Надежность авиационных приборов и измерительно-вычислительных комплексов: Учебное пособие

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÝÐÎÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁÎÐÎÑÒÐÎÅÍÈß

В. Ю. Чернов, В. Г. Никитин, Ю. П. Иванов

НАДЕЖНОСТЬ АВИАЦИОННЫХ ПРИБОРОВ И ИЗМЕРИТЕЛЬНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ Учебное пособие “Рекомендовано УМО по образованию в области приборостроения и оптотехники в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки бакалавров и магистров 551500 – Приборостроение и направлению подготовки дипломированных специалистов 653700 – Приборостроение, специальности 190300 – Авиационные приборы и измерительно-вычислительные комплексы”

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2004

УДК 629.78.017.1.054.002 ББК 32.873 Ч49 Чернов В. Ю., Никитин В. Г., Иванов Ю. П. Ч49 Надежность авиационных приборов и измерительно-вычислительных комплексов: Учеб. пособие / СПбГУАП. СПб., 2004. 96 с. ISBN 5-8088-0100-1 Изложены основные понятия, задачи и методы обеспечения надежности авиационных приборов и измерительно-вычислительных комплексов. Даны методы определения аппаратурной надежности невосстанавливаемых и восстанавливаемых объектов. Приведены таблицы интенсивностей отказов типовых элементов приборов и комплексов авиационной техники. Рассмотрены оценки надежности программного обеспечения и аппаратной надежности бортовых вычислителей, прогнозирования надежности по информации бортовых регистраторов полетной информации, спектральные оценки достоверности прогноза. Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 190300 “Авиационные приборы и измерительно-вычислительные комплексы”, 131000 “Техническая эксплуатация авиационных электросистем и пилотажно-навигационных комплексов”, а также магистров по направлению 5515 “Приборостроение”.

Рецензенты: кафедра процессов управления Балтийского государственного университета; кандидат технических наук доцент П. Б. Дергачев

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

ISBN 5-8088-0100-1

© ГОУ ВПО “Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения”, 2004

© 2

В. Ю. Чернов, В. Г. Никитин, Ю. П. Иванов, 2004

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ 1.1. Основные понятия теории надежности Надежность авиационной техники (АТ) состоит в ее способности не выходить из строя и выполнять в полном объеме свои общественно полезные функции. Надежность АТ всегда рассматривалась как ее важнейшее свойство. Согласно ГОСТ 27.002-89 [1] надежности, дается следующее определение. Надежность – свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, хранения и транспортирования. Надежность является комплексным свойством, которое в зависимости от назначения объекта и условий его применения может включать безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость или определенные сочетания этих свойств. В настоящее время две принципиальные особенности развития АТ определяют особую актуальность обеспечения высокого уровня надежности при ее разработке, создании и эксплуатации [2]. Первая особенность обусловлена усложнением конструкций АТ, комплексированием, насыщением электронной техникой. Вторая – связана с работой авиапредприятий в рыночных условиях, когда роль экономических факторов надежности многократно возрастает. Для объектов, каким и является АТ, потенциально являющихся источником повышенной опасности для общества, важными понятиями являются “безопасность” и “живучесть”. Безопасность – свойство объекта в случае нарушения работоспособного состояния не создавать угрозу для жизни и здоровья людей, а также для окружающей среды. Живучесть – свойство объекта, состоящее в его способности противостоять развитию критических отказов в виде дефектов и повреждений при установленной системе технического обслуживания и ремонта или свойство объекта сохранять ограниченную работоспособность при воздействиях, не предусмотренных условиями эксплуатации, или свойство объекта сохранять ограниченную работоспособность при наличии дефектов или повреждений определенного вида, а также при отказе некоторых компонентов. Примером в АТ служит сохранение прочности 3

крыла при возникновении в его обшивке усталостных трещин, размеры которых не превышают заданных значений. Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или наработки. В основном, безотказность рассматривается применительно к использованию объекта по назначению, но во многих случаях необходима оценка безотказности при хранении и транспортировании, в том числе составляющих объект устройств. Безотказность вводится либо по отношению ко всем возможным отказам объекта, либо по отношению к какому-либо одному типу отказа. В определении понятия безотказности используется понятие работоспособности. Работоспособность – это состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической и конструкторской документации. Работоспособный объект в отличие от исправного должен удовлетворять лишь тем требованиям нормативно-технической и конструкторской документации, выполнение которых обеспечивает нормальное применение объекта по назначению. Работоспособный объект может быть неисправным, например, если он не удовлетворяет эстетическим требованиям, причем ухудшение его внешнего вида не препятствует его применению по назначению. Для сложных объектов возможны частично неработоспособные состояния, при которых объект способен выполнять требуемые функции с пониженными показателями или способен выполнять лишь часть требуемых функций. Для некоторых объектов признаками неработоспособного состояния, кроме того, могут быть отклонения их показателей качества. Например к неработоспособному состоянию для авиагоризонта может быть отнесено кратковременное превышение допустимого значения угла прецессии. Переход объекта из одного состояния в другое обычно происходит вследствие повреждения или отказа. Исправным состоянием (исправностью) объекта называют такое состояние, при котором он соответствует всем требованиям нормативнотехнической и конструкторской документации. В международных документах введена более детальная классификация состояний. Так, в работоспособном состоянии различают “рабочее состояние” и “нерабочее состояние”, при котором объект не применяется по назначению. “Нерабочее состояние” подразделяют, в свою очередь, на состояние дежурства и состояние планового простоя. Кроме того, различают “внутрен4

нее” неработоспособное состояние, обусловленное отказом или незавершенностью планового технического обслуживания – ремонта, и “внешнее” неработоспособное состояние, обусловленное организационными причинами. Повреждение – это событие, заключающееся в нарушении исправного состояния объекта при сохранении работоспособного состояния. Повреждение может быть существенным и несущественным. Существенное повреждение может привести к нарушению работоспособности объекта. Например, нарушение герметичности корпуса прибора, не являющееся с точки зрения принципа работы прибора (например, радиовысотомера) существенным в данный момент для работоспособности прибора, приведет к попаданию пыли и влаги внутрь прибора, что повлечет за собой коррозию элементов, ухудшение электрических характеристик и ускорит момент нарушения работоспособности прибора. Поэтому несущественные повреждения должны устраняться при техническом обслуживании приборов. Отказ – это событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта. Если работоспособность объекта характеризуют совокупностью значений некоторых технических параметров, то признаком возникновения отказа является выход значений любого из этих параметров за пределы допусков. Кроме того, в критерии отказов могут входить также качественные признаки, указывающие на нарушение нормальной работы объекта. Понятие отказа, наряду с надежностью, является основным и конкретизируется применительно к каждому виду АТ. Эта конкретизация достигается установлением признаков или критериев отказа в нормативно-технической документации. Она позволяет сформулировать модель расчета надежности объекта. Критерии отказов следует отличать от критериев повреждений. Под критериями повреждений понимают признаки или совокупность признаков неисправного, но работоспособного состояния объекта. Критичность отказа вводится для классификации отказов по их последствиям и включает совокупность признаков последствий отказа. Подобная классификация содержится в международных документах, а также в некоторых отраслевых отечественных документах. Критерием для классификации могут служить прямые и косвенные потери, вызванные отказами, затраты труда и времени на устранение последствий отказа, возможность и целесообразность ремонта силами потребителя или необходимость ремонта изготовителем. Воз5

можен учет продолжительности простоев из-за отказа, степени снижения производительности. 1.2. Причины возникновения и классификация отказов По характеру влияния на системы ЛА отказы условно делят на простые и сложные. Это деление не определено в ГОСТ и часто зависит от субъективных факторов: сложности системы, подготовки персонала, условий эксплуатации и т. п. Различают отказы по их последствиям, установленным по согласованию между заказчиком и разработчиком объекта АТ. Для простых объектов эта классификация не используется. Анализ причин возникновения отказов в процессе испытаний и эксплуатации и их классификация по группам имеет большое значение при исследовании надежности. В зависимости от характера причин возникновения отказы можно разделить на две группы. К первой группе относятся отказы, являющиеся следствием дефектов конструкции, технологии производства, эксплуатационной документации. Причины отказов данной группы проявляются для партии или всех экземпляров данной системы. Ко второй группе относятся отказы, которые вызваны случайным разбросом характеристик комплектующих элементов в пределах установленных их допусков, случайным неблагоприятным сочетанием режимов работы. Подобные отказы вызываются случайными неповторяющимися для разных экземпляров системы причинами. Для повышения надежности при наличии отказов второй группы необходимо установить статистические законы распределения разброса характеристик и ужесточить допуски на комплектующие и режимы работы. При эксплуатации систем различают три периода: период приработки, период нормальной эксплуатации и период интенсивного износа системы. В период приработки преобладают отказы первой группы. Однако по мере накопления информации об отказах партии систем и проведении мероприятий по устранению причин их появления удельный вес отказов первой группы постепенно уменьшается и достигает своего минимума в конце периода приработки. В период нормальной эксплуатации преобладают отказы второй группы. В начале третьего периода снова появляются отказы первой группы, обусловленные износом элементов и системы в целом. С течением времени количество отказов первой группы увеличивается. Отказы первой группы, как правило, носят неслучайный характер. В период нормальной эксплуатации неслучайные отказы встречаются ис6

ключительно редко и в теории надежности не рассматриваются. Теория надежности рассматривает только случайные отказы с целью установления закономерностей и определения эффективных методов устранения причин, вызывающих их появление. Отказы представляют собой случайные события. Поэтому в качестве основного математического аппарата теории надежности используются методы теории вероятностей и математической статистики. Примером возникновения отказов, обусловленных старением или износом элементов, может быть увеличение зазоров механизмов передачи движения, редукторов, электродвигателей следящих систем приборов. Изменение температуры, повышение влажности, загрязнения и ударные нагрузки работы приборов также способствуют ускорению появления недопустимых трещин и зазоров механизмов. Отказы авиационных средств измерения и систем управления ЛА классифицируются и по признакам: этап существования системы при отказе (конструктивные, производственные, эксплуатационные); характер изменения показателя качества (внезапные, постепенные); устойчивость неработоспособного состояния (устойчивые, сбои, перемежающиеся отказы); возможность последующего использования системы (полные, частичные); наличие внешних проявлений (явный или скрытый отказ); возможность и целесообразность устранения (устранимые, неустранимые); взаимозависимость (независимые, зависимые). Четкой границы у этой классификации может не быть из-за совершенствования расчетных методов и средств контрольно-измерительной техники, позволяющих своевременно и на большем числе этапов жизни системы своевременно обнаруживать источники возможных отказов и прогнозировать их развитие во времени. 1.3. Обеспечение надежности на различных этапах существования устройств Обеспечение надежности является единым процессом, охватывающим все этапы существования систем. Он включает разработку и реализацию мероприятий, направленных на достижение требуемого уровня надежности при минимальных затратах. На этапе научно-исследовательских и проектно-поисковых работ основными являются задачи прогнозирования возможных значений надежности перспективных систем, а также оценка реализуемости и эффективности различных способов обеспечения надежности. Глубина и 7

степень проработки вопросов на этом этапе в значительной степени определяют затраты времени и средств на последующих этапах создания системы. Методы решения задач рассматриваемого этапа – это расчетные методы оценки надежности систем при различных вариантах построения, организации эксплуатации и способов применения. Одновременно решается задача оптимизации системы по критериям ее качества с учетом экономической эффективности. Натурный эксперимент по оценке надежности на данном этапе невозможен, а значит, основная роль отводится расчетам и математическому моделированию. На этапе разработки технического задания (ТЗ) ставится задача обоснования оптимальных требований по надежности системы, которые затем включаются в ТЗ. Основные методы решения этой задачи – методы оптимизации. В качестве целевой функции обычно рассматриваются затраты средств и времени на создание и эксплуатацию системы. Оптимизация проводится с учетом ограничений конструктивного, производственного и эксплуатационного характера. В качестве моделей рассматриваются модели функционирования системы. Этап проектирования системы – основной этап, на котором закладывается уровень надежности системы. Основными задачами исследования надежности на этом этапе являются задачи сравнительного анализа эффективности различных способов обеспечения надежности и выбор вариантов, обладающих заданной надежностью. При этом учитываются реально существующие ограничения возможности технической реализации. В качестве основных методов здесь используются расчетные методы оценки уровня надежности, методы сравнительного анализа аналогов системы по опыту их эксплуатации и методы параметрической оптимизации. Основные задачи обеспечения надежности делятся на три группы: обеспечение требований по надежности к основным блокам системы; проектирование системы с требуемым уровнем надежности; контрольные расчеты надежности подлежащих реализации вариантов системы. Первая группа задач решается на ранней стадии проектирования и предусматривает предварительную проработку структуры системы, обоснование принципов построения и эксплуатации. Структурный анализ системы дает возможность выбрать необходимую аналитическую модель надежности. На ранней стадии проектирования метод структурного анализа основывается на логическом инженерном анализе принципов функционирования систем с учетом назначения и взаимодействия 8

элементов. На завершающих стадиях проектирования при наличии макетов или опытных образцов системы структурный анализ может быть осуществлен экспериментальными методами. Структурный анализ позволяет конструктору установить слабые узлы проектируемой системы, произвести качественный анализ работоспособности, выбрать наиболее рациональную, с точки зрения надежности, структуру системы. Высокий уровень надежности систем обеспечивается применением высоконадежных элементов, конструктивно-технических, структурных и схемных решений, соответствующих заданным по надежности требованиям, выбором необходимых условий и режимов работы блоков и системы в целом, введением резервирования и других видов избыточности, разработкой и внедрением контрольно-профилактических мероприятий, обоснованием оптимальных параметров технического обслуживания. Этап испытания и приемки в эксплуатацию отличается от предыдущих стадий тем, что здесь представляется возможным исследовать функционирование системы в реальных условиях. На этом этапе оценивается достигнутый уровень надежности. Задача контроля надежности изготовленных систем является одной из основных задач при их серийном производстве. Отказы первой группы обнаруживаются однозначно при полной проверке системы на соответствие требованиям ТЗ. Контроль отказов второй группы является контролем надежности системы и во многих случаях связан с существенной выработкой ресурса. Контроль отказов этой группы должен иметь необходимую продолжительность во времени.

9

2. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ К показателям надежности относят количественные характеристики надежности, которые вводят согласно правилам статистической теории надежности. Область этой теории ограничена крупносерийными объектами, которые изготавливают и эксплуатируют в статистически однородных условиях и к совокупности которых применимо статистическое истолкование вероятности. Применение статистической теории надежности к уникальным и малосерийным объектам, которые встречаются в АТ, ограничено. С количественной стороны надежность оценивается Таблица 1 Свойство

Безотказность

Ремонтопригодность

Безотказность и ремонто-пригодность

Долговечность

Сохраняемость

Показатель

Вероятность безотказной работы Интенсивность отказов Средняя наработка до отказа Параметр потока отказов Средняя наработка на отказ Вероятность восстановления Интенсивность восстановления Среднее время восстановления Коэффициент готовности Коэффициент простоя Коэффициент технического использования Коэффициент оперативной готовности Назначенный ресурс Средний ресурс между капитальными (средними) ремонтами Средний срок службы Средний срок сохраняемости

рядом критериев, называемых показателями надежности. Основные единичные и комплексные показатели надежности приведены в табл. 1. 2.1. Вероятность безотказной работы Вероятность безотказной работы определяется в предположении, что в начальный момент времени (момент начала исчисления наработки ) объект находился в работоспособном состоянии. Обозначим через t время или суммарную наработку объекта. 10

Возникновение первого отказа – случайное событие, а наработка τ от начального момента до возникновения этого события – случайная величина. Вероятность безотказной работы P(t) объекта в интервале от 0 до t включительно определяют как P(t ) = P( τ > t ).

(1)

Здесь P (.) – вероятность события, заключенного в скобках. Вероятность безотказной работы P (t) является функцией наработки t. Если способность объекта выполнять заданные функции характеризуется одним параметром v, то вместо (1) имеем формулу (2) P (t) = P [ v *(t1) < v (t1) < v **(t1); 0< t1 =
(5)

где N – число объектов, работоспособных в начальный момент времени; n (t) – число объектов, отказавших на отрезке от 0 до t.Статистические оценки сходятся к вероятности безотказной работы P (t) и функции F(t) при достаточно большом объеме N выборки. Вероятность безотказной работы является основным количественным показателем надежности, так как наиболее полно охватывает все 11

многообразие факторов, влияющих на надежность. По вероятности Р(t) довольно просто судить о надежности аппаратуры. Чем больше P(t), тем выше ее надежность. 2.2. Статистические определения показателей надежности невосстанавливаемых устройств Определим статистически плотность распределения f (t) наработки до отказа, которую еще называют частотой отказов. Для этого запишем следующую расчетную формулу f (t ) = n(t ) / N (0)∆t,

(6)

где n (t) – число отказавших приборов в интервал от t − ∆t 2 до t + ∆t / 2 времени испытаний ∆t; N(0) – число первоначально взятых на испытание приборов. Отказавшие при испытаниях приборы здесь не восстанавливаются и не заменяются новыми. Типичная кривая изменения частоты f (t) отказов объектов, соответствующая формуле (6), показана на рис. 1. λ(t) f (t)

λср(t) = λ = const

λ(t)

f (t) I

II

III

t Рис. 1. Общий вид и взаимное расположение кривых плотности распределения f (t) наработки на отказ и интенсивности l(t) отказов

На кривой f (t) можно выделить три характерных участка. Участок (I) характеризуется большим значением частоты f (t) отказов, так как на этом интервале времени t проявляются отказы из-за ошибок проектирования и производства прибора. Эти отказы обычно выявляются в процессе приработки изготовленных устройств и их испытаний в заводских условиях до ввода в эксплуатацию. К этой группе отказов можно также отнести эксплуатационные отказы, вызванные слабым знанием правил эксплуатации. Поэтому участок I называется периодом приработки объекта. 12

Второй участок II характерен сравнительно постоянным значением частоты f (t) отказов и называется периодом нормальной эксплуатации. Его протяженность во времени t много больше протяженности двух других участков. На третьем участке III частота отказов вначале вновь возрастает за счет наступления старения и износа элементов устройства, а затем падает до нуля. Этот период называется периодом старения. Частота отказов не достаточно полно и качественно характеризует надежность АП. Это следует из сопоставления частоты отказов партии испытуемых устройств в начальный и конечный моменты испытаний, когда общее число отказов в единицу времени сокращается. Надежность в начале испытаний выше, чем в конце, так как количество отказавших приборов, отнесенное к количеству исправных приборов, будет меньше в начальный момент испытаний. Интенсивность отказов λ(t) из статистических данных определяется по формуле

λ(t ) = n(t ) / N (t )∆t ,

(7)

где N (t) – среднее число приборов, продолжающих исправно работать в рассматриваемый интервал времени ∆t. Определение этого числа ведется по формуле N (t ) =  N (t − ∆t / 2) + N (t + ∆t / 2)] / 2.

Интенсивность отказов – это условная плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возник. Она характеризует степень надежности объекта в каждый данный момент времени, поэтому является более полной и точной характеристикой надежности. Если частота отказов позволяет оценить во времени плотность вероятности появления отказов устройств лишь среди их множества, первоначально взятого под наблюдение, то интенсивность отказов выражает собой количество отказов в единицу времени, отнесенное не к числу устройств, первоначально взятых под наблюдение, а к количеству исправно действующих в данный момент времени устройств. Типичная кривая изменения интенсивности отказов λ(t) по времени эксплуатации показана на рис. 1. Как и f (t), она имеет три 13

характерных участка: приработки I, нормальной эксплуатации II, старения и износа III. Интенсивность отказов может быть выражена отношением

λ(t ) = n(t ) / N (t )∆t = n(t ) / N (0) P(t )∆t = f (t ) / P(t ).

(8)

Модель испытаний на надежность невосстанавливаемых приборов может быть показана планом (рис. 2). 1 2 3

τi

...

N(0) Рис. 2. Время до отказа i-го изделия из партии испытанных N (0)

Тогда, в простейшем случае, когда отказали все N (0) приборов при испытаниях, можно определить показатель надежности – среднюю наработку до отказа Tо по формуле To =

1 N (0)

N (0)

∑ τi i =1

или, полагая, что средняя наработка до отказа есть математическое ожидание случайных величин, можно записать с учетом (4) ∞

∫

∞

∫

∞

∫

To = tf (t )dt = [1 − F (t )]dt = P(t )dt, 0

0

0

где F(t) – функция распределения наработки до отказа; f (t) – плотность распределения наработки до отказа. Средняя наработка до отказа является достаточно наглядной характеристикой надежности. Однако применение этого критерия для оценки надежности сложной системы ограничено в тех случаях, когда: 14

– время работы системы гораздо меньше среднего времени безотказной работы; – закон распределения времени безотказной работы не однопараметрический и для достаточно полной оценки требуются моменты высших порядков; – система резервированная; – интенсивность отказов непостоянная; – время работы отдельных частей сложной системы разное. Интенсивность отказов – наиболее удобная характеристика надежности простейших элементов, так как она позволяет более просто вычислять количественные характеристики надежности сложной системы. Наиболее целесообразным критерием надежности сложной системы является вероятность безотказной работы. Это объясняется следующими особенностями вероятности безотказной работы: – она входит в качестве сомножителя в другие, более общие характеристики системы, например в эффективность и стоимость; – характеризует изменение надежности во времени; – может быть получена сравнительно просто расчетным путем в процессе проектирования и оценена при испытании системы. Для оценки степени отклонения значений случайной величины, какой является время безотказной работы устройства относительно ее математического ожидания Tм, применяется среднее квадратическое отклонение σ времени безотказной работы ∞

σ = D = ∫ (t − Tм ) 2

0

2

2

∞

∞  f (t ) dt =2 ∫ tP (t ) dt −  ∫ P (t ) dt  .  0  0

(10)

Вычисление σ на основании статистических данных может быть выполнено по формуле N0

σ= D =

∑ (ti −Tм )2 ∆ni i =1

N0

,

(11)

где ∆ni – количество отказов устройства на интервале времени ∆ti испытаний из партии испытуемых N0. 15

2.3. Расчет характеристик надежности невосстанавливаемых устройств при основном соединении элементов Устройство имеет основное соединение элементов, если его отказ наступает при отказе одного любого из его элементов. При расчете надежности таких устройств предполагают, что отказ элемента является событием случайным и независимым. Тогда вероятность безотказной работы устройства в течение времени t равна произведению вероятностей безотказной работы элементов в течение того же времени. Поскольку вероятность безотказной работы элементов можно выразить через интенсивность отказов, то расчетные формулы для вероятности можно записать следующим образом: N

P (t ) = p1 (t ) p2 (t )... p N (t ) = ∏ pi (t ), i =1

(12)

 t   t   t  P (t ) = exp  − ∫ λ1 (t )dt  exp  − ∫ λ 2 (t )dt … exp  − ∫ λ N (t )dt  =        0   0   0   N t  = exp  − ∑ ∫ λ i (t )dt  .  i =1 0  Выражение (10) наиболее общее. Оно позволяет определить вероятность безотказной работы устройства до отказа при любом законе изменения интенсивности отказов во времени. Практически важен случай постоянной интенсивности отказов при экспоненциальном законе распределения в условиях периода II (рис. 1) нормальной работы аппаратуры. В этом случае N

e −λ Σt , λ Σ = ∑ λ i . i =1

(13)

Если все элементы устройства равнонадежны, то интенсивность отказов будет r

λΣ = ∑ λi N i , i =1

(14)

где Ni – число элементов i-го типа; r – число типов элементов. Для АТ, содержащей высоконадежные элементы, произведение λΣt значительно 16

меньше единицы, а вероятность безотказной работы P(t) близка к единице. В этом случае, разложив e–λΣt в ряд и ограничившись первыми двумя его членами, с высокой степенью точности можно приближенно вычислить P (t ) ≈ 1 − t

r

∑ N i λ i = 1 − λ Σ t. i =1

(15)

Вычисление количественных характеристик надежности по приближенным формулам (12), (13) не дает больших ошибок, если λΣt ≤ 0,1. При расчете надежности систем часто приходится перемножать вероятности безотказной работы отдельных элементов, возводить их в степень и извлекать корни. При значениях P(t), близких к единице, эти вычисления можно с достаточной для практики точностью выполнять по следующим приближенным формулам:

p1 (t ) p2 (t )... p N (t ) ≈ 1 − N

N

∑ qi (t ), i =1

piN (t ) ≈ 1 − Nqi (t ) ,

pi (t ) ≈ 1 − qi (t ) / N ,

(16)

где qi(t) – вероятность отказа i-го блока. В зависимости от полноты учета факторов, влияющих на работу системы, различают прикидочный, ориентировочный и окончательный расчет надежности. Прикидочный расчет надежности позволяет судить о принципиальной возможности обеспечения требуемой надежности изделия. Он строится на следующих допущениях: – все элементы изделия равнонадежны; – интенсивности отказов постоянны и не зависят от времени; – отказ любого элемента приводит к отказу всего изделия. Показатели надежности определяются по выражениям (11) или (13). Ориентировочный расчет надежности позволяет определить рациональный состав элементов изделия и наметить пути повышения надежности на стадии эскизного проектирования после разработки его принципиальных электрических схем. Допущения при ориентировочном расчете: – все элементы данного типа λi равнонадежны; – все элементы работают в номинальном режиме; – интенсивности отказов всех элементов не зависят от времени; 17

– отказы элементов являются событиями случайными и независимыми; – все элементы изделия работают одновременно. Расчет проводится по выражениям (11) и (13). Окончательный расчет надежности изделия выполняется тогда, когда известны реальные режимы работы элементов после испытания в лабораторных условиях макетов и основных узлов изделия или после тщательного расчета схемы. Элементы изделия находятся обычно в различных режимах работы, сильно отличающихся от номинальной величины. Это влияет на надежность как всей системы в целом, так и отдельных ее составляющих частей. Окончательный расчет надежности возможен только при наличии данных о коэффициентах нагрузки отдельных элементов и при наличии графиков зависимости интенсивности отказов элементов от их электрической нагрузки, температуры окружающей среды, вибрации основания, механических ударов, линейных ускорений, влажности, воздействия морской воды, воздействия биологических факторов (грибок, плесень, насекомые, грызуны), давления, радиационного облучения и других возможных “возмущениях” на аппаратуру. Наиболее существенными воздействующими факторами в авиации являются: температура, механические и электрические перегрузки. Интенсивность отказов с учетом поправочных коэффициентов определяется по следующей зависимости λ Σt ≤ 0,1 , где λi – интенсивность отказов без учета особенностей работы аппаратуры (лабораторные условия); Ki – поправочный коэффициент. Последний может быть произведением нескольких поправочных коэффициентов, учитывающих влияние отдельных деструктивных факторов на отказы элементов [3,4 ] или результирующим коэффициентом [9], который учитывает совместное влияние на отказ условий применения аппаратуры на самолете или ракете. В табл. 1–3 приведены значения отдельных поправочных коэффициентов, учитывающих условия эксплуатации аппаратуры. Таблица 1 Условия эксплуатации аппаратуры

Лабораторные Стационарные (полевые) Корабельные Автофургонные Железнодорожные Самолетные

18

Вибрация k1

1,0 1,04 1,3 1,35 1,4 1,46

Ударные нагрузки, k2

1,0 1,03 1,05 1,08 1,1 1,13

Суммарное воздействие k1k2

1,0 1,07 1,37 1,46 1,54 1,65

Таблица 2 Влажность, %

Температура, °С.

Поправочный коэффициент, k3

60 – 70 90 – 98 90 – 98

20 – 40 20 – 25 30 – 40

1,0 2,0 2,5

Таблица 3 Высота, км

Поправочный коэффициент k4

Высота, км

Поправочный коэффициент k4

0–1 1–2 2–3 3–5 5–6 6–8

1,0 1,05 1,1 1,14 1,16 1,2

8 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 – 40

1,25 1,3 1,35 1,38 1,4 1,45

В табл. 4, 5 представлены значения результирующих коэффициентов влияния Ki и интенсивности λi отказов элементов аппаратуры, авиационных приборов и систем [4,9,10]. Таблица 4 Наименование элемента

λ 106, 1/ч

Поправочные коэффициенты В воздухе Лабора- Наземные тория условия самолет ракета

Конденсаторы: бумажные керамические фарфоровые танталовые фольговые переменные емкости

0,01 0,10 0,09 0,60 0,10 0,16

0,92 0,92 0,92 0,85 0,85 0,83

1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

2,0 2,0 2,0 4,0 4,0 5,0

5,0 5,0 5,0 25,0 25,0 42,0

Диоды: общего типа мощные

0,20 0,20

0,95 0,80

1,0 1,0

1,5 4,0

2,6 25,0

Транзисторы: общего типа переключающие

0,50 0,40

0,90 0,90

1,0 1,0

2,5 2,5

8,5 8,5

19

Продолжение табл. 4 Наименование элемента

λ 106 , 1/ч

Поправочные коэффициенты В воздухе Лабора- Наземные тория условия самолет ракета

Электровакуумные приборы: приемно-усилительные генераторные

1,5–3,0 0,81 30,0 0,71–0,65

Сопротивления: угольные, прецизионные, потенциометры

0,03 0,125 0,1

0,92 0,92 0,85

1,0 1,0 1,0

2,0 2,0 4,0

5,0 5,0 25,0

Индуктивности: низкочастотные, высокочастотные

0,01 0,01

0,82 0,82

1,0 1,0

6,0 6,0

70,0 7,0

Трансформаторы: накальные, мощные, мпульсные

0,2 0,2 0,15

0,82 0,82 0,82

1,0 1,0 1,0

6,0 6,0 6,0

70,0 70,0 70,0

Микроэлектронное оборудование: вычислительные машины, обычное

0,06 0,1

0,90 0,90

1,0 1,0

2,5 2,5

8,5 8,5

Плавкие предохранители

0,5

0,83

1,0

5,0

42,0

Переключатели: тумблеры, кнопочные, поворотные

0,05 0,06 0,17

0,83 0,83 0,83

1,0 1,0 1,0

5,0 5,0 5,0

42,0 42,0 42,0

Реле: общего типа, миниатюрные, мощные

0,25 0,25 0,30

0,71 0,74 0,73

1,0 1,0 1,0

20,0 12,0 15,0

1000,0 340,0 550,0

Выводные соединения: п ай к и , скрутки, сварные

0,004 0,02 0,9

0,76 0,71 0,65

1,0 1,0 1,0

10,0 20,0 40,0

220,0 1000,0 5500,0

0,5 1,4 1,25

0,73 0,71 0,73

1,0 1,0 1,0

15,0 20,0 15,0

550,0 1000,0 550,0

Электромеханические детали: общего типа, счетчики, двигатели

20

1,0 1,0

80,0 6,5 20–40 1000,0

Окончание табл. 4 λ 106, 1/ч

Наименование элемента

Механические детали: гироскопы, сельсины, двигатели следящих систем, зубчатые и другие типы механических передач

10,0 5,5 12,5

Поправочные коэффициенты В воздухе Лабора- Наземные тория условия самолет ракета

0,76 0,76 0,71

8,2–15,5 0,76–0,67

Разъем 10-штырьковый

1,2

0,71

1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

10,0 10,0 20,0

220,0 220,0 1000,0 220– 10–30 2800,0 20,0

1000,0

Аналоговые и цифровые интегральные микросхемы имеют среднюю интенсивность отказов соответственно 3 · 10–7 и 1 · 10–7 1/ч. Таблица 5 Название элемента

Спутниковая навигационная система (СНС) Инерциальная навигационная система (ИНС): – канал курса – канал скорости Бесплатформенная ИНС Доплеровский измеритель скорости и угла сноса (ДИСС) Радиотехническая система ближней навигации (РСБН) Радиолокационная станция (РЛС) Бортовые цифровые вычислительные машины (БЦВМ) ЦВМ10; ЦВМ20Х-ХХ; ЦВМ80-4ХХ ЦВМ90-50ХХХ Система воздушных сигналов (СВС) Автоматический радиокомпас (АРК) Радиовысотомер (РВ) Высотомер электромеханический Указатель высоты

Наработка на отказ, ч

Примечание

5000– Аппаратура потребителей 20 000 СНС-85 На электромеханических гироскопах 1200 800 5000– На лазерных гироскопах 15000 500–5000 ДИСС-013 П-11"Пальма" 400–1400 А-312-10 600–1000 Третье и четвертое поколение 300–1000 Интегральные микросхемы (ИС) 5000 Микропроцессоры +ИС 100000 Большие ИС 600–1400 ИК ВСП 4000 1000–3000 АРК-22 370–5000 РВ-85 2900 ВЭМ-72 1700 УВО-15

21

Окончание табл. 5 Название элемента

Система автоматического управления (САУ) Гировертикаль (ГВ)

Наработка на отказ, ч

100–300 1670– 3000 Датчик угловой скорости (ДУС) 5000– 20 000 Датчик вертикальной скорости 3333– снижения (вариометр) 6500 Акселерометр (А) 2000 5000– 10 000 Курсовая система (КС) 800–2000 Датчик воздушной скорости (ДВС) 500–2000 Топливоизмерительная система 1700– 20 000 Электронная система индикации (ЭСИ) информации экипажу ЛА 300 000

Примечание

СТУ-154 САУ-451 МГВ Лазерный ДУС ,,Гранат-1" ВАР-30 ДА-3 А-15 А-Л2 ГПК-52

ЭСИ-77

Существуют и другие подробные сведения об интенсивностях отказов элементов, узлов, блоков АТ и их поправочных коэффициентах [5, 7]. При расчете надежности авиационного прибора (АП) или измерительно-вычислительного комплекса (ИВК) следует определить вначале количественные характеристики узлов по известным количественным характеристикам их элементов и деталей, а затем вычислить количественные характеристики АП или ИВК вцелом. Будем называть каждое устройство, имеющее количественную характеристику надежности, элементом расчета надежности. Тогда элементами расчета надежности могут быть детали (резистор, конденсатор, микросхема и так далее), узлы (электронный усилитель, триггер), блоки (приемник, передатчик), приборы (вычислитель, датчик курса) и даже системы, если вычисляется надежность ИВК. При расчетах полезно применять интервальную оценку характеристик надежности. Тогда интенсивности отказов элементов рассматриваются как случайные величины, взятые из нормальной генеральной совокупности. 22

При доверительной вероятности γ верхний Pв(t) и нижний Pн(t) доверительные пределы P(t) находятся из равенств: Pв = P0 (t ) + z(1+γ ) / 2 σ P(t ) , Pн (t ) = P0 (t ) − z(1−γ ) / 2 σ P(t ) ,

(17)

где P0(t) – средняя вероятность безотказной работы, определяемая по средним значениям интенсивности отказов элементов; σP(t) – среднее квадратическое отклонение; zβ – квантиль уровня β нормального распределения [5]. Для верхнего доверительного предела βв = (1+γ)/2, для нижнего βн = (1 – γ)/2, при γ = 0,9 имеем: 1

z(1+γ ) / 2 = − z(1−γ ) / 2

 n ∂P (t ) 2  2 ≈ 1,65, σ P(t ) =  ∑ σλi  ,    i =1 ∂λ i 

(18)

где σλi = λivi и vi – коэффициент вариации 0 ≤ vi ≤ 1. Если в течение времени работы аппаратуры элементы имеют не постоянную интенсивность отказов, но существуют четко выраженные временные интервалы, в которых интенсивность отказов в основном постоянна, то для расчета надежности используется так называемая эквивалентная интенсивность отказов. Она определяется по формуле λ экв =

∑ λiti /∑ ti , i

(19)

i

где ti – временной i-интервал, на котором интенсивность λi отказов постоянна.

23

3. НАДЕЖНОСТЬ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЭВМ Проблема надежности программного обеспечения (ПО) приобретает все большее значение в связи с постоянным усложнением разрабатываемых систем, расширением круга задач, возлагаемых на них, а следовательно, и значительным увеличением объемов и сложности ПО. Реальная надежность ПО нередко оказывается ниже, чем надежность самой аппаратуры [15]. Надежность программного обеспечения обуславливается наличием в программах разного рода ошибок, внесенных в нее, как правило, при разработке или в процессе эксплуатации. Под ошибкой понимают всякое невыполнение программой заданных функций. Проявление ошибки является отказом программы. Программа при фиксированных исходных данных и абсолютно надежной ЦВМ должна давать однозначный результат на выходе при многократном его повторении. Однако комбинаторный характер исходных данных, множество условных переходов, зависящих от промежуточных результатов вычислений, создают огромное число возможных путей исполнения программы, которое может быть на несколько порядков больше числа команд в программе. Проверить все варианты исполнения программы практически невозможно, и практика создания сложных комплексов ПО показывает, что и после нескольких лет эксплуатации встречаются непроверенные варианты, в которых обнаруживаются ошибки. Вследствие изложенного проявление ошибки в ПО, является случайным событием, хотя сама ошибка не является случайной. Факторами, определяющими надежность ПО, являются: – подготовка инженерного персонала по технологии использования ЭВМ; – контроль выдачи и изменения программ; – постоянная связь разработчика и заказчика ПО; – применение методов контроля процесса разработки программ и документации; – внедрение стандартов, регламентирующих работы по проектированию ПО. Важную роль имеет постоянный контроль ПО в виде достаточно формализованных “просмотров” проектной и программной документации специалистом или группой специалистов (“тестером”). Повышению качества разработки сложных программ способствуют прогрессив24

ные приемы структурного программирования и принцип модульности ПО. В основу структурного программирования должны быть положены определенные правила: – программа должна составляться мелкими шагами; – сложная задача должна разбиваться на простые с одним входом и выходом; – логика программы должна содержать минимум простых базовых структур; Принцип модульности заключается в разбиении сложной программы на отдельные подпрограммы – модули, характеризующиеся функциональной законченностью, автономностью и независимостью в разработке и оформлении. Рекомендуется объем модулей в 100–500 команд. Запрет на применение потенциально ненадежных программных конструкций, возможность оперативного автономного контроля результатов функционирования модуля обеспечивают высокую вероятность исключения ошибок на самых ранних этапах разработки ПО. Для создания надежного ПО используют также принцип структурирования массивов данных, что позволяет снизить вероятность появления ошибок из-за их неправильного использования. Исходя из задач и применяемых методов для выявления ошибок процесс отладки ПО можно разделить на этапы. Структурный контроль соответствия ПО формализованным требованиям применяют на нижних уровнях иерархической структуры ПО – модулях, подпрограммах, отдельных блоках программы. Формализованные требования содержат правила структурного, синтаксического и семантического построения программы, выполнение которых обязательно для всех составных частей. Детерминированное тестирование предусматривает задание конкретных исходных данных и маршрутов исполнения программы. Проверка всех маршрутов при всех значениях исходных данных может быть реализована только для очень простых программ и при малых диапазонах изменения исходных данных. Диапазон варьирования исходных данных и степень охвата возможных маршрутов определяют эффективность обнаружения ошибок данным методом. Восходящее тестирование начинается с автономного тестирования программных модулей самого нижнего уровня, а нисходящее тестирование с автономного тестирования головной программы. 25

3.1. Показатели надежности программного обеспечения Наиболее распространенными показателями надежности ПО являются следующие: – начальное число ошибок N0 в ПО после сборки программы и перед ее отладкой; – число ошибок n в ПО, обнаруженных и оставшихся после каждого этапа отладки; – наработка на отказ T на этапе; – необходимое время этапа отладки ∆τк.о на заданное качество (на число оставшихся ошибок); – надежность P0 ПО при отладке на отсутствие единичной ошибки; – эксплуатационная надежность P или коэффициент готовности Kг. Анализ публикаций по надежности ПО [14, 15] дает следующие возможные оценки начального числа ошибок: 1) до отладки ПО на ассемблере, с числом передач управления около 20% от объема ПО N 0 = 0,06035 Sп − 0,001251 Sо ,

где Sп, Sо – количество соответственно передач управления и объем ПО в словах; 2) до отладки ПО, начальное число N0 составляет 2% от объема ПО в словах; 3) до отладки ПО, начальное число N0 =1 ошибка на 750 бит текста ассемблера ПО; 4) до отладки ПО, для объема V ПО в битах N0 =

V V  2 log  ; 3000  1300 

5) до комплексной отладки, для специализированных ЦВМ число N0 ошибок составляет 0,5% от объема ПО в словах; 6) до комплексной отладки, с точностью 20% для ассемблера с объемом V в словах N 0 = 5 V /1024;

Среднестатистические оценки начального числа N0 ошибок в ПО после автономной отладки дают соответственно значения 4,34 для ас26

семблера и 1,44 для языка программирования высокого уровня на 1К слов кода программы. По аналогии с аппаратурной надежностью возможно применение экспоненциальной модели надежности ПО в виде P(t ) = exp ( −∆t / T ) , где ∆t – время работы; T=

1 exp( k τк.о ) kN 0

– экспоненциальная модель среднего времени наработки на отказ; k – коэффициент темпа выборки ошибок, определяемый по формуле

n = N 0 [1 − exp( −k τк.о )], где n – число обнаруженных и исправленных ошибок ПО; τк.о – время комплексной отладки программы. Очевидно, что начальная наработка программы T0 = 1/ kN 0 , число оставшихся неисправленных ошибок n0 = N 0 exp( −k τк.о ) . Алгоритм определения надежности имеет итерационный характер, так как производится уточнение числа N0 по числу фактически обнаруженных ошибок N 0 = n [1 − exp( −k τк.о )] . Оценка надежности ПО по ГОСТ 28195-89 рассчитывается по весьма упрощенной методике, констатирующей фактическую надежность по опыту эксплуатации програмного комплекса P(t ) = 1 − n N , где n – число отказов при испытаниях ПО; N – число экспериментов при испытаниях. 3.2. Статистические определения надежности программного обеспечения В настоящее время предсказать надежность работы ПО с учетом требований пользователя представляется весьма сложным. Поэтому представляет интерес подход к оценке надежности ПО, предложенный Лонгботтом для мини- и микровычислительных систем. По опыту разработки и эксплуатации ПО им были выделены следующие факторы и поправочные коэффициенты для оценки надежности через число системных отказов λ: – размер процессора, большой (Б) при числе ИМС более 20 тыс. и быстродействием более 4000–1500 команд/с; средний (С) при числе ИМС около 10 тыс. и быстродействии более 250–1500 команд/с; низкий (Н) при числе ИМС около 1 тыс. и быстродействии менее 250 команд/c. 27

– объем ПО, тысяч команд; – коэффициент изменения числа отказов λ ПО по годам работы от начала работы Kр; – коэффициент начального качества Kк; – коэффициент ремонтопригодности и частоты изменений ПО Kи; – коэффициент уровня загруженности и пользовательских изменений Kз. В табл. 6 дана зависимость начальной надежности ПО от размера процессора и объема ПО. Таблица 6 λ 103, 1/ч

Размер Объем процессора ПО

Тип управляющего ПО

Мини- и микросистемы элементарная управляющая программа базовая управляющая программа расширенная управляющая программа базовая операционная система расширенная операционная система Типовые системы базовой конфигурации управляющая программа операционная система с малыми возможностями операционная система со средними возможностями универсальная операционная система (полного объема)

С С С С С

0,25–1,0 1,0–4,0 4,0–16 16–64 64–256

0,4 1,5 6,0 25 100

М М/С

4,0–16 16–64

6,0 25

С

64–256

100

С/Б

64–256

100

Таблица 7 Число лет работы

0

1

2

Kp

2

1

0,2

3

4

5

0,1 0,05

0,03

6

Более 6

0,02

0,01

Таблица 8 Начальное качество

KК

Ремонтопригодность и частота изменений

Низкое 2 Низкая Среднее 1 Средние Довольно высокое 0,5 Довольно высокая Высокое 0,25 Высокие

28

KИ

2 1 0,25 0,5

Уровень загруженности и пользовательские изменения

Очень низкие Низкие Средние Высокие Очень высокие

KЗ

0,25 0,5 1 2 4

Интенсивность отказов ПО λп определяется с помощью табл. 6–8 по выражению λ п = λK р K к K и K з .

В заключение раздела, посвященного надежности ПО, следует дать граничные оценки надежности ПО, приведенные в работах [12–18 и др.]. Так, вероятность ошибки одной длинной операции (умножения, деления), включающая вероятности от программных, сбойных и вводных ошибок, будет 2·10–6, а вероятность ошибки выполнения короткой операции (пересылка, обращение к памяти и т. д.) приближена к возможной верхней границе надежности ПО и составляет 1,2·10–8. Интенсивность сбоев ПО λсб соотносится с интенсивностями отказов ПО λп и БЦВМ λ БЦВМ следующим приближенным выражением λ сб ≈ (10 − 20) × max {λ п , λ БЦВМ } . Требования надежности к перспективным бортовым системам информационного обмена задают вероятностью разрядной ошибки передачи информации в сети ЛА не более 10–12 ошибки на бит.

29

4. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ УСТРОЙСТВ Введенные в предыдущем разделе показатели надежности могут применяться только для невосстанавливаемых объектов или восстанавливаемых объектов, но испытываемых до первого отказа. На практике большинство авиационных систем после отказа восстанавливается (ремонтируется). Поэтому введенные ранее понятия следует распространить на этот практически важный случай оценки качества авиационной техники. Если не учитывать времени, необходимого на восстановление системы, то количественными показателями надежности здесь будут параметр потока отказов ω(t) и средняя наработка на отказ Tср. Параметром потока отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу испытываемых изделий при условии, что все вышедшие из строя изделия заменяются исправными, т.е. ω(t ) = n(t ) / N (0)∆t ,

(20)

где n (t) – число отказавших изделий в интервале времени от t – ∆t/2 и t + ∆t/2, N (0) – число испытываемых образцов, которое остается постоянным, так как отказавшие образцы заменяются исправными; ∆t – интервал испытаний. Параметр потока отказов АТ в отличие от большинства характеристик надежности невосстанавливаемых устройств можно легко получить в процессе ее эксплуатации на авиапредприятиях. Здесь необходимы данные о количестве зарегистрированных отказов, налет или наработка АТ и общее количество наблюдаемых изделий. Вычисление параметра потока отказов можно вести по формуле N

N

j =1

j =1

ω = ∑n j / ∑t j ,

где nj – число отказов j-го изделия; tj – время наработки j-го изделия в течение заданного периода эксплуатации; N – число однотипных испытуемых изделий. Введенные ранее понятия надежности требуют конкретизации модели потока отказов восстанавливаемых объектов. Это относится к так называемому простейшему потоку, который удовлетворяет одновременно трем условиям: стационарности, ординарности и отсутствию последействия. 30

Стационарность потока означает независимость количества отказов за интервал ∆t от времени. Условие стационарности в практике эксплуатации АТ выполняется приближенно. Ординарность означает, что за небольшой промежуток времени ∆t маловероятно возникновение двух и более отказов. Вследствие высокой надежности изделий АТ это условие в большинстве случаев выполняется. Отсутствие последействия означает, что количество отказов после некоторого момента времени t0 не зависит от того, сколько их было до этого момента. Последнее условие также выполняется приближенно. Установим зависимость между параметром потока отказов и остальными показателями надежности. Пусть в момент времени t=0 на испытании находятся N (0) образцов аппаратуры и по мере выхода из строя какого-либо образца он заменяется исправным. Тогда среднее число отказавших образцов в любом промежутке t,t +∆t будет

n(t ) = ω(t ) N (0)∆t,

(21)

причем n(t) = n1(t) +n2(t), где n1(t) – число отказавших изделий, которые были поставлены на испытание в момент t=0, n2(t) – число отказавших изделий из числа замененных в процессе испытания за время от 0 до t. Определить n1(t) можно по известному выражению n1 (t ) = f (t ) N (0)∆t . Для вычисления n2(t) рассмотрим некоторый промежуток времени τ,τ +∆τ предшествующий промежутку t,t +∆t, т. е. τ < t. В этом промежутке времени выйдет из строя ω( τ) N (0)∆τ изделий. Эти образцы будут заменены исправными, и в промежутке времени ∆t из их числа откажут в среднем

[ω(t ) N (0)∆τ] f (t − τ)∆t

(22)

изделий. Тогда для определения n2(t) достаточно просуммировать (22) по всем промежуткам ∆τ, предшествующим t: t

∫

n2 (t ) = N (0)∆t ω( τ) f (t − τ)dτ. 0

Подставив n1(t) и n2(t) в n(t) и сократив на N (0)∆t , получим для ω(t) t

∫

ω(t ) = f (t ) + ω( τ) f (t − τ)dτ. 0

31

По известной f(t) можно найти все количественные характеристики надежности невосстанавливаемых систем. Поэтому последнее выражение является основным уравнением связи количественных характеристик надежности невосстанавливаемых и восстанавливаемых изделий при мгновенном восстановлении. Его можно представить в операторной форме ω( s) = f ( s) + ω( s) f ( s) , где ω(s), f(s) – преобразования Лапласа для функций ω(t) и f(t). После преобразования получаем ω( s) = f ( s)

[1 − f ( s)] , f ( s) = ω( s) /[1 + ω( s)].

(23)

Соотношения (23) позволяют найти одну характеристику через другую, если существуют преобразования Лапласа функций f(s) и ω(s) и обратные преобразования выражений (23). Запишем также операторные соотношения, включающие вероятность безотказной работы. Для этого учитываем, что t

Q (t ) =

∫ 0

t

∫

f (t )dt , P(t ) = 1 − f (t )dt. 0

Тогда P( s) = 1 − f ( s) s , f (s) = 1–s P (s),

(24) ω( s) = 1 − sP( s) sP( s). Параметр потока отказов обладает следующими свойствами: – независимо от закона распределения времени безотказной работы изделия параметр потока отказов ω(t) больше, чем плотность f(t) распределения наработки на отказ; – параметр потока отказов ω(t) при бесконечно большом времени t стремится к величине, обратной среднему времени наработки на отказ, так что при длительной эксплуатации ремонтируемого изделия поток его отказов независимо от закона распределения времени безотказной работы становится стационарным; – если интенсивность отказов изделия возрастающая функция времени, то параметр потока отказов системы не равен сумме параметров потоков отказов элементов. В настоящее время широко используются статистические данные об отказах, полученные в условиях эксплуатации. При этом они часто обрабатываются так, что приводимые характеристики надежности являются не интенсивностью отказов, а параметром потока отказов ω(t). Это вносит ошибки при расчетах надежности. 32

Для определения интенсивности отказов элементов из статистических данных об отказах восстанавливаемых систем необходимо воспользоваться формулой (7). Для чего необходимо знать предысторию каждого элемента системы. Определение λ(t) проводится по параметру потока отказов ω(t) следующим образом: – по статистическим данным об отказах восстанавливаемых элементов системы по выражению (10) вычисляется параметр потока отказов и строится гистограмма ωi(t) для каждого элемента; – гистограмма заменяется кривой, аппроксимируемой уравнением; – находится преобразование Лапласа ωi(s) функции ωi(t); – по известной ωi(s), на основании (13), записывается преобразование Лапласа f(s) плотности распределения наработки на отказ; – по известной f(s) находится обратное преобразование плотности распределения f(t); – находится аналитическое выражение для интенсивности отказов по формуле t

∫

λ(t ) = ω(t ) /(1 − ω(t )dt ), 0

– строится график λ(t). Наработка на отказ или средняя наработка на отказ определяется отношением суммарной наработки восстанавливаемых изделий к суммарному числу отказов этих изделий за время их испытаний. Оценка средней наработки на отказ N(0) изделий получается по формуле T = (t2 − t1 ) / [H (t2 ) − H (t1 )],

где H(t2) и H(t1) – среднее число отказов до наработки t2 и t1 соответственно; Здесь mi (t) – числа отказов каждого изделия до наработки t. Приближенно выражение можно записать H (t ) = lim

N (0)

∑ mi (t ) / N (0). i =1

T = (t2 – t1) / [mср (t2) – mср (t1)], где mср (t ) =

N (0)

∑ m i (t ) / N (0). i =1

33

Практически важным является определение наработки на отказ по формуле  N (0)  T =  ∑ t i +t ( N (0) − n )  / n ,  i =1 

где n – число отказов за время эксплуатации или эксперимента; ti – время безотказной работы i-го изделия; N(0) – число изделий; t – время эксплуатации или эксперимента. Определение разброса времени безотказной работы около его среднего значения tср можно определить, используя понятие дисперсии D. Последняя представляет собой среднее значение квадрата отклонения времени безотказной работы от его среднего значения. Приближенная статистическая несмещенная оценка дисперсии определяется по формуле ∞

D=

∫

2

t − tср  f (t )dt; D =

0

N (0)

∑ t i −tср 

2

/( N (0) − 1).

i =1

Для наглядной характеристики рассеивания более удобно пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью времени безотказной работы. Это среднеквадратичное отклонение времени безотказной работы σ σ = D.

4.1. Взаимосвязь основных показателей надежности На основе формул записанных ранее можно составить таблицу взаимосвязи основных показателей надежности Таблица 9 Показатель

P(t)

Q(t)

f(t)

λ(t)

P(t)

–

1–P(t)

− dP ( t ) dt dQ(t)/dt

− dP ( t ) P ( t ) dt

Q(t)

1–Q(t) ∞

f(t)

∫

f (t )dt

t

λ(t)

∫

f (t ) / ∫ f (t )dt

–

t

0

− ∫ λ (t )dt 0

(dQ(t)/dt)/(1–Q(t)) ∞

f (t )dt

t

e

34

– t

t

1− e

− ∫ λ (t )dt 0

t

λ (t )e

− ∫ λ (t )dt 0

–

В таблицу входят наиболее часто употребляемые показатели. 4.2. Основные законы распределения времени безотказной работы устройства Для практических инженерных задач оценки надежности АТ наибольшее значение имеют следующие три закона распределения случайного времени T до наступления отказа. Экспоненциальное распределение. Особенностью этого распределения является то, что интенсивность устройства не зависит от времени, т.е. наработка устройства не сказывается на его надежности. Это характерно для II периода основного времени эксплуатации, показанного на рис. 1. Интенсивность отказов λ(t) = λ = const, тогда по табл. 1 определяем надежность P(t) = e–λt, вероятность отказа Q(t) = 1 – e–λt. В настоящее время это распределение широко используется при анализе сложных систем АТ, прошедших период приработки, внезапных отказах, происходящих за счет скрытых дефектов технологии. Ресурс большинства элементов радиоэлектронного и высотного самолетного оборудования имеет экспоненциальное распределение. В силу ранее принятой модели потока отказов, степень близости потока отказов сложных систем АТ к простейшему сравнительно велика. Плотность распределения наработки на отказ экспоненциального закона имеет вид f1 (t ) = λe −λt .

(25)

Среднее время на отказ определяется по выражению ∞

∫

T1 = tf1 (t )dt = 1/ λ.

(26)

0

Дисперсия этого показателя ∞

D (t ) = ∫ (t − T1 )2 f1 (t )dt = T12 = 1/ λ 2 .

(27)

0

Нормальное распределение характерно для изделий АТ, если процесс возникновения некоторого отказа в них можно представить, состоящим из большого числа этапов. Это может быть следствием износа с постоянной скоростью, старения, а также влияния большого числа 35

факторов деградации свойств полупроводниковых приборов, равнозначных по величине. Время восстановления ремонтируемых изделий, наработка до отказа невосстанавливаемых изделий в ряде случаев приближенно также распределены по нормальному закону. Плотность распределения времени наработки на отказ при нормальном законе определяется по выражению 1 e 2π (σ2 )

f 2 (t ) =

−

( t −T )2 2( σ )2 2

(28)

.

Вероятность безотказной работы имеет вид P (t ) =

1 σ2

2 ∞ − ( t −T ) 2 2( σ2 )

e 2π ∫ t

 t −T dt = 1 − F   σ2

 . 

(29)

Среднее время наработки до отказа можно получить по выражению −T 2

∞

2 σ2 T2 = ∫ tf 2 (t )dt = T + e 2( σ2 ) , 2 π F (T / σ2 ) 0

(30)

где T, D2 = (σ2)2 – среднее значение и дисперсия времени между отказами в нормальном законе; F(T/σ2) – функция Лапласа. Весьма часто нормальному закону подчиняются отказы, вызванные разрегулировками, уходами параметров аппаратуры за поле допусков. Распределение Вейбула. Такое распределение характерно для отказов многих невосстанавливаемых изделий АТ. Это, например, подшипники качения, электронные лампы, полупроводниковые элементы, гироскопы. Оно обычно используется и для описания усталостной долговечности, характеристик прочности авиационных конструкций при ускоренных испытаниях элементов АТ в форсированных режимах. Плотность распределения времени наработки на отказ здесь будет k

f 3 (t ) = λ 0kt k −1e −λ0t ,

(31)

где λ0 определяет масштаб, а параметр k асимметрию и эксцесс распределения. 36 )

При k = 1 распределение Вейбула совпадает с ранее рассмотренным экспоненциальным распределением. Для распределения Вейбула основные количественные показатели надежности выражаются следующими формулами. Вероятность безотказной работы имеет вид t

k

∫

P(t ) = 1 − f 3 (t )dt = e −λ0t .

(32)

0

Интенсивность отказов получается в виде λ 3 (t ) = λ 0kt k −1

(33)

Среднее время наработки на отказ

1 Г  + 1  λt . T3 = ∫ e 0 dt =  k 1 λ0 0 k t

k

(34)

1 Здесь Г  + 1  – табулированная гамма-функция [6]. Частным слуk  чаем распределения Вейбула, помимо отмеченного экспоненциального, является и распределение Релея, для которого интенсивность отказов – линейно возрастающая функция времени. Гамма-распределение. Гамма-распределение описывает время, необходимое для появления определенного числа независимых событий. Оно применяется для описания отказов резервированных систем с включением резерва по способу замещения и при условии, что потоки отказов основной системы и всех резервных являются простейшими. Плотность распределения, принятая для описания времени безотказной работы таких устройств, имеет вид f 4 (t ) = λ 0

(λ 0t )l −1 −λ0t e , (l − 1)!

(35)

где λ0 – параметр гамма-распределения. Тогда при целом и положительном l вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и среднее время безотказной работы выражаются следующими формулами: 37

t

P (t ) = 1 − ∫ f 4 (t )dt = e

−λ 0t

0

λ 4 (t ) = λ 0 (λ 0t )l −1 (l − 1)! ∞

T = ∫ P(t )dt = 0

( λ 0 t )i ∑ i! ; i =0 l −1

l −1

∑ i =0

( λ 0 t )i ; i!

l . λ0

(36)

(37)

(38)

Параметр l характеризует асимметрию и эксцесс гамма-распределения. В зависимости от его величины существенно изменяется вид основных количественных характеристик надежности. При l = 1 гаммараспределение превращается в экспоненциальное, при l > 1 интенсивность отказов возрастает, а при l < 1 – убывает. Гамма-распределение также является характеристикой времени возникновения отказов сложных электромеханических систем АТ, если имеют место мгновенные отказы элементов на начальной стадии эксплуатации или в процессе отработки системы. Соответствующее значение l<1 удобно для характеристики времени возникновения отказа при описании периода приработки аппаратуры. Суперпозиция распределений может эффективно использоваться для приближения характеристик надежности изделий АТ в широком диапазоне условий их применения. Это следует из того, что рассмотренные законы распределения времени возникновения отказов могут в большинстве случаев характеризовать надежность сложной системы лишь на ограниченных участках времени ее работы. Так, например, на участке приработки время возникновения отказов может подчиняться гаммараспределению или распределению Вейбула, на участке нормальной работы – экспоненциальному, а на участке старения – нормальному распределению. Поэтому для оценки надежности сложных систем на длительном интервале времени ее эксплуатации целесообразно использовать суперпозицию рассмотренных ранее законов в виде f Σ (t ) =

38

n

∑ fi (t ) , n = 2, 3, ... i =1

(39)

В качестве примера можно рассмотреть суперпозицию двух экспоненциальных законов f Σ (t ) = C1λ1e −λ1t + C2λ 2 e −λ 2t ,

(40)

где λ1 < λ 2 , C1, C2 – постоянные, определяемые из условия C1 +C2 = 1 и зависящие от соотношения между λ1 и λ2. Для этого случая основные количественные характеристики надежности будут иметь вид t

∫

P(t ) = 1 − f Σ (t )dt = C1e −λ1t + C2 e −λ 2t ,

(41)

0

тогда ∞

λ (t ) =

f Σ (t ) C1e −λ1t + C2 e −λ 2t C C = , T = ∫ P(t )dt = 1 + 2 . P(t ) C1e −λ1t + C2 e −λ 2t λ1 λ 2 0

(42)

λ

C1λ1 +C2λ2

λ1 t

Рис. 3. Зависимость λ(t) для суперпозиции двух экспоненциальных законов

Показанная на рис. 3 зависимость λ(t) суперпозиции двух экспоненциальных законов может характеризовать надежность сложной системы с учетом периода приработки. В процессе аппроксимации опытных данных одним из перечисленных законов бывает полезно знать общий вид зависимостей показателей от времени, который приведен в ряде работ по теории надежности [3, 7, 8].

39

5. РЕМОНТОПРИГОДНОСТЬ, ДОЛГОВЕЧНОСТЬ И СОХРАНЯЕМОСТЬ УСТРОЙСТВ Комплексные показатели надежности Важной характеристикой надежности АТ является ремонтопригодность в смысле возможности ее своевременного и качественного восстановления. Показателем ремонтопригодности здесь является вероятность восстановления, связанная с временем восстановления τв. Время восстановления зависит от характера отказа, условий его обнаружения, квалификации обслуживающего аппаратуру персонала. Оно включает время обнаружения отказа, время собственно ремонта и время приведения системы в исходное работоспособное состояние. Показателем ремонтопригодности является вероятность восстановления. Вероятность того, что время восстановления работоспособного состояния объекта не превысит заданное значение tв V (tв ) = P[ τв ≤ tв ] = F (tв ).

(43)

Сравнение показателей, аналогичных показателям безотказности и ремонтопригодности, показано в табл. 10. Таблица 10 Безотказность

Ремонтопригодность

Q(t) = F(t)

F(tв ) = V(tв )

P(t) = 1 – Q(t)

P(tв ) = 1 – V(tв)

t

P (t ) = e

− ∫ λ (t )dt 0

λ(t) = λ P(t) = e–λ t f(t) = –dP(t)/dt = λe–λ t

P ( tв ) = e

−

− tв

∫ µ(tв )dtв 0

µ(tв ) = µ P(tв ) = e–µ t в f(tв) = –dP(tв )/dt = µe–µ t в Tв = 1/µ

Здесь среднее время восстановления Tв есть математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния объекта после отказа, а интенсивность восстановления µ – условная плотность ве40

роятности восстановления, определенная для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента восстановление не было завершено. Ряд формул табл. 10 предполагает справедливость экспоненциального закона распределения времени τв, при котором µв(t) = µ. Фактически оказывается, что экспоненциальное распределение времени восстановления является лишь грубым приближением к действительности [15]. Обычно на восстановление неисправного технического устройства требуется время, которое во всяком случае не меньше некоторой определенной величины. Экспоненциальное распределение времени восстановления не удовлетворяет этому условию. Согласно экспоненциальному закону распределения значительная доля случаев восстановления характеризуется весьма кратким временем восстановления. Однако следует иметь в виду, что практически персонал, обслуживающий АТ, не в состоянии почти мгновенно обеспечить восстановление неисправного объекта и без каких-либо интервалов времени, связанных с подготовительными операциями, сразу же приступить к ремонту очередного неисправного технического устройства. В этом отношении наиболее приемлемым является распределение Эрланга n

n  n tв   Tв  ( n −1) − Tв  (44) . f ( tв ) = tв e (n − 1)! Функция (44) представляет собой плотность распределения суммы некоторого числа n независимых отказов восстанавливаемых устройств, распределенных по экспоненциальному закону, причем отказавшие устройства подвергаются ремонту со средним временем восстановления Tв. Обработка статистических данных показывает, что при n = 2 плотность распределения имеет вид 2 tв

− 4 f (tв ) = 2 tв e Tв . Tв

(45)

Соответствующая вероятность восстановления имеет вид V ( tв ) =

Tв

∫ 0

2tв

 2t  − f (tв )dtв = 1 −  1 + в  e Tв . Tв  

(46) 41

Интенсивность восстановления будет

µ(tв ) = 4tв Tв (Tв + 2 tв ).

(47)

Закон распределения времени обнаружения и устранения отказов, близкий к экспоненциальному, предлагается для ЦВМ в работе [15]: V ( tв ) =

t 3/ 4 −в T e в ,

где Tв =

n

∑ tk , k =1

(48)

tk – время, необходимое для обнаружения и устранения k-го отказа устройства. При определении надежности восстанавливаемых устройств необходимо учитывать их вынужденный простой из-за отыскания и устранения неисправностей. Тогда вместо вероятности безотказной работы следует оперировать понятием вероятности исправного или неисправного состояния устройства в течение заданного интервала рабочего времени. Исправное состояние восстанавливаемого устройства в течение заданного периода рабочего времени t ÷ tр определяется следующими необходимыми условиями: – исправным состоянием в любой момент времени t, принятый за начало отсчета; – непоявлением отказа в интервале времени t ÷ tр . Количественной мерой эксплуатационной надежности является вероятность исправного состояния устройства АТ в течение всего заданного периода рабочего времени t ÷ tр Pэ (t − tр ) = P(t ) P(tр ),

(49)

где P(t) = N(t)/N; N(t) – количество восстановленных устройств, находящихся в момент t в исправном состоянии; N – общее количество наблюдаемых устройств. Тогда Q(t) = n(t)/N – вероятность неисправного состояния в любой момент времени t, где n(t)– количество неисправных устройств, находящихся в момент t в стадии восстановления. Очевидно, что P(t) + Q(t) = 1. Средняя эксплуатационная плотность распреде42

ления наработки на отказ – fэ(t), характеризующая рост количества неисправных устройств в единицу времени с учетом их восстановления, равна

f э (t ) = [dn(t ) − dm(t )]/ Ndt,

(50)

где d n(t) – число отказов, возникших в устройствах за интервал времени ∆t; d m(t) – число восстановленных устройств из числа неисправных за время ∆t. Преобразуем (50) к следующему выражению: fэ =

1 dn(t ) N (t ) 1 dm(t ) n(t ) − . N (t ) dt N n(t ) dt N

(51)

или, учитывая формулы (табл. 10), получаем

dP(t ) = −λP(t ) + µQ(t ). dt

(52)

Вероятность P(t) исправного состояния устройства в любой произвольно выбранный момент времени t < tp, принятый за начало отсчета времени работы получается из дифференциального уравнения

dP(t ) + (λ + µ) P(t ) = µ. dt

(53)

Его решение имеет вид P (t ) =

µ + C e −(λ+µ ) t . λ +µ

(54)

При вычислении постоянной интегрирования С можно исходить из двух предположений: или, что в момент начала эксплуатации устройство исправно и P(0) = 1, или, что оно в начальный момент заведомо неисправно и P(0) = 0. При P(0) = 1 С1 = λ /(λ + µ) , тогда P1 (t ) =

µ 1+ µλ e −(λ+µ)t  µ+λ  

(55)

При P(0)=0 С2 = µ /(λ + µ) , тогда P2 (t ) =

µ  1 − e −(λ+µ )t  .  µ+λ 

(56) 43

При увеличении t надежность P1(t), P2(t) асимптотически приближается к постоянной величине µ/µ+λ. Для оценки времени t, при котором скоростью изменения надежности P1(t) или P2(t) можно пренебречь с погрешностью ε, можно записать dP1 (t ) = −λe −( λ+µ ) t = ε, dt

тогда

t P = ln

ε λ

(λ + µ ) .

(57)

Здесь λ = 1/T, µ = 1/Tв. Коэффициент перед квадратными скобками в выражениях (55) и (56) называется коэффициентом готовности и обозначается Kг. Это вероятность того, что анализируемый по надежности объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени t, кроме планируемых периодов при t < tP , когда его применение по назначению не предусматривается. Для любых распределений времени работы между отказами и времени восстановления, имеющих конечные средние значения T и Tв в установившемся (стационарном) режиме эксплуатации ( t → ∞) , имеем K г = limt →∞ K г (t )

или Kг =

T . T + Tв

(58)

По аналогии с выражением (58) вводится понятие коэффициента простоя K п = limt →∞ K п (t )

или Kп =

Tв , Tв + T

(59)

который определяет вероятность нахождения объекта в состоянии отказа в произвольный момент времени. Очевидно, что Kг + Kп = 1 для одного рассматриваемого устройства. 44

Полное выражение для эксплуатационной надежности (49) можно представить в виде tр

Pэ (tр ) = K г e

− ∫ λ ( t )dt 0

.

(60)

Низкие значения Kг определяют плохую приспособленность устройства к ремонту, несоответствие сложности устройства уровню квалификации обслуживающего персонала и плохую организацию ремонта. К комплексным показателям надежности относится и коэффициент технического использования, определяемый как отношение математического ожидания суммарного времени пребывания объекта в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к математическому ожиданию суммарного времени пребывания объекта в работоспособном состоянии и простоев, обусловленных техническим обслуживанием и ремонтом за тот же период. Статистически он определяется по формуле K т.и = tраб / (tраб + tрем + tобс ),

(61)

где tраб – суммарная наработка всех объектов; tрем – суммарное время простоев из-за плановых и внеплановых ремонтов; tобс – суммарное время простоев из-за технического обслуживания. Показатели долговечности, определяемые в соответствии с государственным стандартом [1], включают следующие понятия: – ресурс – это суммарная наработка объекта от начала его эксплуатации или ее возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние; – срок службы – это календарная продолжительность эксплуатации от начала эксплуатации объекта до перехода в предельное состояние; – назначенный ресурс – это суммарная наработка, при достижении которой эксплуатация объекта должна быть прекращена независимо от его технического состояния; – остаточный ресурс – это суммарная наработка объекта от момента контроля его технического состояния до перехода в предельное состояние; – назначенный срок службы – это календарная продолжительность эксплуатации, при достижении которой эксплуатация объекта должна быть прекращена независимо от его технического состояния. 45

В ряде работ [5,6] рассматриваются также средние ресурс и средний срок службы, которые определены как математические ожидания соответствующих статистических временных оценок, указанных нами. Сохраняемость АТ имеет важнейшее значение для обеспечения качественной и эффективной ее эксплуатации. Понятие хранение включает в себя не только ее сбережение в периоды между выпуском с завода и началом ее эксплуатации или хранение ее в законсервированном виде на складах и хранилищах, но также и содержание ее на самолете в процессе эксплуатации, в промежутках времени ее бездействия между полетами. В зависимости от назначения АТ соотношение между периодами работы и хранения может быть различным. Так, оборудование ЛА разового применения находится в состоянии бездействия длительное время. В этом случае оценка надежности объекта осуществляется, главным образом, по данным, полученным в процессе хранения. Неисправности при хранении возникают в большинстве случаев под воздействием внешних физических факторов, способствующих ускоренному старению элементов, разрушению изоляции электрических соединений и закупорке большого числа магистралей передачи воздуха, топлива, смазки. Срок сохраняемости устройства – это календарная продолжительность его хранения и (или) транспортирования, в течение которой сохраняются в заданных пределах значения параметров, характеризующих его способность выполнять заданные функции. Основной мерой сохранности является вероятность исправного состояния при хранении, т. е. вероятность того, что за определенный интервал времени и в заданных условиях хранения исправность устройства не нарушится

S (tx ) = P( t1 > tx ) ,

(62)

где tx – время хранения; t1 – время появления неисправности в условиях хранения. Определение вероятности исправного состояния при хранении проводится по формуле, аналогичной формуле вероятности безотказной работы (5)

S (tx ) = 1 − n (tx ) / N , 46

(63)

где n(tx) – число устройств, пришедших в неисправность в процессе хранения; N – общее число однотипных устройств, находящихся на хранении с момента tx = 0. Соответствующая плотность распределения времени безотказного хранения и интенсивность появления отказов при хранении будет

f (tx ) = dnx (tx ) / Ndtx , µ(tx ) = dnx (tx ) / N (tx )dtx ,

(64)

где nx(tx) – число неисправных устройств на интервале времени d tx времени хранения. При этом среднее время исправного состояния при хранении будет Tx =

N

∑ txi i =1

N ,

(65)

где txi – время появления неисправности i-го устройства при хранении. Опыт эксплуатации АТ показывает, что вероятность безотказной работы устройств, предварительно подвергавшихся длительному хранению, всегда ниже, чем в случае, когда она поступала на эксплуатацию, не подвергаясь предварительному хранению.

47

6. МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ В настоящее время широко применяются два пути повышения надежности, связанные с основными этапами жизни устройства. Первый этап – это этап проектирования и производства, второй – этап эксплуатации. Повышение надежности на этапе проектирования считается основополагающим: при нем закладываются все возможности по качественному выполнению АТ ее основных функций безопасной работы в заданных временных характеристиках. Второй этап связан с обеспечением потенциально заложенной надежности при проектировании. Однако определенными мероприятиями в процессе эксплуатации можно повысить надежность и даже превзойти ее уровень, заложенный при проектировании и производстве. Это достигается доработками аппаратуры и совершенствованием исходных технологических и организационных мероприятий в процессе ее эксплуатации при двусторонней связи производства и эксплуатанта. Основные методы повышения надежности на этапе проектирования и производства включают следующее. 1. Применение высоконадежных комплектующих элементов. Для выполнения этого проводят либо выборочную, либо полную предварительную проверку и испытание элементов в условиях, приближенных к условиям эксплуатации АТ. 2. Проектирование возможно более простой аппаратуры, применение известных ранее и хорошо себя зарекомендовавших блоков, узлов и схемных решений. 3. Снижение возможных перегрузок в работе аппаратуры от изменения температуры, вибраций, повышенных питающих напряжений, электромагнитных полей. 4. Автоматизацию проектирования, при которой оптимизируется конструкция объекта с учетом требований стандартов и исключаются конструкционные ошибки при переносе информации на технологическую и производственную базу. 5. Резервирование особо ответственных узлов, блоков, операций в программном обеспечении. Методы повышения надежности на этапе эксплуатации включают следующее. 1. Доработку аппаратуры на основе опыта эксплуатации и связи эксплуатанта с разработчиком и производителем. 48

2. Снижение нагрузок действующих на аппаратуру, улучшение условий работы и хранения. 3. Совершенствование технологических процессов работы и обслуживания. 4. Повышение квалификации обслуживающего персонала. 5. Выполнение всех плановых профилактических мероприятий. 6. Внедрение современных средств контроля. 7. Прогнозирование надежности и анализ статистики отказов. 8. Совершенствование организации труда у эксплуатанта аппаратуры. В условиях перехода к эксплуатации АТ на основе анализа ее текущего состояния, все большее значение для обеспечения надежности имеет своевременная диагностика отказов с выполнением принципов ее отказобезопасного проектирования. На этапе проектирования аппаратуры наиболее кардинально вопросы повышения надежности решаются также при резервировании ее основных узлов. 6.1. Резервирование авиационного оборудования Резервированием называется способ обеспечения надежности объекта за счет использования дополнительных средств и (или) возможностей, избыточных по отношению к минимально необходимым для выполнения требуемых функций. Часто реализацией этого метода повышения надежности может быть включение параллельно основному объекту дополнительных средств, способных выполнять заданные объекту функции при его отказе. В авиационных приборах применяются следующие основные виды резервирования: аппаратурное (схемное, структурное), временное, информационное, функциональное и нагрузочное. Аппаратурное резервирование подразумевает применение резервных элементов в конструкции прибора или системы в виде дополнительных датчиков, блоков, агрегатов, которые включаются в процесс работы автоматически или вручную взамен отказавших для поддержания нормального функционирования. При этом операция замены отказавшего элемента оборудования на резервный не прерывает нормального функционирования и не является ремонтом прибора. Временное резервирование предусматривает использование резерва времени при работе прибора. Для авиационных приборов и измерительно-вычислительных комплексов это связано с избыт49

ком времени выполнения вычислений в бортовых цифровых вычислителях и возможностью накопления информации в процессе вычислений. Информационное резервирование предполагает повышение надежности решения задачи управления объектом за счет применения для ее реализации избытка бортовых аппаратных, вычислительных и программных средств, изначально измеряющих и преобразующих отдельные бортовые параметры ЛА для решения взаимосвязанных задач. Знание физической обусловленности процессов здесь имеет первостепенное значение. Функциональное резервирование для повышения надежности системы возможно, если ее элементы кроме основной их функции в нормально работающей системе могут решать дополнительные задачи, несвойственные им в нормальных условиях работы. Примером такого резервирования может быть применение наземной приводной радио-станции совместно с бортовым автоматическим радиокомпасом не только в качестве средства самолетовождения, но и в качестве линии радиосвязи для передачи информации. Нагрузочное резервирование – это повышение надежности, предусматривающее использование его способности воспринимать дополнительные нагрузки. В качестве источника резерва в этом случае служит запас мощности или электрической прочности в радиотехнических элементах или механических усройствах. Предпочтительным является совместное применение двух или нескольких видов резервирования, которое может обеспечить наибольший эффект в повышении надежности. Аппаратное резервирование при этом имеет основное значение и служит исходным методом повышения надежности. При резервировании отказ объекта наступает только после отказа основного изделия и всех резервных изделий. Основным элементом при этом считается элемент объекта, необходимый для выполнения требуемых функций без использования резерва. На практике различают следующие способы резервирования. Общим резервированием называется резервирование, при котором резервируется объект в целом. Альтернативным общему является раздельное резервирование, при котором резервируются отдельные элементы объекта или их группы. 50

Основным параметром резервирования является его кратность m. Кратность резерва m – это отношение числа резервных элементов к числу резервируемых ими элементов, выраженное несокращенной дробью. Различают резервирование с целой и дробной кратностью. При резервировании с кратностью резерва один к одному имеет место дублирование, а при кратности резерва два к одному – троирование, что весьма распространено в авиационных ИВК. По способу включения резервных элементов различают постоянное резервирование и резервирование замещением. Постоянное резервирование – это резервирование, при котором используется нагруженный резерв, т. е. находящийся в режиме работы основного элемента системы. При отказе любого элемента в резервированной группе выполнение объектом требуемых функций обеспечивается оставшимися элементами без переключений. Резервирование замещением подразумевает резервирование, при котором функции основного элемента передаются резервному только после отказа основного элемента. Постоянное резервирование связано с расходом ресурса резервных элементов, который расходуется в той же мере, что и ресурс основного элемента. Поэтому в том случае, когда это позволяют условия эксплуатации авиационного прибора, для повышения безотказности всей системы, возможно применение облегченного и ненагруженного резерва. Под ненагруженным резервом понимается резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в ненагруженном режиме до начала выполнения ими функций основного элемента. Облегченный резерв подразумевает нахождение резервных элементов в менее нагруженном режиме, чем основной элемент. Это чаще всего связано с мощностью питающих напряжений и приложением рабочего давления к элементам авиационного оборудования. 6.2. Определение надежности резервированного оборудования Вероятность безотказной работы системы P(t), состоящей из k элементов основного соединения, как было отмечено в (12), определяется по выражению k

P (t ) = p1 (t ) p2 (t )… pi (t )… pk (t ) = ∏ pi (t ) , i =1

(66) 51

1 2 j m Рис. 4. Параллельное соединение элементов при резервировании

pi(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента. Вероятность его отказа – qi(t). В том случае, если система состоит из основного и m резервных элементов, как это показано на рис. 4, то ее отказ возможен лишь в том случае если откажут все m+1 элементы. Вероятность отказа всей системы Q(t) здесь определяется на основании теоремы умножения вероятностей как произведение вероятностей отказов qi(t) ее элементов m +1

Q (t ) = q1 (t ) q2 (t )… q j (t )… qm +1 = ∏ q j (t ). j =1

(67)

Вероятность безотказной работы системы с m+1 элементом будет m +1

P (t ) = 1 − ∏  1 − p j (t ) .

(68)

j =1

Рассмотрим надежность систем при двух основных видах резервирования их элементов: общем (рис. 5) и раздельном (рис. 6) резервировании. 1

2

i

k

1 2 j

m

Рис. 5. Общее резервирование элементов

52

1

2

i

k

1 2 j m Рис. 6. Раздельное резервирование элементов

Общее резервирование объекта, содержащего k элементов основного соединения с вероятностью безотказной работы элемента pi(t) = = 1 – qi(t), имеет надежность Pобщ(t), которая получается после предварительного определения надежности j-й цепи: k

Pjц (t ) = p1 (t ) p2 (t )… pi (t )… pk (t ) = ∏ pij (t ). i =1

(69)

Вероятность отказа этой цепи будет k

Q jц (t ) = 1 − Pjц (t ) = 1 − ∏ pij (t ). i =1

(70)

Результирующее значение надежности при общем резервировании получаем в виде m +1

m +1

k

j =1

j =1

i =1

Qобщ (t ) = ∏ Q jц (t ) = ∏ ( 1 − ∏ pij (t )) ; m +1  k  Pобщ (t ) = 1 − Qобщ (t ) = 1 − ∏  1 − ∏ pij (t )  . j =1  i =1 

(71)

(72)

Раздельное резервирование объекта, содержащего k элементов основного соединения с вероятностью отказа элемента qi(t) = 1 – pi(t), имеет надежность Pразд, которая получается после предварительного определения вероятности отказа i-го узла по выражению 53

m +1

Qiу (t ) = ∏ q ji (t ) .

(73)

j =1

Соответственно вероятность безотказной работы этого узла будет m +1

Piу (t ) = 1 − Qiу (t ) = 1 − ∏ (1 − p j i (t )).

(74)

j =1

Результирующее значение надежности при раздельном резервировании получаем в виде k k  m +1  Pразд (t ) = ∏ Piу (t ) = ∏ 1 − ∏ ( 1 − p ji (t )) , (75)  i =1 i =1  j =1  Вероятность отказа всей системы при раздельном резервировании k  m +1  Qразд (t ) = 1 − Pразд (t ) = 1 − ∏ 1 − ∏ 1 − p ji (t ) . i =1  i =1 

(

)

(76)

6.3. Матричный метод определения надежности Усложнение систем современной АТ приводит к появлению новых качеств, которые значительно затрудняют проведение исследований надежности классическими методами, основанными на представлении сложных систем в виде последовательных и параллельных соединений. Одним из методов исследования надежности сложных систем является логико-вероятностный метод, математическая сущность которого заключается в использовании функций алгебры логики для аналитической записи условий работоспособности систем и их строгой взаимосвязи с вероятностными функциями. Методы алгебры логики позволяют представить условия безотказной работы системы в виде логического уравнения, отражающего функциональную взаимосвязь элементов системы. Состояния системы, в которых она может находиться за рассматриваемый отрезок времени t, зависят от состояний комплектующих элементов. Для перебора всех возможных состояний системы составляют матрицу несовместных состояний, которая для системы из n элементов имеет вид 54

Гипотеза: H0 H1
Hn
H αβ

Состояния: A1 A1

A2 A2

A3 A3

... ... A1 A2

... A3

... ... A1 A2

... Aα


... ... H1,2,...,n A1 A2

... ... ... ... ... Aβ …

An An ... An

... ... A3 ... Ai ...

... An

... An

,

(77)

где H0 – гипотеза работоспособности всех элементов системы; Ai ( Ai ) – работоспособное (неработоспособное) состояние i-го элемента системы; Hi – гипотеза отказа i-го элемента; Hαβ – гипотеза отказа двух элементов α, β; H1,2,…,n – гипотеза отказа всех n элементов системы. Каждое из состояний системы, записанное в матрице, проверяется по логическому условию на работоспособность. Тогда вероятность пребывания системы в любом состоянии определяется по формуле Pсост =

n −m

∏

m

P( Aik )

k =1

∏ P( Ail ) , l =1

(78)

где m – количество отказавших элементов. Вероятность безотказной работы сложной системы АТ за время t определяется по формуле сложения вероятностей несовместных событий r

Pс = ∑ Pсост j =1

j

,

(79)

где r – общее количество работоспособных состояний системы. Применение матричного метода расчета надежности систем позволяет: – стандартизировать расчеты и значительно ускорить их выполнение на основе использования ЭВМ; – определять в зависимости от логического условия вероятность безотказной работы системы при выполнении полетного задания, вероятность появления катастрофической, аварийной или сложной ситуации в полете; 55

– оценивать влияние надежности каждого элемента на надежность всей системы. 6.4. Оценки повышения надежности при резервировании Для равнонадежных элементов по i и j общего резервирования (рис. 5) элементов на основе выражений (71), (72) несложно получить формулы: pij ≡ p тогда Pобщ = 1 − (1 − p k )m +1 ; Qобщ = (1 − p k )m +1 .

(80) Аналогичные выражения для показателей надежности раздельного резервирования (рис. 6) имеют вид pij ≡ p тогда Pразд = [1 − (1 − p ) m +1 ]k ; Qразд = 1 − [1 − (1 − p )m +1 ]k .

(81)

Оценка эффективности K этих схем резервирования может быть получена в виде K = Qобщ Qразд =

(1 − p k )m +1 (1 − (1 − q)k ) m+1 . = 1 − [1 − (1 − p)m +1 ]k 1 − [1 − q m +1 ]k

(82)

При выполнении условия kq << 1 приближенно эффективность раздельного резервирования получается в km раз выше эффективности общего резервирования. Преимущество увеличивается с ростом числа элементов k в системе и кратности m ее резервирования. Это относится к случаю постоянного включения резерва. Рассмотрим надежность системы с общим резервированием и постоянно включенным резервом кратности m. Пусть отказы элементов являются простейшим потоком случайных событий и для них справедлив экспоненциальный закон распределения. Вероятность безотказной работы и вероятность отказа резервированной системы определяются: Pс (t ) = 1 − (1 −

k

∏ pi (t ))m+1 = 1 − (1 − e−λ t )m+1 ≈ 1 − (λ0t)m+1; 0

i =1 k

Qc (t ) = (1 −

56

∏ pi (t ))m+1 = (1 − e−λ t )m+1 ≈ (λ0t)m+1; 0

i =1

(83)

где λ 0 =

k

∑ λi

– интенсивность отказов любой из m+1 систем. Тогда

i=1

среднее время безотказной работы резервированной системы будет ∞

∞

0

0

∫

∫

Tср = Pс (t )dt = (1 − (1 − e −λ0t )m +1 dt.

Обозначим 1 − e принимает вид

−λ 0t

1

Tcр =

= z, тогда dt =

dz , и последнее выражение λ 0 (1 − z )

1

1 1 − z m+1 1 1 dz = (1 + z + z 2 + z 3 + ... + z m )dz = λ0 1− z λ0 λ0

∫

∫

0

0

m

1

∑ ∫ zidz. (84) i =0 0

Окончательно получаем Tcр =

1 λ0

m

∑ i +1 1 = λ10 (1 + 21 + 13 + ... + m1+ 1). i =0

(85)

Среднее время безотказной работы системы с увеличением кратности резервирования растет исключительно медленно. Так, например, при кратности резервирования m = 10 среднее время возрастает по сравнению с нерезервированной системой всего лишь втрое. Одновременно с параметром Tcр необходимо знать его дисперсию D(t), которая определяется по выражению T0 3

2 1

0 2 4 6 8 10 12 14 m Рис. 7. Изменение среднего времени безотказной работы системы в зависимости от кратности m резервирования

57

∞

D[t ] = ∫ (t − Tcр )2 f c (t )dt.

(86)

0

Опустив промежуточные вычисления, связанные с интегрированием (83), рассмотрим конечную формулу дисперсии D[t ] = T02

m

∑ (1 +1i)2 , i =0

(87)

которая позволяет определить практически важные оценки дисперсий: при m = 1,..., 3 1 D[t ] = T02 (1 + ) , 4 1 1 D[t ] = T02 (1 + + ), 4 9 1 1 1 D [t ] = T02 (1 + + + ) . 4 9 16

(88)

Дисперсия времени возникновения отказов резервированной системы выше дисперсии времени возникновения отказов нерезервированной системы, причем разница тем больше, чем выше кратность резервирования. Однако среднеквадратическое отклонение остается всегда меньше, чем среднее время безотказной работы резервированной системы, и будет тем меньше, чем выше кратность резервирования. Резервирование с постоянно включенным резервом приводит к увеличению среднего времени безотказной работы при относительном уменьшении его дисперсии. Этот эффект тем значительнее, чем выше кратность резервирования. По выражению (80) можно сделать вывод о надежности системы с постоянно включенным резервом, воспользовавшись графической зависимостью (рис. 8). Из рис. 8 следует, что вероятность безотказной работы системы всегда больше вероятности безотказной работы нерезервированной системы, причем чем выше кратность резервирования, тем больше вероятность безотказной работы. При этом вероятность в области больших значений λ0t близки к экспоненте и приближаются к функции вероятности безотказной работы нерезервированной системы. Эффективность 58

Pc 1,0 0,8

3

0,6 2 0,4

1

0,2

0

m=0 0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

2,8

λ0 t

Рис. 8. Зависимость вероятности безотказной работы от безразмерного времени при кратностях резервирования

резервирования здесь состоит в том, что оно значительно улучшает основные количественные характеристики надежности в области малых значений λ0t. 6.5. Резервирование замещением Расчетные формулы для резервирования замещением зависят от режима, в котором находятся резервные элементы (холодный, облегченный или горячий резерв). На безотказность резервированной системы большое влияние также оказывает безотказность переключающего устройства, отключающего отказавший основной элемент от системы и включающего вместо него резерв. Вычислим вероятность безотказной работы системы, состоящей из одного рабочего – основного элемента (А) и одного резервного элемента (В) [4]. На основании формулы полной вероятности безотказной работы системы можно записать

Pc (t ) = PА (t ) + PB / А (t ),

(89)

где PA – вероятность безотказной работы системы А в течение времени t; PВ/А(t) – вероятность безотказной работы системы В в течение времени t при условии, что отказ системы А произошел в момент времени τ. Для одинаковых элементов А и В выражение (89) можно переписать виде 59

t

Pc (t ) = PА (t ) + ∫ PB (t, τ) f ( τ)dτ.

(90)

0

Выражение (90) позволяет получить общую формулу вероятности безотказной работы системы с любой кратностью резервирования m. t

t

∫

∫

Pm +1 (t ) = Pm (t ) + P(t, τ) f m ( τ)dτ = Pm (t ) + f m ( τ)dτ − 0

0

t

t

∫

∫

− Q (t, τ) f m ( τ)dτ = 1 − Q (t, τ) f m ( τ)dτ, 0

(91)

0

где Pm(t) – вероятность безотказной работы системы, резервированной (m – 1) раз, в течение времени t; P(t,τ) – вероятность безотказной работы одного резервного элемента в течение времени (t – τ) при условии, что до момента τ она исправна; fm(τ) – частота отказов. Формулы (91) позволяют вычислить вероятность отказа и надежность m раз резервированной системы при горячем, облегченном и холодном резерве. 6.5.1. Постоянное резервирование с “горячим” резервом

При горячем резерве Q (t, τ) = Q (t ) , тогда Pm +1 (t ) = 1 −

m

∏ Qi (t ). i =0

(92)

Вероятность отказа такая же, как и при постоянно включенном резерве, формулы для определения которой представлены в предшествующем разделе Pm +1 = 1 − (1 − e −λ0t ) m +1 ≈ 1 − (λ 0t )m +1; Qm +1 (t ) = (1 − e −λ0t )m +1 ≈ (λ 0t )m +1; Tm +1 =

1 λ0

m

N

i =0

i =1

∑ i +1 1 ; λ0 = ∑ λi .

(93)

Однако увеличение “горячего” резерва при m > 2 применяется крайне редко. 60

6.5.2. Постоянное резервирование с “холодным” резервом

При "холодном" резерве отказ резервного элемента не может произойти раньше момента времени τ, поэтому P(t , τ) = P(t − τ) ; Q (t , τ) = Q (t − τ) . Тогда по выражению (91) можно получить t

t

∫

∫

Pm +1 (t ) = Pm (t ) + P(t − τ) f m ( τ)dτ ; Qm +1 (t ) = Q (t − τ) f m ( τ)dτ 0

(94)

0

или с использованием свойства коммутативности свертки функций t

Qm +1 (t ) =

∫ f0 (τ)Q(t − τ)dτ.

(95)

0

Окончательно, для равнонадежных элементов в системе формула имеет вид Pс (t ) = 1 − t

− ∫ f ( τ) 0

t −τ−τ1

∫ 0

f ( τ1 )

t −τ−τ1 −τ2

∫ 0

t −τ−τ1 −…−τm −1

f ( τ2 )...

∫

f (t )dt...dτ2dτ1dτ.

(96)

0

При экспоненциальном законе распределения f (t ) = λ 0e −λ0t это выражение дает  (λ t ) 2 (λ t ) 3 (λ t ) m  Pс (t ) = e −λ0t 1 + λ 0t + 0 + 0 + … + 0  = 2 ! 3! m !   m (λ t )i = e −λ0t ∑ 0 . i ! i =0

(97)

Зависимости вероятности безотказной работы системы при различных кратностях резервирования m показаны на рис. 9. Анализ зависимостей (рис. 9) показывает, что общее резервирование замещением является эффективным способом повышения надежности. По сравнению с резервированием при постоянно включенном резерве эффективность тем больше, чем больше λ0t, т. е., чем менее надежен резервируемый элемент системы. Среднее время безотказной работы получается в виде 61

Pc 1,0 0,8 3 0,6 2

0,4

1 3 2 1 m=0

0,2

0 0,4 2,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,8 λ0t Рис. 9. Зависимости надежности системы с резервированием замещением (сплошные линии) и при постоянном включении резерва (пунктир) от кратности m и работы t

Tср = ∫ e 0

−λ 0t

( λ 0 t )i m +1 dt = . λ0 i ! i =0 m

∑

(98)

Дисперсия времени возникновения отказов будет ∞

∫

D[t ] = σ(t ) = (t − Tср )2 f с (t )dt = 0

m +1 = TсрT0 . λ 02

(99)

Среднее время Tcр безотказной работы (98) системы и его дисперсия (99) при резервировании замещением и идеальных переключателях резервных элементов растут линейно с ростом кратности резервирования. Если среднее время безотказной работы с увеличением кратности резервирования растет линейно, то среднеквадратическое отклонение σ(t) пропорционально лишь корню квадратному из m+1. Резервирование замещением может использоваться не только для повышения надежности систем, предназначенных для кратковременной непрерывной работы, как это имело место при резервировании с постоянно включенным резервом, но также для систем длительного использования. Среднее время безотказной работы в данном случае может быть удобной и наглядной количественной характеристикой надеж62

ности. При этом не следует забывать об учете надежности переключателей резервных элементов и их быстродействии по отношению к выходным сигналам коммутируемых элементов системы. Конечное значение надежности переключателей несложно учесть в суммарной интенсивности λ0 отказов элементов. 6.5.3. Резервирование замещением при “теплом” резерве

Для АТ большое значение имеет скорость подключения к работе резервного элемента при отказе основного. Поэтому находит применение так называемый “теплый” резерв элементов, у которых к резервному элементу, не включенному в работу системы, подключено, например, питающее напряжение или давление гидравлической рабочей среды. Резервный элемент работает в облегченном режиме, часто без нагрузки на последующие элементы системы. Расход надежности резервного элемента в этом случае, как правило, менее интенсивен, чем у рабочего элемента, включенного на нагрузку λ1 < λ 0 .

Рассмотрим количественные характеристики надежности для этого случая, занимающего некоторое промежуточное значение между ранее рассмотренными вариантами с постоянным включением резерва и резервированием с “холодным” резервом элемента. Для этого случая справедливы формулы (94), а вероятности P1(τ), P0(t – τ) и f(τ) имеют вид: P1 ( τ) = e −λ1τ ; P0 (t − τ) = e −λ0 (t −τ) ; f1 ( τ) = λ 0e −λ0τ .

При m = 1 имеем P2 (t ) = e

−λ 0t

t

∫

+ e −λ1τ e −λ0 (t −τ)λ 0e −λ0τdτ = e −λ0t [1 + 0

λ0 (1 − e −λ1t )], (100) λ1

при m = 2  λ 1 λ0  λ0  −λ1t 2  P3 (t ) = e −λ0t 1 + 0 (1 − e −λ1t ) + (101)  1 +  (1 − e )  . λ1  2 λ1   λ1  На основании полученных выражений можно установить закономерность, позволяющую записать выражение вероятности безотказной работы системы, имеющей кратность резервирования m 63

Pm +1 (t ) = Pm (t ) +

am −λ0t e (1 − e −λ0t )m , где am = m !

m −1



λ 

∏  j + λ10  .

(102)

j =0

Среднее время безотказной работы системы получается после интегрирования ∞

Tср = ∫ Pm+1 (t )dt = 0

Tm+1 = Tm +

m a 1 +∑ i λ 0 i =1 i !

i

∑ (−1) jCij λ0 +1 jλ1 . j =0

1 1 = λ 0 + mλ1 λ 0

m

∑ i =0

1 1+ i

λ1 λ0

.

(103)

Выражения (102) и (103) можно проверить, рассмотрев случаи: λ1 = ∞ – отсутствие резервирования; λ1 = λ0 – постоянно включенный резерв; λ1 = 0 – резервирование замещением без потери надежности резерва. Полученные при этом выражения для Pc, Tcр совпадают с ранее полученными формулами.

64

7. ПРОФИЛАКТИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ И ИХ ВЛИЯНИЕ НА НАДЕЖНОСТЬ Профилактические испытания наряду с выявлением и заменой элементов с параметрами, близкими к предельным, имеют целью также выявление отказов в оборудовании, не охваченном контролем или не участвующем в процессе управления ЛА. Возможность необнаруженных отказов всегда имеется в АП и ЭВМ, так как невозможно охватить контролем всю бортовую аппаратуру. Это приводит к ухудшению достоверности функционирования ЛА. Достоверность работы АТ с частичным контролем может быть повышена путем периодических профилактических испытаний не охваченных контролем аппаратуры АТ. Для правильного выбора периода профилактических испытаний необходимо прежде всего проанализировать его влияние на коэффициент готовности АТ. Рассмотрим поведение системы с частичным контролем при отсутствии и наличии периодических профилактических испытаний. Примем, что интервалы времени между моментами возникновения отказов T в АТ и время, расходуемое на профилактические испытания Tпф и на устранение этих отказов Tв.о – случайные величины, распределенные по экспоненциальному закону, причем интенсивности потоков отказов, профилактических испытаний и восстановлений равны соответственно λ=

1 1 1 ; µ пф = , µ в.о = . T Tпф Tв.о

При принятых предположениях случайный процесс смены состояний АТ является марковским. Граф состояний АТ с частичным контролем при отсутствии периодических профилактических испытаний приведен на рис. 10, где 0 – работоспособное состояние системы; 1 – состояние обнаруженного отказа; 2 – состояние необнаруженного отказа; 3 – состояние выполнения профилактических испытаний аппаратуры; 4 – состояние,

1

gλ

gλ

µв.о 0

(1–g)λ µпф

λпф

3

2

λпф

4

µв.о

Рис. 10. Граф состояний системы АТ

65

при котором обнаружен скрытый отказ АТ в результате профилактических испытаний. Предполагается, что в охваченном контролем оборудовании отказы обнаруживаются сразу после их возникновения и начинается восстановление отказавшего элемента. Для перевода АТ в ремонт после необнаруживаемого схемами контроля отказа необходим второй обнаруживаемый отказ. На графе выделено состояние 4, в которое переходит система с частичным контролем после того, как начинается профилактика (поэтому переход из состояния 2 в состояние 4 нагружен интенсивностью λпф). В этом состоянии выявляется скрытый отказ и затем начинается его устранение. После окончания восстановления система переходит в состояние 3 – выполнение профилактики. Принцип составления дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова) для марковских процессов состоит в следующем. Производная dPi /dt вероятности пребывания системы в состоянии i равна алгебраической сумме нескольких членов; число членов этой суммы равно числу стрелок на графе состояний системы, соединяющих состояние i с другими состояниями. Если стрелка направлена в состояние i, то член берется со знаком плюс, если стрелка направлена из состояния i, то со знаком минус. Каждый член суммы равен произведению вероятности того состояния, из которого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке. Число отрицательных членов равно числу стрелок, направленных из состояния i; число положительных членов равно числу стрелок, направленных в состояние i. Пользуясь этим правилом, составим дифференциальные уравнения dP0 (t ) = −[ g λ + (1 − g )λ + λ пф ]P0 (t ) + µ в.о P1 (t ) + µ пф P3 (t ); dt dP1 (t ) = −µ в.о P1 (t ) + g λP0 (t ) + g λP2 (t ) ; dt dP2 (t ) = −( g λ + λ пф ) P2 (t ) + (1 − g )λP0 (t ); dt dP3 (t ) = −µ пф P3 (t ) + λ пф P0 (t ) + µ в.о P4 (t ) ; dt

66

(104)

dP5 (t ) = −µ в.о P4 (t ) + λ пф P2 (t ), dt где P0(t), P1(t), …, P5(t) – вероятности состояний 0, 1, ..., 5 системы. Решение системы (104) должно учитывать очевидное уравнение нор5

мировки

∑ Pi (t ) = 1 . В установившемся режиме (t → ∞) оно имеет вид i =0

 µ в.о λ(µ пф + λ пф ) + λ 2пф   λ   P0 = K г = 1 + + g µ λ + λ в.о пф  P1 =

P0 g λ µ в.о

(105)

(106)

P0 (1 − g )λ ; gλ + λ пф

(107)

2 P0  λλ пф + λ пф   ; µ пф  gλ + λ пф 

(108)

P2 =

P3 =

 λ + λ пф    ;  g λ + λ пф 

−1

   ; 

P4 =

P0λλ пф (1 − g ) µ в.о ( g λ + λ пф )

.

(109)

Выражение (105) имеет важнейшее значение для определения готовности системы выполнять заданные функции АТ. Поэтому при выборе периодичности профилактических испытаний аппаратуры следует стремиться к максимально возможной ее готовности, Kг при заданных значениях λ, µ пф , µ в.о , g. Для определения оптимального значения opt λ opt пф = 1 Tпф возьмем производную от P0 = Kг и приравняем ее к нулю.

После соответствующих преобразований получаем λ opt пф = − g λ + g λ + (1 + 1 µ в.о ) + λµ пф .

(110)

Для современных ЭВМ, как было уже отмечено (табл. 5), среднее время наработки на отказ составляет от нескольких сотен часов для БЦВМ третьего поколения до десятков тысяч часов для БЦВМ четвер67

того поколения. Среднее время восстановления после отказа составляет 0,5–1 ч, а среднее время восстановления вычислительного процесса после сбоя, если оно требует манипуляций со стороны обслуживающего персонала, 0,2–0,3 часа.

68

8. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИЗМЕРИТЕЛЬНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ ЛА 8.1. Цели и задачи прогнозирования состояния бортового оборудования. Модели дрейфа параметров Эффективность использования воздушного транспорта и безопасность полетов зависит от многих факторов, в том числе от надежности авиационной техники. Надежность измерительно-вычислительных комплексов (ИВК) зависит от своевременного контроля и технического обслуживания. В задачу технического обслуживания входят не только восстановление или ремонт отказавшего оборудования, но и предупреждение отказов авиационной техники. Для предупреждения отказов используются методы прогнозирования, слово «прогноз» греческого происхождения и означает предвидение изменений в развитии, исходе каких-либо событий, явлений, процессов на основании полученных результатов. Обслуживание авиационной техники по ее состоянию основано на оценке технического состояния по данным контроля и прогнозирования дрейфа параметров [20]. Структура процесса прогнозирования показана на рис. 11 [20], основными его этапами являются: формулирование цели и задач прогнозирования, сбор и подготовка необходимых исходных данных о поведении прогнозируемого явления до настоящего момента времени (предыстория прогнозируемого явления или интервал наблюдения), идентификация или формирование модели прогнозируемого явления, выбор метода и средств прогнозирования, накопление априорной информации о прогнозируемом явлении, принятие решения по результатам прогноза. Техническое состояние объекта полностью характеризуется набором его выходных сигналов y1, …, yn. В качестве их могут рассматриваться характеристики входных сигналов (мощность, частота, фаза, длительность импульсов, напряжение, ток) или некоторые системные характеристики (амплитудные и фазовые характеристики, полоса пропускания, чувствительность, точность, эффективность). Выбор модели процесса дрейфа параметров определяет и математический аппарат, применяемый для прогнозирования, сложность и точность расчетов. Дрейф параметров технических объектов: изменение вектора Y(t) = |y1, …, yn| происходит под воздействием множества фак69

Сбор и подготовка исходных данных о предыстории прогнозируемого явления

Цели и задачи прогнозирования

Идентификация (формирование модели) прогнозируемого явления

Выбор метода прогнозирования

Накопление априорной информации о прогнозируемом явлении

Расчет результатов прогнозирования

Принятие решения по результатам прогнозирования Рис. 11. Структура процесса прогнозирования

торов, сложность учета которых заставляет рассматривать процесс изменения параметров как некоторую случайную функцию времени. С учетом воздействия дестабилизирующих факторов случайный процесс дрейфа параметров можно аппроксимировать выражением[21]: Y(t) = ζ(t)+ψ(t),

(111)

где ζ(t) – нестационарный (обычно монотонный) случайный процесс необратимых изменений параметров; ψ(t) – стационарный случайный процесс обратимых изменений параметров под воздействием внешних условий. Необратимые изменения параметров, происходящие в измерительно-вычислительных и управляющих комплексах, обычно вызываются старением и износом. Причинами старения является диффузия вещества, изменение структуры материала, химические взаимодействия и т. д. Воздействие температуры, влажности, перегрузок и других внешних факторов ускоряет процессы старения. Наряду со старением при эксплуатации имеет место износ, проявляющийся в стирании трущихся механических поверхностей, электрических контактах. Наиболее рас70

пространенной формой моделей случайного процесса необратимых изменений параметров является модель вида: m

ξ (t ) = ∑ aij ϕ j (t ) , j =0

(112)

где aij – случайные величины; [ϕj(t)]mj=0 – непрерывные детерминированные функции времени, i,j = 0,n. Такое представление можно интерпретировать как разложение случайного процесса по детерминированному базису. В качестве базисных чаще используются степенные, экспоненциальные и логарифмические функции. При этом в большинстве практических случаев порядок моделей (112) m ≤ 2 . Наиболее распространенной аппроксимацией случайного процесса изменений параметров вида (112) является линейная аппроксимация ζ (t) = a0 + a1 t. Линейные случайные процессы служат очень удобной моделью процессов старения и износа, требуют минимального количества экспериментальных данных и позволяют с достаточной для практики точностью оценить реальные изменения параметров. Обратимые изменения параметров y(t) согласно (111) являются стационарными процессами и могут рассматриваться как некоторая высокочастотная (по сравнению с процессами старения или износа) составляющая случайного процесса изменения параметров. Случайная обратимая составляющая обусловлена флуктуациями температуры, давления, влажности окружающей среды, электрической или механической нагрузками напряжения питания, электромагнитными полями, ядерной радиацией и др. Наиболее существенно изменения параметров проявляются под влиянием температурных флуктуаций. Возможно описание процесса изменения параметров в виде ортогональных канонических разложений, при этом любой случайный процесс может быть описан в виде ряда, состоящего из комбинации неслучайных функций и некоторых некоррелированных случайных величин, например: Y (t ) = m y (t ) +

N

∑Vi fi (t ), i =1

(113) 71

где my(t) – детерминированная функция, представляющая собой математическое ожидание случайного процесса Y(t); Vi – некоррелированные случайные величины, математические ожидания которых равны нулю; fi(t) – неслучайные функции времени, называемые координатными. Среди представлений случайного процесса вида (113) наибольшее распространение получили канонические разложения Пугачева и Карунена – Лоэва. Основная разница между ними состоит в требованиях, предъявляемых к точности воспроизведения процесса любым заданным числом членов N суммы (113). Разложение Карунена – Лоэва обеспечивает минимум среднего квадрата ошибки усредненной на интервале наблюдения, а разложение Пугачева – минимум среднеквадратичной ошибки в каждой точке этого интервала. Для описания случайных процессов изменения параметров в эксплуатации могут использоваться марковские случайные процессы. Выбор модели процесса дрейфа параметров определяет и математический аппарат, применяемый для прогнозирования, сложность и точность расчетов. 8.2. Связь прогнозирования технического состояния и прогнозирования надежности Процедура прогнозирования технического состояния состоит в формировании по данным контроля и априорной информации некоторого апостериорного случайного процесса и последующей оценки его характеристик. Цель прогнозирования может заключаться в прямом прогнозировании, суть которого состоит в определении состояния объекта прогнозирования или совокупности объектов в упрежденный момент времени, являющийся правой границей заданного интервала упреждения. Под интервалом упреждения понимается промежуток времени, на который разрабатывается прогноз. Сущность обратного прогнозирования состоит в определении работоспособности объекта или группы объектов [21]. При этом отличие обратного прогнозирования от прямого состоит в том, что при прямом прогнозировании необходимо определять значение прогнозируемого параметра в заданный будущий момент времени, а при обратном – будущий момент времени, в который параметр достигнет границы допуска. Обратное прогнозирование называют прогнозированием надежности. Решение задачи прогнозирования технического состояния и надежности можно рассматривать в двух аспектах: 1) прогноз Y(t) в условиях полной априорной определенности; 72

2) прогноз Y(t) при ограниченности исходных данных. Применительно к модели Y(t) вида (112) полная априорная определенность соответствует случаю, когда известны закон распределения случайных коэффициентов  ai,j и детерминированный базис [Ф(t)]mj=0, а погрешность контроля ε(t) описана как случайный процесс типа белого шума с известной дисперсией. Ограниченность априорных сведений чаще всего характеризуется отсутствием полного статистического описания Y(t) и ε(t). Основу алгоритмов решения задачи прогнозирования технического состояния при полной определенности исходных данных составляют классические методы математической статистики (метод наименьших квадратов, максимального правдоподобия и т. п.). Частью таких алгоритмов являются оптимальный фильтры, среди таких фильтров наиболее универсальным является фильтр Калмана – Бьюси. Благодаря рекуррентной форме представления этот фильтр легко реализуется на ПЭВМ. Оценки, получаемые с помощью фильтра, являются оптимальными в среднеквадратичном смысле, т. е. являются состоятельными, эффективными и несмещенными. Надежность принадлежит к числу характеристик, определяющих техническое состояние изделий [22]. Однако прогнозирование надежности имеет смысл выделять отдельно. В отличие от всех других характеристик надежность нельзя непосредственно измерить. Задачей прогнозирования надежности является предсказание количественных показателей надежности изделия на основе прогнозирования постепенных (параметрических) и внезапных (функциональных) отказов. Наиболее разработанными являются методы прогнозирования устойчивых параметрических отказов и гораздо труднее прогнозировать кратковременные, неустойчивые отказы (сбои). Прогнозирование надежности разбивается на ряд подзадач: – прогнозирование надежности изделия на стадии проектирования; – прогнозирование надежности изделия на стадии испытаний и эксплуатации; – прогнозирование надежности изделия с учетом изменения внешних факторов; – индивидуальное прогнозирование надежности изделия на основе измерения его прогнозирующих параметров; – групповое прогнозирование надежности, т.е. такое прогнозирование, когда на основании изучения отдельных изделий высказывается предположение о надежности группы изделий в будущем. 73

8.3. Прогнозирование надежности ИВК на основе данных бортового устройства регистрации параметров Бортовые устройства регистрации (БУР) предназначены для регистрации параметров, накопления и сохранения информации об условиях полета, техническом состоянии оборудования летательного аппарата, действий экипажа по управлению летательным аппаратом и другой летной информации [20]. Наличие этой информации позволяет, после ее обработки и анализа, предпринять необходимые предупредительные меры для исключения аварийных ситуаций (выявления ошибок летного и инженерно-технического состава, выявление отказов оборудования и т. д.), а в случае возникновения летного происшествия установить истинную причину происшествия. Структурная схема регистрации и прогнозирования состояния бортового оборудования показана на рис. 12. Информация от датчиков первичной информации поступает на блок преобразования параметров. В блоке преобразования параметров происходит преобразование сигналов, поступающих от датчиков первичной информации в цифровой сигнал (фильтрация, усиление, если необходимо выпрямление, преобразование «напряжение – частота», счет цифровых импульсов). В этом блоке также происходит формирование сигнала об исправности системы регистрации. Информация в цифровом виде со счетчиков блока преобразования параметров поступает в блок регистрации параметров. Блок регистрации параметров содержит программируемые процессоры, которые управляют работой всей системы, и производят преобразование сигналов в последовательный код формата RS – 232C, запись информации на оперативную память одного из процессоров блока регистрации параметра. Также в этом блоке формируется необходимая служебная информация (бортовой номер воздушного судна, бортовое время и т.д.). Затем информация из оперативной памяти процессора в последовательном коде RS – 232C поступает в блок накопления информации, где она хранится в течение всего полета. При обслуживании воздушного судна, после выполненного полета, информация из блока накопления информации переносится в ПЭВМ, где с помощью программного обеспечения расшифровывается и анализируется. По полученным данным расшифровки, лицо, принимающее решение, отбирает необходимую информацию о параметрах работы бортового оборудования и заносит ее в исходные данные программного 74

Прогноз технического состояния бортового оборудования

Программное обеспечение

Код формата RS – 232C

ПЭВМ

Вывод результатов расшифровки данных от бортовой системы регистрации параметров

Блок накопления информации

Датчик первичной информации №n

Код формата RS – 232C

Датчик первичной информации №2

Блок регистрации параметров

Датчик первичной информации №1

Блок преобразования параметров

Объект прогнозирования (бортовое оборудование)

Лицо, принимающее решение

Рис. 12. Структурная схема регистрации и прогнозирования состояния бортового оборудования

продукта системы прогнозирования. На данный момент существует программная реализация одного из методов прогнозирования «PROGNОZ» – метода гарантированного прогнозирования. Для данной программы необходима информация о двух измерениях одного параметра на одном режиме работы, через известный промежуток времени. Чем больше интервал времени между измерениями, тем точнее результат прогнозирования, также на точность прогнозирования влияет погрешность первичных датчиков информации и погрешность записи информации на бортовой накопитель. ПЭВМ производит обработку этих данных по соответствующей программе и выдает результаты этой обработки. Результат обработки, это выдача данных о прогнозируемых предельных значениях параметра на 75

заданном интервале времени и время выхода параметра за границы допуска, т. е. выполняется задача прямого и обратного прогнозирования (прогнозирования надежности). Лицо, принимающее решение, по этим данным делает заключение о техническом состоянии и надежности прогнозируемого оборудования.

76

9. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД ОЦЕНКИ ИНТЕРВАЛЬНОЙ ДОСТОВЕРНОСТИ ПРОГНОЗА СИГНАЛОВ В задачах прогнозирования надежности технических систем, контроля состояний динамических приборных комплексов, мониторинга экологической ситуации, прогнозирования протекания ядерных процессов в энергетических установках большое значение имеет оценка вероятности того, что вектор параметров, характеризующий состояние контролируемого объекта, при известных начальных условиях на выбранном интервале времени ни разу не выйдет за пределы заданной области. Будем называть эту вероятность интервальной достоверностью прогноза сигналов. В качестве начального условия обычно принимают одно из следующих: 1. В начальный момент времени известно значение оцениваемого процесса. 2. Получена реализация исследуемого процесса на предшествующем отрезке времени интервалу прогнозирования значений. 3. Известен закон распределения оцениваемого процесса в начальный момент времени прогнозирования его значений. Существующие методы решения поставленной задачи в случае, когда моделью сигнала является случайный марковский процесс, основываются на решении уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова (Ф.П.К.) [24]. Для решения задачи с поглощающими границами на основе уравнения Ф.П.К. помимо марковости исследуемого процесса требуется, в общем случае, определить регулярные границы [24]. Аналитическое решение указанных задач является трудоемким и в настоящее время оно получено для марковских нормальных стационарных процессов не выше второго порядка при независящих от времени допустимых границах и при начальных условиях, определяемых случаями 1и 3. Рассмотрим метод решения поставленной задачи, который не требует наличия свойства марковости и стационарности у исследуемого случайного процесса, снимает ограничения, связанные с независимостью допустимых границ от времени, включает различные начальные условия, обеспечивает связь с известными моделями случайных процессов, для которых найдены оценки интервальных достоверностей традиционными способами. Пусть X(t – τ) – случайный нормальный скалярный процесс с известными математическим ожиданием mX(t – τ) и локально интегрируемой 77

корреляционной функцией KX(t – τ1,t – τ2) на квадрате [0,T]×[0,T], τ, τ1, τ2 ∈ T, где T-интервал прогнозирования случайного процесса [26]. Требуется оценить интервальную достоверность прогноза сигнала, определяемую вероятностью невыхода случайного процесса X(t – τ) из допустимой области g0(t –τ) на интервале времени τ ∈ T, если область допустимых значений процесса определена верхней Aв(t – τ) и нижней Aн(t – τ) границами. Представим случайный процесс каноническим разложением на интервале времени [t – T,t] относительно координатных функций ψk(t,τ,T), k = 1,∞ X ( t − τ) =

∞

∑ Ck (t )ψk (t, τ, T ) + m X (t − τ), τ ∈ T .

(114)

k =1

Ограничиваясь конечной суммой N ряда получим новое представление для рассматриваемого случайного процесса, причем в пределах корреляционной теории погрешность приближения представления исходного процесса X(t – τ) зависит от размерности спектра N [26]. Как известно [25], [26], среди всех рядов Фурье разложение Карунена–Лоэва обеспечивает наилучшую в среднеквадратическом на интервале времени T равномерную сходимость ряда. При этом коэффициенты ряда Карунена – Лоэва являются некоррелированными, а учитывая нормальность закона распределения случайного процесса X(t – τ), и независимыми случайными величинами. Таким образом, ряд Карунена – Лоэва является каноническим рядом. Используя в качестве модели представления для случайного процесса X(t – τ) частичную сумму разложения Карунена – Лоэва, можно приближенно представить рассматриваемый случайный процесс в следующем виде: X N (t − τ ) =

N

∑ Ck (t ) ψk (t, τ, T ) + m X (t − τ ), τ ∈ T .

(115)

к =1

Коэффициенты ряда Ck(t) и ортонормальные базисные функции ψk(t,τ,T), k = 1, 2… определяются соотношениями [25] T

Ck (t ) = [ x (t − τ ) − m X (t − τ )]ψ∗k (t, τ, T ) dτ,

∫

(116)

0

T

λ k (t ) ψ k ( τ, T ) = K X (t − τ, t − τ1 ) ψ k (t, τ1, T ) dτ1,

∫

78

0

(117)

где ψ*k(t,τ,T) и λk(t) – соответственно k-я сопряженная базисная (собственная) функция и собственное значение интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Метод решения уравнения (117) для стационарных процессов можно найти в [27]. Если корреляционная функция KX(t – τ,t – τ1) является положительно определенной, то собственные функции образуют полный ортогональный ряд [25]. Среднеквадратический функционал ошибки представления случайного процесса X(t – τ) на интервале времени τ∈T при ортонормальном базисе на основании теоремы Мерсера [25], [26] равен T

N

0

k =1

I N (t ) = ∫ K X (t − τ, t − τ ) dτ − ∑ λ k (t ) =

∞

∑

k = N +1

λ k (t ) ,

(118)

где собственные числа λk(t) вещественны, неотрицательны и расположены в порядке убывания λ1(t) ≥ λ2(t) ≥…≥ λN (t). Спектральная размерность N в уравнении (118) определяется исходя из заданной относительной точности приближения R2 случайного процесса X(t – τ) частичной суммой (115). N

R (t, T ) ≤ min T 2

N

∑ λ k (t ) k =1

.

∫ K X (t − τ, t − τ )dτ

(119)

0

Спектральная размерность N является функцией от значений R2(t,T) и KX(t – τ1,t – τ2). Коэффициенты Ck*(t) ряда (114) есть ортогональные центрированные случайные величины, дисперсии которых равны M[Ck(t)Cl*(t)] = λk(t)dkl, k , l = 1, N , где dkl – символ Кронекера; Cl(t) – сопряженный коэффициент ряда (114). В случае нормального распределения, в общем случае, случайного нестационарного процесса совместная плотность распределения N первых нормированных коэффициентов Cнk(t) =

Ck ( t )

λ k (t ) будет опреде-

ляться соотношением N

f[Сн(t)] =

∏ f k [Cнk(t)], k =1

79

где fk[Снk(t)] = N[0,1] – стандартное нормальное распределение; Cн(t) – вектор, определяемый коэффициентами Снk(t). В этом случае оценка априорной достоверности прогноза будет равна ∧

D0 (t, T ) =

∫

g0N (t ,T )

f Cн (t ) dCн (t ),

(120)

где g0N(t,T) – N-мерная область допустимых значений нормированных коэффициентов Cнk(t), нахождение в которой вектора Сн(t) соответствует невыходу нормированного случайного процесса X нN (t − τ ) в течение интервала времени τ ∈ T за пределы нормированных границ [Aв.н(t – τ) – mXн(t – τ)] и [Ан.н(t – τ) – mXн(t – τ)]. Нормированные значения процесса X нN (t − τ ) , математического ожидания mXн(t – τ) и допустимых границ определяются следующими значениями:

Χ нN (t − τ ) =

X (t − τ ) A (t − τ ) , Aв.н (t − τ ) = в , σ X (t − τ ) σ X (t − τ )

Aн.н (t − τ ) =

Aв (t − τ ) m (t − τ ) , m Xн (t − τ ) = X , σ Х (t − τ ) σ Х (t − τ )

где σX(t – τ) –среднеквадратическое значение процесса X(t–τ). Для определения границ области g0N(t) необходимо найти допустимые значения Bв.нk(t), Bн.нk(t) коэффициентов Cнk(t), для всех τ ∈ T из следующей системы соотношений: T   ∫ K x (t − τ, t − τ ) d τ N ψ k (t , τ, T ) ≤  ∑ C нk ( t ) d k ( t ) 0 σ2X (t − τ )  k =1  ≤ k{t, T )[ Aв.н (t − τ ) − m Xн (t − τ )]}  T  N ∫ K x (t − τ, t − τ ) d τ  0 ψ k (t , τ, T ) ≥  ∑ C нk ( t ) d k ( t ) 2 t σ − τ ( ) X k 1 =  ≥ k{t, T )[ A (t − τ ) − m (t − τ )]} Xн н.н  0 ≤ τ ≤ T , −4 ≤ Снk (t ) ≤ 4,

80

(121)

k(t,T) – коэффициент, учитывающий заданную относительную точность приближения случайного процесса X(t–τ) частичной суммой (115), который может быть определен, например, выражением k (t, T ) = где d k (t ) =

λ k (t ) T

N

∑ dk , k =1

.

∫ K X (t − τ, t − τ ) dτ

(122)

0

Если в начальный момент времени t – T прогнозирования сигнала значение процесса X(t – T) известно или получена реализация процесса на предшествующем моменту времени t – T интервале времени T1, то в соотношениях (117) и (122) используются соответствующие условные математические ожидания m[X(t – τ)/x(t – T)] или m[X(t – τ)/c(t – T)], среднеквадратические значения σX[t/x(t – T)] или σX[t/c(t – T)] и корреляционные функции процесса X(t – τ) KX[(t – τ1,t – τ2)/x(t – T)] или KX[(t – τ1,t – τ2)/c(t – T)]. В выражении (120) используются соответственно условные плотности распределения f[c(t)/x(t – T)] или f[(c(t)/с(t – T)], где C(t – T) – вектор компонент спектрального представления сигнала на интервале времени [t – T – T1,t – T]. На основе использования в интегральном уравнении (4) условных корреляционных функций, KX[(t – τ1,t – τ2)/x(t – T)] или KX[(t –τ1,t – τ2)/c(t – T)]τ, τ1∈ T определяются соответствующие собственные функции ψk[t,τ,T,x(t – T)] или ψk[t,τ,T,c(t – T)] и собственные числа λk[t,x(t – T)] или λk[t,с(t – T)], k = 1, …, N. В том случае, когда перед прогнозом на интервал времени τ ∈ T наблюдается реализация случайного стационарного процесса X(t – T – τ1) на интервале времени τ1 ∈ [0,T1], T1 ≥ T, оптимальная среднеквадратическая прогнозируемая оценка сигнала Xˆ N (t − T + τ) , τ ∈ [0,T] на момент времени t – T + τ может быть определена следующим соотношением [26] Xˆ N (t − T + τ ) =h(t – T,T1)W(t – T + τ,T1)С(t – T),

где h(t – T,T1) – вектор преобразования сигнала размерности 1×N, компоненты hk(t – T,T1) которого определяются для всех линейных операторов преобразования G[ ] следующей формулой: 81

hk (t − T , T1 ) = lim Gψ k (t − T − µ, T1 ) , µ→0

µ ∈ [0, T1 ].

В случае прогнозирования самого сигнала G{X(t – T)}=X(t – T + τ)× ×hk(t – T,T1)= ψk(t – T,T1). Матрица прогноза W(t – T + τ,T) размерности N×N имеет следующий вид: W (t − T + τ, T1 ) = KC (t −T +τ ),C (t −T ) KC−1(t −T ),C (t −T ) , KC (t −T +τ ),C (t −T ), KC (t −T ),C (t −T ) – корреляционные матрицы соответственно векторов С(t – T + τ) и C(t – T), C(t – T) и C(t – T); C(t – T) вектор коэффициентов представления сигнала X(t – T – τ1) на интервале времени τ ∈ [0,T1] частичной суммой разложения Карунена – Лоэва. Вектор C(t – T) размерности N×1 определяется соотношением (116), где верхний предел интегрирования T заменяется T1. При этом матрица KC(t–T),C(t–T) является диагональной. Оптимальная среднеквадратическая прогнозируемая оценка вектора С(t) на момент времени t – T + τ, τ ∈ [0,T] в этом случае будет равна: ∧

C (t − T + τ ) = W(t–T+τ,T1) C(t–T).

Оптимальная среднеквадратическая прогнозируемая оценка сигнала X(t–T+τ) будет равна Xˆ (t − T + τ) =

N

∑ Сˆ (t − T + τ)Ψ(t, τ, T ). k =1

Среднеквадратический функционал ошибки оптимального прогноза XN(t–τ) в этом случае определяется следующим образом [26]: DΕ (t ) = Tr{h (t − T , T1 ) × ×  KC (t −T +τ),C ( t −T +τ) − W (t − T + τ, T1 ) KC (t −T ),C (t −T +τ)  hТ (t − T , T1 )},

где Tr{ } – след матрицы. Во многих случаях матрица W(t – T + τ, T1) может быть заменена диагональной матрицей без существенного увеличения дисперсии ошибки оценки. Указанный подход может быть также использован, если вместо базиса, определяемого соотношением (117), 82

будет использован любой полный ортогональный на интервале T1 базис типа Лежандра, Фурье, экспоненциальных полиномов и т. п. Оценка априорной достоверности невыхода случайного m-мерного процесса X(t) за границы области допустимых значений на интервале времени(t – T,t) при предположении, что компоненты прогнозируемого вектора независимы, а область допустимых значений будет определяемая N-мерным параллелепипедом, когда ребра его ориентированы по базовым функциям ψk(t,τ,T), будет равна Dˆ o (t, T ) =

m

∏ Dˆ oi (t, T ), i =1

(123)

где величины Dˆ 0i (t, T ) , i = 1, m определяются соотношением (120) для i-й компоненты вектора X(t). Решение задачи оценки достоверности D0 (t ) недостижения заданных границ на выбранном интервале времени произвольным случайным гауссовским процессом с корреляционной функцией KXc1(t – τ1,t – τ2), можно свести к задаче оценки недостижения стандартным гауссовским процессом преобразованных границ, для которого базис, определяемый уравнением (117), известен или легко определяется. Например, все стационарные нормально распределенные процессы, спектральные плотности которых представлены в виде дробно-рациональных функций от квадрата частоты ω2, могут быть сведены к случайному стационарному процессу с корреляционной функцией KXc(τ) = σ2exπ{–ατ} или к стандартному чисто диффузионному процессу с корреляционной функцией KXc1(t1,t2) = 2π min(t1,t2) на основе использования формирующего фильтра. В этом случае в формуле (121) изменяется только область допустимых значений вектора Cн в соответствии с преобразованием граничных условий Ав(t) и Ан(t) в новые границы A1н(t), A1в(t), определяемые функциональным преобразованием формирующего фильтра, следующим соотношением: t

A1 (t ) = g (t, τ) A ( τ ) dτ,

∫ 0

где g(t,τ) – весовая функция, удовлетворяющая уравнению, K X c (t1 − t2 ) =

t t

∫ ∫ g (t1, τ1) g (t2 , τ2 )K X (τ1, τ2 )dτ1dτ2 . 00

83

В том случае, когда случайный процесс X(t) является стационарным процессом определение весовой функции g(τ) целесообразно произвести на основе использования спектральной плотности случайного процесса SX(ω), процедуры ее факторизации, частотной характеристики формирующего фильтра W(jω) и обратного преобразования Фурье 2

S X c (ω) = W ( jω) S X (ω) , g ( τ ) =

где S X (ω) = 1 2π

∞

∫ K X (τ ) e

− jωτ

1 2π

∞

∫ W ( jω) е

− jωτ

dω,

−∞

dτ .

−∞

Рассмотрим случайный нормальный стационарный скалярный процесс X(t – τ), определенный на интервале времени τ ∈ [t–T,t], корреляционная функция которого K(τ) = σX2exp{–αXτ}, а математическое ожидание mX = 0. Оценим априорную интервальную вероятность D0(T) невыхода процесса X(t) за симметричные допустимые границы g0 = (Aв÷Aн), Aв = –A = A, не зависящие от времени на заданном интервале времени T. В начальный момент времени t = 0 вероятность нахождения процесса X(0) в заданных границах определяется следующим выражением: D0 (0 ) =

A

∫ f ( x0 )dx0 ,

−A

где f(x0) = N[0,σX] – плотность вероятности нормального закона распределения случайной величины x0. Представим процесс X(t) на интервале времени T частичной суммой из N слагаемых ряда Карунена – Лоэва. Ортонормальные базисные функции разложения Карунена – Лоэва рассматриваемого случайного процесса в соответствии с соотношением (117) будут определяться следующей формулой [25]:

ψ k (t ) =

σX λk

π T  sin  ωk  t −  + k  , 1 2   2 1+ dk 2

(124)

где собственные значения λk интегрального уравнения (117) и нормированные дисперсии dk, k = 1,…, ∞ коэффициентов разложения Карунена – Лоэва определяются следующими соотношениями: 84

λk =

2(α X T )σ2X T , (α X T )2 + (ωk T )2

(125)

λk , σ2X T

(126)

dk =

а ωk, k = 1, …, ∞ – положительные корни следующего уравнения, расположенные в порядке возрастания, tgωk T = −

2α X T ωk T . (α X T )2 − (ωk T )2

(127)

Анализ изменения значений ωkT от изменения величин αXT и k показал, что с увеличением k при заданном αXT значения ωkT неограниченно возрастают, а при увеличении αXT при заданном k значения ωkT возрастают, стремясь к установившимся значениям ωkT = kπ, k = 1,…,∞, при этом, чем меньше k, тем значительнее изменение значения ωkT. Зависимости нормированных дисперсий dk коэффициентов Cнk(t) =

Ck ( t )

λ k (t ) , k = 1, …, 10 показаны на рис. 13. Сумма нормиро-

0,9967

d1,i d2,i d3,i d4,i

2,251·10–4 0

αXTi

1,5

Рис. 13. Зависимости дисперсий dk коэффициентов Снk ряда (117) от αXTi

85

N

ванных дисперсий MN =

∑ d k , характеризует точность представления k =1

случайного процесса X(t) рядом Карунена – Лоэва. Изменение значений λнk k = 1,…, ∞ при увеличении αXT и T = const в диапазоне 0< αXT< ∞ характеризуется монотонным увеличением, затем наличием максимума и в дальнейшем асимптотическим стремлением к нулю при величине αXT, стремящейся к бесконечности. Если рассматривается изменение значений λнk от αXT (0 < αXT ≤ ∞) при αX = const,то значения λнk, k = 1,…, ∞, монотонно увеличиваясь, достигают максимума и затем асимптотически стремятся к установившимся значениям (λнk→2αX/[αX2 + (kπ)2]). Значения d1 во всем диапазоне изменения αXT, а dk, k = 2,…,∞ и MN (N < ∞) после достижения максимума асимптотически стремятся к нулю при αXT→ ∞, при этом M∞ = 1 для любого значения αXT. Начальные (αXT = 0) значения d1 = 1, dk = 0, k = 2,…, ∞. Из приведенных графиков видно, что наиболее существенный вклад в обеспечение требуемой точности среднеквадратической аппроксимации случайного процесса X(t) частичной суммой ряда Карунена – Лоэва в области значений 0 < αXT ≤ 1 (в ближней зоне) вносят первых одна–три компоненты ряда (117). С увеличением значения αXT число N компонент ряда, необходимое для обеспечения относительной точности R2, возрастает. Значения ωkT, определяемые решением уравнения (127), dk, λk, MN, k = 1,…, 3, N = 3 для ряда величин αXT при значениях αX = 0,01 C–1, σX = 1 представлены в табл. 11. Область допустимых значений случайных величин Снk, k = 1,…, N в соответствии с формулой (123) в этом случае определяется следующей системой уравнений:

N 2 T kπ sin[ωk  τ −  + ] ≤ k (T ) Aв.н ,  ∑ C нk 1 2 2    k =1 1+ d  k N 2 T kπ  sin[ωk  τ −  + ] ≥ k (T ) Ан.н ,  ∑ C нk 1 2 2   1+  k =1 d k  τ ∈ T , −4 ≤ Снk (t ) ≤ 4. 86

(128)

Таблица 11 αxT

k

ωkT

dk

λk

MN

0,01

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

0,141304 3,147946 6,286367 0,443521 3,203994 6,314854 0,755734 3,321718 6,377382 0,960186 3,431140 6,438890 1,118427 3,532831 6,498194 1,248927 3,628159 6,556041 1,360116 3,717088 6,613139

0,996676 0,002018 0,000506 0,967536 0,019464 0,005014 0,907532 0,053938 0,014720 0,853274 0,083176 0,023975 0,804192 0,107934 0,032774 0,759552 0,128815 0,041104 0,718974 0,146406 0,048950

0,996676 0,002018

0,996676 0,998676 0,999200 0,967536 0,986999 0,992014 0,907532 0,961471 0,976190 0,853274 0,936450 0,960425 0,804192 0,912126 0,944900 0,759552 0,888367 0,929471 0,718974 0,865380 0,914330

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

1,1

9,675360 0,050140 27,22596

42,66370 4,158800 1,198750 56,29344 2,294180 68,35968 11,59335 3,699360 79,08714 16,10466 5,384500

Допустимая нормированная ошибка среднеквадратического приближения случайного процесса X(t) частичной суммой (115) может быть оценена на основе соотношения (119) следующим неравенством: N

1–R2≤1–

∑ dk . k =1

Как видно из табл. 11, например, значение R2 = 0,95 обеспечивается при N = 2 в диапазоне 0 ≤ αXT ≤ 0,4, при N = 3 в диапазоне 0 ≤ αXT ≤ 1,25. Область допустимых значений коэффициентов Снk, k = 1,2 и области ее аппроксимации при обеспечении R2 ≥ 0,9 для αXT = 0,01, Aв.н= –Ан.н= Aн, Aн= 3 приведены на рис. 13. На рис. 14 представлена область допустимых значений g02 случайных величин Сн (абсцисса) и Сн (ордината), 1

2

87

47,267054 x2 r2 xx2

p2 b2

–47,267054

xx1, x1, r1, p1, b1 –3,002501 3,002501 Рис. 14. Область допустимых значений g02 и способы ее аппроксимации при αXT = 0,01, Aв.н = –Ан.н= 3

определяемая соотношением (121), (трасса x2) и результаты ее аппроксимации ромбом (трасса r2), прямоугольником, вписанным в допустимую область (трасса p2), прямоугольником, описанным около области (трасса b2), и эллипсом, вписанным в область (трасса xx2). Анализ полученных результатов при различных значениях 0,01 ≤ αXT ≤ 1 показал, что при увеличении αXT площадь допустимой области значений заметно уменьшается, а наилучшей аппроксимацией допустимой области является ромб, при этом чем меньше значения αXT, Aв.н= –Ан.н= Ан, тем точнее аппроксимация. Если в исследуемой задаче учесть три компоненты Снk k = 1, …, 3 вектора коэффициентов разложения случайного процесса X(t) в ряд Карунена – Лоэва, то область допустимых значений будет близка к гексаэдру и при увеличении N из рассматриваемых областей аппроксимации наиболее близкими к допустимой области g0N будут Nмерные ромбы. Зависимости интервальной достоверности Dˆ 0 ( α X T ) , определяемой соотношением (120), от αXT для значений Ав.н= –Ан.н= Ан, равных 3, при использовании в качестве области интегрирования трехмерных ромба ( Dˆ 01 (α X T ) ) и параллелепипеда Dˆ 02 (α X T ) , вписанных в допустимую область g0(αXT), представлены соответственно на рис. 15. На этих же рисунках представлены зависимости вероятностей недостижения рассматриваемым случайным процессом заданных границ на интервале 88

D03,i

0,97 D 01,i

0,98 0,99

P01,i

D02,i

0,96 0,95 0,94 0,2 0,4 0,6 0,8 0 1 Рис. 15. Зависимости оценок вероятностей недостижения случайным нормальным стационарным процессом симметричных нормированных границ Ан.н= –3, Ав.н= 3 от αXTi

времени T Dˆ 03 (α X T ) от αXT, полученные при использовании метода разностных схем. Проведенный сравнительный анализ результатов вычислений в соответствии с формулами (120) при различных способах аппроксимации области допустимых значений для 0 ≤ αXT ≤ 1, A = 1,2,3 по отношению к данным, полученным при использовании разностных схем для этих же условий Dˆ 03 (α X T ) показал, что при N = 3 даже в худшем случае (А = 1, αXT = 1) отличие значений Dˆ 01 (α X T ) , вычисленных в соответствии с этими двумя подходами не превосходит 0,05. Точность вычислений по формулам (115)–(118) при данном N повышается с увеличением значений Ан и уменьшением αXT. Для значений А = 2;3 и αXT < 0,5 и при обеспечении отклонений результатов вычислений в соответствии с формулой (120) от данных, полученных на основе разностных схем, не превосходящих 0,02, достаточно взять N = 2. При этом оценки Dˆ 01 (α X T ) , произведенные в соответствии с рассматриваемым методом, являются оценками снизу. Зависимость вероятности P01(αT) нахождения случайного нормального стационарного процесса X(t) в нормированные моменты времени 0 и αXT в пределах границ Ав.н÷Ан.н также показана на рис. 15, а внутри этого интервала времени процесс X(t) может принимать любое значение. Вероятность Р01(αT) определяется следующим выражением [24]: 89

( y − Xe−α X T ) + X 2 ] 2(1−e −2 α X T ) 2 dxdy. 2

P01 ( αT ) =

(

1

2 π 1 − e −2 α X T

Ав Ав −[

)

∫ ∫е

(129)

Aн Ан

Bыражение (129) определяет одну из возможных верхних границ для достоверности прогноза невыхода на интервале времени T нормального стационарного процесса за пределы постоянных верхней Aв.н и нижней Aн.н границ.

90

Библиографический список 1. ГОСТ 27.002 – 89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения. М.: Изд-во стандартов, 1990. 35 с. 1. Большая энциклопедия транспорта: В 8 т. Т. 2. Авиационный транспорт / Гл. ред. тома А. Г. Братухин, зам. гл. ред. Л.А.Гильберг. М.: Машиностроение, 1995. 400 с. 2. Арсенова Е. Е., Иванов Ю. П., Овчинников Л. А. Теория надежности приборов в системах летательных аппаратов: Учеб. пособие/ ЛЭТИ. Л., 1977. 102 с. 3. Половко А. М. Основы теории надежности. М.: Наука, 1964. 446 с. 4. Павленко К. И. Основы эксплуатации радиоэлектронного оборудования летательных аппаратов. М.: Воениздат, 1987. 168 с. 5. Сборник задач по теории надежности/ Под ред. А. М. Половко и И. М. Маликова. М.: Сов. радио, 1972. 408 с. 6. Анцелиович Л. Л. Надежность, безопасность и живучесть самолета: Учебник для вузов. М.: Машиностроение, 1985. 296 с. 7. Лабораторные работы по курсу “Надежность, живучесть и эксплуатация самолетов”/ Л. Л. Анцелиович, Ю. Н. Егоров, А. И. Ендогур, В. А. Маслов; Под ред. Л. Л. Анцелиовича. М.: Изд-во МАИ, 1984. 37 с. 8. Техническая эксплуатация летательных аппаратов: Учебник для вузов / Н. Н. Смирнов, Н. И. Владимиров, Ж. С. Черненко и др.; Под ред. Н. Н.Смирнова. М.: Машиностроение, 1990. 423 с. 9. Герцбах И. Б., Кордонский Х. Б. Модели отказов / Под ред. Б. В. Гнеденко. М.: Сов. радио, 1966. 166 с. 10. Общие принципы проектирования систем управления/ О. А. Чембровский, Ю. И. Топчеев, Г. В. Самойлович. М.: Машиностроение, 1972. 416 с. 11. ГУП “Электроавтоматика” на рубеже тысячелетий //Мир авионики. Приложение. 2000. С. 25–33. 12. Авионика на рубеже тысячелетий/ П. П. Парамонов, Ю. И. Сабо, Б. И Суров., В. А. Суслов, Р. А. Шекиовсепянц //Мир авионики. 2000. № 1–2. С. 45–49. 13. Шураков В. В. Надежность программного обеспечения систем обработки данных. М.: Финансы и статистика, 1987. 272 с. 14. Шеремет В. П., Петров Б. Г. Надежность и качество программного обеспечения судовых СУТС/ ЦНИИ “Аврора”. СПб., 1992. 119 с. 91

15. Надежность и эффективность в технике: Справочник: В 10 т./ Ред. совет: В. С. Авдуевский и др. Т. 5. М.: Машиностроение, 1988. 316 с. 16. Перспективы развития вычислительной техники: Справ. пособие: В 11 кн. / Под ред. Ю. М. Смирнова. Кн.5: Малые ЭВМ / Н. Л. Прохоров, К. В. Песелев. М.: Высш. шк., 1989. 158 с. 17. Копошилко И. И., Федосеев Е. П., Павлов А. М. Организация высокоинтелектуальных средств информационного обмена бортового применения, их унификация и стандартизация. Проблемы и достижения // Мир авионики. 2000. № 4. С. 24–29. 18. Шишонок Н. А., Репкин В. Ф., Барвинский Л. Л. Основы теории надежности и эксплуатации радиоэлектронной техники. М.: Сов. радио, 1964. 551 с. 19. Давыдов П. С., Иванов П. А. Эксплуатация авиационного радиоэлектронного оборудования: Справочник. М.: Транспорт, 1990. 240 с. 20. Активная защита от отказов управляющих модульных вычислительных систем/ И. Б. Шубинский, В. И. Николаев, С. К. Колганов, А. М. Заяц; Под ред. И. Б. Шубинского. СПб.: Наука, 1993. 281 с. 21. Крауз С. В., Синдеев И. М., Захаров А. В. Основы технической эксплуатации оборудования летательных аппаратов / Под ред. И. М. Синдеева; МВВИА им. Н. Е. Жуковского, 1964. 331 с. 22. Надежность автоматизированных систем управления: Учеб. пособие для вузов / И. О. Атовмян, А. С. Вайрадян, Ю. П. Руднев, Ю. Н. Федосеев, Я. А. Хетагуров; Под ред. Я. А. Хетагурова. М.: Высш. шк., 1979. 287 с. 23. Авионика России: Энциклопедический справочник / Под общ. ред. С. Д. Бодрунова; СПб.: Национальная Ассоциация авиаприборостроителей, 1999. 780 с. 24. Липчин Ц. Н., Липчин Л. Ц. Надежность самолетных навигационно-вычислительных устройств. М.: Машиностроение, 1973. 196 с. 25. Каган Б. М., Мкртумян И. Б. Основы эксплуатации ЭВМ. М.: Энергоатомиздат, 1988. 432 с. 26. Диагностирование и прогнозирование технического состояния авиационного оборудования: Учеб. пособие для вузов гражд. авиации / В. Г. Воробьев, В. В. Глухов и др.; Под ред. И. М. Синдеева. М.: Транспорт, 1984. 191с. 27. Абрамов О. В., Розенбаум А. Н. Прогнозирование состояния технических систем. М.: Наука, 1990. 126 с. 92

28. Гаскаров Д. В., Голинкевич Т. А., Мозгалевский А. В. Прогнозирование технического состояния и надежности радиоэлектронной аппаратуры/ Под ред. Т. А. Голинкевича. М.: Сов. радио, 1974. 224 с. 29. ГОСТ 20237-74 Надежность в технике. Расчет показателей безотказности восстанавливаемых объектов (без резервирования) М.: Издво стандартов, 1974. 24 с. 30. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. М.: Сов. радио,1977. 200 с. 31. Френкс Л. Теория сигналов. М.: Сов. радио, 1974. 344 с. 32. Перов В. П. Прикладная спектральная теория оценивания. М.: Наука, Физматгиз, 1987. 432 с. 33. Сысоев. Л. П. Оценка параметров, обнаружение и различение сигналов. М.: Наука, 1969. 174 с.

93

Оглавление 1. Основные положения теории надежности ....................................... 1.1. Основные понятия теории надежности ................................. 1.2. Причины возникновения и классификация отказов ............ 1.3. Обеспечение надежности на различных этапах существования устройств ........................................................................ 2. Показатели надежности ...................................................................... 2.1. Вероятность безотказной работы ............................................ 2.2. Статистические определения показателей надежности невосстанавливаемых устройств ............................................ 2.3. Расчет характеристик надежности невосстанавливаемых устройств при основном соединении элементов ................. 3. Надежность программного обеспечения ЭВМ ................................ 3.1. Показатели надежности программного обеспечения ........... 3.2. Статистические определения надежности программного обеспечения ...................................................... 4. Показатели надежности восстанавливаемых устройств ................ 4.1. Взаимосвязь основных показателей надежности .................. 4.2. Основные законы распределения времени безотказной работы устройства .................................................................... 5. Ремонтопригодность, долговечность и сохраняемость устройств Комплексные показатели надежности ................................... 6. Методы повышения надежности ....................................................... 6.1. Резервирование авиационного оборудования ...................... 6.2. Определение надежности резервированного оборудования 6.3. Матричный метод определения надежности ......................... 6.4. Оценки повышения надежности при резервировании ........ 6.5. Резервирование замещением .................................................. 6.5.1. Постоянное резервирование с “горячим” резервом ........ 6.5.2. Постоянное резервирование с “холодным” резервом ..... 6.5.3. Резервирование замещением при “теплом” резерве ...... 7. Профилактические испытания и их влияние на надежность ........ 8. Прогнозирование надежности измерительно-вычислительных комплексов ЛА .................................................................................. 8.1. Цели и задачи прогнозирования состояния бортового оборудования. Модели дрейфа параметров ........................... 94

3 3 6 7 10 10 12 16 24 26 27 30 34 35 40 40 48 49 51 54 56 59 60 61 63 65 69 69

8.2. Связь прогнозирования технического состояния и прогнозирования надежности ................................................. 8.3. Прогнозирование надежности ИВК на основе данных бортового устройства регистрации параметров ................... 9. Спектральный метод оценки интервальной достоверности прогноза сигналов .............................................................................. Библиографический список ...................................................................

72 74 77 91

95

Учебное издание

Чернов Владимир Юрьевич Никитин Владимир Георгиевич Иванов Юрий Павлович

НАДЕЖНОСТЬ АВИАЦИОННЫХ ПРИБОРОВ И ИЗМЕРИТЕЛЬНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ Учебное пособие

Редактор В. П. Зуева Компьютерная верстка А. Н. Колешко Сдано в набор 11.09.03. Подписано к печати 16.02.04. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 5,64. Усл. кр.-отт. 5,76. Уч. -изд. л. 5,5. Тираж 100 экз. Заказ № Редакционно-издательский отдел Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67