Прямая на плоскости: Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

П р ям ая н ап л ос к ос т и У чебно-метод и ческоепособи епо специ альности «Хи ми я»011000.

В О РО Н Е Ж 2005

2 У тверж д ено нау чно-метод и чески м советом математи ческого ф аку льтета 28 ф евраля2005 год а П ротокол № 6

С остави тель П етрова Е .В .

У чебно-метод и ческоепособи епод готовлено на каф ед ре у равнени й вчастны х прои звод ны х и теори и вероятностей математи ческого ф аку льтета В оронеж ского госу ни верси тета Рекоменд у етсяд лясту д ентов1 ку рса д невного отд елени я хи ми ческого ф аку льтета

3

1. У р а вн ен ие л ин ии 1.1. У р авн ен ие л ин ии к ак м н ож ес т во т очек Равенство ви д а F ( x, y ) = 0 (1) назы вается у равнени ем с д ву мя переменны ми x, y, если это равенство справед ли во не д лявсех пар чи сел х , у. П ри меры у равнени й: 2 x + 3 y = 0 , x 2 + y 2 − 25 = 0 , sin x + sin y − 1 = 0 . Е сли (1) справед ли во д лявсех пар чи сел х , у, то оно назы ваетсятож 2 д еством. П ри меры тож д еств: ( x + y ) − x 2 − 2 xy − y 2 = 0 ,

( x + y )( x − y ) − x 2 + y 2 = 0 .

П у сть некоторой ли ни и на плоскости х О у, рассматри ваемой как множ ество точек, соответству ет у равнени е, связы ваю щ ее коорд и наты лю бой точки М (х ;у) («теку щ ей точки »), леж ащ ей на этой ли ни и . Т акое у равнени еназы ваетсяу равнени ем д анной ли ни и . О пред елени е. У равнени е (1) назы ваетсяу равнени ем ли ни и L (в зад анной си стемекоорд и нат), если этому у равнени ю у д овлетворяю ткоорд и наты х и у лю бой точки , леж ащ ей на ли ни и L, и неу д овлетворяю ткоорд и наты ни какой точки , нележ ащ ей на этой ли ни и . И з опред елени яслед у ет, что ли ни яL пред ставляетсобой множ ество всех тех точекплоскости (х ;у), коорд и наты которы х у д овлетворяю т у равнени ю (1). Е сли (1) являетсяу равнени ем ли ни и L, то говорят, что у равнени е(1) опред еляет(зад ает) ли ни ю L. Е сли в у равнени е д анной ли ни и под стави ть коорд и наты лю бой точки , леж ащ ей на этой ли ни и , то у равнени еобращ аетсявтож д ество. Е сли ж е в у равнени е ли ни и под стави ть коорд и наты лю бой точки , не при над леж ащ ей этой ли ни и , то у равнени енеу д овлетворяется. Л и ни яL мож етопред елятьсяи у равнени ем ви д а F ( ρ ,ϕ ) = 0 , (2) сод ерж ащ и м полярны екоорд и наты . П ри мер 1. О д и н конец отрезка перемещ аетсяпо оси абсци сс, а д ру гой – по оси орд и нат. Н айти у равнени е ли ни и , опи сы ваемой серед и ной этого отрезка, если д ли на отрезка равна с. Реш ени е. П у сть М(х ,у) – серед и на отрезка. Д ли на отрезка О М (д ли н мед и аны ) c равна полови не ги потену зы , т.е. OM = . С д ру гой стороны , 2 2 2 OM = x + y (расстояни еточки М отначала коорд и нат). Т аки м образом, при ход и м ку равнени ю

4 c c x 2 + y 2 = , и ли x 2 + y 2 = . 2 4 Это и есть у равнени е и скомой ли ни и . Г еометри чески очеви д но, что c этой ли ни ей являетсяокру ж ность рад и у са с центром в начале коорд и 2 нат. П ри мер 2. С остави ть у равнени ели ни и , расстояни екаж д ой точки ко 1 торой от точки F  0;  равно расстояни ю этой ж е точки от прямой  4 1 y=− . 4 Реш ени е. В озьмем на и скомой ли ни и прои звольну ю точку М(х ;у). Расстояни е точки М от точки F опред еляетсяпо ф орму ле расстояни ямеж д у д ву мя точками : 2

1  MF = ( x − 0 ) +  y −  . 4  1 Расстояни е точки М от прямой y = − 4 найд етсяи з просты х геометри чески х соображ ени й (см. ри с.): 2

y F M K N

O

x

y=−

1 4

1 MN = MK + KN = y + . 4 Т ак как по у слови ю равенство MF = MN вы полняетсяд лялю бой точки М, леж ащ ей на и скомой ли ни и , то у равнени еэтой ли ни и мож но запи сать вви д е 2

1 1  x +y−  = y+ , 4 4  2

и ли x2 + y 2 −

1 1 1 1 y + = y2 + y + , 2 16 2 16

т.е. y = x 2 . Л и ни я, опред еляемаяу равнени е y = x 2 , назы ваетсяпараболой. П ри мер 3. С остави ть у равнени емнож ества точек, прои звед ени ерасстояни й которы х от точек F1 ( a;0 ) и F2 ( −a;0 ) есть постояннаявели чи на, равнаяa 2 .

5 Реш ени е. В озьмем на и скомой кри вой прои звольну ю точку М(х ;у). Е ерасстояни я от точек F1 ( a;0 )

F2 ( −a;0 )

и

составляю т r1 =

( x − a)

2

+ y2 ,

r2 = ( x + a ) + y 2 . И з у слови язад ачи след у ет, что r1r2 = a 2 . Т аки образом, и скомаякри ваяи меету равнени е 2

( x − a)

+ y 2 ! ( x + a ) + y 2 = a2 . П ри вед ем это у равнени екраци ональному ви д у : ( x2 + a2 + y 2 − 2ax )( x2 + a 2 + y 2 + 2ax ) = a 4 ,

т.е.

(x

и ли , наконец,

2

(x

2

2

+ a 2 + y 2 ) − 4a 2 x 2 = a 4 , 2

2

+ y 2 ) = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) . 2

Н айд еннаякри ваяназы ваетсялемни скатой. П ри мер 4. С остави ть у равнени е лемни скаты в полярны х коорд и натах. Реш ени е. В у равнени и

(x

2

+ y 2 ) = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) (см. пред ы д у щ и й при мер) пе2

реход и м кполярны м коорд и натам по ф орму лам x = ρ cosθ , y = ρ sin θ . Тогд а полу чи м

( ρ cosθ 2

2

+ ρ 2 sin θ 2 ) = 2a 2 ( ρ 2 cosθ 2 − ρ 2 sin θ 2 ) , и ли ρ 2 = 2a 2 cos 2θ . 2

Это – у равнени елемни скаты вполярны х коорд и натах. П ри мер 5. С остави ть у равнени е множ ества точек, равноу д аленны х отточекА (1;1) и В (3;3). Реш ени е. П у сть точка М при над леж и ти скомому множ еству ; тогд а MA = MB . П о ф орму лерасстояни ямеж д у д ву мяточками наход и м MA = ( x − 1) + ( y − 1) , MB = ( x − 3) + ( y − 3) и у равнени ели ни и мож етбы ть запи сано вви д е 2

( x − 1)

2

2

2

+ ( y − 1) = ( x − 3) + ( y − 3) . В озвед яобечасти послед него равенства вквад рат, полу чи м x2 − 2 x + 1 + y2 − 2 y + 1 = x2 − 6 x + 9 + y2 − 6 y + 9 , отку д а после при вед ени я под обны х членов окончательно при ход и м к у равнени ю x + y − 4 = 0 . И так, и скомы м множ еством являетсяпрямая, которая, каки звестно, слу ж и тсеред и нны м перпенд и ку ляром котрезку А В . 2

2

2

2

6 Задан ия дл я с ам ос т оят ел ьн ог о р еш ен ия 1. Д аны точки М 1 (2;-2), М 2 (2;2), М 3 (2;-1), М 4 (3;-3), М 5 (5;-5), М 6 (3;-2). У станови ть, каки е и з д анны х точеклеж ат на ли ни и , опред еленной у равнени ем x + y = 0 , и каки енележ атна ней. 2. У станови ть, каки е ли ни и опред еляю тсяу равнени ями (построи ть и х): а) x − y = 0 ; б) x 2 − y 2 = 0 ; в) x 2 + y 2 = 0 ; г) x 2 + y 2 + 1 = 0 ; д ) ρ = aϕ , гд еρ и ϕ - полярны екоорд и наты ; е) y = x ; ж ) x= y ; з) x = y ; и) x + x = y + y ; к) x + y = 1; л) x − y = 1 . 3. П оказать, что у равнени е x 2 + 2 x + y 2 = 0 зад ает на плоскости некотору ю окру ж ность. 4. С остави ть у равнени е множ ества точек, су мма квад ратов расстояни й которы х от точекА (2;0) и В (0;2) равна квад рату расстояни ямеж д у точками А и В . 5. С остави ть у равнени емнож ества точек, су мма расстояни й которы х отточекА (1;0) и В (0;1) равна 2. 6. Н апи сать у равнени е ли ни и , по которой д ви ж етсяточка М (х ;у), равноу д аленнаяотточекА (0;2) и В (4;-2). 7. Н апи сать у равнени ели ни и , по которой д ви ж етсяточка М (х ;у), оставаясь вд воед альш еоси О х , чем отоси О у. 8. Н апи сать у равнени е множ ества точек, равноу д аленны х от оси О у и точки F (4;0). 9. В полярной си стемекоорд и натсостави ть у равнени еокру ж ности с центром вполю се. 10. В полярной си стемекоорд и натсостави ть у равнени еполу прямой, проход ящ ей через полю си образу ю щ ей сполярной осью у гол α. 11. В полярной си стеме коорд и нат состави ть у равнени е окру ж ности д и аметра α, если полю с леж и т на окру ж ности , а полярнаяось проход и т через центр окру ж ности . 1.2. П ар ам ет р ичес к ие ур авн ен ия л ин ии П ри оты скани и у равнени ямнож ества точеки ногд а оказы ваетсяболееу д обны м вы рази ть коорд и наты х и у прои звольной точки этого множ ества через некотору ю вспомогательну ю вели чи ну t (е назы ваю т параметром), т.е. рассматри вать си стему у равнени й x = ϕ ( t ) , y = ψ ( t ) . Т акоепред ставлени е и скомой ли ни и назы ваетсяпараметри чески м, а у равнени яси стемы – параметри чески ми у равнени ями д анной ли ни и .

7 И склю чени епараметра t и з си стемы (если оно возмож но) при вод и тк у равнени ю , связы ваю щ ему х и у, т.е. к обы чному у равнени ю ви д а f ( x, y ) = 0 . П ри мер 1. С остави ть параметри чески еу равнени яокру ж ности . Реш ени е. Рассмотри м окру ж ность рад и у са α с центром в начале коорд и нат (см. ри су нок). В озьмем на ней прои звольну ю точку М (х ;у). П ри мем за параметр t у гол, образованны й с осью абсци сс y рад и у сом О М. И з треу гольни ка О МN след у ет, что x = a cos t , в y = a sin t .Таки м образом, M у равнени я y x = a cos t , y = a sin t (1) t x N O x являю тсяпараметри чески ми у равнени ями окру ж ности . И склю чи ви з эти х у равнени й параметр t, полу чи м обы чное у равнени е окру ж ности . В д анном слу чаед ляи склю чени япараметра д остаточно каж д ое и з у равнени й вознести в квад рат и полу ченны е у равнени я слож и ть: x 2 + y 2 = a 2 cos 2 t + a 2 sin 2 t , т.е. x 2 + y 2 = a 2 . П ослед нее у равнени е являетсяу равнени ем окру ж ности рад и у са а сцентром вначалекоорд и нат. П ри мер 2. Какаяли ни яопред еляетсяпараметри чески ми у равнени ями x = t 2 , y = t 2 ? Реш ени е. И склю чаяпараметр t, при ход и м ку равнени ю y = x . В си лу параметри чески х у равнени й x ≥ 0 , y ≥ 0 . С лед овательно, д анны епараметри чески е у равнени и опред еляю тлу ч-би ссектри су I коорд и натного у гла. П ри мер 3. Какаяли ни яопред еляетсяпараметри чески ми у равнени ями x = cos t , y = cos 2 t ? Реш ени е. П од стави в х вместо cost во второе у равнени е, полу чаем у равнени е параболы y = x 2 . И з параметри чески х у равнени й след у ет x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 . Т аки м образом, параметри чески еу равнени яопред еляю тд у гу А О В параболы y = x 2 , гд еА (-1;1), В (1;1). y П ри мер 4. Какая ли ни я опред еляется у равнени ями x = sin t , y = cos ect ? Реш ени е. 1 Т аккак y = , то, и склю чи в, t, полу -1 1 O x sin t 1 чаем у равнени е y = , вы раж аю щ ее обратну ю x пропорци ональну ю зави си мость вели чи н х , у.

8 У чи ты вая, что x ≤ 1 , y ≥ 1 , заклю чаем, что ли ни я, зад аннаяпараметри чески ми у равнени ями x = sin t , y = cos ect , и меет ви д , и зображ енны й на ри су нке. Задан ия дл я с ам ос т оят ел ьн ог о р еш ен ия 1. Какаяли ни яопред еляетсяу равнени ями x = 2t , y = 4t ? 2. Кри вая зад ана параметри чески ми у равнени ями x = a cos t , x = a cos t . Н айти ееу равнени евпрямоу гольной си стемекоорд и нат. У казание. Разд ели ть первое у равнени е на а, второе – на b, а затем и склю чи ть t. 3. Кри вая зад ана параметри чески ми у равнени ями x = a c e s t , y = btgt . Н айти ееу равнени евпрямоу гольной си стемекоорд и нат. 4. Какаяли ни яопред еляетсяу равнени ями x = cos 2 t , y = sin 2 t ? 5. Кри вая, опред еляемаяпараметри чески ми у равнени ями x = a cos3 t , y = a sin 3 t , назы ваетсяастрои д ой. И склю чи в t, найти у равнени е астрои д ы впрямоу гольной си стемекоорд и нат. 6. Н а кру г, опи санны й и з центра О рад и у сом а, наверну та по часовой стрелке ни ть; пу сть конец ни ти наход и тсяв точке А (а;0). С танем разверты вать ни ть (проти в часовой стрелки ), сматы ваяеескру га и всевремянатяги ваяза конец. С остави ть параметри чески е у равнени якри вой, опи сы ваемой концом ни ти , если за параметр t взять у гол меж д у рад и у сом О А и рад и у сом О В , провед енны м в точку касани яокру ж ности с натяну той ни тью впрои звольном полож ени и послед ней.

2. П р ям ая 2.1. О бщ ее ур авн ен ие п р ям ой В сякое у равнени епервой степени относи тельно х и у, т.е. у равнени е ви д а

Ax + By + C = 0 (1) 2 2 (гд е А, В , С – постоянны е коэф ф и ци енты , при чем A + B ≠ 0 ) опред еляет на плоскости некотору ю пряму ю . Это у равнени е назы ваетсяобщ им урав нениемпрямой. Час тны е с лучаи. 1. C = 0 ; A ≠ 0 ; B ≠ 0 . П рямая, опред еляемая у равнени ем Ax + By = 0 , проход и тчерез начало коорд и нат. 2. A = 0 ; B ≠ 0 ; C ≠ 0 . П рямая, опред еляемаяу равнени ем By + C = 0 C (и ли y = b , гд е b = − ), параллельнаяоси О х . B

9 3. B = 0 ; A ≠ 0 ; C ≠ 0 . П рямая, опред еляемаяу равнени ем Ax + C = 0 C (и ли x = a , гд е a = − ), параллельнаяоси О у. A 4. B = C = 0 ; A ≠ 0 . П рямая, опред еляемаяу равнени ем Ax = 0 (и ли x = 0 , поскольку A ≠ 0 ), совпад аетсосью О у. 5. A = C = 0 . П рямая, опред еляемаяу равнени ем By = 0 (и ли y = 0 , поскольку B ≠ 0 ), совпад аетсосью О х . 2.2. У р авн ен ие п р ям ой с уг л овым к оэффициен т ом Е сли в общ ем у равнени и прямой B ≠ 0 , то, разреш и в его относи тельно у, полу чи м у равнени еви д а y = kx + b (2) A C (зд есь k = − , b = − ). Е го назы ваю т урав нением прямой с углов ы м коB B эффициентом, поскольку k = tgα , гд е α - у гол, образованны й прямой с полож и тельны м направлени ем оси О х . С вобод ны й член у равнени яb равен орд и натеточки пересечени япрямой сосью О у. П ри мер 1. С остави ть у равнени е прямой, отсекаю щ и й на оси О у отπ резокb=3 и образу ю щ ей сосью О х у гол α = . 6 Реш ени е. π 1 Н аход и м у гловой коэф ф и ци ент: k = tgα = tg = . П од ставляяk и 6 3 b ву равнени е(1), полу чаем и скомоеу равнени епрямой: 1 y= x + 3 и ли 3 y − x − 3 3 = 0 . 3 2.3. У р авн ен ие п р ям ой, п р оходящ ей чер ез дан н ую т очк у M ( x1 ; y1 ) с дан н ым уг л овым к оэффициен т ом y − y1 = k ( x − x1 ) (3) П ри мер 1. С остави ть у равнени е прямой, проход ящ ей через точку π М(2;1) и образу ю щ ей сосью О х у гол α = . 4 Реш ени е. π Н аход и м у гловой коэф ф и ци ент: k = tgα = tg = 1. П од ставляяд ан4 k ны е коорд и наты и значени е в у равнени е (3), полу чаем и скомое у равнени епрямой:

10 y − 1 = x − 2 и ли y − x + 1 = 0 . 2.4. У р авн ен ие п р ям ой п р оходящ ей чер ез две дан н ые т очк и M 1 ( x1; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ) У равнени епрямой, проход ящ ей через точки M 1 ( x1; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ) , запи сы ваетсявви д е y − y1 x − x1 , (4) = y2 − y1 x2 − x1 и у гловой коэф ф и ци ентэтой прямой наход и тсяпо ф орму ле y − y1 k= 2 . (5) x2 − x1 Е сли x1 = x2 , то у равнени е прямой, проход ящ ей через точки M 1 и M 2 , и меетви д x = x1 . Е сли y1 = y2 , то у равнени е прямой, проход ящ ей через точки M 1 и M 2 , и меетви д y = y1 . П ри мер 1. С остави ть у равнени е прямой, проход ящ ей через точки M 1 ( 3;1) и M 2 ( 5;4 ) . Реш ени е. П од ставляяд анны е коорд и наты точек M 1 и M 2 в (4), полу чаем и сx − 3 y −1 комоеу равнени епрямой: = и ли 3x − 2 y − 7 = 0 . 2 3 П ри мер 2. С остави ть у равнени е прямой, проход ящ ей через точки M ( −1;3) и N ( 2;5 ) . Реш ени е. П олагаяx1 = −1, y1 = 3 , x2 = 2 , y2 = 5 ву равнени и (4), полу чаем y − 3 x +1 y − 3 x +1 = , и ли = . 5 − 3 2 +1 2 3 И так, и скомоеу равнени еи меетви д 2 x − 3 y + 11 = 0 . П олезно провери ть, что у равнени е составлено верно. Д ляэтого д остаточно показать, что коорд и наты точекM и N у д овлетворяю т у равнени ю прямой. Д ействи тельно, равенства 2 ( −1) − 3 ⋅ 3 + 11 = 0 , 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 5 + 11 = 0 вы полняю тсятож д ественно. П ри мер 3. С остави ть у равнени е прямой, проход ящ ей через точки A ( −2;4 ) и B ( −2; −1) . Реш ени е. Т аккак x1 = x2 = −2 , то прямаяи меет у равнени е x = −2 (параллельнаяоси орд и нат).

11 2.5. У р авн ен ие п р ям ой в от р езк ах Е сли в общ ем у равнени и прямой C ≠ 0 , то, разд ели в все его члены на –С , полу чи м у равнени еви д а x y + =1 (6) a b C C (зд есь a = − , b = − ). Е го назы ваю т урав нением прямой в отрезках ; в A B нем а являетсяабсци ссой точки пересечени яс осью О х , а b – орд и натой точки пересечени япрямой с осью О у. П оэтому а и b назы ваю т отрезками прямой на осях коорд и нат. П ри мер 1. П рямаязад ана у равнени ем 3x − 5 y + 15 = 0 . С остави ть д ля этой прямой у равнени е«вотрезках». Реш ени е. Д ляд анной прямой у равнени е«вотрезках»и меетви д x y + =1. −5 3 П ри мер 2. С остави ть у равнени е прямой, отсекаю щ ей на осях коор2 1 д и натотрезки a = , b = − . 5 10 Реш ени е. В оспользовавш и сь у равнени ем (6) прямой вотрезках, и меем x y + = 1. 2 1 − 5 10 Это у равнени е мож но перепи сать в ви д е 5 x − 10 y = 1 , и ли 2 5 x − 20 y − 2 = 0 (общ ееу равнени епрямой).

(

)

( )

2.6. Н ор м ал ьн ое ур авн ен ие п р ям ой П у сть на плоскости О х у д ана некоторая прямаяL. П ровед ем через начало коорд и нат пряму ю п, перпенд и ку лярну ю д анной, и назовем еенормалью кпрямой L. О бозначи м через N точку пересечени янормали с прямой L. Н а нормали введ ем направлени еотточки О кточке N. О бозначи м через α у гол, на которы й ну ж но поверну ть проти в часовой стрелки ось О х д о совмещ ени яее с нормалью , через р – д ли ну отрезка О N (см. ри су нок). Т огд а у равнени епрямой мож етбы ть запи сано вви д е

y

n

N p

O

α

L

x

12 x cosα + y sin α − p = 0 , (7) котороеназы ваетсянормальны мурав нениемпрямой L. Ч тобы при вести общ ее у равнени е прямой Ax + By + C = 0 к нормальному ви д у , ну ж но все члены его у множ и ть на нормирующ ий множ итель 1 , (8) µ=± 2 A + B2 взяты й со знаком, проти вополож ны м знаку С . Е сли С = 0, то знакнорми ру ю щ его множ и телямож но брать прои звольно. П ри мер 1. П ри вести у равнени е 3x − 4 y + 10 = 0 кнормальному ви д у . Реш ени е. Зд есь А = 3, В = -4, С = 10 > 0. П оэтому д ели м на − 32 + 42 = −5 . П олу чаем 3 4 − x + y −2=0. 5 5 Это – у равнени е ви д а x cos α + y sin α − p = 0 . И менно p = 0, 3 4 cos α = − , sin α = + (значи т, α ≈ 127o ). 5 5 П ри мер 2. П ри вести у равнени е 3x − 4 y = 0 кнормальному ви д у . Реш ени е. Т аккакзд есь С = 0, то мож но разд ели ть ли бо на 5, ли бо на – 5. В первом слу чаеполу чаем 3 4 x− y=0 5 5 o (p = 0, α ≈ 307 ), во втором слу чаеи меем 3 4 − x+ y=0 5 5 o (p = 0, α ≈ 127 ). Д ву м значени ям α соответству ет д ва способа полож и тельного направлени яна лу чеО К . 2.7. П ос т р оен ие п р ям ой п о ее ур авн ен ию Д ляпостроени япрямой д остаточно отмети ть д ве ее точки . Н апри мер, мож но взять точки пересечени ясосями (если прямаяне параллельна ни од ной оси и не проход и т через начало; в слу чае, когд а прямаяпараллельна од ной и з осей и ли проход и т через начало, мы и меем только од ну точку пересечени я). Д лябольш ей точности лу чш е найти ещ е од ну – д ве контрольны еточки . П ри мер 1. П острои ть пряму ю 4 x + 3 y = 1.

13 Реш ени е. П олож и в у = 0, найд ем (см. ри су нок) 1  точку пересечени яс осью абсци сс: A1  ;0  . 4  П олож и в х = 0, найд ем точку пересечени яс  1 осью орд и нат: A2  0 :  . Эти точки сли ш ком  3 бли зки д ру г кд ру гу . П оэтому д ад и м абсци ссе ещ е д ва значени я, напри мер х = - 3 и х = + 3. 13  11    Н айд ем точки A3  −3:  , A4  3: −  . П ро3 3   вод и м пряму ю A4 A1 A2 A3 .

А3

y

А2 А1 -1 O

1

x

А4

2.8. У г ол м еж ду п р ям ым и О стры й у гол меж д у прямы ми y = k1 x + b1 и y = k2 x + b2 опред еляется по ф орму ле k −k tgα = 2 1 (9) 1 + k1k2 У слови епараллельности прямы х и меетви д k1 = k2 . 1 У слови еперпенд и ку лярности и меетви д k1 = − . k2 П ри мер 1. Д вепрямы е зад аны у равнени ями y = 2 x + 3 и y = −3x + 2 . Н айти у гол меж д у эти ми прямы ми . Реш ени е. И меем k1 = 2 , k2 = −3 . П оэтому по ф орму ле(9) наход и м −3 − 2 −5 tgϕ = = = 1. 1 + ( −3) ⋅ 2 −5 π Т аки м образом, од и н и з у глов меж д у д анны ми прямы ми равен , д ру гой 4 π 3π у гол π − = . 4 4 П ри мер 2. П оказать, что прямы е 4 x − 6 y + 7 = 0 и 20 x − 30 y − 11 = 0 параллельны . Реш ени е. П ри вед яу равнени екаж д ой прямой кви д у y − y1 = k ( x − x1 ) , полу ча2 7 2 11 2 ем y = x + и y = x − , отку д а k1 = k2 = . С лед овательно, прямы е 3 6 3 30 3 параллельны .

14 П ри мер 3. П оказать, что прямы е 3x − 5 y + 7 = 0 и 10 x + 6 y − 3 = 0 перпенд и ку лярны . Реш ени е. П ри вед яу равнени екаж д ой прямой кви д у y − y1 = k ( x − x1 ) , полу ча3 7 5 1 3 5 1 ем y = x + и y = − x + . Зд есь k1 = , k2 = − . Таккак k1 = − , то 5 5 3 2 5 3 k2 прямы еперпенд и ку лярны . 2.9. П ер ес ечен ие п р ям ых. Расс т оян ие от т очк и до п р ям ой. П учок п р ям ых A1 B1 , то коорд и наты точки пересечени я прямы х ≠ A2 B2 A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 наход ятсяпу тем совместного реш ени яу равнени й эти х прямы х. Расстояни е отточки M ( x0 ; y0 ) д о прямой Ax + By + C = 0 наход и тся по ф орму ле Ax0 + By0 + C . (10) d= 2 2 A +B A1 x + B1 y + C1 = 0 Би ссектри сы у глов меж д у прямы ми и A2 x + B2 y + C2 = 0 и мею ту равнени я A1 x + B1 y + C1 A2 x + B2 y + C2 ± = 0. (11) A12 + B12 A22 + B22 Е сли пересекаю щ и есяпрямы езад аны у равнени ями A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 , то у равнени е A1 x + B1 y + C1 + λ ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 , (12) гд е λ - чи словой множ и тель, опред еляет пряму ю ли ни ю , проход ящ у ю через точку пересечени язад анны х прямы х. Д аваяв послед нем у равнени и λ разли чны е значени я, бу д ем полу чать разли чны е прямы е, при над леж ащ и е пу чку прямы х, центр которого есть точка пересечени язад анны х прямы х. П ри мер 1. П оказать, что прямы е 3x − 2 y + 1 = 0 и 2 x + 5 y − 12 = 0 пересекаю тся, и найти коорд и наты точки пересечени я. Реш ени е. 3 ( −2 ) Т аккак ≠ , то прямы е пересекаю тся. Реш и в си стему у равне2 5 ни й  3 x − 2 y + 1 = 0,  2 x + 5 y − 12 = 0, Е сли

15 наход и м х = 1, у = 2, т.е. прямы епересекаю тсявточке(1;2). П ри мер 2. О пред ели ть расстояни е от точки M ( x0 ; y0 ) д о прямой Ax + By + C = 0 , непользу ясь нормальны м у равнени ем прямой. Реш ени е. Зад ача свод и тся к опред елени ю расстояни я меж д у точками M ( x0 ; y0 ) и N, гд еN – основани еперпенд и ку ляра, опу щ енного и з точки М на д анну ю пряму ю . С остави м у равнени е прямой MN. Таккаку гловой коA эф ф и ци ентзад анной прямой равен - − , то у гловой коэф ф и ци ентпрямой B B MN равен (и з у слови яперпенд и ку лярности ) и у равнени е послед ней A B и меетви д y − y0 = ( x − x0 ) . Это у равнени емож етбы ть перепи сано вви д е A ( x − x0 ) = ( y − y0 ) . A B Д ляопред елени якоорд и натточки N реш и м си стему у равнени й ( x − x0 ) = ( y − y0 ) . Ax + By + C = 0 , A B В вед ем вспомогательну ю неи звестну ю t: ( x − x0 ) = ( y − y0 ) = t . A B Т огд а x = x0 + At , y = y0 + Bt . П од стави в эти вы раж ени яв у равнени е д анной прямой, полу чи м A ( x0 + At ) + B ( y0 + Bt ) + C = 0 , отку д а Ax + By + C t = − 0 2 02 . A +B П од стави в теперь значени е t в у равнени я x = x0 + At , y = y0 + Bt , опред ели м коорд и наты точки N: Ax + By + C Ax + By + C x = x0 − A 0 2 0 2 , y = y0 − B 0 2 0 2 . A +B A +B О стаетсяопред ели ть расстояни емеж д у точками M и N: d=

( x − x0 ) + ( y − y0 ) 2

 Ax + By + C   Ax + By + C  =  A 0 2 02  +  B 0 2 02  A +B A +B     2

2

=

Ax0 + By0 + C

2

. A2 + B 2 П ри мер 3. О пред ели ть расстояни е от точки M (1;2 ) д о прямой 20 x − 21y − 58 = 0 , непользу ясь нормальны м у равнени ем прямой. Реш ени е. 20 ⋅ 1 − 21 ⋅ 2 − 58 20 − 42 − 58 −80 22 d= = = =2 . 29 29 29 400 + 44

16 2.10. С м еш ан н ые зада чи н ап р ям ую 5  П ри мер 1. Д ана прямаяl: 4 x − 3 y − 7 = 0 . Каки е и з точек A  ;1 , 2  B ( 3;2 ) , C (1; −1) , D ( 0; −2 ) , E ( 4;3) , F ( 5;2 ) леж атна этой прямой. Реш ени е. Е сли точка леж и т на прямой, то ее коорд и наты д олж ны у д овлетво5 рять у равнени ю прямой. И меем A ∈ l , таккак4   − 3 ⋅ 1 − 7 = 0 ; B ∉ l , так 2 как 4 ⋅ 3 − 3 ⋅ 1 − 7 ≠ 0 ; C ∈ l , так как 4 ⋅ 1 − 3 ⋅ ( −1) − 7 = 0 ; D ∉ l , так как 4 ⋅ 0 − 3 ⋅ ( −2 ) − 7 ≠ 0 ; E ∈ l , так как 4 ⋅ 4 − 3 ⋅ 3 − 7 = 0 ; F ∉ l , так как4 ⋅ 5 − 3 ⋅ 2 − 7 ≠ 0 . П ри мер 2. С остави ть у равнени е прямой, проход ящ ей через точку M ( −2; −5 ) и параллельной прямой 3x + 4 y + 2 = 0 . Реш ени е. Разреш и в послед нее у равнени е относи тельно у, полу чи м 1 3 y = −   x − . С лед овательно, в си лу у слови я параллельности у гловой 2 4 3 коэф ф и ци ент и скомой прямой равен − . В оспользовавш и сь у равнени ем 4 y − y1 = k ( x − x1 ) , полу чаем:  3 y − ( −5 ) =  −   x − ( −2 )  , т.е. 3x + 4 y + 26 = 0 .  4 П ри мер 3. Д аны верш и ны треу гольни ка A ( 2;2 ) , B ( −2; −8 ) и C ( −6; −2 ) . С остави ть у равнени ямед и ан треу гольни ка. Реш ени е. Н аход и м коорд и наты серед и н сторон В С , АС и А В : ( −2 − 6 ) = −4 ; y′ = ( −8 − 2 ) = −5 ; A −4; −5 ; x′ = ) 1( 2 2 ( 2 − 6 ) = −2 ; y′′ = ( 2 − 2 ) = 0 ; B −2;0 ; x′′ = ) 1( 2 2 ( 2 − 2 ) = 0 ; y′′ = ( 2 − 8) = −3 ; C 0; −3 . x′′′ = ) 1( 2 2 У равнени ямед и ан наход и м с помощ ью у равнени япрямой, проход ящ ей через д вед анны еточки . У равнени емед и аны AA1 : ( y − 2 ) = ( x − 2 ) , и ли ( y − 2 ) = ( x − 2 ) , т.е. 7 x − 6 y − 2 = 0 . 7 6 ( −5 − 2 ) ( −4 − 2 )

17 Н аход и м у равнени е мед и аны BB1 : поскольку точки B ( −2; −8 ) и B1 ( −2;0 ) и мею т од и наковы е абсци ссы , мед и ана BB1 параллельна оси орд и нат. Е еу равнени е x + 2 = 0 . ( y + 2 ) = ( x + 6 ) , и ли x + 6 y + 18 = 0 . У равнени емед и аны CC1 : 6 ( −3 + 2 )

П ри мер 4. Д аны верш и ны треу гольни ка A ( 0;1) , B ( 6;5 ) и C (12; −1) . С остави ть у равнени евы соты треу гольни ка, провед енной и з верш и ны С . Реш ени е. y −y П о ф орму ле k = 2 1 найд ем у гловой коэф ф и ци ент стороны А В ; x2 − x1 ( 5 − 1) = 4 = 2 . В си лу у слови яперпенд и ку лярности у гловой кои меем k = ( 6 − 0) 6 3 3 эф ф и ци ент вы соты , провед енной и з верш и ны С , равен − . У равнени е 2 этой вы соты и меетви д 3 y + 1 = − ⋅ ( x − 12 ) , и ли 3x + 2 y − 34 = 0 . 2 П ри мер 5. Д аны стороны треу гольни ка x + 3 y − 7 = 0 (А В ), 4 x − y − 2 = 0 (В С ) и 6 x + 8 y − 35 = 0 (АС ). Н айти д ли ну вы соты , провед енной и з верш и ны В . Реш ени е. О пред ели м коорд и наты точки В . Реш ая си стему у равнени й x + 3 y − 7 = 0 и 4 x − y − 2 = 0 , полу чи м х = 1, у = 2, т.е. B (1;2 ) . Н аход и м д ли ну BB1 какрасстояни еотточки В д о прямой А С : 6 ⋅ 1 + 8 ⋅ 2 − 35 BB1 = = 1,3 . 6 2 + 82 П ри мер 6. О пред ели ть расстояни е меж д у параллельны ми прямы ми 3 x + y − 3 10 = 0 и 6 x + 2 y + 5 10 = 0 . Реш ени е. Зад ача свод и тсякопред елени ю расстояни яот прои звольной точки од ной прямой д о д ру гой прямой. П олагая, напри мер, в у равнени и первой

(

)

прямой х = 0, полу чаем y = 3 10 . Т аки м образом, M 0;3 10 - точка, леж ащ аяна первой прямой. О пред ели м расстояни е точки М д о второй прямой: 6 ⋅ 0 + 2 ⋅ 3 10 + 5 10 11 10 d= = = 5,5 . 36 + 4 2 10 П ри мер 7. Д аны верш и ны треу гольни ка: А (1;1), В (10;13), С (13;6). С остави ть у равнени еби ссектри сы у гла А .

18 Реш ени е. П у сть D – точка пересечени яби ссектри сы со стороной В С . И з свойBD AB = ства би ссектри сы вну треннего у гла треу гольни ка след у ет, что . DC AC Н о AB =

(10 − 1)

2

+ (13 − 1) = 15 , AC = 2

(13 − 1)

2

+ ( 6 − 1) = 13 . С лед ова2

BD 15 = . Т аккаки звестно отнош ени е, в котором точка D д еDC 13 ли тотрезокВ С , то коорд и наты точки D опред елятсяпо ф орму лам:  15   15  10 +  13 13 +   6  13  , y =  13  , x= 15 15 1+ 1+ 13 13 325 259  325 259  ; , y= , т.е. D  и ли x =  . Зад ача свод и тсяксоставлени ю 28 28  28 28  у равнени япрямой, проход ящ ей через точки А и D: y −1 x −1 = , т.е. 7 x − 9 y + 2 = 0 . 259 325 −1 −1 28 28 П ри мер 8. Д аны у равнени явы сот треу гольни ка А В С : x + y − 2 = 0 , 9 x − 3 y − 4 = 0 и коорд и наты верш и ны : А (2;2). С остави ть у равнени ясторон треу гольни ка. Реш ени е. Л егко у бед и тьсяв том, что верш и на А не леж и т ни на од ной и з зад анны х вы сот: еекоорд и наты неу д овлетворяю ту равнени ям эти х вы сот. П у сть 9 x − 3 y − 4 = 0 - у равнени е вы соты BB1 и x + y − 2 = 0 - у равнени е вы соты CC1 . С остави м у равнени е стороны А С , рассматри ваяее как пряму ю , проход ящ у ю через точку А и перпенд и ку лярну ю вы соте BB1 . Так каку гловой коэф ф и ци ент вы соты BB1 равен 3, то у гловой коэф ф и ци ент 1 1 стороны А С равен - , т.е. k AC = − . В оспользовавш и сь у равнени ем пря3 3 мой, проход ящ ей через д анну ю точку и и мею щ ей д анны й у гловой коэф ф и ци ент, полу чи м у равнени естороны АС : 1 y − 2 = − ( x − 2 ) , и ли x + 3 y − 8 = 0 . 3 Аналоги чно полу чаем kCC1 = −1 , k AB = 1 , и у равнени е стороны А В и меетви д y − 2 = x − 2 , т.е. y = x . тельно, λ =

19 Реш и в совместно у равнени яд ляпрямы х А В и BB1 , а такж е прямы х 2 2 А С и CC1 , найд ем коорд и наты верш и н треу гольни ка: B  ;  и C ( −1;3) . 3 3 О стаетсясостави ть у равнени естороны В С : 2 2 y− x− 3= 3 , т.е. 7 x + 5 y − 8 = 0 . 2 2 3− −1 − 3 3 П ри мер 9. Н айти пряму ю , при над леж ащ у ю пу чку 2 x + 3 y + 5 + λ ( x + 8 y + 6 ) = 0 и проход ящ у ю через точку М (1;1). Реш ени е. Коорд и наты точки М д олж ны у д овлетворять у равнени ю и скомой прямой, поэтому д ляопред елени яλ полу чаем у равнени е 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 + 5 + λ (1 + 8 ⋅ 1 + 6 ) = 0 , и ли 10 + 15λ = 0 , 2 т.е. λ = − . П од стави в значени е λ в у равнени е пу чка, полу чи м у равнени е 3 и скомой прямой: 2 2 x + 3 y + 5 − ( x + 8 y + 6 ) = 0 , и ли 4 x − 7 y + 3 = 0 . 3 П ри мер 10. Н айти пряму ю , проход ящ у ю через точку пересечени я прямы х 3x − 4 y + 7 = 0 и 5 x + 2 y + 3 = 0 и параллельну ю оси орд и нат. Реш ени е. П рямаяпри над леж и тпу чку 3x − 4 y + 7 + λ ( 5 x + 2 y + 3) = 0 , и ли ( 3 + 5λ ) x + ( −4 + 2λ ) y + ( 7 + 3λ ) = 0 . Т аккаки скомаяпараллельна оси орд и нат, то коэф ф и ци ент при у д олж ен бы ть равен ну лю : −4 + 2λ = 0 , т.е. λ = 2 . О стаетсяпод стави ть найд енное значени е λ в у равнени е пу чка, отку д а полу чаем и скомое у равнени е x + 1= 0. П ри мер 11. Д аня стороны треу гольни ка: x + 2 y + 5 = 0 (А В ), 3x + y + 1 = 0 (В С ) и x + y + 7 = 0 (А С ). С остави ть у равнени е вы соты треу гольни ка, опу щ енной на сторону АС . Реш ени е. В ы сота при над леж и тпу чку x + 2 y + 5 + λ ( 3 x + y + 1) = 0 , и ли (1 + 3λ ) x + ( 2 + λ ) y + ( 5 + λ ) = 0 . (1 + 3λ ) У гловой коэф ф и ци ент прямой пу чка равен − ; таккаку гло2+λ вой коэф ф и ци ент прямой А С равен –1, то у гловой коэф ф и ци ент и скомой (1 + 3λ ) = 1 . О твы соты равен 1 и д ляопред елени яλ полу чаем у равнени е − 2+λ

20 3 сю д а 1 + 3λ + 2 + λ = 0 , т.е. λ = − . П од стави в найд енное значени е λ в 4 у равнени епу чка, полу чи м и скомоеу равнени евы соты : 3 3  9   1 −  x +  2 −  y +  5 −  = 0 , т.е. 5 x − 5 y − 17 = 0 . 4 4  4   Задан ия дл я с ам ос т оят ел ьн ог о р еш ен ия 1. Д аны стороны треу гольни ка: x + y − 6 = 0 , 3x − 5 y + 14 = 0 и 5 x − 3 y − 14 = 0 . С остави ть у равнени яего вы сот. 2. С остави ть у равнени я би ссектри с у глов меж д у прямы ми 3x + 4 y − 20 = 0 и 8 x + 6 y − 5 = 0 . 3. Д аны верш и ны треу гольни ка: А (0;0), В (-1;-3) и С (-5;-1). С остави ть у равнени япрямы х, проход ящ и х через верш и ны треу гольни ка и параллельны х его сторонам. 4. О пред ели ть расстояни е от точки М (2;-1) д о прямой, отсекаю щ ей на осях коорд и натотрезки а = 8, b = 6. 3   5 5. В треу гольни ке сверш и нами A  ;1 , B 1;  , C ( 3;3) найти д ли 2   3 ну вы соты , провед енной и з верш и ны С . 6. Н айти остры й у гол, образованны й сосью орд и натпрямой, прохо-

(

)

(

)

д ящ ей через точки A 2; 3 и B 3;2 3 . 7. Точки A (1;2 ) и C ( 3;6 ) являю тсяпроти вополож ны ми верш и нами квад рата. О пред ели ть коорд и наты д ву х д ру ги х верш и н квад рата. 8. Н а оси абсци сс найти точку , расстояни е которой от прямой 8 x + 15 y + 10 = 0 равно 1. 9. Д аны верш и ны треу гольни ка: А (1;1), В (4;5) и С (13;-4). С остави ть у равнени ямед и аны , провед енной и з верш и ны В , и вы соты , опу щ енной и з верш и ны С . В ы чи сли ть площ ад ь треу гольни ка. 10. Н айти пряму ю , проход ящ у ю через точку пересечени япрямы х x + 2 y + 3 = 0 , 2 x + 3 y + 4 = 0 и параллельну ю прямой 5 x + 8 y = 0 . 11. Н айти пряму ю , проход ящ у ю через точку пересечени япрямы х x + 2 y + 1 = 0 , 2 x + y + 2 = 0 и образу ю щ у ю у гол 135° сосью абсци сс. 12. С остави ть у равнени япрямы х, проход ящ и х через точку М (а,b) и образу ю щ и х спрямой x + y + с = 0 у гол 45°. 13. С остави ть у равнени ятрех сторон квад рата, если и звестно, что четвертой стороной являетсяотрезокпрямой 4 x + 3 y − 12 = 0 , концы которого леж атна осях коорд и нат.

21 14. Н айти множ ество точекМ, разность квад ратов расстояни й которы х д о д ву х д анны х точекА и В равна д анной вели чи неа. П ри каки х значени ях а зад ача и меетреш ени е? x2 y 2 15. Н айти точки пересечени яаси мптот ги перболы − = 1 с ее 16 9 д и ректри сами . 16. П острои ть элли пс x 2 + 4 y 2 = 16 , его д и аметр у = х и сопряж енны й ему д и аметр и найти у гол меж д у эти ми д и аметрами . 17. Д ана ги пербола 4 x 2 − y 2 = 4 . Ч ерез точку (2;2) провести хорд у , д елящ у ю сявэтой точкепополам.

О с н овн ая л ит ер а т ур а 1. Беклеми ш ев Д .В . Ку рс анали ти ческой геометри и и ли нейной алгебры : у чеб. / Д .В . Беклеми ш ев. – М . : В ы сш . ш к., 1998. – 319 с. 2. Д анко П .Е В ы сш аяматемати ка в у праж нени ях и зад ачах / П .Е . Д анко, А.Г . П опов, Т .Я . К ож евни кова. – М . : В ы сш . ш к., 1999. – Ч . 1. – 304 с. 3. Ш и пачев В .С . О сновы вы сш ей математи ки : у чеб. пособи е / В .С . Ш и пачев. – М . : В ы сш . ш к., 1998. – 479 с.

Доп ол н ит ел ьн ая л ит ер атур а 1. М и норски й В .П . С борни к зад ач по вы сш ей математи ке / В .П . М и норски й. – М . : Н ау ка, 1969. – 352 с. 2. Ц у берби ллер О .Н . Зад ачи и у праж нени япо анали ти ческой геометри и / О .Н . Ц у берби ллер. – М . : Н ау ка, 1966. – 336 с.

22 С одер ж ан ие 1. У равнени ели ни и .......................................................................................... 3 1.1. У равнени ели ни и какмнож ество точек............................................... 3 1.2. П араметри чески еу равнени яли ни и ..................................................... 6 2. П рямая.......................................................................................................... 8 2.1. О бщ ееу равнени епрямой ..................................................................... 8 2.2. У равнени епрямой су гловы м коэф ф и ци ентом................................... 9 2.3. У равнени епрямой, проход ящ ей через д анну ю точку M ( x1; y1 ) с д анны м у гловы м коэф ф и ци ентом............................................................... 9 2.4. У равнени епрямой проход ящ ей через д вед анны еточки M 1 ( x1; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ) .............................................................................. 10 2.5. У равнени епрямой вотрезках............................................................. 11 2.6. Н ормальноеу равнени епрямой .......................................................... 11 2.7. П остроени епрямой по ееу равнени ю ................................................ 12 2.8. У гол меж д у прямы ми .......................................................................... 13 2.9. П ересечени епрямы х. Расстояни еотточки д о прямой. П у чокпрямы х ................. 14 2.10. С меш анны езад ачи на пряму ю ......................................................... 16 Зад ани яд лясамостоятельного реш ени я............................................... 20 О сновнаяли терату ра ..................................................................................... 21

23

С остави тель П етрова Е лена В лад и ми ровна Ред актор Т и хоми рова О .А.