фотонейтроны обычно составляют малую долю полной плотности нейтронов, их влияние на кинетику реакторов может быть значительным. Время достижения асимптотического периода становится недопустимо большим, что исключает применение метода асимптотического периода.

42

Определение реактивности, вносимой стержнем регулирования ЯР, посредством обработки переходного процесса после сброса стержня

Проблема недопустимо большого времени достижения асимптотического периода в реакторе, активная зона которого содержит дейтерий или бериллий, преодолена в методе сброса стержня регулирования в стационарный критический реактор. Точнее, она перенесена на этап выведения установки в критическое состояние. Измерения введенной сброшенным стержнем реактивности производится на начальном этапе переходного процесса, изображенного на рис. 3.2. Поскольку среднее время жизни подавляющего количества эмиттеров запаздывающих нейтронов (как осколков деления, так и эмиттеров запаздывающих фотонейтронов) превышает это время, то распределение концентраций эмиттеров запаздывающих нейтронов, сформированное в процессе достижения стационарного критического состояния, на начальном этапе переходного процесса изменится незначительно. Разработаны два варианта методов, различающиеся предположением о длительности сброса: – «мгновенный» сброс; – сброс в течение некоторого конечного времени ε. В предположении возможности «мгновенного» сброса стержня переходный процесс можно описать системой уравнений кинетики (1.6) с одной группой запаздывающих нейтронов, характеризуемой постоянной распада λ (1.12):

λ=

∑ λ i Ci i

∑ Ci

.

(3.9)

i

Решение системы (1.6), после «мгновенного» сброса стержня в критический реактор, имеет вид (1.9):

43

t t ⎡ β ⎤ ρ T0 T1 n (t ) = n ( 0 ) ⎢ e − e ⎥, β−ρ ⎢⎣ β − ρ ⎥⎦

(3.10)

где n(0) – плотность нейтронов в критическом реакторе до сброса стержня; Т0 и Т1 – соответственно, установившийся и переходный периоды (1.8а) и (1.8б): T0 =

β−ρ , λρ

T1 = −

Λ . β−ρ

Переходный процесс после сброса стержня изображен на рис. 3.2а в полулогарифмическом масштабе. Поскольку Т 0 >> T1 , то, после затухания второго члена (3.10), переходный процесс будет представлен его первым членом: t

β n 0 (t ) = n ( 0 ) e T0 . β−ρ

(3.11)

В полулогарифмическом масштабе (3.11) – прямая линия. Экстраполируя эту прямую к моменту t = 0, получим: n 0 (0 ) =

n (0) β n (0) , = β − ρ 1− ρ

(3.12)

β

откуда: ρ n ( 0) =1− . β n0 (0)

(3.13)

Выражение (3.13) является основой для формулирования алгоритма определения введенной в реактор реактивности: Реактор вывести в критическое состояние. Определить n(0) – плотность потока нейтронов в критическом реакторе. 44

n(0) n0(0) 0

∫ n(t )dt

а

−t

t+ε

∫ n ( t ) dt ε

-t

τ

t +τ

ρ τ

б -ρ

Рис. 3.2. Переходный процесс после сброса стержня регулирования в критический реактор (а); график изменения реактивности за конечный интервал времени τ изображен штрих-пунктирной линией (б)

Произвести «мгновенный» сброс стержня регулирования, для которого предполагается определить вводимую им реактивность. Произвести дифференциальную*) запись переходного процесса (разделив его на одинаковые временные интервалы) в течение 3 с после сброса стержня. Данные переходного процесса из интервала 1–2 с экстраполировать к моменту t = 0 и определить n0(0). По формуле (3.13) определить ρ/β. *)

Примечание. Рассмотренный вариант метода сброса стержня называют также дифференциальным методом сброса стержня.

45

Технические проблемы реализации безопасного «мгновенного» сброса стержня регулирования в критический реактор ограничивают его применение. Время сброса стержня τ должно быть много меньше Т1. Если это условие не выполнено, то возникает вопрос о правомерности определения n0(0) экстраполяцией первого члена (3.10) к моменту t = 0 (началу сброса стержня). Метод имеет также ограничения по величине вводимой реактивности. Суть проблемы в том, что одногрупповая модель, использованная при обосновании метода, допустима, если концентрации эмиттеров, соответствующих в начальный момент критическому состоянию, не изменяются. При введении большой отрицательной реактивности концентрации короткоживущих эмиттеров быстро уменьшаются, и одногрупповая модель становится неприменимой для описания переходного процесса после сброса стержня, а сделанные на основе этой модели выводы теряют достоверность. Для обработки переходного процесса, если сброс стержня регулирования происходит в течение некоторого конечного временного интервала, предложен интегральный метод обработки начального этапа переходного процесса (см. рис. 3.2.) после сброса стержня. Для обоснования метода можно использовать решение уравнения кинетики с одной группой запаздывающих нейтронов (3.10), (1.8а) и (1.8б). Проинтегрируем это соотношение в пределах от 0 до ∞: t t ∞⎡ β β T0 ρ T1 ⎤ ⎡ β ρΛ ⎤ ≅ − n ( 0) N = n ( 0) ∫ ⎢ e − e ⎥dt = n(0) ⎢− . − 2⎥ λρ β − ρ β − ρ λρ ( ) β − ρ ⎥ 0⎢ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦

Поскольку β ρΛ >> , λρ (β − ρ) 2

46

ρ n(0) ≅− . β Nλ

то

Этот метод имеет два существенных преимущества: нет необходимости измерять дифференциальное временное распределение плотности нейтронов; можно избежать неопределенностей, связанных с конечным временем сброса стержня. Однако остается проблема бесконечного времени ожидания конца измерений. Реально, это – десятки часов. Проблему бесконечного времени ожидания решил американский физик Шульц (Schultz M.A.). В соответствии с методом, предложенным Шульцем, реактивность, введенная в реактор стержнем регулирования, может быть выражена соотношением: ρ = С (1 − R) , β

(3.14)

0

где

R=

∫ n(t )dt

−t t +τ

∫ n(t )dt τ

=

t +τ

n0t

;

∫ n(t )dt τ

(3.15) n0 – плотность нейтронов в критическом реакторе перед сбросом стержня регулирования (см. рис. 3.2.); τ – время сброса стержня (см. рис. 3.2.); t ≈ 15 с – некоторое время, подлежащее оптимизации по критерию минимальной зависимости С от ρ; С = f(τ, t, Λ, β, 0(ρ)) – параметр, слабо зависящий от реактивности (условно – константа). Константу С определяют в процессе расчетного моделирования с помощью математической модели, адекватной исследуемому реактору. При определении параметра R исключено время сброса стержня – интервал от 0 до τ.

47

Интегральный импульсный метод определения реактивности подкритической системы [5]

После достижения асимптотического пространственно-энергетического распределения нейтронов в подкритической системе, облученной нейтронным импульсом, для описания переходных процессов в ней можно использовать систему дифференциальных уравнений кинетики в точечном приближении (3.1). Асимптотическое распределение концентраций эмиттеров запаздывающих нейтронов по группам устанавливается только по истечении (3–4) τ (τ – среднее время жизни эмиттеров запаздывающих нейтронов), то есть после многократного повторения циклов облучения системы нейтронными импульсами. Длительность нейтронного импульса должна быть много меньше характерного времени спада плотности мгновенных нейтронов в системе. Период следования нейтронных импульсов Т выбирается таким, чтобы за это время происходил полный спад мгновенной составляющей плотности нейтронов, а интенсивность запаздывающих нейтронов изменилась незначительно. Асимптотическая плотность нейтронов в подкритической системе, возбуждаемой короткими периодическими импульсами нейтронов от внешнего источника, представляется в виде суммы плотности мгновенных и запаздывающих нейтронов: n(t ) = nм (t ) + nз (t ) .

(3.16)

Мгновенная составляющая плотности нейтронов описывается уравнением: dnм (t ) ρ − β = (3.17) nм (t ) + S (t ) , Λ dt которое получается из первого уравнения (3.1), если удалить из него член, описывающий генерацию запаздывающих нейтронов. Так как источник включается на очень короткое время, то, спустя некоторое время после его выключения, в системе устанавливается 48

асимптотическое пространственно-временное распределение мгновенной составляющей nм.ас(t): nм.ас (t ) = n0 (0) exp(−λ 0t ) , ρ − β 1 − К эф (1 − β) λ0 = = . Λ′ Λ

где

(3.18) (3.19)

Асимптотическое временно́е поведение плотности нейтронов на интервале между импульсами возбуждения представлено на рис. 3.3.

ln[n(t)] n0(0)

n(t)=nз(t)+n0(0)exp(-λ0t)

n(t)=nз(t)+nм(t) Nм n(t)=nз(t) Nз

t

0

T

Рис. 3.3. Идеализированная зависимость поведения плотности нейтронов от времени в подкритической системе, облучаемой короткими (~1 мкс) импульсами быстрых нейтронов за период их повторения Т~10 мс (n0(0) – амплитуда асимптотической части мгновенной компоненты nм(t) плотности нейтронов; nз(t) – запаздывающая компонента плотности нейтронов; Nм и Nз – интегралы распределений плотности мгновенных и запаздывающих нейтронов) 49

Введем интегральные по времени значения мгновенной Т

N м = ∫ nм (t ) dt

(3.20)

0

и запаздывающей Т

N з = ∫ nз (t )dt

(3.21)

0

компоненты временно́го распределения плотности нейтронов в интервале между импульсами, а также полный интеграл Т

N = ∫ n(t )dt .

(3.22)

0

Необходимыми и достаточными условиями достижения стационарного (асимптотического) состояния по концентрации эмиттеров запаздывающих нейтронов являются соотношения: Т

dn(t )

∫ dt dt = 0 , 0

Т

Т

dn (t )

dС (t )

м i ∫ dt dt = 0 и ∫ dt dt = 0 , 0 0

(3.23)

которые отражают очевидный факт равенства начального (при t = 0) и конечного состояния (при t = Т) перечисленных в (3.23) параметров в циклах облучения системы нейтронными импульсами. dCi dnм dn и из (3.1), из (3.17), Подставив в интегралы (3.23) dt dt dt выполним интегрирование и получим: 6 T dn ( t ) ρ−β dt = N − ∑ ∫ dt ∫ λ i C i ( t ) dt + Q = 0 ; Λ i =1 0 0

Т

Т

dn (t )

ρ−β

м ∫ dt dt = Λ N м + Q = 0; 0

50

(3.24)

(3.25)

6 T dСi (t ) β dt = N з − ∑ ∫ λ i Ci (t ) dt = 0 . dt Λ i =1 0 i =1 0 6 Т

∑∫

(3.26)

где Q – полное число нейтронов, инжектируемых источником в систему за импульс. Последовательно вычитая из левой и правой части уравнения (3.24) левую и правую части уравнений (3.26) и (3.25), получим: N ρ =− м . β Sj | Nз

(3.27)

На основе (3.27) Щестрандом (Sjostrand N.G.) был предложен метод определения реактивности подкритической системы (подρ критичности), заключающийся в определении как отношения β площадей Nм и Nз (см. рис. 3.3). Прозрачный и простой метод, предложенный Щестрандом на основе рассмотрения кинетики подкритической системы в точечном приближении, усложняется в процессе его практической реализации по следующим причинам: достижение пространственно-энергетической асимптотики происходит по истечении некоторого времени после импульса быстрых нейтронов; в начальный момент плотность нейтронов велика и возникают значительные, не допускающие корректировки просчеты при регистрации нейтронов детекторами с конечным мертвым временем. Перечисленные причины искажают реальное временно́е распределение скорости регистрации мгновенных нейтронов, изображенное (заштрихованное) на рис. 3.3. Оно не отражает временного распределения плотности нейтронов в системе, и не может быть использовано в формуле (3.27). Метод преодоления возникших экспериментальных проблем предложил Гозани (Gozani T.). Он рекомендовал следующие меры: внести поправки на просчеты, где это возможно; 51

заменить истинное временно́е распределение скорости регистрации нейтронов асимптотическим, которое имеет вид n (t ) = n0 exp ( −λ 0t ) ; экстраполировать измеренное распределение из области, где оно достоверно, к моменту времени t = 0, и определить параметры n0 и λ0.; определить площадь экстраполированного распределения мгновенных нейтронов Nм = n0/λ0 , (3.28) Подставив (3.28) в (3.27), получим формулу Гозани: ρ n =− 0 , β λ0 Nз

(3.29)

которая дает слегка завышенную оценку ρ/β. Ограничения метода Применимость точечного приближения для описания нейтронного поля в системе. Если задача о пространственно-временном поведении плотности нейтронов в реакторе допускает разделение пространственных и временных переменных, то для описания временной зависимости может быть использована точечная модель. Однозонная однородная система удовлетворяет этим требованиям. Для того чтобы параметры уравнений кинетики можно было считать константами, система должна быть близкой к критическому состоянию. 4. Краткое описание моделирующей программы

В моделирующей программе реализовано решение систем дифференциальных уравнений кинетики точечного (нульмерного) ядерного реактора с обратными связями в реактивности и без них: (1.1), (1.2),(1.3),(2.5),(2.7),(2.9),(2.10),(2.12),(2.14). 52

Расчетный алгоритм – неявная численная схема с корректирующими итерациями и автоматической корректировкой шага по времени. Запаздывающие нейтроны представлены одногрупповой, двухгрупповой и шестигрупповой системами констант запаздывающих нейтронов от осколков деления 235U, а также пятнадцатигрупповой системой констант, включающей шесть групп осколочных запаздывающих нейтронов и девять групп фотонейтронов из реакции 9 Be(γ,n). Возможен ввод реактивности скачком или по линейному закону. Возможно включение или выключение источника нейтронов. Управление программой производится через удобный диалоговый интерфейс. Исходные данные для задач, приведенных в пособии, вводятся автоматически при загрузке или смене задач. Диалоговый интерфейс позволяет изменять параметры в процессе решения задачи. Каждый завершенный рассчитанный вариант записывается в файл. Одной задаче отводятся не более 10 файлов (вариантов). Результаты расчета могут быть извлечены из файлов и выведены на дисплей в цифровой или графической форме для каждого из 10 сохраненных файлов.

53

Работа 1 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ЯДЕРНОГО РЕАКТОРА ПРИ СКАЧКООБРАЗНОМ ИЗМЕНЕНИИ РЕАКТИВНОСТИ Цель: сопоставление переходных процессов в плотности потока нейтронов и эмиссии запаздывающих нейтронов для выявления: – влияния выбранного описания запаздывающих нейтронов (одна или шесть групп) на поведение критического ядерного реактора при скачкообразном изменении реактивности; – условий, при которых одногрупповое приближение в описании запаздывающих нейтронов дает близкий к истине (6 групп) прогноз поведения ядерного реактора. Содержание: моделирование переходных процессов в ядерном реакторе при скачкообразном изменении реактивности. Модель: ядерный реактор в точечном приближении без обратных связей по реактивности с одно- и шестигрупповым описанием запаздывающих нейтронов и скачкообразным изменением реактивности. Исходное состояние: критическое. Введение

Система линейных дифференциальных уравнений, описывающая временное поведение плотности нейтронов в «точечном» приближении при изменении реактивности в реакторе с учетом запаздывающих нейтронов в отсутствие внешнего источника (1.3.), имеет общие решения (1.4а и 1.4б) представляемые суммой экспонент: 6

n (t ) = ∑ А j e

t

Tj

,

j =0 6

Ci (t ) = ∑ Bij e

t

Tj

.

j =0

Число слагаемых в решениях равно числу исходных уравнений. При этом, шесть слагаемых в решениях имеют экспоненциальные множители с отрицательными периодами (то есть эти слагаемые 54

затухают) и одно слагаемое, содержащее экспоненциальный множитель с периодом, модуль которого больше модуля любого из отрицательных периодов, а знак совпадает со знаком реактивности. Именно это слагаемое определяет асимптотическое развитие нестационарного процесса, а соответствующий период называется асимптотическим. По истечении времени, необходимого для завершения переходного процесса формирования установившегося спектра эмиттеров запаздывающих нейтронов, плотность нейтронов и концентрации эмиттеров всех групп изменяются по одинаковому экспоненциальному закону с общим асимптотическим периодом. ⎛ dn ⎞ «Приближение мгновенного скачка» ⎜ = 0 ⎟ в модели с ше⎝ dt ⎠ стью группами запаздывающих нейтронов (1.10) позволяет установить простую связь между плотностью нейтронов и концентрацией ядер-эмиттеров (1.11а): Λ n =

∑

λiCi

i

β − ρ

.

В модели с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов связь между плотностью нейтронов и концентрацией ядерэмиттеров имеет вид (1.11б): n =

ΛλC . β−ρ

Соотношения (1.11а) и (1.11б), идентичны, если выполняется условие (1.12): ∑ λ i Ci . λ C = ∑ λ i C i , или λ = i i ∑ Ci i

Последнее выражение определяет способ усреднения постоянной распада ядер-эмиттеров для модели с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов, дающий возможность полу55

чить точное значение асимптотического периода Т0 с помощью приближенной формулы (1.8а): β−ρ T0 = . λρ Поскольку относительные концентрации ядер-эмиттеров различных групп зависят от величины изменения реактивности, то средняя постоянная распада λ (обратное время жизни) эмиттеров запаздывающих нейтронов тоже есть функция реактивности. Если изменение реактивности ρ << β, то λ слабо зависит от ρ и может быть принята равной средней величине λ при нулевой реактивности. В этом случае λ ≅ 0,08068. Модель с одной эффективной группой запаздывающих нейтронов может обеспечить достаточно точное описание нестационарных процессов в случаях, когда ρ << β. В процессе выполнения работы предлагается выявить закономерности изменения во времени плотности нейтронов, n(t); −1

d ln[n(t )] ⎞ текущего периода T (t ) = ⎛⎜ ⎟ ; dt ⎝ ⎠ суммарной эмиссии запаздывающих нейтронов и текущего значения средней эффективной постоянной распада (обратного време∑ Ci (t )λ i (t ) ни жизни) эмиттеров запаздывающих нейтронов λ (t ) = ∑ Ci (t ) (переменная LAMBDA в таблице результатов расчета) при скачкообразных изменениях реактивности с использованием «точного» (6 групп) или «приближенного» (1 группа) описания запаздывающих нейтронов. Порядок выполнения работы

1. Получить у преподавателя вариант для выполнения работы. 2. Запустить программу BODYDIN. 3. Выбрать лабораторную работу N 1. 4. Моделировать как варианты переходные процессы при заданных скачках реактивности в одно- и шестигрупповом приближении. 56

5. Для заданий, выделенных жирным шрифтом в табл. 1.2, в одно- и шестигрупповом приближении описания запаздывающих нейтронов, вывести на дисплей и зарисовать в рабочем журнале графики следующих зависимостей: плотности нейтронов, текущего периода, суммарной эмиссии запаздывающих нейтронов, текущего значения средней эффективной постоянной распада эмиттеров запаздывающих нейтронов λ(t)=ΣСiλi/ΣСi (обратного времени жизни эмиттеров запаздывающих нейтронов – переменной LAMBDA в таблице результатов расчета ). 6. Моделировать как варианты переходные процессы для каждого скачка реактивности (в соответствии с п.4) в одногрупповом приближении описания запаздывающих нейтронов. Время наблюдений выбрать равным 278 с. Вывести на дисплей таблицы результатов моделирования, извлечь из них плотность нейтронов на конец интервала наблюдения n(1)(278) , а также Т(1)ас и λ(1)ас для одногруппового приближения, и записать их в табл. 1.1. 7. Моделировать как варианты переходные процессы при заданных скачках реактивности в шестигрупповом приближении описания запаздывающих нейтронов. Время наблюдения за процессом указано в табл. 1.1. Вывести на дисплей таблицы результатов моделирования, извлечь из них или рассчитать и занести в табл. 1.1: n(1)(278) – плотность нейтронов на конец интервала наблюдения в одногрупповом приближении описания запаздывающих нейтронов; – асимптотический период; Т(6) ас (6) – асимптотическое значение средней эффективной поλ ас стоянной распада (обратного времени жизни) эмиттеров запаздывающих нейтронов в асимптотической области (переменная LAMBDA в таблице результатов расчета); – рассчитанное по Т(6)ас эффективное одногрупповое знаλ(1) эф чение λ(1)эф: β−ρ λ1эф = ( 6 ) . Т ас ρ 57

Таблица 1.1 Параметры переходных процессов в ЯР Реактивность ρ/β

Ваn(1)(278) ( 6) Число n − n (1) t , с (6) ригрупп набл n (278) n ( 6) ант 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

Т(1)ас Т(6)ас

(1) Tас(6) − Т ас (6) Т ас

λ(6)ас λ(1) эф

278 1390 278 1390 278 1390 278 695 278 695 278 695 278 420 Таблица 1.2 Варианты данных для исследований

A -3 β -0,3β -0,03β -0,003β 0,003β 0,03β 0,3 β

B -3,1β -0,31β -0,031β -0,0031β 0,0031β 0,031β 0,31 β

C -3,2 β -0,32β -0,032β -0,0032β 0,0032β 0,032β 0,32β

D -3,3β -0,33β -0,033β -,0033β 0,0033β 0,033β 0,33 β

E -3,4 β -0,34β -0,034β -,0034β 0,0034β 0,034β 0,34 β

F -3,5 β -0,35β -0,035β -0,0035β 0,0035β 0,035β 0,29 β

G -3,6 β -0,36β -0,036β -,0036β 0,0036β 0,036β 0,3 β

H -3,7 β -0,37β -0,037β -0,0037β 0,0037β 0,037β 0,31 β

8. Сопоставить рисунки переходных процессов, полученных при выполнении п. 5, и выявить тенденции изменения изображаемых процессов с изменением величины скачка реактивности ρ. В отчете дать ответы на вопросы, являющиеся целью исследования. 58

9. Построить графики зависимостей n(1)(278), n(6)(278), λ(6)ас, λ(1)эф от ln ρ . В отчете дать объяснения их поведению. В отчете представить графики, полученные при выполнении пп. 5 и 6. Вопросы для самопроверки

1. Что такое асимптотический период? 2. Объясните закономерности формирования асимптотического периода при больших отрицательных скачках реактивности -10β, -5β, -3β, -β других скачках реактивности. Чем он определяется? 3. Чем определяется поведение нейтронной плотности до установления асимптотического периода? 4. В чем различие формирования асимптотического периода при положительных и отрицательных скачках реактивности? 5. Каковы характерные выходы запаздывающих нейтронов для известных делящихся нуклидов? 6. Каковы характерные времена жизни мгновенных нейтронов для различных размножающих систем? 7. Написать простейшее выражение для временного поведения плотности нейтронов (в приближении нулевого времени жизни мгновенных нейтронов) в модели с одной группой запаздывающих нейтронов при изменении реактивности скачком. 8. Как соотносятся асимптотические периоды разгона реактора с урановым и плутониевым топливом при одинаковой введенной реактивности, измеряемой в единицах β? 9. Почему не совпадают периоды разгона и затухания при одинаковой положительной и отрицательной реактивности? 10. Чем отличается поведение нейтронной плотности в моделях с одной и с шестью группами запаздывающих нейтронов? 11. Почему происходит быстрое изменение нейтронной плотности при скачкообразных изменениях реактивности?

59

Работа 2 ИСТОЧНИК НЕЙТРОНОВ В ПОДКРИТИЧЕСКОМ РЕАКТОРЕ Цель: изучение переходных процессов в подкритическом реакторе с источником нейтронов. Содержание: моделирование переходных процессов в подкритическом реакторе с источником нейтронов. Модель: ядерный реактор в точечном приближении без обратных связей по реактивности с одно- и шестигрупповым описанием запаздывающих нейтронов и скачкообразным вводом реактивности. Исходное состояние: подкритическое. Введение

При пуске реактора в него обычно вводят внешний источник нейтронов, мощность которого должна быть достаточной для эффективного функционирования системы контроля плотности потока нейтронов, особенно на начальном этапе разгона реактора. Источник нейтронов, естественно, влияет на переходные процессы в реакторе. В номинальных режимах плотность нейтронов деления велика по сравнению с плотностью нейтронов, обусловленной внешним источником. Его влиянием на переходные процессы можно пренебречь. Задача предлагаемого исследования – изучение переходных процессов в реакторе с источником нейтронов в процессе приближения к критическому состоянию. Моделирование переходных процессов следует производить в шести- и одногрупповом приближениях описания запаздывающих нейтронов. Предлагаемые начальные параметры модели Начальная подкритичность, β .............................................. -3 Мощность встроенного источника нейтронов, н/с ............ 1000 Среднее время жизни мгновенных нейтронов, с ............... 10-3 Время наблюдения за процессом, с..................................... 8500 60

Порядок выполнения работы

1. Произвести моделирование переходных процессов в одно и шестигрупповом приближении описания запаздывающих нейтронов в соответствии с табл. 2.1 (варианты 1 и 2). В процессе моделирования записывать в табл. 2.2 t(6)ас – время (от начала интервала) достижения асимптотической плотности, а также асимптотическую плотность нейтронов в одно- и шестигрупповом приближении. Объяснить причину совпадения асимптотической плотности нейтронов в одно- и шестигрупповом приближении. Объяснить причину роста t(6)ас в процессе приближения к критическому состоянию. 2. Вывести и зарисовать в рабочем журнале зависимости плотности нейтронов N(1)(t) и n(6)(t) в линейном и логарифмическом масштабе. 3. Добавить к зависимостям, указанным в п. 2, зависимость обратного времени жизни эмиттеров запаздывающих нейтронов (параметр LAMBDA для шестигруппового приближения). Вывести и зарисовать в рабочем журнале полученные зависимости. 4. Произвести моделирование переходных процессов в одно- и шестигрупповом приближении описания запаздывающих нейтронов в соответствии с табл. 2.1 (варианты 3 и 4). 5. Вывести и зарисовать в рабочем журнале зависимости плотности нейтронов n(1)(t) и n(6)(t) в линейном масштабе. Объяснить причину несовпадения зависимостей. 6. Произвести моделирование переходных процессов в одно и шестигрупповом приближении описания запаздывающих нейтронов в соответствии с табл. 2.1 (варианты 5 и 6). 7. Вывести и зарисовать в рабочем журнале зависимости плотности нейтронов n(1)(t) и n(6)(t) в линейном масштабе. Объяснить причину несовпадения зависимостей.

61

1

2

3 4 5 6

1

6

1 6 1 6

0 – 1000 1000 – 2500 2500 – 4500 4500 – 8500 0 – 1000 1000 – 2500 2500 – 4500 4500 – 8500 0 – 200 0 – 200 0 – 200 0 – 200

Текущая реактивность на интервале, β

Начальная реактивность на интервале, β Изменение реактивности на интервале, β

Длительность интервала, с

Временной интервал, с

Число групп

Вариант

Таблица 2.1

1000 1500

–3 –1

+2 +0,7

–1 –0,3

2000

–0,3

+0,2

–0,1

4000

–0,1

+0,07

–0,03

1000 1500

–3 –1

+2 +0,7

–1 –0,3

2000

–0,3

+0,2

–0,1

4000

–0,1

+0,07

–0,03

200 200 200 200

–3 –3 –0,1 –0,1

+2 +2 +0,07 +0,07

–1 –1 –0,03 –0,03

Таблица 2.2 Времен- Начальная Изменение Текущая ререактивреактивно- активность (6) ной инt ас тервал, ность на ин- сти на ин- на интервас тервале, β тервале, β ле, β 0 – 1000 –3 +2 –1 1000 – –1 +0,7 –0,3 2500 2500 – –0,3 +0,2 –0,1 4500 4500 – –0,1 +0,07 –0,03 8500

62

n(1)ас

n(6)ас

(6) nас (−3β) n (6) ас (ρ)

Вопросы для самопроверки

1. Чем определяется поведение нейтронной плотности до установления асимптотической плотности нейтронов в подкритическом реакторе? 2. Чем определяется асимптотическая плотность нейтронов в подкритическом реакторе? 3. Каковы характерные времена запаздывания нейтронов от самой долгоживущей и самой короткоживущих групп эмиттеров запаздывающих нейтронов? 4. Чем отличается поведение нейтронной плотности в моделях с одной и с шестью группами запаздывающих нейтронов? 5. Мощность и концентрации эмиттеров запаздывающих нейтронов в реакторе с источником нейтронов стационарны. Что можно сказать о его реактивности?

63

Работа 3 ЛИНЕЙНЫЙ ВВОД (ВЫВОД) РЕАКТИВНОСТИ Цель: демонстрация переходных процессов в ядерном реакторе при различной скорости ввода (вывода) реактивности. Содержание: моделирование переходных процессов я ядерном реакторе при линейном вводе (выводе) реактивности. Модель: ядерный реактор в точечном приближении без обратных связей по реактивности с шести групповым описанием запаздывающих нейтронов. Исходное состояние: критическое. Извлечения из Правил ядерной безопасности:

Ядерный реактор должен быть оснащен каналами контроля по уровню мощности и по скорости изменения мощности. Скорость введения положительной реактивности не должна превышать 0,07 β/с. Если эффективность органа регулирования превышает 0,3β, то введение положительной реактивности должно быть пошаговым с «весом» шага не более 0,3β. Введение отрицательной реактивности по сигналу аварийной защиты желательно осуществлять исполнительными органами СУЗ с наиболее высокой скоростью. Порядок выполнения работы

Задание 1. Исследование переходного процесса при вводе (выводе) реактивности по линейному закону. Запаздывающие нейтроны представить шестигрупповой моделью. Скорость ввода реактивности и время наблюдения за процессом в соответствии с табл. 3.1. Установить скорость увеличения реактивности (выведения поглощающего стержня из активной зоны) и время ввода. 64

Запустить программу на счет. По истечении заданного времени ввода реактивности программа остановится и на экран вновь будет выдано меню изменений. Установить отрицательную скорость изменения реактивности (введение стержня в активную зону) и, не меняя ранее установленного времени ввода, запустить моделирующую программу на счет. По истечении времени вывода реактивности будет достигнуто критическое состояние, программа остановится и на экран вновь будет выдано меню изменений. Установить скорость изменения реактивности 0 (стержень зафиксирован в активной зоне). Установить интервал работы программы равным или большим интервала, оставшегося до конца времени наблюдения за процессом. Запустить моделирующую программу на счет. Произвести расчет вариантов для всех значений скорости ввода (вывода) реактивности, указанных в табл. 3.1. Таблица 3.1 dρ /dt tнабл tввод tвывод tож N нач N кон

0,005 180 40 40 100 1000

0,01 140 20 20 100 1000

0,05 108 4 4 100 1000

0,1 104 2 2 100 1000

Для каждого варианта зарисовать (на одном графике) зависимости плотности потока нейтронов и эмиссии запаздывающих нейтронов по группам (в линейном масштабе и при наличии взаимного масштабирования), а также параметра LAMBDA =

∑ λ i (t )Ci (t ) =F(t). ∑ Ci (t )

65

Сопоставить поведения нейтронного поля в реакторе при различной скорости изменения реактивности и сделать обобщенные выводы.

Задание 2. Изучение закономерностей маневрирования мощностью ядерного реактора при линейном законе изменения реактивности. Запаздывающие нейтроны представить шести групповой моделью. Скорость ввода и вывода реактивности dρ/dt задается преподавателем. Моделирование произвести в следующей последовательности: Линейно вводить реактивность со скоростью dρ/dt в течение времени tввод = 0,2/(dρ/dt). Оставаться при достигнутом значении реактивности при dρ/dt = 0 в течение времени ожидания tож = {0, 5, 10, 20, 40, 60, 80, 100} с; Таблица 3.2

N 1 2 3 4 5 6 7 8

tож, c 0 5 10 20 40 60 80 100

tнаб

Wкон

Wнач

Wкон /Wнач

Линейно выводить реактивность со скоростью dρ/dt в течение времени tвывод = tввод = 0,2/(dρ/dt) до достижения критического состояния. Ввести dρ/dt = 0 и ожидать завершения времени наблюдения за процессом, определенного соотношением tнаб = 2*tвв + tож + 100 с. Повторить пуск реактора со всеми значениями времени ожидания, указанными выше.

66

Построить график зависимости относительной величины достигнутой мощности от времени нахождения при максимальной реактивности.

Задание 3. Сравнение реактивности, вводимой стержнями АЗ, и скорости их сброса на эффективность аварийной защиты. Аварийную защиту (АЗ) ядерного реактора можно характеризовать двумя параметрами: вводимой стержнями АЗ отрицательной реактивностью и скоростью введения стержней в активную зону. Задание 3 посвящено изучению влияния этих параметров на энерговыделение в течение 1 мин. после начала сброса АЗ. Установить: исходный уровень мощности, кВт ......................... 1 реактивность, вводимая стержнями АЗ, β ............. -0.5, -1, -2 , -4 время сброса АЗ, с ................................................... 1, 10 время наблюдения за процессом, с......................... 69.5 По результатам моделирования построить графики зависимости энерговыделения за одну минуту после сброса АЗ от введенной реактивности при времени сброса 1 и 10 с. Сформулировать и обосновать рекомендации по выбору оптимальных параметров аварийной защиты. Записать их в отчет.

Задание 4. Маневрирование мощностью ядерного реактора. Используя график относительного изменения мощности, полученный при выполнении задания 2, перевести реактор на уровень мощности, превышающий номинальный в 1,5; 2; 5 раз. Убедиться, что минимальный период разгона реактора не менее допустимого. Попытайтесь решить ту же задачу, не используя графика относительного изменения мощности.

Задание 5. (Для самостоятельной работы) Исключение всплеска при увеличении мощности ядерного реактора. Предложите кусочно-линейный режим ввода реактивности, не приводящий к появлению всплеска мощности. Рекомендация. Обратитесь к п. 1.8 в [4]. 67

Вопросы для самопроверки

1. Какие требования предъявляют «Правила ядерной безопасности» к скорости ввода отрицательной реактивности (скорости срабатывания АЗ)? 2. Как отличается текущий период при линейном вводе реактивности от асимптотического периода при ступенчатом вводе той же реактивности? 3. Как ведет себя мощность реактора при линейном вводе реактивности с минимальной скоростью; со скоростью, сравнимой с обратным временем жизни запаздывающих нейтронов? 4. Каким образом можно при ограниченной скорости ввода реактивности перевести реактор на другой уровень мощности за (любое) ограниченное время? За минимальное время? 5. Чем отличается характер изменения мощности при медленном и быстром (скачкообразном) изменении реактивности? 6. Чем определяется энерговыделение в реакторе после срабатывания АЗ? Как минимизировать величину энерговыделения? 7. Вывести в простейшей форме (в приближении нулевого времени жизни мгновенных нейтронов) уравнения кинетики при линейном вводе реактивности. Показать качественно характер поведения его решения.

68

Работа 4 ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ И МЕХАНИЗМА САМОРЕГУЛИРОВАНИЯ ЯДЕРНОГО РЕАКТОРА Цель: изучение влияния обратных связей в реактивности по температуре топлива и замедлителя на протекание нейтроннофизических процессов в ЯР. Содержание: моделирование нейтронно-физических процессов в критическом ЯР при скачкообразном вводе реактивности. Модель: ядерный реактор в точечном приближении с обратными связями в реактивности по температуре топлива и замедлителя; запаздывающие нейтроны представлены шестью группами; ввод реактивности скачкообразный. Исходное состояние: критическое. Порядок выполнения работы

Задание 1. Изучение переходных процессов в ядерном реакторе, обусловленных влиянием обратной связи в реактивности по температуре топлива. Произвести моделирование вариантов переходных процессов при скачкообразном введении реактивности и αзам = 0 в соответствии с заданиями табл. 4.1. Записать в табл. 4.1. Wэкстр – экстремальное (максимальное или минимальное) значение мощности после скачка реактивности; Wкон – мощность в конце интервала наблюдения; ТТоп..кон – температуру топлива в конце интервала наблюдения; ∆ρтоп – рассчитанную реактивность, обусловленную разогревом топлива.

69

Вывести на экран семейства зависимостей мощности W(t) и температуры топлива Tтоп(t) для всех вариантов с одинаковым скачком реактивности и зарисовать их в отчет. Построить зависимости Wмакс, Wкон и ∆ρтоп от величины скачка реактивности. Выявить и объяснить особенности поведения мощности и температуры топлива.

Задание 2. Изучение переходных процессов в ядерном реакторе, обусловленных влиянием обратной связи по температуре топлива в приближении мощностного коэффициента реактивности. Это приближение реализуется, если предположить, что теплоемкость топлива равна нулю и обратная связь по температуре топлива стала безинерционной. Произвести моделирование вариантов переходных процессов предложенных в третьей части табл. 4.1 (для изотермического коэффициента реактивности – 0,00003 1/К) при исходном и «нулевом» значении теплоемкости топлива. Для решения поставленной задачи при сохранении устойчивости расчетной схемы можно считать «нулевым» значение Стоп = 1 кДж/т град. Вывести на экран семейства зависимостей мощности W(t) и температуры топлива Tтоп(t) для рассчитанных вариантов и зарисовать их в отчет. Отметить и объяснить особенности поведения мощности реактора и температуры топлива. Используя асимптотическое значение мощности, определить мощностной коэффициент реактивности.

Задание 3. Изучение переходных процессов в ядерном реакторе, обусловленных влиянием обратной связи по температуре топлива и замедлителя. Произвести моделирование переходного процесса при скачкообразном введении реактивности 0.1β, приняв изотермический коэффициент реактивности по топливу αТоп = –0,00001 1/К, по замедлителю α зам= +0,00006 1/К и различной массе замедлителя Мзам. 70

Записать в табл. 4.2:

Wмакс ,Wмин Wкон Ттоп.конТзам.кон ∆ρтоп, ∆ρзам

– максимальную (минимальную) мощность после скачка реактивности, – мощность в конце интервала наблюдения, – температуру топлива и замедлителя в конце интервала наблюдения, – рассчитанные отрицательные реактивности, обусловленные разогревом топлива или замедлителя. Таблица 4.1

ρ, β 0,1 –0,1 0,1 –01 0,1 –01 0,3 –0,3 0,3 –0,3 0,3 –0,3 0,5 –0,5 0,5 –0,5 0,5 –0,5

αТоп 0 0 – 0,00001 – 0,00001 – 0,00003 – 0,00003 0 0 – 0,00001 – 0,00001 – 0,00003 – 0,00003 0 0 – 0,00001 – 0,00001 – 0,00003 – 0,00003

Wэкстр – –

Wкон

ТТоп. кон

∆ρТоп – –

Таблица 4.2

Мзам, т 1500 1000 500

Wмакс

Wкон

Ттоп. кон

71

∆ρтоп

Тзам.кон

∆ρзам

Вывести на экран семейства зависимостей мощности W(t) и температуры топлива TТоп(t) и TЗам(t) для всех вариантов и зарисовать их в отчет. Выявить и объяснить особенности поведения мощности реактора, температуры топлива и замедлителя. Построить зависимости Wмакс, Wкон, ∆ρтоп и ∆ρзам от массы замедлителя. Сформулировать вывод о роли коэффициента реактивности по температуре замедлителя в быстропротекающих процессах. Вопросы для самопроверки

1. Какие типичные связи по реактивности проявляются в энергетических реакторах? 2. Что такое коэффициент реактивности? В каких случаях допустимо использование коэффициентов реактивности при описании динамических процессов? 3. В чем сущность обратной связи по температуре топлива, по температуре замедлителя? 4. Почему обратная связь по температуре топлива считается быстродействующей? 5. Какие механизмы могут вызывать положительную обратную связь? Существуют ли механизмы, порождающие быструю положительную обратную связь? 6. Чем отличается управление реактором, например, перевод его на другой уровень мощности при наличии обратных связей по реактивности и в их отсутствие? 7. Как формулируется требование по обеспечению безопасности применительно к коэффициентам реактивности? 8. Написать уравнения динамики, используемые в данной работе.

72

Работа 5 ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ВХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ПОВЕДЕНИЕ РЕАКТОРА С ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ ПО ТЕМПЕРАТУРЕ ТОПЛИВА И ТЕПЛОНОСИТЕЛЯ Цель: исследование влияния возмущений входных параметров теплоносителя на динамику реактора. Содержание: моделирование нейтронно-физических процессов в критическом ЯР при скачкообразном изменении реактивности. Модель: ядерный реактор в точечном приближении с обратными связями в реактивности по температуре топлива и замедлителя; запаздывающие нейтроны представлены шестью группами. Исходное состояние: критическое. Введение

В легководных реакторах теплоноситель одновременно является замедлителем нейтронов. В связи с относительно малой объемной долей замедлителя в реакторе любое возмущение входных параметров (расхода, температуры) сразу отражается на спектре и балансе нейтронов в активной зоне. Причинами таких возмущений могут быть нарушения в системе циркуляции и теплоотвода как в первичном, так и во вторичном контурах. Если возмущения достаточно велики, они могут приводить к значительным и быстрым изменениям мощности реактора и температуры топлива. Порядок выполнения работы

Задание 1. Изучение переходного процесса в ядерном реакторе с обратными связями по температуре топлива и теплоносителя при изменении его расхода. При запуске программы устанавливается следующая система начальных параметров модели: 73

Исходная стационарная мощность, мВт ............................. 3000 Теплоемкость топлива, кДж/(т·К) ....................................... 300 Масса топлива, т .................................................................. 80 Расход теплоносителя, т/с .................................................... 16,7 Температура теплоносителя на входе, К ............................ 523 Теплоемкость теплоносителя, кдж/(т·К)............................. 5500 Температура топлива, К ....................................................... 1500 Коэффициенты реактивности: по температуре топлива – αтоп, 1/К .............................. -0,00003 по температуре теплоносителя - αтн ,1/К ...................... -0,0003 Время наблюдения за процессом, с.................................... 15 Уменьшать расход теплоносителя на 10, 20 и 30 %. По результатам моделирования вариантов переходного процесса рассчитать, занести в табл. 5.1 и построить зависимости от расхода теплоносителя: Wмакс(мин) – максимальных (минимальных) и Wкон – асимптотических (на конец интервала наблюдения) значений мощности, а также температуры топлива Tтоп.макс(мин), Tтоп.кон, подогрева теплоносителя (Tтн.макс-Tтн.вх) и (Tтн.кон-Tтн.вх). Продолжить моделирование вариантов переходных процессов при увеличении расхода теплоносителя на 10, 20 и 30 %. Построить те же зависимости, что и в предыдущем случае. Результаты занести в табл. 5.1. Задать коэффициент обратной связи по температуре теплоносителя αтн = 0. Моделировать переходный процесс (как новую задачу) при увеличении и уменьшении расхода теплоносителя на 10 %. Задать коэффициент обратной связи по температуре топлива αтоп = 0 (восстановив исходное значение αтн). Моделировать переходный процесс (как вариант) при увеличении и уменьшении расхода теплоносителя на 10 %. Сравнить результаты с данными, полученными в пп. 3 и 4, и сделать заключение о роли обратной связи по температуре теплоносителя.

74

Таблица 5.1

G, т/ч

Wмакс (Wмин)

Wкон

Tтоп.кон

Tтоп.макс Tтн.макс Tтн.макс–Tтн.вх Tтн.кон–Tтн.вх (Tтн.мин)

11,69 13,36 15,03 18,37 20,04 21,71

Задание 2. Изучение переходного процесса в ядерном реакторе при изменении температуры теплоносителя на входе. Моделировать варианты переходных процессов, задавая температуру теплоносителя на входе в реактор на 20, 40, 90 градусов ниже исходной. Построить семейство зависимостей мощности от времени, а также (в соответствии с табл. 5.2) зависимости максимальной (минимальной) и асимптотических (на конец интервала наблюдения) температур топлива и теплоносителя, а также максимальной (минимальной) и асимптотической (на конец интервала наблюдения) мощности реактора от величины возмущения. Повторить моделирование вариантов переходных процессов при выключенной обратной связи по температуре теплоносителя и построить семейство зависимостей мощности от времени. Дать общее заключение о роли обратной связи по температуре теплоносителя. Таблица 5.2

Твх, К Wмакс(Wмин) Wкон Tтоп.макс Tтоп.кон Tтн.макс Tтн.макс–Tтн.вх 433 483 503

Tтн.кон–Tтн.вх

Вопросы для самоподготовки

1. Каков физический механизм обратной связи по температуре теплоносителя? 75

2. Может ли обратная связь по температуре теплоносителя быть положительной? 3. Придумайте ситуацию, когда может возникнуть возмущение расхода или температуры теплоносителя и дайте практическую рекомендацию по предотвращению аварийного развития процесса. 4. Какими факторами определяется время переходного процесса при рассмотренных входных возмущениях?

76

Работа 6 ДИНАМИКА РЕАКТОРОВ ПРИ БОЛЬШИХ СКАЧКАХ РЕАКТИВНОСТИ (НЕЙТРОННЫЕ ВСПЫШКИ) Цель: изучение динамики реакторов в режиме нейтронной вспышки и обратных связей, влияющих на параметры вспышки. Содержание: моделирование нейтронно-физических процессов в критическом ЯР при скачкообразном и линейном вводе реактивности. Модель: ядерный реактор в точечном приближении с обратными связями в реактивности по температуре топлива и замедлителя; запаздывающие нейтроны представлены шестью группами. Исходное состояние: критическое. Введение

При быстром вводе большой положительной реактивности, превышающей β, в реакторе происходит быстрое, неуправляемое повышение мощности (нейтронная вспышка). Процесс завершается разрушением реактора или самогашением за счет отрицательных эффектов реактивности. Режим нейтронных вспышек используют в некоторых конструкциях исследовательских импульсных реакторов. Длительность вспышки при большом положительном скачке реактивности соизмерима с временем жизни мгновенных нейтронов в реакторе, поэтому на процесс ее формирования могут влиять только быстрые обратные связи, например, по температуре топлива. В связи с малым временем вспышки теплоотводом из активной зоны можно пренебречь. Порядок выполнения работы

Задание 1. Наблюдение нейтронных вспышек в ядерном реакторе. В процессе моделирования этой задачи будет устанавлена следующая система начальных параметров модели: 77

Начальная мощность реактора, МВт................................... 100 Закон ввода реактивности ....................................... Ступенчатый Масса топлива, т ................................................................... 100 Теплоемкость топлива, КДж/(т·К)....................................... 300 Масса замедлителя, т ............................................................ 1500 Теплоемкость замедлителя, КДж/(т·К) ............................... 1500 Доля энергии, выделяющейся в замедлителе..................... 0,00 Изотермический коэффициент реактивности по температуре топлива α, 1/К ..................................... –0,00001 Начальная температура топлива, К ..................................... 620 Начальная температура теплоносителя, К.......................... 600 Время наблюдения переходного процесса, с ..................... 5 Моделировать варианты переходных процессов, задавая последовательно скачки реактивности 1β, 1,5β 2β, 3β, 4β и 5β. Фиксировать в табл. 6.1: tмакс – время достижения максимума мощности; Q(2 tмакс) – энергию, выделившуюся к моменту завершения (удвоенному времени достижения максимума) вспышки; Wмакс – мощность в максимуме вспышки; W(2 tмакс) – мощность в конце вспышки, Tтоп(2 tмакс) – температуру топлива в конце вспышки. Вывести на экран дисплея семейства графиков мощности, температуры топлива и реактивности от времени. Зарисовать эти зависимости в рабочем журнале. Построить зависимости максимальной мощности, выделившейся энергии, максимальной температуры топлива и характерного времени вспышки tвсп от величины скачка реактивности. Рассчитать WмаксНФ, TмаксНФ, QНФ и tэф по формулам Нордгейма– Фукса (2.15…2.18), подставляя в них параметры модели. Результаты отразить в табл. 6.1. Сопоставить расчетные значения с результатами моделирования. Сделать заключение об области применимости формул Нордгейма–Фукса.

78

Таблица 6.1 ρ Wмакс 1β 2β 3β 4β 5β

tмакс

W(2 tмакс) Wмак НФ Tтоп(2tмакс) TмаксНФ Q(2tмакс) QНФ

tэф

В наборе исходных данных изменить следующие параметры: Изотермический коэффициент реактивности по температуре топлива αТ, 1/К .............................. –0,00003 Время жизни мгновенных нейтронов, с................. 0,00001 Время наблюдения, с ............................................... 0,1 Моделировать варианты переходных процессов задавая последовательно скачки реактивности 1β, 2β, 3β, 4β и 5β в соответствии с вышеприведенными рекомендациями. Результаты записать в табл. 6.2. Таблица 6.2 ρ Wмакс 1β 2β 3β 4β 5β

tмакс

W(2 tмакс) Wмак НФ Tтоп(2tмакс) TмаксНФ Q(2tмакс)

QНФ

tэф

Рассчитать значения максимальной мощности, температуры, характерного времени вспышки и выделившейся энергии по формулам Нордгейма–Фукса подставляя в них параметры модели. Сопоставить расчетные значения с результатами моделирования. Сделать заключение об области применимости формул Нордгейма–Фукса.

Задание 2. Исследование переходных процессов при плавном введении большой реактивности. Моделировать переходный процесс при следующих условиях: 79

Время жизни мгновенных нейтронов, с................. 0,001 Изотермический коэффициент реактивности по температуре топлива αТ, 1/К .............................. -0,00003 Закон ввода реактивности ....................................... Линейный Скорость ввода реактивности, β/с .......................... 5 Время ввода реактивности, с .................................. 1 Время наблюдения, с ............................................... 2 Как вариант моделировать переходный процесс при тех же условиях, но реактивность 5β ввести в начальный момент скачком. Вывести на экран дисплея графики мощности, температуры топлива, реактивности. Зарисовать эти зависимости в рабочем журнале. Сформулировать выводы о влиянии скорости ввода реактивности на перечисленные параметры. Вопросы для самопроверки

1. Напишите уравнения динамики для анализа нейтронной вспышки. Установите связь «точной» модели с приближением Нордгейма - Фукса. Какие основные параметры влияют на характер нейтронной вспышки при скачке реактивности ? 2. Какие рекомендации для обоснования безопасности можно сделать из анализа нейтронной вспышки ? 3. Можно ли управлять величиной отрицательной обратной связи? Как это осуществить? 4. Имеется импульсный гомогенный реактор с графитовым замедлителем и нижеследующими параметрами: Масса графита, т ................................................................... 20 Теплоемкость, кДж/(т·К) ...................................................... 1500 Время генерации мгновенных нейтронов, с....................... 0,001 Изотермический коэффициент реактивности по температуре топлива αТ, 1/К......................................... -0,00007 Эффективная доля запаздывающих нейтронов.................. 0,007 Какую реактивность нужно ввести в реактор, чтобы получить 1015 нейтронов за импульс?

80

Работа 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЯДЕРНОМ РЕАКТОРЕ Цель: исследование закономерностей формирования пространственно-временного распределения плотности нейтронов в ядерном реакторе при локальных воздействиях на реактивность, обоснование условий и возможности применения модели точечной кинетики. Содержание: моделирование пространственных переходных процессов в ядерном реакторе при скачкообразном вводе реактивности. Модель: плоский одномерный ядерный реактор без обратных связей; запаздывающие нейтроны представлены шестью группами. Исходное состояние: критическое. Введение

Сценарий исследования строится следующим образом. В исходном состоянии реактор, имеющий запас реактивности и распределенную систему стержней управления, критичен и за счет неравномерного погружения стержней скомпенсирован таким образом, что пространственное распределение плотности нейтронов и, соответственно, концентрации ядер-эмиттеров отличается от собственного распределения однородного реактора. Для определенности предполагается, что исходное пространственное распределение плотности нейтронов и концентрации ядер-эмиттеров может быть представлено двумя членами ряда Фурье: нулевым, характеризующим собственное распределение, и одним из следующих членов, характеризующих отклонение от собственного распределения. Полагая начало координат в центре активной зоны размером H и нулевые граничные условия, исходные распределения можно представить в виде: n( x) = n0 cos

π ( k + 1)π x + nk cos x (k = 1, 2, …); H H 81

Ci ( x) = Cio cos

π (k + 1)π x + Ci k cos x, H H

где k – номер гармонической составляющей разложения в ряд Фурье, i – номер группы ядер-эмиттеров запаздывающих нейтронов. В момент t = 0 стержни управления перемещаются таким образом, что их положение в пределах активной зоны становится равномерным, а реактор либо остается критическим, либо выводится из критического состояния, в зависимости от величины введенной реактивности. В любом случае в реакторе начинается переходный процесс, связанный с формированием нового пространственного распределения плотности нейтронов. Длительность переходного процесса зависит от степени исходной деформации распределения плотности нейтронов, размера реактора, знака и величины введенной реактивности. Как следует из теории (см. раздел «Обоснование точечной модели кинетики»), изменение во времени амплитуды k-й гармонической составляющей плотности нейтронов определяется соответствующей условной реактивностью ρk, связанной с величиной реактивности для основной, нулевой гармонической составляющей соотношением:

ρk = ρ0 −

[( k + 1)

]

2

πM ⎞ − 1 ⎛⎜ ⎟ ⎝ H ⎠ (1 − ρ ), 0 ⎡ ⎛ πM ⎞ 2 ⎤ 1 + ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ ⎣ ⎝ H ⎠ ⎦ 2

где M – длина миграции. Параметры ρ0 и ρk могут быть использованы в моделях точечной кинетики соответственно для амплитуд нулевой и k–ой гармонических составляющих пространственной функции распределения плотности нейтронов и в совокупности дают полное описание нестационарного процесса:

82

π (k + 1) π x + nk (t ) cos x; H H π (k + 1)π Ci ( x, t ) = Ci 0 (t ) cos x + Cik (t ) cos x. H H n( x, t ) = n0 (t ) cos

Порядок выполнения работы

Задание 1. Исследование пространственного переходного процессав критическом реакторе. Исходные данные: Размер реактора H (в длинах миграции М): 20, 50, 100. Время генерации мгновенных нейтронов Λ: 10-3 с Распределение плотности нейтронов и концентраций эмиттеров в исходном состоянии при неравномерном распределении стержней регулирования представлено суммой нулевой и первой гармонических составляющих (k = 1), n1= 0,5n0. В момент t = 0 стержни перемещаются таким образом, что образуют равномерное распределение по активной зоне, при этом реактор остается критическим: ρ0 = 0. Время наблюдения 100 с. Для каждого из вариантов определить параметр ρ1. Воспользовавшись моделью точечной кинетики с шестью группами эмиттеров запаздывающих нейтронов, для каждого из вариантов найти время, по истечении которого амплитуда 1-й гармонической составляющей достигнет 1% от амплитуды основной, нулевой гармонической составляющей.

Задание 2. Исследование пространственно-временного процесса в надкритическом реакторе. Исходные данные: Размер реактора H=50M. Свойства и исходное состояние такие же, как в задании 1. 83

В момент t = 0 стержни регулирования перемещаются так, что образуют равномерное распределение. При этом реактивность

ρ0

становится равной 0,2β, 0,5β. Время наблюдения 100 с. Для каждого из вариантов определить параметр ρ1, на модели кинетики с шестью группами эмиттеров провести расчет нестационарного процесса для нулевой и первой гармонических составляющих. Определить время, по истечении которого амплитуда первой гармонической составляющей достигнет 1 % от нулевой гармонической составляющей. Повторить эксперимент на модели с одной группой эмиттеров. Оценить согласие или расхождение результатов.

Задание 3. Исследование пространственно – временного процесса при введении отрицательной реактивности. Исходные данные: Реактор находится в том же исходном состоянии, как в задании 2. В момент t = 0 в результате перемещения стержней в реактор вводится отрицательная реактивность ρ0, равная 0,2β; 0,5β. Время наблюдения 300 с. Для каждого из вариантов определить параметр ρ1. На модели с шестью группами эмиттеров провести расчет нестационарного процесса для нулевой и первой гармонических составляющих. Определить соотношение между первой и нулевой гармоническими составляющими на конец интервала наблюдения. Результаты исследований оформить в виде таблиц. Провести анализ и дать комментарии. Провести аналогичную серию экспериментов для варианта k = 2.

84

Работа 8 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕДУРЫ ПОДХОДА К КРИТИЧЕСКОМУ СОСТОЯНИЮ И ПОСТРОЕНИЯ ЗАВИСИМОСТИ ОБРАТНОГО УМНОЖЕНИЯ НЕЙТРОНОВ В ПОДКРИТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ Цель: изучение переходных процессов в подкритическом ядерном реакторе при скачкообразном изменении реактивности в процессе подхода к критическому состоянию; сравнение результатов в шести- и пятнадцатигрупповом представлении запаздывающих нейтронов. Содержание: моделирование переходных процессов в ядерном реакторе при скачкообразном изменении реактивности. Модель: ядерный реактор в точечном приближении без обратных связей по реактивности с источником нейтронов, шестью или пятнадцатью группами запаздывающих нейтронов. Исходное состояние: подкритическое. Введение

Общепринятая процедура безопасной загрузки ядерного топлива в активную зону реактора сопровождается измерением обратного умножения нейтронов и построением зависимости обратного умножения от массы загруженного топлива. Математическая модель метода изложена в разделе 3 теоретических основ практикума. На каждом этапе загрузки, по двум последним точкам этой зависимости, посредством линейной экстраполяции к нулю (см. рис. 3.1) оценивают критическую массу топлива. Такая процедура позволяет определить допустимую массу топлива для следующей загрузки, чтобы, оставаясь в подкритическом состоянии, достаточно близко подойти к критичности и надежно оценить критическую массу. В условиях точечного приближения рассчитывается зависимость обратного умножения нейтронов от реактивности, поскольку масса топлива не включена в число параметров математической модели. Изменяя прямой вклад нейтронов источника в полную плотность нейтронов (эквивалент изменения чувствительности де85

тектора к нейтронам источника), можно изменять форму зависимости обратного умножения (см. зависимости 2 и 1 на рис. 3.1). Особый интерес представляет изучение переходных процессов при изменении реактивности. Результаты изучения позволят оценить время, необходимое для достижения асимптотической плотности потока нейтронов, в шестигрупповом (эмиттеры запаздывающих нейтронов – осколки деления) или пятнадцатигрупповом (эмиттеры запаздывающих нейтронов – осколки деления и эмиттеры фотонейтронов ) приближении описания запаздывающих нейтронов. Порядок выполнения работы ВНИМАНИЕ! Для выполнения заданий понадобятся 4 листа бумаги формата А4.

Задание 1. Моделирование процедуры подхода к критическому состоянию и построения зависимости обратного умножения нейтронов в подкритической системе с шестью группами запаздывающих нейтронов. 1. Поставить на исполнение программу BodyDin. 2. Выбрать задачу 8. 3. Установить: начальную подкритичность, β ................................ – 3 интенсивность источника нейтронов, н/с .............. 1000 число групп запаздывающих нейтронов................ 6 время наблюдения за процессом, с......................... 13500 4. Выйти на страничку УТОЧНИТЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА НА СЛЕДУЮЩЕМ ЭТАПЕ, где ввести данные i-той строчки табл. 8.1 (на первом интервале i = 1): изменение реактивности ∆ρ .................................... 1 β интервал наблюдения, с........................................... 1000 5. Произвести расчет и на страничке ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ ВЫВОД вывести таблицу параметров. 86

6. На i-том интервале наблюдения: только при i = 0 найти начальное значение плотности нейтронов n(0) и записать в таблицу nас0 = n(0); найти асимптотическое значение плотности нейтронов nасi и записать результат в таблицу; рассчитать и записать в таблицу 0,99 nасi; определить и записать в таблю 8.1 t1 – полное время достижения 0,99 nасi; рассчитать и записать в табл. 8.1 tз = t1–tнач – время достижения 0,99 nасi на рассматриваемом интервале; рассчитать и записать в табл. 8.1 обратное умножение RM = = nасi/ nас0. 7. Начиная со 2-й точки (i = 1) cтроить график RM = F(ρ). Линейной экстраполяцией по двум последним RM определить ρiкр и результат записать в табл. 8.1. 8. Перейти на следующую строчку в табл. 8.1 (i = i + 1). 9. Повторять пп. 4–8 для всех строк таблицы. 10. Построить графики зависимостей ρt з = F (ln( ρ )) , ρiкр = F (i ) . 11. Сделать выводы по результатам проведенного моделирования.

Задание 2. Моделирование процедуры подхода к критическому состоянию и построения зависимости обратного умножения нейтронов в подкритической системе с пятнадцатью группами запаздывающих нейтронов. Последовательность исполнения задания 2 та же, что и задания 1, но в п. 3 должно быть введено «число групп запаздывающих нейтронов – 15». Результаты выполнения задания 2 должны быть записаны в табл. 8.2.

87

Таблица 8.1 Реактивность

i

Интервал

ρнач, β ∆ρ, β ρкон, β tнач, с

0 – – –3 1 –3 1 –2 2 –2 0,7 –1,3 3 –1,3 0,4 –0,9 4 –0,9 0,3 –0,6 5 –0,6 0,2 –0,4 6 –0,4 0,15 –0,25 7 –0,25 0,08 –0,17 8 –0,17 0,07 –0,1 9 –0,1 0,03 –0,07

– 0 1000 2000 3000 4000 5000 6500 8500 10500

∆t, с

i nас

N= t1 = tз = 0,99* nас t(N) t1–tнач

– 1000 1000 1000 1000 1000 1500 2000 2000 2500

–

–

RM = =

–

i nас i nас

i М кр

1

Таблица 8.2 Реактивность

i

Интервал

ρнач, β ∆ρ, β ρкон, β tнач, с

0 – – –3 1 –3 1 –2 2 –2 0,7 –1,3 3 –1,3 0,4 –0,9 4 –0,9 0,3 –0,6 5 –0,6 0,2 –0,4 6 –0,4 0,15 –0,25 7 –0,25 0,08 –0,17 8 –0,17 0,07 –0,1 9 –0,1 0,03 –0,07

– 0 1000 2000 3000 4000 5000 6500 8500 10500

∆t, с

n

i ас

– 1000 1000 1000 1000 1000 1500 2000 2000 2500

N= t1 = tз = 0,99*nас t(N) t1–tнач –

–

–

RM = =

i nас i nас

1

i М кр

–

Вопросы для самопроверки

1. Запишите уравнения, образующие математическую модель метода безопасного подхода к критическому состоянию из подкритического. 88

2. Какие формы зависимостей обратного умножения от параметра, увеличивающего реактивность Вам известны. Что Вы можете сказать об особенностях использования этих зависимостей? 3. Физически, активная зона ядерного реактора не является точечной. Какие требования Вы предъявите к размещению детекторов по отношению к активной зоне и нейтронному источнику, чтобы образованную систему можно было бы считать точечной? 4. Почему время затухания переходного процесса после увеличения реактивности растет по мере приближения к критическому состоянию? 5. Какие проблемы возникнут при загрузке активных зон с бериллиевым или тяжеловодным замедлителем?

89

Работа 9 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕДУРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕАКТИВНОСТИ, ВВОДИМОЙ СТЕРЖНЯМИ РЕГУЛИРОВАНИЯ, ПОСРЕДСТВОМ ИЗМЕРЕНИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ПЕРИОДА ИЗМЕНЕНИЯ МОЩНОСТИ РЕАКТОРА Цель: изучение переходных процессов в критическом ядерном реакторе при введении положительной и отрицательной реактивности. Содержание: моделирование переходных процессов в ядерном реакторе при скачкообразном изменении реактивности. Модель: ядерный реактор в точечном приближении без обратных связей по реактивности с шестью и пятнадцатью группами запаздывающих нейтронов. Исходное состояние: критическое. Введение

В процессе физического пуска ядерного реактора проводятся эксперименты с целью определения реактивности, вводимой стержнями регулирования в активную зону. Наибольшее распространение для решения этой задачи получил метод определения введенной реактивности посредством измерения асимптотического периода изменения мощности. Математическая модель метода изложена в разделе 3 теоретических основ практикума. В критический реактор, находящийся на минимально возможном, «нулевом», уровне мощности, вводится реактивность посредством изменения положения стержня регулирования. Не изменяя положения других стержней регулирования, отслеживают переходный процесс в течение времени, необходимого для достижения асимптотического периода изменения мощности Тас и определяют его. Полученную величину Тас подставляют в характеристическое уравнение (3.7):

90

ρ=

βi Λ +∑ , T 1 + λ iT i

корнем которого Тас является, и определяют реактивность. При моделировании метода представляет интерес оценка времени, необходимого для достижения асимптотического периода изменения мощности, выявление методических ограничений величины измеряемой реактивности при шести и пятнадцаттигрупповом описании запаздывающих нейтронов Порядок выполнения работы

Задание 1. Моделирование процедуры определения реактивности, вносимой стержнями регулирования, посредством измерения асимптотического периода изменения мощности критической системе с шестью группами запаздывающих нейтронов. 1. Поставить на исполнение программу BodyDin. 2. Выбрать задачу 9. 3. Установить: начальную подкритичность, β ................................ 0 начальную плотность нейтронов, н........................ 1000 интенсивность источника нейтронов, н/с .............. 0 число групп запаздывающих нейтронов................ 6 время наблюдения за процессом, с......................... 500 4. Выйти на страничку УТОЧНИТЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА НА СЛЕДУЮЩЕМ ЭТАПЕ, где ввести данные i-той строчки табл. 9.1 (на первом интервале i = 1): изменение реактивности ∆ρ, β ................................ 0,3 интервал расчета, с .................................................. 500 5. Произвести расчет и и выйти в раздел ПРОСМОТРЕТЬ ТАБЛИЦЫ ПРОВЕДЕННЫХ РАСЧЕТОВ. 6. Вывести ТАБЛИЦУ ПАРАМЕТРОВ. 7. В колонке ПЕРИОД найти Тас – асимптотическое значение периода и записать эту величину в табл. 9.1. 6. Рассчитать 0,99Тас и записать в табл. 9.1. 91

7. В колонке ПЕРИОД определить t (0,99Тас) – время достижения асимптотического периода и записать в табл. 9.1. 8. Выйти из режима ПРОСМОТР РЕЗУЛЬТАТОВ расчета. 9. Войти в режим РАССЧИТАТЬ ЕЩЕ ОДИН ВАРИАНТ. 10 Повторять пп. 3–10 для всех строк табл. 9.1. 11. Рассчитать ρизм, β по всем вариантам и записать в табл. 9.1. 12. Построить графики t (0,99Tас ) = F (ln( ρ )) и

ρ вв − ρизм = F (ln( ρ )) . Объяснить поведение этих зависимостей. ρ вв Таблица 9.1

i

ρвв, β

tнаб, с

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0,3 0,1 0,03 0,01 0,003 0,001 –0,001 –0,01 –0,1 –1,0 –3,0

400 500 500 500 500 500 1000 1500 2000 3000 4000

Tас, с

0,99Тас

t(0,99Ту), с

ρизм, β

ρвв − ρизм ρвв

Задание 2. Моделирование процедуры определения реактивности, вносимой стержнями регулирования, посредством измерения асимптотического периода изменения мощности критической системе с пятнадцатью группами запаздывающих нейтронов. Последовательность исполнения задания 2 та же, что и задания 1, но в п. 3 должно быть введено «число групп запаздывающих нейтронов – 15». Результаты выполнения задания 2 должны быть записаны в табл. 9.2.

92

Таблица 9.2

i

ρвв, β

tнаб, с

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0,3 0,1 0,03 0,01 0,003 0,001 -0,001 -0,01 -0,1 -1,0 -3,0

400 500 500 500 500 500 1000 1500 2000 3000 4000

Tас, с

0,99Тас

t(0,99Ту), с

ρизм, β

ρвв − ρизм ρвв

Вопросы для самопроверки

1. Запишите уравнения, образующие математическую модель метода определения реактивности, введенной стержнем регулирования, посредством измерения асимптотического периода изменения мощности. 2. Расскажите об ограничениях метода. 3. Как изменяется время выхода на асимптотический период при изменении величины вводимой реактивности?

93

Работа 10 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕДУРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕАКТИВНОСТИ, ВВОДИМОЙ СТЕРЖНЯМИ РЕГУЛИРОВАНИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕТОД СБРОСА СТЕРЖНЯ Цель: изучение переходных процессов в критическом ядерном реакторе при введении отрицательной реактивности. Содержание: моделирование переходных процессов в ядерном реакторе при скачкообразном изменении реактивности. Модель: ядерный реактор в точечном приближении без обратных связей по реактивности с пятнадцатью группами запаздывающих нейтронов. Исходное состояние: критическое. Введение

Трудности применения метода определения реактивности, введенной стержнем регулирования, посредством измерения асимптотического периода изменения мощности в реакторах с тяжеловодным или бериллиевым отражателем заставили исследователей обратить внимание на переходный процесс после сброса стержня в критический реактор. В течение 15–20 с после сброса концентрация эмиттеров запаздывающих фотонейтронов не успевает измениться и повлиять на переходный процесс. Поэтому оценка реактивности на основе обработки записи начального этапа переходного процесса после сброса стержня не чувствительна к наличию долгоживущих эмиттеров запаздывающих фотонейтронов. Математическая модель метода мгновенного сброса стержня с одной группой запаздывающих нейтронов изложена в разделе 3 теоретических основ практикума. При моделировании необходима проверка применимости метода на модели с пятнадцатью группами запаздывающих нейтронов. Порядок выполнения работы

1. Поставить на исполнение программу BodyDin. 94

2, Выбрать задачу 10. 3. Установить: начальную подкритичность, β ................................ 0 начальную плотность нейтронов, н........................ 1000 интенсивность источника нейтронов, н/с .............. 0 число групп запаздывающих нейтронов................ 15 время наблюдения за процессом, с......................... 13,9 4. Выйти на страничку УТОЧНИТЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА НА СЛЕДУЮЩЕМ ЭТАПЕ, где из первой строки 3 колонки (на первом этапе) табл. 10.1 ввести: начальное изменение реактивности, β ................... 0,01 интервал расчета, с .................................................. 13,9 5. Произвести расчет и выйти в раздел ПРОСМОТРЕТЬ ТАБЛИЦЫ ПРОВЕДЕННЫХ РАСЧЕТОВ. 6. Вывести ТАБЛИЦУ ПАРАМЕТРОВ. 7. Из колонки ПЛОТНОСТЬ НЕЙТРОНОВ переписать в 3-ю колонку (на первом этапе) табл. 10.1 плотность нейтронов в интервале 2-2,8 с. 8. Закрыть ПРОСМОТРЕТЬ ТАБЛИЦЫ ПРОВЕДЕННЫХ РАСЧЕТОВ. 9. Выйти в меню РАССЧИТАТЬ ЕЩЕ ОДИН ВАРИАНТ. 10. Выполнять пп. 3–9 для столбцов 4–8 табл. 10.1. 11. Для каждого записанного переходного процесса рассчитать и поместить в табл. 10.1: n0(0) – амплитуду гармоники с периодом ρ Т0 и изм по формуле (3.13) β ρ изм n ( 0) . =1− β n0 (0) 12. Вывести на экран и сохранить в файле для отчета семейство зависимостей параметра LAMBDA = F(t) (см. (1.12)) и сделать вывод о степени изменения концентраций эмиттеров запаздывающих нейтронов. 95

12. Построить зависимость δ = F(ln ρ ). Сделать вывод о применимости метода мгновенного сброса стержня для оценки отрицательной реактивности, внесенной стержнем регулирования. Таблица 10.1

i 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ρвв/β

t, c 2 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 n(0) n0(0) ρизм /β ρ − ρизм δ = вв ρ

0,01

–0,01

–0,1

–0,3

–1

–3

3

4

5

6

7

8

1000

1000

1000

1000

1000

1000

Вопросы для самопроверки

1. Запишите уравнения, образующие математическую модель метода определения реактивности, введенной стержнем регулирования, посредством обработки записи начального этапа переходного процесса после мгновенного сброса стержня в критический реактор. 2. Расскажите об ограничениях метода. 3. Объясните, почему этот метод нечувствителен к наличию запаздывающих фотонейтронов. 4. Объясните, почему метод применим также для определения введенной положительной реактивности.

96

Работа 11 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕДУРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕАКТИВНОСТИ, ВВОДИМОЙ СТЕРЖНЯМИ РЕГУЛИРОВАНИЯ. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МЕТОД СБРОСА СТЕРЖНЯ Цель: изучение переходных процессов при введении отрицательной реактивности в критический реактор. Содержание: моделирование переходных процессов в ядерном реакторе при линейном изменении реактивности. Модель: ядерный реактор в точечном приближении без обратных связей по реактивности с пятнадцатью группами запаздывающих нейтронов. Исходное состояние: критическое. Введение

При практическом применении метода дифференциального сброса стержня не удается осуществить его мгновенный сброс, то есть сделать время сброса стержня много меньше Т1 ≈ 0,15 с периода затухания мгновенных нейтронов деления (см. (3.10)). Если сброс стержня происходит за конечный интервал времени, то возникает проблема неопределенности момента начала переходного процесса и величины амплитуды гармоники с периодом Т0 (см. (3.12)). Проблема конечного времени сброса стержня обойдена в интегральном методе сброса стержня. Математическая модель этого метода изложена в разделе 3 теоретических основ практикума. При моделировании интегрального метода сброса стержня необходимо подтвердить предположение о независимости параметра С от реактивности в формуле (3.14):

ρ = С (1 − R ) . β Порядок выполнения работы

1. Получить у преподавателя величину времени сброса стержня τ. 97

2. Заполнить колонку 2 табл. 11.1. 3 Поставить на исполнение программу BodyDin, выбрать задачу 11 и установить: начальную подкритичность, β ................................ 0 число групп запаздывающих нейтронов................ 15 интенсивность источника нейтронов, н/с .............. 0 время наблюдения за процессом, с......................... 27,8 4. Выйти на страницу УТОЧНИТЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА НА СЛЕДУЮЩЕМ ЭТАПЕ, где из 1 строки колонки 4 (на первом этапе) табл. 11.1 ввести: начальное изменение реактивности, β ................... – 0,3 5. Рассчитать переходный процесс. 6. Открыть страницу ПРОСМОТРЕТЬ ТАБЛИЦЫ ПРОВЕДЕННЫХ РАСЧЕТОВ. 7. Открыть ТАБЛИЦУ ПАРАМЕТРОВ. 8. Из колонки ИНТЕГРАЛ ПЛОТНОСТИ переписать в таблицу 11.1 (удерживая 4 значащих цифры после запятой) интеграл плотности нейтронов от 0 до времени, указанного во второй колонке табл. 11.1. 9. Закрыть ТАБЛИЦУ ПАРАМЕТРОВ. 10. Закрыть страницу ПРОСМОТРЕТЬ ТАБЛИЦЫ ПРОВЕДЕННЫХ РАСЧЕТОВ. 11. Выйти в меню РАССЧИТАТЬ ЕЩЕ ОДИН ВАРИАНТ. 12. Выполнять пп. 3–11 для столбцов 5–9 табл. 11.1. 13. В столбцах 4–9 для каждого времени t+τ рассчитать: t +τ

t +τ

t +τ

τ

τ

τ

∫ n(t )dt = ∫ n(t )dt − ∫ n(t )dt = I (t + τ) − I (τ) ,

ρ ρ 1000t β и C (t , τ, ) = . R (t , τ) = I (t + τ) − I (τ) β 1 − R (t , τ) 14. Проверить гипотезу о независимости параметра С от реактивности. Выбрать t – оптимальное время интегрирования плотности потока нейтронов. 15. Методом наименьших квадратов рассчитать константу С(t), полагая отклонения от константы случайными. 98

16. Оценить погрешность определения реактивности вследствие отклонения рассчитанного значения С(t, ρ) от константы C(t). Таблица 11.1

t, c t+ τ ρ/β 1 2 3 0 I(τ) I(t+τ) 5 I(t+τ)-I(τ) R (t ) C(t,τ,ρ/β) I(t+τ) 10 I(t+τ)-I(τ) R (t ) C(t,τ,ρ/β) I(t+τ) 15 I(t+τ)-I(τ) R (t ) C(t,τ,ρ/β) I(t+τ) 20 I(t+τ)-I(τ) R (t ) C(t,τ,ρ/β) I(t+τ) 25 I(t+τ)-I(τ) R (t ) C(t,τ,ρ/β)

–0,3 4

–0,1 5

–0,03 6

–0,01 7

–0,003 8

–0,001 9

Вопросы для самопроверки

1. Запишите уравнения, образующие математическую модель интегрального метода сброса стержня в критический реактор. 2. Расскажите об ограничениях метода. 3. Объясните, почему этот метод нечувствителен к наличию запаздывающих фотонейтронов. 4 Приведите обоснования выбора величины t – времени интегрирования плотности нейтронов.

99

Работа 12 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕДУРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕАКТИВНОСТИ ПОДКРИТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ (ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИМПУЛЬСНЫЙ МЕТОД) Цель: изучение переходных процессов в подкритической системе. Содержание: моделирование переходных процессов в подкритической системе, облучаемой короткими импульсами нейтронов. Модель: ядерный реактор в точечном приближении без обратных связей по реактивности с шестью группами запаздывающих нейтронов. Исходное состояние: подкритическое. Введение

До начала облучения подкритической системы нейтронов в ней нет. От начала периодического облучения подкритической системы нейтронными импульсами до начала измерений должно пройти время, достаточное для достижения асимптотических концентраций эмиттеров запаздывающих нейтронов. Моделирование метода заключается в расчете временно́го поведения нейтронного поля после короткого нейтронного импульса в течение периода следования импульсов. Концентрации эмиттеров запаздывающих нейтронов, достигнутые на конец периода, принимаются как начальные условия для следующего периода. Когда концентрации эмиттеров запаздывающих нейтронов перестанут изменяться, асимптотическое временно́е распределение достигнуто и может быть подвергнуто обработке в соответствии с алгоритмом метода. Порядок выполнения работы

1. Поставить на исполнение программу BodyDin. 2. Выбрать задачу 12 и установить: начальную подкритичность ....................................... из табл. 12.1 число групп запаздывающих нейтронов........................ 6 100

интенсивность постоянного источника нейтронов, н/с... 0 период следования нейтронных импульсов, с .............. 0,1 3. На странице ИЗМЕНЕНИЕ УСЛОВИЙ РАСЧЕТА ввести заданные преподавателем длительность и интенсивность нейтронных импульсов. 4. Рассчитать переходный процесс, результаты которого автоматически записываются в файл данных, обрабатыаются для получения площадей Nм и Nз, а также асимптотической постоянной спада плотности мгновенных нейтронов λ0. 5. Записать Nм, Nз и λ0 в табл. 12.1. 5. Выйти в меню РАССЧИТАТЬ ЕЩЕ ОДИН ВАРИАНТ. 6 Повторять п.п. 2-5 для всех значений подкритичности, перечисленных в табл. 12.1. 7. Полученные результаты доступны для просмотра в цифровой и графической форме. 8. Рассчитать и записать в табл. 12.1 реактивность, определенную по формуле Щестранда (3.27):

N ρ =− м β Sj Nз и по форомуле Гозани (3.29):

n ρ =− 0 . β λ0 Nз 9. Построить зависимости δ = F(ln ρ ) и прокомментировать их форму.

101

Таблица 12.1

i

ρвв, β t, c

1 1 2 3 4 5 9

δ=

10

δ=

2 Nм Nз λ0 ρSj ρGo ρвв − ρ Sj

–0,001

–0,03

–0,1

–0,3

–1

–3

3

4

5

6

7

8

ρ

ρвв − ρGo ρ

Вопросы для самопроверки

1. Запишите уравнения, образующие математическую модель метода определения реактивности в подкритической системе. 2. Расскажите об ограничениях метода. 3. Расскажите, какие проблемы могли бы возникнуть, если для анализа использовать не расчетное временно́е распределение, а распределение, полученное с помощью временно́го анализатора, обрабатывающего импульсы с детекторов нейтронов.

102

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хетрик Д. Динамика ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1975. 2. Кипин Дж.Р. Физические основы кинетики ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1967. 3. Правила ядерной безопасности реакторных установок атомных станций ПБЯ РУ АС – 89 (Официальный документ). М.: Госатомнадзор. 4. Наумов В.И. Физические основы безопасности ядерных реакторов. М.: МИФИ, 2003. 5. Теоретические и экспериментальные проблемы нестационарного переноса нейтронов. Сб. статей под ред. проф. Орлова В.В. и д.ф.-м.н. Стумбура Э.А. М.: Атомиздат, 1972.

103

Владимир Ильич Наумов Валентин Ефимович Смирнов

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ И АВАРИЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЯДЕРНЫХ ЭНЕГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВКАХ

Лабораторный практикум

Редактор Н.В. Шумакова Компьютерная верстка Г.А. Бобровой

Подписано в печать 1.11.2007 Формат 60х84 1/16 Печ.л. 6,5 Уч.-изд.л. 6,5 Тираж 150 экз. Изд. № 3/25 Заказ № 0-617

Московский инженерно-физический институт (государственный университет). 115409, Москва, Каширское ш., 31 Типография издательства «Тровант» г. Троицк Московской области