Функциональные последовательности и ряды: Лекции по математическому анализу

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿ Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê Êàôåäðà òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà

Â.Å.ÊÎÂÀËÜ×ÓÊ, Ï.À.×ÀËÎÂ

ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû

Ðîñòîâ-íà-Äîíó

Îãëàâëåíèå 1

Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1

2

Ïîíÿòèå ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà; ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü . . . . . .

2

1.2

Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè . . 16

1.4

Ñâîéñòâà ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2

Ñòåïåííûå ðÿäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1

Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2

Ôóíêöèîíàëüíûå ñâîéñòâà ñóììû ñòåïåííîãî ðÿäà . 42

2.3

Ñóììèðîâàíèå ÷èñëîâûõ ðÿäîâ . . . . . . . . . . . . 45

2.4

Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû . . . . . . . 50

2.5

Ðàçëîæåíèå íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ðÿä Òåéëîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6

Ýëåìåíòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ î ôóíêöèÿõ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.7

Àïïðîêñèìàöèÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé . . . . . . . . 66

2.8

Êîíòðîëüíûå âîïðîñû, çàäà÷è, óïðàæíåíèÿ . . . . . 76

Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû

1

. . . . . . . . . . . . . . . . 78

2

Îãëàâëåíèå

1 Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

1.1 Ïîíÿòèå ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà; ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü Ïóñòü X  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ îäíîãî èç ïðîñòðàíñòâ

R, C èëè Rn , à F  êàêàÿ-íèáóäü ñîâîêóïíîñòü ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà X è ïðèíèìàþùèõ âåùåñòâåííûå èëè êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ.

Îïðåäåëåíèå 1.1 Ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå N 7→ F , òî åñòü îòîáðàæåíèå, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó îäíó èç ôóíêöèé, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó F . Ïóñòü fn îáîçíà÷àåò ôóíêöèþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ ÷èñëó n ∈ N. Òîãäà

(fn ), ïî àíàëîãèè ñ ÷èñëîâûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè, îáîçíà÷àåò äàííóþ ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Îòäåëüíûå ôóíêöèè fn íàçûâàþò ÷ëåíàìè èëè ýëåìåíòàìè ðàññìàòðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à ìíîæåñòâî X  îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (un ), îïðåäåëåííóþ íà ìíîæåñòâå X .

Îïðåäåëåíèå 1.2 Ôîðìàëüíóþ ñóììó ∞ X

un (x) = u1 (x) + u2 (x) + . . . + un (x) + . . .

n=1

íàçûâàþò ôóíêöèîíàëüíûì ðÿäîì.

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

3

Ôóíêöèè un íàçûâàþò ÷ëåíàìè èëè ýëåìåíòàìè ýòîãî ðÿäà, à ìíîæåñòâî X  åãî îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ . Êàê è â ñëó÷àå ÷èñëîâîãî ðÿäà, ñóììó Sn ïåðâûõ n ÷ëåíîâ ðÿäà

∞ X

un

n=1

íàçûâàþò n-îé ÷àñòè÷íîé ñóììîé ýòîãî ðÿäà. Î÷åâèäíî, ÷òî èçó÷àÿ ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ìû èçó÷àåì ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû è, íàîáîðîò, èçó÷àÿ ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû, ìû èçó÷àåì ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, êàæäîìó ôóíêöèîíàëüíî∞ X ìó ðÿäó un ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàn=1

òåëüíîñòü (Sn ) åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì, à êàæäîé ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäî∞ X âàòåëüíîñòè (Sn ) ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä un , ÷ëåíû êîn=1

òîðîãî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

u1 = S 1 ,

un = Sn − Sn−1 , n = 2, 3, . . . .

Îïðåäåëåíèå 1.3 Ïóñòü X  îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn ). Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 ∈ X , åñëè ñõîäèòñÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn (x0 )).

Îïðåäåëåíèå 1.4 Ïóñòü X  îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà

∞ X

un . Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä

n=1

x0 ∈ X , åñëè ñõîäèòñÿ ÷èñëîâàÿ ðÿä

∞ X

∞ X

un ñõîäèòñÿ â òî÷êå

n=1

un (x0 ).

n=1

Ïîíÿòíî, ÷òî â ýòîì îïðåäåëåíèè âìåñòî ÷èñëîâîãî ðÿäà

∞ X

un (x0 )

n=1

ìîæíî ãîâîðèòü î ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Sn (x0 )), ãäå (Sn )  ïî∞ X ñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà un . n=1

Îïðåäåëåíèå 1.5 Ìíîæåñòâî X0 âñåõ òî÷åê x0 ∈ X , â êîòîðûõ ñõîäèòñÿ äàííàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (èëè ðÿä), íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (èëè ðÿäà).

4

Îãëàâëåíèå Î÷åâèäíî, ÷òî îáëàñòü ñõîäèìîñòè ìîæåò èëè ñîâïàäàòü ñ îáëàñòüþ

îïðåäåëåíèÿ, èëè ñîñòàâëÿòü åå ÷àñòü, èëè áûòü ïóñòûì ìíîæåñòâîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáëàñòü ñõîäèìîñòè X0 ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn ) íå ïóñòà. Ïîñêîëüêó êàæäîå ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå

lim fn (x) âïîëíå îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì x, òî ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïðå-

n→∞

äåëüíûõ çíà÷åíèé, âçÿòûõ äëÿ âñåõ x ∈ X0 , ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáëàñòü çíà÷åíèé íåêîòîðîé ôóíêöèè f , îïðåäåëåííîé íà ìíîæåñòâå X0 . Ýòó ôóíêöèþ íàçûâàþò ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn ). Àíàëîãè÷íî, åñëè ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä

∞ X

un èìååò íåïóñòóþ îá-

n=1

ëàñòü ñõîäèìîñòè X0 , òî íà ìíîæåñòâå X0 îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ S , ÿâëÿþùàÿñÿ ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì ýòîãî ðÿäà è íàçûâàåìàÿ åãî ñóììîé . Ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî íà ìíîæåñòâå X0 ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäî∞ X âàòåëüíîñòü (fn ) ( ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä un ) ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëüíîé n=1

ôóíêöèè f (ê ñóììå S ) ïîòî÷å÷íî .

Ïðèìåð 1.1 Îïðåäåëèòü îáëàñòü ñõîäèìîñòè X0 ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn ), çàäàííîé íà ìíîæåñòâå X , è íàéòè åå ïðåäåëüíóþ ôóíêöèþ, åñëè

a) fn (x) = xn , X = R;    1 − nx, c) fn (x) =

 

0,

b) fn (z) = z n , X = C; 1 , n

åñëè

0≤x≤

åñëè

1 < x ≤ 1, n

n ∈ N,

X = [0, 1].

Ðåøåíèå. a) Åñëè x 6= −1, òî   0,      lim fn (x) = lim xn = 1, n→∞ n→∞       ∞,

åñëè

|x| < 1,

åñëè

x = 1,

åñëè

|x| > 1.

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

5

Åñëè æå x = −1, òî fn (x) = (−1)n è, êàê èçâåñòíî, ýòà ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñõîäèòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, X0 = (−1, 1] è çíà÷èò íå ñîâïàäàåò ñ X , à ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä

  0, f (x) =  1,

åñëè

− 1 < x < 1,

åñëè

x = 1.

b) Åñëè |z| 6= 1, òî   0, lim fn (z) = lim z n = n→∞ n→∞  ∞,

åñëè

|z| < 1,

åñëè

|z| > 1.

Åñëè z = 1, òî fn (z) = 1. Ïîýòîìó lim fn (z) = lim 1 = 1. n→∞ iϕ

n→∞

Ïóñòü |z| = 1, íî z 6= 1, òî åñòü z = e , ϕ ∈ R è ϕ 6= 2πk , k ∈ Z. Ïîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå lim fn (z) íå ñóùåñòâóåò. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì n→∞

ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ëþáûìè ñîñåäíèìè ÷ëåíàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ïîìíÿ, ÷òî |z| = 1 è z 6= e2πki ):

¯ ¯ |fn+1 (z) − fn (z)| = ¯z n+1 − z n ¯ = |z n (z − 1)| = |z|n |z − 1| = |z − 1| = q ¯ iϕ ¯ ¯ ¯ (1.1) = e − 1 = |cos ϕ + i sin ϕ − 1| = (cos ϕ − 1)2 + sin2 ϕ = r q ¯ ϕ¯ p ϕ ¯ ¯ = cos2 ϕ − 2 cos ϕ + 1 + sin2 ϕ = 2 (1 − cos ϕ) = 4 sin2 = 2 ¯sin ¯ . 2 2 ϕ ϕ Òàê êàê ϕ 6= 2πk , òî 6= πk , k ∈ Z, è ïîýòîìó sin 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, 2 2 ¯ ϕ¯ ¯ ¯ 2 ¯sin ¯ > 0. 2 Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε íå ïðåâîñõîäÿùåå ÷èñ¯ ϕ¯ ¯ ¯ ëà 2 ¯sin ¯ è ëþáîé íîìåð m. Òîãäà, èç ðàâåíñòâà (1.1) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ 2 ëþáîãî n ≥ m è p = 1 ñïðàâåäëèâà îöåíêà |fn+p (z) − fn (z)| ≥ ε. Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè, lim fn (z) íå ñóùåñòâóåò. n→∞

Ñëåäîâàòåëüíî, X0 = {z ∈ C : |z| < 1} ∪ {1}, òî åñòü X0 íå ñîâïàäàåò ñ

X è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáúåäèíåíèå îòêðûòîãî êðóãà ñ öåíòðîì â òî÷êå

6

Îãëàâëåíèå

y6 1r

A

A A

A

A A

A

A

A

A

O

AAr

-

r

x

1

1 n

Ðèñ. 1: Ãðàôèê ôóíêöèè fn .

0 ∈ C è ðàäèóñà åäèíèöà ñ òî÷êîé 1, à ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé

  0, f (z) =  1,

åñëè

|z| < 1,

åñëè

z = 1.

c) Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x0 ∈ (0, 1]. Î÷åâèäíî (ñì. ðèñ. 1), ÷òî äëÿ x0 íàéäåòñÿ íîìåð m = m(x0 ) òàêîé, ÷òî ïðè âñåõ n ≥ m áóäåò 1 âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî < x0 . Ïîýòîìó fn (x0 ) = 0 ïðè âñåõ n ≥ m. n Ââèäó ýòîãî, ïîëó÷àåì

  1, lim fn (x) = n→∞  0, Ïîýòîìó

X0 = X,

åñëè

x = 0,

åñëè

0 < x ≤ 1.

  1, f (x) =  0,

åñëè

x = 0,

åñëè

0 < x ≤ 1.

Ïðèìåð 1.2 Îïðåäåëèòü îáëàñòü ñõîäèìîñòè X0 ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà

∞ X

un , çàäàííîãî íà ìíîæåñòâå X , è íàéòè åãî ñóììó, åñëè

n=1

a) un (z) = z n , X = C;

b) un (x) =

xn , X = R. n!

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

Ðåøåíèå. Èçó÷àÿ ÷èñëîâûå ðÿäû, ìû âûÿñíèëè, ÷òî ðÿä

∞ X

7

z n ïðè

n=1

1 |z| < 1 ñõîäèòñÿ ê ñóììå S(z) = , à ïðè |z| ≥ 1 ðàñõîäèòñÿ, à 1−z ∞ X xn ðÿä ñõîäèìîñòü ïðè âñåõ x è èìååò ñóììó S(x), ðàâíóþ ex . n! n=1 Òàêèì îáðàçîì, ïåðâûé ðÿä ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî òîëüêî â îòêðûòîì åäèíè÷íîì êðóãå |z| < 1, à âòîðîé  íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ è èõ 1 ñóììû, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû è ex . 1−z

1.2 Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ). Ïðåäïîëîæèì, îíà èìååò áåñêîíå÷íóþ îáëàñòü ñõîäèìîñòè X0 è f  åå ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Èç ñàìîãî îïðåäåëåíèÿ îáëàñòè ñõîäèìîñòè, êàê ñîâîêóïíîñòè òî÷åê îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, â êàæäîé èç êîòîðûõ ñõîäèòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 è äëÿ êàæäîãî x ∈ X0 íàéäåòñÿ íîìåð m, çàâèñÿùèé íå òîëüêî îò ε, íî è îò òî÷êè x, òàêîé, ÷òî

|fn (x) − f (x)| < ε äëÿ âñåõ n ≥ m.

(1.2)

Åñëè âçÿòü äðóãîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà x â X0 , òî ïîëó÷èòñÿ äðóãàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, è  ïðè òîì æå ε  íàéäåííûé íîìåð m ìîæåò îêàçàòüñÿ óæå íåïðèãîäíûì äëÿ âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà (1.2); òîãäà åãî ïðèøëîñü áû çàìåíèòü á
îëüøèì íîìåðîì. À òàê êàê ìíîæåñòâî X0 áåñêîíå÷íî, òî áåñêîíå÷íî è ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ñõîäÿùèõñÿ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Âîçíèêàåò âîïðîñ: ñóùåñòâóåò ëè íîìåð

m, êîòîðûé, ïðè ôèêñèðîâàííîì ε, ãîäèëñÿ áû äëÿ âñåõ ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé? Ïîêàæåì íà ïðèìåðàõ, ÷òî â îäíèõ ñëó÷àÿõ òàêîé íîìåð m ñóùåñòâóåò, à â äðóãèõ  íåò.

Ïðèìåð 1.3 Ðåøèòü, ïîñòàâëåííûé âîïðîñ äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

8

Îãëàâëåíèå

(fn ), çàäàííîé íà ìíîæåñòâå X = [0, 1], ãäå a) fn (x) =

x ; 1 + n 2 x2

b) fn (x) =

nx . 1 + n 2 x2

Ðåøåíèå. a) Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî x =0 n→∞ 1 + n2 x2

f (x) = lim fn (x) = lim n→∞

äëÿ âñåõ x ∈ X . Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé íîìåð n. Òàê êàê X ÿâëÿåòñÿ ñåãìåíòîì, à ôóíêöèÿ fn íåïðåðûâíà íà íåì, òî, ñîãëàñíî âòîðîé òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, îíà äîñòèãàåò íà óêàçàííîì ñåãìåíòå ñâîþ òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòà ãðàíü äîñòèãàåòñÿ â ñòàöèîíàðíîé 1 òî÷êå xn = . Ïîýòîìó äëÿ âñåõ x ∈ X n µ ¶ 1 1 0 ≤ fn (x) ≤ fn (xn ) = fn = . n 2n Ïîñêîëüêó, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî âñåõ n ≥ m, ïîëó÷àåì

|fn (x) − f (x)| = |fn (x)| = fn (x) ≤

1 < ε ïðè 2n

1 <ε 2n

ñðàçó äëÿ âñåõ x ∈ X è âñåõ n ≥ m.

b) Íàõîäèì ïðåäåëüíóþ ôóíêöèþ nx = 0. n→∞ 1 + n2 x2

f (x) = lim fn (x) = lim n→∞

Î÷åâèäíî, ÷òî

|fn (x) − f (x)| = |fn (x)| = fn (x) µ ¶ 1 1 äëÿ âñåõ x ∈ X . Íî òàê êàê fn = , äëÿ ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε n 2 1 íå ïðåâîñõîäÿùåãî òðåáóåìîãî íàì íîìåðà m íå ñóùåñòâóåò. Äåéñòâè2 µ ¸ 1 òåëüíî, åñëè âçÿòü ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî ε ∈ 0, , ïðîèçâîëüíûé íîìåð 2 1 m, ëþáîé íîìåð n ≥ m è x = , òî ïîëó÷èì n ¯ µ ¶ µ ¶¯ ¯ 1 1 ¯¯ ¯fn ≥ ε. − f ¯ n n ¯

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

9

Òàêèì îáðàçîì, îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ â ñëó÷àå a)  ïîëîæèòåëåí, à â ñëó÷àå b)  îòðèöàòåëåí. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f .

Îïðåäåëåíèå 1.6 Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ñõîäèòñÿ ê X

X

ôóíêöèè f ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X è ïèøóò (fn ) ⇒ f èëè fn ⇒ f , åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìîæíî óêàçàòü íîìåð m òàêîé, ÷òî ïðè êàæäîì

n ≥ m è âñåõ x ∈ X ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî (1.3)

|fn (x) − f (x)| < ε.

Ñîãëàñíî ýòîìó îïðåäåëåíèþ, äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç ïðèìåðà 1.3 íàìè ïîëó÷åíî

a) fn (x) =

b) fn (x) =

[0,1] x ⇒ f (x) ≡ 0, 1 + n 2 x2

nx → f (x) ≡ 0 íà [0, 1], 1 + n2 x2

íî

[0,1]

fn 6⇒ f.

Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî èç ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) íà ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè f íå ñëåäóåò åå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íà óêàçàííîì ìíîæåñòâå.

Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä

un ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ñóììå

n=1

S.

Îïðåäåëåíèå 1.7 Ðÿä

∞ X

∞ X

un íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíî-

n=1

æåñòâå X ê ñâîåé ñóììå S , åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Sn ) åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè

S , òî åñòü åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî äëÿ êàæäîì n ≥ m è âñåõ x ∈ X ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

|Sn (x) − S(x)| < ε.

(1.4)

10

Îãëàâëåíèå

Òîò ôàêò, ÷òî ðÿä

∞ X

un ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X ê ñóììå

n=1

S , îáû÷íî, îáîçíà÷àþò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ∞ X

X

un ⇒ S.

n=1

Òåîðåìà 1.1 (Ïåðâûé êðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ñõîäèëàñü ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (αn ), ãäå

αn = sup {|fn (x) − f (x)| : x ∈ X} , áûëà áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.6, ∀ε > 0 ∃m ∈ N ∀n ≥ m ∀x ∈ X =⇒ |fn (x) − f (x)| < ε. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî αn ≤ ε ïðè âñåõ n ≥ m, à ýòà îöåíêà îçíà÷àåò, ÷òî

(αn ) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.

Äîñòàòî÷íîñòü. Ïî îïðåäåëåíèþ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ∀ε > 0 ∃m ∈ N ∀n ≥ m =⇒ αn = sup {|fn (x) − f (x)| : x ∈ X} < ε. Íî òîãäà äëÿ ëþáîãî x ∈ X è êàæäîãî n ≥ m âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî X

(1.3). Ñëåäîâàòåëüíî, fn ⇒ f .

Ñëåäñòâèå 1.1 (Ïåðâûé êðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà). Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä

∞ X n=1

un ñõîäèòñÿ

íà ìíîæåñòâå X ê ñâîåé ñóììå S ðàâíîìåðíî, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (αn ), ãäå ¯ ) (¯ ∞ ¯ ¯ X ¯ ¯ uk (x)¯ : x ∈ X , αn = sup ¯ ¯ ¯ k=n+1

áûëà áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

11

Ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò èç òåîðåìû 1.1 íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ 1.7 è ðàâåíñòâà

S(x) − Sn (x) =

∞ X

uk (x).

k=n+1 X

Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ 1.7 âûòåêàåò, ÷òî åñëè fn ⇒ f , à Y Y

 ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà X , òî fn ⇒ f . Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.

Ïðèìåð 1.4 Èññëåäîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà ìíîæåñòâå X , åñëè

1. fn (z) = z n , a) X = {z ∈ C : |z| < 1} ∪ {1} ; ãäå

b) X = {z ∈ C : |z| ≤ ε} ,    1 − nx, 2. fn (x) =

 

a) X = [0, 1];

3. fn (x) =

0,

1 , n

åñëè

0≤x≤

åñëè

1 < x ≤ 1, n

b) X = [δ, 1],

2nx , a) X = R; n 2 + x2

0 < ε < 1;

ãäå

0 < δ < 1;

b) X = [a, b] ,

ãäå

a, b ∈ R.

Ðåøåíèå. 1.a) Ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé   0, f (z) =  1,

åñëè

|z| < 1,

åñëè

z=1

(ñì. ïðèìåð 1.1b)). Òîãäà

αn = sup {|fn (z) − f (z)| : z ∈ X} = sup {|z|n : |z| < 1} = 1 6→ 0. Ñîãëàñíî êðèòåðèþ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè (òåîðåìà 1.1), ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) íà ìíîæåñòâå X ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f íåðàâíîìåðíî.

12

Îãëàâëåíèå

y6 1r

A

A A

A

1 2

r

A A

A

A

A

A

O

r

AAr

1 2n

1 n

-

r

x

1

Ðèñ. 2: Çíà÷åíèå ôóíêöèè fn â òî÷êå x =

1 . 2n

1.b) Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (z) = 0 è ïîýòîìó αn = sup {|fn (z) − f (z)| : z ∈ X} = sup {|z|n : |z| < ε} = εn → 0. X

Ïî êðèòåðèþ ïîëó÷àåì fn ⇒ f .

2.a) Êàê ïîêàçàíî â ïðèìåðå 1.1c), ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f èìååò âèä   1, åñëè x = 0, f (x) =  0, åñëè 0 < x ≤ 1. Ïîýòîìó (ñì. ðèñóíîê 2)

µ

αn = sup {|fn (x) − f (x)| : x ∈ X} ≥ fn

1 2n

¶ =

1 6→ 0. 2

Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X íåðàâíîìåðíî.

2.b) Íà ìíîæåñòâå X = [δ, 1] ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f è âñå ôóíêöèè fn ñ 1 íîìåðàìè áîëüøèìè ÷èñëà îáðàùàþòñÿ â íóëü. Ïîýòîìó δ 1 αn = sup {|fn (x) − f (x)| : x ∈ X} = 0 ïðè n > . δ X

Ñëåäîâàòåëüíî, fn ⇒ f .

3.a) Íàõîäèì f (x) = lim fn (x) = 0, n→∞

x ∈ R,

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

13

αn = sup |fn (x) − f (x)| = sup |fn (x)| ≥ fn (n) = 1 6→ 0. x∈R

x∈R

Ñëåäîâàòåëüíî íà R äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî.

3.b) Åñëè æå X = [a, b], èìååì f (x) = 0 è αn = sup |fn (x) − f (x)| = sup |fn (x)| = f (b) = x∈X

x∈X

2nb → 0. + b2

n2

Òàêèì îáðàçîì, íà ñåãìåíòå [a, b] ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî.

Ïðèìåð 1.5 Èññëåäîâàòü ðÿä

∞ X

un íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà

n=0

ìíîæåñòâå X , åñëè

1. un (z) = z n , a) X = {z ∈ C : |z| < 1} ; b) X = {z ∈ C : |z| ≤ γ} , 2. un (z) =

zn n!

ãäå

0 < γ < 1;

ãäå

0 < R < +∞.

a) X = C; b) X = {z ∈ C : |z| ≤ R} ,

Ðåøåíèå. 1. Ïîñêîëüêó |z| < 1, òî ðÿä

∞ X

|un | ñõîäèòñÿ (ñóììèðóåòñÿ áåñêî-

n=0

íå÷íî óáûâàþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ) è èìååò ñóììó S (z) = 1 , èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X àáñîëþòíî. 1 − |z| Íàõîäèì αn : ¯ ∞ ¯ ¯ ∞ ¯ ¯ n+1 ¯ ¯ X ¯ ¯ X ¯ ¯ ¯z ¯ ¯ ¯ k¯ ¯. αn = sup ¯ uk ¯ = sup ¯ z ¯ = sup ¯¯ ¯ z∈X ¯ ¯ z∈X 1 − z ¯ z∈X ¯ k=n+1

k=n+1

γ n+1 Î÷åâèäíî, ÷òî â ñëó÷àå a) αn = +∞, à â ñëó÷àå b) αn = → 0 1−γ ïðè n → ∞, ïîñêîëüêó 0 < γ < 1. Ñëåäîâàòåëüíî, íà ìíîæåñòâå X = {z ∈ C : |z| < 1} èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî, à íà ìíîæåñòâå X = {z ∈ C : |z| ≤ γ}  ðàâíîìåðíî. 2. Òàê êàê äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà a ðÿä S(a) = ea , èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ íà X àáñîëþòíî.

∞ X an n=0

n!

ê ñóììå

14

Îãëàâëåíèå Íàõîäèì αn :

¯ ∞ ¯ ¯ ∞ ¯ ∞ ¯ X ¯ ¯ X zk ¯ X |z|k ¯ ¯ ¯ ¯ αn = sup ¯ uk ¯ = sup ¯ . ¯ = sup ¯ z∈X ¯ k! ¯ z∈X k=n+1 k! z∈X ¯ k=n+1 k=n+1 Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî â ñëó÷àå a) αn = +∞ (n  ôèêñèðîâàííûé íîìåð, ∞ X zn ñõîäèòñÿ à |z|  ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî). Ïîýòîìó íà C ðÿä n! n=0 ∞ X zn C íåðàâíîìåðíî ( 6⇒). n! n=0 ∞ X Rk Åñëè æå X = {z ∈ C : |z| ≤ R} (ñëó÷àé b)), òî αn = , ãäå R k! k=n+1  ôèêñèðîâàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ñëåäîâàòåëüíî, αn , êàê îñòà∞ X Rn òîê ñõîäÿùåãîñÿ ÷èñëîâîãî ðÿäà , ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. n! n=0 Ïîýòîìó íà ìíîæåñòâå X = {z ∈ C : |z| ≤ R} äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâ∞ X z n |z|≤R íîìåðíî ( ⇒ ). n! n=0

Òåîðåìà 1.2 (Êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X ñõîäèëàñü ê íåêîòîðîé ïðåäåëüíîé ôóíêöèè, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàøåëñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n ≥ m, âñåõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî (1.5)

|fn+p (x) − fn (x)| < ε

(∀ε > 0 ∃m ∈ N ∀n ≥ m ∀p ∈ N ∀x ∈ X =⇒ |fn+p (x) − fn (x)| < ε). X

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü fn ⇒ f . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ 1.6 ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè

ε ∃m ∈ N ∀n ≥ m ∀x ∈ X =⇒ |fn (x) − f (x)| < . 2

(1.6)

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

ε ∀n ≥ m ∀p ∈ N ∀x ∈ X =⇒ |fn+p (x) − f (x)| < . 2

(1.7)

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

15

Òàê êàê ìîäóëü ñóììû íå ïðåâîñõîäèò ñóììû ìîäóëåé, èñïîëüçóÿ (1.6) è (1.7), âûâîäèì

|fn+p (x) − fn (x)| ≤ |fn+p (x) − f (x)| + |fn (x) − f (x)| < ε äëÿ âñåõ n ≥ m, âñåõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X . Íåîáõîäèìîñòü äîêàçàíà.

Äîñòàòî÷íîñòü. Èç íåðàâåíñòâà (1.5) è êðèòåðèÿ Êîøè äëÿ ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûòåêàåò ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn (x)) ïðè êàæäîì x ∈ X . Ñëåäîâàòåëüíî íà ìíîæåñòâå X ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî. Ïóñòü f  åå ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ íà X . Òàê êàê íåðàâåíñòâî (1.5) ñïðàâåäëèâî ïðè âñåõ p ∈ N, òî, ïåðåõîäÿ â íåì ê ïðåäåëó ïðè p → ∞, ïîëó÷èì, ÷òî ïðè âñåõ n ≥ m è âñåõ x ∈ X ñïðàâåäëèâà îöåíêà

|fn (x) − f (x)| ≤ ε.  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε äîñòàòî÷íîñòü äîêàçàíà. Íåïîñðåäñòâåííî èç òåîðåìû 1.2 ñëåäóåò àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ ðÿäîâ.

Ñëåäñòâèå 1.2 (Êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà). Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä

∞ X

un ðàâíîìåðíî

n=1

íà ìíîæåñòâå X ñõîäèëñÿ ê íåêîòîðîé ñóììå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàøåëñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ

n ≥ m, âñåõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî ¯ ¯ n+p ¯ X ¯ ¯ ¯ uk (x)¯ < ε ¯ ¯ ¯

(1.8)

k=n+1

¯ ¯ n+p ¯ ¯ X ¯ ¯ uk (x)¯ < ε). (∀ε > 0 ∃m ∈ N ∀n ≥ m ∀p ∈ N ∀x ∈ X =⇒ ¯ ¯ ¯ k=n+1

Äåéñòâèòåëüíî, ýòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òåîðåìû 1.2, ïîñêîëüêó â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (1.8) ïîä çíàêîì ìîäóëÿ ñòîèò ðàçíîñòü

Sn+p (x) − Sn (x) ÷àñòè÷íûõ ñóìì Sn+p (x) è Sn (x) èñõîäíîãî ðÿäà.

16

Îãëàâëåíèå

1.3 Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè Ñàìûì ïðîñòûì èç âñåõ ïðèçíàêîâ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé ïðèçíàê.

Òåîðåìà 1.3 (Ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà). Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä ∞ X

un îïðåäåëåí íà ìíîæåñòâå X . Åñëè ñóùåñòâóåò ñõîäÿùèéñÿ ÷è-

n=1

ñëîâîé ðÿä

∞ X

cn òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ X è êàæäîãî íîìåðà n ∈ N

n=1

ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî (1.9)

|un (x)| ≤ cn ,

òî èñõîäíûé ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä íà ìíîæåñòâå X ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî. Ïðè âûïîëíåíèè äëÿ âñåõ x ∈ X è âñåõ n ∈ N íåðàâåíñòâà (1.9) ∞ ∞ ∞ X X X ãîâîðÿò, ÷òî ðÿä un ìàæîðèðóåòñÿ ðÿäîì cn (èëè ðÿä cn ìàn=1

æîðèðóåò ðÿä ∞ X n=1

∞ X

un èëè ðÿä

n=1

∞ X

n=1

n=1

cn ÿâëÿåòñÿ ìàæîðàíòíûì äëÿ ðÿäà

n=1

un ). Ïðèâåäåì êðàòêóþ ôîðìóëèðîâêó ýòîãî óòâåðæäåíèÿ.

Ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà äàííîì ìíîæåñòâå, åñëè åãî ìîæíî ìàæîðèðîâàòü íà ýòîì ìíîæåñòâå ñõîäÿùèìñÿ ÷èñëîâûì ðÿäîì.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî êðèòåðèþ Êîøè äëÿ ÷èñëîâîãî ðÿäà

∃m ∈ N ∀n ≥ m ∀p ∈ N =⇒

n+p X

ck < ε.

(1.10)

k=n+1

Èñïîëüçóÿ îöåíêè (1.10) è (1.9), âûâîäèì ¯ ¯ n+p n+p n+p ¯ ¯ X X X ¯ ¯ uk (x)¯ ≤ |uk (x)| ≤ ck < ε ¯ ¯ ¯ k=n+1

k=n+1

k=n+1

ïðè âñåõ n ≥ m, p ∈ N è x ∈ X . Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà èñõîäíûé ðÿä íà ìíîæåñòâå X ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî.

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ ∞ X

17

Çàìåòèì, ÷òî êðîìå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íà ìíîæåñòâå X ðÿäà

un , ìû äîêàçàëè, ÷òî à) ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â ëþáîé òî÷êå

n=1

x ∈ X ; á) ðÿä

∞ X

|un |, ñîñòàâëåííûé èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí èñõîäíîãî

n=1

ðÿäà, íà óêàçàííîì ìíîæåñòâå X ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî.

Ïðèìåð 1.6 Ðÿä

∞ X sin nx

, ãäå γ > 1, èññëåäîâàòü íà ðàâíîìåðíóþ nγ ñõîäèìîñòü íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè R. n=1

∞ X 1 ìàæîðèðóåò èñõîäíûé ðÿä. Ðåøåíèå. Òàê êàê |sin nx| ≤ 1, ðÿä nγ n=1 1 À ïîñêîëüêó ðÿä ñ îáùèì ÷ëåíîì cn = γ ñõîäèòñÿ, ñîãëàñíî ïðèçíàêó n ∞ X sin nx R Âåéåðøòðàññà ⇒. γ n n=1

Îïðåäåëåíèå 1.8 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé (fn ) íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå X , åñëè ñóùåñòâóåò âåùåñòâåííîå ÷èñëî M òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ X è äëÿ âñåõ íîìåðîâ n ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |fn (x)| ≤ M .

Òåîðåìà 1.4 (Ïðèçíàê Äèðèõëå). Ðÿä

∞ X

un vn , ãäå un : X → C, vn :

n=1

X → R, ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X , åñëè 1) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà

∞ X

un ðàâíîìåðíî îãðà-

n=1

íè÷åíà íà X ;

2) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (vn ) ìîíîòîííà (ïî n) ïðè êàæäîì ôèêñèðîX

âàííîì x ∈ X è vn ⇒ 0. Äîêàçàòåëüñòâà ïðèçíàêà Äèðèõëå è ñëåäóþùåãî ïðèçíàêà Àáåëÿ äîñëîâíî ïîâòîðÿþò äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ïðèçíàêîâ äëÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ ñ çàìåíîé òåðìèíà ñõîäèìîñòü íà òåðìèí ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü.

Òåîðåìà 1.5 (Ïðèçíàê Àáåëÿ). Ðÿä

∞ X n=1

un vn , ãäå un : X → C, vn : X →

R, ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X , åñëè

18

1)

Îãëàâëåíèå ∞ X

X

un ⇒;

n=1

2) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (vn ) ìîíîòîííà (ïî n) ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x ∈ X è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà íà X . ∞ X

Íà ïðàêòèêå ÷àñòî ñëó÷àåòñÿ, ÷òî un ∈ C èëè vn ∈ R, òî åñòü ðÿä

un åñòü ïðîñòî ÷èñëîâîé ðÿä èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (vn )  ÷èñëî-

n=1

âàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. À ïîñêîëüêó ñõîäÿùóþñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èëè ñõîäÿùèéñÿ ðÿä ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèå-

ñÿ (çàâèñèìîñòè îò x íåò), ýòè ñëó÷àè, êîíå÷íî, âõîäÿò êàê ÷àñòíûå â ðàññìîòðåííûå âûøå.

Ïðèìåð 1.7 Ðÿä

∞ X

an sin nx, ãäå an & 0, èññëåäîâàòü íà ðàâíîìåðíóþ

n=1

ñõîäèìîñòü íà [δ, 2π − δ] (0 < δ < π ).

Ðåøåíèå. Òàê êàê an & 0 ïðè n → ∞ è an íå çàâèñèò îò x, ïîëàãàÿ un (x) = sin nx è vn (x) = an , âèäèì, ÷òî âòîðîå óñëîâèå ïðèçíàêà Äèðèõëå âûïîëíÿåòñÿ. Ïîêàæåì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ è ïåðâîå óñëîâèå ýòîãî æå ïðèçíàêà. Ñ ∞ X ýòîé öåëüþ îöåíèì ìîäóëü n-îé ÷àñòè÷íîé ñóììû ðÿä sin nx: n=1

¯ ¯ n ¯ ¯ n ¯X ¯ x ¯¯ 1 ¯¯X ¯ ¯ sin kx¯ = 2 sin kx sin ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ 2 sin x ¯ 2¯ k=1 k=1 2 ¯ µ ¶ µ ¶ ¶¯¯ n µ 1 ¯¯X 1 1 ¯ = x − cos k + x ¯= cos k − x ¯¯ ¯ 2 2 2 sin k=1 2 ¯µ ¶ µ ¶ 1 ¯¯ x 3x 3x 5x = x ¯ cos 2 − cos 2 + cos 2 − cos 2 + . . . + 2 sin µ 2 µ ¶ µ ¶ ¶¯ ¯ 1 1 + cos n − x − cos n + x ¯¯ = 2 2 ¯ µ ¶ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 1 x 1 ¯ = . x ¯cos 2 − cos n + 2 x¯ ≤ x ≤ δ 2 sin sin sin 2 2 2 Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå 1) ïðèçíàêà Äèðèõëå âûïîëíÿåòñÿ è, ñëåäîâà∞ [δ,2π−δ] X òåëüíî, an sin nx ⇒ . n=1

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

19

∞ X

x an sin nx cos , ãäå an & 0, èññëåäîâàòü íà ðàâíîn n=1 ìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà [δ, 2π − δ] (0 < δ < π ).

Ïðèìåð 1.8 Ðÿä

Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ïðèçíàê Àáåëÿ. Ïîëîæèì x un (x) = an sin nx è vn (x) = cos . n Òàê êàê ðÿä

∞ X

un ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [δ, 2π−δ] (ñì. ïðèìåð

n=1

1.7), ïåðâîå óñëîâèå ïðèçíàêà Àáåëÿ âûïîëíÿåòñÿ. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x ∈ [δ, 2π − δ] ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (vn ) âîçðàñòàåò. À ïîñêîëüêó êîñèíóñ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå ïðåâîñõîäèò åäèíèöû, äëÿ âñåõ è x ∈ [δ, 2π − δ] è âñåõ n ∈ N ñïðàâåäëèâî íåðàâåí¯ x ¯¯ ¯ ñòâî |vn (x)| = ¯cos ¯ < 1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (vn ) n ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà íà [δ, 2π − δ]. Ñëåäîâàòåëüíî âûïîëíÿåòñÿ è âòîðîå óñëîâèå ïðèçíàêà Àáåëÿ, ïî êîòîðîìó èñõîäíûé ðÿä íà [δ, 2π − δ] ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ.

Òåîðåìà 1.6 (Ïðèçíàê Äèíè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé). Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) íåïðåðûâíûõ íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå X ôóíêöèé fn : X −→ R, n ∈ N, ñõîäèòñÿ ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f : X −→ R. Åñëè fn (x) ≥ fn+1 (x) ïðè âñåõ n ∈ N è âñåõ x ∈ X , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè f ðàâíîìåðíî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì rn (x) = fn (x)−f (x). Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî âñå ôóíêöèè rn íåîòðèöàòåëüíû è íåïðåðûâíû íà ìíîæåñòâå X , rn (x) →

0 ïðè n → ∞ â êàæäîì x ∈ X è rn (x) ≥ rn+1 (x) ïðè âñåõ n ∈ N è âñåõ x ∈ X. Î÷åâèäíî, ÷òî X

fn ⇒ f

⇐⇒

X

rn ⇒ 0.

X

Äîêàæåì, ÷òî rn ⇒ 0. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òàê êàê rn ≥ 0 ïðè êàæäîì n ∈ N è

lim rn (x) = 0 ïðè âñåõ

n→∞

x ∈ X,

20

Îãëàâëåíèå

äëÿ êàæäîãî y ∈ X íàéäåòñÿ íîìåð my òàêîé, ÷òî

ε 0 ≤ rmy (y) < . 2

(1.11)

Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ rmy íåïðåðûâíà â òî÷êå y , íàéäåòñÿ ÷èñëî δy > 0 òàêîå, ÷òî

¯ ¯ ¯rmy (x) − rmy (y)¯ < ε 2

ïðè âñåõ

(1.12)

x ∈ B (y, δy ) ,

ãäå B (y, δy )  δy -îêðåñòíîñòü òî÷êè y , òî åñòü

B (y, δy ) = {x ∈ X : ρ(x, y) < δy } . Èç (1.11) è (1.12) âûâîäèì

¯ ¯ 0 ≤ rmy (x) ≤ ¯rmy (x) − rmy (y)¯ + rmy (y) < ε ïðè âñåõ

x ∈ B (y, δy ) .

Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ ìîíîòîííîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (rn ), ïîëó÷àåì

0 ≤ rn (x) < ε ïðè âñåõ x ∈ B (y, δy )

è âñåõ n ≥ my .

(1.13)

Ïîíÿòíî, ÷òî ñîâîêóïíîñòü {B (y, δy )}y∈X îòêðûòûõ ìíîæåñòâ îáðàçóåò îòêðûòîå ïîêðûòèå ìíîæåñòâà X . Ââèäó êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâà X , èç ýòîãî ïîêðûòèÿ ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå ìíîæåñòâà

X . Ïóñòü y1 , y2 , . . . , yl  (êîíå÷íûé) íàáîð òî÷åê òàêîé, ÷òî ñèñòåìà {B (yk , δyk )}k=1,2,...,l ïîêðûâàåò ìíîæåñòâî X , òî åñòü

äëÿ ∀x ∈ X

∃k(= 1, 2, . . . , l) :

(1.14)

x ∈ B (yk , δyk ) .

Ïîëîæèì m = max {myk : k = 1, 2, . . . , l}. Òåïåðü èç (1.13) è (1.14) ñëåäóåò, ÷òî X

0 ≤ rn (x) < ε ïðè âñåõ x ∈ X è âñåõ n ≥ m, òî åñòü rn ⇒ 0.

Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå ìîíîòîííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) â òåîðåìå 1.6 ñóùåñòâåííî, èáî íåìîíîòîííàÿ íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå X ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ìîæåò ñõîäèòüñÿ íà X ïîòî÷å÷íî ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, íî íå ñõîäèòüñÿ ê íåé ðàâíîìåðíî.

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

21

y6 1

r

O

r

r

π 2n

π n

r-

π x

Ðèñ. 3: Ãðàôèê ôóíêöèè fn .

Ïðèìåð 1.9 Ïîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ôóíêöèé (ñì. ðèñóíîê 3)

  sin nx, åñëè 0 ≤ x ≤ π , n fn (x) = π  0, åñëè < x ≤ π, n

n ∈ N,

ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [0, π] ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, íî íåðàâíîìåðíî.

Ðåøåíèå. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn ) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ f (x) ≡ 0 íà ñåãìåíòå [0, π]. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Íî

αn = sup |fn (x) − f (x)| = sup fn (x) ≥ fn x∈[0,π]

x∈[0,π]

³π´ = 1 6→ 0. 2n

Ñîãëàñíî êðèòåðèþ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè (òåîðåìà 1.1), èñõîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [0, π] ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè

f (x) ≡ 0 íåðàâíîìåðíî.

Ñëåäñòâèå 1.3 (Ïðèçíàê Äèíè äëÿ ðÿäîâ). Ïóñòü ðÿä

∞ X

un ñîñòàâ-

n=1

ëåí èç íåïðåðûâíûõ, íåîòðèöàòåëüíûõ íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå X ôóíêöèé. Åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê íåïðåðûâíîé ñóììå

S : X −→ R, òî ýòà ñõîäèìîñòü ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîé.

22

Îãëàâëåíèå

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Sn ) ÷àñòè÷íûõ ñóìì ∞ X ðÿäà un óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû 1.6. Ñëåäîâàòåëüíî, n=1 X

Sn ⇒ S . ∞ X

x4 íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü 4 )n (1 + x n=0 íà ñåãìåíòå [a, b], ãäå 0 < a < b < +∞.

Ïðèìåð 1.10 Èññëåäîâàòü ðÿä

Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî âñå ÷ëåíû äàííîãî ðÿäà íåïðåðûâíû è íåîòðèöàòåëüíû íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå [a, b]. Íàéäåì ñóììó S ýòîãî ðÿäà. Ïî ôîðìóëå ñóììû áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîå ïðîãðåññèè ñ 1 ïåðâûì ÷ëåíîì u0 = x4 è çíàìåíàòåëåì q = ïîëó÷àåì 1 + x4

S(x) =

u0 = 1−q

x4 1 1− 1 + x4

= 1 + x4 .

Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ S íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b], ñîãëàñíî ïðèçíàêó Äèíè (ñëåäñòâèå 1.3), äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [a, b] ðàâíîìåðíî.

1.4 Ñâîéñòâà ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ Ïî÷ëåííûé ïåðåõîä ê ïðåäåëó; íåïðåðûâíîñòü ñóììû ðÿäà è ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Òåîðåìà 1.7 Ïóñòü ðÿä

∞ X

un ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X

n=1

ê ñóììå S è a  ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X . Åñëè äëÿ êàæäîãî

n ∈ N â òî÷êå a ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå (1.15)

lim un (x) = bn ,

x→a

òî ðÿä

∞ X

bn ñõîäèòñÿ, ôóíêöèÿ S èìååò â òî÷êå a ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå

n=1

è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

lim S(x) =

x→a

∞ X n=1

lim un (x) =

x→a

∞ X n=1

bn ,

(1.16)

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

òî åñòü ñèìâîë ïðåäåëà lim è ñèìâîë ñóììèðîâàíèÿ

P

23

ìîæíî ìåíÿòü

ìåñòàìè, ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî ê ïðåäåëó ïðè x → a ìîæíî ïåðåõîäèòü ïî÷ëåííî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèÿ êðèòåðèè Êîøè, äîêàæåì ñõîäèìîñòü ðÿäà ∞ X n=1 ∞ X

bn . Äëÿ ýòîãî âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïîñêîëüêó èñõîäíûé ðÿä un ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ðàâíîìåðíî, ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè

n=1

ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè, íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî ¯ ¯ n+p ¯ ε ¯ X ¯ ¯ un (x)¯ < . ∀n ≥ m ∀p ∈ N ∀x ∈ X =⇒ ¯ ¯ 2 ¯ k=n+1

Ïåðåõîäÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè x → a, ïîëó÷èì îöåíêó ¯ ¯ n+p ¯ X ¯ ε ¯ ¯ bn ¯ ≤ < ε, ¯ ¯ ¯ 2 k=n+1

êîòîðàÿ âûïîëíÿåòñÿ ïðè âñåõ n ≥ m è âñåõ p ∈ N. Ïî êðèòåðèþ Êîøè ∞ X ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà ðÿä bn ñõîäèòñÿ. Îáîçíà÷èì åãî ñóììó n=1

áóêâîé b.

Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî

|S(x) − b| < ε ïðè âñåõ x ∈ X ∩ B(a, δ),

(1.17)

ãäå B(a, δ)  δ -îêðåñòíîñòü òî÷êè a. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N ñïðàâåäëèâà îöåíêà ¯ ¯ ∞ ∞ ¯X ¯ X ¯ ¯ |S(x) − b| = ¯ uk (x) − bk ¯ ≤ ¯ ¯ k=1 k=1 ¯ ¯ ¯ ¯ ∞ ∞ n ¯ ¯ X ¯ ¯ X X ¯ ¯ ¯ ¯ (1.18) bk ¯ . uk (x)¯ + ¯ ≤ |uk (x) − bk | + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k=1

∞ X

k=n+1

k=n+1

Ñíîâà âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε. Òàê êàê ðÿä

un ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ñóììå S , íàéäåòñÿ íîìåð

n=1

m òàêîé, ÷òî äëÿ êàæäîãî n ≥ m è âñåõ x ∈ X ñïðàâåäëèâà îöåíêà ¯ ¯ ¯ ¯ ∞ n ¯ ε ¯ ¯ ¯ X X ¯ ¯ ¯ ¯ uk (x)¯ < . uk (x)¯ = ¯S(x) − (1.19) ¯ ¯ 3 ¯ ¯ ¯ k=n+1

k=1

24

Îãëàâëåíèå

Àíàëîãè÷íî, ââèäó ñõîäèìîñòè ðÿäà

∞ X

bn , íàéäåòñÿ íîìåð l òàêîé, ÷òî

n=1

äëÿ âñåõ n ≥ l âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ¯ ∞ ¯ ¯ X ¯ ε ¯ ¯ bk ¯ < . ¯ ¯ ¯ 3

(1.20)

k=n+1

Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé íîìåð n ≥ max {m, l}. Ââèäó (1.15), ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ X ∩ B(a, δ)

|uk (x) − bk | <

ε , 3n

(1.21)

k = 1, 2, . . . , n.

Èñïîëüçóÿ îöåíêè (1.18), (1.19), (1.20) è (1.21), ïîëó÷èì

|S(x) − b| < ε ïðè âñåõ x ∈ X ∩ B(a, δ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (1.17), à ñëåäîâàòåëüíî, è (1.16), âûïîëíÿåòñÿ. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ î÷åâèäíà.

Ñëåäñòâèå 1.4 Ïóñòü ðÿä

∞ X

un ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå

n=1

X ê ñóììå S . Åñëè âñå åãî ÷ëåíû un íåïðåðûâíû â òî÷êå a ∈ X (íà ìíîæåñòâå X ), òî ñóììà S íåïðåðûâíà â òî÷êå a (íà ìíîæåñòâå X ).

Òåîðåìà 1.8 Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f è a  ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X . Åñëè âñå ýëåìåíòû ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìåþò â òî÷êå a êîíå÷íîå ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå, òî è ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå a ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

³ lim f (x) = lim

x→a

x→a

´ ³ ´ lim fn (x) = lim lim fn (x) ,

n→∞

n→∞

x→a

òî åñòü ñèìâîë ïðåäåëà lim ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ñèìâîë lim ïðåäåëün→∞

x→a

íîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè, ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî ê ïðåäåëó ïðè x → a ìîæíî ïåðåõîäèòü ïî÷ëåííî.

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

25

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü lim fn (x) = cn , n ∈ N. Ïîëîæèì x→a

u1 = f1 ,

un = fn − fn−1 , n = 2, 3, . . . ,

S = f,

è

b1 = c1 ,

bn = cn − cn−1 , n = 2, 3, . . . .

Î÷åâèäíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ∞ X ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà un . Ïîýòîìó, èç óñëîâèÿ óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ðÿä

∞ X

n=1

un ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ñóììå S è

n=1

äëÿ êàæäîãî n ∈ N â òî÷êå a ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå

lim un (x) = bn . Ñîãëàñíî òåîðåìå 1.7, ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå

x→a

ôóíêöèè S â òî÷êå a è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

lim S(x) =

x→a

∞ X

(1.22)

bn .

n=1

Íî ïîñêîëüêó S = f è ! ! Ã Ã n n ∞ X X X (ck − ck−1 ) = lim cn , bk = lim c1 + bn = lim n→∞

n=1

k=1

n→∞

n→∞

k=2

èñïîëüçóÿ (1.22), ïîëó÷àåì ³ ´ lim lim fn (x) = lim f (x) = lim S(x) = lim cn = lim lim fn (x). x→a

n→∞

x→a

x→a

n→∞

n→∞ x→a

×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Ñëåäñòâèå 1.5 Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f . Åñëè âñå åå ÷ëåíû fn íåïðåðûâíû â òî÷êå a ∈ X (íà ìíîæåñòâå X ), òî è ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå a (íà ìíîæåñòâå X ).

Ïî÷ëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ), ñîñòàâëåííóþ èç ôóíêöèé fn : [a, b] −→

R, n ∈ N, èíòåãðèðóåìûõ íà ñåãìåíòå [a, b]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [a, b] ê ôóíêöèè f : [a, b] −→ R.

26

Îãëàâëåíèå

Ñïðàøèâàåòñÿ, áóäåò ëè ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìîé íà ñåãìåíòå

[a, b] è, åñëè áóäåò, òî ñïðàâåäëèâî ëè ðàâåíñòâî Zb lim

Zb ³ fn (x) dx =

n→∞ a

Zb ´ lim fn (x) dx = f (x) dx?

n→∞ a

(1.23)

a

×òîáû ðàçîáðàòüñÿ ñ ýòèìè âîïðîñàìè íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ ñëåäóþùåãî ïðèìåðà.

Ïðèìåð 1.11 Ïîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ôóíêöèé fn (x) = nα sin x cosn x,

π x ∈ [0, ], 2

0 < α ≤ 2,

n ∈ N,

ñõîäèòñÿ íà ýòîì ñåãìåíòå ê ôóíêöèè f (x) ≡ 0, íî ðàâåíñòâî (1.23) ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ, à ìîæåò è íå âûïîëíÿòüñÿ.

Ðåøåíèå. Óáåäèìñÿ, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ñóùåñòâóåò è ðàâíà íóëþ π íà âñåì ñåãìåíòå [0, ]. Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ, íàõîäèì 2 nα sin x f (x) = lim fn (x) = lim nα sin x cosn x = lim = 1 n→∞ n→∞ n→∞ cosn x α−1 αn sin x = α lim nα−2 cosn+1 x ≤ α lim cosn+1 x = 0. = lim n→∞ n→∞ n→∞ −n(− sin x) n+1 cos x Î÷åâèäíî, ÷òî π

π

Z2 ³

Z2 ´ lim fn (x) dx = f (x) dx = 0.

n→∞ 0

0

Íàéäåì èíòåãðàëû îò ôóíêöèé fn : π

π

Z2

fn (x) dx =nα 0

π

Z2

Z2 sin x cosn x dx = −nα

0

¯π nα x ¯¯ 2 α cos =−n = . n + 1 ¯0 n + 1

cosn x d (cos x) = 0

n+1

Ïîýòîìó

   +∞,  Z  lim fn (x) dx = 1, n→∞    0  0, π 2

åñëè 1 < α ≤ 2, åñëè α = 1, åñëè 0 < α < 1.

(1.24)

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

27

Îòñþäà è (1.24) ñëåäóåò, ÷òî ðàâåíñòâî (1.23) âûïîëíÿåòñÿ ëèøü ïðè

0 < α < 1. Òàêèì îáðàçîì, ïåðåñòàíîâêà ïîðÿäêà ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà è èíòåãðèðîâàíèÿ

Zb lim

Zb ³ fn (x) dx =

n→∞ a

´ lim fn (x) dx

n→∞ a

ìîæåò ïðèâåñòè ê îøèáî÷íûì ðåçóëüòàòàì. Äîêàæåì óòâåðæäåíèå, ñîäåðæàùåå óñëîâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå âîçìîæíîñòü òàêîé ïåðåñòàíîâêè.

Òåîðåìà 1.9 Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ôóíêöèé fn : [a, b] −→ R, n ∈ N ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [a, b] ê ôóíêöèè f : [a, b] −→ R. Òîãäà, åñëè âñå fn ∈ R[a, b] (èíòåãðèðóåìû íà ñåãìåíòå [a, b]), òî è ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f ∈ R[a, b], ïðè÷åì èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (1.23). Ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî óêàçàííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæíî èíòåãðèðîâàòü íà ñåãìåíòå [a, b] ïî÷ëåííî. X

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òàê êàê fn ⇒ f , òî íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n ≥ m è âñåõ x ∈ [a, b] ñïðàâåäëèâà îöåíêà

|f (x) − fn (x)| <

ε . 3(b − a)

(1.25)

Çàôèêñèðóåì ëþáîé íîìåð n ≥ m. Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà ñåãìåíòå [a, b]. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ fn èíòåãðèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b], òî îíà îãðàíè÷åíà íà íåì, òî åñòü ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ M > 0 òàêàÿ, ÷òî

|fn (x)| ≤ M ïðè âñåõ x ∈ [a, b].

(1.26)

Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâà (1.25) è (1.26), âûâîäèì îöåíêó

|f (x)| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x)| <

ε + M, 3(b − a)

êîòîðàÿ âûïîëíÿåòñÿ ïðè âñåõ x ∈ [a, b]. Òàêèì îáðàçîì, îãðàíè÷åííîñòü ôóíêöèè f íà ñåãìåíòå [a, b] äîêàçàíà.

28

Îãëàâëåíèå Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà ñåã-

ìåíòå [a, b]. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ êðèòåðèåì èíòåãðèðóåìîñòè îãðàíè÷åííîé íà ñåãìåíòå ôóíêöèè:

Îãðàíè÷åííàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ g èíòåãðèðóåìà íà íåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè T ñåãìåíòà [a, b] òî÷êàìè a = x0 < x1 < x2 < . . . <

xl = b ñ ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ ∆ < δ ñïðàâåäëèâà îöåíêà l X

ωi (g)∆xi < ε,

i=1

ãäå ωi (g) îáîçíà÷àåò êîëåáàíèå ôóíêöèè g íà i-îì ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå

[xi−1 , xi ]. Òàê êàê fn ∈ R[a, b], ñîãëàñíî êðèòåðèÿ èíòåãðèðóåìîñòè, íàéäåòñÿ

δ > 0 òàêîå, ÷òî ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè T ñåãìåíòà [a, b] òî÷êàìè a = x0 < x1 < x2 < . . . < xl = b íà l ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòîâ [xi−1 , xi ], i = 1, 2, . . . , l, def

ñ ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ ∆ = max {∆xi : i = 1, 2, . . . , l} < δ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî l X i=1

ε ωi (fn )∆xi < . 3

(1.27)

Çàôèêñèðóåì ýòî ðàçáèåíèå T è âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé ÷àñòè÷íûé ñåãìåíò [xi−1 , xi ]. Ïîñêîëüêó ìîäóëü ñóììû íå ïðåâîñõîäèò ñóììû ìîäóëåé, äëÿ ëþáûõ x0 è x00 èç ñåãìåíòà [xi−1 , xi ] ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

|f (x0 ) − f (x00 )| ≤ |f (x0 ) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − fn (x00 )| + |fn (x00 ) − f (x00 )| ≤ ≤ |f (x0 ) − fn (x0 )| + ωi (fn ) + |fn (x00 ) − f (x00 )| . Îòñþäà è íåðàâåíñòâà (1.25), âûâîäèì

|f (x0 ) − f (x00 )| < ωi (fn ) +

2ε . 3(b − a)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

½ ¾ 0 00 0 00 ωi (f ) = sup |f (x ) − f (x )| : x , x ∈ [xi−1 , xi ] ,

(1.28)

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

29

à íåðàâåíñòâî (1.28) ñïðàâåäëèâî ïðè âñåõ x0 , x00 ∈ [xi−1 , xi ], èìååì

ωi (f ) ≤ ωi (fn ) +

2ε . 3(b − a)

Óìíîæàÿ ýòî íåðàâåíñòâî íà ∆xi è ñóììèðóÿ ïî âñåì i îò 1 äî l, ïîëó÷àåì l X

ωi (f )∆xi ≤

i=1

n X i=1

n

l

X 2ε X 2ε ωi (fn )∆xi + ∆xi = ωi (fn )∆xi + . 3(b − a) i=1 3 i=1

Îòñþäà è îöåíêè (1.27) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî l X

ωi (f )∆xi < ε.

i=1

Ïî êðèòåðèþ èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]. Òåïåðü, èñïîëüçóÿ îöåíêè èíòåãðàëîâ è íåðàâåíñòâî (1.25), âûâîäèì îöåíêó ¯ b ¯ ¯ b ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ Zb ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ fn (x) dx − f (x) dx¯ = ¯ (fn (x) − f (x)) dx¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a

a

a

Zb ≤

ε |fn (x) − f (x)| dx ≤ 3(b − a)

Zb dx =

ε < ε, 3

a

a

êîòîðàÿ äîêàçûâàåò ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (1.23). Òåîðåìà äîêàçàíà. Íåïîñðåäñòâåííî èç ýòîé ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü àíàëîãè÷íîãî óòâåðæäåíèÿ äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ.

Òåîðåìà 1.10 Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä

∞ X

un îáðàçîâàí èç ôóíêöèé

n=1

un : [a, b] −→ R, n ∈ N, èíòåãðèðóåìûõ íà ñåãìåíòå [a, b]. Òîãäà åñëè ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ñåãìåíòå [a, b] ê ñóììå S : [a, b] −→

R, òî åãî ìîæíî èíòåãðèðîâàòü ïî÷ëåííî, òî åñòü ∞ Z X n=1 a

b

un (x) dx =

Z b ÃX ∞ a

! un (x)

n=1

Zb dx =

S(x) dx. a

Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü ïðåäûäóùóþ ∞ X òåîðåìó 1.9 ê ÷àñòè÷íûì ñóììàì ðÿäà un . n=1

30

Îãëàâëåíèå

Ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ Ïóñòü çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ôóíêöèé fn : [a, b] −→ R, n ∈ N. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ôóíêöèè fn äèôôåðåíöèðóåìû. Åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ, ìîæíî ëè èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn ) ê ôóíêöèè f ïîëó÷èòü äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f ñ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn0 ) ê f 0 . Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî òàêîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî.

Ïðèìåð 1.12 Ïîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ôóíêöèé fn (x) =

sin n3 x n

ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè R ê íåêîòîðîé ôóíêöèè

f , íî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn0 ) íå ñõîäèòñÿ ê f 0 .

Ðåøåíèå. Íå ñîñòàâëÿåò òðóäà ïðîâåðèòü, ÷òî sin n3 x = 0 ïðè êàæäîì x ∈ R. n→∞ n

f (x) = lim fn (x) = lim n→∞ R

Ïîêàæåì, ÷òî fn ⇒ f . Òàê êàê

¯ ¯ ¯ sin n3 x ¯ 1 ¯ ¯ ≤ → 0, αn = sup |fn (x) − f (x)| = sup |fn (x)| = sup ¯ ¯ n n R R R R

ïî êðèòåðèþ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè fn ⇒ f . Ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé fn è f ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû

fn0 (x) = n2 cos n3 x,

f 0 (x) = 0,

x ∈ R.

Ïîñêîëüêó, íàïðèìåð, fn0 (0) = n2 → +∞, â òî âðåìÿ êàê f 0 (0) = 0, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn0 ) íå ñõîäèòñÿ ê f 0 . Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî îãðàíè÷èâàþùèå óñëîâèÿ äîëæíû áûòü áîëåå æåñòêèìè è, âåðîÿòíî, êàñàòüñÿ íå òîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íî è åå ïðîèçâîäíûõ.

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

31

Òåîðåìà 1.11 Ïóñòü (fn )  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé fn : [a, b] −→ R, n ∈ N. Ïóñòü, äàëåå, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîèçâîäíûõ (fn0 ) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ñåãìåíòå [a, b], à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé (fn ) ñõîäèòñÿ õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå x0 ∈ [a, b]. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [a, b] ê íåêîòîðîé ôóíêöèè f : [a, b] −→ R, ïðè÷åì ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b] è åå ïðîèçâîäíàÿ f 0 ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn0 ), òî åñòü

f 0 (x) = lim fn0 (x), n→∞

(1.29)

x ∈ [a, b].

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε. Òàê êàê ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn (x0 )) ñõîäèòñÿ, à ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîèçâîäíûõ (fn0 ) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ñåãìåíòå

[a, b], ïî êðèòåðèÿì Êîøè íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî ε |fn+p (x0 ) − fn (x0 )| < , 2 ¯ 0 ¯ ∀n ≥ m ∀p ∈ N è ∀x ∈ [a, b] =⇒ ¯fn+p (x) − fn0 (x)¯ <

∀n ≥ m è ∀p ∈ N

(1.30)

=⇒

ε . (1.31) 2(b − a)

Ïóñòü x è t  ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ñåãìåíòà [a, b]. Ïðè ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ n è p äëÿ ôóíêöèè (fn+p − fn ) íà ñåãìåíòå [t, x] âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû Ëàãðàíæà. Ïî ýòîé òåîðåìå íàéäåòñÿ òî÷êà ξ ∈ (t, x) òàêàÿ, ÷òî

(fn+p (x) − fn (x)) − (fn+p (t) − fn (t)) = ¡ 0 ¢ = fn+p (ξ) − fn0 (ξ) (x − t) .

(1.32)

Ïðè t = x0 , èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâà (1.30), (1.31) è, ó÷èòûâàÿ, ÷òî |x − x0 | ≤

b − a, èç (1.32) âûâîäèì îöåíêó ¯ 0 ¯ |fn+p (x) − fn (x)| ≤ ¯fn+p (ξ) − fn0 (ξ)¯ |x − x0 | + |fn+p (x0 ) − fn (x0 )| < ε ε < |x − x0 | + ≤ ε. 2(b − a) 2 Ïî êðèòåðèþ Êîøè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [a, b] ê íåêîòîðîé ôóíêöèè f .

32

Îãëàâëåíèå Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè f è ðàâåíñòâà

(1.29) áóäåì èñïîëüçîâàòü òåîðåìó (1.8) î ïî÷ëåííîì ïåðåõîäå ê ïðåäåëó. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x ∈ [a, b]. Îïðåäåëèì íà ìíîæåñòâå X =

[a, b] \ {x} ôóíêöèþ ϕ : X −→ R è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ϕn ) ôóíêöèé ϕn : X −→ R, n ∈ N, ïîëàãàÿ ϕ(t) =

f (t) − f (x) , t−x

ϕn (t) =

fn (t) − fn (x) . t−x

(1.33)

Ïîñêîëüêó âñå ôóíêöèè fn äèôôåðåíöèðóåìû íà ñåãìåíòå [a, b], à ñëåäîâàòåëüíî è â òî÷êå x,

lim ϕn (t) = fn0 (x),

t→x

n ∈ N.

(1.34)

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå t ∈ X . Ïðèìåíÿÿ ðàâåíñòâî (1.32), ïîëó÷àåì ¯ ¯ ¯ fn+p (t) − fn+p (x) fn (t) − fn (x) ¯ ¯= |ϕn+p (t) − ϕn (t)| = ¯¯ − ¯ t−x t−x ¯ ¯ ¯ (fn+p (t) − fn (t)) − (fn+p (x) − fn (x)) ¯ ¯ 0 ¯ ¯ = ¯fn+p (ξ) − fn0 (ξ)¯ , = ¯¯ ¯ t−x ãäå ξ  íåêîòîðàÿ òî÷êà, ëåæàùàÿ ìåæäó t è x. Òåïåðü èñïîëüçóÿ îöåíêó (1.31), âûâîäèì îöåíêó

|ϕn+p (t) − ϕn (t)| <

ε , 2(b − a)

êîòîðàÿ ñïðàâåäëèâà ïðè âñåõ n ≥ m, âñåõ p ∈ N è âñåõ t ∈ X . Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè (òåîðåìà 1.2) ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ϕn ) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . À òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ñõîäèòñÿ ê f , òî, ââèäó (1.33), ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ϕn ) ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X (è, êàê äîêàçàíî, ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî) ê ôóíêöèè ϕ, òî åñòü

lim ϕn (t) = ϕ(t),

n→∞

t ∈ X.

(1.35)

Ñëåäîâàòåëüíî íà ìíîæåñòâå X äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ϕn ) âûïîëíÿþòñÿ âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 1.8 î ïî÷ëåííîì ïåðåõîäå ê ïðåäåëó, ñîãëàñíî êîòîðîé

lim lim ϕn (t) = lim lim ϕn (t).

n→∞ t→x

t→x n→∞

(1.36)

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

33

Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâà (1.35), (1.36) è (1.34), íàõîäèì

lim ϕ(t) = lim lim ϕn (t) = lim lim ϕn (t) = lim fn0 (x).

t→x

t→x n→∞

n→∞ t→x

n→∞

(1.37)

Ïî óñëîâèþ lim fn0 (x) ñóùåñòâóåò, ïîýòîìó ââèäó (1.37), ñóùåñòâóåò è n→∞

lim ϕ(t). Íî èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ϕ ñëåäóåò, ÷òî

t→x

lim ϕ(t) = f 0 (x).

t→x

Îòñþäà è ðàâåíñòâà (1.37) ïîëó÷àåì

lim fn0 (x) = f 0 (x),

n→∞

÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Èç òåîðåìû 1.11 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, êîòîðîå ñôîðìóëèðóåì â âèäå òåîðåìû.

Òåîðåìà 1.12 Ïóñòü ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà ðóåìû íà ñåãìåíòå [a, b] è ðÿä

∞ X

∞ X

un äèôôåðåíöè-

n=1

u0n , ñîñòàâëåííûé èç ïðîèçâîäíûõ ÷ëå-

n=1

íîâ ýòîãî ðÿäà, ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ñåãìåíòå [a, b]. Òîãäà åñëè ðÿä ∞ X un ñõîäèòñÿ õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå x0 ∈ [a, b], òî îí ñõîäèòñÿ ðàân=1

íîìåðíî íà ñåãìåíòå [a, b] ê íåêîòîðîé ñóììå S : [a, b] −→ R, ïðè÷åì 0

S (x) =

∞ X

u0n (x),

x ∈ [a, b].

n=1

Çàìåòèì, ÷òî â òåîðåìàõ 1.7 - 1.12 òðåáîâàíèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ëèøü äîñòàòî÷íî, íî íå íåîáõîäèìî. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî íà ïðèìåðàõ. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ôóíêöèé fn : [0, 1] −→ R, nx çàäàííûõ ôîðìóëîé fn (x) = , x ∈ [0, 1]. Èçâåñòíî (ñì. ïðèìåð 1 + n 2 x2 1.3b), ÷òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íà ñåãìåíòå [0, 1] ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f : [0, 1] −→ R, îïðåäåëÿåìîé ðàâåíñòâîì

f (x) = 0, x ∈ [0, 1]. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî âñå ôóíêöèè fn è ôóíêöèÿ f [0,1]

íåïðåðûâíû íà ñåãìåíòå [0, 1], õîòÿ fn 6⇒ f .

34

Îãëàâëåíèå Ïðîèíòåãðèðóåì êàæäóþ èç ýòèõ ôóíêöèé íà ñåãìåíòå [0, 1]. Ïîëó÷èì

Z1

Z1 fn (x) dx =

0

0

Z1

¯ ¡ ¢ ¯1 ln (1 + n2 ) 1 nx 2 2 ¯ dx = ln 1 + n x ¯ = , 1 + n 2 x2 2n 2n 0

Z1 f (x) dx =

0

0 dx = 0. 0

Âû÷èñëåíèè ïðåäåë lim

R1

n→∞ 0

Z1

fn (x) dx, ïðèìåíÿÿ âòîðîå ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ: ln (1 + n2 ) 2n = lim = 0. n→∞ n→∞ 2(1 + n2 2n

fn (x) dx = lim

lim

n→∞ 0

Òàêèì îáðàçîì, èìååì

Z1 lim

Z1 fn (x) dx =

n→∞ 0

f (x) dx, 0

[0,1]

õîòÿ fn 6⇒ f . Òåïåðü ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ôóíêöèé fn : [0, 1] −→ R, ln (1 + n2 x2 ) çàäàííûõ ôîðìóëîé fn (x) = , x ∈ [0, 1]. Êàæäàÿ ôóíêöèÿ fn 2n nx , x ∈ [0, 1]. Êàê îòäèôôåðåíöèðóåìà íà ñåãìåíòå [0, 1] è fn0 (x) = 1 + n 2 x2 ìå÷åíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn0 ) íà ñåãìåíòå [0, 1] ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè g(x) = 0, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ñõîäèòñÿ â òî÷êå x = 0 ê íóëþ. Ïîêàæåì, ÷òî fn → 0 è ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ x ∈ [0, 1]. Èòàê, ïóñòü 0 < x ≤ 1. Ïðèìåíÿÿ âòîðîå ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ, íàõîäèì

2nx2 ln (1 + n2 x2 ) = lim = 0. n→∞ n→∞ 2 (1 + n2 x2 ) 2n

lim fn (x) = lim

n→∞

Òàêèì îáðàçîì,

f (x) = lim fn (x) = 0, n→∞

x ∈ [0, 1].

Ïîñêîëüêó f (x)0 = 0 = g(x), ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [0, 1] ê äèôôåðåíöèðóåìîé íà ñåãìåíòå [0, 1] ôóíêöèè f è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (1.29), õîòÿ [0,1]

fn0 6⇒ f 0 .

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

2

35

Ñòåïåííûå ðÿäû

2.1 Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè Îïðåäåëåíèå 2.1 Ñòåïåííûì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä âèäà 2

n

c0 + c1 (t − a) + c2 (t − a) + . . . + cn (t − a) + . . . =

∞ X

cn (t − a)n , (2.1)

n=0

ãäå c0 , c1 , c2 , . . . , cn , . . . ∈ C íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåííîãî ðÿäà, t  êîìïëåêñíàÿ ïåðåìåííàÿ, a ∈ C  ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà. Åñëè çàìåíèòü t − a íà z , òî åñòü ïîëîæèòü t − a = z , òî ñòåïåííîé ðÿä (2.1) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó 2

n

c0 + c1 z + c2 z + . . . + cn z + . . . =

∞ X

cn z n .

(2.2)

n=0

Äàëåå, åñëè íå îãîâîðåíî èíîå, îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñòåïåííûõ ðÿäîâ ëèøü âèäà (2.2). Ñòåïåííîìó ðÿäó, êàê ôóíêöèîíàëüíîìó ðÿäó, ïðèñóùè âñå ïîíÿòèÿ, ââåäåííûå äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, à ñëåäîâàòåëüíî ñïðàâåäëèâû è âñå óòâåðæäåíèÿ, äîêàçàííûå äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ. Íî èìååòñÿ ðÿä ïîíÿòèé õàðàêòåðíûõ äëÿ ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ñòåïåííîé ðÿä âñåãäà ñõîäèòñÿ õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå. Äåéñòâèòåëüíî, ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ â òî÷êå z = 0. Âûÿñíèì, êàêîé ìîæåò áûòü îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà.

Òåîðåìà 2.1 (Ïåðâàÿ òåîðåìà Àáåëÿ). Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (2.2) ñõîäèòñÿ ïðè z = α, α 6= 0, òî îí ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî ïðè êàæäîì çíà÷åíèè z , óäîâëåòâîðÿþùåì íåðàâåíñòâó |z| < |α|.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî óñëîâèþ òåîðåìû è îïðåäåëåíèþ ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè, ñõîäèòñÿ ÷èñëîâîé ðÿä

∞ X n=0

cn αn . Â ñèëó íåîáõîäèìîãî

óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè åãî îáùèé ÷ëåí cn αn ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞.

36

Îãëàâëåíèå

Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (cn αn ) ñõîäèòñÿ. À ïîñêîëüêó âñÿêàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà, ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî M òàêîå, ÷òî |cn αn | ≤ M ïðè âñåõ n ∈ N. Âîçüìåì çíà÷åíèå z |z| òàêîå, ÷òîáû |z| < |α| è ïîëîæèì q = . Î÷åâèäíî, ÷òî 0 < q < 1. |α| ∞ X Ïîýòîìó ðÿä q n ñõîäèòñÿ. À òàê êàê äëÿ êàæäîãî n ∈ N ñïðàâåäëèâà îöåíêà

n=0

¯ z ¯n ¯ ¯ |cn z n | = |cn αn | ¯ ¯ ≤ M q n , α

n ∈ N,

ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ ðÿä ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè

∞ X

|cn z n | ñõî-

n=0

äèòñÿ, à ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (2.2) ïðè âûáðàííîì z àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ.

Ñëåäñòâèå 2.1 Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (2.2) ñõîäèòñÿ ïðè z = α, α 6= 0, òî îí ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ â îòêðûòîì êðóãå def

B(0, |α|) = {z ∈ C : |z| < |α|} .

Ñëåäñòâèå 2.2 Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (2.2) ðàñõîäèòñÿ ïðè z = α, òî îí ðàñõîäèòñÿ ïðè êàæäîì çíà÷åíèè z , óäîâëåòâîðÿþùåì íåðàâåíñòâó

|z| > |α|.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæåíèå î ñóùåñòâîâàíèè çíà÷åíèÿ z , óäîâëåòâîðÿþùåãî íåðàâåíñòâó |z| > |α|, ïðè êîòîðîì ðÿä (2.2) ∞ X ñõîäèòñÿ ïðèâîäèò, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.1, ê ñõîäèìîñòè ðÿäà cn αn . n=0

Ïóñòü ñòåïåííîé ðÿä (2.2) ñõîäèòñÿ íå òîëüêî â òî÷êå z = 0, íî è íå íà âñåé ïëîñêîñòè C.

Îïðåäåëåíèå 2.2 ×èñëî R > 0 íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.2), åñëè ïðè |z| < R ñòåïåííîé ðÿä (2.2) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, à ïðè |z| > R  ðàñõîäèòñÿ. Ïðè ýòîì îòêðûòûé êðóã

B(0, R) = {z ∈ C : |z| < R} íàçûâàåòñÿ êðóãîì ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.2).

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

37

Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå êîãäà âìåñòî ðÿäà (2.2) ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòåïåííîé ðÿä 2

n

a0 + a1 x + a2 x + . . . + an x + . . . =

∞ X

an xn

(2.3)

n=0

ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè a0 , a1 , a2 , . . . , an , . . . è âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé x, åãî êðóã ñõîäèìîñòè B(0, R) èìååò âèä

B(0, R) = (−R, R) è, îáû÷íî, íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè. Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî R = 0, åñëè ñòåïåííîé ðÿä (2.2) ñõîäèòñÿ òîëüêî ïðè z = 0. Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (2.2) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ z , òî åñòü íà C, òî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî R = +∞. Âîïðîñ î ïîâåäåíèè ñòåïåííîãî ðÿäà íà ãðàíèöå êðóãà ñõîäèìîñòè, òî åñòü íà îêðóæíîñòè S(0, R) = {z ∈ C : |z| = R}, íå ïîääàåòñÿ ýëåìåíòàðíîìó îïèñàíèþ. Îòâåò íà íåãî îáû÷íî ñâÿçàí ñ àíàëèçîì èíäèâèäóàëüíûõ ñâîéñòâ êîíêðåòíîãî ðÿäà.

Òåîðåìà 2.2 Âñÿêèé ñòåïåííîé ðÿä (2.2) èìååò ðàäèóñ ñõîäèìîñòè. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A ⊂ C  îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.2) Ñëó÷àè êîãäà îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà ñîñòîèò ëèøü èç òî÷êè z =

0 èëè ñîâïàäàåò ñî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ íåèíòåðåñíû, ââèäó ïðåäûäóùåé äîãîâîðåííîñòè. Ïóñòü îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.2) íå âûðîæäàåòñÿ â òî÷êó z = 0 è íå ñîâïàäàåò ñî âñåé ïëîñêîñòüþ C. Ïîëîæèì R = sup {|z| : z ∈ A}. Î÷åâèäíî, ÷òî R > 0. Ïîêàæåì, ÷òî R < +∞. Äåéñòâèòåëüíî, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, òî åñòü ïðè R = +∞, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè, äëÿ ëþáîãî z ∈ C íàéäåòñÿ z0 ∈ A (òî åñòü òî÷êà ñõîäèìîñòè z0 ) òàêàÿ, ÷òî |z0 | > |z|. Òîãäà ïî òåîðåìå 2.1 ðÿä (2.2) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â âûáðàííîé òî÷êå z , à ñëåäîâàòåëüíî, è âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ.

38

Îãëàâëåíèå  ñèëó îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà R ïðè |z| > R ðÿä (2.2) ðàñõîäèòñÿ. Äî-

êàæåì, ÷òî ïðè |z| < R ýòîò ðÿä àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ. Ïóñòü |z| < R. Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè, íàéäåòñÿ òî÷êà z 0 ∈ A òàêàÿ, ÷òî |z| < |z 0 | ≤ R. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2.1 ðÿä (2.2) â òî÷êå z ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Òàêèì îáðàçîì, åñëè îáëàñòü ñõîäèìîñòè A ðÿäà (2.2) îòëè÷íà îò {0} è îò C, òî ñïðàâåäëèâû âêëþ÷åíèÿ

B(0, R) ⊂ A ⊂ B(0, R), ãäå def

B(0, R) = {z ∈ C : |z| ≤ R}  çàìêíóòûé êðóã.

Ïðèìåð 2.1 Îïðåäåëèòü ðàäèóñ è îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà a)

∞ X n=0

n

n!z ,

b)

∞ X zn n=0

n!

,

c)

∞ X

n

z ,

d)

n=0

∞ X zn n=1

n2

.

Ðåøåíèå. a) Ïîñêîëüêó ïðè z 6= 0 lim n!|z|n = +∞,

n→∞

îáùèé ÷ëåí ðÿäà ïðè z 6= 0 íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè

z 6= 0 ðÿä ðàñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà R = 0 è îáëàñòü ñõîäèìîñòè A ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè z = 0. ∞ X zn ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè (ñì. b) Ðÿä n! n=0 ïðèìåð 1.5). Ïîýòîìó ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà R = +∞ è îáëàñòü ñõîäèìîñòè A = C.

c) Èçó÷àÿ ÷èñëîâûå ðÿäû, ìû ïîêàçàëè, ÷òî ðÿä

∞ X

z n ñõîäèòñÿ, åñëè

n=0

|z| < 1, è ðàñõîäèòñÿ, åñëè |z| ≥ 1. Ñëåäîâàòåëüíî, åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R = 1 è îáëàñòü ñõîäèìîñòè A = B(0, 1). d) Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî z 6= 0 ïðèìåíèì ïðèçíàê Êîøè â ïðåäåëüíîé ôîðìå ∞ X |z|n ê ðÿäó . Òàê êàê 2 n n=1 r n √ |z|n n |z| n lim un = lim = lim √ = |z| , n→∞ n→∞ n→∞ n n2 n2

2. Ñòåïåííûå ðÿäû ïðè |z| < 1 ðÿä

39

∞ X |z|n n=1

n2

ñõîäèòñÿ, à ïðè |z| > 1  ðàñõîäèòñÿ. Ëåãêî

óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè |z| > 1 îáùèé ÷ëåí ðÿäà

∞ X |z|n

, à ñëåäîâàòåëüíî, è 2 n n=1 èñõîäíîãî ðÿäà íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàäèóñ ñõîäèìî∞ X |z|n ñòè èñõîäíîãî ðÿäà R = 1. Íî ïðè |z| = 1 îáùèé ÷ëåí ðÿäà ïðèn2 n=1 ∞ X 1 1 íèìàåò âèä 2 , à êàê èçâåñòíî, ðÿä ñõîäèòñÿ, ïîýòîìó èñõîäíûé n n2 n=1 ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â çàìêíóòîì êðóãå B(0, 1), òî åñòü åãî îáëàñòü ñõîäèìîñòè A = B(0, 1).  ñëåäóþùåé òåîðåìå äàíî ïðàâèëî îïðåäåëåíèÿ ðàäèóñà ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà.

Òåîðåìà 2.3 Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàäèóñà ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.2) ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

R=

lim

n→∞

ãäå

1 p n

|cn |

(2.4)

,

1 1 = 0, = ∞. ∞ 0

Ôîðìóëà (2.4) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Êîøè-Àäàìàðà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì îáîáùåííûé ïðèçíàê Êîøè â ïðåäåëüíîé ôîðìå ê ðÿäó

∞ X

|cn z n | ,

(2.5)

n=0

ñîñòàâëåííîìó èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ÷ëåíîâ ðÿäà (2.2). Ïîëó÷èì

lim

n→∞

p n

|cn z n | = |z| lim

n→∞

p n

|cn | = |z| L,

ãäå L = lim

n→∞

p n

|cn |.

(2.6)

Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè L = 0 ïðîèçâåäåíèå |z| L ðàâíî íóëþ, è ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (2.5) ñõîäèòñÿ íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R ðÿäà (2.2) ðàâåí +∞. Åñëè æå L = ∞, òî ïðîèçâåäåíèå |z| L ðàâíî íóëþ ïðè z = 0, è +∞ ïðè âñåõ îñòàëüíûõ z . Ïîýòîìó ðÿä (2.5) ñõîäèòñÿ òîëüêî â òî÷êå z = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R = 0.

40

Îãëàâëåíèå Ïóñòü òåïåðü 0 < L < +∞. Èç (2.6) ñëåäóåò, ÷òî åñëè |z| L < 1, òî ðÿä

(2.5) ñõîäèòñÿ, à òîãäà ðÿä (2.2) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ. Åñëè æå |z| L > 1, p òî lim n |cn z n | > 1, è, ñëåäîâàòåëüíî, lim |cn z n | > 1, òî åñòü îáùèé ÷ëåí n→∞ n

n→∞

cn z ðÿäà (2.2) íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Òàêèì îáðàçîì, ïðè |z| > L íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà, ïîýòîìó ðÿä (2.2) ðàñõîäèòñÿ. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 2.2 ðàäèóñà ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà, ðà1 äèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.2) ðàâåí ÷èñëó . L Ïðè íàõîæäåíèè ðàäèóñà ñõîäèìîñòè êîíêðåòíîãî ðÿäà ÷àñòî áûâàåò ïîëåçíîé ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà (2.7).

¯ ¯ ¯ cn+1 ¯ ¯ ¯, Ñëåäñòâèå 2.3 Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé ïðåäåë lim ¯ n→∞ cn ¯ òî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.2) ìîæåò áûòü íàéäåí ïî ôîðìóëå ¯ ¯ ¯ cn ¯ ¯ ¯. R = lim ¯ (2.7) n→∞ cn+1 ¯ ¯ ¯ ¯ cn+1 ¯ ¯ ¯. Î÷åâèäíî, ÷òî 0 ≤ q ≤ +∞. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì q = lim ¯ n→∞ cn ¯ Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé 0 < q < +∞. Âîçüìåì ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε, íî ìåíüøåå, ÷åì q . Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ¯ ¯ ¯ cn+1 ¯ ¯ < q + ε. ∃m ∈ N : ∀n ≥ m =⇒ q − ε < ¯¯ cn ¯ Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

(q − ε) |cn | < |cn+1 | < (q + ε) |cn | ,

n ≥ m.

(2.8)

Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâà (2.8), äëÿ êàæäîãî n > m âûâîäèì îöåíêè

|cn | < (q + ε) |cn−1 | < (q + ε)2 |cn−2 | < . . . < (q + ε)n−m |cm |

(2.9)

|cn | > (q − ε) |cn−1 | > (q − ε)2 |cn−2 | > . . . > (q − ε)n−m |cm | .

(2.10)

è

Èç (2.9) è (2.10) ñëåäóåò, ÷òî s s p |c | |cm | m n (q − ε) n |cn | < (q + ε) n , m < (q − ε) (q + ε)m

n > m.

(2.11)

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

41

s Ïîñêîëüêó

n

s |cm | < (q + ε)m

|cm | , èç (2.11) âûòåêàåò, ÷òî (q − ε)m

n

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p ¯ ¯ ¯ n ¯ ¯ |c | n ¯s − q ¯¯ < ε, ¯ ¯ ¯n |cm | ¯ ¯ m ¯ (q − ε) ¯ À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

lim s

n→∞

n

p n |cn | |cm | (q − ε)m

n > m.

= q.

Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî

s lim

|cm | = 1, (q − ε)m

n

n→∞

ïîëó÷àåì

lim

n→∞

p n

p n

|cn | = lim s n→∞

n

= lim s n→∞

n

s |cn |

|cm | (q − ε)m p n |cn | |cm | (q − ε)m

n

·

|cm | = (q − ε)m s

· lim

n

n→∞

|cm | = q · 1 = q. (q − ε)m

(2.12)

Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå

lim

n→∞

p n

|cn | = lim

¯ ¯ ¯ cn+1 ¯ ¯ ¯. |cn | = q = lim ¯ n→∞ cn ¯

p n

n→∞

Ïðèìåíèì òåïåðü òåîðåìó 2.3 è ïîëó÷èì ôîðìóëó (2.7). Ïóñòü q = 0. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ¯ ¯ ¯ cn+1 ¯ ¯ < ε. ∃m ∈ N : ∀n ≥ m =⇒ ¯¯ cn ¯ Îòñþäà âûâîäèì îöåíêó

r

p n

|cn | < ε

n

|cm | , εm

èç êîòîðîé ñëåäóåò (2.12), à çàòåì è (2.7).

n > m,

42

Îãëàâëåíèå Åñëè q = +∞, òî äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà A íàéäåòñÿ íîìåð

m òàêîé, ÷òî ïðè âñåõ n ≥ m áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî |cn+1 | > A |cn | . Èñïîëüçóÿ åãî, ìû âûâîäèì îöåíêó r p n |cm | n |cn | > A , Am

n > m,

èç êîòîðîé ñíîâà ïîëó÷àåì (2.12) è (2.7).

Ïðèìåð 2.2 Íàéòè ðàäèóñû ñõîäèìîñòè ñëåäóþùèõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ: a)

∞ X

in n

e z ;

n=0

¶n ∞ µ X z b) ; 1−i n=0

∞ ³ X z ´n c) . in n=1

Ðåøåíèå. p √ 1 n = lim n |ein | = lim 1 = 1 =⇒ R = 1; n→∞ n→∞ R s¯µ ¶n ¯ √ ¯ ¯ 1 1 n ¯ ¯ = 1 = √1 b) = lim =⇒ R = 2; ¯ ¯ R n→∞ 1−i |1 − i| 2 s¯µ ¶ ¯ ¯ 1 n¯ 1 ¯ = lim 1 = 0 =⇒ R = +∞. c) = lim n ¯¯ R n→∞ in ¯ n→∞ n

a)

2.2 Ôóíêöèîíàëüíûå ñâîéñòâà ñóììû ñòåïåííîãî ðÿäà  ýòîì ïóíêòå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà R > 0, òî åñòü, ÷òî îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà íå âûðîæäàåòñÿ â òî÷êó z = 0.

Òåîðåìà 2.4 Ïóñòü R  ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.2). Òîãäà ðÿä (2.2) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî íà êàæäîì êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå K ⊂ B(0, R).

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

43

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ 2.2 ðàäèóñà ñõîäèìîñòè ñòåïåííîé ðÿä (2.2) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ â êðóãå ñõîäèìîñòè B(0, R). À ïîñêîëüêó

K ⊂ B(0, R), îí àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ è íà ìíîæåñòâå K . Äîêàæåì òåïåðü ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿäà (2.2) íà K , ïðèìåíÿÿ ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà (òåîðåìà 1.3). Ïóñòü r = sup {|z| : z ∈ K}. Èç îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà r ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (zj ) òî÷åê zj ∈ K òàêîé, ÷òî |zj | → r. Òàê êàê ìíîæåñòâî K êîìïàêòíî â C, òî îíî îãðàíè÷åíî, à ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (zj ) îãðàíè÷åíà. Ñëåäîâàòåëüíî, èç íåå ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ â C ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Áåç ïîòåðè îáùíîñòè áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñàìà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (zj ) ñõîäèòñÿ. Ïóñòü

z 0 îáîçíà÷àåò åå ïðåäåë. Î÷åâèäíî, ÷òî z 0 ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà K . Íî ìíîæåñòâî K çàìêíóòî, â ñèëó åãî êîìïàêòíîñòè, ïîýòîìó z 0 ∈ K . È ïîñêîëüêó K ⊂ B(0, R) èìååì z 0 ∈ B(0, R). Èç ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (|zj |) ê r ñëåäóåò, ÷òî |z 0 | = r è r < +∞. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ∞ X n |cn | |z 0 | ñõîäèòñÿ, à ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèòñÿ è ðÿä 2.2 ÷èñëîâîé ðÿä ∞ X

n=0

|cn | rn , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ìàæîðàíòíûì äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà (2.2) íà

n=0

ìíîæåñòâå K . Ïî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà ðÿä (2.2) íà ìíîæåñòâå K ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî. Èç óòâåðæäåíèÿ ýòîé òåîðåìû è ñëåäñòâèÿ 1.4 âûòåêàåò ñëåäóþùåå

Ñëåäñòâèå 2.4 Åñëè R  ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.2), òî ñóììà ýòîãî ðÿäà íåïðåðûâíà íà êàæäîì êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå

K ⊂ B(0, R).

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïî òåîðåìå 2.4 ðÿä (2.2) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå K . À ïîñêîëüêó ÷ëåíû ýòîãî ðÿäà ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè íåïðåðûâíûìè íà C, ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 1.4, åãî ñóììà íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå K .

Òåîðåìà 2.5 Ïóñòü R  ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.2). Òîãäà ñóììà ýòîãî ðÿäà íåïðåðûâíà â êðóãå ñõîäèìîñòè B(0, R).

44

Îãëàâëåíèå

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü S  ñóììà ðÿäà (2.2). Ôèêñèðóåì ëþáóþ òî÷êó z ∈ B(0, R). Ïîñêîëüêó |z| < R, âñåãäà íàéäåòñÿ âåùåñòâåííîå ÷èñëî r òàêîå, ÷òî |z| < r < R.  ñèëó ñëåäñòâèÿ 2.4 ôóíêöèÿ S íåïðåðûâíà íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå B(0, r) ⊂ B(0, R). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ S íåïðåðûâíà â òî÷êå z , êîòîðàÿ, ñîãëàñíî âûáîðó ÷èñëà r, ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó B(0, r).

Òåîðåìà 2.6 Åñëè R  ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.3) è x ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó ñõîäèìîñòè B(0, R) = (−R, R), òî ðÿä (2.3) ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü íà ñåãìåíòå [0, x], òî åñòü ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

Zx X ∞ 0

an tn dt =

n=0

∞ X an xn+1 n=0

n+1

Ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ðÿä æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è èñõîäíûé ðÿä.

(2.13)

. ∞ X an xn+1 n=0

n+1

èìååò òîò

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 2.4 ðÿä (2.3) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå [0, x]. À ïîñêîëüêó ÷ëåíû ðÿäà (2.3) íåïðåðûâíûå, à çíà÷èò è èíòåãðèðóåìûå ôóíêöèè, òî, ñîãëàñíî òåîðåìå 1.10, åãî ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü íà ñåãìåíòå [0, x].  ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ∞ X an xn+1 , ðàäèóñ ñõîäèìîñòè êîòîðîãî, ïîëó÷èì íîâûé ñòåïåííîé ðÿä n + 1 n=0 ñîãëàñíî òåîðåìå 2.3, îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì r 1 n |an−1 | = lim . R1 n→∞ n √ À òàê êàê lim n n = 1, òî âåðõíèå ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé n→∞ Ãr ! ³p ´ |a | n n−1 n |an | è n ñîâïàäàþò. Ñëåäîâàòåëüíî, R1 = R.

Òåîðåìà 2.7 Ñòåïåííîé ðÿä (2.3) â åãî èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïî÷ëåííî, òî åñòü ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Ã∞ !0 ∞ ∞ X X X n 0 n = (an x ) = nan xn−1 . an x n=0

n=0

n=1

(2.14)

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

45

Ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ðÿä

nan xn−1 èìååò

n=1

òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è èñõîäíûé ðÿä.

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

∞ X

³p

´

(n + 1) |an+1 | èìå³p ´ åò òàêîé æå âåðõíèé ïðåäåë, ÷òî è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü n |an | , ðàäèóñ n

ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.14) ðàâåí ðàäèóñó ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.3). Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó òåîðåì 1.11 è 2.4, ðÿä (2.3) äîïóñêàåò ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå.

Ñëåäñòâèå 2.5 Ñòåïåííîé ðÿä (2.3) â åãî èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïî÷ëåííî ñêîëüêî óãîäíî ðàç. Ðÿä, ïîëó÷åííûé nêðàòíûì ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì, èìååò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è èñõîäíûé ðÿä.

2.3 Ñóììèðîâàíèå ÷èñëîâûõ ðÿäîâ Âûÿñíåíèå ñõîäèìîñòè òîãî èëè èíîãî ðÿäà èìååò äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ â òåîðåòè÷åñêèõ è ïðèêëàäíûõ âîïðîñàõ ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå: òîëüêî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä ìû ìîæåì ïîíèìàòü êàê ¾áåñêîíå÷íóþ ñóììó¿, à èìåííî êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì. Áîëåå òîãî, â íåêîòîðûõ âîïðîñàõ çíà÷åíèå ñóììû ðÿäà âîîáùå íå èãðàåò ðîëè. Îäíàêî èìåþòñÿ âîïðîñû (íàïðèìåð, ñâÿçàííûå ñ âû÷èñëåíèåì çíà÷åíèé ôóíêöèé è êîíñòàíò), â êîòîðûõ âàæíà íå ñàìà êîíñòàòàöèÿ ñõîäèìîñòè ðÿäà, à èìåííî åãî ñóììà. Ðàññìîòðèì îäèí èç ñïîñîáîâ íàõîæäåíèÿ ñóìì ÷èñëîâûõ ðÿäîâ ïðè ïîìîùè ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Åãî îáîñíîâàíèå îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè.

Òåîðåìà 2.8 Ïóñòü R > 0  ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.3). Åñëè ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ è ïðè x = R (õîòÿ áû óñëîâíî), òî îí ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ñåãìåíòå [0, R].

46

Îãëàâëåíèå

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâèì èñõîäíûé ðÿä â âèäå ∞ X

n

an x =

n=0

Òàê êàê ðÿä

∞ X

∞ X

an R n ·

³ x ´n

n=0

R

,

0 ≤ x ≤ R.

n

an R ñõîäèòñÿ, à ìíîæèòåëè

³ x ´n

îáðàçóþò ìîíîòîíR íóþ (ïî n) ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x ∈ X è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åín=0

íóþ íà [0, R] ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

³ x ´n ³ x ´n+1 ³ x ´2 x ≥ ... ≥ ≥ ≥ . . . ≥ 0, 1≥ ≥ R R R R ïî ïðèçíàêó Àáåëÿ ðÿäà (2.3) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [0, R]. Äîêàçàííàÿ òåîðåìà 2.8 ïîçâîëÿåò äîïîëíèòü òåîðåìó 2.5 î íåïðåðûâíîñòè ñóììû ñòåïåííîãî ðÿäà.

Òåîðåìà 2.9 (Âòîðàÿ òåîðåìà Àáåëÿ). Ïóñòü R > 0  ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.3). Åñëè ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ïðè x = R, òî åãî ñóììà íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [0, R].  ÷àñòíîñòè, ñóììà ðÿäà (2.3) íåïðåðûâíà ñëåâà â òî÷êå x = R, òî åñòü

lim

x→R−0

∞ X

n

an x =

n=0

∞ X

an Rn .

(2.15)

n=0

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ñåãìåíò [0, R] ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì, ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ âûòåêàåò èç òåîðåìû 2.8 è ñëåäñòâèÿ 1.4. Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåîáõîäèìî íàéòè ñóììó S ñõîäÿùåãîñÿ ∞ X ÷èñëîâîãî ðÿäà an . Ïðè ýòîì èçâåñòíà (èëè ëåãêî íàõîäèòñÿ) ñóììà ñòåïåííîãî ðÿäà

n=0 ∞ X

an xn â åãî èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè (−R, R).

n=0

Ïîñêîëüêó ïðè x = 1 ýòîò ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ, åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R ≥ 1. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî âòîðîé òåîðåìå Àáåëÿ (òåîðåìà 2.9), èìååì

S=

∞ X n=0

an = lim

x→1−0

∞ X

a n xn .

n=0

Èçëîæåííûé ìåòîä îáû÷íî íàçûâàþò ìåòîäîì Ïóàññîíà-Àáåëÿ.

(2.16)

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

47

Ïðèìåð 2.3 Íàéòè ñóììó ðÿäà Ëåéáíèöà

∞ X (−1)n−1 n=1

n

.

Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñòåïåííîé ðÿä ∞ X (−1)n−1 n=1

Òàê êàê lim

√ n

n→∞

n

xn .

(2.17)

n = 1, åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðàâåí åäèíèöå. Íàéäåì

ñóììó S(x) ðÿäà (2.17) â åãî èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè (−1, 1). Ïî òåîðåìå î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ (òåîðåìà 2.7) èìååì Ã∞ !0 ∞ X (−1)n−1 X 0 n S (x) = x = (−1)n−1 xn−1 . (2.18) n n=1 n=1 Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà, ñòîÿùåãî â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (2.18), ðàâåí åäèíèöå, ïîýòîìó ïðè êàæäîì x èç èíòåðâàëà (−1, 1) ÷ëåíû ýòîãî ðÿä îáðàçóþò áåñêîíå÷íî óáûâàþùóþ ïðîãðåññèþ ñî çíàìåíàòåëåì −x. Ñëåäîâàòåëüíî,

S 0 (x) =

1 . 1+x

Èíòåãðèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî íà ñåãìåíòå [0, x], ãäå x ∈ (−1, 1) íàõîäèì

Zx

Zx S(t) dt =

0

èëè

1 dt 1+t

0

¯x ¯ S(x) − S(0) = ln(1 + t)¯¯ = − ln(1 + x). 0

Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî S(0) = 0, ïîëó÷àåì

S(x) = ln(1 + x),

x ∈ (−1, 1) .

Òåïåðü, ñîãëàñíî ôîðìóëå (2.16) èìååì

S=

∞ X (−1)n−1 n=1

n

= lim S(x) = ln 2. x→1−0

∞ X (−1)n Ïðèìåð 2.4 Íàéòè ñóììó ðÿäà Ëåéáíèöà . 2n + 1 n=0

48

Îãëàâëåíèå

Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó íóæíî ¾èçáàâèòüñÿ¿ îò ñîìíîæèòåëÿ

1 , ðàñ2n + 1

ñìîòðèì ñòåïåííîé ðÿä

∞ X (−1)n 2n+1 x . 2n + 1 n=0

Òåïåðü, ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðóÿ, íàéäåì ñóììó S(x) ýòîãî ñòåïåííîãî ðÿäà â åãî èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè (−1, 1): 0

S (x) =

∞ X

(−1)n x2n =

n=0

Zx S(x) = S(0) + 0

1 ; 1 + x2

¯x ¯ 1 ¯ = arctg x. dt = arctg t ¯ 1 + t2 0

Ñîãëàñíî âòîðîé òåîðåìå Àáåëÿ, íàõîäèì ∞ X (−1)n π S= = lim S(x) = arctg1 = . 2n + 1 x→1−0 4 n=1

Ïðèìåð 2.5 Íàéòè ñóììó ðÿäà

∞ X n=2

Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó n2

(−1)n . n2 + n − 2

1 1 ³ 2, +n−2 n

1 íà ïðîn2 + n − 2 ñòåéøèå äðîáè (íàïðèìåð, ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ): èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Ðàçëîæèì äðîáü

1 1 1 = − . n2 + n − 2 3(n − 1) 3(n + 2) Òàê êàê ðÿäû

∞ ∞ X X (−1)n (−1)n è 3(n − 1) n=2 3(n + 2) n=2

ñõîäÿòñÿ (óñëîâíî) ïî ïðèçíàêó Ëåéáíèöà, òî èñõîäíûé ðÿä ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû äâóõ ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ: ∞ X n=2

∞

∞

X (−1)n X (−1)n (−1)n = − . n2 + n − 2 n=2 3(n − 1) n=2 3(n + 2)

(2.19)

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

49

Äàëåå, ìîæíî ìåòîäîì Ïóàññîíà-Àáåëÿ íàéòè ñóììó êàæäîãî èç ðÿäîâ, ñòîÿùèõ â ïðàâîé ÷àñòè (2.19). Ìû ïîñòóïèì èíà÷å. Ïðåîáðàçóåì ïðàâóþ ÷àñòü (2.19):

Ã∞ ! ∞ ∞ ∞ X X (−1)n (−1)n 1 X (−1)n X (−1)n − = − = 3(n − 1) n=2 3(n + 2) 3 n=2 n − 1 n=2 n + 2 n=2 Ã∞ ! Ã∞ ! ∞ ∞ 1 X (−1)k+1 X (−1)k−2 1 X (−1)k−1 X (−1)k−1 − = + = = 3 k=1 k k 3 k=1 k k k=4 k=4 à ∞ ! ∞ X (−1)k−1 2 X (−1)k−1 1 1 1 5 2 = = −1+ − − . 3 k 2 3 3 k=1 k 18 k=1

Îòñþäà è (2.19), ó÷èòûâàÿ, ÷òî

∞ X (−1)k−1

k

k=1

õîäèì

∞ X n=2

= ln 2 (ñì. ïðèìåð 2.3), íà-

n

n2

(−1) 2 5 = ln 2 − . +n−2 3 18

Çàìåòèì, ÷òî ìåòîä Ïóàññîíà-Àáåëÿ ïðèìåíèì ê íàõîæäåíèþ ¾îáîáùåííûõ ñóìì¿ íåêîòîðûõ ðàñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ: ïî äàííîìó ÷èñëîâîìó ∞ ∞ X X an xn ; åñëè ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ â an ñòðîèòñÿ ñòåïåííîé ðÿä ðÿäó n=0

n=0

êàæäîé òî÷êå x ∈ (0, 1) è åãî ñóììà S(x) èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë A ïðè

x → 1 − 0, òî ÷èñëî A è íàçûâàþò ¾îáîáùåííîé (â ñìûñëå Ïóàññîíà) ∞ X ñóììîé¿ ÷èñëîâîãî ðÿäà an . n=0

Ïðèìåð 2.6 Íàéòè ¾îáîáùåííóþ ñóììó¿ (åñëè îíà ñóùåñòâóåò) ðÿäà ∞ X

(−1)n−1 .

n=1

Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñòåïåííîé ðÿä

∞ X

(−1)n−1 xn . Î÷åâèäíî, ÷òî åãî

n=1

ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðàâåí åäèíèöå, à ñóììà

S(x) =

1 äëÿ âñåõ x ∈ (−1, 1). 1+x

Ïîñêîëüêó

lim S(x) = lim

x→1−0

÷èñëî

x→1−0

1 1 = , 1+x 2

1 ÿâëÿåòñÿ ¾îáîáùåííîé ñóììîé¿ äàííîãî ðÿäà. 2

50

Îãëàâëåíèå

2.4 Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû Âû÷èñëåíèåì ñóìì ÷èñëîâûõ ðÿäîâ íå èñ÷åðïûâàþòñÿ ïðèëîæåíèÿ òåîðèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Äàííàÿ òåîðèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì è óäîáíûì àïïàðàòîì ïðè âû÷èñëåíèè ïðåäåëîâ, îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, çíà÷åíèé ôóíêöèé, ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ ôóíêöèé, ïðè ðåøåíèè äèôôåðåíöèàëüíûõ è èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ïðè ðàññìîòðåíèè ìíîãèõ äðóãèõ âîïðîñîâ ïðèêëàäíîé è òåîðåòè÷åñêîé ìàòåìàòèêè. Ïîýòîìó íóæíî óìåòü ïðåäñòàâëÿòü ôóíêöèè â âèäå ñòåïåííûõ ðÿäîâ.

Îïðåäåëåíèå 2.3 Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f íà èíòåðâàëå (−R, R) (íà ìíîæåñòâå X ) ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â ñòåïåííîé ðÿä, åñëè ñóùåñòâóåò ñòåïåííîé ðÿä, ñõîäÿùèéñÿ ê f íà óêàçàííîì èíòåðâàëå (íà óêàçàííîì ìíîæåñòâå). Íåïîñðåäñòâåííî èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò ñëåäóþùåå

Ïðåäëîæåíèå 2.1 Åñëè ôóíêöèÿ f íà èíòåðâàëå (−R, R) ðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé ðÿä, òî ýòà ôóíêöèÿ èìååò íà óêàçàííîì èíòåðâàëå íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèÿ 2.3 ñóùåñòâóåò ñòåïåííîé ðÿä, ñõîäÿùèéñÿ ê f íà èíòåðâàëå (−R, R). À ïîñêîëüêó ñòåïåííîé ðÿä â èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè, à ñëåäîâàòåëüíî, è â èíòåðâàëå

(−R, R), ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü ñêîëüêî óãîäíî ðàç, ïðè÷åì âñå ïîëó÷åííûå ðÿäû ñõîäÿòñÿ â òîì æå èíòåðâàëå è èõ ñóììû ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïðîèçâîäíûìè ôóíêöèè f (òåîðåìà 2.7 è ñëåäñòâèå 2.5). Íî òîãäà ñóììû ðÿäîâ, ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòàòå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, â ñèëó òåîðåìû 2.5, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ôóíêöèè, íåïðåðûâíûå â èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè, à ñëåäîâàòåëüíî, è â èíòåðâàëå (−R, R).

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

51

Òåîðåìà 2.10 Åñëè ôóíêöèÿ f íà èíòåðâàëå (−R, R) ðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé ðÿä

f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn + . . . ,

(2.20)

òî ýòî ðàçëîæåíèå åäèíñòâåííî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâèþ ðÿä

∞ X

an xn ñõîäèòñÿ è ôóíêöèÿ f åãî

n=0

ñóììà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 2.7 ðàâåíñòâî (2.20) ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü ëþáîå ÷èñëî ðàç. Äèôôåðåíöèðóÿ, ïîëó÷èì

f 0 (x) =1 · a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 + . . . + nan xn−1 + . . . , f 00 (x) =1 · 2a2 + 2 · 3a3 x + 3 · 4a4 x2 + . . . + (n − 1)nan xn−2 + . . . , f 000 (x) =1 · 2 · 3a3 + 2 · 3 · 4a4 x + . . . + (n − 2)(n − 1)nan xn−2 + . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (n) (x) =1 · 2 . . . · nan + 2 · 3 . . . · n(n + 1)an+1 x + . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïîäñòàâëÿÿ â ýòèõ ðàâåíñòâà è ðàâåíñòâî (2.20) x = 0, íàõîäèì

f (0) = a0 , f 0 (0) = 1 · a1 , f 000 (0) = 3!a3 ,

f 00 (0) = 2!a2 , ... ,

f (n) (0) = n!an , . . . .

Îòñþäà âûâîäèì

a0 = f (0), a1 =

f 0 (0) , 1!

f 000 (0) , a3 = 3!

a2 = ... ,

f 00 (0) , 2! f (n) (0) an = , ... . n!

(2.21)

Èç ýòèõ ðàâåíñòâ ñëåäóåò, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû ðÿäà (2.20) îïðåäåëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì ôîðìóëàìè (2.21), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó. Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ â ðàâåíñòâî (2.20), ïîëó÷àåì

f (x) = f (0) +

f 00 (0) 2 f 000 (0) 3 f (n) (0) n f 0 (0) x+ x + x + ... + x + ... . 1! 2! 3! n!

52

Îãëàâëåíèå Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ôóíêöèÿ f èìååò íà èíòåðâàëå (−R, R)

íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà.

Îïðåäåëåíèå 2.4 Ñòåïåííîé ðÿä (2.3), êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (2.21), òî åñòü ðÿä

f (0) +

f 0 (0) f 00 (0) 2 f 000 (0) 3 f (n) (0) n x+ x + x + ... + x + ... , 1! 2! 3! n!

(2.22)

íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ôóíêöèè f . Èç òåîðåìû 2.10 âûòåêàåò

Ñëåäñòâèå 2.6 Åñëè ôóíêöèÿ f íà èíòåðâàëå (−R, R) ðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé ðÿä, òî ýòîò ðÿä ÿâëÿåòñÿ åå ðÿäîì Òåéëîðà. Î÷åâèäíî, ÷òî êàê âñÿêèé ñòåïåííîé ðÿä, ðÿä (2.22) èìååò èíòåðâàë ñõîäèìîñòè è ñóììó. Âîçíèêàåò âîïðîñ, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ñóììà ðÿäà (2.22) ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé f . Îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ ìîæåò áûòü ïîëó÷åí ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ìàêëîðåíà äëÿ ôóíêöèè f . Íàïîìíèì ýòó ôîðìóëó (íàïðèìåð, ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà). Òàê êàê ôóíêöèÿ f íà èíòåðâàëå (−R, R) íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà, òî äëÿ êàæäîãî n ∈ N è ëþáîãî x ∈ (−R, R) íàéäåòñÿ ÷èñëî 0 < θ < 1 òàêîå, ÷òî

f (x) = f (0) +

f 0 (0) f 00 (0) 2 f 000 (0) 3 f (n) (0) n x+ x + x + ... + x + Rn+1 (x), 1! 2! 3! n!

ãäå

Rn+1 (x) =

f (n+1) (ξ) n+1 x , (n + 1)!

Åñëè ïîëîæèòü

Sn (x) =

n X f (k) (0) k=1

k!

à

ξ = θx.

(2.23)

xk ,

òî ôîðìóëó Ìàêëîðåíà ïðèìåò âèä

f (x) = Sn (x) + Rn+1 (x).

(2.24)

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

53

Òåîðåìà 2.11 Äëÿ òîãî ÷òîáû ðÿä Òåéëîðà (2.22) ñõîäèëñÿ íà (−R, R) (íà ìíîæåñòâå X ) è èìåë ñâîåé ñóììîé ôóíêöèþ f , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Ìàêëîðåíà (2.23) ñòðåìèëñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞, òî åñòü

lim Rn+1 (x) = 0

n→∞

äëÿ ëþáîãî

x ∈ (−R, R)

(x ∈ X).

(2.25)

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ôóíêöèÿ f åñòü ñóììà ðÿäà Òåéëîðà (2.22) íà (−R, R), òî åñòü

lim Sn (x) = f (x) äëÿ ëþáîãî x ∈ (−R, R) .

n→∞

Òîãäà èç ðàâåíñòâà (2.24) ñëåäóåò (2.25).

Äîñòàòî÷íîñòü. Ââèäó (2.25), èç ðàâåíñòâà (2.24) ïîëó÷àåì lim (f (x) − Sn (x)) = 0,

n→∞

òî åñòü

lim Sn (x) = f (x).

n→∞

Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ðÿä Òåéëîðà (2.22) ñõîäèëñÿ íà (−R, R) è åãî ñóììà ðàâíà f (x) ïðè âñåõ x ∈ (−R, R). Èç ýòîé òåîðåìû âûòåêàåò, ÷òî âîïðîñ î ðàçëîæèìîñòè ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà ñâîäèòñÿ ê èññëåäîâàíèþ ïîâåäåíèÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà Rn+1 ïðè

n → ∞.

2.5 Ðàçëîæåíèå íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ðÿä Òåéëîðà Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) = ex . Ïîñêîëüêó ñàìà ôóíêöèÿ ex è âñå åå ïðîèçâîäíûå â òî÷êå x = 0 ðàâíû åäèíèöå, òî ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè ex èìååò âèä

∞ X x x2 xn xn 1+ + + ... + + ... = 1 + . 1! 2! n! n! n=1

Èçó÷àÿ ÷èñëîâûå ðÿäû, ìû ïîêàçàëè, ÷òî ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè è èìååò ñóììó, ðàâíóþ ex . Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå

54

Îãëàâëåíèå

2.11, ïðè ëþáîì x ∈ R èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå ∞ X x x2 xn xn e =1+ + + ... + + ... = 1 + . 1! 2! n! n! n=1 x

(2.26)

Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) = cos x. Ïðè âûâîäå ôîðìóëû Ìàêëîðåíà ³ π´ äëÿ ôóíêöèè cos x ìû ïîëó÷èëè f (n) (x) = cos x + n è 2  ³ π´  0 ïðè íå÷åòíîì n f (n) (0) = cos n = n  (−1) 2 2 ïðè ÷åòíîì n. Ïî ôîðìóëå (2.22) äëÿ ôóíêöèè cos x ñîñòàâèì ðÿä Òåéëîðà

1−

x2 x4 x6 x2n + − + . . . + (−1)n + ... . 2! 4! 6! (2n)!

(2.27)

Íàéäåì ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.27):

|an | (2n + 2)! = lim = +∞. n→∞ |an+1 | n→∞ (2n)!

R = lim

Ñëåäîâàòåëüíî ðÿä (2.27) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè. Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ñóììà ðÿäà (2.27) ðàâíà cos x. Èçâåñòíî, ÷òî ôîðìóëà Ìàêëîðåíà äëÿ ôóíêöèè cos x èìååò âèä

cos x = 1 −

n n x x2 x4 x6 + − + . . . + (−1) 2 + Rn+2 (x) , 2! 4! 6! (n)!

ãäå n-÷åòíîå ÷èñëî, à îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Ëàãðàíæà ðàâåí

Rn+2 (x) =

³ ´ xn+2 π cos θx + n + π . (n + 2)! 2

Èññëåäóåì ïîâåäåíèå îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà Rn+2 . Òàê êàê

¯ ³ ´¯ π ¯ ¯ ¯cos θx + n + π ¯ ≤ 1, 2 Íî

òî

|x|n+2 |Rn+2 (x)| ≤ . (n + 2)!

|x|n+2 =0 lim n→∞ (n + 2)!

ïðè ëþáîì x ∈ R. Ïîýòîìó

lim Rn+2 (x) = 0

n→∞

(2.28)

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

55

ïðè êàæäîì x ∈ R. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóììà ðÿäà (2.27) ðàâíà cos x. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè êàæäîì x ∈ R ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå

cos x = 1−

∞ X x2n x2 x4 x6 x2n + − +. . .+(−1)n +. . . = 1+ (−1)n . (2.29) 2! 4! 6! (2n)! (2n)! n=1

Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) = sin x. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ìîæíî ïîëó÷èòü ðàçëîæåíèå ôóíêöèè sin x â ðÿä Òåéëîðà, ñïðàâåäëèâîå ïðè ëþáîì x ∈ R. Íî ðàçëîæåíèå ôóíêöèè sin x ïîëó÷àåòñÿ è ïóòåì ïî÷ëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ðÿäà (2.29): µ ¶0 µ 2 ¶0 µ 4 ¶0 µ 6 ¶0 2n x x x 0 0 n x (cos x) = (1) − + − + . . . + (−1) + ... , 2! 4! 6! (2n)! îòêóäà ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèå

sin x = x −

x3 x5 x7 x2n−1 + − + . . . +(−1)n−1 + ... = 3! 5! 7! (2n − 1)! ∞ X x2n−1 , = (−1)n−1 (2n − 1)! n=1

(2.30)

ñïðàâåäëèâîå ïðè ëþáîì x ∈ R.

Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) = ln (1 + x). Ïîñêîëüêó

f (n) (x) = (−1)n−1

(n − 1)! , (1 + x)n

f (0) = 0,

f (n) (0) = (−1)n−1 (n − 1)!,

ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè ln (1 + x) èìååò âèä

x−

x2 x3 x4 xn + − + . . . + (−1)n−1 + . . . . 2 3 4 n

(2.31)

Îïðåäåëèì åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè:

n+1 |an | = lim = 1. n→∞ n→∞ |an+1 | n

R = lim

Ñëåäîâàòåëüíî ðÿä (2.27) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ íà èíòåðâàëå (−1, 1) è ðàñõîäèòñÿ ïðè |x| > 1. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè x = −1 ðÿä (2.31) ðàñõîäèòñÿ, à ïðè x = 1 - ñõîäèòñÿ óñëîâíî. Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî íà ïîëóñåãìåíòå (−1, 1] ðÿä (2.31) ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè ln (1 + x). Äëÿ ýòîãî ïðèìåíèì òåîðåìó 2.11.

56

Îãëàâëåíèå Ôîðìóëà Ìàêëîðåíà ôóíêöèè f (x) = ln (1 + x) èìååò âèä

ln (1 + x) = x −

x2 x3 x4 xn + − + . . . + (−1)n−1 + Rn+1 (x). 2 3 4 n

Äëÿ îöåíêè îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà Rn+1 äëÿ x ∈ [0, 1], óäîáíî èñïîëüçîâàòü åãî ïðåäñòàâëåíèå â ôîðìå Ëàãðàíæà:

Rn+1 (x) = (−1)n

xn+1 , (n + 1)(1 + θx)n+1

0 < θ < 1,

(2.32)

à äëÿ x ∈ (−1, 0)  â ôîðìå Êîøè: n n+1

Rn+1 (x) = (−1) x

(1 − θ)n , (1 + θx)n+1

0 < θ < 1.

(2.33)

Èñõîäÿ èç (2.32) âèäèì, ÷òî ïðè x ∈ [0, 1] ñïðàâåäëèâà îöåíêà

|Rn+1 (x)| ≤

1 . n+1

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Rn+1 (x) → 0 ïðè n → ∞ äëÿ âñåõ x èç ñåãìåíòà

[0, 1]. Ïðè îöåíêå îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà Rn+1 äëÿ îòðèöàòåëüíûõ x, ïåðåïèøåì ïðåäñòàâëåíèå îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà (2.33) â òàêîì âèäå:

µ n

Rn+1 (x) = (−1)

1−θ 1 + θx

¶n

xn+1 . 1 + θx

(2.34)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ çíà÷åíèé x

1−θ < 1, 1 + θx èç (2.34) ïîëó÷àåì

|Rn+1 (x)| <

|x|n+1 . 1 − |x|

(2.35)

Òàê êàê |x| < 1, òî îöåíêà (2.35) ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî è â ýòîì ñëó÷àå

lim Rn+1 (x) = 0.

n→∞

Ïî òåîðåìå 2.11 ñóììà ðÿäà (2.31) ðàâíà ln (1 + x).

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

57

Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) = (1 + x)α , ãäå α ∈ R \ N. Îñòàíîâèìñÿ òåïåðü íà ðàçëîæåíèè â ñòåïåííîé ðÿä ôóíêöèè (1 + x)α èëè íà òàê íàçûâàåìîì áèíîìèàëüíîì ðÿäå. Ïîñêîëüêó

f (n) (x) = α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n + 1)(1 + x)α−n , f (0) = 1,

f (n) (0) = α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n + 1),

n ∈ N,

ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè (1 + x)α èìååò âèä:

1+

α α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n + 1) n x+ x +. . .+ x +. . . ; (2.36) 1! 2! n!

åãî íàçûâàþò áèíîìèàëüíûì ðÿäîì , à åãî êîýôôèöèåíòû  áèíîìèàëü-

íûìè êîýôôèöèåíòàìè . Íàéäåì ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.36):

|an | |α||α − 1||α − 2| . . . |α − n + 1|(n + 1)! = lim = n→∞ |an+1 | n→∞ |α||α − 1||α − 2| . . . |α − n|n! n+1 = lim =1. n→∞ n − α

R = lim

Ñëåäîâàòåëüíî, áèíîìèàëüíûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî ïðè |x| < 1, à ïðè |x| > 1 ðàñõîäèòñÿ. Ìû íå ðàññìàòðèâàåì âîïðîñ î ñõîäèìîñòè áèíîìèàëüíîãî ðÿäà íà êîíöàõ èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè, à ëèøü ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùóþ òàáëèöó:

x=1

α ≤ −1

ðàñõîäèòñÿ

−1 < α < 0

ñõîäèòñÿ óñëîâíî

α>0

ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî

α<0

ðàñõîäèòñÿ

α>0

ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî

x = −1

Òåïåðü, ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 2.11, íàéäåì ñóììà ðÿäà (2.36), íî ëèøü â èíòåðâàëå (−1, 1). Ôîðìóëà Ìàêëîðåíà ôóíêöèè (1 + x)α èìååò âèä

α α(α − 1) 2 x+ x + ...+ 1! 2! α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n + 1) n + x + Rn+1 (x). n!

(1 + x)α =1 +

58

Îãëàâëåíèå

Äëÿ èññëåäîâàíèÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà Rn+1 ïðåäñòàâèì åãî â ôîðìå Êîøè

xn+1 (1 − θ)n n+1 Rn+1 (x) = f (θx) = n! xn+1 (1 − θ)n = α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n)(1 + θx)α−n−1 = n! µ ¶n (α − 1)(α − 2) . . . (α − n) n 1−θ α−1 = x αx(1 + θx) = n! 1 + θx ¶n µ 1−θ (α − 1)(α − 2) . . . (α − 1 − n + 1) n α−1 x αx(1 + θx) = n! 1 + θx Âûðàæåíèå

(2.37)

(α − 1)(α − 2) . . . (α − 1 − n + 1) n x n!

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáùèé ÷ëåí áèíîìèàëüíîãî ðÿäà, íî îòâå÷àþùåãî ïîêàçàòåëþ α − 1, à òàê êàê ïðè |x| < 1 áèíîìèàëüíûé ðÿä ñõîäèòñÿ, êàêîâ áû íè áûë ïîêàçàòåëü, òî ýòî âûðàæåíèå ïðè n → ∞ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. È ïîñêîëüêó

µ ¶ ¯ ¯ α−1 α−1 α−1 ¯αx(1 + θx) ¯ ≤ |α| |x| (1 + |x|) + (1 − |x|) ,

0<

1−θ < 1, 1 + θx

òî

lim Rn+1 (x) = 0 ïðè êàæäîì x ∈ (−1, 1).

n→∞

Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.11, â èíòåðâàëå (−1, 1) ñóììîé ðÿäà (2.36) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ (1 + x)α . Âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ ðàçëîæåíèÿõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ðÿä Òåéëîðà âûõîäèëà òàê, ÷òî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé x, ïðè êîòîðûõ ðÿä ñõîäèëñÿ, åãî ñóììà ðàâíÿëàñü òîé ôóíêöèè, äëÿ êîòîðîé ðÿä áûë ïîñòðîåí. ×òîáû íå âîçíèêëî âïå÷àòëåíèÿ, ÷òî òàê áóäåò âñåãäà, òî åñòü, ÷òî äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè ðàçëîæåíèÿ äîñòàòî÷íî ëèøü óñòàíîâèòü ñõîäèìîñòü ðÿäà Òåéëîðà, áåç ïðîâåðêè óñëîâèÿ (2.25), ïðèâåäåì ïðèìåð ôóíêöèè íåðàçëîæèìîé â ñòåïåííîé ðÿä.

Ïðèìåð 2.7 Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ   e− x12 f (x) =  0

ïðè

x 6= 0,

ïðè

x = 0,

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

59

èìååò íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà, íî íè â îäíîì èíòåðâàëå (−R, R) íå ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â ñòåïåííîé ðÿä.

Ðåøåíèå. Ïðè x 6= 0 èìååì: 1 2 f (x) = 3 e− x2 , x

0

µ 00

f (x) =

6 4 − 4+ 6 x x

¶ 1

e− x2 .

Ïðèìåíÿÿ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî

f

(n)

µ ¶ 1 − 12 e x , (x) = P3n x

n ∈ N,

ãäå P3n (x)  ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè 3n. Ñëåäîâàòåëüíî, â ëþáîé òî÷êå x 6= 0 ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè f ñóùåñòâóþò è íåïðåðûâíû. Ïîêàæåì, ïðèìåíÿÿ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, ÷òî â òî÷êå x =

0 ôóíêöèÿ f èìååò ïðîèçâîäíûå âñåõ ïîðÿäêîâ, ïðè÷åì f (n) (0) = 0 ïðè êàæäîì n ∈ N. Òàê êàê f (0) = 0, ïðèìåíÿÿ âòîðîå ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ, íàõîäèì

1 f (x) − f (0) f (x) x f 0 (0) = lim = lim = lim −x 1 = lim − 1 = 0. x→0 x→0 x x→0 x→0 x e x2 2e x2 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî n ∈ N ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî f (n) (0) =

0. Äîêàæåì, ÷òî f (n+1) (0) = 0. Ïî îïðåäåëåíèþ

f

(n+1)

f (n) (x) − f (n) (0) f (n) (x) (0) = lim = lim = lim x→0 x→0 x→0 x x

1 P3n x

µ ¶ 1 x 1

e− x2

. (2.38)

Ïðèìåíÿÿ òåïåðü íåîáõîäèìîå êîëè÷åñòâî ðàç âòîðîå ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ, ïîëó÷èì

lim

x→0

1 P3n x

µ ¶ 1 x 1

e− x2

= 0.

Ïîýòîìó èç (2.38) ñëåäóåò, ÷òî f (n+1) (0) = 0. Òàêèì îáðàçîì äîêàçàíî, ÷òî f (n) (0) = 0 ïðè ëþáîì n ∈ N.

60

Îãëàâëåíèå Ïîñêîëüêó

lim f (x) = 0 è

x→0

lim f (n) (x) = 0,

x→0

òî êàê ñàìà ôóíêöèÿ f , òàê è åå ïðîèçâîäíàÿ ëþáîãî ïîðÿäêà íåïðåðûâíà â òî÷êå x = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â ëþáîì èíòåðâàëå (−R, R) ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè f èìååò âèä

f (x) = 0 + 0 · x + 0 · x2 + . . . + 0 · xn + . . . . Êîíå÷íî, ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ âñþäó íà R, íî íè ïðè îäíîì, îòëè÷íîì îò íóëÿ çíà÷åíèè x, åãî ñóììà íå ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé f .

2.6 Ýëåìåíòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ î ôóíêöèÿõ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé Ïîêàçàòåëüíàÿ, òðèãîíîìåòðè÷åñêèå è ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè Íàïîìíèì, ÷òî ðàçëîæåíèå ôóíêöèè ex â ñòåïåííîé ðÿä, ñõîäÿùèéñÿ ïðè ëþáîì x ∈ R, èìååò âèä ∞ X x x2 xn xn e =1+ + + ... + + ... = 1 + . 1! 2! n! n! n=1 x

Åñëè â íåì âåùåñòâåííóþ ïåðåìåííóþ x çàìåíèòü êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z , òî ïîëó÷èì ðÿä ïî ñòåïåíÿì z :

1+

∞ X z z2 zn zn + + ... + + ... = 1 + , 1! 2! n! n! n=1

(2.39)

ñõîäÿùèéñÿ ïðè âñåõ z ∈ C. Îáîçíà÷èì åãî ñóììó ez . Òàêèì îáðàçîì, ïî îïðåäåëåíèþ äëÿ ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z

ez = 1 +

z2 zn z + + ... + + ... . 1! 2! n!

(2.40)

Åñòåñòâåííî ñóììó ez ðÿäà (2.39) íàçâàòü ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèåé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z , òàê êàê ïðè âåùåñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ z (z = x) ñóììà ðÿäà ðàâíà ex .

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

61

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè cos z è sin z êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z :

z 2n z2 z4 z6 + − + . . . + (−1)n + ... , 2! 4! 6! (2n)! z3 z5 z7 z 2n−1 sin z = z − + − + . . . + (−1)n−1 + ... . 3! 5! 7! (2n − 1)! cos z = 1 −

(2.41) (2.42)

Ìåæäó ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèåé ez è òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè

cos z è sin z ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ ñâÿçü. Ïîäñòàâèì â (2.40) iz âìåñòî z è ñãðóïïèðóåì îòäåëüíî â ïîëó÷åííîì ðÿäå âñå ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå ìíîæèòåëü i, è îòäåëüíî  íå ñîäåðæàùèå ìíîæèòåëÿ i:

i2 z 2 i3 z 3 i4 z 4 i5 z 5 in z n + + + + ... + + ... = 2! 3! 4! 5! n! z2 z3 z4 z5 =1 + iz − −i + + i + ...+ 2! 3! 4! 5! 2n−1 z z 2n +(−1)n−1 + (−1)n + ... = (2n − 1)! (2n)! ¶ µ 2n z2 z4 n z + − . . . + (−1) + ... + = 1− 2! 4! (2n)! µ ¶ 2n−1 z3 z5 n−1 z +i z − + − . . . + (−1) + ... . 3! 5! (2n − 1)!

eiz =1 + iz +

Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñ ôîðìóëàìè (2.41) è (2.42), ïîëó÷àåì

eiz = cos z + i sin z.

(2.43)

Äàëåå, ïîäñòàâëÿÿ â (2.43) −iz âìåñòî z , ïîëó÷àåì

e−iz = cos z − i sin z.

(2.44)

Ôîðìóëû (2.43) è (2.44) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè Ýéëåðà . Îíè óñòàíàâëèâàþò ñâÿçü ìåæäó ïîêàçàòåëüíîé è òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z . Åñëè ïî÷ëåííî ñëîæèì è âû÷òåì ðàâåíñòâà (2.43) è (2.44), òî ïîëó÷èì äðóãóþ çàïèñü òåõ æå ôîðìóë Ýéëåðà:

cos z =

eiz + e−iz , 2

sin z =

eiz − e−iz . 2i

(2.45)

Èç ôîðìóë (2.45) âûòåêàåò, ÷òî cos z è sin z â ïðîñòðàíñòâå C ìîãóò ïðèíèìàòü ñêîëü óãîäíî áîëüøèå çíà÷åíèÿ. Íàïðèìåð,

cos (ix) =

ex + e−x → +∞ ïðè x → +∞. 2

62

Îãëàâëåíèå

Ïðè ýòîì îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì. Îïðåäåëèì òåïåðü ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî:

z2 z4 z6 z 2n + + + ... + + ... , 2! 4! 6! (2n)! z3 z5 z7 z 2n−1 shz = z + + + + ... + + ... . 3! 5! 7! (2n − 1)!

(2.46)

chz = 1 +

(2.47)

Î÷åâèäíî, ÷òî ðÿäû, ñòîÿùèå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ (2.46) è (2.47), àáñîëþòíî ñõîäÿòñÿ íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ïîëàãàÿ â (2.46) è (2.47) iz âìåñòî z , ìû ïîëó÷èì ch(iz) = 1 − è

z2 z4 z6 z 2n + − + . . . + (−1)n + . . . = cos z , 2! 4! 6! (2n)!

µ

z3 z5 z7 z 2n−1 sh(iz) = i z − + − + . . . + (−1)n−1 + ... 3! 5! 7! (2n − 1)!

¶ = i sin z .

Èç ýòèõ ðàâåíñòâ âûâîäèì

cos z = ch(iz),

ch(z) = cos(iz),

sin z = −ish(iz),

shz = −i sin(iz).

Ýòèì óñòàíîâëåíà íåïîñðåäñòâåííà ñâÿçü ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè è ãèïåðáîëè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî chz + shz = ez ,

à

e−z = chz − shz.

Îòñþäà âûâîäèì chz =

ez + e−z , 2

shz =

ez − e−z . 2

Çàìåòèì, ÷òî ïðè z = x (x  âåùåñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ) ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ez , cos z, sin z, chz è shz ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ôóíêöèÿìè âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé ex , cos x, sin x, chx è shx.

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

63

Ïîêàæåì, ÷òî îñíîâíîå ñâîéñòâî ýêñïîíåíòû, âûðàæàåìîå ôîðìóëîé 0

0

ex+x = ex ex

x, x0 ∈ R,

äëÿ âñåõ

ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà ïîêàçàòåëüíóþ ôóíêöèþ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé.

Òåîðåìà 2.12 Äëÿ âñåõ z, z 0 ∈ C ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî ez+z = ez ez . 0

0

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðÿä (2.39) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ ïðè âñåõ z ∈ C ê ñóììå ez . Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Êîøè î ïðîèçâåäåíèè àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ, 0

ez ez =

∞ ∞ X zk X z0l k=0

k!

l=0

l!

=

∞ X n ∞ n X X 1 X k k 0 n−k z k z 0 n−k = Cn z z . k! (n − k)! n! n=0 k=0 n=0 k=0

Íî ñîãëàñíî ôîðìóëå Íüþòîíà, n X

Cnk z k z 0

n−k

n

= (z + z 0 ) ,

k=0

ñëåäîâàòåëüíî, z z0

ee =

∞ X (z + z 0 )n n=0

n!

0

= ez+z .

Ñëåäñòâèå 2.7 Åñëè z = x + iy , ãäå x è y ∈ R, òî ez = ex (cos y + i sin y) .

(2.48)

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (2.43), âûâîäèì ez = ex+iy = ex · eiy = ex (cos y + i sin y) .

Ïîñêîëüêó ex > 0 ïðè ëþáîì x ∈ R, òî èç (2.48) ñëåäóåò, ÷òî ez îòëè÷íî îò íóëÿ ïðè ëþáîì êîìïëåêñíîì z .

Ñëåäñòâèå 2.8 Ôóíêöèÿ ez ÿâëÿåòñÿ 2πi-ïåðèîäè÷åñêîé.

64

Îãëàâëåíèå

Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñàìîì äåëå, ez+2πi = ez · e2πi = ez (cos (2π) + i sin (2π)) = ez .

Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâà (2.45) è òåîðåìó (2.12), ëåãêî ïîëó÷èòü îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî:

µ iz ¶2 µ iz ¶2 e + e−iz e − e−iz cos z + sin z = + = 2 2i ¢ ¡ ¢¢ 1 ¡¡ −2z = e + 2 + e2z − e−2z − 2 + e2z = 1. 4 2

2

Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àþòñÿ è äðóãèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôîðìóëû â ïðîñòðàíñòâå C. Íàïðèìåð, ïðàâèëî äëÿ êîñèíóñà ñóììû ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà

eiz1 + e−iz1 eiz2 + e−iz2 eiz1 − e−iz1 eiz2 − e−iz2 ei(z1 +z2 ) + e−i(z1 +z2 ) · − · = . 2 2 2i 2i 2 Îòñþäà

cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 = cos(z1 + z2 ),

z1 , z2 ∈ C.

Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Âîçüìåì ëþáîå, îòëè÷íîå îò íóëÿ, êîìïëåêñíîå ÷èñëî w è íàéäåì ÷èñëî z , óäîâëåòâîðÿþùåå óðàâíåíèþ:

ez = w

(2.49)

(êàê îòìå÷åíî ðàíüøå, ïðè w = 0 ýòî óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò). Òàêîå ÷èñëî z íàçûâàåòñÿ íàòóðàëüíûì ëîãàðèôìîì è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì

z = Ln w.

(2.50)

Ïðåäñòàâèì w â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé, à z  â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå, òî åñòü â âèäå

w = r (cos ϕ + i sin ϕ)

è

z = x + iy.

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

65

Òîãäà, ââèäó (2.48), óðàâíåíèå (2.49) ðàñïàäàåòñÿ íà òàêèå:

ex = r,

cos y = cos ϕ,

sin y = sin ϕ,

îòêóäà íàõîäèì

x = ln r,

y = ϕ + 2πk,

ãäå

k ∈ Z.

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî ëîãàðèôì ÷èñëà w (ïðè

w 6= 0) ñóùåñòâóåò è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Ln w = ln |w| + i · arg w + 2πki = ln |w| + i · Argw.

(2.51)

Î÷åâèäíî, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ìíîãîçíà÷íîé . Ïðè

k = 0 ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìîå ãëàâíîå çíà÷åíèå ëîãàðèôìà : (2.52)

ln w = ln |w| + i · arg w,

ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî åãî ìíèìàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ arg w ñîäåðæèòñÿ â ïîëóèíòåðâàëå (−π, π], òî åñòü

−π < arg w ≤ π.

Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ Ïóñòü z è b  äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà, ïðè÷åì z 6= 0. Îïðåäåëèì z b ïîëàãàÿ

z b = ebLn z = eb(ln z+2πki) = eb ln z · e2bπki ,

k ∈ Z.

Î÷åâèäíî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ñòåïåíü z b îêàçûâàåòñÿ ìíîãîçíà÷íîé. Ïðè

k = 0 ïîëó÷àåòñÿ òàê íàçûâàåìîå ãëàâíîå çíà÷åíèå ñòåïåíè eb ln z . Èç îïðåäåëåíèÿ ñòåïåíè z b ñëåäóåò, ÷òî åñëè b ∈ Z, òî ìíîæèòåëü

e2bπki ðàâåí åäèíèöå.  ýòîì ñëó÷àå ñòåïåíü z b áóäåò èìåòü ëèøü îäíî çíà÷åíèå: eb ln z . Êîãäà b åñòü íåñîêðàòèìàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü áóäóò èìåòü ðîâíî q ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé: p

e q ln z+

2kπi q

,

k = 0, 1, . . . , q − 1.

p (q > 1), òî ñòåïåíü q

66

Îãëàâëåíèå 1

 ÷àñòíîñòè, z 2 =

√

z èìååò äâà ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ

äðóã îò äðóãà íà ìíîæèòåëü eπi = −1, òî åñòü îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî çíàêîì. Ïîýòîìó ïðè èçâëå÷åíèè êâàäðàòíîãî êîðíÿ èç √ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íåò íåîáõîäèìîñòè ïèñàòü: ± ïåðåä z (ïîäðîáíåå ýòî áóäåò èçëîæåíî â ðàçäåëå ¾Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî¿. Ïðè âñåõ îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ b ñòåïåíü z b áóäåò èìåòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé.

Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ðåøåíèþ, îòíîñèòåëüíî z , óðàâíåíèÿ sin z = w, êîòîðîå, ââèäó ôîðìóëû Ýéëåðà(2.45), ïðèíèìàåò âèä

eiz − e−iz =w 2i

èëè

e2iz − 2wieiz − 1 = 0.

Îòñþäà íàõîäèì, ñíà÷àëà ðåøàÿ êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî eiz

eiz = wi +

√

1 − w2 ,

à çàòåì ëîãàðèôìèðóÿ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà

³ ´ √ z = Arcsinw = −iLn wi + 1 − w2 . Ïîñêîëüêó ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìíîãîçíà÷íà, òî è ôóíêöèÿ Arcsinw òàê æå ìíîãîçíà÷íà. Àíàëîãè÷íî, ðåøàÿ óðàâíåíèå cos z = w îòíîñèòåëüíî z , íàõîäèì

³

z = Arccosw = −iLn w +

√

w2

´ −1 .

Ôóíêöèÿ Arccosw òàê æå ÿâëÿåòñÿ ìíîãîçíà÷íîé.

2.7 Àïïðîêñèìàöèÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé Àïïðîêñèìàöèÿ (ëàòèíñêîå approximare - ïðèáëèæàòüñÿ)  çàìåíà îäíèõ (ìàòåìàòè÷åñêèõ) îáúåêòîâ äðóãèìè, â òîì èëè èíîì ñìûñëå áëèç-

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

67

êèìè ê èñõîäíûì. Àïïðîêñèìàöèÿ ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè è êà÷åñòâåííûå ñâîéñòâà îáúåêòà, ñâîäÿ çàäà÷ó ê èçó÷åíèþ áîëåå ïðîñòûõ èëè áîëåå èçâåñòíûõ îáúåêòîâ. Íåêîòîðûå ðàçäåëû ìàòåìàòèêè â ñóùíîñòè öåëèêîì ïîñâÿùåíû àïïðîêñèìàöèè, íàïðèìåð, òåîðèÿ ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé.

Ðàâíîìåðíîå ïðèáëèæåíèå íåïðåðûâíîé ôóíêöèé àëãåáðàè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè Êëàññè÷åñêèì ðåçóëüòàòîì ýòîé òåîðèè ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàò Âåéåðøòðàññà, óñòàíîâëåííûé èì â 1885 ãîäó.

Òåîðåìà 2.13 (Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà). Åñëè f ∈ C[a, b], òî ñóùåñòâó[a,b]

åò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîãî÷ëåíîâ (Pn ) òàêàÿ, ÷òî Pn ⇒ f . [a,b]

Èç óòâåðæäåíèÿ Pn ⇒ f ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ ìíîãî÷ëåí Pn ñ êîòîðûì îöåíêà

|Pn (x) − f (x)| < ε âûïîëíÿåòñÿ ñðàçó äëÿ âñåõ x ∈ [a, b]. Ïîýòîìó òåîðåìó Âåéåðøòðàññà ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:

íåïðåðûâíóþ íà ñåãìåíòå ôóíêöèþ f ìîæíî ðàâíîìåðíî íà ýòîì ñåãìåíòå ïðèáëèçèòü ìíîãî÷ëåíîì ñ íàïåðåä çàäàííîé òî÷íîñòüþ ε.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ñåãìåíò [a, b] ëèíåéíîé çàìåíû t =

x−a b−a

ïðå-

îáðàçóåòñÿ â ñåãìåíò [0, 1], òî íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, âìåñòî ñåãìåíòà

[a, b] ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñåãìåíò [0, 1]. Êðîìå ýòîãî, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü òåîðåìó äëÿ ôóíêöèè f íåïðåðûâíîé íà [0, 1] è îáðàùàþùåéñÿ â íóëü íà êîíöàõ ýòîãî ñåãìåíòà, òî åñòü óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì

f (0) = 0,

f (1) = 0.

(2.53)

Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ôóíêöèè f íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (2.53), ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ g : [0, 1] −→ R, ïîëàãàÿ

g(x) = f (x) − f (0) − x (f (1) − f (0)) .

68

Îãëàâëåíèå

Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ g íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [0, 1] è îáðàùàåòñÿ â íóëü íà åãî êîíöàõ. À òàê êàê ôóíêöèè f è g îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íà ìíîãî÷ëåí ïåðâîé ñòåïåíè f (0) + x (f (1) − f (0)), òî èç ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû äëÿ ôóíêöèè g âûòåêàåò åå ñïðàâåäëèâîñòü è äëÿ ôóíêöèè f . Èòàê, ïóñòü ôóíêöèÿ f ∈ C[0, 1] è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (2.53). Ñîãëàñíî òåîðåìå Êàíòîðà î ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [0, 1]. Ïðîäîëæèì ôóíêöèþ f íà âñþ ÷èñëîâóþ îñü R, ïîëàãàÿ åå ðàâíîé íóëþ âíå ñåãìåíòà [0, 1]. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî òàê ïðîäîëæåííàÿ ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà

R. Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîãî÷ëåíîâ (Qn ), ïîëàãàÿ

¡ ¢n Qn (x) = cn 1 − x2 ,

n ∈ N,

(2.54)

ó êàæäîãî èç ìíîãî÷ëåíîâ Qn êîýôôèöèåíò cn âûáðàí òàê, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

Z1 Qn (x) dx = 1,

(2.55)

n ∈ N.

−1

Çàôèêñèðóåì ëþáîé íîìåð n ∈ N è îöåíèì ñâåðõó êîíñòàíòó cn . Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ïðè ëþáîì x ∈ [0, 1] ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

¡

1 − x2

¢n

≥ 1 − nx2 .

(2.56)

Ýòî ñëåäóåò, íàïðèìåð, èç òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ

¡ ¢n ϕ(x) = 1 − x2 − 1 − nx2 ,

x ∈ [0, 1],

íå óáûâàåò íà ñåãìåíòå [0, 1] è ϕ(0) = 0. Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî (2.56) è √ ó÷èòûâàÿ, ÷òî n ≥ 1, âûâîäèì îöåíêó

Z1

¡

1 − x2

¢n

Z1 dx = 2

−1

√1

¡ ¢n 1 − x2 dx ≥ 2

0 √1 n

Z ≥2 0

¡

1 − nx

2

¢

Zn

¡ ¢n 1 − x2 dx ≥

0

µ

x3 dx = 2 x − n 3

¶ ¯ √1 ¯ n ¯ = 4 √1 > √1 . ¯ 3 n n 0

(2.57)

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

69

Èç (2.54), (2.55) è (2.57) çàêëþ÷àåì, ÷òî

√

cn <

(2.58)

n.

Èç ýòîé îöåíêè ñëåäóåò, ÷òî ïðè ëþáîì δ ∈ (0, 1) äëÿ âñåõ x ∈ [δ, 1] ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

0 ≤ Qn (x) ≤ Òàê êàê

¢n √ ¡ n 1 − δ2 .

(2.59)

¢n √ ¡ n 1 − δ 2 = 0,

lim

n→∞

(2.60)

[δ,1]

òî îöåíêà (2.59) îçíà÷àåò, ÷òî Qn ⇒ 0. Òåïåðü íà ñåãìåíòå [0, 1] îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé (Pn ), ïî ïðàâèëó

Z1 Pn (x) =

(2.61)

f (x + t)Qn (t)dt. −1

Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N ôóíêöèÿ Pn åñòü ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè 2n.  ðåçóëüòàòå çàìåíû τ = x + t â èíòåãðàëå (2.61), èìååì

Zx+1 Pn (x) = f (τ )Qn (τ − x)dτ.

(2.62)

x−1

Ïðåäñòàâèì èíòåãðàë (2.62) â ñëåäóþùåì âèäå

Z0 Pn (x) =

Z1

Zx+1 f (τ )Qn (τ − x)dτ + f (τ )Qn (τ − x)dτ.

0

1

f (τ )Qn (τ − x)dτ + x−1

Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî x − 1 ≤ 0, x + 1 ≥ 1 è ôóíêöèÿ f çà ïðåäåëàìè ñåãìåíòà [0, 1] ðàâíà íóëþ, ïîëó÷àåì

Z1 Pn (x) =

f (τ )Qn (τ − x)dτ.

(2.63)

0

Èç îïðåäåëåíèÿ (2.54) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîãî÷ëåíîâ (Qn ) âèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N ôóíêöèÿ Qn åñòü ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè 2n. Ïîýòîìó, ââèäó ïðåäñòàâëåíèÿ (2.63), äëÿ êàæäîãî n ∈ N ôóíêöèÿ Pn (x) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè 2n îòíîñèòåëüíî x.

70

Îãëàâëåíèå Äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Pn ) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ñåã-

ìåíòå [0, 1] ê ôóíêöèè f , òî åñòü ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ïîëèíîìîâ. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òàê êàê ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà R, íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî

ε ∀x0 , x00 ∈ R : |x0 − x00 | < δ =⇒ |f (x0 ) − f (x00 )| < . 2

(2.64)

Êðîìå ýòîãî, íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f íà ñåãìåíòå [0, 1] âëå÷åò åå îãðàíè÷åííîñòü íà ýòîì ñåãìåíòå, à ñëåäîâàòåëüíî, è íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ M òàêàÿ, ÷òî

|f (x)| ≤ M

äëÿ âñåõ

x ∈ R.

(2.65)

Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà, èç (2.60) ñëåäóåò

∃m : ∀n ≥ m =⇒

¢n √ ¡ ε . n 1 − δ2 < 8M

(2.66)

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

71

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé íîìåð n ≥ m è ëþáîé x ∈ [0, 1]. Èñïîëüçóÿ (2.55), (2.59), (2.64), (2.65) è (2.66), âûâîäèì îöåíêó ¯ 1 ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ |Pn (x) − f (x)| = ¯¯ f (x + t)Qn (t) dt − f (x)¯¯ = ¯ ¯ −1 ¯ 1 ¯ ¯ 1 ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ Z1 ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯¯ f (x + t)Qn (t) dt − f (x) Qn (t) dt¯¯ = ¯¯ (f (x + t) − f (x)) Qn (t) dt¯¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ −1

−1

−1

Z−δ

Z1 |f (x + t) − f (x)| Qn (t) dt =

≤

|f (x + t) − f (x)| Qn (t) dt+

−1

−1

Zδ

Z1

+

|f (x + t) − f (x)| Qn (t) dt +

−δ

Z−δ ≤

|f (x + t) − f (x)| Qn (t) dt ≤ δ

ε (|f (x + t)| + |f (x)|) Qn (t) dt + 2

−1

Zδ Qn (t) dt+ −δ

Z1 (|f (x + t)| + |f (x)|) Qn (t) dt ≤

+ δ

Z−δ ≤2M

ε Qn (t) dt + 2

−1

ε = + 4M 2

Z1

Z1 Qn (t) dt =

Qn (t) dt + 2M −1

Z1 Qn (t) dt <

δ

ε ε + 4M = ε. 2 8M

δ [0,1]

Ýòî êàê ðàç è îçíà÷àåò, ÷òî Pn ⇒ f . Òåîðåìà äîêàçàíà.

Îïðåäåëåíèå 2.5 Ïóñòü A è B  äâà ìíîæåñòâà â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X . Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ïëîòíûì â ìíîæåñòâå B , åñëè åãî çàìûêàíèå A ñîäåðæèò ìíîæåñòâî B , òî åñòü A ⊃ B .  ÷àñòíîñòè, ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ âñþäó ïëîòíûì (â ïðîñòðàíñòâå X ), åñëè åãî çàìûêàíèå A ñîâïàäàåò ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì X . Ïóñòü P [a, b] îáîçíà÷àåò ñîâîêóïíîñòü âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ îïðåäåëåííûõ íà ñåãìåíòå [a, b]. Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà 2.13 óòâåðæäàåò, ÷òî

ìíîæåñòâî P [a, b] âñþäó ïëîòíî â ïðîñòðàíñòâå C[a, b].

72

Îãëàâëåíèå

Îïðåäåëåíèå 2.6 Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ïîëíûì â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X , åñëè ñîâîêóïíîñòü âñåõ êîíå÷íûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ýëåìåíòîâ èç A âñþäó ïëîòíà â X . Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà Âåéåðøòðàññà 2.13 ãëàñèò:

ñèñòåìà {1, x, x2 , . . . xn , . . .} ïîëíà â ïðîñòðàíñòâå C[a, b].

Ðàâíîìåðíîå ïðèáëèæåíèå íåïðåðûâíîé ôóíêöèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè Çäåñü ìû óñòàíîâèì âàæíóþ òåîðåìó î ðàâíîìåðíîì ïðèáëèæåíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè òàê íàçûâàåìûìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè.

Îïðåäåëåíèå 2.7 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . cos nx, sin nx, . . .

(2.67)

íàçûâàþò òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìîé.

Îïðåäåëåíèå 2.8 Òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì íàçûâàþò êàæäóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû (2.67), òî åñòü âûðàæåíèå âèäà

T (x) = C 0 +

n ³ X

´ C k cos kx + C k sin kx ,

k=1

ãäå n ∈ N, à C k è C k ∈ R. Îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó âñå ýëåìåíòû òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìîé ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ñ ïåðèîäîì 2π , êàæäûé òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ ïåðèîäîì 2π .  äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáÿòñÿ ñëåäóþùèå äâà ýëåìåíòàðíûõ óòâåðæäåíèÿ.

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

73

Ïðåäëîæåíèå 2.2 Åñëè P (x)  êàêîé-ëèáî àëãåáðàè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, òî ôóíêöèè P (cos x) è P (sin x) ÿâëÿþòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè.

Ïðåäëîæåíèå 2.3 Åñëè T (x)  êàêîé-ëèáî òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, òî ôóíêöèè T (x) sin x è T (x) sin2 x òàêæå ÿâëÿþòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè. Îáà óòâåðæäåíèÿ âûòåêàþò èç òîãî, ÷òî ïðè ëþáûõ r è s ∈ Z+ ïðîèçâåäåíèå cosr x sins x ïðèâîäèòñÿ ê ëèíåéíîé êîìáèíàöèè êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû (2.67).

Òåîðåìà 2.14 (Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà) Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [−π, π] è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ f (−π) = f (π), òî ýòó ôóíêöèþ ìîæíî ðàâíîìåðíî íà óêàçàííîì ñåãìåíòå ïðèáëèçèòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè, òî åñòü äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìîæíî íàéòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí T òàêîé, ÷òî

|f (x) − T (x)| < ε

ïðè âñåõ

x ∈ [−π, π].

(2.68)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçîáüåì äîêàçàòåëüñòâî íà äâå ÷àñòè. Ñíà÷àëà äîêàæåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû äëÿ ÷åòíîé, à çàòåì äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè.

1◦ . Èòàê ïóñòü ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, òî åñòü f (−x) = f (x) äëÿ ëþáîãî x ∈ [−π, π]. Îïðåäåëèì íà ñåãìåíòå [−1, 1] âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ F ïî ïðàâèëó

F (t) = f (arccos t). Ñîãëàñíî òåîðåìå î íåïðåðûâíîñòè ñëîæíîé ôóíêöèè, ôóíêöèÿ F íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [−1, 1]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 2.13 äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí P òàêîé, ÷òî

|F (t) − P (t)| = |f (arccos t) − P (t)| < ε äëÿ âñåõ t ∈ [−1, 1].

(2.69)

74

Îãëàâëåíèå

Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ arccos t, ðàññìàòðèâàåìàÿ íà ñåãìåíòå [−1, 1], ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îáðàòíîé ôóíêöèè cos x, ðàññìàòðèâàåìàÿ íà ñåãìåíòå

[0, π], òî ïîëîæèâ â (2.69) t = cos x, ïîëó÷èì (2.70)

|f (x) − P (cos x)| < ε äëÿ âñåõ x ∈ [0, π].

Òàê êàê îáå ôóíêöèè f (x) è P (cos x) ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè, òî íåðàâåíñòâî (2.70) ñïðàâåäëèâî è äëÿ âñåõ x ∈ [−π, 0]. Ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâåíñòâî (2.70) âåðíî äëÿ âñåõ x ∈ [−π, π]. Íî ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.2, ôóíêöèÿ P (cos x) ÿâëÿåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ÷åòíîé ôóíêöèè f òåîðåìà äîêàçàíà. Ïðîäîëæèì òåïåðü ôóíêöèþ f ïåðèîäè÷åñêè ñ ïåðèîäîì 2π íà âñþ âåùåñòâåííóþ îñü R òàê ÷òîáû ïðîäîëæåííàÿ ôóíêöèÿ f áûëà íåïðåðûâíîé íà R (ýòî âîçìîæíî ñäåëàòü ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ òåîðåìû ôóíêöèÿ

f íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [−π, π] è ïðèíèìàåò íà åãî êîíöàõ ðàâíûå çíà÷åíèÿ). Ó÷èòûâàÿ 2π -ïåðèîäè÷íîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ, çàêëþ÷àåì, ÷òî íåðàâåíñòâî (2.70) ñïðàâåäëèâî íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè

R. 2◦ . Ïóñòü òåïåðü f  ëþáàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì äîêàçûâàåìîé òåîðåìû. Ýòó ôóíêöèþ ïåðèîäè÷åñêè ñ ïåðèîäîì 2π ïðîäîëæèì íà âñþ âåùåñòâåííóþ îñü è îïðåäåëèì íà R äâå ÷åòíûå ôóíêöèè:

f1 (x) =

f (x) + f (−x) , 2

f2 (x) =

f (x) − f (−x) sin x. 2

(2.71)

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Êàê äîêàçàíî â ïóíêòå 1◦ , íàéäóòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû T1 è T2 òàêèå, ÷òî

ε |f1 (x) − T1 (x)| < , 4

|f2 (x) − T2 (x)| <

ε 4

ïðè âñåõ

x ∈ R.

(2.72)

Ïóñòü T3  òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, çàäàííûé ðàâåíñòâîì T3 (x) =

T1 (x) sin2 x + T2 (x) sin x. Èñïîëüçóÿ îöåíêè (2.72), ôîðìóëû (2.71) è ó÷è-

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

75

òûâàÿ, ÷òî |sin x| ≤ 1, âûâîäèì îöåíêó

¯ ¯ ¯f (x) sin2 x − T3 (x)¯ = ¯¡ ¯ ¢ = ¯ f1 (x) sin2 x − T1 (x) sin2 x + (f2 (x) sin x − T2 (x) sin x)¯ ≤ ¯ ¯ ≤ ¯f1 (x) sin2 x − T1 (x) sin2 x¯ + |f2 (x) sin x − T2 (x) sin x| = ¯ ¯ = |f1 (x) − T1 (x)| ¯sin2 x¯ + |f2 (x) − T2 (x)| |sin x| ≤ ε ≤ |f1 (x) − T1 (x)| + |f2 (x) − T2 (x)| < , x ∈ R. 2

(2.73)

Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ g : R −→ R, çàäàííàÿ ðàâåíñòâîì

³ π´ g(x) = f x + , 2

x ∈ R,

(2.74)

íà ñåãìåíòå [−π, π] óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì äîêàçûâàåìîé òåîðåìû. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî äîêàçàííîìó, íàéäåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí T4 òàêîé, ÷òî

¯ ¯ ¯g(x) sin2 x − T4 (x)¯ < ε , 2

x ∈ R.

π 2

è îáîçíà÷àÿ çà T5 òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãîπ ÷ëåí, çàäàííûé ðàâåíñòâîì T5 (x) = T4 (x − ), ïîëó÷àåì 2 ¯ ³ ¯ ε ´ ³ ´ π π ¯ ¯ 2 sin x − − T5 (x)¯ < , x ∈ R. ¯g x − 2 2 2 ´ ³ π = − cos x, âûâîäèì Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ (2.74) è ðàâåíñòâî sin x − 2 ¯ ¯ ¯f (x) cos2 x − T5 (x)¯ < ε , x ∈ R. (2.75) 2 Çàìåíÿÿ çäåñü x íà x −

Èñïîëüçóÿ îöåíêè (2.73), (2.75) è ïîëàãàÿ T (x) = T3 (x) + T5 (x), ïîëó÷àåì

¯ ¯ ¯ ¯ |f (x) − T (x)| ≤ ¯f (x) sin2 x − T3 (x)¯ + ¯f (x) cos2 x − T5 (x)¯ < ε,

x ∈ R,

÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f íà ñåãìåíòå [−π, π] è ðàâåíñòâî åå çíà÷åíèé íà êîíöàõ ýòîãî ñåãìåíòà, ÿâëÿþòñÿ íå òîëüêî äîñòàòî÷íûìè, íî è íåîáõîäèìûìè óñëîâèÿìè äëÿ ðàâíîìåðíîãî íà ñåãìåíòå

[−π, π] ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè.

76

Îãëàâëåíèå

Òåîðåìà 2.15 Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèþ f : [−π, π] −→ R ìîæíî áûëî ðàâíîìåðíî íà ñåãìåíòå [−π, π] ïðèáëèçèòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ôóíêöèÿ f áûëà íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå [−π, π] è óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèþ f (−π) = f (π).

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü ñîñòàâëÿåò òåîðåìà 2.14. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ (Tn ) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [−π, π] ê ôóíêöèè f . Òàê êàê âñå ÷ëåíû ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíû íà ñåãìåíòå [−π, π], ïî ñëåäñòâèþ 1.5 èç òåîðåìû 1.8 î ïî÷ëåííîì ïåðåõîäå ê ïðåäåëó ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [−π, π].

[−π,π]

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïîñêîëüêó Tn ⇒ f , íàéäåòñÿ ìíîãî÷ëåí Tn òàêîé, ÷òî

ε |f (x) − Tn (x)| < , 2

x ∈ [−π, π].

Ïîýòîìó

ε |f (−π) − Tn (−π)| < , 2

ε |f (π) − Tn (π)| < . 2

Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ, ÷òî Tn (−π) = Tn (π), âûâîäèì

|f (−π) − f (π)| ≤ |f (−π) − Tn (−π)| + |f (π) − Tn (π)| < ε. Îòñþäà, ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà ÷èñëà ε, ñëåäóåò ðàâåíñòâî f (−π) =

f (π). Êðèòåðèé äîêàçàí.

2.8 Êîíòðîëüíûå âîïðîñû, çàäà÷è, óïðàæíåíèÿ 1. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ðÿä ðÿä

∞ X

∞ X

|fn (x)| ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [a; b], òî

n=1

fn (x) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [a; b].

n=1

2. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ íóþ ïðîèçâîäíóþ â R.

∞ X sin(nx) n=1

n3

íåïðåðûâíà è èìååò íåïðåðûâ-

2. Ñòåïåííûå ðÿäû 3. Ìîæíî ëè ðÿä

77 ∞ X sin(2n πx) n=1

4. Äîêàçàòü, ÷òî ðÿä

äèôôåðåíöèðîâàòü â èíòåðâàëå (−1; 1)?

2n

∞ X sin(n2 x)

ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà R, íî ÷òî n2 åãî íåëüçÿ äèôôåðåíöèðîâàòü íè â êàêîì èíòåðâàëå. n=1

5. Ïóñòü ôóíêöèÿ f èìååò íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ â (a; b) è µ µ ¶ ¶ 1 fn (x) = n f x + − f (x) . n 0

Äîêàçàòü, ÷òî fn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê f (x) íà ëþáîì ñåãìåíòå

[α; β] ⊂ [a; b]. 0

Óêàçàíèå. Íóæíî ïîìíèòü î ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè f íà [α; β] è ïðèìåíèòü òåîðåìó Ëàãðàíæà ê ôóíêöèè f .

Zx 6. Ðàçëîæèòü ïî ñòåïåíÿì x ôóíêöèþ f (x) =

√ 0

ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ïîëó÷åííîãî ðÿäà.

dt è îïðåäåëèòü 1 − t4

1

Z2 7. Ïðåäñòàâèòü èíòåãðàë

ln(1 + x) dx â âèäå ðÿäà. x

1 4

8. Ñëåäóþùèå ôóíêöèè ðàçëîæèòü ïî ñòåïåíÿì óêàçàííûõ âûðàæåíèé:

a)

1 arctg , x

1 ; x

b)

ln x,

1−x ; 1+x

c) f (x) = x, sin x;

d)

ln | sin x|,

9. Íå ïðîèçâîäÿ ðàçëîæåíèÿ ñëåäóþùèõ ôóíêöèé â ðÿä Òåéëîðà ïî ñòåïåíÿì x−a , óêàçàòü èíòåðâàëû ñõîäèìîñòè ýòèõ ðÿäîâ ê äàííûì ôóíêöèÿì:

a)

ln(1 + 8x3 ),

a = 0;

b)

x2

1 , +9

a = 4.

10. Íàéòè çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ñåìüäåñÿò øåñòîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè

f (x) = ln(x2 + 2x + 2) â òî÷êå x = −1.

cos(2x).

78

Îãëàâëåíèå

Ëèòåðàòóðà [1] Í.Í. Âîðîáüåâ, Òåîðèÿ ðÿäîâ, Ì.: Íàóêà, 1979. [2] Â.À. Çîðè÷, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòü I, Ì.: Íàóêà, 1981. [3] Â.À. Çîðè÷, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòü II, Ì.: Íàóêà, 1984. [4] Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòü

I, Ì.: Íàóêà, 1971. [5] Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòü

II, Ì.: Íàóêà, 1973. [6] Â.À. Èëüèí, Â.À. Ñàäîâíè÷èé, Áë.Õ. Ñåíäîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíà-

ëèç, Ì.: Íàóêà, 1979. [7] È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, À.Ô. Êàëàéäà, Ìàòåìàòè÷å-

ñêèé àíàëèç. ×àñòü I, Êèåâ: Âèùà øêîëà, 1983. [8] È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, À.Ô. Êàëàéäà, Ìàòåìàòè÷å-

ñêèé àíàëèç. ×àñòü II, Êèåâ: Âèùà øêîëà, 1985. [9] Ä.À. Ðàéêîâ, Îäíîìåðíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ì.:Âûñøàÿ øêîëà, 1982. [10] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñ-

ëåíèÿ. Òîì II, Ì.: Íàóêà, 1962. [11] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òîì I, Ì.: Íàóêà, 1957. 79

80

Ëèòåðàòóðà

[12] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òîì II, Ì.: Íàóêà, 1968. [13] Â.Ñ. Øèïà÷åâ, Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè, Ì.: Ïðîñïåêò, 2005. [14] Ï.À.Øìåëåâ, Òåîðèÿ ðÿäîâ â çàäà÷àõ è óïðàæíåíèÿõ, Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1983.

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ôóíêöèîíàëüíî-

îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé

ãî ðÿäà, 3

ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, 2 ñõîäèìîñòè, 3

÷ëåí ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà, 3

îãðàíè÷åííîñòü ðàâíîìåðíàÿ, 17

ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëü-

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ, 2

íîñòè, 2

ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ôóíêöèîíàëü-

ôîðìóëû Ýéëåðà, 61

íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, 4

ôóíêöèÿ

ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, 36

ìíîãîçíà÷íàÿ, 65

ðÿä

ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé

áèíîìèàëüíûé, 57

ïîêàçàòåëüíàÿ, 60

ôóíêöèîíàëüíûé, 2

ãëàâíîå çíà÷åíèå ñòåïåíè, 65

ñòåïåííîé, 35

êîýôôèöèåíòû

ñõîäèìîñòü

áèíîìèàëüíûå, 57

ïîòî÷å÷íàÿ, 4

ñòåïåííîãî ðÿäà, 35

ðàâíîìåðíàÿ

êðóã ñõîäèìîñòè, 36

ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà, 9

ëîãàðèôì íàòóðàëüíûé, 64

ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâà-

ìíîãî÷ëåí òðèãîíîìåòðè÷åñêèé, 72

òåëüíîñòè, 9

ìíîæåñòâî

ñèñòåìà òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ, 72

ïëîòíîå, 71

ñóììà ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà, 4

ïîëíîå, 72

çíà÷åíèå ëîãàðèôìà ãëàâíîå, 65

âñþäó ïëîòíîå, 71 îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà, 3 81