Использование многокубитных запутанных квантовых состояний для передачи зашифрованных сообщений

Ìîñêîâñêèé Ôèçèêî-Òåõíè÷åñêèé Èíñòèòóò (Ãîñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåò) Ôàêóëüòåò îáùåé è ïðèêëàäíîé ôèçèêè Êàôåäðà "Ïðîáëåìû òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè"

Êâàëèôèêàöèîííàÿ âûïóñêíàÿ ðàáîòà íà ñîèñêàíèå ñòåïåíè ìàãèñòðà ñòóäåíòà 928 ãðóïïû Áàÿíäèíà Ê.Â.

Èñïîëüçîâàíèå ìíîãîêóáèòíûõ çàïóòàííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé äëÿ ïåðåäà÷è çàøèôðîâàííûõ ñîîáùåíèé.

Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:

ä.ô.ì.í. Ëåñîâèê Ã.Á.

Ìîñêâà 2005

1

Ñîäåðæàíèå Ââåäåíèå

3

1 Êâàíòîâàÿ òîìîãðàôèÿ çàïóòàííîãî ñîñòîÿíèÿ.

4

2 Ïîäáîð óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.

6

3 Ñëó÷àé àïðèîðíî èçâåñòíûõ âðåìåííûõ êîððåëÿöèé.

7

4 Âîçìîæíàÿ ðåàëèçàöèÿ êâàíòîâîé òîìîãðàôèè â ìåçîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìå. 8 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Èñïîëüçîâàíèå êîððåëÿòîðîâ ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ äëÿ èçó÷åíèÿ ñòðóêòóðû çàïóòàííûõ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé. . . . . . . . . . Èçìåðåíèå êîððåëÿòîðîâ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. . . . . . . . . . . . . . . . Ìåõàíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð, êàê èçìåðèòåëü êîððåëÿöèé òîê-òîê. . . . . . Èçìåðåíèå êîððåëÿòîðîâ äëÿ áîëüøåãî êîëè÷åñòâà òîêîâ. . . . . . . . . . Âîçìîæíàÿ ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ðåàëèçàöèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Çàêëþ÷åíèå

8 9 11 14 15

16

2

Ââåäåíèå  1982 ãîäó Ôåéíìàí ïðåäïîëîæèë, ÷òî îäíà êâàíòîâàÿ ñèñòåìà ìîæåò ìîäåëèðîâàòü äðóãóþ ëó÷øå, ÷åì êëàññè÷åñêèå êîìïüþòåðû, êîòîðûå òðåáóþò ýêñïîíåíöèàëüíûõ çàòðàò âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ â çàâèñèìîñòè îò ðàçìåðîâ ìîäåëèðóåìîé ñèñòåìû [1]. Ïîçæå âíèìàíèå îáùåñòâåííîñòè áûëî ïðèâëå÷åíî ê âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì äëÿ ðåøåíèÿ êëàññè÷åñêèõ çàäà÷. Íàïðèìåð, àëãîðèòì Äîé÷à [2] ïî îïðåäåëåíèþ ñáàëàíñèðîâàííîñòè öåëî÷èñëåííîé ôóíêöèè áûë ïåðâûì êâàíòîâûì àëãîðèòìîì, êîòîðûé ðàáîòàë ýôôåêòèâíåå êëàññè÷åñêîãî àíàëîãà. Íàèáîëåå èçâåñòíûé èç âñåõ, êâàíòîâûé àëãîðèòì Øîðà [3], ðàçëàãàþùèé ñîñòàâíûå öåëûå ÷èñëà íà ìíîæèòåëè, ñïîñîáåí ðàçðóøèòü ðàñïðîñòðàíåííóþ êðèïòîãðàôè÷åñêóþ ñèñòåìó RSA [4]. Ýòîò ôàêò ïðîèçâåë áîëüøîå âïå÷àòëåíèå íà íàó÷íîå ñîîáùåñòâî, è óñêîðèë ðàçâèòèå êâàíòîâîé êðèïòîãðàôèè [5] è òåîðèè êâàíòîâîé èíôîðìàöèè â öåëîì. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà, ðàçðóøàÿ êëàññè÷åñêèå ñïîñîáû øèôðîâàíèÿ, äàåò âîçìîæíîñòü äëÿ ñîçäàíèÿ íîâûõ. Íà äàííûé ìîìåíò ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ øèôðîâàíèÿ, êîòîðûå èñïîëüçóþò êâàíòîâóþ ìåõàíèêó. Îäíèì èç ïðèìåðîâ ÿâëÿåòñÿ êâàíòîâûé àëãîðèòì ðàçäåëåíèÿ ñåêðåòíîãî êëþ÷à, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè îðòîãîíàëüíûõ ñîñòîÿíèé ôîòîíîâ [6]. Îí áûë âïåðâûå ýêñïåðèìåíòàëüíî ðåàëèçîâàí Áåííåòîì è Áðàññàðäîì [7], êîòîðûå áûëè ñïîñîáíû ïðîèçâîäèòü ñåêðåòíóþ ïåðåäà÷ó ñîîáùåíèé íà ðàññòîÿíèå âñåãî ëèøü 40 ñàíòèìåòðîâ. Ïîçæå, áûëà ðåàëèçîâàíà ëèíèÿ ñâÿçè äëèíîé íåñêîëüêî êèëîìåòðîâ [8]. Äðóãîé ìåòîä áûë ýêñïåðèìåíòàëüíî ðåàëèçîâàí â 1992 ãîäó [9], äëÿ ýòîãî èñïîëüçîâàëèñü ïàðû çàïóòàííûõ ôîòîíîâ, ÷àñòü èç êîòîðûõ, áëàãîäàðÿ íåðàâåíñòâàì Êëàóçåðà-Õîðíà [10], ìîãëà áûòü èñïîëüçîâàíà, äëÿ òîãî ÷òîáû âûÿâèòü ïîïûòêè ïîäñëóøèâàíèÿ.  äàííîé ðàáîòå ïðåäëîæåí äðóãîé ñïîñîá øèôðîâàíèÿ.  íåì èñïîëüçóåòñÿ êâàíòîâûé êîìïüþòåð äëÿ ñîçäàíèÿ çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé íåñêîëüêèõ êóáèòîâ. Çàùèùåííîñòü ýòîãî ñïîñîáà øèôðîâàíèÿ îñíîâàíà íà ñëîæíîñòè òîìîãðàôèè òàêèõ ñîñòîÿíèé.  äàëüíåéøåì áóäåò óäîáíî ðàññìàòðèâàòü îòäåëüíûé êóáèò, êàê ÷àñòèöó ñî ñïèíîì 1 . ×òîáû îòïðàâèòü èíôîðìàöèþ, Àëèñà (îòïðàâèòåëü) ñíà÷àëà çàïèñûâàåò åå â âèäå 2 ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áèòîâ - íóëåé è åäèíèö, ðàçäåëÿÿ èõ íà ãðóïïû ïî K áèòîâ. Ïîòîì, äëÿ êàæäîé ãðóïïû, îíà ñîçäàåò íàáîð èç K ñïèíîâ â ÷èñòûõ ñîñòîÿíèÿõ. Êàæäûé ñïèí, ñîîòâåòñòâóþùèé îïðåäåëåííîìó áèòó, ïîëó÷àåò ïðîåêöèþ âäîëü ôèêñèðîâàííîé îñè Z , åñëè áèò ðàâåí íóëþ, è ïðîåêöèþ ïðîòèâ îñè - â äðóãîì ñëó÷àå. Ïîñëå ýòîãî ˆ äëÿ êàæäîé ãðóïïû èç K Àëèñà ïðîèçâîäèò íåêîòîðîå óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå U ñïèíîâ, òåì ñàìûì ïîëó÷àÿ ìíîæåñòâî çàïóòàííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, êîòîðûå â äàëüíåéøåì áóäóò íàçûâàòüñÿ ñîîáùåíèÿìè:

|Ψk i = Uˆ |ki,

(1)

ãäå |ki - ýòî íåçàïóòàííîå ñîñòîÿíèå ñïèíîâ ñ îïðåäåëåííûìè ïðîåêöèÿìè âäîëü îñè Z , ïðè÷åì ïðîåêöèè ñïèíîâ îïðåäåëÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íóëåé è åäèíèö â äâîè÷íîé çàïèñè ÷èñëà k . 3

Ïîëó÷èâ K çàïóòàííûõ ñïèíîâ î÷åðåäíîãî ñîîáùåíèÿ, Áîá (ïîëó÷àòåëü) ïðîèçâîäèò ˆ −1 , òåì ñàìûì ïîëó÷àÿ íà÷àëüíîå íåçàïóòàííîå ñîñòîÿíèå îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå U ñïèíîâ ñ îïðåäåëåííûìè ïðîåêöèÿìè, êîòîðûå ìîãóò áûòü èçìåðåíû, è, ñîîòâåòñòâåííî, ñåêðåòíîå ñîîáùåíèå áóäåò ðàñøèôðîâàíî. ˆ , òîãäà Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òîëüêî Àëèñà è Áîá çíàþò óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå U Åâà (âçëîìùèê), ïûòàÿñü ïðîâåñòè èçìåðåíèå íàä çàïóòàííûìè ñîñòîÿíèÿìè, áóäåò ïîëó÷àòü âåðîÿòíîñòíûå ðåçóëüòàòû, îïðåäåëÿåìûå êâàíòîâîé ìåõàíèêîé.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñïîñîáû, ïðè ïîìîùè êîòîðûõ Åâà ìîæåò ðàñøèôðîâàòü ïåðåäàâàåìóþ èíôîðìàöèþ, è, ñàìîå ãëàâíîå, êàê ìíîãî âðåìåíè ýòî çàéìåò. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâà ðàçíûõ ñïîñîáà: êâàíòîâóþ òîìîãðàôèþ çàïóòàííîãî ñîñòîÿíèÿ â ïåðâîé ãëàâå è ïðîñòîé ïîäáîð ñåòè êâàíòîâûõ âåíòèëåé, ˆ , âî âòîðîé ãëàâå.  ÷åòâåðòîé ãëàâå ðåàëèçóþùèõ óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå U ìû ðàññìîòðèì ïðèìåð, êàê êâàíòîâàÿ òîìîãðàôèÿ ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà äëÿ ñïèíîâûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíîâ â ìåçîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìå. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿò îöåíèòü, êàê äîëãî Àëèñà è Áîá ìîãóò áåçîïàñíî èñïîëüçîâàòü óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå, íå èçìåíÿÿ åãî.

1 Êâàíòîâàÿ òîìîãðàôèÿ çàïóòàííîãî ñîñòîÿíèÿ.  ñàìîì ïðîñòîì ñëó÷àå Åâà ìîæåò îïðåäåëèòü ñåêðåòíîå óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå, åñëè îíà ïåðåõâàòèò áîëüøîå êîëè÷åñòâî ñîîáùåíèé, è î êàæäîì èç íèõ îíà áóäåò çíàòü èñõîäíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áèòîâ. Ìû îñòàâèì âîïðîñ î òîì, êàê Åâà ìîæåò óçíàòü òàêóþ èíôîðìàöèþ. Ìû ëèøü áóäåì ïðåäïîëàãàòü â ýòîé ãëàâå, ÷òî â ðàñïîðÿæåíèè Åâû åñòü áîëüøîå êîëè÷åñòâî èäåíòè÷íûõ çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé. Ñòðàòåãèÿ Åâû ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïðèìåíÿòü êâàíòîâóþ òîìîãðàôèþ äëÿ áîëüøîãî êîëè÷åñòâà èäåíòè÷íûõ çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé.  ðàáîòå [11] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ìàòðèöà ïëîòíîñòè êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ íåñêîëüêèõ ñïèíîâ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà äàæå áåç èñïîëüçîâàíèÿ êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà. Èäåÿ ìåòîäà îñíîâàíà íà èçìåðåíèè âåðîÿòíîñòè p(~n1 , m1 ; ...; ~nK , mK ) äëÿ êàæäîãî ñïèíà sˆi ñïðîåöèðîâàííîãî â ñîñòîÿíèå mi âäîëü íàïðàâëåíèÿ ~ni . Ìàòðèöà ïëîòíîñòè âû÷èñëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ìåòîäó Ìîíòå-Êàðëî: 1 2 Z X d~n1 ...d~nK

ρˆcalc =

{mi }=− 12

(4π)K

ˆ S1 (m1 − ~s1~n1 )...K ˆ S (mK − ~sK ~nK ), (2) p(~n1 , m1 ; ...; ~nK , mK )K K

ãäå ÿäðî èíòåãðèðîâàíèÿ: 2π 2Z ψ ˆ KSi (mi − ~si~ni ) = dψ sin2 eiψ(mi −~si~ni ) π 2

(3)

0

äåéñòâóåò òîëüêî â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå i-ãî ñïèíà. Ââåäåì ìåðó äëèíû äëÿ ìàòðèö ïëîòíîñòè:

|ˆ ρ1 , ρˆ2 | =

sX

|ˆ ρ1 − ρˆ2 |2ij ,

i,j

|ˆ ρ| =

sX i,j

4

|ˆ ρ|2ij .

(4)

Îáùåèçâåñòíî, ÷òî â ìåòîäå Ìîíòå-Êàðëî îòíîñèòåëüíàÿ òî÷íîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ ñõîäèòñÿ ê èñòèííîìó çíà÷åíèþ êàê îáðàòíûé êîðåíü îò ÷èñëà èñïîëüçîâàííûõ òî÷åê [12].  íàøåì ñëó÷àå ìû èìååì:

|ˆ ρcalc − ρˆtrue | 1 (5) ≈√ , |ˆ ρtrue | N ãäå N - ýòî ÷èñëî ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ íàïðàâëåíèé, èñïîëüçîâàííûõ äëÿ èçìåðåíèé ñïèíîâ. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî íàáîðà íàïðàâëåíèé, âäîëü êîòîðûõ èçìåðÿþòñÿ ñïèíû, íåîáõîäèìî èçìåðèòü âåðîÿòíîñòè äëÿ âñåõ êîìáèíàöèé èíäåêñîâ {mi }. Ýòî òðåáóåò îêîëî Const ∗ 2K ïåðåõâà÷åííûõ ñîîáùåíèé. Òåì ñàìûì, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü ìàòðèöó ïëîòíîñòè ñ òî÷íîñòüþ α, íåîáõîäèìî ïåðåõâàòèòü: α=

Nintercepted ≈ Const ∗ α−2 ∗ 2K

(6)

ñîîáùåíèé. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü æåëàåìîå óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå, Åâà äîëæíà îïðåäåëèòü ìàòðèöû ïëîòíîñòè {ρk } äëÿ âñåõ 2K çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé. Êàæäàÿ ìàòðèöà ïëîòíîñòè {ρk } èìååò åäèíñòâåííîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå 1, è åäèíñòâåííûé ñîáñòâåííûé âåêòîð |Ψk i: ρˆk = |Ψk ihΨk |. (7) Åâå íåîáõîäèìî íàéòè ñîáñòâåííûå âåêòîðà 2K ìàòðèö ïëîòíîñòè äëÿ âñåõ çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé, à çàòåì ñëîæèòü â ìàòðèöó êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ {Cik } ýòèõ ñîñòîÿíèé â íåêîòîðîì áàçèñå:

|Ψk i =

K −1 2X

Cik |ii,

(8)

i=0

ˆ â áàçèñå òåì ñàìûì îíà ïîëó÷èò ìàòðèöó 2K × 2K äëÿ óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ U âåêòîðîâ |ki. Òàê êàê ïðîáëåìà íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû òðåáóåò ïîðÿäêà 22K ýëåìåíòàðíûõ îïåðàöèé, âñå âû÷èñëåíèå çàéìåò îêîëî: Noperations = 23K

(9)

ýëåìåíòàðíûõ îïåðàöèé, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî â ðàñïîðÿæåíèè Åâû èìååòñÿ êâàíòîâûé êîìïüþòåð, ñïîñîáíûé îïåðèðîâàòü

Ndata = 22K

(10)

êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.  äîâåðøåíèå êî âñåìó, Åâà äîëæíà ñêîíñòðóèðîâàòü ñåòü èç ýëåìåíòàðíûõ êâàíòîâûõ âåíòèëåé ïî óíèòàðíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ. Êàê ýòî áóäåò ÿñíî â äàëüíåéøåì, ÷èñëî íåîáõîäèìûõ âåíòèëåé áóäåò ïîðÿäêà:

Ngates ≈ 22K .

(11)

Èòàê, ïî ìåðå òîãî, êàê Àëèñà è Áîá óâåëè÷èâàþò ÷èñëî áèòîâ ñîäåðæàùèõñÿ â îäèíî÷íîì ñîîáùåíèè, ÷èñëî ïåðåõâà÷åííûõ ñîîáùåíèé, âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ îïðåäåëåíèÿ óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, è ñëîæíîñòü ñîçäàâàåìîé êâàíòîâîé ñåòè ðàñòåò ýêñïîíåíöèàëüíî. 5

2 Ïîäáîð óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Åâà âìåñòî òîãî, ÷òîáû îïðåäåëÿòü ñòðóêòóðó çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé è óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ìîæåò ïîïûòàòüñÿ ïîäîáðàòü îáðàòíîå óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå íà ñâîåì êâàíòîâîì êîìïüþòåðå. Ñëîæíîå óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ìîæåò áûòü ñîñòàâëåíî èç ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé - áàçîâûõ âåíòèëåé. Íàèáîëåå àêòèâíî èçó÷àåìûå âåíòèëè äëÿ êâàíòîâûõ ñåòåé îñíîâàíû íà ñâåðõïðîâîäÿùèõ êîíòóðàõ [13], ðåçîíàíñíûõ ïîëîñòÿõ [14], ëèíåéíûõ èîííûõ ëîâóøêàõ [15] è ÿäåðíîì ìàãíèòíîì ðåçîíàíñå [16]. Ðàáîòà êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîãî âûïîëíåíèÿ ïðîñòûõ óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.  òàêîì ñëó÷àå ïîëíîå óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå èìååò âèä: Uˆ = UˆM UˆM −1 ...Uˆ2 Uˆ1 , (12) n

o

ˆi äåéñòâóåò ëèøü â ïðîñòðàíñòâå çäåñü êàæäîå èç óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé U íåñêîëüêèõ êóáèòîâ, ïðè÷åì ñðåäè íèõ ìîãóò áûòü îäèíàêîâûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ýêåðò è Äæîçà ïîêàçàëè [17], ÷òî ëþáîå ïðåîáðàçîâàíèå íåñêîëüêèõ êóáèòîâ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ïîñëåäîâàòåëüíûì âûïîëíåíèåì ïðîñòûõ: âñåâîçìîæíûõ îäíîêóáèòíûõ è ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî íåòðèâèàëüíîãî äâóõêóáèòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ïðèìåðîì òàêîãî äâóõêóáèòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæåò ñëóæèòü "êîíòðîëèðóåìîå-ÍÅ", äåéñòâèå êîòîðîãî îïèñûâàåòñÿ êàê |a, bi → |a, a ⊕ bi. Òàê êàê äëÿ êàæäîãî ïðîñòîãî óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóùåñòâóåò îáðàòíîå åìó ("êîíòðîëèðóåìîå-ÍÅ"îáðàòíî ê ñàìîìó ñåáå), òî ëåãêî ìîæíî ñîñòàâèòü îáðàòíîå óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå: −1 ˆ −1 Uˆ −1 = Uˆ1−1 Uˆ2−1 ...UˆM −1 UM ..

(13)

Õîòÿ àâòîðàìè [17] è áûë ïðèâåäåí àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ïîñòðîèòü êâàíòîâóþ ñåòü âåíòèëåé ïî ëþáîìó óíèòàðíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ, â îáùåì ñëó÷àå äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ ïîëèíîìèàëüíîå ÷èñëî áàçîâûõ âåíòèëåé â çàâèñèìîñòè îò ðàçìåðíîñòè ˆ . Òåì ñàìûì, â íàøåì ñëó÷àå, äëÿ ýòîãî ïîòðåáóåòñÿ ÷èñëî âåíòèëåé ìàòðèöû U ýêñïîíåíöèàëüíîå ïî êîëè÷åñòâó êóáèòîâ. Îäíàêî, Àëèñà è Áîá íå íóæäàþòñÿ â ïîñòðîåíèè êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà, ðåàëèçóþùåãî ïðîèçâîëüíîå óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå, âìåñòî ýòîãî îíè ìîãóò äîãîâîðèòüñÿ èñïîëüçîâàòü êîíêðåòíóþ êâàíòîâóþ ñåòü âåíòèëåé. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî Àëèñà è Áîá ðàñïîëàãàþò îäèíàêîâûìè êâàíòîâûìè êîìïüþòåðàìè, êîòîðûå ìîãóò âûïîëíÿòü êàêèå ëèáî èç L ôèêñèðîâàííûõ óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî â ñðåäè íèõ äëÿ êàæäîãî ñóùåñòâóåò îáðàòíîå. Åñëè Àëèñà è Áîá èñïîëüçóþò óíèòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ èç ýòîãî íàáîðà M ðàç, òî ÷èñëî âñåâîçìîæíûõ êâàíòîâûõ ñåòåé îöåíèâàåòñÿ âåëè÷èíîé:

Nquant (L, M ) = LM .

(14)

Åâà íå èìååò íèêàêèõ øàíñîâ óãàäàòü ïðàâèëüíîå óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïðîáóÿ âñå âîçìîæíûå êâàíòîâûå ñåòè. Äåëî â òîì, ÷òî Àëèñà è Áîá ïðè ïîìîùè ˆ äîëæíû ñìåøàòü ñîñòîÿíèÿ êàæäîãî êóáèòà ñ ñâîåãî óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ U 6

êàæäûì, òî åñòü ÷èñëà M è L äîëæíû áûòü íå ìåíüøå K 2 . Êàê âèäíî, çàâèñèìîñòü (14) îïÿòü ýêñïîíåíöèàëüíàÿ.  ýòîé ôîðìóëå åùå íå ó÷òåí òîò ôàêò, ÷òî äëÿ êàæäîé ïðîáíîé êâàíòîâîé ñåòè Åâà äîëæíà ïðîâåñòè íåñêîëüêî èçìåðåíèé êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé, ÷òî áû óáåäèòüñÿ, ÷òî äàííàÿ ñåòü ðåàëèçóåò âåðíîå óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå. Ïóñòü −1 ˆ p = |hk|Uˆguess U |ki|2 (15)

ˆguess ýòî âåðîÿòíîñòü îøèáî÷íîãî ïðèíÿòèÿ ïðîáíîãî óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ U ˆ . Òîãäà âåðîÿòíîñòü íå îòëè÷èòü ýòè äâà ïðåîáðàçîâàíèÿ çà n âìåñòî âåðíîãî U èçìåðåíèé, áóäåò: P = pn = en ln p . (16) Ïîñêîëüêó, äëÿ ïîäàâëÿþùåãî áîëüøèíñòâà êâàíòîâûõ ñåòåé, âåðîÿòíîñòü p ìíîãî ìåíüøå åäèíèöû, òî áóäåò äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè íåñêîëüêî èçìåðåíèé äëÿ îäíîãî ïðîáíîãî óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òîáû âûÿñíèòü, óãàäàíî îíî èëè íåò.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èëè, ÷òî äëÿ óâåëè÷åíèÿ áåçîïàñíîñòè ïðåäëàãàåìîãî êðèïòîãðàôè÷åñêîãî ìåòîäà, Àëèñà è Áîá äîëæíû óâåëè÷èâàòü íå òîëüêî ÷èñëî èñïîëüçóåìûõ êóáèòîâ, íî è ÷èñëî èñïîëüçóåìûõ êâàíòîâûõ âåíòèëåé.

3 Ñëó÷àé àïðèîðíî êîððåëÿöèé.

èçâåñòíûõ

âðåìåííûõ

Ðàíåå ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî Åâà çíàåò, êàêàÿ èìåííî èíôîðìàöèÿ çàøèôðîâàíà â âèäå çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé.  ýòîé ãëàâå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îíà çíàåò ëèøü âðåìåííûå êîððåëÿöèè ìåæäó ñîîáùåíèÿìè ñîñòîÿùèìè èç K êëàññè÷åñêèõ áèòîâ. Êîððåëÿöèè îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé: ξkl (y) = hpk (x)pl (x + y)ix , (17) ãäå pk (x) ðàâíÿåòñÿ åäèíèöå, åñëè x-îå ñîîáùåíèå çàïèñûâàåòñÿ êàê |ki, è íîëü â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ñðåäíåå ñ÷èòàåòñÿ ïî áîëüøîìó íàáîðó ðàâíîîòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà ñîîáùåíèé. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî Åâà îáëàäàåò àïðèîðíîé èíôîðìàöèåé, òàêîé êàê ÷àñòîòû ïîÿâëåíèÿ è êîððåëÿöèè ìåæäó ñîîáùåíèÿìè ïîñûëàåìûìè Àëèñîé. Ñòðàòåãèÿ Åâû â ýòîì ñëó÷àå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû íàñòðîèòü ñâîé êâàíòîâûé êîìïüþòåð òàê, ÷òîáû ó ðàñøèôðîâàííûõ èì ñîîáùåíèé áûëè òàêèå æå ÷àñòîòû ïîÿâëåíèÿ è âðåìåííûå êîððåëÿöèè. Îöåíêà êîëè÷åñòâà ïåðåõâà÷åííûõ ñîîáùåíèé, íåîáõîäèìûõ, ÷òîáû âûâåñòè óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïîëó÷àåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì: ÷èñëà ïðîáíûõ óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé è ÷èñëà íåîáõîäèìûõ èçìåðåíèé äëÿ êàæäîãî èç íèõ, ÷òîáû îïðåäåëèòü, ïîäõîäÿùèå ïîëó÷àþòñÿ êîððåëÿöèè èëè íåò. Ïåðâàÿ ÷àñòü ïðîáëåìû îïðåäåëÿåòñÿ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé çàïóòàííîñòüþ ñîñòîÿíèé, à âòîðàÿ àíàëîãè÷íà ñëó÷àþ êëàññè÷åñêîãî øèôðà çàìåíû. ×èñëî ïðîáíûõ óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (14). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîððåëÿöèé ìåæäó ïåðåõâà÷åííûìè ñîîáùåíèÿìè íåîáõîäèìî èçìåðèòü 7

òàêîå ÷èñëî êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, êîòîðîå ïîëèíîìèàëüíî ïî âåëè÷èíå 2K 



Ncl ≈ Pn 2K ,

(18)

ãäå ñòåïåíü n ïîëèíîìà Pn (x) ñîîòâåòñòâóåò ïîðÿäêó ó÷èòûâàåìûõ êîððåëÿöèé. Íàïðèìåð, â ôîðìóëå (17) íàïèñàíà êîððåëÿöèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà. Äëÿ êîððåëÿöèé n-ãî ïîðÿäêà íåîáõîäèìî óñðåäíÿòü ïðîèçâåäåíèå èç n âåëè÷èí pk (x). Îêîí÷àòåëüíàÿ ôîðìóëà äëÿ ÷èñëà ñîîáùåíèé, êîòîðûå Åâå íåîáõîäèìî ïåðåõâàòèòü: Nnet ≈ Nquant ∗ Ncl . (19)

4 Âîçìîæíàÿ ðåàëèçàöèÿ êâàíòîâîé òîìîãðàôèè â ìåçîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìå. 4.1 Èñïîëüçîâàíèå êîððåëÿòîðîâ ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ äëÿ èçó÷åíèÿ ñòðóêòóðû çàïóòàííûõ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé.  ïîñëåäíèå ãîäû èäåò èíòåíñèâíîå èçó÷åíèå îñíîâ êâàíòîâîé ìåõàíèêè è ôåíîìåíà êâàíòîâîé çàïóòàííîñòè â ïðèìåíåíèè ê êâàçè÷àñòèöàì â ìåçîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Íåêîòîðîå âðåìÿ íàçàä, ïî àíàëîãèè ñ îïòè÷åñêèìè ýêñïåðèìåíòàìè ïî èçó÷åíèþ çàïóòàííûõ ïàð ôîòîíîâ, áûëî ïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàòü ñâåðõïðîâîäíèê, êàê èñòî÷íèê çàïóòàííûõ ïàð êâàçè÷àñòèö [18], ïðîèñõîäÿùèõ èç îäíîé êóïåðîâñêîé ïàðû. Ïîçäíåå áûëè ïðåäëîæåíû íåðàâåíñòâà òèïà Áåëëà [19] äëÿ êîððåëÿòîðîâ ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ. Ýòè íåðàâåíñòâà ñïðàâåäëèâû äëÿ êëàññè÷åñêèõ òåîðèé ñêðûòûõ ëîêàëüíûõ ïàðàìåòðîâ, íî êâàíòîâàÿ-ìåõàíèêà ïîçâîëÿåò íàðóøèòü ýòè íåðàâåíñòâà ïðè íåêîòîðûõ ñïåöèôè÷åñêèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ. Òåì ñàìûì, ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü â î÷åðåäíîé ðàç óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðèìûå âåðîÿòíîñòè ïðåäñêàçûâàåìûå êâàíòîâîé ìåõàíèêîé - ýòî íå ðåçóëüòàò ïðèñóòñòâèÿ íåêèõ ñêðûòûõ ïåðåìåííûõ, à ôóíäàìåíòàëüíàÿ îñîáåííîñòü îêðóæàþùåãî ìèðà.  ýòèõ [18], [19] è ïîñëåäóþùèõ ðàáîòàõ â íåðàâåíñòâàõ Áåëëà èñïîëüçîâàëèñü êðîññ-êîððåëÿòîðû äâóõ ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ íà íóëåâîé ÷àñòîòå. Ýòè íåðàâåíñòâà íå äàþò êàêîé ëèáî äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè î òîì, êàêàÿ èìååòñÿ ñòðóêòóðà ó êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé äâóõ ýëåêòðîíîâ ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ ïî ðàçëè÷íûì ïðîâîäíèêàì; òî, íàñêîëüêî îíè íàðóøàþòñÿ, ìîæåò ëèøü óêàçûâàòü ñòåïåíü çàïóòàííîñòè ýòèõ ýëåêòðîíîâ [22].  ýòîé ãëàâå ìû õîòèì ïîêàçàòü, êàê ìîæíî èñïîëüçîâàòü êîððåëÿòîðû ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ íà êîíå÷íûõ âðåìåíàõ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòðóêòóðû êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ. Ìû îñòàâèì â ñòîðîíå âîïðîñ î òîì, êàê ìîæíî ïîëó÷èòü ìíîãîêóáèòíûå ñîñòîÿíèÿ ñïèíîâ ýëåêòðîíîâ íà ïðàêòèêå, ïîêà ýòî òåîðåòè÷åñêè îïèñàíî âñåãî ëèøü äëÿ ïàð ýëåêòðîíîâ [19].  äàííûé ìîìåíò íàñ èíòåðåñóåò ïîâåäåíèå Åâû, êîòîðàÿ ìíîãî ðàç ïåðåõâàòûâàåò ïî K ýëåêòðîíîâ, ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ çàøèôðîâàííûì ñîîáùåíèåì. 8

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïî K áàëëèñòè÷åñêèì ïðîâîäíèêàì ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ K ýëåêòðîíîâ, ñïèíû êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ â ñîñòîÿíèè îïèñûâàåìîì ìàòðèöåé ïëîòíîñòè ρ. Ïóñòü êàæäûé ïðîâîäíèê íóìåðóåòñÿ èíäåêñîì i, à êàæäàÿ ãðóïïà èç K ýëåêòðîíîâ - èíäåêñîì j . Ïóñòü â i-ì ïðîâîäíèêå ýëåêòðîí ïåðåñåêàåò íåêîòîðîå ñå÷åíèå â ìîìåíòû âðåìåíè: tj + τi , çäåñü tj - ýòî ìîìåíòû âðåìåíè, â êîòîðûå Åâà ïåðåõâàòûâàåò j ãðóïïó ïî K ýëåêòðîíîâ, à τi - ýòî ñìåùåíèå ýëåêòðîíîâ ïî âðåìåíè âíóòðè êàæäîé èç ãðóïï (ïåðâûé ýëåêòðîí èìååò íóëåâîå ñìåùåíèå: τ1 = 0). Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî â êàæäîé ãðóïïå ñìåùåíèÿ ýëåêòðîíîâ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà îäíè è òå æå, òî èçìåðåíèå êîððåëÿòîðà K ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ áóäåò èìåòü ìàêñèìóì íà ñëåäóþùèõ âðåìåíàõ: D

E

Iˆ1 (t1 )Iˆ2 (t2 )...IˆK (tK ) ∼ δτwp (t2 − t1 − τ2 )δτwp (t3 − t1 − τ3 )...δτwp (tK − t1 − τK ),

(20)

çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå êîððåëÿòîð òîêîâ çàâèñèò òîëüêî îò ðàçíîñòè âðåìåí, è èñïîëüçîâàëè îáîçíà÷åíèå äåëüòà-ôóíêöèè ñ øèðèíîé τwp ðàâíîé øèðèíå âîëíîâîãî ïàêåòà ýëåêòðîíà. Òåïåðü, ÷òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (2) Åâå íåîáõîäèìî óìåòü ïðîèçâîäèòü "îïûò Øòåðíà-Ãåðëàõà"äëÿ êàæäîãî îòäåëüíîãî ýëåêòðîíà, òî åñòü îòáèðàòü òîëüêî òå ãðóïïû ïî K ýëåêòðîíîâ, ñïèíîâûå ñîñòîÿíèÿ êîòîðûõ ïðîåêòèðóþòñÿ âäîëü íàïðàâëåíèé ~ni - ïî îäíîìó äëÿ êàæäîãî ýëåêòðîíà.  òåîðåòè÷åñêèõ ðàáîòàõ îáñóæäàåòñÿ âîçìîæíîñòü ñîçäàíèÿ ñïèíîâûõ ôèëüòðîâ íà îñíîâå ãåòåðîñòðóêòóð ôåððîìàãíåòèê-íîðìàëüíûé ìåòàëë èëè äâóõ êâàíòîâûõ òî÷åê ñ ñèëüíîé ñïèí-îðáèòàëüíîé ñâÿçüþ [20], åñòü äàæå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðàáîòû ïî èçìåðåíèþ ñïèíîâîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíîâ [21], íî äî øèðîêîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ òàêèõ ïðèáîðîâ åùå äàëåêî. Îäíàêî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî Åâà ñïîñîáíà ñêîíñòðóèðîâàòü äîñòàòî÷íî õîðîøèå ñïèíîâûå ôèëüòðû, êîòîðûå ðàçäåëÿþò ýëåêòðîíû ñîãëàñíî ïðîåêöèé èõ ñïèíîâ âäîëü çàäàííûõ íàïðàâëåíèé. Òîãäà êîððåëÿòîð ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ ïîñëå ôèëüòðîâàíèÿ áóäåò èìåòü âèä: D

E

Iˆ1 (t1 )Iˆ2 (t2 )...IˆK (tK )

f ilt

E 1 1 D ∼ p(~n1 , + ; ...; ~nK , + ) Iˆ1 (t1 )Iˆ2 (t2 )...IˆK (tK ) , , 2 2

(21)

çäåñü p(~n1 , + 12 ; ...; ~nK , + 12 ) - ýòî âåðîÿòíîñòü äëÿ ñïèíîâ ýëåêòðîíîâ ñïðîåêòèðîâàòüñÿ âäîëü âûáðàííûõ íàïðàâëåíèé. Ïî äâóì âåëè÷èíàìè (20) è (21) ìîæíî ïîñ÷èòàòü èñêîìûå âåðîÿòíîñòè äëÿ áîëüøîãî ÷èñëà íàïðàâëåíèé, è ÷èñëåííî ïðîèíòåãðèðîâàòü (2). Êîíå÷íî æå, ÷åì òî÷íåå áóäóò èçìåðåíû ýòè âåðîÿòíîñòè, òåì òî÷íåå áóäåò âîññòàíîâëåíà èñêîìàÿ ìàòðèöà ïëîòíîñòè. Äàëåå, â ýòîé ãëàâå, ìû ïîñëåäîâàòåëüíî ðàññìîòðèì çàäà÷ó îá ýêñïåðèìåíòàëüíîì èçìåðåíèè êîððåëÿòîðîâ ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü èíòåðåñíà ñàìà ïî ñåáå.

4.2 Èçìåðåíèå êîððåëÿòîðîâ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ñîãëàñíî îáùåé òåîðèè èçìåðåíèé, ìû ðàññìàòðèâàåì ñèòóàöèþ, êîãäà âñÿ êâàíòîâàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç ñèñòåìû-èçìåðèòåëÿ ñ íåêîòîðîé íàáëþäàåìîé x ˆ, èìåþùåé 9

îïðåäåëåííûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðà, è ðåçåðâóàðîâ (â íàøåì ñëó÷àå ýòî êâàíòîâûå ïðîâîäíèêè ñ ýëåêòðîíàìè).  òàêîì ñëó÷àå D êîððåëÿöèè E ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ â ðåçåðâóàðàõ áóäóò èçó÷àòüñÿ ÷åðåç êîððåëÿöèè x ˆ(t1 )ˆ x(t2 ) äëÿ ñèñòåìû-èçìåðèòåëÿ. Âñå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî H ñèñòåìû ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòðàíñòâà Hm ñèñòåìû-èçìåðèòåëÿ è ïðîñòðàíñòâà He ðåçåðâóàðîâ, òàê ÷òî: H = Hm ⊗ He . Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ñèñòåìàìè îïèñûâàåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì âçàèìîäåéñòâèÿ:

ˆ I (t) = H

X

αi xˆIˆi (t),

(22)

i

ãäå îïåðàòîð x ˆ äåéñòâóåò òîëüêî â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìû-èçìåðèòåëÿ, â òî âðåìÿ, êàê îïåðàòîðû òîêîâ Iˆi äåéñòâóþò â ïðîñòðàíñòâàõ ðåçåðâóàðîâ ñ ýëåêòðîíàìè.  ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìû-èçìåðèòåëÿ ìû ìîæåì ââåñòè áàçèñ èç 0 ïîëíîãî íàáîðà ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà x ˆ: xˆ|xn i = xn |xn i. Ïóñòü A - ýòî òàêîå ñîáûòèå, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t1 èçìåðåíèå âåëè÷èíû x ˆ äàëî xn , òîãäà êàê A - ýòî òàêîå ñîáûòèå, ÷òî èçìåðåíèå â ìîìåíò âðåìåíè t2 ïðèâåëî ê ðåçóëüòàòó xm .  òàêîì ñëó÷àå êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ýòèõ äâóõ ñîáûòèé áóäåò çàïèñàíà êàê: D

E

xˆ(t1 )ˆ x(t2 ) =

X

xn xm PA (xm , t2 |xn , t1 )PA0 (xn , t1 ),

(23)

n,m

ãäå PA0 (xn , t1 ) - ýòî âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå xn â ìîìåíò âðåìåíè t1 è PA (xm , t2 |xn , t1 ) - ýòî óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå xm â ìîìåíò âðåìåíè t2 , åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t1 áûëà ïîëó÷åíà âåëè÷èíà xn . Ïîçæå, â ýòîé ãëàâå, ìû áóäåì ðàáîòàòü â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ, òàê ÷òî i

ˆ

|xn (t)i = e h¯ H0 t |xn i,

(24)

xˆ(t) = e h¯ H0 t xˆe− h¯ H0 t , ˆ 2 , t1 )|xn (t1 )i, |xn (t2 )i = S(t

ˆ

(25)

ˆ −∞)ˆ ρˆ(t) = S(t, ρ(−∞)Sˆ† (t, −∞),

(27)

i

i

ˆ

(26)

ˆ 0 - ýòî ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû-èçìåðèòåëÿ áåç âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ðåçåðâóàðîì, ãäå H ˆ 2 , t1 ) - ýòî îïåðàòîð ýâîëþöèè îò ìîìåíòà âðåìåíè t1 äî t2 , çàïèñàííûé S(t â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ. Êàê îáû÷íî, ìû ñ÷èòàåì, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå âûêëþ÷åíî ïðè áåñêîíå÷íî îòðèöàòåëüíûõ âðåìåíàõ, à ïîòîì îíî àäèàáàòè÷åñêè âêëþ÷àåòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî ρˆ(−∞) - ýòî ìàòðèöà ïëîòíîñòè âñåé ñèñòåìû â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà âçàèìîäåéñòâèå áûëî âûêëþ÷åíî.  êâàíòîâîé ìåõàíèêå âåðîÿòíîñòü P (xn , t1 ) ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê ñëåä îò ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè ρˆ è ïðîåêòîðà Pˆn (t) = |xn (t)ihxn (t)|: P (xn , t1 ) = Trρˆ(t1 )Pˆn (t1 ).

10

(28)

Ñîãëàñíî ïîñòóëàòó ôîí Íåéìàíà, ïîñëå ïåðâîãî èçìåðåíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t1 ìàòðèöà ïëîòíîñòè ðåäóöèðóåòñÿ:

ρˆ(t1 ) → ρˆ1 (t1 ) = |xn (t1 )i

hxn (t1 )|ˆ ρ(t1 )|xn (t1 )i hxn (t1 )|, Trel hxn (t1 )|ˆ ρ(t1 )|xn (t1 )i

(29)

çäåñü ÷èñëèòåëü äðîáè - ýòî ìàòðèöà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå He ýëåêòðîííûõ ðåçåðâóàðîâ, à Trel - ýòî ñëåä ïî èíäåêñàì â íåì. Çíàìåíàòåëü íåîáõîäèìî íàïèñàòü äëÿ òîãî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå íîðìèðîâêè Trρˆ1 = 1.  òàêîì ñëó÷àå óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü èçìåðèòü xm â ìîìåíò âðåìåíè t2 > t1 ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê: P (xm , t2 |xn , t1 ) = Trρˆ1 (t2 )Pˆm (t2 ), (30) ãäå ρˆ1 (t2 ) - ýòî ìàòðèöà ïëîòíîñòè âñåé ñèñòåìû, êîòîðàÿ óíèòàðíî ýâîëþöèîíèðîâàëà ñ ìîìåíòà âðåìåíè t1 äî ìîìåíòà âðåìåíè t2 :

ˆ 2 − t1 )ˆ ρˆ1 (t2 ) = S(t ρ1 (t1 )Sˆ+ (t2 − t1 ),

(31)

ˆ 2 − t1 ) - ýòî îïåðàòîð ýâîëþöèè ñ ìîìåíòà âðåìåíè t1 äî ìîìåíòà âðåìåíè t2 . ãäå S(t Ñîãëàñíî (28), (29) è (30), èñïîëüçóÿ ïåðåñòàíîâî÷íûå ñâîéñòâà ñëåäà Tr, ìû ïîëó÷àåì: D

E



o

n

ˆ 1 , −∞)ˆ ˆ 2 , t1 )D S(t xˆ(t1 )ˆ ρ(−∞)Sˆ† (t1 , −∞)ˆ x(t1 ) x(t2 ) = Tr S(t

t1



Sˆ† (t2 , t1 )ˆ x(t2 ) , (32)

ãäå ìû èñïîëüçîâàëè òîò ôàêò, ÷òî x ˆ(t) = äëÿ ïðîåêöèîííîãî èçìåðåíèÿ: n

o

ˆ D A(t)

t

=

X

P n

|xn (t)ixn hxn (t)| è ìû ââåëè îáîçíà÷åíèå

ˆ |xn (t)ihxn (t)|A(t)|x n (t)ihxn (t)|.

(33)

n

Ýòà âåëè÷èíà (32) áóäåò èçìåðÿòüñÿ â ðåàëüíîì ýêñïåðèìåíòå, è æåëàåìûå êîððåëÿòîðû ïîÿâÿòñÿ èç çàâèñèìîñòè ìàòðèöû ïëîòíîñòè è îïåðàòîðà ýâîëþöèè îò èçó÷àåìûõ òîêîâ.

4.3 Ìåõàíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð, êàê èçìåðèòåëü êîððåëÿöèé òîêòîê.  ðàáîòàõ [25], [26] èçó÷àëñÿ âîïðîñ èçìåðåíèÿ àâòîêîððåëÿöèé ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ïðè ïîìîùè LC -êîíòóðà è ìåõàíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Ïîäîáíûì æå îáðàçîì ìîæíî îïèñàòü ïðîöåññ èçìåðåíèÿ êðîññ-êîððåëÿöèé ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ, è â îáîèõ ñëó÷àÿõ ñèñòåìîé-èçìåðèòåëåì áóäåò êâàíòîâûé îñöèëëÿòîð.  ñëó÷àå èçó÷åíèÿ àâòîêîððåëÿöèé, ïðè ïîìîùè LC -êîíòóðà ñ ìàëûì çàòóõàíèåì, â âûðàæåíèå âèäà (32) â ïðàâóþ ÷àñòü âîøëà ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü øóìà íà ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà.  ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ìåõàíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà äëÿ èçìåðåíèÿ òîêà, èçó÷àëèñü àâòîêîððåëÿöèè òîêà íà êîíå÷íûõ âðåìåíàõ áîëüøèõ, ÷åì âðåìÿ çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà. 11

Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîå êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå îïèñàíèå ïðîöåññà èçìåðåíèÿ êðîññ-êîððåëÿòîðà äâóõ ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ ïðè ïîìîùè îáûêíîâåííîãî àìïåðìåòðà, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ìåõàíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð, è ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîéèçìåðèòåëåì. Ñòðåëêà àìïåðìåòðà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ îñöèëëÿòîðà, à óãîë åå îòêëîíåíèÿ - åãî êîîðäèíàòîé. Ãàìèëüòîíèàí òàêîé ñèñòåìû èìååò âèä:

ˆ =H ˆ el + H ˆ osc + H ˆ int , H

(34)

ˆ el - ýòî ãàìèëüòîíèàí ýëåêòðîíîâ â ðåçåðâóàðå, ãàìèëüòîíèàí ìåõàíè÷åñêîãî ãäå H îñöèëëÿòîðà: 1 ˆ2 Hˆosc = (x ˙ + ω02 xˆ2 ), (35) 2 à ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèÿ: 



HˆI = xˆ α1 Iˆ1 + α2 Iˆ2 ,

(36)

ãäå αi - ýòî êîíñòàíòû âçàèìîäåéñòâèÿ îñöèëëÿòîðà ñ èçó÷àåìûìè òîêàìè. Ñåé÷àñ ìû îïèñûâàåì îäèí îñöèëëÿòîð, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé-èçìåðèòåëåì.  ýòîì ñëó÷àå, âû÷èñëåíèÿ âî ìíîãîì ïîõîæè íà âû÷èñëåíèÿ äëÿ àâòîêîððåëÿöèé îäíîãî òîêà. Îïåðàòîð ýâîëþöèè â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå: 



t2

iZ 0ˆ 0  ˆ  S(t2 , t1 ) = T exp − dt HI (t ) . h ¯

(37)

t1

Ìû èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå îïåðàòîðà ýâîëþöèè ïî êîíñòàíòàì âçàèìîäåéñòâèÿ: 

ˆ 2 − t1 ) ≈ 1 + − i S(t h ¯

 Zt2

ˆ I (t0 ) + ... dt0 H

(38)

t1

Ïîäñòàâëÿÿ (38) â (32) è îñòàâëÿÿ òîëüêî êâàäðàòè÷íûå ÷ëåíû ïî êîíñòàíòàì âçàèìîäåéñòâèÿ, ìîæíî ïîëó÷èòü: 2 P 2 P

hxˆ(t1 )ˆx(t2 )i=hxˆ(t1 )ˆx(t2 )i0 +

k=1 l=1

Rt2

dt0

t1

Rt1

Rt0



dt00 −[ˆ x(t00 )ˆ x(t2 )]hD{ˆ x(t1 )ˆ x(t0 )}t

−∞

Rt0

h



D

+[ˆ x(t0 )ˆ x(t2 )]hhhˆ x(t1 )ˆ x(t00 )iiihIˆl (t00 )Iˆk (t0 )i

S

A



dt0

Rt2

 dt00 [ˆ x(t00 )ˆ x(t

2 )]

h

S

h[ˆx(t00 )ˆx(t1 )]ihIˆl (t00 )Iˆk (t0 )i +h{ˆx(t00 )ˆx(t1 )}ihIˆl (t00 )Iˆk (t0 )i

[ˆ x(t0 )ˆ x(t

S Iˆl (t0 )Iˆk (t00 ) +

ih

1 )]

i h

{ˆ x(t0 )ˆ x(t

A Iˆl (t0 )Iˆk (t00 )

ih

1 )}

i



A



A

 +

(40) (41)

+

−∞

[ˆ x(t0 )ˆ x(t1 )]

−∞

A

h[ˆx(t00 )ˆx(t2 )]ihIˆl (t00 )Iˆk (t0 )i +h{ˆx(t00 )ˆx(t2 )}ihIˆl (t00 )Iˆk (t0 )i

dt00 [ˆ x(t0 )ˆ x(t2 )]



Rt1

ihIˆl (t00 )Iˆk (t0 )i

1

t1

dt0

(39)

2 0 0 αk αl

(− h¯i )

#

+

! ,

(42)

t1

E

ãäå x ˆ(t1 )ˆ x(t2 ) - ýòî êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ìåõàíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà áåç 0 âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ýëåêòðè÷åñêèìè òîêàìè; çäåñü ìû ââåëè îáîçíà÷åíèå äëÿ ñêîáîê 12

h

i

n

o

ˆ = AˆB ˆ −B ˆ Aˆ è AˆB ˆ = AˆB ˆ +B ˆ Aˆ, è èñïîëüçîâàëè êîììóòàòîðà è àíòèêîììóòàòîðà: AˆB ôàêò, ÷òî äëÿ îñöèëëÿòîðà áåç çàòóõàíèÿ: [ˆ x(t1 )ˆ x(t2 )] - ýòî c-÷èñëî, òàê ÷òî ìû ìîæåì âûíåñòè åãî èç ïîä ñêîáîê óñðåäíåíèÿ ïî ìàòðèöå ïëîòíîñòè. Äëÿ êîððåëÿöèé òîê-òîê ìû èñïîëüçîâàëè îáîçíà÷åíèå: D

ES

E 1 Dˆ Il (t1 )Iˆk (t2 ) + Iˆk (t2 )Iˆl (t1 ) , t1 < t2 2 D EA D E 1 Iˆl (t1 )Iˆk (t2 ) = Iˆl (t1 )Iˆk (t2 ) − Iˆk (t2 )Iˆl (t1 ) , t1 < t2 . 2

Iˆl (t1 )Iˆk (t2 )

=

(43) (44)

 ðåàëüíîé ñèòóàöèè îñöèëëÿòîðà ñ çàòóõàíèåì ìû çàìåíÿåì êîììóòàòîðû èõ ñðåäíèìè, ïîñ÷èòàííûìè ïî ôîðìóëå Êóáî: D

E

xˆ(t1 )ˆ y (t2 ) − yˆ(t2 )ˆ x(t1 ) = i¯ hαxy (t2 − t1 ),

(45)

è ñðåäíèå îò àíòèêîììóòàòîðîâ ñ÷èòàþòñÿ ñîãëàñíî Ôëóêòóàöèîííî-Äèññèïàòèâíîé òåîðåìå: D

Z∞

E

xˆ(t1 )ˆ y (t2 ) + yˆ(t2 )ˆ x(t1 ) = 2¯h

00

αxy (ω)cth

−∞

h ¯ ω −iω(t2 −t1 ) dω e , 2T 2π

(46)

ãäå T - ýòî òåìïåðàòóðà îñöèëëÿòîðà, α(t), t > 0 - ýòî ëèíåéíûé îòêëèê, à α(ω) = 0 00 α (ω)+iα (ω) - ýòî îáîáùåííàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü îñöèëëÿòîðà. Ýòè âåëè÷èíû ñ÷èòàþòñÿ èç êëàññè÷åñêèõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ:

x¨ + γ x˙ + ω02 x = fω e−iωt , αxx (ω) = q

ω02

1 , − ω 2 − iγω

(47) γ

αxx (t) = e− 2 t

sin Ωt , Ω

(48)

ãäå Ω = ω02 − γ 2 /4 - ýòî ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà îñöèëëÿòîðà ïðè ó÷åòå çàòóõàíèÿ. γ  ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî êîììóòàòîðû è àíòèêîììóòàòîðû ïðîïîðöèîíàëüíû e− 2 t , óäîáíî ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà âðåìåííûå ìàñøòàáû èçìåíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ τel ìíîãî áîëüøå, ÷åì îáðàòíàÿ âåëè÷èíà çàòóõàíèÿ γ −1 äëÿ îñöèëëÿòîðà. Ýòî äîâîëüíî ëîãè÷íîå ïðåäïîëîæåíèå, òàê êàê êîëåáàíèÿ ñòðåëêè àìïåðìåòðà äîëæíû óñïîêîèòüñÿ ïðåæäå, ÷åì èçìåíÿòñÿ ýëåêòðè÷åñêèå òîêè.  òàêîì ñëó÷àå ìû èíòåðåñóåìñÿ âðåìåíàìè: (t2 − t1 ) ∼ τel  γ −1 . Ñîãëàñíî íàøèì îöåíêàì, îñòàíåòñÿ ëèøü ÷ëåí (42), à âñå îñòàëüíûå èñ÷åçíóò ïðè èíòåãðèðîâàíèè. Èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî ýëåêòðè÷åñêèå òîêè íå ìåíÿþòñÿ íà ìàñøòàáàõ γ −1 , ìû ìîæåì âûíåñòè êîððåëÿòîðû òîê-òîê èç ïîä èíòåãðèðîâàíèÿ: Zt1

D

E

1 I(t1 ), ω02

(49)

γ 2 2T I(t1 ), ω04 h ¯γ

(50)

dt0 [ˆ x(t0 )ˆ x(t1 )] I(t0 ) = i¯h −∞

Zt1

D

E

x(t0 )ˆ x(t1 )} I(t0 ) = h ¯ dt0 {ˆ −∞

13

Äëÿ ÷ëåíà îòâå÷àþùåãî çà êðîññ-êîððåëÿöèè ìû ïîëó÷èì D

E

D

E

xˆ(t1 )ˆ x(t2 ) = xˆ(t1 )ˆ x(t2 ) + 0

( D

2 X 2 X αk αl k=1 l=1

ES

Iˆk (t1 )Iˆl (t2 )

ω04

D

EA

− i Iˆk (t1 )Iˆl (t2 )

γ 2 2T ω02 h ¯γ

!)

+ ...

(51) ãäå ìû èñïîëüçîâàëè ñòàðûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ (43) è (44).  ïðàâóþ ÷àñòü âûðàæåíèå (51) âõîäÿò êàê êðîññ-êîððåëÿöèè, òàê è àâòîêîððåëÿöèè òîêîâ, îò ïîñëåäíèõ ìîæíî èçáàâèòüñÿ ïðè ïîìîùè âû÷èòàíèÿ: D

E

D

E

D

E

∆ xˆ(t1 )ˆ x(t2 ) = xˆ(t1 )ˆ x(t2 ) − xˆ(t1 )ˆ x(t2 )

D

α1 =0

E

− xˆ(t1 )ˆ x(t2 )

D

α2 =0

E

+ xˆ(t1 )ˆ x(t2 )

α1 =α2 =0

, (52)

ãäå èíäåêñû îçíà÷àþò, ÷òî òîò èëè èíîé òîê âûêëþ÷åí. Ñîîòâåòñòâåííî, D ïðè óñðåäíåíèè E â ñðåäíåì x ˆ(t1 )ˆ x(t2 ) ñîäåðæàòüñÿ ëèøü àâòîêîððåëÿöèè âòîðîãî òîêà, êàê ýòî áûëî α1 =0 ïîñ÷èòàíî â [26].  âûðàæåíèè (51) ïîÿâëÿåòñÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ñâîáîäíîãî îñöèëëÿòîðà, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî ïîëåçíûé ñèãíàë áóäåò íàáëþäàòüñÿ íà ôîíå øóìà. Êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå, îò ýòîãî íåäîñòàòêà ìîæíî èçáàâèòüñÿ, èçìåðÿÿ êîîðäèíàòû íåñêîëüêèõ îñöèëëÿòîðîâ, ñâÿçàííûõ ñ èçó÷àåìûìè ýëåêòðè÷åñêèìè òîêàìè.

4.4 Èçìåðåíèå êîððåëÿòîðîâ äëÿ áîëüøåãî êîëè÷åñòâà òîêîâ. ×òîáû ïîêàçàòü äàëüíåéøåå ïðèìåíåíèå ðàçâèòîé òåõíèêè, ðàññìîòðèì ñëó÷àé êîððåëÿòîðîâ âûñîêèõ ïîðÿäêîâ íà ïðèìåðå òðåõ òîêîâ. Ìû îñòàâëÿåì òå æå ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ýëåêòðîííûõ âðåìåí è âðåìåííûõ ìàñøòàáîâ, êîòîðûå áóäóò íàñ èíòåðåñîâàòü: |ti − tj | ∼ τel  γ −1 . Ñåé÷àñ ó íàñ èìååòñÿ òðè èçó÷àåìûõ òîêà, è íàì ñëåäóåò ïðîèçâîäèòü ðåäóêöèþ ìàòðèöû ïëîòíîñòè òðè ðàçà.  ýòîì ñëó÷àå âû÷èñëåíèÿ áóäóò ïîõîæè íà âû÷èñëåíèÿ ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà, íî ñåé÷àñ ìû íå ñìîæåì ïðèìåíèòü òîò æå ñàìûé òðþê ñ âûäåëåíèåì êîììóòàòîðà äâóõ îïåðàòîðîâ êîîðäèíàò èç ïîä óñðåäíåíèÿ ïî ìàòðèöå ïëîòíîñòè, ïîòîìó ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ìû íå ñìîæåì ïîñ÷èòàòü âûðàæåíèå: D E {ˆ x(t0 )ˆ x(t1 )} {ˆ x(t00 )ˆ x(t2 )} êàê ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñðåäíèõ îò àíòèêîììóòàòîðîâ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ðàññìîòðèì ýêñïåðèìåíò â êîòîðîì èìååòñÿ òðè ðàçëè÷íûõ ìåõàíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðà, êàæäûé èç êîòîðûõ âçàèìîäåéñòâóåò òîëüêî ñ îäíèì òîêîì.  ýòîì ñëó÷àå ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèÿ èìååò âèä:

ˆ I (t) = α1 xˆ1 Iˆ1 (t) + α2 xˆ2 Iˆ2 (t) + α3 xˆ3 Iˆ3 (t), H

(53)

ãäå x ˆ1 , xˆ2 è xˆ3 - ýòî îïåðàòîðû êîîðäèíàò ðàçëè÷íûõ îñöèëëÿòîðîâ. Âûðàæåíèå äëÿ òðîéíîãî êîððåëÿòîðà êîîðäèíàò ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî òî÷íî òàê æå, êàê è â ñëó÷àå äâîéíîãî êîððåëÿòîðà: (23)-(32). Ñî ñòàðûì îïðåäåëåíèåì (33) ìû ïîëó÷èì: 

n

o

ˆ 3 ,t2 )D S(t ˆ 2 ,t1 )D{S(t ˆ 1 ,−∞)ˆ ρ(−∞)Sˆ† (t1 ,−∞)ˆ x(t1 )} Sˆ† (t2 ,t1 )ˆ x(t2 ) hxˆ1 (t1 )ˆx2 (t2 )ˆx3 (t3 )i=Tr S(t t1

ãäå t3 > t2 > t1 . 14

t2

 Sˆ† (t3 ,t2 )ˆ x(t3 ) ,(54)

Êàê è â ñëó÷àå äâóõ òîêîâ, ìû ìîæåì ïîäñòàâèòü ñþäà âûðàæåíèÿ äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè è îïåðàòîðà ýâîëþöèè. ×òîáû îñòàâèòü òîëüêî ñóùåñòâåííûå ÷ëåíû èç âñåõ êóáè÷åñêèõ, ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî çàòóõàíèå ó îñöèëëÿòîðîâ áîëüøîå, è îñòàâèëè òîëüêî òå ÷ëåíû, â êîòîðûõ ðîâíî ïî îäíîìó èíòåãðèðîâàíèþ âîçëå òî÷åê t1 , t2 è t3 . Òî ÷òî îñòàåòñÿ, ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî ïîðÿäêà ðàçëîæåíèÿ ïî êîíñòàíòàì âçàèìîäåéñòâèÿ â îïåðàòîðå ýâîëþöèè è ìàòðèöå ïëîòíîñòè. Ýòî èìååò ëîãè÷íîå ôèçè÷åñêîå îáîñíîâàíèå - íàì ñëåäóåò ó÷åñòü õîòÿ áû â ïåðâîì ïîðÿäêå êàæäûé ñóùåñòâåííûé îïåðàòîð. Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì:

hxˆ1 (t1 )ˆx2 (t2 )ˆx3 (t3 )i=hxˆ1 (t1 )ˆx2 (t2 )ˆx3 (t3 )i0 + 

3 P 3 P 3 P

3

(− h¯i )

k=1 l=1 m=1

Rt1

αk αl αm

−∞

dt0

Rt2

dt00

t1

Rt3

dt000 h[ˆ xm (t000 )ˆ xm (t3 )]i

t2

S A +h[ˆ xk (t0 )ˆ xk (t1 )]ih[ˆ xl (t00 )ˆ xl (t2 )]ihIˆk (t0 )Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )i +h[ˆ xk (t0 )ˆ xk (t1 )]ih{ˆ xl (t00 )ˆ xl (t2 )}ihIˆk (t0 )Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )i 1

(55) 

A A +h{ˆ xk (t0 )ˆ xk (t1 )}ih{ˆ xl (t00 )ˆ xl (t2 )}ihIˆk (t0 )Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )i 2 +h{ˆ xk (t0 )ˆ xk (t1 )}ih[ˆ xl (t00 )ˆ xl (t2 )]ihIˆk (t0 )Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )i 3 ,

çäåñü ìû óñðåäíÿëè âñå êîììóòàòîðû è àíòèêîììóòàòîðû ïî îòäåëüíîñòè, ïîòîìó ÷òî îïåðàòîðû êîîðäèíàòû äëÿ ðàçíûõ îñöèëëÿòîðîâ äåéñòâóþò â ðàçëè÷íûõ ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ è êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì. Îáîçíà÷åíèÿ äëÿ êîððåëÿòîðîâ òîêîâ èìåþò ñëåäóþùèé âèä: (56) (57) (58) (59)

S

hIˆk (t0 )Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )i = 14 h+Iˆm (t000 )Iˆl (t00 )Iˆk (t0 )+Iˆk (t0 )Iˆm (t000 )Iˆl (t00 )+Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )Iˆk (t0 )+Iˆk (t0 )Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )i A hIˆk (t0 )Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )i 1 = 14 h−Iˆm (t000 )Iˆl (t00 )Iˆk (t0 )−Iˆk (t0 )Iˆm (t000 )Iˆl (t00 )+Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )Iˆk (t0 )+Iˆk (t0 )Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )i A hIˆk (t0 )Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )i 2 = 14 h+Iˆm (t000 )Iˆl (t00 )Iˆk (t0 )−Iˆk (t0 )Iˆm (t000 )Iˆl (t00 )−Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )Iˆk (t0 )+Iˆk (t0 )Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )i A hIˆk (t0 )Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )i 3 = 14 h−Iˆm (t000 )Iˆl (t00 )Iˆk (t0 )+Iˆk (t0 )Iˆm (t000 )Iˆl (t00 )−Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )Iˆk (t0 )+Iˆk (t0 )Iˆl (t00 )Iˆm (t000 )i

Îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò ïîëó÷àåòñÿ ïðè èíòåãðèðîâàíèè, èìåþùåì òàêîé æå âèä, êàê (49) è (50):

hxˆ1 (t1 )ˆx2 (t2 )ˆx3 (t3 )i=

  X αk αl αm  γ2 S A hIˆk (t1 )Iˆl (t2 )Iˆm (t3 )i −ihIˆk (t1 )Iˆl (t2 )Iˆm (t3 )i 1 l2 2Tl − k,l,m

2 ωk2 ωl2 ωm

−ihIˆk (t1 )Iˆl (t2 )Iˆm (t3 )i

(60)

¯ γl ω h l

 A3

γ 2 2T k k ¯ γk ω2 h k



 A2

−hIˆk (t1 )Iˆl (t2 )Iˆm (t3 )i

γ 2 2T k k ¯ γk ω2 h k



γ 2 2T l l ¯ γl ω2 h l

 ,

(61)

çäåñü ìû ââåëè îáîçíà÷åíèÿ äëÿ òåìïåðàòóð, ðåçîíàíñíûõ ÷àñòîò è êîýôôèöèåíòîâ çàòóõàíèÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ îñöèëëÿòîðîâ, è ó÷ëè, ÷òîE äëÿ íåçàâèñèìûõ îñöèëëÿòîðîâ D áåç âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ðåçåðâóàðàìè: x ˆ1 (t1 )ˆ x2 (t2 )ˆ x3 (t3 ) = 0 0

4.5 Âîçìîæíàÿ ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ðåàëèçàöèÿ. Íåäàâíèå ýêñïåðèìåíòû ñ íàíîýëåêòðî-ìåõàíè÷åñêèìè îñöèëëÿòîðàìè [23], [24] ïîêàçûâàþò âîçìîæíîñòü èçó÷åíèÿ îñöèëëÿòîðîâ â âûðîæäåííûõ ïî òåìïåðàòóðå êâàíòâî-ìåõàíè÷åñêèõ ñîñòîÿíèÿõ. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ìåõàíè÷åñêèå îñöèëëÿòîðû, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ìîäèôèêàöèåé [24].  òàêîì ïðèáîðå îñöèëëÿòîðàìè ÿâëÿþòñÿ áðóñêè, çàêðåïëåííûå ñ äâóõ êîíöîâ. Ïóñòü êàæäûé èç íèõ ïîäêëþ÷åí ê áîëüøîìó íàïðÿæåíèþ, êîòîðîå ïîçâîëÿåò ðàñïîëîæåííîìó ðÿäîì îäíîýëåêòðîííîìó òðàíçèñòîðó èçìåðÿòü ñìåùåíèå áðóñêà ïðàêòè÷åñêè ñ êâàíòîâîé òî÷íîñòüþ [Ðèñ. 15

Ðèñ. 1: Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà, èñïîëüçóþùàÿ îäíîýëåêòðîííûé òðàíçèñòîð äëÿ

èçìåðåíèÿ ñìåùåíèÿ íàíîýëåêòðî-ìåõàíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Âñÿ ñèñòåìà ïîìåùåíà â ñèëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå B . Ñèëà Àìïåðà, äåéñòâóþùàÿ íà áðóñîê, ïðîïîðöèîíàëüíà òîêó I1 , è ñìåøåíèå áðóñêà y ïðÿìîïðîïîðöèîíàëüíî ýòîé ñèëå. Áðóñîê ïîääåðæèâàåòñÿ ïðè ïîñòîÿííîì áîëüøîì ïîòåíöèàëå U , êîòîðûé íàâîäèò íà îñòðîâêå îäíîýëåêòðîííîãî òðàíçèñòîðà äîïîëíèòåëüíûé çàðÿä, êîòîðûé çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó áðóñêîì è îñòðîâêîì.

1]. Ïóñòü ìàññà áðóñêà m, åãî äëèíà l è åãî ñîáñòâåííàÿ ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà ω0 . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êàæäûé èç èçó÷àåìûõ òîêîâ ïðîòåêàåò ÷åðåç îäèí èç îñöèëëÿòîðîâ. Åñëè âñþ ñèñòåìó ïîìåñòèòü â äîñòàòî÷íî ñèëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå, òî ýëåêòðè÷åñêèå òîêè, èç-çà ñèëû àìïåðà, áóäóò ðàñêà÷èâàòü áðóñêè. Åñëè òîê ÷åðåç áðóñîê ïîðÿäêà I , òîãäà ñèëà àìïåðà ÷åðåç íåãî áóäåò ðàâíà Fa = IBl. Òàê ÷òî êîíñòàíòà âçàèìîäåéñòâèÿ ðàâíÿåòñÿ:

Bl α= √ , m

(62)

çäåñü ïîÿâèëàñü ìàññà, ïîòîìó ÷òî âåëè÷èíà x â ôîðìóëå (35) ðàâíÿåòñÿ ðåàëüíîìó ñìåùåíèþ y áðóñêà äåëåííîìó íà êâàäðàòíûé êîðåíü îò ìàññû.  ýêñïåðèìåíòå, ïðè ïîìîùè íåñêîëüêèõ îäíîýëåêòðîííûõ òðàíçèñòîðîâ, áóäåò èçìåðÿòüñÿ çàâèñèìîñòü ñìåùåíèÿ xi êàæäîãî áðóñêà îò âðåìåíè. Çàòåì ïî ýòèì äàííûì ñ÷èòàòüñÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ (51) èëè (61), èç êîòîðîé óæå ìîæíî èçâëå÷ü æåëàåìûé êîððåëÿòîð ýëåêòðè÷åñêèõ òîêîâ.

Çàêëþ÷åíèå  ïðåäëîæåííîì ñïîñîáå êîäèðîâàíèÿ èíôîðìàöèè ÷èñëî ñîîáùåíèé, êîòîðîå Åâà äîëæíà ïåðåõâàòèòü äëÿ âçëîìà øèôðà, ýêñïîíåíöèàëüíî ïî ÷èñëó êóáèòîâ è èñïîëüçîâàííûõ êâàíòîâûõ âåíòèëåé. Ýòî âèäíî èç îöåíîê (6), (14) è (19). 16

Ñîãëàñíî ïîëó÷åííûì îöåíêàì, Åâå íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ñòðóêòóðó âñåõ 2K çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé, òî åñòü ïåðåõâàòèòü

N ≈ C ∗ 22K

(63)

ñîîáùåíèé. ×òî ñîîòâåòñòâóåò ïåðåäà÷å

Nbit ∼ K ∗ 22K

(64)

áèòîâ êëàññè÷åñêîé èíôîðìàöèè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî (14) Àëèñå è Áîáó íåîáõîäèìî óñëîâèòüñÿ î M íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ, êàæäîå èç êîòîðûõ íå áîëüøå L, ÷òîáû çàäàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîñòûõ óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Êàê ìû îòìå÷àëè ðàíåå, M è K äîëæíû áûòü ïîðÿäêà K 2 , òåì ñàìûì, êîëè÷åñòâî èíôîðìàöèè â áèòàõ, íåîáõîäèìîé, ÷òîáû îïèñàòü êâàíòîâóþ ñåòü âåíòèëåé, çàäàåòñÿ îöåíêîé:

Nkey ∼ K 2 ∗ log2 K 2 .

(65)

Ýòî âûðàæåíèå îïðåäåëÿåò äëèíó ñåêðåòíîãî êëþ÷à, êîòîðûì äîëæíû îáëàäàòü Àëèñà è Áîá. Îíè ìîãóò èñïîëüçîâàòü ïðîòîêîëû ãåíåðàöèè ñåêðåòíîãî êëþ÷à èñïîëüçóþùèå êâàíòîâóþ ìåõàíèêó. Âûðàæåíèå (64) ïîêàçûâàåò, ñêîëüêî êëàññè÷åñêèõ áèòîâ ìîæåò áûòü ñåêðåòíî ïåðåäàíî, èñïîëüçóÿ ýòîò ñåêðåòíûé êëþ÷. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäëîæåííàÿ ñõåìà øèôðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ êâàíòîâûì àíàëîãîì êëàññè÷åñêèõ ñõåì áëî÷íîãî øèôðîâàíèÿ. Õîòÿ ïðåäëîæåííûé ïðîòîêîë òðåáóåò íàëè÷èÿ çàäàííîãî ñåêðåòíîãî êëþ÷à, îí âñå åùå èìååò ïðåèìóùåñòâà ïåðåä êëàññè÷åñêèìè ñõåìàìè áëî÷íîãî øèôðîâàíèÿ, êîòîðûå òîæå ñ÷èòàþòñÿ çàùèùåííûìè â òå÷åíèå ýêñïîíåíöèàëüíîãî âðåìåíè ïî äëèíå ñåêðåòíîãî êëþ÷à. Ïðèìåð ñõåìû RSA è Øîðîâñêîãî àëãîðèòìà ôàêòîðèçàöèè áîëüøèõ ÷èñåë ïîêàçûâàåò, ÷òî êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ìîæåò çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü âçëàìûâàíèå øèôðîâ îñíîâàííûõ íà ñëîæíîñòè êëàññè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ.  ïðîòèâîïîëîæíîñòü ýòîìó, çàùèùåííîñòü ïðåäëîæåííîãî ïðîòîêîëà îïðåäåëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûìè çàêîíàìè ïðèðîäû. Ãëàâíûìè ïðåèìóùåñòâàìè ïðåäëîæåííîé ñõåìû ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî Àëèñà è Áîá îäíàæäû äîãîâîðèâøèñü î ñåêðåòíîì ïðåîáðàçîâàíèè, ìîãóò èñïîëüçîâàòü åãî â òå÷åíèå äëèòåëüíîãî âðåìåíè. Ïåðåäà÷à ñîîáùåíèé ïðîèñõîäèò â îäíîì íàïðàâëåíèè, â ïðîòèâîïîëîæíîñòü ïðîòîêîëàì ðàçäåëåíèÿ êëþ÷à, êîòîðûå òðåáóþò ïåðåäà÷ó êëàññè÷åñêîé èíôîðìàöèè êàê îò Àëèñû ê Áîáó, òàê è â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñîãëàñíî ãëàâå 2, ê êëàññè÷åñêèì ïðîáëåìàì êðèïòîãðàôèè äîáàâëÿåòñÿ ïðîáëåìà îïðåäåëåíèÿ óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Èñòî÷íèêîì äîïîëíèòåëüíîé áåçîïàñíîñòè ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà î çàïðåòå êëîíèðîâàíèÿ ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû [30]. Ñîãëàñíî ýòîé òåîðåìå, èçìåðåíèå êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ â íåâåðíîì áàçèñå äàåò ìåíüøåå êîëè÷åñòâî èíôîðìàöèè, ÷åì â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå, ãäå êàæäîå ïåðåõâà÷åííîå ñîîáùåíèå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ êðèïòîàíàëèçà.  êâàíòîâîì ñëó÷àå ÷àñòü ïåðåõâà÷åííûõ çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. 17

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî òåîðåìå î çàïðåòå êëîíèðîâàíèÿ [30], Åâà óíè÷òîæàåò ñîñòîÿíèå, èçìåðÿÿ åãî â íåïðàâèëüíîì áàçèñå, è, òåì ñàìûì, îíà íå ìîæåò ïîñëàòü òî æå ñàìîå ñîñòîÿíèå Áîáó.  ñîãëàñèè ñ îñíîâíûìè ïðèíöèïàìè êâàíòîâîé êðèïòîãðàôèè [6], Áîá ìîæåò çàìåòèòü ïîïûòêè ïîäñëóøèâàíèÿ, è îí ìîæåò ïîïðîñèòü Àëèñó ïðåêðàòèòü ïåðåäà÷ó ñîîáùåíèé. À òàê æå, ïî àíàëîãèè ñ ðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé êðèïòîãðàôèåé [31], Áîá ìîæåò îïðåäåëèòü ïîïûòêè ïîäñëóøèâàíèÿ ïî âðåìåííûì çàäåðæêàì ïîñòóïàþùèõ ñîîáùåíèé. Õîòÿ ðàññìîòðåííàÿ ñõåìà øèôðîâàíèÿ èìååò ïðåèìóùåñòâà ïåðåä îñòàëüíûìè, ñóùåñòâóþò òðóäíîñòè â åå ðåàëèçàöèè. Âî-ïåðâûõ, êîíñòðóèðîâàíèå êâàíòîâûõ êîìïüþòåðîâ, îïåðèðóþùèõ äåñÿòêàìè êóáèòîâ, ýòî âñå åùå äåëî áóäóùåãî; äàæå êâàíòîâàÿ òîìîãðàôèÿ áåç èñïîëüçîâàíèÿ êâàíòîâûõ êîìïüþòåðîâ íà äàííûé ìîìåíò èìååò ñëîæíîñòè â ðåàëèçàöèè. Âî-âòîðûõ, èç-çà ìàëûõ âðåìåí äåêîãåðåíòíîñòè ìàññèâíûõ çàïóòàííûõ ÷àñòèö, ôîòîíû îñòàþòñÿ ëó÷øèìè îáúåêòàìè äëÿ ïåðåäà÷è êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Íî ïðåîáðàçîâàíèå ñîñòîÿíèÿ êóáèòîâ â ñîñòîÿíèå ôîòîíîâ ýòî íå ïðîñòàÿ ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàäà÷à. Îäíàêî, ïðîèçâîäÿòñÿ íåêîòîðûå ïîïûòêè ïî èçó÷åíèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ôîòîíîâ ñî ñâåðõïðîâîäíèêîâûìè êóáèòàìè [27], è èçó÷àåòñÿ âîçìîæíîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîñòîÿíèÿ çàïóòàííûõ ýëåêòðîíîâ â çàïóòàííîå ñîñòîÿíèå ïîëÿðèçàöèè ôîòîíîâ [28]. Íàêîíåö, â ïðîöåññå ïåðåäà÷è ôîòîíîâ ïðîèñõîäèò íåèçáåæíîå âëèÿíèå îêðóæàþùåé ñðåäû íà èõ ñîñòîÿíèå, ïîýòîìó íåîáõîäèìî ïðèìåíÿòü ìåòîäû êâàíòîâîé êîððåêöèè îøèáîê [29].  çàêëþ÷åíèå, ìû ïðåäëîæèëè îöåíêè, ïîêàçûâàþùèå, ÷òî äëÿ ïðåäëîæåííîãî êðèïòîãðàôè÷åñêîãî ïðîòîêîëà âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãî ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî ñåêðåòíîå óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ýêñïîíåíöèàëüíî ïî ÷èñëó êóáèòîâ â çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèÿõ, è ÷èñëó êâàíòîâûõ âåíòèëåé, èñïîëüçîâàííûõ äëÿ ñîçäàíèÿ êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà. Ïî ìàòåðèàëàì ââåäåíèÿ è ãëàâ 1, 2 è 3 áûëà íàïèñàíà ñòàòüÿ: K.V. Bayandin, G.B. Lesovik, JETP Letters, Vol. 81, No. 7, 2005, pp. 351-355.

18

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] R. Feynman, Int. J. Theor. Thys. 21, 467, (1982) [2] D. Deutsch, Proc. R. Soc. London A 400, 97, (1985) [3] S.I.A.M. Journal on Computing, 26, 1484, (1997), [4] R. Rivest, A. Shamir, L. Adleman, On Digital Signatures and Public Key Cryptosystems, MIT Laboratory for Computer Science, Technical Report, MIT/LCS/TR-212 (January 1979) [5] Dirk Bouwmeester, Artur Ekert, Anton Zeilinger, The Physics of Quantum Information, Springer-Verlag (2000) [6] C. H. Bennet and G. Brassard, Proc. IEEE Int. Conference on Computer Systems and Signal Processing, IEEE, New York, (1984) [7] C. H. Bennet et al, J. Cryptol. 5, 3 (1992) [8] A. Muller, J.Breguet, and N. Gisin, Europhys. Lett. 23, 383 (1993) [9] A.K. Ekert, J.G. Rarity, P.R. Tapster, G.M. Palma , Phys. Rev. Lett. 69, 1293 (1992) [10] J.F. Clauser, M.A. Horne, A. Shimony, and R.A. Hol, Phys. Rev. Lett.23, 880 (1969) [11] G.M D'Ariano, L. Maccone, M. Paini, quant-ph/0210105 [12] W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Veterlingt, B.P. Flannery, The Art of Scientic Computing, Chapters 7.6 and 7.8, Cambrige University Press (1988-1992) [13] M. H. Devoret, A. Wallra, and J. M. Martinis, cond-mat/0411174 [14] Cavity Quantum Electrodynamics, Advances in atomic, molecular and optical physics, Supplement 2, P. Berman editor, Academic Press (1994); S. Haroche, in Fundamental systems in quantum optics, les Houche summer school session LIII, J. Dalibard, J.M. Raimond and J. Zinn-Justin eds, North Holland, Amsterdam (1992) [15] J.I. Cirac and P. Zoller, Phys. rev. Lett. 74, 4091 (1995); J.F. Poyatos, J.I. Cirac, and P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 81, 1322 (1998) [16] N.A. Gershenfeld and I.L. Chuang, Science 275, 350 (1997) [17] A. Ekert and R. Jozsa, Rev. Mod. Phys. 68, 733 [18] G. Lesovik, Th. Martin, G. Blatter, Eur. Phys. J. B 24, 287, (2001); N. M. Chtchelkatchev, G. Blatter, G. Lesovik, Th. Martin, Phys. Rev. B 66, 161320, (2002). [19] C. W. J. Beenakker, C. Emary, M. Kindermann, J. L. van Velsen, Phys. Rev. Lett. 91, 147901, (2003). 19

[20] Denis Feinberg, Pascal Simon, App. Phys. Lett. 85, 1846 (2004). [21] R. Fiederling et al., Nature (London) 402, 787 (1999); Y. Ohno et al., ibid., 790 (1999). [22] C.W.J. Beenakker, C. Emary, M. Kindermann, Phys.Rev.B 69, 115320 (2004) [23] A. Robert G. Knobel, Andrew N. Cleland, Nature, 424, 291 (2003). [24] M.D. LaHaye, O. Buu, B. Camarota, K.C. Schwab, Science, 304, 74-77 (2004). [25] G.B. Lesovik, R. Loosen, JETP Letters 65, No. 3, 280-284 (1997). [26] G.B. Lesovik, Usp. Phys. Nauk 168, No. 2, 155-159 (1998). [27] A. Wallra, D.I. Schuster, A. Blais, L. Frunzio, R.-S. Huang, J. Majer, S. Kumar, S.M. Girvin, and R.J. Schoelkopf, Nature (London) 431, 162-167 (2004) [28] V. Cerletti, O. Gywat, D. Loss, cond-mat/0411235 [29] E. Knill, R. Laamme, Phys. Rev. A 54, 900-911 (1997) [30] W.K. Wooters and W.H. Zurek, Nature (London), 299, 802, (1982) [31] S.N.Molotkov, S.S.Nazin, quant-ph/0106046

20