Физика(часть 3.1,3.2) ''Колебания'',''Волновые процессы''. Конспекты лекций

Глава 5. Связанные и нелинейные колебания.  5.1 Колебания «связанны х осцилляторов».  Если колебательная система имеет несколько степеней свободы, то ее выведение из  равновесия  по  одной  из  них  может  привести  к  возникновению  колебаний  по  другим  степеням  свободы.  Возбуждаются  «связанные»  колебания.  Необходимое  условие  для  этого – наличие связи (каналов), обеспечивающих  возможность  обмена энергией между  различными  степенями  свободы.  Если  такая  связь  отсутствует,  то  будет  происходить  простое  кинематическое  сложение  движений  (сложение  колебаний).  Различные  случаи  суперпозиции колебаний рассматривались в Гл. 2.  В  связанных  между  собой  осцилляторах  динамика  колебательного  процесса  приобретает новые свойства. Во­первых, изменяются резонансные частоты собственных  колебаний  осцилляторов.  Частоты  резонансного  отклика  системы,  которые  называют  нормальными,  будут  отличаться  от  собственных  частот  исходных  независимых  осцилляторов.  Соответственно  гармоническую  «колебательную»  функцию,  описывающую  процесс  на  каждой  из  этих  частот,  также  называют  нормальным  колебанием  (модой).  Во­вторых,  из­за  наличия  связи,  при  свободных  колебаниях  происходит  периодический  обмен  энергией  между  осцилляторами,  т.е.  имеют  место  биения. Наконец, у системы расширяется полоса пропускания (резонанса), если резонансные  «кривые»,  каждой  из  соседних  мод,  перекрываются  (см.  рис.  5.3).  Иллюстрируем  эти  утверждения на двух примерах.  5.1.1. Колебания двух связанны х математических маятников.  Пусть имеется два одинаковых (математических) маятника, связанных между собой  пружиной  с  жесткостью  k  (рис.  5.1).  Маятники  совершают  колебания  в  одной  y  плоскости ( x, y ) .  Не  смотря  на  одномерность  движения,  система  имеет  две  степени  свободы,  и  ее  состояние  α2  α1  задается  двумя  параметрами  a1 ,a 2  или  х1 , х 2  .  Уравнения  движения  каждого  маятника  в  отсутствие  пружины  имеют  Х  x1  x2  вид:  Рис. 5.1  g  ì& a1  1 = ïïa& l  или  í g  ïa& & = - a 2  ïî  2 l g  ì& x1 = -w 02 x 1  1 = ïï x& l  (5.1)  í g  2  ï& x& = - x2 = -w 0 x 2  ïî  2 l Так как  a × l @  x .  Если  x2 ¹  x1 ,  то  из­за  растяжения  пружины  возникает  дополнительная  сила  (упругости) F y 1 = - k ( x1 - x2  ) , F y 2 = - k ( x2 - x1 ) .

Поэтому для связанных маятников получаем следующие уравнения: g K  ì& = - x1 + ( x2 - x 1 ) 1 ïï x& l m  í g K  ï& x& = - x2 - ( x2 - x 1 )  ïî 2 l m Складывая и вычитая уравнения, находим: g  &= -w 2 f f& & &  x& (& ( x1 + x 2 ) 1  1 + x2 ) = l  или  æ g 2 K ö & &  x& + &  (& ( x1 - x 2  )  1 - x2 ) = - ç S& = w 2 2 S m ÷ø  èl Таким  образом,  нормальные  колебания  представляют  собой  сумму  смещений каждого из маятников, с нормальными частотами:  g  g 2 K  w1  =  и  w 2  = +  l l m Из (5.3) следует: f = x1 + x2 = Acos (w1t + j1 ) S = x1 - x2 = B cos (w 2t + j 2  )  Дальнейший анализ требует конкретизации начальных условий.  Так,  если  принять  при  t = 0  x1  &  x2  = 0  х&  1  = 0  х2  = 0 , то получим:  x1 + x2 = xm  cos w1 t 

(5.2) 

(5.3)  и  разность  (5.4) 

(5.5) 

x1 ( 0 ) =  xm  , 

x1 - x2 =  xm  cos w 2 t x  или x1,2 = m  ( cos w1t ± cos w 2 t ) .  ТБ  2  Колебания  каждого  из  маятников  носят  x2  характер биений:  w - w1 w + w1  x1  = xm  cos 2 t cos  2 t  2 2  w - w1 w + w1  t  x2  =  xm  sin 2 t sin  2 t 2 2  Они  возникают  в  каждом  из  маятников  с  ТБ w + w1  частотой  2 ,  попеременно  нарастая  до  Рис. 5.2  2 максимальных  значений,  и  затем  полностью  исчезая (рис. 5.2). Период биений в каждом из маятников равен: 

t 

2p m æ TБ = @ 2 p ç w2 - w1 kè

g  l k  m 

3 

ö 2  1 æ T k  ö ÷ = T k  × ç ÷ 2 è T0  ø ø 

3  2 

,                       (5.6) 

k  m  = w K  ;  T k  = 2 p ­  частота  и  период  колебаний  грузиков  в  пружинном  m k l  маятнике,  T 0  = 2 p ­ собственная часта математических маятников.  g

w0  >>

Однако,  если  в  начальный  момент  x1 (0) = x2 (0) ,  то  биения  отсутствуют    при  g  l

w10 = w 20  =  , пружина не растягивается, и колебания в каждом из маятников происходят 

на частоте  w 0  = 

g  .  l

Наконец,  если  w 01 =

g g  ,  то  биения  будут  иметь  место  при  любом  ¹ w 02  =  l1 l2 

начальном возмущении системы. 

5.1.2. Колебания в двух индуктивно связанны х электрических контурах.  Один из вариантов системы приведен на рис. 5.3, М – коэффициент взаимной  индукции. Уравнения колебаний системы имеют вид: 

e 

М 

C  K1 

ì d 2 q1 d 2 q2 q 1  L + M  + = 0  ïï dt 2 dt 2  C  í 2 2  ï L d q2 + M  d q1 + q 2  = 0  ïî  dt 2 dt 2  C

К2

L 

C 

L 

(5.7) 

Складывая  и  вычитая  уравнения,  получаем  уравнения для нормальных колебаний: 1  ì & & &  ( q + q  ) = 0  1 + q2 ) + ï( q& ( L + M ) C  1 2  ï í 1  ï( q& & & &  ( q - q  ) = 0  1 - q2 ) + ïî  ( L - M ) L 1 2 

L 

Рис.5.3 

(5.8) 

с нормальными частотами: w1  =

1 

( L + M ) C

w1  =

1 

(5.9) 

( L - M ) C

5.1.3. Вы нужденны е колебания связанны х осцилляторов.  Так  как  каждое  нормальное  колебание  имеет  собственную  резонансную  частоту,  то  на  I2(ω)  резонансной  кривой  двух  связанных  I2(ω)  осцилляторов  образуется  два  максимума.  Для  построения  резонансной  кривой,  как  нетрудно  I10  (ω)  I20(ω)  сообразить,  на  каждой  из  частот,  следует  сложить  амплитуды  каждого  из  нормальных  колебаний. На рис. 5.4, для примера, приведена  резонансная  кривая  тока I 2  (U R ) ,  которая  ω ω2  ω1  должна  иметь  место    в  двух  связанных  LCR  Рис. 5.4  контурах (рис. 5.5).  Система является простейшим примером,  так  называемого  «полосового»  фильтра  –  устройства,  которое  регистрирует  сигналы  лишь  в  определенной  полосе  частот.  Набор  ячеек  широко  используется  в  LC  электрорадиотехнике  и  для  других  целей  (задерживающие  линии;  цепи,  формирующие  электрические импульсы и др.). 

x2 

C 

М 

UC 

L 

R 

Рис.5.5 

R 

На  рис.  5.6  приведена  искусственная  «длинная  линия»  (линия  «задержки»).  Чтобы  сигнал  попал  из  одной  LC  ячейки  в  другую  требуется  промежуток  времени  (для  зарядки  конденсатора)  Dt ~ T0  = 2 p LC .  Соответственно,  время  задержки  составит  t @ n LC , где  n  ­ число ячеек. 

L 

L  С  С 

Рис. 5.6 

5.2. Нелинейны е к олебания.  5.2.1. Общие представления.  Нелинейными называют процессы в колебательных системах, не удовлетворяющие  принципу  суперпозиции.  На  самом  деле  все  физические  системы  нелинейны.  Поэтому  реальные  колебания  можно  считать  линейными  лишь  приближенно  –  при  малых  амплитудах (интенсивности) колебательных  процессов. Нелинейные системы разделяют  на  два  класса:  консерват ивные,  в  которых  энергия  колебательных  процессов  сохраняется,  и  неконсерват ивные,  в  которых  энергия  колебаний  превращается  (диссипирует)  в  другие  виды.  К  числу  последних  относятся  также  активные  системы.  Возбуждение  и  поддержание  колебаний  в  таких  системах  –  следствие  поступления  энергии (в разных формах) от внешних источников.  Изучая  нелинейные  явления,  всегда  следует   имет ь  виду,  чт о  многие  нелинейные  сист емы совершенно различной природы имеют  одинаковое мат емат ическое описание,  т.е. в основе их анализа лежит единый теоретический подход. Математическим образом  нелинейных  систем  являются  нелинейные  уравнения,  то  есть  уравнения  движения,  в  которых  параметры,  определяющие  движение  (силы,  инертность,  и  т.п.)  нелинейным  образом  зависят  от  координат  и  их  производных.  В  теории  анализа  свойств  решений  нелинейных  уравнений  за  последние  50  лет  достигнуты  существенные  успехи. Анализом  колебательных  и  волновых  процессов  в  конкретных  нелинейных  системах  занимаются  гидро­газодинамика,  физика  плазмы,  нелинейная  оптика,  радиотехника,  химия,  биология,  социология,  экология и др.  Нелинейность  может  приводить  к  самым  разнообразным  изменениям  Рис. 5.7  колебательного  процесса.  В  x2 простейших  одномерных  (с  одной  степенью  свободы)  осцилляторах  нелинейность,  как  правило,  приводит  к  зависимости  периода  колебания  от  амплитуды  и  появлению  в  спектре  колебаний  гармонических  составляющих  кратных  основной  (наинизшей)  частоте.  Говорят,  что  на  нелинейных  элементах  может  происходить  «умножение»  частоты.  Колебания  с  частотами  двух  w1 , w 2  нелинейно  связанных  осцилляторов  порождают составляющие с частотами кратным комбинационным частотами  w1 ± w 2 . 

Другая  особенность  определенных  видов  линейности  –  появление  особых  точек  (в  фазовом пространстве кривых – сепарат рис см. п. 2.2.7), пересечение которых системой  приводит  к  качественному  изменению  состояния  её    (движения)  –  кат аст рофе  (состояния).  Так  при  анализе  колебаний  математического  маятника  в  п.  2.3.7.2  было  установлено,  что  при  переходе  через  сепаратрису  колебательный  процесс  сменяется  неограниченным вращательным движением.  Теория катастроф определяет области существования определенного вида состояния  (движения)  системы  (решения  нелинейных  уравнений),  границы  их  устойчивости,  на  которых  появляются  одно  или  несколько  других  типов  состояний  решений.  Величины,  которые определяют смену состояний, как отмечалось, в п. 4.9 называют управляющими  параметрами. Замечательным оказалось то, что для любых явлений в окружающем Мире  при  ограниченном  числе  степеней  свободы  и  управляющих  параметров  число  видов  катастроф  также  конечно.  Классификация  катастроф  была  проведена  В.И.  Арнольдом.  Для одной или двух степеней свободы и числа управляющих параметров  £ 5 , имеется 7  типов  элементарных  катастроф.  Механизм  появления  новых  решений  нелинейных  уравнений  из  уже  известного  при  некотором  критическом  значении  управляющего  параметра  составляет  предмет  теории  бифуркаций. 1)  Нелинейность  уже  в  системах  с  двумя степенями свободы может приводить  при определенных  условиях  к чрезвычайно  сложным,  нерегулярным  колебаниям,  требующим  для  своего  описания  методов  теории  вероятности.  Также  колебания  называют  ст охаст ическими.  Начав  свое  движение  с  определенных  начальных  условий  в  процессе  колебаний,  система  из­за  нелинейности  может  практически  никогда  не  вернуться  в  исходное  состояние.  Простейший  пример  такой  системы­  вынужденные  колебания  математического  маятника,  грузик  которого  может  совершать  колебания  не  в  одной  плоскости  (например  xz ,  т.е.  y = 0 ),  а  по  сферической  поверхности,  т.е.  в  плоскостях,  расположенных  под  любым  углом j  относительно  плоскости ( x, z ) ,  в  которой  начинается  движение  –  сферический  маятник  (Рис. 5.7).  Аналитическое  описание  колебаний  в  нелинейных  системах  затруднено  ввиду  отсутствия  общих  методов  решения  нелинейных  уравнений  и  в  большинстве  случаев  приходится  применять  численные  методы,  что,  как  правило,  не  дает  гарантий  единственности  полученного  решения  (описания)  процесса.  Поэтому  остановимся  на  анализе самых простых случаев влияния нелинейности на колебательные процессы.  5.2.2. Определение периода колебаний в консервативном нелинейном  осцилляторе.  Рассмотрим свободные колебания одномерного консервативного осциллятора (массы  m),  у  которого потенциальная энергия U(x) – сложная  функция смещения  x (рис. 5.8 а).  Т.к.  система  консервативная,  то  ее  полная  энергия  (после  ее  выхода  из  равновесного  состояния) сохраняется mV 2  e= + U ( x) = const (5.10)  2  Поэтому  точки  x1,  x2  на  рис.5.8  определяют  положения  элемента  системы,  совершающего  колебания,  в  которых  элемент  останавливается  и  затем  начинает  движение  в  противоположную  сторону.  Эти  точки  называют  т очками  поворот а.  Точки поворота определяют амплитуду колебаний.  1 

bifurcus(лат.)  –раздвоенный.  Приобритение  новых  качеств  движения  динамических  систем при малом изменение её

Дифференциальное  уравнение  движения  в  принципе  модно  определить  с  помощью  второго  закона Ньютона, используя известную  связь  между  потенциальной  энергией  и консервативной силой. F ( x ) = -

dU  dx

r 

( F = - gradU ) 

Если  вблизи  абсолютного  минимума  (x  =  0)  потенциальная  энергия  изменяется  по  2  параболическому закону (U ( x) = cx ) ,  1  то F ( x) = - cx = - kx .  2 

происходят 

Колебания 

x22 

x12 

U (x, e  )  x11 

б) 

x2 

c 

e c  e m2 

по 

гармоническому  k 1  c  2 m  закону  w 0  = =  , T 0  = 2 p .  m 2 m c На  рис.  5.8.а  это  имеет  место  при 

xm2  xc  x  XС0  '  x x2  1 x1  e m1 e2 такой способ имеет мало  Рис. 5.8  xm  < x11 . При сложной зависимости U ( x )  например для  e = 

e < e1,  т.е.  при  амплитудах  колебаний  шансов  на  успех,  т.к. 

dU dx 

xc ' 

оказывается  нелинейной  функцией  координат  и, 

следовательно,  требуется  решение  нелинейного  уравнения  движения.  Однако  для  определения  периода  в  этом  нет  необходимости.  Достаточно  найти  время  движения  Т  .  2  = const , найдем

осциллятора между токами поворота  Dt21 = t2 - t1  которое, очевидно, равно  Т.к. за  dt dx = V ( t ) dt = V ( x ( t ) ) dt , то используя (5.10) для любого  e x2

x 2 

1

1 

T dx dx  =ò = ò  (5.11)  2  x V ( x ) x  2  (e - U ( z ) )  m При  известной  функции U ( z )  интеграл  можно  определить  аналитически  или 

произвести численный расчет.  Ситуация  существенно  усложняется  если

U ( x )  имеет  вид,  изображенный  на 

рис. 5.8  б). В интервале  emz <e < ec возможны два вида устойчивых колебаний (между  х1 , х1 ¢  и  х2 , х2 ¢  на рис.). С ростом энергии колебаний, когда

e становится равным  e , осциллятор  с

попадает  в  точку  неустойчивого  равновесия  х  .  В  этой  точке  оба  решения  уравнения  с 0  колебаний  неустойчивы.  Малые  флуктуации  движения,  которые  существуют  в  любых  реальных системах, ставят систему перед случайным выбором того или иного вида движения.  Однако  в  «с»  появляется  еще  одно  «неустойчивое»  решение  (при  e > e 0 ),  определяющее  движение  между  двумя  максимально  удаленными  от  х = 0  точками  поворота  ~  xc ¢  и  х с  .  Таким  образом,  «с»,  точка  максимума  U  ,    особая  «вырожденная»  точка,  в  которой  у 

нелинейного  уравнения  возможны  три  решения.  Через  эту  точку  в  фазовом  пространстве  проходит сепаратриса (см. рис.5.9). За ее пределами движение снова становится устойчивым.  Наконец,  обратим  внимание  на  следующее  обстоятельство:  если  в  качестве  управляющего параметра системы рассматривать энергию  c в точке  x c  , то с её изменением, 

e 

когда  eñ  достигает значения e m2, у системы возникает или исчезает два состояния равновесия.  Происходит  резкая  перестройка  возможных  движений  системы.  При  этом  кардинально  изменяется  фазовый  портрет  системы  (возможные  виды  траекторий).  Такую  бифуркацию  называют  бифуркацией  состояний  равновесия.  Говорят,  что  бифуркация  изменяет  т опологическую 1  ст рукт уру  движ ения,  фазовый  портрет.  Рис.  5.9  иллюстрирует  это  обстоятельство.  При

e с< e m

2 

рост e с  лишь  деформирует  фазовые  траектории.  На  фазовом 

портрете имеется одна «яма» с эллиптической точкой ”О” (центром).  Переход от e 1  к e 2  на  фазовом портрете может быть реализован непрерывной деформацией траекторий.  Для e с> e m2 получаем две «ямы». Траектории разрываются. Непрерывная деформация  от «портрета» с e < e m2 к портрету e > e m2  невозможна.  U , e

U , e 

e '

2 

e  e

U , e  C

= e m 2 

e 

e

C

e 

e  e 

e  e 

m 2 

m2 

m2 

C 1 

e  e  C1 

2

1

0 

x c  x m 2 

x 

&  x 

0 

x c 

x m 2  x 

0  x c 

x 

x m 2 

&  x 

&  x  x 

x 

e >e

C

x Сепаратриса 

Рис. 5.9  5.2.3. Свободны е колебания при нелинейной квазиупругой силе  (умножение частоты ).  Как  было  показано  в    5.2.2  при  нелинейной  зависимости  потенциальной  энергии U ( x )  от координаты колебания остаются периодическими (вне точек бифуркации).  5.2.3.1. Прост ейшее уравнение для нелинейных колебаний.  Разложим в ряд Маклорена­Тейлора U ( x )  вблизи  U min  = 0  (рис. 5.10): U ( x) = U ( 0 ) + x

где  примем U ( 0 ) = 0,

1 

2 3  dU  1 2 d U ( 0 ) 1  3  d U ( 0 )  + x + x  + ...  dx 2! dx2 3!  dx3 

(5.12) 

dU  = 0 .  dx

Topos (греч.) – место. Топология – раздел математики, изучающий свойства фигур, не  изменяющихся при любых (непрерывных) деформациях. 

d nU d n +1 U  d 3 U (0)  >>  x  ,  < 0  и  сохраним  в  разложении  dxn dxn +1  dx3  только третье и четвертое слагаемые. Тогда для U ( x )  и F ( x )  получаем

Будем  также  считать,  что 

1 2 1  ü kx - kd x 3  ïï 2 3  ý dU  2 ï F ( x) @ = - kx + kd x  ïþ  dx

U ( x) @

3  d 2 U ( 0 )  1  d U ( 0 )  Где k =  ­ коэффициент упругости (вблизи х=0), k d = × dx2  2  dx3  U ¢¢¢ ( 0 ) x max  << 1  2U ¢¢ ( 0 ) 

(5.13) 

(5.14) 

Формулы  показывают,  что  в  этом  приближении U ( x )  отличается  от  параболы  U(x) 

U x ( x) = 

kx 2  2 

æ kx2  ö 1  ç ÷ ,  а F ( x )  ­  является  нелинейной  è 2  ø  функцией  х  (рис.  5.10).  При  x > 0  kx 2  U ( x )  растет  быстрее,  чем  ,  слева  2 

–  медленнее.  Соответственно  изменяется  и F ( x ) .  Похожей  кривой  e 0  описывается  энергия  взаимодействия  e 0  = e k  = U ( x)  атомов в молекулах.  Используя  (5.13),  находим  x2 x1  x  дифференциальное  уравнение  для  & &  колебаний  осциллятора:  mx + kx = d kx2  или  & x&  + w02 x = dw0 2 x2  ,  (5.15)  т.е.  уравнение  оказывается  F(x)  нелинейным.  Однако  d х << 1  в  соответствии  с  x  (5.14).  Поэтому  правую  часть,  (дополнительное  слагаемое)  можно  считать  некоторым  «возмущающим»  движение  гармонического  осциллятора  Fy=­kx  элементом.  5.2.3.2.  Мет од  возмущений  Рис.5.10. (последоват ельных  приближ ений).  Этот метод используется для нахождения приближенных решений самых разных  задач,  когда в соответствующих уравнениях имеются малые слагаемые.  Идея  метода  состоит  в  следующем.  Пренебрегая  правой  частью  в  (5.15)  (малым  членом), получают решение нулевого приближения. x0 ( t ) =  Am  cos w 0 t (5.16) 

1 

Похожей кривой описывается энергия взаимодействия атомов в молекулах (и др.) 

Если  в  правую  часть  (5.15)  подставить x0  ( t ) ,  то  оно  окажется  порядка x0  ( t ) d  .  Чтобы  такая  подстановка  не  нарушила  равенство  (5.15)  следует  принять,  что  получающиеся уравнение должно иметь решение в виде суммы: x ( t ) = x0 ( t ) + x1 ( t ) ,  (5.17)  где x1 ( t )  также малая величина  ~ d  .  Т.к. x0  ( t )  удовлетворяет левой части (5.15), то x1 ( t )  будет решением уравнения: 2 2  & x&  1 + w0 x1 = w0 x0  ( t ) d

(5.18) 

Формула (5.17) опишет решение (5.15) в первом приближении.  Подставляя снова (6.17) в (6.15) и полагая: x ( t ) = x0 ( t ) + x1 ( t ) + x2  ( t ) 

получим уравнение для  x2 2 ~ d 2  и т.д.  Бесконечная последовательность таких подстановок (итераций) даст решение (5.15)  в  виде  разложения  точного  решения  в  ряд  по  степеням  " d " .  Разумеется  такой  ряд  обычно не выписывают, ограничиваясь несколькими приближениями.  5.2.3.3. Решение в первом приближ ении (умнож ение част от ы).  Решим (5.18) для x1 ( t )  подставив x0  ( t )  (5.16): 1  2  2 2 2 2 & x&  dw0 Am  (1 + cos 2 w0 t )  1 + w0 x1 = dw 0 Am cos w0 t = 2 

(5.19) 

Формально (5.19) выглядит как уравнение вынужденных колебаний. Подстановка  1  x1 = a + b cos 2 w 0 t дает -3w02b cos 2w0t + aw02 = dw02 Am 2  (1 + cos 2 w0 t )  2  d A 2  1  Т.к. равенство должно выполняться при любом  t , то  b = -  m  ,  a =  d 0 Am 2  6  2  1 1  2  x = Am cos w0t + d Am2 -  d Am  cos 2 w0 t (5.20)  2 6  В  первом  приближении  колебания  нелинейного  осциллятора  представляют  собой  A(w )  суперпозицию  гармонических  колебаний  двух  частот:  w 0 и целой кратной ей  2w 0  ­ част от ы  вт орой  гармоники.  При  учете  последующих  приближений  в  правой  части  для  соответствующих xn  ( t )  появятся  частоты 

вплоть  до  nw 0 .  Амплитуды  таких  w  гармонических  w 0 2 w 0 3 w 0 4 w 0 составляющих  будут  n пропорциональны  ~ d  (рис.5.11).  Таким  образом,  спектр  нелинейных  Рис.5.11 периодических  колебаний  будет  представлять  комбинацию гармонических функций, частоты которых целые кратные основной частоте  (в общем случае определяемой формулой (5.11)). Возбуждение вынужденных колебаний  в  нелинейных  осцилляторах  –  способ  генерации  колебаний  более  высоких  частот  (умножения частоты).  Резонанс  при  нелинейных  колебаниях  будет  наблюдаться  на  каждой  из  частот  кратных  w 0 .  Причем  амплитуда  колебаний  будет  возрастать  при  приближении  к  резонансу на всех частотах  nw 0 . 

5.2.4. Нелинейны е вы нужденны е колебания осцилляторов  с двумя степенями свободы .  Такие  колебания  рассмотрим  на  примере  сферического  маятника  (рис.  5.7).  Пусть  вынуждающая  сила  действует  в  направлении    оси  х  (например,  реализуется  смещение  подвеса  вдоль  х

xn ( t ) =  Am  cos w t ,  An  << l ).  Маятник  слабо­диссипативный.  Поэтому 

амплитуда  колебаний  (линейное  смещение  по  сфере)  при  резонансе  может  достигать  значений, сравнимых с  l  ­ длиной подвеса.  Параметром  состояния  (колебаний)  маятника  также  как  и  одномерного,  является  отношение  w или  Т  ,  где  Т 0  ­  период  собственных  колебаний  малой  амплитуды.  Будем 

w 0

Т 0 

рассматривать  колебания  грузика  в  плоскости  x, y

( z = 0 ) .  Прежде  всего  отметим,  что 

свободные  колебания  маятника  при  большой  амплитуде  существенно  нелинейны  из­за  нелинейной  связи  квазиупругой  силы  со  смещением. 

1  ) 

Поэтому  колебания  по  разным

0,5  2  0  1  ­  0,5 

2) 

0

0,5 

0 

w w n

­2  0 

0,2 

0,4  0,6  0,8 

4 

0

2  0  ­2 

­0,5 

­4 

4)  0,5 

0 

­0,5  5)  0,5 

0 

­0,5 

и y )  направлениям 

оказываются  связанными  между  собой.  Например  при  колебаниях  по  х  (одномерное  колебание)  малое  возмущение  по  y  приведет  в  дальнейшем  к  росту  амплитуды этого смещения – маятник начнет вращаться.  Численный  расчет  колебаний  сферического  маятника  показал.  При  малой  амплитуде  ( Т >> T0  ,  (или  <<Т0))  вынужденных  колебаний  A (w )  движение  по  х  и  у  ln  An  линейны  (не  зависят  друг  от  друга).  Грузик  под  4  воздействием  2  вынуждающей  силы  x  смещается  вдоль l  x Fn  ( t ) .  Траектория  0 

(

­0,5  3)  0,5 

( х 

0,4     0,6 

0 

) 

грузика  показана  на  рис.5.13.1  (кривая  1).  Для  рассмотренных  параметров  маятника  при  Tc 1 = 0, 989 T0  линейная  траектория  становится  неустойчивой  (точка  бифуркации)  и  для  T > Tc 1  становится  устойчивым  простое  плоское  (вращательное)  движение  (круговая  поляризация)  (рис.5.13.1  кривая  2).  Вторая  бифуркация  происходит  при  Tc 2 = 0,99887 T0  и  сопровождается  появлением  субгармоники  колебаний  с  периодом  целым  кратным  основному  рис.5.13.2).  Далее  при  последующих  бифуркациях  происходит  последовательное  удвоение  периода  для 

гармоник спектра, который уплотняется (рис.5.13.3, рис.5.13.4). 

Рис. 5.13 1),2),3),4),5)  Наконец  при  Тс  = 1,00234 Т0  исчезает  всякая  регулярность.  Никакие  конкретные  частоты  не  характеризуют  более  движение,  которое  становится  хаотическим,  система  случайным образом переходит из одной колебательной моды в другую (рис.5.13.5) 

Глава 6. Парамет рические и авт околебания.  6.1. Авток олебания.  6.1.1. Общие представления.  Эт о незат ухающие поддерж иваемые за счет  энергии внешнего ист очника колебания  в  диссипат ивной  нелинейной  сист еме,  парамет ры  кот орых  определяют ся  свойст вами  самой  сист емы.  Таким  образом,  автоколебания  наблюдаются  в  от крыт ых  сист емах,  находящихся вдали от  полож ения равновесия. Они возникают, когда изменение внешних  (управляющих) параметров переводит систему в положение неуст ойчивого равновесия, в  кот ором  любая  флуктуация  физических  величин,  определяющих  равновесие,  начинает  нарастать. Стабилизация амплитуды колебаний определяется ограничением поступления  энергии  от  источника  или  ростом  потерь  (диссипации  энергии)  вследствие  действия  диссипативных сил.  T2­T1< VTc 

T2­T1
T 1 

T 1 

v  mg 

T 2 

Поток тепла 

T 2  а) 

Ячейка Бенара 

б) Рис 6.1  Принципиальная особенность – для поддержания колебаний не требуется внешнего  переменного воздействия. Система сама определяет частоту повторения процесса и  амплитуду колебаний, управляя подачей энергии от источника.  Автоколебания  встречаются  в  самых  разнообразных  явлениях.  Их  внешнее  проявление может оказаться весьма неожиданным.  Так  например,  к  пространственным  «автоколебаниям»  можно  отнести  возникновение  «ячеек  Бенара»  –  вращательного  конвентивного  движения  вещества  в  слое жидкости, в поле силы тяжести (рис 6.1).  Верхний  и  нижний  слои  жидкости  находятся  при  заданной  разности  температур  T2 - T1  = DT > 0 .  V T  ­  внешнее  условие,  (ограничение)  обеспечивающее  нахождение  жидкости  в  неравновесном  состоянии.  При  VT < V Tc  (критическое  значение)  тепло  равномерно  переносится  от  нижнего  слоя  к  верхнему  и  передается    в  окружении  верхнюю  пластину  пространство.  Если  VT > V Tc  ,  то  жидкость  структурируется  в  виде 

небольших ячеек, в каждой из которых имеет место коллективное вращение жидкости с  одинаковой угловой скоростью.  Другие  примеры:  колебания  во  времени  продуктов  выхода  химических  реакций  (химические  часы!)  образование  пространственно­временных  неоднородностей  (волн)  состава  элементов  объема  вещества  (самоорганизация!);  осциллятор,  с  которым  мы  не  расстаемся с момента зарождения – наше сердце.  Однако  впервые  термин  «Автоколебания»  введен 2  для  определения  временных  колебаний в механических и электрических нелинейных системах. К автоколебательным  устройствам  относятся  тепловые  магниты,  электрические  двигатели,  часы,  различные  генераторы  электромагнитных  колебаний  и  т.п.  Разумеется,  если  математические  уравнения, описывающие изменения со временем переменных, определяющих состояния  систем, одинаковы, то и аналитическое описание таких, самых разнообразных на первый  взгляд, систем будет эквивалентным.  6.1.2. Автоколебания в системах (генераторах) с вы деленны м осциллятором.  В  простейших  случаях  такого  рода  системы  имеют  нелинейный  клапан­усилитель  колебаний,  через  который  поступает  энергия  для  усиления  и  поддержания  колебаний  в  осцилляторе;  источник  постоянной  энергии  (ИЭ);  звено  обратной  связи  (ЗОС),  открывающий клапан периодически в определенные промежутки времени (в необходимой  для  усиления  фазе  колебаний).  Блок  схема  генератора  приведена  на  рис.  6.2,  где  ОСЦ  –  колебательная  диссипативная  система  (с  затуханием),  обладающая  определенной,  желательно  большой,  добротностью.  Блок­схема  позволяет  И.Э.  К­У  ОСЦ  понять  принцип  работы  автогенератора.  Случайно  возникшие  (или  предварительно  созданные)  ЗОС  колебания  в  диссипативном  осцилляторе  через  ЗОС  подаются  на  клапан  и  Рис. 6.2  открывают  его  в  такой  фазе  колебаний,  чтобы  поступающие  порции  PT2  энергии  от  ИЭ  способствовали  росту  N, PT  PT1  амплитуды  колебаний  в  ОСЦ.  Такую  PT3  обрат ную  связь  называют  полож ит ельной.  Колебания  в  ОСЦ  будут нарастать, если порции энергии от  N ИЭ  за  период  будут  превосходить  диссипативные потери в ОСЦ.  В  Гл.  3,  было  установлено,  что  в  диссипативном  осцилляторе  потери  энергии,  как  правило,  растут  пропорционально  квадрату  амплитуды  Im  (Am)  колебаний,  например,  в  электрическом  Imst2  Imst3  U = U g

колебательном  контуре  мощность  потерь 

1 

1928 г – А. А. Андронов 

mk 

Рис. 6.3  ­ мощность поступающая за период,  N  –  линейная  зависимость  P T  (сухое  трение).  –  поступление  энергии  при  «жестком»  режиме  возбуждения  автоколебаний. 

PT  = 

2  RI m  , где  I m  ­ амплитуда колебаний тока,  R  ­ сопротивление контура.  2 

С  другой  стороны  клапан  и  источник  энергии  всегда  рано  или  поздно  становятся  нелинейной  системой,  через  которую  может  направляться  лишь  ограниченный  поток  энергии ( N ) .  Балансом  этих  двух  процессов  определяются  квазистационарная ( I mst  )  амплитуда автоколебаний (рис.6.3) (точки пересечения кривых P(I), N(I).) 

6.1.3. Автогенератор элек трическ их к олебаний.  Один  из  самых  простых  генераторов  такого  типа,  принципы  работы  которого  используются  до  настоящего  времени,  ­  генератор  Ван  дер  Поля.  Его  принципиальная  схема  приведена  на  рис.  6.4.  В  генераторе:  осциллятор  –  колебательный  RLC  контур.  Клапан  –  в  мощных  высокочастотных  генераторах  (ВЧ)  до  сих  пор  используют  вакуумные  электронные  лампы  (ЭЛ),  в  других  –  полупроводниковые  устройства  (транзисторы).  Звено обратной связи – катушка  L 1 , индуктивно связанная с катушкой контура  L ;  М  ­  коэффициент  взаимной  индукции;  сигнал  с  L 1  подается  на  управляющий  электрод  К­У  ОСЦ  Ia  («сетку»  электронной  лампы,  «базу»  А  I  транзистора)  источник  энергии  (блок  3ОC  Ic  e  питания) – электрическая батарея с  ЭДС –  К  Б  R  C  ( ε 0  )  (выпрямитель  переменного  L  Э  C  напряжения).  К  6.1.3.1.  Некот орые  M  характ ерист ики  элект ронной  лампы.  Будем  считать,  что  К­У  –  Ia  электронная  лампа  с  тремя  электродами – «триод» (рис.6.4).  0 Если  один  из  электродов  лампы  (катод,  К)  нагреть  до  высокой  температуры,  то  вследствие  БП  теплового  хаотического  движения  часть  электронов  будет  способна  Рис. 6.4  вылететь  из  катода  в  вакуумное  пространство лампы. Это явление называют термоэлектронной эмиссией.  При  наличии  положительной  Ia разности  потенциалов  между  вторым электродом (анодом (А))  Is  и катодом в лампе и во внешней  Ia(Uc)  цепи  возникнет  электрический  б)  ток ( I a  ) . 

e 

Ia  Is  а) 

t  Ucm 

В  близи  катода  скорость  электронов  незначительна.  Uc1  Выполненный  в  виде  металлической  сетки,  электрод,  Uc0  расположенный  в  этой  области  0  вакуумного  промежутка  лампы,  Uc , t  Uc1  Uc  Ucm  позволяет  легко  управлять  c  Uc(t)  током  I a  .    (Трех  электродная  c  Ucm  Uc(t)  лампа      (триод)).    На  рис.6.5  Рис. 6.5  приведена  кривая,  качественно  описывающая  зависимость  анодного  тока ( I a  )  от  напряжения  на  сетке (U c  ) ,  ­  анодно­ 

сеточная  характеристика  I a  ­лампы.  Как  видно,  на  некотором  участке  имеет  место  линейная  зависимость

I a (U c ) = SU c  .Это  область  линейного  усиления  сигнала, 

подаваемого  на  сетку  (рис.  6.5а).  Усиление  определяется  коэффициентом  пропорциональности  S – “крутизной” характеристики.  Пусть  на  сетку  подается  гармонический  сигнал U c ( t ) = U mc  cos w t . Анодный ток через 

Uc 

лампу  протекает  для  приведенного  на  рис.  6.5а  случая,  когда  U c  > 0 ,  т.е.  в  положительные  полупериоды  колебаний  сеточного напряжения. При  U cm > U c 1  в 

US1 

t 

Ia 

интервале U c1  < U c ( t ) £ U cm  анодный  ток  слабо  зависит  от  “текущего”  значения U c  ( t )  ­  сигнал I a  ( t ) 

IS 

приобретает  форму  прямоугольных  импульсов (рис. 6.5б, 6.6) с амплитудой,  соответствующей  анодному  току  насыщения  ( I s  ,  рис.6.5б)  и  периодом 

IS  T T/2  Рис. 6.6 

t 

повторения  T = 

2 p

w

. 

Обратим  внимание.  Анодный  ток  через  лампу  возникает  при  любом  (сколь  угодно  малом) положительном значении U c  .  Если  на  сетку  подать  дополнительное  постоянное  отрицательное  напряжение  относительно  катода  (напряжение  «смещения»),  то  ток  через  лампу  потечет  в  положительные полупериоды лишь при конечных  U cm , а именно  U cm > U c 0 .(рис. 6.5б)  6.1.3.2. Дифференциальное уравнение авт околебаний.  Воспользуемся  приведенными  характеристиками  триода  и  составим  с  помощью  правил Кирхгофа уравнения для изменения тока в цепи (см. рис. 6.4).

I a ( t ) + I c  = I  L

(6.1) 

dI  q  + RL + c  = 0  dt C

Т.к. к моменту  t  прошедшему с начала включения системы ( t = 0 )  t 

t 

qc = ò I c dt , то из (6.1) находим L 0 

dI  1  + RI + ò ( I - I a  ) dt  = 0  или  at C 0 

дифференциальное уравнение:

L

d 2 I dI  I - I a  ( t )  + R  + = 0  2  dt dt C

(6.2) 

(

(6.3) 

) 

где I a ( t ) =  I a U c  ( t ) .  6.1.3.3. Динамика нараст ания колебаний. 

dI  ­  коэффициент  взаимной  dt индукции  (взаимное  направление  витков  катушек  L 1  и  L )  выбираем  таким  образом,  При малой амплитуде I ( t ) 

I a @ SU c  ,  U c  = M 

æ dI  ö ÷ совпадали.  Тогда  I a  ¹ 0  и  I t  (рис.  6.4)  имеют  один  è dt ø  знак (положительная обратная связь); I а  ( t )  способствует увеличению тока в катушке  L .  чтобы  знаки U c  ( t )  и U L  ( t ) ç

После подстановки (6.3) в (6.2) уравнение колебаний тока в контуре принимает вид: 

1  &+ 1 æ R - MS ö I&  I& I  = 0  ç ÷ + Lè C ø  LC Или 

&- 2 h I &+ w 2 I  = 0 ,  I&  0 где h = 

(6.4) 

1  é MS  ù R é MS  ù é MS  ù - R ú = ê - 1 ú = 2 b ê - 1  ê 2 L ë C  û L ë CR  û ë CR  úû

называют  инкрементом  колебаний  (системы)  (лат.­«увеличение,  рост»),

b  ­  «обычный» 

коэффициент  затухания.  Формально  (6.4)  с  точностью  до  знака  при  I&  аналогично  уравнению  для  затухающих  колебаний,  т.е.  оказывается  линейным  дифференциальным  уравнением второго порядка. Его решение нам известно I  =  I 0 e ht  cos(wt + j 0 ) ,  (6.5)  где  w  =

w 0 2  - h 2 

При  h < 0 это  обычные  затухающие  колебания  с  декрементом  (коэффициентом 

1 æ MS ö ç R ÷ . Если  h > 0 , то система оказывается неуст ойчивой и  2 L è C  ø будет  наблюдаться  экспоненциальный  рост  флуктуации  тока  на  частоте,  близкой    к w .  h = 0 определяет границу устойчивости.  затухания)

b  = -h =

Осуществленный  выше  подход  является  одним  из  общих  эффективных  методов  исследования  устойчивости  систем  (Ляпунова  А.,  Пуанкаре  Х.).  Нелинейные  уравнения  движения вблизи равновесия сводятся к системе линейных уравнений (линеаризируются),  для которых и определяются вид решений.  6.1.3.4. Мягкий и ж ест кий реж имы возбуж дения.  Для  приведенной  на  рис.  6.5  анодно­сеточной  характеристики,  возникновение  колебаний  при  U C 0 ³ 0  начинается  при  сколь  угодно  малом  переменном  возмущении

I (t )  тока  I  .  Такую  картину  поведения  автоколебательной  системы  называют  мягким  реж имом  возбуж дения.  Если  U C 0 < 0 ,  то  колебания  будут  самопроизвольно  нарастать,  лишь  когда  имеется  начальный  «толчок»  с  амплитудой,  большей  критического  значения  U mK  = U C 0  .  Это  ж ест кий реж им возбуждения. На рис. 6.3 этому режиму соответствует штрих пунктирная  кривая.  6.1.3.5. Амплит уда уст ановившихся колебаний.  Эту  амплитуду  аналитически  определяют  для  нелинейного  уравнения,  находя  его  корни для 

dI  = 0 .  dt

Для  рассмотренного  случая  можно  поступить  иначе.  Т.к.  при  установившихся  колебаниях  амплитуда  тока  I m  велика,  то  U Cm  >> U C 1  и  анодный  ток  –  последовательность  прямоугольных  импульсов  с  периодом  определяемым  частотой 

w  @ w 0 2  - h 2  и амплитудой  I m  =  I s  (рис. 6.6).

С  другой  стороны  квазистационарный  ток I a  (t )  обеспечивает  в  осцилляторе  с  декрементом  b  =

R , установившиеся колебания. Иными словами, автоколебания можно  2 L 

рассматривать  как  вынужденные  колебания  осциллятора  под  действием  «вынуждающей  силы» I a (t ) 

&+ 2 b I&  I& + w02 I = w0 2 Ia ( t ) 

(6.7) 

Из  рис.  6.6  следует  функция I a  (t )  ­  последовательность  прямоугольных  импульсов

I a  (t ) = I s  при 0 < t  <

p  2p p , I (t ) = 0 при < t  < . Ее разложение в ряд известно: w w w

é1  2  ¥ 1  ù Ia (t ) = I s ê + å sin (2 n +1 )wt ú ë 2  p n =0  2 n +1  û

(6.8) 

Таким  образом, I (t )  ­  отклик  линейного  диссипативного  осциллятора  на  действие  совокупности «гармонических сил» кратных w  частот.  Решение для вынужденных колебаний на каждой из «гармоник» I a  (t )  известно:

I m ((2 n + 1 )w ) = где

2 I s w 0 2 

p (2 n + 1 ) (w - w 2  0 

)  + 4 b

2  2  n 

(6.9)  2 

w

2  n 

w n = w (2n + 1 )  При  b << w 0 основной вклад в I a  (t )  даст первая наиболее близкая к  w 0 гармоника 2  I s w 0 2  2 I s  I max »  I m (n = 0 ) @ @ Q ,  (6.10)  p  2 bw p

где  Q  ­ добротность контура. Колебания будут близкими к гармоническим колебаниям. 

6.1.4. Релаксационны е к олебания.  6.1.4.1. Релаксационный R­C генерат ор (качест венное рассмот рение).  Генераторы,  в  которых  колебания  определяются  процессами  релаксации  (апериодическим «движением» на каждом промежутке времени) называют релаксационными  генерат орами.  Анализ таких автоколебаний удобно производить, разделяя процесс на участки быстрых  и медленных движений (например, заряда и разряда конденсатора в электрической цепи).  В  качестве  примера  рассмотрим  релаксационный  RC  ­  генератор  с  нелинейным  элементом  (ключом)  в  виде  газоразрядной  «лампы»  (в  быту  это  лампы  «дневного»  света,  «неоновые» лампы индикации работы электрических приборов и т.п.).  Принципиальная  схема  RC  генератора  с  неоновой  лампой  приведена на рис. 6.7.  Ђ  I  Кл.  Как  видно,  это  внешне  одна  из    самых  простых  i  А  электрических  систем  в  схеме  отсутствует  линейный  осциллятор  и,  К  следовательно,  колебания  могут  IR  возникнуть  только  в  результате  Рис. 6.7  процессов  релаксации  (заряда,  разряда  К – катод лампы,  конденсатора)  и  нелинейных  свойств  А ­ анод  «ключа».  Особенность  работы  неоновой  лампы.  Она  зажигается  и  гаснет  при  разных  напряжениях  U k1 , U k 2  ;  имеет  I  место  «гистерезис».  В  горящем 

e 

i k 1  i 

i1 

c " 

зажигание

(открытом)  состоянии  сопротивление  лампы  Ri  мало;  через  лампу  протекает  большой  ток.  Когда  разряд  отсутствует,  ток  практически  равен  нулю  (Ri ® ¥ ).  Вольт  ­  амперная  характеристика работы лампы приведена на рис. 6.8 (качественная зависимость).  Пусть в момент t= 0 замыкают ключ Кл., а  U c (0) = 0 . Разряд в лампе отсутствует, поэтому  конденсатор С начинает заряжаться через резистор R. В соответствии с правилами Кирхгофа  заряд конденсатора описывается уравнениями:  dq  i k 2  , I R  =  ,  (6.11)  dt Из которых находим:  t  q  U C (t ) = = e (1 - e RC  )  C  Когда  напряжение  U C  достигнет  значения  U k 1 в  лампе  возникнет  разряд,  и  конденсатор  начнет  разряжаться  через  лампу  при  Ri  <<  R  UС  уменьшение  напряжения  со  временем  Uk1  определяется соотношением:  t  Uk2  R C  U C = U k 1 e В  момент,  когда  U C  станет    равным  U k 2  i t  заряд  погаснет  и  снова  начнется  зарядка  ik1  конденсатора  от  напряжения  U k 2  до  ik2  напряжения  U k 1 .  В  дальнейшем  все  процессы  e  I  t  будут периодически повторяться (рис.6.9).  i 

R

e - U R

k 2 

6.1.4.2.  Необходимое  условие  для  сущест вования  колебаний в релаксационных сист емах.  Как было установлено в 6.1.4.1, нелинейный ключ  t  –  важнейший  элемент  релаксационного  генератора,  который  должен  обладать  особой  специфической  T  зависимостью  искомой  функции  (в  нашем  случае  тока) от управляющего параметра (напряжения). Дело  Рис.6.9  в  том,  что  если  в  уравнении  движения  системы  с  одной степенью свободы пренебречь одним из колебательных параметров, то оно во многих  случая сводится к нелинейному, но уже первого порядка уравнению.  Действительно, пусть полное уравнение автоколебательной системы имеет вид:

&+ kx = j ( x  &, x )  m & x  где

&x )  ­ нелинейное слагаемое  j ( x, Если пренебречь инертностью (т.е. массой ­  m , самоиндукцией  L , то он примет вид:

&, x )  kx = j ( x  или 

dx  =  f ( x )  dt

аналогично пренебрегая квазиупругой силой, полагая  x& = y  при

(6.12) 

&) , находим  j ( x&, x ) = j ( x 

dy  = g( y )  dt

(6.13) 

Любая  колебательная  система  за  период  дважды  проходит  одно  и  то  же  состояние  в  противоположных направлениях, т.е. с двумя различными скоростями 

dx . Но это означает,  dt 

что  функция f ( x ) ,которая  определяется  характеристиками  ключа  в  (6.12)  должна  быть  неоднозначной  функцией  координат .  В  противном  случае  в  системе,  описываемый  уравнением (6.12), не может быть непрерывных периодических решений.  6.1.4.3. Вольт  ­ амперная характ ерист ика неоновой лампы.

Рассмотрим  более  подробно  вольт  ­  амперная  характеристику  тлеющего    разряда  неоновой  лампы  (рис.  6.8).  Она  обусловлена  следующими  процессами.  При  низком  напряжении  между  катодом  и  анодом  (U  <<  Uk1)  электрический  ток  обусловлен  случайно  возникающими  в    межэлектродном  пространстве  несвязанными  парами  электрон,  ион.  Однако их очень мало и ток практически равен  нулю.  С  ростом  U  часть  электронов  в  процессе  движения  к  аноду  успевает  под  действием 

r 

Катод 

Анод 

e 

K 

A 

А)  j

поля  E приобрести  энергию,  достаточную  для  ионизации атомов.  Возникают  электронные  «лавины»  (рис.  6.9а).  Концентрация  зарядов  оказывается  наибольшей  у  анода,  что  уменьшает  изменение  электрического  потенциала  в  этой  области  (кривая  2  на  рис.  6.9а).  Анод,  как  бы,  начинает  приближаться  к  катоду.  Однако  практически  полная  компенсация 

r 

2 

внешнего (приложенного) поля  E , внутренним полем  1  объемного  заряда  происходит,  когда  образуется  плазма  (рис.  6.9б,  кривая  1,  2).  В  плазме  сохраниться  а) а) х  лишь  поле,  обеспечивающее  протекание  тока I (t ) .  Формально  в  этот  момент  t  для  поддержания  такого  e  плазма  состояния  напряжение  на  всем  промежутке  должно  быть  меньшим,  а  ток  большим,  (на  рис.  6.8  это,  1  например,  точка  C ¢ )  т.к.  основное  изменение  Б)  j  электрического потенциала происходит лишь на части  1  2  межэлектродного  пространства.  Это  обеспечивает  большее  ускорение  электронов  и,  соответственно,  3 3  ионизацию газа. Однако такое состояние неустойчиво,  поскольку «усиление» лавин приводит к дальнейшему  фронт  смещению  границы  плазмы  к    катоду.  В  конечном  б)  (квазистационарном)  состоянии  основное  изменение  Рис.6.10  потенциала сосредоточено у поверхности катода (кривая 3 на рис. 6.9б). Электрическое поле  у  катода  обеспечивает  необходимый  для  заданного  тока  поток  электронов  из  катода  в  плазму (в точках  C ¢ ¢ ³ C 2 ).  6.1.4.4. Кат аст рофа складки.  Приведенная  вольт­амперная  характеристика  неоновой  лампы  является  примером,  довольно  часто  встречающейся  в  природе  и  технике  взаимосвязи  параметров  состояния  нелинейных  систем.  В  математике  ее  называют  кат аст рофой  складки (как  на  одежде).  В  электро­радиотехнике,  говорят,  что  такие  системы  в  некоторой  области  параметров  ( U k1 £ U £ U k 2  ­  пунктир)  обладают  от рицат ельным  (дифференциальным)  сопрот ивлением (

dU  = R ( I ) < 0  см. рис. 6.8).  dI

Термин  катастрофа  связан  со  следующим  обстоятельством.  В  фазовом  пространстве  i, U  (на  кривых i (U ) )  для  U k 1  < U и  U < U k 2 

i(U)  z3  i3 i1 i2 

c’  с1  2  ck 

3

z2 

1 

z1  Uk2 

U2  Uk1  Рис.6.11 

U3 

каждому  значению  U  соответствует  одно  единственное  значение  i  (одно  состояние  системы,  одна  точка  в  фазовом  пространстве).  Иными  словами  нелинейное  уравнение  движения  системы  имеет  одно  решение.  Однако  при  U k 2 < U < U k 1  (например,  на  рис.  6.11  для  U 2  )  получается  три  решения  –  поле  доступных  состояний  для  системы,  «катастрофически»  меняется.  Значения  U k1 , U k 2  ­  значения  управляющего  параметра,  при  котором  происходит  переход  –  бифуркация.  Для  лампы  сплошные  кривые  на  рис.  6.9  соответствуют устойчивому состоянию, пунктир – 

di ® ±¥ .  Поэтому  dU U ® +U k 1  + d U лампа  очень  быстро  «загорается»,  а  ток  достигает  значения  i 1 .  При 

неустойчивому.  Нетрудно  сообразить,  что  при  U = U k1 , U k 2 

U = U k 2  - d U лампа  гаснет,  ток  оказывается  практически  равным нулю.  Промежуточные  (неустойчивые)  состояния  (пунктир  на  рис.  6.11)  в  квазистационарном  состоянии  не  реализуется.  Таким  образом,  в  области  катастрофы  складки  система  оказывается  «бист абильной»  и  наблюдается  «гист ерезис».  Лампа  зажигается  и  гаснет  при  разных  напряжениях.  Это  принципиально важно для работы релаксационного генератора.  6.1.4.5. Дифференциальное уравнение RC ­  релаксационного генерат ора и его решение.  Так как ток до зажигания разряда в неоновых лампах очень мал, то в работе генератора  он  оказывается  несущественным,  и  для  анализа  достаточно  воспользоваться  упрощенной  вольт­амперной характеристикой (полагая «тепловой ток» равным нулю (рис.6.11)).

i (U )  на  рис.6.10  Зависимость  тока  через  лампу  от  напряжения  на  ее  концах.  Воспользовавшись  правилами  Кирхгофа  для  замкнутой  цепи  автогенератора  (рис.  6.12),  получим:

e = RI

R 

+ U 

(6.14) 

I R  = I + i (U )  Т.к.  UC = q , то  I =

dq dU  = C  и (6.14) приобретает вид:  dt dt dU  ö æ = Rç i + C ÷ + U  dt ø  è

e

( ) 

e - U - Ri U  dV  = f (V ) =  dt RC

или

(6.15) 

Это уравнение и определяет изменение состояния автогенератора со временем.  6.1.4.6. Анализ работ ы генерат ора.  Определим  сначала из  (6.15)  состояния  равновесия  системы,  т.е.  условия,  при  которых 

dU = 0 . Они определяются из равенства: dt e - V  = i (U )  R

(6.16) 

х – точками пересечения прямой 

Z = 

e - U  R

и i (V )  изображенных на рис. 6.11  Z1  = 

e - U  R1 

, Z 2  = 

e - U  R2 

,  Z 3  = 

e - U  R3 

, 

R1 > R2 > R3  (точки «равновесия» 1, 2, 3).  Т.к.  e > U 1 ,  то  после  замыкания  ключа  происходит  заряд  конденсатора  через  R  и  напряжение растет в соответствии с формулой:  t  æ ö U = e ç 1 - e RС  ÷ è ø 

(6.17) 

Ток i (V ) = 0 , так как лампа не горит. В точке  U = U K 1  происходит бифуркация. 

di di dU  = ®¥ dt dU dt

di ®¥ т.к.  dV  V ® V1  U 

U K 1  ,  Ri 

ток  через  лампу  скачком  увеличивается  до  i 1  @ 

U3 

где  R  ­  внутреннее  сопротивление  лампы.  Это  начальный участок работы автогенератора.  Время установления  U K 1 , t K 1  можно найти из (6.17). 

Uk1  U2 

Дальнейшая судьба процесса зависит от значений  R i  . 

t 

Для  R =  R2 , R3  при  t ® ¥  установится стационарное  состояние  с  токами  через  лампу  i2 , i 3  и  напряжением 

I 

U 2 , U 3  (рис. 6.11).  t 

Действительно.  Рассмотрим,  например,  случай  R =  R2  .  Т.к.  в  точке  c 1  i 1  и  U k 1  больше 

dU < 0  ­  dt конденсатор разряжается через лампу до значения  U 2  .  равновесного  значения,  то f (U ) < 0 ,  т.е. 

i  i3  i1  i2 

В точке 2 случайное уменьшение тока приводит к f (U ) > 0  система  возвращается  в  т.2­реализуется 

t 

tk1 

Рис. 6.12 

устойчивое  равновесие.  Постоянная  времени  релаксации на этом участке определяется параллельно  подключенными сопротивлениями лампы  R i  и  R 

r=

Ri R  1  t r =  rС R + Ri 

(6.18) 

На рис. 6.12 приведена осциллограмма этого процесса.  Релаксационные колебания возникают при  R >  RK  (например, с R1). При  R =  RK  левая  часть в (6.15) пересекает i (U ) , когда  U = U K 2  (во второй точке бифуркации).  Т.к.  равенство  (6.17)  имеет  место  на  неустойчивой  части i (U ) ,  то  после  зажигания  разряда  ток  в  лампе  будет  уменьшаться  приблизительно  экспоненциально  с  постоянной  времени t r »  r ( v ) C вплоть  до  второй  точки  бифуркации (U = U 2 K  ) .  В  этой  точке,  т.к. 

di  ® -¥ , лампа погаснет и конденсатор вновь начнет заряжаться от напряжения  U 2 K  .  dt Далее все процессы будут периодически повторяться (рис. 6.12). 

I(t 

6.1.4.7. Переход работ ы генерат ора Ван дер Поля в реж им релаксационных колебаний.  Из  6.1.3.4  следует,  что  гармоническими  колебания    автогенераторах  с  выделенным  осциллятором «делает» высокая добротность включенного в систему осциллятора. С ростом  коэффициента  затухания b  явление  резонанса  постепенно  утрачивает  свое  значение.  Увеличивается  роль  диссипативных  (релаксационных)  процессов.  Для  поддержания  заданной  амплитуды  колебаний  в  контур  должна  вноситься  большая  энергия.  В  соответствии с (6.5) растет период колебаний. Как следует из (6.7), (6.8) в спектре колебаний  становятся  существенными  гармонические  составляющие  с  частотами,  кратными  основной  частоте.  Форма  сигнала  все сильнее отличается от синусоидальной.  При  b >> w 0 потери в контуре за период и вносимая  в  него  энергия  оказываются  много  большей  запасенной.  t  Движение  зарядов  в  контуре  становится  апериодическим.

Рис.  6.13 

Динамику автогенератора определяют два релаксационных процесса с существенно разным  временем  релаксации:  Первый  –  это  быстрый  процесс,  изменение  ЭДС  индукции,  возникающей  при  отпирании  и  запирании  лампы.  Пренебрегая  в  (6.4)  третьим  малым  слагаемым,  получаем,  что  время  (релаксации)  нарастания  и  спада  тока  обусловленное  самоиндукцией t

i

» 

1

. Таким образом, в эти промежутки времени 

2 b

I ~ e ± 2 b t  ,  (1- e-2 b t ) . 

e  i

В  квазистационарном  состоянии  работы  лампы  (открыта,  закрыта)  ЭДС  индукции  ~ 0  ­  происходит  сравнительно  медленное  изменение  заряда  на  конденсаторе.  В  этот  e 

промежуток времени в (6.4) существенны  2  и  3 e  слагаемые:  w 2 t  -  0  2 b

w 2  - 0  2 b t  ) , т.е. 

2 

2  æ b ö D U c  , I ~ e  t С @ 2  = ç ÷ >> t i w0 b è w0  ø  На  рис.  6.13  представлен  характер  изменения  тока  I  в  генераторе  Ван  дер  Поля  в  , ( 1 - e

2b

режиме релаксационных колебаний. 

6.2 Параметрические колебания.  Парамет рическими называют  колебат ельные (и волновые) сист емы с меняющимися  во  времени  парамет рами,  в  кот орых  сосредот очивает ся  энергия  колебаний  («энергоемкие»  парамет ры).  Изменение  таких  параметров  связано  с  совершением  работы, которая приводит к изменению энергии колебаний. Явление резкого нарастания  колебаний  в  осцилляторах  при  изменении  энергоемких  параметров  со  временем  называют  парамет рическим  резонансом.  Параметрические  колебания  (и  резонанс)  возможны  в  системах  различной  физической  природы.  Простейший  пример  механической  системы  –  математический  маятник,  длину  в  которого  можно  изменять  (рис.  6.14).  Электрической  системой,  в  которой  возможен  l(t)  параметрический  резонанс  ­  колебательный  контур  с  изменяющейся  емкостью  или  индуктивностью.  Для  этого  можно  использовать  конденсатор  с  нелинейным  диэлектриком  (например,  сегнетоэлектриком)  индуктивность  с  ферромагнетиком,  некоторые  полупроводниковые  приборы  и  т.п.  Параметрический  резонанс  имеет  Рис. 6.14  место,  когда  период  изменения  параметров  осциллятора  T p  оказывается  близким  к  значениям,  кратным полупериоду собственных колебаний  T o  T  2 w Tn  = n o  ,  w p  =  0  (6.19)  2 

d’’(Cmin)  d’(Cmax) 

n

где  n  ­ целое число, частота «накачки» (модуляции  L  2 p параметра) ­  w p  =  .  Tp  R  На  таких  частотах,  самораскачиваются,  например,  Рис. 6.15  на  качелях  периодически  приседая  и  вставая  (увеличивая  и  уменьшая  длину  «подвеса»,  рис.  6.14).  Аналогичная ситуация имеет место в электрическом колебательном контуре. 

d0  (C0)

Представим  себе,  что  в  конденсаторе  периодически  может  изменяться  расстояние  между пластами конденсатора (С)  (рис. 6.15). В моменты, когда на С заряд максимален ( q = qm )  пластины разводят, а при  q = 0  они сближаются (n=1 в (6.16)).  При  сближении  пластин  внешняя  меняющая  расстояния  между  пластинами  сила  не  изменит энергию электрических зарядов в контуре ( qc  = 0 ) . Однако при разведении будет  совершаться  положительная  работа,  т.к.  заряженные  пластины  притягиваются.  Увеличение энергии за один период колебаний контура будет равно:  2  é qm2 qm2 ù qm2 V C q m  d ¢¢ - d ¢ 2V W T  » 2 ê = 2  ú=2 2Cmax Cmin 2 Cmax C0 S ë 2Cmin 2Cmax û 

æ 2 W  ö При  n > 1  (2,  3  и  т.д.)  приращение  энергии  за  период  будет  в  n  раз  меньше  ç T  ÷ è n ø  (для  плоского  конденсатора).  Наконец,  если  q(t)  процесс  сближения  и  разведения  производить  быстро,  то  заряд  на  пластинах  : ea t  измениться не успеет и приращение энергии  будет близко к нулю.  Пока  V W T  больше  энергии,  теряемой  контуром  за  период,  колебания  будут  t  нарастать.  Динамика  роста  колебаний  в  контуре  (и  на  качелях)  качественно  иллюстрируется рис. 6.16.  Нетрудно  сообразить,  что  колебания  должны  расти  при  малых  амплитудах  Рис. 6.16  экспоненциально,  т.к.  приращение  энергии  за период пропорционально уже запасенной энергии.  Например, для электрического контура имеем: 2  qm  ( t ) æ 2 V C  C0 ö = W t  æ 2  V CC 0  ö VWc = 2VWT  = ( ) ç ç ÷ ÷ 2 C0 è Cmax Cmin ø è Cmax Cmin  ø  V W C  V W K  @ = 2 aW ( t )  V t T0 

где  a = 

DC0C 0 

,  T 0  ­ период колебаний системы.  Cmax CminT0  В  линейном  электрическом  контуре  потеря  энергии  за  период  определяются  добротностью  2  C + C min  q m  , где  C0  =  max DW  @  R  2  2 C0 Q Поэтому условие нарастания колебаний сводится к неравенству:  2 V W T  n  2 2  - Cmin >  Cmax C min  > V W R  или  Cmax (6.20)  n Q Уравнения,  которые  описывают  параметрический  резонанс,  очевидно,  являются  нелинейными.  Для  рассмотренного  случая,  в  отсутствие  омического  сопротивления  оно  имеет вид: 

&  q& +

1  q = 0  LC ( t ) 

(6.21)

или  2 

&  q& + x ( t ) q = 0 

При C ( t ) = const это  уравнение  сведется  к  обычному  уравнению  для  гармонических  колебаний    с  x 2 = w 0 2  = 

1  .  Напомним,  что  решение  такого  уравнения  можно  искать  в  LC

виде

q0 ( t ) = c1e -a t + c2 e +a t  , 

(6.22) 

где a  оказывается  равной  iw 0 .  Можно  показать,  что  решение  (6.18)  целесообразно  определить аналогичным соотношением:

q ( t ) = c1ea tj ( t ) + c2 e -a t j ( - t ) 

(6.23) 

где j ( t )  периодическая функция с периодом  T p  , а  Re a ¹ 0 .  Поэтому одно из слагаемых в  (6.23) определяет нарастающее во времени колебания. В  случае гармонического изменения параметра, например, для

x2 ( t ) = w 0 2 (1 + m cos w p t )  из (6.21) получается уравнение Матьё. Его решение известно. Так для  n = 1  при  m =  1 , a  оказывается  равной:  2 

æ 2 w ö a= m - 4 ç 1 - 0  ÷ ç 8  w p  ÷ø  è

w1 

2 

(6.24) 

где  w1 = 2w 0  Из (6.24) следует, что нарастание колебаний может иметь место не только при  2 

æ 2 w ö w n = w1 , но в целой зоне при других значениях  w p пока  m2  > 4 ç 1 - 0  ÷ .  ç w p  ÷ø  è mw 0  В центре зоны  a ¢ =  , с ростом  m  зона расширяется. Аналогичная ситуация имеет  4  n  место  и  для  других  зон ( n > 1 ) ,  но  с  a :  m .  Расширение  зоны  с ростом  m  объясняется  тем,  что  колебания  при  параметрическом  резонансе  на  самом  деле  не  являются  гармоническими  (см.  также  m рис.  6.16).  Чем  больше  энергия  вкладываемая  за  период,  тем  сильнее  нелинейность  и  шире  1  спектр  колебаний  процесса.  Параметрический  резонанс  в  таких  условиях  может  происходить  на  гармонических  w0  составляющих спектра. Т.к. все  w p гармоники  в  нелинейных  колебаниях  связаны  между  1/2  1  3/2  2  собой,  то  увеличение  амплитуды  одной  из  Рис. 6.17  составляющих  приводит  к  росту колебаний в целом.  Области,  где  возможен  параметрический  резонанс  качественно  иллюстрируются  рис.  6.17  (редкая  штриховка).  Поскольку  все  осцилляторы  на  самом  деле  являются 

диссипативными  системами,  то  для них  области,  где  происходит  самовозбуждение  систем,  оказываются меньшими или отсутствуют вовсе (маленький инкремент, большое затухание).  На рис. 6.17 ­ это участки с плотной штриховкой.  Максимальная  амплитуда  колебаний  в  параметрических  генераторах  ограничивается  также как и автогенераторах, различными нелинейными эффектами.