Небесная механика. Общий курс

Часть I. Методы небесной механики Повышение точности и количества наблюдений за движениями небесных тел обусловили разработку универсальных методов небесной механики, позволяющих, в конечном итоге, эффективно предсказывать движения небесных тел. Задачи о движениях небесных тел, рассматриваемые в рамках ньютоновской механики, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями *) . Отыскание их точных решений составляет так называемую “проблему интегрируемости дифференциальных уравнений”. Задачу принято считать аналитически интегрируемой, если можно построить общий интеграл дифференциальных уравнений этой задачи, который содержал бы число независимых произвольных постоянных, равное порядку системы. Однако с развитием аналитической теории дифференциальных уравнений к интегрируемым задачам стали относить и те из них, для которых можно построить решения в виде сходящихся для произвольных моментов времени рядов при заданных параметрах рассматриваемых систем. Теория канонических уравнений (гамильтоновская механика) позволяет получить достаточно полные решения ряда задач небесной механики, не поддающихся решению другими аналитическими методами (например, задача двух неподвижных центров). Канонические системы имеют принципиальные физические отличия от других, негамильтоновских (диссипативных), систем и являются более сложными системами. Существование диссипативных факторов приводит к меньшей чувствительности системы к разного рода слабым возмущениям. Сложность отыскания общих решений задач небесной механики обусловила разработку специальных методов построения точных, но частных решений. Точные аналитические решения задач небесной механики, прежде всего решения задачи двух тел, а также задачи двух неподвижных центров, имеют важное значение при изучении эволюции небесно-механических систем (планетных, спутниковых) на космогонических интервалах времени. Приближенные методы такую возможность исследователю предоставить не могут. Наиболее фундаментальные аналитические и качественные (учитывающие топологические особенности пространственных образов) методы построения семейств периодических решений задач небесной механики были разработаны А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре на рубеже XIX-XX вв **) . Еще большая значимость теории канонических уравнений связана с развитием асимптотических методов теории возмущений. В ряде случаев оказывается достаточным исследование поведения решений на асимптотически больших или малых интер-

*)

Поправки, являющиеся следствием теории относительности, как уже указывалось во введении, малы, и в рассматриваемых задачах их можно не учитывать. **) Качественные методы, в отличие от количественных, не позволяют непосредственно определять положения небесных тел в пространстве, однако они выявляют тенденции в изменении движений.

16

Часть I. Методы небесной механики

валах времени и при определенных параметрах системы. Нахождение соответствующих аналитических решений требует разработки специальных асимптотических методов, таких как метод малого параметра, метод отображения Пуанкаре, различные схемы осреднения. Применение канонических уравнений достаточно эффективно и в теории устойчивости. Создание строгой математической теории “устойчивых решений” дифференциальных уравнений, применяемых в небесной механике, связано с именем А. М. Ляпунова, который разработал два универсальных метода исследования устойчивости. Первый метод Ляпунова основан на исследовании устойчивости решений линеаризованной задачи первого приближения и оценке влияния нелинейных членов на устойчивость первого приближения, второй — на применении соответствующих функций Ляпунова, не требующих исследования свойств решений первого приближения. Методы численного интегрирования уравнений небесной механики и вычислительные методы определения орбит небесных тел, а также моментов наступления солнечных и лунных затмений по их астрономическим наблюдениям подробно изложены в книге Д. Брауэра, Дж. Клеменса “Методы небесной механики”. Основы этих методов были заложены еще И. Ньютоном, а позднее — Л. Эйлером. Однако в связи с интенсивным развитием вычислительной техники многие вычислительные методы небесной механики (метод Хилла, метод вычисления возмущений в координатах, метод Ганзена и т.п.) стали в настоящее время неактуальными и поэтому далее не рассматриваются.

Глава 1. Канонические уравнения 1.1. Автономные канонические уравнения Пусть qi, pi ( i = 1, n ) обозначают 2n независимых величин. Тогда уравнения вида

dq i ∂ F = , dt ∂ pi

dp i ∂F =− , dt ∂ qi

(1.1.1)

где t — независимая переменная, F — однозначная непрерывная функция переменных qi и pi, будем называть автономной канонической системой уравнений порядка 2n, а функцию F — функцией Гамильтона. Если эти уравнения удовлетворяются при

qi = ϕ i (t ), pi = ψ i (t )

i = 1, n,

(1.1.2)

то говорят, что система (1.1.1) определяет частное решение вида (1.1.2). Если некоторая функция Φ(qi,pi,t), в которой переменные qi, pi удовлетворяют системе (1.1.1), остается постоянной, то эта функция называется частным или первым интегралом системы (1.1.1). Общим интегралом канонических уравнений (1.1.1) называется совокупность 2n независимых между собой уравнений вида

Глава 1. Канонические уравнения

17

Φj(qi,pi,t) = α j = const

j = 1,2n,

(1.1.3)

обращающихся в тождества после подстановки вместо величин qi и pi функций времени, удовлетворяющих уравнениям (1.1.1). Нетрудно заметить, что каждое из равенств (1.1.3) является первым интегралом. Признаком независимости первых интегралов (1.1.3) является, как известно, неравенство нулю якобиана системы 2n функций Φj от 2n независимых переменных qi, pi, при этом t рассматривается как величина постоянная. Это условие может быть записано в следующей символической форме:

∂ (Φ1 , Φ 2 ,..., Φ 2 n ) ≠ 0. ∂ (qi , pi )

(1.1.4)

Заметим теперь, что полагая в формулах (1.1.3) t = t 0 , мы получим уравнения

α j = Φ j (qi0 , pi0 , t 0 ) j = 1,2n,

(1.1.5)

устанавливающие взаимосвязь между произвольными постоянными и начальными условиями, отвечающими моменту t0. Разрешая теперь систему (1.1.3) относительно qi, pi, что возможно в силу условия (1.1.4), мы получим общее решение системы (1.1.1) в виде (1.1.6) qi = qi α j , t , pi = pi α j , t i = 1, n, j = 1, 2n

(

или, с учетом (1.1.5),

)

(

(

)

)

(

)

qi = qi qi0 , pi0 , t , pi = pi qi0 , pi0 , t .

(1.1.7)

Следует заметить, что поскольку F не зависит явно от времени и n ⎛ ∂F dqi ∂F dpi ⎞ dF = ∑⎜ + ⎟ dt i =1 ⎝ ∂qi dt ∂pi dt ⎠

(1.1.8)

согласно (1.1.1) обращается в нуль, то F является первым интегралом системы (1.1.1) *) . Отметим также очевидное свойство канонических систем не изменяться при одновременной замене pi (либо qi) на λpi (λqi) и F на λF, где λ — некоторое число. Рассмотрим теперь возможность понижения порядка автономной канонической системы. Как мы уже указывали, система (1.1.1) допускает интеграл *)

Обращение в нуль производной полной по времени от произвольного гамильтониана F системы (как будет показано далее, F является полной энергией динамической системы) n dF ∂F ∂ F ∂ F n ∂F ⎛ ∂F ⎞ ∂F ⎜− ⎟≡ = +∑ +∑ dt ∂t i =1 ∂qi ∂pi i =1 ∂pi ⎜⎝ ∂qi ⎟⎠ ∂t означает, что энергия системы не изменяется со временем, то есть F ≠ F(t). Таким образом, наличие знака минус во второй группе канонических уравнений (1.1.1) обусловлено законом сохранения энергии в автономной канонической системе.

18

Часть I. Методы небесной механики F ( q1 ,K, q n , p1 ,K, p n ) = h,

(1.1.9)

который называют интегралом энергии. Предположим, что какая-либо из координат, например q1, не является циклической, так что

∂F ≠ 0. ∂ q1

(1.1.10)

Тогда уравнение (1.1.9) можно разрешить относительно q1: q1 = ϕ ( q 2 , q3 ,K, q n , p1 ,K, p n ).

(1.1.11)

Если (1.1.11) подставить в соотношение (1.1.9), то получим тождество. Дифференцируя его по p2, будем иметь:

Следовательно,

∂F ∂F ∂ϕ + = 0. ∂ p 2 ∂ q1 ∂ p 2

(1.1.12)

dq 2 q& 2 ∂F ∂F ∂ϕ = =− : = . ∂p 2 ∂q1 ∂p 2 dp1 p& 1

(1.1.13)

Аналогично, дифференцируя (1.1.9) по q2, с учетом (1.1.11), находим

Отсюда

∂F ∂F ∂ϕ + = 0. ∂q 2 ∂q1 ∂q 2

(1.1.14)

dp 2 p& 2 ∂F ∂F ∂ϕ : = = =− . dp1 p& 1 ∂q 2 ∂q1 ∂q 2

(1.1.15)

Таким образом, функцию ϕ можно взять в качестве новой функции Гамильтона с 2(n−1) зависимыми переменными q2, q3, ..., qn; p2, p3, ..., pn и независимой переменной p1: dqi ∂ϕ dpi ∂ϕ = , =− i = 2, n . (1.1.16) ∂q i dp1 ∂pi dp1

(

)

Однако отметим, что новая каноническая система (1.1.16) имеет порядок 2(n−1), но уже не является автономной, поскольку функция ϕ зависит от новой независимой переменной p1. 1.2. Проблема одного неподвижного центра Обратимся теперь к задаче, имеющей очень большое значение для небесной механики, и покажем, что ее уравнения могут быть записаны в канонической форме. Рассмотрим движение точки P массы m в поле тяготения неподвижного точечного центра P0 с массой M. Если начало декартовой системы координат ( x1 , x2 , x3 ) совместить с P0,

Глава 1. Канонические уравнения

19

то ньютоновские уравнения движения точки P примут вид d 2 xi ∂U m 2 = , ∂xi dt

(

где i = 1, 2, 3, U = χ / r , r = x12 + x22 + x32

)

1/ 2

(1.2.1)

, χ = fmM, f — гравитационная постоянная.

Этим уравнением можно придать и канонический вид. Введем импульсы pi = mx& i , и пусть qi = xi. Тогда, представляя кинетическую энергию материальной точки P в виде 1 (1.2.2) T= p12 + p22 + p32 , 2m получим, очевидно, ∂T (1.2.3) . qi = ∂ pi

(

)

Вводя функцию Гамильтона F = T − U, окончательно получим q& i =

∂F ∂F , p& i = − , i = 1, 2, 3. ∂ pi ∂ qi

(1.2.4)

Отметим, что задача допускает (ввиду автономности системы (1.2.4)) интеграл энергии F = const и три интеграла площадей

q2 p3 − p2 q3 = a1 , q3 p1 − p3q1 = a2 ,

(1.2.5)

q1 p2 − p1q2 = a3 (ai = const, i = 1,3 ), которые следуют из уравнений (1.2.1), если их соответствующим образом домножить на ±xi и сложить. 1.3. Лемма Пуанкаре Обратимся снова к уравнениям (1.1.1). Допустим, что все pi и qi выражены как функции переменной t и 2n независимых постоянных αj ( j = 1,2n ). В этом случае тождественно имеем: n ⎡ dpi dpi dqi ∂pi dpi ∂qi ⎤ d n d n (1.3.1) − = − q q ⎢ ⎥. ∑ ∑ ∑ i i dt i =1 dα j dα j i = 1 dt i =1 ⎢ ⎣ dt ∂α j dt ∂α j ⎥⎦ С другой стороны, n ⎡ ∂F ∂pi ∂F ∂qi ⎤ dF = ∑⎢ + ⎥ dα j i =1 ⎢⎣ ∂pi ∂α j ∂qi ∂α j ⎥⎦

j = 1,2n ,

(1.3.2)

20

Часть I. Методы небесной механики

но в силу уравнений (1.1.1) правые части выражений (1.3.1) и (1.3.2) равны. Следовательно, имеем систему 2n уравнений dpi d d n qi − ∑ dα j dα j dt i =1

n

∑

qi

i =1

dpi dF , = dt dα j

j = 1,2n .

(1.3.3)

Наоборот, если имеют место уравнения (1.3.1) и левая часть (1.3.2) равна левой части (1.3.1), тогда

⎡ dqi ∂F ⎤ ∂pi − − ∑ ⎢ ⎥ dpi ⎦ ∂α j i =1 ⎣ dt n

n

⎡ dpi

∑ ⎢ dt i =1

⎣

+

∂F ⎤ ∂q i = 0. ⎥ dqi ⎦ ∂α j

(1.3.4)

Эти 2n уравнений линейны относительно величин

dp ∂F dqi ∂F − и i− dt ∂pi dt ∂qi

( i = 1, n ),

но определитель этой системы отличен от нуля ввиду независимости αj:

∂ (qi , pi ) ≠0 ∂α j Следовательно, система (1.3.4) имеет только нулевые решения

dqi ∂F dpi ∂F = =− , ∂q i dt ∂pi dt

( i = 1, n ).

Таким образом, доказана лемма Пуанкаре, согласно которой система (1.3.3) эквивалентна каноническим уравнениям (1.1.1). 1.4. Канонические преобразования Возьмем теперь вместо pi и qi новые переменные Qi = Qi(pi,qi), Pi = Pi(pi,qi) и допустим, что соотношения, связывающие старые и новые переменные, таковы, что выполняется условие n

n

i =1

i =1

∑ Qi dPi − ∑ qi dpi = dS ,

(1.4.1)

где S = S(pi,qi). Покажем, что уравнения (1.1.1) в этом случае в новых переменных сохраняют каноническую форму. Переходя от дифференциалов в (1.4.1) к производным сначала по αj, а затем по t, получим

Глава 1. Канонические уравнения n

∑

Qi

i =1

n

∑ i =1

dPi − dα j

dP Qi i − dt

21

n

∑

qi

i =1 n

∑ i =1

dpi dS = dα j dα j

dp dS qi i = dt dt

(1.4.2) ( j = 1,2n).

Дифференцируя теперь первое из полученных уравнений по t, а второе по αj, выводим тождество dpi d n d − qi ∑ dt i =1 dα j dα j

n

∑ i =1

qi

dpi dPi d n d = ∑ Qi − dt dt i =1 dα j dα j

n

∑ i =1

Qi

dPi dt

(1.4.3)

или, с учетом равенства (1.3.3), dPi d n d − Qi ∑ dt i =1 dα j dα j

n

∑

Qi

i =1

dPi dF = dt dα j

( j = 1,2n ).

(1.4.4)

Отсюда, согласно лемме Пуанкаре, находим

dQi ∂F dPi ∂F = , =− dt ∂Pi dt ∂ Qi

( i = 1,n ),

(1.4.5)

где F = F(Qi,Pi). Таким образом, в случае перехода к новым переменным, удовлетворяющим условию (1.4.1), каноническая форма уравнений сохраняется. Рассмотрим в качестве примера преобразование канонических переменных q, p вида Q = 2q ⋅ cos p, P = 2q ⋅ sin p , (1.4.6) для которого очевидно, что Q ⋅ dP = 2q ⋅ cos 2 p dp + cos p sin p dq , то есть 1 Q ⋅ dP − q ⋅ dp = q ⋅ cos 2 pdp + sin 2 pdq , 2

или ⎤ ⎡1 Q ⋅ dP − q ⋅ dp = d ⎢ q ⋅ sin 2 p ⎥ . ⎦ ⎣2

(1.4.7)

Следовательно, данное преобразование (1.4.6) сохраняет каноническую форму исходных уравнений. 1.5. Производящие функции Пусть функции P ( p , q ) , Q ( p , q ) от 2n переменных p , q задают некоторое кано-

22

Часть I. Методы небесной механики

ническое преобразование. Здесь и далее черта, поставленная сверху над символом, указывает на то, что рассматриваемая величина — вектор, то есть, например, запись q означает, что рассматривается n-мерный вектор с компонентами q1, q2, ..., qn. Тогда, согласно доказанному в предыдущем параграфе, выражение p ⋅ dq − P ⋅ dQ есть полный дифференциал: p ⋅ dq − P ⋅ dQ = dS . (1.5.1) Здесь произведение сомножителей следует рассматривать как скалярное произведение двух векторов. Так, например, n

p ⋅ dq = ∑ pi dqi . i =1

Предположим теперь, что в окрестности некоторой точки ( p0 , q0 ) за независимые координаты можно принять (Q , q ) , то есть предположим, что в точке ( p0 , q0 ) отличен от нуля якобиан преобразований ∂ (Q , q ) ∂ (Q ) (1.5.2) = ≠ 0. ∂ ( p, q ) ∂ ( p) Такое каноническое преобразование называют свободным. В этом случае функцию S можно локально выразить через эти координаты: S ( p , q ) = S1 (Q , q ) .

(1.5.3)

Функция S1 (Q , q ) называется производящей функцией свободного канонического преобразования. Из соотношения (1.5.1) следует, что частные производные S1 равны

∂ S1 (Q , q ) ∂ S1 (Q , q ) = p, = −P . ∂q ∂Q

(1.5.4)

Справедливо и обратное утверждение: всякая функция S1 задает некоторое каноническое преобразование по формулам (1.5.4). Покажем, что функция S1 (Q , q ) , для которой ⎛ ∂ 2 S1 det ⎜ ⎜∂Q ∂q ⎝ i j

⎞ ⎟ ≠ 0, ⎟ ⎠ Q0 , q0

(1.5.5)

определяет при помощи соотношений p=

∂ S1 (Q , q ) ∂ S (Q , q ) , P =− 1 ∂q ∂Q

(1.5.6)

свободное каноническое преобразование. Сначала покажем, что из этих соотношений мы можем выразить Q и P через

Глава 1. Канонические уравнения

23

p , q . Для этого рассмотрим первую группу уравнений (1.5.6). Согласно теореме о неявной функции эти уравнения разрешимы в окрестности точки q0 , p0 =

∂ S1 ∂q

q0

и определяют функцию Q = Q ( p, q ) ,

(1.5.7)

причем Q ( p0 , q 0 ) = Q0 . Обратимся затем ко второй группе уравнений (1.5.6). Обозначая

−

∂S1 (Q , q ) = Φ( Q , q ) ∂Q

и учитывая (1.5.7), сразу находим P ( p , q ) = Φ (Q ( p , q ), q ) .

(1.5.8)

Покажем теперь, что локальное преобразование ( p , q ) → ( P , Q ) будет каноническим с производящей функцией S1. Действительно, по построению

p ⋅ dq − P ⋅ dQ =

∂ S1 ∂S dq + 1 dQ = dS1 (q , Q ) = dS ( p, q ) . ∂Q ∂q

Кроме того, данное преобразование является свободным, так как ⎛ ∂Q det ⎜ i ⎜ ∂p ⎝ j

⎞ ⎛ 2 ⎟ = det ⎜ ∂ S1 ⎟ ⎜∂Q ∂q ⎠ ⎝ i j

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−1

≠ 0.

Мы видим, что каноническое преобразование при указанном подходе задается одной функцией S1, что существенно облегчает выкладки по сравнению с вариантом использования 2n функций Pi, Qi ( i = 1, n ). Выше мы предполагали независимость переменных Q и q , однако это не всегда выполняется. Например, в простейшем случае тождественного преобразования q и Q = q зависимы. В таких случаях можно перейти к производящей функции иного вида. Пусть, например, за независимые координаты приняты P и q , то есть предположим, что якобиан

∂(P,q) ∂(P) = ≠0 ∂ ( p, q ) ∂ ( p) в окрестности некоторой точки ( p0 , q0 ) . Тогда, поскольку

(1.5.9)

24

Часть I. Методы небесной механики p ⋅ dq − P ⋅ dQ = dS ,

то p ⋅ dq + Q ⋅ dP = d ( P ⋅ Q + S ),

(1.5.10)

и функция P ( p , q )Q ( p , q ) + S ( p , q ) , выраженная через P и q , также называется производящей функцией S2 ( P , q ) = P ⋅ Q ( P , q ) + S1 ( P , q ) . (1.5.11) Для нее из (1.5.10) находим p=

∂ S2 ( P , q ) ∂S ( P , q ) . , Q = 2 ∂q ∂P

(1.5.12)

Покажем теперь, что функция S2 ( P , q ) , для которой ⎛ ∂ 2 S2 ⎞ ⎟⎟ ≠ 0, det ⎜⎜ ⎝ ∂Pi ∂q j ⎠ P0 ,q0

(1.5.13)

определяет при помощи выражений (1.5.12) каноническое преобразование. Условие (1.5.13), согласно теореме о неявной функции, позволяет определить из первой группы уравнений (1.5.12) P = P ( p , q ) в окрестности точки ( p0 , q0 ) . Тогда, рассматривая функцию ∂S ( P , q ) Φ( P , q ) = 2 , (1.5.14) ∂P положим Q ( p , q ) = Φ ( P ( p , q ), q ) . Построенное преобразование будет каноническим с производящей функцией S2, поскольку, согласно (1.5.12), p ⋅ dq − P ⋅ dQ = p ⋅ dq + Q ⋅ dP − d ( P ⋅ Q ) = =

∂S 2 ( P , q ) ∂S ( P , q ) dq + 2 dP − d ( P , Q ) = ∂q ∂P

(1.5.15)

= dS2 ( P , q ) − d ( P ⋅ Q ) = dS ( p , q ).

Можно в качестве независимых переменных принять Q и p в случае выполнения условия ∂ (Q , p ) ∂ (Q ) (1.5.16) = ≠0 ∂ (q , p ) ∂ (q ) в окрестности некоторой точки ( p0 , q0 ) . Тогда совершенно аналогично предыдущему можно ввести производящую функцию

Глава 1. Канонические уравнения S3 ( Q , p ) = S (Q , p ) − p ⋅ q (Q , p ) ,

25 (1.5.17)

которая определяет каноническое преобразование выражениями q =−

∂ S3 ∂S , P=− 3. ∂p ∂Q

(1.5.18)

Действительно, согласно условию (1.5.16) и первой группе уравнений (1.5.18), ⎛ ∂ 2 S3 ⎞ ⎟⎟ ≠ 0, det ⎜⎜ ⎝ ∂Qi ∂p j ⎠ p0 ,q0

(1.5.19)

так что по теореме о неявной функции вторая группа уравнений (1.5.18) позволяет определить p = p ( P , Q ) , и тогда из первой группы находим q = q ( P , Q ) . Каноничность данного преобразования доказывается аналогично случаю S2. Наконец, отметим случай, когда независимыми переменными будут P и p , то есть ∂ ( P , p) ∂ ( P ) (1.5.20) = ≠0 ∂ (q , p ) ∂ (q ) в окрестности некоторой точки ( p0 , q0 ) . Образуя в этом случае производящую функцию S4 ( P , p ) = P ⋅ Q ( P , p ) − p ⋅ q ( P , p ) + S ( P , p ) , (1.5.21) удовлетворяющую условию ⎛ ∂ 2 S4 ( P , p ) ⎞ ⎟⎟ ≠ 0, det ⎜⎜ ⎝ ∂Pi ∂p j ⎠ P0 ,q0

(1.5.22)

мы может определить каноническое преобразование формулами

q =−

∂ S4 ∂ S4 , Q= . ∂p ∂P

(1.5.23)

Каноничность преобразования доказывается аналогично случаю S1, а разрешимость уравнений (1.5.23) следует из условия (1.5.22). 1.6. Преобразование систем координат В качестве примера использования производящих функций рассмотрим переход к новой системе координат. Предположим, что в некоторой системе отсчета уравнения имеют вид dq ∂ F dp ∂F , (1.6.1) = , =− dt ∂ p dt ∂q

26

Часть I. Методы небесной механики

и мы совершаем переход к новым координатам Q , определяемым соотношениями причем

qi = ϕ i (Q1 , Q2 ,K, Qn ) ( i = 1,n ), ⎛ ∂ϕ i Δ = det ⎜ ⎜ ∂Q j ⎝

⎞ ⎟ ≠ 0, ⎟ ⎠

(1.6.2) (1.6.3)

то есть преобразование обратимо. Выясним, каким образом следует изменить импульсы для сохранения канонической формы исходных уравнений. Для этого достаточно воспользоваться производящей функцией вида S3, определенной в предыдущем разделе, то есть положим S = − p ⋅ ϕ (Q ) . Тогда, согласно соотношениям (1.5.18),

где

q =−

∂S = ϕ (Q ), ∂p

(1.6.5)

P =−

∂ S ∂ϕ = p, ∂Q ∂Q

(1.6.6)

∂ϕ ⎛ ∂ϕ i ⎞ ⎟ — квадратная матрица размерности n×n. Последнее выражение и оп=⎜ ∂Q ⎜⎝ ∂Q j ⎟⎠

ределяет новые импульсы. Заметим теперь, что для полного определения системы dQ ∂F = , dt ∂P

dP ∂F =− , dt ∂Q

(1.6.7)

необходимо иметь выражение F = F ( P , Q ) . Поскольку известна функция F = F ( p , q ) и, согласно (1.6.2), q = ϕ (Q ) , то остается определить p = p ( P , Q ) . Но эта задача легко решается, так как для определения p как функции новых обобщенных координат и импульсов достаточно решить систему линейных уравнений (1.6.6) вида −1

⎛ ∂ϕ ⎞ p=⎜ ⎟ P. ⎝ ∂Q ⎠

(1.6.8)

В силу условия (1.6.3) решение будет единственным. Сделаем теперь одно замечание. В случае ортогональных преобразований для уравнений Гамильтона ∂F ∂F , y& = − , (1.6.9) x& = ∂x ∂y

Глава 1. Канонические уравнения

27

в которых F = T − U ( x ) и T имеет вид T=

1 n 1 2 ∑ yi , 2 i =1 mi

(1.6.10)

задача преобразования координат может быть решена проще. Перейдем к новым координатам q (и импульсам p ), полагая x = ϕ ( q ) , причем будем считать, что указанное преобразование ортогональное, то есть элементы матрицы n n ∂ϕ ∂ϕ l ∂x ∂ x l =∑ l (1.6.11) g ij = ∑ l l =1 ∂ q i ∂ q j l =1 ∂ q i ∂ q j обращаются в нуль, если i ≠ j. Введя теперь, аналогично (1.6.4), производящую функцию (1.6.12) S = − y ⋅ ϕ (q ) , получим, согласно (1.6.6),

∂ϕ y, ∂q

p=

(1.6.13)

или, в покомпонентной записи, n

p j = ∑ yi i =1

∂ϕ i . ∂q j

(1.6.14)

Поскольку, согласно (1.6.9) и (1.6.10), y j = mi x&i , то n

p j = ∑ mi x& i i =1

∂ xi . ∂q j

(1.6.15)

Вместе с тем

∂ xi q& j , j =1 ∂q j n

x& i = ∑

откуда следует, что

(1.6.16)

∂ x i ∂ x& i = , ∂ q j ∂ q& j

(1.6.17)

поэтому соотношение (1.6.15) перепишется в виде n

p j = ∑ mi x& i i =1

n ∂ x& i ∂ =∑ ∂q& j i =1 ∂ q& j

и, значит,

pj =

∂T . ∂ q& j

⎛1 2⎞ ⎜ mi x& i ⎟ , ⎝2 ⎠

(1.6.18)

(1.6.19)

28

Часть I. Методы небесной механики

Следовательно, при замене координат x = ϕ ( q ) достаточно подставить выражение (1.6.16) в формулу для кинетической энергии (1.6.10): 2

⎛ n ∂ϕ ⎞ 1 n T = ∑ mi ⎜⎜ ∑ i q& j ⎟⎟ , 2 i =1 ⎝ j =1 ∂q j ⎠

(1.6.20)

которая, ввиду условий ортогональности (1.6.11) и с учетом того, что масса mi не зависит от координат qi, примет вид 1 n 2 T = ∑ mi g ii q& i . (1.6.21) 2 i =1 Дифференцируя теперь T по q& j , согласно (1.6.9), найдем p j = m j g jj q& j ,

(1.6.22)

так что кинетическую энергию можно записать в виде 1 n 1 pi2 , ∑ 2 i =1 mi gii

T=

(1.6.23)

где 2

⎛ ∂ϕ j ⎞ g ji = ∑ ⎜ ⎟ . j =1 ⎝ ∂qi ⎠ n

(1.6.24)

Следовательно, в новой системе координат уравнения Гамильтона (1.6.7) примут вид

∂F q& = , ∂p

Здесь

∂F p& = − . ∂q

F = T − U (q ) .

(1.6.25) (1.6.26)

Таким образом, для получения функции F ( x , y ) в новых переменных достаточно вычислить коэффициенты gii (1.6.24) и подставить x = ϕ ( q ) в функцию U ( x ) . В качестве примера рассмотрим преобразование уравнений Гамильтона в случае движения материальной точки P массы m в ньютоновском поле неподвижного центра P0 с массой M. Совместим начало прямоугольной системы координат с P0, тогда канонические уравнения движения точки P запишутся (согласно разделу 1.2) в виде

∂F x& = , ∂y где F = T − U, T =

(

)

∂F , y& = − ∂x

(1.6.27)

1 y12 + y 22 + y 32 , U = fmMr −1 , r 2 = x12 + x 22 + x 32 , y = mx& . 2m

Глава 1. Канонические уравнения

29

Перейдем к сферической системе координат: x1 = r cos ϕ cos λ ,

x2 = r cos ϕ sin λ ,

x3 = r sin ϕ ,

(1.6.28)

для которой также будем употреблять обозначения q1 = r, q2 = ϕ, q3 = λ. Соответствующие импульсы будем обозначать через p1, p2, p3. Тогда, согласно (1.6.24), определим коэффициенты gii: g11 = (cosϕ cos λ ) 2 + (cosϕ sin λ ) 2 + sin 2 ϕ = 1 ,

[ = r [ (cosϕ sin λ )

]

g 22 = r 2 (sin ϕ cos λ ) 2 + (sin ϕ sin λ ) 2 + cos2 ϕ = r 2 ,

g33

2

2

(1.6.29)

]

+ (cosϕ cos λ ) 2 = r 2 cos2 ϕ .

Таким образом, согласно (1.6.23) находим ⎤ 1 ⎡ 2 1 2 1 T= p32 ⎥ , ⎢ p1 + 2 p2 + 2 2 2m ⎣ q1 q1 cos q 2 ⎦ при этом fmM . U (q ) = q1

(1.6.30)

(1.6.31)

Следовательно, уравнения (1.6.27) в сферической системе координат принимают вид dq ∂ F = , dt ∂ p

dp ∂F , =− dt ∂q

(1.6.32)

где F = T − U (q ) . При помощи соотношения (1.6.22) можно связать импульсы pi с соответствующими обобщенными скоростями: 2 2 p1 = mr&, p 2 = mr ϕ& , p3 = m(r cos ϕ ) λ& . (1.6.33) Так как импульсы p = ( p1 , p2 , p3 ) и гамильтониан F пропорциональны массе m, то на эту величину можно разделить p и F, не изменяя вида уравнений (1.6.32). 1.7. Скобки Пуассона и первые интегралы Пусть F1 и F2 — некоторые дважды непрерывно дифференцируемые функции от переменных q и p. Выражение

⎛ ∂F ∂F2 ∂F1 ∂F2 ⎞ − ⎟ ∂pi qpi ⎠ i =1 ⎝ i ∂pi n

{F1 , F2 } = ∑ ⎜ ∂q1

(1.7.1)

называется скобкой Пуассона. Предполагая, что q и p удовлетворяют уравнению (1.1.1), имеем тождественно

30

Часть I. Методы небесной механики n ⎛ ∂F dF1 ∂F ⎞ n ⎛ ∂F ∂F ∂F1 ∂F ⎞ = ∑ ⎜ 1 q& i + 1 p& i ⎟ = ∑ ⎜ 1 − ⎟, dt ∂pi ⎠ i =1 ⎝ ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi ⎠ i =1 ⎝ ∂qi

то есть

dF1 = { F1 , F } . dt

(1.7.2)

Следовательно, для того чтобы F1 (или F2) было интегралом уравнений (1.1.1), необходимо и достаточно обращение в нуль скобок Пуассона: {F j , F } = 0 ( j = 1, 2) . (1.7.3) Если f, ϕ, ψ — три произвольные функции, то справедливо легко проверяемое тождество (1.7.4) {{ f ,ϕ},ψ } + {{ϕ ,ψ }, f } + {{ψ , f },ϕ} = 0 , которое иногда называют тождеством Пуассона. Положим теперь, что F1 = const и F2 = const — два интеграла уравнений (1.1.1). Тогда {F1,F2} = const — третий интеграл тех же уравнений (1.1.1). Это утверждение известно как теорема Якоби-Пуассона. Действительно, тождественно имеем

{{F , F }, F } + {{F , F }, F } + {{F , F }, F } = 0 . 1

2

1

2

2

1

Но первое и третье слагаемые равны нулю, так как {F,F1}= −{F1,F} и {F1,F}, {F2,F} равны нулю, поскольку F1 и F2 — интегралы системы (1.1.1). Поэтому второе слагаемое также есть нуль: {{F1 , F2 }, F } = 0 , откуда и следует, что {F1,F2} является интегралом системы (1.1.1). 1.8. Случай неавтономных канонических систем Обратимся к случаю неавтономных систем дифференциальных уравнений вида (1.1.1), то есть уравнений, для которых гамильтониан зависит явно от времени t:

F = F (q , p , t ) .

(1.8.1)

Здесь F уже не является первым интегралом системы (1.1.1). Введем вспомогательные переменные u и v и положим F ′ = F (q , p, u ) + v , (1.8.2) где F (q , p , u) есть гамильтониан F, в котором t заменено на u. Рассмотрим теперь уравнения

Глава 1. Канонические уравнения dq ∂F ′ = , dt ∂p du ∂F ′ = , dt ∂v

31 dp ∂F ′ =− , dt ∂q dv ∂F ′ =− . dt ∂u

(1.8.3)

Первые два уравнения совпадают с (1.1.1), так как если u = t, то

∂F ′ ∂F ∂F ′ ∂F = , = . ∂p ∂ p ∂q ∂q Третье уравнение на основании (1.8.2) с точностью до постоянной эквивалентно u = t. Четвертое уравнение задает переменную v, которая может быть определена из интеграла системы (1.8.3), являющейся уже автономной канонической системой

F (q , p, u ) + v = const .

(1.8.4)

Предположим, что производится замена переменных, и новые переменные q ′ , p ′ являются функциями q , p и t. Пусть выражение q ′dp ′ − qdp

(1.8.5)

становится точным дифференциалом, когда t фиксировано. Тогда при переменном t будем иметь (1.8.6) q ′dp ′ − qdp = dS + Wdt , где dS — некоторый полный дифференциал, а W— функция переменных q , p и t или q ′ , p ′ и t . Заменим t через u: q ′dp ′ − qdp = dS + Wdu .

(1.8.7)

v′ = v + W ,

(1.8.8)

q ′dp ′ + udv ′ − ( q dp + udv ) = d ( S + uW ) .

(1.8.9)

Полагая получим полный дифференциал

Итак, если вместо q , p, u, v взять переменные q ′, p ′, u, v ′, то уравнения (1.8.3) сохранят каноническую форму. Однако в новых переменных и

F ′ = F + v′ −W

(1.8.10)

∂F ′ ∂ ( F − W ) ∂F ′ ∂ ( F − W ) = = , . ∂q ′ ∂q ′ ∂p ′ ∂p ′

(1.8.11)

Тогда первые уравнения системы (1.8.3) запишутся в виде

32

Часть I. Методы небесной механики dq ′ ∂ ( F − W ) = , ∂p ′ dt

dp ′ ∂(F −W) =− . ∂q ′ dt

(1.8.12)

Таким образом, уравнения (1.1.1) в неавтономном случае при переходе к новым переменным, удовлетворяющим (1.8.9), также сохраняют каноническую форму, но при этом функция F заменяется на F − W. В то же время всякая неавтономная каноническая система путем повышения размерности исходной системы формально может быть сведена к автономной канонической системе. 1.9. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема Гамильтониан F канонической системы (1.1.1) формально определяется в пространстве 2n измерений, на координатных осях которого откладываются значения n обобщенных координат qi и импульсов pi рассматриваемой динамической системы. Каждая точка этого пространства отвечает определенному состоянию динамической системы. Указанное пространство принято называть пространством состояний, или фазовым пространством системы (1.1.1). При движении системы, то есть при изменении ее состояния, изображающая ее фазовая точка описывает в фазовом пространстве соответствующую линию, называемую фазовой траекторией. В фазовом пространстве ( q1 ,K, q n ; p1 ,K, p n ) можно ввести “элемент фазового объема” dΓ = dqdp и фазовый объем (1.9.1) Γ = ∫ dΓ , S∗

ограниченный некоторой гиперповерхностью S*. Предположим, что каждая точка рассматриваемой области фазового пространства перемещается со временем согласно каноническим уравнениям движения вида (1.1.1). При этом изменения величин q = ( q1 , q 2 ,K, q n ) и p = ( p1 , p 2 ,K, p n ) при самом движении можно рассматривать как канонические преобразования от переменных qt , pt (канонические переменные в момент времени t) к каноническим переменным q t +τ = q (q t , pt ,τ ),

pt +τ = p ( q t , pt , τ ) ,

определенным в момент времени t + τ. Исследуем изменения во времени фазового объема (1.9.1) динамической системы, описываемой каноническими уравнениями (1.1.1). В соответствии с вышесказанным, переход от фазового объема Γt к фазовому объему Γt +τ , определенному в момент времени t + τ, представим как преобразование от переменных q = qt , p = pt к новым каноническим переменным Q = q t +τ , P = pt +τ . Тогда, очевидно, будем иметь

Глава 1. Канонические уравнения

33

Γt +τ = ∫ K ∫ dQ1K dQn dP1K dPn = ∫ K∫ J ⋅ dq1Kdq n dp1K dp n ,

(1.9.2)

где якобиан преобразования J=

∂ ( Q1 ,K, Qn ; P1 ,K, Pn ) ∂ ( q1 ,K, q n ; p1 ,K, p n )

представим в виде

J= то есть

∂ (Q , P ) ∂ (q , p ) : , ∂(q , P ) ∂(q , P )

⎡ ∂ (Q ) J=⎢ ⎢⎣ ∂ (q )

⎤ ⎡ ∂ ( p) ⎥ :⎢ ⎥ ⎢∂ ( P ) P = const ⎦ ⎣

⎤ ⎥. ⎥ q = const ⎦

(1.9.3)

По определению якобиан, стоящий в числителе (1.9.3), представляет собой определитель, составленный из элементов ∂Q j ∂q k , находящихся на пересечении j-й строки и k-го столбца

( j, k = 1, n) . Представив каноническое преобразование

помощью производящей функции S( q , P ) в виде (см. (1.5.12)) Q =

будем иметь

∂S , ∂P

∂Q j ∂ 2S = ∂q k ∂q k ∂Pj

p=

(q , p ) → (Q , P )

с

∂S , ∂q

( j, k = 1, n) .

(1.9.4)

Аналогично для j, k-го элемента определителя в знаменателе выражения (1.9.3) получим ∂p j ∂ 2S j, k = 1, n . (1.9.5) = ∂Pk ∂Pk ∂q j

(

)

Сопоставление (1.9.4) и (1.9.5) показывает, что рассматриваемые матрицы отличаются друг от друга лишь заменой строк на столбцы (или заменой столбцов на строки), а следовательно, определители этих матриц равны друг другу по величине, так как якобиан J равен единице. Таким образом, из (1.9.2) следует теорема Лиувилля, согласно которой фазовый объем гамильтоновских систем сохраняется для произвольных моментов времени Γt +τ = Γt = const. При этом якобиан всякого канонического преобразования равен единице, то есть имеет место инвариантность фазового объема при канонических преобразованиях. Свойство сохранения фазового объема (неcжимаемость “фазовой жидкости”) в

34

Часть I. Методы небесной механики

канонических системах приводит, в частности, к тому, что среди множества всех возможных траекторий этих систем не существует таких, которые имеют асимптотически устойчивые (или неустойчивые) положения равновесия, то есть точки или множества точек, к которым асимптотически стремятся или от которых уходят траектории. Таким образом, теорема Лиувилля исключает существование в канонических системах аттракторов и репеллеров. 1.10. Дополнения В данной главе мы стремились избегать излишней формализации, которая в конкретном случае, кроме “компактности изложения” (однако в ущерб ясности понимания), не приводила бы к дополнительным, то есть новым, получаемым с использованием этого формального аппарата результатам. Однако в настоящее время “гамильтоновский формализм”, основывающийся на геометрическом подходе, является одним из наиболее часто употребляемых в ряде задач математической физики (квантовой механики, теории относительности, небесной механики), а поэтому ниже мы кратко рассмотрим некоторые основные понятия, необходимые для его понимания. Естественное стремление добиться унификации в описании различных явлений привело к появлению универсальных формализмов. Среди них гамильтоновский формализм развит в наибольшей степени. Для неавтономной канонической системы, как показано в разделе 1.8, время t может быть включено в число координатных переменных системы путем расширения ее фазового пространства за счет введения еще одной пары канонических переменных (см.(1.8.2) и (1.8.4)) q0 = t , p0 = const − F . (1.10.1) Тогда вместо n-мерной канонической системы с гамильтонианом F, зависящим от времени, можно рассматривать систему с (n+1) степенью свободы и с гамильтонианом F′, не зависящим явно от времени. Но, согласно (1.10.1), новый импульс p0 = − F + const не содержит какой-либо дополнительной информации. Все свойства исходной неавтономной гамильтоновской системы могут быть описаны в (2n+1)-мерном фазовом пространстве ( q1 ,K, q n , q0 = t ; p1 ,K, p n ) , поэтому можно говорить о том, что каноническая система с гамильтонианом F(q,p,t) имеет (n+1/2) степень свободы. Развитие современного нелинейного математического анализа привело к обобщению понятия гамильтоновских систем (1.1.1). Рассмотрим фазовое пространство размерности 2n, в котором переменные ξ = (ξ 1 ,K, ξ 2 n ) — координаты в фазовом пространстве, еще не разделенные на обобщенные координаты и обобщенные импульсы. Пусть H = H(ξ) — произвольная функция, которую будем называть гамильтонианом. Тогда обобщенная гамильтоновская система определяется следующими уравнениями движения:

ξ& i = [ξ i , H ] i = 1, 2n,

(1.10.2)

Глава 1. Канонические уравнения

35

в которых обобщенные скобки Пуассона [F1 , F2 ] для произвольных функций F1(ξ) и F2(ξ) определяются в виде *) Δ 2n ∂F ∂F (1.10.3) [ F1 , F2 ] = ∑ gik 1 2 ,

∂ξ i ∂ξ k

i , k =1

так что

[

]

2n

ξ , H = ∑ gik i

k =1

∂H ∂ξ k

i = 1,2n .

(1.10.4)

Тензор gik = gik (ξ ) в общем случае зависит от переменных ξ и его формально, согласно (1.10.3), можно представить в следующем виде:

gik = [ξ i , ξ k ] .

(1.10.5)

При этом соответствующий выбор тензора gik должен обеспечивать основное свойство гамильтоновских систем — сохранение для произвольных моментов времени фазового объема системы (1.10.2), означающее, что “фазовая жидкость” является несжимаемой. Изменение во времени произвольной функции F(ξ) определяется, согласно (1.10.2)—(1.10.4), следующей формулой

∂F & ∂F F& = ∑ ξi = ∑ [ξ i , H ] = [ F , H ] . 2n

i =1

2n

∂ξ i

i =1

(1.10.6)

∂ξ i

⎛ [ 0] [ E ]⎞ Если gik является кососимметричной блочной матрицей вида gik = ⎜ ⎟, ⎝ [ − E ] [ 0] ⎠

где

⎛1 ⎜ [ E] = ⎜ 0 ⎜K ⎝0

0 1 K 0

K K K K

0⎞ 0⎟ — K⎟⎟ 1⎠

единичная

матрица

порядка

n,

а

(ξ 1 ,K, ξ n ) = (q1 ,K, q n ), (ξ n+1 ,K, ξ 2 n ) = ( p1 ,K, p n ),

H = F , то уравнения (1.10.2) будут эквивалентны каноническим уравнениям (1.1.1). В этом случае обобщенные скобки Пуассона (1.10.3) совпадут с классическими (1.7.1), а дифференцирование по времени (1.10.6) будет выражаться в форме n ⎛ ∂F ∂H ∂H ∂F ⎞ & − F = ∑⎜ ⎟. ∂qi ∂pi ⎠ i =1 ⎝ ∂qi ∂pi Приведенная обобщенная форма (1.10.2) гамильтоновской динамики оказывается полезной при анализе уравнений движения векторных полей. Рассмотрим решение обобщенной гамильтоновской системы (1.10.2), начальное значение которого в момент времени t = 0 изображается в фазовом пространстве пере-

*)

Символ ≜ означает “по определению”.

36

Часть I. Методы небесной механики

менных ξ = (ξ 1 ,K, ξ 2 n ) точкой A. Значение искомого решения при некотором t ≠ 0 (если оно определено), очевидно, зависит от A. Определим взаимно однозначное и взаимно дифференцируемое отображение (диффеоморфизм) gt фазового пространства на себя: ℜ 2 n → ℜ 2 n (ℜ 2 n обозначает 2n-мерное вещественное линейное пространство), так что A( t ) = g t A . (1.10.7) Диффеоморфизм g t , t ∈ ℜ образует группу *) с законом композиции g t ∗ g s = g t + s . Тождественное преобразование g 0 A = A отвечает нулевому значению t, а обратное преобразование имеет вид g − t , так что g t ∗ g − t = g 0 . Таким образом, преобразования gt (ξ(0) aξ(t)) образуют однопараметрическую группу диффеоморфизмов рассматриваемого фазового пространства. Эту группу принято называть фазовым потоком, задаваемым уравнениями движения (1.10.2). Например, фазовым потоком, который задает уравнение математического маятника с единичной частотой колебаний q& =

∂F , ∂p

p& = −

∂F 1 , F = q2 + p2 , 2 ∂q

(

)

является группа gt поворотов фазовой плоскости (q,p) на угол t относительно начала координат, поскольку множеством уровней постоянной полной энергии F (фазовыми траекториями) являются концентрические окружности, а движение фазовой точки по фазовой плоскости представляет собой равномерное вращение вокруг начала координат: q = r0 cos(t + ϕ 0 ), p = − r0 sin(t + ϕ 0 ) . Если преобразование g есть непрерывное взаимно однозначное отображение, сохраняющее объем и переводящее ограниченную область C евклидова пространства в себя, то есть gC = C, тогда в любой окрестности ε произвольной точки области C будет существовать точка ξ ∈ ε, которая по истечении определенного времени возвращается в область ε, то есть g nξ ∈ ε при некотором n > 0 (это так называемая “теорема Пуанкаре о возвращении”). Действительно, образы gε, g2ε, ..., gnε, ... окрестности ε имеют одинаковый, в силу теоремы Лиувилля, положительный объем. Если бы эти образы не пересекались, то объем C, вопреки исходному предположению, был бы бесконечен. Поэтому учитывая, что отображение g взаимно однозначное и не допускает асимптотических траекторий, при некотором n > 0 g n ε I ε = C1 ≠ 0 .

( )

Следовательно, g nξ ∈ E в точке ξ ∈(C1 , E ) , что и требовалось доказать. *)

Множество преобразований, предполагающих взаимно-однозначные отображения на себя, снабженное умножением и обращением, называется абстрактной группой.

Глава 1. Канонические уравнения

37

Из доказанной теоремы Пуанкаре, в частности, непосредственно следует, что если C — двумерный тор, а ϕ1 и ϕ2 — угловые координаты его поверхности, так что ϕ&1 = ω1 , ϕ& 2 = ω 2 и g t : (ϕ1 , ϕ 2 ) a (ϕ1 + ω1t , ϕ 2 + ω 2t ) , то при ω 1 ω 2 = k l ( k , l ∈ Z ) фазовые траектории замыкаются через конечное число оборотов на торе. Если ω 1 ω 2 иррационально, то траектории всюду плотно покрывают поверхность тора и незамкнуты. Определим теперь дифференцируемое многообразие как m-мерную поверхность в 3N-мерном конфигурационном пространстве N точек, составляющих динамическую систему (m ≤ 3N). Структура дифференцируемого многообразия задается конечным или счетным набором карт — соответствующими областями C в координатном пространстве q = ( q1 ,K, q N ) вместе со своим взаимно однозначным отображением f на некоторое подмножество M: C a fC ⊂ M [1] . Если какая-нибудь область множества M имеет изображения сразу на двух определенных зонах U1, U2 карт C1 и C2, то возникает отображение f 1 f 2−1:U 1 a U 2 части одной карты U 1 ⊂ C1 на часть другой карты U 2 ⊂ C2 (см. рис. 1). Это отображение области U1 координатного пространства q на область U2 пространства q′ задается n функциями от n переменных q ′ = q ′ ( q ) . Если эти функции дифференцируемы, то карты C1 и C2 называются совместными. Совокупность совместных друг с другом карт называют атласом.

f1

f2

M

VU1 1

U2V2

C2

C1 q

q'

Рис. 1. Размерность связного многообразия *) равна N. Нетрудно видеть, что евклидово пространство ℜ n есть многообразие, атлас которого состоит из единственной карты. Назовем две кривые q = ϕ (t ), q = ψ (t ) на многообразии M эквивалентными, если на какой-либо карте выполняются условия

*)

Многообразие связно, если его нельзя разбить на два непересекающихся открытых подмногообразия.

38

Часть I. Методы небесной механики ⎛ ϕ (t ) − ψ (t ) ⎞ ⎟ = 0. t →0 ⎝ ⎠ t

ϕ ( 0) = ψ ( 0), lim⎜

Тогда касательным вектором к многообразию M в точке q = (q1 ,K, q n ) называется

класс эквивалентности кривых (ϕ (t ),ϕ (0)) = q , то есть касательные векторы есть векто-

ры скорости кривых на многообразии M : ⎛ ϕ (t ) − ϕ (0) ⎞ q& = lim⎜ ⎟, t →0 ⎝ ⎠ t

где ϕ (0) = q, ϕ (t ) ∈ M . Множество касательных векторов к M в точке q образует линейное пространство TMq — т.н. касательное пространство к многообразию M в точке q = ( q1 ,K, q N ) . Так, если C1 является картой атласа M с координатами q = (q1 ,K, q n ) , то компо-

нентами касательного вектора к кривой q = ϕ(t) будут являться числа dϕ dϕ ζ 1 = 1 , K, ζ n = n . dt t =0 dt t =0 Внешней формой степени k (k = 1, 2, ...), или k-формой ωk, назовем функцию от r r векторов ξ , η, K n-мерного вещественного линейного пространства, которая k-линейна (линейна — k = 1, билинейна — k = 2 и т.п.) и кососимметрична. При k = 2 условия билинейности и кососимметричности имеют вид: r r r r r r r r r r r ω 2 λ 1ξ 1 + λ 2ξ 2 , η1 = λ 1ω 2 ξ 1 , η1 + λ 2ω 2 ξ 2 , η1 , ω 2 ξ 1 , η1 = −ω 2 η1 , ξ 1 .

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Например, кососимметричным произведением двух векторов на плоскости является определитель матрицы, составленной из компонент векторов (площадь параллелограмма). Тогда дифференциальной k-формой ω k в точке q = (q1 ,K, q n ) многообразия M q

будем называть внешнюю k-форму на касательном пространстве TMq к многообразию M в точке q, то есть k-линейную кососимметричную функцию от k векторов. Иначе говоря, дифференциальная k-форма есть гладкое (дифференцируемое) отображение многообразия M в прямую. Векторное поле на симплектическом многообразии *) M 2 n ,ω 2 , соответствующее

(

)

дифференциалу функции, называется гамильтоновским векторным полем (симплектическая структура на M 2 n -четномерном дифференцируемом многообразии есть

*)

Симплектическое многообразие (ℜ2,ω 2) есть пара (плоскость, площадь). В нечетномерном пространстве симплектические структуры не существуют.

Глава 1. Канонические уравнения

39

замкнутая **) невырожденная дифференциальная 2-форма ω2 на M 2 n : dω2 = 0, так что r r r r r r для любого вектора ξ ≠ 0 имеется вектор η , для которого ω 2 (ξ , η) ≠ 0, ξ , η ∈TM q , а следовательно, любой ненулевой вектор не всем векторам косоортогонален). Векторное поле на многообразии задает фазовый поток — однопараметрическую группу диффеоморфизмов. При этом фазовый поток гамильтоновского векторного поля на симплектическом многообразии сохраняет симплектическую структуру фазового пространства (то есть множество решений канонических уравнений с фиксированным гамильтонианом образует симплектическое многообразие). Таким образом, гамильтоновскую механику можно рассматривать как “геометрию в фазовом пространстве”, имеющем структуру симплектического четномерного многообразия ***) . На симплектическом многообразии действует однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов.

Дифференциальная k-форма ωk замкнута на многообразии M, если равен нулю ее дифференциал (или дивергенция векторного поля) dωk = 0. ***) Если евклидова структура в линейном пространстве задается симметрической билинейной формой, то симплектическая — кососимметричной. Поэтому геометрия симплектического пространства существенно отличается от евклидовой. **)