Линейные интегродифференциальные уравнения Фредгольма: Учебное пособие по спецкурсу и спецсеминару

Г.А. Шишкин

ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА

Улан-Удэ 2007

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Г.А. Шишкин

ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА Допущено Учебно-Методическим Объединением по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 010100 Математика (010101)

Учебное пособие по спецкурсу и спецсеминару

Улан-Удэ Издательство Бурятского госуниверситета

2007 1

УДК 517.948 Ш 655 Утверждено к печати редакционно-издательским и учебнометодическим советами Бурятского государственного университета Рецензенты В.А. Ильин – д-р физ-мат. наук, проф. МГУ, академик РАН Ц.Б. Шойнжуров – д-р физ-мат. наук, проф. Восточносибирского государственного университета . Шишкин Г.А. Ш 655 Линейные интегродифференциальные уравнения Фредгольма: Учеб. пособие по спецкурсу и спецсеминару. – Улан-Удэ: Издательство Бурятского госуниверситета, 2007. – 195 с. В учебном пособии изложены основные разделы теории интегро-дифференциальных уравнений. Введены понятия, аналогичные основным понятиям теории интегральных уравнений Фредгольма, а также доказаны аналоги теорем Фредгольма, полученные академиком А.И.Некрасовым и опубликованные им в 1934 г. Рассмотрены задача Коши, специфическая задача Коши, краевые задачи, некоторые особенности интегродифференциальных уравнений Фредгольма, приближенные методы решения и возможности решения в замкнутом виде, как для уравнений с обыкновенным аргументом, так и для уравнений с запаздывающим аргументом. Пособие предназначено для студентов специальностей «Математика», «Прикладная математика и информатика», а также для молодых преподавателей и аспирантов, специализирующихся в области функциональных уравнений.

© Г.А.Шишкин, 2007 © Бурятский госуниверситет, 2007

2

ВВЕДЕНИЕ C задачами, которые приводят к интегродифференциальным уравнениям, физики и математики столкнулись еще в XVIII-XIX веках. Из первых задач, которые приводят к решению интегродифференциальных уравнений, можно привести: 1) задачу Проктора о равновесии упругой балки 1

α 1 y IV ( x) + y ( x) = −α 2 ∫ K ( x, t ) y IV (t )dt ; −1

2) задачу Вольтерра о крутильных колебаниях t

ω (t ) = k [ f (t ) − mω (t ) ] + ∫ K (t , s ) [ f ( s) − mω ( s) ⎤⎦ds; '

0

3) задачу Прандтля расчета крыла самолета 1 1 dg (t ) dt ⎤ π ⎡ ⋅ g ( x) = ⎢1 + ⎥. Δ ( x) ⎢⎣ 2π −1 dt t − x ⎥⎦ История разработки теории интегродифференциальных уравнений началась с работ Бурбаки в 1903 г. В 1934 г. были опубликованы серьезные результаты по решению и исследованию интегродифференциальных уравнений А.И. Некрасовым[31].Идеи этой работы затем развивались В.В. Васильевым [6]-[11], Т.И. Виграненко [12][14], Я.В. Быковым [3]-[5] и другими. К интегродифференциальным уравнениям относят такие функциональные уравнения, в которых неизвестная функция и ее производные входят как под знак интеграла, так и могут находиться вне его. Следовательно, в отличие от интегральных уравнений они содержат еще и производные неизвестной функции. Интегродифференциальные уравнения, как и интегральные, делятся на уравнения типа Фредгольма и Вольтерра. Приведем общий пример нелинейного интегродифференциального уравнения типа Фредгольма:

∫

[

b

] ∫ [

]

F x, z ( x), z ' ( x),..., z ( n ) ( x) − λ K x, y , z ( y ), z ' ( y ),...z ( m ) ( y ) dy = f ( x) . a

Некоторыми частными видами интегродифференциальных уравнений занимались В.Бушам [35], Я.В.Быков [3]-[5], В.В.Васильев [6]-

3

-[11],Т.И.Виграненко[12]-[14], В.Вольтерра [36]-[41], Л.Е.Кривошеин [22]-[23], Ю.К.Ландо [26]-[28], Н.Н.Назаров [30] и др. Вопросы существования и единственности решения рассматривались в работах Б.М. Галаева [16], А.И. Егорова [17], О. Женхэна [18], Т.А. Кокаревой [21] и др. Приближенные методы - в работах К.Б. Бараталиева [2], Л.Е. Кривошеина [23] и др. В главе I учебного пособия изложена классическая теория линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма, доказаны аналоги теорем Фредгольма. Рассмотрены задача Коши, специфическая задача Коши, краевые задачи и некоторые особенности решения в зависимости от соотношения порядков внешнего и внутреннего дифференциальных операторов. Глава I обобщает некоторые результаты, опубликованные рядом авторов [1]-[31] и [35]-[41], а также курс лекций, читавшийся проф. В.В.Васильевым для студентов Иркутского государственного университета специальностей «Математика» и «Прикладная математика» в 1970-1990 г. В главе II рассматривается возможный вариант решения и исследования с использованием фундаментальной системы решений внутреннего дифференциального оператора, а в главе III и IV без использования фундаментальных систем решений внутреннего и внешнего дифференциальных операторов. В главе IV рассматриваются приближенные приемы решения как для задачи Коши, так и для краевых задач при различных соотношениях порядков внешнего и внутреннего дифференциальных операторов. В главах II-IV обобщены некоторые исследования авторов [22][32] и исследования автора данного пособия. В главу V включены некоторые последние исследования автора [43]-[49] по применению одной модификации функции гибкой структуры [24]-[25] при преобразовании начальных и краевых задач для линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом к разрешающим интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом.

4

Глава I Аналоги теорем Фредгольма §1. Аналог первой теоремы Фредгольма 1. Построение разрешающего интегрального уравнения, когда порядок внешнего дифференциального оператора больше порядка внутреннего

Рассмотрим уравнение b

∫

Ln [ z ( x)] + λ K ( x, y ) Pm [ z ( y )]dy = 0,

(1)

a

где d n z ( x) d n −1 z ( x) + a ( x ) + ... + a n ( x) z ( x), 1 dx n dx n −1 d m z( y) d m −1 z ( y ) Pm [ z ( y )] = b0 ( y ) + b ( y ) + ... + bm ( y ) z ( y ) , 1 dy m dy m −1 коэффициенты обоих дифференциальных операторов – непрерывные функции, ядро K(x,y) – регулярно в квадрате а≤х, у≤b, λ – числовой параметр и n>m. Поставим задачу – вывести разрешающее интегральное уравнение. Пусть z1(x), z2(x),…, zn(x) – фундаментальная система решений дифференциального уравнения Ln [z ( x)] = 0 , (2) тогда его общий интеграл запишется z(x)=c1z1(x)+c2 z2(x)+….+ cn zn(x). (3) Предположим, что в уравнении (1) Ln [z ( x)] = F ( x) , (4) где F(x) – пока неизвестная функция. Чтобы выразить z(x) в уравнении (4) через неизвестную функцию F(x) применим метод вариации произвольных постоянных, т.е. решение уравнения (4) будем искать в виде (3*) z(x)=C1(x) z1+ C2(x) z2+….+ Cn(x) zn. Тогда неизвестные сi(x) определятся из системы Ln [ z ( x)] =

5

⎧ z1 C1' + z 2 C 2' + ... + z n C n' = 0, ⎪ z1' C1' + z 2' C 2' + ... + z n' C n' = 0, ⎪⎪ (5) LLLLLLLLLLL ⎨ ⎪ z ( n − 2) C ' + z ( n − 2) C ' + ... + z ( n −2 ) C ' = 0, n n ⎪ ( n1−1) ' 1 ( n −21) ' 2 ⎪⎩ z1 C1 + z 2 C 2 + ... + z n( n −1) C n' = F ( x). Главный определитель этой системы Δ(x) – определитель Вронского фундаментальной системы функций zi , i = 1, n уравнения (2).

z1 z1' ...

z2 z 2' ...

zn ... z n' ... Δ( x) = ≠ 0. ... z1( n −1) z 2( n −1) ... z n( n −1) Тогда по формулам Крамера найдем

z1 ...z i −1 z1' ...z i' −1 L

Ci' ( x) =

z1( n −1) ...z i(−n1−1)

0

(6)

z i +1 ...z n

0 z i' +1 ...z n' L L ( n −1) F ( x) z i +1 ...z n( n −1)

, i = 1, n Δ( x) или, обозначив алгебраические дополнения к элементу F(x) в последней строке через Δ i ( x), i = 1, n , получим: Δ ( x) Ci' ( x) = i F ( x), i = 1, n . (7) Δ( x) Интегрируя выражение (7) определим Сi(x): x Δ i (η ) Ci ( x) = F (η )dη + ci (8) Δ (η )

∫

и, подставив Сi(x) в формулу (3*), выразим общий интеграл уравнения (4) в виде x n ⎡ ⎤ Δ i (η ) z ( x) = z i ( x ) ⎢ ci + F (η )dη ⎥. (9) Δ(η ) ⎢⎣ ⎥⎦ i =1 Поставим теперь задачу подобрать функцию F(x) таким образом, чтобы выражение (9) удовлетворяло интегродифференциальному

∑

∫

6

уравнению (1). Для этого, продифференцировав z(х) в (9) n раз и учитывая равенства (5), получим: x n ⎡ ⎤ Δ i (η ) z ( k ) ( x) = zi( k ) ( x) ⎢ci + F (η )dη ⎥, k = 1, n − 1, (9k) Δ(η ) ⎢⎣ ⎥⎦ i =1 x n ⎡ ⎤ Δ i (η ) n ( n) ⎢ z ( x) = z i ( x ) ci + F (η )dη ⎥ + F ( x). (9n) Δ(η ) ⎢⎣ ⎥⎦ i =1 Потребуем теперь, чтобы функция (9) и ее производные (9k) и (9n) удовлетворяли уравнению (1). Подставив их выражения в уравнение (1) придем к разрешающему интегральному уравнению специального вида y b⎡ ⎤ H (η , y ) F ( x) + λ ⎢ g ( y ) + F (η )dη ⎥K ( x, y )dy = 0, (10) Δ (η ) ⎢ ⎥⎦ a⎣ где F(x) – неизвестная функция,

∑

∫

∑

∫

g ( y) =

n

∑

∫

∫

ci Pm [ zi ( y )] и H (η , y ) =

n

∑ Δ (η ) P [ z ( y )] . i =1

i =1

i

m

i

2. Решение разрешающего интегрального уравнения специального вида

Решение уравнения (10) будем искать в виде ряда Неймана ∞

F ( x ) = ∑ ϕ r ( x )λ r .

(11)

r =1

Если решение уравнения (10) представимо в виде ряда (11), то, подставив его в уравнение (10) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях λ , получим рекуррентные формулы для коэффициентов этого ряда b

ϕ1 ( x) = − ∫ g ( y ) K ( x, y )dy, a

b y

ϕ r ( x) = − ∫ ∫ a

H (η , y ) K ( x, y )ϕ r −1 (η )dηdy, Δ (η )

r = 2, 3,...

7

Докажем сходимость этого ряда при следующих ограничениях (12):

b

H (η , y ) K ( x, y ) ≤ A, ≤ M, Δ(η )

∫ g ( y) K ( x, y)dy ≤ N , ∀x, y,η , a

a ≤ x , y ,η ≤ b . b y

ϕ1 ( x ) ≤ N , ϕ 2 ( x ) ≤

∫∫

MAN dηdy = MAN

b2 − a2 2

a

ϕ r ( x) ≤ M r −1 A r −1 N

, r −1

b2 − a2

, r = 1,2,... . 2 r −1 Из правых частей оценок коэффициентов ряда (11) составим числовой ряд ∞

∑M

r −1

Ar −1 N

b2 − a 2 2

r =1

r −1 r

⋅λ .

r −1

(13)

Нетрудно увидеть, что члены ряда (13) представляют собой геоb2 − a2 λ и при метрическую прогрессию со знаменателем q = MA 2 q<1 он будет сходиться, что будет выполняться при

λ<

2 MA b 2 − a 2

.

(14)

В силу построения ряда (13) он является мажорирующим для ряда (11) и, следовательно, по критерию Вейершрасса ряд (11) сходится абсолютно и равномерно ∀х, где выполняются ограничения (12) и (14). Пример 1. Решим уравнение 1

∫

z"− z '−6 z + λ z ( y ) dy = 0, K ( x, y ) = 1, Pm [ z ( y )] = z ( y ). 0

Уравнение (2) будет z''– z – 6z = 0, ему соответствует характеристическое уравнение k2 – k– 6 = 0, корни которого k1 = 3, k2 = –2, и соответствующие им линейно независимые решения уравне-

8

ния (2) будут z1(x)=e3x, z2(x) =e -2x, используя которые, можем записать общее решение в виде z(x)=c1e3x+ c2e-2x. Для нахождения решения уравнения (4) применим метод вариа⎧ e 3 x c ' + e −2 x c ' = 0, откуда нахоции произвольных постоянных ⎨ 3 x ' 1 −2 x ' 2 ⎩3e c1 − 2e c2 = F ( x), дим Δ(x) = –5ex, Δ1 ( x) = –e-2x, Δ 2 ( x) = e3x,

Δ1 ( x) −e −2 x 1 C ( x) = F ( x) = F ( x) = e −3 x F ( x), x Δ( x) −5e 5 Δ ( x) 1 C2' ( x) = 2 F ( x) = − e 2 x F ( x), Δ( x) 5 ' 1

x

1 C1 ( x) = ∫ e −3η F (η )dη + C1 , 5

x

1 C2 ( x) = − ∫ e 2η F (η )dη + c2 . 5

Далее строим функции g(y) и H(η,y) в соответствии с обозначениями в уравнении (10) g(y)= c1 e3y+ c2e -2y, H( η ,y)= -e-2 η e3y+e3ηe-2y. Решение уравнения (1) через неизвестную функцию F(x) по формуле (9) запишется: z ( x) = c1e 3 x + c2 e −2 x +

x

1 (e −3η e 3 x − e 2η e −2 x ) F (η )dη , 5

∫

а разрешающее уравнение (10) примет вид F ( x) +

λ

1

y

dy (e 5∫ ∫

−3η 3 y

e

− e 2η e − 2 y ) F (η )dη +

0

λc1 3

(e 3 − 1) +

λc2 2

(1 − e −2 ) = 0.

Подставляя решение в виде ряда (11) в разрешающее уравнение, определим коэффициенты этого ряда c c 1 ⎡c ⎡c ⎤ ⎤ ϕ1 ( x) = − ⎢ 1 e 3 − 1 + 2 1 − e −2 ⎥ , ϕ2 ( x) = − ⎢ 1 e3 − 1 + 2 1 − e −2 ⎥ , 6 3 2 3 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ c 1 ⎡c ⎤ … , ϕ r ( x) = − r −1 ⎢ 1 e 3 − 1 + 2 1 − e −2 ⎥ , … , используя которые, 2 6 ⎣3 ⎦ найдем решение уравнения (10) c 6λ ⎡ c1 3 ⎤ F ( x) = − (e − 1) + 2 (1 − e − 2 )⎥. ⎢ 6−λ ⎣ 3 2 ⎦

(

)

(

(

)

)

(

(

9

)

)

(

)

Подставив это решение в формулу (9), получим решение заданного интегро-дифференциального уравнения в виде ⎡ ⎡ −2 х λ (1 − e −2 ) ⎤ λ (e3 − 1) ⎤ + z ( x) = с1 ⎢ l3 х + с ⎥ 2 ⎢e + ⎥. 3(6 − λ ) ⎦ 2(6 − λ ) ⎦ ⎣ ⎣

Замечание. Нетрудно проверкой установить, что полученное решение удовлетворяет уравнению в примере 1 при всех значениях λ , кроме λ =6. Следовательно, ограничение (14) возникло в связи с применением метода решения и связано с условиями абсолютной и равномерной сходимости ряда (11). Задание. Самостоятельно найти ограничение (14) для примера 1 и сделать соответствующие выводы. 3. Итерированные ядра и резольвента. Интегральные уравнения резольвенты

Преобразуем коэффициенты ряда (11), для этого выражение ϕ1(х) подставим в ϕ2(х), предварительно заменив η → η1 и у→у1 в выражении ϕ 2 ( x) . Тогда, после изменения порядка интегрирования, получим: y1 b ⎡ b ⎤ H (η1 , y1 ) ϕ 2 ( x) = − g ( y ) ⎢− dy1 К ( х, у1 )К (η1 , у )dη1 ⎥dy . (15) Δ(η1 ) ⎢⎣ a ⎥⎦ a Принимая за первое первоначально заданное ядро (151) К1(х,у) =К(х,у), а выражение в квадратных скобках за второе итерированное ядро

∫

∫ ∫

b

y1

∫ ∫

К2 (x, у) = − dy1 a

H(η1, y1) К(х, у1 )К(η1, у)dη, Δ(η1)

(152)

b

∫

получим: ϕ 2 ( x) = − g ( y ) К 2 ( х, у )dy . Затем аналогично преобразуем a

коэффициент ϕ 3 ( x)

10

b

ϕ 3 ( x) = − ∫ g ( y ) К 3 ( х, у )dy , a

где y1

b

∫ ∫

К3 (x, у) = − dy1 a

H (η1, y1 ) К (х, у1 )К2 (η1, у)dη1 ; Δ(η1 )

(153)

b

ϕr (x) = −∫ g( y)Кr (х, у)dy ,

и так далее

a

где y1

b

∫ ∫

К r ( x, у ) = − dy1 a

H (η1 , y1 ) К ( х, у1 ) К r −1 (η1 , у )dη1 , r = 2,3,... . (15r) Δ(η1 )

Подставив новые выражения коэффициентов ϕ r (x) в ряд (11) и, в силу равномерной сходимости этого ряда, сгруппировав все слагаемые под одним интегралом, найдем b

[

∫

]

F ( x) = −λ g ( y ) К ( х, у ) + λК 2 ( х, у ) + λ2 К 3 ( x, у ) + ... + λr −1 К r ( x, у ) + ... dy. a

Ряд в квадратных скобках назовем резольвентой и обозначим (16) R(x,y; λ ) =K(x,y)+ λ K2(x,y)+…+ λr −1 Kr(x,y)+… . Тогда решение разрешающего уравнения через резольвенту запишется b

∫

F ( x) = −λ g ( y ) R( х, у; λ )dy .

(11*)

a

Нетрудно доказать равномерную и абсолютную сходимость резольвенты, аналогично, как это было сделано для ряда (11) и при тех же ограничениях. Если при преобразованиях коэффициентов ϕr(х) воспользоваться другим порядком перестановки интегралов, то получим другую формулу для итерированных ядер b

y1

∫ ∫

К r ( x, у ) = − dy1 a

H (η1 , y1 ) К r −1 ( х, у1 ) К (η1 , у )dη1 , r = 2, 3,... , Δ(η1 )

Задание проделать самостоятельно. 11

(17r)

Интегральных уравнений резольвенты тоже можно составить два. В ряд резольвенты (16) подставим значения итерированных ядер (15r), r = 1, 2… . b

y1

∫ ∫

R( x, y; λ ) = К ( x, у ) − λ dy1 a

b

∫ ∫

− λ2 dy1

у1

a

−λ

r −1

y1

b

∫ dy ∫ 1

a

H (η1 , y1 ) К ( х, у1 ) К (η1 , у )dη1 − Δ(η1 )

H (η1 , y1 ) К ( х, у1 ) К 2 (η1 , у )dη1 − .... − Δ(η1 ) H (η1 , y1 ) К ( х, у1 ) К r −1 (η1 , у )dη1 + ... . Δ(η1 )

В силу равномерной сходимости выражение для резольвенты можем переписать b

y1

∫ ∫

R ( x, y; λ ) = К ( x, у ) − λ dy1 a

H (η1 , y1 ) К ( х, у1 )[К (η1 , у ) + Δ (η1 )

]

r −2

+ λК 2 (η1 , у ) + ... + λ К r −1 (η1 , у ) + ... dη1 , откуда видим, что в квадратных скобках тоже резольвента и b

y1

∫ ∫

R ( x, y; λ ) = К ( x, у ) − λ dy1 a

H (η1 , y1 ) К ( х, у1 )R(η1 , y; λ )dη1 . (181) Δ (η1 )

Если же в ряд резольвенты (16) подставить выражения итерированных ядер (17r), то, проделав аналогичные выкладки, получим следующее уравнение резольвенты b

y1

∫ ∫

R( x, y; λ ) = К ( x, у ) − λ dy1 a

H (η1 , y1 ) К (η1 , у )R( х, y1 ; λ )dη1 . (182) Δ(η1 )

4. Характеристический полином и минорный ряд А.И. Некрасова

Применив ряд Неймана (11) при решении разрешающего уравнения (10), мы получили ограничения на λ (14). Естественно возникает вопрос, существенное это ограничение или возникло в связи с выбранным способом решения. На эти сомнения наталкивает и приведенный пример 1.

12

Далее будем решать уравнение (10) без жестких ограничений на параметр λ . Для этого введём новую неизвестную функцию x

∫

Н (η , х) F (η )dη = Ф( x) Δ (η )

(19)

и, подставив F(x) из (10) в равенство (19), получим x b b ⎤ Н (η , х) ⎡ − ( , ) ( ) − Ф( x) = λ K η y g y dy λ K (η , y )Φ ( y ) dy ⎥dη , ⎢ Δ(η ) ⎢⎣ a ⎥⎦ a откуда, вводя обозначения для известных выражений, придем к интегральному уравнению Фредгольма

∫

∫

∫

b

∫

Ф( x) = f ( x) + λ M ( x, y )Φ ( y )dy ,

(20)

a

где x

b

x

Н (η , х) Н (η , х) f ( x ) = −λ K (η , y ) g ( y )dydη , M ( x, y ) = − K (η , y )dη. Δ(η ) a Δ(η )

∫

∫

∫

К уравнению (20) применим теорию Фредгольма, в соответствии с которой выпишем характеристический полином D(λ ) b

D(λ) =1− λ∫ M(x1, x1 )dx1 + a

λ2 b b M(x1, x1 ) M(x1, x2 )

M(x2 , x1 ) M(x2 , x2 ) 2! ∫∫ aa

dx1dx2 −

M(x1, x1 ) M(x1, x2 ) ... M(x1, xp ) −....+ (−1)

p

λp b

b

∫...∫

p! a

a

M(x2 , x1 ) M(x2 , x2 ) ... M(x2 , xp ) ...

...

...

..

dx1...dxp + ...

M(xp , x1 ) M(xp , x2 ) ... M(xp , xp ) и затем, подставив ядро М(х,у) из (20) в D(λ ) и преобразовав определители, получим характеристический полином для уравнения (1) b

у1

∫ ∫

D(λ ) = 1 + λ dу1 a

+

λ

у1 у2

2 b b

dу dу ∫ ∫ 2! ∫∫ 1

a a

2

Н ( x1 , у1 ) К ( x1 , у1 )dx1 + Δ( x1 ) Н ( x1 , у1 ) Н ( x 2 , у 2 ) К ( x1 , у1 ) К ( x1 , у 2 ) d x1dx 2 + ... К ( x 2 , у1 ) К ( x 2 , у 2 ) Δ ( x1 )Δ ( x 2 )

13

+

λp p!

b

уn

у1

b

∫ ∫

∫ ∫

... dу1 ...dу p ...

a

a

Н ( x1 , у1 )...Н ( x p , у p ) Δ ( x1 )...Δ( x p )

×

К ( x1 , у1 ) ... К ( x1 , у p ) × ... ... ... dx1 ...dx p + ... . К ( x p , у1 ) ... К ( x p , у p )

(21)

Что и следовало ожидать, так как в силу эквивалентности уравнений (10) и (20) характеристические числа этих уравнений должны совпадать. Вводя обозначения

К (α 1 , β 1 ) ...

К (α 1 , β р )

⎛α 1 ... ... ... = К ⎜⎜ ⎝ β1 К (α р , β 1 ) ... К (α р , β р )

... α р ⎞ ⎟ ... β р ⎟⎠

перепишем D (λ ) = 1 +

∞

λp

b

b

∑ р! ∫ ∫ р =1

ур

у1

∫ ∫

... dу1 ...dу р ...

a

a

Н ( x1 , у1 )...Н ( x р , у р ) Δ ( x1 )...Δ ( x р )

⎛ х1 ... х р ⎞ ⎟ dx1...dx р . × К ⎜⎜ ⎟ ⎝ у1 ... у р ⎠ Вернемся к решению уравнения (10) в виде (11*)

× (21*)

b

∫

F(x) = −λ g( y)R(x, y; λ)dy . a

⎛x ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟ y Резольвенту будем искать в виде R( x, y; λ ) = ⎝ ⎠ , где D (λ ) ⎛x ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟ – пока неизвестная функция. Тогда решение уравнения ⎝y ⎠ (10) примет вид b

⎛x ⎞ λ F ( x) = − g ( y ) D⎜⎜ λ ⎟⎟dy . ∫ D (λ ) a ⎝y ⎠

14

(22)

⎛x ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟ воспользовавшись ⎝y ⎠ уравнением резольвенты (181) получим интегральное уравнение Для

определения

функции

y

⎛x ⎞ ⎛η ⎞ H (η , y ) D⎜⎜ λ ⎟⎟ = D(λ )К ( x, s ) − λ dy К ( x, y ) D⎜⎜ λ ⎟⎟dη . (23) Δ(η ) ⎝s ⎠ ⎝s ⎠ a b

∫ ∫

Выберем эту функцию с помощью ряда

⎛x ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟ = ⎝s ⎠

∞

∑ А ( x, s)λ r

r

,

(24)

r =0

подставив его в равенство (23) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ , получим

А0 ( x, s ) = К ( x, s) , b

у1

∫ ∫

А1 ( x, s) = dу1 a

у

b

∫ ∫

− dу a

Н (η , у ) Δ (η )

Н ( x1 , у1 ) K ( x1 , у1 ) К ( x, s )dx1 − Δ ( x1 ) K ( x, у ) К (η , s ) dη = b

у1

∫ ∫

= dу1 a

Н ( x1 , у1 ) К ( x, s ) К ( x, у1 ) dx1 . Δ ( x1 ) К ( x1 , s ) К ( x1 , у1 )

Аналогично найдем b b

1 А2 ( x, s ) = dу1dу 2 2! a a

∫∫

у1 у2

∫∫

Н ( x1 , у1 ) Н ( x 2 , у 2 ) × Δ( x1 )Δ ( x2 )

К ( x, s ) К ( x, у1 ) К ( x, у 2 ) × К ( x1 , s ) К ( x1 , у1 ) К ( x1 , у 2 ) dx1dx2 . К ( x 2 , s ) К ( x 2 , у1 ) К ( x 2 , у 2 ) … … … … … …… … … … … …… … … … … …

15

b

Аr ( x, s ) =

b

у

у

1 r Н ( x1 , у1 )...Н ( x r , у r ) 1 × ... dу1 ...dу r ... Δ( x1 )....Δ ( x r ) r! a a

∫ ∫

∫ ∫

К ( x, s ) ... К ( x, у r ) К ( x1 , s ) ... К ( x1 , у r ) × dx1 ...dx r ... ... ... К ( x r , s ) ... К ( x r , у r ) … … … … … …… … … … … …… … … … … … Подставив найденные выражения Аr ( x, s ) в ряд (24), получим минорный ряд А.И. Некрасова – аналог минорного ряда Фредгольма

⎛x ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟ = К ( x, s ) + ⎝s ⎠ у у ∞ Н ( x1 , у1 )...Н ( x р , у р ) λр b b +∑ ... dу ... dу ... р 1 ∫ ∫a ∫ ∫ Δ( x1 )...Δ( x р ) × р =1 р! a р

1

К ( x, s ) К ( x, у1 ) К ( x1 , s ) К ( x1 , у1 ) × ... ... К ( x р , s ) К ( x р , у1 ) Используя перепишется

обозначения

... К ( x, у р ) ... К ( x1 , у р ) dx1 ...dx р . ... ... ... К ( x р , у р ) в

формуле

(21*)

ряд

(251)

(251)

у у ∞ Н ( x1 , у1 )...Н ( x р , у р ) ⎛x ⎞ λр b b D⎜⎜ λ ⎟⎟ = К ( x, s ) + ∑ ... dу ... dу ... 1 р ∫ ∫a ∫ ∫ Δ( x1 )...Δ( x р ) × р =1 р! a ⎝s ⎠ 1

⎛ х x1 ... x р ⎞ ⎟dx1 ...dx р . × К ⎜⎜ ⎟ ⎝ s у1 ... у р ⎠

р

∗

(251 )

⎛x ⎞ Исследуем на сходимость ряд D(λ ) (ряд D⎜⎜ λ ⎟⎟ исследуется ⎝s ⎠ аналогично).

16

Для коэффициентов ряда D(λ ) в (21) введем обозначения у

у1 b b р Н ( x1 , у1 )...Н ( x р , у р ) 1 × ... dу1 ...dу р ... dp = Δ( x1 )...Δ( x р ) р! a a

∫ ∫

d0 = 1, ⎛ x1 × К ⎜⎜ ⎝ у1

∫ ∫

x2 ... x р ⎞ ⎟dx ...dx р , у 2 ... у р ⎟⎠ 1

где К ( x1 , у1 ) ... К ( x1 , у р ) ⎛ x1 ... x р ⎞ ⎟= К ⎜⎜ ... ... ... , ⎟ ⎝ у1 ... у р ⎠ К ( х , у ) ... К ( x , у ) р 1 р р

р = 1, 2,... .

Тогда ряд (21) примет вид D(λ ) =

∞

∑d

p

λp.

(21*)

р =0

Для доказательства сходимости ряда (21*) вспомним неравенство Адамара. Если К ( х, у ) ≤ А при а ≤ х, у ≤ b , то ⎛ х1 К ⎜⎜ ⎝ у1

и пусть

x2 ... x р ⎞ ⎟ ≤ Ар р р ; у 2 ... у р ⎟⎠

Н ( х, у ) ≤ М , тогда Δ( х) d pλ ≤ λ p

=λ

р

р

b

b

у1

ур

1 М р А р р р ... dу1 ...dу р ... dx1 ...dx р = р! a a

∫ ∫

b2 − a2 1 М р Ар р р р! 2p

17

p

= up.

∫ ∫

Из оценок u p членов ряда (21*) составим положительный ∞

числовой

ряд

∑u

p

,

сходимость

которого

докажем,

р =0

воспользовавшись признаком Даламбера

l = lim

p →∞

u p +1 up

= lim

p →∞

λ

р +1

М

р +1

А р +1 ( р + 1) р +1 b 2 − a 2

( p + 1)!⋅2

p +1

р

λ М А р

р

р

р

p +1

2

b −a

p!2 p

2

p

= 0 < 1,

так как lim

p →∞

( р + 1) р +1 ( p + 1) р р

⎡ ( р + 1) р р +1 ⎤ = lim ⎢ ⋅ ⎥ = e ⋅ lim р p →∞ p →∞ ( p + 1) ⎥⎦ р ⎢⎣

1 = 0. p +1

∞

По построению ряд

∑u

p

является мажорирующим для ряда

р =0

(21*) и, следовательно, по критерию Вейершрасса ряд (21*) сходится абсолютно и равномерно при всех значениях λ . Задание. Самостоятельно доказать сходимость ряда (251).

5. Существование и единственность решения интегродифференциального уравнения Фредгольма

Прежде чем сформулировать аналог первой теоремы Фредгольма сначала убедимся, что функция F(x) в формуле (22) удовлетворяет уравнению (10). Для этого значение функции F(x) из формулы (22) подставляем в уравнение (10), сокращаем на λ , переименовываем переменные, группируем под одним общим интегралом, вынося общий множитель g(y1). В результате придем к первому уравнению резольвенты.

18

⎛x ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟ y − λ g ( y1 ) ⎝ 1 ⎠ dy1 + D(λ ) a b

∫

⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎛η ⎞ ⎜ ⎟ ⎥ D⎜⎜ λ ⎟⎟ ⎢ y b y1 ⎠ ⎟ H (η , y ) ⎜ ⎝ ⎢ + λ ⎢ g ( y) + dy1 ⎟dη ⎥⎥K ( x, y )dy = 0 , ⎜ − λ g ( y1 ) Δ (η ) ⎜ D(λ ) a⎢ a ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎦ b

∫

∫

∫

⎡ ⎤ ⎛x ⎞ ⎛η ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟ ⎢ D⎜⎜ λ ⎟⎟ ⎥ b y y1 ⎠ H (η , y ) ⎝ y1 ⎠ ⎝ ⎢ + K ( x, y1 )− λ g ( y1 ) − K ( x, y )dηdy ⎥ dy1 = 0 , ⎢ ⎥ ( ) ( ) Δ D ( ) D η λ λ a a ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ откуда, так как g(y1), вообще говоря, ≠0, то ⎛η ⎞ ⎛x ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟ D⎜⎜ λ ⎟⎟ b y ⎝ y1 ⎠ = K ( x, y ) − λ H (η , y ) ⋅ ⎝ y1 ⎠ K ( x, y )dηdy , 1 D(λ ) D(λ ) Δ (η ) a b

∫

∫∫

∫∫

т.е. b y

R( x, y1 ; λ ) = K ( x, y1 ) − λ

∫∫ a

H (η , y ) R(η , y1 ; λ ) K ( x, y )dydη. Δ(η )

Затем докажем единственность решения уравнения (10) в форме (22). Доказательство проведем методом от противного. Пусть уравнение (10) имеет другое решение Ф(х), тогда y b⎡ ⎤ H (η , y ) Φ ( x) + λ ⎢ g ( y ) + Φ (η )dη ⎥ К ( х, у )dy ≡ 0. (26) Δ ( ) η ⎢ ⎥ a⎣ ⎦ В этом тождестве заменим x на t, умножим его на H (t , y1 ) R ( x, y1 ; λ ) Δ (t ) и проинтегрируем

∫

∫

19

у1

b

Н (t , у1 ) R ( x, y1 ; λ )Φ (t )dt + Δ (t )

∫ ∫ dу1

a

b

b

у1

∫ ∫ ∫

+ λ dу1 dу a

a

b

Н (t , у1 ) R( x, y1 ; λ ) K (t , y ) g ( y )dt + Δ (t )

b

у1 у

∫ ∫ ∫∫

+ λ * dу1∗ dу a

a

Н (η , у ) H (t , у1 ) * R ( x, y1 ; λ ) * K (t , y ) * Φ (η )dηdt * ≡ 0. Δ(η )Δ (t ) *

Выражение, отмеченное под «*»: у1 b Н (t , у1 ) λ ∫ dу1 ∫ K (t , y ) R( x, y1 ; λ )dt = K ( х, y ) − R( x, y; λ ) , – находится Δ ( t ) a из второго интегрального уравнения резольвенты (182), подставим его в последнее слагаемое, расписав на сумму интегралов у1

b

∫ ∫ dу1

a

Н (t , у1 ) R( x, y1 ; λ )Φ (t ) dt + Δ (t )

b

b

у1

∫ ∫ ∫

+ λ dу1 dу a

a

у

b

∫ ∫

+ dу a

Н (t , у1 ) R ( x, y1 ; λ ) K (t , y ) g ( y )dt + Δ(t ) b

у

Н (η , у ) Н (η , у ) K ( х, y )Φ (η )dη − dу R ( x, y1 ; λ )Φ (η )dη ≡ 0 ; Δ(η ) Δ (η ) a

∫ ∫

тогда первое и последнее слагаемое уничтожатся. у

b

∫ ∫ dу

a

Н (η , у ) K ( х, y )Φ (η )dη ≡ Δ (η ) b

b

(27)

у1

Н (t , у1 ) R ( x, y1 ; λ ) K (t , y ) g ( y )dt . ≡ −λ dу1 dу Δ (t ) a a

∫ ∫ ∫

Подставив (27) в уравнение (26) b

∫

Φ ( х) + λ g ( y ) K ( х, y )dу − a

20

b

b

у1

∫ ∫ ∫

− λ2 dу dу1 a

a

Н (t , у1 ) R ( x, y1 ; λ ) K (t , y ) g ( y )dt ≡ 0 Δ (t )

и, записав разность интегралов под одним, получим y1 b b ⎡ ⎤ H (t , y1 ) Φ ( x) + λ g ( y ) ⎢ К ( х, у ) − λ dy1 К (t , у ) R( x, y1 ; λ )dt ⎥dy ≡ 0. Δ(t ) ⎢⎣ ⎥⎦ a a Так как в квадратных скобках резольвента (в соответствии с

∫

∫ ∫

b

∫

(182)), то Φ ( x) = −λ g ( y ) R ( x, y; λ )dy , т.е. Φ ( x) = F ( x) . Единственa

ность доказана. Сформулируем теперь аналог первой теоремы Фредгольма. Если D(λ ) ≠ 0 , то разрешающее интегральное уравнение (10) имеет единственное решение, определяемое по формуле (22) b ⎛x ⎞ λ F ( x) = − D⎜⎜ λ ⎟⎟ g ( y )dy , D (λ ) a ⎝ y ⎠

∫

⎛x ⎞ в котором D( y ) и D⎜⎜ λ ⎟⎟ – ряды (21 ∗ ) и (25 1∗ ), сходящиеся ⎝y ⎠ абсолютно и равномерно для всех значений λ (в том числе и для комплексных). Определение. Значения λ , для которых D(λ ) = 0, назовем характеристическими или фундаментальными числами ядер К(х,у) и М(х,у). 6. Рекуррентные формулы вычисления коэффициентов характеристического полинома и минорного ряда

Выпишем ряды (21) и (251) с неопределенными пока коэффициентами ∞ ⎛x ⎞ ∞ * D(λ ) = d p λ p , (21*) и D⎜⎜ λ ⎟⎟ = d р ( х , у )λ р (251* ) . y ⎝ ⎠ р =0 р =0

∑

∑

21

Сравнивая слагаемые в формуле (21) с (21*) и в формуле (251) с (251* ) , видим, что d 0 = 1 , d 0* ( x, y ) = К(х,у), а следующие коэффициенты представимы в виде формул b

d p +1

у1

b

1 ... dу1 ...dу р +1 ... = ( р + 1)! a a

∫ ∫

⎛ x1 × К ⎜⎜ ⎝ у1

x2 у2

у р +1

∫ ∫

Δ ( x1 )...Δ ( x р +1 )

(28)

у

у

b b р 1 Н ( x1 , у1 )...Н ( x р , у р ) 1 у) = ... dу1 ...dу р ... × р! a a Δ ( x1 )...Δ ( x р )

∫ ∫

⎛ x x1 × К ⎜⎜ ⎝ y у1

x2 у2

∫ ∫

(29)

... x р ⎞ ⎟dx ...dx р . ... у р ⎟⎠ 1

Умножим равенство (29) на по

×

... x р +1 ⎞ ⎟dx ...dx р +1 , ... у р +1 ⎟⎠ 1

d *р ( х,

b

Н ( x1 , у1 )...Н ( x р +1 , у р +1 )

1 Н ( x, у ) и проинтегрируем р + 1 Δ( x )

у

∫ dу ∫ dх : a

b

у

b

b

у1

1 Н ( x, у ) * 1 dу d р ( х, у )dх = ... dy1 ...dу р dy ... Δ( x ) р +1 a ( p + 1)! a a

∫ ∫

ур у

...

∫∫

∫ ∫

Н ( x1 , у1 )...Н ( x р , у р ) Н ( x, у ) Δ ( x1 )...Δ ( x р )Δ ( x )

⎛ x x1 К ⎜⎜ ⎝ y у1

∫

x2 ... x р ⎞ ⎟dx ...dx р dx . у 2 ... у р ⎟⎠ 1

Нетрудно увидеть, что заменив х на х1, х1 на х2, …, хр на хр+1 и у на у1, у1 на у2, …, ур на ур+1, в правой части последнего равенства, получим коэффициент dP+1, т.е. b

d p +1

у

1 Н ( x, у ) * dу ∫ d р ( х, у )dх . = ∫ р +1 a Δ( x )

Положив в формуле (28*) р=0, найдем

22

(28*)

у

b

d1 = ∫ dу ∫ a

Н ( x, у ) К ( х, у )dх . Δ( x )

Для определения коэффициентов d *р ( х, у )

воспользуемся

⎛x ⎞ интегральным уравнением (23) для D⎜⎜ λ ⎟⎟ . ⎝s ⎠ Подставив в равенство (23) ряд (251* ) ∞

∑

d *р ( х, s )λ р = К ( x, у )

р =0

∞

∑d

р

b

у

λр −

р =0

∫ ∫

− λ dу a

∞ Н (η , у ) К ( x, у ) d *р (η , s )λ р dη , Δ(η ) р =0

∑

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях заменив при этом s на у и у на у1, получим

λ,

d *р ( х, у ) = d p K ( x, y ) − b

у1

− ∫ dу1 ∫ a

. Н (η , у1 ) К ( x, у1 )d *р −1 (η , y )dη Δ(η )

(29*)

Теперь, положив р=1 в (29*), определим b

у1

∫ ∫

d1* ( х, у ) = d1 K ( x, y ) − dу1 a

Н (η , у ) К ( x, у1 ) К (η , y )dη Δ(η )

и так далее, используя рекуррентные формулы (28*) и (29*).

Замечание 1. Если D(λ ) ≠ 0 , т.е. λ не является характеристиче⎛x ⎞ ским числом, а D⎜⎜ λ ⎟⎟ ≡0, то разрешающее интегральное уравнение ⎝y ⎠ (10) имеет только нулевое решение, и решение интегро-дифференциального уравнения (1) совпадает с решением дифференциального уравнения

23

Ln[z(x)]=0, т.е. z(x)=c1z1+ c2z1+…+cnzn. ⎛x ⎞ Замечание 2. Если D(λ ) =0, а D⎜⎜ λ ⎟⎟ ≠0, то разрешающее ⎝y ⎠ интегральное уравнение (10) имеет одно бесконечное решение, и, соответственно, бесконечное решение будет иметь интегродифференциальное уравнение (1). Замечание 3. Случай

D(λ ) = 0 и

⎛x ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟ = 0 будет ⎝y ⎠

рассматриваться особо. π

Пример 2. z" ( x) + z ( x) = λ x[z ' ( y ) + z ( y )]dy .

∫ 0

z" ( x) + z ( x) = 0 , k2+1=0, k 1,2=±i, z1(x)=cos x, z2 = sin x, z(x)=c1cos x+ c2 sin x, z" ( x) + z ( x) = F ( x) , z(x)=C1(x)z1(x)+ C2(x)z2(x).

⎧ С1' сos x + С 2' sin x = 0 , ⎨ ' ' ⎩-С1 sin x + С 2 сos x = F ( x) , - sin x cos x С1' = F ( x) , С 2' = F ( x). 1 1 В соответствии с обозначениями в (7) и (10) найдем Δ (x) =1, Δ 1(x)= - sin x, Δ 2(x)=cos x, P1[z(y)]=z'( y)+ z(y),

P1[z1(y)]= -sin y +cos y, P1[z2(y)] = cos y +sin y. g(y) = c1P1[z1(y)]+ c2P1[z2(y)] = c1 (cos y- sin y) + c2 (cos y +sin y), H(η,y) = Δ1 (η)P1[z1(y)]+ Δ2 (η)P1[z2(y)] = - sin η(cos y- sin y) + +cos η(cos y +sin y). Теперь найдем коэффициенты рядов (21*) и (251*), воспользовавшись рекуррентными формулами (28*) и (29*) b у

d 0 = 1,

d 0* ( х,

у ) = − х, d1 =

∫∫ a

24

Н ( х, у ) K ( x, y ) dxdy, Δ( х)

π

у

d1 = dу [- sin x(cos y- sin y ) + cos x(cos y + sin y )](− x)dx =

∫ ∫ 0

у у ⎡ ⎤ = ⎢(cos y- sin y ) x sin xdx − (cos y + sin y ) x cos xdx ⎥ dу = ⎢ ⎥⎦ 0⎣

π

∫

∫

∫

π

=

∫ [(cos y − sin y)(sin y − y cos y) − (cos y + sin y)( y sin y + cos y)]dу = 0

π

= ∫ (cos y sin y − sin 2 y − y cos 2 y + y sin y cos y − y sin y cos y 0

π

− y sin 2 y − cos 2 y- sin y cos y)dу = ∫ (-1-y )dу = −(

π2

0

у1

b

d1* ( х,

∫ ∫

у ) = d1 K ( x, y ) − dу1 a

d1* ( х, у ) = (

π2 2

2

+ π ),

Н (η , у1 ) К ( x, у1 )d 0* (η , y )dη , Δ (η )

+ π )х −

π у1

− ∫ ∫ [- sin η (cos y1- sin y1 ) + cosη (cos y1 + sin y1 )]xηdηdy1 = 0

=(

π2 2

π

+ π ) х − x ∫ [(cos y1- sin y1 )( y1 cos y1- sin y1 ) + 0

+ (cos y1 + sin y1 )( y1 sin y1 + cos y1 )]dy1 = (

π2 2

+ π )х − (

следовательно, d2=0, d 2* ( х, у ) = 0 и т.д. По формулам (21*) и (251*) находим

D(λ ) =1 − (

π2

⎛x ⎞ + π ) λ, D⎜⎜ λ ⎟⎟ = − x . 2 ⎝y ⎠

25

π2 2

+ π ) х = 0,

Тогда в соответствии с формулами (112) и (22) определим сначала F(х)

1 − (π + =

π

λ

F ( x) = − 2λ (c 2 − c1 ) 1 − (π +

π2 2

π2 2

∫ (− х)[c (cos y- sin y) + c 1

)λ

2 (cos

y + sin y )]dy =

0

x

)λ

и затем по формуле (9) z(х) x

z(x)=c1 z1 ( x) + c2 z 2 ( x) − z(x)=c1 cos x+ c2 sin x+

∫

Δ1 (η )z1 (x) + Δ 2 (η )z 2 (x) F (η )dη , Δ (η )

2λ (c 2 − c1 ) 1 − (π +

π

2

2

x , при λ ≠

)λ

1

π+

π2

.

2

7. Решение задачи Коши

Рассмотрим начальную задачу для интегро-дифференциального уравнения (1) с начальными условиями z (i ) ( x0 ) = z 0i , i = 0, n − 1 и x0 ∈ [a, b] . (1*) Учитывая начальные условия, формулу (9) – представление решения уравнения (1) через неизвестную функцию F(x) – можем переписать x n ⎤ ⎡ Δ (η ) z ( x ) = ∑ z i ( x ) ⎢c i 0 + ∫ i F (η )dη ⎥ . Δ(η ) i =1 ⎥⎦ ⎢⎣ x

(90)

0

Значения постоянных ci0 можно определить на этом этапе решения начальной задачи. Положив x=x0 в формуле (90), получим линейную алгебраическую систему относительно ci0

26

n

∑z i =1

(k ) i

( x 0 )c i 0 = z 0( k ) , k = 0, n − 1 ,

(50)

которая всегда разрешима, так как главный определитель этой системы есть значение определителя Вронского Δ (х) фундаментальной системы функций z i ( x), i = 0, n − 1 в точке х0 z1 ( x0 ) z 2 ( x0 ) ' z (x ) z 2' ( x0 ) Δ ( x0 ) = 1 0 ... ... ( n −1) ( n −1) z1 ( x0 ) z 2 ( x0 )

... z n ( x0 ) ... z n' ( x0 ) ≠0 ... ... ... z n( n −1) ( x0 )

(60)

Вычислив значения постоянных ci0 в системе (50) и подставив их в выражение g(х) в уравнении (10), придем к разрешающему интегральному уравнению специального вида b x H (η , y ) ⎡ ⎤ F ( x) + λ ⎢ g 0 ( y ) + F (η )dη ⎥K ( x, y )dy = 0, x0 Δ (η ) ⎦ a⎣

∫

где g 0 ( y ) =

∫

n

∑c

io Pm [ z i ( y )],

(100)

H (η , y ) и Δ(η ) те же, что и в формуле

i =1

(10). Для нахождения характеристического полинома D(λ ) и первого ⎛x ⎞ минорного ряда D⎜⎜ λ ⎟⎟ при решении уравнения (10), учитывая на⎝y ⎠ чальные условия, получим формулы D0 (λ ) = 1 + +

∞

λp

b

b

у1

ур

x0

x0

∑ р! ∫ ...∫ dу ...dу ∫ ... ∫ 1

p =1

a

a

р

Н ( x1 , у1 )...Н ( x р , у р ) Δ( x1 )...Δ ( x р )

⎛ x1 ... x р ⎞ ⎟dx1 ...dx р , К ⎜⎜ ⎟ ⎝ у1 ... у р ⎠

( 21*0 )

27

⎛x ⎞ D0 ⎜⎜ λ ⎟⎟ = K ( x, y ) + ⎝y ⎠ ⎛x × К ⎜⎜ ⎝у

∞

λp

b

b

у1

ур

x0

x0

∑ р! ∫ ...∫ dу ...dу ∫ ... ∫ 1

p =1

a

Н ( x1 , у1 )...Н ( x р , у р )

р

a

Δ ( x1 )...Δ ( x р )

×

x1 ... x р ⎞ ⎟dx ...dx р . у1 ... у р ⎟⎠ 1 * ) ( 2510

Решение уравнения (10), а затем и (1), при заданных начальных условиях, найдем по формулам: F ( x) = −

z ( x) =

b

λ

⎛x ⎞ D0 ⎜⎜ λ ⎟⎟ g 0 ( y )dy, D0 (λ ) a ⎝ y ⎠

∫

⎤ Δ i (η ) F (η )dη ⎥ . x0 Δ (η ) ⎦

⎡

n

∑ z ( x)⎢⎣c + ∫ i

(220)

io

i =1

x

(90)

Пример 3. Найти решение задачи Коши и определить характеристические числа. 1 ⎧ d 2 z dz − 6 z + λ z ( y )dy = 0, ⎪ 2 − ⎨ dx dx 0 ⎪ x = 0, z (0) = 1, z ' (0) = 0. ⎩ 0

∫

К(х,y) = 1, Pm[z(y)]=z(y), a =0, b =1. z"− z '−6 z = 0 , k2-k-6=0, k1=3, k2 = -2, z1(x) = e3х, z2(x)=e-2х, Δ (x) = -5eх, Δ 1(x)= − e-2х, Δ 2(x)=e3х. z ( x) = c1e

3x

+ c2 e

−2 x

x

1 + (e −3η e 3 x − e 2η e −2 x ) F (η )dη . 50

∫

Здесь использованы результаты вычислений примера 1. Далее, положив х0= 0, найдем постоянные с10 и с20, записав систему (50) ⎧ c10 + c20 = 1, 2 3 , откуда находим c10 = , c20 = и ⎨ 5 5 ⎩3c10 − 2 c20 = 0 2 3 g 0 ( y ) = e 3 y + e −2 y , H (η , y ) = e 3η e −2 y − e −2η e 3 y . 5 5

28

Разрешающее уравнение (100) запишется y 1⎡ ⎤ 2 3 1 F ( x) + λ ⎢ e 3 y + e −2 y + ( e −3η e 3 y − e 2η e −2 y ) F (η )dη ⎥ = 0 . 5 50 ⎥⎦ 0⎢ ⎣5

∫

∫

* ) значения D0 (λ ) и Вычислим теперь по формулам ( 21*0 ) и ( 2510

⎛x ⎞ D0 ⎜⎜ λ ⎟⎟ . Так как определители второго и высших порядков для дан⎝у ⎠ ной задачи равны нулю, то имеем 1

D0 (λ ) = 1 + λ dy1

y1

(e 3 х1 e −2 y1 − e 2 х1 e 3 y1 ) λ ⎛ 5 4e 5 + 5e 2 − 9 ⎞ ⎟, ⎜− + dх 1 = + 1 х1 2 ⎟ ⎜ 6 5 36 e 5 e − ⎠ ⎝ 0

∫ ∫ 0

⎛x ⎞ D0 ⎜⎜ λ ⎟⎟ = 1 . ⎝у ⎠ По формулам (220) и (90) находим

λ

F ( x) = − 1− z ( x) = −

λ 6

+

λ 180

−2

3

( 4e + 5 − 9e )

⋅

1 5

1

∫ (2e

3y

0

+ 3e −2 y )dy,

6(6 − λ )(2e3 x + 3e −2 x ) λ (4e3 + 5 − 9e −2 ) + . 3 −2 30(6 − λ ) + λ (4e + 5 − 9e ) 30(6 − λ ) + λ (4e3 + 5 − 9e −2 )

Приравняв нулю D0 (λ ) , найдем характеристическое число

λ0 =

180 . 30 − (4e + 5 − 9e −2 ) 3

Задание. Сравнить с характеристическим числом общего решения (пример 1) и сделать соответствующий вывод. §2. Аналог второй теоремы Фредгольма

29

1. Минорные ряды высших порядков

Назовем минорными рядами высших порядков следующие ряды

⎛ x ... x r ⎞ ⎛ x ... x r ⎞ ⎟⎟ + λ ⎟⎟ = К ⎜⎜ 1 D⎜⎜ 1 ⎝ y1 ... y r ⎠ ⎝ y1 ... y r ⎠ ∞

+∑ р =1

λр

b

... dу р! ∫ ∫ a

уr +1

b

r +1

...dу r + p

a

уr + p

∫ ... ∫

Н ( x r +1 , у r +1 )...Н ( x r + р , у r + р ) Δ( x r +1 )...Δ( x r + р )

⎛ x ... xr + p ⎞ ⎟dxr +1...dxr + р , ⋅ К ⎜⎜ 1 ⎟ ⎝ y1 ... yr + p ⎠

r = 1, 2, ....

⋅

(25r)

Докажем сходимость минорных рядов высших порядков при следующих ограничениях а≤ x, y≤ b, К ( х, у ) ≤ А ,

Н ( х, у ) ≤ М . ТоΔ( х)

гда, в соответствии с неравенством Адамара

⎛ х1 x2 ... xr+р ⎞ r+р ⎟ ≤ А (r + р)r+р , К⎜⎜ ⎟ ⎝ у1 у2 ... уr+р ⎠ для членов рядов ( 25*r ) получим ограничения

λр

b

b

∫ ∫

р! a

... dуr+1...dуr+ p a

уr +1

уr + p

∫ ∫ ...

Н (xr+1, уr+1 )...Н(xr+ р , уr+ р ) Δ(xr+1 )...Δ(xr+ р )

× p

p

λ M p Аr+ р (r + р)r+ р b2 − a2 ⎛ x1 ... xr+ p ⎞ ⎟dxr+1...dxr+ р ≤ × К⎜⎜ = up. p ⎟ y y ... p ! 2 r p + ⎝ 1 ⎠ ∞

По признаку Даламбера ряд

∑u р =0

как

p

, где u 0 ≤ А r r r , сходится, так

l = lim

p →∞

30

u p +1 up

=

= lim

р +1

λ

p →∞

М

р +1

А р + r +1 (r + р + 1) r + р +1 b 2 − a 2

( p + 1)!⋅2

p +1

р

λ М А р

р+r

(r + р)

r+ р

p +1

2

p! 2 p

b −a

2 p

= 0 < 1.

Аналогичный предел уже рассматривался при доказательстве сходимости ряда D(λ ) (21*) в пункте 4. Следовательно, ряды ( 25*r ) по критерию Вейерштрасса сходятся абсолютно и равномерно. 2. Связь между минорными рядами разрешающего интегрального уравнения специального вида

Получим зависимость между минорными рядами разложением входящих в них определителей по элементам строк и столбцов. Нач⎛x х ⎞ нем с минорного ряда второго порядка D⎜⎜ 1 2 λ ⎟⎟ в формуле (25r) ⎝ у1 у2 ⎠ при r =2 (для минорного ряда первого порядка проделать самостоятельно), разложив его определители по элементам первой строки:

⎛ x х ⎞ К ( x1 , у1 ) К ( x1 , у2 ) + D⎜⎜ 1 2 λ ⎟⎟ = ⎝ у1 у2 ⎠ К ( x2 , у1 ) К ( x2 , у2 ) ∞

+∑ р =1

×

λр

b

р! ∫a

у3

b

у p+2

...∫ dу3 ...dу р + 2 ∫ ... ∫ Н ( x3 , у3 )...Н ( x р + 2 , у р + 2 ) × a Δ( x3 )...Δ( x р + 2 )

К ( x1 , у1 )

... ...

К ( x1 , у р + 2 )

...

... ...

...

...

... ... ... К ( x р + 2 , у1 ) ... ... К ( x р + 2 , у р + 2 )

dx3 ...dx р + 2 =

b

у3

= К ( x1 , у1 )К ( x2 , у 2 ) − К ( x1 , у 2 )К ( x2 , у1 ) + λ ∫ dу3 ∫ a

Н ( x3 , у 3 ) × Δ( x3 )

⎡ К ( x2 , у 2 ) К ( x2 , у3 ) К ( x2 , у1 ) К ( x 2 , у3 ) + × ⎢ К ( x1 , у1 ) − К ( x1 , у 2 ) К ( x3 , у 2 ) К ( x3 , у 3 ) К ( x3 , у1 ) К ( x3 , у 3 ) ⎣

31

+ К ( x1 , у3 )

К ( x2 , у1 ) К ( x2 , у 2 ) ⎤ ⎥ dx3 + К ( x3 , у1 ) К ( x3 , у 2 ) ⎦ +

λ2

y3 y4

b b

dy dy ∫ ∫ 2! ∫ ∫ 3

4

a a

⎡ К ( x2 , у 2 ) К ( x2 , у3 ) К ( x2 , у 4 ) ⎢ × ⎢ К ( x1 , у1 ) К ( x3 , у 2 ) К ( x3 , у 3 ) К ( x3 , у 4 ) ⎢ К ( x4 , у 2 ) К ( x4 , у3 ) К ( x4 , у 4 ) ⎣ К ( x2 , у1 ) − К ( x1 , у 2 ) К ( x3 , у1 ) К ( x4 , у1 )

Н ( x3 , у 3 ) Н ( x 4 , у 4 ) × Δ ( x3 ) Δ ( x 4 )

− К ( x2 , у3 ) К ( x2 , у 4 ) К ( x3 , у 3 ) К ( x 3 , у 4 ) + К ( x4 , у3 ) К ( x4 , у 4 )

К ( x 2 , у1 ) К ( x 2 , у 2 ) К ( x 2 , у 4 ) + К ( x1 , у3 ) К ( x3 , у1 ) К ( x3 , у 2 ) К ( x3 , у 4 ) − К ( x 4 , у1 ) К ( x 4 , у 2 ) К ( x 4 , у 4 ) К ( x2 , у1 ) К ( x 2 , у 2 ) К ( x2 , у 3 ) ⎤ ⎥ − К ( x1 , у 4 ) К ( x3 , у1 ) К ( x3 , у 2 ) К ( x3 , у3 ) ⎥ dx3 dx4 + ... . К ( x4 , у1 ) К ( x 4 , у 2 ) К ( x4 , у 3 ) ⎥⎦

Сгруппировав члены, содержащие множители К ( x1 , у1 ) и К ( x1 , у2 ) , и вынося общий множитель за скобки, в скобках в ⎛x ⎞ соответствии с выражением (251) получим разложения D⎜⎜ 2 λ ⎟⎟ и ⎝ y2 ⎠ ⎛x ⎞ D⎜⎜ 2 λ ⎟⎟ : ⎝ y1 ⎠

⎛x х ⎞ ⎛х ⎞ ⎛х ⎞ D⎜⎜ 1 2 λ ⎟⎟ = К ( x1 , у1 ) D⎜⎜ 2 λ ⎟⎟ − К ( x1 , у 2 ) D⎜⎜ 2 λ ⎟⎟ + ⎝ у1 у 2 ⎠ ⎝ у2 ⎠ ⎝ у1 ⎠ b

∫

+ λ dу3 a

у3

∫

К ( x 2 , у1 ) К ( x 2 , у 2 ) Н ( x3 , у 3 ) + К ( x1 , у3 ) К ( x3 , у1 ) К ( x3 , у 2 ) Δ ( x3 )

32

+

λ2

у3 у4

bb

2! ∫∫

dy3dy4

aa

∫∫

Н (x3 , у3 )H (x4 , у4 ) К(x1 , у3 ) × Δ(x3 )Δ(x4 ) К(x2 , у1 ) К(x2 , у2 ) К(x2 , у4 ) × К(x3 , у1 ) К(x3 , у2 ) К(x3 , у4 ) dx3dx4 − К(x4 , у1 ) К(x4 , у2 ) К(x4 , у4 )

−

λ2

у3 у4

bb

dy dy ∫ ∫ ⋅ 2! ∫∫ 3

aa

4

Н (x3 , у3 )Н (x4 , у4 ) К(x1 , у4 ) × Δ(x3 )Δ(x4 ) К(x2 , у1 ) К(x2 , у2 ) К(x2 , у3 ) × К(x3 , у1 ) К(x3 , у2 ) К(x3 , у3 ) dx3dx4 + ... К(x4 , у1 ) К(x4 , у2 ) К(x4 , у3 )

Далее, для симметричной записи, переставим строки в определителях, сменив затем х3 на х4, у3 на у4 и наоборот х4 на х3 и у4 на у3 и т.д. в выражениях с отрицательными знаками

⎛x х ⎞ ⎛х ⎞ ⎛х ⎞ D⎜⎜ 1 2 λ ⎟⎟ = К ( x1 , у1 ) D⎜⎜ 2 λ ⎟⎟ − К ( x1 , у2 ) D⎜⎜ 2 λ ⎟⎟ − ⎝ у1 у2 ⎠ ⎝ у2 ⎠ ⎝ у1 ⎠ b

у3

− λ ∫ dу3 ∫ a

b

у4

+ λ ∫ dу 4 ∫ a

⎡ К ( x3 , у1 ) К ( x3 , у2 ) Н ( x3 , у3 ) К ( x1 , у3 ) ⎢ + Δ( x3 ) ⎣ К ( x2 , у1 ) К ( x2 , у2 )

Н ( x4 , у 4 ) К ( x1 , у 4 ) × Δ( x4 ) ⎤ ⎥ × К ( x2 , у1 ) К ( x2 , у 2 ) К ( x2 , у3 ) dx4 + ...⎥dx3 + ... ⎥⎦ К ( x4 , у1 ) К ( x4 , у 2 ) К ( x4 , у3 ) К ( x3 , у1 ) К ( x3 , у 2 ) К ( x3 , у3 )

33

Нетрудно увидеть, что в соответствии с формулой (25r) в квадратных скобках получили фредгольмовский минорный ряд ⎛x х ⎞ D⎜⎜ 3 2 λ ⎟⎟ . Следовательно, заменив х3 на η , у3 на у, получим ⎝ у1 у 2 ⎠

⎛х ⎞ ⎛х ⎞ ⎛x х ⎞ D⎜⎜ 1 2 λ ⎟⎟ = К ( x1 , у1 ) D⎜⎜ 2 λ ⎟⎟ − К ( x1 , у 2 ) D⎜⎜ 2 λ ⎟⎟ − ⎝ у1 ⎠ ⎝ у2 ⎠ ⎝ у1 у 2 ⎠ (302) у b ⎛ η х2 ⎞ Н (η , у ) K ( x1 , у ) D⎜⎜ λ ⎟⎟dη. − λ ∫ dу ∫ у у ( ) η Δ ⎝ 1 2 ⎠ a Разложим пятый минор по элементам третьей строки (самостоятельно), используя обозначения в (21*). Тогда ряд (255) перепишется

⎛x х х х ⎞ ⎛x х х х х ⎞ D⎜⎜ 1 2 3 4 5 λ ⎟⎟ = (−1) 3+1 К ( x1 , у1 ) D⎜⎜ 1 2 4 5 λ ⎟⎟ + ⎝ у 2 у3 у 4 у5 ⎠ ⎝ у1 у2 у3 у4 у5 ⎠ ⎛x х х х ⎞ + (−1) 3+ 2 К ( x1 , у2 ) D⎜⎜ 1 2 4 5 λ ⎟⎟ + ⎝ у1 у3 у4 у5 ⎠ ⎛x х х х ⎞ + (−1) 3+ 3 К ( x1 , у3 ) D⎜⎜ 1 2 4 5 λ ⎟⎟ + ⎝ у1 у2 у4 у5 ⎠ ⎛x х х х ⎞ + (−1) 3+ 4 К ( x1 , у4 ) D⎜⎜ 1 2 4 5 λ ⎟⎟ + ⎝ у1 у2 у3 у5 ⎠

⎛x х х х ⎞ +(−1)3+5 К ( x1, у5 )D⎜ 1 2 4 5 λ ⎟ − ⎝ у1 у2 у3 у4 ⎠ у

b

− λ ∫ К (x, у)dy∫ a

или

34

Н (η, у) ⎛ x1 х2 η х4 х5 ⎞ D⎜ λ ⎟dη Δ(η) ⎝ у1 у2 у3 у4 у5 ⎠

⎛ x х х3 х 4 х 5 ⎞ λ ⎟⎟ = D⎜⎜ 1 2 ⎝ у1 у 2 у3 у 4 у 5 ⎠ у

b

∫

− λ К ( x3 , у )dy a

∫

5

(−1) ∑ β

3+ β

=1

⎛ x х 2 х 4 х5 ⎞ λ ⎟⎟ − К ( x3 , у β ) D⎜⎜ 1 ⎝ у1 у β −1 у β +1 у5 ⎠

Н (η , у ) ⎛ x1 х 2 η х 4 х5 ⎞ λ ⎟⎟dη. D⎜⎜ Δ(η ) ⎝ у1 у 2 у 3 у 4 у5 ⎠ (305)

Аналогично получим формулу для разложения r – минора по α–й строке

⎛ x ... х x х ... х ⎞ D⎜⎜ 1 α −1 α α +1 r λ ⎟⎟ = ⎝ у1 ... уα −1 уα уα +1 ... уr ⎠ =

r

⎛ x1 ... хα −1 хα +1 ... хr ⎞ λ ⎟⎟ − −1 у β +1 ... уr ⎠ 1

(−1)α β К ( xα , уβ )D⎜⎜ ∑ β ⎝ у ... уβ +

=1

b

∫

− λ К ( xα , y)dy a

у

∫

Н (η, у) ⎛ x1 ... хα −1 η хα +1 ... хr ⎞ D⎜ λ ⎟dη. Δ(η) ⎜⎝ у1 ... уα −1 yα уα +1 ... уr ⎟⎠ (30r)

Также аналогично можно получить формулу для разложения r – минора по β -му столбцу

⎛ x ... хβ −1 хβ хβ +1 ... хr ⎞ D⎜ 1 λ⎟= ⎝ у1 ... уβ −1 уβ уβ +1 ... уr ⎠ r ⎛ x ... хα −1 хα +1 ... хr ⎞ = ∑ (−1)α + β К ( xα , уβ ) D ⎜ 1 λ⎟− α =1 ⎝ у1 ... yβ −1 уβ +1 ... уr ⎠ b у ⎛ x ... х β −1 х β х β +1 ... хr ⎞ Н (η , у ) К (η , y β ) D⎜⎜ 1 − λ∫ ∫ λ ⎟⎟dydη. (31r) Δ(η ) ⎝ у1 ... у β −1 у у β +1 ... у r ⎠ a

35

3. Построение фундаментальных функций однородного уравнения, соответствующего неоднородному разрешающему интегральному уравнению

Выпишем однородное интегральное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению специального вида (10) b

F ( x) + λ ∫ dy ∫

y

a

H (η , y ) K ( x, y ) F (η )dη = 0. Δ(η )

(32)

При нахождении фундаментальных функций уравнения (32) нам потребуются производные D (λ ) , найдем их D (λ ) = 1 + +

∞

b

λр

у1

b

∑ р! ∫ ∫

ур

Н ( x1 , у1 )...Н ( x р , у р )

∫ ∫

... dу1 ...dу р ...

р =1

a

D ' (λ ) =

a

∞

λ p −1

b

Δ ( x1 )...Δ ( x р ) ур

у1

b

∑ ( р − 1)! ∫ ...∫ dу ...dу ∫ ... ∫ р

1

р =1

a

a

⎛ х1 ... х р ⎞ ⎟d x1 ...dx р , (21*) К ⎜⎜ ⎟ ⎝ у1 ... у р ⎠

Н ( x1 , у1 )...Н ( x р , у р ) Δ ( x1 )...Δ ( x р )

×

⎛ х1 ... х р ⎞ ⎟dx1 ...dx р = × К ⎜⎜ ⎟ у ... у 1 р ⎝ ⎠ у1

b

∫

= .dу1 a

∫

∞

+∑ р=2

Н ( x1 , у1 ) [K ( x1 , у1 ) + Δ ( x1 )

λ p −1

b

у2

b

ур

... dу ...dу ∫ ... ∫ ( р − 1)! ∫ ∫ a

Н ( x2 , у2 )...Н ( x р , у р )

р

2

a

Δ( x2 )...Δ ( x р )

×

⎤ К ( x1 , у1 ) ... К ( x1 , у р ) ⎥ ... ... ... dx2 ...dx р ⎥ dx1 . × ⎥ К ( х р , у1 ) ... К ( x р , у р ) ⎦ В квадратных скобках в соответствии с формулой (251) имеем

⎛x ⎞ D⎜⎜ 1 λ ⎟⎟ и, следовательно, ⎝ у1 ⎠ b

у1

∫ ∫

D' (λ ) = dу1 a

Н ( x1 , у1 ) ⎛ x1 ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟dx1 . Δ( x1 ) ⎝ у1 ⎠

36

(331)

Аналогично найдем у1 у2

b b

D ' ' (λ ) =

∫∫

dу1dу 2

a a

∫∫

Н ( x1 , у1 ) Н ( x2 , у 2 ) ⎛ x1 х2 ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟d x1dx2 , Δ ( x1 ) Δ( x2 ) ⎝ у1 у 2 ⎠

(332)

…………………………………………

D

(m)

(λ ) =

b

b

a

a

у1

уm

= ∫ ...∫ dу1 ...dу m ∫ ... ∫

Н ( x1 , у1 )...Н ( xm , у m ) ⎛ x1 ... хm ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟d x1 ...dxm . Δ( x1 )...Δ( xm ) ⎝ у1 ... у m ⎠

(33m) Пусть λ=λ* является корнем характеристического уравнения D(λ)=0, кратности p, тогда D(λ*)=0, D′(λ*)=0, … D(p-1)(λ*)=0, а ⎛x ⎞ D(p)(λ*)≠0. Положим m= 1, p − 1 , в формулах (33m), тогда D⎜⎜ 1 λ *⎟⎟ =0, ⎝ у1 ⎠ ⎛ x ... х p −1 ⎞ ⎛ x ... х p ⎞ ⎛x х ⎞ λ *⎟⎟ =0, D⎜⎜ 1 λ *⎟⎟ ≠0. D⎜⎜ 1 2 λ *⎟⎟ =0, …, D⎜⎜ 1 ⎝ у1 у 2 ⎠ ⎝ у1 ... у p −1 ⎠ ⎝ у1 ... у p ⎠ Нетрудно увидеть, что и обратно, при ⎛ x ... хq −1 ⎞ ⎛ x ... хq ⎞ ⎛x ⎞ ⎛x х ⎞ λ *⎟⎟ =0, D⎜⎜ 1 λ *⎟⎟ ≠0, D⎜⎜ 1 λ *⎟⎟ =0, D⎜⎜ 1 2 λ *⎟⎟ =0,…, D⎜⎜ 1 ⎝ у1 ⎠ ⎝ у1 у 2 ⎠ ⎝ у1 ... у q −1 ⎠ ⎝ у1 ... у q ⎠ (q-1) из тех же формул следует, что D′(λ*)=0, D′′(λ*)=0, …, D (λ*)=0, а D(q)(λ*)≠ 0, т.е. λ* является корнем уравнения D(λ)=0 кратности q≤р. Определение. Рангом характеристического числа назовем порядок первого минора высшего порядка тождественно не равного нулю. В рассматриваемом выше случае ранг характеристического числа λ * равен q≤p. Предположим теперь, что λ=λ* – характеристическое число ранга r=q. Возьмем разложение минора q-го порядка по строке α и положим в нем

x1 = x1*,...,xα−1 = xα*−1, xα = x, xα+1 = xα*+1, xq = xq* , y1 = y1*,..,yα = yα* ,...,yq = yq* , где x i* и y i* – любые числа, но такие, чтобы минор q-го порядка тождественно не равнялся нулю.

37

Тогда в выражении минора в форме (30r) при r=q слагаемые в сумме исчезнут, т.е. получим

⎛ x1* ...xα* −1 x xα* +1...xq* ⎞ λ D⎜ * * * * *⎟ = * ⎜ y1 ... yα −1 yα yα +1... yq ⎟ ⎝ ⎠ b

у

= −λ ∫ К ( x, у )dy ∫ a

* * * * ⎞ Н (η , у ) ⎛ x1 ...xα −1 η xα +1...xq λ D⎜ * * * * * ⎟dη . * ⎜ y1 ... yα −1 yα yα +1... yq ⎟ Δ(η ) ⎝ ⎠

И за решение однородного интегрального уравнения (32) можно взять функцию ⎞ ⎛ x * ...x * x x * ...x * F ( x) = D⎜ *1 *α −1 * α*+1 q * λ *⎟ , ⎟ ⎜ y1 ... yα −1 yα yα +1 ... y q ⎠ ⎝

где α = 1, q, т.е. имеем q различных решений. Поделим полученные решения на ⎛ x * ...x * x * x * ...x * ⎞ D ⎜ *1 α* −1 α* α*+1 q* λ *⎟ ≠ 0 и поскольку уравнение (32) – ⎜ y1 ... yα −1 yα yα +1 ... y q ⎟ ⎝ ⎠ однородное, то функции ⎛ x * ...x * x x * ...x * ⎞ D⎜ *1 *α −1 * α*+1 q * λ *⎟ ⎜ y1 ... yα −1 yα yα +1 ... y q ⎟ ⎝ ⎠, (34) Fα ( x) = * * * * * ⎞ ⎛ x1 ...xα −1 xα xα +1 ...x q λ *⎟ D⎜ * * ⎜ y1 ... yα −1 yα* yα* +1 ... y q* ⎟ ⎠ ⎝ где α = 1, q, также являются его решениями. Определение. Функции Fα (x) в формуле (34) назовем фундаментальными функциями характеристического числа λ*. Из формул (34) следуют два очень важных свойства фундаментальных функций: (35) 1) Fα ( xα* ) = 1, 2) Fα ( x *β ) = 0 при α ≠ β ,

так как в первом случае числитель равен знаменателю, а во втором в числителе появятся две одинаковых строки.

38

4. Линейная независимость и полнота решений системы фундаментальных функций. Аналог второй теоремы Фредгольма

Сначала докажем линейную независимость фундаментальных функций (34), используя свойства (35) и метод от противного. Предположим, что C1 F1 ( x) + C 2 F2 ( x) + ... + Cα Fα ( x) + ... + C q Fq ( x) ≡ 0 , где не все Сi равны нулю. Так как последнее равенство должно выполняться тождественно, то положив x = xα* в силу второго свойства в (35), получим Cα Fα ( xα* ) = 0 , следовательно, в силу

Cα = 0, но α = 1, q, т.е. все Cα = 0 первого свойства следовательно, линейная независимость доказана.

и,

Докажем теперь полноту решений, т.е. покажем, что любое другое решение соответствующее характеристическому числу λ*, выражается линейно и однородно через фундаментальные функции. Предположим, что функция u(х) – еще одно решение однородного уравнения (32), соответствующая характеристическому числу λ*, тогда имеет место следующее тождество b у

u( x) + λ *

∫∫ a

Н (η, у) К ( x, у)u(η)dydη ≡ 0. Δ(η)

(36)

Введем пока неопределенную, но непрерывную функцию Q ( x, t ) и запишем следующее тождество b

t

λ * ∫ Q( x, t )dt ∫ a

b t1 ⎤ Н (η1 , t1 ) Н ( s, t ) ⎡ ⎢u ( s ) + λ * К ( s, t1 )u (η1 )dη1dt1 ⎥ ds ≡ 0. Δ (t ) ⎢ Δ (η1 ) ⎥⎦ a ⎣

∫∫

(37) Затем, сменив в (36) η на η1 , у на t1, вычтем из тождества (36) тождество (37) и, объединяя сумму интегралов в один, сменив во втором слагаемом s на η1 , t на t1, получим

39

b

t1

Н (η1 , t1 ) × Δ(η1 )

u ( x) + λ * ∫ dt1 ∫ a

b t ⎡ ⎤ Н ( s, t ) × ⎢ К ( x, t1 ) − Q( x, t1 ) − λ * ∫ dt ∫ Q( x, t ) K ( s, t1 )ds ⎥u (η1 )dη1 ≡ 0. Δ( s) ⎢⎣ ⎥⎦ a

Неизвестное выражение в квадратных скобках обозначим через N(x, t1): b

∫

t

N ( x, t1 ) = К ( x, t1 ) − Q( x, t1 ) − λ * Q ( x, t )dt a

∫

Н ( s, t ) К ( s, t1 ) ds ; Δ( s)

тогда b

t1

∫ ∫

u ( x) + λ * dt1 a

Н (η1 , t1 ) N ( x, t1 )u (η1 )dη1 ≡ 0 . Δ (η1 )

(37*)

Далее выпишем разложение (q+1)-го минора по s-м столбцам входящих в него определителей в соответствии с (31r). Сначала рассмотрим частный случай (самостоятельно) ⎛x х х ⎞ ⎛ х x1 х 2 х3 ⎞ λ ⎟⎟ = (−1)1+1 К ( x, s ) D⎜⎜ 1 2 3 λ ⎟⎟ + D⎜⎜ ⎝ у1 у 2 у 3 ⎠ ⎝ s у1 у 2 у 3 ⎠ ⎛ x х 2 х3 ⎞ + (−1) 2+1 К ( x1 , s ) D⎜⎜ λ ⎟⎟ + ⎝ у1 у 2 у 3 ⎠

⎛ x х1 х 2 ⎞ ⎛ x х1 х3 ⎞ λ ⎟⎟ + (−1) 4+1 К ( x3 , s) D⎜⎜ λ ⎟⎟ − + (−1) 3+1 К ( x 2 , s ) D⎜⎜ ⎝ у1 у 2 у 3 ⎠ ⎝ у1 у 2 у3 ⎠ b

у

∫ ∫

− λ dy a

⎛ х x1 х 2 х3 ⎞ Н (η , у ) К (η , s ) D⎜⎜ λ ⎟⎟dη. Δ (η ) ⎝ y у1 у 2 у 3 ⎠

40

В полученном разложении, начиная со второго, сделаем все члены

⎛ х x1 х2 ⎞ ⎟⎟ заменим ⎝ у1 у2 у3 ⎠

отрицательными, переставив строки, а минор D⎜⎜

⎛ x1 х2 x ⎞ λ ⎟⎟ , то получим ⎝ у1 у2 у3 ⎠

на равный ему D⎜⎜

⎛ х x1 х2 х3 ⎞ ⎛x х х ⎞ ⎛ x х 2 х3 ⎞ λ ⎟⎟ = К ( x, s) D⎜⎜ 1 2 3 λ ⎟⎟ − К ( x1 , s ) D⎜⎜ λ ⎟⎟ − D⎜⎜ ⎝ s у1 у 2 у3 ⎠ ⎝ у1 у 2 у3 ⎠ ⎝ у1 у 2 у3 ⎠ ⎛x х х ⎞ ⎛ x х х3 ⎞ λ ⎟⎟ − К ( x3 , s ) D⎜⎜ 1 2 λ ⎟⎟ − − К ( x2 , s ) D⎜⎜ 1 ⎝ у1 у 2 у3 ⎠ ⎝ у1 у 2 у3 ⎠ b

у

∫ ∫

− λ dy a

⎛ х x1 х2 х3 ⎞ Н (η , у ) λ ⎟⎟dη. К (η , s ) D⎜⎜ Δ (η ) ⎝ y у1 у 2 у3 ⎠

Аналогично и в общем виде из разложения (31r) при r=q+1 распишем

⎛ х x1 ... хq ⎞ ⎛ x ... хq ⎞ ⎛ x х2 ... хq ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟ = К ( x, s ) D⎜⎜ 1 λ ⎟⎟ − К ( x1 , s ) D⎜⎜ λ ⎟⎟ − ⎝ s у1 ... уq ⎠ ⎝ у1 ... уq ⎠ ⎝ у1 у2 ... уq ⎠ ⎛ x х х3 ... хq ⎞ ⎛ x х ... х х ⎞ − К ( x2 , s ) D⎜⎜ 1 λ ⎟⎟ − ... − К ( xq , s ) D⎜⎜ 1 2 q −1 λ ⎟⎟ − ⎝ у1 у2 ... ... уq ⎠ ⎝ у1 у2 ... ... уq ⎠ b

у

− λ ∫ dy ∫ a

⎛ х x1 ... х q ⎞ Н (η , у ) К (η , s ) D⎜⎜ λ ⎟⎟dη. у у y ... Δ(η ) q 1 ⎝ ⎠

В разложении минора (31q+1) положим x1 = x1* , ..., x2 = x2* , ..., xq = xq* , s = t1 ,

y1 = y1* , y 2 = y 2* ,.., y q = y q* ,

λ = λ *.

Числа, обозначенные под «*», выберем так, чтобы минор ⎛ x * ... x q* ⎞ λ *⎟ ≠ 0 , D ⎜ 1* * ⎜ y 1 ... y q ⎟ ⎝ ⎠

и затем на него поделим равенство (31q+1):

41

(31q+1)

⎛ x x1* ...xq* ⎞ ⎛ x x2* ...xq* ⎞ D⎜ * D *⎟ λ λ ⎟ ⎜ * * * * ⎜ t1 y1 ... yq ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = К ( x, t ) − К ( x* , t ) ⎝ y1 ...... yq ⎠− 1 1 1 * * * * ⎛ x ...x ⎞ ⎛ x ......xq ⎞ D ⎜ 1* q* λ * ⎟ D ⎜ 1* λ * ⎟⎟ ⎜ y1 ... yq ⎟ ⎜ y ...... yq* ⎝ ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎛ x* ...xq*−1 x ⎞ D ⎜ 1* *⎟ λ * * ⎜ y ... yq −1 yq ⎟ 1 ⎠− −... − К ( xq* , t1 ) ⎝ * ⎛ x1 ......xq* ⎞ D⎜ * λ * ⎟⎟ ⎜ y ...... yq* ⎝ 1 ⎠ ⎛ x x1* ...xq* ⎞ D * λ ⎜ ⎟⎟ * * у b ⎜ y y1 ... yq Н (η , у ) ⎝ ⎠ dη . −λ * ∫ dy ∫ К (η , t1 ) * * Δ ( ) η ⎛ ⎞ x ... x a D ⎜ 1* q* λ * ⎟ ⎜ y1 ... yq ⎟ ⎝ ⎠ В последнем равенстве дробь слева примем за Q( x, t1 ) , а остальные дроби в соответствии с формулами (34) есть фундаментальные функции Fα (x) Q( x, t1 ) = К ( x, t1 ) −

q

К ( xα , t )Fα ( x) − ∑ α *

1

=1

y

b

∫ ∫

− λ * dy a

q

Из последнего равенства определим

К ( xα , t )Fα ( x) , сменив од∑ α *

1

=1

новременно у на t и η на s: q

Н (η , y ) К (η , t1 )Q( x, y )dη. Δ(η )

К ( xα , t )Fα ( x) = К ( x, t ) − Q ( x, t ) − ∑ α *

1

1

1

=1

b

∫

− λ * Q ( x, t ) dt a

t

∫

Н ( s, t ) К ( s, t1 ) d s = N ( x, t1 ), Δ(s)

– в соответствии с обозначением в тождестве (37*).

42

Подставим теперь полученное выражение для N ( x, t1 ) в тождество (37*): t1

b

∫ ∫

u ( x) + λ * dt1 a

Н (η1 , t1 ) q К ( xα* , t1 )Fα ( x)u (η1 )dη1 ≡ 0 Δ(η1 ) α =1

∑

или t1 b ⎡ ⎤ ⎢− λ * dt1 Н (η1 , t1 ) К ( xα* , t1 )u (η1 )dη1 ⎥Fα ( x). u ( x) ≡ Δ(η1 ) ⎥ α =1 ⎢ a ⎣ ⎦ q

∑

∫ ∫

В последнем тождестве, в квадратных скобках, после вычисления интегралов получим постоянные числа, обозначим их через Cα , тогда u ( x) ≡

q

Cα Fα ( x), ∑ α =1

т.е. любое другое решение уравнения (32) выражается линейно и однородно через фундаментальные функции и, следовательно, полученная система фундаментальных функций полна. Сформулируем теперь аналог второй теоремы Фредгольма. Если λ = λ∗ есть корень уравнения D(λ ) = 0 ранга q , то однородное разрешающее интегральное уравнение (32) имеет q линейно независимых решений, соответствующих этому значению λ∗ и определяемых формулами (34), а любое другое решение этого уравнения выражается через них линейно и однородно. Пример 4. Найти общее решение уравнения 1

∫

z" ( x) − z ( x) = λx 2 z (t )dt 0

и фундаментальную систему функций разрешающего уравнения.

43

L2 [z ( x)] = z"− z , P[( z ( x)] = z (t ), K ( x, y ) = − x 2 , z″-z=F(x), z″-z=0, k2-1=0, k 1,2 = ±1, z1(x)= ex, z2 = e –x, z(x)=c1 ex + c2 e-x . ⎧ c1' ( x)e x + c'2 (x) e -x = 0, ⎨ ' x ' -x ⎩c1 ( x)e − c2 ( x) e = F ( x),

Δ( x) =

ex

e -x

ex

-e -x

= −2,

0 e-x ex 0 -x Δ1 (x) = = -e , Δ ( x ) = = ex , 2 1 -e-x ex 1

g( y) = c1e y + c2e-y , H (η, y) = −e−ηe y + eηe-y , y 1⎡ ⎤ 1 F ( x) − λx 2 ⎢c1e y + c2 e -y + (e −η e y − e η e -y ) F (η )dη ⎥dy = 0 . 2 ⎢ ⎥⎦ 0⎣

∫

∫

Коэффициенты рядов (21*) и (251*) ∞

⎛x ⎞

∞

D(λ ) = ∑ d p λ p , D⎜⎜ λ ⎟⎟ = ∑ d *p ( x, y )λ p ⎝ y ⎠ p =0 p =0 находим по формулам (28) и (29) у1

1

d 0 = 1,

d 0* ( х,

1 7 у ) = − х , d1 = dу1 (e − x e y1 + e x1 e -y1 )(− x12 )dx1 = , 20 3

∫ ∫

2

1

у

1 7 1 d1* ( х, у) = − x 2 + dу1 (e−x1 e y1 + e x1 e-y1 ) x 2 (−x12 )dx1 = 0 , 3 20

∫ ∫

d 2 = 0, d 2* ( х, у ) = 0 и т.д. Следовательно,

44

D(λ ) =1+

7 ⎛x ⎞ − x2 λ, D⎜⎜ λ ⎟⎟ = − х2, R ( x, y; λ ) = и по формулам 7 3 ⎝y ⎠ 1+ λ 3

(22) и (9) определим

λx2 (−x 2 ) F(x) = −λ∫ (c1e + c2e ) dy = c1 (e -1) + c2 (1− e-1 ) , 7 7 0 1+ λ 1+ λ 3 3

[

1

y

-y

[

]

]

e−η λη2 c1 (e -1) + c2 (1− e-1) z(x) = c1e + c2e − e ∫ dη + 7 0 2(1 + λ) 3 x η 2 -1 −x e λη c1 (e - 1) + c2 (1− e ) +e ∫ dη = 7 0 2(1 + λ) 3 3λ(x2 + 2) = c1ex + c2e-x + c1 (e-1) + c2 (1− e-1 ) . 3 + 7λ x

x

-x

x

[

[

Приравняв λ* = −

3 , 7

нулю

D' (λ ) =

]

]

D(λ ) , найдем

характеристическое

число

3 ≠0, следовательно, ранг характеристического 7

⎛ x ⎞ ⎛ x* ⎞ − x2 = x2 , числа q=1 и D⎜⎜ λ *⎟⎟ = –х*2= –1, D⎜⎜ λ *⎟⎟ = –х2, F1 ( x) = * * y y − 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ т.е. фундаментальная система функций разрешающего уравнения состоит из одной функции

F1 ( x) = x 2 и F ( x) = Αx 2 . 5. Специализированная задача Коши

Рассмотрим начальную задачу для интегродифференциального уравнения (1) с начальными условиями

45

b ⎧ λ + L [ z ( x )] K ( x, y ) Pm [ z ( y )]dy = 0, ⎪ n ⎨ a ⎪ ' ( n −1) = z ( x ) z , z ' ( x ( x0 ) = z 0( n −1) , 0 0 ) = z 0 , ..., z ⎩ 0

∫

(1)

где n>m, К(х,у) – вырожденное ядро. Пусть К(х,у)=ϕ1(х)ψ1(у), тогда разрешающее уравнение (10) запишется y b⎡ ⎤ H (η , y ) F ( x) + λϕ1 ( x) ⎢ g 0 ( y ) + F (η )dη ⎥ψ 1 ( y )dy = 0 Δ(η ) ⎢ ⎥ a⎣ x0 ⎦

∫

∫

или b

y

b

∫

∫

F ( x) + λϕ1 ( x) g 0 ( y )ψ 1 ( y )dy + λϕ1 ( x) ψ 1 ( y )dy a

где g 0 ( y ) =

a

n

∑c

io Pm [ z i ( y )],

∫

x0

H (η , y ) F (η )dηdy = 0, Δ(η )

n

∑ Δ (η ) P [ z ( y)].

H (η , y ) =

i

i =1

m

i

i =1

Далее рассмотрим соответствующее однородное интегральное уравнение y

b

F ( x) + λϕ1 ( x) ∫ψ 1 ( y )dy ∫ a

x0

b

которое получим, если положить

H (η , y ) F (η )dη = 0, Δ (η )

n

∫ ∑c

ψ

io Pm [ z i ( y )] 1 ( y ) dy

= 0.

a i =1 b

После вычисления интегралов

∫ P [ z ( y)]ψ m

i

1 ( y ) dy

= l i получим

a

n

∑c i =1

io l i

= 0 , т.е. постоянные cio в случае однородного уравнения ли-

нейно зависимы, и c no можно выразить через остальные:

c no = − b

у1

a

x0

D0 (λ ) = 1 + λ dу1

∫ ∫

1 ln

n −1

∑c i =1

io

li .

Н ( x1 , у1 ) К ( x1 , у1 )dx1 в силу того, что Δ( x1 )

46

K ( x1 , у1 )

K ( x1 , у 2 )

K ( x 2 , у1 ) K ( x 2 , у 2 )

= 0,

[ϕ1 ( x1 )ψ 1 ( у1 )] [ϕ1 ( x1 )ψ 1 ( у 2 )] = 0. [ϕ1 ( x 2 )ψ 1 ( у1 )] [ϕ1 ( x 2 )ψ 1 ( у 2 )]

так как

Приравняв D0 (λ ) =0, найдем характеристическое число λ*, ранг которого q=1 и, следовательно, найдем одну фундаментальную функцию F1(x). Общее решение однородного уравнения будет F(x)=А F1(x), где А – произвольная постоянная. Общее решение однородного уравнения (1) найдем по формуле (90) x n ⎡ ⎤ Δ i (η ) z ( x) = z i ( x) ⎢cio + AF1 (η )dη ⎥ , Δ(η ) ⎢ ⎥ i =1 x0 ⎣ ⎦

∑

∫

где одна из постоянных cio может быть определена через остальные, следовательно, чтобы при решении начальной задачи не возникло противоречия, достаточно задать (n-1) условий, при этом постоянная А останется неопределенной, т.е. нарушается единственность решения задачи Коши. Пример 5. Найти решение специализированной задачи Коши. 1 ⎧ ⎪ z" ( x ) − λ ∫ x[ z ' ( y ) + z ( y )]dy = 0, ⎨ −1 ⎪ z ( 0 ) = 2, z ' (0) = ? . ⎩

z′′(x) = F(x), К(х,y) = − x , P1(y) = z ′( y ) + z(y).

z" ( x) = 0 , k2 = 0, k1,2 = 0 , z1(x)=1, z2(x)=х, z(x) = c1+c2 x. ⎧c1' ( x) + x c'2 ( x) = 0, ⎨ ' ⎩ c 2 ( x) = F ( x),

Δ ( η ) = 1, Δ 1( η )= – η , Δ 2( η )=1,

47

x

x

0

0

c1 ( x) = − ∫ ηF (η )dη + c10 , c 2 ( x) = ∫ F (η )dη + c 20 . g 0 ( y ) = c10 + c 20 (1 + y ), H (η , y ) = − η + 1 + y ,

D0 (λ ) = 1 − λ

1

∫

−1

y1

∫

dy1 (− x1 + 1 + y1 ) x1 dх1 = 1 − 0

λ 3

.

Характеристическое число λ*=3 и уравнение (10) запишется y 1 ⎡ ⎤ F ( x) − 3 ⎢c10 + c 20 (1 + y ) + ( −η + 1 + y ) F (η )dη ⎥ xdy = 0 . ⎥⎦ −1 ⎢ 0 ⎣

∫

∫

1

Выписав условие однородности

∫ [c

10

+ c 20 (1 + y )]dy = 0 , найдем

−1

с10 + с20 = 0 или с20 = – с10 . Однородное уравнение будет 1

y

∫ ∫

F ( x) − 3 dy (−η + 1 + y ) xF (η )dη = 0 . −1

0

Откуда найдем F1(x) = –x и общее решение однородного уравнения запишется F(x) = –Аx. Далее можем найти решение специализированной задачи, сначала определив с10=2 и с20= –2, z ( x) = 2(1 − x) −

A 3 x . 6

§3. Аналог третьей теоремы Фредгольма 1. Связь между детерминантными рядами двух разрешающих интегральных уравнений

Ранее мы получили для интегродифференциального уравнения (1) два разрешающих интегральных уравнения: специального вида

48

H (η , y ) K ( x, y ) и уравнение Фредгольма (20), с ядром Δ (η ) М(х,у). Установим связь между ними. В соответствии с теорией Фредгольма выпишем детерминантные ряды первого и высших по⎛ x õ ... x r ⎞ рядков уравнения (20), которые обозначим через G ⎜⎜ 1 2 λ ⎟⎟ : ⎝ ó1 ó2 ... ór ⎠

(10), с ядром

⎛ x ... x r ⎞ ⎛ x ... x r ⎞ ⎟⎟ + λ ⎟⎟ = λr −1 M ⎜⎜ 1 G ⎜⎜ 1 ⎝ ó1 ... ór ⎠ ⎝ ó1 ... ór ⎠ +

∞

∑ i =1

b b ⎛ x ... x r t1 ... t i ⎞ (−1) i λi + r −1 ⎟⎟dt1 ...dt i . ... M ⎜⎜ 1 i! ⎝ ó1 ... ór t1 ... t i ⎠ a a

∫ ∫

(38r)

Распишем теперь выражение детерминантов в соответствии с обозначениями ядра М(х, у) в уравнении (20) ⎛ x x 2 ⎞ M ( x1, y1 ) M ( x1, y 2 ) ⎟⎟ = M ⎜⎜ 1 = ⎝ y1 y 2 ⎠ M ( x 2, y1 ) M ( x 2, y 2 ) x1

∫

− = −

=

x2

∫

x1 x2

∫∫

Í (η1 , x1 ) K (η1 , y1 ) dη 1 Δ(η1 ) Í (η 2 , x 2 ) K (η 2 , y1 ) dη 2 Δ(η 2 )

− −

x1

∫

x2

∫

Í (η1 , x1 ) K (η1 , y 2 ) dη1 Δ(η1 ) Í (η 2 , x 2 ) K (η 2 , y 2 ) dη 2 Δ(η 2 )

Í (η1 , x1 ) Í (η 2 , x 2 ) K (η1, y1 ) K (η1, y 2 ) dη dη , K (η 2, y1 ) K (η 2, y 2 ) 1 2 Δ (η1 ) Δ (η 2 )

⎛x x x ⎞ M ⎜⎜ 1 2 3 ⎟⎟ = ⎝ y1 y 2 y 3 ⎠

49

=

(392)

− =− −

x1

∫

Í (η1 , x1 ) K (η1 , y1 ) dη − Δ(η1 )

x1

∫

Í (η1 , x1 ) K (η1 , y 2 ) dη1 Δ (η1 )

x2

Í (η 2 , x 2 ) K (η 2 , y1 ) d η1 − Δ(η 2 )

x2

Í (η 2 , x 2 ) K (η 2 , y 2 ) dη 2 Δ (η 2 )

x3

Í (η 3 , x 3 ) K (η 3 , y1 ) dη 3 − Δ (η 3 )

x3

Í (η 3 , x 3 ) K (η 3 , y 2 ) dη 3 Δ (η 3 )

∫

∫

∫

∫

− − −

=−

x1 x2 x3

∫∫∫

x1

Í (η1 , x1 ) K (η1 , y 3 ) dη1 Δ (η1 )

∫

x2

Í (η 2 , x 2 ) K (η 2 , y 3 ) dη 2 = Δ (η 2 )

x3

Í (η 3 , x3 ) K (η 3 , y 3 ) dη 3 Δ (η 3 )

∫

∫

Í (η1 , x1 ) Í (η 2 , x 2 ) Í (η 3 , x 3 ) × Δ (η1 )Δ (η 2 )Δ(η 3 ) K (η1, y1 )

K (η1, y 2 )

K (η1, y 3 )

× K (η 2, y1 ) K (η 2, y 2 ) K (η 2, y 3 ) dη1 dη 2 dη 3 , K (η 3, y1 ) K (η 3, y 2 ) K (η 3, y 3 ) x

(393)

x

1 r ⎛ x ... x r ⎞ Í (η1 , x1 )...Í (η r , x r ) ⎟⎟ = (−1) r ... M ⎜⎜ 1 × Δ(η1 )...Δ (η r ) ⎝ y1 ... y r ⎠

∫ ∫

K (η1, y1 ) ... K (η1, y r ) K (η 2, y1 ) ... K (η 2, y r ) × dη1 dη 2 ...dη r , ... ... ... K (η r , y1 ) ... K (η r , y r )

(39r)

Начнем c преобразования детерминантного ряда Фредгольма первого порядка, воспользовавшись формулами (38r) при r =1: b b ∞ ⎛ x t ... t ⎞ ⎛ x1 ⎞ ( −1) i λi G⎜⎜ λ ⎟⎟ = M ( x1 , ó1 ) + ... M ⎜⎜ 1 1 i ⎟⎟dt1 ...dt i (381) i! a a ⎝ ó1 t1 ... t i ⎠ ⎝ ó1 ⎠ i =1

∑

∫ ∫

50

Подставим теперь выражения (39r) в (381) : x

1 Í (η1 , x1 ) K (η1, y1 ) ⎛x ⎞ G ⎜⎜ 1 λ ⎟⎟ = − dη1 + Δ(η1 ) ⎝ ó1 ⎠

∫

t1

x1

∫

ti

∫ ∫

⋅ dη1 ...

=− +

∫

∞

K (η1, y1 ) K (η 2, y1 )

i =1

b

∫ ∫

K (η1, t1 ) ... K (η 2, t1 ) ...

K (η1, t i ) K (η 2, t i )

... ................. ... K (η i +1, y1 ) K (η i +1, t1 ) .... K (η i +1, t i )

dη 2 ...dη i +1 =

Í (η1 , x1 ) K (η1, y1 ) + Δ (η1 )

[

λi

b

t1

b

ti

∑ i! ∫ ...∫ dt ...dt ∫ ...∫ 1

i =1

∑

b

(−1) i λi ... dt1 ...dt i . i! a a

Í (η1 , x1 ) Í (η 2 , t1 )...Í (η i +1t i ) × Δ(η1 )...Δ (η i +1 )

×

x1

∞

a

a

i

Í (η 2 , t1 )...Í (η i +1t i ) × Δ (η 2 )...Δ (η i +1 )

⎤ K (η1, y1 ) K (η1, t1 ) ... K (η1, t i ) ⎥ ... .............. ... ... dη 2 ...dη i +1 ⎥ dη1 . × ... ................. ... ⎥ ⎥ K (η i +1, y1 ) K (η i +1, t1 ) .... K (η i +1, t i ) ⎦

Нетрудно заметить, что в квадратных скобках получили выраже⎛η ⎞ ние D⎜⎜ 1 λ ⎟⎟ , в соответствии с формулой (251), тогда ⎝ ó1 ⎠ x

1 ⎛x ⎞ H (η1 , x1 ) ⎛η1 ⎞ (401) D⎜⎜ λ ⎟⎟dη1 . G ⎜⎜ 1 λ ⎟⎟ = − Δ(η1 ) ⎝ ó1 ⎠ ⎝ ó1 ⎠ Проделав аналогичные выкладки для b b ⎛ x x t ... t i ⎞ ⎛ x x ⎞ ∞ (−1) i λi +1 ⎛x x ⎞ ⎟⎟dη1 ...dη i , ... M ⎜⎜ 1 2 1 G ⎜⎜ 1 2 λ ⎟⎟ = λM ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ + t ó ó t ... i! i 1 2 1 ⎠ ⎝ ⎝ ó1 ó2 ⎠ i =1 ⎝ ó1 ó2 ⎠ a a

∫

∑

∫ ∫

найдем детерминантный ряд Фредгольма второго порядка ⎛x x ⎞ G⎜⎜ 1 2 λ ⎟⎟ = ⎝ y1 y2 ⎠

51

(382)

=λ +

∞

∑

λi +1

i =1

i!

x1 x2

∫∫

H (η1 , x1 ) H (η 2 , x 2 ) K (η1 , y1 ) K (η1 , y 2 ) dη 1 dη 2 + K (η 2 , y1 ) K (η 2 , y 2 ) Δ (η1 )Δ (η 2 )

b

b

a

a

x1 x2

t1

∫ L ∫ dt L dt ∫ ∫ dη dη ∫ ... 1

1

n

ti

∫

...

2

H (η1 , x1 ) H (η 2 , x 2 ) H (η 3 , t1 ) L H (η i + 2 , t i ) × Δ (η1 )Δ(η 2 )Δ (η 3 ) L Δ (η i + 2 )

K (η1 , y1 ) K (η1 , y 2 ) K (η1 , t1 ) K (η 2 , y1 ) K (η 2 , y 2 ) K (η 2 , t1 ) × K (η 3 , y1 ) K (η 3 , y 2 ) K (η 3 , t1 ) L L L K (η i + 2 , y1 ) K (η i + 2 , y 2 ) K (η i + 2 , t1 ) =λ

x1 x2

∫∫

L K (η1 , t i ) L K (η1 , t i ) L K (η1 , t i ) dη 3 ...dη i + 2 = L L L K (η i + 2 , t i )

H (η1 , x1 ) H (η 2 , x 2 ) ⎡ K (η1 , y1 ) K (η1 , y 2 ) + ⎢ Δ (η1 )Δ (η 2 ) ⎣ K (η 2 , y1 ) K (η 2 , y 2 )

H (η 3 , t1 ) L H (η i + 2 , t i ) ⎤ ⎥× Δ (η 1 ) L Δ (η i + 2 ) ⎥ i = 1 i! a a ⎦ K (η1 , y1 ) K (η1 , y 2 ) K (η1 , t1 ) L K (η1 , t i ) K (η 2 , y1 ) K (η 2 , y 2 ) K (η 2 , t1 ) L K (η 2 , t i ) × dη 3 ... L L L L L K (η i + 2 , y1 ) K (η1i + 2 , y 2 ) K (η i + 2 , t1 ) L K (η i + 2 , t i ) +

∞

∑

λ

i b

b

∫ ∫

t1

ti

∫ ∫

L dt 1 L dt i L

... dη i + 2

⎤ ⎥ ⎥ dη dη , ⎥ 1 2 ⎥ ⎦

⎛η η 2 ⎞ λ ⎟⎟ в соответи, заменив квадратную скобку ее значением D⎜⎜ 1 ⎝ y1 y 2 ⎠ ствии с (252), получим

52

1 2 ⎛ x1 x 2 ⎞ H (η1 , x1 )H (η 2 , x 2 ) ⎛η1 η 2 ⎞ ⎜ ⎟ G⎜ λ⎟ = λ D⎜⎜ λ ⎟⎟dη1 dη 2 . (402) Δ (η1 )Δ(η 2 ) ⎝ y1 y 2 ⎠ ⎝ y1 y 2 ⎠ Аналогично можно получить подобное соотношение и для ⎛ x x 2 x3 ⎞ G ⎜⎜ 1 λ ⎟⎟ : ⎝ y1 y 2 y 3 ⎠ x x

∫∫

⎛x G ⎜⎜ 1 ⎝ y1

x2 y2

x3 ⎞ λ ⎟⎟ = −λ2 y3 ⎠

x1 x2 x3

∫∫∫

H (η1 , x1 ) H (η 2 , x 2 ) H (η 3 , x 3 ) × Δ(η1 )Δ (η 2 )Δ (η 3 )

⎡ K (η1 , y1 ) K (η1 , y 2 ) K (η1 , y 3 ) ⎢ × ⎢ K (η 2 , y1 ) K (η 2 , y 2 ) K (η 2 , y 3 ) + ⎢ K (η 3 , y1 ) K (η 3 , y 2 ) K (η 3 , y 3 ) ⎣ +

∞

∑ i =1

xi + 3

...

∫

λi + 2 i!

b

b

a

a

x1 x2 x3

x4

∫ ...∫ dt ...dt ∫ ∫ ∫ dη dη dη ∫ ... 1

i

1

2

3

H (η1 , x1 ) H (η 2 , x 2 ) H (η 3 , x 3 ) H (η 4 , t1 ) ⋅ ⋅ ⋅ H (η i +3 , t i ) × Δ (η11 )Δ (η 2 )Δ(η 3 ⋅) ⋅ ⋅ ⋅ Δ (η i +3 )

K (η1 , y1 ) K (η 2 , y1 ) × K (η 3 , y1 ) L

K (η1 , y 2 ) K (η 2 , y 2 ) K (η 3 , y 2 ) L

K (η1 , y 3 ) K (η 2 , y 3 ) K (η 3 , y 3 ) L

K (η1 , t1 ) K (η 2 , t1 ) K (η 3 , t1 ) L

L L L L

K (η1 , t i ) K (η 2 , t i ) K (η 3 , t i ) dη 4 ... L

K (η i + 3 , y1 ) K (η i + 3 , y 2 ) K (η i + 3 , y 3 ) K (η i + 3 , t1 ) L K (η i + 3 , t i )

... dη i +3

= −λ

2

x1 x2 x3

∫∫∫

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ dη1 dη 2 dη 3 = ⎥ ⎥ ⎥⎦

H (η1 , x1 ) H (η 2 , x 2 ) H (η 3 , x 3 ) ⎛η1 η 2 η 3 ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟dη1 dη 2 dη 3 , Δ (η1 )Δ(η 2 )Δ (η 3 ) ⎝ y1 y 2 y 3 ⎠ (403)

53

и по индукции запишем соотношение для детерминантного ряда r-го порядка ⎛ x x2 L xr ⎞ λ ⎟⎟ = G ⎜⎜ 1 ⎝ y1 y 2 L y r ⎠ = (−1) λ r

r −1

x1

xr

∫L ∫

H (η1 , x1 ) L H (η r , x r ) ⎛η1 L η r ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟dη1 L dη r , Δ (η1 ) L Δ(η r ) ⎝ y1 L y r ⎠ r = 1, 2, … (40r)

2. Связь между решениями двух разрешающих интегральных уравнений Чтобы установить связь между решениями ранее полученных двух разрешающих интегральных уравнений (10) и (20) для интегродифференциального уравнения (1) сначала выпишем эти уравнения y b ⎡ ⎤ H (η , y ) F ( x) + λ ⎢ g ( y ) + F (η )dη ⎥K ( x, y ) dy = 0 (10) ( η ) Δ ⎥ ⎢ a ⎣ ⎦ и

∫

∫

b

Ф( x) = f ( x) + λ ∫ M ( x, y )Ф( y )dy ,

(20)

a

где x

H (η , y ) F (η )dη , Δ(η )

x

H (η , x) K (η , y ) g ( y )dη , Δ(η )

Ф( x) = ∫ b

f ( x) = −λ ∫ dy ∫ a

x

M ( x, y ) = − ∫

H (η , x) K (η , y ) dη . Δ(η )

Если найдено решение F(x) уравнения (10) то, воспользовавшись обозначениями в (20), найдем и его решение. И наоборот, если известно решение Ф(x) уравнения (20), то, учитывая (19) и подставив его в (10), найдем решение F(x)

54

b

F ( x) = −λ ∫ [g ( y ) + Ф( y )]K ( x, y )dy .

(41)

a

Если λ не является характеристическим числом, то решение уравнения (10) запишется в виде (22) b ⎛x ⎞ λ (22) F ( x) = − g ( y ) D⎜⎜ λ ⎟⎟dy . D (λ ) a ⎝y ⎠

∫

Если теперь (22) подставить в формулу для Ф(х) (19), то получим решение уравнения (20)

Ф( x) = −

b λ x H (η , y ) ⎛η ⎞ g y dy D⎜⎜ λ ⎟⎟dη , ( ) ∫ ∫ D (λ ) ⎝y ⎠ a Δ (η )

(42)

но это же решение уравнения (20) можно получить непосредственно по формулам Фредгольма

Ф( x) = f ( x) +

λ b ⎛x ⎞ G⎜ λ ⎟ f ( y )dy . D(λ ) ∫a ⎜⎝ y ⎟⎠

(42*)

Подставив теперь (42*) в (41) b

∫

F ( x) = −λ g ( y ) K ( x, y )dy − a

b b ⎡ ⎤ ⎛y ⎞ λ G ⎜⎜ λ ⎟⎟ f ( y1 )dy1 ⎥dy − λ K ( x, y ) ⎢ f ( y ) + D(λ ) a ⎝ y1 ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ a ⎛y ⎞ ⎛y ⎞ и детерминант G ⎜⎜ λ ⎟⎟ по формуле (401), заменив на D⎜⎜ λ ⎟⎟ , ⎝ y1 ⎠ ⎝ y1 ⎠

∫

∫

(проделать самостоятельно), придем к ранее известному b ⎛x ⎞ λ F ( x) = − g ( y )D⎜⎜ λ ⎟⎟dy . D (λ ) a ⎝y ⎠

∫

Возможен другой вариант получения этого результата. Для этого (42) подставим в (41)

55

b

∫

F ( x) = −λ g ( y ) K ( x, y )dy + a

b ⎡ b H (η , y ) ⎛ η ⎞ ⎤ λ ⎢ ⎥ dy1 ⎟ ⎜ g ( y ) λ D λ K ( x , y ) dyd η 1 ⎜y ⎟ D(λ ) ∫a ⎢ ∫a ∫ Δ (η ) ⎥ ⎝ 1 ⎠ y

+

⎣ ⎦ и выражение в квадратных скобках заменим в соответствии с форму⎛x ⎞ лой для D⎜⎜ λ ⎟⎟ в (23) выражением ⎝ y1 ⎠ b y

λ∫ ∫ a

⎛x ⎞ H (η , , y ) ⎛ η ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟ K ( x, y )dydη = K ( x, y1 ) D (λ ) − D⎜⎜ λ ⎟⎟ , Δ (η ) ⎝ y1 ⎠ ⎝ y1 ⎠

то b

b

∫

F ( x) = −λ g ( y ) K ( x, y )dy + a

⎡ ⎛ x ⎞⎤ λ g ( y1 ) ⎢ K ( x, y1 ) D(λ ) − D⎜⎜ λ ⎟⎟⎥ dy1 . ∫ D (λ ) a ⎝ y1 ⎠⎦ ⎣

Разбив последний интеграл на сумму получим тот же результат b ⎛x ⎞ λ F ( x) = − g ( y1 )D⎜⎜ λ ⎟⎟dy1 . D (λ ) a ⎝ y1 ⎠

∫

3. Общее решение однородных уравнений, соответствующих разрешающим интегральным уравнениям

Выпишем однородное уравнение соответствующее разрешающему уравнению специального вида (10) b y

F ( x) + λ

∫∫ a

H (η , y ) K ( x, y ) F (η )dη = 0, Δ(η )

(32)

которое получилось из (10) при b

∫ g ( y) K ( x, y)dy ≡ 0.

(43)

a

Однородное уравнение, соответствующее разрешающему интегральному уравнению (20), будет

56

b

Ф( x) = λ ∫ M ( x, y )Ф( y )dy,

(44)

a

которое получим из (20) при f(x)≡0, т.е. b y

∫∫ a

H (η , x) K (η , y ) g ( y )dηdy ≡ 0. Δ (η )

(45)

Нетрудно увидеть, что если выполняется тождество (43), то выполняется и (45) и наоборот. Также уравнение (44) можно получить из (32) и непосредственно, с помощью подстановки x

Ф( x) = ∫

H (η , x) F (η )dη Δ(η )

(46)

(проделать самостоятельно), поэтому за основное можно принять условие (43). Если λ = λ* является характеристическим числом ранга q, то между фундаментальными функциями уравнений (32) и (44) будет устанавливаться связь по формуле (46), т.е. x

Фα ( x) = ∫

H (η , x) Fα (η )dη , α = 1, q . Δ(η )

(47)

Общее решение однородного уравнения (44) запишется q

Ф( x) = ∑ Cα Фα ( x), α =1

но тогда общее решение уравнения (32) можно представить через решения уравнения (47), т.е. b

q

a

α =1

F ( x) = −λ ∫ K ( x, y )∑ Cα Фα ( y )dy. *

(48)

Нетрудно показать, что функция (48) дает тоже общее решение, которое было получено ранее q

F ( x) = ∑ Cα Fα ( x) . α =1

Для этого в (48) вместо Фα (x) подставим (47)

57

(49)

b y ⎤ ⎡ H (η , y ) * F ( x) = Cα ⎢− λ K ( x, y ) Fα (η )dηdy ⎥. (50) Δ(η ) ⎥⎦ ⎢⎣ α =1 a Функции Fα ( x) должны удовлетворять однородному уравнению (32), т.е. имеем q

∑

Fα ( x) + λ

∗

∫∫

b y

∫∫ a

H (η , y ) K ( x, y ) Fα (η )dηdy ≡ 0, α = 1, q . Δ(η )

(51)

Из (51) определим значение интегралов и подставим в равенство (50), получим равенство (49) F ( x) =

q

Cα Fα ( x) . ∑ α

(49)

=1

4.Построение сопряженного уравнения и аналог третьей теоремы Фредгольма

Для вывода аналога первых двух теорем Фредгольма разрешающим уравнением (20) можно было не пользоваться. При доказательстве третьей теоремы Фредгольма без разрешающего уравнения (20) обойтись, по крайней мере, чрезвычайно трудно. Выпишем оба разрешающих уравнения для уравнения (1) y b ⎡ ⎤ H (η , y ) F ( x) + λ ⎢ g ( y ) + F (η )dη ⎥K ( x, y ) dy = 0 , (10) Δ(η ) ⎢ ⎥⎦ a ⎣

∫

∫

b

Ф( x) = f ( x) + λ ∫ M ( x, y )Ф( y )dy

(20)

a

и соответствующие им однородные уравнения b y

F ( x) + λ ∫ ∫ a

H (η , y ) K ( x, y ) F (η )dηdy = 0, Δ(η )

(32)

b

Ф( x) = λ ∫ M ( x, y )Ф( y )dy .

(44)

a

Составить сопряженное уравнение для уравнения (32) непосредственно, если и возможно, то очень трудно, тогда как записать со-

58

пряженное уравнение для уравнения (44) очень просто. В соответствии с теорией Фредгольма оно будет b

ψ ( x) = λ ∫ M ( y, x)ψ ( y )dy .

(52)

a

Пусть λ = λ∗ – характеристическое число ранга q. В (52) при λ = λ∗ подставим значение ядра M(x,y) b y

H (η , y ) K (η , x) ψ (η )dηdy = 0 . Δ(η )

ψ ( x ) + λ∗ ∫ ∫ a

(53)

Возникает вопрос, можно ли уравнение (53) принять за сопряженное однородному уравнению (32). Докажем, что да. Для этого введем скалярное произведение функций f=f(x) и v=v(x) с весом b x

( f , v) = ∫ ∫ a

H (η , x) f (η )ν ( x)dηdx . Δ(η )

(54)

Нетрудно проверить, что для этого скалярного произведения закон коммутативности не выполняется, т.е. (f, v) ≠ (v, f). Из функционального анализа следует, что два оператора b

y

H (η , y ) K ( x, y ) F (η )dη Δ (η )

y

H (η , y ) K (η , x) ψ (η )dη Δ (η )

AF = − ∫ dy ∫ a

и b

∫ ∫

À ψ = − dy *

a

будут сопряженными, если (AF, ψ ) = (F, A*ψ ). Докажем их сопряженность. Для этого в AF заменим х на η и η на η1 , тогда b

x

( AF ,ψ ) = ∫ dx ∫ a

b y ⎞ H (η1 , y ) K (η , y ) H (η , x) ⎛ F (η1 )dη1 ⎟ψ (η )dη . ⎜⎜ − ∫ ∫ ⎟ Δ(η ) ⎝ a Δ (η1 ) ⎠

Заменим теперь η1 на η , η на η1 , х на у, у на х: b b y x

( AF ,ψ ) = − ∫ ∫ ∫ ∫ a a

H (η1 , y ) H (η , x) K (η1 , x) F (η )ψ (η1 )dη1dη dydx = Δ (η1 )Δ (η )

59

b

x

= ∫ dx ∫ a

⎡ b y H (η1 , y ) K (η1 , x) ⎤ H (η , x) ψ (η1 )dη1 ⎥ dη = F (η ) ⎢ − ∫ dy ∫ Δ (η ) Δ (η1 ) ⎣⎢ a ⎦⎥ b

x

∫ ∫

= dx a

H (η , x) F (η )A*ψdη = ( F , A*ψ ). Δ (η )

(55)

Что требовалось доказать. Далее нетрудно доказать, что характеристические полиномы уравнения (32) D( λ ) и уравнения (44) D*( λ ) совпадают, т.е. D(λ ) = D ∗ (λ ) (доказать самостоятельно). Дальнейшую теорию можно строить, опираясь на сопряженное уравнение (53). Мы пойдем другим путем, будем опираться на хорошо известную теорию Фредгольма для неоднородного интегрального уравнения (20) и однородного (44). Пусть λ = λ∗ характеристическое число ранга q, в этом случае уравнение (20) может иметь решение тогда и только тогда, когда функция f(x) ортогональна к любой фундаментальной функции сопряженного уравнения (52) (по третьей теореме Фредгольма), т.е. b

∫ f ( x)ψ α ( x)dx = 0,

α = 1, q .

(56)

a

Фундаментальная система решений сопряжённого уравнения b

ψ α ( x) ≡ λ

*

∫ M ( y, x)ψ α ( y)dy a

может быть найдена в соответствии с теорией Фредгольма по формуле

⎛ x1* ...xα* −1 x xα* +1 ...x q* * ⎞ G⎜ * * λ ⎟ ⎜ y ... y y * y * ... y * ⎟ 1 q α −1 α α +1 ⎝ ⎠. ψ α ( x) = * * ⎛ x ...x ⎞ G ⎜ 1* q* λ* ⎟ ⎜ y ... y ⎟ ⎝ 1 q ⎠ ⎛ x1* ...xα* −1 x xα* +1 ...x q* * ⎞ ⎟ Выражения для G⎜ * ⎜ y ... y * y * y * ... y * λ ⎟ можно получить по ⎝ 1 α −1 α α +1 q ⎠ формулам (40r)

60

И решение уравнения (20), если оно существует, найдется по формуле b

∫

Φ ( x ) = f ( x ) + λ * N * ( x , s ) f ( s ) ds +

q

A α Φ α ( x ), ∑ α

(57)

=1

a

*

где N ( x, s ) – обобщенная резольвента ядра M(x,y), ⎛ x, x1* , ..., xq* * ⎞ ⎛ x1* , ..., xq* * ⎞ N * ( x, s ) = G ⎜ λ λ ⎟⎟ . (58) G ⎟ ⎜⎜ * * ⎜ s, y1* , ..., yq* ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ y1 , ..., yq ⎠ Теперь можно перейти к решению уравнения (10). Вспомним формулу (41) §2 и подставим в нее λ = λ* и Φ (x) в соответствии с (57) b

F ( x) = −λ

*

∫ K ( x, y) g ( y)dy − a

b q ⎡ ⎤ − λ* K ( x, y ) ⎢ f ( y ) + λ* N * ( y, s ) f ( s )ds + Aα Φ α ( y )⎥ dy ⎢⎣ ⎥⎦ α =1 a a или F (x) = b

∫

∑

∫

b b q ⎡ ⎤ Aα Φ α ( y ) ⎥ dy. = −λ* K ( x, y ) ⎢ g ( y ) + f ( y ) + λ* N * ( y, s ) f ( s ) ds + α =1 a a ⎣⎢ ⎦⎥ (59) * Далее определители в N ( y, s ) и Φ α ( y ) можно выразить через определители ядра K(x,y) и получить окончательную формулу для решения уравнения (10). (проделав самостоятельно, получите формулу (59*). При этом условие разрешимости (условие ортогональности) запишется

∫

b

b

a

a

∫

x

∫ dx ∫ dy ∫

∑

H (η , x) K (η , y ) g ( y )ψ α ( x)dη = 0, α = 1, q . Δ (η )

(60)

Теперь можно сформулировать аналог третьей теоремы Фредгольма: Если λ = λ∗ – характеристическое число ранга q, то разрешающее уравнение (10), вообще говоря, не имеет решения, но если выполняются условия ортогональности (60), то решение уравнения (10) может быть найдено по формуле (59) или (59*), следовательно, решение уравнения (1) по формуле (9).

61

В этом случае нарушается свойство единственности решения, так как формула (59) содержит q произвольных постоянных, не определяемых начальными условиями. А в общем решении будет содержаться (n+q) произвольных постоянных. Пример 6. Найти общее решение уравнения 1

∫

z ′′ − 2 z ′ + z + λ t z (t ) dt = 0 0

и решения при характеристических значениях λ , если они существуют. В уравнении K(x,t)=t, L2 [z ( x)] = z ′′ − 2 z ′ + z , P0 ( x, t ) = z (t ).

Приравняв L2 [z ( x)]=0, найдем z1 ( x) = e x , z 2 ( x) = xe x соответствии с обозначениями в уравнении (10) Δ( x) = e 2 x , Δ 1 ( x) = − xe x , Δ 2 ( x) = e x ,

и

в

g ( x) = C1e x + C 2 xe x , H ( x, y ) = − xe x e y + ye y e x . Используя рекуррентные формулы (28*) и (29*) определим ⎛ x⎞ λ D(λ ) = 1 + и D⎜⎜ ⎟⎟ = y 2 ⎝ y⎠ и, затем, по формулам (22) и (9), соответственно, решения разрешающего уравнения (10) и данного интегро-дифференциального уравнения 2λ [C1 + C 2 (e − 2)] , F ( x) = − 2+λ 2λ [C1 + C 2 (e − 2)]. z ( x) = C1e x + C 2 xe x − 2+λ Теперь перейдем к решению второй части задачи. Приравняв D(λ ) =0, найдем единственное характеристическое число ядра данного уравнения λ* = −2 и по формуле (34) соответствующую ему фундаментальную функцию F1 ( x) = 1 . Выясним теперь, имеет ли решение разрешающее уравнение (10) при характеристическом значении λ* = −2 , для этого проверим выполнение условий ортогональности (60)

62

1

x

1

∫ ∫ ∫ dx dy

0

0

(− ηe e η

) (C e

y

+ xe x eη y

e

2η

1

y

)

+ C 2 ye y ψ α ( x)dη = 0 .

Самостоятельно сделать проверку и довести решение задачи до конца. §4. Линейные однородные интегродифференциальные уравнения при n ≤ m 1.Общее решение при n≤m

Рассмотрим вначале однородное уравнение b

Ln [z ( x)] + λ ∫ K ( x, y ) Pm [z ( y )]dy = 0 ,

(61)

a

∂ p +1 K ( x, y ) . ∂x p +1 Продифференцируем (p+1) раз уравнение (61): b d p +1 Ln [z (x )] ∂ p +1 K ( x, y ) + λ Pm [z ( y )]dy = 0 . dx p +1 ∂x p +1 a

где m = n + p, p ≥ 0 , и пусть существуют

∫

(62)

Как и прежде, введем неизвестную функцию Ln [z ( x)] = F ( x) . (63) Продифференцировав последнее равенство (p+1) раз придем к уравнению d p +1 Ln [z ( x)] (64) = F ( p +1) ( x) , dx p +1 которое разрешим, применяя дважды метод вариации произвольных постоянных. d p +1 Ln [z ( x)] Из уравнения =0 (65) dx p +1 следует, что Ln [z ( x)] = C n +1 + C n + 2 x + L + C n + p +1 x p . (66) Пусть уравнение

Ln [z ( x)] = 0 имеет фундаментальную систему

решений zi (x), i = 1, n , тогда его решение запишется

63

n

z ( x) = ∑ C i z i ( x) . i =1

Применяя метод вариации произвольной постоянной первый раз, найдем решение уравнения (66), решив систему ⎧C1′ ( x) z1 ( x) + C 2′ ( x) z 2 ( x) + L + C n′ ( x) z n ( x) = 0, ⎪ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⎪C1 ( x) z1 ( x) + C 2 ( x) z 2 ( x) + L + C n ( x) z n ( x) = 0, ⎪ ⎨........................................................................, ⎪ p +1 ⎪C1′ ( x) z1( n −1) ( x) + C 2′ ( x) z 2( n −1) ( x) + L + C n′ ( x) z n( n −1) ( x) = C n +i x i −1 . ⎪⎩ i =1 Определитель этой системы Δ ( x ) – определитель Вронского

∑

фундаментальной системы функций z i ( x), i = 1, n , и, следовательно,

Δ ( x ) ≠ 0 . По формулам Крамера находим решение Δ ( x) Сi' = i , i = 1, n , Δ ( x)

где

Δ( x) =

z1 ( x)

z 2 ( x)

z1' ( x)

z 2' ( x)

L

L L L

L

z1( n −1) ( x)

z 2( n −1) ( x)

z n ( x) z n' ( x) , L

L z n( n −1) ( x)

а Δ i (x) – алгебраические дополнения при разложении определителя

ω i ( x) =

z1 ( x)

L

z i −1 ( x)

0

z i +1 ( x)

L

z n ( x)

z1' ( x)

L

z i' −1 ( x)

0

z i' +1 ( x)

L

z n' ( x)

L L L z1( n − 2) ( x) L z i(−n1− 2 ) ( x) z

( n −1) 1

( x) L z

( n −1) i −1

( x)

L 0 p +1

∑C k =1

n+k

L L L z i(+n1−1) ( x) L z n( n − 2) ( x) x k −1

z i(+n1−1) ( x) L z n( n −1) ( x)

по элементам i-го столбца. Коэффициенты Ci(х) определятся интегрированием x

Сi ( x) = ∫

Δi (η ) p +1 ∑ Cn + kη k −1dη + Ci . Δ(η ) k =1 64

Подставляя полученные выражения для C i ( x ) в решение n

z(x)=

∑ C ( x) z ( x) , i

i =1

i

получим n

z ( x) =

n

∑

x

C i z i ( x) + C n +1

i =1

n

x

+ C n+ 2

∫

∑

∫

∑ Δ (η ) z ( x) i

i

i =1

Δ(η )

dη + n

Δ i (η ) z i ( x)

x

ηdη + L + C n + p +1 ∫

i =1

Δ (η )

∑ Δ (η ) z ( x) i

i =1

Δ (η )

i

η p dη

и, вводя обозначения n

x

∫

∑ Δ (η ) z ( x) i

i

η p dη = z n + p +1 ( x) ,

i =1

Δ(η )

(67)

запишем решение однородного уравнения (65):

z ( x) =

n + p +1

∑ C z ( x) . i =1

i

i

Для решения неоднородного дифференциального уравнения (64) составим определитель Вронского

z1 ( x ) Δ ( x) =

L z n + p +1 ( x)

' 1

L z n' + p +1 ( x)

z ( x)

L

L L (n+ p) (n+ p) ( x) L z n + p +1 ( x) z1

≠ 0,

он не равняется нулю, так как функции, определяемые интегралами n

x

∫

∑ Δ (η ) z ( x) i =1

i

Δ(η )

i

η k dη , k = 1, p

линейно независимы как между собой, так и с zi(x) при i = 1, n .

65

Теперь еще раз применим метод вариации произвольных постоянных

⎧ z1 C1' ( x) + L + z n + p +1 C n' + p +1 ( x) = 0 ⎪ z1' C1' ( x) + L + z ' n + p +1 C n' + p +1 ( x) = 0 ⎪ ⎪ ... ⎨ ⎪ z ( n + p −1) C ' ( x) + L + z (n + p −1) C ' n + p +1 n + p +1 ( x ) = 0 1 1 ⎪ (n+ p) ' (n+ p) ' ⎪⎩ z1 C1 ( x) + L + z ( n + p +1) C n + p +1 ( x) = F ( p +1) ( x). Главный определитель этой системы Δ(x) . Остальные определители будут ω i (x) =

=

z1 ( x ) z1' ( x)

L L

L

L

z1( n + p −1) ( x) z1( n + p ) ( x)

z i −1 ( x) z i' −1 ( x)

0 0

L

L

z i(−n1+ p −1) ( x) z i(−n1+ p1) ( x)

L L

0 F

( p +1)

( x)

z i +1 ( x) z i' +1 ( x)

L L

L

L

z i(+n1+ p −1) ( x) z i(+n1+ p ) ( x)

L L

z n + p +1 ( x) z n' + p +1 ( x) .

L

z n( n++pp+−11) ( x) z n( n++pp+)1 ( x)

Решив систему найдем '

С i ( x) =

Δ i ( x) ( p +1) F ( x) , i = 1, n + p + 1 , Δ ( x)

где Δ i (x) определяется, как и в предыдущем случае, при разложении определителей ω i (x) по элементам i-го столбца и последней '

строки. Интегрируя C i ( x) , найдем x

С i ( x) = ∫

Δ i (η ) Δ(η )

F ( p +1) (η )dη + C i , i = 1, p + n + 1.

(69)

Тогда решение уравнения (68) запишется n + p +1

z ( x) =

n + p +1

∑ i =1

x

C i ( x) z i + ∫

∑ Δ (η ) z ( x) i

i =1

Δ(η )

i

F ( p +1) (η )dη . (70)

Далее обнулим лишние произвольные постоянные (в общем случае это можно сделать) С n+1=Cn+2=…= C n+p+1=0, найдем Pm[z(y)]:

66

n + p +1

Pm [ z ( y )] =

y

n

∑ C P [ z ( y)] + ∫ i m

∑ Δ (η ) P [ z ( y)]

i

i

i =1

m

i

Δ(η )

i =1

F ( p +1) (η )dη

и, вводя обозначения для известных выражений n

n + p +1

i =1

i −1

g ( y ) = ∑ C i Pm [ z i ( y )], H (η , y ) =

∑ Δ (η ) P [ z ( y)] , i

m

i

придем к разрешающему интегродифференциальному уравнению y b⎡ ⎤ H (η , y ) ( p +1) F ( x) + λ ⎢ g ( y ) + F (η )dη ⎥K ( x, y )dy = 0 . (71) Δ (η ) ⎢ ⎥⎦ a⎣ Полученное интегро-дифференциальное уравнение путем дифференцирования (p+1) раз легко преобразуется в интегральное уравнение специального вида y b⎡ ⎤ ∂ p +1 K ( x, y ) H (η , y ) ( p +1) F ( p +1) ( x) + λ ⎢ g ( y ) + F (η )dη ⎥ dy = 0 , (72) Δ(η ) ⎢ ⎥⎦ ∂x p +1 a⎣ решив которое и подставив найденное выражение для F(p+1)(x) в формулу (70), получим общее решение уравнения (61).

∫

∫

∫

∫

2.Решение задачи Коши при n ≤ m

Решение уравнения (61) усложняется, если поставить задачу Коши. Пусть z (i ) ( x 0 ) = z 0(i ) ,

i = 0, n − 1 , тогда в формуле (70) решения уравнения в нижнем пределе интеграла появится x 0 n + p +1

z (x ) =

n + p +1

∑ i =1

x

Ci zi +

∫

x0

∑ Δ (η )z (x ) i

i =1

Δ (η )

i

F ( p +1) (η )dη .

(700)

Появление нижнего предела интегрирования при подстановке (700) в уравнение (61) не дает разрешающее уравнение (71), а получается нагруженное интегродифференциальное уравнение

67

F ( x) − F ( x 0 ) + −

( x − x0 ) F ′( x 0 ) − 1!

( x − x0 ) 2 ( x − x0 ) p ( p ) F ′′( x 0 ) + L + (−1) p +1 F ( x0 ) + 2! p! y ⎡ ⎤ H (η , y ) ( p +1) (η )dη ⎥K (η, y )dy = 0 , + λ ∫ ⎢ g ( y) + ∫ F Δ(η ) ⎥⎦ a ⎢ x0 ⎣ b

решить которое пока никто не смог. Другой вариант решения состоит в сохранении постоянных, которые занулили при нахождении общего решения и которыми можно распорядиться при решении задачи Коши. Подставляя (700) в уравнение (61) получим нагруженное интегродифференциальное уравнение C n +1 + C n + 2 x + L + C n + p +1 x p + F ( x) − − F ( x 0 ) + L + ( −1) p +1

( x − x0 ) p ( p ) F ( x0 ) + p!

y ⎡ ⎤ H (η , y ) ( p +1) ⎢ (η )dη ⎥K ( x, y )dy = 0 , + λ g ( y) + F ⎢ ⎥ Δ (η ) a ⎣ x0 ⎦ где g ( y ) = C1 Pm [z1 ( y )] + L + C n Pm [z n ( y )] + L + C n+ p +1 Pm z n+ p +1 ( y ) . b

∫

∫

[

]

Теперь распорядимся лишними произвольными постоянными, положив ( x − x0 ) C n +1 + C n + 2 x + L + C n + p +1 x p − F ( x0 ) + F ( x0 ) + 1! (73) p ( x − x0 ) 2 ( p) p +1 ( x − x 0 ) ′ ′ + F ( x0 ) + L + ( −1) F ( x0 ) ≡ 0, 2! p! получим разрешающее уравнение y b⎡ ⎤ H (η , y ) ( p +1) (η )dη ⎥K ( x, y)dy = 0, (74) F ( x) + λ ⎢ g ( y ) + F Δ (η ) ⎢ ⎥ a⎣ x0 ⎦ аналогичное уравнению (71), продифференцировав которое (p+1) раз придем к разрешающему уравнению специального вида (72)

∫

∫

68

⎡ y H (η , y ) ⎤ ∂ p +1 K ( x, y ) dy = 0 . (75) F ( x) + λ g ( y ) + ⎢ F ( p +1) (η )dη ⎥ ⎢ x0 Δ(η ) ⎥ ∂x p +1 a ⎣ ⎦ Для определения лишних постоянных тождество (73) продифференцируем p-раз и подставим x = x 0 , тогда получим систему ( p +1)

b

∫

∫

C n +1 + C n + 2 x0 + C n +3 x0 + L + C n + p +1 x0 = F ( x0 )⎫ ⎪ p −1 C n + 2 + 2 x0 C n +3 + L + pC n + p +1 x0 = F ′( x0 ) ⎬ . ⎪ p!C n + p +1 = F ( p ) ( x0 ) ⎭ p

2

(76)

Первые n постоянных C1 ,..., С n можно определить заранее, используя начальные данные. Интегралы в (700) при x = x 0 исчезнут, исчезнут так же и выражения с C n +1 , C n + 2 ,..., С n + p +1 , так как n

z n + p +1 (x ) =

x

∫

∑ Δ (η )z (x ) i

i =1

x0

Δ(η )

i

η p dη .

Рассмотренные варианты решения сильно усложняют решение задачи Коши, поэтому рациональнее, в этом случае, сначала найти общее решение и затем, используя начальные условия, определить оставшиеся постоянные. Пример7. Найти решение задачи Коши 1 ⎧ ⎪ z ′ − z + λ xy[z ′( y ) + z ( y )]dy = 0 , ⎨ 0 ⎪ z (x 0 ) = 1, x 0 ∈ [0,1] , ⎩

∫

x

∫(

)

z ( x) = C1e x + λ e x e − y − 1 F ′(η )dη , y 1 ⎡ ⎤ F ( x) + λ ⎢2C1e y + ( 2e y e −η − 1) F ′(η )dη ⎥xydy = 0 , ⎥⎦ ⎢ 0 ⎣ y 1 ⎡ ⎤ y F ′( x) + λ ⎢2C1e + ( 2e y e −η − 1) F ′(η ) dη ⎥ ydy = 0. ⎥⎦ ⎢ 0 ⎣

∫

∫

∫

∫

69

Решив последнее уравнение, найдем

6C1λ , 3 − 4λ а затем и общее решение данного интегродифференциального уравнения F ′( x ) = −

z ( x ) = C1 e x + Положив x = x 0 , определим C1 : C1 =

6C1 λ (1 + x). 3 − 4λ

3 − 4λ e

x0

(3 − 4λ ) + 6λ (1 + x 0 )

.

Подставляя найденное выражение для C1 в общее решение z ( x) , найдем решение задачи Коши (3 − 4λ )e x + 6λ (1 + x ) . z ( x) = x e 0 (3 − 4λ ) + 6λ (1 + x 0 )

[

]

§5. Линейные неоднородные интегродифференциальные уравнения 1.Нахождение общего решения при n>m

Продолжаем рассматривать случай n>m. b

Ln [z ( x)] + λ ∫ K ( x, y ) Pm [z ( y )]dy = ϕ ( x) . a

(77)

Положим Ln [z ( x)] = F ( x) + ϕ ( x) , тогда разрешающее специальное уравнение примет вид y b⎧ ⎫ H (η , y ) ⎪ [F (η ) + ϕ (η )]dη ⎪⎬K ( x, y)dy = 0 F ( x) + λ ⎨ g ( y ) + Δ(η ) ⎪⎭ a⎪ ⎩ или y b⎡ ⎤ H (η , y ) ⎢ F ( x) + λ G ( y ) + F (η )dη ⎥ K ( x, y )dy = 0 , (78) Δ(η ) ⎥⎦ ⎢ a⎣

∫

∫

∫

∫

70

y

где G ( y ) = g ( y ) +

H (η , y ) ∫ Δ(η ) ϕ (η )dη .

В случае D(λ ) ≠ 0 , т.е. если λ не является характеристическим числом, решение уравнения (78) в соответствии с формулой (22) получим в виде b ⎛x ⎞ λ F ( x) = − D⎜⎜ λ ⎟⎟G ( y )dy , (79) D(λ ) a ⎝ y ⎠

∫

и решение уравнения (77) запишется x n ⎧ ⎫ Δ i (η )z i ( x) ⎪ [F (η ) + ϕ (η )]dη ⎪⎬. + z ( x) = C z ( x ) ⎨ i i Δ(η ) i =1 ⎪ ⎪⎭ ⎩

∑

∫

(80)

2. Решение задачи Коши при n>m

Рассмотрим начальную задачу для интегродифференциального уравнения (77) с начальными условиями

z ( i ) ( x 0 ) = z 0( i ) , i = 0, n − 1 и x 0 ∈ [a, b] .

(770) Учитывая начальные условия, разрешающее уравнение (78) запишется y b ⎡ ⎤ H (η , y ) F ( x) + λ ⎢G0 ( y ) + F (η )dη ⎥K ( x, y )dy = 0 , (780) ⎢ ⎥ Δ(η ) a ⎣ x0 ⎦

∫

∫

y

где G0 ( y ) = g 0 ( y ) +

∫

x0

H (η , y ) ϕ (η )dη . Δ(η )

В случае D0( λ )≠0, т.е. если λ не является характеристическим числом, решение уравнения (780) в соответствии с формулой (220) получим в виде

F ( x) = −

λ D0

b

D (λ ) ∫ a

71

0

⎛x ⎞ ⎜⎜ λ ⎟⎟G 0 ( y )dy ⎝y ⎠

(790)

и решение задачи Коши получим по формуле x ⎤ n ⎡ Δ (η) zi ( x) z( x) = ∑ ⎢Ci 0 zi ( x) + ∫ i [F (η) + ϕ (η)]dη⎥ . Δ(η) ⎥ i =1 ⎢ x0 ⎣ ⎦

(800)

3. Линейные неоднородные интегродифференциальные уравнения при n≤m

Рассмотрим уравнение b

Ln [ z ( x)] + λ ∫ K ( x, y ) Pm [ z ( y )]dy = ϕ ( x) ,

(77)

a

∂ p +1 K ( x, y ) ∂x p +1 Продифференцируем (р+1) раз уравнение (77):

где n≤m, пусть m=n+p, p≥0 и существуют

и ϕ ( p+1) ( x) .

b ∂ p +1 Ln {z ( x)] ∂ p +1 K ( x, y ) + λ∫ Pm [ z ( y )]dy = ϕ ( p +1) ( x) , (81) p +1 p +1 ∂x ∂x a

затем, как и в п.1 §5, положим Ln [ z ( x)] = F ( x) + ϕ ( x) . Продифференцировав последнее равенство (р+1) раз придем к уравнению

∂ p +1 Ln {z ( x)] ∂x

p +1

= F ( p +1) ( x) + ϕ ( p +1) ( x) ,

(82)

которое разрешим, аналогично как и в §4, применяя дважды метод вариации произвольных постоянных. Рассмотрим сначала соответствующее ему однородное уравнение ∂ p +1 Ln {z ( x)] (65) = 0, ∂x p +1 откуда следует, что Ln [ z ( x)] = C n +1 + C n + 2 x + ... + C n + p +1 x p . (66) И если уравнение Ln[z(x)] =0 имеет фундаментальную систему решений zi(x), i = 1, n , то решение этого уравнения запишется z ( x) =

n

∑ C z ( x) и далее все аналогично, как и в §4. i =1

i

i

72

При повторном применении метода вариации произвольных постоянных система для их определения несколько измениться ' ⎧ z1 С1 ( x) + L + zn + p +1 Cn' + p +1 ( x) = 0 ⎪ z1' C1' ( x) + L + z 'n + p +1 Cn' + p +1 ( x) = 0 ⎪ ⎪ ... ⎨ ⎪ ( n + p −1) ' z1 C1 ( x) + L + zn(n++pp+−11) Cn' + p +1 ( x) = 0 ⎪ ⎪ z1( n + p ) C1' ( x) + L + z((nn++ pp+) 1) Cn' + p +1 ( x) = F ( p +1) ( x) + ϕ ( p +1) ( x) ⎩

Решив эту систему, найдем '

С i ( x) =

Δ i ( x) Δ ( x)

[F

( p +1)

]

( x) + ϕ ( p +1) ( x) , i = 1, n + p + 1 .

Интегрируя Сi' ( x ) , получим x

C i ( x) = ∫

Δ i (η ) Δ(η )

[F

( p +1)

]

(η ) + ϕ ( p +1) (η ) dη + C i , i = 1, n + p + 1 , (83)

где Δ i (η ) – алгебраические дополнения при разложении определителя z1 ( x ) 0 ... z i −1 ( x) ' ' z1 ( x ) 0 ... z i −1 ( x) ω i ( x) = ... ... ... ... ( n + p −1) ( n + p −1) ( x) z1 ( x) ... z i −1 0 ( n + p1) ( n+ p) ( p +1) z1 ( x) ... z i −1 ( x) [ F ( x) + ϕ ( p +1) ( x)] z i +1 ( x) z i' +1 ( x) ... ( n + p −1) z i +1 ( x) (n+ p) z i +1 ( x) по элементам i-го столбца. Тогда решение уравнения (82) запишется

73

... ... ... ... ...

z n + p +1 ( x) z n' + p +1 ( x) ... ( n + p −1) z n + p +1 ( x) z n( n++pp+)1 ( x)

n + p +1

z ( x) =

n + p +1

∑ i =1

x

Ci ( x) zi ( x) ∫

∑ Δ (η ) z ( x) i

i =1

i

Δ(η )

[ F ( p +1) (η ) +ϕ ( p +1)(η )]dη. (84)

Далее обнулим лишние произвольные постоянные Cn+1=Cn+1=…=C n+p+1=0, найдем Pm[z(y)]: Pm [ z ( y )] = n + p +1 y

n

∑ C P [ z ( y)] + ∫

=

i m

i

i =1

∑ Δ (η ) P [ z( y)] i

m

[ F ( p +1) (η ) + ϕ ( p +1) (η )]dη

i =1

Δ(η )

и, вводя обозначения для известных выражений g ( y) =

n

∑

C i Pm [ z i ( y )] , H ( x, y ) =

n + p +1

∑ Δ (η ) P [ z ( y)] i −1

i =1

i

m

i

(85)

придем к разрешающему интегродифференциальному уравнению

F ( x) + ϕ ( x) + y ⎡ ⎤ (86) H (η, y) ( p+1) + λ ∫ ⎢ g ( y) + ∫ [F (η ) + ϕ ( p+1) (η )] dη ⎥K ( x, y)dy = ϕ ( x) . ⎢ ⎥⎦ Δ(η ) a⎣ b

Продифференцировав уравнение (86) (р+1) раз , преобразуем его в интегральное уравнение специального вида

F ( p +1 ) ( x ) + y ⎡ ⎤ ∂ ( p +1 ) K ( x , y ) H (η , y ) ( p +1) + λ ∫ ⎢G ( y ) + ∫ F (η ) d η ⎥ dy = 0 , (87 ) ∂ x ( p +1 ) ⎢ Δ (η ) a ⎣ ⎦⎥ b

y

где G ( y ) = g ( y ) +

∫

H (η , y ) p +1 ϕ (η )dη . Δ (η ) ( p+1)

( x ) в формулу (84) получим Подставив найденное выражение F общее решение уравнения (77) в случае n≤m.

74

4. Решение задачи Коши при n≤m для неоднородных уравнений

Рассмотрим уравнение (77) с начальными условиями z(i)(x0)=z0(i) ,

i = 0, n − 1 . В этом случае, как мы видели в п.2 § 4, задача сильно усложняется даже в случае однородных уравнений. Поэтому для решения задачи Коши в этом случае рациональнее сначала найти общее решение, а затем, используя начальные данные, определить постоянные. Задачи к главе I 1. Найти общее решение уравнений: 1

∫

1.1. z ' '−2 z '+ z + λ yz ( y )dy = 0, 0

1

∫

1.2. z ' '+ z '−λ xz ' ( y )dy = 0, 0

1

∫

1.3. z ' '− z − λ xyz ( y )dy = 0, 0

1

∫

1.4. z ' '−λ x[ z ' ' ( y ) − z ( y )]dy = 0, 0

1

∫

1.5. z ' '−λ x[ z ' ( y ) + z ( y )]dy = x, 0

1

∫

1.6. z ' '−λ x[ z ' ' ( y ) + z ( y )]dy = x. 0

2. Решить задачи Коши: 1 ⎧ ⎪ z ' '+2 z ' = λ ∫ xz ( y )dy, 2.1. ⎨ 0 ⎪ z (0) = 1, z ' (0) = 0. ⎩

75

1 ⎧ 2 ⎪ z ' '− z = λ ∫ x z ( y )dy, 2.2. ⎨ 0 ⎪ z (0) = 1, z ' (0) = 0. ⎩ 1 ⎧ − = ' ' ' z z λ ⎪ ∫0 xyz( y)dy, 2.3. ⎨ ⎪ z (0) = 0, z ' (0) = 1. ⎩ 1 ⎧ ⎪ z ' '−λ ∫ x[ z ' ( y ) + z ( y )]dy = x, 2.4. ⎨ 0 ⎪ z (0) = 1, z ' (0) = 0. ⎩ 1 ⎧ − ' ' z λ ⎪ ∫0 x[ z ' ' ( y) + z ( y)]dy = x, 2.5. ⎨ ⎪ z (0) = 1, z ' (0) = 0. ⎩

3. Найти решение специализированных задач Коши: 1

∫

3.1. z ' '+2 z '−λ xz ( y )dy = 0, если z (0) = 1, z ' (0) = ? 0

1

∫

3.2. z ' '+ z '−λ xz ' ( y )dy = 0, если z (0) = 1, z ' (0) = ? 0

1

∫

3.3. z ' '− z '−λ xyz ( y )dy = 0, если z (0) = 0, z ' (0) = ? 0

4. Выяснить, имеют ли решения при характеристических значениях λ уравнения: 1

∫

4.1. z ' '+ z ' = λ xz ' ( y )dy, 0

1

∫

4.2. z ' '− z = λ x 2 z ( y )dy. 0

76

Глава II. Решение линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма с использованием фундаментальной системы решений внутреннего дифференциального оператора §1. Постановка задачи и формулы для производных

Рассмотрим линейное интегро-дифференциальное уравнение b

Ln [ z ( x) ] + λ ∫ K ( x, y ) Pm [ z ( y ) ]dy = 0 ,

(1)

a

где

Ln [ z ( x) ] = z ( n ) + a1 ( x) z ( n −1) ( x) + ... + an −1 ( x) z ′( x) + an ( x) z ( x) ,

Pm [ z ( y ) ] = b0 ( y ) z ( m ) ( y ) + b1 ( y ) z ( m −1) ( y ) + ... + bm −1 ( y ) z ′( y ) + bm ( y ) z ( y ) . Будем искать решение уравнения (1), исходя из фундаментальной системы решений внутреннего дифференциального оператора, для этого положим Pm [ z ( y )] = F ( y ) , (2) где F ( y ) – пока неизвестная функция. Пусть решение соответствующего однородного уравнения Pm [ z ( y ) ] = 0 найдено z ( y ) = C1 z1 ( y ) + C2 z2 ( y ) + ... + Cm zm ( y ) . Методом вариации произвольной постоянной находим решение уравнения (2), решив систему ⎧C1′( y ) z1 ( y ) + C2′ ( y ) z2 ( y ) + ... + Cm′ ( y ) zm ( y ) = 0, ⎪ ′ ⎪C1 ( y ) z1′ ( y ) + C2′ ( y ) z2′ ( y ) + ... + Cm′ ( y ) zm′ ( y ) = 0, (3) ⎨ ⎪.............................................................................. ( m −1) ( m −1) ( m −1) ⎪ ⎩C1′( y ) z1 ( y ) + C2′ ( y ) z2 ( y ) + ... + Cm′ ( y ) zm ( y ) = F ( y ). Решение системы (3) существует и при том единственное, т.к. определитель этой системы есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений уравнения Pm [ z ( y ) ] = 0 , а потому отличен от нуля. Следовательно,

77

Ci′( y ) =

z1 ( y ) z1′ ( y ) ... ( m −1) z1 ( y )

... zi −1 ( y ) 0 zi +1 ( y ) ... zm ( y ) ... zi′−1 ( y ) 0 zi′+1 ( y ) ... zm′ ( y ) ... ... ... ... ... ... ( m −1) ( m −1) ( m −1) ... zi −1 ( y ) F ( y ) zi +1 ( y ) ... zm ( y ) = z1 ( y ) z2 ( y ) ... zm ( y ) z1′ ( y ) z2′ ( y ) ... zm′ ( y ) ... ... ... ... ( m −1) ( m −1) ( m −1) z1 ( y ) z2 ( y ) ... zm ( y )

Wi ( y ) F ( y) , W ( y) где W ( y ) – определитель Вронского, Wi ( y ) – его миноры, взятые с их знаками. Интегрируя, находим коэффициенты y W (η ) Ci ( y ) = ∫ i F (η )dη + Ci , W (η ) где значок y над интегралом означает, что после интегрирования переменная η должна быть заменена на y. Тогда решение уравнения (2) запишется в виде =

m

y

m

z ( y ) = ∑ Ci zi ( y ) + ∫

∑W (η ) z ( y) i

i

F (η )dη . (4) W (η ) Будем искать решение уравнения (1) в форме (4), для этого найдем производные этого решения до m-го порядка включительно i =1

i =1

m

y

m

z ′( y ) = ∑ Ci zi′( y ) + ∫

∑W (η ) z′( y) i =1

i =1

i

i

W (η )

m

F (η ) dη +

∑W ( y ) z ( y ) i =1

i

i

W ( y)

F ( y) .

Wi ( y ) F ( y ) = Сi′( y ) и первое из уравнений системы W ( y) (3), видим, что последнее слагаемое равняется нулю, и производная перепишется Учитывая, что

m

m

y

z ′( y ) = ∑ Ci zi′( y ) + ∫

∑W (η ) z′( y) i =1

i =1

78

i

W (η )

i

F (η ) dη .

(4.1)

Так будет до (m − 1) производной включительно: m

∑W (η ) z′′( y)

y

m

z ′′( y ) = ∑ Ci zi′′( y ) + ∫

i

i

F (η )dη , W (η ) …………………………………………………. i =1

(4.2)

i =1

m

m

∑W (η ) z

y

( y) = ∑ C z

( y) + ∫

i

( m −1) i

( y)

F (η )dη W (η ) и, учитывая последнее равенство системы (3), найдем z

( m −1)

( m −1) i i

i =1

i =1

m

z

(m)

m

y

( y) = ∑ C z

(m) i i

i =1

( y) + ∫

∑W (η ) z i

i =1

(m) i

(4.m − 1)

( y) F (η ) dη + F ( y ) .

W (η )

(4.m)

Производные более высокого порядка z ( m + p ) ( y ) определятся дифференцированием (4.m), при p = 1, 2,... . §2. Задача Коши при совпадении порядков внешнего и внутреннего дифференциальных операторов

Рассмотрим при m = n задачу Коши для уравнения (1). Пусть даны начальные условия

z ( s ) ( x0 ) = z0( s ) ; ( s = 0, n − 1) .

(5) Учитывая предыдущие выкладки, решение будем искать в виде: m

m

x

i =1

x0

∑W (η ) z ( x)

z ( x) = ∑ Ci zi ( x) + ∫

i

i =1

i

W (η )

F (η )dη ,

(6.0)

m

m

x

i =1

x0

∑W (η ) z′( x)

z ′( x) = ∑ Ci zi′( x) + ∫

i =1

i

i

W (η )

F (η )dη ,

(6.1)

……………………………………………… m

z

( m −1)

m

( x) = ∑ C z i =1

( m −1) i i

x

( x) + ∫

∑W (η ) z i =1

x0

79

i

( m −1) i

W (η )

( x) F (η )dη ,

(6.m − 1)

m

z

(m)

m

( x) = ∑ C z i =1

(m) i i

x

( x) + ∫

x0

∑W (η ) z i =1

i

(m) i

( x) F (η ) dη + F ( x) .

W (η )

(6.m)

Подставляя начальные данные в выражения (6.0)-(6.m − 1) получим для определения коэффициентов систему ⎧m (0) ⎪∑ Ci zi ( x0 ) = z0 , ⎪ i =1 ⎪m ⎪∑ Ci zi′( x0 ) = z0′ , (7) ⎨ i =1 ⎪............................ ⎪ ⎪m ( m −1) ( m −1) ⎪∑ Ci zi ( x0 ) = z0 ⎩ i =1 m уравнений с m неизвестными, решение которой существует и притом единственное, т.к. определитель этой системы W ( x0 ) ≠ 0 .

Ci =

z1 ( x0 ) z1′ ( x0 ) ... ( m −1) z1 ( x0 )

... zi −1 ( x0 ) z0(0) ... zi′−1 ( x0 ) z0′ ... ... ... ( m −1) ( m −1) ... zi −1 ( x0 ) z0 z1 ( x0 ) z 2 ( x0 ) z1′ ( x0 ) z 2′ ( x0 ) ... ... ( m −1) ( m −1) z1 ( x0 ) z 2 ( x0 )

zi +1 ( x0 ) ... zm ( x0 ) zi′+1 ( x0 ) ... zm′ ( x0 ) ... ... ... ( m −1) ( m −1) zi +1 ( x0 ) ... zm ( x0 ) = ... z m ( x0 ) ... z m′ ( x0 ) ... ... ( m −1) ... z m ( x0 )

Δ i ( x0 ) , (8) W ( x0 ) где W ( x0 ) – значение определителя Вронского в точке x0 , а Δ i ( x0 ) получен из W ( x0 ) заменой i-го столбца начальными данными. Тогда (6.0)-(6.m) перепишутся: =

m

x

Δ i ( x0 ) zi ( x) + ∫ i =1 W ( x0 ) x0 m

z ( x) = ∑

80

∑W (η ) z ( x) i =1

i

W (η )

i

F (η )dη ,

(9.0)

m

x

Δ i ( x0 ) zi′( x) + ∫ i =1 W ( x0 ) x0 m

z ′( x) = ∑

∑W (η ) z′( x) i

i =1

i

W (η )

F (η )dη ,

(9.1)

……………………………………………… m

z

( m −1)

x

Δ (x ) ( x) = ∑ i 0 zi( m −1) ( x) + ∫ i =1 W ( x0 ) x0 m

∑W (η ) z

( m −1) i

i

i =1

( x) F (η )dη , (9.m-1)

W (η )

m

(m) ( x) x ∑ Wi (η ) zi ( x ) Δ (m) (m) 0 i i =1 z ( x) = ∑ zi ( x ) + ∫ F (η ) dη + F ( x ) . (9.m) W (η ) i =1 W ( x0 ) x0 m

Определим функцию F (η ) так, чтобы функция (9.0) была решением уравнения (1). Для этого подставим выражения (9.0)-(9.m) в уравнение (1) m

x

Δ i ( x0 ) ( m ) zi ( x) + ∫ ∑ i =1 W ( x0 ) x0 m

∑W (η ) z

(m) i

i

i =1

( x) F (η ) dη + F ( x) +

W (η ) m

∑ Δ (x ) + a1 ( x)∑ i 0 zi( m −1) ( x) + a1 ( x) ∫ i =1 i =1 W ( x0 ) x0 x

m

Wi (η ) zi( m −1) ( x) W (η )

F (η )dη + ... +

m

x ∑ Wi (η ) zi ( x ) Δ i ( x0 ) + an ( x)∑ zi ( x) + an ( x) ∫ i =1 F (η )dη + W (η ) i =1 W ( x0 ) x0 m

b

+λ ∫ K ( x, y ) F ( y )dy = 0 a

и, группируя, получим m

x ∑ Δ i ( x0 ) Ln [ z i ( x)] + F ( x) + ∫ i =1 ∑ i =1 W ( x 0 ) x0 m

Wi (η ) Ln [ z i ( x)]

81

W (η )

F (η )dη +

m

∑ Δ i ( x0 ) i =1 L [ z ( x )] F ( x ) + + ∑ n i ∫ W ( x ) i =1 0 x0 x

m

Wi (η ) Ln [ zi ( x)] W (η )

F (η )dη +

b

+λ ∫ K ( x, y ) F ( y )dy = 0 . a

Обозначив известные выражения m

∑W (η ) L [ z ( x)]

i n i Δ i ( x0 ) Ln [ zi ( x)] и H (η , x) = − i =1 W (η ) i =1 W ( x0 ) получим для уравнения (1) разрешающее интегральное уравнение смешанного типа Вольтерра-Фридгольма m

g ( x) = −∑

b

x

a

x0

F ( x) = g ( x) − λ ∫ K ( x, y ) F ( y )dy + ∫ H (η , x)F (η )dη .

(10)

Рассмотрим уравнение более общего вида b

x

a

x0

F ( x) = g ( x) + λ ∫ K ( x, y ) F ( y ) dy + μ ∫ H (η , x) F (η )dη ,

(11)

решение которого будем искать в форме ряда по целым степеням параметра λ F ( x) = ϕ 0 ( x, μ ) + ϕ 1 ( x, μ )λ + ϕ 2 ( x, μ )λ 2 + ... + ϕ k ( x, μ )λ k + ... , (12) где коэффициенты ряда ϕ к ( x, μ ) (k = 0,1,...) – функции переменной x и одновременно зависят от параметра μ . Подставляя ряд (12) в уравнение (11) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ , получим интегральные уравнения Вольтерра второго рода x

ϕ 0 ( x, μ ) = g ( x) + μ ∫ H (η , x)ϕ 0 (η , μ )dη .

(13)

x0

Если Г (η , x; μ ) – резольвента ядра уравнения (13), то его решение будет иметь вид x

ϕ 0 ( x, μ ) = g ( x) + μ ∫ Г (η , x; μ ) g (η )dη . x0

Аналогично получим уравнение для ϕ1 ( x, μ )

82

(14)

b

x

a

x0

ϕ1 ( x, μ ) = ∫ K ( x, y )ϕ 0 ( y )dy + μ ∫ H (η , x)ϕ1 (η , μ )dη . Положим b

g1 ( x) = ∫ K ( x, y )ϕ 0 ( y, μ )dy ,

(15.1)

a

то x

ϕ1 ( x, μ ) = g1 ( x) + μ ∫ H (η , x)ϕ1 (η , μ )dη .

(13.1)

x0

Так как ядро этого уравнения то же, что и уравнения (13), то его решение запишется x

ϕ 1 ( x, μ ) = g1 ( x) + μ ∫ Г (η , x; μ ) g1 (η ) dη .

(14.1)

x0

Аналогично определяются и следующие коэффициенты ряда (12) x

ϕ k ( x, μ ) = g k ( x) + μ ∫ Г (η , x, μ ) g k (η )dη ,

(14.к)

x0

где b

g k ( x) = ∫ K ( x, y )ϕ k −1 ( y; μ )dy ,

(15.к)

a

при k = 0,1, 2,... . Найденные выражения коэффициентов (14.0), …, (14.к), … подставляем в ряд (12) и, группируя, получим F ( x) = g ( x) + λ g1 ( x) + λ 2 g 2 ( x) + ... + λ k g k ( x) + ... + x

+ μ ∫ Г (η , x; μ ) ⎡⎣ g (η ) + λ g1 (η ) + λ 2 g 2 (η ) + ... + λ k g k (η ) + ...⎤⎦ dη .

(16)

x0

Запишем рекуррентные формулы для функций gi ( x) , ( i = 1, 2,...) : b

g1 ( x) = ∫ K ( x, y )ϕ 0 ( y; μ )dy = a

y ⎡ ⎤ = ∫ K ( x, y ) ⎢ g ( y ) + μ ∫ Г (η , y; μ ) g (η )dη ⎥dy = a x0 ⎣⎢ ⎦⎥ b

83

b

y

b

= ∫ K ( x, y ) g ( y )dy + μ ∫ K ( x, y ) ∫ Г (η , y; μ ) g (η )dηdy , a

a

x0

b

b

y

a

a

x0

g 2 ( x) = ∫ K ( x, y ) g1 ( y )dy + μ ∫ K ( x, y ) ∫ Г (η , y; μ ) g1 (η ) dηdy , ………………………………………………………. b

b

y

a

a

x0

g k ( x) = ∫ K ( x, y ) g k −1 ( y )dy + μ ∫ K ( x, y ) ∫ Г (η , y; μ ) g k −1 (η )dηdy , (17) ……………………………………………………….. Для достаточно малых λ докажем абсолютную и равномерную сходимость ряда (12), для этого положим g ( x) ≤ g ; Г (η , x; μ ) ≤ Г ; K ( x, y ) ≤ K ∀x,η , y : a ≤ x ≤ b ; x0 ≤ η ≤ y ; a ≤ y ≤ b и из формул (14.0), … , (14.к), … найдем x

ϕ 0 ( x, μ ) = g ( x) + μ ∫ Г (η , x; μ ) g (η )dη ≤ x0

x

≤ g + μ ∫ Гgdη ≤ g (1 + μ Г b − a ) , x0

x

ϕ1 ( x, μ ) = g1 ( x) + μ ∫ Г (η , x; μ ) g1 (η )dη ≤ x0

b

x

b

a

x0

a

≤ ∫ K ( g + μ Гg b − a )dy + μ ∫ Г ∫ K ( g + μ Гg b − a )dydη ≤ ≤ K ( g + μ Гg b − a ) b − a + μ ГK ( g + μ Гg b − a ) b − a

2

=

= Kg (1 + μ Г b − a ) 2 b − a , b

ϕ 2 ( x, μ ) ≤ ∫ K ⋅ Kg (1 + μ Г b − a ) 2 b − a dy + a

x

b

x0

a

+ μ ∫ Г ∫ K 2 g (1 + μ Г b − a ) 2 b − a dydη ≤ 2

3

≤ K g (1 + μ Г b − a ) 2 b − a + μ ГK 2 g (1 + μ Г b − a ) 2 b − a = 2

84

2

= K 2 g (1 + μ Г b − a )3 b − a , …………………………………………………………………… k ϕ k ( x, μ ) ≤ K k g (1 + μ Г b − a ) k +1 b − a ; k = 0,1, 2,... . Из полученных оценок составляем мажорирующий ряд для ряда (12) g (1 + μ Г b − a ) + λ Kg (1 + μ Г b − a ) 2 b − a + ... + k

+ λ k K k g (1 + μ Г b − a ) k +1 b − a + ... . Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем λ K (1 + μ Г b − a ) b − a и сходится при | λ K (1 + μ × ×Г b − a ) b − a

< 1 , т.е. для

1 . (18) K (1 + μ Г b − a ) b − a Следовательно, ряд (12) сходится равномерно и абсолютно для этих значений λ и решение разрешающего уравнения (10) можно переписать в виде

λ <

x

F ( x) = G ( x, λ ) + ∫ Г (η , x, μ )G (η , λ )dη ,

(19)

x0

где G ( x, λ ) = g ( x) + g1 ( x)λ + g 2 ( x)λ 2 + ... + g k ( x)λ k + ... . Подставляя F ( x) (19) в выражение z(x) (9), найдем решение исходного интегродифференциального уравнения. Самостоятельно рассмотреть другой возможный вариант решения в виде ряда по степеням параметра μ – тема курсовой работы. Пример 1. Решим задачу Коши для интегродифференциального уравнения 1

z′( x) + z ( x) + λ ∫ [ z′( y ) + z ( y )] ydy = 0 0

с начальными условиями z ( x0 ) = z0 . Общее решение уравнения z ′( x) + z ( x) = F ( x) запишется x

z ( x) = e − x (C + ∫ eη F (η )dη ) ,

откуда при заданных начальных условиях находим С:

85

x0

z0 = e − x0 (C + ∫ eη F (η )dη ) , C = z0 e x0 . x0

Тогда решение перепишется x

z ( x) = z0 e x0 − x + e − x ∫ eη F (η )dη .

(*)

x0

Затем найдем производную решения x

z ′( x) = − z0 e x0 − x − e − x ∫ eη F (η )dη + e − x e x F ( x) = x0

x

= − z0 e x0 − x − e − x ∫ eη F (η )dη + F ( x) x0

и, подставив z ( x) и z ′( x) в исходное уравнение x

− z0 e x0 − x − e − x ∫ eη F (η )dη + F ( x) − z0 e x0 − x − x0

x

1

−e − x ∫ eη F (η ) dη + λ ∫ F ( y ) ydy = 0 , x0

0

x

1

x0

0

−2 z0 e x0 − x + F ( x) − 2e − x ∫ eη F (η )dη + λ ∫ yF ( y )dy = 0 ,

получим разрешающее уравнение F ( x ) = 2 z0 e

x0 − x

x

+ 2∫ e

η−x

x0

1

F (η )dη + λ ∫ yF ( y )dy , 0

где g ( x) = 2 z0 e , K ( x, y ) = y , H (η , x) = 2e , μ = 1 . Найдем резольвенту Г (η , x, μ ) ядра H (η , x) , для этого определим сначала итерированные ядра x 22 H 2 (η , x) = ∫ 2e s − x ⋅ 2eη − s ds = eη − x ( x − η ) , 1! η η−x

x0 − x

x

H 3 (η , x) = ∫ 2e s − x ⋅ 22 eη − s ( s − η )ds = η

23 η − x e ( x − η )2 , 2!

……………………………………………………

86

2k eη − x ( x − η ) k −1 . (k − 1)! …………………………………………………. Г (η , x;1) = H (η , x) + H 2 (η , x) + ... + H k (η , x) + ..., Учитывая, что H k (η , x) =

⎡ 2( x − η ) 22 ( x − η ) 2 ⎤ 2k ( x − η ) k найдем Г (η , x;1) = 2eη − x ⎢1 + + + ... + + ...⎥ , 1! 2! k! ⎣ ⎦ т.е. Г (η , x;1) = 2eη − x ⋅ e 2( x −η ) = 2e x −η . Далее находим коэффициенты ряда (12) по формулам (14.0), …., (14.к), … x

x

ϕ 0 ( x) = 2 z0 e x − x + ∫ 2e x −η ⋅ 2 z0 e x −η dη = 2 z0 e x − x + 4 z0 ∫ e x + x − 2η dη , 0

0

0

0

x0

x0

ϕ 0 ( x ) = 2 z0 e x − x + 4 z0 0

e

x + x0 − 2 x

−2

− 4 z0

e

x + x0 − 2 x0

−2

= 2 z0 e x0 − x .

По формуле (15.1) получим 1

1

1

0

0

0

g1 ( x) = − ∫ yϕ 0 ( y ) dy = − ∫ y 2 z0 e y − x0 dy = −2 z0 e − x0 ∫ ye y dy = −2 z0 e − x0 .

И затем по формуле (14.1) определим ϕ 1 ( x) x

ϕ1 ( x) = −2 z0 e − x + ∫ 2e x −η (−2 z0 e − x )dη = 0

0

x0

x

= −2 z0 e − x0 − 4 z0 e − x0 ∫ e x −η dη = 2 z0 e − x0 (1 − 2e x − x0 ) . x0

Аналогично находим g 2 ( x) по формуле (15.к) при к=2 и т.д. 1

g 2 ( x) = −2 z0 e − x0 ∫ ( y − 2 ye y − x0 )dy = 0

⎡y ⎤ = −2 z0 e − x0 ⎢ − 2e y − x0 ( y − 1) ⎥ ⎣2 ⎦ 2

1 0

1 = 2 z0 e − x0 (2e− x0 − ) , 2

x

ϕ 2 ( x) = z0 e− x (4e− x − 1) + ∫ 2e x −η ⋅ z0 e − x (4e− x − 1)dη = 0

0

0

x0

87

0

1 = −2 z0 e − x0 (2e − x0 − )(1 − 2e x − x0 ) , 2 1

1 ⎡ ⎤ g3 ( x) = − ∫ y ⎢ −2 z0 e − x0 (2e − x0 − )(1 − 2e y − x0 ) ⎥ dy = 2 ⎣ ⎦ 0 1

1 1 = 2 z0 e − x0 (2e − x0 − ) ∫ ( y − 2 ye y − x0 )dy = −2 z0 e − x0 (2e − x0 − ) 2 , 2 0 2

1 0 2 ………………………………………………………………… 1 ϕ n ( x) = (−1) n −1 2 z0 e− x0 (2e − x0 − ) n −1 (1 − 2e x − x0 ) , 2 ………………………………………………………………………….. Подставив найденные коэффициенты в ряд (12), найдем F ( x) = 2 z0 e x − x0 + λ 2 z0 e − x0 (1 − 2e x − x0 ) − 1 −λ 2 2 z0 e − x0 (2e − x0 − )(1 − 2e x − x0 ) + ... + 2 1 − x0 − x0 n −1 n + (−1) λ 2 z0 e (2e − ) n −1 (1 − 2e x − x0 ) + ... = 2 ⎧ 1 ⎡ = 2 z0 e − x0 ⎨e x + λ (1 − 2e x − x0 ) ⎢1 − λ (2e − x0 − ) + ... + 2 ⎣ ⎩

ϕ 3 ( x) = 2 z0 e− x (2e− x − )2 (1 − 2e x − x ) , 0

0

1 ⎤⎫ + (−1) n −1 λ n −1 (2e − x0 − ) n −1 + ...⎥ ⎬ = 2 ⎦⎭ ⎡ ⎤ ⎢ x λ (1 − 2e x − x0 ) ⎥ 1 = 2 z0 e ⎢ e + , для λ < . ⎥ 1 1 − x0 − x0 ⎢ ⎥ 1 + λ (2e − ) 2e − ⎣ 2 2 ⎦ И подставив полученное значение F ( x) в решение (*) определим z ( x) : − x0

x

z ( x) = z0 e x0 − x + e − x ∫ eη F (η )dη = x0

88

= z0 e

x0 − x

⎡ ⎤ ⎢ η λ (1 − 2eη − x0 ) ⎥ x0 − x + e ∫ e 2 z0 e ⎢ e + + 2 z0 e− x0 − x × ⎥ dη = z0 e 1 x0 ⎢ 1 + λ (2e − x0 − ) ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎡ ⎤ x ⎢ 2η λ (eη − 2e 2η − x0 ) ⎥ x0 − x × ∫ ⎢e + + ⎥ dη = z0 e 1 − x 0 x0 ⎢ 1 + λ (2e − ) ⎥ ⎣ 2 ⎦ −x

x

η

− x0

x

⎡ ⎤ 2η − x0 η ⎢ ⎥ − 1 λ ( e e ) +2 z0 e − x0 − x ⎢ e 2η + = 1 ⎥ ⎢2 1 + λ (2e − x0 − ) ⎥ ⎣ 2 ⎦ x0 ⎡ ⎤ 2 x − x0 x0 x0 x ⎢ ⎥ − − 1 λ ( e e ) 1 λ ( e e ) = z0 e x0 − x + 2 z0 e − x0 − x ⎢ e 2 x + − e 2 x0 − = 1 1 ⎥ ⎢2 1 + λ (2e − x0 − ) 2 1 + λ (2e − x0 − ) ⎥ ⎣ 2 2 ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 λ = z0 e x0 − x + 2 z0 e − x0 − x ⎢ (e 2 x − e 2 x0 ) + (e x − e 2 x − x0 ) ⎥ , 1 ⎢2 ⎥ 1 + λ (2e − x0 − ) ⎣ ⎦ 2 ⎡ ⎤ ⎢ 1 x − x0 λ x0 − x x0 − x − x0 x − 2 x0 ⎥ + 2 z0 ⎢ (e −e )+ z ( x ) = z0 e (e − e )⎥ . 1 2 − x0 ⎢ ⎥ 1 + λ (2e − ) ⎣ ⎦ 2 Сделаем проверку: ⎡ ⎤ ⎢ 1 x − x0 λ x0 − x x0 − x x − 2 x0 ⎥ z ′( x) = − z0 e e + 2 z0 ⎢ (e +e )− ⎥, 1 ⎢2 ⎥ 1 + λ (2e − x0 − ) ⎣ ⎦ 2

z ′( x) − z ( x) = −2 z0 e x0 − x + 2 z0 e x0 − x −

89

2 z0 λ 1 + λ (2e

− x0

1 − ) 2

e− x0 =

=−

2 z0 λ e 1 + λ (2e

− x0

− x0

2 ⎧ ⎡ ⎤ ⎫ − x y − x 2 ⎪⎪ ⎢ y − x λ (e 0 − 2e 0 ) ⎥ ⎪⎪ dy = ∫0 y ⎨2 z0 ⎢e 0 + 1 ⎥ ⎬⎪ − x0 ⎪ ⎢ 1 + λ (2e − ) ⎥ 2 ⎦ ⎪⎭ ⎣ ⎪⎩ 1

1 − ) 2

= 2 z0 e

,

− x0

⎡ ⎤ ⎢ y λ ( y − 2 ye y − x0 ) ⎥ dy = ∫0 ⎢ ye + 1 ⎥ ⎢ 1 + λ (2e − x0 − ) ⎥ ⎣ 2 ⎦ 1

1

= 2 z0 e − x0

⎡ ⎤ ⎢ y ⎥ λ y2 ( − 2e y − x0 ( y − 1)) ⎥ = ⎢ e ( y − 1) + 1 ⎢ ⎥ 1 + λ (2e − x0 − ) 2 2 ⎣ ⎦0

= 2 z0 e

− x0

= 2 z0 e

⎡ ⎤ ⎢1 ⎥ λ 2λ e − x0 +1− ⎢ ⋅ ⎥= 1 1 ⎢ 2 1 + λ (2e − x0 − ) 1 + λ (2e − x0 − ) ⎥ 2 2 ⎦ ⎣

− x0

λ + 2 + 4λ e− x − λ − 4λ e− x 0

0

2 z0 e − x0

= 1 1 2(1 + λ (2e − x0 − )) 1 + λ (2e − x0 − ) 2 2 − x0 − x0 2 z0 e 2 z0 e + = 0 , т.е. имеем и, следовательно, − 1 1 1 + λ (2e − x0 − ) 1 + λ (2e − x0 − ) 2 2 тождество. §3. Задача Коши для случая, когда порядок внутреннего дифференциального оператора больше порядка внешнего

Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (1), в случае m > n . Пусть m = n + p , где p > 0 . Решение уравнения (1) будем искать, исходя из фундаментальной системы решений внутреннего дифференциального оператора, т.е. в виде

90

m

m

x

i =1

x0

∑W (η ) z ( x)

z ( x) = ∑ Ci zi ( x) + ∫

i =1

i

i

W (η )

F (η )dη .

(6.0)

Вычислив производные m

m

x

i =1

x0

z ′( x) = ∑ Ci zi′( x) + ∫

∑W (η ) z′( x) i

i =1

i

W (η )

F (η )dη ,

(6.1)

……………………………………………… m

z

( m −1)

m

( x) = ∑ C z

y

( m −1) i i

i =1

( x) + ∫

∑W (η ) z i =1

m

z

(m)

m

( x) = ∑ C z i =1

(m) i i

x

( x) + ∫

x0

( m −1) i

i

W (η )

∑W (η ) z i =1

i

(m) i

W (η )

( x) F (η ) dη ,

(6.m − 1)

( x) F (η ) dη + F ( x)

(6.m)

и подставив начальные данные в (6.0)-(6.m–1), получим систему ⎧m (0) ⎪∑ Ci zi ( x0 ) = z0 , ⎪ i =1 ⎪m ⎪∑ Ci zi′( x0 ) = z0′ , ⎨ i =1 ⎪............................ ⎪ ⎪m ( n −1) ( n −1) ⎪∑ Ci zi ( x0 ) = z0 ⎩ i =1 n уравнений с m неизвестными постоянными. Из составленной системы можно выразить n постоянных через остальные p, которые пока оставим произвольными, а в дальнейшем распорядимся ими при нахождении функции F(x). Для этого в уравнениях системы перенесем слагаемые с Cn +1 , ..., Cn + p в правую часть

91

⎧C z ( x ) + C z ( x ) + ... + C z ( x ) = 2 2 0 n n 0 ⎪ 1 1 0 ⎪ = z0 − Cn +1 zn +1 ( x0 ) − ... − Cn + p zn + p ( x0 ) , ⎪ ⎪C1 z1′ ( x0 ) + C2 z2′ ( x0 ) + ... + Cn zn′ ( x0 ) = ⎪ ⎨ = z0′ − Cn +1 zn′ +1 ( x0 ) − ... − Cn + p zn′ + p ( x0 ) , ⎪ ⎪.......................................................................... ⎪C z ( n −1) ( x ) + C z ( n −1) ( x ) + ... + C z ( n −1) ( x ) = 0 2 2 0 n n 0 ⎪ 1 1 ( n −1) ( n −1) ( n −1) ⎪= ⎩ z0 − Cn +1 zn +1 ( x0 ) − ... − Cn + p zn + p ( x0 )

(20)

и найдем Ci , i = 1, n : Ci =

=

z1 ( x0 )

...

zi −1 ( x0 )

z1′ ( x0 )

...

zi′−1 ( x0 )

...

...

...

⎡ z0 − Cn +1 zn +1 ( x0 ) − ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ −... − Cn + p zn + p ( x0 ) ⎦ ⎡ z0′ − Cn +1 zn′ +1 ( x0 ) − ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ −... − Cn + p zn′ + p ( x0 ) ⎦ ...

⎡z −C z ( x0 ) − ⎤ z1( n −1) ( x0 ) ... zi(−n1−1) ( x0 ) ⎢ ⎥ ( n −1) ⎣⎢ −... − Cn + p zn + p ( x0 ) ⎦⎥ ( n −1) 0

( n −1) n +1 n +1

z1(x0 ) z2 (x0 ) z′(x ) z2′ (x0 ) × 1 0 ... ... (n−1) (n−1) z1 (x0 ) z2 (x0 )

zi +1 ( x0 )

...

zn ( x0 )

zi′+1 ( x0 )

...

zn′ ( x0 )

...

...

...

×

zi(+n1−1) ( x0 ) ... zn( n −1) ( x0 ) −1

... zn (x0 ) ... zn′ (x0 ) Δ*(x ) = i* 0 , ... ... W (x0 ) (n−1) ... zn (x0 )

(21)

где W ∗ ( x0 ) – значение функционального определителя в точке x0 , составленного из n функций фундаментальной системы решений Δ*i ( x0 ) – внутреннего дифференциального оператора, а определитель, составленный из W ∗ ( x0 ) заменой i-го столбца столбцом из правых частей системы (20). Распишем определители Δ*i ( x0 ) на сумму определителей:

92

z1 ( x0 ) z ′( x ) Δ*i ( x) = 1 0 ... ( n −1) z1 ( x0 )

... zi −1 ( x0 ) z0 ... zi′−1 ( x0 ) z0′ ... ... ... ( n −1) ( n −1) ... zi −1 ( x0 ) z0

zi +1 ( x0 ) zi′+1 ( x0 ) ... ( n −1) zi +1 ( x0 )

... zn ( x0 ) ... zn′ ( x0 ) − ... ... ... zn( n −1) ( x0 )

z1 ( x0 ) ... zi −1 ( x0 ) zn +1 ( x0 ) zi +1 ( x0 ) ... zn ( x0 ) z ′ ( x ) ... zi′−1 ( x0 ) zn′ +1 ( x0 ) zi′+1 ( x0 ) ... zn′ ( x0 ) −Cn +1 1 0 − ... ... ... ... ... ... ... z1( n −1) ( x0 ) ... zi(−n1−1) ( x0 ) zn( n+−11) ( x0 ) zi(+n1−1) ( x0 ) ... zn( n −1) ( x0 ) …………………………………………………………………..

−Cn + p

z1 ( x0 ) z1′ ( x0 ) ... ( n −1) z1 ( x0 )

... zi −1 ( x0 ) zn + p ( x0 ) zi +1 ( x0 ) ... zi′−1 ( x0 ) zn′ + p ( x0 ) zi′+1 ( x0 ) ... ... ... ... ( n −1) ( n −1) ( n −1) ... zi −1 ( x0 ) zn + p ( x0 ) zi +1 ( x0 )

... zn ( x0 ) ... zn′ ( x0 ) . ... ... ... zn( n −1) ( x0 )

В последней сумме определители соответственно обозначим 11 1p Δ10 i ( x0 ) , Δ i ( x0 ) , …, Δ i ( x0 ) , тогда 11 1p Δ10 i ( x0 ) − Cn +1Δ i ( x0 ) − .... − Cn + p Δ i ( x0 ) (22) Ci = , i = 1, n . W * ( x0 ) Подставим значение Ci из (21) в (6.0)-(6.m): m

x ∑ Wi (η ) zi ( x ) Δ*i ( x0 ) z ( x) = ∑ * zi ( x) + ∫ i =1 F (η )dη , W (η ) i =1 W ( x0 ) x0 m

m

x

Δ ( x0 ) zi′( x) + ∫ i =1 W ( x0 ) x0 m

z ′( x) = ∑

* i *

∑W (η ) z′( x) i =1

i

i

W (η )

F (η )dη ,

……………………………………………… m

x ∑ Δ* ( x ) z ( m −1) ( x) = ∑ i* 0 zi( m −1) ( x) + ∫ i =1 i =1 W ( x0 ) x0 m

93

Wi (η ) zi( m −1) ( x) W (η )

(23) F (η )dη ,

m

x

Δ ( x0 ) ( m ) z ( m ) ( x) = ∑ zi ( x ) + ∫ i =1 W ( x0 ) x0 * i *

m

∑W (η ) z i

i =1

(m) i

( x) F (η ) dη + F ( x) .

W (η )

Далее вычислим m

(n) x ∑ Wi (η ) zi ( x ) Δ*i ( x0 ) ( n ) Ln [ z ( x) ] = ∑ * zi ( x) + ∫ i =1 F (η )dη + W (η ) i =1 W ( x0 ) x0 m

m

x

Δ ( x0 ) ( n −1) zi ( x) + a1 ( x) ∫ i =1 W ( x0 ) x0 m

+ a1 ( x)∑

* i *

∑W (η ) z i

i =1

( n −1) i

( x) F (η )dη + ... +

W (η ) m

x

Δ ( x0 ) zi ( x) + an ( x) ∫ i =1 W ( x0 ) x0 * i *

m

+ an ( x)∑

m

x ∑ Δ* ( x ) = ∑ i* 0 Ln [ zi ( x)] + ∫ i =1 i =1 W ( x0 ) x0 m

∑W (η ) z ( x) i =1

i

i

W (η )

Wi (η ) Ln [ zi ( x)] W (η )

F (η )dη =

F (η )dη =

x

= g ( x) + ∫ H (η , x) F (η )dη , x0

где m

Wi (η ) Ln [ zi ( x)] ∑ Δ*i ( x0 ) i =1 g ( x) = ∑ * Ln [ zi ( x)] , H (η , x) = . (24) W (η ) i =1 W ( x0 ) Тогда разрешающее уравнение для уравнения (1) запишется m

x

b

x0

a

g ( x) + ∫ H (η , x) F (η )dη + λ ∫ K ( x, y ) F ( y )dy = 0 . Решим это разрешающее смешанное интегральное уравнение в более общем виде x

b

x0

a

g ( x) + μ ∫ H (η , x) F (η )dη + λ ∫ K ( x, y ) F ( y )dy = 0 .

(25)

Сначала продифференцируем это уравнение и сведем его к

94

уравнению вида (11)

g ′( x) + μ H ( x, x) F ( x) +

x

b

x0

a

+ μ ∫ H x′ (η , x) F (η ) dη + λ ∫ K x′ ( x, y ) F ( y )dy = 0 .

(26)

Считая, что H ( x, x) ≠ 0 ; g(x), H (η , x) , K(x,y) имеют непрерывные производные по x на [a,b], и поделив (26) на μ H ( x, x) ≠ 0 , получим F ( x) = −

b x K ′ ( x, y ) H ′ (η , x) g ′( x) − λ∫ x F ( y )dy − ∫ x F (η )dη . H ( x, x ) μ H ( x, x ) μ H ( x, x ) a x0

Если же H ( x, x) = 0 , то можно еще раз продифференцировать и так до тех пор, пока H ( kk −−11) ( x, x) ≠ 0 , после k –го дифференцирования. x

Введем обозначения K ′ ( x, y ) H ′ (η , x) g ′( x) , K * ( x, y ) = − x , H * (η , x) = − x , (27) g * ( x) = − H ( x, x ) μ H ( x, x ) μ H ( x, x ) тогда получим разрешающее уравнение вида (11) b

x

a

x0

F ( x) = g * ( x) + λ ∫ K * ( x, y )F ( y )dy + ∫ H * (η , x)F (η )dη .

(28)

Пусть R (η , x,1) – резольвента ядра H ∗ (η , x) при μ = 1 , тогда аналогично, как и ранее, получим x

F ( x) = G * ( x, λ ) + ∫ R(η , x;1) G * (η , λ )dη ,

(29)

x0

где G * ( x, λ ) = g * ( x) + g1* ( x)λ + g 2* ( x)λ 2 + ... + g k * ( x)λ k + ...,

(30)

b

g k * ( x) = ∫ K * ( x, y )ϕ k −1 ( y )dy, k = 1, 2,...,

(31)

a

x

ϕ k ( x, μ ) = g k * ( x) + ∫ R(η , x;1) g k * (η )dη , k = 1, 2,... .

(32)

x0

Если положить g 0* ( x) = g * ( x) , то рекуррентные формулы для нахождения g k * ( x), k = 1, 2,... , запишутся

95

b

g k * ( x) = ∫ K * ( x, y ) g *k −1 ( y )dy + a

b

x

a

x0

+ μ ∫ K * ( x, y ) ∫ R (η , y,1) g *k −1 (η )dη dy , k = 1,2,... .

(33)

………………………………………. Докажем, что ряд (30) сходится абсолютно и равномерно для достаточно малых значений λ . Для этого при a ≤ x ≤ b ; x0 ≤ η ≤ y ;

a ≤ y ≤ b , μ ≠ 0 наложим ограничения 1 ≤ N ; g ′( x) ≤ Q ; K x′ ( x, y ) ≤ M ; R(η , y,1) ≤ R μ H ( x, x ) и оценим по модулю коэффициенты ряда (30):

g * ( x) = −

g ′( x) ≤ QN . μH ( x, x)

Из формул (27) и (33) и наложенных ограничений, имеем b

b

y

a

a

x0

g1* ( x) ≤ ∫ MN ⋅ QNdy + μ ∫ MN ∫ RQNdη dy ≤ ≤ MN 2Q b − a (1 + μ R b − a ) , b

g ( x) ≤ ∫ MN ⋅ MN 2Q b − a (1 + μ R b − a )dy + * 2

a

b

y

a

x0

+ μ ∫ MN ∫ RMN 2Q b − a (1 + μ R b − a )dη dy ≤ 2

3

≤ M N Q b − a (1 + μ R b − a ) + μ M 2 N 3QR b − a (1 + μ R b − a ) = 2

3

2

= M 2 N 3 Q b − a (1 + μ R b − a ) 2 , …………………………………………………………….. k

g k* ( x) ≤ M k N k +1Q b − a (1 + μ R b − a ) k , ……………………………………………………………. Составляем для ряда (30) мажорирующий ряд

96

QN + λ MN 2Q b − a (1 + μ R b − a ) + ... + k

+ λ k M k N k +1Q b − a (1 + μ R b − a ) k + ... ,

который, как ряд составленный прогрессии, будет сходиться для

λ <

из

членов

геометрической

1 MNQ b − a (1 + μ R b − a )

(34)

и, следовательно, ряд (30) для этих значений λ будет сходиться абсолютно и равномерно. В решение (29) войдут пока неопределенные постоянные Сn +1 , Сn + 2 , ..., Сn + p , которыми распорядимся так, чтобы решение (29) удовлетворяло уравнению (25). Рассмотрим далее как это можно сделать, для этого выпишем g(x) и подставим Сi , i = 1, n из (22): m

n

11 1p Δ10 i ( x0 ) − Cn +1Δ i ( x0 ) − .... − Cn + p Δ i ( x0 )

i =1

i =1

W * ( x0 )

g ( x) = ∑ Ci Ln [ zi ( x) ] = ∑

Ln [ zi ( x) ] +

m

+ ∑ Ci Ln [ zi ( x) ] + ... = i = n +1

n ⎧ ⎫ Δ ( x0 ) Δ11 ( x ) Ln [ zi ( x) ] + Cn +1 ⎨ Ln [ zn +1 ( x)] − ∑ i * 0 Ln [ zi ( x)]⎬ + ... + i =1 W ( x0 ) i =1 W ( x0 ) ⎩ ⎭ n

=∑

10 i *

n ⎧ ⎫ Δ1 p ( x ) +Cn + p ⎨ Ln ⎣⎡ zn + p ( x) ⎦⎤ − ∑ i * 0 Ln [ zi ( x)]⎬ = i =1 W ( x0 ) ⎩ ⎭ = d 0 ( x) − Cn +1d1 ( x) − Cn + 2 d 2 ( x) − ... − Cn + p d p ( x) ,

где n Δ10 Δ11 i ( x0 ) i ( x0 ) L z ( x ) d ( x ) = L z ( x ) − Ln [ zi ( x) ] , , [ ] [ ] ∑ n i n n +1 1 * * i =1 W ( x0 ) i =1 W ( x0 ) n

d 0 ( x) = ∑

n Δ1i p ( x0 ) ⎡ ⎤ Ln [ zi ( x) ] . … , d p ( x) = Ln ⎣ zn + p ( x) ⎦ − ∑ * W (x ) i =1

0

Найдем производную функции g ( x) :

g ′( x) = d 0′ ( x) + C n+1d1′( x) + C n+ 2 d 2′ ( x) + ... + C n+ p d ′p ( x) . Из формул (27) и (33) найдем g ∗ ( x) и g k∗ ( x) ; k=1,2,3, … . И проделаем аналогичные преобразования, что и для функции g(x):

97

g * ( x) = −

d 0′ ( x) + Cn +1d1′( x) + Cn + 2 d 2′ ( x) + ... + Cn + p d ′p ( x)

μ H ( x, x )

=

A00 ( x ) 01 ( x ) 64 74 8 64A74 8 d 0′ ( x) d1′( x) = + Cn +1 + μ H ( x, x ) μ H ( x, x ) A

A0 p ( x )

( x)

6474 8 6402 74 8 d ′p ( x) d 2′ ( x) + Cn + 2 + ... + Cn + p = μ H ( x, x ) μ H ( x, x )

= A00 ( x) + C n+1 A01 ( x) + C n+ 2 A02 ( x) + ... + C n+ p A0 p ( x) , b

g1* ( x) = ∫ K * ( x, y ) g * ( y )dy + a

b

x

+ μ ∫ K ( x, y ) ∫ R (η , y;1) g * (η )dη dy = *

a

x0

A00 ( y ) A01 ( y ) ⎡ 64 74 8 64 74 8 ⎢ d 0′ ( y ) d1′( y ) * = ∫ K ( x, y ) ⎢ + Cn +1 + μ H ( y, y ) a ⎢ μ H ( y, y ) ⎢⎣ A p ( y) A02 ( y ) 64074 8⎤ 64 74 8 d ′p ( y ) ⎥ d 2′ ( y ) ⎥ dy + + Cn + 2 + ... + Cn + p μ H ( y, y ) μ H ( y, y ) ⎥ ⎥⎦ b

A00 (η ) A01 (η ) ⎡ 64 74 8 64 74 8 ⎢ ′ ′ d ( η ) d ( η ) 1 + ∫ K * ( x, y ) ∫ R (η , y;1) ⎢ 0 + Cn +1 + μ H ( η , η ) μ H (η ,η ) a x0 ⎢ ⎢⎣ b

y

98

A0 p (η )

A02 (η ) 6474 8⎤ 64 74 8 ⎥ ′ d ( η ) ′ d 2 (η ) p ⎥ dη dy = + Cn + 2 + ... + Cn + p μ H (η ,η ) μ H (η ,η ) ⎥ ⎥⎦ A00 ( y ) A00 (η ) ⎡ ⎤ 64 74 8 64 74 8 y b ⎢b * ⎥ d 0′ ( y ) d 0′ (η ) * dy + ∫ K ( x, y ) ∫ R (η , y;1) dη dy ⎥ + = ⎢ ∫ K ( x, y ) μ H ( y, y ) μ H (η ,η ) a x0 ⎢a ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥

A01 ( y ) A01 (η ) ⎡ ⎤ 64 74 8 64 74 8 y b b ⎢ * ⎥ ′ d1′( y ) d ( η ) dy + ∫ K * ( x, y ) ∫ R (η , y;1) 1 dη dy ⎥ + +Cn +1 ⎢ ∫ K ( x, y ) μ H ( y, y ) μ H (η ,η ) a x0 ⎢a ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

…………………………………………………………… A p ( y) A p (η ) ⎡ ⎤ 64074 8 64074 8 ⎢b ⎥ y b d ′p ( y ) d ′p (η ) dy + ∫ K * ( x, y ) ∫ R (η , y;1) dη dy ⎥ = + Cn + p ⎢ ∫ K * ( x, y ) ⎢a ⎥ μ H ( y, y ) μ H (η ,η ) a x0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

= A10 ( x) + Cn +1 A11 ( x) + Cn + 2 A12 ( x) + ... + Cn + p A1 p ( x) . Здесь

через

A10 ( x), A11 ( x), A12 ( x), ..., A1 p ( x)

соответственно

обозначены выражения в квадратных скобках. Аналогично найдем y b ⎡ * ⎤ * * g 2 ( x) = ∫ K ( x, y ) ⎢ g1 ( y ) + ∫ R (η , y;1) g1* (η )dη dy ⎥ dy = a x0 ⎣⎢ ⎦⎥ y b ⎡b ⎤ = ⎢ ∫ K * ( x, y ) A10 ( y )dy + ∫ K * ( x, y ) ∫ R(η , y;1) A10 (η )dηdy ⎥ + ⎢⎣ a ⎥⎦ a x0 y b ⎡b * ⎤ * + C n +1 ⎢ ∫ K ( x, y ) A11 ( y )dy + ∫ K ( x, y ) ∫ R(η , y;1) A11 (η )dηdy ⎥ + ⎢⎣ a ⎥⎦ a x0

………………………………………………………

99

y b ⎡b * ⎤ * + C n + p ⎢ ∫ K ( x, y ) A1 p ( y )dy + ∫ K ( x, y ) ∫ R(η , y;1) A1 p (η )dηdy ⎥ = ⎢⎣ a ⎥⎦ a x0

= A20 ( x) + C n +1 A21 ( x) + C n+ 2 A22 ( x) + ... + C n+ p A2 p ( x) , где через

A20 ( x), A21 ( x), ..., A2 p ( x)

соответственно обозначены

выражения в квадратных скобках. …………………………………………………… *

g k ( x) = Ak 0 ( x) + C n+1 Ak1 ( x) + C n+ 2 Ak 2 ( x) + ... + C n+ p Akp ( x) , где b

y

b

Ak 0 ( x) = ∫ K ( x, y ) Ak −1, 0 ( y )dy + ∫ K ( x, y ) ∫ R (η , y;1) Ak −1, 0 (η )dηdy , *

a

*

a

x0

…………………………………………………….. b

y

b

Akp ( x) = ∫ K ( x, y ) Ak −1, p ( y )dy + ∫ K ( x, y ) ∫ R(η , y;1) Ak −1, p (η )dηdy , *

a

*

a

x0

…………………………………………………….. По формуле (30) найдем

G * ( x, λ ) = A00 ( x) + C n+1 A01 ( x) + C n+ 2 A02 ( x) + ... + C n+ p A0 p ( x) +

[ + λ [A

] ( x)] +

+ λ A10 ( x) + C n+1 A11 ( x) + C n+ 2 A12 ( x) + ... + C n+ p A1 p ( x) + 2

20

[

( x) + C n+1 A21 ( x) + C n+ 2 A22 ( x) + ... + C n+ p A2 p

………………………………………………………

]

+ λ Ak 0 ( x) + C n+1 Ak1 ( x) + C n+ 2 Ak 2 ( x) + ... + C n+ p Akp ( x) + ... . k

Так как доказано, что этот ряд сходится абсолютно для достаточно малых λ , то его члены можно перегруппировать: G * ( x, λ ) = [ A00 ( x) + λ A10 ( x) + λ 2 A20 ( x) + ... + λ k Ak 0 ( x) + ...] + +Cn +1[ A01 ( x) + λ A11 ( x) + λ 2 A21 ( x) + ... + λ k Ak1 ( x) + ...] +

+Cn + 2 [ A02 ( x) + λ A12 ( x) + λ 2 A22 ( x) + ... + λ k Ak 2 ( x) + ...] + …………………………………………………

+Cn + p [ A0 p ( x) + λ A1 p ( x) + λ 2 A2 p ( x) + ... + λ k Akp ( x) + ...] =

100

= G0 ( x) + C n+1G1 ( x) + ... + C n+ p G p ( x) , где

через

G0 ( x), G1 ( x), ..., G p ( x)

соответственно

обозначены

сходящиеся ряды в квадратных скобках. И окончательно по формуле (29) найдем F(x): x

F ( x) = G * ( x, λ ) + ∫ R (η , x;1)G * (η , λ )dη = x0

= G0 ( x) + Cn +1G1 ( x) + ... + Cn + p G p ( x) + x

+ ∫ R (η , x;1) ⎣⎡G0 (η ) + Cn +1G1 (η ) + ... + Cn + p G p (η ) ⎦⎤ dη = x0

x ⎡ ⎤ = ⎢G0 ( x) + ∫ R (η , x;1)G0 (η )dη ⎥ + ⎢⎣ ⎥⎦ x0 x ⎡ ⎤ +Ст +1 ⎢G1 ( x) + ∫ R (η , x;1)G1 (η )dη ⎥ + ... + x0 ⎣⎢ ⎦⎥ x ⎡ ⎤ +Ст + p ⎢G p ( x) + ∫ R(η , x;1)G p (η )dη ⎥ = x0 ⎣⎢ ⎦⎥

= E0 ( x) + Cn +1 E1 ( x) + ... + Cn + p E p ( x) , где

через

E0 ( x), E1 ( x), ..., E p ( x)

соответственно

обозначены

выражения в квадратных скобках. Найденное выражение для F(x) и вычисленное значение g(x) по формулам в (24) подставляем в (25): d 0 ( x) + Cn +1d1 ( x) + Cn + 2 d 2 ( x) + ... + Cn + p d p ( x) + x

+ μ ∫ H (η , x) ⎡⎣ E0 (η ) + Cn +1 E1 (η ) + ... + Cn + p E p (η ) ⎤⎦ dη + x0

b

+ λ ∫ K ( x, y ) ⎡⎣ E0 ( y ) + Cn +1 E1 ( y ) + ... + Cn + p E p ( y ) ⎤⎦ dy = 0 . a

или, перегруппировав слагаемые, найдем x b ⎡ ⎤ ⎢d 0 ( x) + μ ∫ H (η , x)E0 (η )dη + λ ∫ K ( x, y ) E0 ( y )dy ⎥ + ⎢⎣ ⎥⎦ x0 a

101

x b ⎡ ⎤ + C n +1 ⎢d1 ( x) + μ ∫ H (η , x)E1 (η )dη + λ ∫ K ( x, y ) E1 ( y )dy ⎥ + ⎢⎣ ⎥⎦ x0 a

……………………………………………………. x b ⎡ ⎤ + C n + p ⎢d p ( x) + μ ∫ H (η , x)E p (η )dη + λ ∫ K ( x, y ) E p ( y )dy ⎥ = 0 . ⎢⎣ ⎥⎦ x0 a

Откуда, обозначив квадратные скобки соответственно через −Φ 0 ( x), Φ1 ( x), ..., Φ p ( x) , получим

−Φ 0 ( x) + Cn +1Φ1 ( x) + ... + Cn + p Φ p ( x) = 0 или Cn +1Φ1 ( x) + ... + Cn + p Φ p ( x) = Φ 0 ( x) . Это равенство должно выполняться тождественно относительно х. Продифференцируем его (р–1) раз и, подставляя в полученные равенства значение x = x0 , получим систему р уравнений с р неизвестными постоянными:

⎧Cn +1Φ1 ( x0 ) + Cn + 2 Φ 2 ( x ) + ... + Cn + р Φ p ( x0 ) = Φ 0 ( х0 ) , ⎪ ⎪Cn +1Φ1′ ( x0 ) + Cn + 2 Φ′2 ( x0 ) + ... + Cn + р Φ′p ( x0 ) = Φ ′0 ( х0 ) , ⎪ ⎨.................................................................................... ⎪ ( p −1) ( p −1) ( p −10 ⎪Cn +1Φ1 ( x0 ) + Cn + 2 Φ 2 ( x0 ) + ... + Cn + р Φ p ( x0 ) = ⎪ = Φ (0p −10 ( х0 ) . ⎩ Если определитель этой системы Φ1 ( x0 ) Φ 2 ( x0 ) Φ1′ ( x0 ) Φ′2 ( x0 )

(35)

Φ p ( x0 ) ... Φ′p ( x0 ) ≠0 ... ... ... ... Φ1( p −1) ( x0 ) Φ (2p −1) ( x0 ) ... Φ (pp −1) ( x0 ) ...

и все Φ i0 ( x0 ) ≠ 0 одновременно (i = 0,1, 2,..., p − 1) , то постоянные Сn +1 , Сn + 2 , ..., Сn + p определяются единственным образом. Если же все Φ i0 ( x0 ) = 0 одновременно, то для единственности решения необходимо, чтобы этот определитель равнялся нулю. При решении примеров эти факты легко проверяются, так как функции

102

Φ 0 ( х), Φ1 ( х), ..., Φ p ( х) будут определены. Пример 2. Найти решение уравнения 1

z ′( x) − z ( x) + λ x ∫ [ z ′′( y ) + z ′( y )] ydy = 0 0

при начальных условиях z ( x0 ) = z0 = 1 . Положим z ′′( x) + z ′( x) = F ( x) . Сначала находим общее решение однородного уравнения z ′′( x) + z ′( x) = 0 :

k 2 + k = 0; k1 = 0; k 2 = −1; z1 ( x) = 1; z 2 ( x) = e − x , z ( x) = C1 + C 2 e − x . Затем методом вариации произвольной постоянной решение неоднородного уравнения: 0 e− x −x F − e − x −e − x ⎪⎧C1′ ⋅ 1 + C2′ e = 0 , ′= = − x F ( x) , C ⎨ 1 −x −e 1 e− x ⎪⎩C1′ ⋅ 0 − C2′ e = F ( x) , −x 0 −e 1 C2′ =

ищем

0

0 F −x

1 e 0 −e − x

=

1 F ( x) , −e − x

откуда W1 ( x) = −e − x , W2 ( x) = 1, W ( x) = −e − x . Решение исходного уравнения будем искать в форме (6.0):

−eη ⋅ 1 + 1 ⋅ e − x F (η )dη = −e −η x0 x

z ( x) = С1 + С2 e − x + ∫

x

= С1 + С 2 e + ∫ (1 − eη − x ) F (η )dη , −x

x0

x

z ′( x) = −С 2 e − x + ∫ eη − x F (η )dη , x0

103

(**)

−x

−x

откуда 1 = С1 + С2 e 0 или C1 = 1 − C2 e 0 . Подставив z ′( x) и z(x) в исходное уравнение и заменив C1 его выражением через C2 : x

−С2 e + ∫ eη − x F (η )dη − С1 − С2 e − x − −x

x0

x

− ∫ (1 + e

η−x

x0

1

) F (η )dη + λ ∫ yF ( y )dy = 0 , 0

получим разрешающее уравнение С2 e

− x0

x

1

x0

0

− 1 − 2С2 e − x + ∫ (2eη − x − 1) F (η )dη + λ x ∫ yF ( y )dy = 0 .

Вводим обозначения:

g ( x) = C 2 e − x0 − 1 − 2C 2 e − x ; μ = 1; H (η , x) = 2eη − x − 1 , K ( x, y ) = xy; g ′( x) = 2C 2 e − x ; H ( x, x) = 1; K x′ ( x, y ) = y; H x′ (η , x) = −2eη − x и по формулам (27) находим

2C 2 e − x y = −2C 2 e − x , K * ( x, y ) = − = −y , 1 ⋅1 1 ⋅1 − 2eη − x * H (η , x) = − = 2eη − x . 1 Затем, найдем резольвенту ядра H * (η , x) , определив сначала

g * ( x) = −

итерированные ядра x

H 2 (η , x) = ∫ 2e s − x ⋅ 2eη − s ds = *

η

x

22 η −x e ( x −η ) , 1!

H 3 (η , x) = ∫ 2e s − x ⋅ 2 2 eη − s ( s − η )ds = − *

η

23 η − x e ( x −η ) 2 , 2!

…………………………………………………………. x

H r (η , x) = ∫ H ( s, x) H r −1 (η , s )ds = − *

η

104

2r eη − x ( x − η ) r −1 (−1) r , (r − 1)!

⎡ 2 ⎤ 22 2r R (η , x;1) = 2eη − x ⎢1 + ( x − η ) + ( x − η ) 2 + ... + ( x − η ) r + ...⎥ = 2! r! ⎣ 1! ⎦ x −η η − x 2 ( x −η ) 2e e = 2e . g k * ( x); k = 1, 2,3,... :

По формулам (33) определим 1

1

y

0

0

x0

g1* ( x) = ∫ (− y )(−2C 2 e − y )dy + ∫ (− y ) ∫ 2e y −η (−2C 2 e −η )dηdy = 1

1

y

0

0

x0

= 2C2 ∫ ye − y dy + 4C2 ∫ y ∫ e y − 2η dη dy = e y − 2η = 2C2 e (− y − 1) + 4C2 ∫ y 0 −2 0 1

1

−y

y

dy = x0

1

= −4C2 e −1 + 2C2 − 2C2 ∫ y (e− y − e y − 2 x0 ) dy = 0

[

= −4C 2 e + 2C 2 − 2C 2 (− y − 1)e − y − e y − 2 x0 ( y − 1) −1

]

1 0

=

= −4C2 e −1 + 2C2 − 2C2 [ −2e −1 + 1 − e −2 x0 ] = 2C2 e −2 x0 , 1

1

y

0

0

x0

g 2* ( x) = ∫ (− y )2C 2 e −2 x0 dy + ∫ (− y ) ∫ 2e y −η (2C 2 e −2 x0 )dηdy = 1

1

y

0

x0

= −2C2 e −2 x0 ∫ ydy − 4C2 e −2 x0 ∫ y ∫ e y −η dη dy = 0

− 2C2 e −2 x0

2 1

y 2

0

1

y

0

x0

+ 4C2 e −2 x0 ∫ ye y −η

dy = 1

= −C2 e −2 x0 + 4C2 e −2 x0 ∫ y (1 − e y − x0 )dy = 0

1

= −C2 e

−2 x0

+ 4C2 e

−2 x0

⎡ y2 ⎤ y − x0 ⎢ − e ( y − 1) ⎥ = ⎣2 ⎦0

105

⎡1 ⎤ = −C2 e −2 x0 + 4C2 e −2 x0 ⎢ − e − x0 ⎥ = ⎣2 ⎦ −C2 e −2 x0 + 2C2 e −2 x0 − 4C2 e −3 x0 = C2 e −2 x0 (1 − 4e − x0 ) , 1

g3* ( x) = ∫ (− y )C2 e −2 x0 (1 − 4e− x0 ) dy + 0

1

y

0

x0

+ ∫ (− y ) ∫ 2e y −η C2 e −2 x0 (1 − 4e − x0 )dη dy =

= −C 2 e

− 2 x0

(1 − 4e

− x0

1

) ∫ ydy − 2C 2 e

− 2 x0

(1 − 4e

− x0

0

1

y

0

x0

) ∫ y ∫ e y −η dηdy =

1 ⎡1 ⎤ = −C2 e −2 x0 (1 − 4e − x0 ) ⎢ − 2( − e − x0 ) ⎥ = 2 ⎣2 ⎦ 1 1 = −C2 e −2 x0 (1 − 4e − x0 (− + 2e− x0 ) = C2 e−2 x0 (1 − 4e − x0 ) 2 , 2 2

1 g 4* ( x) = C 2 e − 2 x0 (1 − 4e − x0 ) 3 , 4 ………………………………………………………

g k* ( x) =

1 2

k −2

C 2 e −2 x0 (1 − 4e − x0 ) k −1 ,

………………………………………………………………………….. Найденные значения g k* ( x) подставляем в (30): G * ( x, λ ) = −2C2 e − x + 2C2 e −2 x0 λ + C2 e −2 x0 (1 − 4e − x0 )λ 2 + 1 + C2 e −2 x0 (1 − 4e − x0 ) 2 λ 3 + ... + 2 1 + k − 2 C2 e −2 x0 (1 − 4e − x0 ) k −1 λ k + .... = −2C2 e − x + 2 ⎡ ⎤ 1 − 4e − x0 (1 − 4e − x0 ) 2 2 (1 − 4e − x0 ) k k +2C2 e −2 x0 λ ⎢1 + + + ... λ+ λ λ + ...⎥ = k 2 2 2 2 ⎣ ⎦

= −2C 2 e − x +

2C 2 e −2 x0 λ 4C 2 e −2 x0 λ −x = − 2 C e + 2 1 − 4e − x 0 2 − λ (1 − 4e − x0 ) 1− λ 2

106

и согласно (29) находим 4C2 e −2 x0 λ + F ( x) = −2C2 e − x + 2 − λ (1 − 4e − x0 ) 1442443 a

⎡ ⎤ −2 x0 ⎢ ⎥ 4 C e λ 2 + ∫ 2e x −η ⎢ −2C2 e −η + dη = − x0 ⎥ 2 − λ (1 − 4e ) x0 ⎢ 1442443 ⎥ a ⎣ ⎦ x

x

x

x0

x0

= −2C2 e − x + a + ∫ (−4C2 )e x − 2η dη + 2a ∫ e x −η dη = = −2C2 e

−x

e x − 2η + a −4C2 −2

x

− 2ae x −η x0

x x0

=

= −2C2 e − x + a + 2C2 (e − x − e x − 2 x0 ) − 2a (1 − e x − x0 ) = 2e x − x0 (a − C2 e− x0 ) − a . Найдем C2 из условия, чтобы F(x) удовлетворяло разрешающему уравнению (25): x

1

x0

0

С 2 e − x0 − 1 − 2C 2 e − x + ∫ (2eη − x − 1) F (η )dη + λx ∫ yF ( y )dy = 0 , где положив x = x0 , найдем 1

С2 e − x0 − 1 − 2C2 e − x0 + λ x0 ∫ y ⎡⎣ 2e y − x0 (a − C2 e− x0 ) − a ⎤⎦ dy = 0 , 0

1

−С2 e − x0 − 1 + λ x0 ∫ ⎡⎣ 2 ye y − x0 (a − C2 e − x0 ) − ay ⎤⎦ dy = 0 , 0

− С2e

− x0

− 1 + 2λx0 ( y − 1)e

y − x0

(a − C 2 e

− x0

y2 ) − λx 0 a 0 2 1

− С 2 e − x 0 − 1 + 2λ x 0 e − x 0 ( a − C 2 e − x 0 ) − − С 2 e − x0 − 1 + 2λ x 0 e − x0 a − 2λ x 0 C 2 e − 2 x0

107

λx 0 a

1

=0, 0

= 0, 2 λx a − 0 =0, 2

−С2 e − x0 − 1 + 2λ x0 e− x0 −2λ x0 C2 e −2 x0 −

C2 ( − e

− x0

4C2 e −2 x0 λ − 2 − λ (1 − 4e − x0 )

λ x0

4C2 e −2 x0 λ =0, 2 2 − λ (1 − 4e − x0 )

8e −3 x0 λ 2 x0 2e −2 x0 λ 2 x0 −2 x0 + − 2λ x0 e − ) =1, 2 − λ + 4λ e − x0 2 − λ + 4λ e − x0 −2e− x0 + λ e − x0 − 4λ e −2 x0 + 8λ 2 x0 e −3 x0 − C2 2−λ +

−4λ x0 e −2 x0 + 2λ 2 x0 e −2 x0 − 8λ 2 x0 e −3 x0 − 2λ 2 x0 e−2 x0 =1, +4λ e − x0 C2 =

2 − λ + 4λ e − x0 e 2 x0 (2 − λ + 4λ e − x0 ) = = e −2 x0 [(−2 + λ )e x0 − 4λ − 4λ x0 ] (λ − 2)e x0 − 4λ (1 + x0 )

e x0 [e x0 (2 − λ ) + 4λ ] (2 − λ )e x0 + 4λ (1 + x0 ) и по формуле (**) находим решение −

x

z ( x) = С1 + С2 e − x + ∫ (1 − eη − x ) F (η )dη = 1 − С2 e − x0 + С2 e − x + x0

x

+ ∫ (1 + eη − x ) ⎡⎣ 2eη − x0 (a − C2 e − x0 ) − a ⎤⎦ dη = 1 − С2 e− x0 + С2 e − x + x0

x

+ ∫ ⎡⎣ 2eη − x0 (a − C2 e − x0 ) − a − 2e 2η − x − x0 (a − C2 e− x0 ) + aeη − x ⎤⎦ dη = x0

= 1 − С2 e − x0 + С2 e − x + + ⎡⎣ 2eη − x0 (a − C2 e − x0 ) − aη − e 2η − x − x0 (a − C2 e − x0 ) + aeη − x ⎤⎦

x x0

=

= 1 − С2 e − x0 + С2 e − x + [2e x − x0 (a − C2 e− x0 ) − ax − −e x − x0 (a − C2 e − x0 ) + a − 2(a − C2 e − x0 ) +

+ ax0 + e x − x0 (a − C2 e − x0 ) + ae x0 − x ] = = e x − x0 ( a − C2 e − x0 ) + C2 e− x0 − ax − a + ax0 + 1] =

108

⎡ 4C2 e −2 x0 λ ⎤ = e x − x0 ⎢ − C2 e − x0 ⎥ + C2 e − x0 − − x0 ⎣ 2 − λ (1 − 4e ) ⎦ −

4C2 e −2 x0 λ ( x + 1 − x0 ) + 1 = 2 − λ (1 − 4e − x0 )

⎡ 4λ − (2 − λ )e x0 − 4λ = С2 ⎢ e x e −2 x0 + (2 − λ )e x0 + 4λ ⎣

+ e − x0 −

⎤ 4e − x0 λ ( x + 1 − x0 ) ⎥ + 1 = x0 (2 − λ )e + 4λ ⎦

e x0 ⎡⎣e x0 (2 − λ ) + 4λ ⎤⎦ =− × (2 − λ )e x0 + 4λ (1 + x0 ) ⎡ 4e − x0 λ ( x + 1 − x0 ) ⎤ (λ − 2) − x0 × ⎢ e x x0 + − e ⎥ +1 = x0 (2 − λ )e x0 + 4λ ⎦ ⎣ e [(2 − λ )e + 4λ ] e x0 ⎡⎣e x0 (2 − λ ) + 4λ ⎤⎦ =− × (2 − λ )e x0 + 4λ (1 + x0 ) × =

e x (λ − 2) + (2 − λ )e x0 + 4λ − 4λ ( x + 1 − x0 ) +1 = e x0 [(2 − λ )e x0 + 4λ ]

−e x (λ − 2) − (2 − λ )e x0 − 4λ + (2 − λ )e x0 + +4λ ( x + 1 − x0 ) + (2 − λ )e x0 + 4λ (1 + x0 ) , +4λ (1 + x0 )

z ( x) =

e x (2 − λ ) + 4λ ( x + 1) . (2 − λ )e x + 4λ (1 + x0 ) 0

Нетрудно проверить, что найденное решение тождественно удовлетворяет поставленной задаче для любых λ , кроме характеристического 2e x0 λ = x0 . e − 4 − 4 x0

109

Глава III. Решение линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма без использования фундаментальных систем решений внешнего и внутреннего дифференциальных операторов § 1. Преобразования внешнего и внутреннего дифференциальных операторов

Рассмотрим уравнение b

Ln [ z ( x)] + λ ∫ K ( x, y ) Pm [ z ( y )]dy = 0 ,

(1)

a

где Ln [ z ( x)] =

d n z ( x) d n −1 z ( x) a ( x ) + + ... + an ( x) z ( x) , 1 dx n dx n −1

d m z( y) d m −1 z ( y ) b ( y ) + + ... + bm ( y ) z ( y ) 1 dy m dy m −1 …………………………………………….

Pm [ z ( y )] = b0 ( y ) Положим

z ( n ) ( x) = u ( x) ,

(2.0)

тогда x

z ( n −1) ( x) = ∫ u (η )dη + C1 ,

(2.1)

x0

и x0 – любое из отрезка [a,b] при нахождении общего решения, x0 – начальное значение при решении задачи Коши.

z ( n − 2 ) ( x) =

x η

∫ ∫ u(η )dη

2

+ C1 ( x − x0 ) + C2

x0 x0

и по формуле Коши имеем x

z ( n − 2 ) ( x) = ∫ ( x − η )u (η )dη + C1 ( x − x0 ) + C2 , x0

110

(2.2)

x x x

z ( n −3) ( x) = ∫ ∫ ∫ u (η )dη 2 + x0 x0 x0

C1 ( x − x0 ) 2 + C2 ( x − x0 ) + C3 = 2!

x

=

1 C ( x − η ) 2 u (η )dη + 1 ( x − x0 ) 2 + C 2 ( x − x0 ) + C3 , ∫ 2x 2!

(2.3)

0

………………………………………………………… z ( m ) ( x) = z ( n − ( n − m )) ( x) = x

C1 1 ( x − η ) n − m −1 u (η )dη + ( x − x0 ) n − m −1 + ∫ (n − m − 1)! x0 (n − m − 1)!

+

C2 ( x − x0 ) n−m−2 + ... + C n−m−1 ( x − x0 ) + C n−m , (n − m − 2)!

(2.n–m)

z ( m −1) ( x) = z ( n − ( n − m +1)) ( x) = x

=

+

C1 1 ( x − η ) n − m u (η )dη + ( x − x0 ) n − m + ∫ (n − m)! x0 (n − m)!

C2 ( x − x0 ) n−m−1 + ... + C n−m ( x − x0 ) + C n−m+1 , (2.n–m+1) (n − m − 1)! ……………………………………………………… x C1 ( x − x0 ) n − 2 1 n−2 ( x − ) u ( ) d + + η η η (n − 2)! x∫0 (n − 2)!

z ′( x) =

+... + Cn − 2 ( x − x0 ) + Cn −1 , x

z ( x) =

C ( x − x0 ) 1 ( x − η ) n −1 u (η ) dη + 1 ∫ ( n − 1)! x0 (n − 1)! +... + Cn −1 ( x − x0 ) + Cn .

(2.n–1) n −1

+ (2.n)

Найдем Ln [ z ( x)] , подставив полученные выражения для z ( x) , z ′( x), ...., z ( n ) ( x) : x

Ln [ z ( x) ] = u ( x) + a1 ( x) ∫ u (η )dη + a1 ( x)C1 + x0

x

+ a2 ( x) ∫ ( x − η )u (η )dη + a2 ( x)[C1 ( x − x0 ) + C2 ] + x0

111

+

a3 ( x) x C ( x − η ) 2 u (η )dη + a3 ( x)[ 1 ( x − x0 ) 2 + C2 ( x − x0 ) + C3 ] + ∫ 2 x0 2! +... +

+ an −1 ( x)[

C1 C2 ( x − x0 ) n − 2 + ( x − x0 ) n −3 + (n − 2)! (n − 3)! +... + Cn − 2 ( x − x0 ) + Cn −1 ] +

+ an ( x)[

an −1 ( x) x ( x − η ) n − 2 u (η )dη + (n − 2)! x∫0

an ( x) x ( x − η ) n −1 u (η ) dη + ( n − 1)! x∫0

C1 C2 ( x − x0 ) n −1 + ( x − x0 ) n − 2 + (n − 1)! (n − 2)! +... + Cn −1 ( x − x0 ) + Cn ] = x

= u ( x) + ∫ [ a1 ( x) + a2 ( x)( x − η ) + x0

+

⎤ a3 ( x) a ( x) ( x − η ) 2 + ... + n ( x − η ) n −1 ⎥ u (η )dη + 2! (n − 1)! ⎦

+[a1 ( x)C1 + a2 ( x)(C1 ( x − x0 ) + C2 ) + C + a3 ( x)( 1 ( x − x0 ) 2 + C2 ( x − x0 ) + C3 ) + ... + 2! C1 n −1 + an ( x)( ( x − x0 ) + (n − 1)! C2 + ( x − x0 ) n − 2 + ... + Cn −1 ( x − x0 ) + Cn )] . (n − 2)! Введем обозначения − H1 (η , x) = a1 ( x) + a2 ( x)( x − η ) + a ( x) a ( x) ( x − η ) n −1 , + 3 ( x − η ) 2 + ... + n 2! (n − 1)! g1 ( x) = a1 ( x)C1 + a2 ( x)[C1 ( x − x0 ) + C2 ] + + a3 ( x)[

C1 ( x − x0 ) 2 + C2 ( x − x0 ) + C3 ] + ... + 2!

112

+ an ( x)[

C1 ( x − x0 ) n −1 + (n − 1)! C2 + ( x − x0 ) n − 2 + ... + Cn −1 ( x − x0 ) + Cn ] . (n − 2)!

(3)

Тогда выражение для Ln [ z ( x)] перепишется x

Ln [ z ( x) ] = u ( x) − ∫ H (η , x)u (η )dη + g1 ( x) . Теперь найдем Pm [ z ( y )] : Pm [ z ( y ) ] =

(4)

x0

y

b0 ( y ) ( y − η ) n − m −1 u (η )dη + ∫ (n − m − 1)! x0 +b0 ( y )[

C1 ( y − x0 ) n − m −1 C2 ( y − x0 ) n − m − 2 + + ... + ( n − m − 1)! (n − m − 2)! y

+Cn − m −1 ( y − x0 ) + Cn − m ] +

b1 ( y ) ( y − η ) n − m u (η )dη + (n − m)! x∫0 +b1 ( y )[

C1 ( y − x0 ) n − m C2 ( y − x0 ) n − m −1 + + (n − m)! ( n − m − 1)!

y

+... + Cn − m −1 ] + ... +

bm −1 ( y ) ( y − η ) n − 2 u (η )dη + ∫ (n − 2)! x0 +bm −1 ( y )[

C1 ( y − x0 ) n − 2 C2 ( y − x0 ) n −3 + + ... + (n − 2)! (n − 3)!

y

+Cn −1 ] +

bm ( y ) ( y − η ) n −1 u (η )dη + (n − 1)! x∫0 +bm ( y )[

C1 ( y − x0 ) n −1 C2 ( y − x0 ) n − 2 + + ... + Cn ] , (n − 1)! (n − 2)!

y

Pm [ z ( y )] = − ∫ H 2 (η , y ) u (η )dη + g 2 ( y ) , x0

113

(5)

где − H 2 (η , y ) =

b0 ( y ) ( y − η ) n − m −1 + (n − m − 1)! +

g 2 ( y ) = b0 ( y )[

b ( y) b1 ( y ) ( y − η ) n − m + ... + m ( y − η ) n −1 , ( n − m)! (n − 1)!

C1 ( y − x0 ) n − m −1 C2 ( y − x0 ) n − m − 2 + + (n − m − 1)! (n − m − 2)!

+... + Cn − m −1 ( y − x0 ) + Cn − m ] +

+ b1 ( y )[

C1 ( y − x0 ) n−m C 2 ( y − x0 ) n−m−2 + + ... + C n−m−1 ] + .... + (n − m)! (n − m − 1)! C1 ( y − x0 ) n−1 C 2 ( y − x0 ) n−2 + bm ( y )[ + + ... + C n ] . (n − 1)! (n − 2)!

(6)

…………………………………………. § 2. Построение разрешающего интегрального уравнения и его решение

Подставив (4) и (5) в уравнение (1) получим x

u ( x) − ∫ H1 (η , x)u (η )dη − g1 ( x) + x0

b ⎡y ⎤ + λ ∫ K ( x, y ) ⎢ ∫ [− H 2 (η , y )]u (η )dη + g 2 ( y ) ⎥ dy = 0 ⎢⎣ x0 ⎥⎦ a

и положив b

− g1 ( x) + λ ∫ K ( x, y ) g 2 ( y )dy = − g ( x) ,

(7)

a

придем к разрешающему интегральному уравнению смешанного типа Вольтерра-Фредгольма x

b

y

x0

a

x0

u ( x) = g ( x) + ∫ H 2 (η , x)u (η )dη + λ ∫ K ( x, y ) ∫ H 2 (η , y ) u (η )dηdy .

114

(8)

Решение уравнения (8) можно искать в форме ряда

u ( x) = ϕ 0 ( x) + λϕ1 ( x) + λ2ϕ 2 ( x) + ... + λk ϕ k ( x) + ... .

(9)

Ряд (9) подставляем в уравнение (8):

ϕ 0 ( x) + λϕ1 ( x) + λ2ϕ 2 ( x) + ... + λk ϕ k ( x) + ... = b

= g1 ( x) − λ ∫ K ( x, y ) g 2 ( y )dy + a

x

+ ∫ H 2 (η , x)[ϕ 0 (η ) + λϕ1 (η ) + λ 2ϕ 2 (η ) + ... + λ kϕ k (η ) + ...]dη + x0

b

y

a

x0

+ λ ∫ K ( x, y ) ∫ H 2 (η , y )[ϕ 0 (η ) + λϕ1 (η ) + λ 2ϕ 2 (η ) + ... + + λ k ϕ k (η ) + ...] dη dy и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ , получим систему рекуррентных интегральных уравнений Вольтера 2-го рода: x ⎧ ϕ ( x ) = g ( x ) + ⎪ 0 1 ∫ H1 (η , x)ϕ0 (η )dη , x ⎪ 0 ⎪ b ⎪ϕ ( x) = − K ( x, y ) g ( y )dy + 2 ∫a ⎪ 1 ⎪ y b x ⎪ + K ( x , y ) H ( , y ) ( ) d dy + η ϕ η η 0 ⎪ ∫a ∫ 2 ∫ H1 (η , x)ϕ1 (η )dη , x x 0 0 ⎪ y b x ⎪ ⎪ (10) ⎨ϕ 2 ( x) = ∫ K ( x, y ) ∫ H 2 (η , y )ϕ1 (η )dηdy + ∫ H1 (η , x)ϕ 2 (η ) dη , a x0 x0 ⎪ ⎪ ............................................................................. ⎪ y b x ⎪ ⎪ϕ k ( x) = ∫ K ( x, y ) ∫ H 2 (η , y )ϕ k −1 (η ) dηdy + ∫ H1 (η , x)ϕ k (η )dη , ⎪ a x0 x0 ⎪ ⎪ ............................................................................. ⎪ ⎪ ⎪⎩ Введем обозначения q0 ( x) = g1 ( x) ,

115

y

b

q1 ( x) = ∫ K ( x, y )[− g 2 ( y ) + ∫ H 2 (η , y )ϕ 0 (η )dη ] dy , a

x0

y

b

q2 ( x) = ∫ K ( x, y ) ∫ H 2 (η , y )ϕ1 (η ) dηdy , …, a

x0

b

y

a

x0

qk ( x) = ∫ K ( x, y ) ∫ H 2 (η , y )ϕ k −1 (η )dηdy ,

(11)

…………………………………………….. , тогда система (10) перепишется x ⎧ ϕ ( x ) = q ( x ) + ⎪ 0 0 ∫ H1 (η , x)ϕ0 (η )dη , x ⎪ 0 ⎪ x ⎪ϕ ( x) = q ( x) + H (η , x)ϕ (η )dη , 1 1 ∫ 1 ⎪ 1 x0 ⎪⎪ (12) ⎨......................................................... ⎪ x ⎪ϕ ( x) = q ( x) + H (η , x)ϕ (η )dη , k k k ∫ 1 ⎪ x0 ⎪ ⎪.......................................................... ⎪ ⎪⎩ Если Г (η , x;1) – резольвента ядра H1 (η , x) при μ = 1 , то решение этой системы запишется x ⎧ ⎪ϕ 0 ( x) = q0 ( x) + ∫ Г (η , x;1)q0 (η )dη , x0 ⎪ ⎪ x ⎪ϕ ( x) = q ( x) + Г (η , x;1)q (η )dη , 1 1 ∫ ⎪ 1 x0 ⎪⎪ (13) ⎨.......................................................... ⎪ x ⎪ϕ ( x) = q ( x) + Г (η , x;1)q (η )dη , k k ∫ ⎪ k x0 ⎪ ⎪........................................................... ⎪ ⎪⎩

116

ϕ k (x) ,

Подставляя

k = 0,1, 2,...

из

(13)

в

(11),

получим

рекуррентные формулы для q k (x) , k = 0,1, 2,... :

q0 ( x) = g1 ( x) , η

y

b

q1 ( x) = ∫ K ( x, y ){− g 2 ( y ) + ∫ H 2 (η , y )[ q0 (η ) + ∫ Г (t ,η ;1)q0 (t )dt ]dη}dy , a

x0

x0

b

y

η

a

x0

x0

q2 ( x) = ∫ K ( x, y ) ∫ H 2 (η , y )[q1 (η ) + ∫ Г (t ,η ;1)q1 (t )dt ]dηdy , ………………………………………………………… b

y

η

a

x0

x0

qk ( x) = ∫ K ( x, y ) ∫ H 2 (η , y )[qk −1 (η ) + ∫ Г (t ,η ;1)qk −1 (t )dt ]dηdy , (14) ………………………………………………………… Определив по формулам (14) q k (x) , k = 0,1, 2,... и подставив в (13), а затем (13) в (9), найдем решение уравнения (8) x

x

u ( x) = q0 ( x) + ∫ Г (η , x;1)q0 (η )dη + λ[q1 ( x) + ∫ Г (η , x;1)q1 (η )dη ] + x0

x0

x

+... + λ k [qk ( x) + ∫ Г (η , x;1)qk (η ) dη ] + ... = x0

= q0 ( x) + λ q1 ( x) + λ 2 q1 ( x) + ... + λ k qk ( x) + ... + x

+ ∫ Г (η , x;1)[q0 ( x) + λq1 ( x) + λ2 q1 ( x) + ... + λk qk ( x) + ...+ ]dη . x0

Вводя обозначение

Q( x, λ ) = q 0 ( x) + λq1 ( x) + λ2 q1 ( x) + ... + λk q k ( x) + ... ,

(15)

решение перепишем x

u ( x) = Q( x, λ ) + ∫ Г (η , x;1)Q(η , λ )dη .

(16)

x0

Докажем сходимость ряда (15), для этого введем ограничения: g 2 ( x) ≤ g ; q 0 ( x) ≤ q ; K ( x, y ) ≤ K ; H 2 (η , y ) ≤ H ; Г (t , x;1) ≤ Г ; для a ≤ x ≤ b ; a ≤ y ≤ b ; x0 ≤ η < y ; x0 ≤ t < η ; a ≤ x0 ≤ b . Тогда по формулам (14) имеем

117

b

y

η

a

x0

x0

q1 ( x) = ∫ K ( x, y ){− g 2 ( y ) + ∫ H 2 (η , y )[ q0 (η ) + ∫ Г (t ,η ;1) q0 (t )dt ]dη}dy ≤ b

y

η

a

x0

x0

≤ ∫ K {g + ∫ H [q + ∫ Гqdt ]dη}dy ≤ ≤ K { g + H [q + Гq b − a ] b − a } b − a = … = K b − a M , где M = g + Hq[1 + Г b − a ] b − a , b

y

a

x0

η

q2 ( x) = ∫ K ( x, y ) ∫ H 2 (η , y )[q1 (η ) + ∫ Г (t ,η ;1)q1 (t )dt ]dηdy ≤ x0

b

y

η

a

x0

x0

≤ ∫ K ∫ H [ K b − a M + ∫ ГK b − a Mdt ]dηdy ≤ 3

≤ K 2 H b − a M (1 + Г b − a ) , 5

q3 ( x) ≤ K 3 H 2 b − a M (1 + Г b − a ) 2 , ………………………………………………………………….

qk (x) ≤ K k H

k −1

2 k −1

b−a

M (1 + Г b − a ) k − 1 ,

…………………………………………………………............. Составляем мажорирующий ряд для ряда (15) 3

q + λ K b − a M + λ 2 K 2 H b − a M (1 + Г b − a ) + ... + 2 k −1

+ λ k K k H k −1 b − a M (1 + Г b − a ) k −1 + ... . Этот ряд, как ряд составленный из членов геометрической прогрессии, сходится для

λ <

1 2

.

(17)

KH b − a (1 + Г b − a ) Следовательно, для этих значений λ ряд (15) сходится абсолютно

и равномерно. Подставляя (16) в (2.n), получим решение уравнения (1). Ограничения на λ возникли в силу применения рядов, как видно при решении примеров, решения полученные в замкнутом виде удовлетворяют данным уравнениям при всех значениях λ , кроме характекристических.

118

§3. Решение начальной задачи Рассмотрим задачу Коши для случая n > m . Используя начальные данные zi(x0)=z0i, i= 0, n − 1 в соответствии с (2.0)-(2.n–1), найдем

C1 = z 0( n−1) , C 2 = z 0( n−2) , …., C n−1 = z 0′ , C n = z 0 .

(18) Подставляя найденные значения постоянных в решение, определяемое формулой (2.n), где u(x) определяется по формуле (16), получим решение задачи Коши. В случае n < m , n = m + p решение задачи Коши можно найти как и в гл. I, §4, предварительно продифференцировав уравнение (1) p раз

и

вычисляя

лишние

постоянные

Cn +1 , ..., Cn + p

при

последовательном дифференцировании уравнения (1). Пример. Решить уравнение 1

z ′′( x) + z ′( x) − λx ∫ [ z ′( y ) + z ( y )]dy = 0 0

с начальными условиями z (0) = 1 , z ′(0) = 1 . По формулам (2.0)-(2.n) найдем

z ′′( x) = u ( x) ,

x

z ′( x) = ∫ u (η )dη + C1 , 0

x x

z ( x) = ∫ ∫ u (η )dη + C1 ( x − x0 ) + C2 = 0 0

x

= ∫ ( x − η )u (η )dη + C1 ( x − x0 ) + C2 .

(2.2*)

0

Подставляем начальные данные и определяем С1 = 1 , С2 = 1 . Воспользовавшись формулами (3), (6) и (7) составим разрешающее уравнение (8) H 1 (η , x) = −[1] = −1 , g1 ( x) = −[C1 ] = −1 , ⎡ ⎤ 1 1 H 2 (η , y ) = − ⎢ ( y − η ) 2−1−1 + ( y − η ) 2−1 ⎥ = (2 − 1)! ⎣ (2 − 1 − 1)! ⎦ = −1 − ( y − η ) = η − y − 1 ,

119

⎡ C1 ⎤ ⎡ C1 ⎤ C2 g 2 ( y ) = 1⎢ y 2−1−1 ⎥ + 1⎢ y 2−1 + y 2−1−1 ⎥ = (2 − 1 − 1)! ⎣ (2 − 1 − 1)! ⎦ ⎣ (2 − 1)! ⎦ = C1 + C1 y + C2 = y + 2 , 1

g ( x) = g1 ( x) − λ ∫ (− x) g 2 ( y )dy = 0

1

1

y2 5 −1 − λ ∫ (− x)( y + 2)dy = −1 + λ x ( + 2 y ) = λ x − 1 , 2 2 0 0 y

1

x

5 u ( x) = λ x − 1 + λ ∫ (− x) ∫ (η − y − 1)u (η ) dη dy + ∫ (−1)u (η )dη , 2 0 0 0 1

5 u ( x ) = λ x − 1 + λx ∫ 2 0

y

x

0

0

∫ ( y − η + 1)u (η )dηdy − ∫ u (η )dη .

Найдем резольвенту для ядра H 1 (η , x) = −1 , вычислив сначала итерированные ядра x

H 12 (η , x) = ∫ (−1)(−1)ds = x − η , η

x

x

H13 (η , x) = ∫ (−1)( s − η )ds = ∫ (η − s )ds = η

η

x

= (η s −

s2 x2 η2 x2 η2 1 = −( − η x + ) = − ( x − η ) 2 , ) = ηx − −η2 + 2 η 2 2 2 2 2 x

x

1 1 s3 H 14 (η , x) = ∫ (−1)(− )( s 2 − 2sη + η 2 )ds = ( − s 2η + sη 2 ) = 2 2 3 η η 1 x3 η3 1 = ( − x 2η + xη 2 − − η 3 + η 3 ) = ( x − η )3 , 2 3 3 3! ………………………………………………………….

H 1k (η , x) =

(−1) k ( x − η ) k −1 , (k − 1)!

…………………………………………………………. 1 Г (η , x;1) = −1 + ( x − η ) − ( x − η ) 2 + 2!

120

1 (−1) k ( x − η )3 − ... + ( x − η ) k −1 + ... , Г (η , x;1) = −eη − x . 3! (k − 1)! Далее определим коэффициенты ряда (9) по формулам (13), где коэффициенты q k (x) , k = 0,1, 2,... определяются по формулам (11) +

x

x

ϕ 0 ( x) = −1 + ∫ (−eη − x )(−1)dη = −1 + eη − x 0 = −1 + 1 − e − x = −e − x , 0

1

y

0

0

q1 ( x) = ∫ (− x){−( y + 2) + ∫ (η − y − 1)ϕ 0 (η )dη}dy = 1 y

5 = x + x ∫ ∫ ( y − η + 1)ϕ 0 (η )dηdy = 2 0 0 1 y

=

5 x + x ∫ ∫ ( y − η + 1)(−e −η )dηdy = 2 0 0 1

=

y 5 x + x ∫ ( ye −η + (−η − 1)e −η + e −η ) dy = 0 2 0

1

=

5 x + x ∫ ( ye − y − ye − y + e− y − e− y − y + 1 − 1)dy = 2 0 =

5 y2 x−x 2 2

x

1

= 0

5 x x − = 2x , 2 2

x

ϕ1 ( x) = 2 x + ∫ (−e y − x )2 ydy = 2 x − 2e y − x ( y − 1) 0 = 2(1 − e − x ) , 0

1

y

1 y

0 y

0

0 0

1

0

0

q2 ( x) = ∫ (− x) ∫ (η − y − 1)ϕ1 (η )dηdy = 2 x ∫ ∫ ( y − η + 1)(1 − e−η )dηdy = = 2 x ∫ dy ∫ ( y − η + 1 − ye −η + η e −η − e −η )dη = 1

= 2 x ∫ ( yη − 0

1

= 2x∫ ( y2 − 0

η2 2

y

+ η + ye

−η

+ (−η − 1)e

−η

−η

+ e ) dy = 0

2

y + y + ye − y + (− y − 1)e− y + e − y − y + 1 − 1)dy = 2

121

1

= 2x∫ 0

ϕ 2 ( x) =

1

y2 y3 2x dy = x = , 2 3 0 6

x

x x y x 1 + ∫ (−e y − x ) dy = − e y − x ( y − 1) = 0 3 0 3 3 3 x 1 1 2 = − ( x − 1) − e − x = (1 − e − x ) , 3 3 3 6

y

1

q3 ( x) = ∫ (− x) ∫ (η − y − 1)ϕ 2 (η )dηdy = 0

0

2x , 62

x

x 2x 2y 2x 2 + ∫ (−e y − x ) 2 dy = 2 − 2 e y − x ( y − 1) = 2 0 6 6 6 6 0 2x 2 2 2 = 2 − 2 ( x − 1) − 2 e − x = 2 (1 − e − x ) , 6 6 6 6 ……………………………………………………………..

ϕ 3 ( x) =

ϕ k ( x) =

2 6 k −1

(1 − e − x ) ,

…………………………………………………………….. . Находим решение разрешающего уравнения 2 2 u ( x) = −e − x + 2(1 − e − x )λ + (1 − e − x )λ 2 + ... + k −1 (1 − e− x )λ k + ... = 6 6 = −e − x + 2(1 − e − x )λ (1 +

λ

λ2

x

62

+ ... +

λ k −1

+ ...) = 6k −1 1 12λ (1 − e − x ) , = −e − x + 2(1 − e − x )λ = −e − x + 1 6−λ 1− λ 6 12λ u ( x ) = −e − x + (1 − e − x ) . 6−λ Найденное выражение u(x) подставляем в (2.2*) и, учитывая значения C1 , C2 , получим решение исходного уравнения 6

+

z ( x) = ∫ ( x − η )[−e −η + 0

12λ (1 − e−η )]dη + x + 1 = 6−λ

122

x

= ∫ [− xe −η + 0

= [ xe −η +

12λx 12λ (1 − e −η ) + ηe −η − (η − ηe −η )]dη + x + 1 = 6−λ 6−λ

12λ x (η + e −η ) + (−η − 1)e −η − 6−λ x

12λ η 2 ( + η e −η + e −η )] + x + 1 = − 6−λ 2 0 12λ x 2 12λ x − x e − xe− x − e− x − + 6−λ 6−λ 12λ x 2 12λ x − x 12λ − x 12λ x e − e −x− − ⋅ − + 6−λ 2 6−λ 6−λ 6−λ 12λ 6λ x 2 12λ − x 12λ 12λ e − x+ +1 + + x +1= − − e− x + 2 , 6−λ 6−λ 6−λ 6−λ 6−λ 12λ x 2 z ( x) = ( − e − x − x + 1) − e − x + 2 . 6−λ 2 Проверка: = xe − x +

12λ 12λ ( x + e − x − 1) + e − x , z ′′( x) = (1 − e − x ) − e − x . 6−λ 6−λ 12λ 12λx 12λ , z ′′( x) + z ′( x) = (1 − e − x ) − e − x + ( x + e − x − 1) + e − x = 6−λ 6−λ 6−λ z ′( x) =

1

λ x ∫ [ z ′( y ) + z ( y )]dy = 0

1

= λ x∫[ 0

12λ 12λ y 2 ( y + e − y − 1) + e− y + ( − e − y − y + 1) − e − y + 2]dy = 6−λ 6−λ 2 1

6λ 2 2λ 3 2λ 12λ x = λ x∫[ y + 2]dy = λ x ( y + 2 y ) = λ x( + 2) = , 6−λ 6−λ 6−λ 6−λ 0 0 12λ x 12λ x − =0, 6−λ 6−λ т.е. имеем тождество. 1

123

Глава IV. Приближённое решение линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма §1. Решение начальной задачи, не опираясь на фундаментальные системы решений внешнего и внутреннего дифференциальных операторов 1. Постановка задачи и преобразование внешнего дифференциального оператора. Рассмотрим задачу Коши для линейного интегродифференциального уравнения b

Ln[y(x)] = f(x)+λ ∫ K ( x,η ) Pm [ y (η )]dη , a

(s)

y (x0) = y0( s ) (s= 0, n − 1 ),

(1)

где n

Ln[y(x)] = y(n)(x)+ ∑ f i ( x) y ( n −i ) ( x) , Pm[y(η)] = i =1

m

∑ b (η ) y i =0

i

( m −i )

(η ) .

Функции f(x), fi(x) и bi(x)-непрерывны ∀ xє[a,b], а ядро K(x,η)-регулярно в квадрате R[a≤x; η≤b]. Введём новую функцию u(x) = y(n)(x), тогда x n −i −1 c ( x − t ) n−i −1 (i) y (x) = ∫ u (t )dt + ∑ n−i −k ( x − x0 ) k , i= 0, n − 1 , (2) (n − i − 1)! k! k =0 x 0

где y(0)(x) = y(x). Если в (2) положить x=x0, то найдём cn-i=y(i)(x0), i= 0, n − 1 . Выражение внешнего дифференциального оператора Ln[y(x)] через новую неизвестную функцию u(x) будет x

Ln[y(x)] = u(x)-

∫ H ( x, t )u(t )dt + q ( x) , 1

1

(3)

x0

где n

H1(x,t) = - ∑ f i ( x) i =1

( x − t ) i −1 , q1(x) = (i − 1)!

124

n

ck ( x − x0 ) i − k . ( i − k )! k =1 i

∑ f i ( x )∑ i =1

Выражение внутреннего дифференциального оператора Pm[y(η)] через новую неизвестную функцию u(x) будет зависеть от соотношения порядков внешнего и внутреннего дифференциального операторов. 2. Случай, когда порядок внешнего дифференциального оператора больше порядка внутреннего. В этом случае выражение внутреннего дифференциального оператора через новую неизвестную функцию u(x) будет η

Pm[y(η)] = ∫ H 2 (η , t )u (t )dt + q2 (η ) ,

(4)

x0

где bi (η )(η − t ) n−m−i −1 , (n − m − i − 1)! i =0 m

=∑

H2(η,t)

q2(η)

ck (η − x0 ) n−m+i −k = ∑ bi (η ) ∑ . (n − m + i − k )! i =0 k =1 Подставляя выражения дифференциальных операторов (3) и (4) в уравнение (1), получим разрешающее интегральное уравнение m

n − m+i

b

η

x

a

x0

x0

u(x) = Q(x)+λ ∫ K ( x,η ) ∫ H 2 (η , t )u (t )dtdη + ∫ H1 ( x, t )u (t )dt , (5) где b

Q(x) = f(x)-q1(x)+ λ ∫ K ( x,η )q 2 (η )dη . a

Пусть R(x,t;1)-резольвента ядра H1(x,t), тогда b

η

a

x0

u(x) = Q1(x)+λ ∫ K1 ( x,η ) ∫ H 2 (η , t )u (t )dtdη , где x

x

x0

x0

Q1 ( x) = Q( x) + ∫ R ( x, t ;1)Q(t )dt , K1 ( x,η ) + ∫ R ( x, t ;1) K (t ,η )dt.

125

(6)

x

Применив к уравнению (6) оператор V[u(x)]= ∫ H 2 ( x, t )u (t )dt , x0

придём к интегральному уравнению Фредгольма b

V[u(x)] = Q2(x)+ λ ∫ K 2 ( x,η )V [u (η )]dη ,

(7)

a

где x

Q2(x) =

∫ H 2 ( x, t )Q1 (t )dt , K2(x,η) =

x0

x

∫H

2

( x, t ) K1 (t ,η )dt .

x0

Если К2(x,η)-регулярная функция в области квадрата R, то к уравнению (7) полностью применима теория Фредгольма [33], на основании которой могут быть сформулированы следующие теоремы: Теорема 1. Если λ не является собственным числом ядра К2(x,η), то решение задачи Коши для уравнения (1) выразится формулой (2) при i=0, где u(x) находится по формуле u(x) = Q1(x)+ b λ2 b +λ ∫ K1 ( x,η )Q2 (η )dη + K1 ( x,η ) ∫ D(η , s; λ )Q2 ( s )dsdη , (8) D(λ ) ∫a a a b

D(λ) – характеристический полином Фредгольма и D(η,s;λ) минорный ряд Фредгольма. Теорема 2. Если λ*-собственное число ядра К2(x,η) ранга q, тогда задача Коши для уравнения (1), вообще говоря, решения не имеет. Однако, если b

∫ Q ( x)ψ 2

j

( x)dx = 0, j= 1, q ,

a

где функции ψj(x) представляют собой полную систему фундаментальных функций сопряжённого ядра K2*(x,η) = K2(η,x), принадлежащую собственному числу λ*, то решение уравнения (1) с начальными условиями существует, зависит от q произвольных постоянных и выражается формулой (2) при i=0, с функцией u(x), равной 126

b

q

a

i =1

u(x)=Q1(x)+λ ∫ K1 ( x,η )[Q2 (η ) + ∑ ciϕ i (η )]dη + b

b

+λ ∫ K1 ( x,η ) ∫ N (η , s )Q2 ( s )dsdη , a

(9)

a

где ci-произвольные постоянные, φi(x)-полная система фундаментальных функций ядра K2(x,η), принадлежащая собственному числу λ*, а N(η,s) определяется по формуле Фредгольма ⎛η , η1* , ... ,η q* * ⎞ D⎜⎜ λ ⎟⎟ * * s , s , ... , s q 1 ⎠, N(η,s) = ⎝ * * ⎛ x , ... , xq * ⎞ D⎜⎜ 1* λ ⎟⎟ * s , ... , s q 1 ⎝ ⎠ ⎛ x, x1* , ... , xq* * ⎞ λ ⎟⎟ -детерминантные ряды Фредгольма. D⎜⎜ * * s , s , ... , s q ⎝ 1 ⎠ 3.Случай, когда порядок внешнего дифференциального оператора меньше или равен порядку внутреннего. Пусть n≤m, m=n+p, p≥0. Тогда для внутреннего дифференциального оператора получим x

p

Pm[y(η)] =

∑ bi (η )u ( p−i ) (η ) + q3 (η ) + ∫ H 3 (η, t )u (t )dt , i =0

(10)

x0

где c j (η − x0 ) i − j

(η − t ) i −1 q3(η) = ∑ b p +i (η )∑ , H3(η,t) = ∑ b p +i (η ) . (i − 1)! (i − j )! i =1 i =1 j =1 Подставляя выражения (3) и (10) в уравнение (1), придём к разрешающему интегральному уравнению n

i

b

p

a

i =0

u(x) = F(x)+λ ∫ K ( x,η )[∑ bi (η )u

n

η

( p −i )

127

(η ) + ∫ H 3 (η , t )u (t )dt ]dη + x0

x

+ ∫ H1 ( x, t )u (t )dt ,

(11)

x0

где b

F(x) = f(x)-q(x)+ λ ∫ K ( x,η ) P2 (η )dη . a

Пусть R(x,t;1) – резольвента ядра H1(x,t), тогда b

p

a

i =0

u(x)=F1(x)+λ ∫ K1 ( x,η )[∑ bi (η )u

η

( p −i )

(η ) + ∫ H 3 (η , t )u (t )dt ]dη , (12) x0

где x

∫ R( x, t;1) F (t )dt , K1(x,η)= K(x,η)+

F1(x)=F(x)+

x0

x

∫ R( x, t;1) K (t ,η )dt .

x0

Применяя оператор V[u(x)] =

p

x

i =0

x0

∑ bi ( x)u ( p −i ) ( x) + ∫ H 3 ( x, t )u (t )dt

к уравнению (12), придём к интегральному уравнению Фредгольма b

V[u(x)] = F2(x)+ λ ∫ K 3 ( x,η )V [u (η )]dη , a

где p

F2(x) =

∑ bi ( x) F1

( p −i )

i =0

x0

p

K3(x,η) =

∑ b ( x) K i =0

x

( x) + ∫ H 3 ( x, t ) F1 (t )dt ,

i

( p −i ) 1

x

( x,η ) + ∫ H 3 ( x, t ) K1 (t ,η )dt . x0

128

(13)

Решив уравнение (13) и подставив найденное выражение V[u(x)] в (12), найдём u(x) и, затем, в соответствии с формулами (2) при i=0, найдём решение исходного уравнения. В этом случае, как и для n>m, могут быть сформулированы аналогичные теоремы. 4. Приближённое решение задачи Коши при n>m. Ввиду того, что резольвента R(x,t;1) ядра H1(x,t) не всегда находится в замкнутом виде, но всегда её можно найти приближённо, рассмотрим приближённый метод решения уравнения (1) в случае n>m. Пусть |R(x,t;1)- R (x,t;1)|≤r (14) для a≤x; η≤b, a≤t<x, где R (x,t;1) – приближённое значение резольвенты, а r-погрешность. Обозначим через Q1 ( x) , K 1 ( x,η ) , Q 2 ( x) и K 2 ( x,η ) соответственно приближённые значения Q1(x), K1(x,η), Q2(x) и K2(x,η) и, учитывая оценку погрешности (14), оценим разности x

| Q1(x)- Q1 ( x) |≤rl1, где l1 = max | ∫ Q(t )dt | ; a ≤ x ≤b

(15)

x0

x

| K1(x,η)- K 1 ( x,η ) |≤ rl2, где l2 = max | ∫ K (t ,η )dt | ; a ≤ x ;η ≤b

(16)

x0

x

| Q2(x)- Q 2 ( x) |≤rl1l3, где l3 = max | ∫ H 2 ( x, t )dt | ; a ≤ x ≤b

(17)

x0

| K2(x,η)- K 2 ( x,η ) |≤ rl2l3. (18) Применяя теорему о замене ядра интегрального уравнения на близкое [20], определим погрешность решения интегрального уравнения (7) N | λ | h(1+ | λ | β ) 2 |V[u(x)]- V [u ( x)] | ≤ +δ(1+|λ|β) = υ, (19) 1− | λ | h(1+ | λ | β ) где N = max | Q2 ( x) | ≤ max | Q2 ( x) | +rl1l3, a ≤ x ≤b

a ≤ x ≤b

129

b

h= max ∫ | K 2 ( x,η ) − K 2 ( x,η ) | dη ≤rl2l3|b-a|, a ≤ x ≤b

a

b

β= max ∫ | Г ( x,η ; λ ) | dη , a ≤ x ≤b

a

где Г (x,η;λ)-приближённое значение резольвенты ядра K2(x,η), δ = max | Q2(x)- Q 2 ( x) |=rl1l3. a ≤ x ≤b

В соответствии с (6), используя неравенство (19), получим | u(x)- u (x) |≤rl1+|λ|(υl4+rl2l5), (20) b

b

a

a

где l4 = max | ∫ K1 ( x,η )dη | , l5 = | ∫ V (η )dη |. a ≤ x ≤b

И окончательно, в соответствии с (2) при i=0, учитывая неравенство (20) найдём [rl + | λ | (ν l 4 + rl 2 l5 )]l6 | y(x)- y (x)| = 1 , (21) (n − 1)! x

где l6 = max | ∫ ( x − η ) n−1 dη | . a ≤ x ≤b

x0

Нетрудно заметить, что погрешность решения, вычисленная по формуле (21), прямо пропорциональна величине r, так как δ и h, а, следовательно, и υ в (19), выражаются через r прямо пропорционально. Пример 1. Найдём решение уравнения 1

y ′′ + xy ′ = λ x ∫ y (η )dη , 0

1 при λ= , с начальными условиями y(0)=1, y ′ (0)=0. 2 x

Вводим обозначение u = y ′′ , тогда y = ∫ ( x − t )u (t )dt + 1 . x0

В соответствии с обозначениями в (5) находим Q(x) = (λ-1)x, H1(x,t) = x(t-x) и H2(η,t) = η-t. 130

Используя итерированные ядра, найдём 3 x 5 x 4t t4 2 t − + x ( − 1) + x(t − ) , R (x,t;1)=H1(x,t)+H12(x,t) = 12 6 6 12 1 = r. причём |R(x,t;1)- R (x,t;1)| ≤ 504 Далее в соответствии с обозначениями в (6) и (7) находим x4 x7 x4 x7 ), K 1 ( x,η ) = x + , Q1 ( x) = (λ-1)(x - + 6 180 6 180 x3 x6 x9 x3 x6 x9 + ), K 2 ( x,η ) = − + . Q 2 ( x) = (λ-1)( − 6 180 12960 6 180 12960 Определим резольвенту ядра K 2 ( x,η ) x3 x6 x9 − + D( x,η ; λ ) 6 180 12960 , Г (x,η;λ) = = 37087 D (λ ) λ 1− 907200 тогда приближённое решение уравнения (7) запишется 37087λ x3 x6 x9 V[u(x)] = (λ-1)a( − + ), где a = 1+ . 6 180 12960 907200 − 37087λ Подставляя найденное решение уравнения (7) в (6) и, затем, (6) в (2) при i=0, получим 37087λ a x3 x6 x9 y(x) = (λ-1)( + + )+1. +1)( 907200 6 180 12960 Погрешность полученного решения, подсчитанная по формуле (21), не превосходит |y(x)- y (x)|≤0,0017 для всех xє[0,1]. 5. Приближённое решение задачи Коши при n≤m. Найдём оценку погрешности приближённого решения в случае n≤m, n=m+p. Обозначим через R (x,t;1), F1 (x), K 1 ( x,η ) , F2 (x), K 2 ( x,η ) , V [u(x)] соответственно приближённые значения R(x,t;1), F1(x), K1 ( x,η ) , F2(x), K 2 ( x,η ) , V[u(x)]. Пусть |R(x,t;1)- R (x,t;1)| = |r(x,t;1)|≤ r (22) при a≤x; η≤b, a≤t<x, где r=max|r(x,t;1)|.

131

Для подсчёта погрешности приближённого решения потребуется оценить d i ∂ j r ( x, x;1) ∂ j r ( x, x;1) и , i= 0, p , j= 1, p dx i ∂x j ∂x j (где частные производные берутся только по первому аргументу). Для этого воспользуемся интегральным уравнением резольвенты x

R(x,t;1) = H1(x,t)+ ∫ H 1 ( x, s ) R ( s, t ;1)ds

(23)

t

и уравнением x

R (x,t;1) = H1(x,t)+ ∫ H 1 ( x, s )[ R( s, t ;1) − H 1k ( s, t )]ds

(24)

t

для укороченной резольвенты, справедливость которого легко доказать, расписывая R (x,t;1) через итерированные ядра. Вычитая из уравнения (23) уравнение (24) и, затем, дифференцируя полученное равенство, последовательно можем оценить производные функции r(x,t;1) d i ∂ j r ( x, x;1) ∂ j r ( x, x;1) | ≤ rj, j=1, p . ≡ 0, а | (25) dx i ∂x j ∂x j Используя соотношения (22) и (25), найдём x

| F1(x)- F1 ( x) | ≤ riq1, i= 0, p , где q1 = max | ∫ F (t )dt | и r0=r; (26) (i)

a ≤ x ≤b

x0

x

| K1(x,η) - K 1 ( x,η ) | ≤riq2, i= 0, p , где q2 = max | ∫ K (t ,η )dt | . (i ) x

a ≤ x ; η ≤b

x0

(27) Далее, учитывая оценки погрешностей (26) и (27), получим оценки p

|F2(x)- F2 ( x) |≤( ∑ rp −i β i +rq3)q1,|K3(x,η) K 3 ( x,η ) |≤ i =0

132

p

≤( ∑ rp −i β i +rq3)q1,

(28)

i =0

x

где βi = max | bi ( x) | , q3 = max| ∫ H 3 ( x, t )dt |. a ≤ x ≤b

x0

Применяя теорему о замене ядра интегрального уравнения на близкое [1], определим погрешность приближённого решения уравнения (13) N | λ | h(1+ | λ | β ) 2 |V[u(x)]- V [u ( x)] | ≤ +δ(1+|λ|β) = σ, (29) 1− | λ | h(1+ | λ | β ) p

где N = max | F2 ( x) | ≤ max | F2 ( x) | +( ∑ rp −i β i + rq3)q1, a ≤ x ≤b

a ≤ x ≤b

i =0

b

p

a

i =0

h = max ∫ | K 3 ( x,η ) − K ( x,η ) | dη ≤( ∑ rp −i β i + rq3)q2|b-a|, a ≤ x ≤b

b

β = max ∫ | Г ( x,η ; λ ) | dη ( Г ( x,η ; λ ) - резольвента ядра a ≤ x ≤b

a

K 3 ( x,η ) ), p

δ = max | F2 ( x) − F2 ( x) | = ( ∑ rp −i β i +rq3)q1. a ≤ x ≤b

i =0

В соответствии с (12), используя неравенство (29), получим |u(x)- u (x)|≤rq1+|λ|(σq4+rq2q5), (30) b

b

a

a

где q4 = max | ∫ K1 ( x,η )dη | , q5= | ∫ V (η )dη | . a ≤ x ≤b

И окончательно, в соответствии с (2) при i=0, учитывая неравенство (30), найдём [rq + | λ | (σ q4 + rq2 q5 ] q6 |y(x)- y (x)|≤ 1 , (31) (n − 1)! x

где q6 = max | ∫ ( x − t ) n−1 dt | , a ≤ x ≤b

x0

133

т.е. для оценки погрешности получена аналогичная формула, что и в случае n>m. Пример 2. Найдём решение задачи Коши 1 x3 x y ′′ + y ′ = (x+ ) ∫ y ′′′(η )dη ; y(1)=0, y′ (1)=1. 50 0 25 Вводим обозначение u = y ′′ , тогда x

x

1

1

y′ = ∫ u (t )dt + 1 , y= ∫ ( x − t )u (t )dt + x − 1 . В соответствии с обозначениями в (11) находим x x F(x) = - , H3( η , t ) = 0, H1(x,t) = - . 25 25 x 1 Возьмём R (x,t;1)= - , тогда |R(x,t;1)- R (x,t;1)|≤ = r. 25 1250 Далее в соответствии с обозначениями в (12) и (13) находим x 3 − 51x 5101x − x 5 F1 (x) = , K 1 ( x,η ) = , 1250 5000 3x 2 − 51 5101 − 5 x 4 F2 (x) = , K 2 ( x,η ) = . 1250 5000 Определяем резольвенту ядра K 2 ( x,η ) D( x,η ; λ ) 5 x 4 − 5101 = D (λ ) 100 и приближённое решение уравнения (13) запишется x3 x5 4999x . + V ( x) = 2500 1250 2500 Подставляя найденное решение уравнения (13) в формулу (12) и, затем, решение (12) в формулу (2) при i=0, получим x x5 x7 21877 4999 x 3 y (x) = + + + 65625 15000 15000 2500 105000 Вычитая из уравнения (23) уравнение (24) и дифференцируя обе части полученного равенства, найдём Г ( x ,η ; λ ) =

134

∂r ( x, t ;1) | ≤ 0,0025 = r1. ∂x Вычислив q1, q2, q3, σ, q4, q5, q6 по формулам (26), (27), (28), (29), (30), (31) для погрешности полученного решения по формуле (31) находим оценку |y(x)- y (x)|≤0,0067 для всех x∈[0,1]. |

x3 −1 , можно 3 найти более точную оценку погрешности полученного решения |y(x)- y (x)|≤0,0001 для всех x ∈ [0,1]. Зная точное решение исходного уравнения y=

§2 Решение краевой задачи 1. Постановка задачи и преобразование производных Рассмотрим краевую задачу для линейного интегродифференциального уравнения b m

Ln[y(x)] =f(x)+λ ∫ ∑ K i ( x,η ) y ( m−i ) (η )dη ,

(1)

a i =0

где n

Ln[y(x)] =y (x)+ ∑ ai ( x) y ( n−i ) ( x) , (n)

i =1

с линейными краевыми условиями n −1

∑[α i =0

ij

y (i ) ( x0 ) + β ij y ( i ) ( x1 )] =γ j , j = 0, n − 1

(2)

причем x0 ∈ [a, b] и x1 ∈ [a, b] , x0 < x1 . Функции f (x) и ai (x) непрерывны при любом x ∈ [a, b] , а ядра K i ( x,η ) - регулярны в ⎡a ≤ x ≤ b ⎤ R⎢ α ij , β ij и γ j ⎥ . Коэффициенты ⎣a ≤ η ≤ b⎦ постоянные числа. Задача (1)-(2) решалась рядом авторов [9],[14],[23],[26]-[28] и др. Покажем, что решение задачи (1)-(2) может быть сведено к

области

135

решению задачи Коши при начальном значении x0 (или x1 ), что дает эффективный приближенный метод решения краевой задачи для уравнения (1), если возникают трудности при отыскании решения в замкнутом виде. Отметим, что в этом методе не надо, как это обычно делается, предполагать дифференцируемость ядер по x в случае n ≤ m . Введем новую функцию y ( n ) ( x) = u ( x) , тогда x

n −i −1 C n −i − k 1 n −i −1 y ( x) = ( x − t ) u ( t ) dt + ( x − x0 ) k , ∑ ∫ k! (n − i − 1)! x k =0 (i )

(3)

0

i = 0, n − 1 , где y ( 0 ) ( x) = y ( x) . Если в (3) положить x = x0 , то получим y (i ) ( x0 ) = C n−i и соотношения (3) перепишутся так: x n −1−i ( i + k ) ( x0 ) y ( x − t ) n−i −1 y (i ) ( x) = ∫ u (t )dt + ∑ ( x − x0 ) k , i = 0, n − 1 . (4) n − i − k ( 1 )! ! k =0 x 0

При x = x1 из (4) имеем x1

y (i ) ( x1 ) = ∫ x0

n −1−i ( i + k ) ( x0 ) y ( x1 − t ) n−i −1 u (t )dt + ∑ ( x1 − x0 ) k , i = 0, n − 1 .(5) k (n − i − 1)! ! k =0

Подставляем выражения для производных y ( i ) ( x1 ) (5) в условия (2) n −1

∑[α ij y (i ) ( x0 ) + β ij i =0

n −1

γ j −∑ i −0

β ij

y ( i + k ) ( x0 ) ( x1 − x0 ) k ] = ∑ k ! k =0

n −1−i

x1

(n − i − 1)! x∫

( x1 − t ) n−i −1 u (t )dt ,

0

j = 0, n − 1 или, группируя члены с одноимёнными производными, получим систему n линейных неоднородных алгебраических уравнений с неизвестными y (i ) ( x0 ), i = 0, n − 1 . n −1

i

i =0

k =0

∑[α ij +∑ β kj

( x1 − x0 ) i −k ( i ) ] y ( x0 ) = (i − k )!

136

n −1

γi −∑ j =0

β ij

x1

(x (n − i − 1)! ∫

1

− t ) n−i −1 u (t )dt , j = 0, n − 1 .

(6)

x0

Обозначим определитель этой системы через Δ i ( x1 − x0 ) i −k Δ =det [α ij + ∑ β kj ]. (i − k )! k =0 Пусть Δ ≠ 0, тогда , обозначив через Δ ij миноры определителя Δ с их знаками, получим n −1

y ( i ) ( x0 ) =

n −1

β kj

x1

∑[γ − ∑ (n − k − 1)! ∫ ( x j

j =0

1

k =0

− t ) n−k −1 u (t )dt ]Δ ij

x0

(7)

,

Δ

i = 0, n − 1 2. Случай, когда порядок внешнего оператора больше порядка внутреннего.

дифференциального

m

∑ K ( x,η ) y

Найдем выражения Ln [ y ( x)] и

i =0

( m −i )

i

(η ) через

новую функцию u ( x) x

x1

x0

x0

Ln [ y ( x)] = u ( x) + λ ∫ H1 ( x, t )u (t )dt + Ф1 ( x) − λ ∫ N1 ( x, t )u (t )dt ,

где ai ( x)( x − t ) i −1 , λ (i − 1)! i =1 i n −1 n −1 γ Δ ( x − x0 ) k j ij ], Ф1 ( x) = ∑ [∑ a n −i − k ( x ) ∑ Δ k =0 k! i =0 j =0 n

H 1 ( x, t ) = ∑

β kj ( x1 − t ) n−k −1 Δ ij N1 ( x ) = ∑ [ ∑ λΔ(n − k − 1)! i =0 k = 0 n −1 n −1

m

∑ K ( x,η ) y i =0

i

η

( m −i )

i

∑ a n −i + k ( x ) k =0

( x − x0 ) k ]; k!

(η ) = ∫ H 2 ( x,η , t )u (t )dt + Ф2 ( x,η ) − x0

137

(8)

x1

− ∫ N 2 ( x,η , t )u (t )dt ,

(9)

x0

где K i ( x,η )(η − t ) n−i −1 H 2 ( x,η , t ) = ∑ , (n − i − 1)! i =0 m

n −1

n −1

i =0

k =0

N 2 ( x,η , t ) = ∑ ϕ i ( x,η )∑

n −1

n −1

i =0

j =0

Ф2 ( x,η ) = ∑ ϕ i ( x,η )∑

γ j Δij Δ

,

β kj ( x1 − t ) n−k −1

и Δ(n − k − 1)! K m ( x,η )(η − x0 ) i K m−1 ( x,η )(η − x0 ) i −1 + ϕ i ( x,η ) = +L+ i! (i − 1)! K ( x,η )(η − x0 ) i −m + 0 . (i − m)! Подставляя выражения (8) и (9) в уравнение (1), придем к интегральному уравнению смешанного типа Вольтерра Фредгольма x1

x

u ( x) + λ ∫ H1 ( x, t )u (t )dt + Ф1 ( x) − λ ∫ N1 ( x, t )u (t )dt = x0

x0

b η

b

= f ( x) + λ ∫ ∫ H 2 ( x,η , t )u (t )dtdη + λ ∫ Ф2 ( x,η )dη − a x0

a

b x1

− λ ∫ ∫ N 2 ( x,η , t )u (t )dt a x0

или в операторной форме

u = λKu + F ,

где b

u ( x) = u ( x), F = f ( x) + λ ∫ Ф2 ( x,η )dη − Ф1 ( x), a

138

(10)

b η

b x1

x1

a x0

x0

Ku = ∫ ∫ H 2 ( x,η , t )u (t )dt − ∫ ∫ N 2 ( x,η , t )u (t )dt + ∫ N1 ( x, t )u (t )dt − a x0

x

− ∫ H1 ( x, t )u (t )dt. x0

Докажем, что для достаточно малых значений λ оператор Vu = λKu + F есть оператор сжатия. Определим норму функции u ( x) в метрическом пространстве R равенством

u ( x) = max u ( x) , a≤ x≤d

⎧⎪ K = max ⎨ ∫ ∫ H 2 ( x,η , t )dtdη + a ≤ x ≤b ⎪⎩ a x0 b η

Тогда

b x1

∫∫N

(11)

2

( x,η , t )dtdη +

a x0

x1

∫ N ( x, t )dt + 1

x0

x

+

∫ H ( x, t )dt }. 1

x0

Возьмем две произвольные функции u1 ( x), u 2 ( x) , определённые в R и рассмотрим расстояние ρ (Vu1 , Vu2 ) = (λKu1 + F ) − (λKu2 + F ) = λ K (u1 − u2 ) ≤ λ ⋅ K ⋅ u1 − u 2 = αρ (u1 , u 2 ), где α = λ K . 1 , то V- оператор сжатия K и, в соответствии с теоремой Банаха [15], для уравнения (10) имеется единственная неподвижная точка, которая может быть найдена методом последовательных приближений. При этом, если за начальное приближение взять u 0 = F ( x), то для погрешности приближенного решения уравнения (10) u ( x) = ul ( x) = F + λKF + λ2 K 2 F + L + λl K l F (12) получим оценку α l +1 F . (13) u ( x) − ul ( x) ≤ 1−α 139

Следовательно, если α < 1 , т.е. λ <

Подставляя полученное выражение для u ( x) (12) в (4), найдем решение исходного уравнения x n −1 y ( i ) ( x0 ) ( x − t ) n−1 y ( x) ≈ yl ( x) = ∫ ul (t )dt + ∑ ( x − x0 ) i , (14) i! (n − 1)! i =0 x 0

где y (i ) ( x0 ) находится по формулам (7). Принимая во внимание оценку погрешности (13), подсчитаем погрешность полученного решения x

y ( x) − yl ( x) =

( x − t ) n−1 ∫ (n − 1)! [u(t ) − ul (t )]dt − x 0

(15)

( x − x0 )i −∑ i! i =0 n −1

n −1 n −1 x1

∑∑ ∫

β kj Δ ij ( x1 − t ) n − k −1

j = 0 k = 0 x0

α l +1 F [u (t ) − ul (t )]dt ≤ υ, 1−α Δ(n − k − 1)!

где x

υ = max{ ∫ a ≤ x ≤b

x0

( x − t ) n −1 dt + (n − 1)!

( x − x0 )i ∑ i! i −0 n −1

n −1 n −1 x1

∑∑ ∫ j = 0 k = 0 x0

β kj Δ ij ( x1 − t )n − k −1 Δ ⋅ (n − k − 1)!

dt }.

Пример 1. Решим уравнение 1

y '' + ( 12 − x) y ' + y = ∫ y (η )dη

(1*)

0

с краевыми условиями y (0) − 2 y ' (1) = −1⎫⎪ ⎬. 2 y (0) − y ' (1) = 1 ⎪⎭ В соответствии с формулами (4) имеем x

y '' ( x ) = u ( x ), y ' ( x ) = ∫ u (t ) dt + y ' (0), 0

140

(2*)

x

y ( x) = ∫ ( x − t )u (t )dt + xy ' (0) + y (0) .

(4*)

0

1

Находим y′(1) = ∫ u (t )dt + y′(0) и подставляем в краевые 0

условия (2*) 1 ⎫ y (0) − 2 y ' (1) = −1 + 2∫ u (t )dt ⎪ ⎪ 0 ⎬, 1 ' 2 y (0) − y (1) = 1 + ∫ u (t )dt ⎪⎪ 0 ⎭

откуда 1

y (0) = 1, y (0) = 1 − ∫ u (t )dt . '

(7*)

0

Подставляя полученные выражения из (7*) в (4*) x

1

x

1

0

0

0

0

y ( x) = ∫ u (t )dt + 1 − ∫ u (t )dt , y ( x) = ∫ ( x − t )u (t )dt + x − x ∫ u (t )dt + 1 '

(4**)

и, затем, (4**) в уравнение (1*), придем к разрешающему уравнению 1η

x

0 0

0

u ( x) = ∫ ∫ (η − t )u (t )dtdη + ∫ (t − 12 )u (t )dt . 1η

x

0 0

0

(10*)

Докажем, что Vu = ∫ ∫ (η − t )u (t )dtη + ∫ (t − 12 )u (t )dt - оператор сжатия. Для этого найдем сначала x ⎫⎪ 7 ⎧⎪ 1 η K = max ⎨ ∫∫ (η − t )dtη + ∫ (t − 12 )dt ⎬ = , a ≤ x ≤b ⎪⎭ 24 ⎪⎩ 0 0 0

141

α = λ K = 247 < 1 . Следовательно V - оператор сжатия и уравнение (10*) имеет единственное решение, а так как это уравнение однородное, то это решение будет u ( x) ≡ 0. Подставляя это решение в (4*), получим x

1

0

0

y ( x) = ∫ ( x − t ) ⋅ 0dt − x ∫ 0dt + x + 1.

Т.е. точное решение будет y ( x) = x + 1 . Действительно, зная общее решение y ( x) = c1 + c2 x уравнения (1*), легко это проверить. 3.Случай, когда порядок внутреннего дифференциального оператора равен или больше порядка внешнего. Рассмотрим теперь случай n≤m, m=n+p, p≥0. Выражение для Ln [ y ( x)] через новую функцию u (x) будет тем же, что и в случае n > m. Найдем выражение для m

∑ K ( x, η ) y i =0

(m −i )

i

p

(η ) = ∑ K i ( x,η ) y ( p − i ) (η ) + i =0

m

∑ K ( x, η ) y

i = p +1

( m −i )

i

(η ).

Для первой суммы имеем p

p

i =0

i =0

∑ Ki ( x,η ) y ( p −i ) (η ) = ∑ Ki ( x,η )u ( p −i ) (η ),

(16)

а вторая сумма аналогична выражению Ln [ y ( x)], только вместо коэффициентов ai ( x) стоят коэффициенты K i ( x,η ), поэтому в соответствии с (8) можем записать m

∑ K ( x,η ) y

i = p +1

i

η

( m −i )

(η ) = ∫ H 3 ( x,η, t )u (t )dt + Ф3 ( x,η ) − x0

x1

− ∫ N 3 ( x,η , t )u (t )dt , x0

где n

H 3 ( x,η , t ) = ∑ i =1

K p +i ( x,η )(η − t ) i −1

(i − 1)!

;

142

(17)

n −1 n −1

Ф3 ( x,η ) = ∑ [∑ i =0

γ jΔ

j =0

Δ

i

ij

∑ K m−i+k ( x,η ) k =0

(η − x0 ) k ], k!

β kj ( x1 − t ) n−k −1 Δ ij

(η − x0 ) k N 3 ( x,η , t ) = ∑ [∑ ⋅ ∑ K m−i −k ( x,η ) ]. Δ(n − k − 1)! k! i = 0 k =0 k =0 Подставляя выражения (8), (16) и (17) в уравнение (1) придем к уравнению n −1 n −1

i

x1

x

u ( x) + λ ∫ H 1 ( x, t )u (t )dt + Ф1 ( x) − λ ∫ N1 ( x, t )u (t )dt = f ( x) + x0

x0

b η

b

b x1

a x0

a

a x0

+ λ ∫ ∫ H 3 ( x,η , t )u (t )dt + λ ∫ Ф3 ( x,η )dη − λ ∫ ∫ N 3 ( x,η , t )u (t )dtdη + b

p

+ λ ∫ ∑ K i ( x,η )u ( p −i ) (η )dη a i =0

или в операторной форме

u = λNu + Ф ,

(18)

где b

u = u ( x), Ф = f ( x) + λ ∫ Ф3 (x,η )dη − Ф1 ( x) и a

b η

b x1

Nu = ∫ ∫ H 3 ( x,η , t )u (t )dtdη − ∫ ∫ N 3 ( x,η , t )u (t )dtdη + a x0

b

p

a x0

x

x1

x0

x0

+ ∫ ∑ K i ( x,η )u ( p −i ) (η )dη − ∫ H 1 ( x, t )u (t )dt + ∫ N1 ( x, t )u (t )dt. a i =0

Докажем, что для достаточно малых значений λ оператор Vu = λNu + Ф есть оператор сжатия. Определим норму функции u (x) в метрическом пространстве R равенством p

u ( x) = max ∑ u ( i ) ( x) , a ≤ x ≤b

тогда

143

i −0

(19)

b η

N = max{ ∫ ∫ H 3 ( x,η , t )dtdη + a ≤ x ≤b a x 0

+

x

x1

x0

x0

∫ H1 ( x, t )dt +

b x1

∫ ∫ N ( x,η, t )dtdη + 3

a x0

K ( x, η ) . ∫ N ( x, t )dt }+ ( p + 1)(b − a) sup max η 1

i

a ≤ x , ≤b

i

Для двух произвольных функций u1 ( x) и u 2 ( x) рассмотрим расстояние ρ (Vu1 ,Vu 2 ) = (λNu1 + Ф) − (λNu 2 + Ф) = λ ⋅ N (u1 − u 2 ) ≤ ≤ λ N ⋅ u1 − u 2 = α ⋅ ρ (u1 , u 2 ) , где α = λ ⋅ N . 1 , то V- оператор сжатия N и к уравнению (18) применима теорема Банаха [15]. При этом, если за начальное приближение взять u 0 = Ф( x) , то для погрешности приближенного решения (20) u ( x) ≈ ul ( x) = Ф + λNФ + λ2 N 2Ф + L + λl N l Ф получаем оценку α l +1 Ф u ( x) − ul ( x) ≤ (21) 1−α Подставляя полученное выражение для u (x) из (20) в (4), найдем решение исходного уравнения в форме (14), при этом погрешность приближенного решения может быть подсчитана по формуле (15), где следует заменить F на Ф и норму

Следовательно, если α < 1 , т.е. λ <

понимать в соответствии с определением в (19), т.е. α l +1 Ф y ( x) − yl ( x) ≤ υ, 1−α где υ то же, что и в (15). Пример 2. Найдем решение уравнения

(22)

1

y '' + λxy = λx ∫ y ''' (η )dη 0

с краевыми условиями 144

(1*)

y (0) + y (1) = 1 ⎫ ⎬. y (0) − y (1) = 0⎭ В соответствии с (4) имеем

(2*)

x

y ( x) = u ( x), y ( x) = ∫ u (t )dt + y ' (0), ''

'

0

x

y ( x) = ∫ ( x − t )u (t )dt + xy ' (0) + y (0) .

(4*)

0

1

Находим y (1) = ∫ (1 − t )u (t )dt + y ' (0) + y (0) и подставляем в 0

краевые условия (2*) 1 ⎫ 2 y (0) + y ' (0) = 1 − ∫ (1 − t )u (t )dt ⎪ ⎪ 0 ⎬, 1 ⎪ ' − y (0) = ∫ (1 − t )u (t )dt ⎪ 0 ⎭

откуда 1

y (0) = − ∫ (1 − t )u (t )dt , y (0) = '

0

1 2

(7*)

Подставляя (7*) в (4*) x

1

0

0

y ( x) = ∫ u (t )dt − ∫ (1 − t )u (t )dt , '

x

1

0

0

y ( x) = ∫ ( x − t )u (t )dt − x ∫ (1 − t )u (t )dt + 12 .

(4*)

и, затем, (4*) в уравнение (1*), придем к разрешающему интегральному уравнению x 1 1 λx 2 u ( x) = − − λx ∫ ( x − t )u (t ) + λx ∫ (1 − t )u (t )dt + λx ∫ u ' (η )dη . (18*) 2 0 0 0 Определив норму функции u (x) равенством 145

{

}

u ( x) = max u ( x) + u ' ( x) , 0≤ x ≤1

найдем 1 1 ⎫⎪ ⎧⎪ x N = max ⎨ x ∫ ( x − t )dt + x 2 ∫ (1 − t )dt + x ∫ dη ⎬ = 2. 0≤ x ≤1 ⎪ ⎪⎭ 0 0 ⎩ 0

1 1 = , в уравнении (18*) оператор N 2 справа есть оператор сжатия и к этому уравнению применима теорема Банаха. Найдем решение уравнения (18*) методом последовательных 1 x приближений при λ = . Возьмем u 0 = − и в соответствии с 5 10 (20) определим первое приближение решения u (x)

Следовательно для λ <

x4 x 2 3x (20*) − − . 300 300 25 Посчитаем погрешность полученного решения разрешающего уравнения по формулам (21) u1 ( x) =

α l +1 Ф u ( x) − ul ( x) ≤ , 1−α 2 λx 1 α=λ⋅N = , Ф =− = , 3

()

2 2 5

22

⋅ 15

5

4 . 1− 75 Подставив (20*) в (4*), найдем приближенное решение исходного уравнения 1 121 x3 x4 x6 y1 ( x) = + x− − + . 2 6000 50 3600 9000 u ( x) − u1 ( x) ≤

146

2 5

=

Посчитаем погрешность по формуле (22) α2 Ф ν, y ( x) − y1 ( x) ≤ 1−α 1 ⎫⎪ ⎧⎪ x 4 ν = max ⎨ ∫ ( x − t )dt + x ∫ (1 − t )dt ⎬ = 1, y ( x) − y1 ( x) ≤ . 0 ≤ x ≤1 ⎪ 75 ⎪⎭ 0 ⎩0 Глава V. Линейные интегродифференциальные уравнения Фредгольма с отклоняющимся аргументом §1. Классификация линейных интегродифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом

Рассмотрим общий вид линейных интегродифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом l

b

n

∑∑[ f j =0 i =0

( x) y (u j ( x)) + λ ∫ K ij ( x,η ) y ( i ) (u j (η ))dη ] = f ( x), (i )

ij

(1)

a

где

u 0 ( x) ≡ x, f ij ( x) и u j (x) - непрерывны, ядра K ij ( x,η ) - регулярны в квадрате a ≤ x,η ≤ b. При u j ( x) ≤ x уравнения вида (1)- уравнения с

запаздывающим аргументом. Различные соотношения порядков внешнего и внутреннего дифференциальных операторов получим при равенстве нулю некоторых коэффициентов f ij (x) и ядер K ij ( x,η ) при старших производных. Все рассуждения и выкладки проведем считая порядок внешнего дифференциального оператора больше или равным порядку внутреннего. В противном случае уравнение можно предварительно продифференцировать достаточное число раз. По аналогии с классификацией дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом [19], проведем классификацию уравнений вида (1): Определение 1.

147

а) Уравнения запаздывающего типа получим из общего вида (1), если аргументы u j (x) ∀j = 1, l входят только в функцию и ее

производные до (n-1)-го порядка включительно, т.е. в уравнении (1) f nj ( x) ≡ 0 и K nj ( x,η ) ≡ 0 ∀j = 1, l , а f n 0 ( x) ≡/ 0 и, следовательно, можно считать что f n 0 ( x) ≡ 1.

Определение 2. б) Уравнения нейтрального типа получим из общего вида (1), если существует хотя бы один аргумент u j (x) , j = 1, l входящий в

производную n-го порядка и при этом есть член со старшей производной от аргумента x, т.е. в уравнении (1) f n 0 ( x) ≡/ 0 и

∃j ≠ 0, для которого f nj ( x) ≡/ 0 и K nj ( x,η ) ≡/ 0 одновременно или по отдельности. Определение 3. в) Уравнения опережающего типа получим из общего вида (1), если аргументы u j ( x), j = 1, l , хотя бы для некоторых j, входят в производные более высокого порядка, чем аргумент x, т.е. в уравнении (1) f n 0 ( x) ≡ 0 и ∃j ≠ 0 что f nj ( x) ≡/ 0. §2. Функции гибкой структуры (ФГС) и их применение к решению различных задач Любую непрерывную n раз дифференцируемую функцию можно представить с помощью ФГС [24]-[25], следовательно решение начальных и краевых задач для уравнения (1) можем искать в виде одной из модификаций ФГС. x

n

y ( x) = D −1[∑ y ( s −1) ( x )Δ s ( x − x0 ) + ∫ Δ n ( x − t ) μ (t )dt ], s =1

0

(2)

x0

где D = D(r1 , r2 ,K, rn ) - определитель Вандермонда, составленный из неопределенных параметров r1 , r2 ,K, rn , которые определяются в ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения,

148

D=

1

1

K

1

r1

r2

K

rn

K r1n−1

K K K r2n−1 K rnn−1

определитель Δ s ( x − t ), s = 1, n заменой s-ой строки строкой

;

получается из определителя D

exp r1 ( x − t ), exp r2 ( x − t ),K, exp rn ( x − t ) и μ (x) - новая неизвестная

функция. Для производных искомого решения, записанного в форме (2) получим следующие выражения n

y ( x ) = D [∑ y −1

(i )

( s −1)

s =1

x

∂iΔn (x − t) ( x0 ) Δ ( x − x0 ) + ∫ μ (t )dt ], ∂x i x (i ) s

(3)

0

i = 1, n − 1 , n

y ( x) = D [∑ y −1

(n)

s =1

( s −1)

x

∂ nΔ n (x − t) ( x0 ) Δ ( x − x0 ) + ∫ μ (t )dt ] + μ ( x). ∂x n x (n) s

0

(4) Как известно, функции гибкой структуры для достаточное число раз дифференцируемых функций при определенных значениях параметров дают их разложение по всем известным формулам (Лагранжа, Тейлора, Маклорена), а также в ряды (степенные, тригонометрические, Фурье и т.д.). Так как параметры вначале не зафиксированы, то их величина, а следовательно и окончательная форма представления решения устанавливается в ходе решения задачи. Естественно что таких форм бесконечное множество и наша задача сделать оптимальный выбор. Причём параметры rp, p= 1, n можно брать и равными. При этом

отношения

lim D −1

rn → r1

∂i Δ s (x − t) D ∂x i -1

следует

заменить

их

пределами

∂i Δ s (x − t) в силу того, что при равных значениях уже двух ∂x i 149

параметров определитель Д=0, а рассматриваемые отношения имеют вполне определённые значения, вычисляемые по правилу Лопиталя. Рассмотрим пределы отношений lim D −1 r2 → r1

∂i Δ s (x − t) при двух ∂x i

параметрах r2→r1:

r e r ( x −t ) − r1e r ( x −t ) Δ1 ( x − t ) e r ( x −t ) − r1 ( x − t )e r ( x −t ) = lim 2 = lim = r →r r →r r2 − r1 1 D 1

lim

r2 →r1

2

2

1

2

=e

lim

r2 →r1

lim

r2 → r1

1

Δ 2 (x − t) e = lim r →r D 2

r1 ( x −t )

r2 ( x −t )

1

(1 − r1 ( x − t )) , r1 ( x −t )

−e r2 − r1

1

2

= lim r2 → r1

( x − t )e r ( x −t ) =(x-t) e r ( x −t ) , 1 2

1

∂Δ1 ( x − t ) −1 r r e r1 ( x −t ) − r1r2 e r2 ( x −t ) = D = lim 1 2 r2 → r1 r2 − r1 ∂x

r1e r1 ( x −t ) − ( x − t )r1r2 e r2 ( x −t ) − r1e r2 ( x −t ) = e r ( x −t ) (-r12(x-t)), r2 → r1 1 r2 e r ( x −t ) − r1e r ( x −t ) ∂Δ 2 ( x − t ) −1 = D = lim lim r →r r →r r2 − r1 ∂x

= lim

1

2

2

2

1

1

+ r2 ( x − t )e r ( x −t ) = lim = e r ( x −t ) (1+r1(x-t)), r →r 1 2 ∂ Δ1 ( x − t ) −1 r12 r2 e r1 ( x −t ) − r1r2 2 e r2 ( x −t ) lim D = lim = r2 → r1 r2 → r1 ∂x 2 r2 − r1 e

2

r2 ( x −t )

1

2

1

1

r12er1 ( x −t ) − 2r1r2er2 ( x −t ) − r2 2 r1er2 ( x −t ) ( x − t ) =-r12 e r ( x −t ) + r2 →r1 1 r ( x −t ) 3 2 r ( x −t ) +r1 (x-t) e =-r1 e (1+r1(x-t)), 2 ∂ Δ 2 ( x − t ) −1 r2 2 e r2 ( x −t ) − r12 e r1 ( x −t ) lim D = lim = r2 → r1 r2 → r1 ∂x 2 r2 − r1

= lim

1

1

1

2r2 e r2 ( x −t ) + r22 e r2 ( x −t ) ( x − t ) r ( x −t ) r ( x −t ) =2r1 e +r12(x-t) e = r2 → r1 1 r ( x −t ) =r1 e (2+r1(x-t))

= lim

1

1

150

1

b

n

cj

s =1

λ ∫ Kij ( x,η )[ D −1 (∑ y ( s −1) ( x0 )

d i Δ s (u j (η ) − x0 ) dη i

]

Аналогично вычисляются пределы и при большем количестве параметров. Профессором Н.К.Куликовым и рядом его учеников функции гибкой структуры применялись для решения и исследования дифференциальных и интегральных уравнений с обыкновенным аргументом. Применение функции гибкой структуры к различным уравнениям с отклоняющимся аргументом дает возможность преобразовать их к интегральным уравнениям, причем для ряда классов задач с неизвестными функциями от аргумента без отклонений. Выясним, какие задачи для различных видов интегродифференциальных уравнений с помощью ФГС могут быть сведены к разрешающим интегральным уравнениям без отклонений аргумента и покажем, что эти разрешающие интегральные уравнения специального вида, как для начальных, так и для краевых задач уравнений Фредгольма (запаздывающего, нейтрального и опережающего типов), практически мало отличаются друг от друга, что может быть использовано для составления единой программы приближенного решения таких задач на ЭВМ.

§3. Применение ФГС к преобразованию задачи Коши

Пусть дано уравнение (1) и начальные условия y(i)(uj(x)) = φi(uj(x)), i = 0, n − 1 , xє E x , 0

l

где E x = 0

UE j =0

j x0

(5)

, E xj - множество точек, для которых соответствую0

щие uj(x)≤x при x≥x0 ∀j = 1, l , а E x0 = [a,x0]. 0

Предполагая, что решение задачи (1), (5) существует и единственно, будем искать её решение на отрезке [x0,b]. Обозначим через cj наименьшие из корней uj(x) = x0 на отрезке [x0,b], если же таковых нет, то полагаем соответствующие cj = b. Далее разобьём интегралы в уравнении (1) на суммы от известных и неизвестных частей в выра-

151

жениях от запаздываний в соответствии с начальными условиями (5), считая при этом ϕ n (x) = ϕ 'n−1 ( x) , l

cj

n

∑∑[ f j =0 i =0

( x ) y (u j ( x )) + λ ∫ K i j ( x,η )ϕ i (u j (η ))dη + (i )

ij

a

b

∫

+ λ K i j ( x,η ) y ( i ) (u j (η ))dη ] = f(x).

(1*)

cj

Затем воспользуемся ФГС (2), подставив ее и производные (3)-(4) в последнее равенство (1*) и вводя при этом коэффициенты qi в сумме по i перед µ(uj(x)), полагая qn=1 и qi=0 ∀ i = 0, n − 1 , l

n

∑∑{ f j =0 i =0 u j ( x)

+

∫

n

( x)[ D (∑ y −1

ij

s =1

∂ i Δ n (u j ( x) − t ) ∂x i

x0 b

+ λ ∫ K ij ( x,η )[ D (∑ y u j (η )

∫

+

( s −1)

s =1

cj

∂ i Δ n (u j (η ) − t ) dη i

x0

( x0 )

d i Δ s (u j ( x) − x0 ) dx i

)+

μ (t )dt ) + qi u ′j n ( x )μ (u j ( x))] +

n

−1

s −1

( x0 )

d i Δ s (u j (η ) − x0 ) dη i

+

μ (t )dt ) + qi u′jn (η ) μ (u j (η ))]dη +

cj

∫

+ λ K i j ( x, η )ϕ i (u j (η ))dη } = f(x). a

Полученные известные выражения перенесём в правую часть равенства l

u j ( x)

n

∑∑{ f j =0 i =0

ij

( x)[ D

−1

∫

∂ i Δ n (u j ( x) − t ) ∂x

x0

b

+ λ ∫ K i j ( x,η )[ D

u j (η ) −1

cj

l

= f(x) -

n

∫

μ (t )dt + qi u ′j n ( x )μ (u j ( x))] +

∂ i Δ n (u j (η ) − t ) ∂η

x0 n

∑∑{D ∑ y j =0 i =0

i

−1

s =1

( s −1)

i

μ (t )dt ) + q i u ′j n (η )μ (u j (η ))]dη =

( x0 )[ f i j ( x)

152

d i Δ s (u j ( x) − x0 ) dx i

+

b

+ λ ∫ K i j ( x ,η )

d i Δ s (u j (η ) − x0 ) dη i

cj

cj

dη ] - λ ∫ K i j ( x, η )ϕ i (η )dη } . a

Введя обозначения для известных выражений n

∑f

Фj(x,t) = D-1

i =0

ij

( x)

n

H (x, η ,t) = D * j

-1

l

n

F ( x) = f ( x) − ∑∑ {D

−1

j =0 i =0

∑K i =0

n

∑y

( s −1)

d i Δ s (u j (η ) − x0 )

b

+ λ ∫ K i j ( x ,η )

dη i

cj

( x ,η )

ij

s =1

∂ i Δ n (u j ( x) − t ) , ∂x i ∂ i Δ n (u j (η ) − t ) ,

∂η i

( x0 )[ f i j ( x)

d i Δ s (u j ( x) − x0 ) dx i

+

cj

dη ] - λ ∫ K i j ( x, η )ϕ i (η )dη } , a

придём к разрешающему интегральному уравнению специального вида смешанного типа Вольтерра – Фредгольма l

∑[ f j =0

( x)u ′j ( x )μ (u j ( x)) +

u j ( x)

n

nj

∫ Ф ( x, t )μ (t )dt ) + j

x0 b

u j (η )

Cj

x0

+ λ ∫ dη

∫H

∗ j

( x,η , t ) μ (t )dt +

b

+ λ ∫ K n j ( x,η )u ′j n (η )μ (u j (η ))dη ] = F ( x)

(6*)

cj

Разрешающее уравнение (6*) можно упростить, введя новые переменные uj(η)=t в последних интегралах суммы по j и изменив порядок интегрирования в двойных интегралах. Для этого введём для uj(η) обратную функцию η(t)= uj-1(t) и найдём новые пределы интегрирования в двойных интегралах t1= uj(cj)=x0, t2= uj(b) и dη=d u −j 1 (t ) b

∫K

cj

( x,η )u ′j (η )μ (u j (η ))dη = n

nj

u j (b)

∫K

x0

153

nj

(

)

( x, u −j 1 (t )) μ (t )u ′j n −1 u −j 1 (t ) dt ,

u j ( x)

b

∫ dη ∫ H

cj

* j

( x, η , t )μ (t )dt =

u j (b)

∫ μ (t )dt ∫ H

x0

x0

u j (b)

=

∫H

** j

b

* j

( x , η , t ) dη =

u −j 1 ( t )

( x, t ) μ (t )dt ,

x0

где b

H *j * ( x, t ) =

∫H

η , t ) dη

* j ( x,

u −j 1 ( t )

и порядок интегрирования изменён в соответствии с ниже изображённой (заштрихованной) областью интегрирования:

uj(η)≤η, uj(cj)=x0, x0≤cj ≤b ∀j = 0, l Теперь в уравнении (6*) интегралы с одинаковыми пределами можно объединить под одним интегралом b

∫ dη

u j (η )

cj

x0

u j (b)

=

∫H

x0

b

n * ∫ H j ( x,η, t )μ (t )dt + ∫ K n j ( x,η )u ′j (η )μ (u j (η ))dη =

** j

cj

( x, t ) μ (t )dt +

u j (b)

∫K

nj

( x, u −j 1 (t )) μ (t )u ′j n −1 (u −j 1 (t ) )dt =

x0

154

u j (b)

=

∫ [H

** j

(

)

( x , t ) + K nj ( x , u −j 1 (t )) u ′j n −1 u −j 1 (t ) μ (t ) dt =

x0

u j (b)

∫H

=

j

( x, t )μ (t )dt ,

x0

(

)

где Hj(x,t) = Hj**(x,t)+Knj(x, u −j 1 (t ) ) u ′j n −1 u −j 1 (t ) . Тогда разрешающее интегральное уравнение специального вида смешанного типа Вольтерра-Фредгольма в общем случае примет вид: l

∑[ f j =0

( x)u ′j ( x )μ (u j ( x)) +

u j ( x)

n

nj

∫ Ф ( x, t )μ (t )dt ) + j

x0

u j (b )

+λ

∫H

j ( x, t )

μ ( t ) dt ] = F ( x ) ,

(6)

x0

где Фj(x,t) и F(x) определяются по формулам в (6*),

(

b

) ∫H

Hj(x,t)=Hj**(x,t)+Knj(x, u −j 1 (t ) ) u ′j n −1 u −j 1 (t ) =

* j

( x, η , t )dη +

−1 j

u (t )

−1

+Knj(x, u j

(t ) ) u ′j n −1 (u −j 1 (t ) ) =

(

)

b

∫

n

∑ K ij ( x,η )

u ( t ) i =0 −1 j

∂ i Δ n (u j (η ) − t ) [u j (η )]i

dη +

+Knj(x, u −j 1 (t ) ) u ′j n −1 u −j 1 (t ) . Далее исследуем вопрос о возможности преобразования начальной задачи для интегродифференциального уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом к интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом в зависимости от типа рассматриваемого уравнения. а) Уравнения запаздывающего типа получим из общего уравнения (1), если положить fno(x) ≡ 1, fnj(x) ≡ 0 и Knj(x,η) ≡ 0 ∀ j = 1, l , тогда уравнение (1) примет вид (n)

y (x)+

l

b

n −1

∑∑ [ f j =0 i =0

( x) y (u j ( x)) + λ ∫ K i j ( x, η ) y (i ) (η )dη ]= f(x) (i )

ij

a

и разрешающее уравнение начальной задачи будет

155

(1a)

μ(x)+

l

u j ( x)

j =0

x0

∑[ ∫ Φ

j

u j (b)

∫H

( x, t ) μ (t )dt + λ

j

( x, t ) μ (t )dt ] =F(x),

(6a)

x0

где Фj(x,t) и Hj(x,t) определяются по формулам -1

Фj(x,t) = D

n −1

∑f i =0

b

n

u −j 1 ( t )

i =0

∫ ∑K

Hj(x,t) = D-1

ij

ij

( x)

( x,η )

∂ i Δ n (u j ( x) − t )

∂x i ∂ i Δ n (u j (η ) − t ) ∂η i

,

dη + Kn0(x,t),

а F(x) по формуле в (6*). Вывод. Начальная задача с условиями (5) для всех интегродифференциальных уравнений Фредгольма с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа (1а) с помощью ФГС (2) преобразуется к разрешающему интегральному уравнению специального вида смешанного типа Вольтерра-Фредгольма (6а) с обыкновенным аргументом. б) Уравнение (1) будет уравнением нейтрального типа, если в нём fno(x) ≡ 1 и ∃ j≥1, что fnj(x) ≡/ 0 или Knj(x,η) ≡/ 0, или существуют тождественно не равные нулю одновременно функции fnj(x) и ядра Knj(x). Разрешающее уравнение (6) в этом общем случае будет с отклоняющимся аргументом. Если же дополнительно потребовать, чтобы fnj(x) ≡ 0 ∀j= 1, l , то получим для такого вида уравнений нейтрального типа разрешающее уравнение начальной задачи, аналогичное уравнению (6а)

μ(x)+

l

u j ( x)

j =0

x0

u j (b )

∑ [ ∫ Ф ( x, t )μ (t )dt +λ ∫ H j

j

( x, t )μ (t )dt ] =F(x),

x0

-1

где Фj(x,t) = D

n −1

∑f i =0

H j ( x, t ) = D −1

b

∫

u −j 1 ( t )

ij

( x)

n

∂ i Δ n (u j ( x) − t )

∑ K ij ( x,η ) i =0

∂x i

∂ i Δ n (u j (η ) − t ) ∂η i

+ K nj ( x, u −j 1 (t ))u′jn −1 (u −j 1 (t )).

156

,

dη +

(6б),

Вывод. Начальная задача с условиями (5) для интегродифферен-

циальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом нейтрального типа (1) с помощью ФГС (2) преобразуется в общем случае к разрешающему интегральному уравнению также с запаздывающим аргументом. Но если дополнительно потребовать, чтобы fnj(x) ≡ 0 ∀j= 1,l и Knj(x,η) ≡/ 0, то для такого вида уравнений разрешающее интегральное уравнение специального вида смешанного типа Вольтерра-Фредгольма (6б) будет с обыкновенным аргументом. в) Уравнение (1) будет уравнением опережающего типа, если ∃j≠0, что fnj(x) ≡/ 0, а fno(x) ≡ 0 и Kno(x,η) ≡ 0. Положим fnl(x) ≡ 1 и дополнительно потребуем, чтобы fnj(x) ≡ 0 ∀j = 1, l − 1 . В этом случае уравнение (1) примет вид: y(n)(ul(x))+ b

+λ

l

∫∑ a j =0

n −1

l −1

i =0

j =0

∑[∑ f i j ( x) y (i ) (u j ( x)) +

K i j ( x,η )y ( i ) (u j (η ))dη ] = f(x)

(1в)

и соответствующее ему разрешающее уравнение начальной задачи будет l −1 u j ( x )

ul′ ( x) μ(ul(x))+ ∑ [ n

j =0

+λ

l

u j (b)

j=0

x0

∑ ∫H -1

где Фj(x,t) = D

j

b

n

u −j 1 ( t )

n −1

∑f

i =0

∫ ∑K

j

( x, t )μ(t )dt =F(x),

i =0

Hj(x,t) = D-1

∫ Ф ( x, t )μ (t )dt +

x0

ij

ij

( x)

( x,η )

(1в)

∂ i Δ n (u j ( x) − t ) ∂x i ∂ i Δ n (u j (η ) − t ) ∂η i

(

,

dη +

)

+ Knj(x, u −j 1 (t ) ) u ′j n −1 u −j 1 (t )

и F(x) находится в соответствии с (6*). Далее, произведя замену ul(x) = z, x = ul-1(z), получим интегральное уравнение с обыкновенным аргументом

157

u l′ (u n

−1 l

−1 l −1 u j ( ul ( z ))

(z )) μ(z)+ ∑ ∫ Ф j (ul−1 ( z ), t ) μ (t )dt + j =0 x0

u j (b )

l

+λ

∑ ∫ H (u

−1 l

j

j=0

( z),t )μ(t )dt = F(ul-1(z)).

x0

Для известных выражений в последнем уравнении введём новые обозначения

(

Φ j u −j 1 ( z ), t

Qj(z,t) =

(

)

u l′ n u l−1 ( z )

)= D

-1

n −1

∑ u ′ (u (z )) i =0

= [ul′ (u ( z ))] [ D n

−1 l

−1

−1

−1 l

n

l

(

Η j u l−1 ( z ), t

Nj(z,t) = b

f ij (u l−1 ( z )) ∂ i Δ n (u j (u l−1 ( z )) − t )

(

)

u l′ n u l−1 ( z )

n

∫ ∑K

u −j 1 ( t ) i =0

ij

(∂u l−1 ( z )) i

)=

(u ( z ),η ) −1 l

∂ i Δ n (u j (η ) − t ) ∂η i

,

+

+ K nj ( ul−1 ( z ) , u −j 1 (t ) ) u ′j n −1 (u −j 1 (t )) ], B(z) = l

n

F (ul−1 ( z )) = [ul′n (ul−1 ( z ))]−1{ f ij (ul′−1 ( z )) − ul′n (ul−1 ( z )) n

d i Δ s (u j (u l−1 ( z )) − x0 )

s =1

d (u −j 1 ( z ))]i

− ∑∑ {D −1 ∑ y ( s −1) ( x0 )[ f i j (u l−1 ( z )) j =0 i =0

b

∫

+ λ K i j (u l−1 ( z ),η ) cj

d i Δ s (u j (η ) − x0 ) dη i

+

cj

dη ] - λ ∫ K i j ( x, η )ϕ i (η )dη } , a

−1 l

vj(z) = uj( u ( z ) ), тогда разрешающее уравнение перепишется μ(z)+

l −1 V j ( z )

l

u j (b )

j =0

x0

∑ ∫ Q ( z, t )μ (t )dt +λ ∑ ∫ N j =0

j

x0

j

( z , t )μ (t )dt = B(z). (6в)

Вывод. Начальная задача с условиями (5) для интегродифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом опережающего типа (1в) с помощью ФГС (2) преобразуется к разрешающему интегральному уравнению специального вида смешанного типа Вольтерра-Фредгольма в общем случае также с запаздывающим

158

аргументом, но если внешний дифференциальный оператор содержит старшую производную только с одним отклонением, то разрешающее уравнение (6в) будет с обыкновенным аргументом.

§4. Применение ФГС к преобразованию краевой задачи

Рассмотрим линейное интегродифференциальное уравнение (1) с линейными билокальными краевыми условиями n −1

∑ [α τ y i

i =0

(i )

( x 0 ) + β iτ y ( i ) ( x1 )] = γτ, τ= 0, n − 1 ,a≤x0<x1≤b,

(7)

с начальными функциями y(i)(uj(x)) = y(i)(x0)ϕi(uj(x)) при x∈ E x , i = 0, n − 1 ,

(8)

0

l

где E x = 0

UE j =0

j x0

, E xj - множество значений uj(x) ≤x0 при x>x0 и E x0 = 0

0

=[a,x0], функции φi(x)-заданы и φi(x0)=1 ∀ i = 0, n − 1 , φn(x)=φn-1’(x). По-прежнему, как и в §3., считаем u0(x)≡x и cj-наименьшие корни уравнений uj(x)=x0, если же таковых нет, то полагаем cj=b ∀ j= 0,l . Предполагая, что решение краевой задачи (1), (7)-(8) существует и единственно, для её решения применим одну из модификаций ФГС (2) и её производные (3)-(4). Сначала, воспользовавшись начальными функциями (8), разобьём интегралы в уравнении (1) на суммы l

cj

n

∑∑ [ f i j ( x) y (i ) (u j ( x)) + λ ∫ K i j ( x,η )y (i ) ( x0 )ϕ i (u j (η ))dη + j =0 i =0

a

b

∫

+ λ K i j ( x,η ) y ( i ) (u j (η ))dη ] =f(x).

(1**)

cj

Затем, используя краевые условия (7), начальные функции (8), ФГС (2) и её производные (3)-(4), определим y(i)(x0) через новую неизвестную функцию μ (x) , при этом могут возникнуть три возможных ситуации: 1. x0<x1≤cj ∀ j = 0, l ; 2. x0≤cj<x1 ∀j = 0, l ;. 3. x1 таково, что ∃j = 0, l , для которых x0<x1≤cj и для которых x0≤cj<x1. Рассмотрим подробно возможные варианты.

159

1. Первый случай наиболее простой, так как подставив x=x1 в начальные функции (8) при j=0 и затем значения y(i)(x1) = y(i)(x0)ϕi(x1) в краевые условия (7), получим алгебраическую систему

⎧ n−1 ( i ) ⎪∑ y ( x0 )[α iτ + β iτ ϕ i ( x1 )] = γ τ , ⎨ i =0 ⎪⎩ τ = 0, n − 1

(9)

для определения значений y(i)(x0). Обозначив через ω главный определитель этой системы ω = det[αiτ+βiτφi(x1)], i,τ= 0, n − 1 и через ωiτ – алгебраические дополнения к элементам главного определителя по формулам Крамера, найдём n −1 y(i)(x0) = ω-1

γ τ ω τ , i = 0, n − 1 . ∑ τ i

=0

(10)

И краевая задача в этом случае свелась к решению начальной задачи, рассмотренной в §3., только при её решении в формулах для уравнений (6а), (6б) и (6в) вместо начальных функций φi(uj(x)) следует подставить начальные функции φi*(uj(x)) в соответствии с условиями (8) и результатом (10), т.е. n −1 φi*(uj(x)) = φi(uj(x)) ω-1

γ τω τ . ∑ τ =0

i

(11)

2. Во втором и третьем случаях, применив ФГС (2) и её производные (3)-(4), выразим значения y(i)(x1), i= 0, n − 1 через новую неизвестную функцию μ(x) и начальные значения искомой функции y(i)(x0)

y(i)(x1) = D-1 [

n

∑y s =1

x1

+

( s −1)

( x0 )Δ(si ) ( x1 − x0 ) + ,

∂ Δ n ( x1 − t ) μ (t )dt ] , i= 0, n − 1 , ∂x i x0

∫

i

подставивn −полученные выражения yn (i)(x1) в краевые условия (7) 1

∑ {α τ y i =0

i

(i )

( x0 ) + β iτ D −1[∑ y ( s −1) ( x0 )Δ(si ) ( x1 − x0 ) + s =1

160

x1

∂ i Δ n ( x1 − t ) μ (t )dt ]} = γ τ , τ= 0, n − 1 , ∂x i

+∫ x0

и, перегруппировав слагаемые, придём к системе алгебраических уравнений относительно y(i)(x0) n −1

∑[α τ + β τ D i

i =0

= γτ − D

−1

i

−1 ( i ) i +1

Δ ( x1 − x0 )]y ( i ) ( x0 ) =

x1

∂ i Δ n ( x1 − t ) μ (t )dt ,τ= 0, n − 1 . ∂x i x0

n −1

∑ β iτ ∫ i =0

(12)

Обозначив главный определитель системы (12) через ω ω = det[αiτ+βiτD-1 Δ(ii+)1 ( x1 − x0 ) ], i,τ= 0, n − 1 , (13) а алгебраические дополнения к элементам главного определителя через ωiτ по формулам Крамера, найдём x1

n −1 ∂ k Δ n ( x1 − t ) ω y (x0)= ∑ iτ [γτ-D-1 ∑ β kτ ∫ μ (t )dt ] ,i= 0, n − 1 . (14) ∂x k k =0 τ =0 ω x

(i)

n −1

0

В соответствии с (14) начальные функции краевой задачи (8) примут вид: x1

n −1 ω ∂ k Δ n ( x1 − t ) μ (t )dt ] , y (uj(x)) = ϕi(uj(x)) ∑ iτ [γτ- D-1 ∑ β kτ ∫ ∂x k k =0 τ =0 ω x n −1

(i)

0

i= 0, n − 1 , j = 0, l , x ∈ E x , 0

(15)

а функции гибкой структуры

∂ i Δ s ( x − x0 ) y (x)= D {∑ [∂x]i s =1 −1

(i)

−1

−D ⋅

n

∑β τ ∫ k

k =0

u j ( x)

+

∫

x0

x1

n −1

x0

n −1

ωsτ [γ τ − =0 ω

∑ τ

∂ k Δ n ( x1 − t ) μ (t )dt ] + k ∂x1

∂i Δn ( x − t ) μ (t )dt} +qiμ(x), [∂x]i

где i = 0, n , j = 0, l , qn=1, qi=0 ∀i = 0, n − 1 , x ∈ [c j , b].

161

(16)

Подставим выражения (15) и (16) в уравнение (1**), перенесём все известные выражения, получившиеся при этом, в правую часть равенства и пронумеруем выражения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла l

∑{f j =0

nj

( x )u ′j n ( x )μ (u j ( x )) +

b

n

cj

i =0

+ λ ∫ K n j ( x , η )u ′j n (η )μ ( u j (η )) d η + ∑ [− f ij ( x ) ⋅ {1} n

∂ Δs (u j ( x) − x0 )

s=1

[∂u j ( x)]

⋅ D−2 ∑

i

i

ω(s−1)τ ω =0

n−1

∑ τ

x1

n−1

∂ Δn ( x1 − t ) μ(t )dt + ∂x1k x0

∑β τ ∫ k

k =0

k

{2} u j ( x)

+fij(x)D-1

∫

∂ i Δ n (u j ( x) − t ) ∂x

x0

i

b

μ (t )dt + λ K ( x,η )D −1 ⋅ ∫ ij cj

{3} u j (η )

⋅

∫

∂ i Δ n (u j (η ) − t ) ∂η i

x0

cj

μ (t )dt − λ ∫ K ij ( x,η )ϕ i (u j (η )) ⋅ a

{4}

ω ⋅ ∑ iτ D −1 τ =0 ω n −1

x1

∂ k Δ n ( x1 − t ) β kτ ∫ μ (t )dtdη − ∑ ∂x1k k =0 x n −1

0

{5} b

n

- λ ∫ K i j ( x,η )D −1 ⋅ ∑

d i Δ s (u j (η ) − x 0 ) n −1 ω ( s −1)τ dη

s =1

cj

n −1

x1

k =0

x0

⋅ ∑ β kτ ∫

i

∑ τ =0

∂ k Δ n ( x1 − t ) μ (t )dtdη ]} = ∂x1k

{6}

162

ω

D −1 ⋅

l

= f(x)-

n

∑∑ [ f j =0 i =0

−1

( x) D

ij

n

∑

d i Δ s (u j ( x) − x0 ) n −1 ω ( s −1)τ

cj

∑ τ

dx i

s =1

ω

=0

γτ +

ω iτ γτ + τ =0 ω n −1

+ λ ∫ K ij ( x,η )ϕ i (u j (η ))∑ a

b

+ λ ∫ K i j ( x,η )D

n

∑

−1

d i Δ s (u j (η ) − x0 ) dη

s =1

cj

i

ω ( s −1)τ γ τ ] = B( x). ω =0

n −1

∑ τ

Интегралы {1}, {3} и {4} уже преобразовывались в §3. (формулы для уравнения (6)) {1}. u j (b)

b

λ ∫ K n j ( x,η )μ (u j (η ))dη = cj

{3}. D

−1

u j ( x)

n

∑f i =0

n

∫H

x0

** j

(

)

( x, u −j 1 (t )) μ (t )u ′j n −1 u −j 1 (t ) dt ,

∂ i Δ n (u j ( x) − t ) ∂x i

x0

u j (b)

b

∫

μ (t )dt =

∂ i Δ n (u j (η ) − t ) ∂η i

x0

i =0 c j

u j (b )

nj

x0

D −1 ∑ ∫ K i j ( x,η )

{4}.

=

∫

( x) ⋅

ij

∫K

u j ( x)

∫ Ф ( x, t )μ (t )dt , j

x0

μ (t )dtdη =

( x, t ) μ (t ) dt .

В интегралах {2} введем обозначения для известных выражений

G ( x, t ) = − λ * j

−1

D

−2

n

∑f i =0

n

ij

( x) ⋅ ∑

d i Δ s (u j ( x) − x0 ) n −1 ω ( s −1)τ

s =1

n −1

x1

k =0

x0

⋅ ∑ β kτ ∫

∑ τ

dx i

=0

∂ k Δ n ( x1 − t ) μ (t )dt , ∂x1k

тогда интегральные выражения {2} перепишутся {2}. − D − 2

n

∑ i =0

n

f ij ( x)∑ s =1

d i Δ s (u j ( x) − x 0 ) dx i 163

ω ( s −1)τ ∑ ω τ =0 n −1

n −1

∑β τ ⋅ k =0

k

ω

⋅

x1

x

1 ∂ k Δ n ( x1 − t ) μ ( t ) dt = G *j ( x, t ) μ (t )dt . k ∫ ∂x1 x0 x0

⋅∫

В интегралах {5} и {6} изменим сначала порядок интегрирования, а затем введём обозначения для известных выражений c j

** j

-1

G ( x, t ) =-D

n −1

n

∫∑K a i =0

G *j** ( x, t ) = − D −1

b

n

∫∑K

c j i =0

ωiτ τ =0 ω

η )ϕi (u j (η ))∑

ij ( x,

n

ij

( x,η ) ∑

n −1

k =0

∑ β kτ k =0

∂ k Δ n ( x1 − t ) dη ; ∂x1k

d Δ s (u j (η ) − x0 ) n −1 ω ( s −1)τ i

∑ τ

dη i

s =1

⋅ ∑ β kτ ⋅

n −1

=0

ω

⋅

∂ k Δ n ( x1 − t ) dη , ∂x1k

тогда интегральные выражения {5} и {6} примут вид: c j

-1

{5}.

λD x1

⋅∫ x0

b

{6}.

–λD-1

a i =0

ω iτ τ =0 ω n −1

n

∫∑K

ij

( x,η )ϕ i (u j (η ))∑

k

0

c j i =0

x0

k =0

x1

n

∫ ∑ K i j ( x,η ) ∑ x1

∑β τ ⋅

∂ k Δ n ( x1 − t ) μ (t )dt = λ ∫ G *j ( x, t ) μ (t )dt , k ∂x1 x

n

⋅∫

n −1

d Δ s (u j (η ) − x0 ) n −1 ω ( s −1)τ i

dη i

s =1

x1

∑ τ =0

ω

∂ k Δ n ( x1 − t ) μ (t )dt = λ ∫ G *j* ( x, t ) μ (t )dt . k ∂x1 x 0

164

n −1

∑β τ ⋅ k =0

k

Порядок интегрирования изменён в соответствии с ниже изображёнными (заштрихованными) областями интегрирования w1 и

w2

Суммируем интегралы с одинаковыми пределами. Интегралы {1} и {4} уже суммировались в §3.(формулы в разрешающем интегральном уравнении (6)), где Hj(x,t) = H**(x,t)+Knj(x, u −j 1 (t ) ). Суммируем теперь интегралы {2},{5} и {6} x1

∫

x1

∫

x1

∫

λ G ( x, t ) μ (t )dt + λ G ( x, t ) μ (t )dt + λ G *j ** ( x, t ) μ (t )dt = * j

x0

** j

x0

x0

x1

= λ ∫ G j ( x, t ) μ (t )dt , где Gj(x,t) = Gj*(x,t)+Gj**(x,t)+Gj***(x,t). x0

Учитывая проделанные преобразования и обозначения, получим общий вид разрешающего интегрального уравнения краевой задачи: l

∑[ f j =0

( x)u ′j ( x )μ (u j ( x)) + n

nj

u j ( x)

∫

Ф j ( x, t ) μ (t )dt + λ

x0

u j (b )

∫H

j

( x, t ) μ (t )dt +

x0

x1

∫

+λ G j ( x, t ) μ (t )dt ] =В(x).

(17)

x0

Как и в §3., исследуем вопрос о возможности преобразования краевой задачи для интегродифференциального уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом к интегральным уравнениям с обык-

165

новенным аргументом в зависимости от типа рассматриваемого уравнения. а) Краевая задача (1а), (7)-(8) для уравнений запаздывающего типа, в силу условий fnj(x) ≡ 0 и Knj(x,η) ≡ 0 ∀ j = 1, l , преобразуется к (17а) разрешающему интегральному уравнению l

u j ( x)

j =0

x0

μ(x)+ ∑ [

∫

Ô j ( x, t ) μ (t )dt + λ

u j (b )

x1

x0

x0

∫

H j ( x, t ) μ (t ) dt + λ ∫ G j ( x, t ) μ (t ) dt ] =В(x).

Вывод. Краевая задача для всех интегродифференциальных уравнений Фредгольма с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа с помощью ФГС преобразуется к разрешающему интегральному уравнению специального вида смешанного типа Вольтера-Фредгольма с обыкновенным аргументом. б) Краевая задача (1), (7)-(8) для уравнений нейтрального типа

при fn0(x) ≡ 1, fnj(x) ≡ 0 ∀ j= 1,l и Knl(x,η) ≡/ 0 преобразуется к разрешающему интегральному уравнению μ(x)+

l

u j ( x)

j =0

x0

∑[ ∫

Ф j ( x, t ) μ (t )dt + λ

u j (b)

∫H

j

( x, t ) μ (t )dt +

x0 x1

+ λ ∫ G j ( x, t ) μ (t )dt ] =В(x).

(17б)

x0

Вывод. Краевая задача с условиями (7)-(8) для интегродиффе-

ренциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом нейтрального типа с помощью ФГС (2) преобразуется в общем случае к разрешающему интегральному уравнению также с запаздывающим аргументом. Если же дополнительно потребовать, чтобы fnj(x) ≡ 0 ∀ j= 1,l и Knj(x,η) ≡/ 0, то для такого вида уравнений разрешающее интегральное уравнение специального вида смешанного типа Вольтерра-Фредгольма (17б) будет с обыкновенным аргументом. в) Рассмотрим теперь краевую задачу для уравнений опережающего типа, положив fnl(x) ≡ 1, fnj(x) ≡ 0 ∀ j = 1, l − 1 и Kn0(x,η) ≡ 0, тогда задача (1в), (7)-(8) преобразуется к разрешающему интегральному уравнению:

166

l −1 V j ( z )

μ(z)+

∑∫ j =0

l

u j (b)

j =0

x0

Q j ( z , t ) μ (t )dt + λ ∑ [

x0

∫N

j

( z , t ) μ (t )dt +

x1

+ ∫ M j ( z , t ) μ (t )dt ] =R(z),

(17в)

x0

где Qj(z,t), Nj(z,t) и vj(z) находятся по формулам в разрешающем интегральном уравнении (6в), а Mj(z,t) = Gj( ul−1 (z),t) и R(z) = B( ul−1 (z)). Вывод. Краевая задача с условиями (7)-(8) для интегродифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом опережающего типа (1) с помощью ФГС (2) преобразуется к разрешающему интегральному уравнению специального вида смешанного типа Вольтерра-Фредгольма в общем случае также с запаздывающим аргументом, но если внешний дифференциальный оператор содержит старшую производную только с одним отклонением, т.е. имеем уравнение (1в), то разрешающее интегральное уравнение специального вида смешанного типа Вольтерра-Фредгольма (17в) будет с обыкновенным аргументом.

167

Глава VI РЕШЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА-ФРЕДГОЛЬМА

§1. Преобразование разрешающих уравнений к единому виду

Нетрудно увидеть, что начальные и краевые задачи для всех типов интегродифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом сводятся к разрешающим интегральным уравнениям ВольтерраФредгольма фактически одного и того же вида. Действительно, вводя кусочно заданные ядра

⎧⎪ H j ( x, t ) + G j ( x, t ),если x0 ≤ t ≤ x1, T j ( x, t ) = ⎨ ⎪⎩ H j ( x, t ), если x1 < t ≤ u j (в ), уравнения (17а) и (17б) перепишем в упрощенной форме:

l

μ ( x) + ∑ [ j =0

u j ( x)

∫

Ф j ( x, t ) μ (t )dt + λ

x0

u j (в)

∫ T ( x, t )μ (t )dt ] = B( x) . j

x0

Аналогично и для уравнения (17в), положив

⎧⎪ N j ( z , t ) + M j ( z , t ), если x0 ≤ t ≤ x1 , T j ( z, t ) = ⎨ ⎪⎩ N j ( z , t ), если x1 < t ≤ u j (в ), и Ql ( z , t ) ≡ 0 , уравнение (17в) примет вид

168

(18)

l

Vj ( z)

j =0

x0

μ ( z ) + ∑[

∫

Q j ( z , t ) μ (t )dt + λ

u j (в)

∫ T ( z, t )μ (t )dt ] = R( z ) . j

(19)

x0

Итак, все разрешающие уравнения (6а), (6б), (6в) для начальных задач и (17а), (17б), (17в) для краевых задач преобразуются к одному и тому же виду (18) или (19) . Разрешающее уравнение (19)- наиболее общий вид разрешающих уравнений, так как, положив z ≡ x , V j ( z ) ≡ u j ( x), Q j ( z , t ) ≡ Ф j ( x, t ), T j ( z, t ) ≡ T j ( x, t ) и R( z ) ≡ B( x) , из уравнений вида (19) получим уравнение вида (18). Поскольку все рассмотренные задачи сводятся к одному виду смешанных интегральных уравнений типа Вольтерра-Фредгольма (19), их можно использовать для составления единой программы решения на ЭВМ. §2. Таблицы-схемы обозначений, введённых при решении начальных и краевых задач

Для удобства использования полученных формул при исследовании и решении различных задач сведём результаты в таблицы-схемы, которые будут использованы в дальнейшем для исследования вариантов решения в замкнутом виде полученных разрешающих интегральных уравнений, их приближённого решения и при составлении программ решения на ЭВМ. Таблица 1. Начальная задача для интегродифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом.

b ⎧ l n ⎡ ⎤ (i ) f ( x ) y ( u ( x )) λ K ij ( x ,η ) y ( i ) (u j (η )) dη ⎥ = f ( x ) (1) + j ∫ ⎪⎪ ∑ ∑ ⎢ ij a ⎦ ⎨ j =0 i=0 ⎣ ⎪ (i ) ⎪⎩ y (u j ( x )) = φi (u j ( x )), i = 0, n − 1, x ∈ E x0 (2)

169

Условия в уравнении (1) Разрешающее уравнение (19)

Запаздывающий тип f n 0 ( x ) ≡ 1 , f nj ( x) ≡ 0 и K nj ( x,η ) ≡ 0 ∀j

∀j = 1, l и ∃j ≥ 1 , что K nj ( x,η ) ≡/ 0

= 1, l .

Опережающий тип

f n 0 ( x ) ≡ 0 , K n 0 ( x ,η ) ≡ 0 и ∃! j

≠ 0 : f nj ( x) ≡/ 0

u j (b ) ⎡v j (z) ⎤ μ ( z ) + ∑ ⎢ ∫ Q j ( z , t ) μ (t )dt + λ ∫ N j ( z , t ) μ (t )dt ⎥ = B( z ) j = 0 ⎢ x0 x0 ⎣ ⎦⎥ l

Формулы в (6а)

Формулы в (6б)

z ≡ x , V j ( z ) ≡ u j ( x ), −1

Q j ( z , t ) ≡ Φ j ( x, t ) = D ⋅ n −1

⋅ ∑ fij ( x) i =0

i ∂ Δ n (u j ( x) − t ) i ∂x

b

n −1

u −j 1 ( t )

i=0

⋅ ∫

∑ [K

ij

z ≡ x, V j ( z ) ≡ u j ( x), Q j ( z , t ) ≡ Φ j ( x, t ) = D −1 ⋅

∂iΔ (u (x) − t) n −1 n j ⋅ ∑ f (x) ij ∂xi i =0

N j ( z, t ) ≡ H j ( x, t ) = D−1 ⋅

Обозначения в разрешающем уравнении (19)

Нейтральный тип

f n 0 ( x) ≡ 1 , f nj ( x) ≡ 0

N j ( z, t ) ≡ H j ( x, t ) = D−1 ⋅

( x ,η ) ⋅

∂ i Δ ( u (η ) − t ) n j ⋅ ]d η + ∂η i

i

∂ Δ (u (η)−t ) dη + ⋅ ∫ ∑ Kij (x,η) n j i u−j 1 (t ) i=0 ∂η b

n−1

+ K n 0 ( x , t ),

B ( z ) ≡ F ( x) = f ( x) − l

n

−1

n

− ∑ ∑ {D ∑ y j =0 i =0

⋅ [ fij ( x)

( s −1)

s =1

B ( z ) ≡ F ( x) = f ( x) − l

( x0 ) ⋅

d i Δ s (u j ( x) − x0 )

n

n

− ∑ ∑ {D −1 ∑ y ( s −1) ( x0 ) ⋅ j =0 i = 0

+

Формулы в (6в) −1 V ( z) ≡ u (ul ( z )), j j

z ≡ u ( x), x = ul−1 ( z ), l Φ j ( u l− 1 ( z ), t ) Q j ( z,t) = u l′ n ( u l− 1 ( z ))

∀j = 0, l − 1, Ql ( z , t ) ≡ 0 , N j ( z, t ) ≡

+ K nj ( x , u − 1 ( t )) ⋅ ⋅ u ′j n − 1 ( u −j 1 ( z )) dt ,

s =1

d i Δ s (u

j ( x )− x0 ) + dxi

(19)

B( z) =

H j (ul−1 ( z ), t ) , ul′n (ul−1 (t ))

F (ul−1 ( z)) = ul′ n (ul−1 ( z))

= [ul′ n (ul−1 ( z))]−1{ f ij (ul−1 ( z)) − l

n

n

− ∑ ∑ {D−1 ∑ y( s−1) ( x0 ) ⋅ j =0 i =0

⋅ [ fij (ul−1(z))

s=1

diΔs (uj (ul−1(z)) − x0 ) (dul−1(z))i

+

dx ⋅[ fij ( x ) ⋅ b diΔ (u (η) − x0 ) i b + λ ∫ Kij (ul−1(z),η) s j i ]− d Δs(uj (η)−x0) i dη d Δs (uj (η)−x0) dη] − b +λ ∫ Kij (x,η)⋅ C i ( , ) ] + λ η ⋅ η − K x d ∫ ij dη Cj dηi Cj C i

j

Cj

j

C j − λ ∫ K ij ( x ,η )ϕ i (η ) dη }. − λ ∫ K ij ( x ,η ) ϕ i (η ) d η } . a a

170

− λ ∫ K ij ( x , η )ϕ i (η ) d η }. a

Таблица 2. Краевая задача для интегродифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом

b ⎧ l n ⎡ ⎤ (i ) (i ) ⎪∑∑ ⎢ fij ( x) y (u j ( x)) + λ ∫ Kij ( x,η ) y (η )dη ⎥ = f ( x), a ⎦ ⎪ j =0 i =0 ⎣ ⎪⎪ n−1 (i ) (i ) ⎨∑ ⎡⎣αiτ y ( x0 ) + βiτ y ( x1 ) ⎤⎦ = γ τ ,τ = 0, n − 1, a ≤ x0 < x1 ≤ b, ⎪ i =0 ⎪ y (i ) (u ( x)) = y (i ) ( x )ϕ (u ( x)), i = 0, n − 1, x ∈ E , j i j x0 0 ⎪ ⎪⎩

(1) (7) (8)

2.a. В случае x0 < x1 ≤ c j , ∀j = 1, l , как уже отмечалось, краевая

задача (1),(7),(8) сводится к решению задачи (1), (5), следует только заменить начальные функции ϕi (u j ( x)) в (6а), (6б) и (6в) на n −1

ϕi* (u j ( x)) = ϕi (u j ( x))ω −1 ⋅ ∑ γ τ ωiτ ,

где

ω = det [α iτ + βiτ ϕi ( x1 )] ,

τ =0

i,τ = 0, n − 1 и ωiτ - алгебраические дополнения к элементам определителя ω. 2.b. В случаях, когда ∃j = 1, l , для которых x0≤cj<x1, сведём результаты в таблицу-схему.

171

Условия в уравнении (1)

Запаздывающий тип

f n 0 ( x ) ≡ 1 , f nj ( x) ≡ 0 и

Разрешающ ее

K n j ( x,η ) ≡ 0

l

v j (z)

j=0

x0

μ (z) + ∑ [

∫

∀j = 1, l и ∃j ≥ 1 , что K n j ( x,η ) ≡/ 0

Q j ( z , t ) μ ( t ) dt + λ

K n 0 ( x,η ) ≡ 0 и ∃! j ≠ 0 :

f nj ( x) ≡/ 0

∫

T j ( z , t ) μ ( t ) dt ] = R ( z ) (19)

x0

Формулы в (17б)

z ≡ x, v j ( x) ≡ u j ( x),

z ≡ x, v j ( x) ≡ u j ( x),

Qj (z, t) ≡ D−1 ⋅

Qj ( z, t) ≡ Φ j ( x, t) = D−1 ⋅

n−1

Опережающий тип f n 0 ( x) ≡ 0 ,

u j (b )

Формулы в (17а)

⋅ ∑ f ( x) i =0 ij

Обозначения в разрешающем уравнении (19)

∀j = 1, l .

Нейтральный тип f n 0 ( x ) ≡ 1 , f nj ( x) ≡ 0

i ∂ Δn (u j ( x) − t ) , i ∂x

n −1

⋅ ∑ f ( x) i = 0 ij

i ∂ Δ n (u j ( x ) − t ) , i ∂x

Формулы в (17в) z ≡ u ( x), v ( x) ≡ u (ul−1 ( z)), l j j

Q j ( z, t ) ≡ n −1

Φ j (ul−1 ( z ), t ) = D −1 ⋅ ul′n (ul−1 ( z ))

fij (ul−1( z)) ∂i Δn (u j (ul−1(z)) − t )

, ⎧H j ( x, t ) + Gj (x, t), ⋅ ∑ u′n (u−1(z)) (∂ul−1(z))i i =0 l ⎧Hj (x, t) +Gj (x, t), l ⎪ ⎪ x0 ≤ t ≤ x1; x0 ≤ t ≤ x1; Tj ( z, t) ≡ ⎪⎨ , ⎪ , Tj (z,t) ≡ ⎨ ∀j = 0, l −1, Ql ( z , t ) ≡ 0, ⎪H j ( x, t ), ( , ), H x t ⎪ j ⎪ x ≤ t ≤ u b ( ), j 1 ⎩ ⎪ x1 ≤ t ≤ uj (b), ⎩ ⎧N j ( z, t) + M j ( z, t ), ⎪ − 1 x0 ≤ t ≤ x1 H j (x,t)= D ⋅ ⎪ , Tj ( z, t ) ≡ ⎨ H j (x,t)= D-1 ⋅ ( , ), N z t b n −1 ⎪ j b n −1 ⋅ ∫ ∑ [ K ( x ,η ) ⋅ ⎪ x1 ≤ t ≤ u j (b), ij ⎩ i=0 ⋅ [ K ( x ,η )⋅ −1

∫

∑

u −j 1 ( t ) i = 0

ij

∂ i Δ n ( u j (η ) − t ) ⋅ ]dη + ∂η i

+Kn 0 (x, t), Gj (x,t) = G*j (x,t) +G**j (x,t) + +G*** j (x,t), R(z) ≡ B(x),

u j (t )

⋅

i ∂ Δ n (u j (η ) − t ) ∂η

i

]dη + N j ( z , t ) ≡

+ K n j ( x , u l− 1 ( t )) ⋅ ⋅dt ⋅ u ′j n −1 ( u −j 1 ( t )), Gj (x,t) = G*j (x,t) +G**j (x,t) + +G*** j (x, t), R(z) ≡ B(x),

M j ( z,t) =

R(z) =

H j (u l−1 ( z ), t ) , ul′ n (ul−1 ( z )) G j (u l− 1 ( z ), t ) , u l′ n ( u l−1 ( z ))

B ( u l− 1 ( z )) . u l′ n ( u l− 1 ( z ))

где G*j ( x, t ), G**j ( x, t ), G*** вычисляются по формулам в уравнении (17) j ( x, t ), B( x)

172

§ 3. Решение разрешающих интегральных уравнений в замкнутом виде

Решение в замкнутом виде получим, если в уравнении вида (19) параметры ri , i = 1, n таковы, что R ( z ) ≡ 0 . Тогда решение

однородного уравнения (19) будет μ ( z ) ≡ 0 и решение первоначально поставленных начальных задач найдется по формуле (2) n

y ( z ) = D −1 ∑ y ( s −1) ( x0 )Δ s ( z − x0 ).

(20)

s =1

При i=0 для краевых задач решение найдем по формуле (16)

ω sτ γτ. τ =0 ω n −1

n

y ( z ) = D −1 ∑ Δ s ( z − x0 )∑ s =1

(21)

Другой возможный вариант решения в замкнутом виде получим, если параметры ri , i = 1, n таковы, что Q j ( z , t ) ≡ 0 и T j ( z , t ) ≡ 0

∀j = 0, l , тогда решение уравнения (19) будет μ ( z ) = R( z ) и по формуле (2) определится решение начальных задач: n

y ( z ) = D [∑ y −1

s =1

( s −1)

z

( x0 )Δ s ( z − x0 ) + ∫ Δ n ( z − t ) R(t )dt ] ,

(22)

x0

и по формуле (16) – решение краевых задач: n −1 n −1 ω ⎧n y ( z ) = D −1 ⎨∑ Δ s ( z − x0 )∑ sτ [γ τ − D −1 ∑ β kτ ⋅ τ =0 ω k =0 ⎩ s =1

(23) x1

⋅∫ x0

z

∂ Δ n ( x1 − t ) R (t )dt ] + ∫ Δ n ( z − t ) R(t )dt }+ R( z ). ∂x1k x k

0

Если условия R ( z ) ≡ 0 или условия Q j ( z , t ) ≡ 0, T j ( z , t ) ≡ 0 за счет выбора параметров выполнить не удается, то можно попытаться за счет выбора параметров сделать равными нулю или ядра Q j ( z , t ) или

T j ( z , t ) . Тогда при Q j ( z , t ) ≡ 0

и

T j ( z , t ) ≡/ 0 получим

разрешающее уравнение типа Фредгольма, и к нему применимы все

173

известные методы решения в замкнутом виде уравнений Фредгольма (например, метод для вырожденных ядер). Если же за счет выбора параметров удается сделать T j ( z , t ) ≡ 0 при Q j ( z , t ) ≡/ 0 ∀j = 0, l , тогда получим разрешающее уравнение типа Вольтерра, для них также в некоторых случаях известны возможные варианты решения в замкнутом виде. Если выполнить эти условия за счет выбора параметров не представляется возможным, то практически всегда можно решить разрешающие уравнения вида (19), применив один из известных приближенных методов. Пример 1.

Рассмотрим задачу Коши при начальном значении x0 = 0 для уравнения запаздывающего типа. 1 ⎧ x x −1 ⎪ y ′′( x) + xy ′( x − 1) − 2 ∫ e η y (η )dη = xe , 0 ⎪⎪ y ( x) = x, y ′( x) = 1 на E00 = [0], ⎨ ⎪ y ( x − 1) = x − 1, y ′( x − 1) = 1 на E 1 = [−1,0]. 0 ⎪ ⎪⎩ Решение. Начальное множество будет E0= E00 U E01 =[-1,0]. Выпишем коэффициенты, ядро уравнения и остальные данные задачи f20(x)≡1, f11(x)=x, λ=2, a=0, b=1, K00(x,η)=ηex, f(x)=xex-1,u0(x)≡x, u1(x)=x-1, y (0) = 0, y′(0) = 1. Найдём выражения для построения ФГС и её производных по аргументу x: D=

1

1

r1

r2

r ( x −t )

=r2-r1, Δ 1 (x-t)= r2 e 1

y(x)=

− r1e r2 ( x −t ) , Δ 2 (x-t)= e r2 ( x −t ) − e r1 ( x −t ) ,

∂Δ 1 (x − t ) r ( x −t ) − r1 r2 e r2 ( x −t ) , (x-t)= r1 r2 e 1 ∂x ∂Δ 2 (x − t ) r ( x −t ) = r2 e 2 − r1e r1 ( x −t ) , ∂x

1 [ r2 − r1

2

x

s =1

x0

∑ y ( s −1) ( x0 )Δ s ( x − x0 ) + ∫ Δ 2 ( x − t )μ (t )dt ]= 174

x

=

1 rx rx r ( x −t ) [ e 2 − e 1 + ∫ (e 2 − e r1 ( x −t ) )μ (t )dt ], r2 − r1 0 x

1 r ( x −t ) rx rx y ′( x ) = [ r2 e 2 − r1e 1 + ∫ ( r2 e 2 − r1e r1 ( x −t ) )μ (t )dt ], r2 − r1 0 y ′′( x ) =

x

1 r x rx r ( x −t ) [ r22 e 2 − r12 e 1 + ∫ ( r22 e 2 − r12 e r1 ( x −t ) )μ (t )dt ]+μ(x). r2 − r1 0

Для сокращения объёма выкладок возьмём один из параметров, равный нулю (r1=0), и по формулам в уравнении (6а) найдём r ( x −t ) r ( x −1−t ) , Ф1(x,t) = r2 e 2 , Ф0(x,t) = r22 e 2

2 H0(x.t) = r2 r x

1

∫ e η (e x

r2 (η −t )

− 1)dη ,

t

r ( x −1)

F(x) = xex-1- r22 e 2 -x r2 e 2

1

∫

rη

+2 e xη ( e 2 − 1)dη = 0

r x

r ( x −1)

=xex-1- r22 e 2 - x r2 e 2

+2ex(

1 1 - ). r2 2

Нетрудно увидеть, что оптимальное значение параметра r2=1, при котором F(x) ≡ 0, и тогда разрешающее уравнение однородное, а его решение μ(x)=0. По формуле (2) найдём решение поставленной задачи y(x)=ex-1. Проверим, что найденное решение удовлетворяет поставленной начальной задаче 1

∫

e +xe -2e η (eη − 1)dη = xex-1, xex-1 ≡ xex-1 x

x-1

x

0

и на чертеже хорошо видно выполнение начальных условий

175

Пример 2.

Рассмотрим краевую задачу: 1 ⎧ ⎛ x⎞ ′′ ′ ′ ⎪ y ( x) + 2 y ( x) − y ⎜ ⎟ − ∫ y′(η )dη = 0, ⎝2⎠ 0 ⎪ ⎪ ⎨ y (0) + y′(1) = 0, ⎪2 y′(0) − y′(1) = 1. ⎪ ⎪⎩ x0 = 0, x1 = 1, E0 = E00 U E01 = [0] , Для данной задачи

т.к. начальное множество состоит из одной точки. Следовательно, краевая задача в этом случае ставится так же, как и для уравнений с обыкновенным аргументом, без задания начальных функций. Выпишем коэффициенты, ядро и остальные данные задачи: f10(x)=2, f20(x)=1, f11(x)=-1, f(x)=0, K10(x,η)=-1, a=0, b=1, u0(x)=x, u1(x)=x/2. Решаем уравнения x=0 и x/2=0. Откуда c0=0, c1=0, следовательно, для уравнения запаздывающего типа имеем второй случай, т.к. выполняются условия x0 ≤ c j < x1 , т.е. 0 ≤ 0 < 1 . Воспользовавшись формулами ФГС (2)-(3)-(4) для записи вида искомого решения при n=2, x0=0 и положив ri=0 (для сокращения объёма выкладок), найдём

176

y ( x) = y (0) + y′(0) y′( x) = y′(0)e

x

e z2 x − 1 1 + ∫ ⎡⎣e r2 ( x −t ) − 1⎤⎦ μ (t )dt , r2 r2 0

x

r2 x

+ ∫ er2 ( x −t ) μ (t )dt , 0

x

y′′( x) = y′(0)r2 er2 x + r2 ∫ e r2 ( x −t ) μ (t )dt + μ ( x). 0

Откуда получаем:

y (1) = y (0) + y′(0)

1

e z2 − 1 1 + ∫ ⎡⎣er2 (1−t ) − 1⎤⎦ μ (t )dt , r2 r2 0

1

y′(1) = y′(0)er2 + ∫ er2 (1−t ) μ (t )dt. 0

Подставив полученные выражения для y (1) и y′(1) в краевые условия 1 ⎧ r2 ′ + + y (0) y (0) e e r2 (1−t ) μ (t )dt = 0, ⎪ ∫ ⎪ 0 ⎨ 1 ⎪2 y′(0) − y′(0)e r2 − e r2 (1−t ) μ (t )dt , ∫0 ⎪ ⎩

найдём 1

y′(0) =

1 + ∫ e r2 (1−t ) μ (t )dt 0

2−e

r2

1

, y (0) = 1 − 2 y′(0) = −

e r2 + 2∫ e r2 (1−t ) μ (t )dt 0

2 − e r2

Затем подставим y(0) и y′(0) в ФГС (формулы (2)-(3)-(4))

y ( x) = y (0) + y′(0)

x

e z2 x − 1 1 e r2 + ∫ ⎡⎣e r2 ( x −t ) − 1⎤⎦ μ (t )dt = − − r2 r2 0 2 − e r2

1 1 ⎤ 2 e r2 x − 1 ⎡ r2 (1− t ) e 1 + ∫ e r2 (1−t ) μ (t )dt ⎥ + μ (t )dt + − r2 ∫ r2 ⎢ 2−e 0 r2 (2 − e ) ⎣ 0 ⎦

177

.

x

+

1 ⎡ e r2 ( x −t ) − 1⎤⎦ μ (t )dt , r2 ∫0 ⎣

y′( x) = y′(0)e

x

r2 x

+ r2 ∫ e

r2 ( x − t )

0

1 ⎤ e r2 x ⎡ 1 + ∫ er2 (1−t ) μ (t )dt ⎥ + μ (t )dt = r2 ⎢ 2−e ⎣ 0 ⎦

x

+ ∫ e r2 ( x −t ) μ (t )dt ,

,

0

x

y′′( x) = y′(0)r2 e r2 x + r2 ∫ e r2 ( x −t ) μ (t )dt + μ ( x) = μ ( x) + 0

x ⎤ r2 e r2 x ⎡ r2 (1−t ) 1+ ∫ e + μ (t )dt ⎥ + r2 ∫ er2 ( x −t ) μ (t )dt , r2 ⎢ 2−e ⎣ 0 0 ⎦ 1

а полученные выражения для производных y ′( x) и y ′′( x) в данное уравнение:

μ ( x) +

1

x

r2 e r2 x r2 e r2 x 2e r2 x r2 (1− t ) r2 ( x −t ) e ( t ) dt r e ( t ) dt + μ + μ + + 2∫ r2 2 − e r2 2 − e r2 ∫0 2 e − 0 1

r2

x

x

r2

x

1

2e r2 x e 2 e 2 r2 (1−t ) r2 ( x −t ) e ( t ) dt 2 e ( t ) dt e r2 (1−t ) μ (t )dt − + μ + μ − − r2 ∫ r2 r2 ∫ ∫ 2−e 0 2−e 2−e 0 0 x 2

−∫ e

x r2 ( −t ) 2

0

Изменив 1

η

∫ dη ∫ e 0

0

η 1 ⎡ e r2η ⎤ e r2η r2 (1− t ) r2 (η − t ) e μ ( t ) dt e μ ( t ) dt + + ⎥dη . r2 ∫ r2 ∫ e 2 e 2 − − 0 ⎣ 0 0 ⎦

1

μ (t )dt = ∫ ⎢

r2 (η − t )

порядок

интегрирования

1

1

в

двойном

интеграле

1

μ (t )dt = ∫ e− r t μ (t )dt ∫ er η dη = r2−1 ∫ ⎡⎣ er (1−t ) − 1⎤⎦ μ (t )dt ,

вычислив интеграл

2

0 1

∫e 0

2

t

r2η

dη =

2

0

e −1 и, затем, перенеся известные r2 r2

выражения в правую часть равенства, придём к разрешающему интегральному уравнению

178

(r + 2)e r2 x − e μ ( x) + 2 2 − e r2 x 2

−∫ e 0

⎛x ⎞ r2 ⎜ −t ⎟ ⎝2 ⎠

r2

x 2

−1

1

x

0

0

r (1− t ) r ( x −t ) ∫ e 2 μ (t )dt + (2 + r2 )∫ e 2 μ (t )dt −

e r2 − 1 − r22 e r2 x − 2r2 e r2 x + r2 e μ (t )dt = r2 (2 − e r2 )

r2

x 2

= B( x) .

Теперь за счёт выбора параметра r2 минимизируем свободную функцию

B ( x) =

e − 1 − r2 e r2

2 r2 x

− 2r2 e

r2 x

+ r2 e

r2

x 2

,

r2 (2 − e ) r2

минимум которой достигается при r2=0, так как

lim B ( x) = lim

r2 → 0

r2 → 0

1 lim 2 − e r2 r2 →0

e r2 − 1 − r22 e r2 x − 2r2 e r2 x + r2 e

r2

x 2

r2

=

x r2 ⎞ ⎛ r2 x e r2 − 1 r2 x 2 = lim − lim ⎜ r2 e + 2e − e ⎟ = 1 − 2 + 1 = 0 . r2 → 0 r2 → 0 r2 ⎝ ⎠

Следовательно, разрешающее уравнение однородное и его решение будет μ(x)=0, тогда решение поставленной краевой задачи найдётся:

y ( x) = −

e r2 x − 1 − r2 e r2 e r2 e r2 x − 1 + = lim = 2 − e r2 r2 (2 − e r2 ) r2 →0 r2 (2 − e r2 )

⎡ ⎤ 1 e r2 x − 1 = lim ⋅ lim − lim e r2 ⎥ = x − 1. ⎢ r 2 r2 →0 2 − e r2 → 0 ⎣ r2 →0 r2 ⎦ Ответ: y ( x) = x − 1 .

.

Сделаем проверку, подставив найденную функцию y ( x) = x − 1 в данное уравнение 1

0 + 2 − 1 − ∫ dη = 0 ⇒ 0 = 0 0

и краевые условия

179

⎧ −1 + 1 = 0 , ⎨ ⎩2 − 1 = 1 которые также выполняются.

§4. Приближённые методы решения разрешающих интегральных уравнений

Для решения смешанных интегральных уравнений вида (19) применимы методы и способы приближённого решения интегральных уравнений (такие как представление решения рядами Тейлора, Неймана, Фурье; методами последовательных приближений, осреднения функциональных поправок, сплайн-интерполяционными методами и др.). Наличие параметров в структуре функций в разрешающем уравнении (19) даёт возможность ускорить сходимость любого из известных приближённых методов за счёт оптимального их выбора. Так, например, применив метод последовательных приближений к уравнению (19) и приняв за начальное приближение функцию μ0(z)=R(z), получим рекуррентную формулу для последовательных приближений: v (z) u j (b) l ⎡ j ⎤ μk ( z ) = R( z ) − ∑ ⎢ ∫ Q j ( z , t ) μk −1 (t )dt + λ ∫ T j ( z , t ) μk −1 (t )dt ⎥ , (24) j = 0 ⎢ x0 ⎥⎦ x0 ⎣ k=1,2,… Для доказательства сходимости метода и существования решения, как обычно, составим функциональный ряд μ0 ( z ) + [ μ1 ( z ) − μ0 ( z )] + [ μ2 ( z ) − μ1 ( z )] + ... + [ μk ( z ) − μk −1 ( z )] + ... (25) При условии ограниченности функций R ( z ) ≤ M , Q j ( z , t ) ≤ N j , T j ( z, t ) ≤ Pj ∀j = 0, l в квадрате a ≤ x, t ≤ b (26) оценим по модулю члены ряда

180

μ0 ( z ) = R ( z ) ≤ M , μ1 ( z ) − μ0 ( z ) = ≤

l

⎡b

j =0

⎣⎢ x0

u j (b) ⎡v j (z) ⎤ Q ( z , t ) μ ( t ) dt + λ T j ( z , t ) μ0 (t )dt ⎥ ≤ ⎢ ∑ 0 j ∫ ∫ j = 0 ⎢ x0 ⎥⎦ x0 ⎣ l

⎤

b

⎡

l

∑ ⎢ ∫ N Mdt + | λ | ∫ P Mdt ⎥ ≤ M | b − x | ⎢∑ N j

j

x0

0

⎦⎥

l

⎣ j =0

l ⎤ + | λ | Pj ⎥ ≤ ∑ j j =0 ⎦

l

≤ M b − x0 ( N + | λ | P ), ãäå N = ∑ N j , P = ∑ Pj , j =0

μ2 ( z ) − μ1 ( z ) =

l

⎡

v j (z)

j =0

⎣

x0

∑⎢ ∫ ⎢

j =0

u j (b )

Q j ( z , t ) μ1 (t ) dt + λ

∫

x0

⎤ T j ( z , t ) μ1 (t )dt ⎥ ≤ ⎥⎦

b l ⎡b ⎤ 2 ≤ M | b − x0 | ( N + | λ | P) ∑ ⎢ ∫ N j dt + | λ | ∫ Pj dt ⎥ ≤ M b − x0 ( N + | λ | P) 2 , j =0 ⎢ ⎥⎦ x0 ⎣ x0 ......................................................................................

μk ( z ) − μk −1 ( z ) ≤ M | b − x0 |k ( N + | λ | P )k , ....................................................................................

и из полученных оценок построим для ряда (25) мажорирующий ряд M + M | b − x0 | ( N + | λ | P ) + ... + M | b − x0 |k ( N + | λ | P) k + ... (27). Ряд (27) составлен из членов геометрической прогрессии и поэтому сходится при q =| b − x0 | ( N + | λ | P) < 1 (28). Если условие (28) выполняется, то ряд (25) по критерию Вейерштрасса сходится равномерно и абсолютно и единственное решение уравнения (19) существует и может быть найдено приближённо по формуле (24). При этом погрешность приближённого решения δ μk может быть вычислена по формуле M | b − x0 |k ( N + | λ | P ) k . (29) k 1− | b − x0 | ( N + | λ | P ) Условие (28) в общем случае довольно жёсткое, поэтому рассмотрим ещё один возможный вариант приближённого решения. За счёт выбора части параметров минимизируем ядра Tj(z,t), а остальные параметры далее используются для ускорения метода последовательных

δμ ≤

181

приближений. Если удалось сделать эти ядра достаточно малыми (что иногда выполняется автоматически, например, для дифференциальных уравнений запаздывающего типа, где Tj(z,t)≡0 ∀j = 0, l ), то мы можем рассматривать разрешающее уравнение типа Вольтерра l

Vj (z)

j =0

x0

μ ( z) + ∑

∫

Q ( z , t ) μ (t )dt = R ( z )

(30)

Рекуррентная формула для последовательных приближений будет: l

v j (z)

j =0

x0

μk ( z ) = R( z ) − ∑

∫

Q( z , t ) μk −1 (t )dt , k = 1, 2,... ,

и при тех же ограничениях (26) для членов ряда (25) получим оценки: μ0 ( z) = R( z) ≤ M ,

μ1 ( z) − μ0 ( z) =

μ 2 ( z ) − μ1 ( z ) = ≤ MN

2

z − x0

v j (z)

l

∑∫

Q j ( z, t )μ0 (t )dt ≤

j = 0 x0

l

v j (z)

j=0

x0

∑ ∫

l

b

∑ ∫ N Mdt ≤ M z − x j =0 x0

0

j

Q j ( z , t )[ μ 1 ( t ) − μ 0 ( t )] d t ≤

l

l

N, N = ∑ N j , j =0

z

∑∫N j = 0 x0

j

M N | t − x0 | d t ≤

2

, 2 .................................................................................

μk ( z ) − μk −1 ( z ) ≤ MN

k

z − x0

k

, k! ................................................................................. Мажорирующий ряд для ряда (25), построенный из полученных оценок, будет: | b − x |2 | b − x |k M + MN | b − x0 | + MN 2 + ... + MN k + ... . (32) 2! k! Ряд (32) по признаку Даламбера всегда сходится, так как MN k +1 | b − x0 |k +1 ⋅k ! N | b − x0 | l = lim = lim = 0 <1. k k k →∞ ( k + 1)!⋅ MN | b − x | k →∞ k +1 0

182

Следовательно, ряд (25)по критерию Вейерштрасса всегда сходится равномерно и абсолютно, и для решения уравнения (30) получаем оценку: | μ ( z ) |≤ Me N |b − x0 | (33). Оценку погрешности δ μk k-го приближения решения уравнения (30) для отрезка z ∈ [a, b] , воспользовавшись формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, получим в виде | b − x0 |k +1 MN k +1e Nθ |b − x0 | , 0 < θ < 1 δ μk ≤ (34). (k + 1)! Приближённое решение первоначально поставленной задачи получим, воспользовавшись формулой ФГС (2) z ⎡ n ⎤ y ( z ) ≈ yk ( z ) = D −1 ⎢ ∑ y ( s −1) ( x0 )Δ s ( z − x0 ) + ∫ Δ n ( z − t ) μk (t )dt ⎥ , ⎢⎣ s =1 ⎥⎦ x0 откуда следует, что погрешность δ yk этого решения будет

δ y ≤ δ μ max k

k

z∈[ a ,b ]

z

∫Δ

n

( z − t )dt .

(36)

x0

Из оценок ряда (25) следует, что последовательные приближения сходятся к искомому решению тем быстрее, чем меньше величина N, которую можно считать функцией параметров ri , i = 1, n . Получим формулу для этой функции, предварительно разложив в выражении i Qj(z,t) определители ∂ Δ n (u j ( z ) − t ) . по элементам последней строки:

∂z

∂ Δn (u j (z) − t) i

∂zi

=

1 r1 K

r (u j ( z )−t )

r1i e 1

1 r2 K

r (u j ( z )−t )

r2i e 2

183

K 1 rn K u′jn (z) = K K i rn (u j ( z )−t ) K rn e

n

= ∑ rνi e 1

r (u j ( z ) −t )

ν =0

1 r1 . r1n − 2

... 1 ... ri −1 . . n−2 ... r2

1 ... 1 ri +1 ... rn . . . n−2 n−2 ri +1 ... rn

u′jn (z ).

(37)

Затем, вводя обозначения для результатов вычислений ⎧[ max exp(u j ( z ) − t )]rv max u′jn ( z ) , rv ≥ 0, α ≤ z≤β ⎪ z ,t∈[α , β ] (38) max fij ( z ) = mij ,ℵrjv = ⎨ exp(u j ( z ) − t )]rv max u′jn ( z ) , rv < 0, ⎪[ z ,min α ≤ z≤β ⎩ t∈[α , β ] и производя замену функций в формулах для Qj(z,t) на их максимальные значения, получим выражение для N=N(r1,r1,..,rn) как функцию n параметров 1 ... 1 1 ... 1 l n m n ... ri −1 ri +1 ... rn r ij | rνi | ℵrνj 1 N = ∑∑ . (39). ∑ . . . . . . j =0 i =0 D ν =0 r1n − 2 ... r2n − 2 ri n+1− 2 ... rnn − 2 Следовательно, необходимо определить параметры, минимизируя функцию N(r1,r2,..,rn). Наименьшее значение этой функции существует, так как N (r1 , r2 ,.., rn ) ≥ 0 . Величина параметров влияет только на скорость сходимости последовательных приближений, поэтому их можно определить приближённо, если возникли затруднения с точным определением. Погрешность первоначальной задачи δ yk можно посчитать, воспользовавшись формулами ФГС (34) и (36). Пример 3.

Найти приближённое решение задачи Коши ⎧ ⎛ x⎞ ⎪ y ′′ ( x ) + y ′ ⎜ 5 ⎟ = 1, ⎝ ⎠ ⎪⎪ ′ (0 ) = 0, . y (0 ) 1, y = ⎨ ⎪ E = [0 ], x ∈ [ − 1,1]. ⎪ 0 ⎪⎩

184

Для данной задачи x0 = 0 è E0 = E00 U E01 = [0] . Так как начальное множество состоит из одной точки, то задача Коши ставится так же, как и для уравнений с обыкновенным аргументом. Выпишем данные задачи: f20(x)=1, f11(x)=1, f(x)=1, u0(x)=x и x u1(x)=x/5. Определим C0 и C1: x = 0 ⇒ C0 = 0 è = 0 ⇒ C1 = 0 . 5 Приближённое решение будем искать с помощью ФГС (2), положив r2=r1,=r, тогда в соответствии с формулами ФГС (2)-(3)-(4) главы I при n=2 и x0=0 найдем: x

y ( x) = y (0)e rx (1 − rx) + y ′(0) xe rx + ∫ ( x − t )er ( x −t ) μ (t )dt = erx (1 − rx) + 0

x

+ ∫ ( x − t )e r ( x −t ) μ (t )dt , 0

x

y′( x) = − y (0)r 2 xe rx + y′(0)(1 + rx)erx + ∫ r (1 + r ( x − t ))er ( x −t ) μ (t )dt = − r 2 xe x + 0

x

+ ∫ (1 + r ( x − t ))er ( x −t ) μ (t )dt , 0

x

y′′( x) = − y (0)r 2 e rx (1 − rx) + y′(0)(2 + rx)erx + ∫ r (2 + r ( x − t ))er ( x −t ) μ (t )dt + μ ( x) = 0

x

= −r 2 erx (1 − rx) + r ∫ (2 + r ( x − t ))er ( x −t ) μ (t )dt + μ ( x). 0

Подставив полученные выражения для искомой функции и её производных в уравнение x x r 2 rx 2 x r ( x −t ) 5 μ ( x) − r e (1 − rx) + r ∫ (2 + r ( x − t ))e μ (t )dt − r e + 5 0 x 5

⎛x

⎞

⎛ ⎛ x ⎞ ⎞ r ⎜ −t ⎟ + ∫ ⎜1 + r ⎜ − t ⎟ ⎟ e ⎝ 5 ⎠ μ (t )dt = 1 , ⎝ 5 ⎠⎠ 0⎝ нетрудно увидеть, что наиболее простой вид разрешающего уравнения получим при r=0

185

x 5

μ ( x) + ∫ μ (t )dt = 1 . 0

Запишем рекуррентную формулу x 5

μk ( x) = 1 − ∫ μk −1 (t )dt 0

и вычислим последовательные приближения, положив μ0 ( x) = 1 ; x 5

x 5

μ1 ( x) = 1 − ∫ dt = 1 − ; 0

x 5

x

⎛ t2 ⎞ 5 x x2 ⎛ t⎞ μ2 ( x) = 1 − ∫ ⎜1 − ⎟ dt = 1 − ⎜ t − ; ⎟ = 1− + 5⎠ 5 2 ⋅ 53 ⎝ 2⋅5 ⎠ 0 0⎝ x 5

⎛

t 5

μ3 ( x ) = 1 − ∫ ⎜ 1 − +

t2 ⎞ x x2 x3 − ; dt = 1 − + 3 ⎟ 3 2⋅5 ⎠ 5 2 ⋅ 5 2 ⋅ 3 ⋅ 56

⎝ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK k (−1) p x p μk ( x) = 1 − ∑ , s p = s p −1 + ( p − 1) sp p =1 p !5 ............................................................................................. ∞ (−1) p x p μ ( x) = 1 − ∑ . sp p =1 p !5 За приближённое решение примем x x2 μ2 ( x) = 1 − + , 5 2 ⋅ 53 тогда погрешность такого решения по теореме Лейбница будет x3 δ μ2 ≤ max ≤ 0,0000108 . | x| ≤1 2 ⋅ 3 ⋅ 56 0

Затем найдём поставленной задачи

приближённое

186

решение

первоначально

x x ⎛ t t2 ⎞ y ( x) = erx (1 − rx) + ∫ ( x − t )er ( x −t ) μ (t )dt ≈ 1 + ∫ ( x − t ) ⎜ 1 − + dt = 3 ⎟ ⎝ 5 2⋅5 ⎠ 0 0 x3 x4 x 2 x3 x4 x 2 x3 x4 = 1 + x2 − + − + − = 1+ − + 10 750 2 15 1000 2 30 3000 и определим погрешность δ y2 этого решения, воспользовавшись

формулой(36) x

x2 = 0,0000054 . 2 2 | x| ≤1 | x|≤1 2 0 Если подставить полученное приближённое решение в заданное уравнение, предварительно вычислив x2 x3 x x2 , y′′( x) = 1 − + y ′( x) = x − + , 10 750 5 250 то получим невязку Δf = max f ( x) − f ( x) , где f ( x) - приближённое

δ y ≤ max ∫ ( x − t )δ μ dt = 0,0000108 ⋅ max

| x|≤1

значение левой части уравнения x x2 x x2 x3 1− + + − + = 1, 5 250 5 250 750 ⋅ 53 . x3 Δf = max ≈ 0,00001006. | x|≤1 750 ⋅ 53

187

Вопросы к зачету Интегро-дифференциальные (и-д.) уравнения. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

Основные понятия, определения и теоремы. Методы преобразования интегродифференциальных уравнений к разрешающим уравнениям. Решение разрешающих интегральных уравнений специального вида. Построение итерированных ядер и резольвента. Построение характеристического полинома и минорных рядов. Рекуррентные формулы. Построение общего решения и решения задачи Коши. Построение минорных рядов высших порядков. Нахождение фундаментальных чисел и функций однородных разрешающих уравнений. Применений аналогов трех теорем Фредгольма к решению интегродифференциальных уравнений. Решение специализированной задачи Коши. Линейные неоднородные интегродифференциальные уравнения. Альтернативные методы преобразования линейных дифференциальных операторов. Приближенные методы решения интегральных уравнений. Оценка погрешности приближенных решений. Решение линейных краевых задач. Уравнения с отклоняющимся аргументом. Функция структуры и ее применение к решению интегродифференциальных уравнений. Решение интегродифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в замкнутом виде. Приближенное решение разрешающих уравнений.

188

Вопросы экзамена по спецкурсу, спецсеминару IV курс, 7-8 сем. Интегро-дифференциальные (и-д.) уравнения. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 15. 16.

Различные виды и-д. уравнений. Физические примеры. Сингулярно-возмущенные и-д. уравнения. Линейные и-д. уравнения. Задачи приводящие к и-д. уравнениям. Построение разрешающего интегрального уравнения в случае n>m и его решение с помощью ряда Неймана. Итерированные ядра и резольвента. Интегральные уравнения резольвенты. Метод Некрасова А.И. Аналоги детерминантов Фредгольма. Исследование на сходимость детерминантов. Доказательство единственности. Аналог первой теоремы Фредгольма. Рекурентные формулы для вычисления коэффициентов рядов. Миноры высших порядков ядра интегродифференциального уравнения. Связь между разрешающими уравнениями и между детерминантами. Разложение детерминантов высших порядков по строкам и столбцам. Построение фундаментальных функций для разрешающего интегрального уравнения и их свойства. Линейная независимость фундаментальных функций и полнота решений. Аналог второй теоремы Фредгольма. Связь между решениями двух интегральных разрешающих уравнений. Однородный случай. Аналог третьей теоремы Фредгольма. 189

17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

Задача Коши для линейного интегродифференциального уравнения типа Фредгольма. Специализированная задача Коши. Решение неоднородных линейных интегродифференциальных уравнений. Случай m≥n. Задача Коши для этого случая. Решение линейных интегро-дифференциальных уравнений, опираясь на фундаментальную систему решений внутреннего дифференциального оператора. Решение задачи Коши без использования фундаментальных систем решений внутреннего и внешнего дифференциальных операторов. Приближенное решение линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма.

190

Глоссарий: 1. Асимптоматика – неограниченное приближение к определенному объекту 2. Алгоритм – последовательность точно описанных операций 3. Альтернативные методы – другие методы решения 4. Итерация – последовательное применение математических операций 5. Оператор – последовательность математических операций, записанная аналитическим выражением 6. Разрешающее уравнение – уравнение имеющее те же решения, что и данное, но более простое по форме и в решении 7. Рекуррентная формула – формула позволяющая шаг за шагом определить значения искомой величины или решения 8. ФГС- функции гибкой структуры – функции изменяющие свою структуру в зависимости от введенных значений параметров

191

Тематика курсовых работ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Функции гибкой структуры и их применение к решению различных задач. Интегральные уравнения Фредгольма. Интегральные уравнения Вольтерра. Смешанные интегральные уравнения. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Аналоги теоремы Фредгольма для интегродифференциальных уравнений. Специализированная задача Коши для вырожденных ядер (общий случай). Исследование и решение разрешающих уравнений. Краевые задачи для интегродифференциальных уравнений. Приближенные аналитические методы решения интегродифференциальных уравнений. Приближенные численные методы решения интегродифференциальных уравнений. Интегродифференциальные уравнения с частными производными.

192

Тематика дипломных работ 13.

14.

15.

16. 17.

Интегродифференциальные уравнения Фредгольма с отклоняющимся аргументом. Исследование и разработка программ решения на ЭВМ. a. уравнений запаздывающего типа b. уравнений нейтрального типа c. уравнений опережающего типа Интегродифференциальные уравнения Вольтерра с отклоняющимся аргументом. Исследование и разработка программ решения на ЭВМ. a. уравнений запаздывающего типа b. уравнений нейтрального типа c. уравнений опережающего типа Смешанные интегральные уравнения с отклоняющимся аргументом. Исследование и разработка программ решения на ЭВМ. a. интегральные операторы применяются раздельно b. интегральные операторы применяются последовательно Интегродифференциальные уравнения в частных производных. Реализация решения на ЭВМ. Системы интегродифференциальных уравнений. Программа решения на ЭВМ.

193

БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ “У Т В Е Р Ж Д А Ю” Проректор по УР _______Батуева И.С. “___”__________2005 г.

УЧЕБНАЯПРОГРАММА по курсу /дисциплина/___по спецкурсу, спецсеминару «Интегро-дифференциальные уравнения и их приложения» ________________________________________________ для специальности 010200/010501.65 прикладная математика и информатика _______ Кафедра "Прикладная математика"

194

Программа составлена на основании стандартов Специальности (номер)_ 010200/010501.65 прикладная математика и информатика _________________________________ с учетом национально-регионального компонента Программа утверждена на заседании кафедры « » 200 г. __________ ( )

Протокол №__

подпись Программа утверждена учебно-методической комиссией факультета «___» __________ (________________) подпись

195

_____200

г.

Пояснительная записка Цель курса - дальнейшее углубленное изучение теории дифференциальных, интегральных и интегродифференциальных уравнений как с обыкновенным так и с отклоняющимся аргументом и применение расмотренных теорий к прикладным задачам различных областей знаний. Задачи курса - вытекают из целей: продолжить изучение интегральных уравнений, рассмотреть интегральные и интегродифференциальные уравнения с обыкновенным аргументом, дифференциальные и другие типы функциональных уравнений с отклоняющимся аргументом, а также их применение к различным прикладным задачам. Тематика курса Раздел 1. Интегро-дифференциальные уравнения (и.д.у.) и их приложения. Тема 1. Основные понятия и определения. Тема 2. Решение и.-д.уравнений Тема 3. Аналоги детерминантов Фредгольма. Тема 4. Начальная задача для и.-д.уравнений. Тема 5. Другие методы решения и.д.уравнений. Раздел 2. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом (д.у.с о.а.). Тема 1. Основные понятия и определения. Теорема существования. 196

Тема 2. Линейные уравнения. Тема 3. Приближенные методы интегрирования д.у. с о.а. Тема 4. Теория устойчивости. Тема 5. Периодические решения. Свойства и теоремы существования. Периодические решения линейных и квазилинейных уравнений. Раздел 4. Интегро-дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Тема 1. Основные понятия и определения. Уравнения Вольтера. Тема 2. Уравнения Фредгольма. Тема 3. Краевые задачи.

Раздел 1. Интегро-дифференциальные уравнения (и.д.у.) и их приложения. Тема 1. Основные понятия и определения. Различные виды и.-д.у. Задачи приводящие к и.-д.у. Различные виды и.-д.у. Физические примеры. Сингулярно возмущенные и.-д.у. Тема 2. Решение и.-д.уравнений Построение разрешающего интегрального уравнения и его решение с помощью ряда Неймана в случае n>m. Итерированые ядра и резольвента. Интегральные уравнения резольвенты. Метод акад.Некрасова А.И. Тема 3. Аналоги детерминантов Фредгольма. Исследование на сходимость детерминантов. Доказательство единственности. Аналог первой теоремы Фредгольма. Рекурентные формулы для вычисления коэффициентов рядов. Миноры высших порядков ядра и-д.у. Связь между разрешающими уравнениями и между детерминантами. Разложение детерминантов высших порядков по строкам и столбцам. Построение фундаментальных функций для разрешающего интегрального уравнения. Полнота 197

решений. Аналог второй теоремы Фредгольма. Однородный случай. Аналог третьей теоремы Фредгольма. Тема 4. Начальная задача для и.-д.уравнений. Задача Коши для линейного и.-д.у. типа Фредгольма. Специализированная задача Коши. Решение неоднородных линейных и.-д.у. и случай m ≥ n. Задачи Коши для этих случаев. Тема 5. Другие методы решения и.д.уравнений. Решение с помощью фундаментальной системы внутреннего дифференциального оператора. Решение задачи Коши и краевой задачи без использования фундаментальных систем решений. Раздел 2. Интегро-дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Тема 1. Основные понятия и определения. Уравнения Вольтера. Начальная задача для уравнений Вольтерра запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. Решения в замкнутом виде. Приближенные методы решения. Тема 2. Уравнения Фредгольма. Начальная задача для уравнений Фредгольма запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. Тема 3. Краевые задачи. Краевая задача для различных типов уравнений Вольтерра. Краевая задача для различных типов уравнений Фредгольма. Приложения и-д.у. с о.а.

198

Литература. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

Привалов И.И. Интегральные уравнения. Ловитт У.В. Линейные интегральные уравнения. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Задачи и упражнения. Виарда Г. Интегральные уравнения. Петровский И.Г. Линейные интегральные уравнения. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. Эльегольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегродифференциальных уравнений. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. Коротков В.Б. Методы решения интегральных уравнений. Журналы, сборники, вестники, сборники тезисов. Шишкин Г.А. Линейные интегро-дифференциальные уравнения. Учебное пособие. Часть I, II, III, IV. Шишкин Г.А. Линейные интегро-дифференциальные уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом. Монография. Изд-во БГУ. – Улан-Удэ, 2006г.

199

Литература 1. Александрийский Б.И. К теории некоторых линейных интегродифференциальных систем // ДАН. СССР, т.91, № 2.- М.1953 – С.184194. 2. Бараталиев К.Б. Приближенное решение некоторых задач для интегро-дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н. – Фрунзе, 1965. 3. Быков Я.В. К теории линейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра // Труды физ.-мат.фак.Кирг.ун-та, в.2.– Фрунзе, 1953.– С.67-83. 4. Быков Я.В. Об одном классе линейных интегродифференциальных уравнений // ДАН. СССР, в.86, №2.-М.1952 – С.8599. 5. Быков Я.В. О некоторых задачах теории интегродифференциальных уравнений. – Фрунзе, 1957.- С.327. 6. Васильев В.В. К вопросу об интегрировании систем линейных интегро-дифференциальных уравнений // Уч.зап. Иркутского гос. пед. ин-та, в.9.-Иркутск, 1946. 7. Васильев В.В. Решение линейных обобщенных интегро-дифференциальных уравнений // ПММ, в.15.-М., 1951. 8. Васильев В.В. Решение задачи Коши для одного класса линейных интегро-дифференциальных уравнений // ДАН СССР, в.100, №5-М., 1955. 9. Васильев В.В. К вопросу о решении краевой задачи для одного класса линейных интегро-дифференциальных уравнений // Уч.зап. Иркутского гос. пед. ин-та, в.17.-Иркутск, 1960.-С.159-168. 10. Васильев В.В. К вопросу о решении задачи Коши для одного класса линейных интегро-дифференциальных уравнений // Изв.высш.уч.зав., Матем. №4.- М., 1961.-С.8-24. 11. Васильев В.В. Решение одного класса линейных интегро-дифференциальных уравнений // Труды Иркутского у-та, серия матем., т.26.Иркутск, 1968.-С.3-17. 12. Виграненко Т.И. О решении одного класса интегро-дифференциальных уравнений // Труды ИМИ АН Узб.ССР, в.10,ч.2.-Ташкент, 1953. 13. Виграненко Т.И. Об одном классе линейных интегродифференциальных уравнений // Зап.Лен.горн.ин-та, в.33.-Л., 1956.С.176-186. 14. Виграненко Т.И. Об одной граничной задаче для линейных интегро-дифференциальных уравнений // Зап.Лен.горн.ин-та, в.33.-Л., 1956.-С.161-176.

200

15. Вулих В.З. Введение в функциональный анализ.-М. «Наука», 1967. 16. Галаев Б.М. Теоремы существования решений интегродифференциальных уравнений // ДАН СССР, в.85, №3-М., 1956. 17. Егоров А.И. Теорема существования решений интегродифференциальных уравнений // Труды физ.-мат.фак.Кирг.ун-та, в.2.Фрунзе, 1953.-С.119-123. 18. Женхэн О. О существовании и единственности решений интегро-дифференциальных уравнений// ДАН СССР, в.86, №2-М., 1952 и ДАН СССР, в.91, №6-М., 1953. 19. Каменский Г.А. К общей теории уравнений с отклоняющимся аргументом // ДАН СССР, 120, 4. 1958.-С.697-700. 20. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. –М. «Наука», 1962. 21. Кокарева Т.А. Некоторые теоремы существования аналитических решений для интегро-дифференциальных уравнений // ДАН СССР, в.79, №1-М., 1951 22. Кривошеин Л.Е. Об одном методе решения некоторых линейных интегро-дифференциальных уравнений // Изв.высш.уч.зав., Матем. №3.М., 1960.-С.168-172. 23. Кривошеин Л.Е. Приближенные методы решения обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений. –Фрунзе, 1962. 24. Куликов Н.К. Инженерный метод решения и исследования обыкновенных дифференциальных уравнений.-М. «Высшая школа»,1964.-207 с. 25. Куликов Н.К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой. Тематический сб. МТИПП.-М.,1974.-207 с. 26. Ландо Ю.К. Краевая задача для линейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра // Учен зап. Минского пед.ин-та, в.6.Минск, 1956.-С.257-269. 27. Ландо Ю.К. Функция Грина краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра // Учен зап. Минского пед.инта, в.9.-Минск, 1958.-С.65-70. 28. Ландо Ю.К. Краевая задача для линейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра в случае распадающихся краевых условий // Изв.высш.уч.зав., Матем. №3.- М., 1961.-С.56-65. 29. Ловит У.В. Линейные интегральные уравнения.-М.Гос.издат., 1957.-266 с.

201

30. Назаров Н.Н. Об одном классе линейных интегродифференциальных уравнений // Тр.ИММ Ан Узб.ССР, в.4.-Ташкент, 1948. 31. Некрасов А.И. Об одном классе линейных интегро-дифференциальных уравнений // ТР.Цаги, в.190.-М., 1934. 32. Николенко В.Н. Задача Коши для интегро- дифференциальных уравнений типа Фредгольма // -М. УМН., т.7, в.5.,1952.-С.225-228. 33. Привалов И.И. Интегральные уравнения .-М. ГТТИ, 1935. 34. Эсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. -М. «Наука», 1971.-296 с. 35. Buscham W. Die Zuruckfuhrung von spezielen linearen // IntegroDifferentiql gleichungen auf gewohuliche Integralgleichungen. Zeitschrift. Angew/ Math.Mech/, 32, 1952 36. Volterra V. Lecons sur les eguations integrals et les eguations integro-differentielles. -Paris. 1913. 37. Volterra V. Varigzioni e fluttuazioni del numero d’indivindin specie animali conviventi //R.Comit Tallass. Jt Met.31.1927. 38. Volterra V. La teoria deifunzionali appiata aifenomeni ereditari // Atti congr.lut.Mat.,Bolongna, v.1,1928. 39. Volterra V. Teory of functionals and of integral and integro-differentiel eguations – London-Grasqon, 1930. 40. Volterra V. The general equations of biological strife in the case of historical actions // Proc.Edinburgh Math. Soc.6.- 1939.- C.4-10. 41. Volterra V. Teorie of functionals and of integral and integro-differential eguations – London, 1931. 42. Шишкин Г.А. Линейные интегро- дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами // Научный отчет во ВНГИ Центре, Б 669678, 31.05.1978, гл.II, §5,-С.14-17. 43. Шишкин Г.А. Обоснование одного метода решения интегродифференциальных уравнений Фредгольма с функциональным запаздыванием// Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. СО АН СССР, ин-т мат-ки.-Новосибирск, 1980.С.172-178. 44. Шишкин Г.А. Постановка и решение линейных краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с отклоняющимся аргументом // Неклассич.ур-я матем. физики. Сб.н.тр. СО АН СССР.-Новосибирск, 1986.-С.214-217. 45. Шишкин Г.А., Сенина И.В. Решение интегро-дифференциальных уравнений спомощью функций с гибкой структурой // Математика и методика ее преподавания. –Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2000.-С.111-113.

202

46. Шишкин Г.А. Исследование возможностей преобразования интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом к уравнениям с обыкновенным аргументом // Математика и методика ее преподавания. В.1–Улан-Удэ, 2000.-С.108-111; В.2., 2001.-С.71-73; В.3., 2002.-С.71-73; В.4., 2003.-С.112-115. 47. Шишкин Г.А. Преобразование начальной задачи для интегродифференциальных уравнений Фредгольма с отклоняющимся аргументом к уравнениям без отклонений аргумента// Математика, ее приложения и математическое образование. Матер.междун.конф. –Улан-Удэ, 2002.-С.139-145. 48. Шишкин Г.А. Преобразование краевой задачи для интегродифференциального уравнения Фредгольма с запаздывающим аргументом нейтрального типа к уравнениям без отклонений аргумента // Вестник Бурятского университета, «Математика и информатика». Серия 13, в.1, Улан-Удэ, 2004.-С.42-47. 49. Шишкин Г.А. Исследование возможностей преобразования краевой задачи для интегро- дифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом опережающего типа к уравнениям с обыкновенным аргументом // Вестник Бурятского университета «Математика и информатика», Серия 13, в.2, Улан-Удэ, 2005.-C.98-101.

203

Содержание Введение……………………………………………………. Глава I. Аналоги теорем Фредгольма………………………. §1. Аналог первой теоремы Фредгольма …………………..

1. Построение разрешающего уравнения, когда порядок внешнего дифференциального оператора больше порядка внутреннего ……………………... . . . . . . . . . . . . . . . . . …… 2. Решение разрешающего интегрального уравнения специального вида …………………………………………… 3. Итерированные ядра и резольвента. Интегральные уравнения резольвенты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …… 4. Характеристический полином и минорный ряд А.И. Некрасова . . . . . . ……………………………………………. 5. Существование и единственность решения интегродифференциального уравнения Фредгольма . . . . . . . . . …... 6. Рекуррентные формулы вычисления коэффициентов характеристического полинома и минорного ряда. . . . ….. 7. Решение задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . …… §2. Аналог второй теоремы Фредгольма ………………. 1. Минорные ряды высших порядков . . . . . . . . . . . . . 2. Связь между минорными рядами разрешающего интегрального уравнения специального вида …. ………… 3.Построение фундаментальных функций однородного уравнения соответствующего неоднородному разрешающему интегральному уравнению . . . ……………………… 4. Линейная независимость и полнота решений системы фундаментальных функций. Аналог второй теоремы Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………… 5.Специализированная задача Коши . . . . . . . . . . . . . §3. Аналог третьей теоремы Фредгольма ……………… 1. Связь между детерминантными рядами двух разрешающих интегральных уравнений………………….. 2. Связь между решениями двух разрешающих интегральных уравнений………………………………….. решения однородных уравнений, 3. Общие соответствующих разрешающим интегральным 204

3 5 5 5 7 10 12 18 21 26 29 29 30 36 39 45 48 48 54

уравнениям…………………………………………………. 4. Построение сопряжённого уравнения………………... §4. Линейные однородные интегро-дифференциальные уравнения при n≤m ……………......................................... 1. Общее решение при n≤m………………………………... 2. Решение задачи Коши при n≤m…………………............. §5. Линейные неоднородные интегродифференциальные уравнения при n≤m………….. 1. Нахождение общего решения при n>m………….....… 2. Решение задачи Коши при n>m………………………. 3. Линейные неоднородные интегродифференциальные уравнения при n≤m ….............................................................. 4. Решение задачи Коши при n≤m для неоднородных уравнений……………………………………………………… Глава II. Решение линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма с использованием фундаментальной системы решений внутреннего дифференциального оператора…………….. §1. Постановка задачи и формулы для производных…. §2. Задача Коши при совпадении порядков внешнего и внутреннего дифференциальных операторов………………. §3. Задача Коши для случая, когда порядок внутреннего дифференциального оператора больше порядка внешнего…………………………………………… Глава III. Решение линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма без использования фундаментальных систем решений внешнего и внутреннего дифференциальных операторов…………………………………………………...... §1. Преобразования внешнего и внутреннего дифференциальных операторов…………………………….. §2. Построение разрешающего интегрального уравнения и его решение…….……………………………… §3. Решение начальной задачи…………………………... Глава IV. Приближённое решение линейных интегродифференциальных уравнений Фредгольма……………….. §1. Решение начальной задачи…………………………... 1. Постановка задачи и преобразование внешнего дифференциального оператора………………………………

205

56 58 63 63 67 70 70 71 72 75

77 77 79 90

110 110 114 119 124 124 124

2. Случай, когда порядок внешнего дифференциального оператора больше порядка внутреннего……………………. 3. Случай, когда порядок внешнего дифференциального оператора меньше или равен порядку внутреннего………………………............................................ решение задачи Коши при 4. Приближённое n>m…………………………………………………………….. решение задачи Коши при 5. Приближённое n≤m…………………………………………………………….. §2. Решение линейной краевой задачи………………….. задачи и преобразования 1. Постановка производных………………………………………………… 2. Случай, когда порядок внешнего дифференциального оператора больше внутреннего……………………………… когда порядок внутреннего 3. Случай, дифференциального оператора равен или больше порядка внешнего……………………………………………………… Глава V. Линейные интегро-дифференциальные уравнения Фредгольма с отклоняющимся аргументом…………………………………………………… §1. Классификация линейных интегродифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом…………………………………………………… §2. Функции гибкой структуры (ФГС) и их применение к решению различных задач…………………………………. §3. Применение ФГС к преобразованию задачи Коши……………………………………………….................... §4. Применение ФГС к преобразованию краевой задачи………………………………………………………….. Глава VI. Решение разрешающих интегральных уравнений Вольтера-Фредгольма……………………………. §1. Преобразование разрешающих уравнений к единому виду………………………………………………….. §2. Таблицы-схемы обозначений, введенных при решении начальных и краевых задач………………………... §3. Решение разрешающих интегральных уравнений в замкнутом виде……………………………………………….. §4. Приближенные методы решения разрешающих

206

125

127 129 131 135 135 137

142

147 147 148 151 159 168 168 169 173

интегральных уравнений…………………………………….. Вопросы к зачету……………………………………………… Вопросы к экзамену ………………………………………….. Глоссарий …………………………………………………….. Тематика курсовых работ ……………………………………. Тематика дипломных работ …………………………………. Рабочая программа ………………………………………….. Литература…………………………………………………….

207

180 188 189 191 192 193 194 199

208