Курс лекций по математическому анализу, 4 семестр

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

Курс лекций по математическому анализу Лектор — Валериан Иванович Гаврилов

II курс, 4 семестр, поток механиков

Москва, 2007 г.

2

Конспект лекций курса математического анализа, прочитанного В. И. Гавриловым в 2005–2007 гг. на отделении механики, разбит на четыре части по семестрам. Представленная часть соответствует материалу четвёртого семестра. Лектор с большой благодарностью отмечает, что конспект набран и свёрстан студентом Кудашевым Евгением на основе его записей.

Оглавление

3

Часть 6.

Интегрирование в Rm, m > 1. 1. Двойной и кратные интегралы

В сравнении с предыдущими семестрами, чтение курса математического анализа в четвёртом семестре имеет следующие особенности. Прежде всего, значительная часть излагаемого материала носит геометрический характер и исчерпывающие аналитические доказательства часто становятся весьма громоздкими. Далее, уменьшено число недельных лекционных часов (на одну четверть). И наконец, параллельно читается полный годовой курс дифференциальной геометрии. Указанные обстоятельства заставляют меня при изложении многих результатов опускать в их доказательствах значительную часть деталей (в основном геометрического характера) в расчёте на здравый смысл слушателей и на ранее приобретённые ими (я надеюсь!) профессиональные знания, которые позволяют восстановить эти детали самостоятельно. Кроме того, я широко пользуюсь плодами курса дифференциальной геометрии.

1.1. Мера Жордана на плоскости и в пространстве 1.1.1. Терминология Рассмотрим произвольное множество A в пространстве Rm , m > 1. Символом [A] обозначим множество всех точек прикосновения множества A; то есть, [A] — замыкание множества A и замкнутое множество в Rm , A ⊂ [A]. Символом ]A[ обозначим совокупность всех внутренних точек множества A, так что ]A[⊂ A (возможно, ]A[= ∅). Тогда множество [A]\]A[ называют границей множества A, обозначают гр. A (или ∂A), а его точки называют граничными точками множества A. Если обозначить Rm \A =⌉A и заметить, что ⌉]A[= [⌉A], то гр. А = [A]\]A[= [A]∩⌉]A[= [A] ∩ [⌉A].

(1)

Из последней формулы непосредственно следует, что граница всякого множества (как пересечение замкнутых множеств) замкнута, и что гр. A = гр. ⌉А. (2) Утверждение 1. Граница объединения, пересечения и разности двух множеств содержится в объединении их границ.  Заметим, что [A ∪ B] = [A] ∪ [B]. В силу (1), гр. (A ∪ B) = [A ∪ B] ∩ [ ⌉(A ∪ B)] = ([A] ∪ [B]) ∩ [ ⌉A∩⌉B] ⊂ ([A] ∪ [B]) ∩ ([ ⌉A] ∩ [ ⌉B]) = ([A] ∩ [ ⌉A] ∩ [ ⌉B])∪ ∪ ([B] ∩ [ ⌉B] ∩ [ ⌉A]) ⊂ ([A] ∩ [ ⌉A]) ∪ ([B] ∩ [ ⌉B]) = гр. А ∪ гр. B.

Далее, в силу доказанного и (2), гр. (A ∩ B) = гр. ⌉(A ∩ B) = гр. (⌉A∪⌉B) ⊂ гр. ⌉A ∪ гр. ⌉B = гр. A ∪ гр. B.

(3)

Наконец, согласно (2) и (3), гр. (A\B) = гр. (A∩⌉B) ⊂ гр. А ∪ гр. ⌉B = гр. А ∪ гр. B.  Утверждение 2. [A] = A ∪ гр. A для любого множества A в Rm .  Так как A ⊂ [A] и гр. A ⊂ [A], то A∪гр. A ⊂ [A]. С другой стороны, так как [A]\A = [A]∩⌉A ⊂ [A]∩[ ⌉A] = гр. A, то [A] = A ∪ ([A]\A) ⊂ A ∪ гр. A.  1.1.2. Квадрируемость плоской фигуры Многоугольной фигурой P на плоскости называют объединение конечного числа многоугольников, лежащих в этой плоскости. Из школьного курса известно понятие площади многоугольника. Поэтому можно говорить о площади µ(P ) многоугольной фигуры P и число µ(P ) > 0 обладает свойствами: 1◦ Аддитивность. Если P1 и P2 — многоугольные фигуры без общих внутренних точек, то µ(P1 ∪ P2 ) = µ(P1 ) + µ(P2 ).

4

2◦ Инвариантность. Если многоугольные фигуры P1 и P2 конгруэнтны (то есть, существует биекция множеств P1 и P2 , сохраняющая расстояние между точками плоскости — ортогональное преобразование плоскости), то µ(P1 ) = µ(P2 ). 3◦ Монотонность. Если P1 ⊆ P2 , то µ(P1 ) 6 µ(P2 ).  По условию, P2 = P1 ∪ (P2 \P1 ) и P2 \P1 — многоугольная фигура, не имеющая общих внутренних точек с P1 . Согласно 1◦ , µ(P2 ) = µ(P1 ) + µ(P2 \P1 ) > µ(P1 ), так как µ(P2 \P1 ) > 0. 

Замечание. Для любой многоугольной фигуры P справедливо µ([P ]) = µ(]P [) = µ(P ). Произвольное ограниченное множество F на плоскости называют плоской фигурой. Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры P , содержащиеся в F , и многоугольные фигуры Q, содержащие F . Числовое множество {µ(P ) | P ⊂ F } ограничено сверху любым µ(Q), Q ⊃ F , а числовое множество {µ(Q) | Q ⊃ F } ограничено снизу (например, нулём). Следовательно, существуют sup {µ(P ) | P ⊂ F } = µ∗ (F ) = µ∗ и inf {µ(Q) | Q ⊃ F } = µ∗ (F ) = µ∗ .

(4)

Отметим, что если не существуют P , которые содержатся в F , то полагаем µ∗ = 0. Число µ∗ называют нижней площадью фигуры F , а µ∗ — верхней площадью фигуры F , и µ∗ (F ) 6 ∗ µ (F ). Определение 1. Плоскую фигуру F называют квадрируемой (или имеющей площадь), если µ∗ = µ∗ , и общее значение µ = µ(F ) = µ∗ = µ∗ называют площадью фигуры F . Другое обозначение: µ(F ) = пл. F . Если F = P — многоугольная фигура, то µ(F ) = µ(P ) = µ∗ (P ) = µ∗ (P ) совпадает с площадью многоугольной фигуры P . Теорема 1.1. Плоская фигура F квадрируема ⇔ для любого числа ε > 0 можно указать такие многоугольные фигуры P и Q, что P ⊂ F ⊂ Q и µ(Q) − µ(P ) < ε.  Необходимость. Пусть фигура F квадрируема, то есть µ∗ = µ∗ . По характеристическому свойству точных верхних и нижних граней числовых множеств, для произвольного ε > 0 найдутся многоугольные фигуры P и Q, что P ⊂ F и Q ⊃ F и ε ε µ∗ − < µ(P ) 6 µ∗ и µ∗ 6 µ(Q) < µ∗ + . 2 2 Отсюда, с учётом µ∗ = µ∗ заключаем, что µ(Q) − µ(P ) < ε. Достаточность. Для любого ε > 0 существуют многоугольные фигуры P ⊂ F и Q ⊃ F , что µ(Q)−µ(P ) < ε. Так как, на основании (4), µ(P ) 6 µ∗ 6 µ∗ 6 µ(Q), то 0 6 µ∗ − µ∗ 6 µ(Q) − µ(P ) < ε и µ∗ = µ∗ в силу произвольности ε > 0.  Теорема 1.2. Для квадрируемости плоской фигуры F необходимо и достаточно, чтобы для любого числа ε > 0 существовали такая содержащая F квадрируемая фигура G и такая содержащаяся в F квадрируемая фигура E, что µ(G) − µ(E) < ε.  Необходимость установлена в теореме 1, так как G = Q и E = P — квадрируемые фигуры. Достаточность. Фиксируем произвольное ε > 0 и, по условию теоремы, находим такие квадрируемые фигуры E и G, что E ⊂ F ⊂ G, и ε µ(G) − µ(E) < . (5) 2 Так как E и G квадрируемы, то как и в доказательстве теоремы 1, находим многоугольные фигуры Q ⊃ G и P ⊂ E, для которых µ(Q) − µ(G) < 4ε и µ(E) − µ(P ) < 4ε . На основании последних неравенств и неравенства (5) заключаем, что µ(Q) − µ(P ) < ε, и так как P ⊂ E ⊂ F ⊂ G ⊂ Q, то, по теореме 1, F — квадрируемая фигура.  1.1.3. Фигуры нулевой площади Плоская фигура F квадрируема и пл. F = µ(F ) = 0 тогда и только тогда, когда µ∗ (F ) = 0 (ибо тогда и µ∗ (F ) = 0, так что µ∗ (F ) = µ∗ (F )). Другими словами, фигура F имеет нулевую площадь тогда и только тогда, когда она содержится в многоугольной фигуре сколь угодно малой площади. Понятно, что всякая часть фигуры площади 0 квадрируема и имеет площадь 0, и что объединение двух (а следовательно, и любого конечного числа) фигур нулевой площади есть фигура нулевой площади. Последнее утверждение является также следствием такого понятного свойства, которое приведём без доказательства. Утверждение 3. Каковы бы ни были плоские фигуры F1 , . . . , Fm , всегда   m m [ X µ∗  Fj  6 µ∗ (Fj ) (6) j=1

j=1

Утверждение 4. Всякая спрямляемая плоская кривая имеет нулевую площадь. 5

 Пусть L — спрямляемая кривая и |L| — её длина. Разобьём эту кривую с помощью n + 1 точек на части длины n1 |L|. Примем каждую из этих n + 1 точек за центр квадрата со стороной n2 |L|. Объединение всех таких квадратов представляет собой многоугольную фигуру, описанную (очевидно?) вокруг L, и площадью, 2 не превосходящей суммы площадей составляющих её квадратов; то есть, не большей числа n42 |L| (n + 1). Так 2 4 как |L| — фиксировано, а n можно выбрать произвольно большим, то число n2 |L| (n + 1) может быть сделано меньше любого заданного числа ε > 0; то есть, кривую L можно заключить в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади.  Утверждение 5. График Γf функции f , интегрируемой по Риману на отрезке [a, b] действительной оси, имеет нулевую площадь.  Рассмотрим произвольное число ε > 0. Согласно критерию интегрируемости функции на отрезке, найдётся такое разбиение T отрезка [a, b], у которого верхняя S(f ; T ) и нижняя s(f ; T ) суммы Дарбу связаны отношениями 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε. Геометрически разность S(f ; T ) − s(f ; T ) есть площадь некоторой ступенчатой многоугольной фигуры Q, содержащей Γf (материал второго семестра), и пл. Q < ε. По определению, пл. Γf = 0.  В частности, график Γf любой непрерывной на отрезке [a, b] функции f есть фигура нулевой площади. 1.1.4. Критерий квадрируемости плоской фигуры Теорема 1.3. Плоская фигура F квадрируема тогда и только тогда, когда её граница ∂F имеет площадь нуль.  Необходимость. Пусть F — квадрируемая плоская фигура и ε > 0 — произвольное число. Находим многоугольные фигуры P и Q, P ⊂ F ⊂ Q, чтобы µ(Q) − µ(P ) < ε (по теореме 1). Так как µ([Q]) = µ(Q) и µ(]P [) = µ(P ) и [Q] =]P [∪([Q]\]P [), то ε > µ([Q])− µ(]P [) = µ([Q]\]P [). Поскольку многоугольная фигура [Q]\]P [ содержит ∂F , то согласно определению 2 и утверждению 2, µ(∂F ) = 0. Достаточность. Впишем плоскую фигуру F в квадрат R со сторонами, параллельными координатным осям на плоскости, и прямыми, параллельными этим осям, разобьём R на элементарные квадраты со стороной h. Это разбиение квадрата R условимся называть сеткой с шагом h. Лемма 1. Если граница ∂F фигуры F содержится в многоугольной фигуре площади, меньшей ε, то можно выбрать такой шаг h сетки, что ∂F содержится в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадь которой меньше 32ε.  Любая многоугольная фигура площади, меньшей ε, есть объединение конечного числа треугольников, не имеющих общих внутренних точек; каждый треугольник равен объединению двух прямоугольных треугольников (без общих внутренних точек); каждый прямоугольный треугольник содержится во вдвое большем по площади прямоугольнике; каждый прямоугольник содержится в объединении не более, чем вдвое большей площади конечного числа квадратов; каждый квадрат содержится во вдвое большем по площади квадрате со сторонами, параллельными осям координат. Итак, любая многоугольная фигура площади, меньшей ε, содержится в объединении конечного числа квадратов со сторонами, параллельными осям координат, и общей площади, меньшей 8ε. Из указанного конечного числа квадратов выберем квадрат с наименьшей стороной и возьмём шаг h сетки, равным половине длины стороны этого квадрата. При таком выборе h каждый указанный квадрат будет содержаться в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадь которых не больше учетверённой площади данного квадрата. Поэтому вся многоугольная фигура площади, меньшей ε, содержится в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадь которых меньше 32ε.  Согласно этой лемме, если граница ∂F плоской фигуры F имеет площадь нуль, то для любого ε > 0 выбираем такой шаг h сетки, что вся ∂F будет содержаться в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадь которых меньше 32ε. Объединение всех элементарных квадратов, состоящих только из внутренних точек ]F [ фигуры F , представляет собой многоугольную фигуру P , содержащуюся в F , а объединение этой фигуры P со всеми элементарными квадратами, содержащими точки границы ∂F фигуры F , представляет собой многоугольную фигуру Q, содержащую F , и при этом, µ(Q) − µ(P ) < 32ε. Доказательство заканчивается применением теоремы 1.  Следствие 1.1. Объединение, пересечение и разность двух квадрируемых фигур — квадрируемые фигуры.  Пусть F есть F1 ∪ F2 , F1 ∩ F2 или F1 \F2 . По утверждению 1, во всех трёх случаях гр. F ⊂ гр. F1 ∪ гр. F2 . Но если F1 и F2 квадрируемы, то, по теореме 3, гр. F1 и гр. F2 — фигуры нулевой площади. Значит, также гр. F1 ∪ гр. F2 , а с ним и гр. F — фигуры нулевой площади (утверждение 3), так что, снова по теореме 3, F квадрируема.  Замечание. Утверждение следствия 1 распространяется по индукции на объединения и пересечения любых конечных систем квадрируемых фигур.

6

Следствие 1.2. Всякая плоская фигура, граница которой состоит из одной или нескольких спрямляемых кривых, квадрируема.  Согласно утверждениям 4 и 3, граница такой плоской фигуры имеет нулевую площадь , и фигура квадрируема по теореме 3.  1.1.5. Свойства квадрируемых фигур ◦

1 Свойство аддитивности. Если F1 и F2 — квадрируемые фигуры без общих внутренних точек и F = F1 ∪F2 , то F квадрируема и µ(F ) = µ(F1 ) + µ(F2 ).  Квадрируемость фигуры F доказана в следствии 1 к теореме 3. Рассмотрим произвольное число ε > 0 и такие многоугольные фигуры Pi и Qi , i = 1, 2, что Pi ⊂ Fi ⊂ Qi , i = 1, 2, и µ(Qi ) − µ(Pi ) < 2ε , i = 1, 2 (что возможно по теореме 1). Тогда P1 и P2 не имеют общих внутренних точек и для P = P1 ∪ P2 справедливо µ(P ) = µ(P1 ) + µ(P2 ). Многоугольные фигуры Q1 и Q2 , возможно пересекающиеся, образуют Q = Q1 ∪ Q2 и µ(Q) 6 µ(Q1 ) + µ(Q2 ). Поскольку P ⊂ F ⊂ Q, то µ(P1 ) + µ(P2 ) = µ(P ) 6 µ(F ) 6 µ(Q) 6 µ(Q1 ) + µ(Q2 ).

(7)

С другой стороны, имеем µ(Pi ) 6 µ(Fi ) 6 µ(Qi ), i = 1, 2, и µ(P1 ) + µ(P2 ) 6 µ(F1 ) + µ(F2 ) 6 µ(Q1 ) + µ(Q2 ).

(8)

Объединяя (7) и (8), получим |µ(F ) − [µ(F1 ) + µ(F2 )]| 6 [µ(Q1 ) + µ(Q2 )] − [µ(P1 ) + µ(P2 )] = µ(Q1 ) − µ(P1 ) + µ(Q2 ) − µ(P2 ) <

ε ε + = ε, 2 2

откуда, в силу произвольности числа ε > 0, следует равенство µ(F ) = µ(F1 ) + µ(F2 ).  ◦

2 Свойство монотонности. Если F1 ⊂ F2 и Fi , i = 1, 2 — квадрируемые, то µ(F1 ) 6 µ(F2 ).

 Так как F2 = F1 ∪ (F2 \F1 ) и, по свойству 1◦ , µ(F2 ) = µ(F1 ) + µ(F2 \F1 ), то µ(F2 ) > µ(F1 ) в силу µ(F2 \F1 ) > 0. 

Введённое выше понятие площади называют понятием площади по Жордану или (плоской) мерой Жордана. Мера Жордана инвариантна относительно ортогональных преобразований плоскости. Она обладает также свойством конечной аддитивности. Теорема 1.4. Объединение F любого конечного числа не имеющих попарно общих внутренних точек квадm P рируемых фигур Fj , j = 1, m, m ∈ N, образует квадрируемую фигуру и µ(F ) = µ(Fj ). j=1

1.1.6. Квадрируемые компакты

Теорема 1.5. Замыкание [F ] квадрируемой фигуры F квадрируемо и имеет ту же площадь, что и F .  Так как F квадрируема, то, по теореме 3, и гр. F квадрируема и µ(гр. F ) = 0. Но, согласно утверждению 2, [F ] = F ∪ гр. F . Поэтому, по следствию 1 к теореме 3, и [F ] квадрируемо. Следовательно, на основании (6), пл. F 6 пл. [F ] 6 пл. F + пл. гр. F = пл. F ; то есть, пл. [F ] = пл. F .  Теорема 1.6. Замыкание квадрируемой фигуры есть квадрируемый компакт.  Как замыкание оно замкнуто, а как замыкание ограниченного множества ограничено. Но замкнутое и ограниченное множество на плоскости — компакт. Он квадрируем по теореме 5.  1.1.7. Кубируемые тела в R3 Произвольное ограниченное множество Φ в R3 назовём телом. Многогранным телом называют объединение конечного числа ограниченных многогранников в R3 . Каждый многогранник в R3 имеет объём, который обладает (как и площадь многоугольника) свойствами аддитивности, инвариантности и монотонности. Рассмотрим произвольное тело Φ, а также всевозможные многогранные тела P , содержащиеся в Φ (]P [⊂ Φ) и всевозможные многогранные тела Q, содержащие Φ (Φ ⊂ Q ⊂ [Q]). Число µ∗ = µ∗ (Φ) = inf {µ(Q) |; Φ ⊂ Q}, где µ(Q) обозначает объём многогранного тела Q, назовём верхним объёмом тела Φ; число µ∗ = µ∗ (Φ) = sup {µ(P ) | ]P [⊂ Φ} — нижним объёмом тела Φ, так что 0 6 µ∗ 6 µ∗ . Определение 2. Тело Φ называют кубируемым (или имеющим объём), если µ∗ = µ∗ . При этом, число µ = µ(Φ) = µ∗ = µ∗ называют объёмом тела Φ. Другое обозначение: µ(Φ) = об . Φ. 7

В полной аналогии с теоремой 1.1 доказывается следующая теорема. Теорема 1.7. Для кубируемости тела Φ необходимо и достаточно, чтобы для любого числа ε > 0 нашлись такое содержащееся в Φ многогранное тело P и такое содержащее Φ многогранное тело Q, для которых об . Q − об . P < ε.

Определение 3. Множество точек пространства R3 назовём множеством объёма нуль, если это множество содержится в многогранном теле сколь угодно малого объёма. Аналогично теореме 1.3 доказывается нижеследующая теорема. Теорема 1.8. Тело Φ кубируемо тогда и только тогда, когда его граница имеет нулевой объём. Утверждение 5. Всякая плоская фигура F в пространстве кубируема и имеет нулевой объём.  Пусть фигура F лежит на плоскости Π в R3 . Тогда F содержится в некотором прямоугольнике Q на плоскости Π, а значит, и в содержащем Q прямоугольном параллелепипеде произвольно малой высоты, и следовательно, произвольно малого объёма.  1.1.8. Некоторые классы кубируемых тел Цилиндрическим телом называют тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными некоторой оси, и двумя плоскостями, перпендикулярными этой оси. Пусть F — произвольная фигура на координатной плоскости xOy и [m, M ] — произвольный отрезок на оси Oz. Тогда  F × [m, M ] = (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ F, m 6 z 6 M

является цилиндрическим телом. Теорема 1.9. Если фигура F квадрируема, то цилиндрическое тело Φ = F × [m, M ] кубируемо и об . Φ = (M − m)пл. F .  Поскольку плоская фигура F квадрируема, то для любого числа ε > 0 можно указать такие вписанную ε . Цилиндрические тела и описанную многоугольные фигуры P и Q, P ⊂ F ⊂ Q, что пл. Q − пл. P < M−m ΦP = P × [m, M ] и ΦQ = Q × [m, M ] имеют об . ΦP = (M − m)пл. P и об . ΦQ = (M − m)пл. Q, и при этом ΦP ⊂ Φ ⊂ ΦQ . Так как об . ΦQ − об . ΦP = (M − m)(пл. Q − пл. P ) < ε, то, по теореме 6, тело Φ кубируемо. Поскольку, далее, об . ΦP = (M − m)пл. P 6 об . Φ 6 (M − m)пл. Q = об . ΦQ и пл. P , пл. Q стремятся к пл. F , то об . Φ = (M − m)пл. F . 

Определение 4. Ступенчатым телом называют объединение конечного числа цилиндрических тел, попарно не имеющих общих внутренних точек. На основании предыдущего заключаем, что справедлива теорема: Теорема 1.10. Если для любого числа ε > 0 можно указать такое содержащее тело Φ ступенчатое тело Φ2 , и такое содержащееся в Φ ступенчатое тело Φ1 , что об . Φ2 − об . Φ1 < ε, то тело Φ кубируемо.

8

1.2. Понятие двойного интеграла Определённый интеграл — интеграл по отрезку. Двойной интеграл — интеграл по квадрируемому компакту. Все рассматриваемые далее квадрируемые компакты предполагаются непустыми; некоторые из них могут иметь нулевую площадь. 1.2.1. Разбиения квадрируемых компактов Разбиением T квадрируемого компакта K на координатной плоскости Π : xOy назовём всякое представлеm S ние этого компакта в виде объединения конечного семейства квадрируемых компактов K = σk , у которых k=1

]σj [ ∩ ]σi [= ∅, i 6= j. Компакты σk , k = 1, m, называются ячейками разбиения T ; площадь ячейки σk обозначим ∆σk . Наибольший из диаметров diam σk ячеек σk , k = 1, m, назовём диаметром разбиения T и обозначим символом d(T ). На множестве всех разбиений квадрируемого компакта K можно ввести отношение порядка, считая, что T ′ 6 T , если каждая ячейка разбиения T ′ является либо ячейкой разбиения T , либо объединением конечного числа ячеек разбиения T . Говорят также, что разбиение T получено дроблением разбиения T ′ . Утверждение 1. Для любых разбиений T ′ и T ′′ компакта K существует такое его разбиение T , что ′ T 6 T и T ′′ 6 T .  Пусть σk′ , k = 1, m — ячейки разбиения T ′ и σl′′ , l = 1, n — ячейки разбиения T ′′ . Рассмотрим множества A = {(k, l) | σk′ ∩ σl′′ 6= ∅}, Ak = {l | (k, l) ∈ A} , 1 6 k 6 m, и обозначим σkl = σk′ ∩ σl′′ , если (k, l) ∈ A. Тогда все σkl 6= ∅ и каждое σkl — квадрируемый компакт (как пересечение квадрируемых компактов). При этом справедливы свойства: 1◦ K =

m S

k=1

σk′ ∩

n S

l=1

σl′′ =

m S n S

(σk′ ∩ σl′′ ) =

k=1 l=1

S

σkl ;

(k,l)∈A

2◦ если (k1 , l1 ) и (k2 , l2 ) — различные пары в A, то ]σk1 l1 [ ∩ ]σk2 l2 [= ∅.

Действительно, пусть, например, l1 6= l2 . Тогда ]σk1 l1 [ ∩ ]σk2 l2 [ ⊂ ]σl′′1 [ ∩ ]σl′′2 [= ∅.

Итак, совокупность {σkl } , (k, l) ∈ A, образует некоторое разбиение T компакта K. 3◦ T ′ 6 T и T ′′ 6 T . n n S S S Действительно, σk′ = σk′ ∩ K = σk′ ∩ σl′′ = (σk′ ∩ σl′′ ) = σkl для любого k, 1 6 k 6 m, и значит, l=1

l=1

l∈Ak

T ′ 6 T . Аналогично доказывается, что T ′′ 6 T .

 Разбиение T в доказанном утверждении принято обозначать в форме T = T ′ ∨ T ′′ . 1.2.2. Размеченные разбиения квадрируемого компакта Рассмотрим произвольное разбиение T квадрируемого компакта K на ячейки σk , k = 1, m. Выбирая в каждой ячейке σk произвольную точку ζk = (ξk , ηk ), получаем набор ζ точек {ζ1 , . . . , ζm } , ζk ∈ σk , k = 1, m. Разбиение T квадрируемого компакта K, к которому присоединён некоторый набор ζ = {ζ1 , . . . , ζm } называют размеченным разбиением компакта K и обозначают символом Tζ . На множестве P всех размеченных разбиений квадрируемого компакта K рассмотрим семейство {Bδ } множеств Bδ = {Tζ ∈ P | d(Tζ ) < δ}, δ > 0, и покажем, что семейство {Bδ } образует базу на P. Проверим выполнение первого свойства базы; то есть, что каждое множество Bδ , δ > 0, не пусто. Согласно свойству архимедовости√множества действительных чисел, для любого числа δ > 0 существует такое натуральное число n, что 2n > δ2 . Рассмотрим на координатной плоскости Π сетку шага h = 21n и обозначим Bn (K) объединение всех элементарных квадратов Qk , k = 1, m, этой сетки, у которых ]Qk [ ∩ K = 6 ∅. Тогда многоугольная фигура Bn (K) ⊃ K. Обозначим σk = K ∩ Qk , k = 1, m. Так как ]Qi [ ∩ ]Qj [= ∅, i 6= j, то ]σi [ ∩ ]σj [= ∅, i 6= j. Таким образом, компакты σk , k = 1, m, служат ячейками некоторого разбиения T компакта K, у которого √ 2 d(T ) 6 diam(Qk ) = 2n < δ, k = 1, m, и следовательно, множество Bδ 6= ∅ для любого δ > 0. Прежде, чем проверить выполнение второго свойства базы, заметим, что Bδ1 ⊂ Bδ2 для любых 0 < δ1 6 δ2 , поскольку для каждого элемента Tζ ∈ Bδ1 имеем d(Tζ ) < δ1 6 δ2 , и следовательно, Tζ ∈ Bδ2 . Теперь, для произвольных δ1 > 0 и δ2 > 0 выберем δ3 = min(δ1 , δ2 ), δ3 > 0, и, по предыдущему, Bδ3 ⊂ Bδ1 ∩ Bδ2 . База {Bδ } на P имеет специальное обозначение d(T ) → 0.

9

1.2.3. Интегральные суммы Римана Рассмотрим на квадрируемом компакте K произвольную функцию f (x, y). Для любого размеченного разбиения Tζ компакта K с ячейками σk , k = 1, m, и набором ζ = (ζ1 , . . . , ζm ) точек ζk = (ξk , ηk ) ∈ σk , k = 1, m, число m X σ(f ; Tζ ) = f (ξk , ηk )∆σk (1) k=1

называют интегральной суммой Римана функции f (x, y), отвечающей размеченному разбиению Tζ компакта K. Таким образом, произвольная функция f (x, y), определённая на квадрируемом компакте K, порождает некоторое отображение Φf : P → R, определяемое условием Φf (Tζ ) = σ(f ; Tζ ), Tζ ∈ P, в котором числа σ(f : Tζ ) задаются формулой (1). 1.2.4. Двойной интеграл Римана по квадрируемому компакту Определение 1. Число I ∈ R называют двойным интегралом функции f (x, y) по квадрируемому компакту K, если I = lim Φf . Обозначения: d(T )→0

I=

ZZ

f (x, y)dσ =

K

ZZ

f (x, y) dx dy = lim σ(f ; Tζ ). d(T )→0

K

Определение 1’. Число I ∈ R называют двойным интегралом функции f (x, y) по квадрируемому компакту K, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всякого размеченного разбиения Tζ компакта K, диаметр d(Tζ ) которого меньше δ, справедливо неравенство n X |I − σ(f ; Tζ )| = I − f (ξk , ηk )∆σk < ε. (2) k=1

По своей форме определения 1 и 1’ двойного интеграла аналогичны определению одномерного интеграла Римана на отрезке. Но в одномерном случае из условия, аналогичного условию (2), следует свойство ограниченность интегрируемой функции на отрезке. В многомерном случае ситуация сложнее. Имеет место следующее утверждение. Утверждение 1. Если RR компакт K имеет нулевую площадь, то для любой функции f (x, y), определённой f (x, y) dx dy = 0. на K, двойной интеграл K

Рассмотрим произвольное размеченное разбиение Tζ компакта K с ячейками σk , k = 1, m, и набором m S ζ точек ζk = (ξk , ηk ) ∈ σk , k = 1, m. Так как K = σk и пл. K = 0, то пл. σk = ∆σk = 0, k = 1, m. Поэтому 

интегральная сумма σ(f ; Tζ ) = Tζ ∈ P, и следовательно,

lim

d(T )→0

n P

k=1

f (ξk , ηk )∆σk = 0 для любого Tζ ∈ P, так что Φf : P → R, Φf (Tζ ) = 0,

k=1 Φf =

0. 

Отмеченное обстоятельство заставляет нас в дальнейшем изучении сузить множество функций, имеющих двойные интегралы по квадрируемым компактам, дополнительным условием их ограниченности на компактах. Определение 2. Функцию f (x, y) называют интегрируемой по Риману на квадрируемом компакте K, если она ограничена на K и обладает двойным интегралом по K (называемым в этом случае двойным интегралом Римана). Так как, по определению, двойной интеграл есть предел по базе некоторого отображения (функции), то всякая функция, интегрируема на квадрируемом компакте, обладает единственным двойным интегралом Римана. 1.2.5. Вычисление площади квадрируемого компакта Рассмотрим произвольный квадрируемый компакт K. Интегральные суммы σ(f0 ; Tζ ) функции f0 (x, y) = 1, n n P P (x, y) ∈ K, для любого Tζ ∈ P с ячейками σk , k = 1, m, имеют вид σ(f0 , Tζ ) = f0 (ξk , ηk )∆σk = ∆σk . Так как ]σi [ ∩ ]σj [= ∅, i 6= j, и K =

m S

σk , то по теореме 1.4,

k=1

m P

k=1

10

k=1

k=1

∆σk = пл. K, и значит, σ(f0 ; Tζ ) = пл. K для всех

Tζ ∈ P. Таким образом, отображение Φf0 : P → R, Φf0 (Tζ ) = пл. K, Tζ ∈ P — постоянное, и поэтому,имеет lim Φf0 = пл. K. Итак, d(T )→0 ZZ ZZ пл. K = 1 · dx dy = dx dy. K

K

Аналогично доказывается, чтоRRдля любой постоянной функции fRR(x, y) = c, c ∈ R, на квадрируемом компакте K существует двойной интеграл c dx dy = c · пл. K; в частности, 0 dx dy = 0. K

K

1.3. Теория Дарбу двойного интеграла Римана 1.3.1. Суммы Дарбу Пусть функция f (x, y) определена и ограничена на квадрируемом компакте K плоскости Π : xOy. Рассмотрим произвольное разбиение T компакта K на квадрируемые ячейки σk , k = 1, m. Тогда существуют числа mk =

inf

(x,y)∈σk

и числа s(f ; T ) =

f (x, y), Mk =

sup

f (x, y), k = 1, m

(1)

(x,y)∈σk m X

mk ∆σk , S(f ; T ) =

k=1

m X

Mk ∆σk ,

k=1

называемые, соответственно, нижней и верхней суммами Дарбу функции f , отвечающими разбиению T . Поскольку mk 6 Mk и ∆σk > 0, k = 1, m, то s(f ; T ) 6 S(f ; T ) для любого разбиения T компакта K. Известно (см. материал первого семестра), что разность Mk − mk > 0 равна колебанию ω(f ; σk ) функции f на множестве σk . Поэтому 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) =

m X

k=1

(Mk − mk )∆σk =

m X

ω(f ; σk )∆σk .

(2)

k=1

Рассмотрим произвольный набор ζ = (ζ1 , . . . , ζm ) точек ζk = (ξk , ηk ) ∈ σk , k = 1, m, и интегральную сумму σ(f ; Tζ ). Поскольку mk 6 f (ξk , ηk ) 6 Mk для любого k, 1 6 k 6 m, то заключаем, что s(f ; T ) 6 σ(f ; Tζ ) 6 S(f ; T )

(3)

для любого разбиения T компакта K и любого набора точек ζ = (ζ1 , . . . , ζm ). 1.3.2. Свойство монотонности сумм Дарбу Теорема 1.11. Если разбиение T ′ квадрируемого компакта K получено дроблением его разбиения T ; то есть, T 6 T ′ , то s(f ; T ′ ) > s(f ; T ) и S(f ; T ′) 6 S(f ; T ).  Утверждение теоремы достаточно проверить в случае, когда разбиение T ′ получено путём дробления какой-то единственной ячейки σk , 1 6 k 6 m, разбиения T компакта K на две ячейки σk1 и σk2 , σk = σk1 ∪ σk2 , ]σk1 [ ∩ ]σk2 [= ∅. Тогда числа (1) и mik =

inf

i (x,y)∈σk

f (x, y), Mki =

sup

f (x, y), i = 1, 2,

i (x,y)∈σk

связаны отношениями mik > mk и Mki 6 Mk , i = 1, 2.

(4)

Понятно, что для S(f ; T ′ ), s(f ; T ′ ) и S(f ; T ), s(f ; T ) справедливы соотношения S(f ; T ′) − S(f ; T ) = Mk1 ∆σk1 + Mk2 ∆σk2 − Mk ∆σk

(5)

s(f ; T ′ ) − s(f ; T ) = m1k ∆σk1 + m2k ∆σk2 − mk ∆σk ,

(6)

и в которых ∆σki = пл. σki , i = 1, 2, и ∆σk = ∆σk1 + ∆σk2 . На основании (4)–(6) и свойства ∆σki > 0 заключаем, что

S(f ; T ′ ) − S(f ; T ) 6 Mk ∆σk1 + Mk ∆σk2 − Mk ∆σk = 0 и s(f ; T ′ ) − s(f ; T ) > mk ∆σk1 + mk ∆σk2 − mk ∆σk = 0.  11

1.3.3. Свойство отделимости сумм Дарбу Теорема 1.12. Для любых разбиений T1 и T2 квадрируемого компакта K справедливо неравенство s(f ; T1 ) 6 S(f ; T2 ).  В силу утверждения 1 пункта 3.1, для разбиения T = T1 ∨ T2 имеем Ti 6 T, i = 1, 2. По теореме предыдущего пункта и (3), s(f ; T1 ) 6 s(f ; T ) 6 S(f ; T ) 6 S(f ; T2 ).  1.3.4. Основное свойство сумм Дарбу Теорема 1.13. Пусть функция f (x, y) определена и ограничена на квадрируемом компакте K. Тогда, для любого фиксированного разбиения T компакта K её верхняя (нижняя) сумма S(f ; T ) (s(f ; T )) равна точной верхней (точной нижней) грани множества {σ(f ; Tζ )} интегральных сумм функции f , отвечающих этому разбиению при всевозможных наборах точек ζ; то есть, S(f ; T ) = sup σ(f ; Tζ ) и s(f ; T ) = inf σ(f ; Tζ ). ζ

ζ

 Если пл. K = 0, то, по определению, s(f ; T ) = σ(f ; Tζ ) = S(f ; T ) = 0 для любого размеченного разбиения Tζ компакта K, и утверждение теоремы доказано. Пусть теперь пл. K > 0. Дальнейшее доказательство проведём для верхней суммы S(f ; T ). Обозначим ячейки фиксированного разбиения T через σk , k = 1, m. Из неравенств (3) следует, что число S(f ; T ) служит верхней гранью для множества {σ(f ; Tζ )} при всевозможных наборах ζ = (ζ1 , . . . , ζm ), ζk ∈ σk , k = 1, m. Рассмотрим теперь произвольное число ε > 0. Так как Mk = sup f , k = 1, m, то на каждой σk существует σk

такая точка ζ k = (ξ k , η k ) ∈ σk , что Mk − пл.ε K < f (ξ k , η k ) 6 Mk , k = 1, m. Получим набор ζ точек (ζ 1 , . . . , ζ m ), в которых Mk < f (ξ k , η k ) + пл.ε K , k = 1, m. Для размеченного разбиения Tζ интегральная сумма σ(f ; Tζ ) = m m P P f (ξ k , η k )∆σk связана с верхней суммой S(f ; T ) = Mk ∆σk отношениями

k=1

k=1

m ε X ε S(f ; T ) < σ(f ; Tζ ) + ∆σk = σ(f ; Tζ ) + пл. K = σ(f ; Tζ ) + ε, пл. K пл. K k=1

или S(f ; T ) − ε < σ(f ; Tζ ). Таким образом, S(f ; T ) = sup σ(f ; Tζ ). ζ

Аналогично доказывается, что s(f ; T ) = inf σ(f ; Tζ ).  ζ

1.3.5. Нижний и верхний интегралы Дарбу Рассмотрим произвольную функцию f (x, y), ограниченную на квадрируемом компакте K. Согласно свойству отделимости сумм Дарбу, множества {s(f ; T )} и {S(f ; T )} всех нижних и верхних сумм функции f (x, y) удовлетворяют принципу отделяющего отрезка, по которому существуют sup {s(f ; T )} = I и inf {S(f ; T )} = I и I 6 I. Числа I и I называют соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу функции f на компакте K. Понятно, что s(f ; T ) 6 I 6 I 6 S(f ; T ) для любого разбиения T компакта K. Кроме того, в силу принципа отделяющего отрезка, числа I и I равны в том и только в том случае, когда для любого числа ε > 0 можно указать такие разбиения T1 и T2 компакта K, для которых разность S(f ; T1 ) − s(f ; T2 ) < ε. Рассматривая теперь разбиение T = T1 ∨ T2 , так что T1 6 T и T2 6 T , заключаем на основании свойства монотонности сумм Дарбу, что S(f ; T1 ) > S(f ; T ) и s(f ; T2 ) 6 s(f ; T ), и значит, 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) 6 S(f ; T1 ) − s(f ; T2 ) < ε. Таким образом, I = I тогда и только тогда, когда для любого числа ε > 0 можно указать такое разбиение T компакта K, что 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε. (7) 1.3.6. Критерии интегрируемости функции на компакте Для функции f (x, y), определённой и ограниченной на квадрируемом компакте K, рассмотрим отображения ψf : P → R, ψf (Tζ ) = s(f ; T ), Tζ ∈ P и Ψf : P → K, Ψf (Tζ ) = S(f ; T ), Tζ ∈ P. Неравенство (3) принимает вид ψf (Tζ ) 6 Φf (Tζ ) 6 Ψf (Tζ ), Tζ ∈ P, где, напомним, Φf : P → R, Φf (Tζ ) = σ(f ; Tζ ). Условимся обозначать lim ψf = lim s(f ; T ) и d(T )→0

d(T )→0

lim Ψf = lim S(f ; T ), если пределы существуют.

d(T )→0

12

d(T )→0

(3′ )

Теорема 1.14. Функция f (x, y), определённая и ограниченная на квадрируемом компакте K, интегрируема на K тогда и только тогда, когда lim [S(f ; T ) − s(f ; T )] = 0. При этом, d(T )→0

ZZ

f (x, y) dx dy = I = lim S(f ; T ) = lim s(f ; T ) = I = I d(T )→0

d(T )→0

K

.

 Достаточность. В силу свойства отделимости сумм Дарбу, существует такое число I, что s(f ; T1 ) 6 I 6 S(f ; T2 ) для любых разбиений T1 и T2 компакта K. В частности, (8)

s(f ; T ) 6 I 6 S(f ; T )

для любого разбиения T компакта K. Присоединяя к (8) неравенства (3), получим |σ(f ; Tζ ) − I| 6 S(f ; T )−s(f ; T ) для любого Tζ ∈ P. Так как, по условию, lim [S(f ; T ) − s(f ; T )] = 0, то lim |σ(f ; Tζ ) − I| = 0, или I = d(T )→0 d(T )→0 RR lim σ(f ; Tζ ) = f (x, y) dx dy. d(T )→0

K

Далее, из (8) следуют неравенства |I − s(f ; T )| 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) и |I − S(f ; T )| 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) для всех Tζ ∈ P. Как и выше, заключаем, что I = lim s(f ; T ) и I = lim S(f ; T ). d(T )→0 d(T )→0 RR Необходимость. По условию, существует lim σ(f ; Tζ ) = f (x, y) dx dy = I. Рассмотрим произвольное d(T )→0

K

число ε > 0. По определению предела функции по базе, существует такое число δ > 0, что для любого размеченного разбиения Tζ компакта K с диаметром d(Tζ ) < δ справедливо неравенство |σ(f ; Tζ ) − I| < 2ε , или I − 2ε < σ(f ; Tζ ) < I + 2ε , откуда, на основании свойств сумм Дарбу, имеем I−

ε ε 6 inf σ(f ; Tζ ) = s(f ; T ) 6 I 6 I 6 S(f ; T ) = sup σ(f ; Tζ ) 6 I + ζ 2 2 ζ

(9)

для всех Tζ ∈ P, d(Tζ ) < δ. Поэтому, 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) 6 ε для всех Tζ ∈ P, d(Tζ ) < δ, или ε 2

s(f ; T )] = 0. Кроме того, на основании (9), оценки |I − s(f ; T )| 6 < ε, |I − S(f ; T )| 6 всех Tζ ∈ P, d(Tζ ) < δ, и следовательно, I = lim s(f ; T ) = lim S(f ; T ).  d(T )→0

ε 2

lim [S(f ; T ) −

d(T )→0

< ε справедливы для

d(T )→0

Теорема 1.15. Для того, чтобы функция f (x, y), определённая и ограниченная на квадрируемом компакте K, была интегрируемой на K, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа ε > 0 нашлось такое разбиение T компакта K, для которого 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε.  Необходимость доказана в предыдущей теореме ??. Для доказательства достаточности отметим, что условие теоремы совпадает с условием (7), согласно которому I = I и общее значение I = I = I равно двойному интегралу функции f (x, y) по компакту K.  1.3.7. Геометрический смысл двойного интеграла Следствие 1.3. Если функция f (x, y) > 0 на квадрируемом компакте K координатной  плоскости Π : xOy иRRf (x, y) интегрируема на K, то её подграфик Φf = (x, y, z) 0 6 z 6 f (x, y), (x, y) ∈ K кубируем и об . Φf = f (x, y) dx dy. K



Рассмотрим произвольное разбиение T компакта K на ячейки σk , k = 1, m, и обозначим 0 6 mk =

inf

(x,y)∈σk

f (x, y) 6

sup f (x, y) = Mk , k = 1, m. (x,y)∈σk

Согласно теореме ??, число mk ∆σk равно объёму цилиндрического тела Φk = σk × [0, mk ] с основанием σk , «упирающегося снизу» в график Γf функции f (x, y). При этом, если k 6= j, то Φk и Φj не имеют общих внутренних точек, поскольку проекции их внутренних точек на плоскость xOy являются внутренними точками их оснований (ячеек σk и σj ), а последние общих внутренних точек не имеют. Следовательно, «ступенчатое тело» m m S P AT = (σk × [0, mk ]), «вписанное» в подграфик Φf , кубируемо и s(f, T ) = mk ∆σk — его объём. Совершенно k=1

аналогично S(f ; T ) есть объём «ступенчатого тела» BT =

m S

k=1

k=1

(σk × [0, Mk ]), «описанного» около Φf . Но, согласно

теореме ??, для каждого ε > 0 существует такое разбиение T компакта K, что 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε. Тем самым для каждого ε > 0 существуют такие кубируемые тела A(= AT ) и B(= BT ), что A ⊂ Φf ⊂ B и об . B − об . A < ε. А это ещё означает, что Φf кубируемо. Так как при этом s(f ; T ) = об . A 6 об . B = S(f ; T ) и 13

RR s(f ; T ) 6 f (x, y) dx dy 6 S(f ; T ), то об . Φf − f (x, y) dx dy 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε, и поскольку это верно K K RR для всех ε > 0, то f (x, y) dx dy = об . Φf .  RR

K

Следствие 1.4. График Γf функции f (x, y), интегрируемой на квадрируемом компакте K ⊂ Π, кубируем и имеет нулевой объём.  Будучи интегрируемой, функция f (x, y) ограничена на K. Пусть T — произвольное разбиение компакта K с ячейками σk , k = 1, m, и mk = inf f (x, y), Mk = sup f (x, y), k = 1, m, и s(f ; T ), S(f ; T ) — нижняя и верхняя σk

суммы для разбиения T . Рассмотрим тело FT =

m S

σk

k=1

Vk , где Vk = σk × [mk , Mk ], k = 1, m. Очевидно, FT ⊃ Γf .

Согласно теореме ??, цилиндрическое тело Vk , k = 1, m, кубируемо и об . Vk = (Mk − mk )∆σk . Поэтому, FT m P кубируемо и об . FT 6 об . Vk = S(f ; T ) − s(f ; T ). По теореме ??, lim [S(f ; T ) − s(f ; T )] = 0. Таким образом, d(T )→0

k=1

Γf содержится в кубируемых телах произвольно малого объёма; то есть, является кубируемым телом нулевого объёма.  1.3.8. Интегрируемость непрерывной функции

Теорема 1.16. Всякая непрерывная функция на квадрируемом компакте интегрируема.  Пусть K — квадрируемый компакт. Если пл. K = 0, то на K интегрируема любая функция и интеграл равен нулю. Пусть теперь пл. K > 0, и f (x, y) — непрерывная функция на K. Тогда f (x, y) равномерно непрерывна на K, так что для произвольного числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для любых точек ζ, θ ∈ K, расстояние d(ζ, θ) между которыми меньше δ, справедливо неравенство |f (ζ) − f (θ)| < пл.ε K . Рассмотрим произвольное разбиение T компакта K с диаметром d(T ) < δ и с ячейками σk , k = 1, m. Так как все σk — компакты, а f (x, y) непрерывна на σk , то по теореме Вейерштрасса для каждого k, 1 6 k 6 m, существуют такие точки ζk′ , ζk′′ ∈ σk , что mk = inf f (x, y) = f (ζk′ ) и Mk = sup f (x, y) = f (ζk′′ ), k = 1, m. При этом, d(ζk′ , ζk′′ ) 6 diam σk 6 d(T ) < δ. σk

σk

Следовательно, S(f ; T ) − s(f ; T ) =

m X

k=1

(Mk − mk )∆σk =

m X

k=1

m

|f (ζk′′ ) − f (ζk′ )| ∆σk <

ε X ∆σk = ε пл. K k=1

и остаётся применить теорему ??.  1.3.9. Интегрируемость функций, точки разрыва которых образуют множества нулевой площади Теорема 1.17. Ограниченная на квадрируемом компакте K функция f (x, y), точки разрыва которой образуют фигуру нулевой площади, интегрируема на K.  Нужно рассмотреть только случай, когда пл. K > 0 и множество F ⊂ K точек разрыва функции f (x, y) не пусто, так что f (x, y) непрерывна на K\F . Кроме того, колебание ω = ω(f ; K) функции f (x, y) на K конечно и положительно. Рассмотрим произвольное число ε > 0. Согласно лемме 1 пункта ??, найдётся сетка с
шагом ε h, что F ⊂]Q[, где Q — объединение элементарных квадратов Qj , j = 1, n сетки и пл. Q < min 2ω , пл. K . Тогда множество K1 = K\]Q[ будет квадрируемым компактом с пл. K1 > 0, на котором f (x, y) непрерывна (поскольку K1 ⊂ K\F ). Как и в доказательстве теоремы предыдущего пункта, для ε > 0 находим такое разбиение T1 ε компакта K1 с ячейками σi , i = 1, m, что ω(f ; σi ) < 2пл. K , i = 1, m. Объединение ячеек σi , i = 1, m, и компактов Qj ∩ K = 6 ∅, j = 1, n, образует некоторое разбиение T исходного компакта K, для которого 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) = При этом,

m X

ω(f ; σi )∆σi <

i=1

и

n X j=1

m X i=1

m X

ω(f ; σi )∆σi +

i=1

так что 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) <

+

ε 2

j=1

ω(f ; Qj ∩ K)пл. (Qj ∩ K).

m

X ε ε ε ε ∆σi = ∆σi 6 пл. K = 2пл. K 2пл. K i=1 2пл. K 2

ω(f ; Qj ∩ K)пл. (Qj ∩ K) 6 ε 2

n X

n X j=1

ω · пл. (Qj ∩ K) 6 ω · пл. Q < ω ·

ε ε = , 2ω 2

= ε. В силу критерия (пункт ??), функция f (x, y) интегрируема на K.  14

1.4. Основные свойства двойного интеграла 1.4.1. Свойство линейности Теорема 1.18. Если функции fi (x, y), i = 1, 2, интегрируемы на квадрируемом компакте K на плоскости Π : xOy, то для любых λi ∈ R, i = 1, 2, функция h(x, y) = λ1 f1 (x, y) + λ2 f2 (x, y) интегрируема на K и ZZ ZZ ZZ (λ1 f1 (x, y) + λ2 f2 (x, y)) dx dy = λ1 f1 (x, y) dx dy + λ2 f2 (x, y) dx dy. (1) K



K

K

Для любого размеченного разбиения Tζ компакта K имеем σ(h, Tζ ) = λ1 σ(f1 ; Tζ ) + λ2 σ(f ; Tζ ),

откуда, на основании свойства линейности предела по базе d(T ) → 0, получаем утверждение теоремы и формулу (1).  1.4.2. Свойство монотонности Теорема 1.19. Если функции g(x, y) и h(x, y) интегрируемы на квадрируемом компакте на плоскости Π : xOy и g(x, y) 6 h(x, y) для всех (x, y) ∈ K, то ZZ ZZ g(x, y) dx dy 6 h(x, y) dx dy. (2) K

K

 Для любого размеченного разбиения Tζ компакта K имеем σ(g; Tζ ) 6 σ(h; Tζ ), откуда, на основании свойства монотонности предела по базе d(T ) → 0 получаем формулу (2).  1.4.3. Теоремы о среднем значении для двойного интеграла Теорема 1.20. Если функция f (x, y) интегрируема на квадрируемом компакте K с ненулевой площадью и m 6 f (x, y) 6 M для всех (x, y) ∈ K, то ZZ 1 m6 f (x, y) dy dy 6 M (3) пл. K K

(интегральное среднее функции заключено в тех же границах, что и функция).  Согласно свойствам линейности и монотонности, ZZ ZZ ZZ m · пл. K = m · dx dy 6 f (x, y) dx dy 6 M dx dy = M · пл. K K

K

K

и деление на пл. K > 0 даёт (3). 

Теорема 1.21. (о среднем значении). Интегральное среднее непрерывной функции f (x, y) на связном квадрируемом компакте K с ненулевой площадью равно её значению в некоторой точке этого компакта.  Так как f (x, y) непрерывна на компакте K, то по теореме Вейерштрасса она ограничена на K и существуют (xi , yi ) ∈ K, i = 1, 2, что f (x1 , y1 ) = inf f (x, y) = m и f (x2 , y2 ) = sup f (x, y) = M . Поскольку K

K

m 6 f (x, y) 6 M , то по теореме ?? справедливо (3). В силу связности компакта K, существует точка (ξ, η) ∈ K, RR f (x, y) dx dy.  в которой f (ξ, η) = пл.1 K K

1.4.4. Интегрируемость модуля и оценка двойного интеграла Теорема 1.22. Если функция f (x, y) интегрируема на квадрируемом компакте K, то |f (x, y)| также интегрируема на K и справедлива оценка Z Z ZZ f (x, y) dx dy 6 |f (x, y)| dx dy. (4) K

K

15

 Интегрируемая на K функция f (x, y) ограничена на K; то есть, |f (x, y)| 6 C, C > 0, (x, y) ∈ K. Так как для произвольного множества E ⊂ K справедливо ω(|f | , E) 6 ω(f ; E), то для любого разбиения T компакта K с ячейками σk , k = 1, m, справедливы оценки S(|f | ; T ) − s(|f | ; T ) =

m X

k=1

ω(|f | ; σk )∆σk 6

m X

k=1

ω(f ; σk )∆σk = S(f ; T ) − s(f ; T ).

Поэтому, на основании критерия интегрируемости, из интегрируемости на K функции f (x, y) следует интегрируемость на K функции |f (x, y)|. Так как − |f (x, y)| 6 f (x, y) 6 |f (x, y)| для (x, y) ∈ K, то на основании свойств линейности и монотонности, ZZ ZZ ZZ − |f (x, y)| dx dy 6 f (x, y) dx dy 6 |f (x, y)| dx dy, K

K

K

что равносильно (4).  1.4.5. Свойство аддитивности двойного интеграла Теорема 1.23. Если функция f (x, y) интегрируема на квадрируемых компактах K1 и K2 , не имеющих общих внутренних точек, и K = K1 ∪ K2 , то f (x, y) интегрируема на K и справедлива формула ZZ ZZ ZZ f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy + f (x, y) dx dy. (5) K

K1

K2

 Как объединение двух квадрируемых фигур, K — квадрируемая фигура, а как объединение двух компактов — компакт. Рассмотрим произвольное число ε > 0. Так как f интегрируема на K1 и K2 , существуют такое разбиение T ′ компакта K1 с ячейками σi′ , i = 1, n′ , n′ ∈ N, что S(f ; T ′ ) − s(f ; T ′ ) < 2ε , и такое разбиеn′ S ние T ′′ компакта K2 с ячейками σj′′ , j = 1, n′′ , n′′ ∈ N, что S(f ; T ′′ ) − s(f ; T ′′ ) < 2ε . Поскольку K1 = σi′ и i=1

K2 =

′′ n S

j=1

′

σj′′ , то K =

n S

i=1

σi′ ∪

′′ n S

j=1

σj′′ =

n S

k=1

σk , n ∈ N, и при этом ]σi′ [ ∩ ]σj′′ [ ⊂ ]K1 [ ∩ ]K2 [= ∅, i = 1, n′ , j = 1, n′′ .

Таким образом, получим некоторое разбиение T компакта K, для которого S(f ; T ) = S(f ; T ′ ) + S(f ; T ′′ ) и s(f ; T ) = s(f ; T ′ ) + s(f ; T ′′ ), так что S(f ; T ) − s(f ; T ) = S(f ; T ′ ) − s(f ; T ′ ) + S(f ; T ′′ ) − s(f ; T ′′ ) <

ε ε + = ε. 2 2

По критерию, функция f интегрируема на K. RR RR Чтобы доказать формулу (5), обозначим I = f (x, y) dx dy, Ii = f (x, y) dx dy, i = 1, 2, и опять рассмотрим K

Ki

произвольное число ε > 0. Согласно определению двойного интеграла, существует такое δ1 > 0, что |I − σ(f ; Tζ )| <

ε 3

(6)

для всех размеченных разбиений Tζ компакта K с диаметрами d(Tζ ) < δ1 ; существует такое δ2 > 0, что I1 − σ(f ; T ′ ′ ) < ε ζ 3

(7)

для всех размеченных разбиений Tζ′ ′ компакта K1 с диаметрами d(Tζ′ ′ ) < δ2 и существует такое δ3 > 0, что I2 − σ(f ; Tζ′′′′ ) < ε 3

(8)

для всех размеченных разбиений Tζ′′′′ компакта K2 с диаметрами d(Tζ′′′′ ) < δ3 . Положим δ = min(δ1 , δ2 , δ3 ), δ > 0, и рассмотрим такое размеченное разбиение Tζ′ ′ компакта K1 с d(Tζ′ ′ ) < δ 6 δ2 и такое размеченное разбиение Tζ′′′′ компакта K2 с d(Tζ′′′′ ) < δ 6 δ3 , у которых наборы ζ ′ и ζ ′′ не содержат общих точек (это всегда возможно сделать в случае, когда внутренности ]Ki [6= ∅, i = 1, 2; случай, когда ]Ki [= ∅ для некоторого i, 1 6 i 6 2, обсудим ниже). Объединение разбиений Tζ′ ′ и Tζ′′′′ образует некоторое размеченное разбиение Tζ компакта K с d(Tζ ) < δ 6 δ1 , для которого справедлива формула σ(f ; Tζ ) = σ(f ; Tζ′ ′ )+σ(f ; Tζ′′′′ )1 . Поэтому, с учётом неравенств 1 Эта формула остаётся справедливой (и даже упрощается) в случае, когда ]K [= ∅ для какого-то i, 1 6 i 6 2 (скажем, для K ), 2 i поскольку тогда K2 = гр. K2 , пл. K2 = пл. (гр. K2 ) = 0 и σ(f ; Tζ′′′′ ) = 0 для всех Tζ′′′′ .

16

(6)–(8), имеем оценки |I − (I1 + I2 )| = |I − σ(f ; Tζ ) − (I1 + I2 − σ(f ; Tζ ))| 6 |I − σ(f ; Tζ )| + |I1 + I2 − σ(f ; Tζ )| = |I − σ(f ; Tζ )| + ε ε ε + I1 − σ(f ; Tζ′ ′ ) + I2 − σ(f ; Tζ′′′′ ) 6 |I − σ(f ; Tζ )| + I1 − σ(f ; Tζ′ ′ ) + I2 − σ(f ; Tζ′′′′ ) < + + = ε. (9) 3 3 3

В силу произвольного выбора ε > 0, число, стоящее в левой части (9), равно нулю; то есть, I = I1 + I2 , что равносильно формуле (5).  Теорема 1.24. Функция f (x, y), интегрируемая на квадрируемом компакте K, будет интегрируема на любом квадрируемом компакте K1 ⊂ K.  Рассмотрим произвольное ε > 0 и такое разбиение T компакта K на ячейки σk , k = 1, n, чтобы n  P S(f ; T ) − s(f ; T ) = ω(f ; σk )∆σk < ε. Положим A = l σl ∩ K1 6= ∅ и σl′ = σl ∩ K1 для всех l ∈ A. Ячейки k=1

σk′ квадрируемы (как пересечение двух квадрируемых фигур) и являются компактами (как пересечение комn n S S S ′ σk = (σk ∩ K1 ) = σl . Наконец, так как ]σl′1 [ ∩ ]σl′2 [ ⊂ ]σl1 [ ∩ ]σl2 [, пактов). Далее, K1 = K1 ∩ K = K1 ∩ k=1

k=1

l∈A

то ]σl′1 [ ∩ ]σl′2 [= ∅ при l1 6= l2 . Таким образом, σl′ , l ∈ A, образуют некоторое разбиение T ′ компакта K1 , для P которого S(f ; T ′ ) − s(f ; T ′ ) = ω(f ; σl′ )∆σl′ . Поскольку 0 6 ω(f ; σl′ ) 6 ω(f ; σl ) и 0 6 ∆σl′ 6 ∆σl и A ⊂ 1, n, l∈A

то S(f ; T ′ ) − s(f ; T ′ ) 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε, и следовательно, функция f интегрируема на K1 (по критерию интегрируемости). 

Следствие 1.5. Пусть K1 , . . . , Kn — квадрируемые компакты, попарно без общих внутренних точек. Функция f (x, y) интегрируема на их объединении K тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом Kj , j = 1, n, причём тогда ZZ n ZZ X f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy. j=1 K j

K



Прямое следствие теорем ?? и ??. 

Следствие 1.6. Если функция f (x, y) > 0 и интегрируема на квадрируемом компакте K, то для любого квадрируемого компакта K1 ⊂ K справедливо неравенство ZZ ZZ f (x, y) dx dy 6 f (x, y) dx dy. K1



K

Прямое следствие теорем ?? и ?? и свойства монотонности двойного интеграла.  1.4.6. Интегрируемость произведения интегрируемых функций

Теорема 1.25. Если функции f (x, y) и g(x, y) интегрируемы на квадрируемом компакте K, то их произведение интегрируемо на K.  Рассмотрим сначала случай, когда g = f ; то есть докажем, что интегрируемость f влечёт интегриру2 емость f 2 . Так как f 2 = |f | , а согласно теореме ??, интегрируемость f влечёт интегрируемость |f |, то без ограничения общности можно считать, что f = |f |; то есть, что f (x, y) > 0, (x, y) ∈ K. Обозначим теперь через ME′ и m′E точные верхнюю и нижнюю грани на множестве E ⊂ K для функции f 2 (x, y) (а ME и mE по–прежнему точные верхняя и нижняя грани для f (x, y)). Так как 0 6 mE 6 f (x, y) для всех (x, y) ∈ E, то m2E 6 f 2 (x, y) для всех (x, y) ∈ E, и следовательно, m2E 6 m′E . Аналогично убеждаемся, что ME′ 6 ME2 (на самом деле здесь, как и выше, равенство, но для дальнейшего доказательства это не имеет значения). Поэтому ME′ − m′E 6 ME2 − m2E = (ME + mE )(ME − mE ) 6 2M (ME − mE ), где M — какая-нибудь верхняя грань для f (x, y) на K (и E ⊂ K). Отсюда для произвольного разбиения T компакта K на ячейки σ1 , . . . , σm имеем S(f 2 ; T ) − s(f 2 ; T ) =

m X

k=1

(Mk′ − m′k )∆σk 6 2M

m X

k=1

(Mk − mk )∆σk = 2M (S(f ; T ) − s(f ; T )),

и так как в силу доказанного неравенства левую его часть можно сделать сколь угодно малой, взяв достаточно малой правую, то вместе с f функция f 2 интегрируема на компакте K. 17

Наконец, для любых f и g справедливо fg =

1 [(f + g)2 − (f − g)2 ]. 4

(8)

Согласно свойству линейности двойного интеграла, интегрируемость функций f (x, y) и g(x, y) влечёт интегрируемость функций f (x, y) ± g(x, y), а значит, по доказанному, и интегрируемость их квадратов. Утверждение доказываемой теоремы следует теперь из (8) и свойства линейности двойного интеграла. 

1.5. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием Вычисление двойных интегралов для некоторых областей интегрирования может быть сведено к двукратному вычислению определённых интегралов. 1.5.1. Вычисление двойного интеграла по прямоугольнику со сторонами, параллельными координатным осям Теорема 1.26. Пусть K — замкнутый прямоугольник, ограниченный слева и справа прямыми x = a и x = b, а снизу и сверху прямыми y = c и y = d; то есть, K = [a, b] × [c, d]. Если функция f (x, y) интегрируема на K и для каждого фиксированного x ∈ [a, b] интегрируема как функция от y на отрезке [c, d], то функция Rd g(x) = f (x, y) dy интегрируема на [a, b] и c

ZZ

f (x, y) dx dy =

Zb a

K

 d  Z  f (x, y) dy  dx.

(1)

c

 Пусть T1 и T2 — разбиения отрезков [a, b] и [c, d] точками T1 : a = x0 < x1 < . . . < xm−1 < xm = b; T2 : c = y0 < y1 < . . . yn−1 < yn = d и отрезками ∆i = [xi−1 , xi ], i = 1, m; ∆j = [yj−1 , yj ], j = 1, n. Обозначим T12 разбиение прямоугольника K на прямоугольники σij = ∆i × ∆j , i = 1, m, j = 1, n, и пусть mij = inf f (x, y), σij

Mij = sup f (x, y), mi = inf g(x), Mi = sup g(x). Так как mij 6 f (x, y) 6 Mij для всех (x, y) ∈ σij , то σij

∆i

∆i

mij ∆yj 6

Zyj

f (x, y) dy 6 Mij ∆yj

yj−1

для всех x ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, m, где ∆yj = |∆j | = yj − yj−1 , j = 1, n. Поэтому, n X

mij ∆yj 6

j=1

y n Zj X

f (x, y) dy =

j=1y j−1

Zyn

f (x, y) dy = g(x) 6

n X

Mij ∆yj

j=1

y0

для всех x ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, m, откуда n X

mij ∆yj 6 mi 6 Mi 6

j=1

n X

Mij ∆yj , i = 1, m.

j=1

Умножив эти неравенства почленно на ∆xi = |∆i | = xi − xi−1 и просуммировав по i = 1, m, получим     m n m n X X X X   s(f ; T12 ) = mij ∆yj  ∆xi 6 s(g; T1 ) 6 S(g; T1 ) 6 Mik ∆yj  ∆xi = S(f ; T12 ). i=1

j=1

i=1

(2)

j=1

Так как функция f (x, y) интегрируема на K, то, по критерию интегрируемости, для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех разбиенийqT прямоугольника K с диаметром d(T ) < δ справедливо неравенство S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε. Но diam T12 = max i,j

∆x2i + ∆yj2 < δ, если d(T1 ) <

√δ 2

и d(T2 ) <

√δ . 2

Следова-

тельно, тогда S(f ; T12 ) − s(f ; T12 ) < ε и в силу (2) тем более S(g; T1 ) − s(g; T1 ) < ε. В силу произвольности ε > 0 отсюда вытекает, что функция g(x) интегрируема на [a, b]; причём, в силу неравенств (2), s(f ; T12 ) 6

Zb

g(x) dx 6 S(f ; T12 ).

a

18

Так как и s(f ; T12 ) 6

ZZ

f (x, y) dx dy 6 S(f ; T12 ),

K

то

Z Z Zb 6 S(f ; T12 ) − s(f ; T12 ) < ε f (x, y) dx dy − g(x) dx a

K

для всех ε > 0, откуда, в силу произвольности ε, следует равенство (1).  Совершенно аналогично доказывается следующая теорема. Теорема 1.27. Пусть K — замкнутый прямоугольник, ограниченный слева и справа прямыми x = a и x = b, а снизу и сверху — прямыми y = c и y = d; то есть, K = [a, b] × [c, d]. Если функция f (x, y) интегрируема на K и для каждого фиксированного y ∈ [c, d] интегрируема как функция от x на отрезке [a, b], то функция Rb h(y) = f (x, y) dx интегрируема на [c, d] и a

ZZ

f (x, y) dx dy =

Zd c

K

 b  Z  f (x, y) dx dy.

(3)

a

Следствие 1.7. Если функция f (x, y) непрерывна на замкнутом прямоугольнике K = [a, b] × [c, d], то справедливы обе формулы (1) и (3).  Непрерывная функция f (x, y) интегрируема на прямоугольнике K, и по свойства собственных интеRd гралов, зависящих от параметра, функция g(x) = f (x, y) dy непрерывна (и значит, интегрируема) на [a, b], а c

функция h(y) =

Rb

f (x, y) dx непрерывна (и интегрируема) на [c, d]. 

a

1.5.2. Вычисление двойного интеграла по площади, заключённой между двумя графиками Теорема 1.28. Пусть ϕ1 (x) и ϕ2 (x) — непрерывные функции на отрезке [a, b], причём ϕ1 (x) 6 ϕ2 (x) для всех x ∈ [a, b]. Тогда K = (x, y) ∈ R2 a 6 x 6 b, ϕ1 (x) 6 y 6 ϕ2 (x) — квадрируемый компакт, и если функция f (x, y) интегрируема на K, а для каждого фиксированного x ∈ [a, b] как функция от y интегрируема на отрезке [ϕ1 (x), ϕ2 (x)], то функция ϕZ2 (x) g(x) = f (x, y) dy ϕ1 (x)

интегрируема на [a, b] и ZZ K

f (x, y) dx dy =

Zb a

  

ϕZ2 (x)

ϕ1 (x)



 f (x, y) dy  dx.

(4)

 Множество K квадрируемо (и в частности, ограничено), поскольку его граница имеет площадь нулю (кривые L1 и L2 , задаваемые уравнениями y = ϕ1 (x) и y = ϕ2 (x) для x ∈ [a, b], имеют нулевые площади как графики интегрируемых функций). Кроме того, K — замкнуто. В самом деле, если (xn , yn ) ∈ K и (xn , yn ) → (x, y); то есть, xn → x, yn → y, то из свойства a 6 xn 6 b, n ∈ N, следует утверждение a 6 x 6 b и в силу непрерывности функций ϕ1 и ϕ2 , из свойства ϕ1 (xn ) 6 yn 6 ϕ2 (xn ) следует утверждение ϕ1 (x) 6 y 6 ϕ2 (x), так что (x, y) ∈ K. Таким образом, K — квадрируемый компакт. Далее, в силу своей непрерывности, ϕ1 и ϕ2 ограничены на [a, b]. Пусть c и d — какие–нибудь числа, удовлетворяющие условиям c < ϕ1 (x) и d > ϕ2 (x) для всех x ∈ [a, b]. Положим K∗ = [a, b] × [c, d] и ( f (x, y) на K, ∗ f (x, y) = 0 на K∗ \K. Тогда K∗ и f ∗ (x, y) удовлетворяют условиям предыдущей теоремы ??; то есть, f ∗ (x, y) интегрируема на K∗ и f (x, y) при каждом фиксированном x ∈ [a, b] интегрируема по y на [c, d]. Действительно, положим K′ = [K∗ \K], K′ — квадрируемый компакт, состоящий из двух кусков:   K1′ = (x, y) ∈ R2 a 6 x 6 b, c 6 y 6 ϕ1 (x) , K2′ = (x, y) ∈ R2 a 6 x 6 b, ϕ2 (x) 6 y 6 d . ∗

19

Функция f ∗ (x, y) интегрируема на K, поскольку совпадает там с f (x, y), и интегрируема на K′ , поскольку может отличаться от нуля там только на графиках функций ϕ1 (x) и ϕ2 (x), а объединение этих графиков есть фигура нулевой площади. При этом, в силу результатов пунктов ?? и ?? и свойства аддитивности двойного интеграла, ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ f ∗ (x, y) dx dy = 0, i = 1, 2, f ∗ (x, y) dx dy = f ∗ (x, y) dx dy + f ∗ (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy. Ki

K∗

K

K′

K

Наконец, для каждого x ∈ [a, b] имеем [c, d] = [c, ϕ1 (x)] ∪ [ϕ1 (x), ϕ2 (x)] ∪ [ϕ2 (x), d], причём f ∗ (x, y) может быть отличной от нуля на [c, ϕ1 (x)] только в точке y = ϕ1 (x) и на [ϕ2 (x), d] — только в точке y = ϕ2 (x), а на отрезке [ϕ1 (x), ϕ2 (x)], совпадая с f (x, y), интегрируема как функция от y. Следовательно, по свойствам определённого интеграла, f ∗ (x, y) для каждого x ∈ [a, b] как функция от y интегрируема на [c, d] и Zd

∗

f (x, y) dy =

c

ϕZ1 (x)

∗

f (x, y) dy +

c

ϕZ2 (x)

Zd

∗

f (x, y) dy +

ϕ1 (x)

∗

f (x, y) dy =

ϕ2 (x)

ϕZ2 (x)

∗

f (x, y) dy =

ϕ1 (x)

ϕZ2 (x)

f (x, y) dy.

ϕ1 (x)

Применяя к f ∗ (x, y) и K∗ теорему ??, получаем ZZ K

f (x, y) dx dy =

ZZ

f ∗ (x, y) dx dy =

Zb a

K∗

 

Zd c



f ∗ (x, y) dy  dx =

Zb a



  

ϕZ2 (x)

ϕ1 (x)



 f (x, y) dy  dx.

Аналогично доказывается следующая теорема. Теорема 1.29. Пусть ψ1 (y) и ψ2 (y) — непрерывные функции на отрезке [c, d], причём ψ1 (y) 6 ψ2 (y) для всех y ∈ [c, d]. Тогда K = (x, y) ∈ R2 c 6 y 6 d, ψ1 (y) 6 x 6 ψ2 (y) — квадрируемый компакт и если функция f (x, y) интегрируема на K и для каждого фиксированного y ∈ [c, d] как функция от x интегрируема на отрезке ψ2R(y) [ψ1 (y), ψ2 (y)], то функция h(y) = f (x, y) dx интегрируема на [c, d] и ψ1 (y)

ZZ

f (x, y) dx dy =

Zd c

K

  

ψZ2 (y)

ψ1 (y)



 f (x, y) dx dy.

1.6. Тройной интеграл 1.6.1. Разбиения кубируемого тела Рассмотрим произвольный кубируемый компакт V ∈ R3 : Oxyz. Разбиением T компакта V назовём всякое представление этого компакта в виде объединения конечного семейства {νk }, k = 1, n, кубируемых компактов, n S никакие два из которых не имеют общих внутренних точек; то есть, V = νk , ]νi [ ∩ ]νj [= ∅, i 6= j. Компакты νk , k=1

k = 1, n назовём ячейками разбиения T ; обозначим об . νk = ∆νk , k = 1, n. Если на каждом компакте νk выбрать некоторую точку pk ∈ νk , pk = (ξk , ηk , ζk ), k = 1, n, то ячейки νk , 1 6 k 6 n, вместе с набором p = {pk } точек pk , k = 1, n, назовём размеченным разбиением Tp компакта V. Множество всех размеченных разбиений компакта V обозначим символом P. Число d(Tp ) = max (diam νk ) называют диаметром размеченного разбиения Tp 16k6n

компакта V.  d(Tp ) < δ . Как и в двумерном Для произвольного числа δ > 0 символом Bδобозначим множество T ∈ P p случае, доказывается, что семейство множеств Bδ δ > 0 образует базу на P, которую обозначим d(T ) → 0. 1.6.2. Интегральные суммы и определение тройного интеграла

Пусть функция f (x, y, z) определена на кубируемом компакте V ∈ R3 . Для произвольного размеченного разбиения TP тела V с ячейками νk , k = 1, n, и набором p = {pk } точек pk = (ξk , ηk , ζk ) ∈ νk , k = 1, n, число σ(f ; Tp ) =

n X

f (ξk , ηk , ζk )∆νk

k=1

20

(1)

называют интегральной суммой функции f , отвечающей размеченному разбиению Tp тела V. Рассмотрим отображение (функцию) Φf : P → R, задаваемую формулой Φf (Tp ) = σ(f ; Tp ) для всех Tp ∈ P, где число σ(f ; Tp ) определяется формулой (1). Определение 1. Число I = lim Φf (если предел существует) называют тройным интегралом функции d(T )→0 RRR RRR f (x, y, z) по кубируемому компакту V ⊂ R3 и обозначают f (x, y, z) dν. Другое обозначение: I = f (x, y, z) dx dy dz, V

так что

ZZZ

f (x, y, z) dν =

V

ZZZ

V

(2)

f (x, y, z) dx dy dz = lim Φf = lim σ(f ; Tp ). d(T )→0

d(T )→0

V

Определение 2. Функцию f (x, y, z) называют интегрируемой по Риману на кубируемом компакте V ∈ R3 : Oxyz, если f определена и ограничена на V и существует тройной интеграл (2). Теория тройного интеграла строится совершенно аналогично теории двойного RRRинтеграла и тройной интеграл обладает всеми аналогичными свойствами двойного интеграла. В частности, dx dy dz = об . V для любого V RRR кубируемого компакта V и f (x, y, z) dx dy dz = 0 для любой функции f (x, y, z), определённой на компакте V V

нулевого объёма. Тройной интеграл обладает свойствами линейности, монотонности, аддитивности и допускает оценку своего модуля. Критерий интегрируемости функции f (x, y, z) на кубируемом компакте V в терминах n n P P её нижних и верхних сумм Дарбу s(f ; T ) = mk ∆νk , S(f ; T ) = Mk ∆νk , где mk = inf f (x, y, z), Mk = k=1

νk

k=1

sup f (x, y, z), k = 1, n, совершенно аналогичны соответствующим критериям для двойного интеграла. νk

1.6.3. Вычисление тройного интеграла по цилиндрическому телу Теорема 1.30. Пусть K — квадрируемый компакт на плоскости xOy и [c1 , c2 ] — отрезок оси z. Если функция f (x, y, z) интегрируема на цилиндрическом теле V = K × [c1 , c2 ] и для каждой фиксированной точки (x, y) ∈ K как функция от z интегрируема на отрезке [c1 , c2 ], то функция g(x, y) =

Zc2

f (x, y, z) dz

c1

интегрируема на K и ZZZ

f (x, y, z) dx dy dz =

V

ZZ

g(x, y) dx dy =

K

ZZ K

c  Z2  f (x, y, z) dz  dx dy. c1

 Пусть T1 — разбиение компакта K на ячейки σi , i = 1, m, и T2 — разбиение отрезка [c1 , c2 ] точками zj , j = 0, n, так что c1 = z0 < z1 < . . . < zn−1 < zn = c2 . Положим νij = σi × [zj−1 , zj ], i = 1, m, j = 1, n. Доказано (теорема ??), что цилиндрические тела νij кубируемы и ∆νij = об . νij = пл. σi · (zj − zj−1 ), а их компактность непосредственно следует из компактности множеств σi и [zj−1 , zj ]. Ясно также, что тела νij не имеют общих внутренних точек и вместе составляют V. Таким образом, νij — ячейки некоторого разбиения T12 тела V. Пусть, наконец, mij = inf f , Mij = sup f , mi = inf g, Mi = sup g. Так как mij 6 f (x, y, z) 6 Mij для всех (x, y, z) = νij , νij

σi

νij

то

mij · ∆zj 6

σi

Zzj

zj−1

f (x, y, z) dz 6 Mij · ∆zj

для всех (x, y) ∈ σi , ∆zj = zj − zj−1 . Поэтому, n X j=1

mij · ∆zj 6

z n Zj X

j=1z j−1

f (x, y, z) dz =

Zc2

f (x, y, z) dz = g(x, y) 6

j=1

c1

для всех (x, y) ∈ σi , откуда следует, что n X j=1

mij · ∆zj 6 mi 6 Mi 6

21

n X

n X j=1

Mij · ∆zj , i = 1, m.

Mij · ∆zj

Умножив эти неравенства почленно на ∆σi > 0 и просуммировав по i, 1 6 i 6 m, получим S(f ; T12 ) =

m X n X

mij ∆zj ∆σi 6 s(g; T1 ) 6 S(g; T1 ) 6

i=1 j=1

m X n X

Mij ∆zj ∆σi = S(f ; T12 ).

(3)

i=1 j=1

Так как f интегрируема на V, то для произвольного числа ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех разбиеq ний T тела V с d(T ) < δ имеем 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε. Но d(T12 ) = max (diam σi )2 + ∆zj2 < δ, если d(T1 ) < √δ2 i,j

и d(T2 ) < √δ2 . Следовательно, тогда S(f ; T12 ) − s(f ; T12 ) < ε, а значит, в силу (3), тем более S(g; T1 ) − s(g; T1 ) < ε. Поскольку ε произвольно, это означает, что функция g(x, y) интегрируема на квадрируемом компакте K, причём вследствие неравенства (3), ZZ s(f ; T12 ) 6

Так как справедливы также неравенства s(f ; T12 ) 6

g(x, y) dx dy 6 S(f ; T12 ).

K

ZZZ

f (x, y, z) dx dy dz 6 S(f ; T12 ),

V

то заключаем, что

Z Z Z ZZ <ε f (x, y, z) dx dy dz − g(x, y) dx dy V

для всех ε > 0; то есть, что

K

ZZZ

f (x, y, z) dx dy dz =

V



ZZ

g(x, y) dx dy.

K

Теорема 1.30’. Пусть K — квадрируемый компакт на плоскости xOy и [c1 , c2 ] — отрезок оси z. Если функция f (x, y, z) интегрируема на цилиндрическом теле V = K × [c1 , c2 ] и для каждого фиксированного z ∈ [c1 , c2 ] как функция точки (x, y) интегрируема на K, то функция ZZ h(z) = f (x, y, z) dx dy K

интегрируема на отрезке [c1 , c2 ] и ZZZ V



  Zc2 Z Z f (x, y, z) dx dy  dz. f (x, y, z) dx dy dz =  c1

K

Доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы ??, но теперь mj =

inf

[zj−1 ,zj ]

h, Mj =

sup h, j = 1, n, [zj−1 ,zj ]

остальные обозначения те же. Так как mij 6 f (x, y, z) 6 Mij для всех (x, y, z) ∈ νij , то ZZ mij · ∆σi 6 f (x, y, z) dx dy 6 Mij · ∆σi σi

для всех z ∈ [zj−1 , zj ], откуда

m X i=1

mij · ∆σi 6 h(z) 6

для всех z ∈ [zj−1 , zj ], и следовательно, m X i=1

mij · ∆σi 6 mj 6 Mj 6

m X i=1

m X i=1

Mij · ∆σi

Mij · ∆σi , j = 1, n.

Умножая эти неравенства почленно на ∆zj и суммируя по j, получим s(f ; T12 ) 6 s(h; T2 ) 6 S(h; T2 ) 6 S(f ; T12 ), откуда, как и в доказательстве теоремы ??, следует, что интегрируемость f на V влечёт интегрируемость h на [c1 , c2 ] вместе с совпадением их интегралов.  Очевидно, непрерывная функция f (x, y, z) на V удовлетворяет условиям теорем ?? и ??’. 22

1.6.4. Вычисление тройного интеграла по объёму, заключённому между двумя графиками Теорема 1.31. Пусть ψ1 и ψ2 — непрерывные функции на квадрируемом компакте K в плоскости xOy, причём ψ1 (x, y) 6 ψ2 (x, y) для всех (x, y) ∈ K. Тогда тело  V = (x, y, z) ∈ R3 (x, y) ∈ K, ψ1 (x, y) 6 z 6 ψ2 (x, y)

— кубируемый компакт, и если функция f (x, y, z) интегрируема на V, а для каждой фиксированной точки (x, y) ∈ K как функция от z интегрируема на отрезке [ψ1 (x, y), ψ2 (x, y)], то функция ψ2Z(x,y)

g(x, y) =

(4)

f (x, y, z) dz

ψ1 (x,y)

интегрируема на V и ZZZ

f (x, y, z) dx dy dz =

V

ZZ

g(x, y) dx dy =

K

ZZ K

  



ψ2Z(x,y)

ψ1 (x,y)

 f (x, y, z) dz  dx dy.

(5)

 Как непрерывные функции на компакте, ψ1 и ψ2 ограничены на K. Пусть c и d — какие-нибудь числа, удовлетворяющие неравенствам c < ψ1 (x, y) и d > ψ2 (x, y) для всех (x, y) ∈ K. Положим V ∗ = K × [c, d]. По теореме ??, V ∗ — кубируемое тело, так что его граница имеет объём нуль. Следовательно, тем же свойством обладает и её часть  F = (x, y, z) ∈ R3 (x, y) ∈ гр. K, ψ1 (x, y) 6 z 6 ψ2 (x, y) .

Но гр. V есть объединение множества F и графиков функций ψ1 и ψ2 . Так как эти функции интегрируемы на V, то их графики — тела нулевого объёма. Поэтому и гр. V имеет нулевой объём, а значит, V кубируемо. Кроме того, из непрерывности функций ψ1 и ψ2 и замкнутости K (так же, как в аналогичном случае в доказательстве теоремы ??) следует, что V замкнуто. Таким образом, V — кубируемый компакт. Положив ( f (x, y, z) на V, ∗ f (x, y, z) = 0 на V ∗ \V и V ′ = [V ∗ \V], так что V ′ = V1′ ∪ V2′ , где  V1′ = (x, y, z) ∈ R3 (x, y) ∈ K, c 6 z 6 ψ1 (x, y) ,  V2′ = (x, y, z) ∈ R3 (x, y) ∈ K, ψ2 (x, y) 6 z 6 d ,

мы рассуждениями, аналогичными проведённым в доказательстве теоремы ??, убедимся в том, что f ∗ удовлетворяет условиям теоремы ?? (с заменой f на f ∗ и V на V ∗ ), и     ψ2Z(x,y) ZZZ ZZZ Z Z Zd ZZ    f ∗ (x, y, z) dz  dx dy = f (x, y, z) dx dy dz = f ∗ (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dz  dx dy.  V

V∗

c

K

K

ψ1 (x,y)



Теорема ?? сводит вычисление тройного интеграла к вычислению сначала простого интеграла, затем двойного. Как мы увидим, при некоторых условиях значение тройного интеграла можно найти путём последовательного вычисления трёх простых интегралов. Будем обозначать точки (x, y) ∈ R2 одной буквой u и соответственно вместо (x, y, z) писать (u, z). Лемма 1. Пусть ψ1 и ψ2 — непрерывные функции на компакте K в xOy, причём ψ1 (u) 6 ψ2 (u) для всех u ∈ K. Если тогда f — непрерывная функция, заданная на теле  V = (u, z) ∈ R3 u ∈ K, ψ1 (u) 6 z 6 ψ2 (u) ,

то функция

g(u) =

ψZ2 (u)

f (u, z) dz

ψ1 (u)

23

(определённая для всех u ∈ K) непрерывна на K.  Как и в доказательстве теоремы ?? этого пункта, выберем какие-либо числа c и d, удовлетворяющие неравенствам c < ψ1 (u) и d > ψ2 (u) для всех u ∈ K, и положим V ∗ = K × [c, d], так что V ⊂ V ∗ . По условию, f — непрерывная функция на V. Продолжим её до непрерывной функции F на V ∗ . Это можно сделать многими способами; например, для каждой точки (u, z) ∈ V ∗ положим   f (u, ψ1 (u)), если z < ψ1 (u), F (u, z) = f (u, z), если ψ1 (u) 6 z 6 ψ2 (u) (то есть, если (u, z) ∈ V ∗ ),   f (u, ψ2 (u)), если z > ψ2 (u).

Действительно, как легко проверить, тогда

F (u, z) = f (u, min(max(z, ψ1 (u)), ψ2 (u))), так что F как сложная функция, образованная с помощью непрерывных функций ψ1 , ψ2 , max, min, f , непрерывна2 на V ∗ . Пусть теперь u0 — фиксированная, а u — переменная точки компакта K. Так как F совпадает с f на V, то g(u) − g(u0 ) =

ψZ2 (u)

F (u, z) dz −

ψ1 (u)

ψZ 2 (u0 )

F (u0 , z) dz =

ψ1 (u0 )

ψZ 2 (u0 )

[F (u, z) − F (u, z0 )] dz +

ψ1 (u0 )

ψZ 1 (u0 )

F (u, z) dz +

ψ1 (u)

ψZ2 (u)

F (u, z) dz,

ψ2 (u0 )

(6) где последние три интеграла имеют смысл, поскольку пределы интегрирования лежат в [c, d] и потому точка (u, z) в каждом подинтегральном выражении принадлежит V ∗ (хотя может и не принадлежать V), а F (в отличии от f ) определена и непрерывна на всём V ∗ . Так как при этом V ∗ — компакт, то F равномерно непрерывна на V ∗ . Поэтому, при заданном ε > 0 существует такое δ1 > 0, что если ku − u0 k < δ1 , то |F (u, z) − F (u0 , z)| <

ε 3[ψ2 (u0 ) − ψ1 (u0 ) + ε]

для всех z ∈ [ψ1 (u0 ), ψ2 (u0 )]. Кроме того, F ограничена на V ∗ , |F (u, z)| 6 C для всех (u, z) ∈ V ∗ . Поскольку ε и ψ1 и ψ2 непрерывны, при том же ε существует такое δ2 > 0, что если ku − u0 k < δ2 , то |ψ1 (u) − ψ1 (u0 )| < 3C ε |ψ2 (u) − ψ2 (u0 )| < 3C . Но тогда из (6) следует, что если ku − u0 k < min(δ1 , δ2 ), то |g(u) − g(u0 )| 6

ψZ ψZ2 (u) 1 (u0 ) |F (u, z) − F (u0 , z)| dz + |F (u, z)| dz + |F (u, z)| dz 6 ψ1 (u) ψ2 (u0 )

ψZ 2 (u0 )

ψ1 (u0 )

6

ε[ψ2 (u0 ) − ψ1 (u0 )] ε ε ε + C |ψ1 (u) − ψ1 (u0 )| + C |ψ2 (u) − ψ2 (u0 )| < + C +C = ε, 3[ψ2 (u0 ) − ψ1 (u0 ) + ε] 3 3C 3C

так что g непрерывна в (каждой) точке u0 компакта K. 

Теорема 1.32. Пусть ϕ1 и ϕ2 — непрерывные функции на отрезке ϕ1 (x) 6 ϕ2 (x) для всех x ∈  [a, b], причём [a, b], и пусть ψ1 , ψ2 — непрерывные функции на множестве K = (x, y) ∈ R2 a 6 x 6 b, ϕ1 (x) 6 y 6 ϕ2 (x) , причём ψ1 (x, y) 6 ψ2 (x, y) для всех (x, y) ∈ K. Тогда тело  V = (x, y, z) ∈ R3 a 6 x 6 b, ϕ1 (x) 6 y 6 ϕ2 (x), ψ1 (x, y) 6 z 6 ψ2 (x, y) — кубируемый компакт и для всякой непрерывной функции f (x, y, z) на V справедлива формула     ZZZ Zb ϕZ2 (x) ψ2Z(x,y)     f (x, y, z) dx dy dz =  f (x, y, z) dz  dy  dx.  V

a

ϕ1 (x)

(7)

ψ1 (x,y)

 Так как K, по теореме ?? пункта ?? — квадрируемый компакт, то V, по теореме ?? этого пункта, — кубируемый компакт. Будучи непрерывной на V, функция f удовлетворяет условиям теоремы ?? и потому 2 Непрерывность

функций max и min следует из формул max(f ; g) =

24

1 [f 2

+ g + |f − g|], min(f ; g) =

1 [f 2

+ g − |f − g|].

справедлива формула (5). При этом, согласно лемме, функция g, определяемая формулой (4), непрерывна и потому удовлетворяет условиям, наложенным в теореме ?? на функцию f . Следовательно, в силу этой теоремы,   ZZ Zb ϕZ2 (x)   g(x, y) dx dy =  g(x, y) dy  dx, K

a

ϕ1 (x)

что в соединении с формулами (4) и (5) даёт (7). 

1.7. Замена переменных в двойном и тройном интегралах Рассмотрим вначале задачу преобразования двойного интеграла

RR

F (x, y) dx dy с помощью замены перемен-

K

ных вида x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), где функции ϕ и ψ служат компонентами отображения некоторого открытого подмножества плоскости с координатами (u, v) в координатную плоскость xOy. 1.7.1. Понятие регулярного отображения Определение 1. Отображение f из Rn в Rn , n > 2, определённое на непустом открытом множестве D, x = f (w), w = (w1 , . . . , wn ) ∈ D, x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , xi = f i (w) = f i (w1 , . . . , wn ), i = 1, n, называется регулярным, если: 1◦ f непрерывно дифференцируемо в D; то есть, каждая функция f i (w) = f i (w1 , . . . , wn ), i = 1, n, имеет непрерывные всюду в D все частные производные первого порядка; 2◦ якобиан ◦

D(f 1 ,...,f n ) D(w 1 ,...,w n )

отображения f не равен нулю во всех точках w ∈ D;

3 отображение f инъективно в D; то есть, его значения различны в различных точках w ∈ D (или, если f (w1 ) = f (w2 ), то w1 = w2 ∈ D). Из условий 1◦ и 2◦ на основании теоремы о локальном диффеоморфизме следует, что для любой точки w ∈ D существует такая окрестность U(w) ⊂ D, в которой непрерывно дифференцируемое отображение f биективно, так что на открытом множестве f (U(w)) существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение f −1 . Таким образом, отображение f , удовлетворяющее только условиям 1◦ и 2◦ определения 1, инъективно в U(w); то есть, f — локально инъективно в D.  Пример 7.1. Отображение f (r, ϕ) открытого множества D0 = (r, ϕ) ∈ R2 r > 0 , задаваемое компонентами x = f 1 (r, ϕ) = r cos ϕ, y = f 2 (r, ϕ) = r sin ϕ, имеет в D0 непрерывные производные x′r = (f 1 )′r (r, ϕ) = cos ϕ, x′ϕ = (f 1 )′ϕ (r, ϕ) = −r sin ϕ, yr′ = (f 2 )′r (r, ϕ) = sin ϕ, yϕ′ = (f 2 )′ϕ (r, ϕ) = r cos ϕ и удовлетворяет в D0 условиям 1◦ и 2◦ из определения 1, поскольку D(f 1 , f 2 ) cos ϕ sin ϕ = = r > 0, −r sin ϕ r cos ϕ D(r, ϕ)

но f не удовлетворяет условию 3◦ , так как f (r, ϕ) = f (r, ϕ + 2π), и следовательно, f не является регулярным отображением в D0 . Этот пример показывает, что условие 3◦ в определении 1 не следует из его условий 1◦ и 2◦ . С другой стороны, из условия 3◦ следует, что на открытом множестве f (D) ⊂ R2 существует отображение g : f (D) → R2 , обратное к f , g = f −1 ; то есть, g : f (D) → D. 1.7.2. Основные свойства регулярных отображений Теорема 1.33. Если отображение f : D → Rn непустого открытого множества D ⊂ Rn является регулярным отображением, то 1◦ образ каждого открытого множества, содержащегося в D, является открытым множеством; в частности, f (D) — открытое множество; ◦ 2 отображение, обратное к f и определённое на открытом множестве f (D) ⊂ Rn — также регулярное; 3◦ образ границы каждого компакта, содержащегося в D, является границей образа этого компакта, а образ внутренности — внутренностью.

 Утверждение (1) доказано во втором семестре для любого непрерывно дифференцируемого отображения. 2◦ . Рассмотрим на открытом множестве f (D) = Dg обратное отображение f −1 = g. В силу теоремы о дифференцируемости обратного отображения, отображение g непрерывно дифференцируемо в каждой точке 25

x ∈ Dg . Кроме того, якобиан

D(g1 ,...,gn ) D(x1 ,...,xn )

=

1

D(f 1 ,...,f n ) D(w1 ,...,wn )

6= 0 в каждой точке x ∈ Dg ; то есть, выполнены условия

(1) и (2) в определении 1. Далее, если g(x1 ) = g(x2 ), то (f ◦ g)(x1 ) = (f ◦ g)(x2 ) и x1 = x2 ; то есть, отображение g инъективно в Dg . Итак, выполнены все три условия в определении 1 регулярного отображения. 3◦ . Пусть K — произвольный компакт, содержащийся в D. Так как f (]K[) ⊂ f (K) и f (]K[) — открытое множество (утверждение (1)), то f (]K[) ⊂]f (K)[. Далее, так как f непрерывно, то (см. материал второго семестра) f (K) — компакт (замкнутое и ограниченное множество в Rn ). Поэтому, гр. f (K) ⊂ f (K). Но K = гр. K∪]K[. Следовательно, гр. f (K) ⊂ f (K) = f (гр. K) ∪ f (]K[) ⊂ f (гр. K)∪]f (K)[. Поскольку гр. f (K) не пересекается с ]f (K)[, то заключаем, что гр. f (K) ⊂ f (гр. K).

(1)

С другой стороны, K = g(f (K)). Так как f (K) — компакт, а g (по утверждению (2)) регулярно, то по только что доказанному (но примененному к f (K) вместо K и к g вместо f ), гр. K = гр. g(f (K)) ⊂ g(гр. f (K)), и поэтому f (гр. K) ⊂ f (g(гр. f (K))) = гр. f (K).

(2)

Сопоставляя (1) и (2), заключаем, что f (гр. K) = гр. f (K). Наконец, так как f (гр. K) ∪ f (]K[) = f (гр. K∪]K[) = f (K) = гр. f (K)∪]f (K)[, причём f (гр. K) = гр. f (K), f (]K[) ⊂]f (K)[ и гр. f (K) не пересекаются с ]f (K)[, то ]f (K)[= f (]K[). 

Замечание. При выполнении условий теоремы ??, образ f (Q) каждой области Q ⊂ D — область. Действительно, по теореме, f (Q) вместе с Q — открытое множество. Так как при этом Q ещё и связано, то, в силу непрерывности f , f (Q) тоже связано (см. материал второго семестра). Таким образом, f (Q) — область. В частности, если D — область, то и f (D) — область. 1.7.3. Площадь параллелограмма

На координатной плоскости uOv, w = (u, v), с правой координат рассмотрим параллелограмм P ,   системой   u1 u2 образованный упорядоченной парой векторов r 1 = и r2 = . Из линейной алгебры известно, что P — v1 v2 квадрируемая фигура и его площадь u 1 u 2 . пл. P = (3) v1 v2 1.7.4. Изменение площади параллелограмма при аффинном отображении

Аффинное отображение A координатной плоскости uOv в координатную плоскость xOy задаётся формулами вида x = a11 u + a12 v + a1 (4) y = a21 u + a22 v + a2 .   a11 a12 ∂y ∂y ∂x ∂x и Так как a11 = ∂u , a12 = ∂v , a21 = ∂u , a22 = ∂v , то матрица Якоби отображения A имеет вид A = a21 a22 якобиан D(x,y) D(u,v) отображения A совпадает с определителем det A матрицы A. Таким образом, поскольку det A 6= 0, отображение A, задаваемое формулами (4), регулярное. Теорема 1.34. Для любого параллелограмма P и любого аффинного отображения A, задаваемого формулами (4), параллелограмм A(P ) имеет площадь пл. A(P ) = det A · пл. P .  Не ограничивая общности, считаем векторы r 1 и r 2 отложенными от начала координат (поскольку свойство квадрируемости и величина площади параллелограмма не зависит от параллельного переноса в плоскости uOv). Тогда при отображении A получаем векторы A(r 1 ) и A(r 2 ), отложенные от точки O(a1 , a2 ) и координатами xi − a1 = a11 ui + a12 vi , yi − a2 = a21 ui + a22 vi , i = 1, 2. Следовательно, согласно (3), x − a1 x2 − a1 a11 u1 + a12 v1 a11 u2 + a12 v2 a11 a12 u1 u2 = = · = det A · пл. P, пл. A(P ) = 1 y1 − a2 y2 − a2 a21 u1 + a22 v1 a21 u2 + a22 v2 a21 a22 v1 v2

где использовано правило умножения определителей.  По доказанной теореме, |пл. A(P )| = |det A| · |пл. P |. В дальнейшем пары векторов, на которые натянуты параллелограммы, не будут считаться упорядоченными, и поэтому под площадью параллелограмма всегда будет пониматься абсолютная величина. 26

1.7.5. Изменение площади квадрируемых фигур при аффинном отображении Теорема 1.35. Если F — квадрируемая фигура на плоскости Π : uOv и A — аффинное отображение, задаваемое формулами (4), то образ A(F ) — квадрируемая фигура и пл. A(F ) = |det A| · пл. F .  Рассмотрим произвольное число ε > 0. Согласно лемме 1, пункт ??, на Π существует такая сетка с шагом h, с помощью объединения конечного числа элементарных квадратов qn , n ∈ N, которой можно получить многоугольные фигуры PF и QF , чтобы PF ⊂ F ⊂ QF и пл. QF −пл. PF < |detε A| . Образами квадратов qn , n ∈ N, при отображении A будут параллелограммы A(qn ), n ∈ N, попарно без общих внутренних точек, получающиеся друг из друга параллельным переносом, и в совокупности накрывающие Π. Тогда A(PF ) ⊂ A(F ) ⊂ A(QF ) и фигуры A(PF ), A(QF ) квадрируемы, так как они состоят из конечного числа параллелограммов без общих внутренних точек. Кроме того, по теореме ?? и свойству аддитивности площади, пл. A(PF ) = |det A| пл. PF и пл. A(QF ) = |det A| пл. QF . Поэтом, пл. A(QF ) − пл. A(PF ) = |det A| (пл. QF − пл. PF ) < |det A| |detε A| = ε. Последнее означает, что фигура A(F ) квадрируема и её площадь ZZ пл. A(F ) = lim пл. A(QF ) = |det A| lim пл. A(QF ) = |det A| пл. F = |det A| du dv. h→0

h→0

F

 1.7.6. Изменение объёма параллелепипеда и кубируемой фигуры в Rn , n > 1, при аффинных отображениях Рассмотрим в Rn , n > 2, набор из n векторов rk = (a1k , a2k , . . . , ank ), k = 1, n. Из линейной алгебры известно, что объём параллелепипеда P, натянутого на векторы r k , k = 1, n, вычисляется по формуле 1 a1 . . . an1 . . . . . . . . . . . . . ∆n = . .1. . . . . . . . .n. a n . . . an

Аффинное отображение A пространства Rn задаётся некоторой матрицей A = (aij ), i = 1, n, j = 1, n, с det A 6= 0 и некоторым вектором a = (a1 , . . . , an ). Как и в пункте ??, проверяется, что параллелепипед A(P) кубируем и его объём вычисляется по формуле D(x1 , x2 , . . . , xn ) · об . P. об . A(P) = |det A| об . P = D(u1 , u2 , . . . , un )

Аналогично теореме ??, утверждение справедливо для произвольного кубируемого тела V в Rn ; то есть, об . A(V) = |det A| об . V. 1.7.7. Сохранение квадрируемости (кубируемости) при регулярных отображениях Рассмотрим произвольное регулярное отображение f : D → Π1 , Π1 : xOy, D ⊂ Π, D 6= ∅ — открытое множество на Π : uOv, задаваемое компонентами f (u, v) = (f 1 (u, v), f 2 (u, v)), x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), (u, v) ∈ D. Символом Jf = Jf (u, v) обозначим якобиан отображения f . По определению, 1 ∂f ∂f 1 ∂u ∂v2 . Jf (u, v) = ∂f 2 ∂f ∂u

∂v

Имеет место следующая теорема. Теорема 1.36. Для любого квадрируемого компакта K, содержащегося в открытом множестве D его образ f (K) при регулярном отображении f с областью определения Df = D — квадрируемый компакт и справедлива формула ZZ пл. f (K) =

|Jf (u, v)| du dv.

(5)

K

В частном случае, когда отображение f аффинное, f (u, v) = A(u, v), формула (5) доказана в пункте ??, теорема ??: ZZ пл. A(K) = |det A| · пл. K = |JA (u, v)| · пл. K = |JA (u, v)| du dv. K

27

Для изложения доказательства в общем случае у меня нет времени: помимо причин, указанных в самом начале главы, волею календаря у меня пропадают три лекции, приходящиеся на праздничные дни. Пусть теперь x = f (w) — произвольное регулярное отображение непустого открытого множества D пространства Rn , n > 2, в себя, задаваемое компонентами (f1 (w), . . . , fn (w)), w = (u1 , . . . , un ) ∈ D, xi = fi (w) = fi (u1 , . . . , un ), i = 1, n, и K — произвольный кубируемый компакт, содержащийся в D. Как обычно, Jf (u1 , . . . , un ) = D(f1 ,...,fn ) D(u1 ,...,un ) — якобиан отображения f . Аналогом теоремы ?? служит нижеследующая теорема. Теорема 1.37. Для любого кубируемого компакта K ⊂ D его образ f (K) — кубируемый компакт и справедлива формула Z Z D(f1 , . . . , fn ) 1 du . . . dun . об . f (K) = · · · D(u1 , . . . , un ) K

1.7.8. Основная теорема о замене переменных в двойном интеграле

Теорема 1.38. Пусть f (w) = f (u, v) — произвольное регулярное отображение непустого открытого множества D на координатной плоскости uOv и K — квадрируемый компакт, содержащийся в открытом множестве f (D) на координатной плоскости xOy. Функция F (x, y) интегрируема на K тогда и только тогда, когда функция G(u, v) = (F ◦ f )(u, v) · |Jf (u, v)| интегрируема на f −1 (K) и справедлива формула ZZ ZZ F (x, y) dx dy = (F ◦ f )(u, v) |Jf (u, v)| du dv. (6) K

f −1 (K)

Доказательство проведём для частного случая f (w) = A(w)  =  A(u, v) аффинного отображения плоскоa1 . В этом случае |Jf (u, v)| = |det A| > 0 — сти uOv, задаваемого матрицей A = (aij ), i, j = 1, 2, и вектором a2 некоторое число и 1 Jf −1 (x, y) = det A−1 = . |det A| m S Рассмотрим произвольное разбиение T компакта K квадрируемыми ячейками σk , k = 1, m, K = σk и 

k=1

]σi [∩]σj [= ∅, если i 6= j. Так как f (w) = A(w) — регулярное отображение, то f −1 (K) — квадрируемый компакт, m S f −1 (σk ) — квадрируемые компакты, и f −1 (K) = f −1 (σk ), ]f −1 (σi )[∩]f −1 (σj )[= ∅, если i 6= j. Таким образом, k=1

любое разбиение T компакта K порождает некоторое разбиение T ′ компакта f −1 (K). Поскольку f −1 — также регулярное отображение, то аналогично можно утверждать, что произвольное разбиение T ′ компакта f −1 (K) −1 порождает некоторое разбиение T компакта K. При этом, пл. f (σk ) = пл. σk · Jf −1 (x, y) = |det1 A| · пл. σk , k = 1, m. Считая функцию F (x, y) ограниченной на компакте K (что обусловлено условием её интегрируемости на K), обозначим mk = inf F (x, y), Mk = sup F (x, y), m∗k = inf G(u, v), Mk∗ = sup G(u, v), k = 1, m. Тогда σk

m∗k

=

|det A| mk , Mk∗

f −1 (σk )

σk

f −1 (σk )

= |det A| Mk , k = 1, m, и следовательно, m X

s(G; T ′ ) =

k=1

и ′

S(G; T ) =

m X

k=1

Таким образом,

m∗k · пл. f −1 (σk ) =

Mk∗

· пл. f

−1

(σk ) =

m X

mk · пл. σk = s(F ; T )

m X

Mk · пл. σk = S(F ; T ).

k=1

k=1

sup s(G; T ′ ) = sup s(F ; T ) и inf′ S(G; T ′ ) = inf S(F ; T ). T′

T

T

T

Равенства (7) равносильны (6), так как ZZ F (x, y) dx dy = sup s(F ; T ) = inf S(F ; T ) и

K

ZZ

T

T

G(u, v) du dv = sup s(G; T ′ ) = inf′ S(G; T ′ ). T′

f −1 (K)

 28

T

(7)

1.8. Квазирегулярные отображения 1.8.1. Определение и обсуждения Определение 1. Пусть Π : uOv и Π1 : xOy — координатные плоскости и D 6= ∅ — открытое множество на Π. Отображение f : [D] → Π1 называется квазирегулярным, если: 1◦ f (u, v) = (f1 (u, v), f2 (u, v)), x = f1 (u, v), y = f2 (u, v), определено на некотором открытом множестве D′ ⊃ [D] и непрерывно дифференцируемо на D′ ; 2◦ якобиан Jf (u, v) =

D(f1 ,f2 ) D(u,v)

6= 0 на D′ ;

3◦ на (открытом) множестве f (D) существует обратное отображение f −1 = g, g(f (D)) = D; и 4◦ для каждого квадрируемого компакта K ⊂ [D] множество K ∩ гр. D имеет площадь нуль.

Согласно этому определению, отображение f регулярно на открытом множестве D. Пример 8.1. Пусть Π — плоскость с декартовыми r, ϕ, а Π1 — плоскость с декартовыми  координатами координатами x, y, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, и пусть D = (r, ϕ) ∈ Π r > 0, 0 < ϕ < 2π — открытая полуполоса в первом квадранте 2π.  на Π ширины Тогда [D] = (r, ϕ) ∈ Π r > 0, 0 6 ϕ 6 2π — замкнутая полуполоса. Отображение f из Π в Π1 , f (r, ϕ) = (f1 (r, ϕ), f2 (r, ϕ)), f1 (r, ϕ) = r cos ϕ = x, f2 (r, ϕ) = r sin ϕ = y имеет якобиан |Jf (r, ϕ)| = r 6= 0, если (r, ϕ) ∈ D, и f — непрерывно дифференцируемо на Π. Если (ri , ϕi ) ∈ D, i = 1, 2, и f (r1 , ϕ1 ) = f (r2 , ϕ2 ), то (r1 cos ϕ1 , r1 sin ϕ1 ) = (r2 cos ϕ2 , r2 sin ϕ2 ), то r12 = r12 cos2 ϕ1 + r12 sin2 ϕ1 = r22 cos2 ϕ2 + r22 sin2 ϕ2 = r22 и r1 = r2 , поскольку ri > 0, i = 1, 2. Поэтому (cos ϕ1 , sin ϕ1 ) = (cos ϕ2 , sin ϕ2 ), и значит, ϕ1 = ϕ2 + 2πk, k ∈ Z, откуда ϕ1 = ϕ2 , так как |ϕ1 − ϕ2 | < 2π. Итак, выполнены условия (1)–(3) из определения 1. Далее,    гр. D = (0, ϕ) 0 6 ϕ 6 2π ∪ (r, 0) r > 0 ∪ (r, 2π) r > 0 .

Значит, для любого квадрируемого компакта K ⊂ [D], пл. K = 0, пересечение K ∩ гр. D квадрируемо, поскольку множество гр. (K ∩ гр. D) расположено на конечном числе (не более трёх прямолинейных отрезков и поэтому пл. гр. (K ∩ гр. D) = 0, то есть, выполнено и условие (4) в определении 1. Таким образом, отображение f квазирегулярно на [D]; при этом, f ([D]) = Π1 . Отметим, что f на [D] не инъективно: f (r, 0) ≡ f (r, 2π), r > 0, и f (0, ϕ) = 0, ϕ ∈ [0, 2π]. 1.8.2. Обобщение основной теоремы о замене переменных в двойном интеграле Теорема 1.39. Квазирегулярные отображения сохраняют свойства квадрируемости и компактности и для них справедлива формула (6) из пункта ??. Доказательство не приводится по объяснённой выше причине. 1.8.3. Преобразование двойного интеграла к полярным координатам Пусть с декартовыми координатами r, ϕ, а Π1 — плоскость с декартовыми координатами x, y  Π — плоскость и D = (r, ϕ) ∈ Π r > 0, 0 < ϕ < 2π . Как показано в предыдущем пункте, отображение f плоскости Π в Π1 с компонентами x = r cos ϕ, y = r sin ϕ — квазирегулярно на [D]; при этом, Jf (r, ϕ) = r. Поэтому, согласно теореме ??, для каждого квадрируемого компакта K ⊂ [D] и каждой функции F , интегрируемой на f (K), справедлива формула ZZ ZZ F (x, y) dx dy = F (r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ. K

f (K)

1.8.4. Основная теорема о замене переменных в тройном интеграле В этом пункте рассмотрим преобразование тройного интеграла ZZZ F (x, y, z) dx dy dz V

с помощью замены переменных вида x = ϕ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w), 29

где ϕ, ψ, χ — компоненты регулярного или квазирегулярного отображения f из координатного пространства Ouvw в координатное пространство Oxyz. По аналогии с плоским случаем назовём отображение f квазирегулярным на замыкании [D] непустого открытого множества D на Ouvw, если f определено и непрерывно дифференцируемо на некотором открытом множестве D′ , содержащем [D] (то есть, [D] ⊂ D′ ), f инъективно на D, его якобиан Jf (u, v, w) отличен от нуля во всех точках (u, v, w) ∈ D и, наконец, V ∩ гр. D — тело нулевого объёма для каждого кубируемого компакта V, содержащегося в [D]. Пример 8.2. Сферические координаты x = r cos ψ cos ϕ, y = r cos ψ sin ϕ, z = r sin ψ, r > 0, − π2 6 ψ 6 π2 , 0 6 ϕ 6 2π, суть компоненты квазирегулярного отображения f с якобианом Jf (r, ϕ, ψ) =

D(x, y, z) = r2 cos ψ. D(z, ϕ, ψ)

Теорема 1.40. Пусть f — квазирегулярное отображение замыкания [D] непустого открытого множества D в R3 : Ouvw и V — кубируемый компакт, содержащийся в [D]. Тогда f (V) — кубируемый компакт в R3 : Oxyz и функция F интегрируема на нём тогда и только тогда, когда функция (F ◦ f ) |Jf | интегрируема на V, и при этом справедлива формула ZZZ ZZZ F (x, y, z) dx dy dz = (F ◦ f )(u, v, w) |Jf (u, v, w)| du dv dw. V

f (V)

1.9. Формула Эйлера, связывающая гамма– и бета–функции 1.9.1. +∞ +∞ Z Z ZR 2 s−1 −t 2s−1 −x2 Γ(s) = t e dt = 2 x e dx = lim 2x2s−1 e−x dx = lim Γ(s; R), s > 0, R→+∞

0

0

R→+∞

(1)

0

2

где произведена замена переменной t = x , и B(p, q) =

Z1 0

π

xp−1 (1 − x)q−1 dx =

Z2 0

2 sin2p−1 ϕ · cos2q−1 ϕ dϕ, p > 0, q > 0,

(2)

2

где произведена замена переменной x = sin ϕ. Известно, что Γ(s + 1) = sΓ(s), s > 0, а также, что B(p, q) = B(q, p), что p > 0, q > 0, и справедлива формула приведения B(p, q) = p+q p B(p + 1, q), p > 0, q > 0, которая доказывается интегрированием по частям в несобственном интеграле (2). 1.9.2. На плоскости R2 с декартовыми координатами Oxy рассмотрим квадрат  Q(R) = (x, y) ∈ R2 0 6 x 6 R, 0 6 y 6 R ,  R > 0, и вписанный в него круговой сектор S(R) = (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 6 R2 , x > 0, y > 0 . Тогда квадрат

Q R2 вписан в сектор S(R), так что Q R2 ⊂ S(R) ⊂ Q(R). 1.9.3. Теорема Эйлера

B(p, q) = 

Γ(p)Γ(q) , p > 0, q > 0. Γ(p + q)

Доказательство теоремы разобьём на два случая. 1.9.4. Случай 1: p > 1, q > 1 2

2

2

Рассмотрим на плоскости R непрерывную функцию f (x, y) = 4x2p−1 y 2q−1 e−x e−y . Поскольку f (x, y) > 0 для всех (x, y) ∈ Q(R), то согласно свойствам монотонности и аддитивности двойного интеграла ZZ ZZ ZZ f (x, y) dx dy 6 f (x, y) dx dy 6 f (x, y) dx dy, R > 0. (3) Q(R/2)

S(R)

Q(R)

30

Представляя двойной интеграл в виде повторных и используя обозначения из формулы (1), получим ZZ

f (x, y) dx dy =

Q(R)

ZR

2p−1 −x2

2x

e

0

dx

ZR 0

2

2y 2q−1 e−x dx = Γ(p; R) · Γ(q; R), R > 0.

(4)

Аналогично, ZZ

Q(R/2)

    R R Γ q; . f (x, y) dx dy = Γ p; 2 2

(5)

В среднем интеграле формулы (3) переходим к полярным координатам x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, и сводим его к повторным интегралам, зная, что модуль якобиана отображения равен r. С учётом обозначений в формулах (1) и (2) и свойства симметричности B–функции, получим ZZ

S(R)

Zπ/2 ZR 2 2q−1 2p−1 f (x, y) dx dy = 2 sin ϕ cos ϕ dϕ 2r2(p+q)−1 e−r dr = B(q, p) · Γ(p + q; R) = B(p, q) · Γ(p + q; R). (6) 0

0

Подставляя выражения (4), (5) и (6) в неравенства (3), получим     R R Γ p; Γ q; 6 B(p, q) Γ(p + q; R) 6 Γ(p; R) Γ(q; R), R > 0. 2 2

(7)

Переходя в неравенстве (7) к пределу при R → +∞ и используя формулу (1), получим Γ(p) Γ(q) 6 B(p, q) Γ(p + q) 6 Γ(p) Γ(q), откуда B(p, q) =

Γ(p) Γ(q) , p > 1, q > 1. Γ(p + q)

1.9.5. Случай 2: p > 0, q > 0 — произвольные Используя формулы приведения для B–функции, функциональное уравнение для Γ–функции и утверждение из предыдущего пункта, получим B(p, q) =

p+q p+q p+q+1 p + q p + q + 1 Γ(p + 1)Γ(q + 1) B(p + 1, q) = B(p + 1, q + 1) = = p p q p q Γ(p + q + 2) p Γ(p) q Γ(q) Γ(p) Γ(q) p+qp+q+1 = = , p > 0, q > 0. p q (p + q + 1)(p + q)Γ(p + q) Γ(p + q)



1.10. Кратные несобственные интегралы 1.10.1. Основные понятия Пусть D — произвольное непустое открытое множество в пространстве Rm , m = 2, 3. Определение 1. Совокупность (систему) компактов {Kn }, n ∈ N, назовём исчерпыванием множества D, если: 1◦ Kn ⊂]Kn+1 [⊂ Kn+1 ⊂ D для всех n ∈ N; ∞ S 2◦ Kn = D. n=1

Из этого определения, в частности, следует, что для любой точки x0 ∈ D существует такой индекс n ∈ N, что x0 ∈ Kn и компакт Kn содержит некоторую окрестность точки x0 (содержит некоторый шар U(x0 , δ), δ > 0). Пример 10.1. Для произвольного открытого множества D ⊂ Rm , m = 2, 3, множества   1 Kl = x ∈ D dm (0, x) 6 l, dm (x, гр. D) > , l ∈ N, l 31

являются компактами (как замкнутые и ограниченные множества в Rm ), а система {Kl ; l ∈ N} образует исчерпывание множества D. Определение 2. Систему компактов {Kn ; n ∈ N} назовём квадрируемым (кубируемым) исчерпыванием открытого множества D ⊂ Rm , m = 2, 3, если эта система исчерпывает D и каждый компакт Kn , n ∈ N, квадрируем (кубируем). Пусть на открытом множестве D ⊂ Rm задана функция f (x) = f (x1 , . . . , xm ), интегрируемая на любом R квадрируемом (кубируемом) компакте K ⊂ D, так что существует m–кратный интеграл f (x) dx функции f по K

компакту K. Определение 3. Если для каждого квадрируемого (кубируемого) исчерпывания {Kn ; n ∈ N} открытого множества D ⊂ Rm числовая последовательность Z an = f (x) dx, n ∈ N, (1) Kn

имеет

lim an = I и число I не зависит от выбора исчерпывания {Kn ; n ∈ N}, то I называют несобственным R интегралом функции f на открытом множестве D и обозначают I = f (x) dx, где n→+∞

D

Z

f (x) dx =

D

ZZ

f (x, y) dx dy или

D

Z

f (x) dx =

D

ZZZ

f (x, y, z) dx dy dz.

(2)

D

При этом несобственный интеграл (2) называют сходящимся. Если для некоторой последовательности вида (1) не существует предела, или некоторые две последовательности вида (1) имеют различные пределы, то несобственный интеграл (2) называют расходящимся. Из определений 1–3 и линейного свойства предела последовательности непосредственно следует, Rчто несобственный интеграл (2) обладает свойством линейности: если существуют несобственные интегралы f (x) dx и D R R g(x) dx, то для любых чисел λ1 , λ2 ∈ R существует несобственный интеграл (λ1 f (x) + λ2 g(x)) dx и D

D

Z

(λ1 f (x) + λ2 g(x)) dx = λ1

D

Z

f (x) dx + λ2

D

Z

g(x) dx.

D

1.10.2. Критерий сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции Теорема 1.41. Если функция f (x) = f (x1 , . . . , xm ) интегрируема на каждом квадрируемом (кубируемом) m компакте, принадлежащем R открытому множеству D ⊂ R , m = 2, 3, и f (x) > 0 для всех точек x ∈ D, то несобственный интеграл f (x) dx сходится в том и только в том случае, когда существует хотя бы одно D

квадрируемое (кубируемое) исчерпывание {Kn ; n ∈ N} множества D, для которого числовая последовательность (1) ограничена. R R R f (x) dx для любого квадриру Необходимость. Пусть существует f (x) dx. Тогда f (x) dx = lim n→+∞ K

D

D

n

емого (кубируемого) исчерпывания {Kn ; n ∈ N} множества D, так что числовые последовательности вида (1) сходящиеся, а следовательно, и ограниченные. Достаточность. Пусть существует некоторое квадрируемое (кубируемое) исчерпывание {Kn ; n ∈ N} открыR того множества D ⊂ Rm , m = 2, 3, для которого последовательность (an ), an = f (x) dx, n ∈ N, ограничена.

Так как Kn ⊂ Kn+1 , n ∈ N, и f (x) > 0, x ∈ D, то Z Z 0 6 an = f (x) dx 6 Kn

Kn

f (x) dx = an+1 ,

Kn+1

 n ∈ N, так что (an ) возрастает. Будучи ограниченной, она имеет lim an = I = sup an n ∈ N . n→+∞

Покажем, что число I не зависит от выбора квадрируемого (кубируемого) исчерпывания множества D. ′ Для этого рассмотрим любое другое квадрируемое (кубируемое) исчерпывание {Km , m ∈ N} множества D и числовую последовательность (bm ), Z bm =

f (x) dx, m ∈ N.

K′m

32

По доказанному, (bm ) ↑ и bm > 0, m ∈ N. ′ ′ Фиксируем произвольное m ∈ N и компакт Km , и покажем, что существует n ∈ N, для которого Kn ⊃ Km . ′ Если это не так, то для любого k ∈ N найдётся такая точка xk ∈ Km , что xk 6∈ Kk . Поскольку все точки ′ последовательности (xk ) принадлежат замкнутому и ограниченному множеству Km , то (xk ) содержит некоторую ′ сходящуюся подпоследовательность, предельная точка x0 которой обязана принадлежать Km . Не ограничивая ′ общности, считаем, что сходится сама (xk ) и x0 = lim xk , x0 ∈ Km . Согласно замечанию к определению 1, k→+∞

найдётся компакт Kn0 , который содержит x0 вместе с некоторой её окрестностью U(x0 ). Поэтому можно указать некоторый индекс k0 ∈ N, что xk ∈ U(x0 ) ⊂ Kn0 для всех k > k0 , что противоречит выбору (xk ). ′ Итак, Km ⊂ Kn для некоторого n ∈ N, и Z Z  0 6 bm = f (x) dx 6 f (x) dx = an 6 I = sup an n ∈ N K′m

Kn

для любого m ∈ N. Таким образом, ограниченная возрастающая подпоследовательность (bm ) имеет ′

I 6 I. Меняя местами исчерпывания 

′ {Km ;

′

lim bm =

m→+∞ ′

m ∈ N} и {Kn ; n ∈ N}, заключаем, что I 6 I , и окончательно, I = I.

1.10.3. Общий признак сравнения несобственных интегралов Теорема 1.42. Пусть 0 6 f (x) 6 g(x) для всех точек x ∈ D ⊂ Rm , m = 2, 3, и функции f (x) и g(x) интегрируемы на любом квадрируемом (кубируемом) компакте, содержащемся в открытом множестве R R D. Тогда из сходимости несобственного интеграла g(x) dx следует сходимость несобственного интеграла f (x) dx (и D D R следовательно, из расходимости несобственного интеграла f (x) dx вытекает расходимость несобственного D R интеграла g(x) dx). D



Рассмотрим произвольное квадрируемое (кубируемое) исчерпывание {Kn ; n ∈ N} множества D. Тогда Z Z 0 6 an = f (x) dx 6 g(x) dx = bn , n ∈ N, (3) Kn

Kn

и последовательности R (an ) и (bn ) возрастают. Если сходится g(x) dx, то по теореме предыдущего пункта последовательность (bn ) ограничена сверху, и D R согласно (3), ограничена сверху также (an ). Применяя опять теорему ??, заключаем, что сходится f (x) dx.  D

1.10.4. Эталонные интегралы p m 1 2 m 2 Для произвольной точки x = (x , . . . , xm ) ∈ R обозначим |x| = (x  ) + . . . + (x ) и рассмотрим открытые m m множества D |x| > a > 0 и D2 = x ∈ R 0 < |x| < a , числа a > 0 — фиксированные. Множе R 1 = x ∈ ства Kn = x ∈ Rm a + n1 6 |x| 6 n , n ∈ N, — компакты, удовлетворяющие определению 1 для множества D1 . Пример 10.2. Найдём все значения p ∈ R, для которых сходится несобственный интеграл Z −p |x| dx. 1

D1



Рассмотрим случай m = 3; для точек в R3 удобнее использовать запись (x, y, z) ∈ R3 . В этом случае ( )  2 2  1 2 2 2 2 2 2 2 D1 = (x, y, z) x + y + z > a и Kn = (x, y, z) a + 6 x + y + z 6 n , n ∈ N, n

так что компакты Kn кубируемы и {Kn ; n ∈ N} — кубируемое исчерпывание множества D1 . Найдём Z ZZZ p −p −p an = |x| dx = x2 + y 2 + z 2 dx dy dz, n ∈ N, Kn

(a+ n1 )2 6x2 +y2 +z2 6n2

33

переходом к сферическим координатам x = r cos ψ cos ϕ, y = r cos ψ sin ϕ, z = r sin ψ, r > 0, − π2 6 ψ 6 0 6 ϕ 6 2π. Тогда an =

Z2π 0

π

dϕ

Z2

n→+∞

dψ

−π 2

Поэтому lim an = 4π

Zn

π

r

−p 2

r cos ψ dr = 2π

a

cos ψ dψ

−π 2

1 a+ n

+∞ R

Z2

Zn

r

2−p

dr = 4π

1 a+ n

Zn

π 2,

r2−p dr, n ∈ N.

1 a+ n

r2−p dr и несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда 2 − p < −1,

или p > 3.  R −p Аналогично проверяется, что несобственный интеграл |x| dx в случае m = 3 сходится тогда и только D2

тогда, когда p < 3.

1.10.5. Абсолютная сходимость кратных несобственных интегралов R Определение 4. Несобственный интеграл f (x) dx сходится абсолютно, если функция f интегрируема на D

каждом квадрируемом (кубируемом) компакте K из открытого множества D и сходится несобственный интеграл R |f (x)| dx.

D

Теорема 1.43. Для несобственных m–кратных интегралов (m > 2) свойства сходимости и абсолютной сходимости эквивалентны.  На открытом множестве D рассмотрим неотрицательные функции f+ (x) =

|f (x)| + f (x) |f (x)| − f (x) , f− (x) = . 2 2

(4)

Тогда ( f (x), если f (x) > 0, f+ (x) = 0, если f (x) < 0.

f− (x) =

(

−f (x), если f (x) 6 0, 0, если f (x) > 0,

и (5)

0 6 f+ (x) 6 |f (x)| , 0 6 f− (x) 6 |f (x)| , x ∈ D,

(6)

f (x) = f+ (x) − f− (x), |f (x)| = f+ (x) + f− (x), x ∈ D.

Так как функции f (x) и |f (x)| интегрируемы на любом квадрируемом (кубируемом) компакте K ⊂ D, то согласно (4), каждая из функций f+ (x) и f−R(x) обладает этим же свойством. R Пусть, сначала, несобственный интеграл f (x) dx сходится абсолютно, то есть, сходится интеграл |f (x)| dx. D

D

Тогда на основании сравнения несобственных интегралов, убеждаемся в сходимости несобственR (5) и признака R ных интегралов f+ (x) dx и f− (x) dx, откуда в силу (6) и свойства линейности несобственных интегралов D

D

следует сходимость интеграла

Z

Z

f (x) dx =

D

f+ (x) −

D

Обратно, пусть сходится несобственный интеграл

R

Z

f− (x) dx.

D

f (x) dx и расходится интеграл

D

R

D

|f (x)| dx. Поскольку |f (x)| >

0, то последнее предположение, согласно признаку сравнения несобственных кратных интегралов, означает, что Z lim |f (x)| dx = +∞ n→+∞ Kn

для любого квадрируемого (кубируемого) исчерпывания (Kn ; n ∈ N) множества D. Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что для квадрируемого (кубируемого) исчерпывания {Kn n ∈ N} множества D справедливо свойство Z Z |f (x)| dx > 3

Kn+1

|f (x)| dx + 2n + 2, n ∈ N.

(7)

Kn

Обозначим через Pn замыкание множества Kn+1 \]Kn [. Тогда Kn+1 = Kn ∪ Pn , ]Kn [ ∩ ]Pn [= ∅ и, в силу свойства аддитивности кратных интегралов, неравенство (7) переходит в неравенство Z Z |f (x)| dx > 2 |f (x)| dx + 2n + 2, n ∈ N. (8) Pn

Kn

34

Кроме того, на основании (6), имеем Z

|f (x)| dx =

Pn

Z

f+ (x) dx +

Pn

Фиксируем n ∈ N и предположим, что

Z

Z

(9)

f− (x) dx.

Pn

Z

f+ (x) dx >

Pn

f− (x) dx.

Pn

Тогда, на основании (8) и (9), имеем, Z

f+ (x)|, dx >

Pn

Z

(10)

|f (x)| dx + n + 1.

Kn

Разобьём компакт Pn на конечное число ячеек Pni , i = 1, m, чтобы Z m X 0 6 f+ (x) dx − mi ∆σi 6 1,

(11)

i=1

Pn

где mi = infi f+ (x) и ∆σi = пл. Pni (= об . Pni ), i = 1, m. Объединяя (10) и (11), получаем Pn

m X

mi ∆σi >

i=1

Так как mi > 0, то оставляем в

m P

Z

(12)

|f (x)| dx + n.

Kn

mi ∆σi лишь те слагаемые, в которых mi > 0. Объединение соответ-

i=1

ствующих ячеек Pni обозначим Pn′ . На компакте Pn′ функция f+ (x) > 0, и значит, f+ (x) = f (x) > 0, x ∈ Pn′ , а неравенство (12) принимает вид Z Z m X f (x) dx > mi ∆σi > |f (x)| dx + n. (13) i=1

Pn′

Kn

Положим Kn∗ = Kn ∪ Pn′ , ]Pn′ [ ⊂ ]Pn [ и ]Kn [ ∩ ]Pn′ [ ⊂ ]Kn [ ∩ ]Pn [= ∅. Так как f (x) > − |f (x)| и Z Z f (x) dx > − |f (x)| dx, Kn

Kn

то на основании (13) и свойства аддитивности кратных интегралов получаем неравенство Z Z Z Z Z f (x) dx + |f (x)| dx + n > n. f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx > K∗ n

Если предположить, что неравенство

Kn

R

Pn

f− (x) dx >

Kn

Pn′

R

Pn

(14)

Kn

f+ (x) dx, то, поскольку f− (x) = −f (x) для всех x ∈ Pn′ , получаем Z

(15)

f (x) dx < −n.

K∗ n

Объединяя (14) и (15), получаем Z f (x) dx > n, n ∈ N. K∗n

(16)

Поскольку система {Kn ; n ∈ N} образует исчерпывание открытого множества D и Kn∗ = Kn ∪ Pn′ , ]Pn′ [⊂]Pn [, ∞ ∞ S S ∗ Pn = [Kn+1 \Kn ], то ]Kn [ ∩ ]Pn′ [= ∅, и поэтому Kn∗ ⊂]Kn+1 [. Кроме того, Kn∗ = D, так как Kn = D. Таким n=1

n=1

образом, система {Kn∗ ; n ∈ N} образует квадрируемое (кубируемое) исчерпывание множества D, и поэтому нераR венство (16) показывает, что несобственный интеграл f (x) dx расходится. Последнее противоречит сделанному D

выше предположению, и теорема доказана полностью.  35

2. Криволинейные интегралы 2.1. Пути в Rn 2.1.1. n

Непрерывное отображение f : I → R , n > 1, невырожденного отрезка I ⊂ R, I = [a, b], a < b, называют дугой Жордана f в Rn . Тогда f = (f1 , . . . , fn ) и fi = fi (t), t ∈ [a, b], i = 1, n. Пусть j : J → I — строго возрастающее отображение отрезка J = [c, d] на отрезок [a, b] = I. Так как I связное множество и функция j строго возрастает на отрезке J = [c, d], то j — непрерывная функция на [c, d] и существует обратная функция j −1 : [a, b] → [c, d], j −1 строго возрастает и непрерывна на [a, b]. Отображение g = f ◦ j, g : J → Rn , определяет дугу Жордана g в Rn , которую называют эквивалентной дуге f . Обозначение: g ∼ f . Проверим выполнение свойств отношения эквивалентности: 1. f ∼ f (рефлексивность); 2. из g ∼ f следует f ∼ g (симметричность); 3. из h ∼ g и g ∼ f следует h ∼ f (транзитивность).  1. Рассмотрим j = i : I → I — тождественное отображение. Тогда i строго возрастает на I и f = f ◦ i; то есть, f ∼ f. 2. Если f ∼ g, то g = f ◦ j, где функция j строго возрастает на отрезке J и j : J → I. Тогда обратное отображение j −1 строго возрастает на отрезке I, j −1 : I → J и f = g ◦ j −1 ; так что g ∼ f . 3. Если h ∼ g и g ∼ f , то h = g ◦ k, g = f ◦ j, так что h = f ◦ (j ◦ k) и (j ◦ k) строго возрастает на некотором отрезке K = [p, q], так что h ∼ f .  Множество эквивалентных дуг Жордана называется непрерывным путём L в Rn . Каждая эквивалентная дуга Жордана f , f : I → Rn , f (t) = (f1 (t), . . . , fn (t)), t ∈ I, называется параметризацией пути L. Если g ∼ f , то дуга g, g : J → Rn , g(τ ) = (g1 (τ ), . . . , gn (τ )) является другой параметризацией пути L. Лемма 1. Каждый непрерывный путь можно параметризовать дугой, параметр которой пробегает любой заданный невырожденный отрезок на R.  Пусть f — некоторая параметризация пути L, f : [a, b] → Rn и [c, d] — произвольный невырожденный −c отрезок на R. Отображение t = j(τ ) = a+ τd−c (b−a) называют аффинной параметризацией; оно строго возрастает, непрерывно на [c, d] и отображает этот отрезок на отрезок [a, b]. Тогда g = f ◦ j непрерывна на [c, d] и так как a = j(c), b = j(d), то f (a) = g(c) и f (b) = g(d) и f ∼ g, так что g также будет параметризацией пути L.  Пусть f и g — любые две параметризации пути L в Rn ; f : [a, b] → Rn , g : [c, d] → Rn . Так как f ∼ g, то существует строго возрастающее отображение j : [c, d] → [a, b], что g = f ◦ j (при этом отображение j непрерывно по теореме о гомеоморфизме отрезков). Поскольку a = j(c), b = j(d), то f (a) = g(c) и f (b) = g(d). Точка f (a) = (f1 (a), . . . , fn (a)) ∈ L называется началом пути L, точка f (b) = (f1 (b), . . . , fn (b)) — концом пути L. Если f (a) = f (b), путь L называют замкнутым. Пример 1.1. Для произвольных точек A = (A1 , . . . , An ) и B = (B 1 , . . . , B n ) путь L = [A, B], определяемый параметрическими уравнениями xk = (1 − t)Ak + tB k , t ∈ [0, 1], k = 1, n, называют прямолинейным отрезком [A, B] в Rn с начальной точкой A и конечной точкой B. 2.1.2. Противоположные пути Обозначим σu,v — симметрию отрезка [u, v] ⊂ R, относительно его середины u+v 2 . Симметрия задаётся формулой σu,v (t) = u + v − t, t ∈ [u, v].
u+v u+v 2 В частности, σu,v 2 = 2 , σu,v (u) = v и σu,v (v) = u. Отображение σu,v ↓↓ на [u, v]. При этом σu,v = −1 σu,v ◦ σu,v = 1u,v — тождественное отображение, и следовательно, σu,v = σu,v . Пусть f и g — параметризации пути L в Rn ; f : [a, b] → Rn , g : [c, d] → Rn и g = f ◦ j, j : [c, d] → [a, b], j ↑↑. Тогда g ◦ σc,d = f ◦ j ◦ σc,d = (f ◦ σa,b ) ◦ (σa,b ◦ j ◦ σc,d ). Отображение σa,b ◦j ◦σc,d ↑↑ на [c, d] и отображает этот отрезок на [a, b]. Поэтому g ◦σc,d ∼ f ◦σa,b ; то есть, f ◦σa,b и g ◦ σc,d — параметризации одного и того же пути. Назовём этот путь противоположным пути L и обозначим через −L. Началом пути −L служит конец f (b) = g(d) пути L, а концом пути −L служит начало f (a) = g(c) 2 пути L. Так как σa,b = 1a,b , то −(−L) = L. 36

2.1.3. Простые пути Дуга Жордана может иметь точки самопересечения или даже самоналожения. То же относится и к путям в Rn . Незамкнутый путь называется простым, если он допускает биективную параметризацию. Очевидно, что тогда все параметризации простого пути биективны. Пример: прямолинейный отрезок [A, B] в Rn . Теорема 2.1. Множество точек простого незамкнутого пути в Rn гомеоморфно невырожденному отрезку (на R). При этом каждое множество точек из Rn , гомеоморфное невырожденному отрезку (на R) является множеством точек ровно двух (взаимно противоположных) простых незамкнутых путей. В частности, направленный отрезок из R2 служит множеством точек единственного простого незамкнутого пути с тем же началом. Поэтому мы будем отождествлять график непрерывной функции g(x) на невырожденном отрезке [a, b], направленный слева направо, с простым незамкнутым путём L, заданным параметрическими уравнениями. x = t, y = g(t) t ∈ [a, b]. Замкнутый путь называют простым, если он допускает параметризацию h с невырожденным отрезком [a, b], обладающую свойством, что если h(x) = h(y), и x < y, то x = a, y = b. Очевидно, все остальные параметризации обладают этим свойством. Пример 1.2. Окружность Γ на R2 , задаваемая параметрическими уравнениями: x = R cos t, y = R sin t, R > 0, t ∈ [0, 2π] — простой незамкнутый путь в R2 . Теорема 2.2. Множеством точек простого незамкнутого пути на R2 гомеоморфно окружности. При этом, каждое множество точек плоскости, гомеоморфное окружности, является множеством точек ровно двух (взаимно противоположных) простых замкнутых путей с заданным началом, которым может служить любая точка множества. 2.1.4. Композиция путей Пусть конец пути L служит началом пути M . Тогда из L и M можно образовать составной путь N следующим образом. Пусть f и g — какие-либо параметризации путей L и M , соответственно; то есть, f : [a, b] → Rn , g : [a, b] → Rn , и f (b) = g(a). Рассмотрим произвольное c > b, и положим g = g ◦ j, где j : [b, c] → [a, b] строго возрастающее (например, аффинное) отображение; то есть, j(t) = a +

t−b (b − a), t ∈ [b, c]. c−b

Тогда g является параметризацией пути M , g : [b, c] → Rn , и f (b) = g(b). Отображения f и g можно простейшим образом «склеить», положив ( f (t), если t ∈ [a, b]; h(t) = (1) g(t), если t ∈ [b, c]. Так как f непрерывно слева в t = b, а g непрерывна справа в t = b и f (b) = g(b), то h(t) непрерывно в точке t = b. Значит, h : [a, c] → Rn является параметризацией некоторого пути N . Этот же путь N получится при любом другом выборе параметризаций путей L и M . Путь N назовём композицией путей L и M и будем обозначать L + M = N . Рассмотрим произвольный конечный набор путей {Li }, i = 1, m, в котором конец пути Li совпадает с началом пути Li+1 для всех i = 1, m − 1. Если уже определён смысл композиции m − 1 путей L1 , . . . , Lm−1 , то под композицией L1 , . . . , Lm−1 , Lm понимается путь (L1 + . . . + Lm−1 ) + Lm . Если пути Li , i = 1, m — прямолинейные отрезки, то их композиция называется ломаной линией. 2.1.5. Пути класса C 1 Путём класса C 1 будем называть путь, допускающий непрерывно дифференцируемую параметризацию. Примером пути класса C 1 служит прямолинейный отрезок. Теорема 2.3. Композиция путей класса C 1 есть путь класса C 1 .  Пусть пути L и M класса C 1 имеют непрерывно дифференцируемые параметризации f : [a, b] → Rn , g : [a, b] → Rn и f (b) = g(a). Если c > b и j : [b, c] → [a, b] — аффинное отображение, то g = g ◦ j — непрерывно дифференцируемо на [b, c]. Однако, отображение h, определяемое формулой (1), может не быть дифференцируемым в точке t = b (хотя отображение h(t) = (h1 (t), . . . , hn (t)) имеет левую и правую производные в точке t = b, но производные могут не совпадать). Поэтому склеим дуги f и g более гладко. Положим ( f ◦ ja,b (t), если t ∈ [a, b]; h(t) = g ◦ jb,c (t), если t ∈ [b, c], 37

где ju,v (t) = u +

v−u 2

  ′ 1 − cos π(t−u) , t ∈ [u, v]. Поскольку ju,v (t) = v−u

π 2

sin π(t−u) v−u , t ∈ [u, v], и

  0, если t = u; ′ ju,v (t) = > 0, если t ∈ (u, v);   0, если t = v,

то ju,v строго возрастает на [u, v]. Отображения f ◦ ja,b и g ◦ jb,c являются параметризациями путей L и M . Отображение h(t) непрерывно дифференцируемо на полуинтервалах [a, b) и (b, c] (как композиция непрерывно дифференцируемых отображений). 1 n Пусть h(t) = (h (t), . . . , h (t)), и ( f i ◦ ja,b (t), если t ∈ [a, b]; i h (t) = i = 1, n. g i ◦ jb,c (t), если t ∈ [b, c], i

i

i

′ ′ ′ ′ Так как ja,b (b) = jb,c (b) = 0 и (h )′лев. (b) = (f i )′лев (b)ja,b (b) = 0, (h )′прав (b) = (g i )′прав (b)jb,c (b) = 0, то

(h )′ (b) = 0, i = 1, n. Далее, при t → b − 0 имеем i

′ (h )′ (t) = (f i )′ (ja,b (t))ja,b (t) → (f i )′ (b) · 0 = (hi )′ (b), i = 1, n,

а при t → b + 0 имеем

i

i

′ (t) → (g i )′ (b) · 0 = (h )′ (b), i = 1, n. (h )′ (t) = (g i )′ (jb,c (t))jb,c i

Поэтому, производные всех функций (h )′ (t), i = 1, n, непрерывны в точке t = b. ′ Итак, производное отображение h (t) непрерывно на [a, c], и параметризация h(t) : [a, c] → Rn задаёт компо1 зицию путей L + M = N класса C .  Следствие 2.1. Всякая ломаная — путь класса C 1 . Так как симметрия отрезка относительно своей середины является непрерывно дифференцируемым отображением, то получаем: Следствие 2.2. Если L есть путь класса C 1 , то и противоположный ему путь −L будет путём класса C . 1

2.1.6. Длина пути Теорема 2.4. Все параметризации одного и того же пути имеют одинаковую длину.  Пусть f и g — параметризации пути L, так что g = f ◦ j, f : [a, b] → Rn , g : [c, d] → Rn , j : [c, d] → [a, b], отображение j строго возрастает, и f = (f1 , . . . , fn ), g = (g1 , . . . , gn ). Рассмотрим множество P и P ′ всех разбиений отрезков [a, b] и [c, d], соответственно. Тогда j порождает биекцию множеств P и P ′ . Действительно, рассмотрим произвольное разбиение T ′ ∈ P ′ с точками c = τ0 < τ1 < . . . < τm−1 < τm = d и положим tk = j(τk ), k = 0, m. Тогда a = t0 < t1 < . . . < tm−1 < tm = b есть некоторое разбиение T отрезка [a, b]. Поскольку обратное отображение j −1 также строго возрастает, то заключаем, что каждое разбиение T отрезка [a, b] порождает некоторое разбиение T ′ отрезка [c, d]. Для периметров σ(T ′ , g) и σ(T ; f ) вписанных в L ломаных имеем v v m uX n m uX X X u u n t (gi (τk ) − gi (τk−1 ))2 = t (fi (tk ) − fi (tk−1 ))2 = σ(T ; f ), σ(T ′ ; g) = k=1

i=1

k=1

i=1

  так что sup σ(T ′ ; g) T ′ ∈ P ′ = sup σ(T ; f ) T ∈ P , и следовательно, длины дуг Жордана f и g совпадают. 

2.2. Понятие и основные свойства криволинейного интеграла 2.2.1. Дифференциальные 1–формы в R3 Дифференциальной 1–формой на открытом множестве D ⊂ R3 называется семейство однородных линейных функций на R3 , зависящее от параметра u = (x, y, z), пробегающего D. Всякая однородная линейная функция на R3 имеет вид P · h + Q · k + R · l, где P, Q, R — постоянные и (h, k, l) ∈ R3 . Поэтому дифференциальная 1–форма на D задаётся тремя функциями P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), определёнными на D, и имеет вид L(x, y, z)(h, k, l) = P (x, y, z) · h + Q(x, y, z) · k + R(x, y, z) · l. 38

(1)

Если функция F (x, y, z) дифференцируема в D, то её дифференциал dF (x, y, z) есть дифференциальная 1–форма, задаваемая формулой dF (x, y, z)(h, k, l) = Fx′ (x, y, z) · h + Fy′ (x, y, z) · k + Fz′ (x, y, z) · l. В частности, для координатных функций F (x, y, z) = x, F (x, y, z) = y, F (x, y, z) = z имеем соотношения dx(h, k, l) = h, dy(h, k, l) = k, dz(h, k, l) = l, подставляя которые в (1), получим формулу L(x, y, z)(h, k, l) = P (x, y, z) dx(h, k, l) + Q(x, y, z) dy(h, k, l) + R(x, y, z) dz(h, k, l)

для всех (h, k, l) ∈ R3 , и значит,

L(x, y, z) = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz.

(2)

— общий вид дифференциальной 1–формы на открытом множестве в R3 . Поэтому, в частности,

dF (x, y, z) = Fx′ (x, y, z) dx + Fy′ (x, y, z) dy + Fz′ (x, y, z) dz. 2.2.2. Понятие криволинейного интеграла (второго рода) Пусть даны: 1. дифференциальная 1–форма L = L(x, y, z) = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz на открытом множестве D ⊂ R3 и функции P , Q, R — непрерывны в D; 2. путь L в D с параметризацией f : [a, b] → D, D ⊂ R3 , и f = (f 1 , f 2 , f 3 ). Рассмотрим множество P всех размеченных разбиений отрезка [a, b] и базу d(T ) → 0 на P. Пусть Tτ ∈ P задаётся точками a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b и набором τ точек τ = (τ1 , . . . , τn ), τk ∈ [tk−1 , tk ], k = 1, n. Составим интегральную сумму σf (L; Tτ ) =

n X

[P (ξk , ηk , ζk )∆xk + Q(ξk , ηk , ζk )∆yk + R(ξk , ηk , ζk )∆zk ],

(3)

k=1

в которой ξk = f 1 (τk ), ηk = f 2 (τk ), ζk = f 3 (τk ), k = 1, n, и ∆xk = f 1 (tk ) − f 1 (tk−1 ), ∆yk = f 2 (tk ) − f 2 (tk−1 ), ∆zk = f 3 (tk ) − f 3 (tk−1 ), k = 1, n. Определение 1. Если существует lim σf (L, Tτ ) = I, то число I называют интегралом дифференциальной d(T )→0

1–формы L вида (2) по пути L и обозначают Z I = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz,

(4)

L

или короче, Z

P dx + Q dy + R dz.

L

Интеграл (4) называют также криволинейным интегралом второго рода от функций P, Q, R по пути L. Теорема 2.5. Криволинейный интеграл (4) не зависит от выбора параметризации пути L.  Рассмотрим две параметризации пути L — f : [a, b] → D и g : [c, d] → D. Тогда g = f ◦j, где j : [c, d] → [a, b] — аффинная параметризация. Рассмотрим произвольное размеченное разбиение Tτ′ ′ отрезка [c, d] точками c = t′0 < t′1 < . . . < t′n−1 < t′n = d и набором τ ′ = (τ1′ , . . . , τn′ ), τk′ ∈ [t′k−1 , t′k ], k = 1, n. Тогда точки tk = j(t′k ), k = 0, n, и набор τ = (τ1 , . . . , τn ), τk = j(τk′ ), k = 1, n, образуют размеченное разбиение Tτ отрезка [a, b], для которого интегральная сумма σf (L, Tτ ) =

n X

[P (ξk , ηk , ζk )∆xk + Q(ξk , ηk , ζk )∆yk + R(ξk , ηk , ζk )∆zk ] =

k=1

=

n X

k=1

[P (f 1 (τk ), f 2 (τk ), f 3 (τk ))(f 1 (tk ) − f 1 (tk−1 )) + Q(f 1 (τk ), f 2 (τk ), f 3 (τk ))(f 2 (tk ) − f 2 (tk−1 ))+

+ R(f 1 (τk ), f 2 (τk ), f 3 (τk ))(f 3 (tk ) − f 3 (tk−1 ))] =

n X

[P (g 1 (τk′ ), g 2 (τk′ ), g 3 (τk′ ))(g 1 (t′k ) − g 1 (t′k−1 ))+

k=1

+ Q(g 1 (τk′ ), g 2 (τk′ ), g 3 (τk′ ))(g 2 (t′k ) − g 2 (t′k−1 )) + R(g 1 (τk′ ), g 2 (τk′ ), g 3 (τk′ ))(g 3 (t′k ) − g 3 (t′k−1 ))] = σg (L, Tτ′ ′ ). 39

Если

lim σf (L, Tτ ) = I, то для произвольного числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для любого

d(T )→0

размеченного разбиения Tτ с d(Tτ ) < δ справедливо |I − σf (L; Tτ )| < ε. Так как j : [c, d] → [a, b] непрерывна, то она равномерно непрерывна на [c, d], и следовательно, для числа ′′ ′ ′′ ′ ′′ δ > 0 существует такое число η > 0, то |j(t′ ) − Так как j(t′k ) = tk , j(t )| < δ для любых t , t ∈ [c, d], |t − t | < η. ′ ′ ′ k = 0, n, то |tk − tk−1 | < δ, если tk − tk−1 < η, k = 0, n. Следовательно, |I − σg (L; Tτ ′ )| < ε для любого размеченного разбиения Tτ′ ′ с d(Tτ′ ′ ) < η; то есть, I = lim σg (L; Tτ′ ′ ).  ′ d(T )→0

Теорема 2.6. Дифференциальная форма P dx + Q dy + R dz интегрируема по пути L тогда и только тогда, когда она интегрируема по противоположному пути −L. При этом Z Z P dx + Q dy + R dz = − P dx + Q dy + R dz. (5) L

−L

 Пусть f — какая–либо параметризация пути L и f : [a, b] → D. Рассмотрим произвольное размеченное разбиение Tτ отрезка [a, b] точками a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b и набором τ = (τ1 , . . . , τn ), τk ∈ [tk−1 , tk ], k = 1, n. Симметрия σa,b преобразует размеченное разбиение Tτ в размеченное разбиение T τ отрезка [a, b] точками a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b, где tn−k = σa,b (tk ), k = 0, n, и τ n−k = σa,b (τk ), k = 1, n. Отображение f = f ◦ σa,b является, по определению, параметризацией пути −L. Для соответствующих интегральных сумм имеем соотношение σf (L; Tτ ) = −σf (L; T τ ), так как ∆xk = −∆xk , ∆yk = −∆yk , ∆zk = −∆z k , k = 1, n. Согласно свойству линейности предела функции по базе, существует Z lim σf (L; T τ ) = − lim σf (L; Tτ ) = − P dx + Q dy + R dz, d(T )→0

d(T )→0

L

что равносильно (5). Так как −(−L) = L, то верно и обратное утверждение. 

Теорема 2.7. Дифференциальная форма L = P dx + Q dy + R dz, интегрируемая по пути L, интегрируема по каждой части пути L. ∧

 ∧

Рассмотрим параметризацию f : [a, b] → D пути L и рассмотрим произвольную часть L пути L. Тогда ∧

путь L определяется сужением f : [c, d] → D отображения f на [c, d] ⊂ [a, b].

∧

Допустим, что дифференциальная форма L= P dx  + Q dy + R dz не интегрируема по пути L; то есть, что не ∧ R существует P dx + Q dy + R dz как lim σ∧ L; T ∧τ . d(T )→0

∧

f

L

Согласно критерию Коши существования предела по базе, найдётся число ε0 > 0 и для ! любого числа δ > ∧ iδ

∧ iδ

0 существуют размеченные разбиения T ∧τ i , i = 1, 2, отрезка [c, d] с диаметрами d T ∧τ i ! ! ∧ 1δ ∧ 2δ σ∧ L; T ∧τ 1 − σ∧ L; T ∧τ 2 > ε0 . f f

< δ, i = 1, 2, что

∧ iδ

iδ Продолжим размеченные разбиения T ∧τ i , i = 1, 2, отрезка [c, ! d], до размеченных разбиений Tτi , i = 1, 2, ∧ iδ
отрезка [a, b] таким образом, чтобы диаметры d Tτiδi = d T ∧τ i < δ, i = 1, 2, и вне отрезка [c, d] разбиения ! ∧ iδ

T ∧τ i , i = 1, 2, имели бы одинаковые точки разбиения и одинаковые точки в наборах τi , i = 1, 2. Тогда 1δ 2δ σf (L; Tτ ) − σf (L; Tτ ) = σ∧ 1 2 f

и согласно критерию Коши, не существует

∧ 1δ

L; T ∧τ 1

!

− σ∧ f

! L; T ∧τ 2 > ε0 , ∧ 2δ

lim σf (L; Tτ ). Последнее противоречит с условием теоремы и

d(T )→0

завершает доказательство.  Теорема 2.8. (Свойство аддитивности). Пусть пути L1 и L2 принадлежат открытому множеству D в R3 и конец пути L1 совпадает с началом пути L2 . Если дифференциальная форма L ≡ P dx + Q dy + R dz 40

интегрируема по каждому пути Li , i = 1, 2, то она интегрируема по композиции L = L1 + L2 этих путей и Z

P dx + Q dy + R dz =

2 Z X i=1 L

L

P dx + Q dy + R dz.

(6)

i

 По определению, путь L обладает непрерывной параметризацией f : [a, c] → D и существует такая точка b, a < b < c, что отображение f1 : [a, b] → D параметризует путь L1 , а отображение f2 : [b, c] → D параметризует путь L2 . По условию, существует Z Ii =

P dx + Q dy + R dz, i = 1, 2.

Li

Рассмотрим произвольное число ε > 0. Существуют такие
числа δi > 0, i = 1, 2, что для любого размеченного разбиения Tτii отрезка ∆i , i = 1, 2, с диаметром d Tτii < δi для соответствующих интегральных сумм выполняются неравенства σi (L; Tτi ) − Ii < ε , i = 1, 2. (7) i 3

Рассмотрим отображение F : D → R3 с компонентами (P, Q, R). Так как отображение F непрерывно в D и непрерывно отображение f : [a, c] → D, то композиция F ◦ f непрерывна на [a, c], а следовательно ограничена на [a, c], то есть, существует такое число C > 0, что норма kF ◦ f (t)k 6 C для всех t ∈ [a, c]. Кроме того, отображение f , непрерывное на [a, c], равномерно непрерывно на [a, c]; то есть, существует такое число δ3 > 0, ε что kf (t′ ) − f (t′′ )k < 9C для всех t′ , t′′ ∈ [a, c], для которых |t′ − t′′ | < δ3 . Положим δ = min(δ1 , δ2 , δ3 ). Рассмотрим произвольное размеченное разбиение Tτ отрезка [a, c] с d(Tτ ) < δ. Возможны два случая: 1◦ Точка b — точка разбиения Tτ . Тогда σf (L; Tτ ) = σf1 (L; Tτ11 ) + σf2 (L; Tτ22 ) для некоторых размеченных разбиений Tτii отрезков ∆i и d(Tτii ) 6 d(Tτ ) < δ 6 δi , i = 1, 2. Поэтому, в силу (7), ε ε |σf (L; Tτ ) − (I1 + I2 )| 6 σf1 (L; Tτ11 ) − I1 + σf2 (L; Tτ22 ) − I2 < + < ε. 3 3

2◦ Существует такое k, что tk−1 < b < tk . Определим размеченное разбиение Tτ11 отрезка [a, b] с точками деления a = t0 < t1 < . . . < tk−1 < tk = b. Тогда d(Tτ11 ) 6 d(Tτ ) < δ 6 δ1 . Определим размеченное разбиение Tτ22 отрезка [b, c] с точками деления b = t20 < t21 = tk < . . . < t2n−k = tn = c. Тогда d(Tτ22 ) 6 d(Tτ ) < δ 6 δ2 . Для соответствующих интегральных сумм имеем соотношение σf (L; Tτ ) − [σf1 (L; Tτ11 ) + σf2 (L; Tτ22 )] = = P (ξk , ηk , ζk )∆xk +Q(ξk , ηk , ζk )∆yk +R(ξk , ηk , ζk )∆zk −

2 X

[P (ξki , ηki , ζki )∆xik +Q(ξki , ηki , ζki )∆yki +R(ξki , ηki , ζki )∆zki ]

i=1

и 2 X ε ε i σfi (L; Tτi ) 6 3C · max {kf (tk ) − f (tk−1 )k , kf (b) − f (tk−1 )k , kf (b) − f (tk )k} < 3C · = , σf (L; Tτ ) − 9C 3 i=1 (8) так как d(Tτii ) < δ 6 δi , i = 1, 2. Поэтому, согласно (7) и (8), 2 2 ε ε ε X ε X i |σf (L; Tτ ) − (I1 + I2 )| < + σfi (L; Tτi ) − Ii < + + = ε. 3 3 3 3 i=1 i=1

Итак, в обоих случаях |σf (L; Tτ ) − (I1 + I2 )| < ε для любого размеченного разбиения Tτ отрезка [a, c] с d(Tτ ) < δ; то есть, I1 + I2 = lim σf (L; Tτ ), что равносильно (6).  d(T )→0

41

2.2.3. Интегралы по координатам R R R R Если Q = R = 0 на D, то вместо P dx + 0 dy + 0 dz пишут P dx. Аналогично определяются Q dy и R dz. L

L

L

L

Рассмотрим произвольную параметризацию f : [a, b] → D пути L. Для произвольного размеченного разбиения Tτ отрезка [a, b] точками деления a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b и набором τ = (τ1 , . . . , τn ) точек τk ∈ [tk−1 , tk ], тогда, по определению, Z

P dx = lim

Z

Q dx = lim

Z

R dx = lim

d(T )→0

L

d(T )→0

L

d(T )→0

L

n X

P (ξk , ηk , ζk )∆xk ,

n X

Q(ξk , ηk , ζk )∆yk ,

n X

R(ξk , ηk , ζk )∆zk .

k=1

k=1

k=1

В силу свойства линейности предела функции по базе, Z Z Z Z P dx + Q dy + R dz = P dx + Q dy + R dz. L

L

L

L

2.2.4. Интегралы по замкнутому пути Пусть L — замкнутый путь в D и f : [a, b] → D — какая–либо его параметризация. Рассмотрим произвольную c, a 6 c 6 b. Тогда L = L[a,c] + L[c,b] , где L[a,c] — часть пути L, соответствующая сужению функции f на [a, c]; аналогично определяется L[c,b]. Так как L — замкнутый путь, то f (a) = f (b). Поэтому существует также путь Lc = L[c,b] + L[a,c] . Если f (c) 6= f (a) (то есть, если a < c < b), то пути L и Lc имеют различные начала, и значит, это — разные пути. Однако, если дифференциальная форма L = P dx + Q dy + R dz интегрируема по L, то она интегрируема и по Lc , причём Z Z P dx + Q dy + R dz = P dx + Q dy + R dz. L

Lc

 Согласно теореме ??, дифференциальная форма L интегрируема на L[a,c] и на L[c,b] , причём, согласно свойству аддитивности, Z Z Z P dx + Q dy + R dz = P dx + Q dy + R dz + P dx + Q dy + R dz. L

L[a,c]

L[c,b]

Но тогда, снова по свойству аддитивности, дифференциальная форма L интегрируема и по пути Lc с тем же интегралом Z Z Z P dx + Q dy + R dz = P dx + Q dy + R dz + P dx + Q dy + R dz. Lc

L[c,b]

L[a,c]



2.3. Существование и вычисление криволинейных интегралов 2.3.1. Существование криволинейного интеграла второго рода Пусть дифференциальная 1–форма L = L(x, y, z) = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz определена на открытом множестве D пространства R3 , путь L лежит в D и имеет параметризацию f : [a, b] → D, [a, b] ⊂ R1 , и f = (ϕ, ψ, χ). Теорема 2.9. Если функции P, Q, R непрерывны в D, а путь L непрерывен и спрямляем (то есть,R имеет длину), то дифференциальная форма P dx+Q dy+R dz интегрируема по пути L; то есть, существует P dx+ L

Q dy + R dz.  Согласно условию теоремы и теореме Жордана, функции ϕ, ψ, χ непрерывны на отрезке [a, b] и имеют на нём ограниченное изменение. Рассмотрим множество P всех размеченных разбиений отрезка [a, b] и базу

42

d(T ) → 0 на P. Пусть Tτ ∈ P задаётся точками разбиения a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b и набором τ точек τ = (τ1 , . . . , τn ), τk = [tk−1 , tk ], k = 1, n. Интегральную сумму σf (L; Tτ ) =

n X

[P (ξk , ηk , ζk )∆xk + Q(ξk , ηk , ζk )∆yk + R(ξk , ηk , ζk )∆zk ],

(1)

k=1

в которой ξk = ϕ(τk ), ηk = ψ(τk ), ζk = χ(τk ), k = 1, n, и ∆xk = ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 ), ∆yk = ψ(tk ) − ψ(tk−1 ), ∆zk = χ(tk ) − χ(tk−1 )), k = 1, n, можно рассматривать как сумму трёх интегральных сумм Стилтьеса для композиций функций P ◦ f , Q ◦ f , и R ◦ f , соответственно, по функциям ϕ, ψ, χ, отвечающих размеченному разбиению Tτ отрезка [a, b]. Так как функции P ◦ f, Q◦ f, R◦ f непрерывны на [a, b] как композиции непрерывных функций P, Q, R и непрерывного отображения f , то они интегрируемы по Стилтьесу по функциям ограниченной вариации ϕ, ψ, χ, соответственно. Поэтому, существуют lim

d(T )→0

n X

Zb

(P ◦ f )(t)dϕ(t),

(2)

Q(ξk , ηk , ζk )∆yk =

Zb

(Q ◦ f )(t)dψ(t),

(3)

R(ξk , ηk , ζk )∆zk =

Zb

(R ◦ f )(t)dχ(t),

(4)

P (ξk , ηk , ζk )∆xk =

k=1

lim

d(T )→0

lim

d(T )→0

n X

a

k=1

n X

a

k=1

a

и согласно (1) и свойству линейности предела функции по базе, существует lim σf (L; Tτ ), с одной стороны, d(T )→0 R по определению равный P dx + Q dy + R dz, а, с другой стороны, в силу (2)–(4), равный сумме L

Zb a

(P ◦ f )(t)dϕ(t) +

Zb a

(Q ◦ f )(t)dψ(t) +

Zb a

(R ◦ f )dχ(t).

Таким образом, при выполнении условий теоремы ??, Z

P dx + Q dy + R dz =

Zb a

L

(P ◦ f )(t)dϕ(t) +

Zb a

(Q ◦ f )(t)dψ(t) +

Zb a

(R ◦ f )(t)dχ(t).

(5)

 2.3.2. Вычисление криволинейного интеграла второго рода Теорема 2.10. Пусть функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны на открытом множестве D пространства R3 , путь L, лежащий в D, принадлежит классу C 1 и f : [a, b] → D — непрерывно дифференцируемая параметризация пути L с компонентами f = (ϕ, ψ, χ). Тогда дифференциальная форма P dx + Q dy + R dz интегрируема по L и Z

P dx + Q dy + R dz =

Zb

[P (ϕ(t), ψ(t), χ(t))ϕ′ (t) + Q(ϕ(t), ψ(t), χ(t))ψ ′ (t) + R(ϕ(t), ψ(t), χ(t))χ′ (t)] dt.

(6)

a

L

 Для произвольной параметризации f : [a, b] → D пути класса C 1 её компоненты ϕ, ψ, χ имеют на [a, b] ограниченное изменение (в силу ограниченности на [a, b] производных этих функций и теоремы Лагранжа и конечных приращениях). Поэтому, согласно теореме ?? справедлива формула (5). Более того, интегралы Стилтьеса в формуле (5) можно вычислить через интегралы Римана (как это доказано в теории интеграла Стилтьеса) в виде Zb a

(P ◦ f )(t)dϕ(t) +

Zb

(Q ◦ f )(t)dψ(t) +

=

Zb

P (ϕ(t), ψ(t), χ(t))ϕ′ (t) dt +

a

a

Zb a

(R ◦ f )(t)dχ(t) = Zb

Q(ϕ(t), ψ(t), χ(t))ψ ′ (t) dt +

a

Zb a

43

R(ϕ(t), ψ(t), χ(t))χ′ (t) dt. (7)

Формула (6) теперь следует из формул (5) и (7) и свойства линейности определённого интеграла.  2.3.3. Криволинейные интегралы первого рода Рассмотрим путь L класса C 1 , лежащий в открытом множестве D пространства R3 и пусть f : [a, b] → D — его непрерывно дифференцируемая параметризация с компонентами f = (ϕ, ψ, χ). Длина |L| пути L вычисляется по формуле Zb q 2 2 2 |L| = |ϕ′ (t)| + |ψ ′ (t)| + |χ′ (t)| dt a

и не зависит от выбора параметризации f . Более того, спрямляемая любая часть L[a,τ ] пути L, параметризуемая сужением отображения f на отрезок [a, τ ] ⊂ [a, b]. Таким образом, определена функция Zτ q 2 2 2 |ϕ′ (t)| + |ψ ′ (t)| + |χ′ (t)| dt, τ ∈ [a, b], l(τ ) = a

и l(τ ) > 0, τ ∈ [a, b], l(τ ) ↑↑ на [a, b] и l : [a, b] → [0, |L|]. Более того, функция l(τ ) непрерывно дифференцируемая на [a, b] и q 2

2

2

|ϕ′ (t)| + |ψ ′ (t)| + |χ′ (t)| dt.

dl(t) =

(8)

Обратная функция t = j(l), l ∈ [0, |L|], непрерывно дифференцируема и строго возрастает на [0, |L|], и отображает этот отрезок на [a, b]. Поэтому, композиция g = f ◦ j, g : [0, |L|] → D, также является непрерывно дифференцируемой параметризацией исходного пути L. Её компоненты g = (g1 , g2 , g3 ) имеют вид g1 (l) = ϕ(j(l)), g2 (l) = ψ(j(l)), g3 (l) = χ(j(l)), l = [0, |L|]. Определение 1. Пусть функция F (x, y, z) определена в D. Криволинейным интегралом первого рода Z F (x, y, z) dl L

от функции F (x, y, z) по кривой L называют определённый интеграл Z|L| F (g1 (l), g2 (l), g3 (l)) dl 0

(если он существует), то есть, по определению, Z

L

Z|L| F (x, y, z) dl = F (g1 (l), g2 (l), g3 (l)) dl.

(9)

0

Теорема 2.11. Если функция F (x, y, z) непрерывна в точках множества пути L класса C 1 , то Z

F (x, y, z) dl =

Zb a

L

q 2 2 2 F (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) |ϕ′ (t)| + |ψ ′ (t)| + |χ′ (t)| dt.

(10)

 Так как функция F (x, y, z) непрерывна на множестве точек пути L, то функция F (g1 (l), g2 (l), g3 (l)) непрерывна на отрезке [0, |L|] и интегрируема на нём, так что существует определённый интеграл в правой части формулы (9) и, по определению 1, существует криволинейный интеграл в левой части формулы (9), и справедливо само равенство (9). Проведя в определённом интеграле в правой части (9) замену переменной интегрирования t = j(l), получим равенство Z|L| Zb F (g1 (l), g2 (l), g3 (l)) dl = F (ϕ(t), ψ(t), χ(t))dl(t), 0

a

44

(11)

в правой части которого стоит интеграл Стилтьеса для функции F (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) по функции l(t). Этот интеграл, с учётом выражения (8), вычисляется по формуле Zb

F (ϕ(t), ψ(t), χ(t))dl(t) =

a

Zb a

q F (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) |ϕ′ (t)|2 + |ψ ′ (t)|2 + |χ′ (t)|2 dt.

(12)

Объединяя формулы (9), (11) и (12), получим формулу (10). 

3. Поверхностные интегралы 3.1. Элементы теории поверхностей 3.1.1. Векторная функция двух переменных 2

Пусть на плоскости R задана декартова прямоугольная система координат uOv и непустое открытое множество E ⊂ R2 . Если каждой точке M (u, v) ∈ E поставлен в соответствие некоторый вектор r(M ) = r(u, v) ∈ R3 , то говорят, что на множестве E задана векторная функция двух переменных. Рассмотрим базу B на E ⊂ R2 . Постоянный вектор a ∈ R3 называется пределом векторной функции r(M ) = r(u, v) по базе B, если для любого числа ε > 0 существует такой элемент Bε базы B, что для всех точек M (u, v) ∈ Bε справедливо неравенство |r(u, v) − a| < ε. Обозначение: a = lim r(u, v) = lim r(M ). B B   ◦ Символом (u, v) → (u0 , v0 ) (или M → M0 ) обозначим базу проколотых окрестностей U(M0 ) точки

M0 (u0 , v0 ). Если

lim

(u,v)→(u0 ,v0 )

r(u, v) = r(u0 , v0 ), то векторную функцию r(u, v) называют непрерывной в точке

(u0 , v0 ) ∈ E. Если M0 (u0 , v0 ) — точка множества E, (u0 , v0 ) ∈ E, в которой существует lim

∆u→0

r(u0 + ∆u, v0 ) − r(u0 , v0 ) , ∆u

то этот предел (вектор) называют частной производной векторной функции r(u, v) в точке (u0 , v0 ) по перемен∂ r(u0 , v0 ). Аналогично, ному u и обозначают r ′u (u0 , v0 ) или ∂u r(u0 , v0 + ∆v) − r(u0 , v0 ) ∂ = r(u0 , v0 ). ∆v→0 ∆v ∂v

r ′v = lim

Подобно скалярному случаю определяются частные производные векторной функции высших порядков. Если в пространстве R3 введена декартова система координат Oxyz, то r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) и  n  ∂ n r(u, v) ∂ x(u, v) ∂ n y(u, v) ∂ n z(u, v) = , , . ∂ k u ∂ n−k v ∂uk ∂v n−k ∂uk ∂v n−k ∂uk ∂v n−k Векторная функция r(u, v) называется дифференцируемой в точке (u0 , v0 ) ∈ E, если существуют такие постоянные векторы a, b (в R3 ) и такая векторная функция ε(∆u, ∆v), что ∆r = r(u, v) − r(u0 , v0 ) = a · ∆u + b · ∆v + ε(∆u, ∆v) · ρ, p где ∆u = u − u0 , ∆v = v − v0 , ρ = (∆u)2 + (∆v)2 и lim ε(∆u, ∆v) = 0 = lim ε(∆u, ∆v) = ε(0, 0), так (∆u,∆v)→(0,0)

ρ→0

что векторная функция ε(∆u, ∆v) непрерывна в точке (0, 0). Аналогично скалярному случаю убеждаемся, что a = ru (u0 , v0 ), b = rv (u0 , v0 ) и таким образом ∆r =

∂r ∂r du + dv + ε · ρ, ∂u ∂v

где du = ∆u, dv = ∆v, и lim ε = 0. ρ→0

Векторная функция ∂r ∂r du + dv, ∂u ∂v линейная относительно du и dv, называется дифференциалом векторной функции r(u, v). По определению, dr =

∆r = dr + ε · ρ, lim ε = 0. ρ→0

45

Подобно скалярному случаю, для векторной функции r(u, v) определяются дифференциалы высших порядков dk r, k ∈ N, и имеет место формула Тейлора: r(u, v) =

n X 1 k d r(u0 , v0 ) + 0(ρn ), ρ → 0, k! k=0

где dk r(u0 , v0 ) = du ·

∂ ∂u

+ dv ·


∂ k ∂v

r(u0 , v0 ), k = 0, n, d0 r(u0 , v0 ) = r(u0 , v0 ) и 0(ρn ) = ε(∆u, ∆v) · ρn , lim ε = 0. ρ→0

3.1.2. Поверхность в R3

Рассмотрим на R2 произвольную ограниченную область D (т.е., связное открытое множество в R2 ) и её замыкание [D]. Определение 1. Непрерывное отображение f : [D] → R3 называют элементарной поверхностью в R3 . Обозначаем f (M ) ⊂ R3 , M ∈ [D] и образ f ([D]) называют носителем этой поверхности при рассматриваемом отображении. Точка носителя поверхности, являющаяся образом по крайней мере двух различных точек замкнутой области [D], называется кратной точкой поверхности (или её точкой самопересечения). Если элементарная поверхность не имеет кратных точек; то есть, отображение f биективное, то элементарная поверхность называется простой. Если на R2 введена декартова система координат (u, v), то, по определению, отображение f : [D] → R3 определяет некоторую векторную функцию r(u, v), (u, v) ∈ [D], графиком которой служит введённая элементарная поверхность. Переменные (u, v) называются координатам поверхности или её параметрами. Определение 2. Элементарная поверхность f (M ) ∈ R3 , M ∈ [D] ⊂ R2 , называется эквивалентной элементарной поверхности f1 (M ) ∈ R3 , M ∈ [D1 ] ⊂ R2 , если существует квазирегулярное отображение j : [D1 ] → [D], для которого f1 (M ) = (f ◦ j)(M ), M ∈ [D1 ]. Обозначение: f1 ∼ f . Согласно этому определению, поскольку существует обратное квазирегулярное отображение j −1 : [D] → [D1 ], отношение f1 ∼ f действительно является отношением эквивалентности. Определение 3. Класс эквивалентных элементарных поверхностей называют (непрерывной) поверхностью Φ в R3 , а любое отображение f (M ) ∈ R3 , M ∈ [D] ⊂ R2 , её определяющее, называют параметризацией поверхности Φ. Векторная функция r(u, v) = f (M ) называется векторной параметризацией поверхности Φ. Любое квазирегулярное отображение j : [D1 ] → [D] называют допустимым преобразованием параметров плокости. Если j = (ϕ, ψ), то u = ϕ(u1 , v1 ), v = ψ(u1 , v1 ). Определение 4. Общий носитель всех элементарных поверхностей, составляющих данную поверхность Φ, называют носителем поверхности Φ. Определение 5. Точка (M, f (M )) элементарной поверхности f : [D] → R3 называется эквивалентной точке (M1 , f1 (M1 )) элементарной поверхности f1 : [D1 ] → R3 , если M1 = j(M ).

Определение 6. Класс эквивалентных между собой точек элементарных поверхностей называется точкой поверхности Φ, а их общий носитель называется носителем этой точки поверхности Φ. Если M ∈]D[, то точка (M, f (M )) называется внутренней точкой элементарной поверхности, если M ∈ ∂D, то точка (M, f (M )) называется краевой точкой элементарной поверхности Φ. Так как при квазирегулярных отображениях внутренние точки области переходят о внутренние точки, а граничные точки области — в граничные точки, то все эквивалентные точки для точки, внутренней для некоторой элементарной поверхности, будут внутренними точками эквивалентных элементарных поверхностей, и порождают внутреннюю точку поверхности Φ. Аналогичное утверждение справедливо для краевых точек поверхности Φ. Множество всех краевых точек поверхности Φ называют её краем. Совокупность всех носителей точек поверхности составляет носитель поверхности. Точка носителя поверхности, являющаяся носителем по крайней мере двух различных точек поверхности, называется кратной точкой или точкой самопересечения поверхности. Если поверхность не имеет кратных точек, то она называется простой поверхностью. Определение 7. Поверхность Φ принадлежит классу C 1 , если она имеет хотя бы одну параметризацию класса C 1 .

Пример 1.1. Если Φ — график непрерывной дифференцируемой функции z = f (x, y), (x, y) ∈ [D] ⊂ R2 , то Φ — простая поверхность класса C 1 , задаваемая параметризацией r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), x = x(u, v) = u, y = y(u, v) = v, z = z(u, v) = f (u, v), (u, v) ∈ [D] ⊂ R2 .

46

Определение 8. Если поверхность Φ задана параметризацией f : [D] → R3 , [D] ⊂ R2 , то для любого множества E ⊂ [D] сужение f : E → R3 называется частью поверхности Φ. E

Если U ⊂ [D] — открытое множество, то отображение f : U → R3 называют открытом частью поверхности Φ. Эта открытая часть поверхности Φ называется окрестностью на поверхности Φ любой её точки f (M ), где M ∈ U. 3.1.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Рассмотрим произвольную поверхность Φ в R3 класса C 1 и пусть r = r(u, v), (u, v) ∈ [D] — некоторая её параметризация класса C 1 . Фиксируем произвольную точку (u0 , v0 ) ∈ [D]. Пусть в R3 задана декартова система координат (x, y, z), так что r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D. Рассмотрим пересечение множества [D] с прямой v = v0 . Тогда r = r(u, v0 ) определяет некоторый путь ∂r Lu класса C 1 в R3 . Вектор ru = ∂u = (x′u , yu′ , zu′ ) является касательным вектором к пути Lu . Аналогично ∂r = (x′v , yv′ , zv′ ) является вектором определяется координатный путь Lv класса C 1 , для которого вектора r v = ∂v касательной. Определение 9. Точка r(u, v) поверхности Φ называется неособой при данной параметризации поверхности, если векторы ru и r v не коллинеарны (то есть, линейно независимы), и точка r(u, v) поверхности Φ называется особой точкой для данной параметризации поверхности, если векторы r u и rv коллинеарны. По определению, точка поверхности Φ класса C 1 будет неособой для данной параметризации r(u, v) тогда и только тогда, когда векторное произведение ru × r v 6= 0; в частности, r u 6= 0, rv 6= 0. Пусть в R3 задана декартова система координат Oxyz. Тогда r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) и ru = (x′u , yu′ , zu′ ), r v = (x′v , yv′ , zv′ ). Пример 1.2. Рассмотрим график Γ непрерывно дифференцируемой функции z = f (x, y), (x, y) ∈ [D], D — ограниченная область в R2 . Тогда xp= u, y = v, z = f (u, v), r = r(u, v) = (u, v, f (u, v)), (u, v) ∈ [D] и r u = (1, 0, fu′ ), r v = (0, 1, fv′ ). Поэтому |r u × r v | = 1 + (fu′ )2 + (fv′ )2 > 0, так что все точки простой поверхности Γ неособые. Рассмотрим произвольное отображение f : [a, b] → D класса C 1 , определяющее в D путь L. Если f = (ϕ, ψ), то u = ϕ(t), v = ψ(t), t ∈ [a, b]. Тогда векторная функция r = r(ϕ(t), ψ(t)), t ∈ [a, b], определяет на поверхности Φ некоторый путь L класса C 1 . При этом, dr = r u · du + r v · dv, где du = ϕ′ (t) dt, dv = ψ ′ (t) dt. Если точка r(u, v) поверхности Φ не особая, то получаем, что вектор dr находится в плоскости векторов r u и r v , являясь одновременно вектором касательной к пути L в точке r(ϕ(t), ψ(t)). Определение 10. Касательной плоскостью Π к поверхности Φ в её точке r(u0 , v0 ) называют такую проходящую через r(u0 , v0 ) плоскость, в которой лежат все касательные к кривым, расположенным на поверхности и проходящим через r(u0 , v0 ). Утверждение 3.1. Если данная точка поверхности не особая, то в ней существует касательная плоскость к поверхности.  Эта плоскость Π определяется условием: векторы dr = ru · du + r v · dv и r − r 0 = r(u, v) − r(u0 , v0 ) лежат в Π. Поэтому их смешанное произведение (r − r0 , r u , r v ) = 0. Если r − r0 = (x − x0 , y − y0, z − z0 ), r u = (x′u , yu′ , zu′ ), r v = (x′v , yv′ , zv′ ), то уравнение касательной плоскости имеет вид x − x0 y − y0 z − z0 ′ xu yu′ zu′ = 0 ′ xv yv′ zv′  ′  xu yu′ zu′ и коэффициентами при (x − x0 ), (y − y0 ), (z − z0 ) служат миноры матрицы . x′v yv′ zv′

Пример 1.3. График Γ непрерывно дифференцируемой функции z = f (x, y), (x, y) ∈ [D], D — ограниченная область в R2 , имеет r = (u, v, f (u, v)), (u, v) ∈ [D], и в каждой точке (x0 , y0 , z0 ) ∈ Γ, где (x0 , y0 ) ∈ D, z0 = f (x0 , y0 ), имеет касательную плоскость с уравнением z − z0 = fx′ (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy′ (x0 , y0 )(y − y0 ).

Определение 11. Прямая, проведённая через точку касания поверхности с касательной плоскостью, и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью к поверхности в точке r(u0 , v0 ). Уравнение нормали x − x0 y − y0 z − z0 ′ yu zu′ = zu′ x′u = x′u yu′ ′ yv zv′ zv′ x′v x′v yv′

и по крайней мере один из определителей не равен нулю, так как r u × r v 6= 0. В векторной форме единичным вектором нормали ν к поверхности Φ в неособой точке r(u, v) служит вектор r u ×rv |r u ×rv | = ν. 47

Теорема 3.2. Неособая (особая) при данной параметризации точка поверхности класса C 1 будет неособой (особой) и при любой другой параметризации этой поверхности, а плоскость, касательная к поверхности в неособой точке при одной параметризации поверхности, будет касательной и при другой её параметризации.  Пусть r(u, v), (u, v) ∈ [D], и p(u1 , v1 ), (u1 , v1 ) ∈ [D1 ], суть две параметризации поверхности Φ класса C 1 . Тогда существует допустимое отображение (квазирегулярное) u1 = ϕ(u, v), v1 = ψ(u, v)

(1)

r(u, v) = p(ϕ(u, v), ψ(u, v)), (u, v) ∈ [D].

(2)

компакта [D] на компакт [D1 ], что

Продифференцировав тождество (2), получим r ′u = ϕ′u pu1 + ψu′ pv1 r v = ϕ′v pu1 + ψv′ pv1 .

(3)

Преобразование (3) векторов pu1 , pv1 в векторы r u , r v не вырождено в D, так как определитель ′ ϕu ψu′ ϕ′u ϕ′v D(ϕ, ψ) ′ = ϕv ψv′ ψu′ ψv′ = D(u, v)

и якобиан

D(ϕ,ψ) D(u,v)

6= 0, (u, v) ∈ [D]. Из (3) следует, что

r u × r v = (ϕ′u pu1 + ψu′ pv1 ) × (ϕ′v pu1 + ψv′ pv1 ) =

D(ϕ, ψ) (p × pv1 ). D(u, v) u1

(4)

Поскольку D(ϕ,ψ) D(u,v) 6= 0, то одновременно r u × r v 6= 0 и pu1 × pv1 6= 0 и плоскость Π, образованная векторами r u и r v , совпадает с плоскостью Π1 , образованной векторами pu1 и pv1 .  Определение 12. Поверхность Φ класса C 1 , допускающая параметризацию класса C 1 , относительно которой все точки поверхности Φ неособые, называется гладкой поверхностью. Пример 1.4. График Γ непрерывно дифференцируемой функции z = f (x, y) на компакте [D] является простой гладкой поверхностью. 3.1.4. Явные представления поверхности Пусть Φ — поверхность класса C 1 с параметризацией r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u,  v)), (u, v) ∈ [D], и (u0 , v0 ) ∈ x′u yu′ zu′ D — внутренняя неособая точка; то есть, r u × r v 6= 0 в (u0 , v0 ). Тогда и x′v yv′ zv′ s y ′ |ru × r v | = u′ yv

2 ′ zu zu′ ′ + ′ zv zv

2 ′ xu x′u ′ + ′ xv xv

2 yu′ >0 yv′

′ x в (u0 , v0 ) и хотя бы один из определителей под знаком корня отличен от нуля. Пусть u′ xv По теореме о неявной функции для отображения x = x(u, v), y = y(u, v)

yu′ 6= 0 в точке (u0 , v0 ). yv′

(5)

существуют такие окрестности U и V соответственно точек (u0 , v0 ) и (x0 , y0 ), x0 = x(u0 , v0 ), y0 = y(u0 , v0 ), что отображение (5) будет диффеоморфизмом областей U и V и в V существует непрерывно дифференцируемая биекция V на U, задаваемая формулами u = u(x, y), v = v(x, y), (x, y) ∈ V. Тогда функция z = z(u, v) = z(u(x, y), v(x, y)) непрерывно дифференцируема в области V и её график составляет часть F поверхности Φ, соответствующую окрестности U точки (u0 , v0 ) ∈ D. Другими словами, часть F поверхности Φ допускает явное задание в виде графика некоторой функции z = z(u(x, y), v(x, y)), (x, y) ∈ V. Лемма 1. Пусть функция z = f (x, y) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности U точки (x0 , y0 ) и пусть z0 = f (x0 , y0 ). Тогда у точки (x0 , y0 , z0 ) существует такая окрестность W в пространстве R3 : Oxyz и такая окрестность V на касательной плоскости Π к графику Γ функции z = f (x, y) в точке (x0 , y0 , z0 ), что пересечение графика Γ с окрестностью W взаимно однозначно проектируется на окрестность V при проектировании в направлении, перпендикулярном плоскости Π. 48

 Обозначим fx0 = fx′ (x0 , y0 ), fy0 = fy′ (x0 , y0 ). Если fx0 = fy0 = 0, то касательная плоскость Π к графику Γ в точке (x0 , y0 , z0 ) параллельна  координатной плоскости xOy, и мы имеем W = U × [z0 − δ, z0 + δ], δ > 0, и V = (x, y, z) (x, y) ∈ U, z = z0 . 2 2 Пусть fx0 +fy0 > 0 и, для определённости, fx0 6= 0. Вектор ν = (fx0 , fy0 , −1) параллелен нормали к поверхности Γ в точке (x0 , y0 , z0 ). Поэтому уравнение произвольной прямой, параллельной нормали к Γ в точке (x0 , y0 , z0 ) имеет в векторной форме вид r = r 0 + a + νt, t ∈ (−∞, +∞), r = (x, y, z), (1) где r 0 = (x0 , y0 , z0 ) и a — вектор, параллельный касательной плоскости Π. Вектор a можно записать в виде a = (α, β, αfx0 + βfy0 ), где α, β ∈ R, поскольку a · ν = αfx0 + βfy0 − (αfx0 + βfy0 ) = 0. Исключая параметр t из уравнения (1), получаем в координатной форме x = x0 + α + fx0′ t fy0 y = y0 + β + fy0′ t fx0 z = z0 + (αfx0 + βfy0 ) − t,

так что

или

(x − x0 − α)fy0 = (y − y0 − β)fx0 [z − z0 − (αfx0 + βfy0 )]fx0 = −[x − x0 − α] ( (x − x0 − α)fy0 − (y − y0 − β)fx0 = 0 x − x0 − α + [z − z0 − (αfx0 + βfy0 )]fx0 = 0.

(2)

Подставляя в систему (2) значение z = f (x, y), получим систему уравнений для определения координат x и y точки пересечения прямой (1) с графиком Γ функции z = f (x, y). Имеем ( (x − x0 − α)fy0 − (y − y0 − β)fx0 = 0 . (3) x − x0 − α + [f (x, y) − z0 − (αfx0 + βfy0 )]fx0 = 0 Якобиан J (x, y) системы (3) по переменным x и y имеет вид fy0 −fx0 = (1 + fx′ fx0 + fy′ fy0 )fx0 . J (x, y) = 1 + fx′ fx0 fy′ fx0

Левые части уравнений системы (3) являются непрерывно дифференцируемыми функциями по переменным x, y, α, β. Значения x = x0 , y = y0 и α = β = 0 удовлетворяют уравнениям системы (3). Кроме того, J (x0 , y0 ) = 2 2 (1 + fx0 + fy0 )fx0 6= 0. Согласно теореме о локальном диффеоморфизме, существует такая окрестность U0 точки (x0 , y0 ), U0 ⊂ U, и такая окрестность V0 точки (0, 0) на плоскости параметров α и β, что система уравнений (3) имеет единственное решение x = x(α, β) (4) y = y(α, β), которое образует непрерывно дифференцируемую биекцию окрестностей U0 и V 0 .  Можно считать, что V0 — круг радиуса ε > 0; то есть, V0 = (α, β) α2 + β 2 < ε2 , ε > 0. Тогда для любого вектора a, у которого α2 + β 2 < ε2 , прямая (1) имеет, и при том единственную, точку пересечения с графиком сужения функции f на окрестность U0 точки (x0 , y0 ). Координаты x и y этой точки пересечения находятся по формуле (4), а координата z = f (x, y). Так как q p |a| = α2 + β 2 + (αfx0 + βfy0 )2 > α2 + β 2 , то из условия |a| < ε следует условие α2 + β 2 < ε2 , и следовательно, прямая (1) пересекает график Γ функции z = f (x, y) в единственной точке. 

3.2. Ориентируемые поверхности 3.2.1. Ориентация гладкой поверхности В этом параграфе предполагается, что в пространстве R3 выбрана правая система декартовых координат. Это значит, что в пространстве точек (x, y, z) рассматриваются только такие упорядоченные базисы e1 , e2 , e3 , которые получаются из упорядоченного базиса i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) только такими ортогональными преобразованиями em = cm1 i + cm2 j + cm3 k, m = 1, 2, 3, 49

у которых определитель c11 c21 c31

c12 c22 c32

c13 c23 = +1. c33

Рассмотрим произвольную гладкую поверхность Φ ⊂ R3 и некоторую её параметризацию r = r(u, v), (u, v) ∈ [D], класса C 1 . Тогда r u × r v 6= 0 для всех (u, v) ∈ [D], и значит, в каждой точке поверхности Φ определён единичный нормальный вектор ru × rv ν= , (1) |r u × r v |

который является непрерывной функцией аргументов (u, v) ∈ [D]; то есть, на поверхности Φ существует непрерывная единичная нормаль. Определение 1. Всякая непрерывная единичная нормаль ν = ν(u, v); (u, v) ∈ [D], гладкой поверхности  Φ = r(u, v) (u, v) ∈ [D] называется ориентацией поверхности Φ. Понятно, что если вектор ν является ориентацией поверхности Φ, то и вектор −ν является ориентацией поверхности Φ, и других ориентаций на Φ нет. Одна из двух ориентаций ν или −ν (произвольно выбранная) называется положительной, а другая — отрицательной. В пространстве R3 с правой системой координат принято для гладкой поверхности Φ, заданной параметризацией r = r(u, v), (u, v) ∈ [D], класса C 1 , считать положительной ориентацией нормальный единичный вектор (1). Поверхность Φ с положительной ориентацией будем обозначать символом Φ+ , поверхность Φ с отрицательной ориентацией обозначим через Φ− . Поверхность, у которой фиксирована одна из ориентаций, называется ориентированной поверхностью. 3.2.2. Сохранение ориентации при допустимых отображениях

Пусть положительно ориентированная гладкая поверхность Φ задана параметризацией r = r(u, v), (u, v) ∈ [D], класса C 1 , и единичный нормальный вектор определяется формулой (1). Рассмотрим произвольное допустимое преобразование параметров u1 = ϕ(u, v), v1 = ψ(u, v), (u, v) ∈ [D], (u1 , v1 ) ∈ [D1 ]. Обозначим p(u1 , v1 ) = p(ϕ(u, v), ψ(u, v)) = r(u, v). Тогда D(φ, ψ) ru × rv = (p × pv1 ). D(u, v) u1 Следовательно, векторы ru ×rv и pu1 ×pv1 направлены в одну сторону только тогда, когда якобиан D(ϕ,ψ) D(u,v) > 0 во всех точках (u, v) ∈ D. Таким образом, для поверхностей, у которых выбрана ориентация, допустимыми преобразованиями параметров будем считать только такие квазирегулярные отображение компактов из R2 , у которых якобианы положительные. 3.2.3. Ориентация графика функции двух переменных Рассмотрим график Γ функции z = f (x, y), непрерывно дифференцируемой на компакте [D], D — область в R2 . Тогда r = r(x, y) = (x, y, f (x, y)), rx = (1, 0, fx′ ), r y = (0, 1, fy′ ) и

и

Следовательно,



i r x × r y = 1 0 −fx′

j 0 1

k fx′ = −fx′ · i − fy′ · j + k, fy′ −fy′

1



. ν = q ,q ,q 1 + fx′2 + fy′2 1 + fx′2 + fy′2 1 + fx′2 + fy′2 1 cos(ν, k) = q >0 1 + fx′2 + fy′2

для всех (x, y) ∈ D. Таким образом, положительная ориентация на графике Γ функции z = f (x, y) образует острый угол с осью Oz. Поэтому Γ+ называется верхней стороной поверхности Γ, а Γ− — нижней стороной поверхности Γ.

50

3.2.4. Определение ориентации не переносится на негладкие поверхности. p x2 + y 2 , x2 + y 2 6 a2 , a > 0. Векторное представление имеет вид r(u, v) = Пример 2.1. Конус z = √ 2 2 2 (u, v, u2 + v 2 ), u + v 6 a , и     u v ru = 1, 0, √ , r v = 1, 0, √ , (u, v) 6= (0, 0). u2 + v 2 u2 + v 2   √ u v √ √ ru × rv = − ,− , 1 , |r u × r v | = 2, u2 + v 2 u2 + v 2   u v 1 √ √ √ ν(u, v) = − √ , −√ , . 2 u2 + v 2 2 u2 + v 2 2

и

Так как не существует

u √ , 2 (u,v)→(0,0) u + v2 lim

то не существует

lim

(u,v)→(0,0)

v √ , 2 (u,v)→(0,0) u + v2 lim

ν(u, v).

 Значит, на конусе нельзя выбрать нормаль, непрерывную на [D] = (u, v) u2 + v 2 6 a2 .

Пример 2.2. Любая часть любого ненулевого двугранного угла является примером негладкой поверхности, на которой нормаль (при любом её выборе) имеет целую прямую точек разрыва. 3.2.5. Склеивание поверхностей Будем говорить, что у поверхности Φ = {r = r(u, v), (u, v) ∈ [D]}, (D — область в R2) её край ∂Φ является кривой, если граница ∂D области D является кривой (точнее, носителем кривой) и ∂D = (u(t), v(t)) t ∈ [a, b] ; то есть, область D ⊂ R2 односвязная, ограниченная замкнутой кривой.  t ∈ [a, b] . В этом случае, край ∂Φ можно рассматривать в виде кривой L = ∂Φ = r(u(t), v(t))  Пусть заданы поверхности Φi = r(ui , vi ) (ui , vi ) ∈ [Di ] , i = 1, 2, . . . , m, у которых Значит, края

 ∂Di = (ui (ti ), vi (ti )) ti ∈ [ai , bi ] , i = 1, m.

 ∂Φi = Li = r i (ui (ti ), vi (ti )) ti ∈ [ai , bi ] , i = 1, m.

Предположим, что для некоторых пар (i, j), i, j = 1, m, i 6= j, задано конечно число nij = nji отрезков [akij , bkij ] ⊂ [ai , bi ], akij 6 bkij , и отрезков [akji ] ⊂ [aj , bj ], akji 6 bkji , и k = 1, 2, . . . , nij = nji , причём как отрезки [akij , bkij ], так и отрезки [akji , bkji ] попарно не имеют общих внутренних точек, и пусть ϕkij : [akij , bkij ] → [akji , bkji ] — строго возрастающие гомеоморфизмы. Гомеоморфизмы ϕkij называются склеивающими гомеоморфизмами, если для любого ti ∈ [akij , bkij ] имеет место условие склеивания r i (ui (ti ), vi (ti )) = r j (uj (ϕkij (ti )), vj (ϕkij (ti ))) = rj (uj (tj ), vj (tj )). (2) Рассмотрим кривые Lkij ,  Lkij = r i (ui (ti ), vi (ti )) ti ∈ [akij , bkij ] .

Векторная функция r = r j (uj (tj ), vj (tj )), tj ∈ [akji , bkji ], в силу равенства (2) также является параметризацией кривой Lkij , так как гомеоморфизм ϕkij есть допустимое преобразование параметра кривой Lkij . Будем предполагать также, что при j ′ 6= j отрезки [akij , bkij ] и [alij ′ , blij ′ ], k = 1, 2, . . . , nij ; l = 1, 2, . . . , nij ′ , не имеют общих внутренних точек, и следовательно, каждый конец отрезка [akij , bkij ] может принадлежать ещё не более, чем одному отрезку [alij ′ , blij ′ ]. Это условие означает, что каждая кривая склейки Lkij является частью только двух кривых Li и Lj , образующих края поверхностей Φi и Φj . Поверхности Φi и Φj называются соседними, если они склеиваются по крайней мере по одной кривой Lij . Система склеивающих гомеоморфизмов ϕkij называется связной, если для любых поверхностей Φp и Φq из рассматриваемой системы поверхностей в этой системе существуют такие поверхности Φi1 , . . . , Φir , что Φi1 = Φp , Φir = Φq , и каждая поверхность Φiν является соседней с Φiν+1 ; то есть, склеена с ней по одной или по нескольким кривым с помощью соответствующих склеивающих гомеоморфизмов ϕiν ,iν+1 для ν = 1, 2, . . . , r − 1. Определение 2. Система поверхностей Φ1 , Φ2 , . . . , Φm со связной системой склеивающих гомеоморфизмов ϕkij называется поверхностью, склеенной из поверхностей Φ1 , . . . , Φm по кривым Lkij и обозначается Φ = {Φi }. 51

Если Φ = {Φi } — склеенная поверхность, то совокупность всех дуг, являющихся такими частями кривых Li = ∂Φi , что никакие точки этих частей, кроме, быть может, концевых, не склеиваются ни с какими точками других кривых ∂Φi , называется краем ∂Φ склеенной поверхности Φ. Край склеенной поверхности состоит из конечного числа замкнутых контуров. p 2 2 2 2 2 Пример p 2.3. Сфера S : x + y + z = 1 получается склеиванием двух полусфер S1 : z = 1 − x − y и S2 : z = − 1 − x2 − y 2 , x2 + y 2 6 1. p  Действительно, поверхность S1 задаётся параметризацией r 1 (u1 , v1 ) = (u1 , v1 , 1 − u21 − v12 ), u21 + v12 6 1, p а поверхность S2 — параметризацией r 2 (u2 , v2 ) = (u2 , v2 , − 1 − u22 − v22 ), u22 + v22 6 1. ui = cos ti , vi = sin ti , ti ∈ [0, 2π]. Кривые Li =  Граница ∂Di области D i , i = 1, 2, задаётся параметризацией r(ui (ti ), vi (ti )) ti ∈ [0, 2π] , i = 1, 2. Отрезки [akij , bkij ] = [0, 2π] = [akij , bkij ], и гомеоморфизм ϕkij = ϕ : [0, 2π] → [0, 2π] — тождественный; то есть, t1 = t2 . Условие (2) склеивания выполнено, так как q q r 1 (u1 (t1 ), v1 (t1 )) = (cos t1 , sin t1 , 1 − cos2 t1 − sin2 t1 = 0) = (cos t2 , sin t2 , 0 = 1 − cos2 t2 − sin2 t2 ) = r2 (u2 (t2 ), v2 (t2 )). Склеенная поверхность S имеет пустую границу. 

3.2.6. Ориентация склеенной поверхности Поверхность Φ = {Φi }, склеенная из гладких поверхностей Φ1 , . . . , Φm , называется кусочно–гладкой поверхностью. Пример поверхности двугранного угла показывает, что на кусочно–гладкой поверхности нельзя, вообще говоря, ввести понятие ориентируемости в терминах непрерывной нормали. Более того, при склеивании поверхностей даже «гладким образом» у склеенных поверхностей могут возникнуть качественно новые особенности. Примером служит лист Мёбиуса. Опишем другой подход к понятию ориентации, основанный на склеивании поверхностей, края которых суть замкнутые кривые.  Пусть Φ = r(u, v) (u, v) ∈ [D] — гладкая поверхность, краем которой  является кривая. Тогда границей ∂D области D на R2 является замкнутая кривая ∂D = (u(t), v(t)) t ∈ [a, b] . На плоскости R2 задана правая система декартовых координат. Будем считать положительным на кривой ∂D направление против часовой стрелки. Положительная ориентация кривой ∂D, в силу отображения r(u(t), v(t)), t ∈ [a, b], порождает вполне определённую ориентацию края ∂Φ поверхности Φ. Эта ориентация края ∂Φ поверхности Φ называется согласованной v с ориентацией ν = |rruu ×r ×rv | . Естественность такого определения поясним следующим образом. Рассмотрим поверхность Φ = Γ — график непрерывно дифференцируемой функции z = f (x, y), (x, y) ∈ [D]. Тогда   ′ ′ −fy −fx 1  ν = q ,q ,q ′2 ′2 ′2 ′2 1 + fx + fy 1 + fx + fy 1 + fx′2 + fy′2 и cos νk = √

1 1+fx′2 +fy′2

> 0; то есть, вектор нормали ν образует с осью Oz острый угол и с концевой точки вектора

нормали ν ориентация края ∂Φ = L поверхности Φ = Γ является положительной. Очевидно, что если ориентация ν рассматриваемой гладкой поверхности Φ согласована с ориентацией её края ∂Φ, то ориентация −ν согласована с противоположной ориентацией кривой ∂Φ. Таким образом, задание ориентации ν гладкой поверхности Φ равносильно заданию ориентации кривой ∂Φ, являющейся краем поверхности Φ. Поэтому ориентированный край ∂Φ гладкой поверхности Φ будем называть ориентацией поверхности Φ. Пусть Φ1 и Φ2 — две гладкие поверхности, у которых края ∂Φ1 и ∂Φ2 — кривые и пусть эти поверхности склеены по кривым γ1 , . . . , γm , являющимся частями краёв ∂Φ1 и ∂Φ2 поверхностей Φ1 и Φ2 . Ориентации краёв ∂Φ1 и ∂Φ2 (поверхностей Φ1 и Φ2 ) называются согласованными, если каждая из них порождает на склеивающихся кривых γ1 , . . . , γm противоположные ориентации. Определение 3. Поверхность Φ, склеенная из поверхностей Φ1 , . . . , Φm называется ориентируемой, если существуют такие ориентации краёв ∂Φ1 , . . . , ∂Φm поверхностей Φ1 , . . . , Φm , что для любых двух соседних поверхностей Φi и Φj их ориентации ∂Φi и ∂Φj согласованы. Пример 2.4. Двугранный угол — ориентируемая поверхность. Если указанной в определении 3 совокупности ориентаций ∂Φi не существует, то поверхность Φ называется неориентируемой. Пример — лист Мёбиуса. Край ориентированной склеенной поверхности Φ = {Φi }, как край всякой склеенной поверхности, состоит из конечно числа замкнутых контуров. При этом, заданная согласованная ориентация склеенной ориентируемой 52

поверхности Φ = {Φi } порождает определённые ориентации на указанных кривых. Эти ориентации, вместе взятые, составляют ориентацию края ∂Φ склеенной поверхности Φ. Можно показать, что всякая кусочно–гладкая поверхность, являющаяся границей некоторой области трёхмерного пространства, ориентируема. Пример 2.5. Сфера S : x2 +y 2 +z 2 = 1 имеет внешнюю и внутреннюю стороны в зависимости от направления нормали (наружу или внутрь).

3.3. Поверхностные интегралы 3.3.1. Первая квадратичная форма поверхности Рассмотрим гладкую поверхность Φ, заданную параметризацией r = r(u, v), (u, v) ∈ [D], D — область в R2 . Векторы r u и r v порождают касательную плоскость Π в каждой точке поверхности Φ и векторы r u , r v образуют базис на Π. Векторы, лежащие на Π, обозначим dr, а координаты вектора dr в базисе r u , r v обозначим через du, dv. Таким образом, dr = r u du + r v dv. Тогда

2

|dr| = (r u du + rv dv)2 = r 2u du2 + 2ru r v du dv + r 2v dv 2 .

Обозначим E = r2u , F = r u r v , G = rv2 . Квадратичная форма 2

|dr| = E du2 + 2F du dv + G2 dv 2 называется первой квадратичной формой поверхности Φ. По определению, первая квадратичная форма положительно определена, и значит, EG − F 2 > 0. Рассмотрим квазирегулярное отображение u1 = ϕ(u, v), v1 = ψ(u, v) компакта [D] на компакт [D1 ], и пусть r(u, v) = p(ϕ(u, v), ψ(u, v)). Тогда базисы в касательной плоскости Π преобразуются с помощью матϕ′u ψu′ рицы . Следовательно, координаты векторов преобразуются с помощью транспонированной матрицы ϕ′v ψv′  ′  ϕu ϕ′v = J ; то есть, J — матрицы Якоби отображения u1 = ϕ(u, v), v1 = ψ(u, v). ψu′ ψv′ Если матрицу первой квадратичной формы для представления r = r(u, v) обозначить через A, а для представления r = p(u1 , v1 ) через A1 , то есть,   E F A= , E = r 2u , F = r u · r v , G = r 2v F G   E1 F1 A1 = , E1 = p2u , F1 = pu · pv , G1 = p2v , F1 G1 то, как известно из курса линейной алгебры, A = J ∗ A1 J , где J ∗ — транспонированная матрица к J . Значит, для соответствующих определителей имеем равенство E F

F E1 = G F1

F1 ϕ′u · G1 ψu′

2 2 ϕ′v 2 2 D(u1 , v1 ) или EG − F = (E1 G1 − F1 ) . ψv′ D(u, v)

(1)

3.3.2. Площадь гладкой поверхности

Длину дуги мы определяем как точную верхнюю грань длин вписанных ломанных. Однако определить по аналогии площадь поверхности как точную верхнюю грань площадей вписанных многогранников нельзя, поскольку последняя может быть бесконечной даже для простейших кривых поверхностей, как, например, для поверхности прямого кругового цилиндра (этот пример предложен немецким математиком Шварцем, XIX в., и он обычно приводится в любом учебном пособии по многомерному математическому анализу). Но для гладких кривых длину можно определить также как точную нижнюю грань (или предел) длин описанных ломанных. Этот принцип положен в основу определения сложного понятия площади гладкой поверхности. Качественно опишем этот процесс. Рассмотрим гладкую поверхность Φ, заданную параметризацией r = r(u, v), (u, v) ∈ [D] ⊂ D, где D — область в R2 (u, v) и [D] — квадрируемый компакт. Рассмотрим на R2 (u, v) сетку шага h = 21n , n ∈ N, с квадратами Qk , k ∈ N, пл. Qk = h2 = 41n , k ∈ N, и выберем N ∈ N таким, чтобы для любого n > N части Φk поверхности Φ, получаемые отображением r компактов ]D[∩Qk , можно проектировать на касательные плоскости, построенные в каждой точке на Φk . Последнее возможно в силу результатов, изложенных в пунктах 3.1.3 и 3.1.4. Рассмотрим теперь разбиение T компакта [D] на ячейки σk = [D] ∩ Qk , k = 1, m, и выберем на каждой σk произвольную 53

точку (uk , vk ), которой соответствует точка Pk (uk , vk ) ∈ Φk . Пусть Fk , k = 1, m, обозначает проекцию части Φk на касательную плоскость Πk к Φk в точке Pk . Так как r(u+h, v)−r(u, v) = r u h+o(h), r(u, v+h)−r(u, v) = r v h+o(h), h → 0, то с точностью до бесконечно малых порядка o(h2 ), h → 0, можно читать, что площадь пл.Fk пластинки Fk равна площади параллелограмма на Πk , натянутого на векторы r u h и r v h в точке Pk (uk , vk ). Последняя по определению равна |r u h × r v h| = |r u × rv | (uk , vk )h2 , так что можно считать, что пл. Fk ∼ = |r u × r v | (uk , vk )·пл. σk , k = 1, m. Таким образом, суммарная площадь пластинок Fk , k = 1, m, образующих «чешую», покрывающую поверхность Φ, приблизительно совпадает с интегральной суммой m X

k=1

интеграла

RR

[D]

|ru × r v | (uk , vk )∆σk

|ru × r v | du dv, и значит, стремится к нему при стремлении к нулю диаметра разбиения T (при

n → +∞). Этот предел и принимают по определению за площадь поверхности Φ: ZZ пл. Φ = |r u × r v | du dv. [D]

2 2 2 2 2 Известно, что a × b + ab = |a| b . Поэтому |r u × rv | = r 2u r 2v − (r u r v )2 = EG − F 2 и ZZ p пл. Φ = EG − F 2 du dv.

(2)

[D]

Формула (2) не зависит от выбора параметризации поверхности Φ. Действительно, пусть p(u1 , v1 ), (u1 , v1 ) ∈ [D1 ] — другая параметризация поверхности Φ. Тогда, согласно определению (2) и формуле (1), ZZ q ZZ p ZZ p D(u1 , v1 ) du1 dv1 = пл. Φ1 = E1 G1 − F12 du1 dv1 = EF − G2 EF − G2 du dv = пл. Φ. D(u, v) [D1 ]

D

[D1 ]

3.3.3. Поверхностные интегралы первого рода

Пусть Φ — гладкая поверхность в R3 , r = r(u, v) — её параметризация класса C 1 , (u, v) ∈ [D] ⊂ R2 , D — область в R2 и [D] — квадрируемый компакт. Пусть функция F (M ) определена в точках M поверхности Φ, так что на [D] определена функция (F ◦ r)(u, v). Рассмотрим множество P всех размеченных разбиений компакта [D] и базу d(T ) → 0 на P. Для произвольного размеченного разбиения Tζ ∈ P с ячейками Dk , k = 1, n, n S Dk = [D], и набором ζ точек ζk = (ξk , ηk ) ∈ Dk , k = 1, n, поверхность Φ разбивается на части Φk , k = 1, n, k=1 n S

Φk = Φ, и каждая Φk задаётся параметризацией r = r(u, v), (u, v) ∈ Dk . При этом существуют площади RR √ пл. Φk = EG − F 2 du dv. k=1

Dk

Рассмотрим интегральную сумму

σ(F ; Tζ ) =

n X

(3)

(F ◦ r)(ξk , ηk )пл. Φk .

k=1

Определение 1. Число I = lim σ(F ; Tζ ) (если предел существует) называется интегралом первого рода d(t)→0 RR функции F на гладкой поверхности Φ. Обозначение: I = F ds. Φ

Теорема 3.3. Если функция F (M ) непрерывна на гладкой поверхности Φ и r(u, v) — некоторая векторная 1 2 параметризация поверхности RR Φ класса C , (u, v) ∈ [D] ⊂ R , D — область и [D] — квадрируемый компакт, то поверхностный интеграл F ds существует и Φ

ZZ Φ



F ds =

ZZ [D]

p (F ◦ r)(u, v) EG − F 2 du dv.

Рассмотрим произвольное размеченное разбиение Tζ компакта [D] с ячейками Dk , k = 1, n,

(4)

n S

Dk = [D]

k=1

и с набором ζ = (ζ1 , . . . , ζn ) точек ζk = (ξk , ηk ) ∈ Dk , k = 1, n. В силу свойства аддитивности двойного интеграла, 54

число I=

ZZ [D]

n ZZ p p X (F ◦ r)(u, v) EG − F 2 du dv = (F ◦ r)(u, v) EG − F 2 du dv

(5)

k=1 D k

и число I существует, так как подинтегральная функция непрерывна на [D] по условию теоремы. Для каждого k, 1 6 k 6 n, ZZ p пл. Φk = EG − F 2 du dv Dk

и следовательно, по определению (3) и свойству линейности двойного интеграла, σ(F ; Tζ ) =

n X

k=1

(F ◦ r)(ξk , ηk )

ZZ p n ZZ p X EG − F 2 du dv = (F ◦ r)(ξk , ηk ) EG − F 2 du dv.

(6)

k=1 D k

Dk

На основании (5) и (6) имеем оценки n ZZ p X 2 |σ(F ; Tζ ) − I| = [(F ◦ r)(ξk , ηk ) − (F ◦ r)(u, v)] EG − F du dv 6 k=1 Dk ZZ p n ZZ n p X X 6 |(F ◦ r)(ξk , ηk ) − (F ◦ r)(u, v)| EG − F 2 du dv 6 ω(F ◦ r; Dk ) EG − F 2 du dv = k=1 D

k=1

k

=

n X

k=1

ω(F ◦ r; Dk )пл. Φk 6 ω(F ◦ r; Tζ )

Dk

n X

k=1

пл. Φk = ω(F ◦ r; Tζ ) · пл. Φ, (7)

в которых ω(F ◦ r; Dk ), k = 1, n, обозначает колебание непрерывной функции (F ◦ r)(u, v) на компакте Dk , а ω(F ◦ r; Tζ ) = max ω(F ◦ r; Dk ). В силу непрерывности функции (F ◦ r)(u, v), lim ω(F ◦ r; Tζ ) = 0, и согласно 16k6n

(7), существует

d(T )→0

lim σ(F ; Tζ ) = I. Последнее, по определению 1, равносильно утверждению (4) теоремы. 

d(T )→0

Доказанная теорема позволяет нам ввести определение 2, эквивалентное эквивалентное определению 1 для непрерывных функций. Определение 2. Пусть гладкая поверхность Φ ⊂ R3 : Oxyz задана параметризацией r = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) класса C 1 на квадрируемом компакте [D], D — область в R2 : uOv. Если на поверхности Φ задана непрерывная функций F = F (x, y, z), так RR что непрерывна функция (F ◦ r)(u, v) = F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ [D], то поверхностный интеграл F ds определяется формулой Φ

ZZ Φ

F (x, y, z) ds =

ZZ [D]

p F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) EG − F 2 (u, v) du dv.

3.3.4. Поверхностный интеграл второго рода Пусть i, j, k — единичные координатные векторы правой декартовой системы координат в R3 : Oxyz. Для гладкой поверхности Φ ⊂ R3 с векторной параметризацией r = r(u, v), (u, v) ∈ [D] ⊂ R2 класса C 1 , где компакт [D] квадрируем, рассмотрим её положительную ориентацию Φ+ , определяемую нормалью n = r u × r v . Тогда r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ [D], и i j k D(y, z) D(z, x) D(x, y) n = r u × r v = x′u yu′ zu′ = i+ j+ k. D(u, v) D(u, v) D(u, v) ′ ′ ′ x y z v v v n Рассмотрим единичный нормальный вектор ν = |n| и его углы α, β, γ с ортами i, j, k, соответственно, так что ν = (cos α, cos β, cos γ). Пусть на поверхности Φ задана векторная функция a = (a◦r)(u, v) = (P, Q, R) и P = P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), Q = Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), R = R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

55

Определение 3. Поверхностным интегралом

RR

a ds второго рода вектора a по ориентируемой поверхности

Φ+

Φ+ называют интеграл

ZZ

a ds =

ZZ

(8)

(a · ν) ds,

Φ

Φ+

где (a · ν) — скалярное произведение векторов a и ν. Формулу (8) называют векторной записью поверхностного интеграла второго рода. Его координатной записью называют формулу ZZ ZZ a ds =

(9)

P dy dz + Q dz dz + R dx dy.

Φ+

Φ+

Запись (9) представляет собой формулу интегрирования по ориентируемой поверхности дифференциальной 2–формы в R3 , получающейся из дифференциальной 1–формы посредством операции внешнего дифференцирования (но только в случае R3 ). Интегрирование дифференциальных форм более высокого порядка, чем 1, относят к общим объектам изучения в курсах многомерного математического анализа и дифференциальной геометрии. На отделении механики этот материал излагается в параллельно читаемом курсе дифференциальной геометрии (чем, кстати, объясняется уменьшение числа академических часов в курсе математического анализа). Укажем способ вычисления интегралов (8) и (9). Согласно определениям (8) и (9), ZZ ZZ ZZ ZZ P dy dz + Q dz dx + R dx dy = a ds = (a · ν) ds = (P cos α + Q cos β + R cos γ) ds. (10) Φ+

Φ

Φ+

Φ

Так как i ru × rv 1 x′ ν= = √ u |r u × r v | EG − F 2 x′ v

то

Φ+

a ds =

ZZ  [D]

k 1 zu′ = √ EG − F2 ′ z v

1 cos α = ν · i = √ EG − F 2 1 cos β = ν · j = √ EG − F 2 1 cos γ = ν · k = √ EG − F 2

и значит, с учётом (10) и (4), ZZ

j yu′ yv′

′ yu 1 ′ P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) √ 2 EG − F yv

′ xu 1 ′ + R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) √ 2 EG − F xv

 ′ yu ′ yv

′ yu ′ yv ′ zu ′ zv ′ xu ′ xv

′ zu zu′ ′ i + ′ zv zv

zu′ , zv′ x′u , x′v yu′ , yv′

′ xu x′u ′ j + ′ xv xv

 yu′ k , yv′

1 zu′ + Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) √ zv′ EG − F 2

 ZZ yu′ p 2 EG − F du dv = yv′ [D]

P ∂x ∂u ∂x ∂v

Q

∂y ∂u ∂y ∂v

′ zu ′ zv

x′u + x′v

ZZ R ∂z (a, ru , rv ) du dv, ∂u du dv = ∂z ∂v

[D]

где (a, ru , rv ) — смешанное произведение векторов a, r u , r v . RR Если Q = R = 0, (u, v) ∈ [D], получаем поверхностный интеграл P (x, y, z) dy dz. Аналогично определяются Φ+ RR RR интегралы Q(x, y, z) dz dx и R(x, y, z) dx dy. Φ+

Φ+

Рассмотрим множество P всех размеченных разбиений компакта [D] и базу d(T ) → 0 на P. Для произвольного Tζ ∈ P рассмотрим интегральную сумму σ1 (P ; Tζ ) =

n X

k=1

Можно доказать, что

ZZ

P (x(ξk , ηk ), y(ξk , ηk ), z(ξk , ηk )) cos αk · пл. Φk .

P (x, y, z) dy dz = lim σ1 (P ; Tζ ). d(T )→0

Φ+

Аналогично можно получить записи двух других интегралов. 56

3.3.5. Поверхностные интегралы по кусочно–гладким поверхностям Пусть поверхность Φ склеена из m гладких поверхностей Φ1 , . . . , Φm и пусть Φ+ — та ориентация поверхности + Φ, которая получается склеиванием ориентируемых поверхностей Φ+ 1 , . . . , Φm . Пусть на Φ заданы непрерывная функция F (M ), M ∈ Φ, и непрерывная векторная функция a = (P, Q, R). По определению, ZZ ZZ m ZZ m ZZ X X F ds = F ds и a ds = a ds. k=1 Φ k

Φ

k=1

Φ+

Φ+ k

4. Основные операции теории поля 4.1. Инварианты линейного оператора 4.1.1. Взаимные базисы векторов в R3 В этом и двух последующих пунктах мы напоминаем известный материал из курса линейной алгебры. Обозначим символом M множество всех векторов в R3 . Векторы r i , i = 1, 2, 3, образуют базис в R3 , если (r 1 r2 r3 ) 6= 0. Базис rk , k = 1, 2, 3, называют взаимным к базису r i , i = 1, 2, 3, если ( 1, i = k k k r i r = δi = 0, i 6= k. Теорема 4.1. Для произвольного базиса ri , i = 1, 2, 3, существуют единственный взаимный базис r k , k = 1, 2, 3, и r2 × r 3 r3 × r1 r 1 × r2 r1 = , r2 = , r3 = . (r 1 r 2 r 3 ) (r 1 r 2 r 3 ) (r 1 r 2 r 3 )

Рассмотрим матрицы kgki k и g ki , где gki = r k ri , g ki = rk r i . Матрицы взаимно обратны и симметричны (из-за симметрии скалярного произведения). Кроме того r k = g k1 r 1 + g k2 r 2 + g k3 r 3 = g ki r i , k = 1, 2, 3 r k = gk1 r 1 + gk2 r 2 + gk3 r 3 = gki r i , k = 1, 2, 3.

(1)

4.1.2. Преобразование базисов в R3 ′

Рассмотрим взаимные базисы r i , r i , i = 1, 2, 3, и r i′ , r i , i′ = 1, 2, 3 и формулы перехода от старого базиса r i к новому базису r i′ , и обратно: ′ r i′ = bii′ r i , r i = bii ri′ . (2)

i ′

Тогда матрицы bi′ и bii взаимно обратные. Рассмотрим формулы перехода для взаимных базисов: ′

′

′

ri = ˜bii r i , r i = ˜bii′ r i

(3)

′

и матрицы ˜bii , ˜bii′ взаимно обратные. Теорема 4.2.

′ ′

i



bi′ =

˜bii′ и bii = ˜bii .

На основании этой теоремы и формул (2), (3), заключаем, что ′

r i′ = bii′ r i , r i = bii ri′ , ′ ′ ′ r i = bii r i , r i = bii′ ri ,



′ и матрицы bii′ , bii взаимно обратные.

57

(4)

4.1.3. Преобразование координат i

Пусть r i , r — взаимные базисы и x ∈ M. Тогда x = x1 r 1 + x2 r 2 + x3 r 3 = xi r i , x = x1 r 1 + x2 r 2 + x3 r 3 = xi r i .

(5)

Числа (x1 , x2 , x3 ) называют ковариантными координатами вектора x, а числа (x1 , x2 , x3 ) — контравариантными координатами вектора x. По определению и свойству линейности скалярного произведения, x · rk = xi r i r k = xi δki = xk , k = 1, 2, 3, x · r k = xi r i r k = xi δik = xk , k = 1, 2, 3,

(6)

и значит, формулы (5) принимают вид x = (x · ri )r i , x = (x · ri )r i .

(формулы Гиббса)

′

Рассмотрим новые взаимные базисы r i′ , r i , связанные со старыми базисами формулами (4). Тогда, в силу (4) и (6) и свойства линейности скалярного произведения, xi′ = x · r i′ = bii′ (x · r i ) = bii′ xi , i′ = 1, 2, 3

(то есть, ковариантные координаты вектора изменяются с той же матрицей bii′ , что и базисы), а ′

′

′

′

xi = x · r i = bii (x · r i ) = bii xi , i′ = 1, 2, 3

(то есть, контравариантные координаты вектора изменяются с обратной матрицей по отношению к базисам). 4.1.4. Дивергенция линейного оператора Рассмотрим произвольный линейный оператор A : M → M; то есть, такое отображение A из M в M, что A(λ1 x + λ2 y) = λ1 Ax + λ2 Ay для любых λ1 , λ2 ∈ R и x, y ∈ M. Теорема 4.3. r i · Ar i = ri · Ar i

для любого линейного оператора A : M → M и любых взаимных базисов r i , r i , i = 1, 2, 3.  По определению, ri Ar i = r 1 Ar 1 + r 2 Ar 2 + r 3 Ar 3 . Аналогично для ri · Ar i . Согласно формулам (1), r k = g ki ri , r k = gkj r j . Поэтому, в силу свойств линейности оператора A и скалярного произведения, имеем rk Ar k = g ki r i A(gkj r j ) = g ki gkj r i Arj = δji r i Ar j = r j Ar j = r k Ar k ,

где использовано также утверждение, что матрицы g ki и kgkj k взаимно обратные. 

Теорема 4.4. (Инвариантность относительно преобразования базисов и координат векторов). ′

r i Ar i = r i Ar i′ ′

для любого линейного оператора A : M → M и для любых взаимных базисов r i , ri и r i′ , r i . ′ ′  Согласно формулам (4), r i = bii r i′ , r i = bik′ r k , и следовательно, как и в доказательстве теоремы ??, ′

′

′

′

′

′

′

r i Ar i = bik′ rk A(bii r i′ ) = bik′ bii rk Ar i′ = δki ′ rk Ar i′ = ri Ar i′ .  Определение 1. Сумма ri · Ar i = r 1 Ar 1 + r 2 Ar 2 + r 3 Ar 3

называется дивергенцией линейного оператора A : M → M и обозначается div A = r i Ar i = r i Ar i (теорема ??). Характеристика div A не зависит от выбора базиса (теорема ??); то есть, есть инвариант относительно преобразования базисов и координат векторов. 58

4.1.5. Ротор линейного оператора Теорема 4.5. r i × Ar i = ri × Ar i

для любого линейного оператора A : M → M и любых взаимных базисов r i , r i , i = 1, 2, 3. Теорема 4.6.

′

r i × Ar i = r i × Ar i′ ′

для любых взаимных базисов ri , r i , i = 1, 2, 3, и ri′ , ri , i′ = 1, 2, 3. Доказательства теорем ?? и ?? дословно повторяют доказательства теорем ?? и ??, соответственно, с единственной заменой знака скалярного произведения (·) на знак (×) векторного произведения. Определение 2. Вектор r i × Ar i = r 1 × Ar1 + r 2 × Ar 2 + r 3 × Ar 3 называется ротором линейного оператора A : M → M и имеет обозначение rot A = r i × Ar i = ri × Ar i . Характеристика rot A является инвариантом относительно преобразований координат и векторов в R3 . 4.1.6. Координатная запись div A и rot A Рассмотрим ортонормированный базис i, j, k в R3 . Ему взаимный взаимный базис — также i, j, k. Линейный ◦

оператор A : M → M можно задать в виде матрицы A следующим образом:   iAi = a11 iAj = a12 iAk = a13 ◦  jAi = a21 jAj = a22 jAk = a23  = A. kAi = a31 kAj = a32 kAk = a33

◦

Тогда div A = r i Ar i = iAi + jAj + kAk = a11 + a22 + a33 — след матрицы A. Ротор rot A = r i × Ar i = i × Ai + j × Aj + k × Ak. При этом, i × Ai = i × (a11 i + a21 j + a31 k) = a21 (i × j) + a31 (i × k) = a21 k − a31 j j × Aj = j × (a12 i + a22 j + a32 k) = a12 (j × i) + a32 (j × k) = −a12 k + a32 i = a32 i − a12 k k × Ak = k × (a13 i + a23 j + a33 k) = a13 (k × i) + a23 (k × j) = a13 j − a23 i. Поэтому rot A = (a32 − a23 )i + (a13 − a31 )j + (a21 − a12 )k.

4.2. Характеристики дифференцируемых полей 4.2.1. Дифференцируемые скалярные поля Пусть D — непустое открытое множество в R3 . Отображение (функцию) u : D → R назовём скалярным полем, определённым в D, и используем обозначение u(M ), M ∈ D, где M — произвольная точка множества D. Отображение p : D → M называют векторным полем, определённым в D. Отображение p : D → M называют векторным полем, определённым в D, и обозначают p(M ), M ∈ D. Для произвольной фиксированной точки M ∈ D обозначим через ∆r вектор M M ′ = ∆r, M ′ ∈ D. Таким образом, каждой точке M ∈ D сопоставлено векторное поле ∆r. Фиксированный вектор g ∈ M порождается линейную форму Lg (∆r) = g · ∆r. Это определение полностью согласуется с соответствующим понятием в случае, когда на R3 задана некоторая декартова система координат (x, y, z), в которой ∆r = (∆x, ∆y, ∆z) и g = (A, B, C); тогда g · ∆r = A∆x + B∆y + C∆z — линейная функция в R3 относительно (∆x, ∆y, ∆z). Определение 1. Скалярное поле u(M ) называют дифференцируемым во внутренней точке M ∈ D, если существует такой вектор g ∈ M (выбор которого зависит только от M ), что в некоторой окрестности U(M ) ⊂ D для любой точки M ′ ∈ U(M ) приращение ∆u = u(M ′ ) − u(M ) можно представить в виде ∆u = g · ∆r + o(ρ), ρ → +0, где ρ = ∆r — длина вектора ∆r.

Утверждение 4.7. Если представление (1) существует, то оно единственное.

59

(1)



Допустим, что для двух векторов g, h ∈ M справедливы представления ∆u = g · ∆r + o(ρ), ∆u = h∆r + o(ρ), ρ → +0.

Тогда, в силу свойства линейности скалярного произведения, o(ρ) o(ρ) , ρ → +0, (g − h)∆r = o(ρ) и (g − h)e = = ∆r ρ

(2)

где e — единичный вектор вектора ∆r. Переходя в (2) к пределу при ρ → +0, получим (g − h)e = 0 для любого единичного вектора e. Следовательно, g − h = 0 и g = h.  Скалярное поле называют дифференцируемым на открытом множестве D ⊂ R3 , если оно дифференцируемо в каждой его точке. Определение 2. Вектор g = g(M ) в разложении (2) называют градиентом дифференцируемого скалярного поля u(M ) и обозначают grad u. Введённое понятие не зависит от выбора системы координат в R3 и grad u — векторное поле в D, если скалярное поле u(M ) дифференцируемо в открытом множестве D. На основании определения (1) несложно доказать свойства градиента: grad(u ± v) = grad u ± grad v; grad(uv) u grad v + v grad u;
=v grad u−u grad v u grad c = 0; grad cu = c grad u, grad v = , v 6= 0. v2

4.2.2. Производная по направлению скалярного поля Рассмотрим скалярное поле u(M ), определённое на открытом множестве D ⊂ R3 . Фиксируем точку M ∈ D и окрестность U(M ) ⊂ D. Фиксируем единичный вектор e ∈ M. Рассмотрим такую произвольную точку M ′ ∈ U(M ), для которой вектор M M ′ коллинеарен вектору e, так что M M ′ = ∆r = te и |t| = M M ′ = ∆r . Обозначим ∆e u = u(M ′ ) − u(M ). Определение 3. Если существует lim ∆te u = l, то число l называют производной скалярного поля u в точке t→0

M по направлению e и обозначают символом

∂u ∂e .

Итак,

∂u ∂e (M )

= lim

t→0

∆e u t ,

M M ′ = te.

Утверждение 4.8. Если скалярное поле u(M ) дифференцируемо в точке M ∈ D, то любого направления e.  Согласно определению 1, ∆u = grad u · ∆r + o(ρ), ρ → +0.

∂u ∂e

= grad u · e для

Согласно определению 3, ∆r = te. Поэтому, ∆e u = (grad u · e)t + o(|t|), t → 0, и   ∆e u o(|t|) lim = lim (grad u · e) + = grad u · e; t→+0 t t→0 t то есть,

∂u ∂e

= grad u · e.  4.2.3. Выражение для градиента в декартовой системе координат

Рассмотрим базис i, j, k, порождающий правую систему координат в R3 : Oxyz. Тогда u = u(M ) = u(x, y, z) и grad u = i(grad u · i) + j(grad u · j) + k(grad u · k), так что

∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u = , = , = . ∂x ∂y ∂z ∂i ∂j ∂k

Поэтому grad u =

∂u ∂u ∂u i+ j+ k. ∂x ∂y ∂z

4.2.4. Дифференцируемые векторные поля Определение 4. Векторное поле p(M ) называется дифференцируемым во внутренней точке M открытого множества D ⊂ R3 , если существует такая окрестность U(M ) ⊂ D и такой линейный оператор A : M → M, что для любой точки M ′ ∈ U(M ) справедливо представление
∆p = A∆r + o ∆r , ∆r = ρ → +0, (3) 60

в котором ∆p = p(M ′ ) − p(M ), ∆r = M M ′ , и lim

ρ→+0

o(ρ) ρ

= 0.

Выбор линейного оператора A зависит только от точки M ∈ D. Утверждение 4.9. Если представление (3) существует, то оно единственное.


 Пусть ∆p = A∆r + o ∆r и ∆p = B∆r + o ∆r , ∆r → 0. Тогда (A − B)∆r = o ∆r , ∆r → 0. Если ∆r = ρe, ρ = ∆r , то (A − B)e = o(ρ) ρ , ρ → 0, и после перехода к пределу при ρ → 0, получим, что (A − B)e = 0 для любого единичного вектора e ∈ M. Значит, A = B.  Если векторное p(M ) дифференцируемо в каждой точке открытого D, то p(M ) называют дифференцируемым в D. Определение 5. Положим div A = div p и rot A = rot p. 4.2.5. Производная векторного поля по направлению Пусть векторное поле p(M ) по определено на открытом множестве D ⊂ R3 и точка M ∈ D — произвольная. Пусть e ∈ M — произвольный единичный вектор. В окрестности U(M ) ⊂ D рассмотрим такие точки M ′ ∈ U(M ), для которых вектор M M ′ коллинеарен вектору e, так что M M ′ = te, и обозначим ∆pe (M ) = p(M ′ ) − p(M ), |M M ′ | = |t|. Определение 6. Если существует lim

t→0

∆pe (M) t

= l, то вектор l называют производной векторного поля p(M )

в точке M ∈ D по направлению e. Обозначение: l =

∂p ∂e .

Теорема 4.10. Если векторное поле p(M ) дифференцируемо в точке M ∈ D, то для любого единичного ∂p вектора e в точке M существует ∂p ∂e и ∂e = Ae, где линейный оператор A определяется разложением (3).  По условию теоремы разложение (3)
∆p = A∆r + o ∆r , ∆r = ρ → 0

справедливо для любой точки M ′ ∈ U(M ). Для тех точек M ′ ∈ U(M ), для которых M M ′ = te имеем ∆r = te и ∆p = A(te) + o(|t|) = tAe + o(|t|), t → 0, откуда   ∂p ∆p o(|t|) lim = lim Ae + = Ae и = Ae. t→0 t→0 t t ∂e  4.2.6. Инварианты векторного поля в декартовой системе координат

Рассмотрим в R3 декартову систему координат (x, y, z), определяемую правым ортонормированным базисом i, j, k. Пусть векторное поле p(M ) имеет в этом базисе координаты p = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Предположим, что p(M ) дифференцируемо в точке M (x, y, z) открытого множества D в R3 . Тогда ∂p ∂p ∂p ∂p ∂p ∂p = = Ai, = = Aj, = = Ak, ∂x ∂y ∂z ∂i ∂j ∂k ◦

и значит, матрица A линейного оператора A имеет вид  ∂P ∂P ∂x  ∂Q  ∂x ∂R ∂x

Поэтому

∂P ∂z ∂Q  ∂z  ∂R ∂z



∂y ∂Q ∂y ∂R ∂y

div p = div AA =

◦

= A.

∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z

и rot p = rot A =



∂R ∂Q − ∂y ∂z

где формальный вектор ∇ =





i+

∂ ∂ ∂ ∂x , ∂y , ∂z





∂P ∂R − ∂z ∂x



j+



∂Q ∂P − ∂x ∂y

читается «вектор набла».

61



i ∂ k = ∂x P

j ∂ ∂y

Q

k ∂ ∂z = ∇ × p, R

4.2.7. Непосредственно проверяется, что справедливы следующие утверждения. Теорема 4.11. rot grad u = 0, div grad u = ∆u =

∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 , grad rot p = 0, div rot p = 0. ∂x2 ∂y ∂z

Рассмотрим частный случай, когда p = (P, Q, 0), P = P (x, y), Q = Q(x, y). В этом случае, rot p =

4.3. Формула Грина



∂Q ∂x

−

∂P ∂y



k.

4.3.1. Формулировка теоремы и её частный случай Пусть D — ограниченная конечносвязная область на плоскости Π : Oxy, граница ∂D = Γ которой состоит из n + 1 замкнутых кривых L0 , L1 , . . . , Ln класса C 1 , причём все Li , i = 1, n, находятся внутри L0 (Li ⊂ Int L0 , i = 1, n) и для всех i 6= j, i, j = 1, n, кривая Li расположена во внешности кривой Lj (Li ⊂ Ext Lj , i 6= j). Теорема 4.12. Если функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны на замыкании [D] = D ∪ гр. D, имеют непрерывные частные производные первого порядка в D (то есть, P, Q ∈ C 1 (D)) и сходятся несобственные интегралы ZZ ZZ ∂Q ∂P dx dy, dx dy, ∂x ∂y D

D

то несобственный интеграл  ZZ  I Z n Z X ∂Q ∂P P dx + Q dy + P dx + Q dy. − dx dy = P dx + Q dy = ∂x ∂y D

k=1 − Lk

Γ+

(1)

L+ 0

 Случай I: область D односвязная и стандартная относительно обеих координатных осей. Это значит, что ∂D = Γ = L0 и L0 = Λx1 ∪ Λx2 , где Λx1 , Λx2 — графики некоторых непрерывно дифференцируемых функций y = ϕ1 (x), y = ϕ2 (x), x ∈ [a, b], ϕ1 (x) < ϕ2 (x) для x ∈ (a, b) и ϕ1 (x) = ϕ2 (x) только при x = a и x = b, а также L0 = Λy1 ∪ Λy2 , где Λy1 , Λy2 — графики некоторых непрерывно дифференцируемых функций x = ψ1 (y), x = ψ2 (y), y ∈ [c, d], ψ1 (y) < ψ2 (y) для y ∈ (c, d) и ψ1 (y) = ψ2 (y) только при y = c и y = d. Мы получим формулу (1), если докажем, что  ZZ Z ZZ  Z ∂Q ∂P dx dy = Q dy и − dx dy = P dx. (2) ∂x ∂y D

L+ 0

D

L+ 0

Установим справедливость второй формулы в (2). По условию, L0 = Λx1 ∪ Λx2 . Кривые Λxi , i = 1, 2, спрямляемы и поэтому пл. Γ = пл. L0 = 0, так что область D квадрируема. Построим некоторое (специального вида) 2 . Для этого рассмотрим отрезки исчерпывание области D квадрируемыми компактами {Dn }, n ∈ N, n > N = b−a 1 1 [an , bn ], an = a + n , bn = b − n , n > N , и для фиксированного n > N рассмотрим такое число εn > 0, εn < n1 , чтобы функции y = ϕn1 (x) = ϕ1 (x) + εn и y = ϕn2 (x) = ϕ2 (x) − εn , x ∈ [an , bn ], обладали свойством ϕ1 (x) + εn < ϕ2 (x) − εn , x ∈ [an , bn ],

Λn1 , Λn2

так что графики функций y = ϕn1 (x) и ϕn2 (x), x ∈ [an , bn ], не пересекались. Обозначим через Dn замыкание области в D, ограниченной кривыми Λn1 , Λn2 и прямыми x = an , x = bn . Выбираем εn+1 > 0, чтобы εn+1 < εn и 1 εn+1 < n+1 . Тогда ϕ1 (x) + εn+1 < ϕ1 (x) + εn < ϕ2 (x) − εn < ϕ2 (x) − εn+1 , x ∈ [an+1 , bn+1 ]. Поэтому Dn ⊂]Dn+1 [, n ∈ N, и

∞ S

Dn = D. Поскольку граница ∂Dn имеет пл. ∂Dn = 0, то все Dn —

n=1

квадрируемые компакты, исчерпывающие открытое множество D. Согласно определению компактов Dn , ZZ

∂P dx dy = ∂y

Zbn

an

Dn

−

Zbn

an

dx

ϕ2 (x)−ε Z n

∂P dy = ∂y

an

ϕ1 (x)+εn

P (x, ϕ1 (x)) dx +

Zbn

[P (x, ϕ2 (x) − εn ) − P (x, ϕ1 (x) + εn )] dx =

Zbn

an

[P (x, ϕ2 (x) − εn ) − P (x, ϕ2 (x))] dx +

62

Zbn

an

Zbn

P (x, ϕ2 (x)) dx−

an

[P (x, ϕ1 (x)) − P (x, ϕ1 (x) + εn )] dx.

(3)

Последние два интеграла в правой части (3) обозначим I1n и I2n , соответственно, и докажем, что lim I1n = n→+∞

lim I2n = 0.

n→+∞

Рассмотрим произвольное число ε > 0. Так как P (x, y) непрерывна на замыкании [D], то она равномерно ε непрерывна на [D], и значит, существует такое δ > 0, δ = δ(ε), что |P (x′ , y ′ ) − P (x′′ , y ′′ )| < b−a для всех (x′ , y ′ ), ′′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ (x , y ) ∈ [D], у которых |x − x | < δ, |y − y | < δ. Выберем x = x = x, y = ϕ2 (x), y = ϕ2 (x) − εn . Тогда |x′ − x′′ | = 0 < δ и |y ′ − y ′′ | = εn . Так как lim εn = 0, то для δ > 0 существует Nδ = Nε ∈ N, что 0 < εn < δ n→+∞

для всех n > Nε . Следовательно,

|P (x, ϕ2 (x) − εn ) − P (x, ϕ2 (x))| <

ε b−a

(4)

для всех n > N , n > Nε . Значит, на основании (4), b Z n ε |I1n | = [P (x, ϕ2 (x) − εn ) − P (x, ϕ2 (x))] dx 6 (bn − an ) < ε b−a an

для всех n > max(N, Nε ); то есть, lim I1n = 0. Аналогично, lim I2n = 0.

n→+∞

n→+∞

Учитывая эти утверждения, получаем из (3), что ZZ

∂P dx dy = lim n→+∞ ∂y

ZZ Dn

D

b  Zn Zbn ∂P dx dy = lim  P (x, ϕ2 (x)) dx − P (x, ϕ1 (x)) dx = n→+∞ ∂y an

an

=

Zb a

P (x, ϕ2 (x)) dx −

Zb a

P (x, ϕ1 (x)) dx = −

Z

P dx

Γ+

и вторая формула в (2) доказана. Аналогично доказывается и первая формула в (2). Таким образом, формула (1) доказана в частном случае I.  4.3.2. Инвариантная запись формулы (1) в случае I   ∂P Рассмотрим векторное поле p = (P (x, y), Q(x, y), 0). Тогда rot p = ∂Q − ∂x ∂y k и ZZ 

∂Q ∂P − ∂x ∂y

D



dx dy =

ZZ

rot p · k dσ.

D

Если обозначить через t единичный вектор касательной к кривой Γ, то Z Z P dx + Q dy = (p · t) dl Γ

Γ+

и формула (1) примет вид ZZ

rot p · k dσ =

D

Z

(5)

(p · t) dl.

Γ+

4.3.3. Случай II Область D можно разбить с помощью конечного числа гладких кривых Λk на конечно число областей Dk , k = 1, m, каждая из которых удовлетворяет случаю I в некоторой декартовой системе координат, своей для m S каждой Dk , и D = Dk . k=1



В каждой квадрируемой области Dk , k = 1, m, по предыдущему, справедлива формула  ZZ  ZZ Z Z
∂Q ∂P − dx dy = rot p · ν dσ = p · t dl = P dx + Q dy, ∂x ∂y Dk

Dk

+ ∂Dk

63

+ ∂Dk

(6)

где ν = k. В силу свойства аддитивности кратных несобственных интегралов, имеем   ZZ  m ZZ  X ∂Q ∂P ∂Q ∂P − dx dy = − dx dy. ∂x ∂y ∂x ∂y

k=1 D k

(7)

D

Каждая кривая Γk = ∂Dk , k = 1, m, состоит из конечного числа частей Λjk кривых Λk и частей границы ∂D = Γ. При этом каждая Λjk встречается в формулах (6) дважды для соседних областей Dk и Dk+1 и эти участки границ областей Dk и Dk+1 обходятся в противоположных направлениях. Поэтому, используя теорему об интегрировании 1–формы по противоположным путям и свойство аддитивности криволинейного интеграла первого рода, Z m Z X P dx + Q dy = P dx + Q dy, (8) k=1 + ∂Dk

Γ+

где Γ = ∂D. Объединяя формулы (7) и (8), получим  Z ZZ  ∂Q ∂P − dx dy = P dx + Q dy ∂x ∂y D

Γ+

и случай II доказан.  Доказательство теоремы в общем случае изложено в учебнике В. А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа, часть II: М., изд. «Наука», 1973, 447 с.

4.4. Формула Стокса 4.4.1. Формулировка теоремы Рассмотрим произвольную кусочно–гладкую поверхность Φ в R3 : Oxyz, ∂Φ = Γ которой состоит из m замкнутых гладких кривых L1 , . . . , Lm . Пусть G — область в R3 , содержащая Φ (Φ ⊂ G). Пусть функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывно дифференцируемы в G. Эти функции можно рассматривать как компоненты некоторого векторного поля p = (P, Q, R), непрерывно дифференцируемого в G. Тогда i      j k  ∂ ∂R ∂Q ∂R ∂P ∂Q ∂P ∂ ∂ rot p = ∂x ∂y ∂z = − i+ − j+ − k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y P Q R Теорема (формула Стокса).      ZZ ZZ  Z ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P rot p · ν ds = − dy dz + − dz dx + − dx dy = P dx + Q dy + R dz, (1) ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Φ

Φ+

Γ+

где Z

Γ+

P dx + Q dy + R dz =

n Z X

P dx + Q dy + R dz

k=1L k

и направление на каждой Lk , k = 1, m, выбрано согласованным с положительной ориентацией Φ+ поверхности Φ. 4.4.2. Случай I Поверхность Φ гладкая, край ∂Φ = Γ поверхности Φ состоит из одной замкнутой гладкой кривой L и поверхность Φ однозначно проектируется на все три координатные плоскости.  В этом случае положительная ориентация Φ+ поверхности Φ задаётся нормалью n = r u × rv , единичный вектор ν которой имеет компоненты ν = (cos α, cos β, cos γ). Формула (1) принимает вид       Z Z  Z ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P − cos α + − cos β + − cos γ ds = P dx + Q dy + R dz (1′ ) ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Φ

L+

64

и формула (1’) будет доказана, если будут доказаны формулы  ZZ  Z ∂P ∂P cos β − cos γ ds = P dx, ∂z ∂y Φ

(2)

L+

ZZ 

 Z ∂Q ∂Q cos γ − cos α ds = Q dy, ∂x ∂z

ZZ 

∂R ∂R cos α − cos β ∂y ∂x

Φ

(3)

L+

Φ



ds =

Z

(4)

R dz.

L+

Поскольку в рассматриваемом случае все формулы однотипны, то установим справедливость формулы (2). По предположению, поверхность Φ является графиком некоторой непрерывно дифференцируемой функции z = f (x, y), определённой в односвязной области D = пр.Oxy Φ и граница ∂D = Λ — замкнутая кривая, причём Λ = пр.Oxy ∂Φ = пр.Oxy L. Имеем   ∂f ∂f n = − ,− ,1 ∂x ∂y и fy′ 1 cos β = − q , cos γ = q . 1 + fx′2 + fy′2 1 + fx′2 + fy′2 Следовательно, левая часть в (2) принимает вид

I=

ZZ 

∂P ∂P cos β − cos γ ∂z ∂y

Φ



ds =

 ZZ  ∂P ′ ∂P − fy − cos γ ds = ∂z ∂y Φ  ZZ  ZZ ∂P ∂ ′ ∂P =− + fy dx dy = − [P (x, y, f (x, y))] dx dy, (5) ∂y ∂z ∂y D

так как

D

∂ ∂P ∂P ′ P (x, y, f (x, y)) = + f . ∂y ∂y ∂z y

Согласно формуле Грина и (5), имеем ZZ Z ∂ − P (x, y, f (x, y)) dx dy = P (x, y, f (x, y)) dx. ∂y D

Λ+

Поскольку Λ = пр.Oxy L и положительное направление Λ+ соответствует положительному направлению L+ , то, по определению, Z Z P (x, y, f (x, y)) dx = P (x, y, z) dx. (7) Λ+

L+

Объединяя формулы (5), (6) и (7), получим формулу (2). Формулы (3) и (4) доказываются аналогично.  4.4.3. Инвариантная запись формулы Стокса Рассмотрим на гладкой кривой L = ∂Φ единичный вектор касательной t = (cos θ1 , cos θ2 , cos θ3 ). Тогда Z Z P dx + Q dy + R dz = p · t dl, p = (P, Q, R), L

L+

и

ZZ  Φ+

∂R ∂Q − ∂y ∂z



dy dz +



∂P ∂R − ∂z ∂x



dz dx +



∂Q ∂P − ∂x ∂y



dx dy =

ZZ

ν · rot p ds,

Φ

где ν = (cos α, cos β, cos γ) — единичная нормаль на Φ. Формула Стокса принимает вид ZZ Z rot p · ν ds = p · t dl. Φ

L

65

(8)

4.4.4. Лемма 1. Для любой гладкой поверхности Φ существует такое число δ > 0, что любая связная часть поверхности Φ диаметра δ однозначно проектируется на координатные плоскости некоторой декартовой системы координат (вообще говоря, своей для каждой части поверхности Φ).  Проверим справедливость утверждения леммы для некоторой окрестности любой точки M поверхности Φ, заданной векторной параметризацией r = r(u, v), (u, v) ∈ [D] класса C 1 . Так как n(M ) 6= 0, то выберем такую декартову систему координат Oxyz, в которой ν(M ) = (cos α, cos β, cos γ) имеет cos α > 0, cos β > 0, cos γ > 0. Тогда r = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) и   ′ yu zu′ zu′ x′u x′u yu′ n(M ) = ′ , , yv zv′ zv′ x′v x′v yv′ и все определители не равны нулю. Выше (пункт 3.1.4, лемма 1) установлено, что существуют такие окрестности U1 (M ), U2 (M ), U3 (M ) на Φ, которые являются графиками функций переменных (x, y), (y, z), (x, z). Окрестность 3 T Ui (M ) искомая. U(M ) = i=1

Допустим теперь, что утверждение леммы в общем случае не верно. Согласно допущению, для каждого числа δn = n1 > 0, n ∈ N, можно указать такую связную часть Φn поверхности Φ, diam Φn = n1 , которая не проектируется на все координатные плоскости ни в одной декартовой системе координат. На каждой Φn выберем точку Mn ∈ Φn . Последовательность (Mn ) точек компакта Φ имеет сходящуюся подпоследовательность (Mnk ), lim Mnk = M0 и M0 ∈ Φ. Будем считать, что сама (Mn ) имеет lim Mn = M0 ∈ Φ. n→+∞

k→+∞

По предыдущему, существует такая окрестность U(M0 ) на Φ, которая однозначно проектируется на все три координатные плоскости в некоторой декартовой системе координат. Так как lim δn = 0, то существует индекс n→+∞

N ∈ N, что для всех n > N справедливо Φn ∩ U(M0 ) 6= ∅. Противоречие со свойствами частей Φn ⊂ Φ, n ∈ N.  4.4.5. Случай II Поверхность Φ — кусочно–гладкая. m S По условию, Φ = Φk и каждая поверхность Φk , k = 1, m — гладкая. Согласно лемме из предыдущего k=1

пункта, для каждой Φk , k = 1, m, существует такое число δk > 0, что справедливо утверждение леммы. Выберем n Sk j δ = min(δ1 , δ2 , . . . , δm ), δ > 0. Разобьём каждую поверхность Φk = Φk , diam Φjk = δ, чтобы каждая часть Φjk j=1

однозначно проектировалась на все координатные плоскости в некоторой декартовой системе координат. m n S Sk j Тогда Φ = Φk , и согласно свойству аддитивности поверхностного интеграла второго рода и предыдущему случаю, ZZ  Φ+

k=1 j=1

∂R ∂Q − ∂y ∂z



dy dz +

=

     nk Z Z  m X X ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P − dy dz + − dz dx + − dx dy = ∂y ∂x ∂z ∂x ∂x ∂y j=1

k=1



∂P ∂R − ∂z ∂x



dz dx +



∂Q ∂P − ∂x ∂y



dx dy =

Φj+ k

=

nk Z Z m X X k=1 j=1

rot p · ν ds

случай I

Φj+ k

=

nk Z m X X

k=1 j=1 j+ ∂Φk

p · t dl =

m Z X

P dx + Q dy + R dz,

k=1L k

поскольку криволинейные интегралы по общим участкам границ ∂Φik , j = 1, nk , k = 1, m, проходятся по противоположным направлениям и криволинейный интеграл первого рода обладает свойством аддитивности.

66

4.4.6. Замечание. Понятие внешнего дифференцирования дифференциальной формы в R3 Положим dx ∧ dx = 0, dy ∧ dy = 0, dz ∧ dz = 0, dy ∧ dx = −dx ∧ dy, dz ∧ dy = −dy ∧ dz, dz ∧ dx = −dx ∧ dz и d(P dx + Q dy + R dz) = dP ∧ dx + dQ ∧ dy + dR ∧ dz. Тогда     ∂P ∂P ∂P ∂Q ∂Q ∂Q d(P dx+Q dy+R dz) = dP ∧dx+dQ∧dy+dR∧dz = dx + dy + dz ∧dx+ dx + dy + dz ∧dy+ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z   ∂R ∂R ∂R ∂P ∂P ∂Q ∂Q ∂R ∂R dx + dy + dz ∧dz = − dx∧dy + dz ∧dx+ dx∧ dy − dy ∧dz − dz ∧dx+ dy ∧dz = + ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y       ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = − dy ∧ dz + − dz ∧ dx + − dx ∧ dy. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Таким образом, формула Стокса принимает вид Z

dω =

Z

ω,

∂Φ

Φ+

где ω = P dx + Q dy + R dz.

4.5. Формула Остроградского 4.5.1. 3

Пусть Ω — такая ограниченная область в R , которая является кубируемым цилиндроидом относительно всех трёх координатных плоскостей в R3 с декартовой системой координат Oxyz, и граница — замкнутая поверхность ∂Ω = Φ принадлежит классу C 1 . Теорема 4.13. Если функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны на замкнутой ограниченной области [Ω], непрерывно дифференцируемы внутри Ω и сходятся несобственные интегралы ZZZ ZZZ ZZZ ∂Q ∂R ∂P dx dy dz, dx dy dz, dx dy dz, ∂x ∂y ∂z Ω

то

ZZZ 

Ω

∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z

Ω

где Φ 

+



Ω

dx dy dz =

ZZ

(1)

(P dy dz + Q dz dx + R dx dy),

Φ+

обозначает внешнюю сторону замкнутой поверхности Φ = ∂Ω. В силу симметричных условий на область Ω нужно доказать одно из равенств ZZZ ZZ ZZZ ZZ ZZZ ZZ ∂P ∂Q ∂R dx dy dz = P dy dz; dx dy dz = Q dz dx, dx dy dz = R dx dy. ∂x ∂y ∂z Ω

Ω

Φ+

Φ+

Ω

(2)

Φ+

Остальные равенства в (2) доказываются аналогично и равенство (1) следует из равенств (2) на основании свойства линейности несобственных кратных интегралов и поверхностных интегралов второго рода. Докажем третье из равенств (2). По условию, поверхности Φ является объединением графиков Φ1 и Φ2 функций z = f1 (x, y), z = f2 (x, y), определённых в некоторой области D = пр.Oxy Φ в R2 , и f1 (x, y) 6 f2 (x, y) при (x, y) ∈ [D]. Область D квадрируема, а ориентация Φ+ определяется на графике Φ2 функции z = f2 (x, y) − верхней стороной Φ+ 2 , а на графике Φ1 функции z = f1 (x, y) — нижней стороной Φ1 . Рассмотрим произвольное исчерпывание {Dn } области D квадрируемыми компактами Dn , n ∈ N, и выберем последовательность (εn ), εn > 0, n ∈ N, таким образом, чтобы εn+1 < εn < n1 , n ∈ N, и f1 (x, y) + εn+1 < f1 (x, y) + εn < f2 (x, y) − εn < f2 (x, y) − εn+1 , (x, y) ∈ [Dn ]. Тогда, по условию теоремы и определению кратного несобственного интеграла, ZZZ ZZZ ∂R ∂R dx dy dz = lim dx dy dz, n→+∞ ∂z ∂z Ω

Ωn

 где Ωn , n ∈ N, обозначает цилиндроид (x, y, z) ∈ R3 f1 (x, y) + εn 6 z 6 f2 (x, y) − εn , (x, y) ∈ Dn , n ∈ N. 67

(3)

Используя формулу повторного интегрирования для кратного интеграла, имеем ZZZ

∂R dx dy dz = ∂z

Ωn

ZZ

[Dn ]

=

ZZ

dx dy

f2 (x,y)−ε n Z

∂R dz = ∂z

f1 (x,y)+εn

ZZ

[R(x, y, f2 (x, y) − εn ) − R(x, y, f1 (x, y) + εn )] dx dy =

[Dn ]

[R(x, y, f2 (x, y)) − R(x, y, f1 (x, y))] dx dy +

[Dn ]

ZZ

[R(x, y, f2 (x, y) − εn ) − R(x, y, f2 (x, y))] dx dy+

[Dn ]

+

ZZ

[R(x, y, f1 (x, y)) − R(x, y, f1 (x, y) + εn )] dx dy = In + In1 + In2 . (4)

[Dn ]

Докажем, что lim Ini = 0, i = 1, 2,

(5)

n→+∞

проверив это утверждение для i = 1. Рассмотрим произвольное число ε > 0. Так как функция R(x, y, z) равномерно непрерывна на компакте [Ω], то существует такое число δ = δ(ε) > 0, что для любых точек (x′ , y ′ , z ′ ), (x′′ , y ′′ , z ′′ ) ∈ [Ω], для которых |x′ − x′′ | < δ, |y ′ − y ′′ | < δ, |z ′ − z ′′ | < δ, выполняется неравенство |R(x′ , y ′ , z ′ ) − R(x′′ , y ′′ , z ′′ )| < пл.ε D . Выберем x′ = x′′ = x, y ′ = y ′′ = y, (x, y) ∈ D, и z ′ = f2 (x, y), z ′′ = f2 (x, y) − εn . Тогда |z ′ − z ′′ | = εn , n ∈ N. Так как lim εn = 0, то существует такой индекс N ∈ N, N = Nδ = Nε , что для всех n ∈ N, n > Nε , справедливо

n→+∞

неравенство 0 < εn < δ. Поэтому

|R(x, y, f2 (x, y)) − R(x, y, f2 (x, y) − εn )| < для всех (x, y) ∈ [D] и всех n ∈ N, n > Nε . Значит, ZZ 1 In 6 |R(x, y, f2 (x, y)) − R(x, y, f2 (x, y) − εn )| dx dy 6

ε пл. D

ε · пл. Dn < ε, n ∈ N, n > Nε , пл. D

[Dn ]

или lim In1 = 0. Итак, утверждение (5) доказано. Согласно свойствам двойного несобственного интеграла, n→+∞

lim In = lim

n→+∞

ZZ

n→+∞ [Dn ]

[R(x, y, f2 (x, y))−R(x, y, f1 (x, y))] dx dy =

ZZ

R(x, y, f2 (x, y)) dx dy−

D

ZZ

R(x, y, f1 (x, y)) dx dy.

D

(6) Далее, по определению поверхностных интегралов второго рода, ZZ ZZ R(x, y, f2 (x, y)) dx dy = R(x, y, z) dx dy D

и

ZZ

(7)

Φ+ 2

R(x, y, f1 (x, y)) dx dy = −

D

ZZ

(8)

R(x, y, z) dx dy.

Φ− 1

Объединяя формулы (3)–(8), получим ZZZ ZZ ZZ ZZ ∂R dx dy dz = R(x, y, z) dx dy + R(x, y, z) dx dy = R(x, y, z) dx dy, ∂z Ω

Φ+ 2

Φ− 1

Φ+

то есть, третью формулу в (2). Теорема доказана.  4.5.2. Инвариантная запись формулы Остроградского Считаем функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) компонентами векторного поля p = (P, Q, R), определённого ∂Q ∂R на [Ω]. Тогда ∂P ∂x + ∂y + ∂z = div p. По предположению, в каждой точке гладкой поверхности Φ = ∂Ω существует непрерывная нормаль, единичный вектор которой имеет компоненты ν(M ) = (cos α, cos β, cos γ). Тогда ZZ ZZ ZZ P dy dz + Q dz dx + R dx dy = (P cos α + Q cos β + R cos γ) ds = p · ν ds Φ+

Φ

Φ

68

есть поток векторного поля p через поверхность Φ. Кроме того,  ZZZ  ZZZ ∂P ∂Q ∂R + + dx dy dz = div p dv. ∂x ∂y ∂z Ω

Ω

Поэтому формула (1) принимает инвариантный вид ZZZ ZZ div p dv = p · ν ds. Ω

(9)

Φ=∂Ω

4.5.3. Теорема 4.14. Формула (1) остаётся справедливой, если область Ω ⊂ R3 можно с помощью гладких поверхностей разбить на конечное число областей Ωk , k = 1, m, каждая из которых имеет вид, указанный в условиях теоремы пункта ?? в некоторой декартовой системе координат (своей для каждого k, k = 1, m).  ZZZ  Ω

∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z



 m ZZZ  X ∂P ∂Q ∂R dx dy dz = + + dx dy dz = ∂x ∂y ∂z =

k=1 Ω k m X ZZZ

k=1 Ω k

(9)

div p · dv =

nk Z Z m X X k=1 j=1

p · ν ds =

ZZ

P dy dz + Q dz dx + R dx dy,

∂Ω+

Φjk

и последнее равенство имеет место, так как поверхностные интегралы по общим кускам границы соседних областей Ωk , Ωk+1 берутся по противоположным ориентациям, и значит, их суммы равны нулю, а также в силу свойства аддитивности поверхностных интегралов второго рода.  4.5.4. Замечание. О дифференцировании 2–формы в R3



 ∂P ∂P ∂P d(P dy∧dz+Q dz∧dx+R dx∧dy) = dP ∧dy∧dz+dQ∧dz∧dx+dR∧dx∧dy = dx + dy + dz ∧dy∧dz+ ∂x ∂y ∂z     ∂Q ∂Q ∂Q ∂R ∂R ∂R ∂P ∂Q + dx + dy + dz ∧ dz ∧ dx + dx + dy + dz ∧ dx ∧ dy = dx ∧ dy ∧ dz + dy ∧ dz ∧ dx+ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y   ∂R ∂P ∂Q ∂R ∂P ∂Q ∂R + dz ∧ dx ∧ dy = dx ∧ dy ∧ dz + dx ∧ dy ∧ dz + dx ∧ dy ∧ dz = + + dx ∧ dy ∧ dz ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z и формула Остроградского принимает вид

Z

Ω

dω =

Z

ω,

∂Ω+

где ω = P dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy.

4.6. Точные и замкнутые дифференциальные формы 4.6.1. Пусть дифференциальная форма P dx + Q dy задана в области D ⊂ R2 и P (x, y), Q(x, y) непрерывны в D. Определение 1. Интегралы дифференциальной формы P dx + Q dy в области D зависят только от начала и конца пути интегрирования, если для любых двух точек A, B области D интегралы этой формы по всем путям класса C 1 в D с началом A и концом B равны между собой.

Теорема 4.15. Интегралы дифференциальной формы в области D зависят только от начала и конца пути интегрирования тогда и только тогда, когда её интегралы по всем замкнутым путям класса C 1 в D равны нулю. R  Необходимость. Обозначим для краткости дифференциальную форму P dx + Q dy = ω. Пусть ω = L1 R ω для любых путей L1 , L2 класса C 1 в D с общим началом и общим концом. Пусть L — произвольный

L2

замкнутый путь класса C 1 в D с непрерывно дифференцируемой параметризацией f : [a, b] → D, f (a) = f (b). 69

R

Если путь L одноточечный, то есть f = const, то

ω = 0 (по определению). Пусть L — неодноточечный путь.

L

Тогда существует c ∈ (a, b), что f (c) 6= f (a). Пусть пути L1 и L2 определяются параметризациями f : [a, c] → D и f : [c, b] → D. Тогда пути L1 и −L2 будут из класса C 1 , имеют общее начало f (a) = f (b) и общий конец f (c). Согласно предположению, Z Z ω=

L1

Но L = L1 + L2 , и значит,

Z

ω=

L

Z

Z

ω+

L1

ω.

−L2

ω=

L2

Z

ω−

L1

Z

ω = 0.

−L2

Достаточность. Пусть интегралы дифференциальной формы ω по любым замкнутым путям класса C 1 в D равны нулю. И пусть L1 и L2 — произвольные пути класса C 1 в D, имеющие общее начало и общий конец. Тогда −L2 тоже путь класса C 1 в D. Так как L = L1 + (−L2 ) — замкнутый путь класса C 1 в D, то Z Z Z Z Z ω− ω= ω+ ω = ω = 0, L1

L2

L1

−L2

L

и значит, Z

ω=

L1

Z

ω.

L2

 4.6.2. Точные дифференциальные формы Определение 2. Дифференциальную форму P dx+Q dy в области D называют точной, если в D существует такая дифференцируемая функция F (x, y), что P dx + Q dy = dF в D. Тогда P =

∂F ∂F , Q= . ∂x ∂y

Функцию F называют первообразной дифференциальной формы P dx + Q dy в области D Функцию F называют также потенциалом векторного поля p = (P, Q) в D и тогда p = grad F . Теорема 4.16. Интегралы дифференциальной формы P dx + Q dy, заданной в области D, зависят только от начала и конца пути интегрирования класса C 1 в D тогда и только тогда, когда эта форма — точная в D.  Необходимость. Фиксируем некоторую точку M0 (x0 , y0 ) области D и рассмотрим произвольную точку M (x, y) ∈ D. Так как открытое множество D — область, то есть связное множество, то существует ломаная M0 M с началом M0 и концом в M , которая целиком лежит в D. Положим Z F (x, y) = F (M ) = P dx + Q dy. M0 M

Рассмотрим точку M1 (x + h, y) и добавим к ломанной M0 M новое звено M M1 . Согласно свойству аддитивности криволинейного интеграла и теореме о среднем для определённого интеграла от непрерывной функции, F (x + h, y) − F (x, y) 1 = h h

Z

1 P dx + Q dy − h

M0 M1

Z

1 P dx + Q dy = h

M0 M

Z

MM1

где ξ лежит между x и x + h и dy = 0 на M M1 . Так как lim P (ξ, y) = P (x, y), то существует h→0

lim

h→0

F (x + h, y) − F (x, y) = P (x, y) h

и P (x, y) = ∂F ∂x . Аналогично доказывается формула Q(x, y) =

∂F ∂y

. 70

1 P dx = h

x+h Z

P (t, y) dt = P (ξ, y),

x

Достаточность. Пусть P dx + Q dy = dF в D и L — произвольный путь класса C 1 в D с началом в точке A и концом в точке B. Рассмотрим непрерывно дифференцируемую параметризацию f : [a, b] → D пути L; f (a) = A, f (b) = B, и f = (ϕ, ψ). Тогда, по определению, Z

P dx + Q dy =

L

Zb

′

′

[P (f (t))ϕ (t) + Q(f (t))ψ (t)] dt =

a

Zb

[Fx′ (f (t))ϕ′ (t)

+

Fy′ (f (t))ψ ′ (t)] dt

a

=

Zb a

(F ◦ f )′ (t) dt =

= (F ◦ f )(b) − (F ◦ f )(a) = F (f (b)) − F (f (a)) = F (B) − F (A).  Следствие 4.1. Дифференциальная форма P dx+Q dy, заданная в области D, точна тогда и только тогда, когда её интегралы по всем замкнутым путям класса C 1 в D равны нулю. 4.6.3. Замкнутые дифференциальные формы Определение 3. Дифференциальную форму P dx + Q dy в области D называют замкнутой, если она локально точна; то есть, каждая точка области D обладает окрестностью, в которой эта форма точная. ∂P ∂y

Теорема 4.17. Пусть P (x, y) и Q(x, y) — непрерывные функции с непрерывными частными производными , ∂Q ∂x в области D. Для того, чтобы дифференциальная форма P dx + Q dy была замкнутой, необходимо и

достаточно, чтобы

∂P ∂y

=

∂Q ∂x

во всех точках области D.

 Необходимость. Пусть форма P dx + Q dy замкнута в D. Тогда каждая точка M (x, y) ∈ D обладает кругом U ⊂ D, в котором эта форма имеет первообразную F (x, y), и значит, Fx′ = P , Fy′ = Q. Так как, по ∂Q условию, существуют непрерывные ∂P ∂y и ∂x , то следовательно, функция F обладает непрерывными вторыми ∂Q ∂Q ∂P ′′ ′′ ′′ ′′ производными Fxy = ∂P ∂y и Fyx = ∂x , для которых, в силу теоремы Шварца, Fxy = Fyx ; то есть, ∂y = ∂x . Достаточность. Пусть M0 (x0 , y0 ) — произвольная точка области D. Существует круг U(M0 ; ρ), ρ > 0, что U(M0 , ρ) ⊂ D. Вместе с каждой точкой M (x, y) круга U(M0 ; ρ) в нём лежит и прямоугольник K = M0 M1 M M2 , M1 (x, y0 ), M2 (x0 , y). Согласно формуле Грина,  Z ZZ  ∂Q ∂P P dx + Q dy = − dx dy = 0, ∂x ∂y K

M0 M1 MM2

следовательно, Z

P dx + Q dy =

M0 M1 M

Z

M0 M2 M

Тогда F (x, y) =

P dx + Q dy = F (x, y).

Z

Z

Q dy +

M0 M2

P dx =

M2 M

Zy

P (ξ, y) dξ

(1)

y0

Zx

x0

Zx

Zy

Q(x, η) dη

(2)

Q(x0 , η) dη +

(так как dx = 0 на M0 M2 и dy = 0 на M2 M ), и F (x, y) =

Z

P dx +

M0 M1

Z

Q dy =

P (ξ, y0 ) dξ +

x0

M1 M

y0

(так как dy = 0 на M0 M и dx = 0 на M1 M ). Согласно теореме о дифференцируемости интеграла по верхнему пределу, из (1) следует, что ∂F (x, y) = P (x, y), ∂x а из (2) следует, что ∂F (x, y) = Q(x, y). ∂y Так как функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны, то функция F (x, y) дифференцируема и dF = Fx′ dx + Fy′ dy = P dx + Q dy.  71

4.6.4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля Пусть в некоторой области Ω ⊂ R3 задано непрерывно дифференцируемое векторное поле p(M ) = p(x, y, z), M (x, y, z) ∈ Ω. Циркуляцией векторного поля p по замкнутой кривой L класса C 1 , расположенной в области Ω, называют R интеграл p · t dl, где t — единичный вектор касательной к L и dl — дифференциал длины кривой L. L

Потоком векторного RR поля p через ориентированную кусочно–гладкую поверхность Φ, расположенную в Ω, называется интеграл p · ν ds, где ν — единичный вектор нормали к Φ, определяющий ориентацию на Φ, и ds Φ

— элемент площади поверхности на Φ. Определение 4. Векторное поле p называют потенциальным в области Ω, если циркуляция этого поля по любой замкнутой кривой класса C 1 , расположенной в Ω, равна нулю.

Определение 5. Векторное поле p называют соленоидальным в области Ω, если поток этого поля через любую кусочно–гладкую замкнутую поверхность (несамопересекающуюся), расположенную в Ω и представляющую собой границу некоторой ограниченной подобласти области Ω, равен нулю. Трехмерная область Ω называется поверхностно–односвязной, если для любой замкнутой кривой L класса C 1 , расположенной в Ω, можно указать такую ориентируемую кусочно–гладкую поверхность Φ, расположенную в Ω, границей которой служит L. Отметим, что упомянутая поверхность Φ удовлетворяет формуле Стокса. Теорема 4.18. Пусть в поверхностно–односвязной области Ω задано непрерывно дифференцируемое векторное поле p = (P, Q, R). Тогда эквивалентны следующие утверждения: 1◦ Векторное поле p = p(M ) потенциальное; 2◦ В области Ω существует потенциальная функция u(M ) = u(x, y, z); то есть, такая функция, что p = grad u, или, что то же, du = P dx + Q dy + R dz. В этом случае для любых точек A и B области Ω ⌣

и для произвольной кривой AB класса C 1 , соединяющей эти точки и расположенной в Ω, Z p · t dl = u(B) − u(A); ⌣

AB

3◦ Векторное поле p = p(M ) безвихревое, то есть rot p = 0 в Ω. Очевидно, утверждение 3 эквивалентно соотношениям ∂P ∂Q ∂Q ∂R ∂R ∂P = , = , = . ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z Таким образом, каждое из условий 2 и 3 представляет собой необходимое и достаточное условие потенциальности непрерывно дифференцируемого векторного поля p. 1 −−−−→ 2 x   . Утверждения 1◦ ⇒ 2◦ и 2◦ ⇒ 3◦ справедливы без предположения о  Применим схему  y

←−−−− 3 поверхностной односвязности области Ω и доказываются в полной аналогии с соответствующими утверждениями теорем пунктов 4.6.1–4.6.3. Докажем утверждение 3◦ ⇒ 1◦ . Пусть L — произвольная замкнутая кривая класса C 1 , расположенная в Ω. Так как область Ω поверхностно односвязная, то в Ω существует кусочно–гладкая поверхность Φ, границей которой служит L. По формуле Стокса имеем Z ZZ p · t dl = rot p · ν ds. L

Φ

Отсюда и из условия rot p = 0, получаем Z

p · t dl = 0;

L

то есть, p является потенциальным полем.  Пространственная область Ω называется объёмно–односвязной, если любая замкнутая, кусочно–гладкая несамопересекающаяся ориентированная поверхность, расположенная в Ω, служит границей некоторой области, расположенной в Ω.

72

Теорема 4.19. Для того, чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле p было соленоидальным в объёмно–односвязной области Ω, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках Ω выполнялось равенство div p = 0.  Необходимость. Пусть в некоторой точке M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ Ω div p 6= 0, и пусть, для определённости, div p(M0 ) = c > 0. В силу непрерывности функции div p(M ), существует такая шаровая окрестность B(M0 , ρ0 ), ρ0 > 0, в которой div p(M ) > 2c для всех M ∈ B(M0 , ρ0 ). Если S0 обозначает сферу — границу шара B(M0 , ρ0 ), то, по теореме Остроградского, ZZZ ZZ c4 3 div p dv = πρ > 0, p · ν ds > 23 0 S0

U (M0 ,ρ0 )

что противоречит свойству соленоидальности поля p(M ), согласно которому обязано ZZ p · ν ds = 0. S0

Достаточность. Рассмотрим произвольную замкнутую, кусочно–связную, несамопересекающуюся, ориентируемую поверхность Φ, расположенную в Ω. Так как Ω — объёмно односвязная область, то Φ является границей некоторой подобласти Ω0 области Ω. Применяя к Ω0 и векторному полю p формулу Остроградского, получим соотношение ZZZ ZZ div p dv = p · ν ds, Ω0

Φ

из которого и из условия div p = 0 следует соотношение ZZ p · ν ds = 0. Φ

Последнее равенство, согласно определению означает соленоидальность поля p в Ω. 

73