Основы дифференциальной геометрии

Ш.Кобаяси, К.Номидзу ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ, Т. II Книга является вторым томом двухтомной монографии «Основы дифференциальной геометрии». В книге рассмотрены подмногообразия, вариации интеграла длины, комплексные многообразия, однородные пространства, симметрические пространства, характеристические классы. Книга предназначена для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов физико-математических специальностей. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 VII. ПОДМНОГООБРАЗИЯ 11 § 1. Расслоение реперов подмногообразия 11 § 2. Отображение Гаусса 15 § 3. Ковариантное дифференцирование и вторая основная форма 19 § 4. Уравнения Гаусса и Кодацци 29 § 5. Гиперповерхности в евклидовом пространстве 36 § 6. Типовое число и жесткость 47 § 7. Основная теорема для гиперповерхностей 51 § 8. Автопараллельные подмногообразия и вполне геодезические 57 подмногообразия VIII. ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ 65 § 1. Поля Якоби 65 § 2. Поля Якоби в римановом многообразии 70 § 3. Сопряженные точки 73 § 4. Теорема сравнения 77 § 5. Первая и вторая вариации интеграла длины 79 § 6. Теорема об индексе Морса 87 § 7. Места среза 94 § 8. Пространства неположительной кривизны 99 § 9. Центр тяжести и неподвижные точки изометрий 105 IX. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 110 § 1. Предварительные алгебраические рассмотрения 110 § 2. Почти комплексные многообразия и комплексные многообразия 116 § 3. Связности в почти комплексных многообразиях 135 § 4. Эрмитовы метрики и кэлеровы метрики 139 § 5. Кэлеровы метрики в локальных координатах 147 § 6. Примеры кэлеровых многообразий 150 § 7. Голоморфная секционная кривизна 156 § 8. Разложение де Рама кэлеровых многообразий 161 § 9. Кривизна кэлеровых подмногообразий 165 § 10. Эрмитовы связности в эрмитовых векторных расслоениях 167 X. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 174 § 1. Инвариантные аффинные связности 174

§ 2. Инвариантные связности на редуктивных однородных пространствах § 3. Инвариантные неопределенные римановы метрики § 4. Группы голономии инвариантных связностей § 5. Разложение де Рама и неприводимость § 6. Инвариантные почти комплексные структуры XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА § 1. Аффинные симметрические пространства § 2. Симметрические пространства § 3. Каноническая связность на симметрическом пространстве § 4. Вполне геодезические подмногообразия § 5. Структура симметрических алгебр Ли § 6. Римановы симметрические пространства § 7. Структура ортогональных симметрических алгебр Ли § 8. Двойственность § 9. Эрмитовы симметрические пространства § 10. Примеры § 11. Набросок классификационной теории XII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ § 1. Гомоморфизм Вейля § 2. Инвариантные полиномы § 3. Классы Черна § 4. Классы Понтрягина § 5. Классы Эйлера ПРИЛОЖЕНИЯ 8. Интегрируемые вещественно аналитические почти комплексные структуры 9. Некоторые определения и факты теории алгебр Ли ПРИМЕЧАНИЯ 12. Связности и группы голономии (дополнение к примечанию 1) 13. Группа автоморфизмов геометрической структуры (дополнение к примечанию 9) 14. Лапласиан 15. Поверхности постоянной кривизны в R3 16. Индекс дефектности 17. Типовое число и жесткость вложения 18. Изометрические вложения 19. Проблема эквивалентности для римановых многообразий 20. Теорема Гаусса—Бонне 21. Тотальная кривизна 22. Топология римановых многообразий с положительной кривизной 23. Топология кэлеровых многообразий положительной кривизны 24. Структурные теоремы об однородных комплексных многообразиях 25. Инвариантные связности на однородных пространствах

178 186 191 196 201 206 206 208 213 217 220 225 227 234 239 244 264 268 268 272 279 284 286 292 292 295 301 302 307 312 316 317 321 324 325 328 330 334 338 340

26. Комплексные подмногообразия 27. Минимальные подмногообразия 28. Контактные структуры и структуры, с ними связанные Библиография к томам I и II Список основных обозначений Предметный указатель к томам I и II

342 344 345 350 401 404

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ К ТОМАМ I И II*) *) При ссылках на термины, встречающиеся в первом томе данной книги, перед номером страницы ставится цифра I.

Абелева алгебра Ли 295 Абелево многообразие 126 Абсолютный параллелизм 1-121 Автоморфизм алгебры Ли 1-47 — группы Ли 1-47 — почти комплексной структуры 122 — — — — инфинитезимальный 122 — связности 1-84 — G-структуры 1-281, 174, 303 — — инфинитезимальный 174 Автопараллельное подмногообразие 57 Адаптированный репер 11, 57 — —, расслоение 12, 57 Алгебра Ли 45 — — абелева 295 — —, автоморфизм 1-47 — — инволютивная 209 — — — ортогональная 228 — — компактного типа 232—233, 299 — — комплексная 116, 299 — — —, вещественная форма 266, 300 — — линейная бесконечного типа 303 — — — конечного типа 303 — — некомпактного типа 232—233 — — неприводимая симметрическая 232 — — нильпотентная 295 — —, нижний центральный ряд 295 — — ортогональная симметрическая

228 — — полупростая 295 — —, производный ряд 295 — — простая 295 — —, радикал 220, 295 — — разрешимая 295 — — редуктивная 296 — — симметрическая 209, 220 — — — дуальная 234 — — — эффективная 209 Альтернация 1-35 Аналитическое продолжение 1-238 Ассоциированное расслоение 1-60 Атлас 1-12 — полный 1-12 Аффинная группа голономии 1-128, 301 — связность 1-127 — — жесткая 341 — — инвариантная 340 — —, — при параллелизме 181 — — локально симметрическая 1-278 — — обобщенная 1-125 — — плоская 1-198 Аффинное отображение 1-212 — преобразование 1-124, 1-213 — — инфинитезимальное 1-217 — пространство 1-123 — — касательное 1-123 — — локально симметрическое 206 — — — — комплексное 239 — — симметрическое 207 — — — комплексное 239

Аффинный параллельный перенос 1128 — параметр 1-135 — репер 1-124 — —, расслоение 1-124 Бисекционная кривизна голоморфная 337 Бутылка Клейна 1-210 Вариация геодезической 65 — — инфинитезимальная 65 Вектор 1-14 — касательный 1-14 — — комплексный 119 — — — типа (0,1) или (1,0) 120 Векторное поле 1-15 — — голоморфное 124 — — Киллинга 1-223 — — полное 1-22 — — проектируемое 203 — — стандартное горизонтальное 1118 — — фундаментальное 1-57 — расслоение 1-113 Векторное расслоение ориентированное 286 — — ориентируемое 286 — — риманово 287 — — эрмитово 167 Вертикальная компонента 1-68 Вертикальный вектор 1-68 Вещественная форма компактная 266 — — комплексной алгебры Ли 266, 300 Вещественное представление для GL(п,С) 111 — — — SL(п, С) 144 — проективное пространство 1-67 Вложение 1-18, 1-59 — допустимое 55 — жесткое 317 — изометрическое 1-156, 321, 322, 323 — — эквивариантное 323

— эквивариантное 323 Внешнее дифференцирование 1-17, 1-43 — — коварнантное 1-80 Внешняя производная 1-17, 1-43 — — ковариантная 1-80 Внутреннее произведение 1-42 Вполне геэдезическое подмногообразие 1-174, 57 — — — симметрического пространства 217, 219—220 Вторая основная форма 21, 27 — — — гиперповерхности 13, 24 — — — комплексной гиперповерхности 165 Выпуклая гиперповерхность 45 — окрестность 1-146, 1-161 Гамильтоново многообразие 142 Гармоническая функция 308 Гауссова кривизна 39 — — гиперповерхности 39 Геодезическая 1-135, 1-142 —, вариация 65 —, — инфинитезимальная 65 — минимизирующая 1-161 Гиперболическая пространственная форма 1-198, 247 — — — комплексная 259 Гиперболическое пространство комплексное 259 Гиперповерхность 14 — в евклидовом пространстве 25, 36 — выпуклая 45 — комплексная 343 — —, вторая основная форма 165 — строго выпуклая 45 — эйнштейнова 41, 342, 343 Главная кривизна 38 — — гиперповерхности 38 Главное направление 38 — расслоение 1-56 Голоморфная форма 123 Голоморфное векторное поле 124

— преобразование 306 Гомоморфизм Вейля 272 — расслоений 1-59 — симметрических алгебр Ли 211 — — пространств 211 Гомотетия многообразий 264 Горизонтальное векторное поле 68 — — — стандартное 1-118 Горизонтальный вектор 68 — лифт 1-69, 1-73, 1-90 Градиенты 307 Грассманово многообразие 15, 18, 250 — — комплексное 128, 152, 262 — — ориентированное 250 — — ориентированных p-плоскостей 18, 250 Группа Вейля 278 — голономии 1-75, 1-76 — — аффинная 1-128, 301 — — инфинитезимальная 1-98, 1-147 — — кэлерова многообразия 163 — — линейная 1-128 — — локальная 1-96, 1-147 — — однородная 1-128 — — подмногообразия 322 — — суженная 1-75, 1-76 — изотропии линейная 1-150, 175 — Ли 1-45 — —, автоморфизм 1-47 — — комплексная 125 — — преобразований 1-48 — линейных преобразований слабо неприводимая 301 — Лоренца 247 — преобразований однопараметрическая 1-21 — разрывная 1-51 — собственно разрывная 1-50 Движение евклидово 1-204 Действие группы эффективное 1-48, 175 Дефект билинейной формы 87

Дивергенция 1-259, 307 Диффеоморфизм 1-19 Дифференциал ковариантный 1-122 — отображения 1-17 — полный 1-16 — — функции длины 80 — функции 1-17 Дифференциальная форма 1-16 Дифференциальная форма голоморфная 123 — — комплексная 119, 120 — — — голоморфная 123 Дифференцирование внешнее 1-17, 1-43 — ковариантное 1-115, 1-121 — — внешнее 1-80 — косое 1-41 — Ли 1-37 Дифференцирования алгебры 1-38, 141 — тензорной алгебры 1-33 Длина дуги 1-153 Допустимое вложение 55 Дуальная симметрическая алгебра Ли 234 Евклидов тор 1-199 — цилиндр 1-199 Евклидова метрика 1-150 Евклидово движение 1-204 — касательное пространство 1-185 — подпространство 1-206 Естественная ориентация почти комплексного многообразия 117 — связность без кручения 184 Естественно редуктивное однородное пространство 188 Естественный лифт векторного поля 1-216 Жесткая аффинная связность 341 Жесткость вложения 317 — гиперповерхности 49 Изометрическое вложение 1-156, 321,

322, 323 — — эквивариантное 323 — погружение 1-156, 322, 323, 344, 321 Изометрия 1-52, 1-156, 1-222, 305 — инфинитезимальная 1-223 Инвариантная аффинная связность 340 — — — при параллелизме 1-246, 181 — почти комплексная структура 201 — риманова метрика 1-150 — — — неопределенная 186 — связность 1-84, 1-104, 340 Инвариантный полином 268, 272 Инволютивная алгебра Ли 209 — — — ортогональная 228 Инволютивное распределение 1-19 Индекс 87 — дефектности 316 Индекс критической точки 328 — относительной дефектности 316 — полный 87 Индексная форма 81 — —, кратность 88 Индуцированная риманова метрика 1-150 — связность 1-85 Индуцированное расслоение 1-66 Интегральная кривая 1-21 Интегральное многообразие 1-19 Интегрируемая почти комплексная структура 119, 292, 294 Инфинитезимальная вариация геодезической 65 — группа голономии 1-98, 1-147 — изометрия 1-223 Инфинитезимальное аффинное преобразование 1-217 Инфинитезимальный автоморфизм почти комплексной структуры 122 — — G-структуры 174 Каноническая инвариантная

риманова метрика 1-151 — — связность 1-110, 1-276, 179, 213 — комплексная структура 111 — линейная связность 1-277 — метрика 1-151 — плоская связность 1-94 — связность 1-110, 1-276, 16, 213 — — симметрического пространства 213 — форма на L (М) 1-118 — эрмитова форма 339 — 1-форма на группе 1-48 Канонический параметр на геодезической 1-158 Каноническое разложение (разложение де Рама) 1-178, 1184, 161, 227, 243, 301 — — симметрической алгебры Ли 210 Карта 1-12 Касательное пространство 1-13 — — аффинное 1-123 — — евклидово 1-185 — — комплексное 119 — расслоение 1-62 Касательный вектор 1-14 — — комплексный 119 — — — типа (1,0) или (0,1) 120 Класс Понтрягина 284 — Черна 279 — Эйлера 286 Ковариантная производная 1-114, 1115, 1-121 Ковариантная производная внешняя 1-80 Ковариантное дифференцирование 1115, 1-121 — — внешнее 1-80 Ковариантный дифференциал 1-122 — тензор 1-29 Ковектор 1-16 Компактная алгебра Ли 190, 232, 233, 299

— вещественная форма 266 — симметрическая алгебра Ли 232 Компактное симметрическое пространство 232, 233,236 Компактно открытая топология 1-52 Комплекснфикация алгебры Ли 299 — векторного пространства 112 Комплексная алгебра Ли 116, 299 — — —, вещественная форма 266, 300 — гиперповерхность 343 — —, вторая основная форма 21, 27 — группа Ли 125 — дифференциальная форма 119, 120 — — — голоморфная 123 — квадрика 256, 343 — контактная форма 349 — структура каноническая Щ — — контактная 349 — — на векторном пространстве 110 — — — многообразии 118 Комплексное многообразие 1-12, 116 — — аффинное глобально симметрическое 239 — — — локально симметрическое 206, 239 — — грассманово 128, 152, 262 — — однородное 204, 338 — — сопряженное 118 — подмногообразие 155, 165, 342 — пространство 1-12, 116 — — аффинное локально симметрическое 206, 239 — — гиперболическое 259 — — касательное 119 — — однородное 204, 338 — — проективное 129, 151, 251 — сопряжение 112 Комплексно параллелизуемое многообразие 127, 338 Комплексный касательный вектор 119 — — — типа (1,0) или (0,1) 120

— линейный репер 135 — тор 126, 151 Компоненты векторного поля 1-15 — линейной связности 1-138 — тензора 1-30 — тензорного поля 1-34 Компоненты 1-формы 1-16 Контактная структура 345 — — комплексная 349 — форма 345 — — комплексная 349 Контравариантный тензор 1-29 Конформное преобразование 1-283 — — инфинитезимальное 1-284 Координатная окрестность 1-13 Косое дифференцирование 1-41 Кратность индексной формы 88 — сопряженной точки 87 Кривизна 1-130 — бисекционная голоморфная 337 — Гаусса — Кронекера 39 — гауссова 39 — — для гиперповерхности 39 — главная 38 — — для гиперповерхности 38 — голоморфная бисекционная 337 — — секционная 158 — кэлерова секционная 334 —, оператор 333 — постоянная 1-192 —, преобразование 1-130 — рекуррентная 1-279 — риманова 1-191 — —., тензор 1-191 — секционная 1-192 — — голоморфная 158 — скалярная 1-269 — средняя 39 — — гиперповерхности 39 — — нормальная 39—40, 309, 310 — — постоянная 314 —, тензорное поле 1-130, 1-142

— тотальная 328 —, форма 1-80 Критическая точка 328 — —, индекс 328 — — невырожденная 328 Кручение двух тензорных полей типа (1,1) 1-44 — почти комплексной структуры 119 —, тензорное поле 1-130, 1-142 —, трансляция 1-130 —, форма 1-119 Кубическая окрестность 1-13 Кэлеров аналог теоремы Шура 158 Кэлерова метрика 141 — секционная кривизна 334 Кэлерово многообразие 141 — — невырожденное 163 — — однородное 339, 341 — —, тензор Риччи 142 — — 6-защепленное 334 — погружение 155 Лапласиан 307 Лассо 1-77, 1-177, 1-261 Линейная алгебра Ли бесконечного типа 303 — — — конечного типа 303 — — —, продолжение 303 — — — эллиптическая 304 — группа голономии 1-128 — — изотропии 1-150, 175 — связность 1-118 — — каноническая 1-277 — — плоская 1-199 — — полная 1-137 Линейное представление изотропии 175 Линейный репер 1-61 — — комплексный 135 Лист Мёбиуса 1-210 Лифт (подъем) 1-69, 1-73, 1-90 — естественный 1-216 Локальная координатная система 113

Локально аффинное многообразие 1199 — евклидово риманово многообразие 1-188, 1-198, 1-199 — симметрическая аффинная связность 1-278, 206 — симметрическое многообразие 206 — — риманово многообразие 225 — — эрмитово многообразие 239 Локальный базис распределения 1-19 Лоренцева метрика 1-267, 1-272 Лоренцево многообразие 1-267, 1-272 Максимальный нильпотентный идеал 295 Мера Радона 105 Метрика Бергмана 154 — евклидова 1-156 — каноническая 1-151 — лоренцева 1-207, 1-272 — послойная 1-116 — риманова 1-35, 1-150, 1-151 — — инвариантная 1-150 — — индуцированная 1-150 — — каноническая инвариантная 1151 — — неопределенная 1-151 — — — инвариантная 186 — — полная 1-166 Метрическая связность 1-117, 1-154 Минимальная точка 94 Минимальное погружение по средней кривизне 344 — — — тотальной кривизне 329 — подмногообразие 40, 309, 311, 344 Многообразие абелево 126 — аналитическое действительное 112 Многообразие аффинное локально симметрическое 206 — — — — комплексное 239 — — симметрическое 207 — — — комплексное 239

— гамильтоново 142 — грассманово 15, 18, 250 — — комплексное 128, 152, 262 — — ориентированное 250 — — ориентированных p-плоскостей 18, 250 — дифференцируемое 1-12 — комплексное 1-12, 116 — — однородное 204, 338 — — сопряженное 118 — кэлерово 141 — — однородное 339 — локально аффинное 1-199 — — симметрическое 1-278, 206, 215 — ориентированное 1-12 — ориентируемое 1-18 — псевдокэлерово 141 — риманово 1-65, 1-150 — — локально евклидово 1-188, 1198, 1-199 — — — симметрическое 1-277, 215, 225 — — однородное 1-150, 1-170, 186, 194, 196, 341 — — плоское 1-198, 1-199 — — полное 1-166 — симметрическое однородное 1275, 208—209 — симплектическое 141 — Хопфа 131 — Штифеля 15 — эйнштейново 1-268, 306, 310 — эрмитово 139 — — локально симметрическое 239 — δ-защепленное 330, 334 — — голоморфное 334 — — кэлерово 334 Множество среза (раздела) 98 Накрывающее пространство 1-67 Направление главное 38 Невырожденное кэлерово многообразие 163 Некомпактный тип алгебры Ли 190,

232—233, 299 — — симметрического пространства 233, 236 — — симметрической алгебры Ли 232 Неоднородная система координат 129 Неопределенная риманова метрика 1151 — — — инвариантная 186 Неприводимая группа евклидовых движений 1-206 — симметрическая алгебра Ли 232 Неприводимое риманово многообразие 1-173 Непродолжаемое риманово многообразие 1-172 Нижний центральный ряд алгебры Ли 295 Нильпотентная алгебра Ли 295 Нормальная связность 194 — система координат 1-144, 1-158 — средняя кривизна 39—40, 309, 310 Нормальное расслоение 12 Нормальный репер 12 — —, расслоение 12 Область ограниченная 153, 340 — — симметрическая 243 Овалонд 314 Ограниченная область 153, 340 — — симметрическая 243 Однопараметрическая группа преобразований 1-21 — подгруппа 1-45 Однородная группа голономии 1-128 — система координат 129 Однородное комплексное многообразие 204, 338 — кэлерово многообразие 339 — пространство 1-50 — — естественно редуктивное 188, 342 — — комплексное 204, 338

— — кэлерово 339 — — редуктивное 178, 341 — — риманово 1-150, 1-170, 186, 194, 196, 341 — —, сильно сохраняющее кривизну 324 — — симметрическое 1-275, 1-301, 208 — риманово многообразие 1-150, 1170, 186, 194, 196, 341 Окрестность выпуклая 1-146, 1-161 Омбилика (омбилическая точка) 36 Оператор кривизны 333 Орбита 1-21 Ориентация 1-12, 1-13 — естественная 117 — — почти комплексного многообразия 117 Ориентируемое векторное расслоение 286 Ортогональная симметрическая алгебра компактного типа 232 — — — — Ли 228 Ортогональная симметрическая алгебра некомпактного типа 232 Ортонормальный репер 1-65 — —, расслоение 1-65 Отображение аффинное 1-212 — мультилинейное инвариантное 268 — почти комплексное 118, 122 —, сильно сохраняющее кривизну 324 — сферическое Гаусса 18, 26, 325 — — — для гиперповерхности 18 — экспоненциальное 1-46, 1-137, 1143 Паракомпактность 1-63 Параллелизм абсолютный 1-121 — комплексный 127, 338 Параллельное сечение 1-90 — тензорное поле 1-122

Параллельный перенос 1-74, 1-90, 191 — — аффинный 1-128 Параметр аффинный 1-135 Первое нормальное пространство 320 Перенос Клиффорда 102 Плоская связность 1-94 — — аффинная 1-198 — — каноническая 1-94 — — линейная 1-199 Плоское риманово многообразие 1198, 1-199 Поверхность постоянной кривизны 312 Погружение 1-18 — изометрическое 1-156, 321, 322, 323, 344 — кэлерово 155 — минимальное по средней кривизне 344 — — — тотальной кривизне 329 Подалгебра Леви 297 — редуктивная 296 Подгруппа изотропии 1-55 — Ли 1-46 Подмногообразие 1-18 — автопараллельное 57 — вполне геодезическое 1-174, 57, 217 — — — симметрического пространства 217, 219, 220 — комплексное 155, 165, 342 — минимальное 40, 309, 311, 344 Подпространство евклидово 1-206 — симметрическое 211 Подрасслоение 1-59 Поле векторное 1-15 — — голоморфное 124 — Якоби 65, 70 Полиномиальная функция 272 — — инвариантная 272 Полная линейная связность 1-137 — риманова метрика 1-166

Полное векторное поле 1-22 — риманово многообразие 1-166 Полный атлас 1-12 — дифференциал 1-16 — — функции длины 80 — индекс 87 Полупростая алгебра Ли 295 Послойная метрика 1-116 Постоянная кривизна 1-192 — — голоморфная секционная 158 — — —, пространство 158 — —, поверхность 312 — —, пространство 1-192, 1-194 — — средняя 314 Почти гамильтоново многообразие 142 — кокомплексная структура 347 — комплексная связность 136 — — структура 116 — — —, автоморфизм 122 — — —, — инфинитезимальный 122 — — — инвариантная 201 — — — интегрируемая 119, 292— 294 — — — на сферах 132—134 — — — сопряженная 118 — комплексное отображение 118, 122 — контактная структура 347 — кэлерово многообразие 141 — симплектическое многообразие 142 — эрмитово многообразие 139 — эффективное действие группы 175 — — симметрическое пространство 208 Представление изотропии линейное 175 — присоединенное 1-47 Преобразование 1-19 — аффинное 1-124, 1-213 — — инфинитезимальное 1-217 — голоморфное 306

— гомотетии 1-227, 1-284 — конформное 1-283 — — инфинитезимальное 1-284 — кривизны 1-130 — псевдоконформное 304 Присоединенное представление 1-47 Проблема эквивалентности 1-241, 324 Продолжение линейной алгебры Ли 303 Проективное пространство 1-67, 129, 151 — — вещественное 1-67 — — комплексное 129, 151, 251 Проектируемое векторное поле 203 Проекция накрывающая 1-56 Производная внешняя 1-17, 1-43 — ковариантная 1-114, 1-115, 1-121 — — внешняя 1-80 Производная Ли 1-36 Производный ряд алгебры Ли 295 Простая алгебра Ли 295 Простое покрытие 1-162 Пространственная форма 1-198 — — гиперболическая 1-198, 247 — — — комплексная 259 — — эллиптическая 1-198, 244 Пространство аффинное 1-123 — — касательное 1-123 — гиперболическое комплексное 259 — касательное 1-15 — — аффинное 1-123 — — евклидово 1-185 — ковариантных тензоров 1-29 — комплексное 1-12, 116 — контравариантных тензоров 1-29 — — касательное 119 — локально симметрическое 206, 225, 239 — — — комплексное 239 — неположительной кривизны 35, 71, 99, 105 — однородное 1-50

— — естественно редуктивное 188, 341 — — комплексное 204 — — кэлерово 339 — — редуктивное 178, 341 — — риманово 1-150, 1-170, 186, 194, 196, 341 — — сильно кривизненное 324 — — симметрическое 1-275, 208 — положительного тензора Риччи 75. 87 — положительной кривизны 75, 79, 87, 330 — постоянной кривизны 1-192. 1-194 — — голоморфной секционной кривизны 158 — проективное 1-67, 129, 151 — — комплексное 129,151,251 — симметрическое 208 — — компактного типа 232, 233, 236 — — некомпактного типа 233, 236 — — однородное 1-275, 208, 209 — — почти эффективное 208 — — эффективное 208 Прямая сумма симметрических алгебр Ли 211—212 Прямое произведение симметрических пространств 211 Псевдогруппа преобразований 1-11 Псевдоконформное преобразование 304 Псевдокэлерово многообразие 141 Псевдотензориальная форма 1-79 Радикал алгебры Ли 220, 295 Разбиение единицы 1-252 Развертка 1-129 Разложение (разложение де Рама) 1178, 1-184, 161, 227, 243, 301 — каноническое 1-178, 1-184, 161, 227, 243, 301 — симметрической алгебры Ли каноническое 210

Разрешимая алгебра Ли 295 Разрывная группа 1-51 Ранг отображения 1-18 Распределение 1-19 — инволютивное 1-19 Расслоение адаптированных реперов 12, 57 — ассоциированное 1-60 — аффинных реперов 1-124 — векторное 1-113 — — ориентированное 286 — — ориентируемое 286 — — риманово 287 — — эрмитово 167 — главное 1-56 — голономии 1-87 — индуцированное 1-66 — касательное 1-62 — нормальное 12 — нормальных реперов 12 — ортонормальных реперов 1-65 — редуцированное 1-59 — тензорное 1-62 — тривиальное 1-57 — унитарных реперов 144 Редуктивная алгебра Ли 296 — подалгебра 296 Редуктивное однородное пространство 178, 342 Редукция связности 1-84, 1-86 — структурной группы 1-59 Редуцированное расслоение 1-59 Редуцируемая связность 1-84, 1-86 — структурная группа 1-59 Редуцируемое риманово многообразие 1-173 Рекуррентная кривизна 1-279 Рекуррентный тензор 1-279 Репер адаптированный 11, 57 — аффинный 1-14 — линейный 1-61 — — комплексный 135 — нормальный 12

— ортонормальный 1-65 — унитарный 144 Риманова кривизна 1-191 — —, тензор 1-191 — метрика 1-35, 1-150, 1-151 — — инвариантная 1-150 Риманова метрика инвариантная каноническая 1-151 — — индуцированная 1-150 — — неопределенная 1-151 — — — инвариантная 186 — — полная 1-166 — связность 1-153 Риманово векторное расслоение 287 — многообразие 1-65, 1-150 — — локально аффинное 206 — — — евклидово 1-188, 1-198, 1199 — — — симметрическое 215, 225 — — неприводимое 1-173 — — непродолжаемое 1-172 — — однородное 1-150, 1-170, 186, 194, 196, 341 — — плоское 1-198, 1-199 — — полное 1-166 — — сильно кривизненно однородное 324 — однородное пространство 1-150, 1170, 186, 194, 341 — симметрическое пространство 1277, 215, 225 Свертывание 1-30 Свободное действие группы 1-48 Связность 1-68 —, автоморфизм 1-84 — аффинная 1-127 — — жесткая 341 — — инвариантная 340 — —, — при параллелизме 181 — — обобщенная 1-125 — — плоская 1-198 — без кручения 302 — — — естественная 184

— в нормальном расслоении 13, 14, 23 — инвариантная 1-84, 1-104, 340 — — каноническая 1-110, 1-276, 179, 213 —, — при параллелизме 1-246, 181 — индуцированная 1-85 — каноническая 1-110, 1-276, 179, 213 — — инвариантная 1-110, 1-276, 179, 213 — — линейная 1-277 — — плоская 1-94 — — симметрического пространства 213 — Леви-Чивита 1-154 — линейная 1-118 — — каноническая 1-277 — — локально симметрическая 1-278 — — плоская 1-199 — — полная 1-137 — метрическая 1-117, 1-154 Связность нормальная инвариантная 194 — обобщенная аффинная 1-125 — плоская 1-94 — — каноническая 1-94 — редуцируемая 1-84, 1-86 — риманова 1-153 — универсальная 1-265, 302 —, форма 1-68 — эрмитова 1-167 Сегмент 1-163 Секционная кривизна 1-192 — — голоморфная 158 — — — постоянная 158 — — — —, пространство 158 — — кэлерова 334 Сечение 1-63 — адаптированное с нормальной системой координат 1-241 — параллельное 1-90 Сильно кривизненно однородное

риманово многообразие 324 — сохраняющее кривизну отображение 324 Символы Кристофеля 1-138 Симметризация 1-36 Симметрическая алгебра Ли 209, 220 — — — дуальная 234 — — — компактного типа 232 — — — некомпактного типа 232 — — — неприводимая 232 — — — ортогональная 228 — — —, прямая сумма 211, 212 — — —, форма Киллинга — Картана 231 — — — эффективная 209 Симметрическое аффинное многообразие 207 — комплексное локально аффинное многообразие 239 — локально аффинное пространство 206, 207 — подпространство 211 — пространство 208 — —, вполне геодезическое подмногообразие 217, 219, 220 — — компактного типа 232, 233, 236 — — локально риманово 1-277, 215, 225 — — — эрмитово 239 — — некомпактного типа 233, 236 — — однородное 1-275, 208, 209 — — почти эффективное 208 — — эффективное 208 Симметрия 1-276, 206, 209 Симплектическая структура 156 Симплектическое многообразие 142 Система координат неоднородная 129 — — нормальная 1-144, 1-158 — — однородная 129 Скалярная кривизна 1-269 Скалярное произведение 1-32 — — эрмитово 113

Скрученный тор 1-210 — цилиндр 1-210 Слабо проводимая группа 301 Слой 1-60 Слой-транзитивность 1-107 Собственно разрывная группа 1-50 Сопряженная почти комплексная структура 118 — точка 68—69, 73 — —, кратность 87 Сопряженное комплексное многообразие 118 Средняя кривизна 39 — — для гиперповерхности 39 — — нормальная 39, 40, 309, 310 — — постоянная 314 Стандартное горизонтальное векторное поле 1-118 Степень (р, q) 120 Строго выпуклая гиперповерхность 45 Структура на векторном пространстве комплексная 110 — — многообразии комплексная 118 — почти контактная 347 — произведения 348 — симплектическая на T*(М) 156 Структурная группа 1-56 Структурные константы 1-48 — уравнения 1-80, 1-81, 1-117, 1-120, 1-127 Сужение тензорного поля 60 Сумма Уитни 279 Сферическое отображение Гаусса 18, 26, 325 — — — для гиперповерхности 18 Тензор ковариантный 1-29 — комплексный 119 — контравариантный 1-29 — кривизны 1-130 — кручения 1-130 — рекуррентный 1-279

— Риччи 1-233, 1-268, 41 — — для гиперповерхности 41 — — кэлерова многообразия 142 Тензориальная форма 1-79 Тензорная алгебра 1-30, 1-32 Тензорное поле 1-34 — — кривизны 1-130 — — кручения 1-130 — — параллельное 1-122 Тензорное поле римановой кривизны 1-191 — произведение 1-25 — пространство 1-29, 1-130 — расслоение 1-62 Теорема Бонне 79 — Вейля Г. 190, 266, 300 — Гаусса — Бонне 290, 325 — голономии 1-91 — Грина 1-259 — жесткости 48, 51, 312, 321 — о сфере 331 — об индексе Морса 88 — основная для гиперповерхности 51 — редукции 1-86 — сравнения Рауха 77 — Фробениуса 1-20, 294 — Шура 1-192 — —, кэлеров аналог 158 — egregium Гаусса 39 Тип тензора 1-30 — — (0,1) 120 — — (1,0) 120 — ad G 1-80 Типовое число 47, 317 — — для гиперповерхности 47 Тождества Бианки 1-82, 1-120, 1-132 Top 1-67 — евклидов 1-199 — комплексный 126, 151 — скрученный 1-110 Тотальная кривизна 328 Точечное поле 1-128

Точка среза 94 Трансвекция 219 Трансляция кручения 1-230 Тривиальное расслоение 1-57 Тройная система Ли 220 Универсальная связность 1-265, 302 Универсальное факторизационное свойство 1-26 Унитарный репер 144 — —, расслоение 144 Уравнения Гаусса 30, 33, 51 — — для гиперповерхности 30, 31, 36 — Кодацци 32, 33, 51 — — для гиперповерхности 33, 36 — Маурера — Картана 1-47, 1-48 — структуры 1-80, 1-81, 1-117, 1-120, 1-127 — Якоби 65 Условия интегрируемости почти комплексной структуры 119, 138, 292, 294 Факторпространство 1-50 Форма голоморфная 123 — Киллинга — Картана 1-151, 232— 233, 295 — — — для ν(n+1) 245 — — — — ν(n, 1) 249 — — — симметрической алгебры Ли 231 — кривизны 1-80 — кручения 1-119 — на L (M) каноническая 1-118 — псевдотензориальная 1-79 —Риччи 145, 171 — связности 1-68 — тензориальная 1-79 Формула Вейнгартена 23 — Гаусса 23, 26 — Лейбница 1-21 — Синга 86 — Уитни 279, 287 Фундаментальная основная 2-форма

эрмитова многообразия 140 — теорема для гиперповерхности 51 Фундаментальное основное векторное поле 1-57 Функция длины 80 — —, полный дифференциал 80 — перехода 1-57 — полиномиальная 272 — — инвариантная 268, 272 — расстояния 1-153 Характер Черна 284 Характеристический класс 268 Хопфа многообразие 131 Центр тяжести 105 Цилиндр 1-210 — евклидов 1-199 — скрученный 1-210 Числа Кэли 133 Эйнштейнова гиперповерхность 41, 342, 343 Эйншейново многообразие 1-268, 306, 310 Эквивариантное изометрическое вложение 323 Экспоненциальное отображение 1-46, 1-137, 1-143 Элемент объема 1-259 Эллиптическая линейная алгебра Ли 304 — пространственная форма 1-198,

244 Эрмитова метрика 139 — связность 167 — форма каноническая 339 Эрмитово векторное расслоение 167 — многообразие 139 — — локально симметрическое 239 — скалярное произведение 113 Эффективная симметрическая алгебра Ли 209 Эффективное действие группы 1-48, 175 — симметрическое пространство 208 С-пространство 132, 343 G-структура 1-264, 302, 303 —, автоморфизм 1-281, 174, 303 n-репер 15 r-форма 1-16 δ-защепленное многообразие 330, 334 — — голоморфное 334 — — кэлерово 334 (0)-связность 185 1-форма 1-16 2-форма эрмитова фундаментальная основная 140 (+)-связность 185 (—)-связность 185

— — локально симметрическое 239 — скалярное произведение 113 Эффективная симметрическая алгебра Ли 209 Эффективное действие группы 1-48, 175 — симметрическое пространство 208 С-пространство 132, 343 G-структура 1-264, 302, 303 —, автоморфизм 1-281, 174, 303 n-репер 15 r-форма 1-16

δ-защепленное многообразие 330, 334 — — голоморфное 334 — — кэлерово 334 (0)-связность 185 1-форма 1-16 2-форма эрмитова фундаментальная основная 140 (+)-связность 185 (—)-связность 185