Высшая математика: Учебное пособие для студентов технических вузов. Часть 2

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА учебное пособие для студентов технических вузов (часть 2) составитель Семёнова Т.В.

Неопределенный интеграл. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x∈(a;b) выполняется равенство F′(x) = f(x). Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3. Если для F(x) установлено равенство dF(x) = f(x)dx, то F(x) ⎯ dF ( x ) первообразная для f(x), так как f ( x ) = = F ′( x ) . dx Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции. Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b). Доказательство. (F + C)′ = F′ + C′ = f + 0 = f По определению F + C ⎯ первообразная для f. Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы. Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g′(x) = 0. Доказательство. Так как g(x) = C, справедливы равенства: g′(x) = C′ = 0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число). Если g′(x) = 0 при всех x∈(a;b), то g(x) = C на (a;b). Доказательство. Пусть g′(x) = 0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x1∈(a;b). Тогда для любой точки x∈(a;b) по формуле Лагранжа имеем

g(x) – g(x1) = g′(ξ)(x – x1) Так как ξ∈(x; x1), а точки x и x1 принадлежат промежутку (a;b), то g′(ξ) = 0, откуда следует, что g(x) – g(x1)=0, то есть g(x) = g(x1)=const. Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C – число. Доказательство.

Возьмем

производную

от

разности

G – F:

(G – F)′ = G′ – F′ =

= f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C ⎯ число, то есть G = F + C. Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то ∫f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число. Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием. Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F′(x) = f(x) соответствует формула ∫f(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов: 1) ∫ dx = x + C;

x α+1 2) ∫ x dx= (α≠1); α+ 1 dx 3) ∫ = ln x + C ; x α

4) ∫ exdx =ex+C;

5) ∫ axdx =axlogae+C (α≠1) ; 6) ∫ sinx dx=-cosx + C;

7) ∫ cosx dx = sinx + C; dx = tgx + C ; 8) ∫ cos 2 x dx 9) ∫ 2 = −ctgx + C ; sin x dx = arctgx + C = ∫ 10) x 2 + 1 = −arcctgx + C ; dx = arcsin x + C = ∫ 2 11) 1− x

= − arccos x + C ; dx x 1 = ln +C. 12) ∫ x(a − x ) a a − x

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами: 1) ( ∫f(x) dx )′=f(x);

2) ∫f′ (x) dx= f(x)+C ;

4) ∫d f(x)=f(x)+C ;

5) ∫kf(x)dx=k∫f(x) dx; 6) ∫(f(x)+g(x))dx=∫ f(x) dx+∫g(x) dx ; 3) d ∫f(x) dx= f(x)dx; 1 7) Если ∫f(x) dx = F(x) + C, то ∫f(ax+b) dx = F (ax + b ) + C a (a ≠ 0). Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

Замена переменной в неопределенном интеграле Если функция f(x) непрерывна, а функция ϕ(t) имеет непрерывную производную ϕ′(t), то имеет место формула

∫ f(ϕ(t))ϕ′(t) dt = ∫ f(x) dx,

где x = ϕ(t).

Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры обратного перехода. Примеры. 1. I = 2 t dt = dx/3. I = ∫ cos x

∫ cos(t ) t 3

2

dt.

Пусть t3 = x, тогда dx = 3t2dt или

1 1 dx 1 = ∫ cos xdx = sin x + C = sin t 3 + C . 3 3 3 3

ln 2 t + ln t 2. I = ∫ dt . Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t. t

(

3

)

2

2

I = ∫ x + x dx = ∫ x dx + ∫ =

ln 3 t 2 + 3 3

I =∫

dx 1− x

2

I =∫

ln t

)3 + C.

sin t dt . Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и cos t

3. I = ∫ tgt dt = ∫

4. I = ∫

(

x3 2 x dx = + x +C = 3 3

− dx dx = −∫ = − ln x + C = − ln cos t + C . x x

. Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и cos t dt 2

1 − sin t

= ∫ dt = t + C = arcsin x + C .

Формула интегрирования по частям Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда (uv)′ = u′v + v′u

Отсюда следует

∫ (uv)′dx = ∫ (u′v + v′u )dx = ∫ u′v dx + ∫ v′u dx или

∫ uv′ dx = uv – ∫ u′v dx . Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям:

∫ u(x)dv(x) = u(x) v(x) – ∫ v(x)du(x) Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям. Примеры. 1. I = ∫ x cosx dx. Пусть u = x; dv = cosx dx, тогда du = dx; v = sinx. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается: I = x sinx – ∫ sinx dx = x sinx + cosx + C. 2. I = ∫ (x2 – 3x + 2) e5xdx. Пусть x2 – 3x + 2 = u; e5xdx = dv. Тогда 1 du = (2x – 3) dx; v = e 5 x . 5

(

)

1 1 I = e5 x x 2 − 5 x + 2 − ∫ (2 x − 3)e5 x dx . 5 5 К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 1 2x - 3 = u; e5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2dx; v = e5 x , и окончательно 5 получаем:

(

)

1 1⎛1 1 ⎞ I = e 5 x x 2 − 3 x + 2 − ⎜ e 5 x (2 x − 3) − ∫ e 5 x 2dx ⎟ = 5⎝5 5 5 ⎠

(

)

1 1 2 = e 5 x x 2 − 3 x + 2 − e 5 x (2 x − 3) − e 5 x + C . 5 25 25

(

)

3. I = ∫ x 5 + x ln xdx ;

(

)

3

dx x6 2 2 = du; + x = v ; ln x = u; x + x dx = dv; x 6 3 5

⎛ x 6 2 3 ⎞ ⎛ x 6 2 3 ⎞ dx I = ln x⎜ + x 2 ⎟ − ∫ ⎜ + x 2 ⎟ = ⎜ 6 3 ⎟ ⎜ 6 3 ⎟ x ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 1 5 ⎛ x6 2 3 ⎞ 2 x ⎟ ⎜ = ln x + x2 − dx − ∫ x 2 dx = ⎜ 6 3 ⎟ ∫ 6 3 ⎠ ⎝ 3 ⎛ x6 2 3 ⎞ x6 4 2 ⎜ ⎟ 2 = + x ln x − − x +C. ⎜ 6 3 ⎟ 36 9 ⎝ ⎠

В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12: ⌠ dx I =⎮ . ⌡ x(a − x ) 1 B A в виде суммы двух дробей: и , и x(a − x) a−x x попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства (B − A)x + aA получим систему уравнений 1 = x(a − x ) x(a − x )

Представим дробь

⎧B − A = 0 ⎨ ⎩aA = 1

1 1 с решением A = ; B = . Отсюда следует: a a I=

1 dx 1 dx 1 1 x + ∫ = (ln x − ln a + x ) + C = ln +C. ∫ a x a a−x a a a−x

Полученный интеграл в обиходе обычно называют “высоким логарифмом”. Метод, которым он был найден, называется методом “неопределенных коэффициентов”. Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.

Интегрирование элементарных дробей.

Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I.

II.

III.

IV.

m, n – натуральные числа (m ≥ 2, n ≥ 2) и b2 – 4ac <0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

I.

II.

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III. Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример.

Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример.

Пример.

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида квадрата представить в виде

можно путем выделения в знаменателе полного . Сделаем следующее преобразование:

. Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл

.

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к табличному рекуррентная формула.

, а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Пример:

Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных дробей.

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Теорема: Если - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)α…(x - b)β(x2 + px + q)λ…(x2 + rx + s)μ ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины. При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример.

Т.к. (

, то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Итого:

Пример.

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7 3x3 – 4x2 – 17x + 6 6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2 2x2 + 3 9x3 + 8x2 – 76x - 7 9x3 – 12x2 – 51x +18 20x2 – 25x – 25

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда: 3x3 – 4x2 – 17x + 6 x - 3 3x3 – 9x2 3x2 + 5x - 2 5x2 – 17x 5x2 – 15x - 2x + 6 -2x + 6 0 Таким образом 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тогда:

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных

значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

Окончательно получаем:

=

Пример.

Найдем неопределенные коэффициенты:

Тогда значение заданного интеграла:

Интегрирование некоторых иррациональных функций. Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда. Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

Интеграл вида

С помощью подстановки

где n- натуральное число.

функция рационализируется.

Тогда

Пример.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение. Проиллюстрируем это на примере.

Пример.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида

.

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Тогда

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой. Пример.

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил. Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример.

Интеграл вида

если функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

Функция может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

Пример.

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

Интеграл вида

если функция R является нечетной относительно sinx.

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx. Тогда Пример.

Интеграл вида

функция R четная относительно sinx и cosx.

Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка t = tgx. Тогда

Пример.

Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

Пример.

Пример.

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций. Пример.

Пример.

Иногда применяются некоторые нестандартные приемы. Пример.

Итого

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx где m, n, и p – рациональные числа.

Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки , где λ - общий знаменатель m и n.

2) Если

- целое число, то интеграл рационализируется подстановкой , где s – знаменатель числа р.

3) Если - целое число, то используется подстановка знаменатель числа р.

, где s –

Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно. Интегралы вида

.

Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ. Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов: 1) 2) 3)

1 способ. Тригонометрическая подстановка. Теорема: Интеграл вида

подстановкой

или

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример:

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost. Пример:

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost. Пример:

2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783) 1) Если а>0, то интеграл вида .

рационализируется подстановкой

2) Если a<0 и c>0, то интеграл вида подстановкой

рационализируется .

3) Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x – x1)(x – x2), то интеграл вида

рационализируется

подстановкой Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования, т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

3 способ. Метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

где P(x) – многочлен, n – натуральное число.

Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа.

Далее делается следующее преобразование:

в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а λ - некоторая постоянная величина. Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют λ и коэффициенты многочлена Q(x). Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных

дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.

Пример.

. Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

и

= =

Итого =

Пример.

=

Пример.

Второй способ решения того же самого примера.

С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением , а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают. Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований. Пример.

Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими. Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим. Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим. Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

1)

- интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик (17811840))

2)

3)

4)

- интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)

- интегральный логарифм

- приводится к интегральному логарифму

5)

- интегральный синус

6)

- интегральный косинус

Определенный интеграл Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x1, x2, x3, …, xn-1, удовлетворяющие условию: a< x1,< x2<…< xn-1,
промежутков:

промежутков

[a;x1], [x1;x2], …, [xn-1;b].

выберем

произвольно

На

каждом

по

из

одной

этих точке:

c1∈[a;x1], c2∈[x1;x2], …, cn∈[xn-1;b]. Введем обозначения: Δx1 = x1 – a; Δx2 = x2 – x1; …, Δxn = b – xn-1. Составим сумму: n

σ = ∑ f (ci )Δxi . i =1

Она называется интегральной суммой функции

f(x)

Очевидно,

по

что

промежутку интегральная

[a;b]. сумма

зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек ci. Каждое суммы

слагаемое

представляет

интегральной

собой

площадь

прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 1. Введем обозначение: λ = max(Δxi), i = 1, 2, …, n.. Величину λ иногда называют параметром разбиения. Рассмотрим

процесс,

при

котором

число

точек

разбиения

неограниченно возрастает таким образом, что величина λ стремится к нулю. Определенным интегралом b

I = ∫ f ( x )dx a

от функции f ( x ) по промежутку [a;b] называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует: I=

lim n → ∞;λ → 0

σ.

Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [a;b] и выбора точек ci. Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b ⎯ верхним пределом интегрирования. Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), отрезком [a;b] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. На рисунке 2 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой b

S = I = ∫ f ( x )dx . a

Если f(x) < 0 во всех точках промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке (например, как изображено на рисунке 3), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [a;b] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции y = f(x), определяется формулой b

S = − ∫ f ( x )dx . a

Перечислим свойства определенного интеграла: b

b

a

a

1) ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (здесь k - произвольное число); b

b

b

a

a

a

2) ∫ ( f ( x ) + g ( x ))dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx ; b

a

a

b

3) ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx ; b

c

b

a

a

c

4) Если c∈[a;b], то ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx . 2π

Из этих свойств следует, например, что

∫ sin x dx = 0 .

0

Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из определения определенного интеграла.

Оказывается, что формула из пункта 4 справедлива и тогда, когда c∉[a;b]. Пусть, например, c>b, как изображено на рисунке 4. В этом случае верны равенства b

c

c

c

b

a

a

b

a

c

∫ = ∫ −∫ = ∫ +∫ .

Определенный интеграл как функция верхнего предела Пусть

функция

f( t)

определена

и

непрерывна

на

некотором

промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число x

I ( x ) = ∫ f (t )dt , a

определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке

x=a

эта

функция

равна

нулю.

Вычислим

производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим

приращение

функции

в

точке

x

при

приращении аргумента Δx:

ΔI(x) = I(x + Δx) – I(x) = x + Δx

x

a

a

= ∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt = x

x + Δx

x

x + Δx

a

x

a

x

= ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt . Как показано на рисунке 1, величина последнего интеграла в формуле для приращения ΔI(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах Δx (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке

двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой

f(x)Δx. Отсюда получаем соотношение x + Δx

Δ I ( x ) = ∫ f (t )dt ≈ f ( x )Δ x . x

В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Δx. Из сказанного следует формула для производной функции I(x):

Δ I (x ) f ( x )Δ x = lim = f (x ). Δ x →0 Δ x Δx →0 Δx

I ′( x ) = lim

Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда

следует, что функция I ( x ) = ∫a f (t )dt является первообразной для функции x

f(x), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде x

∫ f (t )dt = I ( x ) − I (a ) .

(1)

a

Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I(x) = F(x) + C, где C — некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид

I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a).

(2)

Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]: b

∫ f (t )dt = F (b ) − F (a ) ,

a

которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F(x) — любая первообразная функции f(x). Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) по промежутку [a;b], нужно найти какую-либо первообразную F(x) функции f(x)

и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a. Разность этих b

значений первообразной принято обозначать символом F ( x ) . a

Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница. π 2

π 2

0

0

Примеры. 1. I = ∫ cos xdx = sin x = sin

π − sin 0 = 1 . 2

1

2. I = ∫ xe x dx . 0

Сначала вычислим неопределенный интеграл от функции f(x) = xex. Используя метод интегрирования по частям, получаем: ∫ xe x dx = e x ( x − 1) + C . В качестве первообразной функции f(x) выберем функцию ex(x – 1) и применим формулу Ньютона-Лейбница:

I = ex(x – 1)

1

= 1.

0

При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле: b

β

a

α

∫ f (x )dx = ∫ f ( (t )) ′(t )dt .

Здесь α и β определяются, соответственно, из уравнений ϕ(α) = a; ϕ(β) = b, а функции f, ϕ, ϕ′ должны быть непрерывны на соответствующих промежутках. e ln xdx Пример: I = ∫ . x 1 Сделаем замену: ln x = t или x = et, тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e, то t = 1. В результате получим: 1

ln et et dt 1 t2 I =∫ = ∫ t dt = t 2 e 0 0

1 0

1 = . 2

При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами Если

положить

промежуток

интегрирования

бесконечным,

то

приведенное выше определение определенного интеграла теряет смысл, например, потому что невозможно осуществить условия n→∞; λ→0 для бесконечного промежутка. Для такого интеграла требуется специальное определение. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на полубесконечном промежутке [a;∞), тогда несобственным интегралом с бесконечным ∞

пределом

∫ f (x ) dx

a

b

называется lim ∫ f ( x ) dx , если предел существует. Если b→∞

a

этот предел не существует, то не существует и несобственный интеграл. В этом случае принято говорить, что несобственный интеграл расходится. При существовании предела говорят, что несобственный интеграл сходится. Аналогично ∞ b b b ⎛ ⎞ ⎜ ⎟. ( ) ( ) и ( ) ( ) f x dx lim lim f x dx = f x dx = lim f x dx ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ a → −∞⎜ b → ∞ a → −∞ −∞ −∞ a a ⎝ ⎠ ∞

b

dx 1b 1 dx ⌠ = 1 − , откуда следует Примеры: 1. I = ∫ 2 . Очевидно: ⎮ 2 = − x1 b ⌡x 1x 1

⎛ 1⎞ I = lim ⎜1 − ⎟ = 1 . b → ∞⎝ b⎠ ∞

b b dx dx = lim ∫ = lim 2 x = lim 2 b − 2 ; этот предел не 2. I = ∫ b →∞ b→∞ b →∞ x x 4 4 4 существует, следовательно, не существует или расходится интеграл I. ∞ dx 3. I = ∫ = lim (ln b − 1) ; здесь предел также не существует, и интеграл b→∞ e x расходится.

(

)

Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак ““, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула

.

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий. Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

Искомая площадь может быть найдена по формуле:

(ед2) Нахождение площади криволинейного сектора.

Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид ρ = f(ϕ), где ρ длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а ϕ - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси. Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле

Вычисление длины дуги кривой.

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна

.

Из геометрических соображений:

В то же время Тогда можно показать, что

Т.е. Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции получаем

, где х = ϕ(t) и у = ψ(t). Если задана пространственная кривая, и х = ϕ(t), у = ψ(t) и z = Z(t), то

Если кривая задана в полярных координатах, то

, ρ = f(ϕ).

Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

1 способ. Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда Тогда S = 2πr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2ϕ + r2sin2ϕ = r2, т.е. функция ρ = f(ϕ) = r,

тогда

Вычисление объемов тел.

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi. Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны MiΔxi и miΔxi здесь Δxi = xi - xi-1. Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно

и

.

При стремлении к нулю шага разбиения λ, эти суммы имеют общий предел:

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел. Пример: Найти объем шара радиуса R.

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле

.

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) =

.

Получаем объем шара:

.

Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды. Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды:

Объем тел вращения.

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

y = f(x) Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг , то объем тела вращения может быть легко найден по радиуса полученной выше формуле:

Площадь поверхности тела вращения.

Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.

Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна ΔPi. Эта площадь может быть найдена по формуле:

Здесь ΔSi – длина каждой хорды.

Применяем теорему Лагранжа к отношению

Получаем: Тогда

.

Площадь поверхности, описанной ломаной равна:

Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что

Тогда тела вращения.

- формула вычисления площади поверхности

Приближенное вычисление определенного интеграла. Как было сказано выше, существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подинтегральная функция заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.

Формула прямоугольников.

Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x0, x1, … , xm, то в качестве функции “близкой” к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.

Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей этом:

. При

y0 = f(x0), y1 = f(x1), …. , yn = f(xn). Составим суммы: y0Δx + y1Δx + … + yn-1Δx y1Δx + y2Δx + … + ynΔx Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной.

или

Тогда

- любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.

Формула трапеций.

Эта формула является более точной по сравнению с предыдущей.

у Подинтегральная функция в этом случае заменяется на вписанную ломаную Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула).

(Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик) Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2). Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

Уравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

(1) Обозначим

.

Если принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то

(2)

Тогда уравнения значений функции (1) имеют вид:

C учетом этого:

.

Отсюда уравнение (2) примет вид: Тогда

Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:

Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.

Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

По формуле Симпсона получим:

m

0

1

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

4.89 9

6.55 7

8.94 4

2 x

-2

-1 0

f(x )

2.82 8

3.87 3

4.12 4 3

11.87 4

15.23 2

18.94 7

Точное значение этого интеграла – 91.173. Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

22.97 8

Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подинтегральной функции в степенной ряд. Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подинтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму. Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл

Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подинтегральной функции формулой Маклорена. Разложение функции cosx имеет вид:

Зная разложение функции cosх легко найти функцию 1 – cosx:

В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.

Теперь представим в виде ряда подинтегральное выражение.

Теперь представим наш интеграл в виде:

В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда). Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится и, более того, сходится равномерно на отрезке интегрирования [0, 0,5]. Эти вопросы будут подробно рассмотрены позже (См. Действия со степенными рядами.) Отметим лишь, что в нашем случае подобное действие справедливо хотя бы по свойствам определенного интеграла (интеграл от суммы равен сумме интегралов).

Итак:

Итого, получаем:

Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.

Для справки: Точное (вернее – более точное) значение этого интеграла: 0,2482725418…

Функции нескольких переменных 1. Основные понятия Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, ..., xn, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, ..., xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1, x2, ..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что записывается в виде формулы y = f(x1,x2,..., xn) или y =y(x1,x2,..., xn). Переменные x1, x2, ..., xn являются аргументами этой функции, а переменная y - функцией от n переменных. Далее будем говорить лишь о функции двух переменных. Для функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения. Аргументы функции двух переменных будем обозначать как правило x и y, а значение функции − z.

Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции f в точке (x,y). Множество D называется областью определения функции. Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M. Числа x,y можно рассматривать как координаты вектора r , исходящего из начала координат и с концом в точке M(x,y). Тогда функция двух переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы z = f( r ), причем аргументами функции являются координаты вектора r .

График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)∈D. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой поверхности приводится на рисунке 1.

Очевидно, что нельзя ввести понятия возрастания или убывания (монотонности) функции двух переменных. Рассмотрим график некоторой функции z=f(x,y), изображенный на рисунке 2. Из точки M(x,y) в плоскости X,Y проведем два луча l1 и l2 , определяющих некоторые направления. Можно говорить, что в точке M функция f в направлении l1 возрастает, а в направлении l2 убывает. Это означает, что для любой точки M1 , лежащей на луче l1 достаточно близко к точке M, выполняется неравенство f(M1) > f(M). Для любой точки M2 , лежащей на луче l2 достаточно близко к точке M, выполняется неравенство f(M2) < f(M). Одним из подходов к исследованию функций двух переменных является изучение поведения функции в точке, то есть определение направлений, в которых функция убывает или возрастает, и определение скорости возрастания или убывания. Можно использовать другой подход. Пусть имеется функция z = f(x,y) c графиком, представляющим собой некоторую поверхность.

Рассмотрим сечение графика функции плоскостью z=C (эта плоскость параллельна плоскости XOY и пересекает ось Z в точке z=C ). Спроектируем линию пересечения этой плоскости с поверхностью z = f(x,y) на плоскость XOY и получим так называемую линию уровня C функции z = f(x,y). Линия уровня представляет собой множество всех точек в плоскости XOY, для которых выполняется равенство f(x,y) = C. Придавая различные значения параметру C, можно получить множество линий уровня функции f(x,y). Если для каждой линии уровня указать соответствующее ей значение C, то получится топографическая карта поверхности, представляющей собой график функции. В микроэкономике, в предположении что потребитель приобретает лишь два вида товаров: A и B, вводится понятие общей полезности TU, как функции двух аргументов: Q1 и Q2 – количеств потребленных товаров A и B, соответственно: TU = TU(Q1,Q2).

(1)

Очевидно, что все линии уровня функции TU(Q1,Q2) составляют семейство кривых безразличия (Курс экономической теории. Под общей редакцией проф. Чепурина М.Н. 1995, стр. 125). Пусть в плоскости XOY заданы две точки: M0(x0,y0) и M1(x1,y1). Расстояние ρ между этими точками рассчитывается по формуле

ρ=

(x1 − x0 )2 + ( y1 − y0 )2 .

(2)

Пусть δ - некоторое положительное число. δ-окрестностью Vδ точки M0(x0,y0) называется множество всех точек, координаты x,y которых удовлетворяют неравенствам

(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < δ .

0<

Очевидно, что δ-окрестность точки M0(x0,y0) представляет собой круг радиуса

δ с выколотым центром. Точка M0(x0,y0) называется точкой минимума функции z = f(x,y), если существует такое положительное число δ , что из условия M(x,y) ∈ Vδ (x0,y0) следует f(x,y) > f(x0,y0). Точка M0(x0,y0) называется точкой максимума функции z = f(x,y), если существует такое положительное число δ , что из условия M(x,y) ∈ Vδ (x0,y0) следует: f(x,y) < f(x0,y0). Точки минимума и максимума называются точками экстремума. Число A называется пределом функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0): A = lim f ( x, y ) ⇔ A = lim f (M ) , x → x0 y → y0

M →M 0

если для произвольного числа ε > 0 найдется такое число δ > 0, что для всех точек M(x,y) из δ-окрестности точки M0(x0,y0) выполняется неравенство |f(x,y) - A|<ε . Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если

lim f (M ) = f (M 0 ) .

M →M 0

Два последних определения фактически повторяют определения предела и непрерывности в точке для функции одной переменной.

2. Частные производные Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) называется предел

lim

Δ x →0

f ( x0 + Δ x , y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) , Δx

если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым

из следующих символов: f x′ (M 0 ) ; f x′ ( x0 , y0 ) ;

∂ f ( x0 , y 0 ) . ∂x

Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y. Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):

∂ f ( x0 , y 0 ) f ( x0 , y0 + Δ y ) − f ( x0 , y0 ) . = lim Δ y →0 ∂y Δy

В пространстве XYZ условие y = y0 описывает плоскость P, перпендикулярную оси OY и пересекающую эту ось в точке y0. Плоскость P пересекается с графиком функции z = f(x,y), вдоль некоторой линии L, как показано на рисунке 1. Тангенс угла между плоскостью XOY и касательной к линии L в точке с координатами x0,y0 равен частной производной по x функции z = f(x,y) в этой точке. В этом состоит геометрический смысл частной производной. Аналогичное заключение можно сделать относительно частной производной по y. Приведем примеры вычисления частных производных. Как говорилось выше, для вычисления частной производной по x функции z = f(x,y) нужно

положить переменную y равной константе, а при нахождении частной производной по y нужно считать константой переменную x. Примеры. 1. z = x 2 y + x ; x y

1 ∂z ∂z = 2 xy + ; = x2 . ∂x 2 x ∂y

x

x

∂z 1 y ∂z x 2. z ( x, y ) = e ; = e ; = − 2 ey. ∂x y ∂y y Если частные производные функции z = f(x,y) существуют на некотором множестве, а точка, в которой вычисляются частные производные несущественна, то пользуются более короткими обозначениями: z′x ; z′y ; f x′; f y′ ;

∂f ∂f ; . ∂x ∂y

Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка ∂2f ∂2f ∂2f ; ; . Согласно определению и обозначаются zxx′′, zyy′′, zxy′′ или ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ x∂ y ′ = z ′xx

∂ 2z ′ = ( z ′x )x ; 2 ∂x

′ = z ′xy

∂ 2z = ( z ′x )′ y . Последняя частная производная ∂ x∂y

второго порядка называется смешанной. Смешанная частная производная второго порядка, вообще говоря, зависит от того, в какой последовательности берутся переменные, по которым вычисляется производная. Так, производная zxy′′ = (zx′ )y′ может не быть равной zyx′′ = (zy′ )x′. Однако существует теорема, утверждающая, что если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того, в какой последовательности вычислялись частные производные по x и по y. (Рекомендуем читателю самому убедиться в справедливости этой теоремы для функций, рассмотренных в приведенных выше примерах 1 и 2.) Отметим очень важное отличие функции двух переменных от функции одной переменной. Из существования первых частных производных в точке не следует непрерывность функции в этой точке. Рассмотрим, например, функцию ⎧0 при xy = 0 f ( x, y ) = ⎨ . ≠ 1 при xy 0 ⎩

График этой функции во всех точках, не принадлежащих осям координат OX и OY, представляет собой плоскость, параллельную плоскости XOY, поднятую на 1. Сами эти оси координат также принадлежат графику рассматриваемой функции. Очевидно, что в точке (0,0) функция имеет частные производные по обоим аргументам, обе равные нулю. Очевидно также, что в любой окрестности точки (0,0) можно найти точку M такую, что f(M) = 1, в то время как f(0, 0) = 0. Это означает существование разрыва функции в точке (0,0).

3. Дифференциал функции двух переменных Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р0(х0,у0) частные производные f′x(х0,у0) и f′у(х0,у0). Перейдём от точки Р0 к точке R0(x0+Δx,y0+Δу), придавая переменным х и у в точке Р0 произвольные приращения Δx и Δу, соответственно. При этом функция в точке Р0 получит приращение Δf(х0,у0) = f(x0+Δx,y0+Δy) – f(x0,y0) = f(R0) – f(P0). Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде Δf(х0,у0) = f′x(х0,у0)Δx + f′у(х0,у0)Δу + α(Δx;Δу) Δx + β(Δx;Δу)Δу,

(1)

lim α( Δx; Δy) = lim β( Δx; Δy) = 0 , то функция называется где Δx → 0; Δy→ 0 Δx → 0; Δy→ 0 дифференцируемой в точке Р0(х0,у0). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р0 и обозначается df(x0,y0): df(x0,y0) = f′x(х0,у0)Δx + f′у(х0,у0)Δу.

(2)

Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно Δx и Δу . Таким образом df = f′x dх + f′у dу.

Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако, из справедливости равенства (1) следует lim

Δx → 0; Δy→ 0

Δf ( x0; y0 ) = 0 ,

а это означает непрерывность функции в точке (х0,у0). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке. Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифференцируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке. На рисунке 1 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р0Р равна значению функции z в точке P0,

то есть ⎜Р0Р⎜ = f(x0,y0) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P0 положительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q0, S0 и R0 являются пары чисел соответственно (x0,y0+Δу); (x0+Δx,y0) и (x0+Δx,y0+Δу), причём ⎜Q0Q⎜ = f(Q0), ⎜S0S⎜ = f(S0) и ⎜R0R⎜ = f(R0). Приращение Δf(х0,у0) функции в точке Р0 равно ⎜RR2⎜. Параллелограмм PQ1R1S1 лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ2R2S2 расположен в горизонтальной плоскости. Очевидно: ⎜Q2Q1⎜ = f′y(x0,y0)Δy и ⎜S2S1⎜ = f′x(x0,y0)Δx. Из легко доказываемого равенства ⎜R2R1⎜ = ⎜S2S1⎜ + ⎜Q2Q1⎜

Так как df(x0,y0) ≈ Δf(x0,y0), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.

4. Производная по направлению. Пусть в плоскости XOY расположена точка M0(x0,y0). Зададим произвольный угол α и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул x = x0 + t cosα, y = y0 + t sinα.

(1)

Здесь t - параметр, который может быть равен любому числу. Из формул (1) следует: (y - y0)/(x - x0) = tgα Это означает, что все точки M(x,y), координаты которых удовлетворяют равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) и составляющей угол α с осью OX. Каждому значению t соответствует единственная точка M(x,y), лежащая на этой прямой, причем согласно формуле (1) из §1 расстояние между точками M0(x0,y0) и M(x,y) равно t. Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением,

определяемым возрастанием параметра t. Обозначим положительное направление этой оси символом l. Производной функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) по направлению l называется число f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α ) − f ( x0 , y0 ) ∂ f ( x0 , y 0 ) = lim . t →0 ∂l t

(2)

Производной функции по направлению можно дать геометрическую интерпретацию. Если через прямую l, определяемую формулами (1), провести вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном пространстве уравнения (1) определяют эту самую плоскость), то эта плоскость пересечет поверхность-график функции z = f(x,y) вдоль

некоторой пространственной кривой L. Тангенс угла между горизонтальной плоскостью и касательной к этой кривой в точке M0(x0,y0) равен производной функции в этой точке по направлению l. В любом курсе математического анализа доказывается, что производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть представлена в виде

∂ f ( x0 , y 0 ) ∂ f ( x0 , y 0 ) ∂ f ( x0 , y 0 ) = cos α + sin α . ∂x ∂y ∂l

(3)

Заметим, что частная производная по x тоже является производной по направлению. Это направление определяется равенствами: cosα = 1; sinα = 0. Аналогично частная производная по y — это производная по направлению, которое можно задать условиями cosα = 0; sinα = 1.

Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем некоторые понятия и факты из курса векторной алгебры. Пусть в плоскости с системой координат XOY задан направленный отрезок r или (что то же самое) вектор, причем точка M0(x0,y0) является его начальной точкой, а M1(x1,y1) - конечной точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x1 - x0, а координату по оси OY , как число, равное y1 - y0. Если задать упорядоченную пару любых чисел a и b, то эти числа можно рассматривать как координаты некоторого вектора r в плоскости XOY, причем длина этого вектора определена формулой

ρ = r = a 2 + b2 , а тангенс угла наклона γ вектора к оси OX определяется из формулы tgγ = b/a (отметим, что зная величину tgγ , а также знак любого из чисел a и b, мы можем определить угол γ с точностью до 2π ). Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде r (a; b ) или r = {a; b}. Такое представление имеет одну характерную особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY. Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать, например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора. Если заданы два вектора: a = {a1; a2 } и b = {b1;b2 }, то скалярным произведением ab этих векторов называется число a b cos ϕ (ϕ- угол между векторами). В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное произведение векторов a = {a1; a2 } и b = {b1;b2 } равно сумме произведений одноименных координат этих векторов: a b = a1b1 + a2b2.

(4)

Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z = f(x,y), имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам. Градиентом или вектором-градиентом grad f ( x; y ) функции f(x,y) в точке (x,y) ∈ G называется вектор, который задается формулой ⎧ ∂ f ( x , y ) ∂ f ( x, y ) ⎫ grad f ( x, y ) = ⎨ ; ⎬. ∂y ⎭ ⎩ ∂x

Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки. Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них вектор-градиент функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0): Второй – вектор e = {cos α ; sin α }. Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси OX, равный α.

Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f(x,y) по направлению, определяемому углом α наклона к оси OX, в точке M0(x0,y0) может быть вычислена по формуле

∂ f ( x0 , y 0 ) = grad f ( x0 ; y0 ) cos β . ∂l

(5)

Здесь β - угол между вектором grad f ( x0 , y0 ) и вектором e , задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что e = 1. Из формулы (5) можно сделать очень важное заключение: производная по направлению от функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) достигает наибольшего значения, если это направление совпадает с направлением вектора-градиента функции в рассматриваемой точке, так как cosβ ≤ 1, и равенство достигается только если β = 0 (очевидно, что другие решения уравнения cosβ = 1 нас в данном случае не интересуют). Иначе можно сказать, что вектор-градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке. Кроме того из формулы (5) следует, что наибольшее значение производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке. y Пример. Требуется найти производную функции z = по направлению, составляющему угол в 60° с осью OX, в точке (1;3). y − x Найдем частные производные функции: z′x =

y

; z′y = − 2

( y − x)

x

( y − x )2

Теперь можно определить градиент функции в точке (1;3): ⎧1 3 ⎫ ⎧3 1 ⎫ grad z (1;3) = ⎨ ;− ⎬ . Принимая во внимание равенство e = ⎨ ; ⎬ , ⎩4 4⎭ ⎩2 2 ⎭ воспользуемся формулой (4):

∂ z (1;3) 3 − 3 = . ∂l 8

5. Экстремум функции двух переменных. Точка M0(x0,y0) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M0, что для всех точек

M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)< f(x0,y0) ( f(x,y)> f(x0,y0)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Сформулируем необходимое условие экстремума. Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области) надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю. Там, где выполняется необходимое условие, экстремума может и не быть (здесь полная аналогия с функцией одной переменной). Пример: z = xy; zx′ = y; zy′ = x; zx′(0,0) = 0; zy′(0,0) = 0.

Обе частные производные в точке (0,0) обращаются в 0. Однако точка (0,0) не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её окрестности есть точки, где z(x,y) > 0 (это точки, лежащие внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где z(x,y) < 0 (это точки, лежащие внутри второго и четвертого координатных углов). Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума. Ниже приводится его формулировка. Пусть zx′(x0,y0) = 0 и zy′(x0,y0) = 0, а вторые частные производные функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0). Введем обозначения: A = zxx′′(x0,y0); B = zxy′′(x0,y0); C = zyy′′(x0,y0); D = AC - B2.

Тогда, если D < 0, то в точке (x0,y0) экстремума нет. Если D > 0, то в точке (x0,y0) экстремум функции z, причем если A > 0, то минимум, а если A < 0, то максимум. Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.

Исследование функции двух переменных на экстремум сводится к следующему: сначала выписываются необходимые условия экстремума: zx′(x,y) = 0; zy′(x,y) = 0

которые рассматриваются как система уравнений. Ее решением является некоторое множество точек. В каждой из этих точек вычисляются значения D и проверяется выполнение достаточных условий экстремума.

6. Метод наименьших квадратов Пусть проводится n однородных испытаний или экспериментов, и результатом каждого испытания является пара чисел – значений некоторых переменных x и y. Испытание с номером i приводит к числам xi, yi. В качестве испытания можно, например, рассматривать выбор определенного предприятия в данной отрасли промышленности, величиной x считать объем производства продукции (например в миллионах рублей), величиной y – объем экспорта этого вида продукции (в миллионах рублей), и обследовать n предприятий отрасли. Итогом этих испытаний является таблица: x

x1

x2

...

xn

... yn где каждому числу xi (величину x рассматриваем как независимый показатель или фактор) поставлено в соответствие число yi (величину y рассматриваем как зависимый показатель – результат). В качестве значений xi часто рассматриваются моменты времени: t1, t2, ..., tn, взятые через равные промежутки. Тогда таблица y

y1

y2

t

t1

t2

...

tn

y

y1

y2

...

yn

называется временным рядом.

Нас интересует вопрос, как найти приближенную формулу для функции y = f(x), которая “наилучшим образом” описывала бы данные таблицы.

Пусть точки с координатами (xi,yi) группируются на плоскости вдоль некоторой прямой. Задача заключается в том, чтобы найти параметры a0 и a1 этой прямой: y = a0 + a1x,

(1)

причем это нужно сделать так, чтобы она лучше любой другой прямой соответствовала расположению на плоскости экспериментальных точек (xi, yi). Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений фактических значений y, полученных из таблицы, от вычисленных по формуле (1). Эта сумма квадратов рассчитывается по формуле S2 = (y1 – (a0 + a1x1))2 + (y2 – (a0 + a1x2))2 +...+ (yn – (a0 + a1xn))2 = n

= ∑ ( yi − (a0 + a1 xi ))2 . i =1

Обратим внимание на то, что все xi и yi — известные из таблицы числа, а S есть функция двух переменных a0 и a1. 2

S2 = S2(a0,a1)

Можно показать, что график функции S2 выглядит примерно так, как изображено на рисунке. Единственная точка, в которой обе частные ∂ S2 ∂ S2 и равны нулю, является точкой минимума. производные ∂ a0 ∂ a1 Отсюда следует, что точку минимума можно искать, используя лишь необходимые условия экстремума:

′ S a20

n

= ∑ (− 2( yi − a0 − a1 xi )) = 0 ,

(2)

i =1

′ S a21

n

= ∑ (− 2 xi ( yi − a0 − a1 xi )) = 0 .

(3)

i =1

На самом деле для фунуции S2 = S2(a0,a1) достаточно легко проверить выполнение достаточных условия экстремума, тогда не нужно обращаться к графику функции. Проверку выполнения достаточных условий предоставляем читателю сделать самому. Уравнения (2) и (3) можно преобразовать: ⎧⎪a0 n + a1 ∑ xi = ∑ yi . ⎨ 2 ⎪⎩a0 ∑ xi + a1 ∑ xi = ∑ xi yi

(4)

Получилась так называемая система нормальных уравнений относительно неизвестных величин a0 и a1. Формула (1) с параметрами a0, a1 определенными из системы (4), называется уравнением регрессии. Прямая линия, описываемая этим уравнением, называется линией регрессии. Для временных рядов обычно вместо слова “регрессия” употребляется слово тренд. Если экспериментальные точки в плоскости XOY группируются вдоль некоторой кривой линии, то можно подобрать вместо формулы (1) другую подходящую формулу, например, y = a0 + a1x + a2x2 или y = a0 exp(a1x) с параметрами соответственно a0, a1, a2 и a0, a1, подставить ее в выражение

S2 =

n

∑ ( yi

i =1

− y( xi ))

2

и искать минимум получившейся функции S2 при

помощи частных производных по параметрам.

Упражнения 1. Найти частные производные первого порядка от следующих функций: 1) 3)

5)

z = x 3 + y 3 − 3axy ;

2)

z=

x− y ; x+ y

4)

z=

y ; x

6)

z = xy;

z=e

sin

y x;

z = arcsin

x2 − y2 x2 + y2

;

Обыкновенные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если производные, входящие в уравнение, берутся только по одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения. Начнем с дифференциальных уравнений первого порядка. Это уравнения, в которые входит лишь первая производная неизвестной функции. Это уравнение может быть записано в виде F(x,y,y′) = 0.

(1)

dy dx производная функции y, F - заданная функция трех переменных. Функция F может быть задана не для всех значений её аргументов, поэтому можно говорить об области B определения функции F координатного пространства, то есть о множестве точек координатного пространства трех переменных x,y,y′. Приведем примеры дифференциальных уравнений первого порядка: y′ – x4 = 0; xsiny′ – lny = 0; xcosy + (y′ – y2)sinx = 0. Решением уравнения (1) называется такая функция y = ϕ(x), определенная на некотором промежутке (x1, x2), что при подстановке её вместо y в уравнение (1) получается верное равенство на всем промежутке (x1, x2). Очевидно, что подстановка y = ϕ(x) возможна только тогда, когда функция ϕ(x) на промежутке (x1, x2) имеет первую производную. Необходимо также, чтобы при любом значении переменной x из промежутка (x1, x2) точка с координатами x, y, y′ принадлежала множеству B, на котором определена функция F. Совокупность всех решений дифференциального уравнения называется его общим решением. В некоторых случаях уравнение (1) определяет переменную y′ как функцию независимых переменных x и y:

Здесь x - независимая переменная, y - её неизвестная функция, y ′ =

y′ = f(x,y).

(2)

Тогда дифференциальное уравнение (2) равносильно дифференциальному уравнению (1) и называется разрешенным относительно производной. Рассмотрим свойства решений уравнения (2). Введем в рассмотрение координатную плоскость XY переменных x и y. Мы будем рассматривать лишь такие уравнения, у которых область определения правой части есть некоторая открытая область G в плоскости XY (область называется открытой, если каждая точка входит в неё вместе с некоторой своей окрестностью). Пусть функция y = ϕ(x) – решение уравнения (2). Тогда график этой функции называется интегральной линией или интегральной кривой. Эта кривая лежит в области G. Если точка (x0, y0) принадлежит области G, то интегральная кривая проходит через эту точку. Интегральная кривая в рассматриваемой точке имеет касательную, угловой коэффициент которой равен

ϕ′(x0) = f(x0, ϕ(x0)) Таким образом, в каждой точке области G можно установить положение касательной к графику решения уравнения (2), проходящему через эту точку. Можно себе представить, что в каждой точке области G построен короткий отрезок касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Тогда получится чертеж, который называется полем направлений, задаваемым уравнением (2). Пример приведен на рисунке 1. Таким образом, каждое дифференциальное уравнение вида (2) задает на плоскости XY в области G поле направлений. Интегральные линии этого уравнения касаются направления, задаваемого полем в этой точке.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Если в уравнении y′ = f(x,y). f(x,y) = f1(x)f2(y),

то такое уравнение называется разделяющимися переменными. Его общий вид:

(1) уравнением

с

dy = f1 ( x) f 2 ( y ) . dx

Предполагая, что f2(y) ≠ 0, преобразуем последнее уравнение: dy = f1 ( x)dx . f 2 ( y)

В обеих частях полученного уравнения стоят дифференциалы некоторых функций аргумента х. Из равенства дифференциалов этих функций следует, что сами функции отличаются одна от другой на константу. Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы. Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили информацию x0 человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x(t). Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и числу неосведомленных покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению dx = kx( N − x) . dt

Здесь k – положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t: dx = kdt . x( N − x )

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения: 1 x ln = kt + C . N N−x В общее решение входит неопределенная константа С. Полагая NC = D, получим равенство: x/(N – x) = eNkt + D,

из которого определим функцию x(t): x=

N

1 + Ee

− Nkt

. Здесь Е= е − D .

Однородные уравнения первого порядка Функция f(x,y) называется однородной степени n , если f( λx, λy ) = λn f ( x, y ) . Дифференциальное уравнение вида P(x,y) dx + Q(x,y) dy =0 называется однородным, если P(x,y) и Q(x,y) однородные функции одной степени. y Такие уравнения решаются заменой = u , тогда y=ux, dy x =udx+xdu. После чего уравнение сводится к известному типу уравнений с разделяющимися переменными. Пример. (x 2 -y 2 )dx +2xydy =0. Решение: x 2 (1-u 2 )dx+2x 2 u 2 dx+2x 3 udu = 0. Приводим подобные члены, сокращаем обе части на x 2 : d x(1+u 2 ) + 2xudu=0 , разделяем переменные dx 2udu + = 0 , интегрируем: ln x + ln 1 + u 2 = ln C , откуда 2 x 1+ u x(1+u 2 ) = С , x(1+

y2 )=C, x2

x2 + y2 = C - общее решение. x

Уравнения, приводящиеся к однородным Если Р(x.y)=ax+by+c, Q(x,y)=a 1 x +b 1 y +c 1 , то уравнение сводится к однородному заменой x = u +h, y = v +k, где константы h и k подбираются так, чтобы свободные члены в P и Q обратились в нули. Пример. (x -2y +7)dx + (2x + у – 1)dx =0. Решение. u+h-2v-2k+7= u-2v +(h-2k +7) 2u+2h+v+k-1= 2u+v+(2h+k-1) Полагаем h-2k+7=0, 2h+k-1=0. Полученную систему решаем по формулам Крамера. Δ=

h=

1 −2 =5 2 1

,

Δ1 =

−7 −2 = −5 1 1

,

Δ2 =

1 −7 = 15. 2 1

Δ Δ1 = −1 , k= 2 = 3 . Следовательно, x=u-1, y=v+3, dx=du, dy=dv и уравнение Δ Δ

станет однородным: (u -2v)du +(2u+v)dv=0. Поэтому решается введением новой v переменной = t . u Если Δ = 0, формулы Крамера неприменимы, строки определителя пропорциa b ональны: = = t. a1 b1 c ≠ t , например (x+y-2)dx+(2x+2y+1)dy=0. c1 Решение: x+y=z. Тогда y=z-x, dy=dz-dx . Подставляем в уравнение (z-2)dx+(2z+1)(dz-dx)=0, приводим подобные члены

Пусть при этом

dx(z-2-2z-1)+dz(2z+1)=0, dx(-z-3)+dz(2z+1)=0, dx -

2z + 1 dz = 0, интегрируем z+3

5 )dz = 0 , x -2z +5ln z + 3 = c, x-2(x+y)+5ln x + y + 3 = c. z+3 с Случай = t , например (x-y+1)dx+(3x-3y+3)dy=0 , интереса не представляет, так с1 как сводится к простейшему уравнению dx+3dy=0.

x - ∫ (2 −

Уравнения в полных дифференциалах Уравнение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой (пока неизвестной) функции u(x,y). Так как по определению du= u ′x dx + u ′y dy , то в этом случае u ′x = P, u ′y = Q . Продифференцировав первое равенство по y, а второе по x, получим u ′xy′ = Py′ , u ′yx′ = Q x′ , откуда следует Py′ = Q x′ . Это равенство является признаком уравнения в полных дифференциалах. Если последнее условие соблюдено,то u ′x = P , следовательно u = ∫ Pdx + ϕ ( y ) , где ϕ ( y ) константа, т.к. интегрирование производится по x. u ′y = Q , поэтому , продифференцировав предыдущее равенство по y, следует приравнять его к Q:

(∫ Pdx )′

y

+ ϕ ′y ( y ) = Q .

Отсюда определяется ϕ ′( y ), затем ϕ ( y ) . Осталось подставить эту функцию в найденное значение u . Так как du=0, то u=c - общее решение уравнения. Пример. 2x cosy dx + (y 2 − x 2 sin y )dy = 0 Решение: Р(x,y)=2xcosy, Py′ = −2 x sin y. Q(x,y)= y 2 − x 2 sin y, Q x′ = −2 x sin y.

Условие выполнено – это уравнение в полных дифференциалах. u ′x = 2 x cos y, u = ∫ 2 x cos ydx = x 2 cos y + ϕ ( y ),

u ′y = y 2 − x 2 sin y,

u ′y = − x 2 sin y + ϕ ′( y ) = y 2 − x 2 sin y, после сокращения получим

ϕ ′( y ) = y 2 , откуда ϕ ( y ) = ∫ y 2 dy =

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:

x 2 cos y +

y3 . 3

y3 = c. 3

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Уравнения вида y ′ + P ( x ) y = Q ( x ), содержащее y и y ′ в первой степени, называется линейным. Его решение будем искать в виде y = uv, где u и v специальным образом подобранные функции. Тогда y′ = u ′v + uv′. Уравнение примет вид u ′v + uv ′ + P ( x)uv = Q ( x), v (u ′ + P( x)u ) + uv ′ = Q( x). Подберём u таким образом, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, то есть решим сначала уравнение u ′ + P ( x )u = 0. Найдя отсюда u, подставим его значение в последнее уравнение uv ′ = Q ( x ) , откуда определим и второй сомножитель v. Пример. y ′ + y sin x = 2 xe cos x . Решение: u ′v + uv ′ + uv sin x = 2 xe cos x , v(u ′ + u sin x ) + uv ′ = 2 xe cos x , найдём u из уравнения u ′ + u sin x = 0, du+usinxdx=0, du + sin xdx = 0, u интегрируем: lnu-cosx=0, u = e cos x . Подставляем в уравнение e cos x v ′ = 2 xe cos x , v ′ = 2 x, v = x 2 + c.

Следовательно,

(

)

y= e cos x x 2 + c .

Уравнение вида y ′ + P( x) y = Q( x) y r , где r-рациональное число, уже не является линейным. Оно называется уравнением Бернулли и решается тем же способом. Замечание. Линейные уравнения и уравнения Бернулли можно решить и подругому – методом вариации произвольной постоянной. Покажем этот метод на том же примере. Сначала решим уравнение y ′ + y sin x = 0.

dy + sin xdx = 0. y ln y − cos x = ln c,

y = e cos x , c

y = ce cos x .

y = C ( x )e

cos x

Решение уравнения с правой частью будем искать в виде: , заменив константу с функцией от x . Тогда y ′ = C ′( x)e cos x + C ( x)e cos x (− sin x). Подставив в уравнение y и y ′ ,

получим

С ′( x ) = 2 x.

C ′( x)e cos x + C ( x)e cos x (− sin x) + C ( x)e cos x sin x = 2 xe cos x . Второе и третье слагаемые уничтожаются, после сокращения на e cos x :

C ( x) = x 2 + c. Таким образом,

y = ( x 2 + c)e cos x .

ДУ высших порядков

Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно.

Это уравнения вида: В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:

Тогда получаем:

Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:

Делая обратную подстановку, имеем:

Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ:

Пример. Найти общее решение уравнения Применяем подстановку

Произведя обратную замену, получаем:

.

Общее решение исходного дифференциального уравнения:

Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0.

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной. Это уравнения вида Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных

и т.д.

Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

Если это уравнение проинтегрировать, и совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка:

Пример. Найти общее решение уравнения

Замена переменной:

1) Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену переменной:

С учетом того, что

, получаем:

Общий интеграл имеет вид:

2) Таким образом, получили два общих решения.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции

у и ее производных

вида:

где p0, p1, …,pn – функции от х или постоянные величины, причем p0 ≠ 0.

Левую часть этого уравнения обозначим L(y).

Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) ≠ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, … pn – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным. Рассмотрим способы интегрирования некоторых дифференциальных уравнений высших порядков.

типов

линейных

Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение вида

Определение. Выражение называется линейным дифференциальным оператором.

Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:

1) 2)

Решения линейного свойствами:

однородного

уравнения

обладают

следующими

1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением. 2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его решением.

Структура общего решения.

Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения. Определение. Если из функций yi составить определитель n – го порядка

, то этот определитель называется определителем Вронского. ( Юзеф Вронский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)

Теорема. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю. Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала. Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного

дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю. Теорема. Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

, где Ci –постоянные коэффициенты.

Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений. Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде. Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена.

Теорема. Если задано уравнение вида и известно одно ненулевое решение у = у1, то общее решение может быть найдено по формуле:

Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Решение дифференциального уравнения вида короче, будем искать в виде , где k = const. Т.к.

то

или,

При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.

Для того, чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы т.е. Т.к. ekx ≠ 0, то уравнением.

- это уравнение называется характеристическим

Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое имеет уравнение характеристического уравнения дифференциального уравнения.

n ki

корней. Каждому корню соответствует решение

В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные. Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни. 2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем: a) каждому действительному корню соответствует решение ekx; б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

и

.

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Пример. Решить уравнение

.

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.

Таким частным решением будет являться функция

Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:

Общее решение имеет вид:

Окончательно: Пример. Решить уравнение Составим характеристическое уравнение:

Общее решение: Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение: Общее решение:

Пример. Решить уравнение Характеристическое уравнение:

Общее решение: Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение Характеристическое уравнение: Общее решение: Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему не применим. Понизим порядок уравнения с помощью подстановки Тогда

Окончательно получаем:

Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у1 = С1 получается из общего решения при С = 0. Пример. Решить уравнение

Производим замену переменной:

Общее решение:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Рассмотрим уравнение вида С учетом обозначения

можно записать:

При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном).

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального

в некоторой области есть сумма уравнения любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Доказательство. Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения.

Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:

- фундаментальная система решений линейного Пусть однородного уравнения . Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в виде:

является общим решением

Далее покажем, что сумма неоднородного уравнения.

Вообще говоря, решение Y может быть получено из общего решения, т.к. является частным решением. Таким образом, в соответствии с доказанной теоремой, для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором.

На практике постоянных.

удобно

применять

метод

вариации

произвольных

Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:

Затем, полагая коэффициенты Ci функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:

Можно доказать, что для нахождения функций Ci(x) надо решить систему уравнений:

Пример. Решить уравнение Решаем линейное однородное уравнение

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Составляем систему уравнений:

Решим эту систему:

Из соотношения

найдем функцию А(х).

Теперь находим В(х).

Подставляем полученные неоднородного уравнения:

значения

в

формулу

общего

решения

Окончательный ответ: Таким образом, удалось избежать нахождения частного решения неоднородного уравнения методом подбора. Вообще говоря, метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной задачей, этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

Различают следующие случаи: I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

где

- многочлен степени m.

Тогда частное решение ищется в виде:

Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число α является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение

.

Решим соответствующее однородное уравнение:

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения. Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.

Частное решение ищем в виде:

, где

Т.е. Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В. Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Итого, частное решение: Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно. Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2. Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию. , то частное решение этого Т.е. если уравнение имеет вид: уравнения будет где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений и Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.

Пример. Решить уравнение Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (-sinx). Составим и решим характеристическое уравнение: 1.

Для функции f1(x) решение ищем в виде

.

Т.е.

Получаем:

Итого: 2.

Для

функции

f2(x)

решение

ищем

. Анализируя функцию f2(x), получаем: Таким образом,

Итого: Т.е. искомое частное решение имеет вид: Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

в

виде:

Рассмотрим примеры применения описанных методов.

Пример. Решить уравнение Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

Общее решение однородного уравнения: Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Частное решение имеет вид: Общее решение линейного неоднородного уравнения: Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение: Общее решение однородного уравнения: Частное решение неоднородного уравнения:

.

Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:

Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Определение. Совокупность соотношений вида:

где х- независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Такая система имеет вид:

(1) Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.

Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного

пространства функции

…

непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то этой области существует единственное для любой точки решение

системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям

Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений

вида

(1)

будет совокупность , … систему (1) обращают ее в тождество.

функций , , которые при подстановке в

Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка. Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде:

(2) Решения системы (2) обладают следующими свойствами: 1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются решениями этой системы. 2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – тоже являются решениями системы. Решения системы ищутся в виде: Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на ekx, получаем:

Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:

В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):

Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2):

Пример. Найти общее решение системы уравнений:

Составим характеристическое уравнение:

Решим систему уравнений:

Для k1: Полагая

Для k2:

(принимается любое значение), получаем:

Полагая

(принимается любое значение), получаем:

Общее решение системы: Этот пример может быть решен другим способом:

Продифференцируем первое уравнение: Подставим в это выражение производную у′ =2x + 2y из второго уравнения.

Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:

Обозначив

, получаем решение системы:

Пример. Найти решение системы уравнений

Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х). Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем:

Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем:

.

С учетом первого уравнения, получаем: Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.

Общее решение однородного уравнения:

Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле

Общее решение неоднородного уравнения: Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем:

Пример. Найти решение системы уравнений:

Составим характеристическое уравнение:

1)

k = -1.

Если принять γ = 1, то решения в этом случае получаем:

2)

k2 = -2.

Если принять γ = 1, то получаем:

3)

k3 = 3.

Если принять γ = 3, то получаем:

Общее решение имеет вид:

Элементы теории устойчивости. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из разделов качественной теории дифференциальных уравнений, которая посвящена не нахождению какого – либо решения уравнения, а изучению характера поведения этого решения при изменении начальных условий или аргумента. Этот метод особенно важен, т.к. позволяет делать вывод о характере решения без непосредственного нахождения этого решения. Т.е. даже в тех случаях, когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически. Пусть имеется некоторое явление, описанное системой дифференциальных уравнений: (1) и начальные условия: Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и поэтому неточны.

Теорема. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий)

Если правая часть дифференциального уравнения

непрерывна и по на области , то

переменной у имеет ограниченную частную производную прямоугольника, ограниченного решение , удовлетворяющее начальным условиям зависит от начальных данных, т.е. для любого если то

, непрерывно , при котором

при условии, что где

Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так и для системы уравнений.

Определение. Если - решение системы дифференциальных уравнений, то это решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого , такое, что для любого решения

той же удовлетворяют неравенствам

системы,

начальные

условия

которого

справедливы неравенства

(Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН)

Т.е. можно сказать, что решение ϕ(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t ≥ t0.

Если асимптотически устойчивым.

,

то

решение

ϕ(t)

называется

Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения системы можно свести к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций:

Тогда:

(2)

Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение

Теорема. Решение системы (1) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение системы (2).

Это тривиальное решение называется положением равновесия или точкой покоя.

Определение. Точка покоя если для любого

системы (2) устойчива по Ляпунову, такое, что из неравенства

следует .

Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система

имеющая тривиальное решение Пусть существует удовлетворяющая условиям:

. дифференцируемая

функция

,

1) ≥0 и v = 0 только при у1 = у2 = … = уn =0, т.е. функция v имеет минимум в начале координат. 2) Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль решения yi(t) системы (1)) удовлетворяет условию:

при Тогда точка покоя

устойчива по Ляпунову.

Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой окрестности начала координат

где β - постоянная величина, асимптотически устойчива.

выполнялось условие

то

точка

Функция v называется функцией Ляпунова.

покоя