Уравнения Максвелла как следствие вариационного принципа. Вычислительный аспект

Математика

Серия: МАТЕМАТИКА Хмельник С.И.

Уравнения Максвелла как следствие вариационного принципа. Вычислительный аспект. Аннотация

Эта статья является продолжением статьи [1], где доказано, что существует функционал, для которого уравнения Максвелла являются необходимыми и достаточными условиями существования глобального экстремума. В данной статье предлагается метод градиентного спуска по этому функционалу. Этот спуск заканчивается вычислением стационарного значения подынтегральных функций, которые удовлетворяют уравнениям Максвелла. Предлагается основанный на этом метод решения уравнений Максвелла, который иллюстрируется примером расчета линейного и нелинейного коаксиальных кабелей.

Оглавление

1. Метод вычислений 2. Нелинейные уравнения Максвелла 3. Пример. Расчет коаксиального кабеля 3.1. Постановка задачи 3.2. Функционал задачи 3.3. Решение задачи при фиксированных функциях времени. 3.4. Решение задачи при фиксированных функциях переменной z 3.5. Кабель переменного диаметра. Литература

1. Метод вычислений Известно [6], что уравнения Максвелла выводятся из принципа наименьшего действия. Однако этот вывод делается в 32

Доклады независимых авторов

2006 выпуск №4

предположении, что токи заданы. Но в уравнениях Максвелла плотности токов являются неизвестными. Поэтому, указанный вывод, имея познавательную ценность, не позволяет построить функционал, которым можно воспользоваться для инженерных расчетов. В этой главе используется такой функционал, у которого первые вариации при обращении в нуль совпадают с уравнениями Максвелла [1]. Затем описывается метод спуска по этим вариациям, что эквивалентно решению уравнений Максвелла. Предложенный метод решения уравнений Максвелла иллюстрируется конкретными примерами. Очевидными достоинствами метода является универсальность, простота вычислений, возможность решения нелинейных задач. Вместе с этим, следует сразу же подчеркнуть, что это – только метод, а не готовые к использованию алгоритмы и программы. Кроме того, метод не аппробирован настолько, чтобы можно было проводить обоснованные сравнения с существующими методами. Предлагая эту статью, автор надеется на то, что идея метода покажется интересной и найдет развитие у других исследователей. С этой же целью математические выкладки приводятся без «очевидных» сокращений. В данной статье используются обозначения и ссылки на формулы статьи [1]. Последние имеют вид (A.номер_формулы). Рассмотрим вектор-функцию qT = E x , E y , E z , H x , H y , H z , K , L (1) и вектор-функции T dE x E y E z H x H y H z K L ⎛ dq ⎞ , , , , , , , , (2) ⎟ = ⎜

dm dm dm dm dm dm dm dm ⎝ dm ⎠ где m = {x, y, z , t} . Будем рассматривать также вектор-функции dq ′ dq′′ , компонентами которых являются функции E, H , q′, q′′, dm dm

и их производные с одним или двумя штрихами соответственно. Тогда функционал (A.2.1) может быть переписан в виде

33

Математика

⎫ ⎧ ⎧ ′T dq′′ ′′T dq′ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪q Rx dx − q Rx dx ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ′ ′ ′ d q d q T T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪q′ R − q′′ R y y ⎪ ⎪ ⎪ dy dy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ T dq′ ⎪ ⎪ , ⎪ ⎪ T dq′′ T Φ = ∫ ⎨ ∫∫∫ ⎨q′ Rz − q′′ Rz ⎬dxdydz⎬dt dz dz ⎪ ⎪ 0 ⎪ x, y , z ⎪ ′ ′ ′ d q d q ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ T T ⎪ ⎪ ⎪q′ Rt dt − q′′ Rt dt ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− q′T − q′′T U ⎪ ⎪ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎭ ⎩

(

где

(3)

)

U = − 0,0,0,0,0,0, ρ ,−σ ,

Rx =

Rz =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 −1 0 −1 0 1 0 0 0 0 0

0 1 −1 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 −1

0 0 0 0

0 −1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 −1 0 0

0 0 0, 0

1 0 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 0

0 0 0 1

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 , 1

0 0

0 0

0 0 0 0 Ry = 0 0 0 0 0 −1 0 0 0

0

0 −ε 0 0 0 Rt = 0 0 0 0

0 0 −ε 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

1 0 0 0 −1 0

0 −1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 , 0 1 0

0 0

−1 0 1 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0

0 0 0. 0 0 0 0 0

0 0 0 0 −ε 0 0 0 0 0

0 0 0

μ 0 0 0 0

0 0 0 0

μ 0 0 0

0 0 0 0 0

В [4, 5] рассмотрен функционал вида

dy dx ⎫ ⎧ f ( x, y ) = ⎨ xT Sx − y T Sy + xT R − y T R − E T ( x − y )⎬ , (А) dt dt ⎭ ⎩ вторичный функционал вида 34

Доклады независимых авторов

F (q) =

∫ {q

T

T

2006 выпуск №4

}

Sq + qT Rq′ − 2qT E dt ,

(В)

0 а также так называемая квазивариация вторичного функционала, имеющая вид

p = Sq + R где

dq −E, dt

(С)

q= x+ y.

(D) (заметим, что она отличается от вариации этого функционала). Показано, что необходимыми условиями существования седловой линии функционала (А) является равенство нулю квазивариации (С). По аналогии с этим рассмотрим соответствующий функционалу (3) вторичный функционал вида T ⎫ ⎧ ⎫ ⎧⎛ ⎞ dq dq dq T T T ⎪ ⎪ ⎪⎜⎜ Rx ⎟ q⎪ + Ry + Rz T dx dy dz ⎟⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ Φ = ∫ ⎨ ∫∫∫ ⎨ ⎬dxdydz⎬dt , (4) T ⎪ ⎪ 0 ⎪ x, y, z ⎪ ⎛ dq ⎞ T R q q U 4 − + ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ t

⎩

где

⎩ ⎝ dt ⎠

⎭

⎭

q = q′ + q′′ .

(5 )

Его квазивариация по каждой из переменных (1) имеет вид:

p = RTx

dq dq dq dq + RTy + RTz + RtT − 2U T . dx dy dz dt

(6)

При p = 0 система уравнений (6) превращается в систему уравнений Максвелла: (A.2.9-A.2.12), которая в более подробной записи имеет вид:

dE dH z dH y dK − −ε x − = 0, dy dz dt dx dE y dK dH x dH z − −ε − = 0, dz dx dt dy dH y dH x dE dK − −ε z − = 0, dx dy dt dz 35

Математика

dH x dL dE z dE y − +μ + = 0, dy dz dt dx dH y dL dE x dE z − +μ + = 0, dz dx dt dy dE y dE x dH z dL − +μ + = 0, dx dy dt dz dE y dE z dE − x − − + ρ =0, dx dy dz dH x dH y dH z + + −σ = 0. dx dy dz Для их решения можно воспользоваться методом спуска по квазивариации, известным в применении к электрическим цепям [4, 5]. Пусть q = qt o q x o q y o q z , (7) где qt , q x , q y , q z зависят только от

t , x, y, z соответственно. В

Символом (o ) обозначено покомпонентное умножение векторов. Аналогично, U = Ut o U x o U y o U z , (8) Далее

будем

qt = qx o q y o qz ,

для

сокращения

q x = qt o q y o q z ,

записи

qy

обозначать = qt o q x o q z ,

q z = qt o q x o q y . Перепишем (4) в виде T⎧

⎫ ⎪ ⎪ Φ = ∫ ⎨ ∫∫∫{Φ o }dxdydz⎬dt . ⎪⎭ 0⎪ ⎩ x, y , z С учетом принятых предположений подынтегральное выражение в (9) примет вид:

36

(9) и

обозначений

Доклады независимых авторов

2006 выпуск №4

T ⎧⎛ dq x ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎜ Rx ⎜ o qt o q y o q z ⎟ + ⎟ ⎝ dx ⎠ ⎟ ⎪⎜ ⎪⎜ ⎟ dq ⎪ ⎜ + R ⎛⎜ y o q o q o q ⎞⎟ + ⎟ y⎜ t x z⎟ ⎪⎜ ⎝ dy ⎠ ⎟ q oq oq oq ⎪⎪ ⎜ ⎟ t x y z = dq ⎞ ⎛ ⎨ ⎜+ R ⎜ z oq oq oq ⎟+⎟ Φo z t x y ⎪⎜ ⎝ dz ⎠ ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎪ ⎜ + R ⋅ ⎛ dqt o q o q o q ⎞ ⎟ t ⎜ x y z⎟ ⎟ ⎪ ⎜⎝ ⎝ dt ⎠ ⎠ ⎪ ⎪ T ⎪⎩ + qt o q x o q y o q z ⋅ U t o U x o U y o U z

(

(

)

) (

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ . ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

)

(10)

Рассмотрим функционал (9, 10) при фиксированных функциях qt , q y , q z в зависимости только от функций независимой переменной х. После громоздких преобразований, функционал (9, 10) можно представить в виде T ⎧⎪ ⎫ ⎛ dq x ⎞ T T ⎪ q S q R q q V = + + (11) ⎟ x x Φ ∫⎨ x x x ⎜ x x ⎬dx , dx ⎝ ⎠ ⎪⎭ x⎪ ⎩ где

Rx =

∫∫∫ f r (Rx , q x )dtdydz,

t , y, z

Vx =

∫∫∫ f v (q x ,U x )dtdydz,

t , y, z

dq y dq z dqt ⎞ ⎛ ⎟dtdydz. S x = ∫∫∫ f s ⎜⎜ Rt , R y , Rz , q x , , , ⎟ dy dz dt ⎠ t , y, z ⎝

(12)

Можно заметить, что выражение (11) эквивалентно квазивариации (С). Таким образом, при фиксированных функциях qt , q y , q z можно найти функцию q x , являющуюся стационарным значением, доставляющим экстремум функционалу (10). Аналогичные выражения можно получить для функций qt , q y , q z при фиксированных тройках других функций.

37

Математика

Для нахождения стационарного значения функции q , определенной как (7), следует выполнять покоординатный спуск по каждой независимой переменной m = {x, y, z , t} . Заметим еще, что функционал (4) эквивалентен функционалу T⎧

(

)

dH dE ⎫ ⎧ ⎫ −E⋅ ⎪ ⎪ℜ H , E + H ⋅ ⎪ ⎪ Φ = ∫ ⎨ ∫∫∫ ⎨ dt dt ⎬dxdydz ⎬dt . (13) ⎪ ⎪ ⎪ 0⎪ ⎭ ⎩ x, y , z ⎩− K ⋅ (divE − ρ ) + L ⋅ (divH − σ )⎭

2. Нелинейные уравнения Максвелла Пространство, в котором распространяется электромагнитное поле, может быть неоднородным. Это выражается в том, что магнитная проницаемость μ и диэлектрическая проницаемость ε зависят от пространственных координат, т.е являются векторфункциями этих координат. Мы ограничимся случаем, когда каждая координата вектора μ или ε зависит только от одноименной пространственной координаты. Рассмотрим функционал, в котором учитывается неоднородность поля. Для этого представим уравнения (A.2.9, A.2.10) в следующем виде:

dE − grad(K ) = 0 , (1) dt dH rotE + μ o − grad(L ) = 0 , (2) dt где знаком {o} обозначена операция покомпонентного умножения

rotH − ε o

векторов. Уравнения (1, 2, 1.7, 1.8) являются уравнениями квазивариации для функционала T⎧

(

)

dE ⎫ dH ⎫ ⎧ −ε o E o ⎪ ⎪ℜ H , E + μ o H o ⎪ ⎪ Φ = ∫ ⎨ ∫∫∫ ⎨ dt ⎬dxdydz ⎬dt ,(3) dt ⎪ ⎪ ⎪ 0⎪ ⎩ x, y , z ⎩− K o (divE − ρ ) + L o (divH − σ ) ⎭ ⎭ аналогичного фунционалу (1.13). Метод решения уравнений (1, 2, 1.7, 1.8) квазивариации функционала (3) полностью аналогичен рассмотреному выше методу решения уравнений (A.2.9, A.2.10) кавазивариации функционала (1.13), несмотря на зависимость μ и 38

Доклады независимых авторов

2006 выпуск №4

ε от независимых переменных. Далее рассмотрены на конкретном примере.

эти

методы

будут

3. Пример. Расчет коаксиального кабеля 3.1. Постановка задачи Для иллюстрации вышеизложенного рассмотрим частный случай уравнений Максвелла, а именно уравнения идеального коаксиального кабеля см. также рис. 1. В цилиндрической системе координат r , ϕ , z вектор напряженности магнитного поля будет иметь только составляющую, направленную только по дуге ϕ . Вектор напряженности электрического поля также будет иметь только составляющую, направленную по радиусу. При этом для электромагнитного поля в диэлектрике кабеля уравнения Максвелла принимают следующий вид:

где

∂H ∂E +ε − J = 0, ∂z ∂t ∂H ∂E +μ = 0, ∂z ∂t

(1) (2)

H – напряженность магнитного поля, направленная по дуге, E – напряженность электрического поля, направленная по радиусу, J – плотность электрического тока, создаваемая источником напряжения, подключенного к кабелю в точке z=0.

ϕ

Рис. 1. Коаксиальный кабель 39

Математика

Эти уравнения соответствуют уравнениям (A.2.9, A.2.10). Все входящие в них величины являются функциями времени t и координаты z. Плотность электрического тока J создается источником напряжения u, подключенного к кабелю в точке z=0. Как известно, ∂u . (3) J = −β ∂z где β – проводимость кабеля в данной точке. Поэтому уравнение (1) может быть переписано в виде

∂H ∂E ∂u +ε +β = 0. ∂z ∂t ∂z

(4)

Пусть

u = ve jωt .

(5) Вначале рассмотрим известное решение уравнений (1, 4) при z > 0 , т.е. уравнений (2) и

∂H ∂E +ε = 0. ∂z ∂t

(6)

Оно имеет вид [3]: E = E1e j (ωt +κz ) + E2e j (ωt −κz ), H = H1e j (ωt +κz ) + H 2e j (ωt −κz ), где

κ = ω εμ .

(7)

(8) jωt

Подставляя это решение в (2) и (6), сокращая на множитель e , jκz − jκz приравнивая нулю суммы коэффициентов при e и e , а также учитывая (8), находим:

E1 μ E2 μ E1 E (9) , , = =− =− 2. H1 ε H2 ε H1 H2 При бесконечно большой нагрузке кабеля E2 = − E1 . При этом из (9) следует, что H 2 = H1. В этом случае решение (7) принимает вид: E = E1 e j (ωt +κz ) − e j (ωt −κz ) , H = H1 e j (ωt +κz ) + e j (ωt −κz )

(

40

(

)

)

Доклады независимых авторов

или

2006 выпуск №4

E = 2 E1 je jωt Sin (κz ), H = 2 H1e

jωt

(10)

Cos(κz ).

3.2. Функционал задачи Наша задача заключается в следующем. Известны уравнения (2, 4, 5) и величины ε , μ , ω , β , v . Необходимо найти вид функций E (t , z ), H (t , z ) , а в том случае, если будет показано, что решение имеет вид (10), надо определить также величины E , H , κ . Решение будем искать в виде

H (t , z ) = ht e j (ωt +ϕ h ) ⋅ hz ,

(11)

E (t , z ) = et e j (ωt +ϕ e ) ⋅ e z ,

где ht , et - неизвестные числа, hz , e z - неизвестные функции. Функцию u , заданную в единственной точке z=0, естественно определить в виде (12) u (t , z ) = γ ′( z ) ⋅ ve jωt где γ ′(z ) – функция Дирака (производная единичной ступени). Применим рассмотренный выше метод к данной задаче. Обозначим: h H h e j (ωt +ϕ h ) q = , q(t , z ) = qt o q z , qt = t j (ωt +ϕ ) , q z = z , e ez E et e T T dE H dE dH ⎛ dq ⎞ ⎛ dq ⎞ , , ,⎜ , ⎟ = ⎜ ⎟ =

⎝ dz ⎠

dz dz

⎝ dt ⎠

dt dt

γ ′( z ) u − β ve jωt U = β ⋅ , U = Ut o U z , Ut = , Uz = . 0 0 0 Тогда уравнения (2, 4) примут вид единственного уравнения T T ⎛ dq ⎞ ⎛ dq ⎞ ⎜ ⎟ Rz + ⎜ ⎟ Rt − U = 0 ,

⎝ dz ⎠

⎝ dt ⎠

где 41

Математика

Rz =

1 0 0 μ , Rt = . 0 1 ε 0

Функционал (1.4) в данном случае примет вид: T T ⎫ ⎫ ⎪ ⎪⎛ dq ⎞ ⎛ dq ⎞ T ⎪ ⎪ Φ = ∫ ⎨ ∫ ⎨⎜ ⎟ Rz q + ⎜ ⎟ Rt q − q U ⎬dz ⎬dt dz ⎝ dt ⎠ ⎪⎭ ⎪⎭ 0⎪ ⎩ 0 ⎪⎩⎝ ⎠ T ⎧Z ⎧

или T ⎧ ⎧⎛ dq ⎫ ⎫ ⎞ z ⎪ ⎪ ⎪ T Z ⎪⎜ dz o qt ⎟ Rz (q z o qt ) + ⎠ ⎪ ⎪⎝ ⎪ ⎪ Φ = ∫ ⎨∫ ⎨ ⎬dz ⎬dt T dqt ⎞ 0 ⎪ 0 ⎪⎛ T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ q z o dt ⎟ Rt (q z o qt ) − (q z o qt ) U ⎪ ⎪ ⎠ ⎭ ⎭ ⎩ ⎩⎝

или

⎧ ⎧⎛ dhz ⎞ ⎫ ⎫ ⎛ dez ⎞ ⎪ ⎪⎜ dz ht ⎟(hz ht ) + ⎜ dz et ⎟(ez et ) ⎪ ⎪ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎝ ⎪ ⎪ T ⎪Z ⎪⎛ de ⎞ ⎪ ⎪ ⎛ dh ⎞ Φ = ∫ ⎨ ∫ ⎨⎜ ez t ⎟ε (hz ht ) + ⎜ hz t ⎟ μ (ez et )⎬dz ⎬dt . (13) dt ⎠ dt ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ 0 ⎪ 0 ⎪⎝ ⎪ ⎪− h h βve jωt γ ′( z ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ z t ⎪ ⎪ ⎭ ⎭ ⎩ ⎩

(

)

3.3. Решение задачи при фиксированных функциях времени. Рассмотрим этот функционал при фиксированных функциях qt в зависимости только от функций независимой переменной z:

de ⎧ dh Z ⎛⎜ z R11hz ⎞⎟ + ⎛⎜ z R22 hz ⎞⎟ ⎪

⎫ ⎪ , ⎠ ⎝ dz ⎠ Φ = ∫ ⎨⎝ dz ⎬dz 0 ⎪ εS h 2 + μS e 2 − U (h γ ′( z ) )⎪ 21 z t1 z ⎩ 12 z ⎭

(

где

42

)(

)

(14)

Доклады независимых авторов

{

2006 выпуск №4

}

{

}

⎧ ⎛ T 2 2 j (ωt +ϕ ) ⎞ ⎛ T 2 2 j (ωt +ϕ ) ⎞ ⎫ ⎟ ⎜ h e dt ⎟,⎪ ⎪ R11 = ∫ ht e dt , R22 = ⎜ ∫ et e ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎪ ⎝0 ⎠ ⎝0 ⎠ ⎪ ⎪ ⎞ ⎛ T ⎧ j ⎛ ωt +ϕ + π ⎞ ⎫ ⎪ ⎪ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ e ⎪ ⎪ ⎪ ⎪S = 4 ⎠ h e j (ωt +ϕ h ) dt , ⎝ ⎬ ⎟ t ⎪ ⎪ 12 ⎜ ∫ ⎨et e ⎜ 0⎪ ⎪ ⎟ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎠ ⎝ ⎩ ⎬ ⎨ π ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ j ⎜ ωt +ϕ h + ⎟ ⎟ ⎜T 4 ⎠ e e j (ωt +ϕ e ) ⎪dt , ⎪ ⎪ S = ⎜ ⎪h e ⎝ ⎬ ⎟ t ⎪ ⎪ 21 ⎜ ∫ ⎨ t ⎟ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎭ ⎠ ⎝ ⎩ ⎪ ⎪ ⎛T ⎞ ⎪ ⎪ j (ωt +ϕ h ) jωt ⎜ ⎟ U h e β ve dt . = − ⎪ ⎪ t1 ⎜∫ t ⎟ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎝0 ⎠

{

}

При представлении экспоненты комплексным числом определенный интеграл заменяется на скалярное произведение:

(

)

π

T T ∫0 a D ⋅ b dt = ω aD ⊗ b ,

Здесь D – действительная квадратная матрица, T = 2π ω - верхний предел в интеграле, а символом ⊗ обозначена операция покомпонентного скалярного умножения комплексных векторов a и b и сложения полученных произведений. Результатом такой операции является действительное число. Множитель можно не учитывать, т.к. он сокращается. Учитывая это, находим:

⎧ ⎛π 4 + ⎞ 2 2 ⎟⎟, ⎜⎜ R h R e S ω e h Cos = , = , = ⎪ 11 t 22 t 12 t t ⎪ ⎝ϕ e − ϕ h ⎠ ⎨ ⎪S = ωe h Cos⎛⎜ π 4 + ⎞⎟, U = − β vh Cos (ϕ ). t t t1 t h ⎜ϕ − ϕ ⎟ ⎪ 21 e⎠ ⎝ h ⎩

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

При этом из (14) получаем: T Z ⎧⎛ ⎫⎪ ⎞ ⎪⎜ ⎛ dq z ⎞ T ⎟ ′ ( ) + − R q q S q U h γ ( z ) Φ = ∫⎨ ⎜ ⎟ z z ⎬dz ,(15) z z z t1 z ⎜ ⎟ dz ⎝ ⎠ ⎪⎭ 0⎪ ⎠ ⎩⎝ где

(

)

43

Математика

R R z = 11 0

Sz =

0 ht2 = R22 0

0 et2

0 εS12 = ωet ht 0 μS 21

При ϕ e − ϕ h = π 4 имеем:

S z = ω ⋅ et ht

0

μ

,

0

⎛π 4 + ⎞ ⎟⎟ ⎝ϕ e − ϕ h ⎠

εCos⎜⎜

⎛π 4 + ⎞ ⎟⎟ μCos⎜⎜ ⎝ϕe − ϕ h ⎠

−ε . 0

.

0

...(16)

При ϕh = 0 имеем:

Ut1 = βvht .

Квазивариация (1.6) функционала (15) с учетом того, что hzγ ′( z ) = γ ′( z ) , имеет вид:

⎛ dq ⎞ U p z = S z q z + Rz ⎜ z ⎟ − t1 ⋅ γ ′( z ) ⎝ dz ⎠ 0 Таким образом, на данном этапе оптимизация заключается в решении уравнения

⎛ dq ⎞ U S z q z + Rz ⎜ z ⎟ − t1 ⋅ γ ′( z ) = 0 . ⎝ dz ⎠ 0

(17)

Метод, алгоритм и программа решения такого уравнения рассмотрены в [5]. При et = ht = 1 в развернутом виде это уравнение имеет вид

− ωε ⋅ e z +

dhz de + u = 0, ωμ ⋅ hz + z = 0, dz dz

а его решение - вид

44

(18)

Доклады независимых авторов

2006 выпуск №4

⎧ ⎪h = H ⋅ (Cos(κz ) + γ ( z ) ) + H , o ⎪⎪ z ⎨e z = E ⋅ Sin (κz ), ⎪ ⎪κ = ω εμ , H = −u , E = u μ , H o = u. ⎪⎩ ε

(19)

Пример 1. Пусть e π − β v = −55, t = 1, ϕ h = 0, ϕe = , ω = 10, μ = 0.2, ε = 3.2. ht 2 Это соответствует тому, что в начале расчета принимается ht e j (ωt +ϕ h ) = ht e jωt , et e j (ωt +ϕe ) = et e j (ωt +π 2 ). Уравнение (17) при этом принимает вид:

1 0 ⎛ dq z ⎞ − 55 − ωε ⋅ γ ′( z ) = 0 . ⋅ qz + ⋅⎜ ⎟− ωμ 0 0 1 ⎝ dz ⎠ 0 0

Из этого уравнения следует, что

hz = − Ah ⋅ Cos (κz ), e z = Ae ⋅ Sin (κz ), κ = 8, ∂h( z ) ∂e( z ) = κAh ⋅ Sin (κz ), = κAe ⋅ Cos (κz ), ∂z ∂z μ где Ah = 55, Ae = Ah = 13.75. Можно убедиться, что ε

величина κ удовлетворяет условию (8). Таким образом, на первой же итерации находится решение поставленной задачи: H = −55e jωt Cos(κz ), E = 13.75 je jωt Sin (κz ). Оно по форме соответствует формуле (10). Подставляя это решение в (2) и (6), находим: ∂ ∂H ∂ ∂E 13.75 je jωt Sin (κz ) − μ 55e jωt Cos (κz ) = +μ = ∂t ∂z ∂t ∂z

(

)

(

)

= je jωt Cos (κz )(13.75κ − 55μω ) = 0,

45

(

)

(

Математика

)

∂ ∂H ∂E ∂ +ε = − 55e jωt Cos(κz ) + ε 13.75 je jωt Sin(κz ) = ∂t ∂z ∂t ∂z = e jωt Sin(κz )(55κ − 13.75εω ) = 0, а в точке z = 0 выполняется условие Ah = u , что и требовалось показать. На следующем рисунке представлен результат решения данного уравнения изложенным в [5] методом (вид функций является следствием решения, а не определен изначально).

3.4. Решение задачи при фиксированных функциях переменной z В примере 1 показано, что при известных функциях времени ht , et могут быть найдены функции hz , e z переменной z которые принимают следующий вид:

hz = − Ah ⋅ Cos (κz ) ⋅ γ ( z ), e z = Ae ⋅ Sin (κz ) ⋅ γ ( z ), ∂h( z ) ∂e( z ) = −κAh ⋅ Sin (κz ) + Ah ⋅ γ ′( z ), = κAe ⋅ Cos (κz ), ∂z ∂z

46

(20)

Доклады независимых авторов

2006 выпуск №4

ε , κ = ω εμ , Ah = u . μ

где Ae = Ah

Теперь будем полагать, что известны эти функции и будем искать функции времени ht , et . Рассмотрим функционал (13) при фиксированных функциях q z в зависимости только от функций независимой переменной t: ⎧ S h2 + S e2 + 22 t ⎪ 11 t T ⎪⎛ de ⎞ ⎛ dh Φ = ∫ ⎨⎜ t εR12 ht ⎟ + ⎜ t μR21et dt ⎠ ⎝ dt 0 ⎪⎝ ⎪ jωt ⎩− U z1 ht e где

(

)(

(

)

)

⎫ ⎪ ⎞⎪ , ⎟⎬dt ⎠⎪ ⎪ ⎭

(21)

⎧ ⎫ ⎛Z ⎞ ⎪ R12 = R21 = ⎜ ∫ {e z hz }dz ⎟ = 0, ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝0 ⎠ ⎪ ⎪ Z ⎛ ⎞ ⎛ Z ⎧ dh ⎞ ⎪ z h ⎫dz ⎟ = ⎜ − A 2γ ′( z ) dz ⎟ = − A 2 ,⎪ ⎪S11 = ⎜⎜ ∫ ⎨ z⎬ ⎟ ⎜∫ h h ⎪ ⎟ dz ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎠ ⎝0 ⎠ ⎝0 ⎨ ⎬ ⎛ Z ⎧ de ⎞ ⎪ ⎪ ⎜ ⎨ z e ⎫⎬dz ⎟ = 0, = S z ⎪ 22 ⎜ ∫ ⎪ ⎭ ⎟⎠ ⎪ ⎪ ⎝ 0 ⎩ dz ⎪ ⎪ ⎞ ⎛Z ⎪ ⎪ ⎟ ⎜ ′ ⎪U z1 = −⎜ ∫ {hz γ ( z )}dz ⎟ = −hz (0) = Ah . ⎪ ⎠ ⎝0 ⎩ ⎭

{

}

При этом из (21) получаем: T T ⎧⎛ ⎫⎪ ⎞ ⎪⎜ ⎛ dqt ⎞ T ⎟ Φ = ∫⎨ ⎜ ⎟ R q + qt S t qt − U z ⎬dz , ⎜ ⎝ dt ⎠ t t ⎟ ⎪⎭ 0⎪ ⎠ ⎩⎝ где

(

Rt =

0

εR12

μR21

0

=

0 0 0 0

, St =

)

− Ah2

0

0

0

, Uz =

Ah βve jωt

.

0

Квазивариация (1.10) этого функционала принимает вид: 47

Математика

⎛ dq ⎞ pt = S t qt + Rt ⎜ t ⎟ − U t . ⎝ dt ⎠ Таким образом, необходимо решить систему уравнений

det − Ah βve jωt = 0, dt dh 0 ⋅ et + 0 ⋅ μ t = 0. dt Ah2 ht + 0 ⋅ ε

Отсюда находим

ht =

βv jωt e = e jωt .

Ah

Подставляя ht непосредствено в уравнение

∂E ∂H +μ = 0, ∂z ∂t

∂e( z ) et + jωμht hz = 0 или, учитывая (20), ∂z et κAe ⋅ Cos (κz ) − jωμht Ah ⋅ Cos (κz ) = 0 , jωμAh т.е. et = ht = jht ⋅ Итак, получен результат, который был κAe

находим:

исходны в примере 1. Таким образом, показана сходимость итерационнго процесса. 3.5. Кабель переменного диаметра. Как указывалось в разделе 2, метод расчета без изменений используется и в том случае, когда магнитная проницаемость μ и диэлектрическая проницаемость ε зависят от пространственных координат. Рассмотрим для иллюстрации расчет кабеля с переменным диаметром d. При этом можно полагать, что ε = ε ⋅ d ( z ), μ = μ ⋅ d ( z ) , (22) где

ε , μ – известные константы, а d (z ) – известная функция

независимой переменной . Задаваясь, как и выше, определенными значениями электрической составляющей электромагнитного поля, вновь получаем уравнение (17), отличающееся только тем, что в нем матрица (16) представляется в виде

48

Доклады независимых авторов

S z = ω ⋅ et ⋅ ht ⋅ d ( z) ⋅

2006 выпуск №4

0 −ε

. ....(23) 0 Для уравнения вида (17), где Rz является функцией от z, по-

μ

прежнему, применим изложенный в [5] метод. Однако нет доказательства того, что этот метод применим для уравнения вида (17), где S z является функцией от z (хотя формально он может быть использован и дает правильное решение!). Поэтому необходимо доказать, что уравнение (17, 19) может быть преобразовано к виду, где S z не зависит от z, а Rz зависит от z. Покажем это. Уравнение (17) при условии (19) является системой двух уравнений:

dhz − U t1 ⋅ γ ′( z ) = 0, dz . 2 de z ωet ht μe z d ( z ) + et = 0. dz − ωet ht ε e z d ( z ) + ht2

Очевидно, их можно переписать в виде ht2 U t1 dh − ez + ⋅ z− ⋅ γ ′( z ) = 0, ωet ht ε d ( z ) dz ωet ht ε d (0) . 2 et de z hz + = 0. ωet ht μd ( z ) dz Представим их в матричной форме

⎛ dq S ′z q z + R ′z ⎜ z ⎝ dz

⎞ U t′1 ⋅ γ ′( z ) = 0 , ⎟− ⎠ 0

(24)

где

S z′ =

0 −1 1

ht2

1 ε , R ′z = 0 ωet ht d ( z ) 0

0

U t1 ′ 2 , U t1 ωe h ε d (0) . et t t

μ

Заметим, что здесь R ′z ( z ) является функцией от z. Уравнение (24) при этом может быть решено указанным выше методом. 49

Математика

Пример 2. Добавим к условиям примера 1 условие (22), где μ = 0.2, ε = 3.2. При этом уравнение (24) примет вид

0 −1 0 ⎛ dq z ⎞ − 55 (ωε d (0) ) 1 1ε ⋅ qz + ⋅⎜ ⋅ γ ′( z ) = 0 . ⎟− 1 0 0 ωd ( z ) 0 1 μ ⎝ dz ⎠ Это уравнение решено в данном примере. На следующем рисунке представлены результаты решения этого уравнения при d ( z ) = 3.4 − 1.1 ⋅ t (левые окна) и при d ( z ) = 0.5 + 0.35 ⋅ Sin (5t ) (правые окна). Можно заметить, что частота пространственных колебаний изменяется в зависимости от z. Полное решение имеет вид H = e jωt H , E = je jωt E . z

50

z

Доклады независимых авторов

2006 выпуск №4

Литература 1. Хмельник С.И. Уравнения Максвелла как следствие вариационного принципа. «Доклады независимых авторов», изд. «DNA», printed in USA, Lulu Inc., ID 237433. РоссияИзраиль, 2006, вып. 3. 2. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров, изд. «Наука», Москва, 1964, 772 с. 3. Сысун В.И. Теория сигналов и цепей. Министерство Образования РФ и Американский Фонд Гражданских Исследований и Развития. Петрозаводск, 2003. Web-версия http://media.karelia.ru/~keip/circuit/main.htm 4. Хмельник С.И. О вариационном принципе экстремума в электромеханических системах. «Доклады независимых авторов», изд. «DNA», printed in USA, Lulu Inc., ID 124173. Россия-Израиль, 2005, вып. 1. 5. Хмельник С.И. Вариационный принцип экстремума в электромеханических системах. Published by “MiC” Mathematics in Computer Comp., Израиль-Россия, 2005, printed in USA, Lulu Inc. ID 172054. 6. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика. Изд. «Лань», 2003, 400 с.

51