Физика(часть 3.1,3.2) ''Колебания'',''Волновые процессы''. Конспекты лекций

7 

Глава 1. ВОЛНОВЫ Е ПРОЦЕССЫ .  1.1.  ОБЩ ИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ВОЛНАХ. ОСНОВНЫ Е ПОНЯТИЯ.  С  волновыми  процессами  (волнами)  мы  сталкиваемся  в  самых  различных  физических  явлениях:  волны  в  морях  и  океанах,  зыбь  в  озерах  и  прудах,  сейсмические  волны,  звуковые  волны,  волны  механических  колебаний  в  натянутых  струнах  и  кристаллах  кварца,  световые  и  радиоволны  и,  наконец,  волны  вероятности,  которые  используются  в  квантовой  механике  для  предсказания  поведения  электронов,  атомов  и  более  сложных  форм  вещества.  Понятно,  что  волны  ­  это  не  земля,  вода  или  воздух,  не  жила струны или кварц. Они только распространяются в этих средах.  Волны  ­  это возмущения состояния вещества (поля), которы е распространяются  с  некоторой  скоростью  в  пространстве.  Подобно  любому  движущемуся  объекту  движущиеся (бегущие) волны  переносят энергию от одной точки к  другой.  Энергия,  переносимая  волной  может  быть  очень  велика.  Например,  морские  волны  бьются  о  берег  с  большой  силой,  при  шторме  передвигаются  огромные  камни.  Энергия  же  звуковых  волн  весьма  незначительна.  Однако  во  всех  случаях  волны  переносят  энергию  от  одной  точки  к  другой,  хотя  величина  переносимой  энергии  в  различных  случаях разная.  Подобно  движущемуся  телу  движущиеся  волны  обладают  импульсом.  При  поглощении  или  отражении  волн  веществом  они  передают  ему  свой  импульс.  Импульс  волн обычно не так заметен, как их энергия.  Энергия, импульс и скорость ­ важнейшие характеристики волн.  Для  возникновения  волн  любой  природы  необходим  источник  колебаний  (осциллятор). Энергия колебаний от источника переносится  в пространстве либо за счет  взаимодействия  частиц  среды  (упругие  звуковые  волны),  либо  за  счет  взаимодействия  полей  (электромагнитные  волны).  Для  возникновения  упругих  волн  необходима  среда,  причем  частицы  среды  не  движутся  вместе  с  волной,  а  колеблются  около  положения  равновесия,  как  лодка,  качающаяся  на  волнах.  Электромагнитные  волны  могут  распространяться  как  в  среде,  так  r и  r  в  вакууме.  При  этом  в  каждой  точке  пространства  возникают колебания векторов  Е и Н .  Волны  могут  иметь  различную  форму.  Например,  при  помощи  длинного  резинового  шнура,  резко  дернув  его  за  один  конец,  можно  создать  одиночную  волну  –  короткое  возмущение,  не  имеющее  регулярного  характера  (рис.1.1.а).  Если  конец  шнура  периодически  раскачивать,  то  по  нему  «побегут»  периодические,  регулярно  повторяющиеся возмущения (рис. 1.1.в). Ограниченный ряд повторяющихся возмущений  называют цугом волн (рис.1.1.б). Таким образом, волны  переносят энергию и импульс,  но не переносят вещества среды , в которой они распространяются. 

Рис. 1.1. Различные виды волн: а – одиночная волна; б – цуг волн; в – гармоническая волна.

8 

Особое  значение  в  теории  волн  имеет  гармоническая  волна,  в  которой  изменение  состояния  среды  происходит  по  закону  синуса  или  косинуса  (1.1.в).  Конечно,  это  лишь  удобная  физическая  модель,  которая  на  самом  деле  в  окружающем  нас  мире  никогда  не  реализуется.  Если  физическая  величина, описывающая  возмущение  среды,  является  скалярной,  то и волны называются скалярны ми. Пример таких волн ­ звук в газе, где в возмущениях  изменяется давление газа. Звуковые волны в твердых телах  являются векторными. В них  возмущение  характеризуется  направленным  смещением    элементов  среды  (атомов,  молекул)  относительно  положения  устойчивого  равновесия.  К  векторны м  волнам  относятся    электромагнитные  в  которых  в  каждой  точке  пространства    имеют  r  волны,  r  место колебания  векторов  Е  и  B .  В  зависимости  от  направления  колебаний  физических  величин  по  отношению  к  направлению, в котором распространяется волна, различают продольны е  и поперечны е  волны.  Например,  в  продольной  упругой  волне  частицы    среды  колеблются  вдоль  направления распространения волны, в поперечной ­ перпендикулярно.  1.2.  КЛАССИФИКАЦИЯ  ВОЛН.  Понятие «волны» используется настолько широко и многозначно, что изложенная  ниже  классификация  охватывает  лишь  часть  (хотя  и  основную)  явлений,  которые  называют    волновыми.  Поэтому  не  следует  удивляться,  если  где­то    Вам  встретится  процесс,  названный  волновым,  не  укладывающийся  в  рамки  приведенных  понятий.  Итак, волны различают:  А) по физической природе  Среди  разнообразных  волн,  наблюдаемых  в  природе  и  используемых  в  технике,  наиболее  часто  встречаются  упругие  волны,  электромагнитные  волны,  волны  на  поверхности жидкости.  1.  Упругие  волны  ­  это  механические  возмущения  (дeформации),  распространяющиеся  в  упругой  среде.  Тела,  которые,  воздействуя    на  упругую  среду,  вызывают  эти  возмущения,  называются  источниками  упругих  волн.  Упругие    волны,  частоты  которых  попадают  в  интервал,  слышимых  человеком,  называют  звуковыми  волнами. Волны более низких  частот ­ инфразвук,  более высоких  ­  ультразвук.  Упругие  волны  бывают  продольными  и  поперечными.  Продольные  волны  возникают  в  результате  деформации    растяжения  или  сжатия  вещества.    Поэтому  они  могут  распространяться  в  твердых,  жидких  и  газообразных    средах.  Поперечные  волны  существуют только в  твердых телах, т.к. образуются в результате сдвиговых деформаций.  Очевидно, в вакууме (в отсутствии вещества) упругие волны невозможны.  2.   Электромагнитны е волны  ­  возмущения электромагнитного поля, описываемого  r  r  векторами  Е  и  B ,  распространяющиеся  в  различных  средах  или  в  вакууме.  Их  классическое описание основано на уравнениях  Максвелла .  В вакууме и изотропных средах электромагнитные волны всегда являются поперечными,  r  r  т.е.  колебания  векторов  Е  и  B  в  каждой  точке  пространства  происходят  в  плоскости,  перпендикулярной направлению распространения.  Свет от солнца и электрических ламп,  поток    основного  солнечного  тепла  (инфракрасное  излучение),  радиоволны  ­  все  это  электромагнитные  волны.  3.  Поверхностны е  волны  ­  возмущения    вещества  и  электромагнитного  поля  вблизи  границы  раздела  двух  сред,  распространяющиеся  вдоль  этой  границы.  Пример  ­  волны  на  свободной  поверхности  жидкости,  образующихся  под    влиянием  внешних  воздействий  (ветра,  движения    судов,  падения  тел  и  т.п.)  ­  в    образовании  и  распространении    таких  волн  существенную  роль  играют    силы    натяжения  и  тяжести,  свойства вещества в «переходном» слое.

9 

Б ) по форме возмущений  Для  анализа  пространственно  –  временного  распределения  возмущений  необходимо  ввести   соответствующее  математическое описание  волн ­  функциональную  зависимость  физических  величин,  характеризующих    движение  возмущения  от  времени  и  координат,  т.е. от  двух независимых переменных. Такие функции называются волновыми. В общем  r  случае будем их обозначать Y( r ,t).  Очевидно, волновая функция в  некоторой фиксированной точке пространства имеет  r  вид Y( r 0 ,t)  = Y(t),  т.е.  зависит  только  от  времени.  Эту  функцию  называют  осциллограммой  волны.  Пространственное  распределение  возмущения Y  в  некоторый  r  момент времени t0 Y( r )çt= to  является как бы моментальны м снимком  волны.  Следует  помнить,  что  то  или  иное  математическое  описание  является  моделью,  r  описывающей реальный процесс с некоторой степенью точности. Таким образом, Y( r ,t) ­  функции, описывающие изменения физических величин в волнах  ­  смещение элементов  r  r  среды, изменение давления  (звук  в газе), изменение плотности вещества, полей  Е  и  B  и  r  т.д.  Смещение    вещества,  напряженность  электрического  поля  Е ,  индукция  магнитного  r  поля  B  ­ векторы;  давление, концентрация частиц (плотность) ­ скалярные величины.  Для  различных  волн  физические  величины,  в  наибольшей  степени  определяющие  волновой процесс, оказываются  неодинаковыми. Так  звук  в  газе  практически  полностью  r  r  можно описать изменением давления  Р( r ,t) . Поэтому следует принять Y = Р( r r ,t), т.е.Y(  r  r  r ,t)  ­  скаляр.  Электромагнитное  поле      полностью  описывается  векторами  Е  и  B  и,  r  r  r  r  r  r  следовательно, Y( r , t) =  Е  ( r , t)  ­ вектор  и Y( r ,t) =  B  ( r , t)  ­ вектор. Это и приводит  к упомянутой выше  дифференциации волн на  скалярны е и векторны е.  r  Функция Y( r ,  t)  является  решением  некоторого  дифференциального  уравнения,  которое называется  волновы м уравнением.  Если  физические  величины,  описывающие  волновой  процесс,  зависят  только  от  времени  и  от  одной  из  декартовых  координат,  то  такую  волну  называют  плоской.  Для  плоской волны функция имеет вид Y(x,t).  Если  профиль  волн  не  изменяется  со  временем,  то  такие  волны  называют  стационарны ми. Их волновая функция имеет вид Y(x,t) = Y(x ± υt)  (1.1)  где  υ  ­  скорость распространения  волны (физический смысл u  обсуждается в п. 1.3).  Если υ не зависит от амплитуды возмущения, то волну называют линейной.  В  нелинейных  волнах  скорость  υ  ­  некоторая  функция    амплитуды  возмущения.  Нелинейные  волны  описываются  нелинейными  уравнениями  движения  среды  (поля).  Например,  для  упругих  волн  нелинейность  может  быть  обусловлена  нелинейной  зависимостью  упругой  силы  от  смещения  (отклонение  от  закона    Гука);  для  электромагнитных  волн  ­  нелинейной  зависимостью  от  напряженности  электрического  поля  Е, плотности тока (нарушение закона Ома), поляризуемости молекул и т.д.  Среды,  реакция которых нелинейно  зависит от внешнего воздействия, называют  нелинейны ми.  В  теории    колебаний  мы  видели,  что  колебания  становятся  нелинейными,  когда  система  находится  вдали  от  равновесия,  т.е.  при  большой  амплитуде.  Аналогичная  ситуация имеет место и для  многих волновых процессов.  Разумеется  вид  волновой  функции  зависит  от  способа  и  характера  возмущения  параметров среды, источников внешних воздействий.  Таким  образом,  математическое  описание  волнового  процесса  зависит  от  типа  источника волн и свойств  среды.  Линейные  гармонические  волны  возникают,  если  источник  волн  является  гармоническим,  а  среда  –  линейной  (однородной,  изотропной).  Среду  называют  изотропной,  если  её  физические  свойства,  существенные  в  рассматриваемых  задачах,  одинаковы во всех направлениях. Далее именно этими волнами мы и будем заниматься.

10 

В) по виду волнового фронта и волновой поверхности  Распространяясь  от  источника  колебаний,  волновой  процесс  охватывает  все  новые  и  новые  части  пространства.  Геометрическое  место  точек,  до  которы х  дошли  колебания  к  моменту  времени  t  назы вают  фронтом  волны.  Фронт  волны  ­  это  поверхность, которая отделяет часть пространства, уже охваченную волновым процессом,  от области, в которой колебания еще не возникли.  Внутри  объема  за  волновым  фронтом,  вид  распределения  возмущений    в  пространстве  (мгновенный  снимок)    зависит  от  характера  волны.  Если    волна  периодическая, то и возмущения будут  расположены периодически. Например, если это  гармоническая плоская волна, то Y(x,t) = Asin(j(x,t)) ­ гармоническая функция, значение  которой  определяется  фазой j(x,t).  Поведение    возмущений    элементов  среды,  для  которых j  имеет  одинаковое  значение    будет  тождественным.  Геометрическое  место  множества    точек  (элементов  среды),  колеблющихся  в  одинаковой  фазе  называют  волновой  поверхностью.  Волновая  поверхность  и  волновой  фронт  ­  разные  понятия.  Волновых  поверхностей  существует  множество,  тогда  как  волновой  фронт  в  каждый  момент  только  один.  Определенная  волновая  поверхность  (для    заданного j  =  const),  также    как  волновой  фронт  перемещается  в  пространстве.  Однако,  как  будет  видно  в  дальнейшем, их скорости и направления перемещения  в общем случае различны.  Вид  фронта  волны  и  волновых    поверхностей  позволяет  ввести    определенные  различия для волновых  процессов. Так, например:  а) плоские волны  ­  фронт волны  ­ плоскость. Волновые поверхности ­ множество  параллельных    друг  другу  плоскостей.  Источником  таких  волн  может  быть    множество  эквивалентных    тождественно  колеблющихся    источников  возмущения  однородной  изотропной  среды,  расположенных  на  бесконечной  плоскости  («колеблющаяся  плоскость»)  б)  сферические  волны  ­  фронт    волны  ­  сфера.  Волновые  поверхности  ­  множество концентрических  сфер. Такие волны возбуждаются в однородной изотропной  среде уединенным точечным источником.  в) цилиндрические волны  ­  фронт  волны  ­  цилиндр. Волновые поверхности  ­  множество  коаксиальных  цилиндров.  Источником    цилиндрических    упругих    волн,  например, является  сжимающийся и расширяющийся цилиндр (нить).  1.3.   ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ .  1.3.1.  Периодические волны.  Волну  называют  периодической      (рис.  1.2),  если  в  стационарной  волне  процесс  изменения  физических  величин  в  различных  точках  пространства  повторяется  через  равные промежутки времени  Т: r  r  Y( r ,t) = Y( r ,t + T); Y(x + υt) = Y(x +  υ (t +  T)).  (1.2) 

Рис. 1.2. Осциллограмма  плоской  периодической  бегущей волны

Рис.1.3.  Мгновенный  снимок  плоской  периодической бегущей волны 

11 

Таким образом,  период  волны  Т  имеет тот же смысл,  что и в теории колебаний ­  наименьшее  время,  через  которое  в  периодической  волне  повторяется  состояние  движения  системы . Точно так же при заданном значении  t =  tm  = const на моментальном  снимке можно проследить за изменением Y  в пространстве. Пусть волна плоская. Тогда  на  любой  плоскости  x '  =  const Y(  x ' ,tm)  =  const      и  в  силу  периодичности  волны,  это  значение должно повторяться  через равные отрезки Dx = l  (рис.1.3): Y( x ' , tm) = Y( x '  + l, tm)  (1.3)  Такое  наименьшее  расстояние,  через  которое  в  периодической  волне  повторяются    значения Y  в  заданный  момент  времени  t,  называется  длиной  волны  l.  Пусть Y(x,t)  = Y(x ­  υt).    Очевидно  с  изменением  t Y(x,t)    будет  иметь  одно  и  то  же  значение  (Y(x,t) = const),  если  x ­ υ t = x ' – υ t = const  (1.4)  '  '  Полагая t  =  t+ dt, следует принять  x =  x+ dx  и из (1.3)   находим  dx = υ dt,  υ =  dx/dt  (1.5)  Таким  образом,  υ ­  скорость  смещения    в  волне  поверхности,  на  которой  аргумент Y  ­  фаза волны (x ­ υ t)  = φ( x,t)  ­ постоянная величина. Её (υ) называют фазовой скоростью.  Т.к. при  dt  > 0  dx > 0,  то волна «бежит» направо (см. рис. 1.3).  Если  φ =  x +  υ t,  то  при  dt  >  0  dx  <  0  ­  волна    на  рис  (1.3)    распространяется  влево  (в  сторону  отрицательных    значений  х).          Полагая  в  (1.5) Dt  =  Т,      видим,  что    минимальное  значение Dх  при  котором  φ(x,t)  =  const    равно l.  Поэтому  для  стационарной  периодической волны имеет место соотношение: l  =  υ Т  (1.6)  Можно сказать, что l  ­  расстояние на которое распространяется волна за время равное  периоду  колебаний  параметров  волны    (элементов  среды,  поля)    в  каждой  точке  пространства.  1.3.2.  Волновая функция плоской бегущей гармонической  волны.  Найдем  вид  функции Y  плоской  гармонической  волны,  т.е.  определим  закон,  по  которому    совершает  колебания    любая  точка  среды  в  любой  момент  времени.  Пусть  источник  ­  бесконечная  плоскость  ­  возбуждает    у  своей  поверхности  гармонические  колебания (возмущения) среды по закону Y(t)  =  A cos wt  (1.7)  и тем самым возбуждая в пространстве плоскую бегущую волну r  Y( r , t)  = Y(x,y,z,t)                                                             (1.8)  Для  упрощения  анализа  направим  ось  координат  так,  чтобы  ось  х  совпала  с  направлением    распространения    волны.  Тогда  волновые  поверхности  будут  перпендикулярны  оси  х,    т.к.  все  точки  волновой  поверхности  колеблются    синхронно  r  (одинаково) Y( r ,t),   будет зависеть только от  x  и  t Y  = Y(x,t)  = Y(υ t  ­  x)  (1.9)  У  поверхности  источника  функции  (1.7)  и  (1.9),  очевидно  должны  совпадать.  Соответственно,  с  точностью  до  постоянного  множителя,  должны  быть  одинаковыми  и  их аргументы.  Учитывая, что w =   2p/T,  а в периодической волне   Т = l/ υ  (cм. (1.6)) , для (1.7 )  находим Y(t)  =  Acos[(2p/l)( υ t)], а полная функция Y(x,t)  оказывается равной Y(x,t)  =  Acos[(2p/l)( υ t  ­  x)]  =  Acosw(t ­ x/ υ)  (1.10)  Физический смысл  x/ υ  = t  ­колебания элементов среды на расстоянии  х от источника  запаздывают на время t  (возникают позже)  относительно смещения в плоскости  х  =   0.  Введем величину  k  =  2p/l,  (1.11)  которую называют  волновы м числом.  Тогда   (1.10) принимает вид

12

Y(x,t)  =  Acos[w(t­ x/ υ)]  =  Acos(wt  ­  2px/l)  =  Acos(wt  ­  kx)                       (1.12)  Для  волны,  бегущей  влево,  в  аргументе  (1.12)    следует  изменить  знак.  Так  что  в  общем случае Y(x,t)  =  Acos(wt  +  kx  + j0)  (1.13)  где Y(x,t)  ­  смещение колеблющейся  в волне физической величины от её  равновесного  положения   (в отсутствии  волны),    A  ­  амплитуда      волны, w  ­  циклическая  частота,  φ(x,t) = (wt  +  kx  + j0)  ­  фаза волны, j0  ­ начальная фаза волны, которая, естественно,  зависит  от    выбора  начала  отсчета  x  и  t.    Например,  при  получении  формул  (1.12)  предполагалось, что  х отсчитывается  от  положения источника  и  принималось, что  t =  0, когда у источника  смещение равно  Acosj0.  Волновую  функцию часто записывают в комплексной  форме Y(x,t)  =  Aexp[i(wt  +  kx  + j0 )]  (1.14)  Функции    (1.12)  и  (1.13)    являются    вещественной  частью  комплексного  выражения  (1.14)  (сравни аналогичное  выражение для колебаний).  1.3.3.  Волновая функция при произвольном распространении плоской волны .  Волновой вектор.  Получим  теперь  волновую  функцию,  когда  плоская  волна    распространяется    в  направлении, не совпадающем  ни с одной из координатных осей (рис.1.4). Пусть 1 на рис.  r  1.4  плоскость  постоянной  фазы,  перпендикулярная    рисунку  в  момент  t  =  0,  n  ­  r r  единичный  вектор    в  направлении  распространения    волны  υ=u n .  Колебания    в    этой  плоскости происходят в соответствии с формулой Y(t)  =  Acos wt. Тогда колебания  в  волне на расстоянии  l  от начала координат будут  запаздывать (отставать)  от колебаний  r  при  r  =  0    на    время t  =  l/υ.    Иными  словами,    для  колебаний  на  любой  фазовой  плоскости  мы получим формулу,  аналогичную  (1.12)  с заменой  х  на l Y(t,l)  =  Acosw(t  ­  l/υ)  =  Acos(wt  ­  kl)  (1.15)  r  r  Выразим  l  через  радиус­  вектор  r  произвольной  точки  из  множества    точек,  образующих  поверхность  постоянной  фазы  (2).    Из  рис.  1.4    видно,  что  r  r  r r  l = r cos a = nr .  Введем  также  вектор  k=k n  ­  волновой  вектор,  численно  равный  волновому  числу  | k |= 2p / l ,    и  направленный  по  нормали  к  волновой  поверхности  в 

r 

любой  её    точке.    В  каждый  момент  t  k  определяет  направление  перемещения  различных элементов  волновой поверхности.  В результате (1.15)  приобретает вид r r  r r  Y(t,l)  = Y(t,r)  = Acos(wt  ­  k nr )  =  Acos(wt  ­  kr ),                       (1.16)  или  в более общем случае  для комплексной формы записи r r  Y(t,r)  =  Aexp[i(wt  ­  kr  + j0)]                                                         (1.17)  Функции (1.16) и (1.17)  можно записать  в координатной форме,  используя  формулу для  r r  скалярного произведения  kr  =  kx  x  +  ky  y  +  kz  z r  y  Y(t, r )=Y(t,x,y,z)=Acos[ wt­(kxx+ kyy+ kzr  z)]      (1.18)  r  где  ki  =  kcosαi  ­  проекция вектора  k  на  i ­ ую  r  r  k  r  l  2  ось координат  (см. рис. 1.4),  αi  ­  угол между  k  и  осью координат   « i »  αi  Формулы  для  ki  ,    например  для  kx,  r  формально можно переписать в виде  l  kxe x  kx  =  kcosαi  = 2p/lx; lx  =  2p/(kcosαi)  (1.19)  x  1  Значение lx  при  αi  = p/2    оказывается  2 очень большим,  т.е. с увеличением угла под  которым  распространяется волна относительно  Рис. 1.4. Плоская волна,  перемещающаяся в произвольном  рассматриваемого направления  (х),  эффективная  направлении 

13 

длина волны lx  растет.  Одновременно увеличивается вдоль  х  скорость перемещения  r  точек постоянной  фазы,   т.к.  время перемещения   возмущения  по  k  на  длину волны l  и    на lх  вдоль  оси      х      остается  одинаковым    (см.  рис.  1.4).    Эти    эффекты  легко  наблюдаются  на  берегу  водоема    (моря).  При  набегании  на  берег  «косых»  волн  гребни  вдоль берега «бегут» с большой скоростью.  1.3.4.   Фазовая скорость и волновая  дисперсия.  Физический  смысл  фазовой  скорости  становится  особенно  наглядным  в  случае  гармонических волн. Фаза гармонических колебаний косинуса, например, в (1.12)  равна j(x,t)  = w(t  ­  x/ υ)  + j0  = wt  ­  kx  + j0  Положив j(x,t)  =   const    и  затем  дифференцируя  равенство, получим  dt  ­  dx/υ  =   0, u  =  dx/dt  =   υ p ; wdt  ­  kdx  =   0;    dx/dt  =  υ p  = w/k  (1.20)  ­  т.е.,  υ p  ­  есть скорость «бегущей» волновой поверхности, на которой j  =  const .  Для волн различного типа и разной природы фазовая скорость может изменяться в  чрезвычайно широких пределах (от  υp @  0,  до  υp ®¥).  Так, например, скорость плоских  упругих  продольных  волн  в  изотропном  тонком  твердом  стержне    определяется  выражением  u p||  =   (E/r) 1/2  =   (2­10)*10 3  м/с                                                         (1.21)  где  Е  ­ модуль Юнга материала, r ­  плотность.  Для поперечных волн  в неограниченной  изотропной твердой среде  u p = (G/r) 1/2  =  (0,3­0,5) u pP  (1.22)  G  ­  модуль сдвига среды.  В жидкостях  и газах существуют т олько продольные волны.  Их фазовая скорост ь  u p||  =  (K/ρ) 1/2 @  10 3  м/с  (1.23)  �

�

�

Скорость звука в газах 

u p||  = C s  @ 

g kB T  m

, 

(1.24) 

5 т.е.  близка  к  значению  средней  хаотической  скорости  молекул,  где g  =  ­  константа  3  Пуассона,  m  –  масса  молекул  газа,  Т  –  температура,  KB–  постоянная  Больцмана.  В  м  воздухе при Т = 300К  С s  ;  300  .  с  Фазовая  скорость  электромагнитных  волн  в  изотропном  диэлектрике 

3 ×10 8  м  C p  = @  .  em em с c 

В специальных устройствах волноводах (металлических трубках) может оказаться,  что C p  ® ¥ . Физическая причина этого эффекта состоит в том, что волны вдоль трубки  «бегут», падая и отражаясь от поверхности трубки («косые» волны).  С  поведением  фазовой  скорости  в  различных  средах  связывают  их  важную  для  практики классификацию. Она обусловлена зависимостью вектора фазовой скорости  V p  от  направления  распространения  волны.  Если  значение  u p зависит  от  направления  распространения  волны,  то  среду  называют  анизотропной,  если  не  зависит  –  среда  изотропная.  В  некоторых  средах  волны  одной  природы  обнаруживают  зависимость  фазовой  скорости  от  частоты,  т.е.  u p ( w ).  Это  явление  называют  дисперсией.  При  наличии

14 

дисперсии поверхности постоянной фазы для волн разной частоты движутся с различной  скоростью. Формулу w = ku p  (w )  (1.25)  часто называют дисперсионны м уравнением. Качественно три основных вида дисперсии  иллюстрируются на рис. 1.5.  С  дисперсией,  которая  будет  обсуждаться  в  дальнейшем,  связаны  многие  замечательные  явления.  В  частности,  в  оптике  дисперсией  объясняется  разложение  «белого» света призмой.  Рис. 1.5. Различные виды дисперсии  1 – среда с нулевой дисперсией  w k

= ctg a = u p  =  const . 

2 – нормальная дисперсия  u =  p 

w

уменьшается с 

k (w ) 

ростом

1.3.5.  Волновая функция сферической волны .  Особенность сферической волны состоит в том, что поверхность фронта волны все  время  увеличивается.  Волновые  поверхности  представляют  собой  концентрические  сферы.  r  r  Для  сферической  волны  в  каждой  точке  волновой  поверхности  вектор  k = kn  параллелен  радиус­вектору,  исходящему  из  центра  концентрических  сфер.  Поэтому  с  учетом (1.17) в случае изотропного источника для гармонической волны следует записать: 

Y =  A(r ) e

r r  j (w t - kr  + j 0  ) 

(1.26)  Чтобы  найти  зависимость  A(r),  учтем,  что  в  гармонических  волнах  движение  каждого малого элемента «среды» (в каждой точке) носит гармонический колебательный  характер. Известно, что энергия, запасенная в таких колебаниях, пропорциональна  A 2 .  Следовательно, энергия, запасенная в волне на поверхности радиуса  r , пропорциональна  1  2  2 2 A1  × 4 pr 1  ,  где  4 p r1  ­  площадь  поверхности  сферы.  Если  энергия  волны  в  процессе  распространения  не  теряется,  то  для  двух  любых  сфер,  соответствующих  мгновенному  положению волновых поверхностей, должно выполняться равенство  A2  r 2  A1 2 (r 1 ) 4 p r 1 2 =  A 2 2 ( r 2 ) 4 pr 2 2  = const  , т.е.  1 2  =  2 2 ,  A 2  r 1  const  1 или А(r) =  »  r  r  Таким образом для сферической гармонической волны окончательно находим  r r  r  A  j (w t - kr  + j 0 )  Y (r , t ) =  e  ,  (1.27)  r A  где  A теперь  –  постоянная  величина.  Из  формулы  (1.27)  следует,  что  при r  ® 0 ,  ® ¥ r  амплитуда  колебаний  стремится  к  бесконечности.  Последнее  означает,  что  формально  волна (1.27) описывает излучение точечного источника с бесконечно большой плотностью  энергии колебаний. Конечно, всякий реальный источник имеет конечные размеры. 

15 

Сферические  волны играют важную  роль  при анализе  различных  явлений.  Дело  в  том,  что  формула  (1.27)  получена  из  весьма  общих  соображений.  Это  позволяет  утверждать,  что  зависимость  A(r)  вида  А  должна  иметь  место  в  изотропной  среде  для  r  любых  объемных  гармонических  волн,  когда  можно  пренебречь  формой  источника  излучения,  и  считать  его  точечным,  т.е.  на  больших  расстояниях.  Однако,  при  произвольном  источнике  А  в  (1.27)  будет  зависеть  от  направления  (А( (J , j )) ,  где  J ,j - полярные углы.  1.3.6.  Волновое уравнение.  Волновым  уравнением  называется  линейное  однородное  дифференциальное  уравнение  второго  порядка  в  частных  производных,  описывающее  распространение  широкого  класса  волн  в  среде  или  в  вакууме.  Найдем  волновое  уравнение,  решением  r r  которого  была  бы  волновая  функция  вида  Y (r + υt ) .  Если  эта  функция  является  решением  уравнения,  то  при  подстановке  она  должна  обратить  уравнение  в  тождество.  Так  как  волновая  функция  зависит  от  нескольких  переменных  (времени  и  координат),  волновое  уравнение  должно  содержать  производные  как  по  времени,  так  и  по  координатам (т.е. частные производные). Для простоты рассмотрим сначала одномерные  случаи.  Будем  последовательно  дифференцировать  волновые  функции(1.1)  по  x  и  t  и  искать  условие  тождественного  равенства  производных.  Подставив  в  (1.1)  r r  Y (r ± υt )  = Y ( x ( t )) , получим 

¶Y ¶Y ¶x ¶Y = = ±u ¶t ¶x ¶t  ¶x ¶Y ¶Y ¶x ¶Y = = ¶x ¶x ¶x ¶ x 1  ¶Y ¶Y ± = 0  u ¶t ¶ x

или 

(1.28)  Так  как  при  x = const, Y = const, т.е.  имеют  определенное  значение,  то  волновое  уравнение (1.28) с каждым из знаков ±  описывает распространение волны (моды) только  в  одном  из  направлений.  Его  иногда  называют  кинемат ическим  волновым  уравнением,  поскольку  оно  задает  условие  перемещения  в  волне  определенного  значения Y (амплитуды).  Это  одно  из    фундаментальных  уравнений  теории  волн,  которое  пригодится нам в дальнейшем.  Для вторых производных имеем:  2  ¶ 2Y ¶ ¶Y ¶ 2 Y ¶x 2  ¶ Y = ( ± u )  = ± u = u ¶t 2 ¶t ¶x ¶x 2 ¶t  ¶x 2 

¶ 2 Y ¶ ¶Y ¶ 2 Y ¶x ¶ 2 Y = ( ) = = ¶x2 ¶x ¶x ¶x 2 ¶x ¶ x 2  ¶ 2 Y 1  ¶ 2 Y = ¶x2 u 2 ¶ t 2 

, т.е. 

(1.29) 

Это и есть волновое уравнение для одномерного случая. Как видим, его решением  является любая бегущая стационарная волна. Из (1.29) также следует, что  υ имеет смысл  фазовой  скорости.  Действительно,  подставляя  в  (1.29)  гармоническую  волну,  найдем  2  ¶ 2Y j (w t ± kx) ¶ Y 2 = w Ae ,  = - k 2 e j (wt ±kx ) ,  2 2  ¶t ¶ x

w

откуда  υ = 

k

= u p  . 

При произвольном направлении распространения волн (1.15) и (1.17) дают

16

)  Y ( x , y , z , t )  = Ae )  2  ¶ Y 2 2 

¶ t 

)  2  ¶ Y

r r  j ( w t m k r ) 

=  ­ w Ae

= Ae 

2 

= - k y 2 Ae  j ( w t m k r ) 

2 

= - k z 2 Ae

¶ z  Сложим уравнения (1.31): 

(1.30) 

r  r 

2 

¶ y  )  2  ¶ Y

) 

r r  j ( w t m k r ) 

= - k x 2 Ae  j ( w t m k r ) 

¶ x  )  2  ¶ Y

(

j ëé w t m  k x x + k y y + k z  z  ûù

r  r 

(1.31) 

r  r  j ( w t m k r ) 

) ) )  r r  ¶ 2 Y ¶ 2 Y ¶ 2 Y 2 2 2 j (w t m kr )  + + = ( k + k + k )  Ae  x y z  ¶x2 ¶y2 ¶ z2 

(1.32) 

Из (1.30) и (1.32) следует: 

) ) ) )  ¶ 2Y 1 ¶ 2 Y ¶ 2 Y ¶ 2 Y 1  × = ( 2 + 2 + 2 ) × 2  ¶t 2 w 2 ¶x ¶y ¶ z k

(1.33) 

где  k 2  =  k x 2  + k y 2  + k z 2  ;  или 

)  )  ) ) ¶ 2 Y w 2  ¶ 2 Y ¶ 2 Y ¶ 2 Y = 2  (  2  + 2  + 2  ),  ¶y  ¶z  ¶ t 2 k ¶x

(1.34) 

т.е.

)  ) ¶ 2 Y = u 2 p DY (1.35)  2  ¶t Напомним, что  символ ∆ обозначает «оператор Лапласа» ­ сумму вторых частных  производных по координатам  x, y, z. Следует также иметь в виду, что волновое уравнение  (1.35) описывает только простейшие случаи линейных ( k и w  не зависят от амплитуды) и  стационарных (форма и амплитудные значения Y  не зависят от времени) волн.  В  (1.35)  входит  вторая  производная  по  времени  (также  как  и  во  второй  закон 

r  d 2 r  Ньютона    (  2  )).  Поэтому  можно  предположить,  что  для  волн  оно  является  в  dt  определенном  смысле  динамическим  уравнением,  т.е.  содержит  информацию  о  том,  как  передаются возмущения среды (и поля) от одной точки пространства к другой.  Действительно,  вспомним  механизм  свободных  колебаний  осциллятора.  Они  обусловлены инертностью и квазиупругой силой. Последняя определяется относительным  смещением  элементов  среды.  Например,  чтобы  в  пружине  возникла  сила  упругости,  каждый  ее  последующий  элемент  должен  сместиться  на  расстояние  большее,  чем 

¶x = u f (x ) ,  где x ­  положение  разных  участков  пружины.  ¶ x ¶x  Однако,  если  для  всех  элементов  ~ x ,  то  возвращающая  в  положение  равновесия  предыдущий  (рис.  1.6).    Т.е. 

¶x упругая  сила  для  каждого  участка  пружины  будет  одинаковой.  Все  участки  будут  ¶x  колебаться  синхронно.  Таким  образом,  производная  определяет  значение  сил  ¶x упругости в среде.

17 

Рис. 1.6. Механическая модель  Рис. 1.7. Смещение элемента среды  колебаний пружины.  под действием квазиупругих сил.  ¶x  Одинаковые  смещения  (  =  const)  вообще  не  растянут  пружину  (произойдет  просто  ¶x ¶ 2 Y смещение).  Вторая  производная  определяет  изменение  квазиупругой  силы.  Если  ¶x 2  ¶ ¶Y ( )  = j ( Y ) , то сила упругости на разных участках среды будет разной. Разность сил,  ¶x  ¶x  действующая  на  элемент,  приведёт  к  его  последующему  смещению  в  сторону  действия  равнодействующей  (рис.  1.7).  На  фронте  волны  в волновой  процесс  будут  подключаться  все новые и новые части среды. На рис 1.8 это обстоятельство иллюстрируется на примере  цепочки шариков (атомов), связанных между собой квазиупругими силами (пружинками).  На  фронте  волны  (АА’)  шарик  ускоряется  вниз,  и  после  смещения  начинает  увлекать  (с  запаздыванием по времени!) следующий атом. Таким образом, волновое уравнение (1.35)  описывает  волновой  процесс  в  идеально  упругих  средах.  «Упругими  свойствами»  r  r  r  r  обладает электромагнитное поле вследствие взаимосвязи между  E(r, t )  и  B(r, t ) (а также  знака  “­“!  в  первом  уравнении  Максвелла). 

Рис. 1.8. Колебания цепочки атомов, связанных  квазиупругими силами. 1.3.7.  Отбор частны х решений.  Для  анализа  реальных  задач  однородного  волнового  уравнения  (любого  вида)  недостаточно.  Волновые  уравнения  дают  бесконечное  число  решений,  отличающихся  амплитудой,  формой,  волновой  функцией,  частотой,  фазой  и  т.п.  Конкретный  выбор  определяется  двумя  требованиями  реальных  задач.  Во­первых,  так  же  как  и  в  случае  колебаний, необходимо знать начальные возмущения среды (начальные условия), которые  теперь связаны с точками пространства. Во­вторых, на распространение бегущих волн по  разным  направлениям  могут  быть  наложены  определенные  ограничения  в  пространстве. 

18 

Они  задаются  граничными  условиями.(Например,  звуковая  воздушная  волна  отражается  от  толстой  стены  и  не  проникает  за  ее  пределы).  Начальные  и  граничные  условия  позволяют  из  решений  (1.35)  выделить  истинные,  существующие  в  реальных  условиях  волны (так же, как и в случае свободных колебаний осцилляторов).  Источниками  волн  в  средах  являются  внешние  (вынуждающие)  силы  (процесс,  аналогичный формированию вынужденных колебаний). В замкнутой системе волны могут  нарастать  из  малых  флуктуаций,  если  начальное  состояние  не  было  равновесным.  Стационарные волны в природе всегда являются вынужденными. Распространяясь, волна  формирует  колебания  во  все  больших  участках  пространства.  Для  этого  требуется  непрерывное  увеличение  общей  энергии  волны.  Кроме  того,  в  веществе  энергия  колебательных  движений  постепенно  превращается  в  тепло.  Происходит  диссипация  энергии волны. Таким образом, реальная стационарная волна всегда распространяется от  некоторого  источника.  Например,  для  звуковых  волн  в  воздухе  это  может  быть  колеблющаяся струна, динамик радиоприемника и т.п. Источники электромагнитных волн  – антенны радиостанций, лазеры, нагретые тела (спирали ламп накаливания) и т.д.

19 

1.3.8.  Принцип суперпозиции. Спектральное представление волнового процесса.  1.3.8(1).  Принцип  суперпозиции.  Так  как  волновое  уравнение  (1.35)  является  линейным,  то  сумма  (алгебраическая  или  векторная)  двух  и  более  решений  для  конкретных условий также является решением уравнения:  Y 12 = A 1 Y1  + A 2 Y2  + ......  (1.36)  Это  утверждение  представляет  собой  содержание  принципа  суперпозиции  (наложения)  для  волн.  Таким  образом,  результирующее  возмущение  в  какой  либо  точке  линейной  среды  при  одновременном  распространении  в  нем  нескольких  волн  равно  сумме  возмущений, вызываемых в данной точке среды каждой волной в отдельности  n r  n  r r  r r  r Y = å Y i ,  u = å ui ,  a= å a i  , 

r  r  r 

i =1

i =1 

(1.37) 

i 

где  Ψ i ,u i ,a i ­  значения  смещений,  скорости,  ускорения,  которые  имели  бы  элементы  среды  в  момент  t,  если  бы  в  нем  распространялась  только  одна  i­ая  волна.  В  справедливости  принципа  можем  убедиться  прямой  подстановкой  (1.36)    в  (1.29)  или  в  (1.35):  ¶ 2 ( A 1 Y1  + A 2 Y2 )  ¶ 2 Y1  ¶ 2 Y2  ¶ 2 Y1  ¶ 2 Y2  2  2  = A 1  2  + A 2  = V p A 1  2  + V p  A 2  ¶t 2  ¶t  ¶t 2  ¶x  ¶x 2  Уравнение распадается на два независимых уравнения для  Y 1 и  Y 2 .  Каждая линейная волна распространяется независимо от других, т.е. «не чувствуя»  ее  воздействия  на  среду.  Обратим  внимание,  что  ситуация  оказывается  иной,  если  уравнение  нелинейно.  Например,  имеется    слагаемое,  пропорциональное  ( Y ) n  с  n ¹ 1.  Тогда  ( Y 1 + Y2  ) n  дает  комбинационные  члены,    для  n=2  пропорционального  Y 1 , Y2  возникает воздействие волн друг на друга. Принцип суперпозиции нарушается.

20 

1.3.8(2).  Разложение  Фурье.  Так  же,  как  и  в  случае  сложных  колебаний,  в  линейной  среде  произвольная  волна  может  быть  представлена  в  виде  суммы  более  простых  волн.  Напомним,  что  в  математике  представление  сложных  функций  в  виде  суммы гармонических называют разложением Фурье. Для волн (функции двух  переменных оно имеет вид  N

N 

Y ( x, t ) = å Y n (x n ) = å An cos x n = å An cos(w n t - kn x)  n =1

n =1 

(1.38) 

n 

Значение  N  может  быть  любым,  в  том  числе  N ® ¥ .  Например,  в  разделе  «колебания»  уже  было  записано  разложение  Фурье  для  периодически  следующих  со  временем  импульсов. Соответствующий аналог для волнового процесса (рис.1.9) имеет вид:  4A é 1 1  ù Y(x,t) = êsin(wt - kx) + sin2(wt - kx) + sin3(wt - kx ) +..... ú = p ë 2 3  û (1.39) 

4A ¥

1 4A ¥ 1  = sin(2n +1)(wt - kx)  = å  sin(wnt - kn x ),  p nå p n =0 (2n +1)  =0 (2n +1) где 

w=

2p 2 p Y w ,k = = ,w n = (2n + 1)w , k n  =  n  T l u p 0  u pn 

Разложение Фурье, как будет показано в дальнейшем, позволяет установить поведение  сложной волны по мере ее распространения.  1.3.8(3).    Частотный  спектр  волнового  процесса.  Частотный  спектр  волнового  процесса–это  график  зависимости  амплитуды  гармонических  составляющих  волны  от  частоты.  Часто  пользуются  энергетическим  спектром.  Так  как  энергия  колебаний  пропорциональна  квадрату  амплитуды,  то  это  фактически  зависимость  квадрата  амплитуды  гармонических  составляющих  от  частоты.  Спектры  называют  дискретными,  если  амплитуда  отлична  от  нуля  лишь  на  определенных  частотах.  На  рис.1.10  приведен  для примера «энергетический» спектр волн,  описываемых уравнением (1.39) 

Рис. 1.9. Последовательность  следующих друг за другом  прямоугольных импульсов. 

Рис. 1.10. Частотный спектр волн,  описываемых уравнением (1.39).