Измерение расстояний между функциями

МАТЕМАТИКА ИЗМЕРЕНИЕ РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ А. О. ВАТУЛЬЯН Ростовский государственный университет, Ростов-на-Дону

ВВЕДЕНИЕ

MEASUREMENT OF THE DISTANCE BETWEEN FUNCTIONS A. O. VATULYAN

Different ways of introducing the distance between two functions on an intercept, which are defined as continuous differentiated and integrated are considered. The concept of a norm is introduced and on the basis of the comparison of norms, theorems are derived. These theorems connect classes of the studied functions. Рассматриваются различные способы введения расстояния между двумя функциями, определенными на отрезке: непрерывными, дифференцируемыми, интегрируемыми. Вводится понятие нормы и на основе сравнения норм выводятся теоремы, связывающие изучаемые классы функций.

Понятие расстояния между двумя точками на плоскости или в пространстве известно каждому школьнику. Это понятие как одно из основных понятий геометрии, сложившееся еще в древние времена, в XX веке было обобщено, и сейчас расстояние – важнейшее понятие современной теории функций и функционального анализа. Одно из главных понятий современного анализа – понятие предела, известное из школьного курса. Понятие предела последовательности вещественных чисел обобщено на последовательности произвольной природы, причем сходимость последовательности {xn} к элементу x означает неограниченное уменьшение расстояния между этими элементами при n ∞. В зависимости от того, как мы определяем расстояние между элементами, получаем различные определения предела. Чтобы уяснить сущность понятия “расстояние”, сделаем небольшое отступление и вспомним основные свойства обычного расстояния между двумя точками. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Если на плоскости заданы две точки A(xA , yA) и B(xB , yB), то расстояние между ними ρ(A, B ) находится по известной формуле ρ ( A, B ) = ( x A – x B ) + ( y A – y B ) .

© Ватульян А.О., 2000

2

2

(1)

При математическом моделировании часто приходится рассматривать не только привычные нам одномерное (прямая), двумерное (плоскость), трехмерное пространства, но и их обобщение – n-мерное пространство, в котором положение точки определяется заданием n координат. При использовании n-мерных моделей [1] расстояние между точками A(x1A , x2A , …, xnA) и B(x1B , x2B , …, xnB) находится по формуле ρ ( A, B ) = = ( x 1 A – x 1 B ) + ( x 2 A – x 2 B ) + … + ( x nA – x nB ) . 2

www.issep.rssi.ru

2

2

(2)

Введенное согласно формулам (1), (2) расстояние между двумя точками обладает следующими свойствами:

В АТ УЛ Ь Я Н А . О . И З М Е Р Е Н И Е РА С С Т О Я Н И Й М Е Ж Д У ФУ Н К Ц И Я М И

123

МАТЕМАТИКА 1) ρ(A, B ) $ 0, причем равенство нулю расстояния возможно тогда и только тогда, когда точки A и B совпадают; 2) ρ(A, B ) = ρ(B, A ), то есть расстояние симметрично; 3) ρ(A, B ) + ρ(B, C ) $ ρ(A, C ). Последнее неравенство называется неравенством треугольника. Действительно, при n = 2 это неравенство выражает собой известное свойство: в любом треугольнике длина любой стороны меньше суммы двух других сторон, причем знак равенства возможен лишь тогда, когда треугольник вырождается, то есть точки A, B, C лежат на одной прямой. Возникает вопрос: можно ли задать расстояние между двумя функциями y1(x) и y2(x), заданными на отрезке [a, b] и характеризуемыми бесконечным числом ординат, так, чтобы это понятие обобщало определения (1), (2) и удовлетворяло свойствам 1–3? Оказывается, что способ задания расстояния для функций зависит от свойств этих функций: непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости. При этом способ введения расстояния должен учитывать характерные свойства функций, которые мы изучаем. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ Функцию y(x), определенную на отрезке [a, b], характеризует набор ординат yk = y(xk), где xk ∈ [a, b]. Поскольку таких ординат бесконечное количество, то их можно отождествить с точками, у которых бесконечное число координат. Соответственно вопрос об их сравнении непрост. Дадим следующее Определение 1. Расстоянием между двумя функциями назовем неотрицательное число ρ, удовлетворяющее условиям 1–3. Для непрерывных функций y1(x) и y2(x) можно определить расстояние между ними как максимум абсолютной разности ординат (рис. 1) ρ C [ a, b ] ( y 1, y 2 ) = max y 1 ( x ) – y 2 ( x ) , x ∈ [a, b]

y y2(x) y1(x)

a

b x

Рис. 1. Расстояние между непрерывными функциями

124

(3)

при этом оказываются выполненными свойства 1–3. Первые два очевидны, а третье вытекает из неравенства для абсолютной величины |y1 − y2 | + |y2 − y3 | $ |y1 − y3 |. Отметим, что точно по такой же формуле (3) можно определять расстояние и между разрывными ограниченными функциями. Определение 2. Множество непрерывных на [a, b] функций с расстоянием, определенным согласно (3), называется пространством непрерывных функций и обозначается C[a, b]. Это пример так называемого метрического пространства, строгое определение которого можно почерпнуть в одном из предыдущих номеров “Соросовского Образовательного Журнала” [2]. Если функции y1(x) и y2(x) имеют конечные производные в каждой точке отрезка [a, b], то расстояние между этими функциями можно также определить по формуле (3), однако при таком определении стремление расстояния к нулю означает лишь близость всех ординат, но не производных. Обычно же в этом случае расстояние определяется как сумма максимума абсолютной разности между ординатами функций и максимума абсолютной разности между ординатами производных ρ C1 [ a, b ] ( y 1, y 2 ) = = xmax y ( x ) – y 2 ( x ) + xmax y ' ( x ) – y 2' ( x ) . ∈ [a, b] 1 ∈ [a, b] 1

(4)

При этом производная функции y(x) в граничной точке отрезка, например в точке a, определяется как y( x ) – y(a) lim --------------------------x–a . x→a+0 Нетрудно видеть, что расстояние, заданное формулой (3), всегда не больше, чем заданное формулой (4), то есть расстояние зависит от свойств функции и оказывается большим для более узкого множества дифференцируемых функций. Определение 3. Множество функций, имеющих в каждой точке [a, b] непрерывную производную с расстоянием, определяемым согласно (4), назовем пространством непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [a, b], обозначим его C 1[a, b]. Так, близость функций в C 1[a, b] означает не только малость разности соответствующих ординат, но и малость разности их производных (рис. 2). Аналогично пространству C 1[a, b] можно ввести пространство n раз непрерывно дифференцируемых функций C n[a, b] с расстоянием между функциями

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 1 1 , 2 0 0 0

МАТЕМАТИКА можно измерять расстояние и между разрывными функциями (рис. 3).

y y2(x)

НОРМА ФУНКЦИИ

y1(x)

Теперь, после того как мы определили расстояние между функциями, можно определить и норму функции. Определение 5. Нормой функции y(x) будем называть ее расстояние до 0-функции, то есть до такой функции, которая принимает нулевое значение для всех значений аргумента x ∈ [a, b]. Обозначается это следующим образом:

b x

a

Рис. 2. Близость в метрике C 1[a, b] означает близость не только ординат, но и производных

ρ(y, 0) = ||y||.

n

ρ Cn [ a, b ] ( y 1, y 2 ) =

∑ x ∈ [a, b]

( j)

( j)

max y 1 ( x ) – y 2 ( x ) .

(5)

j=0

Итак, расстояние между двумя функциями y1(x) и y2(x) определяется в зависимости от свойств рассматриваемых функций. В частности, для функций, которые необязательно дифференцируемы (и даже разрывны на [a, b]), можно определить это расстояние следующим образом. Разобьем отрезок [a, b] набором точек a # x0 < < x1 < … < xn = b и составим сумму

∑

2 ( y 1 ( x˜ k ) – y 2 ( x˜ k ) ) ∆x k ,

k=1

x˜ k ∈ [ x k, x k – 1 ] ,

∆x k = x k – x k – 1 .

Если устремить n ∞ таким образом, что max|∆xk | 0, то, используя определение интеграла, придем к следующей формуле для расстояния между функциями: 1⁄2

b

ρ L2 [ a, b ] ( y 1, y 2 ) =

ρ C [ a, b ] ( y 1, y 2 ) # ρ C1 [ a, b ] ( y 1, y 2 ) # … # ρ Cn [ a, b ] ( y 1, y 2 ) или y

n

sn =

Естественно, что норма элемента зависит от определения расстояния или от того, в каком пространстве измеряется это расстояние. Так, например, имеет место очевидное Свойство 1.

∫ ( y ( x ) – y ( x ) ) dx 2

1

2

.

(6)

a

Определение 4. Множество функций с расстоянием, определяемым формулой (6), назовем пространством функций, суммируемых с квадратом, это пространство обозначим L2[a, b]. Можно показать, что введенное согласно (6) расстояние удовлетворяет свойствам 1–3 [3], а в L2[a, b] y y2(x)

y1(x)

C [ a, b ]

# y

1

C [ a, b ]

# y

b x

Рис. 3. В L2[a, b] можно измерять и разрывные функции

(7)

.

Из последнего неравенства (7) вытекает известная теорема анализа. Теорема 1 . Всякая функция y(x) ∈ C 1[a, b] непрерывна. В самом деле, если y ∈ C 1[a, b], то y

1

C [ a, b ]

# const.

Отсюда вытекает, что ||y||C[a, b] # const и ||y'||C[a, b] # const. Это означает, что y(x) и y'(x) на [a, b] ограничены. В силу формулы конечных приращений Лагранжа y(x1) − − y(x2) = y'(x*)(x1 − x2) (x* ∈ [x1 , x2], x1 , x2 ∈ [a, b]) и огра-

ниченности y'(x) следует, что y(x1) − y(x2) 0, то есть y(x) непрерывна. только x1 − x2

0, как

ВЛОЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ На основании сравнения норм функций в различных пространствах функций можно установить некоторые свойства пространств функций, которые называются теоремами вложения. Определение 6. Будем говорить, что пространство X вложено в Y (X ⊂ Y), если все элементы пространства X принадлежат Y. Если y ∈ Y, то ||y|| = ρY(y, 0) < ∞. Так, в силу (7) следует, что C n[a, b] ⊂ C 1[a, b] ⊂ C[a, b],

a

n

C [ a, b ]

n > 1.

Кроме того, в силу свойств интеграла имеет место Теорема 2 . Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема с квадратом.

В АТ УЛ Ь Я Н А . О . И З М Е Р Е Н И Е РА С С Т О Я Н И Й М Е Ж Д У ФУ Н К Ц И Я М И

125

МАТЕМАТИКА Пусть у(x) непрерывна на [a, b], тогда у2(x) также непрерывна на [a, b], а из интегрируемости непрерывной функции следует утверждение теоремы. Отсюда следует неравенство b

∫ y( x )

2

d x # max y ( x ) ( b – a ) # ( b – a ) y C , 2

2

x ∈ [a, b]

a

y Здесь

2 L 2 [ a, b ]

использовано

# (b – a) y C. 2

неравенство

#(max y ( x ) ) , которое следует из 2

x ∈ [a, b]

(8) 2

max y 1 ⋅ y 2 #

венства (8) является вложение C[a, b] ⊂ L2[a, b]. Обратное утверждение неверно, например функция 1 1 -------- ∈ L 2 [ – 1, 1 ], однако -------- ∉ C [ – 1, 1 ] и имеет в нуле 1⁄3 1⁄3 x x разрыв. Взаимное соотношение между пространствами функций можно схематично изобразить на рис. 4. Самое широкое пространство из рассмотренных выше – пространство суммируемых с квадратом функций, самое узкое – пространство C n[a, b]. В математике используются не только эти, наиболее употребительные, но и другие типы пространств, которые могут быть шире или уже рассмотренных пространств, а могут занимать и некоторое промежуточное положение. Таковым, например, является пространство Гёльдера H µ[a, b], 0 < < µ # 1, которому принадлежат функции, определенные на [a, b] и удовлетворяющие условию |y(x1) − y(x2)| # A|x1 − x2 | ,

y

µ

H [ a, b ]

= max y ( x ) +

max

x ∈ [a, b]

A = const,

Из этого определения нормы (10) видно непосредственно, что y

C [ a, b ]

# y

µ

H [ a, b ]

.

Кроме того, легко установить интересные вложения пространств H µ[a, b]. Пусть 0 < µ1 < µ2 # 1. Тогда имеет место вложение µ

µ

H 2 [ a, b ] ⊂ H 1 [ a, b ]. µ

Пусть y ( x ) ∈ H 2 [ a, b ]. Это означает, что y Покажем тогда, что и y H

µ1

[ a, b ]

H

µ2

[ a, b ]

< ∞.

< ∞. Действительно, в

силу условия получим, что y H

µ1

[ a, b ]

= max y ( x ) + x ∈ [a, b]

# max y ( x ) + c x ∈ [a, b]

(9)

для любых x1 , x2 ∈ [a, b]. Нетрудно видеть, что если в (9) µ > 1, то это множество очень узкое и состоит только из функций вида y(x) = const. Однако условие 0 < µ # 1 делает это пространство достаточно емким. Очевидно, что функции из

y ( x1 ) – y ( x2 ) ----------------------------------. (10) µ x1 – x2

x1 , x2 ∈ [a, b]

x ∈ [a, b]

x ∈ [a, b]

µ

Таким образом, C 1[a, b] ⊂ H µ[a, b] ⊂ C[a, b] и функции из H µ[a, b] занимают некоторое промежуточное положение между непрерывными и дифференцируемыми. Норма в пространстве H µ[a, b] вводится следующим образом:

max y ( x ) #

x ∈ [a, b]

# max y 1 ⋅ max y 2 при y1 = y2 . Следствием нераx ∈ [a, b]

H µ[a, b] непрерывны на [a, b]. Действительно в силу неравенства (9) из условия x1 − x2 0 следует, что и y(x1) − y(x2) 0. Однако функции из H µ[a, b] необязательно дифференцируемы. Так, например, функция y(x) = |x| ∉ C 1[−1, 1], однако |x| ∈ H 1[−1, 1].

# c1 y

H

µ2

[ a, b ]

,

y ( x1 ) – y ( x2 ) ---------------------------------# µ x1 , x2 ∈ [a, b] x1 – x2 1

max

max

y ( x1 ) – y ( x2 ) ---------------------------------# µ x1 – x2 2

x1 , x2 ∈ [a, b]

c 1 = max ( c, 1 ),

c = (b – a)

µ2 – µ1

,

а это и означает справедливость указанного выше вложения. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Cn[a, b] C[a, b] L2[a, b]

Рис. 4. Вложение пространств функций

126

Выделим из рассмотренных выше пространств функций некоторые, которые в математике принято называть гильбертовыми по имени немецкого математика Д. Гильберта. Гильбертовы пространства – это обобщение n-мерного евклидова пространства при n ∞. В гильбертовом пространстве можно ввести скалярное произведение [1] элементов, оно обладает многими свойствами евклидова пространства. Так, например, гильбертовым пространством является L2[a, b], скалярным произведением двух элементов f, g ∈ L2[a, b] называется

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 1 1 , 2 0 0 0

МАТЕМАТИКА b

( f , g) =

∫ f ( x )g ( x ) dx.

зывать теоремы существования решений, не решая самой задачи.

a

ЛИТЕРАТУРА Имеет место неравенство ( f , g) # f

L 2 [ a, b ] ⋅ g

L 2 [ a, b ] ,

которое называется неравенством Коши–Буняковского. В гильбертовом пространстве вводится понятие ортогональности элементов, для которых скалярное произведение равно нулю. В гильбертовых пространствах существует бесконечная последовательность ортогональных элементов {ϕk}, а каждый элемент гильбертова пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных элементов. Примеры таких систем представлены в [3]. Эти особенности гильбертовых пространств позволили произвести их анализ гораздо глубже, чем метрических, что и предопределило их широкое использование в приложениях. Умение измерять функции, то есть использовать информацию о том, в каком пространстве отыскивается решение какой-либо задачи, часто позволяет дока-

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1980. 175 с. 2. Баскаков А.Г. Сжимающие отображения и решение нелинейных уравнений // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. № 5. С. 118–121. 3. Ильин В.А. Базисы в евклидовых пространствах и ряды Фурье // Там же. 1998. № 4. С. 95–101.

Рецензенты статьи В.Г. Сушко, В.А. Ильин *** Александр Ованесович Ватульян, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории упругости Ростовского государственного университета и профессор кафедры высшей математики Донского государственного технического университета. Область научных интересов – математические вопросы распространения волн в анизотропных средах, обратные граничные и геометрические задачи механики, интегральные уравнения, численные методы. Автор около 120 публикаций.

В АТ УЛ Ь Я Н А . О . И З М Е Р Е Н И Е РА С С Т О Я Н И Й М Е Ж Д У ФУ Н К Ц И Я М И

127