Осцилятор Дуффинга: Учебное пособие для студентов вузов

Â.Â. Àñòàõîâ, Ñ.À. Êîáëÿíñêèé, À.Â. Øàáóíèí

Îñöèëëÿòîð Äóèíãà

2007

ÓÄÊ 53.182(076.5)

Àñòàõîâ Â.Â.,Êîáëÿíñêèé Ñ.À., Øàáóíèí À.Â. Îñöèëëÿòîð Äóèíãà: Ó÷åá-

íîå ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ âóçîâ. 2007.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðîãðàììîé ïî êóðñó îñíîâû òåîðèè êîëåáàíèé äëÿ èçè÷åñêîãî àêóëüòåòà óíèâåðñèòåòà. Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ òåîðåòè÷åñêîãî è ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îçíàêîìëåíèÿ ñ ïðîñòåéøèìè íåëèíåéíûìè ÿâëåíèÿìè - àíãàðìîíè÷íîñòüþ, íåèçîõðîííîñòüþ, ìóëüòèñòàáèëüíîñòüþ, íåëèíåéíûì ðåçîíàíñîì, à òàêæå äëÿ îáó÷åíèÿ ñòóäåíòîâ ìåòîäàì àíàëèçà íåëèíåéíûõ ñèñòåì. Îñíîâíûå ýåêòû èçó÷àþòñÿ íà îäíîé èç áàçîâûõ ìîäåëåé íåëèíåéíîé äèíàìèêè - îñöèëëÿòîðå Äóèíãà. Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîäåðæèò êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ, êîíòðîëüíûå âîïðîñû è ëàáîðàòîðíûå çàäàíèÿ, âûïîëíÿåìûå íà ñïåöèàëüíî ðàçðàáîòàííîì êîìïëåêñå ïðîãðàìì, èñïîëüçóþùèõ ñðåäó Labview. Ïðèâåäåí ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû. Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ âóçîâ. åêîìåíäîâàíî ê èçäàíèþ êàåäðîé ðàäèîèçèêè è íåëèíåéíîé äèíàìèêè Ñ Ó.

Îãëàâëåíèå 1. Ââåäåíèå 2. Ïðèìåðû êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé îñöèëëÿòîð Äóèíãà 3. Ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ èõ óñòîé÷èâîñòü 4. Èññëåäîâàíèå êîíñåðâàòèâíîãî àâòîíîìíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà 5. ßâëåíèÿ íåèçîõðîííîñòè è àíãàðìîíè÷íîñòè â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà 6. ßâëåíèå íåëèíåéíîãî ðåçîíàíñà â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà 7. Ëèòåðàòóðà

3

1 Ââåäåíèå Òåîðèþ êîëåáàíèé íà÷èíàþò èçó÷àòü, êàê ïðàâèëî, ñ èçó÷åíèÿ ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà, óðàâíåíèå êîòîðîãî:

x′′ + 2αx′ + ω02 x = F (t)

(1.1)

- ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà. Çäåñü ïåðåìåííàÿ

x

õàðàêòåðèçóåò ñîñòîÿíèå îñöèëëÿòîðà â êàæ-

äûé ìîìåíò âðåìåíè (îáû÷íî ýòî - òîê, íàïðÿæåíèå, çàðÿä è ò.ï.), ýèöèåíò äèññèïàöèè,

ω0

- ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà,

F (t)

α - êî-

- âíåøíåå âîçäåé-

ñòâèå. Ëèíåéíûé îñöèëëÿòîð - ïðîñòåéøàÿ êîëåáàòåëüíàÿ ñèñòåìà (áàçîâàÿ ìîäåëü), ïîçâîëÿþùàÿ èññëåäîâàòü òàêîå óíäàìåíòàëüíîå ÿâëåíèå, êàê ðåçîíàíñ, òî åñòü ýåêò ðåçêîãî óâåëè÷åíèÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé ïðè ñîâïàäåíèè ÷àñòîòû âîçäåéñòâèÿ ñ ñîáîñòâåííîé ÷àñòîòîé ñèñòåìû. Îäíàêî, ëèíåéíûé õàðàêòåð ýòîé ìîäåëè â ðÿäå ñëó÷àåâ îêàçûâàåòñÿ ñäåðæèâàþùèì àêòîðîì: îí íå ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü òàêèå íàáëþäàþùèåñÿ â ïðèðîäå è òåõíèêå ÿâëåíèÿ, êàê íåèçîõðîííîñòü è àíãàðìîíè÷íîñòü êîëåáàíèé. Äëÿ èõ àíàëèçà òðåáóåòñÿ óñëîæíåíèå óðàâíåíèÿ îñöèëëÿòîðà (1.1) çà ñ÷åò ó÷åòà íåëèíåéíûõ ñâîéñòâ ðåàëüíûõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì. Ñäåëàòü ýòî ìîæíî, íàïðèìåð, ó÷òÿ çàâèñèìîñòü êîýèöèåíòà äèññèïàöèè

α

èëè ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû

ω0

îò èíòåíñèâíîñòè (àìïëèòó-

äû) êîëåáàíèé â îñöèëëÿòîðå.  ïåðâîì ñëó÷àå íåëèíåéíîñòü íîñèò äèññèïàòèâíûé, à âî âòîðîì - ðåàêòèâíûé õàðàêòåð. Îáû÷íî â ðåàëüíûõ ñèñòåìàõ ïðèñóòñòâóþò îáå íåëèíåéíîñòè, îäíàêî, äëÿ ïðîâåäåíèÿ àíàëèçà áûâàåò óäîáíî ðàññìàòðèâàòü âëèÿíèå ýòèõ àêòîðîâ ïî îòäåëüíîñòè. Íàïðèìåð, åñëè ìû ó÷òåì çàâèñèìîñòü äèññèïàöèè îò ìîùíîñòè êîëåáàíèé (òî åñòü îò êâàäðàòà äèíàìè÷åñêîé ïåðåìåííîé):

α(x) = −(ε − x2),

òî ïîëó÷èì õîðîøî èçâåñòíîå â ðàäèîèçèêå óðàâíåíèå ãåíåðàòîðà Âàíäåð-Ïîëÿ:

x′′ − (2ε − x2 )x′ + ω02 x = F (t) 4

(1.2)

. Åñëè ó÷åñòü çàâèñèìîñòü ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû îò ìîùíîñòè:

ω02(x) =

ω02 (1 + ξx2) òî ïîëó÷èì äðóãóþ áàçîâóþ ìîäåëü íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà - îñöèëëÿòîð Äóèíãà:

x′′ + αx′ + ω02 (1 + x2)x = F (t)

(1.3)

Íà ïðèìåðå ýòîé ìîäåëè óäîáíî èçó÷àòü òàêèå ýåêòû íåëèíåéíûõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì, êàê íåèçîõðîííîñòü, àíãàðìîíè÷íîñòè è ìóëüòèñòàáèëüíîñòü. Òàêèì îáðàçîì, îñöèëëÿòîð Äóèíãà - ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü îñöèëëÿòîðà ñ ðåàêòèâíîé íåëèíåéíîñòüþ.

5

2 Ïðèìåðû êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé îñöèëëÿòîð Äóèíãà

Îñöèëëÿòîð Äóèíãà èëè îñöèëëÿòîð ñ êóáè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ìîäåëåé òåîðèè êîëåáàíèé. Óðàâíåíèå îñöèëëÿòîðà èìååò âèä:

x¨ + αx˙ + βx + γx3 = 0.

(2.1)

Åãî ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàññìàòðèâàÿ, ê ïðèìåðó, êîëåáàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ïðè íåáîëüøèõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ (ðèñ. 2.1a), êîëåáàíèÿ ãðóçèêà íà ïðóæèíå ñ íåëèíåéíîé âîçâðàùàþùåé ñèëîé, ðàñïîëîæåííîãî íà ïëîñêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 2.1b). Äàííîå óðàâíåíèå òàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü ïðè îïèñàíèè äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîòåíöèàëå èç äâóõ ÿì (ðèñ. 2.1 ). àññìîòðèì ïåðå÷èñëåííûå ïðèìåðû áîëåå ïîäðîáíî.

2.1 Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê ïðè íåáîëüøèõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðóçèê ìàëîãî ðàçìåðà ìàññîé m, ïîäâåøåííûé íà äëèííîé òîíêîé íèòè

l

(ðèñ. 2.1a). Ïðåäïî-

ëàãàåòñÿ, ÷òî ìàññà ìàÿòíèêà ñîñðåäîòî÷åíà â ãðóçèêå è íèòü ÿâëÿåòñÿ íåðàñòÿæèìîé. Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ áåç ó÷åòà òðåíèÿ

ma = −P1 , 6

11111111111111111111 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 0 1 00000000000000000000 11111111111111111111 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ϕ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 N 0 1 0 1 0 1 0 1

U(x)

F(x) 000 111 111 000 000 111 m 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111

P1

(a)

mg

(b)

x

( )

x

èñ. 2.1: Ïðèìåðû êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì, ïðèâîäÿùèõ ê óðàâíåíèþ Äóèíãà: (a) - ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê ïðè íåáîëüøèõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ, (b) - ãðóç íà ïðóæèíå ñ íåëèíåéíîé æåñòêîñòüþ, ( ) - äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîòåíöèàëå èç äâóõ ÿì.

ãäå

a

- óñêîðåíèå äâèæåíèÿ,

P1

- âîññòàíàâëèâàþùàÿ ñèëà. Êàê âèäíî èç

P1 = mgSin(ϕ). Ëèíåéíàÿ è óãëîâàÿ v = l dϕ dt .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì

ðèñóíêà, øåíèåì

ñêîðîñòè ñâÿçàíû ñîîòíî-

d2 ϕ g + sin ϕ = 0. dt2 l sin ϕ ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè ðàâϕ5 ϕ3 íîâåñèÿ ϕ = 0: sin ϕ = ϕ − + ∓ . . .. Ïðè ìàëûõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ îò 6 120 Ôóíêöèþ

ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ (ñëó÷àé ñëàáîé íåëèíåéíîñòè) â ðàçëîæåíèè ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ïåðâûìè äâóìÿ ñëàãàåìûìè.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä:

d2 ϕ g 1 3 + (ϕ − ϕ ) = 0. dt2 l 6 Ñ ó÷åòîì ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû, êîòîðóþ áóäåì ïîëàãàòü ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè

(Fd = δv),

ïîëó÷èì óðàâíåíèå

dϕ g g 3 d2 ϕ + δl + ϕ − ϕ dt2 dt l 6l Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ

ϕ = x, δl = α, (g/l) = β

óðàâíåíèþ (2.1).

7

è

(−g/6l) = γ ,

ïðèõîäèì ê

2.2 ðóç íà ïðóæèíå ñ íåëèíåéíîé æåñòêîñòüþ Â êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.2.1b, íà ãðóçèê ìàññîé

m

äåéñòâóåò âîçâðàùàþùàÿ ñèëà

æèíû

k

è ñìåùåíèÿ

x

F,

êîòîðàÿ çàâèñèò îò æåñòêîñòè ïðó-

îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, è ñèëà òðåíèÿ

Fd .

Áóäåì

ïîëàãàòü, ÷òî ñèëó óïðóãîñòè ïðóæèíû ìîæíî çàäàòü â âèäå

F = k0 x + k1 x 3 , à ñèëà òðåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè

Fd = δ

dx . dt

Òîãäà ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ

d2 x dx m 2 + δ + k0 x + k1 x 3 = 0 dt dt èëè

x¨ + αx˙ + βx + γx3 = 0, ãäå

α = (δ/m), β = (k0 /m)

è

γ = (k1/m).

2.3 ×àñòèöà â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå àññìîòðèì äâèæåíèå ÷àñòèöû ìàññîé

m

â ïîòåíöèàëå èç äâóõ ÿì (ñì.

ðèñ.2.1ñ), êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ óíêöèåé

1 2 1 4 ax + bx , 2 4

u(x) = ãäå

a<0

è

b > 0.

Ïðè îòêëîíåíèè ÷àñòèöû îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, íà

íåå äåéñòâóåò âîçâðàùàþùàÿ ñèëà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ èìååò âèä

m¨ x+

F = − ∂V∂x(x) .

∂V (x) = 0 ∂x 8

 îòñóòñòâèå äðóãèõ ñèë,

èëè

m¨ x + ax + bx3 = 0. Ñ ó÷åòîì ñèëû òðåíèÿ

Fd = δ x˙

ïîëó÷èì óðàâíåíèå (2.1)

x¨ + αx˙ + βx + γx3 = 0, ãäå

α = (δ/m), β = (a/m), γ = (b/m).

àññìîòðåííûå ïðèìåðû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðîñòåéøèå êîëåáàòåëüíûå ñèñòåìû. Îñöèëëÿòîð Äóèíãà ÿâëÿåòñÿ õîðîøåé ìîäåëüþ è äëÿ áîëåå ñëîæíûõ ñèñòåì. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå íåàâòîíîìíîãî îñöèëëÿòîðà îïèñûâàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ èçîãíóòîãî ñòåðæíÿ â îäíîìîäîâîì ïðèáëèæåíèè [(20)℄. Îñöèëëÿòîð Äóèíãà ïðè âíåøíåì ãàðìîíè÷åñêîì âîçäåéñòâèè øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ õàîòè÷åñêèõ êîëåáàíèé è ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç áàçîâûõ ìîäåëåé òåîðèè äåòåðìèíèðîâàííîãî õàîñà.

9

3 Ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ è èõ óñòîé÷èâîñòü

Íà÷íåì èññëåäîâàíèÿ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà ñ èçó÷åíèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ - èõ ïîèñêà è àíàëèçà íà óñòîé÷èâîñòü â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû. Ââåäåì çàìåíó ïåðåìåííûõ

x˙ = y

è ïåðåïèøåì óðàâíåíèÿ

îñöèëëÿòîðà (2.1) â âèäå:

x˙ = y, y˙ = −αy − βx − γx3.

(3.1)

Ýòà ñèñòåìà äâóõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ýêâèâàëåíòíà óðàâíåíèþ (2.1). Çäåñü

x(t)

è

y(t)

- äèíàìè÷åñêèå ïåðåìåííûå,

êîòîðûå îäíîçíà÷íî è ïîëíîñòüþ çàäàþò ñîñòîÿíèå îñöèëëÿòîðà â ìîìåíò âðåìåíè

t.

Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçìåðíîñòü àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà îñ-

öèëëÿòîðà Äóèíãà ñîñòàâëÿåò

N = 2,

à ñàìî àçîâîå ïðîñòðàíñòâî

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîñêîñòü. Íà àçîâîé ïëîñêîñòè

(x, y)

èìåþòñÿ òî÷êè ðàâíîâåñèÿ (íàçûâàåìûå

òàêæå îñîáûìè èëè íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè), êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèåì

x˙ = 0, y˙ = 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé

y = 0, αy + βx + γx3 = 0. Èç àíàëèçà (3.2) âèäíî, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ

10

(3.2)

α, β

è

γ

íà àçîâîé ïëîñêîñòè ñóùåñòâóåò ëèáî îäíà òî÷êà ðàâíîâåñèÿ

P0 : {x = 0, y = 0}, ëèáî òðè òî÷êè ðàâíîâåñèÿ

P0 : {x = 0, y = 0}, s β P1 : {x = − , y = 0}, γ s β P2 : {x = − − , y = 0}. γ Î÷åâèäíî, ÷òî îäíà îñîáàÿ òî÷êà è

γ

ñóùåñòâóåò, åñëè çíà÷åíèÿ ïàðàìåò-

γ ðàçíûõ çíàêîâ. Âñå òðè òî÷êè ëåæàò â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå íà îñè OX . Òî÷êè P1 è P2 ðàñïîëàãàþòñÿ ñèììåòðè÷íî äðóã äðóãó îòíîñèòåëüíî îñè OY . Ïðè êîíå÷íîì, èêñèðîâàííîì çíà÷åíèè β è ïðè ñòðåìëåíèè çíà÷åíèé ïàðàìåòðà γ ê íóëþ (ïðè ïåðåõîäå îò íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà ê ëèíåéíîìó), òî÷êè ðàâíîâåñèÿ P1 è P2 ðàçáåãàþòñÿ äðóã îò äðóãà ïî îñè OX ê +∞ è ê −∞. ðîâ

β

P0

(3.3)

îäíîãî çíàêà, à òðè - åñëè çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ

β

è

Èññëåäóåì óñòîé÷èâîñòü ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà. Õàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì èññëåäóåìîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, ëèíåàðèçîâàííîé â ìàëîé îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè. Âèä ðåøåíèé ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû îïðåäåëÿþò êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ:

det

"

∂f1 (¯ x,¯ y) − ∂x ∂f2 (¯ x,¯ y) ∂x

λ

∂f1 (¯ x,¯ y) ∂y ∂f2 (¯ x,¯ y) − ∂y

λ

#

= 0.

(3.4)

f1 (x, y) = y, f2 (x, y) = −αy − ∂f1,2 (¯ x,¯ y) ∂f (¯ x,¯ y) βx−γx , x¯, y¯ îáîçíà÷àþò êîîðäèíàòû íåïîäâèæíûõ òî÷åê, 1,2∂x , ∂y Çäåñü ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

3

îáîçíà÷àþò ñîîòâåòñòâóþùóþ ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ, âû÷èñëåííóþ â íåïîäâèæíîé òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè

x = x¯, y = y¯.

11

Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (3.4) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

λ2 − Sλ + J = 0,

(3.5)

ãäå

x, y¯) ∂f1(¯ x, y¯) ∂f2(¯ + , ∂x ∂y ∂f1(¯ x, y¯) ∂f2(¯ x, y¯) ∂f1(¯ x, y¯) x, y¯) ∂f2(¯ J = − . ∂x ∂y ∂y ∂x

S =

Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ èìåþò ñëåäóþùèé âèä:

λ1,2 Çàïèøåì

S

è

J

S = ± 2

r

S2 − J. 4

â áîëåå êîíêðåòíîé îðìå ÷åðåç ïàðàìåòðû îñöèëëÿòîðà

Äóèíãà

S = = = J = = =

x, y¯) ∂f1(¯ x, y¯) ∂f2(¯ + ∂x ∂y 0−α −α, ∂f1(¯ x, y¯) ∂f2(¯ x, y¯) ∂f1(¯ x, y¯) x, y¯) ∂f2(¯ − ∂x ∂y ∂y ∂x 2 0(−α) − 1(−β − 3γ x¯ ) β + 3γ x¯2.

Òîãäà

λ1,2

α =− ± 2

Çàïèøåì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

r

α2 − β − 3γ x¯2. 4

λ1,2

(3.6)

äëÿ êàæäîé èç òðåõ òî÷åê ðàâíîâå-

ñèÿ. Äëÿ òî÷êè

P0 (êîîðäèíàòà x = x¯ = 0) ïîëó÷àþòñÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ r α2 α − β. λ1,2 = − ± (3.7) 2 4 12

Äëÿ òî÷êè

P1

(êîîðäèíàòà

q x = x¯ = − βγ )

ïîëó÷àåòñÿ

r

α2 + 2β. λ1,2 4 q ¯ = − − βγ ) ïîëó÷àþòñÿ Äëÿ òî÷êè P2 (êîîðäèíàòà x = x æå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (3.8), êàê è äëÿ òî÷êè P1 . α =− ± 2

(3.8)

òî÷íî òàêèå

Ïðîàíàëèçèðóåì õàðàêòåð îñîáûõ òî÷åê â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòîðîâ

α, β, γ .

àññìîòðè äâà ñëó÷àÿ:

γ<0

è

γ > 0.

Ñëó÷àé 1: γ < 0. β < 0, òî â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò òîëüêî ¯ = 0 è y¯ = 0. Åå ñîáñòâåííûå ðàâíîâåñèÿ P0 ñ êîîðäèíàòàìè x

 ýòîì ñëó÷àå, åñëè îäíà òî÷êà çíà÷åíèÿ

λ1,2

îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèåì (3.7). Âèäíî, ÷òî âíå çàâèñèìî-

ñòè îò ïàðàìåòðà

α (è ïðè ïîëîæèòåëüíûõ, è ïðè îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíè-

ÿõ, è â ñëó÷àå êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà, êîãäà ïàðàìåòð äèññèïàöèè

α = 0)

ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

λ1,2

ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè è ðàçíûõ

çíàêîâ, òî åñòü íåïîäâèæíàÿ òî÷êà

P0

ÿâëÿåòñÿ ñåäëîì.

β > 0, òî â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò òðè òî÷êè ðàâíîâåñèÿ P0 , P1 , P2 , êîîðäèíàòû êîòîðûõ çàäàíû âûðàæåíèåì (3.4). Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà P0 â íà÷àëå êîîðäèíàò õàðàêòåðèçóåòñÿ ñîáñòâåí√ √ íûìè çíà÷åíèÿìè,çàäàííûìè âûðàæåíèåì (3.7). Åñëè −2 β < α < 2 β , òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ1,2 ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûìè. Îíè √ èìåþò ïîëîæèòåëüíóþ äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü ïðè −2 β < α < 0, è îòðè√ öàòåëüíóþ äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü ïðè 0 < α < 2 β . Òî åñòü íåïîäâèæíàÿ Åñëè æå

òî÷êà â íà÷àëå êîîðäèíàò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåóñòîé÷èâûé è óñòîé÷èâûé îêóñ, ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè

√ α>2 β

ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ÿâëÿþò-

ñÿ äåéñòâèòåëüíûìè è îòðèöàòåëüíûìè, òî åñòü íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ñòàíîâèòñÿ óñòîé÷èâûì óçëîì. Ïðè

√

α < −2 β

P0

ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ÿâ-

ëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè è ïîëîæèòåëüíûìè, òî åñòü íåïîäâèæíàÿ òî÷êà

P0

ïðåâðàùàåòñÿ â íåóñòîé÷èâûé óçåë.

Íåïîäâèæíûå òî÷êè

P1,2

ñèììåòðè÷íû äðóã äðóãó è âåäóò ñåáÿ îäèíà-

êîâûì îáðàçîì. Èõ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

çàäàíû âûðàæåíèåì (3.8),

α ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îñòàþòñÿ äåéÒàêèì îáðàçîì, íåïîäâèæíûå òî÷êè P1,2

èç êîòîðîãî âèäíî, ÷òî ïðè ëþáûõ ñòâèòåëüíûìè è ðàçíûõ çíàêîâ.

λ1,2

13

ÿâëÿþòñÿ ñåäëàìè.

Ñëó÷àé 2: γ > 0.

 ýòîì ñëó÷àå â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò îäíà òî÷êà ðàâíîâåñèÿ

β > 0. Îíà ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâûì óçëîì ïðè √ −2 β < α < 0, òî îñîáàÿ òî÷êà P0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé

â íà÷àëå êîîðäèíàò, åñëè

√ α < −2 β .

Åñëè

íåóñòîé÷èâûé îêóñ. Îíà ïðåâðàùàåòñÿ â óñòîé÷èâûé îêóñ ïðè ïîëîæè-

√ 0 < α < 2 β . Ïðè √ (α > 2 β ) îñîáàÿ òî÷êà P0

òåëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà äèññèïàöèè

áîëüøèõ

çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà äèññèïàöèè

ÿâëÿåòñÿ

óñòîé÷èâûì óçëîì.

β < 0, òî â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò òðè òî÷êè ðàâíîâåñèÿ P0 , P1 , P2 . Îñîáàÿ òî÷êà P0 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà äèññèïàöèè α îñòàåòñÿ ñåäëîì. Íåïîäâèæíûå òî÷êè P1 è P2 ÿâëÿþòñÿ íåóñòîé÷è√ √ âûìè óçëàìè ïðè α < −2 2β . Ïðè −2 2β < α < 0 îíè ïðåâðàùàþòñÿ Eñëè

â íåóñòîé÷èâûå îêóñû. Çàòåì ñòàíîâÿòñÿ óñòîé÷èâûìè îêóñàìè ïðè

√ 0 < α < 2 2β ,

è äàëåå - óñòîé÷èâûìè óçëàìè, êîãäà

√ α > 2 2β .

3.1 Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà N 1. Èññëåäîâàíèå ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà

Öåëü ðàáîòû:

íàéòè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà,

îïðåäåëèòü èõ òèï â çàâèñèìîñòè îò óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ, èññëåäîâàòü ñòðóêòóðó àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà â îêðåñòíîñòè ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ

Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ:

òåîðåòè÷åñêèé àíàëèç, ÷èñëåííûé ýêñïåðè-

ìåíò è ïîñòðîåíèå àçîâûõ ïîðòðåòîâ.

3.1.1 Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà Ëàáîðàòîðíàÿ óñòàíîâêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîãðàììó, ðàçðàáîòàííóþ â ñðåäå LabView. Ïðîãðàììà ïîçâîëÿåò ÷èñëåííî èíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèå îñöèëëÿòîðà Äóèíãà, èçìåíÿÿ ïàðàìåòðû è íàáëþäàÿ ðåçóëüòàò â âèäå àçîâîãî ïîðòðåòà è âðåìåííîé ðåàëèçàöèè. àáî÷åå îêíî ïðîãðàììû ïðåäñòàâëåíî íà èñ. 3.1. Êíîïêàìè "

"è "

"â âåðõíåé ÷àñòè ðàáî÷åãî îêíà ïðîèçâîäèòñÿ ñî-

14

èñ. 3.1: Ïðîãðàììà äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ àâòîíîìíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà.

15

îòâåòñòâåííî çàïóñê è îñòàíîâêà èíòåãðèðîâàíèÿ. Îñòàíîâèòü ïðîãðàììó ìîæíî òàêæå êíîïêîé Stop. Íà äâóõ ãðàèêàõ x-y îòîáðàæàåòñÿ àçîâûé ïîðòðåò îñöèëëÿòîðà, ñëåâà ãðàèê èìååò èêñèðîâàííûå ïðåäåëû è îáíîâëÿåòñÿ ïðè çàïóñêå ñ íîâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. ðàèê x-y ñïðàâà î÷èùàåòñÿ îò òðàåêòîðèé âðó÷íóþ ïðè ïîìîùè êíîïêè Reset. Åãî ìàñøòàá è ãðàíèöû ìîãóò ïîäáèðàòüñÿ àâòîìàòè÷åñêè, ÷òîáû âñå òî÷êè îòîáðàæàåìûõ òðàåêòîðèé ïîïàäàëè â âèäèìóþ îáëàñòü. Äëÿ ýòîãî êíîïêè

äîëæíû áûòü íàæàòû äëÿ îáåèõ îñåé (çíà÷îê çàêðûòîãî çàìêà).

Ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòîâ "

"

"è "

"ìîæíî âðó÷íóþ óñòàíîâèòü

ïðåäåëû ïîêàçàíèé. Íà íèæíåì ãðàèêå îòîáðàæàåòñÿ âðåìåííàÿ ðåàëèçàöèÿ êîëåáàíèé. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ âûáèðàþòñÿ ïóòåì ïåðåìåùåíèÿ êóðñîðîâ íà ãðàèêàõ x-y. Êîîðäèíàòû êóðñîðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì îñöèëëÿòîðà, îòîáðàæàþòñÿ â îêíàõ x è y ïîä ãðàèêàìè x-y. Ïàðàìåòðû îñöèëëÿòîðà çàäàþòñÿ ðåãóëÿòîðàìè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîäïèñÿìè. Âðåìÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ââîäèòñÿ â îêíå t. Êíîïêà Save traje tory ñëóæèò äëÿ ñîõðàíåíèÿ ïîñëåäíåé ðåàëèçàöèè â àéë. Êíîïêîé Save graphi s ìîæíî ñîõðàíÿòü èçîáðàæåíèÿ íà ïðàâîì ãðàèêå x-y â ãðàè÷åñêèå àéëû JPEG.

Çàäàíèÿ 1. Íàéòè àíàëèòè÷åñêè âñå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû (2.1), ïðîâåñòè èõ àíàëèç (òèï ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ è óñòîé÷èâîñòü â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ

β, µ).

Èñïîëüçîâàòü èêñèðîâàííîå

ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå êîýèöèåíòà äèññèïàöèè

α (çàäàåòñÿ ïðå-

ïîäàâàòåëåì). 2. Íà ïëîñêîñòü ïàðàìåòðîâ

β

-

µ

íàíåñòè ëèíèè, ðàçãðàíè÷èâàþùèå

îáëàñòè ñ ðàçíûì òèïîì ïîâåäåíèÿ, äëÿ êàæäîãî èç íàéäåííûõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ. 3. Èñïîëüçóÿ ïðîãðàììó ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïîñòðîèòü òèïè÷íûå êàðòèíû àçîâûõ òðàåêòîðèé â îêðåñòíîñòÿõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ. Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ

β

è

µ

äîëæíû áûòü âçÿòû èç ñîîòâåòñòâóþùèõ îáëàñòåé (ñì. ï. 2). Äëÿ

16

ýòîãî ïðîèíòåãðèðîâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé â ïðÿìîì âðåìåíè èç íåñêîëüêèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé â îêðåñòíîñòè êàæäîãî èç âûáðàííîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ïîñòðîèòü ÷èñëåííî ïðèòÿãèâàþùèå è îòòàëêèâàþùèå ìíîãîîáðàçèÿ ñåäëîâûõ òî÷åê. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îòòàëêèâàþùèõ ìíîãîîáðàçèé âûáðàòü íåñêîëüêî íà÷àëüíûõ óñëîâèé â îêðåñòíîñòè ñåäëîâîé òî÷êè è ïðîèíòåãðèðîâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé â ïðÿìîì âðåìåíè. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèòÿãèâàþùèõ ìíîãîîáðàçèé âûáðàòü íåñêîëüêî íà÷àëüíûõ óñëîâèé â îêðåñòíîñòè ñåäëîâîé òî÷êè è ïðîèíòåãðèðîâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé â îáðàòíîì âðåìåíè. 4. Äëÿ óêàçàííûõ ïðåïîäàâàòåëåì çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ïîñòðîèòü îáùóþ êàðòèíó ðàñïîëîæåíèÿ àçîâûõ òðàåêòîðèé, çàäàâàÿ íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ â ðàçíûõ îáëàñòÿõ àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. 5. Âûïîëíèòü ïóíêòû 2 è 4 äëÿ êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà (ïðè

α = 0).

Ïðîèçâåñòè ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ïîâåäåíèÿ

êîíñåðâàòèâíîãî è äèññèïàòèâíîãî îñöèëëÿòîðîâ.

17

4 Èññëåäîâàíèå êîíñåðâàòèâíîãî àâòîíîìíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà

 îáîáùåííîì âèäå óðàâíåíèå íåëèíåéíîãî, êîíñåðâàòèâíîãî, àâòîíîìíîãî îñöèëëÿòîðà ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì

x¨ + f (x) = 0, ãäå

f (x) -

(4.1)

âîçâðàùàþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ñèñòåìó ïðè îòêëîíåíèè

îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ýòî æå óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:

x¨ + çäåñü

U (x)

dU (x) =0 dx

(4.2)

- ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ è

âîçâðàùàþùàÿ ñèëà ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

U (x) =

Z

f (x)dx.

Óðàâíåíèå íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü. Ââåäåì ïåðåìåííóþ

x˙ = v ,

è ïåðåïèøåì óðàâíåíèå îñöèëëÿòîðà

dv dx dU (x) + = 0, dx dt dx dv dU (x) v + = 0. dx dx  ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷àåì

v2 + U (x) = E. 2 18

Ýòî ñîîòíîøåíèå îòðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â êîíñåðâàòèâíîì íåëèíåéíîì îñöèëëÿòîðå. Çäåñü

E - ïîëíàÿ ýíåðãèÿ, U (x) - ïîòåíöèàëüíàÿ

ýíåðãèÿ íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà. Âûðàæàÿ

v

îò

x, çàïèøåì óðàâíåíèå òðàåêòîðèè p v = 2[E − U (x)].

íà àçîâîé ïëîñêîñòè (4.3)

Çíàÿ âèä ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè, ìîæíî ïîñòðîèòü àçîâûé ïîðòðåò íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà. Ïðîâåäåì ïîñòðîåíèå àçîâûõ ïîðòðåòîâ äëÿ êîíñåðâàòèâíîãî, àâòîíîìíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà

x¨ + βx + γx3 = 0

(4.4)

â ñëó÷àÿõ à) á) â)

β > 0, γ > 0, β < 0, γ > 0, β > 0, γ < 0.

Óðàâíåíèå îñöèëëÿòîðà ìîæíî çàïèñàòü êàê

x¨ + òîãäà

U (x) =

dU (x) = 0, dx

Z

(αx + βx3)dx,

Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì â ÿâíîì âèäå ïîòåíöèàëüíóþ óíêöèþ

1 1 U (x) = βx2 + γx4 + C. 2 4

(4.5)

Ïî âèäó ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè ìîæíî ëåãêî ïîñòðîèòü õàðàêòåðíûé âèä àçîâûõ ïîðòðåòîâ. Ìàêñèìóìû è ìèíèìóìû ãðàèêîâ ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè ñîîòâåòñòâóþò òî÷êàì ðàâíîâåñèÿ, ïðè÷åì ìèíèìóìû ñîîòâåòñòâóþò ñîñòîÿíèÿì ðàâíîâåñèÿ òèïà öåíòð, à ìàêñèìóìû - ñåäëîâûì ñîñòîÿíèÿì ðàâíîâåñèÿ. Ñåäëà è èõ ñåïàðàòðèñû ðàçäåëÿþò â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå îáëàñòè ñ ðàçëè÷íûì ïîâåäåíèåì. Óáåäèòüñÿ â ýòîì, à òàê æå ïðîäåëàòü ïîñòðîåíèå àçîâûõ ïîòðåòîâ ïî âèäó ïîòåíöèàëüíîé óíê-

19

öèè ìîæíî è áîëåå ñòðîãèì îáðàçîì. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (4.3), çàïèøåì óðàâíåíèå àçîâûõ òðàåêòîðèé äëÿ êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà

v=

r

1 2E − 2C − βx2 − γx4. 2

(4.6)

Çàäàâàÿ êîíêðåòíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû (β , è åå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ â âèäå ïîëíîé çàïàñåííîé ýíåðãèè (E è

γ)

C ), ìîæ-

íî íà àçîâîé ïëîñîêîñòè ñòðîèòü ñåìåéñòâà òðàåêòîðèé äëÿ âñåõ òðåõ ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ñëó÷àåâ - (à), (á) è (â).

4.1 Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà N 2. Èññëåäîâàíèå óñòðîéñòâà àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà

Öåëü ðàáîòû:

ïîñòðîèòü âèä ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè êîíñåðâàòèâ-

íîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà, îïðåäåëèòü êàê èçìåíåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè âëèÿþò íà ñòðóêòóðó àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà

Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ:

òåîðåòè÷åñêèé àíàëèç, ÷èñëåííûé ýêñïåðè-

ìåíò è ïîñòðîåíèå àçîâûõ ïîðòðåòîâ.

4.1.1 Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà Ëàáîðàòîðíàÿ óñòàíîâêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîãðàììó, ðàçðàáîòàííóþ â ñðåäå LabView. Ïðîãðàììà ïîçâîëÿåò íàáëþäàòü âèä ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè è àçîâûé ïîðòðåò îñöèëëÿòîðà Äóèíãà äëÿ çàäàâàåìûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû. àáî÷åå îêíî ïðîãðàììû ïðåäñòàâëåíî íà èñ. 4.1. Êíîïêàìè Êíîïêàìè "

"è "

"â âåðõíåé ÷àñòè ðàáî÷åãî îêíà ïðîèç-

âîäèòñÿ ñîîòâåòñòâåííî çàïóñê è îñòàíîâêà èíòåãðèðîâàíèÿ. Îñòàíîâèòü ïðîãðàììó ìîæíî òàêæå êíîïêîé Stop. Íà ãðàèêå x-U(x) èçîáðàæàåòñÿ ïîòåíöèàëüíàÿ óíêöèÿ ïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà, íà ãðàèêå x-y îòîáðàæàåòñÿ àçîâûé ïîðòðåò îñöèëëÿòîðà. ðàèê x-y àâòîìàòè÷åñêè î÷èùàåòñÿ îò òðàåêòîðèé êàæäûå 3000 øàãîâ èíòåãðèðîâàíèÿ. Òàêæå ýòî ìîæíî ñäåëàòü

20

èñ. 4.1: Ïðîãðàììà äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè è àçîâûõ ïîðòðåòîâ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà.

21

âðó÷íóþ ïðè ïîìîùè êíîïêè Reset. Ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòîâ " "

"

"è

"óñòàíàâëèâàþòñÿ ïðåäåëû ïîêàçàíèé ýòèõ ãðàèêîâ. Íà ãðàèêå t-

x(t) îòîáðàæàåòñÿ âðåìåííàÿ ðåàëèçàöèÿ êîëåáàíèé. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ âûáèðàþòñÿ ïóòåì ïåðåìåùåíèÿ êóðñîðà íà ãðàèêå xU(x). Êîîðäèíàòû êóðñîðà îòîáðàæàþòñÿ â îêíàõ x è y ïîä ýòèì ãðàèêîì. Ïàðàìåòðû îñöèëëÿòîðà çàäàþòñÿ ðåãóëÿòîðàìè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîäïèñÿìè. Âðåìÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ââîäèòñÿ â îêíå t. Êíîïêîé Save graphi s ìîæíî ñîõðàíÿòü èçîáðàæåíèÿ íà ïðàâîì ãðàèêå x-y â ãðàè÷åñêèå àéëû JPEG. Ïðè ñîõðàíåíèè èçîáðàæåíèé íåîáõîäèìî ïîñëåäîâàòåëüíî óêàçàòü ïóòü è íàçâàíèÿ àéëîâ ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ãðàèêà ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè è àçîâîãî ïîðòðåòà (ïî óìîë÷àíèþ pot.jpg è x-y.jpg).

Çàäàíèÿ è óïðàæíåíèÿ 1. Ìåòîäàìè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïîñòðîèòü àçîâûå ïîðòðåòû êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà (4.4) äëÿ òðåõ ñëó÷àåâ: (à) -

β > 0, γ > 0,

(á) -

β < 0, γ > 0,

(â) -

β > 0, γ < 0.

(Êîíêðåòíûå

÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñëåäóåò ïîëó÷èòü ó ïðåïîäàâàòåëÿ). 2. Ïîñòðîèòü äëÿ çàäàííûõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ (âñå òðè ñëó÷àÿ) ãðàèêè ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè

U (x).

3. Ïîñòðîèòü äëÿ òðåõ ñëó÷àåâ àçîâûå ïîðòðåòû êîíñåðâàòèâíîãî ñîöèëëÿòîðà Äóèíãà, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå àçîâûõ òðàåêòîðèé (4.6). 4. Ïðîàíàëèçèðîâàòü è ñîïîñòàâèòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû. (Ñîïîñòàâèòü àçîâûå ïîðòðåòû, ïîñòðîåííûå ðàçíûìè ìåòîäàìè äëÿ îäèíàêîâûõ çíà÷åíèé ïàðìåòðîâ. Ñîïîñòàâèòü òèïû àçîâûõ ïîðòðåòîâ ñ ãðàèêàìè ïîòåíöèàëüíîé óíêöèè.)

22

5 ßâëåíèÿ íåèçîõðîííîñòè è àíãàðìîíè÷íîñòè â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà Îäíèìè èç ïðîñòåéøèõ, òèïè÷íûõ íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé, íàáëþäàåìûõ â ñèñòåìàõ ñàìîé ðàçëè÷íîé ïðèðîäû, ÿâëÿþòñÿ íåèçîõðîííîñòü, àíãàðìîíè÷íîñòü è ìóëüòèñòàáèëüíîñòü. Ïîä íåèçîõðîííîñòüþ ïîíèìàþò çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû (ïåðèîäà) ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé îò èõ àìïëèòóäû (èíòåíñèâíîñòè). Ýòî ÿâëåíèå äåìîíñòðèðóåò, íàïðèìåð, ñêà÷óùèé ìÿ÷èê: â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñ êàêîé âûñîòû ñáðàñûâàåòñÿ ìÿ÷èê, ïåðèîä åãî ïîäñêîêîâ áóäåò ðàçíûì. Îíî æå íàáëþäàåòñÿ ïðè äâèæåíèè ïëàíåò âîêðóã Ñîëíöà, ÷òî îòðàæàåòñÿ â çàêîíå Êåïëåðà. ßâëåíèå àíãàðìîíè÷íîñòè ïðîÿâëÿåòñÿ â èçìåíåíèè îðìû êîëåáàíèé ñ ðîñòîì èõ àìïëèòóäû: äëÿ ìàëîé àìïëèòóäû êîëåáàíèÿ îñòàþòñÿ ïî÷òè ãàðìîíè÷åñêèìè, äëÿ áîëüøåé - èõ îðìà èñêàæàåòñÿ. Ïðè èñêàæåíèè îðìû êîëåáàíèé â ñïåêòðå ïðîèñõîäèò ãåíåðàöèè íîâûõ ãàðìîíèê íà ÷àñòîòàõ, êðàòíûõ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû. ßâëåíèå àíãàðìîíè÷íîñòè ëåãêî îáíàðóæèòü, íàáëþäàÿ çà êîëåáàíèÿìè èçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Ïðè ìàëûõ îòêëîíåíèÿõ îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìàÿòíèê áëèçîê ê ãàðìîíè÷åñêîìó îñöèëëÿòîðó è åãî êîëåáàíèÿ áëèçêè ê ñèíóñîèäàëüíûì. Ñ óâåëè÷åíèåì àìïëèòóäû íåëèíåéíîñòü âåäåò ê èñêàæåíèþ îðìû êîëåáàíèé: âðåìåííàÿ ðåàëèçàöèÿ íà÷èíàåò áîëüøå è áîëüøå îòëè÷àòüñÿ îò ñèíóñîèäû. ßâëåíèå àíãàðìîíè÷íîñòè è ñîñòîèò â óõîäå âðåìåííîé ðåàëèçàöèè îò ãàðìîíè÷åñêîé îðìû ñ ðîñòîì èíòåíñèâíîñòè êîëåáàíèé.  ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïîÿâëåíèþ äîïîëíèòåëüíûõ ãàðìîíèê è óâåëè÷åíèþ èõ èíòåíñèâíîñòè. ßâëåíèå ìóëüòèñòàáèëüíîñòè, òàêæå êàê íåèçîõðîííîñòè è àíãàðìîíè÷íîñòè, ìîæåò íàáëþäàòüñÿ òîëüêî â íåëèíåéíûõ ñèñòåìàõ. Çàêëþ÷à-

23

åòñÿ îíî â òîì, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïðè ïîñòîÿííûõ çíà÷åíèÿõ óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ìîæåò äåìîíñòðèðîâàòü ðàçëè÷íûå ðåæèìû. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî â åå àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ïðè èêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ìîãóò ñîñóùåñòâîâàòü íåñêîëüêî àòòðàêòîðîâ. Ñèñòåìà, â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå êîòîðîé ñîñóùåñòâóåò íåñêîëüêî óñòîé÷èâûõ ñîñòîÿíèé, íàçûâàåòñÿ ìóëüòèñòàáèëüíîé.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå, êîãäà ñîñóùåñòâóåò òîëüêî äâà óñòîé÷èâûõ ñîñòîÿíèÿ, ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ áèñòàáèëüíîé. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé íà÷àëüíûõ óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ â ñèñòåìå íàáëþäàåòñÿ îäèí è òîò æå àòòðàêòîð, íàçûâàåòñÿ áàññåéíîì ïðèòÿæåíèÿ ýòîãî àòòðàêòîðà.

5.1 Èññëåäîâàíèå íåèçîõðîííîñòè â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà àññìîòðèì ñëó÷àé êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà ñ êóáè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ

x¨ + βx + γx3 = 0.

(5.1)

α = 0, êîëåáàíèé, è ïàðàìåòð γ

 îñöèëëÿòîðå Äóèíãà â äàííîì ñëó÷àå ïàðàìåòð äèññèïàöèè ïàðàìåòð

β

õàðàêòåðèçóåò ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó

ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì íåëèíåéíîñòè. Âûÿâèòü àíàëèòè÷åñêèìè ìåòîäàìè çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû êîëåáàíèé îò àìïëèòóäû ìîæíî òîëüêî äëÿ ñëàáî íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà, êîãäà ïàðàìåòð

γ

ÿâëÿåòñÿ ìàëîé âåëè÷èíîé, òî åñòü

|γ| << 1.

Äëÿ ñëàáî íåëè-

íåéíûõ èëè, òàê íàçûâàåìûõ, êâàçèãàðìîíè÷åñêèõ ñèñòåì, ñóùåñòâóþò ìåòîäû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû. Îäíèì èç òàêèõ ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ êîìïëåêñíûõ àïëèòóä (èëè ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ êîýèöèåíòîâ, èëè ìåòîä Âàí äåð Ïîëÿ). Äàííûé ìåòîä áûë ïðåäëîæåí Âàí äåð Ïîëåì è àíàëîãè÷åí îäíîìó èç ìåòîäîâ Ëàãðàíæà. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ, èñòèííîå ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèâäå óíêöèè, âûðàæàþùåé ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ

x = a cos(ωt + φ)

24

ñ ìåäëåííî ìåíÿþùèìèñÿ àìïëèòóäîé

a

è àçîé

φ.

Ýòè âåëè÷èíû îïðå-

äåëÿþòñÿ èç äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

da = ǫA(a), dt dφ = ǫB(a), dt ãäå

A(a)

è

B(a)

- íåêîòîðûå óíêöèè àìïëèòóäû.

Äëÿ êîíñåðâàòèâíîãî è ñëàáî íåéëèíåéíîãî (|γ|

<< 1)

îñöèëëÿòîðà

Äóèíãà (5.1) Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå

p x = Re[a(t) exp(i βt)],

àìïëèòóäà. Ïåðåîáîçíà÷èâ ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó √ a(t) - êîìïëåêñíàÿ 2 β ÷åðåç ω0 (β = ω0 ), è ó÷èòûâàÿ, ÷òî äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîé ãäå

âåëè÷èíû ñâÿçàíà ñ ñàìîé âåëè÷èíîé ñîîòíîøåíèåì

C + C∗ Re[C] = 2 (C

∗

- âåëè÷èíà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííàÿ âåëè÷èíå

C ),

ïåðåïèøåì ðåøå-

íèå â ñëåäóþùåì âèäå

x = Re[a(t) exp(iω0t)] a exp[iω0t] + a∗ exp[−iω0t] = . 2

(5.2)

a(t) , òî ìîæåì ââåñòè ïðîèçâîëüíîå óñëîâèå. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû óíêöèÿ a(t) óäîâëåòâîðÿëà

Ïîñêîëüêó ìû ââåëè íîâóþ íåèçâåñòíóþ óíêöèþ

óñëîâèþ

a˙ exp[iω0t] + a˙∗ exp[−iω0t] = 0.

(5.3)

Ïîäñòàâèì ðåøåíèå (5.2) â óðàâíåíèå êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà (5.1) ñ ó÷åòîì äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ (5.3). Âû÷èñëèì ïåðâóþ è

25

âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ

x(t) ˙

è

x¨(t):

1 [a˙ exp(iω0t) + a˙ ∗ exp(−iω0t) + iω0a exp(iω0t) − iω0 a∗ exp(−iω0t)] 2 1 = [iω0a exp(iω0t) − iω0 a∗ exp(−iω0t)] (5.4) 2 1 x¨ = [iω0a˙ exp(iω0t) − iω0 a˙ ∗ exp(−iω0t) − ω02 a exp(iω0t) − ω02 a∗ exp(−iω0t)] 2 ω02 = iω0a˙ exp(iω0t) − [a exp(iω0t) + a∗ exp(−iω0t)]. (5.5) 2 x˙ =

Ïîñëå ïîäñòàíîâêè

x(t), x(t) ˙

è

x¨(t)

â óðàâíåíèå (5.1), ïîëó÷àåì

γ iω0 a˙ exp(iω0t) + [a exp(iω0t) + a∗ exp(−iω0t)]3 = 0, 8 γ 3 2 2 ∗ iω0a˙ + [a exp(2iω0t) + 3|a| a + 3|a| a exp(−2iω0t) + (a∗ )3 exp(−4iω0t)] = 0. 8 Óñðåäíèì âñå ÷ëåíû ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ çà ïåðèîä. Ïðè ýòîì áóäåì ó÷èòûâàòü, ÷òî àìïëèòóäà

a(t)

è åå ïðîèçâîäíûå ÿâëÿþòñÿ ìåäëåííî ìå-

íÿþùèìèñÿ âåëè÷èíàìè, òî åñòü çà ïåðèîä îíè ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿþòñÿ, è â äàííîì ïðèáëèæåííîì ðåøåíèè ïðè óñðåäíåíèè çà ïåðèîä ñ÷èòàåì èõ ïîñòîÿííûìè:

< iω0 a˙ > = = < a3 exp(2iω0t) > = = = = = Çäåñü óãëîâûå ñêîáêè

< ... >

Z 1 T iω0adt ˙ T 0 iω0 a, ˙ Z T 1 a3 exp(2iω0t)dt T 0 a3 [exp(2iω0T ) − exp(2iω00)] 2iω0T a3 [exp(i4π) − 1] 2iω0T a3 [cos 4π + i sin 4π − 1] 2iω0T 0. îçíà÷àþò óñðåäíåíèå çà ïåðèîä. Õîðîøî

26

âèäíî, ÷òî ïîñëå óñðåäíåíèÿ çà ïåðèîä ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äëÿ ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû:

a˙ = i Êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó

a(t)

3γ 2 |a| a. 8ω0

(5.6)

ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

a(t) = ρ(t) exp(iφ(t)), ãäå

ρ(t), φ(t)

(5.7)

- äåéñòâèòåëüíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé

àìïëèòóäó è àçó êîëåáàíèé, ñîîòâåòñòâåííî. Ïîäñòàâëÿÿ (5.7) â óðàâíåíèå (5.6) è âûäåëÿÿ îòäåëüíî äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ àìïëèòóäû è àçû

ρ(t) ˙ = 0, 3γ 2 ˙ ρ (t). φ(t) = 8ω0

(5.8) (5.9)

Èíòåãðèðóÿ ýòè óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåì ðåøåíèÿ äëÿ àìïëèòóäû è àçû

ρ(t) = ρ0 , 3γ 2 φ(t) = ρ t. 8ω0 0 Òåïåðü ìîæåì çàïèñàòü ðåøåíèå

x(t)

óðàâíåíèÿ êîíñåðâàòèâíîãî, ñëàáî

íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà:

x(t) = Re[a(t) exp(iω0t)] = Re[ρ(t) exp(iφ(t)) exp(iω0t)] 3γ 2 = Re[ρ0 exp(i ρ t) exp(iω0t)] 8ω0 0 3γ 2 ρ )t. = ρ0 cos(ω0 + 8ω0 0

(5.10)

Âèäíî, ÷òî ÷àñòîòà êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà Äóèíãà çàâèñèò îò åãî àìïëèòóäû. Ïðè óâåëè÷åíèè àìïëèòóäû êîëåáàíèé ÷àñòîòà èëè íàðàñòàåò, èëè óáûâàåò, ÷òî çàâèñèò îò çíàêà ïàðàìåòðà íåëèíåéíîñòè

27

γ.

5.2 Èññëåäîâàíèå àíãàðìîíè÷íîñòè

Ìåòîäîì ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä áûëî ïîëó÷åíî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå äëÿ àâòîíîìíîãî, êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà, êîòîðîå îïèñûâàåò ýåêò íåèçîõðîííîñòè è â òîæå âðåìÿ íèêàê íå îòðàæàåò ýåêò àíãàðìîíè÷íîñòè, ïðèñóùèé äëÿ âñåõ íåëèíåéíûõ ñèñòåì. Ïðîâåäåì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà äðóãèì àíàëèòè÷åñêèì ìåòîäîì - ìåòîäîì Ïóàíêàðå. Äàííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå îïèñûâàåò è ýåêò íåèçîõðîííîñòè, è ýåêò àíãàðìîíè÷îñòè â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà ðàâíà åäèíèöå (β

= ω02 = 1) x¨ + x + γx3 = 0.

Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå îñöèëëÿòîðà â íîâîé ïåðåìåííîé ïî âðåìåíè :

ω

2d

τ = ωt

2

x + x + γx3 = 0. 2 dτ

(5.11)

åøåíèå áóäåì èñêàòü â âèäå ðÿäà ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà äëÿ ïåðåìåííîé

x,

òàê è äëÿ ÷àñòîòû

êàê

ω:

x = x0 + γx1 + γ 2x2 + ..., ω = 1 + γω1 + γ 2ω2 + .... γ → 0 ÷àñòîòà √ ω ñòðåìèòñÿ ê ÷àñòîòå β = 1. êîëåáàíèé ω0 = Ïðè

γ

(5.12) (5.13)

ñîáñòâåííûõ (èëè ëèíåéíûõ)

 âûðàæåíèÿõ (5.12)-(5.13) îãðàíè÷èìñÿ ñëàãàåìûìè äî âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, è ïîäñòàâèì èõ â óðàâíåíèå (5.11)

(1 + γω1)2(¨ x0 + γ x¨1) + x0 + γx1 + γ(x0 + γx1)3 = 0, x¨0 + 2γω1x¨0 + γ x¨1 + 2γ 2ω12 x¨1 + γ 3ω12 x¨1 + x0 + γx1 + γx30 + ... = (5.14) 0. àçëîæèì óðàâíåíèå (5.14) ïî ñòåïåíÿì ïàðàìåòðà

28

γ . Ïðèðàâíÿåì ñëàãà-

åìûå îäèíàêîâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè

γ0 : x¨0 + x0 = 0, γ 1 : 2ω1x¨0 + x¨1 + x1 + x30 = 0, x¨1 + x1 = −2ω1x¨0 − x30.

(5.15)

(5.16)

åøåíèåì óðàâíåíèÿ (5.15) ÿâëÿåòñÿ

x0 = a cos(τ + φ) = a cos(ωt + φ).

(5.17)

Ïîäñòàâèì (5.17) â óðàâíåíèå (5.16):

x¨1 + x1 = 2ω1a cos(τ + φ) − a3 cos3(τ + φ), 3 1 x¨1 + x1 = 2ω1a cos(τ + φ) − a3 [ cos(τ + φ) + cos 3(τ + φ)]. (5.18) 4 4 Ê ñåêóëÿðíîìó ðîñòó

φ)

x1(τ ) ïðèâîäÿò ñëàãàåìûå ïðîïîðöèîíàëüíûå cos(τ +

(ïðè ðåçîíàíñíîì ãàðìîíè÷åñêîì âîçäåéñòâèè íà ãàðìîíè÷åñêèé îñ-

öèëëÿòîð ïðîèñõîäèò ðàñêà÷êà êîëåáàíèé äî áåñêîíå÷íîñòè, ïðè âåëè÷èíà

x1 (τ ) → ∞).

τ →∞

×òîáû óñòðàíèòü òàêîå ðåçîíàíñíîå âîçäåéñòâèå,

ïîäáåðåì ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì ìàëóþ äîáàâêó ê ÷àñòîòå

3a3 2ω1a − = 0, 4 3a2 . ω1 = 8

(5.19)

Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ (5.18) ïðèìåò âèä

a3 x¨1 + x1 = − cos 3(τ + φ). 4 åøåíèåì óðàâíåíèÿ (5.20) ÿâëÿåòñÿ

x1 = C cos 3(τ + φ).

29

(5.20)

×òîáû îïðåäåëèòü êîíñòàíòó

C,

ïîäñòàâèì ýòî â óðàâíåíèå (5.20)

−9C cos 3(τ + φ) + C cos 3(τ + φ) = −

a3 cos 3(τ + φ), 4

a3 C = 32

Âûðàæåíèå äëÿ

x1

ïðèìåò âèä

a3 x1 = cos 3(τ + φ). 32  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè

γ2

a3 x ≃ a cos(ωt + φ) + γ cos 3(ωt + φ), 32 2 3a ω ≃ 1+γ . 8

(5.21)

(5.22)

Ïîëó÷åííûé äàííûì ìåòîäîì ðåçóëüòàò ïîêàçûâàåò, ÷òî êóáè÷åñêàÿ íåëèíåéíîñòü ïðèâîäèò ê àíãàðìîíè÷íîñòè è íåèçîõðîííîñòè êîëåáàíèé â êîíñåðâàòèâíîì îñöèëëÿòîðå. Ïîìèìî îñíîâíîé ÷àñòîòû ïîÿâèëàñü òðåòüÿ ãàðìîíèêà. ×àñòîòà êîëåáàíèé çàâèñèò îò èõ àìïëèòóäû, ïðè÷åì, åñëè

γ > 0, òî ÷àñòîòà ω ðàñòåò ïðè γ < 0, òî ÷àñòîòà óìåíüøàåòñÿ.

óâåëè÷åíèè àìïëèòóäû êîëåáàíèé; åñëè

Òàêèì îáðàçîì, ìû âûÿâèëè, ÷òî óæå ïðè ñëàáîé íåëèíåéíîñòè êîëåáàíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ ÷èñòî ñèíóñîèäàëüíûìè, â íèõ ïðèñóòñòâóþò ãàðìîíèêè. Ïðè÷åì, â ïðèáëèæåíèè äî âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè â îñöèëëÿòîðå ñ êóáè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ ãåíåðèðóåòñÿ òðåòüÿ ãàðìîíèêà. Àìïëèòóäà ãàðìîíèêè ìíîãî ìåíüøå àìïëèòóäû îñíîâíîé ñîñòàâëÿþùåé êîëåáàíèé.

30

5.3 Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà N 3. Èññëåäîâàíèå íåèçîõðîííîñòè è àíãàðìîíè÷íîñòè â êîíñåðâàòèâíîì îñöèëëÿòîðå Äóèíãà

Öåëü ðàáîòû:

ñîïîñòàâèòü ðåçóëüòàòû òåîðåòè÷åñêîãî àíàëèçà ÿâëå-

íèé íåèçîõðîííîñòè è àíãàðìîíè÷íîñòè ñ ðåçóëüòàòàìè ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà

Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ:

òåîðåòè÷åñêèé àíàëèç, ÷èñëåííûé ýêñïåðè-

ìåíò.

5.3.1 Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà Ëàáîðàòîðíàÿ óñòàíîâêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîãðàììó, ðàçðàáîòàííóþ â ñðåäå LabView. Ïðîãðàììà ïîçâîëÿåò èçó÷èòü òàêèå ñâîéñòâà íåëèíåéíûõ ñèñòåì, êàê íåèçîõðîííîñòü è àíãàðìîíè÷íîñòü, íàáëþäàÿ çà èçìåíåíèÿìè ÷àñòîòû, àìïëèòóäû è ñïåêòðîì êîëåáàíèé. àáî÷åå îêíî ïðîãðàììû ïðåäñòàâëåíî íà èñ. 5.1. Êíîïêàìè Êíîïêàìè

è

â âåðõíåé ÷àñòè ðàáî÷åãî îêíà ïðî-

èçâîäèòñÿ ñîîòâåòñòâåííî çàïóñê è îñòàíîâêà èíòåãðèðîâàíèÿ. Îñòàíîâèòü ïðîãðàììó ìîæíî òàêæå êíîïêîé Stop. ðàèêè x-y è t-x(t) îòîáðàæàþò ñîîòâåòñòâåííî àçîâûé ïîðòðåò è âðåìåííóþ ðåàëèçàöèþ êîëåáàíèé â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà. Ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòîâ è

,

óñòàíàâëèâàþòñÿ ïðåäåëû ïîêàçàíèé ýòèõ ãðàèêîâ. Íà ãðàèêå

Spe trum îòîáðàæàåòñÿ ñïåêòð êîëåáàíèé. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ âûáèðàþòñÿ ïóòåì ïåðåìåùåíèÿ êóðñîðà íà ãðàèêå x-y èëè óñòàíàâëèâàþòñÿ ÷èñëåííî â îêíàõ x è y. Ïàðàìåòðû îñöèëëÿòîðà çàäàþòñÿ ðåãóëÿòîðàìè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîäïèñÿìè. Âðåìÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ââîäèòñÿ â îêíå t. Êíîïêîé Save graphi s ìîæíî ñîõðàíÿòü èçîáðàæåíèÿ íà ïðàâîì ãðàèêå x-y â ãðàè÷åñêèå àéëû JPEG. Ïðè ñîõðàíåíèè èçîáðàæåíèé íåîáõîäèìî ïîñëåäîâàòåëüíî óêàçàòü ïóòü è íàçâàíèÿ àéëîâ ñîîòâåòñòâåííî äëÿ àçîâîãî ïîðòðåòà, âðåìåííîé ðåàëèçàöèè è ñïåêòðà (ïî óìîë÷àíèþ x-y.jpg, t-x.jpg è spe .jpg). Èíäèêàòîðû Amplitude è Frequen y ïîêàçûâàþò òåêóùèå áåçðàçìåðíûå àìïëèòóäó è ÷àñòîòó êîëåáàíèé. Ïðè íàáëþäåíèè ýåêòà íåèçîõðîííîñòè ðåêîìåíäóåòñÿ âû-

31

èñ. 5.1: Ïðîãðàììà äëÿ èññëåäîâàíèÿ íåèçîõðîííîñòè è àíãàðìîíè÷íîñòè êîëåáàíèé â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà.

32

áèðàòü ìàëûå âðåìåíà èíòåãðèðîâàíèÿ (t

20), äëÿ áîëåå òî÷íîãî ðàñ÷åòà

ÁÏÔ è íàáëþäåíèÿ ãàðìîíèê ñïåêòðà ñëåäóåò óñòàíàâëèâàòü áîëüøèå âðåìåíà (t

200).

Çàäàíèÿ è óïðàæíåíèÿ 1. Ïîñòðîèòü âðåìåííûå ðåàëèçàöèè

x(t),

èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (5.10),

ïðè èêñèðîâàííîì ïîëîæèòåëüíîì çíà÷åíèè

γ (êîíêðåòíûå ÷èñëåí-

íûå çíà÷åíèÿ ñëåäóåò ïîëó÷èòü ó ïðåïîäàâàòåëÿ) â çàâèñèìîñòè îò àìïëèòóäû

ρ0 .

Âûÿâèòü, êàê ìåíÿåòñÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé è îðìà

êîëåáàíèé â çàâèñèìîñòè îò àìïëèòóäû. Ïîñòðîèòü çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû êîëåáàíèé îò àìïëèòóäû. 2. Ïîñòðîèòü âðåìåííûå ðåàëèçàöèè

x(t),

èíòåãðèðóÿ ÷èñëåííûìè ìå-

òîäàìè óðàâíåíèå êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà (5.1) ïðè

γ , â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíîãî ñêîðîñòü x ˙ 0 èêñèðîâàíà è ðàâíà íóëþ).

x0

òîì æå çíà÷åíèè

ñìåùåíèÿ

(íà-

÷àëüíàÿ

Âûÿâèòü, êàê ìå-

íÿåòñÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé è îðìà êîëåáàíèé â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíîé àìïëèòóäû

x0 .

Ïîñòðîèòü çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû êîëåáàíèé

îò àìïëèòóäû. 3. Ïîñòðîèòü âðåìåííûå ðåàëèçàöèè

x(t),

èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (5.10),

ïðè èêñèðîâàííîì çíà÷åíèè àìïëèòóäû ìåòðà íåëèíåéíîñòè âàëû çíà÷åíèé

γ

γ

ρ0

â çàâèñèìîñòè îò ïàðà-

(êîíêðåòíûå ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ

ρ0

è èíòåð-

ñëåäóåò îáñóäèòü ñ ïðåïîäàâàòåëåì) . Âûÿâèòü, êàê

ìåíÿåòñÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé è îðìà êîëåáàíèé â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà íåëèíåéíîñòè. Ïîñòðîèòü çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû êîëåáàíèé îò ïàðàìåòðà íåëèíåéíîñòè

γ.

4. Ïîñòðîèòü âðåìåííûå ðåàëèçàöèè

x(t),

èíòåãðèðóÿ ÷èñëåííûìè ìå-

òîäàìè óðàâíåíèå êîíñåðâàòèâíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà (5.1) ïðè èêñèðîâàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (x0 ñðàâíèìî ñ çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà íåëèíåéíîñòè

γ.

ρ0

è

x˙ 0 = 0)

â

Âûÿâèòü, êàê ìåíÿåòñÿ

÷àñòîòà êîëåáàíèé è îðìà êîëåáàíèé â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà íåëèíåéíîñòè

γ . Ïîñòðîèòü çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû êîëåáàíèé îò ïàðà-

ìåòðà íåëèíåéíîñòè.

33

5. Ïðîâåñòè ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè, ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åíûìè ïðèáëèæåííûìè àíàëèòè÷åñêèìè ìåòîäàìè. Îöåíèòü èíòåðâàëû çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, ãäå ïðèìåíèìû àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû.

34

6 ßâëåíèå íåëèíåéíîãî ðåçîíàíñà â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà 6.1 Êà÷åñòâåííûé àíàëèç çàäà÷è î âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà. Óðàâíåíèå ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ. Ïðè âîçäåéñòâèè âíåøíåé ïåðèîäè÷åñêîé ñèëû íà ëèíåéíûé îñöèëëÿòîð íàáëþäàåòñÿ, ïî ñóùåñòâó, åäèíñòâåííûé îñíîâíîé ýåêò - ëèíåéíûé ðåçîíàíñ. Ïðè ïðèáëèæåíèè ÷àñòîòû âíåøíåãî ãàðìîíè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäû ê ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà, àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ðàñòåò.  îñöèëëÿòîðå áåç äèññèïàöèè îíà ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, êîãäà ÷àñòîòà âîçäåéñòâèÿ ñîâïàäàåò ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé.  îñöèëëÿòîðå ñ ïîòåðÿìè àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé äîñòèãàåò íåêîòîðîãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, à çàòåì óìåíüøàåòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè ðàññòðîéêè ìåæäó ÷àñòîòàìè. Çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé îò ðàññòðîéêè ìåæäó ÷àñòîòîé âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ è ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé îñöèëëÿòîðà õàðàêòåðèçóþò ðåçîíàíñíûå êðèâûå. (Äðóãèìè ñëîâàìè, ðåçîíàíñíàÿ êðèâàÿ - ýòî ãðàèê çàâèñèìîñòè àìïëèòóäû óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé îò ðàññòðîéêè). ×åì ìåíüøå ïîòåðè â îñöèëëÿòîðå, òåì îñòðåå è âûøå ðåçîíàíñíàÿ êðèâàÿ. ×òî èçìåíèòñÿ, êîãäà îñöèëëÿòîð ñòàíîâèòñÿ íåëèíåéíûì? Èëè, ÷òî èçìåíèòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà â îñöèëëÿòîðå ÷àñòîòà êîëåáàíèé çàâèñèò îò àìïëèòóäû? Ïóñòü íà íåëèíåéíûé îñöèëëÿòîð, ñîâåðøàþùèé ìàëûå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé

ω1 ,

äåñòâóåò âíåøíåå âîçäåéñòâèå òîé æå ÷àñòîòû. Òîãäà ñèñòåìà

ïîëó÷àåò ýíåðãèþ îò âíåøíåãî èñòî÷íèêà, è ìàëûå âíà÷àëå êîëåáàíèÿ íàðàñòàþò. Îäíàêî, ïîñêîëüêó îñöèëëÿòîð íåèçîõðîííûé, áîëüøåé ýíåðãèè ñîîòâåòñòâóåò óæå äðóãàÿ ÷àñòîòà.  ðåçóëüòàòå ñèñòåìà âûõîäèò èç ðåçî-

35

íàíñà è, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé àìïëèòóäû, îñöèëëÿòîð ïåðåñòàåò çàìå÷àòü âíåøíþþ ñèëó. Òàêèì îáðàçîì, âûõîä èç ðåçîíàíñà ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò íåëèíåéíîãî ñäâèãà ÷àñòîòû

ω = ω(A).

×òîáû ïîëó÷èòü óðàâíåíèå ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà, ðàññìîòðèì ÿâëåíèå ðåçîíàíñà â ëèíåéíîì îñöèëëÿòîðå, çàòåì ó÷òåì ýåêò íåèçîõðîííîñòè è â óðàâíåíèå ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ ââåäåì ïîïðàâêó ê ÷àñòîòå.

Çàïèøåì óðàâíåíèå ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà ïðè âíåøíåì ãàðìîíè÷åñêîì âîçäåéñòâèèè

x¨ + αx˙ + ω02x = B cos ωt, ãäå

B, ω

ñèïàöèè,

- àìïëèòóäà è ÷àñòîòà âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ,

ω0

(6.1)

α

- ïàðàìåòð äèñ-

- ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà. Ïåðåïèøåì

óðàâíåíèå (6.1)

x¨ + αx˙ + ω02 x =

B exp(iωt) + k.c. 2

(6.2)

(k. . - êîìïëåêñíî - ñîïðÿæåííàÿ âåëè÷èíà) è áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå

x(t) = Re[A exp(iωt)] A = exp(iωt) + k.c. 2 1 = [A exp(iωt) + A exp(−iωt)], 2 ãäå

A

(6.3)

- ïîñòîÿííàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé àì-

ïëèòóäó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé.

Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíûå

1 [iωA exp(iωt) − iωA exp(−iωt)], 2 1 x¨ = [−ω 2A exp(iωt) − ω 2 A exp(−iωt)], 2

x˙ =

36

(6.4) (6.5)

Ïîäñòàâèì (6.3) - (6.5) â óðàâíåíèå (6.2)

iωα ω2 A[exp(iωt) + exp(−iωt)] + A[exp(iωt) − exp(−iωt)] + 2 2 ω02 + A[exp(iωt) + exp(−iωt)] 2 B [exp(iωt) + exp(−iωt)], = 2 A(ω02 − ω 2 + iωα) = B, |A(ω02 − ω 2 + iωα)| = |B|, q A2[(ω02 − ω 2 )2 + ω 2 α2 ] = B, B . (6.6) |A| = p 2 (ω0 − ω 2 )2 + ω 2 α2

−

Âûðàæåíèå (6.6) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà. Åñëè äèññèïàöèÿ îòñóòñòâóåò (α

= 0

- ñëó÷àé êîíñåðâàòèâ-

íîãî îñöèëëÿòîðà), òî ïðè ñòðåìëåíèè ÷àñòîòû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ ê

(ω → ω0) (B = const),

ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå îñöèëëÿòîðà

è ïîñòîÿííîì çíà÷åíèè àì-

ïëèòóäû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ

àìïëèòóäà óñòàíîâèâøèõñÿ,

âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè

(|A| → ∞).

Îòìå-

òèì, ÷òî áåñêîíå÷íûé ðîñò àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ìîæåò ïðîèñõîäèòü è ïðè î÷åíü ìàëîì, íî êîíå÷íîì çíà÷åíèè àìïëèòóäû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ.  äèññèïàòèâîì îñöèëëÿòîðå àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé âñåãäà êîíå÷íà, è, ÷åì ìåíüøå ïîòåðè

α

â îñöèëëÿòîðå, òåì

îñòðåå è âûøå ðåçîíàíñíàÿ êðèâàÿ.

 óðàâíåíèè ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ (6.6) ó÷òåì ïîïðàâêó ê ÷àñòîòå â âèäå

3 ω 2(A) = ω02 + γA2. 4

(6.7)

Ýòà çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû êîëåáàíèé îò àìïëèòóäû ñîâïàäàåò ñ ðàíåå ïîëó÷åííûìè âûðàæåíèÿìè (5.10) è (5.22), åñëè ïàðàìåòð íåëèíåéíîñòè ìàë

37

(|γ|

<< 1).

 ýòîì ñëó÷àå

r

3 ω02 = γA2 4 13 2 ≃ ω02 + γA + ... 24 3 = 1 + γA2 8

ω(A) =

(åñëè ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà íîðìèðîâàíà ê åäèíèöå). Óðàâíåíèå ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ ïðèíèìàåò âèä

|A| = q

B (ω02

+

3 γA2 4

−

, ω 2 )2

+

α2 ω 2

3 A2 [( γA2 − ω 2 + ω02 )2 + α2 ω 2 ] = B 2. 4 Ïðè

α=0

(6.8)

ïîëó÷èì óðàâíåíèå ðåçîíàíñíîé êðèâîé äëÿ êîíñåðâàòèâíîãî

íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà ïðè ãàðìîíè÷åñêîì âîçäåéñòâèè

3 A( γA2 − ω 2 + ω02) = B. 4 Ïðè ïîñòðîåíèè ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ àìïëèòóäà âíåøíåé ñèëû

(6.9)

B ÿâëÿåò-

ñÿ ïàðàìåòðîì: êàæäîìó èêñèðîâàííîìó çíà÷åíèþ àìïëèòóäû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ðåçîíàíñíàÿ êðèâàÿ. Óðàâíåíèå ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ ÿâëÿåòñÿ êóáè÷åñêèì óðàâíåíèåì, è ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò èìåòü ëèáî îäèí äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü, ëèáî òðè äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ. Ïðåæäå ÷åì îïèñûâàòü ÿâëåíèå íåëèíåéíîãî ðåçîíàíñà, ïðîâåäåì âûâîä óðàâíåíèÿ ðåçîàíñíûõ êðèâûõ åùå äðóãèìè ìåòîäàìè.

38

6.2 Óðàâíåíèå ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà, ïîëó÷åííîå ìåòîäîì ãàðìîíè÷åñêîãî áàëàíñà

àññìîòðèì âûâîä óðàâíåíèÿ ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ äëÿ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà

x¨ + αx˙ + ω02 x + µx3 = B cos pt. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåëèíåéíîå ñëàãàåìîå

(6.10)

µx3 ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ ëèíåé-

íûìè ñëàãàåìûìè óðàâíåíèÿ (6.10).  ýòîì ñëó÷àå êîëåáàíèÿ áóäóò áëèçêè ê ãàðìîíè÷åñêèì, àìïëèòóäà îñíîâíîé ãàðìîíèêè, òî åñòü ãàðìîíèêè íà ÷àñòîòå

p,

ìíîãî áîëüøå àìïëèòóä âûñøèõ ãàðìîíèê. Ñëåäîâàòåëüíî

ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.10) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

x(t) ≃ a cos pt + b sin pt. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýèöèåíòîâ

(6.11)

a è b ïîäñòàâèì ðåøåíèå (6.11) â óðàâíå-

íèå (6.10). Ñëàãàåìûìè ñ êðàòíûìè ÷àñòîòàìè áóäåì ïðåíåáðåãàòü. Äàííûé ïîäõîä ê îïðåäåëåíèþ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé äëÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì íàçûâàåòñÿ

ìåòîäîì ãàðìîíè÷åñêîãî áàëàíñà .  ðåçóëüòàòå ïî-

ëó÷àåòñÿ

− ap2 cos pt − bp2 sin pt − 2αpa sin pt + 2αpb cos pt + ω02 a cos pt
3 + ω02 b sin pt + µ a3 cos pt + b3 sin pt + a2 b sin pt + ab2 cos pt = B cos pt 4

Ñãðóïïèðîâàâ êîýèöèåíòû ïåðåä

cos pt è sin pt, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâ-

íåíèé:



3 ω02 − p2 a + 2αpb + µ a3 + ab2 = B, 4

3 ω02 − p2 b − 2αpa + µ b3 + a2 b = 0. 4

Ïåðåéäåì ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì

a = ρ cos φ, b = ρ sin φ,

39

ãäå

ρ

φ

- àìïëèòóäà,

- àçà êîëåáàíèé.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ


3 ω02 − p2 ρ cos φ + 2αpρ sin φ + µρ3 cos φ = B, 4
3 ω02 − p2 ρ sin φ − 2αpρ cos φ + µρ3 sin φ = 0. 4

Óìíîæèì ñëàãàåìûå óðàâíåíèÿ (6.12) íà (6.13) óìíîæèì íà

cos φ,

(6.12) (6.13)

à ñëàãàåìûå óðàâíåíèÿ

sin φ, è ñëîæèì ëåâûå ÷àñòè è ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé:

Óìíîæàÿ (6.12) íà


3 ω02 − p2 ρ + µρ3 = B cos φ. 4

sin φ.

à (6.13) - íà

cos φ

(6.14)

è âû÷èòàÿ âòîðîå óðàâíåíèå

èç èç ïåðâîãî, ïîëó÷èì

2αpρ = B sin φ.

(6.15)

φ, âîçâåäåì îáå ÷àñòè óðàâíåíèé (6.14) è (6.15) â êâàäðàò è ñëîæèì. Ïðè ýòîì îáîçíà÷èì ÷åðåç A êâàäðàò àìïëèòó2 äû êîëåáàíèé ρ = A.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ ðåçîàíàñíûõ ×òîáû èçáåæàòü çàâèñèìîñòè îò

êðèâûõ

i

2 h 2 9 2 3 3 2 2 2 2 2 2 µ A + µ ω0 − p A + ω0 − p + 4α p A − B 2 = 0. 16 2

(6.16)

6.3 Óðàâíåíèå ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà, ïîëó÷åííîå ìåòîäîì ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä Çàïèøåì óðàâíåíèå îñöèëëÿòîðà Äóèíãà â âèäå

x¨ + αx˙ + ω02 x + µx3 = B cos ωt. Çäåñü, ïî-ïðåæíåìó,

α

- êîýèöèåíò òðåíèÿ,

êîëåáàíèé (èëè ÷àñòîòà ëèíåéíûõ êîëåáàíèé),

B, ω

ω02

(6.17)

- ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà

µ - ïàðàìåòð íåëèíåéíîñòè,

- àìïëèòóäà è ÷àñòîòà âíåøíåãî ãàðìîíè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ.

Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî èññëåäóåìûé îñöèëëÿòîð áëèçîê ê ãàðìîíè÷åñêîìó îñöèëëÿòîðó, òî åñòü òðåíèå íåáîëüøîå è íåëèíåéíîñòü ñëàáàÿ (|α|

<<

1, |µ| << 1). Êðîìå òîãî, áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî àìïëèòóäà âíåøíåãî ãàðìî40

íè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ íåáîëüøàÿ è ðàññòðîéêà ìåæäó ÷àñòîòîé âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ è ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé îñöèëëÿòîðà ìàëà (B

ω0 | << 1).

<< 1, |ω −

 ðàìêàõ ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèé ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ìîæíî èñêàòü â âèäå ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèè, ïàðàìåòðû êîòîðîé ìåäëåííî ìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè,

x(t) = Re [a(t) exp (iω0 t)] , ãäå

a(t)

- ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà. Ýòî ðåøåíèå

ïåðåïèøåì â âèäå

x(t) = ãäå

a∗

1 [a exp (iω0 t) + a∗ exp (−iω0 t)] , 2

(6.18)

- êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííàÿ âåëè÷èíà, è ââåäåì äîïîëíèòåëüíîå

óñëîâèå íà êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó

a˙ exp (iω0t) + a˙ ∗ exp (−iω0 t) = 0.

(6.19)

Ñ ó÷åòîì ýòîãî äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ âû÷èñëèì ïåðâóþ è âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ, è ïîäñòàâèì ðåøåíèå â èñõîäíîå óðàâíåíèå.

Äëÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ïîëó÷àåì

1 [a˙ exp (iω0 t) + iω0a exp (iω0 t) + a˙ ∗ exp (−iω0t) − iω0 a∗ exp (−iω0 t)] 2 1 [iω0a exp (iω0t) − iω0 a∗ exp (−iω0 t)] . = (6.20) 2

x(t) ˙ =

Äëÿ âòîðîé -

 1 iω0 a˙ exp (iω0 t) − ω02 a exp (iω0 t) − iω0a˙ ∗ exp (−iω0 t) − ω02 a∗ exp (−iω0t) 2 ω02 = iω0a˙ exp (iω0 t) − (6.21) [a exp (iω0 t) + a∗ exp (−iω0 t)] . 2

x¨(t) =

41

 ðåçóëüòàòå ïîäñòàíîâêè (6.21), (6.20) è (6.18) â (6.17) ïîëó÷àåì

+ = iω0a˙ + + =

iω0α iω0 a˙ exp (iω0 t) + [a exp (iω0 t) − a∗ exp (−iω0 t)] 2  µ 3 a exp (3iω0t) + 3a2 a∗ exp (iω0 t) + 3aa∗2 exp (−iω0t) + a∗3 exp (−3iω0t) 8 exp (iωt) + exp (−iωt) B 2 iω0α [a − a∗ exp (−2iω0t)] 2  µ 3 a exp (2iω0t) + 3|a|2 a + 3|a|2 a∗ exp (−2iω0t) + a∗3 exp (−4iω0t) 8 B B exp [i (ω − ω0) t] + exp [−i (ω + ω0) t] 2 2

Óñðåäíèì çà ïåðèîä âñå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ. Íàïîìíèì, ÷òî

B a(t), a(t), ˙ 2 exp [i(ω − ω0 )t]

ÿâëÿþòñÿ ìåäëåííî ìåíÿþùèìèñÿ âåëè÷èíàìè, êîòîðûå îñòàþòñÿ ïðàê-

òè÷åñêè ïîñòîÿííûìè çà ïåðèîä, è â íàøåì ïðèáëèæåíèè èõ ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê èíòåãðàëà ïðè óñðåäíåíèè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ

iω0 a˙ + δ = ω − ω0

ãäå

3µ B iω0 α a + |a|2 a = exp (iδt) , 2 8 2

(6.22)

- ðàññòðîéêà ìåæäó ÷àñòîòîé âíåøíåãî âîçäåéñâòèÿ è

ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé îñöèëëÿòîðà.

Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (6.22) äëÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû

a(t)

â ïîëÿð-

íûõ êîîðäèíàòàõ

a(t) = ρ(t) exp [iφ(t)] , (ãäå

ρ(t)

è

φ(t)

èìåþò ñìûñë ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ àìïëèòóäû è àçû

êîëåáàíèé).

iω0

h

i iω α 3µ B 0 ˙ ρ˙ exp (iφ) + iφρ exp (iφ) + ρ exp (iφ) + ρ3 exp (iφ) = exp (iδt) 2 8 2 α 3µ B B ρ˙ + iρφ˙ + ρ − i ρ3 = −i cos (δt − φ) + sin (δt − φ) 2 8ω0 2ω0 2ω0

Ââåäåì çàìåíó â âèäå ïîëíîé àçû

ψ = δt − φ, è ïåðåïèøåì êîìïëåêñíîå

óðàâíåíèå â âèäå ñèñòåìû äâóõ äåéñòâèòåëüíûõ óðàâíåíèé, ïðèðàâíèâàÿ

42

îòäåëüíî äåéñòâèòåëüíûå ñëàãàåìûå è ìíèìûå ñëàãàåìûå óðàâíåíèÿ.

α B ρ˙ = − ρ + sin ψ, 2 2ω 0   B 3µ 2 ρ + cos ψ. ψ˙ = δ − 8ω0 2ω0ρ

(6.23)

(6.24)

Óñòàíîâèâøèìñÿ âûíóæäåííûì êîëåáàíèÿì ñîîòâåòñòâóþò íåïîäâèæíûå òî÷êè ïîëó÷åííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé (6.23) - (6.24). Îáîçíà÷èì êîîðäèíàòû íåïîäâèæíûõ òî÷åê êàê

ρ = ρ0

è

ψ = ψ0 , è çàïèøåì óðàâíåíèÿ

äëÿ íåïîäâèæíûõ òî÷åê.

B α ρ0 = sin ψ0 , 2 2ω 0   3µ 2 B δ− ρ0 ρ0 = − cos ψ0 . 8ω0 2ω0 Âîçâåäåì â êâàäðàò ïðàâûå è ëåâûå ÷àñòè ïåðâîãî è âòîðîãî óðàâíåíèé è ñëîæèì èõ ïðàâûå ÷àñòè è èõ ëåâûå ÷àñòè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

2   α 2 B2 3µ 2 2 = , ρ0 + ρ0 δ − ρ 2 8ω0 0 4ω02  2 2δ B2 3µ 2 2 2 ρ0 + ρ0 = 2 2 − ρ α 4αω0 0 α ω0

(6.25)

Óðàâíåíèå (6.25) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå ðåçîíàíñíîé êðèâîé äëÿ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà. Ïðåîáðàçóåì åãî ê áîëåå ïðîñòîìó âèäó. Óìíîæèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà

3µ 2 3µ 2 ρ0 + ρ 4αω0 4αω0 0

3µ 4αω0 :



è ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ:

2δ 3µ 2 − ρ α 4αω0 0 3µ 2 ρ 4αω0 0

2

= A

=

3µ B 2 , 4αω0 α2 ω02

- âåëè÷èíà, õàðàêòåðèçóþ-

ùàÿ êâàäðàò àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé,

∆

2δ α

=

õàðàêòåðèçóåò ðàññòðîéêó ìåæäó ÷àñòîòîé âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ è

ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé îñöèëëÿòîðà,

3µB 2 4α3 ω03

43

=F

õàðàêòåðèçóåò àìïëèòóäó

âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

A + A (∆ − A)2 = F èëè

A=

(6.26)

F . 1 + (∆ − A)2

(6.27)

6.4 Îïèñàíèå ñåìåéñòâà ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà Ïîëó÷åííûå ðàçíûìè ñïîñîáàìè óðàâíåíèÿ ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êóáè÷åñêîå àëãåáàè÷åñêîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé

A.

Óðàâíåíèå ðåçîíàíàñíûõ êðèâûõ îïèñûâàåò ÿâëåíèå íåëèíåé-

íîãî ðåçîíàíñà â ñëàáî íåëèíåéíîì îñöèëëÿòîðå Äóèíãà ïðè ãàðìîíè÷åñêîì âîçäåéñòâèè. Óðàâíåíèå ìîæåò èìåòü ëèáî îäíî, ëèáî òðè âåùåñòâåííûõ ðåøåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò êîýèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ îñöèëëÿòîðà è âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ëèáî îäèí êîëåáàòåëüíûé ðåæèì, ëèáî ñîñóùåñòâóþò òðè ðåæèìà. Êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, äâà èç íèõ ÿâëÿþòñÿ óñòîé÷èâûìè è îäèí - íåóñòîé÷èâûé. Ïðè ïîñòðîåíèè ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ àìïëèòóäà âíåøíåé ñèëû

B

(èëè ñâÿçàííûé ñ íåé ïàðàìåòð

F ) ÿâëÿ-

åòñÿ ïàðàìåòðîì. Íà ðèñóíêå 6.1 ïîñòðîåíû ðåçîíàíñíûå êðèâûå íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðàèê çàâèñèìîñòè êâàäðàòà àìïëèòóäû óñòàíîâèâøèõñÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé îò ðàññòðîéêè ìåæäó ÷àñòîòîé âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ è ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé îñöèëëÿòîðà, äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà Êîãäà àìïëèòóäà âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ ñêîãî çíà÷åíèÿ

Bc ,

B

B.

ìåíüøå íåêîòîðîãî êðèòè÷å-

ðåçîíàíñíûå êðèâûå îäíîçíà÷íû è íàïîìèíàþò ðåçî-

íàíñíûå êðèâûå ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà ñ çàòóõàíèåì. Ìàêñèìóì ó íèõ ñìåùåí â ñòîðîíó áîëüøèõ ÷àñòîò, åñëè ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà îñöèëëÿòîðà ñ ðîñòîì àìïëèòóäû ðàñòåò, è - â ñòîðîíó ìåíüøèõ ÷àñòîò, åñëè ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà óáûâàåò. Êîãäà àìïëèòóäà âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ âèòñÿ áîëüøå êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ

Bc ,

ñòàíî-

ðåçîíàíñíàÿ êðèâàÿ ñòàíîâèò-

ñÿ íåîäíîçíà÷íîé. Ïîÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë çíà÷åíèé ÷àñòîò

44

B

(p1, p2),

ãäå ïðè

a b

A

d

B

c

4

B3 B2 B1

p

1

2

èñ. 6.1: åçîíàíñíûå êðèâûå íåëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà

45

èêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ èìååòñÿ òðè ðåøåíèÿ, ñ òðåìÿ ðàçíìè àìïëèòóäàìè. Èç àíàëèçà íà óñòîé÷èâîñòü ñëóäåò, ÷òî ðåæèìû, ñîîòâåòñòâóþùèå ñðåäíåé âåòâè, ÿâëÿþòñÿ íåóñòîé÷èâûìè, à äâå äðóãèå âåòâè ñîîòâåòñòâóþò óñòîé÷èâûì ðåæèìàì. Ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ, ïðè äâèæåíèè âäîëü ðåçîíàíñíîé êðèâîé ñëåâà íàïðàâî áóäóò ïðîèñõîäèòü ñëåäóþùèå ïðîöåññû. Ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû âíà÷àëå ïðîèñõîäèò ïëàâíîå óâåëè÷åíèå àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé. Ïðè ñîâïàäåíèè ÷àñòîòû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé îñöèëëÿòîðà

p = ω0 ,

êîãäà â ëèíåéíîé ñèñòåìå íàñòóïàåò ðåçîíàíñ, çäåñü

àìïëèòóäà êîëåáàíèé åùå äàëåêî íå äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà-

p îíà ïðîäîëæàåò ðàñòè äàëüøå äî íåêîòîðîãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç çíà÷åíèå ÷àñòîòû p = p2 , ïðîèñ÷åíèÿ. Ñ óâåëè÷åíèåì

õîäèò ñêà÷êîîáðàçíîå óìåíüøåíèå àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé. Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè ÷àñòîòûïðîäîëæàåòñÿ ïëàâíîå óìåíüøåíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé. Ïðè îáðàòíîì äâèæåíèè ïî ðåçîíàíñíîé êðèâîé ñêà÷êîîáðàçíîå óâåëè÷åíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé ïðîèñõîäèò ïðè äðóãîì çíà÷åíèè ÷àñòîòû: ñà

(p1, p2)

p = p1 .

Íàáëþäàåòñÿ ãèñòåðåçèñ. Â îáëàñòè ãèñòåðåçè-

ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ áèñòàáèëüíîé: ñîñóùåñòâóåò äâà óñòîé÷èâûõ

ñîñòîÿíèÿ. Îïèøåì ÿâëåíèå íåëèíåéíîãî ðåçîíàíñà íà ÿçûêå àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïðåäâàðèòåëüíî ïåðåïèøåì óðàâíåíèå íåàâòîíîìíîãî îñöèëëÿòîðà Äóèíãà â âèäå ñèñòåìû òðåõ äèåðåíöèàëüíûõ àâòîíîìíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà

x˙ = y, y˙ = −αy − ω02 x − µx3 + B cos z, z˙ = p.

(6.28)

Ýòà ñèñòåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî îñöèëëÿòîð Äóèíãà ïðè âíåøíåì ãàðìîíè÷åñêîì âîçäåéñòâèè èìååò òðåõìåðíîå àçîâîå ïðîñòðàíñòâî ñ êîîðäèíàòàìè

x, y, z

ïåðèîäè÷åñêîå ïî êîîðäèíàòå

z

(öèëèíäðè÷åñêàÿ ïîâåðõ-

íîñòü).  çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ îñöèëëÿòîðà è âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ëèáî îäèí, ëèáî òðè ïðåäåëüíûõ öèêëà, ñîîòâåòñòâóþùèõ óñòàíîâèâøèìñÿ ïåðèîäè÷åñêèì êîëåáàíèÿì. Çàèêñèðóåì àìïëèòóäó âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ

46

B = B1 ,

ðåçî-

íàíñíàÿ êðèâàÿ äëÿ êîòîðîé ïîêàçàíà íà ðèñóíêå 6.1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷àñòîòà âîçäåéñòâèÿ

p ìåíüøå p1 .  ýòîì ñëó÷àå àì-

ïëèòóäà êîëåáàíèé îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ÷àñòîòîé âîçäåéñòâèÿ.  àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìû èìååòñÿ îäèí óñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë (ðèñ.6.2à). Ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû, ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç áèóðêàöèîííîå çíà÷åíèå

p = p1 ,

â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ðîæäàåòñÿ ïàðà íîâûõ öèêëîâ:

óñòîé÷èâûé öèêë-3 è íåóñòîé÷èâûé öèêë-2 (ðèñ.6.2á). Íà ðåîíàíñíîé êðèâîé òî÷êå áèóðêàöèè ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà

d.

Òåïåðü â îñöèëëÿòîðå âîç-

ìîæíû äâà óñòîé÷èâûõ êîëåáàòåëüíûõ ðåæèìà. Îäíàêî, õîäÿ è ïðîèçîøëî êà÷åñòâåííîå èçìåíåíèå àçîâîãî ïîðòðåòà, â ñèñòåì íèêàêèõ èçìåíåíèé íàáëþäàòüñÿ íå áóäåò, ïîñîêîëüêó óñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë-1 ñîõðàíèëñÿ, è èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà áóäåò ïðîäîëæàòü äâèãàòüñÿ íà íåì. Ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû âîçäåéñòâèÿ îò çíà÷åíèÿ

p1 äî çíà÷åíèÿ p2, ðàäè-

óñ óñòîé÷èâîãî ïðåäåëüíîãî öèêëà-3 óìåíüøàåòñÿ. àäèóñ íåóñòîé÷èâîãî öèêëà-2 óâåëè÷èâàåòñÿ, è îí ñáëèæàåòñÿ ñ óñòîé÷èâûì öèêëîì-1. Ïðè ïåðåõîäå ïàðàìåòðà ÷åðåç áèóðêàöèîííîå çíà÷åíèå

p = p2 ,

óñòîé÷èâûé

öèêë-1 è íåóñòîé÷èâûé öèêë-2 ñëèâàþòñÿ è èñ÷åçàþò. Íà ðåçîíàíñíîé êðèâîé ýòî ñîîòâåòñòâóåò òî÷êå b. Òåïåðü â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìû îñòàåòñÿ åäèíñòâåííûé óñòîé÷èâûé öèêë (öèêë-3). Èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà èç îáëàñòè àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, ãäå äî áèóðêàöèè ðàñïîëàãàëñÿ óñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë-1, óñòðåìèòñÿ ê óñòîé÷èâîìó ïðåäåëüíîìó öèêëó-3.  îñöèëëÿòîðå áóäåò íàáëþäàòüñÿ ðåçêîå óìåíüøåíèå àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé äî çíà÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàäèóñó ïðåäåëüíîãî öèêëà-3. Ïðè îáðàòíîì äâèæåíèè ïî ïàðàìåòðó

p

âíà÷àëå

áóäåò íàáëþäàòüñÿ ïëàâíîå óâåëè÷åíèå ðàäèóñà óñòîé÷èâîãî ïðåäåëüíîãî öèêëà-3. Çà òî÷êîé

p = p2 ñ öèêëîì-3 íèêàêèõ áèóðêàöèé íå ïðîèñõîäèò.

Îí òàê æå áóäåò íàáëþäàòüñÿ â ýêñïåðèìåíòå. Îäíàêî ñòðóêòóðà àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà êà÷åñòâåííî ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç áèóðêàöèîííîå çíà÷åíèå

p = p2 .

Ñ âíåøíåé ñòîðîíû îò öèêëà-3 ïîÿâëÿåòñÿ ïàðà

ïðåäåëüíûõ öèêëîâ: óñòîé÷èâûé öèêë-1 è íåóñòîé÷èâûé öèêë-2. Ïðîèñõîäèò ñåäëî-óçëîâàÿ áèóðêàöèÿ ðîæäåíèÿ ïàðû öèêëîâ. Òåïåðü âíîâü â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìû èìåþòñÿ äâà óñòîé÷èâûõ öèêëà è îäèí ñåäëîâîé ïðåäåëüíûé öèêë. Ñåäëîâîé öèêë-2 è åãî óñòîé÷èâûå ìíîãîîáðàçèÿ ðàçäåëÿþò áàññåéíû ïðèòÿæåíèÿ óñòîé÷èâîãî öèêëà-1 è óñòîé÷èâî-

47

èñ. 6.2: Áèóðêàöèè ïðåäåëüíûõ öèêëîâ ïðè íåëèíåéíîì ðåçîíàíñå

48

ãî öèêëà-3. Ïðè äàëüíåéøåì óìåíüøåíèè ÷àñòîòû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ îò çíà÷åíèÿ

p = p2

äî çíà÷åíèÿ

p = p1

ðàäèóñ íåóñòîé÷èâîãî öèêëà-2

óìåíüøàåòñÿ, à óñòîé÷èâîãî öèêëà-3 óâåëè÷èâàåòñÿ. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç áèóðêàöèîííîå çíà÷åíèå

p = p1

îíè ñëèâàþòñÿ è èñ÷åçàþò, ïðîèñõîäèò

ñåäëî-óçëîâàÿ áèóðêàöèÿ èñ÷åçíîâåíèÿ ïàðû öèêëîâ.  àçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìû îñòàåòñÿ îäèí óñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë-1, ê êîòîðîìó è ïðèòÿíåòñÿ èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà.  ðåçóëüòàòå ïðîèçîéäåò ðåçêîå óâåëè÷åíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé. Ïðè äàëüíåéøåì óìåüøåíèè ÷àñòîòû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ áóäåò ïðîèñõîäèòü ïëàâíîå óìåíüøåíèå ðàäèóñà ïðåäåëüíîãî öèêëà-1.

Çàäàíèÿ è óïðàæíåíèÿ 1. Ïîñòðîèòü ñåìåéñòâà ðåçîíàíñíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé àìïëèòóäû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ. 2. Îïðåäåëèòü ïðèìåðíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ, âûøå êîòîðîãî ñèñòåìà ñòàíîâèòñÿ áèñòàáèëüíîé. 3. Ïîñòðîèòü ñîñóùåñòâóþùèå â îáëàñòè ãèñòåðåçèñà àòòðàêòîðû ñèñòåìû. 4. Ñîïîñòàâèòü ðåçóëüòàòû òåîðåòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ è êîìïüþòåðíîãî ýêñïåðèìåíòà. 5. Ïðîâåñòè ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè, ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åíûìè ïðèáëèæåííûìè àíàëèòè÷åñêèìè ìåòîäàìè. Îöåíèòü èíòåðâàëû çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, ãäå ïðèìåíèìû àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû.

6.5 Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà Ëàáîðàòîðíàÿ óñòàíîâêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîãðàììó, ðàçðàáîòàííóþ â ñðåäå LabView. Ïðîãðàììà ïîçâîëÿåò íàáëþäàòü ÿâëåíèå íåëèíåéíîãî ðåçîíàíñà è ñíèìàòü ðåçîíàíñíûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû. àáî÷åå îêíî ïðîãðàììû ïðåäñòàâëåíî íà èñ. 6.3.

49

èñ. 6.3: Ïðîãðàììà äëÿ èññëåäîâàíèÿ ÿâëåíèÿ íåëèíåéíîãî ðåçîíàíñà íà ïðèìåðå îñöèëëÿòîðà Äóèíãà.

50

Êíîïêàìè "

"è "

"â âåðõíåé ÷àñòè ðàáî÷åãî îêíà ïðîèçâîäèò-

ñÿ ñîîòâåòñòâåííî çàïóñê è îñòàíîâêà èíòåãðèðîâàíèÿ. Îñòàíîâèòü ïðîãðàììó ìîæíî òàêæå êíîïêîé Stop. ðàèêè x-y è t-x(t) îòîáðàæàþò ñîîòâåòñòâåííî àçîâûé ïîðòðåò è âðåìåííóþ ðåàëèçàöèþ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé â îñöèëëÿòîðå Äóèíãà. Ñ ïîìîùüþ èíñòðóìåíòîâ "

"

"è "

"óñòàíàâëèâàþòñÿ ïðåäåëû ïîêàçàíèé ýòèõ ãðàèêîâ.

Íà ãðàèêå Spe trum îòîáðàæàåòñÿ ñïåêòð êîëåáàíèé. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ óñòàíàâëèâàþòñÿ â îêíàõ x è y. Ïàðàìåòðû îñöèëëÿòîðà çàäàþòñÿ ðåãóëÿòîðàìè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîäïèñÿìè. ó÷êàìè A è w çàäàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî àìïëèòóäà è ÷àñòîòà âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ. Âðåìÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ââîäèòñÿ â îêíå t. Èíäèêàòîð Amplitude ïîêàçûâàåò àìïëèòóäó êîëåáàíèé íåàâòîíîìíîãî îñöèëëÿòîðà. Èçìåíÿÿ ÷àñòîòó âîçäåéñòâèÿ ïðè ðàçëè÷íûõ àìïëèòóäàõ A è ñíèìàÿ ïîêàçàíèÿ èíäèêàòîðà àìïëèòóäû êîëåáàíèé, ìîæíî ïîëó÷èòü ñåìåéñòâî ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ äëÿ çàäàííûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ îñöèëëÿòîðà Äóèíãà.

51

Ëèòåðàòóðà [1℄ Ë.È. Ìàíäåëüøòàì. Ëåêöèè ïî òåîðèè êîëåáàíèé. - Ì., Íàóêà, 1972. [2℄ À.À. Àíäðîíîâ, À.À. Âèòò, Ñ.Ý. Õàéêèí. Òåîðèÿ êîëåáàíèé. - Ì., Íàóêà, 1981. [3℄ Â.È. Êàëèíèí, .Ì. åðøòåéí. Ââåäåíèå â ðàäèîèçèêó. Ì., îñòåõèçäàò, 1957. [4℄ À.À. Õàðêåâè÷. Îñíîâû ðàäèîòåõíèêè. Ì., Ñâÿçüèçäàò, 1962. [5℄ À.À. Õàðêåâè÷. Íåëèíåéíûå è ïàðàìåòðè÷åñêèå ÿâëåíèÿ â ðàäèîòåõíèêå. -Ì., îñòåõèçäàò, 1956.

[6℄ Ê.Ô. Òåîäîð÷èê. Àâòîêîëåáàòåëüíûå ñèñòåìû. Ì.: îñòåõèçäàò, 1952. [7℄ Í.Í. Áîãîëþáîâ, Þ.À. Ìèòðîïîëüñêèé. Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû â òåîðèè íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé. - Ì., Ôèçìàòãèç, 1958.

[8℄ Í.Í. Ìîèñååâ. Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû íåëèíåéíîé ìåõàíèêè. Ì., Íàóêà, 1981. [9℄ Ï.Ñ. Ëàíäà. Àâòîêîëåáàíèÿ â ñèñòåìàõ ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ì., Íàóêà, 1980.

[10℄ Ì.È. àáèíîâè÷, Ä.È. Òðóáåöêîâ. Ââåäåíèå â òåîðèþ êîëåáàíèé è âîëí. Ì., Íàóêà, 1984.

[11℄ Â.Ñ. Àíèùåíêî. Ñëîæíûå êîëåáàíèÿ â ïðîñòûõ ñèñòåìàõ. Ì., Íàóêà, 1990. [12℄ Í.Â. Áóòåíèí, Þ.È. Íåéìàðê, Í.À. Ôóàåâ. Ââåäåíèå â òåîðèþ íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé. Ì., Íàóêà, 1987.

52

[13℄ È.È. Áëåõìàí. Ñèíõðîíèçàöèÿ â ïðèðîäå è òåõíèêå. Ì., Íàóêà, 1981. [14℄ À. Ïèêîâñêèé, Ì. îçåíáëþì, Þ. Êóðòñ. Ñèíõðîíèçàöèÿ. Ôóíäàìåíòàëüíîå íåëèíåéíîå ÿâëåíèå. - Ì., Òåõíîñåðà, 2003.

[15℄ Êóçíåöîâ À.Ï., Êóçíåöîâ Ñ.Ï., ûñêèí Í.Ì. Íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âóçîâ. - Ì., Èçäàòåëüñòâî èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé

ëèòåðàòóðû, 2002. [16℄ Ï. Áåðæå, È. Ïîìî, Ë. Âèäàëü. Ïîðÿäîê â õàîñå. Ì., Ìèð, 1991. [17℄ . Øóñòåð, Äåòåðìèíèðîâàííûé õàîñ. Ì., Ìèð. 1988. [18℄ Â.Ñ. Àíèùåíêî, Ò.Å. Âàäèâàñîâà, Â.Â. Àñòàõîâ, Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà õàîòè÷åñêèõ è ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì. Ñàðàòîâ, Èçä-âî Ñàðàò.

óí-òà, 1999. [19℄ Í.Â. Êàðëîâ, Í.À. Êèðè÷åíêî. Êîëåáàíèÿ, âîëíû, ñòðóêòóðû. - Ì.: Ôèçìàòëèò, 2001. [20℄ Äæ. óêåíõåéìåð, Ô. Õîëìñ. Íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ, äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû è áèóðêàöèè âåêòîðíûõ ïîëåé. Ìîñêâà-Èæåâñê: Èíñòè-

òóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, 2002.

53