凸体と代数幾何学 (紀伊國屋数学叢書 24)

紀伊國屋数学叢書 24

編集委 員 伊藤 戸田

清 三   (東京大学名誉教授) 宏 

(京都大学名誉教授)

永田

雅 宜   (京都大学名誉教授)

飛田

武 幸   (名古屋大学名誉教授)

吉沢

尚 明   (京都大学名誉教授)

小 田 忠雄

凸 体 と代 数 幾 何 学 紀伊國屋書店

序

  トー リ ック多 様 体 あ るい は トー ラ ス埋 込 み と呼 ば れ る代 数 多様 体 の 理 論 は, 実 ア フ ィ ン空 間 内 の 凸 図 形 の幾 何 学 と代 数幾 何 学 とを 関 連 づ け る理 論 で あ る. 1970年 代 初 頭 に基 礎 づ け が 行 わ れ て 以来 の10年 間 に 長 足 の発 展 を 遂 げ,数

々

の 興 味 深 い 応 用 例 を 生 み 出 した.   本 書 は,ト

ー リ ッ ク多 様 体 に 関 し て これ まで に 得 られ た 結 果 の な るべ く多 く

の 部 分 を 統 一 的 な 形 に ま とめ るた め に著 した も の で あ る.   近 年 代 数 幾 何 学 の教 科 書 は 何 種 類 も 出版 され てお り,20年 前 に較 べ て基 礎 的 知 識 が 得 や す くな って い る.し か し な が ら初 学 者 が 学 ぶ べ き基 本 的 概 念 の量 は 尨 大 で あ り,一 般 論 に 馴 染 ん だ 上 で そ れ らを 有 機 的 に使 用 し て研 究 を行 うの は 決 して 容 易 で な か ろ う.   そ こで 代 数 幾 何 学 へ の判 り易 い 入 門 書 とな る こ とも 目標 とす る本 書 で は,予 備 知 識 の 量 に わ ず らわ され ず に あ る程 度 理 論 の実 態 が判 るよ うに,複 素 解 析 空 間 と して トー リ ッ ク多 様 体 を 構 成 す る こ と に し た.そ

れ ら の複 素 解 析 的性 質

を,目 に 見 え る凸 図 形 の初 等 幾 何 学 に翻 訳 で き るばか りで は な く,興 味 あ る複 素 解 析 空 間 の 具 体 例 も比 較 的 容 易 に構 成 で き る の で あ る.   しか しな が ら トー リ ッ ク多 様 体 は 本 質 的 に は 代 数 多 様 体 で あ り,そ の基 本 的 性 質 の 証 明 に はGAGA定

理 を 通 じ て代 数 幾 何 学 に帰 着 させ る こ とが 不 可避 で

あ る.そ の た め に 必 要 な一 般 論 は,証

明は と もか くな るべ く判 り易 い形 で本 書

に 収 録 す る よ う努 め た.複 素 解 析 学 と代 数 幾 何 学 との間 の差 異 が か え って浮 き 彫 りに な って い れ ば 怪 我 の 功 名 で あ る.   第1章 で は トー リ ッ ク多 様 体 理 論 の基 礎 的 部 分 を解 説 す る.実 ア フ ィン空 間 内 の 扇 お よび 扇 の 写 像 を 定 義 し,そ れ らを 使 っ て トー リ ッ ク多 様 体 お よ び 同変 正 則 写 像 を 構 成 す る.扇 お よび 扇 の 写 像 の 興 味 あ る具 体 例 は 比 較 的 容 易 に作 る こ とが で き,そ れ に応 じ て複 素 解 析 空 間 お よび 正 則 写 像 の面 白い 例 が 沢 山構 成 で き る こ と とな る.ま た 例 え ば 双 有 理 幾 何 学 の 基 本 的 問 題 が,ト

ー リッ ク多 様

体 の 場 合 に は 扇 の細 分 に 関 す る興 味 あ る問 題 に帰 着 で き る の で あ る.   第2章 で は,コ

ンパ ク トな トー リッ ク多 様 体 の コホ モ ロジ ー お よび射 影 空 間

に 埋 込 め る トー リッ ク多 様 体 を取 扱 う.凸 体 に含 まれ る格子 点 の 問題 や 凸体 の 等 周 問題 が,ト

ー リ ッ ク多様 体 の 代 数幾 何 学 的 問 題 に翻 訳 で き る こ と も判 る.

また 射 影 多 様 体 に関 す る強 力 な森 理 論 も,ト ー リッ ク多 様 体 の場 合 に は少 し一 般 化 した 上 で 扇 を 使 って 解 明す る こ とが で き る.   第3章 で は,ト

ー リ ッ ク多 様 体 上 の微 分 形 式 に関 連 した 話 題 を と り あ げ る.

複 素 解 析 多 様 体 の変 形,退 化 に関 連 が あ る ばか りで は な く,可 換 環 論 の立 場 か ら も興 味 あ る話 題 であ る.ま た 関連 し てCremona群   第4章

も本 章 で取 り挙 げ る.

では,本 書 で 取 扱 い得 な か った重 要 な応 用 に簡 単 に触 れ た 後,循 環 連

分 数 と2次 元 カ ス プ特 異 点 と の関 係,さ

ら にそ れ らの 高次 元 へ の 自然 な一 般 化

を 紹 介 す る.簡 単 に触 れ るVⅡ 型 曲面 の構 成 と共 に,ト ー リッ ク多 様 体 の開 集 合 の 離 散 群 に よる商 空 間 とし て興 味 あ る複 素多 様 体 を構 成 す るの で あ る.   凸 体 に 関 す る文 献 は 沢 山存 在 す る が,そ の 中 か ら本書 で 必要 とす る事 項 を ま とめ て 付 録 とした.   これ ま で に発 表 され て い る トー リ ッ ク多 様 体 関 係 の論 文,解 説 の 内 容 を 本書 に 数 多 く組 み 入れ させ て頂 い た.著 者 諸 氏 に この場 で感 謝 を した い.ま た 本書 の随 所 で 明 らか な よ うに,最 初 の共 同 研 究 者 で あ る 名古 屋 大 学 の三 宅 克 哉 氏, 次 の共 同 研 究 者 で あ って単 独 に も この理 論 の 発 展 に 貢献 され た 東 北 大 学 の 石 田 正 典 氏 に 負 う と ころが 多 い.ま た 石 田 氏 に は 原稿 に 部分 的 に 目を 通 して 頂 き貴 重 な助 言 も頂 い た.こ の機 会 に 両 氏 に 謝 意 を 表 した い.   本 叢 書 へ の執 筆 を御 薦 め頂 い た 永 田 雅 宜,飛 田武 幸 の 両 先 生 に こ こで 感 謝 を す る と と もに,完 成 が大 幅 に 遅 れ,編 集 委 員 会 の諸 先 生 お よび 紀 伊 國 屋 書 店 出 版 部 の諸 氏 に 御 迷 惑 を お か け した こ とを お わ び す る.   本 書 の 印 刷 中,1983年11月10目

不 慮 の 事 故 に よ り急 逝 さ れ た 畏 友 宮 田武

彦 氏 に 本 書 を 捧 げ 御 冥 福 を 祈 りた い.   尚,本 書 は英 訳 され,Convex duction

to the Theory

15,Springer-Verlag,1988と

Bodies

of Toric

and Algebraic

Geometry:An

Varieties,Ergebnisse

der

Intro Math.(3)

して出 版 され て い る. 著

者

目

次

序 第1章 

扇 と トー リ ッ ク 多 様 体

  §1.1  有 理 強 凸 多 面 錐 と 扇 

1

  §1.2 

4

トー リ ッ ク 多 様 体 

  §1.3  軌 道 分 解,角

付 き 実 多 様 体 お よ び 基 本 群 

12

  §1.4  非 特 異 性 と コ ン パ ク ト性 

17

  §1.5  同 変 正 則 写 像 

22

  §1.6  低 次 元 トー リ ッ ク 特 異 点 と有 限 連 分 数 

27

  §1.7 

41

第2章

トー リ ッ ク多 様 体 の 双 有 理 幾 何 学 

  整 凸 多 面 体 と トー リ ッ ク 射 影 多 様 体

  §2.1  同 変 直 線 バ ン ドル,不

持 函数

  70

  §2.2  コ ン パ ク トな トー リ ッ ク 多 様 体 の コ ホ モ ロ ジ ー 

76

  §2.3  射 影 空 間 へ の 同 変 正 則 写 像 

89

  §2.4 

変Cartier因

子,支

トー リ ッ ク射 影 多 様 体 

  §2.5  森 理 論 と トー リ ッ ク 射 影 多 様 体  第3章

 

101 115

トー リ ッ ク多 様 体 と 微 分 形 式

  §3.1  対 数 的 極 を 持 つ 微 分 形 式 

128

  §3.2  石 田 の 複 体 

132

  §3.3  コ ン パ ク トな トー リ ッ ク 多 様 体 と微 分 形 式 

144

  §3.4 

トー リ ッ ク 多 様 体 の 自 己 同 型 群 とCremona群 

150

第4章 

い くつ か の 応 用

  §4.1  循 環 連 分 数 と2次

元 トー リ ッ ク 多 様 体 

166

  §4.2  カ ス プ特 異 点 

172

  §4.3  トー リ ッ ク多 様 体 の コン パ ク ト商 多 様 体 

190

付

録   凸 体 の幾 何 学

  §A.1  凸 多 面 錐 

195

  §A.2  凸 多 面 体 

202

  §A.3  支 持 函 数 

205

  §A.4  コン パ ク ト凸集 合 の混 合 体 積 

209

  §A.5  コン パ ク ト凸 多 面体 の 形 態 

213

文

223

献 

第1章

  扇 と トー リ ック多様 体

  本 章 にお い ては 凸 体 の幾 何 学 的 素 材 で あ る扇 を まず 定 義 し,さ 然 に トー リ ッ ク多 様 体(あ

らに扇 か ら 自

るい は トー ラス埋 込 み)と 呼 ば れ る複 素 解 析 空 間 を

構 成 す る.こ の構 成 方 法 は非 常 に簡 単 な もの で あ るが,本 書 に お い て紹 介 す る よ うに,自 然 界 に は 数 学 的 に有 意 義 な扇 が 多 数 存 在 し,そ れ に応 じて興 味 あ る 複 素 解 析 空 間 が 自然 に 構 成 出来,応 用 範 囲が 案 外 広 い の で あ る.   こ の理 論 の要 点 は,ト

ー リッ ク多 様 体 の複 素 解 析 的 諸 性 質 が,扇 の初 等 幾 何

学 的 性 質 で 記 述 出来 る こ とに あ り,そ の うち で最 も基 本 的 な もの につ い て は本 章 で 取 扱 い,そ の 他 に つ い ては 後 章 に 譲 る.   簡 単 のた め 複 素 解 析 空 間 とし て構 成 す るが,全

く同 じ方 法 に よ り,扇 に対 し

任 意 の基 礎 体 また は可 換 環 上 の代 数 多 様 体 とし て トー リ ッ ク多 様 体 を 構 成 す る こ とが 出来,標

数 に無 関 係 な代 数 幾 何 学 の 判 り 易 い 素 材 を 得 る.Demazure

[D5],Mumford達[TE],佐

武[S1],三

宅 ‐小 田[MO′]が1970年

代初頭 に

互 い に 独 立 に 基 礎 づ け を 行 った 理 論 で あ る.[TE],[MO],Danilov[D1],小 田[O1]に

代 数幾 何 学 的 立 場 か らの 総 合 的 な 解 説 が あ る.

 §1.1 有理強 凸多面錐 と扇   階 数rの

自由Z‐ 加 群 

を固 定 し て考 え る.M=HomZ(N,Z)を

その

双対Z‐ 加 群 とす れ ば,自 然 なZ‐ 双 線 形 写 像

を 得 る.N,Mの

係 数 を 実 数 体Rに

拡 張 し たr次 元R‐ ベ ク トル空 間 を 

とす れ ば,係 数 拡 大 に よ りR‐ 双 線 形 写 像<,>: MR×NR→Rを

  定 義  NRの

得 る.

部分 集 合 σ が(原 点0を 頂 点 とす る)有 理 強 凸 多 面錐 で あ る と

は,有 限 個 のNの

元n1,n2,…,nsが

存在 して

とな り,さ

らに σ∩(-σ)={0},す

ま な い こ とで あ る.た だ し 

な わ ち σが{0}以

外 にR‐ 部 分 空 間 を 含

は 非 負実 数 全 体 の 意 味 で あ る.

  つ ま りσは 付 録 §A.1の 意 味 でR‐ ベ ク トル空 間NR内

の凸 多 面 錐 であ るが,

{0}以 外 にR‐ 部 分 空 間 を 含 ま ない と い う意 味 で強 凸 で あ る.さ 性 す なわ ち あ らか じ めNR内

に与 え られ た格 子Nに

ら に σ の 有理

関 し て整 数 方 向(有 理 数 方

向 と い っ て も同 じ)の ベ ク トル で張 られ て い る こ とも 要請 す るの で あ る.付 録 §A.1に

お け る諸 概 念 を この 場 合 に も次 の よ うに適 用 出来 る.

  有 理 強 凸 多 面 錐 σ の次 元dimσ +(-σ)=Rσ

の 次 元 で あ る.我

扱 う.σ のMRに

と 定 義 す れ ば,こ 1.3参 =rと

照).σ

とは σを 含 むNRの

最 小 のR‐ 部 分 空 間 σ

々 はr以 下 色 々 の次 元 の有 理 強 凸 多 面 錐 を 取

お け る双 対 錐 を

れ はMR内

の 凸 多 面 錐 で あ り,し

か も 有 理 的 で あ る(命 題

が 強 凸 で あ る こ と に よ り 

す な わ ちdimσv

な る .σ の 部 分 集 合 τ が σ の 面 で あ る と は あ るm0∈

と な る こ とで あ り,τ<σ は 実 はM∩

と記 す.後

述 の 命 題1.3で

σvか ら選 ぶ こ と が 出 来,従

自 身 は σ の 面 で あ る.ま

σvに 対 し て

示 す よ うに,上

記 のm0

っ て τ も ま た 有 理 強 凸 多 面 錐 で あ る.σ

た 強 凸 性 か ら{0}も

σ の 面 で あ る(命

題A.5参

照).

以 上 の 準 備 の も と に 我 々 が 基 本 とす る 扇 の 概 念 が 導 入 出 来 る.   定 義   Nの hedral て,次

扇(fan,eventail)あ

decomposition)と

は,NRの

る い はr.p.p.分

割(rational

partial

poly

有 理 強 凸 多 面 錐 の 空 で な い 集 合 Δで あ っ

の 性 質 を 持 つ も の で あ る.対(N,Δ)を

扇 と 呼 ぶ こ と も あ る.

  (ⅰ)σ ∈ Δ な ら σ の 面 も す べ て Δ に 属 す る.   (ⅱ) σ,τ∈ Δ な ら 共 通 集 合 σ∩ τ は σ の 面 か つ τ の 面 で あ る.   和 集 合￨Δ￨:=∪   す な わ ちNRの 限 個 の)有

σ∈Δσ を 扇 Δ の 台(support)と 一 部 分￨Δ￨を,互

呼 ぶ.

い に 相 対 内 部 で は 交 わ ら な い(一 般 に は 無

理 強 凸 多 面 錐 に よ っ て 分 割 し て い る こ と に な る.便

Δ に 含 め て 考 え る の で あ る.r=2の

宜 上 面 もす べ て

と き の 例 を 考 え れ ば 第1.1図

の ご と くで

あ り,(一 般 に は ボ ロ ボ ロ に 破 れ の あ る)扇 の 名 称 の 由 来 が お 判 り頂 け る と思 う. た だ し 斜 線 部 分 は2次

元 多 面 錐 で あ る こ と を 意 味 す る.

第1.1図

  命 題1.1 

NRの

  (ⅰ) Mの むMの m+m′

有 理 強 凸 多 面 錐 σ に 関 し 次 の こ と が 成 り立 つ.

部 分 集 合 は0を

含

部 分 加 法 半 群 で あ る.す

な わ ち0∈

〓σ で あ り,ま

たm,m′

∈ 〓σ な ら

∈ 〓σ で あ る.

  (ⅱ) 〓σは 加 法 半 群 と し て 有 限 生 成 で あ る.す

な わ ち 有 限 個 のm1,…,mp∈

〓σ が 存 在 し て  が 成 立 す る.た   (ⅲ) 〓σは 加 法 群Mを

だ し 

生 成 す る.す

  (ⅳ) 〓σは 飽 和 で あ る.す な ら 実 はm∈

は 非 負 整 数 の 全 体 で あ る. なわち

な わ ちm∈Mと

〓σ+(-〓

σ)=Mで

自然 数cに

あ る.

対 し て も しcm∈

〓σ

〓σ で あ る.

  逆 に(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ),(ⅳ)の 性 質 を み た すMの

部 分 加 法 半 群 〓 が 与 え ら れ れ ば,N

の 唯 一 つ の 有 理 強 凸 多 面 錐 σ が 決 ま り 〓=〓

σ と な る.

  証 明   (ⅰ),(ⅳ)は定 義 に よ り 明 ら か で あ る.   (ⅲ)を示 そ う.σ が 強 凸 で あ る か ら 定 理A.1に てdimσv=rで …

,mr∈M∩

よ り 

あ る こ と は 前 述 の 通 りで あ る.よ σv=〓

σ が 存 在 す る.こ

は σvに 含 ま れ,ま を適 当 に

,従

っ てR上

っ

一 次 独 立 なm1,

の と き 単 体 的 な 有 理 多 面 錐 

た 任 意 のm∈Mに

べ ばm+m′

対 し て 

∈ ρ,従 っ て 

と 出 来 る.   次 に(ⅱ)を示 す.こ れ はGordanの はr次

元 で あ る.従

補 題 と 呼 ば れ る も の で あ る.上 述 の 通 りσv

っ て 定 理A.3(Caratheodoryの

単 体 的 有 理 強 凸 多 面 錐 の 有 限 和 集 合 と書 け る.単 れ に 含 ま れ るMの

定 理)に よ り σvはr次

元

体 的 な もの お の お の に つ きそ

元 全 体 が 有 限 生 成 半 群 で あ る こ と を 示 せ れ ば,そ

れ らの 有

限 和 集 合 で あ る 〓σ も有 限 生 成 で あ る こ と が 判 る.従 あ る と 仮 定 し て も 一 般 性 を 失 わ な い.す

な わ ちR上

〓σが 存 在 し て  れ はMの と な る.任 を 選 べ ばm-m′

のm1,…,mrに

り小 と 出 来 る.つ

れ ら とm1,…,mrが

意 のm∈

は0を

はMRの

NRの

有 理 凸 多 面 錐 と な る(命 題1.3の

ら ρ+(-ρ)=MR,従

張 ら れ る 

生 成 され て い る も の とす 凸 多 面 錐 で あ り,σ:=pvは

証 明 参 照).〓+(-〓)=Mで

っ て σ ∩(-σ)={0}と

の 定 理 に よ りp=rす

上1よ

の よ うな点 は 明 らか に 有 限個 で あ

が 半 群 と し てm1,…,mpで

の と き 

σv=M∩

す べ て0以

頂 点 と し てm1,…,mrで

点 と な る.そ

る.こ

あ るか

な り σ は 強 凸 で あ る.明

らか

ρ で あ る.逆 の 包 含 関 係 を 示 す に は,再 びCaratheodory な わ ち ρが 単 体 的 で あ る と 仮 定 し て も 一 般 性 を 失 わ な

の と き 上 述 と 同 様 の 議 論 に よ りM∩

負 有 理 数 係 数 の 一 次 結 合 に 書 け る.従 …,mrの

〓σ に 対 し 適 当 なm′ ∈M′ ∩σv

〓σを 半 群 と し て 生 成 す る こ と に な る.

  最 後 に 逆 を 示 そ う.〓

い.そ

指 数 有 限 な 部 分 群 で あ り し か も 

関 す る 係 数a1,…,arは

ま りm-m′

の 基 本 平 行 体 内 のMの

に 〓 ⊂M∩

一 次 独 立 なm1,…,mr∈

で あ る と 仮 定 す る.今 

と す れ ば,こ

り,そ

っ て σv自 身 が 単 体 的 で

ρ の 任 意 の 元mはm1,…,mrの

っ てmの

非

自 然 数 倍 を 適 当 に と れ ばm1,

非 負 整 数 係 数 の 一 次 結 合 に 書 け 〓 に 属 す る .飽

和 性 に よ りm∈

〓 で

あ る.

  §1.2  トー リ ック 多 様 体   0で な い 複 素 数 全 体 の な す 乗 法 群 をCxと 的 トー ラ ス(algebraic

こ の と きm∈Mに

す る. 

torus) 

(r個)を

対 応 す る 指 標e(m)す

に 対 しr次

元代数

次 の よ う に 定 義 す る.

なわち準同型

e(m):TN→Cx をt∈TNに

対 しe(m)(t):=t(m)で

法 則  はTNの

定 義 す る.従 が 成 立 し,特

っ てm,m′

にe(0)=1で

指 標 群 と 同 一 視 出 来 る.

  一 方n∈Nに

対 し 一 助 変 数 部 分 群 γnす な わ ち 準 同 型

∈Mに あ る.か

対 し指 数 くし てM

を λ∈Cx,m∈Mに <m,n>乗

対 し γn(λ)(m):=λ<m,n>で

の 意 味 で あ る.n,n′

てNはTNの

∈Nに

定 義 す る.右

辺 は λの整 数

対 し γn+n′=γn・γn′が 成 立 す る.か

くし

一 助 変 数 部 分 群 全 体 の な す 群 と 同 一 視 出 来 る.

  よ り具 体 的 に は 次 の 通 り で あ る.NのZ‐ 対 基 底 を{m1,…,mr}と

を 得 る.す

す る. 

た 

局e(m)はTN上

双

す れ ば 同型

座 標 系 を 与 え る. 

で あ り,結

で あ る.ま

と り,Mの

に 対 しuj=e(mj)と

な わ ち(u1,…,ur)はTNの

ら 

基 底{n1,…,nr}を

な

のLaurent単

な ら はλ∈Cxに

項式 なの

対 し 

を 対 応 させ る準 同 型 で あ る.   代 数 的 トー ラス の持 つ基 本 的 性 質 は,可 換 代 数 群 で あ る こ と と次 の完 全 可 約 性 を み たす こ とで あ る.証 明 は そ れ ほ ど困 難 で は な く,代 数 群 の標 準的 な参 考 書 に は どれ に で も載 って い る.   完 全 可約 性 定理   代 数 的 トー ラスTNがC‐

ベ ク トル空 間Wに

し て い る とす る.す なわ ち群 の準 同型 ρ:TN→GL(W)が ρの 各 行 列 成 分 が 座 標u1,…,urのLaurent多 この と き各m∈Mに

対 し指 標mに

代数的に作用

与 え られ,し か も

項 式 で 表 わ され る もの とす る.

関 す る 固有 空 間 を 

と定 義 す れ ば,Wは

それ ら の直 和

に 分 解 す る.   扇 か ら トー リ ッ ク多 様 体 を 構 成 す る際 に 基 本 とな る のは,Mか ラスTN=HomZ(M,Cx)を

定 義 す る上 述 の 方 法 を 命題1.1に

ら代数 的 トー お け る部 分 加 法

半 群 〓σに 拡 張 す る次 の結 果 で あ る.   命 題1.2  NRの

有 理 強 凸 多 面 錐 σに対 し命 題1.1に

部分加法半群を 

と し,ま

は1対1写

たm∈

とす る.こ

〓σ とu∈Uσ

像 で あ る.Uσ

よ り得 るMの

に 対 しe(m)(u):=u(m)と

をCpに

有 限生成 の とき

すれば

お け る そ の 像 と 同 一 視 す れ ば,Uσ

はCp内

で い くつ か の(単 項 式)=(単 的 部 分 集 合 で あ る.複

項 式)の 形 の 有 限 個 の 方 程 式 系 の 解 集 合 と な り代 数

素 解 析 空 間Cpか

ら 導 か れ る 構 造 に よ りUσ はr次

既 約 か つ 正 規 な 複 素 解 析 空 間 と な り,し に よ ら な い.ま

た 各m∈

か も そ れ は 生 成 元m1,…,mpの

〓σ に 対 しe(m)はUσ

元 の 選 び方

上 の 多 項 式 函 数 で あ り,従

っ

て 正 則 函 数 で あ る.   注   Uσ に は 実 はC上

の既 約 ア フ ィ ン代 数 多 様 体 の構 造 が入 り,そ れ に 付随 し て 自然

に 得 られ る複 素解 析 空 間 の構 造 が 上記 の もの で あ る.後 述 の 通 り我 々は トー リッ ク多 様 体 の 複 素解 析 的 性 質 の 証 明を,こ

の事 実 に よ って 代数 幾 何学 に 帰 着 さ せ る こ とが 出来 る

の で あ る.ち な み に 代 数 幾 何 学 を 使 用 す れ ばUσ の代 数 多 様 体 と して の構 造は 次 の よ う に 明快 に 記 述 出 来 る.す な わ ちMのC上 し こ こで はe(m)を

の 群 環 を 

とす る.た だ

単 な る記 号 と考 え,積 の構 造 を 

で 入 れ る.

この と き ア フ ィン ・スキ ー ムSpec(C[M])のCに 準 同 型C[M]→C)の

値 を持 つ 点(す なわ ち環 と し て のC‐

全 体 は 明 らか に 我 々 の代 数 的 トー ラ スTN=HomZ(M,Cx)と

致 す る.〓 σはMの

部 分 加 法 半 群 で あ るか らそ のC上

をC‐ 基 底 とす るC[M]の Cに 値 を持 つ 点(す

一

の半 群 環C[〓 σ]は{e(m);m∈

部 分 環 であ る.こ の と き ア フ ィン ・ス キ ー ムSpec(C[〓

なわ ち環 と して のC‐ 準 同型C[〓 σ]→C)の

〓σ} σ])の

全 体 は 明 ら か にUσ と

一 致 す る.   命 題1.2の u∈Uσ

証 明   m1,…,mpは

は 

ap∈Cが

っ て定 義 に よ り

に よ っ て 唯 一 通 りに 決 ま る.a1,…,

与 え られ た とき 

にa1,…,apが

とな るu∈Uσ が 存 在 す る ため

み た す べ き 必 要 十 分 条 件 は,上

変 数x1,…,xpを xp]か

加 法 半 群 〓σを 生 成 す る.従

らC[〓

と き そ の 核Iの

そ れ ぞ れe(m1),…,e(mp)に σ]=C[e(m1),…,e(mp)]へ

記 の 注 を 使 え ば 次 の 通 りで あ る. 移 す よ う な 多 項 式 環C[x1,…,

のC上

の 環 準 同 型 を 考 え る.こ

イ デ ア ル と し て の 生 成 元f1(x),…,fq(x)を

ap)がf1(a)=…=fq(a)=0を

み た す こ と で あ る.さ

の

とれ ば,a=(a1,…, て 

とす れ ば,  と な る.た

はm∈

〓σ に わ た る 和,ま

た Σ"は

ν1m1+…+νpmp=mを

ν1,…,νpの す べ て に わ た る 和 で あ る.簡 よ う なfか

ら な る イ デ ア ルIの

ぶ こ と が 出 来 る.す

だ しb(ν1,…,νp)∈Cで

あ り, 

みたす非負整数

単 な 計 算 に よ り 明 ら か な よ うに,こ

の

生 成 元 とし ては 次 の よ うな形 の もの 有 限 個 を 選

な わ ち 非 負 整 数 λ1,…,λp,μ1,…

μpがMに

お い て λ1m1

を み た す と きの 多 項 式  で あ る.   命 題 の 証 明 を 完 了 す る に は,Uσ の ア フ ィ ン 代 数 多 様 体 と し て の 座 標C[〓 がr次

元 の 正 規 整 域 で あ る こ と を 見 れ ば よ い.C[M]は

urに 関 す るLaurent多 域 で あ る.従

で あ る か ら 各m∈Mは る.従

前 述 の 通 り変 数u1,…,

項 式 全 体 の 環 

っ て そ の 部 分 環 で あ るC[〓

と を 示 そ う.C[M]が

と一 致 す る ので 整 σ]も そ うで あ る.ま

あ るm′,m"∈

っ てe(m)=e(m′)/e(m")と

一 致 す る こ と が 判 る .最

書け

σ]の 商 体 とC[M]の

商 体 とが

σ]が 正 規 す な わ ち 商 体 の 中 で 整 閉 で あ る こ

明 ら か に 正 規 で あ る こ と か ら,C[〓

整 閉 包RはC[M]に

含 ま れ る.t∈TN,m∈Mに

定 義 す る こ と に よ りTNはC[M]に

代 数 的 に 作 用 し,C[〓

対 しe(m)がC[〓

っ てR=C[〓

σ]上 整 な らm∈

σ]とRはTN‐

元 で あ り,e(m)の

σ]を 示 す た め に は,m∈

〓σ で あ る こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る .

a1,…,aν ∈C[〓 σ]に 対 しe(m)ν+a1e(m)ν-1+…+aν=0が せ よ.各aje(m)ν-jの

成 立 して い る と

指 標 νmに 関 す る 固 有 空 間 成 分 を 考 え れ ば,あ

に 対 しm′ ∈ 〓σ が 存 在 し て νm=m′+(ν-j)mと

〓σ で あ る.

場 合 の 簡 単 な 例 を 挙 げ よ う.{n1,n2}をNのZ‐

m2}をMの

双 対 基 底 とす る(第1.2図

  (ⅰ) 

  (ⅱ) 

な ら  と な る. 

基 底 と し,{m1,

参 照).

な ら  と な る. 

る 

な る こ と が 判 り,jm=

m′∈ 〓σ で あ る こ と に な る.〓 σの 飽 和 性 に よ りm∈   例   r=2の

不

固 有 空 間 の 直和 に 分 解

記 の 作 用 の 定 義 か ら 各 固 有 空 間 は 高 々1次

形 の 元 で 生 成 さ れ る こ と が 判 る.従 Mに

σ]の 商 体 に お け る

対 しt・e(m):=t(m)e(m)と

変 な 部 分 空 間 で あ る.前 述 の 完 全 可 約 性 定 理 に よ りRは さ れ る が,上

た 

〓σ に よ りm=m′-m"と

な り,C[〓

後 にC[〓

σ]

で あ り,  は 同 型 で あ る. で あ り,  に よ り  で あ る.

  (ⅲ)σ={0}な

ら 

と な り,結 局(ⅱ)と 同 様 に    (ⅳ) 

と な る. な ら 簡 単 な 計 算 に よ り 

お よ び 

と な る.  に よ り 結 局Uσ={(u1,u2,u3)∈C3;u12=

u2u3}と

な り,原

い て は §1.6に

点(0,0,0)はUσ

の 孤 立 特 異 点 と な る.こ

の例の一般化につ

お い て 詳 述 す る.

(ⅰ)

(ⅲ)

(ⅱ)

(ⅳ) 第1.2図

  Uσ の形 の多 様 体 の貼 り合 せ に よ っ て 一 般 の トー リ ッ ク多 様 体 を 構 成 す る際 に次 の結 果 が 基 本 的 役割 を果 す.   命 題1.3  σがNRの

有 理強 凸 多面 錐 な ら ば,双

面 錐 であ る.τ が σ の面 で あれ ばm0∈M∩

とな り,特 に τも またNRの の と き 

対 錐 σvはMRの

有理凸多

σvが 存 在 し て  有 理 強 凸 多 面 錐 で あ る.こ

で あ りUτ={u∈Uσ;u(m0)≠0}と

な る.特 に

UτはUσ の 開集 合 で あ る.   証 明  σ が有 限個 のNの 元 の非 負 一 次 結 合 全 体 とし て与 え られ て い る の で, σvはMRに お け る有 限 個 の整 数 係 数 斉 次 一 次 不 等 式 系 の解 全 体 と し て 与 え ら れ て い る こ とに な る.定

理A.2に

よ り明 らか に σvの 生 成 元 と してMの

選 べ,σvは 有 理 的 で あ る.τ が σ の面 で あれ ば,定 義 に よ りあ る  し 

とな る. 

を相 対 内部 に含 む σvの 面 を 考 え る.そ

元が に対 の面 も

明 らか に整 数 係 数 斉 次 一 次不 等 式 系 の 解 全 体 の 形 に表 わ し うる ので 有 理 的 で あ り,従

って相 対 内 部 に 

の 点 を 含 む.適

当 な 自然 数 倍 を とれ ば あ るm0

∈Mが

そ の面 の相 対 内 部 に含 まれ る こ とに な り,命 題A.6の

証 明に よ り τ=

σ∩{m0}⊥ とな る.   さて 系A.7に

よ り 

で あ るか ら  で あ るが,一 方 任 意 のm∈

きな 自然 数aを て 

とれ ばm+am0は

σv,従 っ てM∩

とな る.m0∈

〓τに 対 し十 分 大

σv=〓 σ に 属 す る.よ っ

〓σ で あ るか ら 

は 明 ら か で あ る.   以 上 の 準 備 の も と に い よ い よ トー リ ッ ク 多 様 体 を 構 成 す る.   定 理1.4 

の 扇 Δ が 与 え ら れ た と き{Uσ}σ ∈Δ を 自 然 に 貼 り合 せ る こ

と に よ りHausdorff分

を 得 る.こ

離 公 理 を み た す 複 素解 析 空 間

れ は 既 約 か り 正 規 で あ り,(N,Δ)に

(toric variety)あ

る い は トー ラ ス 埋 込 み(torus

  証 明   命 題1.2に つ 正 規 なr次

付 随 し た トー リ ッ ク 多 様 体

よ り各 σ∈ Δ に 対 す るUσ

元 代 数 的 部 分 集 合,従

embedding)と

は 複 素 ア フ ィン空 間 内 の既 約 か

っ て 解 析 的 部 分 集 合 で あ る.一

に よ り σ,τ∈ Δ に 対 し て σ ∩τ は σ お よ び τ の 面 で あ る.従 よ りUσ ∩τは 自然 にUσ

お よ びUτ

呼 ぶ.

の 開 集 合 と な る.こ

方 扇 の定 義

っ て 命 題1.3に

の 事 実 を 使 っ て{Uσ}σ ∈Δ

を 自 然 に 貼 り合 せ る こ と に よ りr次

元 の 既 約 か つ 正 規 な 複 素 解 析 空 間X=TN

emb(Δ)を

離 公 理 を み た す こ とを 見 るた め に は 直 積 空

間X×X内

得 る.XがHausdorff分

で 対 角 線 集 合 が 閉 集 合 で あ る こ と を 言 え ば よ い.す

∈ Δ に 対 し 対 角 線 写 像  こ と で あ る.こ

∩τ の 〓σ,〓τ⊂ 〓σ∩τ へ の 制 限 で あ る.

を 示 そ う.定

あ る か ら 右 辺 は 左 辺 に 含 ま れ る.一 の で,あ

るm0∈Mの

σ,τ

が 閉 じた 埋 込 み とな る

こにu′u"はu∈Uσ

  ま ず 

なわ ち各

理A.1(2)に

方 σ と τ とは 面 σ ∩τ の み で 交 わ っ て い る

決 め る 超 平 面{m0}⊥

に あ る こ と が 定 理A.1(3)に

よ り(σ ∩τ)v=σv+τvで

よ り命 題1.3と

に 関 して σ と τ とは 互 い に反 対 側 同 様 に 証 明 出 来 る.従 と な る.よ

っ て 

っ て 命 題1.3に

よ り 

が 成 立 す る.   〓σお よ び 〓τの 生 成 元 を{m1,…,mp}お

よ び 

は 〓σ∩τの 生 成 元 と な る.閉

と す れ ば 

埋 込 み 写 像(e(m1),…,e(mp),

 の 像 が 閉 埋 込 み 写 像  およ び 

の 直 積 写 像 

の 像 の 閉 部 分 集 合 で あ る こ と は 容 易 に 判 る.   上 記 の トー リ ッ ク多 様 体 の 構 成 はNRに 次 に 双 対 加 群Mの Uσ={u:〓

部 分 加 法 半 群 〓σ=M∩

お い て まず 有 理 強 凸 多 面 錐 σ を と り σvを 作 り,再

σ→C;u(0)=1,u(m+m′)=u(m)u(m′),∀m,m′

び 一 種 の双 対 操 作 で ∈ 〓σ}を 導 入 し

た う え で 貼 り合 せ る 方 法 を と っ て お り,一 が,実

は そ の お か げ でUσ

∩Uτ=Uσ

見 二 重 手 間 を か け無 駄 な よ うで あ る

∩τ と な り,以

下 で見 る よ う に 扇 の 性 質

と トー リ ッ ク多 様 体 の 性 質 と の 対 応 が 非 常 に 見 易 くな る の で あ る.  で あ り 

で あ る が,{σv}σ

∈Δ,{〓σ}σ ∈Δ を 図 示 し て 取

扱 う の は 容 易 で は な い こ とを 確 か め て み ら れ る と よ い.   注   命 題1.2お

よび そ の 直 後 の 注 で述 べ た通 り,各Uσ

の 構造 を 持 ち,ま

た 貼 り合 せ の 写 像 も命 題1.3に

はC上

の ア フ ィン代 数 多 様 体

よ り代 数 的 で あ る.従

は(一 般 に は 無 限 個 の)ア フ ィン 開集 合 を貼 り合 せ て 出来 るC上

ってTNemb(Δ)

の代 数 多 様 体 の構 造 を

持 ち,そ れ に 付 随 して 得 られ る複 素 解 析 空 間 が こ こで 取 扱 う トー リ ッ ク多 様 体 で あ る. この 事 実 は 後 に しば しば 利用 す る.Cの

代 りに 任 意 の 体 あ るい は 可換 環 を考 えれ ば,実

は も っ と一 般 に そ の 上 の代 数 多 様 体 あ るい は ス キ ー ム と して の トー リ ッ ク多 様 体 が構 成 出 来 る の であ る.本 章 の序 で挙 げ た 文 献 を 参 照 して 頂 きた い.  

の 場 合 の ト ー リ ッ ク 多 様 体 の 簡 単 な 例 を い くつ か 挙 げ よ う.

  例  N=Zと

し 

と す る.こ

と す れ ば,TNemb(Δ)は 

と 

に 沿 っ て 貼 り合 せ た も の で あ り,複 (第1.3図

と を 共 通 の 開 集 合U{0}=TN=Cx 素 射 影 直 線P1(C)と

一 致 す る こ とが 判 る

参 照).

  例   (第1.4図

の と き Δ={σ,-σ,{0}}

のZ‐ 基 底 を{n1,n2}と

し,Mの

双 対 基 底 を{m1,m2}と

する

参 照).

  (ⅰ) 

と し Δ={σ,τ,{0}}と

お よ びUτ=Cx×Cを

共 通 の 開 集 合U{0}=TN=Cx×Cxに

せ る こ と に よ りTNemb(Δ)=C2＼{(0,0)}と   (ⅱ) n0=-n1-n2と

な る.

お よ び そ れ ら の 面 で あ る 

の 集 ま りを Δ と す る. 

で あ り,開

複 素 射 影 平 面P2(C)と

常 の 斉 次 座 標 を[z0:z1:z2]と

集 合 に 沿 って貼 り

一 致 す る こ と が 判 る.P2(C)の

す れ ば, 

Uτ,Uρ は そ れ ぞ れ 開 集 合{z0≠0},{z1≠0},{z2≠0}と (ⅲ) 整 数aに

沿 っ て 貼 り合

し 

と す る.σ,τ,ρ

合 せ たTNemb(Δ)は

す れ ば,Uσ=C×Cx

通

と な りUσ, 一 致 す る の で あ る. 

対 し  と し,σ,σ

′,τ,τ ′お

よ び そ れ ら の 面 す べ て の 集 ま り を Δ と す る.こ のP1(C)‐

バ ン ドル と な り,普

通Fa(あ

一 致 す る こ とが 判 る .F-aとFaと

の と きTNemb(Δ)はP1(C)上

る い は Σa)と 書 くHirzebruch曲

面 と

は 同 型 で あ る こ と も 容 易 に 判 る の で,通

常 

の 場 合 の み を 考 え る.

(ⅰ)

(ⅱ)

第1.3図   TNemb(Δ)を

トー リ ッ ク多 様 体 あ る い は トー ラ ス 埋 込 み と呼 ぶ 理 由 は 次 の 通

り で あ る.Nの

扇 Δ は 必 ず{0}を

TNと

な る.ま

た{0}は

はUσ

の 開 集 合 で あ る.従

含 む.明

っ てTNemb(Δ)は

もTNが

理4.1]を

  定 理1.5  代 数 的 トー ラスTNが 用 す る とき,も

しXがTNと

σ→Cを

に 作 用 し てい る こ と と な る.貼

作 用 す る.特 に σ={0}の

おけ る群 演 算 と一 致 す る.実

細 は た とえ ば[MO,定

準

を任意の

の と きtu:〓

で あ り,TNがUσ

せ に よ り結 局TNemb(Δ)に はU{0}=TNに

開集合 と

とす れ ば 定 義 に よ りt:M→Cxは

σ→Cはu(0)=1, 

m,m′ ∈ 〓σ に 対 し て み た す.こ

と定 義 す れ ばtu∈Uσ

代 数 的 ト ー ラ スTNを

よ りTN

の 代 数 多 様 体 と し て の 構 造 に 関 し て 代 数 的 に)

な わ ちt∈TN,u∈Uσ たu:〓

あ りU{0}=

ー ラ ス 埋 込 み と 呼 ば れ る.

  一 方TNはTNemb(Δ)に(そ

同 型 で あ り,ま

ら か に 〓{0}=Mで

す べ て の σ∈ Δ の 面 で あ る か ら 命 題1.3に

し て 含 む こ と と な り,ト

作 用 し て い る.す

(ⅲ) 第1.4図

り合

とき この 作用

は逆 に次 の定 理 が成 り立 つ.詳

参 照 して 頂 きた い. 既 約 か つ 正 規 な 代 数 多 様 体Xに

同型 な 開 軌 道 を 含 む な らばNの

除 い て唯 一 つ決 ま り,同 型X=TNemb(Δ)がTNの

代数的に作 扇 Δ が 同型 を

作 用 も込 め て成 り立 つ.

  この定 理 の証 明 に は,前 述 の 代 数 的 トー ラ ス の完 全 可 約 性 と,次 の 基本 的 な 結 果 を 使 用 す る こ とを 付 記す るに と どめ る.(p.69,追

記(1)参 照).

  隅 広 の 定 理([S9,I,補 代 数 多様 体Xに

題8,系2])連

結 な 線 形 代 数 群Gが

代 数 的 に 作 用 す るな らば,XはG‐

わ れ る.特 にGが

既約かつ正規な

不 変 な準 射 影 的 開 集 合 で 覆

代 数 的 トー ラス で あ る場 合 に は,XはG‐

不 変 な アフ ィ ン開

集 合 で覆 わ れ る.

 §1.3 軌道 分解,角 付き実多様 体および基本群   前 節 に お い て 我 々は 

の 扇 Δ に 対 す る トー リ ッ ク多 様 体TNemb(Δ)

を構 成 し た.ま た 代 数 的 トー ラ スTNがTNemb(Δ)に

作用 す る こ とも述 べ た.

す な わ ち 各 σ∈Δ に対 し開 集 合Uσ はTN‐ 不 変 で あ り,t∈TN=HomZ(M,Cx) お よび  に対 し

とす る とtu∈Uσ

と な る の で あ っ た.こ

の 作 用 に 関 す る 軌 道 分 解 が 次 の よ うに

明 快 に 記 述 出 来 る.   命 題1.6 

σ∈ Δ に 対 し,TNの

剰 余 代 数 的 トー ラ ス と し て の

群準 同型} はTNemb(Δ)のTN‐

軌 道 とみ な せ,こ

道 全 体 の 集 合 と 同 型 に な る.ま

れ に よ っ て Δ はTNemb(Δ)のTN‐

軌

た 次 の こ とが 成 立 す る.

  (ⅰ) orb({0})=U{0}=TN.   (ⅱ) σ∈ Δ に 対 しorb(σ)の 余 次 元r-dimσ

複 素 解 析 空 間 と し て の 次 元 は,σ

のNRに

おけ る

と一 致 す る.

  (ⅲ) σ,τ∈ Δ とす る.τ

が σ の 面 で あ る こ と とorb(σ)がorb(τ)の

閉 包 に含

ま れ る こ と とは 同 値 で あ る.   (ⅳ) σ∈ Δ に 対 しUσ

は{orb(τ)}τ<σ の 和 集 合 と一 致 す る.ま

内 の 唯 一 の 閉 じ たTN‐

軌 道 で あ る.

  (ⅴ) n∈N,σ

∈ Δ とす る.n∈

たorb(σ)はUσ

σ と な る た め の 必 要 十 分 条 件 は,nに

対応す

る 一 助 変 数 部 分 群 γnの 極 限limλ →0γn(λ)がUσ 内 に 存 在 す る こ と で あ る.こ と きnを

相 対 内 部 に 含 む σ の 面 を τ とす れ ば,極

のorb(τ)の   注   [TE]は

の

限 は 代 数 的 トー ラ ス と し て

単 位 元 と一 致 す る. 上 記 の(ⅴ)を主 軸 と し て トー リ ッ ク多 様 体 の理 論 を 展 開 して い る.Mumford

の 幾 何 学 的 不 変 式 論 に お い て 基 本 的 な 役 割 を 果 す 概 念 で あ る.   証 明   (ⅰ),(ⅱ)は明 ら か で あ る.次 部 分 群 γn:Cx→TNは 従 っ て λ→0の

に(ⅴ)を 示 す.n∈Nに

λ∈Cx,m∈Mに

極 限 がUσ

〓σ に 対 し λ<m,n>が

  次 にorb(σ)がTN‐

対 し γn(λ)(m)=λ<m,n>で

と き 収 束 す る こ と,す

ま りn∈

軌 道 で あ る こ と を 示 す.σ

含 ま れ る 最 大 の 部 分 加 群 と な る.群 に 対 しu(m)=0と

べ て のm∈

な わ ち 

とな

σ で あ る.

は σvに 含 ま れ る 最 大 のR‐ 部 分 空 間 で あ り,従

Uσ の 元 と な り,か

与 え ら れ る.

に 含 ま れ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,す

λ →0の

る こ と と 同 値 で あ る.つ

対応 す る一 助 変 数

∈ Δ な ら 命 題A.6に

っ てM∩

準 同 型u:M∩

く し てorb(σ)はUσ

σ⊥ は 〓σ=M∩

σ⊥→Cxをm∈

し て 延 長 し た 写 像u:〓

よ り σ⊥

σ→Cは

σvに

〓σ, 

命 題A.9に

の 部 分 集 合 とみ な せ る.Uσ

よ り

内 のTN‐

軌 道 と な る こ と は 明 ら か で あ る.   上 記 の 考 察 を 一 般 化 し て(ⅳ)を 示 そ う.Uσ よ りu(0)=1か A.9に

つ m,m′

σ→Cを

考 え る.定

義 に

∈ 〓σ,で あ る か ら,命

よ り 

題A.6に

の 元u:〓

は σvの あ る 面 とMと

題

の 共 通 集 合 と な る.命

よ り σvの 面 は す べ て σ の 面 τに よ り σv∩ τ⊥ の 形 に 書 け て い る の

で,各u∈Uσ

とな る.〓

に 対 し σ の 唯 一 つ の 面 τが 存 在 し て

σ∩τ⊥ は 明 ら か に 群M∩

τ⊥ を 生 成 す る の で 結 局 σ の 面 τ に 対 し   はM∩

準 同 型 の 全 体orb(τ)と

τ⊥ か らCxへ

の群

同 一 視 出 来 る こ と に な り(ⅳ)の前 半 を 得 る.

  (ⅲ)を示 そ う.も

しorb(σ)がorb(τ)の

閉 包 に 含 ま れ て い る な ら ば,orb(σ)の

開 近 傍 で あ るUσ

はorb(τ)と

っ てorb(τ)⊂Uσ

よ り τは σ の 面 と な る.逆

交 わ り,従

σvの 面 で あ る.u∈orb(τ)を,す 元 と し よ う.σ 属 さ な いM∩

べ て のm∈M∩

の 相 対 内 部 に あ るNの σv∩ τ⊥ の 元m′

限 

元nを

選 べ ば,補

っ て(ⅳ)に

の と き σv∩ τ⊥は

τ⊥ に 対 しu(m)=1と

に 対 し て は<m′,n>>0と

対 し γn(λ)・u∈orb(τ)であ り,m∈M∩

で あ る.極

と な る.よ

に τ が σ の 面 で あ る と し よ う.こ

題A.4に な る.一

なる よ り σ⊥に

方 λ∈Cxに

σv∩ τ⊥ に 対 し

はm∈M∩

σ⊥ の と きu0(m)=1を

み た し,

 

  か つ  りu0∈orb(σ)と

の と きu0(m)=0を

な る か らorb(τ)の

み た す.上

閉 包 がorb(σ)と

記 の 同一 視 に よ

交 わ り,orb(σ)を

含む こ

と と な る. (ⅳ)の後 半 は(ⅲ)と(ⅳ)の 前 半 と に よ り明 ら か で あ る.   注   卜ー リッ ク多 様 体TNemb(Δ)をC上

の代 数 多 様 体 と考 え た とき,そ

な ア フ ィン開部 分 集 合 の全 体 が{Uσ}σ ∈Δ と一 致 し て い る こ とが判 る.特 がC上

のTN‐ 不 変

にTNemb(Δ)

の代 数 多様 体 とし て ア フ ィン空 間 に 同 変 に 閉 部 分 多 様 体 と して 埋 込 め るた め の 必

要 十 分 条件 は,π ∈Δ が存 在 し て Δが π の面 全 体 の 集 合 と一 致 す る こ と で あ る.証 た と えば[MO,定   系1.7 

理4.2(ⅱ)]を

明は

参 照 し て頂 きた い.

τ∈ Δ に 対 し τ∩Nの

生 成 す るNの

部 分 加 群 をZ(τ

∩N)と

書 き,

 と す る.ま た τを 面 と し て 持 つ σ∈ Δ に 対 し  を  とす る.こ

に お け る σ の 像 と し, 

の と き Δ(τ)はN(τ)の

包V(τ)はTN(τ)emb(Δ(τ))と emb(Δ)が

扇 で あ り,orb(τ)のTNemb(Δ)に

一 致 す る.特

非 特 異 で あ れ ばV(τ)も

単 にN,Δ

有 理 強 凸 多 面 錐 と な る こ と お よ び Δ がNの 方 命 題1.6(ⅲ)に

で あ り  ,従

と 書 こ う.τ<σ

しTN

な ら σ がNRの

扇 と な る こ とは 命 題A.8に

よ りV(τ)は{orb(σ);σ

で 覆 わ れ る.Nの

な ら 

正 規 で あ り,も

そ うで あ る.

  証 明   簡 単 の た めN(τ),Δ(τ)を

ら か で あ る.一

にV(τ)は

お け る閉

∈ Δ,τ<σ}の

双 対 加 群 はM∩

っ て 

よ り明 和集合

τ⊥ で あ り,τ<σ と な る.

 

が

V(τ)∩Uσ

と 一 致 す る こ と を 言 え ば 十 分 で あ る.u∈Uσ   へ の 制 限 を と れ ばUσ

の 元 を 得,一

方u∈Uσ

に対 しては そ れ の に 対 し て はu:〓

σ

→Cを

に対 し

とす れば 命 題A.9に

よ りu∈Uσ

とな る.残

非 特 異 性 に 関 し て は後 述 の定 理1.10を

りの主 張 は 明 らか で あ る.た だ し

使 用 す る.

 素 解 析 空 間 とし て の トー リ ッ ク多 様 体 に特 有 の性 質 を こ こで2件 紹 介す る.

  まず 最 初 は 角 付 き実 多 様 体 で あ る.1次 元 の ユ ニ タ リー群 を  とす れ ば位 相 群 とし てCx=U(1)×R>0で

あ る.従 って 

対 応 す る代 数 的 トー ラ ス 

に

に 対 し て も 

とい う分 解 が 存 在 す る こ とに な る.た だ し

は 実r次

元 の トー ラ ス で あ る.CTは

の 準 同 型￨￨:Cx→R>0と に よ り,CTNを をTNの

同 型 

題1.2と

得 る が,こ

に 制 限 し た も の は 同 型 

扇 Δ が 与 え られ た と き,各

を考 え る. 

をCの

で あ る と き 

分 集 合 とみ な す こ とが 出 来 る.定 理1.4と

の実r次

同 様 に 

部 分 集 合 とみ な せ ば これ はUσ の部 分 空 間 と な る.命

を 対 応 させ る こ とに よ り 

を 得 る. 

れ

を 与 え る.

σ∈ Δ に 対 し 命 題1.2と

同様 に 

りTNemb(Δ)の

へ

と の 合 成 

核 とす る 上 へ の 準 同 型-log￨￨:TN→NRを

部 分 群 

  さ てNの

コ ン パ ク ト ・ トー ラ ス の 略 で あ る.上

の 元wに は 

対 し  の閉 部

同様 に これ らを 貼 り合 せ る こ と に よ

部分 空間

か つ Δが 次 節 の 意 味 で 非 特 異 で あ る と き,こ れ が通 常 の 意 味 で

元 角 付 き 多様 体 とな って い る こ とは 上 記 の 

で あ る(第1.5図

参 照).ま た 

の構 造 か ら 明 らか

に は 位 相 群 

が 作 用 し,そ の軌 道 は 各 τ∈Δ に対 す る

で あ る.命

題1.6と

とが 出 来 る.す

同 様 に,τ<σ

な わ ちw:M∩

の と き こ れ は 

τ⊥→R>0が

の 部 分 集 合 とみ なす こ

準 同 型 で あ る と き 

を

と延 長 す る の で あ る.   こ の  れ た も の で あ る が,そ

はEhlers[E2,第

Ⅳ 章],Jurkiewicz[J]に

よ っ て考 察 さ

れ と 同 相 で あ っ て も っ と取 扱 い 易 い 次 の 空 間 を 考 え る と

便 利 で あ る.[SC],Ehlers[E2,第4章]に

よ っ て 導 入 さ れ た も の で あ り[MO,

命 題10.1]に   命 題1.8 

も 触 れ て あ る. Nの

扇 Δ に 対 応 す る トー リ ッ ク 多 様 体TNemb(Δ)の

群CTNに

関 す る商 空 間 お よび 射 影 を

と 定 義 す る.角 し,ordは

付 き 実 多 様 体 と称 す る こ のMc(N,Δ)に

準 同 型-log￨￨:TN→NRに

は 位 相NRが

関 し 同 変 で あ る.Mc(N,Δ)のNR‐

軌 道 は 各 τ∈ Δ に 対 す る 

で あ る.特

Mc(N,Δ)は    ordを

作用

に

を 開 軌 道 と し て 含 む.

部 分 空 間 

に 制 限 す る と,同

型 

に関 し て 同 変 な 同相 写像

を 得 る.こ

の と き 各 τ∈ Δ に 対 し 

で

あ る.   証 明 は 明 ら か で あ ろ う.Mcは で あ る.理

由 はMc(N,Δ)と

角 付 き 多 様 体(manifold 同相 な

対 し そ れ と"直

も の に な っ て い る. 

corners)の

略

が 次節 の意 味 で非 特 異 な Δ

に 対 し そ うだ か ら で あ る.Mc(N,Δ)はNR=ord(TN)の Δ,τ ≠{0}に

with

交 す る"R‐

無 限 遠 方 に,各

ベ ク トル 空 間NR/Rτ

な らMc(N,Δ)は

実r次

τ∈

をつ け加 え た

元 の 角 付 き 多 様 体 で あ り,

そ のNR‐ 軌 道 の 相 互 関 係 の 様 相 が 扇 Δ で容 易 に記 述 出来 るば か りで は な く, 複 素r次 元 の 空 間TNemb(Δ)のTN‐ 軌 道 の様 子 も読 み 取 れ る便 利 な道 具 で あ る.次 節 で早 速 利 用 す る.ま た次 章 で見 る よ うに,射 影 的 な トー リ ッ ク多 様 体 の場 合 に は,Mc(N,Δ)と

同相 で

あ っ てNR‐ 軌道 が面 と対 応 す るMR内 の コン パ ク ト凸多 面 体 が 自然 に登 場 す る.   も うひ とつ は 基 本 群 に 関す る結 果 で 第1.5図

あ る.周

知 の よ うに,Nは

自然 にTN

の 基 本 群 と 同 型 で あ る.n∈Nは

一 助 変 数 部 分 群 γn:Cx→TNを

の 単 位 円 周U(1)={z∈Cx;￨z￨=1}へ

の 制 限 がTNの

与 え る が,γn

閉 じた道 を与 え る の

で あ る.   命 題1.9  N/N′

Nの

扇 Δ に 対 応 す る ト ー リ ッ ク多 様 体TNemb(Δ)の

と 自然 に 同 型 で あ る.た

だ しN′

は 集 合Uσ

∈Δσ∩Nが

基本群は

生 成 す るNの

部

分 群 で あ る.   証 明 は[SC],[MO,命

題10.2]に

譲 る.開

い た 埋 込 みTN⊂TNemb(Δ)に

対 応 し て 得 る基 本 群 の 準 同 型

が 上 へ の 写 像 で あ る こ と を 示 し,次 がorb(σ)の

にn∈

σ ∩Nの

存 在 に よ りTNemb(Δ)で0に

と き対 応 す る 道U(1)→TN

ホ モ トピ ッ ク と な る こ とを 示 す の

で あ る.

  §1.4  非 特 異 性 と コ ンパ ク ト性   定 理1.10  た な い,つ

Nの

扇 Δ に 対 応 す る トー リ ッ ク多 様 体TNemb(Δ)が

ま り複 素 多 様 体 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,各

で 非 特 異 と な る こ と で あ る.NのZ‐

基 底{n1,…,nr}お

特異点を持

σ∈ Δ が 次 の 意 味

よ び 

が 存 在 し て 

こ の と き Δ を 非 特 異 な 扇 と 称 す る.   証 明   十 分 性 は 比 較 的 簡 単 で あ る.各 底{n1,…,nr}お

よ びMの

σ∈Δ に 対 し 上 記 の よ うなNのZ‐

双 対 基 底{m1,…,mr}を

と る.こ

基

の と き 明 ら か に 

で あ り, 

と 

で あ る か ら 対 応 

な る. 

に よ り同型  を得 る.明 ら か にUσ は 特 異 点 を持 た な い.   次 に 必 要 性 を 示 そ う.す σ がNのZ‐

な わ ち σ∈ Δ に 対 しUσ が 特 異 点 を 持 た な け れ ば,

基 底 の 一 部 で 張 ら れ る こ と を 示 す.ま

σ+(-σ)=NR,従 何 故 な ら,一

っ て σv∩(-σv)={0}と 般 の 場 合N∩

ず σ の 次 元 がr,す

なわ ち

仮 定 し て も 一 般 性 を 失 わ な い.

σ の 生 成 す るNのZ‐

部 分 加 群 をN′,そ

で あ る.σvの 

の双対加

群 をM′

と す れ ば, 

に お け る 像 σは,

σ を 

の 有 理 強 凸 多 面 錐 と み な し た と き の 双 対 錐 で あ る.m1,…,mq∈Mを,

そ のM′

に お け る像 がM′ とす れ ば,M∩

∩ σ の 

σv=〓

上 の 生 成 元 で あ る よ うに 選 び, 

σ は 直 積 〓′×{M∩

結 局 

とな る.た

+m′)=u(m)u(m′),∀m,m′

∈ 〓′}で あ る.Uσ

も そ う で あ り,  集 合 はU′

だ しU′={u:〓

σの 

に 対 しuj=e(mj)と

す れ ば,命

らRの

値0を

と るCp上

をJ=(x1,…,xp)と

生 成 す る.す

な わ ちp変

数多

移 す 準 同 型 が 存 在 す る.そ

あ る か ら0=(0,…,0)∈CpはUσ

の 多 項 式 全 体 の な すC[x1,…,xp]の

の

に含 ま 極 大 イデ アル

極 大 イ デ ア ル で あ る.も

し0がCp

の 点 と し て 特 異 点 で な け れ ば, 

元 のC‐ ベ ク トル 空 間 と な る.

  と こ ろ で 命 題1.2の に 対 しe(m)∈Rは

証 明 に お い て 見 た 通 り,TNがRに

固 有 函 数 で あ る.RはC‐

直 和 

に 分 解 し,{e(m);m∈ 〓σ,m′ ≠0,m"≠0}が っ て 〓σの 元m≠0で

m≠m′+m"と

はp

証 明 に お い て 見 た 通 り,u1,…,up

上 へ のxjをujに

元 代 数 的 部 分 集 合 で あ るUσ

m′,m"∈

が 特 異 点 を 持 た な け れ ば,実

σ]をC上

す れ ば,J/IはRの

はr次

る.よ

題1.2の

す る.〓 σ∩(-〓 σ)={0}で

れ る.0で

と り,埋 込 み 

基 底 で あ る こ と を 示 す.各 

のC‐ 値 多 項 式 函 数 環R=C[〓

項 式 環C[x1,…,xp]か

っ て 〓σ∩(-〓 σ)={0}

上 の 極 小 生 成 系m1,…,mpを

あ り従 っ て{m1,…,mr}がMのZ‐

のr次

が 特 異 点 を 持 た な け れ ばU′

あ る 場 合,σv∩(-σv)={0},従

を 考 え る.Uσ

核 をIと

′→C;u(0)=1,u(m

と同 一 視 出 来 る か ら で あ る.

が 成 り立 つ.〓

はUσ

同 一 視 出 来,

の 有 理 強 凸 多 面 錐 と み な し た σ に 対 応 す る ア フ ィン 解 析 的

  さ てdimσ=rで

=rで

σv∩(-σv)}と

で あ っ て{m1,…,mr}が 生 成 元 で あ り従 っ てMのZ上

〓σ

ベ ク トル 空 間 と し て固 有 空 間 の 〓σ,m≠0}お

そ れ ぞ れJ/Iお

よ び{e(m′+m");

よ び(I+J2)/IのC‐

あ っ て 〓σの ど ん なm′

な る も の が ち ょ う どr個

作 用 し,各m∈

≠0,m"≠0に

存 在 す る こ と に な る.従

基 底 とな 対 しても っ てp=r

そ れ ら の 元 に 他 な ら な い こ と と な る.〓 σの  の 生 成 元 で あ る か ら 必 然 的 にMのZ‐

上の

基 底 とな

る.   例  命 題1.3直

前 の 例(ⅳ)で み た  で あ り(0,0,0)は

上 の 極 小 生 成 元 で あ るn1,(n1+2n2)はNの

で は,  特 異 点 で あ る.こ 指 数2の

の 場 合 σ の 

部 分 群 を生 成 し て い

る.   定 理1.11 

Nの

扇 Δ に 対 応 す る トー リ ッ ク 多 様 体TNemb(Δ)が

で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Δ

が 破 れ の な い 有 限 扇 で あ る こ と,す

が 有 限 集 合 で あ りか つ 台￨Δ￨:=Uσ

∈Δσ がNRと

  証 明   必 要 性 は 簡 単 で あ る.{Uσ}σ

emb(Δ)が

∈Δ′はTNemb(Δ)を

分 群 γn=Cx→TNを 存 在 す る.そ な る.nは

′の ど ん な 真 部

た 各n∈Nに

題1.8の

よ りn∈ σ と

な る.

角 付 き 実 多 様 体Mc(N,Δ)=TNemb(Δ)/CTN

コ ン パ ク トで あ る か ら,Δ

が破れ のない有限扇であ ると

コ ン パ ク トで あ る こ と を 示 せ ば 良 い.

  さ て Δ が 破 れ の な い 有 限 扇 で あ れ ば 任 意 の τ∈ Δ に 対 し 系1.7の Δ(τ))はま た 破 れ の な い 有 限 扇 と な る.従 が 成 立 す る.よ

σ∈ Δ に 対 しW′(σ)が

有 限 和 集 合 で あ るMc(N,Δ)も

っ て 

だ し 

であ

コ ン パ ク トで あ る こ と を 示 せ ば,そ

と す る.W′(σ)は

一 視 し た 

の部 分 空 間 で あ るが に よ るW′(σ)の

逆 像 は 

,同

よ り同

相 写 像 

を対 応 させ る閉 じ

区 間[0,1]の

っ てordに

命 題1.8に

の部 分空 間

の 元 ω に 対 し 

た 埋 込 み を 考 え る と,W(σ)は

れ らの

コ ン パ ク トと な る.

  σ∈ Δ に 対 し 

で コ ン パ ク トで あ る.従

扇(N(τ),

っ て  と な る.た

と な る. 

っ てTN

対 し 一 助変 数部

と す れ ば 命 題1.6(ⅴ)に

任 意 で あ っ た か ら 結 局￨Δ￨=NRと

を 考 え よ う.CTNは

し各

関 す る極

考 え る と極 限limλ →0γn(λ)がコ ン パ ク トなTNemb(Δ)に

  次 に 十 分 性 を 示 す.命

る.も

こ

っ て Δ′の 元 の 面 全 体 か ら な る

よ り有 限 と な る.ま

の 極 限 の 属 す る 開 集 合 をUσ

き にMc(N,Δ)が

覆 う が,Δ

覆 い つ くさ な い.従

コ ン パ ク トな ら Δ′は 有 限 で あ る.よ

集 合 で あ る Δ も命 題A.5に

開 被 覆 で あ る.と

見 た よ うに,Δ の 順 序<に

分 集 合 Δ"を と っ て も{Uσ}σ ∈Δ"はTNemb(Δ)を

なわ ち Δ

一 致 す る こ と で あ る.

∈Δ はTNemb(Δ)の

ろ が 前 節 の 軌 道 分 解 に 関 す る 命 題1.6(ⅳ)で 大 元 全 体 を Δ′と す る と,{Uσ}σ

コ ンパ ク ト

直 積[0,1]pの

逆 像 と一 致 す る の

よ り そ れ と 同 相 なW′(σ)も

コ ン パ ク トで

あ る.

  例   定 理1.4直

後 のr=2の

場 合 の 例 に お い て(ⅰ)のC2＼{(0,0)}は

パ ク トで は な い が,(ⅱ)のP2(C)お

よ び(ⅲ)のFaは

  注  上 記 の 十 分 性 の証 明はEhlers[E2,定 と代 数 幾 何 学 的 な2通   Danilov[D1]は

理1]の

コン

コ ン パ ク トで あ る . それ と本 質 的 に 同 じ で あ る.も っ

りの証 明 を参 考 の た め に述 べ て み よ う.

この す ぐ後 に 説 明 す るSerreの

す な わ ち §2.3命 題2.17に

方 法 を真 似 る こ とに よっ て証 明す る.

述べ る トー リッ ク多 様 体 版 のChowの

れ の な い 有 限 扇 の と き射 影 的 な 細 分 Δ′を持 つ.従 って コ ンパ ク トなTNemb(Δ

補 題 に よれ ば,Δ が 破

っ て次 節 定 理1.13に

′)からTNemb(Δ)の

よ り射 影 的,従

上 へ の正 則 写 像 を得 る.よ

っ てTN

emb(Δ)は コン パ ク トで あ る.   も うひ とつ の 証 明は 次 の よ うに 行 う.ま ず 一 般 に 次 の こ とが 成 り立 つ.   コン パ ク ト性 判 定 定 理  XをC上   (1)  (Serre[S5,第7節,命 る た め に はXが

完 備(C上

  (2)  (付値 的 判 定 法.た 10]参 照)Xが

OX,Yで

題6])Xに

付 随 した 複 素 解 析 空 間X′ が コ ンパ ク トで あ

固 有 と も称 す る)で あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る. とえばGrothendieck-Dieudonne[EGA,第

完 備 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は,Xの

離散 付値 環RがXの とで あ る.す

の 有 限 型 代 数 多 様 体 とす る.

あ る既 約 閉 部 分 多 様 体Yの(生

なわ ちm,mX,Yを

そ れ ぞ れR,OX,Yの

あ って しか もm∩OX,Y=mX,Yと

含む任意の

成 点 の)局 所 環OX,Yを

支配す るこ

極 大 イデ ア ル とし た と き,R⊃

な る ことで あ る.

  上 記 の判 定 法 を使 っ て十 分 性 を示 し てみ よ う.TNemb(Δ)を の有 限 性 に よ りC上

有 限 型 で あ る.TNがZariski開

の函 数 体 と一 致 し,従

ってMの

群 環C[M]の

  C(X)のCを

含 む 離 散 付 値 環Rに

C[〓 σ]がRに

含 まれ る こ とを 示 す.そ

素 イ デ ア ルp:=m∩C[〓 を 支 配 し,し か もOは

Ⅱ章,系7.3.

函 数 体C(X)のCを

与 え る代 数 多 様 体Xは

集 合 ゆ えXの

商 体 とな る.

対 し,必

ず σ∈Δ が 存 在 し てC上

うす れ ばRの

σ]を と りC[〓 σ]のpに

極 大 イデ ア ルmに

の 〓σの半 群 環 対 しC[〓 σ]の

関 す る 局 所 化 をOと す れ ばRはO

あ る既 約 閉部 分 多 様 体 の 生成 点 の 局 所 環 とな って い る.よ

って上

記(2)の条 件 が み た され て い る.   Rに 対 応 す る離 散 付 値 を  で あ り,c∈Cxに

とす る.周 知 の よ うに 

対 し υ(c)=0で

Δ

函 数 体C(X)はTN

あ る.ま たf,g∈C(X)に

が 成 り立 つ.Rと

対 し 

υ との 関 係 は

で与 え られ る.   さ て指 標 を 対 応 さ せ る写 像e:M→C[M]＼{0}⊂C(X)＼{0}と

υ:C(X)＼{0}

〓

Zと

の合 成 写 像 υ°e:M→Zは

υ(e(m))=〈m,n〉

が 各m∈Mに

加 法 的 準 同 型 で あ る .従

つ き成 立 す る.仮

って あ るn∈Nに

定 に よ り￨Δ￨=NRで

対し

あ るか らn

は あ る σ∈Δ に 含 まれ る.こ の と き

従 ってC[〓σ]⊂Rで あ る.(Luna-Vust[追7]参

照).

  同 変 コン パ ク ト化 定 理(隅 広[Sg,Ⅰ,定 理3])連 る既 約 か つ正 規 な 有 限 型 代 数 多 様 体Xは,Gの 代 数 多 様 体XのG-不   この結 果 は,群 Nの

結 な線 形 代 数群Gの

作用す

作 用 す る あ る完 備 な 既 約 正 規

変 な 開 集 合 で あ る. の作用 を 考 えな い 場 合 の 永 田の 定 理[N1]の

有 限 扇 Δ に対 応 す る トー リ ック多 様 体TNemb(Δ)に

一 般 化 で あ る.

対 して は,定 理1.11

に よ り Δ⊃Δ とな る破 れ の な い 有 限 扇 Δが 存 在 す る こ とを主 張 して い る こ とに な る.Δ が 与え られ た とき この よ うな Δ を あ る程 度 組 織 的 に作 る方 法 は 一 般 に は知 られ て い な い よ うで あ るが,ア

フ ィン空 間 に 埋込 まれ て い る トー リッ ク多

様 体 の場 合 の ひ とつ の構 成 方 法 は 次 の通 りで あ る.   命題1.12  体Qに

とし π をNRのr次

値 を と るN上

よ ってNRと

の正 定 値 対称 双一 次形 式q:N×N→Qを

双 対MRと

はNRのr次

元 有 理 強 凸多 面 錐 と す る.有 考 え,そ

理数 れに

を 同一 視 す る と,π の各 面 σ に対 し 

元 有 理強 凸 多 面錐 で あ る.π

の面 全 体 の な す 扇 を Δ,ま た

{σ;σ∈Δ}お よび そ れ らの 面全 体 の な す集 合 を Δ とす れ ば,Δ れ の ない 有 限 扇 とな り,TNemb(Δ)はUπ=TNemb(Δ)の

は Δ を含 む 破

同 変 コン パ ク ト化

で あ る.   証 明  n∈NRな

らば 写 像 

あ る.π ∨がMRの

有 理強 凸 多 面錐 で あ りqがN×N上Q値

はNRの

が 対 応 す るMRの

部 分 集 合 とみ な し て も有 理 強 凸 多 面 錐 で あ る.σ<π

に よ り π∨∩ σ⊥ は π∨の 面 と な り,ま はNRのr次 特 に π=π   NR=∪

な らば 命 題A.6

た 明 ら か に 

元 有 理 強 凸 多 面 錐 と な る.

で あ る. σ<π σ で あ り ま た σ≠τ な ら σ とτ と が 互 い

の 内 部 で 交 わ ら な い こ とは 次 の よ う に し て 判 る .qに っ て 与 え ら れ るNRの

ノル ム 

よ

を考 え

元で

を と るの で,π ∨

第1.6図

る.各n∈NRに

対 し ‖n-n′

閉 凸 錐 だ か ら で あ る.n′

‖ が 最 小 とな るn′ ∈ π が 唯 一 つ 存 在 す る.π

が

を 相 対 内 部 に 含 む π の 唯 一 の 面 を σ と す れ ば, 

と な りn=n′+(n-n′)∈

σ で あ る(第1.6図

参 照).

  §1.5  同変 正 則 写 像  

お よ び 

 定 義   扇 の写 像 っ て,そ

のRへ

と し 扇(N,Δ)お φ:(N′,Δ′)→(N,Δ)と

よ び(N′,Δ ′)を考 え る.

はZ-加

の 係 数 拡 大 φ:N′R→NRが

群 の 準 同 型 φ:N′ →Nで

あ

次 の 性 質 を み た す も の で あ る.す

な わ ち 各 σ′ ∈ Δ′ に 対 し σ∈ Δ が 存 在 し て φ(σ′)⊂σ.   定 理1.13 

を 得 る.左

扇 の 写 像 φ:(N′,Δ ′)→(N,Δ)に

辺 に 開 集 合 と し て 含 ま れ るTN′

対 し 複 素 解 析空 間 の正 則 写像

に こ れ を 制 限 し た も の は,φ

に よっ

て 決 ま る 代 数 的 トー ラ ス の 準 同 型  一 致 す る .し

か も φ*は

と

これ とTN′,TNの

そ れ ぞ れ へ の 作用 に 関 し て 同 変 で

あ る.   逆 に 正 則 写 像f:TN′emb(Δ

′)→TN  emb(Δ)のTN′

→TNを

の準 同型

唯 一 つ 存 在 し て 扇 の 写 像(N′,Δ ′)→(N,Δ)を

φ:N′ →Nが

か もf=φ*と

双 対 と し てZ-準

拡 大 と し て φ*:MR→M′R,お

同 型 φ*:M→M′,そ

与 え,し

のRへ

σ′ ∈ Δ′お よ び σ∈ Δ に 対 し φ(σ′)⊂σ で あ る とす る と,明 で あ る.た

の係 数

だ し 

らか に であ

同 様 に  とす れ ば, 

U′σ′→Uσ

群

よ び 代 数 的 トー ラ ス の 準 同 型 

  で あ り,  る.§1.2と

に 関 し 同 変 で あ れ ば,Z-加

ト

な る.

  証 明   φ:N′ →Nの

を 得 る.今

導 き ,fがf′

へ の 制 限f′ が 代 数 的

ー ラ ス の 準 同 型f′:TN′

を 得 る.す

t′∈…TN′ で あ れ ばm∈〓

な わ ちm∈〓

と の 合 成 に よ り正 則 写 像 φ*:

σ に 対 し 

σ に 対 し 明 ら か に  と な り,φ*が

に 関 し 同 変 と な る こ とが 判 る.貼 を 得 る.

で あ る.

代 数 的 トー ラ ス の 作 用

り合 せ に よ り同 変 正 則 写 像 

  逆 を 示 そ う.f′:TN′ 準 同 型M→M′,そ

→TNが

の 双 対 準 同 型 φ=N′ →Nを

同 変 で あ る か ら,TN′emb(Δ)内 TN-軌

代 数 的 トー ラ ス の 準 同 型 で あ るか ら指 標 群 の

のTN′-軌

得 る.ま

道 のfに

たfがf′

に関 し て

よ る 像 はTNemb(Δ)内

の

道 に 含 ま れ る.

  τ′が σ′ ∈ Δ′ の 面 な ら ば 命 題1.6(ⅲ)に

よ りorb(σ ′)はorb(τ ′)の閉 包 に 含 ま

れ る.τ,σ

∈ Δ に 対 し 上 述 の よ う にf(orb(σ

′))⊂orb(σ),f(orb(τ ′))⊂orb(τ)で

あ れ ば,fの

連 続 性 に よ りorb(σ)がorb(τ)の

閉 包 に 含 ま れ る こ と に な り,再

び 命 題1.6(ⅲ)に

よ り τ<σ

と な る.よ

っ て 命 題1.6(ⅳ)に

よ りf(U′ σ ′)⊂Uσ と

な る.   任 意 のn′∈ σ′ ∩N′ に 対 し 命 題1.6(ⅴ)に f°γn′=γ φ(n′)であ る か ら,fの がUσ

内 に 存 在 す る.再

像(N′,Δ ′)→(N,Δ)を

で あ る.f:TN→TNが

連 続 性 に よ り 

び 命 題1.6(ⅴ)に 与 え る.こ

  注   この結 果 は[MO,定

よ り φ(n′)∈σ と な り,結 局 φ は 扇 の 写

の と きf=φ*と

理4.1]の 全 射,φ:N′

よ りlimλ→0γn′(λ)がU′ σ ′内 に 存 在 す る.

な る こ と は 明 ら か で あ る.

一 般 化 で あ り,浪 川,石 →Nが

田両 氏 の指 摘 に よ る もの

余 核 有 限 とい う制 限 は 全 く不 要 で あ る.

  扇 と い う初 等 幾 何 学 的 な 情 報 に よ り与え ら れ た トー リ ッ ク多 様 体 の 間 の あ る 種 の 正 則 写 像 が,再

び 初 等 幾 何 学 的 な 情 報 で 記 述 出 来 る の で あ り,以 下 で 色 々

の 実 例 に よ っ て 見 る 通 り大 変 便 利 で あ る.(単 項 式)=(単

項 式)の

の 解 空 間 を 貼 り合 せ て 出 来 る トー リ ッ ク多 様 体 の 間 で,各

形 の方 程 式 系

成 分 が 単 項 式 とな る

正 則 写 像 を 考 え て い る こ と に な る.   定 理1.4直

後 の 注 に 述 べ た 代 数 多 様 体 と し て の トー リ ッ ク多 様 体 の 間 の 同 変

な 代 数 的 写 像 が 実 は 扇 の 写 像 か ら 得 ら れ る の で あ り,そ

れ に 付 随 して 得 られ る

の が 上 記 の 正 則 写 像 な の で あ る.   次 の 命 題 の 証 明 は 明 ら か で あ る.   命 題1.14φ=(N′,Δ

′)→(N,Δ)を

直 和 因 子 と な る 最 小 のZ-部 れ ば(N",Δ")は Δ")→(N

扇 の 写 像 と す る.φ(N′)を

分 加 群 をN"と

し, 

扇 で あ り,φ は 扇 の 写 像 

,Δ)の 合 成 に 分 解 す る.対

応 し て 

 お よ び の 成 に 分 解 す る.ψ*のTN′

へ の 制 限TN′

→TN"は

含 み か つNの とす お よ びj:(N", は 合

代 数 的 トー ラ ス の 全 射 で あ

り,一

方j*は

φ*の 像 の 閉 包 の 正 規 化 を 与 え る写 像 と一 致 す る.

  注   一 方 φ(N′)の扇  Stein分

を 考え れ ば,[EGA]の

意 味 で の φ*の

解 を 得 る.

  さ て 定 理1.11の   定 理1.15 

一般 化 と し て 次 を 得 る.

扇 の 写 像 φ:(N′,Δ ′)→(N,Δ)に

対 応 す る 同 変 正 則 写 像 

が 固 有 写 像(proper 条 件 は,任

map)で

あ るた め の必 要十 分

意 の σ∈ Δ に 対 し, 

が有限集合であ り

しか も

と な る こ と で あ る.   証 明   必 要 性 は 簡 単 で あ る.fの 開 集 合Uσ

の 逆 像f-1(Uσ)は,σ

定 義 に よ り各 σ∈ Δ に 対 す るTNemb(Δ)の

′が Δ′σ 内 の す べ て を わ た る と き のTN′emb(Δ

の 開 集 合U′ σ ′に よ っ て 覆 わ れ る.し

か も 命 題1.6(ⅳ)に

関 す る極 大 元 の ど れ を 省 い て もf-1(Uσ)を 固 有 写 像 な ら,コ

覆 い つ くす こ と は 出 来 な い.fが

ン パ ク ト集 合 の 逆 像 は コ ン パ ク トで あ り,特

一 点 の 逆 像 は コ ン パ ク ト とな る .よ

にorb(σ)内

っ て Δ′σ 内 の 極 大 元 の 集 合 は 有 限,従

そ れ ら の 面 全 体 の な す 集 合 で あ る Δ′ σ も有 限 で な け れ ば な ら な い.ま に 対 しN′

れ ば  在 す る.再

がTN′emb(Δ び 命 題1.6(ⅴ)に

内 に 存 在 す る.も

′)に,従

しfが

の って

た σ∈ Δ

∩φ-1(σ)の 任 意 の 元n′ を と れ ば,φ(n′)∈ σ ゆ え 命 題1.6(ⅴ)に   がUσ

′)

よ り,Δ ′σ 内 の 順 序<に

よ り

固有 写 像 であ

っ て あ る σ′ ∈ Δ′に 対 す るU′σ ′内 に 存

よ りn′∈ σ′で あ る.fと

φ と の 関 係 か ら φ(σ′)⊂σ

か つ φ-1(σ)=￨Δ ′σ￨であ る.   十 分 性 を,定

理1.11直

後 に 触 れ た 付 値 的 判 定 法 の一 般 化 を 使 っ て 証 明 し よ

う.

  固 有 性 判 定 定 理   g:X→YをC上 則 写 像 とす る.g(X)がYに 数 体C(X)の

の(分 離 的)代 数 多 様体 の 有 限型 有理 正

お い て稠 密,従

っ てYの

函 数体C(Y)はXの

函

部 分 体 とみ な せ る もの と仮 定 す る.

  (1)  (GAGA型

定 理,Grothendieck[G4])gに

付 随 して 得 られ るHaus

dorff複 素 解 析 空 間 の正 則 写 像g′:X′ →Y′ が 固 有 写 像 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 は,gが

固 有 な 有 理 正 則 写 像 とな る こ とで あ る.

  (2)  (付 値 的 判 定 法Grothendieck-Dieudonne[EGA,第

Ⅱ章,系7.3.10]

参 照)  gが 固 有 な 有 理 正 則 写 像 と な る た め の 必 要 十 分 条 件 は 次 の 通 り で あ る. も しC(X)のCを 環OY,Wを

含 む 離 散 付 値 環Rが,Yの

支 配 す る な ら ば,Xの

あ る 既 約 部 分 多 様 体Wの

既 約 部 分 多 様 体Zが

局所

存 在 し て,RはOX

,Zを

支 配 す る.   定 理1.15の

証 明 の つ づ き   各 σ∈ Δ に 対 し Δ′σ が 有 限 で あ る か らf:TN′emb

(Δ′)→TN  emb(Δ)は あ る.正 1.14に な い.従

規 化 を 与 え る 写 像 は 固 有 写 像 で あ る([EGA,Ⅱ よ り φ(N′)のNに っ てN′

群 をM′

とす れ ば,MはM′

′)およ びTNemb(Δ)に

れ ぞ れ 群 多 元 環C[M′]お

  定 理1.11直

章,6節])か

のZ-部

よ び そ の 部 分 多 元 環C[M]の

後 に 述 べ た よ うに,C[M′]の

に よ り加 法 的 準 同 型 υ°e:M′ →Zを (m′))=〈m′,n′ 〉 が 任 意 のm′ ∈M′

商 体 のCを

得 る.す

商 体 と な る.

含 む 離 散 付 値 環Rを の合 成

な わ ち あ るn′ ∈N′ に 対 し て υ(e

で 成 立 す る.ま

σ]の 局 所 化 と 一致 す る.従

の函 数

→C[M′]＼{0}と

たRがTNemb(Δ)の

代 数 的 閉 部 分 多 様 体 の 生 成 点 の 局 所 環 を 支 配 す れ ば,そ っ て 任 意 のm∈

既約

の 局 所 環 は あ る σ∈ Δ 〓σ に 対 し て 

と な りn′ は φ-1(σ)に 含 ま れ る.と ろ が 仮 定 に よ り φ-1(σ)=￨Δ

σ￨ゆ ′ えn′ は あ る σ′∈ Δ′ σに 含 ま れ る.従

のm′ ∈ 〓′σ ′に 対 し  がTN′emb(Δ な る.か

題

分 加 群 とみ

対 応 す る 代 数 多 様 体 のC上

と りそ れ に 対 応 す る 離 散 付 値 を υ と す れ ば,e:M′

に 対 す るC[〓

ら,命

お け る指 数 が 有 限 で あ る と仮 定 し て も一 般 性 を失 わ

の 双 対Z-加

な せ る.TN′emb(Δ 体 は,そ

代 数 多 様 体 の 有 限 型 有 理 正 則 写 像 に付 随 す る正 則 写 像 で

,す な わ ちC[〓

こ

っ て任 意

′σ ′]⊂Rと

な り,R

′)の既 約 代 数 的 閉 部 分 多 様 体 の 生 成 点 の 局 所 環 を 支 配 す る こ と に

く し て 付 値 的 判 定 法 に よ りfは

固 有 正 則 写 像 で あ る こ と が 判 る.

  次 に 特 殊 で は あ るが 重 要 な 扇 の写 像 とそれ に対 応 す る同 変 正 則 写 像 を考 え よ う.N′

がNの

の 扇 Δ はN′

指 数 有 限 なZ-部

分 加 群 で あ れ ばN′R=NRで

の 扇 と み な す こ とが 出 来,扇

あ る.従

っ てN

の 写 像 

とそ れ

に 対 応 す る同 変 正 則 写 像

を 得 る.こ れ が 有 限 群  の作 用 に 関 す る商 空 間 へ の射 影 と一 致 す る ことを 示 そ う.た

のX′ へ だ しN,N′

の双

対Z-加

群 をM,M′

と し た と き 自 然 にM⊂M′

  Z-双

線形写像

〈,〉:M×N→Zお

るZ-双

線形 写像

〈,〉:M′

よ び 〈,〉:M′

×N→Qが

(M′/M)×(N/N′)→Q/Zか

と み な す の で あ る. ×N′ →Zの

唯 一 つ 決 ま り,非

与え る.従

拡 張 とな

退 化Z-双

線形写像

って 自然 な 同 型

を得 る.単 射 準 同型 

と の合 成 に よ り同 型

を 得 る.代 数 的 トー ラ ス の 準 同 型  は 全 射 で あ り,そ

の 核 は 

か ら 

であ る

と な る.

  k∈Kを す れ ば,m′

上 記 に よ っ てk(M)={1}を ∈M′

に 対 す るTN′

で あ る.従

に,代

上 の 正 則 函 数e(m′)へ

っ て{e{m′);m′

も の 全 体 は{e(m);m∈M}と 合 を そ れ ぞ れUσ,U′

み た す 準 同 型k:M′

∈M′}の

一 致 す る.各

σ と す れ ば,命

→C×

のkの

作 用 は 

うちKの

作用で不変な

σ∈ Δ に 対 応 す るX,X′

題1.2お

っ て そ の う ち でKの

 のC-係 体 と し て のUσ

の開集

よ び そ の直 後 の 注 で述 べ た よ う

数 多 様 体 と し て のU′ σ上 の 多 項 式 函 数 は 

係 数 一 次 結 合 で あ り,従

と同一 視

のC-

作 用 に 関 し て不 変 な も の全 体 は

数 一 次 結 合 の 全 体 と 一 致 す る.す

上 の 多 項 式 函 数 の全 体 で あ る.周

なわ ち 代 数 多 様

知 の よ う に こ の と き 有 限 群K

のU′σへ の 作 用 に 関 す る 商 空 間 が Ｕσと な る.   以 上 述 べ た こ と と 定 理1.15と   系1.16 

扇 の写 像

を 併 せ れ ば 次 の 結 果 を 得 る.

φ:(N′,Δ ′)→(N,Δ)に

対 応 す る 同 変 正 期 写 像 

が 上 へ の 固 有 写 像 で し か も 有 理 函 数 体C(X′) がC(X)の

有 限 次 拡 大 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,φ:N′

余 核 有 限 で あ り,し

か も これ に よ っ てN′R=NRと

局 所 有 限 な 細 分 と な る こ と で あ る.す

→Nが

単射 かつ

同 一視 し た と き Δ′が Δ の

な わ ち 各 σ∈ Δ に 対 し{σ ′ ∈ Δ′;σ′ ⊂ σ}

が 有 限 個 で あ り し か も σ が そ れ ら の 和 集 合 と な る こ と で あ る.   特 にN′

がNの

指 数 有 限 な 部 分 群 で Δ′=Δ

で あ る と き,φ*:X′

限 群  商 空 間 へ の 射 影 と 一 致 す る.た

→Xは

有

への作用 に 関 す る だ しM,M′

はN,N′

の 双 対Z-加

群 で あ る.

  系1.17  扇 の写 像 φ:(N′,Δ′)→(N,Δ)に 対 応 す る 同 変 正 則 写 像  が 固 有 な 双 有 理 写 像 で あ る た め の 必 要十 分 条件 は,φ: N′ →Nが

同 型 で あ りしか もN′R=NRと

同一 視 した と き,Δ ′が Δ の局 所 有

限 な細 分 とな る こ とで あ る.   系1.17と

定 理1.10を

併 せ れ ば 次 を 得 る.

  系1.18  Nの 扇 Δ に対 しそ の局 所 有 限 で 非特 異 な 細 分 Δ′を とれ ば,恒 等 写 像 の 引 き起 こすid:(N,Δ

′)→(N,Δ)に 対 応 す る固 有 な 双 有 理 型 の同 変 正 則 写

像 はTnemb(Δ)の

同変 な特 異 点 解 消 で あ る.

  特 異 点 解 消 定 理   トー リ ッ ク多 様 体TNemb(Δ)の

同 変 な 特 異 点 解 消 が存 在

す る.   Δ の局 所 有 限 で 非 特 異 な 細 分 Δ′を 構 成 す れ ば 良 い の で あ るが,そ つ い て は[TE,1章,2節,定 を 参 照 し て頂 きた い.ト

理11]お

よびBrylinski[B3,p.273,定

の方 法 に 理11]

ー リッ ク多 様 体 に 更 に有 限 群 が作 用 す る場 合 そ の作 用

で 不 変 な 非 特 異 細 分 Δ′を構 成 す る一般 化 はBrylinski[B4])に

あ る.ま た管 状

複 素 領 域 に 関 連 して 現 わ れ る よ うに トー リッ ク多 様 体 に無 限 不 連 続 群 が作 用 す る場 合 に つ い ては[TE,第

Ⅰ章,定

理11],[N5,定

理7.20]お

よび[Ⅰ7]を

参 照 して 頂 きた い.   一 般 に 複 素 解 析 空 間 に 群 が 作 用 す る と き,同 変 な 特 異 点 解 消 が い つ も可 能 で あ る こ とは 広 中 氏 の 定 理 に よ り保 証 され てい る.ト ー リッ ク多 様 体 の場 合 の 上 記 の定 理 は もち ろ ん そ の 特 殊 な場 合 で あ る.証 明 が 一 般 の 場 合 に 較 べ て極 め て 初 等的 で あ るの は 言 うま で もな い.   §3.2で 紹 介 す る よ うに トー リ ック特 異 点(す な わ ち トー リ ック多 様 体 の 特 異 点)は 常 に 有理 特 異 点,従

って 特 にCohen-Macaulay特

Kempfが[TE,p.52,定

理14]に

お い て示 し た.ま

様 体 の不 変 な既 約 閉 部 分 多 様 体 を 中 心 とす る同 変blow 対 応 す る.後 述 の命 題1.26を

異 点 であ る ことを た非 特 異 トー リッ ク多 upは

扇 の星 状 細 分 に

参 照 して 頂 きた い.

 §1.6 低 次元 トー リック特異 点と有限連分数   前 節 で 述 べ た 一 般 的 な 結 果 を2次 元 の 場 合 に 適 用 し てみ よ う.極 小 な 特 異 点 解 消 が 極 め て明 解 に記 述 出来,連 分 数 と の関 連 も一 目瞭 然 とな る と と も に巡 回

商 特 異 点 と し て の 記 述 も 可 能 と な る の で あ る.第4章 法 は 循 環 連 分 数 とHilbertモ

で 触 れ る よ う に,こ

ジ ュ ラ ー ・カ ス プ 特 異 点 と の 関 連,更

の手

には 土 橋 氏

に よ る そ れ ら の 高 次 元 類 似 物 の 構 成 へ と発 展 す る の で あ る.   3次 元 以 上 の トー リ ッ ク特 異 点 の 場 合 は,2次 で あ る.凸

体 の 幾 何 学 自身 が2次

元 と3次

元 の場 合 に較 べ て状 況 が複 雑

元 以 上 との 間 に歴 然 とし た差 を持 つ

か ら で あ る.そ

の こ と に つ い て も 本 節 で 少 し 考 察 す る.

  ま ず 

と し, 

emb({σ

の 面 全 体})を

内 の2次 考 え る.こ

す る不 動 点 で あ る.Uσ て も こ のorb(σ)の   原 始 的 で か つR上 て い る.も

は2次

元 有 理 強 凸 多 面 錐 σ を と りUσ=TN

の と きorb(σ)は

一 点 で あ りTNの

元 か つ 正 規 で あ る か ら,そ

作用 に関

の特異点はあ るとし

み で あ る. 一 次 独 立 なn,n′

し{n,n′}がNのZ-基

∈Nに

よ り と

底 で あ れ ば,も

書け ち ろ ん 定 理1.10に

よ り

orb(σ)は 非 特 異 で あ る.   命 題1.19 

上 記 の よ う な2次

格 子 点 の 集 合 σ ∩N＼{0}のNRに パ ク トな 辺 上 に あ るNの 1.7図

元 有 理 強 凸 多 面 錐 σ を と る.σ お け る 凸 閉 包 を Θ と し,そ

点 を 順 番 にl0=n,l1,l2,…,ls,ls+1=n′

内 の0以

外 の

の境 界 の コン とす る(第

参 照).

  (ⅰ)σ の 細 分 Δ′と し て  合 を とれ ばTNemb(Δ 系1.18の

′)→Uσ

お よび そ れ らの 面 全 体 の 集 は 同 変 な 特 異 点 解 消 で あ る.し

条 件 を み た す も の の 中 で 最 も 粗 い 細 分 で あ り,TNemb(Δ

特 異 点 解 消 と な る.   (ⅱ)j=1,2,…,sに

対 し整 数aj〓-2が

第1.7図

存在 し

か も こ の Δ′は ′)は極 小 な

と な る. 

のTNemb(Δ

直 線P1(C)と

同 型 で あ り,自

′)にお け る 閉 包  己 交 叉 数 は(C2j)=ajと

小 特 異 点 解 消 の 例 外 曲 線 で あ り,そ

)で あ る.l0,11,…,ls+1の 点 は0,lj-1,ljの

と き{lj-1,lj}は と な る.Δ

な る.C1∪

の グ ラ フ は 長 さsの

  証 明   Θ の 辺 は 両 端 の 半 直 線 を 除 きlj-1とljと

上 のNの

は複素射影

を 結 ぶ コ ン パ ク トな 線 分( 

み で あ る 

頂 点 とす る 三 角 形

2次 元 の 特 殊 性 に よ り こ の

底 と な り,従

っ て Δ′は σ の 非 特 異 な 細 分

′が そ の よ うな も の の 中 で 最 も 粗 い こ と も 明 ら か で あ る.ま

に 対 しlj-1とlj+1はljを {lj,lj+i}は

と も にNのZ-基

+ajlj=0と

な る.Θ

極

直 線 グ ラ フ と な る.

選 び 方 に よ り,0,lj-1,ljを

必 然 的 にNのZ-基

… ∪Csが

は さ ん で 互 い に 反 対 側 に あ り,し 底 で あ る.従

っ てaj∈Zが

の 凸 性 に よ り 

た 

か も{lj-1,lj},

存 在 し てlj-1+lj+1

と な る.(C2j)=ajで

あ る こ とは

次 章 §2.2に お い て 見 る.   上 記 の Δ′の 構 成 法 は 概 念 的 で 非 常 に 判 り易 い.し え た と き,凸

閉 包 Θ,そ

か しな がら σを実際に与

の 境 界 上 の 格 子 点l1,…,lsお

方 法 に 関 し て は 何 も 言 っ て い な い.実

はCohn[C]に

よ びa1,…,asを

求め る

も あ る よ うに 連 分 数 を 使

っ て 次 の よ うに 計 算 出 来 る の で あ る.   n,n′ ∈NはB上 n1∈Nお NのZ-基

一 次 独 立 な 原 始 元 で あ り 

よ び 

底 で あ りか つn′=pn+qn1と

は 非 特 異 と な る).こ

が 存 在 す る.通 た い.印

で あ る か ら,

を み た す 互 い に 素 な 整 数p,qが

の と き 

出 来 る(q=1な

存 在 し て ,{n,n1}が らp=0で

あ りσ

な る整 数 に よ る 連 分 数 展 開

常 の いわ ゆ る 正 則 連 分 数 とは 符 号 が 異 な る こ とに 注 意 し て頂 き

刷 の 都 合 上 右 辺 を[[b1,…,bs′]]あ

る い は 

と書 く

こ と が 多 い.   補 題1.20  り 立 つ.更

上 記 の 記 号 の も と で 実 はs′=sで に 

お よ び 

あ り 

が成 をl0:=n

,lj:=

 に よ っ て 帰 納 的 に 定 義 す れ ば,  l0=n,l1,…,ls,ls+1=n′

が Θ の コ ン パ ク トな 辺 上 のNの

も の で あ り,lj-1+lj+1=bjljと

な る.

  証 明   q1:=q,q2:＝q-pと

す る.連

に よ り帰 納 的 に 整 数{q3,…,qs′+2}が で あ る.明 0
分 数 の 定 義 か ら 

決 ま る.す

な わ ち 

ら か にqs′+1=1,qs’+2=0で

あ る.ま

点 を 順 番 に並 べ た

あ り, 

た{lj,nj+1}がNのZ-基

に 対 して は

底 で あ り 

と な る こ と が 定 義 か ら 帰 納 的 に 判 る.  

は 非 特 異 な  に 含 ま れ て い る.  で あ る か ら, l0,l1=l0+n1が

Θ の コ ン パ ク トな 辺 上 に あ る最 初 の2格 あ る こ と も 明 ら か で あ る.σ0を よ り二 分 割 す る と,一 第1.8図

非 特 異 な 

特 異 で あ り,他

方 の 

方 の 

生 成 系k0,k1,…,kt+1を

選 べ ば, 

み を 与え る(命 題1.2参

照).そ

参 照).

っ て 〓σ=M∩

の た め に は,命

σ∨ の 半 群 と し て の 極 小 が 極 小 な埋 込

題1.19の

考 察 を 次 の よ うに 双

対 錐 σ∨に 適 用 す れ ば 良 い の で あ る. 元有理強 凸

多 面 錐 で あ る σ∨に 対 し,σ ∨∩M＼ {0}のMRに し,そ

お け る 凸 閉 包 を Θ∨ と

の 境 界 ∂Θ∨の コ ン パ ク トな 辺

上 に あ るMの

点 を 順 番 にk0,k1,…,

kt+1と す れ ば 整 数  ki-1+ki+1=ciki  と な る.こ

は非

元 の σ に 対 し  で あ っ た.従

MRの2次

に

で あ る.

従 って σ1に帰 納 法 の 仮 定 を 適 用 す れ ば 良 い(第1.8図

  命 題1.21 

半 直 線 

は

に含 まれ る.し か も 

  上 記 の よ う な2次

子点 で

が存 在 し て (i=1,2,…,t)

の と きk0,k1,…,kt+1は

第1.9図

半群

〓σ=σ ∨∩Mの

極 小 生 成 系 で あ り上 記 のt個

関 係 式 で あ る(第1.9図   証 明   命 題1.19を

の 等 式 が そ れ ら の間 の基 本

参 照). σ∨に 適 用 す れ ば{ki-1,ki}はMのZ-基

群 

底 で あ り,半

の 極 小 生 成 系 と な る.σ∨ ∩Mが

あ る か らk0,…,kt+1が

σ∨∩Mの

極 小 生 成 系 と な る こ と も 明 ら か で あ る.こ

れ ら の 間 に 成 り立 つ 関 係 式 は{0,1,…,t+1}の ξi(i∈I′),ηi(i∈I")に

の 形 で あ る.明

部 分 集 合I′,I"お

よび 自然 数

対 し

らか にI′ ∩I"=〓

最 小 元i′ の 方 がI"の

そ れ らの 和 集 合 で

と仮 定 し て も 一 般 性 を 失 わ な い.ま

そ れ よ り小 さ い と 仮 定 し て 良 い.こ

たI′ の

の と き 両 辺 にki′+2

を 適 当 な 回 数 加 え る こ と に よ り左 辺 に ξi′(ki′+ki′+2)が 現 わ れ る よ うに 出 来 る. 上 記 の 関 係 式 を 使え ば こ れ を ξi′ci′+1ki′+1に と りか え る こ と が 出 来,帰

納法が

適 用 出 来 る.   実は Θ と Θ∨ と の 間 に は 次 の よ う な 一 種 の 双 対 性 が 成 り立 つ.ま 3に お け る よ う に Θ の 支 持 函 数 

で 定 義 す る.Θ く と き の,あ

が σ∩N＼{0}の

をm∈

凸 閉 包 ゆえ,右

る い は 単 に{l0,…,ls+1}を

σ∨ に 対 し

辺 はnが

動 く と き の,最

と な る.Θ

の極多面体

σ∩N＼{0}を

動

小 を と れ ば 十 分 で あ る.

  を  の 集 合 で あ る よ う に 選 べ ば,更

ず 付 録 §A.

が Θ の頂 点

に

Θ°⊂ σ∨ を

と定 義 す る.h∨ が 正 に 同 次 か つ 上 に凸(す な わ ち 任 意 の 

お よびm,m′

∈ σ∨に 対 し 

で あ り,

σ∨の境 界 上 で0と な る か ら,Θ° は σ∨の 内 部 に そ っ く り含 まれ る凸 多 面 集 合 と な る.   に 唯 一 つ あ るMの mj(α)を

は そ れ ぞ れ σ∨ の 面  原 始 元 で あ る.各

α=1,2,…,υ

上 に 対 し て は,Mの

原始元

を み た す よ うに 定 義 出 来 る.何 故 な ら は Nの

元 で あ り,隣

り 同 志 がNのZ-基

=1が 

一直線上にあ る

底 を な す か ら で あ る.従

に 対 し て 成 立 し,一

っ てh∨(mj(α))

方h∨(mj(0))=h∨(mj(υ+1))=0で

あ る.

第1.10図

  第1.10図

か ら 明 ら か な よ う に 

な らh∨(m)=〈m,lj(α)〉   さ て 

の と きmj(α)とmj(α+1)と

てbj(α)-1個 上 のMの

のMの

点 が あ り,ま

点 は こ れ ら と0を

NのZ-基

に 対 し 

で あ る. を結 ぶ 線 分 上 には 両 端 も込 め

た0,mj(α),mj(α+1)を

頂 点 とす る三 角 形

併 せ たbj(α)個 の み で あ る.実

底 で, 

際 

で あ り,ま

は

た  で あ る か ら,{m,m′}

を{lj(α)-1,lj(α)}の 双 対Z-基

底 と し た と きmj(α)=m+m′, 

と な る か ら で あ る.   さ てM∩

σ∨＼{0}の

凸 閉 包 で あ る Θ∨は 明 ら か に Θ° を 含 む が,Θ∨

の 凸 閉 包 と な り頂 点 集 合 が  0,mj(0),mj(1)を 上 のMの に あ るMの

で あ る.

頂 点 と す る 三 角 形 お よ び0,mj(υ),mj(υ+1)を

点 は 明 ら か に 頂 点 の み だ か ら で あ る.従 点 の 個 数t+2は

と一 致 す る.と

lj-1,lj,lｊ+1が 一 直 線 上 に あ る こ と(す な わ ち 

る.以

頂 点 とす る 三 角 形

っ て Θ∨の コ ン パ ク トな 辺 上

結 局 

あ る こ と と は 同 値 で あ る か ら,こ

は 

れ は 

ころが

とbj=2で と一 致 す る こ と と な

上 を ま とめ そ の 双 対 も 考 え る と次 の よ う に な る.

  補 題1.22 

σ∩N＼{0}の

点 を 順 番 にl0,l1,…,ls＋1と

凸 閉 包 Θ の 境 界 の コ ン パ ク トな 辺 上 に あ るNの し, 

仁 対 し 整 数 

を み た す とす る.同 上 に あ るMの

様 に σ∨∩M＼{0}の

凸 閉 包 Θ∨ の 境 界 の コ ン パ ク トな 辺

点 を 順 番 にk0,k1,…,kt+1と  を み た す と す る.こ

し, 

に 対 し 整 数 

が

の と き等 式

が 成 立 す る.   注   上 記 の 結 果 は 次 の よ うな 幾 何 学 的 意 味 を 持 つ.命 題1.19に 外 曲線C1+C2+…+Csを の他 の(Cj.Cj′)=0で

が 成 立 す る.こ Z-基

考 え る と,(C2j)=aj=-bjか

お け る特 異 点 解 消 の 例

つ(Cj.Cj+1)=1で

あ りそ

あ るか ら

れ は実 はUσ の 特 異 点orb(σ)にお

け る重 複度 と も一 致 す る.ま

底 と0と を頂 点 とす る三 角 形 の 面 積 を1/2と

vol2と 書 くこ とに す れ ば, 

標 準 化 し たMRのLebesgue測

たMの 度を

(0,ki-1,kiを 頂 点 とす る三 角 形)=vol2

(σ∨＼ Θ∨)とな る.   系1．23(Riemenschneider[R5,第3節,補 が0
み た す とす る.こ

題4])互

い に 素 な 整 数p,q

の とき連 分 数 展 開

に対 し等式

が 成 立 す る.   証 明   補 題1.20お

よ び1.22に

  σ の 代 りに σ∨を 考 え よ う.Nの

よ り第1項

と第3項

あ るZ-基

と な っ て い る か ら,Mの

と は 等 し い.

底{n1,n2}に

双 対Z-基

対 し 

底 を{m1,m2}と

す れ ば  と な

る.{m2,m1-m2}がMのZ-基

底 で あ る か ら 補 題1.20に

の 連 分 数 展 開 は 

と な り,補

項 と第3項

が 等 し くな る.

  一 方Uσ

は 巡 回 商 特 異 点 と し て の 性 格 も持 ち,扇

来 る.系1.16の   命 題1.24  とす るC2へ

よ り  題1 .22に

よ り第2

の 写 像 で 次 の よ うに 記 述 出

特 別 な 場 合 で あ る. 互 い に 素 な 整 数p,qが  巡 回 群Z/qZが

を み た す とす る.座

標 を(z1,z2)

次 の よ うに 作 用 し て い る と す る.す

な わ ち ε=

exp(2πi/q)と

しZ/qZの

生 成 元1+qZの

こ の と き{n1,n2}をZ-基

作用 が

底 と す るZ-加

群 をNと

理 強 凸 多 面 錐 を  Uσ はC2へ

お け る2次

と す れ ば,ト

の 上 記 のZ/qZの

qで あ る.N′R=NRと

元有

ー リ ッ ク多 様 体

作 用 に よ る 商 空 間 で あ る.

  証 明   n1とpn1+qn2が

生 成 す るNのZ-部 同 一 視 し,Δ

(N′,Δ)→(N,Δ)を

得,対

emb(Δ)を

れ は 位 数qの

得 る.こ

し,NRに

分 加 群N′

はNに

を σ の 面 全 体 と す れ ば,自

お い て指 数 然 な 扇 の 写像

応 し て 同 変 正 則 写 像U′ σ=TN′emb(Δ)→Uσ=TN 巡 回 群ker(TN′

→TN)に

よ る 商 で あ り 

で あ る.   実 際{n1,n2}のMに 加 群M′

に

にM⊂M′

お け る 双 対Z-基

け る{n1,pn1+qn2}の

底 を{m1,m2}と

双 対Z-基

底 を{m′1,m′2}と

で あ りm1=m′1+pm′2,m2=qm′2=qm′2と

線 形 写 像 の 拡 張 と し て 〈,〉:M′

を 得 る.上

へ の 準 同 型TN′

→TNの

な る.ま

×N→(1/q)Zを

で あ る か ら,z1=e(m′1),z2=e(m′2)と

し,N′

の 双 対Z-

す れ ば,自

然

た 双 対 を 与 え る双

得 る.  す れ ば 同 型 

核 は 

で あ る. を 

へ,ま

を 準 同 型 

たn+N′

∈N/N′

に 対 応 さ せ る の で あ る.

 で あ る か ら 求 め る 結 果 を 得 る.   注  Z/qZのC2へ

の 上 記 の 作 用 に 関 し て不 変 なz1,z2に

求 め られ る.Riemenschneider[R5]の よ うに,2次

関 す る単 項 式 は 命 題1.21で

内容 の一 部 分 で あ る.Brieskorn[B2]に

元 巡 回 商特 異 点 はす べ て命 題1.24の

第1.11図

形 を し て い る.

もあ る

  例   命 題1.24に

お い てp=1の

ら か な よ うにUσ

はC2へ

特 別 な 場 合 を 考え よ う.第1.11図

のZ/qZの

作 用 

あ り,ま た 

か ら明 に よ る商 で

と な り,重

複 度2の

い わ ゆ るAq-1

型 特 異 点 と な る.   Abhyankar[A1]は と を 示 し た.こ

同 次 特 異 点 解 消 が 既 に2次

元 で 一般 に は 不 可 能 で あ る こ

こ で 上 記 の 例 を 使 っ た 桂 利 行 氏 に よ る 簡 単 な 反 例 を 紹 介 す る.

  上 記 の 例 に お い てZ:=C2上 で 作 用 し て い る.そ

にG:=Z/qZの

生 成 元 が 

の 商 はU:=Uσ=Z/Gで

あ る.ま

像 

はG×Gに

に よ る商

φ:Z→U,ψ:U→Wの

へ の 有 限 正 則 写 像 ψ:U→Wが upの

よ る 商 で あ り,G

合 成 に 分 解 す る.

  同 次 特 異 点 解 消 の 問 題 と は,一

す るblow

たKummer写

般 に 正 規 多 様 体Uか 与 え られ た と き,非

有 限 回 の 合 成W′

→Wを

ら 非 特 異 多 様 体Wの

上

特 異 部 分 多 様 体 を 中心 と

適 当 に とれ ば ひ き 戻 しU×WW′

の 正 規 化 が 非 特 異 で あ る よ うに 出 来 る か と い う も の で あ る.   一 方 非 特 異 多 様 体Zへ え ら れ た と き,G-不 Z′ →Zを

の 有 限 群Gの

作 用 に よ る 商 φ:Z→U=Z/Gが

変 な 非 特 異 部 分 多 様 体 を 中 心 と す る 同 変blow

適 当 に と れ ばZ′/Gが

与 upの

合成

非 特 異 と な る よ うに 出 来 る か と い う問 題 が あ

る.   上 記 の 例 で はKummer写

像 の 性 質 に よ り こ の 二 問 題 は 同 値 で あ る の で,後

者 を 取 扱 う こ とに し よ う.q=2お

よ びq=3の

場 合 に は 肯 定 的 で あ る が 

で は 否 定 的 で あ る こ とが 次 の よ うに し て 判 る.   (0,0)∈ZはGの

唯 一 の 不 動 点 で あ る.こ

を 考え る と 

の 点 を 中 心 と す るblow  upZ1→Z

で あ り,V,V′

υ2),(υ′1,υ′2)と す れ ば,z1≠0の き υ′1=z1/z2,υ ′2=z2で (Z/qZ)×(Z/qZ)に

と き υ1=z1,υ2=z2/z1と

あ る.さ

て1の

対 しG=Z/qZの

原 始q乗

お よ び 何 

たZ/G自

根 ε と 位 数qの

と

元(α,β)∈

へ のGの

作 用 は 

と な る.す な わ ち 組(α,β)で

作 用 か ら 出 発 す れ ば 同 変blow

る も の が 現 わ れ る.ま

な りz2≠0の

生 成 元 がZに 

で 作 用 し て い る場 合 を 一 般 に 考 え る と,V,V′

るGの

の 座 標 を そ れ ぞ れ(υ1,

upで

組(α,β-α),(α-β,β)に

決ま

対応 す

身 が 非 特 異 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は α=

0ま

た は β=0と

  q=2の

な る こ と で あ る .(注 記   第1∼23行

場 合   上 記 の 例(α,β)=(-1,1)か

upZ′=Z1→Zで あ りZ′/Gは

ら 出 発 す れ ば1回

現 わ れ る 組 が(-1,2)=(-1,0)お

の 同 変blow

よ び(-2,1)=(0,1)で

非 特 異 と な る.

  q=3の

場 合   (α,β)=(-1,1)の1回

(-2,1)が

は 不 完 全 で あ る.)

現 わ れ,Z1の2個

同 変blow

の 不 動 点 を 共 にblow

up upし

Z1→Zで

組(-1,2),

てZ2→Z1と

す れ ば,

組(-1,3)=(-1,0),(-3,2)=(0,2),(-2,3)=(-2,0),(-3,1)=(0,1)が わ れZ2/Gは

非 特 異 と な る.

 

か つq≡2(mod3)の

<2kと

な る.上

場 合   あ る 自 然 数kに

記 と 同 様 に 同 変blow

る.(-1,1)→(-1,2)→ -3k

 

→Zを

る い は(0,β)の

あ る か ら 最 後 の(-1,q-k)は

ー プ が 出 現 す る こ とに な る.従 ど の よ うに と っ て もZ′/Gは

か つq≡1(mod3)の

上 記 と 同 様 に,ル

対 し2q=3k+1,k+1
続 け る と次 の よ うな 系 列 が 現 わ れ

こ に は(α,0)あ

て い な い.1
成Z′

upを

… →(-1,k)→(-1-k,k)→(-1-k,1+2k)→(-2

,1+2k)=(-1,q-k).こ

と 一 致 し,ル

現

形 の組 は 現 わ れ

途 中 に 現わ れ て い る組

っ て 有 限 回 の 同 変blow

upの

合

特 異 点 を 持 つ.

場 合   あ る 自 然 数kに

対 し2q=3k+2と

な る.

ー プ が 次 の よ う に 現 わ れ る.(-1,1)→(-1,2)→

… →

-1,k)→(-1-k,k)→(-1-2k,k)→(-1-3k,k)=(1-2q,k)=(1-q,k)→ (1-q,k+q-1)→(1-q,k+2q-2)→ →(-q-1,2)=(-1,2)  

… →(1-q,k+(k-2)(q-1))=(1-q,2) .

か つq≡0(mod3)の

場 合   あ る 自 然 数kに

対 しq=3kで

は り次 の よ うに ル ー プ が 現 わ れ る.(-1,1)→(-1,2)→

あ り,や

… →(-1,k)→(-1-

k,k)→(-1-2k,k)→(-1-3k,k)=(-1,k).   命 題1.24は

一 般 次 元 に お い て も 次 の よ うな 形 で な ら 成 立 す る.や

は り 系1.

16の 特 別 な 場 合 で あ る([TE,p.40],[MO,p.42]).   命 題1.25 

と し,R上

一 次 独 立 なn′1,…,n′r∈Nの

理 強 凸 多 面 錐 を  るNの NRと

指 数 有 限 なZ-部

張 る単 体 的 な 有

と す る.{n′1,…,n′r}をZ-基 分 加 群 をN′,そ

の 双 対Z-加

群 をM′

底 とす

と す る.N′R=

同 一 視 す れ ば,  はCrと

同 型 で あ り,自

然 な 同 変 正 則 写 像U′ σ

→U

σ は 有 限 可 換 群 

に よ る 商 空 間 へ の 射 影 と一 致 す

る.   証 明   Nの

双 対Z-加

群Mは

写 像 の拡 張 と し て双 線 形 写 像 対 なM′

のZ-基

自然 にM′

のZ-部

〈,〉:M′

底 を{m′1,…,m′r}と

×N→Qを

対双線形

得 る.{n′1,…,n′r}と

を 得 る.上

核 は 

へ の 準 同 型TN′

で あ る.n+N′

同 型 

∈N/N′

→

に対 し準

を 対 応 さ せ る の で あ る.こ

と きU′σ上 の 正 則 函 数e(m′)へ

のn+N′

∈N/N′

っ てU′ σ→Uσ

はN/N′

の

の 作 用 は 

と な り,{e(m);m∈M}がN/N′-不 る.よ

双

す れ ば, 

で あ る か ら 同 型  TNの

分 加 群 と な り,双

変 な も の 全 体 と一 致 す

の 作 用 に よ る 商 と な る.

  注   この場 合 に もUσ の点orb(σ)に おけ る重 複度 はr! VOlr(σ∨＼ Θ∨)と一 致 す る.た だ し Θ∨は σ∨∩M＼{0}の

凸 閉包 で あ り,volrは,MのZ-基

r次 元 単 体 の 体 積 を1/r!と   し か し な が ら 

底 と0と を 頂 点 とす る

標 準 化 したMRのLebesgue測

度 で あ る.

の 場 合 の こ れ 以 外 の 状 況 は,2次

元の場合程簡単ではな

い.

  例{n1,n2,n3}を  NRに

のZ-基

底 と しn0:=-n1+n2+n3と

す る.

お け る 凸 四 角 錐 

n1,n2,n3が σ ∩Nの

を 考え よ う.n0,

同 一 平 面 上 に あ り,ま 点 が0の

た そ の 平 面 で 決 ま る0を

み で あ る こ と に 御 注 目 頂 き た い .後

持 つ の で あ る.σ は2通

含む開半空間内の

に重 要 な幾 何 学 的 意 味 を

りの 非 特 異 な 細 分 Δ′,Δ"を持 つ.  お よ び そ れ ら の 面},  お よ び そ れ ら の 面}で

n4:=n0+n1=n2+n3と

あ る.更

に

す れ ば,  およ

び そ れ ら の 面}は

Δ′と Δ"の 非 特 異 な 細 分 と な っ て い る.対

多 様 体 に よ る3通

り の 特 異 点 解 消 の 間 の 関 係 は 第1.12図

pp.38∼39]の   Mの

応 す る トー リ ッ ク

の とお りで あ る .[TE,

例 と 本 質 的 に 同 じ で あ る.

双 対Z-基

底 を{m1,m2,m3}と

す れ ば 簡 単 な 計 算 に よ り  と な る.x:=e(m1+m2),

第1.12図 y:=e(m3),z:=e(m1+m3),w:=e(m2)と

す れ ばUσ={(x,y,z,w)∈C4;

xy=zw}で

あ り,非 退 化 な3次

  r=3の

場 合 に 話 を 限 ろ う.た

っ た と し て も,σ ∩N＼{0}の は 限 ら な い.ま

元2次

錐 と な る こ と が 判 る.

と え σ が 単 体 的 な3次

た た と え 三 角 形 で あ っ た と し て も,そ

三 角 錐 が 非 特 異 で あ る と も 限 ら な い.2次 {n′1,n′2,n′3}を 選 び そ れ ら と0と あ る よ うに し た と し て も,次

元 有 理 強 凸 多面 錐 で あ

凸 閉 包 Θ の コ ン パ ク トな 面 は 三 角 形 で あ る と れ と0と

を 結 ん で 得 る

元 と の 類 似 と し て,N∩

を 頂 点 と す る 四 面 体 上 のNの

∂Θ の3点

点 が頂 点 の み で

に 述 べ る よ うに{n′1,n′2,n′3}がNのZ-基

底 とな

る 保 証 す ら も は や 無 い の で あ る!   終 着 性 補 題 

内 の 原 始 元n′1,n′2,n′3がR上 一 次 独 立 で あ る とす る.{0,

n′1,n′2,n′3}を 頂 点 とす る 四 面 体Tに NのZ-基

底{n1,n2,n3}お

よ び 

含 ま れ るNの

点 が4頂

点 の み で あ る に は,

を み た す 互 い に 素 な 整 数p,qが

存在

し て,n′1，n′2,n′3の 順 序 を と り換 え る こ と に よ りn′1=n1,n′2=n2, n′3=n1+pn2+qn3 と出 来 る こ と が 必 要 十 分 で あ る (イ)

(ロ) 第1.13図

(第1.13図(イ)参

照).

十 分 性 は 明 ら か で あ る.必

要 性

は 次 の よ う に 示 す.   {0,n′1,n′2}を 頂 点 と す る 三 角 形S上 基 底{n1,n2,n3}が

のNの

存 在 し てn′1=n1,n′2=n2と

適 当 に と り換 え れ ば,  に な いTの

点 は3頂 点 の み で あ る か らNのZな る よ う に 出 来 る.更

を み た す 整 数a,b,qが

頂 点 がan1+bn2+qn3で

点 は 頂 点 の み だ か ら で あ る.

  更 に 仮 定 に よ り{0,n1,n2,an1+bn2+qn3}を

λ3<1を

故 な

よ び{n1,n2,an1+bn2+qn3}

の 三 角 形 上 に あ るNの

点 が 存 在 し な い.従

照).

そ れ ぞ れ 互 い に 素 で あ る.何

ら{0,n2,an1+bn2+qn3},{0,n1,an1+bn2+qn3}お

に はNの

存 在 し,S上

あ る と し て よ い(第1.13図(ロ)参

  こ の と きaとq,bとq.a+b-1とqは

を 頂 点 とす る3個

にn3を

頂 点 と す る 四 面 体Tの

内部

っ て0<λ1<1,0<λ2<1,0<λ3<1,0<λ1+λ2+

み た す ど ん な 実 数 λ1,λ2,λ3に 対 し て もTの

内点 で あ る

  λ1n1+λ2n2+λ3(an1+bn2+qn3)=(λ1+aλ3)n1+(λ2+bλ3)n2+qλ3n3 はNに

属 さ な い.す

な わ ち0
と き,λ1+ak/q,λ2+bk/qの

み た す 整 数kに

した

少 く と も一 方 は 整 数 で は な い.

  一 般 に 実 数 ξ の 小 数 部 分 を  +b-1がqと

対 し λ3=k/qと

と 書 く こ と に す れ ば,a,bお

よ びa

互 い に 素 で あ る こ と か ら結 局 〈-ak/q〉+〈-bk/q〉+〈k/q〉>1 

と な る こ と が 判 る.一   Whiteの

般 に 次 の 基 本 的 事 実 が 知 ら れ て い る.

定 理([W3,定

素 で あ る とす る.も

(k=1,2,…,q-1)

理1])整

数 α,β,γ が 自 然 数qと

それ ぞれ 互 い に

し

〈αk/q〉+〈

βk/q〉+〈

で あ れ ば α+β,β+γ,γ+α

γk/q〉>1 

(k=1,2,…,q-1)

の い ず れ か はqで

  我 々 の 場 合 α=-a,β=-b,γ=1と

割 り切 れ る.

す れ ばa-1,b-1,a+bの

い ず れ か がqで

割 り切 れ る こ と に な る.0
=1,b=1あ

る い はa+b=qと

な る.a=1ま

あ る か ら 結 局a た はb=1な

ら望 み 通 り

で あ る.  

a+b=qの

0
場 合 を 考 え よ う.aとqと み た すqと

互 い に 素 な 整 数cが

な る.よ あ る.明

が 互 い に 素 で あ る か ら整 数dお 存 在 し てca=dq+1,従

っ てn1=n2+c(an1+bn2+qn3)+q(-dn1-(c-

ら か に{n2,an1+bn2+qn3,-dn1-(c-d)n2-cn3}は

よび

っ てcb

NのZ-基

底 で あ る.

  注  Morrison-Stevens[MS]はBernoulli函 与 え た.Frumkinも

数 を 使用 し てWhiteの

定 理 の再 証 明を

独 立 に 証 明 した 由 で あ る.一 方,代 数 曲 面 論 を使 用 し た証 明が 石 田

[I6]に あ る.四 面 体 に 限 らず 一 般 の 凸 多面 体 の場 合へ のFrumkinに

よ るWhiteの

定

理 の 拡 張 に つ い て は 次 節 §1.7で 触 れ る.  

に 命 題1.25を

はZ/qZのC3へ (2πi/q)と

適 用 す る と,Uσ

の 次 の よ う な 作 用 に 関 す る 商 空 間 と な る.す し た と き1+qZ∈Z/qZの

で あ る.(p.69,追

記(2)参

な わ ち ε=exp

作用 は

照).

  終 着 性 の 名 称 の 由 来 は 次 の 通 りで あ る.   定 義(Reid[R4,(1.11)]) 

と し,NRのr次

1次 元 の 面 お の お の の 上 に あ るNの の 双 対Z-加

群 をMと

し,jを

  (ⅰ)σ が 標 準 的(canonical)で

指 数jで

たN

あ る 原 始 元m0に

つ 任 意 のn∈

σ∩N＼{0}に

対 対 し

と な る こ と で あ る. が 終 着 的(terminal)で

指 数jで

対 し 

  [R2,p.294]に

〈m0,n〉>jと

あ るReid,Danilovの

とUσ の 点orb(σ)が 値 で あ り,ま

あ る と は,Mの

で あ り,か

に対 し ては

minal

あ る と は,Mの

あ り,か

  (ⅱ) よ り強 く,σ 元m0に

原 始 元 の 全 体 をn′1,…,n′sと す る.ま

自 然 数 と す る.

し で て は 

元 有 理 強 凸 多面 錐 σ の

つ 任 意 の 

な る こ と で あ る. 結 果 に よ れ ば,σ

標 準 的 特 異 点(canonical

異 点 の 概 念 はReidお

あ る こ と と が 同 値 で あ る.標 よ びDanilov[D2]に

が標準的であ ること

singularity)で

た σ が 終 着 的 で あ る こ と とUσ の 点orb(σ)が

singularity)で

あ る原 始

あ る こ と とが 同 終 着 的 特 異 点(ter

準 的 特 異 点 お よび 終 着 的 特

よ っ て 導 入 さ れ た も の で あ り,高

次 元 の 代 数 幾 何 学 に お い て 今 後 重 要 な 役 割 を 果 す も の と 思 わ れ る.次

節におい

て 双 有 理 幾 何 学 の 問 題 と の 関 連 で そ の 一 端 に 触 れ る こ と に な る.   上 記 の 終 着 性 補 題 は,単 こ と に な る.一

体 的 か つ 終 着 的 な3次

方 単 体 的 で な い 終 着 的 な3次

元 の σ の標 準 型 を与 え てい る

元 の σ は,命

挙 げ た 四 角 錐 し か あ りえ な い こ と も 判 っ て い る(石 田[I6]参

題1.25直 照).

後 の例 に

 

で σ がNRのr次

中心 とす るblow

up,あ

こ とが 出来 る.r=2の

元 有 理 強 凸 多 面 錐 で あ る とき,Uσ の 点orb(σ)を る い はNashのblow

upを

場 合 に はGonzalez-Sprinberg[G2]を

い.注 意す べ き こ とは, 

な場 合 のblow

って一 般 にはblow upは

参照 して 頂 き た

な らUσ のorb(σ)中 心 のblow

り我 々の 意 味 で の トー リ ッ ク多 様 体 で あ るが,  氏 に よ る).従

σの 幾 何 学 で 記 述 す る

upは

正 規であ

で は 正 規 で な くな る(石 田

upの 正 規化 を考 察 す る必 要 が あ る.非 特 異

非 特 異 で あ り,次 節 で 詳述 す る.

  §1.7 トー リック多様体の双有理幾何学   同一 次 元rの

トー リッ ク多様 体 は す べ て双 有 理 同値 で あ る.r次

トー ラ ス 

元 の 代数 的

を 開 集 合 と し て含 ん で い るか らで あ る.

  一 般 に双 有 理 幾 何 学 で は,互 い に 密 接 な 関 係 を 持 つ 次 の問 題 を 考 察 の対 象 と す る.た だ し非 特 異 複 素 解 析 空 間 の こ とを 単 に 複 素 多 様 体 と呼 ぶ こ とに す る.   双 有 理 幾 何 学 の 問 題   (ⅰ)複 素 多 様 体 の固 有 な 双 有 理 正 則 写 像f:Y→Xは 既 約 閉 部 分 多様 体 を 中心 とす るblow  upの

合成 に 分解 出来 る か?

  (ⅱ)  互 い に 双 有 理 同 値 な コ ン パ ク ト複 素 多 様 体X,X′ に対 して 適 当 に コン パ ク ト複 素 多 様 体X"を 選 ん でX"→X ,X"→X′ が と も に既 約 閉部 分 多様 体 を 中 心 とす るblow

upの

有 限 個 の合 成 とな る よ うに 出 来 るか?

  (ⅱ ′)上 記 に お い てX"を 選 ぶ 代 りに も っ と弱 く  を 適 当 に選 ん で 各奇 数  に 対 し  に 既 約 閉 部 分 多 様 体 を 中 心 と す るblow

upの

が とも

有 限 個 の合 成 と な る よ うに 出

来 るか?   (ⅲ)  コ ンパ ク ト複 素 多様 体 の双 有 理 同値 類 の 中 でblow を 同型 で 分 類 す る.す なわ ちf:X→Yが upな

upに

関 し極 小 なX

既 約 閉 部 分 多 様体 を 中心 とす るblow

らfは 必 ず 同型 写 像 とな るよ うなXで

あ る.

  (ⅲ′)  上記 に お い て も う少 し粗 く双 有 理 正 則 写 像 に 関 し極 小 なXを 類 す る.す な わ ち 双 有 理 正 則 写 像f:X→Yが

必 ず 同型 写 像 とな るXで

  広 中 の 不 定 点 解 消 定 理 に よ り,双 有 理 同値 なX,X′ 部 分 多 様 体 を中 心 とす るblow 正 則 写 像g:X"→X′

upの

同型 で分

合 成X"→Xを

あ る.

が 与 え られ た とき既 約 閉 適 当 に とれ ば,双

有理

が 存 在 す る よ うに 出 来 る.し か し上 記(ⅱ)では も っ と強 い

こ と を要 請 し てい るわ け で あ る.   1次 元 の 場 合,固 有 双 有 理 正 則 写 像 はす べ て 同型 で あ るか ら上 記 の問 題 は す べ て 自明 で あ る.   2次 元 の 場 合 に は(ⅰ)が 肯 定 的 で あ り,従 っ て上 記 の注 意 に よ り(ⅱ)も 肯定的 と な る,ま

た(ⅲ)と(ⅲ ′)と は 一 致 す る.線

織 曲面 で ない 場 合 の双 有 理 同値 類 は 極 小

な も のを 同 型 を 除 き唯 一 つ 含 んで い る.非 有 理 線 織 曲面 の双 有 理 同値 類 中 の極 小 な 曲面 は,コ

ン パ ク トな リー マ ン面 上 のP1(C)-バ

曲面 の双 有 理 同 値 類 は唯 一 つ で あ る が,そ 述 す る射 影 平 面P2(C)とHirzebruch曲 Enriques-小

ン ドル で あ る.ま

た有 理

の 中 の極 小 な 曲 面 は 定 理1.28で 面Fa( 

後

)と の2種 類 が あ る.

平 の 分 類 理 論 に よ り複 素 曲面 の全 貌 が ほ ぼ 明 ら か とな った.

  しか しな が ら3次 元 以 上 で は(ⅰ)が 否 定 的 で あ る こ とが 判 って い る以 外 す べ て 未 解 決 で あ る.ト ー リ ッ ク多 様 体 を使 っ た(ⅰ)の 反 例 につ い て は後 述 す る.上 記 の問 題 にお い て非 特 異 性 の制 限 を取 り除 き,あ

る程 度 の 特 異点 も許 容 す る方 が

問 題 と し て 自然 で あ る こ とを 示 す 証 拠 も次 第 に 挙 が りつ つ あ る([M7],[M8], [R2],[R3]等

参 照).

  本節 では 上 記 の問 題 の 類 似 を トー リ ッ ク多 様 体,同 び 同 変 なblow

upに

る こ とが 出来,見

変 な 双有 理 正則 写 像 お よ

関 して 考 察 す る.扇 に 関 す る初 等 幾 何 学 の問 題 に翻 訳 す

通 しが 大 変 良 くな るの で あ る.一 般 の 場 合 の3次 元 以 上 の 双

有 理幾 何 学 に将 来 の 指 針 を 与え る こ とが 出 来 れ ば幸 で あ る.   な お トー リッ ク射 影 多様 体 に 関 す る森 理 論 も本 節 の 内 容 に 関 連 が 深 い.§2.5 を 参照 し て頂 きた い.   以 後  TNemb(Δ)を

を 固定 し,N内

の扇 Δお よび 対 応 す る トー リッ ク多 様 体X=

動 か し て考 え る.

  トー リ ック多様 体 の 固 有 双 有 理 な 同 変 正 則 写 像 に つ い て は 系1.17で

考察 し

た が,そ の うち で 特 に 次 の もの が 基 本 的 役 割 を 果 す.   命 題1.26([MO,命

題7.4])X=TN 

emb(Δ)を 非 特 異 トー リ ッ ク多 様 体

とす る.τ ∈Δ に 関す る Δ の 星 状細 分 Δ*(τ)を次 の よ うに定 義 す れ ば,対 るTN

emb(Δ*(τ))→TN

る 同 変blow

upと

emb(Δ)=Xはorb(τ)の 一 致 す る.Δ(1):={ρ

{ρ∈ Δ(1);ρ<τ}=:{ρ1,…,ρk}と

閉 包V(τ)⊂Xを ∈ Δ;dimρ=1}と

しnj:=n(ρj)∈Nを

応す

中 心 と す し た

と き ま ず

ρj内 の 唯 一 の 原 始 元

と す る.n0:=n1+…+nkと

とす る.ま

お い て

た τ<σ

と な る σ∈ Δ を

と書 い た とき

とす る.こ

の とき

とす る の で あ る.   証 明  系1.7に る.従

よ りV(τ)はXの

っ てV(τ)を

中 心 とす るblow

と な り し か もTNが Xの

∩V(τ)=〓

Uσ ∩V(τ)≠ る.よ

上 でfを

〓

同 変 と な る.blow

upの

定 義 に従 って

は 同 型 で あ る.従

題1.6(ⅲ),(ⅳ)に

底{n1…,nr}お

よ り こ れ は τ<σ

よ び 

底 を{m1,…,mr}と

とす れ ば(u1,…,ur)がCrの

upの

非特異

記 述 す れ ば 次 の よ うに な る.

と仮 定 す る.命

双 対Z-基

と な る.blow

と れ ば,X*は

で あ れ ば 

っ てNのZ-基

と な る.Mの

変 な閉 部 分 多 様 体 で あ

upf:X*→Xを

自然 に 作 用 しfは

各 開 集 合Uσ

  ま ずUσ

非 特 異 か つTN-不

って

と同値 で あ

が存在 して

し 各 

に 対 しuj:=e(mj)

座 標 系 と な り,系1.7に

よ り

定 義 に よ り 

と な る.た

だ しWjは

 を 座 標 系 と し  と な る 開 集 合 で あ る.Mの

部分半群 を

と す れ ば 明 ら か にWj={u:〓i→C;u(0)=1,u(m+m′)=u(m)u(m′), ∀m,m′

∈ 〓j}と

な

り

〓 ∨j=σjと

な る.従

っ てX*=TN 

emb(Δ*(τ))で

あ

る.  

の 非 特 異 有 限 扇 Δ,Δ ′が 与え

ら れ た と き{σ

∩ σ′;σ ∈ Δ,σ′∈ Δ′}の 非

特 異 有 限 細 分Δ"′を 取 れ ば,Δ"′ は Δ お よ び Δ′の 非 特 異 細 分 と な る.広 定 点 解 消 定 理 の トー リ ッ ク多 様 体 版 は,Δ 限 回 施 し て 得 るΔ"が

に 命 題1.26の

中 の不

星状 細 分 を適 当 に有

Δ′の 細 分 と な る よ うに 出 来 る こ と を 保 証 す る.実

はもっ

と 強 く次 の こ とが 判 っ て い る.   De

Concini-Procesiの

不 定 点 解 消 定 理([DP,Ⅱ]) 

の非 特 異 有 限

扇 Δ,Δ′に 対 応 す る 互 い に 双 有 理 同 値 な トー リ ッ ク多 様 体 をX=TN X′=TN

emb(Δ ′)とす る.Xに

とす る 同 変blow

upを

余 次 元2のTN-不

  す な わ ち2次

emb(Δ")か

らX′

だ し￨Δ￨=￨Δ ′￨と す る.

元 凸 多 面 錐 に 関 す る 星 状 細 分 を Δ に 有 限 回 施 し て Δ′の 細 分 Δ"

が 構 成 出 来 る こ と を 示 す の で あ る.そ Mを

変 既 約 閉部 分 多 様 体 を中 心

適 当 に 有 限 回 施 し て 得 るX"=TN

へ の 同 変 双 有 理 正 則 写 像 が 存 在 す る.た

emb(Δ),

任 意 に 与 え た と き,Δ

に2次

れ に は 次 の こ と を 示 せ ば 良 い.0≠m∈

元 多 面 錐 に 関 す る星 状 細 分 を 適 当 に 有 限 回

施 す こ と に よ っ て 得 る Δ"′内 の 各 σ"′がNRの

超 平 面m⊥

で 分 断 され な い よ う

に 出 来 る こ と で あ る.   本 節 で は 特 にr=2お

よ びr=3の

場 合 に 命 題1.26の

  系1.27([MO,系7.5,系7.6])X=TN 

結 果 を 必 要 とす る.

emb(Δ)をr次

元 コ ン パ ク ト非

特 異 トー リ ッ ク 多 様 体 と す る.   (イ) r=2で

あ っ てNのZ-基

が Δ に 属 す る と き,TN-不 TN  emb(Δ*(τ))→Xに

動 点V(τ)を

は次 の 星 状 細分

た だ しn0:=n1+n2と   (ロ) r=3で

底{n1,n2}に

中 心 と す るXの

f:TN  emb(Δ*(τ))→Xに

た だ しn0:=n1+n2+n3と

で あ る(第1.14図(ロ)参

動 点V(τ)を

対 す る  中 心 と す る 同 変blow 

は 次 の 星 状 細 分 Δ*(τ)が対 応 す る.

Δ*(τ)=(Δ

＼{τ})∪{τ1,τ2,τ3の した と き

照).

up f:

照).

底{n1,n2,n3}に

が Δ に 属 す る と き,TN-不

同 変blow

Δ*(τ)が対 応 す る.

す る(第1.14図(イ)参

あ っ てNのZ-基

対 す る 

す べ て の 面}

up

  (ハ) r=3で

あ っ てNのZ-基

底 の 一 部 分 と な る{n1,n2}に

が Δ に 属 す る と き,TN-不 を 中 心 とす る 同 変blow  が 対 応 す る.τ

を 面 とす る3次

は 次 の 星 状 細 分 Δ*(τ)

元 多 面 錐 が Δ に ち ょ う ど2個 底{n1,n2,n3}お

対 し 

元 既 約 閉 部 分 多 様 体 

up f:TNemb(Δ*(τ))→Xに

を σ,σ′と す れ ば,NのZ-基

と な る.こ

変 な1次

存 在 し,そ

よ び{n1,n2,n′3}が

れ ら

存在 して

の とき Δ*(τ)=(Δ

で あ る.た

＼{τ,σ,σ

だ しn0:=n1+n2と

(第1.14図(ハ)参

′})∪{σ1,σ2,σ

′1,σ′2のす

べ て の 面}

した と き

照).

(イ)

(ロ)

(ハ)

第1.14図

r=1の

場 合 コ ン パ ク トな トー リ ッ ク多 様 体 は 同 型 を 除 きP

1(C)の み で あ る

こ と は 容 易 に 判 る. r=2の

場 合,N内

に破 れ の な い有 限扇 Δ を与 え る こ とは

,平

面 

の 原 点 の ま わ りを(例 nsを 選 び,し

え ば 反 時 計 ま わ りに)一

か も 各 

に 対 しnj+1が-njよ

に と る こ と と一 致 す る.た は2次

周 す るNの

だ しns+1=n1と

原 始 元 の 列n1,…,

り本 当 に 手 前 に あ る よ う

す る.こ

の と き 

元有理強凸多面 錐 で あ り

 

と な り 

が破 れ の な い有 限 扇

と な る.   上 記 の よ う なn1,…,nsの い.と

こ ろ が 定 理1.10に

選 び 方 は 無 数 に あ り分 類 に は 意 義 が 認 め ら れ な よ り,X=TN

emb(Δ)が

非 特 異 とな る た め の必 要

十 分 条 件 は{n1,n2},{n2,n3},…,{ns-1,ns},{ns,n1}が な る こ と で あ り,こ

す べ てNのZ-基

底 と

の よ う な 強 い 制 限 の も と で は 完 全 に 分 類 可 能 とな る.2次

元 トー リ ッ ク 多 様 体 で は 双 有 理 幾 何 学 が 次 の よ うに 完 全 に 解 決 す る.   定 理1.28([MO,定

理8.2]) 

(1)2次

元 非 特 異 トー リ ッ ク多 様 体 間 の 固 有

双 有 理 な 同 変 正 則 写 像 は 不 動 点 を 中 心 とす る 同 変blow    (2)2次

upの

元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク 多 様 体X,X′

次 元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク多 様 体X"お の 有 限 個 の 合 成 と な るX"→X,X"→X′

合 成 に 分 解 す る.

が 与え ら れ た と き,2

よ び 不 動 点 中 心 の 同 変blow 

up

が 存 在 す る.

  (3)  2次 元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク多 様 体 は 次 の(イ),(ロ)の い ず れ か か ら不 動 点 中 心 の 同 変blow 

upを

有 限 回 繰 返 し て 得 ら れ る も の と 同 型 で あ る.

ま た(イ),(ロ)のい ず れ も 互 い に 同 型 で は な く,す

べ て 極 小 で あ る.

  (イ) 射 影 平 面P2(C).   (ロ)    P1(C)-バ

に 対 す るHirzebruch曲 ン ドル 

面Faす

な わ ちP1(C)上

(命 題1.33直

後 参 照).

  NのZ-基

底{n,n′}を

す る扇 Δ は 第1.15図

の 次 数aの

と れ ば対 応

の 通 りで あ る.

  証 明   (2)を ま ず 示 そ う.X,X′ 対 応 し て 

に

内 に破 れ のな い 非 特

異 な 有 限 扇 Δ,Δ′ を と る.Δ:={σ

∩

σ′;σ∈ Δ,σ′∈ Δ′}は 破 れ の な い 有 限 (イ)

(ロ)

第1.15図

扇 で あ り,Δ る.§1.5お

と Δ′の 共 通 の 細 分 で あ よ び §1.6で 述 べ た よ う

に,Δ

の 非 特 異 な 有 限 細 分 Δ"が 存 在 す る.従

っ て 次 に 述 べ る(1)の 証 明 を Δ"

と Δ お よ び Δ"と Δ′に 適 用 す れ ば 良 い.   次 に(1)を

示 す.系1.17に

よ り 

の 扇 Δお よび 局 所 有 限 な そ の 細 分

Δ′に 対 応 す る正 則 写 像 をf:X′:=TN 

ernb(Δ′)→X:=TN 

こ の と き Δ か ら 出 発 し て 系1.27(イ)の

emb(Δ)と

す る.

星 状 細 分 を 繰 返 す こ と に よ っ て Δ′に 到

達 す る こ と を 示 せ ば 良 い.   Δ が2次

元 の 多 面 錐 を 持 た な い 場 合 に は 明 ら か に Δ′=Δ

でfは

同型 で あ

る.   一方

σ∈ Δ が2次

元 で あ れ ば,NのZ-基

と 書 け る.ま

た 仮 定 に よ り{σ ′ ∈ Δ′;σ′⊂ σ}は

で あ る か らNの

底{n,n′}に

元 の 列n0=n,n1,…,nl=n′

{nj-1,nj}がNのZ-基

よ り  σ の非 特 異 な有 限細 分

が 存 在 し て 各 

底 と な り し か も 

が

互 い に 境 界 の み で 交 わ る よ うに 出 来 る.Danilov[D2]に と き{0,n0,n1,…,nl}の nkがPの

に対 し

凸 閉 包Pを

考 え る.も

頂 点 で あ れ ば0,nk-1,nk,nk+1を

し か も{nk-1,nk},{nk,nk+1}は

し あ る 

{0,nk-1,nk,nk+1}で

あ る.容

底 とな る.従

の

に対 して

頂 点 と す る 四 角 形Kも

と も にNのZ-基

nk+1}もNのZ-基

も あ る よ うに,こ

凸 で あ る.

底 で あ る か らK∩N=

易 に 判 る よ う にnk=nk-1+nk+1で

あ り,{nk-1,

っ て Δ′は 非 特 異 扇

の星 状 細 分 とな っ て い る.  帰 納 的 に考 えれ ば結 局Pの が,n0=nとnl=n′

頂 点 が0,n0,nlの

がNのZ-基

みの三角形の場合に帰着す る

底 を なす か ら必 然 的 にl=1と

な る.他

の2次 元 多 面 錐 に 関 して も同 様 の 議 論 を 適 用 す れ ば よい.  最 後 に(3)の 証 明 の概 略 を示 す.詳 細 は[MO,定

理8.2]を

参 照 し て頂 きた

い.

  上 述 し た よ うに2次 は0の

元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク 多 様 体X=TN 

ま わ りを 反 時 計 ま わ り に 一 周 す るNの

原 始 元 の 列n1,…,nsで

ns+1=n1と

し た と き 各 

し か もnjか

ら 反 時 計 ま わ り に 考 え てnj+1は-njの

  明 ら か に 

で あ り,s=3な

に 対 し て{nj,nj+1}はNのZ-基

emb(Δ) 決 ま る. 底 で あ り,

本 当 に 手 前 に あ る.

ら 必 然 的 にn3=-n1-n2と

な り,X=

P2(C)で

あ る. 

で あ れ ば 番 号 を 適 当 に つ け 換 え た と き あ る 

対 し てnj=-n1と

な る こ とが 判 る([MO,補

あ れ ば 必 然 的 にn3=-n1で 存 在 す る.必

要 な らn1の

性 を 失 わ な い.ま - n2-n1の

しs=4で な る整数aが

考 え る こ と に よ り 

あ れ ばn2+n4=n3と

と し て も一 般 な りn1,n2,n4=

決 め る 非 特 異 扇 の 星 状 細 分 と な っ て い る.従

っ てs=4で

極小 な

)で あ る.

の 場 合 に は,必

に よ り  nj}も

照).も

っ てn4=-n2-an1と

代 りに-n1を

た も しa=1で

も の はFa(   

あ り,従

題8.3]参

に

要 な らn1の

と し て 良 い.こ

代 りに-n1を

考 え,番 号 を つ け 換 え る こ と

の と き{n1,n2}がNのZ-基

そ うで あ り,n2とnj=-n1と

底 で あ る か ら{n2,

の 間 にn3,n4,…nj-1が

っ て(1)の 証 明 に よ りn3,…,nj-1は 

か ら出 発 し て星 状 細 分 を

有 限 回 繰 返 す こ と に よ っ て 得 られ る.結 中 心 の 同 変blow

upの

  上 述 し た よ うに2次

場 合 のFaか

元 コ ン パ ク トな トー リ ッ ク 多 様 体X=TN

ら不 動 点

emb(Δ)は0

の 原 始 元 の サ イ ク ルn1,n2,…,ns,ns+1=n1で

の と きXが

に 対 し て{nj,nj+1}がNのZ-基 の こ と は 各 

局Xはs=4の

有 限 回 の 繰 返 し で 得 ら れ る こ と に な る.

の ま わ りを 一 周 す る  全 に 記 述 出 来 る.こ

現 わ れ る.従

完

非 特 異 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は 各  底 と な る こ と で あ っ た.容

に 対 し て 整 数ajが

易 に 判 る よ うに こ

存 在 して

  (*)  と な る こ と と 同 値 で あ る.た 見 る よ うに,上

記 のajは

Dj:=V( 

)はP1(C)と

と な る の で あ る.更

だ しn0=ns,ns+1=n1で

あ る.§2.2に

次 の よ う な 幾 何 学 的 意 味 を 持 つ.Xの 同 型 で あ りそ のXに

おいて

部分多様体

お け る 自己 交 叉 数 が

に 番 号 の つ け 方 か らD1,…,Ds,Ds+1=D1の

隣 り合 っ た

も の 同志 が 横 断 的 に 一 点 で 交 わ る ので

と な る.す で あ る.Dは 荷 重(D2j)を

な わ ちXのCartier因

子D:=D1+…+DsはP1(C)の

荷 重 付 き 双 対 グ ラ フ で 完 全 に 記 述 出 来 る.各 つ け た 頂 点 を と り,j≠kな

を 辺 で 結 ぶ の で あ る.今

の 場 合Dの

ら(Dj.Dk)≠0の 双 対 グ ラ フ は 円 をs個

サ イクル 既 約 成 分Djに

対 し

と き 対 応 す る2頂

点

の頂 点 で分 割 した

円 グ ラ フ で あ り,荷 … ,asで

重 は 順 番 にa1,a2,

あ る(第1.16図

  ま たak=-1で +nk+1で

あ る こ と とnk=nk-1

あ る こ と とは 同値 で あ

の と き に はnkを

異 トー リ ッ ク 多 様 体X′

を 決 め る.系1.27(イ)に

元 の コ ン パ ク ト非 特

よ りX→X′

を 中 心 と す る 同 変blow 

upで

り,こ

取 除 い た{n1,…,nk-1,

nk+1,…,ns}も2次

第1.16図

参 照).

はX′

あ る.添

の 不 動 点 

字 をsを

法 とし

て考 え る と明 らか に nk-2+nk+1+(ak-1+1)nk-1=0,nk-1+nk+2+(ak+1+1)nk+1=0 で あ る か らX′

に 対 応 す る 双 対 グ ラ フ はs-1個

の頂 点 に よ っ て 円 を分 割 し た

も の に 荷 重 を 順 番 にa1,…,ak-1+1,ak+1+1,…,asと   円 の 荷 重 つ き 分 割 は 同 型 を 除 い てXを

し た も の で あ る.

決 定 す る.NのZ-基

底{n1,n2}を

任 意 に 選 ん だ 上 で(*)  … ,ns∈Nが

帰 納 的 に 決 ま る か ら で あ る.た

に よ っ て 決 ま るns+1が ら な け れ ば な ら な い.更 な い.そ

に よ っ てn3,

最 初 のn1と

(ⅰ)

一 致 し,し

にn1,…,nsが0の

の た め にa1,…,asに

だ し 更 にns-1+ns+1+asns=0 か もns+n2+a1n1=0と

ま わ りを ち ょ う ど 一 周 せ ね ば な ら

つ く制 限 は 定 理1.28(3)を

(ⅱ)

(ⅲ)

(ⅳ)

(ⅴ) 第1.17図

な

使 用 す れ ば次 の よ う

で あ る.  

系1.29 

2次 元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク 多 様 体 の 同 型 類 は,円

の荷重

つ き 有 限 分 割 で あ っ て 次 の 条 件 を み た す よ うな も の と 一 対 一 に 対 応 す る.   (ⅰ) (3頂

点 の 場 合)荷

重 は1,1,1.

  (ⅱ) (4頂

点 の 場 合)整

数 

  (ⅲ) (頂 点 の 個  点 を 付 け 加 え,さ

に 対 し 荷 重 は 順 番 にa,0,-a,0.

の 場 合)頂

点 の 個 数 がs-1の

も の に 荷 重-1の

ら に そ の 両 隣 の 頂 点 の 荷 重 に そ れ ぞ れ-1を

頂

加 え た も の(第

1.17図(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)参 照).  

2次 元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク多 様 体X=TN 

子 

はP1(C)の

サ イ ク ル で あ り,そ

る 重 み つ き の 円 の 分 割 と な る.(p.69,追   注5頂

点,6頂

emb(Δ)のCartier因

記(3)参

の 双 対 グ ラ フが 対応 す

照).

点 の 場 合 可 能 な荷 重 つ き の 円 の分 割 は 第1.17図(ⅳ),(ⅴ)の 通 りで あ る.

た だ しaは 整 数 であ り,円 周 の 向 きは 無 視す る もの とす る.   r=3の

場 合 の 事 情 は も っ と 複 雑 で あ る.双

ッ ク 多 様 体 版 がr=3で

有 理 幾 何 学 の 問 題(ⅱ ′)の トー リ

肯 定 的 で あ る こ と が 最 近 に な っ て や っ と 次 の よ うに

判 明 し た.   Danilovの

分 解 定 理([D2])(ⅰ) 

の 非 特 異 扇 Δ0の 細 分 で あ る と す る.こ =Δ

が 在 在 し て,各

奇 数jに

の 非 特 異 有 限 扇 Δ が も う ひ とつ の と きNの

非 特 異 有 限 扇 Δ1,Δ2,…,Δk

対 し Δjは ４j1お よ び Δj+1か ら 系1.27(ロ),(ハ)の

星 状 細 分 を 有 限 回 繰 返 し て 得 られ る.   (ⅱ) 3次 元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク 多 様 体X,X′ 特 異 トー リ ッ ク多 様 体X0=X,X1,…,Xl=X′ に 対 しXj→Xj-1,Xj→Xj+1が 多 様 体 中 心 の 同 変blow   (ⅱ)にお い てX=TN

upの

に 対 し コ ン パ ク ト非

を 適 当 に 選 べ ば,各 奇 数  と もに 非 特 異 か つ 不 変 な 既 約 閉 部 分

有 限 個 の 合 成 と な る よ うに 出 来 る.

emb(Δ),X′=TN

emb(Δ ′)とす れ ば,既 述 し た よ うに

Δ お よ び Δ′の 細 分 と な る 破 れ の な い 非 特 異 有 限 扇 Δ"が 存 在 す る .Δ"と

Δお

よ び Δ"と Δ′に(ⅰ)を 適 用 す れ ば(ⅱ)を 得 る.   こ こ で は 概 略 に と どめ る が(ⅰ)は 次 の よ う に 証 明 す る.非 特 異 有 限 扇 Δ0に 対 し そ の 細 分 と な る 非 特 異 有 限 扇 の 全 体 をReg(Δ0)と

す る.Δ

∈Reg(Δ0)に

系

1.27(ロ)ま た は(ハ)の 星 状 細 分 を 施 し て Δ′を 得 る と き Δ′→ Δ と 書 く こ と に す

れ ば,Reg(Δ0)は

有 向 グ ラ フ と な る.こ

の とき 向 きづ け を無 視 し た グ ラ フが 連

結 で あ る こ と と(ⅰ)と は 同 値 で あ る.   (a)こ

の こ と を 示 す た め に ま ずReg(Δ0)よ

り少 し 広 い 世 界 を 導 入 す る.Nの

有 限 扇 Δ が 終 着 的 で あ る と は 各 σ∈ Δ が §1.6の 意 味 で 終 着 的 な 単 体 的 多 面 錐 で あ る こ と で あ る.す =3な

らR上

な わ ち 

な ら σ は 非 特 異 で あ り,一

一 次 独 立 な 原 始 元n1,n2,n3∈Nに

と 書 け て お り,し 元 は これ ら の4頂

か も0,n1,n2,n3を

点 の み で あ る.Δ0の

よ っ て  頂 点 とす る 四 面 体 に 属 す るNの

細 分 と な る終 着 的 有 限 扇 の全 体 をTerm

(Δ0)と 書 く こ と に し よ う.Reg(Δ0)はTerm(Δ0)の   ま ず 示 す こ と は Δ′ ∈Term(Δ0)を Term(Δ0)に

存 在 し て,各 

方dimσ

部 分 集 合 で あ る.

与 え た と き Δ′0=Δ0,Δ′1,…,Δ ′1=Δ ′が

に 対 し Δ′jはΔ′j-1に 次 の よ う な3種

類 の変 換

あ る い は そ の 逆 変 換 の い ず れ か を 施 し て 得 ら れ る よ うに 出 来 る こ と で あ る.   第1種

変 換   Δ∈Term(Δ0)内

が あ り,n,n1,n2,n3はNの 平 面 に 関 し0とnと

に3個

の3次

元多面錐

原 始 元 で あ っ て し か もn1,n2,n3を は 真 に 反 対 側 に あ る も の と す る.こ

通 るNRの

超

の と き 

は 終 着 的 で あ り,Δ を Δ′:=(Δ に 移 す(第1.18図   第2種

に4個

の3次

だ しn,n′,n",n1,n2はNの

あ る と す る.こ

に 移 す.Δ

の と き 

に 関 す る 星 状 細 分 で あ る(第1.18図

  第2′ 種 変 換   Δ∈Term(Δ0)内

で あ っ て 

を

＼{σ ′1,σ ′2,σ"1,σ"2の 面})∪{σ ′,σ"の面}∈Term(Δ0)

は Δ′の 

が あ る と す る.た

元多面錐

原 始 元 で あ り し か もn=n1+

は 実 は 非 特 異 で あ り,Δ Δ':=(Δ

の 面}∈Term(Δ0)

参 照).

変 換   Δ∈Term(Δ0)内

が あ る とす る.た n2で

＼{σ12,σ23,σ13の 面})∪{σ

に2個

だ しn,n′,n1,n2はNの が￨Δ￨の

の3次

参 照).

元 多面 錐

原 始 元 で あ り,し

か もn=n1+n2

境 界 上 に あ る も の と す る.こ

の と き σ′:

は 非特 異 で あ りΔ を Δ′:=(Δ

に 移 す(第1.18図   第3種

′1,σ ′2の面})∪{σ

の3次

だ しn′,n",n1,n2はNの

よ び{0,n",n1,n2}を

す る.こ

′の 面}∈Term(Δ0)

参 照).

変 換   Δ∈Term(Δ0)に2個

が あ る と す る.た n2}お

＼{σ

元多面錐

原 始 元 で あ り,し

頂 点 と す る2個

か も{0,n′,n1,

の 四 面 体 の和 集 合 が 凸 で あ る と

の と き

は と もに終 着 的 で あ り Δ を Δ′:=(Δ に 移 す(第1.18図

第1種 変換

＼{σ

′,σ"の 面})∪{σ1,σ2の

面}∈Term(Δ0)

参 照).

第2種 変換

第3種 変換

第2′種 変 換 第1.18図

  (c) 次 に 各 Δ′ ∈Term(Δ0)に

対 し そ の 細 分 と な る Δ′ ∈Reg(Δ0)を

法 で 構 成 す る.Δ ′は 唯 一 通 り に 決 ま る わ け で は な い が,下

標 準 的 な方

記 の 命 題1.30で

述

べ る 基 本 交 換 に よ っ て 互 い に 移 り う る こ と が 判 る.   (d)Δ ′ ∈Term(Δ0)に(b)に

お け る 第1種,第2種,第2′

い ず れ か を 施 し て Δ"∈Term(Δ0)を が グ ラ フ の 頂 点 と し て 連 結,す

得 る と き,(c)で

種,第3種

の変 換 の

構 成 し た Δ′,Δ"∈Reg(Δ0)

な わ ち 星 状細 分 の 有 限 回 の 繰 返 しあ るい は そ の

逆 操作 で 結 べ る こ とを 示 す.そ の 際 に 終 着 性 補題 の 次 の よ うな 一 般 化 が 必 要 と な る.   White-Frumkinの

終 着性 定 理([D2]参

ト凸 多 面 体 と し,N∩PがPの の ときZ-加

  (e)以

よびa∈Zが

存 在 し てmの

ス カ ラー拡

次 をみ たす よ うに 出 来 る.

上 の 準 備 の も と に 任 意 の Δ∈Reg(Δ0)と

べ る こ と が 判 る.Δ,Δ0をTerm(Δ0)の がTerm(Δ0)内 種,第2′

内 の コン パ ク

頂 点 全 体 の集 合 と一 致 す るも の と仮 定 す る.こ

群 の準 同 型m:N→Zお

大m:NR→Rが

照)Pを 

種,第3種

Δ0と をReg(Δ0)内

の道で結

元 と考 え る と(a)に よ り 

に 存 在 し て 各 

に 対 し Δ′jはΔ′j-1に第1種,第2

変 換 ま た は 逆 変 換 の い ず れ か を 施 し て 得 ら れ る.Danilov

の 言 葉 で は Δ′1,…,Δ′l-1は Δ0と Δ とを 結 ぶ 道 程 の"一

里 塚"で

あ る(こ の よ う

に あ る 程 度 の 特 異 性 も許 容 し て 双 有 理 幾 何 学 を 考 察 す る の が3次

元 以 上 で は常

態 で あ る ら し い).次

よ って構 成 す

る.(d)に

に 各 Δ′jの非 特 異 細 分 Δ′j∈Reg(Δ0)を(c)に

よ れ ば 各 

に 対 し Δ′j-1とΔ′jとをReg(Δ0)内

の道で結ぶ こと

が 出 来 る の で(ⅰ)の 証 明 が 完 了 す る.   次 に 述 べ る 非 特 異 扇 の 基 本 変 換 は 上 記 の(c),(d)に お い て 重 要 な 役 割 を 果 す ば か り で は な く,そ れ 自 身 と し て も興 味 深 い.§2.3で

も 明 ら か と な る よ うに3次

元 非 特 異 双 有 理 幾 何 学 に お け る重 要 な 鍵 の ひ と つ で あ る(後 述 の 系1.32(ⅴ)も 参 照 し て 頂 き た い).   命 題1.30(Danilov[D2,命   (ⅰ)Nの

題1,2]) 

非 特 異 扇 Δ が 

とす る. に 沿 っ て 隣 接 す る2個

多 面 錐  つ とす る.た る.も

の3次

元 を持

だ し{n1,n2,n′}お

しn1+n2=n′+n",す

よ び{n1,n2,n"}は

と も にNのZ-基

な わ ちn1,n2,n′,n"がNR内

底 であ

の 同一 平 面 上 に

あ れ ば 

も  に 沿 って隣 接 し

は 非 特 異 扇 と な る.ま

た Δ と Δ′の 星 状 細 分 が 一 致 し Δ*(τ)=Δ ′*(τ ′)と な る.

こ の と き Δ′は Δ か ら(辺

の 差 し 換 え)基

本 変 換 で 得 ら れ る と い う(第1.19図

参 照).

第1.19図

 (ⅱ)  Nの

非 特 異 有 限 扇 Δ′,Δ"が￨Δ′￨=￨Δ"￨を み た し,し か も1次 元 多面 錐

上 の 原 始 元 す べ ての 集 合 

がNR内

の 同 一 平 面 上 に あ る とす る.す な わ ち あ るm0∈Mに

対し

こ の と き Δ′に 上 記(ⅰ)の 形 の 基 本 変 換 を 有 限 回 施 せ ば Δ"を 得 る.た

だ し 

で あ り,n(ρ ′)は 半 直 線 ρ′ ∈ Δ′(1)上に あ るNの 一 の 原 始 元 で あ る .Δ"に   (ⅲ)  Δ をNの n3}に

つ い て も 同 様 で あ る.

非 特 異 有 限 扇 とす る.3次

よ っ て 

元 の σ∈ Δ をNのZ-基

底{n1,n2,

と書 い た と き{0,n1,n2,n3}を

点 と す る 四 面 体 をS(σ)と

唯

書 き,σ の 決 め る 小 屋(shed)と

呼 ぶ.ま

頂

た Δの決め

る 小屋 を和 集 合

と 定 義 す る.非

特 異 な 有 限 扇 Δ′,Δ"が と も に あ る 非 特 異 扇 Δ0の 細 分 で あ り し

か もS(Δ′)=S(Δ")で

あ れ ば,Δ

′に 上 記(ⅰ)の 基 本 変 換 を 有 限 回 施 す こ と に よ

っ て Δ"を 得 る.   証 明   (ⅰ)は明 ら か で あ る.ま Δ′;σ′⊂σ0}お

た(ⅲ)は σ0∈Δ0(3)を 固 定 し た と き 得 る 扇{σ ′ ∈

よ び{σ"∈Δ";σ"⊂

σ0}に(ⅱ)を

適 用 す れ ば 良 い.

  (ⅱ)を示 す た め に ア フ ィ ン 平 面  を 考 え る.  は と も にPの のN∩Hに

上 の 多 角 形  お よ び 

三 角 形 分 割 で あ り,し か も 各 辺 お よ び 各 三 角 形 上

属 す る 点 は 頂 点 の み で あ る.n0∈N∩Hを

ひ と つ 固 定 す れ ば 

  で あ る.N∩m⊥0のZ-基 形 の 面 積 を1と H上

正 規 化 し たm⊥0上

のLebesgue測

NのZ-基

のLebesgue測

こ と,(ハ)n1,n2,n3を こ と,は

対 し(イ){n1,n2,n3}が

頂 点 と す る 三 角 形 の 面 積 が1/2で

頂 点 とす る 三 角 形 に 属 す るNの

元 は3頂

あ る

点のみ で あ る

す べ て 同 値 で あ る.

  一 方(ⅰ)に お け る 基 本 変 換 はH上 ∩Nを

度 を そ の ま ま平 行 移 動 に よ り

度 と 考 え る.n1,n2,n3∈H∩Nに

底 で あ る こ と,(ロ)n1,n2,n3を

底 が 決 め る平 行 四 辺

頂 点 と す るH上

し か もn1,n2の

の 凸 四 角 形Q上

に あ るH∩Nの

中 点(n1+n2)/2がn′,n"の

角 線(n1,n2)に よ っ てQを

で 考 え る と次 の 形 と な る.n1,n2,n′,n"∈H

よ っ てQを2個

別 の2個

点 が4頂

中 点(n′+n")/2と

点 のみ で あ り 一 致 す る とき対

の 三 角 形 に 分 割 す る 代 り に 対 角 線(n′,n")に

の 三 角 形 に 分 割 す る も の と 取 換 え る の が 基 本 変 換 で あ る.

  Pの 三 角 形 分 割 Δ′か ら こ の よ う な 基 本 変 換 を 有 限 回 繰 返 し て 三 角 形 分 割 Δ" が 得 ら れ る こ と をPの   Pの

面 積 が0で

面 積 に 関 す る 帰 納 法 で 証 明 す る の で あ る.

あ る場 合 に は 明 ら か に Δ′=Δ",従

  そ う で な い 時 に は,Pの の と き 線 分(n1,n2)は

境 界 上 に あ っ て 隣 接 す るn1,n2∈H∩Nを

Δ′お よ び Δ"の と ち ら に も 属 す る.ま

が 唯 一 通 り に 決 ま っ て 三 角 形(n1,n2,n′)が Δ"に 属 す る.も n2,n′)}に

っ て Δ′=Δ"と

しn′=n"で

Δ′に 属 し,三

あ れ ば Δ′＼{(n1,n2,n′)}お

な る. と る.こ

たn′,n"∈H∩N

角 形(n1,n2,n")が よ び Δ"＼{(n1,

帰 納 法 の 仮 定 を 適 用 す る.

  も しn′ ≠n"な

ら(n1,n2,n′)と(n1,n2,n")の

面 積 が と も に1/2で

か ら あ る 整 数aに

よ っ てn"-n′=a(n2-n1)と

書 け る. 

一 般 性 を 失 わ な い .こ

の と き 線 分(n′,n")は

明 ら か にPに

 に 対 し 三 角 形(n1,n2,n′+j(n2-n1))をjの

と仮 定 し て も 含 ま れ る.ま

た各

順 番 に 考 え れ ばa=1の

場

合 に 帰 着 す る.   a=1で

あ れ ば 辺(n1,n")の

の 中 点 と が 一 致 し,凸 内 で Δ ′お よ び Δ"は っ て い る.Δ

中 点 と 辺(n2,n′)

四 角 形Q:=(n′,n1,n2,n") 互 い に 基 本 変 換 で 移 る形 に な

′＼{(n1,n2,n′),(n",n′,n2)}お

Δ"＼{(n1,n2,n"),(n1,n′,n")}に 適 用 す れ ば 良 い(第1.20図

よ び

帰 納 法 の仮 定 を 参 照).

あ る こと

第1.20図

  最 後 に3次 元 コン パ ク ト非特 異 トー リ ック多 様体 で あ っ て同 変blow 意 味 で極 小 な も の の分 類 結 果 を紹 介 す る.Picard数

upの

が5以 下 の も の のみ に限

っ た不 完 全 な分 類 で あ るが 結 構 大 変 な作 業 で あ る.三 宅 氏 との共 同 作 業 お よび 長 屋 氏 に よ るそ の改 良,整 備 の詳 細 は[MO,§9]に

譲 り,こ

こで は 結 果 のみ

を な る べ く判 り易 い形 で 紹 介 す る.§2.3で

も紹 介 す る よ うに,こ

を 使 用 す る こ とに よ りBatyrev[B1]は3次

元 の トー リッ クFano多

全 に 分 類 した.ま た[MO,p.80]に

もあ る よ うに,我

の分 類 結果 様体を完

々 の得 る も の の中 に 射 影

的 で は な い 多 様 体 の 興 味 あ る例 が い くつ か 得 られ る.本 節 で述 べ た3次 元 双 有 理 幾 何 学 の 問 題 の複 雑 さが あ る意 味 で手 に取 っ て取 扱 え る こ とに な る.   また こ こに お け る と 同様 の作 業 は第4章

で紹 介 す る土 橋 氏 の3次 元 カス プ特

異 点 の場 合 に も有 効 で あ り,循 環 連 分 数 の概 念 の高 次 元 へ の一 般 化 を与 え るの で あ る.   3次 元 コン パ ク ト非 特 異 トー リ ック多 様 体Xの を 固定 し た 上 でN内

の破 れ の な い 非特 異有 限扇 Δ をNの

の 作 用 を 除 い て分 類 す る こ と と同値 で あ る.こ 2次 元 球 面 のN-荷

同 型 に よ る分 類 は,  自己 同 型群Aut(N)

の よ うな Δ は次 の よ うに して,

重 付 き 三 角 形 分 割 あ る い は二 重Z-荷

重 付 き三 角 形 分 割 と

い うも っ と取 扱 い 易 い 対 象 に 翻 訳 出 来 る.   そ の た め の 準 備 と して 次 の よ うに 考え よ う.一 般 に  の0か

ら 出 る半 直 線 の 全 体 は

と 同 一 視 出 来 る.SNは(r-1)次

元 球 面 と 自 然 に 同 相 で あ る.商

と 書 く こ と に し よ う.Nの の 像 はSNで

元n1,…,nsに π(σ＼{0})は

にnを

対 しNRの 有理点

単 の た め 原 始 元n∈Nの

有理点

あ り,そ

像 と な る π(n)をSNの

重 と 呼 ぶ こ と に す る.Nの

有 理 強 凸 多 面 錐 

扇 Δ が 与 えら れ た と き{π(σ

面 凸 胞 体 分 割 と な る.

π(n)のN-荷

π(n1),…,π(ns)を

面 凸 胞 体 分 割 と な る.Δ

空 間 の射 影 を

原 始 元 全 体 の な す 集 合 の 上 で π は1対1で

稠 密 で あ る.簡

有 理 点 と 呼 び,逆

Nの

に対 し, 

を とれ ば

頂 点 と す る 球 面 凸 胞 体 で あ る.従

＼{0});σ

原始

∈ Δ}は

π(￨Δ￨＼{0})⊂SNの

が 破 れ の な い 有 限 扇 で あ れ ば,こ

れ はSNの

って 球

有 限 な球

  特 に 破 れ の な い 非 特 異 有 限 扇 Δ に 対 し て はSNの し か もr次

元 の σ∈ Δ に 対 応 す る(r-1)次

荷 重{n1,…,nr}はNのZ-基

元 球 面 単 体 π(σ＼{0})の

底 とな っ て い る.ま

対 し て は ち ょ う ど2個 っ て い る.σ′,σ"の

有 限 な 球 面 単 体 分 割 を 得 る.

のr次

元多面

頂 点 のN-荷

と す れ ば と も にNのZ-基

た(r-1)次

頂 点 のN-

元 の τ∈ Δ に

σ′,σ"∈Δ が 存 在 し て τ=σ

′∩σ"と な

重 を そ れ ぞ れ{n′,n2,…,nr},{n",n2,…,nr}

底 で あ り,容

易 に 判 る よ う にa2,…,ar∈Zが

唯一

通 り存 在 し て

と な る.§2.2の

最 後 の 例 で 見 る よ うに Δ(1)の元 

お よ び 

に 対 応 す る 

約Cartier因 はr重

子 をV(ρ

不変な既

′),V(ρ"),V(ρj)( 

)と す れ ば 上 記 の 整 数ajは

実

交 叉 数 の意 味 を持 ち

と な る の で あ る.   以 上 の 準 備 の も と にr=3の に 対 し2次

元 球 面SNの

各 三 角 形 の3頂 また 辺

場 合 に 戻 ろ う.破

点 は 有 理 点 で あ り,対 応 す るN-荷

π(n2)π(n3)の 両 側 に ち ょ う ど2個

(n2)π(n3)が 存 在 し,唯

と な る.こ

れ の な い 非 特 異 有 限 扇(N,Δ)

有 限 な 球 面 三 角 形 分 割{π(σ

一 通 り のa2,a3∈Zに

＼{0});σ

重 はNのZ-基

の三 角 形 よ って

重 が 与 え られ て い る と 称 す る こ と に す る.ま とす れ ば

第1.21図

底 を な す.

π(n′)π(n2)π(n3),π(n")π

の と き 辺 π(n2)π(n3)に は 頂 点 π(n2)の 側 にa2,頂

とい う二 重Z-荷

∈ Δ}を 得 る .

点 π(n3)の 側 にa3 た 

で あ る.2次

元 非 特 異 トー リ ッ ク多 様 体 で あ るV(ρ2)お

線 

お け る曲

の 自己 交 叉 数 は そ れ ぞ れ

と な る(第1.21図

参 照).

  あ る頂 点 π(n)の 星 状 体(star)を

考 え よ う.そ の 境 界 で あ る ま つ わ り体(link)

上 に あ る 頂 点 を 順 番 に π(n1),π(n2),…,π(nυ)と Nの

よ びV(ρ3)に

原 始 元 で あ る.こ

(valency)は

対 し π(n)π(nj)上 の 二重Z-荷

が 成 立 す る.も 1.22図

だ しn1,n2,…,nυ

は

の と きυ 本 の 辺 が 頂 点 π(n)を 通 る の で π(n)の 辺 価

υ で あ る と 呼 ぶ こ と に す る(§A.5参

n0:=nυ,nυ+1:=n1の

す る.た

照).こ

の と き 各 

重 の π(nj)の 側 をaj,π(n)の

側 をbjと

に す ると

規 約 の も とで

ち ろ んaj,bjは

任 意 で は あ り得 ず 後 述 の よ う な 制 限 が つ く(第

参 照).

第1.22図

  こ の と き 系1.7に 上 で1次

よ り2次

元 非 特 異 ト ー リ ッ ク 閉 部 分 多 様 体 

元 トー リ ッ ク閉 部 分 多 様 体 

は サ イ ク ル を な し て い る.  で あ り, 

に 対 し 

に お け るCjの

自 己 交 叉 数 は(C2j)=ajと

の ま つ わ り体 の 頂 点 π(n1),…,π(nυ)に 荷 重a1,…,aυ 重 付 き ま つ わ り体 と 呼 ぶ こ と に す れ ば,こ 重 付 き 分 割 と 一 致 し 系1.29の て 次 の(1)を 得 る.そ

な る.従

っ て π(n)

を 付 加 し た も の をZ-荷

れ は 定 理1.28直

後 に 述 べ た 円 の荷

条 件 を み た す こ と に な る(第1.22図

の 他 の 主 張 は 容 易 に 証 明 出 来 る.(p.69,追

参 照).よ 記(3)参 照).

っ

  命 題1.31([MO,系9.2])  次 元 球 面SNの

の 破 れ の な い 非 特 異 有 限 扇 Δ に よ る2

三 角 形 分 割 を 考え る.N-荷

ま つ わ り体 上 の 頂 点 のN-荷 の 二 重Z-荷

たa1,…,aυ

  (2)  も し 

一 次 従 属 で あ り,従

あ る と す る. 規 約 の も とで

重 つ き ま つ わ り体 は 系1.

お よ び 

が 存 在 し てnk,n,nlは

っ て π(πk),π(n),π(nl)はSNの

あ れ ばa1=a2=a3=1か

+n3+b1n=0と

た 辺 π(n)π(nj)

重 付 き の 円 の 分 割 と一 致 す る.

であれば

  (3)υ=3で

と す る.ま

を 荷 重 と す る π(n)のZ-荷

29の 条 件 を み た すZ-荷

R上

がbjで

で あ り,n0:=nυ,nυ+1:=n1の

と な る.ま

辺 価 がυ の 頂 点 を と りそ の

重 を 順 番 にn1,n2,…,nυ

重 は π(nj)側 がaj,π(n)側

  (1) 

重 がnで

な る.ま

大 円 上 に あ る.

つb1=b2=b3と

た π(n)が 同 変blow

upに

な りn1+n2

対 応 し て 系1.27(ロ)の

状 細 分 に よ っ て 得 ら れ る た め の 必 要 十 分 条 件 はb1=b2=b3=-1と

星

なるこ

と で あ る.   (4)υ=4で

あ れ ば,番

号 を 付 け 換 え る こ とに よ り

a1=a3=0,a4=-a2,b1=b3,b4=b2-a2b1 と す る こ と が 出 来,n2+n4+b1n=0と 対 応 し て 系1.27(ハ)の =-1と

な る.ま

た π(n)が 同 変blow

upに

星 状 細 分 に よ っ て 得 ら れ る た め の 必 要 十 分 条 件 はb1=b3

な る こ と で あ る.

  (5)υ=5で

あ れ ば,番

号 を 付 け 換え る こ と に よ り次 の よ う に 出 来 る.

a1=0,a2+a5=-1,a3=a4=-1,b1=b3+b4, a2b3+a3b2=a4b5+a5b4. ま たn2+n5+b1n=0と

な る.

  (6)  辺 π(n)π(n2)に 対 し て 命 題1.30(ⅰ)の 十 分 条 件 はn1+n3=n2+nと とで あ る.こ

基 本 変換 が 適 用 出 来 る ため の必 要

な る こ と,す

な わ ちa2=b2=-1と

の と き 基 本 変 換 は 辺 π(n)π(n2)を,四

なるこ

角 形 π(n)π(n1)π(n2)π(n3)

の も う一 方 の 対 角 線 π(n1)π(n3)に 差 し 換 え る 変 換 で あ る.   以 上 述 べ た こ と に よ り次 の2つ   定 義  Jを2次   (ⅰ)Jの

元 球 面S2の

各 頂 点 に 対 し 

の 概 念 を 導 入 す る の が 自然 で あ る.

組 合 せ 論 的 な 有 限 三 角 形 分 割 と す る. の 原 始 元 を 付 加 し,し

か も 各 三 角 形 の3頂

点

に 対応 す る原 始 元 がNのZ-基

底 とな る よ うにす る こ と をJのN-荷

重 づけ

と呼 ぶ.そ れ が認 容 で あ る とは,あ る破 れ の な い非 特 異有 限扇 Δ に よ って得 る SNの 有 限 な 球 面 三 角 形 分 割 とJと 対 応 す る頂 点 のN-荷

の 間 に 組合 せ 論 的 な 同型 が存 在 し,し

かも

重 が 一致 す る よ うに 出来 る こ とで あ る.

  (ⅱ)  Jの

各 辺 に 対 しそ の2頂 点 そ れ ぞ れ の側 に 整 数 を 付 与 す る こ と をJの

二 重Z-荷

重 づ け と呼 ぶ.そ れ が 認 容 で あ る とは,あ る破れ の な い 非特 異 有 限扇

Δに よ って 得 るSNの

有 限 な 球 面 三 角形 分割 とJと

存 在 し,し か も対 応 す る辺 の 二 重Z-荷

重 が 一 致 す る よ うに 出来 る こ とで あ る.

  S2の 組 合 せ 論 的 な有 限 三 角 形 分 割Jに ば,そ

れ に対 応 し てJの

に よ ってN-荷

認 容 な 二重Z-荷

荷 重 づ け がAut(N)の の3頂 点 にNの

対 し 認 容 なN-荷

重 づ け を得 る.し

重 を 一 斉 に 動 か し て も,得

る.逆 にJに

頂 点 のN-荷

二 重Z-荷

の 間 に 組 合 せ 論 的 な 同型 が

か もNの

ら れ る二 重Z-荷

重 づ け を 与え る と,そ

重 づ け を 与 えれ あ る 自己 同型

重づけは不変であ

れ に 対 応 し て認 容 なN-

作 用 を 除 い て 決 ま る.何 故 な らあ る三 角形 を 固定 し,そ

あ るZ-基

底 をN-荷

重 は 各 辺 上 の 二 重Z-荷

重 と し て与 えれ ば,三 重 と 

関 係 式 を順 番 に 適 用 す る こ とに よ っ て決 ま る か らで あ る.出 取 換 えれ ば,結 果 的 にN-荷

角 形 分 割 の他 の

重 はNの

の形 の 発 点 のZ-基

底を

自己 同 型 に よ って一 斉 に 動 か し た もの に

な る.   従 って3次 元 コン パ ク ト非 特 異 トー リッ ク多様 体 の 同 型 に よ る分 類 は まず   (Ⅰ) 2次 元 球 面S2の

有限三角形分割 の組合せ論的分類

を 行 い,そ れ らの お の お の に 対 す る   (Ⅱ) 認 容 なN-荷

重 づ け のAut(N)を

除 い た分 類

あ るい は   (Ⅱ′)認 容 な二 重Z-荷

重づけの分類

に 帰 着 す る.   §A.5で 述 べ る よ うに,頂

点 数 が 小 さ い場 合 の(Ⅰ)は 分 類済 み で あ る.実 際

の 分類 作 業 で は(Ⅱ′)の方 が 取 扱 い 易 い.し か し分 類 結 果 を述 べ るた め に は(Ⅱ) の方 が便 利 で あ る こ とは 後述 の定 理 で 明 らか に な る通 りで あ る.実

際 に は(Ⅱ)

と(Ⅱ′)を併 用 す る と便 利 で あ る.   (Ⅱ′)の た め に は 二重Z-荷

重 づ け が 認 容 とな るた め の 取 扱 い 易 い 判定 条 件 が

必 要 で あ る.そ

れ は 次 の 通 りで あ る.(p.69,追

記(4)参

照).

  系1.32 TをS2の

組 合 せ 論 的 な 有 限 三 角 形 分 割 とす る.

  (ⅰ)Tの

重 が 認 容 と な る た め の 必 要 十 分 条 件 は,各

二 重Z-荷

モ ノ ドロ ミ ー 条 件 を み た す こ と で あ る.Pの P2,…,Pυ

と し, 

側 にbjと

し た と き ま ずa1,…,aυ

基 底{n,n1,n2}を

に 対 し 辺PPj上

 

の 二 重Z-荷

が 系1.29の

重 をPjの

条 件 を み た し,し ∈Nが

だ しn0:=nυ,nυ+1:=n1と

側 にaj,Pの か もNのZ-

存 在 して

す る.

の 場 合 に モ ノ ドロ ミ ー 条 件 を 具 体 的 に 書 け ば 次 の 通 りで あ る.

  (ⅱ) 3価 の 頂 点PのZ-荷

重 つ き ま つ わ り体 の 荷 重 は1,1,1で

集 ま る3本

の 辺 のP側

blow  upに

対 応 す る 系1.27(ロ)の

分 条 件 はb=-1と

のZ-荷

重 は す べ て 等 し い.そ

あ り,そ

れ をbと

星 状 細 分 に よ っ てPが

重 つ き ま つ わ り体 の 荷 重 は,あ

a,0,-a,0と

な る.こ

る 整 数b,cに

対 しc,b,c-ab,bと

の と き そ れ ぞ れ に 対 応 す る辺 のP側

の 星 状 細 分 に よ っ てPが

な る.同

変blow

す れ ば,同

面Faで

upに

る 整 数aに

に あ るZ-荷

重 つ き ま つ わ り体 の 荷 重 は,あ

番 にa-1,0-a,-1,-1と

な る.こ る 整 数b1,b4,b5に

対 し 重 はあ

対 応 す る 系1.27(ハ) な ること

あ る).

  (ⅳ) 5価 の 頂 点PのZ-荷

重 は,あ

変

あ る).

得 ら れ る た め の 必 要 十 分 条 件 はb=-1と

で あ る(こ の と き例 外 曲 面 はHirzebruch曲

こに

得 られ るた め の 必 要 十

な る こ と で あ る(こ の と き 例 外 曲 面 はP2(C)で

  (ⅲ) 4価 の 頂 点PのZ-荷

るZ-荷

次 の

ま つ わ り体 上 の 頂 点 を 順 番 にP1,

任 意 に 選 ん だ と きn3,…,nυ

と な る こ と で あ る.た

頂 点Pが

る整 数aに

対 し順

の と き そ れ ぞ れ に 対 応 す る 辺 のP側

にあ

対 しb1,b4+b5,b1-ab4-(a-1)b5,b4,

b5で あ る.   (ⅴ) あ る 辺 に 命 題1.30(ⅰ)の そ の 辺 の 二 重Z-荷

基 本 変 換 が 適 用 出 来 る た め の 必 要 十 分 条 件 は,

重 が-1,-1と

な る こ と で あ る.こ

の とき基 本 変 換 に よ っ

て こ の 辺 は そ れ を 対 角 線 とす る 四 角 形 の も う一 方 の 対 角 線 に 差 し 換 わ る(こ と き 対 応 す る 同 変blow blow

downし

upの

例 外 曲 面 はP1(C)×P1(C)で

あ り,逆

の

方向 に

た も の が 基 本 変 換 で あ る).

  証 明  (ⅱ),(ⅲ),(ⅳ),(ⅴ)は 命 題1.31に   (ⅰ)を示 そ う.Pがυ

よ り 明 ら か で あ る.

価 の 頂 点 で あ る と き そ の ま つ わ り体 上 の 頂 点 を 順 番 に

(ⅱ)

(ⅲ)

(ⅳ)

(ⅴ)

第1.23図 P1,P2,…,Pυ

と し,辺PPj上

る.NのZ-基 n1,n2と

の 二 重Z-荷

底{n,n1,n2}を

定 義 す る.こ

側 にaj,Pの

任 意 に 選 びP,P1,P2のN-荷

お け るnjの

で あ る か ら,仮

側 にbjと

∈Nが

唯一通

規 約 の も とに

像 をnjと

す れ ば 

定 お よ び 系1.29に

に 対 し 

よ りn1,…,nυ

はNR/Rnの

原点

の ま わ り を ち ょ う ど一 周 す る.従

っ てNRの

の ま わ りを ち ょ う ど 一 周 す る.さ

ら に{n,n2,n3},…,{n,nυ-1,nυ},{n,nυ,n1}

がNのZ-基   さ てTの

半 直 線 

は 

底 と な る こ と も 上 式 か ら 明 ら か で あ る. ひ とつ の 三 角 形 を 固 定 し,そ

基 底 を 付 与 す れ ば,隣 よ っ てTの

す

重 を そ れ ぞ れn,

の と き モ ノ ドロ ミ ー 条 件 に よ りn3,…,nυ

り存 在 し,n0:=nυ,nυ+1:=n1の

と な る.N/Znに

重 をPjの

の 頂 点 のN-荷

重 と し て.Nの

接 す る 三 角 形 の 列 お よ び 二 重Z-荷

す べ て の 頂 点 のN-荷

重 が 決 ま る.し

あ るZ-

重 を 使 用 す る こ とに

か も 上 述 し た 通 りモ ノ ドロ ミ

ー 条 件 に よ っ て 三 角 形 の 列 の 選 び 方 に は 独 立 に 唯 一 通 りに 決 ま る .さ ら にTの 各 三 角 形PP′P″ き,PP′P″ SNへ

の 頂 点 の こ の よ う に し て 決 ま るN-荷

をSNの

三 角 形π(n)π(n′)π(n″)に

の 連 続 写 像 を 得 る.と

こ の 写 像 を 制 限 す れ ば,SNの

こ ろ が 上 記 の 記 号 の も と で 各 頂 点Pの 点π(n)の

と した と ら

星状 体 上 に

π(n1),…,π(nυ)を 頂 点 とす る 多 角 形

で 囲 ま れ た 閉 近 傍 の 上 へ の 同 相 写 像 と な る.2次 か らSNへ

重 をn,n′,n″

自然 に 移 す こ と に よ りS2か

元 球 面 は 単 連 結 で あ る か らS2

の こ の よ う な 局 所 同 相 写 像 は 必 然 的 に 同 相 写 像 と な る.ふ

た た びT

の 各 三 角 形PP′P″

に 対 し そ のN-荷

重 を 使 っ て 定 義 し た 有 理 強 凸 多 面 錐 

を 考 え れ ば,Nに っ て 得 るSNの N-荷

破 れ の な い 非 特 異 有 限 扇 を 得,そ

有 限 な 球 面 三 角 形 分 割 はTと

重 お よ び 二 重Z-荷

重 もTの

  (ⅰ)の必 要 性 は 命 題1.31に

れに よ

組 合 せ 論 的 に 同 型 で あ る.ま

た

も の と 対 応 す る の で 認 容 性 を 得 る.

よ り 明 ら か で あ る.

  分 類 結 果 を 述 べ る た め に は フ ァ イ バ ー ・バ ン ドル に 関 す る 復 習 が 必 要 で あ る.   命 題1.33([MO,命

題7.3])扇

の 写 像h:(N,Δ)→(N′,Δ′)に

対 応 す る トー

リ ッ ク 多 様 体 の 同 変 正 則 写 像 を と す る.h:N→N′

の 核 をN″

と し た と きfがX″

と す る.Δ″

をN″

を フ ァ イ バ ー と す る 同 変 な フ ァ イ バ ー ・バ ン ドル

と な る た め の 必 要 十 分 条 件 は 次 の 通 りで あ る.ま 型 で あ る.し

ずh:N→N′

か も あ る 部 分 扇 Δ′ ⊂ Δ を とれ ば,各

σ′ ∈ Δ′が 存 在 しhの

制 限 

は上への準同

σ′ ∈ Δ′に 対 し て 唯 一 つ の

が 同 型 と な る.

  こ の と き  はfに

の あ る 扇 と し, 

と な り,Xの

よ りX′ 上 の 主TN″-バ

開 集 合TNemb(Δ′)

ン ドル と な る.

  証 明 は 容 易 で あ る.   一 般 に 複 素 解 析 空 間Y上 Pl-1(C)-バ

の 階lの

ン ドルg:P(E)→Yが

g-1(y)はEのy上

定 義 出 来 る.各y∈Yに

の フ ァ イバ ーE(y)中

各 点 に 対 し そ れ に 対 応 す る1次 に 直 線 バ ン ドルOP(E)(1)を Eに

対 応 す るY上

し て のEの

局 所 環OY,yの

元C-ベ

得 る.注

の1次

元C-部

対 しY上

の

対 しフ ァ イ バ ー 分 空 間 で あ る.P(E)の

ク トル 空 間 を と る こ と に よ りP(E)上 意 す べ き こ と はY上

の ベ ク トル ・バ ン トルEのy上

フ ァ イ バ ー 

流 儀 で あ り,こ

ベ ク ト ル ・バ ン ドルEに

のC-双

の 局 所OY-自

の フ ァ イ バ ーE(y)は

由加 群 層 と

対 空 間 とす る の がGrothendieckの

こで も 採 用 す る 流 儀 で あ る とい う こ と で あ る.た 極 大 イ デ ア ル に よ る剰 余 体 で あ り  はOY,y上

だ しC(y)は の テ ン ソル積 で

あ る.   特 に トー リッ ク多 様 体  バ ン ドルL1,…,Llを

と れ ばPl-1(C)-バ

トー リッ ク 多 様 体 と な る.命

題1.33に

上 で §2.1で

考 察 す る同 変 直 線

ン ドル と な る 

自身 が

よ り対 応 す る 扇 を 求 め る と次 の 通 りで

あ る.後

述 の 命 題2.1の

記 号 の も と で Δ′-線形 な 支 持 函 数h1,…,hl∈SF(N′,

Δ′)に対 応 す る 同 変 直 線 バ ン ドル が そ れ ぞ れL1,…,Llで {n″2,…,n″l}をZ-基

底 と す るZ-加

と し ま た 

群N″

と す る.こ

に 移 すR-線

あ る 場 合 を 考 え よ う.

を 導 入 し, 

の と きy′ ∈N′RをNRの

点 

形 写 像 に よ る σ′ ∈ Δ′の 像 をσ′ と し 

とす る.   一 方 

に 対 し 

と し 

全 体 の な すN″

中 の 扇 をΔ″ とす れ ば 

の面

で あ り, 

に対 し

と な る.   以 上 の 準 備 の も と にPicard数

が5以

ク 多 様 体 で あ っ て 同 変blow

意 味 で 極 小 な も の の 分 類 結 果 を 述 べ る.§2.2

の 系2.5に

よ り,§A.5で

upの

分 類 し た 頂 点 数 が8以

分 割 の そ れ ぞ れ に 対 し 系1.32(ⅰ)の け を 分 類 す る の で あ る.そ

下 のS2の

組 合 せ論 的三 角 形 重づ

の さ い 系1.32(ⅱ),(ⅲ)に よ り極 小 性 が 判 る の で あ る. が5以

リ ッ ク 多 様 体 の うち 同 変blow

upの

三 角 形 分 割 を,辺

影 し た 平 面 グ ラ フ に 認 容 なN-荷 な 二 重Z-荷

元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ

モ ノ ド ロ ミ ー 条 件 を み た す 二 重Z-荷

  定 理1.34([MO,§9])Picard数

型 で あ る.S2の

下 の3次

下 の3次

元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー

意 味 で極 小 な も の は以 下 の いず れ か に 同

価 が 最 大 の 頂 点 の ひ とつ を 北 極 と し て 立 体 射 重 づ け を 施 し た も の を 図 示 し,対

重 づ け を 併 記 す る.た

だ し{n,n′,n″}はNのZ-基

は 整 数 で あ り,同 じ 三 角 形 分 割 に2種

応 す る認 容 底,a,b,c,d

類 の 異 る 荷 重 づ け が 可 能 な 場 合 に は §A.

5の 番 号 に(  )′,( )″ を 施 す.   34 

46 

3次 元 射 影 空 間P3(C).

Hirzebruch曲 .た f,自

面Y=Fa 

だ しP1(C)上

己 交 叉 数s2=-aと

4ss2(s=5,6)Picard数3あ

上 のP1(C)-バ のP1(C)-バ

ン ド ル で あ るYの

な る 最 小 切 断sに る い は4の2次

ン ドル  フ ァ イバー

対 しL=OY(bs+cf).

元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ

第1.24図(そ

の1)

第1.24図(そ

の2)

第1.24図(そ

の3)

第1.24図(そ

の4)

ク 多 様 体Y上

のP1(C)-バ

お よ び 第1.24図

ン

ドル 

.

に お け る324362,314353,324472,33415163,32425262(ⅱ),

31445162,32415461,(31435361)′,(31435361)″,(3256)′,(3256)″,(4454)′,(4454)″ の13種

類 で あ る.

  注  特 に §A.5に

お け るS2の

三 角 形 分 割324252,335361,32425261,3341526171,

324351617,32425371,3464,32425262(ⅰ)の

場 合 に は,同

変blow

upの

ク 多 様 体 に 対 応 す る 認 容 な 荷 重 づ け は 存 在 し な い.Picard数6の 形 分 割 の うち の ひ と つ32415571に て い る.一

方 正20面

る.す

場 合,50種

対 す る 認 容 な 荷 重 づ け は32種

トー リ ッ ク多 様 体 は 自 動 的 に 同 変blow

べ て の 頂 点 が5価

類 の三 角

対 す る認 容 な荷 重 づ け は 武 山典 彦 氏 に よ っ て分 類 され

体 型 の 三 角 形 分 割512に

対 応 す るPicard数9の

意 味 で 極 小 な トー リ ッ

だ か ら で あ る([MO,§9]参

照.た

upの

類 存 在 す る.

意 味 で極 小 であ

だ しp.105(1)のn7はn-n″

の ミ ス プ リ ン トで あ る).   上 記 に お い てa,b,c,dの 同 変blow

upの

る よ うに,上

い くつ か の 特 殊 値 に 対 し て は,対

応 す る トー リ ッ ク 多 様 体 は

意 味 で 極 小 と は 限 ら な い こ と に 注 意 し て 頂 き た い.ま

た §2.3で

も述 べ

記 の ト ー リ ッ ク 多 様 体 の 中 に は 射 影 的 で あ る も の も な い も の も存 在 す る.

  追 記   (1)一

般 の 簡 約 代 数 群 に 対 す る 同 様 の 問 題 がLuna-Vust[追7],梅

村 浩氏 等

に よ っ て 考 え ら れ つ つ あ る.   (2)石

田‐岩 下[追2]は

1]の 分 類 し た3次   (3)系1.29に   (4)土 Z-荷   (イ)   (ロ)

標 準 的 な3次

元 強 凸 多 面 錐 の 分 類 を 完 成 し た.岩

下[追

元 巡 回 商 特 異 点 の 分 類 を も 含 ん で い る.

お け る 荷 重a1,…,asは

橋[追7]はp.61,系1.32に

次 の(イ)を み た す. お け る頂 点Pで

の モ ノ ド ロ ミー 条 件 が 二 重

重 の み で 表 わ せ る 次 の(イ),(ロ)と 同 値 で あ る こ と を 示 し た.

第2章

  整 凸多 面 体 と トー リッ ク射 影 多 様 体

  本章 で は まず トー リ ック多様 体 上 の 同変 直 線 バ ン ドル お よ び不 変Cartier因 子 を,扇 に 関 し て線 形 な支 持 函数 を用 い て記 述 す る こ とか ら始 め る.   コン パ ク トな トー リ ック多様 体 の場 合,同 変 直 線 バ ン ドル を 係 数 とす る コホ モ ロジ ー群 が 支持 函数 を使 って 初 等的 に記 述 出 来 る し,射 影空 間 へ の 同 変 な正 則 写 像 の 考 察 も,上 に 凸 な 支持 函数 を取 扱 う問題 に 帰 着す る.   射 影 空 間 に埋 込 め る コン パ ク トな トー リ ック多様 体 を トー リ ック射 影 多様 体 と呼 ぶ.上 記 の 考 察 に よ り,§A.3で

述べ る コ ンパ ク ト凸 多 面 体 とそ の支 持 函

数 との 関 係 が こ こで は も っ と精 密 化 され,コ

ンパ ク ト整 凸 多 面 体,す なわ ち頂

点 が す べ て 格 子 点 で あ る よ うな コ ンパ ク ト凸 多 面 体 が,そ の 支 持 函 数 を通 じて トー リッ ク射 影 多 様 体 に 深 く関 連 づ け られ る こ とに な る.そ の 結 果 コ ンパ ク ト 整 凸 多 面 体 の 初 等 幾 何学 的 性 質 と,ト ー リ ック射 影 多様 体 の 代 数 幾 何 学 的性 質 との 間 に あ る興 味 深 い対 応 が 明 らか とな る.   射 影 多 様 体 に 関 し て最 近 定 式 化 され た 森 理 論 は,ト ー リ ック射 影 多 様体 の場 合,扇 に 関 す る興 味 あ る幾 何 学 と対 応 し てい る こ と も判 る.

 §2.1 同変直 線バン ドル,不 変Cartier因  

とし そ の双 対Z-加

群 をMと

子,支 持 函数 す る.Nの

扇 Δ を 固定 し,対 応 す る

トー リッ ク多 様体 を

とす る.Δ 上 の 次 の よ うな情 報 に基 づ い てX上 変Cartier因

で 同変 直 線 バ ン ドル とTN-不

子 とを構 成 す るの が 本 節 の 目的 で あ る.

  定 義  扇 Δの 台￨Δ￨=∪

σ∈Δ σ 上の実数値函数

が Δ-線 形 な 支 持 函 数(Δ-linear 間 と し て の￨Δ￨の

support

function)で

位 相 で 連 続 な 函 数 で あ っ て,N∩￨Δ￨上

あ る と は,NRの でZ値

部分空 を と りか つ

各 σ∈ Δ 上 で は 線 形 と な る こ と で あ る.す 存 在 し て,n∈

σ の と きh(n)=〈lσ,n〉

〈lτ,n〉 が 各n∈

な わ ち 各 σ∈ Δ に 対 しMの

と な り,し

形な支持函数全体が加法

書 く.

  M=HomZ(N,Z)⊂HomR(NR,R)=MRで

あ る か らm∈Mを

函 数 と み な す こ と が 出 来,自 R上NRを

か も σ>τ な ら〈lσ,n〉

τ に 対 し て 成 り立 つ こ と で あ る.Δ-線

で な す 可 換 群 をSF(N,Δ)と

元lσ が

然 な 準 同 型M→SF(N,Δ)を

生 成 す れ ば これ は 単 射 で あ り,そ

Δ-線 形 支 持

得 る.も

の 場 合 に はMを

し￨Δ￨が

そ の 像 と同一 視

す る.   h∈SF(N,Δ)を

与 え た と き,上

任 意 性 が あ る.各

記 の 条 件 を み た す{lσ}σ∈Δ ⊂Mの

σ に 対 し 

を み た す 

選び方には

は 同 じhを

与え

る か ら で あ る.

と す る と,各

ρ∈ Δ(1)に 対 し てN∩

と な る.ま

ρ の 中 に 原 始 元n(ρ)が

唯 一 つ 定 ま り 

た 一 般 の σ∈ Δ は

と 書 け る の でh∈SF(N,Δ)は わ ち 

各 ρ∈ Δ(1)に 対 す る 整 数h(n(ρ))で

決 ま る.す

な

に よ り単 射 準 同 型

を 得 る ので あ る.こ ρ<σ}のMに い の で,上

の と きlσ∈Mは

お け る解 とな る.こ

方 程 式 系  の よ うな解 が必 ず し も存 在 す る とは 限 らな

記 の準 同型 は 一 般 に は 全 射 で な い.し

ば,定 理1.10で

か し もし σ が 非 特 異 で あれ

述べ た よ うに{n(ρ);ρ ∈ Δ(1),ρ<σ}はNのZ-基

な り,上 記 の方 程 式 系 の解lσ ∈Mが

必 ず 存 在 す る.特 にXが

底 の一 部 と 非特異であれば

は 同 型 と な る.   X上

の 同 変 直 線 バ ン ドル(equivariant

と す る バ ン ドル π:L→Xお

line bundle)と

よ びTNのLへ

す も の で あ る.X上

の 作 用 が π-1(x)か

フ ァイ バ ー

の 作 用 の 組 で あ っ て π がTNに

関 し 同 変(す な わ ち π(tz)=tπ(z),∀t∈TN,∀z∈ に 対 しt∈TNのLへ

は,Cを

…L)で あ り,し

ら π-1(tx)へ

か も各x∈X

の 線形 写 像 を ひ きお こ

の 同 変 直 線 バ ン ドル の 同 型 類 全 体ELB(X)は

テ ン ソル 積

 に よ り可 換 群 と な る.そ にTNがt(x,c):=(tx,c)と てX×Cへ

明 な 直 線 バ ン ドルX×C

作 用 す る も の で あ る.よ

のTNの

直 線 バ ン ドル1mを

の 単 位 元10は,自

り一 般 にm∈Mに

作 用 をt(x,c):=(tx,e(m)(t)c)と 得 る.た

指 標 で あ る.

だ しe(m)は

対し

定 め る こ と に よ り同 変

§1.2で

述 べ たmに

対 応 す るTNの

に よ り準 同 型

を 得 る.   X上 の 直 線 バ ン ドル の 同 型 類 全 体Pic(X)を 同 変 直 線 バ ン ドルに 対 しTNの

を 得 る.{1m;m∈M}は   一 方Xは

通 常XのPicard群

と呼ぶ.

作 用 を無 視 す る こ とに よ り準 同 型

明 らか に この 準 同 型 の 核 に 含 まれ て い る.

既 約 かつ 正 規 な 複 素解 析 空 間 で あ る か ら,X上

の な す可 換 群Div(X)が

考 え ら れ る.す な わ ちX上

分 多様 体 の形 式 的 なZ-係

の(Weil)因

子全体

の 余 次 元1の 既 約 閉 部

数 有 限一 次 結 合 の 全 体 で あ る.特

の作 用 に 関 し て不 変 な 因子 全 体 の な す 部 分群 をTNDiv(X)と

に そ の 中 でTN 書 く こ とに し よ

う.   §1.3命 題1.6に が 対 応す る.Xに

よ り,各

ρ∈Δ(1)に対 し てXの

お け るそ の 閉 包 を §1.3系1.7の

す れ ば{V(ρ);ρ ∈Δ(1)}はTNDiv(X)のZ-基

で あ る.特

に整 数

は 有 効(effective)で   PDiv(X)をX上 と す る.つ

ま りX上

に よ りD=Σ

余 次元1のTN-軌

道orb(ρ)

よ うにV(ρ)と 記す こ とに

底 とな り

ρaρV(ρ)と な る と き

と 書 き,D

あ る と い う. の 主 因 子(principal の0で

divisor)全

な い 有 理 函 数fに

とな る も の の全 体 で あ る.た

体 め な すDiv(X)の

部 分群

対 し

だ しνV(f)は 余 次元1の

既 約 閉 部 分 多 様体Vに

お け るfの 零 の位 数 で あ る(極 な らば,極 の 位 数 の マ イ ナ スを とる).m∈Mは TN上

の 正 則 函 数e(m)を

決 め,従

っ てX上

らか にdiv(e(m))はPDiv(X)∩TNDiv(X)に

の有 理 函 数 を 定 め る.こ の とき 明 属 す る.

  X上 の 因 子 の うち で 局 所 的 に 主 因 子 と な る も の が 特 に 重 要 で あ り,通 常

Cartier因 Cartier因

子 と 呼 ぶ が,そ

の 全 体 をCDiv(X)と

子 全 体 の な す 部 分 群 をTNCDiv(X)と

∩TNDiv(X)は

明 ら か にTNCDiv(X)の

子 が す べ てCartier因

子,つ

書 き,そ

の 中 でTN-不

変

書 く こ と に し よ う.PDiv(X)

部 分 群 で あ る.Xが

非 特 異 な と き因

ま りCDiv(X)=Div(X),で

あ る こ とは周 知 の

通 りで あ る.   次 の 命 題 に お け る 符 号 の 決 め 方 の 理 由 を 知 る た め,Cartier因 る 直 線 バ ン ドル の 構 成 方 法 を 復 習 し て お こ う.定 義 に よ りXの Ujお

よ び0で

な い 有 理 函 数 の 族{fj}が

(f-1j)と 一 致 す る.よ

っ てfj/fkお

存 在 し て,Dは

よ びfk/fjは

数 と な る.Uj×CとUk×Cを(Uj∩Uk)×Cに

各Uj上

対応す

で 主 因 子div

と も にUj∩Uk上

で 正則 な 函

沿 って写 像

で 貼 り合 せ る こ と に よ り直 線 バ ン ドルL:=Uj(Uj×C)を L→Xは

子Dに

開 被 覆X=∪j

得 る の で あ る.π:

第 一 因 子 へ の 射 影 の 貼 り合 せ に よ っ て 得 る 写 像 で あ る .

  以 上 の Δ-線 形 支 持 函 数,同

変 直 線 バ ン ドル,TN-不

変Cartier因

子 とい う

相 異 る概 念 を 次 の よ うに 関 係 づ け る こ とが 出 来 る.   命 題2.1 

Nの

有 限 扇 Δ に 対 応 す る トー リッ ク 多 様 体 をX:=TNemb(Δ)

と す る.   (ⅰ)  Δ-線 形 な 支 持 函 数h∈SF(N,Δ)に る 自 然 な 準 同 型SF(N,Δ)→ELB(X)が 1-mで

にm∈Mに

対 応 させ 対 しLm=

あ る.

  (ⅱ) h∈SF(N,Δ)と

す る.も

を み た せ ば そ れ に よ りLhの切 す な わ ちt∈TN,x∈Xに tx上

対 し 同 変 直 線 バ ン ドルLhを 存 在 す る.特

しm∈Mが

断φ:X→Lhを

構 成 出 来 る.φ

対 し 

の フ ァ イ バ ー の 元tφ(x)へ

で あ る.た の ス カ ラ ーe(m)(t)∈Cの

  (ⅲ)  Δ-線 形 な 支 持 函 数h∈SF(N,Δ)に

対 しTN-不

分 条件 はhが

対 し て はDm=div(e(-m))で

非 正 値 の み を と る こ とで あ る.

不 変,

だ し右 辺 は

作用 である

変Cartier因

を対 応 させ る こ とに よ り可 換 群 の単 射 準 同型  る.特 にm∈Mに

はTN-半

.

子

を得 あ る. 

とな る必 要 十

  (ⅳ)  m∈Mに

対 し次 は 同 値 で あ る. 

は 非 正 値 の み を と る    (ⅴ)  Xが 非 特 異 で あれ ば(ⅲ)によ り同 型

を 得 る.よ

り一 般 に,も

し各 σ∈Δ が 単体 的 で あ れ ば 有 理 数体Qに

係数拡大 し

た ときに 同 型

を 得 る.   (ⅵ) h∈SF(N,Δ)と

す る.TN-不

解 析 層OX(Dh)はLhの で も あ り,埋

変Cartier因

切 断 の 芽 の 層 と一 致 す る.こ

込 み 

しm∈Mが

れ はTNの

  証 明  (ⅰ)h∈SF(N,Δ)の

で あ る.従

正 則 函 数 と な る.§1.3定

は と も にXの 理1.4に

っ て  開 集 合Uσ ∩τ(§1.2参

よ り{Uσ;σ

∈ Δ}はXの

照)の 上 の

開被覆で あ り

っ てUσ

×CとUτ

×C

沿 っ て 次 の よ うに 貼 り合 せ る こ とが 出 来 る.

の 直 線 バ ン ドル 

の 貼 り合 せ に よ り π:Lh→Xも

考え る.σ,τ ∈ Δ

定 義 に よ りn∈ σ ∩τ な ら 

∩τ が 各 σ,τ∈ Δ に 対 し て 成 立 す る.従 ∩τ×Cに

つ き〈m,n〉 

不 変 な 切 断 を 与 え る.

な ら 扇 の 定 義 に よ り σ ∩τ∈ Δ で あ り,一 方hの

とを 共 通 の 部 分 集 合Uσ

変 なOX-部

定 義 に お け る{lσ;σ ∈ Δ}⊂Mを

とな り,e(lσ-lτ)とe(lτ-lσ)と

の可 逆

作用を持つ層

す べ て のn∈￨Δ￨に

を み た せ ば,e(m)はOX(Dh)のTN-半

か く し てX上

決 め るX上

に よ り決 ま る 層j*OTNのTN-不

分 加 群 とみ な す こ とが 出 来 る.も

Uσ ∩Uτ=Uσ

子Dhの

を 得 る.第 得 る.ま

たTNのLhへ

一 因子 へ の射 影

の 作 用 を,各Uσ

×C

上で

と定 め れ ば,明

ら か に 上 記 の 貼 り合 せ と適 合 す る.

  {lσ}σ∈Δ お よ び{l′σ}σ ∈Δが と も にhを

与 え る 場 合,す

従 っ てlσ′-lσ ∈M∩ を で

べ て のn∈

σ⊥ と な る.よ

σ に 対 し 

っ て 各 σ∈ Δ に 対 し  定 義 す れ ば,直

線

バ ン ドル の 自己 同 型  作 用 はgに

よ り{lσ}σ∈Δが 決 め る も の に 移 る.従

類 と し て はLhはhの   m∈Mな Cと

を 得 る が ,{lσ′}σ ∈Δ が 決 め るTNのLhへ

ら 

に よ るTNの

す べ て のn∈￨Δ￨に

対 し 

 と な る.よ

を み た す と す る.上 σ に 対 し 

×Cを 

って

上 の 正 則 函 数 で あ る.

で 定 義 す れ ば,容

に 対 し 

易 に 判 るよ

与 え る.t∈TN,x∈X

と な る こ と も 明 ら か で あ る.

  (ⅲ) 準 同 型 

は 本 節 初 め で 触 れ た 単 射 

を 変 え た も の と 本 質 的 に 同 じ も の で あ る.従 し た と きUσ 上 で はDhとdiv(e(-lσ))と

  (ⅵ) Dhの

,従

っ てe(m-lσ)はUσ

う に{φ σ}σ ∈Δが 自然 に 貼 り 合 さ れ 切 断φ:X→Lhを

で あ る.以

作 用 を 持 っ たX×

あ る.

記 の 通 り{lσ}σ∈Δを 与 え れ ば す べ て のn∈

φσ:Uσ →Uσ

っ て 同 変 直 線 バ ン ドル の 同 型

み に よ り決 ま る.

一 致 す る の でLm=1-mで

  (ⅱ) m∈Mが

の

の符号

っ て(ⅴ)も明 ら か で あ る.σ

∈Δ と

が 一 致 す る の でDhはCartier因

子

上 に よ り(ⅲ)の残 り の主 張 お よ び(ⅳ),(ⅴ)も明 ら か で あ る. 決 め る 可 逆 な 解 析 的 層OX(Dh)は,各

で 

と定 義 さ れ る.よ

と 同 型 で あ る.ま

たOX(Dh)が

こ と も 容 易 に 判 る.す を 与 え る と,各

σ∈ Δ に 対 す る 開 集 合Uσ

切断 の芽の層

変 なOX-部

分加群 である

直 像j*OTNのTN-不

べ て のn∈￨Δ￨に

対 し て 

σ∈ Δ に 対 し 

上

っ て 明 ら か にLhの

と な るm∈M

で あ る か ら 

とな る.   Dhの

定 義 に お け る マ イ ナ ス 符 号 の 所 為 でdiv(e(m))=D-mと

あ る が,慣

習 上 お よ び 凸 体 の 幾 何 学 と の 関 連 上 か ら 上 記 の 定 義 を 採 用 す る.

  注   [TE,第Ⅰ

章 §2定 理9]に

も あ る よ うに,Δ-線 形 な支 持 函 数 を も う少 し一 般 化 し

た次 の よ うな 函数 を 考 え る と,TN-不 "完 備"な 分 数O X-イ デ ア ル の 層Fを

変(Weil)因

  (1) 正 に 同 次,つ ま り任 意 の    (2) hはN∩￨Δ￨上

でZ値

子 の み な らずj*OTNのTN-不

得 る.す な わ ち 連 続 函 数h:￨Δ￨→Rで

の 性 質 を み た す もの で あ る.こ の と きh=ordFと

記 す こ と も あ る.

お よびn∈￨Δ￨に

扇(N,Δ)に

対 しh(cn)=ch(n).

を と る.

  (3) 各 σ∈Δ 上 でhは 土 に 凸 か つ 区 分 的 に 線 形(系A.19参   系2.2 

一 見 不 自然 で

対 し て可 換 群 の 準 同 型

照).

変で あ っ て次

を 得 る.   例   Xが

非 特 異 で あ れ ば,す

k∈SF(N,Δ)が Cartier因

命 題2.1(ⅴ)に

よ り唯 一 つ 存 在 す る.こ

子 は 

従 っ てOX(Dk)は (Xが

べ て の ρ∈ Δ(1)に 対 し てk(n(ρ)):=1と

で あ る.こ 正 則r-形

式 の 層 

な る

の と き 対 応 す るTN-不

のDkはXの

変

標 準 因 子 と な り,

と 一 致 す る こ と が 次 の よ う に し て 判 る.

特 異 で あ っ て も 一 般 化 さ れ た 意 味 で の 標 準 因 子 とみ な せ る.§3.2を

参照

し て 頂 き た い.)   MのZ-基

底{m1,…,mr}に はTN上

で あ る.対 たr-形

対 し  の 不 変 正 則r-形

数 微 分 の 性 質 に よ り,MのZ-基

っ て 特 にX上

の 有 理r-形

式

底 を 取 換 え て も,同

様 に して決 め

式 は 高 々符 号 が 変 る の み で あ り,ω の 因 子div(ω)はMのZ-基

底 の選

び 方 に は 無 関 係 に 決 ま る.定 {n1,…,nr}お nr}の

式,従

よ び 

双 対Z-基 と な る.た

(系3.3に

理1.10に

よ り各 σ∈ Δ に 対 し てNのZ-基

が 存 在 し て 

底{m1,…,mr}を

底

で あ る.{n1,…,

と れ ば,開

集 合Uσ

上 で 

だ し Σ ρは ρ<σ と な る す べ て の ρ∈ Δ(1)に わ た る 和 で あ る.

お い て 以 上 の 結 果 を 別 の 観 点 か ら 見 直 す.)

  注  TNemb(Δ)上

の 同変 ベ ク トル ノミン ドル の 構 成 もあ る程 度 命 題2.1(ⅰ)と 同 様 に 話 を

進 め る こ とが 出 来 る.そ の試 み の ひ とつ と して兼 山[K3]を

参 照 し て頂 き た い.

  §2.2  コンパ ク トな トー リ ック多 様 体 の コホ モ ロ ジー   特 に コ ン パ ク トな トー リ ッ ク 多 様 体 に 対 し て は,同 変Cartier因

変 直 線 バ ン ドル やTN-不

子 は す べ てΔ-線 形 支 持 函 数 か ら 得 ら れ る.ま

た 同 変直 線 バ ン ド

ル を 係 数 と す る コ ホ モ ロ ジ ー群 も 扇 とΔ-線 形 支 持 函 数 で 完 全 に 記 述 出 来 る.   そ の 基 本 的 な 理 由 の ひ とつ は §1.2で 触 れ た 代 数 的 トー ラ スTNの

代数 的 表

現 の 完 全 可 約 性 で あ る が,も

数 多 様体

うひ と つ は 次 のGAGA定

理 に よ り,代

に 付 随 す る 複 素 解 析 的 情 報 が 代 数 幾 何 学 的 情 報 で 記 述 出 来 る か ら で あ る.射

影

多 様 体 の 場 合 にSerre[S5]が

相

証 明 し,そ

の 後Grothendieck[G3],[G4]が

対 的 な場 合 を も含 む 最終 的 な形 に 仕上 げ た定 理 で あ る.   GAGA定

理   Z′ をC上

の完 備 代 数 多 様 体 と し,そ

Z′ に 付 随 す る コン パ ク ト複 素解 析 空 間 をZ,そ   (ⅰ)  Z′ 上 のO′-連 接 層F′ に 対 しZ上

の構 造 層 をO′ とす る.

の構 造 層 をOと

す る.

のO-連 接 層 を

対応 さ

せ る こ とに よ りO′-連接 層 の圏 とO-連 接 層 の 圏 は 同 値 とな る.   (ⅱ)  連 接 層 の コホ モ ロジ ー群 は 代 数 的 に計 算 し て も解 析 的 に計 算 し て も 同 じ で あ る.す な わ ちO-な 連 接 層F′ に対 し 

とす れ ば 自然 な 同型

が 存 在 す る.左 辺 は 代 数 多 様 体 と して のZariski位

相 に 関す る コホ モ ロジ ー で

あ り,右 辺 は 解 析 空 間 とし て の コホ モ ロジ ー で あ る.   (ⅲ)  Z′ か らC上

の完 備 代 数 多 様 体W′

対 応 す る複 素 解 析 空 間Wへ

へ の 有 理 正 則 写 像 の全 体 は,Zか

ら

の複 素 解 析 的 正 則 写 像 の全 体 と 自然 に 同 型 で あ る.

  上 記(ⅱ)の一 般 化 とし て次 を 得 る.   相 対 的GAGA定

理 f′:Z′→W′

像 とし,f:Z→Wを

をC上

の代 数 多 様 体 の固 有 な有 理 正 則 写

対 応 す る複 素 解 析 空 間 の 固有 な正 則 写 像 とす る.Z′

のOZ′-連 接 層F′ お よび 各q=0,1,…

に対 しW′

はOW′-連 接 層 で あ り,そ れ に 対 応 す るW上 のfに 関 す る解 析 的 なq次 直 像 層Rqf*(F)と

上

上 のq次 直 像 層 

のOW-連

接 層 は 

一 致 す る.す なわ ち 自然 な 同

型

が存 在 す る.   さ て 本題 に戻 りX=TNemb(Δ)を 従 って §1.4,定 理1.11に 触 れ た よ うに(N,Δ)か

よ りΔ は 破 れ の な い 有 限 扇 とな る.定 理1.4直

ら 自然 にC上

付 随 す る複 素 解 析 空 間 とし てXが 来 る.ま Lh,TN-不

コン パ ク トな トー リ ッ ク多 様 体 とす る.

た Δ-線形 な 支持 函数hに 変Cartier因

子Dhお

後に

の 完 備 代 数 多 様 体X′ が 決 ま り,そ れ に

得 られ る.従 ってGAGA定 対 応 し て命 題2.1で

理(ⅰ)が適 用 出

得 た 同 変 直 線 バ ン ドル

よ び可 逆 連 接 層OX(Dh)は,X′

上で同様 に

得 られ る代 数 的 な対 応 物D′h,L′h,O′X′(D′h)に 付 随 す る こ と も明 らか で あ る.従 っ て 上記 のGAGA定

理(ⅱ)が適 用 出来 る.

  煩 雑 さを避 け るた め,以

下 で は 代 数 的 に 考 え る 場 合 に も単 にX,Dh,Lh,

OX(Dh)等

と 書 く こ と に す る.

  次 の 補 題 は 定 理2.6に で あ る が,命

題2.4の

お い て 示 す コ ホ モ ロ ジ ー群 に 関 す る 結 果 の 特 別 な 場 合 証 明 に お い て も 必 要 と な り,そ

れ 自身 と し て も 重 要 で あ

る の で 独 立 し て こ こ に 述 べ る.   補 題2.3 

破 れ の な い 有 限 扇(N,Δ)に

体 をX=TNemb(Δ)と

はMRの

す る.h∈SF(N,Δ)に

コ ン パ ク ト凸 多 面 体(空

OX(Dh)の

対 応 す る コ ン パ ク トな トー リッ ク多 様 対 し

集 合 で あ る 場 合 も含 む)で

大 域 的 切 断 の 全 体H0(X,OX(Dh))は{e(m);m∈M∩

す る有 限 次 元C-ベ

基底 と

理(ⅱ)に よ りX自

よ り □h

半 を 示 そ う.

身 が 代 数 多 様 体 で あ る と 考 え て 良 い.明 で あ る.定

在 し て 各n∈

□h}を

つ Δ が 有 限 で あ る か ら 定 理A.18,系A.19に

は コ ン パ ク トな 凸 多 面 体 で あ る.後   GAGA定

の とき層

ク トル 空 間 で あ る.

  証 明  ￨Δ￨=NRか

σ に 対 しh(n)=〈lσ,n〉

のUσ へ の 制 限 はOX・e(lσ)のUσ のC-ベ TN-固

あ る.こ

とな る.ま

ら か に 

義 に よ り{lσ}σ∈Δ ⊂Mが た 命 題2.1(ⅵ)に

へ の 制 限 と一 致 す る.従

よ りOX(Dh)

っ て 

ク ト ル 部 分 空 間 で あ る 

有 ベ ク トル 

をC-基

存

は

底 と し て 持 つ.lσ

方 に よ り 

の選 び

で あ るか ら 証 明 が

完 了 す る.   注  m∈Mと

と書 け る.従

し た と き命 題2.1(ⅳ)は 上 記 の記 号 の も とで

って 

が完 備 線 形 系￨Dh￨内

のTN-不

変 なCartier

因 子 の 全 体 とな る.   命 題2.4 

X=TN

emb(Δ)を

  (ⅰ) X上

のTN-不

変Cartier因

あ るh∈SF(N,Δ)に

コ ン パ ク トな トー リ ッ ク多 様 体 とす る. 子Dは

対 しD=Dhと

各 開 集 合Uσ

な る.す

上 で 主 因 子 と一 致 し,

な わ ち 命2.1(ⅲ)の

準 同 型 

は 同 型 で あ る.   (ⅱ) X上

の 任 意 のCartier因

加 群 と し て の 同 型 

子Dに

対 し あ るh∈SF(N,Δ)が が 成 立 す る.つ

存 在 し てOX-

ま り 自然 な 準 同 型 の 合 成

SF(N,Δ)→CDiv(X)→Pic(X)は   (ⅲ) h∈SF(N,Δ)に  

全 射 で あ る.

対 し 次 は 同 値 で あ る.

(イ) h∈M   (ロ) Dh∈PDiv(X)す   (ハ) Lhは

な わ ちDhはX上

で主因子

直 線 バ ン ドル と し て 自 明

  (ニ) OX-加

群 と し て 

  証 明   GAGA定

.

理(ⅰ)に よ りX自

  (ⅰ) 

をTN-不

身 を 代 数 多 様 体 と考 え て 良 い. 変Cartier因

お よ び は 分 空 間 で あ りTNが 同 変 なAσ-部

代 数 的 に 作 用 す る.し

分 加 群 で あ る.Cartier因

射 影 的 か つ 階 数1で Aσ を み た す.一 aFσ ⊂Aσ}と

あ る.従

方(Aσ:Fσ)もTN-同

群(Aσ:Fσ)は

群 として

等 式(Aσ:Fσ)・Fσ=

変 で あ り容 易 に 判 る よ う に{a∈C[M]; とす Φσ}が そ れ ぞ れAσ,Fσ

っ て 

のC-

が(Aσ:Fσ)のC-

って 上記 の 等式 は

と 同 値 で あ る. 

故 あ るlσ ∈ Φσ が 存 在 し て  

な り 

を 得 る.従 が 成 り立 つ.こ

Δ)を 定 めD=Dhと

っ てFσ=Aσ

と

・e(lσ)とな り 

の よ う に し て 決 ま る{lσ}σ∈Δが あ るh∈SF(N,

な る こ と は 明 ら か で あ る.

ア フ ィン 代 数 多 様 体 と し て の 座 標 環C[M]が のCartier因

子TN∩Dは

素元分解環 である

主 因 子 で あ る.よ

存 在 し て,D′:=D-div(f)と

従 っ てD′ は 

す れ ばD′

っ てX上

∩TN=0が

に 台 を 持 つCartier因

不 変 で あ る.(ⅰ)に よ り あ るh∈SF(N,Δ)に +div(f)と

は 部 分 環 で あ りFσ はTN-

子 の 定 義 に よ りFσ はAσ-加

お よ び{e(m);m∈

基 底 と な る.よ

函 数fが

ク トル 部

一 致 す る. 

基 底 で あ り,従

か らTN上

か もAσ

っ て 双 対Aσ-加

れ ば, 

  (ⅱ) TNの

子 と し σ∈ Δ と す る と  と も にC[M]のC-ベ

対 しD′=Dhす

の あ る有 理 成 立 す る.

子 と な り,TNな わ ちD=Dh

な り .

  (ⅲ) (ロ)⇔(ハ)⇔(ニ)は で あ る.(ニ)⇒(イ)を

よ く知 ら れ た 事 実 で あ り,ま

示 そ う.仮 定 に よ り 

た(イ)⇒(ロ)は

明 らか

H0(X,OX(D-h))

≠0で あ るか ら補 題2.2に

よ りM∩

□hとM∩

□-hと は と もに 空 で な い.前

者 お よ び後 者 か らそ れ ぞれ 元m′,m″ を選 べ ば

が 成 立 す る.従

っ てm′=-m″

で あ り,す

べ て のn∈NRに

対 しh(n)=

〈m′,n〉 と な る.   命 題2.1,系2.2お に 直 和 因 子,従

よ び 命 題2.4か

ら次 を 得 る..MがSF(N,Δ)内

っ て 商SF(N,Δ)/Mは

Demazure[D5],[TE,第Ⅰ

で明らか

階 数 有 限 の 自 由 可 換 群 だ か ら で あ る.

章 §2],Danilov[D1],[MO]に

既 に あ る結 果 で あ

る.   系2.5 

コ ン パ ク トな トー リ ッ ク多 様 体X=TNemb(Δ)に

対 し 次 の よ うな

自然 な 同 型 が 存 在 す る.

特にXが 非特異であれば完全 例

を 得,Pic(X)は

階 数 が#Δ(1)-dim

Xの

自 由 可 換 群 と な る.た

だ し#Δ(1)は

Δ(1)の 元 の 個 数 で あ る.   定 理2.6を

述 べ る た め の 準 備 と し て 次 の も の を 導 入 す る.(N,Δ)を

な い 有 限 扇 と しh∈SF(N,Δ)と

と 定 義 し,Z(h,m)に

す る.m∈Mに

台 を 持 つNRのC-係

とす る(た とえ ばGodement[G1,第Ⅱ m)に 台 を 持 つ 切 断 の な す 可 換 群  とし て定 義 す るが,今 の場 合 対  対 コホ モ ロ ジ ー群 

で あ る か ら[G1,第Ⅱ

対 しNRの

閉部分集合を

数 コ ホ モ ロ ジ ー群 を

章 §4]参 照). 

はZ(h,

を 対 応 させ る函 手 の 導 来 函 手 に関 す る通 常 のC-係 数 相 と も一 致 す る.

章 §4,4.10]の

破れの

完全 列 に よ り同型

お よび 完全 列

を 得 る.後 者 に よ り容 易 に

お よび

を 得 る.定

義 によ り

で あ る か ら 補 題2.3は

下 記 の 定 理2.6に

  定 理2.6はDemazure[D5]が [TE,p.42,定 る.た

お け るq=0の

非 特 異 な 場 合 に 初 め て 証 明 し,そ

理12],Danilov[D1]等

だ し[TE]の

の 後Kempf

によ り 一 般 な 形 に拡 張 され た も ので あ

推 論 に は 誤 りが 認 め ら れ る(石 田 正 典 氏 の 指 摘).ま

に も あ る よ う に,も

っ と一 般 にTN-不

い て も 同 様 の 結 果 が 成 立 す る(§2.1命

変 で 完 備 なj*OTNのOX-部 題2.1直

コ ン パ ク トな トー リ ッ ク 多 様 体X=TN

お よ び 

に 対 しq次

のOX(Dh)-係

分 加群 に つ

emb(Δ)とh∈SF(N,Δ)

数 コ ホ モ ロ ジ ー 群Hq(X,OX(Dh))に

代 数 的 に 作 用 す る.各m∈Mに

をHq(X,OX(Dh))mと

た[TE]

後 の 注 参 照).

  定 理2.6 

TNが

場 合 に 他 な ら な い.

対 応 す る 指 標e(m)に

は

関 す る固 有 空 間

書 けば 自然 な 同型

が存 在 し,直 和 分 解

が 成 立 す る.   証 明   GAGA定 OX(Dh)と

し,開

理(ⅱ)に よ りX自 被 覆U={Uσ}σ

を 計 算 し て み よ う.各 不 変 なC-ベ

身 が 代 数 多 様 体 で あ る と考え て 良 い.L=

∈Δに 関 す るCechコ

σ∈ Δ に 対 し

,L)

はC[M]のTN-

ク トル 部 分 空 間 で あ り, が そ のC-基

に よ りL(Uσ)の 0}と

ホ モ ロ ジ ー でHq(X

元fと

底 を な す.従

複 素 数 の 列{fm;m∈M,も

を 同 一 視 す る こ とが 出 来 る.

って し 

な らf

m=

  q次Cechコ

チ ェ イ ン の 群Cq(U,L)は(σ0,…,σq)が

Δq+1を わ た る と き の

の直 和 であ るか ら  

な らcm(σ0,…,σq)=0}

と定 義 す れ ば,上

と な る.通

述 した こ とに よ り

常 通 り定 義 す る 両 辺 の コ バ ウ ン ダ リー 作 用 素 が 互 い に 対 応 す る こ と

も 明 らか で あ る.   さ てXの

開 集 合Uに

と書 け ば,Uが

対 し てHq(U,L)を

ア フ ィン 開 集 合 でq>0の

ペ ク トル 列([G1,第Ⅱ

章 定 理5.4.1の

は 退 化 し,

と きHq(U,L)=0故Lerayの

  同 様 に Δ はNRの

有 限 閉 被 覆NR=Uσ∈Δ で あ る.何

が 凸 故 第4項

ホ モ ロジ

同 型 で あ る こ とが 判 る. σ を 与 え る が,q>0な

ら

故 な ら完 全 列

は0,ま

た σ ＼Z(h,m)は

空 ま た は 凸 故 第1項

へ の 準 同 型 は 全 射 だ か ら で あ る.σ ∈ Δ に 対 し て 

せ る 係 数 系 を 

ス

系])

が 求 め るHp(X,L)と

に お い て,σ

の 前 層 をHq(L)

の コ ホ モ ロ ジ ー 群 と し て 定 義 す るCechコ

ー群

第2項

対 応 さ せ るX上

とす れ ば,上

か ら

を対 応 さ

記 の 類 似 と し て 得 る ス ペ ク トル 列([G1,

第Ⅱ 章 定 理5.2.4])

は退化 し

で あ るか ら 

とな る.と

こ ろが

は結 局 上 記 の

のp次

コホ モ ロジ ー群 と一

致 す る.  Δ を 

の 破 れ の な い 有 限 扇 と す る.§2.1に

義 に ょ り{lσ}σ∈Δ ⊂Mが

存 在 し てn∈

と す れ ば,σ ∈ Δ(r)に 対 す るlσ はhに

お け るh∈SF(N,Δ)の

σ な らh(n)=〈lσ,n〉

定

と な る.

よ り唯 一 通 り に 定 ま る こ と に 留 意 し よ

 

う.す べ て のn∈ σ に対 し 

な ら 

だか

ら で あ るが,ま た 次 の よ うに考 え る こ とも 出来 る.一 般 にNR上 値 函 数hに

対 しnに

おけ るn′ 方 向 の 微 係 数(Frechetの

が 常 に 存 在 し, 

を み た す.ま

上 に 凸 か つ 正 に 同 次 と な る.今 か ら,σ

の 内 部 の 点nと

導 函 数 と もい う)

た δh(n;n′)はn′

の 場 合 定 義 に よ り各 σ∈ Δ(r)上hは

任 意 のn′ ∈NRに

の上 に 凸 なR

の函 数 とし て 線形 である

対 し

と な り微 分 可 能 で そ の 微 係 数 がlσ と な る の で あ る.   定 理2,7 

と す る.コ

お よ びh∈SF(N,Δ)に   (イ) OX(Dh)は

大 域 的 切 断 で 生 成 さ れ る.

  (ロ) 線 形 系￨Dh￨は

基 点 を 持 た な い.

  (ハ) hは 上 に 凸 な 函 数,す

(ニ) □hは{lσ;σ

な わ ち 任 意 のn,n′

∈ Δ(r)}のMRに

こ の と き各n∈NRに

が 成 立 し,hは

ン パ ク トな トー リ ッ ク多 様 体X=TNemb(Δ)

対 し 次 は 同 値 で あ る.

∈NRに

対 し

お け る 凸 閉 包 と 一 致 す る.

対 し

付 録 §A.3の

意味 で の □hの 支 持 函 数 で あ る.

  この と き さ らに 次 の 消 滅 定理 が 成 立 す る.

  証 明  や は りGAGA定

理 に よ りX自

身 が 代 数 多 様 体 で あ る とし て良 い.

(イ)⇔(ロ)は 周 知 の 事実 で あ る.   命題2.4の

証 明 に お い て述 べ た よ うにC[M]のC-ベ

る 

は 

補題2.3に

をC-基

ク トル部 分 空 間 で あ 底 と し て持 つ.従

って

よ り(イ)は

(*) と 同 値 で あ る.さ が,そ 対 し 

ら に σ∈ Δ(r)に 限 っ て こ の 等 式 が 成 り立 つ と し て 十 分 で あ る

の と き に は 既 述 の 通 りlσはhに

よ り決 ま る.よ

っ て す べ て のn∈

σ に

 

で あ り結 局 上 記 です べ て等 号 が成 立 し,□hの

支 持 函数 がhと

一致

す る こ とにな る.特 にhは 上 に 凸 とな る か ら(イ)⇒(ハ)を 得 る.   (ハ)⇔(ニ)は 系A.19に

よ り明 らか で あ り,し か も この と き各 σ∈Δ(r)に対

し てlσ∈ □hと な るか ら上 記(*)が   最 後 に 消 滅 定 理 を 示 そ う.hが

成 立 す る.

上 に凸 で あれ ば,す べ て のm∈Mに

対 し 

は空 集 合 で あ るか あ る い は 凸集 合 で あ り,い ず れ に し て もq>0で

は 

,ま た 

は 全 射 とな る.従 っ て既 述 の完 全 系 列 に よ って

が 成 立 し,定

理2.6に

よ りq>0に

対 し 

で あ る.

  h=0は

明 ら か に 上 に 凸 な 函 数 で あ る か ら定 理2.7に

  系2.8 

コ ン パ ク トな トー リ ッ ク 多 様 体Xに

  系2.9 

コ ン パ ク ト な ト ー リ ッ ク 多 様 体X=TN

h∈SF(N,Δ)に

よ り次 を 得 る.

対 し

emb(Δ)お

よび上 に 凸 な

対 し

た だ し#(M∩

□h)はM∩

  上 記 の 系2.9は

□hの 元 の 個 数 で あ る.

代 数 幾 何 学 と凸 体 の 幾 何 学 とを 結 び つ け る鍵 の ひ と つ で あ

る.そ れ を 見 るた め にCartier因

子 の 交 叉数 お よび 凸体 の混 合 体 積 を復 習 す る

こ と とし よ う.   一 般 にC上 Poincare指

のr次 元 コン パ ク ト代 数 多様 体Y上

群FのEuler

標を

と 定 義 す る.Y上

のCartier因

νsの決 め る 可 逆OY-加

にz1,…,zs∈Zに

に 関 す るP(z1,…,zs)の

子D1,…,Ds∈CDiv(Y)お

群 

の 基 本 的 結 果 に よ っ てQ-係

と な る.特

の連接OY-加

よ び 整 数ν1,ν2,…, に 対 しSnapper-Kleiman

数 の 多 項 式P(z1,…,zs)が

対 しP(z1,…,zs)∈Zと 総 次 数 は 台supp(F)の

存 在 し て,

な る.し 次 元dim

supp(F)以

か もz1,…,zs 下 と な る.

  そ こ で 

で あ る と き,P(z1,…,zs)に

お け る 単 項 式z1z2…zs

の 係数 を 交 叉 数 と呼 び

と記 す こ と に す れ ば これ は 整 数 で あ る.定

義 に よ り こ れ は 可 逆OY-加

の み に よ り決 ま る の で(L1.L2….Ls;F)と も あ る.写

群  書 くこ と

像

が 対 称 なs重 線形 写 像 で あ る こ と も判 る.   特 にs次 元 閉部 分 多様 体V⊂Yに

対 し てF=OVで

あ る と き上 記 の 交 叉

数を

と書 く こ と が 多 い.(Yが (D1.D2.….Ds.V)と

非 特 異 な場 合 に は通 常 の サ イ ク ル と し て の 交 叉 数

一 致 す る.)ま

たV=Y,s=rの

場 合 に は上 記 を単 に

(D1.D2.….Dr),(L1.L2.….Lr)

と 書 く.D1,…,Drが

す べ てDと

場 合 に は そ れ ぞ れ(Dr),(Lr)と

一 致 し,L1,…,Lrが

書 く.こ

す べ てLと

一致す る

の と き 整 数 νに 対 し

(νに 関 し低 次 の項) と い うRiemann-Roch型 一 方 

の 定 理 の 原 型 を 得 る.

のLebesgne測

度vol

rと し て,MのZ-基

の 定 め るr次 元基 本 平 行体 

の体 積が1と

に 正 規 化 し た も の を と る こ と に す る.コ νに 対 し

ン パ ク ト凸 体K⊂MRお

と な る.§A.4で

K1,…,Kr⊂MRと

底{m1,…,mr}

正 の 実 数ν1,…,νrに

なるよ う

よび 正 の実 数

述 べ る よ う に コ ン パ ク ト凸 体

対 し てMinkowski和

を 

と定 義 す れ ば

は ν1,…,νrに 関 しr次 数 をVr(K1,K2,…,Kr)と す べ てKと

の 斉 次 多 項 式 と な る.単 書 き,K1,…,Krの

一 致 す る場 合 に は

項 式 ν1ν2… νrに 関 す る そ の 係 混 合 体 積 と 呼 ぶ.K1,…,Krが

が 成 立 す る.   さ てMRの

コ ン パ ク ト凸 多 面 体 □ の 頂 点 が す べ てMに

ン パ ク ト整 凸 多 面 体 と 呼 ぶ.コ

ン パ ク ト整 凸 多 面 体

数 ν1,…,νsに 対 しMinkowski和 面 体 で あ り,そ

はν1,…,νsに て い る.特

元 の個 数

関 し て 総 次 数 がr以

下 のQ-係

よび正 の整

ま た コ ン パ ク ト整 凸 多

数 の 多 項 式 で あ る ことが 知 られ

に コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 □ お よ び 正 の 整 数 νに 対 し#(M∩ν

は νに 関 しr次 ald[M2]が

ν1□1+…+νs□sも

れ に 含 ま れ るMの

属す るとき □ をコ

□1,…,□sお

以 下 の 多 項 式 と な り □ のHilbert多

示 し た 事 実 で あ る が,以

の で あ る.□

のEhrhart多

□)

項 式 と 呼 ぶ.(Macdon

下 で 見 る よ う に 系2.9が

そ の別 証 を 与 え る

項 式 と も 呼 ぶ.)

  コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 □ のHilbert多

項 式 のνrの 係 数 は

す な わ ち ドン ドン細 か くな る格 子(1/ν)Mの 点 で あ って □ に 含 まれ る もの の個 数 に(1/ν)Mの 基 本 立 方 体 の体 積(1/ν)rを か け た も の の極 限 で あ り,明

らかに

volr(□)と 一 致 す る.従 って (νに 関 し低 次 の項) とな る.  上 記 の2種 類 の概 念 を 系2.9に

お け るDhお

よび □hに 適 用 す れ ば

で あ るか ら 次 の 結 果 を 得 る.   命 題2.10X=TNemb(Δ)をr次 る.h∈SF(N,Δ)が □hは

コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 で あ る.こ

が 成 立 す る.よ

元 の コ ン パ ク トな トー リ ッ ク多 様 体 と す

上 に 凸 で あ れ ばOX(Dh)は

り一 般 に 上 に 凸 な 

大 域 的 切 断 で 生 成 さ れ,一

方

のとき

に対 し

で あ る.   上 記 の 左 辺  hrに

,(Dh.Dh2.….Dhr)は,上

に 凸 と は 限 ら な い 一 般 のh,h1,…,

対 し て も 意 味 を 持 つ こ と に 注 意 し て 頂 き た い.§2.4に

い て紹 介 す る よ

うに,凸

体 の 等 周 不 等 式 をTeissier[T3]が

に 鍵 と な っ た の で あ る.第1章

代 数 幾 何 学 の問 題 に 一 般 化 す る 際

で も 必 要 とす る の で,交

叉 数 を い くつ か の 特 別

な 場 合 に 計 算 し て み よ う.   ま ず 以 上 の 考 察 を コ ン パ ク トな トー リ ッ ク 多 様 体 のTN-不 多 様 体 に 適 用 す る た め に 次 の 事 実 が 必 要 で あ る.証   補 題2.11 

X=TNemb(Δ)を

に 対 し 系1.7に

変 な既 約 閉部 分

明 は 明 ら か で あ ろ う.

コ ン パ ク トな トー リ ッ ク多 様 体 とす る.τ ∈ Δ

お け る よ う に 

,Δ(τ)お よ びXのTN-不

変 既 約 閉 部 分 多 様 体 

を 考 え る.h∈SF(N,Δ)に

そ の τへ の 制 限 がlτ ∈Mと

一 致 す る と き,h:=h-lτ

対 し

はSF(N(τ),Δ(τ))の

元 と し て 定 ま り同 型

が 成 立 す る.   例  X=TNemb(Δ)をr次

元 の コ ン パ ク トな トー リ ッ ク 多 様 体 と す る.τ

∈ Δ(r-1)な

で あ る.ま

ら ば 

た τ は ち ょ う ど2個

の 共 通 の 面 と な っ て お り,Nの

原 始 元n′,n″

と な っ て い る.h∈SF(N,Δ)に

対 し そ の τへ の 制 限 がlτ ∈Mと

も の と し,h:=h-lτ 制 限 はOV(τ)(Dh)と

の σ′,σ″ ∈ Δ(r)

を適当に選べば

一致 している

と す れ ば 前 補 題 に よ りOX(Dh)の  一 致 す る.P1(C)上

へ の

の可 逆 層 とし て の 次数 は

と な る.   例   上 記 の 例 をX=TNemb(Δ)が2次 て み よ う.あ

る 原 始 元n(τ)∈Nに

元 非 特 異 で コ ン パ ク トな 場 合 に 考 え よ り 

を 適 当 に とれ ば{n′,n(τ)}と{n″n(τ)}が 題1.19に

お い て 見 た よ うに,あ

で あ る.ま と も にNのZ-基

る 整 数aに

たn′,n″ ∈N 底 で あ り,命

よ り

とな っ て い る.σ′,σ″∈ Δ(2)が τ∈ Δ(1)を 共 通 の 面 と し て い る の で あ る.Xは 非 特 異 で あ る か らV(τ)はXのTN-不 SF(N,Δ)は 

変Cartier因

上 で 恒 等 的 に0で

子 と な る.対

あ り, 

で あ る.{n′,n(τ)}に

応 す るh∈ に 対 し 

関 す るMの

双

対Z-基

底 を{m′,m}と

す れ ば 

と な りlτ=-mと =0お

取 れ る.h=h+mと

よ びn″=-n′-an(τ)で

と な る(第2.1図

す れ ば 上 記 に よ りh(n″)

あ るか ら 自己 交 叉 数 は

参 照).

第2.2図

第2.1図   例  よ り 一般 にX=TN

emb(Δ)をr次

ク多 様 体 と す る.ρ1,…,ρr∈ Cartier因

子 で あ る.交

元 の 非 特 異 で コ ン パ ク トな トー リ ッ

Δ(1)に 対 しV(ρ1),…,V(ρr)はX上

のTN-不

叉 数(V(ρ1).V(ρ2).….V(ρr))は,ρ1,…,ρrが

変

互いに相

異 っ てい る と きに は

で あ る.そ

こで ρ1-ρ2で

あ っ て し か も ρ2,…,ρrが 互 い に 相 異 っ て い る 場 合

を 考 え て み よ う.  し よ う.こ

な ら 交 叉 数 は0で

の と き前 記 の 例 と 同 様 に,あ

あ る か ら τ∈ Δ と

る ρ′,ρ″ ∈ Δ(1)と 整 数a2,…arに

対

し

と な る.  双 対Z-基

はNのZ-基 底 を{m′,m2,…,mr}と

底 と な り,そ

す る.TN-不

れ に 関 す るMの

変Cartier因

子V(ρ2)に

応 す るh∈SF(N,Δ)はh(n(ρ2))=-1,  を み た す.特 +m2と

すれば

にhの

τへ の 制 限 は-m2と

一 致 す る か らh:=h

対

と な る(第2.2図

参 照).

 §2.3射 影空間への同変正則写像   本 節 で は コン パ ク トな トー リッ ク多 様 体 か ら射 影 空 間 へ の 同変 正 則 写 像 を 取 扱 う.前 節 に ひ き っづ き(N,Δ)を

破 れ の な い 有 限 扇,X=TNemb(Δ)を

す る コン パ ク トな トー リ ッ ク多 様 体 と しh∈SF(N,Δ)に Cartier因

子 をDhと

  OX(Dh)が ms}と

な わ ちhが

変

上 に 凸 で あ る と き,

ら射 影 空 間 へ の正 則 写 像 が構 成 出来 る.M∩

し ψh:X→Ps(C)を,x∈Xに

□h={m0,…,

対 して 斉 次 座 標 で

と定 義 す れ ば, 

の 自 然 な 作 用 に 関 し ψhは 同 変 な

正 則 写 像 と な る.ψhが

閉 じ た 埋 込 み と な る 場 合 が 特 に 重 要 で あ り,以

に よ る そ の 判 定 法 を 述 べ る.な る こ と が 出 来 る.[TE,第Ⅰ

を 

章 §3定 理9]を

参照 して頂 き た い.

明 は 付 録 系A.19に

よ り明 ら か で あ ろ う.

の 破 れ の な い 有 限 扇 と す る.h∈SF(N,Δ)と

それ に

よ っ て 唯 一 通 りに 決 ま る{lσ;σ ∈ Δ(r)}⊂Mに

関 し 次 は 同 値 で あ る.こ

Δ に 関 し てhは

convex)で

狭 義 に 上 に 凸(strictly

  (イ) hは 上 に 凸 で あ り,し

下 でh

お Δに 破 れ が あ る場 合 に も この結 果 を一 般 化 す

  ま ず 次 の 補 題 が 必 要 で あ る.証   補 題2.12Δ

対応 す るTN-不

す る.

大 域 的 切 断 で生 成 され る とき,す

周 知 の よ うにXか

対応

か もhを

upPer

Δ′-線形 と す るNの

の とき

あ る と い う. 扇 Δ′の う ち で Δ が

最 も 粗 い.   (ロ) す べ て の σ∈ Δ(r)お よ びn∈NRに 等 号 はn∈

対 し 

で あ り,し

か も

σ の と き に 限 り成 立 す る.

  (ハ) コ ン パ ク ト凸 多 面 体  元 で あ り,そ

はr次

の 頂 点 の 集 合 が{lσ;σ Δ(r)}と 一 致 す る.σ ≠ τ な らlσ ≠lτ.

  こ の と き □hの 空 で な い 面 全 体 の 集 合 と Δ と の 間 に 互 い に 逆 と な る 次の よ う なGalois対 立 す る.

応 が 存 在 し,dimF+dimF†=r,dimσ+dimσ

†=rが

成

  定 理2.13 

,X=TNemb(Δ)を

∈SF(N,Δ)と

す る.こ

  (イ) OX(Dh)は

の と き 次 は 同 値 で あ る.

大 変 豊 富(very

され し か も ψh:X→Ps(C)が  (ロ)hは -l

ample)で

あ る.す

Δ に 関 し て 狭 義 に 上 に 凸 で あ り,し

  (ハ) □hはr次

□h-lσ

よ りOX(Dh)が

と な る.ま

一 致 す る.し

か も

を 生 成 す る.

よ り 明 ら か で あ る.

大 域 的 切 断 で 生 成 さ れ る こ と とhが

の と き □hは{lσ;σ

上 に凸 で あ る

∈ Δ(r)}の 凸 閉 包 と一 致 し,し

か

対 し  たM∩

□h={m0,…,ms}と

す れ ば 正 則 写 像 ψh:X→Ps(C)はx∈

対 し 

lσ∈M∩

∈ Δ(r)}と

が 半 群 と し て 

補 題2.12に

こ と と は 同 値 で あ る.こ も 各n∈NRに

□h

を 生 成 す る.

各 σ∈ Δ(r)に 対 しM∩

  定 理2.7に

か も 各 σ∈ Δ(r)に 対 しM∩

元 で あ りそ の 頂 点 集 合 は{lσ;σ

  証 明  (ロ)⇔(ハ)は

な わ ち 大域 的 切 断 で 生成

閉 じ た 埋 込 み で あ る.

σ は 半 群 と し て 

Xに

コ ン パ ク トな トー リ ッ ク多 様 体,h

で 与え ら れ る.σ

□hか

つ 

∈ Δ(r)で あ れ ば

と な る の で 番 号 を つ け か えlσ=m0

と す れ ば,x∈Uσ

に 対 し  と な る.従

る 写 像 

っ てψhのUσ

へ の 制 限 と して 得

が 閉 じた埋 込 み で あ るた め の 必 要 十

分 条 件 は 

が 半 群 と し て 

を 生成

す る こ と で あ る.   以 上 に よ り,も し(イ)で あ れ ば 各 σ∈ Δ(r)に 対 し てM∩  

を 生 成 す る.双

□h-lσ が 半 群 と し て

対 錐 を 考 え る と  と な る.一

方 定 理2.7と

仮 定 と に よ りす べ て のn∈NRに

ら 結 局 補 題2.12に   逆 に(ハ)⇒(イ)を と す る.上 得 る 写 像Uσ い る.

対 し て 

よ り(ロ)を 得 る. 示 そ う. 

に 対 し 

述 し た よ う に σ∈ Δ(r)に 対 しlσ=mkで →Vkが

とな る か

あ れ ば ψhの 制 限 と し て

閉 じ た 埋 込 み と な る こ と が(ハ)の 仮 定 に よ り保 証 さ れ て

  一 般 のjに

対 し て は 

で あ る が,  は σ の 面 σ ∩(mj-lσ)⊥={n∈

k(n)}に

対 応 す るUσ の 開 集 合 で あ る.前

が Δ に 属 し 結 局  る σ∈ Δ(r)の 面 で あ りlσ=mkな

σ;〈mj,n〉=

補 題 に よ り(ハ)の 仮 定 の も と で は 

らUσ

と な る.τ は あ

→Vkは

閉 じ た 埋 込 み で あ る か ら 

も閉 じ た 埋 込 み と な る.よ

っ てψh:X→Ps(C)

も閉 じた埋 込 み とな る.   系2.14 

とす る.コ

お よ びh∈SF(N,Δ)に   (イ) OX(Dh)は

ン パ ク トな トー リ ッ ク 多 様 体X=TN

豊 富(ample)で

あ る.す

OX(Dνh)が

大 変 豊 富 で あ る.

  (ロ) hは

Δ に 関 し て 狭 義 に 上 に 凸 で あ る.

  (ハ) □hはr次

emb(Δ)

対 し 次 は 同 値 で あ る.

元 で あ り,し

な わ ち 十 分 大 き な 自 然 数 νに 対 し

か も{lσ;σ ∈ Δ(r)}が

□hの 頂 点 の 集 合 と一 致

す る.σ ≠ τ な らlσ ≠lτ.   証 明   定 理2.13に き,十

よ り,hが

Δ に 関 し て 狭 義 に 上 に 凸 で σ∈ Δ(r)で あ る と

分 大 き な 自 然 数ν を と れ ばM∩

□νh-νlσ が 半 群 と し て 

を生

成 す る こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.   と こ ろ が 

と し た と きn∈ で あ り,一 方 

σ に 対 し て は 

,従

っ て 

に 対 し て は 仮 定 に よ り 

,従

っ て 十 分 大 き な νに 対 し  と な る.よ  

っ て 

で あ る.

の半 群 とし て の有 限個 の生 成 元 の そ れ ぞ れ に つ い て こ の議 論 を 適 用

す れ ば よ い.   系2.14(イ)に

お い て 一般 に はν=1と

は 出 来 な い.た

終 着 性 補 題 に 現 わ れ る 四 面 体 を □hと す るhを が らXが

非 特 異 で あ れ ば,次

と え ば §1.6に

述べ た

見 れ ば 明 ら か で あ る.し

か しな

に 見 る よ うに ν=1と

  系2.15(Demazure[D5]) 

と す る.非

ッ ク 多 様 体X=TN

emb(Δ)お

よ びh∈SF(N,Δ)に

 (イ) OX(Dh)は

大 変 豊 富 で あ る.

  (ロ) OX(Dh)は

豊 富 で あ る.

出 来 る.

特 異 か つ コ ン パ ク トな トー リ 対 し 次 は 同 値 で あ る.

  (ハ) hは

Δ に 関 し て 狭 義 に 上 に 凸 で あ る.

  (ニ) □hはr次

元 で あ り し か も{lσ;σ ∈ Δ(r)}が

□hの 頂 点 の 集 合 と 一 致 す

る.σ ≠ τ な らlσ ≠lτ.   こ の と きr次 で あ る.す

元 コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 □hは 絶 対 単 純(absolutely

な わ ち 各 頂 点lσ を 通 る辺 の 個 数 が ち ょ う どrで

ら の 辺 上 でlσ の 隣 に あ るMの m(r)-lσ}がMのZ-基   証 明   hが

点 を{m(1),…,m(r)}と

simple)

あ り,し

か もそ れ

し た と き{m(1)-lσ,…,

底 を な す.

Δ に 関 し て 狭 義 に 上 に 凸 で あ る と す る.定

に よ り こ の と き 各 σ∈ Δ(r)に 対 しM∩

□h-lσ

理2.13お

よ び 系2.14

が 半 群 と し て 

を生 成 す

る こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.   仮 定 に よ り σ が 非 特 異 で あ る か ら §1.4定 …

,nr}が

存 在 し て 

の うち で 

点 をm(j)と

で あ る.よ

っ てk≠jの

な る が,m(j)の

選 び 方 に よ り必 然 的 に

よ り

上 でlσ の 隣

対 し

と き 〈m(j)-lσ,nk〉=0で

て{m(1)-lσ,…,m(r)-lσ}は{n1,…,nr}の

題2.12に

† を 通 る 辺 で あ る.辺 

す れ ばk=1,…,rに

底{n1, 対 し て,こ

元 面 を τjと す れ ば,補

が □hの 頂 点lσ=σ

に あ るMの

0と

よ りNのZ-基

と な る.j=1,…,rに

を 省 い た σ のr-1次

対 応 す る 

理1.10に

あ

り ま た

〈m(j)-lσ,nj〉>

〈m(j)-lσ,nj〉=1で 双 対Z-基

あ る.従

底 で あ り 

っ の半

群 と し て の 生 成 元 で あ る.   系2.5お

よ び 系2.14に

よ り次 を 得 る.

  系2.16 

コ ンパ ク トな トー リ ッ ク多 様 体X=TN

emb(Δ)が 射 影 多 様 体 で

あ る(す なわ ち射 影 空 間 に 閉 部 分 多 様 体 と し て正 則 に埋 込 め る)た め の 必要 十 分 条件 は Δ に 関 し て狭 義 に上 に 凸 なh∈SF(N,Δ)が

存在 す る こ と で あ る.

  2次 元 以 下 の コ ンパ ク トな トー リ ッ ク多 様 体 は 常 に 射 影 多 様 体 で あ る([MO, §8命 題8.1]参

照).一

方3次 元 以 上 で は非 特 異 コン パ ク トな トー リッ ク多様

体 で 射 影 多 様 体 で な い も のが 沢 山 存 在 す る.Demazure[D5]に

よ っ て複 雑 な

例 が初 め て構 成 され た が,分 類 の結 果 次 の例 が 最 も簡 単 な も の で あ る こ とが判 る.な お トー リ ック多様 体 に 限 らぬ 完 備 で非 特 異 な代 数 多 様 体 で射 影 多 様 体 と

な ら な い 例 は も っ と 以 前 に 永 田,広   例   ([MO,命

題9.4]参

中 の 両 氏 に よ っ て 構 成 さ れ て い る.

照)  {n1,n2,n3}をZ-基

底 とす るNに

お い てn0

:=-n1-n2-n3,n1′:=n0+n1=-n2-n3,n2′:=n0+n2=-n1-n3, n3′:=n0+n3=-n1-n2と

す る.こ の と きNの

扇 Δ を 次 の10個

の3次

元多

面 錐 お よ び それ らの 面 の全 体 と定 義 す れ ば 明 らか に 非 特 異 で破 れ の な い 有 限 扇 で あ る(第2.3図

  こ の と きTN

参 照). 

emb(Δ)は

上 に 凸 なh∈SF(N,Δ)が

射 影 多 様 体 で は あ り得 な い.実 存 在 し た と す れ ば,ま

際 Δ に 関 して 狭 義 に

ずn1′,n2,n1′+n2は 

に 属 す る か ら  n1′+n2=n1+n2′

で あ る が,n1,n2′,n1+n2′

錐 に は 含 ま れ な い の で  とな る.同

で あ る.一

は Δ に 属 す る共通 の 有 理 凸 多 面 が 成 立 し,結

様 に 

で あ る か ら 矛 盾 で あ る.

第2.3図

方

局 

  §1.7の

観 点 か ら 眺 め る と,こ

性 質 を 持 っ て い る.た

のTN

と え ばP3(C)へ

emb(Δ)は

双有理幾何学的に興味あ る

の 双 有 理 同 変 正 則 写 像 が 存 在 す る が,こ

の 写 像 は 非 特 異 部 分 閉 多 様 体 を 中 心 と す るblow

upの

し か し1次

元 の 中 心 に 沿 っ て1度

た も の か らP3(C)へ

写 像 は1次

元 の 中 心 に 沿 っ た 同 変blow

命 題9.4]参

同 変blow

upし

upの

合 成 に は 分 解 し な い.

合 成 に 分 解 す る(詳

の正則

し くは[MO

照).

  3次 元 非 特 異 コ ン パ ク トな トー リ ッ ク 多 様 体 が 射 影 多 様 体 で な い た め の 比 較 的 使 い 易 い 十 分 条 件 が[MO,p.68,命

題9.3]に

あ る.そ

れ を 使 え ば,定

理1.

34で 分 類 し た も の が 射 影 的 で あ る か 否 か が そ れ ぞ れ 判 定 出 来 る([MO,p.80] 参 照).   命 題2.17(ト

ー リ ッ ク多 様 体 版Chowの

補 題,Danilov[D1])TN

コ ン パ ク トな トー リ ッ ク 多 様 体 と す れ ば,あ 双 有 理 同 変 正 則 写 像TN   証 明   系1.17お

emb(Δ′)→TN

よ び 系2.16に

emb(Δ)が

よ り,Δ

し て 狭 義 に 上 に 凸 なh∈SF(N,Δ′)が

emb(Δ)を

る トー リ ッ ク な 射 影 多 様 体 か ら の 存 在 す る.

の 適 当 な 有 限 細 分 Δ′を 選 び Δ′に 関

存 在 す る よ うに す れば 良 い.そ

例 え ば 各 

を 含 むNRの

て と り,そ れ に よ っ て 得 るNRの

超 平 面 配 置 の 決 め るNRの

の ため に

超 平 面 をす べ

分 割 を Δ′とす る.

Δ′ は 明 ら か に 破 れ の な い 有 限 扇 で あ っ て し か も Δ の 細 分 で あ る.  各

τ∈Δ(r-1)に

対 しMの

原 始 元m(τ),-m(τ)が が τ を 含 むNRの

h:NR→Rをn∈NRに

唯 一 通 り に 決 ま り 

超 平 面 と な る.こ

の と き函数

対 して

と定 義 す れ ば 明 らか にh∈SF(N,Δ′)で

あ り,し か も Δ′に 関 し て狭 義 に上 に 凸

であ る.   注 一般 の連結 な線形代 数群Gが 作用 す る代数多様体について もG-同 変 なChowの 補題が成立す る.隅 広[S9,Ⅰ,定 理2]を   r次 元 完 備代 数 多様 体X上

参照 されたい.

のCartier因

子Dが

豊 富 であ るた め の 必 要 十 分

条 件 を交 叉 数 を使 っ て 述べ る こ とが 出 来,中 井 の 判 定 法 と呼 ば れ て い る.任 意 の 

お よ び任 意 のs次 元 閉 部 分 ス キ ー ムV⊂Xに

察 した交叉数が

対 し前 節 §2.2で 考

を み た す こ と で あ る.Xが

コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク 多 様 体 の 時 に は,命

2.4(ⅱ)に よ り不 変Cartier因

子 を 考 え れ ば 十 分 で あ る が,こ

題

の とき中 井 の判

定 法 は 次 の よ うに 簡 単 な 形 と な る.   定 理2.18(ト

ー リ ッ ク 多 様 体 版 中 井 の 判 定 法)X=TN

emb(Δ)をr次

ン パ ク ト非 特 異 ト ー リッ ク 多 様 体 と し,DをTN-不 Dが

豊 富 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,任

部 分 多 様 体 

変Cartier因

意 の τ∈ Δ(r-1)に

元 コ

子 と す る.

対応 す る不 変 閉

に 対 し て交 叉 数 が

を み た す こ と で あ る.   証 明   命 題2.4(ⅰ)に 系2.14に

よ り,あ

よ り,hが

るh∈SF(N,Δ)に

よ っ てD=Dhと

書 け る.

Δ に 関 し て 狭 義 に 上 に 凸 で あ る こ とを 交 叉 数 の 言 葉 に 翻

訳 す れ ば よ い.   容 易 に 判 る よ うに,hが は,各

τ∈ Δ(r-1)に

Δ に 関 して 狭 義 に 上 に 凸 で あ るた め の 必 要 十 分 条 件

対 し て 次 の 条 件 を み た す こ と で あ る.ち

σ″∈ Δ(r)に よ り τ=σ′ ∩σ″ と な っ て い る が,原 と書 け る.ま ∈Mが

存 在 し て 任 意 のn∈

ょ う ど2個

始 元n′,n″ ∈Nに

たhの

σ′に 対 しh(n)=〈l′,n〉

の σ′,

よ り 

Δ-線 形 性 に よ り,あ と な っ て い る.こ

るl′ の とき

条 件 はh(n″)<〈l′,n″ 〉 と な る こ と で あ る.   非 特 異 性 の 仮 定 に よ りn2,…,nr∈Nが n2,…,nr}が

と も にNのZ-基

底 で あ り 

前 節 末 で 見 た よ う に あ るa2,…,ar∈Zに

で あ る.Δ(1)の

存 在 し て{n′,n2,…,nr}お

と な っ て い る.更

と

決 め れ ば,ρ ∈ Δ(1)に 対 し 1 

で あ る が,一

方 

に

対 して

元 を 

(V(ρ).V(τ))={

よ び{n″,

ρ=ρ′ ま た は ρ″

aj 

ρ=ρj

0 

その他の場合 で あ る.従

っ て 

n″ 〉と な る.

  注   X:=TN

emb(Δ)が 非特 異 で な くと も,単

体 的 な 扇 Δ に対 応す る コン パ ク トな ト

ー リッ ク多 様 体 の場 合 に は ,適 当 な変 更 の も とで 上 記 の 結 果 の類 似 が成 立 す る.   §A.3命

題A.20に

  命 題2.19 

よ り次 を 得 る.

0を 内 点 と し て 含 み す べ て の 頂 点 が 

ト凸 多 面 体Q⊂NRに

対 しh:NR→Rお

に 属 す る コ ンパ ク

よび Δ を

お よび

とす れ ば,Δ SF(N,Δ)で

はN内

の 破 れ の な い 有 限 扇 で あ り適 当 な 自然 数 νに よ っ てνh∈

あ っ て,し

か もνhは

Δ に 関 し 狭 義 に 上 に 凸 で あ る.更

に 

で あ る.   上 記 の 応 用 と し て トー リ ッ クFano多

様 体 を 考 察 し よ う.

  r次 元 コ ン パ ク ト非 特 異 多 様 体Xの ΘXの =2の

最 高 階 の 外 積∧rΘXが 場 合 に はdel

Pezzo曲

か あ る い は 射 影 平 面P2(C)上 blow

upで

な わ ち 接 バ ン ドル

豊 富 で あ る と きXをFano多

宮 西[M6]に

の 一 般 の 位 置 に あ る8個

向 井[MM]に

元Fano多

様体 に つ

よ っ て そ の 分 類 が 最 近 完 成 し た.森[M8],

様 体″ に つ い て は 前 田[M3]が

た″ 対 数 的Fano多

あ る.

よ び 渡 辺‐渡 辺[WW]が

様 体 と な る も の を2次

ある

以下 の点 を 中 心 と す る

こ の 方 面 の 研 究 の 総 合 的 な 解 説 が あ る.ま

  Batyrev[B1]お

様 体 と呼 ぶ.r

面 と 呼 ぶ の が 普 通 で あ り,P1(C)×P1(C)で

得 ら れ る も の で あ る こ と が 知 ら れ て い る.3次

い て はIskovskih,森‐

Fano多

反 標 準 因 子-KX,す

元,3次

トー リ ッ ク多 様 体 で あ っ て し か も 元 で 分 類 し た.本

節 の 内 容 の 良 い応 用

で あ る の で そ の 要 点 を 紹 介 す る.   r次 元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク多 様 体X=TN で あ る と き トー リ ッ クFano多 に は トー リ ッ クdel がXの SF(N,Δ)は

Pezzo曲

emb(Δ)がFano多

様 体 と呼 ぶ こ と に し よ う.ま 面 と 呼 ぶ.§2.1最

反 標 準 因 子 で あ り,対

たr=2の

様体 場合

後 の 例 で 述 べ た よ うに  応 す る Δ-形

支 持 函数-k∈

に よ っ て 与 られ る.従

っ て 系2.15,定

理2.18お

よ び 命 題2.19に

よ り次 は 明 ら

か で あ る.   補 題2.20 

r次 元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク 多 様 体X=TN

emb(Δ)に

関

し 次 は 同 値 で あ る.  (イ) XはFano多   (ロ) -KXは   (ハ) -kは

様 体,す

な わ ち-KXが

豊 富.

大 変 豊 富. Δ に 関 し 狭 義 に 上 に 凸 な Δ-線 形 支 持 函 数.

  (ニ) 

はMR内

ク ト凸 多 面 体 で あ り,そ

の 頂 点 集 合 は{lσ;σ

∈ Δ(r)}と

のr次

一 致 す る.た

元 コン パ だ し各 σ

∈ Δ(r)に 対 しlσ は

に よ っ て 唯 一 通 りに 定 ま るMの

元 で あ る.σ

  (ホ) 

≠ τ な らlσ ≠lτ.

は{n(ρ);ρ

∈ Δ(1)}を

頂 点 集 合 とす る単

体 的 な コ ン パ ク ト凸 多 面 体 で あ る.   (へ) 任 意 の τ∈ Δ(r-1)に   注   上 記 の □-kとQと

は §A.2の

  命 題2.21(Batyrev[B1,命 ッ クdel

Pezzo曲

対 し(-KX.V(τ))>0で

意 味 で互 い に 極 多 面 体 とな って い る.

題6]渡

面X=TN

辺‐渡 辺[WW,命

emb(Δ)は

割 で あ っ て 荷 重 が す べ て-1以

あ る.

系1.29に

題(2.7)])ト

ー リ

お け る 円 の 荷 重 つ き有 限 分

上 と な る も の に 対 応 し,同

型 を 除 い て 次 の5個

で あ る.   (ⅰ)P2(C),(ⅱ)P1(C)×P1(C),(ⅲ)Hirzebruch曲 を 中 心 とす る 同 変blow

up,(ⅴ)P2(C)の3点

面F1,(ⅳ)P2(C)の2点 を 中 心 と す る 同 変blow

  そ れ ぞ れ に 対 応 す る 円 の 荷 重 つ き 有 限 分 割 は 第2.4図

(ⅰ)

(ⅱ)

(ⅲ)

第2.4図

(ⅳ)

の 通 り で あ る.

(ⅴ)

up.

  証 明   定 理1.28(3)の

証 明 に お け る よ うに0の

の 列 を 順 番 にn1,…,nsと

す る.添

の と き{nj-1,nj}はNのZ-基 各 

j+1の

とな る.従

と き(V(ρl),V(ρj))は1で

あ る. 

って定 理2.18に

し て 

成 立 す る.

とす れ ば 前 節 で 見 た 通 り(V(ρj).V(ρj))=aj

たl=j-1,j+1の

と き0で

原始元

法 と し て 考え る も の と す れ ば,こ

底 で あ りnj+1+nj-1+ajnj=0が

に 対 し 

で あ る.ま

字 はsを

ま わ りを 一 周 す るNの

あ り,l≠j-1,j,

で あ るか ら

よ り-KXが

豊 富 とな るた め に は各 

に対

とな る こ とが 必 要 か つ 十 分 で あ る.こ の 条 件 を み た す も のが 上

記 の5通

りで あ る こ とは 系1.29に

よ り明 らか で あ る.

  3次 元 の場 合,Batyrev[B1]お

よ び渡 辺‐渡 辺[WW]は

分 類を 次 の よ う

に遂 行す る.   まず3次

元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー リッ ク多 様 体 の 同型 類 は 系1.32に

の 三 角 形 分 割 の認 容 な二 重Z-荷 の 三 角 形 分 割 の辺 の二 重Z-荷

が 上 記 と 同 様 に し て 判 る.定 す な わ ち-KXが

よ りS2

重 づ け で 記 述 出 来 る.τ ∈Δ(2)に対 応 す るS2 重 をa,bと

理2.18の

す れ ば,§2.2末

の例 で 見 た 通 り

中 井 判 定 法 に よ り,XがFano多

豊 富 と な る た め に は,従

っ て 各 辺 の 二 重Z-荷

様 体,

重 の 和 が-1

以 上 と な る こ と が 必 要 十 分 で あ る.   一 方Batyrevは

補 題2.20(ニ),(ホ)を 巧 み に 使 用 す る こ と に よ り,ま

渡 辺 は 交 叉 数 を 巧 み に 使 用 す る こ と に よ り,3次 のPicard数

が5以

下 で あ る こ と を 証 明 す る.す

た 渡 辺‐

元 トー リ ッ クFano多 な わ ち 系2.5に

様体

よ り 

で あ る.   定 理1.34に

挙 げ た も の の う ち 各 辺 の 二 重Z-荷

の が12通

り あ る こ とは 容 易 に 検 証 出 来 る.し

理1.34に

挙 げ た も の の 他 に,そ

る.そ

れ ら の うち 各 辺 の 二 重Z-荷

が あ り,結

果 的 に6通

よ る 二 重Z-荷 要 で あ る.

重 の 和 が-1以

か し 

れ ら に 同 変blow 重 の 和 が-1以

upを

とな る も のに は 定 有 限 回施 した も のが あ

上 の も のを 数 え挙 げ る 必 要

り の 追 加 が あ る こ と が 判 る.そ

重 の 変 化 に 関 し,系1.32(ⅱ),(ⅲ)よ

上 とな る も

の 際,同

変blow

り詳 し い 第2.5図

upに

の情 報 が 必

第2.5図   結 果 を ま と め る と 次 の 通 りで あ る.た とは 記 号,番

辺‐渡 辺[WW]

号 が 異 る こ と に 注 意 し て 頂 き た い.

  3次 元 トー リ ッ クFano多 X=TN

だ しBatyrev[B1],渡

様 体 の 分 類 定 理   3次 元 トー リ ッ クFano多

emb(Δ)は,系1.32に

荷 重 づ け の うち,各 除 き 次 の18個

お け るS2の

辺 の 二 重Z-荷

存 在 す る.そ

個 の も の に 同 変blow

三 角 形 分 割 に 対 す る 認 容 な 二 重Z-

重 の 和 が-1以

上 の も の と一 致 し,同

の うち(11),(12),(14),(15),(16),(18)は

upを

様体

型 を 次 の12

施 し て 得 ら れ る.

  (1)  射 影 空 間P3(C).   (2)  P2(C)×P1(C).   (3)  Y=P2(C)上

のP1(C)-バ

ン ドル 

.

  (4)  Y=P2(C)上

のP1(C)-バ

ン ドル 

.

  (5)  Y=P1(C)上

のP2(C)-バ

ン ドル 

.

  (6) P1(C)×P1(C)×P1(C).   (7)  Y=P1(C)×P1(C)上 f1,f2はYか

のP1(C)バ

らP1(C)へ

の2通

ン ドル 

  (10)  Y=F1上 か らP1(C)へ

.

だ しF1はHirzebruch曲 のP1(C)-バ

だし

りの 射 影 の フ ァ イ バ ー.

  (8)  (7)と 同 じ 記 号 の も と で    (9)  Pl(C)×F1,た

.た

面.

ン ド ル 

の 射 影 の フ ァ イ バ ー で あ り,sはF1の

.た

だ しfはF1

自己 交 叉 数-1の

第2.6図

最 小 切 断. (13)  P1(C)×Y2.た P2(C)の2点 blow

を 中 心 と す る 同変

upに

クdel

だ しY2は

ょ っ て得 る トー リ ッ

Pezzo曲

面.

(17)  P1(C)×Y3.た P2(C)の3点 blow

を 中 心 と す る 同変

upに

クdel

ょ っ て得 る トー リ ッ

Pezzo曲

  定 理1.34の

だ しY3は

面.

第2.7図

方 式 に 従 っ て 対 応 す るS2の

を 図 示 す れ ば 第2.6図

三 角 形 分 割 お よ び 二 重Z-荷

の 通 りで あ る.

 ま た 渡 辺-渡 辺[WW]に

従 っ て 上 記(1)∼(18)の

の 関 係 を 図 示 す る と 第2.7図

の よ う に な る.た

元 既 約 閉 部 分 多 様 体 を 中 心 とす る 同 変blow はTN-不

動 点 中 心 の 同 変blow

upの

  注   コン パ ク ト非 特 異 多様 体Xの と した とき,XがFano多 る.逆

多様 体Xの1次

だ し実 線 の 矢 印 はTN-不 upの

存 在 を 意 味 し,点

up

変1次 線の矢印

存 在 を 意 味 す る.

非 特 異 閉部 分 多様 体 に沿 っ たblow

様 体 で あ っ て もXが

うち の い くつ か は,Fano多

upをX′

→X

重 付 きのS2の

ず 現わ れ る.こ れ は 森[M8,命

そ うで あ る と い う保 証 もな い.実

際上記

様 体 でな い3次 元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク

元 中 心 に 沿 った 同 変blow

Xに 対 応 す る二 重Z-荷

間 に 存 在 す る 同 変blow

様 体 であ っ て もX′ が そ うであ る とは 限 らな い のは 当然 で あ

にX′ がFano多

(1)∼(18)の

重づけ

upに

な っ て い る.こ の と き系1.32(V)に

三 角形 分割 に は,二 重Z-荷

題3.11]に

重 −1,−1の

より

辺 が必

も あ る よ うに一 般 的 な 現 象 で あ る.

  §2.4  トー リッ ク射 影 多 様 体   前 節 で はr次

元 の コ ン パ ク トな トー リ ッ ク多 様 体X=TNemb(?Δ)を

え た と き,Xが

い つ 射 影 空 間 に 埋 込 め る か,す

影 多 様 体 で あ る か を 考 え た.本 わ ちMR内

のr次

  系2.16で

くつ か の 例,特

の 結 果,前

い つ トー リ ッ ク 射

節 で は これ を 別 の 観 点 か ら見 直 し て み る.す

元 コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 か ら 出 発 し てr次

多 様 体 を 構 成 す る.そ 来 る.い

な わ ちXが

予 め与

な

元 トー リ ッ ク射 影

者 の性 質 が 後者 の代 数 幾何 学 的 性 質 に 翻 訳 出

にTeissierの

提 起 し た 問 題 を 紹 介 す る.

述 べ た よ う に コ ン パ ク トなr次

元 トー リ ッ ク多 様 体X=TNemb

(Δ)が射 影 多 様 体 で あ る た め に は,Δ に関 し て狭 義 に上 に 凸 なΔ-線 形 支持 函数 h∈SF(N,Δ)が 補 題2.12に

はMR内

少 くと もひ とつ 存 在 す る こ とが 必 要 十 分 で あ っ た.こ

の とき

より

のr次

元 コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 で あ り,し

か も

は □hの 空 で な い面 全 体 の 集 合 とΔ との 間 の互 い に 逆 なGalois対

が 成 立 す る.ま

た 定 理2.13お

ば,OX(νDh)が

大 変 豊 富 な 可 逆OX-加

ψνh:X→Ps(C)を

よ び 系2.14に

与 え る の で あ っ た.た

し た と きx∈Xに

応 で あ り,

よ り,十

分 大 き な 自 然 数ν を とれ

群 で あ り,射

影 空 間 へ の 同 変 な埋 込 み

だ し 

と

対 し

で あ る.し

か も 系2.15に

よれ ば,Xが

ば よ く,こ

の と き □hはMR内

非 特 異 な 場 合 に は 上 記 で ν=1と

の 絶 対 単 純 なr次

すれ

元 コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 と な

る こ と も 判 っ た.   一 方,命

題2.19で

っ て,0を

内 点 と し て 含 み,し

れ ば,破

見 た よ う に,NR内

れ の な い 有 限 扇Δお

X=TNemb(Δ)は

元 コ ン パ ク ト凸 多 面 体Qで

よ び 狭 義 に 上 に 凸 な νh∈SF(N,Δ)を

極 多 面 体 で あ り,0を

  そ こ で 今 度 はMR〓Rrのr次 リ ッ ク射 影 多 様 体X□ M〓Zrと

あ

に属 す る もの を与 え

トー リ ッ ク射 影 多 様 体 と な っ た.命

と き □νｈ ⊂MRは(1/ν)Qの

  定 理2.22 

のr次

か も 頂 点 が す べ て 

題A.20に

得,従

って

よれ ば この

内 点 と し て 含 む.

元 コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 □ か ら 出 発 し て トー

を 構 成 し よ う. し,□

をMR内

のr次

元 コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 とす

る.   (ⅰ)N=HomZ(M,Z)の

破 れ の な い 有 限 扇?Δ が 唯 一 つ 存 在 し,

で 定 義す る □ の支 持 函 数h:NR→RがΔ 持 函 数 とな る.対

に 関 し て狭 義 に 上 に 凸 なΔ-線 形 支

応 す るr次 元 トー リ ッ ク射 影 多様 体 お よび そ の 上 の 豊 富 な

TN-不

変Cartier因

子 をそれぞれ

と 書 く.m∈Mに

よ る 平 行 移 動 に よ りXm+□=X□ で あ る.線

  (ⅱ) □ の 面Fに TN-軌

形 系￨D□￨は

と 同 型 で あ る が, 

基 点 を 持 た な い.

対 しF†:={n∈NR;<m,n>=h(n),∀m∈F}∈Δ

道orb(F†)の

閉 包V(F†)を

と し,

対 応 さ せ る こ と に よ り,□

の空 で な い面 全

体 の 集 合F(□)＼{〓}はX□

のTN-不

変 既 約 閉 部 分 集 合 全 体 と1対1に

す る.dimF=dimCV(F†)で

あ り,ま

たF1,F2∈F(□)＼{〓}に

で あ る.□

は 命 題1.8の

角 付 き 実 多 様 体Mc(N,Δ)と

  (ⅲ) □ が 凸 多 面 体 と し て 単 純 で あ れ ば,X□

対応

対 し

同 相 で あ る.

は 高 々商 特 異 点 し か 持 た な い.

  (ⅳ) X□ が 非 特 異 で あ る た め に は □ が 絶 対 単 純 で あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.こ

の と きD□

は 大 変 豊 富 で あ る.

  証 明   系A.19に

よ り □ の 支 持 函 数hは

{m∈MR;<m,n>〓h(n),∀n∈NR}を

み た し,h(N)⊂Zで

区 分 的 に 線 形 と な る よ う なNRの 有 限 扇 で あ り,hがΔ

正 に 同 次 か つ 上 に 凸 で あ り,□= あ る.し

最 も粗 い 凸 多 面 錐 分 割Δ がNの

か もhが 破れ のない

に 関 し て 狭 義 に 上 に 凸 なΔ-線 形 支 持 函 数 と な る こ と も,

□ が 整 凸 多 面 体 で あ る こ と か ら 明 ら か で あ る.   (ⅱ)は命 題1.6と

補 題2.12,お

よ び 命 題1.8の

帰 結 で あ る.□

味 で 単 純 で あ れ ばΔ は 明 ら か に 単 体 的 扇 で あ り,命 題1.25に

が §A.2の

よ っ て(ⅲ)を 得 る.

(ⅳ)は系2.15か

ら 直 ち に 判 る.

  定 理2.22を

も っ と 素 朴 な 立 場 か ら 眺 め れ ば 次 の 通 り で あ る.ま

HomZ(M,C×)で

あ り,m∈Mお

た.{m0,m1,…ms}⊂Mを

よ びt∈TNに

意

ずTN=

対 しe(m)(t):=t(m)で

あっ

与 え た とき

は代 数 的 トー ラス の準 同型 で あ り,射 影  と の合 成 に よ り正 則 写 像

を 得 る.Ψ

の 像Ψ(TN)のPs(C)に

析 空 間 で あ り,TNがΨ

お け る 閉 包Yは

を 通 し て 作 用 し,し

被 約 な コ ン パ ク ト複 素 解

か も 代 数 的 トー ラ スΨ(TN)を

開

集 合 と し て 含hで

い る.

  ば

がZ上 Ψ(TN)=HomZ(M′,C×)で

件 はM′=Mで で,第1章

あ る.従

あ る.し

生 成 す る部 分 加 群 をM′

っ てΨ が 単 射 と な る た め の 必 要 十 分 条

か し そ の 場 合 で もYは

一 般 に正 規 とは 限 らな い の

場 合{0,2,3}⊂M=Zに

対 し

の 像 の 閉 包 は 

で あ り,[1:0:0]に

異 点 を 持 つ 平 面3次

の 像 の 閉 包Yは

曲 線 で あ る.一

捩 れ3次

  j=0,1,…,sに

はCsと

方{0,1,2,3}⊂Mに

曲 線 と呼 ば れ る も の で あ り,P1(C)と

同 型 で あ る. とす れ ばPs(C)

あ り,対

応 

に よ りUj

同 型 で あ る.

とす る.明

場 合 の み を 考 え 

ら か に 

であ り

は 対 応 

に よ りY∩U0と 証 明 と 同 様 に 考 え れ ば よ い.従

っ てY∩U0が

〓0が  あ る.特

尖特

対 しては

対 し  … ∪Usで

  簡 単 の た めj=0の

命 題1.2の

すれ

の 意 味 で の トー リ ッ ク 多 様 体 で は な い.

  例   r=1の

=U0∪U1∪

⊂Mと

同 一 視 出 来 る.

正 規 で あ るた め に は

と一 致 す る こ と が 必 要 十 分 で に{m0,…,ms}の

凸 閉 包 □ は コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 で あ る が,任

のm′ ∈M′ ∩□ に 対 し  らm′ −m0∈〓0で

であるか

な け れ ば な ら な い の で あ る.

  従 っ て 最 初 か らr次

元 コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 □ を 与 え

で あ る場 合 を考 えれ ば十 分 で あ る.□ ∈M∩ □}がZ上

意

がr次 元 で あ るか ら{m′ −m″;m′,m″

生 成 す る部 分 加 群M′ はM〓Zr内

か し この場 合 で もYが

で 指 数 有 限 とな る.し

正 規 で あ る とは 限 らな い.

  いず れ に し て も各jに 対 しMR=M′Rの

凸 多 面 錐 

にお け る双 対 錐 σjは 有 理 強 凸 多 面 錐 で あ り

のNR

Δ :={σ0,…,σsの

がNの

面 全 体}

破 れ の な い 有 限 扇 と な る.X□:=TNemb(Δ)が

トー リ ッ ク 射 影 多 様 体 で あ り,TN-同

を 持 つ.Ψ

のTNへ

  定 理2.22に

定 理2.22で

変 な有 限 か つ 上 へ の 正 則 写 像

の 制 限 が 元 のΨ:TN→Ψ(TN)で

よれ ば

□>F≠〓

あ る.

に 対 しTN-不

変 既 約 閉 部 分 空 間V(F†)⊂X□

が 決 ま る.F†={n∈NR;<m,n>=h(n),∀m∈F}∈Δ {<m,n>;m∈

と な る.命 る.従

□}で

考 察した

で あ りh(n)=inf

あ るか ら

題1.6(v)に

よ りn∈N∩F†

で あ れ ば 

っ て 

が

で あ る か ら λ→0と

し た 極 限 を[ε0:ε1:…:εs]と

がV(F†)に

Ψ(V(F†))に

属す

存 在 す る.

すれ ば

と な る.   注  佐 武[S1]に 合{m0,m1…}に

あ る ″張 り子″ では,上 記 に お け る発 想 をMの 適 用 し,TNか

関 連 した こ とに つ い て は 第4章

で触 れ る.

  例  (ⅰ){m1,…,mr}をMのZ-基 点 とす るr次 Pr(C)と

底 と し た と き,m0=0,m1,…,mrを

頂

元 単 体 □ は 絶 対 単 純 な コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 で あ っ て,X□=

な る.こ

で あ る.実

あ る種 の無 限部 分集

ら無 限 次 元 射 影 空 間 へ の正 則写 像 の像 の 閉 包 を 考 え る.

の と きD□

は 無 限 遠 超 平 面 

双 対Z-基

底 を{n1,…,nr}と

際,Nの

しn0:=−(n1+…+nr)と

すれば □ の支持函数

は 次 の よ う に な る.j=0,1,…,rに

対 しr次

元 凸 多 面 錐 

NR を 考 え れ ば

特 にh(n0)=−1,h(n1)=…=h(nr)=0と な す 集 合 がNの

扇Δ

で あ る.

な る.ま

た

σ0,…,σrの

面 全 体 の

  (ⅱ) 自 然 数 νに 対 し 上 記(ⅰ)のr次 νm0=0,νm1,…,νmrを

元 単 体 □ の ν倍ν □

頂 点 と す るr次

元 単 体 で あ り絶 対 単 純 で あ る.こ

き 

の と

で あ り,Xν □⊂Ps(C)は

Pr(C)の

ν次Veronese埋

z0,…,zrに Ps(C)の

を 考 え よ う.ν □ は

込 み と一 致 す る.す

な わ ち[z0:…:zr]∈Pr(C)を,

関 す る 相 異 る す べ て の ν次 単 頂 式 を 並 べ た も の を 斉 次 座 標 とす る

点 に 移 す 埋 込 み で あ る.

  (ⅲ) {m1,…,mr}をMのZ-基 頂 点 とす るq次 □″ と の 積

底 と す る.0
対 し{0,m1,…,mq}を

元 単 体 □ ′と{0,mq+1,…mr}を

□:=□

頂 点 と す るr−q次

′× □″ は や は り絶 対 単 純 なr次

あ り,s+1:=#(M∩

□)=(q+1)(r−q+1)で

はPq(C)×Pr-q(C)のSegre埋

元 コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 で

あ る.こ

込 み と一 致 す る.す を,zj,wkの

元単体

の と きX□

⊂Ps(C)

な わ ち 

積 の す べ て を 並 べ た 点 

に 移 す 埋 込 み で あ る.   (ⅳ) §1.6の のZ-基

終 着 性 補 題 で 取 扱 っ た3次

底 を{m1,m2,m3}と

し,0〓

し0,m1,m2,m1+ρm2+qm3を

元 単 体 を 考 え よ う.す

ρ
な わ ちM〓Z3

み た す 互 い に 素 な 整 数 ρ,qに

頂 点 と す る3次

元 単 体 を □ と す る.□

多 面 体 と し て 単 純 で あ る が,q〓2の

と き 絶 対 単 純 で は な い.M∩

m2,m1+ρm2+qm3}で

述 の 記 法 で Ψ:X□ →Y=P3(C)と

あ る か ら,上

X□ は 巡 回 商 特 異 点 を4個

記 の 例(ⅰ)で 判 る よ うに 射 影 空 間 はX□

っ と 一 般 のr次

元 コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 □ に 対 応 す るr次

も 囲 続 空 間(ambient

space)と

る 自 然 数dに 内 のr次

対Z-加

の 形 の 多 様 体 で あ り,も 元 トー リ ッ ク射 影

し て 便 利 で あ る こ とが 期 待 さ れ る.

田[I5])M〓Zrと 底 と す るZ-部

よ りdM⊂M′

元 単 体 □ はMRの

凸 多 面 体 で あ り,特

な り,

挙 げ て み よ う.

  例(Khovanski[K4],[K5],石 m′1,…,m′r∈MをZ-基

□={0,m1,

影 空 間 の 閉 部分 多 様 体 とし て与 え る

こ と が 多 い.上

最 近 の 応 用 例 を2つ

は凸

持 つ.

  複 素 多 様 体 の 例 を 具 体 的 に 与え る 際,射

多 様 体X□

対

す る.R上 はMで

と な る.m′0:=0,m′1,…m′rを 格 子 群M′

にM′,(1/d)M′

群 を そ れ ぞ れN,N′

分 加 群M′

⊂M⊂(1/d)M′

一 次独立な

指 数 有 限 で あ り,あ 頂 点 と す るMR の いず れ に関 し て も整

に 関 し て は 絶 対 単 純 で あ る.M,M′

と す れ ば,N′

⊃N⊃dN′

の双

が 上 記 の格 子 群 の 列 の

双 対 で あ る.さ 扇 と な り,定

を 得 る.前

て 定 理2.22に

理1.13に

に関 し ても

よ り有 限 な 同 変 正 則 写 像

述 の 例 に よ り明 ら か な よ う にX′=Pr(C),X″=Pr(C)で

g°fは[z0:z1:…:zr]∈X″ す る.こ

よ り □ か ら 決 ま る扇Δ はN′,dN′

を 

あ り,

に 移 す 分 岐 し た 写 像 と一 致

れ は ま た 群N′/dN′〓(Z/dZ)rの

作 用 に 関 す る 商 で も あ る(系1.16

参 照).   従 っ てX′ のg°fに

で あ り,そ [SK],塩

の 超 平 面 

よ る 逆 像 はX″

内 のr−1次

の 詳 し い 性 質,特

元d次

にHodgeサ

田[S6],Ran[R1],青

のFermat多

様体

イ ク ル に 関 す る情 報 が 最 近 塩 田-桂

木[A3],青

木-塩 田[AS]等

に よ って調 べ ら

れ て い る.   FとHと

の 中 間 に 位 置 す るG:=g-1(H)⊂XはG∩TNの

はTN〓(C×)r内

でr+1個

のLaurent単

閉 包 で あ る が,

項 式 

の和 で 定 義 され る超 曲面 で あ る.   逆 に この よ うなG∩TNか

ら出 発 し て そ の コ ンパ ク ト化 を選 ぶ場 合,上 記 の

よ うにm′0,…,m′rから 自然 に構 成 出 来 るX=X□(あ

るい は そ の特 異 点 を 同 変

に 解 消 した もの)を 囲続 空 間 と し,そ こに お け るG∩TNの 利 で あ る.群N′/dN′

に よ る商 がg°f:F→Hで

dN′ に よ る商 がf:F→Gで の特 異 点 を解 消 し たGの の で あ り,Khovanski,石

閉包Gを

あ り,部 分群N/dN′

あ る こ とも 役 に 立 つ 情 報 で あ る.Gあ 代 数 幾 何 学 的 不 変 量 がM∩

取 れ ば便 ⊂N′/ るいはそ

□ 等 を使 って 記述 出 来 る

田 に よ って 計 算 が遂 行 され て い る.た

とえ ば カス プ

特 異 点 に関 係 し て大 切 な 曲面

の 考 察 も,一 且(C×)3と の 交 わ りを と っ た 上 で上 記 の定 式 化 に よ り実 行 出来 る の で あ る(中 村[N3]も

参 照).

 以 上 の 例 は重 み つ き射 影 空 間 内 の超 曲面,完 全 交 叉 とも密 接 な 関 係 が あ り, 今後 有 用 で あ る こ とが 期 待 され る.

  例(Hirzebruch[H4],石

田[I2],[I3])上

の 直 線 配 置 を 考 え よ う.P2(C)上

のr+1〓4本

れ ら の 直 線 は 共 通 点 を 通 ら な い.つ を 定 義 す るz0,z1,z2の

記 の 例 と も 関 係 の 深 いP2(C)内 の 直 線l0,…,lrを

ま り 

一 次 式 をlj(z)と

考 え る.こ

と仮 定 し よ う.lj

書 き,P2(C)の

有 理 函 数 体 を 

とす る.   自 然 数dに

対 し,(Z/dZ)rをGalois群

に お け るP2(C)の

正 規 化 をYと

す る.Hirzebruchが

が 特 別 な 位 置 に あ る と き 適 当 なdを 元 コ ン パ ク ト多 様 体Yは 等 式c12〓3c2に

と す るK0の

選 べ ば,Yの

も っ と直 接 にl0,…,lrと

の ひ と つ の 方 法 は 次 の 通 りで あ る.P2(0)上

線ljが

通 る も の す べ て に 沿 っ たblow

お け る 正 規 化 がYに

の 通 りで あ る.ま

は 埋 込 み 写 像 で あ り,こ

よびdNの

の 点 で あ っ て3本

upZ→P2(C)を

以上の直

考え れ ば,ZのKに

ー リ ック多 様 体 を 巧 み に 使 った 石 田の 方 法 が あ

ず

れ に よ っ てP2(C)はX:=Pr(C)の

の 超 平 面 の 完 全 交 叉 と な る.そ

を 考え る とY=f-1(P2(C))と

はNお

関 係 づ け て構 成 す る必 要 が あ

他 な ら な い.

  も うひ とつ の 方 法 と し て,ト

  さ てN〓ZrのZ-基

は宮岡の不

不正則数等 の代数幾何学 的不変量を

る.そ

超 曲 面r−2個

のChern数

お い て 等 号 を み た す.

計 算 す る た め に は,Yを

な わ ちr−2個

示 し た よ う に,l0,…,lr 特 異 点 を 最 小 に 解 消 し た2次

一 般 型 代 数 曲 面 で あ っ て,そ

  一般 の 場 合 にYのChern数c12,c2や

り,次

拡大体

こ で前 記 の例 の よ うに

な る こ と が 判 る.特

の 完 全 交 叉 で あ り,Fermat曲 底{n1,…,nr}に

扇 で あ り,dN⊂Nの

線 形 部 分 空 間,す

にYはX′

のd次Fermat

面 の 一 般 化 と考 え ら れ る.

対 しn0:=−(n1+…+nr)と

すれば

引 き 起 こす 同 変 正 則 写 像 が

に 他 な ら な い.   前 述 の 曲面Zの

囲 続 空 間 とし て コ ン パ ク トで は な い 非特 異 トー リ ック多様

体TNemb(Φ)を

次 の よ うに 構 成 す る と便 利 で あ る.す

UΦ(2)は2次

元 以 下 の 凸 多 面 錐 か ら な るNの

な わ ち Φ=Φ(0)UΦ(1)

扇 で あ り,

は3本 以 上 の直 線 上 に あ る} は第3の 直 線 上 に な い} Qは3本 で あ る.た

だ しQ∈P2(C)が3本

以 上 の 直 線 上 に あ りQ∈lj}

以 上 の 直 線lj(1),lj(2),…,1j(s)上

に あ る と き 

と す る.   同 変 な 双 有 理 正 則 写 像  Z=g-1(P2(C))と

よ りhお

な る.ま

よ っ て 決 ま る 同 変 正 則 写 像 

に よ りY=h-1(Z)と

な る こ と も 判 る.や

へ の 制 限Y→Zは

と も にN/dN〓(Z/dZ)rに

よ び そ のY上

で あ る.ま たN⊃N′

が 自然 に 定 義 出 来, たdN⊂Nに

⊃dNと

な るZ-部

分 加 群N′

は り系1.16に よる商

に 対 しN′/dNがTdNemb

(Φ)に 固 定 点 な し に 作 用 す る 場 合 も 比 較 的 容 易 に 特 徴 づ け が 出 来,N′/dNに るYの

よ

商 も興 味 あ る 曲 面 と な る.

  こ の よ う に コ ン パ ク トで は な い と は い え 非 特 異 な トー リ ッ ク多 様 体TdNemb (Φ)はYの

構 成 に 密 接 に か か わ っ た 能 率 の 良 い 囲 続 空 間 な の で あ る.

  話 題 を 定 理2.22のX□,D□

に 戻 そ う.系2.9お

よ び 命 題2.10に

よ りまず 次

の こ と が 判 る.   系2.23 

MR〓Rr内

で あ る.ま

た §2.2の

多 項 式,つ

ま りν ∈Zに

と一 致 す る.こ

のr次

元 コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 □ に 対 し

意 味 で の □ のHilbert多 関 す る多 項 式

の 多 項 式 の νrの 係 数 は

に 等 し く,ν〓0の

とき

項 式 は,(X□,D□)のHilbert

が 成 立 す る.   こ こ でEhrhartに Hilbert多

よ っ て 予 想 さ れ,Macdonald[M2]に

よ っ て 証 明 され た

項 式 に 関 す る 相 互 律 に,Danilov[D1,11.12.4]に

与 え よ う.□

のHilbert多

従 っ て別 証 明 を

項 式 の 負 の 整 数 に お け る値 を 幾 何 学 的 に 意 味 づ け

る 結 果 で あ る.   命 題2.24MR〓Rr内 式 をP(ν)と

し,□

のr次

元 コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 □ のHilbert多

の 内 部 をint(□)と

項

書 くこ とに す れ ば

で あ る.   証 明   定 理2.22に 不 変Cartier因

よ っ て □ が 定 め る トー リ ッ ク射 影 多 様 体 お よ び そ の 上 の

子 を 簡 単 の た めX=X□,D=D□

の 決 め る 破 れ の な い 有 限 扇 をΔ   補 題2.3に

し,余

次 元1の

る と き,か

とす れ ばX=TNemb(Δ)で

よ り{e(m);m∈M∩

の 基 底 で あ る が,1次

ν□}はC-ベ

あ る.

ク ト ル 空 間H0(X,OX(νD))

元 多 面 錐 ρ∈Δ(1)に 対 応 す る ν□ の 余 次 元1の

閉 部 分 多 様 体V(ρ)⊂Xを

つ そ の と き に 限 っ て,制

に よ るe(m)の

と 書 く こ と に し よ う.□

像 が0で

あ る か ら 結 局#(M∩int(ν

考 え れ ば,m∈M∩

ν□

面 を ρ† と が ρ†上 に あ

限写像

な い.int(ν □)の

ν□ に お け る 補 集 合 は 

で

□))は 制 限 写 像 の 直 和

の 核 の 次 元 に 等 し い.   一 方 §3.2で

定 義 す る 石 田 のr次OX-複

体K・(X;r)を

考 え れ ば,定

理3.6

(2)に よ り

は 完 全 列 で あ る.ま で あ り,δ

た 定 義 に よ りK0(X;r)=OX, 

は 制 限 写 像OX→OV(ρ)の

直 和 と一 致 す る.可

逆OX-加

群QX(νD)

と この完 全 列 との テ ン ソル 積 は また 完 全 列 で あ るか ら結 局

と な る.2番

目 の 等 号 は §3.3で 述 べ るBottの

消 滅 定 理 で あ る が,今

に は 小 平 の 消 滅 定 理 の トー リ ッ ク多 様 体 版 で あ る.

の場合

  系3.9で

述 べ る よ う にXはCohen-Macaulay的

加 群 で あ る か ら,Serre-Grothendieckの X(X,OX(−

νD))に 等 し く

を 得 る.□

のHilbert多

項 式P(ν)は

で あ りΩrXが 双 対 化OX-

双 対 定 理 に よ り上 式 の 第3項

系2.23に

は(−1)r

よ り

で あ るか ら証 明 が 完 了 す る.  注  上 記 と同 じ こ と では あ るが 次 の よ うに 考 えれ ば も っ と判 り易 く証 明 出来 る.す な わ ち §1.5に 従 っ てΔ の非 特 異 有 限 細 分Δ ′を と り

に よ るD□ の 引 戻 しD′ を 考 えれ ば 

のC-基

が

底 と な る こ とが 判 る.非 特 異 なX′ に対 す る通 常 のSerre双

対定理を適用すれば

良 い.   r次 元 コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 □ の 境 界 を ∂□:=□ し よ う.□

のHilbert多

a0=P(0)=1で

あ る.

  r=1,す

項 式 を 

＼int(□)と

書 くこ と に

と す れ ば,ar=Volr(□),

なわ ち □ が整 数 を 両 端 とす る有 限 閉 区 間 で あれ ば

で あ る.   r=2,す

な わ ち □ がMの

点 を 頂 点 と す る 平 面 凸 多 角 形 で あ れ ば,ν 〓0に

対 し 

で あ り,ま

に よ り  れ ば#(M∩

た 上 記 の 命 題2.24

で あ る.従 ∂(ν □))=2a1ν

を 得 る.∂ □ は1次

って差を と

元 で あ る か ら 

で あ り結 局

と な る.ν=1と

し て 移 項 す れ ば,1899年

にG.Pickが

を得 る.こ の公 式 は勿 論 初 等 的 に も証 明 出来 る し,□ ∂□ がMの

得 た 公式

が 凸 で あ る必 要 もな い.

点 の み で折 れ 曲 が る単 純 閉折 線 な らば十 分 で あ る.

 r〓3の 場 合,Macdonaldは

有 限 個 の νの 自然 数 値 に 対 す る#(M∩ ν□)を 使

用 す る こ と に よ りvolr(□)を

格 子 点 の 個 数 で 表 わ す 公 式 を 得 た が,r=2の

と

き 程 綺 麗 で は な い.   □ が 単 純 な コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 で あ れ ば,X□ る トー リ ッ ク射 影 多 様 体 で あ る か ら,§3.3で 定 理 に よ りそ のChow環 お

は 高 々商 特 異 点 の み を 有 す

紹 介 す るJurkiewicz-Danilovの

よ び コ ホ モ ロ ジ ー 環H・(X□,Q)の

構

造 が 完 全 に 判 る.   §A.5で は □(お

紹 介 す る よ う にH・(X□,Q)に

対 し て 成 立 す るPoincareの

双 対定理

よ び そ の 極 多 面 体 で あ る 単 体 的 凸 多 面 体 □°)の 面 の 個 数 に 関 す る

Dehn-Sommervilleの Stanleyの

等 式 と 同 値 で あ る こ と が 判 る.ま

結 果 に よ れ ば,D□

て 成 立 す る 強Lefschetzの

のH2(X□,Q)に

お け る コホ モ ロジ ー類 ωに 対 し

参 照).

  コ ン パ ク ト凸 集 合 の 混 合 体 積,内 い くつ か お よ びTeissier[T3]の

半 径,外

半 径,等

体 上 の 不 変Cartier因

周 不 等 式 に 関 す る結 果 の

提 起 し た 問 題 は §A.4で

の コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 の 場 合 に は,対

体 上 のCartier因

紹介す る

定 理 は □(お よ び □°)の 面 の 個 数 が 持 つ 面 白 い 性

質 に 反 映 さ れ る(§3.3末

が,MR内

た §A.5で

応 す る トー リ ッ ク射 影 多 様

子 に 関 す る 問 題 に 翻 訳 出 来,そ 子 に 関す る問題 に

紹 介 す る 通 りで あ る

の ま ま一 般 の代 数 多 様

一般 化 出 来 る.Teissier[T3]に

従 って そ

の 概 要 を 紹 介 し て み よ う.   D′,Dをr次 に 対 し,j個

元 コ ン パ ク ト代 数 多 様 体Y上 のD′ お よ びr-j個

と書 く こ と に し よ う.従

と な る.こ

Hodgeの

交 叉 数(§2.2参

照)を

対 しν′D′+νDの

簡単に

自己交 叉数 は

名 な 次 の 定 理 に 帰 着 す る こ と に よ っ て 証 明 し た.

示 数 定 理   Zを2次

Neron-Severi群,す 可 換 群 と す る.係 が 決 め る2次

っ て ν′,ν ∈Zに

子 と す る. 

の と きTeissier[T1]は

が 成 立 す る こ と を,有  

のDの

のCartier因

元 非 特 異 射 影 多 様 体 と し,NS(Z)を

な わ ちCartier因 数 拡 大 

形 式 を 考 え れ ば,そ

そ の

子 の 数 値 的 同 値 類 の な す 有 限 階 数 ρの 上 でCartier因

の 符 号 は(1,ρ−1)で

子 の 自 己 交 叉 数(D[2]) あ る.

  上 式 は §A.4に

お け る 混 合 体 積 に 関 す るAlexandrov-Fenchelの

全 く同 じ 形 で あ り,そ

不等式 と

の結果

お よ びBrunn-Minkowskiの

不 等 式 の類 似

も成 立 す る.  そ こで これ ら の類 似 を更 に発 展 させ,内 半 径,外 半 径 を そ れ ぞ れ ρ(D:D′):=sup{a/b;a,b自

然 数,H0(Y,OY(−aD′+bD)≠0}

R(D:D′):=inf{a/b;a,b自

と定 義 す る.そ   Teiesierの Cartier因

然 数,H0(Y,OY(aD′

の と きTeissierは 問 題(代

−bD)≠0}

次 の 問 題 を 提 起 し た.

数 多 様 体 版)r次

元 コ ン パ ク ト代 数 多 様 体Y上

子D′,Dが(D′[r])>0,(D′[r])>0を

の

み た し か つOY(D′),OY(D)が

大 域 的 切 断 で 生 成 され て い る と き

を使 用 した 内半 径 ρ(D:D′),外 半 径R(D:D′)の

良 い 評価 を 与 え よ.た とえ ば

tに 関 す るr次 方 程 式

の 根 を 使 っ た 評 価 は あ る か?   Teissier[T3]は 形 の 評 価 が,r=2か

§A.4で

紹 介 す るFlanders,Bonnesenの

つD′+Dが

結 果 と全 く同 じ

豊 富 な 場 合 に 成 立 す る こ と を 示 し た.す

なわ ち

お よび

で あ る.   更 にYが

一 般 次 元 のAbel多

の 根 が す べ て 実 根 で あ り,そ

様 体 で あ ってD′+Dが

豊富である場合に も

の うち の 一 番 小 さ い も の よ り も ρ(D:D′)が

大 き

い こ と を 示 し た.   さ て,§A.4で

考 察 す る コ ン パ ク ト凸 集 合 の 混 合 体 積,内

半 径,外

半 径 に関

す るTeissierの

問 題 が,MRの

整 凸 多 面体 の 場 合 に は 完 全 に 上 記 の 代 数 多様

体 版 の 問 題 に 含 ま れ て い る こ と を 示 そ う.特 た2次

元 多 様 体 に 関 す る 結 果 は,§A.4に

にr=2の

お け る2次

場 合,本

節で紹介し

元 コ ン パ ク ト凸 集 合 に 関

す る 結 果 の 再 証 明 を 与 え て い る こ と に な る.(任 意 の コ ン パ ク ト凸 集 合 は 十 分 細 か い 格 子 に 関 す る コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 で 近 似 出 来 る か ら で あ る.)   MR内

のr次

元 コ ン パ ク ト整 凸 多 面 体 □,□ ′を 与 え た と き,そ れ ぞ れ の 支 持

函 数 をh,h′:NR→Rと

す る.h,h′

は 正 に 同 次 か つ 上 に 凸 で あ り,□={m

∈MR;  お よ びh(N)⊂Z,h′(N)⊂Zを

み た す.h,h′

は 系A.19に

よ り区 分 的 に 線 形

で あ る か ら,Nの

破 れ の な い 有 限 扇 Δ を 適 当 に 選 べ ばh,h′

は と も に Δ-線 形 支

持 函 数 と な る.そ

の よ うな Δ の うち 最 も 粗 い も の を 選 べ ばh+h′

は Δに関 し

て 狭 義 に 上 に 凸 と な る.

とす れ ば,OX(D),OX(D′)は こ と が 定 理2.7お

と な る.よ

大 域 的 切 断 で 生 成 さ れOX(D+D′)は

よ び 系2.14か

ら 判 る.し

か も命 題2.10に

っ て 次 を 示 せ ば □ ′,□ に 関 す る 諸 量 がD′,Dに

豊 富 とな る

よ り

関す る諸 量 に完 全

に 翻 訳 出 来 た こ と に な る.   補 題2.25(Teissier[T3,2.1])上

記 の記 号 の も とで

が 成 立 す る.   証 明   内 半 径 に 関 す る 等 式 の み を 証 明 す る.外

半 径 に 関 す る等 式 も 同様 に証

明 出 来 る.   a,b∈Z〓0に

対 しTN-不

変Cartier因

に よ り こ れ は 

に 対 応 す る.従  のC-基

考 え る と命 題2.1 っ て 補 題2.3に

よ り

底 と し て 

が と れ る.h′,hが は{e(m);m∈M,m+a□

子−aD′+bDを

′ ⊂b□}と

□ ′,□ の 支 持 函 数 で あ る こ と か ら後 者 一 致 す る こ と が 容 易 に 判 る.従

って

と な る.左

辺 の 条 件 を み た す よ う なa/bの

上 限 が ρ(D:D′)で

あ る.一 方 

で あ る が,□′,□

はr次

元 コ

ン パ ク ト整 凸 多 面 体 で あ る か ら 右 辺 は 明 ら か に sup{a/b;a,b自

然 数,∃m∈M,m+a□

′⊂b□}

と一 致 す る.

  §2.5  森 理 論 と トー リ ッ ク射 影 多 様 体   射 影 多 様 体 上 の 有 理 曲 線 に 関 す る 森 理 論[M7]は

既 に 重 要 な 応 用 例 も あ り,

今 後 更 に 発 展 す る こ と の 期 待 さ れ る 強 力 な 理 論 で あ る.ま

た″ 対 数 的 森 理 論″

も 角 田 秀 一 郎 氏 に よ っ て 定 式 化 さ れ 興 味 あ る 応 用 が 見 出 さ れ て い る.本

節 では

森[M7][M8]お

ー リッ

よ び 宮 西[M6]に

従 っ て 森 理 論 の 概 要 を 述 べ た 後,ト

ク多 様 体 の 場 合 に そ れ を 適 用 し たReid[R4]の   簡 単 の た めC上

のr(〓2)次

元 非 特 異 射 影 多 様 体Xの

  §2.1に お け る よ う にX上 元Dは,余

次 元1の

あ る.各aj〓0の

と きD〓0と

の1次

CjのZ-係

場 合 に 話 を 限 定 す る.

の 因 子 全 体 の な す 可 換 群 をDiv(X)と

既 約 閉 部 分 多 様 体 のZ-係

体 の な す 半 群 をDiv+(X)と   一 方X上

結 果 を 紹 介 す る.

書 き,Dは

す る.そ

の

数 有 限 一 次 結 合D=ΣajDjで 有 効 で あ る とい う.有

効 な因 子 全

書 く こ と に し よ う.

元 代 数 的 サ イ ク ルz=ΣbjCjは1次

元既約閉部分多様体

数 有 限 一 次 結 合 の こ と で あ り,そ れ ら の 全 体 の な す 可 換 群 をZ1(X)

と書 く.各bj〓0と

な る も の を や は り有 効 で あ る と 呼 び,有

サ イ ク ル 全 体 の な す 半 群 をZ+1(X)と   §2.2で 見 た よ うに,交

効 な1次

元代数的

書 こ う.

叉 数(D.z)に

よ りZ-双

線形写 像

Div(X)×Z1(X)→Z を 得 る.D∈Div(X)が0と Z1(X)に D≡0}に

数 値 的 に 同 値(D≡0と

対 し て(D.z)=0と

な る こ と で あ る.Div(X)の

よ る剰 余 群 をNS(X)と

たD∈Div(X)のNS(X)に

  同 様 にz∈Z1(X)が0と のD∈Div(X)に

対 し て(D.z)=0と

と 呼 ぶ.こ

れ

の 階 数 ρ(X)をXのPicard

お け る 像 を[D]と

数 値 的 に 同 値(や

べ て のz∈

部 分 群{D∈Div(X);

書 き,XのNeron-Severi群

は 有 限 生 成 の 自 由 可 換 群 で あ る(松 阪 の 定 理).そ 数 と 呼 ぶ.ま

書 く)と は,す

は りz≡0と

書 く こ と に す る. 書 く)と

な る こ と で あ る.Z1(X)の

は,す

べ て

部 分 群{z∈

Z1(X);z≡0}に

よ る 剰 余 群 をZ1(X)/(≡)と

と定 義 す る.こ の で あ る.双

れ は ρ(X)次 元 のR-ベ

対 空 間N(X)*は

  有 効 な1次

ク ト ル 空 間 で あ り森 理 論 の 舞 台 と な る

上 記 の 双 線 形 写像 に よ り 

出 来 る.z∈Z1(X)のN(X)に ([D].[z]):=(D.z)と

お け る 像 を[z]と

元 代 数 的 サ イ ク ル の な す 半 群Z+1(X)のN(X)に

通 常 の 位 相 に 関 す るNE(X)の

属 す る た め に は,す

べ て の1次

一 致 す る.つ

書 く.

照)はKlei

ま り δ∈N(X)*

元 既 約 閉 部 分 多 様 体Cに

対 して

な る こ とが 必 要 十 分 で あ る.

射 影 多 様 体 で あ る か らKleiman[K6]に

は 空 で な い 開 凸 錐 で あ り,豊 Σaj[Dj]の

Σbj[Cj]

閉 包 をNE(X)と

双 対 閉 凸 錐(§A.1参

よ っ て 考 察 さ れ た 擬 豊 富 錐PA(X)と

(δ.[C])〓0と

お け る像 を含 む

数 有限 一 次 結 合

  に お け るNE(X)の

がPA(X)に

対 し

と書 く.こ れ は ρ(X)次 元 の 凸 錐 で あ

の 全 体 で あ る.N(X)の

  Xは

書 き,D∈Div(X)に

元 既 約 閉 部 分 多 様 体Cjの像[Cj]のR〓0-係

man[K6]に

と同一 視

書 く こ とに す る.

最 小 の 凸 錐 を  り,1次

書 き

よ りPA(X)の

富 な 因 子Djの

全 体 と一 致 す る.従

内 部intPA(X)

像[Dj]のR>0-係

っ てNE(X)は

強 凸,つ

数有限一次結合 ま り

とな る.  双 対 的 にN(X)*に を と り,N(X)に

お け るDiv+(X)の

像 を含 む 最 小 の 凸錐 

お け るそ の 双 対 閉 凸 錐

を 考 え る こ とが 出 来 る.そ 呼 び,z∈Z1(X)も[z]が

の 元 ζを 数 値 的 に 有 効(numerically

そ う で あ る と きや は り数 値 的 に 有 効 と 呼 ぶ.し

ζ が 数 値 的 に 有 効 で あ る こ と と ζ∈NE(X)と す る 必 要 が あ る.(NEはnumerically な が らKleiman[K6]に

effective)と

は 全 く別 の 意 味 で あ る こ と に 注 意 effectiveの

頭 文 字 で は な い!)し

よ りPA(X)はR〓0[Div+(X)]の

る の で 閉 双 対 錐 を と れ ば{ζ ∈N(X);ζ

か し

か し

閉 包 に 含 まれ てい

は 数 値 的 に 有 効}はNE(X)に

含 まれ

て い る こ と は 判 る.   以 上 の 準 備 の も と に 森 理 論[M7]の

概 要 を 紹 介 し よ う.論

説[M8]お

よび宮

西[M6]に

判 り易 い解 説 が あ る.

  森 の定 理  C上   (1)X上

のr次 元 非 特 異 射 影 多 様 体Xの

の大 変 豊 富 な 因 子Hを

標 準 因 子 をKxと

す る.

ひ とつ 固定 し,十 分 小 さな実 数 ε>0に

対

し

と定 義 す れ ば,X上

の有 限 個 の有 理 曲線(す な わ ち 非 特 異 化 し た もの がP1(C)

と同 型 な1次 元 閉 部 分 多 様 体)l1,…,lsで

あ って各jに

対 し 

とな る も のが 存 在 し

と な る.つ

ま りN(X)の

NE(X)は

半 空 間 

凸 多 面 錐 で あ る.

  (2)  NE(X)内

の 半 直 線R=R〓0ζ

([−KX].ζ)>0で

が 端 射 線(extremal

あ り し か も ζ1,ζ2∈NE(X)が

ζ1,ζ2∈Rと な る も の で あ る.Xの curve)で

の 少 し 内部 で は

あ る と は,R〓0[l]が

る こ と で あ る.任

ray)で

ζ1+ζ2∈Rを

有 理 曲 線lが

あ る と は,

み た せば必ず

端 有 理 曲 線(extremal

rational

端 射 線 で あ り し か も 

意 の 端 射 線Rは,あ

る 端 有 理 曲 線lに

とな よ り 

と

書 け る.   (3)  X上

に 端 有 理 曲 線 が 少 く と も ひ と つ 存 在 す る た め に はKX〓PA(X),

す な わ ちKXが

数 値 的 に 有 効 で は な い,こ

  (4)  XがFano多

様 体,す

は 凸 多 面 錐 で あ り,有

とが 必 要 十 分 で あ る.

な わ ち −KXが

豊 富 で あ れ ばNE(X)=NE(X)

限 個 の 端 有 理 曲 線l1,…,lsに

よ り

と 書 け る.   (5)  dimX〓3と 正 則 写 像φ:X→Yで

す る.NE(X)の

端 射 線Rに

対 し,正

規 射 影 多様 体 へ の

あって

  (ⅰ) φ*OX=OY   (ⅱ)  C⊂Xを1次

元 既 約 閉 部 分 多 様 体 と し た と き[C]∈R⇔dimφ(C)=0

を み た す も の が 同 型 を 除 い て 唯 一 通 りに 決 ま る.そ Y=XR,  と書 きRの

縮 小 と 呼 ぶ.こ

れ ぞれ を

φ=contR

の と きPic(XR)={L∈Pic(x);([L].R)=0}で

あ り,−KXはφ=contRに

関 し 相 対 的 に 豊 富 で あ る.従

っ て特 に

が 成 立 す る.   (6)  (5)に お い て も しRが

数 値 的 に 有 効 で な け れ ば,contRは

の 既 約 閉 部 分 多 様 体D⊂Xを contR(D)は

余 次 元2以

あ る 余 次 元1

例 外 集 合 と す る 双 有 理 正 則 写 像 で あ る.つ

上 で あ り,contRのX＼Dへ

ま り

の制 限 は そ の像 へ の双

正 則 写 像 と な る.   (6′) dimX〓3と

す る.f=X→Zが

写 像 で あ っ て 双 正 則 で な け れ ば,あ な る.こ

の と きR:=R〓0[l]は

X→XRと

非 特 異 射 影 多 様 体Zへ る 端 有 理 曲 線l⊂Xに

  (7)  (5)に お い て も しRが XR
対 しdimf(l)=0と

数 値 的 に 有 効 で は な く,ま

双 有 理 正 則 写 像XR→Zと

の双有理正則

たfは

縮 小contR:

の 合 成 に 分 解 す る.

数 値 的 に 有 効 で あ れ ばXRは

非 特 異 で あ り,dim

な る.

  (7′)dimX〓3と f＊ OX=Ozを

しf:X→Zを

正 規 射 影 多 様 体 へ の 正 則 写 像 で あ っ て,

み た す も の と す る.も

しdimf(C)=0か

し既 約 な1次

つ(−KX.C)>0で

に 関 す る 縮 小contR:X→XRと Picard数

は ρ(X)〓

contRか

つR=R〓0[C]と

元 閉 部 分 多 様 体C⊂Xに

あ れ ば,fはNE(X)の 正 則 写 像XR→Zと

ρ(Z)+1を

み た す.も

対

あ る端 射 線R

の 合 成 に 分 解 す る.ま

た

し こ こ で 等 号 が 成 立 す れ ばf=

な る.

  上 記 の 定 理 の ″対 数 版″ と し て 次 の 結 果 が 成 り立 つ.   角 田 の 定 理   XをC上

のr次

元 非 特 異 射 影 多 様 体 と し,D=D1+…+Dk

を 単 純 正 規 交 叉 の み を 持 つ 被 約 な 因 子 と す る.X上 固 定 し,十

分 小 さ な 実 数 ε>0に

とす れ ば,有

の 豊 富 な 因 子Hを

ひ とつ

対 し

限 個 の 有 理 曲 線l1,…,ltで

あ っ て 各jに

対 し 

とな る もの が 存 在 し

とな る.   す なわ ち森 理 論 でKXを

使 った ときに 多 面 錐 とな っ てい る こ とが 判 ったNE

(X)の 部分 とは 違 った 部 分 がKX+Dを

使 うこ とに よ り多 面 錐 とな る こ とを

保 証 す る 結 果 で あ る.   さ てReid[R4]に NE(X)を

従 っ て トー リ ッ ク射 影 多 様 体X=TNemb(Δ)の

調 べ て み よ う.Reidは

わ ち 命 題1.25に

よ りXに

場合 に

一 般 に 単 体 的 な 扇 Δ に 対 応 す る 場 合,す

商 特 異 点 も 許 す 場 合,を

な

取 扱 っ て い る.§1.7で

述

べ た 双 有 理 幾 何 学 の 立 場 か ら は そ の 方 が 自 然 な の で あ る が,こ

こ で は簡 単 のた

め 非 特 異 なr次

場 合 に話 を 限 定

元 ト ー リ ッ ク射 影 多 様 体X=TNemb(Δ)の

す る.   命 題2.26(Reid[R4,命 TNemb(Δ)に

題1.6])r次

元 非 特 異 トー リ ッ ク射 影 多 様 体X=

対 し τ1,… τs∈Δ(r−1)が 存 在 し て

は 凸 多 面 錐 で あ り,し

か も 強 凸,つ

で あ る.NE(X)の1次

ま り

元 面Rを(一

般 化 し た 意 味 の)端 射 線(extremal

と呼 ぶ.こ

の と き あ る τ∈ Δ(r−1)に 対 し

と な る.こ

の よ う なV(τ)をRに

  証 明   前 述 のKleiman[K6]の の 帰 結 で あ る.§3.3で Chow環A・(X)お

変 端 有 理 曲 線 と 呼 ぶ.

結 果 に よ り,NE(X)の

強 凸 性 はXの

紹 介 す るJurkiewicz-Danilovの

∈ Δ(r−1)}の

構 造 が 判 る .特

含 む 最 小 のTN-不

V(σ)と す る.従

で あ る.明

ば,命

題1.6(V)お とな る.従

の 形 と な る.た

面 で あ る .そ

よ び 系1.7に

変既 約 閉 部 分 多 様体 を

ら か にdimσ
の τ の 相 対 内 部 に あ るNの

よ り 任 意 のu∈orb(σ)に

っ て 

CがV(τ1),…,V(τs)の

元nを

とれ

は 集 合 と し て は 

だ し 各jに

影Y→Cの

あ る か ら,

対 し 

つ き τj∈Δ(r−1),σ<τjで

あ る.正

の 像 のV(σ)×Cに と し,第2射

元

凸多 面 錐 とな る.

  直 接 な 証 明 は 次 の 通 り で あ る.Cを

σ は あ る τ∈ Δ(r−1)の

に1次

非負整係数一次結 合 と有理的

っ て 数 値 的 に 同 値 で あ り,NE(X)は

っ て 

射影性

定 理 に よ り,Xの

よ び コ ホ モ ロ ジ ー 環H・(X,Z)の

既 約 閉 部 分 多 様 体Cは{V(τ);τ に 同 値,従

含 ま れ るTN-不

ray)

λ=1お

よ び λ=0上

則 写 像 

お け る 閉 包 をY

の フ ァ イ バ ー を 考 え れ ば,

自 然 数 係 数 一 次 結 合 と有 理 的 に 同 値,従

って 数値 的 に

も同 値 で あ る こ とが判 る.   こ の よ う に トー リ ッ ク射 影 多 様 体 の 場 合 に はNE(X)の 単 に 判 っ て し ま う.τ ∈ Δ(r−1)に 般 化 され た 意 味 で の 端 射 線Rも

全 体 の形 が 非 常 に 簡

対 し も ち ろ んV(τ)〓P1(C)で

有 理 曲 線 を 含 ん で い る.森

に 一 般 化 さ れ た 意 味 で の 端 射 線 に つ い て も 縮 小contRが

あ る か ら,一 理 論 の 場 合 と同 様

トー リ ッ ク多 様 体 の

範 囲 で 存 在 す る こ と を 保 証 す る の が こ れ か ら 紹 介 す るReid[R4]の

主要結果

で あ る.   注 前 掲 の 角 田 の 定理 との 関 係 は 次 の 通 りで あ る.§2.1最 後 の例 に よ り −KX=Σ V(ρ)で あ り,し か も これ は 単 純 正 規 交 叉 のみ を 持 つ.従 Dも

単 純 正 規 交 叉 の み を 持 つ.と

って 

ρ ∈Δ(1)

とな る因 子

こ ろ で 任 意 の τ∈Δ(r−1)は あ る ρ0∈Δ(1)に対 し

(V(ρ0).V(τ))>0を み たす.τ+ρ0∈ Δ(r)が τを面 とし て持 つr次 元 凸 多 面錐 とな る よ う に ρ0を選 べ ば よい の で あ る.従 っ て −KX−D=V(ρ0)と 定 理 を 適用 す れ ば,NE(X)が[V(τ)]の   例  r=2の 1.28で

あ りPA(X)⊂NE(X)で

元 非 特 異 トー リ ッ ク多 様 体Xの

の 形 を 調 べ て み よ う.な

選び角 田の

近 くで 凸 多面 錐 とな る こ とが 判 る.

場 合N(X)*=N(X)で

分 類 し た2次

な る よ うにDを

お 系2.16直

あ る.定

理

お の お の に つ きNE(X)

後 で 述 べ た よ う に,コ

ン パ ク トな2次

元

トー リッ ク 多 様 体 は 必 然 的 に 射 影 的 で あ る.   (ⅰ) X=P2(C)な   (ⅱ) a〓0に

らN(X)〓R,NE(X)〓R〓0で 対 す るHirzebruch曲

面X=Faの

あ る. 場合

で あ るか ら4本 の1次 元TN− 不 変既 約 閉 部 分 多様 体 が存 在 す る.

は そ れ ぞ れP1(C)-バ 最 小−aの

ン ドル 構 造X→P1(C)の

切 断 で あ る.§2.2に

フ ァイ バ ーお よび 自己 交 叉 数 が

より

(f.f)=0,(f.s)=1,(s.s)=−a

で あ り,  に

と な る.

の 自 己 交 叉 数 はaで

あ る.容

易 に判 る よ う

  NE(X)の

端 射 線R:=R〓0fに

対 応 す る 縮 小contR:X→XR=P1(C)は

P1(C)-バ

ン ドル 構 造 と 一 致 す る.一

X→XR′

を 考 え る と,a=0な

へ の 射 影 で あ る が,a>0な る.a=1の しa〓2の

らV(R〓0n′)を

場 合XR′=P2(C)で 場 合XR′

2−a〓0で

方R′:=R〓0sに

も う一 方 の 因 子P1(C)

一 点 に つぶ す 双 有 理 正 則 写 像 で あ

あ りcontR′

の 点contR′(V(R〓0n′))は

あ り,森

対 応 す る縮 小contR′:

らX=P1(C)×P1(C)の

は 同 変blow

upで

あ る.し

か

特 異 点 で あ る.([−KX].s)=

の 定 理 で は 取 扱 わ な い 場 合 で あ る(第2.8図

参 照).

第2.8図   (ⅲ) #Δ(1)〓5の 場 合,定 blow

upを

理1.28に

よ りXはFaにTN-不

有 限 回 施 し て 得 ら れ る.各

1本 増 え,R〓0[V(τ)]が

同 変blow

新 し い 端 射 線 と な る.従

動 点 中 心 の 同 変

upに

つ き 例 外 曲V(τ)が

っ てNE(X)は#Δ(1)−2

次 元 の 単 体 的 多 面 錐 と な る.   た と え ばa〓2の す る 同 変blow

場 合 のFaの up

X→Faを

点  考 え る と,NE(X)の

第2.9図

を 中 心 と 端 射 線R,R′,R″

の生成

元 は そ れ ぞ れ  な り,縮

小 に 対 応 す る 扇 の 写 像 は 第2.9図

の 通 りで あ る.

  r次 元 非 特 異 トー リ ッ ク 射 影 多 様 体X=TNemb(Δ)のNE(X)の 面Rに

各1次

対 し 縮 小 を 

し よ う.そ

元

に 従 っ て構 成

のために

とし,NRの

凸多 面錐 を

と 定 義 す る.従

っ てRが

数 値 的 に 有 効 で な い こ と とA(R)≠〓,π-(R)≠{0}

と は 同 値 で あ る.   ま た 各 τ∈ Δ(r−1)に 対 し,τ る.そ

を 面 と す る Δ(r)の 元 が ち ょ う ど2個

れ ら を σ1,σ2と し た と き,NRのr次

存在す

元 多 面 錐P(τ)を

と 定 義 す る.   定 理2.27(Reid[R4,定

理2.4,系2.5,系2.7])X=TNemb(Δ)をr次

元 非 特 異 トー リ ッ ク 射 影 多 様 体 と し,RをNE(X)の1次

元 面,す

化 さ れ た 意 味 で の 端 射 線 とす る.A(R),B(R),π-(R),π+(R),π(R)を

な わ ち一 般 上記 のよ

う に 定 義 す れ ば 次 が 成 立 す る.   (1)  A(R)≠〓,す つN(R):=N内

な わ ちRが

と な る も の が 唯 一 つ 存 在 す る.こ  

数 値 的 に 有 効 で な い 場 合,Δ

を細 分 とし て持

の 破 れ の な い 有 限 扇 ΔRで あ っ て

(ⅰ)π-(R)∈

の ΔRは さ ら に 次 の 性 質 を 持 つ.

Δ か つ π(R)∈ ΔRで あ り

(ⅱ)

  (2)A(R)=〓,す のR-部

なわ ちRが

数 値 的 に有 効 で あれ ば π(R)=π+(R)はNR

分 空 間 で あ る. 

と し,Rへ

の係 数 拡 大 

す れ ば,次

の よ うな性 質 を持 つN(R)内

を剰 余 加群 へ の射 影 を 同 じ く Ψ と書 くこ とに の破 れ のな い 非 特 異 有 限 扇 ΔRが 唯 一

つ 存 在 す る. (ⅰ)Δ

の 細 分 で あ る.

は 

(ⅱ)

こ の と き さ ら に 次 が 成 立 す る. (ⅲ〉

 系2.28 

上 記 の 記 号 の も と で 次 が 成 立 す る.

  (1)Rが

数 値 的 に 有 効 で な い と き,扇

の 写 像(N,Δ)→(N(R),ΔR)に

対応す

る双有 理 同変 正則 写 像

は 同 型  た す.ま

を ひ き お こ し,f*OX=OXRを た τ∈ Δ(r−1)に 対 し,f(V(τ))が1点

[V(τ)]∈Rで   (2)Rが

あ る.XRは

す.し

で あ る た め の 必 要十 分 条件 は

トー リ ッ ク射 影 多 様 体 で あ る.

数 値 的 に 有 効 で あ れ ばXR:=TN(R)emb(ΔR)はrよ

の 非 特 異 な トー リ ッ ク 射 影 多 様 体 で あ り,Ψ (N(R),ΔR)に

み

り小 さ い 次 元

の 引 き 起 す 扇 の 写 像 Ψ:(N,Δ)→

対 応 す る 同 変 正 則 写 像f:X→XRは

か も τ∈ Δ(r−1)に 対 し,f(V(τ))が1点

や は りf＊OX=OXRを

みた

で あ る こ と と[V(τ)]∈Rと

は

同 値 で あ る.   (1),(2)い

ず れ の 場 合 に もf:X→XRをRの

  上 記 の(1),(2)は

森 の 定 理 に お け る(6),(7)に

″ 射 影 的 な 正 則 写 像″ NE(X)の1次

対 凸 多 面 錐 で あ るPA(X)の

よ びcontRの

σ∈ Δ(r)σ か ら 余 次 元1の

を 取 払 っ て 出 来 るNRの

実は

題A.6に

よ り

余 次 元1の

面

射 影 性 は こ の 事 実 の 反 映 で あ る.

証 明 の 概 略 は 次 の 通 りで あ る.(1)に

るΔ＊Rは分 割NR=∪

書 く.

対 応 し て い る.contRが

で あ る 事 実 と と も に 証 明 は 省 略 す る.命

元 面 で あ るRは,双

と 対 応 し て い る.XRお   定 理2.27の

縮 小 と 呼 びcontRと

お け る ΔRお よ び(2)に お け

壁 の 集 合 

分 割 に 他 な ら な い.こ

の と き ΔRが 実 際 に 扇 で

あ る こ と を 示 す 必 要 が あ る.   そ の た め に[V(τ)]∈Rと

な る τ∈ Δ(r−1)を 調 べ る こ と に し よ う.τ を 面

と す る Δ(r)の 元 は ち ょ う ど2個 うに,Nの2組

のZ-基

存 在 す る.従

っ て §2.2の 最 後 の 例 で 述 べ た よ

底{n1,…,nr-1,nr},{n1,…,nr-1,nr+1}が

存 在 し,

ρj:=R〓0njと

した とき

が 成 立 す る.ま

たa1,…,ar-1∈Zが

と な る.[V(τ)]はRの

存 在 し,ar=ar+1=1と

し た とき

生 成 元 で あ り, 

はV(τ)と

共 通 点 を 持 た な い ので

で あ る.番

号 を 付 け 換 え る こ と に よ り,0〓

に 対 す るV(ρ)

α 〓β 〓r−1に

対 し

と し て 良 い.   1〓j〓r−1に

対 し

は τ のr−2次

元 面 で あ り,τ=ωj+ρjが成

  補 題2.29(Reid[R4,補

題3.2])上

記 の記 号 の も とで分 割

が 成 立 す る.  あ る.ま のr−

はP(τ)のr−

た α=0,す

な わ ちRが

と 書 け る.a1,…,aα あ

は 負,α

る か

元 は  β+1,…,ar+1は

次元 の 面 で

はNR な る. によ り

正 で あ っ て し か も 

と し た と き 

ら,  は 明 ら か に

− 1の

β+α

数 値 的 に有 効 な ら 

β 次 元R− 部 分 空 間 で あ りP(τ)=τ+π(R)と

  証 明   P(τ)=τ+ρr+ρr+1の

ajnj=0で

立 す る.

と き こ れ は ωk+ρr+ρr+1で

ρ1+…+ρk+…+ρr+1に

あ り,k=r,r+1の

属 す る.k〓r とき

τ+ρr+1,τ+ρr

で あ る か ら 前 半 の 分 解 を 得 る.

  で あ る か らP(τ)は 

に 含 まれ,し

か も後 者 の 面 で あ る 

P(τ)と の 交 わ りは 明 ら か に π(R)と る.ま

た π(R)の

て 持 つ の でr−

生 成 す るR-部 β+α

な り,π(R)がP(τ)の

と 面 で あ る こ とが 判

分 空 間 は{n1,…,nα,nβ+1,…,nr}を

次 元 で あ る.

基 底 とし

α=0な

の 係 数 は す べ て 負 で あ る か ら 

ら 

と な る.P(τ)=τ+π(R)も

  注   [R4,定

理3.4]で

は,上

明 ら か で あ る.

記 と同 様 の 方 法 で 証 明で き る も うひ とつ の 分 割 

を 使 用 す る こ とに よ っ て §1.7の 基 本変 換 の類 似 を得 て い る.   RがNE(X)の1次 1)の

元 面 で あ る 事 実 を 使 え ば,[V(τ)]∈Rと

″近 くに あ っ て″[V(τ

′)]∈Rと

な る τ∈ Δ(r−

な る τ′ ∈ Δ(r−1)を 次 の よ うに 見 付 け る

こ とが 出 来 る.   命 題2.30(Reid[R4,系2.10])上   (イ) ρj∈B(R)す

記 の 記 号 の も と で 次 が 成 立 す る.

な わ ち 

で あ れ ば,ωj∈ Δ(r−2)を 面 と す る

Δ(r−1)の 元 は 

の3個 と な る.ま

+ρr+1,ωj+ρr+ρr+1の3個 す る(第2.10図(イ)参   (ロ) α+1〓j〓

た ωjを 面 とす るΔ(r)の

元 も τ+ρr,τ

で あ る. 

が成立

照).

β,す

な わ ち 

を 面 とす る Δ(r)の 元 が

で あ れ ば,ωj∈

Δ(r−2)

τ+ρr,τ+ρr+1,ωj+ρ′j+ρr,ωj+ρ′j+ρr+1の4

個 と な る よ うな ρ′j∈ Δ(1)が 唯 一 つ 存 在 す る.こ り,P(τ)とP(ωj+ρ′j)は

で あ り, 

共 通 のr−1次

に 反 対 側 に あ る(第2.10図(ロ)参

の と き[V(ωj+ρ′j)]∈Rで

元 面 ωj+ρr+ρr+1に

あ

関 し て 互 い

照).

(イ)

(ロ) 第2.10図

  証 明  ωjを 面 と す る Δ(r−1)の

元 を 

とす る.  (イ) ま ず{n1,…,nr}に

関 す るMの

双 対Z-基

底 を{m1,…,mr}と

す る.

従 っ て で 2.11に

あ る.mj∈

よ りe(mj)を

来,V(ωj)上

で あ る.た

制 限 し て2次

の 有 理 函 数 とみ な す こ とが 出

でのその因子は

だ しNの

原 始 元n′kに よ っ て 

で あ る.よ 上 で,従

元 のV(ωj)上

ω⊥jであ る か ら 補 題

っ てX上

で,有

と書 い た と き, 

っ てV(τ1)は 

とV(ωj)

理 的 に 同 値 で あ る.τ1=τ,τ3=ωj+ρr+1で

あ るか

ら

と な る.[V(τ)]がNE(X)の1次 〓0に

元 面Rの

よ り[V(ωj+ρr+1)]∈Rが

判 る.

  同 様 に{n1,…,nr-1,nr+1}に [V(ωj+ρr)]∈Rも

生 成 元 で あ る こ と とaj>0,−bk

関 す るMの

双 対Z-基

底 を 使 用 す れ ば,

判 る.

  特 に  に ωj+ρrの

で あ る が 一 方 ρr+1は 明 ら か 面 で は な い か ら,補

題2.29直

用 す る こ と に よ り    (ロ) {n1,…,nr}に

前 の 考 察 を ωj+ρr∈ Δ(r−1)に 適

が 判 る.従 関 す るMの

双 対Z-基

っ てυ=3で

底 を{m1,…,mr}と

で あ る.(イ)と 同 様 にe(mj)のV(ω え る と,あ

るbk〓0に

よ り 

で あ る.よ が 判 る.そ

の よ う なkは

ｊ)への 制 限 の 因 子 を 考

な る4〓k〓υ

少 く と も ひ とつ 存 在 し,あ

ρ′j+ωjと 書 け る.ρr,ρr+1は

す れ ば, 

と な る.従 っ てbk≠0と

あ る.

っ て 

に 対 し[V(τk)]∈R

る ρ′j∈ Δ(1)に よ っ て τk=

ωj+ρ′jの 面 で は な く し か も  で あ る か ら,や

り補 題2.29直

前 の 考 察 を ωj+ρ′jに 適 用 す る こ と に よ りk=υ=4と

は

な るこ

とが 判 る.   補 題2.29お

よ び 命 題2.30に

[V(τ)]∈R}の

相 異 な る も の 同 志 は 互 い に 内 部 で 交 わ らず,従

Pの

よ り,r次

分 割 を 与 え て い る こ とが 判 る.容

け る π(R)の る.従

凸 近 傍 で あ り,Pの

っ て ΔRはN(R)の

元 凸 多 面 錐{P(τ);τ

易 に 判 る よ う に,和

∈ Δ(r−1),

っ てそ の 和 集合

集 合PはNRに

お

境 界 は Δ に 属 す る多 面 錐 の 和 集 合 に な っ て い

扇 と な る.

  Reid[R4]に

は こ の他 に も双 有 理 幾 何 学 的 見 地 か ら して 興 味 深 い 結果 が 色 々

と含 ま れ て い る が,紙 数 の 関 係 で こ こで は紹 介 を控 え る こ とに す る.

第3章

  卜ー リッ ク多 様 体 と微 分 形式

  本 章 で は トー リ ッ ク 多 様 体 上 の 微 分 形 式 に 関 連 し た 事 項 を 紹 介 す る.ト

ー リ

ッ ク多 様 体 の 場 合 に 自然 な の は 正 則 微 分 形 式 よ り もむ し ろ 因 子 に 対 数 的 極 を 持 つ 微 分 形 式 で あ る.   そ こ で ま ず §3.1に る.そ §3.2に

お い て 対数的極を持 つ 微分形式 の 層を具体的に記述す

の 結 果 を 使 用 し て ト ー リ ッ ク多 様 体 上 の 連 接 層 か ら な る 石 田 の 複 体 を お い て 構 成 す る.非

特 異 あ る い は 高 々商 特 異 点 の み を 持 つ 場 合 に は こ

の 複 体 が 正 則 微 分 形 式 の 層 の 分 解 を 与 え て い る こ と が 判 明 し,そ の 結 果Hodge コ ホ モ ロ ジ ー や コホ モ ロ ジ ー 環 の 構 造,Euler数,示

数 等 が 扇 か ら直 接 計 算 出

来 る.   特 異 点 の あ る 一 般 の トー リ ッ ク多 様 体 の 場 合 に も 石 田 の 複 体 の うち の ひ と つ は 双 対 化 複 体 と し て の 意 味 を 持 ち,そ の 結 果 トー リ ッ ク多 様 体 が い つ もCohen Macaulay的

で あ る こ と が 判 る.

  本 章 の 内 容 はDemazure[D5],[TE],Danilov[D1],Ehlers[E2]等 在 す る も の と本 質 的 に 同 じ で あ る が,石 て 見 通 し が か な り良 くな っ て お り,″

田[I1],石

田-小 田[IO]の

に散 方法によ っ

退 化 多 様 体″ の 一 般 論 の 構 成 の 際 に 良 き

指 針 と な る こ とが 期 待 さ れ る.

  §3.1  対 数 的 極 を持 つ微 分 形 式   §1.2に

お い てN〓Zrと

と 定 義 し た.TNのLie環

と な り,従 っ てTN上 はそ れ ぞ れ

そ の 双 対Z-加

群Mに

対 し て 代 数 的 トー ラ ス を

は 自然 に

の 正 則 ベ ク トル 場 の 芽 の 層 お よび 正 則1次 微 分 形 式 の 層

と な る.実

際n∈Nに

対 し 

と定 義 す れ ば δnは 環C[M]の {n1,n2,…,nr}お

のC-線

微 分 と な る こ と が 容 易 に 判 る.NのZ-基

よ びMの

双 対Z-基

底 を{m1,…,mr}と

す れ ば 

対 しde(m)/e(m)はTN上

底

しuj:=e(mj)と

で あ り δnj=uj∂/∂ujと

の 通 り{u1∂/∂u1,…,ur∂/∂ur}はLie(TN)のC-基

がTN上

形 自 己 準 同 型 δnを

底 で あ る.ま

な る.周

知

たm∈Mに

の 不 変 な 正 則 微 分 形 式 で あ る.{du1/u1,…,dur/ur}

の 不 変 正 則1次

微 分 形 式 の 空 間 のC-基

底 で あ る こ と も 周 知 の 通 りで

あ る.   以 上 の 事 実 は 次 の よ う に し て トー リ ッ ク 多 様 体 の 場 合 に 拡 張 出 来 る.   一 般 に 複 素 解 析 空 間V上 トル 場 の 層〓V(−logD)お

よ びDに

ΩpV(logD),p=0,1,…,r,を ア ル をIと でIを

で 閉 部 分 空 間Dに

沿 っ て対 数 的 零 を持 つ 正 則 ベ ク

沿 っ て 対 数 的 極 を 持 つp次

次 の よ う に 定 義 す る.Dを

し た と き〓V(−logD)は,OVの

微分形式の層

定 義 す るOVの

正 則 微 分 の 芽 の な す 層〓Vの

保 存 す る も の 全 体 の な す 部 分 層 で あ る.す

イデ なか

な わ ち 多 少 不 正 確 な記 述 を 許

せば

で あ る.こ

と し,そ

れ のOV-加

れ の外 積 を とる こ とに よ って

とす る の で あ る.従 自然 なOV-準

  命 題3.1(石

っ てV上

のp次Kahler微

同 型 

ΩpVは 通 常 の 正 則p次

emb(Δ)上

群 と して の 双 対 を と って

分 形 式 の 層 を ΩpVと し た と き,

が 存 在 す る.Vが 微 分 形 式 の 層 で あ り,こ

田-小 田[IO,(1.12),命

で 有 効 なTN−

不 変Wei1因

題])r次

元 トー リ ッ ク 多 様 体X=TN

子D:=Σ

ρ ∈Δ(1)V(ρ)を考 え る.た

で あ り,V(ρ)は orb(ρ)の 閉 包 で あ る(命 題1.6,系1.7参 加 群 の 同 型 が 存 在 す る.

非 特 異 で あ る場 合 に は

の 準 同 型 は 単 射 で あ る.

だ し 

ρ に 対 応 す る 余 次 元1のTN-軌

照).こ

の と き 次 の よ う な 自 然 なOX-

道

  証 明   後 者 は 前 者 のOX-双

対 と外 積 を と る こ と に よ っ て 判 る か ら,前

を 示 せ ば 十 分 で あ る.ま た 考 え る 対 象 は す べ てXの

者 のみ

代 数 多 様 体 と し て の構造 に

関 し定 義 さ れ る代 数 的 連 接 層 に 付 随 す る解 析 的 連 接 層 で あ る か ら,Xを

代数多

様 体 と み な し て 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.   各n∈Nに

対 し 上 記 の δnは 

準 同 型 

に 属 す る の で 自然 なOX-

を 得 る.こ

れ が 

の 上 へ の同 型 で あ る

こ とを 示 せ ば よ い.   各 σ∈ Δ に 対 応 す る ア フ ィ ン 開 集 合Uσ

上 で こ の こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.

§1.2で 述 べ た よ う にUσ 上 の 多 項 式 函 数 環 はC[M∩ ∈M∩

σV}が

そ のC-基

底 で あ る.ま はUσ ∩Dを

C-基

定 義 す るC[M∩

底 と な っ て い る こ とが 容 易 に 判 る.n∈Nに

と 定 義 し た が,δnは

明 ら か にC-多

δn(I)⊂Iと

な る.

  逆 にIを

保 存 す るC[M∩

の 元 

元 環C[M∩

σV]の

書 け ば, 

イ デ ア ルIの

σV]の

微 分 を 与 え,し

か も

σV]の 微 分 δが 与 え ら れ た と き, 

1.6の 証 明 に お い て 見 た よ う に,σ

のC-基

あ り,{e(m);m

対 し 

を 適 当 に 選 べ ば 

はUσ

σV]で

た 多 面 錐 σVの 内 部 をint(σV)と

と 出 来 る こ と を 示 そ う.命 題 の1次

元 面 ρ に 対 し 

∩V(ρ)を 定 義 す るC[M∩

σV]の 高 さ1の

素 イ デ ア ルp(ρ)

底 で あ り,

が 無 駄 の な い 素 イ デ ア ル 分 解 と な っ て い る.そ し か も δ(I)⊂Iで   さ てm∈M∩

あ る か ら,各 σVに 対 しe(m)が

の よ うな 分 解 は 一 意 的 で あ り,

ρに つ い て δ(p(ρ))⊂p(ρ)が成 立 す る. 生 成 す るC[M∩

σV]の

単 項 イ デ ア ル の準

素 イデ アル 分 解 は

で あ る.た

だ し 周 知 の 通 り 自 然 数lに

対 しp(ρ)(l)は 素 イ デ ア ルp(ρ)の 記 号 的

l乗 と呼 ぶ 準 素 イ デ ア ル で あ り,p(ρ)に C[M∩

σV]に

ひ き 戻 し た も の で あ る.(こ

よ る 局 所 化 の 極 大 イ デ ア ル のl乗 れ は 命 題2.1で

述べた等式

を

を 環 論 的 に言 い換 えた も の で あ る.)   δは 各p(ρ)を 保 存 す るの で 明 ら か に そ の記 号 的 羃 乗 も保 存 す る.よ は 準 素 イ デ ア ル 分解 の 右 辺,従 に対 し 

って 左 辺 を 保 存 す る.つ

って δ

ま りあ る 

が 成 立 す る.こ の よ うに して 得 る写 像  は 加 法 的 で あ る.何

るか らm,m′ ∈Mに

故 な ら,δ が 微 分 であ

対 し  だか ら であ る.と

こ ろがM∩

σVは 群Mを

生 成 す る か ら,ξ は唯 一 通 りの 加法 的 準 同 型 

に拡 張 出 来 る.言 い換 えれ ば ξは 

の元 と な る.

 と書 くこ とに す れ ば 

で あ り,  とな る.

  系3.2X=TNemb(Δ)と 上 の 有 効 なTN-不

す る.σ ∈ Δ に 対 応 す る既 約 閉部 分 多 様 体V(σ)

変Weil因

と定 義 す る(系1.7参

照).た

子を

だ し和 は σ<τ か つdimσ+1=dimτ

す す べ て の τ∈ Δ に わ た る も の と す る.こ

の と きOX-加

をみ た

群 と み な し た 自然 な 同

型

が 成 立 す る.   証 明   系1.7に の 双 対Z-加

よ り 

群 はM∩

で あ り, 

σ⊥ で あ る か ら,(N(σ),Δ(σ))に

前命題 を 適用すれば良

い.   系3.3 

r次 元 非 特 異 ト ー リ ッ ク 多 様 体X=TNemb(Δ)に は 標 準 因 子 で あ る.す

  証 明   命 題3.1に

な わ ち 

対 し  が 成 立 す る.

よ り 

で あ る.一

非 特 異 で あ る か ら 

方Xは

で あ る.

  注  これ は §2.1最 後 の例 で 考 察 した こ との 言 い換 え で あ る.次 節 で 見 る よ うに,特 異 点 を持 つ トー リッ ク多 様体 も 常 にCohen-Macaulay的 のOX(−D)はXの

双 対 化OX-加

であ り,OX-分

数 イデ アル と し て

群 に他 な ら な い こ とが判 る.ま た この ときOX(−D)は

Ωr Xの 二 重 双 対0X-加

 §3.2石

群 と一 致 す る.

田 の複 体

  トー リ ッ ク多 様 体 上 の 連 接 層 か ら な る 石 田 の 複 体 を 構 成 す る 前 に,N〓Zr の 扇Δ お よ びp=0,1,…,rに

対 し て 石 田 のp次Z-複

体

を構 成 し よ う.   まず0〓j〓pに

対 し以 前 と同 様 に 

としZ-加

群を

と 定 義 す る.コ

バ ウ ン ダ リ −準 同 型 

び τ∈Δ(j+1)に

関 す る 成 分 

と 定 義 す る.ま れ ば 原 始 元n∈NがZ(σ と な る.ま r−j−1お

は σ∈Δ(j)お よ

ず σ〓 τ の と き は δτ,σ=0と ∩N)を

たM∩

の 和  方 σ<τ

であ

法 と し て 唯 一 つ 定 ま り 

τ⊥ はM∩

よびr-jで

す る.一

σ⊥ のZ-部

分 加 群 で あ り,階

あ る. 

数はそれぞれ

の元 は

の形 の元 の有 限 和 で 書 け るが,こ の と き  を

で 定 義 す る.こ   補 題3.4(石

の 定 義 はnの 田[I1,命

す る 項 田 のp次Z-複

選 び 方 に 無 関 係 で 無 矛 盾 で あ る.

題1.6])上

記 のC・(Δ;p)は

複 体 で あ り,(N,Δ)に

関

体 と 呼 ぶ.

  証 明  を

示 せ ば 良 い.σ

お よび σ<π ∈Δ(j+2)に

∈Δ(j)

対 し δ2の(π,σ)-成 分 が 消 え る こ と を 示 せ ば 十 分 で

あ る.   (π+(− σ))/Rσ は2次 っ て2個 命 題A.8に

元 凸 多 面 錐 で あ る か ら そ の1次

の τ,τ′ ∈ Δ(j+1)の よ り原 始 元n,n′

み に 対 し σ<τ<π,σ<τ ∈NがZ(σ

∩N)を

元 面 は2個

で あ る.従

′<π が 成 立 す る.ま

法 と し て唯

た

一通 り 定 ま り,

 と な る.こ  

の と き δ2の(π,σ)-成

分 は 

で あ る.

の元 は

の形 の 元 の 有 限和 に 書 け る.定

義 に よ り  で あ り一 方

で あ る.   注   石 田 のZ-複 義 出来 る.す

体 は も っ と一 般 に 扇 Δの ″局所 星 状 閉″ な部 分 集 合 Φ に 対 し て も定

なわ ち σ∈ Φ,π∈Φ か つ σ<τ<π な ら τ∈Φ とな る部 分 集合 で あ る.こ

の とき

と定 義 し, 

は σ,τ∈Φ に対 す る前 記 の δ τ,σ の 直 和 と定 義 す れ

ば 良 い の で あ る.上 記 の 証 明が そ の ま ま通 用 し,C・(Φ;p)は は Φ がΔ の部 分 複 体 で あ る場 合(す な わ ち τ∈Φ,σ<τ 閉 な場 合(す なわ ち σ∈Φ,σ<τ ⇒   注 p=rな

ら各 σ∈ Δ(j)に対 し 

⇒ σ∈Φ)お よ び Φ が Δ で 星状

と な る.各

に よ っ て(r-1）

と きそ れ のl次 元Z-係

は 

  0〓p〓rに

部 分 集 合  数 被 約 コ ホモ ロ ジ

次元 コ ホ モ ロジ ー群 と一 致 す る.

前 注 で考 えた Δの 局所 星 状 閉 部 分 集 合 に つ い て も 同様 であ る.し にC・(Δ;p)が

σ∈Δ に ″向 きづ

数 コ チ ェ イ ン複 体 を 作 る と上

次元 球 面(NR＼{0})/R>0の

の胞 体 分 割 が 得 られ るが,l〓0の ー群 

に重 要 な の

τ∈Φ)で あ る.

け″ を定 義 す る こ とに よ って Δ を 抽 象 複 体 とみ な しZ-係 記 のC・(Δ;r)を 得 る.Δ

複 体 と な る.特

か し 向 きづ け に無 関係

定 義 出 来 る こ とが 重 要 で あ る. 対 しr次

複 体K・(X;p)を

元 ト ー リ ッ ク 多 様 体X=TNemb(Δ)上

のOX-加

群 の

次 の よ うに 定 義 す る.

また は

系3.2に

で あ る.コ

よ り 

ー準 同型 

バウン ダリ

に 関 す る成 分 

は 

の 直 和 と し て  Rτ,σ と定 義 す る.た

だ し σ〓τ の と きRτ,σ=0で

は 函数 の制 限 を と る 自然 な 全 射 

あ り,一

と前 記 の

方 σ<τ の と き に

 と の テ ン ソ ル 積 で あ る.実

はD(σ)の

成 分V(τ)に

お け るPoincare留

  ま たV({0})=Xお

は この と き

数 を と る 写 像 に 他 な ら な い.

よ び 

であ るか ら 自然 な 準

同型

を 得 る.こ

れ は ΩpXの切 断 の芽  に 移 す 準 同 型 であ る.ま た 合 成

は 零 写 像 で あ る.実

際 σ∈ Δ に 対 す るXの

を 考 え る.m1,…mp∈M∩ <σ を み た せ ばe(mj)のV(ρ)へ mj∈M∩ρ

  補 題3.5r次

はOX-加

上 のΩpXの 切 断 

σVで あ る.こ

の 制 限 はmj〓M∩ρ

⊥ な ら<mj,n(ρ)>=0で

とな る か ら で あ る.こ

開 集 合Uσ

の と きρ ∈ Δ(1)がρ

⊥ の と き0で

あ り,一

方

あ るか らいず れ に し て も

の 事 実 と補 題3.4の

議 論 を 併 せ れ ば 次 を 得 る.

元 トー リ ッ ク多 様 体X=TNemb(Δ)お

群 の 複 体 で あ り石 田 のp次OX-複

よ び0〓p〓rに

体 と呼 ぶ.ま

対 し

た

も 複 体 で あ る.

  以 上 の準 備 の も とに 基 本 的 な次 の定 理 を示 そ う.こ れ はDanilov[D1]に る 結 果 を 石 田[I1],[I7]の

方 法 で 再 構 成 し た も の で あ る.ま

Ehlers[E2],Kempf[TE]の

結 果 と も 部 分 的 に 重 複 す る.種

あ

たDemazure[D5], 々の幾 何 学 的 に重

要 な 帰 結 に つ い て は 次 節 で 紹 介 す る.   定 理3.6 

X=TNemb(Δ)と

k・(X;p)は

次 の 性 質 を 持 つ.

す る.0〓p〓rに

  (1)  Xの 非 特 異 点 の 集 合 をUと Zariski微 列 で あ る.

分 形 式 の 層 

対 し 石 田 のp次OX-複

し 開 埋 込 み でi=U→Xに を 定 義 す れ ば こ れ はOX-連

体

よ りp次 接 で次 は完 全

(2)  p=rの

と きk・(X;r)の

コ ホ モ ロ ジ ー 層 は 次 の 通 りで あ る.

(3)  も しす べ て の σ∈Δ が 単 体 的 で あ れ ば 任 意 のpに

(4)  特 にXが

ついて

非 特 異 で あ れ ば任 意 のpに つ い て

は 完 全 列 で あ る.   証 明   示 す べ き こ とは 局 所 的 性 質 で あ るか ら,π ∈Δ に 対 す る開 集 合Uπ ⊂X 上 で 示 せ ば 十 分 で あ る.ま

た対 象 とな るOX-加 群 の複 体 は す べ てXの

代数多

様 体 と して の 構 造 につ い て得 られ る代 数 的 連 接 層 の 複 体 に 付 随 す る も の で あ る か ら,対 応 す る結 果 を代 数 多 様 体 の場 合 に示 せ ば十 分 で あ る.  (1)ま

ずXが

非 特 異 な ときH0(Uπ,ΩpX)が 

の 核 と一致 す る こ と を 示 そ う. 

お よび  は 

上 の 加 群 で あ る.Rρ,{0}の の 核 がC-ベ

定 義 に よ り 

ク トル 空 間 と し て

お よび  あ る ρ に 対 しm,m′1,…,m′p∈M∩

で 生 成 さ れ て い る こ とが 容 易 に 判 る.た こ ろ がXは

非 特 異 ゆ えMの

あ るZ-基

だ しint(πV)は 底{m1,…,mr}お

て 

ρ⊥}

πVの 内 部 で あ る.と よ びs〓rが

存在 し

と な り 

が  e(mr)はC[M∩

の 

加 群 と し て の 基 底 と な る.e(ms+1),…,

πV]の 可 逆 元 で あ り 

あ るか ら 明 ら かに 

で とな る.Xの

代 りに そ の 非 特異 点 の 集

合Uを

考 え れ ば そ れ は 非 特 異 トー リ ッ ク多 様 体 と な り(1)お

=0の

場 合 を得 る.

よ び(2),(3)のj

  次 に(2),(3),(4)の

条 件 の も とでj>0の

 

に はTNが

を 得 る.m〓M∩

πVな

πVと

書 け ば,完

と定 義 す れ ば,補 体C・(Δm;p)が

題3.4直

こで Δ の部 分 後 の 注 で述 べ た

定 義 出 来 る.

ク トル 空 間 の 同 型

が 成 立 す る.実

際 σ∈ Δ(j)の か つ σ<π

で あ り,従 は,m∈

で あ るか ら今 後

っ て π∩m⊥ は π の 面 と な る.そ

集 合 を 

  こ の と きC-ベ

対 し 指 標e(m)

全 可 約 性 に よ り直 和 分 解

ら 明 ら か に 

仮 定 し よ う.従

よ う に 石 田 のp次Z-複

示 す.

代 数 的 に 作 用 す る.m∈Mに

の 固 有 空 間 をH0(Uπ,K・(X;p))mと

m∈M∩

と きHj(K・(X;p))=0を

で あ る と き 

とな る た め の必 要 十 分 条 件

っ て 

πV∩ σ⊥ とな る こ と,す

な わ ち σ<π ∩m⊥

とな る こ と だ か ら で あ る.

  下 記 の 補 題3.7お

よ び 補 題3.8に

が す べ て のm∈M∩

πVに 対 し成 立 す るの で 証 明 が 完 了 す る.

  補 題3.7(石 田)  N〓Zrお

よ り(2),(3),(4)の

よび0〓p〓rと

条 件 の も とで

す る.有

理 強 凸 多 面錐 π⊂NR

の 面 全体 の なす 有 限 抽 象 複 体 を Φπとし,τ ∈Φπに 対 し て

と 定 義 す る.こ

の と き 石 田 のp次Z-複

体C・(Φ π;p)は

  (ⅰ)  π が 単 体 的 で あ れ ば 

次 の 性 質 を 持 つ.

は 適 当 な 有 限 個 の τ∈ Φπ に 対 す る

 の 直 和 と 同 型 で あ る.   (ⅱ)  π が 非 特 異 で あ れ ば,C・(Φπ;p)は

適 当 な 有 限 個 の τ∈ Φπ に 対 す る

C・(Φπ(τ);r)の 直 和 と 同 型 で あ る.   証 明   dimπ=sと

す る.い

次 独 立 な 原 始 元n1,…,ns∈Nが ns+1,…,nr∈Nを Mの

双 対Q-基

ず れ の 場 合 に も π は 単 体 的 で あ る か らR上 存 在 し て 

適 当 に と れ ば{n1,…,nr}が  底 を{m1,…,mr}と と な る.特

と な る.ま のQ-基

た原始元

底 と な る. 

す れ ば 

に π が 非 特 異 で あ れ ば 上 記 の{n1,…,nr}がNのZ-

基 底 とな る よ う に 取 れ, 

一

と な る.

 σ∈ Φπ は{1,…,r}の

部 分 集 合

に よ り  る.従

と 決 ま る.ま

っ てdimσ=jな

た 

とな

ら 

が ξ(σ)の(p−j)

元 部 分 集 合 のす べ て を動 く とき の

が 

のQ-基

で あ る.た

底 と な る.よ

って

だ し σ は Φπの す べ て の 元 に わ た っ て 動 き,λ は ξ(σ)の(p−dimσ

元 部 分 集 合 の す べ て に わ た っ て 動 く.  こ の と き 

で あ る.た

つ 

±1は

だ し(μ,τ)は

σ<τ,λ

⊃μ か

の 元数 が1で あ る 組 す べ て にわ た って動 く.ま た 符 号 λ＼ μ の 数 字 が λの 元 の 順 序 で 奇 数 番 目 か 偶 数 番 目か に よ り決 め た も

の で あ る.上 記 の よ うな 組(λ,σ)の集合 に順 序 を

と定 義 す れ ば 容 易 に 判 る よ うに

と な る.た

だ し(μ,τ)は 上 記 の 順 序 で 極 小 な も の す べ て を 動 く も の と す る.

  π が 非 特 異 で あ れ ば,以   補 題3.8(石

田[I1,命

上 の 議 論 はZ-係

題2.3]) 

数 の ま ま で 成 立 す る.

N〓Zrと

す る.NRの

有理強凸多面錐 πの

面 全 体 の な す 有 限 複 体 を Φnと す れ ば,石

田 のr次Z-複

体 の コホ モ ロジ ー群

は 次 の 通 り で あ る.

  証 明   π={0}で

あ れ ば 

で あ りj≠0な

らCj(Φ

π;r)=0

で あ る.   π≠{0}の

場 合 を 考 え よ う.ま ず￨Φπ￨=π

注 に お い て 述 べ た よ うにj〓1な 次 元Z-係

で あ る.命 題3.4直

らHj(C・(Φ π;r))は(π

数 被 約 コ ホ モ ロ ジ ー 群 と一 致 す る.と

−1)次 元 球 面(NR＼{0})/R>0内

の胞 体 で あ り ,被

後 の二 番 目の

＼{0})/R>0の(j−1)

こ ろ が(π ＼{0})/R>0は(r 約 コ ホ モ ロ ジ ー群 は す べ て

 

消 え る.(被

約 コ ホ モ ロ ジ ー群 に 帰 着 さ せ な い 直 接 の 証 明 に つ い て は 石 田[I1,

命 題2.3]を

参 照 し て 頂 き た い.)

  こ こ で 双 対 化 複 体 に 関 す る 結 果 を 紹 介 し よ う.詳

細 はHartshorne[RD],

Banica-Stanasila[BS],Verdier[V3],Schenzel[S4]等

を 参 照 し て 頂 き た い.

  一 般 に 代 数 多 様 体 あ る い は 複 素 解 析 空 間 で あ るYに ら 得 る 導 来 圏(derived

category)をD(OY)と

す る.そ

は そ れ ぞ れ 下 に 有 界 お よび 上 に 有 界 で,コ か ら 得 る 部 分 圏 で あ る.ω ・ ∈D+C(OY)がYの で あ る と は,有

対 し,OY-加

群 の複 体 か

の 中 でD+C(OY),D-C(OY)

ホ モロ ジ ー 層 がOY-連

接 とな る複体

双 対 化 複 体(dualizing

complex)

限 な 単射 分 解 を 持 ちか つ 函 手

が双対性 

お よび 同 じ形 で 定 義 す る  を み た す も の で あ る.Yの

双 対 化 複 体 は 唯 一 通 りに決 ま るわ け で は な

く,次 数 の移 動,可 逆 層 の テ ン ソル積(お

よび複 体 とし て の擬 同 型)だ け の 自

由度 が あ る.  実 は大 域 的 に正 規 化 した 双 対化 複 体 ωYが(擬 同 型 を除 い て)唯 一 通 りに 決 ま り,次 の性 質 を持 つ の で あ る.  (ⅰ)  ωYの コホ モ ロジ ー 層 は または を み た す.   (ⅱ)  Yが 非 特 異s次 元 で あれ ば,s次 で あ る.た だ し右 辺 実-s次

正則 微 分 形 式 の 層 を Ω5Yとし た と き  の 項 がΩsYで あ り他 は0と な る複 体 で

あ る.   (ⅲ) 正 則 写 像f:Y→Zに

対 し振 れ 逆 像(twisted

が 定 義 出 来,  に 対 し(g°f)!=f!°g!が

imerse

と な る.ま

image)函

手f!: 

た 正則 写 像g:Z→W

成 立 す る.

(ⅳ)  固 有 な 正則 写 像f:Y→Zに

よ る直 像 層 を と る導 来 函 手 を 

と し,OY‐ 加群 お よびOz‐ 加 群 の 準 同型 層 を と る導 来 函手 を それ ぞ お よ び 

れ  と す る.こ

の と き 

お よび 

に 対 し双 対 定理

 

が 成 立 す る.特

にG・=ωZと

すれ ば

で あ る.   (ⅴ) (Serre-Grothendieckの 記(ⅳ)に お い てZを Zに

双 対 定 理)特

にYが

コ ン パ ク トで あ れ ば,上

一 点 と考 え れ ば 次 が 成 立 す る.連 接OY-加

対 し 

とHj(Y,F)と

はC-ベ

群Fお

よ び 各j∈

ク トル 空 間 と し て 互 い に 双 対 的

で あ る. (ⅵ)

が 成 立 す る と きYはCohen-Macaulay的 をYの

双 対 化OY-加

なOY-加 異s次

で あ る と 言 い,ωY:=H-dimY(ωY)

群 あ る い は 標 準OY-加

群 と 呼 ぶ.こ

群 で あ れ ば,YはGorenstein的

の と き 更 に ωYが 可 逆

で あ る と 言 う.た

元 で あ れ ば(ⅱ)に よ りYはGorenstein的

と え ばYが

で あ り,ωY=ΩsYで

  一 般 に 構 成 さ れ て い る 双 対 化 複 体 は 単 射 的(injective)OY-加 こ と が 多 く大 き す ぎ る き ら い が あ る.次 場 合 に 連 接OY-加

の 結 果 の 要 点 は,卜

非特

あ る.

群 の 複体 で あ る ー リ ッ ク多 様 体 の

群 か ら な る取 扱 い易 い複 体 とし て双 対 化 複 体 を具 体 的 に実 現

す る こ と に あ る.補

題3.8お

よ び 定 理3.6(2)の

方 法 を も っ と精 密 化 す る こ と

に よ っ て 証 明 出 来 る.   石 田 の 構 成 定 理([I1,定 X=TNemb(Δ)に あ る.次

理3.5],[I7,定

対 し,石

数 をrだ

け ず ら せ たK・(X;r)[r]が

と な る.(K・(X;r)[r]のj番   よ り一 般 に,被

田 のr次OX-複

理3.1])r次

双対化複体で

大 域 的 に 正 規 化 した 双 対 化 複 体

目 の 項 はKr+j(X;r)で

約 なTN-不

元 卜ー リ ッ ク多 様 体

体K・(X;r)はXの

変 閉 部 分 多 様 体Y⊂Xに

あ る.) 対 しOY-複

体K・(Y,

X;r)を

お よ び δか ら 自 然 に 得 ら れ る コバ ウ ン ダ リ ー 準 同 型 に よ っ て 定 義 す れ ば,そ 次 数 をrず

らせ た 複 体K・(Y,X;r)[r]はYの

の

大域 的 に 正 規化 し た 双 対 化 複

体 で あ る.   補 題3.8が

無 条 件 で 成 立 す る お か げ で 定 理3.6(2)は

体 に 対 し て 成 り立 つ.石 ster[H5],Kempf[TE,第1章,定

一 般 の トー リ ッ ク 多 様

田 の 構 成 定 理 と併 せ れ ば 次 の 系 の 前 半 を 得 る.Hoch 理9,定

理14],石

田[I1,命

題6.2]に

よ

っ て 各 種 の 証 明 が 与 え れ た も の で あ る.後 た い.た

だ し[TE,第1章,§3]の

半 に つ い て は[TE]を

参 照 し て頂 き

前 半 の 議 論 が 不 正 確 で あ る こ とは 定 理2.6

直 前 で 指 摘 し た 通 りで あ る.   系3.9 

r次 元 トー リ ッ ク多 様 体X=TNemb(Δ)はCohen-Macaulay的

で あ りΩrXが そ の 双 対 化OX-加

群 で あ る.Δ

る 特 異 点 解 消 

の 局 所 有 限 な 非 特 異 細 分 Δ′に よ

は 次 の 性 質 を 持 つ.

す な わ ちXの

特 異 点 は す べ て 有 理 特 異 点 で あ る.ま

schneider消

滅 定 理 が 成 立 す る.

た 次 のGrauert-Riemen

  よ り一 般 に トー リ ッ ク多 様 体X=TNemb(Δ)の 様 体Yに 来 る.ま

対 し て もCohen-Macaulay性

被 約 なTN-不

やGorenstein性

変 閉部 分 多

を 判 定 す る こ とが 出

ず

は Δ の 星 状 閉 部 分 集 合 で あ る.YのXに Δ(j)≠〓}と

一 致 す る.ま

お け る 余 次 元 はh:=min{j;ΔY∩

た τ∈ ΔYに 対 す る

は Δ 内 で 局 所 星 状 閉 で あ り,石

田 のZ-複

体C・(ΔY(τ);r)が

定 義 出 来 る.

  石 田 の 判 定 定 理   上 記 の 記 号 の も と で 次 が 成 立 す る.   (1)([I1,系3.5])YがCohen-Macaulay的

と は 同 値 で あ る.こ   (2)(I1,定

であることと

の と きHh(K・(Y,X;r))がYの

理5.10])も

で あ れ ばYはGorenstein的 従 っ て ΔY(j):=ΔY∩Δ(j)の

し す べ て の τ∈ΔYに

双 対 化OY-加

群 で あ る.

群 はOYと

同 型 で あ る.

対 し

で あ り そ の 双 対 化OY-加

と し た と き 次 の 完 全 列 を 得 る.

  (3)特

に も しYがXのr-h次

元 以 下 のTN‐ 軌 道 す べ て の和 集 合 す な わ

ち

で あ れ ばCohen-Macaulay的

で あ る.h=1の

で あ れ ば よ り強 くGorenstein的

で あ る.

  注   上 記 の諸 結 果 は す べ て任 意 標 数 の体k上

の代 数 多様 体 と して の トー リ ッ ク多 様体

に対 し て も成 立 し,可 換 環 論 的 に も興 味 深 い.た   (ⅰ)  NRの

有 理 強 凸 多面 錐 πに 対 し体k上

様 に 定 義 す れ ばCohen-Macaulay環

とえ ば 次 の 結果 が成 立 す る.

の半 群 環k[M∩

で あ るた め の 必 要 十 分 条件 で あ る.3次 理8.1]に

元 の そ の よ うな π

あ る.

部 分 集 合 の 族 Ξ が 与 え られ 次 の 性 質 を み た す もの とす る.

この と きr変 数 多 項 式 環k[x1,…,xr]内

で 平 方 で 割 り切 れ な い 単 項 式 の 集 合

で生 成 され る イ デ ア ル を考 えそ の 剰 余 環 をRと 間kr内

基 底 とす る

対 し

の うち 特 に完 全 交 叉 とな る もの の 分類 は 石 田[I1,定   (ⅱ)  I:={1,2,…,r}の

πv]を 第1章 に お け る と同

で あ り{e(m);m∈M∩int(πv)}をk‐

イデ アル が 双 対 化 加 群 であ る.あ るm0に

とな る こ とがGorenstein環

場 合 す な わ ちY=X＼TN

す る.幾

何 学 的 には ,r次

元 ア フ ィン 空

の線 形 部 分 空 間 を ξ∈Ξ に 対 して

とし た と き

で あ る.Ξ に 属す る集 合 の最 大 の 元 数 をdと あ る.一 方 Ξ はIを

頂 点 集 合 とす るd-1次

す れ ば,こ れ はk上

のd次

元代数多様体 で

元 単 体 的 複 体 とみ なす こ とが 出来 る.そ

のk‐係 数 被 約 ホ モ ロ ジ ー群 お よ び各 単 体 に 関す る絡 み部 分複 体 のk‐係 数 被 約 ホ モ ロジ ー群 の 消 滅 状 況 に よ ってRがCohen-Macaulay環 あ るか が 判定 出 来 る.Reisner[R6]がKoszul複 とえ ば Ξ がd-1次 §3.3と §A.5で

で あ るか あ るい はGor

enstein環

元 球 面 の三 角 形 分割 と 同型 で あ れ ばRはGorenstein環

で あ る.

この よ うな環 が コホ モ ロジ ー環 との 関 連 上 必 要 とな る.

  一 方 次 の よ うに 考 えれ ば前 記 の石 田 の判 定 法 の 範疇 に 入 る.{n1,…,nr}をZ‐ す るZ‐ 加 群Nを

で

体 を使 用 し て考 察 した も の であ る.た

と り,NRの

有 理 強 凸 多 面 錐 

面 全 体 の な す 集 合 を Δ とす る.部 分 集 合 ζ⊂Iに

基底と

を考 え る.π の 対す る

が Δの 元 で あ る.上 記 の よ うにIの

は Δの 星 状 閉 部 分 集 合 であ る.各

部 分 集 含 の族 Ξ が 与 え られ た とき

τ∈ ΔYに 対 し石 田 のZ‐ 複体C(ΔY(τ);r)を

の 係 数 をkに 拡 大 し た も の の コホ モ ロ ジ ー群 

考 え,そ

が前 記 の石 田 の判 定

定 理(1),(2)と 同様 の 条 件 を み た す か 否 か に よ っ てRのCohen-Macaulay性,Goren stein性 が 判 定 出 来 るの で あ る.   た とえ ば Ξ がd-1次

元球 面 の,頂 点 がr個 の三 角形 分割 で あ る場 合,jRがGoren

stein環 とな る こ とは 上 述 の 通 りで あ るが,定 理 の(2)に よ りR‐ 加 群 の完 全 列

を 得 る.た

だ し Ξ に 属す る集 合 の うち元 の個 数jの

∈Ξ に 対 し{xi;i∈

もの全 体 を Ξ(j)と 書 き,ま

ξ}を 変数 とす る多項 式 環k[ξ]を

あ る.こ の完 全 列 はDanilov[D1,注3.8]に ク ト凸 多 面 体 の 形 態 に 関 す るStanleyの

も あ る.§A.5で

た各 ξ

剰 余 環 とみ なす の で

紹 介 す る よ うに,コ ン パ

結 果 の証 明過 程 で も こ の よ うな環 が 現 わ れ る.

次 節 の 終 りに 紹 介 す るJurkiewicz-Danilovの   (ⅲ)  石 田の 判 定 定 理 に 現 わ れ るY,特

自然 にRの

定 理 の証 明で も この 完全 列 を使 用 す る.

に 上 記(ⅱ)に現 わ れ るYの

接 複 体 を調 べ る こ と

は,多 様 体 の 変 形,退 化 を 一 般 に 考 察 す る場 合 に 有用 で あ る と思 わ れ る.詳 細 は 石 田 ‐ 小 田[IO]を

参 照 して 頂 きた い.ま た そ の よ うなYの

持 つ 特 異 点 の,Mumford[M9]の

味 で の安 定 性 を 調 べ る こ と も有 意 義 で あ る.鏡[K1]が

意

低次元の場合にそれを実行して

い る.   一 般 のr次 層 

元 トー リ ッ ク 多 様 体X=TNemb(Δ)上

のZariski微

に 関 す る 局 所 的 性 質 の 考 察 を 続 け よ う.定

理3.6(1)に

の 核 と 一 致 す る.通

分 形式 の

よ り 

は 

常 の 外 積 

に よ り外 積

を 得,従

っ てOX‐ 準 同 型

を 得 る.   命 題3.10(Danilov[D1,命

題4.7,命

ッ ク多 様 体X=TNemb(Δ)お

よ び 

る.す

なわち

題4.8お

よ び 系4.9]) 

r次 元 トー リ

に対 し上 記 の 準 同 型 は 同型 で あ

もし各 σ∈Δ が 単 体 的 で あれ ばOX‐ 加 群 と し ての 

の 深 さは 

で あ り次 の性 質 を持 つ

 証 明 

を非 特 異 点 集 合 か らの 開 埋 込 み とす れ ば,通

常 の外 積 に

よ りOU‐ 同 型

を 得 る こ と は 周 知 の 通 りで あ る.従

を 得 る.一

っ てOX‐ 同 型

般 に 自 然 なOX‐ 同 型

が 存 在 す る が,定

理3.6(1)か

ら 容 易 に 判 る よ うに

で あ る.   後 半 を 示 す に は 定 理3.6(3)に

おけ る 

に よる完 全 列

を 使 用 す る. 

か つ σ∈ Δ(j)な ら 系3.9をV(σ)に

適用 す る こ とに よ り

 従 っ て 

と な る.jに

降 下 的 帰 納 法 に よ り 

と な る.

  最 後 の主 張 は,  つFxの

の各 点x∈Xに

局 所 コホ モ ロ ジ ー群 

従 う(Hartshorne[RD,定

言 い換 え る と,各

お け る茎 と,xに

台を持

との 双 対 性 に 関 す る局 所 双 対 定 理 か ら

理6.2,p.278]参

  注  定 理3.6(3)を

関す る

照).

σ∈Δ が 単 体 的 であ る と の 仮 定 の も とで 導 来 圏 

に お け る同 型

が存 在 す る こ とで あ る.従 って 命 題3.10と

併 せ る と にお

け る 同型

 (*) を得 る.と ころ が石 田[I7]に で成 立 す る.[I1,定 とは,も

理3.5]と

っ と一 般 にXの

の と同 型 な"退

よれ ば(*)は 単 体性 の 仮 定 な しに 一 般 の トー リッ ク多 様 体 同様 の方 法 を 使 っ て証 明出 来 るの であ る.更 に 重 要 な こ

被 約 なTN‐ 不 変 閉 部 分 多 様 体,あ る い は 局 所 的 に そ の よ うな も

化 多 様 体"の

場 合 に ま で一 般 化 出 来 る の であ る.

  Zariski微

分 形 式 の 層 に関 し て も 外微 分

お よ び そ れ に よ るde

Rham複

体 ΩXが 定 義 出 来 る.定

理3.6(1)に

よ り 

で あ る が 

に対 しては外微 分が定義 出来て

と な る か ら で あ る.Danilov[D1,命

と な り,容

易 に 判 る よ うに 

題13.4]に

あ る よ うにPoincareの

[I7,系1.6]に

補 題 が 成 立 し,ΩXはCXの

お い て こ の 結 果 もXの

被 約 なTN‐

分 解 を 与 え る.

不 変 閉 部 分 多 様 体 の 場 合 に一

般 化 さ れ て い る.

  §3.3  コ ンパ ク トな トー リッ ク多 様 体 と微 分 形 式   前 節 で 考 察 し た 局 所 的 性 質 の 帰 結 と し て コ ン パ ク トな 場 合 に 得 るZariski微 分 形 式 の 層 の 大 域 的 性 質 を 紹 介 し よ う.   Serre-Grothendieckの

双 対 定 理   X=TNemb(Δ)を

コ ン パ ク トなr次

元

トー リ ッ ク 多 様 体 とす る.

 (1)

が 成 立 す る.も し各 σ∈Δ が 単 体 的 で あ れ ば,任 意 のp,qに

対 して 外 積 に よ り

得る

は 完 全 な 双 線 形 写 像 で あ り, 

は 

の 双 対C‐ ベ ク トル

空 間 と 自然 に 同 型 と な る.   (2) 

は 前 節 の 意 味 で 大 域 的 に 正 規 化 し たOX‐ 加 群 の 双 対 化 複 体 で

あ る.特

に 任 意 の 連 接OX‐

Hq(X,F)の

対 し そ の 双 対OX‐ 加 群 をF*と

に 対 し 

は

に 局 所 自 由 な 連接

す れ ば 

は

双 対C‐ ベ ク トル 空 間 と 自然 に 同 型 で あ る.

  XがCohen-Macaulay的 3.10の

よ び 

双 対C‐ ベ ク トル 空 間 と 自 然 に 同 型 で あ る.特

OX‐ 加 群Fに Hq(X,F)の

加 群Fお

結 果,一

で 

が 双 対 化OX‐ 加 群 で あ る と の 系3.9,命

般 のSerre-Grothendieckの

題

双 対 定 理 の 特 別 な 場 合 と し て得

る も の で あ る.(1)お OX(Dh)の

よ びTN‐

場 合 の(2)を,ト

不 変Cartier因

消 滅 定 理   X=TNemb(Δ)を

と し 

参 照)に 対 しF=

ー リ ッ ク 多 様 体 の 特 殊 性 を 使 う こ とに よ っ て 直 接 証

明 す る こ とが 可 能 で あ る.Danilov[D1,命   Bottの

子Dh(第2章

と す る.可

題7.7.1]を

参 照 し て 頂 き た い.

コ ン パ ク トなr次

逆 なOX‐ 加 群Lが

元 トー リ ッ ク多 様 体

豊 富 で あれ ば

が 成 立 す る.   非 特 異 な 場 合 に 一 般 に 成 立 す る も の の トー リ ッ ク 多 様 体 版 で あ る.定 お よ び 系2.5に

よ り狭 義 に 上 に 凸 な あ るh∈SF(N,Δ)に

な る.Danilov[D1,定   定 理3.11  る.各

理7.5.2]と

X=TNemb(Δ)を

理2.7

対 しL=OX(Dh)と

同 様 に 証 明 は 読 者 に 委 ね よ う. コ ン パ ク トなr次

元

トー リ ッ ク 多 様 体 とす

σ∈ Δ が 単 体 的 で あ れ ば 次 が 成 立 す る.

  (1)  各 

で あ り,更

に対 し

に よる完 全 列

に 

が 存 在 す る. と し,変数tのPoincare級

 (2) 

と 定 義 す れ ば 函 数 等 式P(t)=trP(1/t)が

と な る.た

成 立 し しか も

の元 数 で あ る.

だ し は 

  証 明   定 理3.6(3)に

数 を

よ り 

は 完 全 列 で あ る.ま た  る か ら 系2.8を

を 得 る.従 K(X;p))のq次 項 が0で

トー リ ッ ク多 様 体V(σ)に

っ て 周 知 の 通 り 

であ 適用すれ ば

はC‐ ベ ク ト ル 空 間 の 複 体H0(X,

元 コ ホ モ ロ ジ ー 群 と一 致 す る.こ

あ る か らq>pに

対 し 明 ら か に 

の 複 体 はp+1次

元以上 の

と な る.従 っ て 前 述 の

Serre-Grothendieckの

双 対 定 理(1)に

よ りq
対 し て も 

と な る.

 こ の よ う に し て 得 る(1)の 完 全 列 に よ っ て次 元 を計 算 す れ ば 

で あ る.σ ∈ Δ(j)に 対 しM∩

と な り,簡

σ⊥ は 階 数r-jの

自 由Z‐ 加 群 で あ る か ら

単 な 計 算 に よ っ て 

Grothendieckの

を 得 る.一

双 対 定 理(1)に

函 数 等 式P(t)=trP(1/t)が

よ り 

成 立 す る.こ

方Serre-

で あ る か ら定 義 に よ って の右 辺 に上 式 を 使 用す れ ば結 局

を 得 る.   次 の 結 果 はDanilov[D1]お

よ びEhlers[E2]に

よっ て別 の証 明 が な され て

い る も の で あ る.   定 理3.12  と し,TN‐

X=TNemb(Δ)を

コ ン パ ク トなr次

不 変 因 子 

元 非 特 異 トー リ ッ ク 多 様 体

を 考 え る.

  (1)  完 全 列 

が存

在 す る.   (2)  Xの

全Chern類

は

で あ る.   (3)  Xの

位 相 的Euler数

と一 致 す るr次

のChern類

は

で あ り,ま たR‐ 係 数 コ ホ モ ロ ジ ー群 の カ ッ プ積  の符 号 数 と し て定 義 す るXの

示数は

で あ る.特 にrが 奇 数 な ら上 記 の 両 辺 は0で あ る.   証 明  定 理3.6(4)でp=1と

す れ ば 完 全 列 

を得 る.OX‐ 双 対 を とれ ば

が 完 全 列 とな る.一

方 完 全 列 

のOX‐ 双 対

を とれ ば 

が

完 全 列 と な り(1)を 得 る.   V(ρ)がXのCartier因

子 で あ る か ら上 記 の 完 全 列 と全Chern類

に よ り 

の加 法 性 で あ る.ま

た

(1)に よ り

で あ る.命

題3.1に

よ り 

で あ るか ら(2)を

得 る.   最 後 に(3)を 示 そ う.通 常 の 通 り  (1)に よ りp≠qの

と きhp,q=0で

とす れ ば 定 理3.11 あ る.従

っ て 位 相 的Euler数

は

で あ る.   一 方Hodge-Atiyah-Singerの 15.8.2お

よ び 第25節]参

で あ る.従

っ てPoincare級

と な る.定

理3.11(2)に

る.ま

示 数 定 理(た 照)に

と え ばHirzebruch[H2,定

よ り示 数 は

数 の定 義 に よ り

とな

よ り 

た 函 数 等 式 に よ り 

P(-1)=0で

で あ る か ら,rが

対 し そ のde

コ ホ モ ロ ジ ー を 考 察 す る こ と に よ っ てHodgeの

が 内 在 的 に 定 義 出 来 る.左

辺 の い わ ゆ るHodgeコ

Rham複

調 和 積 分 論 に よ っ て,ま はDeligne[D3]に

たXが

よ っ て,こ

こ と が 知 られ て い る.ま Rham複

体 ΩX(logD)を

体 ΩXの 超

ス ペ ク トル 列

ホ モ ロ ジ ー とC‐ 係 数 コ ホ モ

ロ ジ ー と の 間 の 関 係 を 記 述 し て い る こ と に な る.XがKahler多

ル列

奇 数 な ら

あ る.

 一般 に コ ン パ ク トな 非 特 異 複 素 多 様 体Xに

てde

理

様 体 であ れ ば

代 数 多 様 体 に 付 随 す る複 素 多 様 体 で あ る場 合 に の ス ペ ク トル 列 がE1で

退 化 す る(す な わ ち 

た 正 規 交 叉 の み を 持 つ 被 約 因 子  考 え れ ばGrothendieck-Deligneの

に対 し スペ ク ト

を 得 る.こ

れ はDeligneに

よ るHodge理

論[D4]の

鍵 と な る 事 実 で あ る.

  Danilovは

非 特 異 と は 限 ら な い 一般 の コ ン パ ク トな トー リ ッ ク多 様 体 の 場 合

にHodgeス

ペ ク トル 列 の 次 の よ う な 類 似 を 得 た.

  Danilovの 12.10])コ

ス ペ ク トル 列 定 理([D1,定 ン パ ク トなr次

理12.2,定

理12.5,系12.7,命

元 トー リ ッ ク多 様 体X=TNemb(Δ)に

題 対 し スペ

ク トル 列

が存 在 しE1で

退 化 す る.ま た

が 成 立 す る.   こ の 証 明 に は 工 夫 を 要 す る.Danilovの の ひ と つ は[D1,補

  さて定 理3.12に

題12.3]で

論 文 を 参 照 し て 頂 き た い.証

あ る.す

お い てはChern類

明 の鍵

な わ ち σ∈ Δ に 対 し

の値 を どこで 考 え るの か 全 く触 れ な か っ

た.一 番 精 密 な 理 論 で は 値 をChow環

で 考 え る.Ap(X)はX上

の 余 次 元pの

代 数 的 サ イ クル(す な わ ち 既 約 閉 部 分 多

様 体 のZ‐ 係 数 一 次 結 合)を 有 理 的 同 値 で 分 類 した 加 法 群 で あ る.ま た サ イ クル の交 叉 に よ り積 

が 定 義 出来A(X)は

次数 付 き環

とな る.既 約 閉部 分 多 様 体 に対 しそ の基 本 コホ モ ロジ ー類 を対 応 させ る こ とに よ り加 法 的 準 同 型 

を得,サ

イ クル の交 叉 と カ ップ積 が 対

応 す る こ とか ら次数 を2倍 す る環 の 準 同型

を 得 る.Chern類 る 像,あ

の 理 論 で は 上 記 の 如 き 一 番 精 密 な も の のH(X,Z)に

る い は 更 に そ のH(X,Q),H(X,R),H(X,C)に

おけ

お け る像 を考 え る

こ と も 出 来 る の で あ る.   JurkiewiczとDanilovに に 対 しXの

余 次 元jの

よ るChow環 既 約 サ イ ク ルV(σ)の

こ と に し よ う.X=TNemb(Δ)が

の 構 造 定 理 を 紹 介 し よ う.σ ∈ Δ(j) 決 め るAj(X)の

元 を υ(σ)と書 く

コ ン パ ク トか つ 非 特 異 で あ る か ら,相

異 な

る

ρ1,…,ρs∈ Δ(1)に

対 し

で あ る こ とが容 易 に 判 る.ま

たm∈Mに

対 し 

は0と 有 理 的 同値 な 余 次 元1の サ イ クル で あ る か ら,A1(X)に

おいて等

式

が 成 立 す る.   各 ρ∈Δ(1)に対 し て変 数t(ρ)を 導 入 し,多 項 式 環

を 考 え る.す

な わ ちSはZ‐

加 群TNDiv(X)の

対 称 多 元 環 で あ る.各t(ρ)を

υ(ρ)に移 す こ と に よ り次 数 付 き 環 の 準 同 型S→A(X)を

得 る.

  平 方 で 割 り切 れ な い 単 項 式 の 集 合{t(ρ1)t(ρ2)…t(ρs);ρ1,…,ρs∈Δ は 相 異 な り で 生 成 さ れ るSの

イ デ ア ル をIと

で 生 成 さ れ るSの

し,一 方1次

イ デ ア ル をJと

式 の 集 合 

す る.上

記の関係式

に よ り次 数 付 き環 の 準 同 型

を 得 る.た

だ し 第2の

  Jurkiewicz-Danilovの (Δ)を コ ン パ ク トなr次   (ⅰ) も しXが

準 同 型 で は 次 数 が2倍 定 理([D1,定

と な る の は 既 述 の 通 り で あ る.

理10.8お

よ び 注10.9])X=TNemb

元 トー リ ッ ク多 様 体 とす る.

非 特 異 で あ れ ば 上 記 の 次 数 付 き 環 の 準 同 型 は 同 型 で あ る.

  (ⅱ)  も し各 σ∈Δ が単 体 的 で あ れ ば,Q‐ 係 数 のChow環 

が定

義 可 能 で あ り,次 数 付 き環 の 同 型

を 得 る.   証 明 に は 定 理3.11で

考 察 し た 

級 数 を 使 用 す る.S/IはGorenstein環

の 挙 動 とPoincare で あ る.実

際 これ は §3.2の 石 田 の 判

定 定 理 直 後 の 注(ⅱ)に お い て 考 察 し た 形 の 環 で あ り,し 面Sr-1の

か もIは(r-1)次

三 角 形 分 割 に 対 応 し て 得 ら れ る イ デ ア ル と な っ て い る.何

元球 故 な らま

ず(NR＼{0})/R>0はSr-1と Sr-1上

同 相 で あ り,各

の 単 体 と な る か ら,扇

で あ る.一

がS/Iの

方MのZ‐

σ∈ Δ に 対 し(σ ＼{0})/R>0は

Δ に よ っ てSr-1の

基 底{m1,…,mr}を

三 角 形 分 割 が 自然 に 生ず るの

と れ ば 対 応 す るJの

元

正 則 列 を 与 え る の で あ る.

  射 影 多 様 体 のQ‐ 係 数 コ ホ モ ロ ジ ー 群 に 関 し て は,Lefschetzの 定 理 お よ び 強Lefschetz定

超平面切断

理 の 成 り立 つ こ と が 知 られ て い る.§A.5に

必 要 と な る の で,後

者 の トー リ ッ ク 多 様 体 版 を 述 べ て お こ う.

  強Lefschetz定

理   r次 元 トー リ ッ ク射 影 多 様 体X=TNemb(Δ)上

富 な 直 線 バ ン ドルLの

とす る.も

しXが

れ ば 各 

第1Chern類

非 特 異,あ

おいて

の豊

を

る い は も っ と一 般 に任 意 の σ∈ Δ が 単 体 的 で あ

に対 す る 

と の カ ップ積 に よ り

次 の 同型 を得 る.

特 に 

な ら カ ップ積 に よ る写 像

は単 射 で あ る.

 §3.4  トー リ ック 多様 体 の 自己 同 型 群 とCremona群   コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク 多 様 体X=TNemb(Δ)の はTNを

自己 同 型 群Aut(X)

極 大 トー ラ ス とす る 線 形 代 数 群 と な り,そ の ル ー ト系 が 扇(N,Δ)か

計 算 出 来 る.Demazure[D5]がCremona群

ら

の線 形 部 分 群 を 研究 し た際 に得

た 結 果 で あ り ト ー リ ッ ク 多 様 体 の 理 論 を 構 成 す る 動 機 と な っ た も の で あ る. Demazure[D5]の [U3]が

厳 密 な 再 証 明 を 与 え たEnriques-Fanoの

  Aut(X)は あ る.一 Aut(X)は

結 果 を 紹 介 し た 後,Cremona群

に 関 し て 梅 村[U1],[U2], 結 果 に も触 れ る.

コ ン パ ク ト開 位 相 に よ っ て 自 然 に 複 素Lie群 方Xが

とな る こ とは 周 知 で

完 備 代 数 多 様 体 の 構 造 を 有 す る の で,GAGA定

代 数 多 様 体 と し て のXの

自己 同 型 群 と一 致 す る.従

は 代 数 群 と し て の 構 造 が 次 の よ う に 自然 に 入 り,そ

理(ⅲ)に よ り っ てAut(X)に

れ に付 随 し て得 られ る複 素

Lie群

が 上 記 の も の と な る の で あ る.

  Xを

代 数 多 様 体 とみ な し,C上

の 任 意 の ス キ ー ムSに

対 し 積X×SのS上

の 自己 同 型(す な わ ち 自 己 同 型f:X×S→X×Sで

あ っ て,Sへ

対 しp2°f=p2と

書 く こ と に す れ ば,こ

な る も の)の 全 体 を 仮 にAX(S)と

合 成 に よ り群 と な り,ま

た 正 則 写 像g:S→S′

型AX(g):AX(S′)→AX(S)を

得 る.す

の 射 影p2に れ は

に 対 し 引 き戻 し に よ り群 の 準 同

な わ ちAXはC上

の スキ ー ムの 圏 か ら

群 の 圏 へ の 反 変 函 手 と な る.   Murre‐

松 村 ‐Oort-Artinの

可 能 函 手 と な る.す か らAXへ

判 定 法(Artin[A2]参

な わ ちC上

の 代 数 群AXが

存 在 し て,任

の 正 則 写 像 の 全 体 をHom(S,AX)と

が 存 在 し,ま

た 正 則 写 像g:S→S′

照)に よれ ば,AXは 意 のSに

表現 対 しS

書 くと同 型

に 対 し て は 合 成 に よ っ て 得 る 写 像g*:Hom

(S′,AX)→Hom(S,AX)とAX(g):AX(S′)→AX(S)が

関 係 

を み た す の で あ る.   特 にSを1点Spec(C)と

す れ ば,Cに

(C),AX)はAX(Spec(C))=Aut(X)と

座 標 を 持 つAXの 同 型 と な る.こ

点 の 集 合Hom(Spec の 意 味 でAut(X)に

自

然 な 代 数 群 の 構 造 が 入 る の で あ る.   次 に1次 る.S′

無 限 小 の 環 

ム ら し い ス キ ー ム"で に 対 応 し て 正 則 写 像  AXの

を 考 えS′:=Spec(C[ε])と

は 集 合 と し て は1点

単 位 元idXで

あ る.ε を0に

は 異 な り"本

す

当 に スキ ー

移 す 上 へ のC‐ 多 元 環 準 同 型 

を 得 る.こ

の と きAXのLie環Lie(AX)は

の 接 空 間 と 同 一 視 出 来 る がXの1次

考 え る こ と も 出 来,次

ΘXはXの

で あ る がS:=Spec(C)と

無 限 小 自己 同 型 の 群 と

が 成 立 す る.

正 則 ベ ク トル場 の 芽 の 層 で あ る.

  簡 単 のた め 以 後AXの

こ とを単 にAut(X),そ

の 単 位 元 の 連 結 成 分 をAut°(X)

と書 く.   以 上 述 べ た こ とは トー リ ッ ク多 様 体 に限 らず,一 般 の完 備 非 特 異 代 数 多 様 体 お よびそ れ に 付 随 す る コン パ ク ト複 素 多 様 体 に 関 して 成 立 す る こ とで あ るが,

以 後 は コ ン パ ク ト非 特 異 う.こ

ト ー リ ッ ク 多 様 体X=TNemb(Δ)に

の と き 明 ら か にAut(X)は

代 数 部 分 群 と し てTNを

  Demazureの

結 果 を 述 べ る た め に はAut(X)のLie環

道 で あ る.X上

のCartier因

子D:=Σ

話 を限 定 し よ 含 ん で い る. を 調 べ る の が 最 も早

ρ ∈Δ(1)V(ρ)を とれ ば,定

理3.12(1)

に よ り完 全 列

が 存 在 す る.命 題3.1に

を 得 る.し

よ り 

で あ るか ら完 全 列

か も 

∈H0(X,ΘX)と の 部 分Lie環

で あ る が, 

をOXの

同 一 視 す る こ とに よ りLie(TN)はLie(Aut(X))=H0(X,ΘX) と な っ て い る.

  更 に 完 全 列  をXのCartier因

を 考 え,補 子V(ρ)に

各 ρ∈ Δ(1)に 対 しN∩

R(N,Δ)}はH0(X,ΘX)の

た 

コンパ ク ト

ル ー ト系R(N,Δ)⊂Mを

ル ー ト と 呼 ぶ.こ 中 でC上

だ し

記 す の は 従 来 の 通 り で あ る.

題7,p.571])X=TNemb(Δ)を

非 特 異 トー リ ッ ク多 様 体 とす る.(N,Δ)の

と 定 義 し そ の 元 を(N,Δ)の

題2.3

適 用 す れ ば 次 の こ と が 容 易 に 証 明 出 来 る.た

ρ の 唯 一 の 原 始 元 をn(ρ)と

  命 題3.13(Demazure[D5,命

を 得 る.ま

微 分cδn

の と き 

;α ∈

一 次 独 立 で あ り直 和 分 解

と 

と を 同 一 視 す る こ とに よ り

で あ る.   注  定 義 か ら明 らか な よ うに α∈R(N,Δ)に 対 し ρ(α)∈ Δ(1)は唯 一 通 りに 定 ま る.し か しな が ら相 異 な る α,β∈R(N,Δ)に 対 し ρ(α)=ρ(β)とな る こ と は 起 り 得 る.ま

た

R(N,Δ)が 有 限 集 合 で あ る こ と もH0(X,ΘX)が

有 限 次 元 で あ る こ とか ら 明 らか で あ る.

  例   §1.2の

元 の 例(ⅱ),(ⅲ)を考 え よ う(第1.4図

照).

定 理1.5直

前 に 挙 げ た2次

参

 

(ⅱ) こ の 場 合X=P2(C)で

で あ っ た.Mの n(ρ(α))∈Nと

あ りNのZ‐

双 対Z‐ 基 底 を{m1,m2}と 併 せ た 組(α;n(ρ(α)))と

と な る こ と が 容 易 に 判 る.一

基 底{n1,n2}に

で あ る.計

す れ ば,α

対 して

∈R(N,Δ)を

対応す る

同 一 視 した と き

方 周 知 の 通 りAut(P2(C))=PGL3(C)で

の 通 常 の ル ー ト系 がR(N,Δ)と   (ⅲ) こ の 場 合X=Faで

基 底{n1,n2}に

あ り,そ

一 致 し て い る. あ る. 

と し て も一 般 性 を 失 わ な い.NのZ‐

対 し

算 に よ っ て 容 易 に 次 の こ と が 判 る.

a=0の

とき  の と き

F0=P1(C)×P1(C)で

あ りAut(F0)の

(C)×PGL2(C)で

あ る.そ

  一 般 にFaはP1(C)上 イ バー

単 位 元 の 連 結 成 分 はAut°(F0)=PGL2

の ル ー ト系 は 上 記 のa=0の

のP1(C)‐

場 合 と 一 致 し て い る.

バ ン ドル で あ る.Aut(Fa)の

を そ れ 自 身 の 中 に 移 す 元 全 体 の な す 部 分 群 をG1,ま

ァ イ バ ー に 移 す 元 全 体 の な す 部 分 群 をG2と Aut(P1(C))の

部 分 群 と な る.実

す れ ば 

よ り明 ら か な よ う に,P2(C)の1点 

をblow

た も の はF-1と

ー ト系 は{m1,-m1,m2,-m1+m2}で m2,-m2,m1-m2,-m1+m2}の で 後 述 す る よ うに

あ り,そ

な りそ れ 以 外 はG1の

ルー ト

照).

  定 理1.28に upし

で あ りG2/G1は

はG2/G1=Aut(P1(C))=PGL2(C)と

れ に 対 応 す る 部 分 の ル ー ト系 が{m1,-m1}で 系 な の で あ る(丸 山[M4]参

中でその各フ ァ た フ ァ イバ ー を フ

一 致 し 従 っ てF1と

同 型 で あ る.Aut°(F-1)の

あ りAut(P2(C))の

ル ー ト系{m1

部 分 集 合 と な っ て い る.実

ル

,-m1,

は こ れ は 命 題3.15

一 般 的 に 成 立 す る 結 果 の 特 別 な 場 合 で あ る.

  各 ル ー ト α∈R(N,Δ)に

対 応 す る 無 限 小 自 己 同 型 

の 積 分 と な る 一 助 変 数 部 分 群xα:C→Aut(X)を

次 の よ う に 構 成 す る こ とが 出

来 る.   命 題3.14(Demarure[D5,定

理3,p.573])X=TNemb(Δ)を

非 特 異 トー リ ッ ク多 様 体,α

∈R(N,Δ)を

か ら そ れ 自身 へ の 双 有 理 対 応xα(λ)を

そ の ル ー ト とす る.λ ∈Cに 次 の よ う に 定 義 す る.す

が1+λu(-α)≠0を

で あ る.た

だ し §1.2に

対 しTN

な わ ち 

み たせ ば

お け る よ う に γn(ρ(α))=Cx→TNはn(ρ(α))∈Nに

っ て 決 ま る 一 助 変 数 部 分 群 で あ る.更

で あ る.こ

コ ンパ ク ト

の と きxα(λ)はXの

に 具 体 的 に 書 け ばm∈Mに

自己 同 型 に 延 長 出 来,次

  (ⅰ)  λ∈Cをxα(λ)∈Aut(X)に

よ

対 し

の 性 質 を 持 つ.

移 す 写 像xα:C→Aut(X)は

代 数群 と し て

の単 射 準 同 型 で あ る.   (ⅱ)  xα に 対 応 す るLie環

の 単 射 準 同 型 

に よ り 

で あ る.た

標 λ に 関 す る 微 分 で あ り,通   (ⅲ) t∈TNお

常 の 通 りLie(C)の

よ び λ∈Cに

対 しAut(X)の

  証 明   xα(λ)が正 則 写 像X→Xに

だ しd/dλ

はCの

座

生 成 元 と み な す. 中 で 次 の 等 式 が 成 立 す る.

延 長 出 来 る こ と を 次 の2段

階(イ),(ロ)に 分

け て 考 え る.   (イ) σ∈ Δ が σ>ρ(α)を み た せ ばxα(λ)は 正 則 写 像Uσ

→Uσ

に 延 長 出 来 る.

実 際 定 義 に よ り  で あ る が,m∈M∩ で あ る.こ で あ る.何

σvと

す れ ば,ρ(α)<σ

の と き 各 

に 対 し 

故 な ら ま ず 

方 ρ′ ∈ Δ(1)が

で あ り,一

ρ′<σ か つ ρ′ ≠ ρ(α)で あ れ ば  だ か ら で あ る.u∈TNが1+λu(-α)≠0を

m∈M∩

に よ り 

み た す と き,

σvに 対 し定 義 に よ り

で あ る が,上

記 に よ り こ の 第3辺

はm∈M∩

σv,u∈Uσ

に 対 して 意味 を持 つ こ

と に な っ てxα(λ)(u)をUσ

の 元 とみ な す こ とが 出 来 る の で あ る.

 (ロ) 次 に ρ(α)が σ∈ Δ の 面 で な い 場 合 を 考 え る.こ ∈M∩

σvで あ り,従

が, 

の と き 定 義 に よ り-α

っ て σ ∩α⊥ は σ の 面 と な る.Δ な ら であ

は 破 れ の な い扇 で あ る

り し か も 

か ら 明 ら か に はΔ

に 属 す る.一

であ る 方Uσ

は 開 集 合 

お よ び  あ る.こ

の と きxα(λ)は 正 則 写 像U′

の和 集 合 で →Uσ

お よ びU"→Uτ

に延 長 出 来 る こ

と を 見 よ う.   実 際u∈U′

で あれ ば

の 右 辺 はm∈M∩ 来 る.一 数bを

σvに 対 し て 意 味 を 持 ちxα(λ)をUσ

方u∈U"の

場 合 を 考 え る.ま

とれ ば す べ て の 

に 対 しm-jα

ずm∈M∩ ∈M∩

の 元 とみ なす こ とが 出

τvに 対 し 十 分 大 き な 自 然 σvと

な る.何

故 な らσの

面 ρ∈ Δ(1)が σ ∩α⊥ の 面 で あ れ ば τ の 面 で も あ り  と な る.他

方 σ の 面 ρ∈ Δ(1)が σ ∩α⊥ の 面 で な け れ ば,ル

よ り<α,n(ρ)><0で 分 大 き なjに

あ り, 

は十

対 し て 非 負 と な る か ら で あ る.u∈U"の

て 上 記 の よ うな 自然 数bを

の 第3辺

ー トの 定 義 に

選 べ ば, 

場 合m∈M∩

τvに 対 し

で もあ るか ら

が 意 味 を 持 つ こ と に な りxα(λ)(u)をUτ

の元 とみ なす こ とが 出 来 る の

で あ る.   以 上 い ず れ の 場 合 に もxα(λ)は λ に 関 し て 多 項 式 で 記 述 出 来 て い る か ら  は 正 則 写 像 と な る.   u∈TNお

よびλ,λ′∈Cが  を み た す と き 

る.従 っ て(λ,λ′,u)∈C×C×Xか

とな る こ と は 容 易 に 判 らXへ

の 正 則 写 像 と し て 

と

xα(λ+λ ′)(u)は一 致 す る.明 ら か にxα(0)=idXで

あ る か ら 結 局xα(λ)∈Aut(X)

で あ り,xα:C→Aut(X)は

準 同 型 と な る.ま

た λ≠0な

理 対 応 と し てxα(λ)≠idXで

あ る か らxα は 単 射 で あ る.代

ら 既 にTNの

双有

数 群 と し て の 準

 

同 型 で あ る こ と はxα(λ)(u)が(λ,u)に Aut(X)の

関 して 多 項 式 で 表 現 出 来 る こ と か ら

既 述 の 通 り の 代 数 群 の 構 造 の 定 義 に よ り 明 ら か で あ る.以 上 で(ⅰ)が

証 明 出 来 た.   (ⅱ)  はxα(λ)の 定 義 式 を λ に 関 し て 微 分 す れ ば 明 ら か で あ る.   λ∈Cお

よ びt,u∈TNが 

を み た す と き,任

に 対 し て 

と 

は と もに

と 一 致 す る こ とが 計 算 に よ り容 易 に 判 る.(λ,t,u)∈C×TN×Xか 則 写 像 

意 のm∈M

らXへ

の正

とxα(t(α)λ)(u)が 開 集 合 上 で 一 致 す る の で 恒 等 的 に 等

し くな り(ⅲ)を得 る.  以 上 の記 号 の も とで 次 の結 果 が 成 立 す る.   Demazureの

構 造 定 理   コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク 多 様 体X=TNemb

(Δ)の 自己 同 型 群Aut(X)は   (ⅰ)単 位 元idXの

連 結 成 分Aut°(X)内

り,R(N,Δ)はTNに TNと1次

線 形 代 数 群 で あ り,次 でTNは

関 す るAut°(X)の

の よ う な 構 造 を 持 つ. 極 大 な 代 数 的 トー ラ ス で あ

ル ー ト系 で あ る.特

にAut°(X)は

元 羃 単 部 分 群 の族

と で 生 成 さ れ る. (ⅱ)

とす れ ば,Aut°(X)の

羃 単 根 基Guは

直 積 と同 型 で あ る.一 方TNを る簡 約 代 数 部 分Gsが

を 得 る.R(N,Δ)の

で あ り,ル

しwα

の

極 大 代 数 的 トー ラ ス,Rs(N,Δ)を

ル ー ト系 とす

存在し半直積分解

元 の 個 数 を#R(N,Δ)と

ー ト系Rs(N,Δ)の

  (ⅲ) 扇(N,Δ)の

多 様 体 とし て 

した と き

単 純 成 分 は す べ てA‐ 型 で あ る.

自己 同 型 群 をAut(N,Δ)と

す る.一

方 各 α∈Rs(N,Δ)に

∈Aut(N,Δ)を

と 定 義 す れ ば,{wα;α

∈Rs(N,Δ)}の

生 成 す るAut(N,Δ)の

部 分 群W(N,Δ)

対

はGsのWeyl群

で あ り,し

  こ の 最 終 的 な 形 は[D5,命

か も 次 の 同 型 が 存 在 す る.

題11,p.581]に

あ る が,証

明 は コ ン パ ク トとは限

ら な い も っ と 一 般 の 場 合 も 含 め て 論 文 全 体 に わ た っ て 展 開 さ れ て い る.線 数 群 の 理 論 の 知 識 も 要 す る の で,こ   む し ろ こ こ で はDemazureの

形代

こ で は 詳 細 を 述 べ な い こ と に す る.

構 造 定 理 の 帰 結 と し て 得 るCremona群

に関

す る 結 果 を 述 べ る こ とに す る.そ

の た め ま ず 次 の 事 実 に 注 目 す る.

  命 題3.15 

コ ン パ ク トな 非 特 異 トー リ ッ ク多 様 体 と し,τ

X=TNemb(Δ)を

∈ Δ に 対 し てV(τ)を とす る.こ

中 心 とす る 同 変blow

の と きAut°(X′)は

ー ト系R(N

自 然 にAut°(X)の

,Δ′)は自 然 にR(N,Δ)の

と一 致 す る.た

upを  部 分 群 と な り,(N,Δ

′)のル

部分集合

だ し 相 異 な る ρ1,…,ρs∈Δ(1)に 対 し τ=ρ1+…+ρsと

な って

い る も の と す る.   証 明  fの 例 外 集 合f-1(V(τ))は あ る.Aut°(X′)が

周 知 の 通 り 線 形 同 値 の 意 味 で 不 動 な因 子 で

連 結 線 形 代 数 群 で も あ る か ら 結 局f-1(V(τ))はAut°(X′)で

保 存 さ れ る こ と に な り単 射 準 同 型  応 す るLie環

の 単 射 準 同 型  と す れ ば 命 題1.26に

′ ∈R(N,Δ

ρ(α′)=ρ0の

と き す べ て の ρ′ ∈ Δ(1)に 対 し て

  逆 に α∈R(N,Δ)が は 明 らか に   自 然 数rに

あ る.何

故 な ら,

と な り 

つ い て 成 り立 つ こ と に な り矛 盾 だ か ら で あ る. 与 え ら れ た と き α∈R(N,Δ

′)とな る た め の 必 要 十 分 条 件

で あ る. 対 し 変 数z1,…,zrに

よ るCの

を 考 え,そ

の 体 と し て のC上

己 同 型)全

体 が 合 成 に 関 し て な す 群 をr変

次 数rの

純 超 越 拡 大 体C(z1,…,zr)

の 自己 同 型(す な わ ちC上

Cr(r,C) と書 く.

よ り

′)なら ρ(α′)≠ρ0従 っ て α′∈R(N,Δ)で

が す べ て のn∈￨Δ￨=NRに

って対

を 得 る.

 

とな る.α

を 得 る.従

数Cremona群

で は 恒 等 写 像 とな る 自 と 呼 び,

  r=1の

場 合 は そ の 構 造 は 簡 単 で あ る.す

z1の 行 き 先 で 決 ま り,あ

な わ ちC(z1)のC上

るa,b,c,d∈C,ad-bc≠0に

の 自 己 同型 は

対 す る一 次 分 数 変 換

 に よ っ て 与 え ら れ る.従

って

とな る.   しか しな が ら  な い.そ る.す

の場 合 に はCr(r,C)自

の た め に次 の よ うに 考 え る.YをC上 な わ ちYの

同 型 で あ る.従

函数 体C(Y)がCの

身 は通 常 の 代 数 群 の構 造 を 持 た のr次 元 有 理 代 数 多 様 体 とす

次 数rの 純 超 越 拡 大 体C(z1,…,zr)と

っ て も し代 数 群GがYに

忠 実 に作 用 し て いれ ば 群 の単 射 準 同

型

を 得 る.同 型  は,Cr(r,C)の 群 をCr(r,C)の   Cremona群

の選 び方 に よ りGのCr(r,C)に

お け る像

部 分 群 とし て の共 役 を除 い て決 ま る.こ の よ うに し て得 る部 分 代 数 部 分 群 と呼 ぶ. に関 す る基 本 問題   Cr(r,C)内

の代 数 部 分 群 を共 役 で 分 類 せ よ.

特 に極 大 な連 結 代 数 部 分 群 の すべ て を 共役 で分 類 せ よ.   こ こで 注 意 す べ き こ とは梅 村 浩 氏 に よる次 の 指 摘 で あ る.す なわ ちCr(r,C) の 連 結 代 数 部 分群 全 体 の な す 集 合 は 帰 納 的 で は な い.従 っ て極 大 な も のす べ て を 共 役 を 除 い て見 出 した 上 で,更 に 出 来 うれ ば 任 意 の連 結 代 数部 分 群 は そ の適 当 な 共 役 が そ れ らの い ず れ か に 含 まれ る こ とを 確 か め る必要 が あ る.   r次 元 の コン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク多様 体X=TNemb(Δ)は

有理代数多

様 体 の構 造 を持 ち,し か も本 節 で 見 た よ うに 連 結 線 形 代 数 群Aut°(X)がXに 忠 実 に 作 用 し て い る.従 Cr(r,C)の   も しXが 変blow

っ てr次 元 代 数 的 トー ラスTNを

含 むAut°(X)が

連 結 代 数 部 分 群 とな る. コ ンパ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク 多 様 体 

upf":X→X"に

よっ て得 られ てい る 場 合 に は,命 とな る.従

分 群 とな る可 能 性 が あ る のは,上 在 しな い とい う意 味 でXが る考 察 の 意 義 が あ る.

から同

っ てAut°(X)がCr(r,C)の 記 の よ うな 同変blow

題3.15に

よ り 

極 大 連 結 代 数部 upf":X→X"が

存

極 小 とな る場 合 で あ る.こ の点 か ら も §1.7に お け

  一 般 にCremona群

に 関 し て 次 の こ とが 判 っ て い る.

基本定理   (1)  (松 村[M5])Cr(r,C)の

連 結 代 数 部 分 群 は 線 形 代 数 群 で あ る.

  (2)  (Demazure[D5,p.522,系4,系5])Cr(r,C)内 は す べ てr次

元 以 下 で あ る.ま

てCr(r,C)の

のr次

元 代 数 的 トー ラ ス は す べ

部 分 群 と し て 互 い に 共 役 で あ る.

  (3)  (Demazure[D5])Cr(r,C)内 わ ちr次

の 代 数 的 トー ラ ス

たCr(r,C)内

の 連 結 代 数 部 分 群 で 階 数rの

元 代 数 的 トー ラ ス を 含 む も の)は,コ

ー リ ッ ク 多 様 体 の 自 己 同 型 群 と し て 得 る 次 の よ う なG(N る. 

の 非 特 異 有 限 扇 Δ に 対 しX=TNemb(Δ)と

ト系R(N,Δ)の

Cr(r,C)に

部 分 群 をG(N,Δ;R′)と

お け るG(N,Δ;R′)の

成 分 はG(N,Δ;R′)と

が 存 在 す る.た

,Δ;R′)と

よ び{xα(C);α

す る の で あ る.ま

正 規 化 群 をnと

共役であ

す る.(N,Δ)の

飽 和 な 有 限 部 分 集 合R′ に 対 しTNお

生 成 さ れ るAut(X)の

も の(す な

ン パ ク トと は 限 ら な い 非 特 異 ト

す れ ば,nの

ルー

∈R′}で た この とき

単 位 元 の連 結

一 致 し 同型

だ しAut(N,Δ;R′)はR′

の 自 己 同 型 全 体 の な す 群 で あ り,一

を 自 然 な 意 味 で 保 存 す る扇(N,Δ) 方 α∈R′ ∩(-R′)に

対 しNの

自己 同 型

wα を

と し た と きW(N,Δ;R′)は 

で 生 成 さ れ るAut(N,Δ;

R′)の 部 分 群 で あ る.   た だ し コ ン パ ク トと は 限 ら な い 非 特 異 トー リ ッ ク 多 様 体X=TNemb(Δ)の ル ー トと は,命 ト系R(N,Δ)は

題3.13よ

り少 し 強 い 次 の(ⅰ),(ⅱ)をみ た す α∈Mで

あ り,ル

ル ー トす べ て の 集 合 で あ る.

  (1)ρ(α)∈ Δ(1)が 存 在 し て<α,n(ρ(α))>=1と に 対 し て 

な り,か

つ す べ て の 

.

  (ⅱ) σ∈ Δ が σ⊂α⊥ を み た す な ら ば σ+ρ(α)∈ Δ.   こ の と き 各 α∈R(N,Δ)に

対 し 命 題3.14と

同 様 に 単 射 準 同 型xα:C→Aut(X)

が 存 在 す る.   R(N,Δ)の

有 限 部 分 集 合R′ が 飽 和 で あ る と は

ー

 

(ⅲ)  (ⅳ)

を み た す こ と で あ る.Demazureの

構 造 定 理 で 述 べ た と 同 様 に 

と す れ ばG(N,４;R′)は Guと

の 半 直 積 

な り 

と な る.TNはGsの

は そ の ル ー ト系 で あ る. 

多 様 体 と し て 

  X=TNemb(Δ)が

  上 記(3)はDemazureが

っ て 

命 題3.13に

おけ る も の と

一 致 す る. そ も そ も トー リ ッ ク多 様 体 を 考 察 す る に 至 った 動 機

の 証 明 も や は り[D5]全

体 に わ た っ て 展 開 さ れ て い る.飽

和

お よび 連 結 線 形 代 数 群 か ら そ の 極 大 トー ラ ス へ の 擬 射 影 子 の 概 念

を 経 由 し て ト ー リ ッ ク 多 様 体 とCremonaの あ る.長

方Guは

身 が 飽 和 な 有 限 集 合 とな る こ とが 容 易 に 判 る.こ

きG(N,Δ;R(N,Δ))はAut°(X)と

Enriques系

極 大 トー ラ ス と

だ し#R′ はR′ の 元 の 個 数 で あ る. コ ン パ ク トな 場 合 に はR(N,Δ)は

の と一 致 し,R(N,Δ)自

羃単部分群

の 各 単 純 成 分 はA‐ 型 で あ る.一

の 直 積 と 同 型 で あ る.従

で あ る.た

で あ る が,そ

簡 約 部 分 群Gsと

代 数 部 分 群 とを 関連 づ け る ので

くな る の で 詳 細 は こ こ で 述 べ な い こ と に す る.

  r=2の

場 合 に は §1.7の

定 理1.28で

見 た よ うに 極 小 な コ ン パ ク ト非 特 異 ト

ー リ ッ ク 多 様 体 は 同 型 を 除 い て 次 の3種

実 は そ の お の お の に 対 応 し てCr(2,C)の   Enriquesの

定 理   Cr(2,C)の

類 あ る.

極 大 連 結 代 数 部 分 群 を 得 る.

極 大 連 結 代 数 部 分 群 は 共 役 を 除 い て 次 の3種

類 で あ る.Cr(2,C)の

任 意 の連 結 代 数 部 分 群 の適 当 な共 役 は これ らの いず れ か

に 含 ま れ る. 

のZ‐ 基 底{n,n′}お

対 し そ れ ぞ れ に 対 応 す る 扇(N,Δ)を 系R(N,Δ)を (ⅰ) 

(ⅱ)

組(α;n(ρ(α)))の

第3.1図

よびMの

双 対Z‐ 基 底{m,m′}に

の よ う に と り,対

集 合 と し て 併 せ て 記 述 す る.

応 す るル ー ト

(ⅰ)

(ⅱ)

(ⅲ)

第3.1図 (ⅲ)

  とこ ろがr=3で

は事 情 が も っ と複 雑 で あ る.Cr(3,C)の

19世 紀 末 にEnriquesとFanoに 労 作[U1],[U2],[U3]は

よ り分 類 され た.梅

極 大代 数 部 分 群 は

村浩 氏の最近の一連の

そ の分 類 に 近代 的 で厳 密 な 証 明 を 与 え て い る.そ れ

に よれ ばCr(3,C)の

極 大 連 結 代 数 部 分 群 とし て階 数(す な わ ち 極 大 代 数 的 トー

ラス の 次元)が3で

あ る もの2で あ る もの1で あ る も のが 現 わ れ,も は や トー

リッ ク多様 体 の 自己 同 型 群 と し てす べ てを 実 現 す る こ とは 不 可 能 とな る.階 数 が2お

よび1の

もの を 自己 同 型 群 と し て実 現 す る3次 元 コ ン パ ク ト有 理 多 様 体

は3次 元 の双 有 理 幾 何 学 の立 場 か ら も大 変 興 味 深 い.向 井‐梅 村[MU]に てSO3(C)を

おい

そ の有 限部 分 群 で あ る 多 面 体 群 Γ で割 っ た 空 間SO3(C)/Γ

SO3(C)‐ 同 変 コンパ ク ト化 とな っ て い る場 合 が 詳 し く調 べ られ て い る.3次 Fano多   r=3の

の 元

様 体 と も関 連 が 深 い の で あ る. 場 合 の結 果 の概 略 は 次 の 通 りで あ る(記 号 に つ い ては §1.7参 照).

  Enriques-Fano‐

梅 村 の 定 理  Cr(3,C)の

て 次 の14種 類 あ る.ま たCr(3,C)の

極大連結代数部分群は共役 を除い

任 意 の連 結 代 数 部 分群 の 適 当 な共 役 は こ

れ らの いず れ か に 含 ま れ る(括 弧 内 に梅 村[U3]の   (Ⅰ) 階 数1の

記 号 番 号 も併 せ て記 す).

もの2種 類

  (ⅰ)  Γ ⊂SO3(C)を(イ)位 数8以 上 の2面 体 群(J5),(ロ)8面 体 群(E1),(ハ)正 20面 体 群(E2)の 様 体SO3(C)/Γ (ⅱ)  PGL2(C)が3次

いず れ か とし た とき  の 自己 同型 群 とみ な した も の. 

元 有 理 多 様 体 に作 用 し,し か も一 般 の軌 道 が2次 元 か

つ 固 定 群 が 極 大 代 数 的 トー ラ ス とな っ てい る もの(J12).   (Ⅱ) 階 数2の

を3次 元 有 理 多

もの3種 類

     

(ⅲ)  PSO5(C)がP4(C)内

の2次

超 曲 面 

に 通 常 の よ うに 作 用 す る も の(P2). (ⅳ) PGL3(C)内 PGL3(C)が (ⅴ) P1(C)上

の 上 半 三 角 行 列 金 体 の な すBorel部

旗 多 様 体PGL3(C)/Bに

も の9種

対 し,Y上

作 用 さ せ た も の(J11). 類  

のZ‐ 基 底{n,n′,n"}お の ご と きS2のN‐

よ びMの

基 底{m,m′,m"}を

と る.第3.2図

対 応 す る 扇(N,Δ)が

決 め る コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク多 様 体X=TNemb

(Δ)にAut°(X)を

のアフ ィ

あ っ てCx‐ バ ン ドル か ら は 得 ら れ て い な い も の

を と りAut°(X)をXに   (Ⅲ)  階 数3の

し た と き,

左 か ら 作 用 す る も の(J4). 

の ア フ ィ ン 直 線 バ ン ド ルY→P1(C)に

ン直 線 バ ン ドルX→Yで

分 群 をBと

作 用 さ せ た も の.Ant°(X)の

双対

荷 重 付 き三 角形 分 割 に

ル ー ト系R(N,Δ)を

組(α;

n(ρ(α)))の 集 合 と し て 併 せ て 記 述 す る. (ⅵ)

 (P1).

(ⅶ)

  (J1).

 (ⅷ )

  (J2).

 ⅸ )

(ⅹ)  Y=P2(C)上 るAut°(X). 

  (J3).

のP1(C)‐ (J7).

バ ン ド ル 

に 対 す

 

(ⅹⅰ)  Y=P1(C)×P1(C)の れ ぞ れf1,f2と

第1射

し 

影,第2射

影 の フ ァ イ バ ー の ひ とつ を そ

と し た と き のY上 に 対 す るAut°(X). 

(ⅹⅱ)  Y=P1(C)×P1(C)に に 対 しY上

のP1(C)‐

をfと

バ ン ド ル 

よ び  を と った

(J6).

面 

し,s2=-aと

のP1(C)上

な る 切 断 をsと

す る.Y上

に 対 す るAut°(X). 

(ⅹⅳ)  Y=P1(C)上

バ ン ドル 

(J8).

お い て 上 記(ⅹⅰ)と同 様 のf1,f2お

と き のAut°(X). 

(ⅹⅲ)  Hirzebruch曲

のP1(C)‐

の 

に 対 す るAut°(X). 

に 対 す るP2(C)‐ (J10).

の フ ァ イバ ーの ひ とつ のP1(C)‐

(J9).

バ ン ド ル 

バ ン ドル 

第3.2図

第4章

 い くつ か の応 用

  トー リ ッ ク多 様 体 は代 数 的 トー ラスを 開 集 合 と し て含 む.従

って コンパ ク ト

な 場合 に は有 理 多 様 体 と呼 ば れ る特 殊 な 部 類 に 属 す る代 数 多 様 体 で あ る.   しか し トー リ ック多 様 体 内 の開 集 合 の 離 散 群 に よ る商 空 間 を取 る と,別 の 部 類 に属 す る興 味 深 い複 素 多 様 体 を構 成 す る こ とが 出来 る.本 章 で は 循 環 連 分 数 に関 係 す る構 成 お よび そ の高 次 元 にお け る 自然 な 類 似 物 を まず 紹 介 す る.こ れ は下 記 の(2)で 述 べ る局所 対 称 空 間 の コ ン パ ク ト化 の問 題 と も関 連 が 深 い.ま た2次 元 トー リ ッ ク多 様 体 内 の開 集 合 の離 散 群 に よ る商 空 間 とし てⅦ 型 の コン パ ク ト2次 元 複 素 多 様 体 を い くつ か 構 成 出来 る点 に も簡 単 に触 れ る.   トー リッ ク多 様 体 の応 用 に は,本 章 で取 り上 げ る も の以 外 に も次 の よ うな 重 要 な例 が あ る.紙 数 と時 間 の都 合 か ら取 り上 げ る余 裕 が なか った が,幸 い ま と ま った成 書 も既 に 出版 され て い る ので そ れ らを 参 照 し て頂 きた い.   (1)  Mumford達[TE]に embedding)は,局

よ っ て導 入 さ れ た トロ イダ ル 埋 込 み(toroidal

所 的 に トー リッ ク多 様 体 と同 型 な複 素解 析 空 間 で あ り,ト ー

リッ ク多 様 体 の諸 性 質 の い くつ か を持 つ と同時 に適 用 範 囲 が も っ と 広 くな る. た とえば この理 論 を 使 用 す る こ とに よ っ て,一 般 の代 数 多 様 体 の1パ ー族 に関 す る半 安 定 化 定 理(semistable §3.2の 内 容 を 更 に発 展 させ れ ば,ト

reduction

theorem)が

ラメータ

証 明 出来 る.

ロ イ ダル埋 込 み よ り範 囲 の 広 い"退

様 体"を 定 義 す る こ とが 可 能 で あ り,moduli空

化多

間 の コ ン パ ク ト化 の 問 題,多

様 体 の退 化 等 を取 扱 う際 に 強 力 な 武 器 とな りそ うで あ る.石 田‐小 田[IO]お

よ

び 石 田[I7]に お い て試 み が 始 め られ て い るが,将 来 さ らに 研 究 す べ き課 題 で あ る.Danilov[D1]に

も関 連 し た 話題 が 取 扱 って あ る.

  (2)  上 記(1)と も関 連 が 深 い 話 題 で あ るが,等 質 有 界 領域 の離 散 群 に よ る商 空 間 の 都 合 の 良 い コン パ ク ト化 を 構 成 す る際 に,ト ー リ ック多 様 体 の 商 空 間 が 有 効 で あ る.既

にMumford達[SC]お

よび 佐 武[S1]に

よ る一 般 論 は 出 来 上

って お り,保 型 形式 の理 論 に お い て 今 後 も重 要 な寄 与 を し そ うで あ る.特 に 偏

極Abel多 [N5]に る(た

様 体 のmoduli空

間 に 関 連 す るSiegel上

よ る 詳 細 な 研 究 が あ る.[MO,§11]に だ し[MO,命

題11.1]は

der

も 関 連 し た 話 題 が 取 り上 げ て あ

誤 りで あ る).代

多 様 体 に 関 す る 小 田 ‐Seshadri[OS]の modular多

半 平 面 の場 合 に は 浪 川

数 曲 線 の 一 般 化 さ れ たJacabi

結 果 も こ れ に 関 連 が 深 い.ま

たHilbert

様 体 の 場 合 の 詳 し い 研 究 はHirzebruch[H3],Hirzebruch-van

Geer[HV]に

あ り,佐

武[S2],[S3]も

階 数1の

これ ら の

  (3)  解 析 函 数 あ る い は 解 析 空 間 の 特 異 点 を 研 究 す る際 に,Newton多

面体

場 合 に つ い て は 本 章 §4.1,§4.2で

関 連 が 深 い.Q‐

も 触 れ る.

と称 す る 凸 多 面 集 合 が 重 要 な 役 割 を 果 す.ト

ー リ ッ ク多 様 体 を 使 用 す れ ば,こ

れ ら の 特 異 点 の 解 消 や 幾 何 学 的 不 変 量 がNewton多 る.Teissierの

結 果([T3]の

面 体 の 幾 何 学 で記 述 出来

引 用 文 献 参 照),Kushnirenko[K7],Khovanski

[K4],[K5],Varchenko[V1],[V2]が

こ の 方 面 の 仕 事 の 例 で あ る.特

は 振 動 積 分 の 評 価 に トー リ ッ ク多 様 体 の 理 論 を 適 用 し て お り,金

に[V1]

子[K2]に

詳

し い 解 説 が あ る.   (4)  半 単 純 代 数 群 の 理 論 に 登 場 す るWeyl領 あ り,Weyl群 Weyl群

域 分 解 は 我 々の 意 味 で の扇 で

が 作 用 し て 対 称 性 に 富 ん で い る.従

の 作 用 す る コ ン パ ク トな トー リ ッ ク 多 様 体 を 得 る.こ

的 意 義 が 村 上 順 氏 に よ っ て 調 べ 始 め ら れ て い る.ま P]に

っ て 本 書 第1章

たDe

に よ り,

の 多様 体 の群 論

Concini-Procesi[D

よ る 対 称 空 間 上 で の サ イ ク ル の 交 叉 理 論 に お い て も重 要 な 役 割 を 演 じ て

い る.[TE,第

Ⅳ 章 §2]に

も 関 連 事 項 が あ る.

  §4.1  循 環 連 分 数 と2次 元 トー リ ック 多様 体   §1.6に

お い て 有 理 数 の 有 限 な 連 分 数 展 開 を 考 え た が,一

般 の 実 数 ξ∈Rも

次の形の連分数展開

を 持 つ こ と が 知 ら れ て い る.こ り,  か ら 出 発 し て,帰

の 中 に2が

こ にeν は 整 数 で あ っ て,ν>0な

無 限 回 続 く こ と は な い とす る.正

納 的 に 決 め た 展 開 の 中 間 項 

ら 

であ

確 に は,ξ0:=ξ

を使 った極 限 が

で あ る.つ

ま り各 νに 対 しeν は 

をみ

た す 唯 一 の 整 数 で あ り,ξ ν≠eν な ら ξν+1∈Eは 

に ょ って 決

め る.   周 知 の よ う に,ξ=[[e0,e1,e2,…]]が2次

の 無 理 数 で あ る た め に は,そ

分 数 展 開 が 循 環 的 で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.す びp>0に

よ りeν+p=eν

が す べ て の 

の と き そ の よ うな 最 小 のpを

お よ

に 対 し て 成 立 す る こ と で あ る.こ

最 小 周 期 と呼 び

と書 く こ とが 多 い.さ らにk=0,す と,ξ のQ上

な わ ち あ る 整 数 

の連

なわち連分数展開が純循環的で ある こと

の 共 役 ξ′が

をみ たす こ と とが 同値 で あ る.こ の よ うな ξを被 約 な2次 無 理 数 と呼 ぶ こ とが あ る.  Cohn[C]が

初 め て 指 摘 した よ うに,上

記 の事 実 は2次 元 扇 を使 っ て次 の よ

うに幾 何 学 的 に解 釈 出 来 る.   平方 因 子 を持 た な い 自然 数Dに し,ξ ∈KのQ上

よ っ て決 ま る実2次 体 を 

の 共 役 を ξ′∈Kと

の 共 役 は 

す る.す な わ ちx,y∈Qに で あ る.埋 込 み 

と 対 し,  によ

っ て 自然 な 同 型

を 得 る.   NをKのZ‐

格 子,す

なわ ちKの

階 数2の

自由Z‐ 部 分 加 群 とす れ ば, 

従 って 自然 な 同型

を 得 る.Kの

整 数 環0の

可 逆 元 をKの

単 元u;u>0,uN=N}

Γ+N={Kの

単 元u;u>0,u′>0,uN=N}

は と も に 無 限 巡 回 群 で あ り,部 る.さ

ら に ΓN, 

とが で き る.

単 元(unit)と

ΓN:={Kの

分 群 

はZ‐ 加 群Nの

の ΓNに

呼 ぶ が,

お け る 指 数 は1ま

自己 同 型 群AutZ(N)の

た は2で

あ

部 分 群 とみ な す こ

  連 分 数 と の 関 連 を 見 る前 に,ま ず 次 の結 果 を 述 べ てお こ う.こ の結 果 は 次 節 にお い て高 次 元 に一 般 化 す る.   命題4.1  Nを 実2次 体K のZ‐ 格 子 と す る.上 よ うにNR=R2と た 平 面 内 の2次

同一 視 し 元開 凸錐 を

CN:=(R>0)2と

じ るNの

し,0か

し,N∩CN

の 凸 閉 包 を ΘNと す る.ΘN

第4.1図

の 境 界 を ∂ΘNと

記の

らN∩

∂ΘNの

各 点 へ の 半 直 線 に よ るCNの

無 限 扇 を ΔNと す れ ば,￨ΔN￨=CN∪{0}で

あ り, 

分割 で生

のNへ

の作 用

に 関 し て 不 変 な 非 特 異 扇 で あ る.   NRを

§1.3の

角 付 き 実 多 様 体Mc(N,ΔN)の

お け るCNの

閉 包 の 内 部 を 

に よるCNの

逆 像 を 

あ る(第4.1図

と す る.

,ま た 

とす れ ば, 

は 非 特 異2次

はUNに

題1.19と

生 成 元 の ひ と つ とす る.uのNへ り方 か らuは

っ てCN上

で 決 め る 三 角 形 上 に あ るNの

点は

同 様 に ΔNは 非 特 異 扇 と な る.uを 

の

扇(N,ΔN)の

∂ΘNは

明 ら か に不 変 であ

自己 同 型 を ひ き お こ す.Mc(N,ΔN)上 の 矢 印 の よ う に0の

よ る 商 空 間 で あ る か ら,uのUNへ

続 か つ 不 動 点 な し と な る.そ

に

み を不 動 点 と し て 持

で は 固 有 不 連 続 か つ 不 動 点 な し で あ る.CNはUNの

ク ト ・ トー ラ スCTNに

の{1}以

と0と

の 作 用 に 関 しN∩

uが ひ き お こ す 自 己 同 型 は 第4.1図

 注  

有 限 サ イ クルで

参 照).

3頂 点 の み で あ る か ら,命

つ.従

固 有不 連 続 かつ 不 動 点 な し に作 用 し

元 複 素 多 様 体 と な り,はP1(C)の

  証 明   N∩ ∂ΘNの 隣 り合 っ た2点

る か ら,作

開 集 合 とみ な し,Mc(N,ΔN)に

コンパ

の作 用 も 固有 不 連

の 他 の 主 張 は 明 ら か で あ る.

外 の部 分 群 Γ は 指 数 有 限 で あ り,UN/Γ

もP1(C)の

有 限 サ イ クル

XN/Γ を持つ2次 元非特 異複素解 析空間 であ る.   この命 題4.1と   まずKのZ‐

純 循 環 連 分数 との 関 係 は 次 の 通 りで あ る. 格 子Nは,適

当 に総 正 なKの

を選 ぶ と,あ る被 約 な ω∈Kに る.aNはZ‐

よ りaN=Z+Zω

加 群 と してNと

ま まaNに

元a(す

な わ ちa>0か

つa′>0)

と出来 る こ とは容 易 に判

同型 で あ り,Nに

関 す る命題4.1の

関 す る も の に移 る の で,最 初 か らa=1す

構成はそ の

なわ ち

と仮 定 し て も一 般 性 を 失 わ な い.そ こ で ωの 循 環 連 分 数 展 開 の最 小 周 期 をpと し,

と す る.す

な わ ち 中 間 項 

bνはbν-1<ω

は ω0:=ω, 

す べ て が2で

は な い.

  命 題4.2 

上 記 の よ う な に

Q(ω)の 格 子N=Z+Zω

は 

対 し,実2次

たnj:=1/(ω1ω2…

に よ っ て{nν;ν

と し た と き,{nν;ν

をみ た し

体K=

を 考 え る と,

の 生 成 元 で あ る.ま

と な り,し

で あ る.

ν
∈Z}はN∩

∈Z}を

ωj), 

決 め る,す

∂ΘNの

お よ び 

なわ ち

元 を順 番 に並 べ た も の で あ って

か も

が 成 立 す る.   証 明  νに 関 し て帰 納 的 に 考 え る.ω νが 被 約 な ら  で 決 ま る ων+1も 被 約 で あ る.ま た 明 ら か に  の 凸 閉 包 の 境 界 上 に あ りか つZ+Zω

で あ り,  は 

νに 属 す る ひ き つ づ い た3点  も 成 立 す る.

  従 っ て ζ-1:=1,お

よ び 

と す れ ば 

で あ る.

,

で 成 立 し,ま

が 

た 

で 成 立 す る.特

に 

 の 凸 閉 包 の 境 界 に あ り か つZ+Z(1/ω)に

は 属 す る ひ きつ

づ い た 点 列 で あ る.   す べ て の 

が 

に 対 しbν+p=bν,従

で 成 立 す る.ま

っ て ων+p=ω ν で あ る か ら

た 

で あ り, 

も成 立 す る. こ れ ら の 結 果 か ら 証 明 を 完 了 す る の は 容 易 で あ ろ う. 命 題1.19お   系4.3 

よ び §2.2と

同 様 に,次

の 結 果 を 得 る.

上 記 の 記 号 の も と で 

格 子N=Z+Zω

に 対 し 命 題4.1の

ば,そ の 上 のP1(C)の

非 特 異2次 元 複 素 多様 体UNを

考えれ

有 限 サ イ クルXNは

と既 約 成 分 に 分 解 し,も し 

と な る.ま

に つ い てK=Q(ω)のZ‐

た も しp=1な

で あ る.後 者 のC0はP1(C)の

な ら 自己交 叉数 は

ら

点0,∞

を 同一 視 し て 得 る結 節 点 を持 った 有 理

曲線 で あ る.い ず れ の 場 合 に も交 叉 行 列((CjCk))は   注 命題4.1直 後の注に おけ る ように 

負定 値 で あ る.

の指数有限部分群 Γ を とるこ とは,ω の連

分数展開の基 本周期の 自然数倍 を考 えることに対応す る.   次 節 で一 般 に 示 す よ うに,UN内

の サ イ クルXNを1点

に つ ぶ して 孤 立特 異

点PNを

持 つ2次 元 複 素解 析 空 間VNを

はVNの

極 小 な 特 異 点解 消 とな って い る.指 数 有 限部 分 群 

UN/Γ

構成 す る こ とが 出来 る.こ

の 場 合 に も同 様 の結 果 が 成 立 す る.こ

元 のHilbert

modularカ

の と きUN に対 応 す る

の よ うに して得 る特 異 点 を2次

ス プ特 異 点 と呼 ぶ.

  次 節 との関 連 で,上 記 の結 果 を次 の よ うに定 式 化 し てお く.   す なわ ち,2次 C2+…+Csに

元 の 非 特 異 多様 体U上

のP1(C)の

有 限 サ イ クルX=C1+

対 し,そ の荷 重 付 き双 対 グ ラフ は,円 周S1のs個

分 割 を 考 え,頂 点 に順 番 に 自己 交 叉 数 

の頂点に よる

を 荷 重 と して 付 け た も

の で あ る.§1.7に   従 っ てUNの

お い て 考 え たP1(C)の サ イ ク ルXNの

に 荷 重-b0,-b1,…,-bp-1を

荷 重 付 き 双 対 グ ラ フ はS1のp頂

点を持つ分割

順 番 に つ け た も の と な る.と

被 覆 空 間 はS1=Rで

あ り,基

べ て を 頂 点 と す るRの

分 割 を 考 え,頂

本 群 は 

フ,す

な わ ちS1の

pZの

作 用 で 不 変 で あ る.π1(S1)の

れ ば,そ

チ ェ イ ン の 場 合 と 同 様 で あ る.

こ ろ がS1の で あ る.Zの

点 ν∈Zの

荷 重 付 き 三 角 形 分 割,を

荷 重 を-bν

考 え る と,荷

点す

と した 直 線 グ ラ

重 も 込 め て π1(S1)=

指 数 有 限 部 分 群 Γ に よ るS1の

の 上 に 荷 重 つ き三 角 形 分 割 を 得 る こ と に な る.こ

節 に お い て 高 次 元 に 一 般 化 す る(第4.2図

普遍

商空間 をと

の形 で の 定 式 化 を 次

参 照).

第4.2図   ま た 次 の よ うに 考 え る こ と も 出 来 る.   漸 化 式nν-1+nν+1+aνnν=0に

よ り次 の(イ),(ロ)は互 い に 対 応 す る.

  (イ) 有 限 個 ま た は 無 限 個 の 整 数 列{…,a-2,a-1,a0,a1,a2,…}を   (ロ) {n-1,n0}をZ‐

基 底 とす るZ‐ 加 群Nの

{…,n-2,n-1,n0,n1,n2,…}で

あ っ て,各

し か もnν は ν の 増 加 に つ れ てNRの   凸 多 面 錐 

原 始 元 の有 限 ま た は 無限列

組{nν-1,nν}がNのZ‐

原 点0の

与 え る.

基 底 とな り

ま わ りを 反 時 計 方 向 に 動 く.

の νが 増 加 し た も の と減 少 し た も の とが,内

で 絶 対 に 交 わ ら な い 場 合 に は,Nの2次

元 非 特 異 扇 Δ を 得 る.

  (ⅰ) 特 に 列 の 長 さ が 有 限 で あ っ て,両

端 のnν が 一 致 す る 場 合 に は,Δ

れ の な い 非 特 異 有 限 扇 で あ る.系1.29に

お い て 取 扱 っ た 場 合 で あ る.

  (ⅱ) 列 の 長 さ が 有 限 で あ っ て￨Δ￨が 補 題1.20で

題1.19お

取 扱 っ た.

  (ⅲ) 命 題4.2で と な る.容

強 凸 錐 と な る 場 合 は,命

取 扱 った 場 合 に は,ν が す べ て の 整 数 を 動 き,￨Δ￨={0}∪CN

易 に判 る よ うに

部

は破

よび

で あ り,凸 錐 で は あ るが,Nに

関 し て有 理 的 で は な い.

 §4.2 カスプ特異点   前 節 に お い て,実2次

体KのZ‐

カ ス プ特 異 点 の 構 成 に 言 及 した.そ

格 子Nに

対 す る2次 元Hilbert

modular

の際 まず 極 小 な 特 異 点 解 消 を トー リ ック多

様 体 を使 っ て構 成 した 上 で,そ の 上 のP1(C)の

サ イ クル を1点 に つ ぶ す の で あ

った.ま

関 連 した 被 約 な2次 無 理 数 の 純

たP1(C)の

サ イ クル の様 相 は,Nに

循 環 連 分 数 展 開 で 記 述 す る こ とが 出来 た ので あ る が,一 (S1)に 関 し て不 変 なS1=Rの

方 純 循 環 連 分 数 は π1

荷 重 つ き三 角 形 分 割 とみ な す こ とが 出来 る こ と

に も言 及 した.   土 橋[T4],[T5]は

上 記 を 高 次 元 へ 一 般 化 し,カ ス プ特 異 点 と呼 ぶ 一 般 次 元 の

正 規 な弧 立 特 異 点 の族 を構 成 し た.本

章 の 冒 頭(2)に 述 べ た 等 質 有 界 領 域 の 商

の コン パ ク ト化 に際 し,Q‐ 階 数1の 場 合 に現 わ れ る カ ス プ,た modularカ

ス プ,は 重 要 な 例 で あ る.

  本 節 では 土 橋[T5]に

よ る カ ス プ特 異 点 の構 成 法 を 紹 介 し,そ れ らの持 つ 性

質 を い くつ か挙 げ る.(土 橋[追3]は   以 後 

この 結果 を更 に発 展 さ せ て い る.)

を 固定 し,Z‐ 加 群 とし て の 自己 同型 群 をGL(N):=AutZ(N),

ま た そ の 中 で行 列 式1の

もの全 体 の なす 部 分 群 をSL(N)と

正則 実 行列 全 体 の なす 群  け るよ うに 

をr-1次

とえばHilbert

の0か

の 部 分 群 で あ る.§1.7に ら出 る半 直 線 の全 体

元 球 面 と 同 一 視 し,射

影 を

と書 くこ とに す る.こ の とき次 の よ うな組(C,Γ)が   定 義  NR内

の(空 で な い)開 凸 錐Cお

  (ロ)  Γ のNRへ

お け る閉 包Cは

の作 用 に関 しCは

本 節 の 主 役 とな る.

よびGL(N)の

で あ っ て次 の条 件 をみ た す も の全 体 をp(N)と   (イ)  開 凸 錐CのNRに

書 く.自 然 にr次

部 分 群 Γ の組(C,Γ)

す る.

強 凸,す な わ ちC∩(-C)={0}.

不 変 で あ り,し か も

お

上 で 考 え た Γ の 自 然 な 作 用 は 固 有 不 連 続 か つ 不 動 点 な し で あ っ て,商D/Γ

は

コ ン パ ク トで あ る.   注   (イ)の条 件 を み た す と きCを

非 退化 開 凸錐 と呼 ぶ こ とが あ る.CがNRの

まな い とい っ て も 同 じ であ る.(ロ)の 条 件 に よ り,D/Γ 様 体 で あ り,Γ ⊂SL(N)な   組(C,Γ)の [V4]等

はr-1次

直線を含

元 の コ ンパ ク ト実 多

ら向 きづ け 可 能 で あ る.

重 要 な 例 が 次 の よ う な 場 合 に 現 わ れ る.詳

細 は[SC],[S2],

を 参 照 し て 頂 き た い.

  (イ)の条 件 を み た す 開 凸 錐Cが

は 第 一 種Siegel領 あ る.Dの

与 え ら れ た と き 

の連結開集合

域 と呼 ば れ る管状 領域 で あ り,有 界 領域 と解 析 的 に 同 型 で

解 析 的 自己 同型 群Aut(D)は

る.単 位 元 を 含 むAut(D)の

コ ンパ ク ト開 位 相 に よ りLie群

連 結 成 分 をGと

移動 の群NR(す

な わ ちn∈NRに

保 存 す るNRの

線 形 自己 同型 群

書 くこ と に し よ う.Gは

対 し 

で あ る).

  特 にAutR(NR,C)がCに

分 群 が 

実平行

お よ びCを

を含 ん で い る(す な わ ち 

を 等 質 な 第 一 種Siegel領

とな

推 移 的 に 作 用 す る と きCを

等 質 開 凸 錐 と呼 び,D

域 と呼 ぶ.NRとAutR(NR,C)の

の ア フ ィ ン変 換 群 とし てDに

生 成 す るGの

部

推 移 的 に 作 用 し,従 ってGもD

に 推 移 的 に 作 用 す る こ とに な る.   さ らにNRの そ の と きDは

正定 値 な 内 積 に 関 しCが 対 称 領 域 とな り,Gは

自己 双 対 的 と な る場 合 が 重 要 で あ る.

半 単 純 とな る.GにQ上

群 の構 造 を 入 れ た 上 で 定 義 す る数 論 的 部 分 群UはDに GのQ‐ は,D/Uに

階 数 が0の 場 合D/Uは

定 義 され た 代 数

固有 不 連 続 に作 用 す る.

コ ンパ ク トと な る.GのQ‐

階 数 が1の 場 合 に

有 限 個 の カ ス プ と呼 ばれ る点 を 添 加 す る こ とに よ って コ ンパ ク ト

化 出来 る こ と も知 られ て い る.Uが

十 分 小 さい とき,

の 部 分 群 Γ が カス プに 対 応 して 現 わ れ,上 記 の定 義 に お け る条 件(ロ)をみ た す . 相 当 に 厳 し い条 件 であ る(ロ)をみ た す Γ の存 在 と,Cの

等 質 性 あ る いは 自己 双

対 性 との 間 に あ る差 異 を 調 べ るの は興 味 あ る課題 で あ る.r=2の

場合には必

然 的 に 等 質 か つ 自己双 対 的 で あ る.何 故 な ら,Nを とみ な す こ とが 出 来,Γ

は前 節 の 

あ る実2次 体KのZ‐

格子

の有 限 指 数 の部 分 群,Cは  

と同一 視 出来 る こ とが容 易 に判 るか らで あ る.   例   (ⅰ)  Hilbert

modularの

場 合.KをQ上r次

相 異 るr個 の埋 込 み  をKのZ‐

格 子,す

の総 実 体 とす る.Kの

を 使 用 して 

なわ ち階 数rの

と同一 視 出来 る.N

自 由Z‐ 部 分 加 群 とす れ ば 

従 っ て 自然 な 同型

を 得 る.CN:=(R>0)rは

こ の 中 の 開 凸 錐 で あ り明 ら か に 条 件(イ)を み た す.各

成 分 の 対 数 を と る こ とに よ り同型

を 得 る.   Kの 整 数 環Dの 可 逆 元 をKの

単 元 と 呼 ぶ.ま

た ξ∈Kがr個

のRへ

の埋

込 み の い ず れ に よ っ て も正 数 に 移 る と き ξを 総正 と呼 ぶ.こ の とき乗 法群   :={Kの はDirichletの

総 正 な 単 数uでuN=Nと

単 数 定 理 に よ っ て 階 数r-1の

射 準 同 型 

自 由 可 換 群 と な り,自

然 な単

を 持 つ.

  有 限 指 数 の 部 分 群  p(N)に

な る も の}

属 す る.こ

を とれ ば,組(CN,Γ)は

の 場 合D/Γ

ラ ス と 同 相 で あ る.対

はRr-1/Zr-1す

応 す る 第 一種Siegel領

とな り,通 常 の上 半 平 面 〓1=R+iR>0のr個

条 件(ロ)を み た し 従 っ て な わ ちr-1次

元 の 実 トー

域は

の直 積 に一 致 す る.r=2の

場 合 を 前 節 で 取 扱 った ので あ る.   (ⅱ)  Q上s次

の総 実 体Fを

てs個 の相 異 る埋 込 み  環M2(R)と

域は

中心 とす るF上

の いず れ に対 し て も 

一 致 す る もの を 考 え る.M2(R)内

元 部 分 空 間 を 〓2(R),そ る.N,Γ

と り,Fを

の 四 元数 環Bで

あっ

が2次 の 実 行 列

の 実 対 称 行 列 全 体 が つ くる3次

の 中 で 正 定 値 な もの 全 体 の なす 開 凸錐 を 〓2(R)と す

の 選 び 方 に つ い て は こ こで は 述 べ な いが,対 応 す る第 一 種Siegel領

と な り,2次

のSiegel上

半 平 面 

のs個

の 直 積 と一 致 す

る.   一般 の    Nの

の 場 合 の 組(C,Γ)∈p(N)に

双 対Z‐ 加 群 をMと

話 題 を 戻 そ う.

す れ ば,GL(N)はMに

反 傾 に 作 用 す る.す

なわ

ちZ‐ 双 線 形 写 像<,>:M×N→Zは,g∈GL(N),m∈M,n∈Nに し=<m,n>を   Cの

み た す.

開 双 対 錐 を 命 題A.10に

と定 義 す る.CはCの い っ て も よ い.Γ ば,C′

関

お け る よ うに

内 部 と一 致 す る の で,C′ のMへ

はCの

の 反 傾 な 作 用 に よ り Γ をGL(M)の

は Γ ‐不 変 とな り,容 易 に 判 る よ うに(C′,Γ)は

な わ ち(C′,Γ)∈p(M)で の でp(N)とp(M)と   さ てN∩Cの

閉 双 対 錐Cvの

あ る([T5,補

題1.6]参

内部 と

部 分 群 とみ な せ

条 件(イ),(ロ)をみ た す.す

照).(C′)′=Cが

成立す る

の 間 に 双 対 性 が 得 られ る. 凸 閉 包 を Θ とす れ ば,§A.3に

お け る よ うに そ の 支 持 函 数 

が

と定義 出来 る.hは

正 に 同次 か つ 上 に 凸な 連 続 函 数 で あ っ てM∩C′

上 で非 負

整数 値 を と り,

を み た す.[T5,補 をNに

題1.1∼1.4]に

あ る よ う に,Θ

持 つ コ ン パ ク ト凸 多 面 体 で あ り,そ

の 自分 自身 以 外 の 面 は 頂 点

れ ら に よ っ て Θ の 境 界 ∂Θ の Γ‐不

変 な コ ン パ ク ト凸 多 面 体 分 割 □ を 得 る. の∂Θ

へ の 制

限 は 同相 写 像

を 引 き起 こす.∂ Θ の分 割 □ か ら 自然 に得 るDの

Γ‐不 変 な コン パ ク ト球 面 凸

胞 体 分 割 を π(□)で表 わ す こ とにす る.   C′ の 凸部 分 集 合 Θ′,Θ ° を次 の よ うに定 義 す る.ま ず Θ′は 上 記 と同様 にM ∩C′ の 凸 閉 包 で あ り,一 方 Θ の極 集 合 Θ°は

で あ る.kはM∩C′

上 自然 数 値 を と る の で 明 ら か に Θ′⊂ Θ° と な る が,一

般

に 

の と き 両 者 が 一 致 す る とは 限 ら な い.Θ

一 致 す る .上

° の 極 集 合(Θ °)°は 元 の Θ と

記 と 同 様 に Θ′,Θ ° の 境 界 ∂Θ′,∂ Θ° も Γ‐不 変 な コ ン パ ク ト凸 多

面 体 分 割 □ ′,□°を 持 つ が,□

と □ ′との 関 係 は 一般 に は 明 ら か で な い.し

し □ と □ ° と の 間 に は 極 対 応 と 呼 ぶ 次 の よ うなGalois対 ち ∂Θ の 面 α∈ □ の 頂 点 集 合 が{n1,…,ns}で

が □ °に属 し, 

応 が あ る.す

か なわ

あ るとき

で あ り,ま た αが β∈ □ の面 で あ

れ ば β†が α†の面 とな る.   ∂Θ の Γ‐不 変 な コ ンパ ク ト凸 多 面 体 分 割 □ を使 用 す る こ とに よっ て,非 異 とは 限 ら な いNの

と定 義 す る.た

特

無限扇を

だ し 

は0か ら α の 点 へ の半 直

線 全 体 の な す 凸多 面 錐 で あ る.Σ は 明 ら か に Γ‐不 変 で あ り

と な る. NRを

§1.3に

に お け るCの

お け る 角 付 き 実 多 様 体Mc(N,Σ)の

開 集 合 と み な し,Mc(N,Σ)

閉包 の 内部 を

と す る. 

に ょ って

と定 義 す れ ば,Uは

Γ‐不 変 なTNemb(Σ)の

部 分 多 様 体 で あ る.Γ

のUへ

開 集 合 で あ りXは

余 次元1の

閉

の 作用 は 固 有 不 連 続 か つ不 動 点 な し と な る.C

上 へ の Γ の作 用 が 条 件(ロ)に よ りそ うだ か らで あ る.

とす れ ば,Uは る.仮

複 素 解 析 空 間,Xは

定 に よ りD/Γ

余 次 元1の

は コ ン パ ク トで あ り,従

コ ン パ ク ト閉 部 分 多 様 体 と な っ て □ の Γ‐同 値 類 の 集 合 が 有

限 と な る か ら で あ る.   Uは

非 特 異 と は 限 ら な い が,系3.19をUに

適 用 す る こ と に よ り,Uの

点 は す べ て 有 理 的 で あ り,Grauert-Riemenschneiderの ([T5,補

題2.5]参

照).

特異

消 滅 定 理 が成 立 す る

  U内

のXを1点

  命 題4.4(土 N∩Cの

に つ ぶ す こ と に よ っ て い よ い よ カ ス プ 特 異 点 を 構 成 す る. 橋[T5,命

題1.7]) 

,(C,Γ)∈p(N)と

す る.こ

の とき

凸 閉 包 Θ の 境 界 ∂Θ の Γ‐不 変 な コ ン パ ク ト凸 多 面 体 分 割 □ か ら作 っ

た Γ‐不 変 扇 を(N,Σ)と

し,上

記 の 要 領 で 作 っ た 複 素 解 析 空 間U内

1の コ ン パ ク ト閉 部 分 多 様 体Xは 来 る.す

正 規 弧 立 特 異 点P∈Vに

な わ ち 正 則 写 像 

縮 小す る こ とが 出

が 存 在 し,ψ(X)=P,か

は 双 正 則 と な る.こ

の よ うな(V,P)は

の余 次 元

つ 

同 型 を 除 い て(C,Γ)に

よ り唯 一 通 りに 決 ま る.

と書 き,(C,Γ)の

決 め るr次

  証 明   Γ ∩SL(N)の §1,第

Ⅲ 章 §1]の

  命 題A.10に

元 カ ス プ 特 異 点 と呼 ぶ.

Γ に お け る 指 数 は1ま 方 法 に 従 っ て Γ ⊂SL(N)の

お け る よ う にCの

あ る か ら,[SC,第

Ⅱ章

場 合 に 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.

特 性 函 数 φ:C→R>0を

と定 義 す る.dmはMRのLebesgue測 凸 な 函数 で あ り,C＼C上0と

た は2で

度 で あ る.φ は Γ‐不 変 で 狭義 に下 に 定 義 す る こ と に よ っ てC上

の 連 続 函 数 

に 延 長 出 来 る.合 成 函 数

はX上

の み で0と

にLevi凸 X上

な るU上

と な る.従

の Γ‐不 変 なC2‐ 函 数 で あ り,U＼X上

っ てX上

で 狭 義 にLevi凸

の み で0と

な るU上

のC2‐ 函 数 で あ っ てU＼

と な る も の が 存 在 す る こ と に な る.U＼Xは

あ る か ら,周 知 の よ う にXを

では狭義

非特異で

弧 立 正 規 特 異 点 に 唯 一 通 りに 縮 小 す る こ とが 出 来

る.   注   (C,Γ)∈p(N)の

双 対(C′,Γ)∈p(M)を

(C,Γ)の 双 対 カス プ 特 異 点Cusp(C′,Γ)を もの の 一 般 化 で あ る.な

とる ことに 対 応 し て カ ス プ特 異 点Cusp

得 る.中 村[N2]が2次

お この 点 に 関 し て は,双

元 の 場 合 に 考 察 した

曲 的 井 上 曲 面 に 関 連 して 次 節 で も触 れ

る.   注   カス プ特 異 点P∈Vに が 出 来 る.TN上

お け る局所 環Oの

完 備 化Oを

の 正 則 函数 の族 で あ る{e(m);m∈M}を,§1.2に

を み た すLaurent単

項 式 の族 とみ なす こ とに す る.そ

次 の よ うな形 に表 わ す こ と お け る よ うに

の と き{e(m);m∈{0}∪(M∩

C′)}のC‐ 係数 の形 式 的 無 限 一 次 結 合全 体

に は 積 が 自然 に定 義 出 来,C上 は 不 変 で あ るか ら,こ

の 多 元 環 とな る.Γ のMへ

の 反傾 な作 用 に 関 しM∩C′

の 多元 環 に Γ が作 用 す る こと と な り,Oは

そ の 中 で Γ‐不 変元 全

体 の な す部 分 環 と同一 視 出 来 る,す な わ ち

で あ る.こ の 事実 を 使 え ば,Pの

近 傍 に お け るVの

定 義 方程 式 を具 体 的 に 求 め る ことが

Θ′=Θ °の 場 合 に は 原 理 的 に 可 能 とな る.[T5,§2]を

参 照 し て頂 きた い.

  カ ス プ特 異 点 の 持 つ 性 質 を い くつ か 挙 げ て み よ う.   一般 にr次

元 の 正 規 弧 立 特 異 点(V,P)に

の 正 則r‐ 形 式 の 層 を ω とす る.自 L2/ν‐可 積 分 で あ る と は {P}上

,Pの

対 し,非

特 異 多 様 体V＼{P}上

然 数 ν に 対 し 

が局所

十 分 小 さ な コ ン パ ク ト近 傍Zを

で の 積 分 

考 え た と きZ＼

が 有 限 と な る こ と で あ る.内

で

局 所L2/ν ‐可 積 分 な も の 全 体 の な すC‐ 部 分 空 間 の 余 次 元 δνを 渡 辺[W1],[W2] は(V,P)の

ν重 種 数 と 呼 ぶ.特

異 点 解 消 を 予 め 与 え な く と も定 義 出 来 る こ の

不 変 量 が 特 異 点 理 論 に お い て 占 め る 意 義 に つ い て は 樋 口 ‐吉 永 ‐渡 辺[HYW]が 詳 し い. す べ て の 自 然 数 νに 対 し δν=1 と な る と き(V,P)を   命 題4.5(土

純 楕 円 型 特 異 点 と呼 ぶ.

橋[T5,命

特 異 点 で あ る.ま と き δν=1,ν

題2.2])Γ

た 

⊂SL(N)の

と きCusp(C,Γ)は

の と きCusp(C,Γ)の

が 奇 数 の と き δν=0で

  証 明   (V,P):=Cusp(C,Γ)と

題4.4の

で あ る.系3.9お

  MのZ‐ はTN上

よ び 定 理3.6(2)に

の 到 る 所 で0で

ら す べ て の 自 然 数 νに 対 し(η)νは Γ‐不 変 で あ り,一

が 偶 数 な ら そ うで あ る.い

よ りU

対 し 

の 正 則r‐ 形 式 で あ る が,U＼X上

は な い.Γ

⊂

般 の場 合 に も ν

ず れ の 場 合 に も(η)νは 

の 切 断 ηνを 与 え る が,明 と な るV上

記 号 で 

同 型 で あ る.

基 底{m1,…,mr}に

SL(N)な

ν重 種 数 は,ν が 偶 数 の

あ る.

す る.命

の 双 対 化OU‐ 加 群 はOU(-X)と

純 楕 円型

ら か に 局 所L2/ν ‐可 積 分 で は な い.し

上 の  か しPで0

の 正 則 函 数 φ を とれ ば φηνは 局 所L2/ν ‐可 積 分 と な る.従

っ て δν

=1で

あ る.

  カ ス プ 特 異 点(V,P):=Cusp(C,Γ)の

持 つ そ の 他 の 性 質 を 挙 げ る前 に,そ

の 特 異 点 解 消 の 具 体 的 構 成 法 を 述 べ よ う.   そ も そ もVの X/Γ を1点Pに

構 成 はU=U/Γ

高 々 有 理 特 異 点 を 持 つ.従

異 点 の 有 理 化"で

付 録],[I7]に

はTNお

っ て ψ=(U,X)→(V,P)は"特

開 集 合 で あ り 

も述 べ た よ うに[TE,第 よ っ て 扇(N,Σ)の

存 在 す る.対

よ っ て 行 っ た の で あ っ た.既

あ る.

トー リ ッ ク 多 様 体TNemb(Σ)の

あ っ た.§1.5で

ン パ ク ト閉 部 分 多 様 体X=

縮 小 す る 正 則 写 像 ψ=U→Vに

述 し た よ う にUは

  Uは

の 余 次 元1コ

で

Ⅰ章 定 理11],[N5,定

理7.20],[S3,

非 特 異 か つ Γ‐不 変 な 局 所 有 限 細 分(N,Λ)が

応 す る トー リ ッ ク 多 様 体 の 同 変 正 則 写 像

よび Γ に 関 し て 同 変 な 特 異 点 解 消 で あ る.W:=Ψ-1(U)は

か つ 非 特 異 な 開集 合 で あ り, 

Γ‐不 変

は単純正規交叉

のみ を 持 ち被 約 な余 次 元1閉 部 分 多 様 体 で あ る.Γ

のWへ

の作 用 は 明 らか に

固有 不 連 続 かつ 不 動 点 な し とな る の で,

はr次 元 非 特 異 多様 体 上 の コン パ ク トな 余 次 元1の 被 約 閉 部 分 多 様 体 で あ る. 細 分 Λ を十 分 細 か く選 べ ば,Y自 いず れ もYの r-1次

身 も単 純 正 規 交 叉 の み を 持 ち,既

既 約 成 分 の どれ か と同型 で あ る.従

って特 にYの

約成 分 は

各既約成分は

元 コ ンパ ク ト非 特 異 トー リ ック多 様 体 で あ り,交 わ りも低 次 元 トー リ

ック多 様 体 で あ る.   Ψ:W→Uか

ら 自然 に 得 る 正 則 写 像 Ψ=W→UはUの

有理特異点解消で

あ り,従 って 合 成

はVの

特 異 点 解 消 で あ る. 

で あ るか らf-1(P)=Y

とな る.従

ってf:W→VはW上

の コン パ ク ト余 次 元1被 約 閉 部分 多 様 体Y

を1点Pに

縮 小す る 正 則 写 像 で あ る.r=2の

な Λ の 中 で最 も粗 い もの で あ り,UN=W,XN=Yと   r次 元複 素解 析 空 間Vの

場 合,前

節 の ΔNは 上 記 の よ う な る.

§3.2の 意 味 で の 大 域 的 に正 規 化 した 双対 化 複 体 を

ωVと す る.従

って特 に そ の コホ モ ロ ジー 層 は

を み た す.ωVの-r次

以 下 の 切 り捨 て を

と 定 義 す る.点P∈Vに をmV,Pと

お け るVの

局 所 環 をOV

  点P∈VがBuchsbaum特

し,そ

の 極 大 イ デ アル

異 点(あ る い はOV,PがBuchsbaum環)で

と は,τ-r(ωV)のPに

お け る 茎 τ-r(ωV,P)へ のmV

な わ ち τ-r(ωV,P)が剰 余 体C(P):=OV,P/mV る こ と で あ る.Schenzel[S4]に な 性 質 で 定 義 し た の で あ る.す xr)を

,Pと

す る.

と っ て も,そ

,Pの 作 用 が0と

あ る な る こ と,す

,P上

の ベ ク トル 空 間 の複 体 とな

も あ る よ う に,元

来 は可 換 環 論 的 に次 の よ う

な わ ちmV,Pの

ど ん な パ ラ メ ー タ ー 系(x1,…,

れ が 生 成 す る イ デ ア ルJのOV

,Pに お け る 重 複 度 とOV,P/J

の 長 さ と の 差 が 一 定 で あ る.   OV,PがCohen-Macaulay環 あ り,ま

たj≠-rに

で あ る こ と は,こ 対 し てHj(ωV,P)=0と

てCohen-Macaulay環

な らBuchsbaum環

の 差 が0で

あ る こ と と同 値 で

な る こ と と も 同 値 で あ る.従

っ

で あ る.

  OV,PがBuchsbaum環

で あ れ ばj≠-rの

ル 空 間 と な る.(こ

の 後 者 の 性 質 を 持 つ よ う なOV

と きHj(ωV,P)はC(P)-ベ ,Pを 準Buchsbaum環

ク ト と呼

ぶ.)   次 に 述 べ る 結 果 は, 

の と き カ ス プ 特 異 点 はCohen-Macaulay特

で は な い がBuchsbaum特

異 点 で は あ る こ と を 保 証 す る.§3.2で

異点 触 れ た導 来

圏 で の 双 対 定 理 等 を ふ ん だ ん に 使 用 し て 行 う証 明 は 割 愛 す る.   カ ス プ 特 異 点 のBuchsbaum性 2.1],土

橋[T5,定

  (1)  (C,Γ)∈p(N)に はBuchsbaum特

田[I4,定

対 応 す るr次

理3.5,定

理2.2,命

元 カ ス プ 特 異 点(V,P):=Cusp(C,Γ)

異 点 で あ る.

  (2)  特 異 点 解 消f:(W,Y)→(V,P)に

お よび

定 理(石

理2.3,系2.4])

対 し

題

が 成 立 す る.C(P)は

局所環

Ｏv,pの 剰 余 体,mv,pは

Hj(D/Γ,C)はD=C/R>0のΓ ク ト実 多 様 体D/Γ

極 大 イ デ ア ル で あ り,

に よ る商 と し て 定 義 す るr-1次 のC-係

元 コン パ

数 の 通 常 の コ ホ モ ロ ジ ー で あ る.ま

た 

は 導 来 圏 に お け る直 像 函 手 で あ る.   命 題4.4で た.作

は,∂Θ

のΓ-不 変 な 凸 多 面 体 分 割 □ を 使 っ て 扇(N,Σ)を

り方 か らX=TN

に よ り α∈ □

emb(Σ)＼TNで

に 対 しV(R〓0α)を

C/R>0に

しR〓0α={0}∪

よ び 系1.7 のTN-不

変

が α の 面 で あれ

こ ろ が 一 方 同 相 写 像 π:∂Θ→D=

のΓ-不 変 な 球 面 凸 胞 体 分 割 π(□)を 得 る.α ∈ □ に 対

π-1(π(α))で あ る か ら

{X上 のTN-不 は1対1上

か らX上

へ の 写 像 で あ る.β

含 ま れ る.と

よ っ て,D上

っ て 命 題1.6お

対 応 さ せ る 写 像 は,□

既 約 閉 部 分 多 様 体 全 体 の 集 合 へ の1対1上 ばV(R〓0α)はV(R〓0β)に

あ る.従

構成 し

変 既 約 閉 部 分 多様 体}

へ の 写 像 で あ る.

  同様 の考 察 を特 異 点 解 消 に 際 して作 っ た Σ のΓ-不 変 か つ 非 特 異 な局 所 有 限 細 分Λ に適 用 す る と次 の よ う に な る.ま 従 っ てΛ ∋σ≠{0}にV(σ)を

はDの

へ の写 像 で あ る.一

らY上

あ り, のTN-

方Λ ∋σ≠{0}

球面単体であ り

Γ-不 変 な 球 面 三 角形 分 割 で あ る.結 局 {Y上 のTN-不

は1対1上

emb(Λ)＼TNで

対 応 させ る写 像 はΛ ＼{{0}}か

不 変 既 約 閉 部分 多様 体 の 集 合 へ の1対1上 に対 し π(σ＼{0})はDの

ずY=TN

へ の 写 像 で あ り,π(τ ＼{0})が

V(τ)に 含 ま れ る.ま

変 既 約 閉部 分 多様 体}

π(σ＼{0})の

面 で あ れ ばV(σ)は

た

が 成 立 す る.   も し Λが 十 分 細 か け れ ば,Δ Δ/Γ をひ きお こす.ま

はr-1次

元 実 多様 体D/Γ

た この とき射 影Y〓Y=Y/Γ

TN-不 変 既 約 閉部 分 多 様 体 はそ の像 に 同型 に写 る.既

の三 角形分 割

に よっ て,Y内

の各

述 し た よ うにYはW=

W/Γ内 の単 純 正 規 交 叉 のみ を持 つ 効 果 的 な被 約 因 子 で あ り,三 角 形 分 割 Δ/Γ

はYの

成 分 のWに

お け る交 叉 の 様 相 を 組 合 せ 論 的 に 記 述 す る(一 般 化 され た

意 味 で の)双 対 グ ラフ で あ る.   実 は 上 記 の 考 察 か らYは

さ らに 次 の よ うな 著 し い 性 質 を持 つ.そ

るた め に,ま ず Δ/Γ 内 の0次 元 単 体(頂

点)全 体 を

とし,Δ/Γ の単 体 ξ と,ξ の頂 点 集合 で あ るJの に し よ う.j∈Jに はYの

対 してYの

れを述べ

既 約成 分Yjが

部 分 集合 とを 同一 視 す る こ と

対 応 し 

あ る 既 約 成 分 と 同 型 で あ る か ら,系1.7に

非 特 異 トー リ ッ ク 多 様 体 と み な す こ と が 出 来 る.さ

と な る.Yj

よ りr-1次 ら にJの

元 コン パ ク ト 部 分 集 合 ξ≠〓 に

対 し

は 空 集 合 で な け れ ば コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク 多 様 体 で あ る.

と定 義 す れ ば,Δ/Γ

とΞ ＼{〓}と

を 同 一 視 す る こ と が 出 来 る.各j∈Jに

対

し

はYj上

の 単 純 正 規 交 叉 の み を 持 つ 有 効 被 約 因 子 で あ り,Yj＼supp(Dj)は

r-1次

元 トー リ ッ ク 多 様 体 と し て のYj内

に あ るr-1次

元 代 数 的 トー ラ ス

で あ る.   従 っ て 次 の よ う に 定 義 を す る と便 利 で あ る.   定 義   r次 元 非 特 異 多 様 体W上

の 単 純 正 規 交 叉 の み を 持 つ 被 約 因 子 

が トー リ ッ ク 因 子 で あ る と は,各j∈J:={1,2,…,υ}に がr-1次

元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ ク 多 様 体 で あ り,Yj上

叉 の み を 持 つ 因 子 を  Yjのr-1次

と定 義 し た と きYj＼supp(Dj)が

元 代 数 的 トー ラ ス と一 致 す る こ と で あ る.

  こ の と き 上 記 と同 様 にy〓:=Wと

とす る.一

対 し てYj の単 純 正 規 交

般 に ξ≠〓

に 対 しYξ はr-#ξ

ク多 様 体 で あ り,Dξ:=Σk〓 ー ラ ス とな る.

定 義 し,

ξYξ∩Ykは

次 元 の コ ン パ ク ト非 特 異 トー リ ッ そ の 因 子,Yξ

＼supp(Dξ)は

代数的 ト

  こ こ で 尾 形 庄 悦 氏 に よ る結 果 を い くつ か 紹 介 し よ う.対 modularの

称 領 域 の 場 合 は 佐

武[S2],[S3],特

にHilbert

der Geer[HV]に

あ る 結 果 を 本 節 の 意 味 で の カ ス プ 特 異 点 の 場 合 に 適 用 し,そ

場 合 はEhlers[E2],Hirzebruch-van

の う ち の い くつ か に 第3章

の 方 法 を 使 っ た 別 証 を 与 えた も の で あ る.

  カ ス プ 特 異 点Cusp(C,Γ)は

十 分 細 か い 扇 Λ に よ っ て 作 っ たr次

様 体W=W/Γ

上 の トー リ ッ ク因 子Y=Y/Γ

で あ る.こ

を1点

の と き 次 が 成 立 す る.([追4],[追5]参

  命 題4.6 

(C,Γ)∈p(N)に

関 し,十

元 非特 異 多

に 縮 小 し て得 た もの

照.)

分 細 か いΓ-不

変 な 非 特 異 扇Λ を 選 び 上

記 の 記 号 の も と で 考 え る.   (1)  Wの 因 子Yjの

コ ン パ ク トな 台 を 持 つ コ ホ モ ロ ジ ー 群H2c(W,Z)内

でYの

既 約

決 め る コ ホ モロ ジ ー 類 を δjと す れ ば 有 理 数

は 十 分 細 か いΓ-不

変 非 特 異 扇 の 選 び 方 に 無 関 係 に(C,Γ)の

不 変 量 で あ る.た

だ し κr:Hc(W,Q)→Qは2r次

同 型H2rc(W,Q)〓Qで

み に よ って 決 ま る

の 成 分 を と っ た 上 で 自然 な

移 す 準 同 型 で あ る.

  (2)  次 の 等 式 が 成 立 す る.

た だ し τ(Yξ)はΞ ∋ ξ≠〓

に 対 応 す る トー リ ッ ク 多 様 体 

で あ り,#ξ〓r(mod2)な

ら τ(Yξ)=0で

  (3)0〓l〓rに

で あ る.従

あ る(定 理3.12(3)参

対 し 

って特 にrが

奇数 の とき に は(2)式 右 辺 の第1項 は0で あ りまた

で あ る か ら,inv(C,Γ)=(D/Γ

Re(s)>1と

理A.10の

照).

とす れ ば,

(D/Γ

  (4)定

の示 数

のEuler数)/2が

意 味 で のCの

な る複 素 数sに

のEuler数)

成 立 す る.

特 性 函 数 をφc:C→R>0と

対 し(C,Γ)の

ゼータ函数を

す る.実

数部

と定 義 す れ ばRe(s)>1で

絶 対 収 束 す る.r=2ま

解 析 接 続 し て 得 る解 析 函 数 はs=0で

と な る.(尾

形[追5]に

は,よ

た は3の

と き ζ(C,Γ;s)を

正則 で あ り

り改 良 され た 結 果 が あ る.)

  証 明   これ ら の 結 果 の 証 明 に は 色 々 の 準 備 が 必 要 で あ る の で,概

略 を述 べ る

に と ど め よ う.   (1)Ehlers[E2]に

従 っ て 次 の よ うに 証 明 す る.W=W/Γ

か つ 不 動 点 な し に 作 用 す る 群 に 関 す る商 で あ る か ら,定 用 し 次 にWへ

は 固有 不 連 続 理3.12(1)をWに

の 直 像 層 のΓ-不 変 部 分 を と れ ばΘw(-log

こ と が 判 り従 っ て そ の 全Chern類 に,WのHc(W,Z)に

は 自 明 とな る.従

お け る 全Chern類

と な る.c(W)に

関 す るr次

Y)は

のTodd多

項 式 が(1)の

の 唯 一 の 特 異 点 の 近 傍 で あ る と し て よ い.一

Q)に

お け るV′

ン ドル は 自 明,従 る.特 がZの

コ ン パ ク ト近 傍V′

＼{Ｐ}のChern類

右 辺 に 他 な ら な い.Λ ずArtinの

の

近似定理お

あ る 射 影 多 様 体Z′

方(V,P)は

有 理 的 に 平 行 化 可 能,

を 適 当 に とれ ば,H(V′

が 自 明 と な る.何

っ てV＼{P}=W＼Y上

異 点 解 消Z→Z′

同様

は

よ び 広 中 の 特 異 点 解 消 定 理 に よ り(V,P):=Cusp(C,Γ)は

お け るPの

平 担 層 とな る

っ て 定 理3.12(2)と

選 び 方 に 無 関 係 で あ る こ と は 次 の よ うに し て 示 す.ま

す な わ ちVに

適

＼{P},

故 な らW＼Yの

接バ

の 接 バ ン ドル は 平 担 だ か ら で あ

を と れ ば,こ

の こ と か らc(W)のr次Todd多

算 術 種 数 と一 致 す る こ と が 判 り,算

項式

術 種 数 の 双 有 理 不 変 性 か ら(1)を 得

る.   (2)  周 知 の 通 り δの 羃 級 数  は δ2の 羃 級 数 で あ る(BkはBernoulli数

で あ る).従

って

と な る.た

だ し Σ′ξ は#ξ ≡r(mod

2)か

つ ξ≠〓

と な る ξ∈Ξ に わ た る 和 で

あ る.ξ

≠〓

に 対 す るYξ に 示 数 定 理 を 適 用 す れ ば,上

Σ ′ξ τ(Yξ)と 一 致 す る こ と は 容 易 に 判 る.#ξ〓r(mod で あ り τ(Yξ)=0と   (3)  ξ≠〓

な る.よ

照).ξ

≠〓

2)な

が

らYξ は 奇 数 次 元

っ て(2)を 得 る.

の と き 定 理3.12(3)を

と な る(系1.7参

式 右 辺 の 第1項

トー リ ッ ク多 様 体Yξ に 適 用 す れ ば,

す べ て に わ た る 和 を と れ ば(3)式

の両 端 が 等 し く

な る.

  一 方 定 理3.6(4)に

お け る完 全 列 をWに

分 を とれ ば,0〓p〓rに

を 得 る.た

対 し てOw-加

適用 し,W上

へ の直 像 のΓ-不 変 部

群 の完 全 列

だ し

で あ り  ξは ξ∈Ξ(l)に わ た る 直 和 で あ る.  余 核 をEpと

す れ ば,台

を コ ン パ ク ト閉 部 分 空 間Yに

を 得 る こ と に な る.#ξ=l≠0の リ ッ ク 多 様 体 で あ る.命 系2.8に

と な る.従

題3.1に

と きYξ はr-l次 よ り 

よ っ て そ の 階 数 とEuler-Poincare指

っ てEpのEuler-Poincare指

と な る.1〓p〓rに

の 有 す るOw-加

群 の完 全 列

元 コ ン パ ク ト非 特 異 トー は 自 由OYξ-加

群 で あ り,

標 とは一 致 し て

標 は

関 す る 和 を と れ ば 

を 得 る. 一 方Ωpw(log

Y)の

荷 重 フ ィル タ ー づ け

を

と 定 義 す れ ば,§3.2に

お け る よ うなPoincare留

数 写 像 に よ って 同型

を 得 る. 

ξは ξ∈Ξ(k)に わ た る直 和 で あ る.Ep=wp/w0で

と な る.Σ

ξは ξ∈Ξ(k)に わ た る和 で あ る.1〓p〓rに

と な る.示

数 定 理 に よ っ て 右 辺 は Σξ≠〓 τ(Yξ)と 一 致 す る.

  (4)C=￨Λ￨＼{0}で

あ る か ら扇Λ

内 のr次

Γ で 移 り合 わ な い 有 限 個 の 代 表 系 を と り,そ

あ るか ら

関 す る和 を とれ ば

元 非 特 異 多 面 錐 の うち互 い に

の お の お の に つい ての 部 分 和 の 絶

対 収 束 性 を 示 せ ば 前 半 を 得 る.   少 く と もr=2ま とな り,そ 使 う.Λ

た は3の

こ で の 値 が-inv(C,Γ)と

＼{0}のΓ-同

で あ り,対

と き ζ(C,Γ;s)が

解 析 接 続 出 来 てs=0で

正則

一 致 す る こ と を 言 うた め に は 次 の 方 法 を

値 類 の 代 表 お の お の に 関 す る 部 分 和 はDirichlet級

応 す る指 数 級 数 の 漸 近 展 開 をEuler-Maclaurinの

よ うに 使 っ て 求 め る の で あ る.([追5]参

数

和 公 式 を 通常 の

照.)

  注   r〓4に 対 し(4)に 相 当 す る結 果 が成 立 す るか 否 か を調 べ る のは 今後 の課 題 であ る. 本稿 の完 成 後 に発 刊 され た[ADS]は,Hilbert

modularの

場 合 に関 連 した[H3]の

想 を 証 明 して い る.そ れ に よれ ば カ ス プ特 異 点 の場 合 に も(C,Γ)の

予

双 対(C′,Γ)の ゼ ー

タ函 数 の 特 殊値 を考 え る方 が 自然 か も知 れ な い.   ち なみ にr=2の

場 合 の 不 変 量は

で あ る.(Y2j)はYjのWに   命 題4.6(2),(3)の   ま ずWをr次

お け る 自己 交 叉数 で あ る. 結 果 お よ び 証 明 は,次

の よ うな 場 合 に も通 用 す る.

元 コ ン パ ク ト非 特 異 多 様 体 と し,そ

に 分 解 し てc(W):=c(Θw)=Πrj=1(1+γj)と mann-Rochの

し た と き,Wの

定理 に よ り

で あ る.一 方,示 数 定 理 に よ りWの

と な る こ とが 知 ら れ て い る([H2]参

の 全Chern類

示数 は

照).

を形式的

算 術 種 数 はRie-

  次 の結 果 は 佐 武[S3],Ehlers[E2]に

あ る も ので,そ

の うち の い くつ か に尾

形 庄 悦 氏 が 第3章 の方 法 を 使 った 別 証 を与 え た.な お簡 単 で は あ るが 本質 的 で あ る(1)は 対 馬 龍 司 氏 に よ る もの で あ る.([追4]参   命題4.7 

Wをr次

元 コ ンパ ク ト非 特 異 多 様 体 と し,W上

の み を持 つ 被 約 な 因子Y=Σj∈JYjが   (1)  (W,Y)の

照.)

対 数 的 全Chern類

と し,Ow(Yj)の

第1Chern類

で あ り,第k対

数 的Chern類

を形式的に分解 して

を δjと す れ ば

をck(W,Y)と

書けば

が 成 立 す る.   (2)  (W,Y)の

と し,(W,Y)の

対数的算術種数 を

対数的示数 を

と定 義 す れ ば,

が 成 立 す る.  (3)

が 成 立 す る.  (4)rが

奇 数 の と き で あ り,

の単 純 正 規 交 叉

トー リ ック 因 子 で あ る とす る.

τ(W)=τ(W,Y)=0か

つ 

が 成 立 す る.   証 明  や は り概 略 のみ を示 す.   (1)  定理3.12(1)に

お け る と同 様 に 完全 列

か ら 

を 得 る.仮

定 に よ りYjはYj＼Djを

数 的 トー ラ ス とす る トー リ ッ ク多 様 体 で あ る.Yjに

代

お い てPoincare留

数を

と る写 像 の 決 め る完 全 列

のOYj-双

対 を とれ ば 完 全 列

を 得 る.従

っ てc(W,Y)のYjへ

の 制 限 は(Yj,Dj)の

c(Yj,Dj)と

一 致 す る が,系3.2に

よ りΘYj(-logDj)は

c(Yj,Dj)=1で

対 数 的 全Chern類 自 由OYj-加

群 で あ り,

あ る.

  (2)  (1)に よ り

と な る か ら 

で あ る.(同  を 得 る.)各

に 対 し てRiemann-Rochの

様 にして Ωpw(log  Y)

定理を適用すれば

と な る こ と が 容 易 に 判 る.   (3),(4)の

証 明 は 命 題4.6(3)の

考え る必 要 は な く,コ

そ れ と 全 く 同 様 で あ る.た

ン パ ク トなW全

だ し 今 回 はEpを

体 の 上 で のEuler-Poincare指

標 が使

用 出 来 る.   注  Q-階 数1の 対 称 領 域Dを カ ス プP1,…,Pcを

十 分小 さ な数 論 的部 分 群 に よ っ て 割 っ た 商 に有 限個 の

添 加 して コ ンパ ク ト化 し た 多 様 体 をZと

に よる特 異 点解 消 とす れ ば,正

共 通 点 を持 た な い トー リッ ク因 子 で あ る.ト ー リッ ク因 子  命題4.7を

適 用 す れ ば,

す る.f:W→Zを[SC]

規 交 叉 のみ を 持 つ 被 約 因 子f-1(P1),…,f-1(Pc)は

互 いに に

と な る.た だ しinv(Pk)は   Hirzebruch-Mumfordの

カス プ特 異 点Pkに

対 す る命 題4.6の

比 例 定 理 に よれ ば,(W,Y)の

ンパ ク ト双 対 と呼 ば れ る有 理 多 様 体Dの

意 味 で の不 変 量 であ る.

対 数 的Chern数

対 応 す るChern数

は,Dの

コ

と比 例 す る.特 にX(W

,Y), ら求 ま る.従 っ て各 カ ス プ か ら の 寄 与inv(P1),…,inv(Pc)が

τ(W,Y)はX(D),τ(D)か

別 の方 法 で 計 算 出 来 れ ばX(W)が

求 ま る こ とに な る.も っ と一 般 に保 型 形 式 の 次 元 も同

様 の方 法 で 求 め る こ とが 出 来 る.詳 細 は[S2],[S3]等   §4.1に 述 べ た 循 環 連 分 数 と2次 も 一 般 化 出 来 る.簡

元 カ ス プ 特 異 点 と の 関 連 は,本

単 の た めr=3の

節 を 終 え よ う.§4.1末

を 参 照 して 頂 きた い.

場 合 の 土 橋[T5]の

で 見 た よ う に,r=2の

節 の場 合 に

結 果 を紹 介 し て 本

場 合 の 循 環 連 分 数 はS1の

π1(S1)-不 変 な 荷 重 付 き三 角 形 分 割 と み な せ た の で あ っ た が ,r=3の

場合 には

2次 元 コ ン パ ク ト実 多 様 体 の 普 遍 被 覆 空 間 を 基 本 群 の 作 用 で 不 変 と な る よ う に 三 角 形 分 割 し,さ

ら に 基 本 群 の 作 用 で 不 変 な 二 重Z-荷

  一 般 に(C,Γ)∈p(N)を

与 え た と き,∂Θ

割 □ か らD=π(C)=C/R>0のΓ-不

重 を 付 与 す る の で あ る.

のΓ-不 変 な コ ン パ ク ト凸 多 面 体 分

変 な 球 面 凸 胞 体 分 割 π(□)を 得 た .一

方 □ か ら作 っ た 扇 Σ の Γ-不 変 か つ 局 所 有 限 な 非 特 異 細 分Λ を と る こ と に よ っ て,DのΓ-不

変 な球 面 三 角 形 分 割

を 得 る.Δ は π(□)の 細 分 で あ る.も 次 元 コン パ ク ト実 多 様 体D/Γ   r=3の

場 合,Dは2次

結 な開 集 合 で あ り,あ

しΛ が 十 分 細 か け れ ば,Δ/Γ はr-1

の三 角 形 分 割 とな る.

元 球 面 

不変かつ単連

る半 球 にそ っ く り含 まれ て い る.系1.32に

様 に,非 特 異 扇(N,Λ)はDのΓ-不

おけ ると同

変 な球 面 三 角 形 分 割 Δ を 決 め,そ

の上の

Γ-不 変 か つ モ ノ ドロ ミー条 件 を み たす 二 重Z-荷

重 付 け を 決 め る.も し Λ が 十

分 細 か け れ ば,2次

の三 角 形 分 割 Δ/Γ の二 重Z-

元 コン パ ク ト実 多様 体D/Γ

荷 重 付 け も与 え る.(p.69,追

記(4)参 照.)

  逆 に2次 元 コ ン パ ク ト実 多 様 体D/Γ の普 遍 被 覆 空 間 をD,基 本 群 をΓ と し,DにΓ-不 変 か つ 局 所 有 限 な 組 合 せ 論 的 三 角 形 分割 Δ を 与 え ,モ ノ ドロ ミ ー条 件 を み たすΓ-不 変 な二 重Z-荷

重付けを与えた とす る

.N〓Z3のZ-基

底 をひ とつ 選 び,そ れ を あ る三 角 形 の3頂 点 のN-荷 結 性 か ら 系1.32と

同 様 に,Δ

の 各 頂 点 のN-荷

重 と決 めれ ば,Dの

重 お よ び 準 同型Γ

単連

→GL(N)

が 二 重Z-荷

重 に よ っ て 決 ま る.し

の 各 単 体 と そ の 各 頂 点 のN-荷 る が,系1.32の

か も そ のN-荷

重 を 使 え ば.NRの

場 合 と 違 っ てNの

非 特 異 多 面 錐 の集 合 Λ を得

扇 で あ る 保 証 は な い.局

と は モ ノ ド ロ ミ ー条 件 か ら 判 る の で あ る が.ま も,C:=￨Λ￨＼{0}の

重 付 け は Γ-不 変 で あ る.Δ

所 的 に扇 であ る こ

た た と え Λ が 扇 で あ った と し て

閉 包 が 強 凸 と い う保 証 は な い.二

重Z-荷

重 に何 らか

の 制 限 を 要 す る.   r=2の が-2以

場 合 に は,D〓RのΓ-不

変 な 荷 重 付 き三 角 形 分 割 の す べ て の 荷 重

下 で あ り し か も 少 く と も ひ と つ は-3以

な 制 限 で あ っ た.純

循 環 連 分 数 の 条 件 で あ る.次

様 の 制 限 が 十 分 で あ る こ とを 示 し て い る.証   土 橋 の 定 理([T5,定

理4.5,命

普 遍 被 覆 空 間 をD,基

本 群 をΓ

割 Δ に 対 しΓ-不

の 結 果 はr=3の

題4.6])2次

元 コ ン パ ク ト実 多 様 体D/Γ

と す る.Γ-不

変 か つ 局 所 有 限 なDの

重 の 和 が す べ て-2以

重 の 和 が ち ょ う ど-2に

得 ら れ る □ がDの

胞 体 分 割 に な る.

のEuler数

  注   3次 元Hilbert Euler数

重 付 け が 与 えら

下

変 か つ 局 所 有 限 な 非 特 異 扇 Λが

同 型 を 除 い て 唯 一 つ 決 ま り,(￨Λ￨＼{0},Γ)はp(Z3)に

な ら ば 種 数 は2以

三角形分

等 し い 辺 を す べ て Δ か ら 取 り去 っ て

件 が み た さ れ て い る な ら ば,Z3のΓ-不

  こ の 場 合,D/Γ

の

し

  (イ)  Δ の 各 辺 上 の 二 重Z-荷   (ロ) 二 重Z-荷

場合に同

明 は 長 く な る の で 省 略 す る.

変 か つ モ ノ ド ロ ミ ー 条 件 を み た す 二 重Z-荷

れ て い る とす る.も

の2条

下 で あ る こ とが 必 要 か つ 十 分

上 で あ る.(土 modularの

は 負 で あ り,従 橋[追3]に

属 す る.

っ て 特 にD/Γ

が 向 き付 け 可 能

一 般 化 が あ る.)

場 合 に はD/Γ〓R2/Z2は2次

元 実 トー ラ ス で あ り

は0と な る.従 っ て 上 記 の 十 分 条 件 は 必 要 条件 で は な い.2次Siegel上

半平面

の 場 合 は 上 記 の 定 理 の 範 疇 に入 る.   上 記 の条 件(イ),(ロ)を み た す 実 例 が[T5,§5]に

い くつ か与 え られ て い る.

  §4.3  トー リ ッ ク多 様 体 の コ ンパ ク ト商 多様 体   非 特 異 トー リ ッ ク 多 様 体 内 の 開 集 合 に 離 散 群 が 固 有 不 連 続 か つ 固 定 点 な し に 作 用 す る と き,そ 尽 き た の で,興

の 商 空 間 が コ ン パ ク ト複 素 多 様 体 と な る場 合 が あ る.紙

味 あ る 例 を 簡 単 に い くつ か 挙 げ る だ け に と ど め よ う.

数 も

  (1)  複 素 トー ラ ス   N〓Zrと

す れ ば,代

最 も簡 単 な トー リ ッ ク多 様 体 で あ る.階 剰 余 群TN/Γ

数 的 トー ラ スTN〓(Cx)r自

数rの

は 複 素 トー ラ ス で あ る.実

自 由 可 換 群Γ

⊂TNを

身は と れ ば,

際, 

の導

く準 同 型

を 通 じてTNはN  C〓Crに

zCの

部 分 群Nに

お け る逆 像 は 階 数2rの

トー ラス を,通 常 の2r個

z

自 由可 換 部 分 群 だ か ら であ る.す な わ ち複 素

の周 期 の半 分 で割 ってTNと

割 った 形 に 表 わ した の がTN/Γ   [MO,§11]に

よる剰 余 群 と一 致 し,Γ ⊂TNのN 

し さ らに残 りの 半 分 で

で あ る.

も詳 し く述 べ て あ る よ う に,上

記 を 次 の 形 に 定 式 化 す る と便

利 で あ る.   す なわ ち階 数rの Mと

自由 可換 群Γ〓Zrを

加 法 的 に与 え,Nの

双 対Z-加

群を

した と き単 射 準 同 型

を周 期 と呼 ぶ.γ ∈Γ の 像 をqγ と書 け ばqの 像qΓ がTNの 部 分群 で あ り,X:=TN/qΓ

階 数rの

自由 可換

が複 素 トー ラス で あ る.あ る い は非 退 化 なZ-双

線形写像

を 周 期 と呼 ん で も 同 じ で あ る.γ ∈Γ,m∈Mに の で あ る.こ

対 しQ(γ,m):=qγ(m)と

す る

の と き双 対 的 に 周 期

が 

と定 義 出来,X:=T/qMが

双 対 複 素 トー ラス と

な る.   既 述 の よ うに[MO,命

題11.1]は

誤 りであ るが そ の後 の議 論 に は影 響 な く,

テ ー タ函 数 論 が 乗 法 的 に定 式 化 出 来 る.こ moduli空   (2)Ⅶ 体Xの

れ に よ っ て 偏 極Abel多

様体の

間 の コンパ ク ト化 の構 成 が 大 変 見 通 し良 くな る. 型 曲 面  複 素 曲面,す

第1Betti数

な わ ち2次 元 の コ ン パ ク ト非 特 異 複 素 多 様

がb1(X)=1の

第 一 種 例 外 曲線 を含 まな い ときⅦ0型

とき,XをⅦ

型 曲 面 と呼 ぶ.さ

らに

曲面 と呼 ぶ.小 平 邦 彦 氏 に よ っ て定 義

され た 複 素 曲面 の一 部 類 で あ るが,小 平 氏 自身,井 上 政 久,加 藤 昌英,中

村 郁,

榎 一 郎 の 各 氏 に よ っ てⅦ

型 曲 面 の 研 究 は 目 覚 し い 進 展 を 見 せ た.詳

は た と え ば 中 村[N3],[N4]お   (イ)Hopf曲

よ び そ の 引 用 文 献 を 参 照 し て 頂 き た い.

面   普 遍 被 覆 空 間 がCr＼{0}と

XをHopf多

様 体 と 呼 ぶ.特

原 始 的Hopf多   r=2の

同 型 で あ るr次

に 基 本 群 π1(X)が

元 複 素 多 様体

無 限 巡 回 群 で あ る 場 合,Xを

様 体 と 呼 ぶ. 場 合Hopf曲

π1(X)が

しい 事 情

面 と 呼 ぶ が,第2Betti数

がb2(X)=0で

あ って

無 限 巡 回 群 を 指 数 有 限 に 含 ん で い る複 素 曲 面 と い う特 徴 づ け も 知 ら れ

て い る.   定 理1.5直

前 の 例(ⅰ)で 見 た よ うに,C2＼{0}は2次

元 の 非 特 異 トー リ ッ ク

多 様 体 で あ る. 

を み た す と き, 

の 生 成 す る無 限 巡 回 群gzがC2＼{0}に

作 用 す る こ と に な る.こ

作 用 は 固 有 不 連 続 か つ 不 動 点 な し で あ り,X:=(C2＼{0})/gzは 曲 面 の 例 と な る.Xは =0と

互 い に 交 わ ら な い 楕 円 曲 線E,Fで

な る も の を 含 む.こ

れ ら の 事 実 の 証 明,お

ラ メ ー タ ー 族 の 構 成 に は §1.3の §13]を

の

原 始 的Hopf あ っ て(E2)=(F2)

よ び 有 理 曲 面 へ 退 化 す る1パ

角 付 き 実 多 様 体 を 使 う と便 利 で あ る.[MO,

参 照 し て 頂 き た い.

  (ロ)放 物 的 井 上 曲 面   1次 元 既 約 閉 部 分 多 様 体 と し て 楕 円 曲 線Eお

よび 結 節

点 を 持 つ 有 理 曲 線Cの

み を 持 ち,(E2)=-1,(C2)=0,(E,C)=0か

つ

b2(X)=1と

曲 面Xの

理

14.1]に

な るⅦ0型

例 を 井 上 政 久氏

が 構 成 し た.[MO,定

あ る よ うに トー リ ッ ク多 様 体 を 使 う と見 通 し が 大 変 良 くな る.

  す な わ ち{n,n′}をZ-基

底 とす るZ-加

群Nの

非 特 異 無 限 扇 Δを

と定 義 す る と

で あ る.自

己 同 型h∈Autz(N)を

で 定 義 す れ ば 明 ら か に 扇 Δ の 自 己 同 型 で あ る.さ ∈Cに

対 し γn(λ)∈TNを

と す る.h*は

§1.2に

トー リ ッ ク 多 様 体TN

ら に0<￨λ￨<1を

みたす λ

自 己 同 型 で あ り,一

方 γn(λ)∈

お け る よ うに

emb(Δ)の

TNもTNemb(Δ)に

作 用 す る.そ

こで

を そ れ ら の 合 成 と す れ ば,TNemb(Δ)に {n,n′}に 関 す るMの z′:=e(m′)と

双 対Z-基

底 を{m,m′}と

す れ ば,点(z,z′)∈TNへ

で 与 え ら れ る.従

っ て ν∈Zに

とな る.Mc(N,Δ)へ

作 用 す る 無 限 巡 回 群(gλ)zを し,TNの

得 る.

座 標 をz:=e(m),

のgλ の 作 用 は

対 し

の(gλ)zの 作 用 を 見 る こ と に よ り

が コ ン パ ク トで あ る こ と が 判 り,

が そ の 上 の 楕 円 曲 線,ま た

がP1(C)の2点0,∞

を 同 一 視 し た 結 節 点 を 持 つ 有 理 曲 線 と な る こ と が 判 る.

各 λ に 対 す る こ のXλ λ→0に

が 放 物 的 井 上 曲 面 で あ り,Ⅶ0型

でb2(Xλ)=1と

よ っ て 有 理 曲 面 に 退 化 す る族 の 構 成 も込 め て[MO,§14]を

な る. 参照 して

頂 き た い.   (ハ)双 に,実2次

曲 的 井 上 曲 面(別 体KのZ-格

の 凸 閉 包 をΘNと 限(R>0)2を

名 井 上-Hirzebruch曲 子Nを

す る.0とN∩

分 割 し た 扇 をΔNと

し て も 行 う.す

と り,同

と な る.明

一 視NR=R2の

け るよ う

も とでN∩(R>0)2

∂ΘNの 各 点 と を 結 ぶ 半 直 線 に よ っ て 第1象 す る.同

な わ ちN∩(R>0×R<0)の

様 の 操 作 を 第4象

限R>0×R<0に

凸 閉 包 をΘ′Nと し,0とN∩

各 点 と を 結 ぶ 半 直 線 に よ っ てR>0×R<0を ΔN∪ Δ′NはNの

面)  命 題4.1にお

分 割 し た 扇 をΔ′Nとす る.こ

対 ∂Θ′Nの の とき

非特異無 限扇であ り

ら か にΓ+Nは

扇(N,ΔN∪

Δ′N)の自 己 同 型 群 で あ り,従

っ てTNemb

(ΔN∪ Δ′N)に作 用 す る.

に よ る(R>0×R)∪{Mc(N,ΔN∪

Δ′N)＼NR}の

逆 像 をZNと

す れ ば,

はⅦ0型 り,双

曲 面 と な る.Γ+Nの

指 数 有 限 部 分 群Γ

もⅦ0型

であ

限 に つ い て 同 様 に 構 成 し たU′Nと

を互 い

曲 型 井 上 曲 面 あ る い は 井 上-Hirzebruch曲

  命 題4.1で

構 成 し たUNと,第4象

に 素 な 開 集 合 と し て 含 ん で い る.UN,U′Nの に よ る商 がS1と

同 相 で あ る か ら,S1上

  ま たUN,U′Nが

個 数 と一 致 す る.ZN/Γ   第1象

限 と 第4象

を そ れ ぞ れ1点

の(S1×S1)-バ

サ イ ク ル はZNの

ZNはΓN-不

限 とは §4.2の

称"と

の

な わ ち有 理 曲線 の

意 味 で 双 対 的 で あ り,UN,U′Nの

サ イ クル

に つ ぶ し て 出 来 る カ ス プ 特 異 点 は 互 い に 双 対 的 と な る.詳

属 さ な いΓNの

しい

あ る. しΓ+Nの

元 はΔNとΔ′Nと な る.ΓNは

ΓNに お け る 指 数 が2で

を 互 い に 交 換 し,第1象

扇ΔN∪

あれ

限 と第4象

Δ′Nの 自 己 同 型 を ひ き お こ し,

変 とな り

も や は りⅦ0型

曲 面 と な る.ΓNの

な い も の に 対 し て もZN/Γ う.P1(C)の

互 い に 素 な2個

の 場 合 も 同 様 で あ る.

  (ニ)半 井 上 曲 面   上 記(ハ)に お い て,も

限 と は 互 い に"対

ン ドル と な る.

こ れ ら の サ イ クル の 長 さ の 和,す

研 究 が 中 村[N2],[N3],[N4]に

ば,Γ+Nに

面 と呼 ぶ.

閉 包 の 共 通 集 合 は,CTN〓S1×S1

そ れ ぞ れ 持 つP1(C)の

サ イ ク ル と な る.b2(ZN)は

に 対 しZN/Γ

はⅦ0型

指 数 有 限 部 分 群Γ と な る.こ

サ イ ク ル を 唯 一 つ 持 っ て い る.

で あ っ てΓ+Nに 含 ま れ

れ らを す べ て 半 井 上 曲面 とい

付録  凸体 の幾何学

  本 章 で は,比

較 的 な じ み が 薄 い と思 わ れ る 凸 錐,凸

に 関 す る 基 礎 的 事 項 を,組 る.最

合 せ 論 的,形

多 面 錐,凸

体,凸

近 は こ の 方 面 の 参 考 書 も 多 数 存 在 す る の で,本

格 的 な 証 明 は 省 略 し,本

書 の 代 数 幾 何 学 的 部 分 と 関 連 の 深 い 部 分 を 中 心 に 話 を 進 め る.た baum[G5]お

よ び そ の 補 遺 で あ る[G6],岩

fellar[R7]等   Rを

と え ばGrun

堀[I8],Br〓nsted[B5],Rocka

を 参 照 し て 頂 き た い.

実 数 体 と し,r次

元R-ベ

ク トル 空 間V〓Rrを

ク リ ッ ド距 離 は 考 え な い が,位 間 をV*と

多面体

態学 的 な 側面 に重 点 を 置 い て 紹 介 す

す る.す

な わ ちV上

ク トル 空 間 で あ る.uを,υ とみ な す とR-双

線形写像

  非 負 実 数 の 全 体 をR〓0と

固 定 し て 考 え る.ユ

相 は 通 常 の も の を 考 え る.Vの のR-線

∈Vに

形 汎 函 数u:V→R全

対 し 〈υ,u〉 ∈Rを

〈,〉:V×V*→Rを 書 く.ま

ー

双 対 ベ ク トル 空 体 の な すR-ベ

対 応 さ せ る 写 像 で あ る, 得 る.

た 正 の 実 数 全 体 をR>0と

書 く.

  §A.1  凸 多面 錐   非 空 部 分 集 合C⊂Vが(0を の 実 数aお

よ びυ ∈Cに

υ+υ ′ ∈Cと

し てR上 cone)と   Vの

対 し常 にaυ ∈Cと

な る こ と で あ る.特

と な る と き,Cを をCの

頂 点 とす る)凸 錐(convex

polyhedral

ず し もR上

一 次 独 立 なυ1,…,υsが

あ る とは,正

たυ,υ ′ ∈Cに

に 有 限 個 のυ1,…,υs∈Cが

凸 多 面 錐(convex

生 成 元 と 呼 ぶ が,必

な り,ま

cone)で

cone)と

対 し常 に

存 在 して

呼 ぶ.こ

のυ1,…,υs

一 次 独 立 で あ る 必 要 は な い.生

選 べ る と きCをs次

成元 と

元 の 単 体 的 錐(simplicial

呼 ぶ. 凸 錐Cに

は 明 ら か にV*の

対 し

凸 錐 で あ り,Cの

双 対 錐(dual

cone)と

呼 ぶ.幾

何 学 的 に考

え れ ば,C∨

はCを

含 む 半 空 間 の

あ る と 考 え ら れ る.た

集 ま りで

だ しu=0の

と きH+(u;0)=Vで

あ る が,便

宜上 こ

れ も 半 空 間 と み な す.   凸 錐Cの のR上 Vの

次 元dimCと

は,Cを

含 む 最 小 のR-部

の 次 元 で あ る と 定 義 す る.た 凸 錐C1,C2に

分 空 間RC=C+(-C)

だ し 

で あ る .ま

た

対 し

とす る と こ れ もVの

凸錐 で あ り,明

らか に 

が成 立 す

る.   凸 錐Cの

相 対 内 部relint(C)と

は,RCの

部 分 集 合 と み な し た 際 のCの

通

常 の 内 部 で あ る.   V*の

凸 錐C∨

の 双 対 錐C∨∨ をVで

考 えれ ば 明 ら か にC⊂C∨∨

し か し 一 般 に 両 者 は 一 致 し な い.C∨∨=∩u∈c∨H+(u;0)で   定 理A.1  凸 錐,す

(1)(双

対 定 理,た

と え ば[R7,定

理14.1]参

な わ ち 閉 集 合 か つ 凸 錐 で あ れ ばC=C∨∨

  (1′) 特 にCが   (2)  Vの

凸 多 面 錐 で あ れ ばC=C∨∨

閉 凸 錐C1,C2に

  (3)  (分 離 定 理.た

と え ば[R7,定

の 必 要 十 分 条 件 は,あ

に 関 し てC1とC2が H+(u;0),C2⊂H+(-u;0)と   一 般 にVの

部 分 集 合Sに

と定 義す れ ば,S∨ はV*の の 部 分 集 合Tに

閉

で あ る. が 成 立 す る.

理11.3]参

な わ ちrel

る0≠u∈V*の

照.)C⊂Vが

で あ る.

対 し 

内 部 で 互 い に 交 わ ら な い,す

が 成 立 す る.

あ る.

照.)Vの

int(C1)∩rel

凸 錐C1,C2が

int(C2)=〓

相対

であるため

決 め る 超 平 面 

互 い に 反 対 側 に あ る こ と,す

な わ ちC1⊂

な る こ と で あ る. 対 しV*の

部分集合を

凸 錐 で あ り,S⊥ はV*のR-部

対 し て もVの

凸 錐T∨ お よ びR-部

分 空 間 で あ る.V*

分 空 間T⊥ を 同様 に定 義

す る.   明 らか にS⊥ ⊂S∨ で あ り, 

で あ る.ま で あ る. 

た 

である こと

も 明 ら か で あ る.   定 理A.2 

(た と え ば[I8]参

照.)凸

  前 述 の 双 対 定 理(定 理A.1(1′))と す な わ ちVの

凸 多 面 錐Cは

多 面 錐 の 双 対 錐 は ま た 凸 多 面 錐 で あ る. 併 せ れ ば,本

びu1,…,ut∈V*が

存在 して

で あ る.後

半 空 間H+(u1;0),…,H+(ut;0)の

者 はCを

て い る こ と に な る.あ が,基

る い はt個

本 解υ1,…,υsの

定 理 は 次 の こ と を 意 味 す る.

二 重 の 表 示 法 を 持 つ.つ

ま りυ1,…,υs∈Vお

よ

共 通 集 合 と し て表 示 し

の 連 立 斉 次 不 等 式 系 の 解 全 体 の 集 合 で あ るC

非 負 実 数 係 数 一 次 結 合 の 全 体 と表 わ せ る こ と も 意 味 す

る.   例   Vの

はVの

基 底 をe1,…,erと

し,V*の

双 対 基 底 をe1*,…,er*と

凸 多 面 錐 で あ る.j=1,2,…,r-1に

とす れ ば 

す る.

対 し

と な る.

  定理A.3 

(Caratheodoryの

定 理.た

の 次 元 がdで {υ1,…,υs}の うち高 々d個 表 わ せ る.す な わ ちd次

のR上

とえ ば[G5]参

あ る とす る.こ

照.)Vの

凸多 面 錐 

の と き任 意 のυ ∈Cは

一 次 独 立 な も の の 非 負実 数 係 数 一 次 結 合 で

元 凸 多 面 錐 はd次 元 単 体 的 凸多 面 錐 の有 限 和 集 合 で あ

る.   凸錐C⊂Vの

相 対 内 部rel int(C)と は,前

な した 際 のCの

内 部 で あ る.Cの

述 し た通 りRCの

部 分 集 合 とみ

相対境界 を

と定 義 す る.   V内

の 凸 多 面 錐Cの

に 対 しF=C∩{u}⊥

と書 く.Cを とCと る.u=0を

部 分 集 合FがCの

面(face)で

と な る こ とで あ る.こ

含 む 半 空 間H+(u;0)が

存 在 し て,Fは

の共 通 集 合 で あ る こ とを 意 味 す る.従 とれ ばC自

身 はCの

あ る と は,あ

るu∈C∨

の とき

面 で あ る.C以

そ の境 界  っ てFも

また 凸多 面 錐 であ

外 のCの

面 は 相 対 境 界 ∂C

   

の 部 分 集 合 とな る.容 易 に判 る よ うに次 の分 解 が 成 立 す る.

 補 題A.4 

凸 多面 錐C⊂Vとυ

∈Cに

つ き次 は 同値 であ る.

(ⅰ)

(ⅱ) 任 意 のu∈C∨

＼C⊥

に 対 し 〈υ,u〉>0.

(ⅲ)

  (ⅳ) C+R〓0(-υ)がCを

含 む 最 小 のR-部

  証 明   (ⅱ)でな け れ ば あ るu∈C∨ 面C∩{u}⊥

≠Cに

ばυ はCの

あ る 面F≠Cに

る が,F≠Cゆ

属 す る.あ

えu〓C⊥.と

明 ら か で あ る.(ⅰ)で な け れ

るu∈C∨

こ ろ がυ ∈Fで

凸 多 面 錐Cの

で あ り,そ

の 最 大 元 はC,最

に 対 しF=C∩{u}⊥

あ る か らu∈C∨

面 全 体 の 集 合F(C)は 小 元 はC内

抽 象 複 体 で あ る.す

で あ り,F1,F2∈F(C)な

関 係<に

の 最 大 のR-部

有 限 集合 で あ

は{υ1,…,υs}の

な らす べ て の 部 分 集 合{υj;

非 負 一 次 結 合 全 体 と し て 決 ま る. な ら あ るu∈C∨

∈F∨

に 対 しF′=F∩{u′}⊥

+u′

はC∨

⊂F∨ に 対 しF=C∩{u}⊥ で あ る.十

に 属 しF′=C∩{u"}⊥

  F1
面 で あ る.

u∈C∨ 面C∩{u}⊥

あ

らF′ ∈F(C)

最 大 元 で あ る こ と は 明 白 で あ る.F(C)が

jに つ き 〈υj,u〉〓0で あ り,Cの

  C>F>F′

∩{υ}⊥ とな り

分 空 間C∩(-C)で

よ びF2の

る こ と は 次 の よ う に し て 判 る. 

〈υj,u〉=0}の

であ

よ り有 限 順 序 集 合

な わ ちF∈F(C),F′
ら 共 通 集 合F1∩F2はF1お

  証 明   CがF(C)の

っ てυ はCの

互 い に 双 対 錐 を と る こ と に よ り 明 ら か で あ る.

  命 題A.5 

たF(C)は

一 致 す る.

に 対 し 〈υ,u〉=0,従

属 し(ⅰ)で は な い.(ⅱ)⇒(ⅲ)は

(ⅲ)でな い.(ⅲ)⇔(ⅳ)は

る.ま

＼C⊥

分 空 間C+(-C)と

分 大 き なa∈Rを

で あ り,ま

た あ るu′

と れ ばu":=au

とな る.

ら あ るu1,u2∈C∨

に 対 し 

の と き 

で あ り 

とな る.   C∩(-C)がF(C)の   命 題A.6  あ る.Cの は1対1か

Fが

最 小 元 で あ る こ と は 次 の 命 題 の 結 果 と し て 判 る. 凸 多 面 錐Cの

面 全 体 の 集 合F(C)か つ 上 へ の,次

面 な ら ば 

は 双 対 錐C∨

らC∨ の 面 全 体 の 集 合F(C∨)へ

の 意 味 で のGalois対

応 で あ る.

の面で

の この 写 像

  (ⅰ) F1,F2∈F(C)に

対 しF1>F2で

あ る こ と とF1*
あ る こ と とは 同

値 で あ る.   (ⅱ) CはF(C)の

最 大 元 で あ り 

  (ⅲ) C∩(-C)はF(C)の   (ⅳ) F∈F(C)に

最 小 元 で あ り(C∩(-C))*=C∨.

対 しdim

  証 明   F∈F(C)の

F+dim

F*=dim

V.

相 対 内 部 に あ る 点υ を と れ ば,補 題A.4に

従 っ て 

と な る.写 は 明 ら か に 上 へ の 写 像 で あ る.F1>F2な

と な り,命

題A.5に

よ りF1*
ら 明 ら か にF1*⊂F2*

も上 記 と 同 じ性 質 を み

た す.F∈F(C)に

対 し 

と な る か ら命 題A.5に

よ り(F*)*>Fと

な る.双

対 的 な 場 合 の同 様 の 結 果 と

上 記 の 結 果 と を 併 せ る と 結 局(F*)*=F,(G*)*=Gと る こ と と(ⅰ)を 得 る.(ⅱ)は

明 ら か で あ り,従

な り互 い に 逆 写 像 で あ っ てC∨ ∩(-C∨)がF(C∨)の

元 で あ る こ と も 判 る.よ

っ て 双 対 的に(ⅲ)も 判 る.

  (ⅳ)の等 式 はF=Cの

場 合 明 ら か に 成 立 す る.よ

よ りF=C∩(-C)の

場 合 に も成 り立 つ.一

最 小 元 は ＲF:=F+(-F)で と な る.C′

Vの

が 成 立 す る.さ

凸 多 面 錐Cお ら にC∨

の よ うに し

対 錐 は 

に 対 し 上 記 の 結 果 を 適 用 す れ ばdim RF=dim

場 合 は,次

凸 多 面 錐 で あ り,F(C′)の

あ る.双

義 に よ りdim

最小

っ て 上 記 の 結 果 と双 対 性 に

般 のFの

て こ の 場 合 に 帰 着 出 来 る.C′:=C+RFはVの

  系A.7 

像 

な る.

  双 対 的 な 対 応 

で あ る.定

よ り 

Fで

F*+dim

RF=dim

V

あ る か ら(ⅳ)を 得 る.

よ び そ の 面Fに

対 しV*に

お い てF∨=C∨+F⊥

∩F⊥ の 相 対 内 部 に あ る 任 意 のuに

対 し 

で あ る.   証 明   命 題A.6に

よ り,C∨ ∩F⊥ の 相 対 内 部 に あ るuに と な る. 

で あ るが 双 対 錐 を

と れ ば 

  命題A.8 

対 し 

と な り再 び 双 対 錐 を 考 え れ ば 

Vの 凸 多面 錐Cの

剰 余空 間 を π:V〓V/RFと

面Fに

対 しFの

生 成 す るR-部

す れ ば,C+RFはVの

分 空 間 をRF,

凸 多 面 錐,π(C)=

(C+RF)/RFはV/RFの

凸 多 面 錐 で あ り,3集

合 

の 間 の 写 像  は 全 単 射 で あ る.   証 明   C+RFは

明 ら か にVの で あ る.命

>F}で

凸 多 面 錐 で あ り,そ

題A.6に

の 双 対 錐 は 

よ り F(F*)={(F′)*;F′

∈F(C),F′

あ る が,  ゆ え 

と な る.

  一 方V/RFの

双 対 空 間 はF⊥

双 対 錐 はC∨ ∩F⊥=F*で

で あ り,凸

多 面錐

π(C)=(C+RF)/RFの

あ る.上 記 と 同 様 に 

と な る.   命 題A.9  Sが

凸 多 面 錐Cの

部 分 集 合SがCの

面 で あ るた め の 必要 十 分 条 件 は

次 の 性 質(ⅰ),(ⅱ)をみ た す こ と で あ る.

  (ⅰ) Sは

凸 錐 で あ る.

  (ⅱ) υ ∈C＼Sな

ら,任

意 のυ′ ∈Cに

対 しυ+υ′〓S.

  証 明   必 要 性 は 明 ら か で あ る か ら 十 分 性 を 示 す.Vの のR-部

分 空 間RCを

と れ ばdim

りに そ の 面 を と れ ば,Sを

C=dim

含 むCの

…,upを =dim

あ る 内 点υ0を 含 む.実 と れ ばC={u1,…,up}∨ Vで

>0と A.4に

 υ ∈C＼Sが aυ0=υ+v′

あ る が,一

理A.2に

よ り各jに

内 点 で あ る.ま

と な る.実

際aが

代

よ りC∨ の 極 小 生 成 系u1, 含 む 最 小 の 面 で あ りdim

対 しυj∈Sが

分 大 き な 実 数aと

十 分 大 き け れ ば,上

′ ∈Cゆ

∈Cと

C

存 在 し て 〈υj,uj〉

対 し 〈υ0,uj〉>0と な り,再

対 し 成 立 し,υ ′:=aυ0-υ

方υ ∈C＼S,υ

の と きCの

身 で あ る と し て よ い.こ

た(ⅰ)に よ りυ0∈Sで

存 在 す る と す れ ば,十

が す べ て のjに Sで

際,定

と な る.CがSを

と す れ ば 各jに

よ りυ0はCの

含 む最小

示 す.

あ る か ら 補 題A.4に

な る. 

し て よ い.こ

最 小 の 面 がC自

れ ら の 仮 定 と(ⅰ),(ⅱ)のも と でS=Cを  SはCの

Vと

代 りにCを

び 補題

あ る. あ るυ ′∈Cに

対し

記 の 記 号 で  な る.(ⅰ)に

よ りaυ0∈

え(ⅱ)に よ りυ+υ ′〓Sと な り矛 盾 で

あ る.   最 後 に 開 凸 錐 の 特 性 函 数 に 関 す る 結 果 を 紹 介 す る.Vinberg[V4]が 質 領 域 の 理 論 に 現 わ れ る 等 質 凸 錐 に 対 し て 導 入 し た 概 念 で あ る.証

複素等 明はそれ程

難 し くな い.上   命 題A.10  し,そ

記 の 論 文 を 参 照 し て 頂 き た い. 開 凸 錐Cの

閉 包Cが

強 凸 す な わ ちC∩(-C)={0}で

の 双 対 錐 を 

あると

とす る.こ の と きC′

も開 凸 錐 で 閉 包 が 強 凸 と な り双 対 定 理(C′)′=Cが

成 り立 つ.V*のLebesgue

測 度 をduと

∈Cに

し,Cの

特 性 函 数φc:C→R>0をυ

と定 義 す る と,こ の積 分 は収 束 し,υ に発 散 す る.φcはC上

がCの

で あ る.VのLebesgue測

境 界 に 近 づ くと き φc(υ)は+∞

の下 に 凸 な 函 数 で あ る.ま

の 線 形 自己 同 型全 体 の 群 をAutR(V;C)と

度 をdυ

対 し

たCを

保 存 す る よ うなV

す れ ば,

とす れ ば,φc(υ)dυ

はC上

のAutR(V;

C)-不 変 な 測 度 と な る.   こ の よ う な 性 質 を 持 つ 函 数 は,Cに で 内 在 的 に 定 義 出 来 る.従

対 し正 の定 数 倍 の任 意 性 を 除 き あ る意 味

っ てlog φcは

定 数 和 の任 意 性 を 除 き 内在 的 とな

る.   例   V=Rrの

点υ の 座 標 を(ξ1,…,ξr)と す る.第1象

限

の特 性 函 数 は 次 式 で 与 え られ る こ とが 容 易 に判 る.

  実 はφcの 下 方 凸性 よ りも強 く,logφcがC上

で 狭 義 に下 に 凸 で あ る こ と も

判 って い る.   Cの 点υ に お け る接 空 間 をVと φcのυ ∈Cに

お け る外 微 分dφc(υ)∈V*のa∈Vに

で あ る.log φcのυ

で あ り,Cに

同一 視 し,余 接 空 間 をV*と

∈Cに

接 超平面は

お け る値 は

お け る外 微 分 は

よ って 内在 的 に定 義 され て い るが 次 の よ うな 面 白 い性 質 を持 つ.

  (ⅰ)    (ⅱ) υ ∈Cを

同 一 視 す れ ば,

は1対1上 通 る φcの 等 高 超 曲 面 

へ の写 像 であ る. のυ に お け る

で 与え ら れ る.   ま た φc,logφcのυ

∈Cに

お け る2次

対 称 微 分 をa∈Vに

関 す る2次

形式

とみ な せ ば

と な る.d2logφcの 従 っ てφcの

正 定 値 性 か らlogφcが

狭 義 に 下 に 凸 で あ る こ と が 判 り,

下 方 凸 性 も 判 る ば か りで は な く,d2logφc(υ)を

在 的 なRiemann計

使 っ てC上

に内

量 も 定 義 出 来 る の で あ る.

  §A.2  凸 多面 体   前 節 で は,r次

元R-ベ

よ り一 般 に 凸 集 合,特 (convex)で Kに

ク トル 空 間V内

含 ま れ る こ と,す

(convex

凸

み た すa,a′ ∈R〓0に

対 し 常 にaυ

点 を 持 つ コ ン パ ク トな 凸 部 分 集 合 を 凸 体

る い は 卵 形 と 呼 ぶ こ と が あ る.

  任 意 の 部 分 集 合S⊂Vに わ ちSを

分 集 合K⊂Vが

対 しυ とυ ′を 結 ぶ 線 分 が 常 に そ っ く り

な わ ちa+a′=1を

な る こ と で あ る.内

body)あ

頂 点 と す る 凸 錐 を 取 扱 っ た が,

に 凸 多 面 体 も 考 え る 必 要 が あ る.部

あ る と は,υ,υ ′ ∈Kに

+a′υ ′ ∈Kと

の0を

対 し,Sを

含 む 最 小 の 凸 集 合Kが

含 む 凸 集 合 す べ て の 共 通 集 合 で あ り,Sの

存 在 す る.す

凸 閉 包(convex

な

hull)と

呼

ぶ.   u∈V*お

よ びb∈Rに

を 考 える.た

だ しu=0の

は 空 と な る が,こ

対 しVの

と きb〓0な

ア フ ィン半 空 間

らH+(0;b)=V,b>0な

らH+(0,b)

れ ら も場 合 に よ っ て は ア フ ィ ン 半 空 間 と 呼 ぶ と便 利 で あ る.

  定 理A.11 

V内

の ア フ ィ ン 半 空 間 の 族{H+(ui;bi)}i∈Iの

集 合 で あ る.逆

にVの

閉 凸 集 合 は(一 般 に は 無 限 個 の)ア

共通集合は閉凸 フ ィン半 空 間 の 共 通

集 合 で あ る.   有 限 個 の ア フ ィ ン 半 空 間 の 共 通 集 合 を 凸 多 面 集 合(convex と 呼 ぶ.す

な わ ち あ るu1,…,us∈V*,b1,…,bs∈Rに

対 し

polyhedral

set)

と な る 集 合 で あ る.空

集 合 と な る 場 合 も含 め る.連

立 一 次不 等式 系 の解 全 体 の

集 合 で あ る.   定 理A.12 

凸 多 面 集 合 が コ ン パ ク トで あ る こ と と 有 限 集 合 の 凸 閉 包 で あ る

こ と と は 同 値 で あ る.コ 凸 ポ リ トー プ(convex

ン パ ク ト凸 多 面 体(compact polytope)あ

convex

polyhedron),

る い は 単 に 凸 多 面 体 と 呼 ぶ.

  コ ン パ ク ト凸 多 面 体 は 有 限 個 の ア フ ィ ン 半 空 間 の 共 通 集 合 と書 け る の で 凸 多 面 集 合 で あ る が 逆 は 必 ず し も 成 立 し な い.   Vの

凸 部 分 集 合K,K′

のMinkowski和K+K′

と 非 負 ス カ ラ ー 倍cKを

で 定 義 す れ ば いず れ も凸 部 分集 合 で あ り,K,K′

が 凸 多 面 集 合 な らK+K′,cK

もそ うで あ る.   定 理A.13 

Vの 凸 多 面 集 合 は コン パ ク ト凸多 面 体 と,0を

面 錐 とのMinkowski和   定 理A.12,定

頂 点 とす る凸 多

に 書 け る.

理A.13お

よび 本 節 と次 節 で後 述 す る諸 結果 は,次

の方法に

よ り凸 錐 に 関す る前節 の 結果 か ら直 ち に 判 る.証 明 は 明 らか で あ ろ う.   命 題A.14 

凸部 分 集 合K⊂Vに

対 しV:=V×Rの

は 凸 錐 で あ り  Kは

部分集合

が 成 立 す る.Kが

凸多 面 集 合 な ら

凸多 面 錐 で あ る.

 一 見 不 自然 な-1を る.逆 にV×Rの

選 んだ の は,次 節 で導 入 す る支 持 函 数 との関 連 か らで あ 凸 錐Kを

与 えた とき,K∩(V×{-1})は

と もあ る.ま

たKが

凸 多面 錐 の とき 

集 合 だ が,コ

ン パ ク トとは 限 らな い(第A.1図

第A.1図

空 集 合 とな る こ の 凸多 面

参 照).

  V=V×Rの

双 対R-ベ

る. 

ク ト ル 空 間 はV*=V*×Rと

み な す こ とが 出 来

に対 し

とす れ ば よ い.Vの り,そ のV*に

凸 部 分 集 合Kに

対 しVの

凸 錐Kを

お け る双 対 錐(K)∨ とV*×{-1}と

命 題A.14の

如 く作

の 共 通 集 合 を 

とす れ ば

で あ る.K°

はV*の

呼 ぶ.Kが

凸 部 分 集 合 で あ り,Kの

凸多 面 集 合 ならK°

  凸 部 分 集 合K⊂Vの

極 凸集 合(polar

もそ うで あ り,Kの

次 元dim

Kと

は,Kを

convex

set)と

極 凸多 面 集 合 と呼 ぶ. 含 む 最 小 の ア フ ィン部 分 空 間

の 次 元 で あ る と定 義 す る.Kが

凸 錐 の と き前 節 の 定 義 と一 致 す る.

  定理A.15(Caratheodoryの

定 理)  Vの 有 限 個 の 点υ1,…,υsの 凸 閉包 とし

て 得 る コ ン パ ク ト凸 多 面 体Pの υs}の うち 高 々d+1個   d+1個

次元 をdと す れ ば,Pの

任 意 の 点 は{υ1,…,

の ア フ ィン独 立 な も の の凸 閉 包 に含 まれ る.

の ア フ ィン独 立 な点 の 凸 閉 包 とし て得 るd次 元 の コン パ ク ト凸多 面

体 をd次 元 単 体 と呼 ぶ の は周 知 の通 り で あ る.従 コンパ ク ト凸 多 面 体 がd次

  定 義   V内 の 凸 多 面集 合Pの お よびb∈Rに

部 分 集 合QがPの

凸多 面 集 合P⊂Vの

序 集 合 で あ り,最 大 元 はP,最

書 く. 面全 体 の集 合F(P)は

な ら共 通 集 合Q1∩Q2はQ1お 命 題A.14のKに

関係<に

小 元 は 空 集 合〓 で あ る.ま

体 で あ る.す な わ ちF(P)∋Q,Q>Q′

  命 題A.5を

面 で あ る とは,あ るu∈V*

対 して

とな る こ とで あ る.こ の と きQ
って 上記 の 定理 はd次 元 の

元 単 体 の和 集 合 と し て表 わ せ る こ とを 意 味 す る.

よびQ2の

な らQ′ ∈F(P)で

よ り有 限順

たF(P)は

抽象複

あ り,Q1,Q2∈F(P)

面 で あ る.

適 用 す れ ば 良 い の で あ る.同 様 に 命題A.6に

対 応 す る も の と し て,特 別 な仮 定 の も とで成 立 す る次 の極 対 応 が 知 られ て い る.支 持 函数 の概 念 を使 え ば特別 な 仮定 な し に うま く定式 化 出来 る こ とは次 節 系A.19に

お い て見 る通 りで あ る.

  命 題A.17  ⊂V*は

0を 内 点 と して 含 む コン パ ク ト凸多 面 体P⊂Vの

コ ンパ ク ト凸 多面 体 で あ り(P°)°=Pが

F(P),F(P°)の 間 にGalois対

極 凸 集 合P°

成 立 す る.ま た面 全 体 の集 合

応F(P)∋Q〓Q*∈F(P°)が

存 在 す る.特 に 

が 成 立 す る.   コン パ ク ト凸 多 面体Pの

面 全 体 の集 合F(P)の

組 合 せ 論 的考 察,す な わ ちP

の形 態 学(morphology)に

つ い て は §A.5を 参 照 し て頂 き た い.こ

こで は 次

の こ とを 指 摘 す るに と どめ る.   d次 元 コン パ ク ト凸多 面 体P⊂Vが d-1次

元 の 面 が す べ てd-1次

(simple)で あ る とは,Pの 次 元 の面)が ち ょ うどd本

単 体 的(simplicial)で

あ る と は,Pの

元 単 体 とな る こ と で あ る.ま たPが

単純

各 頂 点(す なわ ち0次 元 の面)を 通 る辺(す な わ ち1 あ る こ と で あ る.各 頂 点 に ち ょ う どd枚 のd-1次

元 面 が 集 ま る とい って も 同 じで あ る.こ れ ら は上 記 の極 多 面 体 の意 味 で双 対 的 な概 念 で あ る.Grunbaum[G5,pp.57-58]に

もあ る よ うに,単

体 的 な もの,

単 純 な も の はd次 元 単 体 に 次 い で 二 通 りの意 味 で 一 般 的(generic)なd次 ン パ ク ト凸多 面 体 で あ る.す

なわ ち 単 体 的 とは どのd+1個

位 置 に あ っ て超 平 面 に含 まれ ない こ とで あ り,単 純 とはPの め るVの

超 平 面 の うち どのd+1個

元コ

の頂 点 も一 般 な 余 次 元1の 面 を決

も共 通 の 頂 点 を 持 た な い こ とで あ る.

 §A.3  支持函数   V内 の コ ンパ ク ト凸 集 合 をそ の支 持 函 数 に よ り記 述 す る着 想 はMinkowski に 由 来 す る.以 下 に 述 べ る よ うに 非 常 に 便 利 な も ので あ り,し か も第2章 い て詳 述 す る通 り,ト る.凸 解 析(convex

にお

ー リ ッ ク射 影 多様 体 の理 論 とも見 事 に 適 合 す る ので あ

analysis)と 呼 ぶ 分 野 で は,支 持 函数 お よび そ の 変 種 や 一

般 化 を用 い る こ とに よ り,凸 集 合 の理 論 を 完全 に 凸 函 数 の理 論 の 一 部 分 とみ な す の で あ る.本 書 で は函 数 の 凸性 を上 に 凸 で あ る と定 義 す るの でRockafellar [R7]等

の 通 常 の 理 論 とは 符 号 な どが 異 って い る こ とに 注 意 して 頂 き た い.

  V内 の空 で な い コンパ ク ト凸 集 合Kを

が 存 在 す る.従

っ てV*上

の 支 持 函 数(support

のR-値

function)と

与 え た と き,各u∈V*に

函 数h=hK:V*→Rを 呼 ぶ.定

対 し実 数

得 る.こ

れ をK

義 か ら 明 ら か な よ うに,各u∈V*

に対 し半 空 間 

はKを

し か も そ の 境 界  ∂H+(u;hK(u))の と 呼 ぶ.定

す っぽ り含 み はKと

こ と をKのu方

理A.11に

向 の 支 持 超 平 面(supporting

交 わ る.

hyperplane)

よ り

で あ る.   注   支持 函数 の定 義 に お い てinfの 同 じ こ とで あ る.ま たKが ∈K}が

代 りにsupを

存 在 し ない こ と もあ り得 るが,そ

あ るい は ± ∞ を値 と し て許 すV*上 が 可能 で あ る([R7]参

用 い るの が 普 通 で あ るが 本 質 的 に は

コン パ ク トとは 限 ら な い場 合,u∈V*に の場 合 に も定 義 域 がV*全

対 しinf{〈υ,u〉;υ 体 で な い 支 持 函 数,

の一 般 化 した 意 味 で の 函 数 を 導 入 す れ ば 同 様 の 考察

照).

  次 の 結 果 は 凸 集 合 の 理 論 を 凸 函 数 の 理 論 に 含 め て し ま う一 般 原 理 の 原 形 で あ る.[R7,系13.2.2]が   定 理A,18 

本 質 的 に 同 じ こ と を 主 張 し て い る.

Vの

空 で な い コ ン パ ク ト凸 集 合 の 全 体 を〓(V)と

す る.ま

た双

対 空 間V*上

のR-値

函 数h:V*→Rで

あ っ て 正 に 同 次 か つ 上 に 凸(す な わ ち

c∈R〓0,u,u′

∈V*に

対 し 常 に 

であ

る も の の 全 体 をSF(V*)と

す る.

  (ⅰ) 次 の よ う に 定 義 す る 対 応 

お よ び 

は 互 い に 逆 写 像 で あ る.

  (ⅱ) 〓(V)に お け るMinkowski和K+K′ 上 記 の 対 応 でSF(V*)に

お よ び 非 負 ス カ ラ ー 倍cKは

お け る 函 数 と し て の 和h+h′

お よ び ス カ ラ ー 倍ch

と対 応 す る.   証 明   (ⅱ)は明 ら か で あ る.   (ⅰ) hKがSF(V*)に =□h

属 す る こ と は 殆 ん ど 明 ら か で あ る.ま

Kも 成 立 す る.一

凸 集 合 で あ る.ま

方h∈SF(V*)で

た す べ て のu∈V*,υ

と な る の で □hは 有 界,よ

って

あ れ ば  ∈ □hに

□h∈〓(V)で

  hが 正 に 同 次 か つ 上 に 凸 で あ る か らV*×Rの

た 前 述 の 通 りK は閉

対 し 

あ る. 部分集合

 (ⅱ)   

は(0,0)を

頂 点 とす る 閉 凸錐 で あ るが,容 易 に 判 る よ うにGhのV×Rに

る 双対 錐 は,命 題A.14に

お い て 考 察 した 

に他 な らな い.Ghの

境 界上 の点(u0,h(u0))に お け る支 持 超

平 面 は あ るυ0∈ □hに 対 し て ∂H+((υ0,-1);0)の る.こ の と き 〈υ0,u〉〓h(u)がす べ て のu∈V*で が 成 り立 つ.従

おけ

形 に書 け る こ とが容 易 に 判 成 立 し,u=u0の

って 

とき 等 号

;υ∈ □h}と な りhは

□h

の 支持 函数 と一 致 す る.   特 に空 で な い コ ン パ ク ト凸多 面 体 の支 持 函数 は 次 の よ うな著 し い性 質 を持 ち,第2章

の トー リ ッ ク射 影 多 様 体 の理 論 に お い て 重要 な役 割 を果 す の で あ

る.   系A.19前 体Pの

定 理 の 対 応 に お い てh∈SF(V*)がVの

あ る コ ン パ ク ト凸 多 面

支 持 函 数 とな る た め の 必 要 十 分 条 件 はhが

区 分的 に線 形 とな る こ とで

あ る.す なわ ち0を 頂 点 とす る有 限個 の互 い に相 対 内部 で交 わ らな い 凸 多面 錐 に よ るV*の

分 割 が存 在 し て,そ の 各 凸 多 面錐 上 へ のhの 制 限 が 線形 函 数 と一

致 す る こ とで あ る.   Pを 与 えた とき この よ うな も の の う ち で最 も粗 いV*の

凸 多 面 錐 分 割Π が

存 在 し て次 の性 質 を持 つ.   (ⅰ)  Pの 面 全 体 の なす 集 合 をF(P)と

す れ ば, 

は全 単 射 で あ る.た だ し

に 対 しdimQ+dimQ†=dim がQ1>Q2を

(ⅲ) 

V.

満 た せ ばQ1†
(ⅳ) 

の写 像 の逆 写 像 で あ る.   証 明  命 題A.14お

よび前 定 理 の証 明 に お い て考 察 した よ うに,V×Rの

多面 錐 

に お け る双 対 錐 は  で あ る.Pの{(0,0)}と

異 る面 は 

 で あ り,命 題A.6のGalois対 の面 

凸

に対す る 応 に よ っ て これ に はGh が 対 応 す る.定 義

に よ り 

で あ り,(u,λ)∈Ghな

らh(u)〓

ら 結 局  第1因

λ で あ るか

と な る.こ れ の

子V*へ

の 射 影 がQ†

に 他 な ら な い.こ

の こ と か ら残 りの 主 張 も 明 ら か

で あ る.   注  §2.3補 題2.12の

用 語 ではhは

凸 多面 錐 分 割Π に 関 して狭 義 に 上 に 凸 と称 す る.

  上 記 に お い てdim  P=dim 

Vで

っ て 任 意 のC∈Π

な わ ちC∩(-C)={0},と

は 強 凸,す

を 内 点 と し て 含 む 場 合 に は,そ す.従

あ れ ば と

な り,従 な る.ま

の 支 持 函 数hはu≠0の

っ て 

たPが0

と きh(u)<0を

みた

は コ ン パ ク ト凸 多 面 体 で あ る.P°

は 前 節 で 触 れ た 極 凸 多 面 体 に 他 な ら な い.Ghの{(0,0)}以 な い 面 とが 互 い に 対 応 す る の で,結

局Π

す る こ と に な る.従

命 題A.17の

っ て 系A.19は

外 の 面 とP° の 空 で

とF(P°)＼{P°}と

が1対1に

対応

一 般 化 で あ る.命 題2.19で

必

要 と な る の で 以 上 述 べ た こ と を 次 の よ う に ま と め て お く.   命 題A.20 

0を 内 点 と し て 含 む コ ン パ ク ト凸 多 面 体Q⊂V*に

対 し函 数

h:V*→Rを

と定 義 す る と 

で あ る.一 方 各 

0と を 結 ぶ 半 直 線 の 全 体R〓0Q′

はV*の

はV*の

凸 多 面 錐 分 割 を 与 え る.hはΠ

ク ト凸 多 面 体 で あ る 極 多 面 体Q°   上 記 のhをQ⊂V*の ckafellar[R7,p.28お

強凸多面錐であ り

に 関 し て 狭 義 に 上 に 凸 で あ り,コ ン パ

⊂Vの

支 持 函 数 で あ る.

計 測 函 数(gauge よ びp.125,定

と

function)と

理14.5]を

呼 ぶ こ と が あ る.Ro

参 照 し て 頂 き た い.

  注  支 持 函 数 の概 念は 次 の よ うな 場 合 に も導入 す る こ と が 出来 る.解 析函 数 や 代 数 多 様体 の特 異 点 に 付随 し て現 わ れ るNewton多 う際 に有 用 で あ り,ま た 第4章

面 体([K2],[K7],[V1],[V2]参

で紹 介 す る土 橋[T5]の

照)を 取 扱

カス プ 特異 点 の 考察 にお い て も

重 要 な役 割 を果 す.   R-ベ

ク トル空 間V内

る.定 理A.1に とす る. 

の閉 凸錐CがC∩(-C)={0},C+(-C)=Vを

おけ る よ うにV*に

みた す とす

お け る双 対 錐 をC∨={u∈V*;〈υ,u〉〓0,∀υ が成 立 す る.

∈V}

   (ⅲ  

  Cに 含 まれ る 閉 凸部 分 集 合Θ が  にC-不

を み た す と き仮

変 と呼 ぶ こ とに す る.こ の と きu∈C∨

に対 し

と定義すればΘ の支持函数

を 得 る.定 義 に よ り明 らか に 次 が 成 り立 つ. (ⅰ) hは

正 に 同 次,す

(ⅱ)  hは 上 に凸,す

な わ ちh(λu)=λh(u), 

∀λ∈R〓0.

なわ ち が 成 立 す る.

) 

(ⅳ)  hは 連 続 であ る.   (ⅴ) Θ が 局所 的 に 凸 多面 集 合 で あ る こ と,す な わ ち 各 点 の 近 傍 が 有 限 個 の 半 空 間 の交 わ りと一 致 す る こと,とhがC∨ るC∨ の 分 割 が 存 在 してhの

上 で 区 分 的 に 線形 で あ る こ と,す

なわ ち 凸 多 面 錐 に よ

各 凸 多面 錐 上 へ の制 限 が 線 形 とな る こ と,と は 同 値 で あ る.

この よ うな 分 割 の うち 最 も粗 い もの が 存 在 す る.   (ⅵ)  特 にΘ が 凸 多 面 集 合 であ る と き,つ ま りあ る θ1,… θs∈Θに 対 し ∪sj=1(θj+C) の凸 閉 包 がΘ と一 致 す る と きに は 有 限 個 の 凸 多 面 錐 に よ るC∨ の 分割 が存 在 して,各 凸 多 面 錐 上 でhは 線 形 と な る.   C∨ に お け るΘ の 極 凸 集 合 を

と定 義 す れ ばC∨+Θ°

を 得 る.こ

⊂Θ ° が成 立 し,そ の 支持 函 数

れ に よ ってΘ°の極 凸 集 合 

対 定 理Θ°°=Θ

を とれ ば 双

が 成 り立 つ.

  §A.4  コ ンパ ク ト凸 集合 の 混 合 体 積

  本 節 で はV〓Rr内 の コン パ ク ト凸集 合 に関 し てMinkowskiが 導 入 し た基 本 的 な概 念 で あ る混 合体 積 お よび そ れ に 関 連 す る事 項 を 紹 介 す る.Eggleston [E1第4章,第5章]が

手 頃 な 参 考 書 で あ る.証 明は こ の本 を参 照 し て頂 きた

い.   ま ずV内 ッ ド距 離dを

の 非 空 コ ン パ ク ト凸 集 合 全 体 を〓=〓(V)と ひ と つ 固 定 す る と,〓

δが 定 義 出 来,〓

書 こ う.Vの

に も 次 の よ う に 自然 にHausdorff距

は 完 備 距 離 空 間 と な る .こ

ユー クリ 離

れ に よ っ て 決 ま る〓 の 位 相 を

Hausdorff位

相 と呼 ぶ こ とが あ る.

  υ∈VのK∈〓

か ら の 距 離 を 通 常 通 り と

す る.ε

対 しK∈〓

∈R>0に

と 定 義 す る.こ

の と きK,K′

の ε-近傍 を  ∈〓 のHausdorff距

離を

とす るの で あ る.実 際 に距 離 の 公 理 を み た す こ とは 比 較 的 容 易 に 証 明 出来 る.  Blaschkeの

選 択 定理 に よれ ば,K0∈〓

は〓 の コン パ ク ト部 分 集 合 で あ る.ま

を 固定 した とき,{K∈〓;K⊂K0}

た 任 意 のK∈〓

は コン パ ク ト凸多 面 体

で近 似 出 来 る こ と も知 られ て い る.す な わ ち コンパ ク ト凸 多 面体 全 体 の なす〓 の部 分 集 合 は〓 で 稠 密 で あ る.   さて以 上 の 準 備 の も とでVのLebesgue測

度volrを

考 え よ う.正 の実 数 倍

の任 意 性 が あ る が そ の うち の ひ とつ を 固定 す る.こ れ に よ って 函数

を 得 る.実

は〓 のHausdorff位

単 調 増 加,す

な わ ちK⊂K′

  λ∈R〓0お

よ びK∈〓

volr(K)はKに

相 に 関 し 連 続 で あ る こ と が 判 る.volrは な ら 

で あ る.

に 対 し 

関 し 斉 次r次

が 成 立 す る.す

に 対 し 

は〓 に 属 す る.こ

と書 い てK1,…,Krの

なわち

で あ る.

  一 般 にλ1,…,λr∈R〓0,K1,…,Kr∈〓

は λ1,…,λrに 関 し てr次

また

の とき

の 斉 次 多 項 式 と な る こ と が 判 り,λ1λ2… λrの 係 数 を

混 合 体 積(mixed

volume)と

呼 ぶ.こ

れ は次 の性 質 を

持 っ て い る.   (1)  常 に 非 負 で あ り写 像    (2)  Vr(K1,…,Kr)はK1,…,Krに   (3)  各 変 数Kiに λ′∈R〓0に

を 得 る. 関 し 対 称 で あ る.

つ き 正 に 線 形 で あ る.す

な わ ち た と え ばi=1の

つ き 単 調 増 加 で あ る.た

と え ばi=1の

と き λ,

対 し 

  (4)  各 変数Kiに

と きK1⊂K′1な

ら ば 

.

  (5)〓

のHausdorff位

相 の 積 位 相 を〓 × … ×〓 に 入 れ た と きVrは

連 続.

  (6)  Vr(K,K,…,K)=volr(K).   §2.2お

よ び §2.4で 見 る よ う に,混 合 体 積 は トー リ ッ ク多 様 体 の 代 数 幾 何 学

に お い て 重 要 な 交 叉 数 の 概 念 と 見 事 に 対 応 す る の で あ る が,凸 で も 重 要 な 役 割 を 果 す.そ

の うち の い くつ か を 以 下 で 紹 介 し よ う.

  Vに

ひ と つ ユ ー ク リ ッ ド距 離 とLebesgue測

K∈〓

の 表 面 積 をKの

と も 出 来 る が,次 のr次

Kの

境 界 ∂Kの(r-1)次

度 と定 義 す る こ

とす れ ばB∈〓

対 しK∈〓

表 面 積(surface

と 定 義 す る.明

度 を 固 定 し て 考 え て い る の で, 元Lebesgue測

の よ うに も っ と 素 朴 に 定 義 す る こ と も 出 来 る.す

元 単 位 球 を 

き ε∈R>0に

体 の 幾 何 学 自体

の ε-近傍U(K;ε)の

な わ ちV

で あ る.こ

閉 包 はK+εBと

の と

一 致 す る.

area)を

ら か にvolr(K+εB)=Vr(K+εB,…,K+εB)=volr(K)+

rVr(B,K,K,…K)ε+O(ε2)で

とな る.こ れ はKに

あ るか ら上 記 の極 限 が 存 在 し

関 し単 調 増 加 か つ 連 続 な非 負 実 数 値 函数 で あ る.

  K′,K∈〓 お よび0〓j〓rに

対 しj個 のK′ とr-j個

のKの

混合 体 積 を

簡単のため

と 書 く こ と に す れ ば,υ0=volr(K),υr=volr(K′)で

あ る,ま

対 し

と な る.こ

の と きAlexandrov-Fenchelの

が 知 られ て い る.こ れ か ら容 易 に

お よ びBrunn-Minkowskiの

が 判 る.

不等式

不 等 式

た λ′,λ∈R〓0に

  特 にK′=Bをr次

元 単 位 球 と す れ ば 

る か ら 上 記 でj=1と

し て 等 周 不 等 式(isoperimetric

を 得 る.た

とえ ばr=2の

で あ りvol2(B)=π

と な る.こ

であ

場 合vol2(K)はKの

inequality)

面 積,A(K)はKの

周の長さ

で あ るか ら周 知 の等 周 不 等 式

こ で 等 号 が 成 立 す る に はKが

円盤 とな る こ と が必 要 十 分 で あ る こ

と も 判 っ て い る.   Osserman[O2]に

も 述 べ て あ る よ う に,等

周 不 等 式 お よ び 等 号 が 成 り立 つ

場 合 の 特 徴 づ け に 関 し て は 古 くか ら 色 々 の 結 果 が あ る が,§2.4に す るTeissier[T3]の

おいて紹介

結 果 との関 連 上 次 の よ う に一 般 的 な定 式 化 を し て お こ

う.   す な わ ちK′,K∈〓

と 定 義 す る.特

に 対 し 内 半 径 ρ(K:K′)お

にK′=Bの

と き ρ(K:B)はKに

含 ま れ る 最 大 のr次

半 径 で あ り,R(K:B)はKを

含 む 最 小 のr次

  r=2の

ρ(K:K′),R(K:K′)に

と きFlandersは

果 を 得 た.す 関 す る2次

関 し て次 の よ うな精 密 な 結

な わ ちυ0=vol２(K),υ1=V2(K′,K),υ2=vol2(K′)に

対 しtに

方程式

を 考 え る と,そ

の2根

はAlexandrov-Fenchelの

っ て 両 端 の 差 を と れ ばBonnesenの

とな ってK=x+λK′ にK′=Bな

とな るx∈Vお

不等式

不等式

を得 る.も し υ12=υ0υ2が 成 立 す れ ば 左 辺 は0,従

る.特

元球の

元 球 の 半 径 で あ る.

υ12〓υ0υ2に よ り実 数 で あ る が,Flandersの

を み た す.従

よ び 外 半 径R(K:K′)を

不等式

って 

よび λ∈R〓0が 存 在 す る こ とに な

ら これ に よ って 等 周 不 等 式 の等 号 の場 合 の 特 徴 づ け を得

た こ と に な る.   Teissier[T3]は   Teissierの

一 般 のrに

対 し て 次 の よ うな 問 題 を 提 起 し た.

問 題(コ ン パ ク ト凸 集 合 版)V〓Rrの

の 内 半 径 ρ(K:K′),外

半 径R(K:K′)を

う こ と に よ っ て 評 価 せ よ.し 従 っ てKはK′

コ ン パ ク ト凸 集 合K,K′

混 合 体 積 

か もυ0=υ1=…=υrな

を使 ら 

の 平 行 移 動 に よ っ て 得 られ る こ と,を

け れ ば な ら な い.tに

関 す るr次

保 証 す る もの で な

方程式

の根 に よる評 価 は考 え られ るか?   前 述 し た 通 り,混 増 加 で あ り,し

合 体 積 は〓(V)のHausdorff位

か もV内

相 に 関 し て 連続 かつ 単 調

の コン パ ク ト凸 多 面 体 全 体 は〓(V)で

稠 密 で あ るか

ら,上 記 の 問題 の相 当部 分 は コン パ ク ト凸 多 面 体 に つ い て調 べ れ ば 良 い で あ ろ う.さ ら にV内

の格 子Zrを

わ ち 頂 点 が す べ てZrに

決 め,そ れ に関 す る コン パ ク ト整 凸多 面 体(す な

属 す る コン パ ク ト凸多 面 体)に 対 象 を し ぼ って も良 か

ろ う.   こ の よ うに し て上 記 の 問題 は §2.4で 紹 介 す る よ うに,ト

ー リ ック射 影 多 様

体 上 の直 線 バ ン ドル に 関 す る 問題 に 帰着 出来 る こ とに な る.そ

うす れ ば そ の ま

ま一 般 の射 影 多 様 体 上 の直 線 バ ン ドル に 関す る 問題 に一 般化 さ れ て し ま うの で あ る.

 §A.5  コンパク ト凸多面体の形態   本 節 で は実 ア フ ィン空 間V〓Rrに 態(morphology)に

お け るr次 元 コンパ ク ト凸 多 面 体Pの

関 す る結 果 を い くつ か 紹 介 す る.形 態(学)と はEberhard

が 書 名 に使 用 した 単 語 で あ っ て,命 題A.16で 抽 象 複 体F(P)の   -1〓j〓rに

形

導 入 したPの

面全 体 の なす 有 限

組 合 せ 論 的 な 考 察 の こ とで あ る. 対 しPのj次

で あ り周 知 の よ うにEulerの

が 成 立 す る.Pがr次

元 面 の 個 数 をfj=fj(P)と

す れ ばf-1=fr=1

関係式

元 閉 球 体 と 同 位 相 で あ る か らEuler-Poincareの

式 に よ っ て 得 る の で あ る.一

般 の 凸 多 面 体Pに

対 し てf0,f1,…,fr-1の

指標公 間に成

立 す る線 形 な 等 式 は これ し か な い こ とも知 られ て い る([G5,p.98]参   r〓1の

と きPの

球 体BrにPが

内点 を 固定 す れ ば,そ

含 まれ る.Brの

中 心 か らPの 面F上 集 合FはSr-1の

の 点 へ 向 う半 直 線 とSr-1と

割 は 組 合 せ 論 的 に み てF(P)と   r=0な

れ を 中 心 とす る十 分大 きなr次 元 閉

境 界 と な る(r-1)次

球面 胞 体 とな る.Pか

照).

元 球面 をSr-1と

す る.

の交 わ りと し て得 る点 全 体 の

ら この よ うに し て得 るSr-1の

胞体分

同値 で あ る.

らPは1点,r=1な

らPは 線 分 で あ る.r=2の

平 面 凸 多 角 形 で あ り,形 態 はf0=f1で

場 合 に はPは

完 全 に 分 類 出 来 る.円 周S1の 有 限 三 角

形 分 割 を 考 え る こ と と組 合 せ論 的 に 同値 で もあ る.   と ころ が既 にr=3に

お い てF(P)の

構 造 は複 雑 で あ り未 知 の 事 柄 も多 い.

§1.7に おい て 必 要 とな るの でGrunbaum[G5,第13章],[G6]に い くつ か 紹 介 し よ う.[G7]も   幸 な こ とにr=3で

あ る結 果 を

参 考 に な る.

成 立 す る次 の基 本 的 結 果 は,残 念 な が らr〓4で

は成 立

しな い こ とが 知 られ て い る.   Steinitzの

定 理([G5]参

照)S2の

有 限 な 胞体 分割 は 必ず あ る コン パ ク ト3

次元 凸 多 面体 か ら上記 の方 法 で 得 られ る もの と組 合 せ論 的 に 同 じで あ る.従 っ て 抽 象 複体F(P)の

分 類 とS2の 有 限胞 体 分 割 の 組 合 せ 論 的分 類 とは一 致 す る.

  S2の 有 限胞 体 分 割 が 与 え られ た とき,S2の mannの

一 点 を 北 極 と して平 面 上 にRie

立 体 射影 を行 え ば,頂 点 と辺 の 像 に よ っ て平 面 上 の 有 限 グ ラフ を 得

る.し か も この よ うに して 得 る もの は3-連 結 な 平 面 グ ラ フ と呼 ば れ る もの す べ て で あ る.す なわ ち任 意 の相 異 る2頂 点 に 対 し それ ら を結 ぶ 道 で あ っ て端 点 以 外 で 交 わ ら な い も のが 少 くとも3本 存 在 す る.従 っ て3次 元 コン パ ク ト凸 多 面 体 の形 態 の分 類 は結 局 平 面 上 の3-連 結 な有 限 グラ フ の組 合 せ 論 的 分 類 と一 致 す る.   3次 元 コン パ ク ト凸多 面 体Pの

頂 点 の 個 数 をf0,辺

の個 数 をf2と す れ ば 前 述 の よ うにEulerの る.こ こで は単 体 的 な3次 §A.2に

の個 数 をf1,(2次

関 係 式f0-f1+f2=2が

元)面 成立す

元 コ ン パ ク ト凸 多 面 体 の 分 類 に 話 を 限 定 し よ う.

おけ る極 対 応 に よ って単 純 な もの の分 類 と同値 で あ る.ま たSteinitz

の定 理 に よ りS2の 有 限 三 角 形 分 割 の組 合 せ 論 的 分 類 とも 同値 で あ る.   この ときPの

各 辺 は ち ょ う ど2個 の三 角形 の面 の共 通 部 分 で あ るか ら2f1

=3f2が

成 立 す る .Eulerの

と な り,頂 点(す

点 の 個 数f0の

な わ ち,ち

と な る.従

関係 式 に代 入 し て

み でf1,f2が

決 ま る.υ〓3に

ょ う どυ 本 の 辺 が 通 る頂 点)の

個 数 をp(υ)と

っ てf0,f1,f2は 

{p(υ);υ〓3}で

を 得 る.p(6)に

決 ま る.上

対 し,Pの

辺価 υの 頂 書けば

を み た す 非 負 整 数 の 列 式 を 書 き直 せ ば 両 辺 が 正 の 等 式

無 関 係 で あ る こ とが 注 目に値 す る.こ の 関 係式 を み たす 任 意 の

非 負整 数 列 

は,必 ず 適 当 なp(6)と

併 せ て あ る単 体 的 な3次

元 コン パ ク ト凸多 面 体 に よ っ て実 現 され る こ とをEberhardが §13.3]参 照).そ

示 した([G5,

の際 に鍵 とな っ た のが 次 に述 べ る帰 納 的 構 成 法 で あ る.§1.7

に お け る トー リ ック多様 体 の双 有 理 幾 何 学,特

に 同変blow

upに

ほ ぼ対 応 し

て い るの は興 味 深 い.本 来 は単 純 な3次 元 コン パ ク ト凸 多 面体 の"角 の 切 り落 し"に 関 す る帰 納 的構 成 法 の 形 で 述 べ る方 が 自然 で あ るが,こ 対 的 な 単 体 的 凸 多 面 体 と(Steinitzの 形 で 述 べ る こ とに す る.[G7]も   Bruckner-Eberhardの

定 理 に よ って)同 値 なS2の

こ で は それ と双 三角形分割 の

参 照 し て頂 き た い.

帰 納 定 理   S2の 有 限三 角形 分 割Tが

与 えられ た と

き第A.2図(ⅰ),（ⅱ),(ⅲ)に あ る よ うな1頂 点 を2頂 点 に分 割 す る3種 類 の操 作 に

第A.2図

第A.3図

第A.4図

よ って頂 点 数 が1個 は,4面

多 い 三 角 形 分 割T′ を 得 る.S2の

任意の有限三角形分割

体 に付 随 し て 得 られ る4頂 点 の 三 角 形 分 割 に これ らの 操 作 を 適 当 に 有

限 回施 す こ とに よ って 得 られ る.   この帰 納 的 方 法 に よ って 構 成 した 三 角 形 分 割 の い ず れ が 組 合 せ 論 的 に 異 るか を判 別 す る の は容 易 で は な い.[G5,p.424],[G6,p.1174]に f0〓12で

よれ ば 頂 点 の 個 数

あ って組 合 せ 論 的 に 異 るS2の 三 角 形 分 割 の種 類 は 次 の 通 りで あ る.

§1.7で 必 要 な の でf0〓9の

場 合,組

み る と第A.3図,第A.4図

の通 りで あ る.参 考 の た めf0=12の

種 類 の うち の ひ とつ で 正20面

合 せ 論 的 に 異 る も の をす べ て書 き挙 げ て 場 合 の7595

体 に 付 随 し て得 られ る も の も併 せ て第A.4図

に

記 した.三 角 形 分 割 の頂 点 の うち 辺 価 の最 も多 い も の のひ とつ を 北 極 とし て平 面 上 に 立 体 射 影 した.従 た 各υ〓3に

っ て無 限 遠 に1頂 点 が あ る も の と考 え て頂 きた い.ま

対 し辺価 υの 頂 点 の個 数 をp(υ)と し名 称 を

と書 き,p(υ)=0の

場 合 に は υp(υ)を省 略 し た 上 で υ の 大 き い 方 か ら の 辞 書 式

順 序 で 配 列 し た.特

に 頂 点 の 個 数 は 指 数 の 和 

の 場 合 の 結 果 は,門

岡 良 昌,大

同 じ{p(υ)}に

で あ る.(f0=9

島 守 の 両 氏 に よ る 分 類 に も とづ い て い る.)ま た

対 し て 組 合 せ 論 的 に 異 る も の が い くつ か あ る 場 合 に は(ⅰ),(ⅱ),…

を つ け た.   一 般 のr次

元 コ ン パ ク ト凸 多 面 体Pの

  (Ⅰ)  Motzkinの

形 態 に 話 題 を 戻 そ う.

上 限 予 想 がMcMullenに

よ っ て1970年

の 後 本 節 で 後 程 紹 介 す る可 換 環 論 的 再 証 明 がStanley[S7]に た.す

な わ ち0〓j〓r-1に

対 しPのj次

元 面 の 個 数 をfjと

に 証 明 さ れ,そ よ って与 え られ すれ ば (r偶 数)

(r奇 数)

で あ る.た だ し整 数a,bに

対 す る二 項 係 数(ab)は0〓b〓aの

と きに 通 常の もの

で あ り,ま た(-10)=1と

す る以 外 の そ の 他 の 場 合 に は0と み な す の で あ る.

複 雑 な右 辺 は頂 点 数 がf0のr次 面 の個 数 で あ る.Pの る よ うに変 形 し,し

元 巡 回 的 ポ リ トー プ と 呼 ばれ る もの のj次 元

頂 点 を少 し"引

っ張 り上 げ"る

こ とに よ って単 体 的 に な

か もf0は そ の ま ま か つ 各fjが も と よ り減 少 しな い よ うに

出来 る ので,上 記 は単 体 的 なr次 元 コン パ ク ト凸 多 面体 の 場 合 に 示 せ ば 十 分 で あ る.   (Ⅱ)  Pが 単 体 的 で あ れ ばDehn-Sommervilleの

が 成 立 す る.j=r-1の f-1=fr=1と

場 合 自 明 な 等 式 で あ る が,一

み な せ ばEulerの

方j=-1の

場合に

関 係 式 と な る.

  (Ⅲ)  非 負整 数 の 列{fj;0〓j〓r-1}が 的r次

等式

与 え ら れ た と き,そ

れ が あ る単 体

元 コ ン パ ク ト凸 多 面 体 の 面 の 個 数 と し て 実 現 さ れ る た め の 必 要 十 分 条 件

をMcMullenが1971年 が 十 分 性 を,ま

に 予 想 し,1980年 たStanley[S8]が

Dehn-Sommervilleの る 数 列 がO-列

に な っ てBillera-Lee[BL],[BL′]

必 要 性 を 証 明 し た.そ

の 条 件 と は,上

等 式 が 成 立 す る こ と に 加 えて 更 に{fj}か

と 称 す る も の に な る こ と で あ る.(具

記 の

ら構 成 す る あ

体 的 な 形 は(Ⅲ′)で

後述す

る.)   こ れ ら の 結 果(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)は

一 見 非 常 に 複 雑 で あ る が,母

用 す れ ば 次 の よ うに 大 変 見 通 し が 良 く な る.特 可 欠 と な る.す 中 で 凸 多 面 体Pの

と定 義 す る.も

な わ ち 有 理 数 係 数 でtを

に(Ⅲ)の

函 数 の概 念 を使

場 合 に は そ の導 入 が不

変 数 と す る 形 式 的 羃 級 数 環Q[[t]]の

母函数を

ち ろ んf-1=1と

す る.こ

の とき

はr次 の 多項 式 で あ り

と書 くこ とが 出来 る.逆 に

に 

であ り容 易 に 判 るよ う

 

と な る.従

っ て{fj}を

与 え る こ と と{hp}を

与 え る こ と と は 同 値 で あ る.こ

の と き(Ⅰ)は (Ⅰ′) と 同 値 で あ る こ と が 比 較 的 容 易 に 判 る.   一 方(Ⅱ)は

函 数 等 式F(t-1)=(-1)rF(-t)が

式H(t)=trH(1/t)が

成 立 す る こ と,従

成 立 す る こ と と 同 値 で あ る.す

な わ ち(Ⅱ)は

って 函 数等 双対性

  (Ⅱ′) と 同 値 で あ る.   一 般 に 自 然 数a,iに

対 し 整 数a(i)>a(i-1)>…>a(j)〓j〓1が

唯 一 通 り存

在 して

と 書 け る こ と が 知 ら れ て い る.こ

と定 義 す る.非

のとき

負 整 数 列(ν0,ν1,ν2,…)がO-列

と な る こ と で あ る.こ

で あ る とは

の 一 見 不 可 解 な 定 義 は 可 換 環 論 的 に 次 の よ うな 判 り易 い

言 い 換 え を 持 つ.   Macaulayの

定 理   非 負 整 数 列(ν0,ν1,ν2,…)がO-列

条 件 は,体k上

の 次 数 付 き 可 換 多 元 環 

kと

な り か つRはk上R1で

とな る こ と で あ る.つ

生 成 さ れ,し

で あ るた め の 必 要 十 分 が 存 在 しR0=

かも

ま り{νi;i〓0}はRのHilbert-Samuel函

数 とな る こ

と で あ る.   実 はHilbert-Samuel函 級数

数 を 考 え る よ りも そ の 母 函 数 す な わ ちRのPoincare

を 考 え る 方 が も っ と見 通 し が 良 く便 利 で あ る.   以 上 の 準 備 の も と に(Ⅲ)を   (Ⅲ ′)各0〓p〓rに

がO-列

具 体 的 に 述 べ る と 次 の 通 り で あ る.

対 しhp=hr-pで

と な る こ と で あ る.た

あ り,し

だ し[r/2]はr/2を

  (I′),(Ⅱ ′),(Ⅲ ′)の必 要 性 のStanleyに し よ う.(Ⅲ

か も

越 えな い 最 大 の整 数 であ る. よ る可 換 環 論 的 証 明 を 以下 で 紹 介

′)の十 分 性 の 証 明 は 可 換 環 論 的 で は な い の で 省 略 す る .

  ま ず  す るQ上 数1の

をPoincare級

変 数 とす る 多 項 式 環 を 

元 コ ン パ ク ト凸 多 面 体Pの 対 し,そ

とす る.単

頂 点 に1か

らf0ま

の 生 成 す るSの

部 分 集 合 の 族 をΞ

斉 次 イ デ ア ル をIと

と し,単

す る.容

次

体 的 なr次

で の 番 号 を つ け る.Pの

の 面 の 頂 点 の 番 号 の な す 集 合 を ξ⊂{1,2,…,f0}=:Jと

よ うに し て 得 られ るJの

Poincare級

数 と

の 次 数 付 き 可 換 多 元 環 を 次 の よ うに 構 成 す る.{x1,x2,…,xf0}を

各面 に

す る.こ

の

項 式 の集 合

易 に 判 る よ う に 剰 余環S/Iの

数 は 

と な る .こ

のS/Iは

§3.2

に お い て 石 田 の 判 定 定 理 直 後 の 注(ⅱ)で 考 察 し た 環 と一 致 す る .定

義 か ら明ら

か な よ う にΞ は(r-1)次

っ てS/Iは

Gorenstein環,従

元 球 面 の 三 角 形 分 割 と 同 型 で あ る.よ

っ て 特 にCohen-Macaulay環

  更 に 精 密 な 結 果 を 得 る た め にN=Zrに 少 し 変 形 す れ ば,形

とな る. 対 しV=NRと

態 を 変 え ず に 各 頂 点 がNQに

行 移 動 に よ り0がPの

考 え る.P⊂Vを

属 す る よ うに 出 来 る .ま

内 点 で あ る と 仮 定 し て 良 い.こ

の と き 命 題2.18に

よっ

て 単 体 的 で 破 れ の な い 有 限 扇 Δ お よび 狭 義 に 上 に 凸 な 支 持 函 数h∈SF(N が 対 応 す る.従

っ て 系2.1〓

豊 富 な 直 線 バ ン ドルLを 号 付 け  基 底{m1,…,mr}に

と 定 義 し,{y1,…,yr}の Jurkiewicz-Danilovの

に よ り トー リ ッ ク 射 影 多 様 体X=TN

得 る.ま

たPの

,Δ)

emb(Δ)と

頂 点 の 番 号 付 け に 対 応 し て Δ(1)に 番

が 出 来 る.こ 対 しSの1次

た平

の と きNの

双 対Z-加

群MのZ-

の元を

生 成 す るSの

イ デ ア ル をJと

す る.§3.3に

定 理(ⅱ)に お け る よ うに{y1,…,yr}はS/Iの

おけ る 正 則列 と

な る.よ

っ てR:=S/(I+J)はCohen-Macaulay環

で あ り そ のPoincare

級 数 は 

と な る.ま

た 

で あ るか ら 明 らか に

と な り(Ⅰ  一 方

′)を 得 る.

§3 .3のJurkiewicz-Danilovの

と な る.従

っ てXに

Serre-Grothendieckの   更 にXは

対 す るPoincare双

述 べ た よ うに

対 定 理,あ

双 対 定 理 に よ りhp=hr-pす

る い は §3.3で な わ ち(Ⅱ

射 影 多 様 体 で あ る か ら そ の 豊 富 な 直 線 バ ン ドルLの

ロ ジ ー 類 ω∈H2(X,Q)に が 成 立 す る.ω Rの

定 理(ⅱ)で

対 し て §3.4で

に 対 応 す るR1の

イ デ ア ル に よ る 剰 余 環 をRと

′)を 得 る. 決 め る コホ モ

紹 介 し た よ う に 強Lefschetzの

元 を ω′と し,ω

′お よ びR[r/2]+1の

す れ ば,RのPoincare級

述 べ た

定理 生成す る

数 は

とな り,結 局(Ⅲ ′)の必要 性 を得 る の で あ る.   こ の よ うに 可 換 環 論 にお け るCohen-Macaulay性

が 上 限 定 理(Ⅰ)と い う組

合 せ 論 的 な事 実 と密 接 にか か わ る ことが 判 り,そ の後 組 合 せ 論 と可 換 環 論 との 境 界 領 域 で の研 究 に発 展 しつ つ あ る.([追6]参

照.)

文

[A1] 

S.Abhyankar,Simultaneous

献

resolution

for

algebraic

surfaces,Amer.J.

Math.78(1956),761-790. [A2]  in

M.Artin,Algebraization honor

Press

of and

[A3] 

Princeton

青 木 昇,On

Fermat

of

formal

and

Global

Analysis,papers

S.Iyanaga,eds.),Univ.of

Tokyo

Univ.Press,1969,21-71. some

arithmetic

problems

related

to

Hodge

cycles

on

the

varieties,Math.Ann.266(1983),23-54;Erratum,267(1984),572.

[ADS] 

M.F.Atiyah,H.Donnelly

defects

of

[AS] 

cusps

the

and

and

青 木 昇,塩

surface,in on

moduli:I,in

K.Kodaira(D.C.Spencer

values

of

田 徹 治,Generators

Arithmetic occasion

of

and

of

his

J.Tate,eds.),Progress

I.M.Singer,Eta

the

Math.118(1983),131-177. Neron-Severi

Geometry,papers

sixtieth in

invariants,signature

L-functions,Ann.of

group

dedicated

to

of

a

Fermat

I.R.Shafarevich

birthday,vol.I,Arithmetic(M.Artin

and

Math.35,Birkhauser,Boston,Basel,Stuttgart,

1983,1-12. [B1] 

V.V.Batyrev,Toroidal

[B2] 

E.Brieskorn,Rationale

Fano

3-folds,Math.USSR-Izv.19(1982),13-25.

Singularitaten

komplexer

Flachen,Invent.Math.

4(1968),336-358, [B3] 

J.-L.Brylinski,Eventails

singularites

des

et

surfaces,Centre

de

varietes

1976-1977(M.Demazure,H.Pinkham in

toriques,Seminaire

Math.de and

l'Ecole

[B5] 

fini

simpliciale

d'un

reseau,invariante

A.Bronsted,An

introduction

L.J.Billera

f-vectors

par

un

d'automorphismes,C.R.Acad.Sci.Paris(A)288(1979),137-139. to

convex

polytopes,Graduate

Math.90,Springer-Verlag,Berlin,Heidelberg,New [BL] 

Notes

York,1980,247-288.

J.-L.Brylinski,Decomposition

groupe

les

B.Teissier,eds.),Lecture

Math.777,Springer-Verlag,Berlin,Heidelberg,New

[B4] 

sur

Polytechnique,Palaiseau

and

of

simplicial

C.W.Lee,Sufficiency convex

Texts

in

York,1983. of

McMullen's

conditions

for

polytopes,Bull.Amer.Math.Soc.(New

Ser.)

2(1980),181-185. [BL′] 

L.J.Billera

conditions

for

and f-vectors

C.W.Lee,A of

proof

simplicial

of

convex

the

sufficiency

of

McMullen's

polytopes,J.Combin.Theory,

Ser.A,31(1981),237-255. [BS] 

C.Banica

complex

and spaces,Editura

London,New [C] 

H.Cohn,Support

O.Stanasila,

Algebraic

methods

Academiei,Bucuresti

in and

the John

global

theory

of

Wiley&Sons,

York,Sydney,Toronto,1976. polygon

and

the

resolution

of

modular

functional

singularities,

Acta [D1] 

Arith.24(1973),261-278.

V.I.Danilov,The

geometry

of

toric

varieties,Russian

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V.I.Danilov,The

birational

geometry

of

SSSR,Ser.Mat.46(1982),971-982;English

toric

3-folds,Izv.

Akad.Nauk

translation:Math.USSR-Izv.21

(1983),269-280. [D3] 

P.Deligne,Theoreme

suites

de

spectrales,Inst.Hautes

[D4] 

Lefschetz Etudes

P.Deligne,Theorie

de

et

criteres

de

degenerescence

de

Sci.Publ.Math.35(1968),107-126.

Hodge,Ⅱ,Inst.Hautes

Etudes

Sci.Publ.Math.

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M.Demazure,Sous-groupes

algebriques

Cremona,Ann.Sci.Ecole [DP] 

C.De

and

C.Procesi,Complete

Related

York,Tokyo,1983;to

and

47,Cambridge

in

Studies

Algebraic in

North-Holland,Amsterdam,New

Groups

Pure

Math.6,

York,Oxford. Tracts

Klasse

isolierter

in

Math.and

Math.

komplexer

Mannigfaltigkeiten

und

die

Auflosung

Singularitaten,Math.Ann.218(1975),127-156.

A.Grothendieck

Inst.Hautes [G1] 

de

Univ.Press,1969.

F.Ehlers,Eine

einiger [EGA] 

groupe

varieties,Ⅰ,Ⅱ,in

appear

H.G.Eggleston,Convexity,Cambridge

Physics [E2] 

du

symmetric

Topics(R.Hotta,ed.),Advanced

Kinokuniya,Tokyo [E1] 

maximum

Theory,Proceedings,1982(F.Gherardelli,ed.),Springer-Verlag,

Berlin,Heidelberg,New and

rang

Norm.Sup.(4)3(1970),507-588.

Concini

Invariant

de

and

Etudes

J.Dieudonne,Elements

de

geometrie

algebrique,

Sci.Publ.Math.4,8,11,17,20,24,28,32(1960-1967).

R.Godement,Topologie

algebrique

et

theorie

des

faisceaux,Hermann,

Paris,1964. [G2] 

G.Gonzalez-Sprinberg,Resolution

de

Nash

des

points

doubles

rationnels,

Ann.Inst.Fourier(Grenoble)32(1982),111-178. [G3] 

A.Grothendieck,Sur

les

coherents,Seminaire [G4]

faisceaux

A.Grothendieck,Geometrie

Mme

algebriques

M.Raynaud),in

algebrique SGA

et

geometrie

1960/61,Exp.ⅩⅡ,Lecture

Springer-Verlag,Berlin,Heidelberg,New [G5] 

et

faisceaux

analytiques

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グ ス コ ー

8,9話,数 [H1]  in

・オ

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面 体

と 複 素 多 様 体(1∼3),イ

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J.Hammer,Unsolved Math.15,Pitman,London,San

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Notes

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F.Hirzebruch,Topological

ed.,Grundlehren

methods

in

algebraic

geometry,3rd

enlarged

Math.Wiss.131,Springer-Verlag,Berlin,Heidelberg,New

York,1966. [H3] 

F.Hirzebruch,Hilbert

modular

surfaces,Enseign.Math.(2)19(1973),

183-281. [H4] 

F.Hirzebruch,Arrangements

metic

and

his in

60th

lines

dedicated

birthday(M.Artin

and

to

and

algebraic

surfaces,in

I.R.Shafarevich

on

the

Arith occasion

of

J.Tate,eds.),vol.Ⅱ,Geometry,Progress

Math.36,Birkhauser,Boston,Basel,Stuttgart,1983,113-140.

[H5]  by

of

Geometry,papers

M.Hochster,Rings

of

monomials

[HV] 

and

F.Hirzebruch

and

surfaces,Seminaire [HYW] 

of

tori,Cohen-Macaulay

rings

generated

Math.96(1972),318-337.

G.van

der

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on

Hilbert

modular

Math.Sup.,Univ.Montreal,1981.

樋 口 禎 一,吉

[I1] 

invariants

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永 悦 男,渡

辺 公 夫,多

embeddings

and

石 田 正 典,Torus

変 数 複 素 解 析 入 門,森

dualizing

北 出 版,1982.

complexes,Tohoku

Math.J.32

(1980),111-146. [I2] 

石 田 正 典,The

eral

type

[I3]  in

irregularities

with

c12=3c2,

石 田 正 典,Hirzebruch's Algebraic

of

examples

of

Geometry,Proc.of

(M.Raynaud

and

the

[I5] 

surfaces

of

type

of

gen

surfaces

general

with c12=3c2,

Conf.,Tokyo/Kyoto Notes

in

1982

Math.1016,Springer-

cusp

singularities

are

Buchsbaum

singularities,

Math.J.36(1984),203-216.

石 田 正 典,四

つ の 単 項 式 の 和 で 定 義 さ れ た 曲 面 に つ い

ジ ュ ー ム 記 録,城 [I6] 

of

York,Tokyo,1983,412-431.

石 田 正 典,Tsuchihashi's

Tohoku

examples

Japan-France

T.Shioda,eds.),Lecture

Verlag,Berlin,Heidelberg,New [I4] 

Hirzebruch's

Math.Ann.262(1983),407-420.

崎 町(永

石 田 正 典,On

tative

the

て,1982代

terminal

toric

singularities

of

dimension

Algebra,Karuizawa,Japan,1982(S.Goto,ed.),54-70

[I7] 

石 田 正 典,Torus

[I8] 

岩 堀 長 慶,線

[IO] 

embeddings 型 不 等 式

石 田 正 典,小

数 幾 何 学 シ ン ポ

田 雅 宜 編),163-184.

and

the

と そ の 応 用,岩

田 忠 雄,Torus

3,in

Commu

. de

Rham

complex,to

appear.

波 講 座 基 礎 数 学,1977.

embeddings

and

tangent

complexes,Tohoku

Math.J.33(1981),337-381. [J] 

J.Jurkiewicz,On

variety

with

the corners

and

complex

projective

Morse

torus

embeddings,the

associated

functions,Bull.Acad.Polon.Sci.Ser.Sci.

Math.29(1981),21-27. [K1] 

鏡 弘 道,ト

ー ラ ス 埋 込 み

[K2] 

金 子 晃,ニ

ュ ー ト ン 図 形,特

と 半 安 定 局 所 環,東 異 点,振

北 大 修 士 論 文,1980年3月.

動 積 分―

現 代 的 無 限 小 解 析 入 門,上

智 大

学 数 学 講 究 録11,1981. [K3]  Nagoya

兼 山瓊

典,On

equivariant

Math.J.57(1975),65-86.

vector

bundles

on

an

almost

homogeneous

variety,

[K4] 

A.G.Khovanski,Newton

polyhedra

and

toroidal

varieties,Functional

Anal.Appl.11(1977),289-296. [K5] 

A.G.Khovanski,Newton

polyhedra

tions,Functional [K6] 

and

the

genus

of

complete

intersec

Anal.Appl.12(1978),38-46.

S.L.Kleiman,Toward

a

numerical

theory

of

ampleness,Ann.of

Math.

84(1966),293-344. [K7] 

A.G.Kushnirenko,Polyhedres

de

Newton

et

nombres

de

Milnor,Invent.

Math.32(1976),1-31. [M1] 

満 渕 俊 樹,Almost

tangent

homogeneous

bundle,Tohoku

[M2] 

torus

I.G.Macdonald,Polynomials

London

actions

on

varieties

with

ample

Math.J.30(1978),639-651. associated

with

finite

cell

complexes,J.

Math.Soc.(2)4(1971),181-192.

[M3] 

前 田 博 信,Classification

[M4] 

丸 山 正 樹,On

of

logarithmic

automorphism

Fano

groups

of

3-folds,preprint.

rules

surfaces,J.Math.Kyoto

Univ.11(1971),89-112. [M5] 

松 村 英 之,On

algebraic

groups

of

birational

transformations,Atti

Accad.

Naz.Lincei.Rend.Cl.Sci.Fis.Math.Natur.(8)34(1963),151-153. [M6] 

宮 西 正 宜,Algebraic

surrounding and

the

Analytic

methods

works

of

in

the

theory

Iskovski,Mori

and

of

Varieties(S.Iitaka,ed.),Advanced

Kinokuniya,Tokyo

and

algebraic

Sarkisov,in

threefolds

Algebraic

Studies

in

Varieties

Pure

North-Holland,Amsterdam,New

Math.1,

York,Oxford,

1983,69-99. [M7] 

森 重 文,Threefolds

Ann.of

whose

canonical

bundles

are

not

numerically

effective,

Math.116(1982),133-176.

[M8] 

森 重 文,Hartshorne予

[M9] 

D.Mumford,Stability

想

とextremal of

ray,数

projective

学35(1983),193-209.

varieties,Enseign.Math.(2)23

(1977),39-110. [MM] 

森 重 文,向

Analytic

井 茂,On

Fano

3-folds

with

B2〓2,in

Varieties(S.Iitaka,ed.),Advanced

Kinokuniya,Tokyo

and

Algebraic Studies

Varieties

in

Pure

North-Holland,Amsterdam,New

and

Math.1,

York,Oxford,

1983,101-129. [MO] 

小 田 忠 雄,Lectures

work

with

on

Katsuya

torus

Verlag,Berlin,Heidelberg,New [MO′] 

三 宅 克 哉,小

algebraic

torus

Tokyo [MS] 

and

Inst.of

applications(Based

Fund.Research

on

joint

58,Springer-

York,1978. 田 忠 雄,Almost

action,in

homogeneous

algebraic

varieties

under

Manifolds-Tokyo,1973(A.Hattori,ed.),Univ.of

Press,1975,373-381. D.R.Morrison

dimensions [MU] 

embeddings

Miyake),Tata

three

向 井 茂,梅

and and

G.Stevens,Terminal

quotient

singularities

four,Proc.Amer.Math.Soc.90(1984),15-20.

村 浩,Minimal

rational

threefolds,in

Algebraic

Geometry

in

―

Proc.

of

the

Japan-France

Shioda,eds.),Lecture berg,New [N1] 

Conf.,

Notes

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Tokyo/Kyoto

1982(M.Raynaud

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T.

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永 田 雅 宜,Imbedding

Kyoto

of

an

abstract

variety

in

a complete

variety,J.Math.

[N2] 

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surfaces

and

a duality

of hyperbolic

unimodular

singularities,I,Math.Ann.252(1980),221-235. [N3] 

中 村 郁,On

報 告 集,伊

equations xp+yq+zr-xyz=0,「

豆 下 田,1982,(太

[N4] 

中 村 郁,

[N5] 

浪 川 幸 彦,Toroidal

On

表 現 論

と そ の 周 辺 」 シ ン ポ ジ ウ ム

刀 川 弘 幸 編),284-323.

surfaces

of

class Ⅴ

Ⅱ0

with

curves,preprint.

compactification

of

Siegel

spaces,

Math.812,Springer-Verlag,Berlin,Heidelberg,New [O1] 

小 田 忠 雄,凸

[O2] 

R.Osserman,Bonnesen-style

Monthly [OS] 

Lecture

Notes

in

York,1980.

体 の 幾 何 学 と 代 数 幾 何 学,数

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isoperimetric

inequalities,Amer.Math.

86(1979),1-29. 小 田 忠 雄,C.S.Seshadri,Compactifications

of

the

generalized

Jacobian

variety,Trans.Amer.Math.Soc.253(1979),1-90. [R1] 

Z.Ran,Cycles

on

Fermat

hypersurfaces,Compositio

Math.42(1981),

121-142. [R2] 

M.Reid,Canonical

3-folds,in

Journees

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Geometrie

gets,1979(A.Beauville,ed.),Sijthoff&Noordhoff, The [R3] 

Netherlands

and

Analytic

models

of

canonical

3-folds,in

Varieties(S.Iitaka,ed.),Advanced

Kinokuniya,Tokyo

aan

d'Anden

Rijn,

Rockville,Md.USA,1980,273-310.

M.Reid,Minimal

and

Algebrique Alphen

and

Algebraic

Studies

in

North-Holland,Amsterdam,New

Varieties Pure

Math.1,

York,Oxford,1983,

131-180. [R4] 

M.Reid,Decomposition

papers

of

dedicated

(M.Artin

and

to

toric

morphisms,in

I.R.Shafarevich

on

Arithmetic the

occasion

and

of

J.Tate,eds.),vol.Ⅱ,Geometry,Progress

his

60th in

Geometry, birthday Math.36,

Birkhauser,Boston,Basel,Stuttgart,1983,395-418. [R5] 

O.Riemenschneider,Deformationen

zyklischen [R6] 

G.A

von

Quotientensingularitaten(nach

Gruppen),Math.Ann.209(1974),211-248. Reisner,Gohen-Macaulay

quotients

of

polynomial

rings,Adv.in

Math.21(1976),30-49. [R7] 

R.T.Rockafellar,Convex

[RD] 

R.Hartshorne,Residues

analysis,Princeton and

Verlag,Berlin,Heidelberg,New [S1] 

佐 武 一 郎,On

duality,Lecture

Univ.Press,1970. Notes

in

the

arithmetic

of

tube

domains,Bull.Amer.Math.Soc.79

(1973),1076-1094. [S2] 

佐 武 一 郎,数

Math.20,Springer-

York,1966.

論 的 多 様 体 の 不 変 量 に つ い て,数

学35(1983),210-220.

[S3] 

佐 武 一 郎,On

Q-rank

numerical

one,in

invariants

Automorphic

of

Forms

Katata,1983(I.Satake

and

of

Y.Morita

[S5] 

quotient

Variables,

spaces

Taniguchi in

of

Symp.,

Math.46,

Birk-

,353-369.

P.Schenzel,Applications of

Adv.in

arithmetic

,eds.),Progress

hauser,Boston,Basel,Stuttgart,1984 [S4] 

the

Several

dualizing

complexes to

Buchsbaum

rings,

Math.44(1982),61-77. J.-P.Serre,Geometrie

algebrique

et

geometrie

analytique,Ann.Inst.

Fourier(Grenoble)6(1956),1-42. [S6] 

塩 田 徹 治,The

Hodge

conjecture

for

Fermat

varieties,Math.Ann.245

(1979),175-184. [S7] 

R.P.Stanley,The

Studies [S8]  in

in

upper

bound

conjecture

and

Cohen-Macaulay

rings,

App.Math.54(1975),135-142.

R.P.Stanley,The

number

of

faces

of

a

simplicial

convex

polytope,

Adv.

Math.35(1980),236-238.

[S9] 

隅 広 秀 康,Equivariant

completion,Ⅰ,Ⅱ,J.Math.Kyoto

Univ.14(1974),

1-28;15(1975),573-605. [SC]  of

A.Ash,D.Mumford,M.Rapoport locally

and

symmetric

varieties,Lie

Y.Tai,Smooth

compactification

Groups:History,Frontiers

and

Applications

Ⅳ,Math.Sci.Press,Brookline,Mass.,1975. [SK] 

塩 田 徹 治,桂

利 行,On

Fermat

varieties,Tohoku

Math.J.31(1979),97-

115. [T1] 

B.Teissier,Du

theoreme

de

l'index

de

Hodge

aux

inegalites

isoperimetri

ques,C.R.Acad.Sci.Paris(A)288(1979),287-289. [T2] 

B.Teissier,Varietes

toriques

et

polytopes,Seminaire

Bourbaki

1980/81,

Exp.565. [ T3] 

B.Teissier,Bonnesen-type

duction

to

Ann.of

the

inequalities

problem,in

[T4] 

Math.Studies

Seminar 102,Princeton

土 橋 宏 康,2-dimensional

cusp

and

cusp

continued

fractions

dimensional

analogues

singularities,Tohoku

of

berg,New [U1] 

I,Lecture

a

trois

les

variables,Nagoya

梅 村 浩,Maximal

variables,Imprimitive

59-78.

3-dimensional

periodic

continued

fractions

and Notes

in

Math.339

B.Saint-Donat,Toroidal

Springer-Verlag,

Berlin,

Heidel-

York,1973.

梅 村 浩,Sur

[U2] 

and

Math.J.35(1983),607-639.

G.Kempf,F.Knudsen,D.Mumford

embeddings

geometry,I,Intro

Geometry(S.T.Yau,ed.),

Acad.(A)58(1982),262-264,

土 橋 宏 康,Higher

[TE] 

algebraic

Differential

Univ.Press,1982,85-105.

periodic

singularities,Proc.Japan

[T5] 

in

on

sous-groupes

algebriques

primitifs

de

groupe

de

Cremona

Math.J.79(1980),47-67. algebraic algebraic

subgroups subgroups

of of

the

Cremona

exceptional

group

of

type,ibid.87(1982),

three

[U3] 

梅 村 浩,

On

the

group,Ⅰ,Nagoya Groups

maximal

connected

algebraic

subgroups

Math.J.88(1982),213-246;Ⅱ,to

and

Related

Topics

of

appear

in

(R.Hotta,ed.),Advanced

Math.6,Kinokuniya,Tokyo

and

the

Cremona Algebraic

Studies

North-Holland,Amsterdam,

in

Pure

New

York,

Oxford. [V1] 

A.N.Varchenko,Newton

polyhedra

grals,Functional [V2] 

and

estimation

of

oscillating

inte

Anal.Appl.10(1976),175-196.

A.N.Varchenko,Zeta

function

of

monodromy

and

Newton's

diagram,

Invent.Math.37(1976),253-262. [V3]  in

J.-L.Verdier,Base Algebraic

change

Inst.Fund.Res.and [V4] 

for

Geometry,papers

twisted

presented

Oxford

inverse at

the

image

of

Bombay

coherent

Colloq

sheaves,

.1968,Tata

Univ,Press,1969,393-408.

E.B.Vinberg,Theory

of

homogeneous

convex

cones,Trans.Moscow

Math.Soc.12(1967),303-368. [W1] 

渡 辺 公 夫,On

plurigenera of

normal

isolated

singularities,Ⅰ,Math.Ann.

250(1980),65-94. [W2] 

渡 辺 公 夫,

[W3] 

G.K.White,Lattice

Purely

[WW] 

渡 辺 敬 一,渡

elliptic

singularities

in

dimensions>2,preprint.

tetrahedra,Canad.J.Math.16(1964),389-396. 辺 雅 之,The

beddings,Tokyo

classification

of

Fano

3-folds

with

torus

em

J.Math.5(1982),37-48.

追 加 文 献 [追1] 

岩 下 直 子,Canonicalに

な る3次

元cyclic

quotient

singularities,東

北 大 修

士 論 文1984年3月. [追2]  to

石 田 正 典,岩 be

下 直 子,Canonical

submitted

to

Proc.of

quotient

the

singularities

Japan-U.S.Seminar

Singularities,Tsukuba/Kyoto,1984(T.Suwa Advanced

Studies

in

Amsterdam,New

Pure

土 橋 宏 康,Three-dimensional

[追4] 

尾 形 庄 悦,カ

[追5] 

尾 形 庄 悦,Special

[追6] 

to

cusp

values

Tohoku

of

D.Luna

P .Wagreich,eds.), and

North-Holland,

and

zeta

functions

北 大 修 士 論 文1984年3月. associated

to

cusp

singularities,

Math.J.

R.Stanley,Combinatorics

Math.Helvetici

three, Analytic

singularities,ibid.

ス プ 特 異 点 の 不 変 量 に つ い て,東

41,Birkhauser,Boston,Basel,Stuttgart [追7] 

,Tokyo

dimension

Complex

York,Oxford.

[追3] 

submitted

and Math.8,Kinokuniya

of on

Th.Vust,Plongement 58(1983),186-245.

and

commutative

algebra,Progress

,1983. d'espaces

homogenes,Comment.

in

Math.

著

小

者

田 忠

雄

1940年 京都市 に生 まれ る.1962年

京都 大

学理学部数学科卒業.1967年Harvard大 学Ph.D.取 得.名 古屋 大学理 学部助手, Princeton大 学講師,名 古屋 大学理 学部助 教授を経て,現 在,東 北大学理学部 教授.

凸 体 と 代 数 幾 何 学 1985年1月18日

  第1刷 発 行

1994年7月10日

  第3刷 発 行

発行所 

株式 会社 

紀伊國屋書店

東 京 都 新 宿 区 新 宿3-17-7 電 話  03(3354)0131(代 表) 出 版 部(編 集)電 話03(3439)0172 ホ ー ル  (営業)電 話03(3439)0128

セール部 

東 京 都 世 田 谷 区 桜 丘5-38-1 郵

便

番

号  

156

印 刷 研究社印刷 製 本  三  水  舎 C TADAO ODA,1985 PRINTED IN JAPAN 定価 は外装 に表示 して あ ります

紀伊國屋数学叢書 について   数 学 を学 ぶ に は い ろ い ろ の 段 階 が あ るが,い ず れ の場 合 で も書物 な ど に よ って 自学 自習 す る こ とが 最 も重 要 で あ り,単 に講 義 を聞 く とい うよ うな 受動 的 な勉 強 だ け で は,は な は だ 不 十分 で あ る.   みず か ら学 ぶ た め に 現 在 い ろい ろ な 数 学 書 が 出 版 され てい る.し

か

し,数 学 の進 歩 は 極 め て基 礎 的 な考 え 方 に対 して さ え常 に影 響 を与 え て お り,従 って どの よ うな段 階 の勉 強 で あ って も,常 に新 しい考 え方 を理 解 す る こ とが必 要 で あ る.こ の た め に は,数 学 の過 去 と将 来 とを結 ぶ 視 点 か ら書 かれ た書 物 が 数 多 く出版 され る こ とが 望 ま しい.即 ち,新 しい 視 点 と古 典 的 な視 点 とを見 く らべ,基 本 的 な こ と を も将 来 の発 展 を考 慮 した 視点 か ら説 明 す る とい う立場 で書 かれ た書 物 が要 望 され て い る.   本 叢書 は こ の よ うな要 望 に応 え て 企画 され た もの で あ っ て,各 巻 が 大 学 理 工学 系 の 専門 課程 の学 生 ま た は 大学 院 学 生 が それ ぞれ の分 野 で の話 題,対 象 に つ い て入 門 の段 階 か らあ る程 度 の深 さ ま で勉 学 す る た め の伴 侶 とな る こ とを 目指 して い る.こ の た め に 我 々は 各 巻 の話 題 の 選択 に つ い て,十 分 配 慮 し,現 代 数学 の 発 展 に と って 重要 で あ り,ま た既 刊 書 で 必 ず し も重 点 が置 かれ て い な い もの を選 び,各 分 野 の 第一 線 で活 躍 し て お られ る数 学 者 に 執 筆 をお願 い して い る.   学 生諸 君 お よ び 数学 同 好 の 方 々が,こ の 叢 書 に よ って数 学 の種 々 の分 野 に お け る基 本的 な 考 え 方 を理解 し,ま た基 礎 的 な知 識 を会 得 す る こ と を期 待す る と と もに,更 に現 代数 学 の 最 先 端 へ 向 か お う とす る場 合 の基 礎 と もな る こ と を望み た い.