Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 344-351
УДК 512.544
О КОНЕЧНОСТИ НЕКОТОРЫХ ТОЧНО Д В А Ж Д Ы Т Р А Н З И Т И В Н Ы Х ГРУПП*)
Н. М. СУЧКОВ
Пусть G — точно дважды транзитивная группа подстановок множе ства Г2, т.е. группа G дважды транзитивна на Q и стабилизатор в G двух точек тривиален. К.Жордан [1] еще в 1872 г. показал, что в такой конеч ной группе G существует регулярный абелев нормальный делитель. До настоящего времени неизвестно, обладает ли этим свойством (хотя бы и при некоторых ограничениях на стабилизатор точки) бесконечная группа G [2, вопросы 11.52, 12.48]? В теореме 20.7.1 [3] М. Холл дал положительный ответ на этот во прос, предположив, что существует не более одной регулярной подстанов ки группы G, отображающей а в /3, где а, /3 — различные точки из Q. Это условие автоматически выполняется в конечном случае, что легко прове рить простым арифметическим подсчетом. Более естественным при изучении точно дважды транзитивных групп является наложение тех или иных условий на стабилизатор точки. Результатов в этом направлении получено пока немного. С ними можно ознакомиться по работе В. Д. Мазурова [4]. В настоящей работе доказыва ется следующая Т Е О Р Е М А . Пусть G — точно дважды транзитивная группа под становок и ее стабилизатор точки является 2-группой. Тогда G конечна *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект 99-01-00542, и Красноярского краевого фонда науки, грант 9F132. ©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2001
345
О конечности некоторых групп
и изоморфна группе Фробениуса порядка З2 • 2 3 или р • 2п, где р = 2П + 1 — простое число Ферма. Результаты § 1 в основном известны (см., например, [3, 4]), они необ ходимы для доказательства нашей теоремы, и их доказательства приво дятся для полноты изложения.
§ 1 . Вспомогательные результаты Пусть G — точно дважды транзитивна на ft, Я = Ga ~ стабилиза тор точки, а ф ft £ ft. В силу определения точно дважды транзитивной группы существует такой элемент г £ (7, что аг = /3, /3* = а. Очевидно, г — инволюция из G \ Я и
G = H(i)H, Я ' П Я = 1.
(1)
Л Е М М А 1.1. £?сл^ # G G\H} то g однозначно представим в виде g ~ aib, где а, 6 G Я . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существование такого разложения прямо сле дует из (1). Пусть g = aib = cid, где a,b,c,d £ Я . Тогда ic~lai = db"""1 G G Я П Я1'. В силу (1), c " ^ = db- 1 = 1 и a = c, Ь = d. D Л Е М М А 1.2. Множество iH = {ia \ a £ H} совпадает с множе ством всех инволюций из G\H. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть к ~ инволюция группы G и к £ Я . Согласно лемме 1.1, к — cid, где c,d £ Я . Так как к2 = 1, то cidcid = 1, idci = c ^ d " 1 е Я П Я*. В силу (1), с = d~l и fc = rf"4d. • Л Е М М А 1.3. Если подгруппа Я содержит инволюцию j , то эта инволюция в Я единственна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть к - инволюция из Я . Из (1) следует, что j\kl
£ Я . По лемме 1.2, j ' a = &* для некоторого а £ Я . Отсюда
к £ Н П Ншг и в силу (1) имеем гаг G Я , а = 1 и к = j . • Пусть 1 ф х £ Я . В силу равенств (1) и леммы 1.1, ixi == г/г\г, где y,z ~- однозначно определенные элементы из подгруппы Я . Полагаем ^(#) = yz) ф(х) =z zy
£ Я.
(2)
346
Я. М. Сучков Л Е М М А 1.4. Если <р(х) ф 1, то <р(<р(х)) = х. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, из ixi = yiz выводим iyi —
= xiz~x, l
izi = y~lix. 1
= xiz~ y~ ix.
Перемножая данные равенства, получаем iyzi =
Если iyzi = гу?(ж)г = uiv, т.е. у>(у(ж)) = uv, то г^—1г/~1г —
= v~liu~~l. Таким образом, uiv — xv~1iu~1x.
В силу леммы 1.1, и = жг;-1
и ж — uv = у>(<р(#)). D Согласно лемме 1.3 имеются две возможности, которые мы будем различать. С л у ч а й 1: подгруппа Я не содержит инволюций. С л у ч а й 2: подгруппа Я содержит единственную инволюцию j . Обозначим Я = Я \ { 1 } в первом случае, Я = Я \ { 1 , j} ~ во втором. Л Е М М А 1.5. Равенство <р(а) — 1 выполняется в том и только в том случае, если а — инволюция. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, равенство if (а) = 1 означает, что шг"= угу"1 и а £ iG. • ЛЕММА
1.6. Отображение <р является подстановкой
множе
ства Я . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО легко вытекает из лемм 1.4, 1.5. • Л Е М М А 1.7. Для любого элемента х Е Я элементы (р(х), ф{х) лежат в одном классе сопряженных элементов группы Я . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу (2), <р(х) = yz и ф(х) = zy, где ixi = j/гг и ж, у, г Е Я . Следовательно, <у?(ж) = yz = (гу)* = ( / 0(^)) 2 -
D
Л Е М М А 1.8. Отображение ф действует биективно на Н, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу лемм 1.3-1.7 достаточно установить, что х — t, если ф(х) = VK0* Действительно, пусть гжг = уг^т и г£г — ггз, где x,t е Н и y,z,r,s Е Я . Таким образом, ^>(а?) = zy = ^>(£) = sr. Тогда д.^- _- ^ __ ^ _ ^t«- ^ x%z~ s% _ ^ и в СИЛ у (i) имеем iz~1si £ НГ)Нг = 1. Следовательно, z = s и ж = t. D Л Е М М А 1.9. Произведение двух различных инволюций из G явля ется регулярным
элементом.
347
О конечности некоторых групп
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если это не так, то найдутся инволюции fc, v такие, что к ф v и kv Е Я . Тогда Я * П Я ^ 1, и по (1) имеем к £ Н. Аналогично v Е Я . Но это противоречит лемме 1.3. О Л Е М М А 1.10. Если ф — подстановка множества Н, то G обла дает регулярным абелевым нормальным делителем U, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а Е Я . По условию леммы существу ет такой элемент h Е Я , что ^(Д) = а. Значит, ihi = &гс, cb — а и citric"1 = сЬг = аг. Следовательно, /i tc
= аг" стабилизирует точку
a>iC~ = ) ^ f i . Таким образом, каждый элемент вида аг, где а £ Й, ста билизирует некоторую точку из 12. Значит, если а? — регулярный элемент группы G, то а; = air, где q,r £ Н (лемма 1.1), иг
= rgi и при этом
га £ Я. С л у ч а й 1: Я — группа без инволюций. Тогда rq = 1. Значит, CJ — инволюция, и множество J всех регулярных элементов группы G совпа дает с множеством всех ее инволюций. В силу леммы 1.9, U = J U {1} — искомый регулярный абелевый нормальный делитель группы G. С л у ч а й 2: Я содержит инволюцию j . Тогда rq ф 1, поскольку любая инволюция сопряжена с j и стабилизирует некоторую точку из О (лемма 1.2). Поэтому rq = j , т.е. и г
= j i , CJ = j r i r = j i r (jr = j
по лемме 1.3). Значит, учитывая лемму 1.9, М = {ji a | a E Я } — мно жество всех регулярных элементов группы G. Очевидно, что и""1 явля ется регулярным. Следовательно, М = М " 1 , Пусть jix,jiy g = jixjiy
E М. Тогда
— гхНу Е М U {1} = С/ в силу леммы 1.9. Таким образом,
U = М U {1} — подгруппа группы (?. Инвариантность подгруппы U в G достаточно очевидна, и так как она состоит из строго вещественных отно сительно j элементов, то U — абелева подгруппа. • Л Е М М А 1.11. Пусть С — конечный класс сопряженных
элемен
тов подгруппы Я и С С Я . Тогда С С Ф(Н). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно лемме 1.6, найдется такое конечное подмножество L С Я , что
348
Я. М. Сучков § 2 . Доказательство теоремы Пусть G — точно дважды транзитивная группа подстановок множе
ства Q и стабилизатор точки Я = Ga является 2-группой. Предположим вначале, что подгруппа Я бесконечна. По лемме 1.3, Я содержит един ственную инволюцию и поэтому является либо квазициклической, либо обобщенной группой кватернионов [5]. В первом случае, по теореме из [6], Я изоморфна мультипликативной группе некоторого поля. Покажем, что это невозможно. Л Е М М А 2 . 1 . Не существует поля Р, мультипликативной пой которого является квазициклическая
груп
2-группа.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, тогда для его ха рактеристики р имеем р > 2. Пусть Pi — простое подполе из Р . Тогда р — 1 = 2 П . Очевидно, существует элемент t £ Р\Р\
такой, что t2 £ Pi.
Расширив Pi с помощью £, получим подполе Рг С Р , мультипликативная группа которого имеет порядок 2 т = р2 — 1 = 2П(2П + 2). Отсюда п = 1, р = 3 и |Рг| = 9. На следующем шаге аналогичное построение дает подполе Рз С Р порядка 81. Получили противоречие. • Пусть теперь Я = B(t) — бесконечная группа кватернионов, где В — квазициклическая 2-группа с инволюцией j , t2 = j и Ьг — b~l для любого Ь £ В. Если С' = Я \ Я , то С — класс сопряженных элементов, а в качестве t можно взять любой элемент из С. Л Е М М А 2.2. Пусть iti = qis, где q,s £ Я . Тогда точно один из элементов q, $ содержится в подгруппе В. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что q,s£B.
Тоща
it2 г = iji = qisqis = qiqsis. Если i(f(t)i = гдзг = ши, то ми = £, по лемме 1.4, и ijfi = quivs. Поскольку j 2 = 1, то дгшз — 1 и t = мг; = g"1^**"1 £ Я. Получили противоречие. Допустим теперь, что q,s £ С, q = bt и s — dt, где b,d £ В. Тогда igsz = zb£dta* = ibd~lji = гш;,
349
О конечности некоторых групп it2i = iji = qisqis = qidtbtis — qidb ljis = qv 1iu
l
s.
Как и ранее, uv == i, gu",1w""15 = 1, дг1^-"1 = Г 1 , с другой стороны, q~ls~~l = i"'1b""1t""1d'"1 = jbd~l G В. Получили противоречие. D Л Е М М А 2.3. Справедливо равенство (р{С) — С. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу предыдущей леммы верно <р(С) С С. Применяя леммы 1.6 и 1.4, получаем С = (р((р(С)) С у>(С). О Л Е М М А 2.4, Справедливо равенство ф{С) = С. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Включение ^(С) С С следует из лемм 1.7 и 2.3. Поэтому достаточно установить, что для любого и £ С найдется v £ С, для которого ^ = ф(у). Пусть iji = x~lix. Согласно лемме 2.3, для некоторого t £ С верно
— x~lix.
Отсюда г^(£)г = it\ai =
= a"" 1 ^*" 1 ^^ 1 и ^ 2 (f) = atfjj"1a~"1#'""1 = x
делителем. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку С является единственным беско
нечным классом сопряженных элементов подгруппы Я , то в силу лемм 2.4 и 1.11, ^ — подстановка множества Я . Теперь остается применить лем му 1.10. • Л Е М М А 2.6. Не существует точно дважды транзитивной
груп
пы со стабилизатором точки., изоморфным бесконечной группе кватер нионов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что лемма неверна и G — контрпример, причем Ga = Я . По лемме 2.5, G = С/АЯ — группа Фробениуса с абелевым ядром i/, и при этом Я действует сопряжениями транзитивно на U*. Поэтому U является элементарной абелевой р-группой, р> 2.
350
Н. М. Сучков Далее, U будем рассматривать как линейное пространство над полем
из р элементов, при этом Н — группа линейных преобразований этого пространства. Зафиксируем некоторое натуральное число п > 1. Пусть Bi — подгруппа из квазициклической группы В порядка 2 П . Обозначим через W некоторое минимальное В\-допустимое подпространство из U. Поскольку подгруппа В\ нормальна в Я , то и любое подпространство Wa (a Е Н) является минимальным Bi-допустимым, а, значит, либо ТУПТФ™ = = W, либо W П Wa = 0. Поэтому подгруппа Нг = {х | х е # , Wx = W} действует транзитивно на W \ {0}. Следовательно, \Н\\ = \W\ — 1. Если dim W = га и \Нг\ = 2% то рт - 1 = 2*. Пусть теперь В П Н\ = В2 и b — элемент из разности В \ JE?2 такой, что Ь2 £ В2- Положим R = W ф Wb. Подпространство R является мини мальным (Ь)-допустимым, а потому, как и выше, р2т — 1 = 2 r = 2 s (2 s + 2). Отсюда s = 1, с другой стороны, s ^ га > 1. Получили противоречие. О ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы. Итак, Я — конечная 2-группа, и зна чит, G = С/АЯ — группа Фробениуса, \U\ = p m = | Я | + 1 = 2" + 1, Р ~~ про стое число [3, теор. 20.7.1]. Если га = 1, теорема верна. Пусть га ф 1. Если га — нечетное число, то 2 n = p m - l = ( p - l ) t , где числом = l+p+.-.+p™"" 1 нечетно, а это невозможно. Значит, га = 2А; и 2 n = pm — 1 — (р* — 1) (р* + 1 ) . Отсюда fc = 1, р = 3 и |G| = 9 • 8. •
ЛИТЕРАТУРА 1. C.Jordan, Lionv. Journ., ser. II, 178, 1872. 2. Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп, 14-е изд., Ново сибирск, изд-во Ин-та матем. СО РАН, 1999. 3. М.Холл, Теория групп, М., ИЛ, 1962. 4. В. Д. Мазуров, О точно дважды транзитивных группах, в кн. "Вопросы ал гебры и логики" (Труды Ин-та матем. СО РАН, 30), Новосибирск, изд-во Ин-та матем. СО РАН, 1996, 114-118. 5. В.П.Шунков, Об одном классе р-грулп, Алгебра и логика, 9, N 4 (1970), 484-496.
О конечности некоторых групп
351
6. В. Д. Мазуров, О дважды транзитивных группах подстановок, Сиб. матем. ж., 3 1 , N 4 (1990), 102-104.
Адрес автора: СУЧКОВ Николай Михайлович, РОССИЯ, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, Красноярский гос. университет, кафедра алгебры и математической логики. Тел.: (3912) 44-38-72.
Поступило 22 февраля 2000 г. Окончательный вариант 25 июля 2000 г.
