Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíî...
18 downloads
257 Views
279KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè ¾ÐÎÑÒÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿
Ìåðìåëüøòåéí Ã. Ã., Àâñÿíêèí Î. Ã., Çàõàðåíêî Å. Î.
ÏÎÑÎÁÈÅ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ äëÿ ïîñòóïàþùèõ íà âå÷åðíåå è çàî÷íîå îòäåëåíèÿ ÐÃÓ
Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2004
Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ öåíòðàëüíîé ïðèåìíîé êîìèññèè, ïðîòîêîë
îò
2004 ã.
Ìåðìåëüøòåéí Ã. Ã., Àâñÿíêèí Î. Ã., Çàõàðåíêî Å. Î. Ïîñîáèå ïî ìàòåìàòèêå äëÿ ïîñòóïàþùèõ íà âå÷åðíåå è çàî÷íîå îòäåëåíèÿ ÐÃÓ. ÐîñòîâíàÄîíó: ÓÏË ÐÃÓ, 2004. 32 ñ.  ïîñîáèè ïðåäñòàâëåíû âàðèàíòû çàäàíèé, ïðåäëàãàâøèåñÿ íà âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ íà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîì, ýêîíîìè÷åñêîì, ãåîëîãîãåîãðàôè÷åñêîì ôàêóëüòåòàõ Ðîñòîâñêîãî ãîñóíèâåðñèòåòà â 2004 ã. ×àñòü âàðèàíòîâ ñíàáæåíà ðåøåíèÿìè. Ïðèâåäåíû îòâåòû âàðèàíòîâ ïèñüìåííûõ ýêçàìåíîâ, ïðîâîäèìûõ íà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîì è ýêîíîìè÷åñêîì ôàêóëüòåòàõ. Íàñòîÿùåå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ àáèòóðèåíòîâ, ãîòîâÿùèõñÿ ê âñòóïèòåëüíûì ýêçàìåíàì â ÐÃÓ ïî ìàòåìàòèêå, à òàêæå ó÷àùèõñÿ ñòàðøèõ êëàññîâ è ïðåïîäàâàòåëåé, ðàáîòàþùèõ ñî øêîëüíèêàìè.
3
Îãëàâëåíèå
Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Ïðàêòè÷åñêèé ýêçàìåí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Òåîðåòè÷åñêèé ýêçàìåí (îáðàçöû ýêçàìåíàöèîííûõ áèëåòîâ) . . . . . . . . 12 Ñîáåñåäîâàíèå äëÿ ìåäàëèñòîâ (îáðàçöû çàäàíèé) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ñîáåñåäîâàíèå äëÿ ïîñòóïàþùèõ íà êîììåð÷åñêîé îñíîâå (îáðàçöû çàäàíèé) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ýêîíîìè÷åñêèé ôàêóëüòåò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ïèñüìåííûé ýêçàìåí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ñïåöèàëüíîñòü ¾Ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ, ìåíåäæìåíò¿ . . . . . . . . . . . . 14 Ñïåöèàëüíîñòè ¾Ôèíàíñû è êðåäèò¿, ¾Áóõó÷åò, àíàëèç è àóäèò¿ . 19 Ãåîëîãî-ãåîãðàôè÷åñêèé ôàêóëüòåò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Òåñò ïî ìàòåìàòèêå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4
Óâàæàåìûå àáèòóðèåíòû! Ýêçàìåíû ïî ìàòåìàòèêå íà âå÷åðíåå è çàî÷íîå îòäåëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ Ïðîãðàììîé âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíîâ ïî ìàòåìàòèêå äëÿ ïîñòóïàþùèõ íà ñîîòâåòñòâóþùèå ôàêóëüòåòû Ðîñòîâñêîãî ãîñóíèâåðñèòåòà. Äàííîå ïîñîáèå ñîäåðæèò âàðèàíòû ïèñüìåííûõ ýêçàìåíîâ, îáðàçöû çàäàíèé äëÿ ñîáåñåäîâàíèÿ è òåñòèðîâàíèÿ, ïðåäëàãàâøèõñÿ â 2004 ã. Ãëàâíîé öåëüþ ïîñîáèÿ ÿâëÿåòñÿ çíàêîìñòâî àáèòóðèåíòîâ ñ óðîâíåì òðóäíîñòè ïðåäëàãàåìûõ çàäàíèé. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî òðåáîâàíèÿ, ïðåäúÿâëÿåìûå âî âðåìÿ âñòóïèòåëüíûõ èñïûòàíèé, íå âûõîäÿò çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû. Îäíàêî, îò ïîñòóïàþùåãî òðåáóåòñÿ ãëóáîêîå ïîíèìàíèå øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè è ñâîáîäíîå âëàäåíèå ìàòåðèàëîì. Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ, ëîãàðèôìè÷åñêèõ, èððàöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ; óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ, ñîäåðæàùèõ ìîäóëè, ÷òî, êàê ïðàâèëî, âûçûâàåò òðóäíîñòè ó àáèòóðèåíòîâ. Íà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå âñòóïèòåëüíûå èñïûòàíèÿ ïî ìàòåìàòèêå ïðîâîäÿòñÿ â ôîðìå äâóõ ýêçàìåíîâ: ïðàêòè÷åñêîãî è òåîðåòè÷åñêîãî. Îáà ýêçàìåíà ïðîõîäèëè â ïèñüìåííîé ôîðìå. Ïðàêòè÷åñêèé ýêçàìåí ñîäåðæàë ÷åòûðå çàäàíèÿ, íà âûïîëíåíèå êîòîðûõ äàâàëîñü 4 àñòðîíîìè÷åñêèõ ÷àñà (240 ìèí.).  òåîðåòè÷åñêîì ýêçàìåíå àáèòóðèåíòàì ïðåäëàãàëîñü îòâåòèòü íà äâà òåîðåòè÷åñêèõ âîïðîñà, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â ðàçäåëå 2 ¾Îñíîâíûå ôîðìóëû è òåîðåìû¿ Ïðîãðàììû âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíîâ äëÿ ïîñòóïàþùèõ íà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÐÃÓ è ðåøèòü äâå çàäà÷è. Íåîáõîäèìûå ôàêòû, ôîðìóëû è òåîðåìû íóæíî óìåòü ÷åòêî ôîðìóëèðîâàòü è äîêàçûâàòü. Ïðîäîëæèòåëüíîñòü òåîðåòè÷åñêîãî ýêçàìåíà 4 àñòðîíîìè÷åñêèõ ÷àñà (240 ìèí.). Äëÿ ðàáîòàþùèõ ïî ïðîôèëþ ñïåöèàëüíîñòè íå ìåíåå ãîäà, âûïóñêíèêîâ ïðîôèëüíûõ òåõíèêóìîâ, êîëëåäæåé è ÏÒÓ, à òàêæå äëÿ íàãðàæäåííûõ çîëîòîé èëè ñåðåáðÿíîé ìåäàëÿìè âûïóñêíèêîâ øêîë è ïðèðàâíåííûõ ê íèì ëèö âñòóïèòåëüíûå èñïûòàíèÿ ïî ìàòåìàòèêå ïðîâîäÿòñÿ â ôîðìå ïèñüìåííîãî ñîáåñåäîâàíèÿ. C 2004 ã. íà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå íàðÿäó ñ ïîäãîòîâêîé
5
ïî ñïåöèàëüíîñòè ¾Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà¿ ñ ïðèñâîåíèåì êâàëèôèêàöèè ¾Ìàòåìàòèê. Ñèñòåìíûé ïðîãðàììèñò¿, íà÷àòà ïîäãîòîâêà ïî íîâîé ñïåöèàëüíîñòè ¾Èíôîðìàöèîííûå ñèñòåìû è òåõíîëîãèè¿ ñî ñïåöèàëèçàöèåé ¾ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì è ñåòåé¿ ñ ïðèñâîåíèåì êâàëèôèêàöèè ¾èíæåíåð¿. Íà ýòó ñïåöèàëüíîñòü êðîìå áþäæåòíîãî íàáîðà, îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðèåì ñòóäåíòîâ èç ÷èñëà âûïóñêíèêîâ êîëëåäæåé, îáó÷àâøèõñÿ ïî ðîäñòâåííûì ñïåöèàëüíîñòÿì íà óñêîðåííîå (4 ãîäà) ïîëó÷åíèå âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ. Îáó÷åíèå ïëàòíîå. Îòáîð ñòóäåíòîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ñîáåñåäîâàíèþ. Îáðàçöû çàäàíèé ñîáåñåäîâàíèÿ òàêæå ïðèâåäåíû â ïîñîáèè. Íà ýêîíîìè÷åñêèé ôàêóëüòåò âñòóïèòåëüíîå èñïûòàíèå ïî ìàòåìàòèêå ïðîâîäèëîñü â ôîðìå ïèñüìåííîãî ýêçàìåíà, â êîòîðîì ïðåäëàãàëîñü ÷åòûðå çàäàíèÿ, íà âûïîëíåíèå êîòîðûõ îòâîäèëîñü 4 àñòðîíîìè÷åñêèõ ÷àñà (240 ìèí.). Âñòóïèòåëüíûå èñïûòàíèÿ ïî ìàòåìàòèêå íà ãåîëîãî-ãåîãðàôè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ïðîâîäèëèñü â ôîðìå òåñòèðîâàíèÿ. Òåñòû ñîäåðæàëè 15 çàäàíèé, íà êîòîðûå îòâîäèëèñü 3 àêàäåìè÷åñêèõ ÷àñà (135 ìèí.).
6
Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò Ñïåöèàëüíîñòè ¾Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà¿, ¾Èíôîðìàöèîííûå ñèñòåìû è òåõíîëîãèè¿
Ïðàêòè÷åñêèé ýêçàìåí Âàðèàíò 1
1. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
x2 + x − 3 = |x + 1|. Îòâåò: x = 2,
x = −1 −
√
3.
2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: 1
2
3log3 x + x logx 3 6 6. Îòâåò: [1/3; 1) ∪ (1; 3]. 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
1 + sin 2x −
√
2(sin x + cos x) = 0.
π π + πn, n ∈ Z; x = + 2πk , k ∈ Z. 4 4 4.  ïðàâèëüíóþ òðåóãîëüíóþ ïèðàìèäó âïèñàí øàð. Äëèíà ñòîðîíû îñíîÎòâåò: x = −
âàíèÿ ðàâíà 6 ñì, à âûñîòà ïèðàìèäû ðàâíà 3 ñì. Íàéòè ðàäèóñ âïèñàííîãî øàðà.
Îòâåò: R = 1 ñì. Âàðèàíò 2
1. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
x2 + x − 5 = |2x + 1|. Îòâåò: x = 3,
x = −4.
2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: 2
1
3 · 2log2 x + x logx 2 6 8. Îòâåò:[1/2; 1) ∪ (1; 2]
7
3. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
1 − sin 4x +
√
2(cos 2x − sin 2x) = 0.
3π π πn + , n ∈ Z; x = + πk , k ∈ Z. 8 2 8 4.  ïðàâèëüíóþ ÷åòûðåõóãîëüíóþ ïèðàìèäó âïèñàí øàð. Äëèíà ñòîðîíû Îòâåò: x =
îñíîâàíèÿ ðàâíà 10 ñì, à ïëîùàäü áîêîâîé ãðàíè ðàâíà 50 ñì2 . Íàéòè ðàäèóñ âïèñàííîãî øàðà.
√ Îòâåò: R = (5 3)/3 ñì. Âàðèàíò 3
1. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
Îòâåò: x = 1;
x2 + 3x − 2 = |3x − 1|. √ x = −3 − 12.
2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: 2
1
5log5 x + 2 · x logx 5 6 15. Îòâåò: [1/5; 1) ∪ (1; 5]. 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
1 1 − sin 2x + √ (sin x − cos x) = 0. 2 π π π + πn, n ∈ Z; x = + (−1)k+1 + πk , k ∈ Z. 4 4 6 4. Â ïðàâèëüíóþ òðåóãîëüíóþ ïèðàìèäó âïèñàí øàð, ðàäèóñ êîòîðîãî ðàâåí √ 3 ñì. Ñòîðîíà îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû ðàâíà 12 ñì. Íàéòè îáúåì ïèðàìèäû. Îòâåò: x =
Îòâåò: V = 96 ñì3 . Âàðèàíò 4
1. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
Îòâåò: x = 2;
x=
1−
√ 4
2x2 − 2x − 3 = |x − 1|. 33
.
8
2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: 2
1
2 · 7log7 x − x logx 7 6 7. Îòâåò: [1/7; 1) ∪ (1; 7]. 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
r
1 + sin 6x −
3 (cos 3x + sin 3x) = 0. 2
π πn π π πk + , n ∈ Z; x = − + (−1)k + , k ∈ Z. 12 3 12 9 3 4.  ïðàâèëüíóþ ÷åòûðåõóãîëüíóþ ïèðàìèäó âïèñàí øàð, ðàäèóñ êîòîðîãî Îòâåò: x = −
ðàâåí 2 ñì. Ñòîðîíà îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû ðàâíà 8 ñì. Íàéòè äëèíó áîêîâîãî ðåáðà.
Îòâåò: ` =
4√ 34 ñì. 3 Àâòîðñêîå ðåøåíèå çàäàíèé âàðèàíòà 1
1. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
x2 + x − 3 = |x + 1|. Ðåøåíèå. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ, ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ 1) Ïóñòü x > −1. Òîãäà |x + 1| = x + 1 è óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
x2 + x − 3 = x + 1, x2 = 4. Îòñþäà
x = ±2. Ïîñêîëüêó x > −1, òî ïîëó÷àåì åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x = 2. 2) Ïóñòü x < −1. Òîãäà |x + 1| = −x − 1 è óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
x2 + x − 3 = −x − 1, x2 + 2x − 2 = 0. Îòñþäà
√ √ −2 ± 12 x= = −1 ± 3. 2
9
Ïîñêîëüêó x < −1, òî ïîëó÷àåì åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x = −1 −
Îòâåò: x = 2,
x = −1 −
√
√
3.
3.
2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: 1
2
3log3 x + x logx 3 6 6. Ðåøåíèå. ÎÄÇ: x > 0, x 6= 1. 1 Ó÷èòûâàÿ, ÷òî = log3 x, ïåðåïèøåì èñõîäíîå óðàâíåíèå â âèäå logx 3 2
3log3 x + xlog3 x 6 6 èëè
¡
3log3 x
¢log3 x
+ xlog3 x 6 6
Ïîñêîëüêó 3log3 x = x, òî ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
2 · xlog3 x 6 6, xlog3 x 6 3. Ïðîëîãàðèôìèðîâàâ äàííîå óðàâíåíèå ïî îñíîâàíèþ 3, ïîëó÷èì
¡ ¢ log3 xlog3 x 6 log3 3. Îòñþäà
log23 x 6 1, −1 6 log3 x 6 1. 1 log3 6 log3 x 6 log3 3. 3 Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ y = log3 x âîçðàñòàåò. òî 1 6 x 6 3. 3 Ñ ó÷åòîì ÎÄÇ èìååì: x ∈ [1/3; 1) ∪ (1; 3].
Îòâåò: x ∈ [1/3; 1) ∪ (1; 3].
10
3. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
1 + sin 2x −
√
2(sin x + cos x) = 0.
Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî
1 + sin 2x = sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x = (sin x + cos x)2 Òîãäà èñõîäíîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
(sin x + cos x)2 −
√
2(sin x + cos x) = 0, √ (sin x + cos x)(sin x + cos x − 2) = 0,
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè äâóõ óðàâíåíèé
"
sin x + cos x = 0, √ sin x + cos x − 2 = 0.
Ðåøèì êàæäîå èç ýòèõ óðàâíåíèé îòäåëüíî. 1) sin x + cos x = 0
π +πk , k ∈ Z íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ, ðàçäåëèì 2 îáå åãî ÷àñòè íà cos x è ïîëó÷èì Òàê êàê x =
1) sin x + cos x =
√
tg x = −1, π x = − + πn, n ∈ Z. 4 2
Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðèìåíèì ìåòîä âñïîìîãàòåëüíîãî óãëà. Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè íà
√
2. Ïîëó÷èì √ √ 2 2 sin x + cos x = 1 2 2
èëè
π π sin x + sin cos x = 1. 4 4 Ïðèìåíèâ ôîðìóëó ¾ñèíóñ ñóììû¿, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ ³ π´ sin x + = 1. 4 cos
11
Îòñþäà
π π = + 2πk, k ∈ Z 4 2 π x = + 2πk, k ∈ Z. 4
x+
Îòâåò: x = −
π + πn, n ∈ Z; 4
x=
π + 2πk , k ∈ Z.. 4
4. Â ïðàâèëüíóþ òðåóãîëüíóþ ïèðàìèäó âïèñàí øàð. Äëèíà ñòîðîíû îñíîâàíèÿ ðàâíà 6 ñì, à âûñîòà ïèðàìèäû ðàâíà 3 ñì. Íàéòè ðàäèóñ âïèñàííîãî øàðà.
Ðåøåíèå. Òàê êàê O öåíòð âïèñàííîãî øàðà, òî òî÷êà O ëåæèò íà âûñîòå
SO1 ïèðàìèäû è êðîìå òîãî ëó÷ DO ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé óãëà O1 DE . Ïóñòü ∠O1 DE = α. Òîãäà ∠O1 DO = α/2. Ïîñêîëüêó ïèðàìèäà ABCS ïðàâèëüíàÿ, òî âûñîòà SO1 ïðîåêòèðóåòñÿ â öåíòð
S
¯ABS ¯ BAS ¯ BAS ¯ BAS ¯ BA S ¯ B A S ¯ B A S ¯ ¯ B AE S ¯ B A S r ¯ S B A ¯ S O B A ¯ SC B A ¯ ¯ B ¯ A ¯ A HH B r A HH B α A¯¯ HHO1 D B ¯ HH B ¯ HH B HHB¯¯
B
îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â îñíîâàíèå. Òàê êàê O1 D ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ABC , òî
√
O1 D = AB
3 √ = 3 ñì. 6
Ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
SO1 D (∠O1 = 90◦ ). Èìååì tg α =
√ SO1 3 = √ = 3. DO1 3
Ñëåäîâàòåëüíî, α = 60◦ . Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ODO1 (∠O1 = 90◦ ). Ðàäèóñ R âïèñàííîãî øàðà ðàâåí
√ √ 3 α √ = 1 ñì. R = OO1 = O1 D tg = 3 tg 30◦ = 3 2 3
Îòâåò: R = 1 ñì.
12
Òåîðåòè÷åñêèé ýêçàìåí (îáðàçöû ýêçàìåíàöèîííûõ áèëåòîâ) Ýêçàìåíàöèîííûé áèëåò 1
1. Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè. 2. Ïðèçíàê ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå: cos2 3x + cos2 4x + cos2 5x = 3/2. 4. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè: y = | log5 |x − 1||. Ýêçàìåíàöèîííûé áèëåò 5
1. Ôîðìóëû êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ. 2. Òåîðåìà Ïèôàãîðà. 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå: 3 ctg2 x = 2 tg2 x − 5. 4. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè: y = log3
p
(x + 1)2 .
Ýêçàìåíàöèîííûé áèëåò 12
1. Ñâîéñòâà ôóíêöèè y = k/x è åå ãðàôèê. 2. Îêðóæíîñòü, âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê. 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå: log3 (log21/2 x − 3 log1/2 x + 5) = 2.
µ
¶ 1 4. Âû÷èñëèòü: tg arcsin . 3
Ýêçàìåíàöèîííûé áèëåò 24
1. Ñâîéñòâà ôóíêöèè y = ax2 + bx + c. 2. Èçìåðåíèå óãëà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü. 2
3. Ðåøèòü óðàâíåíèå: 2cos 2x + 4 = 3 ·¯ 2cos x .
¯ ¯ ¯ 1 − 1¯¯. 4. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè: y = ¯¯ x+2
13
Ñîáåñåäîâàíèå äëÿ ìåäàëèñòîâ è ðàáîòàþùèõ ïî ïðîôèëþ ñïåöèàëüíîñòè ¾Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà¿; ¾Èíôîðìàöèîííûå ñèñòåìû è òåõíîëîãèè¿
(îáðàçöû çàäàíèé) Âàðèàíò 5
1. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè:
y=
√
4 + 3x − x2 .
2 sin3 x + sin2 x + 2 sin x − 1 = 0. ¯ ¯ 3. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: ¯|x − 7| − 4¯ < 4. 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
4. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè:
y = log3 |x − 5|.
5. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà 6 ñì2 , à ãèïîòåíóçà ðàâíà 5 ñì. Íàéòè äëèíû êàòåòîâ.
Ñîáåñåäîâàíèå äëÿ ïîñòóïàþùèõ íà êîììåð÷åñêîé îñíîâå
(îáðàçöû çàäàíèé) Âàðèàíò 1
1. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
x2 + 3x − 4 < 0. 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0.
3. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè:
y = log5 |x − 2|.
Âàðèàíò 2
1. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
x2 + x − 12 > 0. 3 cos2 x + 5 cos x − 2 = 0.
3. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè:
y = | lg x| + 2.
Âàðèàíò 3
1. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
x2 − 6x − 5 < 0. 4 sin2 x − 5 sin x + 1 = 0.
3. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè:
y = log2 |x + 1|.
14
Ýêîíîìè÷åñêèé ôàêóëüòåò Ñïåöèàëüíîñòè ¾Ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ¿, ¾Ìåíåäæìåíò¿, ¾Ìèðîâàÿ ýêîíîìèêà¿, ¾Óïðàâëåíèå ïåðñîíàëîì¿
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí Âàðèàíò 1
1. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
2 sin2 x − 3 sin x cos x + 3 cos2 x = 1. Îòâåò: x = π/4 + πn, n ∈ Z,
x = arctg 2 + πk , k ∈ Z.
2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
log1/2 log3 (x2 − 1) > 0. √ √ Îòâåò: (−2; − 2) ∪ ( 2; 2). 3. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè:
s
y=
(1 − x)(x − 5) . |x − 2|
Îòâåò: [1; 2) ∪ (2; 5]. 4. Çàðïëàòà ñîòðóäíèêà ïîâûøàëàñü 2 ðàçà, ïðè÷åì ïðîöåíò ïîâûøåíèÿ âî âòîðîé ðàç áûë âäâîå áîëüøå, ÷åì â ïåðâûé ðàç. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ïîâûøàëàñü çàðïëàòà êàæäûé ðàç, åñëè äî ïåðâîãî ïîâûøåíèÿ îíà ñîñòàâëÿëà 5000 ðóáëåé, à ïîñëå âòîðîãî ïîâûøåíèÿ ñîñòàâèëà 6600 ðóáëåé?
Îòâåò: 10%; 20%. Âàðèàíò 2
1. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
3 sin2 x − sin x cos x − 4 cos2 x = 2. Îòâåò: x = arctg 3 + πn, n ∈ Z,
x = − arctg 2 + πk , k ∈ Z.
15
2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
log1/3 log5 (4x2 − 3) > 0. √ √ Îòâåò: (− 2; −1) ∪ (1; 2). 3. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè:
s
(x − 3)(6 − x) . |x − 5|
y= Îòâåò: [3; 5) ∪ (5; 6].
4. Íà ñ÷åò â áàíêå ïîëîæèëè 10 òûñÿ÷ ðóáëåé. ×åðåç ãîä íà ñ÷åò äîáàâèëè åùå
10 òûñÿ÷ ðóáëåé. Åùå ÷åðåç ãîä íà ñ÷åòå îêàçàëîñü 30800 ðóáëåé. Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ íà÷èñëèë áàíê â ïåðâûé ãîä, åñëè çà âòîðîé ãîä áûëî íà÷èñëåíî â äâà ðàçà áîëüøå ïðîöåíòîâ?
Îòâåò: 20%; 40%. Âàðèàíò 3
1. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
sin2 x + 7 sin x cos x − 5 cos2 x = −1. Îòâåò: x = arctg(1/2) + πn, n ∈ Z,
x = − arctg 4 + πk , k ∈ Z.
2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
log1/4 log7 (2x2 − 1) > 0. Îòâåò: (−2; −1) ∪ (1; 2). 3. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè:
s
y= Îòâåò: [−2; 1) ∪ (1; 7].
(x + 2)(7 − x) . |x − 1|
16
4. Íà ñ÷åò â áàíêå ïîëîæèëè 30 òûñÿ÷ ðóáëåé. ×åðåç ãîä ñíÿëè 10 òûñÿ÷ ðóáëåé.  êîíöå âòîðîãî ãîäà íà ñ÷åòå îêàçàëîñü 27600 ðóáëåé. Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ íà÷èñëèë áàíê çà êàæäûé ãîä, åñëè çà âòîðîé ãîä áûëî íà÷èñëåíî â äâà ðàçà áîëüøå ïðîöåíòîâ?
Îòâåò: 10%; 20%. Âàðèàíò 4
1. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
sin2 x + 2 sin x cos x − 3 cos2 x = −2. π + πn, n ∈ Z, 4 2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: Îòâåò: x = −
x = arctg
1 + πk , k ∈ Z. 3
log1/6 log2 (x2 − 3) > 0. √ √ Îòâåò: (− 5; −2) ∪ (2; 5). 3. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè:
s
y=
(x − 2)(9 − x) . |x − 4|
Îòâåò: [2; 4) ∪ (4; 9]. 4. Öåíà íà íåêîòîðîå èçäåëèå ïîâûøàëàñü äâàæäû, ïðè÷åì ïðîöåíò ïîâûøåíèÿ âî âòîðîé ðàç áûë âäâîå ìåíüøå, ÷åì â ïåðâûé ðàç. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ïîâûøàëàñü öåíà â ïåðâûé ðàç, åñëè äî ïåðâîãî ïîâûøåíèÿ èçäåëèå ñòîèëî
1000 ðóáëåé, à ïîñëå âòîðîãî ñòàëî ñòîèòü 2080 ðóáëåé. Îòâåò: 60%.
17
Àâòîðñêîå ðåøåíèå çàäàíèé âàðèàíòà 1
1. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
2 sin2 x − 3 sin x cos x + 3 cos2 x = 1. Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî, ïåðåïèøåì óðàâíåíèå â âèäå
2 sin2 x − 3 sin x cos x + 3 cos2 x = sin2 x + cos2 x, sin2 x − 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 0. π +πk , k ∈ Z íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ, ðàçäåëèì 2 îáå åãî ÷àñòè íà cos2 x è ïîëó÷èì Òàê êàê x =
tg2 x − 3 tg x + 2 = 0. Ïîëàãàÿ tg x = t, ïîëó÷èì
t2 − 3t + 2 = 0 t1 = 1;
t2 = 2.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì äâà óðàâíåíèÿ 1) tg x = 1
x=
π + πn, n ∈ Z, 4
2) tg x = 2
x = arctg 2 + πk, k ∈ Z. Îòâåò: x =
π + πn, n ∈ Z; x = arctg 2 + πk , k ∈ Z. 4
2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
log1/2 log3 (x2 − 1) > 0. Ðåøåíèå. Íàéäåì ÎÄÇ: ( x2 − 1 > 0
log3 (x2 − 1) > 0
( ⇐⇒
(
2
x −1>0 x2 − 1 > 1
⇐⇒
x2 > 1 x2 > 2
⇐⇒
18
√ √ ⇐⇒ x2 > 2 ⇐⇒ x ∈ (−∞; − 2) ∪ ( 2; ∞) Äëÿ ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà ïåðåïèøåì åãî â âèäå
log1/2 log3 (x2 − 1) > log1/2 1. Òàê êàê ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ îñíîâàíèåì 1/2 ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé, òî èìååì íåðàâåíñòâî
log3 (x2 − 1) < 1. log3 (x2 − 1) < log3 3, x2 − 1 < 3, x2 < 4, −2 < x < 2. √
√
Ñ ó÷åòîì ÎÄÇ îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì, ÷òî x ∈ (−2; − 2) ∪ ( 2; 2).
√ √ Îòâåò: x ∈ (−2; − 2) ∪ ( 2; 2).
3. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè:
s
y=
(1 − x)(x − 5) . |x − 2|
Ðåøåíèå. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ñîñòîèò èç òåõ è òîëüêî òåõ çíà÷åíèé
x, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó (1 − x)(x − 5) > 0. |x − 2| Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå
(
(1 − x)(x − 5) > 0 |x − 2| 6= 0
(
⇐⇒
(x − 1)(x − 5) 6 0 x 6= 2
Ðåøèì íåðàâåíñòâî (x − 1)(x − 5) 6 0 ìåòîäîì èíòåðâàëîâ
+
−
r ¡ b¡ ¡ ¡ ¡
1
2
r
5
+-
19
Çàòåì èç ïðîìåæóòêà [1; 5] íóæíî èñêëþ÷èòü òî÷êó x = 2. Òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì, ÷òî x ∈ [1; 2) ∪ (2; 5].
Îòâåò: x ∈ [1; 2) ∪ (2; 5]. 4. Çàðïëàòà ñîòðóäíèêà ïîâûøàëàñü 2 ðàçà, ïðè÷åì ïðîöåíò ïîâûøåíèÿ âî âòîðîé ðàç áûë âäâîå áîëüøå, ÷åì â ïåðâûé ðàç. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ïîâûøàëàñü çàðïëàòà êàæäûé ðàç, åñëè äî ïåðâîãî ïîâûøåíèÿ îíà ñîñòàâëÿëà 5000 ðóáëåé, à ïîñëå âòîðîãî ïîâûøåíèÿ ñîñòàâèëà 6600 ðóáëåé?
Ðåøåíèå. Ïóñòü â ïåðâûé ðàç çàðïëàòà âîçðîñëà íà x%. Òîãäà âî âòîðîé ðàç çàðïëàòà âîçðîñëà íà 2x%. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå ïåðâîãî ïîâûøåíèÿ çàðïëàòà ñîñòàâèëà 5000+50x ðóáëåé. Ïîñëå âòîðîãî ïîâûøåíèÿ çàðïëàòà ñîñòàâèëà
5000 + 50x +
5000 + 50x · 2x 100
ðóáëåé. À ïî óñëîâèþ çàäà÷è ýòà ñóììà ðàâíà 6600 ðóáëåé. Ñîñòàâèì óðàâíåíèå.
5000 + 50x · 2x = 6600 100 5000 + 150x + x2 = 6600
5000 + 50x +
x1,2
x2 + 150x − 1600 = 0 √ −150 ± 22500 + 4 · 1600 −150 ± 170 = = 2 2 x1 = 10; x2 = −160.
Çíà÷åíèå x2 = −160 íå ïîäõîäèò ïî ñìûñëó çàäà÷è. Òàêèì îáðàçîì, çà ïåðâûé ãîä çàðïëàòà óâåëè÷èëàñü íà 10%, à çà âòîðîé, ñîîòâåòñòâåííî, íà 20%.
Îòâåò: 10%; 20%.
Ñïåöèàëüíîñòè ¾Ôèíàíñû è êðåäèò¿, ¾Áóõó÷åò, àíàëèç è àóäèò¿ Âàðèàíò 1
1. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
p
5 − x2 = x − 1.
Îòâåò: x = 2.
20
2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
µ ¶|x−1| µ ¶|x−3| 1 1 < . 2 2
Îòâåò: (2; ∞). 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
sin Îòâåò: x = πn, n ∈ Z,
3x x + cos 2x = 1 − sin . 2 2
x = π + 2πk , k ∈ Z,
x = (−1)m π/3 + 2πm, m ∈ Z.
4. Âêëàä÷èê âíåñ â áàíê íåêîòîðóþ ñóììó. Óñëîâèÿ äîãîâîðà ïðåäóñìàòðèâàþò åæåãîäíîå íà÷èñëåíèå ïðîöåíòîâ íà âñþ èìåþùóþñÿ íà ñ÷åòå ñóììó. ×åðåç ãîä âêëàä÷èê äîáàâèë 1/4 ïîëîæåííîé ïåðâîíà÷àëüíî ñóììû. Åùå ÷åðåç ãîä âêëàä ñîñòàâèë 1,74 îò ïåðâîíà÷àëüíîé ñóììû. Êàêîâ ïðîöåíò ãîäîâûõ â áàíêå?
Îòâåò: 20%. Âàðèàíò 2
1. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
p
x2 − 3 = 5 − 2x.
Îòâåò: x = 2. 2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
µ ¶|x−4| µ ¶|x+2| 1 1 > . 3 3
Îòâåò: (1; ∞). 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
sin x − cos 2x + sin 3x = 1. π π + πn, n ∈ Z, x = (−1)k + πk , k ∈ Z. 2 6 4. Âêëàä÷èê âíåñ â áàíê íåêîòîðóþ ñóììó. Óñëîâèÿ äîãîâîðà ïðåäóñìàòðèÎòâåò: x =
âàþò åæåãîäíîå íà÷èñëåíèå ïðîöåíòîâ íà âñþ èìåþùóþñÿ íà ñ÷åòå ñóììó.
21
×åðåç ãîä âêëàä÷èê âçÿë ïîëîâèíó ïîëîæåííîé ïåðâîíà÷àëüíî ñóììû. Åùå ÷åðåç ãîä âêëàä ñîñòàâèë 1,04 îò ïåðâîíà÷àëüíîé ñóììû. Êàêîâ ïðîöåíò ãîäîâûõ â áàíêå?
Îòâåò: 30%. Âàðèàíò 3
1. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
p
7 − 3x2 = x + 1.
Îòâåò: x = 1. 2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
µ ¶|x+5| µ ¶|x+3| 1 1 < . 5 5
Îòâåò: (−4; ∞). 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
sin 6x + cos 8x = 1 − sin 2x. πn π πm π πk , n ∈ Z, x = + , m ∈ Z, x = (−1)k + , k ∈ Z. 4 4 2 12 2 4. Âêëàä÷èê âíåñ â áàíê íåêîòîðóþ ñóììó. Óñëîâèÿ äîãîâîðà ïðåäóñìàòðèÎòâåò: x =
âàþò åæåãîäíîå íà÷èñëåíèå ïðîöåíòîâ íà âñþ èìåþùóþñÿ íà ñ÷åòå ñóììó. ×åðåç ãîä âêëàä÷èê ñíÿë ïîëîâèíó íà÷èñëåííûõ çà ãîä ïðîöåíòîâ. Åùå ÷åðåç ãîä âêëàä ñîñòàâèë 1,32 îò ïåðâîíà÷àëüíîé ñóììû. Êàêîâ ïðîöåíò ãîäîâûõ â áàíêå?
Îòâåò: 20%. Âàðèàíò 4
1. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
Îòâåò: x = 1.
p
3x2 − 2 = 3 − 2x.
22
2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
µ ¶|x+1| µ ¶|x−2| 1 1 > 6 6
Îòâåò: (−∞; 1/2). 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
cos 2x + cos 6x − cos 8x = 1 πm π πk , m ∈ Z, x = + , k ∈ Z. 3 8 4 4. Âêëàä÷èê âíåñ â áàíê íåêîòîðóþ ñóììó. Óñëîâèÿ äîãîâîðà ïðåäóñìàòðèÎòâåò: x = πn, n ∈ Z,
x=
âàþò åæåãîäíîå íà÷èñëåíèå ïðîöåíòîâ íà âñþ èìåþùóþñÿ íà ñ÷åòå ñóììó. ×åðåç ãîä âêëàä÷èê äîáàâèë ñóììó, ðàâíóþ ñóììå íà÷èñëåííûõ çà ãîä ïðîöåíòîâ. Åùå ÷åðåç ãîä âêëàä ñîñòàâèë 2,52 îò ïåðâîíà÷àëüíîé ñóììû. Êàêîâ ïðîöåíò ãîäîâûõ â áàíêå?
Îòâåò: 40%. Àâòîðñêîå ðåøåíèå çàäàíèé âàðèàíòà 1
1. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
√
5 − x2 = x − 1.
Ðåøåíèå. Íàéäåì ÎÄÇ:
√ √ 5 − x2 > 0 ⇐⇒ x2 6 5 ⇐⇒ − 5 6 x 6 5. Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ âîçâåäåì îáå åãî ÷àñòè â êâàäðàò. Ïîëó÷èì
5 − x2 = (x − 1)2 5 − x2 = x2 − 2x + 1 2x2 − 2x − 4 = 0 x2 − x − 2 = 0 x1 = 2;
x2 = −1.
Çàìåòèì, ÷òî îáà êîðíÿ ïðèíàäëåæàò ÎÄÇ. Îäíàêî, ïîñêîëüêó âîçâåäåíèå â êâàäðàò íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñèëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì (îíî ìîæåò ïðèâåñòè ê ïîÿâëåíèþ ïîñòîðîííèõ êîðíåé), íåîáõîäèìî ñäåëàòü ïðîâåðêó.
23
Ïðîâåðêà. 1) x1 = 2
√
5−4 = 2−1 1 = 1
Ïîëó÷åíî âåðíîå ðàâåíñòâî, ñëåäîâàòåëüíî x1 = 2 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. 2) x2 = −1
√
5 − 1 = −1 − 1 2 = −2
Ïîëó÷åíî íåâåðíîå ðàâåíñòâî, ñëåäîâàòåëüíî x2 = −1 ÿâëÿåòñÿ ïîñòîðîííèì êîðíåì.
Îòâåò: x = 2. 2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
µ ¶|x−1| µ ¶|x−3| 1 1 < . 2 2
Ðåøåíèå. Òàê êàê ôóíêöèÿ y = (1/2)x ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé, òî èñõîäíîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó
|x − 1| > |x − 3|.  ñâîþ î÷åðåäü îíî ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó:
(x − 1)2 > (x − 3)2 x2 − 2x − 1 > x2 − 6x + 9 4x > 8 x > 2. Îòâåò: x ∈ (2; ∞).
24
3. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
sin
3x x + cos 2x = 1 − sin . 2 2
Ðåøåíèå. Ïåðåïèøåì èñõîäíîå óðàâíåíèå â âèäå µ ¶ 3x x sin + sin − (1 − cos 2x) = 0 2 2 Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó sin α + sin β = 2 sin
(α+β) 2
cos (α−β) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî 2
1 − cos 2x = 2 sin2 x, ïîëó÷èì x 2 sin x cos − 2 sin2 x = 0 ³ 2x ´ 2 sin x cos − sin x = 0 2 x x cos , èìååì 2 2 ³ x x x´ 2 sin x cos − 2 sin cos =0 2³ 2 ´ 2 x x 2 sin x cos 1 − 2 sin =0 2 2
Äàëåå, ó÷èòûâàÿ, ÷òî sin x = 2 sin
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè òðåõ óðàâíåíèé
x = πn, n ∈ Z sin x = 0 x π = + πk, k ∈ Z cos x = 0 ⇐⇒ 2 2 x x 1 1 − 2 sin = 0 sin = 2 2 2 x = πn, n ∈ Z x = πn, n ∈ Z x = π + 2πk, k ∈ Z k∈Z ⇐⇒ x = π + 2πk, x π π x = (−1)m + 2πm, m ∈ Z = (−1)m + πm, m ∈ Z 2 6 3 Îòâåò: x = πn, n ∈ Z, x = π + 2πk , k ∈ Z, x = (−1)m π/3 + 2πm, m ∈ Z. 4. Âêëàä÷èê âíåñ â áàíê íåêîòîðóþ ñóììó. Óñëîâèÿ äîãîâîðà ïðåäóñìàòðèâàþò åæåãîäíîå íà÷èñëåíèå ïðîöåíòîâ íà âñþ èìåþùóþñÿ íà ñ÷åòå ñóììó. ×åðåç ãîä âêëàä÷èê äîáàâèë 1/4 ïîëîæåííîé ïåðâîíà÷àëüíî ñóììû. Åùå ÷åðåç
25
ãîä âêëàä ñîñòàâèë 1,74 îò ïåðâîíà÷àëüíîé ñóììû. Êàêîâ ïðîöåíò ãîäîâûõ â áàíêå?
Ðåøåíèå. Ïðèìåì ïåðâîíà÷àëüíûé âêëàä çà 100%. Ïóñòü åæåãîäíîå íà÷èñëåíèå ñîñòàâëÿåò x%. Ó÷èòûâàÿ íà÷èñëåííûå çà ïåðâûé ãîä ïðîöåíòû è òî, ÷òî âêëàä÷èê äîáàâèë 1/4 ïåðâîíà÷àëüíîé ñóììû, ÷åðåç ãîä âêëàä ñîñòàâèë
100 + x + 25 = 125 + x ïðîöåíòîâ îò ïåðâîíà÷àëüíîé ñóììû. Òîãäà åùå ÷åðåç ãîä âêëàä ñîñòàâèë
125 + x · x)% 100 îò ïåðâîíà÷àëüíîé ñóììû. À ïî óñëîâèþ çàäà÷è ýòî 174%. Ñîñòàâèì óðàâíå(125 + x +
íèå
125 + x · x = 174 100 100x + (125 + x) · x − 4900 = 0
125 + x +
x2 + 225x − 4900 = 0 √
2252 + 4 · 4900 −225 ± 265 = 2 2 Òàêèì îáðàçîì, x1 = 20; x2 = −245. Çíà÷åíèå x2 = −245 íå ïîäõîäèò ïî x1,2 =
ñìûñëó çàäà÷è.
Îòâåò: 20%.
−225 ±
26
Ãåîëîãî-ãåîãðàôè÷åñêèé ôàêóëüòåò Òåñò ïî ìàòåìàòèêå Âàðèàíò 1
Çàäàíèÿ 1
Íàéòè 4% îò ÷èñëà 120
2
Âû÷èñëèòü:
3
µ
¶
1 1 3 − · 3 5 4 Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: 2x + 3 > 9
Âàðèàíòû îòâåòîâ à) 3,7; á) 4,8;
â) 5; ã) 6,5
4 3 1 1 ; á) ; â) ; ã) 15 7 10 3 à) (1; 2); á) (3; ∞); à)
â) (1; ∞); ã) (−1; 4) 4 5 6
Ðåøèòü óðàâíåíèå: x2 − 5x + 6 = 0
à) 2; 3;
á) −1; 4;
â) 6; 5;
ã) 3; −2
Íàéòè äëèíó ãèïîòåíóçû, åñëè
à) 7 ñì; á) 1 ñì;
äëèíû êàòåòîâ 3 ñì è 4 ñì
â) 6 ñì; ã) 5 ñì
Íàéòè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà,
à) 4;
á) 6; â) 3;
ã) 2
îãðàíè÷åííîãî ëèíèÿìè:
x = 0; y = 0; 2x + 3y = 6 7 8
Íàéòè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè
à) 45◦ ;
~a = (3; 0; 1) è ~b = (−1; 2; 3)
ã) 90◦
Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè à) (−3; 2)
y = log2 9
á) 60◦ ; â) 30◦ ;
√
6 − x − x2
Íàéòè ñóììó êîðíåé óðàâíåíèÿ
; á) (0; 3);
â) (−4; 0); ã) (1; 6) à) 7;
á) −1;
â) 4; ã) 0
lg |x − 2| = lg 3 10
11
Ðåøèòü íåðàâåíñòâî
µ ¶√x−5 µ ¶√7−x 1 1 6 3 3µ ¶ 1 π − arcsin Âû÷èñëèòü: sin 2 4
à) [5; 7]; á) [6; 7]; â) [−3; 0]; à) 1; ã)
12
√
á)
√
ã) [1; 5]
3/2; â) 3/4;
15/4
Óïðîñòèòü âûðàæåíèå:
à) 3;
á) cos x; â) 0;
2 sin4 x + 2 cos4 x + sin2 2x + 1
ã) sin 2x
27
Çàäàíèÿ 13 14
Âàðèàíòû îòâåòîâ
Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à) (2; ∞); á) 3;
|x − 7| − |x + 2| = 9
ã) (−∞; −2]
Ðåøèòü óðàâíåíèå:
3 sin x + cos
³π 2
´
√
−x =2 2
â) −4;
à) πk , k ∈ Z; á) π/3 + 2πk , k ∈ Z; â) (−1)k π/4 + πk , k ∈ Z; ã) π/8 + πk , k ∈ Z
15
Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà α
√
√
√
√
à) |α| > 2 2; á) |α| 6 2 2;
óðàâíåíèå x2 + αx + 2 = 0 èìååò äâà â) |α| > 2 2; ã) |α| < 2 2 ðàçëè÷íûõ âåùåñòâåííûõ êîðíÿ
Îòâåòû: 1á, 2â, 3á, 4à, 5ã, 6â, 7ã, 8à, 9â, 10á, 11ã, 12à, 13ã, 14â, 15à. Âàðèàíò 2
Çàäàíèÿ 1
Íàéòè 3% îò ÷èñëà 130
2
Âû÷èñëèòü:
3
µ
¶
1 1 5 − · 2 5 6 Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: 3x + 1 > 7
Âàðèàíòû îòâåòîâ à) 3,1; á) 3,9; â) 5,5; ã) 2,7
1 5 3 1 ; á) ; â) ; ã) 4 9 5 6 à) (2; ∞); á) (1; 2); à)
â) (−8; 2); ã) (0; 6) 4
Ðåøèòü óðàâíåíèå: x2 − 2x − 3 = 0
à) 2; 5;
á) −1; 3;
â) −1; 5; ã) 0; 4 5 6
Íàéòè äëèíó ãèïîòåíóçû, åñëè
à) 10 ñì;
á) 9 ñì;
äëèíû êàòåòîâ 6 ñì è 8 ñì
â) 5 ñì; ã) 7 ñì
Íàéòè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà,
à) 5;
á) 4; â) 2;
ã) 6
îãðàíè÷åííîãî ëèíèÿìè:
x = 0; y = 0; 2x + y = 4 7 8
Íàéòè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè
à) 45◦ ;
~a = (2; −1; 2) è ~b = (1; 4; 1)
ã) 30◦
Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè à) (0; 2)
y = log3
√
2 − x − x2
á) 60◦ ; â) 90◦ ; ; á) (−2; 1);
â) (1; 2); ã) (−2; 5)
28
Çàäàíèÿ 9
Âàðèàíòû îòâåòîâ
Íàéòè ñóììó êîðíåé óðàâíåíèÿ
à) 0;
á) 2; â) −3; ã) 4
log5 |x − 1| = 2 10
11
Ðåøèòü íåðàâåíñòâî
µ ¶√x−4 µ ¶√8−x 1 1 6 2 2µ ¶ π 1 Âû÷èñëèòü: cos − arccos 2 3
à) [6; 8]; á) [4; 8]; â) [0; 2]; ã) [−8; 6]
ã) 12 13
√
à) −1; á)
√
2/2; â)
√
8/3;
3/2
Óïðîñòèòü âûðàæåíèå:
à) sin 3x; á) 2; â) −2;
2 sin4 3x + 2 cos4 3x + sin2 6x
ã) cos 6x
Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à) 0;
á) 1; â) [0; ∞); ã) −5
|x + 3| − |x − 1| = 2 14
Ðåøèòü óðàâíåíèå:
cos x + 3 sin
³π 2
´
√
−x =2 3
à) 2πk , k ∈ Z; á) ±π/6 + 2πk , k ∈ Z; â) ±π/4 + 2πk , k ∈ Z; ã) π/2 + πk , k ∈ Z
15
Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà α
à) |α| >
óðàâíåíèå x2 + 2αx + 3 = 0 èìååò äâà â) |α| <
√
√
3; á) |α| >
3; ã) |α| 6
√ √
3;
3
ðàçëè÷íûõ âåùåñòâåííûõ êîðíÿ
Îòâåòû: 1á, 2à, 3à, 4á, 5à, 6á, 7â, 8á, 9á, 10à, 11â, 12á, 13à, 14á, 15á. Âàðèàíò 3
Çàäàíèÿ 1
Íàéòè 6% îò ÷èñëà 110
2
Âû÷èñëèòü:
3
µ
¶
1 1 7 − · 2 7 6 Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: 4x + 3 > 7
Âàðèàíòû îòâåòîâ à) 6,6; á) 0,6; â) 5,3; ã) 6,0
5 4 3 5 ; á) ; â) ; ã) 8 9 12 12 à) (3; ∞); á) (−3; 7); à)
â) (1; ∞); ã) (1; 7) 4
Ðåøèòü óðàâíåíèå: x2 − 4x − 21 = 0
à) −7; 4; á) −3; 7; â) 2; 4;
ã) 1; 5
29
Çàäàíèÿ 5 6
Âàðèàíòû îòâåòîâ
Íàéòè äëèíó ãèïîòåíóçû, åñëè
à) 5 ñì; á)
äëèíû êàòåòîâ 1 ñì è 3 ñì
â)
Íàéòè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà,
à) 6;
√
√
10 ñì;
8 ñì; ã) 4 ñì á) 4; â) 3;
ã) 8
îãðàíè÷åííîãî ëèíèÿìè:
x = 0; y = 0; 3x + 4y = 12 7 8
Íàéòè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè
à) 30◦ ;
~a = (2; −2; 0) è ~b = (3; 3; 4)
ã) 60◦
Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè à) (−1; 2)
y = log8 9
á) 90◦ ; â) 45◦ ;
√
2 − x − x2
Íàéòè ñóììó êîðíåé óðàâíåíèÿ
; á) (0; 2);
â) (−2; 1); ã) (1; 5) à) 10; á) 6; â) 0,3; ã) −8
log1/3 |x − 5| = log1/3 2 10
11
Ðåøèòü íåðàâåíñòâî
µ ¶√x−1 µ ¶√5−x 1 1 6 6 6µ ¶ π 2 Âû÷èñëèòü: cos − arccos 2 3
à) [0; 4]; á) [1; 5]; â) [1; 3]; ã) [3; 5] à) â)
12
Óïðîñòèòü âûðàæåíèå:
x x + 4 cos4 + 2 sin2 x 2 2 Ðåøèòü óðàâíåíèå: 4 sin4
13 14
√
5/3; á)
√
2/2;
√
3/3; ã) −1 x à) cos ; á) 4; 2 â) 2; ã) sin x à) (3; ∞); á) 3; â) [0; 3];
|x| + |x − 3| = 3
ã) −2
Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à) (−1)k π/6 + πk , k ∈ Z;
³ π´ sin x − cos x + =1 2
á) 2πk , k ∈ Z; â) (−1)k π/4 + 2πk , k ∈ Z; ã) π/2 + πk , k ∈ Z
15
√
√
√
√
Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà α
à) |α| < 2 5; á) |α| 6 2 5;
óðàâíåíèå x2 + αx + 5 = 0 èìååò äâà
â) |α| > 2 5; ã) |α| > 2 5
ðàçëè÷íûõ âåùåñòâåííûõ êîðíÿ
Îòâåòû: 1à, 2ã, 3â, 4á, 5á, 6à, 7á, 8â, 9à, 10ã, 11à, 12á, 13â, 14à, 15â.
30
Âàðèàíò 4
Çàäàíèÿ 1
Íàéòè 5% îò ÷èñëà 170
2
Âû÷èñëèòü:
3
µ
¶
1 1 4 − · 3 8 5 Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: 5x + 3 > 13
Âàðèàíòû îòâåòîâ à) 9,5; á) 9; â) 10; ã) 8,5
1 3 1 2 ; á) ; â) ; ã) 4 8 6 9 à) (2; ∞); á) (5; ∞); à)
â) (1; 13); 4
Ðåøèòü óðàâíåíèå: x2 − 7x + 10 = 0
à) −1; 10; á) 3; 4; â) 5; 7;
5 6
Íàéòè äëèíó ãèïîòåíóçû, åñëè
ã) (−13; 1)
à)
√
ã) 2; 5
äëèíû êàòåòîâ 2 ñì è 3 ñì
13 ñì; á) 9 ñì; √ â) 5 ñì; ã) 7 ñì
Íàéòè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà,
à) 10; á) 5; â) 2; ã) 4
îãðàíè÷åííîãî ëèíèÿìè:
x = 0; y = 0; 5x + 2y = 10 7 8
Íàéòè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè
à) 45◦ ;
~a = (1; 2; 3) è ~b = (1; −2; 1)
ã) 60◦
Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè à) (2; 5)
y = lg 9
á) 90◦ ; â) 30◦ ;
√
6 + 5x − x2
Íàéòè ñóììó êîðíåé óðàâíåíèÿ
; á) (1; 9);
â) (−1; 5); ã) (−1; 6) à) 4;
á) 9; â) 2;
ã) 6
log7 |x − 3| = log7 8 10
11
Ðåøèòü íåðàâåíñòâî
µ ¶√x−3 µ ¶√11−x 1 1 6 4 4µ ¶ π 3 Âû÷èñëèòü: sin − arcsin 2 5
à) [7; 11]; á) [−3; 9]; â) [3; 8]; ã) [3; 11] à) 3/4; á)
√
3/5; â) 4/5;
ã) −1/2 12
Óïðîñòèòü âûðàæåíèå:
sin4
x 1 x x + cos4 + sin2 4 4 2 2
x 4 x ã) sin 2
à) cos ; á) 2; â) 1;
31
Çàäàíèÿ 13 14
Âàðèàíòû îòâåòîâ
Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à) 5; á) [1; ∞);
|x + 2| − |x − 1| = 3
â) [1; 3]; ã) −7
Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à) 2π/6 + 2πk , k ∈ Z;
³ π´ cos x + 3 sin x + =2 2
á) π + 2πk , k ∈ Z; â) (−1)k π/4 + πk , k ∈ Z; ã) ±π/3 + 2πk , k ∈ Z
15
Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà α
à) |α| 6
óðàâíåíèå x2 − 2αx + 7 = 0 èìååò äâà â) |α| <
√
√
7; á) |α| >
7; ã) |α| >
ðàçëè÷íûõ âåùåñòâåííûõ êîðíÿ
Îòâåòû: 1ã, 2â, 3à, 4ã, 5à, 6á, 7á, 8ã, 9ã, 10à, 11â, 12â, 13á, 14ã, 15ã.
√ √
7;
7
32
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Àâäåé÷èê À.Ã., Äûáèí Â.Á., Åðóñàëèìñêèé ß.Ì., Çàäîðîæíûé À.È., Ìåðìåëüøòåéí Ã.Ã., Ñïèíêî Ë.È., ×åðíÿâñêàÿ È.À. Ïðàêòèêóì ïî ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêå. Ì.: Âóçîâñêàÿ êíèãà, 2000. [2] Áîëòÿíñêèé Â.Ã., Ñèäîðîâ Þ.Â., Øàáóíèí Ì.È. Ëåêöèè è çàäà÷è ïî ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêå. Ì.: Íàóêà, 1974. [3] Ïîòàïîâ Ì.Ê., Àëåêñàíäðîâ Â.Â., Ïàñè÷åíêî Ï.È. Àëãåáðà è àíàëèç ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Ì.: Íàóêà, 1980. [4] Åãåðåâ Â.Ê. è äð. Ñáîðíèê êîíêóðñíûõ çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå äëÿ ïîñòóïàþùèõ âî âòóçû / Ïîä. ðåäàêöèåé Ì.È. Ñêàíàâè. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1978. [5] Àëåêñàíäðîâ Á.È., Ìàêñèìîâ Â.Ì., Ëóðüå Ì.Â., Êîëåñíè÷åíêî À.Â. Ïîñîáèå ïî ìàòåìàòèêå äëÿ ïîñòóïàþùèõ â âóçû. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1972. [6] Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå äëÿ ïîñòóïàþùèõ â âóçû / Ïîä ðåäàêöèåé Ïðèëåïêî À.È. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1983. [7] Öûïêèí À.Ã. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ ñðåäíèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé. Ì.: Íàóêà, 1988. [8] Ïðàñîëîâ Â.Â. Çàäà÷è ïî ïëàíèìåòðèè. Ì.: Íàóêà, 1986. [9] Ìåëüíèêîâ È.È., Ñåðãååâ È.Í. Êàê ðåøàòü çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå íà âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ. Ì.: ÌÏ Àçáóêà, 1994. [10] ßêóøåâà Å.Â., Ïîïîâ À.Â., ßêóøåâ À.Ã. Ìàòåìàòèêà. Îòâåòû íà âîïðîñû. Òåîðèÿ è ðåøåíèå çàäà÷. Ì.: 1-àÿ Ôåäåðàòèâíàÿ Êíèãîòîðãîâàÿ Êîìïàíèÿ, 1997.
