Избранные лекции по физике. Часть 2. Электричество и магнетизм: Методические указания для студентов УлГТУ

ве источников полей суммы переходят в интегралы. Рассмотрим в качестве примера две задачи. 1 . Пусть заряд равномерно распределен с линейной плотностью т вдоль окружности радиусом R. Требуется найти выражения для ср и Е вдоль оси окружности. Выделим на окружности элемент dl. Заряд на нем dq = rdl можно считать точечным, его потенциал в точке А на оси 1 dl

+

Потенциал поля всей окружности по принципу суперпозиции т

2

1 2 z

24

f* „

о

rR

1

+z

Так как в силу потенциальности поля

или ду

dz

то в данном случае =-- = 0 и *,

—£ = 0. fy

Тогда Е2

dcp

dz

rR

2sQs (R2+z2

2.Пусть окружность из первой задачи вращается вокруг оси с угловой скоростью со. Найти выражение для индукции магнитного поля В на оси.

Вращение заряженной окружности эквивалентно линейному круговому q току / = — =

= Ктсо, т.е. элементу заряда rd/ соответствует элемент тока

Idl = R Tcodl, создающий на оси индукцию поля

Z

^

A

Представим

dB

в виде

dB = dBL + dBE

(по отношению к оси). В силу симметрии BL = J dBL - 0. Тогда

v

3/2

§ 4. Нахождение характеристик полей при наличии симметрии

Если поля, образуемые источниками, обладают симметрией, позволяющей априори указать характер линий D и Ё, В и Н, то их можно описать теоремой о потоке вектора D: 25

в случае электростатического поля, или теоремой о циркуляции вектора Н:

в случае магнитного поля. Проиллюстрируем это на примере двух задач.

1 . Пусть диэлектрический шар радиусом R с диэлектрической проницаемостью €i заряжен равномерно с плотностью заряда р> О и находится в однородной среде с проницаемостью

£2-

Найти выражения для

ОиЕ внутри шара и за его пределами.

В силу симметрии распределения заряда и однородности шара и окружающей среды, линии вектора D будут иметь вид радиальных прямых. Согласно граничным условиям, Dn не претерпевает изменения на границе раздела сред. Поле будет обладать центральной симметрией. Тогда в теореме о потоке D в качестве вспомогательной поверхности можно взять сферу с центром в точке О. В любой точке этой поверхности Dn = D (если р > О ), а при переходе от одной точки к другой D не меняется. Тогда для области внутри шара

ИЛИ 4m*2Dl = 4тгр-г3,

*j

откуда D{ =-pr,

*J

а

-pr.

26

Для области за пределами шара

или

откуда R

1

R-

Полученные результаты можно отразить графиками D(r)mE ( r ) .

D t-

R

R

Скачок Е на границе раздела сред г = R происходит в результате возникновения поверхностных связанных зарядов на этой границе.

2. Найти напряженность магнитного поля на оси тороида с плотностью

N т намотки п - — и током в нем 1.

27

Поле тороида будет сосредоточено в основном в его внутреннем объеме. Линии поля Н будут иметь вид окружностей с центрами на оси, перпендикулярной оси тороида. Это позволяет использовать в теореме о циркуляции

в качестве

вспомогательного

контура

именно линию напряженности. На ней, при соответствующем выборе орта

г,

Нт = Н и во всех точках Н одинаковы. Тогда

Сумма токов объединяет все токи, пронизывающие любую незамкнутую поверхность, натянутую на данный контур. В случае тороида

Тогда

откуда

Такое же поле будет создаваться и внутри бесконечно длинного соленоида.

28

§ 5. Нахождение емкости конденсаторов и индуктивности проводников

По определению емкости конденсатора С = -*— . Поэтому задача о нахо-

ждении емкости конденсатора сводится к изучению его поля в заряженном состоянии. Рассмотрим в качестве примера цилиндрический конденсатор длиной / , радиусами R\ и ^2 >Ri, заполненный однородным диэлектриком с проницаемостью £ . Поле внутри этого конденсатора в точках, удаленных от торцов цилиндра, обладает осевой симметрией, повторяющей симметрию распределения заряда, и его можно определить по теореме Гаусса:

о

= \DndS + \DndS + !DndS = q. Oj 1^2 »^з

Два последних интеграла по торцевым поверхностям равны нулю, так как для этих поверхностей Dn = Q. Поэтому D • 2лт1 = q,

откуда

В свою очередь

dr

и тогда

29

R

2 fir n fJ — = ^ — r\ 7 In д Г

В результате емкость цилиндрического конденсатора

1п (R2/ R^'

С помощью данного выражения определяется, в частности, погонная емкость

коаксиальных кабелей С = - - - , необходимая при расчетах волнового In ( # 2 / ^ ) сопротивления кабеля. Индуктивность проводящего контура можно определить из соображений, что потокосцепление контура с собственным магнитным полем пропорционально силе тока в контуре: Ф = LI, где L и есть индуктивность контура. Убедиться в справедливости данного утверждения не составит особого труда. Действительно, Ф = §BdS, т.е. Ф ~ В. С другой стороны, по теореме о циркуляции

S §Bdf = //о///, т.е. В ~ /. Или, в конечном итоге, Ф ~ /. Таким образом, задача о L нахождении индуктивности проводника также сводится к задаче о поле этого проводника. Найдем в качестве примера индуктивность тороида. Ранее показано, что поле в нем В = ju0juln. Тогда потокосцепление с собственным полем 4f = 0l-N = BS^N = /JQJU InSLnl - //о// In2V.

Поэтому

индуктивность

тороида

vp L = — = ju0ju n2V, где V - внутренний объем тороида. Мы уже отмечали, что поля тороида и бесконечно длинного соленоида эквивалентны. Следовательно, выражение L = juQjun2V определяет индуктивность и этого соленоида.

30

§ 6. Энергия и силы в стационарном электрическом поле

Вопрос об энергии электростатического поля можно рассмотреть на примере однородного поля плоского конденсатора

=

2

_

2 =

2\d

2d

При этом предполагалось, что диэлектрик в конденсаторе изотропный, поэтому W П — s sb Z .Т ШW = Т7 В и 1 or да V . Величина w = — = - называется плотностью n 0 2 V 2

ED энергии поля. Если поле неоднородно, то W - j w dV = J - dV. При этом нужно v v 2

знать зависимость Е и D от координат. Интересно отметить, что выражение для ED плотности энергии w = - сохраняется и в случае нестационарных электриче-

ских полей. Вернемся в качестве примера к задаче № 1 из § 4 данной лекции и поставим следующие вопросы: а) чему равна энергия поля шара; б) чему равно отношение энергии W\, локализованной в самом шаре, к энергии Wi за его пределами?

ВД f l р2 2 1 2 Wl = J — - — -dV = \ — - — г 4яг dr = v 2 о 9 S^SQ 5 ш

a

F2

2

9

R

31

Wi 1 £^ Таким образом, —- = - — и не зависит от радиуса шара, а W2 5

9е

зависит, и в сильной степени, от радиуса шара. Наиболее общим методом определения сил в электрическом поле является энергетический, основанный на том, что ЗА = -dWnpn q = const. Так как

.В качестве примера рассмотрим состояние диэлек-

трика в плоском конденсаторе. Как известно, пластины конденсатора притягиваются друг к другу, сжимая тем самым диэлектрик. Возникающая при этом сила

х

\dx)q

2

дх

2

(мы рассматривали случай конденсатора, отключенного от источника, когда a- — - const и, следовательно, Е = - = const ). S ££Q Поверхностная плотность сил, или давление на диэлектрик,

F Р=

ED

S

т.е. равно объемной плотности энергии поля внутри диэлектрика. Деформация диэлектрика за счет этого давления называется электрострикцией. Так как выражение для плотности энергии поля сохраняется и в случае нестационарных полей, то электрострикция может быть и переменной

32

Этот факт используется для создания громкоговорителей на основе электретов, в которых электрострикция сильно выражена. Таковы, например, громкоговорители в говорящих часах.

Существует эффект, обратный электрострикции

(возникновения в диэлектрике поля при деформации). На этом эффекте работают электретные микрофоны.

8.

Законы стационарных токов

§ 1. Характеристики электрического тока. Уравнение непрерывности . Условие стационарности

Как известно, электрический ток представляет собой перенос заряда через ту или иную поверхность S (например, через сечение проводника). При отсутствии электрического поля заряды в проводящей среде совершают хаотическое тепловое движение, и через любую поверхность 51 в обоих направлениях вдоль нормали к ней в среднем проходит одинаковое количество носителей одного знака, т.е. ток через S равен нулю. При наложении на среду электрического поля Ё на хаотическое движение зарядов накладывается их упорядоченное движение с некоторой скоростью и, называемой скоростью дрейфа. Следовательно, электрический ток — это упорядоченный перенос электрического заряда . Исходной характеристикой этого переноса является плотность тока j: = q пи, где q — заряд носителя, п — его концентрация, и — скорость дрейфа. Если пе-

33

ренос заряда осуществляется положительными и отрицательными носителями, то

j:=j+ + 7 _ =q+n+U+ +q_n_u_.

Величина, равная потоку вектора плотности

тока j через некоторую площадь S, называется силой тока

1 = 1 jdS s

(rzQdS = ndS).

Энергетическими характеристиками электрических токов являются разность

2_ потенциалов ср2 - ^ = J Edl 1

(работа кулоновских сил по переносу единицы за-

2 ряда из одной точки поля в другую), э д с

= J ECTOpdl

(работа сторонних, неку-

1

2

1-

-

\

-

лоновских сил по переносу единицы заряда) и напряжение U = \(Е + Яотор I dl

1 (полная работа всех сил по переносу единицы заряда). Представим себе произвольную замкнутую поверхность S в проводящей среде, где течет ток плотностью 7- Возьмем в качестве нормали к S внешнюю нормаль п. Тогда $jdS

s имеет смысл заряда, выходящего из объема V, ограниченного S, в единицу времени. В силу закона сохранения заряда

где Q = \pdV — заряд в объеме V. v Таким образом,

Используя теорему Остроградского - Гаусса, получаем

А'

-

9

Р

div / =——. J dt

34

Данное уравнение называется уравнением непрерывности для вектора плотности тока. В условиях стационарности р = const, и тогда из уравнения непрерывности получается условие стационарности тока: divj = 0. Оно означает, что поле вектора j не имеет точечных источников, а его линии замкнуты сами на себя.

§ 2. Закон Ома в локальной форме. Правила Кирхгофа

Из школьного курса физики известен закон Ома в интегральной форме:

справедливый для достаточного широкого класса проводящих сред, пусть даже и в ограниченном интервале параметров существования сред. Возьмем однородный проводник длиной / , проводимостью ст = 1 / р, сечением S, имеющий сопротивление

~ а ~S'

Наложим на него условие квазилинейности, состоящее в том, что поперечными размерами

проводника

можно

пренебречь

по

сравнению

с

продольными

2 г~ (V51 «О. Это условие позволит считать, что интеграл U = \(Е + Естор) dl

не

зависит от выбора точек 1 и 2 на двух сечениях проводника. Тогда закон IR = U можно переписать в виде

35

Так как J | Я

dl ,то dl = ndl, и тогда

Это и есть закон Ома в локальной форме. Его преимущество перед законом Ома в интегральной форме состоит в том, что он приложим для любой точки проводящей среды и связывает характеристику тока j с характеристиками электрического поля Ё и поля сторонних сил Ёстор в данной точке. В области проводника, где Ё стор = О, 7 = &Ё,

т.е. плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля. Уравнения для стационарного тока теперь можно представить в виде системы div 7 = 0

( условие стационарности ),

7 = ег(Я + Естор)

(закон Ома),

div £Ё = р

( теорема Гаусса для электрического поля ),

rot Е = О

( теорема о циркуляции Ё ).

Уравнению E = -grad(p

или

rot Ё = О

соответствует

Е = -V
условие

потенциальности

поля:

из системы уравнений можно выделить

прежде всего одно:

= 0. Решение этого уравнения позволяет по заданному полю сторонних сил найти распределение потенциала при известных а проводящих сред в цепи электрического тока. Для обычных проводников при не очень больших Е электропроводность а от Ё практически не зависит. В случае однородных сред а не зависит и от

36

координат. Однако в цепи мы имеем дело с системами проводников с различными электропроводностями, соприкасающимися по некоторым границам раздела. "Сшивание" решений в различных областях требует граничных условий. Они получаются из уравнений iotE = Q и div7 = 0. Из первого следует, что пЁ2 = пЁ1 , что эквивалентно непрерывности потенциала. Из второго следует, что n2 - n i и™ непрерывность нормально

составляюще

плотности тока на

границе раздела. Если проинтегрировать условие стационарности div 7 = 0 по малой области V схождения нескольких квазилинейных проводников, то с помощью теоремы

Остроградского - Гаусса по-

лучим первое правило Кирхгофа:

Сумма токов в любом узле цепи равна нулю. По своей сути это правило отражает закон сохранения электрического заряда (какой заряд в единицу времени втекает в узел, такой же из него и вытекает). Если уравнение j = cr(ECTOp - Vp) проинтегрировать вдоль линии тока в однородном квазилинейном проводнике на участке 1 —> 2, то получим

2

2 -. £Й (PI - Ф2) + IE cropdl = J О'я) — i \ a

или, после введения сопротивления,

(<Р\ -

37

Суммируя по всем участкам замкнутого контура в цепи и учитывая при этом, что в замкнутом контуре ^ (^ - q>2 )к = О, получим второе правило Кирхгофа: к

Сумма напряжений в любом контуре цепи равна сумме э д с

в этом контуре

(при этом следует помнить об алгебраическом характере UK £}.

§ 3. Простейшая модель омического сопротивления

В самом общем случае электрический ток в среде создается свободными носителями

заряда

обоих

знаков.

Тогда

плотность

тока

7 = 7+ + 7_ = q+n+u+ + q_n_u_. При выполнимости закона Ома j - <JE очевидно, что и± = К±Е, где коэффициенты пропорциональности К± называются подвижностями соответствующих носителей заряда. В условиях стационарности й± = const, что при наличии сил со стороны электрического поля F± = q+E возможно в предположении наличия механизма, аналогичного внутреннему трению Др = —аи. Истоки этого механизма следует искать в процессе столкновения носителей заряда с узлами решетки в кристаллах или с нейтральными молекулами в газах и в электролитах. Из условия стационарности (и+ = const) вытекает, что для каждого из носителей

FTP + qE = О

или

а Ё = qE,

откуда К ± =q+ / « + , т.е. подвижность каждого из носителей обратно пропорциональна коэффициенту силы трения для него. Таким образом, задача описания электропроводности среды сводится к нахождению из микроскопических

38

соображений коэффициентов трения для носителей заряда. В качестве примера рассмотрим электронную модель металлического проводника, предложенную Друде. В этой модели ионы в узлах решетки полагаются неподвижными, т.е. для них а+ = оо, а значит,^ = 0. Электроны, составляющие электронный газ, уподобляемый идеальному газу, ускоряются полем Ё , но при каждом столкновении с ионом решетки полностью теряют свою энергию, а, следовательно, и скорость дрейфа. Если средняя длина пробега электрона < Я >, то среднее время пробега < г>= - , где v0 = — — - средняя скорость теплового движеv0 V лт

ния электрона. (В силу малого значения скорости дрейфа v = v0 + и « v0). Тогда средняя скорость дрейфа на длине пробега

2

2

2т

а плотность электронного тока

2

пе < т > j = еп < и >= - Е = сгЕ. 2 m

Отсюда

2

а-

пе <т>

1

пе <Л>

1

пе

2m

Напомним, что в модели Друде полагалось и « v0 или eEl « kET. Поэтому модель не состоятельна в области низких температур и при сильных электрических полях. Однако и при обычных условиях модель дает иную зависимость а (Т) для металлов, чем это следует из опыта (сг ~ 1 / Т).

39

§ 4. Перенос энергии в электрической цепи и ее превращение

Из школьного курса физики можно составить себе представление о том, что в электрической цепи энергия переносится по проводникам потоком электронов и при наличии в цепи только омических сопротивлений она превращаетf\ ся в тепловую в соответствии с законом Джоуля - Ленца Q — / R A t.

Прежде всего перейдем к локальной форме этого закона. Используем уже известные соотношения для стационарного тока в однородном проводнике I = jS = crES

и

R = l/oS. Тогда

O = cr2E2S2 —-M =

Откуда удельная тепловая мощность

Руд

Это и есть выражение закона Джоуля - Ленца в локальной форме: тепловая мощность тока в данной точке пропорциональна квадрату напряженности электрического поля. Для решения

вопроса

о

характере

электрической

энергии

в

цепи

переноса

следует

обра-

титься к выражению вектора Умова - Пойнтинга для электромагнитного поля 5 = |£1Я|. Из рисунка

видно,

плотность

потока

что

вектор

Пойнтинга,

электромагнитной

направлен внутрь проводника.

Это

т.е.

энергии, означает,

I

что энергию в проводник на любом его участке приносит бегущее вдоль проводника электромагнитное поле. В области действия сторонних сил Ё имеет противоположное направление, а Н направление не меняет. Потому здесь век-

40

тор Пойнтинга направлен не вовнутрь, а наружу. Это означает , что источником электромагнитной энергии является поле сторонних сил. Через боковую поверхность

проводника

Sl - 2тш1

за . At

переносится

энергия

поля

W = S 2тш1 At = ЕН 2тш1 At. Учтем, что для прямолинейного проводника на его поверхности Н = 11 (2тю). Тогда

Q = W = Я— 2ш1 At = EjS0 /А/ = о-Е2 VAt. 2тш или для удельной мощности

О

Руя = <тЕ", что совпадает с законом Джоуля -

Ленца. Таким образом, к любому участку цепи энергия от источника тока приносится бегущим вдоль проводника в окружающем пространстве электромагнитным полем. И, наконец, решим вопрос о перераспределении мощности в цепи с локализованным в ее части полем сторонних сил. Пусть сопротивление этой области (источника) г, а сопротивление внешней цепи R. Тогда полная мощность в цепи, выделяемая за счет работы сторонних сил, Р0 = / 8. Ток в цепи может ме-

няться при изменении R от <х> до 0 от 0 до /кз —£ /г . Поэтому максимальная

полная мощность Р™ах - 8 2/г определяется только характеристиками источни-

2

ка. Мощность, выделяемая внутри источника, Pl =I r, а ее максимальное значение будет при /кз и равно P}max = Р™ах = 8 2/г. Во внешней цепи выделяется

мощность

/=0

Р2=Р0 — Р1=1£ -

f\ 1г.

Она

принимает

нулевые

значения

при

ах

и / = /кз и максимальна при / = /кз / 2. Максимальное значение Р™

=

ё"1(4г\ т.е. в четыре раза меньше максимально возможной мощности источника.

41

}? А

1,0

0,5

КПД электрической цепи

_Р2 _1е-Гг _e-Ir _U TJ — — — — Tj J f> £» f 6 b lt г о -

или иначе

R R+r

При выделении Р™* R = r, поэтому ц = 0,5. Обратим также внимание на то, что

одну

/! < /кз / 2

и ту же (Rl > г)

мощность и

можно

Р2

при /2 > /кз

получить

при

двух

токах

(Я2 < г)- Режиму с /j (R{ > г) соответству-

ет больший КПД. Поэтому этот режим (R > г) является наиболее оптимальным режимом эксплуатации источника тока.

42

Приложение 1

Математическое описание физических полей

Под физическим полем понимается возмущенное состояние пространства, окружающего любой источник силового взаимодействия: гравитационного, электромагнитного, слабого и сильного ядерных. Соответственно говорят о наличии гравитационного или электромагнитного поля, поля слабых или сильных ядерных сил. В более широком смысле в физике часто говорят о поле температур, поле скоростей и других величин, понимая под этим пространственное распределение соответствующей величины в данный момент времени. Различают скалярные поля (например, поле температур) и векторные поля (например, поле скоростей). Если характеристики поля не зависят от времени, его называют статическим полем. Для описания физических полей применяются вводимые ниже математические понятия, имеющие весьма наглядный геометрический смысл.

1°. Циркуляция векторной функции

Циркуляцией

векторной

функции L

F по замкнутому контуру L называется скалярная величина Г, численно равная криволинейному интегралу от касательной составляющей этой функции по данному контуру (рис.П 1.1):

Рис. П1.1.

(П1.1)

43

Важнейшим свойством циркуляции является ее аддитивность: циркуляция произвольной векторной функции по любому контуру равна сумме циркуляции этой функции по всем малым контурам, на которые можно разбить исходный контур, т.е. N

(П1.2)

Действительно, разбив линией АВ исходный контур на два контура L\ и L2, видим, что L

=

\FdL В

L

Так как А

В

\Fdl = -\Fd~l, Рис. П1.2.

в

А

то для случая N=2 свойство доказано. Для произвольного N оно обобщается методом математической индукции.

2°. Поток векторной функции

—. F

Потоком векторной индукции

F

через

по-

верхность S называется скалярная величина численно равная поверхностному интегралу от нормальной составляющей этой функции по данной поверхности (рис. П 1.3):

(П1.3) Рис. П1.3.

Потоку присуще свойство аддитивности только в том случае, если поверхность замкнутая: поток произвольной вектор-

44

ной функции через любую замкнутую поверхность равен сумме потоков этой функции через все малые замкнутые поверхности, на которые можно разбить исходную поверхность, т.е. N

dS = Z n i=l

§FdS.

(П.1.4)

Действительно, разбив поверхностью D

исходную

поверхность

S

на

две

замкнутые поверхности S\ и 52, видим, что

§FdS + $FdS = §FdS 5, S2 S

D

D

Так как dS2 Т i- d$l , то

\FdSl=-\FdS2, D D

Рис. П1.4.

и для N=2 свойство доказано. На произвольное N его можно обобщить, применяя метод математической индукции.

3°. Градиент скалярной функции

Градиентом ^>(jc,>>,z)

скалярной

называется

правление

которого

вектор в

'г- 9 (х,у)

функции grad#>,

данной

на-

точке

(x,y,z) совпадает с направлением наискорейшего роста функции, а модуль равен наклону поверхности, отображающей эту функцию, в указанном направлении (рис. П1.5).

Рис. П1.5.

45

На рис.П 1.5 сказанное в определении проиллюстрировано для случая функции двух переменных ср(х,у}, причем |grad#? = tga. Для функции трех переменных
, ~ ~ grad

(П1.5)

4°. Дивергенция векторной функции. Теорема Остроградского - Гаусса

Дивергенцией векторной функции

на-

F

F

зывается скалярная величина dS.

рав-

divF,

ная в данной точке пространства пределу отношения

потока

произвольную ность Si, объему

этой

малую

функции

замкнутую

окружающую

данную

через

поверхточку,

к

Vi9 охватываемому указанной по-

верхностью, при устремлении этого объема Рис.Ш.6.

к нулю (рис. Ш .6):

div F - lim

— I FdSf. l

(П1.6)

Используя понятие предела функции, (П1.6) можно записать иначе:

divF =

Отсюда

s

v

Выражение (Ш .7) составляет содержание теоремы Остроградского - Гаусса:

46

Поток векторной функции F

через произвольную замкнутую по-

верхность S равен объемному интегралу от дивергенции этой функции по объему F, охватываемому взятой поверхностью S.

5°. Ротор векторной функции. Теорема Стокса dS

Ротором векторной функции

F

на-

зывается векторная величина, модуль которой в данной точке пространства равен

L.

пределу отношения циркуляции этой функции по произвольному малому контуру Li , охватывающему данную точку, к площади Si

поверхности,

стягиваемой

„, Рис. П1.7.

указанным

контуром, при ее устремлении к нулю, а направление совпадает с направлением положительной нормали к рассматриваемой поверхности при условии, что указанный предел принимает максимальное значение (рис.Ш .7):

(rot F)« = K m

r

i

t

.

(П1.8)

Используя понятие предела функции, (Ш .8) можно представить в виде

rotF

d ' dS^

откуда

L

S

Выражение (Ш .9) составляет теорему Стокса:

47

Циркуляция векторной функции F по некоторому замкнутому контуру L равна потоку ротора этой функции через произвольную поверхность S, стягиваемую взятым контуром L.

6°. Оператор "набла"

Оператором V (набла) называется векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатным осям: V = i— + J~ + k—. дх. ду dz

(ШЛО)

В векторном анализе доказывается, что

divF = VF, rotF = [VF]. Применяя свойства скалярного и векторного произведения векторов, можно записать div rot F = V • [ VFJ - 0, так как V_L [VFJ.

rot rot F = [v[VFJ] = (FV) V - (VV)F + V(VF) - F(VV),

(П1 .14)

—* — >о Замечая, что FV = 0, F(VV) = 0, и вводя оператор Лапласа V = А (лапласиан),

получаем: rot

rotF = grad

divF-AF.

Использованная литература 1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. — М.: Наука, 1988. — 496 с. 2. Берклеевский курс физики. Т. 2. — М.: Наука, 1971. — 448 с. 3. Фейнмановские лекции по физике. Т. 5. — М.: Мир, 1977. — 302 с.

48

(П1.15)

Ю.В. ПСИГИН, М.Ю. ОБШИВАЛКИН

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Ульяновск

1999

Р.А.БРШ В. М, ПРОЮФЬЕВ

ИЗДАННЫЕ-ЛЕКЦИИ ПО 4.2.

Электричество и магнетизм

Ульяновск

1999