Глобальная лоренцева геометрия

Дж.Бим, П.Эрлих ГЛОБАЛЬНАЯ ЛОРЕНЦЕВА ГЕОМЕТРИЯ М.: Мир, 1985. 400 с.

Систематическое изложение лоренцевой геометрии в целом, написанное известными американскими математиками. Книга отражает современные у спех к в разработке общей теории относительности, а также достижения современной дифференциальной геометрии. Изложение доступное и ясное. Для математиков разных специальностей, студентов и аспирантов университетов. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому изданию 5 Предисловие 7 Глава 1. Введение; римановы мотивы в лоренцевой геометрии 10 Глава 2. Лоренцевы многообразия и причинность 22 2.1. Лоренцевы многообразия и нормальные выпуклые окрестности 23 2.2. Теория причинности пространства-времени 28 0 38 2.3. Предельные кривые и C -топология на кривых 2.4. Двумерное пространство-время 48 2.5. Вторая фундаментальная форма 55 2.6. Искривленные произведения 57 Глава 3. Лоренцево расстояние 80 3.1. Основные понятия и определения 80 3.2. Изометрические и гомотетические отображения 92 3.3. Лоренцева функция расстояния и причинность 98 Глава 4. Примеры пространственно-временных многообразий 107 4.1. Пространство-время Минковского 108 4.2. Пространства Шварцшильда и Керра 112 4.3. Пространства постоянной кривизны 115 4.4. Пространства Робертсона — Уокера 117 4.5. Биинвариантные лоренцевы метрики на группах Ли 122 Глава 5. Полнота и расширения 127 5.1. Существование максимальных геодезических сегментов 128 5.2. Геодезическая полнота 131 5.3. Метрическая полнота 138 5.4. Идеальные границы 141 5.5. Локальные расширения 145 5.6. Сингулярности кривизны 150 Глава 6. Устойчивость пространств Робертсона — Уокера 156 6.1. Устойчивые свойства Lor (M) и Con (M) 158 160 6.2. C 1 -топология и системы геодезических 6.3. Устойчивость геодезической неполноты пространств Робертсона — 163 Уокера Глава 7. Максимальные геодезические и причинно разделяемые 177 пространственно-временные многообразия

7.1. Почти максимальные кривые и максимальные геодезические 179 7.2. Непространственноподобные геодезические лучи в сильно причинных 185 пространствах 7.3. Причинно разделяемые пространственно-временные многообразия и 189 Непространственноподобные геодезические прямые Глава 8. Лоренцево множество раздела 199 8.1. Множество времениподобного раздела 202 8.2. Множество изотропного раздела 203 8.3. Множество непространственноподобного раздела 215 Глава 9. Теория Морса об индексе для лоренцевых многообразий 223 9.1. Теория Морса для времениподобных геодезических 227 9.2. Пространство времениподобных путей глобально гиперболического 252 пространства-времени 9.3. Теория Морса для изотропного индекса 263 Глава 10. Некоторые результаты в глобальной лоренцевой геометрии 293 10.1. Времениподобный диаметр 294 10.2. Лоренцевы теоремы сравнения 299 10.3. Лоренцевы теоремы Адамара — Картана 304 Глава 11. Сингулярности 308 11.1. Якобиевы тензоры 309 11.2. Типовое и сильное энергетическое условия 315 11.3. Фокальные точки 325 11.4. Существование сингулярностей 344 11.5. Гладкие границы 350 Добавление А. Связности и кривизна 355 А. 1. Аффинные связности 355 А. 2. Псевдоримановы многообразия 359 А. 3. Изотропная кривизна Риччи в двумерных многообразиях 362 Добавление Б. Типовое условие 364 Добавление В. Уравнения Эйнштейна 370 В. 1. Тензор энергии-импульса и уравнения Эйнштейна 370 В. 2. Сильное энергетическое условие и тензор энергии-импульса 372 В. 3. Идеальная жидкость 373 Добавление Г. Якобиевы поля и теорема Топоногова для лоренцевых 375 многообразий Литература 381 Именной указатель 392 Предметный указатель 395 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Арцела (Arzela C.) 39, 41 Авез (Avez A.) 37, 130, 250, 296 Ауслендер (Auslander L.) 381 Адамар (Hadamard J.) 293, 294, 304, Берже (Berger M.) 199 306 Бёлтс (Bolts G.) 56, 226, 227, 229, 236, Александров А. Д. 15, 32 238, 239, 263, 265, 269, 270, 272, Андерсон (Anderson J. L.) 381

273, 276, 277, 280, 281, 284, 315, 318, 323, 326, 332, 336, 340, 341 Бим (Beem J. K.) 9, 10, 20 45, 51, 55, 70—72, 86, 89, 92, 96, 97, 99, 101, 103, 127, 133, 135, 136, 141, 146, 155, 158, 179, 189, 198, 200, 202, 208, 218, 227, 236, 250, 263, 265, 294, 296, 299, 316, 344 Биркгоф (Birkhoff G. D.) 160 Бишоп (Bishop R. L.) 9, 23, 57, 58, 89, 302 326 Бойер (Boyer R. H.) 114, 115 Бонди (Bondi H.) 382 Бонне (Bonnet O.) 293, 294, 296, 298 Боссхард (Bosshard B.) 141 Брилл (Brill D.) 382 Буземан (Busemann H.) 39, 48, 71, 117, 139, 140, 171, 198 Буняковский В. Я. 272 Бьюдик (Budic R.) 31, 209 Бэр (Baire R.) 253 Вейнберг (Weinberg S.) 382 Вольф (Wolf J. A.) 91, 115, 118, 119, 126, 377 Вонг (Wang H.-C.) 117, 119 Вроньский (Hoene-Wronski J.) 281 By (Woo P. Y.) 51 By (Wu H.) 36, 76, 107, 128 Вудхауз (Woodhaus N. М. J.) 10, 227, 251, 252 Галливер (Gulliver R.) 305 Галлоуэй (Galloway G.) 383 Гаусс (Gauss С. F.) 89, 237, 238, 239, 276, 309 Герок (Geroch R. P.) 13, 20, 22, 23, 36, 37, 65, 66, 128, 133, 135—138, 141, 143, 157—160, 168, 250, 349 Гессе (Hesse О.) 75 Гёбель (Gobel R.) 92 Грейвс (Graves L.) 362 Грин Л. (Green L. W.) 320 Грин P. (Green R. E.) 383

Громол (Gromoll D.) 9, 104, 177, 217, 227, 236—238, 245, 299, 302 Дайцер (Dajczer M.) 316 Дефацио (DeFacio B.) 387 Деннис (Dennis P.) 387 Джонсон (Johnson R. A.) 141 Додсон (Dodson C. T. J.) 141 Евклид 160 Ердли (Eardley D. M.) 384 Зейферт (Seifert H.-J.) 35, 37, 130, 134 Зиман (Zeeman E. C.) 92 Картам (Cartan E.) 293 294, 304, 306 Картер (Carter B.) 33, 37, 38 Казн (Cahen M.) 384 Келли (Kelly J. L.) 253 Kepp (Kerr R. P.) 107, 108, 112, 114 Киконе (Chicone C.) 325 Киллинг (Killing W.) 61, 113 Кинг (King A. R.) 95 Кларке (Clarke C. J.fS.) 127, 128, 132, 134, 142, 146, 151, 252, 309 Клингенберг (KHngenberg W,) 9, 91, 104, 199, 216, 217, 227, 236—238, 245, 299, 302 Кобаяси (Kobayashi S.) 50, 96, 132, 202, 217, 221 Кон-Фоссен (Cohn-Vossen S.) 177 Коши (Cauchy A.) 11, 20, 22, 36, 48, 65, 67, 69, 70, 91, 121, 138, 139, 141, 159, 169, 189, 190, 193, 255, 257, 260, 272, 308, 316, 343, 344, 346, 372 Криттенден (Crittenden R.) 9, 89, 251, 302, 326 Кристоффель (Chrisoffel E. B.) 97, 161, 162, 232, 360, 363, 365, 367—369 Кронхеймер (Kronheimer E. H.) 15, 128, 143 Крускал (Kruskal M. D.) 108, 113, 114 Кулкарни (Kulkarni R. S.) 126, 362 Кундт (Kundt W.) 20, 133 Леви-Чивита (Levi-Civita T.) 17, 72,

97, 228, 355, 360 Лернер (Lerner D. E.) 157—159, 169, 207, 344 Ли (Lee K. K.) 58, 93, 108, 122—126, 251, 316, 358 Линдквист (Lindqust R. W.) 114, 115 Липшиц (Lipschitz R.) 39, 40, 81, 160, 162 Лоренц (Lorenz E. N.) 10, 34, 51, 53, 58, 75, 81, 98, 146, 149, 199, 223, 227, 293, 304, 305, 377 Майерс (Myers S. B.) 92, 177, 226, 293, 294, 296, 298) Маккарти (McCarthy R. J.) 95 Манкрс (Munkres J. R.) 41 Марате (Marathe K.) 13 Маркус (Marcus L.) 24 Марсден (Marsden J. E.) 9, 118, 372 Мейер (Meyer W.) 9, 104, 217, 227, 236—238, 245, 299, 302 Мизнер (Misner C. W.) 120, 134, 370, 371 373 Миллер (Miller J. G.) 386 Миллман (Millman J.) 127 Милнор (Milnor J.) 122, 124, 125, 225, 226, 252, 253, 255, 257, 306 Минковский (Minkowski H.) 19, 20, 22, 78, 86, 87, 96, 97, 99, 100 101, 107, 108—112, 115, 116 121, 128, 13!, 133, 137, 140— 142, 149, 150 164, 185, 192 195, 203 205, 214, 215, 252, 301, 303, 307, 311, 341, 351 Монкриф (Moncrief V.) 386 Морроу (Morrow J.) 127 Морс (MorseM.) 9, 10, 21, 91, 223, 225 226, 227, 232, 241, 242, 245, 247, 250—255, 259, 261, 263, 265, 284, 289, 292, 294, 298, 306 Номидзу (Nomizu К.) 12, 20, 50, 96, 126, 127, 132, 134, 316, 362 Нордстрем (Nordstrom G.) 16, 82, 112, 189, 190

Одзеки (Ozeki H.) 12, 20, 127, 134 О'Нейл (O'Neil В.) 23, 54, 57, 58, 80, 177, 349 О'Салливэн (O'Sullivan J.) 277, 281, 305, 315, 320 Оханиан (Ohanian В.) 387 Палэ (Palais R. S.) 92 Паркер (Parker P. E.) 359 Патриа (Pathria R. K.) 113 Пауэлл (Powell T. G.) 72 Пенроуз (Penrose R.) 15, 29, 31, 32, 38, 44, 47, 81, 89, 90, 110, 112, 128, 130, 143, 182—184, 190, 193, 209, 210, 238, 315, 316, 342— 344, 346, 348, 357 Петров А. 3. 387 Постои (Poston T.) 384 Прайс (Price T. G.) 115 Пуанкаре (Poincare H.) 199, 201 Райсснер (Reissner G.) 16, 82, 112, 189, 190 Райчаудхури (Raychaudhuri A. K.) 296, 299, 312—314, 317, 323— 325, 329 Payx (Rauch H.) 199, 294, 299, 301— 303, 375, 376, 379 Рецлофф (Retzloff D. G.) 387 Риан (Ryan M. P.) 387 Риман (Riemann B.) 58, 117, 118, 122, 232, 360, 362, 365, 367, 368 Ринов (Rinow W.) 12, 19, 20, 40, 43, 65, 68, 103, 118, 119, 127, 138, 139, 177, 181, 293 Риччи (Ricci G.) 27, 58, 66, 74—77, 157, 193, 214, 226, 293, 294, 316, 355, 360—362, 370, 371, 372 Робертсон (Robertson M.) 22, 23, 67, 107, 108, 117, 120, 121, 156— 158, 160, 163, 169, 170, 171, 174—176, 215, 350, 353, 373 Рота (Rota G.-C.) 160 Салли (Sulley L. J.) 384 Сакс (Sachs R. K.) 30, 31, 36, 37 76, 107, 128, 209

Сард (Sard A.) 252, 253 Сато (Sato H.) 115 Cepp (Serre J. P.) 261 де Ситтер (de Sitter F.) 59, 76, 115, 116, 117, 129, 192, 210, 377 Смарр (Smarr L.) 384 Смит (Smith J. W.) 250 Спивак (Spivak M.) 73, 212 Стинрод (Steenrod N. E.) 23, 92 Тауб (Taub A. H.) 359 Типлер (Tipler F.) 9, 30, 91, 142, 293—295, 309, 325, 374 Титс (Tits J.) 117 Толбот (Talbot C. J.) 10, 227, 251, 252 Томимацу (Tomimatsu A.) 115 Топоногов В. A. 299, 375, 378 Topn (Thorpe J.) 120, 203, 370, 371, 373 Уайтхед (Whitehead J. H. C.) 11, 28, 199 Уилер (Wheeler J. A.) 120, 293, 295, 370 371 373 Уленбек (Uhlenbeck K.) 10, 226, 227, 251, 252, 257, 260, 261, 263, 296, 307 Уокер (Walker A. G.) 22, 23, 67, 108, 117, 120, 121, 156—158, 160, 163, 169, 170, 171, 174, 175, 176, 215, 350, 353, 373 Уолтер (Wolter F.-E.) 208 Ферми (Fermi E.) 288 Фиган (Fegan H.) 127 Фишер (Fischer A. E.) 9, 372 Флаэрти (Flaherty F.) 250, 296, 297, 302, 304, 307 Франкл (Frankel T.) 316, 370 Фрейденталь (Freudental H.) 189 Фридландер (Friedlander F. G.) 389 Фридман A. A. 192, 200, 210, 215, 262, 295 Xaap (Haar A.) 122, 123 Харрис (Harris S. G.) 296, 299, 362, 375, 379, 380 Хартман (Hartman P.) 50

Хаусдорф (Hausdorff F.) 39 Хелгасон (Helgason S.) 9, 122 Херман (Hermann R.) 56, 57 Хикс (Hichs N. J.) 9, 28, 65 Хирш (Hirsch M.) 253 Хокинг (Hawking S. W.) 9, 10, 28, 30, 31, 33, 35—38, 41, 42, 45, 73, 76, 81, 82, 84, 88, 89, 95, 108, ПО, 114, 116, 117, 121, 122, 128, 132, 134, 136, 138, 141, 142, 146, 147, 156, 170, 193, 207, 210, 214, 215, 226, 229, 236, 263, 265, 272, 273, 276, 277, 283, 284, 286, 296, 299, 315, 316, 323, 332, 340—344, 346, 348— 351, 370—373, 377 Хопф (Hopf H.) 12, 19, 20, 40, 43, 68, 103, 118, 119, 127, 138, 139, 177, 181, 293, 320 Хоровиц (Horowitz G. Т.) 37 Нигер (Cheeger J.) 57, 84, 177, 229, 251, 296 299, 316, 362, 375, 378 Шварц (Schwarz H.) 272 Шварцшильд (Schwarzschild К.) 22, 23, 107, 108 112—114, 132, 371 Шепли (Shepley L. С.) 387 Шмидт (Schraidt В. G.) 127, 128, 132, 136, 147, 157 Шоке-Брюа (Choquet-Bruhat Y.) 9 Эберлейн (Eberlein P.) 177 Эбин (Ebin D. G.) 57, 84, 229, 251, 296, 299, 316, 372, 375, 378 Эверест (Everson J.) 10, 227, 251, 252 Эйнштейн (Einstein A) 22, 76, 78, 79, 112—114, 117, 121, 132, 161, 192, 197, 210 214, 215, 218, 219, 220, 222, 223, 316, 353, 370, 371, 374 Эллис (Ellis G. F. R.) 9, 10, 28, 33, 36, 38, 41, 42, 45, 73, 76, 81, 82, 84, 88, 89, 108, 110, 114, 116, 117, 121, 122, 127, 128, 132, 134, 136, 138, 141, 142, 146, 147, 151, 156, 170, 193, 207, 210, 214, 215, 226, 229, 236, 263, 265, 272, 273, 276,

263, 265, 294, 296, 299, 316, 325, 277, 283, 284, 286, 296, 299, 309, 344 315, 316, 323, 332, 340— 343, Эшенбург (Eshenburg J.-H.) 277, 281, 348, 350, 351, 370—373, 377 315, 320 Эресман (Ehresmann C.) 390 Якоби (Jacob! C.) 224, 226, 228, 232, Эрлих (Ehrlich P. E.) 9, 10, 70, 72, 86, 233, 264, 268, 269, 279, 281, 309, 89, 99, 101, 103, 158, 179, 189, 310, 319, 326, 375 200, 202, 208, 218, 227, 236, 250, ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Минимальная кусочно-гладкая Класс векторов, направленных в кривая 12 будущее 13, 24 Многообразие, ориентируемое во — — — в прошлое 13, 24 времени 23 Клеточный комплекс 226 Множество второй категории 253 Контур (horismos) будущего 193, 345 — будущего 142 — прошлого 345 — — граничное (terminal) Конформное представление неразложимое (indecomposable) окрестности 351 142 Концевая точка (endpoint) 33 — — неразложимое 142 — — в будущем 33 — времениподобного раздела в Координаты нормальные 28 будущем 206 Кривая, захваченная (imprisoned) в — — — — для точки 206 будущем 33 — изотропного раздела в будущем Кривизна 358 209 — плоско:ти (изотропная — — — в прошлом 209 секционная) относительно —.непространственноподобного вектора 379 раздела в будущем 209, 215 — Риччи 360 — — — — в прошлом 215 — секционная 361 — ловушечное для будущего 342, — скалярная 361 345 Критическое значение 253 — — для прошлого 342, 345 Лагранжево тензорное поле 281, 310 — односвязное в будущем 250 Ловушечное (trapped) множество 342 —,. прошлого 142 Лоренцева метрика 23 — — граничное неразложимое 142 Лоренцево многообразие 23 — — неразложимое 142 — — глобально гиперболическое 377 Множествозначная функция внешне — — ориентируемое во времени 13, непрерывная 31 24 — — внутренне непрерывная 31 — произведение 58 Наидлиннейшая непространственно— — искривленное 58 подобная кривая 200 Максимальная кривая 89 Неособенная 2-плоскость 296 Метрика биинвариантная 122 Непродолжаемая непространственно— левоинвариантная 122 подобная кривая 33 — правоинвариантная 122 — — — захваченная 33 — Риччи-плоская 371 Непродолжаемость 32

Непространственноподобная кривая максимальная 18 — — непродолжаемая в будущее 33 — — — в прошлое 33 Область (development) Коша 343 — — будущего 193, 343 — — прошлого 343 Ограниченное ускорение (bounded acceleration) времениподобной кривой 136 Окрестность адаптированная нормальная 164 — выпуклая 28 — — нормальная 28 Оператор второй фундаментальной формы 56 Отображение гомотетично преобразующее расстояние 92 — экспоненциальное 27 Параллельный перенос 356 Плоское сечение 361 — — невырожденное 361 Плоскость времениподобная 362 Поверхность Коши 36 Подмногообразие вполне геодезическое 57 — времениподобное 55, 104 — геодезическое 57 — невырожденное 55 — пространственноподобное 55 b-полнота 136 Последовательность, расходящаяся к бесконечности 177 — выделяющая (distinguishing) кривую 38 Предгеодезическая 357 — изотропная 50 — полная 357 Предельная кривая 38 Преобразование гомотетическое собственное 96 Причинная структура 13 Причинно выпуклое открытое множество 31 Причинное прошлое 29

Пространство-время 24, 227 — времениподобно геодезически неполное 70, 133 — — — полное 132 — — Коми-полное 139 — геодезически полное 133 — — сингулярное 133 — глобально гиперболическое 18, 36, 227 — де Ситтера 115 — изотропно геодезически неполное 133 — — — полное 133 — — полное 133 — конечно компактное 140 — максимальное 128 — 'неполное 136 Пространство-время непространственноподобно геодезически неполное 133 — — — полное 132 — — полное 19 — нерасширяемое (inextendible) 128 — односвязное в будущем 294 — плоское 107 — полное 136 — b-полное 138 — о. у полное 136 — причинно простое'36 — причинно разделяемое (disconnected) 179 — — — компактным множеством 178, 189 — причинное 14 — пространственноподобное геодезически полное 132 — — — неполное 70, 133 — — полное 19 — различающее (distinguishing) 30 — — причинно непрерывное 30 — Робертсона—Уокера 120 — сильно причинное 31 — — — в точке 31 — сингулярное 19

— устойчиво причинное 34 — хронологическое 14, 29 Псевдориманова метрика 359 Расстояние хаусдорфово 171 Расхождение (expansion) 311, 313 Расширение кривой локальное bграничное 146 — лоренцева многообразия 146 — — — локальное 146 Расширение пространства-времени 128 Регулярная граничная точка 150 Риманова метрика полная 12 Риманово многообразие двухточечное однородное 117 — — изотропное 118 — — — в точке 118 — — однородное 117 — — полное 12 Свойство конформно устойчивое 159 — устойчивое 159 Связность без кручения (симметричная) 358 — Леви—Чевиma 360 Сингулярность кривизны 151 — почти регулярная 151 Сопряженная точка геодезического сегмента 228 Сопряженные точки 271 Тензор вращения (vorticity) 311, 313 — кривизны 27, 358 — кручения 358 — Римана—Кристоффеля 360 — Риччи 361 — сдвига (shear) 311, 313 Тонкая C r -топология 34 Топология Александрова 32 — интервальная 158

C 0 -топология на кривых 44 Точка изотропного раздела 209 — критическая 253 Точка непространственноподобно сопряженная в будущем 218 — раздела 199 — — в будущем 207 Точки, времениподобно сопряженные в будущем 305 Уравнение Райчаудхури, 312, 314 Условие времениподобного схождения (convergence) 315 — изотропного схождения 315 — конечности расстояния 18, 82, 102 — типовое (generic) 74, 315 — энергетическое 316 — — сильное 74, 315, 316 — — слабое 316 Фактортопология 158 Фокальная точка 325, 340, 375 — — гиперповерхности 328 Функционал энергии 272 Функция искривляющая (warped) 58 — расстояния глобальная 35 — — локальная 99 — времени Коши 37 — Морса 253 Хаусдорфов предел верхний 39 — — замкнутый 39 — — нижний 39 Хронологическое прошлое 29 Цепь времениподобная 254 — допустимая 164 Энергия кривой 272 Ядро тензорного поля 278 Якобиев класс 269 Якобиево поле 228 — — тензорное 279, 309