Исследование процессов генерации и усиления антистоксового излучения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ТОЧНОЙ МЕХАНИКИ И ОПТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Факультет

Информационных Технологий и Программирования Прикладная математика и информатика

Направление (специальность) Квалификация (степень) Специализация Кафедра

Магистр математики

Математическое моделирование

Компьютерных Технологий

Группа

638

МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ на тему Исследование процессов генерации и усиления антистоксового излучения при вынужденном комбинационном рассеянии в условиях фазового квазисинхронизма Автор магистерской диссертации

Макаров Н.С.

(подпись)

( Фамилия, И., О. )

Руководитель

Беспалов В.Г.

(подпись) ( Фамилия, И., О. )

Руководитель магистерской программы________________________________(подпись) ( Фамилия, И., О. )

К защите допустить Зав. кафедрой Васильев В.Н.

(подпись) ( Фамилия, И., О. )

“___”__________________ 2003 г. Санкт-Петербург, 2003 г.

Магистерская диссертация выполнена с оценкой _______________________________ Дата защиты “____”________________________2003___г. Секретарь ГАК ____________________________________ Листов хранения ___________________________________ Чертежей хранения _________________________________

Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет)

АННОТАЦИЯ ПО МАГИСТЕРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ

Макарова Николая Сергеевича

Студента

( Фамилия, И., О. )

Факультет Информационных Технологий и Программирования

Компьютерных Технологий

Кафедра

Группа

638

Направление (специальность)

Прикладная математика и информатика

Квалификация (степень)

Магистр математики

Исследование процессов генерации и усиления антистоксового излучения при вынужденном комбинационном рассеянии в условиях фазового квазисинхронизма Наименование темы:

Руководитель

Беспалов В. Г. с.н.с., канд. физ.-мат. наук ( Фамилия, И., О., ученое звание, степень )

Консультант____________________________________________________________________ ( Фамилия, И., О., ученое звание, степень )

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ МАГИСТЕРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ И ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Объем

70

стр., графический материал

0

стр., библиография

26

наим.

• Направление и задача исследований

Направление исследования – нелинейно-оптический метод преобразования частоты лазерного излучения при вынужденном комбинационном рассеянии (ВКР). Основной задачей исследования является разработка нового метода генерации и усиления антистоксового излучения ВКР в средах с изменяемыми параметрами нелинейности третьего порядка вдоль продольной координаты и изучение свойств антистоксового излучения. • Проектная или исследовательская часть (с указанием основных методов исследований, расчетов и результатов)

Проанализированы системы дифференциальных уравнений, описывающих стационарное и нестационарное многоволновое ВКР с учетом дифракционных эффектов и приведены к виду, удобному для создания условий фазового квазисинхронизма. Разработан алгоритм численного решения данных систем и реализована схема создания условий фазового квазисинхронизма. Численным моделированием определены условия фазового квазисинхронизма в газовых и кристаллических средах и достижения максимальной эффективности

преобразования в антистоксовую компоненту ВКР. Изучена возможность одновременного усиления импульсов на стоксовой и антистоксовой частотах в кварцевых волокнах. Исследована зависимость коэффициента преобразования энергии из волны накачки в антистоксовую волну от дисперсии коэффициента стационарного ВКР-усиления, от количества участвующих в расчетах компонент ВКР, от соотношения длительности импульса накачки и времени дефазировки молекулярных колебаний и от числа Френеля активного волновода. Изучена возможность реализации условий фазового квазисинхронизма в периодических слоистых структурах. Получены модели сред, в которых эффективность генерации антистоксового излучения превосходит 40%. • Экономическая часть (какие использованы методики, экономическая эффективность результатов) ________________________________________________________________________________ • Характеристика вопросов экологии, техники безопасности и др. ________________________________________________________________________________ • Является ли работа продолжением курсовых проектов (работ), есть ли публикации

Работа является продолжением курсовых работ по “Оптике”, “Вычислительной математике” и продолжением бакалаврской выпускной квалификационной работы. По результатам работы опубликовано 15 статей, в том числе 5 – в реферируемых изданиях. Основные результаты были доложены на 20 конференциях. Практическая ценность работы. Рекомендации по внедрению

Результаты исследования могут использоваться для создания новых эффективных нелинейно-оптических устройств, повышающих частоту лазерного излучения и новых эффективных волоконных оптических усилителей. Макаров Н.С.

Выпускник (подпись)

Беспалов В.Г.

Руководитель (подпись)

“______”__________________ 2003 г.

3

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ.....................................................................................................6 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЫНУЖДЕННОГО КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ ПРИ ФАЗОВОМ КВАЗИСИНХРОНИЗМЕ ...............................................................................10 3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СОЗДАНИЯ УСЛОВИЯ ФАЗОВОГО КВАЗИСИНХРОНИЗМА В КВАРЦЕВОМ ВОЛОКНЕ ..12 4. МНОГОВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ ГЕНЕРАЦИИ АНТИСТОКСОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ВЫНУЖДЕННОГО КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ В УСЛОВИИ ФАЗОВОГО КВАЗИСИНХРОНИЗМА ..16 4.1. Общая система дифференциальных уравнений для вынужденного комбинационного рассеяния .........................................................................16 4.2. Зависимость ∆j от волновой расстройки ∆ ............................................19 4.3. Системы уравнений для нестационарного и стационарного четырех волнового взаимодействия при вынужденном комбинационном рассеянии .........................................................................................................20 4.4. Определение оптимальной длины пассивного слоя для обеспечения условия фазового квазисинхронизма ...........................................................21 4.5. Определение оптимальной длины активного слоя для обеспечения условия фазового квазисинхронизма ...........................................................23 4.6. Аналитическое решение системы для стационарного четырех волнового взаимодействия при вынужденном комбинационном рассеянии в условии фазового квазисинхронизма......................................25 4.7. Рекуррентные соотношения для нахождения эффективности антистоксового преобразования при вынужденном комбинационном рассеянии в условии фазового квазисинхронизма......................................31

4

5. СРАВНЕНИЕ ДВУХ МОДЕЛЕЙ ВЫНУЖДЕННОГО КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ В УСЛОВИИ ФАЗОВОГО КВАЗИСИНХРОНИЗМА В КВАРЦЕВОМ ВОЛОКНЕ ..........................33 6. УЧЕТ ЗАТУХАНИЯ ВОЛН В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКНАХ ...........34 7. ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ МНОГОВОЛНОВОГО КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ВЫНУЖДЕННОГО КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ В УСЛОВИИ ФАЗОВОГО КВАЗИСИНХРОНИЗМА...............................................................................37 7.1. Схема численного интегрирования в условии фазового квазисинхронизма...........................................................................................37 7.2. Результаты численного моделирования многоволнового квазистационарного вынужденного комбинационного рассеяния в условии фазового квазисинхронизма в кристаллических и газовых средах ..........................................................................................................................38 7.3. Результаты численного моделирования многоволнового квазистационарного вынужденного комбинационного рассеяния в условии фазового квазисинхронизма в кварцевом волокне ......................46 7.4. Результаты численного моделирования многоволнового квазистационарного вынужденного комбинационного рассеяния в условии фазового квазисинхронизма при использовании периодической слоистой структуры........................................................................................47 8. ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ МНОГОВОЛНОВОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО ВЫНУЖДЕННОГО КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ В УСЛОВИИ ФАЗОВОГО КВАЗИСИНХРОНИЗМА ..52 8.1. Схема численного интегрирования в условии фазового квазисинхронизма...........................................................................................52

5

8.2. Результаты численного моделирования многоволнового нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния в условии фазового квазисинхронизма в кристаллических и газовых средах...........53 9. ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ МНОГОВОЛНОВОГО СТАЦИОНАРНОГО ВЫНУЖДЕННОГО КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ В УСЛОВИИ ФАЗОВОГО КВАЗИСИНХРОНИЗМА С УЧЕТОМ ДИФРАКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ .........................................60 9.1. Схема численного интегрирования в условии фазового квазисинхронизма...........................................................................................60 9.2. Результаты численного моделирования многоволнового стационарного вынужденного комбинационного рассеяния в условии фазового квазисинхронизма в кристаллических и газовых средах с учетом дифракционных эффектов ................................................................61 ВЫВОДЫ ..........................................................................................................65 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ...............................................................................................67 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .............................................................................68

6

1. ВВЕДЕНИЕ При передаче данных по оптическим волокнам на большие дистанции вследствие наличия рэлеевского и молекулярного поглощения, ослабляющего

информационный

сигнал,

необходимо

использовать

периодически расположенные усилители-повторители. Существуют два типа повторителей – оптико-электронные, основанные на преобразовании свет – электронный сигнал – свет, и полностью оптические, которые в последнее время получили большое распространение. В качестве оптических усилителей в основном используют кварцевые волокна, активированные ионами редкоземельных металлов (rare-earth-doped fiber), которые имеют преимущества по сравнению с полупроводниковыми оптическими усилителями. Волоконные усилители могут одновременно усиливать сигналы в полосе частот до 5 ТГц без демультиплексирования сигнала, они не чувствительны к скорости передачи данных, работают с любыми форматами передачи данных [1-3]. В связи с высоким коэффициентом усиления и низкими потерями предпочтительными являются оптические волокна, активированные ионами эрбия (EDFA). Эрбиевые волоконные усилители имеют 5 пиков усиления, расположенных в диапазонах 1450-1490 нм (S+-полоса), 1490-1530 нм (S-полоса), 15301570 нм (M-полоса), 1570-1610 нм (L-полоса) и 1610-1650 нм (L+-полоса). Однако для передачи информационных сигналов на большие расстояния в кварцевых волокнах используют окна наибольшей прозрачности в районе 1310 и 1550 нм (см. рис. 1) и, поэтому, для усиления используется только M-полоса усиления (см. рис. 2).

7

Рис. 1. Зависимость потерь в волокне от длины волны сигнала

Рис. 2. Кривая усиления EDFA

Для сохранения соотношения сигнал-шум и скорости появления информационных

ошибок

в

оптических

повторителях

необходимо

обеспечивать усиление с неравномерностью не более ±5 дБ во всей спектральной полосе усилителя. Сглаживание кривой усиления возможно

8

при совместном использовании EDFA и усиления стоксового излучения при вынужденном комбинационном рассеянии (ВКР). При использовании накачки на длине волны 1480 нм, за счет достаточно широкой полосы ВКР-усиления (ν=440 см-1, ∆ν≅300 см-1) происходит усиление на длинах волн 1550 - 1580 нм [4], что приводит к сглаживанию общей кривой усиления (см. рис. 3, 4).

Рис. 3. Зависимость коэффициента усиления от сдвига частот при ВКР в кварцевом волокне

Рис. 4. Кривая совместного EDFA и стоксового ВКР-усиления

9

Для более эффективного сглаживания кривой усиления и создания новых информационных каналов в области прозрачности 1310 нм мы предлагаем

использовать

одновременное

усиление

стоксового

антистоксового излучения в условии фазового квазисинхронизма [5].

и

10

2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЫНУЖДЕННОГО КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ ПРИ ФАЗОВОМ КВАЗИСИНХРОНИЗМЕ Процесс стационарного ВКР в волокне может быть описан системой нелинейных

дифференциальных

уравнений

для

нормированных

комплексных амплитуд взаимодействующих полей Ej [6]:

dE p dz

=

g ω p (| Ea |2 − | Es |2 ) E p , 2ω s

(2.1)

dEs g = [− E*a E p exp(iz∆) + E*p Es ]E p , dz 2

(2.2)

dEa g = ωa [− Ea E*p + E p E*s exp(iz∆)]E p . dz 2ωs

(2.3)

Здесь ∆ – волновая расстройка, g – коэффициент стационарного ВКРусиления, ωi (i = p, s, a) – частоты взаимодействующих волн (p – волна накачки, s – стоксовая компонента ВКР, a – антистоксовая компонента ВКР). Решение данной системы уравнений рассматривалось для модельных сред с чередованием областей с нелинейностью и без нее [5]. В среде, в положительном направлении оси z, распространялись волны накачки, Стокса и анти-Стокса с заданными начальными интенсивностями. Толщина слоев с нелинейными свойствами и слоев без нелинейности выбиралась таким образом, чтобы в каждом активном слое эффективно происходила перекачка энергии из волны накачки в антистоксовую компоненту. При этом отслеживалось поведение обобщенной фазы [7], определяемой как ϕ = 2ϕp - ϕa - ϕs - (ka + ks - 2kp)r, где ϕj и ki – фазы и волновые векторы взаимодействующих волн, r – радиус-вектор, и описывающей направление перекачки энергии “накачка – Стокс – анти-

11

Стокс”. Было установлено, что при определенной толщине активных и пассивных слоев, обобщенная фаза на входе в пассивные слои (φ0, φ2) и на выходе из них (φ1, φ3) практически не изменялась, что в конечном итоге приводило

к

реализации

фазового

квазисинхронизма,

что

проиллюстрировано на рис. 5.

Рис. 5. Изменение обобщенной фазы при фазовом квазисинхронизме: φ0, φ2 – фаза на входе в первый и второй пассивные слои; φ1, φ3 – фаза на выходе из первого и второго пассивных слоев

12

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СОЗДАНИЯ УСЛОВИЯ ФАЗОВОГО КВАЗИСИНХРОНИЗМА В КВАРЦЕВОМ ВОЛОКНЕ Система уравнений (2.1) – (2.3) решалась численно с применением метода Эйлера первого порядка [8]. Погрешность вычислений не превышала 0.1%. В расчетах использовалась зависимость коэффициента стационарного ВКР-усиления от стоксового сдвига частот [9] для кварцевого волокна. Был проведен расчет одновременного ВКР-усиления стоксовой и антистоксовой волн, результаты которого приведены на рис. 6. Входные интенсивности волны накачки, стоксовой и антистоксовой волн составляли 200 кВт/см2, 2 кВт/см2 и 1 кВт/см2, соответственно.

Рис. 6. Одновременное стоксовое и антистоксовое ВКР-усиление в волокне; белые слои – активные, серые слои – пассивные; 1 – интенсивность волны накачки, 2 – интенсивность стоксовой волны, 3 – интенсивность антистоксовой волны

Из графика и расчетов следует, что возможна реализация слоистой структуры

в

волокне,

в

которой

выполняется

условие

фазового

13

квазисинхронизма, и происходит одновременное усиление стоксовой и антистоксовой волн. Усиление стоксовой волны в десять раз происходит при длине волокна ~100 м (без учета затухания), а десятикратное усиление на длине волны 1550 нм достигается при длине волокна ~150 м. При этом слоистая структура состоит из одинаковых подструктур, т.е. является квазипериодической, что существенно упрощает ее реализацию. Толщина слоев изменяется от 0.1 до 0.4 см, общая длина периодически повторяющейся подструктуры составляет ~2 см. На рис. 7 приведена результирующая зависимость Стокс-анти-Стоксового усиления от длин волн, при использовании накачки с длиной волны 1480 нм.

Рис. 7. Кривая одновременного стоксового и антистоксового усиления в кварцевом волокне

Было проведено исследование параметров слоистой структуры в зависимости от входных интенсивностей взаимодействующих волн. Установлено, что при изменении интенсивности волны накачки от 10 кВт/см2

до

20

МВт/см2, но

при

сохранении отношений

между

интенсивностями взаимодействующих волн (200:2:1), слоистая структура не меняется, но длина волокна, на которой достигается десятикратное

14

стоксовое усиление, существенно зависит от входной интенсивности волны накачки. Исследование длин активных и пассивных слоев в зависимости от длины волны накачки показало, что при изменении длины волны накачки от 1400 нм до 1500 нм слоистая структура, обеспечивающая выполнение условия фазового квазисинхронизма не изменяется, что позволяет одновременно использовать накачку на нескольких длинах волн из указанного диапазона. Поэтому, для более эффективного сглаживания кривой усиления (см. рис. 8) можно использовать накачку на двух длинах волн 1430 и 1480 нм.

Рис. 8. Кривая совместного EDFA и одновременного стоксового и антистоксового усиления

Свойства ВКР-генерации антистоксового излучения при фазовом квазисинхронизме были подробно изучены и описаны в [5, 10-20]. Однако при расчете параметров волокна, вследствие малых длин слоев, необходимо использовать малое значение шага по продольной координате. Учитывая большую длину модельной среды, можно утверждать, что численное решение системы дифференциальных уравнений не обладает

15

необходимой точностью. Кроме того, как показано в [21], учет генерации второй стоксовой компоненты ВКР позволяет повысить точность решения задачи. Поэтому была предпринята попытка построения новой модели ВКР-генерации антистоксового излучения при фазовом квазисинхронизме.

16

4. МНОГОВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ ГЕНЕРАЦИИ АНТИСТОКСОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ВЫНУЖДЕННОГО КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ В УСЛОВИИ ФАЗОВОГО КВАЗИСИНХРОНИЗМА 4.1. Общая система дифференциальных уравнений для вынужденного комбинационного рассеяния Для получения общей системы связанных дифференциальных уравнений, описывающих вынужденное комбинационное рассеяние, будем искать решение волнового уравнения

(∂2 + 2

∂z

∂2 ∂x 2

+

∂2 ∂y 2

−

1 ∂ 2 )ε ( z , t ) c 2 ∂t 2

=

4π ∂ 2 P c 2 ∂t 2

(4.1.1)

в виде суммы взаимодействующих волн:

ε( z , t ) = 12 (¦ E j e

i (ω j t − k j z )

+ к.с.) ,

(4.1.2)

j

где отрицательным значениям j соответствуют стоксовые компоненты ВКР, нулевому значению – волна накачки, а положительным значениям – антистоксовые компоненты ВКР; ωj=ω0+jων, взаимодействующие волны распространяются в положительном направлении оси z. Тогда выражения для производных поля по координате и времени можно записать следующим образом: ∂ε ∂z

= 12 (¦ j

∂ 2ε ∂z 2

∂E j i ( ω j t − k j z ) e ∂z

= 12 (¦ j

∂ 2 E j i (ω j t − k j z ) e ∂z 2

− ¦ k 2j E j e

i (ω j t − k j z )

− ¦ k 2j E j e

i (ω j t − k j z )

j

j

− ¦ ik j E j e

i (ω j t − k j z )

+ к.с.) ,

(4.1.3)

j

− 2¦ ik j j

∂E j i ( ω j t − k j z ) e ∂z

+ к.с.) ≈ 12 (−2¦ ik j j

+ к.с.)

−

∂E j i ( ω j t − k j z ) e ∂z

−,

(4.1.4)

17

∂ε ∂t

= 12 (¦ j

∂ 2ε ∂t 2

∂E j i ( ω j t − k j z ) e ∂t

= 12 (¦ j

+ ¦ iω j E j e

i (ω j t − k j z )

− ¦ ω2j E j e

i (ω j t − k j z )

j

+ к.с.) ,

(4.1.5)

j

∂ 2 E j i (ω j t − k j z ) e ∂t 2

− ¦ ω2j E j e

i (ω j t − k j z )

+ 2 ¦ iω j j

∂E j i ( ω j t − k j z ) e ∂t

+ к.с.) ≈ 12 (2¦ iω j j

−

∂E j i ( ω j t − k j z ) e ∂t

−.

(4.1.6)

+ к.с.)

j

Подставляя уравнения (4.1.4), (4.1.6) в левую часть уравнения (4.1.1) получаем:

(∂2 + 2

∂z

≈ ¦e

∂2 ∂x 2

+

∂2 ∂y 2

i (ω j t − k j z )

j

−

1 ∂ 2 )ε( z , t ) c 2 ∂t 2

ω (−i cj ∂∂z

+

≈

1 ∂2 2 ∂x 2

+

1 ∂2 2 ∂y 2

ω − i 2j ∂∂t ) E j c

+ к.с.

.

(4.1.7)

Переходя в бегущую систему координат (znew=zold, tnew=told-zold/c), уравнение (4.1.1) можно переписать в виде:

(∂2 + 2

∂z

≈ ¦e j

∂2 ∂x 2

+

∂2 ∂y 2

−

1 ∂ 2 )ε ( z , t ) c 2 ∂t 2

i (ω j t − k j z ) 1 ∂ 2 (2 2 ∂x

+ 12

∂2 ∂y 2

≈

−i

ωj ∂ )E j c ∂z

+ к.с.

.

(4.1.8)

Как уже отмечалось в [20], нелинейный поляризационный отклик диэлектрической

среды

можно

описать

системой

материальных

уравнений:

P NL = ∂ 2Q ∂t 2

gic 2 πω s

+ T2

2

∂Q ∂t

Qε + ων2Q =

(4.1.9) 2 iω ν 2 ε , T2

(4.1.10)

18

где T2 – время дефазировки молекулярных колебаний, ων – частота молекулярного

перехода,

а

Q

–

фононная

волна,

описывающая

молекулярные колебания. Разделяя

уравнения

поляризацией,

на

пренебрегая

части

всеми

с

линейной

нелинейными

и

нелинейной

эффектами, кроме

резонансного взаимодействия при нелинейности третьего порядка χ(3), получаем:

P NL, RES = 12 (¦ PjNL, RES + к.с.) .

(4.1.11)

j

Используя выражения для фононной волны:

Q = 12 (qe i (ω ν t − k ν z ) + к.с.) ,

(4.1.12)

kν = k p − k s ,

(4.1.13)

выражения для нелинейной резонансной поляризации можно переписать в виде: gic

PjNL, RES = 4πω [ E j +1q*e

iz∆ j +1

s

− E j −1qe

− iz∆ j

]e

i (ω j t − k j z )

,

(4.1.14)

где

∆ j +1 = k j +1 − k j − kν .

(4.1.15)

Пренебрегая малыми величинами, производные поляризации по времени можно записать, как: ∂PjNL , RES ∂t

= iω j PjNL, RES

(4.1.16)

и ∂ 2 PjNL , RES ∂t

2

= −ω2j PjNL, RES .

(4.1.17)

Выражение (4.1.10) для фононной волны может быть переписано в виде:

19

∂q i ( ων t − k ν z ) e ∂t

+ T1 qei (ων t − k ν z ) = T1 ε 2 . 2

(4.1.18)

2

Пренебрегая нерезонансным взаимодействием и используя выражения (4.1.2), (4.1.8), (4.1.14), (4.1.17) и (4.1.18), можно записать итоговую систему связанных дифференциальных уравнений для нормированных комплексных

амплитуд

нестационарную

взаимодействующих

генерацию

произвольного

волн,

описывающую

числа

стоксовых

и

антистоксовых компонент вынужденного комбинационного рассеяния:

( ∂∂z + 2icω ∂q ∂t

j

∂2 ∂x 2

+ 2icω

j

∂2 )E j ∂y 2

=

g ωj * iz∆ j +1 [ E q e j + 1 2 ω−1

− E j −1qe

− iz∆ j

= T1 [−q + ¦ E j E *j −1 exp(iz∆ j )] . 2

] , (4.1.19) (4.1.20)

j

Для того чтобы получить систему уравнений, описывающих стационарное взаимодействие, достаточно считать, что производная фононной волны по времени равна нулю, и тогда выражение (4.1.20) должно быть заменено следующим выражением:

q = ¦ E j E *j −1 exp(iz∆ j ) .

(4.1.21)

j

4.2. Зависимость ∆j от волновой расстройки ∆ В

формулах

(4.1.19)

–

(4.1.21)

используются

значения

∆ j,

определяемые выражением (4.1.15). Однако реально известна лишь волновая расстройка ∆=∆1, поэтому желательно выразить значения ∆j через ∆. Для этого можно воспользоваться дисперсионным соотношением Коши [22]:

n(λ) = 1 + A1 (1 + B1 / λ2 ) . Так как

(4.2.1)

20

k = ωc n(λ), λ2 =

4π2 c 2 , ω2

(4.2.2)

то выражение для волновых векторов может быть записано, как: ω ω ω + jω k j = ci [1 + A1 (1 + B1 2j 2 )] = 0 c ν 4π c AB + 12 13 [ω30 + 3ω02ων + 3ω0ων2 + ω3ν ] 4π c 2

(1 + A1 ) +

.

(4.2.3)

Тогда можно записать, что

k j +1 − k j =

ων c

(1 + A1) +

A1 B1 4π2 c 3

+ 3ω0ων (1 + 2 j ) + ων2 (1 + 3 j

ων [3ω02 + 2

.

(4.2.4)

+ 3 j )]

Тогда, используя выражение (4.1.15), можно записать:

∆ j +1 =

3 A1 B1 ( j +1) ων2 4π2c 3

(2ω0 + jων ) .

(4.2.5)

Тогда, учитывая, что

∆ = ∆1 =

3 A1 B1ων2 4π2 c 3

2ω0 ,

(4.2.6)

можно записать итоговое выражение:

∆ j +1 = ( j + 1)∆

2 ω 0 + jω ν . 2 ω0

(4.2.7)

4.3. Системы уравнений для нестационарного и стационарного четырех волнового взаимодействия при вынужденном комбинационном рассеянии Как было сказано выше, нашей целью является изучение четырех волнового

взаимодействия

при

ВКР,

поэтому

приведем

системы

уравнений, подлежащие детальному изучению. Если пренебречь всеми высшими антистоксовыми компонентами ВКР, высшими стоксовыми, начиная с третьей и дифракцией, то систему (4.1.19) – (4.1.20) можно записать в виде:

21

∂E 2 s ∂z

=

g ω2 s 2 ωs

Es q*e−iz∆ −1 ,

(4.3.1)

∂E s ∂z

= 2 [ E p q* − E2 s qeiz∆ −1 ] ,

∂E p ∂z

=

∂Ea ∂z

=−2

∂q ∂t

g

g ωp [ Ea q*e −iz∆ 2 ωs g ωa ωs

(4.3.2)

− Es q ] ,

(4.3.3)

E p qeiz∆ ,

(4.3.4)

− q + E s E2*s e − iz∆ −1 + E p E s* + Ea E *p e − iz∆ , T2

=

(4.3.5)

ω

∆ −1 = −∆ ω s .

(4.3.6)

p

При стационарном взаимодействии выражение (4.3.5) должно быть заменено следующим выражением:

q = Es E2*s e−iz∆ −1 + E p Es* + Ea E *p e−iz∆ .

(4.3.7)

4.4. Определение оптимальной длины пассивного слоя для обеспечения условия фазового квазисинхронизма Для определения оптимальной длины пассивного слоя найдем решение волнового уравнения (4.1.1) при условии линейной зависимости поляризации вещества от напряженности электрического поля: →

→

P = n2 ε .

(4.4.1)

Используя выражения (4.1.2), (4.1.4), (4.1.6) и (4.4.1), можно получить, что: 4π ∂ 2 P c 2 ∂t 2

−¦ j

≈

4π n 2 1 (2 2 c2

¦ iω j j

i ( ω t −k z ) ω 2j E j e j j

∂E j i ( ω j t −k j z ) e ∂t

+ к.с.)

− .

(4.4.2)

Пренебрегая малыми величинами, выражение (4.4.1) можно переписать в виде:

22

ωj c

− i¦ j

ne

i ( ω j t −k j z ) dE j dz

= − 2 π2 n 2 ¦ ω 2j E j e c

i ( ω jt −k j z )

.

(4.4.3)

j

Разделяя уравнения с одинаковыми показателями экспоненты, можно записать дифференциальные уравнения для комплексных амплитуд взаимодействующих полей: dE j dz

2 π ω n(ω ) E , j j j ic

=

(4.4.4)

решения которых представимы в виде:

E j = E 0j exp( 2iπ k j z ) .

(4.4.5)

Эффективность антистоксового ВКР-преобразования максимальна, если обобщенная фаза на входе в активный слой равна π [7], поэтому при оптимальном выборе длины пассивного слоя

ϕ s + ϕ a − 2ϕ p = −π ,

(4.4.6)

а так, как для фаз волн справедливо соотношение:

ϕ j = ϕout j − 2πk j z , out

где ϕ j

(4.4.7)

– фазы взаимодействующих волн на выходе из активного слоя, то

оптимальную длину пассивного слоя, учитывая то, что фазы волн убывают, и необходимое условие оптимальности изменяется на ϕ(0)=-π, можно найти по формуле: opt ) l (pass

=

out out ϕ out s + ϕ a − 2ϕ p + π , 2 π∆ pass

где ∆pass – волновая расстройка пассивного слоя.

(4.4.8)

23

4.5. Определение оптимальной длины активного слоя для обеспечения условия фазового квазисинхронизма Самым слабым местом старого метода является определение оптимальной

длины

активного

слоя.

Поэтому,

для

устранения

погрешностей, связанных с численным интегрированием, будем искать аналитическое выражение для оптимальной длины активного слоя. Будем считать оптимальной такую длину активного слоя, при которой производная интенсивности антистоксовой волны по продольной координате на выходе из слоя равна нулю: ∂I a | ( opt ) = 0 . ∂z z =l act

Запишем

(4.5.1) выражения

взаимодействующих

для

волн

по

производных

продольной

интенсивностей

координате,

пренебрегая

дифракцией. Так как:

I = EE * ,

(4.5.2)

то ∂I ∂z

= E ∂∂Ez + E * ∂∂Ez . *

(4.5.3)

Тогда: ∂I j ∂z

+

=

iz∆ j +1 g ωj * E E qe ( j j +1 2 ω−1

− iz∆ j +1 E *j E j +1q*e

− E j E *j −1q*e

iz∆ − E *j E j −1qe j )

− iz∆ j

+

.

(4.5.4)

Поэтому, для оптимальной длины активного слоя, пренебрегая второй антистоксовой компонентой по сравнению с накачкой, можно записать следующее выражение: ( opt )

E1*E0 qeilact

∆

+ E1E0*q*e −ilact

( opt )

∆

= 0,

которое, используя формулу Эйлера, можно записать в виде:

(4.5.5)

24

( opt ) cos(lact ∆ − ϕ1 + ϕ0 + ϕq ) = 0 ,

(4.5.6)

что позволяет найти оптимальную длину активного слоя: ( opt ) lact =

π / 2 + ϕ1 − ϕ0 − ϕ q . ∆

(4.5.7)

Однако, данная формула не позволяет найти точное значение оптимальной длины активного слоя, так как в нее входят неизвестные (и зависящие от продольной координаты) фазы взаимодействующих волн. В случае стационарного четырех волнового взаимодействия можно получить более удобную формулу для оптимальной длины активного слоя: ∂I a ∂z

g ωa [2 I a I p ωs

=−2

+ E 2p Ea* Es*eiz∆ + E *p2 Es Ea e−iz∆ ] ,

(4.5.8)

тогда: | Ea | |Es |

( opt ) = cos(2ϕ p − ϕs − ϕa + lact ∆) ,

(4.5.9)

что позволяет найти оптимальную длину активного слоя: ( opt ) lact

=

ϕ a + ϕ s − 2ϕ p + arccos( ||EEas || ) . ∆

(4.5.10)

Из выражения (4.5.10) видно, что в большинстве случаев слоистая структура апериодична, так как фазы волн на выходе из активных слоев практически

не

изменяются,

а

отношение

модулей

амплитуд

антистоксовой и стоксовой волн – изменяется. Интересен случай, при котором оптимальная длина активного слоя не зависит от номера слоя. Для определения условий периодичности, рассмотрим отношение производных интенсивностей координате:

стоксовой

и

антистоксовой

волн

по

продольной

25

∂I a ∂z ∂I s ∂z

=

2 * * iz∆ *2 − iz∆ ωa 2 I a I p + E p Ea Es e + E p Es Ea e = = ωs 2 I s I p + E 2p Ea* Es*eiz∆ + E *p2 Es Ea e −iz∆

ωa | Ea | [| Ea | + | Es | cos( z∆ + 2ϕ p − ϕa − ϕs )] ωs | Es | [| Es | + | Ea | cos( z∆ + 2ϕ p − ϕa − ϕs )]

.

(4.5.11)

Чтобы оптимальная длина активных слоев была постоянна, необходимо:

I s(0)

∂I a ∂z

=

∂I s ( 0) I , ∂z a

(4.5.12)

что выполняется далеко не всегда. Очевидно, что для полного анализа оптимальных длин активных слоев

необходимо

использовать

аналитическое

решение

системы

уравнений, описывающей ВКР, получению которого посвящен следующий раздел. 4.6. Аналитическое решение системы для стационарного четырех волнового взаимодействия при вынужденном комбинационном рассеянии в условии фазового квазисинхронизма Для стационарного четырех волнового взаимодействия систему уравнений (4.1.19) – (4.1.20) можно переписать в виде: ∂E2 s ∂z

∂E s ∂z

=

g ω2 s [ Es* E2 s 2 ωs

= 2 [ E p ( E *p Es + Ea* E p eiz∆ ) −

=

+

Ea E *p e−iz ( ∆ − ∆ −1 ) )]

g ωp [ Ea ( Es*E2 s e−iz ( ∆ − ∆ −1 ) 2 ωs

− Es ( E2*s Es e ∂Ea ∂z

(4.6.1)

g

− E2 s ( E2*s Es ∂E p ∂z

+ E *p Es e−iz∆ −1 + Ea* E p eiz ( ∆ − ∆ −1 ) ]Es ,

−iz∆ −1

+ E p Es* )]

g ωa [ E2*s Es eiz ( ∆ − ∆ −1 ) ωs

=−2

,

+ Ea* E p ) −

(4.6.2)

,

+ Es* E p eiz∆ + E *p Ea ]E p .

(4.6.3)

(4.6.4)

26

Пренебрегая малыми величинами, систему уравнений (4.6.1) – (4.6.4) можно свести к виду: ∂E 2 s ∂z

g ω2 s * [ E p Es 2 ωs

=

+ Ea* E p eiz∆ ]Es e−iz∆ −1 ,

∂E s ∂z

= 2 E p [ E *p Es + Ea* E p eiz∆ ] ,

∂E p ∂z

=

∂E a ∂z

=−2

(4.6.5)

g

g ωp 2 [| E | a 2 ωs

(6.6.6)

− | Es |2 ]E p ,

g ωa * iz∆ [ E E e s p ωs

(4.6.7)

+ E *p Ea ]E p .

(4.6.8)

Тогда амплитуда второй стоксовой компоненты может быть найдена по формуле

E2 s = E2(0s ) + −

g ω2 s 2 ωs

g ω2 s 2 ωs

E *p Es2 ∆1 (e −iz∆ −1 − 1)i − −1

Ea* E p Es ∆ −1∆ (eiz ( ∆ − ∆ −1 ) −1

− 1)i

.

(4.6.9)

Считая, что разность интенсивностей антистоксовой и стоксовой волн не сильно изменяется в пределах одного активного слоя, можно найти амплитуду волны накачки: g ωp ωs

E p = E (p0) exp[ 2

( I a(0) − I s(0) ) z ] .

(4.6.10)

Так, как в пределах одного активного слоя амплитуда волны накачки изменяется не сильно, то для стоксовой и антистоксовой волн можно записать следующие выражения: i ( z∆ + 2 ϕ(p0 ) )

∂E s ∂z

≈ 2 I (p0) [ Es + Ea*e

∂E a ∂z

≈ − 2 ωa I (p0) [ Ea + Es*e

g

gω

],

i ( z∆ + 2 ϕ (p0 ) )

(4.6.12)

].

(4.6.13)

s

Решение этой системы уравнений в предположении нулевой начальной фазы волны накачки уже было получено в [20]. Повторим его вывод с некоторыми дополнениями:

27

Будем искать решение в виде:

E s = ε s + e iz∆ + + ε s − e iz∆ − ,

(4.6.14)

Ea* = ε*a + e − iz∆ − + ε*a − e − iz∆ + ,

(4.6.15)

где

∆± =

∆ 2

± ( ∆2 )2 − α∆ .

(4.6.16)

Тогда: dE s dz

= i∆ + ε s + eiz∆ + + i∆ − ε s −eiz∆ − = 2 I (p0) (ε s + eiz∆ + + g

+ ε s −e dE a* dz

iz∆ −

+ ε*a + eiz∆ +

+ ε*a −eiz∆ − ) g ωa ωs

= −i∆ −ε*a + e −iz∆ − − i∆ + ε*a −e −iz∆ + = − 2

,

(4.6.17)

I (p0) ×

× (ε s + e −iz∆ − + ε s −e −iz∆ + + ε*a + e −iz∆ − + ε*a − e−iz∆ + ) ≈

.

(4.6.18)

≈ − 2 I (p0) (ε s + e−iz∆ − + ε s −e−iz∆ + + ε*a + e−iz∆ − + ε*a −e −iz∆ + ) g

Группируя члены с одинаковыми показателями экспоненты, получаем:

i∆ ± ε s ± = 2 I (p0) (ε s ± + ε*a ± ) ,

(4.6.19)

i∆  ε*a ± = 2 I (p0) (ε s ± + ε*a ± ) .

(4.6.20)

g

g

Тогда ε *a ± ε s±

∆± , ∆

(4.6.21)

∆+ + ∆− = ∆ ,

(4.6.22)

∆ + ∆ − = ∆α .

(4.6.23)

=

Подставляя выражения (4.6.21) – (4.6.23) в (4.6.19), получаем: ∆

i∆ + ε s + = 2 I (p0)ε s + (1 + ∆ + ) , g

−

или

(4.6.24)

28

α = 2i I (p0) . g

(4.6.25)

На входе в среду (слой) должны выполнятся начальные условия:

Es (0) = Es(0) ,

(4.6.26)

Ea (0) = Ea(0) ,

(4.6.27)

и тогда, подставляя (4.6.26), (4.6.27) в (4.6.17) и (4.6.18), можно получить следующие выражения: dE s dz

(0) = i∆ + ε s + + i∆ −ε s − = 2 I (p0) ( Es(0) + Ea(0)* ) ,

(4.6.28)

dE a* dz

(0) = −i∆ −ε*a + − i∆ + ε*a − = − 2 I (p0) ( Es(0) + Ea(0)* ) .

(4.6.29)

g

g

Тогда, решая уравнения (4.6.28), (4.6.29), получаем:

εs+ =

α ( E s( 0 ) + Ea( 0 )* ) − ∆ − ε s − , ∆+

(4.6.30)

ε*a +

α ( E s( 0 ) + Ea( 0 )* ) − ∆ + ε *a − . ∆−

(4.6.31)

=

Учитывая, что:

ε s + + ε s − = Es(0) ,

(4.6.32)

ε*a + + ε*a − = Ea(0)* ,

(4.6.33)

получим решение системы (4.6.12), (4.6.13):

εs± =

E s( 0 ) ( ∆  − α ) − αEa( 0 )* , ∆ −∆ ±

(4.6.34)

ε*a ± =

Ea( 0 )* ( ∆ ± − α ) − αE s( 0 ) . ∆± −∆ 

(4.6.35)

Тогда, подставляя выражения (4.6.34), (4.6.35) в (4.6.14) и (4.6.15), получаем:

Es =

E s( 0 ) ( ∆ − − α ) − αEa( 0 )* iz∆ + e ∆− −∆ +

+

E s( 0 ) ( ∆ + − α ) − αEa( 0 )* iz∆ − e , ∆+ −∆−

(4.6.36)

29

Ea* =

Ea( 0 )* ( ∆ + − α ) − αE s( 0 ) − iz∆ − e ∆ + −∆−

Пренебрегая

малыми

+

Ea( 0 )* ( ∆ − − α ) − αE s( 0 ) − iz∆ + e . ∆− −∆+

величинами,

выражение

для

(4.6.37) антистоксовой

компоненты ВКР можно переписать в виде:

Ea* = +

≈

Ea( 0 )* ( ∆ − α ) − αE s( 0 ) − izα e ∆ −α

−

αE s( 0 ) − iz∆ e α−∆

=

g ωa ( 0 ) αE s( 0 ) −iz∆ − izα ( 0)* − 2 ωs I p z + ∆ − α (e −e ) = Ea e gω gω ( 2 ωa I (p0) ) 2 + 2 ωa ∆I (p0)i g ωa ( 0 ) ( 0 ) − 2 ωs I p z −iz∆ s s E ( e − e ) s g ωa ( 0) 2 2 ∆ + (2 ω Ip ) s

Ea(0)*e −izα

+.

(4.6.38)

Если ввести обозначение g ωa ωs

β=−2

I (p0) ,

(4.6.39)

то, воспользовавшись выражением (4.5.2), для определения интенсивности антистоксового излучения можно записать:

I a ≈ I a(0)e2βz + 2 I s(0)

β2 ∆2

+ 2 Re{Ea(0)*Es(0)*eβz

β 2 + iβ ∆ β z (e β 2 + ∆2

≈

β2 I a(0)e2βz + 2 I s(0) 2 ∆

(eβz − cos( z∆)) + − eiz∆ )} ≈

(eβz − cos( z∆)) −

.

(4.6.40)

β

− 2 I a(0) I s(0) eβz ∆ sin( z∆) Тогда для нахождения оптимальной длины активного слоя необходимо решать следующее уравнение: ∂I a ∂z

−2

= 0 = 2βI a(0)e 2βz + 2 I s(0)

β2 ∆2

(βeβz + ∆ sin( z∆ )) −

β I a(0) I s(0) ∆ [βeβz sin( z∆ ) + eβz ∆ cos( z∆ )]

,

(4.6.41)

которое, пренебрегая малыми величинами, можно привести к виду:

I a(0) − I a(0) I s(0) cos( z∆ ) = 0 .

(4.6.42)

30

Тогда:

§ arccos¨ © = ∆

( opt ) lact

I a( 0 ) I s( 0 )

· ¸ ¹.

(4.6.43)

Для определения условий периодичности слоистой структуры рассмотрим отношение интенсивностей стоксовой и антистоксовой волн: 2

Ia Is

=

I a( 0 ) e 2 βz + 2 I s( 0 ) β2 ( e βz − cos( z∆ )) − 2 I a( 0 ) I s( 0 ) e βz ∆β sin( z∆ ) ∆

I

( 0 ) −2 βz s

e

+2I

(0) a

β2 ∆2

( e −βz − cos( z∆ )) + 2 I a( 0 ) I s( 0 ) e −βz ∆β sin( z∆ )

.

(4.6.44)

Как уже отмечалось ранее, для периодичности слоистой структуры необходимо выполнение условия: Ia I a( 0 ) | ( opt ) = ( 0 ) , I s z = l act Is

(4.6.45)

поэтому рассмотрим выражение (4.6.44) более подробно: I a( 0 ) I s( 0 )

2

=

I a( 0 ) e 2 βz + 2 I s( 0 ) β2 ( e βz − cos( z∆ )) − 2 I a( 0 ) I s( 0 ) eβz ∆β sin( z∆ ) ∆

I

( 0 ) −2 βz s

e

+2I

(0) a

β2 ∆2

( e −βz − cos( z∆ )) + 2 I a( 0 ) I s( 0 ) e −βz ∆β sin( z∆ )

Ÿ I s(0) I a(0)e2βz + 2 I s(0) 2

β2 ∆2

Ÿ

(eβz − cos( z∆)) −

.

(4.6.46)

− 2 I s(0) I a(0) I s(0) eβz ∆β sin( z∆ ) = I s(0) I a(0)e− 2βz + 2 I a(0) 2 × β2 × 2 ∆

β

(e−βz − cos( z∆)) + 2 I a(0) I a(0) I s(0) e −βz ∆ sin( z∆)

Тогда для периодичности слоистой структуры необходимо выполнение условия: β

I s(0) 2 ∆ (1 − cos( z∆)) − I s(0) I a(0) I s(0) sin( z∆) = =

β I a(0) 2 ∆ (1 − cos( z∆)) + I a(0)

I a(0) I s(0)

sin( z∆)

.

(4.6.47)

Перегруппировав слагаемые, можно получить следующее выражение: β

( I s(0) 2 − I a(0) 2 ) ∆ (1 −

I a( 0 ) I s( 0 )

) = ( I s(0) + I a(0) ) I a(0) ( I s(0) − I a(0) ) .

(4.6.48)

31

Очевидно, что это равенство никогда не выполняется из-за различия знаков левой и правой сторон выражения, поэтому оптимальная слоистая структура всегда апериодична. 4.7. Рекуррентные соотношения для нахождения эффективности антистоксового преобразования при вынужденном комбинационном рассеянии в условии фазового квазисинхронизма Приведем рекуррентные соотношения, позволяющие аналитически решить поставленную задачу: ( opt , j +1) lact

§ arccos¨ © = ∆

I a( j ) I s( j )

· ¸ ¹,

g ωp ωs

E (p j +1 / 2) = E (p j ) exp[ 2

(4.7.1)

( opt , j +1) ( I a( j ) − I s( j ) )lact ],

(4.7.2)

g ωa ( j ) ( opt , j +1 ) g ωa ( j ) ( opt , j +1 ) ( j ) − 2 ωs I p l act ( j )* − 2 ωs I p l act = Ea e + Es (e gω gω ( 2 ωa I (p j ) ) 2 − 2 ωa ∆I (p j )i ( opt , j +1) s s − eilact ∆ ) ω g ∆2 + ( 2 ωa I (p j ) ) 2 s

Ea( j +1 / 2)

g ( 0 ) ( opt , j +1 ) g ( 0 ) ( opt , j +1) ( j ) 2 I p l act ( j )* 2 I p l act = Es e + Ea (e g ( j) 2 g ( j) ( opt , j +1) il act ∆ ( 2 I p ) + 2 ∆I p i −e ) g ∆2 + ( 2 I (p j ) ) 2

Es( j +1 / 2)

E2( sj +1/ 2) = −

g ω2 s 2 ωs

g ω2 s 2 ωs

E (pj +1/ 2)*Es( j +1/ 2) 2

Ea( j +1/ 2)*E (pj +1/ 2) Es( j +1/ 2)

− 1)i + E2( sj )

− ,

(4.7.3)

− ,

(4.7.4)

1 −ilact( opt , j +1) ∆ −1 (e − 1)i − ∆ −1

( opt , j +1) 1 (eilact ( ∆ − ∆ −1 ) − , ∆ − ∆ −1

(4.7.5)

32

opt , j +1) l (pass =

ϕ (s j +1/ 2 ) + ϕ (a j +1 / 2 ) − 2 ϕ(pj +1 / 2 ) + π , 2 π∆ pass

(4.7.6)

E (p j +1) = E (p j +1 / 2) ,

(4.7.7)

opt , j +1) Ea( j +1) = Ea( j +1/ 2) exp( 2iπ (ka − k p )l (pass ),

(4.7.8)

opt , j +1) Es( j +1) = Es( j +1/ 2) exp( 2iπ (ks − k p )l (pass ),

(4.7.9)

opt , j +1) E2( sj +1) = E2( sj +1/ 2) exp( 2iπ (k2 s − k p )l (pass ),

(4.7.10)

η(a j +1) =

I a( j +1) 100% . I (p j +1)

(4.7.11)

Таким образом, формулы (4.7.1) – (4.7.11) позволяют найти эффективность антистоксового ВКР-преобразования для любого количества активных слоев j.

33

5. СРАВНЕНИЕ ДВУХ МОДЕЛЕЙ ВЫНУЖДЕННОГО КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ В УСЛОВИИ ФАЗОВОГО КВАЗИСИНХРОНИЗМА В КВАРЦЕВОМ ВОЛОКНЕ Для исследования эффективности новой модели ВКР при фазовом квазисинхронизме в оптических волокнах было проведено сравнение результатов

расчетов

моделей,

описываемых

системой

связанных

дифференциальных уравнений (2.1) – (2.3) и уравнениями (4.7.1) – (4.7.11). Было установлено, что новый подход позволяет увеличить скорость вычислений от 100 до 200 раз в зависимости от числа слоев при сохранении точности расчетов, причем вторая стоксовая компонента ВКР не оказывает особого влияния на реализацию условий фазового квазисинхронизма, так как ее интенсивность пренебрежимо мала по сравнению

с

интенсивностями

других

взаимодействующих

волн.

Результаты вычислений практически не отличаются от приведенных на рис. 6 [23-25].

34

6. УЧЕТ ЗАТУХАНИЯ ВОЛН В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКНАХ Уравнения

(4.7.1)

–

(4.7.11)

не

учитывают

затухания

взаимодействующих волн. Однако, при больших длинах среды затухание существенно и его необходимо учитывать. Для его учета вводится коэффициент затухания, определяемый, как 10 lg(

γ=

I без затухания

) I с затуханием . L

(6.1)

Так как длины слоев малы, то для учета затухания в конце каждого слоя интенсивности взаимодействующих волн можно пересчитать, используя следующее выражение:

I нов = I стар 10

−

γl 10 ,

(6.2)

где l – длина слоя. Тогда можно получить условие, при выполнении которого затухание не будет препятствовать усилению волн:

I a( j +1)10

−

( opt , j +1) ( opt , j +1 ) γ (l pass + l act )

> I a( j ) .

10

(6.3)

Считая, что длины активных и пассивных слоев примерно одинаковы, это условие можно записать, как:

( I a( j ) + 2 I s( j ) γ arccos(

× 10−

5∆

β2 ∆2

( j) Ia ) ( j) Is

(1 −

I a( j ) I s( j )

) − 2 I s( j ) I a( j )

β ∆

1−

I a( j ) I s( j )

)× .

(6.4)

> I a( j )

Пренебрегая малыми величинами, выражение (6.5) можно привести к виду:

35

γ arccos(

10−

5∆

( j) Ia ) ( j) Is

>

I a( j ) I a( j ) − 2 ( I s( j ) − I a( j ) ) ∆β

,

(6.5)

или:

γ<

5∆ I ( j) arccos( a( j ) ) Is

β

lg

I a( j ) − 2 ( I s( j ) − I a( j ) ) ∆ I a( j )

.

(6.6)

Если ввести обозначение

µ=

I a( j ) , I s( j )

(6.7)

то выражение (6.6) можно записать в виде: β

5∆ γ < arccos( lg(1 − 2 ∆ µ)

1 µ2

− 1) .

(6.8)

Таким образом, выражение (6.8) определяет условие усиления стоксовой и антистоксовой волн в оптическом волокне с коэффициентом затухания γ. Зависимость допустимых значений коэффициента затухания от отношения интенсивностей антистоксовой и стоксовой волн и интенсивности волны накачки показана на рис. 9.

36

Рис. 9. Зависимость допустимых значений коэффициента затухания от отношения

интенсивностей антистоксовой и стоксовой волн и интенсивности волны накачки; 1 – зона усиления, 2 – зона затухания

Из графика видно, что при коэффициенте затухания ~0.3 дБ/км (характерная величина для сегодняшних оптических волокон) усиление достигается практически во всей среде.

37

7. ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ МНОГОВОЛНОВОГО КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ВЫНУЖДЕННОГО КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ В УСЛОВИИ ФАЗОВОГО КВАЗИСИНХРОНИЗМА 7.1. Схема численного интегрирования в условии фазового квазисинхронизма Хотя в оптических волокнах вторая стоксовая компонента не оказывает существенного влияния на реализацию условий фазового квазисинхронизма, это связано, прежде всего, с низкими значениями интенсивностей взаимодействующих волн. При генерации антистоксового излучения с интенсивностью порядка 0.2 ГВт/см2 генерация высших стоксовых

и

антистоксовых

компонент

ВКР

может

оказывать

существенное влияние на реализацию слоистой структуры. Для изучения этого влияния была рассмотрена численная модель многоволнового квазистационарного ВКР (4.1.19), (4.1.21) в приближении плоских волн: ∂ ∂z

Ej =

g ωj * iz∆ j +1 [ E q e 1 j + 2 ω−1

− E j −1qe

−iz∆ j

],

(7.1.1)

q = ¦ E j E *j −1 exp(iz∆ j ) .

(7.1.2)

j

При численном интегрировании пространственная производная заменялась разностным аналогом, в результате чего в активном слое для нахождения

амплитуд

взаимодействующих

волн

использовались

следующие выражения:

q ( 0) = 0 ,

(7.1.3)

E (j0) = E j (0) ,

(7.1.4)

38

q ( k +1) = ¦ E (jk ) E (jk−)* 1 exp(iz∆ j ) ,

(7.1.5)

j

E (jk +1) = E (jk ) + Для

g ωj ( k ) ( k +1)* iz∆ j +1 [ E e j +1q 2 ω−1

определения

границы

− E (jk−)1q ( k +1)e

активного

−iz∆ j

слоя

]dz . (7.1.6) использовалось

следующее условие:

E (jk +1) E (jk +1)* ≥ E (jk ) E (jk )* ,

(7.1.7)

если неравенство нарушалось, то активный слой заканчивался и начинался пассивный слой. Длина пассивного слоя определялась выражением (4.4.8), а изменение амплитуд волн – выражением (4.4.5). При расчетах взаимодействия волн в водороде (7.1.8) и нитрате бария (7.1.9) учитывалась зависимость коэффициента стационарного ВКРусиления от длины волны [26]:

1.411757218 × 1016 gi = , i < 0; g 0 = g1 = g −1; λi (7.19 × 109 − 12 ) 2 λ i +1

gi =

,

16

1.411757218 × 10 ,i > 1 λi (7.19 × 109 − 12 ) 2

(7.1.8)

λ i −1

и

1.04426066255894366 × 1015 gi = , i < 0; g 0 = g1 = g −1; λi (9.8153184546 × 108 − 12 ) 2 λ i +1

gi =

15

1.04426066255894366 × 10 ,i > 1 λi (9.8153184546 × 108 − 12 ) 2

,

(7.1.9)

λ i −1

где длины волн измеряются в сантиметрах. 7.2. Результаты численного моделирования многоволнового квазистационарного вынужденного комбинационного рассеяния в

39

условии фазового квазисинхронизма в кристаллических и газовых средах Для сжатого водорода (g=4.42 см/Гвт, ∆=3.84 рад/см) и нитрата бария (g=47.42 см/Гвт, ∆=77.84 рад/см) были рассчитаны зависимости интенсивностей взаимодействующих волн от продольной координаты (рис. 10 – 17).

Рис. 10. Зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от продольной координаты; водород, без учета зависимости коэффициента стационарного ВКРусиления от длины волны, без слоистой структуры; 1 – волна накачки, 2 – первая стоксовая компонента ВКР, 3 – первая антистоксовая компонента ВКР, 4 – вторая стоксовая компонента ВКР

40

Рис. 11. Зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от продольной координаты; водород, с учетом зависимости коэффициента стационарного ВКРусиления от длины волны, без слоистой структуры; 1 – волна накачки, 2 – первая стоксовая компонента ВКР, 3 – первая антистоксовая компонента ВКР, 4 – вторая стоксовая компонента ВКР

Рис. 12. Зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от продольной координаты; водород, без учета зависимости коэффициента стационарного ВКРусиления от длины волны, со слоистой структурой; 1 – волна накачки, 2 – первая стоксовая компонента ВКР, 3 – первая антистоксовая компонента ВКР, 4 – вторая стоксовая компонента ВКР, 5 – вторая антистоксовая компонента ВКР

41

Рис. 13. Зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от продольной координаты; водород, с учетом зависимости коэффициента стационарного ВКРусиления от длины волны, со слоистой структурой; 1 – волна накачки, 2 – первая стоксовая компонента ВКР, 3 – первая антистоксовая компонента ВКР, 4 – вторая антистоксовая компонента ВКР

Рис. 14. Зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от продольной координаты; нитрат бария, без учета зависимости коэффициента стационарного ВКРусиления от длины волны, без слоистой структуры; 1 – волна накачки, 2 – первая стоксовая компонента ВКР, 3 – вторая стоксовая компонента ВКР, 4 – третья стоксовая компонента ВКР, 5 – четвертая стоксовая компонента ВКР

42

Рис. 15. Зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от продольной координаты; нитрат бария, с учетом зависимости коэффициента стационарного ВКРусиления от длины волны, без слоистой структуры; 1 – волна накачки, 2 – первая стоксовая компонента ВКР, 3 – вторая стоксовая компонента ВКР, 4 – третья стоксовая компонента ВКР

Рис. 16. Зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от продольной координаты; нитрат бария, без учета зависимости коэффициента стационарного ВКРусиления от длины волны, со слоистой структурой; 1 – волна накачки, 2 – первая стоксовая компонента ВКР, 3 – первая антистоксовая компонента ВКР, 4 – вторая стоксовая компонента ВКР

43

Рис. 17. Зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от продольной координаты; нитрат бария, с учетом зависимости коэффициента стационарного ВКРусиления от длины волны, со слоистой структурой; 1 – волна накачки, 2 – первая стоксовая компонента ВКР, 3 – первая антистоксовая компонента ВКР, 4 – вторая стоксовая компонента ВКР

Из расчетов и приведенных графиков видно, что при учете зависимости коэффициента стационарного ВКР-усиления от длины волны эффективность преобразования энергии во вторую стоксовую компоненту в отсутствии слоистой структуры снижается на 30% для водорода (рис. 10, 11) и на 15% для нитрата бария (рис. 14, 15). При учете зависимости коэффициента

стационарного

ВКР-усиления

эффективность

преобразования

энергии

в

от

первую

длины

волны

антистоксовую

компоненту при наличии слоистой структуры практически не изменяется как для водорода (25.5%) (рис. 12, 13), так и для нитрата бария (16%) (рис. 16, 17). Однако эффективность стоксового ВКР-преобразования немного повышается, а генерации высших стоксовых компонент практически не происходит из-за их меньшего коэффициента стационарного ВКРусиления. Так как при учете зависимости коэффициента стационарного

44

ВКР-усиления от длины волны для антистоксовых компонент ВКР он больше, чем для стоксовых, то генерация второй антистоксовой компоненты

происходит

эффективнее

(рис. 12,

13),

однако

из-за

оптимизации слоистой структуры для эффективной генерации первой антистоксовой

компоненты

ВКР,

происходит

подавление

высших

антистоксовых компонент ВКР. В нитрате бария из-за меньшего влияния длины волны на коэффициент стационарного ВКР-усиления все-таки происходит генерация второй стоксовой компоненты (рис. 16, 17), однако разница эффективностей составляет 30%. Учет генерации высших стоксовых и антистоксовых компонент ВКР в кристаллических и газовых средах приводит к уменьшению длин активных слоев и всей ВКР-активной среды. Это связано с тем, что часть энергии волны накачки переходит в первые стоксовую и антистоксовую компоненты ВКР, а часть – в компоненты ВКР высших порядков, в результате чего эффективность стоксового ВКР-преобразования в каждом активном

слое

немного

увеличивается,

антистоксового

ВКР-

преобразования немного снижается (см. рис. 18 – 20).

Рис. 18. Зависимость длины ВКР-активной среды от числа генерируемых высших стоксовых компонент ВКР; 1 – для 70 слоев, 2 – для 10 слоев, 3 – для 1 слоя

45

Рис. 19. Зависимость эффективности антистоксового ВКР-преобразования (ηa) от числа генерируемых высших стоксовых компонент ВКР; 1 – для 70 слоев, 2 – для 10 слоев, 3 – для 1 слоя

Рис. 20. Зависимость эффективности стоксового ВКР-преобразования (ηs) от числа генерируемых высших стоксовых компонент ВКР; 1 – для 70 слоев, 2 – для 10 слоев, 3 – для 1 слоя

Из расчетов и приведенных графиков следует, что для повышения точности расчетов необходимо и достаточно учитывать генерацию 4-5 стоксовых и антистоксовых компонент ВКР. Кроме того, учет генерации

46

высших стоксовых и антистоксовых компонент ВКР приводит к нарушению строгой монотонной зависимости длин активных и пассивных слоев от их номеров. 7.3. Результаты численного моделирования многоволнового квазистационарного вынужденного комбинационного рассеяния в условии фазового квазисинхронизма в кварцевом волокне Для

изучения

антистоксовых

влияния

компонент

генерации

ВКР

на

высших

стоксовых

эффективность

и

усиления

антистоксового ВКР-излучения в кварцевом волокне было проведено моделирование генерации и усиления 4-х стоксовых и антистоксовых компонент ВКР. Расчеты проводились как без учета затухания (рис. 21), так и с учетом затухания (рис. 22).

Рис. 21. Зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от продольной координаты; кварцевое волокно, без учета затухания; 1 – волна накачки, 2 – первая стоксовая компонента ВКР, 3 – первая антистоксовая компонента ВКР

47

Рис. 22. Зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от продольной координаты; кварцевое волокно, с учетом затухания; 1 – волна накачки, 2 – первая стоксовая компонента ВКР, 3 – первая антистоксовая компонента ВКР

Из расчетов и графиков следует, что учет генерации высших стоксовых и антистоксовых компонент приводит к уменьшению длины активной среды. В результате учета затухания волн длина активной среды также

сокращается,

преобразования

но

практически

эффективность не

антистоксового

изменяется,

что

ВКР-

подтверждает

правильность результатов, представленных в главе 6. Усиление стоксового и антистоксового излучения составляет, соответственно, 18 и 17 дБ. 7.4. Результаты численного моделирования многоволнового квазистационарного вынужденного комбинационного рассеяния в условии фазового квазисинхронизма при использовании периодической слоистой структуры Реализация апериодической слоистой структуры достаточно сложна, поэтому особый интерес представляет изучение возможности генерации антистоксового излучения и одновременного усиления стоксового и антистоксового излучения при использовании периодической слоистой

48

структуры.

Численное

моделирование

многоволнового

квазистационарного ВКР в условии фазового квазисинхронизма при использовании

периодической

слоистой

структуры

показало,

что

результирующее излучение сильно зависит от длин слоев. В сжатом водороде происходит полное подавление генерации высших стоксовых и антистоксовых

компонент

ВКР,

что

приводит

к

увеличению

эффективности антистоксового ВКР-преобразования до 38% (см. рис. 23). В нитрате бария происходит эффективная генерация 3-х стоксовых и 3-х антистоксовых компонент ВКР (см. рис. 24). Максимальная эффективность преобразования энергии в первую антистоксовую компоненту достигается на длине среды около 0.975 см и составляет 25%, что немного больше, чем при использовании апериодической структуры. В кварцевом волокне происходит частичное подавление генерации высших стоксовых и антистоксовых компонент ВКР, что приводит к снижению усиления стоксового и антистоксового ВКР-излучения до 14 и 15 дБ соответственно, и к незначительному росту второй стоксовой компоненты ВКР в конце активной среды (см. рис. 25).

Рис. 23. Зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от продольной координаты; водород, периодическая структура (La=0.28 см, Lp=0.26 см); 1 – волна

49

накачки, 2 – первая стоксовая компонента ВКР, 3 – первая антистоксовая компонента ВКР

Рис. 24. Зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от продольной координаты; нитрат бария, периодическая структура (La=0.019 см, Lp=0.000009 см); 1 – волна накачки, 2 – первая стоксовая компонента ВКР, 3 – первая антистоксовая компонента ВКР, 4 – вторая стоксовая компонента ВКР, 5 – вторая антистоксовая компонента ВКР, 6 – третья стоксовая компонента ВКР, 7 – третья антистоксовая компонента ВКР

Рис. 25. Зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от продольной координаты; кварцевое волокно, периодическая структура (La=0.005 см, Lp=3×10-7 см);

50

1 – волна накачки, 2 – первая стоксовая компонента ВКР, 3 – первая антистоксовая компонента ВКР, 4 – вторая стоксовая компонента ВКР

Из расчетов и графиков следует, что применение периодической слоистой структуры для реализации условий фазового квазисинхронизма практически не снижает эффективность антистоксовой ВКР-генерации и одновременного стоксового и антистоксового ВКР-усиления. Однако на эффективность антистоксового ВКР-преобразования существенно влияет точность выбора длин слоев, особенно пассивных, что хорошо видно из рис. 26 и 27. Максимально допустимые погрешности выбора длин слоев, при которых эффективность практически не снижается, составляют 15% для активного слоя и 0.2% для пассивного слоя. Необходимость большей точности в выборе длин пассивных слоев можно объяснить меньшим изменением обобщенной фазы взаимодействующих волн в единицу длины в активном слое из-за перекачки энергии между волнами.

Рис. 26. Зависимость эффективности антистоксового ВКР-преобразования от длины активного слоя периодической структуры; водород, максимально допустимая погрешность выбора длины слоя составляет ~15%

51

Рис. 27. Зависимость эффективности антистоксового ВКР-преобразования от длины пассивного слоя периодической структуры; водород, максимально допустимая погрешность выбора длины слоя составляет ~0.2%

52

8. ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ МНОГОВОЛНОВОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО ВЫНУЖДЕННОГО КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ В УСЛОВИИ ФАЗОВОГО КВАЗИСИНХРОНИЗМА 8.1. Схема численного интегрирования в условии фазового квазисинхронизма Для учета влияния нестационарности на реализацию слоистой структуры модель (7.1.1), (7.1.2) была изменена с учетом выражения (4.1.20).

Начальные

значения

амплитуд

взаимодействующих

волн

задавались следующими выражениями:

E j (0, t ) = E (max) exp(− 12 j

(

)

t − 4τ 0 −t z 2m ), τ0

(8.1.1)

q (0, t ) = 0 ,

(8.1.2)

где τ0 – длительность импульса по уровню e-1, tz – время задержки импульса, m – параметр, определяющий время нарастания фронтов импульса. При численном интегрировании производная фононной волны по времени заменялась разностным аналогом, в результате чего в активном слое для нахождения амплитуды фононной волны использовалось следующее выражение:

§ · (k ) ¸ ∆ − q ( k +1) = q ( k ) + T∆t ¨ ¦ E (jk ) E (jk−)* exp( iz ) q , j 1 ¸ 2 ¨ © j ¹ Для

определения

границы

активного

(8.1.3) слоя

использовалось

следующее условие: 8τ 0

³

t =0

E (jk +1) (t ) E (jk +1)* (t )dt

≥

8τ 0

(k ) ( k )* ³ E j (t ) E j (t )dt ,

t =0

(8.1.4)

53

если неравенство нарушалось, то активный слой заканчивался и начинался пассивный слой. Длина пассивного слоя определялась выражением (4.4.8), а изменение амплитуд волн – выражением (4.4.5). 8.2. Результаты численного моделирования многоволнового нестационарного вынужденного комбинационного рассеяния в условии фазового квазисинхронизма в кристаллических и газовых средах Численное моделирование многоволнового нестационарного ВКР показало, что в сжатом водороде и нитрате бария, что, в отличие от стационарного режима [9], даже в слабо нестационарном режиме (t1/2/T2>25) происходит практически полное подавление генерации высших стоксовых и антистоксовых компонент ВКР (см. рис. 28). Эффективность генерации первых стоксовой и антистоксовой компонент ВКР составляет, соответственно, 62 и 19%. Эффективность генерации высших стоксовых и антистоксовых компонент ВКР не превышает 0.01%.

54

Рис. 28. Зависимость интенсивностей взаимодействующих волн от продольной координаты и времени, водород, t1/2=10 нс (t1/2 – длительность импульса по уровню 0.5)

Для водорода и нитрата бария были исследованы зависимости максимальной преобразования

эффективности от отношения

стоксового

и

длительности

антистоксового импульса

дефазировки молекулярных колебаний (см. рис. 29, 30).

к

ВКР-

времени

55

Рис. 29. Зависимости максимальной эффективности стоксового (сплошная линия) и антистоксового (пунктирная линия) ВКР-преобразования от отношения длительности импульса к времени дефазировки молекулярных колебаний, водород

Рис. 30. Зависимости максимальной эффективности стоксового (сплошная линия) и антистоксового (пунктирная линия) ВКР-преобразования от отношения длительности импульса к времени дефазировки молекулярных колебаний, нитрат бария

Из приведенных графиков и расчетов следует, что максимальные эффективности

стоксового

и

антистоксового

ВКР-преобразования

практически не зависят от длительности импульса и составляют, соответственно, около 64% и 18% в водороде и 69% и 12% в нитрате

56

бария, что практически не отличается от значений, полученных для стационарного ВКР. Незначительные изменения эффективностей связаны с тем, что полное подавление генерации высших компонент ВКР происходит не при всех значениях длительности импульсов. Однако, длина среды,

на

которой

достигается

максимальная

эффективность

антистоксового ВКР-преобразования, и количество слоев в среде существенно зависят от длительности импульса (см. рис. 31, 32).

Рис. 31. Зависимость длины среды от отношения длительности импульса к времени дефазировки молекулярных колебаний (а – водород, б – нитрат бария)

Рис. 32. Зависимость количества слоев в среде от отношения длительности импульса к времени дефазировки молекулярных колебаний, водород

Как видно из графиков, зависимости длин сред (в сантиметрах) от отношения длительности импульса к времени дефазировки молекулярных колебаний для водорода и нитрата бария, соответственно, могут быть

57

аппроксимированы

выражениями

(8.2.1)

и

(8.2.2),

а

зависимости

количества слоев – выражениями (8.2.3) и (8.2.4).

LH 2

§t · = 1649.9¨¨ 1 / 2 ¸¸ © T2 ¹

LBa ( NO3 ) 2

NH2

− 0.89

§t · = 197.2¨¨ 1 / 2 ¸¸ © T2 ¹

§t · = 6277.1¨¨ 1 / 2 ¸¸ © T2 ¹

N Ba ( NO3 ) 2 Для

[см],

(8.2.1)

− 0.95

[см],

(8.2.2)

− 0.85

[ед],

§t · = 24408¨¨ 1 / 2 ¸¸ © T2 ¹ снижения

(8.2.3)

−1.09

[ед].

длины

среды

(8.2.4) была

изучена

зависимость

эффективности антистоксового ВКР-преобразования от длительности импульса при изменении входных интенсивностей взаимодействующих волн согласно следующему выражению: −1

§t · I = 10¨¨ 1 / 2 ¸¸ . © T2 ¹

(8.2.5)

Было установлено, что с ростом интенсивностей волн эффективность антистоксовой ВКР-генерации существенно снижается из-за увеличения эффективности генерации второй стоксовой компоненты ВКР (см. рис. 33, 34). Длина ВКР-активной среды не превышает 1 м для водорода и 10 см для нитрата бария.

58

Рис. 33. Зависимость эффективности антистоксового ВКР-преобразования от отношения длительности импульса к времени дефазировки молекулярных колебаний, водород

Рис. 34. Зависимость эффективности антистоксового ВКР-преобразования от отношения длительности импульса к времени дефазировки молекулярных колебаний, нитрат бария

Была изучена зависимость эффективности антистоксовой ВКРгенерации

в

фиксированной

периодической

слоистой

среде,

рассмотренной в § 7.4., от отношения длительности импульса к времени дефазировки молекулярных колебаний (см. рис. 35). Моделирование

59

показало, что оптимальные периодические структуры как в водороде, так и в нитрате бария позволяют эффективно преобразовывать импульсы с длительностью от 3 нс и более. Несмотря на то, что время дефазировки молекулярных колебаний у нитрата бария существенно меньше, чем у водорода, длина среды, необходимая для полного преобразования энергии, в

нитрате

бария

с

уменьшением

длительности

импульса

растет

существенно быстрее, чем в водороде, и, поэтому, длины фиксированной среды не хватает для эффективного преобразования более коротких импульсов. Увеличивая длину среды, как в водороде, так и в нитрате бария, можно эффективно преобразовывать и более короткие импульсы.

Рис. 35. Зависимость эффективности антистоксового ВКР-преобразования от отношения длительности импульса к времени дефазировки молекулярных колебаний в фиксированной периодической слоистой среде (а – водород, б – нитрат бария)

60

9. ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ МНОГОВОЛНОВОГО СТАЦИОНАРНОГО ВЫНУЖДЕННОГО КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ В УСЛОВИИ ФАЗОВОГО КВАЗИСИНХРОНИЗМА С УЧЕТОМ ДИФРАКЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ 9.1. Схема численного интегрирования в условии фазового квазисинхронизма Для учета влияния дифракционных эффектов на реализацию слоистой структуры модель (7.1.1), (7.1.2) была преобразована с учетом выражения (4.1.19), к виду. ∂E j ∂z

+ 2 ki

j

∂ ( r ∂E j ) ∂x r∂x

=

g ωj * iz∆ j +1 [ E q e j + 1 2 ω−1

− E j −1qe

− iz∆ j

],

q = ¦ E j E *j −1 exp(iz∆ j ) .

(9.1.1) (9.1.2)

j

В процессе моделирования считалось, что ВКР-активная среда находится на расстоянии L от источника излучения, т.е. прежде чем попасть в ВКР-активную среду, волны проходят расстояние L в линейной среде

и

дифрагируют

в

ней.

Начальные

значения

амплитуд

взаимодействующих волн задавались следующими выражениями:

E j ( z , L) = E j ,0

w0 e w( L )

−

r2 r2 i k ( ( − L ) + ψ ( L) + ϕ0 ) j ( w( L )) 2 2 R ( L)

e

,

(9.1.3)

где 2

w( L) = w0 1 + §¨ 2 L2 ·¸ , © k j w0 ¹

(9.1.4)

§ § k j w02 ·2 · R( L) = L¨¨1 + ¨ 2 L ¸ ¸¸ , ¹ ¹ © ©

(9.1.5)

61

cos ψ ( L) =

w0 , w( L )

(9.1.6)

). sin ψ ( L ) = − 1 − ( w0 2 w( L )

(9.1.7)

9.2. Результаты численного моделирования многоволнового стационарного вынужденного комбинационного рассеяния в условии фазового квазисинхронизма в кристаллических и газовых средах с учетом дифракционных эффектов Численное моделирование многоволнового стационарного ВКР в сжатом водороде и нитрате бария с учетом дифракционных эффектов показало, что для каждого значения диаметра пучков существует своя оптимальная ВКР-активная слоистая среда, в которой достигается высокая эффективность антистоксового ВКР-преобразования. Для определения оптимальных условий генерации антистоксового излучения была изучена максимальная эффективность антистоксового ВКР-преобразования в зависимости от числа Френеля активного волновода (F=ka2/L, где k – волновое число, a – диаметр пучка, а L – длина ВКР-активной среды; см. рис. 36, 37) и от положения перетяжки гауссова пучка (см. рис. 38, 39) в фиксированной периодической слоистой среде. Как для водорода, так и для нитрата бария использовались периодические среды, рассмотренные в § 7.4., что позволило сравнить случаи ВКР без учета дифракции и с ее учетом.

62

Рис. 36. Зависимость эффективности антистоксового ВКР-преобразования от числа Френеля, водород

Рис. 37. Зависимость эффективности антистоксового ВКР-преобразования от числа Френеля, нитрат бария

63

Рис. 38. Зависимость эффективности антистоксового ВКР-преобразования от положения перетяжки гауссова пучка (положительным значениям dL соответствует расположение перетяжки пучка перед ВКР-активной средой, а отрицательным – внутри нее и за ней), водород

Рис. 39. Зависимость эффективности антистоксового ВКР-преобразования от положения перетяжки гауссова пучка (положительным значениям dL соответствует

64

расположение перетяжки пучка перед ВКР-активной средой, а отрицательным – внутри нее и за ней), нитрат бария

Из расчетов и приведенных графиков следует, что с увеличением числа Френеля эффективность антистоксового ВКР-преобразования в периодической слоистой структуре возрастает и достигает своего максимума при числе Френеля, равного трем. При дальнейшем росте числа Френеля эффективность антистоксового ВКР-преобразования практически не изменяется. Максимальная эффективность антистоксового ВКРпреобразования составляет 32% для водорода и 21% для нитрата бария. Это несколько ниже, чем при стационарном взаимодействии без учета дифракции, однако разницу можно объяснить тем, что вместо плоских волн при дифракции рассматриваются гауссовы пучки. Было установлено, что максимальная эффективность антистоксового ВКР-преобразования при диаметре входных пучков 1 мм достигается в случае, когда перетяжка пучка находится внутри ВКР-активной среды (на расстоянии ~80% от Lm для водорода и ~100% от Lm для нитрата бария, где Lm – длина ВКР-активной среды). Причем при изменении положения перетяжки пучка от +30 до -30 см (до среды и в среде или за ней) эффективность антистоксового ВКР-преобразования практически не изменяется. Положительным значениям dL расположения перетяжки пучка радиуса r0 соответствует случай, при котором лазерный источник находится на расстоянии dL от ВКР-активной среды. Отрицательным – случай, когда лазерный источник находится непосредственно перед ВКРактивной средой, а пучок радиуса R проходит через линзу с фокусным

FλR Fπ2 R 4 расстоянием F, где dL = 2 4 . ; r = 0 2 4 2 2 π R + F 2λ2 π R +F λ

65

ВЫВОДЫ Исследование показало, что, комбинируя усиление в кварцевых волокнах, активированных ионами эрбия и одновременное стоксовое и антистоксовое ВКР-усиление, можно сгладить кривую усиления EDFAs и увеличить количество информационных каналов. Показано, что в кварцевом волокне возможно выполнение условия фазового

квазисинхронизма

при

низких

входных

интенсивностях

взаимодействующих волн. Изучена зависимость параметров слоистой структуры волокна от входной интенсивности волны накачки при фиксированном соотношении входных интенсивностей взаимодействующих волн. Установлено, что для более эффективного сглаживания кривой усиления можно использовать несколько волн накачки с разными частотами, так как параметры слоистой структуры не зависят от длины волны накачки. Исследование показало, что учет генерации высших стоксовых и антистоксовых компонент ВКР приводит к уменьшению общей длины ВКР-активной среды и практически не влияет на эффективность антистоксового ВКР-преобразования. В

ходе

зависимость

численного

моделирования

эффективности

генерации

была

выявлена

высших

сильная

стоксовых

и

антистоксовых компонент ВКР от дисперсии рамановской нелинейности. Показано, что применение периодической слоистой структуры для реализации условий фазового квазисинхронизма практически не снижает эффективность

антистоксовой

ВКР-генерации

стоксового и антистоксового ВКР-усиления.

и

одновременного

66

Было установлено, что влияние погрешности в выборе длины активного слоя в периодической слоистой структуре на эффективность антистоксового ВКР-преобразования значительно ниже, чем влияние погрешности в выборе длины пассивного слоя. Исследование антистоксового длительности

показало,

что

ВКР-преобразования импульса,

однако

максимальная практически

длина

среды,

эффективность не

на

зависит которой

от эта

эффективность достигается, и количество необходимых для этого слоев существенно зависят от длительности импульса. В ходе численного моделирования было установлено, что снижение длины

ВКР-активной

взаимодействующих

среды волн

за

счет

приводит

к

увеличения

интенсивностей

существенному

снижению

эффективности антистоксового ВКР-преобразования из-за увеличения эффективности генерации второй стоксовой компоненты ВКР. Было установлено, что в фиксированной периодической слоистой структуре, оптимальной для реализации фазового квазисинхронизма при стационарном ВКР, как в водороде, так и в нитрате бария, возможно эффективное преобразование импульсов с длительностью от 3 нс и более. Было

определено,

что

при

числе

Френеля

равном

трем

эффективность антистоксового ВКР-преобразования достигает своего максимального значения и с дальнейшим ростом числа Френеля практически не изменяется. Исследование показало, что эффективность антистоксового ВКРпреобразования максимальна в том случае, когда перетяжка гауссова пучка находится внутри ВКР-активной среды.

67

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В ходе выполнения работы была разработана аналитическая модель вынужденного

комбинационного

рассеяния

в

условии

фазового

квазисинхронизма в кварцевых волокнах, изучены вопросы влияния генерации высших стоксовых и антистоксовых компонент ВКР на реализацию условий фазового квазисинхронизма при стационарном и нестационарном взаимодействии и с учетом дифракционных эффектов. Для реализации слоистых структур, необходимых для создания условий фазового квазисинхронизма, в водороде можно использовать оптический эффект Штарка в постоянном электрическом поле, в оптических волокнах – методы, аналогичные методам фотолитографии, используемым для создания брэгговских решеток, а в нитрате бария – более сложные методы, такие как молекулярно-пучковая эпитаксия и другие методы изготовления квантово-размерных структур. Полученные результаты численного моделирования открывают пути оптимизации и обещают разработку новых эффективных оптических волоконных усилителей и преобразователей частоты лазерного излучения.

68

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Nakagawa K., Nishi S., Yoneda E. Trunk and distribution network application of erbium-doped fiber amplifier // J. Lightwawe Technol., 1991, 9, 198-207. 2. Randy G., Tingyc L. I. Optical amplifiers transform long distance lightvoice telecommunications // Proc. IEEE, 1996, 84, 870-83. 3. Urquhart P. Review of rare-earth-doped fiber lasers amplifiers // IEEE Proc, 1988, 6, 385-407. 4. Ahmed M. H., Shalaby M., Misk F. M. Combined erbium and Raman amplification at 1.55 µm in submarine links using backward pumping at 1.48 µm // Pure Appl. Opt., 1998, 7, 659-666. 5. Bespalov V. G., Makarov N. S. Quasi-phase matching anti-Stokes SRS generation // Proc. SPIE, vol. 4268, 2001, pp. 109-116. 6. Ottusch J. J., Mangir M. S., Rockwell D. A. Efficient anti-Stokes Raman conversion by four-wave mixing in gases // J. Opt. Soc. Am. B, vol. 8, 1991, pp. 68-77. 7. Бутылкин В. С. и др. Резонансные взаимодействия света с веществом – М.: Наука, 1977. 351 с. 8. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы – М.: Наука, 1976. Т. 2. – 399 с. 9. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика – М.: Мир, 1996. 324 с. 10.Беспалов В. Г., Лобанов С. А., Макаров Н. С. Новые методы генерации и усиления света при вынужденном комбинационном рассеянии: фазовый квазисинхронизм и фотонные кристаллы // Российская Научно-Практическая

Конференция

приборостроение-2000, стр. 47-48.

Оптика

и

научное

69

11.Bespalov V. G., Makarov N. S. Quasi-phase matching SRS generation // First International Conference on Laser Optics for Young Scientists, June 26-30, 2000, p. 131. 12.Макаров Н. С. Генерация антистоксовой компоненты вынужденного комбинационного рассеяния в условиях фазового квазисинхронизма // в книге “Проблемы когерентной и нелинейной оптики” (Под ред. И. П. Гурова и С. А. Козлова), СПб, 2000, стр. 180-190. 13.Беспалов В. Г., Макаров Н. С. ВКР генерация антистоксового излучения в условиях фазового квазисинхронизма // Опт. и спектр. 2001. Т. 90, № 6, стр. 1034-1037. 14.Bespalov V. G., Makarov N. S. Quasi-phase matching anti-Stokes SRS generation // Photonics West 2001 (LASE 2001), 20-26 January 2001. 15.Макаров Н. С. Нестационарная генерация антистоксового излучения ВКР в газовых и кристаллических средах при выполнении условий фазового квазисинхронизма // Научная Молодежная Школа Оптика2000, 17-19 Октября, 2000, стр. 101. 16.Bespalov V. G., Makarov N. S. Transient quasi-phase matching SRS generation // International Conference on Coherent and Nonlinear Optics 2001 (ICONO-2001), 26 June – 1 July 2001, p. 153. 17.Bespalov V. G., Makarov N. S. Transient quasi-phase matching SRS generation // Proc. SPIE, (ICONO-2001), 2001 (accepted for publication). 18.Bespalov V. G., Makarov N. S. Combined Stokes-anti-Stokes Raman amplification in fiber // Proc. SPIE, vol. 4605, 2001, pp. 280-285. 19.Беспалов В. Г., Макаров Н. С. Комбинированное стоксово и антистоксово рамановское усиление в волокне // Известия РАН. Серия физическая, Т. 66, № 3, 2002, стр. 350-352. 20.Макаров Н. С. ВКР-генерация в условиях фазового квазисинхронизма // бакалаврский диплом, СПбГИТМО (ТУ), 2001, 44 с.

70

21.Горбунов В. А. Управление параметрами лазерного излучения при помощи вынужденного комбинационного рассеяния // диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Ленинград, 1984, 170 с. 22.Борн М., Вольф Э. Основы оптики – М.: Наука, 1970. 856 с. 23.Макаров Н. С. Стокс-антистоксовое ВКР-усиление сигналов в кварцевом волокне // Международная Молодежная Конференция “Оптика-2001”, 16-19 октября 2001, стр. 193. 24.Беспалов В. Г., Макаров Н. С. Фазовый квазисинхронизм при Рамановских

взаимодействиях

когерентных

волн

//

Пятая

Всероссийская Молодежная Научная Школа “Когерентная Оптика и Оптическая Спектроскопия”, 25-27 октября 2001. 25.Макаров Н. С. Аналитическое решение задачи усиления антистоксовой компоненты вынужденного комбинационного рассеяния в условиях фазового квазисинхронизма в оптических волокнах // в книге “Современные технологии ” (Под ред. С. А. Козлова), СПб, 2001, стр. 166-175. 26.Bischel W. K., Dyer M. J. Wavelength dependence of the absolute Raman gain coefficient for the Q(1) transmission in H2 // J. Opt. Soc. Am. B, vol. 3, 1985, pp. 677-682.