Задачи и теоремы из анализа. Ряды. Интегральное исчисление. Теория функций

Г.Полиа, Г.Сеге ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ ИЗ АНАЛИЗА ЧАСТЬ ПЕРВАЯ РЯДЫ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ Содержание От издательства Предисловие Обозначения и сокращения ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Глава 1. Вычисления со степенными рядами 1 (1-31). Задачи из аддитивной теории чисел 2 (32-43). Биномиальные коэффициенты и прочее 3 (44-49). Дифференцирование степенных рядов 4 (50-60). Определение, коэффициентов при помощи функциональных уравнений 5 (61-64). Мажорантные ряды Глава 2. Преобразования рядов. Теорема Чеэаро 1 (65-78). Преобразование последовательностей в последовательности в случае, когда в каждой строке схемы имеется только конечное число элементов, отличных от нуля 2 (79-82). Преобразование последовательностей в последовательности (общий случай) 3 (83-97). Преобразования последовательностей в функции. Теорема Чезаро Глава 3. Структура вещественных последовательностей и рядов 1 (98-112). Структура бесконечных последовательностей 2 (113-116). Показатель сходимости 3 (117-123). Максимальный член степенного ряда 4 (124-132). Части рядов 5 (133-137). Перестановки членов вещественного ряда 6 (138-139). Распределение знаков членов ряда Глава 4. Смешанные задачи 1 (140-155). Обвертывающие ряды

7 8 16

задачи

решения

19 23 25

181 188 189

27

190

28

193

задачи

решения

29

194

32

197

33

198

задачи

решения

37 40 40 43 44 46

202 206 207 208 210 211

задачи

решения

46

212

2 (156-185). Прочие задачи, относящиеся к вещественным рядам ОТДЕЛ ВТОРОЙ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава 1. Интеграл как предел сумм площадей прямоугольников 1 (1-7). Нижние и верхние суммы 2 (8-19). Степень приближения 3 (20-29). Несобственные интегралы в конечных пределах 4 (30-40). Несобственные интегралы в бесконечных пределах 5 (41-47). Теоретико-числовые применения 6 (48-59). Средние значения. Произведения 7 (60-68). Кратные интегралы Глава 2. Неравенства 1 (69-97). Неравенства Глава 3. Из теории функций действительного переменного 1 (98-111). Интегрируемость в собственном смысле 2 (112-118). Несобственные интегралы 3 (119-127). Непрерывные, дифференцируемые, выпуклые функции 4 (128-146). Особые интегралы, теорема Вейерштрасса Глава 4. Различные типы равномерного распределения 1 (147-161). Числовая функция. Регулярные последовательности 2 (162-165). Критерии равномерного распределения 3 (166-173). Распределение кратных иррационального числа 4 (174-184). Распределение цифр в таблице логарифмов и аналогичные задачи 5 (185-194). Другие типы равномерного распределения Глава 5. Функции больших чисел 1 (195-209). Метод Лапласа 2 (210-217). Модификации метода Лапласа 3 (218-222). Асимптотическое вычисление некоторых максимумов ОТДЕЛ ТРЕТИЙ. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ОБЩАЯ ЧАСТЬ Глава 1. Комплексные числа и последовательности 1 (1-15). Области и кривые. Вычисления с комплексными числами

50

216

задачи

решения

57 59 61 63 65 67 70

227 228 232 234 236 238 241

задачи

решения

72

244

задачи

решения

82 84

252 256

86

258

87

264

задачи

решения

91 94 95

269 273 275

97

276

99

281

задачи

решения

103 106

283 287

108

291

задачи

решения

110

293

2 (16-27). Расположение корней алгебраических уравнении 3 (28-35). Продолжение: теорема Гаусса 4 (36-43). Комплексные числовые последовательности 5 (44-50). Продолжение: преобразования рядов 6 (51-54). Изменение порядка членов в комплексных рядах Глава 2. Отображения и векторные поля 1 (55-59). Дифференциальные уравнения Коши-Римана 2 (60-84). Специальные элементарные отображения 3 (85-102). Векторные поля Глава 3. Геометрическое поведение функции 1 (103-116). Отображение окружности кривизна и опорные функции 2 (117-123). Средние значения вдоль окружности 3 (124-129). Отображение круга. Площадь области, получаемой при отображении 4 (130-144). Поверхность модуля. Принцип максимума Глава 4. Интеграл Коши. Принцип аргумента 1 (145-171). Интеграл Коши 2 (172-178). Формулы Пуассона и Иенсена 3 (179-193). Принцип аргумента 4 (194-206). Теорема Рушэ Глава 5. Последовательности аналитических функций 1 (207-229). Ряд Лагранжа и его применения 2 (230-240). Вещественная часть степенного ряда 3 (241-247). Полюсы на границе круга сходимости 4 (248-250). Тождественное обращение в нуль степенных рядов 5 (251-258). Распространение сходимости 6 (259-262). Сходимость в разделенных областях 7 (263-265). Порядок возрастания последовательностей полиномов Глава 6. Принцип максимума 1 (266-279). Различные формулировки принципа максимума 2 (280-298). Лемма Шварца 3 (299-310). Теорема Адамара о трех кругах 4 (311-321). Гармонические функции

112 115 116 118 119

296 299 302 304 308

задачи

решения

120 121 126

309 310 315

задачи

решения

131

320

134

322

136

323

137

324

задачи

решения

140 145 148 150

328 338 341 344

задачи

решения

152 157 159 160 162 163

347 355 359 361 363 365

164

368

задачи

решения

165 167 171 173

369 372 378 381

5 (322-340). Метод Фрагмена и Линделёфа 174 383 Предметный указатель 389 Предметный указатель Лагерра обобщенные полиномы 155 Адамара теорема о трех кругах 171, Лапласа уравнение 127 172 - формула 142 Аналитическая функция 120 Лежандра полиномы 142, 154 Аналитический ландшафт 138 Лемма Шварца 167 Бернулли формула 128 Лемниската с n фокусами 140 - числа 49 Линейное искажение 123 Бесселевы функции 36, 105 Линии тока 127 Биномиальные коэффициенты 23 Мажоранта 28 Бюрмана-Лагранжа ряд 153 Максимальный член 41 Вейерштрасса теорема об Меркаторская проекция 122 аппроксимации непрерывных Миноранта 28 функций 89, 91 Моменты функции 89 Векторное поле 120 Неравенство Коши 78 - - безвихревое 126 - Шварца 78 - - без источников и стоков 127 Нули полинома 112, 114 Гамма-функция 64 Обвертывающий ряд 46 Дирихле - Мелера формула 142 Опорная прямая 133, 205 Дирихле ряды 31 - функция 133 Дифференциальные уравнения Определенный интеграл Коши-Римана 120 несобственный 61 Дополнительные части ряда 44, 45 - - собственный 56, 57 Дроби Фарея 101 Ортогональные функции 134 Задача на взвешивание 182, 183 Отображение 120 - - почтовые марки 182 Паскаля треугольник 154 - - размен денег 182 Плоскость потенциала 130 Звездообразная относительно точки - потока 130 кривая 132 - скоростей 130 Иенсена формула 145, 146, 325 Поверхностное искажение 123 Колебание функции 84 Поверхность модуля 137, 138 Конформное отображение 121 Показатель сходимости 40 Конформный центр тяжести кривой Полиномы Лагерра обобщенные 155 137 - Лежандра 142, 154 Коши неравенство 78 - - производящая функция 155 - теорема об арифметическом и - Якоби 154, 155 геометрическом средних 74 Полное изменение функции 228 Коши-Римана дифференциальные Последовательность равномерно уравнения 120 распределенная 94, 95 Коэффициенты Фурье 90 - регулярная 93 Критерий Римана интегрируемости Постоянная Эйлера 60, 231, 232 84

Потенциал векторного поля 127 Преобразование последовательностей, сохраняющее сходимость 29, 30, 33, 118 Принцип аргумента 148, 149 - максимума 138, 139 Производящая функция полиномов Лежандра 155 Пуассона формула 145, 146 Римана критерий интегрируемости 84 Рушэ теорема 150 Ряд Бюрмана-Лагранжа 153 - обвертывающий число 46 Ряды Дирихле 31 Силовые линии 127 Среднее (арифметическое, геометрическое, гармоническое) функции 68, 73, 75 - (арифметическое, геометрическое, гармоническое) чисел 67, 72, 73 Степенной ряд примитивный 157 Стереографическая проекция 121, 122 Сумма верхняя, нижняя 56, 58, 70 Теорема Адамара о трех кругах 171, 172 - Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций 89, 91 Теорема Коши об арифметическом и геометрическом средних 74 - Рушэ 150 - Чезаро о степенных рядах 33 Треугольник Паскаля 154 Тригонометрические моменты 90

Угол поворота 123 Уравнение Лапласа 127 Фарея дроби 101 Форма Эрмита 111 Формула Бернулли 128 - Дирихле-Мелера 142 - Иенсена 145, 146, 325 - Лапласа 142 - Пуассона 145, 146 Функции Бесселя 36, 105 - интегрируемые в смысле Римана 57 - ортогональные 134 - с ограниченным изменением 228, 229 Функция аналитическая 120 - выпуклая снизу (сверху) 75 - кусочно-постоянная 83 - медленно возрастающая 92 - невогнутая снизу (сверху) 75 - однолистная 124 - опорная 133 - тока 127 Фурье коэффициенты 90 Целые точки 22 Центральный индекс 41 Часть ряда 43 Чезаро теорема о степенных рядах 33 Числа Бернулли 49 Число оборотов кривой 148 Числовая функция последовательности 91 Шварца лемма 167 - неравенство 78 Эйлерова постоянная 60, 231, 232 Эквипотенциальные линии 127 Эрмитова форма 111 Якоби полиномы 154, 155