Министерство образования Российской Федерации Ростовский государственный университет кафедра теоретической и вычислитель...
7 downloads
168 Views
440KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Министерство образования Российской Федерации Ростовский государственный университет кафедра теоретической и вычислительной физики
Крайзман В. Л., Положенцев Е. В., Саченко В. П.
Методические указания для студентов дневного отделения физического факультета РГУ
к курсу лекций и практических занятий по квантовой механике
"Двойные потенциальные барьеры и резонансное туннелирование"
Ростов-на-Дону 2001 г.
Печатается по решению учебно-методической физического факультета протокол № __ от __.__.2001. Авторы: Крайзман В. Л. Положенцев Е. В. Саченко В. П.
комиссии
— профессор КТВФ, — ст. преподаватель КТВФ, — профессор, зав. КТВФ.
Рецензент профессор кафедры теоретической и вычислительной физики, д-р физ.-мат. наук Л. А. Бугаев
Крайзман В. Л., Положенцев Е. В., Саченко В. П. "Двойные потенциальные барьеры и резонансное туннелирование." Методические указания к курсу "Квантовая механика". Ростов-на-Дону: 2001. -- 19 с.; ил. Методическое пособие посвящено изложению теории резонансных туннельных диодов в курсах квантовой механики, как примере практических приложений квантовой механики, превращающих ее в инженерную науку. Методическое пособие состоит из трех разделов. В первом из них рассматривается общая схема описания одномерного движения частицы в простом потенциальный барьере. Во втором рассматриваются явления туннелирования частицы для сложного (двойного) потенциального барьера. Третий раздел посвящен рассмотрению туннелирования частицы в модели резонансного туннельного диода, состоящей из двух одинаковых прямоугольных потенциальных барьеров. Предназначено для студентов физических факультетов, оно может быть полезно при изучении курсов физики твердого тела и физики полупроводников.
2
Введение В настоящее время в наноэлектронике используются гетероструктуры нанометровых размеров, функционирование которых основывается на существенно квантовых явлениях. Такими структурами являются квантовые точки, ямы и нити, на основе которых создаются электронные приборы наноэлектроники и, в частности, резонансные туннельные диоды и транзисторы. Популярное изложение технологии изготовления наноструктур и принципов работы электронных приборов на их основе можно найти в [1]. Методическим вопросам изложения теории резонансных туннельных диодов в курсах квантовой механики, как примере практических приложений квантовой механики, превращающих ее в инженерную науку, и посвящено настоящее методическое пособие. Оно будет полезно также для курсов физики твердого тела и физики полупроводников. Методическое пособие состоит из трех разделов. В первом из них рассматривается общая схема описания одномерного движения частицы с потенциальной энергией U(x) в ограниченной, непрерывной и отличной от нуля в конечной области x1 < x < x2 (простой потенциальный барьер). Во втором рассматриваются явления туннелирования частицы для сложного (двойного) потенциального барьера, где U(x) — кусочно-непрерывная функция. Третий раздел посвящен рассмотрению туннелирования частицы в модели резонансного туннельного диода, состоящей из двух одинаковых прямоугольных потенциальных барьеров. Раздел 1. Простой потенциальный барьер Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера для частицы с энергией E > 0, движущейся в потенциальном поле U(x), отличном от нуля в ограниченной области оси x: x1 < x < x2 (рис. 1). В таких задачах, как известно (см., например, [2, 3]), U(x) решение уравнения находится путем следующей процедуры. В каждой из трех областей, на которые делится ось x точками x1 и x2 (рис. 1), строится общее решение уравнения I x1 II x2 III x ψ I , ψ II , ψ III , причем в областях I и III эти реРис. 1. шения представляют собою сумму двух волн: распространяющихся в обе стороны оси x:
ψ I = A1eikx + B1e−ikx
(1 а)
ψ II = C1F1 ( x ) + C2 F2 ( x )
(1 б)
ψ III = A2eikx + B2e− ikx
(1 в)
Здесь F1 и F2 — два линейно независимых решения уравнения в области
3
II; k =
2mE ; Ai, Bi, Ci (i = 1,2) — коэффициенты, к определению которых и h2
сводится задача. Общее решение уравнения (волновая функция ψ ), на всей оси x теперь строится на функциях (1) путем установления связей между коэффициентами. Эти связи определяются требованиями непрерывности волновой функции и ее первой производной на границах областей, т. е. в точках x1 и x2. Поскольку коэффициентов в (1) шесть, а условий "сшивки" — четыре, то два коэффициента (обычно, но необязательно, это A1 и B2) можно выбрать произвольно. Конкретные значения этих коэффициентов и определяют нужное "физическое" частное решение уравнения. Например, решение, для которого A1 = 1, B2 = 0 описывает состояние частицы, в котором она движется из −∞ к барьеру с плотностью потока равной скорости, частично отражается от него, а частично проходит в область III за барьером. Нетрудно показать, что вывод о существовании двух произвольных коэффициентов можно получить, не обращаясь к процедуре "сшивки" решений на границах областей. Действительно, уравнение Шредингера — обыкновенное дифференциальное линейное уравнение второго порядка. Его общее решение определяется двумя произвольными постоянными, так что из шести коэффициентов в (1) два должны быть произвольными, а остальные — представлять линейные комбинации этих двух. Пусть A1 и B1 — независимы. Тогда A2 и B2 должны быть их линейными комбинациями. Положим, что:
A2 = α A1 + β B1 ,
(2)
где величины α , β вообще говоря комплексны, определяются потенциалом U(x) и зависят от энергии частицы E. Выражение для B2 можно найти, принимая во внимание действительность уравнения Шредингера. В самом деле, если ψ ( x ) есть его решение, то
ψ * ( x ) — тоже будет решением, с той же энергией E. Но ψ * ( x ) в областях I и III будет иметь вид:
ψ I* = A1*e−ikx + B1*eikx (3)
ψ
* III
* − ikx 2
=Ae
+Be
* ikx 2
Сравнение этих выражений с выражениями (1 а, 1 в) показывает, что они различаются только обозначениями коэффициентов. Например, вместо коэффи* циента A1 в падающей на барьер волне теперь стоит B1 . Аналогично, вместо * B1 теперь появляется A1* ; то же самое относится и к выражению ψ III . Но ли-
нейная связь коэффициентов, постулированная равенством (2), должна сохраняться. Поэтому:
B2* = α B1* + β A1* ,
(3 а) 4
или
B2 = α * B1 + β * A1 .
(3 б)
Таким образом выражения A2 и B2 через A1 и B1 имеют вид:
A2 = α A1 + β B1
(4 а)
B2 = β * A1 + α * B1.
(4 б)
Модули величин α и β связаны друг с другом жестким соотношением, оставляющим "свободными" только их фазы. Действительно, рассмотрим плотность потока вероятности для одномерного движения
j=
ih ⎛ dψ * dψ ⎞ −ψ * ⎜ψ ⎟ 2m ⎝ dx dx ⎠
(5)
Эта величина должна быть постоянна на всей оси x. Используя выражение (1 а) и (1 в) для областей I и III, получим выражение для величины j в этих областях:
jI =
(
)
(
)
ih ih 2 2 2 2 A1 − B1 ; jIII = A2 − B2 . 2m 2m
Из равенства jI = jIII, следует:
(A
2
− B1
1
2
)=( A
2
2
− B2
2
).
Подставляя в последнее равенство соотношение (4) найдем, что 2
2
α − β = 1.
(6)
Упражнение 1. Получите самостоятельно формулу (5) и убедитесь, что плотность потока вероятности для волны Ae
ikx
2
равен A v , где v —
скорость частицы. Обратимся теперь к коэффициентам отражения R и прохождения D для потенциального барьера [2, 3]. Чтобы ввести эти величины, надо положить, что B2 = 0 , т. е. что за потенциальным барьером есть только волна A2eikx , прошедшая через этот барьер. Тогда:
R=
jотр jпад
; D=
jпр jпад
.
Используя определение (5) для потока вероятности и выражения (1 а) и 2
2
B A (1 в) для соответствующих волн, легко получить, что R = 1 ; D = 2 . A1 A1 Введем амплитуды коэффициента отражения r и прохождения d:
5
r=
(R = r
B1 A ;d= 2 A1 A1
2
,D= d
2
).
Коэффициенты Ai, Bi (i = 1, 2) связаны между собой соотношениями (4). Поэтому амплитуды r и d должны выражаться через величины α и β. Действительно, из (3 б), при условии B2 = 0 следует:
β* B1 =r=− *, A1 α
(7 а)
а из (2 a) 2
2
2
β α −β A2 B , = d =α + β 1 =α − * = A1 A1 α α* и в силу (6): d =
1
α*
.
(7 б) 2
1 β и D= 2. В соответствии с этим R = α α В свою очередь величины α и β выражаются через амплитуды r и d (это следует из (7 а) и (7 б)):
1 d
r d
α* = ; β * = − .
(8)
Упражнение 2. Введите амплитуды rn, dn для частицы, падающей на барьер справа, и покажите, что Dn = D; Rn = R, но dn ≠ d. Амплитуды r и d, так же как и величины α и β , могут быть комплексны и являются функциями энергии частицы. Упражнение 3. Покажите, что соотношение
R + D =1
(9)
есть следствие формулы (6). Следует добиться понимания студентов, что условие B2 = 0, использованное при получении выражений для R и D и формул (7) не является необходимым. Это условие позволяет ввести определения R , D и r, d естественным, физическим наглядным образом. Но эти же величины могут быть введены просто формулами (7). Это подчеркивает тот факт, что амплитуды r и d, так же как и величины α и β определяются только потенциальным барьером, т. е. функцией U(x), и являются его характеристиками. Если в выражениях (4) B2 ≠ 0, т. е. частицы падают на барьер и слева и справа, то отношение
B1 уже не есть r. A1
Но тогда B1 = rA1 + dB2 , т. е. равняется сумме амплитуд отраженной левой волны и прошедшей через барьер правой. С другой стороны, допустим, что U(x) ≡ 0 в области II, т. е. что барьера вообще нет. Тогда α = 1, β = 0 и A2 = A1, B1 = B2, т. е.
α и β , а вместе с ними и амплитуды r и d определяются только 6
барьером. РАЗДЕЛ 2. Двойной потенциальный барьер
I
Пусть теперь потенциальная энергия U(x) в уравнении Шредингера является кусочно-непрерывной функцией, т. е. отлична от нуля в двух ограничениях, непересекающихся отрезках оси x: x1 < x < x2, где U(x) = U1(x) и U1(x) U2(x) x3 < x < x4 (x3 > x2), где U(x) = U2(x). Перенумеруем области оси x, на границах которых U(x) испытывает разрыв цифрами I—V x1 II x2 III x3 IV x4 V (рис. 2). В областях I, III, и V U(x) равно нулю и Рис. 2 общее решение уравнения записывается для них ikx − ikx как линейная комбинация волн e и e :
ψ I = A1 eikx + B1 e −ikx ψ III = A2 eikx + B2 e −ikx ψ V = A3 eikx + B3 e −ikx Кроме того, имеются еще 4 коэффициента общих решений уравнения для областей с U ( x ) ≠ 0 — области II и IV. Из этих десяти коэффициентов, согласно разделу 1, только два являются независимыми — например A1 и B1 . В тоже время в рассматриваемой задаче можно выделить три потенциальных барьера: два простых и один сложный, который и является предметом исследования этого раздела: 1-й простой барьер это область II с U ( x) = U1 ( x) и примыкающие к нему слева и справа области I и III свободного движения частицы. 2-й простой барьер — область IV с U ( x) = U 2 ( x) и примыкающие к нему области III и V свободного движения частицы. Сложный барьер расположен в области x1 < x < x4 . К нему слева и справа примыкают области I и V свободного движения частицы. Согласно результатам раздела 1, можно связать коэффициенты Ai , Bi для каждой пары областей свободного движения примыкающих к соответствующему барьеру соотношениями типа (4), выразив тем самым величины характеризующие сложный барьер, через аналогичные величины для простых барьеров. Для первого барьера получим:
A2 = α1 A1 + β1B1 ,
B2 = β1* A1 + α1* B1.
(10 а)
Для второго:
A3 = α 2 A2 + β 2 B2 ,
B3 = β 2* A2 + α 2* B2 .
(10 б)
Для сложного барьера: 7
A3 = α 3 A1 + β 3 B1 B3 = β 3* A1 + α 3* B1.
(10 в)
α1 , β1 относятся и определяются первым барьером, α 2 , β 2 — вторым, α 3 и β 3 — третьим, сложным барьером. Здесь величины
Подставляя в (10 б) выражения (10 а) для A2 и B2 , получим:
A3 = (α1α 2 + β1* β 2 ) A1 + (α 2 β1 + α1* β 2 ) B1
(11 а)
B3 = (α 2 β1* + α1 β 2* ) A1 + (α1*α 2* + β1 β 2* ) B1
(11 б)
Сравнивая выражение (11 а) с (10 в), находим:
α 3 = (α1α 2 + β1* β 2 ) , α 3 = (α 2 β1 + α1* β 2 ) .
(12)
Результат (12) и дает решение задачи сведений сложного барьера к двум простым барьерам. Действительно, согласно (7 б) и (7 а), амплитуды d3 и r3 для сложного барьера выражаются через величины α i и
d3 =
1
α
* 3
=
β i (i = 1, 2) для простых барьеров:
1 , α α + β1β 2* * 1
(13 а)
* 2
β 3* α 2* β1* + α1β 2* r3 = − * = − * * . α3 α1α 2 + β1β 2*
(13 б)
Далее (включая и раздел 3) основное внимание будет уделяться анализу амплитуды d3 и коэффициенту прохождения для двойного барьера D3 = d 3 . Подставив в (13 а) выражения
α i и β i (i = 1, 2) через ri и di (8), полу-
чим:
d3 =
где
d1d 2 1 + r2 r1*
* 1
d d1
=
d1d 2 1+ Q ,
(14)
d1* Q=rr . d1 * 2 1
Упражнение 4. Используя формулу (13 б), получите выражение для r3 , аналогичное (14). Проведем анализ формулы (14) для d3 . Представим его в показательной iϕ
форме: Q = re ,
(15)
d1* Im Q = r1 ⋅ r2 = R1R2 , tg (ϕ ) = где: r = r r . d1 ReQ * 2 1
8
Рассмотрим случай, когда
ϕ = ( 2n + 1)π (n — целое число).
iϕ
Тогда e = −1 и :
d3 =
d1d 2 , 1 − R1R2
а D3 равно:
D3 =
D1D2 . 1 − R1R2 + R1R2
Естественно, здесь предполагается, что d1 и d 2 не равны нулю, а r1 и
r2 — единице. Используя (9), произведение R1 ⋅ R2 можно преобразовать к виду:
R1R2 = R1 + R2 − 1 + D1D2
и выражение для D3 принимает вид:
D3 =
D1D2 = R1 − 2 R1R2 + R2 + D1D2
(
D1D2 R1 − R2
)
2
+ D1D2
.
Точная верхняя граница, равная 1, для D3 , как функции R1 и R2 , достигается, следовательно, если выполняются условия:
ϕ = ( 2n + 1)π и R1 = R2 .
Упражнение 5. Получите результат из требования R3 = 0.
( )
Случай, когда при некоторой энергии E p частицы D3 E p = 1
( R ( E ) = 0 ) , называется резонансным туннелированием. Равенство D 3
3
p
=1
означает, что частица, падающая на барьер слева ( B3 = 0 ) , проходит в область V за барьером без отражения и A3 = A1 . Проведем анализ двух условий резонансного туннелирования: 1. Выполнение равенства
ϕ = ( 2n + 1)π
(16 а)
2. Выполнение равенства
R1 = R2 .
(16 б)
Условие (16 а) есть трансцендентное уравнение, определяющее резонансное значение энергии E p . Условие (16 б) заведомо выполняется, если первый и второй барьеры одинаковы, т. е. U1 ( x ) = U 2 x + ( x3 − x1 ) . Но коэффициенты R1 и R2 есть
(
)
функции энергии частицы. Поэтому, не исключено, что условие будет выпол9
няться при некоторых значениях E = E0 . Но условия (16 а) и (16 б) — независимы. Это следует хотя бы из того, что фаза
ϕ в (16) определяется фазами di и
ri ( i = 1, 2 ) , в то время как величины R1 и R2 вообще их не содержат. Поэтому совпадение энергий E0 и E p может быть только случайным и практически не
реализуется. С другой стороны, если различие между барьерами невелико, т. е.
(
R1 − R2
)
2
D1D2 , то D3 < 1, но может быть достаточно большим для
появления максимума в зависимости D3 ( E ) , которая в сущности является вольт-амперной характеристикой резонансного туннельного диода [1]. В этом случае на вольт-амперной характеристике появляется область отрицательного сопротивления, соответствующая области E в которой
dD3 <0. dE
По-видимому, так и происходит на практике, поскольку получение двух абсолютно одинаковых барьеров технологически невозможно. Аналогичная ситуация возникает, если условие резонанса (16 а) выполняется лишь приближенно (см. раздел 3). Формула (14) для d3 и аналогичная формула для r3 позволяют выразить коэффициенты прохождения D3 и отражения R3 сложного барьера через амплитуды di и ri простых барьеров. Но через эти амплитуды выражаются и величины B1 , A2 , B2 A3 (точнее их отношения к A1 ), определяющие по (10) решение уравнения Шредингера для сложного барьера в областях I, III V, при условии B2 = 0 (частица падает на барьер слева). Нахождение же решения в областях II и IV сводится к "сшивке" функций (10) на границах этих областей с уже известными решениями в соседних областях. Таким образом, решение уравнения Шредингера для сложного барьера выражается через решения этого уравнения для простых барьеров. Упражнение 6. Покажите, что величины A2 , и B2 в предположении B3 = 0 , выражаются формулами:
A2 d = 1 A1 1 + Q B2 d1r2 = , A1 1 + Q где Q определено в (15).
(17 а) (17 б)
Упражнение 7. Покажите, что при выполнении условий резонанса, формулы (17) приобретают вид:
A2 B = α1; 2 = β1* A1 A1
(18)
Для понимания физики резонансного туннелирования полезно рассмотреть в этом случае свойства функции ψ III ( x ) . Для этого рассмотрим вначале 10
свойства амплитуд ri
( i = 1, 2 ) .
Эти, комплексные в общем случае, амплитуды запишем в виде ri = r eiϕi , где r1 = r2 = r согласно условию резонанса.
ϕ i можно представить в виде суммы кинематической фазы ϕ i ,k , и динамической — ϕ r ,i . Фаза ϕ i ,k определяется положением барьера на оси x , а фаза ϕ r ,i — только свойствами барьера. Фазу
Это лучше показать на хорошо известном примере падения частицы на бесконечно высокую потенциальную стенку. Пусть частица падает слева на такую стенку, не расположенную в области x ≥ 0 . Тогда, как известно, общее − ikx ikx должно обращаться в ноль решение в области I перед барьером, A1e + A2e
в точке x = 0 , что приводит к равенству A2 = − A1 . Но, в общем случае,
A2 = rA1 , где r — амплитуда отражения. Таким образом для рассматриваемой iπ модели r = −1 или r = e . Число π и есть динамическая фаза. Если, теперь, начало потенциальной стенки находится в точке x = x1 (пусть, для определен2 ikx iπ 2ikx ности x1 > 0 ), то A2 = −e 1 A1 . Теперь r = e e 1 и фаза r есть π + 2kx1 , а величина 2kx1 — кинематическая фаза. Появление ее имеет простой физический смысл. Если начало барьера находится в точке x = x1 > 0 , то по сравнению со случаем x1 = 0 , падающей на барьер волне нужно пройти расстояние x1 до барьера, отразится от него, приобретая фазу ϕ r = π и пройти расстояние от барьера до точки x = 0 . В сумме волна проходит дополнительное расстояние 2x1 , т. е. приобретает дополнительную фазу 2kx1 . В общем случае барьера произвольной формы ситуация будет аналогичной. Фаза амплитуды для r1 будет равна ϕ r + 2kx1 , где, однако, ϕ r ≠ π . Для двух барьеров левые границы которых определяются точками x1 и
x3 (рис. 2) и x3 = x1 + ( a + b ) ( a — ширина одного барьера, b — расстояние между барьерами), динамические фазы будут одинаковы
(ϕ
r1
= ϕ r2 = ϕ r ) , а ки-
нематические фазы будут различаться на величину 2k ( x3 − x1 ) .
Аналогичное разделение фазы на кинематическую и динамическую можно провести и для фазы амплитуды прохождения d . Но теперь кинематическая фаза будет определяться как ( − ka ) , где a = ( x2 − x1 ) — ширина барьера. Физически это означает следующее. Волна, "прошедшая" через барьер приобретает динамическую фазу ϕ d , но поскольку она фактически не проходит через − ikx
барьер (в области барьера решения не имеют вид e ), она "теряет" фазу ( −ka ) . То есть, за барьером волна приобретает фазовый множитель eiϕd e− ka . Отсюда следует, что для двух одинаковых барьеров, расположенных в областях
x1 ≤ x ≤ x2 и x3 ≤ x ≤ x4 , совпадают и динамические (ϕ d1 = ϕ d2 = ϕ d ) и кине-
матические фазы, т. е. d1 = d 2 .
11
Заметим также, что условия резонанса (16) можно записать, используя только динамическую фазу ϕ d :
ϕ = ⎡⎣ k ( x3 − x1 ) − ϕ d ⎤⎦ = ( 2n + 1)π ⎛ ⎝
или kb − ϕ d = ⎜ n +
1⎞ ⎟π , где b = ( x3 − x1 ) 2⎠
(19)
Упражнение 8. Определите динамическую и кинематическую фазы амплитуды d3 [14] при выполнении условий резонанса. Полученная выше из качественных соображений структура фаз амплитуд di и ri может быть строго обоснована. Вернемся к исследованию функции ψ III ( x ) , положив для простоты и на-
глядности A1 = 1 и считая B3 > 0 . Используя (18), вий резонанса можно записать в виде:
ψ III при выполнении усло-
ψ III ( x) = α1eikx + β1e− ikx . Выражая α1 и
β1 через r1 и d1 :
eikx ⎛ r1d1* −2ikx ⎞ ψ III ( x) = * ⎜1 − e ⎟. d1 ⎝ d1 ⎠ r1d1 Q* = * , где Q определена в (15). Величина d1* r2 При выполнении условий резонанса: 2
(
)
Q* = Q = − r , r1 = r2 = R . Кроме того, r2 = r e *
ψ III ( x) =
− iϕ r
e2ikx3 и выражение для ψ III ( x) приобретает вид:
(
)
eikx i ϕ + 2 kx 1 + Re ( r 3 )e −2ikx . * d1
(20)
Плотность вероятности для области III W ( x ) = ψ III ( x) , определяется, 2
следовательно, выражением:
W ( x) =
(
1 1 + R + 2 R cos (ϕ r + 2kx3 − 2kx ) D
)
21)
Точки x0 , в которых функция W ( x ) имеет экстремумы, определяются, очевидно, уравнением:
ϕ r + 2k ( x3 − x0 ) = nπ
(22)
где n — целые числа, такие, что x0 попадает в интервал x2 < x < x3 (строгие неравенства!). Четные n определяют точки максимумов W ( x ) , нечетные — минимумов.
12
Для четных n максимальные значения W ( x ) = Wmax будут равны:
Wmax =
1+ R > 1, 1− R
(1 есть плотность вероятности в падающей волне при выбранной нормировке A1 = 1 ). Соответственно:
Wmin =
1− R < 1. 1+ R
Полученные результаты позволяют сделать ряд выводов: 1. В области III, вообще говоря, могут быть несколько максимумов функции W ( x ) , разделенных ее минимумами. 2. Если это так, то величины максимумов (минимумов) одинаковы и определяются только значением R ( D ) . 3. Резонансы будут тем более "острыми", т. е. амплитуда максимумов будет тем больше, чем ближе R к единице ( D — к нулю). Например, если R = 0,8 ( D = 0,2 ), то Wmax ≈ 18 (см. также раздел 3). Это означает, что плотность вероятности в максимуме будет в 18 раз больше, плотности вероятности в падающей на барьер волне! 4. Произведение Wmax ⋅ Wmin = 1 всегда. Полученные результаты позволяют полнее объяснить физическую картину резонансного туннелирования. Пусть, для наглядности, сложный барьер состоит из двух одинаковых прямоугольных барьеров высотой U 0 . Представим себе, что левая ( x1 ) и пра-
вая ( x2 ) границы сложного барьера стремятся к ± ∞ . При этом область III превращается в прямоугольную потенциальную яму шириной b = x3 − x2 и глуби-
ной U 0 .
Движение частицы при этом становится финитным при E < U 0 и в яме
будет один или несколько уровней энергии En , число которых определяется 2
значением величины U 0b [2, 3]. Плотность вероятности для таких стационарных состояний максимальна в пределах ямы, убывая экспоненциально в областях за ней. Если теперь x1 и
x4 конечны, то движение частицы становится инфинитным, т. е. частица может выйти из потенциальной ямы в области I или V и уйти на бесконечность. С другой стороны, частица теперь может находиться вне потенциальной ямы, например, в области I, и двигаясь к ее стенке, попасть внутрь. В соответствии с этим стационарных состояний частицы в потенциальной яме уже не будет, также как и дискретных уровней энергии — спектр энергии становится непрерывным. Тем не менее, если энергия частицы E ≈ En , то волновая функция такого состояния в области ямы (области III) обладает некоторыми чертами стационарных со-
13
стояний дискретного спектра. В частности, в таком состоянии плотность вероятности максимальна именно в области III. По этой причине энергии E ≈ En называют виртуальными или квазидискретными уровнями, а соответствующие состояния виртуальными или квазистационарными. Вернемся теперь к явлению резонансного туннелирования. Частица, падающая на сложный потенциальный барьер слева, может отразиться от него или прийти в область III, а затем и в область V. Но вероятность такого процесса мала. Действительно, согласно (14), если условие резонанса не выполняется, например, при
ϕ = 0 , 1 + r r ≈ 2 (если R ≈ 1 ) и D3 = d3 * 1 2
2
D2 = . 2
При R = 0,8 , D3 ≈ 0,02 , т. е. "прозрачность" двойного барьера мала —
частица в основном отражается от него и R3 ≈ 0,98 . Большее значение R3 по сравнению с величиной R для одного простого барьера объясняется тем, что − ikx в области III, отраженная от 2-го барьера проходит через первый волна B2e барьер в область I и, находясь почти в фазе с волной, отраженной от первого барьера, увеличивает полную амплитуда отражения B1 . Положение меняется, если энергия частицы приближается и становится равной энергии виртуального уровня (условие резонанса). В этом случае плотность вероятности в области III становится большой по сравнению с плотностью вероятности в падающей волне 2
— A1 . Кроме того: волна B2e
− ikx
, пройдя в область I имеет амплитуду, модуль
которой равен модулю амплитуды отражений от первого барьера волны; но с фазой сдвинутой относительно фазы этой волны на π . Поэтому эти две волны гасят друг друга, вследствие чего B1 = 0 и R3 = 0 . Таким образом, частица, попавшая в область III, может выйти из нее только в область V, пройдя через второй потенциальный барьер. Но из условия постоянства потока вероятности, квадраты модулей амплитуд A1
2
и A3
2
должны быть, а в этом случае одина-
ковы, это в свою очередь требует, чтобы квадрат модуля амплитуды A2 — вол2
A1 ны падающей на второй барьер из области III был равен , что как раз и D имеет место при резонансе (выражение (18)).
Упражнение 9. Покажите, что при выполнении условия резонанса волна, отраженная от первого потенциального барьера и волна прошедшая из области III в область I, гасят друг друга, что приводит к равенству нулю величины B1 . С точки зрения физики волновых процессов, резонансное туннелирование эквивалентно следующей картине. Потенциальная яма эквивалентна полости, в которой существуют резонансные частоты. Если наружная волна может проникать заметным образом в полость (стенки потенциальной ямы — конечной толщины!), то при совпадении ее частоты с резонансной частотой, волна способна возбудить собственные колебания в полости. Этой аналогией объясняется возникновение терминов "резонанс", "резонансное" туннелирование. 14
При изучении резонансного туннелирования необходимо избежать формирования у студентов неправильного представления о том, что в этом случае частица вовсе не взаимодействует с потенциальным барьером. Такое представление может сложиться на основе того, что D3 = 1 , а R3 = 0 , т. е. частица из области I проходит в область V, как свободная, не меняя квадрата модуля ам2
2
плитуды: A1 = A3 . В действительности, при выполнении условия резонанса частица сильно взаимодействует с барьером, свидетельством чего, в частности, является большая плотность вероятности резонансного состояния в области III. Равенство D3 = 1 , вовсе не означает, что сама амплитуда d3 тоже равна 1. У этой амплитуды имеется фаза, которая вовсе не сводится к кинематической фазе (−k ( x4 − x1 )) , но имеется еще и динамическая фаза (упражнение 8), что и говорит о взаимодействии частицы с барьером. Раздел 3. Сложный барьер, состоящий из двух одинаковых прямоугольных барьеров Будем полагать, что в областях II и IV потенциальная энергия частицы постоянна и равна U 0 . Задача о прохождении частицы через прямоугольный потенциальный барьер имеет аналитическое решение, изложенное практически в любом руководстве или задачнике по квантовой механике [2—4]. Но почти во всех учебниках приводятся выражения для D (исключение составляет [4], где приводится выражение для d ). Кроме того: начало координат выбирается в
1 ( x2 − x1 ) , т. е. посередине между x1 и x2 . 2 Ниже приводятся формулы для d1 и r1 , D и R , а также динамических фаз ϕ d и ϕ r — при произвольном положении барьера на оси x . точке x1 = 0 или — в точке
2ik λ e ( 2 1 ) d1 = 2 ( k − λ 2 ) sh (λ a) + 2ikλ ch (λ a) − ik x − x
r1 =
(k
Здесь: k = 2
(k
2
2
(23 а)
+ λ 2 ) sh (λ a ) e 2ikx1
− λ 2 ) sh (λ a ) + 2ik λ ch (λ a ) .
(23 б)
2mE 2m(U 0 − E ) 2 ; λ = ; E < U 0 ; a = x2 − x1 — ширина 2 h h2
барьера. Формулы (23) имеют, в соответствии с общими выводами, кинематические фазовые множители e
− ik ( x2 − x1 )
для d1 и e
+2 ikx1
для r1 .
d 2 совпадает с выражением для d1 поскольку ( x2 − x1 ) = ( x4 − x3 ) = a . Выражение же для r2 имеет другой кинематический Выражение для
множитель: e
2 ikx3
, что тоже находится в согласии с выводами раздела 2.
(
Пусть ∆ = k − λ 2
)
2 2
sh λ a + 2ik λ ch λ a , и ∆ = ( k 2 + λ 2 ) + 4k 2λ 2 . 2
15
2
Тогда для модулей d1 и r1 получим выражения:
k 2 + λ 2 ) sh λ a ( 2k λ r1 = d1 = . ∆ ∆ ,
Напомним, что d1 = d 2 = d и d
2
(24) 2
= D ; r1 = r2 = r , r = R .
ϕ d и ϕ r будут определяться выражениями: k 2 − λ 2 ) sh λ a ( 2k λ ch λ a cos ϕ d = sin ϕ d = ,
Динамические фазы
∆
и
∆
2k λ ch λ a sin ϕ r = − , ∆
cos ϕ r
(k =
2
− λ 2 ) sh λ a ∆
(25)
(26)
Приведенные выражения для величин d , r , ϕ d и ϕ r позволяют сделать несколько общих выводов о связи между ними и их поведении как функциях E: 1. Сравнение (25) и (26) показывает, что
sin ϕ d = cos ϕ r и cos ϕ d = − sin ϕ r .
Это означает, что
ϕr = 2. т. е. фаза
3π + ϕ d и tg ϕ r ⋅ tg ϕ d = −1 . 2 E → 0 ( k → 0) ,
При
ϕd → −
π 2
, а фаза
sin ϕ d → −1 ,
(27) а
cos ϕ d → 0 ,
ϕr → π .
Кроме того, в этом пределе D = 0 и R = 1 . Это значение R , соответствующее полному отражению, согласуется со значением ϕ r = π (см. раздел 2). Тем не менее, говорить о волне, падающей на барьер, в случае k = 0 ( λ = ∞ )
некорректно. 3. В области 0 ≤ E ≤ U 0 при увеличении E , коэффициент D монотонно увеличивается и достигает максимального значения при E = U 0 , равного
4 <1 k a2 + 4 , 2 0
k2 =
2mU 0 h2 .
Таким же образом ведет себя фаза
ϕ d , проходящая через ноль при
1 E = U 0 и достигающая максимального значения на правой границе области, 2 k0 a где ϕ d = arcsin < 1. k02 a 2 + 4
16
⎛ ⎝
1⎞ ⎟π , может выполняться только 2⎠ при n ≥ 0 . Действительно, поскольку kb ≥ 0 , а минимальные значения 4. Условие резонанса kb + ϕ d = ⎜ n +
π π ϕ d = − , то минимальное значение ( kb + ϕ d ) = − достигается при n = −1 2
2
и k = 0 . Но в этом случае резонанса нет, поскольку k = E = 0 и D3 = 0 , что можно показать, находя предел D3 при k → 0 . К такому же выводу можно придти принимая во внимание, что при E = 0 , D = 0
( R = 1) , т. е. частица во-
обще не проникает в область III. Рассмотрим поведение плотности вероятности в области III при выполнении условия резонанса. Пусть это условие выполняется при n = 0 , т. е.
( k b + ϕ ) = π2 , где k p
d
p
— резонансное значение k . Тогда координаты макси-
мумов функции W ( x ) , согласно (22), определяются формулой:
x0 = x3 +
ϕ r − mπ
(28)
2k p
где m — целые четные числа, такие, что x0 попадает в открытый интервал:
x2 < x0 < x3 Выразим
как 2k p =
ϕ r через ϕ d как ϕ r =
π − 2ϕ d b
(29)
3π ⋅ ϕ d (27), а 2k p из условия резонанса 2
и подставим эти выражения в (28). Тогда:
x0 = x3 +
(3 − 2m)π + 2ϕ d b ⋅ . π − 2ϕ d 2
(30)
Отсюда следует, что при m ≤ 0 и m ≥ 4 , значения x0 не попадают в интервал (29) (принимая во внимание, что
ϕ d < 1 для E в интервале [ 0, k0 ] и то,
что m должно быть четным). При m = 2 , получим:
b x0 = x3 − . 2 То есть. для резонанса с n = 0 имеется один максимум W ( x ) , координата которого x0 лежит посередине области III (посередине сложного барьера). Упражнение 10. Найдите координаты максимумов и минимумов W ( x ) , при резонансах n = 1 и 2 . Сделайте качественные обобщения на любые n и дайте физическую интерпретацию полученным результатам.
17
В рассматриваемом случае n = 0 , W ( x ) — четная функция x относительно точки x = x0 . Действительно, значения W ( x ) в точках x = x2 и x = x3 , т. е. на границах области III. Согласно (21) эти значения одинаковы и равны:
W ( x2 ) = W ( x3 ) =
(
)
1 1 + R + 2 R sin ϕ d . D
(31)
Это и доказывает четность W ( x ) относительно точки x = x0 . В заключение раздела 3, приведем численные результаты расчетов для сложного барьера, если простые барьеры имеют параметры: U 0 = 4 эВ ,
a = 2 ⋅ 10−10 м и b = 2 ⋅ 10−10 м . Тогда D монотонно меняется от нуля при E = 0 до 0,49 при E = U 0 . Фаза ϕ d в том же интервале E меняется практически линейно как функция k , и принимает значение −
π
2
при E = 0 , обращает-
1 U 0 и равняется 0,8 при E = U 0 . 2 В соответствии с этим фаза ϕ = 2kb + ϕ d ведет себя тоже практически
ся в ноль при E =
линейно с ростом k , начиная от значения −
π
2
при E = 0 , проходя через ноль
при E = 0,66 эВ , и принимая значение 2,85 при E = U 0 . Для E = 2,15 эВ = 3,137, т. е. практически резонансное значение
D = 0, 218 , D3 = 1 , а ϕ d = 0,0664 .
ϕ
ϕ r = π . Для этой энергии
Таким образом в области 0 ≤ E ≤ U 0 имеется одно резонансное значе-
ние E p для которого n = 0 .
Максимальное значение W ( x0 ) = 16,3 для x0 = x3 − 1 Е . Значения же
W ( x) на границах области III, согласно (31) одинаковы и равны 8,71. Заметим, что последнее число примерно вдвое меньше значения W ( x0 ) . Это означает, что ширина квазистационарного состояния на середине высоты равна примерно 1Е . Энергетическая же ширина резонанса — размеры интервала ∆E на границах которого D3 ≈ 0,5 , составляет, примерно, 0,1 эВ (функция D3 ( E ) не симметрична относительно точки E = E p даже в окрестности
этой точки). Минимальные значения D3 ( E ) слева и справа от E p равняются примерно 0,1. Наконец, потенциальная яма с бесконечно "толстыми" стенками, глуби−10 ной 4 эВ и шириной 2 ⋅ 10 м имеет одно связанное состояние, энергия которого практически совпадает с E p = 2,15 эВ, что иллюстрирует связь виртуального состояния и уровня со стационарным состоянием и его энергией (см. раздел 2). 18
Изложенный в методическом указании метод сведения исследований свойств сложного барьера к свойствам простых барьеров имеет достаточно большую общность. Выводы раздела 2 не ограничены предположениями о конкретной форме простых барьеров. Функция U ( x ) может быть достаточно произвольной, в том числе, и отрицательно определенной. Т. е. роль простого "барьера" может играть и потенциальная яма. Метод может быть распространен на сложные барьеры, состоящие из трех и большего числа простых барьеров. И, наконец, термины "простой" и "сложный" барьеры — относительны. "Простые" барьеры могут в свою очередь быть сложными. Литература 1. Соросовский образовательный журнал, № 5,1897, стр. 80—100. 2. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц "Квантовая механика", Физматгиз, М.: 1963, стр. 103—104. 3. В. М. Галицкий, Б. М. Карнаков, В. И. Коган. Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1981. 4. В. Г. Левин и др. "Курс теоретической физики", т. II, Изд. "Наука". М.: 1971, стр. 57.
19