Небесная механика. Общий курс

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы 15.1. Вековые возмущения больших планет Рассмотрим так называемую теорию вековых возмущений Лагранжа (метод Лагранжа). В отличие от схемы Гаусса определения вековых возмущений в планетной задаче (см. раздел 4.1), в которой вычисление вековых возмущений первого порядка элементов орбит гравитирующих тел предполагает непосредственное применение схемы осреднения вида (4.1.3) и при этом в процессе интегрирования не используется какое-либо разложение возмущающей функции, в методе Лагранжа в возмущающей функции планетной задачи N тел сохраняется лишь ее вековая часть*) с точностью до вторых степеней эксцентриситетов и наклонений орбит. Для описания движений в n-планетной задаче (задача N = n + 1 тел) используем систему координат Якоби, а в качестве канонических переменных выберем вторую систему элементов Пуанкаре (см. (2.5.8) и раздел 13.1) Λ j = ( μ ∗j a j )1 / 2 , λ j = n j (t − τ j ) + π j ,

ξ j = (2 ρ1 j )1 / 2 cos π j , η j = −(2 ρ1 j )1 / 2 sin π j ,

(15.1.1)

p j = (2 ρ 2 j )1 / 2 cos Ω j , q j = −(2 ρ 2 j )1 / 2 sin Ω j ,

где

μ ∗j = fm0 m j μ j , μ j = m jσ j −1 σ j , n j = μ ∗j 2 ( μ j L3j ),

j

σ j = ∑ mk , k =0

ρ1 j = μ ∗j a j [1 − (1 − e 2j )1 / 2 ] ,

ρ 2 j = 2[μ ∗j a j (1 − e 2j )] sin 2 (i j / 2), 1/ 2

j = 1, n,

f — гравитационная постоянная, m0 — масса центрального тела P0 (Солнца). Тогда дифференциальные уравнения движения будут представимы канонической системой

dΛ j dt dλ j

=

dξ j

∂F , ∂λ j

dt

∂F =− , dt ∂L j

=

∂F , ∂η j

dp j dt

dη j

∂F =− , dt ∂ξ j

=

dq j

∂F , ∂q j

∂F =− dt ∂p j

(15.1.2)

с 3n степенями свободы, в которых гамильтониан F выражается в виде (см. разделы 13.1 и 13.15)

μ ∗j 2 F =∑ + F1 . 2 j =1 2 μ j Λ j n

(15.1.3)

Как следует из (15.1.1), элементы ξj, ηj имеют величины порядка оскулирующих эксцентриситетов ej, а переменные pj , qj — величину порядка наклона sin(ij ⁄2) оскулирующей орбиты Pj (при ej << 1). *)

То есть не учитываются все периодические слагаемые в разложении возмущающей функции, а следовательно, лишь неявно предполагается операция осреднения по угловым переменным.

504

Часть III. Основные задачи небесной механики

Из уравнений (15.1.2) лишь n уравнений

dλ j dt

=−

∂F ∂Λ j

( j = 1, n)

определяют быстрые переменные λj , а остальные уравнения (15.1.2) определяют медленные переменные (см. раздел 4.1). Будем исследовать вековые возмущения планет, а следовательно, рассмотрим вековую часть возмущающей функции, не содержащую периодических слагаемых. Представим каждый элемент орбиты xj = (Λj, ξj, pj, λj ηj, qj) в виде x j = x 0j + δx j ( j = 1, n), где x 0j — невозмущенные элементы, δxj — вековые возмущения (совокупность слагаемых,

пропорциональных времени t). Для вековой части возмущающей функции F уравнения для Λj примут вид dΛ j = 0, (15.1.4) dt а следовательно, a j = const ( j = 1, n), то есть в рассматриваемом случае вековые возмущения больших полуосей отсутствуют*). Для упрощения записей рассмотрим сначала случай трех тел (n = 2). Тогда в (15.1.3) для возмущающей функции F1, полагая mj = μβj (j = 1, 2), μ << 1, β1,2— некоторые константы, аналогично (4.1.9) будем иметь (см. раздел 13.4) ∞

∞

F1 = μ ∑ ∑ Ak1 ,k2 (ξ j )k 1,jk (η j )k 2,kj ( p j )k 3,kj (q j )k 4,kj cos(k1λ1 + k 2 λ2 + hk1 ,k2 ), k1 =0 k 2 =0

α

1

α

2

1

α

2

α

1

2

1

2

(15.1.5)

где A зависит лишь от Λj (j =1, 2), а h — от всех переменных, кроме λ1 и λ2. Обозначая совокупность слагаемых в гамильтониане F1, не зависящих от λ1 и λ2, через R и учитывая, что dxj = d(δxj), уравнения для вековых возмущений эксцентриситетов и наклонений орбит Pj (j = 1, 2) представим, согласно (15.1.2), в виде dξ j dt dη j

=μ

∂R , ∂η j

∂R , = −μ dt ∂ξ j

dp j dt

=μ

dq j

∂R , ∂q j

∂R . = −μ dt ∂p j

(15.1.6)

Учитывая, что из соображений симметрии задачи функция F1 не должна изменяться при переходе от ij к (−ij), устанавливаем, что α 3 j + α 4 j — четное число, то есть F1 содержит лишь слагаемое четной степени относительно "облических" переменных pj, qj (переменных, определяющих наклоны орбит). Покажем также, что разложение ве-

*)

Утверждение о том, что большие полуоси оскулирующих орбит планет остаются постоянными величинами во все время движения принято называть теоремой Лапласа о неизменности больших полуосей орбит (возмущения больших полуосей оскулирующих орбит планет не содержит вековых слагаемых).

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

505

ковой части F1 (то есть R) содержит лишь четные степени относительно "эксцентрических" переменных ξj, ηj. Ввиду произвольности выбора начала отсчета Ω возмущающая функция F1 инвариантна относительно произвольного поворота (на угол ε) вокруг оси z прямоугольной системы координат xyz, связанной с центральным телом P0. При этом долготы λj заменяются на λj + ε, а Ωj (или πj) — на Ωj(πj) − ε (j =1, 2). Следовательно, из (15.1.1) и (15.1.5) очевидно, что целые числа k1, k2 и αij (i = 1,4, j = 1,2) должны удовлетворять условию 4

k1 + k 2 = ∑ (±α ij ),

j = 1,2.

(15.1.7)

i =1

И так как α 3 j + α 4 j — четно, а в R при отсутствии соизмеримости k1, k2 равны нулю, то из (1.5.7) получим, что α1 j + α 2 j — четное число (легко видеть, что если сумма двух целых чисел четна, то и их разность является четным числом). Таким образом, разложение функции R в ряд по степеням ξj, ηj, pj, qj, (j = 1, 2) содержит только слагаемые четной степени как относительно облических, так и относительно эксцентрических переменных: R = R0 + R2 + R4 + …

(15.1.8)

Здесь через Rm обозначена совокупность слагаемых степени m относительно облических pj, qj и эксцентрических ξj, ηj (j = 1, 2) переменных. Кроме того, поскольку F1 не изменяется при одновременном изменении знаков переменных λj, Ωj, πj (j = 1, 2), то α 2 j + α 4 j — четно, а следовательно, все αij (i = 1, 4; j = 1,2) в вековой части возмущающей функции сравнимы по модулю 2 (то есть они либо все четны, либо все нечетны). Это свойство сохраняется и для n > 2, так как полная возмущающая функция для любой из планет складывается из нескольких возмущающих функций для соответствующих "двухпланетных задач". Следуя Лагранжу, пренебрежем четвертыми степенями эксцентриситетов и наклонений. В этом случае согласно (15.1.8) будем иметь R = R0 + R2′ (ξ j ,η j ) + R2′′( p j , q j ),

(15.1.9)

поскольку в R2, как было установлено ранее, не может быть слагаемых первой степени относительно одних (например, облических переменных) и первой степени относительно других (эксцентрических) переменных. Но в то же время в R2 не могут содержаться и слагаемые лишь первой степени ηj или qj ( α 2 j + α 4 j — четно). Поэтому их (15.1.9) получим R = R0 + S 2′ (η j ) + S 2′′(q j ) + T2′(ξ j ) + T2′′( p j ),

(15.1.10)

где нижний индекс обозначает степень полинома. Следовательно, для планетной задачи n тел система (15.1.6) распадается на две: одна — для эксцентрических

506

Часть III. Основные задачи небесной механики

dξ j dt

=μ

∂S 2′ , ∂η j

dη j dt

= −μ

∂T2′ ∂ξ j

( j = 1, n),

(15.1.11)

= −μ

∂T2′′ ( j = 1, n). ∂p j

(15.1.12)

а другая — для облических переменных dp j dt

=μ

∂S 2′′ , ∂q j

dq j dt

Рассмотрим первую из них. Так как n ⎛ ∂S ′ dη j ∂T2′ dξ j dR2′ + = ∑⎜ 2 ⎜ ∂ξ j dt dt j =1 ⎝ ∂η j dt

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

то из (15.1.11) следует существование интеграла энергии S 2′ + T2′ = const.

(15.1.13)

Домножая первое уравнение системы (15.1.11) на ξj, второе на ηj и складывая их для всех j = 1, …, n с учетом того, что S 2′ составлена из ηj так же, как T2′ составлена из ξj (ввиду произвольности выбора начала отсчета Ω), получаем еще один интеграл ("интеграл площадей") n

∑ (ξ j =1

2 j

+ η 2j ) = const.

(15.1.14)

Совершенно аналогично S 2′′ + T2′′ = const ,

n

∑( p j =1

2 j

+ q 2j ) = const.

(15.1.15)

Из (15.1.10) очевидно, что (15.1.11) и (15.1.12) являются линейными системами с постоянными коэффициентами, и следовательно, искать их решение необходимо в виде n

x j = ∑ Ak Bk exp(α k t ), где Ak — произвольные постоянные, αk — корни характеристичеk =1

ского уравнения вида (5.7.5). При помощи интеграла (15.1.14) (или второго интеграла (15.1.15) можно доказать, что уравнение, определяющее величины αk, не может иметь вещественных корней, отличных от нуля. Положим обратное, то есть что αk ≠ 0. Так как каждому корню характеристического уравнения соответствует некоторое частное решение системы (15.1.11), то в случае вещественного, отличного от нуля корня будет существовать решение ξ j = C j exp(α k t ), η j = D j exp(α k t ), где Cj и Dj — постоянные. Но тогда n

∑ (ξ j =1

2 j

n

+ η 2j ) = exp(2α k t )∑ (C 2j + D 2j ), j =1

так что согласно (15.1.14) Cj = Dj = 0 для всех j = 1, n. Следовательно, для нетривиального решения должно быть αk = 0. Аналогично доказывается отсутствие вырожденных решений. Далее для сокращения выкладок введем ζj = ξj + iηj (i2 = −1), тогда система (15.1.11) перепишется в виде

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

dζ j dt

= −i ∑ γ jsζ s

507

( j = 1, n),

(15.1.16)

и определитель для αk будет иметь вид − iγ 11 − α

− iγ 12

− iγ 21

...

− iγ 1n

− iγ 22 − α ...

− iγ 2 n

... − iγ n1

... − iγ n 2

... ... ... − iγ nn − α

=0.

Вводя β = iα, получим ... γ 11 − β γ 12 γ 21 γ 22 − β ... ...

...

γ n1

γ n2

γ 1n γ 2n

... ... ... γ nn − β

= 0.

Таким образом*), n

ζ j = ∑ Ak Dkj exp(−iβ k t ),

j = 1, n,

(15.1.17)

k =1

где в общем случае Dkj = Ckjexp(−igk). Отделяя действительную и мнимую части, найдем общее периодическое решение для системы (15.1.11) n

ξ j = ∑ Ak С kj cos( β k t + g k ), k =1

n

η j = −∑ Ak С kj sin( β k t + g k ) ( j = 1, n),

(15.1.18)

k =1

содержащее 2n произвольных постоянных Ak и gk (k = 1, n). Аналогично для (15.1.12) находим n

p j = ∑ Bk С kj′ cos( β k′ t + g k′ ), k =1

n

q j = −∑ Bk С kj′ sin( β k′ t + g k′ ).

(15.1.19)

k =1

Из (15.1.1), (15.1.4) и (15.1.18) с точностью до величин первого порядка относительно эксцентриситетов орбит планет Pj ( j = 1, n) имеем

*)

Согласно ранее доказанному утверждению, величины αk должны быть чисто мнимыми, поэтому корни

β s = iα s (i 2 = −1), s = 1, n приведенного характеристического уравнения для β будут иметь только вещественные значения.

508

Часть III. Основные задачи небесной механики n

e j cos π j = ∑ Bkj cos( β k t + g k ), k =1

(15.1.20)

n

e j sin π j = ∑ Bkj sin( β k t + g k ), k =1

где Bkj = (Λ j )

−1 / 2

Ak C kj . Следовательно, на основании интеграла (15.1.4), с рассматри-

ваемой точностью получим n

∑Λ e j =1

j

2 j

= const.

(15.1.21)

Аналогично из (15.1.1) и (15.1.15) будем иметь n

∑Λ j =1

j

sin 2 (i j / 2) = const.

(15.1.22)

Таким образом, если в начальный момент наклоны ij и эксцентриситеты ej орбит планет малы, а их массы mj ( j = 1, n) одного порядка, то в последующие моменты времени малость ej и ij сохранится*). Комбинируя равенства (15.1.20), очевидно, имеем e j cos(π j − β l t − g l ) = Blj + ∑ Bkj cos[( β k − β l )t + g k − g l ] , k ≠l

e j sin(π j − β l t − g l ) = ∑ Bkj sin[( β k − β l )t + g k − g l ] . k ≠l

Следовательно, если | Blj |> ∑ | Bkj |, то во все время движения cos(π j − β l t − g l ) ≠ 0. Таk ≠l

ким образом, π j = β l t + g l + δ , где | δ |< π / 2 (при | Blj |> ∑ | Bkj | ). Кроме того, эксценk ≠l

триситет ej имеет нижнюю границу ⎛ ⎞ e j ≥ ⎜ | Blj | −∑ | Bkj | ⎟ > 0. k ≠l ⎝ ⎠ Применяя полученные результаты к движению больших планет Солнечной системы (за исключением Плутона**), орбита которого характеризуется большим эксцен− 0,24), получим, согласно Стоквеллу, характеристики движения, приветриситетом e ~ денные в таблице 7, в которой периоды T выражены в тысячах лет, наклоны орбит приведены по отношению к неизменяемой плоскости Лапласа, перпендикулярной к результирующему вектору момента количества движения рассматриваемой системы тел. *)

Приведенное утверждение, справедливое для уравнений первого приближения вида (15.1.6), применительно к большим планетам Солнечной системы (n = 9) известно как теорема Лапласа об устойчивости Солнечной системы. Следует заметить, что предположение о том, что массы mj (а точнее, Λ j ~ m j a j , j = 1, n ) являются

величинами одного порядка имеет существенный характер, так как если наряду с большими планетами Солнечной системы рассматривать и малые планеты (астероиды), то, как следует из (15.1.21), (15.1.22), теорема Лапласа заведомо уже не будет справедливой. **) Система Плутон-Харон является достаточно тесной (двойной) — период обращения Харона составляет 6,387 сут. Масса системы Плутон-Харон не превосходит величину 10−8 массы Солнца.

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

e 0,121 – 0,232 0 – 0,071 0 – 0,068 0,018 – 0,140 0,025 – 0,061 0,012 – 0,084 0,012 – 0,078 0,006 – 0,015

Меркурий Венера Земля Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун

509

i° 4°44′ – 9°11′ 0 – 3 16 0 – 3 06 0 – 5 56 0 14 – 0 29 0 47 – 1 01 0 54 – 1 07 0 34 – 0 47

Tπ 237 139 137 72 300 47 324 2000

Таблица 7 TΩ 250 150 190 85 50 50 450 1900

15.2. Вековые возмущения астероидов Рассмотрим также движение малой планеты (астероида) с массой m′, существенно меньшей масс больших планет ( j = 1, n) . Переменные (15.1.1), относящиеся к исследуемой малой планете, будем отмечать единичным индексом. Тогда, согласно (15.1.10),

S 2′ = P2 + η1 P1 + P0η12 ,

(15.2.1)

где нижний индекс в правой части равенства (15.2.1) соответствует степени полинома P по переменным η 2 ,η3 ,...,η n , а следовательно, на основании (15.1.11) будем иметь*) dξ j dt

=μ

∂P2 ∂η j

( j = 2, n + 1), (15.2.2)

dξ1 = 2μη1 P0 + μP1 . dt

Здесь μ = m j β j ( j = 2, n + 1), а массы mj больших планет выражены в единицах массы

βj

Солнца,

—

некоторые

константы.

Но

из

(15.1.18)

следует,

что

n

μP1 = −∑ Bk sin( β k t + hk ) , поэтому k =1

n dξ1 = 2 μη1 P0 − ∑ Bk sin( β k t + hk ) . dt k =1

Аналогично из (15.1.11) и (15.1.18) получим n dη1 = 2μξ1 P0 − ∑ Bk cos( β k t + hk ). dt k =1

Следовательно, *)

В правой части первой группы уравнений (15.2.2) мы пренебрегли слагаемыми, пропорциональными μη , так как, согласно (11.1.1), η1 ~ m ′ << μ , где μ — величина порядка массы mj больших планет 1

( j = 2, n + 1) . Поскольку влияние рассматриваемого астероида на эволюцию орбит больших планет пренебрежимо мало, то для вековых возмущений переменных, характеризующих движения больших планет, будут справедливы выражения, приведенные в предыдущем разделе.

510

Часть III. Основные задачи небесной механики

Bk cos( β k t + hk ) , β0 − βk k =1 n

ξ1 = α cos( β 0 t + h) − ∑

B sin( β k t + hk ) η1 = −α sin( β 0 t + h) + ∑ k , β0 − βk k =1 n

(15.2.3)

где β 0 = 2μP0 , α и h — произвольные постоянные. Рассмотрим случай β 0 ≠ β k , тогда, как следует из (15.1.1), величины α и π = β 0 t + h могут характеризовать движение астероида на больших промежутках времени. Анализ распределения астероидов в этих переменных позволил Хираяме в 1918 году обнаружить группы малых планет, имеющие сходные α и π. Эти группы были названы им семействами. В случае β 0 = β k необходим учет слагаемых более высокого порядка. Такой анализ был проведен К. Шарлье, который показал, что в этом случае угол наклона i астероида может изменяться весьма значительно. Так, для астероида № 434 (Hungaria) i изменяется от 9° до 26° . И в заключение заметим, что при выделении из F1 в (15.1.3) вековой части предполагалось, что средние движения n1 , ..., n N планет Pj ( j = 1, N ) несоизмеримы. В случае соизмеримости частот (средних движений) к вековой части также добавляются еще слагаемые, в которых средние долготы отсутствуют ввиду соответствующих соизмеримостей. 15.3. Эволюция орбит малых планет в случае резонансов В Солнечной системе общее число малых планет-астероидов, размеры которых превышают 1 км (тела меньших размеров принято именовать "метеороидами"), составляет величину порядка 1 млн. Значительная часть астероидов движется в плоскостях, близких к плоскостям орбит больших планет Солнечной системы, главным образом располагаясь в поясе (тороидальном кольце) между орбитами Марса и Юпитера. Внутренний край пояса (или кольца) малых планет находится на расстоянии 2,2 а.е. от Солнца, а внешний — на расстоянии 4,5 а.е.*). Верхний предел для общей массы малых планет кольца астероидов оценивается в 1/1000 массы Земли. Эксцентриситеты e орбит для большинства малых планет основного пояса составляют 0,1÷0,2, но в отдельных случаях достигают 0,8. Благодаря этому некоторые астероиды проникают внутрь орбит Марса и Земли. А вот астероид Икар в перигелии оказывается в два раза ближе к Солнцу, чем Меркурий, за что он и получил свое имя**). В целом пояс астероидов имеет довольно сложную структуру. Он характеризуется неравномерным распределением малых планет по элементам орбит, содержит области разрежений ("люков") и сгущений, включает в себя различные семейства. Подобная неравномерность в распределении астероидов прежде всего обуславливается гравитационным резонансным взаимодействием малой планеты с Юпитером. Более 3/4 малых *)

Среднее расстояние между Землей и Солнцем составляет 1 а.е. ~ −149,6 млн. км. Хотя некоторые малые планеты приближаются достаточно близко к Земле, их поверхности, как правило, не могут наблюдаться из-за того, что они очень малы. Отсюда и название — астероиды ("звездообразные").

**)

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

511

планет во внешнем поясе астероидов, простирающемся от 3 до 4,5 а. е., располагается в области орбитальных резонансов первого порядка ("линдбладовских резонансов") с Юпитером, при которых средние движения n малых планет связаны со среднесуточ− 300′′ условием соизмеримости вида ным движением Юпитера n′ ~ kn − (k + l )n′ ≤ μ 1J / 2 O[1],

(15.3.1)

где k и l — соответственно кратность и порядок резонанса (натуральные числа), μJ = 1/1047,35 — масса Юпитера, выраженная с единицах массы Солнца. К числу таковых, в частности, относятся астероиды групп Гекубы (соизмеримость 2/1 с Юпитером) , Гильды (3/2), Туле (4/3)*). Вблизи резонансных зон, определяемых условием (15.3.1) при различных значениях l и k, существенно увеличивается скорость "орбитальной эволюции", и поэтому в этих зонах всегда наблюдаются "люки" — интервалы распределения малых планет по средним движениям (большим полуосям), в которых число астероидов значительно уменьшается. Однако в указанных резонансных зонах могут сохраняться (образуя "сгущения") орбиты, близкие к устойчивым стационарным решениям. Их устойчивость связана с отсутствием "сближений" (существованием нижней границы расстояния Юпитер — астероид). Так как масса астероидов пренебрежимо мала по сравнению с массами Солнца и Юпитера, то описание эволюции орбит астероидов, движущихся в орбитальной соизмеримости средних движений с Юпитером, является достаточно корректным в рамках ограниченной эллиптической задачи трех тел (см. раздел 13.13). В связи с этим будем считать астероид материальной точкой P, пассивно гравитирующей в гравитационном поле центрального тела P0 (Солнце) с единичной массой и возмущающего тела P′ (Юпитер) с массой μJ = μ << 1. Предположим также, что в начальный момент времени t0 удовлетворяется неравенство (15.3.1), в котором l = 1 (случай резонансов первого порядка), n′ = (1 + μ J )1 / 2 (a′) −3 / 2 . Большую полуось a′ орбиты P′ примем за единицу длины, а единицу измерения времени выберем так, чтобы гравитационная постоянная равнялась единице. Движение P′ отнесем к системе координат с началом в P0, а движение P — к системе с началом в центре масс G двух тел P0 и P′ (так называемая система координат Якоби; см. раздел 13.1). Движения P0 и P′ при этом предполагаются происходящими по эллиптическим орбитам относительно их общего неподвижного центра масс (см. рис. 100). Для элементов орбиты P будем употреблять общепринятые обозначения, а элементы орбиты P′ — отмечать знаком штриха. Тогда в элементах Делоне (см. (2.3.47), или (13.1.24)) x1 = a1 / 2 , x2 = x1 (1 − e 2 )1 / 2 , x3 = x2 cos i, (15.3.2) y1 = n(t − tπ ), y 2 = ω , y3 = Ω, *)

Максимальная амплитуда резонансного эффекта достигается при резонансе первого порядка (l = 1) и кратности k = 1. Кратность резонанса k = 1 (главный обертон) отличается от случая k ≠ 1 (k = 2, 3, …) амплитудой достигаемого эффекта, то есть величиной резонансной гармоники. Для линдбладовских резонансов высоких порядков (5:4, 6:5, …) проявляется "эффект перекрытия" резонансных зон, приводящий к возникновению стохастической неустойчивости орбит астероидов (см. раздел 4.8).

512

Часть III. Основные задачи небесной механики

дополненных (аналогично (4.3.1)-(4.3.2)) для устранения явной зависимости от времени переменными x4 , y 4 = n′(t − t 0 ), уравнения движения P запишутся в виде dx j dt

=

dy j

∂F , ∂y j

dt

=−

∂F ∂x j

( j = 1,4),

(15.3.3)

где, согласно результатам раздела 13.4, F = F0 + μF1 ,

F0 =

1 − n′x4 , 2 x12

cos F1 = C k1 ,k2 ,k3 ,k4 ( x1 , x2 , x3 ) (k1 y1 + k 2 y 2 + k 3 y3 + k 4 y 4 ). ∑ sin k1 , k 2 , k3 , k 4 = −∞ ∞

a' Δ P'(μ ) J

(15.3.4)

P O r G P0

Рис. 100. Воспользуемся теперь преобразованием Цейпеля (см. раздел 4.3) для того, чтобы быстрые переменные остались в функции преобразования S, а число степеней свободы нового гамильтониана F ∗ снизилось. Для этого, осуществляя формальные разложения (4.3.10), определим первые слагаемые в функции преобразования S в виде: 4

S0 = ∑ p j y j , j =1

S1 = ∑ /

C k1 ,k2 ,k3 ,k4 k1n + k 4 n′

sin(k1 y1 + k 2 y 2 + k 3 y3 + k 4 y 4 + ϕ 0 ),

где знак штриха над символом суммы

∑

означает отсутствие "малых знаменателей"

(отсутствие слагаемых, для которых k1 = jk, k4 = −j(k+1), j ∈ Z), ϕ0 = (0;π/2). Тогда, ограничиваясь слагаемыми первого порядка по μ, приходим к канонической системе вида (4.3.8) с гамильтонианом 1 F ∗ = F0∗ + μF1∗ , F0∗ = 2 − n′q 4 , 2q1 (15.3.5) F1∗ = ∑ C jk ,k2 ,k3 , − j ( k +1) (q1 , q 2 , q3 ) cos( jv + k 2 p 2 + k 3 p3 + ϕ 0 ),

в котором

v = kp1 − (k + 1) p4 , ϕ 0 = {0;π / 2},

j ∈ Z.

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

513

Переменные (15.3.2) связаны с новыми переменными qi, pi (i = 1, 4) выражениями вида (4.3.13): ∂S + ..., xi = q i + μ 1 ∂yi y = p i

ym = pm − μ

∂S1 ∂qm

i

+ ...,

(15.3.6)

yi = pi

y 4 = p4 , (i = 1, 4; m = 1, 3). Введем далее каноническую замену переменных (см. раздел 1.4):

k +1 q1 , k q2 = q2 − q1 ,

k ( p1 + p2 + p3 ), k +1 p 2 = p 2 + p3 ,

q1 = −

p1 = p4 −

q3 = q3 − q 2 ,

p3 = p3 ,

q4 = q4 +

k +1 q1 , k

(15.3.7)

p4 = p4 ,

так что выполняется условие ортогональности (каноничности) 4

4

∑ q p =∑ q p . i =1

i

i

Из (15.3.7) следует, что q4 = q1 + q4 , q1 = −

i =1

i

i

k q1 , а поэтому, согласно (15.3.5), k +1

kn − (k + 1)n′ ∂F0∗ k ∂F0∗ ∂F0∗ . =− + = 1+ k ∂q1 k + 1 ∂q1 ∂q 4

Следовательно, на основании (15.3.1) имеем ∂F0∗ ∂q1 ≤ O[ μ 1 / 2 ], то есть переменные q1 , p1 определены так, чтобы имел место резонанс между двумя "невозмущенными частотами". В переменных (15.3.7) исходная каноническая система представляется в виде

dqi ∂F = , dt ∂pi

dpi ∂F =− dt ∂qi

(i = 1, 4),

(15.3.8)

где 2

⎛ k +1⎞ 1 F = F0 + μF1 , F0 = ⎜ − n′(q1 + q 4 ), ⎟ 2 ⎝ k ⎠ 2q1 F1 = F1 (q1 , q 2 , q3 ,−, p1 , p 2 , p3 ,−).

Поскольку F не зависит от p 4 , то из (15.3.8) имеем q4 = const = q4( 0 ) .

(15.3.9)

514

Часть III. Основные задачи небесной механики

Взаимосвязь (15.3.7) с оскулирующими кеплеровскими элементами с рассматриваемой точностью представляется следующими выражениями: k + 1 1/ 2 k [ω + Ω + n(t − tπ )] , q1 = − a , p1 = n′(t − t 0 ) − k k +1 q 2 = a1 / 2 (1 − e 2 )1 / 2 − 1 , p 2 = ω + Ω, (15.3.10) q3 = −2a1 / 2 1 − e 2 sin 2 (i / 2), p3 = Ω,

[

]

k + 1 1/ 2 a , p4 = n′(t − t 0 ). k Из (15.3.10) следует, что q 2 — величина порядка квадрата эксцентриситета орбиты астероида, q12 = O[a], q3 = O[sin 2 (i / 2)]. q 4 = q 4( 0 ) −

Для F1 , используя разложения Ньюкома и ограничиваясь слагаемыми порядка O[e, sin 2 (i / 2), e′ 2 ], будем иметь (см. раздел 13.4):

μF1 = C0 + C1e′ 2 + C 2 sin 2 (i / 2) + C3e cosθ + C 4 e′ cosθ 1 ,

(15.3.11)

где 1 μ ′(α 2 Dα2 + 2αDα ) L1( 0 ) (α ), 4 C3 = − μ ′[αDα + 2(k + 1)]L1( k +1) (α ),

C0 = μ ′L1( 0 ) (α ),

C1 =

C 2 = − μ ′αL(31) (α ),

C 4 = μ ′[αDα + 2k + 1]L1( k ) (α ) − 2μαδ k ,1 , α = a, ⎧1, k = 1 , ⎩0, k ≠ 1

δ k ,1 = ⎨

Dα =

μ d , μ′ = , dα 2

L1( 0 ) , ..., L(31) − коэффициенты Лапласа вида (10.1.12),

θ = p2 − (k + 1) p1 = ky1 − (k + 1)( y 4 − ω − Ω) − аномалия Делоне, θ1 = θ − p2 , 2/3

⎛ k +1⎞ −1 / 3 величину q1 , отвечающую точному резоОбозначая через q = −⎜ ⎟ (n′) ⎝ k ⎠ нансу, вместо q1 и p1 введем новые канонические переменные (0) 1

ξ1 =

q1 − q1( 0 ) , η1 = (k + 1) p1 , k +1

(15.3.12)

так что, согласно (15.3.1),

ξ1 q1 ≤ O[ μ 1 / 2 ]. Тогда с точностью до O[ μ

3/ 2

(15.3.13)

] получим из (15.3.8) F0 = B0 + B1ξ12 ,

(15.3.14)

где B0 =

1 (k + 1) 4 − n′ q4( 0) + q1( 0) , ( 0) 2 2 (kq1 )

(

)

2

3 ⎛ k +1⎞ 1 . B1 = ⎜ ⎟ ( 0) 4 2 ⎝ k ⎠ (q1 )

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

515

Так как согласно (15.3.8)-(15.3.11) гамильтониан F не зависит также от p3 , то q3 = q3( 0 ) = const и из (15.3.10), (15.3.12) получим sin 2 (i / 2) = Γ1 + Γ2ξ1 + Γ3 e 2 + O[ μ e 2 ].

(15.3.15)

Здесь Γ1 =

Γ (k + 1)Γ1 k + 1 q3( 0) , Γ2 = − , Γ3 = 1 . ( 0) (0) q1 2k q1 2

Поскольку из (15.3.2), (15.3.10) и (15.3.12) также следует(с требуемой точностью), что 1/ 6

e = E ( −2 q 2 ) , 1/ 2

⎛ k +1 ′⎞ E =⎜ n⎟ , ⎝ k ⎠

(15.3.16)

то вместо (15.3.8), (15.3.11), очевидно, будем иметь dξ1 ∂H , = dt ∂η1 dη1 ∂H , =− dt ∂ξ1

dq2 ∂H , = dt ∂p2

(15.3.17)

dp2 ∂H , =− dt ∂q2

где H = B1ξ12 + C3∗ E (−2q 2 )1 / 2 cos( p 2 − η1 ) + C 4∗ e′ cosη1 , 2

⎛ k ⎞ q1( 0 ) ⎟ . При этом коэффициенты C m∗ (m = 2, 3, 4) определяются (15.3.11) при α = ⎜ ⎠ ⎝ k +1 k +1 ∗ p 4 = n′(t − t 0 ), p3 = C 2 (t − t 0 ). (15.3.18) 2kq1( 0 ) Если произвести далее (при С3∗ ≠ 0 ) ряд канонических преобразований вида (см. раздел 11.4) ξ 2 = (−2q2 )1 / 2 cos p2 , η 2 = −(−2q2 )1 / 2 sin p2 , C 4∗ e′, ξ3 = ξ 2 + EC3∗

η3 = η 2 ,

⎛η ⎞ η 4 = arctg⎜⎜ 3 ⎟⎟, ⎝ ξ3 ⎠ ξ 5 = ξ 4 , η5 = η1 + η 4 , ξ 6 = ξ 4 − ξ1 , η 6 = −η1 ,

1 ξ 4 = (ξ 32 + η32 ), 2

(15.3.19)

то из (15.3.17) получим систему

ξ&m = H η′ , η& m = − H ξ′ m

m

(m = 5, 6),

в которой H = B1 (ξ 6 − ξ 5 ) 2 + C3∗ (2ξ 5 )1 / 2 cosη5 , так что

ξ 6 = ξ 6( 0 ) = const , η6 = η6( 0) − 2 B1ξ 6( 0 ) t + 2 B1Q,

(15.3.20)

516

Часть III. Основные задачи небесной механики

где Q = ∫ ξ 5 dt.

(15.3.21)

Полагая далее x = (2ξ 5 )1 / 2 cosη5 , и переходя к переменной τ = одной степенью свободы

y = (2ξ 5 )1 / 2 sin η5

(15.3.22)

1 B1 (t − t 0 ) , в результате получим из (15.3.20) систему с 4 dx ∂F = , dτ ∂y

∂F dy =− dτ ∂x

(15.3.23)

с гамильтонианом F = ( x 2 + y 2 ) 2 + A( x 2 + y 2 ) + Bx = u ,

(15.3.24)

в котором A = −4ξ 6( 0 ) ,

B = 4C3∗ E B1 , u = const.

Если ввести далее, аналогично разделу 8.10, комплексно-сопряженные переменные h1 = x − iy , h2 = x + iy ,

то решение (15.3.23) нетрудно представить через ℘-функцию Вейерштрасса в виде (8.10.16), (8.10.17): h1 = b1−1 [℘(τ − w) − b2 2] , h2 = b1−1 [℘(τ + w) − b2 2] , (15.3.25) где чисто мнимая комплексная постоянная w однозначно определяется в основном параллелограмме периодов ℘-функции из равенств ℘(2 w) = b2 2 , ℘′(2 w) = −i (b12 2), i 2 = −1, а инварианты ℘-функции g 2 = 3b22 − 4b1b3 ,

g 3 = 2b1b2 b3 − b12 b4 − b23

строятся по коэффициентам

2 b1 = 2 B, b2 = − (4u + A 2 ), b3 = − AB, b4 = − B 2 . 3 Затем, интегрируя (15.3.21), окончательно получим Q = R1t − iB1−1 ln

σ (τ − w) , σ (τ + w)

где σ — сигма-функция Вейерштрасса, а 2 ⎫ 1 ⎧ [℘( w) −℘(2w)] 2 ζ ( ) R1 = ⎨ − i w ⎬, i = −1, 2 2⎩ b1 ⎭

ζ(w)— дзета-функция Вейерштрасса (см. главу 8).

(15.3.26)

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

517

Следует заметить, что при C3∗ = 0 (15.3.17) является уже фактически системой с одной степенью свободы, и ее решение легко получается непосредственно — путем разделения переменных. На основании (15.3.10), (15.3.19) и (15.3.25), как несложно показать, для рассматриваемого случая орбитальной соизмеримости первого порядка удается получить явные аналитические выражения в функциях Вейерштрасса, описывающие эволюцию всех элементов орбиты пассивно гравитирующего тела (астероида) в виде 2

[

k ⎡ ⎤ a = ⎢ γ − ( x 2 + y 2 )⎥ , e = E ( x + q0 cos Θ) 2 + ( y + q0 sin Θ) 2 2 ⎣ ⎦ 4 kE I 2 E2I 2 2 2 2 sin (i / 2) = σ 0 + (x + y ) + e , 4 4 ⎛ y + q0 sin Θ kE 2 ⎞ . Ω = Ω 0 − μˆ ⎜⎜τ − Θ ⎟⎟, ω + Ω = ωˆ 0 + Θ − arctg 8 x + q0 cos Θ ⎠ ⎝

]

1/ 2

, (15.3.27)

Здесь x=

1 [℘(τ + w) +℘(τ − w) − b2 ] , 2b1 3 8

τ = c0 t , c0 = k 2 E 8 , μˆ =

y=−

μL(31) (α ) 4c 0 E

2

i [℘(τ + w) −℘(τ − w)] , i 2 = −1, 2b1

, q0 =

e′ Φ 1 , E Φ2

(15.3.28)

Φ1 = (αDα + 1 + 2k ) L1( k ) (α ) − 4αδ k ,1 , Φ 2 = [αDα + 2(k + 1)]L1(1+ k ) (α ), α = E −4 ,

E

определяется

(15.3.16),

I = 2 a 1 − e 2 sin 2 (i / 2),

k

кратность

соизмеримости.

Величины

γ являются интегральными постоянными, ⎛

σ 02 = IE 2 ⎜⎜1 − ⎝

γ E 2 ⎞⎟ 2

ν = −2 A + 4iζ ( w) − И, наконец,

—

⎟ ⎠

, Θ = Θ 0 + ντ + 2i ln

[℘( w) −℘(2w)]

σ (τ − w) , σ (τ + w)

(15.3.29)

2

B2

(i 2 = −1).

μEΦ 2 4 A = ( E − 2 − γ ), B = − , k 2c0

ωˆ 0 , Ω 0 , Θ 0 — постоянные, а ℘, ζ и σ — соответствующие функции Вейерштрасса (см. главу 8). Стационарные решения канонической системы (15.3.23), определяемые уравне∂F ∂F ниями = = 0, как было показано в разделе 8.10, имеют вид ∂y ∂x x = xm = const , y = 0. (15.3.30) В зависимости от величины дискриминанта (8.10.6)

518

Часть III. Основные задачи небесной механики

Γ=−

8 A3 + 27 B 2 16

действительный корень либо один — x1 (когда Γ < 0), либо их три (m = 1, 3) и при этом x3 < x2 < 0 < x1. Решения x1 и x2, согласно результатам раздела 5.6, являются устойчивыми по Ляпунову, а решение x3 — неустойчиво. Пусть для определенности x = x1. Тогда для стационарного решения (x1,0), согласно (15.3.19) и (15.3.22), будем иметь*)

η5 = 0, x1 = 2ξ 5 , η6 = η 4 = ω1t + ω1( 0) ,

(15.3.31)

где ω1 , ω1( 0) — постоянные, причем ω1 = B1 ( x12 + A / 2), B1 = 3k 2 E 8 2 . Следовательно, учитывая (15.3.10), (15.3.16) и (15.3.28), из соотношений (15.3.19) найдем e1 cos(ω + Ω) = q0 + 2ξ 4 cosη 4 , E

e1 sin(ω + Ω) = − 2ξ 4 sin η 4 , E

или, поскольку ξ 4 = ξ 5 = x12 2 (см. (15.3.19) и (15.3.31)), то вводя обозначения J = Φ1 Φ 2 ,

xˆ1 = x1 E ,

получим e1 cos(ω + Ω) = Je′ + xˆ1 cos(ω1t + ω1( 0 ) ), e1 sin(ω + Ω) = − xˆ1 sin(ω1t + ω1( 0) ).

Геометрическая интерпретация соотношений (15.3.32) в q = e1 cos(ω + Ω), p = e1 sin(ω + Ω) приведена на рис. 101. Если xˆ1 ≤ Je′, то

(15.3.32) переменных

ω + Ω ≤ arcsin[xˆ1 ( Je′)] ≤ π 2 , и мы будем иметь случай либрации (ограниченного изменения) долготы перицентра ω + Ω, при котором Je′ − xˆ1 ≤ e1стац ≤ Je′ + xˆ1 . В случае же xˆ1 > Je′ за период T = 2π ω1 значение угла ω + Ω будет изменяться в пределах от 0 до 2π (см. пунктирную линию на рис. 101), что соответствует циркуляционному типу изменения долготы перицентра, при котором xˆ1 − Je′ ≤ e1стац ≤ Je′ + xˆ1 .

*)

Так как Θ = − η6, то на основании (15.3.28)-(15.3.30) из соотношений (15.3.27) для рассматриваемого стационарного решения также получим 2

⎛ kx 2 ⎞ a1 = ⎜⎜ γ − 1 ⎟⎟ , (e1 / E ) 2 = x12 + q 02 + 2 x1 q 0 cos(ω 1t +ω ( 01) ), 2 ⎠ ⎝ E2I μˆ kE 2 sin 2 (i1 / 2) = σ 02 + (kE 2 x12 + e12 ), Ω 1 = Ω ∗0 − (ω 1 + 3kE 6 )t. 4 8

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

519

p

O

xˆ1

e1

ω+Ω

q

Je'

Рис. 101. Так как, согласно (15.3.27), sin 2 (i / 2) =

I 2 a 1− e2

,

где I — интегральная постоянная, то очевидно, что максимальному значению эксцентриситета e будет отвечать максимум угла наклона i, и наоборот. Таким образом, стационарным решениям будут отвечать орбиты с постоянной

(

)

2

большой полуосью a = γ − kxm2 2 и с изменяющимися с одним и тем же периодом T = 2π ω1 эксцентриситетом и углом наклона орбиты пассивно гравитирующей точки (астероида). Долгота перицентра ω + Ω может совершать в зависимости от начальных условий либо либрационные, либо циркуляционные движения*). Пример орбиты астероида, близкой к рассмотренному стационарному решению (x1,0) — устойчивому по Ляпунову, приведен на рис. 102. Этот астероид "Ulla ", как следует из рисунка, характеризуется циркуляционным типом изменения долготы перицентра. p

0.05

−0.05

O

0.05

q

−0.05

Рис. 102. *)

При e′ → 0 (случай кругового варианта задачи) на рис. 101 центр окружности радиуса xˆ1 ≠ 0 переместится в начало координат, так что стационарным значениям будут уже отвечать орбиты с неизменными величинами a, e, i.

520

Часть III. Основные задачи небесной механики

На рис. 103 представлены также для соизмеримости 3/2 с Юпитером (k = 2; астероиды группы Гильды) зависимости (диапазон изменения) эксцентриситета от большой полуоси орбиты стационарных решений (15.3.30) при m = 1, 3 (дискриминант Γ > 0), вычисленные на основании (15.3.27)-(15.3.30). Звездочками на рисунке отмечены асте− 0 ) группы Гильды. роиды "плоской составляющей" ( i ~ em

** * ** * * ** * * ** * *

0.15

0

m=1 m=2 m=3

0.7

am

0.8

Рис. 103. Типичные фазовые траектории этих астероидов, построенные по интегралу (15.3.24), приведены на рис. 104 (а, б), где ввиду симметрии относительно оси OX изображена лишь верхняя полуплоскость. Номера астероидов соответствуют их каталогизации в "Эфемеридах малых планет"*).

y 0.2

N 1268 N 1911

y 0.1

N 1439 N 3290

б

a 0.05

0.1 0 −0.15

0

0.15

x

0

0.1

0.15

x

Рис. 104. *)

Здесь мы ограничились рассмотрением случаев орбитальных соизмеримостей астероидов с Юпитером. При исследовании структуры внутреннего кольца астероидов следует также учитывать резонансные гравитационные взаимодействия (линдбладовские резонансы) малых планет с Марсом (так называемый внешний вариант ограниченной эллиптической задачи трех тел). Можно показать, что в окрестности точной соизмеримости 2/1 с Марсом (n = 943″) резонансные гравитационные эффекты, вызванные соизмеримостью второго порядка с Юпитером в отношении 3/1, выражены слабее, чем в случае соизмеримости 2/1 астероидов с Марсом [62] .

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

521

15.4. Соударения комет с Луной При сближении кометы с Луной помимо гравитационного воздействия Луны существенное влияние также будет оказывать и гравитационное поле Земли, так как Луна находится глубоко внутри сферы действия Земли*) относительно Солнца (радиус R этой сферы составляет величину около 1 млн. км). Поэтому рассмотрение движения кометы относительно Луны следует проводить не в рамках задачи двух тел (Луна— комета), а на основе задачи трех тел (система Земля—Луна—комета). Движение комет в окрестности системы Земля—Луна в пределах сферы действия (R) Земли может быть исследовано в рамках задачи двух неподвижных центров (см. главу 12), предполагающей, что материальная точка P (комета) пассивно гравитирует в поле двух неподвижных тел P1 (Луна) и P2 (Земля). Эта возможность связана с тем, что при скоростях ~ − 10 км/с расстояние R ~ − 10 6 км комета преодолевает за время порядка суток, за которое Луна перемещается по орбите на несколько угловых градусов. В этом приближении выявляются такие типы движений вблизи системы Земля— Луна, которые приводят к падениям как на видимую, так и на обратную стороны Луны комет или их фрагментов под малыми углами к поверхности Луны. Возможно, этим объясняется наличие на лунной поверхности протяженных диффузных структур, которые можно интерпретировать как следы таких столкновений [63]**). Пусть центры масс Луны и Земли находятся в точках пространства P1 и P2 соответственно. Массу Земли примем за единицу, массу Луны обозначим через m. Начало прямоугольной системы координат OXYZ выберем в середине отрезка [P1P2] (см. рис. 38) так, что координаты P1 и P2 будут равны (1,0,0), (−1,0,0) соответственно. За счет определенного выбора единицы времени постоянную Гаусса примем за единицу. Тогда, согласно разделам 12.1, 12.2, аналитическое решение, описывающее в переменных λ, μ, W ((12.1.1), (12.1.2)) движение кометы, будет определяться выражениями (12.2.7), (12.2.14) и (12.2.17). Однако для траекторий комет, пересекающих поверхность Луны (в выбранной системе координат радиус Луны составляет величину ~ − 0,01 ), можно считать движение кометы происходящим приблизительно в плоскости, содержащей ось OX, так что W = const. При этом, как видно из (12.1.1) и (12.2.10), α3 = 0. В этом случае характеристические полиномы L(λ), M(μ) представляются в виде (12.5.2), а *)

По определению сферой (областью) действия планеты P по отношению к Солнцу S называется область пространства, в которой r r r r | Δa P | | a S 0 |> | Δa S | | a P 0 | , r r где a S 0 и a P 0 — векторы ускорений, сообщаемые, соответственно, Солнцем и планетой материальной r r r r r r точке P0 ничтожно малой массы; Δa P = a P 0 − a PS , Δa S = a S 0 − a SP — относительные (возмущающие) r ускорения, вызываемые притяжением планеты P и Солнцем соответственно ( a PS — вектор ускорения, r сообщаемый планетой P Солнцу S, a SP — ускорение Солнца, вызванное гравитационным действием планеты P). Смысл понятия "сфера действия" заключается в определении границы раздела двух "кеплеровских траекторий". Выход за пределы "сферы действия" планеты P означает лишь, что притяжение P перестает оказывать преобладающее влияние (в системе S-P-P0) на движение материальной точки P0 ничтожно малой массы, и в этом случае в качестве "центрального тела" уже целесообразно выбрать S. **) Невысокая степень ударной переработки лунного грунта в сочетании с заметной протяженностью диффузных структур вдоль определенных направлений позволяет сделать вывод о том, что падения на лунную поверхность малых космических тел (комет, астероидов, метеороидов) происходили преимущественно под небольшими углами к поверхности Луны (так называемые касательные столкновения).

522

Часть III. Основные задачи небесной механики

множества точек, отвечающих уравнениям λ = const, μ = const, являются, соответственно, софокусными эллипсами и гиперболами (см. раздел 12.5). Качественный анализ возможных типов движений позволяет выявить несколько случаев, допускающих столкновения кометы с видимой поверхностью Луны при движении под малыми углами к ней. Все эти случаи "касательных столкновений" отвечают α1 > 0*). Как видно из (12.2.3), реальным движениям соответствуют те значения λ, μ, при которых L(λ) ≥ 0, M(μ) ≥ 0, причем ввиду определений (12.1.1), λ ≥ 1, −1 ≤ μ ≤ 1. Таким образом, типы движения будут определяться количеством и взаимным расположением действительных корней полиномов L(λ), M(μ), а это отвечает некоторым соотношениям между константами α1, α2, вводимыми выражениями (12.1.7)-(12.1.9). Согласно (12.5.2), (12.5.3), полином L(λ) имеет корни (−1), 1, λ1, λ2, а M(μ) — (−1), 1, μ1, μ2, причем

( μ = γ (m +

) − γ ),

( = γ (m −

)

λ1 = γ 1 m1 + m12 − γ 2 , λ2 = γ 1 m1 − m12 − γ 2 , 1

1

2

m22

2

μ2

1

2

)

m22 − γ 2 ,

(15.4.1)

где

γ1 = −

1 , γ 2 = 2α1α 2 , m1( 2 ) = 1 ± m. 2α1

Из результатов раздела 12.5 следует, что касательные столкновения кометы с поверхностью Луны реализуются при следующих типах движений. 1. λ2 < 1, μ1 < −1, 0 ≤ μ2 < 1 (см. рис. 48 и 60а раздела 12.5). В этом случае реальным движениям соответствуют условия**):

λ ≥ 1, −1 ≤ μ ≤ μ2.

(15.4.2)

При этом из (15.4.1) следуют неравенства − α1 − m2 < α 2 2 < −α1 + m2 , α1 ≥ m2 ,

(15.4.3)

определяющие в рассматриваемом случае соотношения между константами α1, α2. Так как для точек поверхности Луны (см. рис. 38 и 105) r1 = rЛ , где rЛ — радиус Луны, то соответствующие координаты λ и μ этих точек согласно (12.1.2) равны 1 1 λ = (r2 + rЛ ), μ = (r2 − rЛ ). 2 2 Поэтому с учетом (15.4.2) столкновения кометы с поверхностью Луны возможны, если выполняются неравенства 1 1 (r2 + rЛ ) ≥ 1, − 1 ≤ (r2 − rЛ ) ≤ μ 2 . 2 2

(15.4.4)

Как было установлено в разделе 12.1, случай α1 > 0 соответствует положительной полной энергии материальной точки P (кометы), что, как нетрудно показать, реализуется при скорости кометы, большей −2,4 км/с). второй космической относительно Луны ( ~ **) Случай μ = 1 не приводит к касательным столкновениям. *)

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

523

Ввиду того, что в выбранной системе единиц для всех точек лунной поверхности r2 + rЛ ≥ 2 и r2 − rЛ ≥ 0 , то условия (15.4.4), означающие, что по крайней мере часть видимой поверхности Луны должна находиться в области (15.4.2) реальных движений, фактически сводятся к следующему неравенству

μ 2 ≥ 1 − rЛ .

(15.4.5)

Из (15.4.5), согласно (15.4.1), при 0 < α1 < m2 rЛ следует еще одно неравенство, связывающее постоянные α1 и α2*):

α 2 2 ≤ −α1 + m2 + (2 − rЛ )(rЛ α1 − m2 ).

(15.4.6)

В дальнейшем будем считать, что выполнение неравенства (15.4.5) или (15.4.6) подразумевается. На рис. 105 показан качественный вид траектории, приводящей к столкновению в рассматриваемом случае (см. также рис. 60б). Здесь для определенности гипербола, ограничивающая область движения (μ = μ2), изображена такой, что условие (15.4.5) превращается в равенство.

rЛ P1

P2

μ =μ2

Рис. 105. 2. λ2 < 1, μ1 = −1, 0 ≤ μ2 < 1 (рис. 48 и 62а) или (см. (15.4.1))

α1 ≥ m2 , α 2 = −2(α1 − m2 ). В данном случае аналогично предыдущему варианту для искомых реальных движений имеем λ ≥ 1, −1 ≤ μ ≤ μ2, а траектория кометы представлена на рис. 106. 3. λ2 < 1, −1 < μ1, 0 ≤ μ2 < 1 (рис. 48 и 63а), при этом

α 1 ≥ m 2 , − α 1 + m 2 < α 2 2 ≤ 0. В этом случае движение происходит в области между двумя гиперболами μ = μ1 и μ = μ2 (см. рис. 63б), что соответствует искомому изменению переменных λ, μ в интервалах λ ≥ 1, μ1 ≤ μ ≤ μ2 (рис. 107). *)

При этом очевидно, что при α 1 > m 2 rЛ = 109,20 неравенство (15.4.6) является "более слабым" и определяющими оказываются неравенства (15.4.3).

524

Часть III. Основные задачи небесной механики

rЛ P1

P2

μ =μ2

Рис. 106.

rЛ P2

P1

μ =μ1

μ =μ2

Рис. 107. 4. λ2 < 1, μ1 < −1, μ2 = 1 (рис. 48 и 59а), или

α 2 2 = −α1 − m2 . Здесь искомое движение может происходить в области λ ≥ 1, −1 ≤ μ ≤ 1 (вся плоскость за исключением луча x ≥ 1, y = 0). На рис. 108 изображена траектория, которая приводит к касательному столкновению с Луной*). 5. λ2 < 1, μ1 < −1, μ2 > 1 (рис. 48 и 57б), так что − α1 − m1 < α 2 2 < −α1 − m2 .

В этом случае движение может происходить на всей плоскости λ ≥ 1, −1 ≤ μ ≤ 1, при этом возможны траектории, приводящие к касательным столкновениям как с видимой, так и с обратной сторонами поверхности Луны (рис. 109). *)

В данном варианте (и во всех последующих) условие (15.4.5) уже не является каким-либо ограничением, так как реализуется для всех рассматриваемых значений α1, α2.

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

525

rЛ P1

P2

Рис. 108.

rЛ P1

P2

Рис. 109. 6. λ2 = 1, μ1 < −1, μ2 > 1 (рис. 58 и 57б) и при этом

α 2 2 = −α1 − m1 . Этот случай в области λ > 1, −1 ≤ μ ≤ 1 соответствует движению по спирали, навивающейся на отрезок, соединяющий Землю и Луну (рис. 57б). Здесь возможно столкновение только с обратной стороной лунной поверхности (рис. 110).

rЛ P1

P2

λ =λ2

Рис. 110.

526

Часть III. Основные задачи небесной механики

7. λ1 < −1, λ2 > 1, μ1 < −1, μ2 > 1 (рис. 57а, б), так что

α 2 2 = −α1 − m1 . В этом случае материальная точка (комета) может двигаться вне эллипса λ = λ2, касаясь его (см. рис. 57в). Если 1 < λ2 ≤ 1 + rЛ, где λ2 определяется из (15.4.1), то возможно касательное столкновение кометы с обратной стороной Луны, аналогичное предыдущему варианту (рис. 110). В рассмотренных вариантах подразумевалось, что комета пересекает отрезок Земля— Луна [P2P1] или его продолжение по направлению P2−P1 (что соответствует λ = 1 или λ = 1 + rЛ) в момент времени, наиболее благоприятствующий столкновению, то есть при μ ~ −1 − rЛ , либо μ ~ − 1. Для этого, очевидно, необходим соответствующий выбор констант интегрирования τ1, τ2 в (12.2.7), определяемых, как и α1, α2, начальными условиями. При произвольных же τ1, τ2 переменная μ может достигнуть значения 1 − rЛ или μ = 1, когда комета будет удалена от Луны на расстояние r1 >> rЛ, и столкновения не будет. 15.5. Эволюция орбит резонансных спутниковых систем Среди многочисленного семейства спутниковых систем имеется значительное число двухчастотных орбитальных соизмеримостей вида (15.3.1) между средними движениями спутников. Так, например, в орбитальной соизмеримости средних движений в отношении 2/1 в спутниковой системе планеты Сатурн находятся Энцелад— Диона, Мимас—Тефия, в спутниковой системе Юпитера — Европа—Ганимед, в системе планеты Уран — Умбриэль—Титания. Отличительная особенность данных спутниковых подсистем состоит еще и в том, что масса одного из гравитирующих спутников не является, строго говоря, пренебрежимо малой по сравнению с массой другого, хотя их массы отличаются друг от друга почти на порядок*). Поэтому модельное описание данных резонансных систем представляет собой промежуточный случай между ограниченным и неограниченным (планетным) вариантами задачи трех тел (см. главу 13, а также раздел 15.3). В качестве примера рассмотрим эволюцию орбитальных элементов резонансной спутниковой подсистемы Энцелад—Диона, имея ввиду при этом, что исследование указанных выше резонансных спутниковых систем проводится аналогично. Если в системе Сатурн—Энцелад—Диона пренебречь возмущениями спутника Дионы, обусловленными гравитационным воздействием со стороны Энцелада**), то есть считать Энцелад материальной точкой, пассивно гравитирующей в поле центрального тела P0 (Сатурн) и возмущающего P′ (Диона), которые движутся по фиксированным эллиптическим орбитам относительно их общего (неподвижного) центра *)

Отношение масс Энцелада и Дионы, а также Умбриэля и Титании равно ~0,1, спутник Сатурна Мимас примерно в 20 раз уступает по массе Тефии, отношение же масс спутников Европы и Ганимеда составляет 0,33. Иная ситуация, в частности, для резонансной спутниковой подсистемы Сатурн—Титан—Гиперион (соизмеримость 4/3), в которой масса Гипериона более чем в тысячу раз меньше массы Титана [64]. **) Естественно, что при этом мы пренебрегаем и нерезонансным гравитационным влиянием всех остальных спутников Сатурна.

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

527

масс (так называемый ограниченный эллиптический вариант задачи), то, как было показано в разделе 15.3, при рассмотрении эволюции орбит "резонансных астероидов" аналитическое решение в случае малых наклонов и эксцентриситетов орбит P и P′ для эволюции оскулирующих кеплеровских орбитальных элементов P (Энцелада) удается получить в эллиптических функциях Вейерштрасса в виде (15.3.27). При этом в выражениях (15.3.27) следует считать k = 1, что отвечает рассматриваемому случаю орбитальной соизмеримости 2/1: | 2n′ − n |≤ μ O[1]. (15.5.1) Здесь μ = 1,85⋅10−6 — масса P′ (Дионы), выраженная в единицах массы Сатурна, n и n′ = 1 + μ — средние движения тел (материальных точек) P и P′ соответственно*). Так как взаимное наклонение орбит спутников Энцелада и Дионы мало ( ~ 1′,2 ), то для качественного исследования динамических характеристик орбит Энцелада в рамках ограниченного эллиптического варианта задачи достаточно рассмотреть лишь плоский случай, когда интегральная постоянная I обращается в нуль (см. (15.3.28)-(15.3.29)). Определяя по эфемеридным значениям элементов орбит Энцелада и Дионы (с учетом отсутствия достаточной надежности в определении этих элементов орбит) величины двух других интегральных постоянных (15.3.24), (15.3.27)

γ = (7,9405 ÷ 7,9416) ⋅10 −1 , u = −(1,3 ÷ 4,9) ⋅10 −8 ,

(15.5.2)

− 7,20 ⋅10 −4 (см. (15.3.28)), для стационарных решений а также значение постоянной q0 ~ вида (15.3.30) рассматриваемой канонической системы (15.3.23) получим x1 = (2,70 ÷ 3,10) ⋅10 −2 , x3 = −(2,81 ÷ 2,61) ⋅10 −2 ,

x2 = −(2,92 ÷ 0,90) ⋅10 −3 , y m = 0 (m = 1,3).

(15.5.3)

Первые из этих двух стационарных решений (x1,0) и (x2,0) являются устойчивыми по Ляпунову ("устойчивые центры"; см. раздел 5.6), а (x3,0) представляет собой неустойчивую стационарную точку (типа "седло"). На фазовой плоскости канонической системы (15.3.23)-(15.3.24), представленной на рис.111 (ввиду симметрии приведена лишь верхняя полуплоскость) в рассматриваемом случае возможны три типа решений**), соответствующих различным типам движений (типам траекторий), отмеченных на приведенном рисунке цифрами I—III. Траектории, проходящие через стационарную точку (x3,0) и содержащие две ветви, разграничивающие указанные типы движений, являются сепаратрисами. Рисунки 111а и б приведены для двух различных значений интегральной постоянной u, принимаемой равной 4,9⋅10−8 и 1,36⋅10−8 соответственно. Движение изображающей точки P, отвечающей Энцеладу, происходит вблизи устойчивой стационарной точки (x2,0), область локализации которой в переменных (см. раздел 15.3)***) *)

Заметим также, что при получении (15.3.27) в возмущающей функции задачи были сохранены лишь вековые и долгопериодические (резонансные) слагаемые. Единица измерения времени была выбрана так, чтобы гравитационная постоянная обращалась в единицу, а большая полуось a′ орбиты P′ была принята за единицу длины. **) Это связано с тем, что дискриминант (8.10.6) в данном случае является положительной величиной. ***) В плоском случае можно считать Ω = 0.

528

Часть III. Основные задачи небесной механики q =| x2 | cos(ω + Ω),

p =| x2 | sin(ω + Ω),

в соответствии с (15.5.3) заштрихована на рис. 112. Для стационарного значения большой полуоси, соответствующего устойчивому решению (x2,0), согласно (15.3.27), имеем a2 стац = 0,631, или при a′ = 377,4⋅103 км a2 стац = 238,0 тыс. км, что равно примерно четырем (~3,95) экваториальным радиусам ( Rэкв ~ − 60,33 тыс. км) Сатурна. y

a

y б III

P x3

−0.02

x2

0.02 II 0

III

I

0.02

0.02

P

x3

x1

II

x2

−0.02

x

I

0

x1 0.02

x

Рис. 111. p 0.004

q0 O

0.004

q

Рис. 112. Стационарные значения эксцентриситета, как следует из (15.3.27),

[

em стац = E x m2 + 2q 0 x m cosθ m + q 02 2π-периодичны по переменной

]

1/ 2

, m = 1, 3

θ m = θ 0 m + ω m стац t ,

где, согласно (15.3.31) и (15.3.28),

[

(15.5.4)

]

ω m стац = 4c0 xm2 + 2( E −2 − γ ) , E = (2 1 + μ )1 / 6 , 3 c0 = E 8 , θ 0 m = θ m (0), 8

(15.5.5)

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

529

и для стационарного решения (x2,0) получим ω 2 стац = (2,66 ÷ 3,43) ⋅10 −3 .

Следовательно, переходя от принятой ранее системы единиц к юлианским годам*), находим, что e2 стац изменяется с периодом T2 стац = 2π ω 2 стац = (2,19 ÷ 2,82) лет, равным 291,99÷375,79 периодам обращения Дионы (периоды T1 стац и T3 стац существенно больше: 15,63÷84,64 лет) в интервале 2,03⋅10−4 ≤ e2 стац ≤ 4,09⋅10−3, Δe2 стац=3,89⋅10−3. Вариации стационарного значения долготы перицентра ωˆ 2 стац (в плоском случае — аргумента перицентра ω 2 стац ), как видно из рис. 112, характеризуются циркуляционным типом (см. раздел 15.3). Далее, переходя от стационарных решений непосредственно к орбитальным характеристикам Энцелада, на основании (15.3.27), (15.3.28) заключаем, что период изменения большой полуоси его орбиты (по переменной τ) равен вещественному периоду ℘-функции Вейерштрасса 2ω , определяемому (8.7.19), (8.7.25), а в спектре частот, характеризующем вариации эксцентриситета орбиты (в общем случае и взаимного угла наклона орбит P и P′) с учетом (15.3.29), (8.13.6) и (8.12.8) можно выделить две основные периодические составляющие (гармоники) с периодом T1 = 2ω и T2 = 2π ν −

4iw

ω

ζ (ω ) ,

(15.5.6)

где ν определяется (15.3.29), i2 = −1, чисто мнимая комплексная постоянная w находится из (15.3.25)-(15.3.26), ζ — дзета-функция Вейерштрасса (см. разделы 8.1 и 8.15). При получении соотношения (15.5.6) было учтено равенство ln

σ (τ − w) = σ (τ + w) ∞ ⎡ ⎤ q 2lm = −2i ⎢πk + 2w1ζ (ω )τ + arctg(th(πw1 )ctg(πτˆ) ) + 2 ∑ ∑ sh(2πmw1 ) sin(2πmτˆ)⎥, l =1 m =1 m ⎣ ⎦

которое непосредственно следует из (8.13.6), (8.12.8) и (8.1.26), если учесть, что w1 = −

τ iw , k ∈ Z , i 2 = −1 , τˆ = 2ω 2ω

(σ — сигма-функция Вейерштрасса; q определено в разделе 8.14),

*)

Юлианской принято называть систему сплошного счета суток без подразделения на месяцы и годы, предложенную в XVI в. Скалигером. Юлианский период d между двумя какими-либо календарными датами t1 и t2 находится как разность двух юлианских дат JD(t2) и JD(t1). В зависимости от системы измерения времени юлианская дата может относиться как к моментам всемирного времени UT (местное среднее солнечное время на Гринвичском меридиане), так и к моментам эфемеридного времени ET ("равномерно текущее время"), которое мы и будем использовать в дальнейшем.

530

Часть III. Основные задачи небесной механики ∞

xm , m =1 m

1 − 2q 2l cos(2πθ ) + q 4l = (1 − q 2l s 2 )(1 − q 2l s −2 ), s = exp(iπθ ), ln(1 − x) = −∑

и, наконец, что для комплексной переменной z = ictgαthβ справедливо представление ln

sin(α − iβ ) 1− z = ln = −2i[πk + arctg(thβctgα )] , sin(α + iβ ) 1+ z

1− z 1 − exp y = exp( y − i 2πk ) следует, что z = = − th ( y / 2), или 1 + exp y 1+ z ictgαthβ = itg (iy 2), а поэтому y = −2iarctg( thβctgα ), i 2 = −1. В единицах оборота T ′ = 2π n′ возмущающего тела P′ (Дионы) для периода изменения большой полуоси орбиты Энцелада, переходя на основании (15.3.28) от τ к переменной времени t = τ/c0, получим

поскольку из равенства

T1 ω 1 + μ = , T′ πc 0 где постоянная c0 определяется в (15.5.5). Подставляя численные значения (см. также раздел 15.3) и учитывая, что период обращения Дионы равен TД = 2,737 сут, для искомого периода изменения большой полуоси орбиты Энцелада (в юлианских годах) найдем T1∗ = 2,19 ÷ 2,98 лет. (15.5.7) Экстремальные значения большой полуоси орбиты Энцелада достигаются при τ1 = 0 (максимум) и τ 2 = ω (минимум), так как, согласно (15.3.27), при k = 1 da dy ⎞ ⎛ dx = −2 a ⎜ x + y ⎟, dτ dτ ⎠ ⎝ dτ а с учетом (15.3.23), (15.3.24) и (15.3.28) необходимое условие экстремума функции a(τ) примет вид ℘(τ + w) −℘(τ − w) = 0, или, если воспользоваться теоремой (формулой) сложения (8.6.6) для ℘-функции Вейерштрасса 2

1 ⎡℘′(τ ) m℘′( w) ⎤ ℘(τ ± w) = −℘(τ ) −℘( w) + ⎢ , 4 ⎣ ℘(τ ) −℘( w) ⎥⎦ будем иметь

℘′(τ )℘′( w) = 0. [℘(τ ) −℘( w)]2

(15.5.8)

Поэтому, согласно (8.1.15), (8.4.15), при значении комплексной постоянной w, не кратной чисто мнимому полупериоду ω 3 = iω~ , то есть исключая случай стационарных решений y ≡ 0 (см. (15.3.28)), получим в основном параллелограмме периодов ℘-функции Вейерштрасса следующие решения (15.5.8)

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

τ 1 = 0, τ 2 = ω .

531

(15.5.9)

Из свойств ℘-функции (см. раздел 8.8) следует, что условия (15.5.8) являются не только необходимыми, но и достаточными для существования искомых экстремальных значений большой полуоси a(τ) и при этом τ1 = 0 отвечает максимуму, а τ 2 = ω — минимуму большой полуоси a(τ). На основании (15.3.27)-(15.3.28) после проведения соответствующих вычислений, с учетом (15.5.9), будем иметь 237,941 ≤ a ≤ 237,949 тыс. км, Δa/a = 3,17⋅10−5.

(15.5.10)

Для пределов изменения эксцентриситета орбиты Энцелада при e′ = 2,2⋅10−3 из (15.3.27) найдем*) emax =9,28⋅10−3, Δe = 3,56⋅10−3, (15.5.11) −2 а при e′ = 2,0⋅10 3,45⋅10−5 < e < 1,50⋅10−2. Из (15.5.6), переходя к юлианским годам, в рассматриваемом случае получим также, что T2∗ = 0,93 ÷ 2,08 лет. Следовательно, периоды T1∗ и T2∗ близки к соизмеримо− 2 / 1. сти T1∗ T1∗ ~ Долгота перицентра ωˆ = ω + Ω орбиты Энцелада (или аргумент перицентра в случае плоского варианта задачи), как следует из (15.3.27)-(15.3.29), имеет вековую составляющую и условно-периодическую (квазипериодическую с периодом ~ T1∗ ~ − 2T2∗ ) с основными периодами T1∗ и T2∗ , а для средней скорости изменения долготы перицентра (вековое слагаемое) получим ω&ˆ = 0,316 ÷ 0,340 град/сут. (15.5.12) Обратимся теперь к общему (планетному) варианту задачи и рассмотрим эволюцию динамической системы Энцелад—Диона (резонансная спутниковая подсистема Сатурн—Энцелад—Диона). Пусть P0 (Сатурн), P1 (Энцелад) и P2 (Диона) — взаимодействующие по ньютоновскому закону тяготения материальные точки с массами m0 = 1, m1 = μα1, m2 = μα2 соответственно, причем μ = 10−6 — малый параметр, а α1 = 0,15, α2 = 1,85**). Будем считать, что в начальный момент времени средние движения n1 и n2 Энцелада и Дионы удовлетворяют условию соизмеримости первого порядка (линдбладовскому резонансу 1:2) вида | n1 − 2n2 |≤ O[ μ ]. (15.5.13) Тогда, проводя на основании результатов главы 13 рассуждения, аналогичные разделу 15.3, для спутников Энцелад и Диона можно получить явные выражения, характеризующие эволюцию всех их орбитальных элементов [65]. В частности, для оскулирую*)

Получаемые из результатов наблюдений и численных интегрирований значения эксцентриситета орбиты Дионы варьируется в указанных пределах от 2,2⋅10−3 до 2,0⋅10−2. **) Это означает, что массы Энцелада и Дионы, выраженные в единицах массы Сатурна, предполагаются равными m1 = 0,15⋅10−6 и m2 = 1,85⋅10−6 соответственно.

532

Часть III. Основные задачи небесной механики

щих больших полуосей aj, эксцентриситетов ej и долгот перицентров ωˆ j их орбит будем иметь 2

⎡ ⎤ (−1) j 2 ( x + y 2 )⎥ , e j = E j ( x + q0 j cosθ ) 2 + ( y + q0 j sin θ ) 2 aj = ⎢ γ j + α ′j ⎣⎢ ⎦⎥

[

⎛ πτ 0 ⎞⎤ t ⎟⎥ + ⎝ 2 ⎠⎦

⎡

ωˆ j = ω 0 j + ω1 j t + ω 2∗ j (τ )(t − tπj ) + ω 3 j arctg ⎢ th (πw1 )ctg⎜ ⎣

+ ω4 j

]

1/ 2

, (15.5.14)

∞ sin(πτ 0 t ) − ∑ R jm sin(πmτ 0 t ) ( j = 1,2). cos(πτ 0 t ) − ch (2πw1 ) m=1

Здесь масштаб длины и единица времени были выбраны так, чтобы интегральная постоянная

(

)

2

γ = α1′ a1 + α 2′ a2 , α1′ =

α1 α , α 2′ = 2 1 − μα 2 2 1 + μα1

(15.5.15)

и гравитационная постоянная обращались в единицу. Переменная θ определяется (15.3.29): ∞ ⎡ sh (2πw1 ) q 2m πmτ ⎤ ∗ sh (2πmw1 ) cos , (15.5.16) − 4∑ ω 2 j (τ ) = ω 2 j ⎢ 2m ω ⎥⎦ m =1 1 − q ⎣ ch (2πw1 ) − cos(πτ / ω ) w1 = − iw (2ω ) , i 2 = −1 , tπj — момент прохождения материальной точкой Pj перицентра

ее орбиты, q0 j = (−1) j +1 N j u 02 + v 02 , где u0, v0 — первые интегралы вида

u 0 = q2∗ − q1∗ , v 0 = p1∗ − p2∗ ,

(15.5.17)

в которых q ∗j = e ∗j cos ωˆ j ,

p ∗j = e ∗j sin ωˆ j , e ∗j = E ∗j e j

( j = 1, 2),

так что e ∗j 2 − 2e1∗ e2∗ cos(ωˆ 2 − ωˆ 1 ) + e2∗2 = u 02 + v 02 .

(15.5.18)

Переменные x и y определяются (15.3.25)-(15.3.27) и при этом

γj =

(A / 4 + (−1) α ′j

j

E0 j

),

а величины c0, B, а также E j , E0 j , N j , E ∗j и все постоянные, не определенные ранее и входящие в выражения (15.5.14) для долгот перицентров, τ0, R jm , ω lj (l = 0,4; j = 1,2)

приведены в [65]. Вещественный полупериод ω функции Вейерштрасса вычисляется из (8.7.19), (8.7.25), а параметр q в (15.5.16) определен в разделе 8.14. Интегральные кривые, определяемые уравнением (15.5.18), в котором e ∗j (j = 1, 2) — нормированные эксцентриситеты орбит тел Pj, для различных сечений ej = const (j = 1, 2) и значений интегральных постоянных u0, v0 приведены на рис. 113.

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

533

На рис. 113а при фиксированном значении эксцентриситета орбиты спутника Энцелад (e1 = 0,004), изображена зависимость эксцентриситета e2 орбиты Дионы от относительных долгот перицентров Δωˆ спутников для различных значений R0 = u 02 + v 02 . Сечение e2 = 0,002 представлено на рис. 113б. Сепаратрисы ( R0′ = 1,26 ⋅10 −4 — рис. 113а и R0′ = 2,65 ⋅10 −3 ), выделенные на рис. 113, разграничивают области различных типов решений (движений). Область, соответствующая I типу движений, отвечает случаю R0 < R0′ , а условие R0 = u 02 + v 02 > R0′ определяет область II типа ("незамкнутые траектории"). a

б

e2

e1

0.002

0.2 II II I

I

−π

−π/2

0

π/2

π Δωˆ

−π

−π/2

0

π/2

π Δ ωˆ

Рис. 113. Определив из эфемеридных значений элементов орбит Энцелада и Дионы интегральные постоянные, входящие в (15.5.14) и (15.3.24),

γ 1 = 0,7835,

γ 2 = 0,9866, u = −(3,7 ÷ 7,8) ⋅10 −9 ,

(15.5.19)

а также постоянную I = 1,942 в интеграле площадей [65] 2

I = ∑ jα ′j a j (1 − e 2j ) cos i j , j =1

установим, что в рассматриваемой системе существует, как и в случае ограниченного варианта задачи, три стационарных решения вида (15.3.30) x1 = 1,246 ⋅10 −2 ,

x2 = 2,018 ⋅10 −4 ,

x3 = −1,266 ⋅10 −2 ,

yl = 0 (l = 1,3).

При этом решение, отвечающее индексу l = 1, является неустойчивым по Ляпунову, а при l = 2, 3 получаются устойчивые "центры". На фазовой плоскости (x,y) траектория движения изображающей точки P ∗ , отвечающей рассматриваемой системе, располагается в окрестности устойчивой стационарной точки (x2,0) и имеет циркуляционный характер изменения (см. рис. 114). Траектории, проходящие через стационарную. точку

534

Часть III. Основные задачи небесной механики

(x1,0), являются сепаратрисами, разграничивающими три характерные области (ввиду симметрии на рис. 114 приведена лишь верхняя полуплоскость (x,y)). y

0.02 I III II P*

−0.02

x3

x2

x1

0.02

x

Рис. 114. Из (15.5.14) в случае стационарного решения (x2,0) для больших полуосей орбит гравитирующих тел P1 и P2 будем иметь соответственно

a1 стац = 238,02 тыс. км, a2 стац= 377,40 тыс. км, а для девиации эксцентриситетов:

e1 стац = 1,18⋅10−3, Δe2 стац=2,80⋅10−5. Согласно (15.5.14) и (15.3.28), в общем случае так же, как и для ограниченного варианта задачи, период T1 изменения больших полуосей орбит P1 и P2 определяется действительным периодом ℘-функции Вейерштрасса. С учетом (15.5.19), для T1 получим оценку T1 =2,106 ÷ 2,357 лет, (15.5.20) более точную, чем (15.5.7). Для относительных изменений за период циркуляции T1 больших полуосей орбит Энцелада и Дионы на основании (15.5.14), (15.3.28), найдем Δa1⁄a1 = 1,401⋅10−5, Δa2⁄a2 = 1,842⋅10−6.

(15.5.21)

Сопоставление первого выражения (15.5.21) с (15.5.10) свидетельствует о том, что учет конечной (ненулевой) массы Энцелада приводит к уменьшению амплитуды колебаний большой полуоси его орбиты. Для вариаций эксцентриситетов, а также взаимного угла наклона Δi орбит Энцелада и Дионы после проведения соответствующих вычислений получим Δe1 = 5,512⋅10−3, Δe2 = 2,719⋅10−3, Δi = 3,835⋅10−2 град, что согласуется с оценками (15.5.11) и свидетельствует в пользу выбора в ограниченном варианте задачи меньших (из рассматриваемых) значений эксцентриситета e′ орбиты Дионы.

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

535

Как следует из (15.5.24) и (15.3.29), изменения эксцентриситетов орбит Энцелада и Дионы не являются строго периодическими. В спектре частот, характеризующем эти вариации, имеются две основные гармоники, отвечающие периодам T1 и T2 = 1,736 ÷ 1,983 лет, определяемым, соответственно, (15.5.20) и (15.5.6). Периоды T1 и T2 близки к − 6 / 5 , то есть они квазисоизмеримы, а поэтому в рассматрисоизмеримости вида T1 / T2 ~ ваемой системе существует основной (композиционный) период*)

T = 10,47 ÷ 11,84 лет. Из (15.5.14) для средней скорости изменения долгот перицентров (относительно неизменяемой плоскости, ортогональной вектору результирующего момента количества движения системы) орбит спутников Энцелада и Дионы получим более точную, чем (15.5.12), оценку**)

ωˆ& 1 = 0,383 ÷ 0,402 град/сут,

ω&ˆ 2 = 0,089 ÷ 0,101 град/сут.

Как уже указывалось в начале раздела, аналогичные исследования эволюции орбит, базирующиеся на аналитических решениях вида (15.3.27) и (15.5.14), могут быть проведены и для ряда других спутниковых систем, находящихся в орбитальной соизмеримости (резонансе) первого порядка. 15.6. Деления в кольцах планет-гигантов В планетарных структурах, обладающих разреженными кольцами (скоплениями большого числа малых частиц, движущихся по орбитам, близким к круговым), могут проявляться гравитационные эффекты, связанные с орбитальными соизмеримостями средних движений частиц колец и возмущающего тела. Аналитическое описание этих резонансных явлений может быть основано на соответствующих решениях ограниченной задачи трех тел (см. разделы 13.13 и 15.3). Полеты космических аппаратов подтвердили существование колец, состоящих из частиц различных размеров, у планет-гигантов Солнечной системы***). С кольцами связано много проблем, одной из которых является наличие пустот или "делений" ("щелей"). Иначе говоря, существование на определенных расстояниях от планеты областей, в которых плотность частиц кольца резко уменьшается. Наиболее "развитые кольца", имеющие иерархическую структуру (широкие кольца состоят из системы более узких), наблюдаются в системе планеты Сатурн (см. рис. 115). Эти кольца были открыты Г. Галилеем в 1610 г. Спустя пятьдесят лет Х. Гюйгенс (в отличие от Галилея, считавшего, что наблюдает спутники планеты) описал обнаруженные Галилеем тела как кольца. *)

Можно также показать, что в вариациях угла взаимного наклона орбит Энцелада и Дионы можно также выделить две основные гармоники T1 и T2 . Восходящий узел орбиты Энцелада на неизменяемой плоскости, перпендикулярной вектору момента количества движения рассматриваемой системы тел будет совпадать с нисходящим узлом орбиты & = −8,74 ⋅ 10 −2 град/год [66]. Дионы и при этом будет происходить регрессия "линии узлов" Ω **) Учет несферичности (сжатия) Сатурна приводит к увеличению значений вековых слагаемых в долготах перицентров орбит Энцелада и Дионы, но при этом возмущения больших полуосей и эксцентриситетов их орбит оказываются незначительными [66]. ***) Результаты наземных наблюдений за кольцами планеты Сатурн свидетельствовали о дифференциальном вращении частиц кольца, что и указывало на отсутствие твердых (сплошных) колец.

536

Часть III. Основные задачи небесной механики

Рис. 115. В настоящее время для всего кольца Сатурна, частицы которого двигаются по почти круговым орбитам в экваториальной плоскости планеты, известно семь основных компонент*): D, C, B, A, F, G, E, находящихся в пределах области Роша**) и разделенных промежутками (областями, в которых плотность частиц резко уменьшается), наиболее значительным из которых является так называемое "деление Кассини" между A и B-компонентами шириной ~4650 км (кольца A и B — главные компоненты, дающие почти 90%-й вклад в интегральный световой поток). Кольца занимают область на расстоянии от центра Сатурна с 1.1 до 3÷8 его радиусов, то есть с 67 до (181÷483) тыс. км, и имеют толщину ≤10 км. Основная масса колец содержится в частицах метровых размеров. Средний диаметр частиц ~6÷30 см, а максимальный размер — до нескольких сотен метров. Плотность частиц в главных компонентах кольца сравнительно велика (≥ 0,6 г/см3), хотя частицы и покрыты рыхлым снегоподобным реголитом. Источниками энергии, компенсирующими диссипацию (то есть переход части кинетической энергии во внутреннюю — "тепловую") при соударениях частиц, могут быть дифференциальное вращение кольца, гравитационные возмущения спутников Сатурна, в частности, "спутников-пастухов" — Прометея, Пандоры, Атланты. Еще в 1884 г. Д. Кирквуд обратил внимание на то, что положение некоторых делений (щелей) в кольце Сатурна соответствует таким расстояниям, на которых частота обращения частицы (кольца) кратна частоте обращения одного из спутников планеты, то есть расположение щелей в кольце Сатурна соответствует (в пренебрежении "тонкой структуры" кольца) средним движениям, которые оказываются в орбитальной соизмеримости со средними движениями ряда спутников Сатурна. В таблице 8 приведены различные соизмеримости средних движений "низших порядков" (когда порядок l и кратность k резонанса не превосходят трех: l , k = 1,3 ; см. раздел 15.3) между спутниками Сатурна, имеющими достаточную массу для гравитационных возмущений, и частицами, расположенными вблизи щелей кольца Сатурна. Щели (деления) отражены в таблице 8 ограничивающими их компонентами. Таблица 8 *)

Так называемые кольца Максвелла, Гюйгенса, Титана и т.п. являются достаточно узкими. Поверхностью Роша, ограничивающей соответствующую область Роша, принято называть поверхность нулевой относительной скорости (поверхность Хилла), отвечающей постоянной интеграла Якоби (13.13.7) ограниченной круговой задачи трех тел, равной C(L1), где L1 — коллинеарная точка либрации, располагающаяся между P0 (Сатурном) и материальной точкой P1 (ближайшим достаточно массивным спутником Сатурна — Янусом); см. рис. 94 раздела 13.13. При C < C(L1) гравитирующие частицы, обладающие уже большей начальной скоростью, являются "спутниками" двух тел P0 и P1.

**)

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

l, k Спутники Мимас Энцелад Тефия Диона

k=1 B-A F-G

l=1 k=2 A-F G-E

537

l=2 k=3 F-G

k=1 C-B B-A A-F G-E

l=3 k=3

G-E

k=1 D-C C-B B-A F-G

k=2 A-F F-G

Как видно из приведенной таблицы, частицы, расположенные вблизи наиболее значительной "щели Кассини" (B-A), находятся в соизмеримости первого порядка (l = k = 1) с Мимасом, а также второго (l = 2, k = 1) и третьего (l = 3, k = 1) порядков с Энцеладом и Тефией соответственно. Поскольку максимальный резонансный эффект соответствует случаю орбитальной соизмеримости первого порядка (l = 1), то определяющую роль в формировании "деления Кассини" может играть лишь спутник Сатурна Мимас*). В связи с этим рассмотрим влияние чисто гравитационных эффектов взаимодействий в системе Сатурн—частица кольца—Мимас на формирование общей структуры кольца Сатурна и, в частности, деления Кассини. Прежде всего покажем, что точному значению соизмеримости 2:1 с Мимасом отвечает, при учете сжатия Сатурна, минимум распределения плотности частиц в делении Кассини. Для этого, учитывая, что наклон орбиты Мимаса к экваториальной плоскости Сатруна не превышает ~1,5°, рассмотрим движение пассивно гравитирующей материальной точки (частицы) P в экваториальной плоскости однородного сфероида P0 (Сатурна) единичной массы, для которого (см. раздел 7.11) отличны от нуля лишь все четные зональные гармоники, то есть будем считать, что Сатурн представляет собой динамически симметричное относительно оси вращения и симметричное относительно плоскости экватора тело ("гидростатически равновесное"). Начало координат выберем в центре масс сфероида P0, а плоскость XY совместим с его экваториальной плоскостью. Примем также экваториальный радиус r0 Сатурна за единицу длины, а единицу времени выберем так, чтобы f = 1, где f — гравитационная постоянная. Тогда в полярных координатах x = rcosϕ, y = rsinϕ, вводя обозначения

q1 = r , q2 = ϕ ;

p1 = q&1 ,

p2 = q12 q& 2 ,

(15.6.1)

уравнения плоского движения материальной точки P, согласно разделу 2.3 (или 2.6), можно представить в канонической форме (2.3.1) dq j ∂F dp j ∂F = , =− ( j = 1, 2) (15.6.2) dt dt ∂p j ∂q j с гамильтонианом *)

Для соизмеримостей низших порядков (l ≤ 3) амплитуда резонансного эффекта [67] составляет ведичину ~ O[ μ 1 /( 4 −l ) ] , где μ — масса возмущающего тела, выраженная в единицах массы центрального, поэтому несмотря на то, что спутники Сатурна Тефия и Энцелад превосходят по массе Мимас в 19,7 и 2,3 раза соответственно, максимальный резонансный эффект связан с гравитационными возмущениями 1/ 2 −4 −6 . Мимаса ( ~ μ 1 / 3 = 4,04 ⋅ 10 −3 ), так как μ энц . = 3,87 ⋅ 10 , μ теф . = 1,3 ⋅ 10 Заметим также, что поскольку плотность компонент F, G кольца Сатурна мала, то наблюдаемый резонансный эффект от действия Энцелада менее выражен, чем в случае со "щелью Кассини".

538

Часть III. Основные задачи небесной механики

[

]

1 2 p1 + ( p2 / q1 ) 2 − U , (15.6.3) 2 в котором для рассматриваемого гидростатически равновесного тела P0 потенциал притяжения (силовая функция) будет иметь вид (см. раздел 7.11):

F=

∞ γ 1⎛ ⎜ U = ⎜1 − ∑ 22kk q1 ⎝ k =1 q1

⎞ ⎟⎟. ⎠

(15.6.4)

Здесь γ 2 k = J 2 k P2 k (0), J 2 k — зональная гармоника порядка 2k, P2 k (0) — полиномы Лежандра нулевого аргумента, определенные в разделе 7.1 (см. (7.1.9)). Так как гамильтониан F не зависит явно от q2 = ϕ, то из (15.6.2) сразу следует интеграл площадей p2 = const, или, с учетом (15.6.1),

dϕ = c0 . (15.6.5) dt Рассмотрим частное (круговое) решение (15.6.2), отвечающее постоянному зна∂F чению q1 = a = const (то есть r = a), так что ≡ p1 = 0, поскольку, согласно (15.6.1), ∂p1 p1 = q&1 . Для существования этого частного (кругового: r = const ) решения, как следует из (15.6.2), необходимо выполнение условия ∂F = 0, ∂q1 r2

или, с учетом (15.6.3), (15.6.4), при p2 = c0 (см. (15.6.5)), q1 = a, имеем ∞

a − c − ∑ g 2 k a1−2 k = 0. 2 0

(15.6.6)

k =1

Здесь g 2 k = (1 + 2k )γ 2 k . Но при r = a из (15.6.5) получим

ϕ = ϕ 0 + n(t − t 0 ),

(15.6.7)

где ϕ 0 = ϕ (t 0 ), n = c / a 2 . Следовательно, частица P кольца Сатурна может совершать круговое движение с периодом T = 2π/n, а радиус ее орбиты r = a определится из уравнения (см. (15.6.6)): ∞ g 1 − n 2 a 3 − ∑ 22kk = 0. (15.6.8) k =1 a Поскольку период обращения Мимаса составляет T′ = 0,942 сут или в выбранной ранее нормированной системе единиц Tн′ = 33,825 *), а Мимас существенно уступает по массе Сатурну (μ ~ 10−7), то для радиуса a круговой орбиты частицы P кольца Сатурна, *)

Так как n ′ n ′н =

fM h r03 / 2 , где nн′ — среднее движение Мимаса в нормированной системе единиц,

M h = 1 / 3498,93 и r0 = 60,33 тыс. км — масса, выраженная в единицах массы Солнца, и экваториаль-

ный радиус Сатурна, f = 9,9065⋅1020 км3/(M~сут2) — гравитационная постоянная, то искомый (нормированный) период определяется в виде Tн′ = T ′ fM h r03 / 2 .

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

539

двигающейся в точной соизмеримости 2:1 с Мимасом, то есть с периодом T = Tн′ / 2 , или n = 4π Tн′ , из (15.6.8), ограничиваясь двумя зональными гармониками Сатурна*)

J2 = 1,64⋅10−2, J4 = −9,37⋅10−4, получим a = 1,9393 (в единицах экваториального радиуса Сатурна r0). Если же пренебречь зональными гармониками в (15.6.8), то есть считать Сатурн сферическиоднородным, то a = 1,9350, а поэтому для реального Сатурна величина радиуса (r = a) орбиты резонансной частицы больше соответствующего радиуса для модели Сатурна, не учитывающей его сжатие. Отмечая полученные выше значения радиусов круговых орбит r = a на диаграмме (см. рис. 116) распределения, в окрестности соизмеримости 2:1 с Мимасом, оптической плотности частиц σn кольца Сатурна в зависимости от расстояний (выраженных в единицах экваториального радиуса r0) от центра масс Сатурна (пунктир — для сферически-симметричной модели Сатурна и сплошная линия — для реального сфероида этой планеты), заключаем, что при учете сжатия Сатурна отмеченному радиусу реальной орбиты соответствует минимум распределения, в то время как без учета влияния зональных гармоник J2 и J4 соизмеримости 2:1 с Мимасом отвечает локальный максимум. σn

1.5

0

2.0

1.9

r/r0

Рис. 116. Рассмотрим теперь эволюцию пассивно гравитирующей частицы кольца в гравитационном поле центрального тела P0 (Сатурна) единичной массы и возмущающего P′ (Мимаса) с массой μ = 6,60⋅10−8. Так же, как и ранее, будем считать Сатурн сжатым сфероидом с потенциалом вида (15.6.4). Поскольку из наблюдений следует, что частицы кольца и орбита Мимаса расположены в экваториальной плоскости Сатурна, а эксцентриситет орбиты Мимаса достаточно мал (e′ = 0,020), то ограничимся исследованием кругового плоского варианта задачи трех тел. Но при этом среднее движение n′ Мимаса определим из решения задачи *)

При этом, как следует из (15.6.6) и (7.1.9), g 2 = −(3 / 2) J 2 , g 4 = (15 / 8) J 4 .

540

Часть III. Основные задачи небесной механики

двух тел, когда P0 (Сатурн) не является сферически-однородным телом, а представляет собой сжатый сфероид с потенциалом (15.6.4)*). Пусть также среднее движение n пассивно гравитирующей частицы кольца P (см. рис. 117) удовлетворяет в начальный момент времени условию соизмеримости 2:1 с Мимасом вида | n − 2n′ |≤ O[ μ ],

(15.6.9)

в котором μ — масса спутника Мимаса, выраженная в единицах массы Сатурна. 0

r P r' = a' P'

Рис. 117. Аналогично тому, как это было сделано в разделе 15.3, сохраняя в разложении возмущающей функции вековые и долгопериодические слагаемые, обусловленные соизмеримостью средних движений (15.6.9), решение данной задачи удается свести к интегрированию канонической системы вида (15.3.23) с гамильтонианом в форме (15.3.24): F = ( x 2 + y 2 ) 2 + A( x 2 + y 2 ) + Bx, (15.6.10) где коэффициенты A и B определяются по постоянной γ интеграла задачи

γ = a (2 − 1 − e 2 ) 2 , e и a — эксцентриситет и большая полуось орбиты P. Первый интеграл задачи (15.3.24)

F=u в переменных q = ecosS, p = esinS (величина S = Θ − ωˆ определена в (15.3.27)), которые при малых значениях эксцентриситетов e орбит частиц связаны с переменными x, y выражениями [68] x = γ 1 / 4 q, y = γ 1 / 4 p, позволяет рассчитывать фазовые траектории для различных значений параметра γ ~ a и постоянной u. При γ < γ ( γ = 0,6393 — если радиус a′ орбиты Мимаса принять за единицу длины) имеется одно стационарное решение вида (15.3.30), то есть в данном слу*)

В этом случае уже целесообразно в качестве единицы длины выбрать радиус a′ круговой орбиты Мимаса (а не экваториальный радиус r0 Сатурна, как ранее) и тогда, учитывая, что при этом, согласно раз-

делу 7.11, следует в (15.6.4) уже считать γ 2 k = J 2 k P2 k (0)r0′ 2 k , где r0′ — экваториальный радиус Сатурна, выраженный в единицах a′, пренебрегая массой Мимаса, существенно меньшей массы Сатурна, из 3 5 (15.6.8) при a = a′ = 1 и k = 1, 2, получим n ′ = 1 + χ , χ = r0′ 2 ( J 2 − J 4 r0′ 2 ) = 2,625 ⋅ 10 −3. 2 4

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

541

чае (e1,0), когда γ = γ — два, а при γ > γ существуют три стационарных решения (ei,0),

i = 1,3 (см. рис. 118). Фазовые траектории движения для частиц кольца Сатурна в случае рассматриваемого резонанса с Мимасом при γ = 0,6392 приведены на рис. 118а, а при γ = γ и γ = 0,6394 — на рис. 118б и в соответственно. На рис. 118б, в сепаратриса (в случае в состоящая из двух ветвей), разграничивающая области различных типов движений (I÷III), а также траектории, проходящие через нулевые значение эксцентриситета, изображены более ярко. esinS

a

0.003

б I

0

III

e1

e3= e2

e1

−0.003 −0.003

0

0.003

−0.003

ecosS

0

0.003

ecosS

esinS 0.005 в I III II e3

0

e2

e1

−0.005 −0.005

0

Рис. 118.

0.005

ecosS

542

Часть III. Основные задачи небесной механики

У частицы P (изображающей точки), "движущейся" по фазовой траектории, эксцентриситет орбиты периодически изменяется от значения emin (равного нулю при u = 0) до emax. При приближении траекторий (за счет соответствующего изменения интеграла энергии u = F) к сепаратрисе (случаи б и в на рис. 118) период обращения по ним, определяемый, как и в случае ограниченного эллиптического варианта задачи трех тел (см. разделы 15.3 и 15.5), вещественным периодом T = 2ω ℘-функции Вейерштрасса (см. (8.7.19), (8.7.25)), неограниченно возрастает. Для рассматриваемой системы для различных γ удается также вычислить значения эксцентриситетов, больших полуосей орбит частиц кольца в произвольные моменты времени, а также определить величины радиусов оскулирующих эллиптических орбит в апоцентре и перицентре rπ. В частности, величины эксцентриситетов частиц с различными γ ~ a в фиксированные моменты времени представлены на рис. 119 (а — T0 = 58,40 сут, б — 2T0, T0 — соответствует максимальному значению эксцентриситета при γ = γ = 0,6393 ). e a

0.004

б e

0.002

0.002

0.001

0.63924

0.63932

γ

0.63924

0.63932

γ

Рис. 119. Анализ полученных решений [69] позволяет заключить, что чем ближе движение частиц к точной соизмеримости, тем, в среднем, больше эксцентриситет их орбит, а это, в свою очередь, приводит к менее плотному расположению их орбит. Будем далее полагать, что кольцо Сатурна первоначально (в момент t0) состоит из частиц, двигающихся по круговым орбитам. Рассмотрим в этом случае изменение радиус-вектора r частицы в зависимости от начального значения ее большой полуоси a0. На рис. 120 заштрихована область возможного изменения r в зависимости от a0 (радиус орбиты Мимаса принят за единицу). Если начальная средняя плотность частиц в кольце была мала (так называемая бесстолкновительная модель), то, очевидно, первоначальное (исходное) распределение плотности частиц N(a0) по орбитам, близким к круговым (с радиусом ~ a0 ), будет изменяться с течением времени в соответствии с различиями значений для амплитуд и пе-

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

543

риодов изменения эксцентриситета. Из полученных решений следует, что для произвольного момента времени t имеется, по крайней мере, два экстремальных значения (максимум и минимум) плотности распределения N(a,t), свидетельствующие о непрерывном существовании области пониженной плотности в кольце. r 0.640 Δr

0.635

Δa 0.63925

0.63950

a0

Рис. 120. Диапазон Δrπ (r0 ) = rπ max − rπ min , в котором должны находиться в перицентре ор-

биты частицы, имеющие в t0 радиус-векторы r = r0 (естественно, речь не идет об их единовременном расположении), при фиксированном значении r0 характеризует, очевидно, вероятность нахождения рассматриваемой частицы P, имеющей в t0 радиусвектор r0, в перицентре орбиты в некоторой определенной точке r′ указанного интервала. Чем больше Δrπ , тем меньше вероятность локализации частицы в точке (в окрестности) r ′ ∈ rπ (r0 ) . Зависимости rπ max = r0 и rπ min = a(1 − emax ) от r0 = γ изображены на рис. 121. Минимальная вероятность локализации частиц (минимальная плотность частиц) соответствует расстоянию r0 = 0,63928 (1,186⋅105 км) от Сатурна*). Интервал "неопределенности" для частиц в этом случае составляет величину Δr = 2,6⋅10−3 (482,35 км). В случае модели со столкновениями (начальная плотность частиц в кольце достаточно велика, так что происходят постоянные столкновения между ними) всякая частица с начальной круговой орбитой радиуса r = a0 под действием резонансных возмущений P′ (Мимаса) переходит в область r ≶ a0 (e > 0) и после столкновения с другой частицей начинает двигаться по орбите с a ≷ a0. Затем процесс повторяется многократно и по истечении определенного времени, зависящего от начальной плотности частиц и механизма взаимодействия частиц, частицы кольца Сатурна должны покинуть резонансную область Δa ~ 2⋅10−4 (37,85 км) или (см. рис. 121) Δr = 6,2⋅10−3 (1150,22 км). Таким образом, на основе представлений о локальности резонансного взаимодействия возмущающего спутника со средой макрочастиц, в которой их коллективными взаимодействиями (давление, самогравитация и т.п.) можно пренебречь, удается пока*)

Радиус-вектор центра "деления Кассини" по результатам наблюдений принято считать равным 1,195⋅105 км.

544

Часть III. Основные задачи небесной механики

зать, что гравитационные эффекты, вызванные орбитальной соизмеримостью в задаче трех тел, качественно позволяют объяснить наличие делений в структуре кольца Сатурна и, в частности, деления Кассини*). Однако количественного совпадения нет (исследованный резонансный эффект, вызванный действием Мимаса, является, согласно данным таблицы 8, наибольшим из возможных по отношению к щели Кассини), что свидетельствует о проявлении иных (негравитационных) механизмов, влияющих на формирование наблюдаемой общей структуры кольца Сатурна**). При этом следует иметь в виду, что выше речь шла о достаточно больших — "гравитационно-активных" — частицах (характерный размер частиц d ≳ 1 м), которые и должны покидать указанные "области избегания", в то время как размеры делений, определяемые из оптических наблюдений, могут заметно отличаться от этих областей***). rπ

rπ max

0.6390

rπ min

0.6370

0.63924

0.63948

r0 = γ

Рис. 121. Полученные выше результаты не противоречат теореме Пуанкаре "о возвращениях" (интегрируемая система рано или поздно возвращается в начальное состояние). Дело в том, что в рамках ограниченной задачи трех тел в качестве исследуемой компоненты системы рассматривается некоторая (пробная) частица P кольца, которая пассивно гравитирует в поле тяготения центрального тела P0 и возмущающего P′. В полном соответствии с теоремой Пуанкаре исследуемая (выбранная) частица по истечении времени t ∗ возвращается в начальное состояние; при этом P′ также занимает исходную конфигурацию по отношению к P0. Однако период возврата для другой (например, соседней, сколь угодно близкой к первой) частицы P, также являющейся компонентой кольца P0, будет отличен от t ∗ . Поскольку для частиц, имеющих непрерывный ряд зна*)

Так называется "тонкая структура" кольца Сатурна здесь не рассматривается [70]. Заметим, что предложенный в работе [70] "новый механизм" радиального дрейфа волны плотности при наличии вязкости среды также не позволяет количественно объяснить пространственную структуру деления Кассини. ***) Косвенным свидетельством существования ранее частиц (глыб) достаточно больших размеров в районе колец Сатурна является наличие на Мимасе кратера Гершеля размером ~130 км. **)

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

545

чений начальных условий, мера частиц, которые обладают несоизмеримыми друг с другом периодами возвращений, составляет континуум (а для дискретного ряда в общем случае — значительную величину), то повторение исходной конфигурации всей системы (совокупности различных частиц P, а также P0 и P′) на космогонических интервалах времени практически невозможно. Следовательно, система как целое (кольцо P0 − спутник P′) эволюционирует во времени, по меньшей мере на космогонических интервалах*). Система в целом уже не является интегрируемой. И в заключение заметим, что рассмотренный в данном разделе механизм формирования кольцеобразных структур Сатурна, помимо других планет-гигантов, может быть характерен для широкого класса астрономических объектов, имеющих дискообразную форму и находящихся в поле тяготения центрального сгустка вещества. К числу таких объектов, в частности, могут быть отнесены аккреционные диски вокруг звезд в двойных системах и предгалактические структуры. 15.7. Дополнения Все отдаленные от Солнца большие планеты, начиная с Земли, обладают естественными спутниками. Их конкретное число N для каждой планеты приведено в табл. 9. Исследование эволюции Солнечной системы в значительной степени связано с проблемой устойчивости этих спутниковых систем, то есть с разрешением вопроса о том, являются ли эти спутники постоянными членами планетных систем или они могут удаляться от основной планеты на значительные расстояния и тем самым становиться самостоятельными членами Солнечной системы?

Планеты P1

Земля Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун Плутон

Число спутников N 1 2 24 28 18 8 1

Массы планет в единицах массы Солнца μ⋅106 3,036 0,3227 954,8 285,9 43,55 51,78 0,008

Постоянная Якоби [C(L1)-3]⋅103 20,74 9,577 170,3 100,1 53,27 57,02 —

Таблица 9 Расстояние точек либрации от Солнца P0 (расстояние P0 − P1 принято за единицу) L1 L2 0,9900 1,0100 0,9953 1,0048 0,9324 1,0688 0,9548 1,0461 0,9757 1,0246 0,9741 1,0262 — —

Один из возможных подходов к разрешению этой проблемы основан на привлечении модели ограниченной круговой задачи трех тел, которая, как было показано в разделе 13.13, позволяет путем вычисления постоянной Якоби определить соответствующие данным начальным условиям области движения спутника (пассивно гравитирующей материальной точки). *)

Здесь, естественно, речь идет о так называемой "бесстолкновительной модели", когда частицы не испытывают взаимных соударений.

546

Часть III. Основные задачи небесной механики

Пусть некоторая планета P1 с массой μ обращается вокруг Солнца P0 по круговой орбите единичного радиуса и при этом масса Солнца равна 1 − μ, а единица времени выбрана так, чтобы гравитационная постоянная f обращалась в единицу. Тогда, обозначая через r1 расстояние спутник — Солнце, а через r2 — расстояние спутник — планета, согласно (13.13.8) и (13.13.11) для интеграла Якоби будем иметь следующее выражение: 2(1 − μ ) 2μ x2 + y2 + + − V 2 = C, (15.7.1) r1 r2 в котором x = q1 , y = q 2 — координаты спутника P2 во вращающейся с угловой скоростью n = 1 системе координат с центром в точке G центра масс Солнца и планеты (см. рис. 93 раздела 13.13), V — относительная скорость спутника, C — интегральная постоянная Якоби. Как следует из результатов раздела 13.13, если постоянная Якоби C будет больше значения C(L1), отвечающего точке либрации L1 (см. рис. 94 раздела 13.13), то материальная точка P2 (спутник) в рамках рассматриваемой модели всегда будет двигаться в окрестности планеты P1. В таблице 9 приведены значения масс планет μ, соответствующие величины C(L1), а также расстояние коллинеарных точек либрации L1 и L2 (см. рис. 94) от Солнца для всех планет, обладающих спутниками, за исключением Плутона*). Следует заметить, что точки либрации L1 и L2 (неустойчивые по Ляпунову — см. раздел 13.7) для всех планет располагаются значительно дальше, чем орбиты спутников этих планет. Так, например, для системы Солнце—Земля точки либрации L1 и L2 находятся на расстоянии ~1,5 млн. км, превосходящем расстояние между Землей и Луной примерно в 4 раза. Обозначим далее большую полуось орбиты спутника P2 через a2, его среднее движение — через n2. Тогда, считая расстояние r1 от спутника до Солнца равным расстоянию между планетой и Солнцем, то есть r1 = 1, и предполагая, что движение спутника является круговым (r2 = a2), для относительной круговой скорости спутника во вращающейся с угловой скоростью n = 1 системе координат q1Gq2 (см. рис. 93), получим**) V 2 = a22 (1 m n2 ) 2 . (15.7.2) Следовательно, из (15.7.1), пренебрегая слагаемым μ2, будем иметь ⎞ ⎛ 2 C = 3(1 − μ ) + μ ⎜⎜ − 1⎟⎟ − a 22 (1 m n2 ) 2 . ⎝ a2 ⎠ *)

(15.7.3)

Так как система Плутон—Харон является достаточно "тесной" (двойной) — период обращения Харона составляет 6,378 сут, а большая полуось его орбиты всего 20 тыс. км и при этом массы Харона и Плутона близки по величине — то к этой системе неприменима модель ограниченной задачи трех тел. **) В (15.7.2) знак минус соответствует случаю, когда направление обращений планеты относительно Солнца и спутника относительно планеты совпадают. Знак плюс отвечает противоположным направлениям обращений.

Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы

547

Здесь предполагалось, что расстояние от спутника до центра масс G системы Солнце— планета равно расстоянию 1 − μ от точки G до планеты. Результаты вычислений постоянной (15.7.3) по орбитальным элементам спутников свидетельствуют о том, что для всех массивных спутников, за исключением четырех спутников Юпитера — VIII, IX, XI и XII — выполняется неравенство C > C(L1), означающее их устойчивость по Хиллу (см. разделы 13.13 и 5.3). Элементы орбит спутников Юпитера, неустойчивых по Хиллу, приведены в табл. 10. Спутник Ананке (XII) Карме (XI) Пасифе (VIII) Синопе (IX)

Большая полуось орбит a, тыс. км

Эксцентриситет e

21100 23300 23700 23800

0,169 0,207 0,380 0,275

Таблица 10 Наклонение к плоскости орбиты планеты, i° 147 163 148 153

Все эти спутники обладают "обратными движениями". Следует заметить, что отсутствие устойчивости по Хиллу у спутников Юпитера, указанных в табл. 10, еще не означает, что они в будущем должны обязательно покинуть окрестности Юпитера. Полученные результаты лишь свидетельствуют о том, что такая возможность в рамках рассматриваемой модели имеется.