Интеграл: Методические указания по алгебре и началам анализа для 2 курса лицея при УлПИ

Министерство общего и профессионального образования РФ Ульяновский государственный технический Университет Городской лицей при УлГТУ

ИНТЕГРАЛ

Ульяновск 2001

Министерство общего и профессионального образования РФ Ульяновский государственный технический Университет Городской лицей при УлГТУ

ИНТЕГРАЛ

Методические указания по алгебре и началам анализа для 2 курса лицея при УлГТУ 2-ое издание

Составитель П.К.Маценко

Ульяновск 2001

УДК 51 (075.4) Интеграл. Методические указания по алгебре и началам анализа для 2 курса лицея при УлПИ /Сост. П.К.Маценко. - Ульяновск: УлПИ, 1994. - 44 с. В пособии, предназначенном для учащихся лицея, излагаются основные понятия интегрального исчисления и даются методические указания к решению задач по данной теме. Пособие может быть использовано школьниками общеобразовательных школ, желающими самостоятельно углубить свои знания по алгебре и началам анализа. Работа выполнена в лицее при УлГТУ. Ил.15 Рецензент: зав. кафедрой ФМО ИПК ПРО, канд. физ.-мат. наук, доцент Л.А.Штраус Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета института.

УлГТУ, 2001

СОДЕРЖАНИЕ: Предисловие 1. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1.1. Первообразная 1.2. Неопределённый интеграл и его свойства 1.3. Табличное интегрирование 1.4. Интегрирование введением под знак дифференциала 2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2.1. Площадь криволинейной трапеции 2.2. Определённый интеграл - предел интегральных сумм 2.3. Формула Ньютона-Лейбница 2.4. Интегрирование подстановкой 2.5. Интегрирование по частям 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА 3.1. Площадь фигуры 3.2. Объём тела по площадям параллельных сечений 3.3. Объём тела вращения 3.4. Длина дуги кривой 4. ОТВЕТЫ.

4 4 4 6 9 11 14 14 15 16 19 21 23 23 26 29 31 33

Предисловие Понятие интеграла пронизывает всю современную математику. И не только её - в физике, химии, биологии, технических, экономических, а в последнее время и социальных науках понятия: интеграл, интегрирование, интегральный, интеграция и т.п. встречаются очень часто. В истории человечества есть идеи, которые возникнув в глубокой древности, развиваясь и совершенствуясь, успешно служат и поныне. К таким идеям, безусловно, следует отнести метод интегрирования (суммирования специальным способом) тех или иных процессов. Интегральный метод зародился в трудах Архимеда при вычислении им площадей и объёмов некоторых фигур и тел. Архимед предвосхитил многие идеи этого метода, но потребовалось свыше полутора тысяч лет, прежде чем они получили чёткое математическое оформление и превратились в интегральное исчисление. В данном пособии излагаются основы исчисления: вводятся понятия первообразной, неопределённого и определённого интегралов, рассматриваются их свойства и некоторые методы вычисления. Каждый пункт пособия начинается с теоретического материала, в котором приводятся основные понятия и методы, рассматривается несколько примеров, разъясняющих основные приёмы решения практических задач. Затем даются упражнения и задачи для самостоятельного решения; в п.4 пособия собраны ответы к задачам. Пособие не требует от читателя предварительного знакомства с разделами математики, не входящими в школьный курс. Предполагается, что читатель знаком с понятием предела и производной в объёме школьного курса. Хотя пособие предназначено для учащихся лицея при УлГТУ, оно может использоваться и школьниками общеобразовательных школ, желающих углубить и закрепить знания по алгебре и началам анализа. 1. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 1.1. Первообразная Дифференцированием функции f(x), как Вам известно, называют операцию нахождения производной. Например, для функции f(x)=sin2 6x в результате дифференцирования мы получаем f'(х)=2 sin 6x(sin 6х)=2 sin 6xcos6x• 6 =6 sin 2x

Но для решения многих задач необходимо уметь выполнять и обратную операцию: по заданной функции f(x) находить функцию F(X), производная которой даёт f(х), т.е. F'(x) = f(x). Эта операция называется интегрированием функции или операцией отыскания первообразной. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция F(X) называется первообразной для функции f(x) на множестве X, если F'(x)=f(x) для всех х е Х .

Является ли функция F(x) первообразной для функции на указанном промежутке?

1.2.Неопределённый интеграл и его свойства. х3

Вообще, если F0(x)- первообразная f(x) на множестве X, то любая функция вида F(X)= F0(x)+C, где С - произвольная константа, тоже будет первообразной f(х) на том же множестве X. В самом деле F'(x) = (F0 (x)+C)= F'0 (х)+С= f(x\

xeX.

Итак, мы можем сделать следующий вывод. Если к какой-нибудь первообразной данной функции прибавить постоянное слагаемое, то снова получит ся первообразная той же функции. Возникает естественный вопрос: можно ли все первообразные f(x) найти в виде F0(x)+C, где F0(x) - какая-нибудь конкретная первообразная f(x)? Утвердительный ответ на этот вопрос даёт следующая теорема. ТЕОРЕМА. Любая первообразная F(X) функции f(x) на некотором промежутке X может быть представлена в виде: F(X)=F0(x)+C, где F0(x) - одна из первообразных f(x) на промежутке X, а С - произвольная константа. Доказательство: По условию теоремы F'(x)= F'0 (x)=f(x). Рассмотрим новую функцию g(x)= F(x)-F0(x). Её производная для всех хе X равна g<(X) = (F(X)-F0(xJi=r(x)-F\(x) = f(x)-f(x)=0 Докажем, что отсюда следует постоянность g(x). В самом деле, зафиксируем какую-нибудь точку х0 е X. Рассмотрим разность g(x)- g(x0), которую преобра-

зуем по формуле Лагранжа: g(x)-g(x0)=g'(xl}(x-x0),где x,- точка, лежащая между х0 и х. Так как g'(x,)=0, то из предыдущего равенства g(x)-g(xQ)=О, т.е. g(x) = g(x0) для всех х е Х . Значит, g(x) = C - константа. Вспоминая определение g(jc), получаем F(X)-F0(x)=C, т.е. F(X) = F0(x)+C. Теорема доказана. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Множество всех первообразных одной и той же функции называется её неопределённым интегралом и обозначается ∫ f(x)dx. Согласно доказанной теореме, неопределённый интеграл может быть найден по формуле ∫f(x)dx = F0(x)+C,

(1.1)

где F0(x) - какая-нибудь конкретная первообразная функции f(x). Отметим, что в формуле (1.1) функция f(x), стоящая под знаком интеграла, называется подынтегральной функцией. Справедливы следующие свойства интеграла. 1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции

2. Интеграл производной некоторой функции с точностью до постоянного слагаемого равен самой функции ∫F'(x)dx = F(x)+C

(1.2)

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла ∫af(x)dx = a∫ f(x)dx, если а - const. (1.3.) 4. Неопределённый интеграл от суммы двух или нескольких функций равен сумме их интегралов Доказательство 1 свойства: i

= (F0(x)+C)=F0(x)+c'=f(x)

Доказательство 2 свойства. Дифференцируем левую и правую части формулы (1.2); обе производные равны F'(x). Значит, слева и справа записано множество первообразных одной и той же функции. Значит, левая и правая части формулы (1.2) равны. Свойства 3 и 4 доказываются точно также, как 2-е свойство, дифференцированием левых и правых частей формул (1.3), (1.4) с использованием соответствующих свойств производных. ЗАМЕЧАНИЕ: Здесь и в дальнейшем опускается множество X, на котором определена первообразная. При этом предполагается, что каждая первообразная имеет максимальную естественную область определения, на которой

Решить следующие задачи.

Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку М0

1.3. Табличное интегрирование. Отыскание первообразной для функции путём подбора и последующей проверки с помощью дифференцирования - операция весьма трудоёмкая и неэффективная. Поэтому при интегрировании обычно используют таблицу интегралов от часто встречающихся элементарных функций. Следует запомнить эту таблицу.

Легко видеть, что при а = -1 формула (1.5) теряет смысл; в этом случае результатом интегрирования будет так называемая логарифмическая функция, с которой Вы познакомитесь позже. Проверка (1.5)-(1.11) осуществляется дифференцированием левой и правой части; результатом дифференцирования должна быть подынтегральная функция левой части. Докажем, к примеру, формулу (1.10). Имеем

Получили подынтегральную функцию левой части формулы (1.10). Остальные формулы докажите самостоятельно. ЗАМЕЧАНИЕ: Результат нахождения неопределённого интеграла с помощью таблицы интегралов рекомендуется проверять дифференцированием. Если неопределённый интеграл найден верно, то после его дифференцирования должна получиться подынтегральная функция. Пример 6. Найти неопределённый интеграл Решение: Используя свойства неопределённого интеграла, представим его в виде суммы интегралов, затем постоянные множители вынесем за знаки интегралов. Наконец, воспользуемся формулами (1.5) при a = 3, (1.7) и снова (1 .5) при а = 1/2 . Получаем

Здесь мы воспользовались формулами (1.8) и (1.5) при а = О. Делаем проверку.

Решение: Выделим «целую часть» подынтегральной функции, используя алгоритм деления многочлена на многочлен

1.4. Интегрирование введением под знак дифференциала. Одним из наиболее простых и эффективных способов интегрирования является метод подведения под знак дифференциала некоторых множителей подынтегральной функции. При этом дифференциалом ду функции у = g(x) на-

зывается величина dy = g'(x)dx . Предположим, что подынтегральную функцию можно представить в виде f(g(x))g(xj . Тогда исходный интеграл преобразуется по формуле где у = g(x). После нахождения правого интеграла получим выражение, зависящее от у . Заменив у по формуле у = g(x), найдём исходный интеграл. Пример 9. Найти ∫ sin2 xcosxdx.

Решение: Замечаем, что d(sinx) = (sinx)dx = cosxdx. Поэтому ∫ sin2 xcosxdx = ∫ sin2 xd(sinx) = ∫ y2dy, где у - sinx . Последний интеграл равен: у3 /3 + С = (sinx)3 /3 + С . Значит,

Делаем проверку.

Решение: Найдём дифференциал подкоренного выражения: d(x +1)= (x2 + I)dx = 2xdx. Величина xdx есть под интегралом, не хватает лишь множителя 2; мы внесём множитель 2 под знак интеграла и вынесем 1/2, от этого величина интеграла не изменится. Решение оформим так: 2

Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через

2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 2.1. Площадь криволинейной трапеции. Пусть функция f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b]. Криволинейная трапеция - это фигура, ограниченная сверху графиком функции f(x), снизу - осью абсцисс, слева и справа - вертикальными прямыми х = а и х = Ь. Криволинейная трапеция изображена на рис. 2.1.

Рмс*2Л. Вычисление пяощадя криаолшейной трапеции

Для отыскания площади криволинейной трапеции разобьём её основание отрезок [а; Ь] на п произвольных (не обязательно равных) частей. Пусть

2.2. Определённый интеграл - предел интегральных сумм. Математическая конструкция вида (2.2) возникает не только при вычислении площади криволинейной трапеции, но и при решении многих задач математики, физики, других наук. Такая конструкция для произвольной функции f(x) в математике называется определённым интегралом и систематически изучается. Итак, что же следует понимать под определённым интегралом для произвольной непрерывной на отрезке [a;b] функции? Разбиваем отрезок [a;b] произвольным образом на «частей точками xl,x2,...,xn_l (см. рис. 2.2).

тарных промежутков. Внутри каждого элементарного промежутка выберем по точке, которые обозначим tt,t2,...,tn. Вычислим в этих точках значения функции f(x):f(t1),f(t2),…,f(tn)- Составим сумму

Эта сумма называется интегральной. Будем произвольно увеличивать число разбиений отрезка [a;b] так, чтобы все Дх,, Дх2,...,Дх„ стремились к 0. Если при этом интегральная сумма стремится при различных разбиениях отрезка [a; b] к одному и тому же пределу, то этот предел называется определённым интегралом и обозначается При этом f(x) называется подынтегральной функцией, числа а,Ь - соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, х - переменной интегрирования. Итак, используя определение, мы можем записать

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Из формул (2.2), (2.3) следует, что площадь криволинейной трапеции может быть вычислена с помощью определённого интеграла по формуле Эта формула даёт геометрический смысл определённого интеграла. ЗАМЕЧАНИЕ 2. В самом определении определённого интеграла предполагается, что нижний предел меньше верхнего: а <Ь. В том же случае, когда а > b, полагается по определению, что При этом правый интеграл понимается в обычном смысле (как предел интегральных сумм), поскольку у него нижний предел интегрирования меньше верхнего. Если же у определённого интеграла нижний и верхний пределы равны Ь = а, то такой интеграл по определению считается равным О

2.Ъ. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определённого интеграла по формуле (2.3) через предел интегральных сумм - весьма трудоёмкий процесс. Обычно для вычисления определённого интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Формула (2.4) называется формулой НьютонаЛейбница. Для практического использования эту формулу обычно записывают в виде

Правая часть формулы (2.5) читается так: «первообразная F(X) с подстановкой от а до Ъ ». При использовании формулы Ньютона-Лейбница (2.4) или (2.5) нужно поступить следующим образом. Сначала находится первообразная F(X) (например, с помощью неопределённого интеграла), затем вычисляется значение первообразной в верхнем пределе Ъ и из него вычитается значение первообразной в нижнем пределе а. ЗАМЕЧАНИЕ 2. На основании формулы Ньютона-Лейбница легко доказываются некоторые простейшие свойства определённого интеграла. 1. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла b b aj

∫af(x)dx = a∫f(x)dx; a

a-const

2. Определённый интеграл от суммы двух или нескольких функция равен сумме их определённых интегралов . Докажем, к примеру, первое свойство. Легко видеть, что если F(X) - первообразная f(x), то aF(x)- первообразная af(x). Поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница Аналогично доказывается второе свойство. Теперь переходим к доказательству сформулированной ранее теоремы. Доказательство теоремы. Чтобы использовать геометрическую интерпретацию доказательства, дополнительно предположим, что f(x)> 0. Для произвольного Z е [а;b) введём в рассмотрение функцию S(z)= ∫ f(x)dx (2.6)

Рис. 2.3. Построение первообразной. С геометрической точки зрения этот интеграл определяет площадь криволинейной трапеции, заключённой между прямыми х = а и х = Z (см. рис. 2.3). Величина площади однозначно зависит от Z . Пусть ∆Z > 0 . Поскольку определяет площадь криволинейной трапеции, заключённой между вертикальными прямыми х = а и X = Z + AZ,TO приращение ∆S = S(z + ∆z)- S(z) есть площадь элементарной криволинейной трапеции, заключённой между x = z и x = z + ∆z. На рис. 2.3 данная трапеция заштрихована. Геометрически ясно, что площадь

2.4. Интегрирование подстановкой. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной) базируется на следующей теореме.

ТЕОРЕМА. Если функция f(x) непрерывна на [а;6], а функция x = g(t) имеет непрерывную производную на [α;β], причём g(a)=a, g(j3)=b, тo справедлива формула . Эта теорема принимается без доказательства. Суть метода интегрирования подстановкой состоит в следующем. Подыскивается такая функция x = g(t), которая при подстановке в подынтегральное выражение значительно упрощает его. При этом согласно (2.9) долен быть пересчитан дифференциал dx по формуле dx = g'(t)dt и пределы интегрирования а,Ь, соответствующие х, на пределы интегрирования а,/7, соответствующие t так, чтобы g(a)=a, g(p)=b.

Решение. В интеграле сделаем подстановку х = -. При этом dx = (l/t]dt = -dtlt2. Нижнему пределу х = V2 соответствует t = 1/ 2 , а верхнему пределу х = 2 соответствует t = 1/2. Решение оформляем следующим образом.

Используя указанные подстановки, найти интегралы:

2.5. Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям базируется на формуле

В этой формуле и = u(x),v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, du = u'(x)dx, dv - v'(x)dx - дифференциалы.

Основная сложность использования формулы (2.10) состоит в правильном разделении подынтегрального выражения на и и dv. Общий принцип разбиения таков: и,dv следует выбирать так, чтобы после применения формулы (2.10) получился бы интеграл более простой, чем исходный. Если же после применения формулы (2.10) получился более сложный интеграл, рекомендуется выбрать u,dv заново, отнеся к функции и то, что было отнесено к dv, и наоборот. Вместе с тем, могут оказаться полезными следующие рекомендации. Обратные тригонометрические функции arcsin(ax),arccos(ax),arctg(ax) обычно относят к функции и(х), тригонометрические функции sin(ax),cos(ax) -к dv. Степенную функцию х" относят либо к и(х), либо к функции dv по принципу «остаточности» после того, как определили, куда отнести сомножители подынтегрального выражения.

Решение. Согласно сформулированному правилу выбора положим и = arctgx, dv - x3dx. Тогда

нужНА

Здесь мы снова взяли С = 0, потому что нам^бдна функция v. Решение оформляем так

лы:

Используя метод интегрирования по частям, найти следующие интегра-

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА. 3.1. Площадь фигуры.

Рис. 3.1. Площадь фигуры

Будем предполагать, что рассматриваемая фигура обладает следующим свойством: любая вертикальная прямая, проходящая через внутреннюю точку фигуры, пересекает границу фигуры в двух точках. Для подобных фигур (см. рис. 3.1) можно выделить нижнюю и верхнюю границы. Пусть у = f{(x) - уравнение нижней границы, у = f2(х) - уравнение верхней границы. Докажем, что площадь фигуры можно вычислить по формуле Предположим, что вся фигура D лежит над осью абсцисс как на рис. 3.1. В этом случае её площадь можно получить как разность площадей двух криволи-

нейных трапеций, ограниченных графиками функций у = f{(x) и у = f2(x). Площади этих криволинейных трапеций можно найти по формулам Тогда площадь фигуры D равна формула (3.1) доказана. Отметим, что если бы фигура D рассекалась осью абсцисс, мы могли бы путём вертикального сдвига вдоль оси ординат поднять фигуру D так, чтобы она оказалась лежащей выше оси абсцисс. Ясно, что площадь фигуры при этом не изменится, а в правые части уравнений её нижней и верней границы добавится одно и то же постоянное слагаемое, которое при вычитании f}(x) от f2(x) взаимно уничтожится. Значит,формула (3.1) имеет место и в этом случае. Пример 1. Найти площадь круга радиуса R. Решение. Формула площади круга S = πR2 Вам хорошо известна, однако её доказательство невозможно без использования элементов анализа. Мы выведем эту формулу с помощью определённого интеграла.

В определённом интеграле сделаем замену переменной х = Rsint. Тогда

Итак, S=πR2.

Пример 2. Доказать, что площадь фигуры, ограниченной эллипсом с полуосями а, b, находится по формуле S = тb. Решение. Эллипсом называют замкнутую кривую, которая имеет уравнение:

Параметры а,Ь > О и называются полуосями эллипса. Эллипс изображён на рис. 3.3. Отметим, что в случае Ъ = а эллипс превращается в окружность. Площадь фигуры находится по тому же алгоритму, что и площадь круга в примере 1. Вычислим площадь части фигуры и результат учетверим. Из уравнения эллипса

Мы получили тот же интеграл, что и в примере 1, только вместо R стоит параметр а. Сделав в интеграле замену х = asinf и повторив расчёты, мы получим S = nab.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2, у = х + 2.

Решение. Находим точки пересечения линий у = х2, у = х + 2. (см. рис. 3.4) Приравнивая правые части уравнений, получаем х2 = х + 2, откуда х, = -1,х2 = 2. Так как верхняя граница имеет уравнение у = х + 2, нижняя у = х2, то площадь фигуры согласно (3.1) находится по формуле

Решить следующие задачи. Найти площади фигур, ограниченными линиями:

3.11. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х2 - 8.x, осью ординат и касательной к параболе в её вершине. 3.12. Найти площадь фигуры, ограниченной линией у = х2 - 2х + 2, касательной к этой линии, проведённой в точке пересечения её с осью ординат, и прямой х = 2. 3.13. Через точку пересечения кривой у = 2х2 + 4х - 3 с осью ординат проведена касательная к кривой. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, касательной к НЕЙ" и ПРЯМОЙ х=2. 3.14. Найти площадь фигуры, ограниченной линией х2 + y +16 = О и касательными к этой линии, проведёнными из начала координат. 3.15. Найти площадь фигуры, ограниченной осями координат, линией у = х2 + 2 и касательной к линии в точке A(2;6). 3.16. В некоторой точке графика функции у = x касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45°. Вычислить площадь фигуры, ограниченной этой касательной, графиком функции и осью абсцисс. 3.2. Объём тела по площадям параллельных сечений. Предположим, что нам известна площадь любого сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси абсцисс. Поскольку площадь S каждого сечения зависит от координаты х, будем писать S = S(x). Пусть плоскости γ1,γ2,касающиеся поверхности тела и перпендикулярные оси абсцисс, пересекают ось абсцисс в точках а,b. Тогда объём тела может быть найден по формуле

Рис.3.5. Сечение тела плоскостью

Доказательство формулы (3.2) проведём при одном дополнительном предположении: все перпендикулярные сечения тела являются фигурами «без дыр» (как на рис. 3.5). Разрежем тело перпендикулярными оси абсцисс плоскостями на и слоё^при этом отрезок [a;b] будет разбит на п частей точками: xl,x2,...,xn_l (см. рис. З.ба). Толщины этих слоев будут равны соответственно Тело можно разрезать на столь тонкие слои, что каждый слой приближённо может быть заменён цилиндром той же толщины (высоты), основанием которого является некоторое «среднее» сечение QK =S(tK), расположенное между S(tK_}) и S(tK) (см. рис. 3.66).

Рис.3.6. Вычисление объема тела

Рис.3.7. Объем пирамиды

Доказательство. Пусть S0 и S, - площади соответственно нижнего и верхнего оснований пирамиды (см. рис.3.7). Достроим усечённую пирамиду до полной. Достроенную пирамиду расположим так, чтобы её вершина совпадала с началом координат, а высота - с осью абсцисс. Известно, что любое сечение полной пирамиды, параллельное основанию, отсекает от пирамиды подобную часть с некоторым коэффициентом подобия k. Из свойств подобия мы знаем, что площадь любого сечения, параллельного основанию, пропорциональна квадрату расстояния до вершины. Поэтому S 0 =kb 2 , S } =ka 2 , S(x) = kx2,

(3.5)

где S(x) - площадь сечения, удалённого на расстояние х от вершины пирамиды. Объём усечённой пирамиды мы находим на основании формулы (3.2). Получаем

При выводе формулы мы учли формулы (3.5) и равенство Ь-а = Н. Замечание 1. Чтобы от объёма усечённой пирамиды перейти к объёму полной, нужно в формуле (3.4) положить S1 = 0 . При этом получается известная формула объёма полной пирамиды Замечание 2. При решении предыдущей задачи нигде не использовался тот факт, что на чертеже изображена четырёхугольная пирамида; мы использовали только площади параллельных сечений. Поэтому данное доказательство переносится без всяких изменений на случай произвольной п -угольной пирамиды. Ясно, что это же доказательство легко переносится на случай полного и усечённого конуса. Можно доказать следующие утверждения (провести доказательства самостоятельно). 1) Объём полного конуса равен одной трети площади основания на высо-

Решить следующие задачи: 3.17. В шаре радиусом R на расстоянии R12 от центра проведена секущая плоскость. Найти объёмы частей, на которые рассечён шар. 3.18. В шаре радиусом R просверлено сквозное цилиндрическое отверстие радиуса r, ось симметрии которого проходит через центр шара. Найти объём ос-

тавшейся части шара. Указание: рассматривать сечения, перпендикулярные оси отверстия. 3.19. В конусе с радиусом основания R, высотой Н через вершину конуса и хорду основания, отстоящую на R/ 2 от центра основания, проведена секущая плоскость. Найти объёмы частей, на которые рассечён конус. Указание: рассматривать сечения, параллельные основанию конуса. 3.20. В цилиндре с радиусом основания R и высотой 2R через диаметр верхнего основания под углом 45° к основанию проведена секущая плоскость. Найти объём всего цилиндра и его отсечённой части. Указание: рассматривать сечения, параллельные оси цилиндра. 3.3. Объёмы тела вращения. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная сверх/графиком у = f(x), снизу - осью абсцисс, слева и справа - вертикальными прямыми к = а, х = b, вращается вокруг оси абсцисс. При этом получается некоторое тело вращения (см. рис.3.8).

Рис.3.8. Объем тела вращения b

Покажем, что его объём находится по формуле V = π ∫ f 2 ( x)dx

(3.6)

a

Выберем произвольную точку хе[a;b]. Перпендикулярным сечением тела в точке х будет круг радиусом R = f(x), поэтому его площадь равна S(x) = 7tf2(x). Подставляя S(x) в формулу (3.2), получим формулу (3.6). Пример 5. Прежде всего отметим, что эту формулу можно получить непосредственно из (3.2) так же, как мы получили формулу объёма для пирамиды (см. замечание 2 предыдущего пункта). Однако формулу объёма усечённого конуса можно получить проще на основании формулы (3.6). Для этого прямоугольную трапецию высотой Я с радиусами оснований R и г будем вращать вокруг высоты; получим усечённый конус. Найдём уравнение образующей. Достроим трапецию до треугольника и расположим его так, как показано на рис. 3.9.

о си Рис.3.9. Прямоугольная трапеция

Наклонная сторона трапеции будет иметь уравнение у = Ь. Поэтому согласно

Но b - а = Н, kb = R, ka = r . Поэтому предыдущая формула примет вид

формуле (3.6) получаем где S0,S} - площади нижнего и верхнего оснований усечённого конуса. Пример 6. Параболический сегмент с основанием 2а и высотой h вращается вокруг основания. Найти объём полученного тела (лимон Кавальери).

Рис.ЗЛО. Лимон Кавальери

Решение. Расположим параболический сегмент так, как показано на рис. 3.10. Парабола y = h-kx2 ограничивает сегмент сверху. Параметр k найдём из условия, что у = 0 при х = а; получаем k = h/ a2. Значит, парабола имеет уравнение у = h(l -х2 /a2). Так как лимон Кавальери - симметричное тело, найдём объём правой половины, затем результат удвоим. Итак, согласно формуле (3.6) мы имеем

Решить следующие задачи: 3.21. Найти объём тела, получающегося при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции у = х-х2. 3.22. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох эллипса 3.23. Найти объём тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс кривой: y=sin x, 0<х< π .

3.24. Найти объём тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры,

3.25. Найти объём тела, образованного при вращении вокруг оси Oу фигуры, 3

ограниченной линиями у = х 2 , у = 1, х = 0. 3.26. Найти объём тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями: у = х2 +1, у = 10.

3.4. Длина дуги кривой. Допустим, что линия АВ является графиком функции у = f(x), x e [a;b], причём производная f'(x) непрерывна на [a;b]. Тогда длина линии находится по формуле .

_^^

ч^

Для доказательства формулы (3.7) разобьём линию АВ произвольным образом на п равных частей (см. рис.3.11). Пусть М,,М2,...,Мn-1, точки разбиения, х,,х,,...,х. - абсциссы этих точек; обозначим

При этом символ ...| означает длину соответствующей элементарной дуги.

Рис. З.11. Вычисление длины линии

Каждую элементарную дугу приближённо приближенно заменим стягивающей её хордой; длина такой хорды может быть найдена по теореме Пифаго-

Пример 8. Доказать, что длина окружности радиуса R находится по формуле l = 2πR . Решение. Эта формула Вам хорошо известна, мы же её получим с помощью формулы (3.12). Поместим центр окружности в начало координат. Пусть х,у - координаты точки на окружности, t - угол, образуемый ОМ с положительным направлением оси Ох (см. рис. 3.12). Легко видеть, что x=Rcost,y =Rsint,Q