Теория экстремальных и оптимизационных задач: Рабочая учебная программа дисциплины

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра математического анализа

УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной работе УрГПУ _____________________Т.Н. Шамало «___»_____________2008 г.

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «Теория экстремальных и оптимизационных задач» для специальности «050201-Математика» по циклу ДПП.В.00 – Дисциплины предметной подготовки (курсы по выбору)

Очная форма обучения Курс – 4 Семестр – 8 Объем в часах всего – 76 в т.ч. лекции – 38 самостоятельная работа – 38 Зачет – 8 семестр

Заочная форма обучения Курс – 5 Семестр – 9, 10 Объем в часах всего – 76 в т.ч. лекции – 22 самостоятельная работа – 54 Зачет – 9 семестр

Екатеринбург 2008

Рабочая учебная программа по дисциплине «Теория экстремальных и оптимизационных задач» ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2008. – 8 с. Составитель: Вздорнова Оксана Георгиевна, старший преподаватель кафедры математического анализа УрГПУ, канд. физ.-мат. наук

Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры математического анализа УрГПУ Протокол от «___» ________ 2007 г. №___. Зав. кафедрой __________В.Ю. Бодряков

Отделом нормативного обеспечения образовательного процесса УрГПУ выдан сертификат № _______ от «___» __________ 2008 г. Начальник отдела ____________ Р.Ю. Шебалов

2

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Курс «Теория экстремальных и оптимизационных задач» предназначен студентам 4го курса. Данный курс направлен на раскрытие специфики математики как научного знания и современной образовательной дисциплины, на овладение методами научных исследований в области математики и математического образования. Курс включает в себя основы многомерного анализа, методы конечномерной безусловной и условной оптимизации, основы общей теории математического линейного и нелинейного программирования, простейшие задачи вариационного исчисления. Первый из разделов программы, посвященный основам многомерного анализа, необходим, помимо развития общей математической культуры, для понимания общей теории экстремальных задач. Уже известные знания дополняются, обобщаются и структурируются. В данной программе выдерживается логика изложения. Каждая последующая тема базируется на знаниях предыдущих тем. Целями и задачами данного спецкурса являются повторение и углубление знаний по разделам основного курса математического анализа и некоторым смежным разделам математики, расширение кругозора студентов-математиков в аспекте приложений математики, а также ознакомление с методами научных исследований в области математики. Программа способствует формированию у студентов самостоятельности, способности к успешной специализации в обществе, профессиональной мобильности и других профессионально значимых личностных качеств. Изучение вышеуказанных вопросов способствует профессиональному развитию будущего учителя математики и предоставляет богатый материал для написания курсовых и выпускных квалификационных работ.

2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 2.1 Учебно-тематический план очной формы обучения № п/п

Аудиторные часы Ла- СамоВсего стояПрак- ботрудо- Все Лек тиче- ра- тельная емкость го ции ские тор работа ные

Наименование темы, раздела

Основы многомерного анализа 1.1. Топологические свойства евклидовых пространств 1.2. Дифференцирование. Дважды дифференцируемые функции 1.3. Экстремальные задачи в анализе 2. Основы общей теории математического программирования 2.1. Задача на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа 2.2. Нелинейное программирование 2.3. Выпуклое программирование 2.4. Линейное программирование 2.5. Симплекс-метод 2.6. Специальные задачи линейного программирования Основы вариационного исчисления. Заключи3. тельный обзор Итого: 1.

3

8

4

4

4

4

2

2

2

12

6

6

6

8

4

4

4

8 4 16 4

4 2 8 4

4 2 8 2

4 2 8 2

8

4

4

4

4

2

2

2

76

38

38

38

2.2 Учебно-тематический план заочной формы обучения

№ п/п

Аудиторные часы Ла- СамоВсего стояПрак- ботрудо- Все Лек тиче- ра- тельная емкость го ции ские тор работа ные

Наименование темы, раздела

Основы многомерного анализа 1.1. Топологические свойства евклидовых пространств 1.2. Дифференцирование. Дважды дифференцируемые функции 1.3. Экстремальные задачи в анализе 2. Основы общей теории математического программирования 2.1. Задача на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа 2.2. Нелинейное программирование 2.3. Выпуклое программирование 2.4. Линейное программирование 2.5. Симплекс-метод 2.6. Специальные задачи линейного программирования Основы вариационного исчисления. Заключи3. тельный обзор Итого: 1.

6

2

2

4

8

2

2

6

8

2

2

6

8

2

2

6

9 8 12 7

3 2 4 1

3 2 4 1

6 6 8 6

6

2

2

4

4

2

2

2

76

22

22

54

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 3.1 Перечень тем лекционных занятий 1. Основы многомерного анализа 1.1. Топологические свойства евклидовых пространств. Евклидовы пространства. Операции в n-мерном евклидовом пространстве. Точечные множества и их свойства. Простейшие топологические свойства евклидовых пространств. Теорема Больцано - Вейерштрасса. Компактность множеств. Необходимое и достаточное условие компактности. Непрерывные отображения. Равномерная непрерывность. Связь между непрерывностью, равномерной непрерывностью, компактностью. Теорема Вейерштрасса. 1.2. Дифференцирование. Дважды дифференцируемые функции. Дифференцирование числовых функций. Дифференциал. Градиент. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Вариация функции. Дифференцирование по Гато. Дифференцирование векторных функций. Условие Липшица. Дважды дифференцируемые функции. Теорема Юнга. 1.3. Экстремальные задачи в анализе. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Теорема Ферма. Необходимые и достаточные условия глобального экстремума.

4

2. Основы общей теории математического программирования 2.1. Задача на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Необходимые условия условного экстремума. Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значение функции в области. 2.2. Нелинейное программирование. Теорема Каруша-Джона. Условия дополняющей нежесткости. Условия регулярности. Существование и единственность экстремума. 2.3. Выпуклое программирование. Теорема Куна-Таккера. 2.4. Линейное программирование. Элементы теории двойственности. Построение задачи линейного программирования (ЗЛП). Построение двойственной ЗЛП. Экономическая интерпретация двойственных ЗЛП. Классификация ЗЛП. Формы записи ЗЛП. Приведение ЗЛП к каноническому виду. Геометрическая интерпретация ЗЛП. Геометрический метод решения ЗЛП. 2.5. Симплекс-метод. Симплекс-метод решения ЗЛП. Отыскание первого базиса (метод искусственного базиса). Неразрешимость ЗЛП. 2.6. Специальные задачи линейного программирования. Транспортная задача. Поиск опорного плана перевозок. Метод потенциалов решения транспортной задачи. Элементы теории игр. Основные понятия. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры. Геометрическая интерпретация игры 2х2. Элементы классического вариационного исчисления.

4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНООЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 4.1 Темы, вынесенные на самостоятельное изучение 1. Векторные пространства. Скалярное произведение. Операции с множествами: объединение, пересечение, дополнение. Окрестность множеств. Предельная точка множества. Открытые и замкнутые множества. Супремум и инфимум множества. 2. Доказательство теоремы Больцано-Вейерштрасса. Доказательство теоремы Вейерштрасса. 3. Дифференцируемость функций. Дифференциал. Дифференциалы высших порядков. 4. Метод Ньютона в нелинейном программировании. 5. Метод штрафных функций. 6. Выпуклые функции и множества.

1. 2. 3.

4.2 Примерные темы курсовых работ История возникновения экстремальных задач. Методы решения транспортной задачи. Методы решения экономических задач с помощью теории игр. 4.3 Примерные вопросы для курсового зачета

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. тремума.

Евклидовы пространства и их простейшие топологические свойства. Компактность множеств, свойства, примеры компактов. Непрерывность и равномерная непрерывность. Дифференцирование числовых функций. Вариация функции. Условие Липшица. Локальный и глобальный экстремум. Необходимые и достаточные условия экс5

8. Условный экстремум. Необходимые условия условного экстремума. Метод множителей Лагранжа 9. Линейное программирование. Классификация ЗЛП. 10. Формы записи ЗЛП. Приведение ЗЛП к каноническому виду. 11. Геометрическая интерпретация ЗЛП. 12. Симплекс-метод решения ЗЛП. Неразрешимость ЗЛП. 13. Элементы теории двойственности. Построение двойственной ЗЛП. 14. Экономическая интерпретация двойственных ЗЛП. 15. Транспортная задача. Поиск опорного плана перевозок. 16. Метод потенциалов решения транспортной задачи. 17. Элементы теории игр. Основные понятия. 18. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры. 19. Геометрическая интерпретация игры 2х2.

5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ     

Студент, изучивший дисциплину, должен знать: основные понятия из теории многомерного анализа; необходимые и достаточные условия глобального, локального, условного экстремума; основные теоремы теории математического программирования; основные методы решения задач линейного программирования; основные методы решения специальных задач линейного программирования (транспортной задачи, задачи теории матричных игр).

Студент, изучивший дисциплину, должен уметь:  исследовать функции на монотонность, непрерывность, равномерную непрерывность;  исследовать функции на наличие экстремумов (глобальных, локальных) как без ограничений на переменные, так и при наличии ограничений на область изменения переменных;  решать задачи линейного программирования различными методами, в том числе симплексметодом;  решать транспортную задачу методом потенциалов;  находить оптимальные стратегии и цену игры для задач теории матричных игр. Студенты должны иметь навыки применения методов линейной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа при решении экстремальных задач.

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРОГРАММЫ 6.1 Рекомендуемая литература Основная 1. Акулич, И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах [Текст]: Учебное пособие для вузов / И.Л. Акулич. – М: Высшая школа, 1986. – 319 с. 6

2. Демьянов, В.Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление [Текст]: Учебное пособие для вузов / В.Ф. Демьянов. – М.: Высшая школа. 2005. – 334 с. 3. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст]: в 3 т. / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1962–1969 Т.1/ Г.М. Фихтенгольц. –2003.–680с. Т.2/ Г.М. Фихтенгольц. –2003.–864с. Т.3/ Г.М. Фихтенгольц. –2003.–864с. Дополнительная 1. Афанасьев, А.П. Элементарное введение в теорию экстремальных задач [Текст] : Учебное пособие / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба – Тамбов, «Пролетарский светоч», 2001. – 187 с. 2. Иоффе, А.Д. Теория экстремальных задач. [Текст] / А.Д. Иоффе, В.М. Ти-

хомиров – М.: Наука, 1974. – 480 с. 3. Ногин, В.Д. Основы теории оптимизации. [Текст] / В.Д. Ногин, И.О. Протодьяконов, И.И. Евлампиев – М.:Высшая школа. 1986. – 383 с. 4. Пшеничный, Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. [Текст] / Б.Н. Пшеничный – М.: Наука, 1972. – 320 с. 5. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ. [Текст] / Р. Рокафеллар – Мир, 1973. – 470с.

6.2 Информационное обеспечение дисциплины

Локальная электронная сеть математического факультета УрГПУ: Информационная обучающая среда. 7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ При изучении данной дисциплины используются персональные компьютеры с соответствующим программным обеспечением для построения графиков функций, приближенного нахождения экстремумов, решения задач линейного программирования. 8. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ: Вздорнова Оксана Георгиевна к.ф.-м.н

старший преподаватель кафедры математического анализа УрГПУ рабочий телефон 371-09-24

7

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «Теория экстремальных и оптимизационных задач» для специальности «050201-Математика» по циклу ДПП.В.00 – Дисциплины предметной подготовки (курсы по выбору)

Подписано в печать ________________ . Формат 60 х 84/16 Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. _______ Уч.-изд. л. _______ Тираж _______ экз. Заказ ____________ Издательство Уральского государственного педагогического университета. Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26.

8